В.Л.Бонч-Бруевич, С.Г.Калашников
ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 10
Глава I
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 1. Кинетические явления в полупроводниках 13
а. Электропроводность A3).
б. Эффект Холла A5).
в. Изменение сопротивления в магнитном поле A7).
г. ТермоэдсA8).
д. Эффект Томсона A9).
е. Эффект Пельтье B0).
ж. Эффект Нернста—Эттингсгаузена B1).
з. Эффект Риги—Ледюка B2).
и. Продольные термомагнитные эффекты B3).
§ 2. Время релаксации 23
§ 3. Элементарная теория гальваномагнитных явлений 25
а. Тензор электропроводности в магнитном поле B5).
б. Угол Холла и постоянная Холла B8).
в. Магнетосопротивление C0).
§ 4. Смешанная проводимость 32
а. Эффект Холла C2).
б. Магнетосопротивление C5).
§ 5. Некоторые экспериментальные результаты 35
а. Электронная и дырочная проводимость C5).
б. Собственная и примесная проводимость C6).
в. Запрещенная энергетическая зона D0).
г. Удельная электропроводность D2).
д. Подвижности D3).
е. Собственная концентрация электронов D5).
ж. Магнетосопротивление D7).
Глава II
ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
§ 1. Кристаллические решетки 50
§ 2. Электронная конфигурация атомов 53
§ 3. Типы химической связи 56
а. Ионная связь E7).
б. Гомеополярная связь E7).
в. Ван-дер-ваальсовская связь F0).
§ 4. Строение некоторых полупроводниковых кристаллов 60
а. Ионные кристаллы F0).
б. Гомеополярные кристаллы F1).

в. Кристаллы со смешанными связями F2).
§ 5. Некристаллические полупроводники 64
а. Аморфные полупроводники F4).
б. Жидкие полупроводники F5).
в. Стеклообразные полупроводники F8).
§ 6. Запрещенная зона энергий 69
§ 7. Полупроводниковые свойства и химическая связь 70
§ 8. Полупроводники с малой подвижностью 71
§ 9. Примесные атомы 73
§ 10. Вакансии и междоузельные атомы 78
§11. Дислокации 81
Глава Ш
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
I. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА
§ 1. Основные предположения 87
§ 2. Волновая функция электрона в периодическом поле 89
§ 3. Зоны Бриллюэна 94
§ 4. Энергетические зоны 100
§ 5. Метод сильно связанных электронов 103
§ 6. Закон дисперсии. Изоэнергетические поверхности 112
§ 7. Металлы и полупроводники 114
§ 8. Эффективная масса 116
§ 9. Зонная структура некоторых полупроводников 122
Глава IV
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
П. КРИСТАЛЛЫ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
§ 1. Средние значения скорости и ускорения электрона в кристаллической 129
решетке
§ 2. Электроны и дырки 133
§ 3. Движение носителей заряда в постоянном и однородном магнитном 137
поле (классическая теория). Диамагнитный резонанс
§ 4. Метод эффективной массы 145
§ 5. Энергетический спектр носителя заряда в постоянном и однородном 149
магнитном поле (квантовая теория)
§ 6. Движение и энергетический спектр носителей заряда в постоянном 154
электрическом поле
§ 7. Мелкие примесные уровни в гомеополярном кристалле 160
Глава V
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
§ 1. Введение 167
§ 2. Распределение квантовых состояний в зонах 168
§ 3. Распределение Ферми — Дирака 169
§ 4. Концентрации электронов и дырок в зонах 170

§ 5. Невырожденные полупроводники 172
§ 6. Случай сильного вырождения 174
§ 7. Эффективная масса плотности состояний 175
§ 8. Плотность состояний в квантующем магнитном поле 179
§ 9. Концентрации электронов и дырок на локальных уровнях. Простые 181
центры
§ 10. Многозарядные центры 185
§11. Распределение. Гиббса 186
§ 12. Частные случаи 189
§ 13. Определение положения уровня Ферми 191
§ 14. Уровень Ферми в собственном полупроводнике 193
§ 15. Полупроводник с примесью одного типа 194
§ 16. Взаимная компенсация доноров и акцепторов 195
§ 17. Компенсированные полупроводники 197
§ 18. Определение энергетических уровней примесных атомов 199
а. Многозарядные акцепторы в полупроводнике п-типа A99).
б. Многозарядные акцепторы в полупроводнике р-типа B01).
в. Многозарядные доноры в полупроводнике п-типа B02).
г. Многозарядные доноры в полупроводнике р-типа B02).
Глава VI
ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ)
§ 1. Потенциальные барьеры 205
§ 2. Плотность тока. Соотношение Эйнштейна 207
§ 3. Условия равновесия контактирующих тел 209
§ 4. Термоэлектронная работа выхода 210
§ 5. Контактная разность потенциалов 213
§ 6. Распределение концентрации электронов и потенциала в слое 216
объемного заряда
§ 7. Длина экранирования 218
§ 8. Обогащенный контактный слой в отсутствие тока 220
§ 9. Истощенный контактный слой 222
§ 10. Токи, ограниченные пространственным зарядом 226
§11. Выпрямление в контакте металл — полупроводник 232
§ 12. Диффузионная теория 236
§ 13. Сравнение с экспериментом 239
Глава VII
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
§ 1. Неравновесные носители заряда 243
§ 2. Время жизни неравновесных носителей заряда 244
§ 3. Уравнения непрерывности 247
§ 4. Фотопроводимость 250
§ 5. Квазиуровни Ферми 255
§ 6. Электронно-дырочные переходы 258

§ 7. Обнаружение неравновесных носителей заряда 261
§ 8. Амбиполяркая диффузия и амбиполярный дрейф 264
§ 9. Длины диффузии и дрейфа 268
§ 10. п+ — п- и р+ — р- переходы 271
Глава VIH
ВЫПРЯМЛЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ С ПОМОЩЬЮ
р-п-ПЕРЕХОДОВ
§ 1. Статическая вольтамперная характеристика р —п-перехода 274
§ 2. р — n-переход при переменном напряжении 277
§ 3. Туннельный эффект в р — п-переходах. Туннельные диоды 282
§ 4. Биполярный полупроводниковый триод 285
§ 5. Гетеропереходы 289
Глава IX
СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
§ 1. Различные типы процессов рекомбинации 294
§ 2. Темп рекомбинации зона — зона 295
§ 3. Время жизни при излучательной рекомбинации 298
§ 4. Рекомбинация через примеси и дефекты 303
§ 5. Нестационарные процессы 307
а. Монополярное возбуждение C07).
б. Биполярное возбуждение C08)
§ 6. Стационарные состояния 310
§ 7. Многозарядные ловушки 314
Глава X
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
§ 1. Происхождение поверхностных состояний 317
§ 2. Влияние поверхностного потенциала на электропроводность 322
§ 3. Эффект поля 325
§ 4. Некоторые эффекты, связанные с поверхностными состояниями 332
§ 5. Скорость поверхностной рекомбинации 335
§ 6. Влияние поверхностной рекомбинации на фотопроводимость 338
а. Стационарная фотопроводимость при объемной однородной генерации
C38).
б. Стационарная фотопроводимость при поверхностной генерации C40).
§ 7. Затухание фотопроводимости в тонких пластинках и нитевидных 341
образцах
§ 8. Зависимость поверхностной рекомбинации от поверхностного 343
потенциала
§ 9. Ток насыщения диодов 345
Глава XI
ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ
§ 1. Роль неосновных носителей 347

§ 2. Фотоэдс в однородных полупроводниках 350
§ 3. Объемная фотоэдс 351
§ 4. Вентильная фотоэдс 355
§ 5. Вентильные фотоэлементы 359
§ 6. Поверхностная фотоэдс 365
§ 7. Фотоэлектромагнитный эффект 366
Глава XII
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
§ 1. Малые колебания 374
§ 2. Нормальные координаты 376
§ 3. Частоты нормальных колебаний. Акустические и оптические ветви 384
§ 4. Вектор смещения 389
§ 5. Квантовомеханическое рассмотрение колебаний решетки 391
§ 6. Фононы 394
Глава ХШ
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА
§ 1. Феноменологические соотношения 399
а. Носители заряда в постоянном и однородном слабом электрическом
поле C99).
б. Носители заряда в постоянном и однородном слабом температурном
поле D00).
в. Носители заряда в постоянных и однородных электрическом и
магнитном полях D03).
§ 2. Кинетические коэффициенты и функция распределения 406
§ 3. Кинетическое уравнение 408
§ 4. Термодинамическое равновесие. Принцип детального равновесия 413
§ 5. Малые отклонения от равновесия 416
§ 6. Интеграл столкновений в случае упругого рассеяния и изотропных 418
изоэнергетических поверхностей. Время релаксации импульса
§ 7. Элементарные стационарные решения кинетического уравнения в 424
случае малых отклонений от равновесия
а. Статическая электропроводность D24).
б. Термоэдс и коэффициент Пельтье D29).
в. Постоянная Холла и магнетосопротивление D34).
§ 8. Носители заряда в слабом переменном электрическом поле 439
§ 9. Плазменные волны 444
Глава XIV
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В НЕИДЕАЛЬНОЙ
КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
§ 1. Постановка задачи. Теория возмущений 447
§ 2. Вероятность перехода. Условие применимости кинетического 448
уравнения
§ 3. Энергия взаимодействия носителей заряда с фононами 453

а. Общие соображения D53).
б. Взаимодействие носителей заряда с акустическими фононами; метод
потенциала деформации D54).
в. Взаимодействие носителей заряда с оптическими фононами в
гомеополярном кристалле; метод потенциала деформации D57).
г. Взаимодействие носителей заряда с оптическими фононами в
гетерополярном кристалле D59).
д. Взаимодействие носителей заряда с пьезоэлектрическими колебаниями
решетки D61).
е. Сводка формул D64).
§ 4. Рассеяние носителей заряда фононами 465
§ 5. Рассеяние носителей заряда примесными атомами 474
§ 6. Подвижность, холл-фактор и термоэдс при различных механизмах 481
рассеяния
§ 7. Одновременное действие нескольких механизмов рассеяния 484
Глава XV
АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 1. Предварительные замечания 488
§ 2. Взаимодействие упругих волн с электронами проводимости 490
§ 3. Упругие волны в пьезодиэлектриках 493
§ 4. Упругие волны в пьезоэлектрических полупроводниках 494
§ 5. Электронное поглощение и усиление ультразвуковых волн 500
§ 6. Акусто-электрический эффект 502
§ 7. Случай qt» 1 505
§ 8. Усиление тепловых флуктуации 508
§ 9. Заключительные замечания 511
Глава XVI
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ
§ 1. Нагрев электронного газа 513
§ 2. Симметричная и антисимметричная части функции распределения 518
§ 3. Уравнения баланса 520
§ 4. Электронная температура 521
§ 5. Роль неупругости рассеяния 527
§ 6. Зависимость подвижности и концентрации носителей заряда от 529
напряженности поля
§ 7. Дифференциальная проводимость 537
§ 8. Флуктуационная неустойчивость 540
§ 9. Электрические домены и токовые шнуры 542
§ 10. Движущиеся и статические домены 545
Глава XVII
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ И ЗАДАЧИ,
ВЫХОДЯЩИЕ ЗА ЕЕ РАМКИ
§ 1. Три вопроса к зонной теории 547

§ 2. Адиабатическое приближение 548
§ 3. Приближение малых колебаний 552
§ 4. Роль колебаний решетки. Полярон 553
§ 5. Метод самосогласованного поля 556
§ 6. Электроны и дырки как элементарные возбуждения многоэлектронной 560
системы в полупроводнике
§ 7. Экситон 563
а. Решения, принадлежащие непрерывному спектру E65).
б. Решения, принадлежащие дискретному спектру E65).
§ 8. Мелкие локальные уровни при учете экранирования примесных 567
центров
§ 9. Механизмы рекомбинации 569
Глава XVIH
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 1. Поглощение и испускание света полупроводниками. 576
Феноменологические соотношения
а. Непоглощающая среда E79).
б. Слабое поглощение волны достаточно большой частоты E80).
§ 2. Механизмы поглощения 581
§ 3. Поглощение и отражение электромагнитных волн газом свободных 583
носителей заряда
§ 4. Коэффициенты поглощения и излучения при оптических переходах 587
зона — зона
§ 5. Прямые и непрямые переходы 591
§ 6. Полупроводниковые лазеры 594
§ 7. Коэффициенты поглощения при прямых переходах. Комбинированная 599
плотность состояний
§ 8. Критические точки 604
§ 9. Непрямые переходы 610
§ 10. Электрооптика 613
§ 11. Модуляционная спектроскопия 614
§ 12. Магнетооптика 615
а. Магнетоплазменные эффекты F15).
б. Междузонные переходы в квантующем магнитном поле F16).
Глава XIX
СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
§ 1. Примесные уровни и примесные зоны 617
§ 2. Особенности сильно легированных полупроводников 620
§ 3. Иерархия энергий 626
§ 4. Плотность состояний 628
§ 5. Хвост плотности состояний 632
§ 6. Междузонные оптические переходы в сильно легированных 635
полупроводниках

§ 7. Некристаллические полупроводники 639
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. К доказательству теоремы Блоха 643
П. Интегралы с функциями Блоха 644
Ш. Таблица значений интеграла Ф\п 646
IV. Дельта-функция 647
V. Рекомбинация через многозарядные ловушки 648
VI. Интеграл поверхностной проводимости 650
VII. Диффузия неравновесных носителей заряда в магнитном поле 652
VIII. Вычисление суммы (ХП. 2.6) 655
IX. Вывод условия ортогональности (ХП.2.11) 655
X. Переход от суммирования по дискретным компонентам квазиимпульса к 656
интегрированию
XI. Гамильтониан взаимодействия электронов с акустическими фононами 657
XII. Потенциал заряженного центра при учете экранирования свободными 659
носителями заряда
ХШ. Усреднение по координатам примесных атомов 661
XIV. Теорема об интеграле от периодической функции 664
XV. Интегралы с функцией Ферми в условиях сильного вырождения 664
Литература 666
Основные обозначения 670

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана на основе лекции, в течение ряда лет чи-
читавшихся авторами для студентов физического факультета Москов-
Московского университета и факультета физической и квантовой электро-
электроники Московского физико-технического института. Вместе с тем,
она не является конспектом лекций, а задумана как учебное посо-
пособие и поэтому содержит дополнительный материал для желающих
изучить предмет более подробно. Первая половина книги (гл, I—XI)
примерно соответствует содержанию лекций, читавшихся на 4-м
курсе, а вторая предназначена для студентов 5-го курса, В соот-
соответствии с этим постепенно изменяется стиль и характер изложения
материала.
Книга рассчитана на лиц, владеющих материалом общефизиче-
общефизических и математических курсов в объеме программ, принятых на
физических факультетах университетов и в физико-технических
институтах. Для изучения глав теоретического характера необхо-
необходимо знать статистическую физику и квантовую механику в объеме
обычных университетских курсов.
Авторам всех учебников хорошо известны трудности, связанные
с отбором материала. Эти трудности особенно возрастают, когда
речь идет о такой широкой и быстро развивающейся области, как
физика полупроводников. При этом часто нелегко бывает даже
решить, следует ли относить те или иные вопросы к собственно
физике полупроводников или уже к другим, смежным, дисципли-
дисциплинам. Далее, в учебник естественно включать лишь материал, доста-
достаточно устоявшийся. Однако при этом есть опасность, что книга уста-
устареет, еще не успев выйти из печати. Наконец, учебник по объему
должен быть таким, чтобы его можно было без труда поднять одной
рукой. Единственный выход, который нам удалось найти (и кото-
который, по-видимому, неоригинален), состоит в безжалостном отсече-
отсечении многих частных, хотя и важных, вопросов в сочетании с доста-
достаточно подробным изложением задач принципиального характера.
Мы опустили также все расчетные (в том числе теоретико-группо-
теоретико-групповые) методы зонной теории твердого тела, методы решения кинети-
кинетического уравнения в случае анизотропных изоэнергетических
поверхностей и некоторые другие, ограничившись изложением лишь
тех вопросов теории, с которыми, как нам кажется, должен быть
знаком экспериментатор, чтобы сознательно относиться к своей

ПРЕДИСЛОВИЕ И
деятельности. Здесь задачу авторов весьма облегчило существова-
существование превосходных теоретических монографий, указанных в списке
основной литературы. Дублировать эти книги нам казалось не-
нецелесообразным.
Таким образом, настоящая книга не предназначена служить
исчерпывающим руководством по экспериментальным и теоретиче-
теоретическим вопросам физики полупроводников. Ее задача — дать пред-
представление об основных понятиях и идеях современной физики полу-
полупроводников и подготовить читателя к изучению, в случае необхо-
необходимости, специальных обзоров и оригинальных работ по отдельным
вопросам данной области.
В ряде мест мы указываем монографии, в которых содержится
более подробное рассмотрение отдельных проблем, лишь затронутых
в книге (это особенно относится к сравнительно новым и трудным
задачам). Вместе с тем в соответствии со стилем, принятым во мно-
многих учебниках, мы старались избегать ссылок на не всегда доступ-
доступные студентам многочисленные оригинальные статьи (в том чис-
числе и на работы авторов). Исключение составляют лишь ссылки на ис-
источники, из которых непосредственно взяты воспроизводимые
в книге экспериментальные данные, а также отдельные случаи,
когда другие литературные источники отсутствуют. Мы надеемся,
что наши коллеги, интересные и важные работы которых использу-
используются в этой книге, правильно поймут намерения авторов и не будут
чувствовать себя ограбленными. Тем же из них, кто останется не-
недоволен этим объяснением, мы можем лишь напомнить, что при
изложении законов Ньютона или описании опытов Фарадея ссыл-
ссылки на оригинальные работы этих авторов делаются очень редко.
В книгу не включены задачи и упражнения в виде отдельных
приложений, так как уже имеются соответствующие задачники *).
Приведенные в тексте расчетные примеры имеют целью только
проиллюстрировать применение тех или иных принципиальных
положений.
Один из «больных вопросов» современной научной литературы —
вопрос об обозначениях. Понятий, требующих количественного
описания, больше, чем букв в обычно употребляемых алфавитах.
Поэтому некоторые символы пришлось употреблять в разных смыс-
смыслах. Для частичной компенсации этого недостатка к книге приложен
список основных обозначений. Отметим здесь, что векторные ин-
индексы обозначаются в книге чаще всего малыми греческими бук-
буквами, а по повторяющимся индексам подразумевается суммиро-
суммирование, если не оговорено исключение из этого правила. Формулы
в пределах каждой главыимеют двойную нумерацию. Первая цифра
указывает номер параграфа, вторая — номер формулы в данном
*) В. Л. Бонч-Бруевич, И. П. Звягин, И. В. Карпенко, А. Г, Миронов, Сбор-
Сборник задач по физике полупроводников, «Наука», М., 1968.

12 ПРЕДИСЛОВИЕ
параграфе (например, D.7)). При ссылках на формулы из других
глав ставится еще римская цифра, указывающая номер главы
(например, (IV. 4.7)). '
Все формулы даны в системе единиц Гаусса. Однако числен-
численные значения некоторых полупроводниковых характеристик при-
приведены в практических единицах, которые обычно употребляются
для этого в литературе (например, подвижности — в единицах
сма/сек-В).
Мы выражаем глубокую благодарность М. И. Каганову, взяв-
взявшему на себя труд рецензирования книги и сделавшему очень много
ценных замечаний. Разумеется, он не несет никакой ответственности
за возможные неудачные места книги.
Мы благодарны также В. Д. Егорову, П. Е. Зильберману,
В. Ф. Киселеву, И. А. Куровой, А. Г. Миронову, Ю. Ф. Новотоц-
кому-Власову и А. Н. Темчину, прочитавшим некоторые главы
и сделавшим ряд полезных замечаний. Один из нас (В. Л. Б.-Б.)
весьма признателен О. А. Головиной, В. В. Бонч-Бруевичу и
А. К. Куприяновой за помощь при подготовке рукописи к печати.
Апрель 1977 г. В. Л. Бонч-Бруевич,
С. Г. Калашников

Глава I
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 1. Кинетические явления в полупроводниках
В настоящей главе мы рассмотрим некоторые результаты экспе-
экспериментального исследования свойств полупроводников. Эти данные
существенно способствовали пониманию физических процессов
в полупроводниках и явились базой для построения теории.
При исследовании полупроводников большую роль играет изу-
изучение так называемых явлений переноса или, иначе, кинетических
явлений. Общая причина этих явлений заключается в том, что
электроны проводимости при своем движении переносят связан-
связанные с ними физические величины: массу, электрический заряд,
энергию и др. Вследствие этого при определенных условиях возни-
возникают направленные потоки этих величин, приводящие к ряду элект-
электрических и тепловых эффектов. Укажем кратко важнейшие кине-
кинетические явления, особенно интересные для исследования полу-
полупроводников.
а. Электропроводность. В отсутствие внешнего электрического
поля электроны в кристалле совершают только тепловое движение
со скоростями \Т- Характер этого движения таков, что электрон
некоторое время (время свободного пробега) движется приблизи-
приблизительно прямолинейно и равномерно, но затем, в результате взаимо-
взаимодействия с кристаллической решеткой, резко изменяет направление
своего движения. Такие процессы изменения импульса мы будем
называть в дальнейшем процессами рассеяния импульса. Они ана-
аналогичны соударениям атомов, рассматриваемым в кинетической
теории газов. Вследствие беспорядочности теплового движения
в электронном газе в состоянии теплового равновесия нет преиму-
преимущественных направлений движения, и поэтому среднее значение
тепловой скорости равно нулю. Это значит, что средний поток частиц,
а следовательно, и средняя плотность тока для любого направления
равны нулю.
При наложении внешнего электрического поля электроны полу-
получают дополнительные скорости v под действием поля. В этом слу-
случае результирующее движение электронов уже не является совер-
совершенно беспорядочным и возникает направленный поток электри-
электрического заряда (электрический ток). Среднее значение скорости
упорядоченного движения для одного электрона (вычисленное для

14 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. I
промежутка времени, охватывающего большое число соударений)
мы будем обозначать через v, а среднее значение этой скорости
для всей совокупности электронов — через (v) = vd. Среднюю
скорость упорядоченного движения vd называют дрейфовой.
Во многих случаях оказывается, что дрейфовая скорость про-
пропорциональна напряженности электрического поля &. Поэтому
весьма полезно понятие дрейфовой подвижности заряженных
частиц \i, которая, по определению, есть дрейфовая скорость, при-
приобретаемая частицей в поле с напряженностью единица. Или, иначе,
vd = nS. A.1)
Для электронов подвижность jx отрицательна, для положительных
частиц — положительна.
Если имеются заряженные частицы только одного типа, то плот-
плотность электрического тока равна
j = envd = enfiS, A.2)
где е — заряд одной частицы *), an — концентрация подвижных
частиц. С другой стороны, согласно закону Ома
j = aS, A.3)
где a—удельная электропроводность вещества. Отсюда
о = еп\л. A.4)
Так как при изменении знака е одновременно изменяется и знак
подвижности, то а не зависит от знака заряда частиц.
В изотропных веществах дрейфовая скорость направлена либо
параллельно полю (у положительных частиц), либо противопо-
противоположно полю (у отрицательных частиц), поэтому ц, и а суть скаляры и,
соответственно, векторы j и g совпадают по направлению. В анизо-
анизотропных веществах это уже не имеет места и соотношение между
j и % имеет более общий вид:
]х = <3х?>х + ^ху&у + Oxz%z,
Л?>у\-вуг$>г, A-5)
Или, в сокращенной записи,
/a = oapSp (a, P = x, у, г), A.5а)
где подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу.
Следовательно, в этом случае явление переноса заряда опреде-
определяется уже не единственным кинетическим коэффициентом, а сово-
совокупностью коэффициентов сгар, которые являются компонентами
тензора 2-го ранга — тензора электропроводности.
*) В этой главе е обозначает алгебраический заряд частицы.

§ 1] КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ J5
б. Эффект Холла. При наличии внешнего магнитного поля на
движущиеся электроны действует сила Лоренца, перпендикуляр-
перпендикулярная к направлениям их скорости и магнитной индукции. Поэтому
движение электронов в различных направлениях происходит по-раз-
по-разному и даже полупроводник, изотропный в отсутствие магнитного
поля, становится анизотропным. Это обстоятельство приводит к воз-
возникновению гальваномагнитных явлений. Важнейшими из них яв-
являются эффект Холла и изменение сопротивления в магнитном поле.
Эффект Холла заключается в том, что в проводнике с током,
помещенном в магнитное поле, появляются электродвижущие силы
и, как следствие, возникает .
дополнительное электрическое д, I
поле. Сущность этого эффекта * . :
в простейшем и наиболее важ- ? { ч I
ном случае поясняет рис. 1.1. • v
Рассмотрим однородный и изот-
ропныи проводник в виде пря- \ | \
моугольного параллелепипеда с
электродами на его торцах. На-
правим прямоугольные оси ко- Рис. 1.1. Эффект Холла.
ординат вдоль ребер паралле-
параллелепипеда и положим, что вектор плотности тока j паралле-
параллелен оси X, а магнитная индукция 53 направлена по ochZ. В отсут-
отсутствие магнитного поля напряженность электрического поля в про-
проводнике ? совпадает с направлением j и между двумя поперечными
контактами аи Ь, расположенными в плоскости, перпендикулярной
к j, разность потенциалов равна нулю. При включении поперечного
магнитного поля между разомкнутыми контактами аи b появляется
разность потенциалов, которая изменяет знак при изменении на-
направления тока или магнитного поля.
Появление этой разности потенциалов показывает, что в при-
присутствии магнитного поля в проводнике возникает дополнительное
электрическое поле ?й. Направление результирующего электриче-
электрического поля ? теперь не совпадает с направлением j, а повернуто
относительно j на некоторый угол ф, который получил название
угла Холла. Эквипотенциальные поверхности, которые в отсутствие
магнитного поля были плоскостями, перпендикулярными к &х
(одна из них проходила через точки а и Ь), теперь перпендикулярны
?, т. е. повернуты тоже на угол <р (агЬх на рис. 1.1.).
Опыт показывает, что напряженность поля эффекта Холла &у
и напряжение Холла и можно выразить формулами
s.=l=^/=^^. 0-6)
Здесь d — толщина образца, а — его ширина (в направлении маг-
магнитного поля), i — полная сила тока, a R — коэффициент пропор-

16
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
1ГЛ. 1
циональности, который в слабых магнитных полях не зависит от
магнитной индукции и характеризует только свойства вещества.
Он получил название постоянной Холла.
Знаки угла Холла и постоянной Холла зависят от знака заряда
подвижных частиц, обуславливающих электропроводность. Это
поясняет рис. 1.2. Если магнитная индукция направлена от пло-
плоскости рисунка к читателю и подвижные частицы несут положи-
положительный заряд, то при указанном направлении тока сила Лоренца
F будет направлена вниз и нижняя грань кристалла будет заряжаться
положительно, а верхняя — отрицательно. Результирующее элект-
электрическое поле ? будет повернуто относительно тока j против часовой
стрелки. В этом случае условились считать угол Холла и постоян-
постоянную Холла положительными.
1^
v
a) ff)
Рис. 1.2. Знак угла Холла: а) <р > 0; б) <р < 0.
При отрицательно заряженных частицах сила F направлена
тоже вниз, однако в этом случае нижняя грань кристалла будет
заряжаться отрицательно и холловское поле €,, изменит знак.
Соответственно поле 6 окажется повернутым по часовой стрелке
и ф и R будут отрицательны.
Эффект Холла находит себе различные технические примене-
применения. Его можно использовать для измерения напряженности маг-
магнитного поля или, если последнее известно, для измерения силы
тока и мощности. С помощью эффекта Холла можно генерировать,
модулировать и демодулировать электрические колебания, осуществ-
осуществлять квадратичное детектирование колебаний, усиливать электри-
электрические сигналы и решать другие технические задачи.
Угол Холла и постоянная Холла выражаются непосредственно
через компоненты тензора электропроводности *в магнитном поле
аар. Будем считать сначала, что есть носители заряда только одного
типа (обобщение на случай нескольких типов см. в § 4). Тогда их
скорость дрейфа направлена вдоль тока (оси X, рис. 1.1.), а сила

§ 1] КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 17
Лоренца и поле Холла лежат в плоскости XY, и в соотношениях
A.5) 6г = 0. Далее, мы сразу учтем, что
оху = — оух, охх = оуу. A.7)
В справедливости первого из этих соотношений мы убедимся пря-
прямым расчетом (§ 3). Второе очевидно без расчета, так как оси X и Y
равноправны по отношению к а®. Тогда, полагая в A.5) jy = 0
(разомкнутые потенциальные зонды а и Ь), мы имеем
й х °уу °хх
Далее, исключая 6Л. из первого соотношения A.5) и формулы
A.8), находим
Сравнивая это с формулой A.6), получаем для постоянной Холла
в. Изменение сопротивления в магнитном поле. Внешнее маг-
магнитное поле вызывает не только появление холловского поля $у,
но изменяет также ток jx. Это значит, что сопротивление проводника
в поперечном магнитном поле изменяется. Опыт -показывает, что
в некотором интервале достаточно слабых магнитных полей изме-
изменения электропроводности Ао± и удельного сопротивления Apj_
подчиняются закону
^ ^ A.10)
Здесь о и р —значения при еЗЭ1 = 0, a xj_ — «коэффициент попереч-
поперечного магнетосопротивления», зависящий от свойств материала,
Эффект магнетосопротивления есть непосредственный результат
того, что в магнитном поле электропроводность становится тензором.
Поэтому магнетосопротивление можно выразить, как и угол
Холла, через компоненты этого тензора. Полагая в соотношениях
A.5), как и раньше, 8г = jy = 0 и исключая из первых двух со-
соотношений поле Ь^, получаем
^
Удельная электропроводность в поперечном магнитном поле
равна

18 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. I
Отсюда можно выразить и коэффициент магнетосопротивления х j_
через компоненты тензора аар. Однако мы отложим это до § 3.
Если магнитное поле параллельно току, то в рассматриваемой
модели сила Лоренца не возникает, ац {<?&) = а, и продольное
магнетосопротивление А р ц / р = 0.
Отметим, что формулы A.8), A.9) и A.11) строго справедливы
лишь для безграничной среды. В реальных образцах конечных
размеров из-за наличия токоподводящих металлических контактов
возникают искажения линий тока и линий поля, которые нужно
учитывать при измерениях. Чтобы влияние краевых эффектов
было мало, длина образцов (в направлении тока) должна быть
намного больше их поперечных размеров.
г. Термоэдс. Физически выделенное направление появляется
не только во внешнем магнитном поле, но и при наличии градиента
температуры., даже если магнитно-
?_, >.р7* | ^ -о поля нет. Это приводит к воз-
возникновению группы термоэлект-
%> рнческих явлений. Важнейшими
термоэлектрическими эффектами в
однородных полупроводниках яв-
являются термоэлектродвижущая си-
с а ла (хермоэдс) и так называемое яв-
Рис. г.З. Термоэдс. Указанный ление Томсона.
знак напряжения соответствует по- Первый из них заключается в
ложительным носителям заряда и том, что меЖду концами разомкну-
2 х' того проводника, которые имеют
различную температуру,возникает
разность потенциалов, а, значит, внутри проводника появляется
электродвижущая сила (рис. 1.3).
Происхождение термоэдс объясняется тем, что поток диффузии
заряженных частиц от нагретого конца к холодному больше, чем
в обратном направлении. Поэтому на концах проводника (и на
его поверхности) появляются электрические заряды, а внутри
проводника — электрическое поле. В стационарном состоянии
разомкнутого проводника это поле таково, что вызываемый им ток
дрейфа как раз компенсирует результирующий поток диффузии.
Однако полная величина напряжения, регистрируемого вольт-
вольтметром между металлическими электродами а и b (рис. 1.3), скла-
складывается не только из падения напряжения внутри проводника,
но еще и из скачков потенциала, существующих на границах полу-
полупроводник—металл (контактная разность потенциалов, см. § VI.5),
которые зависят от температуры. Если оба металлических электрода
одинаковы и разности температур нет, то сумма обоих скачков
потенциала равна нулю. Если же температура концов различна,
то величина обоих скачков потенциала уже неодинакова, что вносит
дополнительный вклад в термоэдс.

§ 1]
КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
19
Величину эдс dV0 при малой разности температур между
концами dT принято выражать соотношением
0 = a-dT.
A.12)
Здесь а, по определению, есть дифференциальная термоэдс. Если
оба металлических электрода и соединительные провода сделаны
из одинакового материала и точ-
точки с и d (рис. 1.3) находятся при
одинаковой температуре, то а за-
зависит только от свойств полупро-
полупроводника. Так как эти последние
изменяются при изменении темпе-
температуры, то а тоже зависит от тем-
температуры. Величина а у металлов
невелика и обычно имеет порядок
1 -е-10 мкВ/град. У полупроводни-
полупроводников она может быть во много со-
сотен и тысяч раз больше.
Рис. 1.4. Термозонд. 3 — нагре-
нагретый стержень, П — полупровод-
пластина. Знак напряжения пока-
показан для положительных частиц.
Определяя полярность терМО- ник- м ~ холодная металлическая
электрического напряжения, мож-
можно просто установить знак подвиж-
подвижных носителей заряда. Для этого
используют «термозонд» — нагретый металлический стержень, на-
например обычный электрический паяльник, который прижимают
к исследуемому полупроводнику. Милливольтметр включают между
стержнем и холодной стороной образца (рис. 1.4).
д. Эффект Томсона. Если в однородном проводнике имеется
градиент температуры в направлении оси X и в том же направлении
течет электрический ток с плотностью /, то в каждой единице объема
в единицу времени выделяется, кроме джоулева тепла fla, еще
дополнительное тепло
-«!¦¦/?. A.13)
Здесь ат— коэффициент Томсона, зависящий от рода вещества
и его состояния. В отличие от джоулева тепла, тепло Томсона про-
пропорционально первой степени /. Поэтому при изменении направле-
направления тока на обратное тепло Томсона изменяет знак: вместо погло-
поглощения тепла наблюдается его выделение, и наоборот.
При наличии градиента- температуры в проводнике имеется
еще тепловой поток, обусловленный теплопроводностью вещества.
При этом количество тепла, проходящее через единицу поверхности
в единицу времени в направлении X, есть
dT
"dx'
A.14)

20 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. I
где и — коэффициент теплопроводности. Если этот поток изменя-
изменяется в пространстве (вследствие изменения и или dT/dx), то в объеме
проводника тоже выделяется тепло
dx\% dxj'
В общем случае, когда направления j и у Г не совпадают, пол-
полная генерация тепла в единицу времени и в единице объема провод-
проводника равна
? A.15)
Здесь первое слагаемое дает джоулево тепло, второе — тепло Том-
сона, а третье обусловлено теплопроводностью. В стационарном
состоянии Qv = 0. Поэтому в проводнике устанавливается такое
пространственное распределение температуры, при котором тепло,
отводимое теплопроводностью, как раз равно сумме тепла Джоуля
и тепла Томсона.
е. Эффект Пельтье. Обратимое выделение тепла наблюдается
также у границы контакта двух различных проводников. Количество
тепла, выделяемое на единице площади контакта в единицу времени,
Qs, равно
Qs = nnj. A.16)
Здесь / — плотность тока через контакт, а П12 — коэффициент
Пельтье, зависящий от свойств контактирующих проводников.
Индексами 1, 2 обозначено, что ток предполагается направленным
от проводника 1 к проводнику 2. При изменении направления тока
на обратное вместо выделения тепла наблюдается его поглощение,
и наоборот. Следовательно, Я12 = —Л21.
Причина выделения (поглощения) тепла Пельтье заключается
в том, что средние энергии электронов ?, и ?2 в различных провод-
проводниках 1 и 2 неодинаковы, даже если оба проводника имеют одну
и ту же температуру. При переходе из одного проводника в другой
изменяется, во-первых, потенциальная энергия электронов —ец>,
так как на границе имеется скачок электростатического потенциала
и поэтому фг ф фа. И, во-вторых, может меняться их средняя кине-
кинетическая энергия Ek. Последнее есть результат того, что электроны
подчиняются не классической статистике Максвелла—Больцмана,
а квантовой статистике Ферми—Дирака, согласно которой Eh
зависит не только от температуры, но еще и от концентрации элект-
электронов. Поэтому при наличии тока для поддержания температуры
контакта постоянной от него необходимо либо отводить энергию,
если Ег > Ег (выделение тепла Пельтье), либо подводить ее к кон-
контакту, когда Ех < Ег (поглощение тепла Пельтье).
Теория явлений переноса энергии электронами (см. гл. XIII)
позволяет заключить, что /7i3 можно представить в виде разности;
Лу^Пг-П,, A.17)

§ 1] КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 21
где П\ и П2 — коэффициенты Пельтье для проводника 1 и, соот-
соответственно, проводника 2. Она показывает также, что термоэлект-
термоэлектрические кинетические коэффициенты а, а г и-Я не являются неза-
независимыми, а связаны соотношениями
П = аТ, A.18)
*т=Т% A.19)
Из формулы A.18) видно, что Я пропорционален а. Поэтому
у полупроводников коэффициент Пельтье, так же как и термоэдс,
гораздо больше, чем у металлов. С другой стороны, соотношение
A.19) показывает, что тепло Томсона обусловлено температурной
зависимостью термоэдс а. Если а не зависит от температуры, то
и тепло Томсона равно нулю.
Термоэлектрические явления имеют интересные перспективы
технического применения. Термоэдс можно использовать для
устройства термоэлектрических генераторов небольшой мощности,
предназначенных для прямого пре-
преобразования тепловой энергии в
электрическую. Применяя эффект
Пельтье, можно осуществить раз-
различные термоэлектрические охлаж-
охлаждающие устройства. Однако на
d
4+5
этих вопросах мы не будем оста-
останавливаться и отсылаем читателя Pil4' ]*¦ Поперечный термомагнит-
, ныи эффект Нернста—Эттингсгау-
к специальным монографиям. зена.
ж. Эффект Нернста—Эттинг-
сгаузена. Когда полупроводник,
в котором имеется градиент температуры, помещен в магнитное
поле, то возникают различные термомагнитные эффекты. Наиболее
интересным является поперечный эффект Нернста—Эттингсгаузена,
состоящий в появлении электрического поля ?, перпендикуляр-
перпендикулярного к уТ и 53, т. е. в направлении вектора [уГ х «]• Если гра-
градиент температуры направлен вдоль оси X, а магнитная индукция —•
вдоль Z, то электрическое поле параллельно оси Y. Поэтому между
поперечными зондами аи b (рис. 1.5) возникает разность электриче-
электрических потенциалов и. Величину &у можно выразить формулой
6„ = -5- = ?А§. 0.20)
Здесь <7i — так называемая постоянная Нернста—Эттингсгаузена,
которая зависит от свойств полупроводника и может быть как поло-
положительной, так и отрицательной.
Чтобы получить представление о величине этого эффекта, ука-
укажем, что, например, в германии с удельным сопротивлением
~ 1 Ом-см при комнатных температурах, при <03 ~ 103 Гс и

22 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. I
dTldx ~ 102 град/см наблюдаемое S>y ~ 10 В/см. Значения q^,
а следовательно и ?,,, сильно зависят от температуры образца
и от магнитного поля и при изменении этих величин могут даже
изменять знак.
Рассматриваемый эффект возникает по той же причине, что
и эффект Холла, т. е. в результате отклонения потока заряженных
частиц силой Лоренца. Различие, однако, заключается в том, что
при эффекте Холла направленный поток частиц возникает в ре-
результате их дрейфа в электрическом поле, а в данном случае —
в результате диффузии.
Легко видеть, что, в отличие от постоянной Холла, знак <7i не
зависит от знака носителей заряда. Действительно, при дрейфе
в электрическом поле изменение знака заряда приводит к измене-
изменению направления дрейфа, что и дает изменение знака поля Холла
(ср. рис. 1.2). В данном же случае поток диффузии всегда направ-
направлен от нагретого конца образца к холодному, независимо от знака
заряда частиц. Поэтому направ-
направления силы Лоренца для положи-
положительных и отрицательных частиц
взаимно противоположны, однако
направление потоков электрическо-
электрического заряда в обоих случаях одно и
Рис. ! .6. Поперечный термомагнит- то же#
ный эффект Риги — Ледюка. з. Эффект Риги—Ледюка. В
полупроводнике, в котором име-
имеется градиент температуры, при включении магнитного поля появ-
появляется также поперечная (по отношению к первоначальному тепло-
тепловому потоку и направлению 53) разность температур (рис. 1.6).
Величину поперечного градиента температуры можно записать
в виде
где S — постоянная Риги—Ледюка, характеризующая свойства
данного вещества.
Эффект Риги—Ледюка связан с тем, что диффундирующие носи-
носители заряда переносят с собой тепло (теплопроводность). Без маг-
магнитного поля поток тепла направлен от горячего конца образца
к холодному, т. е. параллельно —v*^- В магнитном поле потоки
диффузии и тепла поворачиваются силой Лоренца на некоторый
угол. Поэтому возникает составляющая теплового потока вдоль
оси У, что и приводит к появлению составляющей градиента темпе-
температуры ууТ, Так как направление силы Лоренца при данном на-
направлении диффузии зависит от знака заряженных частиц, то угол
поворота теплового потока, а значит, и постоянная 5 имеют разные
знаки для положительных и отрицательных носителей заряда,

§ 2] ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ 23
и. Продольные термомагнитные эффекты. Помимо рассмотрен-
рассмотренных выше поперечных эффектов, в полупроводниках наблюдаются
также продольные термомагнитные эффекты. Если существует
первоначальный поток тепла в направлении оси X, то при включе-
включении поперечного магнитного поля появляется не только попереч-
поперечная разность потенциалов, но еще и продольная (продольный
эффект Нернста—Эттингсгаузена). Этот эффект можно истолковать
как изменение термоэдс в поперечном магнитном поле.
Если после включения магнитного поля тепловой поток вдоль
оси X (рис. 1.6) поддерживается постоянным, то, кроме попереч-
поперечной разности температур (вдоль оси У), возникает, дополнительная
продольная разность температур вдоль оси X (продольный эффект
Риги—Ледюка). Она появляется вследствие изменения теплопро-
теплопроводности в магнитном поле.
Отметим, что значения кинетических коэффициентов могут
изменяться при изменении теплообмена образца с окружающей
средой. Поэтому различают изотермические и адиабатические
эффекты. Изотермическими называют эффекты, возникающие при
условии, что поперечные градиенты температуры (в направлении
осей У и Z) равны нулю. Адиабатическими называются эффекты
при условии, что поперечные потоки тепла равны нулю. Исключе-
Исключением является, очевидно, лишь эффект Риги—Ледюка, который,
по определению, не может быть изотермическим.
Помимо указанных эффектов, к явлениям переноса относятся,
конечно, и процессы диффузии и теплопроводности.
Величины различных кинетических коэффициентов — электро-
электропроводности, постоянной Холла, термоэдс и др. — существенно
зависят от свойств подвижных носителей заряда: их заряда, массы,
энергетического спектра в кристалле, а также от особенностей их
взаимодействия с кристаллической решеткой. Поэтому исследо-
исследование кинетических явлений дает обширную информацию об элект-
электронных процессах в полупроводниках.
Теория кинетических явлений будет дана в гл. XIV, Однако
уже сейчас целесообразно остановиться на элементарном рассмот-
рассмотрении гальваномагнитных явлений, так как это сразу позволит
нам интерпретировать ряд важных экспериментальных фактов.
§ 2. Время релаксации
Движение электронов в кристалле подчиняется законам кван-
квантовой механики. Однако в ряде случаев уравнения их движения
можно представить в классической форме, если только приписать
электрону вместо.массы в изолированном состоянии т0 некоторую
другую величину, так называемую эффективную массу (см. гл. IV).
Поэтому в настоящей главе мы будем пользоваться корпускуляр-
корпускулярным способом описания и рассматривать электроны как классиче-

24 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ 1ГЛ. I
ские частицы. Кроме того, мы сначала будем считать эффективную
массу скалярной величиной.
Чтобы найти среднюю скорость упорядоченного движения элек-
электронов, рассмотрим закон распределения времен свободного про-
пробега. Положим, что большое число электронов jV0 одновременно
испытали соударение в момент времени t = 0. Обозначим, далее,
через N (t) количество электронов из этой совокупности, не испы-
испытавших соударений за последующий промежуток времени от 0 до t.
Тогда можно положить, что число электронов dN, которые испытают
столкновения в интервале времени (t, t + dt), будет пропорцио-
пропорционально N и величине интервала dt, а число электронов /V умень-
уменьшится на dN. Следовательно,
-dN^N^r, B.1)
где коэффициент пропорциональности обозначен через 1/т. Эта
величина, по смыслу, есть вероятность того, что один электрон
испытает соударение за единицу времени. Интегрируя написанное
уравнение и учитывая, что в начальный момент времени t = 0
ни один электрон не успел еще испытать соударение, мы имеем
Поэтому для числа соударений, происходящих в интервале вре-
времени от t до t + dt, получается
Вместо того, чтобы рассматривать один свободный пробег у каж-
каждого из большой совокупности электронов, мы могли бы следить за
движением одного электрона за время, охватывающее большое число
соударений. Поэтому, полученные результаты можно применить
и к движению одного электрона, если под jV0 понимать полное число
свободных пробегов. Разумеется, это число должно быть достаточно
большим, чтобы можно было применять законы статистики. Веро-
Вероятность какому-то одному электрону иметь время свободного про-
пробега в пределах от t до t + dt есть
(|) B.2)
При этом, как легко убедиться,
00
\fif)dt=\. B.3)
о
Входящая сюда постоянная т имеет простой физический смысл.
Вычислим среднее время свободного пробега. Последнее, по

§ 3] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ 25
определению среднего значения любой величины, есть
iJ\tf{t)dt,
о
где / (t) — нормированная к единице вероятность рассматривае-
рассматриваемой величине иметь значение t. Подставляя сюда для f(t) выражение
B.2), мы находим
/ = т. B.4)
Таким образом, постоянная т есть среднее время свободного про-
пробега.
Выше мы считали т постоянным. Однако это, вообще говоря,
неверно. Дело в том, что, говоря о соударениях электронов, мы
имеем в виду процессы изменения их импульса, которые возникают
вследствие силового взаимодействия электронов с различными не-
регулярностями решетки (вызванными тепловым движением, при-
примесными атомами и структурными дефектами). Но результаты этого
взаимодействия зависят от состояния движения электрона и, в част-
частности, от его полной энергии. Поэтому т может быть разным для раз-
разных электронов. Одно из простейших предположений заключается
в том, что т зависит только от полной энергии электрона.
Когда мы рассматривали выше распределение времен пробега
у совокупности электронов, мы молчаливо предполагали, что либо
т не зависит от энергии, либо энергии всех электронов близки по
величине, так что т можно считать постоянным. Точно так же,
применяя распределение B.2) к одному электрону, мы должны счи-
считать, что полная энергия электрона существенно не меняется при
его движении.
Для отдельного электрона это предположение во многих слу-
случаях справедливо. Это имеет место, если электрические поля не
слишком сильны, так что энергия, приобретаемая электроном за
один свободный пробег в его упорядоченном движении, мала по
сравнению с энергией теплового движения, и если эта энергия не
накапливается, а передается решетке при соударениях. При на-
нахождении же среднего для всей совокупности электронов (т)
нужно учитывать, что электроны в твердом теле могут иметь весьма
различную энергию, и, вообще говоря, нужно считать т зависящим
от энергии. Величину <т> = хр называют временем релаксации
импульса. Более подробно смысл этой величины будет рассмотрен"
в гл. XIII.
§ 3. Элементарная теория гальваномагнитных явлений
Тензор электропроводности в магнитном поле. Пользуясь
понятием времени релаксации, можно вычислить тензор электро-
электропроводности в магнитном поле <тар, который, как мы видели, опре-

26 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. I
деляет все гальваномагнитные эффекты. Для этого мы сначала рас-
рассмотрим движение одной частицы между двумя последовательными
соударениями, а затем усредним полученный результат по всем
свободным пробегам. Это позволит нам найти скорость дрейфа
(v), а следовательно, и плотность тока, откуда непосредственно
определяются и компоненты тензора Од&.
Положим, что магнитная индукция Зэ направлена вдоль оси Z
прямоугольной системы координат. Тогда составляющие силы
Лоренца, действующей на частицу, равны
где е—заряд частицы, а хиу—составляющие скорости по осям X и У,
Уравнения движения между последовательными соударениями име-
имеют вид
Х=±$я + ®с9, у = ~Ву-<йсх, 2 = ?g,, C.1)
где через <вс обозначена «циклотронная» частота:
»с = —, C.2)
т. е. частота равномерного вращения частицы в магнитном поле,
которая не зависит от радиуса орбиты и энергии частицы.
В качестве начальных условий, как и раньше, примем:
/ = 0: x = y = z = x = y = z = 0. C.3)
Решение последнего из уравнений C.1) получается сразу:
Так как при выбранном направлении 53 сила Лоренца лежит в пло-
плоскости XY, то движение вдоль Z не изменяется в магнитном поле.
Решения же первых двух уравнений C.1), удовлетворяющие гра-
граничным условиям, как нетрудно убедиться непосредственной под-
подстановкой, имеют вид
х — а = — acos <вс/ — bsin(uct\bti)ct,
y — b = — b cosu>c/ + asinto^ — acoc/.
Здесь a и b — постоянные размерности длины, равные

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
27
Это движение имеет простой характер. Последние слагаемые
в C.5) описывают переносное движение в плоскости XY с постоян-
постоянной скоростью vt. Ее составляющие по осям
равны
, _ %У_ &*_ ,о уч
*¦* с typ * *-У с б/О * V * /
При этом скалярное произведение (v/g) =
= Vtxbx-\-vty%y = Q, а следовательно, v, пер-
перпендикулярно g (и перпендикулярно 5$).
Остальные слагаемые в C.5) описывают рав-
равномерное вращение с частотой <вс по окружно-
окружности (х — а)г-\-(у — ЬJ = сР-\-Ь2, центр которой
расположен в точке (а, Ь). В результате
сложения обоих этих движений частица
движется по циклоиде, изображенной на
рис. 1.7.
Умножая х, у и z на вероятность B.2) ча-
частице иметь время свободного пробега t и ин-
интегрируя по t от 0 до со, мы получим средние перемещения х, у
и z для одной частицы, а деля полученные средние, на т, найдем
средние скорости vx, vy, vz. Учитывая, что
Рис. 1.7. Движение
заряженной частицы в
скрещенных электри-
электрическом и магнитном
полях.
dt
mcx
мы получаем
е
т
dt
е
т
C.8)
Чтобы получить дрейфовые скорости, эти значения нужно
еще усреднить по всем частицам. Введем для сокращения записи
следующие обозначения:
C.9)

28 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. I
где (...), как и раньше, обозначает усреднение по всем частицам.
Тогда для плотности тока получаем
и=«* ("*)=^ Ы*+<
h = en (vy) = ~- (- cDeS,g, + SiS,). C-10)
Сравнивая эти выражения с соотношениями A.5), находим компо-
компоненты-тензора электропроводности в виде
е2п г е2п у
ух
C-Й)
= айг = а/у = 0.
Если магнитного поля нет, то со,- = 0 и недиагональные компо-
компоненты аар равны нулю. При этом ?i= (т) и все диагональные ком-
компоненты становятся равными. Электропроводность превращается
в скалярную величину
а=^-<т>. C.12)
Подвижность носителей заряда в отсутствие магнитного поля равна
!*=?<•<>. C-13)
Она определяется величиной (и знаком) удельного заряда и сред-
средним временем релаксации.
Для получения численных значений aag необходимо провести
усреднение в соответствии с формулами C-9) для ?i и ?2. Для этого
надо явно определить правило усреднения, обозначаемого симво-
символом (...). К этому мы вернемся в гл. XIII, а сейчас ограничимся
результатами, которые не требуют фактического проведения указан-
указанного усреднения.
б. Угол Холла и постоянная Холла. Подставляя наиденные
значения C.11) для <зхх и аху в формулу A.8), находим для угла
Холла выражение
Или, подставляя для сос ее значение C.2),
tgq>=4^. C-14)
где введено обозначение
*»=ъЪ (зл5)

$ 3) ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЯ 29
Так как отношение ?2/?i имеет размерность времени, то ця имеет раз-
размерность подвижности. Однако она, вообще говоря, не равна дрей-
дрейфовой подвижности \i, выражаемой формулой C.13). Подвижность
\iH, определяемая из эффекта Холла, получила название холловской
подвижности.
В слабых магнитных полях, определяемых условием
tg<p^fi>cT<l, C.16)
мы имеем t,x ~ (т), ?2 ~ (т2). В этом случае
Ия =-;-$. C.15а)
Постоянная Холла получается непосредственно из формулы
A.9). Ограничиваясь случаем не очень сильных магнитных полей,
удовлетворяющих условию C.16), мы имеем аху <^ ахх и, кроме
того, ахх ~ а = епц. Тогда
где у = ji///fi. Отсюда видно, что при известном «холловском фак-
факторе» у из измерений постоянной Холла можно определить концен-
концентрацию носителей заряда п. Произведение же постоянной Холла
на удельную электропроводность равно
и дает холловскую подвижность ци.
Остановимся теперь на факторе у. Для слабых магнитных полей
из формул C.15а) и C.13) имеем
Т = ^. C-19)
Так как среднее значение квадрата всегда больше (или равно)
квадрата среднего значения, то всегда у ^г Г. Если т не зависит
от энергии, то <т> = т, (т2) = т2 и поэтому у = 1. Для определения
значения у необходимо знать зависимость времени релаксации от
энергии. Она определяется тем, какие типы процессов рассеяния
импульса играют главную роль в рассматриваемом полупроводнике
при данной температуре, и поэтому у имеет различное значение
в разных случаях. Сейчас мы укажем без вывода (см. гл. XIV)
некоторые наиболее важные случаи.
Если полупроводник относительно чист (т. е. не содержит при-
примесей в больших концентрациях), его температура достаточно вы-
высока и, кроме того, концентрация подвижных частиц не слишком
велика (так называемый невырожденный полупроводник), то глав-
главную роль играют процессы рассеяния на тепловых колебаниях ре-
решетки. В этом случае у — Зп/8 = 1,18.

30 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. I
Если, напротив, полупроводник находится при низкой темпе-
температуре, когда решеточное рассеяние мало, и содержит значительное
количество примесей, атомы которых заряжены, то главным про-
процессом является рассеяние на заряженных примесях. Тогда расчет
показывает, что у = 315я/512 ~ 1,93.
Наконец, если мы имеем проводник с очень большой концентра-
концентрацией подвижных частиц, как это имеет место, например, в металлах
(так называемые вырожденные проводники), то у = 1.
Однако во всех указанных случаях у оказывается порядка еди-
единицы и, более того, различные его значения лежат в сравнительно
узком интервале от 1 до 2. Поэтому во многих случаях, где не тре-
требуется большая точность, вопрос о типе главного процесса рассея-
рассеяния не очень существен и приближенно можно считать у ~ 1.
в. Магнетосопротивление. Подставляя в соотношение A.11)
значения ахх и аху из формул C.11), получаем
Найдем теперь относительное изменение электропроводности
Да^/а, где Ао^ = oj_ (<Щ — а, а а = e2n(x)!/n — электропровод-
электропроводность без магнитного поля. Учитывая, что
где для краткости введено обозначение
Ь> = (-п^). C-20)
получаем
__ Дах _ Дрх 2 S3—Sl/ei
Так как й>с пропорциональна магнитной индукции Sd, а все вели-
величины в C.21) содержат только ©?, то изменение сопротивления
в магнитном поле (как и следовало ожидать) есть четный эффект,
т. е. не зависит от направления магнитного поля. Однако зависи-
зависимость Да от «$?, вообще говоря, не квадратичная, а более сложная.
Как и для эффекта Холла, важным предельным случаем явля-
являются слабые магнитные поля, определяемые условием C.16). Тогда
выражения для ?lf ?2 и ?3 можно разложить в ряд по степеням (?оетJ
и удержать в C.21) только члены разложения со степенью не выше
(шстJ. После этого C.21) дает
^Г ^Г C-22)
где
C-23)

§ 3] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ 3!
В слабых полях изменение сопротивления в магнитном поле про-
пропорционально квадрату магнитной индукции.
Если бы т не зависело от энергии, то мы имели бы xj_ = 0, а сле-
следовательно, изменения сопротивления (в слабых полях) не было бы
вовсе. Отметим, однако, что при наличии двух (или больше) различ-
различных типов частиц изменение сопротивления уже не равно нулю,
даже если т не зависит от энергии.
Рассмотрим теперь другой предельный случай — очень сильных
магнитных полей,
Кт)«>1. C.24)
При этом, однако, мы должны сделать важное ограничение. Так как
заряженные частицы совершают в магнитном поле прецессионное
движение, то это движение квантуется (подробнее см. § IV.5),
Чтобы используемый нами классический способ описания был при-
применим, необходимо, чтобы кванты энергии %ас, связанные с этим
движением, были малы по сравнению со средней энергией тепло-
теплового движения kT. Поэтому под сильными полями мы будем пони-
понимать такие поля, которые, с одной стороны, удовлетворяют условию
C.24), но, с другой стороны, подчиняются условию
7^<1. C-25)
(Для сильно вырожденных полупроводников вместо kT входит
энергия Ферми, см. ниже.)
В случае сильного поля удобнее рассматривать не изменение
электропроводности, а само значение электропроводности. Раз-
Разлагая теперь ti» ?2 и ?з в РЯД по степеням малой величины l/o^t2
и пренебрегая малыми второго порядка и выше, после несложных
преобразований получаем
Электропроводность в очень сильном магнитном поле перестает
зависеть от магнитного поля и достигает постоянного значения
(Тсо. Отношение предельных значений электропроводности или,
соответственно, удельного сопротивления равно
Этот результат, как и все предыдущие, был получен в предпо-
предположении, что эффективная масса и время релаксации не зависят от
направления движения. Однако в действительности эффективная
масса может сильно зависеть от направления и является не скаля-
скаляром, а тензором 2-го ранга (см. гл. III). Выражения для постоянной
Холла и для изменения сопротивления в магнитном поле становятся

32
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. I
при этом более сложными. Это обстоятельство не вносит принципи-
принципиальных изменений в закономерности эффекта Холла, но может
иметь решающее значение в явлениях магнетосопротивления.
В частности, в этом случае магнитное поле, параллельное электри-
электрическому, тоже может привести к изменению сопротивления; отно-
отношение роэ/р в сильных магнитных полях может оказаться завися-
зависящим от магнитной индукции (см. гл. XIII).
§ 4. Смешанная проводимость
Как мы увидим ниже, в полупроводниках встречаются часто
случаи, когда необходимо считать, что перенос электрического
заряда производится частицами разных типов. Поэтому для даль-
дальнейшего необходимо обобщить полученные
результаты на случай одновременного при-
присутствия различных носителей заряда.
а. Эффект Холла. Качественная картина
эффекта Холла при двух разных типах ча-
частиц показана на рис. 1.8. Для определенности
принято, что частицы одного типа заряжены
положительно, а другого—отрицательно. Тог-
Тогда векторы плотности тока положительных
частиц \р и отрицательных частиц ]„ будут
направлены так, что вектор результирую-
результирующего электрического поля 6 окажется по-
повернутым относительно )р на угол Холла фр
в положительном направлении и на угол ц>п
относительно ]п в отрицательном направ-
направлении. Результирующая плотность тока равна j = jp + )п- Наблю-
Наблюдаемый на опыте результирующий угол Холла ф есть угол, на кото-
который повернут вектор 6 относительно вектора j. Этот угол может
быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости
от величин и направлений ]р и j,,, т. е. в зависимости, от соотношения
между концентрациями и подвижностями частиц обоих типов.
Для вычисления результирующего угла Холла вернемся опять
к выражениям для плотности тока, создаваемой частицами сорта
«», которые, учитывая соотношение A.8), запишем в виде
Рис. 1.8. Эффект Хол-
Холла при смешанной про-
проводимости.
D.1)
Составляющие полного тока, с учетом C.11), можно записать в виде
D.2)

§ 4] СМЕШАННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ 33
Если, как и раньше, холловские электроды разомкнуты, то }у = 0.
Отсюда находим результирующий угол Холла:
Так как ср(" выражаются формулой C.14), то отсюда можно найти
tg ф, если известны концентрации (входящие в ахх) и холловские
подвижности для частиц каждого сорта.
Чтобы найти постоянную Холла, исключим из соотношений
D.2) поле &х- Тогда получим
Сравнивая это с формулой A.6), находим
D4)
(Z "ЙI+B a«tg Ф^ DЛ)
Или, вводя в числителе холловские подвижности,
п . 1 S*M D4а)
С dX^ + OXWf * '
В этой формуле все величины в общем случае зависят от магнит-
магнитной индукции и поэтому «постоянная» Холла не является постоян-
постоянной, а тоже зависит от М. Однако в слабом магнитном поле она при-
принимает постоянное значение.
Если имеется только два различных типа частиц и магнитное
поле слабое, то
tg<Pw<l,
и формула D.4а) принимает вид
р J
Если еще считать, что холловский фактор у одинаков для частиц
каждого типа:
то полученный результат можно представить в таком виде:
D.5а)

34 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. I
где второй множитель в правой части представляет поправку, вно-
вносимую частицами типа 2.
В случае очень сильного магнитного поля, удовлетворяющего
условиям C.24) и C.25), мы имеем tg ipU) J> 1, и поэтому в фор-
формуле D.4) можно положить
Тогда получается
! D.6)
Следовательно, в этом предельном случае постоянная Холла тоже
становится не зависящей от магнитного поля. Она не зависит вовсе
и от отношения подвижностей у и определяется только суммарной
концентрацией частиц. Поэтому в принципе определение концен-
концентрации заряженных частиц с помощью измерения постоянной Холла
в сильном магнитном поле имеет большие преимущества. Однако,
к сожалению, на опыте не часто удается осуществить условия, в ко-
которых одновременно выполняются оба неравенства C.24) и C.25).
Рассмотренный случай двух типов частиц, заряженных одина-
одинаково, встречается довольно часто. Мы имеем его, например, в гер-
германии и кремнии, в которых существуют так называемые «легкие»
и «тяжелые» положительные дырки (см. гл. IV). Он реализуется
также во многих полупроводниках, содержащих примеси, при
низких температурах, когда, кроме электропроводности обычного
типа, играет заметную роль еще так называемая проводимость
в примесной зоне (см. § IV.7),
Еще более часто мы имеем случай, когда электропроводность
осуществляется частицами двух различных типов, заряженными
разноименно (отрицательные электроны и положительные дырки,
см. ниже). В этом случае мы должны везде приписать углу Холла
для отрицательных частиц знак минус. Поэтому, если р и п —
концентрации положительных и, соответственно, отрицательных
частиц, в формулу D.6) вместо (пх + ге2) войдет (р— и), Выражение
для постоянной Холла в слабых полях будет
К-се (рцр+лц„)» '
где индексы pun указывают, к частицам какого типа относятся
значения подвижностей. Если не требуется большая точность, то
можно еще приближенно положить црН ~ fip, \inH ~ цл, и тогда

§ 5] НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 35
где Ь = [Ап/u-p. В этой форме выражение для R используется наи-
наиболее часто. Из D.7а) видно, что в случае смешанной проводимости
постоянная Холла может быть как положительна, так и отрица-
отрицательна, в зависимости от соотношения между концентрациями
частиц обоих типов. В частности, если р = nb2, постоянная Холла
обращается в нуль.
б. Магнетосопротивление. Аналогично обобщаются на случай
смешанной проводимости и формулы для магнетосопротивления.
Полагая в соотношениях D.2) jy = О и исключая из них &у, находим
• _g
Здесь множитель, стоящий в скобках, есть электропроводность
в магнитном поле а^(Щ, Поэтому, учитывая еще формулу D.3),
получаем
I>S. D-8)
Таким образом, электропроводность в магнитном поле можно
выразить через результирующий угол Холла и диагональные
члены тензора электропроводности. На исследовании различных
частных случаев этого соотношения мы останавливаться не будем.
§ 5. Некоторые экспериментальные результаты
а. Эмктронная и дырочная проводимость. Опыт показывает,
что знак постоянной Холла и термоэдс может быть как отрицатель-
отрицательным, так и положительным. Случай R, а < 0 соответствует отри-
отрицательно заряженным подвижным частицам, определяющим элект-
электропроводность, т. е. электронам. Полупроводники такого типа
получили название электронных *) или полупроводников и-типа
(от negative — отрицательный).
Однако ничуть не реже в полупроводниках, в которых заведомо
нет ионной пррводимости и в которых, следовательно, ток обуслов-
обусловлен тоже отрицательными электронами, наблюдается R, а > 0.
Следовательно, в этих случаях эффект Холла соответствует движе-
движению положительных частиц. С классической точки зрения эта осо-
особенность не имеет объяснения. Она является следствием того, что
движение электронов в кристалле подчиняется законам квантовой
механики, которые показывают, что при определенных условиях
некоторые явления при движении электронов в электрических
и магнитных полях происходят так, как если бы вместо отрицатель-
*) Термин «электронный полупроводник» употребляется в двух смыслах.
Им, во-первых, обозначают то обстоятельство, что в данном полупроводнике
отсутствует ионная проводимость. Во-вторых, он, обозначает, что постоянная
Холла R < 0,

36 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ {ГЛ. 1
ных электронов имелись положительно заряженные частицы (см.
гл. IV). Такие частицы получили название положительных дырок,
а полупроводники, в которых R и а > 0, называются дырочными
или. полупроводниками р-типа (от positive — положительный).
Тип электропроводности (электронная или дырочная) зависит
от рода примесей, содержащихся в полупроводнике. Так, например,
добавляя к германию или кремнию мышьяк, сурьму или любой
другой элемент V группы, мы создаем электронную проводимость.
Напротив, добавление галлия, бора или любого иного элемента
111 группы сообщает германию и кремнию дырочную проводимость.
Избыток кислорода в закиси меди Си2О вызывает дырочную прово-
проводимость, а избыток меди — электронную, и т.д. Примеси, сооб-
сообщающие данному полупроводнику электронную проводимость,
называют донорами, а примеси, вызывающие дырочную проводи-
проводимость,— акцепторами. Отметим, что один и тот же химический эле-
элемент может быть в одних полупроводниках донором, а в других —
акцептором.
Таким образом, электропроводность в полупроводниках может
осуществляться не только движением отрицательных электронов,
но и движением положительных частиц — дырок. В зависимости
от количества и рода примесей, а также от температуры соотжэше-
ние между концентрациями электронов и дырок может быть весьма
различным. Частицы, представленные в большинстве, называют
основными носителями заряда (электроны в полупроводнике п-типа,
дырки в полупроводнике р-типа), ? представленные в меньшинстве —
неосновными носителями заряда (электроны в полупроводнике
р-типа, дырки в полупроводнике п-типа).
б. Собственная и примесная проводимость. Важные результаты
дает исследование зависимости постоянной Холла от температуры.
Такие типичные зависимости показаны на рис. 1.9. для случая
кристаллов германия, в которые были добавлены различные коли-
количества мышьяка*). В области высоких температур постоянная
Холла очень "сильно зависит от температуры. При этом кривые
для всех кристаллов при достаточном повышении температуры
(тем больше, чем больше концентрация мышьяка) сливаются в одну
кривую, которая в координатах lg R и 1/Т имеет вид приблизи-
приблизительно прямой линии. Это показывает, что основная часть подвиж-
подвижных носителей заряда в этой области температур возникает не за
спет ионизации примесей, а вследствие отщепления электронов
от атомов основной решетки, и поэтому данная область обознача-
обозначается как область собственной проводимости.
Как будет видно ниже, в этой области мы имеем и отрицательные
электроны, и положительные дырки, и притом в равном количестве
(§ II.6). Поэтому, согласно формуле D.7а) постоянная Холла
*) По данным работы P. P. Debye, E. M. Conwell, Phys. Rev. 93, 693 A954).

§5]
здесь равна (п — р)
НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Ь-\
ц Ь+ Г
37
E.1)
где через И; обозначена концентрация электронов (дырок) в области
собственной проводимости (собственная концентрация) в данном
300 78 33
20
Т,К
10
W3
10г
10
1
1—
1
—•*
;
2
3
6
—
У
У-
——
У
--
' /
/
/ f
/
у
-h
/
0,02 0,04 0,0в O,Off 0,7
Рис. 1.9. Зависимость постоянной Холла от температуры для кристаллов гер-
германия с примесью мышьяка. Концентрация примеси возрастает от кристалла /
к кристаллу 7.
полупроводнике. Так как для германия подвижность электронов
больше подвижности дырок, то b > 1 и постоянная Холла отрица-
отрицательна.
В области более низких температур кривые зависимости R
от \/Т существенно зависят от концентрации примеси, причем с
увеличением количества примеси R уменьшается, а следовательно,
концентрация электронов п увеличивается. В этой области темпе-
температур подвижные электроны возникают за счет тепловой ионизации

38
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. I
„300
т.к
к,з to
атомов примесей, и мы имеем область примесной проводимости.
В случае примесной проводимости практически имеется один тип
подвижных заряженных частиц (в данном случае — электроны)
и постоянная Холла выражается формулой C.17), причем R <с 0.
Пользуясь указанными соотношениями, по значениям постоян-
постоянной Холла можно найти зависимость концентрации электронов
проводимости от температуры.
Она показана на рис. 1.10 (см.
прим. на стр. 36), на котором
также отчетливо видны области
собственной и примесной прово-
проводимости. В области собственной
проводимости концентрация щ
чрезвычайно сильно зависит от
температуры. Напротив, в при-
примесной области имеется некото-
некоторый интервал температур, в ко-
котором концентрация электронов
практически не зависит от тем-
температуры вовсе. Это объясняет-
объясняется тем, что в этой области тем-
температур все атомы мышьяка
ионизованы, причем каждый
атом дает один электрон прово-
проводимости. При дальнейшем пони-
понижении температуры ионизация
атомов примеси становится не-
неполной, и концентрация элект-
электронов проводимости снова умень-
уменьшается, однако теперь по друго-
другому закону, нежели в области
собственной проводимости.
Кривые рис. 1.9 и рис. 1.10
также показывают, что при боль-
больших концентрациях мышьяка
зависимость R и п от темпера-
температуры ослабляется. При концент-
концентрациях, больших ~ 1017 см,
они вообще перестают зависеть от температуры и электропровод-
электропроводность приобретает металлический характер. Отсюда следует, что
при больших концентрациях примеси энергия ионизации примес-
примесных атомов обращается в нуль. Причина этого будет рассмотрена
в § IV.7.
Аналогичные зависимости наблюдаются в дырочных полупро-
полупроводниках, например в германии, содержащем какой-либо акцептор
Ш группы периодической системы.
Рис. 1.10. Зависимость концентрации
электронов от температуры для кри-
кристаллов германия с примесью мы-
мышьяка.

НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
39
Ю3 -
В § 4 мы отмечали, что в случае смешанной проводимости
постоянная Холла может обращаться в нуль при некотором опре-
определенном соотношении между концентрациями положительных
и отрицательных частиц. Это действительно наблюдается на опыте.
На рис. 1.11 показана зависимость постоянной Холла от темпера-
температуры для сурьмянистого
индия InSb *). В области 1000 Ш 300 200 150 Т,К
примесной проводимости '"' ' ' ' ' ' ' ' '
концентрация электронов
мала по сравнению с кон-
концентрацией дырок и соглас-
согласно формуле D.7а) R>0.
Но при повышении темпе-
температуры п увеличивается
и при nb2 — р постоянная
Холла обращается в нуль.
При дальнейшем повыше-
повышении температуры концент-
концентрация электронов увеличи-
увеличивается еще больше и посто-
постоянная Холла изменяет
знак. В кристаллах сурь-
сурьмянистого индия b > I и
велико (~ 100), и поэтому
изменение знака R наблю-
наблюдается в материале р-типа,
и притом особенно отчетли-
отчетливо. Если бы подвижность
электронов была меньше
подвижности дырок (Ь < I),
то инверсия знака R про-
происходила бы в материале
«-типа.
Приведенные результа-
результаты показывают, что в по-
полупроводниках наблюдается характерная температурная зависи-
зависимость концентрации подвижных заряженных частиц, отличающая
их от металлов. В металлах концентрация электронов проводимо-
проводимости практически не зависит от температуры. Напротив, в типичных
полупроводниках всегда имеется такая область температур (об-
(область собственной проводимости), где концентрация подвижных
частиц щ существенно зависит от температуры и притом увеличи-
увеличивается при нагревании,
III I I I I 1
/Л
л
(Ж
II
\
\ /
л
V
1
1 1
\г
\1
(
Л~-
2~-
5~
8-
-
i -
5 6 7 8
Рис. l.ll. Зависимость постоянной Холла
от температуры для кристаллов сурьмя-
сурьмянистого индия. /, 2, 3, 4—р-тип; А, В —•
п-тип.
*) Кривые взяты из книги: У, Данлэп, Введение в физику полупровод-
полупроводников, ИЛ, 1959.

40 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ |ГЛ. 1
в. Запрещенная энергетическая зона. Наличие определенной энер-
энергии ионизации в идеальном беспримесном полупроводнике можно
изобразить с помощью энергетической диаграммы рис. 1.12, где
по вертикали снизу вверх отложены значения полной энергии элект-
.ронов в кристалле. Нижняя заштрихованная полоса, или зона
энергий, содержит различные уровни энергии валентных электро-
электронов, связанных с решеткой и не участвующих в электропроводности.
Наивысшая возможная энергия связанных электронов изобража-
изображается верхним краем этой «валентной» зоны Ev. Верхняя зона («зона
проводимости») содержит различные возможные значения энергии
отщепленных электронов^ или электронов проводимости, обуслов-
обусловливающих электропроводность. Наинизшее значение их полной
энергии ¦изображается нижним краем зоны проводимости Ес.
Тогда наименьшая энергия отщепления
электрона от решетки, или энергия иони-
ионизации, изобразится расстоянием между
краями зон Eg = Ес — Ev. Промежу-
Промежуточные значения энергии, лежащие меж-
между Ес и Ev, не соответствуют никаким
* возможным стационарным движениям
у^ШЩ^ " электрона («запрещенная» зона энер-
энергий). В металлах энергия ионизации
Рис. 1.12. К понятию запре- равна нулю, и поэтому Eg = 0.
щенной зоны энергии. Существование энергетических зон,
введенных нами здесь только в связи
с энергией ионизации, обосновывается теоретически при решении
квантовомеханической задачи о^движении электронов в. периоди-
периодическом поле кристалла (гл. III). Однако эти представления по-
полезно ввести уже сейчас для истолкования экспериментальных
фактов.
Температурная зависимость концентрации электронов в области
собственной проводимости «г позволяет определить ширину запре-
запрещенной зоны Eg.
Поясним это сначала простыми, хотя и нестрогими рассужде-
рассуждениями. Предположим, что электроны в кристалле подчиняются
статистике Больцмана (что имеет' место при достаточно высоких
температурах). Обозначим, далее, . число возможных состояний
электрона в зоне проводимости (пока нам неизвестное) через Nc.
Тогда число незанятых состояний в зоне проводимости. будет
(Nc — щ), а число вакансий в валентной зоне — щ. Число элек-
электронов проводимости, возникающих в единице объема и в единицу
времени вследствие тепловой ионизации, должно быть пропор-
пропорционально (Nc — ni) и больцмановскому фактору ехр (—EgjkT).
С другой стороны, частота обратных процессов — ^переходов элект-
электронов проводимости в связанное состояние — должна быть про-
пропорциональна наличной концентрации электронов щ и числу

S 5]
НЕКОТОРЫЕ- ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
41
вакансий т, т. е. п). Поэтому в состоянии равновесия
где а и Ъ ±— некоторые коэффициенты пропорциональности. Если
я> *K Nc, то для «j получается экспоненциальная зависимость от
температуры:
щ — С ехр (—
Более строгий расчет (гл. V) приводит к несколько измененной
формуле:
E.2)
я, = Л Г/, ехр (-^),
которая отличается от предыдущего выражения множителем V1'.
Однако влияние этого множителя обычно мало по сравнению с эк-
экспоненциальным множителем.
Соотношение E.2) позволяет определить ширину запрещенной
зоны Eg по экспериментальным данным о зависимости щ от Т в об-
области собственной проводимости.
Однако ширина запрещенной зоны ?
сама зависит от температуры и обыч-
обычно увеличивается при охлаждении.
Поэтому возникает вопрос, какое t
именно ее значение мы определяем из
температурных измерений. Для вы-
выяснения этого представим ширину
запрещенной зоны разложенной в ряд
по степеням Т:
о
г
Рис. 1.13. К определению ши-
ширины запрещенной зоны.
где Eg0 — ее ширина при абсолют-
абсолютном нуле. Если в этом разложении
ограничиться только линейным чле-
членом, то из E.2) мы определим Eg0,
так как при подстановке члена аТ мы получим постоянный
множитель ехр (—а/2А), который будет включен в постоянную А.
Если же эту зависимость нельзя считать линейной во всей области
температур, то Eg, определенная из температурных измерений, не
будет равна фактической ширине запрещенной зоны при 7 = 0.
Это поясняет рис. 1.13. Она будет равна EgT, которая получается
экстраполяцией к Т — 0 прямой, приближенно описывающей
зависимость Eg от Т в исследуемом интервале температур. Вели-
Величину EgT иногда называют термической шириной запрещенной
зоны.

42
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. I
Фактическую ширину запрещенной зоны (и ее зависимость от
температуры) можно определить из оптических измерений, иссле-
исследуя зависимость коэффициента поглощения света от энергии фото-
фотонов. Оптическая ширина запрещенной зоны может несколько
отличаться от термической ширины.
Значения ширины запрещенной зоны для некоторых важных
полупроводников приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Ширина запрещенной зоны Eg (эВ) и подвижности электронов \ип и ды-
дырок fip (см2/с • В) при 300 К для некоторых полупроводников (М. Родо, Полу-
Полупроводниковые материалы, «Металлургия», 1971).
Цифры в скобках обозначают температуру, если она отличается от 300 К.
Группы
периодической
системы
IV
IV
IV
IV-IV
III—V
III—V
III—V
III—V
III—V
III—V
II—VI
II—VI
II—VI
II—VI
IV—VI
IV—VI
IV-VI
Вещество
Алмаз
Si
Ge
oc-SiC
GaP
GaAs
InP
GaSb
InAs
InSb
ZnO
ZnSe
a-CdS
p-CdSe
PbS
PbSe
PbTe
Eg
5,4
1,1
0,67
3,1
2,32 G7)
1,52 GJ)
1,40 G7)
0,80 G7)
0,43 G7)
0,22 G7)
3,2
2,80
2,42
1,85
0,39
0,27
0,33
1800
1300
3800
220
300
8800
4600
4000
33000
78000
180
260
295
500
550
1000
1600
1400
500
1820
48
100
400
150
1400
460
750
—
15
—
—
600
900
550
г. Удельная электропроводность. Температурная зависимость
удельной электропроводности полупроводников, так же как" и по-
постоянная Холла, обнаруживает характерные особенности. На
рис. 1.14 (см. прим, на стр, 36) показана зависимость удельного
сопротивления от температуры для тех же кристаллов, к которым
относится рис. 1.10. И здесь отчетливо можно видеть область соб-
собственной проводимости (пунктирная прямая) и, при более низких
температурах, область примесной проводимости.
В области собственной проводимости (п = р = щ) удельная
электропроводность равна
. E.3)

5]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
43
78
20
Т,К Ю
i
100
Ю
Так как подвижности зависят от температуры сравнительно слабо,
то сильное изменение а и р в этой области обусловлено сильной
зависимостью щ от температуры.
В примесной области концентрация дырок р пренебрежимо мала
по сравнению с концентрацией электронов п и
о с^егцлп.
В этой области аир зависят от концентрации мышьяка: чем больше
концентрация этой примеси, тем больше а и тем меньше р. Однако,
в отличие от кривых рис. 1.9 и
1.10, вместо плато в области при-
примесной проводимости здесь наблю-
наблюдается более сложное, немонотон-
немонотонное изменение р. Это объясняется
тем, что р зависит от произведения
концентрации электронов на их
подвижность, а подвижность тоже
зависит от температуры. При даль-
дальнейшем понижении температуры
сопротивление монотонно увеличи-
увеличивается. Однако при очень низких
температурах (для рассматриваемо-
рассматриваемого примера — ниже ~ 4 К) р пе-
перестает зависеть от температуры.
Причина этого заключается в су-
существовании проводимости по так
называемой примесной зоне (§ IV.7).
д. Подвижности. В таблице 1.1
даны значения подвижностей элек-
электронов и дырок для ряда полу-
полупроводников. Они относятся к чи-
чистым (по возможности) кристал-
кристаллам при 300 К- При сопоставле-
сопоставлении этих данных следует иметь в
виду, что подвижности зависят от
чистоты кристаллов и их структур-
структурного совершенства. Поэтому для
таких кристаллов, которые в на-
настоящее время получают в очень
чистом виде (германий, кремний,
антимонид индия), подвижности
хорошо известны. Для многих же
других кристаллов, технология получения которых менее разра-
разработана, значения подвижностей характеризуют не только свой-
свойства данного полупроводника, но, в известной степени, и качество
исследованных кристаллов. В таблице приведены наибольшие из-
измеренные значения,
J—
1
|\
1
1
J,-
|\
I
It-
[V
ч
4
;==
ч,
ч
3
2
\
У
f
¦
/
7
/
/
9-
/
/
4—
/
/
1/
1
О Ц02 0,04 Щ 0,08 O,t
г/г,к
Рис. 1.14. Зависимость удельного
сопротивления от температуры в
кристаллах германия с примесью
мышьяка.

44, НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ.1
Из таблицы видно, что подвижности в различных кристаллах
весьма различны. Так, в GaP подвижность дырок имеет порядок
только 100 см2/с -В (у некоторых веществ она еще значительна
ниже). У сурьмянистого индия подвижность электронов при 300 К
достигает ~ 80 000 см2/с -В, а при понижении температуры может
превышать 106 см2/с -В.
Измеряя R и а при различных температурах, можно найти
температурную зависимость холловской подвижности основных
носителей. Однако из таких измерений можно при некоторых усло-
условиях найти и зависимость дрейфовых подвижностеи от температуры
(тоже для основных носителей). Последнее можно сделать, напри-
например, для того интервала температур в области примесной проводи-
проводимости, где концентрация электронов (или дырок) не зависит от
температуры (плато на рис. 1.9 и 1.10). Тогда температурная зави-
зависимость электропроводности дает температурную зависимость дрей-
дрейфовой подвижности основных носителей.
Опыт показывает,, что в полупроводниках с большой подвиж-
подвижностью (например, в германии и кремнии) зависимость ц от Т
можно удовлетворительно представить в виде
(л = АТр,
где А и р зависят от рода полупроводника, рассматриваемого интер-
интервала температур и типа частиц (электроны или дырки). В кристаллах
с малой концентрацией примесей и при достаточно высоких темпе-
температурах р < 0, т. е. (л уменьшается при увеличении температуры.
При увеличении концентрации примесей и холловская, и дрей-
дрейфовая подвижности уменьшаются. При большой концентрации
примесей и в области низких температур, в отличие от первого
случая, (л увеличивается при повышении температуры, что соответ-
соответствует р > 0. Примеры зависимостей (л от температуры и концен-
концентрации примеси будут приведены позже (см. рис. 14.1 и 14.2 на
стр. 485, 486).
Общий характер наблюдаемых закономерностей удовлетвори-
удовлетворительно объясняется теорией рассеяния, которая будет подробнее
рассмотрена в связи с явлениями переносам гл. XIII, XIV. Сейчас
же мы ограничимся несколькими общими замечаниями.
Квантовая механика показывает, что в идеальном безграничном
кристалле, т. е. в строго периодическом поле, электроны движутся
с постоянной энергией и импульсом (см. гл. IV). Они не испытывают
«соударений», и поэтому время релаксации т, а следовательно, и
подвижность ц = ех/пг равны бесконечности. Конечная подвижность
обусловлена процессами рассеяния импульса, возникающими в ре-
результате искажений идеальной решетки. Наиболее существенными
из них являются тепловое движение и ионизованные примесные
атомы, каждое из которых обусловливает некоторые определенные
времена релаксации хт (тепловые колебания) и т./ (ионизованные.

$ 5} НЕКХ?ТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 45
примеси) и определенные вероятности рассеяния 1/хг и 1/т/. Как
будет показано в гл. XIV, результирующая вероятность рассеяния
в хорошем приближении равна сумме этих вероятностей, т. е.
±J + ±
где т — результирующее время релаксации, обусловленное этими
двумя процессами.
Величины %т и т/ зависят от температуры, и притом различно.
С увеличением температуры вероятность решеточного рассеяния
увеличивается и поэтому iTуменьшается. Напротив, т./ с повышением
температуры увеличивается. Это качественно ясно уже из класси-
классических представлений, так как чем больше тепловая скорость час-
частицы, тем меньшие изменения в ее движении будет вызывать элек-
электрическое поле ионизованного атома.
В соответствии со сказанным выше, наблюдаемая зависимость
ц(Т) в кристаллах, содержащих примеси в значительных концен-
концентрациях, в широком интервале температур имеет довольно сложный
характер. При низких температурах преобладает примесное рас-
рассеяние и [I сначала увеличивается при увеличении температуры.
Однако при дальнейшем повышении температуры основную роль
начинает играть рассеяние на колебаниях решетки и |л уменьшается
при нагревании. При некоторой температуре ц проходит через
максимум (ср. рис. 14.1)., Температура, соответствующая этому
максимуму, тем выше, чем больше концентрация данной примеси.
В полупроводниках с очень малой подвижностью (Se, В, NiO2,
Fe2O3, In2Te3 и др.) зависимость ц от Т имеет другой характер.
А именно, |л увеличивается при повышении температуры приблизи-
приблизительно по экспоненциальному закону (л, ~ ехр(— wlkT), где w —
некоторая «энергия активации». Такой закон, совместно с малой
величиной подвижности, позволяет заключить, что в этих веществах
движение носителей заряда имеет скачкообразный характер. Носи-
Носители заряда находятся преимущественно'в связанных состояниях
и только время от-времени переходят из одного положения в другое.
Так как для такого перехода необходимо преодоление некоторого
потенциального барьера, то частота скачков увеличивается с воз-
возрастанием температуры, и притом по указанному экспоненциаль-
экспоненциальному закону, a w имеет смысл энергии, необходимой для преодоления
барьера.
е. Собственная концентрация электронов. Собственная концен-
концентрация rit является одной из важнейших характеристик полупровод-
полупроводника. Она существенно входит во многие теоретические соотношения,
и поэтому точное знание этой величины и ее зависимости от темпе-
температуры необходимо для самых различных расчетов.
О зависимости щ от температуры уже говорилось выше, она
выражается формулой E.2). Остановимся теперь на величине щ.

46
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. I
Ее можно найти, например, из постоянной Холла в области соб-
собственной проводимости с помощью соотношения E.1). Однако при
этом нужно еще знать хотя и слабую, но все же существующую
зависимость b =-- ц.я/[Гр от температуры. Кроме того, в формуле
E.1) предположено', что холловские подвижности равны дрейфо-
дрейфовым, и поэтому для точного определения щ нужно было бы пользо-
пользоваться точной формулой D.7) и знать отношение этих подвижностей.
Более точно величину щ можно найти из электропроводности.
Как уже говорилось выше, дрейфовые подвижности \хп и цр и их
зависимость от температуры можно найти из данных об электро-
электропроводности и постоянной Холла в кристаллах п- и р-типов в при-
примесной области. Если затем проэкстраполировать эти значения
в область более высоких температур, то из значения электропровод-
электропроводности в собственной области E.3) можно определить щ. В таблице 1.2
в качестве примера приведена величина п\ (которая обычно и входит
в теоретические формулы) при 300 К для некоторых важных полу-
полупроводников. Там же указаны величина собственного удельного
сопротивления рг для 300 К и экспериментальное значение постоян-
постоянной А в формуле E.2).
Таблица 1.2
Собственные концентрации п; и удельные сопротивления р;
некоторых полупроводников при 300 К
Вещество
Ge
Si
InSb
GaAs
Л2, см-» • K-»
3,10-1032
1,5-10»
2,0-102»
1 2 • 102&
5,61
1,9
2,9
1,2
см-»
. Ю2в
- 102»
• Ю32
Рг, Ом' см
47
2,3 • 105.
4,5-10-5
6,4 • 10*
Отметим, что эффект, Холла и электропроводность не являются
единственными способами определения я,-. В частности, пользуясь
соотношениями статистики (гл. V) постоянную А можно выразить
через универсальные постоянные и эффективные массы электронов
и дырок, и поэтому щ можно вычислить, если точно известны эффек-
эффективные массы и ширина запрещенной зоны Eg. При этом оказывается,
что для хорошо изученных полупроводников полученные таким
образом значения /г,- близки к найденным из эффекта Холла и элек-
электропроводности.
В заключение еще укажем, что измерения концентрации элек-
электронов (или дырок) и удельного сопротивления широко используют
для оценки степени чистоты полупроводниковых материалов. Выше
мы видели, что в области примесной проводимости даже ничтожные

§5] НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 47
количества некоторых примесей уже заметно изменяют концентра-
концентрацию электронов (дырок) и электропроводность. Так, концентрация
электронов в очень чистых кристаллах германия при 300 К равна
~1013 см. С другой стороны, в области плато на рис. 1.10 каждый
атом мышьяка дает один электрон проводимости, и поэтому при
концентрации мышьяка ~1013см~3 уже наблюдается заметное из-
изменение электропроводности. Так как число атомов в см3 германия
~1022, то указанная концентрация соответствует одному атому
мышьяка приблизительно на 109 атомов германия, или 10~7 атомного
процента. Это имеет место и в других полупроводниках. Так, на-
например, в закиси меди Си2О при 300 К содержание кислорода
в 0,1 ат.% изменяет электропроводность примерно в 105 раз. Эти
примеры также поясняют, почему в ряде случаев к чистоте полупро-
полупроводниковых материалов предъявляют исключительные требования.
Однако при этом следует иметь в виду, что определения только
сопротивления, так же как и определения только концентрации
носителей заряда, может оказаться недостаточным для суждения
о чистоте материала. Если в полупроводнике имеются одновременно
донорные и акцепторные примеси и притом приблизительно в оди-
одинаковых количествах, то примеси могут компенсировать друг друга.
При этом концентрация электронов может быть мала, а удельное
сопротивление может даже превышать рг вследствие уменьшения
подвижности из-за примесного рассеяния. Поэтому такие измерения
всегда желательно дополнять определением подвижности, которая
в случае компенсированных примесей будет всегда заниженной
вследствие дополнительного примесного рассеяния.
С другой стороны, имеются и такие примеси, которые слабо
влияют на электропроводность. Примером может служить кислород
в германии и кремнии, содержание которого может достигать сотых
долей ат.% без существенного влияния на электропроводность.
Из сказанного также ясно, что влияние примесей на электро-
электропроводность зависит еще от области температур. Поэтому один и
тот же материал в области собственной проводимости (высокие
температуры) может рассматриваться как очень чистый, а в обла-
области примесной проводимости (низкие температуры)— как очень
грязный.
ж. Магнетосопротивление. В § 3 мы видели, что если имеетея
один тип носителей заряда и т и т не зависят от направления движе-
движения, то изменение сопротивления в поперечном магнитном иоле
А р 1 / р должно быть в слабых магнитных полях ~Ш%. Такой же
результат получается и при учете нескольких типов носителей
заряда. Опыт показывает, что это действительно имеет место.
Однако другие выводы простой теории не согласуются с опытом.
Выше мы уже говорили, что в изотропной модели продольное маг-
магнетосопротивление Арц/р должно быть равно нулю, так как при
параллельных магнитном поле и скорости дрейфа сила Лоренца

48
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. I
равна-нулю. На рис. 1.15 показана зависимость Ар/р от угла 9
между направлениями тока и магнитного поля в германии и крем-
кремнии. Из рисунка видно, что продольное магнетосопротивление
Арц/р (при 6 = 0 и б = 180°) отнюдь не равно нулю, а имеет
тот же порядок величины, что и A pj_/ р.Кроме торо, величина Др±/ р
оказывается значительно больше, чем вычисляемая из изотропной
модели. Имеются и другие расхождения простой теории с опытом.
Это показывает, что изотропная модель недостаточна для коли-
количественного описания магнетосопротивления.
Наблюдаемые закономерности удовлетворительно объясняются
полной теорией, учитывающей анизотропию эффективных масс и
времен релаксации, наличие но-
носителей заряда разных типов и
зависимость времен релаксации
от энергии. Частично эти вопро-
вопросы рассматриваются в гл. XIII.
Суммируя рассмотренные эк-
экспериментальные данные, мы
приходим к следующим важным
выводам:
а) Образование электронов
проводимости в полупроводни-
полупроводниках, в отличие от металлов, тре-
требует определенной энергии ак-
.тивации.
б) Электропроводность в по-
полупроводниках может осуществ-
осуществляться не только электронами,
но и положительно заряженны-
заряженными частицами,— дырками.
в) В полупроводниках суще-
существует собственная проводи-
проводимость, определяемая только
свойствами основной решетки кристалла, и примесная проводи-
проводимость, обусловленная содержащимися в кристалле примесями.
г) При определенных условиях примеси могут очень сильно
влиять на электропроводность; при этом различные примеси можно
разделить на две группы: вызывающие электронную проводимость
(донорные) и дырочную проводимость (акцепторные)..
д) Подвижности носителей заряда в различных полупроводниках
могут отличаться на много порядков, что указывает на сильное
различие эффективных масс и времен релаксации.
е) Время релаксации зависит от энергии носителей заряда.
Время релаксации * эффективная масса могут зависеть также от
направления движения.
270 ЗвО
град
Рис. 1.15. Зависимость магнетосопро-
магнетосопротивления Др/р от угла 6 между на-
направлениями тока и магнитного поля
в германии (пунктир) и кремнии
(сплошная кривая) n-типа. Ток на-
направлен по [100], магнитное поле ле-
лежит в плоскости (Old).

Глава II
ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Полная теория твердого тела должна основываться на кванто-
вомеханическом рассмотрении системы из многих электронов и атом-
атомных ядер, взаимодействующих между собой. Такой строгий подход
связан с необычайными математическими трудностями, и поэтому
при практическом решении задачи приходится прибегать к тем или
иным радикальным упрощениям. Так поступают, например, в зон-
зонной теории твердого тела, которая будет рассмотрена в следующей
главе.
Однако, наряду с этим, весьма полезными оказываются также
полуфеноменологические способы анализа свойств полупроводни-
полупроводников, при которых часть микроскопических характеристик вещества
не вычисляется, а заимствуется из опыта. При этом наиболее сущес-
существенные особенности взаимодействия между электронами и ядрами
учитываются автоматически. Один из таких способов, который
можно назвать кристаллохимическим, заключается в анализе осо-
особенностей химических связей в полупроводниках. Он основан на
том, что энергия химической связи атомов внутри. кристалла зна-
значительно "меньше энергии ионизации внутренних оболочек атомов.
По этой причине оказывается, что сопоставляя между собой: а) рас-
расположение атомов в структуре данного вещества, б) электронную
конфигурацию атомов, из которых построен полупроводник, и в)
тип химической связи, удается ответить на многие важные вопросы.
Таким способом можно объяснить, почему одни вещества оказы-
оказываются полупроводниками или изоляторами, а другие — металлами,
и в известной степени предсказывать наличие полупроводниковых
свойств. Можно понять, каким образом изменяются основные полу-
полупроводниковые характеристики (ширина запрещенной зоны, под-
подвижность и др.) внутри данного класса аналогичных веществ, а
также и ряд других особенностей полупроводников. Такой анализ
позволяет также объяснить происхождение полупроводниковых
свойств у некоторых некристаллических веществ (аморфные и жид-
жидкие полупроводники), что пока гораздо труднее сделать другими
способами. Недостаток этого метода заключается в том, что боль-
большинство получаемых результатов имеет качественный характер.
Однако его достоинством является большая наглядность, и поэтому
мы сначала остановимся на этом методе.

50 ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 1ГЛ. II
§ 1. Кристаллические решетки
В дальнейшем мы будем учитывать, что атомы внутри кристаллов
расположены в правильном порядке и поэтому кристаллы обладают
свойством трансляционной симметрии. Это значит, что для любой
кристаллической структуры можно указать три некомпланарных
вектора а^ а2, as, обладающих тем свойством, что любое перемещение
структуры на вектор
+ a3n3, A.1)
где пи п2, п3 — любые целые числа, оставляет эту структуру неиз-
неизменной. Наименьшие значения векторов аъ а2 и а3, в соответствии
с принятой терминологией, мы будем называть основными векторами
кристаллической решетки, а вектор а„ — вектором решетки, обо-
обозначая индексом п совокупность целых чисел (пи щ, п3).
Разумеется, говоря о трансляционной симметрии, мы допускаем
известную идеализацию, так как отвлекаемся от теплового движения
атомов и не учитываем конечные размеры кристалла. Однако для
многих вопросов эта идеализация несущественна.
Если из центра какого-либо атома решетки (узла решетки)
отложить основные векторы аъ а2 и аа, мы получим некоторый
параллелепипед — элементарную ячейку данной решетки. При этом
весь кристалл можно представить как последовательное повторение
его элементарных ячеек.
Элементарная ячейка может содержать один или несколько' ато-
атомов. В первом случае мы будем говорить о простой решетке, а во
втором — о сложной решетке. Всякую сложную решетку, очевидно,
можно рассматривать как несколько простых решеток, смещенных
определенным образом друг относительно друга. Совокупность
координат г10, г20, ,.., г„0 всех атомов (отсчитанных от какого-либо
узла решетки), входящих в состав одной элементарной ячейки,
образует базис данной сложной решетки.
Геометрические свойства различных возможных кристалличес-
кристаллических структур подробно исследуются и классифицируются в кристал-
кристаллографии. В зависимости от соотношения между углами, состав-
составленными основными векторами решетки друг с другом, и их длинами
различные структуры подразделяются на семь кристаллических
систем, или сингоний. В зависимости же от набора элементов сим-
симметрии, которым обладает кристалл в целом и его элементарные
ячейки, структуры характеризуются различными кристаллическими
классами и пространственными группами (см., например, [М41).
Для дальнейшего существенно иметь в виду, что выбор основных
векторов, а следовательно и элементарной ячейки, в известной
степени произволен. Рассмотрим двумерную простую прямоуголь-
прямоугольную решетку с основными векторами ал и ау (рис. 2.1,а). Ее элемен-
элементарная ячейка есть прямоугольник, вершины которого можно по-

§ 1]
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ
местить в узлы решетки. Так как каждый из узлов одновременно
принадлежит четырем соседним ячейкам, то число атомов в ячейке
равно -г- 4=1, Очевидно, что и любой другой подобный прямо-
прямоугольник, полученный из первого параллельным его смещением
Рис. 2.1. Двумерная прямоугольная решетка: а) простая; б) центрирован-
центрированная. alf а2 — основные векторы решетки Бравэ.
(рис. 2.1,а), будет также элементарной ячейкой. Однако можно
изменять и форму элементарной ячейки. Это иллюстрирует рис, 2.16,
на котором изображена двумерная
прямоугольная центрированная
решетка. В качестве ее основных
векторов мы по-прежнему можем
выбрать взаимно перпендикуляр-
перпендикулярные векторы ах и ау. Тогда ее эле-
элементарная ячейка будет прямоуго-
прямоугольником, содержащим два атома,
а ее базис будет г]0 = 0 и г20 =
= 1/г(ал + ау). Однако в качестве
основных можно выбрать также
векторы ах и а2, проведенные из
любого узла к центрам прилегаю-
прилегающих прямоугольников. В этом
случае мы получим элементарную
ячейку в форме ромба, содержа-
содержащую лишь один атом.
То же самое имеет место и для
трехмерных структур. На рис. 2.2
показано расположение атомов в кубической центрированной ре-
решетке. Если направить основные векторы ах, ау, аг вдояь ребер
куба, мы получим кубическую элементарную ячейку, Так как каж-
каждый атом в вершинах принадлежит одновременно восьми соседним.
Рис. 2.2. Прямоугольная элемен-
элементарная ячейка объемноцентриро-
ванной кубической решетки (основ-
(основные векторы а.х, а.у, аг) и ромбоэд-
ромбоэдрическая ячейка решетки Бравэ
(основные векторы а.х, а2, а3).

52
ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
1ГЛ. И
кубам, то число атомов в ячейке равно -^•84-1—2. Ее базис есть
г =0 г = */а -1-1/а -4-V а
а координаты узлов равны
г^аА + аЛ + аА, A.2а)
г2 = ах (/, + V2) + a, (lu + V2) + а, (/, 4 V*), A-26)
где 1Х, 1У и /г — любые целые числа. Такую решетку можно рас-
рассматривать как две простые кубические решетки, вдвинутые друг
в друга. Но за основные векторы можно также принять и векторы
X / I 1 / гъ 1 1 /
1/о 1 / «i 1 1 / a /I Q\
1/я Jl/я 1/я
3— 12ax ~Т~ 12ЛУ /2Qzt
которые получаются, если из любого узла решетки провести от-
отрезки -л центрам прилегающих кубов. Тогда получится ромбо-
ромбоэдрическая элементарная ячейка, показанная на рис. 2.2. Так как
атомы в таких ячейках расположены только в их вершинах, все
ячейки содержат лишь по одному атому,
а решетка, построенная из этих ячеек,
оказывается простой. При этом коорди-
координаты всех узлов будут выражаться фор-
формулой
г = а^ -f- а2/2 -f- а3/3, A.4)
где /ц /2, /3 — по-прежнему целые чис-
числа. Подставляя ~в формулу A.4) вместо
а1? а2 и а3 их выражения A.3) и сопостав-
сопоставляя полученное выражение с формула-
формулами A.2), легко видеть, что при (Ii+l2+l3)
четном мы получаем вершины кубов, а
^емент^ная^ТйГкуби- при (/1+/2+/з) нечетном - их центры,
ческой решетки с центриро- Второй важный пример показан на
рис. 2.3, где изображена кубическая ре-
решетка с центрированными гранями. Вы-
Выбирая за основные векторы ах, ау, аг,
направленные вдоль ребер куба, мы по-
получаем сложную решетку. Так как каждый атом в центрах граней
принадлежит двум соседним ячейкам, то число атомов в одной
ячейке равно ~ -8+^ -6=4 и базис ее есть
р црр
ванными гранями и ромбо
эдрическая ячейка решетки
Бравэ.
>"io = 0, г20 = 1/2(ал + ай), гзо = 1/2(ай + аг), г40 = Va (а, + а,).
Рассматриваемую сложную решетку можно представить как сме-
смещенные друг относительно друга четыре простые решетки. Однако

$2] ЭЛЕКТРОННАЯ КОНФИГУРАЦИЯ АТОМОВ 53
она обращается в простую решетку» если в качестве основных
выбрать векторы, направленные из любого узла к центрам приле-
прилегающих граней:
. A.5)
Тогда получается ромбоэдрическая ячейка, показанная на рис. 2.3.
Из рисунка видно, что атомы в ячейке расположены только в восьми
ее вершинах, так что на одну ячейку приходится один атом. При
выборе такой ромбоэдрической ячейки координаты всех узлов
гранецентрированной решетки опять выражаются формулой A.4).
- В кристаллографии показывают, что всего существует 14 типов
кристаллических решеток, которые могут быть сведены к простым.
Они получили название решеток Бравэ.
Из сказанного видно, что число атомов, принадлежащих одной
ячейке, зависит от выбора формы (и размеров) ячейки. Отметим уже
сейчас, что знание наименьшего количества атомов в одной ячейке
существенно для понимания некоторых явлений в твердом теле.
В частности, от этого числа зависят возможные типы колебаний
решетки, которые будут рассмотрены в гл. XII.
Важной для дальнейшего характеристикой структуры является
координационное число k. Оно указывает, сколько ближайших
соседей имеет атом в данной структуре. Так, например, в простой
кубической решетке каждый атом имеет шесть ближайших соседей
и, соответственно, k =- 6. В объемноцентрированной кубической
решетке каждый атом (находящийся, например, в центре кубичес-
кубической элементарной ячейки) имеет восемь ближайших соседей (в вер-
вершинах ячейки) н k — 8. Для кубической гранецентрированной
решетки k = 6.
В кристаллах химических соединений, решетки которых содер-
содержат неодинаковые атомы, координационные числа для атомов раз-
разного типа могут быть различны. С таким примером мы встретимся
ниже.
§ 2. Электронная конфигурация атомов
Как известно из атомной физики, состояние электрона в изоли-
изолированном атоме определяется четырьмя квантовыми числами: глав-
главным квантовым числом п, азимутальным квантовым числом /, маг-
магнитным квантовым числом т и спиновым квантовым числом s.
Главное квантовое число может принимать положительные целые
значения п = 1, 2, 3, .. Совокупность электронов, характеризуемых
одинаковым главным квантовым числом, образует электронную
оболочку атома.
Квантовое число / (называемое иногда квантовым числом орби-
орбитального импульса) определяет величину момента количества
движения электрона и может иметь п различных значений:

54 ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. II
/ = 0, 1, 2, ,,, , (п—1). В отсутствие внешних магнитных и-
электрических полей энергия электрона Е = Е(п, I).
Электроны с одинаковым квантовым числом / образуют группу
электронов. Электронная группа есть часть электронной оболочки.
В силу исторических традиций, связанных с наименованием опти-
оптических спектральных серий (и установленных задолго до развития
современной квантовой теории атома), различные электронные
группы принято обозначать буквами по следующей схеме:
/ = 0, 1, 2, 3, ...
s, р, d, f, ...
В соответствии с этим совокупность электронов, принадлежащих
к определенной оболочке и определенной группе, мы будем обозна-
обозначать указанием главного квантового числа п и буквенного обозна-
обозначения группы, а индексом сверху указывать фактическое число
имеющихся в атоме таких электронов. Так, например, символ Зр2
обозначает, что в атоме имеется 2 электрона в квантовых состоя-
состояниях, характеризующихся квантовыми числами п = 3 и / = 1.
Третье квантовое число т устанавливает возможные простран-
пространственные направления вектора момента количества движения при
наличии какого-либо физически выделенного направления и может
принимать B1 + 1) значений: т =^ — /, — (/—1), ..., О, ...,
(/-1), /•
Четвертое квантовое число s обусловлено наличием у самого
электрона (независимо от его движения внутри атома) определен-
определенного механического момента количества движения («спина») (и свя-
связанного с ним магнитного момента). Для собственного механичес-
механического момента электрона также имеет место пространственное кван-
квантование. Однако спиновое квантовое число может принимать только
два различных значения: s = ±1/2.
Согласно принципу Паули ,в атоме (как и в любой другой сис-
системе электронов) в одном и том же квантовом состоянии не может
быть более одного электрона. Этот принцип приводит к определен-
определенной конечной вместимости электронных групп и электронных обо-
оболочек. Согласно сказанному вместимость группы (/ = const) равна
числу различных возможных значений т, умноженному на 2 (вслед-
(вследствие двух возможных значений s) или 2B/ + 1). Это дает для раз-
разных групп:
группа: s p d f ...
I: 0 1 2 3 ...
вместимость: 2 6 10 14 ...
В каждой заполненной группе всегда имеется четное число элек-
электронов, и при этом каждому электрону с определенными квантовыми
числами п, I и т всегда соответствует другой электрон с теми же
квантовыми числами,, но с противоположно направленным спином.

§2] ЭЛЕКТРОННАЯ КОНФИГУРАЦИЯ АТОМОВ 55
Вместимость оболочек (п = const) равна
2
1 = 0
Это дает:
оболочка:
п:
вместимость:
К
1
2
L
2
8
М
3
18
N
4
32
О
5
50
Р
6
72
Напомним, наконец, что заполненные электронные группы обла-
обладает -Особой устойчивостью. Наличие таких заполненных групп
характерно для атомов благородных газов. Химическая валент-
валентность атомов определяется электронами внешних незаполненных
групп (валентными электронами). Атомы металлов характери-
характеризуются небольшим числом валентных электронов, которые срав-
сравнительно легко могут отщепляться от атома. Так, например, атом
типичного металла натрия-, имеющий порядковый номер Z = 11
и обладающий, следовательно, 11 электронами, имеет электронную
структуру:
Na11: (IsJ BsJ~BpN CsI = (NeI0 CsI.
У атома натрия имеется только один валентный электрон 3s, и поэ-
поэтому натрий является одновалентным.
У атомов металлоидов, напротив, одна из электронных групп
почти заполнена. Так, например, у атома типичного металлоида
хлора электронная структура имеет вид:
Cl17: (NeI0 CsJ (ЗрM.
Здесь для заполнения группы Зр (вместимость которой 6 электронов)
не хватает всего одного электрона. Поэтому атом хлора тоже одно-
одновалентен. Однако, в отличие от натрия, он не отдает, а легко присо-
присоединяет один электрон, чем обусловлены его металлоидные свойства.
Приведем еще электронные структуры атомов углерода, кремния
и германия, особенно интересных в связи с полупроводниковыми
свойствами кристаллов этих элементов:
С6: (НеJ BsJ BpJ,
Si14: (NeI0CsJ (ЗрJ,
Ge32: (ArI8 CdI0 DsJ Dp)a.
Все эти элементы расположены в одной и той же подгруппе IV В
периодической системы и являются четырехвалентными. Их че-
четырьмя валентными электронами являются два s-электрона и два
р-электрона.
Отметим, что у атомов этих элементов в незаполненной последней
группе имеется только два электрона: BрJ у углерода, (Зр)а у крем-
кремния и DрJ у германия. Поэтому можно было бы ожидать, что эти

58
ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
1ГЛ. II
элементы будут не четырехвалентными, а двухвалентными. В дей-
действительности, однако, эти атомы вступают в химические соедине-
соединения, находясь не в основном, а в возбужденном состоянии, в кото-
котором один из s-электронов переходит в группу р. Так, например, для
углерода это соответствует конфигурации (НеK BsI BpK и анало-
аналогичным конфигурациям для других элементов этой подгруппы.
Поэтому указанные четыре s- и р-электрона оказываются принад-
принадлежащими к незаполненным группам и являются валентными
электронами, способными образовывать так называемую «гибридную
s — р-связь».
§ 3. Типы химической связи
- Остановимся теперь кратко на основных типах взаимодействия
между атомами (подробнее см. например, [1]). Для этого рассмотрим
сначала простейший случай двух
атомов.
На рис. 2.4 схематически nor
казана зависимость потенциаль-
потенциальной энергии U двух атомов от
расстояния R между их ядрами
для двух важных типичных слу-
случаев. При этом энергия атомов
в отсутствие взаимодействия
(R — ос) принята за начало от-
отсчета. В случае / энергия везде
положительна и увеличивается
при уменьшении расстояния. Это
означает, что между атомами
действует сила отталкивания при
любом значении R, а значит,
образование молекулы невоз-
невозможно. В случае 2 потенциаль-
потенциальная энергия имеет минимум при
некотором расстоянии Re. Здесь
возможно образование устойчи-
устойчивой двухатомной молекулы.
Кривую потенциальной энер-
энергии типа 2 можно истолковать
как результат существования двухс,йл: притяжения и отталкивания.
Полная потенциальная энергия состоит из суммы двух слагаемых:
положительного Uox (отталкивание), быстро убывающего при уве-
увеличении расстояния, и отрицательного (Упр (притяжение), умень-
уменьшающегося с расстоянием более медленно (рис. 2.4).
Различают, следующие основные типы химической связи: а) ион-
ионную, или гетерополярную, б) ковалентную, или гомеополярную,
Я
Рис. 2.4. Зависимость потенциальной
энергии U двух атомов от расстояния
R между их ядрами. Кривая 2 разло-
разложена на части, соответствующие силам
притяжения ( ) и отталкивания
<)

S 3] ТИПЫ ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ 57
в) ван-дер-ваальсовскую и г) металлическую. В типичных полупро-
полупроводниках существенную роль играют только два первых типа связи.
а. Ионная связь. В случае ионной связи силы притяжения —
кулоновские электростатические силы. Такой тип связи мы имеем
в двухатомных молекулах щелочно-галоидных соединений, например
в молекуле NaCl. При образовании такой молекулы единственный
валентный электрон натрия 3s переходит на атом хлора (у которого
не хватает как раз одного электрона для завершения группы Зр),
вследствие чего образуются два иона Na+ и С1", притягивающиеся
друг к другу. Отметим, что такой переход электрона происходит
потому, что он энергетически выгоден, ибо вследствие притяжения
между возникающими ионами Na+ и С1~ общая энергия этой системы
оказывается меньше, нежели в случае нейтральных атомов Na
и С1.
На больших расстояниях взаимодействие ионов можно рассмат-
рассматривать приближенно как взаимодействие точечных зарядов и счи-
считать, что часть энергии взаимодействия, связанная с силами притя-
притяжения, равна —-e2/R. С другой стороны, при малых R должны
проявляться силы отталкивания. Они обусловлены взаимным про-
проникновением друг в друга электронных оболочек атомов-, а также
отталкиванием одноименно заряженных ядер. Во многих случаях
с достаточным приближением можно положить, что величина силы
отталкивания обратно пропорциональна некоторой степени рас-
расстояния между ядрами. Поэтому полную, энергию взаимодействия
можно представить в виде интерполяционной формулы:
где а и т — некоторые постоянные, характеризующие, силы оттал-
отталкивания. При т > 1 зависимость U(R) изображается кривой типа 2
на рис. 2.4 и имеет минимум при некотором равновесном расстоянии
RQ между ионами.
б. Гомеополярная связь. Такая связь в наиболее чистом виде
осуществляется в случае одинаковых, незаряженных (в целом)
атомов. Классическим примером является молекула водорода.
Возникновение гомеополярной связи можно пояснить следую-
следующим образом. Рассмотрим два атома водорода в основном состоянии
и предположим, что сначала оба атома удалены на большое расстоя-
расстояние, так что никакого взаимодействия между ними нет. Из решения
задачи об атоме водорода известно, что в этом случае распределение
плотности объемного заряда в каждом из атомов обладает сфери-
сферической симметрией. Оно схематически изображено на рис. 2.5,. где
прочерчены линии постоянной плотности заряда, густота которых
приблизительно пропорциональна плотности заряда. Каждый атом
имеет в этом состоянии некоторую энергию ?„> так что полная энер:
гия системы есть 2Е0.

53
ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
[ГЛ. II
Представим себе теперь, что расстояние R между ядрами атомов
уменьшается. Вследствие взаимодействия между электронами и яд-
ядрами, входящими в состав каждого из атомов, изменится и распре-
распределение электронной плотности, и полная энергия системы, которая
теперь будет Е = 2Е0 + u(R). Величина
u(R) есть средняя энергия кулоновского
взаимодействия зарядов. При классиче-
классическом рассмотрении задачи она оказывает-
оказывается всегда положительной и увеличивает-
увеличивается при уменьшении R, так что мы имеем
всегда отталкивание двух атомов водоро-
водорода. Поэтому факт существования моле-
молекулы Н2 в классической теории не на-
находит никакого объяснения. Принци-
Принципиально другой результат получается в
квантовой механике (см., например,
[Ml]), Благодаря специфическим особен-
особенностям поведения тождественных ча-
частиц — в данном случае электронов —
средняя энергия кулоновского взаимо-
взаимодействия может оказаться и отрицатель-
отрицательной. Ее можно представить в виде суммы двух членов, один из кото-
которых имеет чисто классический вид (и всегда положителен), второй же
имеет различные знаки (и различную величину) в зависимости от
относительной ориентации спинов электронов. Этот второй член
Рис. 2.5. Распределение элею
тронной плотности в основ
ном состоянии атома водо
рода.
Рис. 2.6. Распределение электронной плотности у двух взаимодействующих
атомов водорода: а) электронные спины параллельны (отгалкивание); б) "элект-
"электронные спины антипараллельны (молекула Н2).
называется обменной энергией. Как показывает расчет, если спины
электронов параллельны друг другу, то для полной энергии взаимо-
взаимодействия U(R) получается кривая типа / на рис. 2.4. Кривые равной
плотности заряда в электронном облаке такой системы схематически
изображены на рис. 2.6,я» В этом случае плотность заряда между
атомами имеет минимум и отрицательный заряд локализован возле

\
ZJ
§ 3] ТИПЫ ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ 59
каждого из ядер. Энергия взаимодействия всегда положительна,
а следовательно, два атома Н в таком состоянии отталкиваются.
Если оба спина антипараллельны, то зависимость U(R) изобра-
изображается кривой типа 2 на рис. 2A\AJ{R) имеет минимум, объясняю-
объясняющий возможность образования устойчивой молекулы Н2 при R = Ro.
Кривые равной плотности заряда для этого случая показаны на
рис. 2.6,6. Здесь электронные облака обоих атомов как бы сливаются
вместе и образуют единое облако объемного заряда, охватывающее
оба ядра.
Важным свойством гомеополярной связи является ее насы-
насыщаемость. При сближении с молекулой Н2 третьего атома Н энергия
взаимодействия изменяется только за счет классического взаимо-
взаимодействия, обменная же энергия при этом не возникает. Поэтому
третий атом Н будет оттал-
отталкиваться от молекулы Н2. f- . _*.•"¦"" ~-s
Другая важная особен- \ "*~
ность гомеополярных свя- \
зей заключается в их про- г
странственной направлен- /
ности. Она возникает пото- /
му, что результирующее V.."-- •-..-• „
электронное облако, обра- а) ")
зуемое валентными атом- Рис. 2.7. Электронное облако 2s- и 2р-элект-
НЫМИ электронами, вообще ронов атома углерода (схематически) и четы-
говоря, не сферично, а вы- Ре его направленные валентности,
тянуто вдоль определенных
направлений. С другой стороны, для образования гомеополяр-
гомеополярной связи необходимо перекрытие электронных облаков взаимодей-
взаимодействующих атомов. Поэтому связываемые атомы ориентированы оп-
определенным образом друг относительно друга, что изображается в
химии направленными черточками — валентностями,
Сказанное схематически поясняет рис. 2.7, где в двумерном
представлении показано электронное облако атома углерода (а).
Оно характеризует некоторое результирующее электронное состоя-
состояние, образованное суперпозицией одного состояния 2s и трех состоя-
состояний 2р. Там же изображены соответствующие ему четыре направ-
направленные валентности (б). В действительности эти четыре валентности
лежат не в одной плоскости, а образуют тетраэдрическое располо-
расположение, составляя друг с другом углы 109,5°.
Отметим еще, что четкое разграничение между гомеополярной
и ионной связями не всегда возможно. Гомеополярную связь в чис-
чистом виде мы имеем в молекулах из двух одинаковых атомов, напри-
например в молекуле водорода, где распределение электронной плотности
симметрично относительно обоих ядер. Если оба атома различны,
то и результирующее электронное облако в молекуле будет асиммет-
асимметрично и оба атома нельзя уже считать незаряженными. Ионную

60.
ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
[ГЛ. II
связь можно рассматривать как предельный случай гомеополярнои
связи, когда электронное облако валентных электронов сосредото-
сосредоточивается гокруг одного из ядер.
в. Ван-дер-ваальсовская связь. Изучение поведения реальных
газов показывает, что между нейтральными атомами даже в случае,
когда гомеополярные (валентные) силы полностью отсутствуют, воз-
возникают силы притяжения, быстро убывающие с расстоянием. Проис-
Происхождение этих так называемых ван-дер-ваальсовских или, иначе,
дисперсионных сил тоже в основном квантовомеханическое.
Ван-дер-ваальсовские силы играют существенную роль в крис-
кристаллах благородных газов, а также в так называемых молекулярных
кристаллах. Однако в типичных полупроводниковых материалах
влияние этих сил ничтожно по сравнению с другими типами хими-
химической связи, и поэтому мы на них не будем останавливаться.
§ 4. Строение некоторых полупроводниковых кристаллов
Анализируя различные полупроводниковые материалы, можно
установить, что их полупроводниковые свойства тесно связаны
с типом химической связи.
Рассмотрим с этой точки, зрения некоторые типичные примеры.
а. Ионные кристаллы. В наиболее чистом виде ионная связь-
имеется в кристаллах щелочно-галоидных соединений. На рис. 2.8
показана кубическая элементарная
ячейка решетки NaCl. Ее можно рас-,
сматривать как две кубические ре-
решетки с центрированными гранями,
состоящие из положительных ионов
натрия и, соответственно, из отрица-
отрицательных ионов хлора, вдвинутые друг
в друга. Так как каждый ион в вер-
вершинах куба принадлежит одновре-
одновременно еосьми соседним ячейкам, а
каждый ион в центре грани относится
одновременно к двум ячейкам, то каж-
каждая элементарная ячейка содержит
у 8 +9" ¦¦6=4 иона Na+ и 4 иона СГ.
Каждый положительный ион имеет 6 ближайших отрицательных
ионов, и наоборот. Следовательно, в данном случае координацион-
координационные числа для ионов обоих типов одинаковы: &Na = &а = 6.
Другим примером кристаллической решетки щелочно-галондных
соединений является решетка Csl. Ее элементарная ячейка есть
центрированный куб, в вершинах которого расположены ионы од-
ног.о типа, .а в центре — другого. Число ионов в ячейке равно 2*
а .координационные числа опять равны друг другу: ka =¦ h = 8,'
с
у
т
г
А
i.
i
J
С
с
л
Y
j
Л
\.—
г
у
с
С)
ч
Y
j
Рис. 2.8. Элементарная ячейка
кристалла NaCl.

$ 4] СТРОЕНИЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КРИСТАЛЛОВ gj
Силами притяжения, удерживающими ионы в решетке, здесь,
как и в молекуле NaCl, являются кулоновские силы. Энергию взаи-
взаимодействия ионов в кристалле (энергию решетки) можно получить,
складывая энергии взаимодействия различных пар ионов. Можно
показать, что результат такого суммирования имеет вид
где R — расстояние между соседними (разноименными) ионами,
N — число пар ионов в кристалле, а Л — некоторая новая постоян-
постоянная. Входящий сюда множитель а есть безразмерная величина
(постоянная Маделунга), зависящая от типа кристаллической
решетки. Число а можно выразить в виде простых рядов. Так,
например, для решетки типа NaCl а = 1,748, а для Csl а = 1,763.
И в этом случае при т > 1 потенциальна^ энергия имеет минимум.
До сих пор мы ничего не говорили о постоянных А и т, харак-
характеризующих силы отталкивания. Их можно найти следующим
образом. В равновесии
C)*-». <«¦*
где Ro — известное из опыта расстояние между ближайшими ионами
в данном кристалле. Поэтому, подставляя D.1) в D.2), мы получим
уравнение, из которого можно выразить постоянную А через пока-
показатель т. Значение же т подбирают таким образом, чтобы вычисле-
вычисление различных физических свойств кристалла с помощью выраже-
выражения D.1) приводило к согласию с опытными данными. Для этого,
например, можно воспользоваться модулем всестороннего сжатия
при низких температурах, который можно непосредственно вычис-
вычислить из D.1). Такое сравнение показывает, что т выражается боль-
большим числом, лежащим для исследованных ионных кристаллов в пре-
пределах ~9-М1. Таким образом, силы отталкивания очень быстро
уменьшаются пои увеличении расстояния между ионами.
Кристаллы щелочно-галоидных соединений при комнатных тем-
температурах являются изоляторами. Валентные s-электроны атомов
щелочных металлов, переходя на атомы галоидов, оказываются
в кристалле очень прочно связанными с последними, и тепловое
движение недостаточно для их отщепления. При повышении темпе-
температуры в таких кристаллах появляется заметная электропровод-
электропроводность. Однако она имеет не электронную природу, а ионную.
б. Гомеополярные кристаллы. Гомеополярная связь в чистом
виде существует в кристаллах химических элементов. В частности,
сюда относятся полупроводниковые кристаллы элементов подгруппы
IVB — алмаз, кремний, германий. Они имеют одинаковую решетку
кубического типа. Элементарная ячейка алмаза в прямоугольных
основных векторах показана на рис. 2.9. Она представляет собой
куб с центрированными гранями, внутри которого имеются еще

62
ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
[ГЛ. II
Рис. 2.9. Структура ал-
алмаза. Постоянная решет-
решетки а равна: алмаз —
3,5бА, кремний—5,42А,
германий—5.62А, серое
олово — 6,46 А.
четыре атома. Эти внутренние атомы можно получить смещением
внешних атомов ячейки в направлении пространственной диагонали
куба на расстояние V4 длины диагонали, и поэтому они также обра-
образуют гранецентрированную 'решетку. Иными словами, решетку ал-
алмаза можно представить как две гранецен-
трированные кубические решетки, вдвину-
вдвинутые друг в друга, Так как в одной гране-
центрированной ячейке число атомов равно
4, то в кубической элементарной ячейке
структуры алмаза содержится 8 атомов.
Напомним, однако, что выбор элементар-
элементарной ячейки неоднозначен. В § 1 мы видели,
что гранецентрированная решетка есть од-
одна из решеток Бравэ и что при выборе ром-
ромбоэдрической ячейки в каждой ячейке име-
имеется только один атом. Поэтому наимень-
наименьшее возможное число атомов в одной ячейке
кристаллов со структурой алмаза есть
два.
Из сказанного выше ясно, что для обра-
образования гомеополярной связи необходимо,
чтобы у взаимодействующих атомов были
электроны, которые могли бы образовывать пары с антипараллель-
ньши спинами. Легко видеть, что это как раз имеет место в кри-
кристаллах подгруппы IVB. Из рис. 2.9 видно, что координацион-
координационное число структуры алмаза равно 4. Тетраэдрическое расположе-
расположение четырех ближайших соседей каждого атома можно изобразить
двумерной схемой рис. 2.10, которая более
удобна для дальнейшего. С другой стороны,
каждый атом этой подгруппы имеет че-
четыре валентных электрона: BsJ и BрJ—
у алмаза, Cs)a и (Зр)г—у кремния и т. д.
Поэтому имеется как раз такое количест-
количество электронов, которое необходимо для
образования парно-электронных (гомеопо-
лярных) связей между двумя любыми бли-
ближайшими атомами.
в. Кристаллы со смешанными связями.
Между двумя рассмотренными крайними слу-
случаями чистой ионной и чистой гомеополяр-
гомеополярной связи находятся промежуточные случаи смешанной связи, кото-
которые имеют место в кристаллах многих химических соединений. Важ-
Важным примером являются полупроводниковые кристаллы соединений
элементов третьей и пятой групп (AU1BV): InSb, GaAs, GaP и др.
Расположение атомов в таких кристаллах, которые, как и алмаз,
относятся к кубической системе, показано на рис. 2.11, И здесь
Рис. 2.10. Двумерная схе-
схема гомеополярных связей
в решетке типа алмаза.

§4]
СТРОЕНИЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КРИСТАЛЛОВ
63
каждый атом имеет четырех ближайших соседей. С другой стороны,
атом In (III группа) имеет 3 валентных электрона, а атом Sb
(V группа) — 5 валентных электронов, так что всего на каждую пару
атомов имеется 8 электронов, что как раз и нужно для образования
всех парно-электронных связей. Однако
здесь, вследствие различия атомов обоих
компонентов, электронные облака оказы-
оказываются несимметричными. Поэтому ато-
атомы In и Sb приобретают отрицательный
и, соответственно, положительный за-
заряды и химическая связь оказывается
частично ионной и частично гомеопо-
лярной. Кристаллы соединений AniBv
являются тоже типичными полупровод-
полупроводниками.
Другим примером полупроводнико-
полупроводниковых кристаллов со смешанной связью
может служить закись меди Си.2О. Она
имеет кубическую решетку, элементарная
ячейка которой показана на рис. 2.12.
Ячейка содержит 4 атома меди и 2 атома кислорода. Взаимное
расположение атомов (число ближайших соседей) в ней можно изо-
изобразить плоской схемой рис. 2.13. Каждый атом кислорода непосред-
непосредственно связан с четырьмя атомами меди, а каждый атом меди —
с двумя атомами кислорода. С другой стороны, каждый атом кисло-
кислорода имеет 6 валентных электронов, а каждый атом меди — 1.
Рис. 2.11. Элементарная
ячейка кристалла сурьмяни-
сурьмянистого индия InSb.
•-Си О-О
Рис. 2.12. Элементарная
ячейка куприта Си2О.
Рис. 2.13. Двумерная схема ко-
координации атомов в кристалле
Си2О: О — кислород, • — медь.
Поэтому на каждую группу Си2О приходится 8 валентных электро-
электронов, которые как раз и необходимы для образования четырех гомео-
полярных связей между каждым атомом кислорода и непосред-
непосредственно с ним связанными четырьмя атомами меди (сравнить

64 . ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. II
рис. 2.. 12). Однако и здесь, как и в соединениях AIHBV, электронные
облака несимметричны относительно О и Си, и поэтому связи яв-
являются смешанными.
Приведенные выше данные, которые являются типичными, по-
позволяют сделать некоторые общие выводы. Мы уже отмечали, что
чисто ионные кристаллы являются изоляторами. Напротив, во всех
других рассмотренных кристаллах, являющихся полупроводни-
полупроводниками, существенную роль играла гомеополярная (ковалентная)
связь. Это обстоятельство проявляется при анализе и других полу-
полупроводниковых кристаллов. Поэтом'у можно заключить, что полу-
полупроводниковые свойства особенно выражены в тех веществах, в кото-
которых преобладающим типом связи является ковалентная связь. При
этом, как правило, чем сильнее выражена ионная составляющая
сил связи, тем- ближе данное вещество к изоляторам, и наоборот.
§ 5. Некристаллические полупроводники
Рассмотренные выше примеры полупроводников относились к
кристаллам различных веществ. В этих случаях мы имеем, во-пер-
во-первых, правильное расположение ближайших соседей, связанных
непосредственно с каждым атомом или ионом в решетке (ближний
порядок), и, во-вторых, кристаллическую решетку, т. е. правильное
периодическое чередование таких групп в большой области
кристалла (дальний порядок). Поэтому возникает вопрос, какое
именно из этих обстоятельств существенно для возникновения полу-
полупроводниковых свойств. Ответ на этот вопрос дает исследование
электрических свойств некристаллических веществ. А именно,
опыт показывает, что многие вещества в таком состоянии, когда
они заведомо не имеют кристаллической решетки, обладают элек-
электронной проводимостью (т. е. доля ионной проводимости в них мала)
и притом обнаруживают характерные признаки типичных полупро-
полупроводников. Эти вещества можно разделить на три группы.1
а. Аморфные полупроводники. Примером может служить селен.
Он имеет две кристаллические модификации: серый, или гексаго-
гексагональный, селен (который обычно имеют в виду, рассматривая селен
как полупроводник) и моноклинный селен, имеющий красный цвет
и являющийся изолятором. Однако при быстром охлаждении рас-
расплавленного селена можно получить еще аморфную его модифика-
модификацию, которая только в течение очень длительного времени посте-
постепенно переходит в гексагональную модификацию. Исследование
электропроводности аморфного селена показывает, что его сопротив-
сопротивление, так же как и у кристаллического селена, уменьшается при
повышении температуры, что типично для полупроводников. В амор-
аморфном селене наблюдается также изменение сопротивления при осве-
освещении (фотопроводимость), что является другим доказательством
наличия у него определенной запрещенной зоны энергий.

§ 5] НЕКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ Q5
Аморфное состояние у многих веществ можно получить, конден-
конденсируя их в вакууме в виде тонких пленок, если температура под-
подложки не превышает некоторого критического значения, разного
для различных веществ. При этом оказывается, что тонкие (несколь-
(несколько сот А) аморфные пленки некоторых веществ обладают типичными
полупроводниковыми свойствами (положительный температурный
коэффициент электропроводности, наличие длинноволнового порога
поглощения света, фотопроводимость). Полупроводниковые свой-
свойства, кроме селена, наблюдаются в аморфном состоянии у сурьмы,
германия, кремния, теллура и некоторых химических соединений.
Приведенные данные показывают, что возникновение полупро-
полупроводниковых свойств, по крайней мере у некоторых веществ, обус-
обусловлено ближним порядком структуры. Дальнейшие подтверждения
этого заключения мы находим в исследованиях электропроводности
расплавов.
б. Жидкие полупроводники. Если при переходе в жидкое состоя-
состояние ковалентные связи разрушаются, то возникает химическая
связь другого типа. Если свойства атомов и средние расстояния
между ними таковы, что все валентные электроны находятся в отщеп-
отщепленном состоянии, то возникает металлическая связь и электро-
электропроводность сильно увеличивается при плавлении. При этом элек-
электропроводность в жидком состоянии, как у металлов, умень-
уменьшается при увеличении температуры (вследствие уменьшения под-
подвижности). Однако может быть и другой случай, когда валентные
электроны после разрыва валентных связей окажутся локализо-
локализованными у отдельных атомов. В этом случае электропроводность
может резко уменьшиться при плавлении, а ее температурный коэф-
коэффициент может быть положительным.
Во всех случаях при разрыве насыщенных и направленных ва-
валентных связей будет изменяться ближний порядок и координа-
координационное число, что можно обнаружить, например, по изменению»
плотности вещества при плавлении.
Таким образом, при разрушении валентных связей мы должны
ожидать во всех случаях изменения электропроводности, плотно-
плотности и других физических свойств, связанных с ближним порядком.
Однако эти изменения могут быть не обязательно резкими и скач-
скачкообразными. При температуре плавления скачкообразно разру-
разрушается лишь кристаллическая решетка, т. е. исчезает дальний
порядок. Расположение же ближайших соседей может и не сде-
сделаться вполне хаотическим, т. е. ближний порядок может частично
сохраниться и в жидком состоянии, исчезая лишь постепенно при
достаточном повышении температуры. Разумеется, при этом коор-
координационное число приобретает статистический смысл и может
оказаться даже дробным. При сохранении ближнего порядка мы
должны ожидать, что вещество и после плавления будет иметь полу-
полупроводниковые свойства, т. е. будет жидким полупроводником.

66
ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
1гл. и
Эти различные случаи действительно наблюдаются на опыте.
Примером веществ, у которых ковалентные связи разрушаются
сразу же после плавления, могут служить атомные полупроводники
подгруппы IVB (структура алмаза) и интерметаллические соеди-
соединения AU1BV (структура цинковой обманки).
В противоположность этому, многие вещества сохраняют по-
полупроводниковые свойства после плавления. Сюда относятся,
например, селен и многие оксиды и сульфиды металлов.
Интересным примером таких веществ является теллур. Кри-
Кристаллы теллура (как и селена) имеют гексагональную решетку,
а атомы расположены в ней в виде спиральных цепочек, изображен-
изображенных на рис. 2.14 (показана
половина элементарной ячей-
ячейки). Одинаково заштрихован-
заштрихованные атомы в разных цепочках
лежат в одинаковых плоско-
плоскостях. Каждый третий, атом в
одной и три же цепочке ле-
лежит над другим атомом той
же цепочки в направлении
оси С. Координационное чис-
число равно 2. Каждая пара ато-
атомов в одной и той же цепоч-
цепочке (расположенных близко)
связана парно-электронными
ковалентными силами. Разные
же цепочки (расположенные
гораздо дальше) связаны силами Ван-дер-Ваальса. Вследствие та-
такого расположения атомов электрические свойства теллура сильно
анизотропны. Так, его удельное сопротивление при 20°С для
направления вдоль оси С равно рц = 0,26 Ом >см, в то время как
pj_ = 0,51 Ом >см. Теллур является типичным полупроводником.
Зависимость удельного сопротивления теллура от температуры
показана на рис. 2.15 *) (направление тока в твердом состоянии
перпендикулярно оси С). Ниже температуры плавления темпера-
температурный коэффициент сопротивления отрицателен, что, как мы знаем,
характерно для полупроводников. Однако и после плавления сопро-
сопротивление продолжает еще уменьшаться при нагревании в некотором
интервале температур, т. е. жидкий теллур ведет себя тоже как
полупроводник.
Особенно интересной оказывается температурная зависимость
постоянной Холла в теллуре. Она показана на рис. 2.16 *). При
низких температурах, в области примесной проводимости, теллур
Рис. 2.14. Структура теллура. а~ 4,44 А,
с = 5,92 A, d = 2,86 А.
*) Кривые приведены по данным работы Л. S. Epstein, H. Fritiche, H. Lark-
Hotovitz, Phys. Rev. 107, 412 A957).

§ 5]
НЕКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
67
обычно имеет дырочную проводимость и постоянная Холла R > О
(эта область не показана на рисунке). При повышении температуры,
когда проводимость теллура становится собственной, постоянная
Холла меняет знак. Это показывает, что подвижность электронов
в теллуре больше подвижности дырок. При дальнейшем повышении
температуры, приблизительно при 230 °С, постоянная Холла второй
раз меняет знак, и вплоть до температуры плавления R > 0, Такое
500 400 300 200
100 "О
га
,-г
11 1
тота плавления
\ *
Mr
f
\
I
2}5
2,0
Рис. 2.15. Зависимость удельного сопротивления теллура от температуры.
Смещение скачка сопротивления при охлаждении обусловлено переох-
переохлаждением расплава.
двукратное изменение знака R в твердом состоянии является резуль-
результатом сложного строения энергетических зон теллура. Однако мы
на этом обстоятельстве не будем останавливаться, так как оно
не связано с существом рассматриваемого сейчас вопроса. При
плавлении постоянная Холла резко уменьшается и при нагрева-
нагревании расплава продолжает уменьшаться, оставаясь положительной.
При ~575 °С постоянная Холла снова обращается в нуль и в третий
раз изменяет знак {R < 0). Последнее обстоятельство представляет
особый интерес. В § 1.4 мы видели, что постоянная Холла может об-
обращаться в нуль только в случае смешанной проводимости. Поэтому
можно заключить, что в жидком теллуре электропроводность
обусловлена и отрицательными электронами, и положительными
дырками,

ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
[ГЛ. 11
НаблюДаемЫе явления приводят к следующим заключениям.
Полупроводниковые свойства теллура в твердом состоянии обу-
обусловлены ковалентными связями, удерживающими атомы в цепоч-
цепочках. При плавлении разрушаются ван-дер-ваальсовские силы,
связывающие цепочки друг с другом, ковалентные же связи в пре-
пределах отдельных цепочек при этом в значительной степени еще
сохраняются, чем и объясняются полупроводниковые свойства жид-
жидкого теллура. Вблизи температуры плавления электроны проводи-
проводимости возникают за счет ионизации цепочек (разрыва некоторых
300
7ОО
6ОО
SOO
7, К
10 1,2 1,4 1,6 1}8 2,0 2,2
Ю3/Т,К
Рис. 2.16. Зависимость постоянной Холла от температуры в твердом
н жидком теллуре.
ковалентных связей), а остающиеся незаполненные связи играют
роль положительных дырок (ср. § 6). То обстоятельство, что в этой
области температур R > 0, показывает, что подвижность дырок
в жидком теллуре больше подвижности электронов. При дальней-
дальнейшем повышении температуры начинается разрыв также ковалент-
ковалентных связей, и химическая связь переходит в металлическую. Это
приводит к увеличению концентрации электронов, отчего постоянная
Холла опять становится отрицательной.
Помимо приведенных примеров, в настоящее время известно
большое число других полупроводниковых материалов, сохраня-
сохраняющих в определенном температурном интервале в жидком состоя-
состоянии полупроводниковые CBoftcreai
в. Стеклообразные полупроводники. К числу полупроводников
относится также большая группа стеклообразных химических сое-
соединений. Сюда входят двойные соединения Р, As, Sb и Bi с одним

§ G] ЗАПРЕЩЕННАЯ ЗОНА ЭНЕРГИЙ Q$
из элементов S, Se и Те (халькогениды) и трех компонентные соеди-
соединения этих элементов, такие, как mAs2Se3 •nAs2Te3 (где т и п —
целые числа), и др. Хотя принципиально стеклообразные полупро-
полупроводники не отличаются от жидких, так как стекла суть сильно пере-
переохлажденные жидкости с очень большой вязкостью, эта группа
полупроводников является весьма своеобразной и интересной.
В таких веществах наблюдаются: типичный для4 полупроводников
отрицательный температурный коэффициент сопротивления; харак-
характерная спектральная зависимость коэффициента поглощения света
(наличие пороговой длины волны, зависящей от состава вещества);
фотопроводимость и другие полупроводниковые свойства. Подроб-
Подробное изложение вопроса о некристаллических^ полупроводниках
читатель может найти в монографиях [3, 4].
Суммируя сказанное выше, Ъожно заключить, что во многих
веществах решающую роль в возникновении полупроводниковых
свойств играет ближний порядок. Изложенные представления о важ-
важной роли ближнего порядка были высказаны впервые А. Ф, Иоффе
и впоследствии развивались многими исследователями,
§ 6. Запрещенная зона энергий
Исходя из особенностей химической связи в полупроводниках,
можно непосредственно объяснить существование запрещенной зоны
энергий. Рассмотрим в качестве примера атомарные полупровод-
полупроводники подгруппы IVB и будем пока считать, что в них не имеется
никаких химических примесей и структурных дефектов. Тогда из
рис. 2.10 видно, что при ненарушенных связях в кристалле все
валентные электроны каждого атома (два s-электрона и два р-элек-
трона) участвуют в образовании ковалентных связей. Поэтому все
валентные электроны являются в известном смысле структурными
элементами и находятся в связанном состоянии. В таком состоянии
(температура абсолютного нуля и отсутствие внешних ионизующих
воздействий) кристалл является изолятором.
Для создания подвижных электронов необходим разрыв некото-
некоторого количества связей. Это происходит при повышении темпера-
температуры и под действием подходящих ионизующих излучений (свет,
быстрые электроны и т. п.). При разрыве каждой связи возникает
один электрон проводимости и одно вакантное квантовое состояние
электрона. Наименьшее приращение энергии электрона при его
переходе из связанного состояния в состояние проводимости (работа
разрыва связи) есть ширина запрещенной зоны энергий Eg.
Если в полупроводнике имеется электрическое поле, то элек-
электроны проводимости будут двигаться против поля, и возникнет
электронный ток с некоторой плотностью ]„. Однако, кроме этого
процесса, возможен еще и другой механизм электропроводности.
А именно, при нарушенных валентных связях (наличие вакантных

70 ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. II
мест) какой-либо из электронов связи может перейти в одну из
этих вакансий. В результате на месте вакансии будет восстановлена
нормальная ковалентная связь, но зато появится вакансия в другом
месте. На эту вакансию в свою очередь может перейти какой-либо
другой из электронов связи и т. д. При этом, разумеется, возможны
переходы электронов связи во всех направлениях. Однако переходы
в направлении действующей силы (против поля) будут преимущест-
преимущественными, и поэтому возникнет некоторый дополнительный ток ]р,
обусловленный перемещением электронов связи. Сами же вакансии
будут перемещаться в направлении поля, т. е. так, как двигались
бы положительно заряженные частицы. Этот второй механизм
электропроводности и есть процесс дырочной проводимости. Сами
же вакантные квантовые состояния электронов, локализованные
у нарушенных ^ковалентных связей и способные перемещаться под
действием поля, суть положительные дырки. Из сказанного ясно,
что в беспримесном полупроводнике концентрация дырок р всегда
равна концентрации электронов проводимости п. В гл. IV будет
показано, что именно для дырок (а не для электронов связи) полу-
получаются простые уравнения движения, аналогичные уравнениям
движения положительно заряженных частиц в классической меха-
механике, чем и оправдывается введение этого понятия.
Эти представления о механизме дырочной проводимости, рас-
рассмотренные нами качественно на примере полупроводников под-
подгруппы IVB, справедливы для полупроводников любого типа,
§ 7. Полупроводниковые свойства и химическая связь
Из сказанного выше следует, что ширина запрещенной зоны Eg
непосредственно зависит от прочности химических связей. К сожа-
сожалению, эта последняя не может быть прямо измерена количественно.
Однако она связана с другими физическими характеристиками
вещества, допускающими непосредственное измерение, и поэтому
можно ожидать, что между этими характеристиками и величиной
Eg для кристаллов с одинаковой структурой должна существовать
определенная связь.
В качестве величины, характеризующей прочность связей, неко-
некоторые исследователи выбирали теплоту образования кристалла Q.
При этом оказывается, что между Eg и Q действительно обнаружи-
обнаруживается определенная корелляция: как правило, Eg увеличивается
при увеличении Q.
Аналогичные зависимости имеются также для подвижности
электронов. Так, например, в ряду веществ с одинаковой кристал-
кристаллографической структурой подвижность \ап закономерно изменяется
с изменением теплоты образования по закону

§8]
ПОЛУПРОВОДНИКИ С МАЛОЙ ПОДВИЖНОСТЬЮ
71
где сип — постоянные, зависящие от типа кристаллической струк-
структуры. На рис, 2.17 показана такая зависимость для ряда двойных
соединений со структурой NaCl *). Подобная зависимость имеет
место и для двойных соединений с другими структурами. '
В кристаллах двойных соединений элементов II и VI групп
AHBVI, имеющих одинаковую кристаллическую структуру (ZnS,
ZnTe, HgTe и др.), наблюдается четкая зависимость Eg от среднего
порядкового номера элементов Z = 1/2 (ZA -\- ZB): Eg уменьшается
при увеличении Z.
's
tbftf2 - -
! i
10-
1.-
—i
Co
us
< Ph
s
—I
: =РЬ5е*=
VI
IB
' 70
Рис. 2.17. Зависимость подвижности электронов от теплоты об-
образования кристалла для двойных соединений со структурой NaCl.
Существуют также зависимости Eg и \i от других макроскопиче-
макроскопических величин, отражающих характер химических связей. Хотя
такие закономерности носят полуэмпирический характер, они тем
не менее представляют большой интерес, так как, во-первых, яв-
являются хорошим подтверждением правильности общих представле-
представлений о тесной зависимости между типом химической связи и полу-
полупроводниковыми свойствами и, во-вторых, могут быть полезны для
суждения об электрических свойствах новых полупроводниковых
материалов.
§ 8. Полупроводники с малой подвижностью
В различных полупроводниках движение электронов может
иметь весьма различный характер. Для разъяснения этого обстоя-
обстоятельства оценим величину средней длины свободного пробега элек-
*) Из работы В. П. Жух, ЖТФ 25, 2079 A955).

72 ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ГГЛ. 11
тронов I = vTr. Значение т можно найти из величины подвижности
ц (формула A.3.13)). Полагая для оценки порядка величин т =
= т0 = 9 -КГ28 гииг~Ы0'см -с C00 К), находим
где ц — в см2 -с'1 -В.
Сравним теперь эту величину, во-первых, с длиной волны
де Бройля, которая при 300 К (т = т0) равна К -•¦ 7 -10 см, и,
во-вторых, с постоянной решетки кристалла а, которая для боль-
большинства кристаллов лежит в пределах C—6) • 10~8 см. Мы видим,
что в полупроводниках, в которых ц < 100 см2 чГ1-В, значения
1<к, а при подвижности \i < 10 см2-с \В'Х величина / стано-
становится даже меньше постоянной решетки а.
Приведенные выше оценки показывают, что следует разли-
различать два случая. В полупроводниках с большой подвижностью
([I J> 100 см2 • с -В) электроны за время свободного пробега успе-
успевают пройти пути, содержащие много постоянных решетки. Это дви-
движение с хорошим приближением можно рассматривать как движение
в периодическом поле кристалла, которое лишь от времени до вре-
времени нарушается процессами рассеяния, скачкообразно изменяющи-
изменяющими энергию и импульс электрона. Именно к таким полупроводникам
с большой подвижностью (германий, .кремний, соединения AIHBV
и др.) применима зонная теория, рассматриваемая в гл. III, IV.
Напротив, в полупроводниках с малой подвижностью
(|i < 10 см2-с-В) движение электронов имеет совсем другой
характер. В этом случае гораздо правильнее представлять, что
электроны преимущественно связаны с определенными атомами
решетки и сравнительно редко перескакивают между соседними
узлами решетки.'Существование такого «прыжкового» механизма
электропроводности было'впервые указано А. Ф. Иоффе и, незави-
независимо, Н. Моттом. К полупроводникам с малой подвижностью зонная
теория неприменима.
Впрочем, как показывают оптические и электрические измере-
измерения, и в таких полупроводниках существуют зоны разрешенных
и запрещенных энергий. Отсюда можно заключить, что представле-
представление об энергетических зонах является гораздо более общим, чем это
следует из их обоснования взонной теории (ср. гл. XVII, гл. XIX).
Оба механизма электропроводности характеризуются различной
зависимостью подвижности от температуры, о чем уже упоминалось
в § 1.5. В чистых полупроводниках с большой подвижностью повы,-
шение температуры всегда уменьшает величину подвижности. В по-
полупроводниках с малой подвижностью при повышении температуры
увеличивается вероятность перескоков электронов, и поэтому под-
подвижность тоже увеличивается.
Отметим также, что прыжковый механизм электропроводности
может проявляться при известных условиях и в полупроводниках

§9] ПРИМЕСНЫЕ АТОМЫ 73'
с большой подвижностью при очень низких температурах. Так,
например, в германии, содержащем доноры и акцепторы (при кон-<
центрациях <1015 см, когда еще не проявляется так называемая
проводимость в примесной зоне, ср. гл. IV), при гелиевых темпера-
температурах концентрация подвижных электронов или, соответственно,
дырок в зонах ничтожно мала, так как практически все они лока-
локализованы на примесных атомах. Однако и в этом случае все же
наблюдается очень малая электропроводность, которая, по-види-
по-видимому, обусловлена прыжковым механизмом.
§ 9. Примесные атомы
Кристалл, в котором все узлы решетки заполнены только ато-
атомами данного вещества и решетка которого безгранично прости-
простирается во всех направлениях, мы будем называть идеальным кри-
кристаллом. Однако все реальные кристаллы имеют различные несо-
несовершенства, искажающие строгую периодичность кристаллической
решетки.
Исследование особенностей дифракции рентгеновских лучей
показывает, что в реальных кристаллах правильное расположение
атомов в решетке сохраняется лишь в пределах небольших областей
с линейными размерами ~0,1 ¦*¦ 1 мкм. Сами же эти области слегка
разориентированы друг относительно друга (повернуты на малые
углы), образуя так называемую мозаичную структуру.
Другим типом несовершенств являются примесные атомы. По-
Последние могут быть в решетке кристалла в двух состояниях: либо
занимать узлы решетки, замещая некоторые атомы основного ве-
вещества кристалла (твердый раствор замещения), либо внедряться
между узлами решетки (твердый раствор внедрения). В обоих
случаях каждая примесь характеризуется определенной макси-
максимальной растворимостью, т. е. максимальной концентрацией при-
примесных атомов, которую можно создать в решетке при данной тем-
температуре при термодинамическом равновесии. Отметим также, что
оба типа твердых растворов сильно отличаются по величине коэф-
коэффициентов диффузии примесей: как правило, при одной и той же
температуре коэффициенты диффузии междоузельных атомов на
несколько порядков больше, чем коэффициенты диффузии узельных
атомов.
Несовершенствами в реальных кристаллах являются также
пустые узлы решетки или вакансии; линейные дислокации и винто-
винтовые дислокации (см. ниже). Указанные несовершенства могут соз-
создавать дополнительные уровни энергии электронов, которые влияют
на многие физические процессы в полупроводниках.
Рассмотрим сначала поведение примесных атомов. Наиболее
простой и ясный случай мы имеем для примесей элементов III и
V групп периодической-системы в полупроводниках подгруппы IVB

74 ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. II
(кремний, германий). Такие примеси образуют твердый раствор
замещения. На это, в частности, указывают очень малые значения
их коэффициентов диффузии,
Атом любого элемента V группы имеет 5 валентных электронов,
и, соответственно, его ионный остаток несет положительный за-
заряд +5е. Однако для образования тетраэдрических валентных
связей в решетке типа алмаза необходимо только 4 электрона.
Поэтому при замене атома основной решетки на атом примеси мы
получим один «лишний» электрон. Последний будет двигаться в поле
ионного остатка и остальных валентных электронов, т. е. в поле
эффективного заряда +<?, образуя систему, подобную атому водо-
водорода (рис. 2.18, а). Этот дополнительный электрон может быть
Рис. 2.18. Узельный атом элемента V группы (а) и III группы (б) в решетке
типа алмаза.
отщеплен от своего узла решетки под действием тепловых колеба-
колебаний, освещения и т. п., и тогда он превратится в электрон проводи-
проводимости. При этом образования свободной положительной дырки
(как в случае разрыва связей в собственном полупроводнике) не
будет. Из сказанного видно, что примеси элементов V группы в по-
полупроводниках с решеткой алмаза являются донорами,
В случае узельного атома элемента III группы (В, А1 и др.)
имеется всего 3 валентных электрона, т. е. не хватает одного элек-
электрона для завершения валентных связей. Этот недостающий элек-
электрон может быть заимствован из числа соседних электронов связи.
При этом образуется вакантное место среди соседних электронов
связи, или положительная дырка, которая окажется в поле заряда
ионного остатка (+3е) и четырех электронов связи (—4е),т. е. в поле
эффективного заряда —е (рис. 2.18, б). Так как в образовавшуюся
вакансию могут переходить другие электроны связи, то дырка
будет двигаться вокруг примесного центра, и мы опять получим
водородоподобную систему, но только с неподвижным отрицатель-
отрицательным зарядом и подвижным положительным зарядом.
Под влиянием теплового движения, освещения и иных внешних
воздействий в образовавшуюся вакансию могут быть заброшены

§ 9] ПРИМЕСНЫЕ АТОМЫ 75
более удаленные электроны связи. Тогда вместо дырки, связанной
с данным примесным центром, появится дырка в другом месте, и
эта дырка, вследствие последовательного заброса в нее других
электронов связи, будет перемещаться в кристалле. Этот процесс
аналогичен отрыву связанного электрона от донора V группы и
может быть назван освобождением связанной дырки и переводом ее
в свободное состояние. Образования же электрона проводимости
при этом не происходит. Из сказанного видно, что атомы элементов
III группы в решетке типа алмаза являются акцепторами.
Примесные центры, которые могут отдавать или, соответственно,
принимать только один электрон и, следовательно, находиться
только в двух различных зарядных состояниях, мы будем в даль-
дальнейшем называть простыми. Из сказанного выше следует, что про-
простой донор есть такой примесный ~
центр, с которым при завершенных ' i ь
валентных связях связан один элект- А
рон. И, аналогично, простой акцеп- I „
тор есть такой примесный центр, с //
которым при завершенных валентных I
связях связана одна дырка. у_ш
Простые доноры можно охаракте-
охарактеризовать заданием наинизшего уровня
энергии Et неотщепленного электрона Рис- 2Л9- уРовни энергии элек-
, * ' \ а тронов в кристалле при нали-
(основное состояние). Аналогично, ч„и простЫх доноров или ак-
для простого акцептора можно за- цепторов.
дать один уровень энергии захвачен-
захваченного электрона. Такие уровни, однако, в отличие от уровней элек-
электронов проводимости, являются локальными, так как электроны,
их занимающие, расположены в непосредственной близости от при-
примесных центров (рис. 2.19). Энергия ионизации донора o7d на этой
диаграмме равна (Ес — Et)- Аналогично, энергия, необходимая для
заброса электрона из валентной зоны на акцептор (или, другими
словами, энергия отрыва связанной дырки от акцептора &а), рав-
НЗ \&t *7— ?"v) *
Энергию ионизации примесных атомов в кристалле можно экспе-
экспериментально определить либо из температурной зависимости посто-
постоянной Холла («термическая» энергия ионизации), либо из спектраль-
спектральных зависимостей коэффициента поглощения света и фотопроводи-
фотопроводимости («оптическая» энергия ионизации).
Значения энергии ионизации атомов III и V групп в германии
и кремнии, определенные из оптических измерений при гелиевых
температурах, приведены в таблице 2.1. Энергии ионизации в гер-
германии мало отличаются друг от друга и близки к 0,01 эВ. Этот
результат хорошо объясняется в теории «водородоподобных» при-
примесных атомов, которую мы рассмотрим в гл. IV. Вследствие малой
энергии ионизации атомы этих элементов в германии практически

76 ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. II
Таблица 2.1
Энергия ионизации (в миллиэлектронвольтах) атомов элементов
III и V групп в основном состоянии в германии и кремнии *)
Элемент
В
Al
Ga
In
Tl
Ge
10,6
10,9
11,1
11,7
13,1
Si
44,3
68,4
72,3
155
Тип
Акцепторы,
Элемент
P
As
Sb
Bi
Ge
12,7
14,0
10,2
12,7
Si
45,3
53,5
42,5
71,0
Тнп
Доноры,
*) Обзор Ш. М. Коган, Т. М. Лифшиц, phys, stat. sol. (a) 39, 11 ( 1977).
полностью ионизованы, уже начиная с температур ~10К и выше.
Энергии ионизации этих элементов в кремнии, особенно акцепто-
акцепторов III группы, отличаются значительно сильнее. Однако и здесь
(за исключением In) энергия их ионизации невелика, и поэтому
при температурах, близких к комнатным (и выше), атомы этих
элементов тоже ионизованы почти полностью. С другой стороны,
растворимость большинства элементов III и V групп (кроме Bi
и Т1) в германии и кремнии очень велика (например, для In, Ga,
Р в германии она приближается к 1021 атомов/см3). Поэтуому, вводя
элементы III и V групп в германий и кремний, можно в широких
пределах менять концентрацию электронов и дырок и, соответ-
соответственно, электропроводность. Подобные примеси* создающие мелкие
уровни энергии и способные входить в решетку полупроводника
в больших концентрациях, мы в дальнейшем будем называть леги-
легирующими примесями.
Если примесные атомы принадлежат группе периодической
системы, которая отличается больше нежели на единицу от группы
основного вещества полупроводника, то система локальных ypoBv
ней энергии оказывается сложнее. При этом, во-первых, появля-
появляются два или несколько разных уровней энергии для одного и того
же атома. И, во-вторых, возникают глубокие уровни энергии.
На рис. 2.20 в качестве примера приведены примесные уровни
энергии в германии, который изучен наиболее подробно. Остано-
Остановимся на смысле этой диаграммы.
Рассмотрим, например, медь, которая создает в германии три
акцепторных уровня, удаленных на 0,04 и 0,33 эВ от верха
валентной зоны ,и на 0,26 эВ от дна зоны проводимости. Это зиа-
чит.что атом меди может присоединить к себе три электрона. При-
Присоединение первого электрона (из числа электронов, обра-
образующих валентные связи в кристалле) требует наименьшей
энергии Ег — Ev — 0,04 эВ. При этом атом меди превращается

ПРИМЕСНЫЕ АТОМЫ
77
в отрицательный ион Си и одновременно образуется подвижная
положительная дырка. Поэтому мы можем также сказать, что этот
электронный переход есть отрыв связанной дырки от акцептора, на
что необходима энергия ионизации 0,04 эВ. Для отрыва захвачен-
захваченного электрона от иона Cir и перевода его в полвижное состояние
необходима наименьшая энергия 0,79—0,04 = 0,75 эВ, где 0,79 эВ
есть ширина запрещенной зоны германия (при 0К). Аналогично,
энергия Е2 — Ev = 0,33 эВ на этой диаграмме есть приращение
энергии центра при присоединении к иону Си" второго электрона
(из числа электронов связи) и превращении его в ион Си2". При этом
среди электронов связи (в валентной зоне) образуется вторая
г
1
г S
Ч к;
Г 1(
Доноры
Угруппы
0,61
0,01
Акцепторы
л по
о,уа
0,03
Zn
0,16
0,05
cd
0,37
0,4
Мп
0,30
0,22
IU
0,30
0,25
СО
0,27
и,зь
Fe
0,26
0,33
0,04
Сц
0,04 _
0,20 _
т -
0,05 В ~
Аи
0J
0,2
о,э
Hi
0,2
1
t
Шгруппы
Рис. 2.20. Энергетические уровни некоторых примесей в германии при темпе-
температуре абсолютного нуля. Все уровни — акцепторные, за исключением наиниз-
наинизшего уровня золота.
подвижная дырка, и мы можем сказать, что энергия 0,33 эВ есть
энергия отрыва второй дырки, связанной с ионом Ог. Энергия
отрыва электрона от иона Си2" есть 0,79 — 0,33 = 0,46 эВ. И, нако-
наконец, энергия лрисоединения третьего электрона, теперь уже к иону
Си2" (или, что то же, энергия отрыва третьей дырки), равна
Е3 — Ev =--- 0,79 — 0,26 = 0,53 эВ. При этом образуется ион Си3".
Энергия отрыва захваченного третьего электрона есть ?с — Е3 =
=¦ 0,26 эВ. Таким образом, узельные атомы меди в германии яв-
являются тройными акцепторами и могут существовать в четырех
зарядных состояниях: Си0, Си", Си2" и Си3".
Число различных локальных уровней энергии для узельных
примесных атомов в германии в ряде случаев согласуется с ожи-
ожидаемым на основании электронной структуры атома и тетраэдриче-
ского характера валентных связей в германии. Рассмотрим, напри-
например, элементы II группы Zn и Cd. Их атомы имеют по два валентных
электрона: DsJ и, соответственно, EsJ. Однако для образования
завершенных тетраэдрических связей в германии необходимо четыре
электрона. Недостаток двух электронов приводит к образованию

78 ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. II
двух дырок, связанных с этими атомами, и поэтому они являются
двойными акцепторами.
Элементы Мп (VII группа) и Fe, Co, Ni (VIII группа) все имеют
на самой внешней оболочке по два электрона DsJ. По-видимому,
именно эта пара электронов и участвует в образовании валентных
связей. Но тогда опять для завершения валентных связей не хва-
хватает двух электронов, и атомы этих элементов тоже являются двой-
двойными акцепторами.
Элементы I группы Си, Ag и Аи имеют по одному валентному
электрону: Ds), Es) и Fs). Поэтому при узельном положении этих
атомов с ними связаны три дырки, и они являются тройными акцеп-
акцепторами. Однако у Аи обнаруживается еще и донорный уровень,
связанный с возможностью отщепления валентного электрона.
Рассмотрим, наконец, еще пример Те (VI группа). Он имеет
шесть валентных электронов EsJ EpL, в то время как для завер-
завершения валентных связей их необходимо только четыре. В соответ-
соответствии с этим узельные атомы теллура создают в германии два донор-
ных уровня,
§ 10. Вакансии и междоузельные атомы
Нарушения правильной периодичности кристалла вызывают не
только атомы примесей, но и собственно структурные дефекты,
т. е. различные неправильности в расположении атомов основного
вещества кристалла. Такие структурные дефекты, как и атомы
примесей, создают в отдельных узлах решетки нарушения правиль-
правильного чередования химических связей, что может приводить к появле-
появлению в запрещенной зоне локальных уровней энергии.
Простейшим типом структурных дефектов являются вакансии
(дефекты по Шоттки), которые представляют собой просто пустые
узлы решетки. Они схематически показаны на примере решетки
соединения типа АВ на рис. 2.21, а. Здесь большие кружки изобра-
изображают атомы А, малые кружки — атомы В. Вакансии могут быть как
в простой решетке А, так и в простой решетке В. Процесс их обра-
образования можно представить как переход сначала одного из при-
приповерхностных атомов на саму поверхность кристалла'. В образо-
образовавшуюся таким образом приповерхностную вакансию тепловым
движением может быть заброшен один из более глубоких атомов,
отчего возникнет вакансия, более удаленная от поверхности, и т. д.
С помощью такого процесса, который можно рассматривать как
диффузию вакансий с поверхности в глубь кристалла, вакансии
могут образоваться в любом месте кристалла.
Другой тип дефекта, тоже образованный смещением атомов ре-
решетки, получается, если смещенный атом остается в непосредствен-
непосредственной близости от своего узла, так что дефект состоит из вакансии

§ 10] ВАКАНСИИ И МЕЖДОУЗЕЛЬНЫЕ АТОМЫ 79
и междоузельного атома (рис. 2.21, б). Представление о дефектах
такого рода было введено Я. И. Френкелем.
Рассмотренные дефекты существуют во всех кристаллах, даже
если они находятся в термодинамическом равновесии. В этом случае
дефекты возникают вследствие флуктуации теплового движения,
при которых отдельные узлы решетки могут получить энергию,
достаточную для образования дефекта. Концентрация вакансий и
дефектов по Френкелю зависит от энергии их образования и темпе-
температуры и очень быстро увеличивается при повышении температуры.
Большая концентрация вакансий может возникнуть в нестехис-
метрических кристаллах химических соединений, т. е. в кристаллах,
имеющих избыток или недостаток одного из компонентов. Хорошим
примером вакансий являются так называемые центры окраски
О О О *О
O
б)
Рис. 2.21. а) вакансия, б) Вакансия с междоузель-
ным атомом.
в щелочно-галоидных кристаллах. Опыт показывает, что при нагре-
нагревании кристаллов LiCl, NaCl, KG и т. д. в парах своего щелочного
металла кристаллы приобретают густую окраску: желтую в случае
NaCl, синюю в случае КС1 и др. Такую же окраску можно вызвать
в щелочно-галоидных кристаллах, облучая их рентгеновскими
лучами. Химический анализ показывает, что такие окрашенные
кристаллы имеют избыток щелочного металла. Их окраска обуслов-
обусловлена возникновением в спектре поглощения света определенной
полосы поглощения, которая различна для разных кристаллов. Эти
полосы поглощения были названы Р. В. Полем f-полосами, а вызы-
вызывающие их центры поглощения — /•'-центрами (от немецкого Farb-
zentren).
Объяснение природы /""-центров было дано Н. Моттом и Р. Герни
[2]. В кристаллах с избытком щелочного металла имеется недоста-
недостаток галоида, что приводит к возникновению вакансий в решетке
анионов. При этом положительный заряд катионов, окружающих
данную вакансию, оказывается нескомпенсированным, и в. кри-
кристалле возникает положительно заряженный центр, способный
присоединить к себе избыточный электрон (рис. 2.22). Таким

80 ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. II
образом, образуется центр донорного типа. Под действием фотонов
достаточно большой энергии этот электрон может быть отщеплен
от /""-центра. При этом происходит поглощение света и возникает
проводимость кристаллов (фотопроводимость). Энергия ионизации
/¦"-центра приблизительно равна энергии фотонов, соответствующей
середине полосы оптического поглощения.
Опыт показывает, что после длительного поглощения света
в /-"-полосе в окрашенных кристаллах эта полоса ослабевает, но
одновременно появляется новая полоса поглощения в более длин-
длинных волнах (/""'-полоса). Последующее поглощение света в F'-no-
лосе тоже вызывает фотопроводимость. При этом /-"-полоса поглоще-
поглощения ослабляется, а первоначальная /""-полоса восстанавливается.
Это ноказывает, что, наряду с /-"-центрами, в щелочно-галоидных
кристаллах могут возникать еще центры
+ —¦ "I* *"" ~Ь — другого типа (/-"-центры). Имеющиеся
^__ , _.,--:р-*_ _L экспериментальные данные приводят к
т *7 т \ ~г вероятному заключению, что /-"-центры
л, _ u. j^ представляют собой вакансию, захва-
»ч j тившую два электрона, и что возникно-
«• ^- .j^-J^^l. _J- вение /-"-полосы поглощения и связан-
связанной с ней фотопроводимости обуслов-
.f. _ ^. — ^- — лено ионизацией второго захваченного
Рис. 2.22. Модель F-центра электрона.
по Мотту и Геряи. Аналогично этому, имеются указания
на то, что вакансия в катионной решет-
решетке ионных кристаллов приводит к образованию отрицательно за-
заряженного центра, с которым связана положительная дырка, т. е.
к акцепторному центру. Центры такого типа получили название
К-центров.
Хорошим примером дефектов по Френкелю могут служить так
называемые радиационные дефекты в германии и кремнии. Они воз-
возникают при бомбардировке кристаллов быстрыми электронами
с энергией порядка сотен килоэлектронвольт и выше, которые при
соударении с атомами кристалла смещают их из узельного положе-
положения в междоузельное. Опыт показывает, что при этом на образо-
образование одного дефекта необходима в среднем энергия около 3,6 эВ
в германии и около 4,2 эВ в кремнии.
Исследования эффекта Холла, оптических и фотоэлектрических
свойств кристаллов кремния и германия с радиационными дефек-
дефектами показывают, что эти дефекты создают сложную структуру
энергетических уровней. Установлено также, что по крайней мере
часть из этих уровней обусловлена не простыми дефектами Френ-
Френкеля, а более сложными центрами, образованными из дефектов
Френкеля и присоединенных к ним атомов кислорода. Однако
на этих вопросах мы не будем останавливаться и отсылаем чита-
читателя к специальной литературе 151.

§ И]
ДИСЛОКАЦИИ
81
§ 11. Дислокации
Рассмотренные выше структурные дефекты — примесные атомы,
вакансии и комбинации вакансий с междоузельными атомами —
нарушают правильное расположение атомов в пределах неболь-
небольшого объема, порядка нескольких элементарных ячеек, и поэтому
могут быть названы точечными дефектами. Кроме того, в кристал-
кристаллах могут быть еще линейные структурные дефекты в виде так на-
называемых дислокаций. Они образуются при деформации сдвига
в результате скольжения атомных плоскостей друг относительно
друга.
Вектор
сдвига
Рис. 2.23. а) Образование линейной дислокации при сдви-
сдвиге. Линейная дислокация AD перпендикулярна к вектору
сдвига, б) Расположение атомов в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к линейной дислокации, в простом кубическом кри-
кристалле.
Если бы скольжение происходило по всей атомной плоскости
кристалла, то все атомы этой плоскости передвинулись бы на
одинаковые расстояния в одну или несколько постоянных решетки
в направлении сдвига и заняли бы новые положения, идентичные
прежним. Однако в действительности скольжение происходит
только на части атомной плоскости. Это показано схематически
на рис. 2.23, а, где ABCD есть площадь сдвига. В результате вокруг
линии AD, отделяющей зону сдвига, образуется характерное иска-
искажение решетки. Линия AD называется линейной (или краевой)
дислокацией и обозначается значком JL. Линейная дислокация всег-
всегда перпендикулярна к направлению сдвига.
Расположение атомов в плоскости, перпендикулярной к дисло-
дислокации, для" случая простой кубической решетки показано на
рис. 2.23, б. В результате сдвига образовалась одна неполная атом-
атомная плоскость, край которой и ебть линейная дислокация. Из ри-
рисунка также видно, что вблизи дислокации решетка упруго дефор-
деформирована, причем имеются как области сжатия, так и области растя-
растяжения.

82 химические связи в полупроводниках [гл. и
Эти деформированные области возникают и у поверхности
кристалла вблизи точек выхода дислокаций на поверхность. Поэ-
Поэтому скорость растворения кристалла в различных травителях
изменяется вблизи этих точек. На этом обстоятельстве основан
широко распространенный способ обнаружения дислокаций по
«ямкам травления». Разумеется, для получения четкой картины
нужны специально подобранные травчтели, разные для разных кри-
кристаллов (а иногда и для разных граней). Дислокационные ямки
травления отличаются от других макроскопических дефектов ^на-
^например, посторонних включений, раковин и т. п.) правильной
формой, отражающей симметрию расположения атомов на данной
грани.
Вследствие механических напряжений вокруг дислокаций по-
потенциальная энергия примесных атомов вблизи дислокаций меньше,
нежели вдали от них. Поэтому легко диффундирующие примеси мо-
могут накапливаться вокруг дислокаций, образую примесную «атмо-
«атмосферу» вокруг них. Пользуясь этим обстоятельством, можно сделать
дислокации видимыми. Так, например, можно видеть дислокации
в кремнии, вводя в него диффузией медь и получая затем изображе-
изображение внутренности кристалла в близком инфракрасном свете с по-
помощью микроскопа и электронно-оптического преобразователя.
Так как сам кремний хорошо прозрачен для длин волн К ^> 1 мкм,
то при этом получается четкое изображение дислокаций, сделав-
сделавшихся непрозрачными вследствие образования примесной атмо-
атмосферы меди.
Дислокации могут возникать самопроизвольно в процессе роста
кристалла. Такие «врожденные» дислокации могут образоваться
вследствие деформаций при неравномерном охлаждении кристалла,
вследствие неравномерности скорости затвердевания кристалла,
а также в результате распространения дислокаций из затравки и
других причин.
Если, напротив, в кристалле необходимо создать дислокации,
то для этого удобно использовать пластическую деформацию и,
в особенности, изгиб кристалла. При простом изгибе плотность
дислокаций (т. е. число дислокаций на 1 см2, перпендикулярный
направлению дислокаций) обратно пропорциональна радиусу кри-
кривизны нейтральной плоскости и может быть теоретически рассчи-
рассчитана. Кроме того, при изгибе можно получить чисто линейные
дислокации, одинаково направленные и параллельные оси
изгиба.
Интересный случай упорядоченного расположения дислокаций
наблюдается на границе двух сросшихся монокристальных блоков,
разориентированных на малый угол. Эти так называемые «гра-
«границы зерен под малым углом» могут возникать самопроизвольно
в процессе кристаллизации или могут быть созданы преднамеренно,
если вести кристаллизацию с помощью двух идентичных затравок,

§ И]
ДИСЛОКАЦИИ
83
составляющих малый угол. В этом случае соединение двух частей
бикристалла осуществляется с помощью ряда параллельных дисло-
дислокаций, образующих «дислокационную стенку» (рис. 2.24). Из ри-
рисунка видно, что среднее расстояние между соседними дислокациями
равно D = 6/9, где 9 — угол между зернами (в радианах), a b —
расстояние между атомами в направлении скольжения. При травле-
травлении поверхности кристалла, на которую выходят дислокации, полу-
получается упорядоченное расположение ямок травления вдоль опреде-
определенных линий, указываю-
указывающее границу двух слабо
разориентированных обла-
областей кристалла.
При термической обра-
обработке кристалла, в кото-
котором имеются механические
напряжения, в нем проис-
происходит пластическая дефор-
деформация. Это осуществляется
путем перемещения дисло-
дислокаций. При этом часто об-
образуется целая система
дислокационных стенок,
которая превращает кри-
кристалл в собрание отдель-
отдельных зерен, разориентиро- „,
б)
Рис. 2.24. Граница зерен под малым углом
(схематически): а) расположение атомных
плоскостей в обоих зернах; б) соединение зе-
зерен с помощью ряда параллельных дисло-
дислокаций.
ванных на малые углы (яв-
(явление «полигонизации»).
Если линейная плот-
плотность дислокаций 1/D на
границах зерен становится
очень большой, то стано-
становится большим и угол разориентации 6. При этом кристалл уже
нельзя рассматривать как единый монокристалл с искаженной струк-
структурой, и он превращается в поликристаллическое вещество.
Помимо рассмотренных выше линейных (или краевых) дислока-
дислокаций, существует еще другой тип структурных дефектов, называ-
называемых винтовыми дислокациями (см., например, [6]).
Дислокации, подобно примесным атомам и точечным структур-
структурным дефектам, создают дополнительные электронные состояния
в запрещенной зоне энергий. В § 9 мы видели, что, анализируя
особенности химических связей вблизи примесных атомов, можно
сделать определенные заключения о характере возникающих ло-
локальных уровней. Попытаемся теперь подойти с этой точки зрения
к дислокации и рассмотрим, следуя В. Шокли, линейную дислока-
дислокацию в решетке типа алмаза (например, в германии или кремнии).
На рис. 2.25, а изображено расположение атомов в решетке такого

84
химические связи-в полупроводниках
[ГЛ. II
типа *). Оно соответствует элементарной ячейке алмаза, изобра-
женной на рис. 2.9, но здесь показано большее, число атомов. Как
и раньше, линиями показаны направленные валентные связи,
которые соединяют каждый атом с четырьмя его ближайшими сосе-
соседями. На рис. 2.25, б показана та же группа атомов при наличии
Рис. 2.25. о) Расположение атомов в структуре ал-
алмаза, б) Один из возможных типов линейной дислока-
дислокации в структуре алмаза (по В. Шокли). Дислокация
возникла вследствие частичного сдвига плоскости / от-
относительно плоскости 2. Показаны также три атома на
крае неполной атомной плоскости и их неспареиные,
или «болтающиеся», связи.
линейной дислокации, возникающей в результате частичного сдвига
атомной плоскости 1 относительно плоскости 2. На рисунке отме-
отмечены также основные кристаллографические направления. Сдвиг
произошел в плоскости A11) в направлении [110]. Дислокация
*) W. Т. Read, Phil. Mag. 45, 775 A954).

§11] ДИСЛОКАЦИИ 85
направлена вдоль оси \011]. Над плоскостью сдвига имеется ряд
атомов (на рисунке показаны три из них), лежащих на крае непол-
неполной атомной плоскости, которые не имеют соответствующих соседей
снизу. Поэтому каждый из этих атомов имеет по одному неспарен-
ному электрону, которые образуют ненасыщенные, или (следуя
терминологии Шокли) «болтающиеся», связи.
Отметим, что указанная конфигурация ненасыщенных связей
не является единственно возможной. Так, например, при частичном
сдвиге плоскостей 2 и 3 относительно друг друга структура связей
оказалась бы другой.
Неспаренные электроны на крае неполной атомной плоскости
и приводят к появлению дополнительных состояний. При этом,
в принципе, следует учитывать две возможности. Во-первых, на
ненасыщенную связь может быть захвачен второй электрон, от-
отчего возникнет парно-электронная связь. Если энергия этого
электрона окажется меньше, чем в зоне проводимости, но
больше, чем в валентной зоне, то в запрещенной зоне будет раз-
разрешенное состояние для электронов. Дислокация окажется спо-
способной присоединять к себе дополнительный электрон и будет
проявлять себя подобно акцепторам. Во-вторых, ненасыщенная
связь может быть разорвана, и тогда неспаренный электрон пре-
превратится в электрон проводимости. Если энергия неспаренного
электрона имеет промежуточное значение между энергиями элек-
электронов в зоне проводимости и в валентной зоне, то дислокация
будет подобна донорам с энергетическими уровнями внутри запре-
запрещенной зоны.
Таким образом, линейные дислокации по электрическим свой-
свойствам имеют сходство с примесными центрами. Однако между ними
имеются и существенные различия. В случае примесных центров
локальные уровни в среднем распределены приблизительно изо-
изотропно в каждой макроскопической области кристалла. В случае
же дислокаций распределение отдельных «центров» крайне анизо-
анизотропно. Среднее расстояние между ними очень мало вдоль дислока-
дислокаций (расстояние между соседними болтающимися связями). Поэтому
в отсутствие примесных атмосфер дислокации следует представ-
представлять скорее как одномерные кристаллы, нежели как неравномер-
неравномерно распределенные точечные центры. Соответственно вместо ло-
локальных уровней энергии точечных дефектов (рис. 2.19) в этом
случае правильнее говорить об энергетических зонах, создавае-
создаваемых дислокациями в запрещенной зоне («дислокационные зоны»).
При наличии примесных атмосфер вблизи дислокаций могут воз-
возникать и дискретные локальные уровни.
Пользуясь изложенными представлениями, можно приближенно
рассматривать линейную дислокацию как заряженную линию.
Если проявляются акцепторные свойства дислокации, то в м'ате-
риале n-типа она будет заряжена отрицательно. При этом, вслед-

86 ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ Б ПОЛУПРОВОДНИКАХ [ГЛ. II
ствие отталкивания от нее электронов проводимости, дислокация
будет окружена цилиндрическим слоем индуцированного положи-
положительного заряда.
Из этой модели, далее, следует, что дислокации, как и примес-
примесные центры, должны вызывать дополнительное рассеяние электро-
электронов и, следовательно, уменьшать их подвижность. При этом можно
ожидать, что если ток течет параллельно дислокациям, то их влия-
влияние будет мало, так как в этом случае основная часть электронов
будет двигаться вне цилиндрических областей объемного заряда,
за пределами которых электрическое поле заряженных дислокаций
равно нулю. Если же ток течет перпендикулярно дислокациям, то
траектории электронов должны существенно изменяться и подвиж-
подвижность электронов должна уменьшаться сильнее.
Влияние линейных дислокаций на электрические свойства
полупроводников действительно наблюдается на опыте. Так, напри-
например, создание дислокаций в германии я-типа приводит к уменьше-
уменьшению концентрации электронов проводимости. Это показывает,
что в германии дислокации создают локальные состояния акцеп-
акцепторного типа. При этом уменьшается и подвижность электронов.
Дислокации могут действовать также как эффективные центры
рекомбинации (см. гл, IX) и существенно изменять кинетику элек-
электронных процессов.

Г лава 111
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА,
I. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА
§ 1. Основные предположения
Как известно из квантовой механики, для теоретического иссле-
исследования любой системы частиц, в частности для вычисления воз-
возможных значений ее энергии, надо решить соответствующее урав-
уравнение Шредингера. Последнее представляет собой дифференциаль-
дифференциальное уравнение в частных производных, содержащее столько пере-
переменных, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система.
В физике твердого тела в эту систему входят, строго говоря, все
электроны и атомные ядра атомов, составляющих кристалл. Таким
образом, число степеней свободы, а с ним и число переменных в урав-
уравнении Шредингера, оказывается макроскопически большим — по-
порядка 1022 -V- 1023. В результате взаимодействия между частицами
переменные не разделяются, и мы приходим к математической за-
задаче исключительной трудности. Прямое решение ее в настоящее
время невозможно. Более того, даже если бы решение поставленной
задачи удалось найти, физическая интерпретация его представила
бы, видимо, не меньше трудностей, чем сам процесс решения, ибо
объем информации, таким путем полученной, был бы необычайно
велик.
По этим причинам современная квантовая теория твердого
тела вынуждена основываться на ряде упрощений. Последние
выбираются с таким расчетом, чтобы сохранить лишь наиболее
характерные черты системы, исключив все, сравнительно мало
существенное. Зонная теория (смысл названия будет ясен из даль-
дальнейшего) представляет собой, по-видимому, самую простую кван-
товомеханическую схему, учитывающую наиболее важные особен-
особенности движения электронов во многих кристаллах. Как мы
увидим, она позволяет успешно интерпретировать ряд экспери-
экспериментальных данных.
Зонная теория базируется на следующих основных предполо-
предположениях, составляющих в своей совокупности так называемое «зон-
«зонное приближение»:
1) При изучении движения электронов атомные ядра, ввиду
их большой массы, рассматриваются как неподвижные источники
поля, действующего на электроны.

88 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕЩЕТКА [ГЛ. Ш
2) Расположение ядер в пространстве считается точно перио-
периодическим: они размещаются в узлах идеальной решетки данного
кристалла.
3) Взаимодействие электронов друг с другом заменяется неко-
некоторым эффективным внешним полем. Иначе говоря, система элек-
электронов, взаимодействующих с атомными ядрами и друг с другом по
закону Кулона, заменяется системой независимых электронов,
движущихся в некотором заданном поле. Последнее складывается
из поля атомных ядер и эффективного поля, приближенно описы-
описывающего взаимодействие между электронами.
Первое предположение позволяет рассматривать поведение элек-
электронов, не интересуясь движением тяжелых частиц. Эта возмож-
возможность не является самоочевидной, ибо в результате взаимодействия
между электронами и ядрами движения их не независимы: строго
говоря, расположение, ядер не задано, а изменяется с изменением
состояния электронов. Смысл предположения 1) заключается в ут-
утверждении, что последний эффект мал.
Второе предположение ограничивает класс рассматриваемых
систем: речь идет' о кристаллических твердых телах, а не о жидко-
жидкостях, стеклах и т. п.
Наконец, третье предположение сводит многоэлектронную за-
задачу к одноэлектронной. Вместо одного уравнения Шредингера для
всей системы атомных ядер и электронов мы получаем теперь сово-
совокупность идентичных, не связанных между собой уравнений Шре-
Шредингера для каждого электрона в отдельности. Тот факт, что рассма-
рассматриваемая система состоит из многих частиц, найдет свое явное
отражение лишь позднее, когда мы будем интересоваться статисти-
статистическим распределением электронов по состояниям (гл. V). Иначе
говоря, вместо электронной жидкости — системы взаимодействую-
взаимодействующих друг с другом частиц — мы рассматриваем идеальный элек-
электронный газ в эффективном внешнем поле. Разумеется, такая трак-
трактовка может быть только приближенной и качество аппроксимации
зависит от выбора эффективного поля. Метод подбора и явное вы-
вычисление его, равно как и общий вопрос об обосновании и установ-
установлении пределов применимости сделанных предположений, рассма-
рассматриваются в гл. XVII. Там показывается, что ряд основных резуль-
результатов зонной теории действительно удается обосновать с довольно
общих позиций. Вместе с тем есть и важные задачи, выходящие за
рамки зонного приближения. Они также обсуждаются в гл. XVII.
В настоящей главе мы примем предположения 1)—3) в качестве
постулатов.
Заметим, что в большинстве электрических, магнитных и опти-'
ческих явлений в твердых телах электроны внутренних атомных
оболочек не играют активной роли. Действительно, энергия связи
этих электронов со «своими» ядрами — порядка нескольких десят-
десятков или даже сотен электронвольт (на электрон). Это значительно

S 2] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 89
больше средней энергии взаимодействия их со многими внешними
полями, равно как и энергии квантов электромагнитного поля в види-
видимой й более длинноволновых областях. Поэтому во многих задачах
оказывается возможным другое (также приближенное)' разделение
частиц на тяжелые и легкие. Именно, в «систему электронов», рас-
рассматриваемых явно, можно включить только валентные электроны
атомов, составляющих решетку; электроны же внутренних оболочек
вместе с ядрами образуют атомные остовы, состояния которых
практически не изменяются в рассматриваемых явлениях. При этом
роль неподвижных источников поля играют уже не ядра, а атомные
остовы. Соответственно предположения 1) и 2) надо переформули-
переформулировать, заменив в них слова «атомные ядра» на «атомные остовы».
§ 2. Волновая функция электрона в периодическом поле
Как мы видели в предыдущем параграфе, в рамках зонного приб-
приближения квантовомеханическая задача о системе электронов в твер-
твердом теле сводится к задаче об одном электроне, движущемся в за-
заданном внешнем поле. Обозначим потенциальную энергию элек-
электрона в нем через U (г), где г (х, у, г) — радиус-вектор данной
точки пространства. Явный вид функции U (г) нам пока "неизвестен.
В дальнейшем (гл. XVII) выяснится, что даже приближенное вы-
вычисление U (г) связано с большими математическими трудностями.
Однако многие важные особенности рассматриваемой системы
можно выяснить, не задавая явного вида U (г), а пользуясь лишь
некоторыми общими свойствами этой функции. Именно этим, по
существу, и объясняется успех зонного приближения при интер-
интерпретации экспериментальных данных.
Для выяснения свойств функции II (г) заметим, прежде всего,
что наша система зарядов в целом нейтральна: полный заряд валент-
валентных электронов равен по величине и противоположен по знаку
заряду всех атомных остовов. Далее, следует ожидать, что не
только остовы, но и электроны будут расположены в пространстве
в среднем периодически. (В дальнейшем это будет показано явно.)
Следовательно, и поле, создаваемое данной системой зарядов,
должно быть периодично в пространстве:
U(r) = U(r + an), B.1)
т. е. потенциальная энергия электрона в кристалле инвариантна
относительно сдвига навектор решетки а„. Итак, мы пришли к задаче
о движении электрона в периодическом поле.
В этой главе будут рассматриваться только стационарные
состояния электронов. Соответственно уравнение Шредингера имеет
вид
?$. B.2)

90 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
Здесь Н — оператор энергии (гамильтониан) рассматриваемой си-
системы, Е — его собственные значения, а г|з есть волновая функция —
собственная функция оператора Н, принадлежащая собственному
значению Е. В рассматриваемой нами задаче оператор Н представ-
представляет собой сумму операторов потенциальной энергии электрона U
и кинетической энергии р2/2/п0. Здесь т0 есть масса свободного элек-
электрона, ар — оператор импульса:
т. е.
р = —iftV. B.3')
Через Н, как обычно, обозначена постоянная Планка h, деленная
на 2л.
В соответствии со сказанным уравнение B.2) применительно
к задаче об электроне в периодическом поле принимает вид
причем функция U (г) обладает свойством B.1).
Коль скоро потенциальная энергия U (г) не зависит от спина
электрона, каждым собственному значению энергии Е и координат-
координатной волновой функции г); отвечают два состояния, соответствующие
двум возможным ориентациям спина. Об этом говорят как о спино-
спиновом вырождении.
При наложении магнитного поля 53 спиновое вырождение сни-
снимается, ибо энергия электрона становится зависящей от проекции
магнитного момента на направление 53. В отсутствие магнитного
поля спиновое вырождение играет роль только при подсчете общего
числа дозволенных квантовых состояний, приводя к появлению
дополнительного множителя 2.
Наличие двух спиновых состояний можно отразить, рассматривая функ-
функцию if как матрицу:
(S3 B-5)
Функции if>x и ty2 отвечают двум разным значениям г-компоненты спина. В рас-
рассматриваемом нами случае tyL = if>2 = я(>. Представление B.5)^ однако, остается
в силе и в более общем случае, когда принимается во внимание и спиновая за-
зависимость энергии электрона. Эта зависимость возникает как во внешнем магнит-
магнитном поле, так и в магнитном поле, обусловленном орбитальным движением самого
электрона. Для учета последнего эффекта в гамильтониан электрона вводят опе-
оператор энергии спин-орбитального взаимодействия Hso. Явный вид его выводится
в релятивистской квантовой механике [М2, МЗ]. Оказывается, что
~-2
B.6)
Здесь с — скорость света в вакууме, О — спиновый (матричный) вектор Паули.

§ 2] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 91
В условиях B.1) правая часть B:6) периодически зависит от простран-
пространственных координат. Соответственно под U в уравнении B.4) можно формально
понимать и сумму потенциальной энергии и оператора B.6). По этой причине
учет спин-орбитального взаимодействия не влияет на последующие качественные
выводы этого параграфа.
Определив из уравнения B.4) волновую функцию i]), мы можем
найти средние значения любых физических величин, характери-
характеризующих поведение электрона. В частности, выражение
\^{т)\*йг B.7)
дает нам вероятность обнаружить электрон в элементе объема dr =
— dx dy dz около точки г. По смыслу понятия вероятности должно
выполняться условие нормировки
$|Ч>(гIМг=1, B.8)
где интеграл берется по всему объему системы.
Условие сходимости этого интеграла играет роль одного из до-
дополнительных условий к уравнению B.4): физически допустимы
только те решения, для которых интеграл B.8) сходится.
Произведем в уравнении B.4) замену аргумента
Принимая во внимание равенство B.1) и опуская штрих у пере-
переменной г', получаем
- щ-0 ^ (г+а«)+и V * (г+а») = ?* <г+*»)• <2-4')
Сравнивая это с B.4), видим, что функции г|э (г) и ty (r + а„) удов-
удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера с одним и
тем же собственным значением энергии Е. Если этому собственному
значению принадлежит одна собственная функция (т. е. если это
собственное значение не вырождено), то функции ty (г) и г|з (г + а„)
могут отличаться лишь постоянным множителем:
= сЖг). B-9)
Поскольку обе они должны быть нормированы, абсолютная вели-
величина с„ должна быть равна единице:
|с» 1 = 1. B.10)
Таким образом,
» = |Ч'(г)|« B.11)
— электрон с одинаковой вероятностью может быть обнаружен
е элементе объема dr как около точки г, так и около любой эквива-
эквивалентной ей точки г + а„. Иначе говоря, как мы и ожидали, среднее
(в квантовомеханическом смысле) распределениеэлектроновврешетке
обладает пространственной периодичностью последней,

92 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРЛИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА 1ГЛ. Ш
Если данному собственному значению энергии принадлежит
несколько собственных функций (т. е. если оно вырождено), то
рассуждения несколько усложняются: в правой части равенства
B.9) следует, вообще говоря, написать линейную комбинацию всех
этих функций. Однако выбор собственных функций, принадлежа-
принадлежащих данному вырожденному собственному значению Е, не однозна-
однозначен: любая линейная их комбинация тоже есть собственная функция,
принадлежащая тому же собственному значению. В частности, можно
выбрать собственные функции так, чтобы равенство B.9) выполня-
выполнялось для каждой из них в отдельности (см. Приложение I).
Легко найти явный вид зависимости сп от вектора а„. 'Для этой
цели произведем в уравнении B.4) два последовательных сдвига
аргумента — на ал и а„', где вектор ал- отличается от ал заменой
чисел пи п2, и3 на п[> пъ п'ъ- Применяя дважды соотношение B.9),
получим
ф(г + ал + а„0 = с„.сл1Мг). B.12')
С другой стороны, по определению
- n't
и, следовательно,
) = ^+„^(г). B.12")
Сравнивая равенства B.12') и B.12"), находим
СпСп'=Сп + П'. B.13)
Прямой подстановкой легко убедиться, что это функциональное
уравнение имеет решение
сл=е''кЧ B.14)
где к — произвольный вектор. В силу равенства B.10) компоненты
к должны быть вещественными.
Равенство B.14) с сочетании с B.11) позволяет в известной мере
раскрыть вид функций г|э (г), удовлетворяющих уравнению Шре-
дингера'с периодическим потенциалом U (г). Именно, легко убе-
убедиться, что
Ч)(г) = ^ик(г), {2.15)
где uu (г) — функция, периодическая с периодом решетки:
. B.16)
Действительно, в силу B.11) г|э (г) может отличаться от функции,
периодической с периодом решетки, только фазовым множителем
видае'"г), где/ — вещественная функция. В силу B.14) она должна
быть линейной.
Равенства B.15), B.16) составляют содержание теоремы Блоха:
волновая функция электрона, движущегося в периодическом поле,

$2] ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ 93
представляет собой модулированную плоскую волну. Иначе говоря,
это есть произведение экспоненциальной функции eikr на функцию,
периодическую с периодом решетки. Сами функции вида B.15),
B.16) иногда называют функциями Блоха *).
Вектор к называют квазиволновым. Очевидно, его компоненты
имеют размерность [см]. Обычно к пишут в виде
где р — вектор размерности импульса. Он называется квазиим-
квазиимпульсом .
Соответственно
Названия «квазиволновой вектор» и «квазиимпульс» указывают
на известную аналогию между рассматриваемой задачей и случаем
свободно движущегося электрона. Действительно, при свободном
движении, когда потенциальная энергия электрона постоянна
(и может быть положена равной нулю), уравнение Шредингера B.2)
имеет вид
Решения B.18) суть плоские волны
г|5 = Л/ейРГ, B. If)
где /V — нормировочный множитель. Вектор р в данном случае
есть обычный импульс, связанный с энергией Е равенством
Из формулы B.17) непосредственно вытекает соотношение
де Бройля, связывающее импульс с волновым вектором:
p = /zk.
Формула B.15') несколько напоминает B.19), причем квазиим-
квазиимпульс играет роль, в известной мере аналогичную импульсу. Фор-
Формально B.19) есть частный случай B.157) при ир — const === N.
И действительно, выражение B.19) можно получить с помощью
тех же рассуждений, что и B.15'), требуя лишь, чтобы вероятность
обнаружить электрон не изменялась при переходе из любой точки
*) Задолго по применения квантовой механики к задачам теории твердого
тела одномерный аналог уравнения B.4) был исследован в теории колебаний.
Равенство B.15) (в одномерном случае) было установлено Хиллом; в связи с этим
функции такого вида называют также функциями Хилла.

94 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. Ш
пространства в любую другую. Это условие означает, что вектор а„
становится произвольным. Тогда в силу B.11) должно иметь место
равенство. | г|> |2 = const — в соответствии с B.19). Физически экви-
эквивалентность всех без исключения точек пространства означает от-
отсутствие потенциальных сил, действующих на электрон. Действи-
Действительно, при наличии таких сил потенциальная энергия электрона
была бы различной в разных точках, т. е. по крайней мере некото-
некоторые из них были бы не эквивалентны другим.
Так обстоит дело, в частности, в периодическом поле, когда
функция Uk (r) отнюдь не сводится к константе и, следовательно,
| гр |2 Ф const. При этом аналогия между импульсом и квазиимпуль-
квазиимпульсом (или, соответственно, волновым и квазиволновым векторами)
оказывается не полной. Так, например, легко проверить, что вы-
выражение B.19) есть собственная функция оператора импульса B.3'),
принадлежащая собственному значению р:
С другой стороны, выражение B.15') этим свойством не обладает
и фигурирующие там компоненты квазиимпульса р не являются
собственными значениями операторов B.3). Иначе говоря, значения
компонент импульса в состоянии, описываемом волновой функцией
B.15'), точно не заданы.
Легко понять причины сходства и различия между импульсом
и квазиимпульсом. Первый характеризует движение свободного
электрона, когда система обладает инвариантностью относительно
сдвига на любой вектор (все точки пространства эквивалентны).
Второй характеризует движение в периодическом силовом поле,
когда система обладает инвариантностью относительно сдвига на
векторы решетки а„ (эквивалентны только точки, отстоящие друг
от друга на векторы а„). Наличие инвариантности относительно
сдвига в обоих случаях приводит к возможности охарактеризовать
состояние электрона некоторым постоянным вектором — импульсом
или квазиимпульсом. Различие в допустимых сдвигах приводит
к тому, что импульс и квазиимпуЛьс представляет собой существенно
разные физические величины,
§ 3. Зоны Бриллюэна
Введенный в предыдущем параграфе вектор квазиимпульса
определяется равенствами B.14) и B.17). Комбинируя их, мы полу-
получаем
4>"(r + al,)=e»PN|>(r). C.1)
Таким образом, вектор р (или к = р/Н) характеризует закон
преобразования волновой функции электрона при сдвиге ее аргу-

§ 3] ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА 95
мента на какой-либо вектор решетки. Разным собственным функ-
функциям соответствуют, вообще говоря, различные значения квази-
квазиимпульса (квазиволнового вектора). Поэтому компоненты его (как
и компоненты импульса в случае свободного электрона) следует
рассматривать как квантовые числа, характеризующие данное ста-
стационарное состояние. Однако, в отличие от компонент импульса
и от квантовых чисел, встречающихся в теории атома, квазиимпульс
определяется в принципе неоднозначно. Действительно, обозначим
через с вектор, скалярное произведение которого на а„ есть целое
кратное 2лЙ:
аяс = 2л#х (целое число). C.2)
Очевидно, векторы р и р + с, будучи подставлены в правую часть
C.1), дают один и тот же результат. Но равенство C.1) есть единст-
единственное условие, определяющее квазиимпульс. Следовательно, век-
векторы р и р + с физически эквивалентны: оба они определяют одно
и то же преобразование волновой функции.
Нетрудно найти явный вид вектора с. Для этого следует лишь
ввести понятие обратной решетки. Основные векторы последней Ъи
b2, b3 определяются равенствами
1^ Ь^1 C.3)
где Vo = | (ах [а2ха3]) | есть объем параллелепипеда, построенного
на векторах аь а2, а3 (объем элементарной ячейки). В частности,
в простой кубической решетке, когда а1 = а2 = а3 — анЬ1 = Ь2 = Ь3 — Ь,
мы имеем
& = —. C,3')
а \ /
Очевидно, векторы bb b2, b3 имеют размерность обратной длины.
На основных векторах Ьи b2, b3 можно построить периодическую
решетку. Она и называется обратной (по отношению к прямой ре-
решетке данного кристалла).
Произвольный вектор обратной решетки имеет вид
Ьт = т^ + т2Ъ2 + m3b3, C.4)
где тъ т2, т3 — положительные или отрицательные целые числа
или нули (при этом тг, т2 и т3 не равны нулю одновременно), т =
=-¦ {ти т2, т3}.
Элементарная ячейка обратной решетки представляет собой
параллелепипед, построенный на векторах bx, b2, b3. «Объем» этого
параллелепипеда равен | (bx [b2 x b3]) | (разумеется, он имеет
размерность обратного объема). Подставляя сюда формулы C.3)
для bb b2, b3 и раскрывая получающееся произведение, находим
BлK/К0. C.5)

96 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. lit
Как и в случае прямой решетки, выбор элементарной ячейки
в обратной решетке неоднозначен и определяется соображениями
удобства.
.Другой способ построения элементарной ячейки состоит в сле-
следующем. Какой-то узел обратной решетки выбирают в качестве
начала координат и соединяют его прямыми линиями с ближайшими
к нему узлами. Через середины этих линий перпендикулярно к ним
проводят плоскости. В качестве элементарной ячейки обратной
решетки можно выбрать наименьший многогранник, ограниченный
так построенными плоскостями и содержащий внутри себя начало
координат. Этот многогранник называется ячейкой Вигнера —
Зейтца.
Такие многогранники можно построить около любого узла ре-
решетки; при этом они не перекрываются и совокупность их заполняет
все обратное пространство. Отсюда следует, что объем одного много-
многогранника действительно равен BлK/У0, как это и должно быть.
В отличие от параллелепипеда, построенного на векторах blt Ъ^, Ь3,
элементарная ячейка, выбранная указанным только что образом,
обладает всеми свойствами симметрии обратной решетки.
Из определения -C.3) вытекают равенства
аЛ = a2b2 = a3b3 = 2л,
аа*р = 0, а^р (а> р = 1,2,3). К • )
Умножим теперь произвольный вектор решетки (II. 1.1) на век-
вектор обратной решетки C.4). Пользуясь соотношениями C;6), мы
получаем
а„Ьт = {плт1 -f л2т2 -f п3т3) 2п.
В скобках в правой части этого равенства стоит целое число, и, сле-
следовательно,' вектор с, удовлетворяющий условию C.2), можно
записать в виде
с = ЛЬт. C.7)
Итак, квазиимпульс определен лишь с точностью до вектора
обратной решетки, умноженного на Й. Это обстоятельство позволяет
ограничить изменение компонент квазиимпульса конечной областью,
исчерпывающей все физически неэквивалентные их значения.
Такая область — совокупность всех физически неэквивалентных
значений квазиимпульса — называется зоной Бриллюэна. В силу
произвольности вектора Ьт в C.7) выбор ее неоднозначен. Так,
можно выбрать в качестве зоны Бриллюэна область, определяемую
неравенствами
— я# < pax s^ лН,
— ли < ра2 =^ л#, C.8)

3]
ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
97
Эти неравенства определяют некоторый параллелепипед в р-прост-
ранстве, содержащий в себе начало координат. Его называют
первой зоной Бриллюэна.
Можно определить первую зону Бриллюана и для компонент
квазиволнового вектора к: надо лишь заменить р на к в неравен-
неравенствах C.8), опустив множители Н. Квазиимпульс (или квазиволио-
вой вектор), изменяющийся в пределах первой зоны Бриллюэна,
называется приведенным. В частности, в простой кубической ре-
решетке векторы аъ а2, а3 одинаковы по величине (равной постоянной
решетки а) и направлены по трем взаимно перпендикулярным осям
куба. Выбирая эти оси в качестве координатных, получаем из C.8)
для данного частного случая
• = х, у, z.
C.8')
Первая зона Бриллюэна здесь представляет собой куб объема
' — ' В к-пространстве соответствующий объем равен
Vo
a»
Полученное только что выражение для объема первой зоны Бриллюэна
справедливо и для произвольной решетки. Действительно, интересующий нас объем
дается интегралом
взятым по области, определяемой неравенствами C.8). Для вычисления этого
интеграла удобно ввести переменные
1 1 1
Якобиан перехода от переменных ф1( ф^, ф3 к переменным рх, ру, pz представляет
собой детерминант [1]
$
дРх
Оу дру
alx aix
а,„ а,
зу
аи
ю-
Таким образом,
и, следовательно,
= jjfdpxdpudpz,
+ я +я
S» I' f . С , BяйK
Выбирая другие периоды рх, р,„ рг, мы получим вторую, третью
и т. д. зоны Бриллюэна. Можно доказать [Мб], что объемы их всех
одинаковы и равны BnhK/VQ.

98
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
 М
W
Вспоминая теперь равенство C.5), видим, что объем зоны Брил-
Бриллюэна равен объему элементарной ячейки в обратной решетке
(умноженному на Й3, если речь идет о р-пространстве).
Как и элементарную ячейку, первую зону Бриллюэна можно
выбрать и другим способом. Действительно, по определению она
должна обладать следующими свойствами: а) внутри нее должна
содержаться точка к = 0; б) любые два вектора к, входящие в нее,
могут отличаться друг от друга не более чем на (Ь, + Ь2 + b3),
и в) объем ее равен Bл) 3/V0. Этими свойствами обладает ячейка
Вигнера — Зейтца., Она и представляет собой первую зону Брил-
Бриллюэна. В дальнейшем мы будем
пользоваться этим определением.
Таким образом, зона Бриллюэ-
Бриллюэна есть чисто геометрическое по-
понятие: форма ее зависит только
от структуры решетки, но не от
природы действующих в ней сил.
Более того, как видно из предыду-
предыдущего, зона Бриллюэна определяет-
определяется только основными векторами
решетки. Следовательно, она одна
и та же как для простых, так
и для базисных решеток одной и
той же сингонии, например для
простой гранецентрированной ре-
решетки и для решетки типа алмаза.
На рис. 3.1 изображена первая зона Бриллюэна для решеток типа
алмаза и цинковой обманки. Некоторые точки в ней представляют
особый интерес при исследовании поведения электронов и дырок.
Это — «точки симметрии», обладающие тем свойством, что они
переходят сами в себя при некоторых преобразованиях симметрии,
допускаемых в данной решетке. К числу названных точек отно-
относятся центр первой зоны Бриллюэна (т. е. начало координат в к-про-
странстве), центры ее граней или ребер, точки на осях — линиях,
соединяющих центр зоны с центрами граней или ребер, и т. д.
Их принято обозначать большими греческими или латинскими
буквами, которые и указаны на рисунках. Так, точка Г есть не
что иное, как центр первой зоны Бриллюэна, и т. д.
Неоднозначность квазиимпульса есть специфическое свойство
электрона, движущегося в периодическом поле. Она составляет
наиболее резкое различие между квазиимпульсом и импульсом:
последний определен однозначно, и компоненты его рх, ру, рг изме-
изменяются в пределах от — со до + °°- Заметим, что мы можем фор-
формально убедиться в этом, требуя, как и в конце предыдущего пара-
параграфа, инвариантности системы относительно сдвига на любой
вектор. Действительно, в этом случае точки, бесконечно близкие
Рис. 3.1. Первая зона Бриллюэна
для решеток типа алмаза и цинко-
цинковой обманки.

§ 3] ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА 99
друг к другу, также являются эквивалентными, т. е. «постоянная
решетки» а сколь угодно мала. Устремляя а к нулю, видим из C.8'),
что компоненты рх, ру, рг изменяются в пределах от— оэ др + сх>.
Объем «зоны Бриллюэна» при этом также оказывается бесконечным:
она представляет собой просто все импульсное пространство.
Неравенства C.8) определяют пределы изменения компонент
квазиимпульса, но ничего не говорят о физически дозволенных
их значениях. Таковые определяются граничными условиями,
накладываемыми на волновую функцию г|з. Строго говоря, гранич-
граничные условия призваны отражать физическую ситуацию на поверх-
поверхности образца. Эта ситуация определяется характером сил, дейст-
действующих на электроны. Однако все силы взаимодействия, с которыми
мы имеем дело, более или менее быстро убывают с расстоянием.
Следовательно, условия на поверхности не могут сколько-нибудь
заметно влиять на поведение электронов в глубине кристалла,
если размеры его достаточно велики. Поэтому для определения
возможных значений квазиимпульса в большом образце нет необхо-
необходимости рассматривать истинную (далеко не простую) картину
поверхностных явлений, а можно воспользоваться следующим
искусственным приемом. Выделим прежде всего «внутреннюю
область» кристалла, определив ее как объем, в котором не сказы-
сказываются специфические эффекты, связанные с наличием поверхности.
Внутреннюю область разобьем на ряд достаточно больших частей,
например кубов со стороной L. Длина L должна значительно пре-
превышать все «физические» длины, фигурирующие в задаче, — посто-
постоянную решетки, длину волны электрона, длину свободного про-
пробега и т. д.; в остальном значение L произвольно. Поскольку раз-
различные кубы ничем не выделены, естественно потребовать, чтобы
значения волновой функции в соответственных (отстоящих друг
от друга на расстояние L) точках соседних кубов были одинако-
одинаковыми:
tK*, У, 2)=t|>(Jt + I, У, z) = ... = 4>(* + I, y + L, z + L). C.9)
Равенства C.9) позволяют ограничиться изучением движения элек-
электронов в пределах только одного куба, рассматривая его как «крис-
«кристалл»; все, -что в нем происходит, будет повторяться и в других
кубах. Таким образом, оказывается возможным формально ввести
в задачу «размеры кристалла», не интересуясь в то же время явле-
явлениями на его поверхности *).
Условия C.9) означают, что волновая функция должна быть
периодична с периодом L. Соответственно и сами условия C.9)
называются условиями периодичности (или условиями Кармана —
Борна). Сам куб со стороной L называется кубом периодичности
*) Можно показать [2], что при достаточно большой длине L распределение
собственных значений компонент р с точностью до величин порядка LT1 не за-
зависит от граничных условий.

100 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
(употребляют также названия «фундаментальный объем», «основной
объем» или «основная область»).
Поскольку длина L сколь угодно велика, мы вправе считать L
целым кратным а, где а — постоянная решетки по соответствующему
направлению. Поэтому, накладывая условия C.9) на функцию
B.15) и принимая во внимание свойство периодичности uk (г) B.16),
мы получаем
V(*, у, г) =
W + V , y + L, z + L) =
Отсюда
и 2л . 2л , 2л /о 1Г1Ч
где пх, п„, nz — положительные или отрицательные целые числа
(ограниченные условиями C.8)) или нули. Соответственно
2лй 2лй 2лй .„ .«,,
Li L* Lr
Таким образом, значения компонент квазиволнового вектора
(или квазиимпульса) образуют дискретную совокупность. Разно-
Разности между соседними значениями их, однако, весьма малы (равны
соответственно 2n/L и 2ntl/L). По этой причине указанная дискрет-
дискретность не проявляется в наблюдаемых на опыте электрических и
оптических явлениях. Спектр такого типа называется квазинепре-
квазинепрерывным.
§ 4. Энергетические зоны
Обратимся к вопросу об энергетическом спектре электрона,
движущегося в периодическом поле. Подставляя волновую функцию
B.15') в уравнение B.4), получим
— к—V2mp (г) —- — (р, Vmp) + v" ыр + ^ (г) up = Eiip. D.1)
Под U здесь понимается потенциальная энергия электрона в перио-
периодическом поле *).
*) При учете спин-орбитального взаимодействия в левой части D.1) появи-
появились бы два дополнительных слагаемых:
-( ^
Дальнейшие рассуждения при этом несколько усложнились бы, но качественные
результаты D.4), D.5) и др. остались бы в силе (см., напримеп, [М7]). При фак-
фактическом расчете функций нр и собственных значений Е учет спин-орбитального
взаимодействия может, однако, оказаться существенным.

§ 4] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ 101
Уравнение D.1) представляет собой обычную задачу на собствен-
собственные значения, в которой компоненты вектора р играют роль пара-
параметров. Разумеется, от них зависят не только собственные функции,
но и собственные значения энергии: Е = Е (р). При заданных
величинах рх, ру и рг уравнение D.1) имеет, вообще говоря, много
собственных значений н принадлежащих им собственных функций.
Пронумеруем их индексом /, расположив значения Е в возрастающем
порядке *):
E = Et(p), «p(r) = «PKr).
причем
Е1ф)^Ег(р)^... D.2)
Такой способ нумерации не обязателен, но удобен для дальнейшего.
Как показано в Приложении II, собственные функции уравне-
уравнения D.1),чотвечающие различным значениям / при фиксированных
компонентах р, взаимно ортогональны **):
\upiup['dr = 8ii'. D.3)
Здесь bw—символ Кронеккера (П.П.9); интеграл берется по
основному объему.
Зафиксируем временно индекс / и рассмотрим свойства энергии
как функции квазиимпульса при данном /.
Заменим, прежде всего, функцию мр на и% в уравнении D.1),
а также изменим там знак у р. Последняя операция эквивалентна
замене i на —i в D.1). Иначе говоря, указанные замены превра-
превращают уравнение D.1) в сопряженное ему. Собственное значение Е,
будучи вещественным, при этом измениться не может. Следова-
Следовательно,
Е1(-р) = Е,(р); D.4)
энергия электрона в периодическом поле есть четная функция
квазиимпульса. Далее, мы знаем, что значения квазиимпульса,
отличающиеся на НЪ, физически эквивалентны (для краткости мы
не пишем теперь индекс т у вектора обратной решетки Ь, если это
не вызывается необходимостью). Следовательно, соответствующие
значения энергии должны совпадать:
?,(р) = ?,(р + ЙЬ). D.5)
Таким образом, энергия электрона в идеальной решетке есть перио-
периодическая функция квазиимпульса с периодом обратной решетки,
умноженным на %.
*) Не следует путать / с орбитальным квантовым числом, упоминавшимся,
в гл. II. Последнее нигде более нам ие встретится.
**) Обратим внимание на то, что в левой части D.1) фигурируют функции,
принадлежащие одному и тому же вектору р: при разных р это были бы собствен-
собственные функции разных операторов, не обязанные удовлетворять каким-либо усло-
условиям типа D.3).

102 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ. ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
То же самое относится и к функции upi (r):
Ир/(г) = иР + йь,/(г). D.5')
Рассматривая зависимость энергии от квазиимпульса, мы можем
ограничиться изменением компонент р в пределах одного периода
(т. е. одной какой-нибудь зоны Бриллюэна). Пусть квазиимпульс
пробегает зону Бриллюэна. Можно доказать [Мб, М7], что при этом
энергия есть непрерывная функция р. Иначе говоря, ее значения
квазинепрерывно заполняют некоторый интервал
Ett min ^ Ei (p) sgl Eit max. D.6)
В соответствии с формулами (ЗЛО') разности между последова-
последовательными уровнями энергии в пределах данного интервала убы-
убывают как 1/L. При увеличении размеров куба периодичности они
становятся сколько угодно малыми, в силу чего энергетический
спектр электрона в пределах интервала D.6) практически не отли-
отличается от непрерывного. По этой причине приставку «квази» часто
опускают, говоря просто об области непрерывного спектра.
Интервал энергий, в пределах которого значения Ei(p) изме-
изменяются непрерывно, носит название энергетической зоны (или
полосы). Число различных зон равно числу значений, принимаемых
индексом /. По этой причине последн-ий называют номером зоны
(или зонным индексом).
Иногда удобно рассматривать все функции ?7 (р) как различные
ветви одной многозначной функции. Тогда индекс / есть номер ветви.
Величины Elt min и Et< max — минимум и максимум энергии
в /-той зоне — называют, соответственно, дном и потолком зоны.
Разность между ними есть ширина /-той зоны.
Обратимся теперь к зависимости собственных значений энергии
от зонного индекса /. Рассмотрим две соседние зоны, характеризу-
характеризуемые функциями Ei (p) и ?г+1 (р). Согласно D.2) может реализо-
реализоваться одна из двух возможностей:
либо
El, max<?* + i, mini D-7a)
либо
El, тахЗ= ?/ + 1. min» D-76)
Последнее неравенство, разумеется, не противоречит D.2), ибо
дно /-той и потолок (/ + 1)-й зоны могут располагаться в различ-
различных точках зоны Бриллюэна.
В случае D.7а) мы будем говорить, что /-тая и (/ + 1)-я зоны
разделены запрещенной зоной. Ширина последней есть Et, l+1 =
= Ei+1, min — Ei, max- Значения энергии, лежащие в запрещенной
зоне, не относятся к собственным значениям гамильтониана. Иначе
говоря, в отсутствие внешних полей электрон в идеальном кристалле
такую энергию иметь не может, с чем и связано название «запре-

§ 5]
МЕТОД СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
103
щенная зона». В противоположность запрещенным, энергетические
зоны, о которых мы говорили выше, называются разрешенными.
Ситуация, соответствующая случаю D.7а), изображена на
рис. 3.2, а. Разрешенные зоны, в которых лежат собственные зна-
значения энергии, заштрихованы; между ними расположена запрещен-
запрещенная зога-
a-)
Рис. 3.2. Энергетические зоны: а) неперекрывающиеся; б) пергкрывающнеся.
В случае D.76) мы будем говорить, что /-тая и (/ + 1)-я зоны
перекрываются (или смыкаются, если имеет место знак точного
равенства). Запрещенной зоны здесь, очевидно, нет. Такая ситу-
ситуация изображена на рис. 3.2, б. Разрешенные зоны (/-тая и (/ + 1)-я)
заштрихованы там в разных направлениях; значения энергии из
области, покрытой двойной штриховкой, принадлежат обеим зонам.
Характеристики зонного спектра, т. е. ширины разрешенных
и запрещенных зон, значения квазиимпульса, при которых функции
Е-1 (р) достигают максимумов и минимумов, и т. п. определяются
конкретными особенностями данного кристалла. Их можно найти,
решая уравнение Шредингера для данной конкретной системы.
Практически, однако, проще определять необходимые величины
непосредственно из опыта (см. § IV.3 и гл. XVIII).
§ 5. Метод сильно связанных электронов
Доказанная в § 2 теорема Блоха приводит к выводу о зонном
характере энергетического спектра идеального кристалла. Она,
однако, не раскрывает физического механизма образования зон.
Существо дела можно понять, рассматривая, как дискретные энер-
энергетические уровни, характерные для свободных атомов, превра-
превращаются в зоны при постепенном сближении атомов и объединении
их в кристаллическую решетку. Для явного решения этой задачи
удобно воспользоваться приближенным методом, предложенным
впервые также Ф. Блохом и применимым, когда расстояния между
соседними атомами велики по сравнению с их размерами. Для упро-
упрощения выкладок будем рассматривать не трехмерный кристалл,

104 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. Ill
а одномерную бесконечную цепочку одинаковых периодически
расположенных одновалентных атомов. Обобщение на случай трех
измерений и атомов большей валентности требует — в рамках
данного метода — лишь не принципиального усложнения вычис-
вычислений.
Пусть нам известна волновая функция валентного электрона
в изолированном атоме. Обозначим ее через <pg (г— Rg), где g—
номер атома в цепочке, г и Rg — радиус-векторы электрона и g-ro
атомного остова *). Функция <рг удовлетворяет уравнению
Здесь Ug (г) — потенциальная энергия взаимодействия электрона
с g-u атомом, Еа — собственное значение энергии, принадлежащее
собственной функции q>g, т. е. дискретный энергетический уровень
валентного электрона в данном атоме. Будем считать, что функ-
функция (fg описывает s-состояние. Тогда уровень с энергией Еа вырож-
вырожден (двукратно) только по спину.
Волновые функции, описывающие дискретные атомные уровни,
быстро убывают по мере удаления электрона от ядра. Асимпто-
Асимптотически на больших расстояниях фг ведет себя, в основном, как
показательная функция:
{^1} E.2)
где га — константа размерности длины. Она играет роль «эффек-
«эффективного радиуса» атома и часто называется радиусом валентной
орбиты. Мы будем считать ее малой по сравнению с расстоянием
между соседними атомами d:
ra<d. E.3)
В реальных кристаллах это условие, как правило, не выполняется;
поэтому излагаемый ниже метод расчета, основанный, по существу,
на неравенстве E.3), может иметь только ориентировочное значение.
Тем не менее он позволяет понять физическую причину образова-
образования энергетических, зон и разобраться в ряде их характеристик.
В силу предположения об идентичности атомов цепочки, функ-
функции (fg с различными номерами g отличаются друг от друга лишь
тем, что они «центрированы» около различных атомов; уровни
энергии, которые им принадлежат, разумеется, одинаковы, почему
мы и не снабдили Еа значком g.
При постепенном сближений атомов электрон начинает взаимо-
взаимодействовать не только со «своим», но и с «чужими» атомными осто-
остовами. Соответствующее уравнение Шредингера имеет вид B.4).
*) Если направить, например, ось х вдоль цепочки, то Rg есть вектор с ком-
компонентами {dg, 0, 0}.

§ 5] МЕТОД СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ' 105
Условие E.3) позволяет ожидать, что вблизи каждого атомного
остова валентный электрон движется в основном так же, как и
в изолированном атоме. Иначе говоря, вблизи g-ro атомного остова
волновая функция электрона в цепочке ар должна быть близка
к <ps. В соответствии со сказанным будем искать решение уравнения
B.4) в виде
гМг) = 1Ч°Ф<г. E.4)
g
где ag — коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя E.4)
в B.4), мы имеем
С учетом уравнения E.1) равенство E.5) принимает вид
+ СО
2_j ag{(Ea — Е) (fg-{- (U — Ug) <fg} = 0. E.6)
g= —CO
Для определения коэффициентов ag умножим обе части уравнения
E.6) на комплексно сопряженную волновую функцию ф|- электрона
в изолированном атоме g' и проинтегрируем по координатам электро-
электрона г. Введем обозначения
\ ф!'Ф(г dt — Se'g, \ фо' (U — ил ф„ dv = Uо'о. E.7)
1 ТЬ Т5 & б* J Tfi \ fi/ Tfi 6 6 \ /
Получим следующую систему уравнений:
+ СО
v* q 1/? Е) S ' -\-U 'Л = 0 E 8)
g = — со
Очевидно, Sgg = 1, так как это просто нормировочный интеграл
для функции (pg. Однако при g' ф g интеграл Sg>g не равен нулю.
Можно лишь утверждать, что он мал по сравнению с единицей:
из условия E.3) и асимптотического вида волновых функций
E.2) вытекает, что с увеличением расстояния между атомами
интегралы Sg'g и Ug-g убывают, в основном, как ехр ( 1 g' — g \).
\ ra I
Величину Sg'g при g Ф g иногда называют интегралом неорто-
неортогональности или интегралом перекрытия. Величина Ug'g при g' ф g
называется интегралом переноса.
Поскольку все атомы цепочки одинаковы, интегралы 5g-g и
Ug'g не могут зависеть от того, где именно расположены g-я и g'-vi
атомы: существенно только расстояние между ними. Это означает,
что Sg^ и Ug'g зависят только от абсолютного значения разности
аргументов:
Sg-g = S (\gr — g\), Ug'g = U (\gr —g\). E.9)

10E ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
Равенства E.9) представляют собой математическое выражение
условия идентичности всех атомов решетки и постоянства рассто-
расстояния между соседними атомами. Иначе говоря, они выражают
условие трансляционной инвариантности рассматриваемой нами
системы.
Принимая во внимание равенства E.9), легко в явном виде найти
решение системы E.8). Действительно, положим
ag = NeAz, E.10)
где нормировочный множитель N и параметр % не зависят от g,
Поскольку волновая функция должна быть квадратично инте-
интегрируема, параметр X должен быть вещественным. Действительно,
при комплексных (или чисто мнимых) значениях X коэффициент
ag (а с ним и вся волновая функция ар) обращался бы в бесконечность
при g-v схэ или при g-> оо.
Выбор решения в виде E.10) с вещественными значениями X
имеет ясный физический смысл. В самом деле, квадраты модулей
отдельных членов ряда в E.4) характеризуют вероятность найти
электрон вблизи g-ro атомного остова. Чтобы убедиться в этом,
вспомним, что вероятность найти электрон в некотором элементе
объема А V дается интегралом поэтому объему § \ty\2dr. Подстав-
AV
ляя сюда ар в виде E.4) и замечая, что в силу E.3) функции <рг и <pg'
при g' ф g почти не перекрываются, мы получаем
+ оэ
\ Ц,|Мг^ 2 ИИ2 \\w\*dr^\ag\*,
AV g' = — oo AV
если AV есть малый элемент объема, окружающий g-n атомный
остов.
Поскольку, согласно E.10), | ag |2 = const, электрон в состоя-
состоянии E.4) с равной вероятностью может быть обнаружен около лю-
любого атома цепочки — в полном согласии с трансляционной инва-
инвариантностью системы.
Подставляя E.10) в E.8) и принимая во внимание E.9), мы-полу-
мы-получаем
+ 00
N 2 {(Ea-E)S(\g'~g\) + U(\g'-g\)}e^^0.
g = —оо
Произведем здесь замену переменной суммирования, полагая
g' — g = g". Сокращая затем на eiks', находим
+ 00
2 "\)}e-^" = O. E.11)
Это равенство уже не содержит аргумента g', чем и доказывается
правильность выбора решения в виде E.10),

§ 5] МЕТОД СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ДО7
Поскольку N Ф 0, равенство E.11) означает, что в нуль должна
обращаться сумма по g". Это есть условие для определения собст-
собственных значений энергии электрона. Заменяя индекс суммирова-
суммирования g" на g, имеем:
E.12)
Равенство E.12) можно переписать в виде
оо
1/@)+2 2 U (g) cos Kg
1 + 2 2] S(g)cosXg
E.12')
Суммы по g в E.12) или E.12') представляют собой периодиче-
периодические функции X с периодом 2я.
Легко видеть, что с точностью до множителя d ~г параметр Я,
представляет собой не что иное, как одномерный аналог квази-
квазиволнового вектора к, введенного в § 2 из общих соображений.
Действительно, волновую функцию E.4) с учетом E.10) можно
переписать в виде
+ СО
r-Rg). E.13)
Введем вектор к с компонентами {АЛ, 0, 0} и заметим, что компо-
компоненты вектора Rg суть, по определению, {dg, 0, 0}. Тогда формулу
E.13) можно переписать в виде
-f со
$ = Л I] ФИг-^)е'(к'^-г> + 1кг=е'кг«ь(г). E.14)
g = — оо
Очевидно, определяемая этим соотношением функция
+ 00
«k(r) = iV/? e''(k'R*-%(r-Rg) E.15)
g = — 00
периодична с периодом нашей одномерной решетки d. Действитель-
Действительно, пусть а есть вектор с компонентами {d, 0, 0}. Для функции
«к (г + а) мы имеем
Uk(r + a) = JV 2° е'(к'К*-г-а)ФгA—Rs + a). E-16)
g= —00
Производя здесь замену переменной суммирования g — g' + 1,
убеждаемся, что правые части равенств EЛ5) и E.16) одинаковы.

108 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
Итак, выражение E.14) есть частный случай общей формулы
B.15): волновая функция -vp представляет собой произведение плос-
плоской волны-eikr на функцию, периодическую с периодом решетки.
Формулы E.12), E.12') также находятся в полном соответствии
с § 4. В самом деле, период обратной решетки в данном случае равен
Ъ = 2n/d. Следовательно, собственные значения энергии Е перио-
периодически зависят от к с периодом Ь, как это и должно быть. Интер-
Интервал (—Ь/2, + Ь/2) определяет первую (одномерную) зону Бриллю-
эна. Видно, далее, что Е есть четная функция к — опять в соответ-
соответствии с результатами § 4.
Аналогичные формулы (в принятых выше предположениях) спра-
справедливы и для двух- и трехмерного случая. Так, для энергии элек-
электрона в простой трехмерной кубической решетке одновалентных
атомов мы получаем
2</A«1)е-'**
Б-Е-+Ъ*ш<-- <5Л7)
где g — вектор, компоненты которого суть целые числа (или нули).
Вектор % очевидным образом связан с квазиволновым вектором к:
Xx = akx и-т. д.
В силу неравенства E.3) величины ?/(|g|)HS(|g|) быстро
убывают с ростом аргумента | g \ . По этой причине в рядах, фигу-
фигурирующих в правых частях E.12), E.12') и E.17), можно оставить
только первые члены. Тогда равенство E.12 ) принимает вид
E = Ea-fU{0) + 2[U(l)-U@)S(l)]cosX. E.12")
Интегралы Sg'g и [/g-g можно вычислить, зная волновые функции
электронов в изолированных атомах. Иногда, однако, эти вели-
величины (или подходящие их комбинации) рассматривают просто как
параметры, подлежащие определению из опыта. При этом недо-
недостатки рассматриваемого метода расчета исчезают, но зато теряется
возможность непосредственно связать структуру зон с химическими
свойствами атомов, образующих кристалл.
Формула E.12"), как, впрочем, и E.12') и E.17), ясно показы-
показывает, как влияет поле кристаллической решетки на энергетиче-
энергетический спектр электронов.
Во-первых, атомный уровень Еа сдвигается на постоянную —
не зависящую от А, — величину V @). Смысл ее очевиден: согласно
E.9) и E.7)
U@) = \ ф! (г) (U - Ue) Ъ (г) dr. E.13)
Таким образом, U @) есть средняя энергия электрона, локализо-
локализованного на каком-нибудь одном (g-м) атоме решетки, в поле всех

§ 5] МЕТОД СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ Ю9
остальных атомов (результат, разумеется, не зависит от g — сдвиг
энергии для всех атомов один и тот же).
Во-вторых, дискретный атомный уровень «размывается» в зону:
при изменении параметра А, от — я до + я последнее слагаемое
в правой части E.12") непрерывно изменяется в интервале от
-2 | U A) —U @) 5 A) | до + 2 | U A) — U @) 5 A) | (знак раз-
разности U A) — U @) S A) в принципе может быть любым; для даль-
дальнейших выводов он несуществен). Все значения энергии в этом
интервале дозволены: им соответствуют всюду ограниченные вол-
волновые функции E.14), характеризуемые (как и энергия Е) различ-
различными значениями параметра X. Ширина этого интервала, т. е,
«ширина разрешенной.зоны», равна
Согласно E.9) и E.7) она определяется степенью перекрытия вол-
волновых функций соседних атомов <pg и ср? + х. С уменьшением пере-
перекрытия (т. е. с увеличением расстояния между атомами d) ширина
зоны быстро (экспоненциально) стремится к нулю — зона «стяги-
«стягивается» в дискретный уровень (возмущенный, может быть, присут-
присутствием других атомов согласно E.18)). Зависимость Е от параметра X
при этом исчезает.
Знак разности U A) — V @) S A) определяет, лежит ли мини-
минимум энергии E.12") (т. е. дно зоны) в точке Я, = 0 (к = 0) или
в точке к = я, т. е. в центре или на границе зоны Бриллюэна *.).
Вблизи минимума функция E.12") имеет вид
E = E0 + d*\U(l)-U(Q)S(l)\&, E.19)
где Ео есть минимальное значение энергии, а величина k отсчиты-
вается от точки минимума. Выражение E.19) формально совпадает
с формулой для энергии свободной частицы h2k2/2m0, если массу
последней т0 заменить выражением
й2
m /
Величина т носит название эффективной массы. Заметим, что она
убывает вместе с увеличением ширины разрешенной зоны.
Аналогично, вблизи максимума энергии (потолка зоны) мы
имеем
? = const+ I5- гп'<0, E.21)
где число k отсчитывается от точки максимума. Константы здесь и
в формуле E.19), разумеется, различны; разность их равна ши-
ширине разрешенной зоны.
*) Точки К = я и К = —я физически эквивалентны, и, как указывалось
в § 4, их следует рассматривать как одну точку.

ПО ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
Правая часть E.21) также похожа на формулу для кинетической
энергии свободной частицы, но теперь эффективная масса т' отри-
отрицательна (в случае E.12') она по абсолютной величине совпадает
с т\ вообще же величины т и | т' | могут быть и различ-
различными).
Как уже отмечалось, электрон, описываемый волновой функ-
функцией E.13), с равной вероятностью может быть обнаружен около
любого атома цепочки. Это обстоятельство на первый взгляд пред-
представляется парадоксальным. Действительно, график потенциальной
энергии электрона в рассматриваемой цепочке представляет собой
совокупность чередующихся потенциальных ям, связанных с каж-
каждым атомным остовом, и «горбов» (рис. 3.3). Казалось бы, можно
«запереть» электрон внутри какой-либо одной ямы, если полная
энер гия его Е меньше потенциальной энергии на «горбе» (пунктир-
(пунктирная" линия на рис. 3.3). Это рас-
суждение, однако, целиком осно-
№\ -fi®\~ вано на классических представ-
i / \ / лениях, которые в данном слу-
Y у \_у z чае недостаточны. В квантовой
механике показывается, что «за-
«запереть» электрон в потенциаль-
Рис. 3.3. Потенциальная энергия элек- НГ1Й . „ „„„„„„„» гп,,*„„„ „
трона в одномерной цепочке одинако- Н0И ЯМе конечнои глубины И
вых атомов как функция координаты ширины невозможно, сущест-
(схематически). вует конечная вероятность об-
обнаружить электрон в области
барьера, окружающего яму (заштрихованные участки на рис. 3.3).
Если, как это и имеет место в нашем случае, рядом с данной потен-
потенциальной ямой есть другие (где электрон может иметь ту же энер-
энергию), то возникает возможность изоэнергетического туннельного
перехода электрона из одной ямы в другую. При этом он уже не свя-
связан с каким-либо отдельным атомом решетки, а обобществляется
между ними. Именно этот туннельный эффект и позволяет электро-
электронам беспрепятственно перемещаться через кристалл без предвари-
предварительной термической активаций.
Вероятность туннельного перехода определяется степенью пере-
перекрытия волновых функций электрона в соседних потенциальных
ямах, т. е., в нашем случае, интегралами 5g'g и Ug'g. При безгранич-
безграничном раздвижении атомов вероятность туннельного эффекта обра-
обращается в нуль. И действительно, в неионизованном газе электроны
локализованы у «своих» атомов.
В условиях, нами рассматриваемых (размеры атомов малы по;
сравнению с расстоянием между ними), вероятность туннельного,
перехода оказывается небольшой: электроны довольно сильно свя-
связаны со «своими» атомами *),
*) Отсюда — название «метод сильно связанных электронов».

§5] МЕТОД СИЛЬНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 1Ц
Связь между вероятностью туннельного перехода и расстоянием
между а,томами позволяет наглядно интерпретировать зависимость
эффективной массы от интегралов неортогональности и переноса
E.7). Именно уменьшение вероятности перехода (т. е. уменьшение
Sg'g и l/g'g) затрудняет перемещение электрона по кристаллу, что
выражается, в частности, в «утяжелении» его: /л-> оо при 5 A) и
t/ A) —*- 0 *). Тот факт, что вероятность туннельного перехода
приближенно пропорциональна ширине разрешенной зоны, не
должен вызывать удивления. Действительно, образование зон и
туннельное просачивание электронов с одного атома на другой
представляют собой два аспекта одного и того же явления — обоб-
обобществления электронов между всеми атомами решетки, — насту-
наступающего благодаря перекрытию атомных волновых функций.
Итак, энергетические зоны в кристаллах возникают в резуль-
результате «размытия» дискретных атомных уровней, обусловленного
взаимодействием электронов с соседними (и, может быть, более
далекими) атомами решетки и перекрытием волновых функций
соседних атомов. Этот вывод, к которому мы пришли на осно-
основании приближенного расчета простейшей модели, оказывается
совершенно общим. С другой стороны, как уже отмечалось, получен-
полученные в настоящем параграфе количественные соотношения на боль-
большую точность претендовать не могут **).
Тем не менее метод сильно связанных электронов иногда ока-
оказывается полезным. Главное его достоинство состоит в том, что он
позволяет установить связь между характеристиками энергетиче-
энергетических зон и химическими свойствами атомов, образующих кристалл,
в частности — типом химической связи в данном материале. Дей-
Действительно, расчет, изложенный в настоящем параграфе, нетрудно
обобщить на более сложные случаи, принимая во внимание трех-
трехмерность задачи, наличие нескольких атомных уровней и т. д.
(см., например, [М7]). При этом оказывается, что каждому атом-
атомному уровню соответствует столько зон, какова его кратность вы-
вырождения, причем различные зоны могут и перекрываться. Иначе
говоря, вырожденным атомным уровням обычно соответствуют
и вырожденные зоны. Аналогичным образом обстоит дело и в тех
случаях, когда уровни энергии валентных электронов в атомах
не вырождены, но достаточно близки по энергии.
Соответствующие волновые функции можно представить в виде
сумм типа E.4), с той лишь разницей, что теперь суммирование
ведется не только по номерам атомов, но и по атомным состояниям,
принимаемым нами в расчет. Иначе говоря, при образовании зон
в результате размытия вырожденных или близких по энергии уров-
уровней роль «атомных функций» фг играют линейные комбинации
*) С этим связано и само название «интеграл переноса».
**) Обзор современных методов расчета зонной структуры твердого тела,
претендующих на количественную точность, можно найти в книге [3].

112 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. Ш
атомных функций, принадлежащих названным уровням. Об этом
говорят как о гибридизации соответствующих атомных состояний.
Эти качественные выводы не связаны непременно с условием
E.3); соответственно они дают известную ориентацию и в условиях,
когда метод сильно связанных электронов в буквальной своей форме
уже не применим. То же относится и к выводам о свойствах симмет-
симметрии блоховских волновых функций; эта информация оказывается
существенной во многих задачах, например в задаче о поглощении
или испускании света при переходах электронов из одной энерге-
энергетической зоны в другую (гл. XVIII).
§ 6. Закон дисперсии. Изоэнергетические поверхности
Ситуация, с которой мы встретились в двух последних пара-
параграфах, характерна для современной теории твердого тела. Именно,
часто оказывается возможным, исходя из довольно общих физи-
физических соображений, выяснить некоторые общие особенности и
свойства энергетического спектра системы, однако попытка явного
расчета, например зависимости энергии от квазиимпульса, встре-
встречается с_большими математическими трудностями. Как правило,
при этом приходится вводить ряд упрощающих предположений и
аппроксимаций. По этой причине важную роль играет эксперимен-
экспериментальное исследование зонной структуры твердого тела. Чтобы
правильно поставить его, надо прежде всего выяснить, с помощью
каких понятий и величин удобно описывать энергетический спектр
электронов в кристаллической решетке.
Введем прежде всего представление о законе дисперсии. Так
называется зависимость энергии от квазиимпульса в разрешенной
зоне *).
Закон дисперсии удобно изображать графически. Обычно
пользуются одним из двух представлений.
Во-первых, можно фиксировать две из трех компонент квази-
квазиимпульса. Пусть, например, фиксированы компоненты ру и рг.
Тогда зависимость Et (px) определяет некоторую кривую на плос-
плоскости (Ei, px). Кривые такого типа называются дисперсионными.
Совокупность их, соответствующая различным значениям ру и рг,
полностью характеризует закон дисперсии.
Во-вторых, можно фиксировать значение энергии в /-той зоне,
полагая
?Нр) = const. F.1)
Уравнение F.1) определяет поверхность в трехмерном пространстве
квазиимпульсов. Ее называют изоэнергетической (или поверхностью
*) Название связано с волновыми представлениями об электроне. Действи-
Действительно, в силу соотношений де Бройля згкон диспепсии есть не что иное, как
зависимость частоты электронной волны от квазиволнового вектора.

§ б]
ЗАКОН ДИСПЕРСИИ. ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
113
равных энергий). Придавая различные значения константе, стоящей
в правой части F.1), и задавая форму соответствующей изоэнерге-
тической поверхности, мы полностью описываем закон дисперсии.
Ра:
Рис. 3.4. Дисперсионные кривые (схематически): а) для двух
неперекрывающихся зон; б) для смыкающихся зон.
Изоэнергетические поверхности обладают некоторыми свойст-
свойствами симметрии. Прежде всего, согласно D.4) они имеют центр
симметрии, расположенный в точке р = 0: при изменении знаков
у всех компонент р изоэнергетическая поверхность переходит сама
в себя. Этот факт является совершенно
общим — он не связан ни со структурой
данной кристаллической решетки, ни с ви-
видом силового поля в ней. Дальнейшие свой-
свойства симметрии навязываются структурой
решетки: помимо центра симметрии, изо-
изоэнергетическая поверхность обладает и все-
всеми элементами симметрии данной кристал-
кристаллической решетки.
Рассмотрим возможный вид дисперсион-
дисперсионных кривых и изоэнергетических поверх-
поверхностей вблизи точек экстремума в зонах.
На рис. 3.4, а схематически изображены
кривые дисперсии для случая неперекры-
неперекрывающихся зон. Для определенности принято, что минимум (/-{- 1)-й
и максимум /-той зоны достигаются, соответственно, в точках
{Pxq, 0, 0) и @,0, 0), причем, вообще говоря, рож ф 0; энергия отсчи-
тывается от потолка нижней зоны.
Дисперсионные кривые для случая, когда зоны смыкаются
в центре зоны Бриллюэна, схематически представлены на рис. 3.4,6.
Здесь одно и то же значение энергии Et @) = Ei+l @) = 0 попа-
попадает сразу в две зоны. Иначе говоря, одному и тому же собствен-
собственному значению энергии Е = 0 принадлежат две собственные функ-
функции: и0, i и «о, j+x, т. е. имеет место вырождение. Соответственно
Рис. 3.5. Пример вырож-
вырождения зон в точке макси-
максимума.

114 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
точка, в которой смыкаются зоны, называется точкой вырождения,
а сами зоны — вырожденными в этой точке. Точка вырождения есть
особая точка функции Е (р): в ней смыкаются две ветви Et (p) и
Ем (р), т. е. это есть точка ветвления 2-го порядка.
Возможен и более сложный случай, когда в точке вырождения
смыкается большее число зон. Мы имеем тогда точку ветвления
более высокого порядка. Может случиться также, что в точке вы-
вырождения обе зоны (или большее их число) имеют максимум (или
минимум). Пример такой ситуации представлен на рис. 3.5.
Из рассмотрения вырожденных зон (рис. 3.4, б) ясен смысл
условия D.2): как видно из рис. 3.4, б, только в этом случае равен-
равенство D.4) оказывается справедливым для каждой зоны в отдель-
отдельности *),
§ 7. Металлы и полупроводники
Представление о разрешенных и запрещенных зонах в сочета-
сочетании с принципом Паули позволяет выяснить причину глубокого
различия между металлами и полупроводниками, влекущую за
собой различие в наблюдаемых электрических и других их свойст-
свойствах. Для этой цели рассмотрим, как распределяются электроны
по зонам в предельном случае температуры, стремящейся к абсолют-
абсолютному нулю.
Как мы знаем, объем зоны Бриллюэна составляет Bnhf/V0,
где Vo — объем элементарной ячейки-. С другой стороны, дозволен-
дозволенные значения компонент квазиимпульса даются формулами C.10').
Из них следует, что каждому дозволенному вектору р — точке в зоне
Бриллюэна — в обратной решетке соответствует ячейка объема
BnhK/V, где V — объем кристалла. Таким образом, зона Бриллю-
Бриллюэна содержит всего
состояний с разными квазиимпульсами — ровно столько, сколько
элементарных ячеек имеется в данном кристалле. С учетом спина
это означает, что полное число состояний в зоне Бриллюэна равно
2G. Согласно § 4 это же есть и число дозволенных квантовых состоя-
состояний, содержащихся в каждой отдельной энергетической зоне.
По принципу Паули каждое из этих состояний может быть занято
только одним электроном. Пусть в элементарной ячейке данного
кристалла содержится z электронов. Тогда общее число электронов
в решетке есть zG. При достаточно низкой температуре они займут
*) При доказательстве соотношения D.4) мы воспользовались тем обстоятель-
обстоятельством, что вещественная величина Ei (p) не изменяется при переходе к сопряжен-
сопряженному уравнению. В точке вырождения, однако, заранее не ясно, к каким именно
зонам следует относить одинаковые значения энергии Е (р) и Е (—р).

§ 7] МЕТАЛЛЫ И ПОЛУПРОВОДНИКИ 115
первые zG энергетических уровней. При этом имеются три возмож-
возможности:
а) самая верхняя зона, содержащая электроны, занята не
полностью, а содержит и вакантные уровни;
б) верхняя зона, содержащая электроны, заполнена целиком,
но смыкается (или перекрывается) , со следующей — более высо-
высокой — зоной;
в) верхняя, целиком заполненная зона отделена от следую-
следующей — пустой — зоны запрещенным участком конечной величины Eg.
Случай а) заведомо реализуется, если число z нечетное. Действи-
Действительно, число заполненных зон, очевидно, равно ~ = у. При нечет-
нечетном z это число не целое.
Из сказанного, однако, не следует, что при четном z непременно
должен иметь место случай в): различные энергетические зоны могут
перекрываться. Выяснить (не апеллируя к опыту), будет ли это
иметь место фактически, можно, только явно решая уравнение
D.1). При этом, однако, не обязательно рассматривать все электроны
кристалла. Действительно, электроны полностью заполненных внут-
внутренних атомных оболочек заведомо заполняют зоны, возникающие
в результате размытия соответствующих атомных уровней. Поэтому
под z часто можно понимать число только валентных электронов.
Электрические свойства вещества в первых двух и третьем слу-
случаях оказываются принципиально различными. Действительно,
поместим кристалл в постоянное внешнее электрическое поле.
-Чтобы вызвать электрический ток, поле должно сообщить электро-
электронам ускорение, т. е. произвести над ними некоторую работу. Иначе
говоря, поле должно перевести электроны на высшие энергетиче-
энергетические уровни. Очевидно, в слабом поле эти уровни должны быть
близки к заполненным. С другой стороны, сами они должны быть
свободны: иначе, по принципу Паули, переход электронов на них
окажется невозможным. Из сказанного явствует, что в случаях а)
и б) сколь угодно слабое внешнее поле создаст электрический ток —
вещество в этом смысле ведет себя как металл. Ясно также, что
в случае в) слабое поле тока вызвать не может: электронам некуда
переходить *). Здесь для создания тока нужна предварительная
«активация»: часть электронов должна быть переброшена в незапол-
незаполненную зону за счет энергии теплового движения, света и т. д.
Такой кристалл обладает свойствами полупроводника (в предель-
предельном случае очень больших значений Eg — изолятора). Наивысшая
из заполненных (при Т = 0) зон называется валентной (ей приписы-
приписывают индекс / = v), наинизшая из незанятых — зоной проводимости
(индекс I = с). Верхнюю границу (потолок) валентной зоны принято
*) В достаточно сильном поле оказывается возможным «просачивание» элек-
электронов через запрещенную зону (см. § IV.6). Для эгого, однако, нужны поля
с напряженностью порядка 10е В/см.

116 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА |ГЛ. III
обозначать через Ev, а нижнюю границу (дно) зоны проводимости —
через Ес.
Пример, когда заведомо реализуется случай а), дают нам кри-
кристаллы щелочных металлов, содержащих по одному валентному
s-электрону да атом. Менее тривиальный пример представляют кри-
кристаллы щелочноземельных элементов, содержащих по два валент-
валентных s-электрона на атом. Металлические свойства здесь обуслов-
обусловлены перекрытием зон, возникающих в результате размытия s-
и р-уровней электронов в атомах (реализуется случай б)).
Наконец, в кристаллах германия и кремния реализуется слу-
случай в). Валентные оболочки свободных атомов этих элементов обла-
обладают электронной конфигурацией &р% (четыре валентных элект-
электрона — по два в s- и /^-состояниях).
Разности энергий s- и /з-уровней сравнительно невелики; по-
поэтому при образовании кристаллов происходит гибридизация
соответствующих состояний (ср. § П.2 и § 5). В результате волно-
волновые функции валентной зоны (в приближении сильной связи)
строятся из одной s- и трех /з-функций. Такая зона содержит по
четыре состояния на атом —ровно столько, сколько там есть валент-
валентных электронов. При Г = 0 она полностью заполнена. Следующая
разрешенная зона отделена от валентной запрещенным участком.
Так же обстоит дело и в алмазе.
Заметим, что наличие запрещенной зоны в этом и в других
случаях обусловлено не геометрическими (как форма зоны Бриллю-
эна), а динамическими особенностями данного кристалла — кон-
конкретным видом и величиной потенциальной энергии электрона.
В принципе можно, изменяя ее путем, например, изменения меж-
межатомных расстояний (под давлением), добиться перекрытия валент-
валентной зоны и зоны проводимости. При этом рассматриваемое вещество
превратится из полупроводника в металл. Возможен и обратный
случай — возникновение запрещенной зоны и переход металла
в полупроводник при достаточно сильном изменении давления на
образец.
Из сказанного выше ясно, что электроны заполненных зон не
принимают непосредственного участия в переносе постоянного тока,
а также в переносе энергий. Они образуют фон, на котором движутся
электроны проводимости и дырки в валентной 'зоне. В дальнейшем
мы будем называть электроны проводимости просто электронами
(если это не поведет к путанице).
§ 8. Эффективная масса
Закон дисперсии дает довольно полную информацию о поведе-
поведении электрона в данной решетке. Однако его трудно определять
из опыта, ибо в общем случае речь идет здесь о нахождении явного
йида функции трех практически непрерывно изменяющихся аргу-

§ 8] ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА J 17
ментов — компонент квазиимпульса. К счастью, в большинстве
задач физики полупроводников играет роль лишь сравнительно ма-
малая часть зоны Бриллюэна, отвечающая энергиям у дна или у по-
потолка той или иной энергетической зоны. Как мы сейчас увидим,
для описания закона дисперсии вблизи экстремумов зоны нет необ-
необходимости определять всю функцию Et (p) — достаточно задать
лишь несколько констант.
Пусть экстремум /-той зоны лежит в точке р = р0/ и зона в ней
не вырождена. Тогда вблизи точки экстремума функцию Et (р)
можно разложить в ряд Тэйлора. Принимая обычное соглашение
о суммировании по дважды повторяющимся векторным индексам,
мы имеем (опуская для краткости индекс / при р0)
El (P) = Ei (Po) + у m'ok, l (Pa - Pa, o) (P» ~ Рэ. о) + • • • (8- О
Здесь
(8.2)
Р=ро
— величины размерности обратной массы, а многоточием обозна-
обозначены члены более высокого порядка, которыми в окрестности экст-
экстремума можно пренебречь. Слагаемые, линейные по р — р0, отсутст-
отсутствуют в правой части (8.1) по определению точки р0.
Так как значение второй производной не зависит от порядка
дифференцирования, величины map, / образуют симметричный тен-
тензор второго ранга. Значения /napt/ зависят от выбора системы
координат в р-пространстве. В частности, можно выбрать ее так
[М5], чтобы компоненты m«p, i при а ф р обратились в нуль.
Соответствующие оси координат называются главными, а компо-
компоненты map, i в этой системе координат — главными значениями дан-
данного тензора. Для краткости мы будем писать при них лишь один
значок а; следует, однако, помнить, что это — компоненты тензора,
,а не вектора. •
Равенство (8.1), будучи отнесено к главным осям, принимает
вид
?,(P)=?*(Po)+V2 2 ^ (Pa-Pa. оJ- (8-1')
a —jc, у, z
При этом та > 0 или та < 0, если рассматриваемый экстремум
есть, соответственно, минимум или максимум.
Поскольку величина Ес (р0) при заданном индексе / есть кон-
константа, уравнение F.1) в этом случае принимает вид,
(Рх — Рх.о)* , (.Ру—Ру.оУ , (Рг—Рг. оJ , /Q о\
с, : п 7 А й = COnSl. (O.-J)
. 2тх ' 2ту ' ' 2тг к
(Здесь и в дальнейшем мы опускаем для краткости зонный индекс/.)
Таким образом, изоэнергетические поверхности вблизи невырож-

118 [ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. Ш
денного экстремума представляют собой эллипсоиды с полуосями,
пропорциональными У \ тх \, У\ту\ и У\ mz \ *), и с центром
в точке р = р0. Выбранные нами оси координат суть главные оси
этого эллипсоида.
Константы тх, ту и mz не всегда независимы: они могут быть
связаны условиями симметрии изоэнергетической поверхности. Рас-
Рассмотрим, например, кристалл кубической системы. Тогда, как
указано в § 6, изоэнергетическая поверхность должна обладать
симметрией куба. В частности, она должна переходить сама в себя
при поворотах на.90° вокруг каждой из взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных осей, проходящих через.центр куба и центры его граней;
сами эти оси физически эквивалентны.
Здесь могут представиться два случая:
1) Экстремум функции Е (р) лежит в центре зоны Бриллюэна:
р0 = 0. Таковы, например, изоэнергетические поверхности в зоне
проводимости InSb, GaSb, GaAs и в некоторых других соединениях:
дно этой зоны отвечает там точке р = 0. Из соображений симметрии
ясно, что главные оси тензора /л^р в данном случае суть указан-
указанные выше оси куба. При этом тх = ту = тг е= т и изоэнергети-
изоэнергетические поверхности у дна зоны представляют собой сферы с цент-
центром в точке р = 0:
Е(р) = Ес + ?-. (8.4)
Закон дисперсии (8.4) называют параболическим изотропным.
Для частного случая одномерной цепочки в приближении силь-
сильной связи равенство (8.4) уже было получено в § 5 (формула E.19)).
Как и там, величину т в (8.4) называют эффективной массой.
В дальнейшем (§ IV. 1) мы увидим, что это название имеет не только
формальный смысл: величина т определяет и среднее ускорение
электрона во внешнем электрическом или магнитном поле.
Величины тх, ,ту, тг,.даже когда они неодинаковы, также назы-
называются эффективными массами, а совокупность величин тЪ% —
тензором обратной эффективной массы.
2) Экстремум лежит в точке р0 ф 0, при этом вектор р0, соеди-
соединяющий данный экстремум с центром зоны Бриллюэна, направлен
вдоль одной из осей симметрии кристалла. Из свойств симметрии
изоэнергетической поверхности следует, что в этом случае должно
существовать несколько физически эквивалентных экстремумов,
расположенных в соответствующих точках на эквивалентных осях
симметрии. Соответственно надо говорить о нескольких векторах р0
и нескольких эллипсоидах вида (8.3); мы будем нумеровать их
верхним латинским индексом i, Изоэнергетическая поверхность
*) В случае максимума, когда та < 0, константа в правой части ^8.3) отри-
отрицательна: это есть энергия, отсчитанная от своего максимума.

§ 8]
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
119
в данном случае представляет собой совокупность всех этих эллип-
эллипсоидов. Таковы, например, изоэнергетические поверхности в зонах
проводимости германия и кремния. В первом из указанных мате-
материалов дну зоны проводимости отвечают точки, лежащие на объем-
объемных диагоналях куба (на оси [///] и ей эквивалентных в обрат-
обратной решетке); во втором — точки, расположенные на оси [100] и
ей эквивалентных,
2
*&¦
Щ
a) &
Рис. 3.6. о) Две (из четырех) пространственные
диагонали куба [111]. 6) Положение изоэнергети-
ческих поверхностей электронов в зоне Бриллю-
Бриллюэна (Ge).Сечение плоскостью (ПО). Пунктир — гра-
границы зоны Бриллюэна.
На рис. 3.6 и 3.7 схематически изображены сечения электрон-
электронных изоэнергетических поверхностей в германии и кремнии пло-
плоскостями pz — 0. Вблизи каждого
минимума изоэнергетическая по-
поверхность здесь имеет вид эллип-
эллипсоида (8.3). Заметим, что это
не противоречит кубической сим-
симметрии кристалла. Действитель-
Действительно, при ловоротах на 90° вокруг
трех взаимно перпендикулярных
осей, проходящих через какую-
нибудь из- точек pi, вся изоэнер-
изоэнергетическая поверхность отнюдь
не обязана переходить сама в
себя. Иначе говоря, симметрия
вблизи каждой такой точки ни- „ о , „
f. " \л па Рис- 3.7. Положение изоэнергетиче-
же куоическои. ИЗ рис. о.о И ских поверхностей электронов в зоне
3.7 видно, однако, что в рас- Бриллюэна (Si). Пунктир —границы
сматриваемых случаях физиче- зоны.
ски эквивалентными оказываются любые две взаимно перпен-
перпендикулярные оси, лежащие в плоскостях, перпендикулярных

120 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
векторам pj. Очевидно, эти оси вместе с pjj и будут главными осями
тензора т^ для данного эллипсоида. Примем ось, вдоль которой
направлен вектор р^, за ось г, а остальные две — за оси х, у. В со-
соответствии со сказанным выше
тх = ту = т±, тг = щ ф т±.
Таким образом, в рассматриваемом случае изоэнергетическая по-
поверхность вблизи каждого экстремума имеет вид эллипсоида вра-
вращения:
. (8.5)
Подчеркнем, что выражение (8.5) имеет смысл лишь вблизи каждого
отдельного экстремума. Закон дисперсии вида (8.5) (или, общее,
(8.1') при не совпадающих друг с другом эффективных массах)
называют параболическим анизотропным.
Области энергии вблизи каждого минимума иногда называют
долинами, а полупроводники с несколькими эквивалентными ми-
минимумами энергии — многодолинными. В этих материалах имеется
несколько разных групп носителей заряда. Все такие группы
имеют одинаковые минимумы энергии, и в этом смысле они экви-
эквивалентны. В условиях термодинамического равновесия носители
заряда распределяются поровну между разными долинами. Однако
эффективные массы, а следовательно, и подвижности носителей
заряда при данном направлении движения, вообще говоря, раз-
различны для разных долин. Наблюдаемая на опыте подвижность
(и другие подобные величины) есть некоторая результирую-
результирующая величина. В кристаллах кубической симметрии она оказы-
оказывается изотропной вследствие кубической симметрии расположе-
расположения эллипсоидов и равного числа электронов вблизи каждого
из них.
Эквивалентность различных долин может быть нарушена при
некоторых внешних воздействиях. Это имеет место, например,
при одностороннем сжатии, когда энергия носителей заряда в од-
одних долинах увеличивается, а в других — уменьшается. В резуль-
результате изменяется распределение носителей между долинами, что
приводит к изменению результирующей подвижности и прояв-
проявляется в зависимости электрического сопротивления от давления
(пьезосопротивление). Эквивалентность различных долин нару-
нарушается также при воздействии сильных внешних электрических
и магнитных полей, что приводит к ряду интересных явлений.,
Некоторые из них будут рассмотрены ниже.
Экстремумы функции Е (р) могут располагаться как внутри
зоны Бриллюэна, так и на ее границах. В германии, видимо, реа-
реализуется вторая возможность: дну зоны проводимости отвечают

§ 8] ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА 121
точки L (рис. 3.1). При этом точки 1 и 3, 2 и 4 на рис. 3.6 отвечают
одному и тому же состоянию, и соответствующие им минимумы
надо рассматривать как один: в каждом из эллипсоидов, сечения
которых изображены на рис. 3.6, сохранена только половина,
лежащая в пределах первой зоны Бриллюэна (ср. ниже рис. 3.9).
Таким образом, фактически на рис. 3.6 изображены два, а не четыре
эквивалентных экстремума. На трехмерной картине, отвечающей
кристаллу германия, имеются четыре эквивалентных экстремума
(по числу диагоналей куба), а не восемь. С другой стороны, в крем-
кремнии, видимо, реализуется первая возможность: дну зоны прово-
проводимости отвечают точки Д. Соответственно на рис. 3.7 изображены
четыре эквивалентных экстремума. На трехмерной -картине, отве-
отвечающей кристаллу кремния, их имеется шесть.
Итак, вид изоэнергетической поверхности вблизи невырожден-
невырожденкой точки экстремума определяется не более чем тремя констан-
константами. В частных случаях, когда две или все три эффективные
массы оказываются одинаковыми в силу свойств симметрии изоэнер-
изоэнергетической поверхности, число констант соответственно умень-
уменьшается.
Если точка экстремума зоны одновременно является и точкой
вырождения, то положение несколько усложняется. Изоэнергети-
ческие поверхности тогда уже не являются эллипсоидами; форма
их зависит, в частности, от кратности вырождения и от свойств
симметрии решетки. Нетрудно написать, однако, общее выргже-
ние для функции Е (р) вблизи экстремума в практически важном
случае, когда вырождение двукратное и экстремум энергетическом
зоны лежит в центре зоны Бриллюэна. Действительно, искомое
выражение должно:
а) обладать двумя ветвями, которые смыкаются в точке р = 0;
б) иметь нулевые первые производные в точке р = 0;
в) содержать | р | в степени не выше второй.
В кристалле кубической системы единственную непрерыв-
непрерывную функцию, удовлетворяющую поставленным условиям и об-
обладающую должными свойствами симметрии, можно записать
в виде
Е(р) = Е @) + ~ {Лр2 ± Ув*р* + С2 {plpl + plpl + p(pj)}, (8.6)
где А, В, С — безразмерные скаляры *); при этом А и В вещест-
вещественны, а С может быть и мнимым (но С2 > — ЗВ2).
Тензор обратной эффективной массы тар можно ввести и в слу-
случае закона дисперсии (8.6). Однако теперь его компоненты уже не
постоянны, а зависят от направления вектора р. Двум ветвям функ-
*) Условие того, чтобы точка р = О была экстремальной, а не седловой,
сводится к неравенству Л2 > 5а + V3 С2 (если С2 > 0) или Л2 > В2 (если
С2 < 0).

122
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
ции (8.6) отвечают разные значения компонент mag. Соответственно
говорят о зонах «легких» и «тяжелых» носителей заряда (обычно
дырок — см. ниже § 9). Изоэнергетические поверхности, изображае-
изображаемые формулой (8.6), называются гофрированными сферами. На
рис. 3.8 изображено их сечение плоскостью {100).
Приводить тензор тйр к главным осям в данном случае не имеет
смысла: поскольку компоненты его зависят от р, такое приведение
можно сделать, вообще говоря, лишь
в нескольких точках зоны Бриллю-
эна, переходящих друг в друга при
преобразованиях симметрии.
В ряде случаев отклонение по-
поверхности (8.6) от сферической ока-
оказывается не очень большим. Тогда
правую часть (8.6) можно прибли-
приближенно заменить средним ее значением
на сфере радиуса | р |. При этом мы
получаем две параболические зоны с
изотропными законами дисперсии и
разными эффективными массами т1
и т2.
Вырождение зон встречается до-
довольно часто. Как указывалось в § 5,
его можно ожидать, если зоны полу-
получаются в результате размытия вырожденных энергетических уров-
уровней электронов в атомах. Согласно § 7 такая картина может иметь
место, например, в валентных зонах германия и кремния.
По определению, выражения вида (8.1) и т. п. справедливы
лишь в окрестности данной точки экстремума. При удалении от
нее начинают играть роль и более высокие члены разложения
функции Е (р) по степеням ра — ра> 0. Об этом говорят как о непара-
боличности закона дисперсии.
Для оценки условий, при которых закон дисперсии начинает
заметно отличаться от параболического, следует решить уравне-
уравнение D.1). Оказывается, что непараболичность особенно заметна
в полупроводниках с достаточно узкой запрещенной зоной. Законы
дисперсии для некоторых таких материалов вьщисаны в § 9,
§ 9. Зонная структура некоторых полупроводников
Структуру энергетических зон в полупроводнике можно было
бы рассчитать с помощью уравнения D.1). Фактически, однако,
при этом возникают весьма серьезные вычислительные трудности,
для преодоления которых необходимы самые мощные современные
электронно-вычислительные машины. Практически чаще исполь-
используется комбинированный подход: такие параметры, как ширина
Рис. 3.8. • Сечение гофрирован-
гофрированной сферы (8.6) плоскостью A00).
Внешний контур соответствует
«тяжелым» носителям заряда,
внутренний — «легким».

§ 9] ЗОННАЯ СТРУКТУРА НЕКОТОРЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 123
запрещенной зоны, эффективные массы и т. д., определяют из
опыта, а методы квантовой механики применяют для того, чтобы
получить предварительную ориентировочную информацию о воз-
возможном расположении максимумов и минимумов функций Et (p)
в зоне Бриллюэна. Важную роль при этом играют соображения,
связанные с типом химической связи, а также соображения сим-
симметрии.
Действительно, в точке экстремума р = р0 с необходимостью
должно выполняться условие
VP?,(P) = O. (9.1)
Обращение левой части (9.1) в нуль может произойти либо слу-
случайно — в результате взаимной компенсации слагаемых в выра-
выражении типа E.17), — либо в силу симметрии. Так как энергия,
согласно D.4), есть четная функция р, то Vp^ (p) есть функция
нечетная. Следовательно, она, будучи ограниченной, должна обра-
обращаться в нуль при р = 0: в центре зоны Бриллюэна энергия элект-
электрона в кристалле любого класса непременно имеет либо максимум,
либо минимум, либо точку перегиба. В зависимости от типа сим-
симметрии кристалла функция Ег (р) может оказаться четной
(а Vp.fi"/ (р) — нечетной) и относительно некоторых других точек
в зоне Бриллюэна.
Таким образом, исследование свойств симметрии изоэнергети-
ческих поверхностей позволяет заранее определить,' где именно
надо искать экстремумы зон. При этом, как мы видели в § 8, удается
определить направления главных осей тензора обратной эффектив-
эффективной массы и число различных главных его значений.
Способы экспериментального одределения параметров зонного
спектра основаны на изучении взаимодействия полупроводников
с электромагнитными волнами, а также на исследовании явлений
переноса в магнитном или упругом поле (измеряется изменение
электрического сопротивления в магнитном поле или при дефор-
деформации образца) (см. § IV.3 и гл. XVIII).
Исследуя особенности этих явлений, зависящие от расположе-
расположения и формы изоэнергетических поверхностей, и сопоставляя затем
результаты расчетов с опытом, можно определить искомые пара-
параметры: величины пгх, ти, тг (или А, В, С), точки р? и т. д. Ниже
суммируются экспериментальные данные для некоторых важных
полупроводниковых материалов *).
На рис. 3.9 схематически изображены основные черты зонной
структуры германия, кремния, арсенида галлия и антимонида
индия **). В германии и кремнии в центре зоны Бриллюэна смы-
*) Пользуясь этими данными, следует помнить, что они могут изменяться
с течением времени — по мере уточнения эксперимента.
**) По книге О. Modelling, Grundlagen der Halbleiterphysik, Springer-Vei>
lag, New York, 1970.

124
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. Ш
каются две валентные зоны (с энергиями Ех (р) и Е2 (р)); на вели-
величину А (при р = 0) ниже располагается (не показанная на рисунке)
третья валентная зона (с энергией Е3 (р)), отщепленная от первых
двух за счет спин-орбитального взаимодействия. Каждая из этих
зон двукратно вырождена. Законы дисперсии в двух верхних даются
формулой (8.6), закон дисперсии в нижней зоне близок к изотроп-
изотропному параболическому.
Ge
Рис. 3.9. Зонная структура некоторых полупроводников. В центре схематически
изображены дисперсионные кривые; кружками на них отмечены точки, отвечаю-
отвечающие экстремумам зон. Вверху слева и справа схематически представлены диспер-
дисперсионные кривые, описывающие зоны проводимости в InSb и QaAs, внизу в центре —
дисперсионные кривые для валентных зон в германии и кремнии. Внизу слева
и справа схематически изображены изоэнергетические поверхности в зонах про-
проводимости германия и кремния. Пунктирные линии, проведенные от кружков
на центральном рисунке к боковым рисункам, указывают, какому материалу соот-
соответствует данный экстремум.
Как мы увидим в гл. IV, при рассмотрении валентных зон удобно
пользоваться представлением о положительно заряженных свобод-
свободных дырках. Энергии последних отсчитываются в направлении,
противоположном направлению отсчета энергии электронов (на
рис. 3.10 (см. ниже) и ему подобных — вниз). Таким образом,
в рассматриваемом случае функции — ?\ (р) и —Е.ъ (р) описывают
зоны тяжелых и легких дырок.
Законы дисперсии вблизи дна зоны проводимости в германии
и кремнии рассматривались в § 8. Мы имеем здесь совокупность

ЗОННАЯ СТРУКТУРА НЕКОТОРЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
125
эллипсоидов вида (8.5) с центрами в точках L (германий) и Д (крем-
(кремний). Заметим, однако, что при удалении от указанных экстрему-
экстремумов зависимость энергии от квазиимпульса носит не монотонный
характер: в обоих материалах имеются побочные минимумы в цент-
центрах зоны Бриллюэна. В германии расстояние между побочным
минимумом и потолком ва-
валентной зоны составляет
0,80 эВ (при комнатной тем-
температуре).
В таблице 3.1 приведены
некоторые параметры энерге-
энергетических зон германия и крем-
кремния *).
В арсениде галлия, анти-
мониде индия и в других со-
соединениях типа AHIBV ва-
валентные зоны в отсутствие
спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия тоже смыкались бы в
центре зоны Бриллюэна. Од-
Однако, в отличие от германия
и кремния, спин-орбитальное
взаимодействие приводит в
-этих соединениях не только к
отщеплению дважды вырож-
вырожденной подзоны Е3 (р), но и
к снятию вырождения во всех
Рис. 3.10. Законы дисперсии для верх-
верхних валентных подзон в lnSb. По оси абс-
абсцисс отложены значения квазиволнового
вектора k=* plh в направлениях [111]
(справа) и [100] (слева). Цифры у кри-
кривых указывают степени вырождения зон.
Две верхние кривые в правой части рисун-
рисунка отвечают зоне тяжелых дырок, ниж-
нижние — зоне легких дырок.
трех подзонах. Исключения
составляют направления [100] и [///] в зонах Е2 и Е3 и направ-
направление [100] в зоне Ev На рис. 3.10 показано, во что превращают-
превращаются дисперсионные кривые Ех (р) и Е% (р) в InSb. Видно, в част-
частности, что максимум энергии в верхней подзоне смещается из цент-
центра зоны Бриллюэна в точки, расположенные на осях [///] и ей
эквивалентных. Соответствующие изоэнергетические поверхности
должны, строго говоря, иметь вид эллипсоидов типа (8.5) с осью
[///] (или ей эквивалентными) в качестве оси вращения. Заметим
*) Все данные относятся к гелиевым температурам. При повышении темпе-
температуры ширина запрещенной зоны обычно уменьшается; в не слишком широкой
области температуры это уменьшение аппроксимируется линейным законом
(с угловым коэффициентом порядка 2^-3-10~* эВ/град). При Т = 300 К в гер-
германии Eg = 0,67 эВ.
Значения эффективных масс и параметров А, В я С для германия взяты из
работы В. Levinger, D. Frankl, Journ. Phys. Chem. Sol. 20, 281 A961), для крем-
кремния _ ия работ J. Hensel, G. Feher, Phys, Rev. 129, 1041 A963) (верхняя строчка)
и /. Balslev, P. Lawaetz, Phys. Lett. 19, 6 A955) (нижняя строчка). Через m1 и
щ обозначены средние эффективные массы «тяжелых» и «легких» дырок
(§ 8).

126
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. III
Таблица 3.1
Зонные параметры германия и кремния
Материал
Германий
Кремний
эВ
0,744
1,15
Ширина
запрещен-
запрещенной зоны
в точке
р = 0
0,898
3,4
1,588
0,9163
tTlQ
0,0815
0,1905
А
— 10,27
—4,98
-4,27
в
+8,63
+0,75
+0,63
С
12,4
5,25
5,03
т0
0,30
0,50
тг
т„
0,044
0,17
все же, что максимум Е1 (р0) очень близок к Et @):
I Ei (Ро) ~ Е1 @) I ^ 1,0 • Ю-4 эВ (при 1,5К) *).
Величина р0 также составляет лишь малую (примерно 0,007)
долю расстояния от центра зоны Бриллюэна до ее границы в дан-
данном направлении. Подобная же картина наблюдается и в других
материалах этой группы.
По этой причине в них часто можно пренебречь снятием выро-
вырождения валентных подзон. При этом для описания двух верхних
валентных подзон можно с разумным приближением воспользо-
воспользоваться формулой (8.6). Следует, однако, иметь в виду, что в числе
соединений типа AIUBV есть и сравнительно узкозонные—анти-
монид и арсенид индия (см. табл. 3.2) **). Эффекты непараболичности
в них проявляются уже при сравнительно небольших значениях
кваз и импульса, То же относится и к зонам проводимости этих
материалов. :
Последовательный учет особенностей полупроводника с узкой
запрещенной зоной, разделяющей две невырожденные разрешенные
зоны, приводит к следующему выражению для закона дисперсии
в зонах проводимости InSb и InAs ***):
Здесь № и Д — параметры размерности импульса и энергии. Роль
нижней зоны играет здесь зона легких дырок. Модель зонной струк-
структуры полупроводника, для которой справедлива формула (9.2),
*) Число взято "из работы С. Pidgeon, S. Groves, Phys. Rev. Lett. 20, 1003
**) Таблица составлена поданным работ D. Bagouley, M. Robinson, R. Strad-
ling, Phys, Rev. Lett. 6, 143 A963); R. Stradling, Phys. Lett. 20, 217 11966).
***•) Вывод формулы (9.2) можно найти в книгах [М8] и [4].

§ S]
ЗОННАЯ СТРУКТУРА НЕКОТОРЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
127
Таблица 3.2
Зонные параметры материалов типа AInBv
Точка в зоне Брил-
люэна, в которой
расположен основ-
основной минимум
Эффективная масса
у дна зоны прово-
проводимости (в едини-
единицах т0)
А
В
С
InSb
Г
0,012
C00 К)
—25 + 2,5
+25 + 2,1
16 + 1,6
InAs
Г
0,023—
0,027
InP
Г
0,077
GaSb
Г
0,047
—11,0+0,6
+6,0+1,5
11±4
GaAs
Г
0,043—
0,071
GaP
на оси
1100)
0,34
AlSb
на оси
[100]
0,39
называется моделью Кейна. Формула (9.2) справедлива при
Е (р) — Е @) << Eg + 2/3 А; последнее условие имеет довольно
широкую область применимости. Заметим, что закон дисперсии (9.2)
изотропен: Е — Е (| р |). Соответствующие изоэнергетические по-
поверхности суть сферы. При
k<l <9-3)
соотношение (9.2) принимает вид (8.4), причем эффективная масса
на дне зоны проводимости дается выражением
т —
т0
1 +
Е„
г
(9-4)
В более широкозонных материалах — арсениде и антимониде гал-
галлия, фосфиде индия и др. — эффекты непараболичности менее
существенны, и закон дисперсии у дна зоны проводимости хорошо
аппроксимируется формулой (8.4). Как и в германии и кремнии,
в зонах проводимости этих веществ имеются и побочные минимумы.
Так, в арсениде галлия имеется шесть эквивалентных минимумов,
расположенных в точках А, т. е. на оси [100] и ей эквивалентных.
Они отстоят от дна зоны на 0,34 эВ.
В таблице 3.2 приведены некоторые параметры энергетических
зон в соединениях типа AnIBv. Данные относятся к гелиевым
температурам (если не приведена другая).
Параметр Eg в формуле (9.2) не обязательно строго положите-
положителен. Он может оказаться и равным нулю или даже отрицательным.

128 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА [ГЛ. Ill
При Eg = 0 зоны проводимости и валентная смыкаются в точке
р = 0, и для возникновения пары свободных носителей заряда теп-
тепловая активация не требуется. Соответственно концентрация носи-
носителей (а с ней и электропроводность вещества) оказывается отлич-
отличной от нуля при сколь угодно низких температурах, как в метал-
металлах. Однако эта концентрация все же гораздо меньше, чем в обыч-
обычных металлах. Поэтому такие вещества называются полуметаллами.
К числу их относится, например, серое олово. При Eg < О валент-
валентная зона и зона проводимости перекрываются. Пока это перекры-
перекрытие не слишком велико, рассматриваемое вещество также оказы-
оказывается полуметаллом. Видимо, так обстоит дело в теллуриде и
селениде ртути, а также в ряде других соединений.

Глава IV
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
II. КРИСТАЛЛЫ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ.
НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
§ 1. Средние значения скорости и ускорения электрона
в кристаллической решетке
Вычислим квантовомеханические средние значения скорости и
ускорения электрона в решетке. По общему правилу квантоЕой
механики средняя скорость дается выражением
v/(p) = ^|/(r)vi|)p;(r)dr, A.1)
А.
где v — оператор скорости и интегрирование ведется по основному
объему. По определению
V—/^V, A.2)
где т0 — истинная масса электрона, а —ihy — оператор импульса.
В качестве ijv в формулу A.1) надлежит подставить функции
Блоха. (III.2.15'):
Таким образом, равенство A.1) принимает вид
Здесь принято во внимание условие нормировки (II 1.2.8).
Как видно из A.Г), вообще говоря, V/ =?р/т0: как уже отме-
отмечалось в § II 1.2, квазиимпульс р не совпадает с импульсом. Второе
слагаемое в правой части A.Г) вычислено в Приложении II. Под-
Подставляя формулу (П.II.10) в A.Г), находим окончательно:
V;(P) = VP?;(P). A-3)
В правой части A.3) стоит градиент от энергии электрона Et (р)
в пространстве квазиимпульсов. Вообще говоря, этот вектор отли-
отличен от нуля. Исключение составляют лишь границы энергетических
зон, где функция Ег (р) имеет экстремумы, а также точки перегиба
функции Е,(р). Следовательно, отлична от нуля и средняя плот-
плотность электрического тока j;(p), создаваемого одним электроном
с квазиимпульсом р в /-той зоне. Действительно,
j,(p) = -ev/(p) = -eVp?,(p). A.4)

130 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Подчеркнем, что отличные от нуля значения \t и j/ (p) получены
здесь в предположении об отсутствии каких-либо внешних элект-
электрических полей. Это означает, что электрическое сопротивление
идеального кристалла равно нулю. Конечное значение сопротивле-
сопротивления обусловлено только отклонениями силового поля от идеально
периодического в результате тепловых колебаний или наличия
каких-либо структурных дефектов решетки.
Формула A.3) становится особенно наглядной, если для энергии
электрона воспользоваться формулой (III.8.4), Тогда (мы вновь
опускаем индекс /)
v = ?. A.5)
Ясно видны как формальная аналогия между импульсом и квази-
квазиимпульсом, так и глубокое принципиальное различие между ними:
т—не истинная масса, а эффективная, и формула A.5) справед-
справедлива не при всех р, а лишь в некоторой области зоны Бриллюэна.
Равенство A.3) можно переписать в несколько ином виде, если
воспользоваться соотношениями де Бройля
где о — частота электронной волны, а к, как и в предыдущей главе,
обозначает квазиволновой вектор. Тогда
v = Vk(ok. A.3')
В теории волновых движений доказывается, что производные от
частоты волны по компонентам волнового вектора определяют груп-
групповую скорость волны (см. [Ml], § 7; [М2], § 3; [МЗ], § 3). По этой
причине среднюю скорость электрона в идеальной кристалличе-
кристаллической решетке можно рассматривать как групповую скорость вол-
волнового пакета, составленного из функций Блоха.
Если поместить кристалл во внешнее поле, электрическое или
магнитное, то состояние с данным квазиимпульсом станет нестацио-
нестационарным: квазиимпульс — ас ним и средняя скорость — будет
меняться под действием поля. Ограничимся достаточно слабыми
электрическими полями. Именно, будем считать, что напряженность
внешнего электрического поля §, действующего на электрон,
удовлетворяет неравенству
e&a<Eg. A.6)
При этом междузонные переходы под влиянием электрического
поля маловероятны (см. § 6) и основная роль поля сводится к изме-
изменению квазиимпульса электрона в пределах данной зоны.
Вычислим производную от квазиимпульса по времени в при-
присутствии внешнего поля. Для этой цели вспомним, что для сред-
средних значений квантовомеханических величин остаются в силе клас-
классические уравнения движения ([Ml], § 32; [МЗ], § 8),

§ 1] СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ СКОРОСТИ ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕ 131
Следовательно, изменение энергии со временем (в пределах
данной зоны) должно определяться равенством
-^- = Fv,(p). A.7)
Далее,
dEi (p) dE, [p (Q1 _ Гv F M dp
dt ~ dt
и, следовательно, равенство A.7) можно переписать в виде
Это соотношение должно быть справедливо при любой ориентации
вектора v. Поэтому должно удовлетворяться уравнение движения
dt ~ * ( У'
По форме это соотношение совпадает со вторым законом Ньютона
(если под р понимать импульс!). Фактически, однако, здесь имеется
глубокая разница: в уравнении A.9) вектор р — не импульс,
а квазиимпульс, a F — не полная сила, а только сила, действующая
на электрон со стороны внешних полей. Сила, действующая на эле-
электрон со стороны регулярных атомов решетки (создающих периоди-
периодическое поле), не входит в правую часть A.9): она уже учтена в виде
закона дисперсии Et (p) и, тем самым, в формуле для средней ско-
скорости.
Приведенный выше вывод уравнения A.9) справедлив лишь
для сил, способных совершать работу над электроном. В против-
противном случае (например, для классической силы Лоренца, действую-
действующей на электрон в магнитном поле) равенство A.7) обращается
в тождество «0 = 0». Само уравнение A.9), однако, остается в силе
и для электрона, движущегося в магнитном поле. Доказательство
этого утверждения оказывается более сложным; его можно найти
в. книге [1], гл. 6.
Отличие уравнения A.9) от второго закона Ньютона прояв-
проявляется при вычислении среднего ускорения электрона а, Действи-
Действительно, согласно A.3) мы имеем
_ dva _ d дЕ{(р)
°а~ dt ~ dt дРа '
Далее, как и при выводе уравнения A.9), воспользуемся соотноше-
соотношением A.8). Получим
д*Е[ (р)
°а ~~ дРа дРр ~lt '
откуда
dva(p, I) _ д*Е,(р) р A.10)
dt драдрр *>

132 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Величины
называют компонентами тензора обратной эффективной массы элект-
электрона в /-той зоне в точке р. Вообще говоря, они зависят от квази-
квазиимпульса; вблизи границ зон они совпадают с величинами (III.8.2).
Видно, таким образом, что название «эффективная масса» имеет
глубокий смысл: совокупность компонент лч^р, / определяет в сред-
среднем всю динамику электрона вблизи границ-зоны. Заметим, что
именно эти области энергии обычно играют главную роль в боль-
большинстве электронных явлений в полупроводниках: в условиях
термодинамического равновесия носители заряда сосредоточены
в, основном вблизи дна соответствующей зоны.
Уравнения A.10) приобретают особенно простой вид вблизи
границ невырожденных зон, когда для энергии можно воспользо-
воспользоваться выражением (II 1.8.5). Тогда, направляя оси координат вдоль
главных осей эллипсоида энергии, мы имеем
]Q
dt ~ та У1-1» )
(без суммирования по а!).
В частности, при одинаковых эффективных массах (тх -• ту =
= тг ~ т) мы имеем
Уравнения A.10) — A.10") оправдывают введенное в гл. I пред-
представление об эффективной массе носителя заряда, устанавливая
вместе с тем и пределы его применимости (неравенство A.6)).
Заметим, что уравнения A.10) — A.10") определяют лишь усред-
усредненное (в квантовомеханическом.смысле) движение электрона. Для
полного квантового описания требуется значительно большая ин-
информация, содержащаяся в волновой функции. В физике твердого
тела, однако, чаете встречается ситуация, когда квантовые поправки
к движению электронов во внешних полях достаточно малы. Дей-
Действительно, характерная длина волны де Бройля в электронном
газе составляет К = -?-, где р — характерное значение квазиим-
квазиимпульса. В качестве такового для газа, подчиняющегося статистике
Больцмана, следует взять «тепловое» значение р = ]/ mkT (в слу-
чае электронного газа в металлах оценка меняется, но окончатель-
окончательный результат остается в силе). Таким образом, Я == , что
У mkT
при Т — 300 К и m = tn0 составляет около 10" см. Как известно,
одно из условий «классичности» движения состоит в том, чтобы
потенциальная энергия электрона медленно менялась на расстоя-
расстоянии Я. Видно, что это условие действительно часто выполняется.

§ 2] ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ 133
Подчеркнем, что речь идет в данном случае только о внешних
полях. Движение электронов в периодическом поле идеальной
решетки, безусловно, должно рассматриваться квантовомехани-
чески. Все нужные нам характеристики этого движения, однако,
сводятся к закону дисперсии Et (p) (в частном случае A.10") —
к эффективной массе т). Коль скоро закон дисперсии задан, даль-
дальнейшие рассуждения, касающиеся поведения системы во внешних
полях, могут быть классическими. При этом уравнения A.10) —
A.10") дают практически всю необходимую информацию.
§ 2. Электроны и дырки
Уравнения A.10) — A.10") в сочетании с формулой для тока A.4)
позволяют придать ясный смысл представлению о «положительных
дырках», введенному в гл. I на основании опытных данных о знаке
постоянной Холла и термоэдс. Для этой цели заметим прежде всего,
что, как мы знаем, эффективные массы, входящие в A.10) — A.10"),
могут быть и отрицательными: так обстоят дело вблизи потолка
энергетической зоны. Легко видеть, что это можно интерпретиро-
интерпретировать как изменение знака заряда носителя. Действительно, пусть F
есть сила Лоренца
Видно, что в уравнения движения A.10) — A.10") входят не заряд
электрона и компоненты тензора т'а$ по отдельности, а только опре-
определенная комбинация их: ета$ или, в случае A.10"), е/т. Отсюда
явствует,, что электрон с отрицательной эффективной массой уско-
ускоряется электрическим и магнитным полями как частица с положи-
положительной массой и положительным зарядом.
Отрицательные значения эффективной массы не должны вызы-
вызывать удивления. Действительно, уравнения A.10'), A.10") опи-
описывают среднее ускорение электрона под действием силы Лоренца.
Кроме нее, однако, есть еще сила, действующая на электрон со
стороны атомов решетки и учитываемая видом закона дисперсии
Et (p). Именно она и ответственна за возникновение отрицательной
эффективной массы.
Направление макроскопических потоков заряда, энергии и т. д.
в системе электронов зависит от того, какие именно электроны
дают главный вклад в них. Здесь следует выделить предельные
случаи почти свободной и почти заполненной зоны.
Первый из них соответствует зоне проводимости в полупровод-
полупроводнике обычного типа. В условиях, близких к термодинамическому
равновесию, все электроны находятся у дна зоны, где эффективные
массы положительны. Только эти электроны и могут участвовать
в явлениях переноса — мы имеем здесь систему отрицательно заря-
заряженных носителей.

134 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИЙ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Второй случай отвечает, например, валентной зоне, из которой
удалено некоторое (небольшое) число электронов (они могут быть,
в частности, переброшены в зону проводимости за счет энергии
теплового движения решетки). В условиях, близких к термодина-
термодинамически равновесным, не заняты только состояния у потолка зоны.
Нижние, полностью заполненные состояния, не дают вклада в по-
потоки заряда, энергии и т. д. Действительно, в силу (III.4.4) каж-
каждому электрону с кваз и импульсом р там можно поставить в соот-
соответствие другой электрон с квазиимпульсом —р и той же энер-
энергией (III.4.4). Согласно A.4) вклады этих электронов в ток взаимно
компенсируются. Отличный от нуля вклад в поток электронов могут
дать только те из них, которые не имеют «партнеров» с той же
энергией и противоположно направленным квазиимпульсом. Это —
электроны, находящиеся в не полностью занятых состояниях, т. е.
у потолка зоны, где эффективные массы отрицательны. Иначе го-
говоря, мы имеем здесь как бы систему положительно заряженных
носителей.
При этом весьма удобным оказывается представление о «дыр-
«дырках» в не полностью заполненной зоне. Его легко ввести, замечая,
что, как было выше показано, плотность тока ]h создаваемая всеми
электронами целиком заполненной зоны, равна нулю:
i<=22i«(j>) = 0. B.1)
р
Здесь множитель 2 возник из-за двух возможных значений проек-
проекции спина (при заданном квазиимпульсе р); суммирование по р
охватывает первую зону Бриллюэна. Пусть теперь один электрон
удален из зоны, в результате чего освободилось состояние с ква-
квазиимпульсом р' и, скажем, положительной проекцией спина *)
(состояние с квазиимпульсом р' и отрицательной проекцией спина
при этом остается занятым). Тогда плотность тока будет
U = 2 2 h (Р) + h (Р') = 2 ? и (Р) - j, (р') = - h <p'). B-2)
р^р' р
Плотность тока, создаваемая электронами зоны с одним неза-
незанятым состоянием, равна по величине и противоположна по напра-
направлению плотности тока, которая создавалась бы недостающим
электроном.
Согласно A.4) и A.3.13) при 53 = 0 плотность тока, связанная
с одним электроном в единице объема, есть
') Направление, на которое проектируется спин, здесь может быть выбрано
тольно.
произвольно.

§2] ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ 135
В рассматриваемом случае т < 0. Следовательно,
Это та плотность тока, которая создавалась бы частицей с массой
| т | и зарядом е, движущимся со скоростью -^— (т) g.
Таким образом, дело обстоит так, как если бы носителями за-
заряда были частицы с положительной массой | т \ и положительным
зарядом е. Фактически перемещаются, разумеется, электроны.
Однако электрон у потолка зоны движется против действующей
на него силы. По этой причине удаление такого электрона приводит
к увеличению плотности тока — такому, как если бы появилась
«частица» с положительной массой | т | и положительным зарядом.
Иначе говоря, коллективное движение всех оставшихся электронов
валентной зоны эквивалентно движению одной «частицы».
Аналогично обстоит дело и с плотностью потока энергии. Она
дается выражением
I, = .??/(P)v(P)n(p, о). B.3)
Р, о
Здесь п (р, а) — концентрация электронов с квазиимпульсом р
и проекцией спина а. В полностью заполненной зоне п (р, о) =
= 1/V, где V — объем системы.
При одном недостающем электроне в единичном объеме, плот-
плотность потока энергии будет, подобно B.2),
I, = 2 ? ?/ (Р) v/ (P) + Et (p') v, (р') = -Е, (р') v, (р'). B.4)
Поток энергии, создаваемый электронами зоны с одним неза-
незанятым состоянием, равен по величине и противоположен по напра-
направлению потоку энергии, который создавался бы недостающим
электроном. Иначе говоря, он равен потоку энергии, создаваемому
одной «частицей» с энергией —Et (p').
Совершенно так же можно было бы рассмотреть и случай не-
нескольких отсутствующих электронов (с квазиимпульсами р', р", ...).
Потоки заряда и энергии здесь оказываются такими же, как если
бы они переносились положительно заряженными «частицами»
(с энергиями —Ei (р'), —Et (p"), ...), взятыми в таком числе,
сколько электронов отсутствует.
Эти «частицы» получили название «дырок», ибо происхождение
их связано с наличием незаполненных состояний («мест») в зоне *).
При описании явлений переноса «электронный» и «дырочный»
языки полностью эквивалентны. Последний язык особенно удобен,
если речь идет о почти заполненной зоне. Здесь, как мы видели,
*) Представление о дырках было введено Я. И. Френкелем A928 г.)

135 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ ГЛ. IV
свободны состояния у потолка зоны Ег, и энергии дырок, отсчитан-
отсчитанные от него, равны —Et (р). В частности, при изотропном парабо-
параболическим законе дисперсии мы имеем
Как и следовало ожидать, это есть энергия частицы с положитель-
положительной эффективной массой \т\. Энергия дырки у потолка валентной
зоны равна —Ev. Эффективные массы дырок обычно снабжают
индексом р (не путать с квазиимпульсом), а электронов — п. В дан-
данном случае тр= \ тп |.
В такой ситуации, интересуясь только явлениями переноса
заряда и энергии, мы можем вообще «забыть» о существовании
валентной зоны и электронов в ней. Взамен вводится представле-
представление о газе дырок и о дырочной зоне. Минимум энергии в последней
е- совпадает с потолком валентной зоны,
1" Зона,почти не заполнен- а энергия дырок на зонной схеме от-
шяэлектронами считывается вниз (рис. 4.1). Квази-
?с импульс дырки равен квазиимпульсу
отсутствующего электрона с обрат-
обратным знаком. Иначе говоря, мы вправе
рассматривать газ носителей заряда
1^ двух знаков с положительными зффек-
дивными массам... ^
? В связи с этим результатом сле-
следует обратить внимание на три об-
Рис. 4 1. Направления отсчета стоятельства.
энергии электронов проводимо- ,-,
ста ?„(р) и дырок ?р(р). Во-первых, аналогия между дыр-
дырками и электронами не полна. Дей-
Действительно, электроны могут существовать и в вакууме, в то вре-
время как представление о дырках имеет смысл лишь постольку,
поскольку существуют валентные оболочки, в которых могут ока-
оказаться незаполненные места. В отсутствие коллектива электронов
представление о дырках лишается смысла. По этой причине дырки
часто называют квазичастицами.
Во-вторых, эквивалентность описания системы с помощью пред-
представлений об электронах или дырках доказана выше только для
потоков заряда и энергии, или, общее, с точки зрения поведения си-
системы во внешних полях. Отсюда, однако, не следует, что эти картины
эквивалентны и с точки зрения поля, создаваемого самими этими
электронами и дырками. Иначе говоря, «электронная» и «дырочная»
картины эквивалентны кинематически, но не всегда — динами-
динамически. Вопрос о том, какая из двух картин «правильнее», будет
обсужден позднее, в гл. XVII.
Наконец, в-третьих, предыдущие рассуждения относились к по-
поведению системы в электрическом и магнитном полях, но отнюдь

§ 3] НОСИТЕЛИ В ПОСТОЯННОМ И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 137
йе в гравитационном (и, следовательно, инерционном) поле. Поня-
Понятие об эффективной массе, а с ним и понятие о положительных
дырках не имеют никакого отношения к,гравитации (и инерции).
Суть дела состоит в том, что силы инерции определяются через про-
производную по времени от импульса, а не от квазиимпульса. По-
Поэтому, например, в известных опытах Толмэна и Стюарта (опреде-
(определение удельного заряда электронов по измерению импульса тока
при торможении вращающейся проволочной катушки) отношение
заряда частиц к массе всегда будет получаться равным —е/т0, т. е.
будет соответствовать отрицательным электронам с истинной (а не
эффективной) массой пг0. Такой результат получится и в том случае,
когда вместо металла будет взят дырочный полупроводник. Далее,
в § III.5 мы видели, что эффективная масса зависит от степени пере-
перекрытия атомных волновых функций. Она сильно увеличивается
по мере увеличения глубины энергетической зоны; для глубоких
узких зон т'^ т0 (внутренние электроны атомов практически ло-
локализованы около своих ядер). Однако это обстоятельство никак
не сказывается на весе тела, который определяется истинными мас-
массами всех ядер и электронов.
§ 3. Движение носителей заряда в постоянном
и однородном магнитном поле
(классическая теория). Диамагнитный резонанс
Рассмотрим задачу о движении электрона или дырки в постоян-
постоянном и однородном магнитном поле. Решение этой задачи приведет
нас к важному методу экспериментального определения эффектив-
эффективной массы. Дабы не затемнять существа дела, пренебрежем сначала
рассеянием носителей заряда. Позднее мы учтем и этот эффект и
выясним, в чем состоит его роль и в какой мере она существенна
в рассматриваемой задаче.
Направим оси координат вдоль главных осей тензора обратной
эффективной массы. Тогда, принимая во внимание формулу для
силы Лоренца
мы можем, применительно к рассматриваемой задаче, переписать
уравнения A.10') в виде
dt
dvu
dt y
do, SSe.
dt cm.
^=™(аЛ-а;4 C.1)

138 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Здесь ах, ау, аг — косинусы углов между вектором 55 и осями
координат. Это есть система линейных однородных уравнений.
Будем искать ее решение в виде гармонических колебаний:
, C.2)
где vly v%, v3 — постоянные коэффициенты (амплитуды колебаний),
а со — частота. Подставляя C.2) в уравнения C.1),' получаем систему
линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд vlt
v2, v3:
1 ' mxc * mxc y л '
<83e n
Условие разрешимости этой системы состоит в обращении в нуль
ее детерминанта. Этим определяются возможные значения частоты
колебаний ш:
со=0, C.3а)
2 I о8, а?, а| \
_?_ ^ »_ _| 5_ C.36)
т. е,
где
al a! \i/2
у | z lz
j
al a! \/2
тутг ' mzmx ' тхту j ' к ' '
Величину тс иногда называют циклотронной эффективной массой.
При тх = ту = тг = т выражение C.5) переходит в формулу
A.3.2). Оно упрощается также, если изоэнергетическая поверх-
поверхность представляет собой эллипсоид вращения (III.8.5). Действи-
Действительно, обозначим через ср угол между направлением магнитной
индукции S3 и осью вращения эллипсоида (осью Z). Тогда
и выражение C.5) принимает вид
1 _ / cos2 ф sin2 ф у/а .„ -,,
Корень C.3а) соответствует движению с постоянной скоростью —
равномерному движению вдоль направления поля. Два корня C.36)
описывают гармонические колебания, в совокупности своей сводя-
сводящиеся к равномерному вращению электрона в плоскости, перпен-

§ 3] НОСИТЕЛИ В ПОСТОЯННОМ И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 139
дикулярной магнитному полю. Угловая скорость этого вращения
равна сос.
Можно обобщить формулу C.5) и на случай невырожденных зон при непара-
непараболическом законе дисперсии. Для этой цели удобно воспользоваться уравне-
уравнением A.9), совмещая ось Z с направлением магнитного поля:
т. е.
dpx e dpy e dpz
Поскольку сила Лоренца не совершает работы, видим, что в рассматриваемой
задаче имеются два интеграла движения:
pz = const, Е (р) = ? = const. C.7)
Эти уравнения описывают траекторию электрона в пространстве квазиим-
квазиимпульсов. Будем считать ее замкнутой и несамопересекающейся. Согласно (III.8.3)
в случае параболического закона дисперсии это есть эллипс
¦ У»8 + ^-^',Д-УУ, const. C.7')
1тх ^ Чту 2mz v ;
Отклонения от параболичности приводят к деформации эллипса; когда они ста-
становятся очень большими, траектория может (но не обязана) стать и незамкнутой.
Исследование показывает, однако, что это возможно лишь в области энергий,
достаточно далеких от дна зоны.
Обозначим через dp | элемент дуги траектории и будем рассматривать вре-
время t как параметр, определяющий положение точки на ней. Тогда
Введем, далее, нормальную к кривой C.7) составляющую вектора v: v^ =
= {Vx< vy}- Абсолютная величина ее есть v^ = Yv\ + v-y. Пользуясь равенством
C.8), можем переписать уравнения C.6) в виде
dp, e
Отсюда
с г dp.
t--
""¦" ¦ v ,
Период обращения электрона по орбите 2я/шс получится, если взять здесь инте-
интеграл вдоль всей траектории C.7):
2я
Фигурирующий в C.9) интеграл можно выразить через площадь S (E, pz), огра-
ограниченную кривой C.7). Действительно,
S(E, pz) = ^dpxdpy,
причем пределы интегрирования определяются равенствами C.7).

140
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Введем вместо рх и ру переменные Е' и р ^, где Е' принимает все значения
от Ес до Е. При этом элемент площади dpx dpy дается выражением
dEdP]
dpxdpy = —-——.
Таким образом,
do,
и, следовательно,
dp± OS (Е, Рг)
дЕ
Подставляя это выражение в C.9), получаем
е-®
где
тс =
тсс '
1 OS (Е, рг)
2л
дЕ
C.4')
C.10)
В условиях C.7') отсюда вновь получается формула C.-5). В более общем
случае циклотронная эффективная масса C.10) зависит от ? и рг.
В случае вырожденных зон изложенные выше общие соображения остаются
в силе, однако для циклотронной эффективной массы вместо C.5) получается
более сложное выражение.
Из формулы C.5) видно, что, измеряя частоту вращения сос
электронов (дырок) при различных направлениях магнитной индук-
индукции, можно определить компонен-
компоненты тензора эффективных масс, а
следовательно, и форму изоэнерге-
тической поверхности *).
Частоту ыс можно определить,
исследуя поглощение электромаг-
электромагнитных волн в полупроводнике.
Эту возможность иллюстрирует
рис. 4.2, на котором показана
траектория электрона, движущего-
движущегося в постоянном и однородном
магнитном поле с индукцией 53.
Линейно поляризованная электро-
электромагнитная волна распространяется
вдоль оси Y, и вектор ее электрического поля S параллелен пло-
плоскости орбиты электрона. Длина электромагнитной волны намного
*) Строгое квантовомеханическое рассмотрение (см. ниже, § 5) показывает,
что принятая в настоящем параграфе классическая трактовка движения носи-
носителей заряда в магнитном поле имеет определенные пределы применимости. Фор-
Формула C.5), однако, остается в силе н в точной теории.
Г
Рис. 4.2. К объяснению диамаг-
диамагнитного (циклотронного) резонанса.

§ 3] НОСИТЕЛИ В ПОСТОЯННОМ И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 141
больше диаметра орбиты, так что мгновенные значения ? одина-
одинаковы во всех ее точках. Если, например, электрон находится в
точке а и поле S направлено так, как показано на рисунке, то поле
будет ускорять движение электрона. Когда электрон совершит
половину оборота и попадет в точку Ь, фаза поля ? изменится.
Если частота волны со совпадает с сос, то фаза & изменится как раз
на л и поле ? будет по-прежнему ускорять движение электрона.
Иначе говоря, при со — сос будет иметь место резонансное погло-
поглощение электромагнитной волны системой электронов. Это явление
получило название диамагнитного или циклотронного резонанса.
При непараболическом законе дисперсии условия резонанса
сказываются различными для электронов разной энергии. Это
приводит к «размазке» резонанса, затрудняя его наблюдение. Исклю-
Исключение составляет лишь случай сильно вьтсжденного газа носи-
носителей заряда, когда, как показано в гл. XIII, существенна лишь
энергия, равная энергии Ферми.
В действительности прецессионное движение носителей заряда
нарушается соударениями, которые уменьшают резонансное по-
поглощение и могут даже сделать вообще невозможным его наблю-
наблюдение. Остановимся на этом подробнее, пользуясь, как и выше,
полуклассическим описанием. Рассмотрим для определенности слу-
случай постоянной скалярной эффективной массы т и положим, что
индукция 53 направлена по оси Z, а электрическое поле волны S —
по оси X (рис. 4.2). Магнитным полем вслны будем пренебрегать по
сравнению с сильным постоянным полем $. Влияние соударений
будем учитывать введением некоторой силы трения
р mv
ТР т '
где тр — время релаксации импульса, определяющее подвижность
частиц (ср. гл. I, XIII). Тогда уравнения движения частицы будут
t " C.11)
dvlt em K >
Интересуясь, как и выше, установившимися колебаниями вида
C.2) и подставляя эти выражения в уравнения C.11), мы получим
m (— ico + Тр1) vx = ~e^—-e-
m (— tco -f- ip1) vy = — <3ivx.
Исключая отсюда vy, мы найдем среднюю дрейфовую скорость vx,
а следовательно, и электропроводность а для переменного поля

142 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ 1ГЛ. IV
волны &:
епа,
1—1@Т„
0 = —
Здесь п — концентрация частиц, а через а0 = en\i = -—- тр
C.12)
обоз-
обозначена электропроводность для постоянного электрического поля.
Величина а оказывается зависящей от частоты ¦ со и, кроме того,
комплексной, что означает наличие разности фаз между колеба-
колебаниями тока и поля. Поглощение электромагнитной волны пропор-
пропорционально вещественной части а. Из формулы C.12) мы имеем
Re а 1 + (шт„J + (сост„J
п. П Л-1,л т ^2 li.vr \212 I Д/V.vr М ' \>J.l>Jf
Зависимость
от -^ для различных значений сотр показана
на рис. 4.3. При сотр <J 1 она монотонна. Это и понятно, так как
в данном случае электрон не успевает сделать ни одного оборота
без столкновений; скорость
его после столкновения
может быть направлена
под любым углом к элект-
электрическому полю волны.
Иначе говоря, столкнове-
столкновения нарушают синфазный
характер движения элект-
электронов относительно коле-
колебаний поля в волне, не-
необходимый для возникно-
возникновения резонанса. Резонанс-
Резонансное поглощение становит-
становится заметным при сотр > 1;
оно тем заметнее, чем боль-
больше сотр.
При экспериментальном
осуществлении диамагнит-
диамагнитного резонанса необходимо прежде всего обеспечить выполнение
условия соетр >• 1. Пользуясь формулой C.4) и выражая тр через
подвижность ц, мы имеем
Рис. 4.3. Резонансное поглощение электро-
электромагнитной волны в зависимости от отноше-
отношения сос/со.
или, если [I дано в практических единицах (см2/с -В), а 3$ — в га-
гауссах,
В типичных экспериментах используют электромагниты, создающие
индукцию от нескольких тысяч до нескольких десятков тысяч гаусс.

§ 3] НОСИТЕЛИ В ПОСТОЯННОМ И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 143
Полагая S3 — 1 -103 Гс, мы находим, что ц должно быть>>105см2/с -В.
В большинстве известных полупроводников ири комнатных тем-
температурах подвижность заметно меньше, поэтому оказывается не-
необходимым работать при низких температурах (обычно гелиевых)
и использовать очень чистые кристаллы (чтобы примесное рассея-
рассеяние не уменьшало подвижность).
Однако при этом возникает другая трудность: при очень низких
температурах все остаточные примеси не ионизованы и в зонах
практически не имеется носителей. Поэтому приходится прибегать
к вспомогательным приемам создания подвижных электронов (ды-
(дырок). Один из них заключается в ударной ионизации мелких при-
примесей электрическим полем самой электромагнитной волны, для
Рис. 4\4. Схема наблюдения диамагнитного резонан-
резонанса. Г — генератор СВЧ колебаний, П — приемник,
Осц — осциллограф, Р — резонансная полость с об-
образцом О, ММ—электромагнит, Ф — фазовращатель.
чего мощность волны должна быть больше некоторого предела,
различного для "разных полупроводников. Подвижные носители
заряда можно также создать с помощью слабого освещения кри-
кристалла.
Частоты сос, определяемые формулой C.4), при S3 ~ 10* Гс
имеют порядок 1010 -г- 1012 с и соответствуют электромагнитным
волнам сантиметрового или миллиметрового диапазона. Поэтому
для наблюдения диамагнитного резонанса чаще всего используют
СВЧ технику.
На рис. 4.4 показана принципиальная схема одного из типичных
опытов (в действительности такие установки содержат ряд допол-
дополнительных узлов и блоков; они опущены, как не имеющие принци-
принципиального значения). СВЧ колебания от генератора Г ослабляются
аттенюатором и попадают в плечо / балансового моста. Последний
представляет собой двойной волноводныи тройник, имеющий четыре

144
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
-Теория
Эксперимент
плеча. Плечи 2 и 3 присоединяются к согласованным нагруз-
нагрузкам, одной из которых является резонансная полость Р с исследуе-
исследуемым образцом О. При равенстве этих нагрузок сигнала в плече 4
нет. При возникновении резонанса изменяется поглощение волны
в резонаторе с образцом, баланс моста нарушается и в плече 4
появляется сигнал. Последний регистрируется обычным приемни-
приемником. На опыте удобно изменять не частоту волны со, а величину
магнитной индукции (т. е. сос), для чего в электромагните МА1
устраивают дополнительную об-
обмотку, модулирующую магнит-
магнитную индукцию с низкой часто-
частотой. Подавая выходной сигнал
приемника на одну из пар от-
отклоняющих пластин осциллогра-
осциллографа Осц, а на другую пару пла-
пластин — сигнал, пропорциональ-
пропорциональный изменению магнитной ин-
индукции, можно получить на
экране осциллографа всю резо-
резонансную кривую. На рис. 4.5
в качестве примера показана
•форма кривых поглощения в гер-
германии п-типа *). Из рисунка
видно, что при повороте кри-
кристалла изменяются и число на-
наблюдаемых максимумов, и их
положение, что свидетельствует
об анизотропии эффективной
массы.
Зная значение <?5Э, соответ-
соответствующее резонансу (wc = со),
из формулы C.4) можно не-
непосредственно найти соответст-
соответствующее значение тс.
Укажем еще, что опыты с диа-
|
I
'Я.
О Ц08 № 0,24 0,32 шс/<о
Рис. 4.5. Зависимость поглощения Р
СВЧ колебаний от магнитной индук-
индукции в германии n-типа. Индексы у Р
указывают направление магнитной ин-
индукции. Т = 4,2 К, частота 8,9 ГГц.
магнитным резонансом позволяют
определить знак основных носителей заряда. Для этого вместо
прямоугольного резонатора употребляют цилиндрический и воз-
возбуждают в нем колебания, поляризованные по кругу. Если магнит-
магнитная индукция 53 направаена параллельно оси резонатора, то кру-
круговые орбиты носителей будут перпендикулярны оси резонатора,
т. е. будут лежать в той же плоскости, что и вектор S волны. Легко
сообразить, что поглощение волны должно наблюдаться только
в том случае, когда направление вращения 8 в волне совпадает
*) В. Lax, H. J. Zeiger, R. N. Dexter, Physica 20, 818 A954).

§4] МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ 145
с направлением вращения частиц. А это последнее, при заданном
направлении 53, различно для положительных и отрицательных
частиц. Такие опыты позволили получить прямое эксперименталь-
экспериментальное доказательство существования положительных дырок.
§ 4. Метод эффективной массы
Как указывалось в гл. II, атомы примеси, как и другие струк-
структурные дефекты решетки, могут создавать дискретные уровни в за-
запрещенной зоне. Расчет их составляет одну из задач электронной
теории реальных кристаллов. Потенциальную энергию электрона
при этом можно представить в виде суммы двух слагаемых: U (г) +
+ 6t/ (г). Здесь U (г) обозначает по-прежнему потенциальную энер-
энергию электрона в идеальном кристалле, a 8U (г) есть непериодиче-
непериодическая функция, описывающая взаимодействче электрона с несовер-
несовершенствами решетки. Так же обстоит дело и при квантовомеханиче-
ском рассмотрении движения электронов в идеальном кристалле
при наличии внешнего электрического поля. '
Во многих случаях функция SU (г) сравнительно плавно изме-
изменяется в пространстве, оставаясь практически постоянной на про-
протяжении постоянной решетки а. При этом задачу о движении элект-
электрона удобно решать с помощью приближенного приема, называе-
называемого методом эффективной массы. Идея его состоит в том, чтобы,
пользуясь плавностью функции 8U, свести уравнение Шредингера
с потенциалом U + 8U к более простому виду, содержащему явно
только 8U. Роль периодического потенциала состоит при этом
в изменении оператора кинетической энергии: вместо массы сво-
свободного электрона в нем появляются эффективные массы, описы-
описывающие поведение носителя заряда в соответствующем идеальном
кристалле (с этим связано название метода). Зонную структуру
идеального кристалла при этом следует считать известной.
Для выполнения намеченной только что программы необходимо,
чтобы в области, где, в основном, движется электрон, удовлетво-
удовлетворялось условие плавности поля 61/ *):
а |б[/| ^i. A.1)
Другие условия применимости метода эффективной массы будут
указаны ниже. Подробное изложение метода можно найти в кни-
книгах [М7] и [2]. Здесь мы сформулируем только окончательные
результаты.
Рассмотрим сначала поведение электронов вблизи дна невырож-
невырожденной зоны с параболическим изотропным законом дисперсии.
*) Если кристалл не кубический, то в качестве а в D.1) можно подставить
любую из постоянных решетки, ибо все они — одного порядка величины. Метод
эффективной массы был предложен С. И. Пекаром в 1948 г.

146 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
В этом случае волновую функцию электрона, движущегося в рас-
рассматриваемом силовом поле, можно представить в виде
г). D.2)
Здесь г|зс (г) — нормированная функция Блоха, соответствующая
дну рассматриваемой зоны, а % (г) — «сглаженная» волновая функ-
функция. Уравнение для нее можно найти, подставляя выражение D.2)
в уравнение Шредингера с потенциальной энергией U -\- 8U. Счи-
Считая функцию х достаточно плавной (см. ниже), мы получаем
Й2
-^X + W-X = Ex, D.3)
где р = —i^V. Собственные значения уравнения D.3) суть воз-
возможные значения энергии, отсчитанные от дна зоны Ес. В част-
частности, область Е <с 0 соответствует энергии, меньшей Ес, При
8 U = 0 уравнение D.3) дает
Y = V—'/2?^ Е = " (А 4Л
л » 2т' v '
Множитель V/» в D.4) обеспечивает нормировку % на единицу.
Как и следовало ожидать, здесь просто восстанавливается энер-
энергетический спектр электрона в зоне, проводимости.
Уравнение D.3) и формула D.2) справедливы, если функция х
мало изменяется на протяжении постоянной решетки, а собствен-
собственные значения Е лежат достаточно близко к дну зоны. Именно,
должно выполняться неравенство
\E\<Eg, D.5)
где Eg — ширина запрещенной зоны или, общее, расстояние от дна
рассматриваемой зоны до ближайшего к нему края какой-либо
другой зоны.
Аналогично обстоит дело и в случае электронов, движущихся
у потолка зоны (по-прежнему невырожденной и со скалярной
эффективной массой). При этом эффективная масса отрицательна;
соответственно аналог уравнения D.3) имеет вид
¦2psyX-M/-X = (— E)%, D.3')
где, как и в § 2, \т\ = тр. Поскольку потенциальная энергия 6?/
имеет электрическое происхождение, изменение знака при ней
можно интерпретировать как изменение знака заряда носителя.
Иначе говоря, уравнение D.3) описывает поведение дырки с поло-
положительной эффективной массой \т\ вблизи дна дырочной (т. е. по-
потолка валентной) зоны. Величина —Е есть энергия дырки, отсчи-
отсчитываемая, как и в § 2, от потолка валентной зоны Ev вниз. Отри-
Отрицательные значения —Е (т. е. положительные значения Е) соот-
соответствуют энергии, большей Ev.

§ 4] МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ 147
При наличии магнитного поля уравнения D.3), D.3') видоизме-
видоизменяются. Как известно из электродинамики, магнитное поле можно.
описывать вектор-потенциалом сД, удовлетворяющим условию
rotcfl = 53. D.6)
Фигурирующий в D.3) оператор импульса при этом принимает
известный из квантовой механики канонический вид:
Далее, к потенциальной энергии 8U добавляется энергия спи-
спинового магнитного момента электрона
(a, 53).
Здесь Р = eh/2m0c— магнетон Бора, g— гиромагнитное отноше-
отношение. Для электронов и дырок в полупроводниках оно может отли-
отличаться от двух за счет спин-орбитального взаимодействия. Функ-
Функции ф и х теперь представляют собой двухрядные матрицы.
Таким образом, вместо D.3) или D.3') мы получаем
±. (_ iHv ± ± сЯJ % ± 6U ¦ % ± gf> (а, 53) х = ± Е%. D.3")
Здесь верхние знаки относятся к электрону у дна зоны проводи-
проводимости, нижние — к дырке у потолка валентной зоны,
При возведении в квадрат оператора
в уравнении D.3") возникают выражения типа (еЯу) X и (Vcfl) Х- Поскольку опе-
операторы cfl и у, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, уравнение D.3")
следует дополнить правилом, указывающим порядок их следования. Тщатель-
Тщательное исследование [1] показывает, что во всех таких случаях надлежит брать сим-
метризованное выражение (сДу + усД) %.
Для вычисления различных средних значений также достаточно
знать только сглаженные функции % (их иногда называют «оги-
«огибающими»). Именно, пусть L (г) — любая функция, плавно изме-
изменяющаяся в пространстве, и пусть t|)j = хЖ. "Фг = Ъ'Фс. где Xi
и Ха — какие-либо решения уравнения D.3). Тогда, как можно
показать [1, 2],
SSr. D'7)
Иначе говоря, % (г) играет роль «эффективной волновой функции»
электрона.
Уравнения D.3) — D.3") можно обобщить и на случай анизотропного пара-
параболического закона дисперсии, когда изоэнергетические поверхности вблизи
дна зоны представляют собой эллипсоиды. Следует лишь заменить т~1 тензором

148 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
обратной эффективной массы. При этом первое слагаемое в левой части D.3)
примет вид
В частности, если оси координат совпадают с главными осями эллипсоида энер-
энергии, мы получаем вместо D.3")
i(a^^L±?x- D-8)
а=х, у, г
Как мы видели в § III.8, в кристаллах кубической системы анизотропия
эффективной массы может иметь место, только если минимум энергии расположен
не в центре зоны Бриллюэна. При этом имеется несколько эквивалентных мини-
минимумов, соответствующих квазиимпульсам р; (i = 1, 2, ...). Уравнение D.8) сле-
следует писать для каждого минимума в отдельности. Соответственно получится
столько (вообще говоря, различных) решений, сколько есть эквивалентных
минимумов. Каждое такое решение имеет вид
Ч-/ = уЖь 0.2')
где индекс i нумерует минимумы и под ^>с, i следует понимать функцию Блоха
отвечающую квазиимпульсу р{ в г-м минимуме.
Методом эффективной массы можно пользоваться также и при непараболи-
непараболическом законе дисперсии. -Для этой цгли надо заменить в D.3") оператор
«кинетической энергии» -=— (— ihV ± — сД) на Ei (р), где р =— itiV ± - cfl.
Уравнение D.8) представляет собой частный случай этого общего правила.
Несколько более сложно обобщение на случай вырожденных зон. Тогда
нельзя ограничиваться рассмотрением только одной из них, ибо условие D.5)
заведомо не будет выполняться. Физически это означает, что возмущение, опи-
описываемое потенциальной энергией Ы) (или вектор-потенциалом), «перемеши-
«перемешивает» различные зоны, если расстояние между ними сравнимо со средней энергией
возмущения. Пусть точка вырождения соответствует краю зоны. Тогда волно-
волновую функцию системы (в условиях плавности возмущения) можно представить
в виде
*(')= S X/(О Ч>/('). D-9)
/=1
где индекс / нумерует зоны, смыкающиеся в точке вырождения, г — число таких
зон (кратность вырождения), ty,- —- функция Блоха, соответствующая рассмат-
рассматриваемому краю /-й зоны. Для коэффициентов разложения }(/ получается система
г дифференциальных уравнений второго порядка
II °&РатГ + «У • X/ = Щ. D. Ю)
j' = \
Здесь D^'p — постоянные, определяющиеся структурой зон и играющие ту же
роль, что и компоненты тензора обратной эффективной массы для невырожден-
невырожденных зон. При 6U = 0 уравнение D.10) должно приводить к закону дисперсии
в идеальном кристалле, что и позволяет выразить коэффициенты D'J,a через па-
параметры энергетического спектра, определяемые из опыта.
Рассмотрим, например, случай двукратно вырожденных зон в кубическом
кристалле. Изоэнергетические поверхности здесь описываются формулой (III.8.6).

§ 5] СПЕКТР НОСИТЕЛЯ В -ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 149
Полагая в D.10) б(/ = 0 и х/ = С,-ехр (-*рг), где Су — постоянные, получаем
для Cj систему однородных уравнений
^^aPfi'-Щ^О. DЛ1)
Условие разрешимости системы D.11) определяет Е как функцию вектора р.
Введя для краткости обозначение
легко находим
Е = Vn + Y, ± |(Yn-T^+Ti2Y2iJA _ DЛЗ)
Это есть не что иное, как формула (III.8.6), причем коэффициенты А, В, С ле:ко
выразить через D^'p.
Аналогичным образом обстоит дело, если зоны не вырождены, но края их
расположены достаточно близко друг от друга, так что условие D.5) в интересной
области энергий все же не выполняется (о таких зонах говорят как о «почти вы-
вырожденных»). Такой случай реализуется в полупроводниках с очень малой шири-
шириной запрещенной зоны. Роль «почти вырожденных» играют здесь зоны проводи-
гости и валентная. При этом также надо пользоваться ье простыми равенствами
D.2) и D.3), а более сложными D.9) и D.10).
Подчеркнем, что деление на «невырожденные» и «почти вырожденные» зоны
не является абсолютным. Как видно из предыдущего, оно определяется интерва-
интервалом энергий, представляющим интерес в том или ином случае. Ориентир здесь
дает неравенство D.5).
§ 5. Энергетический спектр носителя заряда в постоянном
и однородном магнитном поле (квантовая теория)
Воспользуемся методом эффективной массы для решения кван-
товомеханической задачи о движении электрона в постоянном и одно-
однородном магнитном поле. Ограничимся для простоты движением
электрона со скалярной эффективней массой у дна невырожденной
зоны и будем отсчитывать энергию от произвольного начала отсчета.
В отсутствие каких-либо структурных дефектов уравнение D.3")
принимает вид
_±_
% = {Е~ Ес)%. E.1)
Направим ось Z параллельно напряженности магнитного поля.
Тогда, в согласии с D.6), вектор-потенциал можно выбрать в виде
в^х = е^г = 0, es?y = &x. E.2)
При этом коэффициенты в уравнении E.1) не зависят от коорди-
координат у и г и можно искать решение в виде.
E.3)

150 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
где кг и k3 — вещественные волновые числа, / = ( .+ j — матричная
функция; составляющие ее f+ и /_ соответствуют электрону с поло-
положительной и отрицательной z-компонентами спина. Подставляя это
выражение в уравнение E.1), раскрывая оператор (—i^V-f-cfl)
и учитывая, что, согласно E.2), divcfl = 0, находим два уравнения
для функций /±. Их можно записать единым образом, приписывая
и энергии Е индекс «±»:
(^). E.4)
Удобно ввести обозначение
и отсчитывать координату х от точки
Ад т$—, \O.\J)
полагая х = х0 + х'.
Тогда уравнения E.4) примут вид
l±. j ^_ r'2f v f /с. у\
9m Нг'2 Т^ 9mr2 Л /± KJL/i' \w<' /
Формально это есть не что иное, как уравнение Шредингера
для гаомонического осциллятора с «коэффициентом упругости»
к — j" и собственной частотой
тс2
(О
= 1/ ¦— = — мс- E.8)
У т тс с К '
Решение уравнения E.7) хорошо известно из квантовой меха-
механики. Собственные значения v± равны
v± = /Uoe(«+l/2), E.9)
где п = 0, 1, ... — целое число или нуль, а соответствующие соб-
собственные функции суть
/? = y-V. ехр {_ 1 i^ff] Hn[^). E.10)
Здесь
есть постоянная размерности длины (ее называют магнитной дли-
длиной), Нп — полином Эрмита n-го порядка.

§ 5]
СПЕКТР НОСИТЕЛЯ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
151
Комбинируя теперь равенства E.5) и E.9), находим
*262
- ?'с~~2т~-
E.12)
Первое слагаемое в правой части E.12) представляет собой
кинетическую энергию электрона с импульсом hk3, свободно дви-
движущегося вдоль направления магнитного поля. Такой характер
движения вполне согласуется
с классическими представле-
представлениями: компонента силы Ло-
Лоренца по оси Z равна нулю.
Второе слагаемое в E.12)
описывает энергию спинового
магнитного момента в магнит-
магнитном поле. Она может прини-
принимать два значения соответст-
соответственно двум возможным ориен-
тациям спина.
Наконец, третье слагае-
слагаемое отвечает энергии движе-
движения электрона в плоскости,
перпендикулярной магнитно-
п=3
71=1
л=О
fiu)c
Рис. 4.6. Уровни Ландау при одной оп-
определенной ^ориентации спина (слагаемое
"~ в E.12) опущено).
му полю. Видим, что эта энер-
энергия оказывается квантован-
квантованной. При заданных значениях
проекции спина на ось Z и
волнового числа &3 возможные
значения энергии Е± образуют ряд эквидистантных дискретных
уровней (рис. 4.6). Расстояние между ними равно Нас. Этот резуль-
результат был получен в 1930 г. Л. Д. Ландау; соответственно говорят
об уровнях Ландау и о квантовании Ландау. При учете движения
электрона вдоль оси Z уровни Ландау размываются в одномерные
«подзоны». Каждая из них соответствует определенному значению
квантового числа п и той или иной проекции спина на направление
магнитного поля. Нижняя из этих подзон отвечает значению п = 0,
а нижний край ее — дно зоны проводимости в магнитном поле —
дается выражением
Emin~Ec— Р ] g&3 ~\--п-%ШС. E.13)
При классической трактовке орбитального движения электрона
последнее слагаемое в E.13) не появилось бы. Учет квантования
приводит к повышению границы зоны на величину 1/2Йсос — нуле-
нулевую энергию осциллятора.
Заметим, что энергия электрона, движущегося в магнитном
поле, не зависит от волнового числа k2. Последнее входит только
в выражение для координаты х'. Согласно E.6) точка х0 есть «центр

152 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
колебаний». В силу произвольности числа k2 при одном и том же
значении энергии электрона центр колебаний может находиться
где угодно в образце: имеет место вырождение по координате центра
осциллятора. Этого и следовало ожидать: поскольку магнитная
индукция не зависит от координат, в образце нет физически выде-
выделенных точек.
Вычислим теперь степень вырождения каждого уровня в под-
подзоне Ландау, т. е. число квантовых состояний, отвечающих задан-
заданному значению энергии Е и заданному значению k3. Для этой
цели рассмотрим образец конечного объема V. Как и в отсутствие
магнитного поля, форма образца не играет роли, коль скоро раз-
размеры его достаточно велики. Удобно взять образец в виде куба
со стороной L- По направлениям Y и Z подчиним волновую функ-
функцию условиям периодичности. Тогда, подобно (III.ЗЛО),
ky^^iy, kz = -j-nz, E.14)
где пу и nz — положительные или отрицательные целые числа
или нули.
Поскольку функция E.10) локализована в области порядка у
около точки х0, граничные условия по оси х вообще несущест-
несущественны, коль скоро длина L значительно превышает магнитную
длину у. Достаточно ограничить возможные значения х0 условием
-~^хо^\. E.15)
Согласно E.6), E.8) и E.14) отсюда следует, что
s^ flky s^ у mcocL E.16)
Таким образом, при заданных энергии и числе пг квантовое
число пу может принимать
значений. Это и есть искомая кратность вырождения.
Формулу E.12) можно обобщить на случай эллипсоидальных
изоэнергетических поверхностей. Для этой цели надо лишь, в соот-
соответствии с D.8), заменить оператор кинетической энергии в E.1)
более сложным выражением. Пусть, например, изоэнергетические
поверхности представляют собой эллипсоиды вращения (III.8.5).
Тогда энергия носителя заряда по-прежнему дается формулой
E.12), но частота сос теперь оказывается зависящей от угла между,
осью магнитного поля и главной осью эллипсоида энергии: она.

S 5] СПЕКТР НОСИТЕЛЯ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 153
дается формулой E.8), в которую вместо т надо подставить вели-
величину тс из C.5) или C.5')-
Совпадение результатов квантовсмеханического и классического
расчетов частоты сос здесь не должно вызывать удивления. Дей-
Действительно, классическое движение заряженной частицы массы т
в однородном магнитном поле складывается из свободного пере-
перемещения вдоль оси поля и вращения в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной ей. Последнее можно представить как сумму двух гармони-
гармонических колебаний с частотой сос. Тот факт, что при квантовом
рассмотрении мы получили лишь один осциллятор, не'имеет зна-
значения: при другом выборе вектор-потенциала мы могли бы, вместо
E.12), получить выражение, формально содержащее сумму энер-
энергий'двух гармонических осцилляторов; при этом значения Е фак-
фактически не изменились бы.
Классическая трактовка задачи о поведении электрона в маг-
китном поле страдает, однако, двумя недостатками.
Во-первых, она логически непоследовательна: классическое
движение заряда по круговой орбите не может быть устойчивым
из-за неизбежного — в рамках классической механики — излуче-
излучения электромагнитных волн ускоренно движущимся зарядом.
Во-вторых, классическая формула для частоты колебаний со.
совпадает с квантовой только при параболическом законе диспер-
дисперсии. В более сложных условиях дело обстоит иначе: представле-
представление об уровнях и подзонах Ландау сохраняет силу, но формула E.9)
уже не имеет места; спектр уровней Ландау оказывается неэкви-
неэквидистантным. Так, например, обстоит дело в случае вырожденных
зон; характерных для дырок в германии, кремнии и ряде других
материалов.
Таким образом, магнитное поле существенно изменяет энерге-
энергетический спектр свободных носителей заряда. Зона проводимости,
понимаемая как совокупность значений энергии, характеризуе-
характеризуемых тремя непрерывно изменяющимися компонентами квазиволно-
квазиволнового вектора, здесь исчезает. Вместо нее появляется совокупность
одномерных подзон, каждая из которых отвечает одному из уров-
уровней Ландау, т. е. определенному значению квантового числа л,
и описывается лишь одной компонентой kz. Классическая трак-
трактовка задачи о движении свободного электрона или дырки в постоян-
постоянном и однородном магнитном поле может быть оправдана, только
если расстояние между соседними уровнями Ландаумало по срав-
сравнению с характерной энергией носителей заряда Е:
Н^^<? EЛ9)
Роль Е обычно играет либо величина kT (если- электронный
газ подчиняется статистике Больцмана), либо уровень Ферми t,
отсчитанный от дна соответствующей зоны (если имеет место фер-

154 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
миевское вырождение). Магнитные поля, для которых неравен-
неравенство E.19) не выполняется и надо учитывать квантование Ландау,
называются квантующими.
Следует, однако, помнить, что формулы, полученные в настоя-
настоящем параграфе, тоже имеют определенные пределы применимости.
Действительно, мы рассматривали здесь поведение носителей за-
заряда в идеальном кристалле. В применении к реальному кристаллу
полученные таким путем результаты имеют смысл, если можно
пренебречь процессами рассеяния. Последние приводят к нестацио-
нестационарности рассматриваемых нами состояний: на каждом из уровней
электрон может находиться лишь конечное время тр — характер-
характерное время свободного пробега. Согласно принципу неопределен-
неопределенности между энергией и временем это означает, что каждый уро-
уровень приобретает конечную ширину: А? ~ Н/хр. Формулы E.9),
E.12) и т. д. имеют смысл, лишь если эта ширина мала по сравне-
сравнению с расстоянием между уровнями:
Й/тр<Йсос. E.20)
Как и следовало ожидать (в случае параболического закона диспер-
дисперсии!), это есть не что иное, как классическое неравенство состр ^> 1.
Далее, применение в данной задаче метода эффективной массы
оправдано, коль скоро магнитная длина, определяемая форму-
формулой E.11), велика по сравнению с постоянной решетки. При М =
= 104 Гс мы имеем, согласно E.11), у = 0,25-10^6 см.
Квантовомеханическое рассмотрение позволяет особенно ясно
понять сущность явления диамагнитного резонанса. Очевидно,
мы имеем здесь просто переходы между соседними уровнями Лан-
Ландау, вызываемые фотонами частоты а>с.
§ 6. Движение и энергетический спектр носителей заряда
в постоянном электрическом поле
Пусть в кристалле создано постоянное и однородное в про-
пространстве электрическое поле напряженности ?. Этого можно
добиться, например, используя достаточно тонкий образец в ка-
качестве «диэлектрической прослойки» в конденсаторе. Будем счи-
считать, что величина g удовлетворяет условию A.6).
В отличие от магнитного, электрическое поле уже с точки зре-
зрения классической механики может производить работу над зарядом.
Соответственно следует ожидать, что при наложении постоянного
и однородного электрического поля носитель заряда будет менять
свою энергию, т. е. перемещаться по зоне. Для исследования
этого движения воспользуемся уравнением движения A.9). Для
определенности будем говорить об электронах; все результаты
для дырок получаются из приводимых ниже формул изменением
знака при е.

6]
НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА Б ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
155
Замечая, что в рассматриваемом случае сила F = ¦—её, мы
имеем
dt
F.1)
Интегрируя это уравнение с начальным условием р = р0 при i = О,
находим
Р = Ро-<?&. F.2)
По виду формула F.2) описывает неограниченное возрастание
квазиимпульса. Следует, однако, помнить, что по определению
последний изменяется только в пределах первой зоны Бриллюэна,
Поэтому слова «неограниченное возрастание» в данном случае
лишены смысла, Характер движения электрона легко выяснить,
Рис. 4.7. Периодическое движение носителя заряда в
зоне Бриллюэна во внешнем электрическом поле (од-
(одномерный случай). Сплошные линии со стрелками
изображают траекторию носителя в пространстве ква-
квазиимпульсов.
вспоминая, что точки, разделенные вектором fib, описывают одно
и то же состояние электрона. Следовательно, попав на границу
зоны Бриллюэна, электрон, тем самым, попадает и на противо-
противоположную ее границу, откуда вновь начинается увеличение ква-
квазиимпульса. Если векторы о и b параллельны, то квазиимпульс
будет изменяться периодически — так, как это показано (для одно-
одномерного случая) на рис. 4.7. Период осцилляции t0, т. е. время,
за которое электрон проходит всю зону Бриллюэна и возвращается
в исходное состояние, легко найти из условия
Отсюда
(b, 6)
F.3)

156 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОП ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
В частности, в кубическом кристалле, когда вектор 6 паралле-
параллелен одной из главных его осей, мы имеем
* <63')
Периодическому движению электрона по зоне Бриллюэпа дол-,*
жны соответствовать и осцилляции в энергетической зоне. В этом,
легко убедиться, полагая, в соответствии с A.7) и A.3),
i*?L = _*(Svp?(p)). F.4)
Общее решение этого дифференциального уравнения есть произ-
произвольная функция аргумента р — e&t. Поскольку при & = 0 должна
получиться просто энергия электрона в идеальной решетке, мы
имеем
?(р, f) = E(p-ety. F-5)
Как мы знаем, Е (р) есть периодическая функция с периодом fib.
Отсюда сразу следует, что электрон в постоянном и однородном
электрическом поле, параллельном одному из векторов обратной
решетки, осциллирует по энергетической зоне с периодом, опре-
определяемым формулой F.3).
Обратим внимание на приближённый характер проделанного
только что расчета. Именно, мы использовали формулу A.7),
подставив в нее выражение A.3) для средней скорости электрона.
Последнее, однако, было получено для электрона, движущегося
в чисто периодическом пате. Отсюда следует, что равенство F.5)
(как и само представление об осцилляциях электрона по зоне)
приближенно справедливо, лишь если напряженность «кристалли-
«кристаллического» поля, формирующего зонный спектр, велика по срав-
сравнению с § *).
Далее, мы не принимали во внимание рассеяние носителей
заряда неизбежно существующими несовершенствами решетки.
При наличии его представление об осцилляциях электронов
и дырок по зонам сохраняет смысл лишь при условии
*о<тР. F.6)
До сих пор мы рассматривали нестационарное движение носи-
носителей „заряда. Можно поставить и задачу об их стационарных
состояниях, т. е. об энергетическом спектре носителей заряда
в постоянном и однородном электрическом поле. В рассматривае-
рассматриваемом случае потенциальная энергия электрона имеет вид
F.7)
*) По порядку величины напряженность «кристаллического» поля составляет
в среднем около 107 В/см.

¦6]
НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ"
157
где U (г), как и раньше, соответствует электрону а решетке,
а поле 6 предполагается направленным вдоль оси Z. Коль скоро
выполняется неравенство A.6), второе слагаемое в F.7) меняется
несьма медленно по сравнению с первым. Следовательно, локально—
в каждой не слишком большой области кристалла — потенциаль-
потенциальную энергию электрона во внешнем поле можно рассматривать как
почти постоянную, и мы можем написать собственные значения
энергии в виде
. E.8)
Таким образом, локально здесь сохраняется представление о зон-
зонном энергетическом спектре электрона. Однако на больших интер-
интервалах г (порядка Eg/e ё) из-
изменение второго слагаемого
в F.8) становится заметным.
Это означает, что зоны, оста-
ваясь практически неизмен-
неизменными по форме, должны на-
наклониться так, как показано
на рис. 4.8 (для простоты изо-
бражены только границы двух
зон—проводимости и валент-
валентной).
Эти рассуждения справед-
справедливы и в случае неоднород-
неоднородного электрического поля,
Рис. 4.8. Наклонные энергетические зо-
зоны в постоянном и однородном электри-
электрическом поле. Ось Z направлена вдоль
вектора ?.
если только оно достаточ-
достаточно плавное: напряженность
поля должна медленно меняться на протяжении характерной
длины волны электрона. Действительно, в этом случае потен-
потенциальную энергию электрона в рассматриваемом поле можио
по-прежнему рассматривать как величину, локально постоянную.
На достаточно больших расстояниях, однако, различие между
однородным и неоднородным полями становится заметным: в пос-
последнем случае границы зон оказываются непрямолинейными.
Об этом говорят как об искривлении зон. Представление об искрив-
искривленных зонах весьма часто используется в задачах, в которых
играют роль пространственно неоднородные электрические поля
(гл. VI — XI). Оно позволяет, в частности, пользоваться уравне-
уравнениями движения A.9), A-10)—A.10") не только в пространственно
однородных, но и в плавных неоднородных полях.
Из рассмотрения рис. 4.8 вытекает, что запрещенной зоны
в том смысле, в каком этот термин употреблялся раньше, здесь,
строго говоря, нет. Действительно, для любого значения энергии
можно найти область пространства, в которой оно попадает, напри-
например, в зону проводимости; в другой области изменения г оно же

158 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
попадает в валентную зону. Представление о границах зон тем
не менее сохраняет известный смысл.
Чтобы выяснить его, вернемся к одномерному примеру, рассмот-
рассмотренному в § III.5 (результаты будут иметь и общее значение). В этом
случае верхняя и нижняя границы энергии электрона в данной
зоне (в чисто периодическом поле) соответствуют максимальному
и минимальному значениям выражения (ГП.5.12"). При веществен-
вещественных значениях к — kd выражение (II 1.5.12") ограничено и зона
имеет конечную ширину. Легко видеть, однако, что выражение
(III.5.10) удовлетворяет системе уравнений (III.5.8) и при мни-
мнимых X. При этом, очевидно, cos X заменяется на ch |А,|, т. е. абсо-
абсолютная величина функции (III.5.12") может быть сколь угодно
большой. Следовательно, если бы были допустимы мнимые значе-
значения квазиволнового числа k, то ширина разрешенной зоны была бы
бесконечно велика.
Мы знаем, однако, что в силу условия нормировки (II 1.2.8)
компоненты квазиволнового вектора должны быть вещественными.
Действительно, в противном случае волновая функция электрона
содержала бы множитель
ехр(— zlmk). F.9)
При любом знаке Im k выражение F.9) расходится на беско-
бесконечности — либо при г -> + оо, либо при z -> — оо. Единствен-
Единственный способ избежать этой расходимости состоит в том, чтобы вы-
выбрать в данной области энергий тривиальное решение: лр = 0.
Это и означает, что электрон в запрещенной зоне находиться
не может: вероятность обнаружить его там равна нулю.
Итак, значениям энергии, лежащим в запрещенной зоне, фор-
формально можно сопоставить ненулевые решения уравнения Шредин-
гера. Эти решения, однако, не осциллируют, а возрастают при
одном из способов стремления координаты z к бесконечности,
почему и исключаются условием (III.2.8), заменяясь тривиаль-
тривиальным г|) = 0. Иначе говоря, понятие «запрещенная зона» можно
определить двояко:
а) как совокупность значений энергии, не допускаемых усло-
условием (II 1.2.8) и потому в идеальном кристалле физически не реа-
реализующихся;
б) как совокупность значений энергии, которым отвечают.
ненулевые решения с мнимым квазиимпульсом — затухающие или
возрастающие на бесконечности.
Для идеального кристалла в отсутствие внешних полей эти
два определения идентичны. При наложении электрического поля,
однако, положение меняется. Первое определение теперь отпа-
отпадает, второе же — остается в силе. Действительно, коль скоро
потенциальная энергия электрона во внешнем поле остается почти

§ 6] НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 159
постоянной на протяжении многих постоянных решетки, волно-
волновые функции его локально будут иметь почти такой же вид, как
и в отсутствие поля. Следовательно, сохраняется деление волно-
волновых функций на осциллирующие («разрешенная» зона) и затухаю-
затухающие или возрастающие («запрещенная» зона). Границы зон при
этом будут зависеть от координат. (Для разрешенной зоны, пони-
понимаемой как совокупность дозволенных значений энергии, это было
бы бессмысленно: собственные значения уравнения Шредингера,
по определению, от координат не зависят.)
Из рис. 4.8 видно, почему в рассматриваемом случае условие
ограниченности решения на бесконечности не исключает состояний
с мнимым квазиимпульсом. Дело в том, что благодаря наклону
зон электрон находится в запрещенной зоне лишь в ограничен-
ограниченной области пространства (так, электрон с энергией Ег находится
в запрещенной зоне на участке zx<iz < z2). Далее, для любой точки
на границе дозволенной зоны запрещенная зона лежит со сто-
стороны только меньших или только больших значений z (см., напри-
например, точки 2 и 1 на рис. 4.8). Следовательно, существует физически
осмысленное решение, при котором z Im k > 0, т. е., согласно F.9),
волновая функция убывает по мере прЬникновения в глубь запре-
запрещенной зоны.
Иначе говоря, при наложении электрического поля вероят-
вероятность обнаружить электрон в запрещенной зоне становится отлич-
отличной от нуля, но она все же сравнительно невелика. В этом и состоит
смысл термина «запрещенная зона» при наличии внешнего элек-
электрического поля.
Из сказанного явствует, что электрон во внешнем поле может,
не совершая работы, перейти из одной разрешенной зоны в дру-
другую. Пусть, например, в начальный момент времени электрон
с энергией Ех находится на границе валентной зоны (в точке 2
рис. 4.8). Согласно F.9) волновая функция его в запрещенной
зоне теперь не равна нулю тождественно, а пропорциональна
ехр {—(z2 — z) Im k). Следовательно, существует конечная веро-
вероятность «просачивания» электрона через запрещенную зону в точку /,
расположенную уже на границе зоны проводимости. Это явление
в известной мере аналогично хорошо известному из квантовой
механики туннельному переходу электрона из одной потенциаль-
потенциальной ямы в другую сквозь разделяющий их потенциальный барьер.
Соответственно оно получило название туннельного эффекта *).
Вероятность его а?5 тем больше, чем меньше расстояние z.2 — zlf
т. е. чем сильнее наклонены зоны. Вычисления, на которых мы
не будем останавливаться (см. [1, 31), показывают, что с точностью
*) Следует, однако, помнить, что аналогия с обычным туннельным эффек-
эффектом не полна: потенциального барьера в обычном смысле слова запрещенная зонд
не представляет.

160 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
до несущественного предэкспоненциального множителя
F.10)
где §0— постоянная, зависящая от параметров кристалла (от ши-
ширины запрещенной зоны, расположения экстремумов в зоне Брил-
люэна, эффективных масс электрона в зонах проводимости и валент-
валентной и т. д.).
Пусть, например, изоэнергетические поверхности вблизи дна
зоны проводимости и потолка валентной зоны суть сферы с цен-
центрами в центре зоны Бриллюэна; соответствующие эффективные
массы обозначим через тп и — тр (тр > 0). Тогда
Р FП)
тпт„
где tnr = г-— есть приведенная эффективная масса электрона и
тп -\- nip
дырки. При Eg — \ эВ и mr = 0,lm0 формула F.11) дает go —
~ 107 В /см.
Видно, что в слабых полях (8 <J 80) вероятность туннельного
эффекта совершенно ничтожна и им можно пренебречь. При этом
достаточно рассматривать движение электрона только в одной
зоне, т. е. справедливы рассуждения, изложенные в начале этого
параграфа. С увеличением напряженности поля вероятность тун-
туннельного эффекта быстро возрастает, и при ё ~ 0,1 80 его уже
надо принимать во внимание.
Туннельный эффект может иметь место и в неоднородных элек-
электрических полях. С ним связан ряд явлений, наблюдаемых в полу-
полупроводниках. Так, он обусловливает один из возможных механиз-
механизмов пробоя беспримесного образца: в достаточно сильном поле
происходит спонтанное образование электронов проводимости и
дырок в валентной зоне *). Далее, на этом эффекте основано дей-
действие туннельных диодов (см. § VIII. 3). v
Наконец, некоторые особенности поглощения света полупро-
полупроводниками в сильном поле также объясняются туннельным эффек-
эффектом (§ XVIII. 10).
§ 7. Мелкие примесные уровни в гомеополярном кристалле
Рассмотрим простейшую задачу теории реальных кристаллов —
задачу о мелких уровнях, создаваемых в запрещенной зоне изоли-
изолированными атомами посторонней примеси. Мелкими будем называть
*) Этот механизм — не единственный. По-видимому, в ряде случаев более
существенную роль играет механизм ударной ионизации; электрон проводимости,
разгоняемый электрическим полем, приобретает энергию, достаточную для того,
чтобы «вышибить» другой электрон из валентной зоны.

§ 7] ПРИМЕСНЫЕ УРОВНИ В ГОМЕОПОЛЯРНОМ КРИСТАЛЛЕ 161
уровни, удовлетворяющие неравенству D.5): расстояние от уровня
до границы ближайшей к нему зоны должно быть мало по сравне-
сравнению с шириной запрещенной зоны. Такие уровни возникают, напри-
например, в германии и кремнии при введении туда примесей элемен-
элементов V и III групп периодической системы (§ II.9). Для расчета
этих уровней можно воспользоваться уравнением D.3) или его
обобщениями D.8) и D.10). В качестве 8U (г) здесь следует взять
потенциальную энергию взаимодействия электрона с атомным
остатком донора (или дырки — с акцептором). Точный вид 6?/
зависит от химической природы примеси, и в общем случае его
трудно определить. Для мелких уровней, однако, это обстоя-
обстоятельство не очень существенно, ибо, как мы увидим, главную роль
в задаче играют расстояния г между электроном и ядром донора,
значительно превышающие линейный размер атомного остатка.
Как известно из электростатики, при этом детали, связанные с кон-
конкретным видом распределения заряда в атомном остатке, уже
не играют роли, и функция 8U (г) дается обычным законом
Кулона:
«{/ = ——. G.1)
Здесь Z — заряд атомного остатка в единицах е (в интересующем
нас случае Z — 1), 8 — диэлектрическая проницаемость решетки *).
Мы получаем, таким образом, задачу об атоме водорода —•
с той лишь разницей, что в рассматриваемом случае в выраже-
выражении G.1) фигурирует диэлектрическая проницаемость среды, а опе-
оператор кинетической энергии, вместо истинной массы электрона,
содержит эффективную (или, общее, тензор обратной эффектив-
эффективной массы). Соответственно о модели примесного центра, основан-
основанной на использовании выражения G.1) и метода эффективной
массы, говорят как о водородной модели. ¦
Отметим сразу же одно качественное следствие из этой модели,
справедливое при любой анизотропии зон: расположение уров-
уровней не должно зависеть от химической природы примеси (разуме-
(разумеется, в пределах данной группы периодической системы — напри-
например, V группы для доноров и III группы для акцепторов в герма-
германии и кремнии). Таким образом, относительная разность между
энергиями ионизации различных примесей этого типа в данном
кристалле может служить мерой точности водородной модели.
Данные таблицы 2.1 показывают, что для примесей III и V групп
в Ge Еодородная модель дает неплохое приближение.
*) В рассматриваемом нами случае гомеополярных кристаллов вся поляри-
поляризуемость безынерционная. Для мелких уровней обл'асть дисперсии 8 соответст-
соответствует частотам, значительно превышающим характерное значение <??1Л, где <з7 —
энергия ионизации примеси. Это позволяет считать е просто константой, рав-
равной своему статическому значению.

162 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Конкретный расчет особенно прост в случае изотропной эффек-
эффективной массы. Подставляя выражение G.1) (при Z = 1) в урав-
уравнении D.3), мы имеем
Введем характерные единицы длины и энергии:
ей2 „ те* ._ оч
Величины а.в и Ев обычно называют боровским радиусом и боров-
ской энергией в кристалле.
Будем измерять длину в единицах ав, а энергию — в едини-
единицах Ев- Тогда уравнение G.2) примет вид (мы сохраняем преж-
прежние обозначения для безразмерных переменных)
-V2x-4x = ?x- G.2')
Решение уравнения G.2') можно найти в курсах квантовой меха-
механики.
Имеются два участка спектра, соответствующие тому или
другому знаку энергии Е.
а) Непрерывный спектр: Е > 0.
Здесь все значения Е дозволены; функция % есть кулоновская
волновая функция непрерывного спектра.
Согласно сказанному в § 4 эта область энергий соответствует
зоне проводимости. Отличие функции % от плоской волны D.4)
описывает влияние примеси на движение свободных носителей
заряда.
б) Дискретный спектр: Е < 0.
Дозволенные значения энергии даются выражением
Ея = -|г. п = 1,2,... G.4)
«Сглаженная» функция % в данном случае есть кулоновская вол-
волновая функция дискретного спектра. В частности, при п = 1
(низший, или основной, уровень) мы имеем (в справедливости этого
решения можно убедиться и простой подстановкой)
1 = (лаь)-1/г ехр (~г/ав). G.5)
Постоянный множитель здесь выбран в соответствии с обычным
условием нормировки
Поскольку начало отсчета энергии у нас совмещено с дном
зоны проводимости Ес, дискретные уровни G.4) лежат в запрещен-

§7] ПРИМЕСНЫЕ УРОВНИ В ГОМЕОПОЛ ЯРНОМ КРИСТАЛЛЕ 163
пой зоне. Электрон, занимающий один из таких уровней, локали-
локализован вблизи атома примеси (соответственно чему эти уровни
иногда называют локальными). Наибольшая степень локализации
соответствует основному состоянию (я = 1). Тогда, согласно G.5),
«радиус орбиты», т. е. наиболее вероятное расстояние между атомом
примеси и электроном, равен ав. При больших значениях я «радиус
орбиты» есть пав- Из предыдущего ясно, что весь расчет имеет смысл
лишь при достаточно слабой локализации электрона, Именно,
формула G.1) оправдана, если
ав>а. G.6)
Это же условие обеспечивает и возможность использовать метод
эффективной массы и представление о диэлектрической прони-
проницаемости.
Энергия ионизации s7, т. е. работа, которую надо совершить,
чтобы перевести электрон на дно зоны проводимости, есть, оче-
очевидно, —?у.
4
Для германия е = 16. Полагая еще т — 0,2/п0, мы получаем
из G.7) s7 = 1,07-10~2 эВ, что близко к экспериментальным дан-
данным для мелких доноров (табл. 2.1). По этой причине для ориенти-
ориентировочной порядковой оценки величин, характеризующих элек-
электроны проводимости в германии, иногда пользуются изотропной
моделью с эффективной массой т = 0,2/п0. Согласно G.3) при этом
ав = 40 А, что. удовлетворяет неравенству G.6).
Строгий расчет мелких донорных и акцепторных уровней в гер-
германии-и кремнии должен основываться на уравнениях D.8) и D.10).
Здесь приходится прибегать к приближенным методам расчета,
детали которых можно найти в оригинальных статьях [4, 5, 6].
До сих пор мы явно предполагали, что носитель заряда взаимо-
взаимодействует лишь с одним примесным атомом. Фактически атомов
примеси всегда много, и, строго говоря, вместо G.1) надо было бы
писать
1]тЁщ' <7Л')
где индекс i нумерует атомы примеси, a R/ есть радиус-вектор
t'-ro примесного атома. Переход от G.1') к G.1) оправдан лишь
при достаточно малой концентрации примеси Nt. Именно, пусть
носитель заряда локализован на я-м уровне около какого-то при-
примесного атома. Тогда энергия его взаимодействия со всеми осталь-
остальными атомами примеси должна быть (по абсолютной величине)
мала по сравнению с величиной \Еп\ G.4). По порядку величины
названная энергия составляет ^Af'/V1 (так как среднее расстояние

164 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ 1ГЛ. IV
между примесными атомами — порядка ЫТУз)- Таким образом,
должно выполняться неравенство гЕвп~2 ^> e2N'/3 или, в силу G.3)*),
<Л/71/з. G.8)
При нарушении неравенства G.8) взаимодействие между раз-
различными атомами примеси приводит к сдвигу и расщеплению уров-
уровней G.4).
Особый интерес представляют явления, происходящие при пере-
перекрытии волновых функций носителей, локализованных у различ-
различных атомов примеси. Такое пе-
перекрытие становится существен-
существенным, когда среднее расстояние
между атомами оказывается
^^ сравнимым с радиусом соответ-
G.9)
}
Рис. 4.9. Примесная зона доноров за- При этом происходите качествен-
штрихована. Двойной штриховкой по- „0 ОТНошении ТО же самое, ЧТО
казаны заполненные уровни в прямее- ¦ „
ной зоне. и при ооразовании кристалла из
атомов (ср. § II 1.5): появляется
возможность непосредственного (без участия зоны проводимости)
туннельного перехода электрона (дырки) с. одного донора (акцеп-
(акцептора) на другой. В результате дискретные примесные уровни «раз-
«размываются», образуя дозволенную область, лежащую в запрещенной
зоне (подобно тому как «размываются» уровни регулярных атомов).
Эта область называется примесной зоной (рис. 4.9).
Заметим, однако, что аналогия с образованием «собственных»
зон кристалла не полна, ибо атомы примеси, вообще говоря, не обра-
образуют периодической решетки. По этой причине было бы, напри-
например, неправильно приписывать электрону в примесной зоне строго
определенный квазиимпульс.
При образовании примесной зоны становится возможным новый
механизм электропроводности — по примесной зоне. Для этого
примесная зона не должна быть целиком заполненной. Так обстоит
дело, если кроме основной примеси, скажем, мелких доноров (кон-
(концентрация Nd), в полупроводнике имеются еще и компенсирую-
компенсирующие акцепторы (с концентрацией Na < Nd), уровни энергии кото-
которых расположены ниже уровней доноров. Тогда при низких тем-
температурах все акцепторы будут заполнены электронами, доноры
же частично (с концентрацией Na) окажутся пустыми и станут
*) Фактически неравенство G.8) может быть несколько ослаблено благодаря
учету взаимодействия электронов друг с другом. Этот эффект приводит, в част-
частности, к экранированию взаимодействия электронов с донорами, в результате
чего поля последних эффективно ослабляются (см. гл. XVII).

§7]
ПРИМЕСНЫЕ УРОВНИ В ГОМЕОПОЛЯРНОМ КРИСТАЛЛЕ
165
возможными переходы электронов с заполненных доноров на пу-
пустые. Так как среднее расстояние между примесными центрами
больше расстояния между атомами основной решетки, то и вероят-
вероятности туннельных переходов между атомами примеси меньше, чем
между атомами основной решетки. Поэтому подвижность электронов
(дырок) в примерной зоне гораздо меньше, чем в «собственных» зонах.
Существование проводимости по примесной зоне можно обна-
обнаружить экспериментально, исследуя электрические свойства кри-
сталлов при низких тем-
температурах. На рис. 4.10*)
даны температурные зави-
зависимости удельного сопро-
сопротивления р и постоянной
Холла R в кристаллах ды-
дырочного германия с при-
примесями элементов III и V
групп. При понижении тем-
температуры р и R сначала
увеличиваются по экспо-
экспоненциальному закону. Од-
Однако в дальнейшем зависи-
зависимость р от Т становится
слабой, a R проходит через
максимум (в рассматривае-
рассматриваемом примере около 5,5 К).
Такое поведение р и R
объясняется тем, что пол-
полная концентрация элект-
электронов на донорах (Nd —
— Na) (для определенности
мы говорим о полупроводнике
10
,12
-
/
/
/
/>
¦ //N
7/
//
i tj\ i i t iii
//
\
10s
fO4
0,1 0,15 0,20
10s
0,25 0,30
f/T,K'
Рис. 4.10. Удельное сопротивление р и по-
постоянная Холла R при низких температурах
в германии. Л/д=4,4-1015 см~3, Na~
= 1,0-1014 см.
я-типа) распределяется между
зоной проводимости (концентрацию в которой обозначим через пх)
и примесной зоной (концентрация п2). Тогда р= 1/е (л1[г1+ я2щ),
а постоянная Холла выражается формулой A.4.5). При сравни-
сравнительно высоких температурах я^ > n2\i2 и доминирует элек-
электропроводность в зоне проводимости. Если бы примесные уровни
были дискретными (fx2 Ir-o = 0), то при Т -*¦ Омы имели бы р-*-оо,
R -v оо, так как nx-v 0 (пунктир на рис. 4.10). При очень низких
температурах, когда п^ <^ п2\иг, главный вклад в электропровод-
электропроводность вносит примесная зона, концентрация электронов (дырок)
в которой практически не зависит от температуры. При Т-*-0
величины р и R должны стремиться к конечным значениям;
*) По данным работы Н. Fritzsche, Phys. Rev. 99, Ni 2, 406 A955).

166 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. IV
Существование максимума постоянной Холла следует из форг
мулы A.4.5) при учете условия пг + п2 = const. Так, например,
если бы подвижности не зависели от температуры, а холловские
факторы в обеих зонах были равны: (^hIP-i = Щя1щ> то выраже-
выражение A.4.5) достигало бы максимума при п^ = п2ц2.
Примесная зона возникает сначала в результате перекрытия
волновых функций возбужденных состояний. По мере увеличения
концентрации примеси «размываются» все более и более низко-
лежащие уровни — вплоть до основного. Наконец, при достаточно
больших значениях Nt примесная зона перекрывается с ближайшей
«собственной» зоной кристалла — зоной проводимости или валент-
валентной. В германии, легированном донорами V группы, такое пере-
перекрытие наступает при Nt я« 1017 см. При этом деление на при-
примесную и собственную зоны теряет смысл — возникает единая
область непрерывного спектра, и вещество ведет себя в электриче-
электрическом отношении как плохой металл. Полупроводники такого типа
называют сильно легированными. Они рассматриваются в гл, XIX.

Глава V
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
§ 1. Введение
В предыдущих главах были рассмотрены различные возможные
квантовые состояния электронов в кристалле, т. е. различные
типы стационарных движений электронов. В состоянии термодина-
термодинамического равновесия для данного образца кристалла при задан-
ной температуре существует определенное распределение элек-
электронов по различным квантовым состояниям. В результате в кри-
кристалле устанавливается определенная концентрация свободных
электронов п в зоне проводимости и концентрация свободных
дырок р в дырочной зоне. Кроме того, в кристалле, содержащем
локальные уровни энергии (примесные атомы и структурные де-
дефекты), могут быть еще отрицательно заряженные акцепторы,
на которых в каждой единице объема находится некоторое коли-
количество связанных электронов tit, и положительно заряженные
доноры, содержащие некоторую концентрацию связанных ды-
дырок pt.
Вычисление этих концентраций подвижных и связанных носи-
носителей заряда составляет основную задачу статистики электронов и
дырок в кристаллах.
Решение указанной задачи необходимо для понимания многих
электрических и оптических явлений в полупроводниках. В част-
частности, оно позволяет выяснить зависимость основных электриче-
электрических свойств полупроводника (электропроводности, подвижности
и др.) от количества и состава примесей, и от температуры. И, нао-
наоборот, анализируя с помощью теоретических соотношений стати-
статистики экспериментальные данные о температурной* зависимости
концентраций электронов и дырок, оказывается возможным найти
энергетические уровни, создаваемые примесными атомами и струк-
структурными дефектами, а также их концентрации.
Рассматриваемая задача распадается на две части: чисто кван-
товомеханическую — нахождение числа возможных квантовых со-
состояний электронов и статистическую — определение фактиче-
фактического распределения электронов по этим квантовым состояниям
при термодинамическом равновесии,

168
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОД
[ГЛ. V
§ 2. Распределение квантовых состояний в зонах
Как показано в гл. III, стационарные состояния электрона
в идеальном кристалле характеризуются квазиимпульсом р = Ш
и номером зоны /. При этом объем в зоне Бриллюэна, приходящийся
на каждое значение р, равен BяйK /У, где V — объем кристалла.
Поэтому число квантовых состояний, соответствующее элементу
объема в зоне Бриллюэна dp и рассчитанное на единицу объема
кристалла, есть
О Ф ! _ о dp
>E*dE
" \2nhflV V * BяйK * ' '
Здесь множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина.
В термодинамическом равновесии вероятность заполнения кван-
квантовых состояний зависит только от их энергии Е и температуры,
поэтому в B.1) в качестве dp часто
удобно выбирать элемент объема,
заключенный между двумя беско-
бесконечно близкими изоэнергетически-
ми поверхностями (рис. 5.1). Чис-
Число квантовых состояний, соответ-
соответствующих заданному интервалу
энергий Е, Е + dE и по-преж-
по-прежнему рассчитанное на единицу
объема кристалла, можно предста-
представить в виде N (Е) dE, где N (Е)
есть плотность состояний.
Точное вычисление функции
N (E) в общем случае не просто,
так как поверхности постоянной
энергии имеют сложную форму. Однако во многих случаях ока-
оказывается достаточным точно знать функцию N (E) только вблизи
краев зон, отчего задача существенно упрощается.
Рассмотрим сначала простейший случай изотропного парабо-
параболического закона дисперсии (обобщение результатов на случай
анизотропного закона дисперсии будет дано в § 7). Тогда для паль
ной энергии электрона можно написать
B.2)
Рис. 5.1. К определению плотно-
плотности квантовых состояний в зоне.
при этом квазиимпульс р отсчитывается от его значения, соответ-
соответствующего Ес. Далее dp есть объем сферического слоя 4np2dp.
Из B.2) имеем
р = Bтя)'/« (Е - Есу*, dp = У Bтя)V. (Е - Ес)-'>:- dE .
Поэтому
Nc (Е) = -к-^г (V* (E - Есу<>. B.3)

$ 3] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ-ДИРАКА 169
Распределение квантовых состояний в валентной (дырочной)
зоне получается с помощью аналогичных рассуждений. Рассматри-
Рассматривая по-прежнему случай изотропного параболического закона
дисперсии, мы имеем
P—F — п'2 10 Л\
?~?™ 2тр Р • \1Л>
Поэтому для плотности состояний вблизи края валентной зоны
вместо B.3) получается
N W BтрУи (Е« ~ ЕУЫ' B.5)
Более общие выражения для плотности состояний приводятся
в §7.
§ 3. Распределение Ферми — Дирака
Электроны, как частицы, обладающие полуцелым спином, под-
подчиняются, как известно, статистике Ферми — Дирака. Вероятность
того, что электрон будет находить-
находиться в квантовом состоянии с энер-
гией Е, выражается функцией Фер-
Ферми — Дирака
^)\ C.1)
Здесь F — электрохимический по-
потенциал, или уровень Ферми, ко-
который, в общем случае, тоже за- ° f
висит от температуры. „ _ „ Л . _
Уровень Ферми тесно связан Рис' 52' фунркацкиая «ч>»-Д-
с термодинамическими характери-
характеристиками системы. Так, например, его можно определить как при-
приращение свободной энергии системы при добавлении к ней одного
электрона при условии постоянства объема и температуры (см. § 11).
Однако мы не будем пока входить подробнее" в обсуждение термо-
термодинамического смысла F, а будем рассматривать ее как некоторую
характерную энергию, зависящую от типа полупроводника, его
состава и состоянияЧтемпературы, давления и др.), значение кото-
которой подлежит дальнейшему определению. Из выражения C.1)
видно, что уровень Ферми можно также определить как энергию
такого квантового состояния, вероятность заполнения которого
при данных условиях равна 1/2.
Вид функции Ферми — Дирака схематически показан на рис. 5.2.
При Т — О она имеет вид разрывной функции. Для Е <с F она
равна 1, а, значит, все квантовые состояния с такими энергиями
заполнены электронами. Для Е> Fфункция/ — 0 и соответствую-

170 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК ЕГЛ. V
щие квантовые состояния совершенно не заполнены. При Т Ф 0
функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой
области энергий, порядка нескольких kT, в окрестности точки Е — F
быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше,
чем выше температура.
Вероятность того, что данное квантовое состояние с энергией Е
не занято электроном, fp, есть
^)\ C.1а)
Вычисление различных статистических величин значительно
упрощается, если F лежит в запрещенной зоне энергий и удален
от края зоны Ес хотя бы на B н- 3)kTt Тогда в распределении C.1)
можно считать
Е—F ^ ,
>1
и оно переходит в распределение Максвелла — Больцмана класси-
классической статистики
f = Cexp(--|r), C.16)
где С — постоянная. В этом случае мы говорим, что электронный
газ не вырожден. Аналогично, в полупроводнике р-типа для отсут-
отсутствия вырождения дырочного газа необходимо, чтобы уровень
Ферми F тоже лежал внутри запрещенной зоны и был располо-
расположен выше энергии Ev хотя бы на B -s- S)kT. Противоположный
случай, когда уровень Ферми расположен внутри зоны проводи-
проводимости или внутри валентной зоны, есть случай вырожденного элек-
электронного или, соответственно, дырочного газа. В этом случае
существенно необходимо пользоваться распределением Ферми —
Дирака C.1) или C.1а);
В дальнейшем при вычислении концентраций подвижных и свя-
связанных носителей заряда мы разделим задачу на две части. А именно,
сначала мы выразим эти концентрации через уровень Ферми,
а затем рассмотрим, как определить положение самого уровня
Ферми,
§ 4. Концентрации электронов и дырок в зонах
Согласно сказанному выше концентрация электронов в зоне
проводимости равна
n=\Ne(E)f(E,T)dE. D.1)
Е
Ес
Отметим; что в качестве верхнего предела в написанном интеграле
мы должны были бы взять энергию верхнего края зоны проводи-

§ 4] КОНЦЕНТРАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ЗОНАХ 171
мости. Однако так как функция / для значений энергий Е > F
быстро убывает с увеличением Е, то замена верхнего предела
на оо практически не меняет значения интеграла.
Интеграл D.1) удобно представить в следующем виде. Выберем
новую переменную интегрирования
Обозначим, далее,
D.2)
Величина Z, носит название химического потенциала для электро-
электронов, а ? * есть его безразмерное значение. Обозначим, наконец,
для сокращения
Эта величина получила название эффективной плотности состоя-
состояний в зоне проводимости (смысл этого названия будет выяснен
ниже), Тогда нетрудно убедиться, что интеграл D.1) принимает
вид
n = Ne<S>t/t&*), D-4)
где
2 ? ,'/,Л
Фу.(?*) = -^=- \ —^—•
У л J J-j-exp(x—Q)
Значение интеграла D.5) зависит только от параметра ? *, т. е.
от химического потенциала, и температуры. Этот интеграл изве-
известен как интеграл Ферми — Дирака (или, точнее, интеграл Ферми —
Дирака с индексом 1/2) и в общем случае не выражается через эле-
элементарные функции. Таблица его значений приведена в Прило-
Приложении III.
Рассуждая аналогично, легко найти и выражение для концен-
концентрации положительных дырок в валентной зоне. Отличия от пре-
предыдущего случая заключаются лишь в том, что мы, во-первых,
должны использовать выражение B.5) для плотности состояний
в валентной зоне. Во-вторых, мы должны подсчитывать не число
заполненных, а число незанятых состояний. И, наконец, интегри-
интегрирование по энергиям нужно производить в пределах валентной
зоны. Поэтому
р= \Nv(E)fP(E,T)dE, D.6)

172 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. V
где fp выражается формулой C.1а). Вводя, как и выше, безразмер-
безразмерную переменную
и безразмерный параметр
if = -^ , D.7)
мы приходим к формуле, аналогичной соотношению D.4):
p = NJS>4l{x\*). D.8)
Здесь Nv есть эффективная плотность состояний в валентной зоне:
2пт„кТ \V,
а Фу, (ri *) — прежний интеграл Ферми D.5). Однако теперь
он содержит другой параметр ц *, характеризующий положение
уровня Ферми относительно края валентной зоны. Разность
есть химический потенциал для дырок.
Формулы D.4) и D.8) справедливы для полупроводника, одно-
однородного по составу и в отсутствие внешних полей. Легко обобщить
их на случай, когда в образце имеется электрическое полес потен-
потенциалом ф, плавно (в смысле, указанном в § IV.6) изменяю-
изменяющимся в пространстве. Действительно, в этом случае применимо
представление об искривленных зонах и, следовательно, вели-
величины Ес и Ev надо заменить на Ес — ец> и Ev — еср, где Ес и Ех, —
энергии краев зон при ф = 0. Поэтому, если to есть безразмерный
химический потенциал при ф = 0, то выражение для концентра-
концентрации электронов принимает вид
D.4а)
Аналогично, для концентрации дырок получаем
§ 5. Невырожденные полупрозодники
Выражения D.4) и D.8) для концентраций значительно упро-
упрощаются для невырожденных полупроводников. Такой случай пока-
показан на рис. 5.3, где даны плотность квантовых состояний Лгс (Е),
функция Ферми / (Е, Т)> а также их произведение, равное dn/dE
(здесь dn — концентрация электронов с энергией в интервале
Е, E + dE). Полное количество электронов в зоне определяется пло-

§ 5]
НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
173
щадью, ограниченной кривой Лгс (Е) f (E, Г) и осью Е. При этом
существен только «хвост» распределения Ферми, который может
быть аппроксимирован распределением Максвелла — Больцмана.
Для невырожденного полупроводника в формуле D.5) мы имеем
ехр (х — ?,*) р> 1, и поэтому интеграл Ферми принимает вид
Входящий сюда интеграл хорошо известен и равен
р V» j
J J 2
_ о о
Поэтому
и, следовательно,
n = Nc ехр
kT
E-1)
Аналогично упрощается выражение для концентрации дырок
в невырожденном полупроводнике. Здесь в интеграле Ферми
можно положить ехр {у — ?1*);>1,
и поэтому, поступая, как и выше,
мы имеем
i = Л/, ехр ¦
kT
E.2)
^/7
4
Полученные выражения E.1)
и E.2) разъясняют смысл назва-
названия «эффективная плотность со-
состояний» в зонах для величин Nc
и Nv. Экспоненциальный множи-
множитель в выражении E.1) для невы-
невырожденного полупроводника (рас-
(распределение Максвелла — Больц-
Больцмана) дает вероятность заполне-
заполнения квантового состояния с энер-
энергией Ес. Поэтому формула E.1)
обозначает, что для невырожден-
невырожденного полупроводника концентра-
концентрация подвижных электронов полу-
получается такой же, как если бы, вместо непрерывного распределения
состояний в зоне, в каждой единице объема было Nc состояний с оди-
одинаковой энергией Ес. Аналогично, экспоненциальный множитель
в E.2) выражает вероятность того, что состояние с энергией Ev
не занято электроном, и. потому формула E.2) показывает, что при
подсчете концентрации дырок валентную зону можно заменить
?с ?
Рис. 5.3. Схематический ход функ-
функций Nc (?) и / (?, Т) и dn/dE для
невырожденного полупроводника
п-типа.

174 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. V
совокупностью состояний с одинаковой энергией Ev, число кото-
которых в каждой единице объема есть Nv.
Полагая в выражении D.3) тп равным массе изолированного
электрона т0 и Г = 300 К, мы получаем N„ = 2,510 -Ю19 см. Для
какой-либо другой температуры и иной эффективной массы мы
имеем
зоо-Г см~3' E'3)
где тп(р) — эффективная масса электронов или, соответственно,
дырок. В невырожденных полупроводниках концентрация основ-
основных носителей мала по сравнению с Nc и Nv. В вырожденных полу-
полупроводниках имеет место обратное. Поэтому, сопоставляя изме-
измеренные значения концентрации электронов и дырок со значениями
Nc и Nv, определяемыми соотношением E.3), можно сразу устано-
установить, является ли данный полупроводник вырожденным или нет.
Так как эффективная масса входит в выражения для пир
только в виде множителя /п3/2, в то время как уровень Ферми F
входит в показатель степени, то отношение nip зависит главным
образом от положения F относительно краев зон. Выражения
E.1) и E.2) показывают, что концентрация подвижных носителей
заряда будет больше в той зоне, к которой ближе расположен уро-
уровень Ферми. Носители заряда в этой'ближайшей зоне будут основ-
основными, поэтому в полупроводниках n-типа уровень Ферми располо-
расположен в верхней половине запрещенной зоны, а в полупроводниках
р-типа — в нижней половине. Исключение могут составить узко-
узкозонные полупроводники, в которых тп и тр могут сильно отличаться.
Однако произведение концентраций электронов и дырок для
невырожденного полупроводника не зависит от положения уровня
Ферми. Согласно E.1) и E.2) оно равно
E.4)
Здесь щ есть концентрация электронов в условиях, когда п = р,
т. е. в собственном полупроводнике. Соотношение E.4) широко
используется для определения (термической) ширины запрещенной
зоны Eg по экспериментальным данным о зависимости собственной
концентрации щ от температуры,
§ 6. Случай сильного вырождения
Другой крайний случай мы имеем при сильном вырождении
электронного газа, когда
В этом случае уровень Ферми лежит внутри зоны проводимости,

ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ
175
Nc(?)
а концентраций электронов в зоне п J> Nc. Взаимное расположение
кривых Nc (E), f (Е, Т) и dnIdE для вырожденного полупроводника
n-типа схематически показано на рис.
5.4. В этом случае в интеграле Ферми
D.5) ехр (х— ?*) <^ 1. Далее, в каче-
качестве верхнего предела интеграла можно
положить хт = (F—Ec)lkT. Это со-
совершенно точно при Т = Ь, однако спра-
ведливо с хорошим приближением и при
Т Ф О вследствие быстрого убывания
функции Ферми—Дирака при Е> F.
Тогда опять интеграл Ферми вычис-
вычисляется непосредственно и мы имеем
у,
?
1
dx=
-1=
ЗУя
kT
F.1)
Рис. 5.4. Схематический ход
функций Nc (?), / (Е, Т) и
dn/d? в сильно вырожденном
полупроводнике п-типа.
При температуре абсолютного нуля все
состояния в зоне, энергия которых
Е> F, свободны, а все состояния с Е < F заняты электронами.
Поэтому химический потенциал электронов ? = F — Ес есть мак-
максимальная энергия электронов при Т = 0. Эту величину, играю-
играющую важную роль в теории металлов, часто называют энергией
Ферми, Подставляя в F.1) для Nc его выражение D.3), находим
? = ¦
2ш„
F.2)
В случае вырожденного полупроводника р-типа, аналогично,
в интеграле Ферми <Di/2 (г)*) можно положить ехр (у—т)*) <J 1,
а в качестве верхнего предела интеграла можно выбрать
у,п — (Ev— F)lkT, Тогда вместо F.2) мы получим
Т) =
2 л
2mn
F.3)
§ 7. Эффективная масса плотности состояний
Во всех предыдущих параграфах мы считали закон дисперсии
изотропным и параболическим. Весьма часто, однако, приходится
иметь дело и с более сложными случаями. Так, например, для
зоны проводимости в германии и кремнии изоэнергетические поверх-
поверхности суть эллипсоиды вращения (см. § II 1.9). Центры этих эллип-
эллипсоидов не совпадают с центром зоны Бриллюэна, и поэтому в ней
имеется, несколько эквивалентных минимумов энергии, Изоэнерге-

176 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. V
тические поверхности для дырок в этих полупроводниках имеют
еще более сложную форму. Поэтому мы рассмотрим, что именно
нужно понимать под величинами тп и тр, входящими в выражения
эффективных плотностей состояний Nc и Nv при анизотропном или
непараболическом законе дисперсии.
Рассмотрим случай эллиптических изоэнергетических поверх-
поверхностей
?(Р) = ^ + Ц- + ^ + |7, G.1)
где составляющие квазиимпульса рх, р$ и pz отсчитываются от их
значений в одном из эквивалентных минимумов в зоне Бриллюэна.
Тогда, согласно формуле B.1), концентрация электронов в зоне,
обусловленная одним эквивалентным минимумом, равна
2 f dpxdPudPz
G'2)
где Е теперь выражается формулой G.1).
Написанное выражение можно просто вычислить для невырож-
невырожденных полупроводников. В этом случае
При подстановке вместо Е его значения из G.1) написанный интеграл
распадается на произведения трех интегралов типа
—ээ
Поэтому
nf2nkT\'U, .,. F — Ес
Если в зоне Бриллюэна имеется v эквивалентных минимумов,
то плотность квантовых состояний будет в v раз больше и во
столько же раз увеличится концентрация электронов при задан-
заданном F.
Сравнивая полученный результат с формулой E.1) и выражением
D.3) для Nc, видим, что в данном случае роль скалярной эффектив-
эффективной массы играет величина
fnnd = v'''(mxmymtyf: G.3)
Она получила название эффективной массы плотности состояний.
Для вычисления эффективной массы та плотности состояний
в общем случае удобно ввести в интеграле G.2) новые переменные
интегрирования, Именно, пусть
= Е = const G.4)

§ 7] ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ 177
есть уравнение изоэнергетической поверхности. Очевидно, все
пространство квазиимпульсов можно исчерпать, интегрируя сна-
сначала по поверхности G.4), а затем — по всем возможным значе-
значениям Е. Обозначим через dS элемент площади на поверхности G.4),
а через т) — координату (в пространстве квазиимпульсов), постоян-
постоянную на этой поверхности. Тогда для элемента объема в пространстве
квазиимпульсов будем иметь
dp = dS-di\. G.5)
Очевидно, изменению координаты т) соответствует изменение
энергии
где v — единичный вектор внешней нормали к поверхности G.4).
По определению градиента (v, VVE) — \ ур? |. Следовательно,
причем, выполнив здесь дифференцирование по компонентам век-
вектора р, надо затем выразить их через Е и какие-нибудь удобные
переменные, характеризующие положение точки на поверхности
G.4). Таким образом,
^]^. G.7)
Отсюда следует, что при произвольном законе дисперсии плотность
состояний в зоне проводимости определяется равенством
w- G-8)
Заметим, что \ урЕ \ есть не что иное, как абсолютная величина
средней скорости электрона в данном состоянии v (p).
В частности, в применении к полупроводникам с узкой запре-
запрещенной зоной интересен случай изотропного, но непараболического
закона дисперсии типа (III.9.2). В этом случае поверхность G.4)
есть сфера dS = p2 sin 8 dQ dtp, где 8 и ф — полярные углы, и,
следовательно,
NC(E)= ,?(f> . G-8a)
Еще одно удобное выражение для плотности состояний можно получить,
пользуясь правилами интегрирования с б-функцией (Приложение IV). Действи-
Действительно, рассмотрим интеграл

178 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. V
Пользуясь формулами G.5), G.6) и правилами Приложения IV, мы можем пере-*
писать его в виде
С точностью до множителя 2/BлйK это есть не что иное, как правая часть
G.8). Таким образом,
G.86)
Заметим, что, согласно G.86), Nc (Е) = О при Е <ЕС и Nv (Е) = 0
при E>EV.
Согласно G.7) общее выражение для эффективной плотности
состояний в случае невырожденного электронного газа можно
записать в виде
00
Nc = [ Nc (E) exp(-~)- dE, G.9)
i ¦ l '
где Nc (E) выражается формулой G.8). Приравнивая правые части
выражений G.9) и D.3), находим эффективную массу плотности
состояний:
тал- GЛ°)
Вообще говоря, она зависит от температуры.
Аналогичные формулы справедливы и для Л/„ и т'Д. Интегралы,
фигурирующие в формуле G.10), при непараболическом законе
дисперсии обычно удается вычислить только численными методами.
Таким образом, мы видим, что полученные нами ранее резуль-
результаты можно применять и к полупроводникам с более сложными за-
законами дисперсии. Однако в этом случае нужно найти подходящее
значение для эффективной массы, зависящее от формы изоэнергети-
ческих поверхностей, от числа эквивалентных минимумов в зоне
Бриллюэна и, может быть, от температуры.
Отметим в заключение еще одно существенное обстоятельство.
В случае параболического изотропного закона дисперсии эффектив-
эффективная масса, определяющая подвижность носителей заряда (гл. XIII),
и эффективная масса плотности состояний равны друг другу. В
более сложных случаях эти величины, вообще говоря, не совпадают.
Результирующее значение эффективной массы, определяющее под-
подвижность, получило название эффективной массы электропровод-
электропроводности, которую нужно отличать от эффективной массы плотности
состояний.

8]
ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ В КВАНТУЮЩЕМ ПОЛЕ
179
Исходя из общей теории явлений переноса, основанной на исполь-
использовании кинетического уравнения Больцмана, и зная форму изо-
энергетических поверхностей и зависимость времени релаксации
от энергии, эффективную массу электропроводности в ряде случаев
можно вычислить. В таблице 5.1 приведены вычисленные значения
эффективных масс плотности состояний md и электропроводности
та для двух важных полупроводников — германия и кремния»
Таблица 5.1
Эффективные массы в германии и кремнии *)
Вещество
Германий
Кремний
Эффективная масса плотности
состояний
а
к
^°
Q
0,57
1,08
X
о,
и*
IV
0,36
0,53
о.
If
к -а
К 5
0,043
0,14
SS
jjjof
S«
а.3
0,37
0,59
собственный
полупроводник,
mid/mo
0,46
0,80
Эффективная масса
электропроводности
Я
к
0,12
0,26
X
Ъ6
а*
3
«
1^
0,31
0,49
О.
2
« =
s д
0,044
0,16
if
11
0,25
0,38
•) По данным работы В. Lax, J. G. Mavroides, Phys, Rev. 100, 1950 A955).
§ 8. Плотность состояний в квантующем магнитном поле
Формулы B.3), B.5) и G.8) описывают плотности состояний носи-
носителей заряда, свободно движущихся в периодическом поле идеаль-
идеальной решетки. В достаточно сильных электрическом или магнитном
полях энергетический спектр свободных электронов и дырок претер-
претерпевает серьезные изменения, что отражается и на плотности состоя-
состояний. Вычислим плотность состояний электрона, движущегося в
постоянном и однородном магнитном поле индукции S3. Для этой
цели заметим, что по правилам статистической физики общее число
свободных электронов N в объеме V дается выражением
tf = 2>№. T). (8.1)
х
Здесь % — совокупность квантовых чисел, от которых зависит энер-
энергия электрона ??„, g%—кратность вырождения энергетического
уровня.
В рассматриваемой задаче (§ IV.5) роль квантовых чисел играют
величины п, kz=~iiz и проекция спина на ось Z, а кратность

180 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. V
вырождения дается формулой (IV.5.18). Таким образом,
(8.2)
роек-
роек(8-3)
где N+— числа электронов с положительной и отрицательной проек-
проекциями спина:
п, п3
а значения энергии Е± даются формулой (IV.5.12).
Расстояние между двумя соседними значениями k3 составляет.
Akz = 2n/L. При L -» со эта величина сколь угодно мала, что
позволяет перейти ot суммирования по nz к интегрированию по k~.
Действительно,
Пользуясь тем, что Е+ есть четная функция kz, мы можем заменить
здесь интеграл по kz в бесконечных пределах удвоенным интегралом
от нуля до бесконечности. Тогда получаем
^ (8-5)
Очевидно, множитель при L3 — V есть концентрация электро-
электронов с данной проекцией спина п+.
Наконец, введем вместо kz переменную интегрирования Е±.
Получим, опуская значок «±» у переменной интегрирования,
п±= I N±(E)f(E, T)dE, (8.6)
Va
где
«>0
Сумма берется здесь по всем значениям /г, удовлетворяющим условию
Е-Ес-Нас(п + Чг)±№&7&в. (8.8)
Величины N,- (Е) и представляют собой искомые плотности
состояний в магнитном поле, относящиеся к электронам с положи-
положительной и отрицательной проекцией спина. Сумма их
есть аналог величины Nc (E).

§ 9] КОНЦЕНТРАЦИИ НОСИТЕЛЕЙ НА ЛОКАЛЬНЫХ УРОВНЯХ 181
Формула (8.7) применима и к дыркам (если можно пренебречь
эффектами, связанными с вырождением валентной зоны). Следует
лишь заменить в ней Е — Ес на Ev — ? и изменить знак (ос.
Из выражений (8.7) и (8.8) видно, что плотность состояний элект-
электронов в магнитном поле есть осциллирующая функция магнитной
индукции. Она имеет острые максимумы при тех значениях магнит-
магнитной индукции, при которых энергия (Е — Ес± Ega%) близка
к одному из уровней Ландау Ныс (п + 1/2). Это обстоятельство
проявляется в том, что в вырожденном электронном газе (в ме-
металлах, полуметаллах и вырожденных полупроводниках) многие
термодинамические, электрические и оптические величины, выра-
выражающиеся через плотность состояний, при определенных условиях
осциллируют при изменении магнитной индукции. Так как в вырож-
вырожденном электронном газе существенную роль играют только электро-
электроны на поверхности Ферми, то осцилляции свойств происходят при
прохождении какого-либо из уровней Ландау через уровень Ферми.
Впервые такие квантовые осцилляции были обнаружены в величине
магнетосопротивления (эффект Шубникова—де Гааза) и магнитной
восприимчивости (эффект де Гааза — ван Альфена) при низких
температурах. Количественная .теория квантовых осцилляции до-
довольно громоздка (ее можно найти в книге [М8]). Эксперименталь-
Экспериментальное исследование квантовых осцилляции позволяет получить инфор-
информацию о форме поверхностей Ферми.
Наряду с указанными выше, существуют также квантовые осцилляции раз-
различных физических величин, имеющие другое происхождение. Они тоже свя-
связаны с уровнями Ландау, но, в отличие от эффектов Шубникова—де Гааза и
де Гааза—ван Альфена, не требуют вырождения электронного газа и наблюда-
наблюдаются при более высоких температурах. Когда энергетический интервал между
какими-либо уровнями Ландау пЬч>с (п = 1, 2, ...) становится равным энергии
оптических фононов (см. § XII.6), резко возрастает вероятность неупругого
рассеяния электронов на колебаниях решетки. Поэтому все эффекты, зависящие
от характера рассеяния электронов, такие, как магнетосопротивление, диффе-
дифференциальная термоэдс и др., испытывают осцилляции при изменении магнит-
магнитного поля. Эти явления получили название магнитофононных осцилляции (по-
(подробнее см., например, [М8]).
§ 9. Концентрации электронов и дырок на локальных
уровнях. Простые центры
Обратимся теперь к вычислению концентраций электронов и ды-
дырок, связанных на локальных уровнях энергии. Рассмотрим сначала
простейший случай, когда примесный атом или структурный дефект
может либо иметь один электрон, либо быть пустым, т. е. может
находиться только в двух различных зарядовых состояниях. Если
не рассматривать пока возможные возбужденные состояния, то
такой центр будет характеризоваться одним уровнем энергии Ev
Если, кроме того, каждому зарядовому состоянию центра соответ-
соответствует только одно квантовое состояние электрона, то концентрация

182 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. V
центров N-i, имеющих электрон, будет Ntf, где Nt — полная концент-
концентрация центров, а / — функция Ферми—Дирака C.1). Аналогично,
концентрация пустых центров No = Nt (I — /). Отношение этих
концентраций равно
Ni f F—Et
No ~~ 1-/ p kT '
Однако в действительности одному и тому же уровню энергии
связанного электрона соответствует несколько квантовых состоя-
состояний (квантовомеханическое вырождение энергетического уровня).
Если число таких состояний для заполненного уровня есть glt
а для пустого — g0, то мы, очевидно, будем иметь *)
Так как, кроме того, всегда
No + N^Nt, (9.2)
то отсюда получается
/A)-*! = A _l«lехрёш1)-1 /(о) = ^о = (! , ft ех Р_-Е
' ~Nt V+gl 6XP kT ) ' I Nt V^g» eXp kT
(9.3)
Для случая невырожденных полупроводников в эти выражения
удобно ввести концентрацию электронов в зоне п. Учитывая формулу
E.1), мы имеем
^? п ^о  /о 41
Здесь введено обозначение
(^) & = EC-EX. (9.5)
Очевидно, <??есть не что иное, как энергия ионизации данного центра.
Отметим еще, что, с точностью до факторов вырождения, пх равно
концентрации электронов в зоне, когда уровень Ферми совпадает
с уровнем энергии центра Ev
Полученные результаты можно обобщить учетом возбужденных
состояний центра. Рассмотрим сначала полупроводник «-типа
и будем интересоваться связанными электронами. Обозначим энер-
энергию захваченного электрона в основном состоянии через Еъ а энер-
энергии возбужденных состояний через Ek (k = 2, 3, ...). Энергетический
спектр такого центра схематически изображен на рис. 5.5. Уровни
возбужденных состояний электрона расположены выше уровня
основного состояния (k = 1).
*) При этом предполагается, что из-за кулоновского отталкивания при
любой степени вырождения уровень может быть занят лишь одним электро-
электроном. О многозарядных центрах см. § 10.

9]
КОНЦЕНТРАЦИИ НОСИТЕЛЕЙ НА ЛОКАЛЬНЫХ УРОВНЯХ
183
Обозначим через Д" вероятность нахождения электрона на центре
и притом в k-м возбужденном состоянии, через р\ — кратность вы-
вырождения этого возбужденного состояния, а через /@)—вероятность
найти центр не имеющим электрона. Тогда, аналогично формуле
(9.1), можно написать
F-Ek
(9.6)
Полная вероятность то-
того, что электрон захвачен
центром (и находится в ка-
каком-либо, основном или
возбужденном, состоянии),
есть
k=\, 2, ...
-/<^2 \те состояния
\ Основное
-К'! j состояние
— \Компенсирующие
— ^акцепторы
Рис. 5.5. Энергетический спектр связанного
электрона при наличии возбужденных со-
состояний.
где суммирование произво-
производится по всем состояниям,
энергии которых лежат в запрещенной зоне. Поэтому отношение
концентрации центров Nu имеющих электрон, к концентрации
пустых центров iV0 равно
(9.7)
ft=l, 2. ...
kT
Полученное выражение можно опять записать в виде (9.1), где Е1 —•
энергия основного состояния электрона. Однако при этом gx имеет
другой смысл и выражается формулой
fe=2, 3,
(9.8)
Так как и в этом случае, разумеется, справедливо нормировочное
соотношение (9.2), то для /A) и /@) получаются формально те же выра-
выражения (9.3), что и без учета возбужденных состояний. Однако при
этом «g-фактор» (9.8) может быть равен уже не целому числу и, что
особенно важно, может сам зависеть от температуры.
Рассмотрим теперь полупроводник р-типа. Как уже многократно
разъяснялось выше, в этом случае в качестве носителей заряда мы
должны рассматривать не электроны, а положительные дырки.
Поэтому мы должны и вычислять концентрацию связанных дырок,
а не электронов и рассматривать энергетический спектр связанных
дырок. Такой спектр схематически изображен на рис. 5.6, где отме-
отмечено основное состояние захваченной дырки (k = 1) и различные
возбужденные состояния (k = 2, 3, ...). Если по-прежнему отклады-
откладывать снизу вверх энергию электрона, то уровни возбужденных со-

184
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
стояний дырок будут расположены ниже уровня основного состоя-
состояния. Энергия ионизации дырки, находящейся в k-м состоянии, на
этой диаграмме есть Ek — Ev, она также уменьшается при увеличе-
увеличении номера возбужден ноге состояния. Диаграмма рис. 5.6 становится
подобной диаграмме рис. 5-.5, если изменить направление отсчета
Л Компенсирующие
—__—_;—_j—__ г доноры
— — — —л•=/ Основное состояние
\ Возбужденные
—к=2 \ состояния
Рис. 5.6. Энергетический спектр связанной дырки при
наличии возбужденных состояний.
энергии (т. е. повернуть диаграмму на 180°). При этом «пустым»
мы должны считать центр, не захвативший дырку (т. е. заполненный
электроном).
Легко понять, что в этом случае вместо соотношения (9.6) мы по-
получим
fklp Р*.р (Ek-F
-7Г
— exp -
,p \
(9.9)
где f'k'p — вероятность того, что на центре имеется дырка в k-u
возбужденном состоянии, /р01 — вероятность отсутствия дырки,
Ек — энергия связанной дырки, р\ р — кратность вырождения
k-то возбужденного состояния (целое число), gOiP— кратность вы-
вырождения пустого (заполненного электроном) центра. Поступая, как
и раньше, мы получим вместо формул (9.3) соотношения
gi.p
где /p' — вероятность нахождения на центре дырки (в любом состоя-
состоянии), Ег — энергия основного состояния захваченной дырки. При
этом обобщенный g-фактор дается выражением
(9.11)
*=2, 3, ...

§ 10] МНОГОЗАРЯДНЫЕ ЦЕНТРЫ 186
Так же, как и выше, для невырожденных полупроводников в фор-
формулы (9.10) удобно ввести концентрацию дырок в зоне р. Учитывая
формулу E.2), имеем
f>>_ Р flf» P
где
?(&) (9.13)
а гелнчина <г7р = Ех — Ev равна энергии отщепления дырки. По-
nf ежнему, с точностью до множителя gOt p/gh P, рг равно концентра-
концентрации дырок в ионе, когда уровень Ферми совпадает с уровнем энергии
центра Ev
Во всех предыдущих рассуждениях мы ничего не говорили о ха-
характере рассматриваемых центров, т. е. о том, являются ли они доно-
донорами или акцепторами. Это обстоятельство действительно не играет
никакой роли .при вычислении вероятностей заполнения центров
электронами или, соответственно, дырками, так как вероятности,
заполнения зависят только от энергетического спектра центров и
положения уровня Ферми. Однако донорный или акцепторный ха-
характер центров должен учитываться при вычислении связанного
заряда, т. е. концентраций заряженных центров. В случае, если цент-
центры являются донорами, они нейтральны, если с ними связан элект-
электрон (т. е. нет дырки), и положительно заряжены, если на них не
имеется электрона (захвачена дырка). И наоборот, если центры
являются акцепторами, они нейтральны, если с ними связана дырка
(не имеется электрона), и отрицательнсгзаряжены, когда не имеется
дырки (захвачен электрон).
§ 10. Многозарядные центры
В § II.9 мы уже говорили, что многие примесные атомы создают
в полупроводниках «многозарядные» центры, способные присоеди-
присоединять или отдавать не один, а несколько носителей заряда. Поэтому
ыы обобщим полученные выше результаты на этот более сложный
случай.
Положим, что рассматриваемые центры могут содержать 0, 1,
2, ..., М электронов и, соответственно, находиться в (М + 1) раз-
различных зарядовых состояниях. Энергетическая диаграмма полу-
лроведника с такими центрами для случая М — 3 показана на
рис. 5.7. Если центр пустой, то для электрона существует некоторое
вакантное основное квантовое состояние, характеризуемое локаль-
локальным уровнем энергии Ev Для этого уровень Ферми F должен быть
расположен ниже уровня Ег на несколько kT (рис. 5.7, а). Если ?@)
есть энергия пустого центра, то (Е% — ?@)) равно приращению энер-
энергии центра при захвате первого электрона. Однако сама величина

136
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
-¦
а
—F—
г-
в
a
?, --
Рис. 5.7. Энергетическая диаграмма
полупроводника с многозарядными
центрами, создающими три локаль-
локальных уровня энергии.
?@) для нас не играет никакой роли. Это обстоятельство будет
проявляться в последующих формулах в том, что в них нигде не бу-
будет входить ?@), а будут содержаться только разности энергети-
энергетических уровней Еъ Ег и т. д. и уровня Ферми F.
Помимо основного состояния с энергией Еъ захваченный элект-
электрон может находиться в различных возбужденных состояниях,
уровни энергии которых будут расположены выше уровня Ег.
Эти уровни не изображены на
рис. 5.7.
При заполнении уровня Et
электронами (например, за счет
мелких доноров, электроны с
которых «проваливаются» на
уровень i^) для электронов воз-
возникает новое основное квантовое
состояние с энергией Ег, кото-
которое может быть занято вторым
захваченным электроном (рис.
5.7, б). Подчеркнем, что уровня
энергии Ег не существует, пока
уровень Ег не занят первым элек-
электроном. В этом заключается ха-
ра'ктерная особенность энергети-
энергетического спектра многозарядных
центров («альтернативные» уровни), отличающая его от системы уров-
уровней, создаваемых несколькими простыми центрами разных типов.
В последнем случае вся совокупность локальных уровней всегда
существует полностью, независимо от степени заполнения отдельных
уровней.
Ситуация, изображенная на рис. 5.7, б, возникает тогда, когда
уровень Ферми F расположен выше уровня Еъ но ниже уровня Е2
(см. ниже). При заполнении электронами уровня ?2 возникают
новые квантовые состояния с энергией Ея и т. д., которые могут
быть либо заполненными, либо пустыми в зависимости от положения
уровня Ферми (рис, 5.7, в, г).
§11. Распределение Гиббса
Для вычисления вероятности заполнения электронами много-
многозарядных центров уже нельзя использовать функцию Ферми C.1),
а необходимо исходить из более общего принципа статистической
физики — канонического распределения Гиббса для системы с пе-
переменным числом частиц. Рассмотрим изолированную систему,
содержащую очень большое число одинаковых частиц Л^о = const
и обладающую определенной внутренней энергией Ео = const.
Выделим внутри этой системы малую ее часть, ограниченную по-

§11] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА 187
стоянным объемом («тело»), находящуюся в термодинамическом рав-
равновесии'с остальной частью системы («средой»). Среда и тело могут
обмениваться частицами и изменять при этом свои энергии. Обозна-
Обозначим число частиц, перешедших в тело, через /, а изменение энергии
тела, получившего / частиц и находящегося в определенном кванто-
квантовом состоянии т, — через Е<?. При таком переходе энергия среды
станет (Ео — ?<р), а число частиц в ней будет (Л'о — /), и поэтому
энтропия среды изменится на некоторую величину А5^>, Тогда,
согласно общим принципам статистической физики *), вероятность
fti) того, что в теле будет / частиц, а тело будет в т-и квантовом со-
состоянии, есть
А С О")
^ A1.1)
Здесь k — постоянная Больцмана, а Л — нормировочный мно-
множитель.
Величина А5^> связана с другими термодинамическими вели-
величинами. Так, например, рассматривая свободную энергию
и учитывая, что при термодинамическом равновесии температура
везде (и в теле, и в среде) одинакова, имеем, что изменение свобод-
свободной энергии среды равно
AJrtt^-E^-TAStt. A1.2)
Учтем теперь, что свободная энергия при неизменных значениях
переменных, определяющих состояние системы (в данном случае
температуры и объема), есть функция аддитивная, т. е. пропорцио-
пропорциональная числу частиц, содержащихся в системе. В соответствии
с этим введем свободную энергию, рассчитанную на одну частицу:
~) =F. A1.3)
dj Jv, .T K '
Отметим, что мы умышленно выбрали для этой величины и уровня
Ферми одно и то же обозначение, так как обе эти величины совпадают
(см. § 12). Тогда в соотношении A1.2) мы имеем Д#<?>= — jF,
и поэтому изменение энтропии среды равно
A1.4)
J.
После этого формула A1.1) дает
*) См. [М9], § 35.

188 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК 1ГЛ. V
Это соотношение выражает распределение Гиббса с переменным чис-
числом частиц.
Применим теперь распределение Гиббса к интересующему нас
случаю многозарядных центров. Тогда под телом следует подразу-
подразумевать центр, под средой — кристалл, а /<^> будет давать вероятность
того, что на центре имеется / электронов, причем энергия центра^
равна E(rt. Постоянная А определяется из условия нормировки
вероятности на единицу
/ = 0 т
где суммирование по т учитывает все возбужденные состояния цент-
центра, а М обозначает максимальное число электронов, которые может
захватить центр. Это дает
Полученный результат, выражаемый формулами A1.4) и A1.6),
для дальнейших применений удобно представить в несколько ином
виде. А именно, положим
?<?> = ?<л + вув, (т=1,2, ...), A1.7)
где Е^ — энергия центра с / электронами в основном состоянии,
а в/т — энергия m-го возбужденного состояния относительно основ-
основного состояния.
Далее, будем интересоваться вероятностью /(/> найти центр
с / электронами (т. е. в данном зарядовом состоянии и не важно
в каком возбужденном состоянии):
И, наконец, как и раньше, введем кратности вырождения C/т для
различных возбужденных состояний (целые числа). Тогда из A1.4),
A1.6) и A1.7) получается
?/.ехР^-г?';)
/=о
где через g/ обозначено
Р/техр( — т™-). A1.У)
m = l. 2, ...

$ 12] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ]gg
В этих выражениях р1, есть кратность вырождения основного
состояния центра с / электронами, a gj — обобщенные кратности
вырождения /-го зарядового состояния. Так как по смыслу EW
есть приращение энергии центра, то в формуле A1.8) следует пола-
полагать ?'°> = 0.
Укажем еще на связь энергий Е^\ входящих в распределение
Гиббса A1.8), с уровнями энергии Е, обычных энергетических
диаграмм (рис. 5.7). Так как уровни энергии ?) изображают прира-
приращение энергии центра при добавлении к нему одного электрона, то
A1.10)
При этом уровень отсчета энергий здесь безразличен, если только
Е/ и F отсчитываются от одинакового начального уровня, так как
начальный уровень из выражения (jF — Е^) выпадает.
Определяя уровень Ферми формулой A1.3), мы пользовались свободной
энергией и, соответственно, в качестве термодинамических переменных выбирали
объем -и температуру. Однако мы могли бы выбрать и другие термодинамические
величины: тепловую функцию W или термодинамический потенциал Ф и соответ-
соответствующие им переменные. Тогда мы получили бы равнозначные определения:
д&\ _(dW\ _(дФ\ т ш
 Jv, т \ д] Js,р \д] ]р, т
Подчеркнем, что при наличии внешнего поля уровень F, опре-
определяемый формулой A1.3) (или формулами A1.11)), должен содер-
содержать и потенциальную энергию электрона в этом поле ~ец>. По
этой причине его и называют электрохимическим потенциалом.
Если условиться отсчитывать F от края зоны проводимости Ес0
при ф = 0, то электрохимический потенциал электронов есть
F = i-eq>, A1.12)
где t = F — Ес — химический потенциал в поле с потенциалом ц>.
% 12. Частные случаи
Рассмотрим простой примесный центр, имеющий один невырож-
невырожденный уровень энергии, без возбужденных состояний. Тогда в фор-.
муле A1.8) / может принимать только два значения: 0 и 1. При
этом, согласно A1.10), EiJ) есть единственный локальный уровень
энергии центра Еъ a g0 = gL = 1. Поэтому вероятность заполне-
заполнения центра электроном получается равной
F-Et
Таким образом, распределение Гиббса для простого, невырож-
невырожденного энергетического уровня переходит в функцию Ферми—Ди-

190
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
[ГЛ. V
рака C.1). Учитывая формулу A1.3), отсюда видно, что введенный
нами ранее уровень Ферми F есть не что иное, как свободная энер-
энергия, рассчитанная на один электрон.
Если имеется простой центр, способный захватывать или отда-
отдавать единственный электрон, но уровни энергии вырождены, то
формула A1.8) при М = 1 переходит в формулы (9.3), полученные
ранее с помощью менее строгих, интуитивных рассуждений.
Посмотрим теперь, как будет изменяться средний заряд много-
многоэлектронного центра при изменении положения уровня Ферми. Для
этого удобно исследовать пове-
поведение отношения вероятностей
нахождения на центре / и, со-
соответственно, (/ — 1) электро-
электронов. Из A1.8) и A1.10) следует,
что
-3
и
N,- gj
F
т—Г7, = ~z— — —— ехР
?3(fl)
fi-тал n-mun.
Рис. 5.8. Зависимость среднего заря-
заряда q (в элементарных зарядах) ато-
атомов золота в германии от положения
уровня Ферми.
kT
A2.1)
В дальнейшем мы будем пред-
предполагать, что различные уровни
энергии Ej достаточно удалены
друг от друга (по крайней мере
нанесколько kT). Тогда из форму-
формулы A2.1) видно, что если уровень
Ферми лежит между двумя какими-либо уровнями ?м и Ej и удален
от этих последних хотя бы на B -т- 3) kT, то лежащий ниже уровень
(/ — 1) будет практически целиком заполнен, а лежащий выше уро-
уровень / будет практически пустым. Поэтому среднее число захвачен-
захваченных электронов" на один центр будет очень близко к (/ — 1). Оно быст-
быстро изменяется, когда уровень Ферми приближается к какому-либо
уровню энергии центра. Когда уровень Ферми совпадает с каким-
либо уровнем энергии Ej, то отношение концентраций центров в /-м
и (/' — 1)-м зарядовых состояниях равно Nj/Nj^ = g//gy_i.
Таким образом, если уровень Ферми лежит между двумя какими-
либо соседними уровнями энергии и при своем перемещении не пере-
пересекает эти уровни, то практически центры будут находиться только
в одном зарядовом состоянии, а их концентрация в других зарядовых
состояниях будет исчезающе мала.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим конкретный случай германия,
содержащего атомы золота. Последние создают в германии четыре альтернатив-
альтернативных уровня энергии, отмеченных на рис. 5.8, из которых нижний уровень явля-
является донорным, а остальные — акцепторными. Положим, далее," что уровень
Ферми постепенно перемещается от края дырочной зоны Ev к краю зоны проводи-
проводимости Ес (например, вследствие изменения температуры или концентрации дру-
других мелких доноров и акцепторов). Тогда средний заряд атомов золота будет

S 13] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ УРОВНЯ ФЕРМИ 191
изменяться так, как показано на рис. 5.8. Когда F лежит ниже донорного уров-
уровня ?j, последний пуст'и, следовательно, атомы золота заряжены положительно.
Когда F лежит между уровнями Е1 и Е2, то уровень Е1 практически весь заполнен,
а уровень ?2 — пустой. Так как уровень Ех донорный, то подавляющее большин-
большинство атомов будет в нейтральном состоянии и средний их заряд будет близок
к нулю. После перехода уровня Ферми через второй (акцепторный) уровень энер-
энергии Е2 практически все атомы будут содержать два электрона, а, следовательно,
средний заряд будет близок к —е, и т. д. При последовательном повышении
уровня Ферми атомы золота будут проходить через все возможные для них заря-
зарядовые состояния е, О, —е, —2е, —Зе.
§ 13. Определение положения уровня Ферми
В предыдущих рассуждениях мы считали, что уровень Ферми
задан. Посмотрим теперь, как можно найти положение уровня
Ферми.
Ответ на этот вопрос зависит от того, какие другие величины
заданы. Если известны концентрации носителей заряда в зонах п
и р, то значение F можно определить из формул §§ 4—6. Так, на-
например, для невырожденного полупроводника n-типа из E.1) мы
имеем
Аналогично, для невырожденного полупроводника р-типа из
E.2) получаем
Эти выражения дают уже известный нам результат, что чем боль-
больше концентрация основных носителей, тем ближе уровень Ферми
к краю соответствующей зоны.
Однако чаще мы встречаемся с задачей, когда задан состав крис-
кристалла, т. е. концентрации и типы содержащихся в нем примесей
(их энергетические уровни), а концентрации свободных и связанных
носителей заряда, напротив, должны быть вычислены. В этом случае
положение уровня Ферми можно найти из условия электрической
нейтральности образца.
Из классической электродинамики известно, что в однородной
проводящей среде в состоянии равновесия объемный заряд в любой
точке равен нулю. Возникший же по тем или иным причинам заряд
рассасывается под действием кулоновских сил за время порядка
ыаксвелловского времени релаксации
где е — диэлектрическая проницаемость, а — удельная электро-
электропроводность. Для типичных полупроводников хм весьма мало.
Так, например, при е ~ 10 и а ~ 1 Ом • см = 9 -10" ед. СГСЭ

192 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК ЕГЛ. V
мы имеем хм ~ Ю~12 с. Поэтому в стационарном состоянии или даже
при периодическом изменении состояния с частотой (о, удовлетво-
удовлетворяющей условию сотЛ1<^1, внутренность полупроводника можно
считать нейтральной.
Отсюда следует, что в равновесии концентрации положительно
заряженных частиц должны быть всегда равны концентрациям отри-
отрицательных частиц. Положим, что в полупроводнике имеются доноры
одного и того же типа с концентрацией Nd и, кроме того, акцепторы
(тоже одинакового типа) с концентрацией Na. Положительными
частицами являются, во-первых, подвижные дырки с концентрацией
р. Во-вторых, мы имеем еще связанные положительные заряды pt
в виде положительно заряженных доноров.
В случае простых доноров
pt — Nd(\—f) (простые доноры), A3.2)
где, как и раньше, f. — вероятность заполнения донора электроном,
выражаемая первой формулой (9.3) (где индекс 1 опущен).
Соответственно для многозарядных доноров, имеющих в нейт-
нейтральном состоянии М избыточных электронов,
М — \ М
Pt = Nd 2 (М — I) f{f) = NdYi iff (многозарядные доноры),
/=о /=i
A3.2а)
где fW — вероятность донору иметь / электронов (формула
A1.8)).
Концентрация отрицательных частиц складывается из концентра-
концентрации электронов в зоне п и концентрации отрицательно заряженных
акцепторов. Если nt есть концентрация связанных элементарных
зарядов, то для случая простых акцепторов
fit = NJ (простые акцепторы). A3.3)
Аналогично, для многозарядных акцепторов
м
tii — Na^if^ (многозарядные акцепторы). A3.3а)
/=i
После этого условие электрической нейтральности можно записать
в виде
p+pt — n-nt = 0. A3.4)
Если в полупроводнике имеются доноры, и акцепторы разных
типов, то под pt и nt нужно понимать суммарные концентрации свя-
связанных элементарных зарядов.
Каждая из величин р, р'(, п и щ зависит от значения уровня Фер-
Ферми, и поэтому уравнение A3.4) можно использовать для его опре^

S 141
УРОВЕНЬ ФЕРМИ В СОБСТВЕННОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ
193
деления. Однако это уравнение является трансцендентным,и поэтому
¦для его решения приходится либо пользоваться либо численными
методами, либо исследовать различные частные случаи, к которым
мы и обратимся.
§ 14. Уровень Ферми в собственном полупроводнике
Для собственного полупроводника pt, tit -*С п, р п условие нейт-
нейтральности принимает вид п = р. Если ширина запрещенной зоны
полупроводника достаточно велика, так что она охватывает много
kT, и если эффективные массы электронов и дырок пгп и тр одного
порядка, то уровень Ферми будет достаточно удален от краев зон
и полупроводник будет невырожденным. Поэтому, пользуясь для
пар выражениями E.1) и E.2), имеем
Это дает
jvcexp kT c = Nvexp vkT -.
A4.1)
где через ?,¦ = 7г (Ev + Ec) обозначена энергия середины запре-
запрещенной зоны.
Эта зависимость показана схематически на рис. 5.9. Там же отме-
отмечены края зон Ev и Ес и учтено, что ширина запрещенной зоны Eg =
= Ес — Е-о сама изменяется с температурой. При Т = 0 уровень
Ферми располагается точно в середине запрещенной зоны. При повы-
повышении температуры он удаляется
от зоны более тяжелых носителей
заряда и приближается к зоне бо-
более дегких.
Для полупроводников с узкой
запрещенной зоной (HgSe, HgTe,
серое олово и др.) даже при комнат-
комнатной температуре приходится уже
учитывать вырождение, и поэтому
для 'п и р нужно брать общие вы-
выражения D.4) и D.6).
Из выражения A4.1) и рис. 5.9
видно, что если пгп и пгр весьма
различны, то при повышении тем-
температуры уровень Ферми может
приблизиться к зоне легких носителей на расстояние порядка kT
и даже оказаться внутри этой зоны. Поэтому такие полупроводники
при нагревании могут стать вырожденными. Этот случай мы имеем,
например, в InSb, где tnn <^ mp. При этом оказывается, что уровень
Ферми попадает в зону проводимости при температурах Т ^ 440 К.
Рис. 5.9. Зависимость положения
уровня Ферми от температуры в
собственном полупроводнике (схе-
(схематически).

194 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. V
§ 15. Полупроводник с примесью одного типа
Рассмотрим полупроводник, содержащий простые доноры с энер-
энергетическим уровнем Еа. Далее, будем считать, что температура не
слишком велика, так что собственной проводимостью можно прене-
пренебречь. В этом случае электроны в зоне проводимости возникают
только за счет тепловой ионизации доноров. Найдем концентрацию
электронов в зоне и положение уровня Ферми в зависимости от тем-
температуры.
Условие нейтральности A3.4) для этого случая (р <^п, pt — 0),
при учете выражений (9.3) и D.4), дает
Уравнение A5.1) позволяет определить положение уровня Ферми F.
Однако для общего случая решение этой задачи требует численных
методов расчета. Поэтому мы рассмотрим только случай невырож-
невырожденного полупроводника, когда
р ?
Замечая, что ехр ¦ ,„¦- можно представить в виде
F — Ed n 3
ехР-Тг-=л7ехрЖ'
где 3 = Ec — Ed есть энергия ионизации донора,условие нейтраль-
нейтральности A3.4) можно переписать в виде
Na-n'
A5.2)
Здесь tti — введенная нами ранее величина, определяемая формулой
(9.5). Соотношение A5.2) приводит к квадратному уравнению отно-
относительно п, положительный корень которого есть
При достаточно низких температурах, определяемых условием
A5.3a)
В этом случае мы имеем частичную ионизацию доноров и концентра-
концентрация электронов в зоне уменьшается по экспоненциальному закону

§ 16]
ВЗАИМНАЯ КОМПЕНСАЦИЯ ДОНОРОВ И АКЦЕПТОРОВ
195
с понижением температуры. Изображая графически зависимость
lnreT'4 от 1/7\ мы получим прямую линию, наклон которой равен
oJ jlk, т. е. отвечает половине энер-
энергии ионизации доноров е7.
При достаточно высоких тем-
температурах DУУ(//«1 < 1) из A5.3)
получается
n = Nd. A5.36)
-0,01-
-0,02 -
Этот случай соответствует полной
ионизации доноров. Зависимость
п (Т) для одного конкретного слу-
случая показана ниже на рис. 5.11
(кривая /).
Чтобы найти зависимость поло-
положения уровня Ферми F от темпе-
температуры, нам не нужно заново ре-
решать уравнение A5.1), а можно
воспользоваться соотношением E.1), справедливым для
денных полупроводников. Это дает
О 20 40
Рис. 5.10. Зависимость уровня Фер-
Ферми от температуры в Ge с
некомпенсированными донорами
V группы (для данных кривой 1
на рис. 5.11).
невырож-
невырожЭта зависимость показана на рис. 5.10.
При низких температурах (определяемых тем же условием, что
и выше) формула A5.4) дает
При Г-> О уровень Ферми F располагается посередине между Ес
и Ел.
В случае некомпенсированных акцепторов справедливы анало-
аналогичные соотношения.
§ 16. Взаимная компенсация доноров и акцепторов
Случай примеси одного типа, когда влиянием других примесей
можно пренебречь, встречается сравнительно редко. Дело в том,
что современная техника очистки полупроводниковых материалов,
несмотря на очень высокий уровень разработки, даже для такого
хорошо освоенного полупроводника, как германий, позволяет сни-
снизить концентрацию остаточных примесей до ~ 1010 -г- 109 см,
но не устранить их вовсе. Поэтому в реальных полупроводниках
мы обычно имеем, кроме умышленно введенных доноров, некоторую
концентрацию компенсирующих их акцепторов (или наоборот).
Наличие же даже малой концентрации компенсирующей примеси

1% СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК ГГЛ. V
может при известных условиях существенно изменить температур-
температурную зависимость концентрации носителей заряда и положения уров-
уровня Ферми. Поэтому мы рассмотрим случай полупроводника, содер-
содержащего одновременно доноры й акцепторы.
Однако, прежде чем рассматривать общий случай, мы остановим-
остановимся на одном простом, но практически важном примере, когда в полу-
полупроводнике имеются мелкие доноры (с, уровнями вблизи зоны про-
проводимости) и мелкие акцепторы (с уровнями вблизи дырочной зоны).
Кроме того, мы предположим, что рассматриваемые интервалы тем-
температур и концентраций таковы, что уровень Ферми лежит между
уровнями доноров и акцепторов и удален от тех и других по крайней
мере на несколько kT. Такое положение, в частности, мы имеем
в германии и кремнии, содержащих доноры V группы и акцепторы
III группы, при концентрациях, меньших ~1017 см~3, и в области
температур примерно от комнатной и до температуры твердого азота
(~60 К). В этом случае все доноры практически полностью лишены
электронов (так как уровень Ферми лежит ниже уровня доноров)
и заряжены положительно, а все акцепторы практически полностью
заполнены электронами (так как уровень Ферми расположен выше
их уровней) и заряжены отрицательно. Поэтому условие нейтраль-
нейтральности принимает простой вид:
n-p = Nd-Na. A6.1)
Если Nd> Na, то п> р и мы будем иметь полупроводник
n-типа. Если при этом еще температура не слишком велика, так что
концентрацией неосновных носителей можно пренебречь, то
n~Nd-Na. A6.1а)
Концентрация электронов в зоне оказывается такой, как если бы
в полупроводнике имелись одни доноры, но с меньшей концентра-
концентрацией, так как часть Na полной концентрации доноров компенсиро-
компенсирована акцепторами.
Если концентрация акцепторов больше концентрации доноров,
то мы будем иметь полупроводник р-типа и концентрация дырок
в примесной области будет р ~ Na — Nr!.
Если, наконец, концентрации доноров и акцепторов равны
друг другу, то равенство A6.1) дает п --= р. Так как, кроме того,
для невырожденного полупроводника всегда пр = n'j, то
п = р = пи 06.2)
т. е. концентрация электронов и дырок будет такая же, как и при
полном отсутствии каких бы то ни было примесей. В этом случае
носители возникают только за счет возбуждений зона — зона.
Полученные результаты показывают, что при суждении о сте-
степени чистоты полупроводниковых материалов по измерению кон-
концентрации носителей необходимо соблюдать осторожность, так как

§ 17] КОМПЕНСИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ 197
эта концентрация может быть мала не вследствие чистоты материала,
а в результате взаимной компенсации доноров и акцепторов. Поэтому
для окончательного решения вопроса приходится прибегать к до-
дополнительным исследованиям, например к измерению подвижности.
§17. Компенсированные полупроводники
Рассмотрим опять полупроводник «-типа, содержащий простые
доноры с концентрацией Nd и компенсирующие акцепторы с концен-
концентрацией Na < Nd- Будем по-прежнему считать полупроводник
невырожденным и рассмотрим область примесной проводимости,
однако будем теперь рассматривать широкую область температур,
включая и очень низкие температуры, когда ионизация доноров мо-
может быть неполной.
Условие нейтральности A3.4) для этого случая принимает вид
Выражая, как и выше, экспоненту через концентрацию электронов
и, это условие можно представить в виде
Г-МЛ. A7.2)
где tii СП по-прежнему выражается формулой (9.5). При Na = О
это уравнение переходит в ранее полученное A5.2). Оно опять при-
приводит к квадратному уравнению относительно п. Для очень низких
температур, когда п <^ Na, Nd — Na, уравнение A7.2) дает
Следовательно, в координатах In (пТ~'/=) и 1/Т зависимость п (Т)
имеет опять вид прямой линии. Однако, в отличие от случая одних
некомпенсированных доноров, наклон этой прямой равен e7/k,
т. е. соответствует не половине, а полной энергии ионизации <??.
Из выражения A7.3) также видно, что концентрация компенсирую-
компенсирующих акцепторов сильно влияет на концентрацию электронов в зоне
и может изменять ее на много порядков.
В общем случае примесной проводимости квадратное уравнение
A7.2) дает
> (/1Ы^) A7.4)
При достаточно высоких температурах, когда ,?,~, Ч ^ 1 и,
кроме того, «! J> ЛГа, мы имеем

198
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
1гл. v
т. е. полученную ранее формулу A6.1а). Эту область температур
иногда называют «областью истощения» доноров.
Зависимость п от Т для
конкретного случая германия
с донорами V группы, частич-
частично компенсированными акцеп-
акцепторами III группы, показана
на рис. 5.11. Для случая не-
некомпенсированных доноров
кривая / при низких темпе-
температурах имеет наклон, соот-
соответствующий половине энер-
энергии ионизации доноров (ср.
§ 15). При наличии компенса-
компенсации наклон соответствует пол-
полной энергии ионизации. Сле-
Следует подчеркнуть, однако,
что при малой степени ком-
компенсации (кривая 2) имеется
область температур (она со-
соответствует условию Na <>г <<
/К Nd)> в которой наклон от-
отвечает тоже половине энергии
ионизации и лишь при до-
достаточном понижении темпе-
температуры этот наклон удваи-
удваивается.
Чтобы найти температур-
температурный ход уровня Ферми, мы,
соотношением E.1). Это дает
a 4 в в ю
1ОО/Г,Н
Рис. 5.11. Зависимость концентрации
электронов от температуры в германии,
содержащем доноры V группы (принято
Ес — Еа = 0,01 эВ), частично компенси-
компенсированные акцепторами III группы |1].
Для всех кривых Na — Na = 101в см~3.
1 — N-a = 0; 2 — Na= 1014 см; 3 — Na=
= 1015 см~3; 4—Na= 1016 см~3. При расче-
расчетах положено тп = 0,25 m0, gQ/gt =-»•
как и раньше, воспользуемся
F—F —
— 1
A7.5)
Зависимость F — Ес от Т для тех же четырех степеней компенса-
компенсации, что на рис. 5.11, показана на рис. 5.12. Из рисунка видно, что
в частично компенсированном полупроводнике при низких темпе-
температурах ход уровня Ферми существенно отличается от такового
в некомпенсированном полупроводнике. При низких температу-
температурах (количественное условие см. выше) формула A7.5) дает
Na gl
Nd-Na i
При Т -> 0 F стремится к Ed, в то время как в некомпенсированном
полупроводнике F располагается посередине между уровнями Ес
и Ed.

18]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ПРИМЕСНЫХ АТОМОВ
199
Для полупроводника р-типа с акцепторами, частично компенсиро-
компенсированными донорами, мы получили бы
A7.6)
Nn — Nj—i
где pi (T) дается формулой (9.13). В частности, при низких темпе-
температурах концентрация дырок
выражается формулой, ана- о
логичной A7.3):
-%L.
go
(
A7.7)
-0,01
-0.02
Рис. 5.12. Зависимость уровня Ферми
от температуры в германии с частично
компенсированными донорами V группы
для тех же образцов, что на рис. 5.11.
Здесь а?'а — Еа—Ev есть энер-
энергия ионизации акцептора
(энергия отщепления дырки
от него). При очень низких
температурах уровень Ферми
стремится к уровню энергии
основной примеси, т. е. к Еа.
Рассуждая, как и выше,
легко найти температурную
зависимость концентрации
электронов (дырок) для двух
других возможных случаев: частично компенсированных акцепто-
акцепторов в полупроводнике n-типа и частично компенсированных доно-
доноров в полупроводнике р-типа,
§ 18. Определение энергетических уровней примесных атомов
Результаты предыдущего параграфа лежат в основе важного
метода определения локальных энергетических уровней, создавае-
создаваемых примесными атомами и структурными дефектами. Для этого
изготовляют образцы, содержащие исследуемую примесь и, кроме
того, компенсирующую примесь, концентрацию последней подби-
подбирают так, чтобы исследуемый уровень энергии был компенсирован
частично. В этом случае при достаточном понижении температуры
уровень Ферми располагается на частично компенсированном уровне
(ср. рис. 5.12), а зависимость концентрации основных носителей от
температуры в координатах In (пТ'3'") и \/Т описывается прямой
линией, наклон которой дает энергию ионизации.
Подобным образом можно исследовать и многозарядные центры. Рассмотрим
Возможные при этом случаи.
а. Многозарядные акцепторы в полупроводнике п-типа. Создаваемые ими
энергетические уровни Еъ ?2, ..., ?у Ем здесь и везде в дальнейшем мы бу-
будем нумеровать в порядке следования уровней от валентной зоны к зоне прово<

200 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. V
димости. В образце содержатся еще легко ионизуемые компенсирующие доноры
с концентрацией Na. Последняя такова, что
Это значит, что при температуре абсолютного нуля N^ электронов-доноров пол-
полностью заселяют все (j — 1) нижних акцепторных уровней и лишь частично за-
заполняют уровень /. Положим, далее, что
_ частично компенсированный /-и уровень
*¦" лежит выше, чем середина запрещенной
зоны Е*. Тогда при низких температурах
?/ мы будем иметь некоторую концентра-
с цию электронов в зоне проводимости за
_ г. счет теплового возбуждения электронов
j*' с уровня /, образования же дырок пр'ак-
тически происходить не будет, и мы бу-
Е дем иметь полупроводник и-типа. Такой
случай изображен на рис. 5.13. В этом
Рис. 5.13. Частично компенсиро- случае в некоторой области пониженных
ванные многозарядные акцепторы. температур (области примесной проводи-
Полупроводник n-типа. мости) мы будем иметь в качестве поло-
положительных частиц только ионизованные
доноры, а в качестве отрицательных —
электроны в зоне проводимости и отрицательно заряженные акцепторы. Условие
нейтральности будет иметь вид
м
2 У/(\ A8-2)
где /'•" в общем случае выражается формулой A1.8).
Задачу можно существенно упростить, если рассматривать лишь такую об-
область температур, где возбуждение электронов происходит только с частично
компенсированного уровня /. Это значит, что акцепторные центры практически
будут находиться только в двух различных зарядных состояниях (j — 1) и /,
и поэтому условие нормировки A1.5) примет простой вид:
/и-1>4-/а"> = 1. A8.3)
Отсюда и из формулы A2.1) следует, что
fU) ! f<J-i> — ! П8 41
' — a- F- F • ' о- F F- ' У10-4)
1
Условие нейтральности A8.2) в этом случае принимает простой вид:
Na^ + U-VNJJ-u+jNapfi,
или, с учетом A8.3),
NaFJ-v^ Na FE . A8.5)
Поэтому, поступая, как в § 17, и используя соотношение
F—Ej n <?7j

$ 18]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ПРИМЕСНЫХ АТОМОВ
201
где 3j — Ес — Ej есть энергия отрыва электрона с уровня /, мы можем пред-
представить соотношение A8.5) в виде
Здесь введено обозначение
8/
A8.6)
A8.7)
Мы получили соотношение того же типа, что и A7.2). В частности, прнедостаточно
низких температурах, когда
«< (jNa -Nd)nnN
A8.6) дает
Vrf - a - о Na, „—
Nd-(j-\)Nn
n, (T). A8.8)
б. Многозарядные акцепторы в по-
полупроводнике p-tnuna. Положим теперь,
что частично заселенный электронами
;-й уровень лежит в нижней половине
////////////////////У////////.
i
У////.
ко заброс электронов из валентной зо- лупроводник р-типа.
ны на пустые уровни / (т. е. генерацию
дырок и обратные переходы), а переходов электронов с заполненных уровней /
в зону проводимости практически не будет, т. е. мы будем иметь полупровод-
полупроводник р-типа. В тех же предположениях, что и выше, условие нейтральности в
этом случае будет
или, с учетом A8.3),
1Na-Nd-p=
A8.9)
Так как основными носителями сейчас являются дырки, то мы выразим экспо-
экспоненту через концентрацию дырок р:
ехр-
F—E]
где o7j = Е/ — Ev есть энергия отщепления дырки от акцептора. Учитывая
это .соотношение, A8.9) можно представить в виде
pJ( U
где
8;
'gj-i
A8.10)
A8.11)
Эти выражения определяют зависимость концентрации дырок от темпера-
температуры в области примесной проводимости. Если температуры достаточно низки,
так что р < Nd — (j — 1) Na и р < jNa — Nd, то уравнение A8.10) приводит

202 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК 1ГЛ. V
к экспоненциальной зависимости
'-„JX-"'».»™- A8Л2)
в. Многозарядные доноры в полупооводнике п-типа. Рассмотрим теперь
случай многоэлектронных доноров, частично компенсированных мелкими ак-
акцепторами, и притом таким образом, что частично заселен электронами /-й уро-
уровень (нумерация уровней, как и в случае акцепторов, производится от Ev к Ес).
Для этого, очевидно, концентрации доноров и акцепторов должны удовлетворять
условию
(M-j)Nd<Na<(M-j-\-l)Nd. A8.13)
При этом положим, что Ej > Ei, так что в примесной области мы будем иметь
полупроводник я-типа. Тогда условие нейтральности будет
м~\
? A8.14)
Рассматривая опять только такую область примесной проводимости, в ко-
которой практически представлены доноры в двух зарядных состояниях е(М —/)
и е(М =—¦'/'+ 1). мы можем записать уравнение A8.14) в виде
#а-(М-/) Nd+n=Ndf4-v=: " F_E.>. A8.15)
H exp—r=—
F-E,
Выражая опять ехр —p=— через концентрацию электронов я (полупроводник
я-типа), мы получаем из A8.15) температурную зависимость концентрации элек-
электронов:
n(Na-(M-j)Nd+n) _ п (Г)> A8Л
где tij (T) выражается опять формулой A8.7). При достаточном понижении тем-
температуры A8.16) дает
г. Многозарядные доноры в полупроводнике р-muna. Обратимся теперь к по-
последнему случаю, когда многоэлектронные доноры, как и в предыдущем примере,
частично компенсированы мелкими акцепторами, причем опять выполняется усло-
условие A8.13), но частично заполненный электронами /-й уровень доноров лежит
в нижней половине запрещенной зоны (Е/ < Ei). В этом случае в области примес-
примесной проводимости мы будем иметь полупроводник р-типа. Считая опять, что до-
доноры существуют только в двух зарядных состояниях, и поступая, как и раньше,
получим температурную зависимость концентрации дырок:
Na-(M-j)Nd-p =P>^> A8Л8
где pj (T) дается формулой A8.11). При низких температурах A8.18) дает
Na-(M~i)Nd

18]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ПРИМЕСНЫХ АТОМОВ
203
Таким образом, в любом из рассмотренных случаев при достаточном пони-
понижении температуры зависимость концентрации основных носителей от обрат-
обратной температуры становится экспоненциальной, а энергия активации в выра-
выражении под знаком экспоненты равна энергии ионизации того из уровней, который
заселен носителями заряда частично.
При практическом осуществлении таких измерений приготов-
приготовляют образцы полупроводника, содержащего кроме исследуемой
примеси еще компенсирующую
примесь противоположного типа
(контрлегирование), и отноше-
отношение концентраций примесей обое-
го типа варьируют от образца к
образцу. Если монокристалли-
ческие образцы приготовляют
вытягиванием затравки из рас-
расплава, то обе эти примеси вво-
вводят в расплав. При этом весьма
полезно то обстоятельство, что
отношение концентраций данной
примеси в твердой фазе ст и в
жидкой фазе сж у границы разде-
раздела жидкой и твердой фаз расту-
растущего кристалла, или, иначе, так
называемый коэффициент распре-
распределения примеси
К = ст/сж,
70"
70s
JO'
2 5 70 75 20 25 30 35 Ю3/т,К
Рис. 5.15. Зависимость постоянной
Холла от температуры для различных
образцов германия, содержащих цинк,
частично компенсированный сурьмой.
1-Nsb< NZn (р-тип); 2 - NZn<
< Nsb < 2NZn (р-тип); 3 — iVsb >
> 2NZn (л-тип).
оказывается различным для раз-
разных примесей. Это приводит к
тому, что распределение разных
примесей по длине слитка ока-
оказывается различным, а следова-
следовательно, вырезая пластинки из
разных частей слитка, можно
получить образцы с различной степенью компенсации исследуемой
примеси. Варьируя концентрацию компенсирующей примеси в доста-
достаточно широких пределах, можно определить число и положение
всех альтернативных уровней энергии многоэлектронных центров,
а учитывая еще и тип примеси (доноры или акцепторы), необходимой
для компенсации, можно установить, являются ли исследуемые
уровни донорными или акцепторными.
На рис. 5.15 приведен пример определения энергетических
уровней атомов цинка в германии, которые являются двойными
акцепторами *). Компенсирующие мелкие доноры создавались
*) По данным работы W. W. Tyler, H. H. Woodbury, Phys. Rev. 102, 647
A956).

204 СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК 1ГЛ. V
введением сурьмы. При Nsb < Nza зависимость логарифма посто-
постоянной Холла от 1/7 в области низких температур становится
прямолинейной, с наклоном, соответствующим энергии ионизации
нижнего уровня цинка Ег — Ev. Когда концентрация компенсирую-
компенсирующих доноров возрастает и попадает в интервал NZn < -Wsb < 2A/zn.
наклон прямых становится большим и-соответствует энергии иони-
ионизации второго уровня цинка Е2'— Ev. Если концентрация доноров
делается еще больше (Nsb > 2iVzn), образцы становятся электрон-
электронными (а не дырочными), концентрация-основных носителей (элект-
(электронов) определяется теперь уже возбуждением с избыточных атомов
сурьмы и ее зависимость от температуры становится слабой.
Отметим в заключение, что в исследованиях такого рода часто
измеряют не концентрацию основных носителей (постоянную
Холла), а удельное сопротивление, что экспериментально проще.
Так как в частично компенсированных полупроводниках подвиж-
подвижность носителей заряда зависит от температуры гораздо слабее,
чем их концентрация, то это приводит лишь к небольшой ошибке,
которой часто можно пренебречь.

Глава VI
ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ
ПРОВОДИМОСТЬ)
§ 1. Потенциальные барьеры
При контакте двух различных полупроводников, или полупро-
полупроводника с металлом в пограничных слоях возникают потенциаль-
потенциальные барьеры, а концентрации носителей заряда внутри этих слоев
могут сильно изменяться по сравнению с их значениями в объеме.
Свойства приконтактных слоев зависят от приложенного внешнего
напряжения, что приводит в ряде случаев к сильно нелинейной
вольтамперной характеристике контакта. Нелинейные свойства
контактов используют для выпрямления электрического тока, для
преобразования, усиления и генерации электрических колебаний
и для других целей.
В настоящей главе мы будем предполагать, что ток образован
только носителями заряда одного типа (монополярная проводи-
проводимость). Явления в контактах в случае биполярной проводимости
будут рассмотрены в гл. VIII.
Поясним образование потенциальных барьеров на примере
контакта металл — электрбнный полупроводник.
На рис. 6.1, а показана энергетическая диаграмма для обоих
тел до контакта. Отмечены: уровень энергии покоящегося электрона
в вакууме Ео, края зон Ес и Ev в полупроводнике, а также поло-
положения уровней Ферми в металле Fu и в полупроводнике Fn. Раз-
Разность Ео — Ес = х есть электронное сродство полупроводника.
На рис. 6.1, б изображена ситуация сразу после образования
контакта. Электроны из полупроводника получают возможность
переходить в металл, создавая некоторую плотность тока Д, а элект-
электроны металла — в полупроводник, образуя плотность тока —/2.
Эти токи, вообще говоря, не равны по величине. Если, например,
/'] < /2, то полупроводник будет заряжаться отрицательно, а ме-
металл — положительно до тех пор, пока оба тока не скомпенсируют
друг друга.
В установившемся состоянии мы получим энергетическую диа-
диаграмму рис. 6.1, в. Края энергетических зон окажутся изогнутыми
вниз, а концентрация электронов в приконтактном слое — больше,
чем в объеме (обогащенный слой).
В противоположном случае /х > /2 установившееся искривлевие
зон будет изображаться рис. 6.1, г и мы получим обедненный прикон-

206
ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
тактный слой. Высота потенциального барьера (со стороны полу-
полупроводника) равна —euk, где uk — разность потенциалов в глубине
полупроводника и в контактной плоскости, а е — абсолютная
величина заряда электрона.
На рис. 6.1 мы показывали искривление зон только в полупро-
полупроводнике. Оно, конечно, существует и в металле. Однако толщина
слоев объемного заряда и падение напряжения на них уменьша-
уменьшаются с увеличением концентрации носителей заряда (см. § 9 и
§ VIII.5). Поэтому в металле они пренебрежимо малы по сравнению
с их значениями в полупроводнике.
Рис. 6.1. Образование потенциального барьера в кон-
контакте металл — полупроводник: а) до контакта;
б) при контакте, нет равновесия; в) равновесие, обога-
обогащенный слой; г) равновесие, обедненный слой.
При контакте двух полупроводников качественная картина
явлений аналогична. Однако здесь уже необходимо учитывать суще-
существование барьеров в обоих контактирующих телах (см. § 9).
Отметим, что влияние потенциальных барьеров на электриче-
электрический ток существенно проявляется только в контактах невырож-
невырожденных полупроводников. Это связано с тем, что концентрация
электронов в полупроводниках намного меньше, чем в металлах
в силу особенностей энергетической структуры полупроводников
(существования запрещенной зоны энергий и положения уровня
Ферми внутри этой зоны). Вследствие этого, во-первых, толщина
потенциальных барьеров оказывается больше длины волны де
Бройля для электронов, так что квантовомеханический туннельный
эффект в них не имеет места. И, во-вторых, основная часть электро-

$ 2] ПЛОТНОСТЬ ТОКА. СООТНОШЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА 207
нов сосредоточена у дна зоны проводимости, и поэтому электроны
«чувствуют» потенциальный барьер. В случае же контакта двух
металлов, так как концентрация электронов в них велика, толщина
барьеров становится меньше длины волны де Бройля и электроны
свободно проходят сквозь барьеры в результате туннельного эф-
эффекта. По этим причинам контакты именно полупроводников (с ме-
металлами или другими полупроводниками) оказываются особенно
важными для технического использования.
§ 2. Плотность тока. Соотношение Эйнштейна
Если концентрация носителей заряда изменяется в простран-
пространстве, то плотность тока определяется не только дрейфом частиц
в электрическом поле, но и их диффузией. Если коэффициент диф-
диффузии электронов есть Dn, то плотность конвекционного тока элект-
электронов равна
h = Здр + 1д.,ф = ?пРп& + eDrSn. B.1)
Здесь \in — абсолютная величина подвижности электронов, а ток
диффузии записан со знаком «-f», так как для отрицательных
частиц направление потока диффузии противоположно направле-
направлению тока.
Аналогично, для плотности конвекционного тока дырок имеем
ip — epHp& — eDp?p. B.2)
Отметим, что выражения для токов диффузии и само понятие
коэффициента диффузии имеют смысл, если изменение концентра-
концентрации на длине свободного пробега / достаточно мало:
|Vn|/<n. B.3)
Для невырожденного полупроводника, согласно закону Больцмана,
п = п0 ехр ф BЛ)
и, следовательно,
Тогда условие B.3) принимает вид
<1. B-6)
Применительно к потенциальному барьеру под § следует пони-
понимать некоторое среднее поле внутри барьера §. По порядку вели-
величины ё ~ uk/L3, где Lb — длина экранирования электрического
поля (см. § 7). Поэтому условие B.6) можно записать также в виде
eUk l ^? 1 B 7)

208 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) 1.ГЛ. V?
Подвижность и коэффициент диффузии не являются независи-
независимыми между собой величинами. Действительно, для данного типа
частиц с заданной эффективной массой подвижность зависит только
от среднего времени свободного пробега (т). Но и коэффициент
диффузии частиц определяется той же самой величиной. Поэтому
между обеими величинами существует связь. Она особенно проста
для случая, когда электронный или, соответственно, дырочный газы
можно считать невырожденными.
Рассмотрим электроны в полупроводнике при наличии гради-
градиента концентрации и в состоянии термодинамического равновесия.
Это может быть, например, один из приповерхностных слоев, изо-
изображенных на рис. 6.1, в отсутствие тока. Тогда, подставляя у'1
из формулы B.5) в правую часть выражения B.1) и полагая /„ = 0,
находим
Ё-Й- <2-8>
Такую же формулу мы получили бы и для \ip/Dp, рассматривая не-
невырожденный газ дырок. Соотношение B.8) было получено впервые
Эйнштейном в теории броуновского движения. Однако оно имеет
универсальный характер и применимо к любым частицам, если они
образуют невырожденный газ. Оно позволяет по известной подвиж-
подвижности непосредственно найти коэффициент диффузии (который экс-
экспериментально определяется гораздо труднее), и обратно.
Полученный результат легко обобщить на случай произвольно
вырожденного газа. Для этой цели нужно лишь воспользоваться
формулой (V.4.4a), соглдсно которой концентрация электронов п
есть функция безразмерного химического потенциала
С* = Й-т"Ц-. B-9)
В этом случае
Подставляя это выражение опять в правую часть формулы B.1)
пр"и ]п = 0, мы получаем
Отсюда
цп _ е d (In it) (О \]\
Dn-kT~d^~' {АЛЧ
Рассуждая аналогично, мы имеем для дырок
|ip _ e d (In p) (9 im
D'o~ kT rftf * K >

3] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ КОНТАКТИРУЮЩИХ ТЕЛ 209
Для невырожденного электронного газа
* rf(lnn) ,
и формула B.11) переходит в B.8). То же самое справедливо и для
дырок.
Мы получили соотношение Эйнштейна, предполагая термоди-
термодинамическое равновесие. Однако этим соотношением можно пользо-
пользоваться и при наличии тока, если только плотность тока не стано-
становится настолько большой, что она приводит к существенному нару-
нарушению функции распределения электронов (подробнее см. гл. XVI).
§ 3. Условия равновесия контактирующих тел
Рассмотрим теперь, от чего зависит высота потенциального
барьера. Ответ на этот вопрос непосредственно следует из общих
условий термодинамического равновесия. А именно, из статисти-
статистической физики известно, что если два (или несколько) тел способны
обмениваться друг с другом частицами, то в
состоянии термодинамического равновесия
электрохимический потенциал, т. е. уровень
Ферми (ср. § V. 11), отсчитанный от произволь-
ного, но одинакового уровня энергии, имеет
одно и то же значение во- всех частях системы:
F=Q.onst. C.1)
Это условие имеет простой физический
Д
р ??j^BJ
смысл. Допустим временно, что оно не выпол- того газа,
няется и F изменяется в пространстве. Поло-
Положим, далее, что в полупроводнике имеется электрическое поле,
так что потенциал,ф и концентрация электронов п зависят от коор-
координат. В этом случае энергетические зоны будут искривлены и хи-
химический потенциал F — Ес = ? (г) будет изменяться в простран-
пространстве (рис. 6.2). Найдем теперь полную плотность конвекционного
тока электронов. Так как п есть функция безразмерного химического
потенциала ?* — E,/kT, то можно написать
" dt,* fe kT ас* fe-
Тогда выражение для плотности тока электронов B.1) можно
представить в виде
Рассматривая общий случай произвольного вырождения элект-
электронного газа и выражая здесь Dnf\in по формуле B.11), находим

210 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
Но (? — ец>) есть не что иное, как электрохимический потенциал F
(ср. формулу (V.11.12)). Поэтому
jB = [ViVF. C.2)
Если бы мы вместо электронов рассматривали ток дырок, то
получили бы совершенно аналогичное выражение:
)p = [ippV&-e4,) = iippVF. C.2а)
Полученные результаты показывают, что условие равновесия
C.1) означает просто отсутствие тока. Это и понятно, так как ток
есть нарушение термодинамического равновесия. Из формул C.2)
и C.2а) также видно, что полная плотность тока пропорциональна
градиенту уровня Ферми. Поэтому уровень Ферми изменяется
в пространстве особенно сильно там, где концентрация носителей
заряда мала (например, в обедненных приконтактных слоях),
в то время как в областях с большими значениями |д,„п и \хрр изме-
изменение F может быть очень малым.
Возвращаясь теперь к контакту металл—полупроводник, мы
имеем, что в отсутствие тока Fu = Fn. Это и было отмечено на рис. 6.1.
Поэтому высота барьера для электронов (со стороны полупровод-
полупроводника) равна
euk = Fn-Fx, C.3)
где Fn и Fu — положение уровней Ферми в полупроводнике и,
соответственно, в металле до контакта,
§ 4. Термоэлектронная работа выхода
Для нахождения глубины залегания уровней Ферми, которые,
согласно формуле C.3), определяют высоту потенциального барьера
в контакте, удобно пользоваться значениями термоэлектронной
работы выхода. Термоэлектронная работа может быть непосред-
непосредственно измерена на опыте и для многих материалов является
известной характеристикой. Чтобы выяснить интересующую нас
связь, вычислим плотность тока насыщения термоэлектронной
эмиссии js, т. е. заряд, переносимый электронами, испаряющимися
в вакууме в 1 с с 1 см2 поверхности проводника, находящегося при
температуре Т. Для этого представим себе, что наш проводник
заключен в адиабатическую оболочку, поддерживаемую при тем-
температуре Т. Тогда над проводником будет электронный газ с неко-
некоторой концентрацией электронов пе и этот газ будет находиться
в термодинамическом равновесии с проводником. Отсюда следует,
что количество электронов, испаряющихся из проводника в ва-
вакуум, должно быть равно количеству электронов, приходящих
из вакуума в проводник. Так как электронный газ над проводником
не вырожден, то скорости электронов в нем распределены по закону

§ i] ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ РАБОТА ВЫХОДА 211
Максвелла. Поэтому мы воспользуемся хорошо известным из кине-
кинетической теории газов выражением для числа частиц, встречаю-
встречающих 1 см2 стенки в 1 с: V4 nvr, где п — концентрация частиц,
a Vr — среднее значение абсолютной величины тепловой скорости.
Следовательно, для электронного тока насыщения можно написать
js = 1UnBvTe, D.1)
где vT, согласно закону Максвелла, равна
»г = 1/^-- D-2)
Величину пв мы можем непосредственно найти из формул гл. V
для концентрации электронов в зоне проводимости. Действительно,
мы видели, что в случае параболического изотропного закона дис-
дисперсии для невырожденного полупроводника концентрация элект-
электронов в зоне выражается формулой (V.5.1). Для электронного газа
в вакууме закон дисперсии точно выражается формулой
р Pi Р2 (A 'W
т. е. имеет тот же вид, с тем отличием, что вместо энергии Ес сейчас
входит Ео — энергия покоящегося электрона в вакууме, а вместо
эффективной массы — масса изолированного электрона т0. По-
Поэтому, заменяя в формуле (V.5.1) Ес на Ео и в формуле (V. 4.3) т
на /п0, находим
„ BnmnkT \»/i [ Ф'
Здесь введено обозначение
Ф = Е0-Р. D.5)
Подставляя D.4) и D.2) в D.1), мы находим окончательно
/, = ЛГехр(-^). D.6)
где
П~ Bл/г)з V-I)
есть универсальная постоянная, которая должна быть одинакова
для всех веществ.
Формула D.6) известна в вакуумной электронике как формула
Ричардсона—Дэшмана. При этом, по определению, энергия Ф
есть термоэлектронная работа выхода для данного вещества. Из
формулы D.5) видно, что Ф является разностью между энергией
покоящегося электрона в вакууме у поверхности образца и уровнем
Ферми в данном веществе (рис. 6.3).

212
ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
Остановимся подробнее на физическом смысле выражения D.5).
Рассмотрим сначала металлы. В них уровень Ферми совпадает
с максимальной энергией электронов проводимости (если отвлечься
от слабой «размазки» распределения Ферми при Т Ф 0). При этом
концентрация электронов в зоне практически не зависит от темпе-
температуры (ср. § V.6). Поэтому Ф в металлах совпадает с работой,
с необходимой для удаления электрона с
¦ -¦ - ° максимальной энергией из металла в вакуум
(рис. 6.3). Однако при применении форму-
формулы D.5) к невырожденным полупроводни-
полупроводникам может возникнуть недоумение, так как
в этом случае уровень Ферми F лежит внут-
внутри запрещенной зоны энергий (рис. 6.4) и
поэтому Ф не соответствует работа удале-
удаления какого-либо реально существующего
электрона. Причина этого, кажущегося
странным, результата заключается в том,
что js зависит не только от энергии электронов, но еще и от их
концентрации в зоне, а эта последняя в полупроводниках, в от-
отличие от металлов, может сильно зависеть от температуры. Формулы
D.5) и D.6) учитывают оба эти обстоятельства, и именно поэтому,
как показывает приведенный выше расчет, в формулу D.5) входит
уровень Ферми.
ШИШ
т
ф
t
Рис. 6.3. Термоэлектрон-
ная работа выхода из ме-
металла.
f
Ф
гт
ф
л
О77//7/////////*
а)
б)
Рис. 6.4. Термоэлектронная работа выхода из
полупроводника: а) и-тип; б) р-тип.
Из сказанного также следует, что в полупроводниках работа
выхода может сильно зависеть от введенных примесей. При преоб-
преобладании доноров мы будем иметь проводимость n-типа и уровень
Ферми будет лежать в верхней половине запрещенной зоны
(рис. 6.4, а). Напротив, в случае преобладания акцепторов уровень
Ферми будет в нижней половине этой зоны (рис. 6.4, б), и поэтому
работа выхода во втором случае будет больше.
Отметим еще, что работа выхода может очень сильно зависеть
от самых ничтожных загрязнений поверхности, даже если чужерод-
чужеродные атомы образуют единицы атомных слоев. Причина такого влия-

§5]
КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ
213
1
ния состоит в том, что чужеродные атомы на поверхности могут
обмениваться электронами с объемом кристалла и поэтому, как
правило, существуют в виде положительно или отрицательно заря-
заряженных ионов, а это приводит к искривлению энергетических зон
у поверхности. При отрицательном за-
заряде поверхности зоны искривляются
вверх (рис. 6.5), при положительном—:
вниз. При этом электронное сродство
(Ео — Ес), зависящее только от струк-
структуры кристалла, у поверхности не из-
изменяется. Поэтому работа выхода (Ео—F)
увеличивается при искривлении зон
вверх и уменьшается при искривлении
вниз. Изменение работы выхода есть
АФ = —ец>$, где cps — потенциал поверх-
поверхности (относительно объема кристалла).
Вследствие сильного влияния загряз-
загрязнения поверхности, определение термо-
термоэлектронных работ выхода требует очень
тщательных опытов. Однако в настоя-
настоящее время они для многих веществ достаточно хорошо известны.
Пользуясь термоэлектронными работами выхода, формулу C.3)
для высоты потенциального барьера в контакте можно предста-
представить в удобном виде:
ви* = Ф»-Фв. D.8)
I
-1-
йф
F-
Рис. 6.5. Изменение работы
выхода вследствие искривле-
искривления зон у поверхности.
§ 5. Контактная разность потенциалов
Для определения термоэлектронной работы выхода по термо-
термоэлектронному току исследуемое вещество нужно нагревать до высо-
высокой температуры, чтобы термоэлектронные токи были достаточно
сильны. А для многих веществ с невысокой температурой плавле-
плавления и большой работой выхода это не всегда возможно. Однако
работу выхода можно определить и другими методами, не требую-
требующими нагревания тела. В частности, это удобно сделать,
измеряя контактную разность потенциалов, т. е. разность потен-
потенциалов между несоприкасающимися поверхностями двух различ-
различных проводников, находящихся в электронном равновесии. Послед-
Последнее можно осуществить, соединяя оба проводника металлической
проволокой (однако это может быть и не обязательным, так как
равновесие может установиться и за счет слабого обмена электро-
электронами.через вакуум).
Рассмотрим сначала случай двух металлов. Если оба тела в це-
целом не заряжены, то в отсутствие контакта между ними электри-
электрического поля нет, а следовательно, энергия электрона в вакууме Ео

214
ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
и электрический потенциал ф постоянны (рис. 6.6, а). Термоэлект-
Термоэлектронная работа выхода металла / есть Фх = Ео — Fb а металла //
ф2 — Ео — F2. При соединении обоих тел проводником устанавли-
устанавливается электронное равновесие и уровни Ферми F] и F2 уравни-
уравниваются. Но при этом вершины потенциальных ям уже оказываются
JL
1
-вп.
Рис. 6.6. К определению контактной разности потенциа-
потенциалов двух металлов.
на разной высоте, и поэтому потенциальная энергия электрона
'¦—еф как функция координат уже не изображается горизонтальной
прямой. Это значит, что между телами появляется электрическое
поле, а на поверхности тел возникают заряды. Контактная разность
потенциалов ик между телами / и //, по определению, есть разность
потенциалов между любыми точками 1 и 2 (рис. 6.6, б), располо-
расположенными в непосредственной близости от поверхностей тел / и //,
с . но находящимися вне этих
г тел. Из рис. 6.6 видно, что
— еиь = — е (ц>1 — ф2) =
= F2-F1 = O1-Oa. E.1)
Таким образом, контактная
разность потенциалов опре-
определяется разностью термо-
jj. электронных работ выхода
F
'2
Рис. 6.7. Энергетическая диаграмма двух
контактирующих металлов.
обоих тел.
В связи со сказанным по-
полезно более подробно рас-
рассмотреть энергетическую диа-
диаграмму двух контактирующих тел (рис. 6.7). На границе вакуум-
металл / имеется скачок электростатического потенциала, и по-
поэтому при переходе из вакуума в металл потенциальная энергия

§ 5] КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ 215
электрона изменяется на величину
— е(ф/ — ц>1) = Ес1 — Eoi. E.2)
Здесь ср/ — потенциал внутри металла, а ц>г — его значение у по-
поверхности металла в вакууме. На границе металл / — металл //
также существует ¦ скачок потенциала (фп — фг), определяемый
условием равенства электрохимических потенциалов в обоих ме-
металлах (§ 3)
При переходе электрона из металла // в вакуум его потенциальная
энергия меняется на величину
— е(ф2-ф//) = ?0/ 1—Есц. E.3)
И, наконец, при переходе электрона в вакууме из точки 2 в точку /
изменение его энергии равно —е (фх — ф2).
Рассмотрим теперь замкнутый контур, проходящий внутри кон-
контактирующих металлов и замыкающийся в вакуумном промежутке.
Очевидно, что сумма всех скачков потенциала, встречающихся
на этом пути, равна нулю, так как после обхода по этому пути мы
возвращаемся вновь в исходную точку. Это дает
(Ес1 - Ео1) + (С/ - ?//) + (?„// - Ес11) - е (ф1 - Фа) = 0. E.4)
Но (см. рис. 6.7)
Ео, — Ес1 — Li = Ео1 — F = Фи Еоц — ЕсИ ¦*- ?// =?„// — F — Фъ,
E.5)
где Ф1 и Ф2 — термоэлектронные работы выхода металлов lull
соответственно. Поэтому соотношение E.4) переходит в формулу
E.1).
Рассмотрим теперь случай, когда одно из тел есть металл, а дру-
другое — полупроводник. Соответствующие энергетические диа-
диаграммы показаны на рис. 6.8, а (до установления равновесия)
и 6.8, б (при равновесии). Отличие от предыдущего случая двух
металлов заключается лишь в том, что электрическое поле здесь
частично проникает в полупроводник на некоторую глубину L3
(длину экранирования, см. § 8). Поэтому полная разность потен-
потенциалов (Фг — Ф2)/е распределяется между зазором (ширины d)
и слоем объемного заряда. Если d ^> Ьэ (что обычно всегда бывает
при измерении контактной разности), то падением напряжения
в слое объемного заряда можно пренебречь и мы опять получаем
формулу E.1). Это соотношение будет также справедливо и для двух
полупроводников, если ширина зазора между ними достаточно
велика (по сравнению с длинами экранирования в обоих полупро-
полупроводниках).

216
ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
Таким образом, высота потенциального барьера в контакте
металл—полупроводник равна контактной разности потенциалов
Uk- Поэтому в принципе, измеряя ы*, можно непосредственно опре-
определить и высоту барьера. Однако при этом нужно иметь в виду;
что, измеряя Uk, мы определяем разность работ выхода при свобод-
свободных поверхностях, которые могут иметь слои адсорбированных
газов и другие загрязнения, влияющие на работу выхода. При
_l
М
П
d-
-ъ
a) 6)
Рис. 6.8,- Контактная разность потенциалов металла и полупроводника.
образовании же контакта состояния поверхностей, а следовательно
и работы выхода, могут изменяться," и поэтому контактная разность
«Л, измеренная в реальных опытах без надлежащих предосторож-
предосторожностей, может и не совпадать с высотой барьера при последующем
образовании контакта.
§ 6. Распределение концентрации электронов
и потенциала в слое объемного заряда
Рассмотрим теперь, от чего зависит толщина потенциального
барьера в контактах.. Положим, что все величины зависят лишь
от одной координаты х, отсчитываемой вдоль нормали к плоскости
контакта (рис. 6.9). Полупроводник будем считать невырожден-
невырожденным и, для определенности, я-типа. Тогда для нахождения распре-
распределения потенциала и концентрации электронов мы имеем следую-
следующую систему уравнений:
выражение для плотности тока
j = en\i$-{- \x,kT -?-, F.1)
уравнение Пуассона
F.2)
дх
и уравнение непрерывности
4яр
е
df
дх'
F,3)

$ 6]
ЭЛЕКТРОНЫ И ПОТЕНЦИАЛ В СЛОЕ ОБЪЕМНОГО ЗАРЯДА
217
У//////////.
В уравнении F.1) мы пренебрегли током смещения и, кроме
того, выразили коэффициент диффузии через подвижность с по-
помощью соотношения Эйнштейна B.8). Пусть, далее, полупроводник
содержит доноры с концентрацией Nd и акцепторы с концентрацией
Nа < Nа- Тогда плотность объем-
объемного заряда р есть
p = e(JVS — Na — n), F.4)
где концентрации заряженных до-
доноров Nd и акцепторов N~a в общем
случае являются функциями коор-
координат и времени.
В настоящей главе мы ограни-
ограничимся только стационарными со-
состояниями. Тогда уравнение непре-
непрерывности дает
/ = const.
Далее, будем сначала считать,
что доноры и акцепторы доста-
достаточно мелкие, так что уровни до-
доноров везде расположены выше
уровня Ферми, а уровни акцепторов — ниже уровня Ферми хотя бы
на несколько kT (рис. 6.9). Тогда доноры и акцепторы будут пол-
полностью ионизованы и JVJ = Nd, Nd = Na. В этом случае исходная
система уравнений приобретает простой вид:
d<p , Lmdn
Рис. 6.9. Контакт полупроводника,
содержащего мелкие доноры и ак-
акцепторы, с металлом.
Але
F-5)
F.6)
Здесь через п0 обозначена постоянная концентрация электронов
б глубине полупроводника, где о -¦= 0.
Положим, что плоскость контакта расположена при х = 0,
и будем отсчитывать потенциал от его значения в этой плоскости.
Тогда граничные условия будут
= п0
_
Здесь и — внешняя приложенная разность потенциалов.
Граничная концентрация nk в отсутствие тока есть заданная
характеристика контакта, зависящая от природы металла и полу-
полупроводника:
F.8)
При наличии тока концентрация на границе п @), вообще говоря,
уже не равна равновесной nk, и точное определение этой концентра-

218 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
ции сложно. Однако мы положим, что это изменение невелико,
так что п @) можно считать приближенно не зависящим от тока
и равным его равновесному значению пк.
Чтобы оценить величину токов, при которых это предположение
еще допустимо, можно воспользоваться следующими соображе-
соображениями. Электроны в полупроводнике, уже достигшие плоскости
контакта, далее не встречают потенциального барьера и все про-
проходят в металл. Без внешнего напряжения число таких электронов,
пересекающих 1 см2 контактной плоскости в 1 с, есть -т- nkvj- Та-
Такое же число электронов переходит в обратном направлении из
металла в полупроводник. Поэтому плотность тока через контакт
можно выразить через граничные концентрации п @) и Пк-
/ = V4№7-[n@)-nft]. F.9)
Отсюда видно, что п @) ~ пк, если / мало по сравнению с каждым
из слагаемых в F.9). Полагая, например, nk ~ Ю13 см и vT ~
— 10 7 см/с, мы получим для второго слагаемого в правой части
F.9) величину ~10 А/см2. Поэтому, если плотность тока через кон-
контакт не превышает, скажем, 0,1 А/см2, то разность между п @)
и nfe будет не более 1 % и сделанное допущение будет хорошим при-
приближением.
Мы рассмотрим сначала контакт" в отсутствие тока, Тогда из
уравнения F.5) имеем
ff. F.10)
Подставляя это в F.6), получаем уравнение
d4> Але
из которого можно найти распределение потенциала q> (x).
Рассмотрим некоторые важные частные случаи.
§ 7. Длина экранирования
Положим, что искривление зон у поверхности мало, так что
etik/kT <^ 1. Тогда экспоненты в уравнении F. Г1) можно разложить
в ряд и ограничиться первыми двумя членами разложения. После
этого уравнение F.11) принимает простой вид:
где обозначено
G.2)
е2па'

§ 7] ДЛИНА ЭКРАНИРОВАНИЯ 219
Его решение, удовлетворяющее граничным условиям F.7), есть
G.3)
Потенциал экспоненциально изменяется по мере удаления от гра-
границы контакта. Очевидно, что по такому же экспоненциальному
закону будут изменяться напряженность поля и концентрация
электронов, так как эти величины могут быть получены дифферен-
дифференцированием потенциала по координате, что опять приводит к экс-
экспоненциальной функции. Характеристическая длина LD есть длина,
на которой эти величины изменяются в е раз. Она получила назва-
название длины экранирования Левая.
В полупроводниках с большой концентрацией электронов
длина Дебая мала. Полагая, например, в формуле G.2) п0 ~ 1015см3
и е ~ 10, мы находим для комнатной температуры LD ~ 10~5 см.
При уменьшении п0 длина Дебая LD увеличивается.
Однако было бы ошибкой считать, что, достаточно уменьшая концентрацию
электронов в зоне, можно сделать длину экранирования как угодно большой.
При уменьшении я0 длина Дебая LD сначала увеличивается, но затем пере-
перестает зависеть от п0 и остается постоянной. Это происходит потому, что при очень
малой концентрации электронов экранирование определяется уже не электронами
в зоне, а имеющимися в полупроводнике заряженными примесями. Чтобы вы-
выяснить, когда это имеет место, откажемся от предположения, что основная при-
примесь (доноры) полностью ионизована, и согласно формуле (V.9.4) положим
G-4)
Здесь пх дается формулой (V.9.5). Тогда выражение для плотности объемного за-
заряда будет
^f) G-5)
При этом в глубине полупроводника (р = 0)
Ограничиваясь, как и выше, слабым искривлением зон, имеем
G.7)
— == : I 1 — -rs, : (ф— «*) .
Тогда
п + щ~~ По + Пу [_* ЪТ
и, комбинируя это соотношение с формулами G.5) и G.6), получаем
р==-щМ<р-«*). G'8)
где через ф2 обозначена величина
G.9)

220. ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
После этого уравнение Пуассона принимает вид
Сравнивая это уравнение с уравнением G.1), мы видим, что теперь длина экра-
экранирования равна
?. = ?/>*• GЛ1>
где LD — по-прежнему есть длина Дебая, определяемая формулой G.2).
Положим, что выполняются неравенства
Na<nlt no<«i. G.12)
Первое из них требует, чтобы концентрация компенсирующей примеси была
достаточно мала. Второе неравенство, согласно формуле G.4), обозначает, что
доноры можно считать полностью ионизованными. Тогда ij> ~: 1 и мы получаем
рассмотренный раньше случай Lb = LD.
Другой крайний случай мы имеем, когда п0 становится малым по сравнению
с Na. Это происходит, например, в компенсированных полупроводниках в обла-
области примесной проводимости при достаточном понижении температуры. Тогда
уровень Ферми локализован вблизи уровня энергии доноров Е^ (ср. § V.17),
а следовательно, nt ^ /Iq и
Если при этом концентрация электронов становится настолько малой, что
я„ < Na, то
В этих условиях длина экранирования перестает зависеть от концентрации сво-
свободных электронов, а определяется концентрацией компенсирующей примеси.
Физический смысл этого результата заключается в том, что при неполной иони-
ионизации примесей объемный заряд, экранирующий электрическое поле, создается
не только перераспределением электронов, но и пространственным изменением
заряда примесей. При малом п0 последний эффект становится главным.
§ 8. Обогащенный контактный слой в отсутствие тока
Рассмотрим теперь распределение потенциала в случае обога-
обогащенного контактного слоя (euk<C.O и в несколько раз превышаетkt)
(рис. 6.10). При этом удобно раздельно рассматривать область
вблизи объемного заряда контакта 1 и остальную толщу полупро-
полупроводника 2, где зоны можно считать уже неискривленными. В пер-
первом случае мы имеем
exp-^expj (8.1)
и уравнение F.11) упрощается:

ОБОГАЩЕННЫЙ КОНТАКТНЫЙ СЛОЙ В ОТСУТСТВИЕ ТОКА
221
Умножая обе части этого уравнения на d<p/dx и интегрируя по <р,
получаем
-/- ) = —5— exp r^, -f- С.
dx I e r кЛ '
Постоянная интегрирования С определяется из условия, что на
границе обеих областей
Поэтому
8nnkkT
еик
Отсюда видно, что, вследствие условия (8.1), для области вблизи
контакта постоянной С можно пренебречь
по сравнению с первым слагаемым. Поэтому
ехР здт •
dx ~\ е
Так как мы рассматриваем обогащен-
обогащенный слой в электронном полупроводнике,
то ф <СО и увеличивается по абсолютной
величине с увеличением х, а следователь-
следовательно, нашей задаче соответствует знак ми-
кус. Интегрируя это уравнение еще раз
по л; в пределах от 0 до х, находим рас-
распределение потенциала в виде
(8.2)
(8.3)
где а есть характеристическая длина:
_/ zkT V/,
Рис. 6.10. Распределение
электрического потенциа-
потенциала ф и концентрации
электронов п в пластинке
полупроводника с двумя
металлическими контакта-
контактами в отсутствие ток.а. .
С точностью до множителя 2~1/г это есть не
что иное, как длина экранирования G.2), в
которой, однако, концентрация электронов
в глубине образца п0 заменена ее значением на контакте пк. Таким
образом, потенциал вблизи контакта изменяется по логарифмиче-
логарифмическому закону. Распределение концентрации электронов выража-
выражается соотношением
ew
Вдали от контакта (область 2)
(8.4)
(8.5)

222 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
Распределение потенциала и концентрации электронов в слое
полупроводника между двумя одинаковыми металлическими элек-
электродами с обогащенными слоями схематически показано на рис. 6.10.
Таким образом, прилегающие к металлическим электродам
слои полупроводника, толщина которых ~а, могут «заливаться»
носителями заряда. При этом концентрация носителей вблизи кон-
контактов, как показывает формула (8.4), не зависит от их концентра-
концентрации в глубине полупроводника п0, которая может быть как угодно
мала (изолятор). Поэтому электропроводность слоистых (пленочных)
структур металл — тонкий слой диэлектрика — металл (струк-
(структура МДМ) может быть велика, даже если удельная электропро-
электропроводность диэлектрика (в отсутствие контакта) ничтожно мала,
§ 9. Истощенный контактный слой
Рассмотрим теперь противоположный случай, когда приконтакт-
ный слой в полупроводнике обеднен основными носителями (запор-
(запорный, или блокирующий, контакт). Мы ограничимся предельным
случаем очень сильного обеднения, который особенно легко под-
поддается расчету и в то же время часто встречается в практике.
Контакт металл—полупроводник. Положим, что к контакту
приложено внешнее напряжение и, .создающее обедненный слой.
Если напряжение достаточно велико, то, следуя Шоттки, можно
приближенно считать, что в некотором слое полупроводника тол-
толщиной d электронов нет вовсе («полностью истощенный слой»),
так что объемный заряд обусловлен только заряженными донорами
и акцепторами. В этом случае имеем euk > 0 (запорный слой),
exp e kTu <^ 1 и уравнение Пуассона F.11) принимает простой
вид:
«Рф.__4леяо_ . ...
dx* ~ е ~ Sb ^Л>
Интегрируя это уравнение два раза и принимая во внимание гра-
граничные условия (при А, подлежащем определению):
х = 0: Ф = 0; x = d: <p = u + uk, g = 0, (9.2)
мы получаем
d? ^-x), (9.3)
(d-x)*. (9.4)
Полагая в формуле (9.4) ф = 0, х = 0, находим толщину запор-
запорного слоя:
У Ч
Чпещ

§9]
ИСТОЩЕННЫЙ КОНТАКТНЫЙ СЛОЙ
223
п
Аналогично можно найти распределение электрического поля
и потенциала в контакте двух полупроводников. При этом особый
интерес представляет случай, когда один из полупроводников имеет
проводимость р-.тяпа, а другой — n-типа. Такие электронно-ды-
электронно-дырочные переходы, или, иначе, р—п-пе-
реходы, широко применяются в совре-
современной полупроводниковой электрони-
электронике (см. гл. VII и VIII). Для получения
истощенных слоев, очевидно, необхо-
необходимо, чтобы к n-части перехода был
приложен плюс источника, а к р-части—
минус (рис. 6.11, а), или, при обратной
полярности, | и | < | uk |.
Толщина запорных слоев dp и dn в
обеих частях перехода и распределение
потенциала в них зависят от закона рас-
распределения доноров и акцепторов. Мы
рассмотрим два практически важных
случая.
Резкий р—n-переход. Разность кон-
концентраций доноров Na и акцепторов Na
постоянна в каждой области перехода и
скачком меняется в плоскости контак-
контакта. Доноры и акцепторы будем считать
полностью ионизованными. Тогда кон-
концентрации электронов и дырок вдали от
контакта, где нет объемного заряда,
равны:
n0~^'^d — 'va \X J> anli
Поэтому для объемного заряда в приконтактных слоях мы имеем:
а)-
1
ш
-dn О cfn
и
?
1
0 (L
TV
f\
a dn
+
X
X
•?n
X
Рис. 6.11. Резкий р—п-пе-
реход при обратном смеще-
смещении. Распределение объем-
объемного заряда р и потенциа-
потенциала ш.
р-область: р =
л-область: р = \ _ °
:-dp<x<0),
(x<-dp);
@<x<dn),
(x > dn).
(9.6)
Это распределение р (х) изображено на рис. 6.11, б.
Будем отсчитывать, как и раньше, потенциал от его значения
в плоскости х = 0. Тогда граничные условия задачи имеют вид:
x=-dp
= dn:
(9.7)

224 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
где ир и ип — падения напряжения на слоях объемного заряда
в р- и, соответственно, в n-области. Подставляя выражения (9.6)
для р в уравнение Пуассона и интегрируя последнее при учете
(9.7), получаем:
р-область: фр = ир + -1 (х
л-область: ф„ = и„ (х — dnJ.
Е
e
Потенциал в слоях объемного заряда изменяется по параболиче-
параболическому закону, изображенному на рис. 6.11, в. При х = 0 оба выра-
выражения (9.8) должны давать одно и то же значение потенциала
в плоскости контакта. Отсюда
где
есть полное напряжение на переходе, складывающееся из контакт-
контактной разности потенциалов uk и напряжения источника и.
Так как электрическая индукция её должна быть везде непре-
непрерывна (а диэлектрическую проницаемость е мы считаем одинаковой
в р- и «-областях), то
,@)= —
dx
dx
Это дает
nodn=podp. (9.10)
Соотношения (9.9) и (9.10) позволяют найти толщины слоев объем-
объемного заряда dn и dp.
Полагая в формулах (9.8) х = 0 и, соответственно, фр = ф„ = 0
и учитывая (9.10), находим, что падения напряжений в р- и /г-облас-
тях относятся, как
«о
~р7'
Поэтому, если, например, р0 ^> п0, то будем иметь dp <^ dn и, кроме
того, все приложенное напряжение будет сосредоточено в п-об-
ласти. Если, напротив, п0 ^> pOt то все падение напряжения будет
сосредоточено в р-области и при этом будет dp ^> dn.
При произвольных концентрациях п0 и р0 из формул (9.9) и
(9.10) легко получить, что полная толщина слоя объемного заряда
равна

S. 9] ИСТОЩЕННЫЙ КОНТАКТНЫЙ СЛОЙ 225
Если п9 <; р0, то
что совпадает с формулой (9.5) для контакта металл—электронный
полупроводник. При Ро<*С.По в формулу (9.1 Г) вместо п0 входит р0.
Плавный р—п-переход. Если разность (Nd — Na) изменяется
в пространстве непрерывно, то распределения поля и потенциала
будут другими и будут зависеть от закона изменения (Nd — Na).
Рассмотрим простейший случай, когда на протяжении слоя объем-
объемного заряда (толщина которого опреде-
определяется формулой (9.15)) этот закон можно Р'
считать линейным: -d/z
Nd-Na = ax, U^*# 4#^
где а — постоянная. Тогда распределение
объемного заряда будет (рис. 6.12) Рис. 6.12. Плавный р—я-
переход при обратном
р = еах. (9.12) смещении. Распределение
объемною заряда.
При этом из симметрии задачи очевидно,
что падения напряжения на каждом из слоев одинаковы и равны
половине полного напряжения (и -Ь uk). Тогда, подставляя (9.12) в
уравнение Пуассона и учитывая граничные условия:
О ГУ | 1 / J ЯШ ' s\ /г\ \ г%\
: ф = 0; x = ±1/ia: -.т = 0, (9.1 о)
находим
ф = ?5??. (i/^x - VsJC3) • (9-14)
В этом случае потенциал изменяется по кубическому закону. Пола-
Полагая в формуле (9.14) х = d/2 и, соответственно, <р = (и + ик)/2,
получаем для толщины двойного слоя объемного заряда
й\Ъе{ц + ик)У1> (9 15)
L та J ч '
Поступая аналогично, можно найти толщину слоя объемного заряда
и для других законов распределения (Nd — Na).
Зарядная емкость. Толщина слоя объемного заряда возрастает
с увеличением приложенного обратного напряжения, и при этом
•растет и полная величина заряда, сосредоточенного в слое. Отсюда
следует, что контакт обладает определенной емкостью. Она получила.
название зарядной емкости.
Рассмотрим в качестве примера резкий р—n-переход с сильно
легированной р-областью (или контакт металл—полупроводник
и-типа). Тогда величина заряда в слое, рассчитанная на единицу
поверхности, есть

226 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
Подставляя сюда для dn выражение (9.1 Г), находим для зарядной
емкости
Это выражение совпадает с формулой для емкости плоского кон-
конденсатора с толщиной зазора между обкладками, равной dn.
Оценим порядок величины этой емкости. Рассмотрим германий
(е = 16) с концентрацией электронов п0 = 1 •1014см~3 и положим,
что и + ик = 1 В = A/300) ед. СГСЭ. Тогда из (9.11') имеем
dn ~ 4-Ю см = 4 мкм и (9.16) дает С~ 104/л см/см2, или
~103пФ/см2.
Для плавного перехода с линейным распределением доноров
и акцепторов имеем
d/2
1
V (Л V* — - /
Л Ы-Л О t
о
Подставляя сюда для d выражение (9.15) и дифференцируя по и,
находим для емкости (опять на единицу поверхности)
е Г та ТА е .„ . _.
4L3( + )J And' V>-1')
Из выражений (9.16) и (9.17) видно, что зарядная емкость зави-
зависит от приложенного обратного напряжения, и притом различно
при различных законах распределения примесей. Для резкого
перехода С ~ и~'/г, для линейного закона распределения С ~ ir'/»,
а при другом законе распределения эта зависимость была бы иная.
Поэтому, исследуя на опыте зависимость С от и, можно сделать
выводы о структуре р—л-перехода, т. е. о законе распределения
примесей в нем.
§ 10. Токи, ограниченные пространственным зарядом
Обратимся теперь к зависимости тока сквозь контакт от прило-
приложенного внешнего напряжения. Вольтамперные характеристики
контактов оказываются различными в зависимости от того, имеем ли
мы контакты с обогащенным слоем или с обедненным слоем.
Рассмотрим сначала случай обогащенного слоя.
Энергетическая диаграмма такого контакта изображена на
рис. 6.13. В отсутствие внешнего напряжения потенциальная энер-
энергия электрона —еср в области объемного заряда вблизи металличе-
металлического электрода увеличивается при удалении от электрода по лога-
логарифмическому закону (8.2). "За областью объемного заряда она
постоянна. Поэтому энергия дна зоны проводимости Ес, которая
изменяется так же, как и —<?<р, изображается кривой /. В области
объемного заряда имеются ток диффузии и ток дрейфа, которые на-

§ Ю]
ТОКИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ЗАРЯДОМ
227
(По)
правлены противоположно и в точности компенсируют друг друга.
При наложении на второй электрод положительного напряжения
потенциальная энергия электрона понижается, и тем больше, чем
ближе расположена рассматриваемая плоскость к аноду. Поэтому
для Ес мы получаем кривую 2. В этом случае в некоторой плоскости
х' потенциальная энергия имеет максимум, напряженность резуль-
результирующего электрического поля равна нулю, а ток определяется
только диффузией электронов. С увеличением внешнего напряже-
напряжения плоскость х' приближается к катоду, а высота барьера понижа-
понижается (кривая 3). При этом всякий раз устанавливается такое рас-
распределение потенциала, что ток
диффузии в плоскости х' как раз
равняется току, протекающему
через кристалл. Такие контак-
контакты, представляющие своеобраз-
своеобразный резервуар электронов, в ли-
литературе называют еще анти-
антизапорными или омическими кон-
контактами.
Отметим, что диаграммы рис.
6.13 аналогичны кривым распре-
распределения потенциальной энергии
электронов в вакуумном диоде
при учете начальных скоростей
термоэлектронов. Пользуясь тер-
терминологией вакуумной электро-
электроники, можно сказать, что в пло-
плоскости х' мы имеем «виртуаль-
«виртуальный» катод, имея под этим в виду такой катод, который спосо-
способен эмиттировать любое количество электронов при условии, что
на его поверхности напряженность электрического поля равна
нулю.
При достаточно большом приложенном напряжении током диф-
диффузии можно пренебречь по сравнению с током дрейфа для любой
плоскости внутри полупроводника. В этом случае максимум на
кривых рис. 6.13 исчезает вовсе и распределение потенциала ста-
становится монотонным.
При положительном потенциале на втором электроде (аноде)
электроны затягиваются в глубь полупроводника и полупроводник
обогащается электронами. Это явление называется инжекцией
основных носителей. При этом в полупроводнике возникает простран-
пространственный заряд и, в соответствии с уравнением Пуассона, появля-
появляется дополнительное электрическое поле, препятствующее вхожде-
вхождению электронов из контакта в полупроводник. Поэтому плотность
протекающего тока определяется условием, что падение напряжения
внутри полупроводника, обусловленное пространственным зарядом,
Рис. 6.13. Энергетическая диаграмма
контакта с обогащенным слоем без
тока (/) и при наличии тока B, 3).

228 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
уравновешивается внешним напряжением. Мы имеем токи, огра-
ограниченные пространственным зарядом (ТОПЗ). Они аналогичны
качественно токам в вакуумных диодах при напряжениям на аноде,
меньших напряжения насыщения, хотя количественно между этими
случаями имеются различия. Вследствие влияния объемного заряда
такие контакты не подчиняются закону Ома, и плотность тока растет
быстрее, чем приложенное напряжение.
Найдем теперь вольтамперную характеристику. Будем по-преж-
по-прежнему исходить из основных уравнений F.5) и F.6), считая, что
доноры и акцепторы полностью ионизованы. Тогда, исключая из
этих уравнений концентрацию электронов п, получаем для опреде-
определения электрического поля § (х) нелинейное уравнение второго
порядка
Здесь плотность тока / = const входит как параметр, а ст0 = е\т0
есть электропроводность в глубине пластинки полупроводника
в отсутствие инжекции.
Задача существенно упрощается, если можно пренебречь током
диффузии (который приводит к первому слагаемому в уравнении
A0.1)) по сравнению с током дрейфа. Тогда уравнение A0.1) пере-
переходит в уравнение первого порядка и его решение можно получить
в аналитической форме.
Следуя Мотту и Герни [1], условие возможности пренебречь
током диффузии можно оценить следующим образом. Интегрируя
почленно уравнение A0.1) один раз, мы получим
Для грубой оценки порядка величин можно положить
dJ^ — T' b —h '
где 8 = ujL есть среднее значение поля, и — приложенное напря-
напряжение, a L — толщина рассматриваемого слоя полупроводника.
Тогда условие возможности пренебрежения диффузией
dx
>>2
принимает вид
При Т = 300 К имеем kT/e = 0,025 В. Однако эта оценка иногда
оказывается слишком грубой и для пренебрежения диффузией
необходимы значительно большие напряжения.

§ 10] ТОКИ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ЗАРЯДОМ 229
Для исследования уравнения A0.1) удобно ввести безразмерные
величины координаты хи поля St, потенциала фг, а также максвел-
ловское время релаксации гм, определяемые соотношениями
A0.2)
Тогда уравнение A0.1) (в пренебрежении диффузией) принимает вид
gi^L_g1 + l=O A0.3)
при граничном условии
х1==0: ^@) = ^. A0.4)
Решение уравнения A0.3) есть
$1 + \пA-$1) = х1 + С, A0.5)
где постоянная интегрирования С определяется из граничного
условия
Так как, далее, для антизапорных контактов Bi @) = nojnk •< 1,
то, разлагая логарифм в последнем соотношении в ряд, мы имеем
A0.6)
Падение напряжения фх на толщине пластинки полупроводника хх
равно
Si @) 8, @)
В этом выражении можно приближенно положить нижний предел
интегрирования §х @) = 0, и тогда
Так как безразмерные величины фх, §х и д;1( согласно определе-
определениям A0.2), зависят от плотности тока /, то соотношение A0.7)
представляет собой уравнение вольтамперной характеристики, за-
заданное в параметрической форме. При этом для вычисления ф?
на толщине пластинки хх при заданном токе / значение %х (х,)
должно быть найдено из уравнения A0.5). Так как это уравнение
трансцендентно, то в общем случае для этого требуются численные
расчеты. Однако можно получить простые аналитические выраже-
выражения, если рассматривать отдельные области токов и напряжений,

230 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
а. Слабые токи. Положим, что токи настолько слабы, что прак-
практически везде внутри полупроводника | хх | J> 1. Так как | С | <; 1
и, согласно A0.2), §г=^1, то уравнение A0.5) удовлетворяется
только при отрицательных х,. Это значит, что направление тока /
противоположно положительному направлению оси X (от металла
к полупроводнику), т. е. что при инжекции электронов в электрон-
электронный полупроводник ток течет от полупроводника к металлу. Далее,
из уравнения A0.5) следует, что при этом §х ~ 1. Или, в размер-
размерных величинах,
(область 1). Напряжение на пластинке полупроводника толщи-
толщиной L разно
\&dx=±j. A0.8)
о
При очень слабых токах (критерий указан ниже) выполняется
закон Ома, а электропроводность равна ее значению <т0 в отсут-
отсутствие инжекции.
б. Сильные токи. Этот случай соответствует условию §!<^1.
Тогда, разлагая в A0.5) In в ряд и удерживая два первых члена раз-
разложения, имеем
—2 &i= xi ~Ь С.
или
Si = /2(|^| + |C|)V,. A0.9)
Здесь, в свою очередь, удобно различать два случая. Если токи
не очень сильны, то | хх \ J> С (область 2) и
Возвращаясь с помощью соотношений A0.2) к размерным величинам,
получаем
-( 2/
Для напряжения имеем
L
или
^^ A0.10)
(закон Мотта). В этом случае ток пропорционален квадрату напря-
напряжения (в отличие от вакуумных диодов, где j ~ и3-'2).

§ Ю]
ТОКИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ЗАРЯДОМ
231
Порядок величины напряжений, при которых закон Ома пере-
переходит в квадратичный закон Мотта, можно оценить, приравнивая
величины токов, получаемые из соотношений A0.8) и A0.10);)
Это приводит к простому условию:
tnp^XM, A0.11)
где tnp = ^/\ш есть время пролета электрона между электродами.
Отклонения от закона Ома A0.8) становятся заметными при таких
напряжениях, при которых пролетное время делается меньше
максвелловского времени релаксации.
Если токи становятся настолько сильными, что | xt | <^ С,
то A0.9) дает
\
Для размерных величин при этом получается
При очень больших напряжениях квадратичный закон для тока
опять переходит в закон Ома (область 3), однако теперь с другой,
гораздо большей электропроводностью
e\ink- Физически это обозначает, что
вся пластинка заполняется инжекти-
инжектированными электронами с практиче-
практически постоянной по объему концент-
концентрацией пк.
Условие перехода из области 2 в
область 3 можно оценить, приравни-
приравнивая выражения для / из A0.10) и
A0.12). Это дает
где т'м — s/4ne\mk — максвелловсксе
время релаксации, но теперь соответ-
соответствующее концентрации пк. Омиче-
Омический режим восстанавливается, когда
^пр уменьшается до х'м.
Найденная зависимость тока от на-
напряжения схематически показана
на рис. 6.14 линией abed в двойном
логарифмическом масштабе. Области
1 соответствует прямая ab, области
2— прямая be и области 3 — прямая
ей. В действительности, конечно, пе-
переход между отдельными областями
имеет плавный характер.
Выше мы везде предполагали, что в полупроводнике (или ди-
диэлектрике) не имеется ловушек для электронов и что поэтому весь
Рис. 6.14. Зависимость тока от
напряжения (произвольные еди-
единицы) для ТОГО, abfcd — без
ловушек; abefcd — при равно-
равномерном распределении глубоких
ловушек.

232 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) |ГЛ. VI
объемный заряд образован избыточными подвижными электронами
в зоне. При наличии ловушек задача становится гораздо сложнее.
Качественно явления изменяются следующим образом. Положим,
что ловушки создают глубокие уровни энергии (так что обратным
тепловым выбросом электронов можно пренебречь) и что ловушки
равномерно распределены по объему. Концентрацию ловушек будем
считать намного большей концентрации равновесных электронов пп.
Тогда с увеличением напряжения инжектированные электроны
будут сначала практически все захватываться на ловушки, а кон-
концентрация электронов в зоне увеличиваться не будет. Это приведет
к тому, что первый омический участок вольтамперной характерис-
характеристики не закончится при напряжениях си. иг (рис. 6.14), а будет про-
продолжен в область больших напряжений (кривая abe). При некотором
напряжении щ все ловушки окажутся заполненными электронами,
и тогда концентрация электронов в1 зоне начнет сильно увеличивать-
увеличиваться с напряжением. Это приводит к очень крутому участку характе-
характеристики ef (рис. 6.14). И, наконец, когда величина тока достигнет
значения, соответствующего квадратичному закону, сила тока
будет изменяться по кривой fed, т. е. так же, как и в отсутствие
ловушек. Разумеется, форма реальных характеристик зависит
от свойств ловушек и их концентрации и поэтому может в деталях
отличаться от приведенных схематических зависимостей.
Отметим еще, что время установления объемного заряда определяется м'акс-
велловскнм временем релаксации т^. С другой стороны, установление электрон-
электронного равновесия между ловушками и зоной характеризуется другим временем —
«временем захвата» т. Если тм < т (что часто имеет место), то после наложения
внешнего напряжения в течение времени t < т характеристика имеет такой же
вид, как и в отсутствие ловушек. И лишь в последующее время t > т устанавли-
устанавливается стационарная характеристика, определяемая ловушками. При этом зна-
значения токов в импульсном и стационарном режимах могут отличаться на много
порядков. Исследуя кинетику установления ТОПЗ, а также характерные осо-
особенности стационарных характеристик, оказывается возможным оценить пара-
параметры ловушек (сечения захвата для электронов, концентрацию и др.).
§ 11. Выпрямление в контакте металл — полупроводник
Обратимся теперь к блокирующим, или запорным, контактам.
Вольтамперная характеристика таких контактов может оказаться
сильно нелинейной, и поэтому контакты соответственно подобранных
пар металла и полупроводника (или двух полупроводников) широко
используются как выпрямители переменного тока.
Влияние потенциального барьера на прохождение тока существен-
существенно зависит от соотношения между шириной барьера Ьэ и длиной
волны электронов К. Если барьер достаточно тонкий, так что Ьь < X,
то электроны любой энергии могут проходить сквозь барьер вслед-
вследствие квантовомеханического туннельного эффекта. Напротив,
если Ьь > Я, то возможность преодоления потенциального барьера

§11] ВЫПРЯМЛЕНИЕ В КОНТАКТЕ МЕТАЛЛ — ПОЛУПРОВОДНИК
233
определяется классическим условием: энергия электрона должна
быть больше высоты барьера, т. е. электроны могут проходить только
над барьером. Так, например, при концентрации электронов п0 ~
— 1015 см при комнатной температуре, как мы видели в § 7,
La — 10"8 см. Для электронов с тепловыми скоростями при той же
еик
-En
///////////////Л
A
о
Рис. 6.15. Выпрямление в контакте металл — полупроводник:
а) внешнее напряжение и = 0; 6) проходное направление тока;
в) запорное направление тока; г) вольтамперная характеристика
(схематически).
температуре К ~ 10~6 см, и мы- имеем классический случай прохож-
прохождения над барьером. Однако Ьэ ~ 1/}^пп, и поэтому в сильно леги-
легированных полупроводниках с п0 ~ 1018 -г- 1019 см (или больше)
Ьэ << К и существенную роль будет играть туннельное просачивание
электронов.
Сейчас мы рассмотрим случай не очень сильно легированных
полупроводников (случай туннельного эффекта будет рассмотрен
в § VII 1.3). Мы будем также предполагать, что участием дырок в об-
образовании тока можно пренебречь (монополярная проводимость).
, Качественное объяснение выпрямления тока для этого случая
дано на рис. 6.15. В отсутствие внешнего напряжения (рис. 6.15, а)
энергия электронов в глубине полупроводника, понижается отно-

234 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
сительно металла на —euk, где uk — контактная разность, а следо-
следовательно, для электронов, движущихся из полупроводника в металл,
существует энергетический барьер eut,. В равновесии ток ]\ электро-
электронов, переходящих из полупроводника в металл, равен току /2
электронов, переходящих из металла в полупроводник, и поэтому
полный ток / = ]\ — /2 = 0. В соответствии с этим уровень Ферми
везде одинаков.
Рис. 6.15, б соответствует приложенному внешнему напряжению
такого знака, что изменение энергии электронов в полупроводни-
полупроводнике — ей > 0. Для этого электронный полупроводник должен быть
соединен с минусом источника; для полупроводника /?-типа знак
напряжения должен быть обратным. В этом случае потенциальный
барьер в полупроводнике уменьшается на величину ей и ток ]\
увеличивается, в то время как барьер со стороны металла, а следо-
следовательно, и ток /2 не изменяются. Поэтому возникает ток / = jx — /2,
идущий от металла к полупроводнику, который быстро увеличи-
увеличивается при увеличении и («проходное» направление тока, возраста-
возрастающая ветвь характеристики на рис. 6.15, г).
При напряжении противоположного знака (рис. 6.15, в) потен-
потенциальный барьер в полупроводнике, напротив, увеличивается
и ток /\ уменьшается. При ей порядка нескольких kT электроны
из полупроводника практически вовсе не могут преодолеть потен-
потенциальный барьер, и поэтому обратный ток достигает некоторого
значения js = /2, которое не зависит от внешнего напряжения (ток
насыщения). Для этого направления тока сопротивление контакта
велико («запорное» направление).
Разумеется, вольтамперная характеристика, показанная на
рис. 6.15, г, имеет только схематический характер. В частности,
при достаточно большом обратном напряжении возникают явления
«электрического пробоя» контакта и обратный ток резко возрастает.
При расчете вольтамперной характеристики необходимо учи-
учитывать соотношение между шириной запорного слоя Ьэ и длиной
свободного пробега /. Если / J> Ьэ, то электроны внутри запорного
слоя практически не испытывают соударений и поэтому токи /\
и /2 можно рассматривать как токи термоэлектронной эмиссии
(диодная теория выпрямления Бете). Отличие от обычной термо-
термоэлектронной эмиссии (§ 4) заключается в том, что здесь эмиссия
происходит не в вакуум, а из полупроводника в металл (и обратно).
При этом, вследствие. меньшей высоты потенциального барьера
в контакте (равной разности работ выхода контактирующих тел),
токи термоэмиссии могут быть, очень сильны уже при комнатных
(и даже более низких) температурах.
В другом предельном случае, когда электроны испытывают
многочисленные соударения внутри запорного слоя, ток через
контакт нужно рассчитывать с учетом диффузионного и дрейфового
движения электронов (диффузионная теория выпрямления; основы

§ 11] ВЫПРЯМЛЕНИЕ В КОНТАКТЕ МЕТАЛЛ — ПОЛУПРОВОДНИК 235
ее были заложены в работах Б. И. Давыдова, С. И. Пекара, Н. Мот-
та, В. Шоттки). Условие применимости диффузионной теории вы-
выражается неравенством B.7).
В зависимости от типа полупроводника применимой может быть
и та, и другая теория. Так, например, если полупроводником яв-
является германий с п0 — 1015 см при комнатной температуре, то,
как мы видели, Ьэ — 10~5 см (а при меньших па она еще больше).
С другой стороны, / можно оценить по соотношению I ~ 5-Ю"8 \i,
где fx — подвижность в см2/В-с, а /— в см (§ П.8). Для чистого
(некомпенсированного) германия \i может достигать 3,9 • 103 см2/В-с
и поэтому I — 10~5 см. Таким образом, в этом случае число соударе-
соударений в запорном слое будет невелико и удовлетворительным прибли-
приближением будет диодная теория. Напротив, для таких полупроводни-
полупроводников, как Си2О и Se, у которых ц гораздо меньше (а следовательно,
и I меньше) и концентрация носителей заряда тоже меньше (Ьэ боль-
больше), применима диффузионная теория.
Диодная теория. Ток /х, создаваемый электронами из полупро-
полупроводника, можно непосредственно найти, учитывая, что в невырож-
невырожденном полупроводнике скорости электронов распределены по закону
Максвелла и что преодолеть барьер могут только те электроны,
энергия которых удовлетворяет условию
где vx—нормальная к плоскости контакта составляющая тепло-
тепловой скорости. Однако мы воспользуемся уже полученным выраже-
выражением D.6) для плотности тока термоэлектронной эмиссии. При этом
под работой выхода в данном случае нужно понимать разность
между вершиной барьера и уровнем Ферми в глубине полупровод-
полупроводника, которая равна (ср. рис. 6.15)
Тогда
1 ехР|. W J'
Это выражение можно представить в более простом виде. Учитывая,
что концентрация электронов п0 в глубине полупроводника есть
(ср. формулы (V.5.1) и (V. 4.9))
__n[2nmkT\3U
и пользуясь выражением D.2) для средней тепловой скорости
электронов Vt (с заменой та на т), A1.1) можно написать
A1.1а)

236 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) 1ГЛ. VC
Величина тока /2 получается непосредственно из этого выражения
при и = О, так как в отсутствие внешнего напряжения величины
токов /\ и /2 одинаковы:
к = -4- <?"оУт- ехр ^ - g* j. A1.2)
Поэтому для полной плотности тока получается
/ = /i - к = /* [ехр (— аи) - 1 ], A1.3)
где введены сокращенные обозначения
/s = Te«ourexp(— auh), a = ^. A1.4)
Формула A1.3) показывает, что при отрицательном потенциале
полупроводника относительно металла (и < 0) ток быстро увели-
увеличивается при возрастании напряжения. Уже при е | и |, равном
нескольким kT, единицей можно пренебречь по сравнению с первым
членом и закон нарастания тока становится экспоненциальным.
При обратных напряжениях (и > 0) первый (экспоненциальный)
член быстро уменьшается с увеличением напряжения. При ей J> kT
он становится пренебрежимо малым по сравнению с единицей и
ток достигает насыщения. Плотность тока насыщения равна js.
В заключение подчеркнем, что во всех предыдущих рассуждениях
и обозначало напряжение, падающее на запорном слое. В реальном
выпрямительном диоде всегда имеется еще некоторое сопротивление г
самого кристалла полупроводника, включенное последовательно
с запорным слоем. Поэтому для получения зависимости тока от
полного напряжения на диоде V в предыдущих формулах везде
нужно заменить и на (V — ir), где i — сила тока через диод. Это
приведет к горизонтальному смещению всех точек характеристики
на переменный отрезок, ir, отчего прямая ветвь характеристики
окажется более пологой.
§ 12. Диффузионная теория
При строгом решении задачи в диффузионной теории мы должны
исходить из системы уравнений F.5) и F.6). Однако ниже мы уви-
увидим, что вольтамперная характеристика контакта слабо зависит
от вида функции ф (я). Поэтому мы выберем приближенный, но
гораздо более простой путь [М7] и рассмотрим только одно уравнение
F.5), которое запишем в виде
dx dx
A2.1)
Будем считать ф (х) заданной и посмотрим,. какие выводы можно
сделать без детального знания вида этой функции.

$ 12] ДИФФУЗИОННАЯ ТЕОРИЯ 237
Поместим начало оси X в плоскости контакта и условимся от-
отсчитывать, как и раньше, потенциал от его значения при х — 0.
Тогда граничное условие будет
х = 0; ф = 0, п = и*. A2.2)
Кроме этого, для любой плоскости хх — const, лежащей за пределами
слоя объемного заряда,
, ^г = °, « = «о- A2.3)
Уравнение A2.1) — 1-го порядка относительно п (х). Его решение,
удовлетворяющее граничному условию A2.2), есть
п(х) = (?*<*) Uk + Af \ea^dy\, A2.4)
I о J
в чем легко убедиться непосредственной подстановкой. При этом,
в соответствии со сказанным в § 6, мы будем считать пк не завися-
зависящим от внешнего напряжения и равным его равновесному значению
для невырожденного полупроводника:
пк = пфгшк A2.5)
Учет зависимости uk от приложенного напряжения мы рассмотрим
дополнительно в § 13.
Применим теперь решение A2.4) к плоскости хх и учтем условия
A2.3) и A2.5). Это дает
Jjj . A2.6)
no = e(k )noek + J_e(
о
Разрешая это уравнение относительно /, мы получаем выражение
для вольтамперной характеристики в виде
/ = /Лехр(-ам)-1], A2.7)
где введено обозначение
. \\kT exp (— auk) /ioo\
is — jj >: • {lz.oj
Ij exp (— аф (у)) dy
о
Значение входящего сюда интеграла можно приближенно найти
следующим образом. Так как для электронов в полупроводнике
существует потенциальный барьер, то <р (у) положительно. Вслед-
Вследствие этого подынтегральная функция быстро убываете увеличением
у и величина интеграла определяется только областью у возле
плоскости у = 0. Поэтому можно положить

238
ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. V!
где § @) — напряженность электрического поля в полупроводнике
у контактной плоскости. При этом § @) направлено антипараллель-
но оси у, т. е. § @) < 0. Поэтому
ехр [—аф (у) dy] ^ J ехр [— а | g @) | у] dy = -
8@)
Тогда для тока насыщения окончательно получается
js = епо\к | $ @) ] ехр (— аик).
A2.9)
е(ин+и)
Д
-Ее
-F
/7
Здесь § @), строго говоря, зависит от приложенного внешнего
напряжения и. Однако этой зависимостью можно пренебречь, при-
принимая во внимание экспоненциальный множитель в формуле A2.7),
и приближенно понимать под § @) ее значение при и = 0.
Выражение A2.7) для вольтамперной характеристики в диффу-
диффузионной теории имеет такой же вид, как и формула A1.3) в диодной
теории. Однако различие заключается в
токе насыщения, который в обеих тео-
теориях зависит от разных величин. При
этом величина тока насыщения в диф-
диффузионной теории получается гораздо
меньшей.
В настоящее время широко приме-
применяют также диоды, имеющие структуру
металл — диэлектрик — полупроводник
(МДП), в которых между металлом и
полупроводником находится тонкий
слой плохо проводящего вещества (ис-
(искусственный, или «химический», запор-
запорный слой). Такие слои диэлектрика мо-
могут быть созданы конденсацией в ва-
вакууме, окислением или другими способами. Если толщина слоя
диэлектрика d много больше длины экранирования Ьэ в полу-
полупроводнике, то все контактное поле будет сосредоточено практи-
практически в диэлектрике (рис. 6.16). При этом во многих случаях
можно пренебречь влиянием объемного заряда внутри диэлектрика
и считать электрическое поле в нем однородным, отчего расчет
вольтамперной характеристики сильно упрощается. Так, в уравне-
уравнении A2.1) коэффициент dyldx = —§ не будет зависеть от х и, рас-
рассуждая так же, как и выше, мы получим вместо формул A2.7) и
A2.8) соотношение
ХР (a) 1 /1 Г, 1 П\
A2.10)
Рис. 6.16. Энергетическая
диаграмма структуры ме-
металл — диэлектрик — полу-
полупроводник.
При всех напряжениях и, при которых еще существует потенциаль-
потенциальный барьер р> kT, мы можем считать, что ехр [—а (ик + и)] <^ I,

S 13] СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ 239
и поэтому предыдущая формула принимает вид
/ = <?по,и | g j ехр (— аы*)[ехр(— аи) — 1J. A2.11)
Мы получили ту же формулу, что и раньше, с тем отличием, что
здесь | 8 | = (uk + и)Id обозначает напряженность поля внутри
диэлектрического слоя (а п0, по-прежнему, относится к полупро-
полупроводнику).
В заключение подчеркнем, что во всех предыдущих формулах
внешнее напряжение и обозначало потенциал в глубине полупро-
полупроводника относительно металла. Поэтому для электронного полупро-
полупроводника проходному направлению тока соответствует и < 0. Если,
как это часто встречается в литературе, считать проходное напря-
напряжение положительным, то формулы A1.3) и A2.7) будут иметь вид
/ = /Лехраы-1), A2.12)
где js по-прежнему выражается формулами A1.4) или, соответ-
соответственно, A2.9).
§ 13. Сравнение с экспериментом
Одностороннюю проводимость контактов металл^—полупровод-
металл^—полупроводник используют для устройства полупроводниковых выпрямителей
переменного тока. Для выпрямления технических токов низкой
частоты широко применяют селеновые выпрямители, в которых
запирающий слой образуется у границы слоя Se и одного из метал-
металлических электродов («вентильного» электрода). Последний состоит
обычно из сплава различных металлов (например, Bi, Cd и Sn).
В меднозакисных выпрямителях запирающий слой возникает на
границе между медной пластиной и слоем закиси меди Си2О, полу-
получающейся при окислении меди в атмосфере кислорода.
Для выпрямления токов высокой частоты применяют герма-
германиевые и кремниевые «точечные» СВЧ детекторы. Они содержат
монокристалл полупроводника (германия n-типа или кремния
р-типа), базовый (невыпрямляющий) металлический электрод боль-
большой площади и прижимной или приваренный металлический элек-
электрод (проволока) малого диаметра (микроны).
Контакты металл — полупроводник различных других конфи-
конфигураций в настоящее время широко используют для создания быст-
быстродействующих нелинейных элементов, которые часто обозначают
как «диоды Шоттки».
Опыт показывает, что направление выпрямленного тока хорошо
согласуется с изложенной выше теорией (§§11, 12).
Далее, мы видели, что зависимость прямого тока от напряжения
должна выражаться универсальной формулой A2.12), в которой
постоянная а = e/kT не зависит от рода полупроводника и металла.
Опыт дает, что эта экспоненциальная зависимость хорошо выпол-

240
ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
няется. Однако значения а иногда получаются меньше теоретичес-
теоретического (в 2 ч- 3 раза) и различными для разных контактов. Причина
этого кажущегося расхождения заключается в том, что геометрия
реальных выпрямляющих контактов часто отличается от идеальной
плоской структуры. При этом возникают краевые эффекты, приво-
приводящие к существенному увеличению электрического поля у пери-
периметра электродов. Кроме того, в реальных контактах могут быть
еще значительные утечки вдоль поверхности полупроводника.
Эти обстоятельства можно практически исключить, выбирая
рациональную конструкцию диодов [5]. Тогда'прямая ветвь вольт-
амперной характеристики в широкой области изменения токов
хорошо описывается формулой A2.12), а значение а с точностью
до нескольких процентов совпадает с теоретической величиной
C9 1/В при 300 К).
Обратная ветвь вольтамперной характеристики хуже согла-
согласуется с простой теорией. А именно, ток насыщения js не остается
точно постоянным, а медленно увеличивается с увеличением обрат-
обратного напряжения. Основная причина
этого несоответствия состоит в том,
—х—0 что при расчетах в §§ 11, 12 мы счита-
считали граничную концентрацию у контак-
контакта nk не зависящей от приложенно-
приложенного напряжения. Это допущение при-
пригодно для прямого напряжения, так
как в этом случае напряжение на
контакте и напряженность поля в
слое объемного заряда малы. При об-
обратных же напряжениях напряжен-
напряженность поля в контакте становится
у//////////////\ большой, что приводит к понижению
потенциального барьера для электро-
электронов и увеличению граничной концен-
I ^_ трации электронов пк.
0 + X
Рассматриваемый эффект аналогичен за-
зависимости тока насыщения в вакуумных
диодах от напряжения. Следуя Шоттки (но
применительно к контактам металл—полу-
металл—полупроводник), его можно приближенно учесть
следующим образом. Электрон, переходящий
из металла в полупроводник, испытывает
силу притяжения к металлу от индуцирован-
индуцированного им самим заряда на металле. Эту силу можно найти по методу зеркального
изображения (рис. 6.17, а), а возникающее вследствие этого уменьшение по-
потенциальной энергии электрона равно —&Къх. Здесь х — расстояние электро-
электрона до металла, а е—диэлектрическая проницаемость полупроводника. Если,,
далее, 8 есть напряженность электрического поля внутри полупроводника (кото-
(которую сначала мы будем считать постоянной), то вызываемое этим полем изме-
изменение потенциальной энергии есть —eg*. Оно, как и в случае силы зеркального
б)
F
т
ф
1
лф и
Рис. 6.17. Понижение потен-
потенциального барьера в контакте
металл — полупроводник при
обратном смещении (эффект
Шоттки).

§ 13] СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ 241
изображения, отрицательно, так как при обратном смещении («-+-» на электрон-
электронном полупроводнике) энергия уменьшается с увеличением к. Поэтому полное
понижение потенциальной энергии электрона равно
Зависимость U от к показана на рис. 6.17, б (сплошная кривая). U имеет макси-
максимум при *m = -
Подставляя это в предыдущее выражение, находим величину понижения
потенциального барьера:
A3.1)
Выше мы считали, что электрическое поле 8 не зависит от х. В действитель-
действительности же 8 изменяется в обедненном слое объемного заряда в соответствии с форт
мулами (9.3) и (9.5). Однако расстояние хт, на котором расположен максимум
потенциального барьера, обычно намного меньше .толщины слоя объемного заряда.
Поэтому за g в формуле A3.1) приближенно можно принять максимальную
напряженность поля, которая, в отсутствие рассматриваемого эффекта, сущест-
существует в плоскости контакта х= 0. Тогда из формул (9.3) и (9.5) получаем
A3.2)
Таким образом, в результате совместного действия электрического поля
в слое объемного заряда и силы зеркального изображения высота потенциального
барьера со стороны металла уменьшается на ДФ. На такую же величину умень-
уменьшается высота потенциального барьера и со стороны полупроводника. Поэтому
( ЛФ\
в формулах A1.4) и A2.9) мы должны заменить к^ на [и^ ). Это дает
A3.3)
где Jso — ток насыщения без учета понижения барьера. Так как АФ ~ § (Р)*'*,
а § @) ~ (и^ + ие)^*, то отсюда следует, что In js должен быть пропорциона-
пропорционален («ft-r-и)'/*. Зависимость, близкая к этой, действительно наблюдается на
опыте в диодах Шоттки при устранении краевых эффектов и утечек по поверх*
ности.
Остановимся еще на зависимости сопротивления контактов от
температуры. Удобно измерять дифференциальное сопротивление
du/dj при внешнем напряжении и = 0 («нулевое сопротивление»).
Согласно формуле A2.12) нулевое сопротивление г0 на единицу
площади контакта определяется соотношением
(dj \
Так как и в диодной, и в диффузионной теориях /, ~ ехр (—auk),
а все остальные величины зависят от температуры гораздо слабее,
то мы должны ожидать зависимость от температуры в виде
. A3.4)

242 ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМ.) [ГЛ. VI
Опыт показывает, что во многих случаях зависимость lg r0 от ЦТ
действительно выражается прямой линией. При этом г0, в согласии
с формулой A3.4), сильно увеличивается при понижении темпера-
температуры.
Из наклона этих прямых можно найти контактную разность
потенциалов ик и сопоставить ее с работами выхода полупроводника
и металла. Подробные опыты такого рода проводились, например,
с селеновыми выпрямителями, в которых контактный электрод
изготавливался из различных металлов. Так как селен обладает
дырочной проводимостью, то для образования в нем потенциального
барьера работа выхода из металла Фм должна быть меньше <Dse.
При этом высота потенциального барьера для дырок будет еик =
= Фэе— Ф„- Согласно формуле A3.4) можно ожидать, что с увели-
увеличением Фм величина г0 будет сильно уменьшаться. Это действительно
и наблюдается н'а опыте. Однако для германиевых и кремниевых
выпрямителей такая зависимость между г0 и Фм не соблюдается.
Причина этого отклонения от теории заключается в том, что
в германии и кремнии большую роль играют так называемые по-
поверхностные электронные состояния (см. гл. X). В результате, их
существования поверхность полупроводника оказывается заряжен-
заряженной, что вызывает искривление энергетических зон независимо от
контактного поля. Поэтому и корреляция между работами выхода
и высотой потенциального барьера в таких контактах уже не имеет
места.

Глава VII
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
§ I. Неравновесные носители заряда
В полупроводниках, в отличие от металлов, под влиянием
внешних воздействий (освещения, электрического тока в неодно-
неоднородных структурах и других) концентрации электронов и дырок
могут изменяться на много порядков. Это приводит к ряду специ-
специфических явлений, которые лежат в
основе действия многих полупровод-
полупроводниковых приборов.
Чтобы пояснить, почему изменяют-
изменяются концентрации электронов и дырок,
рассмотрим группу состояний элект-
электронов, которые изображаются точка-
точками в р-пространстве, заключенными
внутри малого объема брх (рис. 7.1).
Часть из этих состояний фактически
заполнена электронами, которые под
влиянием теплового движения (сю-
(сюда включается и тепловое излуче-
излучение, даходящееся в равновесии с
кристаллом) могут переходить в другие состояния, например,
принадлежащие объему бр2. При этом энергия электронов может
изменяться. Обозначим через v12 темп таких переходов, т. е. число
переходов в единицу времени, рассчитанное на единицу объема
кристалла, а темп обратных переходов из состояния 2 в состояние /—
через v21. Тогда при термодинамическом равновесии устанавливается
такое распределение электронов по квантовым состояниям, что
A.1)
О
Рис. 7.1. Прямые и обратные
электронные переходю-.
v12 = v,
21-
Суммарные концентрации электронов и дырок равны при этом их
равновесным значениям п0 ир0. Соотношение A.1) выражает принцип
детального равновесия, который играет большую роль при статисти-
статистических расчетах и более подробно будет рассмотрен в гл. XIII.
Существенно подчеркнуть, что взаимное уравновешивание пря-
прямых и обратных переходов справедливо не только для всей совокуп-
совокупности состояний, но и для отдельных их физически малых групп.
Так, например, рассматривая тепловые возбуждения электронов

244
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
[ГЛ. VII
рекомбинации электронов и
дырок B—* /).
из валентной зоны в зону проводимости, можно непосредственно
заключить, что темп этих переходов (тепловой генерации электронно-
дырочных пар) равен темпу обратных выпадений электронов из
зоны проводимости в валентную зону (или рекомбинации электронно-
дырочных' пар), что вытекает просто из условия постоянства кон-
концентраций электронов и дырок в зонах. Однако согласно принципу
детального равновесия можно утверждать
гораздо больше, а именно что это ра-
равенство справедливо и для отдельных
групп энергетических уровней в зонах
(рис. 7.2).
При наличии внешних воздействий
на полупроводник к тепловым перехо-
переходам v12 добавляются переходы v'ti нетеп-
нетепловой пр'ироды, и при этом частота обрат-
обратных переходов v21 тоже изменяется. Со-
Рис. 7.2. К иллюстрации стояние полупроводника в таких усло-
принципа детального равно- виях ы будш называть термодинами-
весия. Тепловая генерация J „ ^
электронно-дырочных пар ческМ неравновесным. При этом принцип
(/ — 2) и обратный процесс детального равновесия, вообще говоря,
уже не выполняется.
При нарушении термодинамического
равновесия концентрации электронов и
дырок в зонах пир изменяются по сравнению с их равновесными
значениями /г0. и р0, т. е. в зонах появляются неравновесные носители
заряда с концентрациями б/г = п — п0 и 8р = р — р0. При этом
изменяются и концентрации связанных носителей nt и pt.
Сказанное справедливо, конечно, и для металлов. Однако кон-
концентрация электронов в металлах гораздо больше, чем в полупро-
полупроводниках, и ее относительное изменение обычно ничтожно мало.
Отметим, что уже в гл. VI мы имели дело, по существу, с нерав-
неравновесными состояниями, так как наличие тока нарушает термоди-
термодинамическое равновесие (ср. § VI. 3). Однако там можно было счи-
считать, что по отношению к концентрации носителей заряда равнове-
равновесие сохраняется. Это значит, что для данного полупроводника при
заданной температуре установившаяся концентрация электронов,
определяется только значением электростатического потенциала
(ср., например, § VI. 12). Теперь мы рассмотрим явления, в которых
нарушается равновесие и по концентрациям. Именно такие состоя-
состояния мы будем называть в дальнейшем неравновесными.
§ 2. Время жизни неравновесных носителей заряда
В настоящей главе мы будем рассматривать поведение неравновес-
неравновесных носителей заряда только в объеме полупроводника, отвлекаясь от
возможного влияния его поверхности. Это можно сделать, если

§ 2] ВРЕМЯ ЖИЗНИ НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА 245
отношение поверхности к объему образца достаточно мало (строго
говоря, для бесконечно протяженного полупроводника). Однако
основные понятия и соотношения, вводимые в настоящей главе,
сохраняются и в тех случаях, когда процессами генерации и реком-
рекомбинации на самой поверхности пренебрегать нельзя. Влияние по-
поверхности на неравновесные состояния будет рассмотрено дополни-
дополнительно в гл. X, где будут выяснены и условия, при которых этим
влиянием можно пренебречь.
Положим, что под влиянием внешнего воздействия в каждой
единице объема полупроводника в единицу времени возникает gn
электронов проводимости и, соответственно, gp дырок в валентной
зоне. Темпы генерации gn и gp будем считать сначала одинаковыми
по всему объему, хотя и не обязательно равными друг другу. Пусть,
далее, Rn есть темп обратного процесса исчезновения свободных
электронов вследствие процессов рекомбинации с дырками (свобод-
(свободными и связанными на локальных уровнях энергии) и, соответст-
соответственно, Rp — темп рекомбинации свободных дырок. Если в полу-
полупроводнике нет электрического тока, то изменение во времени не-
неравновесных концентраций электронов и дырок в зонах определя-
определяется уравнениями
dbn г, dbp п /п i\
-at^gn-Rn, -af=gp-RP- BЛ)
Подчеркнем, что gn я gp обозначают генерацию, обусловленную
только внешними воздействиями, и не включают переходы, вызван-
вызванные тепловым движением. Последние мы учитываем в величинах
Rn и RP, которые поэтому представляют результирующие темпы
рекомбинации, т. е. разности между темпом захвата носителей из
соответствующей зоны и темпом обратной тепловой генерации носи-
носителей в зону:
Rn = rn- gnT, RP = rp- gpT. B.2)
Для количественного описания кинетики неравновесных элек-
электронных процессов' широко применяют понятия среднего времена
жизни неравновесных электронов в зоне проводимости х„ и, соот-
соответственно, дырок в валентной зоне тр, которые определяются
формулами
П П — Па D р — ро- .п о\
t\n~— » Ар — — . К*-Э)
%п тр
Или иначе: 1/тя есть вероятность исчезновения одного избыточного
электрона из зоны проводимости в единицу времени вследствие
рекомбинации (со свободными и связанными дырками). Аналогично,
1 /тр есть вероятность рекомбинации одной избыточной дырки, тоже
за единицу времени.
Так как г„ и тр в формулах B.2) по физическому смыслу не могут
иметь слагаемых, не зависящих от п и, соответственно, р, то из

246 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ [ГЛ. VII
сравнения формул B.2) и B.3) следует, что
*.г = ?. 8рТ = *. B.4)
Следовательно, времена т„ и хр определяют не только темп суммарной
рекомбинации, но и темп тепловой генерации электронов и дырок.
Пользуясь понятиями времен жизни, уравнения кинетики B.2)
для однородного образца без тока можно записать в виде
dbn Ьп dbp Ьр
Стационарные концентрации неравновесных носителей заряда,
устанавливающиеся после длительного воздействия внешней гене-
генерации, равны
(Щз = ёп^п, (бр), = gpXp. B.6)
Величины т„ и тр зависят от физических особенностей элементар-
элементарных актов рекомбинации электронов и дырок. При этом т„ и тр,
вообще говоря, могут сами зависеть от неравновесных концентраций
б„ и бр, а также от температуры. Поэтому т„ и хр не являются харак-
характеристиками данного полупроводника, но зависят еще от условий
опыта. Эти вопросы будут подробнее рассмотрены в гл. IX (см.
также § XVI 1.9). Сейчас же мы будем считать т„ и тр заданными
феноменологическими величинами, определяющими кинетику элек-
электронных процессов.
В простейшем случае, когда т„ и тр не зависят от п и р, интегри-
интегрирование уравнений B.5) дает
бп = gnxn — С ехр (— t/xn)
и такое же выражение для концентрации неравновесных дырок бр.
Здесь С—постоянная интегрирования, определяемая начальными
условиями. Так, если вначале полупроводник находился в термо-
термодинамическом равновесии и затем в момент времени / = 0 было
включено внешнее воздействие, мы имеем t = 0, б/г = 0. Это дает
С = gnxn = (bn)s, б/г = Fn)s [I - ехр (— t/xn)]. B.7a)
Если в некоторый момент времени / = tx генерация выключается,
то для t ^ tlt gn — 0, а начальное условие есть / = tlt 8п = (б/г)х.
Тогда
С=-(блIехр^-. вп = (блIехр(-(/-^/тя). B.76)
При постоянном х„ установление избыточной концентрации элек-
электронов и ее исчезновение описываются экспоненциальным законом,
а среднее время жизни т„ есть время, в течение которого концентра-
концентрация неравновесных электронов изменяется в е раз. То же справедли-
справедливо и для неравновесных дырок.

§ 3] УРАВНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ 247
В общем случае т„ и тр, изменяющихся вместе с п и р, соотноше-
соотношения B.3) определяют мгновенные времена жизни. Величины 1/т„
и 1/Тр в этом случае дают вероятности рекомбинации одной частицы
в единицу времени при данных значениях п и р, а т„ и тр определяют
времена, за которые неравновесные концентрации электронов или,
соответственно, дырок изменились бы в е раз, если бы вероятность
их рекомбинации сохранялась постоянной и равной данному мгно-
мгновенному значению.
§ 3. Уравнения непрерывности
Если в полупроводнике имеются электрические токи, то измене-
изменение концентрации носителей определяется не только генерацией
и рекомбинацией, но и движением частиц. Вклад последнего легко
найти, рассматривая элементарный объем, например, в виде пря-
прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными прямо-
прямоугольным осям координат, и вычисляя втекающие и вытекающие
из него потоки частиц. Это дает
д1\ - А (д'рх л.д!ру _!_ dJ?*\ - 1 н- •
Л/дв ~ е V дх "•" ду ¦+" дг J ~ ~ e Qlvb»
[дп\ 1 Idjnx djny dj
Ы1++
Здесь' ]р и ]„— плотности конвекционного тока, обусловленного
движением дырок и, соответственно, электронов:
C.1)
C.2)
Поэтому полные темпы изменения концентраций в зонах выражаются
уравнениями
др 1 Ьр дп , 1 ,. . 6„ /от
^ + d^- C-3)
Уравнения C.3) — это уравнения непрерывности, записанные по-
порознь для дырок и электронов.
При нарушении термодинамического равновесия изменяются
также концентрации связанных дырок pt (т. е. концентрация поло-
положительно заряженных доноров) и связанных электронов щ (кон-
(концентрация отрицательно заряженных акцепторов). Поэтому в об-
общем случае возникает объемный заряд с плотностью
р = е (р + pt — п — щ).
Электрическое поле &, входящее в выражения для плотностей
тока C.1) и C.2), определяется уравнением Пуассона
divo = — (р -\- pt — п — tit) C.4)

248 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ [ГЛ. V1J
и граничными условиями. Величины р и п, с одной стороны, и pt
и п.;, с другой стороны, не являются независимыми, а связаны
уравнениями кинетики рекомбинации, которые будут нами рассмот-
рассмотрены в гл. IX. Система уравнений C.1) — C.4) совместно с рекомби-
национными уравнениями полностью определяет изменение избы-
избыточных концентраций носителей заряда в пространстве и времени.
Однако уже сейчас мы рассмотрим некоторые выводы, которые могут
быть получены без детального разбора процессов рекомбинации.
Прежде всего отметим, что уравнения C.3) дают для суммарных
величин р и j уравнение'непрерывности в его обычной форме, кото-
которой, в частности, мы пользовались в гл. VI. Для этого учтем оче-
очевидное равенство
?() -!<*-«<>• <3-5)
которое справедливо при любом типе процессов рекомбинации.
Тогда, вычитая друг из друга уравнения C.3) и учитывая C.5),
получаем
|=-divj, C.6)
что для одномерного случая совпадает с уравнением (VI. 6.3).
Далее, укажем, что во многих важных случаях использование
уравнения Пуассона C.4) оказывается излишним. Это связано
с тем, что при релаксации неравновесных электронных состояний
существуют два различных процесса. Когда в полупроводнике
нарушается термодинамическое равновесие, в нем возникают токи
диффузии и дрейфа, стремящиеся уничтожить изменения объемного
заряда. В случае неоднородного полупроводника или приповерх-
приповерхностного слоя в результате появления этих токов восстанавливается
равновесное распределение объемного заряда, при котором ток
диффузии уравновешивается током дрейфа. В однородном полупро-
полупроводнике эти токи стремятся обратить объемный заряд в нуль. При
неизменных связанных зарядах в зонах установилось бы диффузи-
диффузионно-дрейфовое равновесие, характеризуемое определенным распре-
распределением носителей заряда в образце. Если скорости дрейфа носи-
носителей заряда не слишком велики, так что время их пролета через
образец /пр J> Хм = е/4ло\ то в подавляющей части объема однород-
однородного образца объемный заряд успеет обратиться в нуль. При этом
и токи, ограниченные объемным зарядом, не имеют места (ср. усло-
условие (VI.10.11)). Быстрота установления диффузионно-дрейфового
равновесия в этом случае определяется максвелловским временем
релаксации гм- Однако для установления полного термодинамиче-
термодинамического равновесия необходимо еще равновесие между электронами
в зоне проводимости, дырками в валентной зоне и зарядами, связак-
ными на ловушках. Быстрота установления такого рекомбинацией*
ного равновесия определяется временами жизни тя и хР.

$3] УРАВНЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ 249
В зависимости от соотношения между хм и рекомбинационньши
временами электронные процессы могут протекать весьма различно.
Однако в технически важных полупроводниках обычно хм <i хп, хр,
и мы ограничимся в дальнейшем только этим случаем. Тогда при
частоте процессов со <^ \1хм для объема однородного полупровод-
полупроводника можно считать
р~0 (тЛ1<^пр, тЛ1<т„, хр)
{условие квазинейтральности). При этом согласно C.6)
divj = O. C.7)
В связи с последним уравнением отметим следующее. Выражая р
из уравнения Пуассона C.4), подставляя его в уравнение непре-
непрерывности C.6) и изменяя в этом последнем порядок дифференциро-
дифференцирования по координатам и времени, мы получаем, что
Второе слагаемое в скобках есть ток смещения Максвелла, и поэтому
уравнение C.8) выражает известное положение теории Максвелла,
что линии полного тока, т. е. суммы конвекционного тока j и тока
смещения, непрерывны. Сравнивая уравнения C.8) и C.7), мы видим,
что равенство C.7) справедливо, если током смещения можно пре-
пренебречь по сравнению с конвекционным током.
Из написанных уравнений получаются два важных .следствия.
Положим, что изменения концентраций связанных зарядов малы,
так что бр/, б«/ «^ бр, бм. Это, в частности, справедливо, если
суммарная концентрация примесей мала по' сравнению с избыточ-
избыточными концентрациями носителей в зонах, т. е. либо при малом
содержании примесей, либо при высоком уровне возбуждения.
Тогда из условия 5р = 0, следует, что бр = Ьп. В этом случае кон-
концентрации избыточных электронов и дырок в зонах одинаковы.
Положим теперь, что генерация происходит вследствие электрон-
электронных переходов зона — зона (gp = gr). Тогда, вычитая уравнения
C.3) друг из друга и учитывая C.7), получаем
Ы ~ Ш — ~ ^ + -Е7 *
Поэтому, если бр = б/г, то оба времени хр и хп равны и мы имеем
единое время жизни электронно-дырочных пар т = хр = хп. Этот
результат не зависит от особенностей процессов рекомбинаций
и справедлив как для прямой рекомбинации зона—зона, так и для
рекомбинации через ловушки (см. гл. IX).

250 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ [ГЛ. VII
§ 4. Фотопроводимость
Простейший способ создания неравновесных носителей состоит
в освещении полупроводника. Возникновение неравновесных носи-
носителей проявляется в изменении электропроводности полупровод-
полупроводника (фотопроводимость).
Электронные переходы при оптической генерации могут быть
различными. Если энергия фотонов Йа> ^ Eg, то неравновесные
электроны и дырки образуются вследствие возбуждения электронов
из валентной зоны в зону проводимости (собственная оптическая
генерация и, соответственно, собственная фотопроводимость,
рис. 7.3, а). Обратный процесс есть прямая рекомбинация свобод-
свободный электрон — свободная дырка. Однако при наличии примесей
фотопроводимость может возникать и при йо> ¦< Eg. На рис. 7.3, б
(9)
h
т
1
(R) -*- x ^ T?* ™\ A
I""'
ч
а
////ZOZV////, v
a) 6) ej
Рис. 7.З. Различные типы оптической генерации: а) собственная
генерация пар; б) примесная генерация электронов; б) примесная
генерация дырок.
показана энергетическая схема для конкретного случая полупро-
полупроводника, содержащего глубокие акцепторы, частично компенсиро-
компенсированные мелкими донорами. При этом уровни акцепторов расположе-
расположены в верхней половине запрещенной зоны. Тогда при Йа> ^ Ес—Е,
происходит возбуждение электронов, первоначально связан-
связанных на примеси, в зону проводимости и мы имеем случай примесной
оптической генерации и, соответственно, примесной фотопроводи-
фотопроводимости. Если при этом Йсо <.Еа— Ет то генерации свободных ды-
дырок не происходит вовсе и фотопроводимость оказывается монопо-
монополярной. При Йсо > Еа—Ev генерируются и электроны, и дырки
и фотопроводимость становится биполярной. Наконец, на рис. 7.3, в
показан тот же случай частично компенсированных акцепторов,
для которых, однако, уровень энергии расположен в нижней поло-
половине запрещенной зоны. Здесь при Йа> ^ Еа— Ev становится воз-
возможным оптический заброс электронов из валентной зоны на неза-
незанятые акцепторные уровни, т. е. генерация дырок (а не электро-
электронов), и возникает примесная монополярная фотопроводимость
р-типа. При достаточном увеличении Hw фотопроводимость опять
становится биполярной.
Сказанное справедливо не только для акцепторных, но в равной
мере и для донорных примесей.

§ 4] ФОТОПРОВОДИМОСТЬ 251
Оптическая генерация электронов и дырок обязательно сопро-
сопровождается дополнительным поглощением света. Целесообразно
различать собственное поглощение света, наблюдаемое при Йа> > Eg
и связанное с электронными переходами зона—зона и образованием
пар, и примесное поглощение, связанное с возбуждением электронов
и дырок с примесных уровней в зоны. Поглощение в собственной
полосе частот обычно на много порядков больше поглощения в при-
примесной области.
Темп оптической генерации связан с коэффициентом поглощения
света. Пусть / (х) есть монохроматический световой поток, рассчи-
рассчитанный на единицу поверхности, на расстоянии х от освещаемой
поверхности полупроводника (эту величину мы будем называть
интенсивностью света и измерять числом фотонов, проходящих
через единицу поверхности в единицу времени), а у — коэффициент
поглощения (интенсивности) света. Тогда число фотонов, погло-
поглощаемых в единицу времени в слое с единичной площадью, располо-
расположенном между плоскостями х и х + dx, есть — dl = I (х)-у их.
А следовательно, число поглощенных фотонов, рассчитанное на
единицу времени и единицу объема, равно / (х)-у. Поэтому темп
оптической генерации g можно представить в виде
g = v(w)y(w)J(x). D.1)
Здесь v (со) — квантовый выход внутреннего фотоэффекта, который
учитывает, что часть энергии поглощенных фотонов может быть
передана непосредственно решетке или свободным носителям заряда
в зонах без образования новых электронов и дырок.
В общем случае g различно в разных точках полупроводника
(неоднородная генерация). Однако если yd <; 1 (где d—толщина
пластинки), то / (х) ~ const (слабо поглощаемый свет) и g можно
считать постоянным по'объему (однородная генерация).
Изменение проводимости полупроводника обусловлено тем,
что при освещении изменяются как концентрации электронов и ды-
дырок, так и их подвижности. Однако относительное влияние обеих
этих причин может быть весьма различным. Действительно, возни-
возникающая в результате поглощения фотона пара электрон — дырка
получает некоторый квазиимпульс и энергию (Йсо — Eg). Пусть,
для простоты, энергия передается только одному из фотоносителей, -
скажем электрону (что имеет место при сильном отличии масс тп
и /ир). Эта избыточная энергия затем растрачивается вследствие
взаимодействия фотоэлектрона с решеткой, и через некоторое
время, порядка времени релаксации энергии т? (см. § XVI. 1),
средняя энергия фотоэлектронов принимает значение, соответствую-
соответствующее температуре решетки. Аналогично, равновесное распределение
квазиимпульса фотоэлектронов устанавливается за время порядка
времени релаксации импульса тр (причем обычно тр <^т?). Если
хе «< Тп, где Тп — время существования фотоэлектронов в зоне,

252 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ [ГЛ. VII
то фотоэлектроны успевают «термолизоваться», т. е. приобрести
такое же распределение по энергиям и кваз и импульсам, как и
равновесные электроны. В этом случае подвижности не изменяются,
а фотопроводимость обусловлена только изменением концентрации
электронов и дырок и равна
8а = е (црбр + цп8п). D.2)
Если, напротив, хЕ ^> Тп, то за время своего существования фото-
фотоэлектроны не успевают термолизоваться и при освещении изменя-
изменяются и концентрации фотоносителей, и их подвижности.
Влияние изменения подвижности проявляется обычно лишь при
низких температурах- (как правило, при водородных и гелиевых).
В дальнейшем мы будем считать, что фотопроводимость вызвана
только изменением концентрации электронов и дырок.
Будем считать, что происходит однородная генерация пар
(ёп — gp = ё — const) и что в полупроводнике нет тока (или токи
настолько слабы, что членами с div jp и div ]„ в уравнениях непре-
непрерывности C.3) можно пренебречь). Тогда, умножая первое из урав-
уравнений C.3) на ецр, второе — на ец„, складывая почленно оба урав-
уравнения, получаем
dbo /
Здесь введено обозначение
Из уравнения D.3) видно, что характерное время ТфП есть время
релаксации фотопроводимости, которое определяет темп уста-
установления и затухания бег.
В стационарном состоянии фотопроводимость (8a)s равна
(8a)s = e (\ip + цп) g ¦ тфп. D.5)
Здесь подТфП следует понимать его значение в стационарном состоя-
состоянии, т. е. при данных установившихся значениях бр и 8п. Отсюда
видно, что чем больше тфП) тем больше и (8o)s, т. е. тем выше чув-
чувствительность фотопроводника. Однако при этом будет больше
и время установления (или затухания) фотопроводимости, т. е.
будет больше инерционность фотопроводника. С этим противоре-
противоречием между чувствительностью и быстродействием всегда приходится
считаться при разработке фотосопротивлений для технических
применений.
Для измерения фотопроводимости и ее кинетики разработанр
большое число различных методов, описание которых можно найти
в специальной литературе [1]. Мы рассмотрим только один типичный

§ 4)
ФОТОПРОВОДИМОСТЬ
253
пример, показанный на рис. 7.4. Фотопроводник R, включенный
последовательно с источником тока Б и нагрузочным сопротив-
сопротивлением г, освещается прерывистым светом. Модуляция интенсив-
интенсивности света может быть получена, например, с помощью враща-
вращающегося непрозрачного диска Д со щелями. Если ширина щелей
равна ширине непрозрачных промежутков между ними, то полу-
полупроводник освещается в течение некоторого времени Т, затем та-
такое же время Г интенсивность подсветки равна нулю и т. д. Вслед-
Вследствие изменения проводимости полупроводника в цепи возникает
переменный ток, а на сопротивлении г — переменное напряжение.
Последнее усиливается широкополосным усилителем У и регистри-
регистрируется осциллоскопом О. Зная параметры цепи (эдс источника, г)
и темновое сопротивление фотопроводника R), отсюда можно легко
найти фотопроводимость ба и ее изменение во времени.
Рис, 7.4. Схема для наблюдения
фотопроводимости.
Рис. 7.5. Изменение фотопроводимости
при прямоугольной модуляции освещен-
освещенности (ТфП = const).
Если бы тфп было постоянным, то ба изменялась бы во времени
так, как показано на рис. 7.5. После включения освещения она
возрастала бы по закону
и при достаточно длинных импульсах света Г ^> тфп достигала бы
постоянного стационарного значения Fa)s. В последующий проме-
промежуток времени (Т — 2Т) она уменьшалась бы от значения Fo)s
до 0 тоже по экспоненциальному закону:
6а = (ba)sexp (—--).
\ 1фп/
Однако кривые рис. 7.5 наблюдаются в сравнительно редких
случаях, а обычно зависимость бег (/) имеет более сложный характер.
В этих случаях кинетика фотопроводимости не может быть охарак-
охарактеризована единым временем релаксации и не может быть описана
какими-либо универсальными соотношениями, так как она сущест-
существенно зависит от особенностей процессов рекомбинации. Положение,
однако, упрощается для двух предельных случаев: стационарного

254 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ [ГЛ. VII
состояния и начального участка процесса установления. В первом
случае мы имеем
и поэтому формула D.4) дает
В этом случае стационарное время релаксации фотопроводимости
(иногда называемое «временем жизни фотопроводимости») можно
непосредственно выразить через времена жизни т„ и %р. Из формулы
D.6) видно, что если, например, тр ^> т„, а подвижности одного
порядка, то тфп ~ ЦрТр/(цр + М-п)- При обратном неравенстве
тфп ~ ц.лт„/(ц,р + ц,„). Поэтому, измеряя тфп, можно определить
время жизни долгоживущих носителей заряда.
Для начального участка нарастания бег в уравнении D.3) можно
пренебречь вторым слагаемым в правой части (так как ба весьма
мала). Тогда получается
D.7)
Начальный участок кривой нарастания бст описывается прямой
линией, наклон которой есть (рис. 7.5)
vyr. D.8)
Этот участок вообще не зависит от процессов рекомбинации, а опре-
определяется только процессами генерации.
Исследование начальной стадии нарастания фотопроводимости
часто используют для экспериментального определения квантового
выхода v. Такие опыты показывают, что v может быть весьма раз-
различен [2]. Вблизи края собственного поглощения (Ню ~ Eg) для
многих полупроводниковых соединений v ^ 1. Малое значение v
в таких веществах объясняется тем, что фотоэлектроны и фотодырки
в них могут связываться друг с другом, образуя так называемые
экситоны, суммарный заряд которых равен нулю и которые поэтому
не вносят вклада в электропроводность (см. гл. XVII). Однако
известны и такие полупроводники (германий и кремний при не очень
низких температурах, некоторые соединения AIHBV), в которых
v~ 1 в области края собственного поглощения. При достаточном
увеличении энергии фотонов в таких веществах может быть v >1.
Это имеет место при комнатных температурах для германия при
Ню J> i,3Eg и для кремния при Ню J> 3Eg. Причина увеличения v
состоит в том, что фотоэлектроны и фотодырки получают большую
кинетическую энергию и способны поэтому сами генерировать
дополнительные носители заряда вследствие ударной ионизации
атомов решетки. Если энергия фотонов Ню ^> Eg, то v = Ню/wi,
где Wi — средняя энергия, необходимая дня создания одной пары

§ 5] КВАЗИУРОВНИ ФЕРМИ 255
электрон — дырка. Последняя имеет порядок немногих электрон-
вольт (например, для германия wi ~ 2,5 эВ). Поэтому для жесткого
рентгеновского и ^-излучений значения v могут быть очень велики.
То же имеет место и для быстрых электронов и других корпуску-
корпускулярных излучений. Это обстоятельство в настоящее время исполь-
используют в полупроводниковых счетчиках элементарных частиц.
§ 5. Квазиуровни Ферми
В термодинамически неравновесном состоянии (например, при
освещении полупроводника) уже не существует единого уровня
Ферми для всей системы и поэтому выражения для концентраций
электронов и дырок, полученные нами в гл. V, уже несправедливы.
При этом, в частности, не выполняется и соотношение пр = of.
Однако, следуя Шокли, можно обобщить соотношения статисти-
статистики на неравновесные состояния, если вместо уровня Ферми фор-
формально ввести новые величины — квазиуровни Ферми. Положим,
что вероятность заполнения электроном состояния с энергией Е
в зоне проводимости можно представить в виде, по форме совпадаю-
совпадающем с распределением Ферми — Дирака (V.3.1):
1. E.1)
Тогда, по определению, величина Fn есть квазиуровень Ферми для
электронов.
Аналогично, для вероятности нахождения вакансии (дырки) на
уровне энергии ? в валентной зоне положим
\ E.2)
где, по определению, Fp есть квазиуровень Ферми для дырок. Тогда
очевидно,-что для пар мы получим те же соотношения, что и в гл. V,
в которые, однако, вместо уровня Ферми F будут входить квази-
квазиуровни Fn и, соответственно, Fp. В частности, в невырожденных
полупроводниках для неравновесных электронов будет по-преж-
по-прежнему справедливо распределение Больцмана
^. E.1а)
Соответственно вместо формул (V.5.1) и (V.5.2) мы получим
^=Д-с, E.3)
? р
-—-^. E.4)
Вместо формулы (V.5.4) мы будем иметь
Р р
! " ". E.5)

256 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ [ГЛ. VU
Таким образом, появление в зонах неравновесных электронов и
дырок м«йкно описать как «расщепление» первоначального уровня
Ферми F. на два квазиуровня F„ и Fp, каждый из которых смещается
по направлению к своей зоне (рис. 7.6). Совершенно аналогично,
для нахождения концентраций связанных носителей на ловушках
п( и р/ мы могли бы воспользоваться функцией распределения (V.9.3)
(или более общей формулой (V.11.8)), заменив в ней F на некоторый
квазиуровень Ферми для ловушек Ft, который, вообще говоря,
отличается от Fn и Fp.
Введение квазиуровней Ферми физически обозначает предполо-
предположение, что времена релаксации импульса тр и энергии %Е для элек-
электронов и дырок намного мень-
_ _ _ _~_~_~_ ше времени их существования
1 с ,Р в зонах. Как уже говорилось
FrT^ п в § 4, в этом случае можно
Fp считать, что в электронном и
vwvwmww», Еи 77Л777Л7777777Я777777; Еи дырочном газах устанавли-'
+ _|_ + -j- 4- вается равновесное фермиев-
Светанет Свет еста ское распределение, и притом
с одной и той же температу-
„ , г ,, ... рой для всей системы. Одна-
Рис. 7.6. К понятию квазиуровнен Ферми. г
ко равновесия по отношению
-к концентрациям электрон-
электронного и дырочного газов при этом может и не быть. Именно
это и учитывается введением различных квазиуровней Ферми для
дырок и электронов. Отметим, что указанное предположение
a priori не очевидно. Однако имеются эксперименты, позволяющие
его проверить (см. §9). Они показывают, что, по крайней мере для
некоторых полупроводников, оно действительно оправдывается.
Отметим теперь два важных свойства квазиуровней Ферми.
В § VI.3 мы видели, что плотность тока в невырожденных полупро-
полупроводниках пропорциональна градиенту уровня Ферми. Повторяя те
же рассуждения для рассматриваемого случая биполярной неравно-
неравновесной проводимости и используя вместо соотношений (V.5.1) и
(V.5.2) обобщенные формулы E.3) и E.4), мы получим для элек-
электронной и дырочной составляющих плотности тока \п и jp формулы,
аналогичные (VI.3.2):
jn = Hnn(r)V/% E.6)
IVFP. E,7)
Отсюда видно, что при наличии тока квазиуровни Ферми изменяются
в пространстве, и ,тем быстрее, чем меньше локальные значения
концентраций электронов п или, соответственно, дырок р.
Далее, легко видеть, что разность квазиуровней Ферми на
концах полупроводника непосредственно связана с разностью элек-
электрических потенциалов, существующей между этими концами. Поло-

§ 51
КВАЗИУРОВНИ ФЕРМИ
257
жим сначала, что в полупроводнике имеются только электроны и
будем считать для простоты, что все величины зависят от одной
координаты х. Тогда, вводя в формулу E.6) электропроводность
о„ (х) = e\inti (х), имеем
С другой стороны, согласно общей форме дифференциального закона
Ома, можно написать
где 8Л- — напряженность кулоновского электрического поля, а
$*х — напряженность поля сторонних сил, действующих на элек-
электроны. (В рассматриваемом случае это есть сила давления электрон-
электронного газа, обусловленная градиентом концентрации электронов).
Сравнивая эти соотношения, получаем
j
dx
Поэтому разность значений квазиуровней Ферми для двух каких-
либо сечений полупроводника А и В
(рис. 7.7) равна
А
В
dx
Первый интеграл в правой части есть
уменьшение потенциала при перехо-
переходе от Л к В, обусловленное током
(или ir, где i — сила тока, а г — соп-
сопротивление участка). Второй интег-
интеграл есть электродвижущая сила Уо.
Рис. 7.7. К установлению связи
между квазиуровнями Ферми и
внешним напряжением.
Она вызывает увеличение потенциала при переходе от Л к В на Vo.
Поэтому все выражение в круглых скобках есть
ir — Vo = разности потенциалов на концах участка (q>A — фв)
Рпв -FnA^ — e (фд - (рд)-
Распределение потенциала показано на рис. 7.7 снизу, где для
ясности чертежа предположено, что эдс имеется только в некотором
слое.
Рассуждая аналогично, мы найдем, что если бы были только
дырки, то разница квазиуровней для дырок была бы
— FpA = — е (фй —

258 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ [ГЛ. VII
где разность потенциалов теперь была бы, вообще говоря, другой,
так как распределения неравновесных электронов и дырок различны
и сторонние силы $*х и й*х неодинаковы.
Выберем теперь сечения Л и В в таких частях полупроводника,
где концентрации избыточных носителей Ьр = Ьп = 0. Тогда FnB =
= Fpb = FB, FnA = FpA = FA и, следовательно, (q>B — <рл) =
= (фв—фд)'- Поэтому
Fb-Fa = — е(фв-фл), E.8)
где (<рв — фл) есть приложенное внешнее напряжение. Таким обра-
образом, разность квазиуровней Ферми есть та величина, которую мы
непосредственно измеряем вольтметром.
§ 6. Электронно-дырочные переходы
Для создания неравновесных носителей заряда широко приме-
применяют электронно-дырочные переходы (р—n-переходы), о которых мы
уже говорили в § VI.9. Чтобы избежать сложного и неконтролируе-
мого влияния микрогеометрии поверхности,
такие переходы осуществляют не механи-
механическим соединением двух полупроводников,
а внутри единого монокристалла, в котором
создают подходящее распределение донор-
ной и акцепторной примесей, например по-
показанное на рис. 7.8. Если эти примеси
полностью ионизованы (например, элементы
III и V групп в германии и кремнии при
комнатных температурах), то в левой ча-
Рис. 7.8. р — л-переход. сти кристалла будет дырочная проводи-
проводимость с концентрацией основных носите-
носителей р ~ Na — Na, а в правой части — электронная (п ~ Na—Na).
Между ними расположен переходный слой («технологический» пе-
переход), в котором концентрация примесей быстро изменяется. В
некоторой тонкой области этого слоя доноры и акцепторы компен-
компенсируют друг друга (Nd ~ Na) и имеет место собственная прово-
проводимость (i).
Нужное распределение доноров и акцепторов можно осуществить
различными технологическими приемами: добавлением одной из
примесей в расплав в процессе роста кристалла; диффузией из газо-
газовой фазы одной из примесей (например, донорной в кристалл, уже
имеющий акцепторы); сплавлением полупроводника р- (или п-)
типа с металлом, являющимся донором (или, соответственно, акцеп-
акцептором), и другими, на которых мы не будем останавливаться.
Распределение концентраций электронов и дырок в р—п'-пере-
ходе в отсутствие тока показано на рис. 7.9 (внизу) сплошными
линиями / и 2. При обозначении концентраций мы будем использо-

§ G]
ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
259
вать дополнительный индекс (р или п), указывающий, к какой
области перехода относится данная концентрация. Так, концентра-
концентрация дырок в дырочной области рр (основные носители) постоянна и
велика, она уменьшается (на много порядков) в переходной области
и принимает малое значение рп в «-области (неосновные носители).
Аналогично, концентрация электронов изменяется от большого
значения пп в /г-области до малой величины пр в р-области.
Положим теперь, что к переходу приложено внешнее напряжение
так, что на р-области находится «+» источника (как и в гл. VI,
напряжение такого знака мы будем считать положительным). При
этом дырки из р-области устремятся в /г-область, где они станут
неосновными носителями. Так как рр ^> р„, эти дырки будут реком-
бинировать с электронами. Однако,
вследствие конечности времени жизни
дырок хр, рекомбинация произойдет
не сразу, и поэтому в некоторой об-
области за пределами перехода концен-
концентрация дырок будет оставаться боль-
больше рп. Одновременно с этим увели-
увеличится и концентрация электронов в
/г-области, так как дополнительные
электроны войдут из электрода для
компенсации объемного заряда при-
пришедших дырок. Аналогично, основ-
ные носители в «-области — электро-
электроны — будут переходить В р-область,
становясь там неосновными носителя-
ми, и постепенно рекомбинировать с
основными носителями — дырками. Поэтому и слева от перехода
концентрация электронов увеличится, а также увеличится и кон-
концентрация дырок, которые войдут из левого электрода для компен-
компенсации объемного заряда электронов. Это явление получило название
инжещии неосновных носителей. Однако, как мы видим, в действи-
действительности оно заключается в увеличении концентрации носителей
обоего знака по обе стороны от перехода, т. е. в возникновении
квазинейтральных областей повышенной проводимости. Распреде-
Распределение концентрации неосновных носителей при инжекции пока-
показано на рис. 7.9 пунктиром (кривые.З и 4). Из сказанного ясно, что
инжекция неосновных носителей возможна только в полупроводни-
полупроводниках со смешанной (биполярной) проводимостью. .
Для количественных расчетов электронных явлений, связанных
с инжекцией, необходимо знать неравновесные концентрации дырок
и электронов на границах перехода х2 и —xv Они выражаются осо-
особенно просто, если а) полупроводники не вырождены и, кроме того,
б) толщина переходной области d = хх + х2 достаточно мала, так
что рекомбинацией в этой области можно пренебречь. Количественно
~XjQ х
Рис' 79- Инжекция в р — п<
переходе.

260
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
[ГЛ. VU
второе условие означает, что длины диффузии (см. § 9) дырок Lp
и электронов Ln ^s> d. Тогда, следуя Щокли, искомые концентрации
можно непосредственно получить из сопоставления хода квазиуров-
квазиуровней Ферми Fn и Fр и краев энергетических зон. Если внешнее на-
напряжение и — О, то Fn = Fp = F (рис. 7.10, а) и концентрации
неосновных носителей на границах имеют равновесные значения
При наличии внешнего напряжения и > 0, во-первых, края зон
Ес и Ev в /г-области поднимаются относительно р-областн на вели-
величину ей и, во-вторых, в окрестности
перехода Fn^Fp (рис. 7.10,6).
Однако вдали от переходной обла-
области мы имеем:
р _ р — р
*_>._co: Fp = Fn = Fu
При этом, согласно формуле E.8),
Ft = F2 — eu.
Теперь учтем соотношения E.6)
и E.7), которые показывают, что
Рис. 7.10. Ход квазиуровней Фер- если концентрация носителей вели-
ми в р — л-переходе: о) и = 0; ка> то р^ „ р^ меняются в простран-
пространстве слабо. Если рекомбинация в
переходной области мала, то р
имеет в ней большое значение рр, и поэтому можно считать, что уро-
уровень Fp в этой области горизонтален. Или, иначе,
Аналогично, для электронов
Тогда, подставляя эти выражения для Fр и Fn в формулы E.3)
и E.4), получаем окончательно
v — Fp(x2)
= Nvexp
ей си
expш = рпехрш,
n(~ Xl) = Nc exp
= Пр exp ^.
F.1)

§ 7] ОБНАРУЖЕНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА 261
Отметим, что при Т = 300 К, e/kT = 39 В. Поэтому, прикла-
прикладывая даже небольшое напряжение, можно очень сильно менять
концентрацию неосновных носителей на границах. Например, при
и = 0,2В она изменяется в е8 ~ 103 раз.
§ 7. Обнаружение неравновесных носителей заряда
Избыточные электроны и дырки могут быть обнаружены по изме-
изменению электропроводности. Они могут быть также зарегистриро-
зарегистрированы с помощью р—/г-перехода. Когда вблизи перехода появляются
избыточные носители, то электрическое поле, существующее внутри
перехода, затягивает электроны в /г-область, а дырки — в р-об-
ласть (рис. 7.11). Поэтому при разомкнутой цепи /г-область заря-
заряжается отрицательно, а р-область — положительно, т. е. в р—и-пе-
реходе возникает эдс. При замыкании цепи в ней возникает ток.
с
Свет
\\\
Ш.
—>в-»-
zl_
Рис. 7.11. При возникновении в окре- Рис. 7.12. р—«-переход в точечном
стности р — л-перехода неравновесных контакте металл — полупроводник,
электронов и дырок появляется эдс.
Микроскопические р—я-переходы часто образуются в контактах
металлической заостренной проволоки с полупроводником, в осо-
особенности после «формовки» контакта импульсами сильного тока.
Причины образования переходов могут быть различны: диффузия
материала проволоки внутрь полупроводника, изменение концен-
концентрации электрически активных примесей при местном разогреве
вследствие формовки (образование так называемых «термических»
донорных или акцепторных центров) и другие. Для увеличения по-
потенциального барьера внутри перехода на контакт иногда наклады-
накладывают отрицательное напряжение (рис. 7.12).
На рис. 7.13, а показана одна из схем для исследования явления
инжекции. Образец полупроводника (который для определенности
положен /г-типа) имеет форму тонкого и длинного стержня («ните-
(«нитевидный» образец). Инжекция осуществляется в точечном контакте Э
(«эмиттер»), к которому прикладывают короткие импульсы напряже-

262
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
[ГЛ. VII
ния от импульсного генератора Г. Инжектированные носители реги-
регистрируются вторым точечным контактом К («коллектор»). Об отно-
относительных изменениях концентрации избыточных носителей можно
судить по напряжению и на нагрузочном сопротивлении г в цепи
коллектора. Это напряжение может быть усилено и зарегистриро-
зарегистрировано осциллоскопом О (развертка которого запускается генератором
Г). Если к торцам образца не приложено внешнее напряжение или
это напряжение имеет знак, показанный на рисунке, то сигнал
коллектора имеет вид, изображенный на рис. 7ЛЗ, б. Когда гене-
генератор Г создает импульс напряжения, изменение потенциала
эмиттера передается по цепи практически мгновенно (со скоростью
<
—
о
о
а) б)
Рис. 7.13. Измерение скорости движения п-акета инжектированных носителей.
света), и на экране виден острый пик / («наводка»). При этом в об-
образце вблизи Э возникает пакет инжектированных носителей, кото-
который движется от Э к К- Когда пакет достигает коллектора, появ-
появляется пик второго сигнала 2 (который более размыт вследствие
диффузионного расплывания пакета). При изменении полярности
внешнего напряжения сигнал 2 не появляется.
Этот опыт (и ему подобные) обнаруживает неожиданную на
первый взгляд особенность движения инжектированных носителей:
пакет, будучи электрически нейтральным, управляется электриче-,
ским полем. Более того, направление его движения совпадает
с направлением движения неосновных носителей, хотя их концен-
концентрация может быть на много порядков меньше концентрации основ-
основных носителей. Эта особенность, однако, становится вполне понят-
понятной, если учесть кулоновское взаимодействие между дырками и
электронами (см. § 8).
Измеряя время Т движения пакета и зная расстояние / между
Э и К, можно найти скорость пакета v = IIT. Она оказывается
пропорциональной полю 8 внутри образца. Отсюда можно опреде-
определить подвижность инжектированного пакета:

ОБНАРУЖЕНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
263
Подобные опыты показывают, что если только материал не близок
к собственному, то \i не только по знаку, но и по величине практи-
практически совпадает с подвижностью неосновных носителей.
На рис. 7.14, а показан принцип другой типичной схемы, в кото-
которой избыточные носители создаются светом, а роль эмиттера играет
изображение /' ярко освещенной узкой щели /. Концентрация избы-
избыточных носителей (в относительных единицах) измеряется опять
при помощи точечного коллектора К- Для повышения чувствитель-
чувствительности схемы интенсивность света можно модулировать с низкой
О
Рис. 7.14. Измерение длины диффузии и длины затягивания элек-
-трическим полем.
частотой (например, вращающимся диском Д со щелями), что поз-
позволяет легко усиливать сигнал коллектора. Для точного определе-
определения тянущего поля показан потенциометр Я, позволяющий изме-
измерять падение напряжения в образце компенсационным методом и
этим исключить возможные скачки потенциала в зондах.
Изменяя в этой схеме расстояние х между' световой щелью и
коллектором, можно определить стационарное распределение кон-
концентрации неравновесных (избыточных) носителей в пространстве.
Если концентрация избыточных носителей Ьр достаточно мала
(Sp/(no-f- р0) <^ 1), то Ьр убывает по мере удаления от освещенной
части по экспоненциальному закону (рис. 7.14, б). Длина L, на
которой Ьр уменьшается в е раз в отсутствие электрического поля,
есть, по определению, длина диффузии неравновесных носителей.
В присутствии электрического поля распределение концентра-
концентрации определяется другой характерной длиной /(g), зависящей от
поля g (длиной затягивания). Если направление поля соответствует
движению неосновных носителей вглубь образца, то /(g)>L и
нейтральная область с избыточными носителями растягивается.
При противоположном направлении поля l( g) < L и область повы-
повышенной концентрации носителей сжимается (рис. 7.14, б).

264
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
1ГЛ. VJI
Сеет
\ \ \
§ 8. Амбиполярная диффузия и амбиполярный дрейф
Особенности движения инжектированного пакета носителей
легко понять, если учесть, что электроны и дырки суть заряжен-
заряженные частицы и что при их перераспределении возникает электриче-
электрическое поле, которое в свою очередь воздействует на их движение.
Поэтому диффузия избыточных носителей будет характеризоваться
некоторым общим, амбиполярным коэффициентом диффузии. Так,
если поверхность полупроводника освещать
сильно поглощаемым светом, то в тонком
приповерхностном слое возникнет повышен-
повышенная концентрация электронов и дырок,
которые будут диффундировать вглубь
образца (рис. 7.15). Если, например,
Dn > Dp, то электроны будут опережать
дырки и поэтому в полупроводнике поя-
появятся заряды и возникнет электрическое
поле (поле амбиполярной диффузии), кото-
которое будет тормозить электроны и ускорять
дырки. При Dn<iDp направление этого
поля будет противоположным. В устано-
установившемся состоянии в каждой точке полу-
полупроводника будет такое поле, при котором потоки дырок и элек-
электронов равны друг другу. Совершенно аналогично, вследствие не-
неравенства подвижностей электронов и дырок \хп и цр во внешнем
электрическом поле пакет инжектированных носителей приобретает
некоторую общую, амбиполярную дрейфовую скорость.
Величину коэффициента амбиполярной диффузии можно найти
непосредственно из уравнений C.1) и C.2). Складывая почленно
эти уравнения, имеем
(8.1)
Рис. 7.15. Амбиполярная
диффузия.
Отсюда полная напряженность поля
e
a
Первое слагаемое в этом выражении есть поле, которое существует
в данном полупроводнике при токе j в отсутствие избыточных
носителей. Второе слагаемое есть поле амбиполярной диффузии
(8.2)
В дальнейшем мы будем предполагать, что связанными зарядами
на ловушках можно пренебречь и считать Ьр — Ьп, Vp = Vn. Тогда,
педставляя выражение (8.1) для 6 в формулы для плотностей токов

§ 8J АМБИПОЛЯРНАЯ ДИФФУЗИЯ И АМБИПОЛЯРНЫЙ ДРЕЙФ 265
C.1), C.2), мы получаем
Op щ,
где через D обозначено
(8-3)
(8.4)
Вторые слагаемые в формулах (8.3), пропорциональные Vp = Vn,
дают токи диффузии дырок и электронов, которые, как и следовало
ожидать, равны друг другу. Они определяются одним и тем же
коэффициентом амбиполярной диффузии D. ^Полагая в формуле
(8.4) а — ор + а„ = ерцр + en\in и используя еще соотношение
Эйнштейна \ip = (e/kT)Dp, \in = {elkT)Dn, получаем
P + n
(8.4a)
I
I
При малой концентрации избыточных носителей в этой формуле
можно положить n ~ /in, p ~ р0.
^Полученные результаты показывают, что в материале я-типа
(п ;> р) D ~ Dp. Для -материала р-типа (р ^> n) D ~ Dn. Следова-
Следовательно, в обоих случаях D совпадает
с коэффициентом диффузии неоснов-
неосновных носителей. Для собственного по-
полупроводника (« = р = ft,) мы имеем
промежуточное значение D =
= 2DBDJ{DP + Dn)- Общий характер
зависимости D от концентрации элек-
электронов показан на рис. 7.16.
Рассмотрим теперь движение паке-
пакета избыточных носителей во внешнем
электрическом поле. Для этого мы ис-
используем не только выражения C.1),
C.2) для плотностей токов, но еще
и уравнения непрерывности C.3).
Как и выше, будем считать, что полу-
полупроводник однороден, бр = 6ft, и, соответственно, времена жизни
электронов и дырок одинаковы: тр = тп = т (ср. § 3).
Остановимся сначала на очень наглядном случае, когда поля
настолько сильны, что влиянием диффузии и рекомбинации можно
пренебречь по сравнению с влиянием дрейфа. Кроме того, положим,
что все величины зависят от одной координаты х. Тогда уравнения
Рис. 7.16. Зависимость коэффи-
коэффициента амбиполярной диффузии
от концентрации электронов.

266
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
[ГЛ. VII
C.1) —C.3) принимают простой вид:
. 0.
dp 1 1 д% 1 да„
Ш = ~Т dlv Ь = — т стр а^ ~ Т & Ж
(8.5)
(8.6)
<т = <тл + огр. (8.7)
Мы положили внешнюю генерацию gp = gn = 0, так как она не-
несущественна для последующих рассуждений. Умножая первое урав-
уравнение (8.6) на оп, второе уравнение на
ар и складывая оба уравнения, исклю-
исключим дё/дх. Тогда, учитывая еще, что
dpldt — dn/dt, получим
д1
df
x-t-dx
1 •
[ •
L •
Г * •
- •
' * •
•
•
* • • "
'. ' • * •
, • * • •
• ' • • •
Г'
Рис. 7.17. К вопросу об ам-
биполярной скорости дрейфа.
Легко видеть, что множитель при
др/дх есть скорость, с которой переме-
перемещается пакет неравновесных электронов
и дырок в электрическом поле (амбипо-
лярная скорость дрейфа). Действитель-
Действительно, рассмотрим газ частиц с концентрацией р (х), движущихся с
одинаковой скоростью v вдоль оси X (рис. 7.17). Тогда уменьшение
числа частиц за единицу времени в бесконечно тонком слое между
плоскостями х и х + dx (рассчитанное на единичное сечение) есть
— dx% = vp (x-\-dx) -
= v%dx,
или
~di~VWx'
Сравнивая это соотношение с формулой (8.8), мы видим, что амби-
полярная скорость дрейфа пакета избыточных носителей равна
Она пропорциональна §, а следовательно, можно ввести амбипо~
лярную подвижность пакета ji, которая есть
При малых нарушениях равновесия в этой формуле можно заменить
рияих равновесными значениями р0 и п0.

§ «] АМБИПОЛЯРНАЯ ДИФФУЗИЯ И АМБИПОЛЯРНЫЙ ДРЕЙФ 267
Полученные результаты объясняют опытные факты по влиянию
электрического поля на движение пакета инжектированных носите-
носителей. Из формулы (8.10) видно, что если только пф р, то \i Ф 0,
а значит, поле сообщает пакету определенную скорость, несмотря
на то что эта область в целом электрически нейтральна. В материале
/г-типа д)>р и формула (8.10) дает \i ~ \\р. В этом случае \\ > 0
и пакет движется в направлении поля, т. е. в том же направлении,
что и неосновные носители — положительные дырки. В материале
р-типа мы имеем р)>я и поэтому ц ~ —\кп < 0. Это обозначает,
что пакет перемещается против поля, т. е. тоже как неосновные
носители, которыми здесь являются отрицательные электроны.
В материале с собственной проводимостью п = р, и формула (8.10)
дает [х = 0, а следовательно, пакет не управляется полем вовсе.
В более общем случае, когда диффузией и рекомбинацией пре-
пренебречь нельзя, амбиполярная скорость дрейфа вычисляется анало-
аналогично. Подставляя выражения C.1) и C.2) для jp и ]пв уравнения
непрерывности C.3), мы имеем
Исключая, как и выше, из этих уравнений члены с div S, мы найдем
div(Vp)-T.
(8.11)
Подставляя для ап, ор и а их значения (8.7), имеем
Далее, учитывая формулу (8.4), третье слагаемое в правой части
(8.11) можно записать в виде
D div (Vp) = div (D ¦ Vp) - VD • Vp.
После этого мы получаем
^ = g-Y-Vp + div(D-Vp)--|, (8.12)
где
v= п~рп S + VD. (8.13)
Очевидно, что второе слагаемое в правой части (8.12) есть быстрота
изменения концентрации во времени, обусловленная движением

26& НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ [ГЛ. VII
пакета. В этом можно убедиться, рассуждая, как и выше, но.рас-
но.рассматривая вместо бесконечно тонкого слоя бесконечно малый парал-
параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат. Скорость
дрейфа пакета v выражается формулой (8.13), которая есть обобще-
обобщение формулы (8.9). Третье слагаемое в правой части (8.12) дает
изменение концентрации вследствие диффузии, а последнее — вслед-
вследствие рекомбинации. Уравнение (8.12) есть уравнение непрерывно-
непрерывности в амбиполярной форме, которое в ряде случаев удобнее уравне-
уравнений C.3). В частности, так как мы уже учли амбиполярнсе электри-
электрическое поле введением амбиполярного коэффициента диффузии D,
то под ? в формуле {8.13) нужно понимать только поле, создаваемое
внешними источниками.
§ 9. Длины диффузии и дрейфа
Применим теперь уравнение непрерывности (8.12) к исследова-
исследованию пространственного распределения избыточных носителей.
Рассмотрим нитевидный образец полупроводника, для опреде-
определенности — и-типа, в одной из частей которого (при х < 0, рис. 7.18)
г генерируются электроны и дырки (напри-
\\В^ меР' светом)> и наиДем стационарное рас^
1111 пределение Концентрации избыточных ног
. сителей в области х > О, где генерации
( нет. Избыточные концентрации будем счи-
\ тать малыми и, соответственно, Ь, |л и 8
I не зависящими от координаты. Тогда, по-
—Нг *~ лагая в уравнении (8.12) с = ц § и dpldt =
U ==0, получаемдля определения Ьр уравнение
Рис. 7.18. К вычислению ihn\" _?. /хп\' §Р _ П /Q \\
длины диффузии. \°Р> l^P' L*~ ' ^ ' '
где штрих обозначает дифференцирование по х, а через К и L обозна-
обозначены некоторые характерные длины:
Ц (9.2)
Граничные условия задачи имеют вид:
х = 0: 6p = (SpH; x->-oo: 8р->0.
Решение уравнения (9.1) есть
Ьр = а exp ktx -f- b exp ktx,
где

$ 9] ДЛИНЫ ДИФФУЗИИ И ДРЕЙФА 269
Положим, что 8 > 0 и, соответственно, Я > 0. Это соответ-
соответствует такому направлению поля, которое затягивает в образец
неосновные носители. Тогда kt > 0, k2 < 0 и граничные условия
дают а = 0, b = Fр)„. Следовательно, бр убывает с увеличением
х по экспоненциальному закону:
(9.3)
где / = / (8) есть длина, на которой бр уменьшается в е раз. Она
равна
l). (9.4)
Если электрическое поле очень слабое (A,2/L2 ^> 1), то формула (9.4)
дает
l = L = YDi. (9.5)
Здесь L, по определению, есть длина диффузии неравновесных
носителей (ср. § 7).
В противоположном случае достаточно сильного поля (K2/L2 <^ 1)
можно положить У^1 +Я2/?-2— 1 +A,2/2L2 и из формулы (9.4)
получается
(9.6)
В сильных электрических полях длина затягивания равна расстоя-
расстоянию, которое проходит пакет инжектированных носителей за сред-
среднее время их жизни (длина дрейфа).
Рассмотрим теперь случай 8 < 0 (к < 0), т. е. такого направле-
направления поля, которое соответствовало бы затягиванию основных носи-
носителей. Тогда kt < 0, k2 > 0 и граничные условия дают b — 0,
а = (брH. И в этом случае бр экспоненциально уменьшается с уве-
увеличением х, но длина затягивания оказывается равной
7 =-h = ^(l+Vl+W/L2). (9.7)
Отсюда видно, что / < L, т. е. электрическое поле препятствует
распространению избыточных носителей. В сильных электрических
полях
1~т=ш (9-8)
и при 8 -> со, / -> 0.
Полученные результаты показывают, что вследствие амбиполяр-
ности процессов диффузии и дрейфа пакет инжектированных но-
носителей движется во внешнем электрическом поле так, как

270 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ [ГЛ. VII
двигались бы неосновные носители, и объясняют типичные опыты,
рассмотренные в § 7 *).
Отметим, что граничную концентрацию (брH, значение которой
здесь для нас было несущественно, мы считали заданной. Эта кон-
концентрация зависит от интенсивности генерации g в освещенной
области и от напряженности электрического поля. Ее значение
можно найти, рассматривая решение уравнения непрерывности
в освещенной области (при g Ф 0) и сшивая его с рассмотренным ре-
решением для неосвещенной области (g = 0), на чем, однако, мы не
будем останавливаться.
В предыдущих рассуждениях мы пренебрегали зарядами, свя-
связанными на ловушках, и соответственно считали Ьр = Ьп и тр = %„.
Однако все приведенные рассуждения могут быть обобщены и для
более "сложного случая бр ф Ьп (см., например, [3]). При этом ос-
основные принципиальные выводы не изменяются.
В § 5 мы говорили, что введение квазиуровней Ферми нужда-
нуждается в специальном экспериментальном обосновании. Исследова-
Исследования диффузии и дрейфа неравновесных электронов и дырок дают
такую возможность. Действительно, в § VI.2 мы видели, что соот-
соотношение Эйнштейна
Ё. — кЛ
ц ~ е '
связывающее коэффициент диффузии D и подвижность \i, справед-
справедливо только в том случае, когда рассматриваемые частицы подчи-
подчиняются распределению Больцмана. С другой стороны, если возможно
введение квазиуровней Ферми, то и для неравновесных носителей
заряда в невырожденных, полупроводниках, согласно формуле
E.1а), тоже должно быть справедливо распределение Больцмана,
а следовательно, и для них должно выполняться соотношение
Эйнштейна.
Отношение D/\i для неравновесных носителей заряда можно
найти из опыта, измеряя длину диффузии L = |/?)т и длину дрейфа
/ (S) ё
E.-I3.
ц l (g)"
При этом, согласно § 8, в примесных полупроводниках D и \i соот-
соответствуют неосновным носителям. Поэтому можно проверить экс-
экспериментально, выполняется ли для неравновесных носителей
заряда соотношение Эйнштейна, а значит, и распределение Больц-
Больцмана. Такие измерения производились для германия многочислен-
*) Особенности диффузии и дрейфа квазинейтральных пакетов неравновес-
неравновесных носителей заряда, лежащие в основе действия многих полупроводниковых
приборов, были открыты независимо друг от друга В. Е. Лашкаревым в СССР
(при исследовании фотопроводимости в закиси меди) и Дж. Бардином и В. Брат-
теином в США (в явлениях инжекции в германии) в конце 40-х годов.

§ 10J л+ — n- и р+ _ р-ПЕРЕХОДЫ 271
ными авторами. Они показали, что формула Эйнштейна хорошо
выполняется и для неравновесных носителей, что является экспери-
экспериментальным подтверждением возможности введения квазиуровней
Ферми.
§ 10. л+ — п- и р+ — р- переходы
При инжекции в р—/г-переходах концентрация неравновесных
носителей на границе (брH >0и полупроводник обогащается элек-
электронами и дырками. Однако нарушение равновесных концентраций
носителей при наличии тока через контакт может быть и таким,
что (брH < 0.
Рассмотрим контакт двух полупроводников одинакового типа
проводимости, но различающихся по степени легирования приме-
примесями. Такие контакты получили название п+—п- и, соответственно,
"он j •
/ft П п
Л l II 'Iff _
U ??. «•
"mr 1 j
'7777777?
f
>ff " tf ' /7
Рис. 7.19. Контакты п+ — п (а) и р+ — р (б).
р+—р-контактов. Их энергетическая диаграмма в отсутствие тока
показана на рис. 7.19. Такие переходы иногда образуются и при
изготовлении контакта полупроводника с металлами за счет диффу-
диффузии металла (например, при сплавлении), термической обработки
и т. п. Будем условно называть одну из областей «контактным элек-
электродом», з другую — «полупроводником» и будем говорить, для
определенности, о переходе п+—п. Участие неосновных носителей
(дырок) в образовании тока различно в обеих областях. Его можно
охарактеризовать коэффициентами | (в полупроводнике) и %h
(в контактном электроде):
t_h _ VpPo t _ *Pk _ Pppok ПО
Решающую роль для знака (бо)„ играет разность между «коэффи-
«коэффициентом цнжекцчи» lh и коэффициентом |. Если |й > |, то (брH > 0.
Если при этом внешнее напряжение положительно (минус на полу-
полупроводнике), то обогащенная область будет затягиваться в глубь
полупроводника. При наложении прямоугольного импульса напря-
напряжения эта область будет перемещаться со скоростью \хё. Через

272
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
[ГЛ. VII
время порядка пролетного времени dl\i §, где d — длина образца,
установится стационарное экспоненциальное распределение кон-
концентрации с длиной затягивания /(§), определяемой формулой
(9.4). Мы получим инжекцию неосновных носителей, которая прин-
принципиально не отличается от инжекции в р—«-переходах.
К
п
Н
Л
п-тип
п-тип
Pk
p
ft
в)
Ро
6)
V
Рис. 7.20. Инжекция (а), эксклюзия (б), аккумуляция (в) и
экстракция (г) носителей заряда.
При ?*>?. неотрицательном внешнем напряжении, образуется
также обогащенная область. Она, однако, будет локализована в тон-
тонком слое у электрода, с толщиной, определяемой формулой (9.7).
Это явление известно как аккумуляция неосновных цосителей.
Если \k < |, то возникает обедненная область с (брH < 0.
И здесь возможны два случая. Если внешнее напряжение положи-
положительно, то обедненная область затягивается в полупроводник и
распределение «дефицита» носителей бр определяется той же дли-
длиной затягивания (9.4), что и при инжекции. При длине дрейфа J>
длины образца обедненная область охватывает весь образец. Этот
тип нарушения равновесия получил название эксклюзии неосновных
носителей.
Однако, в отличие от инжекции, изменение электропроводности
образца при эксклюзии ограничено. Действительно, в равновесии
электропроводность

§10] A+ — я- ир+ — р-ПЕРЕХОДЫ 273
В предельном случае эксклюзии мы имеем рт-1П — 0. Однако nmin Ф
Ф- 0, так как часть электронов не может быть удалена из образца
без нарушения компенсации заряженных примесей и электрической
нейтральности. Для случая полностью ионизованных доноров и
акцепторов
Поэтому
tftnin = ещяпип = e\in(Nd - Na). A0.2)
Отсюда
(Aa)max ft(b+l)
где 6 = pJVp-
И, наконец, при \k < |, но отрицательном внешнем напряже-
напряжении возникает обедненный слой, локализованный у контакта. Его
характерная длина, как и в случае аккумуляции, выражается фор-
формулой (9.7). Этот тип нарушения равновесия известен как экстрак-
экстракция неосновных носителей. На рис. 7.20 показаны для сравнения
все четыре типа возможных нарушений равновесия по концентрации
у контакта.

Глава VIII
ВЫПРЯМЛЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ
С ПОМОЩЬЮ р — п-ПЕРЕХОДОВ
§ 1. Статическая вольтамперная характеристика
р — л-перехода
Вследствие инжекции неосновных носителей вольтамперная
характеристика р—«-перехода становится очень нелинейной. При
положительном внешнем напряжении («+» источника на р-области)
дырки из р-области инжектируются в «-область и становятся там
неосновными и неравновесными носителями. Они интенсивно ре-
комбинируют с электронами, концентрация которых в «-области
велика, вследствие чего новые дырки могут легко входить из р-
в «-область. То же самое имеет
место для электронов, инжекти-
инжектированных из «- в р-область. Эти
токи рекомбинации могут быть
велики даже при малых внешних
напряжениях, так как они не
сопровождаются появлением за-
заметного объемного заряда:заряд
\:нжектированных дырок легко
компенсируется перераспределе-
перераспределением электронов в «-области, а
заряд электронов — перераспре-
перераспределением дырок в р-области.
Для такого направления тока сопротивление перехода мало [про-
[проходное, или прямое, направление). Напротив, при отрицательном
напряжении через переход поступают только неосновные носите-
носители: электроны — из р- в «-область и дырки — из «-в р-область.
Образуемый ими ток очень мал, и поэтому сопротивление перехода
оказывается большим (запорное, или обратное, направление тока).
Распределение плотностей тока дырок и электронов в обеих
областях показано на рис. 8.1,где различные токи отмечены двумя
индексами: нижний индекс показывает, какими частицами образо-
образован ток, верхний индекс — к какой из областей перехода (р или «)
он относится. Ток ]пр (образованный дырками, инжектированными
в «-область) максимален на границе «-области х2 и затухает по мере
удаления от границы вследствие рекомбинации дырок. При этом
-Xj О хг Л
Рис. 8.1. Распределение дырочных и
электронных токов в р — я-переходе.

§1] ЕОЛЬТАМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА р —«-ПЕРЕХОДА 275'
в n-области возникает еще и ток электронов /jj, так как для поддер-
поддержания рекомбинации дырок электроны должны все время поступать
из электрода в «-область. Он минимален на границе х2 и увеличи-
увеличивается с удалением от границы. Суммарный ток, возникающий от
инжекции дырок в я-область, есть
jW = jnp(x) + rn(x) = const.
Аналогично, в р-области появляются ток инжектированных
электронов /р и ток дырок /", а суммарный ток от инжекции электро-
электронов в р-область равен
/(я) = /?(*)+ #(*) = const.
Если рекомбинация в самом переходном слое пренебрежимо
мала, то /JJ (х2) = \р (—хг) = 0 (как показано на рис. 8.1). Если она
значительна, то
есть ток от рекомбинации внутри переходного слоя. Он равен числу
рекомбинирующих электронов и дырок в единицу времени внутри
переходного слоя с толщиной d = х1 + х2 и единичной площадью,
умноженному на элементарный заряд е.
Из сказанного видно, что полную плотность тока через переход
можно представить в виде
1 = }1р) + 1М = Гр(х*) + &(-Хг) + 1г. A.1)
Поэтому определение вольтамперной характеристики сводится к вы-
вычислению токов неосновных носителей только на границах перехода
и тока рекомбинации /г в самом переходном слое.
Расчет особенно прост при следующих условиях:
1) Малый уровень инжекции. При этом, в частности, время жизни
тр и длину диффузии Lp дырок в /г-области и, соответственно, хп
и Ln в р-области можно считать постоянными.
2) Длины п- и р-областей больше длин диффузии Lp, Ln, так что
инжектированные носители успевают рекомбинировать, не доходя
до металлических электродов.
3) Толщина перехода d -^ Lp, Ln, так что в формуле A.1) можно
пренебречь током рекомбинации \г в самом переходном слое.
Если токи через переход не слишком велики (оценка дана ниже),
то при вычислении /р (х2) и /„ (—хг) можно пренебречь дрейфом по
сравнению с диффузией. Действительно, рассмотрим, например,
распределение дырок в «-области. Оно выражается формулой
вида (VU.9.3):

276 ВЫПРЯМЛ. И УСИЛЕН. С ПОМОЩЬЮ р — л-ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. VIII
где /р есть длина затягивания дырок, определяемая формулой
(VII.9.4). Поэтому для тока диффузии дырок в плоскости х2 имеем
dbp
eD
=-гЕ[р(х2)-рп]. A.2)
= X2 * р
Ток дрейфа в той же плоскости равен
Если р (х2) значительно превышает равновесное значение рп,
то отношение обоих токов есть
1+4 /"
Отсюда видно, что /диф > /др, если Xp/Lp > 1. При этом lp ~ 1Р.
Отсюда получаем условие для поля:
*<?гъ- <L3)
Для тонких р—n-переходов концентрация р (х2) связана с на-
напряжением на переходе и соотношением (VII.6.1):
где а = elkT. Поэтому из формулы A.2) имеем
. . . eDppn
h = h (x2) = -т— (ехр аи - 1).
Для тока /„ (—хх) получается аналогичное выражение:
eDntip
jn (— Xj) ~ —.— (ехр аи - 1).
Полная плотность тока через переход равна
/ = Л(ехроы-1), A.4)
где
!^+!^!?. A.5)
Формула A.4) выражает вольтамперную характеристику тонкого
р—я-перехода при малых напряжениях. Зависимость / от и оказы-
оказывается такой же самой, как и для случая контактов металл—полу-
металл—полупроводник (ср. формулу (VI. 12.12)), и не содержит вовсе параметров
р- и и-областей. Однако свойства этих областей существенно влияют
на величину тока насыщения js.
Происхождение тока насыщения в р—n-переходах имеет про-
простой физический смысл. При отрицательном напряжении в р—«^пе-
р—«^переходе имеется потенциальный барьер для основных носителей,

S 2]
p — n-ПЕРЕХОД ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПРЯЖЕНИИ
277
так что дырки из р-области не могут переходить в /г-область, а элек-
электроны из «-области не могут переходить в р-область (рис. 8.2).
Напротив, для неосновных
носителей барьера нет, и по-
поэтому все электроны, гене-
генерируемые в р-области и до-
доходящие без рекомбинации
до плоскости —хъ будут за-
затянуты в я-область, а дырки
из «-области, достигающие
плоскости хг, будут затянуты
в р-область. Так как длина
диффузии есть среднее рас-
расстояние, проходимое носите-
носителем заряда без рекомбина-
рекомбинации, то число электронов,
переходящих через единицу
л
-Xt
Рис. 8.2.
р — я-переход при обратном
напряжении.
поверхности перехода в еди-
единицу времени, равно числу
электронов, генерируемых в у р
ра с единичной площадью основания и длиной образующей Ln.
То же относится и к дыркам в и-области. Плотность образованного
ими тока есть
единицу времени в объеме цилинд-
цилиндй бй L
где gnT и gpT— темпы тепловой генерации электронов в р-области
и, соответственно, дырок в «-области. Подставляя сюда
пр
8пТ = Тп'
(ср. (VII.2.4)) и учитывая, что Ь„ = У Dnxn, LP = YDpxp, мы полу-
получаем формулу A.5). Мы видим, что ток насыщения в тонком р—«-пе-
р—«-переходе есть ток, обусловленный тепловой генерацией неосновных
носителей заряда в р- и /г-областях.
Если уровень инжекции нельзя считать малым или если ток от
рекомбинации внутри перехода \г не мал по сравнению с током насы-
насыщения /,„ то приведенные выше формулы становятся неприменимыми
и должны быть заменены другими [1].
§ 2. р — л-переход при переменном напряжении
Положим, что к р—«-переходу приложено переменное напряже-
напряжение и @, и найдем плотность тока, текущего через переход. Расчет
проведем в тех же предположениях, что и в § 1. Для упрощения будем
е,ще считать, что р-область сильно легирована (рр J> п„), так что
полный ток определяется только инжекцией дырок в и-область.

278 ВЫПРЯМЛ. И УСИЛЕН. С ПОМОЩЬЮ р — и-ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. VIII
Концентрация избыточных дырок на границе я-области х = хг
устанавливается за время порядка времени пролета дырок через
переходный слой tnp = dlv, которое мало. Так, если d -~ 10~4 см
и v — 107 см/с (тепловая скорость при 300 К), то tnp — 101 с.
Поэтому, если частота переменного напряжения со <; 1//пр, то
можно считать, что концентрация дырок на границе следит за изме-
изменением напряжения и по-прежнему выражается формулой (VIT.6.1).
Следовательно,
= х2: бр = р„ (ехр аы (/) — 1) = /(*)• B.1)
Это соотношение дает первое граничное условие задачи. Второе
граничное условие есть
*->~оо: бр->0. B.2)
Однако концентрация в глубине /г-области устанавливается посред-
посредством гораздо более медленного процесса диффузии, и поэтому
колебания концентрации бр, а следовательно, и плотности тока \р
отличаются от колебаний напряжения и (t). Если даже и (t) изме-
изменяется по чисто синусоидальному закону, то плотность тока, вообще
говоря, содержит высшие гармоники.
Плотность тока при произвольной форме напряжения и (/)
(но при ограничениях, указанных в § 1) можно найти следующим
образом. Концентрация избыточных дырок бр (я, /), как и раньше,
определяется уравнением непрерывности (VII.3.3), которое для
нашего случая (/др < /диф) имеет вид
дбр _ п &Ьр Ьр ,0 ох
~и~ va)
Его решение удобно искать в виде ряда Фурье
6р= 2 ск(х)е**". B.4)
k = — оо
Подставляя это в B.3), мы получаем для определения ск уравнения
а? гг-Ч-0. B.5)
Их решения, удовлетворяющие граничному условию B.2), суть
(^) B.6)
где Ак—постоянные, а
? ^ B.7)
Постоянные Ak определяются из граничного условия B.1):

$2] р —«-ПЕРЕХОД ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПРЯЖЕНИИ 279
Отсюда видно, что Л* суть коэффициенты разложения функции / (f)
в ряд Фурье:
J B.8)
—л/и
Зная бр (х, 0. плотность тока можно найти по формуле
^е<ш B 9}
¦—oo
Если бы инжекция электронов в р-область играла тоже замет-
заметную роль, то формула B.9) давала бы только дырочную составляю-
составляющую тока. Совершенно аналогичную формулу мы получили бы и
для электронной составляющей. Полная плотность тока была бы
равна сумме обеих составляющих.
Из сказанного видно, что вычисление тока сводится к нахожде-
нахождению коэффициентов Фурье Л* для функции / (t). При этом член
с k = 0 в сумме B.9) дает постоянную составляющую тока
eD
jo=-^Ao. B.10)
Рассмотрим теперь специальный важный случай, когда прило-
приложенное напряжение имеет постоянную составляющую и0 и пере-
переменную составляющую и, изменяющуюся по чисто гармоническому
закону
U @=И0+ «!<*«.
Амплитуду мх будем считать малой, так что аих <^ 1. Тогда / (t)
можно разложить в ряд по степеням и и ограничиться первыми
двумя членами разложения:
Подставляя это выражение в формулу B.8), находим коэффи-
коэффициенты Фурье:
После этого формулы B.9), B.4) и B.7) дают для плотности тока
г = еВ^1 (е™„ _ 1) + е-^1еаа' A + tare,I/, щхе™. B.11)
Первое слагаемое в этом выражении совпадает с формулой A.4) и
дает постоянную составляющую плотности тока /0, вызываемого
постоянным смещением и0. Второе слагаемое выражает перемен-
переменную составляющую плотности тока /. В рассматриваемом случае

280 ВЫПРЯМЛ. И УСИЛЕН. С ПОМОЩЬЮ р — л-ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. VUI
малых «х составляющая / изменяется гармонически с частотой to,
а высшие гармоники в первом приближении не возникают.
Полная проводимость р—«-перехода для малого переменного
напряжения и равна
А з= \ = Si = 5/sae««o (i + ifuXpy,.m B.12)
Здесь Z — импеданс перехода, 5 — площадь р— «-перехода, а js —
= eDppnILB есть плотность тока насыщения обратной ветви стати-
статической характеристики. Это выражение можно представить в более
удобном виде, если воспользоваться тождеством
(V7+T+ «VFT). Р =
Тогда
A (/Т ^F7!) B-12а)
Так как мнимая часть проводимости Im A > 0, то колебания /
опережают колебания « и, следовательно, проводимость р—«-пе-
р—«-перехода имеет емкостный характер.
Из формулы B.12а) следует, что p^n-переход при малом пере-
переменном напряжении представляет собой активное сопротивление RD
(называемое иногда «диффузионным» сопротивлением) и включен-
включенную -параллельно ему емкость CD («диффузионная» емкость)
(рис. 8.3, а), равные
J- = Re А = -?- jsae*»° Vffl, B.1 За)
KD X &
B.136)
Физическая причина возникновения емкости CD заключается
в том, что при инжекции в «-области содержатся дополнительные
(по сравнению с равновесием) дырки, а в р-области •— дополнитель-
дополнительные электроны, количество которых зависит от приложенного на-
напряжения. Поэтому для всякого изменения напряжения Аи необ-
необходим переход определенного заряда Aq, что и обозначает наличие
емкости. Аналогично, диффузионное сопротивление появляется
потому, что для перераспределения носителей заряда при инжек-
инжекции всегда необходимо дополнительное внешнее напряжение. При
сотр J> 1 инжекция вообще не успевает осуществляться и, в соответ-
соответствий с B.13а), Cd,Rd~+Q-
Во всех предыдущих рассуждениях мы не учитывали нескольких
важных обстоятельств. Во-первых, мы везде пренебрегали током
смещения по сравнению с конвекционным током. Однако на очень

$ 2}
p — л-ПЕРЕХОД ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПРЯЖЕНИИ
281
высоких частотах им пренебрегать не всегда возможно. Наличие,
тока смещения можно учесть, если приписать р—/г-переходу допол-
дополнительную, «зарядную» емкость, уже рассмотренную нами в § VI. 11.
Во-вторых, мы не учитывали обычное сопротивление р- и я-обла-
стей (базы диода), обусловленное соударениями электронов и дырок
с решеткой. Поэтому эквивалентная схема реального диода с
р — /г-переходом имеет вид, показанный на рис. 8.3, б. Здесь С —
зарядная емкость, а г—активное-сопротивление базы.
В-третьих, мы считали, что толщины р- и /г-областей dp и dn
достаточно велики: dp > Ln, dn> Lp, так что все избыточные носи-,
тели заряда успевают рекомбинировать, не достигая электродов.
Если это не так, то полученные формулы уже неприменимы. В этом
-I
чь
а)
с
б)
Рис. 8.3. Эквивалентная схема идеального (а) и реаль-
реального (б) р — я-перехода при малом переменном напря-
напряжении.
случае статическая характеристика и полная проводимость на
переменном токе существенно зависят от свойств электродов (от
темпа рекомбинации на -границе база — металлический электрод).
Наконец, в-четвертых, полученные результаты теряют силу,
если амплитуда переменного напряжения не мала (нарушается нера-
неравенство aWi-^1). Мы не будем останавливаться на этих случаях
(см., например, [1]), а только отметим один интересный результат.
При большом уровне инжекции, bpl(nn + pn) J> 1, сопротивление
базы уже не остается постоянным, а существенно модулируется
заливающими ее инжектированными носителями. Этот эффект;
может привести к тому, что колебания напряжения будут не отста-
отставать от колебаний тока (как при малых напряжениях), а их опере-
опережать. Иначе говоря, р—/г-переход будет вести себя как некоторая
индуктивность.
Вследствие сильной нелинейности вольтамперной характери-
характеристики р—/г-переходы широко применяются для выпрямления тех-
технических переменных токов и для детектирования и преобразования
частоты сигналов высокой и сверхвысокой частот в радиоприемных
устройствах. Формулы B.8) и B.9) позволяют исследовать зависи-
зависимость величины выпрямленного тока от параметров материала,

282 ВЫПРЯМЛ. И УСИЛЕН. С ПОМОЩЬЮ р — «-ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. VI»
а также определить предельную рабочую частоту диода. Однако
изложение этих вопросов относится уже к теории полупроводнико-
полупроводниковых приборов и выходит за рамки этой книги.. Отметим лишь, что
в высокочастотных диодах площадь контакта следует делать по
-возможности малой и уменьшать сопротивление базы.
Напротив, в мощных выпрямителях переменного тока низкой
частоты площадь р—«-перехода должна быть большой для увели-
увеличения силы тока. Такие выпрямители должны еще выдерживать
большие обратные напряжения без наступления явлений пробоя.
Для этого оказывается выгодным увеличивать толщину переходного
слоя (разумеется, до известного предела). Это реализуется, напри-
например, в структурах р-область — собственный полупроводник —
«-область (р—i—«-структуры). Для создания мощных выпрями-
выпрямителей широко применяют также более сложные системы, содержа-
содержащие несколько р—«-переходов.
§ 3. Туннельный эффект в р — л-переходах.
Туннельные диоды
Если в р- и «-областях р — «-перехода увеличивать концентра-
концентрацию мелких примесей, то при концентрациях электронов и, соот-
соответственно, дырок ~1018 -г- 1019 см~3 возникают новые явления.
А именно, начальная часть прямой ветви вольтамперной характери-
характеристики становится немонотонной и на ней возникает падающий уча-
участок (ток уменьшается при увеличении напряжения). В этой обла-
области напряжений дифференциальная проводимость перехода ad =
= di/du отрицательна. Причина такой зависимости тока от напря-
напряжения заключается в том, что при увеличении концентрации носи-
носителей толщина потенциального барьера в р—«-переходе умень-
уменьшается (ср. § VI.9) и при указанных концентрациях становится
сравнимой с длиной волны де Бройля (— 10~6 см при комнатной
температуре). Вместе с тем возрастает напряженность электриче-
электрического поля в переходе. В результате становится заметной вероят-
вероятность туннельных переходов электронов и дырок из одной зоны в дру-
другую (§ IV.6). Соответственно диоды с р—«-переходами рассматрива-
рассматриваемого типа называют туннельными.
Происходящие в них явления качественно поясняем рис. 8.4,
на котором изображены энергетические диаграммы сильно легиро-
легированного р—«-перехода при различных напряжениях; р- и п-об-
ласти вырождены, так что уровень Ферми в «-области F^n) лежит
внутри зоны проводимости и удален от ее края на некоторую вели-
величину Д„, а уровень Ферми в р-области F{p) — внутри валентной
зоны, ниже ее края на Ар (рис. 8.4, а). В отсутствие внешнего на-
напряжения F(n) = FiP) и результирующий ток равен нулю. При отри-
отрицательном внешнем напряжении (рис. 8,4, б, «+» на «-области) все
энергии в «-области понижаются относительно р-области и электроны

3]
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ В р— п-ПЕРЕХОДАХ
283
б)
6)
из р-области туннелируют в n-область. Возникающий ток быстро уве-
увеличивается с увеличением напряжения, так как в р-области есть
большое число заполненных состоя-
состояний, а в п-области — пустых состоя-
состояний. При небольших положительных
напряжениях электроны переходят из
п- в р-область. Однако в этом слу-
случае ток нарастает с напряжением
лишь до некоторого предела, так как
электроны из n-области не могут
туннелировать внутрь запрещенной
зоны в р-области. Поэтому при не-
некотором напряжении ток достигает
максимума (рис. 8.4, б) и затем умень-
уменьшается. Когда Ес совпадает с E'v, тун-
туннельный ток зона — зона обращается
в нуль (рис. 8.4, г). При дальнейшем
увеличении напряжения высота по-
потенциального барьера понижается на-
настолько, что становятся возможными
«надбарьерные» электронные пере-
переходы, и тогда появляется обычная
диффузионная составляющая тока,
рассмотренная ранее. Вольтамперная
характеристика для этой модели по-
показана на рис. 8.4, д.
Отметим, что в случае заметной
роли туннельного эффекта в р—
«-переходах большие токи возникают
при отрицательных напряжениях и
поэтому знак выпрямления оказывает-
оказывается обратным по сравнению с обычны-
обычными «толстыми» переходами.
Расчет вольтамперной характери-
характеристики тонкого р—n-перехода очень
осложняется тем, что электрическое
поле внутри перехода не постоянно:
оно максимально в некоторой пло-
плоскости внутри барьера и плавно убы-
убывает к его краям. Хотя распределе-
распределение поля можно вычислить, количе-
количественная теория туннельного диода
оказывается очень сложной и, как правило, требует численных
расчетов.
Сопоставление теоретических вольтамперных характеристик тун-
туннельных диодов с экспериментальными показывает, что рассмотрен-
гп+
Рис. 8.4. К объяснению вольт-
амперной характеристики идеа-
идеального туннельного диода (схе-
(схематически).

284
ВЫПРЯМЛ. И УСИЛЕН. С ПОМОЩЬЮ р — n-ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. VIII
а
Рйс. 8.5. Экспериментальная
аольтамперная характеристи-
характеристика германиевого туннельно-
туннельного диода. 300 К, \р = 6 кТ,
А„ = 8 кТ. (Пунктирная
кривая соответствует схеме
рис. 8.4.)
ная модель только приближенно описывает наблюдаемые законо-
закономерности (рис. 8.5). Наиболее важное расхождение состоит в том, что
при напряжениях, отвечающих падающей ветви вольтамперной
характеристики, плотность тока оказывается большей/ чем предска-
предсказываемая теорией, и не обращается в
нуль, когда края энергетических зон
совпадают (рис. 8.4, г). Разность (/экг—.
— /теор) получила название избыточного
тока туннельного диода.
Опыты показывают, что избыточный
ток, при прочих равных условиях, уве-
увеличивается при увеличении концентра-
концентрации примесей, создающих глубокие уроа-
~~02 о,Ь и,В ни энергии для электронов. Отсюда мож-
но заключить, что одна из причин этого
тока состоит в дополнительных туннель-
туннельных переходах при участии примесей.
На рис. 8.6 показаны два типа таких
переходов. Так, электрон из зоны про-
проводимости может быть сначала захвачен
на пустой локальный уровень энергии
Etl (переход /), а затем с помощью изо-
энергетического туннельного перехода 2 попасть в валентную зо-
зону. Другая возможность состоит в том, что электрон сначала мо-
может совершить туннельный переход из зоны проводимости на под-
подходяще расположенный локальный уровень Егг (переход 3), а за-
затем опуститься в валентную зону
(переход 4).
Возможны и другие, более слож-
сложные типы переходов.
Другая причина, ответственная
за возникновение избыточного то-
тока, связана с изменением самого
характера энергетического спектра
полупроводника при сильном его
легировании. Она рассматривается
в § XIX. 5.
Из принципа действия туннель-
туннельных диодов видно, что процессы
в них обусловлены основными носителями заряда, а рекомбинация
(как в толстых р—«-переходах) не играет принципиальной роли.
Поэтому характерное время в туннельных переходах есть не время
жизни неравновесных носителей т, а время релаксации Максвелла
тм = е/4яа. Последнее обычно намного меньше т и, например, при
а ~ 1 (Ом-см) имеет порядок 10~12 с. Вследствие этого теоретиче-
теоретический предел частот, до которых могут работать туннельные диоды,
'//////У. /////.//,
Рис. 8.6. Туннельные переходы с
участием примесей.

$ 4] БИПОЛЯРНЫЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ ТРИОД 285
(o,ip ~ \/тм, намного больше, чем у толстых (диффузионных) р—л-пе-
реходов. Однако предельная частота реальных туннельных диодов
понижается вследствие влияния паразитных емкости и индуктив-
индуктивности оправы диода, хотя у современных хороших диодов она до-
достигает -~1010 Гц.
Различные применения туннельных диодов основаны на исполь-
использовании падающего участка их вольтамперной характеристики.
При этом важно отношение токов imax/imin и максимальная величина
отрицательной дифференциальной проводимости \di/du\max. Чем
больше эти величины и чем больше предельная частота, тем лучше
качество диода.
Наличие отрицательной дифференциальной проводимости поз-
позволяет использовать туннельные диоды для усиления и генерации
СВЧ электрических колебаний, для смешения частот в супергете-
роЯинных приемных устройствах (при этом, в отличие от обычных
смесителей, здесь возможна компенсация потерь на преобразо-
преобразование), в качестве быстродействующих переключателей для счетно-
решающих устройств и для других целей,
§ 4. Биполярный полупроводниковый триод
Одно из самых важных технических применений полупроводни-
полупроводников, которое существенно стимулировало развитие современной
физики полупроводников, заключается в их использовании для
усиления и генерации электрических колебаний. Приборы, пред-
предназначенные для этих целей, получили общее название транзи-
транзисторов.
Примером очень распространенного транзистора может служить
биполярный полупроводниковый триод *). Его рабочая часть со-
состоит из пластинки полупроводника (обычно — монокристалличе-
монокристаллического), в которой путем надлежащего распределения примесей соз-
созданы два близко расположенных р—п-перехода (см. рис. 8.7).
Область между обоими переходами принято называть базой триода,
а оконечные области — эмиттером и, соответственно, коллектором.
Такую систему из двух переходов можно осуществить двумя спо-
способами: создавая у эмиттера и коллектора дырочную проводимость,
а у базы — электронную, т. е. структуру типа р—п—р (рис. 8.7, а),
либо структуру типа п—р—п (рис. 8.7, б).. Физические процессы
в обоих случаях совершенно аналогичны и поэтому в дальнейшем
для определенности мы будем говорить о р—п—р-структуре.
Для разъяснения принципа действия триода удобно сначала оста-
остановиться на одной из возможных схем его включения, показанной
*) Название «транзистор» произошло от соединения слогов английских
слов transfer (передавать) и resistor (сопротивление). «Биполярный» указывает
на го, что в данном приборе используется явление инжекции, а следовательно,
необходима биполярная проводимость полупроводника.

286
ВЫПРЯМЛ. И УСИЛЕН. С ПОМОЩЬЮ р — «ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. VIII
на рис. 8.7, в которой базовый электрод является общим для обеих
цепей — эмиттера и коллектора («схема с общей базой»). Токи
будем считать постоянными или изменяющимися медленно. Между
эмиттером и базой приложено небольшое прямое напряжение, так
что дырки из эмиттера инжектируются в область базы. Если тол-
толщина базы (расстояние между границами эмиттерного и коллектор-
коллекторного р—n-переходов) w < Lp, где Lp — длина диффузии дырок
в базе, то значительная часть этих дырок не успеет рекомбинировать
Рис. 8.7. Биполярный триод р — п — р (а)-и п — р — п (б) типов в схеме с об-
общей базой и аналогия с вакуумным триодом (в). Сверху — условное изображе-
изображение на схемах.
в области базы и дойдет до коллекторного перехода. Так как к кол-
коллектору приложено большое обратное напряжение (потенциал кол-
коллектора отрицателен относительно базы), то в коллекторном пере-
переходе существует сильное электрическое поле, затягивающее дырки
в коллекторную область. Поэтому все дырки, достигшие коллектор-
коллекторного перехода, будут входить в коллектор и участвовать в образо-
образовании тока в цепи коллектора. Обе цепи оказываются связанными
друг с другом с помощью инжектированных дырок, так что всякое
изменение тока в цепи эмиттера вызывает определенное изменение
тока в цепи коллектора. В этом смысле полупроводниковый триод
аналогичен вакуумному триоду, причем роль катода играет эмит-
эмиттер, роль анода — коллектор, а роль управляющей сетки — база
(рис. 8.7, в).
Так же как и в случае вакуумных триодов, усиление колебаний
осуществляется за счет использования энергии источников постоян-
постоянного напряжения, включенных в схему.
Транзисторный эффект описанного типа был открыт в 1948 г.
Дж. Бардином, В. Браттейном и В. Шокли.
Важной характеристикой полупроводникового триода является
коэффициент усиления тока в схеме с общей базой, который, по

$ -4] БИПОЛЯРНЫЙ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ ТРИОД 287
определению, есть
а=(%А . D.1)
\\le/uc = const v '
Здесь Агс — абсолютная величина малого изменения тока коллек-
коллектора, вызванного малым изменением тока эмиттера Aie, при усло-
условии, что напряжение коллектор — база ис поддерживается посто-
постоянным. Этот коэффициент существенно определяет параметры триода
в различных схемах его включения.
Величина а определяется свойствами эмиттерной, базовой и
коллекторной областей транзистора (в первую очередь — концен-
концентрациями равновесных носителей заряда в них), а также процессами
рекомбинации в области базы и в эмиттерном р—n-переходе. Дей-
Действительно, полный ток эмиттера ie, в соответствии с формулой
A.1), можно представить в виде
Здесь ipe— ip (х2) есть ток дырок, вступающих из эмиттера в базу,
на границе эмиттерный переход—база при х — хг (ср. рис. 8.1);
ine = ipn (—#i) — ток электронов, идущих из базы в эмиттер, на
границе перехода при х = —xx; ir — ток, возникающий вследствие
рекомбинации, внутри эмиттерного р—n-перехода. Так как к кол-
коллектору движутся только дырки, то составляющие тока ine и ir не
изменяют тока коллектора и являются бесполезными. Отношение
Т
ТУР
ТУР ТУР
le lpe~r lne~r h
называется эффективностью эмиттера. Качество эмиттера тем
лучше, чем ближе |е к единице.
Вследствие рекомбинации в базовой области, дырочный ток,
достигающий коллекторного перехода, ipc < ipe. Влияние реком-
рекомбинации в базе можно охарактеризовать коэффициентом передачи
дырок
1ре
Он тем ближе к единице, чем меньше отношение w/Lp.
И, наконец, следует учесть, что полный ток коллектора тоже
имеет дырочную и электронную составляющие. Поэтому, если
_ipc__ ipc .
be — ,• — ,¦ г/ ' \*-\J
lc lpc~rlnc
то полный ток коллектора ic = ipc/%c. Величину 1/^ иногда назы-
называют «собственным коэффициентом усиления тока коллектора».
Пользуясь этими понятиями, коэффициент а можно представить
в виде
— ?Ф-(|?. D.5)

288
ВЫПРЯМЛ. И УСИЛЕН. С ПОМОЩЬЮ р — «-ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. VIH
Отметим, что в биполярных полупроводниковых триодах тол-
толщину базы стараются сделать по возможности малой по сравнению
с длиной диффузии, так что при положительном потенциале эмиттера
концентрация дырок в базе бывает намного больше равновесной их
концентрации. Поэтому обычно ipc ;> inc и, соответственно, можно
положить \с ~ 1.
Так как ?г<1 и р < 1, то и а < 1. Таким образом, в рассма-
рассматриваемой схеме с общей базой получить усиление тока нельзя.
Однако изменения напряжения на нагрузочном сопротивлении в це-
цепи коллектора Аис — RcAic при большой величине Rc могут быть
значительно больше изменений напряжения эмиттера Аи,,, т. е.
усиление по напряжению может быть значительно больше единицы.
Через базовый электрод триода протекает также некоторый ток ib,
равный
ib = ie — ic. D.6)
Этот ток обусловлен электронными составляющими токов ine и
inc, а также рекомбинацией дырок и электронов в базе, так как для
Рис. 8.8. Полупроводниковый триод в схеме с общим эмиттером.
Unix
Рис. 8.9. Полупроводниковый триод в схеме с общим коллектором.
поддержания этой рекомбинации необходим постоянный приток
электронов в базовую область. При |е = ?., = р = 1 мы имели бы
ib = 0. В реальных триодах ib Ф 0, однако ib <^ ie, ic.
На рис. 8.8 и рис. 8.9 показаны две другие возможные схемы
включения триода.
В схеме с общим эмиттером (рис. 8.8) управляющим током яв-
является ток базы ib, а током в выходной цепи — ток ie. Соответственно

§ 5J ГЕТЕРОПЕРЕХОДЫ 289
коэффициент усиления тока в этой схеме ае определяется как
D.7)
Для схемы с общим коллектором (рис. 8.9) коэффициент усиле-
усиления тока есть
a<4felw = collst- D'8)
В отличие от схемы с общей базой, усиление по току в двух
последних схемах может быть значительно больше единицы. Это
происходит потому, что управляющий ток в этих схемах ib намного
меньше выходного тока ic или, соответственно, ,ie. Поэтому значи-
значительным изменениям выходного тока соответствуют только малые
изменения управляющего тока.
Количественная теория биполярного триода получается при
использовании основных уравнений, приведенных в § VII.3 (уравне-
(уравнений непрерывности и уравнения Пуассона), и условий на границах
каждого из р—«-переходов. Для тонких переходов эти граничные
условия имеют вид (VII.6.1). Отсюда можно найти распределение
дырок (электронов) в области базы и вычислить токи ie, ic как функ-
функции напряжений на эмиттере и коллекторе ие, ис относительно базы.
А это позволяет определить все параметры полупроводникового
триода как активного четырехполюсника. Однако мы не будем оста-
останавливаться на этих довольно длинных расчетах, которые можно
найти в руководствах по полупроводниковым приборам [1, 2].
Рассмотренный выше качественно биполярный триод представ-
представляет собой, конечно, лишь один из типов полупроводниковых уси-
усилителей, основанных на использовании явления инжекции. Имеются
и другие полупроводниковые устройства, предназначенные для тех
же целей. Некоторые из них основаны на других принципах и не
используют явление инжекции вовсе. Помимо рассмотренных выше
туннельных диодов, сюда относятся так называемые полевые тран-
транзисторы (в которых для управления током в выходной цепи исполь-
используют модуляцию толщины слоя объемного заряда с помощью вход-
входного напряжения) и другие приборы.
§ 5. Гетеропереходы
До сих пор мы рассматривали р—«-переходы, образованные
в одном и том же монокристалле путем соответствующего распреде-
распределения примесей. В таких переходах (часто называемых гомопере-
ходами) по обе стороны от границы раздела р- и «-областей мы имели
одну и ту же решетку кристалла с одинаковыми характеристиками
(шириной запрещенной зоны, электронным сродством и т. п.).
Сейчас мы коротко остановимся на контактах двух различных
полупроводников (гетеропереходах).

290
БЫПРЯМЛ. И УСИЛЕН. С ПОМОЩЬЮ р — «-ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. VIII
4Г
\
х2
т
-и2
__,_!_ t
Гетеропереходы можно получить, наращивая монокристальный
слой одного из полупроводников на монокристальной же подложке
другого полупроводника с помощью специальных методов. Такое
наращивание без существенного нарушения монокристальной струк-
структуры возможно, разумеется, не для всякой пары полупроводников,
так как для этого необходимо определенное соответствие между
кристаллическими решетками. Гетеропереходы можно создать, ис-
используя пары полупроводников
Ge—GaAs, GaAs—Ga^Al^As,
GaAs— GaAsJV*. CdTe—CdSe и
др. В зависимости от содержа-
содержащихся примесей оба полупро-
полупроводника могут иметь как оди-
одинаковый тип проводимости («изо-
типные гетеропереходы», напри-
например, структуры п—п+, р—р+ и
т. д.), так и разный («анизотип-
ные» переходы р—п, р—п+
и др.).
Энергетические диаграммы ге-
гетеропереходов, описывающие из-
изгиб энергетических зон и возни-
возникающие потенциальные барьеры,
имеют особенности по сравнению
с таковыми для гомопереходов.
Эти диаграммы можно построить
следующим образом.
Рассмотрим, для определен-
определенности, анизотипный переход, об-
образованный широкозонным по-
полупроводником р-типа и узко-
узкозонным n-типа. Энергетическая
диаграмма обоих полупроводни-
полупроводников до образования перехода
показана на рис. 8.10, а. После
создания гетероперехода полу-
получается энергетическая диаграмма, изображенная на рис. 8.10, б.
В отсутствие тока, как всегда, уровень Ферми в обоих полупро-
полупроводниках становится одинаковым и между ними возникает кон-
контактная разность потенциалов ик = (Ф1 — Ф2)/е. Уровень энер-
энергии в вакууме теперь изображается кривой Ео = —еср (х), где
Ф (х) — электростатический потенциал, создаваемый слоями объ-
объемного заряда у границы. Откладывая от уровня Ео вниз отрез-
отрезки %х и, соответственно, %%, мы получим энергию дна зоны про-
проводимости в обоих полупроводниках. Так как Xi и Ъ в общем
случае различны, то на границе перехода х = 0, в отличие от го-
Рис. 8.10. Энергетическая диаграмма
двух различных полупроводников до
контакта (а) и р — д-гётероперехода
(б). Eg — ширина запрещенной зоны,
% — электронное сродство, Ф — рабо-
работа выхода, иь — контактная разность
потенциалов, Еа — энергия покояще-
покоящегося электрона в вакууме.

§ 5]
ГЕТЕРОПЕРЕХОДЫ
291
мопереходов, возникает разрыв в зоне проводимости АЕС =
= Ес (+ 0) — Ес (—0). Аналогично, откладывая в левой и правой
частях диаграммы отрезки Egl и, соответственно, Eg2 от уровня
Ес (х), мы найдем края дырочных зон Ev (x). И здесь в плоскости
х = 0 образуется разрыв AEV = Ev (+0) — Ev (—0). В зависимо-
зависимости от соотношения между электронным сродством Xi и Хг. с одной
стороны, и шириной запрещенных зон Egl и Egi, с другой, эти раз-
разрывы могут иметь либо вид «стенки» (АЕС на рис. 8.10, б), либо
вид «крюка» (AEV на рис. 8.10, б).
На рис. 8.11 показан другой пример — изотипного п—«-гете-
п—«-гетероперехода (тоже в равновесии). Здесь «крюк» возникает в зоне
проводимости, а «стенка»—в валент-
валентной зоне. При этом уровень Ферми
в области разрыва АЕС попадает в
зону проводимости, так что в этом
слое электронный газ оказывается вы-
вырожденным.
Ход краев зон Ес (х) и Ev (x) в ?
областях объемного заряда, а следо- vl
вательно, и разрывы зон АЕС и AEV
можно определить из следующих со-
соображений. Полная контактная раз-
разность ик распределяется между обои-
обоими полупроводниками на части ик1 Рис. 8.11. Пример энергетиче-
И Hft2 (рис. 8.10). Если известны при- ской диаграммы изотипного я —
меси В обоих полупроводниках'(ИХ «-гетероперехода. Заштрихован-
НЗЯ ЧЗСТЬ ВЫрО5КДСНЭ.
концентрации и энергетические уров-
уровни), то можно вычислить объемный
заряд р (ф) как функцию потенциала ф и затем, интегрируя
уравнение Пуассона, найти пространственное распределение потен-
потенциала фг (х, ukl) и ф2 (х, uki) в каждом из полупроводников. Эти
распределения будут зависеть также от ик1 и, соответственно, ик2,
входящих через граничные условия. Тогда из условия непрерыв-
непрерывности нормальной составляющей электрической индукции на
границе раздела
81 dx х=о
E.1)
можно найти ми и ик2, а следовательно, и распределение потен-
потенциала, и изгиб энергетических зон.
Поясним сказанное на примере р — «-гетероперехода, изобра-
изображенного на рис. 8.10. Положим для простоты, что в полупроводниках
имеются мелкие, полностью .ионизованные доноры и акцепторы,
и обозначим концентрации дырок и электронов в глубине полу-
полупроводников через р0 и, соответственно, п0. В рассматриваемом
случае в обоих полупроводниках возникают обедненные слои

292 БЫПРЯМЛ. И УСИЛЕН. С ПОМОЩЬЮ р — «-ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. VIII
объемного заряда, и поэтому мы используем приближение пол-
полностью истощенного слоя. Тогда мы можем сразу воспользоваться
результатами в § VI.9, однако с учетом того, что в данном случае
диэлектрические проницаемости в обеих областях различны. Соот-
Соответственно вместо формул (VI.9.8) мы получим
(р-область),
E.2)
(х) = ы2 — =^± (х — d2J (я-область),
где их и н2'— значения потенциала при х =—dx и х — d2. Под-
Подставляя E.2) в условие E.1), находим
d2 Ро ч '
Далее, полагая в формулах E.2) х — О, имеем
@) - «1 = «я =
1 E 4)
fc2
Отсюда, с учетом формулы E.3), получаем
Uki _ Па ?2_
E.5)
uk2 Po el
Полная контактная разность потенциалов равна
ик = ukl + ин = 2яе (-—2- + ™). E.6)
Из формул E.6) и E.3) находим толщину слоев объемного заряда:
dx=y\
„.
d =
2
Соотношения E.2) — E.7) полностью определяют распределение
потенциала ср (х), изгиб энергетических зон —ец> (х), толщину
слоев объемного заряда dx и d% и отношение контактных разностей
потенциалов ик1/ик2 в обоих полупроводниках.
Рассмотренные энергетические диаграммы являются идеализи-
идеализированными, так как не учитывают локальных уровней энергии
для электронов на границе. Такие уровни возникают во всех слу-
случаях, когда нарушается периодичность потенциала решетки. Послед-
Последнее имеет место, например, на свободной поверхности кристалла
(см. гл. X), а также на границе гетероперехода вследствие неодина-
неодинаковости кристаллических решеток обоих полупроводников. Если

ГЕТЕРОПЕРЕХОДЫ
293
концентрация поверхностных уровней велика, то на поверхности
раздела может возникнуть значительный электрический, заряд
и энергетический профиль гетероперехода может быть существенно
•искажен.
Поверхностные уровни энергии создают возможность допол-
дополнительных электронных переходов в гетеропереходе. На рис. 8.12
схематически приведен пример энергетической диаграммы п — р-
гетероперехода при учете поверхностных уровней Es. При поло-
положительном внешнем напряжении и в отсутствие поверхностных
уровней электроны переходят в полупроводник 2 только над барь-
барьером (переход 1), где рекомбинйруют со свободными дырками.
Дырки переходят в обратном направ-
направлений, тоже над барьером (переход
/'), и рекомбинйруют в полупровод-
полупроводнике / со свободными электронами.
При наличии поверхностных уров-
уровней электроны и дырки могут перей-
перейти на эти.уровни с помощью тун-
туннельного эффекта (переходы 2 и 2').
Опускаясь затем по цепочке поверх-
поверхностных уровней, электроны полу-
получают возможность дополнительной
рекомбинации с дырками. Разумеется,
возможны и более сложные переходы
с участием поверхностных уровней.
Применение гетеропереходов в не-
некоторых полупроводниковых прибо-
приборах может оказаться более выгодным,
нежели использование гомопереходов. Так, в гетеропереходах мож-
можно осуществить одностороннюю инжекцию, при которой только
одна из областей гетероперехода будет обогащаться носителями
заряда. Эффективность таких переходов g = /но/ (/но + /осн) можно
сделать близкой к единице.
Создавая гетеропереход типа широкозонный полупроводник
п-типа — тонкий слой узкозонного полупроводника —г широкозон-
широкозонный полупроводник р-типа и прикладывая к нему большое поло-
положительное смещение, оказывается возможным легче осуществить
высокий уровень инжекции в среднем слое, нежели в обычных
гомопереходах. Это обстоятельство важно для создания полупро-
полупроводниковых квантовых генераторов (лазеров).
Гетеропереходы позволяют создать фотоэлементы с резко огра-
ограниченной спектральной полосой чувствительности (и повысить
их коэффициент полезного действия (§ XI.5)), а также и другие
полупроводниковые приборы [3].
Недостатком гетеропереходов является гораздо более сложная
технология их изготовления по сравнению с гомопереходами.
Рис. 8.12. Гетеропереход при
наличии поверхностных уров-
уровней на границе.

Глава IX
СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
§ 1. Различные типы процессов рекомбинации
Рассматривая неравновесные электронные состояния в гл. VII,
мы ввели понятия о средних временах жизни избыточных электро-
электронов и дырок в зонах тп и %р. Однако мы не интересовались тем,
от чего зависят эти времена. Между тем опыт показывает, что т„
и %р могут изменяться в чрезвычайно широких пределах — от мно-
многих часов до 10~8 с и меньше. В настоящей главе мы рассмотрим
подробнее процессы рекомбинации и генерации неравновесных
электронов и дырок и выясним физические причины, влияющие
на времена их жизни.
Процессы рекомбинации удобно разделить на два класса: 1) пря-
прямую рекомбинацию зона — зона и 2) рекомбинацию с участием
примесей и дефектов. В первом случае свободный электрон из зоны
проводимости рекомбинирует со свободной дыркой в валентной
зоне в одном элементарном акте. В процессах второго класса сво-
свободные электроны рекомбинируют со связанными дырками на при-
примесях или дефектах, а свободные дырки — со связанными электро-
электронами. Мы остановимся сначала на прямой рекомбинации зона —
зона.
При переходе электрона из зоны проводимости в валентную
зону всегда должны выполняться законы сохранения энергии
и квазиимпульса. Поэтому если ?" и к' — энергия и квазиволновой
вектор электрона в начальном состоянии в зоне проводимости,
а ? и к — их значения в конечном состоянии в валентной зоне,
то должны выполняться соотношения
A.2)
Здесь А? и Ар — энергия, освобождаемая в элементарном акте
рекомбинации и, соответственно, изменение квазиимпульса элек-
электрона при переходе. Поскольку квазиимпульсы в начальном и конеч-
конечном состояниях системы должны лежать в пределах первой зоны
Бриллюэна (§ III.3), правая часть уравнения A.2) может содержать
еще слагаемое НЪ, которое мы не выписываем. Прямая рекомбина-

§ 2] ТЕМП РЕКОМБИНАЦИИ ЗОНА — ЗОНА 295
ция электрона и дырки возможна только в тех случаях, когда
от электрона может быть отведена освобождающаяся энергия АЕ
и обеспечено изменение квазиимпульса Ар, определяемые законами
сохранения A.1) и A.2).
Процессы, обеспечивающие выполнение законов сохранения,
могут быть различны. Это может быть испускание кванта электро-
электромагнитного излучения — фотона определенной частоты со, тогда *)
Д? = Йсо, |Др|=.^-. A.3)
В этом случае мы говорим об излучательнои рекомбинации. Избы-
Избыточные энергия и квазиимпульс могут быть переданы колебаниям
решетки, или фононам. Известны и процессы, при которых энер-
энергия и квазиимпульс, освобождаемые при рекомбинации, передаются
третьей свободной частице — электрону (в электронных полупро-
полупроводниках) или дырке (в дырочных полупроводниках). Процессы
такого типа получили название ударной рекомбинации (или Оже-
рекомбинации). Очевидно, что вероятность таких процессов воз-
возрастает при увеличении концентрации носителей заряда, и поэтому
ударная рекомбинация проявляется обычно в сильно легированных
полупроводниках. Принципиально возможны и другие типы эле-
элементарных актов рекомбинации (см. § XVII.9). В случаях, когда
фотоны не участвуют в обмене энергией и квазиимпульсом, говорят
о безы лучательной рекомбинации.
Вероятность различных типов элементарных актов зависит
от энергетической структуры кристалла, а также от концентрации
электронов и дырок. При этом процессы разного типа могут сосу-
сосуществовать.
В настоящей главе мы будем рассматривать только статистику
рекомбинации и получим соотношения, справедливые при любом
механизме рекомбинации. Конкретная природа рекомбинационных
процессов будет определять лишь значения фигурирующих в даль-
дальнейшем вероятностей электронных переходов (эффективных сече-
сечений рекомбинации).
§ 2. Темп рекомбинации зона — зона
Рассмотрим группу состояний 1 (рис. 9.1) в зоне проводимости
с энергией в интервале (?", Е' -\- dE') и группу состояний 2 в ва-
валентной зоне с энергией (Е,~ Е + dE), Число переходов 1 -> 2,
рассчитанное на единицу времени и единицу объема, должно быть
пропорционально количеству электронов в состояниях /, т. е.
*) Строго говоря, второе из соотношений A.3) нуждается в дополнитель-
дополнительном доказательстве, ибо Йш/с есть импульс, а не квазиимпульс фотона (см.
гл. XVIII).

СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
Nc (?") dE' f (?"), и количеству незаполненных состояний в груп-
группе 2, которое есть Nv (Е) dEfp (E). Поэтому число таких переходов
в единице объема и в единицу времени
можно записать в виде
dr = W(E', E)NC(E')X
xNv(E)f(E')fp(E)dE'dE. B.1)
Здесь W(E', E) — вероятность перехо-
перехода, отнесенная к единице времени. В
принципе ее можно вычислить методами
квантовой механики (см. § XVIII.4). Что-
Чтобы найти полный темп рекомбинации,
нужно просуммировать выражение B.1)
по всем энергиям ?" и Е.
Темп рекомбинации выражается осо-
особенно просто при выполнении двух ус-
условий: 1) существуют квазиуровни Ферми для электронов и ды-
дырок Fn и Fp и 2) полупроводник не вырожден. В этом случае
(§ VI 1.5)
Еи
Рис. 9.1. Электронные пере-
переходы между двумя группами
состояний.
kf
fP (?) = exp ¦
kT
np = n6pM exp
где пир — полные концентрации электронов и, соответственно,
дырок, а л0 и р0 — их равновесные значения. Пользуясь еще соот-
соотношением (V.5.4), мы получаем
np E—E'
1^7 eXP kf~
np
NCNV
exp -
E'~EC
kT
¦exp [-
kT
B.2)
Результат подстановки этого выражения в формулу B.1) и после-
последующего интегрирования по ?" и Е будет, очевидно, иметь вид
B.3)
где
r — anp,
W(E', E)NC(E')NV(E)X
E'-Ec\
х exp —
kT
B.4)
Формула B.3) показывает, что темп прямой рекомбинации зона —
зона пропорционален произведению концентраций п и р, т. е. под-
подчиняется тому же закону, что и скорость бимолекулярных хими-
химических реакций. Коэффициент а, по определению, есть коэффи-
коэффициент рекомбинации. Из формулы B.4) видно, что он зависит

§2] ТЕМП РЕКОМБИНАЦИИ ЗОНА — ЗОНА 297
ст вероятности элементарного акта рекомбинации W (?", Е) и рас-
распределения квантовых состояний в зонах Nc (?") и Nv (Е), т. е.
от структуры энергетических зон. Кроме того, он зависит от тем-
температуры.
В гл. VII мы определили суммарный темп рекомбинации как
разность
где gT есть темп тепловой генерации электронов и дырок в усло-
условиях равновесия. Так как в равновесии (при п — п0 и р = р0)
R = 0, то
gT = anopo = anl B.5)
Поэтому мы получаем окончательно
R = a(np-nopo). B.6)
Именно эта величина должна входить во введенные ранее уравне-
уравнения непрерывности.
Вероятность элементарного акта рекомбинации часто выражают
при помощи эффективного сечения рекомбинации. При этом, по ана-
аналогии с кинетической теорией газов,
каждый акт' рекомбинации электро- ^ v ^_
на с дыркой чисто формально уподоб- ,'Ш\ " А
ляют акту соударения электрона и i Щ, ) I 1
частицы с некоторым сечением 5. KyaZ 1/
Тогда число «соударений» электронов /У
с одной дыркой за единицу времени Рис 9.2. К определению эффек-
будет равно, очевидно, числу электро- тивного сечения рекомбинации.
нов, заключенных внутри цилиндра с
основанием 5 и- длиной образующей, равной средней тепловой ско-
скорости электронов vT (рис. 9.2), т. е. Svrti. Полное число искомых
элементарных актов с учетом не одной, а всех имеющихся дырок
будет в р раз больше, т. е. SvTnp. Сравнивая это с выражением
B.3), мы имеем
a = SvT, B.7)
где S, по определению, есть эффективное сечение рекомбинации.
При этом в определении B.7) под vj обычно понимают ско-
скорость изолированного электрона (с массой1 т0).
Обратимся теперь к времени жизни. Так как при переходах
зона — зона каждое появление электрона в зоне проводимости
сопровождается появлением одной дырки в валентной зоне, то
бя == 8р. Полагая, далее, п = п0 + бп, р — р0 + б/г, мы имеем
R = а (пр - лоро) = а (Ро + «о + бп) б/г.
Поэтому для времени жизни неравновесных пар, по определению,
мы получаем

298 СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
Таким образом, время жизни пар зависит от концентрации рав-
равновесных носителей п0, р0 и концентрации неравновесных пар 8п.
Поэтому время жизни пар не является характеристикой данного
типа полупроводника, а отражает только свойства конкретного
образца при определенном его состоянии. Напротив, коэффициент
рекомбинации или, соответственно, сечение рекомбинации явля-
являются характеристиками данного типа полупроводника. Однако
они, конечно, зависят от температуры (ср. формулу B.4)).
Отметим, наконец, что зависимость т от п0 и р0 имеет резкий
максимум. Учитывая, что равновесные концентрации п0 и р0 свя-
связаны соотношением поро = п|, и приравнивая производную от выра-
выражения B.8) по п0 (или р0) нулю, мы находим, что т достигает мак-
максимума при п0 — р0, т. е. в собственном полупроводнике. При
малом уровне возбуждения (8п < п0 + р0) этот максимум равен
B.9)
§ 3. Время жизни при излучательнои рекомбинации
Непосредственное вычисление коэффициента рекомбинации по
формуле B.4) трудно. Однако его величину можно найти, исполь-
используя принцип детального равновесия (§ VII. 1) и связывая а с дру-
другими известными, макроскопическими, величинами.
Рассмотрим полупроводник в состоянии термодинамического
равновесия. В нем имеются электроны с равновесной концентра-
концентрацией п0, дырки с концентрацией р0 и равновесное (черное) излу-
излучение. Согласно принципу детального равновесия темп равновес-
равновесной излучательнои рекомбинации г должен быть равен темпу опти-
оптической генерации пар gT, обусловленной поглощением равновесных
фотонов в полупроводнике. Последняя величина выражается фор-
формулой B.5). Поэтому, вычисляя gT и зная собственную концентра-
концентрацию носителей в данном полупроводнике п{, можно найти а.
v Равновесную оптическую генерацию gT можно найти следую-
следующим образом. Пусть р0 (Йсо) d (Йсо) есть концентрация равновес-
равновесных фотонов, энергия которых лежит в интервале [Йсо, йсо +
+ d (ft со)]. Величина р0 (Йсо) выражается формулой Планка:
р0 (ha) = -^- -7-JL , C.1)
где п — показатель преломления среды.
Обозначим, далее, через Р (hw) вероятность поглощения одного
фотона с энергией Йсо в единицу времени, а через v (/гсо) — кван-
квантовый выход внутреннего фотоэффекта (число возникающих элек-
электронно-дырочных пар при поглощении одного фотона, § VII.4).

$ 3] БРЕМЯ ЖИЗНИ ПРИ ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ РЕКОМБИНАЦИИ 299
Тогда, очевидно,
gT = J Ро (йш) р (Па) v (йсо) d (Па). C.2)
о
Вероятность Р (Йсо) можно выразить через коэффициент погло-
поглощения света и показатель преломления. -Действительно, описывая
поглощение света как уменьшение концентрации фотонов, р (Йсо),
мы можем написать
где, по определению, у есть коэффициент поглощения света. Здесь
вместо координаты х можно ввести время распространения пакета /,
так как
п '
Поэтому можно также написать
dp ус
~ж г р-
Отметим, что здесь под v мы должны были бы подразумевать груп-
групповую скорость пакета фотонов. Однако мы приближенно заме-
заменили ее фазовой скоростью с/п по причине, которая будет указана
ниже. С другой стороны, по определению вероятности Р (Йсо)
мы имеем
i|?. = _P(fta,)p.
. Сравнивая оба соотношения, находим
i>(ftci>) = Y (»(¦>)•?-. C.3)
Для фактических расчетов удобно ввести безразмерную энер-
энергию фотонов
Тогда, подставляя в формулу C.2) р0 и Р по формулам C.1) и C.3)
и переходя к переменной и, получаем
00
(кту> Г п*у (и) v (и) и* da n .,
С п2у (и) v (и) и*
о
Эта формула позволяет по известным из эксперимента спектральным
зависимостям коэффициента поглощения у (со), квантового выхода
v (со) и значению показателя преломления п найти gT и,- следова-
следовательно, коэффициент излучательной рекомбинации а. Так как

300
СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
70
зависимости у (а) и v (со) обычно задаются в виде кривых, то такие
расчеты требуют численных методов.
В предыдущих рассуждениях мы считали показатель преломле-
преломления постоян-ным. При учете дисперсии п (ш), во-первых, измени-
^ лось бы выражение C.3) для
Р (Ны) и, во-вторых, вместо
формулы C.1) мы имели бы
более сложное выражение для
Ро (Йсо). Однако, как показы-
показывает расчет [3], входящие при
.#!_. / \^. #74-] этом дополнительные множи-
множители в окончательном резуль-
результате взаимно сокращаются и
мы опять получили бы ту же
10s V />Л I У 1О2Л ФОРМУЛУ C-4), где .теперь
только нужно было бы счи-
считать п = п (и), ^чет диспер-
дисперсии света вносит? малую по-
поправку, так как п изменяет-
изменяется с частотой очень мало по
сравнению с сильной зависи-
зависимостью коэффициента погло-
jo2\. \ щения.
Отметим еще, что в зна-
значения интеграла C.4) основ-
основной вклад вносят фотоны с
Рис. 9.3.ц К расчету коэффициента излу- энергией Йсо ~ Е„, так как
«н^циГфоГноГр" кРо~иГт "Р« «ньших энергиях коэф-
оптического поглощения у и произведем -фициент поглощения очень
ние p0Y для германия при 300 К [2]. мал, а при больших энергиях
фотонов экспонента в знаме-
знаменателе становится очень большой. Поэтому для вычисления gT
нужно знать оптические постоянные полупроводника только в не-
некотором спектральном интервале, в области края собственного
поглощения.
На рис. 9.3 приведен пример такого расчета для германия при Т — 300 К.
На нем, во-первых, показана спектральная зависимость концентрации равно-
равновесных фотонов р0, вычисленная по формуле' C.1). Так как в области края
собственного поглощения ехр и > 1, то эта зависимость близка к экспоненциаль-
экспоненциальной. Далее, приведены коэффициент поглощения у' (в см) и произведение
PoY- TaK как для германия в области края собственного поглощения
v-'. т0 это произведение пропорционально темпу равновесной генерации (и
равному ему темпу рекомбинации) для фотонов с энергией и, т. е. dgT/du. На по-
последней кривой ясно выражены два максимума. Первый из них (Нш ~ 0,65 эВ)
соответствует переходам электронов из основного минимума в зоне проводимо-
проводимости («непрямые», или «косые», переходы), а второй — переходам из центрального-
минимума («прямые», или «вертикальные», переходы, ср. § XVIII.5) Полный темп
генерации (рекомбинации) пропорционален площади под кривой роу
-
-
1
0,2
-
/
/
Д/
С
/
о,а
\
\
\
1 -
1,0
1
- тА-
i f
ги»,эЗ

$ 3] ВРЕМЯ ЖИЗНИ ПРИ ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ РЕКОМБИНАЦИИ 301
С учетом постоянных множителей, входящих в формулу C.4), это дает при 300 К
Отсюда для коэффициента излучательной рекомбинации получается
gT .2,8-1013
5,6-
-=0,50- 10-13 CMsc-i.
Так как средняя тепловая скорость электронов при 300 К имеет порядок
10' см/с, то эффективное сечение рекомбинации оказывается порядка 10""л см2.
Максимальное время жизни пар (в собственном материале) по формуле B.9)
равно
%t = —l— = 0,43 с.
Таблица 9.1
Время жизни электронно-дырочных пар при излучательной
рекомбинации C00 К)
Полу-
Полупроводник
Si
Ge
inSb
Ширина
запрещенной
зоны Е , эВ
1,1
0,65
0,17
Собственная
концентрация -
п;, см~3
1,4-1010
2,4 ¦ 1013
1,7-1016
Эффективное
сечение реком-
рекомбинации S, см2
~ 10"®
~io-a
Время жизни
т«
~3 ч
0,43 с
0,6- 10-е с
В таблице 9.1 сопоставлены излучательные времена жизни
для трех важных полупроводниковых материалов: Ge, Si (много-
(многодолинные полупроводники) и InSb (однодолинный полупроводник).
Из таблицы видно, что с уменьшением ширины запрещенной зоны
(увеличением tit) т,- катастрофически уменьшается, а, следова-
следовательно, темп излучательной рекомбинации в такой же мере уве-
увеличивается.
Излучательная рекомбинация зона — зона есть процесс, не уст-
устранимый никакими способами, и поэтому она принципиально огра-
ограничивает время жизни.
Остановимся еще на смысле времени жизни пар при излуча-
излучательной рекомбинации. Согласно формуле B.8) при данной кон-
концентрации неравновесных пар Ъп время жизни т определяет темп
рекомбинации R. В частности, при малом нарушении равновесия
(би / («0 + р0) <J 1) х не зависит от бп. В этом случае при выклю-
выключении внешней генерации б/г должно уменьшаться по экспонен-
экспоненциальному закону, а т будет определять то время, в течение кото-
которого бп уменьшается в е раз. В действительности, однако, фотоны,
излучаемые при рекомбинации, могут вновь поглощаться в полу-
полупроводнике, вызывая дополнительную генерацию пар, причем

302
СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
указанный процесс может повторяться многократно. В этом случае
кинетика рекомбинации будет другой и более сложной. Следова-
Следовательно, определенное нами выше излучательное время жизни
имеет указанный простой смысл только при отсутствии вторичного
образования napix А для этого излучаемые фотоны должны доста-
достаточно быстро исчезать без образования пар (например, вследствие
поглощения на свободных носителях, см. § XVIII. 2) или размеры
образца должны быть достаточно малы, чтобы фотоны могли сво-
свободно выходить наружу.
Пока полупроводник находится в состоянии термодинамиче-
термодинамического равновесия, рекомбинационное излучение, конечно, наблю-
наблюдать нельзя, так как наряду с излучением фотонов при рекомби-
рекомбинации происходит и их поглощение, и притом с таким же самым
Спектрометр
саета Сдразец Фотосолротивление
Рис. 9.4. Наблюдение рекомбинационного излучения при
оптическом возбуждении.
темпом. Поэтому распределение фотонов по энергии остается рав-
равновесным. Однако если в полупроводнике каким-либо способом
создать избыточные носители заряда, то темп рекомбинации будет
превышать темп генерации на величину R = а (пр — порп) и
столько же фотонов будет излучаться из каждой единицы объема
в единицу времени.
На рис. 9.4 показана схема типичного опыта для наблюдения
рекомбинационного излучения из германия при оптической гене-
генерации неравновесных носителей. Свет от внешнего источника
(например, от лампы накаливания) проходит сначала через водя-
водяной фильтр и затем фокусируется на пластинке германия. Излу-
Излучение, выходящее из германия, регистрируется спектрометром.
Так как вода практически совершенно непрозрачна для длин
волн Х> 1,4 мкм, а германий, наоборот, совершенно непрозрачен
для излучения с \<1,7 мкм, то комбинация вода—германий
нацело задерживает возбуждающий свет внешнего источника.
Поэтому в спектрометр попадает только рекомбинационное излу-
излучение, возникающее в исследуемой пластинке германия. Чтобы это
излучение не было поглощено в самой пластинке, толщина пла-
пластинки должна быть мала A0~2 -f- 10~3 см). На рис. 9.5 *) приве-
*) По данным работы J. R. Haunes, Phys. Rev. 98, 1867 A955).

4]
РЕКОМБИНАЦИЯ ЧЕРЕЗ ПРИМЕСИ И ДЕФЕКТЫ
303
дено спектральное распределение рекомбинационного излучения
из германия, на котором отчетливо видны два максимума. Один
из них (к ~ 1,75 мкм) обусловлен излучательными переходами
электронов (с1 участием фо-
\
k у
Г
I'
У
j
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
У
\
1
\
Г
\
\
\
13 Ц 1,5 1,6 1,7 1,8 J}9 2,0 2,Т
нонов) из основного мини-
минимума в валентную зону.
Другой максимум (X ~
= 1,52 мкм) соответствует
переходам центральный ми-
минимум — валентная зона
(без участия фононов).
Каждый из этих максиму-
максимумов размыт вследствие то-
того, что рекомбинирующие
электроны в зоне прово-
проводимости, так же как и дыр-
дырки в валентной зоне, имеют
не одну определенную энер-
энергию, а характеризуются
определенным распределе-
распределением энергии вследствие
их теплового движения.
Рекомбинационное из-
излучение возникает также в
диодах с р—п-переходами,
где неравновесные элект-
электроны и дырки создаются
с помощью инжекции. Это явление используют в полупроводни-
полупроводниковых источниках света (светодиодах). Выбирая полупроводнико-
полупроводниковые материалы с различной шириной запрещенной зоны, оказыва-
оказывается возможным создавать источники света разного цвета.
§ 4. Рекомбинация через примеси и дефекты
Темп излучательной рекомбинации зона — зона велик в узко-
узкозонных полупроводниках. Она может быть преобладающей и в широ-
широкозонных полупроводниках с прямыми переходами (GaAs, CdS
и др.). Однако очень часто в полупроводниках с широкой запре-
запрещенной зоной основную роль играют процессы рекомбинации
с участием примесей и структурных дефектов. На это указывают
многочисленные экспериментальные факты. Так, например, в § 3
мы видели, что если бы в кремнии излучательная рекомбинация
была основным процессом, то время жизни пар должно было бы
быть около 3 часов. Однако максимальные наблюдаемые времена
жизни в кремнии при комнатных температурах не превышают
нескольких миллисекунд. Опыт также показывает, что время
Рис. 9.5. Спектральное распределение ре-
рекомбинационного излучения из германия.
Сплошная кривая — выходящее излучение.
Пунктир — исправленное с учетом поглоще-
поглощения внутри образца.

-4 ec -4 —
-1 + Et X. —
304 СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
жизни чрезвычайно чувствительно даже к ничтожному содержанию
некоторых примесей. Если, например, в чистейшие кристаллы гер-
германия n-типа с т ~ 10 с ввести никель или золото (создающие
глубокие локальные уровни энергии) с концентрацией — 1015 см"
(т.е. всего 10~5 атомных %!), то время жизни электронов падает
до 10~8 -г- 104 с, т. е. уменьшается на шесть порядков.
Процесс рекомбинации с участием локальных уровней (лову-
(ловушек) является двухступенчатым и состоит из захвата электрона
из зоны проводимости на пустой центр рекомбинации (ловушку)
и захвата дырки из валент-
валентной зоны на заполненный
центр рекомбинации. При
этом сами центры реком-
рекомбинации не., изменяются и
__ „„„ играют роль своеобразно-
77/7//77777^7777> СЦ 7777/77777777777, *и rQ каталИЗаТОра ПрОЦеССЭ
рекомбинации.
¦ Ес Ес Будем рассматривать
сначала простые центры ре-
рекомбинации, которые могут
захватывать или, соответ-
7,Еи v/\///////77/7/; Еи ственно, отдавать один-
единственный электрон, а
следовательно, находиться
Рис. 9.6. Четыре типа элементарных процес- только в двух различных
сов при рекомбинации электронов и дырок J r ,-.
через локальные Уровни. зарядных состояниях. Отз-
лекаясь от возбужденных
состояний, такой центр можно охарактеризовать единственным
локальным уровнем энергии для электронов Et в запрещенной
-зоне (рис. 9.6). Если Nt есть полная концентрация ловушек (и. рав-
равная ей концентрация локальных уровней), то в состоянии равнове-
равновесия концентрация заполненных ловушек есть N/f0, а концентрация
пустых равна Nf(l—/0), где /0 — функция Ферми. При нару-
нарушении равновесия концентрации заполненных и пустых ловушек
изменяются и становятся Ntf и Nt A — /). Неравновесная вероят-
вероятность заполнения ловушки / уже не выражается функцией Ферми
и должна быть определена дополнительно (см. ниже).
В такой модели результирующая кинетика изменения концен-
концентрации электронов и дырок определяется четырьмя процессами:
захватом электронов на ловушки (рис. 9.6, переходы 1), тепловой
эмиссией электронов с ловушек в зону проводимости (переходы 2),
захватом дырок на ловушки (переходы 3) и эмиссией дырок с лову-
ловушек в валентную зону (переходы 4). Найдем темпы каждого из этих
переходов.
Рассмотрим группу электронов в зоне проводимости, энергия
которых заключена в интервале (Е, Е -f- dE). Число переходов
///////.
т
V//V//A
////////// '-и
2
с
— Ъ

§ 4] РЕКОМБИНАЦИЯ ЧЕРЕЗ ПРИМЕСИ И ДЕФЕКТЫ 305
(Е, Е + dE) -+ Ef в единице объема и в единицу времени пропор-
пропорционально, во-первых, концентрации рассматриваемых электро-
электронов Мс (Е) dE ¦ f (E) и, во-вторых, концентрации пустых ловушек
AMI — f (Et)]. Поэтому темп захвата электронов из зоны прово-
проводимости на ловушки есть
оо
rn = Nt[\-f (Et)] $ сп (Е) Nc (E) f (E) dE. D.1)
Ес
Здесь коэффициент сп (Е) пропорционален отнесенной к единице
времени вероятности элементарного акта перехода электрона
с уровня Е на уровень Et. Выражение D.1) гораздо удобнее пере-
переписать в виде
rn = anNt[l -f(Et)]n, D.2)
где п — полная концентрация электронов в зоне, а ап есть, по опре-
определению, коэффициент захвата электронов на ловушки. Сравни-
Сравнивая оба выражения для г„ и. учитывая еще, что
n = ]Nc(E)f(E)dE,
Ес
мы видим, что
со
$ сп (?) Nc (E) f (E) dE
Ё" . D.3)
I
Nc (?) / (?) dE
Или, иначе,
«„ = <<¦„>, D.3а)
где символ (...) обозначает усреднение по всем состояниям в зоне.
проводимости.
Так же, как и в § 2, вместо коэффициента захвата ап мы могли
бы ввести понятие об эффективном сечении захвата электронов
на ловушки Sn. Оно, по определению, связано с ап соотношением
а« = $«аг. D.4)
Обратимся теперь к процессам 2 (рис. 9.6) — тепловой эмис-
эмиссии электронов с ловушек в зону. Очевидно, что темп таких пере-
переходов gnT пропорционален концентрации ловушек, заполненных
электронами, Ntf (Et). Поэтому можно положить
gnT = Wtf(Et), D-5)
где рп есть некоторый коэффициент, зависящий от природы лову-
ловушек и температуры.

306 СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
Коэффициент реэмиссии E„ просто связан с коэффициентом
захвата а„. Эту связь можно найти с помощью принципа детального
равновесия. Действительно, в состоянии термодинамического рав-
равновесия должно быть rn = gnT. Это дает
anNt A /0) /г0 = f>nNtf9, D.6)
где /„ — равновесная вероятность заполнения ловушек электро-
электронами. Последнюю для наших целей удобно выразить не обычной
функцией Ферми, а по формуле (V.9.4) записать в виде
/о =
Здесь пх зависит от энергии ионизации ловушки Ес — Et и тем-
температуры и выражается формулой (V.9.5). После этого соотноше-
соотношение D.6) дает
Wo
/о
— ап f п0 —
Следовательно, коэффициент реэмиссии вполне определяется через
коэффициент захвата, глубину залегания энергетического уровня
ловушек и, естественно, зависит еще от температуры. Подстав-
Подставляя найденное выражение для $п в формулу D.5), получаем
Суммарный темп захвата электронов на ловушки равен
Rn = rn-gnT = anNt[n(l-f)-n1f]. D.7)
Рассуждения для дырок совершенно аналогичны. Отличие
заключается в том, что темп захвата дырок из валентной зоны про-
пропорционален концентрации ловушек, заполненных электронами
(т. е. свободных от дырок), N/f. Поэтому вместо выражения D.2)
мы будем иметь
где ар — коэффициент захвата для дырок. Соответственно темп
тепловой реэмиссии дырок с ловушек будет
Приравнивая опять гр и gpT в случае равновесия, мы получим
связь между Рр и ар в виде
где рх выражается формулой (V.9.13). Поэтому для суммарного
темпа захвата дырок из валентной зоны на ловушки получаем
apNt [pf-Pl(\- /)]. D.7а)

§ 5] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 307
Именно эти величины, Rn и Rp, мы должны подставлять в урав-
уравнения непрерывности (VI 1.3.3) для учета рекомбинации. Если
изменения концентраций вследствие движения частиц малы, то эти
уравнения принимают вид
t-=gn-Rn = gn-*nNt[n(l-f)-n1f], D.8)
4f = Sp-RP = gp-<VW[pf -Pl A -/)]. D.9)
Здесь gn и gp — темпы внешней генерации электронов и, соответ-
соответственно, дырок.
Так как при рекомбинации через ловушки каждый исчезающий
свободный электрон оседает на ловушку (то же относится и к дыр-
дыркам), то изменение концентрации заполненных ловушек ////опре-
////определяется уравнением
Nt§ = Rn-Rp+(gp-gn). D.Ю)
Кроме того, мы имеем еще уравнение квазинейтральности
(ср. § VII.3)
p-Po = n-no + Nt(f-fo). D.11)
Уравнения D.8) — D.11) вполне определяют кинетику измене-
изменения концентрации неравновесных электронов и дырок вследствие
рекомбинации.
Отметим, что одно из четырех указанных уравнений может
быть получено как следствие из других. Так, например, диффе-
дифференцируя уравнение квазинейтральности D.11), мы имеем
dp _ dn , .r df
~Ж~ЧГ~т~™{ at '
Подставляя сюда для каждого из слагаемых их выражения D.8) -—
D.10), мы получаем тождество. Остающиеся же три независимых
уравнения определяют три искомые величины п (/), p (t) и / (t).
Так как уравнения D.8) и D.9) нелинейны, то в общем слу-
случае закон изменения концентраций пир не выражается экспонен-
той. Однако в специальных случаях существуют постоянные харак-
характерные времена процесса. Ниже приведены некоторые примеры.
§ 5. Нестационарные процессы
а. Монополярное возбуждение. Положим, что в полупроводнике генериру-
генерируются неравновесные носители только одного знака, скажем только электроны
(это имеет место, например, при примесном возбуждении фотопроводимости).
Тогда мы имеем только одно дифференциальное уравнение D.8). Полагая в нем

308 СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
и учитывая, что
находим
~jt- = Sn — a
Исключая отсюда б/ с помощью уравнения квазинейтральности
получаем
Здесь через №t = Nt (I — /0) обозначена равновесная концентрация пустых
ловушек. Отсюда видно, что мгновенное время жизни электронов (ср. § VI 1.2)
равно
(N+ + + 6) '
Оно само зависит от бп и изменяется в процессе релаксации концентрации элек-
электронов. Однако если неравновесная концентрация электронов не слишком ве-
велика, так что
то бя изменяется по экспоненциальному закону, рассмотренному нами в § VII.2,
а время жизни оказывается постоянным.
В случае генерации дырок мы получили бы аналогичное выражение:
<5-2)
б. Биполярное возбуждение. Рассмотрим теперь более сложный случай,
когда генерируются и электроны и дырки. При этом будем считать, что ga =gp =
= g (как, например, при возбуждении светом в собственной полосе поглощения).
Выделяя по-прежнему в величинах п, р и / их равновесные части п0, р0 и /0 и
неравновесные приращения бя, бр и б/, мы найдем для темпа рекомбинации элек-
электронов
Rn = anNt [n(\-f)-n1n=anNt[(l-foNn-(no + n1 + 6nNf]. E.3)
Исключая отсюда б/ с помощью уравнения квазинейтральности
6p = 6n + W/6/, E.4)
получаем
Rn = a6n + b8p, E.5)
где
(№+ + \b), Ъ = — ап
При биполярном возбуждении темп рекомбинации электронов определяется
не только избыточной концентрацией электронов бп, но еще и концентрацией из-
избыточных дырок бр. Это происходит по той причине, что неравновесные дырки,
так же как и электроны, изменяют степень заполнения ловушек, а эта послед-
последняя влияет на темп рекомбинации.

S 5] НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 309
Рассуждая совершенно аналогично, мы получили бы для темпа рекомбина-
ции дырок выражение
Rp = apNt[pf~p1(\-f)]=c8p + d8n, E.6)
где
Здесь Nj = Nff0 есть равновесная концентрация заполненных ловушек.
Таким образом, для определения неравновесных концентраций бп (t) и
бр (/") мы получаем систему двух связанных дифференциальных уравнений пер-
первого порядка:
? ^ dbn. E.7)
Так как а, Ь, с и d зависят от бп и бр, то эта система нелинейна.
Уравнения кинетики становятся линейными, если выполняются условия
Отметим, что одно из этих условий относится к основным носителям и соблюда-
соблюдается довольно часто. Однако условию для неосновных носителей удовлетворить
гораздо труднее, и поэтому при биполярном возбуждении кинетика рекомбина-
рекомбинации оказывается, как правило, неэкспоненциальной.
Если неравенства E.8) выполняются, то, исключая из системы E.7) концен-
концентрацию бр, мы получаеи для бп уравнение
E.9)
Для концентрации избыточных дырок получается аналогичное уравнение:
q?eL + (a + c)*№l + (ac-bdNp + g(d-a)=0. E.10)
Пользуясь стандартным методом решения дифференциальных уравнений 2-го
порядка с постоянными коэффициентами, мы находим, что концентрации нерав-
неравновесных носителей изменяются по закону
p,e-t/Tl. E.11)
Здесь
с — b . а — d
п ас — bd ' Р ас — bd '
а постоянные В и С определяются из начальных условий. Величины т1 и т2 дают
времена релаксации избыточной концентрации и являются корнями характери-
характеристического уравнения
Следовательно,
1 1 _ / i
2 — (ас—bd). E.12)
Легко убедиться, что эти корни всегда вещественны и положительны.
Таким образом, при биполярном возбуждении, даже при выполнении нера-
неравенств E.8) (линеаризованная задача), изменение неравновесных концентраций
электронов и дырок описывается двумя экспонентами и существуют два различ-

310 СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
ных времени релаксации Tj и т2. Эти времена одинаковы для электронов и дырок.
Из формулы E.12) также видно, что времена релаксации неравновесных кон-
концентраций довольно сложным образом зависят от параметров ловушек — их
коэффициентов захвата ап и ар и энергетических уровней (входящих в величины
«1 И Pi).
Соотношения, однако, упрощаются при некоторых специальных условиях.
Так, например, если концентрация ловушек достаточно велика и температура
кристалла низка, так что выполняются условия
Nt>no+n1, iV7>po + p1. E-13)
то мы имеем а > | Ь |, с > | d | и, следовательно, bd < ас. Тогда получается
= т(а + с) ±-у (а-с),
т. е.
-±- = a^anNi, — = c=*-apJVr. E.14)
В этом случае время тх определяется только темпом' захвата электронов, а время
т2 — только темпом захвата дырок.
§ 6. Стационарные состояния
Остановимся теперь подробнее на стационарных (но неравно-
неравновесных) состояниях, которые устанавливаются в полупроводнике
через достаточное время после включения внешней постоянной
генерации носителей заряда. В этом случае все производные по вре-
времени в уравнениях кинетики рекомбинации равны нулю и вычис-
вычисление установившихся концентраций (8n)s и Fp)s сильно упро-
упрощается. Эти концентрации всегда можно выразить соотношениями
(VII.2.6), и поэтому задача сводится к нахождению времени жизни
т„ и %р в стационарном состоянии. Отметим, что эти времена могут
и не совпадать с временами релаксации тх и -у2 неравновесных кон-
концентраций в нестационарных процессах.
Для монополярного возбуждения результат получается непо-
непосредственно и искомые времена жизни выражаются формулами E.1)
или, соответственно, E.2). Поэтому мы рассмотрим только бипо-
биполярное возбуждение. Темпы генерации электронов и дырок будем
считать одинаковыми.
Так как в стационарном состоянии концентрации заполненных
и пустых ловушек не изменяются, то
Rn = RP = R. F.1)
Это условие определяет неравновесную степень заполнения лову-
ловушек электронами /. Подставляя эту величину в формулу D.7)
или D.7а), можно найти общий темп захвата электронов и дырок R
и, пользуясь еще условием квазинейтральности, выразить его как
функцию либо только концентрации неравновесных электронов
R Fп), либо только концентрации неравновесных дырок R (бр).

§6] СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 311
Тогда искомые времена жизни определяются непосредственно как
т — Ьп т — 8р (Р. О\
п~ R Fя) ' р~ R <*п\ • ^>^>
Рассмотрим некоторые важные примеры.
Положим, что уровень возбуждения неограниченно увеличи-
увеличивается. Тогда в выражениях D.7) и D.7а> для Rn и Rp можно пре-
пренебречь реэмиссией в зоны (которая ограничена, так как f ===: 1) по
сравнению с захватом; кроме этого п~р и условие F.1) дает
Отсюда
При а„ ^- ар практически все ловушки становятся заполненными
электронами, независимо от первоначального равновесного их
заполнения, а при ап <^ ар все ловушки опустошаются. Общий
темп захвата электронов и дырок оказывается равным
а время жизни при очень высоком уровне возбуждения
п
R ~ Nt
_ _
Для дальнейшего удобно ввести некоторые характеристические
времена:
смысл которых будет выяснен ниже. Тогда результат F.3) можно
представить в виде
. F.3a)
Время жизни при высоком уровне возбуждения одинаково
для электронов и дырок и не зависит от концентрации неравновес-
неравновесных носителей заряда. Оно определяется наибольшим из вре-
времен хт, тр0, т. е. наименьшим коэффициентом захвата (наиболее
«узким» каналом рекомбинации).
Рассмотренный случай часто реализуется в высокоомных фото-
фотопроводниках (фотосопротивлениях) с глубокими, уровнями энергии
ловушек. Так как в них темновые концентрации п0 и. р0 очень
малы (а также малы концентрации nt и рх), то уже при умеренных
интенсивностях света уровень возбуждения бывает высоким.

312 СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
В общем случае условие F.1) дает
«я[« A -/)-nj] = ap{pf-p1(l-/)].
Отсюда получается
апП + ЧрР! а„П1 + арр
'" ап(п + /г1) + ар(р + р1) * '~ an(n + /ii) + ap(P + Pi) ' * ' '
Подставляя эти выражения в формулу D.7) или D.7а), находим
Рассмотрим теперь случай малой концентрации ловушек, когда
можно считать избыточные концентрации Ьп = Ьр. Тогда, пола-
полагая п = п0 + Ьп, р = р0 + 8п, находим
п = Ио + Ро + бп *
ТяО (Ро + Pi + 6rt) + Тр0 (По + «1 + б/О
и, соответственно,
Тро (По +  +
При малой концентрации ловушек времена жизни электронов
и дырок оказываются тоже одинаковыми. Однако теперь это общее
время жизни зависит от уровня возбуждения. Если уровень воз-
возбуждения достаточно мал, так что Ьп <; (п0 + пг), (р0 + рй),
то т опять перестает зависеть от Ьп и становится равным
Хро («О + «l) + 1„о (Ро + Pi) „
F8)
Это выражение называют формулой Шокли — Рида — Холла.
Полученные результаты могут быть легко обобщены на случай произволь-
произвольной концентрации ловушек. Тогда во всех предыдущих рассуждениях мы должны
были бы выразить бр через бп с помощью уравнения квазинейтральности (при вы-
вычислении тл) или, соответственно, выразить бп через бр (для нахождения тр).
При этом мы получили бы более сложные формулы, которые для малого уровня
возбуждения имеют вид
„о (Ро + Pi) + т„< ( ^)
Pi У F9)
i («о + "i) + тя0 (Ро + Pi) + ^poNt
т .-_ Р«
1п —
При произвольной концентрации ловушек времена жизни электронов и дырок,
даже при малом уровне возбуждения, оказываются различными.

$6]
СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ
313
Из сказанного видно, что влияние ловушек (примесей и дефек-
дефектов структуры) на темп рекомбинации определяется их концентра-
концентрацией, коэффициентами захвата ап и ар (входящими в т„0 и тр0)
и энергетическим уровнем ловушек Et (через величины пг и pj).
При прочих равных условиях это влияние тем меньше, чем мельче
энергетический уровень ловушки (относительно одной из зон).
Это непосредственно видно, например, из формулы F.7): при умень-
уменьшении (Ес — Е,) или (Et — Ev) сильно возрастает щ или, соот-
соответственно, ри что и приводит к увеличению т. Физически это
обозначает, что большинство носителей заряда, захваченных из
ближайшей зоны, сразу же вы-
выбрасываются обратно в зону.
Такие примеси являются хоро-
хорошими поставщиками равновес-
равновесных электронов или дырок и
сильно изменяют электропровод-
электропроводность (легирующие примеси). v
Напротив, примеси с глубокими ло
уровнями энергии слабо влияют
По
Рис. 9.7. Время жизни неравновесных
электронов и дырок при бесконечно
малом (т0) и бесконечно большом (т^)
уровнях возбуждения.
на равновесную электропровод-
электропроводность, но могут очень сильно
изменять времена жизни (ре-
комбинационные примеси).
Однако при заданной концен-
концентрации ловушек определенного
типа время жизни может быть
еще очень разным, так как оно
зависит также от уровня возбуждения, температуры (входящей
в пх и рг; кроме того, ап и ар тоже могут зависеть от температуры)
и равновесных концентрации п0 и р0 (равновесной электропро-
электропроводности кристалла).
Характер зависимости т0 от равновесной концентрации элек-
электронов показан на рис. 9.7. Так как п0 и р0 в невырожденных по-
полупроводниках связаны между собой соотношением nopo = rij, то,
как нетрудно убедиться по формуле F.8), т0 достигает резкого мак-
максимума при n0 = tii, т. е. в материале с собственной проводимо-
проводимостью. При увеличении концентрации мелких доноров мы имеем
по > р0. Если уровень ловушек лежит в верхней половине запре-
запрещенной зоны (rtj ^> pj), то формула F.8) дает
т0 ~ Тр0 ( 1 +—-V F.10)
\ "О /
Если уровень расположен в нижней половине зоны, мы имеем
то-т„о + тяо ?-. F.10а)

314 СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
В обоих случаях при увеличении степени легирования т0 умень-
уменьшается и стремится к значению %ро. Аналогично, в полупроводнике
р-типа т0 уменьшается при увеличении концентрации мелких
акцепторов и стремится к тя0. Таким образом, введенные нами "ранее
времена тр0 и тп0 суть предельные времена жизни в сильно легиро-
легированных материалах, п- и, соответственно, р-типов.
Чтобы выяснить зависимость т от уровня инжекции Ьп1 (п0 + р0),
перепишем формулу F.7) в виде
F.7а)
Отсюда видно, что с возрастанием уровня инжекции т увеличивается,
если too > т0, и уменьшается при too < т0. Так как т0 зависит
от п0 и р0, а также от температуры, то при изменении температуры
и равновесной электропроводности могут наблюдаться оба эти
случая. Сказанное иллюстрирует, рис. 9.7, где, помимо зависи-
зависимости т0 (п0), показана еще горизонталь too = тр0 + "W Обе линии
пересекаются в двух точках, одна из которых определяет некото-
некоторую равновесную концентрацию электронов п'о в материале п-типа
(основные носители), и концентрацию электронов п в мате-
материале р-типа {неосновные носители; соответствующая концентрация
основных носителей есть pj = n'Vnl). При этих концентрациях
t0 = to, и т вообще не зависит от уровня инжекции. Если факти-
фактическая концентрация п0 > п'а (в материале n-типа) или, соответ-
соответственно, р0 > ро (р-тип), то т будет увеличиваться при возрастании
уровня инжекции. При п0 < п'о или р0 < pi время т будет умень-
уменьшаться.
§ 7. Многозарядные ловушки
В случае многозарядных примесных атомов (или дефектов)
(ср. § II.9), создающих несколько энергетических уровней, резуль-
результирующий темп рекомбинации будет равен сумме темпов рекомби-
рекомбинации через каждый из этих уровней. Если известны положения
всех уровней и известны коэффициенты захвата электронов и, соот-
соответственно, дырок для каждого из уровней, то, рассуждая, как
и выше, можно определить неравновесные степени заполнения
каждого уровня и найти результирующий темп рекомбинации
(а следовательно, и времена жизни электронов и дырок). Более
детально путь такого расчета приведен в Приложении V.
Существенной особенностью рекомбинации через многозаряд-
многозарядные ловушки является то, что при изменении температуры или
равновесной концентрации электронов может происходить измене-
изменение зарядового состояния ловушек, что равносильно изменению

§ 7] МНОГОЗАРЯДНЫЕ ЛОВУШКИ 315
природы центров рекомбинации. Поясним это на конкретном при-
примере атомов никеля в германии. Они создают два акцепторных
уровня Ег и Е% (рис, 9.8) и могут, следовательно, находиться в трех
зарядовых состояниях: Ni°, Ni" и Nia". Положим, что в равновесии
уровень Ферми (Fx на рис. 9.8) расположен ниже уровня Ех
на несколько kT. Тогда (ср. § V.11) подавляющее большинство
центров будет находиться в виде Ni°. Это будет справедливо и при
нарушении равновесия, если нарушение достаточно мало (напри-
(например, при слабом освещении кристалла). Поэтому электроны будут
захватываться только центрами Ni° (что соответствует пустому
уровню Eij, а дырки — только центрами Ni~ (возникающими после
захвата электрона на Ni°), т. е. на заполненный уровень Е1У а сле-
следовательно, в рекомбинации будет участвовать только один энер-
энергетический уровень Ех. Если
при этом концентрация центров . ^
мала (бр ~ бп), то при увеличении
равновесной концентрации основ- z~Z. ~ ~?-Е-Л30 В
ных носителей — дырок время г_ ° ' 3
жизни электронно-дырочных пар с ?fEu+0,223ff
будет стремиться к тп0 = (cc/JA^), ' Р
где а»—коэффициент захвата •""<««'««'"/'////<«//. tv
электронов нейтральными атомами
никеля ^ис" ^ **• Энергетические уровни
~. ' л никеля в германии.
Однако если мы будем сме- v
щать уровень Ферми вверх (напри-
(например, увеличивая концентрацию мелких доноров или повышая тем-
температуру), то после пересечения последним уровня Ех начнут
появляться ионы Ni2", которые тоже будут участвовать в рекомби-
рекомбинации. Когда уровень Ферми окажется выше ?2 (^2 на Рис- 9.8),
практически все центры будут в состоянии Ni2". Поэтому дырки
будут захватываться только этими центрами (т. е. на заполненный
уровень ?2). а электроны — центрами Ni" (на пустой уровень ?2).
И в этом случае рекомбинация будет происходить через один энер-
энергетический уровень, однако теперь уже через уровень Е2. При
увеличении концентрации равновесных электронов время жизни
будет стремиться к хр0 = (о^ Л^)'1, где а-р~ — коэффициент захвата
дырок дважды отрицательными ионами никеля.
Если нарушение равновесия не мало, то концентрации центров
в различных зарядовых, состояниях могут сильно отличаться
от равновесных (перезарядка уровней). Это может быть и при
малых нарушениях равновесия, если величины коэффициентов
захвата дырок и электронов сильно отличаются друг от друга.
При увеличении уровня возбуждения неравновесные концентра-
концентрации центров перестают зависеть от бр и бп и достигают предельных
значений, зависящих от соотношения между коэффициентами захвата
для разных уровней и глубины залегания уровней.

3F СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
Исследуя на опыте, как зависят времена жизни т„ и тр от кон-
концентраций электронов и дырок и от температуры, и зная из неза-
независимых измерений концентрацию ловушек (рекомбинационной
примеси) и их энергетические уровни, можно определить коэффи-
коэффициенты, захвата ап и ар для данных центров (и в данном полупро-
воднике)_ и сечения захвата Sn и Sp. Такие измерения показы-
показывают, что Sn и Sp могут изменяться в чрезвычайно широких пределах,
от ~ 10~12 см2 до — 10~22 см2. Исследуя зависимость сечений за-
захвата от условий опыта — концентрации носителей заряда, темпера-
температуры, внешнего электрического поля, — а также анализируя излуче-
излучение,^ возникающее при рекомбинации, можно выяснить, какие
¦именно элементарные процессы играют главную роль в явлениях
¦захвата и рекомбинации. К этому вопросу мы вернемся в гл. XVII.
Укажем в заключение на практическую важность рассматривае-
рассматриваемых вопросов. Как отмечалось выше, значения сечений захвата
для разных примесей можно определить экспериментально. Эти
сечения совместно с энергетическими уровнями примеси являются
важнейшими характеристиками рассматриваемой примеси в дан-
данном полупроводнике и вполне определяют ее влияние на равновес-
равновесные свойства полупроводника и кинетику электронных процессов.
Зная эти характеристики, можно затем рассчитать необходимый
состав и количество примесей для получения заданных свойств
полупроводника — равновесных концентраций электронов и ды-
дырок (по формулам гл. V) и нужных времен их жизни (по формулам
настоящей главы), необходимых для изготовления тех или иных
полупроводниковых приборов.

Глава X
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
§ 1. Происхождение поверхностных состояний
Одна из важных особенностей полупроводников заключается
в том, что их электрические и оптические свойства могут сущест-
существенно зависеть от состояния поверхности и изменяться при раз-
различной ее обработке (шлифовке, травлении, изменении окружаю-
окружающей среды). Общая причина этих явлений состоит в том, что в огра-
ограниченном кристалле возникают не только квантовые состояния
электронов, движущихся в объеме кристалла, но еще и дополни-
дополнительные состояния, в которых электроны локализованы на самой
поверхности кристалла. Соответственно, помимо объемных уровней
энергии, образующих энергетические зоны безграничного кри-
кристалла, появляются локальные уровни энергии, расположенные
у самой поверхности.
Наличие локальных поверхностных уровней энергии приводит
к тому, что электроны и дырки могут «прилипать» к поверхности,
образуя поверхностный электрический заряд. При этом под поверх-
поверхностью появляется равный по величине и противоположный по знаку
индуцированный заряд в объеме, т. е. появляются обогащенные
или обедненные приповерхностные -слои. Возникновением таких
слоев и объясняется влияние поверхности на равновесные свойства
полупроводников (электропроводность, работу выхода, контактную
разность потенциалов и др.).
Поверхностные уровни энергии могут существенно изменять
и кинетику электронных процессов, так как они создают дополни-
дополнительные центры рекомбинации и генерации носителей заряда. По-
Поэтому все явления, связанные с неравновесными электронами и дыр-
дырками (фотопроводимость, фотоэдс, процессы в инжекционных полу-
полупроводниковых приборах и др.), тоже зависят от состояния поверх-
поверхности.
Одна из причин возникновения поверхностных состояний заклю-
заключается в обрыве периодического потенциала кристалла на поверх-
поверхности. И. Е. Тамм впервые показал в 1932 г., что именно это обстоя-
обстоятельство допускает дополнительные решения уравнения Шредин-
гера для электрона в кристалле (по сравнению с безграничным
кристаллом), которые быстро затухают при удалении от поверх-
поверхности.

318
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. X
Причину возникновения поверхностных состояний можно пояс-
пояснить на следующем примере. Рассмотрим одномерный кристалл
и будем учитывать взаимодействие только между соседними атомами.
Как мы видели (гл. III), при этом принципиальные особенности
энергетического спектра сохраняются. Тогда для безграничного
а)
в)
Рис. 10.1. Грубая схема для пояснения возникновения поверхностных уровней
энергии.
ц
0 7 2 3
кристалла мы получаем обычную систему объемных энергетиче-
энергетических зон (рис. 10.1, а). Положим теперь, что мы удалили один из ато-
атомов. Такой структурный дефект, так же как и атом примеси, может
создать локальный уровень (или уровни) энергии Ett лежащий
в запрещенной зоне (рис. 10.1, б). С другой стороны, в прибли-
приближении близкого взаимодействия лри удалении атома бесконечный
кристалл распадается на два не-
невзаимодействующих кристалла,
имеющих ограничивающую «по-
верхность». Тогда для-кристалла,
имеющего границу, мы приходим к
энергетической схеме рис. 10.1,6,
в которой, кроме объемных зон,
имеется еще поверхностный уро-
уровень Es. Если уровень попадает
Рис. 10.2. Потенциальная энергия В разрешенную зону (E's), то ОН не
отвечает локальному состоянию.
В более точных рассуждениях
следует исходить из вида потен-
потенциальной энергии электрона в ограниченном кристалле. Она схе-
схематически показана на рис. 10.2. В отличие от безграничного кри-
кристалла, функция 1/г (х) теперь уже не является периодической.
Ее можно представить в виде суммы периодической функции U (х),
характерной для безграничного кристалла, и добавки W (х), опи-
описывающей влияние поверхности. Пользуясь по-прежнему методом
сильно связанных электронов (гл. III), можно, однако, и в этом
электрона в одномерной ограни-
ограниченной решетке.

§ 1] ПРОИСХОЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ СОСТОЯНИЙ 319
случае искать решение уравнения Шредингера в виде
'где ipg = ц> (х — ag)— волновая функция электрона в изолиро-
изолированном атоме номер «g», а коэффициенты cg должны быть подобраны
так, чтобы функция -ф удовлетворяла уравнению Шредингера.
Теперь, однако, числа g принимают только положительные зна-
значения. Подобно тому, что делалось в §111.5, коэффициенты cg можно
искать в виде
cgz=AeAg + Be-il8, A.2)
где Л и Б — некоторые постоянные.
Если оба коэффициента А и В Ф 0, то, чтобы о|з (х) оставалась
везде конечной, X должно быть вещественным. Тогда -ф (х) есть осцил-
осциллирующая функция, что, как мы знаем, соответствует состояниям
коллективизированных электронов. Оказывается, однако, что в зави-
зависимости от характера взаимодействия электрона с атомами и от вида
волновых функций (fg один из коэффициентов, А или В, может
обратиться в нуль. Тогда становятся возможными и комплексные
значения К. Так, если, например, В = 0, то т|з (х) остается конечной
при
A.3)
где Х1 и Х2 вещественны и Х2 > 0. Тогда, подставляя A.3) в фор-
формулу A.1), мы имеем
со
if (х) = А 2 е-^еА.2ф (*.- ag). A.4)
g=o
Каждый член этой суммы затухает с увеличением номера атома g.
Та* как, с другой стороны, атомные функции ф (х — ag) заметно
отличны от нуля лишь в окрестности своего узла решетки х ~ ag,
то волновая функция -ф (х) затухает при увеличении х. В таких
квантовых состояниях электрон локализован у границы кри-
кристалла, и эти состояния и есть поверхностные электронные состоя-
состояния Тамма.
Условия, при которых появляются решения вида A.4), можно
установить, подставляя A.4) в соответствующее уравнение Шредин-
Шредингера. Таким путем можно показать, что решения с чисто веществен-
вещественными значениями к существуют всегда, а случай A.3) реализу-
реализуется, лишь если изменение потенциальной энергии у поверхности W
достаточно велико. При этом значение %г оказывается фиксирован-
фиксированным; в зависимости от характера атомных волновых функций оно
равно либо нулю, либо п.

320
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. X
Отметим, что существование поверхностных энергетических
уровней можно объяснить и анализируя химические связи в кристал-
кристаллах (подобно тому, как это сделано в гл. II для-объяснения других
полупроводниковых свойств). С этой точки зрения поверхностные
уровни возникают вследствие неспаренных электронов, существую-
существующих у поверхности из-за обрыва решетки (Шокли).
В трехмерных кристаллах вместо дискретных поверхностных
уровней возникают поверхностные энергетические зоны (рис. 10.3, а).
Они состоят из близко расположенных уровней энергии, соответ-
соответствующих различным возможным компонентам квазиимпульса рд
и рг, параллельным поверхности.
v(E)
-F
а) б) в)
Рис. 10.3. а) Поверхностные энергетические зоны, б) Непрерывное распределен
ние поверхностных уровней, в) Квазидискретные поверхностные уровни.
Если какая-либо из поверхностных зон заполнена электронами
лишь частично, то в принципе возможна электропроводность
металлического типа вдоль самой поверхности.
В действительности, однако, поверхность кристалла всегда неод-
неоднородна и распределение потенциала вдоль нее отнюдь не периодич-
периодично. По этой причине представление о поверхностных зонах как точном
двумерном аналоге объемных энергетических зон кристалла пред-
представляет собой слишком большую идеализацию. Однако само поня-
понятие поверхностных зон энергии фактом неоднородности реальной
поверхности не отменяется.
Поверхностные энергетические зоны могут перекрываться друг
с другом, так же как и с объемными зонами. Поэтому часто бывает
более правильно говорить о непрерывном распределении поверх-
поверхностных уровней и описывать его, задавая плотность поверхностных-
уровней v (E) (количество уровней на единицу поверхности и еди-
единичный интервал энергии). Пример такого распределения показан
на рис. 10.3, б. При этом поверхностная концентрация захвачен-
захваченных электронов (с точностью до тепловой размазки функции Ферми)

§ I]
ПРОИСХОЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ СОСТОЯНИЙ
321
—Е,
¦S2
X».
выражается площадью, ограниченной соответствующим участком
кривой v (Е) (для Е < F) и осью Е.
Иногда при интерпретации экспериментальных данных оказы-
оказывается возможным считать, что распределение v (E) имеет один или
несколько резких и узких максимумов (рис. 10.3, в). В этих случаях
говорят о квазидискретных (или просто дискретных) поверхностных
уровнях, в известной мере аналогичных уровням одномерных крис-
кристаллов. Такое приближение часто используют при качественном
(или полуколичественном) анализе явлений.
Выше мы везде считали, что поверхность кристалла является
«атомарно чистой», т. е. лишенной каких-либо чужеродных атомов
и дефектов. Поверхности, близкие
к атомарно чистым, можно получить
с помощью специальных методов (на-
(например, образуя поверхность скалы-
скалыванием в очень глубоком вакууме
или очищая поверхность бомбардиров-
бомбардировкой ионами благородных газов). В
обычных же условиях поверхность
полупроводника всегда покрыта слоем
окислов. Кроме того, на ней имеют-
имеются адсорбированные атомы, которые
тоже создают поверхностные элект-
электронные уровни энергии. Эти атомы
могут обмениваться электронами с
объемом полупроводника и в зависи-
зависимости от того, что является энергети-
энергетически выгодным, либо отдавать электроны полупроводнику (пре-
(превращаясь в положительные ионы), либо присоединять к себе до-
дополнительные электроны (заряжаясь отрицательно). Аналогичную
роль могут играть и различные «собственные» структурные дефек-
дефекты поверхности — вакансии и т. д. Электронный обмен между
адсорбированными атомами и объемом играет важнейшую роль в
современной электронной теории химической адсорбции и гетеро-
гетерогенного катализа [3, 4].
Учитывая сказанное выше, мы приходим к энергетической диа-
диаграмме «реальной» поверхности, изображенной на рис. 10.4. Здесь
для простоты показаны только два дискретных уровня Тамма (Е^
и Es%) и один уровень адсорбированного атома. Вследствие заряда
поверхности (созданного уровнями всех типов) электрический потен-
потенциал ср в приповерхностном слое полупроводника (толщина которого
порядка длины экранирования Дебая) изменяется и, соответственно,
энергетические зоны искривляются (рисунок соответствует отри-
отрицательному заряду поверхности). Разность потенциалов «р.* между
поверхностью полупроводника и его объемом (где зоны уже гори-
зонтальны) мы будем называть поверхностным потенциалом.
Рис. 10.4. Энергетическая диаг-
диаграмма реальной поверхности
кристалла.

322 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. X
В дальнейшем мы будем, его выражать в безразмерных единицах:
так как именно в этом виде он обычно входит в различные формулы.
Приведенная диаграмма является, конечно, тоже очень упро-
упрощенной. Так, при достаточно большом числе адсорбированных
атомов или иных структурных дефектов поверхность следует рас-
рассматривать уже как неупорядоченную систему, применяя для теоре-
теоретического ее исследования методы, развитые в физике сильно леги-
легированных полупроводников (гл. XIX).
§ 2. Влияние поверхностного потенциала на электропроводность
При изменении поверхностного потенциала изменяются концент-
концентрации электронов и дырок в приповерхностном слое полупроводника,
а следовательно, и его элек-
электропроводность. Поэтому, ис-
i У /%-nia слеДУя»как меняется электро-
1 проводность при различной
d
/ /X/ обработке поверхности, мож-
можно выяснить, как при этом из-
изменяется заряд поверхности,
и отсюда получить данные о
поверхностных состояниях..
Рассмотрим пластинку од-
Рис. 10.5. К вычислению влияния по- нородного полупроводника,
верхности на электропроводность. v " J y „ '
F f ^ « одна из поверхностей кото-
которой лежит в плоскости х — 0
(рис. 10.5), а толщина d намного меньше других размеров. Ширину
пластинки положим равной единице. Сила тока через бесконечно
тонкий слой пластинки (х, х + dx) есть
е [VpP (х) + № (х)] & dx,
а ее изменение по сравнению со случаем неискривленных зон (Ys =
= 0) равно
е К [Р (х) - Ро] + Рп [п (х) - п0]} g dx.
Поэтому, обозначая
со
Tp=\[p(x)-p0]dx,
B.1)
со
Гя= \ [n(x) — no]dx,
о
мы находим, что изменение электропроводности пластинки AG (рас-
(рассчитанное на единицу длины и единицу ширины пластинки),

§2]
ВЛИЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
323
обусловленное влиянием поверхности при х = 0, есть
ДС=^- = (?Мгр + &г«)> B-2)
где Ь — \ij\kp. Величину AG часто называют поверхностной прово-
проводимостью. В интегралах B.1) в качестве верхнего предела мы поло-
положили оо (вместо координаты второй поверхности), предполагая, что
толщина пластинки d хотя бы в несколько раз превышает длину
экранирования.
Мы считали подвижности в приповерхностном слое равными их
значениям цр и цп в объеме. В действительности на поверхности
происходит дополнительное рассеяние импульса. Поэтому при точ-
точных расчетах вместо \in и цр нужно пользоваться «поверхностными»
подвижностями, которые, при определенных предположениях о
Рис. 10.6. Обогащенный (а), обедненный (б) и инверсионный (в) приповерхност-
приповерхностные слои в полупроводнике и-типа.
характере рассеяния на поверхности, можно вычислить (подробнее
см., например, в [1]). Однако эта поправка не меняет принципиаль-
принципиальные результаты, и мы учитывать ее не будем.
Таким образом, расчет влияния поверхностного потенциала
на электропроводность сводится к вычислению распределения р (х)
и п (х) в слое объемного заряда. Однако общий характер зависимости
AG от Ys можно выяснить без расчета. Положим для определен-
определенности, что мы имеем полупроводник я-типа. При положительном
потенциале поверхности зоны искривляются вниз и край зоны
основных носителей Ес приближается к уровню Ферми (рис. 10.6, а).
Поэтому у поверхности образуется слой, обогащенный электронами,
и AG будет непрерывно увеличиваться при возрастании Ys- При
Ys < 0 зоны искривляются вверх (рис. 10.6, б) и, соответственно,
приповерхностный слой обедняется электронами. Пока (F — Ev)
у поверхности остается больше (Ес — F), концентрация дырок
р <^ п везде и AG уменьшается при увеличении |FS|. Однако, когда
искривление зон становится таким, что F оказывается ближе к Ev,
нежели к Ес, концентрация дырок в приповерхностном слое делается

324
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. X
.больше концентрации электронов, т. е. образуется инверсионный
слой, в данном случае р-типа (рис. 10.6, в). Аналогично, в дыроч-
дырочном полупроводнике инверсионный слой имел ¦ бы проводимость
п-типа. Поэтому при дальнейшем увеличении |FS| проводимость
AG проходит через минимум и снова увеличивается, теперь уже за
счет увеличения концентрации дырок в инверсионном слое.
Значение поверхностного потенциала FsmH1, соответствующее
минимуму АСможно найти из следующих простых (хотя и нестрогих)
соображений. Очевидно, что при Fsmin электроны и дырки дают
одинаковый вклад в электропроводность приповерхностного слоя.
Поэтому для некоторой средней плоскости в области объемного
заряда хх = const, где потенциал Ys = Va Ys min, можно написать
С другой стороны, ограничиваясь случаем невырожденных полу-
полупроводников, мы имеем по закону Больцмана
n = noexpF, р = роехр(— У).
Подставляя это в предыдущее равенство, мы имеем
\lntl0 exp (VaVs min) = ЦрРо ехр (— 1/iYSmin).
Отсюда получаем
B.3)
AG
B.4)
У8т,п=1п(?2/&), B.5)
где ?2 = po/no, a b — nn/fV Для рассматриваемого случая полу-
полупроводника n-типа значение 1 < 1, а отношение подвижностей Ь
Обычно > 1. ПОЭТОМУ ysmin
оказывается отрицательным.
Его абсолютное значение тем
больше, чем меньше |.
Зависимость AG от Ys, вы-
вычисленная для германия д-ти-
па при различных значениях
параметра |, показана на рис.
10.7. При расчете предпола-
предполагалось, что доноры и акцеп-
акцепторы полностью ионизованы
и что электронный газ не вы-
вырожден. Уравнение этих кри-
кривых и точный вывод формулы
B.5) даны в Приложении VI.
Рассмотренная зависимость
AG (Ys) лежит в основе важ-
50
30
20
70
О
40
-20
- \
- \
да
11 11 —
i 1
i 1 i
Л\\
1 1 1 1 1
/
/
/
/
t 1
-tt -12 -10 -8-6-4-2 0 2 4 В
Рис. 10.7. Зависимость изменения про-
проводимости ДО германия и-типа (произ-
(произвольные единицы) от поверхностного по-
потенциала Ys — e<ps/kT.
ного метода экспериментального определения Ys. Для этого нужно
сначала знать отношение ро/по внутри образца (за пределами слоя
объемного заряда). Оно легко может быть найдено-из измерений кон-

3]
ЭФФЕКТ ПОЛЯ
325
'тйт
Рис. 10.8. К определению величи-
величины поверхностного потенциала.
центрации основных носителей в массивном образце до вырезания
тонкой пластинки. Тогда при известном отношении подвижностей
Ъ определено, какая из семейства
кривых рис. 10.7 относится к дан-
данному образцу и чему равно Fsmin.
Затем меняют окружающую среду,
чтобы вызвать изменение Ys. Для
этого часто применяют различные
газы (азот, кислород, пары воды и
др.) при разном давлении и под-
подбирают такую среду, при кото-
которой электропроводность проходит
через минимум. Это значение Gmm
измеряют. Тогда при любом дру-
другом состоянии поверхности, кото-
которому соответствует электропроводность образца G, поверхностный
потенциал равен
Ys=Ysmin + AYs, B.6)
где АУ% определяется величиной (G — Gmin), как показано
на рис. 10.8.
§ 3. Эффект поля
Величину поверхностного потенциала можно изменять не только
изменяя окружающую среду, но и создавая у поверхности полупро-
полупроводника поперечное электрическое поле.
Влияние внешнего электрического поля на
электропроводность полупроводника полу-
получило название эффекта поля.
Существует большое число разнообраз-
разнообразных экспериментальных приемов изучения
эффекта поля как в стационарном, так и в
нестационарном режимах. Пример стацио-
стационарного метода показан на рис. 10.9. Пла-
Пластинка полупроводника П служит одной из
обкладок конденсатора, второй обкладкой
которого является металлическая пластин-
пластинка М, отделенная от полупроводника тон-
тонким слоем изолятора И. К конденсатору
прикладывается постоянное напряжение,
величину и знак которого можно изменять. Концы пластинки полу-
полупроводника имеют низкоомные контакты, с помощью которых она
включается в мостовую схему (или какую-либо другую) для точного
измерения малых изменений проводимости.
Еще удобнее исследовать эффект поля, прикладывая к пластинам
конденсатора переменное напряжение низкой частоты (десятки или
Рис. 10.9. Схема наблю-
наблюдения стационарного эф-
эффекта поля.

326 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. X
сотни герц). Тогда, используя простые схемы и подавая на одну из
пар пластин осциллографа сигнал, пропорциональный приложен-
приложенному напряжению и, а на другую пару пластин — сигнал, пропор-
пропорциональный AG, можно получить на экране всю кривую зависимости
AG от и. Это позволяет легко определить по формуле B.6) значение
Ys при любом напряжении на конденсаторе, и в частности, при
и = 0 (в «естественном» состоянии поверхности). Такой метод имеет
большое преимущество перед использованием различных газовых
атмосфер, так как эти последние могут не только искривлять энерге-
энергетические зоны, но и изменять концентрацию поверхностных уровней
энергии вследствие адсорбции атомов газов.
Исследование эффекта поля позволяет получить ценную инфор-
информацию о поверхностных состояниях (энергетических уровнях и их
концентрациях). Эта возможность основана на следующем. Элект-
Электроны и дырки под каждой единицей поверхности создают заряд
Q = Qv+Qs = e(Tp-Tn) + Qs. C.1)
Здесь Qv—подвижный заряд в объеме приповерхностного слоя,
Qs — связанный заряд на поверхностных уровнях, а Гр и Г„ —
полные количества избыточных дырок и электронов, определяемые
формулами B.1)/ Кроме того, имеется еще заряд, создаваемый
ионами в объеме полупроводника (заряженными донорами и акцеп-
акцепторами), и ионами, адсорбированными на внешней поверхности
окисла. В отсутствие внешнего поля заряд ионов равен по вели-
величине и противоположен по знаку заряду Q.
Во многих случаях можно считать, что в эффекте поля ионный
заряд не изменяется. Это справедливо, если доноры и акцепторы
в объеме полупроводника полностью ионизованы. Адсорбированные
же ионы обмениваются электронами с полупроводником очень
медленно (часто за многие секунды и минуты), и за время измерения
их заряд остается постоянным. Поэтому индуцированный заряд
равен
C.2)
Так как Гр и Г„ — известные функции поверхностного потенциала
Ys (см. Приложение VI), а этот последний, как указывалось выше,
тоже определяется из эффекта поля, то величину bQv можно легко
найти. С другой стороны, суммарный индуцированный заряд (отне-
(отнесенный к единице площади) равен
6Q==Cu, C.3)
где С—емкость конденсатора на единицу площади, которая непо-
непосредственно определяется на опыте. Поэтому оказывается возмож-
возможным определить bQs и найти, какая доля носителей заряда находится
в свободном и связанном состояниях.

§ 3] ЭФФЕКТ ПОЛЯ 327
Результаты измерения эффекта поля иногда выражают с помо-
помощью эффективной подвижности. Она, по определению, равна
6G /Г1 ..
-бо"» C.4)
где 6G—изменение проводимости в эффекте поля. Эта величина
имеет особенно простой физический смысл, если искривление зон
невелико и проЕодимость везде можно считать монополярной.
Тогда, скажем для дырочного полупроводника, мы имеем
а следовательно,
В этом случае ^аэФФ определяет, какая доля полного заряда поверх-
поверхности находится в подвижном состоянии.
Исследуя зависимость Qs от Ys, можно определить энергетическое
положение поверхностных уровней энергии и их концентрацию.
Действительно, при изменении Ys поверхностные уровни, так же
как и края зон у поверхности, перемещаются относительно уровня
Ферми F. При прохождении какого-либо уровня Es через F зарядное
состояние уровня изменяется. При наличии уровней только одного
типа это проявляется на кривых зависимости Qs от Ys возникновением
ступени.
Чтобы охарактеризовать энергетический спектр поверхностных
состояний, будем отсчитывать Es при неискривленных зонах (Ys =
— 0) от положения уровня Ферми в собственном полупроводнике F\,
обозначая es = Es — Fi. Тогда
Es-F = zs-(F-Fi)-kTYs.
Далее, для невырожденных (в объеме) полупроводников из формул
(V.5.1) и (V.5.2) имеем
Поэтому, используя функцию распределения (V.9.3), находим, что
вероятность заполнения уровня Es при данном Ys есть
Здесь для простоты мы опустили множитель, учитывающий вырож-
вырождение уровня. Если рассматриваемые уровни акцепторные и их
поверхностная концентрация равна v, то заряд поверхности будет
равен
Qs = .-evf(es, Ys). C.6)

328
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. X
Для донорных уровней имеем
Qs = ev[l-f(es, Ys)]. C.7)
Из формул C.5) — C.7) видно, что в обоих случаях на кривых
зависимости Qs от Ys появляется ступень, а'также точка перегиба.
Последняя соответствует поверхностному потенциалу
у _ _!*_ ! 1П п°
_!
kT
C.8)
Следовательно, определяя по данным эффекта поля Ysl, можно
найти es. Величина ступени равна ev.
В случае нескольких дискретных
уровней энергии мы имели бы не од-
одну, а несколько-точек перегиба.
Если имеется непрерывный энер-
энергетический спектр поверхностных со-
состояний, то Qs получается суммиро-
суммированием выражений типа C.6) и C.7).
Так, например, для акцепторных уров-
уровней мы получаем
Qs —
v(es) dzs
C.9)
Рис. 10.10. Пример зависимости
заряда поверхности от поверх-
поверхностного потенциала для образ-
образца германия.
где интегрирование производится по
всей запрещенной зоне энергий. Здесь
¦ВШ v (e,j) есть поверхностная плотность
уровней, рассчитанная на единичный
интервал энергии. В этом случае за-
задача определения энергетического
спектра поверхностных состояний
v (es) по'экспериментальной зависимо-
зависимости Qs от Ys становится гораздо более
сложной и требует либо дополнительных данных, либо дополни-
дополнительных предположений.
Экспериментальное исследование зависимости Qs от Ys («кривых
захвата») показывает, что кривые захвата, как правило, оказываются
плавными и не обнаруживают ясно выраженных ступеней и точек
перегиба. Пример таких кривых для германия приведен на
рис. 10.10 *). Это показывает, что энергетический спектр поверх-
поверхностных состояний,- ответственных за захват носителей заряда,
является квазинепрерывным. Анализ кривых захвата приводит
*) Рисунок из книги [1J.

§3]
ЭФФЕКТ ПОЛЯ
329
в
О
л
также к заключению, что v (es) имеет обычно минимальное значение
вблизи середины запрещенной зоны и увеличивается по мере при-
приближения к краям разрешен-
разрешенных зон энергии.
Важные данные о свойст-
свойствах поверхностных уровней
можно получить, исследуя из- Г> N/7 ГУ Г
менение AG во времени. Для
этого разработаны различные
методы. Одна из схем пока- „
зана на рис. .10.11. Здесь на ^T^t
обкладки конденсатора полу-
полупроводник— металл подается [^ _j
прямоугольный импульс на- синхр.
пряжения с крутым перед-
передним фронтом. Об изменении
проводимости полупроводни-
полупроводника судят по изменению паде-
Рис. 10.11. Наблюдение релаксации про-
проводимости в эффекте поля. Я — полупро-
полупроводник, М — металлическая обкладка,
И—изолятор, Г—генератор прямоуголь-
прямоугольных импульсов, О — осциллограф,
5 — источники постоянного тока.
ния напряжения на нем, воз-
возникающего от протекания сла-
слабого постоянного тока от батареи Б. Это напряжение регистрирует-
регистрируется осциллографом О, развертка которого синхронизована с генера-
генератором импульсов Г. В подобных импульсных методах, однако, всег-
всегда необходимо тщательно исключать наводку в измерительной схе-
схеме, возникающую при наложении
напряжения на конденсатор (вслед-
(вследствие неполной симметрии схемы),
которая может быть намного боль-
больше измеряемого сигнала. Для ее
исключения образец включают в
схему моста R — С и подбирают
сопротивления гг, г2 и емкости Сх,
С2 таким образом, чтобы при вы-
выключенной батарее Б сигнал на-
наводки был минимальным.
Наблюдаемая зависимость AG
от времени обычно имеет вид,
показанный схематически на рис.
10.12. После подачи напряжения,
соответствующего обогащению приповерхностного слоя основными
носителями, G быстро увеличивается и через короткое время, порядка
максвелловского времени релаксации AG, достигает наибольшего
значения. За эти времена поверхностные уровни еще не успевают
заметно изменить свое зарядовое состояние, и весь индуцированный
заряд находится в свободном состоянии. Затем начинается перерас-
перераспределение заряда между объемом и поверхностными уровнями и G
Рис. 10.12. Зависимость изменения
проводимости AG в эффекте поля
от времени (схематически).

33d
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. X
уменьшается. Это изменение имеет сложный, неэкспоненциальный
характер. Сначала G изменяется быстро на некоторую величину
AGX. Эту стадию процесса можно условно охарактеризовать некото-
некоторым временем релаксации xlt
в течение которого G умень-
уменьшается на определенную до-
долю, скажем в е раз. Значения
х-г зависят от рода полупро-
полупроводника и состояния его по-
поверхности и обычно лежат в
интервале 10~2 -т- 10? микро-
микросекунд. Затем электропровод-
электропроводность изменяется еще на ве-
величину AG2, однако гораздо
более медленно, и в конце кон-
концов достигает стационарного
состояния. Характерное время
для этой второй стадий про-
процесса может измеряться многими секундами и минутами. Такой ха-
характер кинетики показывает, что поверхностные уровни можно раз-
разделить на две группы: «быстрые» уровни, которые легко обменивают-
обмениваются электронами с объемом, и «медленные» уровни, обменивающиеся
электронами с объемом гораздо хуже.
Другой прием исследования эффекта поля показан на рис. 10.13.
Здесь к конденсатору и к торцам образца прикладываются перемен-
переменные напряжения одинаковой частоты
и — щ cos (at, ux = «10 cos (at.
Эффект поля вызывает модуляцию проводимости образца, которую
при малых напряжениях можно считать тоже гармонической:
G = G0 + (AGHcos ((at — ф) = G0 + (AGH(cos(oZ- cos ф-f-sinco^- втф).
Поэтому сила тока через образец есть
Рис. 10.13. Измерение частотной зависи-
зависимости эффективной подвижности. О —
образец, И — изолятор, М — металличе-
металлическая обкладка, Г — гальванометр.
i = j- Gux = у [Go
cosq> • cos atf + (AGH sinq> • sin (at] u1Q cos (at,
где а— ширина пластинки, а I — ее длина. Усредняя это выраже-
выражение по периоду колебаний, мы находим, что вследствие эффекта
поля возникает постоянная составляющая тока
? = ~4-(ДО)оС08ф-и1о.
С Другой стороны, амплитуда индуцированного заряда на единице
поверхности есть (AQH — Си0. Поэтому для эффективной подвиж-
подвижности получается
C.10)

§3]
ЭФФЕКТ ПОЛЯ
331
Пользуясь комплексным описанием гармонических колебаний,
можно сказать, что формула C.10) дает вещественную часть
Шфф
Определение фазового сдвига ф требует дополнительных, изме-
измерений. Однако уже исследование Re }хэфф дает много данных. На
рис. 10.14 приведен пример зависимости Re щфф от частоты для гер-
германия р-типа, поверхность которого была протравлена кислотами
(смесь уксусной, азотной и фтористоводородной) в различных газо-
газовых атмосферах. Из рисунка видно, что при адсорбции дипольных
молекул воды Re р.эфф при низких частотах оказывается отрица-
отрицательной, что обозначает существование инверсионного слоя. Однако
при увеличении частоты Re цэфф становится положительной. В дру-
других газах (сухой кислород, озон) инверсионный слой не возникает.
4000?
—-У
/
юный воз
Озон
jyx
^_
СуХпй^г
Щтоо
k о
чооо
-200О —
ю~г 1}о ю тг ю3 w*
Частота, кГц
Рис. 10.14. Пример зависимости эффективной подвижно-
подвижности от частоты. Германий р-типа [2].
Исследование зависимости }лэфф от частоты подтверждает существо-
существование быстрых и медленных поверхностных уровней и позволяет
оценить их характерные времена релаксации.
Имеющиеся данные показывают, что поверхностные состояния
характеризуются сложным и, как правило, непрерывным энергети-
энергетическим спектром. Часть поверхностных уровней лежит в верхней
половине запрещенной зоны, а часть — в нижней половине. Эти
уровни могут быть акцепторными и донорными. Их концентрация
зависит от обработки поверхности (шлифовка, химическое травле-
травление и др.) и, например, в германии может достигать порядка 1014 т»
•4- 101* СМ.
Основная часть быстрых поверхностных состояний является
по-видимому, состояниями Тамма, уровни которых на реальной
поверхности локализованы вблизи раздела полупроводник— окисел.
Медленные же состояния обычно связывают с адсорбированными
атомами, так как электронный обмен между ними и объемом полу-
полупроводника сильно затрудняется наличием слоя окисла. Однако

332
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. X
некоторые из состояний Тамма могут оказаться тоже медленными,
«ели соответствующие им сечения захвата электронов (дырок) (§ 8)
достаточно малы.
Поверхностные состояния особого типа возникают при доста-
достаточно сильном изгибе зон. Если, например, Ys > 0, то зоны изгибают-
изгибаются вниз и у поверхности возникает потенциальная яма для электро-
электронов (рис. 10.15). Форма ее зависит от степени однородности поверх-
поверхности. Если свойства последней всюду одинаковы, то яма, очевидно,
„ имеет вид желоба с острым дном, вытяну-
вытянутого вдоль поверхности. При достаточной
глубине и ширине ямы в ней могут обра-
образоваться связанные состояния, находясь в
которых электроны локализованы вблизи
поверхности. Это явление называется по-
поверхностным квантованием. В одномерном
случае указанным состояниям отвечали бы
дискретные уровни в запрещенной зоне; в
трехмерной задаче с однородной поверхно-
поверхностью мы получили бы поверхностные энер-
энергетические зоны. Электроны, их заполняю-
заполняющие, могли бы свободно перемещаться вдоль
поверхности, соответственно чему их со-
состояния, кроме номера зоны, можно было
бы характеризовать двумерным квазиим-
квазиимпульсом с компонентами ри, pz. Реальная
всегда неоднородна, и распределение потен-
потенциала вдоль нее не периодично. Поэтому, как уже отмечалось
выше, полной аналогии между поверхностными и объемными зона-
зонами не имеется. Соответственно, и электропроводность по по-
поверхностным зонам в реальных кристаллах может не проявляться.
Очевидно, что сказанное справедливо и для дырок, с той лишь
разницей, что для них потенциальная яма возникает при изгибе
зон вверх.
§ 4. Некоторые эффекты, связанные с поверхностными
состояниями
Так как поверхностные уровни вызывают искривление зон
вблизи поверхности, то все явления, связанные с потенциальными
барьерами, зависят от поверхностных состояний.
1. Поверхностные уровни изменяют термоэлектронную работу
выхода электронов. При положительном потенциале поверхности
(рис. 10.16) зоны искривляются вниз на — ecps. Откладывая от дна
зоны проводимости Ес у поверхности электронное сродство % (кото-
(которое не зависит от изгиба зон), мы получим положение уровня энер:
гии электрона в вакууме Ео. Из рис. 10.16 видно, что термоэлект-
Рис. 10.15. Потенциаль-
Потенциальная яма для электрона
при Ys > 0. Пунктиром
обозначен один из уров-
уровней электрона в яме.
поверхность, однако,

S4]
ЭФФЕКТЫ ПОВЕРХНОСТНЫХ СОСТОЯНИЙ
333
ронная работа выхода Ф = ?0 — F в этом случае уменьшается.
Ее изменение равно АФ = — eqs. При отрицательном потенциале
поверхности зоны искривляются вверх и Ф увеличивается.
Знаки АФ и изменения проводимости AG связаны между собой.
В полупроводнике n-типа при cps > 0 возникает обогащенный слой
и AG > 0, а при ф5 < 0 (при небольшом искривлении зон, пока не
образуется инверсионный слой) АС < 0. Поэтому АФ и AG имеют
разные знаки. Напротив, в полупроводнике р-типа (как на рис. 10.16)
АФ и AG имеют одинаковые знаки. Это заключение хорошо
подтверждается в экспериментах, в которых одновременно измеряют-
измеряются AG и изменение контактной разности потенциалов (относительно
какого-либо стандартного металла) при изменении газовой атмосферы
или в эффекте поля.
2. Поверхностный изгиб зон проявляется и при внешнем фото-
фотоэлектрическом эффекте с полупроводниковых фотокатодов. Здесь
электроны возбуждаются из
валентной зоны в зону прово-
проводимости при поглощении све-
света. Если при этом электроны
приобретают энергию, доста-
достаточную для преодоления по-
потенциального барьера на по-
поверхности, часть из них может
выйти в вакуум. Чтобы сни-
снизить темновой ток катода,
очевидно, выгодно использо-
Полупроводник
Вакуум
Рис. 10.16. Влияние изгиба зон у по-
поверхности на электронную эмиссию. Ф —
термоэлектронная работа выхода, Ф„ —
оптическая работа выхода, % — электрон-
электронное сродство, Хэфф — эффективное элект-
электронное сродство.
вать полупроводники р-типа,
так как в них концентрация
электронов в зоне проводи-
проводимости без освещения очень
мала.
Квантовый выход фото-
фотоэмиссии (число испускаемых
электронов на один погло-
поглощенный фотон) существенно зависит от соотношения между тол-
толщиной слоя объемного заряда d и средней длиной свободного
пробега /. Действительно, электроны, возбужденные светом в зону
проводимости, диффундируя к поверхности, испытывают соударе-
соударения с решеткой и на длине, порядка немногих длин свободного про-
пробега, термолизуются. При d*^> l термолизация происходит и в слое
объемного заряда, и поэтому в вакуум могут выйти только те элек-
электроны, которые возбуждаются светом в тонком слое у поверхности,
толщиной порядка /. Эта «глубина выхода» электронов обычно мала
по сравнению с глубиной проникновения света и, например, для крем-
кия, германия, соединений AUIBV имеет порядок 10~6 см. Чтобы
в этих условиях электрон мог выйти в вакуум, он должен получить

334
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. X
минимальную энергию Фо = Eg + % (рис. 10.16). Эта величина назы-
называется оптической работой выхода. Она не зависит от поверхност-
поверхностного потенциала и приповерхностного изгиба зон. Минимальная
энергия фотонов (красная граница фотоэмиссии) определяется усло-
условием ^<omin со. Фо (мы пишем знак «приблизительно равно» вследствие
возможного участия фононов в процессах возбуждения электронов,
ср. § XVHI.5).
Однако при увеличении степени легирования полупроводника d
уменьшается, и в сильно легированных полупроводниках оказы-
оказывается возможным осуществить условие d <C /. В указанных выше
полупроводниках это происходит при концентрации основных носи-
носителей — 1018 -т- 1019 см~3, когда уровень Ферми- F приближается
к Ev. В этом случае электроны прак-
практически не испытывают соударений в
слое объемного заряда и фотоэмиссия
происходит так, как если бы вместо
истинного электронного сродства %.
мы имели некоторое эффективное
СРОДСТВО Хзфф = X— «Р* (РИС- 10.16).
При положительном потенциале по-
поверхности Хэфф < 1- Соответственно
красная -граница фотоЗмиссии теперь
определяется условием ^«>min f«
я« Eg + % — ecps < Фо и сдвигается в
область более длинных волн.
Вторая важная особенность слу-
случая d < I заключается в том, что
здесь выйти в вакуум могут все из-
избыточные электроны, которые в про-
процессе диффузии к поверхности не исчезнут вследствие реком-
рекомбинации. Поэтому глубина выхода электронов имеет порядок дли-
длины диффузии L J> /, вследствие чего квантовый выход таких фото-
фотокатодов сильно увеличивается. Таким образом,-в сильно легирован-
легированных полупроводниках (d < /) поверхностные состояния могут сильно
сказываться на фотоэмиссии электронов, существенно изменяя крас-
красную границу и квантовый выход.
При специальной обработке поверхности можно дополнительно
понизить уровень энергии вакуума Ео относительно краев зон и
даже сделать уровень Ео лежащим ниже уровня Е, в объеме полу-
полупроводника (рис. 10.17). Это можно осуществить, например, напы-
напыляя в вакууме на поверхность кремния или кристаллов соедине-
соединений A1HBV тонкий слой атомов цезия (один или несколько атомных
слоев) и затем окисляя его в атмосфере кислорода. Толщина возни-
возникающего при этом потенциального барьера оказывается меньше
длины волны де Бройля для электронов, и поэтому значительная
часть электронов проходит сквозь этот барьер с помощью туннель-
Рис. 10.17. Полупроводник с
отрицательным эффективным
электронным сродством.

§ 5] СКОРОСТЬ ПОВЕРХНОСТНОЙ РЕКОМБИНАЦИИ 335
ного эффекта. В этом случае ^эфф ~ Ео — Ес становится отрица-
отрицательным. Это значит, что для выхода электрона в вакуум егодоста-
точно только перевести на уровень Ес. Соответственно пороговая
энергия фотонов еще уменьшается и становится /zcomin ~ Eg. Исполь-
Используя полупроводники с отрицательным эффективным электронным
сродством, оказывается возможным сильно увеличить квантовый
выход фотокатодов (примерно на два порядка) и сделать их чувстви-
чувствительными для близкой инфракрасной области спектра. Таким же
способом можно существенно увеличить и эффективность эмитте-
эмиттеров вторичных электронов, в которых возбуждение электронов
происходит не под действием света, а в результате бомбардировки
эмиттера пучком первичных электронов.
3. Поверхностные уровни могут сильно проявляться в электри-
электрических свойствах прижимных контактов металл — полупроводник.
В §§ VI. 11, VI. 12 мы видели, что вольтамперная характеристика
идеального контакта должна существенно зависеть от контактной
разности металл — полупроводник, а следовательно, и от работы
выхода металла. Эту «действующую» контактную разность можно
определить, исследуя температурную зависимость дифференциаль-
дифференциального сопротивления контакта при нулевом напряжении (§ VI. 13).
Однако, как уже упоминалось, для некоторых полупроводников,
например для германия и кремния, на опыте не наблюдается никакой
корреляции между работой выхода металла и нулевым сопротивле-
сопротивлением контакта. Это объясняется тем, что в таких полупроводниках
поверхностная концентрация уровней очень велика и поэтому искрив-
искривление зон в них обусловлено главным образом зарядом поверхности,
а не контактным полем.
§ 5. Скорость поверхностной рекомбинации
Поверхностные уровни энергии, так же как и локальные уровни
примесных атомов в объеме, могут участвовать в рекомбинации
и тепловой генерации электронов и дырок и поэтому могут сильно
влиять на их времена жизни. Влияние поверхности на кинетику
электронных процессов принято характеризовать скоростью поверх-
поверхностной рекомбинации. К этому понятию мы приходим следующим
образом.
Пусть Rps есть суммарный темп рекомбинации дырок на поверх,-
ности, т. е. разность темпов захвата и обратного теплового выброса,
рассчитанных на единицу поверхности и единицу времени'. Обозна-
Обозначим, далее, через ps концентрацию дырок у поверхности в слое объем-
объемного заряда (рис. 10.18). В равновесии, когда ps = psQ, Rps = 0.
Тогда, аналогично тому как мы поступали, рассматривая темп объем-
объемной рекомбинации (§ VII.2), формально можно написать

336
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
[гл. х
Аналогично, для суммарного темпа поверхностной рекомбинации
электронов можно положить
Rn* = s; (ns - ns0) = s; вп,. E.2)
Эти соотношения иногда рассматривают как первые члены раз-
разложения функций Rps и Rns по степеням переменных 8ps и 8ns
соответственно. Однако фактически каждый из коэффициентов s'p
и s^ может сам зависеть от обеих переменных 6ps и 8«s.
Однако выражения для Rps и Rns принято записывать несколько
иначе. Рассмотрим некоторую плоскость х == 0, лежащую вблизи
границы слоя объемного заряда, но
за его пределами (где зоны уже не ис-
искривлены), и обозначим через р @) и
п @) концентрации дырок и электро-
электронов в этой плоскости (рис. 10.18), По-
-?с ложим, что толщина слоя объемного
заряда (порядка длины экранирова-
экранирования L3) меньше длин диффузии ды-
дырок и электронов Lp и Ln. Тогда
приближенно рекомбинацией внутри
слоя объемного заряда можно пре-
пренебречь. Это условие обычно выпол-
выполняется для технически важных по-
Рис. 10.18. К определению по- лупроводников — германия и (не-
нятия скорости поверхностной сколько хуже) кремния (хотя в дру-
реком инации. гих ПОЛуПрОВОдниках он0 МОжет И
не иметь места). Пусть, далее, темп
поверхностной рекомбинации дырок Rps намного меньше каждого
из потоков — диффузии и дрейфа дырок у поверхности. То же
самое будем предполагать справедливым и для электронов. При
этих условиях можно считать, что токи диффузии и токи дрейфа
в слое объемного заряда приблизительно уравновешивают друг
друга, т. е. что в дырочном и электронном газах имеется диффузион-
диффузионно-дрейфовое равновесие (ср. § VII.3). В этом случае между концент-
концентрациями ps и р @) существует однозначная связь, такая же, как
и в условиях равновесия. В частности, для невырожденного полу-
полупроводника мы имеем
ps = р @) е~ *Ч ns = n@)eYs. E.3)
Тогда вместо E.1) и E.2) можно написать
RPs = sp [p @) - р0] = sp бр @), Rns = sn [n @) - п.] = sn 6n @), E.4)
где ро и п0 — равновесные концентрации в объеме полупроводника.
Коэффициенты sp и sn имеют размерность скорости и обычно выра^
жаются в см/с. Они получили название скорости поверхностной
рекомбинации для дырок и, соответственно, для электронов. Вели-

S 5] СКОРОСТЬ ПОВЕРХНОСТНОЙ РЕКОМБИНАЦИИ 337
чины sp и sn в общем случае не равны друг другу. Кроме того, они
могут сами зависеть от бр и 6я. Таким образом, при выполнении
указанных двух условий мы можем под «поверхностью» полупро-
полупроводника понимать сйбственно его поверхность и прилегающий к ней
слой объемного заряда.
Если полупроводник находится в стационарном (но неравновесном) состо-
состоянии и нарушение равновесия Мало, то можно ввести некоторую единую ско-
скорость поверхностной рекомбинации s, не зависящую от бр и бя. Действительно,
в стационарном состоянии мы имеем
RPs = Rns=Rs = sP бр @) = 5Л Ьп @). E.5)
С другой стороны, рассматривая рекомбинацию в объеме, мы видели (§ IX.6),
что темп объемной рекомбинации R ~ (рп — ро«о)- В § 8 мы увидим, что анало-
аналогичный результат справедлив и для рекомбинации через поверхностные уровни,
а именно Я&~ (п @) р @) — яоро) (ср. формулу (8.4), в которой при Lb «^ L
можно заменить в числителе nsps на п @) р @)). Поэтому можно написать
»@)р@)-п0р0
Ло + Ро ' 1 '
где s есть некоторый коэффициент, имеющий размерность скорости поверхност-
поверхностной рекомбинации. Полагая здесь п @) = щ, + бп @), р @) = р0 + бр @) и
линеаризуя это выражение, имеем
rf E'7)
Подставляя сюда из формулы ffi.5) бр @) = Rs/sp и бп @) = Rslsn и разрешая
полученное уравнение относительно s, находим
В полупроводнике n-типа, когда выполняются условия «<, ^> р0, snn0 !> spp0,
мы имеем s =a sp. При этом вторым слагаемым в формуле E.7) обычно можно пре-
пренебречь. Напротив, в полупроводнике р-типа и при условиях р0 ;> и0, sppa J^-
^> Sn/if, получается sc=?sn и, кроме того, первое слагаемое в формуле E.7) малд
по сравнению со вторым. Следовательно, в обоих случаях s совпадает со ско-
скоростью поверхностной рекомбинации неосновных носителей. Этот результат
имеет простой физический смысл. Рекомбинация через поверхностные уровни,
так же как и через объемные уровни, есть двухступенчатый процесс, состоящий
из захвата дыркн и захвата электрона. «Узким» местом процесса является за-
захват неосновных носителей, концентрация которых при малом уровне возбужде-
возбуждения остается очень малой по сравнению с концентрацией основных носителей, и
поэтому темп рекомбинации определяется темпом захвата неосновных носителей.
Положим теперь, что под влиянием каких-либо внешних воздейст-
воздействий, например при освещении полупроводника сильно поглощаемым
светом, происходит поверхностная генерация электронно-дыроч-
электронно-дырочных пар. При этом, говоря о «поверхностной генерации»,
мы имеем в виду, что генерация происходит в тонком слое вблизи
поверхности, толщина которого 6<1L9 (рис. 10.18). Пусть темп
поверхностной генерации есть gs. Для случая оптической генерации
б g I

338 поверхностные электронные состояния [гл. х
Где у _^ коэффициент поглощения света, / — освещенность, a v —
квантовый выход внутреннего фотоэффекта (§ VI 1.4). Если все
фотоны успевают поглотиться в слое объемного заряда (который
мы включаем в понятие «поверхность»), то gs не зависит "от у. Тогда
условие баланса для неравновесных носителей заряда, например
для дырок, у поверхности дает
4 E.9)
где /р @) — плотность дырочного тока у поверхности. Аналогичное
соотношение справедливо для неравновесных электронов. При этом
поток частиц считается положительным, если он направлен отповерх-
ности вглубь полупроводника. Если gs Ф 0, то /р @) > 0 и, следова-
следовательно, возникает поток частиц от поверхности. При gs = 0 мы имеем
jp @) < 0. В этом случае появляется поток, направленный к поверх-
поверхности, равный темпу исчезновения частиц вследствие рекомбинации.
В § VII.8 мы видели, что совместные диффузия и дрейф неравно-
неравновесных дырок и электронов определяются неосновными носителями
заряда. Поэтому соотношение E.9), написанное для неосновных
носителей заряда, определяет граничные условия задачи о вычислении
распределения неравновесных дырок и электронов в полупровод-
полупроводниках конечных размеров.
Поверхностная рекомбинация проявляется, хотя и в разной
степени, во всех неравновесных электронных процессах. Ниже
рассмотрены некоторые примеры.
§ 6. Влияние поверхностной рекомбинации
на фотопроводимость
а. Стационарная фотопроводимость при объемной однородной
генерации. Будем считать, что образец имеет форму прямоуголь-
прямоугольной пластинки с ребрами 2А,
Свет 2В и 2С (рис. 10.19), причем
| | Z\ [ | А <; В, С. В этом случае кон-
t т |~т т~7| центрации 8р и 8я будут зави-
зависеть лишь от одной координаты
z. Положим, что пластинка ос-
освещается со стороны широкой
грани, а коэффициент поглоще-
поглощения света и толщина пластинки
2Л таковы, что 2Ау<. 1. Тогда,
Рис. 10.19. К расчету фотопроводимо- приближенно можно считать ге-
сти в тонких пластинках. нерацию электронно-дырочных
пар только объемной и при-
притом однородной. В дальнейшем мы будем также предполагать,
что концентрация ловушек в объеме мала, так что бр = Ьп и, соот-
соответственно, объемное время жизни хр = хп = т. Скорости поверх-

§ 6] ВЛИЯНИЕ НА ФОТОПРОВОДИМОСТЬ 339
ностной рекомбинации неосновных носителей заряда на обеих
гранях будем считать одинаковыми.
Уравнение непрерывности для данного случая имеет вид
где вместо D нужно подставить коэффициент диффузии неосновных
носителей. Граничные условия получаются из формулы E.9):
-±а. F.2)
dz
Здесь положено gs = 0, a s отвечает неосновным носителям. Тогда
решение имеет вид
Здесь L = ]/?>т — длина диффузии, а
5 = 4- F-4)
есть безразмерная скорость поверхностной рекомбинации.
Если бы поверхностной рекомбинации не было (S = 0), то кон-
концентрация фотодырок была бы равной 8р = gx а постоянной по
объему. При S ф 0 концентрация фотодырок уменьшается в каждой
точке, а их распределение становится неоднородным (рис. 10.20).
Найдем еще среднюю концентрацию фотодырок Ьр. Так как
+А
J h.dz = J
то
J F.5)
~A \ Sh + sh /
Концентрации фотоэлектронов Ьп и 6л будут выражаться теми же форму-
формулами F.3) и F.5). Поэтому, если к торцам пластинки приложено напряжение, то
в пластинке возникнет фототок, плотность которого будет
где 8 — напряженность электрического поля внутри пластинки.
Из сказанного видно, что поверхностная рекомбинация уменьшает фотоот-
фотоответ, и тем сильнее, чем меньше толщина пластинки.
Для очень тонких пластинок {AIL <^ 1) можно положить
. А А А
en L — ie sn L ^ L ,

340
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. X
и тогда формула F.5) дает
При уменьшении AlL концентрации Ьр и 6гс, а значит, и фотопроводимость не-
неограниченно уменьшаются. Физический смысл этого результата заключается в том,
что, уменьшая толщину пластинки,
мы уменьшаем ее объем и, следова-
следовательно, полную генерацию электрон-
электронно-дырочных пар. Рекомбинация же
при этом остается прежней, так как
поверхность пластинки не изменяется.
б. Стационарная фотопрово-
фотопроводимость при поверхностной ге-
генерации. Рассмотрим теперь дру-
другой крайний случай, когда одна
поверхность пластинки освещает-
освещается сильно поглощаемым светом.
В этом случае объемная генера-
генерация g = 0. Пластинку будем
считать «толстой», т. е. 2А _^> L.
Ось Z направим в глубь пластин-
Рис. 10.20. Стационарное распределе-
распределение фотодырок в тонкой пластинке при
разной скорости поверхностной ре-
рекомбинации. Однородная генерация в
объеме.
ки и будем теперь отсчитывать г от освещенной поверхности. Тогда
граничные условия будут
2 = 0: *, = -?>-?
z-voo: 6p-v0.
FJ)
Решение уравнения непрерывности при втором граничном условии
есть
бр = би = бр(О)е-^. F.8)
Значение граничной концентрации 8р @) определяется первым
граничным условием. Оно дает
s6p@),
а следовательно,
F.9)
Если к торцам пластинки приложено напряжение и в пластинке имеется
электрическое поле §, параллельное освещаемой поверхности (скажем, в на-
направлении оси Y, рис. 10.19), то полная сила фототока равна
со
А/ = е (м-р + ця) 2В% \ Ьр ¦ &г = е (|хр + ця) 2BL Ьр @) §,
где 2В — ширина пластинки. Поэтому, учитывая F.9), имеем
F.10)

§ 7] ЗАТУХАНИЕ ФОТОПРОВОДИМОСТИ В ТОНКИХ ПЛАСТИНКАХ 341
И в этом случае поверхностная рекомбинация уменьшает величину фототока,
а ее влияние определяется безразмерной величиной 5.
Обобщение формулы F.10) на случай тр Ф т„ (а также на случай наличия
магнитного поля) будет дано в Приложении VII.
§ 7. Затухание фотопроводимости в тонких пластинках
и нитевидных образцах
Поверхностная рекомбинация изменяет не только стационарную
фотопроводимость, но и кинетику ее установления и затухания.
Рассмотрим этот вопрос на примере тонкой пластинки с А <^ В, С
(рис. 10.19). Положим, что в момент времени /==0 объемная
генерация выключается, и найдем закон убывания во времени кон-
концентрации избыточных носителей. В этом случае мы должны рас-
рассматривать зависящее от времени уравнение непрерывности, кото-
которое в отсутствие внешнего электрического поля есть
2L=D ??.--$?-. G.1)
dt dz2 тоб v '
Здесь объемное время жизни мы отметили индексом «об», чтобы
его не смешивать с временем затухания фотопроводимости. Гранича
ные условия имеют тот же вид, что и в § 6, и выражаются формулой
E.9) при z = ± А и gs = 0. Из симметрии задачи следует ожидать,
что решение G.1) будет симметрично относительно плоскости
2=0.
Нетрудно видеть, что общее решение уравнения G.1) можно
записать в виде
со
bp(t, 2)= 2 <*m<rilXm cos таг, G.2)
где т — целые числа, а ат, хт и а — постоянные. Действительно,
подставляя выражение G.2) в уравнение G.1), мы находим, что это
уравнение удовлетворяется при условии, что между хт и а выпол-
выполняется соотношение
+ Dam\ G.3)
Полагая в G.2) t = 0, мы также видим, что ат суть коэффициенты
разложения в ряд Фурье начального распределения носителей
бр @, 2).
Из формулы G.2) видно, что затухание 8р выражается суммой,
экспонент и, следовательно, сложным, не экспоненциальным зако-
законом. Однако, как показывает формула G.3), характеристические
времена хт быстро уменьшаются с увеличением т. Поэтому, если
исключить начальный период затухания, приближенно можно
пользоваться асимптотическим решением, оставив в формуле G.2)

342 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. X
только один член си=1. Тогда
др ~«е--/т cos az, G.2a)
где
% тоб T.s T.s
Здесь дополнительное слагаемое тГ1 выражает влияние поверхност-
поверхностной рекомбинации на постоянную времени затухания, а время xs часто
называют поверхностным временем жизни (в отличие от объемного
времени жизни тоб).
Постоянную а можно найти из граничных условий. Подставляя
решение G.2а) в соотношение E.9) (при gs = 0), мы получаем
для а трансцендентное уравнение
tg (аА) = ?, G.4)
которое требует численного расчета.
Задача упрощается в двух предельных случаях.
a) s очень велика, так что s/(aD) ^> 1. Тогда можно приближенно
положить аА ~ я/2 и формула G.3а) для xs дает
В этом случае т^, вовсе не зависит от скорости поверхностной реком-
рекомбинации. Физический смысл этого результата состоит' в .том, что
при очень большой s избыточные носители заряда практически мгно-
мгновенно рекомбинируют на поверхности, так что «узким местом»
процесса является приток частиц к поверхности. А он зависит
только от коэффициента диффузии и толщины пластинки.
б) Выполняется условие s/(aD) <; 1. Здесь можно приближенно
считать tg (аА) ~ аА. Тогда уравнение G.4) дает а2 — s/(DA) и мы,
получаем
В рассматриваемом случае узким местом является поверхностная
рекомбинация. Поэтому ts пропорционально s и не зависит от коэф-
коэффициента диффузии.
Формулы G.3а) и G.6) лежат в основе ряда методов измерения
скорости поверхностной рекомбинации. Измеряя сначала объемное
время жизни то6, а затем постоянную затухания в тонкой пластинке
т, можно определить is, а отсюда по формуле G.6) найти s.
Рассуждая, как и выше, можно легко найти и постоянную зату-
затухания в «нитевидном» образце '(А — В, но С > А, В). Тогда вместо
формул G.5) и G.6) мы имеем

ПОВЕРХНОСТНЫЕ РЕКОМБИНАЦИЯ И ПОТЕНЦИАЛ
343
§ 8. Зависимость поверхностной рекомбинации
от поверхностного потенциала
Опыт показывает, что скорость поверхностной рекомбинации
s чрезвычайно сильно зависит от обработки поверхности. Так, на-
например, для тонко шлифованной поверхности германия, протрав-
протравленной в водном растворе Н2О2 или в специальных смесях кислот
(уксусной, азотной, фтористоводородной), при комнатной темпера-
температуре s ~ 1 н- 10 см/с. Но после грубой шлифовки поверхности или
помещения образца в вакуум s может возрасти до 10* -г- 105 см/с.
Соответственно время жизни нерав-
неравновесных носителей в тонких пла-
пластинках и в массивных слитках того
же самого материала может сильно
различаться. Если в очень чистых
кристаллах германия т может дости-
достигать ~ 10 с, то в непротравленных
пластинках толщиной — 1 мм оно
падает до 10 с и меньше.
Величина s сильно зависит от
свойств окружающей среды: состава
окружающих газов или имеющихся на
поверхности различных покрытий, а
также от температуры. Она сильно
изменяется под действием внешнего
поперечного электрического поля. Это
показывает, что скорость поверх-
поверхностной рекомбинации сильно за-
зависит от поверхностного потенциа-
потенциала Ys.
Зависимость s от Ys можно по-
получить, исследуя эффект поля и из-
измеряя одновременно с Ys (ср. § 3) еще и s (например, по скорости
затухания фотопроводимости, § 7). Пример такой зависимости для
германия показан на рис. 10.21. Величина s имеет максимум при
некотором значении Ysm и быстро убывает по обе стороны макси-
максимума. Кривые s (Ys) оказываются различными при разной обработке
поверхности.
Для объяснения наблюдаемых экспериментальных фактов рас-
рассмотрим подробнее процесс рекомбинации через поверхностные
уровни. Для простоты положим, что только один из уровней является
эффективным уровнем рекомбинации (в то время как другие уровни
участвуют только в искривлении зон). Тогда, как и при рекомбина-
рекомбинации в объеме, мы должны учесть четыре типа элементарных актов,
показанных на рис. 10.22. Рассуждая так же, как и в § IX.4, мы
найдем, что темп захвата электронов из объема на поверхность
/ г
S
\
1
0,6
0,2
'4-2024 6 8 Ys
Рис. 10.21. Пример зависимо-
зависимости скорости поверхностной ре-
рекомбинации s/sma% 0T поверхно-
поверхностного потенциала в германии.
1 — вакуум, 2 — сухой кисло-
кислород; 300 К [1].

344
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. X
можно выразить формулой
Rsn = anv [(I - fs) ns - njs].
(8.1)
Различие по сравнению с формулой (IX.4.7) заключается в том, что
слева теперь стоит суммарный темп захвата на поверхность (на 1 смг
в 1 с), a v обозначает число поверхностных рекомбинационных уров-
уровней на 1 см2 поверхности; fs есть (неравновесная) степень заполне-
заполнения поверхностного уровня электронами, a ns — полная концентра-
концентрация свободных электронов возле поверхности, а„ — коэффициент
4
Рис. 10.22. Элементарные акты при рекомбинации через поверхностный уровень
энергии. 1 — захват электрона, 2 — эмиссия электрона, 3 — захват дырки, 4 —
эмиссия дырки.
захвата поверхностного уровня для электронов, а пх по-прежнему
выражается формулой (V.9.5), где теперь, однако, (Ес — Et) есть
энергия ионизации поверхностного уровня.
Для захвата дырок справедливо аналогичное выражение:
Rsp = «px[fsps-(l-fs)Pll (8.2)
где ар — коэффициент захвата для дырок, a plt как и раньше,
определяется формулой (V.9.13).
Ограничиваясь стационарными состояниями, мы имеем Rsn =
= Rsp = Rs- Отсюда определяется fs:
Подставляя это в одну из формул (8.1) или (8.2), мы находим
(8.4)
где п1р1 — поро = п], а п0 и р0 — концентрации в объеме, за пре-
пределами слоя объемного заряда.
В дальнейшем мы будем считать, что а) полупроводник не вырож-
вырожден и концентрации неравновесных дырок и электронов подчиняются
закону Больцмана E.3); соответственно pstis = рп, где pun —
полные концентрации на границе объемного заряда (в плоскости
х — 0, рис. 10СЩ; б) 6р = Ьп (концентрация уровней мала); в) нару-

§ 9] ТОК НАСЫЩЕНИЯ ДИОДОВ 345
шение равновесия мало, дп/{п0 + р0) <^ 1. Тогда, полагая п = п0 +
+ бп, р = р0 + 8р и удерживая только малые первого порядка,
находим
Ps'ls - Pl"l = Р« - Ро"о ^ («О + Ро) б«,
R, = v«nap р-7 +Л) _у г б/г. (8.4а)
Если при этом полупроводник не очень близок к собственному, то
при малом нарушении равновесия можно еще заменить п и р на п0
и р0. Тогда для скорости поверхностной рекомбинации получаем
s = |i = va^—r-y п°+р° _Y г. (8.5)
Формула (8.5) в ряде случаев удовлетворительно описывает
общий характер зависимости s от Ys. В частности, она показывает,
в соответствии с экспериментальными данными, что s имеет мак-
максимум при некотором значении Ys = Ysm. Приравнивая нулю
производную от знаменателя по Ys в формуле (8.5), находим
"—«¦-(??)*¦ <*-6>
Определяя на опыте Ysm и зная отношение ро/по = п\1п% —
= р%1п\ в объеме (которое легко измеряется), можно найти отноше-
отношение коэффициентов захвата ар/а„ для данного поверхностного уров-
уровня. А отсюда можно сделать заключенней о том, является ли данный
уровень акцепторным или донорным. Действительно, так как захваты
при наличии кулоновского притяжения обычно характеризуются
большими значениями а, то значения ар/а„ ^> 1, скорее всего ука-
указывают на то, что возможные зарядные состояния уровня — отри-
отрицательное и. нейтральное, а следовательно, уровень является акцеп-
акцепторным. Напротив, значения ар/а„ <^ 1 являются указанием на до-
норный характер уровня.
Анализ данных по поверхностной рекомбинации показывает,
что из всей совокупности поверхностных уровней только часть
участвует в процессах рекомбинации. Остальные же уровни могут
обмениваться носителями заряда только с одной из зон и являются
«уровнями прилипания» для электронов или для дырок.
§ 9. Ток насыщения диодов
Поверхностная рекомбинация может сильно влиять на параметры
полупроводниковых приборов с р — n-пёреходами. Поясним это
на простейшем примере диода. Его мы будем представлять (как
это часто делают практически) в виде тонкой пластинки полупровод-
полупроводника, для определенности n-типа, в которую вплавлена капля металла

1
346 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. X
(радиуса а), являющегося акцептором (рис. 10.23). Толщину плас-
пластинки 2Л будем считать намного меньшей эффективной длины диф-
диффузии дырок Хр = VDpx. Здесь т — результирующее время жизни,
определяемое формулой G.3а).
Как мы знаем (§ VII 1.1), об-
обратный ток насыщения диодов
образован тепловой генера-
генерацией неосновных носителей.
Однако в данном случае это
будут не только дырки, воз-
Рис. 10.23. К вычислению тока насыще- никающие в объеме пластин-
ния диода при учете поверхностной реком- гйнрпи^рмыр
бинации ки, ни и дырки, игнорируемые
с поверхностных уровней на
обеих поверхностях пластинки (рис. 10.23). Из формулы E.4) сле-
следует, что с каждой единицы поверхности в единицу времени генери-
генерируется sp0 дырок. Поэтому дополнительный ток насыщения, обуслов-
обусловленный поверхностью, есть
В случае тонких пластинок ts может быть значительно меньше
тоб. Так, например, при s~ 103 см/с и А ~ 10~2 см мы имеем ts ~
— 10~5 с, в то время как тоб часто бывает в десятки раз больше.
Поэтому в формуле (9.1) обычно можно считать, что %р ~ \^Dpxs.
Тогда весь избыточный обратный ток определяется только свойст-
свойствами поверхности. Оценки, в согласии с опытом, показывают, что
избыточный ток ts' в диодах с тонкой базой может быть намного
больше тока насыщения, обусловленного генерацией носителей в
объеме.
Так как s зависит от поверхностного потенциала Ys, то избыточ-
избыточный ток насыщения изменяется при изменении обработки поверх-
поверхности и свойств окружающей среды.
Поверхностная рекомбинация существенно влияет на свойства
и других полупроводниковых приборов, например на свойства тран-
транзисторов с р — n-переходами. А изменение состояния поверхности
со временем приводит к нестабильности лараметров приборов.
Поэтому надежная стабилизация поверхности и ее защита от внеш-
внешних влияний является одной из важных задач технологии полу-
полупроводниковых приборов.

Глава XI
фотоэлектродвижущие силы
§ 1. Роль неосновных носителей
При освещении полупроводника не только изменяется его элект-
электропроводность, но возникают также электродвижущие силы. Общая
причина возникновения фотоэдс, по крайней мере в наиболее важных
известных случаях, одна и та же и заключается в диффузии фото-
фотоэлектронов и фотодырок. Диффундируя от места своего возникнове-
возникновения, неравновесные носители заряда создают направленные потоки,
что эквивалентно появлению сил некулонов-
ского происхождения, или, иначе, «сторон-
«сторонних» сил.
Несмотря на общую причину происхожде-
происхождения, оказывается удобным говорить о разных
типах фотоэдс в зависимости от особенностей
полупроводниковой структуры и условий
опыта. Однако сначала мы остановимся на
общем условии, необходимом для возникнове-
возникновения фотоэдс.
Чтобы сделать рассуждения наиболее про-
простыми, рассмотрим полупроводник в виде коль-
кольца, часть которого аЪ освещается (рис. 11.1).
Кольцо имеет узкий разрез с одинаковыми ме-
металлическими электродами А и В для измере-
измерения эдс. Полупроводник может быть неодно-
неоднородным и даже может состоять из нескольких различных веществ.
Однако мы будем считать, что разрез сделан в таком месте кольца,
где химический состав полупроводника одинаков, а концентрации
неравновесных носителей заряда бр и б/г равны нулю. При этих
условиях контакты не будут давать вклада в эдс. Будем также счи-
считать, что подвижности электронов и дырок не изменяются при осве-
освещении (условие этого см. в § VI 1.4). Тогда нетрудно видеть, что фото-
фотоэдс в стационарном режиме возможна лишь в том случае, когда свет
генерирует носители заряда обоих знаков.
Пусть концентрации бр и б/г зависят только от одной координаты х
(толщина кольца мала по сравнению с длинами диффузии дырок и
электронов). Тогда в результате диффузии дырок и электронов,
созданных светом, в неосвещенные части полупроводника в кольце
В
Рис. 11.1. Цепь с ча-
частично освещенным по-
полупроводником.

348 ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ [ГЛ. XI
ПОЯВЯТСЯ ТОКИ С ПЛОТНОСТЯМИ
n~.
Полная плотность тока будет
где а — e (\inn + \iPp) — полная электропроводность в данном месте.
С другой стороны, согласно закону Ома для проводника с эдс, можно
написать
где g* — напряженность поля сторонних сил. Сравнивая оба выра-
выражения для /, находим
d« dp
g* = й* «.. A.1)
Отметим, что 8* совпадает по величине с полем амбиполярной диф-
диффузии, но отличается от него по знаку (ср. формулу (VI 1.8.2)).
Полная фотоэдс в кольце, согласно общему определению эдс,
равна
D ~-d О-
7^
где интегрирование производится вдоль всего кольца. Если в кольце
сделать разрез в той его части, где уже не имеется неравновесных
носителей заряда, то между концами А и В (рис. 11.1) появится раз-
разность потенциалов, выражаемая формулой A.2). Исследуем теперь
подробнее полученное общее выражение для фотоэдс.
Неоднородный полупроводник. Освещения нет. В этом случае
п0 (х) и р0 (х) суть равновесные концентрации, которые связаны
между собой законами равновесной статистики (гл. V). В частности,
для невырожденного полупроводника
Кроме того, для ц и D справедливо соотношение Эйнштейна:
D/ja = kT/e. Поэтому
Л -^ — Л ^L
Un dx UP dx
и, следовательно, эдс равна
?$^-0. A.4)

¦§ 1] РОЛЬ НЕОСНОВНЫХ НОСИТЕЛЕЙ 349
так как под знаком интеграла стоит полный дифференциал. Отметим,
что в окончательной формуле выпали все индивидуальные харак-
характеристики полупроводника (щ, цр и \лп). Поэтому полученный резуль-
результат справедлив и для любой комбинации различных полупрово-
полупроводников, если только система находится в термодинамическом рав-
равновесии.
Однородный полупроводник. Освещение есть. Положим
Здесь введением множителя а мы учли возможное прилипание носи-
носителей на ловушки. Тогда
D dn D dp _ kT , _ , dFp)
Un ~dx ~ U W
D _
~dx ~ U> ~dx - ~ W" W dx
н для эдс получается
Здесь опять подынтегральное выражение есть полный дифференциал,
а именно — от функции
In [[1„п„+Црр„+(цр+<i|xn) бр]
и поэтому снова Vo = 0.
Неоднородный полупроводник. Свет создает только основные
носители. Будем рассматривать, для определенности, полупровод-
полупроводник u-типа. Тогда, учитывая соотношение A.3), в формуле A.2)
можно считать
" dx ^ p dx ~~ p dx ' И-n ^
Поэтому
так как мы опять ,приходим к полному дифференциалу.
Таким образом, для возникновения фотоэдс необходимо, чтобы
подынтегральное выражение в формуле A.2) не являлось полным
дифференциалом. А для этого, как мы видим, полупроводник, во-
первых, должен быть неоднородным и, во-вторых, необходимо,
чтобы свет создавал такие носители заряда, знак которых проти-
противоположен знаку темновых носителей заряда.
Во избежание недоразумения в дальнейшем, отметим, что, говоря
о невозможности фотоэдс в однородных полупроводниках, мы имеем
в виду однородность в той области, где существуют неравновесные

350 ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ [ГЛ. XI
фотодырки и фотоэлектроны. Это, однако, не относится к случаю
однородного кристалла конечных размеров, граница которого осве-
освещается (см. § 2). Здесь в области существования фотоносителей
имеется «неоднородность», создаваемая самой границей, и поэтому
фотоэдс возможна.
§ 2. Фотоэдс в однородных полупроводниках
Рассмотрим полупроводник прямоугольной формы, одна из
граней которого освещается сильно поглощаемым светом. Для опре-
определенности возьмем полупроводник n-типа. Для простоты расчетов
мы будем также предполагать, что а) концентрация ловушек мала
фп = бр). и б) освещение не очень сильное, так что электропровод-
электропроводность а при освещении в любой точке мало отличается от темновой
электропроводности а0. Тогда формула A.2) дает
d
Vo = ? (Д, - D,) $ dp = ? V" ~ D>> № W ~ 6P @)], B.1)
о
где d — толщина образца, а бр @) и бр (d) — концентрации фото-
фотоносителей у освещенной и, соответственно, у задней поверхности.
Здесь, очевидно, достаточно интегрировать только по толщине
пластинки, так как в остальной части цепи 8* == 0.
Если d хотя бы в несколько раз превышает длину диффузии L,
то бр (d) <J бр @). Избыточную концентрацию для «толстой» пла-
пластинки мы уже вычислили раньше (§ Х.6):
где D —• коэффициент амбиполярной диффузии, а остальные обозна-
обозначения имеют прежний смысл. Поэтому окончательно получаем
Ha рис. 11.2 показаны знаки заряда граней для случая Dn>Df,
направления поля амбиполярной диффузии g и сторонней силы 8*.
Электроны, диффундирующие быстрее, заряжают нижнюю поверх-
поверхность отрицательно, а на освещенной грани появляется положи-
положительный заряд. Рассмотренная фотоэдс, возникающая вследствие
различия коэффициентов диффузии электронов и дырок, получила
название эдс Дембера.
Величина эдс Дембера невелика. Примем для оценки
(Dn — D,)/Dp~l, L~0,1 см, or0 ~ 1 Ом^см, что типично,
например, для германия. Безразмерную скорость поверхностной
рекомбинации положим S «^ 1. Пусть, далее, образец освещается

§ 3] ОБЪЕМНАЯ ФОТОЭДС 351
прямым несфокусированным солнечным излучением. Расчет пока-
показывает, что в солнечном излучении число фотонов с энергией
Tim ^ 0,65 эВ, падающих на 1 см2 в 1 с у поверхности Земли при
ясной атмосфере, равно примерно 2-Ю17 см с. Следовательно,
при квантовом выходе v = 1, gs ~ 1017 см~2 с. Тогда по формуле B.3)
находим, что даже при зтой сильной осве-
освещенности Уо — КГ3 В. Свет
Хотя эдс такой величины легко изме- 11111
рить, в действительности эксперименталь-
экспериментальное определение эдс Дембера в чистом ви-
виде сопряжено с большими трудностями.
Это происходит по той причине, что при
освещений, как правило, возникает еще и ^^^^^^^^^
вентильная фотоэдс в потенциальных барье-
барьерах (§ 5), которая намного больше эдс Дем- Рис. 11.2. Происхожде-
бера. Потенциальные же барьеры всегда ние эдс ДембеРа-
существуют как в контактах, так и
вблизи свободной поверхности полупроводника вследствие поверх-
поверхностного искривления зон. Поэтому эдс Дембера обычно играет
роль сопутствующего эффекта в различных фотоэлектрических
явлениях.
§ 3. Объемная фотоэдс
Объемная, или, иначе, распределенная, фотоэдс возникает в не-
неоднородных полупроводниках, в которых градиент удельного со-
сопротивления отличен от нуля *). Этот тип фотоэдс мы рассмотрим
на примере тонкой пластинки (или нитевидного образца), на по-
поверхность которой проецируется световое изображение узкой осве-
освещенной щели (рис. 11.3, а). Световая щель удалена от торцов об-
образца по крайней мере на несколько диффузионных длин, так что
фотоэлектроны и фотодырки рекомбинируют, не достигая торцов,
и поэтому не вызывают эдс в контактах. Опыт показывает, что
между концами образца появляется напряжение, которое тем
больше, чем больше градиент удельного сопротивления в месте
положения световой щели.
Возникновение этой эдс поясняет рис. 11.3, б. Положим, что
сопротивление изменяется вследствие изменения концентрации тем-
новых носителей, вызванного неравномерным распределением до-
доноров и акцепторов вдоль образца. Это значит, что энергетические
зоны будут наклонными относительно постоянного уровня Ферми,
или, другими словами, что в образце будет существовать внутрен-
внутреннее электрическое поле. Без освещения это поле, конечно, не
*) Объемная фотоэдс была обнаружена и исследована В. Е. Лашкаревым и,
независимо, Я. Тауцем.

352
ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ
[ГЛ. XI
вызывает тока, так как обусловленный им ток дрейфа в точности
компенсируется током диффузии. Однако при освещении это
равновесие нарушается и возникают потоки фотоэлектронов и
a)
Рис. 11.3. а) Наблюдение объемной фотоэдс. / — ис-
источник света, К, — конденсор, S — щель, О — объек-
объектив, П — полупроводник, mV — милливольтметр, б)
Направления движения фотоэлектронов и фотодырок.
фотодырок, направленные в разные стороны. Если, как показано
на рисунке, градиент сопротивления направлен слева направо,
то электроны будут двигаться к левому концу образца и заряжать
его-отрицательно, а дырки—к пра-
правому концу, создавая на нем поло-
положительный заряд.
В дальнейшем мы опять будем
говорить о полупроводнике и-типа.
При расчете величины фотоэдс мы
будем предполагать, что: 1) Ьр и Ьп
зависят только от одной координаты
х (рис. 11.4); 2) генерация электрон-
электронно-дырочных пар происходит в тон-
тонком слое шириной.2а, приблизитель-
приблизительно равной ширине световой щели,
причем 2а ^ длины диффузии L (ре-
(рекомбинация в освещаемом слое не происходит); 3) концентрация
избыточных носителей в этом слое постоянна (это приближение су-
существенно упрощает расчет и не вносит большой ошибки); 4)
освещение слабое: 8р/п0 <^ 1. Соответственно мы будем считать,
что и при освещении \inn ;> \ipp. Тогда по формуле A.2) имеем
dn
Рис. 11.4. К расчету объемной
фотоэдс.
Первое слагаемое
ndx~ pdx
'ее-
У-п
dn

§ 3] ОБЪЕМНАЯ ФОТОЭДС 353
так как подынтегральная функция есть полный дифференциал.
При вычислении второго слагаемого мы положим п ~ п0 (слабое
освещение). Далее, мы учтем, что при темновой концентрации ды-
дырок р = р0 (х) эдс Ко2 = 0. Поэтому
dFp)
., Dp? dx .
Vo — ф —т-r dx.
V-n J "o (*)
Введем, наконец, в это выражение темновое удельное сопро-
сопротивление р0 и плотность тока диффузии избыточных дырок ip:
Тогда для VQ можно написать
— а оо
Vo = $ /р (а;) Ро (х) dx + ^ /р (х) р0 (д:) йдс.
—оэ а
Здесь мы перешли от интегрирования по замкнутому контуру
к бесконечным пределам, так как \р (х) быстро затухает на расстоя-
расстояниях —L от освещенного слоя.
Так как Ьр {х) —ехр (—x/Lp) (ср. § VII.9), то по такому же
закону изменяется и jp (x). Поэтому мы имеем:
x > a: jp = jp (a) exp r
x< — a: jn = — jD(—a)
причем из симметрии задачи ясно, что )р (—а) = ]р (а). Тогда
Заменяя в первом интеграле переменную х на —х, написанное вы-
выражение можно представить в более удобном виде:
V0 = jp(a)
Распределение р0 (х) в узкой области вблизи освещенного слоя
можно аппроксимировать линейным законом и приближенно поло-
положить
PoW-Po(—«) = 2Щ = 0Ж. C-3)

354 ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ [ГЛ. XI
Тогда получается
V. = 2M«)
^ ^2jp(a) ^Ц,, C.4)
так как а <?р.
И, наконец, значение тока на границах \р (а) получается непо-
непосредственно из условия баланса для фотодырок. Если / есть пол-
полное число электронно-дырочных пар, генерируемых светом во
всем освещенном слое в 1 с (пропорциональное интенсивности света),
то
2jp(a)S = eI, C.5)
где S — сечение образца. Поэтому, учитывая формулы C.4) и C.5),
находим окончательно
Ve = fMJ^. C.6)
Подчеркнем, что здесь dpo/dx есть градиент темнового сопротивле-
сопротивления в месте нахождения световой щели.
Для дырочного полупроводника мы получили бы, очевидно,
такую же формулу, с тем отличием, что вместо длины диффузии
дырок вошла бы длина диффузии электронов (неосновных носи-
носителей).
Оценим порядок величины объемной фотоэдс. Положим, что мы
имеем сравнительно чистый германий при комнатной температуре.
Тогда в качестве типичного значения можно принять Lp — 0,1 см.
Сечение образца примем S ~ 10~2 см2. Пусть, далее, р0 меняется
на 10 Ом-см на 1 см длины, т. е. dpo/dx =10 Ом. Тогда, прини-
принимая / — 1015 с, по формуле C.6) получаем Vo — 1 мВ.
Таким образом, при слабом освещении объемная фотоэдс про-
пропорциональна градиенту темнового сопротивления. Этот вывод
хорошо согласуется с опытом. Для его проверки нужно, с одной
стороны, независимо определить распределение сопротивления по
длине образца. Это можно легко сделать, пропуская через образец
слабый постоянный ток и исследуя распределение потенциала
вдоль образца с помощью тонкого металлического зонда. С другой
стороны, нужно исследовать зависимость фотоэдс от положения све-
светового зонда. Опыт показывает, что распределение величины и
знака фотоэдс хорошо повторяет распределение градиента сопро-
сопротивления. Такое зондирование с одновременным измерением фото-
фотонапряжения между концами образца является полезным практи-
практическим приемом для определения степени однородности полупро-
полупроводника.

§ 4]
ВЕНТИЛЬНАЯ ФОТОЭДО
355
§ 4. Вентильная фотоэдс
Наиболее важным типом фотоэдс является так называемая
вентильная фотоэдс. Она возникает в том случае, когда свет гене-
генерирует носители заряда вблизи потенциального барьера, т. е. при
освещении контактов металл — полупроводник и р—п-переходов.
Однако, вследствие сложной микроструктуры контактов полупро-
полупроводника с металлом, мы ограничимся в дальнейшем наиболее ясным
случаем р—п-переходов.
Следует различать две принципиально отличные схемы включе-
включения фотоэлемента с р—n-переходом. В первой из них фотоэлемент
непосредственно замкнут на внешнюю нагрузку (рис. 11.5, а) и
Р
а)
Рис. 11.5. Схемы включения фотоэлемента (а) и фо-
фотодиода (б).
является преобразователем световой энергии в электрическую.
Такую схему включения мы будем называть «схемой фотоэлемента».
Другая схема (рис. 11.5, б) содержит во внешней цепи еще источ-
источник тока, включенный так, чтобы на р—n-переходе было напряже-
напряжение запорного знака. Это напряжение выбирают по возможности
большим, но, конечно, меньше пробойного напряжения р—п-пере-
хода. Такая схема получила название «схемы фотодиода». При этой
схеме включения существующий в цепи ток (который в темноте
есть ток насыщения р—n-перехода и в хороших диодах очень мал)
сильно изменяется при освещении и, соответственно, изменяется
и падение напряжения на нагрузочном сопротивлении R. При пра-
правильном выборе напряжения источника и внешнего сопротивления
величина электрического сигнала может быть сделана намного боль-
большей, чем в схеме фотоэлемента, и поэтому фотодиоды широко -при-
-применяются для регистрации и измерения световых сигналов. В даль-
дальнейшем мы будем рассматривать фотоэлементы только как источ-
источники тока.

356
ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ
[ГЛ. XI
Величина вентильной фотоэдс на несколько порядков больше,
чем эдс Дембера и объемная фотоэдс. Коэффициент полезного дей-
действия вентильных фотоэлементов может быть сделан достаточно
большим (см. ниже),1 и поэтому они находят техническое примене-
применение для прямого преобразования световой энергии в электрическую.
В частности, вентильные фотоэлементы используются для создания
солнечных батарей, широ-
широко применяемых на искус-
искусственных спутниках Земли
и космических кораблях.
Физическая причина
возникновения вентильной
фотоэдс заключается в том,
что потенциальный барьер
р—/г-перехода разделяет
потоки фотодырок и фото-
фотоэлектронов. Положим, что
сильно поглощаемое излу-
излучение падает на одну из
граней кристалла, парал-
параллельную плоскости р—п-
перехода (рис. 11.6). Для
определенности будем счи-
считать, что освещается /г-об-
ласть, и будем считать сна-
сначала, что фотоэлемент разомкнут. Фотоэлектроны и фотодырки будут
диффундировать в глубь кристалла, и некоторая их доля, не успев-
успевшая рекомбинировать (на поверхности и в объеме), достигнет
р—/г-перехода. Однако для основных носителей — электронов
— в р—/г-переходе существует потенциальный барьер, и поэтому
практически все они не пройдут в р-область. Напротив, для неос-
неосновных носителей — дырок — потенциального барьера нет и все
достигшие перехода дырки будут затягиваться ,полем перехода
в глубь кристалла, создавая ток ih Если g\f — темп поверхностной
генерации пар, а р — доля фотодырок, дошедших до перехода без
рекомбинации, то
ij^egsQS, D.1)
где S — освещаемая площадь. Вследствие появления «светового
тока» ij р-область будет заряжаться положительно, а /г-область —
отрицательно, и между электродами элемента появится разность
потенциалов. Поэтому в фотоэлементе, который представляет собой
обычный диод с р—л-переходом, возникнет еще дополнительный
ток 1Д, обусловленный инжекаией дырок в /г-область и электронов
в р-область и'направленный противоположно току i;. Для «идеаль-
«идеального» диода (нет рекомбинации в самом р—n-переходе, токи утечки
Рис. 11.6. Происхождение вентильной фото-
фотоэдс. Пунктиром показаны края энергетиче-
энергетических зон в темноте.

§ 4]
ВЕНТИЛЬНАЯ ФОТОЭДС
367
малы, падением напряжения в толще кристалла можно пренебречь)
этот ток дается формулой (VIII. 1.4). В результате между разомк-
разомкнутыми электродами фотоэлемента установится такое напряжение Vo,
при котором полный ток i = ij — iu = 0.
Если электроды фотоэлемента замкнуты на внешнюю нагрузку,
то напряжение между ними и будет меньше Vo и токи it и /д уже
не будут компенсировать друг дру-
друга. Поэтому в цепи возникнет ток
г-1), D,2)
Рис. 11.7. Вольтамперная ха-
характеристика идеального фото-
фотоэлемента в темноте (/) и при ос-
освещении (?)'.
где а = e/kT, a is есть ток насыще-
насыщения. Соотношение D.2) является ос-
основным в теории вентильных фото-
фотоэлементов.
Зависимость i от и для идеаль-
идеального вентильного фотоэлемента пока-
показана на рис. 11.7. Кривая / дает за-
зависимость темнового тока от напря-
напряжения и представляет собой обычную
вольтамперную характеристику тон-
тонкого р—n-перехода. При освещении
все точки этой кривой сдвигаются
вверх на одну и ту же величину t/
(кривая 2). Вследствие этого при t = 0
(разомкнутая цепь) напряжение на
фотоэлементе, не равно нулю, а зна-
значит, в нем развивается некоторая эдс Vo. Аналогично, при и — 0
(короткое замыкание) в цепи существует ток короткого замыкания.
Его величина равна световому току i{.
Из сказанного видно, что свойства идеального вентильного
фотоэлемента можно описать с помощью эквивалентной схемы из
параллельно соединенных генератора тока и идеального диода
(рис. 11.8, а). При этом, согласно закону Кирхгофа, i, = »д + i,
что и приводит к формуле D.2).
Полагая в формуле D.2) i — 0 (разомкнутая цепь), находим,
что эдс элемента равна
Ч^) <4-3>
С увеличением освещенности (увеличением ij) эдс увеличивается,
однако не пропорционально ih а по логарифмическому закону.
Конечно, это увеличение происходит не беспредельно, так'как при
возрастании освещенности уменьшается высота потенциального
барьера в р—n-переходе, и, когда барьер становится порядка kT,
увеличение эдс прекращается. Отсюда следует, что эдс не может
превышать контактную разность потенциалов между р- и п-обла-

358 ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ [ГЛ. XI
стями. Для наиболее выгодного случая, когда (без освещения)
уровень Ферми расположен вблизи краев энергетических зон,
Котах ^ Egle. Это дает, например, для германия при комнатной
температуре Vo max — 0,6 В, а для кремния VOmax ^ 1 В.
Оценим еще величину тока короткого замыкания. Для этого
рассмотрим опять конкретный пример германия и прямого, несфо-
несфокусированного солнечного излучения (gs ~ 1017 см~2с~1). Полагая
для оценки в формуле D.1) р* = 1, мы находим ij/S ~ 10~19 • 10" —
~ 10-2 А/см2 = 10 мА/см2.
В реальном фотоэлементе необходимо учитывать, во-первых,
распределенное сопротивление р- и n-областей и, во-вторых, нали-
наличие утечки по поверхности. Поэтому мы приходим к более сложной
а)
Рис. 11.8. Эквивалентные схемы идеального (о) и реаль-
реального (б) вентильных фотоэлементов.
эквивалентной схеме, показанной на рис. 11.8, б, где гг есть сопро-
сопротивление кристалла в обеих областях, а г% — сопротивление утечки.
Наличие сопротивления гх проявляется в зависимости тока
короткого замыкания от освещенности. Согласно формуле D.1)
ток короткого замыкания идеального фотоэлемента iK3 = t/ должен
быть пропорционален gs, т. е. освещенности. Это действительно и
наблюдается в широкой области изменения gs. Однако при очень
больших освещенностях увеличение iK3 становится слабее. Это
объясняется тем, что при коротком замыкании внешних контактов
элемента на самом р—n-переходе напряжение не равно нулю,
а равно !>!, причем потенциал р-области оказывается положитель-
положительным относительно n-области. Поэтому появляется ток диода 1Д,
противоположный световому току ih что и приводит к уменьше-
уменьшению 1Кз-
Приведенные выше простые рассуждения объясняют происхо-
происхождение вентильной фотоэдс и общие ее особенности. Однако при
этом мы, во-первых, не выяснили, от чего зависит коэффициент р\
учитывающий потери на рекомбинацию. Во-вторых, мы ничего не
говорили о токе насыщения is. Хотя в § VIII. 1 мы уже вычисляли
ток насыщения диода р—n-перехода, эти расчеты относились
к «толстому» диоду, у которого толщины р- и и-областей не малы

§5]
ВЕНТИЛЬНЫЕ ФОТОЭЛЕМЕНТЫ
359
i i
по сравнению с длинами диффузии. Между тем в вентильных фото-
фотоэлементах толщину освещаемой области делают по возможности
малой, чтобы увеличить коэффициент р\ и поэтому полученное
ранее выражение не применимо к реальным фотоэлементам. И, нако-
наконец, мы не касались важного вопроса о коэффициенте полезного
действия. Поэтому мы остановимся на процессах внутри фотоэле-
фотоэлемента более подробно.
§ 5. Вентильные фотоэлементы
1. Рассмотрим фотоэлемент в виде, плоскопараллельной пла-
пластинки с р—п-переходом, n-область которой освещается сильно
поглощаемым светом (рис. 11.9). Толщину освещаемой области
обозначим через d. Пластинка имеет
два металлических электрода М, М,
один из которых сплошной и располо-
расположен на тыльной стороне элемента (р-об-
ласти), а другой, чтобы не препятство-
препятствовать прохождению света, выполнен в
виде узкого кольца или узкой полоски
на крае передней стороны («-области). "" >- п р ШМ
Толщину самого р—n-перехода будем,
как и выше, считать малой (по сравне-
сравнению с длиной диффузии дырок) и, соот-
соответственно, рекомбинацией внутри пере-
перехода будем пренебрегать (расчет для
«толстых» р—n-переходов см. в [3]).
Плотность тока фотодырок в п-об-
ласти определяется главным образом
диффузией и равна
n dp /г 1\
lp = — eDp-^. E.1)
м
\
п
р
\
ч
!
I
L
О
Рис. 11.9. К диффузионной
теории вентильного фотоэле-
фотоэлемента.
Распределение дырок в n-области можно найти из уравнения непре-
непрерывности, которое для нашей задачи имеет вид
d2p 6р п /г о\
ах Lp
Будем отсчитывать координату х от освещаемой поверхности. Тогда
граничные условия будут
x = d: 8p(d)=Pn(e«a-l). E.4)
Решение уравнения E.2) при указанных граничных условиях
в общем случае имеет довольно громоздкий вид. Однако в реальных

366 ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ [ГЛ. XI
фотоэлементах всегда стремятся сделать d!Lp «^ 1. Поэтому мы
ограничимся приближенным решением для этого случая и, соот-
соответственно, пренебрежем в уравнении E.2) вторым слагаемым,
учитывающим рекомбинацию в объеме. Тогда можно считать
g- const ^«O-frW, /p = const. E.5)
Определяя здесь Ьр @) из граничного условия E.3) и подставляя
для Ьр (d) его значение из граничного условия E.4), получаем
1»~е l+s(d/Dp) ¦ <5-6>
Помимо найденной дырочной' составляющей плотности тока,
через р—«.-переход будет течь еще и электронный ток, обусловлен-
обусловленный инжекцией электронов из n-области в р-область. Так как тол-
толщина неосвещаемой области обычно бывает не очень малой и охва-
охватывает, по крайней мере, несколько диффузионных длин, то эта
составляющая тока выражается формулой, уже полученной
в § VIII.1:
!^ !). E.7)
Полная сила тока через фотоэлемент равна
Мы видим, что, в соответствии с простыми рассуждениями § 4, пол-
полный ток имеет «световую» составляющую i/ (первое слагаемое) и
составляющую от инжекции в р—и-переходе (второе слагаемое).
При этом коэффициент р" оказывается равным
Он тем меньше, чем больше скорость поверхностной рекомбина-
рекомбинации s. Ток насыщения диода для данной геометрии выражается
формулой
(
Этот ток определяется не только тепловой генерацией неосновных
носителей в объеме (второе слагаемое), но еще и тепловой их гене-
генерацией на передней поверхности фотоэлемента (первое слагаемое).
2. Рассмотрим теперь коэффициент полезного действия фото-
фотоэлемента. Согласно формуле D.2) напряжение на электродах фото-
фотоэлемента, замкнутого на произвольную нагрузку, есть
+J. ). E.11)

ВЕНТИЛЬНЫЕ ФОТОЭЛЕМЕНТЫ
361
Поэтому мощность, выделяемая во внешней цепи, равна
) E.12)
Введем для краткости безразмерные токи
y = i/is, z^Bi,lis E.13)
и обозначим через Gs полный темп генерации фотоносителей:
Gs = gsS, i^eGsfr. E.14)
Тогда выражение для Р можно записать в более удобном виде:
-у)
E.15)
Таким образом, полезная мощность зависит от величины отбирае-
отбираемого тока, т. е. от внешней нагрузки. При разомкнутой цепи {у — 0)
и при коротком замыкании
(у = z). эта мощность равна ну-
нулю и достигает максимума при
Некотором значении ут отбирае-
отбираемого тока.
Для преобразования энергии
важно иметь во внешней цепи
максимальную мощность. Диф-
Дифференцируя выражение E.15)
по у и приравнивая производ-
производную нулю, мы находим, что это
имеет место при токе ут, кото-
который удовлетворяет уравнению
A -Х- 2 цт\ In A -f- Z — ут) = Цт
(О^Ут^г). E.16)
Если освещенность очень ма-
мала, так что z <; 1, то можно по-
положить In A + г — г/т)~г—ут.
Тогда, удерживая в уравнении
E.16) только малые 1-го порядка,
находим ут = V2 z, т. е. im = V2 «/¦
Следовательно, в этом случае оптимальная сила тока равна поло-
половине тока короткого замыкания. В общем случае уравнение E.16)
требует численных расчетов. Зависимость ут от z показана на
рис. 11.10. При увеличении интенсивности света (увеличении z)
ут монотонно увеличивается и приближается к г. Максимальная
мощность во внешней цепи равна
E.17)
7 /о ia* jo3 ю* iff> io"
Рис. 11.10. Зависимость оптимально-
оптимального тока фотоэлемента ут = imlis от
светового тока г = ijlis и функции
/(г).

3Q2 ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ [ГЛ. XI
где
а ут есть корень уравнения E.16).
Положим теперь, что фотоэлемент освещается монохроматиче-
монохроматическим излучением с энергией фотонов ftw > Eg. Тогда мощность
падающего излучения Ро связана с Gs очевидным соотношением
где R — коэффициент отражения, a v — квантовый выход. Поэтому
максимальный кпд равен
Полученное выражение показывает, что и\т тем больше, чем
меньше Йсо. Так как, с другой стороны, йсо должно быть > Eg (чтобы
была генерация электронно-дырочных пар), то выгодно иметь
/ш ~ Eg. Этот результат очевиден физически, так как избыток
энергии фотона (Йсо — Eg) теряется бесполезно (в конечном счете
превращается либо в тепло, либо в излучение), что и снижает кпд.
График функции / (z) приведен на, рис. 11.10. При увеличении z
величина / (г) возрастает, а значит, увеличивается и кпд г\т. Физи-
Физический смысл этого результата заключается в следующем. Каждая
фотодырка, проходя через потенциальный уступ р—п-перехода
(рис. 11.6), приобретает определенную дополнительную энергию.
Однако эта энергия не выделяется во внешней цепи, а растрачи-
растрачивается внутри фотоэлемента. При увеличении освещенности вели-
величина потенциального уступа уменьшается, а значит, уменьшается
и бесполезная потеря энергии. Одновременно с этим увеличивается
и энергия, выделяемая во внешней цепи, которая пропорциональна
напряжению и на зажимах. Оба эти обстоятельства и приводят к уве-
увеличению кпд при возрастании освещенности.
Конечно, увеличение цт происходит только до известного пре-
предела. Это связано, во-первых, с тем, что напряжение и не может
превышать потенциального барьера в темноте и поэтому при очень
большой освещенности и уже не выражается формулой E.11).
И, во-вторых, в реальных фотоэлементах всегда имеется конечное
сопротивление р- и n-областей (и контактов), на котором падает
часть напряжения. Это падение напряжения увеличивается с ро-
ростом тока, что также ограничивает увеличение i\m.
3. Наиболее важное техническое применение вентильные фото-
элементы находят в солнечных батареях для прямого преобразова-
преобразования энергии солнечной радиации в электрическую. Так как солнеч-
солнечное излучение не является монохроматическим, то соотношение E.19)
между Ро и Gs уже несправедливо и поэтому выражение для кпд

§ 5] ВЕНТИЛЬНЫЕ ФОТОЭЛЕМЕНТЫ 363
несколько изменяется. Так как активными являются только те
фотоны, энергия которых Йсо ^ Eg, то генерация Gs пропорцио-
пропорциональна:
со
Gs ~ $ Ро ОМ d (Йсо),
где р0 (Йсо) — концентрация фотонов с энергией йсо (на единичный
интервал энергии) в световом потоке. Здесь мы положили кванто-
квантовый выход v = 1. Падающая же на фотоэлемент мощность Р6 про-
пропорциональна:
оо
Л> ~ $ Ро Фы) d (Йсо) На,
о
причем коэффициенты пропорциональности, которые мы не выписы-
выписываем, в обоих выражениях одинаковы. Поэтому вместо формулы
E.19) мы будем иметь
$ d (йсо)
p0 (fao) d (ftco) йсо
Так как солнечное излучение по спектральному составу близко
к излучению абсолютно черного тела, то для р0 (Йа>) можно вос-
воспользоваться формулой Планка (IX.3.1), полагая в ней Т = 7\ =
= 6-Ю3 К— температуре поверхности Солнца. Тогда, вводя обоз-
обозначения
х = ~, *1 = ^, E.22)
мы имеем
^s — *~^ih (y ^ (*, оъ
р~ — ~р— f \xl)t \0.Z6)
где
00
x3dx
Поэтому, учитывая формулы E.17) и E.23), мы получаем оконча-
окончательно для максимального кпд выражение
^\|)(дс1). E.25)

364
ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ
[ГЛ. XI
Оно отличается от соответствующего выражения E.20) для моно-
монохроматического излучения тем, что вместо На у нас вошло Eg и
появился дополнительный множитель а|) (д^), учитывающий, что
только часть фотонов излучения генери-
f
0,2
- /
¦/
/
[
\
1
\
\
ч
рует электронно-дырочные пары.
График функции г|э (xt) показан на
рис. 11.11. Эта функция имеет максимум,
равный около 44%, при значении хш~
= 2^2. Это значит, что при данной тем-
температуре черного излучения имеется оп-
оптимальная ширина запрещенной зоны
полупроводника Egm. Так как при 7\ =
6000 К кТ 050 В E
= 6000 К,
g р \
0,50 эВ, то Egm =
0,1
°О 1 2 3 4 5 в 7
Рис. П.П. График функции
¦ ()
= 2,2-0,50 = 1,1 эВ. Такую
ширину запрещенной зоны имеет крем-
кремний. Так как, кроме того, технология
получения монокристаллического крем-
кремния хорошо разработана, то этот мате-
материал широко используется для изготов-
изготовления солнечных батарей.
f *Л1'- Таким образом, даже при устране-
устранении всех, потерь внутри фотоэлементов
кпд солнечных батарей не может превышать tym ~ 40%. Получае-
Получаемые на практике максимальные кпд значительно меньше и, на-
например, для кремниевых фотоэлементов в настоящее время не
превышают 15-—16%. Это объясняется тем, что значительная
часть энергии растрачивается на
поверхностную рекомбинацию,
на выделение джоулева тепла
внутри элемента, а также теряет-
теряется при отражении.
Потери на поверхностную
рекомбинацию можно умень-
уменьшить, используя гетероперехо-
гетеропереходы (§ VIII.5). На рис. 11.12 по-
показана энергетическая диаграм-
диаграмма фотоэлемента с гетеропере-
гетеропереходом, в котором освещаемая
сторона состоит из полупроводника
щенной зоны Е
Eg,
ей
Г
Рис. П. 12. Энергетическая диаграмма
фотоэлемента с р — «-гетеропереходом.
n-типа с шириной запре-
gl, а тыловая сторона — из полупроводника р-ти-
па с шириной зоны Eg2 < Egl. В этом случае все фотоны с энер-
энергией Йю<?г1 поглощаются в n-области очень слабо и поэтому
р—n-переход может быть расположен дальше от поверхности фото-
фотоэлемента, чем в случае гомоперехода. Возникающий же барьер для
дырок препятствует их движению к поверхности. При этом оказы-
оказывается возможным увеличить толщину освещаемого слоя широко-

$6]
ПОВЕРХНОСТНАЯ ФОТОЭДС
365
зонного полупроводника, а следовательно,' и уменьшить внутрен-
внутреннее сопротивление фотоэлемента, что приводит к уменьшению по-
потерь энергии на джоулево тепло.
Так как фотоны с энергией На> > Egl сильно поглощаются
в n-области и практически не достигают р—n-перехода, а фотоны
с йсо<?г2 не генерируют электронно-дырочные пары в области
перехода, то такие фотоэлементы чувствительны лишь к фотонам
с энергией в интервале Egl — Eg%. Используя гетеропереходы, воз-
возможно получить кпд, превышающие 20%.
§ 6. Поверхностная фотоэдс
Особым случаем вентильной фотоэдс является так называемая
поверхностная фотоэдс. Она возникает вследствие существования
вблизи поверхности потенциального барьера, вызванного поверх-
поверхностными уровнями (§ Х.1). При ге-
генерации светом электронно-дырочных
пар вблизи поверхности, электроны и
дырки разделяются в поле потенциаль-
потенциального барьера, так же как и в поле
р—я-перехода, отчего заряд поверх-
поверхности изменяется. Поэтому при осве-
освещении появляется дополнительная
разность потенциалов между поверх-
поверхностью и объемом.
Знак этой разности потенциалов
зависит от знака поверхностного по-
потенциала до освещения. Если Ys <0
(у поверхности зоны искривлены
вверх), то фотодырки будут двигаться
к поверхности, а фотоэлектроны — от поверхности и потенциал по-
поверхности будет увеличиваться. Если Fs>0, то при освещении по-
потенциал поверхности будет уменьшаться. В обоих случаях изгиб
энергетических зон у поверхности при освещении уменьшается.
Поверхностную фотоэдс можно наблюдать с помощью «конден-
«конденсаторного» метода, схема которого показана на рис. 11.13. Здесь
исследуемый полупроводник П и прозрачный металлический элект-
электрод С (например, металлическая сетка) образуют обкладки конден-
конденсатора, который замкнут на сопротивление г. Если бы металличе-
металлический электрод был вибрирующим, то мы имели бы известную схему
Кельвина для измерения контактной разности потенциалов. Однако,
что гораздо проще, металлический электрод можно сделать непод-
неподвижным, а полупроводник освещать прерывистым светом. Тогда
возникающая при освещении поверхностная фотоэдс будет склады-
складываться (или вычитаться, в зависимости от ее знака) с темновой
контактной разностью, и на сопротивлении г появится переменное
Рис. 11.13. Конденсаторный
метод наблюдения фотоэдс.

366 ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ [ГЛ. XI
напряжение, по величине которого можно определить величину1
фотоэдс. Таким образом, поверхностная фотоэдс проявляется как
изменение контактной разности потенциалов при освещении.
Необходимо отметить, что изменение контактной разности при
освещении может быть вызвано не только поверхностной фотоэдс,
но еще и эффектом Дембера (§2), и поэтому на опыте наблюдается
сумма обоих эффектов. При этом знак эдс Дембера определяется
только знаком разности коэффициентов диффузии (Dn — Dp) и не
зависит от знака Ys. Опыт, однако, дает, что в германии и кремнии
изменение контактной разности при освещении зависит от обра-
обработки поверхности и может даже менять знак. Это показывает, что,
по крайней мере в этих полупроводниках, конденсаторная фотоэдс
обусловлена главным образом поверхностной фотоэдс.
§ 7. Фотоэлектромагнитный эффект
1. В 1934 г. И. К. Кикоин и М. М. Носков открыли новый тип
фотоэдс, которая возникает при освещении полупроводника, поме-
помещенного в магнитное поле ^фотоэлектромагнитный эффект). Наибо-
Наиболее простой случай мы имеем, если одна из граней плоскопараллель-
плоскопараллельной пластинки освещается сильно поглощаемым светом, а магнит-
магнитная индукция «В перпендикулярна направлению света (рис. 11.14).
Тогда между торцами образца, парал-
1 i В\ т\ лельнымй направлениям света и 5$, появ-
появляется разность потенциалов, а при за-
замыкании торцов в цепи возникает ток.
Фотоэлектромагнитная эдс может
быть намного больше, чем рассмотрен-
рассмотренные выше фотоэдс. Так, например, в вы-
сокоомных кристаллах закиси меди, в
которых она была впервые обнаруже-
обнаружена, при <?& — 103 Гс ее величина могла
Рис. 11.14. Фотоэлектромаг- достигать многих десятков вольт.
нитныи эффект. Физическая причина фотоэлектро-
фотоэлектромагнитного эффекта (ФЭМ) заключает-
заключается в отклонении потоков диффузии фотоэлектронов и фотоды-
фотодырок в магнитном поле (Я- И. Френкель). Полупроводник везде
в дальнейшем будем считать изотропным. Направим ось X прямо-
прямоугольной системы координат вдоль освещаемой поверхности, ось Y —
перпендикулярно этой поверхности, а. ось Z — по направлению 5J
(рис. 11.15). Если бы магнитного поля не было, то потоки фотоды-
фотодырок и фотоэлектронов были бы направлены перпендикулярно к осве-
освещаемой поверхности, т. е. вдоль оси Y, оба в одну и ту же сторону,
а создаваемые ими токи \р и /„ были бы противоположны. При
включении магнитного поля, вследствие действия силы Лоренца,
поток дырок отклоняется на угол Холла срр, а поток электронов —¦

§ 7]
ФОТОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ЭФФЕКТ
367
в противоположном направлении на угол Холла <р„, где
tg ФР = -
tg ф« = — у
G.1)
(ср. § 1.3). Поэтому возникают составляющие плотности тока jpx
и \пх, параллельные освещаемой поверхности и направленные
в одну и ту же сторону. Если пластинка не замкнута, то левый ее
торец будет заряжаться положительно, а правый — отрицательно,
в пластинке появится со-
составляющая электрическо-
электрического поля %х, а между тор-
торцами возникнет разность
потенциалов.
Таким образом, ФЭМ
эффект имеет то же про-
происхождение, что и эффект
Холла. Однако между ними
имеется и различие. В слу-
случае эффекта Холла направ-
направления токов, создаваемых
электронами и дырками,
одинаковы, а направления
потоков — противополож-
противоположны. Вследствие этого маг-
магнитное поле отклоняет оба эти потока в одну и ту же сторону, и
поэтому эффект Холла есть разностный эффект. При этом, как мы
видели (§ 1.4), результирующие угол Холла и постоянная Холла
при смешанной проводимости могут даже обращаться в нуль. В
случае же ФЭМ эффекта направления потоков дырок и электронов
одинаковы, магнитное поле отклоняет их в разные стороны, и по-
поэтому мы наблюдаем суммарный эффект обоих отклонений.
Рассмотрим теперь распределение электрического поля и плот-
плотности тока внутри пластинки. Торцы пластинки будем считать
разомкнутыми. Так как магнитное поле постоянно во времени, то
согласно уравнениям Максвелла rot S = 0. Это дает, что
rot* 6 = -=-? —~ = 0.
дх ду
Если длина пластинки (в направлении X) достаточно велика, то
все величины вследствие симметрии системы не зависят от коор-
координаты х, и поэтому dfbyldx — 0. Отсюда следует, что
Рис. 11.15. Электронные и дырочные токи
при ФЭМ эффекте. Магнитная индукция на-
направлена от чертежа к читателю.
ду
= const,
т. е. что продольная составляющая электрического поля не зави-.
сит от у. Поэтому напряжение ФЭМ эффекта между любой парой

368
ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ
[ГЛ. XI
точек а и b {рис. 11.15) на освещенной поверхности такое же, как
и между равноудаленными точками а" и Ь' на темновой поверхности.
Этим обстоятельством пользуются при измерениях напряжения
ФЭМ эффекта и располагают измерительные зонды на задней сто-
стороне пластинки, чтобы исключить появление вентильной фотоэдс
в контактах зонд—полупроводник.
" Найдем теперь форму эквипотенциальных поверхностей. Элек-
Электрическое поле S в. каждой точке складывается из постоянной
составляющей &х и поля &у, которое есть поле амбиполярной диф-
диффузии (поле эффекта Дембера, § 2). Поэтому суммарное поле 6,
вообще говоря, направлено под углом к освещаемой поверхности
(рис. 11.16, а). Однако, вследствие рекомбинации электронов и
дырок, поле $у затухает при увеличении у и поэтому на расстоя-
С в
а)
Рис. 11.16. Эквипотенциальные поверхности при ФЭМ эффекте в разомкнутом
образце без электродов (а) и с электродами (б). Пунктир — линии электрического
поля.
нии нескольких длин диффузии S становится параллельным осве-
освещенной поверхности. Восстанавливая отсюда форму эквипотен-
эквипотенциальных поверхностей, которые ортогональны к о, мы получаем
картину рис. 11.16, а.
Такая форма эквипотенциальных поверхностей будет, конечно,
только в том случае, когда торцы пластинки не имеют металличе-
металлических электродов. При наличии электродов эквипотенциальные по-
поверхности вблизи торцов искажаются, так как, поверхность каждого
из электродов должна совпадать с одной из эквипотенциальных
поверхностей. Поэтому мы получаем ¦более сложную картину, пока-
показанную на рис. 11.16, б, где изображены также силовые линии
электрического поля. Это искажающее влияние электродов необхо-
необходимо учитывать при измерении напряжения ФЭМ эффекта, а для
этого нужно располагать измерительные зонды на достаточном рас-
расстоянии от торцов пластинки.
Обратимся теперь к распределению токов. Для бесконечно длин-
длинной пластинки полный ток в направлении У в любой точке равен
нулю:
= 0. G.2)

§7] ФОТОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ЭФФЕКТ 369
Если торцы пластинки замкнуты накоротко, то &х = 0 и, соответ-
соответственно, тока дрейфа нет. Поэтому плотность тока определяется
только диффузией в магнитном поле и равна
(y). G.3)
При разомкнутых торцах добавляется еще ток дрейфа и плотность
тока равна
ix(y) = o$x + jf(y), G.4)
где or — удельная электропроводность. При этом направления
токов дрейфа и диффузии противоположны (ср. рис. 11.15). Так
как 8* не зависит от у, а /*3 затухает при увеличении у, то вблизи
освещенной поверхности преобладает ток диффузии, а в глубине
пластинки остается только один
ток дрейфа и направление тока свет ^
становится противоположным. { \ | j. { 0
Вследствие этого в пластинке
возникают замкнутые линии то-
тока. Для случая разомкнутой
пластинки конечной длины они
показаны на рис. 11.17. При этом
пластинка приобретает опреде-
определенный магнитный момент, ко-
который можно обнаружить ЭКСПе- Рис. 11.17. Линии тока при ФЭМ эф-
риментально. фекте в разомкнутом образце без элек-
Найдем теперь величину ФЭМ тродов.
эффекта. Для этого можно было
бы рассмотреть разомкнутую пластинку и вычислить напряжение
холостого хода. Однако проще оказывается вычислить ток корот-
короткого замыкания iK3, протекающий через все сечение пластинки.
Обе эти величины, как и для всякого источника Тока, связаны
соотношением
G.5)
где R — полное сопротивление пластинки, и поэтому, зная *"кз,
можно определить и Vo.
Из сказанного выше следует (ср. рис. 11.15), что
/кз=7р sin Фр-Нл sin ф„,
а из формулы G.2) имеем
fn = )р cos фр - in cos фя = 0.
Поэтому, выражая /„ из второго соотношения и подставляя его
в первое, находим
G.6)

370 ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ [ГЛ. XI
где для сокращения обозначено
e = ep + eB = tgq)p + tg^. G.7)
Сила тока короткого замыкания (рассчитанная на единицу ширины
пластинки) есть
d d
/кз = J /Кз {у) dy = Q\ jpy (у) dy, G.8)
о о
где d— толщина пластинки. Таким образом, задача сводится к вы-
вычислению нормальной составляющей тока диффузии \ру (у).
Расчет особенно прост при выполнении следующих условий:
1) нет заметного прилипания на ловушки, так'что бр = Ьп; 2) интен-
интенсивность света мала; тогда коэффициент диффузии D и время жизни т
не зависят от у; 3) магнитное поле слабое, © «^ 1. В этом случае
можно считать, что длина диффузии L заметно не изменяется в маг-
магнитном поле. Кроме того, можно пренебречь эффектом магнетосо-
противления и (при слабом освещении) считать, что а (S3) си. а0,
где о0 — удельная проводимость без освещения и без магнитного
поля. И, наконец, 4) пластинка не очень тонкая (d/L ^ 2 -*- 3),
так что бр (d) <^ бр @). Тогда мы имеем
При сделанных предположениях бр @) выражается форму-
формулой (Х.6.9):
Поэтому для 1КЗ получается окончательно
3 G.9)
В слабых магнитных полях ток короткого замыкания пропорцио-
пропорционален магнитной индукции S3.
Оценим теперь величину эффекта. Рассматривая, как и в преж-
прежних примерах, чистый германий при 300 К, мы имеем цпН ^
~4-103 см2/В-с= 12-Ю5 ед. CGSE, (лр//~6-105 ед. CGSE, что
при S3 = 1-Ю3 Гс дает 0~6-1О~2. Следовательно, при выбран-
выбранном S3, 0 <; 1 и формула G.9) применима. Положим, далее, gs —
— 1017 см-с, L~0,l см (что типично для чистого германия при
комнатной температуре) и S -^ 1. Тогда по формуле G.9) находим
/кз _ ю-* А/ем. Если длина пластинки ~1 см, а толщина ~-0,1 см,
то ее сопротивление (тоже на единицу ширины) будет порядка
102 ¦*¦ 103 Ом • см. Поэтому напряжение между концами разомкнутой
пластинки будет Vo = iK3-R ~ 10—100 мВ.

§ 7] ФОТОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ЭФФЕКТ 371
ФЭМ эффект используют в чувствительных приемниках инфра-
инфракрасного излучения. Он широко применяется также для измерения
времени жизни неравновесных электронов и дырок. Если известен
темп поверхностной генерации gs (т.е. интенсивность активного
света) и скорость поверхностной рекомбинации s, то, измеряя iK3,
можно по формуле G.9) найти L (= ]/?Н), а следовательно, и т.
Практически, однако, гораздо удобнее одновременно исследовать ФЭМ эф-
эффект и фотопроводимость, что позволяет исключить влияние поверхностной ре-
рекомбинации и не требует измерения интенсивности света. Для этого используют
метод компенсации ФЭМ эффекта и фотопроводимости, в котором к торцам пла-
пластинки прикладывают еще небольшое постоянное напряжение и. Тогда в пла-
пластинке, дополнительно к току i"||M, появляется еще ток фотопроводимости,
выражаемый формулой (Х.6.10):
Здесь мы положили ширину пластинки равной единице и заменили § на и/1,
где / — длина пластинки. Затем величину и знак напряжения и подбирают так,
чтобы результирующий ток обратился в нуль, что соответствует условию i^3tt =
— (фп- Приравнивая выражения G.9) и G.10), мы получаем
w
При этом темп генерации пар gs и скорость поверхностной рекомбинации S исклю-
исключаются.
ФЭМ эффект с успехом используют также для измерения ско-
скорости поверхностной рекомбинации. Если известна объемная длина
диффузии L, то по формуле G.9) можно найти S. Конечно, для
этого влияние поверхностной рекомбинации должно быть доста-
достаточно велико, т. е. нужно иметь S ^> 1. Для намерения S, однако,
удобнее пользоваться тонкими пластинками (d/L < 1). При этом
вместо формулы G.9) получается другое соотношение, на котором
мы останавливаться не будем.
2. В приведенном выше расчете мы предполагали, что магнит-
магнитное поле слабое, и, соответственно, считали, что длина диффузии L
и коэффициент диффузии D не изменяются при включении маг-
магнитного поля. Если магнитное поле нельзя считать слабым, то для
вычисления ?кз нужно рассмотреть задачу о диффузии в магнитном
поле. В Приложении VII показано, что если 9 j> 1 и, кроме того,
т/> Ф т„ (но по-прежнему освещение слабое), то формула G.9)
остается справедливой и в этом случае, если только L заменить
на длину диффузии в магнитном поле L*, a D — на коэффициент
диффузии в магнитном поле D*. При этом
*=]/?>*Тфэм , ('-»^/

372 ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ [ГЛ. XI
а тфэм есть некоторое комбинированное время, определяемое фор*
мулой
"фэм «о+Л> ' v ' *"'
Здесь п0 и р0 — равновесные концентрации электронов и, соответ-
соответственно, дырок. Это время называют «временем жизни фотоэлектро-
фотоэлектромагнитного эффекта». Из формулы G.13) видно, что для примесного
полупроводника (п0 ^> р0 или р0 ^ п0) оно практически совпадает
е временем жизни неосновных носителей. Величина же D* равна
D ==Dbr << . an , . /, , дп. GЛ4)
Здесь
D =
."« 4- —
Dp E>n
есть коэффициент амбиполярной диффузии без магнитного поля,
a b = \in/\ip. При выводе этих формул считалось: \хрН = цр, ц„н =
= ц„ (что не вносит большой ошибки). Кроме того, считалось, что
полупроводник не вырожден, и использовалось соотношение Эйн-
Эйнштейна \ijpp = DJDp. В слабых полях (в^, вр <; 1) D* переходит
в обычный коэффициент амбиполярной диффузии D.
Таким образом, в сильных магнитных полях пропорциональ-
пропорциональность между tK3 и <й? нарушается. При этом зависимость tK3 (<Щ
различна при малой и большой скоростях поверхностной рекомби-
рекомбинации. Из формулы G.9) видно, что при S <J1, t'K3 — L<ffi. С дру-
другой стороны, из формул G.12) и G.14) следует, что в сильном поле
(в > 1) D*.~l/a®?, а следовательно, Ь* — 1/<а39. Поэтому iK3
перестает зависеть от Ш и достигает насыщения. В другом предель-
предельном случае S^l, iK3 ~~D*<?® и в сильном поле уменьшается,
как l/sS&. Вследствие этого при постепенном увеличении магнитного
поля гкз сначала растет линейно, затем проходит через максимум
и снова уменьшается. Оба эти типа зависимостей наблюдаются
на опыте.
Если пластинка не является толстой (т. е. dIL* < 1), то исполь-
использованное . нами условие бр (d) <J бр @) уже несправедливо и полу-
полученные соотношения теряют силу. Расчет ФЭМ эффекта для слу-
случая пластинок произвольной толщины (для малой и большой интен-
интенсивности света) в слабом магнитном поле подробно изложен в ра-
работе [5].
3. Выше мы предполагал и у что свет поглощается очень сильно
(поверхностная генерация) и что магнитная, индукция ей перпен-
перпендикулярна направлению распространения света. При освещении
проникающим излучением диффузионные потоки электронов и
дырок изменяются, и поэтому изменяется и величина ФЭМ эффекта.

5 7]
ФОТОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ЭФФЕКТ
373
Свет
\ \ \ \ \ \
При этом, как правило, эдс уменьшается и может даже изменить
знак. Последнее происходит в том случае, когда скорость поверх-
поверхностной рекомбинации на передней поверхности больше, чем на
задней. Тогда концентрация фотоносителей у задней поверхности
становится больше, чем у перед-
передней, и потоки диффузии направле-
направлены противоположно направлению
распространения света. ч
Если S3 не перпендикулярно
световому потоку, то, помимо рас-
рассмотренного линейного ФЭМ эф-
эффекта (в слабых магнитных полях
пропорционального S3), возникает
еще квадратичный эффект, пропор-
пропорциональный S32. Качественное объ-
объяснение квадратичного ФЭМ эф-
эффекта заключается в следующем.
Положим, что освещаемая поверх-
поверхность перпендикулярна оси Y, a S лежит в. плоскости YZ и обра-
образует с Z угол ф (рис. 11.18). Тогда г— составляющая индукции
S3 cos ф вызывает обычный линейный эффект, г ток короткого
замыкания »(в слабых магнитных полях) пропорционален S3 cos q>
и направлен вдоль оси X. Однако теперь на этот ток- действует
еще у — составляющая индукции S3 sin ф, которая поворачивает
его в плоскости XZ. Поэтому вдоль оси Z появляется состав-
составляющая тока t|3, пропорциональная S3 cos ф S3 sin ф — <^92зт2ф,
а при разомкнутой пластинке — соответствующее напряжение хо-
холостого хода. Эта зависимость приближенно наблюдается и на
опыте.
Г
Рис. 11.18. Квадратичный ФЭМ
эффект.

Глава XII
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
§ 1. Малые колебания
Рассмотрим задачу о малых колебаниях атомов кристаллической
решетки около положений равновесия. Будем рассматривать кри-
кристалл с произвольным (равным г) числом атомов в элементарной
ячейке. Равновесное положение любого атома в решетке можно
задать с помощью двух величин, одна из которых указывает номер
атома в ячейке, а другая — положение данной ячейки в кристалле.
Номер атома в ячейке обозначим через h (I sg h =s? r). Положение
ячейки в кристалле можно задать радиус-вектором р какой-либо
ее точки, например центра или одного из атомов. Примем одну из
ячеек за начальную, направив оси координат вдоль главных осей
кристалла. Тогда компоненты радиус-вектора любой ячейки будут
целыми кратными соответствующих" компонент вектора решетки а:
P = {gxax, gyay, gzaz}. A.1)
Здесь gx, gy, gz— целые числа (или нули); их можно рассматри-
рассматривать как компоненты некоторого вектора g. В качестве основного
объема *) кристалла выберем куб, вдоль сторон которого уклады-
укладывается Gx = L/ax, Gy = Ыау и Gz = Ыаг элементарных ячеек
(таким образом, общее число их есть GxGyGz = G). Тогда
0^ga^Ga, a = x, у, z. A.2)
(Строго говоря, в правых частях неравенств должно стоять число
Ga— 1, но ввиду колоссальности числа Ga единицей можно прене-
пренебречь.) Для краткости будем обозначать совокупность значков h
и gx, gy, gz одним индексом а: .
a = {h, gx, gy, gz]. A-3)
Пусть Ra—тройка координат а-го атома, а Ма — его масса.
Кинетическая энергия решетки будет
faRS, A-4)
** шшт
т^ттр" D ~~ /tD f/It
*) Как и в гл. III, основной объем определяется как достаточно большая
область кристалла, на границах которой физические условия одинаковы. Воз-
Возможность ввести основной объем связана с тем, что мы не интересуемся поверх*
ностными свойствами кристалла, считая его достаточно большим.

§ 1] МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 375
Потенциальная энергия решетки V представляет собой неко-
некоторую функцию всех переменных Ra. Явный вид ее при произволь-
произвольном расположении атомов может быть очень сложен. Для наших
целей, однако, достаточно заметить, что атомы совершают лишь
малые колебания около положений равновесия (координаты послед-
последних обозначим через Ra'). Поэтому функцию V можно представить
в виде разложения Тэйлора по степеням отклонений атомов от
точек равновесия. Разность Ra — Ra' мы будем называть векто-
вектором смещения a-го атома и обозначать через Qa:
Qa = Ra-R°. A.5)
Обозначим для краткости всю совокупность переменных Ra (Ra)
символом R (R°) и примем во внимание, что при R = R0 потен-
потенциальная энергия V имеет минимум — по определению положения
устойчивого равновесия. Получим
V {R) = V (R0) + у 2 C''Qa,a&<. «' + -.. A -6)
а, а'
Точками здесь обозначены члены высшего порядка по компонен-
компонентам вектора смещения. Величина V (R0) — потенциальная энергия
в точке равновесия — в интересующем нас круге задач предста-
представляет собой просто аддитивную постоянную. Ее можно вообще
исключить из рассмотрения, выбрав соответствующим образом
начало отсчета энергии.
Коэффициенты Г«?' суть вторые производные от V по смещениям,
взятые в точке минимума:
ra<x' _
A an' — "
laa
A.7)
Очевидно, они симметричны относительно перестановки штрихо-
штрихованных и нештрихованных индексов:
laa' — i-a'a' К1-1 )
Действительно, такая перестановка сводится просто к переста-
перестановке порядка дифференцирования, что не влияет на результат.
Из условия минимальности потенциальной энергии при R = R"
следует, что величины A.7) при а = a', a = а' положительны:
ГГ>0. A.7")
Наконец, еще одно, важное для дальнейшего, свойство коэффи-
коэффициентов Г0"*,' можно установить, замечая, что все элементарные
ячейки в основном объеме кристалла физически эквивалентны.
Отсюда следует, что энергия взаимодействия между атомами может
зависеть лишь от положения их в ячейке и от относительного рас-

3.76 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. ХЛ-
положения ячеек, в которых они находятся, но не от номеров этих,
ячеек по отдельности:
g-g'). A.8)
В принципе значения Т%%,' можно было бы вычислить, зная
силы взаимодействия между атомами. Это, однако, требует весьма
громоздких расчетов. В ряде задач (в частности, в задаче о расеея-
нии электронов) достаточно рассматривать Tf*,' просто как извест-
известные параметры, характеризующие данную решетку. Комбинации
этих параметров, фактически входящие в окончательные резуль-
результаты (например, скорость звука), можно определять непосредст-
непосредственно из опыта.
Полная энергия системы атомов, совершающих малые колеба-
колебания около периодически расположенных положений равновесия,
дается, суммой выражений A.4) и A.6). Опуская аддитивную по-
постоянную V (R0), мы имеем
н=у 2 Ма<*°+т 2 г^; (g ~g/) Q°aQc «•• A -9)
a a, a'
При переходе к квантовомеханическому рассмотрению векторы
смещения Qa и сопряженные им импульсы MaQa следует заменить
соответствующими операторами. Мы сделаем это несколько позднее,
преобразовав сначала выражение A.9) к более удобному виду,
§ 2. Нормальные координаты
Выражение A.9) представляет собой энергию системы связан-
связанных гармонических осцилляторов, координаты которых суть Qa.
Эта связь обусловлена наличием в A.9) «перекрестных» слагаемых
Tgf/Qa, aQa', а' при а' Ф а, а' Ф а. В результате происходит не-
непрерывный обмен энергией между осцилляторами. Энергия каждого
из них в отдельности не является интегралом движения. Соответ-
Соответственно зависимость Qa от времени отнюдь не имеет вида простого
гармонического колебания, а оказывается довольно сложной.
Естественно попытаться ввести вместо Qa новые перемеяяые так,
чтобы энергия системы, будучи выражена через них, не содержала
перекрестных членов. Эти переменные называются нормальными
координатами. По определению энергия системы, как функция
нормальных координат и соответствующих им скоростей (или им-
импульсов), представляет собой сумму энергий независимых гармони-
гармонических осцилляторов. Соответственно нормальные координаты ме-
меняются со временем по простому гармоническому закону (каждая,
вообще говоря, со своей частотой). Колебания, совершаемые нор-
нормальными координатами, также называются нормальными.

§ 2] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 377
Определение нормальных координат и частот, с которыми они
колеблются, представляет' собой, очевидно, не что иное, как задачу
о приведении квадратичной формы A.9) к сумме квадратов. Как
известно из линейной алгебры, для этой цели надо произвести
линейное преобразование переменных, т. е. в нашем случае предста-
представить векторы смещения отдельных атомов Qa как линейные ком-
комбинации новых обобщенных координат. Вид этой линейной комби-
комбинации в интересующей нас задаче можно в известной мере предуга-
предугадать, принимая во внимание физическую эквиьалентность всех
элементарных ячеек в основном объеме кристалла. Действительно,
на основании этой эквивалентности следует ожидать, что амплитуды
смещений соответственных атомов в различных ячейках будут оди-
одинаковы и при переходе от одной ячейки к другой будет меняться
только фаза колебаний. По этой причине попытаемся представить
векторы смещения в виде
Q» @ = ^7 2 &* в, *) П (Я. V 0 e"»}. B.1)
4, s
Здесь множитель G~ введен для удобства в дальнейшем; q — неко-
некоторый вектор, определяющий изменение фазы при переходе от одной
ячейки к другой; р — вектор A.1)'; комплексные величины х\ (q, s, t)
играют роль новых обобщенных координат (зависящих от времени);
5л (q, s) — векторы, которые надлежит подобрать так, чтобы при
подстановке B.1) в A.9) «перекрестных» членов не было. Индекс
s нумерует различные возможные типы нормальных колебаний, ха-
характеризуемых одним и тем же вектором q. Необходимость ввести
этот индекс ясна хотя бы из следующих соображений. Поскольку
обобщенные координаты i\, по определению, должны гармонически
зависеть от времени, выражение B.1) представляет собой сумму
волн. Направление распространения каждой такой волны опре-
определяется вектором q, а направление колебаний h-ro атома — век-
вектором t,%. В зависимости от угла между этими векторами мы можем
иметь различные типы волн с одной и той же длиной, например
продольные и поперечные. Именно это обстоятельство и отражается
индексом s *).
Вектор q называется квазиволновым. Название связано с оче-
очевидной аналогией между выражением B.1) и набором волн в сплош-
сплошной среде. В следующем параграфе мы увидим, однако, что (как
и в случае электронов в решетке, § III.2) эта аналогия неполна,
почему и не используется термин «волновой вектор».
Возможные значения компонент q определяются граничными
условиями, накладываемыми на векторы смещения. Как и в гл. III,
рассматривая систему в, основном объеме V, удобно наложить
*) В решетках, содержащих более одного атома в элементарной ячейке,
есть и другие причины, требующие введения индекса s "(см. ниже, § 3).

378 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
условия периодичности на его границах. Тогда компоненты q
даются формулами вида (III.3.10), в которых следует положить
La = Gaaa, a = x, у, г.
Заметим, что величины ц (q, s, t) — комплексные нормальные
координаты— не независимы. Действительно, в правой части B.1)
стоят комплексные числа, в то время как компоненты вектора сме-
смещения должны быть вещественными. Это возможно, если выпол-
выполняется равенство
, s)T](q, s, *) = g*(-q, sL* (-q. «, 0- B,2)
Действительно, выражение, комплексно сопряженное правой ча-
части B.1), есть
2
Ч. s
Заменяя здесь переменные суммирования qx, qy, qz на —qx, —qy,
*—qz, получаем
C-1/22S*(-Q, sL*(-q, s, *)е*и».
4, «
В силу B.2) это есть не что иное, как сама правая часть B.1). Таким
образом, она совпадает с сопряженным ей выражением, т. е. ока-
оказывается вещественной.
Подставим выражение B.1) в правую часть A.9). Принимая во
внимание A.8), получим
Я = Т+У, B.3)
где
q.q's, s' Л
ХЦ (q s 0 Ц (q' s' t) 2]
ХЦ (q, s, 0 Ц (q', s', t) 2] егй + ч'. р), B.4)
X ?Ла (q, s) U-a- (q'f s') т] (q, s, Q т] (q', &', i) el (чр+ч'рП. B.5)
Как показано в Приложении VIII,
2>(a + i'.P> = G8q + q>,0, B.6)
g
где e^q', о есть символ Кронекера, равный единице при q + q' = 0
и нулю при q + q' Ф 0.
Следовательно, выражение B.4) с учетом B.2) принимает вид
Т = Т 2 2 2 M^to (q« s) ^ (q> 5'} ч &> s' I* ^* (Ч, s'. О- B.4')
q s, s' Л

§ 2] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 379
Обратимся теперь к вычислению суммы по g и g' в правой части
B.5)-, Заменим переменные суммирования, полагая
2g2 B.7)
и, соответственно,
Получим с учетом B.6)
= 2 Гй? fe) e'72<4"q'-Pl) 2 ei(ч+ч'-р2)
Пределы суммирования здесь легко устанавливаются на основании
B.7) и A.2): —G, «ssft* <б,ит. д.
Введем обозначение
S q). B-9)
Si
Тогда выражение B.5) с учетом B.2) и B.8) принимает вид
s, s' h, ft' q
Из формул B.3), B.4') и B.5') видно, что слагаемые с различ-
различными q не «перемешиваются» в выражении для полной энергии:
последняя представляется суммой членов, каждый из которых от-
относится только к одному вектору q. Это означает (с учетом A.1)),
что зависимость от q в линейной комбинации B.1) выбрана правиль-
правильно и нормальные колебания действительно можно характеризовать
квазиволновым вектором q. Осталось потребовать, чтобы в выра-
выражениях B.4'), B.5') обратились в нуль слагаемые cs=/=s', Можно
убедиться, что это условие выполняется, если величины ?Ла удовле-
удовлетворяют системе уравнений
Ц Iw' (q) ke (q, s) = a! (q) Mh^a. (q, s), B.10)
где <as (q) — некоторые числа размерности частоты. (Из дальней-
дальнейшего будет видно, что они представляют собой-не что иное, как
частоты нормальных колебаний.) Действительно, в Приложении JX
показано, что из системы B.10) вытекает условие ортогональности
«') = 0, s' ф s. B.11)

380 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. Xlf
Из соотношений B.10) и B.11) сразу видно, что слагаемые
с s' Ф s действительно обращаются в нуль как в B.4'), так и в B.5').
Виден также формальный смысл индекса s: он нумерует различные
решения системы B.10) (при заданном векторе q).
Отметим некоторые важные свойства системы B.10). Прежде
всего, из соотношения симметрии A.7') и определения B.9) выте-
вытекает равенство
r&'(q) = [r?JF(-q)r. B.12)
Таким образом, матрица коэффициентов в B.10) переходит сама
в себя, если заменить q на —q и одновременно выполнить комплекс-
комплексное сопряжение. То же, очевидно, справедливо и для детерминанта
этой матрицы и для его миноров, а потому и для величин ($1 (q) и для
векторов ? (q, s), которые через них выражаются:
s) = 6*(-q. s), <o!(q) = [«oi(-q)]*. B.13)
Еще одно свойство коэффициентов Г^,' (q) можно установить,
замечая, что потенциальная энергия кристалла, равно как и ее
производные по смещениям, должна быть инвариантной относи-
относительно сдвига решетки как целого. Действительно, при таком
сдвиге расстояния между атомами не меняются, а потому не могут
измениться и силы взаимодействия между ними. С другой стороны,
формально мы можем, смещая все а'томы на постоянный вектор Qo,
вычислить изменение потенциальной энергии или ее производных
при таком сдвиге. Требуя, чтобы это изменение обращалось в нуль,
получим некоторое тождественное соотношение между коэффициен-
коэффициентами r««'(q|.
Удобно рассмотреть первую производную от потенциальной
- dV
энергии по дакои-нибудь компоненте вектора смещения -щ--.—т.
(тот факт, что она равна нулю в условиях равновесия, не играет
роли). Очевидно, изменение ее при сдвиге Qo есть
dV dV
dQa (p. h) dQa (p, ft)
_ Vf V! d*V_
, h)dQa,{p',h')
A'= 1 g'
Здесь индекс «О» указывает, что соответствующая величина вычис-
вычисляется при Qo = 0, а многоточием обозначены члены, содержащие
высшие степени компонент Qo. Их мы всегда можем отбросить,
считая величину | Qo | достаточно малой. Принимая во внимание
определение величин Г??' (см. A.7)), мы получаем из B.14)
Суммирование по g', очевидно, можно заменить суммированием
по разности g— g'.= g", Поскольку компоненты QOf a. независимы,

$ 2] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 381
равенство B.15) дает
S E0. B.16)
h'=l g'
Ради единства обозначений мы заменили здесь индекс суммирова-
суммирования g" на g'. Соотношение B.16) должно выполняться тождественно
для любой кристаллической решетки.
В частности, в простой решетке, когда в элементарной ячейке
имеется всего один атом (г = 1), суммирование по Ы отпадает
Щ = h ~ 1) и тождество. B.16) принимает вид
2J^0. B.16')
g'
Обращаясь теперь к определению B.9), видим, что сумма по g'
в левой части B.16) есть не что иное, как значение Г??' (q) при
q = 0. Таким образом, мы имеем
Z Г^'(ЧIч=о = О. B.17)
/»'= i
В простой решетке сумма по Ы отпадает (h =¦ h! = 1) и
Hf о = О. B.17')
Система уравнений B.10) представляет собой стандартную мате-
математическую задачу на собственные значения: величины со, (q) и
Сла (q. s) суть, соответственно, собственные значения и собствен-
собственные векторы матрицы Fj*»' (q). Согласно B.12) эта матрица эрми-
эрмитова. В линейной алгебре доказывается, что собственные значения
таких матриц со| (q) вещественны. Основываясь на свойстве мини-
минимальности потенциальной энергии в положении равновесия, можно
доказать также II], что собственные значения col (q) неотрицательны,
т. е. сами частоты со4 (q) вещественны. В сочетании с B.13) отсюда
следует
МЧ) = М-Ф. B,18)
т. е. частоты нормальных колебаний суть четные функции квази-
квазиволнового вектора.
При s' = s сумма в левой части B.11) отлична от.нуля. Ее зна-
значение в этом случае можно назначить по произволу. Действительно,
из формулы B.1) видно, что изменение вектора gft (q, s) на постоян-
постоянный множитель сводится (при заданном векторе смещения Qa)
просто к изменению масштаба обобщенных координат г\. Далее,
система B.10) однородна и, следовательно, также определяет th (q. s)
лишь с точностью до постоянного множителя.. Выбор последнего
есть вопрос удобства. Для дальнейшего удобно сохранить за коор-
координатами т) размерность длины. Тогда функции ?h (q, s) должны

382 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
быть безразмерными и условие нормировки удобно записать в виде
2M*lgft(q. s)l2 = Af. B.19)
/1=1
Здесь М есть масса элементарной ячейки:
В частности, если массы всех атомов одинаковы, то вектор ?А ока-
оказывается единичным:
|gA(q, *)|2=1. B-19')
Подставляя теперь выражения B.4') и B.5') в формулу B.3)
и пользуясь равенствами B.10), B.11) и B.19) мы получаем
Я = \^ М {| ч (q, s, О I2 + fi>J (q) h (q, s, /) |2}. B.20)
Это выражение формально похоже на энергию системы независи-
независимых гармонических осцилляторов, частоты которых равны <as (q).
Однако, как уже отмечалось, комплексные нормальные координаты
т) (q, s, t) фактически не независимы, а связаны условием B.2).
Последнее, согласно B.13), можно переписать в виде
r\(q;s,f) = i\*(-q,s,f). B.2')
Чтобы представить энергию системы в виде суммы энергий не- ¦
зависимых гармонических осцилляторов, надо выразить комплекс-
комплексные величины ц (q, s, t) через вещественные нормальные координаты
так, чтобы условие B.2') удовлетворялось автоматически. При этом
вещественные нормальные координаты, которые мы обозначим через
х {q, s, t), должны гармонически зависеть от времени. Мы обеспе-
обеспечим это, подчинив их уравнению (впредь для краткости мы не
будем выписывать аргумент t у функции х (q, s, t))
x(q, s)+<02(q, s)*(q, s) = 0. B.21)
Положим
T](q, s, t) = -2\x(q, s)-\-x(—q, s) +
+ йчТ1гf-* (q>s) -i (- q. s)i}• <2-22)
Непосредственно видно, что условие B.2') при этом удовлетворя-
удовлетворяется, Заметим, далее, что, согласно B.21) и B.22),
1
[-q, s)-
- ш (q, s) [х (q, s) - x(-q, s)]}. B.23)

§ 2] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 383
Подставляя выражения B.22) и B.23) в правую часть B.20),
находим окончательное выражение для энергии кристаллической
решетки, совершающей малые колебания около положений равно-
равновесия:
Н = 1J {Mx> (q, s) + Мсо2 (q, s) r> (q, s)}. B.24)
q.s
В правой части B.24) стоит сумма энергий независимых гармони-
гармонических осцилляторов, частоты которых равны а> (q, s), a массы
равны М. Координаты этих осцилляторов представляют собой ис-
искомые нормальные координаты решетки.
Для перехода к квантовой теории удобно вместо обобщенных
скоростей х (q, s) ввести соответствующие импульсы
p(q, s) = Mi(q, s). B.25)
Тогда
, s)}.
P% } B.24')
q. s
Выразим теперь нормальные координаты через векторы сме-
смещения. Пользуясь формулами B.6) и B.1), мы получаем
Л (q, s, t) = ± 2 М*& a. «55. a D. «) е-'чр. B.26)
g, ft
Отсюда видно, что в идеальной решетке каждое нормальное колеба-
колебание охватывает, вообще говоря, все атомы и не может быть припи-
приписано какому-то одному из них. Иначе говоря, нормальные коорди-
координаты описывают коллективные движения частиц системы.
Применим уравнение B.10) к частному случаю линейной цепочки
одинаковых атомов, вытянутой вдоль оси х. При этом «элементар-
«элементарная ячейка» состоит из одного атома (г = 1), т. е. всюду следует
положить Ь! = h = 1 и Мн = М; векторные индексы а, а' также
принимают лишь по одному значению (а' = а = я). Соответст-
Соответственно значки h, h', a, a' можно вообще опустить, и уравнение
B.10) принимает вид
r(q)C(q, s) = Ma)J(q)S(q, s). B.27)
Это уравнение имеет нетривиальное решение лишь при
B.28)
Таким образом, здесь возможен лишь один тип нормальных
колебаний; по этой причине индекс s также можн© опустить. Век-
Вектор р (см. A.1)) имеет теперь лишь одну компоненту р = ga, где
g — номер атома в цепочке, а a — расстояние между соседними
атомами, Соответственно равенства A.7), B.9) и B.17') принимают

384
вид
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
+ 00
[ГЛ. XU
B.29)
B.30)
Г@) + 2
B.31)
При этом, в силу A.7"), Г @) > 0. Принимая во внимание это
обстоятельство и пользуясь равенством B.31), можем переписать
выражение B.30) в виде
B.30')
причем
- 2 Г<й)>0.
Наконец, вместо равенства B.19') мы получаем
Таким образом, частоты нормальных колебаний даются выра-
выражением
- 2
При малых значениях волнового числа q это дает
B-32)
B.32')
§ 3. Частоты нормальных колебаний. Акустические
и оптические ветви
Обратимся к более подробному рассмотрению однородной си-
системы уравнений B.10). Она имеет нетривиальные решения, лишь
если детерминант ее обращается в нуль:
-AVol Ц»
lr
П
Г«
гУУ—М ш! Туг Тух
n
-0. C.1)

§ 3] АКУСТИЧЕСКИЕ И ОПТИЧЕСКИЕ ВЕТВИ 385
Поскольку индекс h меняется от 1 до г, а а = х, у, г, это есть урав-
уравнение степени Зг относительно со*. При заданном векторе q оно
имеет Зг корней — собственных частот системы. Соответственно мы
получаем Зг, вообще говоря, различных функций g (q, s), описываю-
описывающих различные «ветви» колебаний.
Компоненты вектора q при этом играют роль параметров. При
изменении их собственные частоты и собственные векторы, разу-
разумеется, меняются. Зависимость со5 от q называется законом диспер-
дисперсии для нормальных колебаний s-й ветви. Некоторые сведения
о законе дисперсии уже были получены в предыдущем параграфе:
как "мы знаем, частоты представляют собой вещественные и четные
функции q. Далее, легко убедиться, что Ты?' (q) периодически за-
зависит от вектора q с периодом обратной решетки Ь. Действительно,
согласно A.1) при добавлении к вектору q слагаемого b выражение
под знаком суммы в формуле B.9) не изменяется. Отсюда следует,
что и величины a>s(^)^(o(q, s) и g (q, s) суть периодические
функции q с периодом, равным вектору обратной решетки.
Обратим внимание на аналогию между этими свойствами и со-
соответствующими свойствами энергии и волновой функции электрона
в периодической решетке (§§ III.2, III.3). Эта аналогия обусловлена
глубокой физической причиной: в обоих случаях мы имеем транс-
ляционно инвариантную систему. Действительно, в гл. III речь
шла о движении электрона в периодическом силовом поле; в на-
настоящей же главе рассматриваются малые колебания атомов около
периодически распределенных положений равновесия.
Как и в § III.3, периодическая зависимость a>(q, s) и ?(q, s)
от квазиволнового вектора позволяет ограничить рассматриваемый
интервал значений q, введя представление о зонах Бриллюэна.
В частности, первая зона Бриллюэна определяется соотношениями
(III.3.8). Поскольку последние носят чисто геометрический ха-
характер, мы можем говорить просто о зонах Бриллюэна, не уточняя,
что именно характеризуют соответствующие квазиволновые век-
векторы — движение электрона или" нормальные колебания решетки.
Тождества B.17), B.17') позволяют исследовать общий вид
закона дисперсии при малых квазиволновых векторах, т. е. для
длинных волн («длинными» в данном случае йадо называть волны,
длины которых велики по сравнению с постоянной решетки).
Рассмотрим сначала простую решетку (г = 1). В этом случае
уравнение C.1) — кубическое. Следовательно, имеются три ветви
колебаний: s = 1, 2, 3. При q = 0 система B.10) принимает вид
1?Г @) ?la @, s) = ©I @) tw @, s). C.2)
В силу B.17') левая часть C.2) обращается в нуль, и, поскольку
вектор ? не должен быть тождественно равен нулю:
«,@) = 0.

386 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
Таким образом, при q = 0 частоты колебаний всех трех ветвей
обращаются в нуль. Поскольку <as (q) есть четная функция q,
отсюда, в сочетании с определением B.9), следует, что для длинных
волн о>1 есть квадратичная функция q,
fi>s(q) = Ca{)(s)<7a<7E, C.3)
т. е,
ю, = с,<7. C.3')
Величины cs зависят, вообще говоря, от направления вектора q
(и, конечно, от номера ветви). Аналогичную формулу, но с постоян-
постоянными величинами cs мы получили бы, рассматривая распростране-
распространение малых колебаний плотности в упругом изотропном континууме.
При этом, как известно, одна ветвь (припишем ей индекс s = 1)
описывает продольные волны (это есть обычный звук), а две другие
(s = 2, 3) — поперечные волны. В анизотропной среде четкое раз-
разделение волн на продольные и поперечные возможно лишь для не-
некоторых особых направлений; вообще же говоря, угол между век-
векторами q и g (q, s) оказывается отличным как от нуля, так и от л/2.
Иными словами, каждая ветвь имеет, вообще говоря, как попереч-
поперечную, так и продольную компоненты. Тем не менее величины cs
часто называют-скоростями звука.
В сложных решетках, когда г > 1, также всегда имеются три
ветви колебаний, у которых закон дисперсии при малых q имеет
вид C.3). Этот факт явствует просто из того, что при длинных вол-
волнах все атомы в элементарной ячейке могут смещаться практически
одинаковым образом, т. е. существуют движения, при которых
элементарная ячейка колеблется как целое. Сложная структура
ячейки при этом никак не проявляется. Формально в существовании
таких ветвей можно убедиться, написав систему B.10) при q = О
и предположив заранее, что (os @) = 0:
2^@)^,@, s) = 0. C.4)
Из тождества B.17) вытекает, что эта система имеет нетривиальные
решения, не зависящие от h:
gA@, s) = $(s). C.5)
В самом деле, подставляя C.5) в C.4), видим, что последнее уравне-
уравнение удовлетворяется в силу B.17).
Таким образом, вектор смещения действительно оказывается
одним и тем же для всех атомов данной ячейки. Ветви такого типа
называются акустическими; для некоторых особых направлений их,
как и в простой решетке, можно разделить на одну продольную
и две поперечные. Мы припишем им значения индекса s = 1, 2, 3,

§ 3] АКУСТИЧЕСКИЕ И ОПТИЧЕСКИЕ ВЕТВИ 387
В рассматриваемом случае уравнение C.1) — степени Зг^б.
Следовательно, помимо акустических, должны существовать еще
Зг—3 ветви колебаний, не имеющих себе аналога в динамике сплош-
сплошной среды. Закон дисперсии для этих ветвей уже не имеет вида
C.3), т. е. при q -*¦ 0 частота колебаний уже не обращается в нуль.
Поскольку частота, согласно B.18), есть четная функция q, для
длинных волн величина а> (q, s) (s ^ 4) почти постоянна *):
fo(q, s) = (o0(s)-asq2. C.6)
Коэффициент as обычно больше нуля. Частота щ (s) называ-
называется предельной. Колебания этого типа отличаются тем свойством,
что при q -» 0 центр тяжести элементарной ячейки остается в по-
покое. Действительно, при q = 0n (о = (о0^0 система B.10) при-
принимает вид
2 П% @) Ъна @, s) = Mh,<o\ (s) Sft^ @, s).
Суммируя эти равенства по ft' и переставляя в левой части по-
порядок суммирования по ft и ft', получаем
Согласно B.17) левая часть этого равенства тождественно равна
нулю. Следовательно, при а>0 (s) =j? 0
2 Mh.Sft'a'@, s) = 0. C.7)
Л' = 1
В левой части C.7) стоит не что иное, как вектор смещения
центра тяжести элементарной ячейки, умноженный на М. Этим
и доказывается высказанное выше утверждение. Ветви колебаний
с законом дисперсии вида C.6) называются оптическими. Физи-
Физическую природу различия между акустическими и оптическими
колебаниями легко понять, рассматривая кристалл с двумя атомами
В'элементарной ячейке. Как мы видели, при длинноволновых аку-
акустических колебаниях эти атомы движутся почти синфазно, а при
длинноволновых оптических, согласно C.7), — почти в противо-
фазе (рис, 12.1). Очевидно, в ионных кристаллах при колебаниях
последнего типа может сильно изменяться дипольный момент эле-
элементарной ячейки. Поэтому некоторые оптические колебания в этих
кристаллах сравнительно легко возбуждаются переменным электро-
электромагнитным полем подходящей частоты. Рассмотренный процесс
составляет один из важных механизмов поглощения электромагнит-
*) Выражение C.6) получается в результате разложения ш (q, s) при s ;
по степеням ф и пренебрежения величинами порядка (д2J, (</2K и т. д.

338
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
[ГЛ. XII
ных волн ионными кристаллами. С этим обстоятельством связано
и само название «оптические».
В решетке с большим числом атомов в элементарной ячейке
фазовые соотношения между смещениями различных атомов услож-
усложняются, однако суть различия между длинноволновыми акусти-
акустическими и оптическими колебаниями остается прежней: первые
Акустические кале&
ш„
Оптические колебания-
Рис. 12.1. Смещения атомов при длинноволновых акустических и оптических
колебаниях решетки в двухатомном кристалле. Кружками изображены атомы,
входящие в данную элементарную ячейку.
отвечают смещениям элементарной ячейки как целого, вторые •—
внутренним деформациям в ней при почти неподвижном центре
тяжести ячейки.
При уменьшении длины волны закон дисперсии делается более
сложным и его трудно установить в общем виде. Можно лишь утвер-
утверждать, что при всех возможных значениях q частота колебаний
остается ограниченной. В конеч-
ном счете это связано с тем,
что соответствующая длина вол-
волны 2л/<7 не может быть меньше
расстояния между соседними
атомами. Наибольшая частота,
акустических колебаний назы-
называется дебетской (wD); с ней мож-
можно связать характерную дебаев-
скую температуру TD, полагая
Йшд = kTn.
Для определения зависимости
<°* (ч) во всей зоне Бриллюэна
приходится либо выполнять чис-
ленные расчеты в рамках каких-
либо КОНкретных моделей, либр
использовать экспериментальные
данные. В этом отношении весьма полезными оказываются опыты
по неупругому рассеянию проникающих излучений, особенно мед-
медленных нейтронов, кристаллами. Измеряя угловое распределение
рассеянных нейтронов и пользуясь законами сохранения энергии
и квазиимпульса, удается с хорошей точностью восстановить вид
закона дисперсии a>s (q) *). Примерный вид зависимости (os (q)
для акустической и оптической ветвей представлен на рис. 12.2
(кривые / и 2).
Рис. 12.2. Законы дисперсии для аку-
стических (кривая /) и оптических
(кривая 2) фононов в одномерной це-
почке атомов (схематически).
*) Подробнее об этом можно прочитать в книге [2].

§ 4] ВЕКТОР СМЕЩЕНИЯ 389
§ 4. Вектор смещения
Выразим теперь вектор смещения а-го атома через вещественные
нормальные координаты х (q, s). Согласно формуле B.1)
Qa = О-1/. V g. (q, S) ц (q, S) е«ш. D.1)
q. s
Подставляя выражение B.22) в правую часть D.1), мы получаем
{x(q, s) + *(-q, s) + /^LJb(^=S^|. D.2)
X
Произведем здесь в слагаемых, содержащих х (—q, s) и р (—q, s),
замену q ->—q и примем во внимание равенства B.13). Получим
окончательно
q s = l
1D. <0[*<Ч. s)-i?$±i]e-'»}. D.3)
Поскольку величины x (q, s) и р (q, s) гармонически зависят от
времени, правая часть формулы D.3) представляет собой набор
бегущих волн; длины волн X связаны с абсолютными значениями
квазиволновых векторов обычным соотношением Я, = 2n/q.
Рассмотрим, в частности, одноатомный кристалл (г — 1). Тогда
компоненты вектора g оказываются вещественными. Как видно
из системы уравнений B.10), чтобы убедиться в этом, достаточно
доказать вещественность коэффициентов Г«а' (q), определяемых ра-
равенством B.9) (мы опускаем теперь индексы h, h'', ибо элементар-
элементарная ячейка содержит только один атом). В кристаллах рассматри-
рассматриваемого типа каждый атом представляет собой центр симметрии.
Следовательно, если в левой части B.9) имеется слагаемое с неко-
некоторым вектором qx, то там будет и другое слагаемое с равным по
величине и противоположно направленным вектором —qv Таким
образом, раЕенство B.9) принимает вид
Р»' (q) - Г™' @) + 2 ^ Г«а' (gx) cos (qPl),
gi
т. е. коэффициенты Гаа' (q), a с ними и компоненты вектора g ве-
вещественны, что и требовалось доказать.
Очевиднорэти соображения справедливы не только для простой
решетки, но и вообще для любой решетки, в которой каждый атом
является центром симметрии. Видно также, что в любой сколь

390 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
угодно сложной решетке коэффициенты ТЦм (q) вещественны при
q = 0 и qa = ±л, т. е. для предельно длинных и предельно корот-
коротких волн.
Формула D.3) описывает смещения атомов в дискретной ре-
решетке. В ряде явлений, однако, существенны только волны сме-
смещения с длиной, значительно превышающей постоянную решетки.
При этом факт дискретности решетки не играет роли. Очевидно,
в случае длинных волн дискретный аргумент р в формуле D.3)
можно заменить непрерывно меняющимся вектором г — одним и
тем же для всех атомов в данной элементарной ячейке. Иначе го-
говоря, в сумме по q в правой части D.3) имеет смысл выделить длинно-
длинноволновую часть 0дл. В нее входят только слагаемые с квазиволно-
квазиволновыми векторами, удовлетворяющими условию
2я/<7>|а|. D.4)
Для акустических колебаний переход от дискретного вектора р
к непрерывному означает не что иное, как переход к макроскопи-
макроскопической теории упругости, в которой кристалл рассматривается как
непрерывная среда. При этом все атомы в элементарной ячейке
колеблются практически в одной и той же фазе и индекс h у векто-
вектора ? можно опустить. Таким образом, длинноволновую часть
вектора смещения, связанную с колебаниями акустического типа,
можно записать в виде
q s= I
4^Н D-5)
С другой стороны, при рассмотрении оптических колебаний,
хотя бы и длинноволновых, полностью пренебрегать дискретностью
решетки и отбрасывать индекс h нельзя. Так, в двухатомной решетке
векторы ?А у атомов, входящих в одну ячейку, направлены почти
в противоположные стороны. Вместе с тем замена дискретного век-
вектора р на непрерывный по-прежнему возможна: разность фаз между
колебаниями соответственных атомов в соседних ячейках невелика.
Таким образом, длинноволновая часть вектора смещения, связан-
связанная с колебаниями оптического типа, также дается формулой вида
D.5):
[*<q, s)-iJ$JL]e-*r}. D.6)

§ 5] КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ 391
§ 5. Квантовомеханическое рассмотрение колебаний решетки
Выражение для энергии B.24') в равной мере справедливо как
в классической, так и в квантовой теории кристаллической решетки.
В последнем случае следует лишь считать величины р и х операто-
операторами, удовлетворяющими следующему правилу перестановки:
x(q, s)p(q', s')-p(q', s')x(q, s) = ^8qq-6ss<. E.1)
Как и раньше, через 6qq' и 8SS< здесь обозначены символы Кро-
некера (П.Х1.9). В частности, можно рассматривать x(q,s) как
число; тогда р (q, s) = — ih-щ—-;¦ Оператор Н теперь представ-
представляет собой гамильтониан системы независимых осцилляторов, ко-
координаты и импульсы которых суть x(q, s) и p(q, s). Соответственно
уравнение Шредингера для системы атомов, колеблющихся около
периодически расположенных в пространстве положений равно-
равновесия, можно записать в виде
} E.2)
Здесь Ф есть волновая функция, описывающая малые колебания
решетки, а Е — принадлежащее ей собственное значение энергии.
В качестве аргументов Ф можно выбрать, например, совокупность
всех нормальных координат х (q, s). Общее число этих коорди-
координат, очевидно, равно числу степеней свободы системы 3rG. Дейст-
Действительно, имеется G независимых компонент вектора q, a
индекс s, как мы знаем, принимает все значения от 1 до Зл
Обозначим для удобства совокупность переменных q и s одним
индексом /:
f = {q,s], /=1, .... 3rG = tf, (o(q,s) = (of. E.3)
Тогда х {q, s) =xf и Ф = Ф (xv xz, ..., xN), где, например, xt есть
нормальная координата, описывающая колебания типа s = 1 с вол-
волновым вектором q = qlt и т. д. По правилам квантовой механики
величина | Ф |а определяет плотность вероятности тех или иных зна-
значений xlt ..., xN. Именно, выражение
| Ф(х1г х2, ..., xN) |2dx1 dx%...dxN E.4)
есть вероятность того, что значение первой нормальной координаты
лежит в малом интервале dxt около точки хъ второй — в интерва-
интервале dx2 около точки х2 и т. д. Поскольку, согласно B.1) и B.26),
нормальные координаты однозначно связаны с компонентами век-
векторов смещения, выражение E.4) определяет тем самым и распре-
распределение вероятностей тех или иных смещений атомов решетки.

392 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ {ГЛ, XII
Поскольку гамильтониан E.2) представляет собой сумму не-
независимых однотипных слагаемых, решение уравнения E.2) легко
найти, полагая
Ф = ]~[ф(^). E.5)
f
При этом для всех сомножителей ф получается уравнение одного
и того же вида:
[ш ~1 2 / У (Х^ = ?/Ф (*/)• E-6)
Величина Ef есть собственное значение оператора, стоящего в скоб-
скобках в левой части E.6). Собственное значение полной энергии
системы дается суммой
Ч- E-7)
Уравнение E.6), дополненное условием квадратичной интегри-
интегрируемости функции ф в области — оо< Xf < +°o, представляет
собой стандартную задачу о гармоническом осцилляторе в кван-
квантовой механике. Решение этой задачи хорошо известно:
U 1 / Мщ \ I -щ/"Мщ\
г I Jn.fl
Ef^H<*f(ni + 1/2). E.9)
Здесь nf — целое положительное число (вообще говоря, свое для
каждого типа нормальных колебаний), а Н„. — п}-& полином
Эрмита. Функция ф, определяемая формулой E.8), нормирована
обычным способом $ dxq>L (х) — 1.
Таким образом, состояние отдельного осциллятора, соответ-
соответствующего нормальному колебанию ветви s с квазиволновым век-
вектором q, задается квантовым числом nf =s n (q, s). Совокупность
чисел п (q, s) для всех q и s полностью определяет состояние колеб-
колеблющейся решетки. Мы будем иногда обозначать эту совокупность
одной буквой я, Снабжая соответствующим индексом и волновую
функцию Ф.
Вектор смещения Qa при квантовомеханическом рассмотрении
также становится оператором. Для дальнейшего (гл. XIV) нам
понадобятся его матричные элементы в системе функций Ф„, т. е.
интегралы вида
Лп' = 1ФЯФ»Л,...^. E.10)
Пользуясь выражением D.3) для вектора смещения, можем пере-
переписать E.10) в виде

§ 5] КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ 393
где
±i-^\o>ndx1...dxN. E.12)
Подставляя сюда функции Ф%- и Ф„ в виде E.5), получаем
/й- </) = J Л,ФП/ (*,) (x, ± / ^) ФП/ (х,) X
х П 5 <&/'Фп,'. (*/') Ф«/' <*/')• E-J3)
Поскольку функции фЧ/, фЯ'г образуют ортогональную систему,
интегралы по ху при /' Ф f отличны от нуля только при/г/' = щ-,
когда они равны единице по условию нормировки. Интегралы по Xj
можно вычислить, пользуясь вытекающими из E.8) рекуррентными
соотношениями ([М2], § 33):
Поскольку ру = — ih v—, в левых частях E.14а) и E.146) стоят
как раз выражения
. Р/ . Pf
1аЩ и х(~1
Пользуясь вновь ортогональностью и нормировкой функций ф„ ,
мы получаем
pn> (xf) lxf + i Д^) Фя/ (*,) =
/ V> Я/ = Я/ -
0, п^^-
Таким образом, интегралы ^^, отличны от нуля только при
совпадении квантовых чисел всех осцилляторов, кроме /-го; зна-
значение rif при этом должно измениться на единицу. Можно сказать,
что каждый член суммы D.3) (или D.5), D.6)) при квантовом рас-
рассмотрении представляет собой оператор, изменяющий на единицу
квантовое число соответствующего осциллятора и не затрагиваю-

394 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
щий всех остальных осцилляторов. Удобно ввести новые операторы
bf и bf, полагая
Щ*- <616б>
Согласно E.5), E.15а) и E.156)
/. у <5Л7а)
^+Гф.^ 1>0П«-;. v
<5Л7б>
Символы Кронекера здесь выражают полученные ранее условия,
которым, согласно E.15а) и E.156), должны удовлетворять состоя-
состояния п и п'. При выполнении этих условий матричные элементы
операторов bf и bf равны, соответственно, У nf и Ynf + 1.
Подставляя E.16а, б) в правую часть D.5), получаем удобную
для дальнейшего формулу для длинноволновой части оператора
смещения при акустических колебаниях:
Одл.ак(г) =
= 2 2 [2АйдаГ<6<Ч. s)Vs^ + g*(q, s)bise-<v}. E.18)
q s=l
Аналогично преобразуется и формула D.6):
Чдл.опт V/ ==
= 2 2 [гЖЛчГо]'"^^, S)Vs^+a(q, s)ftise~^}. E.19)
Этими формулами мы воспользуемся дальше, в гл. XIV,
§ 6. Фононы
Согласно E.9) и E.7) собственные значения энергии колеблю-
колеблющейся решетки можно записать в виде
2)= FЛ)
22
f f
Первое слагаемое в F.2) представляет собой нулевую энергию
системы осцилляторов, не исчезающую даже в основном ее состоя-

$6] фононы 395
нии. Коль скоро частоты нормальных колебаний заданы, нулевая
энергия есть просто некоторая постоянная. Второе слагаемое
в F.2) описывает энергию возбуждения системы. Различным воз-
возбужденным состояниям при этом соответствует различный набор
чисел tif, причем энергия возбуждения увеличивается с возраста-
возрастанием значений nf. Формально выражение для энергии возбужде-
возбуждения имеет вид полной энергии идеального газа, состояния «частиц»
которого задаются индексом /, т. е. квазиволновым вектором q и
номером ветви s. При этом число «частиц» в состоянии / есть кван-
квантовое число соответствующего осциллятора nf, а энергия «частицы»
равна Ho)f. Она, как и следовало ожидать, связана с частотой соот-
соответствующего нормального колебания соотношением де Бройля.
Представление о таком идеальном газе очень удобно: оно позволяет
наиболее простым и наглядным путем выразить то обстоятельство,
что энергия колеблющейся решетки может изменяться не «как
попало», а только порциями — квантами — величины fta>f. «Ча-
«Частицы» этого газа — кванты энергии возбуждения — называются
фононами*).
Полное число фононов в кристалле, конечно, не сохраняется:
оно дается суммой всех чисел nf и может быть любым. Число фо-
фононов в каждом состоянии nf также произвольно: как мы видели,
число tif может принимать значения 0, 1, 2, ... Это означает, что
газ фононов подчиняется статистике Бозе—Эйнштейна.
Таким образом, мы имеем два эквивалентных языка для опи-
описания малых колебаний атомов кристаллической решетки около
положений равновесия — язык гармонических осцилляторов и
язык фононов. В разных задачах бывает удобно пользоваться либо
одним, либо другим из них, и полезно иметь в виду «правила пере-
перевода» с одного языка на другой. Составим таблицу (см. табл. 12.1
на стр. 396), указывая в середине то или иное физическое по-
понятие (или процесс), а слева и справа (строкой ниже) —описание
его на языках осцилляторов и фононов.
При использовании фононного языка очень ясный и наглядный
смысл приобретают операторы bf и bt E.16а, б). Первый из них
увеличивает, а второй уменьшает на единицу число фононов s-й ветви
с квазиволновым вектором q. По этой причине bf и bf называются,
соответственно, операторами порождения и уничтожения фононов.
Рассмотренные только что «правила перевода» в равной мере
относятся как к равновесным, так и к неравновесным состояниям
решетки. В частности, в условиях термодинамического равновесия
представление о малых колебаниях составляет точное содержание
понятия «тепловое движение решетки». Последнее можно, таким об-
образом, описывать на языке фононов. Нагревание или охлаждение
*) Представление о фононах впервые было введено в 1930 г. И. Е. Там»
мом [3J.

396
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
Таблица 12.1
[ГЛ. XII
Язык осцилляторов
Язык фояонов
Набор независимых ос-
осцилляторов, частоты ко-
которых суть частоты нор-
нормальных колебаний.
Осцилляторы нумеруются
вектором q и числом s
Квантовые числа всех
осцилляторов rif
Сумма энергий независи-
независимых осцилляторов
Изменение квантовых чи-
чисел тех или иных осцил-
осцилляторов
Перевод одного или не-
нескольких осцилляторов
в состояние с большим
квантовым числом
Перевод одного или не-
нескольких осцилляторов
в состояние с меньшим
квантовым числом
Решетка атомов или
ионов, совершающих
малые колебания около
положений равновесия
Величины, задающие
состояние решетки
Энергия решетки
(без нулевой энергии)
Изменение состояния
решетки
Возбуждение решетки
Уменьшение энергии
решетки
Идеальный газ фононов,
энергии которых связаны
с частотами нормальных
колебаний соотношением
де Бройля. Состояние
фонона задается векто-
вектором q и числом s
Числа фононов во всех
СОСТОЯНИЯХ tlj
Энергия идеального газа
фононов
Изменение чисел фоно-
фононов в тех или иных со-
состояниях
Порождение одного
нескольких фононоз
или
Исчезновение одного или
нескольких фононов

§ 6] фононы 397
решетки означает при этом перераспределение фононов по со-
состояниям, а также увеличение или уменьшение общего их числа.
В частности, среднее число фононов в состоянии / = {q, s} в усло-
условиях термодинамического равновесия дается функцией распреде-
распределения Бозе—Эйнштейна. При этом следует иметь в виду, что хи-
химический потенциал фононного газа равен нулю. Действительно,
поскольку общее число п фононов не постоянно, оно определяется
(при термодинамическом равновесии) просто из условия минималь-
минимальности свободной энергии <У\ \-q~) = 0. Но v^-\ есть химиче-
химический потенциал [М9]. Таким образом, распределение Бозе—Эйнш-
Бозе—Эйнштейна превращается в данном случае в формулу Планка
(б-з)
Соотношения F.2) и F.3) в сочетании с законом дисперсии — зави-
зависимостью со от q — позволяют вычислять среднюю энергию колеб-
колеблющейся решетки и, следовательно, все остальные термодинами-
термодинамические характеристики по стандартным формулам теории идеаль-
идеального газа Бозе—Эйнштейна.
В связи с описанием решетки на языке фононного газа следует
сделать еще три замечания.
Во-первых, аналогия между фононами и частицами идеального
газа основывалась
а) на формуле F.2) и
б) на соотношении де Бройля между энергией фонона и часто-
частотой нормальных колебаний.
Чтобы эта аналогия была последовательной, надо иметь воз-
возможность приписать фонону не только энергию, но и квазиим-
квазиимпульс р. При этом квазиимпульс должен быть связан с квазивол-
квазиволновым вектором фонона соотношением де Бройля р = Щ. Рас-
Рассматривая только идеальный фононный газ, мы не можем решить
вопрос о существовании или отсутствии квазиимпульса у фонона.
Действительно, квазиимпульс определяется по свойству сохра-
сохраняться (с точностью до ЙЬ) либо в периодическом поле, либо (в сумме
по всем частицам) при взаимном их рассеянии. Но в идеаль-
идеальном газе фононов никакие процессы рассеяния не происходят.
Поэтому ввести квазиимпульс фонона можно только рассматри-
рассматривая взаимодействие его с электронами или с дырками ;— объектами,
квазиимпульс которых уже определен. Эта задача решается в §XIV.4.
Там показано, что фонону действительно следует приписать квази-
квазиимпульс р = ftq.
Во-вторых, аналогию между частицами идеального газа и фоно-
фононами можно провести все же не до конца. Именно, частицы — атомы
или молекулы газа — представляют собой в известном смысле

398 КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ [ГЛ. XII
«самостоятельные» образования. Можно, например, поставить во-
вопрос о физическом выделении какого-то их числа из всей системы.
Но представление о фононах — это лишь язык для описания нор-
нормальных колебаний решетки. Последние представляют собой кол-
коллективные движения всех атомов кристалла. Соответственно и
фононы характеризуют коллективные свойства системы атомов или
ионов, образующих решетку, и существуют лишь постольку, по-
поскольку существует сама эта система. Иначе говоря, фононы ведут
себя действительно как частицы — но лишь до тех пор, пока суще-
существует физическая система, коллективное движение частиц кото-
которой они изображают. По этой причине фононы (как и дырки, § IV.2)
называют квазичастицами.
Наконец, в-третьих, представление об идеальном газе фононов
возникло у нас при рассмотрении формулы F.2). Последняя, -од-
-однако, справедлива лишь в гармоническом приближении: при вы-
выводе ее предполагалось, что потенциальную энергию решетки V
можно аппроксимировать квадратичной формой по смещениям ато-
атомов из положений равновесия Qa. При учете энгармонизма, т. е.
следующих членов разложения V в ряд по Qa, оператор энергии
уже не имеет простого вида B.20): появляются ангармонические
члены с третьей и более высокими степенями величин xf. Их можно
интерпретировать как энергию взаимодействия между фононами.
Таким образом, при учёте энгармонизма фононный газ становится
неидеальным — оказываются возможными, например, процессы рас-
рассеяния фононов друг на друге и т. д. Очевидно, роль ангармони-
ангармонических членов тем меньше, чем меньше амплитуда колебаний атомов
по сравнению с постоянной решетки. На «фононном» языке это
значит, что газ фононов можно считать идеальным лишь пока
самих фононов достаточно мало, т. е. пока решетка слабо возбуж-
возбуждена.
Представление о фононах не только полезно и удобно для ре-
решения различных конкретных задач. Оно имеет и большое прин-
принципиальное значение. Именно, мы начали с рассмотрения системы
сильно взаимодействующих друг с другом частиц — атомов, ионов,
или молекул, образующих кристаллическую решетку. В резуль-
результате взаимодействия между ними энергия решетки отнюдь не равна
сумме энергий отдельных атомов. Выяснилось, однако, что слабо
возбужденные состояния рассматриваемой системы можно пред-
представить как состояния идеального газа некоторых квазичастиц —
фононов, — не имеющих ничего общего с отдельными атомами решет-
решетки *). Как мы увидим в дальнейшем (§ XVII, 6), такая ситуация
не представляет собой чего-то исключительного, а оказывается ти-
типичной для всех систем многих взаимодействующих частиц.
.*) Достаточно напомнить, например, что в любом кристалле фононы подчи-
подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна — независимо от статистики, которой
подчиняются сами частицы, составляющие кристалл.

Глава XIII
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА
§ 1. Феноменологические соотношения
Задача кинетической теории явлений переноса состоит в вы-
вычислении величин, определяющих реакцию системы на те или иные
внешние воздействия. К числу их относятся электропроводность,
постоянная Холла, термоэдс и т. д.
В настоящей главе мы будем интересоваться поведением веще-
вещества в достаточно слабых электрических полях S или при доста-
достаточно малых градиентах температуры V7\ когда связь их с плот-
плотностью тока j или с потоком тепла оказывается линейной. Точный
смысл выражений «достаточно слабое» и «достаточно малый» выяс-
выяснится в § 7.
Удобно рассмотреть сначала три частных случая, отвечающих
поведению носителей заряда в слабых электрическом, температур-
температурном и в электрическом и магнитном полях.
а. Носители заряда в постоянном и однородном слабом электри-
электрическом поле. Рассмотрим сначала технологически однородный об-
образец, в котором концентрации атомов примеси, электронов и ды-
дырок в условиях равновесия не зависят от координат.
Пусть, далее, магнитное поле отсутствует и температура всюду
постоянна. Наиболее общее линейное соотношение, связывающее
два вектора j и б, имеет вид обобщенного закона Ома A.1.5).
В отсутствие магнитного поля тензор электропроводности оказы-
оказывается симметричным: сг„р = ора (доказательство этого утвержде-
утверждения можно найти в книге [М13]).
Удобно выбрать систему координат, связанную с главными
осями тензора оаР. При этом4 оаР = 0 при а Ф E; ахх, ауу и агг
суть главные значения тензора электропроводности. В кристалле
кубической системы ахх — ауу = агг = а, и равенство A.1.5) при-
принимает вид A.1.3).
К числу материалов, для которых справедливо равенство A.1.3)
принадлежат многие важные полупроводники: германий, кремний,
соединения типа AnIBv и т. д. Впредь мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением только таких систем.
Из сказанного ясен способ вычисления компонент тензора
электропроводности. Надо, пользуясь методами статистической фи-
физики, явно вычислить плотность тока в рассматриваемых условиях

400 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. ХШ
опыта. В достаточно слабом электрическом поле результат будет
иметь вид "A.1.5)—или, в соответствующих случаях, A.1.3),—
но с явно вычисленными коэффициентами пропорциональности
между /'„ и 8р. Эти коэффициенты и следует отождествить с вели-
величинами Оар.
Формула A.1.3) легко обобщается и на случай неоднородного
материала. Надо лишь принять во внимание, что, как указывалось
в § VI.3, плотность электрического тока в изотермических условиях
определяется градиентом электрохимического потенциала F *). Зто
означает, что вместо вектора S = —у<р в формуле A.1.3) и др.
теперь будет фигурировать величина
?' = S + ?* = lvF. (l.i)
Здесь ? — напряженность кулоновского поля, 6* — напряжен-
напряженность поля сторонних сил.
Таким образом, в €' включаются и поля неэлектростатического
происхождения, связанные с разностью давлений электронного
газа в разных точках образца (при постоянной температуре).
В пространственно однородной среде в • изотермических условиях
?* = 0 и &' переходит в в.
б. Носители заряда в постоянном и однородном слабом темпе-
температурном поле. Пусть внешние магнитное и электрическое поля
отсутствуют, но между торцами образца поддерживается постоян-
постоянная во времени разность температур (рис. 1.3, стр. 18). При этом
в образце установится постоянный градиент температуры VT;
мы будем считать, что в пространственно однородном образце
он не зависит и от координат. Если замкнуть концы.образца, то
в цепи потечет ток. -
При достаточно малом градиенте температуры векторы j, ?' и VT1
линейно связаны друг с другом. В случае кубических кристаллов
(или изотропных сред) мы имеем, подобно A.1.3),
j = a.vr + cr$'. A.2)
Здесь а — скалярный коэффициент, не зависящий ни от у Г, ни
от в'. При разомкнутых концах образца, когда j = 0, мы полу-
получаем из A.2)
g' = _iLv7\ A.3)
Это есть не что иное, как напряженность стороннего поля, вызы-
вызываемого градиентом температуры. Термоэлектродвижущая сила
дается линейным интегралом от ?' по длине образца:
dl). ПА)
*) Это утверждение, справедливое в условиях применимости закона Ома,
будет обосновано в § 5.

§ 1] ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 401
Здесь dl — элемент длины, который в. данном случае удобно
направить вдоль вектора у7\ Таким образом,
Vo = -)l$dT. A.5)
Дифференциальную термоэдс определяют как производную от
Vo по температуре горячего спая Г2 (при постоянном значении а/а
это совпадает с элементарным определением величины ос как изме-
изменения термоэдс при изменении разности температур (Г2 — 7\) на
один градус).
Таким образом, равенства A.1), A.2) и A.5) дают
а = —а/о = -[-==-,. A.6)
В образцах с биполярной проводимостью дифференциальная
термоэдс дается суммой электронного и дырочного вкладов.
В § 1.1. мы уже говорили, что полная термоэдс, т. е. разность
потенциалов между металлическими электродами на концах полу-
полупроводника, складывается из падения напряжения внутри полупро-
полупроводника и скачков потенциала в контактах полупроводник—ме-
полупроводник—металл. Эти скачки возникают потому, что в контактных областях
тоже действуют сторонние силы (силы давления электронного газа).
Они зависят от температуры, в силу чего при наличии градиента
температуры сумма обоих скачков потенциала отлична от нуля.
Поскольку VF учитывает и эти сторонние силы, формула A.6)
определяет термоэдс, измеряемую на опыте.
Выражая коэффициент а через а и о, можем переписать соотно-
соотношение A.2) в виде
y=oP-ao-VT. A.7)
Сопоставляя равенства A.7) и A.2), получаем способ вычисле-
вычисления дифференциальной термоэдс: надо, пользуясь методами ста-
статистической физики, явно вычислить плотность тока в рассматри-
рассматриваемых условиях опыта. При достаточно малом градиенте темпе-
температуры результат будет иметь вид A.2), но с явно вычисленным
коэффициентом пропорциональности при векторе V7\ Этот коэф-
коэффициент следует отождествить с феноменологически введенной ве-
величиной а и воспользоваться формулой A.6).
Наличие градиента температуры и (или) электрического поля
в образце приводит к возникновению не только потока заряда,
но и потока энергии. Плотность последнего I, будучи векторной
величиной, может выражаться только через независимые векторы,
характеризующие рассматриваемую систему. Поскольку три Еек-
тора, з, Vr и ?', связаны соотношением A.7), независимы из них
только два. Выберем в качестве таковых j и V71. Тогда в изотропном

402
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА
[ГЛ. XIII
материале (или в кубическом кристалле) плотность потока энергии
электронов будет иметь вид
I = —x-Vr + IIj-yj, A.8)
где х и П — некоторые скаляры. Формально второе слагаемое
в A.8) можно было бы объединить с третьим. Однако удобно рас-
рассматривать их порознь. Дело в том, что, как мы вскоре увидим,
второе слагаемое непосредственно
связано с выделением тепла Пель-
тье, а третье вклада в это тепло не
дает.
Чтобы выяснить смысл величин х
и П, положим сначала j = 0. При этом
возникают стандартные условия для
измерения теплопроводности: в элек-
электрически изолированном образце соз-
создан постоянный градиент температу-
температуры и течет поток тепла. Таким обра-
образом, в соответствии с § 1.1, величина
х есть не что иное, как коэффициент
теплопроводности электронного газа.
Далее, рассмотрим контакт двух
полупроводников / и 2. Пусть поверх-
поверхность их раздела есть плоскость YZ,
перпендикулярная векторам j и VT
(рис. 13.1); вектор j будем считать на-
направленным вдоль оси X. Вычислим количество тепла Q, выделяю-
выделяющееся или поглощающееся в единицу времени на единице площади
данной поверхности. Для этой цели напишем равенство A.8)
дважды — для первого и второго проводников — и воспользуемся
условиями непрерывности нормальной (к поверхности раздела) со-
составляющей j, а также условием непрерывности электрохимиче-
электрохимического потенциала F. Обозначая индексами «1» и «2» значения со-
соответствующих величин на поверхности раздела-, получим
гK (Пх —П,)/. A.9)
В левой части A.9) стоит суммарная плотность потока тепла,
подводимого к поверхности за счет теплопроводности. Поскольку
мы рассматриваем стационарные условия, этот поток должен ком-
компенсироваться отводом тепла от контакта. Следовательно,
<3=п12/=(П1-п2)/. A.Ю)
Сравнивая это выражение с формулой A.1.16), видим, что со-
соотношение A.1.17) действительно оправдывается.
а > j- 37
Рис. 13.1. К выводу формулы
для тепла Пельтье. Вертикаль-
Вертикальная линия изображает сечение
поверхности раздела плоско-
плоскостью чертежа. Для определен-
определенности градиент температуры
принят антипараллельным век-
вектору плотности тока.

Si] ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 40?
Величины Пх и П2 называются коэффициентами Пельтье (соот-
(соответственно первого и второго проводника).
Легко связать величины П и а с коэффициентом Томсона аг,
определяемым равенством A.1.13). Действительно, по определению
дивергенции вектора I полное количество тепла, выделяющееся
в единице объема образца .в единицу времени, есть — div I*).
В силу уравнения непрерывности в стационарных условиях div j = 0.
Принимая во внимание это обстоятельство, мы получаем из A.1)
и A.8)
— divl=div(x-vr)-(j, vn) + (], ?')• A.11)
Согласно A.7)
St I | „ вф /11 О\
а ' v '
Подставляя A.12) в формулу A.11), находим
i, V7). A.11')
Первое слагаемое в правой части A.11') описывает выделение тепла
за счет теплопроводности, второе — джоулево тепло, а третье —
эффект Томсона. Коэффициент Томсона дается выражением
ат = 1т-а. A.13)
Формула A.1.19) получается отсюда при учете A.1.18). Последнее
соотношение получается более сложным путем (см. § 7).
Из сказанного ясен способ вычисления коэффициента тепло-
теплопроводности и коэффициента Пельтье: надо, пользуясь методами
статистической физики, явно вычислить плотность потока энергии
в рассматриваемых нами условиях опйта. При достаточно малых
градиентах температуры и электрохимического потенциала резуль-
результат будет иметь вид A.8), но с явно вычисленными коэффициентами
пропорциональности в первых двух слагаемых. Эти коэффициенты
надлежит отождествить с феноменологически введенными величи-
величинами х и П.
в. Носители заряда в постоянных и однородных электрическом и
магнитном полях. Пусть образец, к которому приложено постоян-
постоянное напряжение, помещен в постоянное и однородное магнитное
поле. Температуру образца будем считать всюду постоянной.
Электрическое поле в образце по-прежнему будем считать слабым
в указанном выше смысле.
Чтобы написать для этого случая феноменологическую формулу
типа A.1.5а), надо принять во внимание, что мы имеем теперь
*) В стационарных условиях эта величина обращается в нуль. Нам, однако,
важно лишь узнать, из чего она складывается.

404 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
независимый вектор б и независимый псевдовектор S3*). В изотроп-
изотропной среде из них можно образовать только следующие векторные
комбинации:
S, [6x53], E3, 6M3. A.14)
При этом выражение для плотности тока имеет вид
3, 6M3, A.15)
где av a2, a3 — некоторые скаляры. Поскольку магнитное поле
не предполагается непременно слабым, они могут зависеть от ^82,
Очевидно, формулу A.15) можно переписать в виде A.1.5а):
ja = orap(S3)g3. A.16)
Направим ось Z вдоль магнитного поля; тогда, согласно A.15)
и A.16), компоненты тензора orag E3) будут иметь вид
оху = — аух = а2&, ахг = агх = ayz = агу = 0.
оху = — аух = а2&, ахг = агх = ayz
Видим, что при наличии магнитного поля тензор электропроводности
имеет как симметричную, так и антисимметричную части asa& и
ааа„. Компоненты их суть, соответственно, четные и нечетные
функции магнитной индукции. Так,
Такая зависимость от S3 не случайна. Она вытекает как частный
случай из общего принципа симметрии кинетических коэффициен-
коэффициентов [М13].
В анизотропных средах—кристаллах — формула A.16) оста-
остается в силе, но набор независимых векторов уже не исчерпывается
величинами A.14). Дело в том, что здесь векторы следует опреде-
определять по отношению к преобразованиям системы координат, до-
допускаемым симметрией решетки — более низкой, нежели симмет-
симметрия изотропного пространства. Поясним это на примере слабого
магнитного поля, ограничиваясь кристаллами кубической системы.
Разлагая тензор стар (S3) в ряд по степеням S3 и ограничиваясь
членами не выше второго порядка, мы получаем
к = ffctfSe + Л [S X S3]a + aapveS^^fl +... A.16')
*) Напомним, что при поворотах системы координат псевдовектор ведет себя
как обычный вектор. Однако, в отличие от компонент вектора, компоненты псев-
псевдовектора не меняют знака при замене направлений координатных осей на про-
противоположные (эта операция называется отражением). Скалярное произведение
(S3, S) есть псевдоскаляр: в отличие от истинного скяляра, оно меняет знак при
отражении. Именно по этой причине оно и введено в последнее из выражений
A.14): произведение псевдоскаляра на псездовектор есть обычный вектор.

§ 1] ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 405
Через аар = ара здесь обозначен тензор оар @), г\ — постоянная.
Можно считать, что ога^в = ва$5у Действительно, выражение
<=$?Ys®e> очевидно, симметрично по индексам у, 6. Следовательно,
антисимметричная по у и б часть тензора orapYs, если бы она и была
отлична от нуля, все равно не дала бы вклада в A.16').
Число независимых компонент тензора ог^з в кубическом
кристалле равно трем [М7]. В качестве таковых удобно взять ве-
величины
(без суммирования по X и ц).
Таким образом, формула A.16') принимает вид
| = orS + г] [S х 53] 4- P3J E3, &) + Ш2& + уЖ. A.15')
Здесь через W обозначен вектор с компонентами
Появление последнего слагаемого в A.15') характерно для анизо-
анизотропной среды. В изотропном случае, когда физически эквивалентны
любые три взаимно перпендикулярные оси, коэффициент у неиз-
неизбежно обратился бы в нуль. И действительно, в слабом магнитном
поле равенство A.15) принимает вид A.15') без последнего слагае-
слагаемого: надо лишь обозначить предельные (при S3 -> 0) значения аг,
а3 и а3 через а, ц и р соответственно. Подставляя выражения A.17)
в формулы A.1.9), находим для постоянной Холла
Далее, пользуясь формулами A.1.11) и A.17), получаем для попе-
поперечного магнетосопротивления
Pi-Pp.
Ро
A.20)
Наконец, аналогичным путем можно вычислить и продольное маг-
нетосопротивление. Мы получаем
:; — Ро 1 —
Ро
Аналогично, в случае A.15') находим
A.22)
Ро о
Здесь а = р^1 есть электропроводность при <Ш = 0.
24)

406 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
Из формул A.19)—A.24) ясен способ вычисления постоянной
Холла и магнетосопротивления: надо, пользуясь методами стати-
статистической физики, вычислить плотность тока в рассматриваемых
условиях опыта. В достаточно слабом электрическом поле резуль-
результат будет иметь вид A.15) или A.15'), но с явно вычисленными коэф-
коэффициентами пропорциональности между векторами ?, E3, S) 53,
[S х 53] и вЖ",.с одной стороны, и вектором j — с другой. Эти коэф-
коэффициенты следует отождествить с феноменологически введенными
величинами av аъ as или о + 6a5S2, т}, р", у.
Подобно A.16), при наличии как градиента температуры, так и магнитного
поля выражения для плотности тока и плотности потока энергии электронов
A.7) и A.8) следует писать в виде, характерном для анизотропной среды:
к =| *а3 E3) |~-°-аР E3) apv gl , A.25)
^ (в)/э—?'«• <Ь26>
При этом аналог соотношения A.1.18) следует писать в виде
тензор аар, вообще говоря, не симметричен.
Таким путем вводятся все феноменологические коэффициенты,
описывающие явления переноса заряда и энергии при достаточно
слабых электрических полях и малых градиентах температуры.
Способ явного их вычисления ясен из предыдущего.
§ 2. Кинетические коэффициенты и функция распределения
В теории явлений переноса нас интересует, как правило, пове-
поведение газа носителей заряда в условиях, когда электрохимический
потенциал его сравнительно медленно изменяется в пространстве:
изменение F на расстоянии порядка постоянной решетки очень
мало. Согласно результатам § IV.4 носители заряда при этом можно
рассматривать как частицы с законом дисперсии ?г (р) и скоростыс»
V; = Vpf,. Если, сверх того, электрохимический потенциал мед-
медленно меняется и на расстояниях порядка характерной длины волны
носителя заряда, то систему свободных электронов (дырок) можно
рассматривать просто как газ классически движущихся частиц,
«упрятав» все квантовые эффекты в закон дисперсии Et (p). Главную
роль при этом играет представление о функции распределения носи-
носителей заряда по квазиимпульсам и координатам / (р, г). В приме-
применении к пространственно однородной системе в условиях равно-
равновесия мы уже пользовались этим представлением в гл. V. По опре-
определению средняя концентрация электронов проводимости в

$ 2] КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 407
элементе объема р-пространства dpxdpydpz = dp, содержащем точ-
точку р, дается выражением
№ r)dp <2Л)
В силу B.1) выражения для плотности тока и плотности потока
энергии электронов можно записать в виде (опускаем индекс /):
Интегралы здесь берутся, строго говоря, по зоне Бриллюэна.
Однако, в силу быстрого убывания функции распределения с уве-
увеличением энергии электрона, часто бывает возможно распростра-
распространить их на все бесконечное р-пространство.
В условиях термодинамического равновесия правые части B.2)
и B.3) обращаются в нуль. Формально это видно из того, что в ука-
указанных условиях / (р) = /0 (Е (р)). Функция /0 имеет вид (V.3.1)
и зависит только от энергии. Поскольку энергия есть четная функ-
функция квазиимпульса, а скорость v (p) — нечетная, интегралы от
произведений /ov обращаются в нуль.
Факт нарушения термодинамического равновесия проявляется
в изменении вида функции распределения. При этом она оказыва-
оказывается зависящей, вообще говоря, не только от энергии, но и от на-
направления вектора р.
Таким образом, вычисление плотности тока и плотности потока
энергии сводится к нахождению неравновесной функции распре-
распределения f (p, г) с последующим вычислением интегралов в правых
частях B.2) и B.3). В зависимости от того, каким именно путем
нарушено термодинамическое равновесие в системе носителей за-
заряда, функция распределения их может иметь различный вид.
По этой причине естественно искать не универсальное выражение
для самой функции / (р, г), а универсальное уравнение, из которого
она определяется и которое отражает как условия опыта, так и
свойства материала. В рамках классической кинетической теории
газов такая задача была поставлена и решена Л. Больцманом;
^дальнейшем его метод был обобщен А. Зоммерфельдом на предмет
учета возможного вырождения электронного газа. Уравнение,
полученное Больцманом, называется кинетическим. Метод расчета
кинетических коэффициентов, основанный на его использовании,
принадлежит к числу наиболее популярных и эффективных средств
теории явлений переноса (условия применимости его обсуждаются
в § XIV.2),

408
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА
[ГЛ. ХШ
§ 3. Кинетическое уравнение
Кинетическое уравнение представляет собой не что иное,
как уравнение непрерывности в фазовом пространстве, координаты
которого суть компоненты векторов риг. Чтобы написать это
уравнение, выберем в фазовом пространстве некоторый фиксиро-
фиксированный малый элемент объема, например параллелепипед со сто-
сторонами dx, dy, dz, dpx, dpy, dpz, и посмотрим, как изменяется число
частиц в нем за бесконечно малый интервал времени dt. Будем
при этом опускать слагаемые, содержащие высшие (начиная со
второй) степени dt, dx, ..., dpz. По определению функции / в момент
времени t число частиц (с данной проекцией спина) в параллеле-
параллелепипеде есть
dn = f(p, г,
Спустя время dt это число будет
dn'=f<p. г, ,
Разность
г,
_ df dp dx dt
C.1)
дает результирующий «приход» частиц с данной проекцией спина
в данный элемент фазового пространства. Чтобы получить интере-
интересующее нас уравнение, надо независимо выразить левую часть
C.1) через функцию распределе-
распределения /. Для этого надо явно ука-
указать процессы, приводящие к
изменению числа частиц с дан-
данными координатами и компонен-
компонентами квазиимпульса; именно при
этом учитываются конкретные
условия опыта.
Вообще говоря, число частиц
в данном элементе фазового объе»
ма может измениться за счет.
а) перемещения в простран-
пространстве координат (трансляции);
б) действия внешних полей (т. е. ускорения частиц);
в) рассеяния на каких-либо несовершенствах кристаллической
решетки или друг на друге («столкновений»);
г) рекомбинации и генерации носителей заряда (или захвата
их локальными уровнями).
Для вычисления «трансляционного» вклада заметим, что пере-
перемещение частиц в пространстве можно р"ассматривать как совокуп-
-*\oxdt\*—
Рис. 13.2. К выводу кинетического
уравнения.

$ 3] КИНЕТИЧЕСКОЕ. УРАВНЕНИЕ 409
ность трех перемещений вдоль трех произвольно выбранных вза-
взаимно перпендикулярных осей координат. Очевидно (рис. 13.2),
за время dt через левую грань параллелепипеда в него войдут все
частицы (с данной проекцией спина), находившиеся в момент t
на расстоянии не более vxdt от этой грани и движущиеся направо;
Число их есть
fla х и ? Л v*didydzdP И2я^
/ф| х, у, z, I) BпЩ> ' (o.za)
Аналогично, число частиц, ушедших за это же время через пра-
правую грань, будет
C.26)
Разлагая выражение C.26) в ряд Тэйлора по dx и вычитая его из
C.2а), получим результирующий «приход», связанный с движением
частиц вдоль оси:
df dt dr dp
Аналогично вычисляется и баланс числа частиц за счет переме-
перемещений по осям у и z.
Окончательно для изменения числа частиц с данной проекцией
спина за время dt за счет перемещения их в пространстве координат
находим
(dn' - dn)TpaiiC], = - (v, V/) -|^L. C.3)
)TpaiiC],
Таким же образом можно вычислить и «ускорительный» член —
изменение числа частиц в рассматриваемом фазовом параллеле-
параллелепипеде за счет действия сил, обусловленных электрическим и маг-
магнитным полями. Действительно, силы вызывают изменение квази-
квазиимпульса р, т. е. трансляцию в пространстве квазиимпульсов.
Формально этот процесс описывается так же, как 5 трансляция
в обычном пространстве; следует лишь заменить скорость v =
= -Jr на -?- и вместо градиента в пространстве координат
взять градиент в пространстве квазиимпульсов у?/- Итак,
i C.4)
При этом, согласно уравнениям движения (IV. 1.9),
*.==F = -eg-|[vx% C.5)
Под S и сВ здесь следует понимать напряженность электрического
и индукцию магнитного полей, мало изменяющихся на протяжении
постоянной решетки. Как правило, в число их включаются поля,

410 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИИ ПЕРЕНОСА [ГЛ. ХШ
созданные внешними источниками (батареей, магнитом, электромаг-
электромагнитной волной и т. д.), а также поля, возникающие в результате
перераспределения зарядов в образце при наличии внешних сил.
Иногда сюда же включают и поля, созданные структурными дефек-
дефектами того или иного типа; если эти поля достаточно плавно изме-
изменяются в пространстве,, то, в зависимости от характера задачи, их
можно учитывать либо в уравнении C.5), либо в выражении, опи-
описывающем рассеяние носителей заряда (в «интеграле столкновений»
C.10)).
Обратимся теперь к изменению числа частиц в данном параллеле-
параллелепипеде за счет рассеяния («столкновений»). Рассмотрим сначала
рассеяние носителей заряда на каких-либо несовершенствах ре-
решетки— «рассеивателях» (но не друг на друге). По смыслу дела
столкновения изменяют только распределение носителей по квази-
импулъсам (и, может быть, по проекциям спина), но не меняют
непосредственно пространственного их распределения. С квантово-
механической точки зрения только такая постановка задачи и имеет
смысл: рассеяние есть изменение состояния носителя заряда в ре-
результате взаимодействия с рассеивателями; состояние же характе-
характеризуется квазиимпульсом и проекцией спина. Таким образом, из
аргументов функции распределения риг второй остается неизмен-
неизменным при рассеянии, а меняется только" первый. Пусть квазиим-
квазиимпульс носителя заряда до столкновения равен р', а после столкнове-
столкновения р *). Очевидно, число таких актов рассеяния в единицу вре-
времени пропорционально числу носителей в начальном состоянии
и числу свободных мест — в конечном, т. е. оно имеет вид
C.6)
Здесь efх — коэффициент пропорциональности, могущий, вообще
говоря, зависеть и от г. Строго говоря, величина е?\ могла бы зави-
зависеть и от напряженностей внешних электрического и магнитного
полей. Очевидно, однако, что для этого последние должны быть
сравнимы по величине с напряженностями атомных полей. Столь
сильные внешние поля мы рассматривать не будем. Интегрируя
C.6) по р' и умножая на dt, получим полное число носителей заряда,
приходящих за время dt в рассматриваемый элемент фазового объема
за счет столкновений:
^ ^ C.7)
Интеграл А определяется этим соотношением и описывает «приход»
частиц в единичный элемент фазового объема в единицу времени.
*) Мы не указываем явно спиновые переменные, считая в случае необходи-
необходимости, что они включены в р, р'. Естественно, при этом интегрирование, напри-
например, по р' включает и суммирование по двум соответствующим проекциям спина.

§3] КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 411
Аналогично, выбирая состояние с квазиимпульсом р в качестве
начального, а состояние с квазиимпульаэм р' — в качестве конеч-
конечного, находим полное число частиц, уходящих за время dt из рас-
рассматриваемого элемента фазового пространства в результате столк-
столкновений:
$ ^*^ C.8)
Интеграл В определяется этим соотношением и описывает «уход»
частиц из единичного элемента фазового объема в единицу времени.
Комбинируя формулы C.7) и C.8), получаем полное изменение
числа частиц в результате рассеяния:
^^ C-9)
Здесь
^^ -/(р, г)]-
-¦^(Р, Р')/(Р. г)[1-/(р', г)]}. C.10)
Выражение в правой части C.10) называют интегралом столкно-
столкновений. Как мы видим, функция распределения входит в него, вообще
говоря, нелинейно.
Коэффициенты е^ (р', р) и еТ'з (р, р'), характеризующие темп
рассеяния, имеют размерность см3/с. Они пропорциональны веро-
вероятностям соответствующих переходов. Иногда их представляют
как произведения абсолютного значения скорости частицы до столк-
столкновения на эффективные сечения рассеяния с данными изменениями
квазиимпульса (и, может быть, проекции спина). Для вычисления
их надо задать конкретный механизм рассеяния — природу рас-
сеивателей, энергию взаимодействия их с носителями заряда и
т. д. — и решить соответствующую задачу динамики.
Заметим, что — в отличие от движения носителей заряда в плав-
плавных полях — процессы взаимодействия электронов и дырок с рас-
сеивателями могут и не допускать классического описания. Таким
образом, даже в случае плавно меняющихся полей на определенном
этапе решения задачи о вычислении кинетических коэффициентов
может оказаться необходимым использование методов квантовой
механики. Это обстоятельство очень существенно для дальней-
дальнейшего. Как мы увидим в гл. XIV, ^необходимость учета квантовых
эффектов влечет за собой серьезное ограничение условий приме-
применимости метода кинетического уравнения.
В случае рассеяния носителей заряда друг на друге общая
формула-C.9) остается в силе, но явный вид интеграла столкнове-
столкновений изменяется, ибо теперь при каждом столкновении меняется
состояние не одной, а двух частиц. Пусть квазиимпульсы частиц
до столкновения равны р[ и р?, а после столкновения pt и р2.

412 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА {ГЛ. XIII
Подобно C.6), число таких столкновений в единицу времени есть
#i(Pi, ri; Pi, tirffPu ^/(р;, г) -0^ х
г)]Д11/<р r)]
где SP'x — коэффициент пропорциональности.
Полное число столкновений, связанных с приходом носителя
заряда в рассматриваемый элемент фазового объема, получится
отсюда интегрированием по р'и р2 и р'г. Принимая во внимание еще
обратный процесс («уход»), получаем
Х/(Рь r)f(p'it T)[l-f(plt Г)][1-/(р2, г)]-
r)/(p2, r)[i-f(p;, r)][i-f(pj, г)]}. (З.П)
Коэффициенты а7\, ^2 пропорциональны вероятностям рассматривае-
рассматриваемых актов рассеяния.
Наконец, изменение числа носителей заряда за счет рекомби-
рекомбинации или захвата можно было бы написать по образцу C.10) —
изменился бы только смысл коэффициентов Qplt аР2 и интегрирование
по р' заменилось бы (в случае захвата) суммированием по дискрет-
дискретным переменным, нумерующим различные квантовые состояния
электронов на центрах захвата. Чаще всего, однако, рекомбина-
ционные явления можно вообще не принимать во внимание при вы-
вычислении кинетических коэффициентов. Дело в том, что скорости
процессов рассеяния и рекомбинации носителей заряда, как пра-
правило, резко различны. Как мы знаем (гл. IX), характерные реком-
бинационные времена — порядка 10~8 н- 10~6 с и более. С другой
стороны, типичное среднее время свободного пробега хр == <т)
(см. § 1.2), характеризующее темп процессов рассеяния («ча-
(«частоту столкновений»), — порядка 101 ч- 10~13 с. Таким образом,
можно считать, что рассеяние происходит при практически неиз-
неизменном — безразлично, равновесном или неравновесном — числе
свободных носителей заряда. С другой стороны, рекомбинация
и захват становятся заметными лишь спустя длительное время
после того, как процессы рассеяния (совместно с действием полей
и т. д.) «сформируют» функцию распределения носителей по квазн-
импульсам. Это разделение процессов на быстрые (в данном слу-
случае — рассеяние) и медленные (в данном случае — рекомбинация
или захват), протекающие практически независимо друг от друга,
весьма характерно для кинетики. По существу, мы уже встречались
с ним в гл. VII и др., рассматривая диффузию носителей заряда
и связанные с ней явления. Диффузия также представляет собой
медленный процесс, характеризуемый коэффициентом диффузии D.

§ 4] ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 413
С другой стороны, сама величина D определяется быстрыми про-
процессами рассеяния, формирующими функцию распределения и про-
протекающими зачастую так, как если бы никакой диффузии не было.
Комбинируя теперь формулы C.1), C.3), C.4) и C.9), получаем
уравнение для функции распределения:
-|- = -<v, V/)-(F, Vp/) + /[/]. C.12)
Это и есть кинетическое уравнение. Интеграл столкновений J [f]
дается здесь формулами C.10) или C.11) (или их суммой, если суще-
существенны оба вида рассеяния), а сила-F — выражением C.5).
Уравнение C.12) написано для случая, когда имеются носители
заряда только одного типа. При наличии нескольких типов носи-
носителей (электронов и дырок, «легких» и «тяжелых» дырок и т. д.)
надо ввести свою функцию распределения для каждого типа. Со-
Соответственно мы будем иметь столько кинетических уравнений
вида C.12), сколько есть таких типов. При этом в правой части
формулы C.12) появится сумма по всем типам частиц, на которых
рассматриваемые носители заряда могут рассеиваться. Таким
образом, если существенно взаимное рассеяние или превращение
частиц разных типов, то мы приходим к системе связанных кинети-
кинетических уравнений.
Уравнение C.12)—интегро-дифференциальное; математиче-
математическая задача ,о его решении становится определенной, лишь если
задать еще граничные условия. Это, однако, удобно делать не в об-
общем виде, а применительно к тому или иному конкретному случаю,
и мы здесь не будем обсуждать этот вопрос.
Вывод кинетического уравнения завершает намеченную в пре-
предыдущем параграфе схему вычисления кинетических коэффициен-
коэффициентов. Как видно из предыдущего, решение этой задачи делится на
два этапа, которые несколько условно можно назвать «механиче-
«механическим» и «статистическим». Первый из них состоит в вычислении
коэффициентов пропорциональности аРъ аРг, т. е. вероятностей
рассеяния при заданном механизме последнего. Второй этап состоит
в решении уравнения (или уравнений) C.12) при известных функ-
функциях й?\, <9V
§ 4. Термодинамическое равновесие.
Принцип детального равновесия
Кинетическое уравнение, выведенное в предыдущем параграфе
для произвольных неравновесных условий, сохраняет силу и в ус-
условиях термодинамического равновесия. При этом оно определяет
равновесную функцию распределения /0. Последняя, однако, уже
известна нам из равновесной статистической физики — это есть
функция Ферми (V.3.1). Воспользуемся этим обстоятельством,

414 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
чтобы прийти к одному полезному соотношению между коэффициен-
коэффициентами аРх И <f 2.
Рассмотрим систему электронов в отсутствие внешнего электри-
электрического поля. Поскольку f0 не зависит от времени, уравнение
C.12) принимает вид
- (v, V/o) - (F, Vp/0) + J\fo] = 0. D.1)
При этом согласно (V.3.1)
[E(P)^F]y\ D-2)
где ф — электростатический потенциал, отличный от константы,
если в условиях равновесия имеется искривление зон.
Обозначим через /о производную от /0 по энергии Е (р). По-
Поскольку функция /0 зависит от координат только через потенциал
Ф, а последний входит лишь в комбинации Е (р) — еф, мы имеем
V/0 = -e/;-Vq>. D.3)
Далее, в силу (IV. 1.3)
v/;. D.4)
Здесь принято во внимание, что в условиях термодинамического
равновесия электрохимический потенциал F и температура Т
не зависят от координат.
Сила F дается правой частью уравнения C.5), где, в рассматри-
рассматриваемом случае,
S = —Уф.
Следовательно,
(F, Vp/0) = e/;{(v, Vq>)—i(v, [vxSi])}. D.5)
Последнее слагаемое в правой части D.5) тождественно равно нулю.
Это означает, что однородное магнитное поле само по себе не может
нарушить равновесное распределение носителей заряда по квази-
квазиимпульсам.
Подставляя выражения D.3) и D.5) в уравнение D.1), мы полу*
чаем
е (v, V9) /J - е (v, Уф) f'o + J [/0] = 0. D.1')
Видим, что в условиях термодинамического равновесия «траивг
ляционное» и «ускорительное» слагаемые в кинетическом уравнении
взаимно уничтожаются. Это означает, что имеет место взаимная
компенсация плотностей диффузионного и дрейфового токов (ср.
§ VI.3). Действительно, диффузионный ток обусловлен как раз
неоднородным распределением носителей заряда в пространстве,
а дрейфовый — действием силы со стороны электрического поля,

§ 4] ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 415
Таким образом, уравнение D.1) теперь принимает вид
•а/о] = О. D.1")
Смысл этого равенства ясен: в условиях взаимной компенсации пер-
первых двух слагаемых в D.1) число частиц в любом элементе фазо-
фазового пространства может измениться только за счет столкновений *).
Поскольку в рассматриваемых условиях функция распределения
не зависит от времени, «приход» и «уход» частиц должны взаимно
компенсироваться.
Уравнение D.1") с учетом D.2) устанавливает некоторую связь
между величинами ^ (р', -р) и д"г (р, р').
Рассмотрим сначала случай, когда рассеяние носителей заряда
происходит на каких-либо несовершенствах решетки (но не друг
на друге). Тогда, согласно C.10), равенство D.1") принимает вид
' = O. D.6)
Допустим, что равенство нулю интеграла в D.6) влечет за собой
и обращение в нуль подынтегрального выражения. Тогда, подстав-
подставляя в D.6) явное выражение для функции Ферми, мы получаем
^2 (P. P')
Видно, что рассеяние с увеличением энергии менее вероятно,
чем с уменьшением ее: при Е (р') <? (р) правая часть D.7) меньше
единицы. При упругом рассеянии, когда энергия частицы не изме-
изменяется вовсе, #г (р', р) = ^2 (Р. Р')-
Предположение о равенстве нулю не только интеграла, но и
подынтегрального выражения в левой части D.6) означает, что
в условиях равновесия поток частиц из данного элемента фазового
пространства в любой другой точно уравновешивается обратным
ему потоком. Меньшая вероятность перехода из состояний с малой
энергией компенсируется при этом большей их «заселенностью».
Иначе говоря, приход и уход частиц уравновешиваются не суммарно.
а детально — порознь для каждых двух элементов фазового про-
пространства. Соответственно утверждение, выражаемое равенством
D:7), носит название принципа детального равновесия.
Изложенное выше, разумеется, не представляем собой вывода
указанного принципа. Это есть лишь способ догадаться, какого
соотношения между величинами ^ (р', р) и <f>2 (p,1 р') можно было бы
ожидать. Фактически равенство D.7) при определенных условиях
вытекает из квантовой механики ([М2], § 108), и его можно ис-
*) Ситуация становится особенно ясной, если искривления зон нет вообще,
т. е. система носителей заряда пространственно однородна. В этом случае функ-
функция распределения не зависит от координат, а ?= —уФ = 0> т- е- первое и втсь
рое слагаемые в D.1) порознь обращаются в нуль: переноса частиц ни в коорди-
координатном, ни в импульсном пространстве нет вообще.

416 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. ХШ
пользовать для нахождения явного вида равновесной функции
распределения. Так, в частности, обстоит дело при упругом рассея-
рассеянии бесспиновых частиц (что и будет проиллюстрировано в дальней-
дальнейшем на конкретных примерах). При этом слово «бесспиновый»
не обязательно понимать буквально: речь идет о процессах рассея-
рассеяния, в которых спин частицы не играет роли. Именно с такими про-
процессами мы чаще всего имеем дело в неферромагнитных полупро-
полупроводниках и металлах.
Совершенно аналогично можно рассмотреть и рзсЬеяние носи-
носителей заряда друг на друге. Интеграл столкновений при этом
дается формулой C.11). Комбинируя ее с соотношением D.1"),
мы получаем, подобно D.7),
о% (р', о'-. Pl, Р2) = ех ?(p;)+g(p;)-g(Pi)-g(p2) ,4 8)
р:> kT '
#2 (л. р2; р[. р-:>
Под знаком экспоненты здесь стоит полное изменение энергии
двух частиц при столкновении. В отсутствие обмена энергией
с какими-либо третьими телами оно, очевидно, должно равняться
нулю. Таким образом, равенство D.8) принимает более простой
вид:
^i (pi. pi; рь р2)=^ (pi, p2; р;, р;>. D.8')
Ка«т< и D.7), равенство D.8') справедливо не всегда fM2]. Однако
уточнения, которые необходимо внести в общем случае, в интере-
интересующих нас задачах ничего не меняют.
§ 5. Малые отклонения от равновесия
Систему электронов мсжно вывести из состояния термодинами-
термодинамического равновесия, накладывая напряжение на образец, или
создавая в нем градиент концентргции носителей заряда или тем-
температуры. При этом электрохимический потенциал или темпера-
температура (или и то и другое) становятся зависящими от координат.
Принимая во внимание это обстоятельство, мы можем записать
неравновесную функцию распределения в виде
/(Р. г) = МР, г) + МР- г). E.1)
Здесь
!JLSWQr <5-2>
есть функция Ферми с изменяющимися в пространстве темпера-
температурой и электрохимическим потенциалом, a /j — неизвестная пока
функция, которую надо определить из кинетического уравнения.
Представление / (>, г) в виде E.1) оказывается удобным, если
градиенты функций F (г) и Т (г) достаточно малы. Как будет

§ 5] МАЛЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ ОТ РАВНОВЕСИЯ 417
показано в § 7, при этом в существенной области энергий
1/iK/o. E-3)
Коль скоро условие E.3) выполняется, говорят о малых откло-
отклонениях от термодинамического равновесия; систему носителей
заряда при этом называют слабо неравновесной. В применении
к таким системам кинетическое уравнение C.12) несколько упро-
упрощается. Действительно, перепишем его, пользуясь явным выраже-
выражением C.5) для силы F. Получим
ж+<v> v# - (*s. vp/) - -с (l> x ^ ^ = J1Я • E-4)
Условие E.3) позволяет заменить/ на f0 во втором и третьем слагае-
слагаемых в левой части E.4). Действительно, в условиях, когда VT =
= YF = 0, функция /х должна обращаться в нуль/ Следовательно,
мы можем ожидать, что fx будет линейно зависеть от € и VT (в § 7
это будет доказано). Ограничиваясь, как и в § 1, приближением,
линейным по б и V7\ мы должны отбросить члены (v, V/x) и (eS, VF/X),
как величины высшего порядка малости. С другой стороны, для
вычисления слагаемого с магнитным полем и интеграла столкнове-
столкновений такая аппроксимация недостаточна: как мы видели в § 4, при
f = fo эти выражения обращаются в нуль.
Вычисляя градиенты V/o и VP/0, мы получаем, подобно D.3)
и D.4),
vt —( />Vm VF E(p)—ey — F „ ,-\ ., rj f _vf
где, как и раньше, f't = dfoldE (p).
Таким образом, в принятом приближении сумма второго и треть-
третьего слагаемых в левой части E.4) есть
-g(v, Vq!)-(v, \F)-E{p)~^~F (v, VD-gF,v)}/;. E.5)
Поскольку б = —Vip, первый и последний члены в E.5) вза-
взаимно уничтожаются. Следовательно, вместо E.5) в кинетическое
уравнение фактически входит выражение
{_. (v, XF) -g(p>""P-f (v, VT)}/o. E.5')
Видим, что роль напряженности электрического поля действи-
действительно играет величина €' = — VF A.1).
Итак, при малых отклонениях от равновесия кинетическое
уравнение E.4) принимает вид
f - (efi'.'v) /о - ?(РOФ~Г <v' WП - y([vXЩ,

418 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. ХШ
В дальнейшем при рассмотрении электронного газа удобно будет
отсчитывать энергию Е (р) от дна зоны проводимости. При этом
F + ец> = ?, где химический потенциал ? — тот же, что ив гл. V.
В стационарных условиях и при ?' = VT — О отсюда следует,
как мы и ожидали, что fx = 0 и / = /0. Иначе говоря, равновесие
нарушается, лишь если отличен от нуля хотя бы один из векторов
VF и VT. Только при этом условии могут возникнуть электрический
ток и поток энергии.
§ 6. Интеграл столкновений в случае упругого рассеяния
и изотропных изоэнергетическйх поверхностей.
Время релаксации импульса
Кинетическое уравнение E.4'), как и C.12), — нелинейное
интегро-дифференциальное. В общем случае аналитическое его
решение связано с большими математическими трудностями. По
этой причине приходится вводить упрощения, основанные на тех
или иных физических особенностях задачи.
Прежде всего, заметим, что во многих случаях вероятность
изменения проекции спина при рассеянии весьма мала и, кроме
того, частицы с «левой» и «правой» проекциями спина рассеиваются
практически одинаково. Действительно, проекция спина может
измениться только за счет сравнительно слабых магнитных взаимо-
взаимодействий. В пренебрежении последними суммирование по проекциям
спина в правой части C.10) отпадает, и мы можем явно рассматри-
рассматривать только частицы с какой-нибудь одной проекцией спина. Нали-
Наличие электронов или дырок с другой проекцией спина при этом учи-
учитывается просто множителем 2 в формулах для концентрации частиц,
плотности тока и плотности потока энергии, как это и сделана
в равенствах B.1), B.2) и B.3).
Далее, весьма часто рассеяние носителей заряда носит почти
упругий характер. Так, например, обстоит дело при рассеянии
их атомами заряженной или нейтральной примеси, дислокациями
или иными структурными дефектами решетки. Все эти объекты
обладают значительно большей массой, нежели электрон или дырка.
Как известно из механики, при столкновении легкой частицы с тя-
тяжелой может сильно измениться импульс каждой из них, но обмен
энергией между ними весьма затруднен: изменение энергии легкой
частицы при столкновении оказывается малым по сравнению с са-
самой этой энергией. В следующей главе мы убедимся, что так же
обстоит дело и при рассеянии электронов на акустических колеба-
колебаниях решетки: изменение энергии при рассеянии пропорционально
(т/Му/г, где т — эффективная масса электрона, а М — масса
атома решетки.
В соответствии со сказанным предположим, что рассеяние
носителей заряда происходит без изменения их энергии: носители

§ 6] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ 419
только перераспределяются по данной изоэнергетической поверх-
поверхности, не сходя с нее. Такой тип рассеяния называется упругим.
Разумеется, предположение об упругости рассеяния представ-
представляет собой идеализацию, использование которой оправдано не
всегда. В самом деле, при полном отсутствии обмена энергией
между носителями заряда и их окружением в кристалле не выделя-
выделялось бы джоулево тепло и, далее, вообще не могло бы установиться
термодинамическое равновесие, между электронами и дырками,
с одной стороны, и кристаллической решеткой — с другой. Утверж-
Утверждение о почти упругом характере рассеяния означает, что процесс
обмена энергией между носителями заряда и решеткой протекает
гораздо медленнее, чем процесс обмена квазиимпульсом. Приня-
Принятая нами идеализация означает пренебрежение первым из этих
процессов. Зто может быть оправдано лишь при достаточно малом
нарушении равновесия (например, в слабом электрическом поле),
когда можно пренебречь энергией, приобретаемой носителями
заряда от внешнего источника.
Математически предположение об упругости рассеяния выра-
выражается тем, что коэффициенты #х (р', р) и Ф2 (р, р'), фигурирующие
в интеграле столкновений, отличны от нуля лишь при Е (р') =
= Е (р). В то же время интегралы от ^г и ^2 по р' должны быть
отличны от нуля. Этим требованиям можно удовлетворить, по-
полагая
^(р', p) = 8[E(p')-E(p)]S(p', p),
&а(р, p') = 6[E<p')-E(p)]S(p, р'), * ' '
где S (p', p), S (р, р') — некоторые функции, б [Е (р') — Е (р)] —¦
дельта-функция Дирака *). Действительно, согласно свойствам
б-функции интегралы от величин F.1), умноженных на функцию
распределения /, во-первых, отличны от нуля и, во-вторых, со-
содержат только значения f я S при Е (р') = Е (р). В гл. XIV
выражения F.1) будут получены явно. При этом, в силу прин-
принципа детального равновесия D.7),
Sip', p) = S(p, р').
Подставляя выражения F.1) в правую часть C.10), мы получаем
r)-/(p, г)} dp'. F.2)
Итак, предположение об упругом характере рассеяния привело
к тому, что искомая функция распределения вошла под знак инте-
интеграла столкновений линейно.
Дальнейшего упрощения интеграла столкновений можно до-
добиться, приняв во внимание свойства симметрии изоэнергетических
*) См. Приложение IV.

420 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ.. XIII
поверхностей. Рассмотрим простейший случай, когда названные
поверхности не вырождены и изотропны, т. е. представляют ссбр^й
сферы *)
? = ?(р2). F.3)
При этом функцию Е (р2) можно обратить; соответствующая обрат-
обратная функция есть р2 (Е).
Заметим, что по своему физическому смыслу функция S (р, if)
есть скаляр. Следовательно, она может выражаться лишь через
скалярные комбинации векторов р и р'.
В рассматриваемом случае их пять:
Р2. Р'2. (Р, p') = PP'cos0, ?(р2), ?(р'2). F.4)
Здесь б = р, р' есть угол рассеяния.
При упругом 'рассеянии последние две из величин F.4) оказы-
оказываются одинаковыми. Далее, в силу F.3) р2 = р'2. Таким образом,
остаются только два независимых скаляра; в качестве таковых
удобно взять энергию Е — Е (р2) и cos 6:
S(p,p') = S(?, cos9). F.5)
Итак, условия упругости рассеяния и изотропии невырожден-
невырожденных изоэнергетических поверхностей привели к тому, что функция
5 оказалась зависящей не от пяти, а только от двух аргументов;
при этом один из них в процессе рассеяния остается неизменным.
В дальнейшем, при рассмотрении квантовомеханической части
задачи (гдг"Х1У), коэффициенты §F\, ?P2 будут явно вычислены для
ряда механизмов рассеяния. Мы непосредственно убедимся тогда
в справедливости формул F.1) и F.5) в разных конкретных случаях.
Оказывается, однако, что для решения статистической части
задачи при малых отклонениях от равновесия специализация вида
функции S(E, cos 0) не требуется. Достаточно представить функ-
функцию распределения в виде E.1).
В соответствии с § 1 ограничимся учетом членов, линейных по
6 и V7\ Легко сообразить при этом, как должна зависеть функция
fi от ?, V71 и S3. Надо лишь принять во внимание, что /х есть скаляр,
ё и V77 — векторы, а 5$ — псевдовектор. Рассмотрим сначала те же
три частных случая, что и в § 1.
о) Носители заряда в постоянном и однородном слабом электри-
электрическом поле. Поскольку функция /х должна быть скаляром, линейно
содержащим вектор б, здесь следует положить
Д = (р, 6)Ч>(?), F.6а)
где ф (Е) — пока неизвестная нам скалярная функция энергии
носителя заряда.
*) Предположение о параболичности закона дисперсии не обязательно.

5 6] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ 421
б) Носители заряда в постоянном и однородном слабом темпе-
температурном поле. Здесь
6')Х*. F.66)
где Xi и х» — неизвестные пока скалярные функции, а величина ?'
связана с нагревом образца и с возможным перераспределением
зарядов в нем. Фактически вектор €' не независим, а выражается
через V71. Связь между этими векторами, однако, определяется
условиями опыта и удобнее здесь ее не специализировать.
в) Носители заряда в постоянных и однородных электрическом
и магнитном полях. Здесь имеются три независимых вектора:
8, [&xS3], (c3, SM3. Соответственно мы имеем
h = (Р- 6) 1>1 (Е) + (Р. [б X Щ) Ч>8 (?)•+ (Р, 53) («, б) % (Е), (б.бв)
где ifi, i|52 и г}з3 — пока неизвестные скалярные функции. Они зави-
зависят от энергии носителя заряда и, может быть, от величины <^82 -*).
Аналогичные выражения можно написать и при наличии сразу
и электрического, и магнитного поля, и градиента температуры
или только магнитного поля и градиента температуры. В общем
виде, следовательно, мы имеем
h = (p,%{E)), F.7)
где вектор | представляет собой линейную комбинацию векторов,
характеризующих внешние воздействия. Скалярные коэффициенты
в этой линейной комбинации зависят от Е и, может быть, от gSS2.
Очевидно,. функция E.1) с учетом F.7) описывает состояние
с отличными от нуля значениями плотности электрического тока
и потока энергии. Действительно, /х, как и-у(р), есть нечетная
функция квазиимпульса р и интегралы в правых частях B.2) и B.3)
оказываются отличными от нуля. Вместе с тем средняя энергия
носителей заряда (Е) в этом состоянии не отличается от равновес-
равновесной. В самом деле,
^^ F.8)
Поскольку Е (р) есть четная функция квазиимпульса р, слагаемое
/i не дает вклада в интеграл F.8): в принятом приближении носи-
носители заряда получают от внешних полей и передают решетке только
квазиимпульс, но не энергию**).
Подставим выражение E.1) в интеграл столкновений F.2)
и примем во внимание равенство F.5). В силу упругого характера
*) Как мы увидим в следующем параграфе, последняя возможность не про-
противоречит условию E.3).
**) Этот результат можно было предвидеть заранее, вспомнив, что джоулево
тепло выражается через квадрат напряженности электрического поля.

422 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
рассеяния /0 (Е(р)) = /0 (Е (р')) и, следовательно,
)> cos6H(p'- 6)-(p. S)L <6-9)
Интеграл по р' удобно вычислять в сферических координатах,
направив полярную ось по вектору р. Полярные углы векторов
р' и | относительно р обозначим, соответственно, через (б, ф) и;
(a, fS), a вместо р' введем переменную Е' — Е (р'). Тогда
где v{E') = \dE'!dp'\.
Введем плотность состояний по формуле (V.7.8a) и выполним
интегрирование по Е' в F.9) с помощью б-функции. Получим
J\f] = N {EJl(E) { d%¦ sin 6 • S (E, cos 6) { dq> • (p cos (p7?!)-pcosa).
8л i о5 " (ело)
Как известно из сферической тригонометрии,
cos(p', |) = cos 6 • cos a + sin 6-sin a-cos (ф —Р).
Подставим это выражение в правую часть F.10) и проинтегрируем
по ф. Получим
^ = -^^-—4-' FЛ1)
где
С s ¦ S (E, cos 6) A- cos 6)sine. F.12)
г<?) 4 о.
Очевидно, функция т (?) не отрицательна. В частности, для элект-
электронов с квадратичным законом дисперсии мы имеем
л
TW = Bn)WEc) $M-S(E> cos 6) A-cos 6) sin 6. F.13)
0
Видим, что тг1 (Е) представляется в виде суммы двух слагае-
слагаемых. Первое из них (отвечающее единице в круглых скобках под
знаком интеграла) связано с интегралом «ухода» В C.8), второе
(отвечающее cos е в круглых скобках) — с интегралом «прихода» А
C.7). Легко убедиться, что «приходный» член не играет роли,
если S —четная функция cos Ф (или не зависит от Ф).
Функция х (Е), определяемая равенствами F.12) или F.13),
имеет размерность времени и называется временем релаксации
импульса. Для краткости мы будем опускать слово «импульса»
всюду, где это не может повести к недоразумениям. Часто исполь-
используется также термин «транспортное время релаксации».

§ 6] ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ 423-
Смысл термина «время релаксации» легко уяснить себе, рассмот-
рассмотрев частный случай, когда внешние поля отсутствуют и образец
пространственно однороден (у/ = 0), но функция распределения
все же имеет неравновесный вид E.1). Так может обстоять дело,
например, сразу после выключения (в момент Ь = 0) внешнего
электрического поля. Естественно, такое состояние не будет ста-
стационарным и функция распределения будет изменяться со вре-
временем, постепенно приближаясь к равновесному своему значению.
Действительно, кинетическое уравнение C.12) в данном случае
имеет вид
? + ?ЙИ. F.14)
Отсюда
/-/о = Се-</¦*№>. F.15)
Константа С определяется начальными условиями и нас здесь
не интересует. Видно, что величина г определяет время возвращения
системы к состоянию равновесия.
Как будет видно из дальнейшего, время т (Е) есть не что иное,
как время свободного пробега, введенное в § 2 гл. I. Здесь, однако,
оно введено не ad hoc, а выведено — в определенных предположе-
предположениях — из рассмотрения интеграла столкновений. При этом фор-
формулы F.12) и F.13) позволяют явно вычислять х как функцию энер-
энергии носителя заряда и экспериментально варьируемых параметров,
коль скоро известна функция S (E, cos б), т, е. 'коль скоро ре-
решена механическая часть задачи.
Следует подчеркнуть, что предположения, в рамках которых
получены простые формулы F.11) и F.12),— довольно жесткие.
Прежде всего, изоэнергетические поверхности далеко не всегда
изотропны (§§ III.8, III.9). Наоборот, энергия электрона чаще
зависит не только от абсолютной величины квазиимпульса, но
и от ориентации его относительно осей кристалла. В частности.так
обстоит дело в германии и кремнии.В таких случаях кинетические
свойства системы электронов характеризуются «временем релак-
релаксации», зависящим не только от энергии, но и от направления дви-
движения частицы относительно кристаллографических осей. Простая
формула F.12) при этом уже несправедлива. Иногда удается вве-
ввести три «времени релаксации», каждое из которых зависит только
от энергии и соответствует потоку электронов вдоль «своей»
кристаллографической оси. Далее, как будет показано в гл. XIV,
существуют механизмы рассеяния, для которых предположение
об упругом его характере не оправдано.
Задача о решении кинетического уравнения с учетом анизо-
анизотропии изоэнергетических поверхностей или неупругости рассея-
рассеяния связана с серьезными математическими осложнениями, и мы
здесь не будем на ней останавливаться, Приближенную аналитиче-

424 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. ХШ
скую ее трактовку, справедливую в применении к кристаллам типа
германия и кремния, можно найти в монографии [М73. В более
сложных случаях кинетическое уравнение решают численными ме-
методами.
Несмотря на известную грубость принятых нами предположе-
предположений, формулы F.11) и F.12) все же оказываются очень полезными.
В ряде случаев они позволяют правильно указать зависимость
кинетических коэффициентов от экспериментально варьируемых
параметров, а также оценить порядок их величины. Дело в том,
что анизотропия изоэнергетических поверхностей не всегда играет
принципиальную роль. Зачастую учет ее приводит просто к появ-
появлению не слишком существенных численных коэффициентов. Более
подррбно этот вопрос рассматривается в § 7 и в § XIV.6.
§ 7. Элементарные стационарные решения кинетического
уравнения в случае малых отклонений от равновесия
Решение кинетического уравнения в условиях, когда справед-
справедливы неравенство E.3) и соотношение F.11), не представляет труда.
В настоящем параграфе мы будем интересоваться только стационар-
стационарными состояниями, в которых функция распределения / не зависит
от времени. Это соответствует постоянным полям (или постоянному
градиенту температуры), со времени включения которых прошло
время, заметно превышающее" как время свободного пробега, так
и максвелловское время релаксации.
Вновь рассмотрим по отдельности три случая, указанные в § 6.
Ограничимся при этом материалами, пространственно однородными
в отсутствие внешних воздействий (в частности, в отсутствие гради-
градиента температуры).
а. Статическая электропроводность, В рассматриваемом случае
¦ нет причин для возникновения зависимости функции распределения
от координат, еВ = 0 и ?' = в.
Таким образом, кинетическое уравнение E.4') с учетом соот-
соотношений F.6а) и F.11) принимает вид
е$, v)ft-(p, ?)! = 0. G.1)
В изотропном случае F.3) скорость v параллельна р. Положим
p^m(E)v, G.2)
где т (Е) — некоторая величина размерности массы. При квадра-
квадратичном законе дисперсии это есть просто эффективная масса носи-
носителя заряда; при учете непараболичности она зависит от энергии.
Уравнение G.1) теперь принимает вид
,?) = О. G.3)

§ 7] СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ 425
Для краткости мы не выписываем здесь энергетические аргументы
у функций т, г[з и т.
Поскольку угол между векторами р и S может быть произволь-
произвольным, коэффициент при скалярном произведении (р, ?) должен
обращаться в нуль. Отсюда
Поскольку х и /0 зависят только от Е, видим, что и ¦$, как мы и пред-
предполагали, действительно зависит только от энергии,,но не от на-
направления квазиимпульса. Для функции распределения мы имеем
теперь, согласно G.4), F.6а) и E.1),
/72
Теперь легко раскрыть содержание неравенства E.3) примени-
применительно к рассматриваемой задаче. Для этой цели надо заменить
скалярное произведение (р, Щ в G.5) произведением абсолютных
значений и потребовать, чтобы второе слагаемое в G.5) было по
абсолютной величине много меньше первого при всех существенных
значениях р и Е. Это приводит к следующему неравенству:
¦Щт^1' G-6>
В случае невырожденного газа главную роль играют «тепловые»
значения
. G.7)
Таким образом, условие G.6) принимает вид
^ G.8)
причем под х следует понимать значение функции т (?), взятое при
Е ~ kT. Левая часть G.8) по порядку величины представляет
собой не что инее, как энергию, получаемую электроном (дыркой)
от поля за время свободного пробега. Видно, что она должна быть
пренебрежимо мала по сравнению со средней энергией носителя
заряда, уже имеющейся у него в условиях термодинамического
равновесия.
С помощью второй из формул G.7) условие G.8) удобно пере-
переписать в виде
CftT ^ try Al
= Va <C Vt G.У)
или

426 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. ХШ
Таким образом, принятое выше приближение оправдано, коль
скоро дрейфовая скорость достаточно мала по сравнению с теп-
тепловой.
В случае полнрстью вырожденного газа главную роль играет
область энергий Е с*. ?, где ? — уровень Ферми, отсчитанный от
края зоны, а квазиимпульс и скорость следует заменить «фермиев-
скими» их значениями р? = р (?) и v^ssv (?). Вместо неравенства
G.6) при этом получается
?*Рс<?. G.6')
причем т = т (?).
Иначе говоря, мы вновь получаем здесь условие вида G.9):
или
—^г- • G.9")
При Т = 77 К, m = 0,1 m0 и т = 103 с величина §крит в невырож-
невырожденном случае составляет примерно 104 В/см.
. Неравенства G.9'), G.9") определяют условия применимости
линейного (по §) приближения, принятого выше при решений
кинетического уравнения. Как будет видно из дальнейшего, они же
составляют и условия применимости закона Ома.
Согласно программе, намеченной в § 2, функцию распределения
G.5) надо подставить в формулу для плотности тока B.2) и, вычислив
интеграл, получить явное выражение для j. Найденный таким путем
коэффициент пропорциональности между j и в следует отождест-
отождествить с электропроводностью а, Мы имеем
. 2е» С (р,€) mrdn Gm
Как и при выводе формулы F.11), здесь удобно ввести сферические
координаты, напрабив, полярную ось вдоль вектора S. Из сообра-
соображений симметрии ясно (и легко проверить непосредственно), что
компоненты j, перпендикулярные в, равны нулю. Вновь вводя
вместо р переменную ?, отсчитываемую от Ес, мы получаем с учетом
G.2)
f'Q dE. G.11)
Сравнивая соотношения G.11) и A.1.3), находим
E. G.12)

$ 7] СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ 427
Эта формула выражает электропроводность вещества через вели-
величину х (Е), характеризующую решение механической части задачи.
Концентрация носителей заряда входит сюда через уровень Ферми,
фигурирующий в равновесной функции распределения /0. Согласно
(V.3.1) /о < 0 и, следовательно, сг>0, как и должно быть.
Дрейфовая подвижность ц. определяется равенством
G.13)
причем концентрация носителей заряда п дается выражением
(V,4.1). Комбинируя равенства G.12), G.13) и (V.4.1), находим
со
\ xv2Nf'o dE
F = -T^ • G.Н)
) Nf0 dE
о
Это есть не что^ное, как формул^ A.3.13), с той лишь разницей,
что здесь указан точный смысл усреднения, обозначенного там сим-
символом (...). Именно, определим эффективную массу электропро-
электропроводности та *) соотношением
3$ N(E)fo(E)dE
та = — -?г =mopt. G.15)
о
Тогда формулу G.14) можно переписать в виде
!* = ¦?¦. G.14')
где
со
/о ж (toW) dE
G-16)
Как будет видно из дальнейшего, правило усреднения G.16)
справедливо и в применении к формулам, описывающим термоэдс,
постоянную Холла и т. д. Величина та зависит от формы изоэнерге-
тических поверхностей и, вообще говоря, от температуры и от кон-
концентрации частиц. В случае изотропного параболического закона
*) Величину /Лд называют также оптической эффективной массой mopi,
с чем и связано другое ее обозначение (см. § 8 и гл. XVIII).

428 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
дисперсии она превращается в эффективную массу т, фигурирую-
фигурирующую в законе дисперсии (III.8.4).
Отметим два предельных случая — полностью вырожденного
и невырожденного газа носителей заряда. Первый из них реали-
реализуется при t,^>kT\ как видно из формулы (V.3.1), величина |/о |
тогда имеет острый максимум при Е = ? и для вычисления инте-
интегралов с гладкими функциями ее можно заменить б-функцией:
/;__6(?_?) G.17)
(см. Приложение XV).
При этом интегралы в G.16) сразу вычисляются, и мы получаем
тР = т(?). G.18)
Заметим, что при любом механизме рассеяния подвижность
здесь может зависеть от концентрации частиц. Это обусловлено
концентрационной зависимостью, энергии Ферми ?, т. е. в конечном
счете принципом Паули.
В случае невырожденного газа, когда /0 ~ ехр (-^т™— I, формула
G.14) принимает вид
от
С toW ехр (- -A-j dE
Поскольку принцип Паули в отсутствие вырождения роли не играет,
это выражение может зависеть от концентрации частиц п только
через время релаксации т (?): функция S, фигурирующая в фор»
муле F.12) и получающаяся из решения механической части задачи,
может зависеть от п, если играет роль взаимодействие электронов
друг с другом.
При параболическохМ законе дисперсии мы имеем согласно (V.2.3)
N(E)- Ы'*Е11>
Следовательно, интеграл в знаменателе G.19) равен
и мы получаем, заменяя в числителе и2 на 2Е/т,
ц = %-?=¦ \ ?3/'техр (-JL)dE. G.20)
kl

§ 7J СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ 429
Для дальнейшего нужно знать явную зависимость времени .ре-
.релаксации от энергии. Как будет показано в гл. XIV, весьма часто
эта зависимость 'оказывается степенной:
%{Е) = СЕГ, G.21)
где величина С не зависит от энергии, а г — некоторая постоянная
(значения ее для ряда механизмов рассеяния указаны в таблице 14.2).
Подставляя выражение G.21) в правую часть G.20), мы получаем
0с_к 7>20,
л
у0
Здесь Г (г + 5/2) есть Г-функция Эйлера, определяемая равенством
б. Термоэдс и коэффициент Пельтье. В соответствии с § 1 (п. б)
рассмотрим случай, когда внешние электрическое и магнитное поля
отсутствуют, но у Г ^Ои имеется поле 6' (§ 1 и § 6 (п. б)). При
этом уравнение E.4') с учетом F.11) принимает вид
', v) + (v, VT)-?M^}/; = A. G.22)
Подставляя сюда выражение F.66) для /х и принимая во внимание
соотношение G.2), мы получаем
/о»
Как мы и предполагали, Xi и %2 зависят только от энергии электрона.
Функция Хг имеет, как и следовало ожидать, тот же вид G.4), что
и функция if в п. а; соответствующий вклад в плотность тока дается
выражением G.11). Для функции распределения находим согласно
E.1)
Подставляя выражение G.24) в формулу B.2) для плотности
тока и выполняя интегрирование так же, при выводе формулы G.11),
получим для плотности тока электронов
.. , G.25)
где многоточием обозначено слагаемое, содержащее, (р, б'); оно
имеет вид G.11) с заменой S на в'.
Величина ? в G.25), как и всегда, отсчитывается от края зоны
проводимости. При этом, поскольку перед интегралом уже имеется

430
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА
[ГЛ. XIII
множитель VT, а градиент электрического потенциала в данном слу-
случае отличен от нуля лишь за счет градиента температуры, учиты-
учитывать искривление зон при вычислении ? не следует. Сравнивая
G.25) с равенством A.2), находим фигурирующий там феномено-
феноменологически введенный коэффициент а и, по формулам A.6) и G.12),
дифференциальную термоэдс а:
а — —
JL
kT
1
kf
CO
\ Ev*N
J
0
I v*Nxf
xf'odE
'odE
G.26)
Аналогичная формула справедлива и для тока дырок — с оче-
очевидной заменой скорости, плотности состояний, функции распре-
распределения и химического потенциала на соответствующие «дырочные»
величины. Это означает, в частности, что ? надо заменить на —Eg ^- ?
(ср. § V.4). При параболическом законе дисперсии, когда и2 =
= 2Е1т, выражение G.26) с учетом (V.2.3) принимает вид
kT
kT,
G.27)
Это — так называемая формула Писаренко.
Первое слагаемое в фигурных скобках зависит только от равно-
равновесных характеристик системы, второе же определяется и механиз-
механизмом рассеяния.
Рассмотрим формулу G.27) в частных случаях невырожденного
и полностью вырожденного газа носителей заряда.
В первом из них мы получаем
kT
Еь/* х ехр (— E/kT) dE
J
kT
¦ x exp (— E/kT) dE
G.28)
Второе слагаемое в фигурных скобках есть некоторое безразмерное
число, зависящее от вида функции г (Е). Обычно оно—порядка
единицы. Так, в случае G.21) это отношение составляет
г (/-+6/2)
е,
G.28')

S 7] СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ 431
Выражения в фигурных скобках формул G.28), G.28'), очевидно,
положительны: в отсутствие вырождения ? < 0.
С другой стороны, обращаясь к дырочному образцу, мы должны
были бы, в соответствии с § IV.2, изменить знак перед k/e.
Иначе говоря, для дырок мы имеем
+ (r+^}' G-28">
Выражение в фигурных скобках вновь положительно.
Таким образом, знак дифференциальной термоэдс определяется
знаком заряда доминирующих носителей.
В случае полного вырождения аппроксимация G.17) оказыва-
оказывается недостаточной. Действительно, полагая
/; = _б(?-?),
мы получили бы из G.27)
el kT^ kT l°'> x (К) /
Следовательно, для вычисления интегралов в G.27) необходимо
воспользоваться более точной, нежели G.17), формулой (П.XV.5).
Тогда получается
В качестве ? здесь следует взять значение уровня Ферми при Т = 0
(отсчитанное от дна зоны проводимости).
Выражение в квадратных скобках в формуле G.28'") представ-
представляет собой число порядка единицы. Так, в условиях G.21) оно
равно
3/2 + г.
Сравнивая формулы G.28') и G.28'"), видим, что в невырожден-
невырожденных полупроводниках термоэдс значительно больше, нежели в ме-
металлах. Действительно, вместо фигурирующего в G.28') отношения
t,lkT в правой части G.28"') появляется малый множитель kT/t,
(в металлах он составляет величину порядка 10~3).
Вычислим теперь плотность потока энергии. Ограничимся при
этом случаем невырожденного газа носителей заряда, Подставляя
G.24) в правую часть B.3), мы получаем
Пс1р. G.29)
Интегралы по квазиимпульсам преобразуются здесь так же, как
и в п. а. Сравнивая выражения G.25) и G.29), видим, что слагсскые

432 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
в G.29), содержащие ец>, в сумме равны просто jq>. Пользуясь для
х формулой G.21), мы получаем
I = J<P + I' -
где
^(^:rrv^ ^ ] vr},,30)
Слагаемое, заключенное в G.30) в квадратные скобки, есть
не что инее, как ea.'k. Ееличину 6' можно выразить через j и XT
с помощью соотношения A.7). Обращаясь, далее, к формулам G.13)
и G.20'), видим, что вклад в I от второго и третьего слагаемых в фи-
фигурных скобках в G.30) и от последнего слагаемого в G.29) можно
записать в виде
Отсюда явствует, что первое слагаемое в фигурных скобках
в G.30) связано с плотностью потока энергии при j = 0, т. е.
с теплопроводностью электронного газа. Сспсставив формулы- G.31),
G.13) и G.20'), найдем коэффициент теплопроводности газа носи-
носителей заряда:
2) IflTa
Комбинируя теперь выражения G.29') и G.30) — G.32), полу-
получаем окончательную формулу для плотности потока энергии элект-
электронов:
I = —ij-xVT + raj. G.33)
Сравнивая ее с A.8) (при выбранном начале отсчета энер-
энергии t = F), получаем соотношение A.1.18):
П=аГ.
Заметим, однако, что справедливость последнего равенства
не связана непременно с теми упрощающими предположениями,
которые мы сделали при выводе формулы G.33). Фактически оно
вытекает из очень общих соотношений термодинамики неравновесных
процессов *).
Раскроем теперь условие E.3) применительно к рассматриваемой
задаче. Ограничимся при этом случаем невырожденного полу-
полупроводника. Пользуясь формулами G.2) и G.23), приходим к
*) Общий вывод термоэлектрических соотношений A.1.18) и A.1.19) можно
найти в книге [М13].

§ 7] СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ 433
следующему неравенству:
1 у ' С ' ' "" G.34)
Произведение
vTx = l G.35)
называют длиной свободного пробега (по импульсу). Видим, что для
Еыполнения неравенства G.34) несбходимо (но, вообще говоря,
еще недостаточно), чтобы изменение температуры на длине свобод-
свободного пробега было мало по сравнению с самой температурсй. Пос-
Последнее условие, впрочем, имеет гораздо более общий характер:
при нарушении его вообще нельзя внести представление о темпера-
температуре, изменяющейся в пространсгее. Действительно, понятие тем-
температуры вводится в термодинамике равновесных процессов, причем
одно из условий равновесия как раз и состоит в псстоянстЕе тем-
температуры во всей рассматриваемой системе. Обобщить определение
температуры на неравновесный случай можно с помощью так назы-
называемой гипотезы локального равновесия. Именно, допустим, что рас-
рассматриваемое макроскопическое тело межно разделить на ряд
физически бесконечно малых объемов — достаточно малых областей,
каждая из которых содержит все же макроскопически много частиц
(при этом линейные размеры каждой области должны быть гелики
по сравнению с длиной свободного пробега). Эти области ^ожно
в свою очередь рассматривать как макроскопические системы, описы-
описывая их состояние с помощью обычных понятий термодинамики.
Естественно думать, что равнсЕеске устанавливается прежде всего
внутри каждой области (локально); лишь спустя известнее время
после этого может- установиться и равнсЕесие между сблгетями.
Мы имеем здесь еще один пример разделения процесссв на быстрые
и медленные (ср. § 3). Установление равкоЕесия внутри каждой
физически бесконечно малой части телгг представляет ссбой быстрый
процесс (происходящий за время порядка времени релаксации);
установление же, равновесия во всем объеме межет быть связано
с гораздо более медленными макроскопическими процессами тепло-
теплопроводности, диффузии и т. д. Таким образом, оказывгется возмож-
возможным говорить о локальном равновесии в пределах каждого физически
бесконечно малого объема при отсутствии равновесия во всей си-
системе в целом. При этом состояние каждого малого объема можно
характеризовать своей (постоянной в его пределах) температурсй,
своей концентрацией частиц и т. д. Тем самым приобретает ясный
смысл и представление об изменяющейся в прсстранстне темпера-
температуре. Соображения такого типа постоянно используются в задачах
кинетики. В частности,1 они составляют основу сбычной теории
теплопроводности, диффузии и т. д. Тем не менее справедливость
их заранее не очевидна. Действительно, как уже сткечалесь, «фи-
«физически бесконечно малые объемы» должны быть, с одной стороны,

434 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
достаточно велики, а с другой — достаточно малы, и эти два усло-
условия должны быть совместны. Именно по этой причине мы употреб-
употребляем термин «гипотеза локального равновесия», понимая под этим
предположение о возможности разбить макроскопическое тело на
области указанным выше образом.
в. Постоянная Холла и магнетосопротивление. Как и в случае
одного лишь постоянного и однородного электрического поля, здесь
нет причин для возникновения координатной зависимости функции
распределения и в' = б. Таким образом, уравнение E.4'), написан-
написанное для электронов, принимает вид
При этом функция /х дается выражением (б.бв).
Преобразуем теперь второе слагаемое в левой части G.36).
Для этой цели воспользуемся известным из векторной алгебры ра-
равенством, справедливым для произвольных векторов а, Ь, с и d:
([axb], [cxd]) = (a, c)(b, d)-(a, d)(b, c).
Получим, с учетом (б.бв),
([v X 53], Vp/i) = (v, [53 х Ц Хрг + (v, 6) <&^2 - (у, 53) E3, 6) fc. G.37)
Выражение G.37), вообще говоря, отлично от нуля. Введем
по-прежнему массу т (Е) равенством G.2). Тогда, подставляя G.37)
в уравнение G.36), мы получим
Ъ + Ц (Р, 53) = 0. G.38)
Поскольку углы между векторами р, б и 53 произвольны, равен-
равенство G.38) влечет за собой условие обращения в нуль порознь
всех трех выражений в фигурных скобках •— коэффициентов при
скалярных произведениях (р, S), (р, [в х 53]) и (р, 53). Это дает
три линейных уравнения для определения трех искомых функ-
функций tJI( tpa и гр3. Решая их, находим
Здесь
^. G.40)

§ 7] СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ 435
При параболическом законе дисперсии, когда функция т (Е)
превращается в константу, это есть уже известная нам (§ IV.3),
циклотронная частота. Произведение wct определяет дугу, опи-
описываемую электроном (дыркой) за время свободного пробега т.
Это позволяет наглядно интерпретировать сомножитель т A +
+ @ct2)~\ фигурирующий во всех трех формулах G.39а — в).
Как мы видели в гл. I, во время между столкновениями частица
в магнитном поле движется не по прямой, а по циклоиде; в то же
время вклад в ток определяется лишь проекцией перемещения
частицы на направление плотности тока. Таким образом, магнит-
магнитное поле действует в известном смысле как«рассеиватель», отклоняя
частицы от движения вдоль линий тока. Знаменатель A + g>?t2)
как раз и учитывает это отклонение, приводя к уменьшению «эффек-
«эффективного времени свободного пробега» т A + о^т2) по сравне-
сравнению с системой без магнитного поля. При исчезновении магнит-
магнитного поля (S3 -> 0) решение (б.бв) G.39а — в), разумеется, пере-
переходит в F.6а), G.4).
Подставляя теперь выражение (б.бв) в формулу B.2) для плот-
плотности тока и выполняя интегрирование так же, как и в п. а, получим
выражение вида A.15), но с явно вычисленными коэффициентами
при векторах (Б, [в х 55]) и 55 C3, 6). Эти коэффициенты и сле-
следует отождествить с феноменологически введенными там величи-
величинами av a2, а3.
Ограничимся случаем параболического закона дисперсии. При
подстановке (б.бв) с учетом G.39а — в) в формулу B.2) появятся
интегралы
J^rd*. G.41)
где k — целые числа.
Получим для коэффициентов аъ а2, а3
е*
В случае полного вырождения
i!lli?L_ G 41')
В невырожденном случае интегралы /ft довольно сложным
образом зависят от магнитной индукции и от температуры. Явный
вид их можно найти, лишь решив механическую часть задачи.
Исключение составляют только случаи слабого и сильного маг-
магнитных полей, определяемые, соответственно, неравенствами
со?т.2(?)<1 и со=т2(?)>1. G.43)

436 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
В первом из них мы получаем
со
Л ~ - 5 В!' т» (Е) f'a A - со^т2) dE, G.44а)
о
а во втором
со
Л
E. G.446)
с о.
Отметим, что при k = 2 время релаксации выпадает из G.446)
и мы получаем ,
Подставляя выражения G.44а) при ft = 1, 2,- 3 в правые части
G.42), получим для плотности тока в слабом поле выражение
вида A.15'), причем
?3/г т/о dE, Y — О• G-45)
б'
Последнее равенство явствует уже из соображений симметрии
изложенных в § 1.
Формулы G.42) позволяют, в частности, вычислить постоянную
Холла и магнетссопротивление для двух специальных ориентации
магнитного поля, рассмотренных в § 1.3. Рассмотрим эти два слу-
случая по отдельности.
/) Поперечное поле: cBj_j. Согласно A.19) и G.42) выражение
для постоянной Холла имеет вид
Удобно явно ввести сюда концентрацию носителей заряда п, поль-
пользуясь формулой (V.4.4).
Тогда для постоянной Холла получается формула вида A.3.17):
* — -?:. <7'46>
причем безразмерный коэффициент у дается равенством
*fe*r G-47)
Он зависит от степени вырождения и от вида функции т (Е), т. е. от
механизма рассеяния.
В случае полного вырождения правая часть G.47) легко вычис-
вычисляется: согласно § V.6 и G.41') в указанных условиях
= 1. G.47')

§ 7] СЛУЧАИ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ РАВНОВЕСИЯ 437
Этот результат справедлив при любом механизме рассеяния и
при любом значении магнитной индукции.
То же значение у получается и при любой степени вырожде-
вырождения, если магнитное поле сильное. Действительно, согласно G.446)
и G.446') мы имеем в этом случае
DА G.47")
Как можно показать *), этот результат справедлив и при учете
квантовых эффектов, если только выполняется второе из нера-
неравенств G.43). Это обстоятельство особенно важно потому, что,
как мы знаем (§ IV.5), именно в области сильных магнитных полей
квантовые эффекты могут играть заметную роль.
С другой сторонь!, в слабом поле мы имеем согласно G.44а)
- <DV, -Ы (kip* -т%уг, G.48)
где
В частности, для невырожденной системы формула G.48) прини-
принимает вид
_ з Y'n (kT)t/!
Услаб. поле, невырожд — 7
[ ?3''2 т ехр (— ЕЩ) dE
Lo ' J
Как и в задаче о подвижности, мы получили формулу того же
вида A.3.19), что и в элементарной кинетической теории. В слу-
случае степенной зависимости т от энергии G.21) формула G.48')
принимает вид
_з/яГBг+У2) . G 48")
Услаб. поле, невырожд — 4Г2 (г-\-ь1 )
Граница между сильными и слабыми полями определяется
характерным значением индукции
<^кРит=—. G.49)
Полагая для оценки т = 10~13 с, мы имеем
"крит
~ Гс, G,49')
*) См. [1] (статья Л1! 10).

438 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
где /п0, как всегда, есть масса свободного электрона. Согласно G.43)
магнитное поле называется, соответственно, сильным или слабым,
если S3 ^> S3Kpm или S3 <^ еЗ<?крит, Видно, что в .веществах с малыми
эффективными массами сильные в указанном смысле поля могут
быть не так уж велики. Так, при т/т0 = 0,01 получаем S3 т =
= 6000 Тс.
Заметим, однако, что, как уже отмечалось в гл. IV, в доста-
достаточно сильном магнитном поле может оказаться несостоятельной
вся схема расчета, основанная на кинетическом уравнении. Дей-
Действительно, как мы видели в § IV.5, сильное магнитное поле ради-
радикально меняет энергетический спектр носителя заряда. Пренебречь
этими квантовыми эффектами можно, лишь если выполняется нера-
неравенство (IV.5.19).
Таким образом, рассматривая влияние магнитного поля на кине-
кинетические характеристики и энергетический спектр носителей заряда,
следует различать три случая:
1) классические слабые поля: S3 <^S3KpiiT) —-—< Я;
2) классические сильные поля: S3^>S3KpYlT, —-—<; Е;
3) квантующие поля: > Е.
Здесь Е есть характерная энергия носителей заряда. В отсут-
отсутствие вырождения Е ~ kT, в условиях полного вырождения Е = ?.
Кинетические коэффициенты, описывающие поведение вещества
в квантующих полях, вычисляют методами квантовой теории необра-
необратимых процессов (см., например, книгу [1]).
Поперечное магнетосопротивление — -, согласно форму-
формулам A.20), G,12) и G.42), дается равенством
1- G-50)
Подставляя сюда выражения G.41) и G.446), видим, что фор-
формула G.50), как и следовало ожидать, воспроизводит результат
элементарной теории A.3.21).
С помощью формулы G.41') легко убедиться, что в случае пол-
полного вырождения правая часть G.50) тождественно обращается
в нуль — магнетосопротивление отсутствует. Как можно пока-
показать [М7], этот результат связан с использованной нами идеали-
идеализацией — пренебрежением анизотропией изоэнергетических по-
поверхностей. При учете анизотропии магнетосопротивление вырож-
вырожденного электронного газа оказывается, вообще говоря, конечным.
Конечное значение магнетосопротивления получается также,
если вырождение неполное и время релаксации зависит от энер-
энергии. Зависимость магнетосопротивления от величины магнитной

S 8] НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА В СЛАБОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 439
индукции при этом оказывается довольно сложной, определяясь
видом функции т (?), т. е. механизмом рассеяния. В предельных
случаях слабого и сильного поля справедливы формулы A.3.22)
и A.3.26). В случае, когда зависимость т от энергии описывается
степенной функцией G.21) и газ носителей заряда не вырожден,
мы получаем, пользуясь формулой G.41),
16
Р±-Ро
Ро
и
Рх-Ро
Ро
слаб, поле
. G.50-)
Заметим, однако, что именно магнетосопротивление оказыва-
оказывается очень чувствительным к анизотропии изоэнергетических поверх-
поверхностей. Поэтому область применимости формул G.60) — G.50")
довольно ограничена. В частности, при более сложном законе
дисперсии насыщение магнетосопротивления может и не иметь
места.
2) Продольное поле: Si [| j. Согласно A.21) и G.42) мы имеем
~р7~ h + ^ch ' G'51)
Согласно G.41) эта величина тождественно обращается в нуль:
в рамках принятой модели продольное магнетосопротивление отсут-
отсутствует при любой степени вырождения носителей заряда. Этот
результат связан с пренебрежением анизотропией изоэнергетиче-
изоэнергетических поверхностей. При учете последней продольное магнетосопро-
магнетосопротивление становится, вообще говоря, конечным. Действительно,
в этом случае равенства G.45), вообще говоря, уже не имеют места
и правая часть равенства A.24) остается конечной. Таким образом,
обнаружив на опыте конечное значение продольного магнето-
сопротивления в неквантующем магнитном поле, мы можем утвер-
утверждать, что изоэнергетические поверхности в данном материале ани-
анизотропны.
В условиях применимости кинетического уравнения намечен-
намеченная и проиллюстрированная выше схема вычисления кинетических
коэффициентов носит вполне общий характер. Выражения для раз-
различных кинетических коэффициентов, в том числе описывающих
термомагнитные явления, можно найти, например, в книге [М7],
§ 8. Носители заряда в слабом переменном электрическом поле
Рассмотрим задачу об электропроводности однородного образца
n-типа в переменном электромагнитном поле. Пусть напряженности
электрического и магнитного полей гармонически меняются со вре-
временем с круговой частотой со, Изменением в в пространстве, равно

440 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. ХШ
как и влиянием магнитного поля на поведение носителей заряда,
будем пренебрегать. Как- видно из C.5), последняя аппроксимация
оправдана, коль скоро средняя скорость носителей заряда мала
по сравнению со скоростью света в пусТоте. Действительно, в отли-
отличие от случая, рассмотренного в § 7 п. в, напряженности электри-
электрического и магнитного полей в электромагнитной волне не незави-
независимы, а связаны друг с другом. Так, в плоской волне они относятся,
как j/^jx/e , где (х и е — значения магнитной и диэлектрической
проницаемости на соответствующей частоте; по порядку величины
это отношение обычно не меньше 0,1 (исключение могут составить
сегнетоэлектрики при достаточно низких частотах). Условие, при
котором допустима первая из указанных аппроксимаций, будет
выписано в конце этого параграфа.
В рассматриваемых условиях кинетическое уравнение C.12)
принимает вид '
Удобно положить
S = Sm<r-'^, (8.2)
где Sm— амплитуда напряженности поля, а произвольная началь-
начальная фаза положена равной нулю.
Как и в случае постоянного поля,решение уравнения (8.1)
можно записать в виде E.1) и F.6а), с той лишь разницей, что
теперь напряженность электрического поля дается равенством
(8.2). Подставляя выражения E.1) и F.6а) в уравнение (8.1) и огра-
ограничиваясь по-прежнему членами, линейными по S, мы получаем
-«ют
Сравнивая это с выражением G.4), видим, что единственное
отличие г|з от случая постоянного поля состоит в замене т на
комплексный множитель т A — /сот):
А'. <8-4)
Видим, что между колебаниями неравновесной части функции
распределения и напряженности поля имеется сдвиг фаз, равный
arctg сот. Когда период колебаний 2я/со значительно превышает
время релаксации (сот <^ 1), этот сдвиг очень мал; в противополож-
противоположном предельном случае (сот ;> 1) он оказывается близким к я/2.
Происхождение этого сдвига ясно из сказанного в § 6:
скорость «приспособления» функции распределения к изменив-
изменившемуся электрическому полю определяется временем т; поскольку
оно отлично от нуля, колебания /2 должны отставать по фазе от ко-
колебаний Б(/). В этом смысле можно сказать, что газ носителей

S 8]. НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА В СЛАБОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 441
заряда (как и любых других частиц) обладает своеобразной «инер-
«инерцией». Подчеркнем, однако, что этот эффект обусловлен не массой
частиц, а статистическими свойствами их системы. Именно, поле
ускоряет все электроны (дырки) одинаковым образом, но на виде
функции распределения это сказывается лишь в результате столк-
столкновений.
В соответствии с формулой (8.4) комплексной оказывается
и электропроводность газа носителей заряда в переменном поле.
Действительно, подставляя выражение (8.4) в правую часть- B.2)
и выполняя те же вычисления, что и в § 7 (п. а), мы получаем
a==Cj-fta2, (8.5)
причем.вещественная и мнимая части электропроводности ах и сг2
даются формулами
гх>
f'odE (8.6)
со
* = -¦*? 1н(Е)*-т?вгП*Е. (8.7)
о
При со -* О величина аг переходит в статическую электропро-
электропроводность G.12), а а2 обращается в нуль, чего и следовало ожидать.
С другой стороны, при возрастании частоты электрического поля ох
уменьшается по сравнению со статической проводимостью. При-
Причина этого ясна из сказанного выше о происхождении сдвига фаз
arctg сот: не поспевая полностью за колебаниями напряженности
поля, система свободных носителей заряда ведет себя — в какой-
то мере — как совокупность связанных зарядов. Последние не
дают" вклада в ток проводимости, что и отражается в уменьше-
уменьшении о1.
При сот -> со формула (8.6) принимает простой вид:
Н~Ч%йЕ. (8.8)
Частотная зависимость ах определяется этим выражением явно;
она имеет место при любом механизме рассеяния. Заметим, что,
в отличие от статической проводимости, аг в рассматриваемых
условиях не возрастает, а убывает с увеличением времени сво-
свободного пробега: здесь существенно не рассеяние, ограничивающее
подвижность носителей заряда,' а сдвиг фаз между колебаниями
к и &
Наличие мнимой части у электропроводности, разумеется,
не означает, что комплексным будет джоулево тепло Q: последнее

442 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
определяется вещественной частью а. Так, в среднем за период
О — — ?2 а (8 9)
Физический смысл мнимой части а ясен из тех же сообра-
соображений, которые были выше использованы для объяснения частот-
частотной зависимости ov В соответствии с ними следует ожидать, что
выражение а2 будет описывать плотность поляризационного тока,
а сама величина а2 окажется связанной с вещественной частью
диэлектрической проницаемости.
Чтобы найти искомую связь, напишем то уравнение Максвелла,
в котором фигурирует плотность тока:
¦ in 4я . . 1 дЯ) /о < лч
rot Л = ¦—JH чг-« (o.lU)
Здесь j = (ax + ia2) S, а Я) есть вектор индукции:
Я> = 806, (8.11)
где е0 — диэлектрическая проницаемость решетки, вычисленная
без учета свободных носителей заряда на частоте со *). Нас инте-
интересует решение с гармонической (вида (8.2)) зависимостью векторов
о, Я) и JC от времени, При этом уравнение (8.10) принимает
вид
. (8.12)
Здесь гх и е2 — вещественная и мнимая части е0 (со).
Очевидно, что в смысле создания магнитного поля влияние
слагаемого—4ла2/со физически неотличимо от влияния ev Сле-
Следовательно, в соответствии с нашими ожиданиями, мнимая часть
электропроводности газа свободных носителей заряда определяет
их вклад Де в вещественную часть диэлектрической проницае-
проницаемости **):
iE. (8.13)
Согласно (8.13) величина Де оказывается отрицательной (f'o <0),
При этом абсолютное значение ее может оказаться и больше ег«
*) В случае сегнетоэлектрических полупроводников под 80 в последующих
формулах надо понимать дифференциальную диэлектрическую проницаемость,
определяемую для коллинеарных векторов 9) и S как dDld Ш.
**) Равенство (8.13) есть частный случай общего соотношения между ком-
комплексными электропроводностью и диэлектрической проницаемостью, вытекаю-
вытекающего из уравнения (8.12). Это соотношение показывает, что 8 и а представляют
собой, в сущности, одну комплексную характеристику системы в переменном
поле. Тот факт, что иногда их все же вводят независимо, объясняется лишь исто-
историческими причинами и соображениями удобства.

§ 8] НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА Б СЛАБОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 443
Соответственно вещественная часть полной диэлектрической про-
проницаемости может оказаться отрицательной. Как известно из элек-
электродинамики, это означает, что волны соответствующей частоты
не могут распространяться в данном веществе, испытывая полное
отражение от его поверхности. Такая ситуация иногда реализуется
в плазме (в частности, в ионосфере).
Как и (8.6), формулы (8.7) и (8.13) упрощаются при (сот) 2 ^> 1,
При этом величины о2 и Де вообще перестают зависеть от меха-
механизма рассеяния. Так, вместо (8.13) мы получаем (ср. G.15))
Согласно (8.14) эффективную массу можно было бы определить,
измеряя диэлектрическую проницаемость вещества как функцию
частоты (особенно если из других соображений уже известно, что
зона—простая параболическая, когда mOpt = m). При этом, од-
однако, возникают два осложнения. Во-первых, условие (сотJ ^> 1
оказывается довольно жестким: при не слишком низких темпера-
температурах характерное время свободного пробега может составлять
103 ч- 10~12 с; соответственно область частот, в которой спра-
справедлива формула (8.14), может оказаться неудобной для радио-
радиотехнических измерений обычного типа., Во-вторых, учет анизо-
анизотропии лишает результаты однозначности. Действительно, пусть
изоэнергетические поверхности представляют собой эллипсоиды
и значения эффективных масс вдоль главных осей суть тх, т„, тг,
В пренебрежении рассеянием формулу для Де легко обобщить
и на этот случай. Для этой цели надо лишь заметить, что массы
тх, ти и тг должны входить в формулу для Де равноправно, а при
совпадении их друг с другом должна получиться формула (8.14),
Этим условиям удовлетворяет выражение
где
(± 4) (8Л5>
raopt -
Из формулы (8.14') виден смысл названия оптическая эффектив-
эффективная масса: именно эта величина фигурирует при описании ряда
оптических явлений, в которых участвуют свободные носители за-
заряда. Оправдан и термин «эффективная масса электропроводности»,
Действительно, при постоянном и изотропном времени релакса-
релаксации т выражение для вещественной части электропроводности
кубического кристалла можно было бы записать в виде

444 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
Следует, однако, помнить, что фактически время релаксации само
зависит от эффективных масс. Более того, как указывалось в § 6,
в системе о анизотропным законом дисперсии вообще нельзя ввести
единое время релаксации импульса, не зависящее от ориентации
последнего относительно осей кристалла.
Из формулы (8.14') видно, что измерение Де может дать не каж-
каждую из эффективных масс по отдельности, а только их комбина-
комбинацию (8.15). В этом отношении метод диамагнитного резонанса
(§ IV.3) обладает явным преимуществом.
Чтобы выяснить, в какой мере оправдано принятое выше пре-
пренебрежение изменением напряженности поля в пространстве, заме-
заменим выражение (8.2) плоской волной с волновым вектором к:
S = Sme-'«' + «". (8.16)
Аналогичными выражениями будут описываться и векторы S) и j.
Неравновесная часть функции распределения при этом также должна
содержать множитель е'кг, а кинетическое уравнение надо писать
в виде
§ + (v, V/)-e(S, Vp/) + i^- = 0. (8.17)
Соответственно диэлектрическая проницаемость и электропровод-
электропроводность системы будут зависеть как от со, так и от к. Последняя за-
зависимость носит название пространственной дисперсии. Очевидно,
однако, что второе слагаемое в левой части (8.17) есть t(k, \)fv
Отношение его к последнему слагаемому по абсолютной величине
равно
kvrx =2я у,
где / = утт есть длина свободного пробега по импульсу, а к = 2n/k —
длина электромагнитной волны. Видим, что пространственным
изменением напряженности поля в рассматриваемой задаче можно
пренебречь, коль скоро длина свободного пробега достаточно
мала по сравнению с длиной волны. Типичные значения длины
свободного пробега во многих интересных полупроводниках состав-
составляют 10~6 -г- 10~4 см. Таким образом, принятая нами аппроксима-
аппроксимация оправдана в довольно широком интервале длин волн.
§ 9. Плазменные волны
Особый интерес представляет случай, когда полная диэлектри-
диэлектрическая проницаемость образца
е = ео + ^-а (9.1)
обращается в нуль. Чтобы выяснить, как влияет последнее обстоя-
обстоятельство на поведение электрического поля в образце, напишем

§ 9] ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ 445
соответствующие уравнения Максвелла и уравнение непрерывности.
Магнитным полем электромагнитной волны при этом будем пол-
полностью пренебрегать. Обозначая через р объемную плотность за-
заряда, мы имеем
rot 6 = О, diva)=4np, |^ + divj = O. (9.2)
Будем искать решение этих уравнений в виде (8.16). Тогда (с уче-
учетом (8.11)) * 1
rotfc=t[kx&], d\v3) = ie0(к, е)
и для амплитуды поля Sm получаются два уравнения:
[кХёт] = О, е(к,6и) = 0. (9.3)
При е Ф 0 уравнения (9.3) имеют, очевидно, только тривиаль-
тривиальное решение 8„, = 0. Этого и следовало ожидать, ибо мы прене-
пренебрегли взаимосвязью электрического и' магнитного полей, т. е. как
раз тем фактором, который обеспечивает, существование электро-
электромагнитных волн. Однако при 8 = 0 положение меняется. Дей-
Действительно, второе из уравнений (9.3) при этом превращается
в тождество, а из первого следует лишь, что Sm 11 к, т. е. что рас-
рассматриваемые волны должны быть продольными. Итак, при е = 0
оказывается возможным распространение продольных волн напря-
напряженности электрического поля и объемной плотности заряда. Эти
волны называют плазменными. В сущности, они представляют со-
собой один из типов нормальных колебаний поля в среде со свобод-
свободными зарядами. Физический механизм их распространения состоит
в том, что колебания плотности заряда и напряженности поля вза-
взаимно поддерживают друг друга.
Рассмотрим условие 8 = 0, ограничиваясь для простоты доста-
достаточно высокими частотами (<A2J>1), когда Де дается выраже-
выражением (8.14'), а вещественной частью электропроводности ах можно
пренебречь. Диэлектрическую проницаемость решетки будем счи-
считать вещественной (е0 = ех). Это означает, что нас будет интересо-
интересовать интервал частот, далеких от области поглощения света самой
решеткой.
В принятых аппроксимациях е = е0 + Де и условие е = 0
принимает вид
71Г7р <>
ь0 opt
Частота <оР], определяемая этим соотношением, называется плаз-
плазменной. В соответствии с аппроксимациями, принятыми при выводе
формулы (9.4), последняя имеет смысл, лишь если (copitJ;>1.
В большинстве полупроводников это условие оказывается Довольно
жестким. Действительно, полагая для оценки е0 = 16, торх — 0,1 т0,
п = 1016 см'3, получим из (9.4) copi = 4,5 • 1012 с. Если неравен-

446 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА [ГЛ. XIII
ство (copixJ ^>1 не выполняется, то пренебречь величиной ог
нельзя, При этом условие е = 0 состоит из двух уравнений:
Ime(co) = 0, Re e (со) = 0. (9.5)
Удовлетворить им можно, лишь считая саму частоту комплексной
величиной. Физически появление мнимой части у частоты озна-
означает, что плазменные волны будут затухать со временем, чего
и следует ожидать при наличии омических потерь.
Поскольку при не слишком больших частотах формула (8.14)
также несправедлива, решение уравнений (9.5) может оказаться
довольно громоздким. Как мнимая, так и вещественная части
плазменной частоты при этом оказываются зависящими от меха-
механизма рассеяния. .Существование затухающих плазменных волн
проявляется-, в частности, в некоторых оптических эффектах
(§ XVIII.3).
Формулы (8.13), (8.14) и, следовательно, вытекающие из них
выражения для <opi получены в пренебрежении изменением напря-
напряженности поля в пространстве, т. е., формально, при k -> 0. Учет
этого изменения с помощью уравнения (8.17) привел бы к зави-
зависимости «pi от волнового вектора к. Определяясь, согласно сказан-
сказанному в § 8, членами порядка (klJ, эта зависимость не очень сильна.
Так, при copjT ^> 1 рна свелась бы просто к появлению в правой
части (9.4) малого дополнительного слагаемого *). Однако эта
зависимость может оказаться существенной принципиально, ибо:
а) благодаря ей мы получаем не одно дискретное значение плазмен-
плазменной частоты, а непрерывный их _набор и б) только при учете
зависимости ю от k оказывается отличной от нуля групповая ско-
скорость плазменных волн, равная du*ldk,
*) Легко видеть, что при больших волновых числах плазменные волны
вообще не могут распространяться. Действительно, согласованное поведение
объемной плотности заряда и напряженности электрического поля возможно,
лишь если много заряженных частиц движутся почти синфазно. Это сводится
к неравенству кгГЧ» < 1.

Глава XIV
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В НЕИДЕАЛЬНОЙ
КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
§ 1. Постановка задачи. Теория возмущений
Результаты гл. XIII сводят расчет кинетических коэффициен-
коэффициентов к вычислению интегралов, содержащих время свободного про-
пробега т. Последнее в свою очередь выражается через вероятность
рассеяния S (р, р')- Вычисление этой вероятности составляет
вторую — механическую — часть задачи, которой посвящена на-
настоящая глава.
В идеальной кристаллической решетке квазиимпульс электрона
сохраняется — рассеяние отсутствует. Поэтому в задаче о рассея-
рассеянии носителей заряда учет неидеальности решетки обязателен.
Гамильтониан системы «электрон плюс неидеальная решетка» можно
представить в виде
.A.1)
Здесь Но есть сумма операторов энергии электрона и фононов
(XII.6.2) в идеальной решетке. Слагаемое Н' описывает изменение
энергии электрона при наличии того или иного отклонения сило-
силового поля от идеального периодического. Мы будем называть Н'
гамильтонианом взаимодействия электрона с рассеивателями. Пос-
Последний термин обозначает любой объект, вызывающий отклонение
силового поля решетки от идеально периодического. Во многих
случаях энергия взаимодействия носителей заряда с рассеивате-
рассеивателями оказывается достаточно малой, так что при, определении
энергетического спектра ею можно пренебречь (точный смысл
слов «достаточно малой» будет раскрыт в дальнейшем, см. §§ 2,
4, 5). Тогда роль рассеивателей состоит лишь в том, что при «столк-
«столкновениях» с ними носители заряда могут отдавать или получать
квазиимпульс.
Мы приходим, таким образом, к стандартной задаче квантовой
механики о вычислении вероятности перехода между двумя состоя-
состояниями невозмущенной системы под влиянием возмущения #'.
Роль невозмущенной системы играют в данном случае не взаимо-
взаимодействующие друг с другом электроны и фононы. Соответственно
в оператор Яо входит и энергия колебаний кристаллической ре-
решетки (XII.6.2). В частном случае, когда состояние решетки не изме-
изменяется, слагаемое (XII.6.2) есть просто аддитивная постоянная,
выпадающая из всех последующих формул.

448 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. .XIV
§ 2. Вероятность перехода. Условие применимости
кинетического уравнения
Обозначим через <Я совокупность квантовых чисел, харак-
характеризующих различные состояния невозмущенной системы. Соот-
Соответствующие волновые функции обозначим через г|?>., а принадле-
принадлежащие им собственные значения энергии — через Ек:
Н0$к = Е)$к- B-1)
Так, в случае одного электрона в идеальной решетке X есть сово-
совокупность номера зоны / и компонент квазиимпульса р (проекцию
спина в случае необходимости будем включать в /). При этом ^х пред-
представляет собой функцию Блоха (III.2.15'). Для электронов в колеб-
колеблющейся решетке К есть совокупность /, р и чисел фононоа во всех
возможных состояниях; при этом г|\ представляет собой произ-
произведение функции Блоха на волновую функцию решетки (XII.5.5).
Подчиним функции Блоха и нормальные колебания решетки
обычным условиям периодичности в кубе объема V = L3. Тогда
возможные значения компонент квазиимпульса электрона и квази-
квазиволнового вектора фонона даются (Ш..3.10) и (III.3.10').
Функции 1рЛ будем считать ортонормированными:
№<b.dx = bu.'. B-2)
где 6>д' символ Кронекера (многомерный), а символ \dx ... озна-
означает интегрирование по координатам электрона (по фундаменталь-
фундаментальному объему) и по вещественным нормальным координатам решетки.
Волновую функцию, вычисленную с учетом энергии взаимодей-
взаимодействия #', обозначим через W. Пусть в начальный момент времени
(t = 0) система находится в состоянии К:
П-o-ii».- B.3)
В последующие моменты времени волновая функция W будет
изменяться в соответствии с уравнением Шредингера
^ B.4)
В отсутствие взаимодействия Н' мы получили бы отсюда
B.5)
как и должно быть в "стационарном состоянии. При учете взаимо-
взаимодействия это уже не так: функции г|\ не являются собственными
функциями полного гамильтониана Н = Но + Н' и, следова-
следовательно, не описывают стационарных состояний. Положим
B.6)

§ 2] ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА 449
где ск пока неизвестные коэффициенты разложения. Согласно
общим правилам квантовой механики величины \с%- (^^представ-
(^^представляют собой вероятности обнаружить систему в момент вгеу.еки t
в состоянии X". Сумма их, взятая по всем возможным значениям X",
равна единице при всех t
2'iO."@i2 = l. B.7)
v
Уравнения для коэффициентов о.» легко найти, подставляя
функцию B.6) в уравнение B.4), умксжзя результат слева на tyx-
и пользуясь равенствами B.1) и B.2). Мы получаем
Ш Щ^- = ^ ск>- it) exp [i- (?v - Ev.) Л JфН'Ъ.»dx. B.8)
К"
Начальное условие к этой системе уравнений, согласно B.3),
имеет вид
<vi'=o = Su'. B.9)
Интегралы в правей части B.8) представляют собой матричные
элементы оператора Я' в системе функций г|?л. Введем для них
обозначение
^'^dx = (X'\H'\X"). B.10)
Таким образом,
к'\Н'\ к")су @ exp [I(?V-Ev>) t]. B.8')
Как видно из уравнений B.8'), при t Ф 0 коэффициенты с^
при X' Ф к становятся, вообще говоря, отличными- от нуля, а Еели-
чина |сх|2, соответстсенно, уменьшается в силу B.7). Бто есть
математическое выражение нестационарности состояния X в при-
присутствии возмущения Н'.
Точное решение систедгы B.8') связано с серьезными математи-
математическими трудностями. Приближеннее решение можно получить
по методу возмущений. Именно, допустим, что энергия взаимодей-
взаимодействия, описываемая оператором Я', достаточно мала. Тогда систему
B.8') можно решать итерациями, считая матричные элементы
(А/ \Н' \Х") величинами первого порядка малости.
Рассмотрим сначала случай X' Ф X. Тогда в первом прибли-
приближении в правую часть B.8') можно подставить невозмущенные
значения с\». Последние, очевидно, совпадают с начальными зна-
значениями B.9). Действительно, из вида системы B.8') непосред-
непосредственно следует, что изменение коэффициентов с\> со временем
обусловлено только наличием взаимодействия Я'. Таким образом,

450 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
при X' Ф X
?? [] B.11)
Отсюда, с учетом B.9), легко находим
— 1 + ехр -х- (Ек, — Е
B-12)
Следовательно, вероятность обнаружить систему в момент вре-
времени / в состоянии X' есть
@ I2 =
2 1-е
I Н'
Подставляя B.13) в левую часть равенства B.7), можем найти
\с\ (t) 12 — вероятность того, что система останется в состоянии К
Дифференцируя соотношение B.13) по /, получим вероятность
перехода, отнесенную к единице времени:
/ Р F \
2 sin * Ч
Т ?v-?x 1(А |Я ' ^ ' BЛ4)
d\cu(t)\2
1
Формулу B.14) еще нельзя непосредственно использовать
в кинетическом уравнении, ибо она относится к переходам между
состояниями дискретного спектра: мы рассматривали компоненты
"квазиимпульса, равно как и компоненты квазиволнового вектора
фонона, как дискретные величины. В то же время в кинетическом
уравнении (XIII.3.12) речь идет о состояниях непрерывного
спектра. Переход от дискретного спектра к непрерывному легко
выполнить, замечая, что фактически мы всегда имеем дело с систе-
системами макроскопически больших размеров. Это позволяет упростить
выражение B.14) при больших t. Именно, согласно (ПЛУ.б) вто-
второй сомножитель в правой части B.14) асимптотически при t-> oo
превращается в б-функцию, и мы получаем
B.15)
Таким образом, переходы происходят лишь между состояниями
с одинаковой энергией: Е%> — Е^-
Как уже. говорилось, величины с%> не обязательно характери-
характеризуют состояния только электрона: в зависимости от конкретных
условий они могут относиться и к системе «электрон + фононы»
или «электрон + электромагнитное поле световой волны» и т. д,
С другой стороны, в интеграле столкновений фигурируют вели-

§ 2] ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА 451
чины e?\i2 (p, р'), определяющие вероятности данного электронного
перехода безотносительно к тому, что делается, например, с фоно-
d | сх, (t) |2
нами. Чтобы получить их, надо просуммировать ——-г—- по всем
«неэлектронным» квантовым числам, входящим в состав к' (напри-
(например, по всем квазиволновым векторам фононов и по всем ветвям
фононного спектра).
Обозначим, как и в гл. XII, совокупность чисел фононов во всех
состояниях tif через п. Тогда Я = {р, /, п} и отнесенная к единице
времени вероятность электронного перехода будет
р; ,, р.^2^^. B.16)
П'
В задаче о рассеянии носителей заряда нас интересуют вероят-
вероятности W при V — I. Величины $Рг (р, р') и аР2 (р, р') отличаются
от них только нормировочным множителем. Вид его легко найти,
вычисляя, например, интеграл «ухода» В через коэффициенты с^
и сравнивая результат с формулой (XIII.3.8) *). Очевидно,
i/' P; U Р')/(Р)П-/(Р')]. B-17)
Мы воспользовались здесь правилом (П.Х.З). Функция распреде-
распределения / относится, разумеется, к зоне номера I — единственной,
с которой мы сейчас имеем дело.
Не следует удивляться тому, что в правой части B.17) и далее
явно фигурирует основной объем V. Он входит и в выражение
для вероятности перехода W (например, через условие нормировки
B.2)) и выпадает из окончательных выражений для наблюдаемых
на опыте величин. Там, как мы увидим, вместо V будут фигуриро-
фигурировать только такие величины, как концентрация примеси или объем
элементарной ячейки.
Сравнивая формулы B.17) и (XIII.3.8), получаем
0s» (P, p') = VW(l,p; I, p'), B.18)
т. е. асимптотически при t -* со
0*2(Р, р') = ~УУ\{1,р',п'\Н'\1,р,п)\Ч[ЕA,р',п')-ЕA,р, п)].
П Т B.19)
В дальнейшем в этой главе мы будем для краткости опускать
индекс I в формулах типа B.18).
*) Разумеется, тот же самый результат получится, если вместо В вычислить
член «прихода» А.

452 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
Пользуясь формулами B.15) и B.19),, следует помнить, что при
их выводе было сделано одно важное предположение. Именно,
переходя от B.14) к B.15), мы совершили предельный пере-
переход t -*¦ оо. Однако фактически время /, в течение которого могут
быть справедливы равенства B.11) и B.14), ограничено. Действи-
Действительно, в первом приближении теории возмущений не учитываются
повторные акты рассеяния. Но таковые с большой вероятностью
должны произойти спустя время порядка времени свободного
пробега т. Таким образом, должно выполняться неравенство
*<т. B.20)
Как можно показать *), неравенство типа B.20) не связано обя-
обязательно с использованием теории возмущений в принятой выше
форме. Оно всегда появляется, коль скоро мы вообще имеем дело
с кинетическим уравнением. Это обстоятельство очень сущест-
существенно, ибо равенство B.15) получено из B.14) формальным пре-
предельным переходом t -> оо. Физически это означает, что вели-
величина t должна значительно превышать характерное время, опре-
определяющее динамику столкновения. Чтобы понять, что это за
время, запишем аргумент синуса в правой части B.14) в виде
ЕХ'~ЕК Е 4
При -jr-f^-l этот аргумент становится, вообще говоря, очень боль-
большим и, соответственно, синус, а с ним и вся правая часть B.14),
рассматриваемая как функция Ех-, быстро осциллирует. Поэтому
вклад ее в интеграл по р', фигурирующий в кинетическом уравне-
уравнении, будет очень мал. Исключение составляет случай, когда отно-
\Ек'~Ек\ ЕХ-~Е7 I ' ^ П ~
шение - —— достаточно мало: -—— <; —=— В пределе
Е Е ^ Et
при t -> оо это и дает условие сохранения энергии, выражаемое
б-функцией в формуле B.15).
Таким образом, выражение «/ -> оо» фактически означает нера-
неравенство "
<>*/?. B.21)
Чтобы теория была последовательной, это неравенство не должно
противоречить. B.20). Следовательно, время релаксации должно
быть достаточно большим:
B.22а)
в случае невырожденного электронного газа и
B.226)
*) См. сборник [1] (статьи №№ 5, 6), а также конец настоящего параграфа.

§ а] энергия взаимодействия носителей с фононами 453
— в случае газа, полностью вырожденного (в случае полностью
вырожденного дырочного газа знаменатель праиой части B.226)
следует заменить на — Е7— Q. ,
Подчеркнем, что отказаться от условия B.21) (и, следова-
следовательно, от B.22а, б)) нельзя: без пего воебще гельзя было бы ввести
представление о не згвисгщей от вреьени Еероятнссти перехода
B.15), и стационарная поста;:оека задачи, принятая нами в преды-
предыдущей главе (и навязанная опьтсм), пст(ряла бы смысл. Иначе
говоря, неравенства B.22а, б) составляют сснсвнсе условие при-
применимости кинетического уравнения. Вычислив для какого-нибудь
механизма рассеяния время [елаксации, мы должны затем про-
Еерить, удовлетворяется ли это условие. Только если оно удовлет-
удовлетворяется, результат имеет смысл и может быть использован для
дальнейшего вычисления кинетических коэффициентов. В против-
противном случае вся постановка задачи нуждается в пересмотре: энергию
взаимодействия носителей заряда с соответствующими рассеицате-
лями надо принимать во внимание уже при определении энергети-
энергетического спектра системы.
Причину неизбежного появления неравенств B.22а, б) в методе
кинетического уравнения можно пенять с помощью соотношения
неопределенности между энергией и временем. При конечном вре-
времени наблюдения т неопределенность в разности энергий началь-
начального и конечного состояний—порядка /г/т. Чтобы ложно бы/о,
хотя бы приближенно, говорить о сохранении энергии при стелкьо-
вении, эта неопределенность должна быть мала по сравнению
с характерной энергией электрона. Отсюда сразу вытекают нера-
неравенства B.22а, б). -
Во избежание недоразумений напомним, что Ех и Е\> суть
значения энергии невозмущенной системы. Точная энергия, кото-
которую надо было бы вычислять с учетом как Но, так и энергии взаимо-
взаимодействия Н', сохраняется, конечно, точно.
Формула B.19) сводит задачу о расчете времени релаксации
к вычислению матричных элементов оператора Я'.
§ 3. Энергия взаимодействия носителей заряда с фононами
а. Общие соображения. По определению оператор Н' описывает
изменение энергии носителя заряда при смещении атомов решетки
из положений равновесия. Вычисление этой энергии составляет
весьма сложную задачу — хотя бы потому, что атомы обладают
конечными размерами и при смещении могут деформироваться.
Для определения этой деформации и связанного с ней изменения
силового поля надо было бы решить динамическую задачу мно-
многих тел.
Положение, однако, значительно упрощгется в случге, типич-
типичном для задачи о рассеянии. Именно, из дальнейшего (§ 4) будет

454 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ.'Х1У
видно, что главную роль в рассеянии носителей заряда играют
фононы со сравнительно малыми квазиволновыми векторами:
длины волн «существенных» фононов оказываются примерно та-
такими же, как у электронов, т. е. значительно больше постоянной
решетки. Как всегда в подобных случаях, имеются в виду длины
волн большинства электронов (в невырожденной системе — порядка
2яЙ/|/ tnkT). Приняв это во внимание и пользуясь некоторыми
соображениями общего характера, мы можем—не решая указанную
выше задачу динамики — написать явное выражение для опера-
оператора Н', содержащее лишь небольшое число экспериментально
определяемых параметров.
б. Взаимодействие носителей заряда с акустическими фононами;
метод потенциала деформации. Рассмотрим сначала одноатомный
кристалл (г = 1).
Заметим прежде всего, что оператор Я' должен быть скаляром.
Далее, он отличен от нуля, лишь если атомы решетки смещены
из положений равновесия. Иначе говоря, оператор Н' должен
обращаться в нуль вместе с вектором смещения. Рассматривая,
как и в гл. XII, случай малых колебаний, мы можем ограничиться
линейной зависимостью Н' от векторов Q (g, h) или от их произ-
производных *). Наконец, надо принять во внимание, что при сдвиге
или повороте всего кристалла как. целого энергия электронов
не меняется. Такому сдвигу соответствует смещение всех атомов
решетки строго в одной фазе. Оператор Н' в указанных условиях
должен обращаться в нуль. В рассматриваемых сейчас одноатом-
одноатомных кристаллах возможны, как мы знаем, только акустические
колебания решетки. При этом синфазному движению атомов
соответствует бесконечно большая длина волны, т. е., согласно
(XII.4.5), вектор смещения, не зависящий от координат, г. Отсюда
следует,- что оператор Н' должен выражаться не через сам вектор
смещения, а ч'ерез производные от него по координатам—при
сдвиге кристалла как целого эти производные обращаются в нуль.
Иначе говоря, важно не смещение атомов само по себе, а деформа-
деформация решетки, при этом возникающая.
Интересуясь только длинноволновыми акустическими фононами,
мы можем ограничиться первыми производными по координатам.
Действительно, из формулы (XI 1.4.5) явствует, что каждое дифферен-
дифференцирование Q по координатам дает множитель q.
Итак, оператор Н' представляет собой скаляр, линейно зави-
зависящий от первых производных вектора смещения Q по координатам.
*) В гл. XII при разложении потенциальной энергии решетки в ряд по сте-
степеням смещений надо было взять квадратичные члены, ибо линейные обращались
в нуль по условию минимума. В данном случае оператор Я' никакими экстре-
экстремальными свойствами относительно смещений, вообще говоря, не обладает и ли-
линейные члены в нуль обращаться не обязаны.

§ 3] ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ 455
Простейшее выражение такого типа имеет вид
H'aK = E1divQ, C.1)
где Ех — некоторая постоянная. В принципе ее можно было бы
вычислить, решая задачу механики об изменении энергии электрона
при плавной периодической (с периодом волны) деформации ре-
решетки. Проще, однако, рассматривать Ег как параметр теории,
подлежащий определению из опыта (подобно, например, эффектив-
эффективной массе или ширине запрещенной зоны). Значения Ег для элек-
электронов проводимости и для дырок, вообще говоря, различны.
Соответственно мы имеем здесь не один, а два параметра, Е1с и?1г.,
относящиеся, соответственно, к зоне проводимости и к валентной
зоне.
Выражение C.1) называется потенциалом деформации, а пара-
параметр Ег— константой потенциала деформации (иногда слово
«константа» опускают, относя термин «потенциал деформации»
не только к правой части C.1), но и к параметру Ег) *). Формула
такого же типа описывает и изменение энергии носителя заряда
при однородной статической деформации, возникающей, например,
при сжатии или растяжении кристалла. Однако параметры, входя-
входящие в это последнее выражение, вообще говоря, не совпадают
с Е1с и Elv. Действительно, длина акустической волны хотя и велика
по сравнению с постоянной решетки, но все же конечна, т. е. дефор-
деформация, создаваемая акустической волной, всегда неоднородна.
Подставим в C.1) выражение (XII.5.18) для вектора смещения
при q -v 0. Согласно (XII.2.13) при этом вектор ? оказывается веще-
вещественным. Согласно (XII.2.19') он еще и единичен. Таким образом,
я-=w 2 2(q> l (q> s)) У-ящгъх
" S X {b (q, s) tfw - b* (q, s) g-<*}. C.2)
В рассматриваемом случае длинных акустических волн имеет
смысл разделение колебаний на поперечные и продольные. Из фор-
формулы C.2) явствует, что в рамках принятых предположений только
продольные волны (s = 1) дают вклад в изменение энергии элек-
электрона: при ? (q, s) J_q соответствующие слагаемые в C.2) обращаются
в нуль. Следовательно,
Здесь принято во внимание, что для продольных волн (снабжен-
(снабженных индексом s = 1) (q, g (q, 1)) = q.
*) Выражение C.1) было использовано в 1935 г. Титейкой в одной задаче
теории металлов. В теорию полупроводников оно было введено независимо
М. Ф. Дейгеном и С. И. Пекаром, и Дж. Бардином и В. Шокли,

455 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ ГГЛ. XIV
Величина div Q, фигурирующая в правой части C.1), имеет
простой геометрический смысл. Как показывается в механике
сплошных сред, при малых деформациях
ДТ/
divQ = ™. C.4)
Здесь Vo — некоторый объем в недеформированном кристалле
(в качестве Vo можно выбрать, например, объем элементарной
ячейки), AV—его изменение при деформации, описываемой век-
вектором Q. Таким образом, div Q есть относительное изменение
объема при малой деформации.
Равенство C.4) позволяет грубо оценить порядок величины
-константы Ev Действительно, изменение энергии электрона или
дырки Н' можно интерпретировать как смещение границы соот-
соответствующей зоны при деформации *). Экстраполируя формулы
C.1), C.2) на случай не малых деформаций, видим, что Ег есть,
по порядку величины, сдвиг границы зоны при А V = Vo, т. е. при
изменении объема элементарной ячейки в два раза. Очевидно,
это должна быть энергия порядка энергии электрона во внешней
атомной оболочке, т. е. \Ег\ ~ 1 -4- 10 эВ. При этом знаки Е1С
и Elv в принципе могут быть любыми: в зависимости от природы
кристалла дно зоны проводимости и потолок валентной зоны могут,
независимо друг от друга, как подниматься, так и опускаться при
сжатии (и, соответственно, опускаться или подниматься при рас-
расширении).
Согласно C.1) и C.4) колебания решетки, не связанные с изме-
изменением объема элементарной ячейки, не меняют энергии носителей
заряда и, следовательно, не вызывают рассеяния их. Само выра-
выражение C.1), однако, не вытекает однозначно из поставленных выше
условий. Скаляр наиболее общего вида, линейно выражающийся
через первые производные вектора смещения по координатам,
представляет собой линейную форму
з
Как показано в Приложении XI, величины Еа$ (s) образую?
симметричный тензор 2-го ранга (вообще говоря, свой для каждой
ветви колебаний решетки). По этой причине формулу C.5) можно
переписать в виде
Яак- 2 ?aP(s)«ae(s), C.5'f
*) В рассматриваемом случае неоднородной деформации это смещение зави-
зависит от координат, что и приводит к рассеянию.

§ 3] ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ 457
где ыар (s) = у \~j~~ + ~7Г~) ~ компоненты тензора деформации.
Формула C.1) есть частный случай C.5), когда тензор Ea$(s)
вырождается в скаляр:
?ap = ?Ai3- C.6)
Зависимость от номера ветви при этом становится несущественной,
поскольку все равно во взаимодействии с электронами участвуют
только продольные фононы (s = 1). Заметим, однако, что формула
C.6), вообще говоря, несправедлива даже в кубическом кристалле
и для точного расчета надо пользоваться общим выражением C.5').
Благодаря условиям кристаллографической симметрии не все
компоненты тензора ?ар независимы, но все же число параметров,
подлежащих определению из опыта, здесь больше, чем в изотропном
случае C.6). Так, в я-Ge и «.-Si их два (см. Приложение XI).
Утверждение об исключительной роли продольных фононов
в случае C.5) уже не имеет места. Действительно, вместо C.3)
мы получаем теперь на основании (XIL5.18)
V
22 V 20ш (q, s)
s=l q ' C.7)
Фигурирующая здесь сумма
вообще говоря, не обращается в нуль при ? J_ q. Соответственно
поперечные акустические колебания решетки также дают вклад
в рассеяние носителей заряда в анизотропном случае C.5) (При-
(Приложение XI)..
Обратимся теперь к кристаллам со сложной структурой эле-
элементарной ячейки (г > 1). Сформулированные выше общие усло-
условия, которым должен удовлетворять гамильтониан взаимодейст-
взаимодействия Н', остаются в силе и здесь. Отсюда следует, что энергия вза-
взаимодействия электрона с длинноволновыми акустическими фоно-
нами и в этом случае дается формулой C.1) или ее анизотропным
обобщением C.5). В кристаллах с центром симметрии (к"-числу
их принадлежат, германий и кремний) остаются в силе и явные
формулы C.3) или C.7).
в. Взаимодействие носителей заряда с оптическими фононами
в гомеополярном кристалле; метод потенциала деформации. Со-
Согласно § XII.3 при длинноволновых оптических колебаниях центр
тяжести элементарной ячейки почти не смещается. Соответственно
здесь нет необходимости требовать, чтобы гамильтониан взаимодей-
взаимодействия электронов-с оптическими фононами выражался непременно
через производные от компонент вектора смещения по координа-
координатам. Допустимым может оказаться и выражение, содержащее сам

458 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
вектор смещения:
Я™т= 2 A(s)CL. C.8)
Здесь A (s) — некоторый вектор, зависящий, вообще говоря, от но-
номера ветви s; компоненты его должны выражаться через величины,
характеризующие зонную структуру носителей заряда в соответ-
соответствующей идеальной решетке. Нижний предел суммирования
s = 4 напоминает, что речь идет только об оптических фононах.
Формула C.8) оправдана, если условия симметрии электрон-
электронных (дырочных) изоэнергетических поверхностей допускают суще-
существование отличного от нуля вектора А. Очевидно, для этого необ-
необходимо, чтобы некоторые направления в зоне Бриллюэна были
физически выделены. Так обстоит дело, например, если минимум
энергии лежит не в центре зоны Бриллюэна (таких точек минимума
может быть несколько): в этом случае выделены направления,
параллельные радиус-векторам, соединяющим точки минимума
с точкой р = 0. Это необходимее условие, однако, еще не является
достаточным. Достаточные условия, при которых гамильтониан Н'
можно записать в виде C.8), можно получить, лишь исследуя всю
совокупность соотношений симметрии, характеризующих поверх-
поверхности постоянной энергии. Анализ показывает, что для электронов
проводимости в германии такая задись возможна, а в кремнии
A (s) = 0 *).
При A (s) = 0 в правую часть C.8) надо включить слагаемые
с производными типа C.5). Разумеется, их можно было бы написать
и при А Ф 0; однако в этом случае их роль была бы относительно
невелика, поскольку здесь существенны только длинные волны.
Интересуясь электронами вблизи данного минимума, мы можем
записать вектор А в виде
А = п?0, C.9)
где п — единичный вектор вдоль оси, идущей из центра зоны
Бриллюэна в рассматриваемый минимум, а Ео — некоторая постоян-
постоянная (размерности энергии, деленной на длину). Более общая форма
(аналогичная переходу от C.1) к C.5)) имеет вид
Л« = ?$лр, C.9')
где ?ар — компоненты некоторого тензора. Очевидно, формула C.9)
получается из C.9'), если этот тензор вырождается в скаляр.
Подставляя выражение (XII.5.19) в правую часть C.8), нахо-
находим окончательный вид гамильтониана взаимодействия электронов
с оптическими фононами в гомеополярном кристалле:
}
C.10)
*) Доказательство этого утверждения можно найти, например, в книге [2].

§ 3] ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ 459
Для кубических кристаллов величину Ео (или компоненты Е$)
иногда пишут в виде произведения Sofr (или, соответственно, 3$$),
где b — абсолютная величина вектора обратной решетки, a S (ЕаР) —
новая постоянная размерности энергии. Ее называют константой
оптического потенциала деформации.
г. Взаимодействие носителей заряда с оптическими фононами
в гетерополярном кристалле. В гетерополярном полупроводнике
атомы решетки обладают отличными от нуля эффективными заря-
зарядами. В результате оптические колебания решетки сопровождаются
колебаниями дипольного момента, т. е. колебаниями вектора поля-
поляризации среды *). Это приводит к изменению энергии электрона
(по сравнению с покоящейся решеткой), не связанному непосред-
непосредственно с потенциалом деформации. Для длинных волн это измене-
изменение энергии легко вычислить с помощью законов электростатики.
Пусть изменение дипольного момента элементарной ячейки
при смещении атомов из положения равновесия есть d. Соответ-
Соответствующий вектор поляризации О1, очевидно, равен
*=4г> (ЗЛ1)
где Vo — объем элементарной ячейки (для краткости мы говорим
просто «вектор поляризации» вместо «изменение вектора поляри-
поляризации»).
Как известно из электростатики, наличие поляризации fp озна-
означает, что в решетке имеется связанный заряд с объемной плотностью
р = —div?P. C.12)
Этот заряд создает электрическое поле, потенциал которого ф опре-
определяется из уравнения Пуассона
У2ф = — 4яр,
или, принимая во внимание равенства C.11) и C.12), из уравнения
V2<p = ^divd. C.13)
Найдя отсюда ф, получим гамильтониан взаимодействия носителя
заряда с поляризационными фононами:
Н'вол = ±е<р. C.14)
Для вычисления d надо специализировать природу кристалла.
Мы рассмотрим кристалл кубической системы, элементарная ячейка
которого содержит два атома различной химической природы,
К такому типу относятся, например, щелочно-галоидные кри-
кристаллы (NaCl, KC1 и др.), кристаллы типа CsCl, а также соедине-
*) По этой причине колебания рассматриваемого типа иногда называют поля*
ризационными,

460 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
ния типа AIUBV — InSb, GaAs и др. Эффективные заряды атомов
той и другой природы обозначим, соответственно, через Ze и —Ze.
Число Z может быть и не целым, если химическая связь в'рассмат-
в'рассматриваемом кристалле — не чисто ионная (гл. II). Очевидно,
d = Ze[Q(r, 1) - Q (г, 2)], C.15)
где индексы 1, 2 нумеруют атомы ячейки, а радиус-вектор г счи-
считается непрерывным (мы рассматриваем случай длинных волн).
Для вектора смещения Q надо подставить выражение (XII.5.19),
Мы получаем
"^(q's)]x
X{b(q, s)e<4r + 6*(q, s)e-<4r}. C.16)
Уравнение C.13) принимает вид
2
1
q
X{b(q,
Нас интересует частное решение этого уравнения, обращающееся
в нуль вместе с параметром Z. Представляя ф в виде разложения
Фурье:
легко находим
б
. . 4т2е VI VI 1 Г % "IV» г, «. . . - .-,
Ф (Г) = ^- 24 1Y L2MGca(q,s)J [(Ч> Sl) ~ (Ч> 5а)] Х
X{6(q, s)e^-b*(q, s)e-'ir}. C.17)
Видно, что поперечные фононы не дают вклада в правую часть C.17):
для них (q, ?i) = (q, g3) = 0.
Поскольку в сумме по s в правой части C.17) остается один
член, мы можем вообще опустить индекс s в аргументах функций со,
glt g2, понимая под ними только величины, относящиеся к про-
продольным оптическим фононам. То же справедливо и для операто-
операторов b, b *.
Задача об определении энергии взаимодействия электрона
с длинноволновыми поляризационными фононами свелась теперь
к вычислению разности ?i — g2 при малых значениях волнового
вектора q. Для этой цели воспользуемся соотношениями (XII.2.19)
и (XII.3.7). При г = 2 и q = 0 они принимают вид
М/Л @) + М2Ц @) = Мг + М2, М^г @) + М?* @) = 0.

§ 3] ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ 461
Отсюда находим
где ? — единичный вектор, определяющий направление смещения
первого атома при колебаниях данной ветви. Видно, что атомы дей-
действительно смещаются в противоположных направлениях.
Согласно C.18)
Интересуясь только длинными волнами, мы можем прямо под-
подставить это выражение в формулу C.17) — учет зависимости gt — ?2
от q дает относительно малые поправки. Подставляя, далее, ф (г)
в формулу C.14), находим окончательно
q
Здесь принято во внимание, что для продольных фононов (g, q) =
Взаимодействие электронов с колебаниями решетки в гетеро-
полярных кристаллах может быть обусловлено не только.переменной
поляризацией среды, но и потенциалом деформации. Формулы
C.1), C.5), C.10) при этом остаются в силе, ибо при выводе их мы
не делали явных предположений о природе кристалла. Однако при
не слишком малом эффективном заряде Z «поляризационное» вза-
взаимодействие C.20) оказывается более эффективным, чем «деформа-
«деформационное»: силы, ответственные за возникновение энергии взаимодей-
взаимодействия C.20), дальнодействующие, в результате чего на электрон
одновременно оказывают влияние изменения дипольного момента
во многих элементарных ячейках.
д. Взаимодействие носителей заряда с пьезоэлектрическими
колебаниями решетки. В ряде кристаллов механическая деформация
сопровождается их электрической поляризацией и возникновением
электрического поля. Такие кристаллы называются пьезоэлектри-
пьезоэлектрическими. Пьезоэлектрический эффект объясняется тем, что при
механической деформации кристалла, решетка которого содержит
разноименно заряженные ионы, отдельные подрешетки из ионов
одного и того же знака могут смещаться друг относительно друга,г
отчего и возникает электрический момент. К числу пьезоэлектриков
относятся некоторые кристаллы соединений AnBVI (например,
,CdS, CdSe), AIHBV (GaAs, InSb) и многие другие. Необходимое (но не
достаточное) условие существования этого эффекта состоит в отсут-
отсутствии у данной решетки центра симметрии*). При колебаниях
*) Перечень кристаллических классов, в которых возможен пьезоэлектриче-
пьезоэлектрический эффект, можно найти в руководствах по кристаллофизике [3, М4].

462 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
решетки в пьезоэлектрических кристаллах на носители заряда
действуют силы со стороны пьезоэлектрического поля, что приводит
к дополнительному (к ранее рассмотренным) механизму рассеяния.
Для количественного описания пьезоэлектрического эффекта
мы будем пользоваться двумя основными соотношениями.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда эффект опреде-
определяется только одной компонентой тензора деформации и. Направ-
Направления электростатической индукции Я) и электрического поля S
будем считать совпадающими, При малых деформациях возникаю-
возникающий электрический момент можно считать пропорциональным и.
Полагая его равным —Eи, получаем первое основное соотношение:
C.21)
Здесь р — пьезоэлектрический модуль данного кристалла,
Второе основное соотношение описывает так называемый обрат-
обратный пьезоэлектрический эффект. Он заключается в том, что в сво-
свободном (незакрепленном) пьезоэлектрическом кристалле в электри-
электрическом поле появляется дополнительная деформация, пропорцио-
пропорциональная первой степени поля. В случае же несвободного кристалла
в нем возникают дополнительные механические напряжения. В рас-
рассматриваемом простейшем случае механическое напряжение s выра-
выражается формулой
s = A« + PS,1 C.22)
где Л — модуль -упругости,
В общем случае произвольной деформации в кристалле произ-
произвольной симметрии вместо соотношения C.21) мы получим линейное
соотношение между компонентами рассматриваемых величин в виде
^a = eap|p-4npa<(XV«Ilv. C.21')
Здесь, как и всюду выше, индексы а, E, ц, v принимают значения
х, у, г,' а по дважды встречающимся индексам подразумевается
суммирование, Вместо единственной величины р теперь входит
совокупность величин pa, p,v, образующих тензор'пьезоэлектрических
модулей 3-го ранга; этот тензор симметричен по двум последним
индексам: ра, ,IV = ра? ^,
Аналогично, вместо C.22) в общем случае справедливо соотно-
соотношение
|xv©a» C.22')
где Лар; ^ =э совокупность компонент тензора упругости.
Отметим, что оба соотношения C.2Г) и C.22') взаимно связаны
и в них входит один и тот же тензор пьезоэлектрических модулей
Pa, nv« Это становится понятным, если рассмотреть выражение для
свободной энергии деформированного пьезоэлектрического крис-
кристалла, Если аГ0 есть свободная энергия недеформированного крис-
кристалла, то при наличии деформации к ней добавляются два слагаемых:

§ 3] ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НОСИТЕЛЕЙ С ФОНОНАМИ 463
энергия механической деформации и энергия поляризованного
диэлектрика в электрическом поле.. Записывая компоненты вектора
поляризации в виде—Ра, ixv«ixv. т.е. исходя из,соотношения C.2 Г),
мы имеем
* — ^о + у
Так как компоненты механического напряжения определяются
по формуле
то отсюда и получается соотношение C,22').
Число независимых компонент тензоров еар, р„, ^v и Лар; ^ опре-
определяется симметрией кристалла. Рассмотрим кубические кристаллы
типа цинковой обманки (к числу их относятся, например, соедине-
соединения типа AUIBV). В них имеются три зеркально поворотные оси-
симметрии четвертого порядка, которые мы и выберем в качестве
осей координат. Тогда ([М13], ,§§ 13, 17) мы имеем случай C.21):
тензор еар вырождается в скаляр ебаР, а пьезоэлектрический тензор
имеет лишь одну независимую компоненту
Рж.»* = Р*.*» = Рй« = Р; Pxl(xv = O при ц = А, или v = X. C.23)
Вернемся теперь к задаче о рассеянии,
В рассматриваемом случае оператор энергии взаимодействия
носителей заряда с фононами имеет вид
Я;,ьезо = ±еф. C.24)
Здесь верхний знак относится к дыркам, а нижний —* к электронам;
через ф обозначен потенциал пьезоэлектрического поля, связанный
с напряженностью поля S обычным равенством
S = —Vq>. C.25)
Пусть р есть плотность объемного заряда, Тогда, пользуясь
уравнением Пуассона
div Я) = 4лр
и соотношением C.2Г), можем написать
^ ^ C-26)
В рассматриваемом нами технологически однородном кристалле
локальная нейтральность может быть нарушена только за счет
пространственного перераспределения свободных носителей заряда
в поле пьезоэлектрической волны. Последнее есть не что иное,
как экранирование пьезоэлектрического поля. При не слишком
большой концентрации свободных носителей заряда этот эффект

464 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
не играет роли и правую часть уравнения C.26) можно заменить
нулем.
Ограничимся рассмотрением пьезоэлектрических колебаний аку-
акустических ветвей. Тогда согласно (XII.5.18) в предельном случае
длинных волн мы получим
[ dxv "+" dxl) ~ l L L [2MGa (q, s) \
L [2MGa (q, s) \ X
X {(Uv + Svi&i) b (q?s)_ev - (SS<7v + ?v<7^) b* (q, s) е-'чг}. C.27)
Представим потенциал ф в виде разложения
Ф(г) = 2 2 (ФЧ5е;чг + Ф;5г-'чг). C.23)
q s = l
Подставляя выражения C.27) и C.28) в уравнение C.26) (при р = 0),
находим
$ \^]\ C.29)
Специализируем это выражение на случай кристаллов типа
AI!IBV, когда справедливы равенства C.23).
Обозначим через б и ф полярные, углы вектора q относительно
оси Z и введем функцию
/(9, ф) = ?д;зт29-5тф + ?., sin20.cc^ + ?*sin29-sin2rp. C.30)
Тогда равенство C.29) (с учетом C.23)) принимает вид
Ф(Я, s) = -^f(9( „>)*(„,
Подставляя это выражение в C.24), мы получаем
Лпьезо — -+- е ^ ^ [2MGu)(q, s)J X
х{/(8, 9)&(q, s)e^ + /*F, VN*(q, s)e~^}. C.31)
Легко написать и выражение для гамильтониана взаимодействия
носителей заряда с пьезоэлектрическими колебаниями оптических
ветвей. Для этой цели надо лишь подставить в общую формулу
(XII.5.19) выражения для ?., (q, s), вытекающие из соотношений
(ХП.2.19) и (Х1Г.3.7) при q = 0.
е. Сводка формул. Выражения C.7), C.10), C.20) и C.31) можно
записать единым образом:
где
1, s)b*(q, s)e-'*r}, C.32)
B(q, s), C.32')

4]
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ФОНОНАМИ
4G5
а через В (q, s) обозначена функция, характеризующая данный тип
взаимодействия. Выражения для нее, равно как и значения s, по
которым следует производить суммирование, приведены в табли-
таблице 14.1.
Таблица 14.1
Коэффициенты B(q, s) для разных механизмов рассеяния
Значе-
Значения s
Акустические
фэионы
(потенциал
деформации)
1, 2, 3
Акустические
фононы
(пьезоэлектриче-
(пьезоэлектрический потенциал)
-*4f не. я»
1, 2, 3
Неполярные
оптические
фононы
(Е„ Ю) *)
4, 5, ...
Поляризацчонные
(продольные)
фононы
AniZe1 (.Mj-f-Afa)
q\'o V'MxMz
4
*) В скобках во втором и четвертом столбцах указаны упрощенные выражения, соот-
ггствующне формулам C.3) и C.9).
Выражение, стоящее в четвертом столбце, могло бы описывать
и взаимодействие носителя заряда с фононами, ответственными
за переходы между различными «долинами» в полупроводнике
с несколькими эквивалентными минимумами энергии — в n-Ge,
n-S'i и др. Следует лишь заменить величину ?аряр?3 другой — также
определяемой из опыта — константой размерности энергии и раз-
разрешить значку s принимать все значения, начиная с единицы.
Действительно, точки в зоне Бриллюэна, отвечающие эквивалент-
эквивалентным минимумам энергии, обычно отстоят друг от друга на расстояние,
сравнимое с размерами самой зоны — близкое к постоянной об-
обратной решетки. Следовательно и квазиволнсвые Еекторы фононов,
испускаемых или поглощаемых при переходах электронов из одной
«долины» в другую, должны быть по модулю порядка этой постоянной.
Как мы видели в гл. XII, при этом различие между оптическими
и акустическими фононами в значительной мере теряется.
§ 4. Рассеяние носителей заряда фононами
Согласно B.19) вычисление коэффициентов &\,
к расчету матричного элемента
(р\ I, п' | Н! р, /, п) = \<
сводится
D.
Как и в § 2, обозначим совокупность чисел р, I, п (р\ 1',п') через X (К'),

466 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
Поскольку функции фя, и фа,- описывают газ фононов и элект-
электрон, не взаимодействующие друг с другом, мы имеем
% = Фр(г)Фл. D.2)
Функция фр (г) есть не что иное, как функция Блоха, описывающая
поведение электрона в идеальной решетке, а Ф„— волновая функ-
функция системы независимых гармонических осцилляторов (XII.5.5),
Подставляя выражения C.32), C.32Л) и D.2) в правую часть
D.1), мы получаем
(р\ /, п'\Н'\ р, /, п) = 2 [Я' (q, s)A + Я'* (q, s)M D.3)
q. s
где
$ dr $ ФП'Ь (q, s) Ф„ П <**ч"."» D-4a)
q", s"
„-й* (q, s) Ф„ П ^q-S". D.46)
q". s"
Каждая из величин /х, /2 представляет собой произведение
интегралов по координатам электрона и по нормальным координа-
координатам решетки. Последние легко вычисляются с помощью соотноше-
соотношений (XII.5.16); с точностью до множителя 2 UaT" * это— как Раз
интегралы (XII.5.12). Для вычисления интегралов по г заметим,
что в интересующем нас случае длинных волн решетки оператор
C.32) представляет собой возмущение, лишь очень медленно из-
изменяющееся на протяжении постоянной решетки а. Следовательно,
мы вправе воспользоваться методом эффективной массы, заменяя
функцию Блоха г|зр плоской волной
^(r^F-v^"'. D.5)
Множитель V-1/» в D.5) выбран в соответствии с условием нормировки
B.2).
Подставляя D.5) в D.4а, б) и принимая во внимание равенства
(ХП.5.12) и (ХП.5.14), мы получаем
'У>1{Ч, ЧП П fin'(q'.s'),n(q'.s'Nn'(q. 1)>П{Ч, 1)_1,D.6а)
/2 = 6p_ftk, р' V ft(q, 0 + 1 XT П ^п'<ч', s'), n(q', s')Sn'(q. i)>n(q, i) + i •
D.66)
Видно, что матричные элементы оператора Н' (а с ними и вероятность
перехода) отличны от нуля, только если числа фононов п (q, 1)
в начальном и конечном состояниях различны. Иначе говоря", про-
процесс взаимодействия электронов с фононами состоит в испускании
и поглощении последних. При этом в принятом приближении

§ 4] РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ФОНОНАМИ 467
(первое приближение теории возмущений и линейная по нормальным
координатам форма оператора энергии взаимодействия) возможны
только однофононные процессы: в каждом акте взаимодействия
испускается или поглощается только один фонон. Очевидно, слагае-
слагаемое сХ соответствует рассеянию с поглощением, а с/2—рассеянию
с испусканием фонона.
Видно, далее, что вероятность перехода отлична от нуля, только
если имеют место соотношения
р — р' = — Hq D.7а)
в случае поглощения фонона и
p-p' = ftq D.76)
в случае испускания фонона.
Эти соотношения представляют собой не что иное, как законы
сохранения: рассеяние с участием фонона возможно, только если
квазиимпульс электрона изменяется на вполне определенную вели-
величину ±hq, связанную формулой де Бройля с квазиволновым век-
вектором фонона q. Это дает основание назвать вектор ^q квазиим-
квазиимпульсом фонона.
В § XII.6 было показано, что фононам следует приписать энер-
энергию На (q, s). Видим теперь, что зависимость со (q, s) можно рассмат-
рассматривать как закон дисперсии для фононов. Тем самым завершается
обоснование представления о фононах как о квазичастицах.
В связи с соотношениями D.7а, б) следует сделать три замечания.
Во-первых, вывод этих законов сохранения не связан непре-
непременно с методом эффективной массы. Как можно показать (см.
Приложение XIV), тот же результат получится и при использовании
точных функций Блоха т|5р вместо плоских волн D.5). При этом
следует лишь помнить, что векторы q и p/ft определены с точностью
до вектора обратной решетки Ь. Поэтому и законы сохранения
D.7а, б) надо понимать как равенства по модулю ЛЬ. Процессы
рассеяния, при которых р — р' = —hq + НЪ или р — р' = hq + Hb,
называются процессами переброса. Учет их существен, если вектор
р — р' может выйти за пределы первой зоны Бриллюэна — тогда
добавление слагаемого НЪ вновь приводит вектор Hq в первую зону.
В дальнейшем мы не будем явно отмечать это обстоятельство.
В принятых ранее условиях (минимум энергии носителей заряда
расположен в центре зоны Бриллюэна) процессы переброса в интере-
интересующих нас задачах оказываются несущественными.
Во-вторых, подчеркнем, что недопустимо смешивать квазиим-
квазиимпульс с импульсом: Hq не есть собственное значение оператора им-
импульса решетки.
Наконец, в-третьих, видно, что длины волн фононов, испускаемых
или поглощаемых при рассеянии, — порядка длины, волны электро-
электрона. Большинство таких фононов (в случае невырожденного электрон-

468 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЁАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
ного газа) будет иметь длину волны порядка hlYn\kT (~10~6 см
при обычных значениях температуры и эффективной массы). Эта
величина значительно превышает постоянную решетки, что и оп-
оправдывает сделанное в § 3 предположение о доминирующей роли
длинноволновых фононов в процессе взаимодействия с носителями
заряда.
Обратимся теперь к вычислению вероятности перехода ^2 (р, р').
Согласно D.3) и D.6а, б)
|(р\ /, п'\Н'\р, I, п)|а =
q', s'
+ [n(q, l) + l]6n.(q.i)in{q.i, + i}, D.8)
причем под q следует понимать =?- в первом слагаемом и
р~р — во втором. Таким образом, вероятность перехода с данным
изменением квазиимпульса электрона р — р' складывается из
вероятностей поглощения и испускания фонона:
дъ /р^ р') = §ьпогд-\-§ьпсп. D-9)
Величины ?Рпотл и в?5,,,.,, легко найти, подставляя D.8) в формулу
B.19). Для аргументов дельта-функции в B.19) мы получаем при
этом, согласно (XII.6.2),
Е(р', I, п')-Е(р, I, л) =
— Е(р', [) — Е(р, 1)-\- 2 На (q', s')[n' (q', s') —n(q', s')]= D.10)
q'. s'
(p , /) —?(p, /) ± ^to f ± и f v , s). D.Ю)
Верхний и нижний знаки здесь относятся, соответственно, к испус-
испусканию и поглощению фонона. Видно, что испусканию или погло-
поглощению фонона с квазиимпульсом /?q = ± (р — р') соответствует
уменьшение или увеличение энергии электрона — как раз на вели-
величину Йсо (q, s). Так, конечно, и должно было получиться.
При рассеянии на оптических фононах частота близка к предель-
предельному значению со0 (§ XII.3). Предположение об упругости рассеяния
выполняется при этом, лишь если средняя энергия носителей
заряда достаточно велика. Так, в случае невырожденного газа
должно выполняться неравенство *)
?7>/ш0. D. И)
*) Условие D.11) может оказаться очень жестким, ибо значения Тш0 могут
составить несколько сотых эВ.

§ 4] РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ФОНОНАМИ 469
В противном случае рассеяние становится существенно неупругим
и задача о решении кинетического уравнения заметно усложняется
(так обычно обстоит дело в случае междолинного рассеяния).
Положение вновь упрощается лишь при достаточно низких
температурах, когда йсоо J> kT. При этом практически все электроны
могут только поглощать оптические фононы. Поглотив такой фонон,
электрон, однако, почти мгновенно вновь испускает его: согласно
принципу детального равновесия (XIII.4.4) отношение вероятностей
испускания и поглощения фонона составляет exp (HaJkT). Этот
процесс называется составным рассеянием. В результате энергия
электрона изменяется лишь незначительно. В самом деле, если бы
частота оптического фонона to вообще не зависела от его квазиволно-
квазиволнового вектора, энергия электрона, испытавшего составное рассеяние,
осталась бы неизменной. За счет слабой зависимости со от q измене-
изменение энергии все же имеет место, но оно оказывается сравнительно
небольшим: составнсе рассеяние — почти упругое. Это позволяет
вновь ввести время релаксации [М7]; очевидно, оно пропорционально
ехр (— hao/kT). Другая возможность, также возникающая при
низких температурах, рассматривается в конце этого параграфа.
С другой стороны, при рассеянии на акустических фононах
рассеяние оказывается почти упругим. Действительно, в этсм
случае для частоты to (q, s) можно воспользоваться формулой
(XII.3.3'). Соответственно выражение D.10') принимает вид
E(p')-E(p)±cs\p-py\, D.Ю")
где cs — фазовая скорость продольных (s = 1) и поперечных
(s = 2, 3) звуковых волн.
Пусть газ носителей заряда не вырожден. Тогда | р — р' | <--,
и, следовательно,
Cclp —р'!
kT
где vr — У kT/tn — величина порядка средней тепловой скорости
носителя заряда. Как правило, vT ~ Ю7 см/с, в то время как ps ~
^5-105 см/с: электроны движутся в среднем гораздо быстрее
звука. Причина этого ясна: распространение звуковой волны
в кристалле связано со смещениями тяжелых частиц—атомов
решетки. Полагая для оценки m = m0, видим, что скорости cs и vT
сравниваются при температуре ~ 3 К- При более высоких темпера-
температурах последним слагаемым в D.10") можно пренебречь: благодаря
малости отношения D.12) изменение энергии электрона при испус-
испускании или поглощении акустического фонона, как правило, мало
по сравнению с самой этой энергией. При этом аргументы дельта-
функций в формулах для $>notIl и QpKzn становятся одинаковыми
и равными просто разности энергий электрона в начальном и конеч-
конечном состояниях.

470 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
В условиях почти упругого рассеяния мы получаем, комбинируя
формулы D.8) и B.19):
?')), D-13а)
-?^(р')), D.136)
причем % = | р — р' |.
Отношение V/G = Vo представляет собой, очевидно, не что иное,
как объем элементарной ячейки. При G -> оо, V ->оо эта величина
(а с ней и вероятность перехода) остается конечной (и не зависит
от V), как это и должно быть. Заметим, что V0/M=p~1, где р—«
плотность кристалла.
Как видно из формул D.13а, б), не только вероятность погло-
поглощения, но и вероятность испускания фонона зависит от числа
фононов, уже имеющихся в образце. Это есть аналог хорошо из-
известного в оптике явления — вынужденного излучения света (см,
ниже § XVIII.4).
При п (q, s) -> 0 вероятность поглощения фонона, естественно
обращается в нуль, но вероятность испускания остается конечной
благодаря наличию второго слагаемого в квадратных скобках
в формуле D.136). Это есть аналог сп'онтанного излучения фотонов
(ср. гл. XVIII). Физическая причина его состоит во взаимодействии
носителей заряда с нулевыми колебаниями решетки.
Числа заполнения фононных состояний п (q, s), входящие в фор-
формулы D.13а, б), строго говоря неизвестны: для них надо было бы
составить кинетическое уравнение типа (XIII.3.12). Мы получили
бы тогда систему кинетических уравнений для функций / (р) и
п (q, s). Заметим, однако, что величины $*г я ^ входят в интеграл
столкновений, где они умножаются на неравновесную часть функ-
функции распределения электронов fv Можно думать поэтому, что
хорошее приближение получится, если взять для п (q, s) равновес-
равновесное выражение (XII.6.3) *). При этом, в силу D.11) и D.12), функ-
функцию Планка (XI 1.6.3) можно аппроксимировать классическим выра-
выражением, отвечающим равнораспределению энергии по степеням
свободы:
п1«1ь*П~Ш1Ьу <4Л4)
*) Это рассуждение может оказаться несправедливым при наличии в кри-
кристалле градиента температуры. Действительно, при этом возникает поток фоно-
фононов, направленный от «горячего» конца к «холодному». Сталкиваясь с носите-
носителями заряда, фононы увлекают их за собой, что может заметно увеличить термо-
эдс. Этот эффект увлечения был впервые теоретически исследован в 1945 г.
Л. Э. Гуревичем. Расчет показывает, что в полупроводниках он может быть
важен при низких температурах.

$ 4] РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ФОНОНАМИ 471
Формулы D.13а, б) и D.9) дают теперь
(q, s)\4[E(p)-E(p')]. D.15)
Формула D.15) становится несправедливой при достаточно низ-
низких температурах (Т <^TD — дебаевской температуры), когда
энергия фонона оказывается больше kT и п (q, s) -*• 0. В этом слу-
случае г^погл -> 0, а для <^исп мы получаем
?(p')-^(q, S)]f D.15')
причем tlq = | р— р' | (разумеется, Е (р)>йо) (q, s)). Выражение
D.15') характеризует вероятность рассеяния электронов нулевыми
колебаниями решетки.
Значения В (q, s) для разных механизмов рассеяния приведены
в таблице 14.1. Из нее явствует, что правая часть D.15) действительно
имеет вид (XIII.6.1), (XIII.6.5), коль скоро речь идет о рассеянии
на рптических фононах. Так же обстоит дело и при рассеянии на
акустических фононах за счет потенциала деформации, если ис-
используется «изотропная» аппроксимация C.3). С другой стороны,
вероятность рассеяния, обусловленного пьезоэлектрическим потен-
потенциалом, оказывается существенно анизотропной: согласно C.30)
функция f (e, ф) существенно зависит от ориентации вектора q отно-
относительно кристаллографических осей. При расчетах ориентировоч-
ориентировочного характера иногда пользуются упрощенным выражением для
^ заменяя функцию Р (б, ф) средним ее значением
2Я Я
</2(9. Ф» =iS *P Jsin6./2(9, Ф)<Ю. D.16)
Подставляя сюда выражение C.30) и выполняя интегрирование,
мы получаем
Ф)> = 4/15.
Пользуясь этим выражением и сравнивая равенства D.15)
и (XIII.6.1), (XIII.6.5), можем вычислить функцию S {E, cos 0),
фигурирующую в формуле для времени релаксации (XIII.6.12).
Ограничимся сначала параболическим законом дисперсии, совме-
совмещая по-прежнему начало отсчета энергии электронов с дном зоны
проводимости (Ес = 0). Получим
S(E, cos 6) = BE-'-v*(l- cos by. D.17)
Здесь, как и в гл. XIII, б = р, р\ есть угол рассеяния; значения
постоянных В, г и г' для разных механизмов рассеяния указаны
в таблице 14.2.

472
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
Таблица 14.2
Значения постоянных В, г, г' » С для разных механизмов рассеяния
IB \[2m'
BлJ ft3
Акустические фононы
(потенциал деформа-
деформации)
Акустические фононы
(пьезоэлектрическое
рассеяние)
Неполярные оптиче-
оптические фононы*),
kT > Йо)о
Поляризационные фо-
фононы, kT ;> й(в0
Мс*Л
2nVJtTEa0
&п»П1гТ (Ze2J X
(М М)
-1/2
+ 1/2
-1/2
+1/2
VokTE\ Vim?
VmJ
4nkT (Ze2J X
—1
X
•) Принято сокращенное обозначение: ffljo^ = ?q.
Выражение D.17) можно обобщить-и на случай непараболичес-
непараболического (но изотропного) закона дисперсии. Для этой цели надо лишь
произвести замену
\РЦЕ). D.18)
Эффективная масса т при этом выпадает из формул для С
(табл. 14.2).
Теперь легко вычислить время релаксации, связанное с рассея-
рассеянием на фононах какого-либо из рассматриваемых типов. Подстав-
Подставляя выражение D.17) в правую часть (XIII.6.13) и интегрируя
по углу б, мы получаем формулу (XIII.7.21):
т(?) = С?', D.19)
с известными уже величинами Сиг. Значения С указаны в таб-
таблице 14.2.
Проверим теперь, выполняется ли основное условие примени-
применимости кинетического уравнения, выражаемое в случае невырожден-
невырожденного газа неравенством B.22а). Очевидно, в качестве т в это нера-
неравенство надо подставить выражение D.19), взятое для «существен-
«существенных» электронов, т. е. при Е ~ kT. Тогда рассматриваемое усло-
условие принимает вид
Й/С(«у + 1<1- D-20)
Подстановка типичных значений параметров (cs ~ 105 см/с,
М ^ 10~22 г, Ег cz. 10 эВ, Vo ex. 10~22 см3) показывает, что в случае

$ 4] РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ФОНОНАМИ 473
акустического рассеяния условие D.20) обычно выполняется. С дру-
другой стороны, при рассеянии на поляризационных оптических коле-
колебаниях нерасекство D.20) может и нарушаться. Причина этого
состоит в сравнительно большой энергии взаимодействия носителей
заряда с поляризационными фононами (§ 3, п. г). Связанные с этим
осложнения рассматриваются в гл. XVII.
Как и формула D.15), данные таблицы 14.2 становятся неспра-
несправедливыми при низких температурах, когда имеет место только
рассеяние ка нулевых колебаниях решетки. В этом случае непри-
неприменима и формула (XIII.6.13), так как рассеяние носит неупругий
характер: согласно D.12) энергия фонона, испускаемого или погло-
поглощаемого в процессе рассеяния, оказывается здесь сравнимой с энер-
энергией самого носителя заряда. Все же и здесь можно ввести время
релаксации квазиимпульса, определив его как характернее «время
испускания» фонона:
В качестве аР (р, р') сюда следует подставить выражение D.15').
Так, определенная величина есть не что иное, как «время жизни»
электрона, в состоянии с квазиимпульсом р. Это время, вообще гово-
говоря, не совпадает с определенным ранее временем свободного про-
пробега *).
Вычислим т (Е), считая, что рассеяние обусловлено оптическими
колебаниями решетки (поляризационными или неполярными). Огра-
Ограничимся при этом изотропным параболическим законом дисперсии
и пренебрежем зависимостью to от квазиволнового вектора оптичес-
оптических фононов.
Для неполярных фононов мы получаем, подставляя D.15')
в D.21):
т(?)
1 =у УШу^ Г Е
?) ^b
_-[¦/, ,422>
s) Ч . К ' '
Здесь Bt — | E'?$(s) Пр?а |2. Заметим, что в этом случае «приход»
действительно не играет роли и выражение D.22)-дает обычное
время релаксации- квазиимпульса. Его можно обобщить и на случай
произвольных температур (в предположении о тепловом равновесии
фононов). Для этой цели надо принять во внимание рассеяние не
только на нулевых, но и на тепловых колебаниях решетки. Иначе
говоря, надо принять во внимание зависимость времени релаксации
от числа фононов п [to (q, s)], уже имеющихся в решетке. Как мы
*) Такое совпадение имело бы место, если бы в кинетическом уравнении
можно было опустить член «прихода» (XII 1.3.7). Действительно, правая часть
D.21) есть не что иное, как интеграл «ухода» В (XIII.3.8) при / (р, г) ==* 1,
/ (р', г')<^ 1. Как видно из формулы(ХП1.6.12), член «прихода» не играет роли,
если ИР (р, р') не зависит от угла рассеяния.

474 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
знаем, вероятности переходов с испусканием и поглощением фоно-
нов пропорциональны, соответственно, п [to (q, s)] + 1 и п [со (q, s)].
Таким образом, искомое обобщение получается, если в правую часть
D.22) ввести множитель
2 +i
(в данном случае to (q, s) = соо (s)).
Для поляризационных фононов формула D.15') с учетом таб-
таблицы 14.1 дает
т е _ j-jt/i I ]nVE+V?^m^W)
[П (s) J VЕ (ЕПщ(з)) V'EVEПщ (s) Л "
= _ jj ]n
АкМ /йсо0 (s) [Пщ (s) J VЕ (Е—Пщ(з)) V'E-VE-Пщ (s)
Здесь Б2 = е /-—=-^ ; суммирование по s отпадает, так как
в данном случае значок s отвечает только продольной ветви.
При Е —- HtitQ (s) <^ E равенство D.23) принимает вид, аналогич-
аналогичный {4.22):
I = У»/2т В, Г Е _ Л'/* . 23,,
т (?) 2яЛ1 /йшо (s) ? [too (s) J
Формулы D.22) и D.23') можно переписать в виде
где т0 (s) —¦ характерное время, явное выражение для которого
вытекает из сопоставления правых частей D.24) и D.22), D.23').
При Нщ (s) ^> kT и равновесном распределении носителей
заряда по энергиям число электронов, способных испускать опти-
оптические фононы, пропорционально ехр[—На0 (s)lkT\. Следователь-
Следовательно, в этих условиях рассеяние, характеризуемое временами релак-
релаксации D.22) и D.23), столь же маловероятно, сколь и составное.
Положение, однако, может измениться в достаточно сильном элек-
электрическом поле, когда электронному газу сообщается достаточно
большая энергия (гл. XVI).
§ 5. Рассеяние носителей заряда примесными атомами
При рассеянии электронов неподвижными примесными атомами
оператор Н' имеет вид
?-R,). E.1)

§5]
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ПРИМЕСНЫМИ АТОМАМИ
475
Здесь значок i нумерует атомы примеси, R; есть радиус-вектор 1-го
атома, 617 (г — R,) — потенциальная энергия взаимодействия элек-
электрона с ним, N — полное число атомов примеси в кристалле. Сос-
Состояние решетки в данном случае не изменяется при рассеянии,
поэтому сумма по п' в формуле B.19) исчезает (п' — п), и мы полу-
получаем, на основании B.19) и E.1),
^2 (Р. Р') =
N 2
П
б(?(р)-?(р'))- E.2)
В рамках метода эффективной массы, которым мы будем пользо-
пользоваться, функции Блоха г|)р и ify следует заменить просто плоскими
волнами D.5).
Как видно из формулы E.2), рассеяние в данном случае носит
упругий характер. Причина этого ясна: мы рассматриваем атомы
примеси просто как фиксированные в пространстве силовые центры,
пренебрегая возможным их движением. Такая постановка задачи
оправдывается большой (по сравнению с т) массой атома примеси М(.
Подставляя в E.2) функции г|>р и г|у в виде D.5) и возводя в квад-
квадрат сумму в E.2), получаем
где
N
N N
$*6?/(r-R,)exp[4(p-p', г)]
E.3)
E.4а)
X J dr2 6G (г, - R,') ехр [- jr (р -р', г2)]. E.46)
Как известно из квантовой механики ([М2], § 95; [МЗ], § 296),
выражение
а (р, р') = y^J | J dr 8U (г - Rj) ехр [| (р - р', г)] |2 E.5)
представляет собой отнесенное к единице телесного угла эффектив-
эффективное сечение упругого рассеяния электрона силовым центром, рас-
расположенным в точке R/. Следовательно, правая часть E.4а) описы-
описывает рассеяние электрона всеми N примесными атомами при условии,
что рассеяние на каждом из них происходит независимо от всех
остальных. Иначе говоря, величина Ах характеризует рассеяние,
которое имело бы место в отсутствие интерференции электронных

476 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОИ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
волн, рассеянных разными атомами примеси. Такое рассеяние
называется некогерентным. Легко убедиться, что все 1?лены, входя-
входящие в сумму по / в E.4а), одинаковы. Действительно, произведем
в каждом интеграле замену переменных, полагая
r-Ry = r'. E.6)
Получим
Jdr6t/(r-Ry)exp[|(p-p', г)] =
= ехр[4(р-р\ R,)] J dr'6t/(r')exp[|(p-p', r')].
Зависимость от значка / входит сюда только через фазовый множи-
множитель, который обращается в единицу при составлении модуля.
Таким образом,
|J[| ][2 E.7)
Заметим, что этот результат не зависит от расположения при-
примесных атомов в решетке. Последнее влияет лишь на слагаемое А2,
которсе описывает эффект интерференции электронных волн, рас-
рассеянных различными атомами примеси. Действительно, произведем
в интегралах, фигурирующих в E.46), замену переменных
«1 - R/ = Г), Г2 - Ry = Г2.
Тогда
N Ы
Ц
X |б1/(г1)ехр[|(р-р', r[)]dr[x
X
= F 2 exp[i(p-p', R/-R;-)]- E-46')
ЧФ1)
Вспомним теперь, что величины аРи dP2 и, следовательно, Ах и Л2
должны быть вещественными. Составляя полусумму правой части
E.46') и сопряженного ей выражения, находим
Ц'Ф I)
Зависимость Л2 от расположения примесных атомов весьма ос-
осложняет дальнейший расчет, ибо фактические координаты примес-

$ 5] РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ПРИМЕСНЫМИ АТОМАМИ 477
ных атомов в решетке нам неизвестны. Однако при хаотическом
распределении примеси в кристалле положительные и отрицатель-
отрицательные слагаемые в правой части E.8) будут встречаться одинаково
часто. Тогда результат интерференции E.8) обратится в нуль и ато-
атомы примеси будут рассеивать электроны и дырки независимо друг
от друга *). В этих условиях, согласно E.3) и E.7),
Е(р')). E.9)
Отношение N/V — Nt представляет собой концентрацию примеси
в решетке. При V -> со, N -> со эта величина (а с ней и вероятность
перехода) остается конечной и не зависит от размеров образца.
Выражение E.9) имеет вид (ХШ.6.1), причем
S(p, p') = Nt\ J6l/(r')exp[-i-(p-p'f r')]dr'\\ E.10)
Если потенциальная энергия взаимодействия Ы/ (г') изотропна,
то функция S зависит только от энергии Е (р) и от угла б ='р, р' —
в соответствии с (XIII.6.5).
Пользуясь соотношением E.5), можем переписать формулу
E.10) в виде
5(Р, р') = (^2J^а(р, р'), E.11)
При этом для времени релаксации мы получим, согласно (XIII.6.13),
я
1 = 2JlMJEM ^ A _ Cos 6) а (Е (р), cos 6) sin 6 -db. E.12)
Введение эффективного сечения рассеяния на одном центре
имеет не только формальный смысл. Именно, формулы E.5) и E.10)
получены в первом неисчезающем (борновском) приближении теории
возмущений. Это приближение применимо ([М2], § 95), если выпол-
выполняется хотя бы одно из двух неравенств:
Здесь d—радиус действия поля 617 (г). В задаче о рассеянии
электрона атомами заряженной примеси роль d играет радиус экра-
экранирования г0 (см. Приложение XII), а характерное значение
\8U | ~ е2/ег0. Таким образом, неравенства E.13) принимают вид
aB>r0, VE2<VE. E.14)
*) Более точное обоснование возможности пренебречь интерференционным
членом E.8) можно получить, вводя представление об усреднении всех наблюдае-
наблюдаемых величин по координатам примесных атомов (см. [1], статьи №№ 5, 6 и При-
Приложение XIII).

478 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОИ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
Здесь ав = —г, Ев = -^-^-3 «= соответственно боровский радиус
ТИС ?& ft
и боровская энергия в кристаллической решетке, статическая ди-
диэлектрическая проницаемость которой есть е. Как мы видели в гл. IV,
в Ge ав ~ 40 А, а Ев ~ 0,01 эВ. Отсюда видно, что первое из
неравенств E.14) может выполняться лишь при очень большой кон-
концентрации экранирующих зарядов, достигаемой в предельно сильно
легированных полупроводниках (гл. XIX), а второе накладывает
ограничение на температуру образца. Действительно, в отсутствие
фермиевского вырождения энергия «существенных» электронов
или дырок — порядка kT я мы получаем
EB<kT. E.14')
В области низких температур, представляющей, как мы увидим,
серьезный интерес именно в случае рассеяния на примеси, это
условие может и не выполняться. При этом, благодаря малости
концентрации примесных атомов, неравенство B.22а), может все же
оставаться в силе и применение кинетического уравнения, как та-
такового, может быть оправдано. Надо лишь отказаться от борновского
приближения в задаче о рассеянии одним отдельным атомом при-
примеси. Соотношениями E.5) и E.10) в этом случае пользоваться
уже нельзя, однако равенство E.11), как можно показать' ([1],
статья № 9), сохраняет силу, если -только под а (р, р') понимать
точное сечение упругого рассеяния. Соответственно остается в силе
и формула E.12).
Все изложенное (кроме явных формул E.14), E.14')) относится
к рассеянию носителей заряда не только атомами примеси, но и лю-
любыми другими «точечными» дефектами решетки — вакансиями,
собственными атомами, смещенными в междоузлия, и т. д.
Специализируем теперь общие формулы E.10) или E.12) на слу-
случай рассеяния электронов и дырок атомами заряженной примеси,
В германии и кремнии это могут быть, например, атомы элементов
Ш или V групп (при температуре выше водородной), а также, при
определенных условиях, атомы Li, Zn, Mn, Fe, Cu, Ni и т. д. Обозна-
Обозначим заряд примесного атома через Ze (целое число Z может быть
как положительным, так и отрицательным). Тогда, казалось бы,
потенциальная энергия должна иметь кулоновский вид (IV.7.1).
На самом деле, однако, это неверно: формула (IV.7.1) неспра-
несправедлива как на малых (порядка а), так и на больших расстояниях
от примесного центра. Действительно, при г ~ а ионизованный атом
примеси уже нельзя рассматривать как точечный заряд, что пред-
предполагается в формуле (IV.7.1). Далее, при столь малых расстояниях
теряет смысл использование обычной (макроскопической) диэлектри-
диэлектрической проницаемости е. С другой стороны, наличие в кристалли-
кристаллической решетке других свободных зарядов, а также других примес-
примесных центров приводит к экранированию всех электрических полей,

§ 5] РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА ПРИМЕСНЫМИ АТОМАМИ 479
в том числе и кулоновского поля данного иона примеси. В результате
изменяется сам вид функции 8U (г), что существенно на расстоя-
расстояниях, сравнимых с радиусом экранирования.
Первое из указанных только что осложнений не очень существен-
существенно, если характерная длина волны носителей заряда велика по
сравнению с постоянной решетки. Действительно, при этом взаимо-
взаимодействие на расстояниях порядка а не играет роли: электрон
нельзя локализовать в объеме, линейные размеры которого меньше
длины волны. В невырожденном газе характерная длина волны
есть h/YmkT; в газе, полностью вырожденном, она составляет
примерно п~1/з, где п — концентрация частиц (электронов иди
дырок). Таким образом, в условиях, когда, в зависимости от сте-
степени вырождения,
^а или п-^'Уа, E.15)
осложнениями, возникающими на расстояниях г ~ а, можно пре-
пренебречь.
Условия E.15) обычно хорошо выполняются. Так, например,
при Т = 300 К и m — пг0 мы имеем hlYmkT ~ 10~8 см. Поэтому
в дальнейшем мы не будем принимать во внимание отклонение
8U (г) от вида (IV.7.1) при г ~ а. Соответственно для 8U (г) можно
воспользоваться выражением, полученным в Приложении XII:
М/(г) = ?ехр (-¦?). E.16)
Подставляя это в правую часть E.9), придем к интегралу
/= $r-iexp[-?--f-j-(p-P', r)]dr.
Главную роль в нем играют значения г, близкие к г0. Поэтому мы
вправе считать здесь объем системы бесконечно большим. Тогда ин-
интеграл легко вычисляется (в сферических координатах) и мы по-
получаем
EЛ7)
При этом, в силу упругости рассеяния, Е (р) = Е (р'). При пара-
параболическом законе дисперсии р1 = 2пгЕ (р) и, следовательно, фор-
формулу E.17) можно переписать в виде
?(р)A-со8е)]а' к '
Это есть выражение вида (XIII.6.5).
Комбинируя теперь формулы E.11), E.12) и E.18), мы получаем

480 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
гдэ
х = -~ = 16лар. E.20)
Мы ввели здесь длину волны де Бройля Я = гп' В невы-
V 2тЕ'
рожденном газе при Е ~ kT, как и в вырожденном при E — t,
параметр х обычно оказывается большим (лг^-1). Тогда фор-
формула E.19) принимает вид
Если формально положить здесь г0-*- со, то обратное время релакса-
релаксации т1 обратится в бесконечность, а время релаксации, подвиж-
подвижность и т. д. — в нуль, что, разумеется, резко противоречит опыту.
Случай го->- оо означает переход от дебаевского закона E.16) к ку-
лоновскому (IV.7.1), т. е. пренебрежение экранированием. Именно
по этой причине учет экранирования в задаче о рассеянии носителей
заряда атомами заряженной примеси необходим принципиально.
Заметим, однако, что точная форма закона экранирования здесь не
очень существенна, ибо радиус экранирования г0 входит только
в аргумент медленно меняющейся функции — логарифма.
Заметим, что, с точностью до медленно меняющегося логарифми-
логарифмического множителя, формулу E.19') можно переписать в виде
D.19); в рассматриваемом случае
г = + 3/2. E.19")
Пределы применимости формулы E.19') определяются неравен-
неравенствами E.14) и B.22а, б). В случае невырожденного электронного
газа условие B.22а) можно переписать в виде
. E.21)
При Ев = 0,01 эВ и ав = 4-Ю см это дает
причем концентрацию Nt следует измерять в см, а температуру —
в градусах 'Кельвина.
Условие E.14') может оказаться доеольно жестким. Так, при
Ев = 0,01 эВ. оно нарушается уже при температуре около 120 К.
СоотЕетстсенно возникгет необходимость в расчете, не основываю-
основывающемся на борновском приближении. Оказывается [4], что соответ-
соответствующее время релаксации по-прежнему растет с энергией электро-
электрона, но несколько слабее, чем это предписывается формулой E.19').
Обратимся теперь к рассеянию носителей, заряда нейтральными
атомами примеси. Оно может стать существенным при достаточно
низких температурах, когда начинается деионизация примесных

§6] ПОДВИЖНОСТЬ, ХОЛЛ-ФАКТОР И ТЕРМОЭДС 481
атомов (см. § V. 15); при этом в отсутствие компенсации концентра-
концентрация Nt в формуле E.19') стремится к нулю. Общая схема расчета
в этом случае остается прежней. Следует лишь принять во внимание
то обстоятельство, что силы взаимодействия между электронами
и нейтральными атомами примеси сравнительно короткодействую-
короткодействующие. По этой причине эффект экранирования здесь не играет замет-
заметной роли и энергию взаимодействия можно определить, рассматри-
рассматривая только систему «нейтральный атом примеси + электрон».
Особенно просто обстоит дело в случае примесей, описывае-
описываемых водородной моделью (§ IV.7). В рамках метода эффективной
массы мьг получаем здесь, по существу, задачу о рассеянии элек-
электронов нейтральными атомами водорода. Последняя хорошо изу-
изучена в теории "столкновений, и можно прямо воспользоваться извест-
известными результатами, заменяя лишь истинную массу электрона на
эффективную и деля квадрат заряда е2 на диэлектрическую прони-
проницаемость е. Точный расчет оказывается возможным провести только
численно; однако в интересной области температур для времени
релаксации удается получить простую интерполяционную формулу:
_2(№
где No — концентрация нейтральной примеси. Это — выражение
вида D.19) при г — 0. Его называют формулой Эрджинсоя.
§ 6. Подвижность, холл-фактор и термоэдс
при различных механизмах рассеяния
Равенства D.19), E.19) и E.22) в сочетании с таблицей 14.2 по-
позволяют полностью раскрыть содержание формул гл. XIII, описы-
описывающих подвижность, термоэдс и холловский фактор газа носителей
заряда. В таблице 14.3 приведены основные результаты, относящи-
относящиеся к невырожденному электронному газу с параболическим законом
дисперсии. Поскольку величина С в формуле (XIII.7-20') может
зависеть от температуры, мы представляем дрейфовую подвиж-
подвижность в виде
\i = ATR, F.1)
где А — множитель, не зависящий или слабо (логарифмически)
зависящий от температуры; р — постоянная.
Отметим, в частности, результаты, получающиеся при рассеянии
носителей заряда продольными акустическими фононами и атомами
заряженной примеси. В первом случае подстановка выражения
D.19) в формулу (ХШ.7.20') дает

482
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
Таблица 14.3
Значения констант в формуле для подвижности, термоэдс
и холловского фактора при различных механизмах рассеяния
Рассеиватель
Коэффициент А в фор-
формуле F.1) для
подвижности
Показа-
Показатель сте-
степени р
в фор-
формуле F.1)
ДЛЯ ПО-
ПОДВИЖНОСТИ
Термоэдс
ХоллсвекиЛ
фактор V
Акустические
фонолы (потен-
(потенциал деформации)
Акустические
фононы (пьезо-
(пьезоэлектрическое
рассеяние)
Неполярные
оптические
фононы,
kT > йсоо
Поляризационные
фононы,
kT > Пщ
Заряженная
примесь
Нейтральная
примесь
,l /2
X
X
8e2 Bks)Vz (ffln3)
eNt In ^ %г П
me3
—3/2
-1/2
—3/2
-1/2
3/2
e [kT
Зя
45л
128
= 1,18
= 1,105
A(JL_2
e [kT
1L(L _4
315я
Во втором случае мы получаем, подставляя выражение E.19')
в (ХШ.7.20),
прим
_ со
F.3)
Функция ^expf— ^J имеет максимум в точке E = 3kT. Вблизи
этой энергии логарифм, стоящий в знаменателе подынтеграль-
подынтегрального Выражения в F.3), изменяется довольно медленно. По этой
причине его можно вынести из-под знака интеграла при Е = 3kT.

§ 6] ПОДВИЖНОСТЬ, ХОЛЛ-ФАКТОР И ТЕРМОЭДО 483
Таким путем находим
F-зар.прии- 12\ткТ
Это соотношение называют формулой Брукса — Херринга *).
Температурная зависимость подвижности, характеризуемая чис-
числом р, имеет ясное происхождение. Действительно, в рассматри-
рассматриваемых условиях среднее число фононов, имеющихся в решетке,
пропорционально Т; при рассеянии на фононах подвижность,
очевидно, обратно пропорциональна этому числу. Еще один мно-
множитель, Тг, связан с энергетической зависимостью времени сво-
свободного пробега D.19): в отсутствие фермиевского вырождения
каждый множитель Е под знаком интеграла в (XIII.7.20) приво7
дит к появлению множителя kT в окончательном результате,
Таким образом, при рассеянии на фононах
fw T~1+r, р = г-\. F.4)
При рассеянии на примеси первый из указанных выше факторов
отпадает (вместо него появляется Л^1); в результате
fi~ NTlTr, p = r. F.5)
Таким образом, температурная зависимость подвижности, вы-
выражаемая формулой F.1) и данными таблицы 14.3, обусловлена
двумя факторами: условием равнораспределения энергии по степе-
степеням свободы D.14) (при рассеянии на фононах) и предположением
о квадратичном законе дисперсии.
Учет анизотропии изоэнергетических поверхностей (в рамках
параболического закона дисперсии) приводит лишь к изменению
коэффициента А в формуле F.1).
Ситуация становится более сложной при наличии магнитного
поля: в этом случае анизотропия изоэнергетических поверхностей
играет более существенную роль. Действительно, в одном лишь
электрическом поле дрейфовая скорость носителей заряда Va по-
постоянна по направлению, а сила, действующая на электрон, не зави-
зависит от va, т. е. задана. Поэтому движение электрона в электрическом
или температурном поле в любой момент времени определяется од-
одной и той же (хотя, вообще говоря, и зависящей от направления
поля) эффективной массой. Результаты для анизотропной и изотроп-
изотропной систем различаются здесь, в конце концов, только численными
коэффициентами. С другой стороны, в магнитном поле траектория
электрона не прямолинейна, а сила, на него действующая, зависит
*) Аналогичное выражение, отличающееся от F.3') лишь аргументом лога-
логарифма (благодаря менее последовательному учету экранирования), было ранее
получено Конвелл и Вайскопфом. По этой причине часто употребляется и назва-
название «формула Конвелл—Вайскопфа»,

484 РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕНДЕАЛЬНОП РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
от дрейфовой скорости. Поэтому в анизотропной системе ускорение
электрона в различные моменты времени определяется различными
эффективными массами. Отличие от изотропной системы здесь ока-
оказывается принципиальным.
§ 7. Одновременное действие нескольких механизмов рассеяния
В реальных условиях опыта могут одновременно играть роль
несколько механизмов рассеяния. Поэтому возникает вопрос о вы-
вычислении подвижности и других кинетических коэффициентов
при одновременном действии нескольких таких механизмов.
Будем считать известными вероятности перехода для каждого
механизма рассеяния в отдельности. Обозначим их через г?5,- (р, р'),
где индекс i нумерует различные механизмы. Допустим, далее, что
процессы рассеяния, связанные с различными механизмами, пред-
представляют собой независимые события. Тогда, интересующая нас
полная вероятность рассеяния дается суммой
&<Р, Р') = 11^(Р, Р'). GЛ)
Это соотношение справедливо независимо от того, можно ли ввести
соответствующее время релаксации для того или иного механизма
рассеяния; оно не зависит также от каких-либо предположений
относительно изотропии системы. Если можно ввести времена ре-
релаксации т; (Е), то из равенства G.1) вытекает правило сложения
обратных времен релаксации:
1 ч1 ! п о\
Действительно, согласно формуле (XIII.6.12) обратное время ре-
релаксации т,1 линейно выражается через вероятность соответствую-
соответствующего перехода.
Иногда вместо формулы G.2) пользуются соответствующим
соотношением для обратных подвижностей:
У П1'\
Здесь \i — наблюдаемая на опыте подвижность дрейфа, a щ — под-
подвижность, которая наблюдалась бы, если бы имел место только i-fi
механизм рассеяния. Следует, однако, иметь в виду, что равенство
G.2') эквивалентно G.2) только в очень специальном случае, когда
все времена т* не зависят от энергии. Как правило, времена релакса-
релаксации от энергии зависят и соотношение G.2'), строго говоря, не выпол-
выполняется. В зависимости от конкретных условий опыта ошибка при
его использовании может достигать 40—50%.

S 7]
ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ НЕСКОЛЬКИХ МЕХАНИЗМОВ
485
20000
Как видно из формулы G.2) (и очевидно заранее), главную роль
играет тот механизм рассеяния, которому соответствует наименьшее
время релаксации (и, следовательно, наименьшее значение подвиж-
подвижности). При изменении тем-
температуры относительная
роль различных механиз-
механизмов может меняться. Так,
в германии при комнатной
температуре и концентра-
концентрации примеси, не большей
примерно 1016 см, глав-
главную роль играет рассея-
рассеяй
1016 см
играет
ние носителей заряда аку-
акустическими фононами. К
нему, добавляется рассея-
рассеяние неполярными оптиче-
оптическими фононами. Легко ви-
видеть, что последнее приво-
приводит к усилению темпера-
температурной зависимости под-
подвижности. В самом деле,
соответствующая вероят-
вероятность рассеяния обратно
пропорциональна числу
фононов
<7-3>
го
АО 60 WO 200 400 600
г,к
Рис. 14.1. Температурная зависимость хол-
Как уже отмечалось,
для оптических фононов в
германии при комнатной
температуре аппроксима-
аппроксимация D.14) еще неприме-
неприменима. По этой причине тем-
температурная зависимость
подвижности, связанной с
рассеянием только на оптических фоноиах, оказывается более
резкой, нежели выражаемая формулой F.2). Видимо, по этой при-
причине наблюдаемые на опыте подвижности электронов и дырок в этой
области температур выражаются эмпирическими формулами
ловской подвижности электронов в кремнии,
легированном мышьяком. Справа и слева от
максимума доминирует, соответственно, рас-
рассеяние на акустических фононах и на заря-
заряженной примеси.
Различие показателей степени для электронов и дырок может быть
обусловлено разными значениями соответствующих' акустических
и оптических потенциалов деформации, Аналогично обстоит дело
и в кремнии.

486
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ В НЕИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ [ГЛ. XIV
При понижении температуры подвижность носителей заряда
увеличивается, пока не начнет превалировать рассеяние на заря-
заряженной примеси (в германии при Nt cz Ю15 см это происходит
в области азотных температур). Далее подвижность начинает уже
уменьшаться вместе с температурой, подчиняясь закону F.3'), пока
не начнет заметно изменяться концентрация заряженной примеси.
Коль скоро роль последней играют мелкие доноры или акцепторы,
зависимость Nt (T) в германии и кремнии становится заметной при
температурах, близких к водородной (гл. V). При дальнейшем
понижении температуры в отсутствие компенсации концентрация
•55.
4000
\ 3000
2000
1000
500
44
•mm
•mm
18
¦¦«
—.
->¦«
3,5
¦>,
¦Ma
s
\
\
4
p, Ом-см
0,07
\
)(
4
f
f
2 5 Z S Z S 2 5 2 5
2,2
2,0
m
13
ia's iow ю"
Рис. 14.2. Зависимость подвижностей электронов и дырок
в р-германии от концентрации примеси (Г = 300°К).
заряженной примеси начинает уменьшаться, а нейтральной — по-
повышаться, в результате чего наиболее существенным может стать
рассеяние на нейтральных атомах примеси.
Таким образом, зависимость подвижности от температуры дол-
должна изображаться кривой с максимумом, положение которого само
зависит от концентрации примеси. На рис. 14.1 представлена тем-
температурная зависимость холловской подвижности цн электронов
в кремнии, легированном мышьяком *) (отличие холловской под-
подвижности от дрейфовой, определяемой формулами F.1)—F.3'),
здесь несущественно: в условиях, когда доминирует лишь один
механизм рассеяния, цн отличается от \i только постоянным мно-
множителем). При очень большой концентрации заряженной примеси
(нижняя кривая) рассеяние на ней доминирует даже при комнат-
комнатной температуре и максимум может и не наблюдаться.
*) По данным работы F. Т. Morin, I. P. Malta, Phys. Rev. 96, 28

§ 7] ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ НЕСКОЛЬКИХ МЕХАНИЗМОВ 487
На рис. 14.2 изображена зависимость подвижности электронов
в германии от концентрации заряженной примеси *). Как и сле-
следовало ожидать на основании формул F.2), F.3') и G.2), при доста-
достаточно малых значениях Nt подвижность практически не зависит от
концентрации примеси, а при повышении Nt начинает уменьшаться.
В соединениях типа AHIBV (в достаточно чистых образцах)
при комнатных температурах превалирует, по-видимому, рассеяние
носителей заряда поляризационными колебаниями решетки.
Помимо рассмотренных выше механизмов рассеяния при опреде-
определенных условиях может проявиться также рассеяние носителей
заряда на других дефектах решетки: дислокациях, границах зерен
(в поликристаллических образцах), а также просто на поверхности
образца. Последний эффект бывает заметен в образцах, размеры
которых (хотя бы в одном направлении) достаточно малы (пленки,
проволоки).
Особую роль играет рассеяние носителей заряда друг на друге.
Очевидно, в отсутствие перебросов в процессах такого типа полный
импульс системы электронов не изменяется; поэтому, в отсутствие
каких-либо иных механизмов рассеяния, сопротивление, связанное
с одними лишь электрон-электронными столкновениями, без про-
процессов переброса, было бы равно нулю (а подвижность — бесконечна).
Тем не менее эти столкновения влияют на подвижность, ибо приво-
приводят к перераспределению энергии и квазиимпульса между электро-
электронами. Последнее обстоятельство существенно потому, что времена
релаксации, связанные, например, с рассеянием на фононах или
на ионизованной примеси, зависят от энергии носителей заряда.
Таким образом, взаимодействие последних друг с другом, меняя
функцию распределения по энергиям, может увеличить или умень-
уменьшить интенсивность рассеяния. Так, согласно формуле E.19') на
заряженной примеси сильнее всего рассеиваются сравнительно
медленные электроны. При этом взаимодействие электронов друг
с другом, увеличивая процент медленных электронов, приводит
к уменьшению подвижности [4].
*) По данным работы М. Prince. Phys. Rev. 92, 681 A953) (русск. nep.i
ПСФ, вып. 2, ИЛ, 1955, стр. 40).

Глава XV
акусто-электронные явления
§ 1. Предварительные замечания
Взаимодействие колебаний решетки с электронами проводи-
проводимости проявляется не только в процессах рассеяния квазиимпульса
электронов на тепловых колебаниях решетки (гл. XIV), но и в том
случае, когда в кристалле распространяются введенные извне
упругие волны. В результате этого взаимодействия, с одной стороны,
изменяется поведение упругих волн в полупроводниках и, с другой
стороны, под действием волн возникают новые электронные про-
процессы.
Ниже мы рассмотрим три наиболее важных акусто-электронных
явления: 1) изменение скорости звуковых волн, 2) поглощение
звуковых волн и 3) акусто-электрический эффект. Последний за-
заключается в том, что, вследствие увлечения электронов проводи-
проводимости упругой волной, в полупроводнике возникает электродви-
электродвижущая сила.
Однако сначала мы должны остановиться на важном общем
вопросе о способе описания акусто-электронных явлений. Положим,
что звуковая волна, которую мы сейчас будем рассматривать как
поток фононов с энергией Йю и импульсом Тщ, распространяется
вдоль оси X. Рассмотрим, далее, взаимодействие одного электрона
с фононом, сопровождающееся поглощением фонона. Как было
показано в § XIV.4, при этом должны выполняться законы сохра-
сохранения квазиимпульса и энергии, При изотропном параболическом
законе дисперсии это дает
A.1)
Здесь рхх и рх2 — проекции импульса электрона на направление
волны до и после взаимодействия. Подставляя в формулу A.2)
рхг из формулы A.1) и учитывая, что ы/q есть фазовая скорость
волны, обозначаемая в этой главе через vs, получаем
O. A.3)

5 1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
489
Отсюда следует, что взаимодействовать с решеткой могут только
те электроны, импульс которых удовлетворяет условию
I
pxl = tnvs — ^Hq. A.4)
Его лоясняет рис. 15.1, где изображено сечение «плоскости взаимо-
взаимодействия» рх1 — const плоскостью рисунка и показано расположе-
расположение векторов р и q. Аналогично, при
испускании одного фонона концы век-
векторов р должны лежать ца плоско-
плоскости взаимодействия р?2 = const, где
px-2 = tnvs-\--jHq. A.4а)
В этом описании мы не учитывали
того, что, помимо взаимодействия со
звуковой волной, электроны могут
еще рассеиваться на тепловых коле-
колебаниях решетки, на ионизованных
примесях и вследствие других процес-
процессов (гл. XIV). Иными словами, мы
рассматривали электронный газ в кри-
криPxl WVS Px2
Рис. 15.1. Элементарный акт
сталле как бесстолкновительную плаз- взаимодействия ^электрона и фо-
му. Однако, как мы сейчас увидим, нона-
это можно сделать лишь в том слу-
случае, когда частота звуковой волны достатбчно велика. Для низких
же частот звука такое описание невозможно вследствие квантово-
механического соотношения неопределенности. Действительно, ес-
если х есть время свободного пробега электрона, то его энергия опре-
определена лишь с точностью
АЕ~П/т. A.5)
Поэтому вместо формулы A.3) мы должны писать
Соответственно этому возникает и неопределенность импульса
A.4) взаимодействующих электронов
Ap.v ~ — j- = —, A.7)
а плоскости взаимодействия на рис. 15.1 размываются в полосы
шириной — Арх. Очевидно, что если
то о взаимодействии индивидуальных электронов говорить уже
нельзя и приближение бесстолкновительной плазмы становится

490 АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
неприменимым. В этом случае процессы имеют коллективный харак-
характер и со звуковой волной взаимодействуют сгустки объемного
заряда. При этом звуковую волну можно рассматривать как упру-
упругую волну в сплошной среде и для описания акусто-электронных
явлений пользоваться уравнениями электродинамики и механики
сплошных сред (гидродинамическое описание).
Так как в наших рассуждениях составляющие импульса ри
и рг произвольны, то максимальное значение рх имеет порядок р.
Учитывая, далее, что рх/т = у^т = /, где / — длина свободного
пробега электронов, находим из соотношений A.7) и A.8) условие
возможности гидродинамического описания:
ql<l. A.9)
В случае обратного неравенства, напротив, гидродинамическое
описание становится непригодным и мы должны рассматривать
взаимодействие отдельных электронов и фононов.
При комнатных температурах обычно / ~ 10~5 -4- 10~6 см и поэ-
поэтому ql = 1 при q ~ 105 -г- 106 см. Так как скорость звука vs ~
— 105 см/с, то это соответствует частоте со = qvs ~ 1010 -f- 1011 с,
или числу колебаний в секунду со/2л —109 -f- 1010 Гц. Таким образом,
гидродинамическое описание оказывается справедливым вплоть до
очень высоких частот, порядка гигагерц,
§ 2. Взаимодействие упругих волн с электронами
проводимости
1. В акусто-электронных явлениях обычно приходится учиты-
учитывать два основных типа взаимодействия электронов со звуковой
волной: обусловленное потенциалом деформации (§ XIV, 3) и вы-
вызываемое электрическим полем пьезоэлектрического эффекта. Оба
эти типа взаимодействия были уже рассмотрены в гл. XIV. Однако
сейчас нас будет интересовать гораздо более простой случай, когда
в кристалле имеется лишь одна волна, которую для определенности
мы будем считать продольной. Далее, мы положим, что волна рас-
распространяется вдоль какой-либо оси симметрии кристалла, и, соот-
вественно, будем считать, что все векторные величины направлены
вдоль этой оси и зависят только от одной координаты х (и от време-
времени f). Тогда для изменения энергии электрона АЕ при деформации и
вместо формулы (XIV.3.5') мы будем иметь простое соотношение
А? = ?1и, B.1)
в которое входит лишь одна компонента потенциала деформации ?х.
Соответственно сила, действующая на электрон, равна
р ЭЛЕ р ди „ d2Q ,0 0,

§ 2] УПРУГИЕ ВОЛНЫ И ЭЛЕКТРОНЫ ПРОВОДИМОСТИ 491
где Q — смещение рассматриваемой точки..Эта сила имеет неэлек-
неэлектростатическое происхождение и должна учитываться как сторонняя
(или электродвижущая) сила. Напряженность поля этих сторонних
сил 8* (сила на единицу положительного заряда) есть
Г=4?. B.3)
Формула для электростатической индукции при учете пьезо-
пьезоэлектрического эффекта имеет вид (XIV.3.21)
& = е&-Щи. B.4)
Здесь E — соответствующая компонента пьезоэлектрического мо--
дуля, а —Р[х = а/5 есть электрический момент единицы объема,
возникающий при деформации.
Наряду с прямым пьезоэлектрическим эффектом, выражаемым
формулой B.4) (возникновение поляризации при деформации),
необходимо также учитывать и обратный эффект (появление дефор-
деформации или, соответственно, механических напряжений при-поляри-
при-поляризации). Поэтому, если s—механическое напряжение (в нашем
случае сила в направлении X, рассчитанная на единичную площадку
с нормалью по оси X), а Л — модуль упругости, то, согласно
(XIV. 3.22),
s = A« + pg, B.5)
где второе слагаемое справа описывает обратный пьезоэлектричес-
пьезоэлектрический эффект.
Оценим теперь порядок величины обоих взаимодействий. Для
этого положим, что в диэлектрическом кристалле распространяется
гармоническая волна деформации
и = иг exp [i (qx — at)]. B.6)
Так как в диэлектрике, согласно уравнению Пуассона,
div3) = 0,
то Я) = const. Тогда из B.4) следует, что переменное электрическое
поле g, вызываемое пьезоэлектрическим эффектом, равно
* = *?«. B-7)
С другой стороны, плотность потока энергии в волне (интенсивность
звука) есть
l = \hu\vs. B.8)
Отсюда можно найти амплитуду поля §х при заданной интенсив-
интенсивности звука. Это поле в сильных пьезоэлектриках, каковыми яв-
являются, например, кристаллы соединений AHBV1 (CdS, ZnS и др.),

492 АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
может быть весьма значительным. Принимая для оценок типичные
значения: Л ~ 1012 дин/см2, е -~ 10, vs ~ 105 см/с и | р | ~ 105 ед.
СГСЭ, по формулам B.7) и B.8) мы находим, что при / ~ 1 Вт/см2 ^
— 10' эрг/см2-с амплитуда деформации иг ~ 10~б -г- 10, а I может
достигать нескольких ед. СГСЭ, или ~ 103 В/см.
Для взаимодействия через, потенциал деформации из B.3) и B.6)
получается
g* = i --1 qu = i —l- (ли. B.9)
6 COe ^ '
Отношение величин обоих полей равно
i*
B.10)
Отсюда видно, что относительная роль деформационного взаимо-
взаимодействия тем больше, чем больше частота со. Так как Ег обычно имеет
порядок 1 -*¦ 10 эВ (~102 эрг), то, используя прежние оценочные
значения E, е и vs, мы находим по формуле B:10), что \Ъ | = \Ъ*\
при со ~ 1012 с. Следовательно, при частотах колебаний со/2я <^
< 1011 Гц в пьезоэлектрических кристаллах деформационным вза-
взаимодействием можно пренебречь по сравнению с пьезоэлектрическим.
2. В дальнейшем мы сначала рассмотрим случай этих «низких»
частот звука и пьезоэлектрических кристаллов. В соответствии со
сказанным выше мы будем учитывать только пьезоэлектрическое
взаимодействие и пользоваться гидродинамическим описанием
(ql <^ 1). Кристаллы будем считать имеющими электронную про-
проводимость и влиянием дырок будем пренебрегать. Постоянные зна-
значения величин в отсутствие волны будем отмечать индексом «0».
Тогда для определения электрических и механических величин мы
имеем следующую систему уравнений. Выражение для плотности
тока
^r B.11)
и уравнение непрерывности
Здесь
ns = h-\-ht B.13)
есть полная концентрация избыточных электронов, которая скла-
складывается из концентрации в зоне п и концентрации электронов,
связанных на ловушках, щ. Отметим, что отношение концентраций
-И B-14)
Щ.

$ 3] УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ПЬЕЗОДИЭЛЕКТРИКАХ 493
в литературе часто называют «фактором прилипания электронов»
на ловушки. Далее, мы имеем уравнение Пуассона
- = -4nenst B.15)
два пьезоэлектрических соотношения
# § B.16)
B.17)
и, наконец, механическое уравнение движения среды
где р — плотность среды.
Для определения связи между концентрациями п и щ (или,
что то же, фактора прилипания /) необходимы еще уравнения кине-
кинетики захвата электронов на примесные центры, рассмотренные
в § IX.4. Для простейшего случая центров прилипания одного типа
соответствующее уравнение имеет вид
~jjf- = ап («0 + п) {Nt - п1й - fit) - antix (ni0 + nt), B.19)
где Nt, ан и пу имеют тот же смысл, что и в § IX.4. При этом фактор
прилипания в общем случае оказывается комплексным (что указы-
указывает на сдвиг фаз колебаний п и nsj и зависящим от частоты волны со.
Однако положение существенно упрощается, если сот <^ 1, где т —
время жизни электронов в зоне. В этом случае ловушки успевают
«следить» за изменениями п и / становится постоянным числом, за-
зависящим от состава кристалла и температуры.
Отметим в заключение, что, записывая уравнение движения
в форме B.18), мы не включили в него силы «трения», всегда сущест-
существующие в реальных кристаллах. Этим мы исключили поглощение
волны самой решеткой кристалла, которое, в случае необходимости,
должно быть учтено дополнительно.
§ 3. Упругие волны в пьезодиэлектриках
Рассмотрим теперь особенно простой случай, когда упругая
волна распространяется в непроводящей пьезоэлектрической среде
(п = nt = Ях = 0). Тогда уравнение B.15) дает §& = const = 0
(так как # может быть постоянным, только если оно равно нулю),
а из B.16) получается
ди _ Anf, &Ч}
~ д '
_
дх ~ е дх ~ е дх2

494 АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
Подставляя это в уравнение движения B.18), мы находим
дЮ А п , ^2\ d2Q /0 1ч
dtz р дхг v
где
К2=^. C.2)
Соответственно, дифференцируя обе части уравнения C.1) по х и
заменяя в нем dQ/dx на и, получаем уравнение, описывающее рас-
распространение деформации:
-^г = —A+л)-5-»-. C.3)
Мы получили обычное волновое уравнение. Одно из его решений
есть плоская волна, описываемая формулой B.6). Фазовая скорость
волны vs дается выражением
р
где vl0 = Л/ р есть квадрат скорости волны в отсутствие пьезоэле-
пьезоэлектрического взаимодействия. Мы видим, что в пьезоэлектрической
среде скорость волны увеличивается в V 1 -\-К2 раз. Можно также
сказать, что в этом случае упругие свойства среды описываются
измененным, или эффективным, модулем упругости, равным
Л' = ЛA+/С2). C.5)
Безразмерная постоянная К носит название константы электро-
электромеханической связи. Она определяет влияние пьезоэлектрического
эффекта на распространение упругих волн. Величина К у сильных
пьезоэлектриков (например, соединений типа А11 — BVI) имеет
порядок 0,1,
§ 4. Упругие волны в пьезоэлектрических полупроводниках
Если электропроводность среды не равна нулю, то необходима
вся система уравнений B.11)—B.19). Она содержит нелинейные
уравнения B.11) и B.19), и ее решение в общем случае сложно.
Поэтому мы ограничимся случаем малых колебаний и будем пре-
пренебрегать теми членами, которые содержат произведения малых
переменных величин (при этом интенсивность волны может быть
совсем не малой с точки зрения практических применений). Далее,
чтобы упростить расчеты, мы сначала 1) пренебрежем диффузией
и 2) положим, что прилипания электронов нет (/ = 1, hs = п).

§ 4) УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ПЬЕЗОПОЛУПРОВОДНИКАХ 495
Тогда мы получим систему линеаризованных уравнений
), D-1)
D.3)
D.4)
D.5)
D-6)
Положим, далее, что в кристалле распространяется плоская волна
деформации B.6). При этом мы будем считать со вещественным,
но q — комплексным, так как вследствие взаимодействия волны
с электронами ее амплитуда изменяется. Так как теперь уравнения
линейны, то и все другие величины будут изменяться по такому же
закону:
§ ~ exp [i (qx — at)] и т. д. D.7)
Поэтому, подставляя D.7) в уравнения D.1) — D.6), мы получим
систему алгебраических уравнений
+ / =0, D.8)
(лей + q] =0, D.9)
Anen A-iqB = 0, D.10)
— eg +# -f4nPu = 0, D.11)
-Pi -fs -Лы = 0, D.12)
q4 -рсо2н = 0. D.13)
Дальше задача решается-стандартным методом теории колебаний.
А именно, так как уравнения D.8)— D.13) линейные однородные,
то условие существования ненулевых решений, как известно, есть
равенство нулю детерминанта коэффициентов этой системы. Это
дает соотношение между со и q:
F(«>, 0 = 0, D.14)
или закон дисперсии. Выражая отсюда q, мы получим его ком-
комплексным:
q — к (со) -|-1 ' ' . D.15)

496 АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
Подставляя это в формулу B.6), мы будем иметь
11 = 11! ехр | — " ух -\- i (кх — о)/)|, D.16)
что выражает затухающую плоскую волну. Отсюда видно, что
коэффициент затухания амплитуды волны у/2 и скорость ее распро-
распространения us получаются непосредственно из дисперсионного урав-
уравнения по формулам
Однако мы не будем вычислять детерминант системы, а для полу-
получения дисперсионного уравнения будем последовательно исключать
различные переменные. Это позволит нам получить промежуточ-
промежуточные соотношения, описывающие колебания различных электриче-
электрических величин, полезные для физической интерпретации резуль-
результатов.
Введем для краткости обозначение
4 = 1+-^. D-18)
Здесь —[х&о есть дрейфовая скорость электронов vd в постоянном
внешнем поле. Далее, учтем, что даже в сильных пьезоэлектриках
мы имеем у <^,х (это обозначает, что относительнее' изменение
амплитуды на пути в одну длину волны много меньше единицы).
Поэтому в выражении D.18) можно заменить q на к и считать
w/<7 — vs. Следовательно,
.л=1—Hi, D.19)
где Vd считается положительным, когда электроны движутся в ту
же сторону, что и волна. Тогда, исключая / из уравнений D.8) и
D.9), мы получим
Я=-2Н D-20)
где <т0 = e\in0, а исключая из тех же уравнений п, найдем
Далее, исключим из уравнений D.10) и D.11) Ш. Это дает
По формулам D.20) и D.22) можно выразить Я и § как функции
деформации. Тогда для I получается

§ 4] УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ПЬЕЗОПОЛУПРОВОДНИКАХ 497
Здесь Tju = е/4я<т0 есть максвелловское время релаксации. Исклю-
Исключим, наконец, s из последней пары уравнений D.12) и D.13). Это
приводит к соотношению
(рсо2-<72Л)и-<72Р§ = 0. D.24)
Выражая здесь I через и по формуле D.23), мы получаем оконча-
окончательно
где ЛГ2 — квадрат константы электромеханической связи C.2).
Отсюда следует, что выражение в фигурных скобках равно нулю,
что и дает дисперсионное соотношение
PgL!. D.25)
Л
Это соотношение можно упростить. Так как /С2 <J 1, то с хоро-
хорошим приближением можно положить
Л V
1 _
Отсюда, с тем же приближением, имеем
Тогда по формулам D.17) находим для коэффициента поглощения
„, D-27)
где о,о —'КЛ/р.. Фазовая скорость волны оказывается равной
Остановимся теперь подробнее на поглощении волны. Удобно
исследовать поведение коэффициента поглощения, выраженного
в единицах /B(о/ум. Из формулы D.27) видно, что он зависит от
частоты со и TM (т. е. от электропроводности кристалла), причем
обе эти величины входят только в виде произведения. Если внеш-
внешнего электрического поля нет (vd = 0, ц = 1), то величина yvs0/K2(>>

498
АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XV
имеет максимум при wxM = 1. При этом
7max= 1-K2 — . D.23)
Зависимость v/Vmax от «тд! для случая vd = О показана на рис. 15.2.
Однако наиболее интересная особенность поведения у заклю-
заключается в его зависимости от внешнего поля. Характер этой зави-
зависимости показан на рис. 15.3. Когда электроны и волны движутся
Рис. 15.2. Зависимость электронного
коэффициента поглощения звука от
сот/до без внешнего поля.
Рис. 15.3. Зависимость электронною
коэффициента поглощения звука от
дрейфовой скорости электронов.
в одинаковом направлении (vd/vs > 0), при vd > vs в формуле D.27)
ц изменяет знак и у становится отрицательным. Это значит, что
волна не затухает, а усиливается сверхзвуковым дрейфом элект-
электронов.
Физический смысл этих явлений поясняет рис. 15.4, где пока-
показано мгновенное распределение в пространстве различных электри-
электрических величин. Упругая волна вызывает колебания электроста-
электростатического потенциала ср и потенциальной энергии —ец> электронов.
В проводящих средах это приводит к перераспределению электро-
электронов, т. е. к экранированию поля, в результате чего образуются
электронные сгустки п. Если бы волна не двигалась, эти сгустки
были бы на дне потенциальных ям. В движущейся волне сгустки
расположены на склонах ям. Образование электронных сгустков
сопровождается возникновением переменных токов / и электриче-
электрических полей I. В результате этого в каждой точке кристалла выде-
выделяется дополнительная мощность, которая, в расчете на единицу
объема, есть
Оо +/) feo +1) - /о&о = &о/ + iol +]!•
Среднее ее значение равно (/§), так как (/> = (!) = 0. Если
vd < vs (т. е. у] > 0), то электроны отстают от звуковой волны и

§4]
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ПЬЕЗОПОЛУПРОВОДНИКАХ
499
группируются на заднем фронте потенциальных ям (рис. 15.4,
слева). Согласно формуле D.21) колебания / и I находятся в фазе
и </8) положительно. Эта мощность заимствуется от волны, что
и приводит к ее затуханию. Если же vd > vs, то электроны, напро-
напротив, опережают звуковую волну и электронные сгустки распола-
располагаются на переднем фронте потенциальных ям (рис. 15.4, справа).
Колебания / и § находятся в противофазе (формула D.21) при
т) < 0), и поэтому (/ й) отрицательно. Это значит, что теперь волна
¦ *~vd
JS
о
lA-AAA
\f\J\J\.
Рис. 15.4. Колебание потенциала ф, поля g, тока /
и мощности / & при уд < у, (слева) и у^> vs (справа).
уже не передает свою энергию, а получает ее от дрейфующих элект-
электронов. Усиление волны происходит за счет энергии источника тока,
поддерживающего дрейф электронов и совершающего дополнитель-
дополнительную работу на преодоление тормозящих сил со стороны звуковой
волны.
Напомним, что у есть электронный коэффициент поглощения
волны, обусловленный только ее взаимодействием с электронами.
Так как имеется еще и поглощение волны самой решеткой, харак-
характеризуемое некоторым решеточным коэффициентом поглощения 7реш.
то суммарный коэффициент поглощения волны равен (у + 7реш).
а условие ее усиления есть (у -f- 7реш) < 0-
Выше мы везде пренебрегали диффузией электронов. Если бы
мы не вычеркнули в формуле B.11) последнее слагаемое, то,

500 АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
рассуждая, как и прежде, мы получили бы для коэффициента
поглощения более сложное выражение:
Здесь LD — длина экранирования Дебая, выражаемая форму-
формулой (VI.7.2), а ^о = ft>/wi0 = 2яА3, где ^3— длина звуковой волны.
.Сравнивая формулы D.27) и D.30), мы. видим, что диффузия умень-
уменьшает у. Это и понятно, так как диффузия противодействует группи-
группировке электронов. Далее, из этих формул видно, что учет диффузии
становится существенным, если только <ftLf>J>l, или, иначе,
когда ^з <Х/> Выбирая для п0 даже не очень большое значение
~1012 -г- 1013 см, мы имеем LD ~ 10~4 -г- 10~5 см. Учитывая затем,
что vsn ~ Ю5 см/с, мы находим, что qnLD ~ 1 при частоте со — 10° -*-
-=- Ю10 с. Таким образом, вплоть до очень высоких частот влия-
влиянием диффузии можно пренебречь.
Если бы мы учли еще и прилипание электронов, считая фактор
прилипания "/ вещественным и постоянным («быстрые» ловушки),
то мы получили бы прежние формулы D.27) или, соответственно,
D.30), однако, в выражении для ч\ D.19) под va следовало бы пони-
понимать —f\ii>0, а длину Дебая LD нужно было бы заменить на jLD
[3, 41.
§ 5. Электронное поглощение и усиление
ультразвуковых волн
Остановимся теперь на экспериментах по электронному погло-
поглощению и усилению упругих волн. При звуковых частотах эти
эффекты очень малы. Однако так как Ymax увеличивается с частотой
(ср. D.29)), то при частотах со/2я >; 1 -н 10 МГц (ультразвуковые
волны) они становятся легко измеримыми.
Чтобы оценить порядок ожидаемых величин, рассмотрим кон-
конкретный пример сильного пьезополупроводника — сульфида кад-
кадмия (CdS). Его пьезоэлектрические свойства таковы, что если волна
распространяется в направлении гексагональной оси С, то только
продольные колебания оказываются пьезоэлектрически активными.
Напротив, при распространении волны перпендикулярно оси ¦ С
активной является только поперечная волна, в которой смещение
параллельно С. Интересующие нас константы при 300 К имеют
следующие значения:
CdS
К2
vSo, см/с
Продольная
волна
0,08
4,3 • 105
Поперечная
волна
0,036
1,7 ¦ 10«

S 5]
ЭЛЕКТРОННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА
501
Положим, далее, а = 10~4 Ом • см, что для CdS соответствует
хм = 1,2-10"8 с. Тогда при частоте со/2я = 30 МГц (при которой
можно еще пренебречь влиянием диффузии) для продольной волны
по формуле D.29) мы находим
CM"
Укажем для сравнения, что в CdS на этой же частоте урсш =
= 0,07 см, т. е. пренебрежимо мало по сравнению с у *). Тогда
при длине пластинки 0,5 см интенсивность волны должна усили-
усиливаться в ехр @,5-18) ~ Ю4 раз. Это максимальное усиление
Ощ
о
f
А
п,
Б
шЛ
Б
/7
_г
Рис. 15.5. Измерение электронного поглощения и
усиления упругих волн в полупроводниках. А —
аттенюаторы, Осц — осциллограф.
будет при tj = —1/о)тл = —0,44, что соответствует' valvs — 1 —
— т] == 1,5. При подвижности электронов ц = 200 см2/с-В для
создания такой дрейфовой скорости необходимо . электрическое
поле g0 = 3,2 кВ/см. При больших частотах ожидаемое усиление
(поглощение) будет еще больше.
Схема типичного опыта для исследования электронного погло-
поглощения и усиления ультразвука показана на рис. 15.5. Здесь Ях и
Я2 — электромеханические преобразователи для генерации и реги-
регистрации ультразвуковых волн. В простейшем случае это пьезо-
пьезоэлектрические пластинки (например, из кристаллического кварца),
ориентированные должным образом, грани которых металлизи-
металлизированы. При подаче на эти грани переменного напряжения с ча-
частотой, совпадающей с одной из собственных частот пластинки,
в ней возникают механические колебания вследствие обратного
*) Однако следует иметь в виду, что Ypem ~ со2, и поэтому при более высоких
частотах решеточное поглощение может стать заметным.

502 АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
пьезоэлектрического эффекта, и она становится источником ультра-
ультразвуковых волн. И обратно, при прохождении волны через преоб-
преобразователь на обкладках появляется переменное электрическое
напряжение в результате прямого пьезоэлектрического эффекта,
пропорциональное амплитуде деформации в волне. О — исследуе-
исследуемая пластинка пьезополупроводника, грани которой также метал-
металлизированы. К ним прикладывают постоянное электрическое
напряжение, создающее тянущее поле 80. Для уменьшения нагрева-
нагревания кристалла это поле создают обычно в виде коротких импуль-
импульсов A -н 10 микросекунд). Между преобразователями и образцом О
часто вводят еще диэлектрические звукопроводы — буферы Б,
вызывающие контролируемое запаздывание звуковой волны. Это
позволяет отделить во времени импульс, создаваемый в приемном
преобразователе звуковой волной, от возможной радиопомехи,
наводимой напряжением на излучающем преобразователе. В по-
подобных опытах особенно удобно исследовать фотопроводящие пьезо-
пьезоэлектрические кристаллы. Тогда, меняя интенсивность освещения,
можно изменять в широких пределах электропроводность кристалла
и исследовать влияние электропроводности (тм) на поглощение и
усиление волн.
Такие опыты показывают, что вследствие взаимодействия с эле-
электронами интенсивность волн может изменяться во много тысяч
и даже десятков тысяч раз. Так, например, высокоомные фоточув-
фоточувствительные кристаллы CdS, которые при частотах порядка 10 -т-
-г- 100 МГц практически не поглощают волн, при освещении ста-
становятся совершенно непрозрачными для ультразвука. При нало-
наложении на кристалл постоянного напряжения, большего чем кри-
критическое, сильное поглощение сменяется большим усилением.
Наблюдаемые значения у в широком интервале изменения интен-
интенсивности хорошо согласуются с формулой D.30).
Однако это, конечно, не значит, что, увеличивая длину кристалла,
можно усилить волну в любой степени. Когда интенсивность волны
становится очень большой, возникают различные нелинейные эф-
эффекты (не учтенные в приведенной выше линейной теории), которые
ограничивают максимальное усиление. Один из таких эффектов
заключается в том, что концентрация электронов в сгустках п
становится сравнимой с первоначальной концентрацией п0 и в конце
концов все электроны переходят в сгустки. После этого поле §
уже не вызывает токов /, и при дальнейшем распространении волны
она перестает усиливаться.
§ 6. Акусто-электрический эффект
При поглощении упругих волн на электронах проводимости
в кристалле возникает электродвижущая сила и между разомкну-
разомкнутыми гранями кристалла появляется разность потенциалов

6]
АК.УСТО-ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ
503
(рис. 15.6). Если нанести на грани металлические контакты, то при
их замыкании в цепи возникнет электрический ток. При перенесении
источника волн на противоположную грань кристалла, т. е. при
изменении направления волны
на противоположное, эдс изме-
изменяет знак и, соответственно, на-
направление тока меняется на об-
обратное.
Общая причина этого эффек-
эффекта состоит в том, что упругая
волна несет с собой определен-
определенный механический импульс. При
С\)
Рис. 15.6. Акусто-электрический эф-
эффект. Знак заряда граней показан для
полупроводника и-типа.
поглощении волны ее импульс
передается электронам проводи-
проводимости, что приводит к появле-
появлению некоторой средней силы, действующей на электроны, направ-
направленной в сторону распространения волны. Следовательно, акусто-
электрический эффект можно описать как увлечение электронов
звуковой волной.
Найдем величину акусто-электрической эдс. Наиболее просто
это можно сделать, если воспользоваться общим соотношением
между интенсивностью волны, т. е. плотностью потока энергии /,
и переносимым ею механическим импульсом Р (рассчитанным, как
и /, на единицу площади и единицу времени):
Р-7ГЧ1-
F.1)
Здесь qx — единичный вектор в направлении волны. Это соотно-
соотношение получается непосредственно, если рассматривать волну как
поток фононов, каждый из которых несет энергию Ла> и импульс/Ц,
и учесть, что a/q = vs. Однако формула F.1) в действительности
не связана с квантовыми свойствами волн (что видно хотя бы из
того, что в окончательном результате % выпадает). Рассмотрим
теперь внутри кристалла бесконечно тонкий слой толщиной dx,
перпендикулярный qlr и с единичной площадью. В этом слое в еди-
единицу времени поглощается энергия yl dx, и он, согласно F.1),
получает импульс (у/ dxlvs) q2. Этот импульс равен силе, действую-
действующей на п0 dx электронов внутри слоя. Поэтому, если Рхесть средняя
сила на один электрон, мы имеем
yl dx „ ,
^ 4 F" d
Вводя сюда напряженность поля сторонних сил

504 АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
(силу на единицу положительного заряда), мы получаем оконча-
окончательно
L __m^_ F2)
enovs nl aovs
В этих рассуждениях мы считали, что прилипания электронов
на ловушки нет. Если прилипание есть, то, как уже говорилось
в § 4, вместо (j, следует подставить* f\i, где / — фактор прилипания
(^1). Поэтому в F.2) войдет дополнительный множитель /.
Полная эдс в пластинке длиной d равна
d d
Vo = С g* dx = &*_ С l@)e-<-v+yp™)xdx =
J °QVS J
0 0
= _jM: Л [7@)-/(d)l. F.3)
<VS 7 + Ypon l v ' WJ y '
Такая же разность потенциалов будет между концами пластинки,
если внешняя цепь разомкнута.
Найдем еще ток короткого замыкания. Будем считать, что волна
поглощается слабо. Тогда можно положить
/ @) - / (d) ~ / @) - / @) [1 - (у + Ypeiu) d) = (у + Vpem) Id
и
V°~ I o0vs d-
Так как сопротивление пластинки есть R = d/anS, где S — сече-
сечение пластинки, то для плотности тока короткого замыкания
Знак минус в формулах F.2) и F.4) вошел потому, что мы вели
рассуждения для электронов. Он обозначает, что отрицательные
электроны, увлекаясь волной, создают ток, текущий противопо-
противоположно направлению распространения волны. Если бы мы- имели
полупроводник р-типа, то положительные дырки также увлекались
бы в направлении волны. Однако в этом случае направление тока
совпадало бы с направлением увлечения и в формулы вошел бы
знак плюс.
Так обстоит дело, если скорость дрейфа электронов vd = 0,
или va <; vs. При vd > vs вместо поглощения волны происходит ее
усиление и у изменяет знак. При этом направление jae изменяется
на обратное.
Мы получили выражения для акусто-электрических тока и на-
напряжения из общих феноменологических рассуждений. Эти же соот-
соотношения можно получить и другим путем, анализируя токи и поля,
возникающие в кристалле под действием звуковой волны.

S 7] СЛУЧАЙ ql > 1 505
Оценим еще величину эдс акусто-электрического эффекта. Поло-
Положим в формуле F.3) / (d) <: / @), уреш <; у, f = 1. Примем, далее,-
|х~102 см2-с-В (что типично, например, для сульфида кадмия
при комнатных температурах) и а~-10"*Ом~1-см. Тогда, учитывая,
что vs ~ 105 см-с, мы находим, что при / @) ~ 1 Вт-см^эдс Vo
имеет порядок 10 В.
Отметим в заключение, что эффект увлечения электронов воз-
возникает не только при воздействии звуковых волн, но и при погло-
поглощении волн других типов, если только эти волны переносят энер-
энергию и импульс и взаимодействуют с электронами проводимости.
В частности, это имеет место при поглощении электромагнитных
волн радиог- и светового диапазонов (радиоэлектрический эффект).
Однако в этом случае в формулу F.1) вместо vs входит скорость
света с, которая примерно в 106 раз больше, и поэтому возникающая
эдс, при прочих равных условиях, оказывается намного меньше.
§ 7. Случай ql > 1
Выше мы считали, что выполняется неравенство ql <^ 1 («низ-
(«низкие» частоты), и, соответственно, пользовались гидродинамическим
описанием явлений. Сейчас мы обратимся к противоположному
случаю и, соответственно, будем рассматривать взаимодействие
одного электрона и одного фонона. Тогда поглощение и усиление
звука можно описать следующим образом. Как мы видели в § 1,
для возможности поглощения или испускания фонона импульс
электрона рх до взаимодействия должен удовлетворять условию
A.4) или, соответственно, A.4а). При этом вероятности прямого
элементарного акта (поглощения фонона) и ему обратного (испу-
(испускания фонона) одинаковы. Однако частота таких элементарных
актов (в единице объема и в единицу времени) будет различна.
Действительно, частота переходов {рх1 .-> pxi) с поглощением фо-
фонона будет пропорциональна, во-первых, вероятности f1 заполнения
исходных квантовых состояний электронов с импульсом рх1 и, во-
вторых, вероятности A — /2) того, что конечные квантовые состоя-
состояния не заняты электронами. Аналогично, частота обратных перехо-
переходов (рх2 -> рх1) с испусканием фонона будет пропорциональна
/г A — /i)- Коэффициент поглощения волны у пропорционален сум-
суммарной частоте поглощения фононов, т. е.
Если скорость дрейфа v(i = 0, то /х и /2 выражаются функцией
Ферми. В случае изотропного параболического закона дисперсии
она зависит от аргумента
u-El±fM±fL G 1)

506 АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
а для невырожденного полупроводника переходит в функцию Мак-
Максвелла — Больцмана
G.2)
Для дальнейшего мы учтем, что тепловая скорость электронов
vT ~ 107 см/с, в то время как vs — 105 см/с, а следовательно,
Р% 1 G-3)
2mkT ~ v-T
Поэтому с достаточной точностью можно положить
/х - /2)«= - /' iPxs) {-§t)Pxs to* - pi) = - /' (р**) -щ- пч- <7-4>
Здесь pxs = mvs, а через /' обозначена производная от f по аргу-
аргументу и.
Положим теперь, что электроны дрейфуют во внешнем электри-
электрическом поле в направлении оси X. Будем считать, что время релак-
релаксации импульса т слабо зависит от энергии электронов. Тогда всем
электронам можно приписать одинаковую подвижность \i — exlm
и одинаковую скорость дрейфа. Как будет показано в § XVI. 4,
при определенных условиях функция распределения по квази-
квазиимпульсам при наличии дрейфа зависит от аргумента
где р'х = mvd. В невырожденном полупроводнике мы получим «сме-
«смещенное» распределение Максвелла — Больцмана
Поэтому вместо формулы G.4) мы будем иметь
(/i - h)va=-r (pxs - px) Рх'7тРх %ч- G -7)
Для отношения коэффициентов поглощения волны при дрейфе
у (vd) и без дрейфа у @) получается
v (p«) (h-h)vd I p'x\ I va\
-ш = 1п=пг=вН1--р^гН1--*;)• G-8)
где обозначено
* Г (Pxs) '

7]
СЛУЧАЙ ql > 1
507
Нетрудно видеть, что функция г|> ~ 1. Действительно, учитывая
выражения G.2) и G.6), мы имеем
imkT
= ехр{
D2 V
f'xs _d
itlkT ~vl
В силу неравенства G.3) показатель экспоненты гораздо меньше
единицы, и поэтому приближенно это выражение можно заменить
единицей. Таким образом, мы получаем окончательно
G.9)
Так же, как и для длинных волн, у зависит от отношения vd/vs.
При vd > vs поглощение потока фононов сменяется генерацией
фононов. Однако кривые зависимости у (vd) уже не имеют вида,
показанного на рис. 15.3, а изображаются прямыми линиями G.9),
Рис. 15.7. Взаимодействие электронов с фононами при разной скорости дрейфа.
На рис. 15.7 наглядно показано, как возникает генерация фо-
фононов. Здесь изображено сечение одной из изоэнергетических по-
поверхностей
= const
и векторы импульсов взаимодействующих электрона р и фонона Hq.
Согласно формуле G.6), если конец вектора р лежит внутри изо-
энергетической поверхности, то вероятность такого состояния
больше, чем на этой поверхности, и наоборот. При vd = 0 вероят-
вероятность найти электрон в «состоянии поглощения» фонона, т. е. с им-
импульсом рь больше, чем вероятность «состояний испускания» фо-
фонона (импульс р2), и поэтому преобладают процессы поглощения.
При vd — vs концы векторов pt и р2 лежат на одной и той же изо-
энергетической поверхности (пунктир), а следовательно, частоты
актов поглощения и испускания фононов одинаковы. Если же vd> vs,
то концы векторов о* располагаются на изоэнергетической поверх-

508 АКУСТО-ЭЛЕК.ТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
ности меньшего радиуса, чем концы векторов pv В этом случае
число электронов в «состоянии испускания» больше, чем в «состоя-
«состоянии поглощения», и суммарный результат есть генерация фононов.
Можно сказать, что при сверхзвуковом дрейфе электронов возникает
инверсия заселенности квинтовых состояний (по сравнению со слу-
случаем vd — 0), аналогичная инверсии заселенности энергетических
уровней в оптических квантовых генераторах (лазерах, см.
§ XVIII.6).
Рассматриваемые явления имеют глубокую аналогию и с дру-
другим важным явлением — излучением Вавилова — Черепкова, которое
заключается в >генерации света под действием быстрых электронов
(Р-частиц), когда их скорость становится больше фазовой скорости
света в среде с/n. Усиление гиперзвука есть, по сути дела, излуче-
излучение Вавилова — Черенкова, однако не квантов света, а квантов
звука — фононов.
§ 8. Усиление тепловых флуктуации
Вернемся теперь опять к длинным волнам (ql <^ 1) и к коллек-
коллективному взаимодействию. В этом случае поглощение и усиление
упругих волн сверхзвуковым дрейфом электронов имеет важную
особенность. Если создать скорость дрейфа vd > vs в направлении
волны и затем изменить направление поля на обратное, то усиле-
усиление волны в первом случае будет больше, чем ее поглощение при
изменении направления дрейфа. Это связано с тем, что кривые у (vd)
симметричны относительно точки т| = 1 — vd/vs = 0, но не точки
vd = 0. Так, например, если vd/vs — 1,5 (усиление), то в случае
рис. 15.3 | у | = | у |тах. Изменяя же направление дрейфа (погло-
(поглощение), мы найдем, что vdlvs — —1,5 соответствует только уса
— VaYmax- Или, иначе, дрейфующая плазма обладает свойством
невзаимности по отношению к упругим волнам. Поэтому, если волна,
полностью отражаясь от граней пластинки, проходит один прямой
и один обратный путь (замкнутый цикл), она получает,выигрыш
мощности.
Подчеркнем, что этот результат справедлив только для коллек-
коллективного взаимодействия (ql «^ 1). Для очень коротких волн (ql^> 1)
зависимость у от ц выражается формулой G.9) и имеет другой ха-
характер. В этом случае при замкнутом цикле энергия волны не уве-
увеличивается, а, напротив, уменьшается.
Так как при vd > vs усиливаются также и тепловые флуктуа-
флуктуации решетки, то в режиме усиления наблюдаются акустические
шумы. Если импульс ускоряющего поля короче времени прохож-
прохождения звука через пластинку dlvs, то флуктуации усиливаются
лишь при однократном прохождении в направлении дрейфа (одно-
пролетные шумы). Если же импульс поля длинный, то тепловые
флуктуации, многократно отражаясь от граней пластинки, проходят

$ 8]
УСИЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ ФЛУКТУАЦИИ
509
много замкнутых циклов усиления, и тогда наблюдаются гораздо
более сильные шумы (многопролетные шумы).
При определенных условиях в пластинке могут возникнуть
не только шумы, но и спонтанные правильные колебания. Причина
этого заключается в следующем. Наиболее выгодные условия для
усиления мы имеем, когда фаза волны после каждого цикла «впе-
«вперед— назад» увеличивается на 2пп (п = 1, 2, ...), так как в этом
случае амплитуды будут складывать-
складываться вследствие интерференции. Усло-
Условие этого есть
(8.1)
Здесь мы учли, что скорость волны
вдоль дрейфа vsl слегка отлична от
скорости ys2 в противоположном на-
направлении, а через фх обозначили из-
изменение фазы при отражениях. Это
соотношение определяет дискретный
набор частот щ, ю2, ... , для кото-
которых усиление будет особенно велико.
Однако, конечно, для каждой из этих
40 60икр80 100 и,В
Рис. 15.8. Пример вольтампер-
ных характеристик кристаллов
сульфида кадмия. Длина (в на-
направлении поля) 0,05 см, сече-
мод усиление будет различным, так Ние 0,015 мм2. Электропровод-
как у зависит от частоты (ср. фор- ность увеличивается от кривой
мулу D.27)). Если для какой-либо 1 к кривой 3.
колебательной моды выигрыш в мощ-
мощности станет больше потерь (которые обусловлены в первую оче-
очередь поглощением в самой решетке и неполным отражением волн
от граней), то эта мода будет самовозбуждаться и усиливаться до
тех пор, пока возрастающие нелинейные потери не ограничат это
усиление. Мы получим генератор ультразвуковых волн. При этом
во внешней цепи, вследствие пьезоэлектрического эффекта, по-
появятся колебания тока.
При постепенном увеличении электрического поля самовозбуж-
самовозбуждаться будет все большее число различных мод. В кристалле по-
появятся и их гармоники, так же как и комбинационные частоты
(ыи ± сот), и форма колебаний станет сложной. Однако из фор-
формулы (8.1) видно, что при уменьшении толщины пластинки d раз-
разность частот двух соседних мод {сои+1 — о>„) увеличивается. Поэтому
в тонких пластинках гораздо легче возбудить только одну колеба-
колебательную моду (или небольшое их число) и получить генерацию при-
приблизительно монохроматических колебаний.
Усиление тепловых колебаний решетки проявляется также в не-
нелинейности вольтамперных характеристик пьезоэлектрических

510
АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. XV
кристаллов. На рис. 15.8 показана зависимость тока от напряжения
в кристаллах сульфида кадмия. Различные кривые соответствуют
разным электропроводностям. Пока напряжение остается ниже не-
некоторого критического значения икр, характеристики линейны.
Однако при и > мкр ток оказывается меньше, чем следует из закона
Ома, и на характеристиках появляется излом, который выражен
тем лучше, чем больше электропроводность. При большой электро-
электропроводности кристаллов ии> мкр ток почти перестает зависеть от
напряжения (насыщение тока). Величина же икр соответствует усло-
условию vd ~ vs. Такое поведение кристаллов объясняется тем, что
при vd > vs возникает черенковское излучение фононов и элект-
электроны получают тормозящий им-
импульс. Или, иными словами, в'
кристалле возникает акусто-
электрический ток iae, который
при va > vs направлен против
тока i0, создаваемого внешним
напряжением. Поэтому резуль-
результирующий ток i оказывается
меньше i0. В предельном случае
достаточно большого напряже-
напряжения, когда практически все элек-
электроны захвачены в потенциаль-
потенциальные ямы усиленных упругих
волн, все электроны движутся со
0,2
о
0,8
12 и,В
Рис. 15.9. Вольтамперные характери-
характеристики кристаллов висмута в сильном
магнитном поле. Размеры ~ 1 мм'2Х 1 "мм;
Т = 2 К; 1 — <?В=\4 кГс, 2 — <?/3=
= 20 кГс.
скоростью vs и плотность тока
насыщения равна js = en()vs.
Аналогичная аномалия в элек-
электрическом сопротивлении наблю-
наблюдается в кристаллах висмута в скрещенных электрическом и маг-
магнитном полях. Она очень резко выражена при условии к»ст > 1
(где к»с — циклотронная частота, т— время релаксации импульса),
что осуществляется при низкой температуре и сильном магнитном"
поле. В этом случае на вольтамперных характеристиках тоже
наблюдается резкий излом (рис. 15.9), однако, в отличие от пьезо-
пьезоэлектрических кристаллов, характеристики изгибаются вверх.
Объяснение этого явления, в общих чертах, заключается в следую-
следующем. В скрещенных полях носители заряда не только дрейфуют
в электрическом поле в, создавая плотность тока j0, подчиняю-
подчиняющуюся закону Ома, но^имеют еще скорость переносного движения,
перпендикулярную к в и S3 и равную
„ [gxffl]
В висмуте, который является полуметаллом, имеются и элект-
электроны, и дырки, которые движутся со скоростью V; в одинаковом

§ 9]
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
511
направлении. Дрейфующие дырки и электроны взаимодействуют
с фононами — в данном случае висмута — через потенциалы дефор-
деформации. При vt > vs возникает черенковская генерация фононов,
и дырки и электроны получают тормозящие импульсы, направлен-
направленные противоположно нарастающему потоку генерируемых фононов.
Это приводит к появлению акусто-электрических токов дырок )р
и электронов ]"„. Эти токи отклоняются в магнитном поле на соот-
соответствующие им холловские углы и поэтому не перпендикулярны v^
и 6. Они имеют составляющие вдоль в, которые, как видно из
рис. 15.9, прибавляются к току j0. Поэтому результирующий ток j
оказывается больше j0.
§ 9. Заключительные замечания
Выше мы везде рассматривали только объемные, продольные
или поперечные, упругие волны. Однако все рассмотренные явле-
явления — электронное поглощение и усиление волн, акусто-электрн-
ческий эффект и др. — наблюдаются и в других типах волн. Осо-
Особенно интересными здесь являются поверхностные волны. В таких
Рис. 15.10. Усиление поверхностных упругих волн дрейфом
электронов. Гг — импульсный генератор высокой частоты,
Г2 — генератор прямоугольных импульсов ускоряющего на-
напряжения, П — радиоприемник, Пр1 и Пр2 — электромеха-
электромеханические преобразователи, М, М — металлические ускоряю-
ускоряющие электроды.
волнах в общем случае имеются нормальная к поверхности соста-
составляющая смещения и тангенциальная составляющая, которые,
в отличие от объемных волн, затухают при удалении от поверх-
поверхности.
Схема типичного опыта для наблюдения электронного погло-
поглощения и усиления поверхностных волн в пьезоэлектрических

512 АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
кристаллах показана на рис. 15.10. В качестве электромеханических
преобразователей служат две системы гребенчатых металлических
электродов, вставленные одна в другую. Переменное электрическое
напряжение, подаваемое на преобразователь, должно иметь такую
частоту, чтобы длина упругой поверхностной волны была равна
периоду гребенки. Разумеется, и здесь кристаллографические оси
пластинки должны быть ориентированы так, чтобы смещение в волне
было пьезоэлектрически активным.
Исследование акусто-электронных явлений (на объемных и по-
поверхностных волнах) позволяет получить ценную информацию об
особенностях взаимодействия колебаний, решетки с электронами
проводимости. Оно дает новые возможности определения важных
характеристик полупроводниковых кристаллов: дрейфовой под-
подвижности носителей заряда, константы электромеханической связи,
деформационных потенциалов и др. .
Акусто-электронные явления могут также быть использованы
для создания новых твердотельных электронных приборов. Так,
используя акусто-электрический эффект, можно получить малога-,
баритные устройства для регистрации и измерения интенсивности
ультразвуковых волн. Явление усиления упругих волн с помощью
дрейфа электронов можно использовать для создания усилителей
и генераторов ультра- и гиперзвуковых колебаний. Используя
двойное преобразование: электрический сигнал — звуковая волна
и звуковая волна — электрический сигнал, можно получить уси-
усилители и генераторы электрических колебаний. Двойное преобра-
преобразование совместно с усилением звука позволяет осуществить линии
задержки электрических сигналов, которые, по сравнению с обыч-
обычными линиями задержки электромагнитных волн, выгодно отли-
отличаются большими временами задержки (вследствие того, что vs <; с)
и компенсацией потерь. Возможно создание и более сложных функ-
функциональных схем для различного преобразования и обработки
информации, на которых мы, однако, останавливаться не будем.

Глава XVI
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ
§ 1. Нагрев электронного газа
Ускоряясь электрическим полем, электроны и дырки могут при-
приобретать не только средний импульс, но и энергию. Действительно,
средняя энергия, приобретаемая единицей объема газа носителей
заряда в единицу времени, равна (j, в). В стационарном состоянии
эта величина должна равняться энергии, в среднем теряемой элект-
электронами *) в единицу времени при столкновениях. Обозначим через Ё
отнесенное к единице времени изменение энергии носителя заряда
за счет столкновений. Эта величина зависит от энергии Е, уже имею-
имеющейся у электрона. Усредняя ее по всем состояниям электрона,
получим интересующую нас величину (?)ст. Условие баланса энер-
энергии в стационарном состоянии поэтому есть
(j, S) = n(?>CT. A.1)
Используемый здесь символ (...) не следует смешивать с аналогич-
аналогичным обозначением, использованным в гл. I, XIII. Там усреднение
выполнялось с помощью равновесной функции f0, здесь — с помо-
помощью неравновесной функции распределения, описывающей данное
неравновесное стационарное состояние газа носителей заряда.
При термодинамическом равновесии, когда j = 0, равенство A.1)
превращается в тождество «О = 0». Действительно, в этих усло-
условиях электроны отдают решетке (в единицу времени) в # среднем
столько же энергии, сколько и получают от нее, т. е. (?>ст = 0.
В достаточно слабом поле, когда g <^ &кр (см. (XIII.7.9'). или
(XIII.7.9")), величина (j, ?)— второго порядка по напряженности
поля. Соответственно очень мала и правая, часть A.1). При возра-
возрастании поля положение меняется, ибо энергия, которую электроны
получают от поля, заметно возрастает. В то же время правая часть
равенства A.1) определяется вероятностью соответствующих столк-
столкновений. Как мы видели в гл. XIV, процессы рассеяния носителей
заряда часто оказываются почти упругими. По этой причине вели-
величина <?)„, вычисленная в условиях, близких к термодинамиче-
*У Мы будем для краткости отождествлять термины «носитель заряда» и
«электрон»; исключение составят лишь явно оговариваемые случаи. Будем также
рассматривать лищь невырожденный газ.

514 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
скому равновесию, может оказаться меньше (j, €). При этом сред-
средняя энергия носителя заряда (Е)„ начнет возрастать над равновес-
равновесным своим значением. Так будет продолжаться до тех пор, пока
вероятность тех или иных неупругих процессов не увеличится
достаточным образом. При не слишком высоких значениях средней
энергии электронов роль такого процесса играет обычное рассея-
рассеяние на фононах, связанное с испусканием их. При дальнейшем
повышении напряженности электрического поля и, следовательно,
<?)ст могут стать заметными процессы ударной ионизации, при
которых энергия электрона расходуется на создание новых носите-
носителей заряда (см. ниже § 6, стр. 536).
Замечая, что правая часть A.1) обращается в нуль при <?>„ =
= 3/2 kT, можем представить A.1) в виде
(j, 6)=шЬ<Е>"-кт п. A.2)
Величина хе, определяемая этим соотношением, имеет размерность
времени и называется средним временем релаксации энергии (слово
«среднее» часто для краткости опускают). Она зависит от механизма
рассеяния носителей заряда, от температуры и, может быть, от дру-
других величин, характеризующих условия опыта. Оценку хе можно
получить, измеряя, например, подвижность носителей как функ-
функцию напряженности поля. В зависимости от условий опыта хе может
составлять 10~10 ^ 10~7 с (последнее— при достаточно низких тем-
температурах и в не слишком сильных полях; при этом рассеяние энер-
энергии определяется взаимодействием электронов с фононами, а ве-
вероятность испускания их невелика (гл. XIV)). В условиях, когда
процессы рассеяния почти упругие, величина те может значительно
превышать среднее время релаксации импульса тр. По этой причине
разность о (Е)^—kT может составить заметную долю средней
энергии теплового движения электронов. Иначе говоря, благодаря
сравнительной медленности процесса обмена энергией между носи-
носителями заряда и их окружением в решетке средняя энергия носи-
носителей в электрическом поле может оказаться больше своего термо-
термодинамически равновесного значения. Это явление называется
нагревом электронного газа. Часто его описывают, вводя представле-
представление об электронной температуре Те, отличающейся от температуры
решетки Т. Выбирая систему отсчета, в которой система носителей
заряда как целое покоится, мы можем определить Те равенством
(E)CT = */2kTe. A.3)
Название «горячие электроны» приобретает теперь наглядный смысл:
температура Тс может превысить Т. Ясна также и причина, по
которой система отсчета была выбрана указанным выше образом:
в любой другой системе отсчета средняя энергия ^?)ст содержала

§ 1] НАГРЕВ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА 515
бы слагаемое, связанное с кинетической энергией движения системы
носителей заряда как целого. Эту величину иногда называют энер-
энергией дрейфа Ed. Нецелесообразно связывать ее с температурой, ибо
последняя величина описывает среднюю энергию беспорядочного
движения частиц. Таким образом, при наличии дрейфа носителей
заряда вместо A.3) следует писать
{E) = ^kTe + Ed. A.3')
С учетом A.3) правая часть A.2) принимает такой же вид,-как
и в обычной теории теплопередачи:
~Т). A.4)
Роль подсистем, обменивающихся теплом, играют здесь газ носи-
носителей заряда и кристаллическая решетка.
Следует, однако, иметь в виду, что эта аналогия не всегда точна.
Действительно, величина Те, введенная равенством A.3), есть,
вообще говоря, не более чем обозначение. Она может и не обладать
всеми термодинамическими свойствами обычной температуры. По-
Последнее понятие имеет однозначный смысл лишь в условиях термо-
термодинамического равновесия; нагрев же электронного газа как раз
и означает, что это равновесие нарушено. Как видно из A.4), «тем-
«температура» Те зависит от напряженности электрического поля и от
механизмов рассеяния энергии и импульса. Последние определяют
времена релаксации энергии и импульса, входящие, соответственно,
в формулу A.4) и в выражение для плотности тока j.
В силу своей наглядности представление об электронной темпе-
температуре оказывается очень удобным. Так, оно позволяет сразу
заметить, что в условиях нагрева электронного газа все кинетиче-
кинетические коэффициенты должны зависеть от напряженности электриче-
электрического поля. Вместе с тем следует помнить, что определение A.3) —
не единственно возможное. Так, можно было бы определить электрон-
электронную температуру с помощью соотношения Эйнштейна (VI.2.8),
полагая
*=^-. A-5)
Это определение «температуры» Те ничем не хуже и не лучше A.3);
однако значения электронной температуры, определяемые равен-
равенствами A.3) и A.5), вообще говоря, не совпадают *). Можно было
бы ввести и другие определения электронной температуры в соот-
соответствии с тем или иным способом ее измерения. Причина такой,
неоднозначности состоит в том, что, как уже говорилось, понятие
температуры имеет однозначный смысл лишь в условиях термоди-
*) Исключение составляет случай, рассматриваемый в § 4.

516
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ
[ГЛ. XVI
намического равновесия, когда единую температуру можно ввести
обычным статистическим путем — через каноническое распределе-
распределение Гиббса.
Нагрев электронного газа приводит к ряду следствий, наблю-
наблюдаемых на опыте и интересных в техническом отношении. Прежде
7Ог Ю3 Ю4 10s
Электрическое поле. В/см
Рис. 16.1. Зависимость дрейфовой скорости от напряженности
электрического поля ,в n-Ge при Т= 300 К. Число п характе-
характеризует зависимость щ ~~ Еп,
I I I I Mill I lit у pi I I I N lilt
jqZ jp ~04
Электрическое поле, В/см
Рис. 16.2. Зависимость проводимости от напряженности
электрического поля в p-Ge при Т = 77 К.
всего, согласно сказанному выше, в условиях нагрева нарушается
закон Ома: подвижность и электропроводность начинают зависеть
от напряженности поля, а дрейфовая скорость становится нел'йЙей-
ной ее функцией. Примеры такой зависимости приведены на
рис. 16.1, 16.2*); более подробно этот вопрос рассматривается
в §7.
*) По данным работ: J. В. Gunn, Journ. Electr. 2, 87 A956); К. S. MSitdel-
son, R. Bray, Proc. Phys. Soc. B70, 899 A957).

§ 1]
НАГРЕВ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА
517
Нагрев электронного газа электрическим полем может привести
к зависимости подвижности и электропроводности от направления
тока: даже в кубических кристаллах электропроводность оказы-
оказывается, вообще говоря, тензором второго ранга, а не скаляром.
Физические причины, вызывающие анизотропию электропровод-
электропроводности в сильном поле, могут быть связаны с видом закона диспер-
дисперсии носителей заряда. Картина особенно ясна в многодолинных
материалах типа n-Ge или n-Si. Ускорение электронов в каждой
отдельной долине определяется эффективной массой, соответст-
соответствующей направлению поля (рис. 16.3). Поэтому вклад в электро-
электропроводность, обусловленный
электронами только данной до-
долины, оказывается анизотроп-
анизотропным. Полный ток получается в
результате суммирования по
всем долинам. В условиях рав-
равновесия или в слабом поле все
долины энергетически эквива-
эквивалентны и концентрации электро-
электронов в них одинаковы. Соответст-
Соответственно полная электропроводность
оказывается одной и той же при
всех направлениях поля.^ С уве-
увеличением поля положение ме-
меняется. Дело в том, что времена
ii Риг
хр и хе зависят от эффективных с-
масс. Поэтому в разных долинах
электроны будут нагреваться
по-разному. Различие электрон-
электронных температур влечет за собой и различие подвижностей и кон-
концентраций электронов в разных долинах. При этом суммирова-
суммирование по всем долинам уже не восстанавливает изотропию элект-
электропроводности: она становится зависящей от направления поля.
Отсюда следует, что векторы j и в оказываются, вообще говоря,
не параллельными друг другу: угол между ними зависит от
ориентации вектора j относительно осей кристалла.
Увеличение средней энергии электронов по сравнению с термо-
термодинамически равновесным ее значением приводит к возрастанию
то^а. термоэлектронной эмиссии из полупроводника (при неизмен-
неизменной температуре решетки). В самом деле, здесь существенна не тем-
температура решетки сама по себе, а именно энергия электронов. В ка-
катодах обычного типа ее повышают, нагревая решетку. Можно,
однако, «греть» электроны электрическим полем, уменьшая тем
самым бесполезные потери энергии на «раскачивание» атомов ре-
решетки. Такие холодные катоды существуют; широкому их примене-
применению пока препятствует трудность значительного нагрева электрон-
16.3. Ускорения электронов
а., = е§//П|; и а_|_= е%1т^_, принадле-
принадлежащих различным эллипсоидам энер-
энергии, в электрическом поле (n-Ge).

518 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
ного газа при комнатных температурах. Действительно, при задан-
заданном поле разность (Те — Т) тем больше, чем больше время хе, а оно
становится особенно большим лишь при достаточно низких темпе-
температурах Т.
§ 2. Симметричная и антисимметричная части функции
распределения
Функция распределения носителей заряда в слабом электриче-
электрическом поле была исследована в гл. XIII. Легко убедиться, однако,
что, пользуясь выражениями (XIII.5.1) и (XIII.6.7), мы получили
бы для средней энергии обычное термодинамически равновесное зна-
значение. В самом деле, по определению
BЛ)
Подставляя (XIII.5.1) в B.1), видим, что слагаемое fx, будучи
нечетной функцией квазиимпульса, не дает вклада в интеграл, чем
и доказывается высказанное утверждение. Этого и следовало ожи-
ожидать: равенства (XIИ.5.1) и (XIII.6.7) получены из кинетического
уравнения лишь для достаточно слабого поля, когда квадратом и
более высокими степенями его напряженности можно пренебречь.
При учете нагрева функцию распределения / (р) также можно
записать в виде суммы слагаемых, четного и нечетного относи-
относительно изменения знака р:
Первое слагаемое в правой части B.2) называется симметричной
частью функции распределения (fs), второе — антисимметрич-
антисимметричной (/а):
/(Р. ?) = /, + /„, B.3)
причем
Ы-р)=Ыр). Ы-р) = -Ыр)-
В отсутствие нагрева электронного газа функция fs превращается
в равновесную функцию распределения /0 (Е), a fa—в малую
добавку fv
Представление функции распределения в виде B.3) имеет ясный-
физический смысл. Именно, антисимметричная часть fa (p, ?) опи-
описывает возникновение потоков заряда, энергии и т. д., а симмет-
симметричная часть /j (p, 6) связана с функцией распределения носителей
заряда по энергии / (?). Так, для средней энергии на один элек-
электрон мы имеем

§ 2] ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 519
Далее, обозначим через аР+ (Е, АЕ) и &_ (Е, АЕ) отнесенные
к единице времени вероятности того, что электрон с энергией Е,
соответственно, получит и потеряет в акте рассеяния энергию АЕ,
Тогда
Р, 6) [ J d (АЕ) @»_ (Е, АЕ) - ^+ (Е, АЕ))] dp.
B.5)
Таким путем, зная функцию распределения, можно вычислить
время релаксации те. Соответствующие расчеты можно найти в кни-
книгах [1, 2].
Подставляя выражение B.3) в кинетическое уравнение (XIII.3.12)
и разделяя в нем слагаемые, четные и нечетные по р, мы получим
систему двух интегро-дифференциальных уравнений для определе-
определения двух функций fs и fa. Замечая, что производная от четной
(нечетной) функции есть нечетная (четная) функция своего аргу-
аргумента, имеем (в отсутствие магнитного поля, при F = — еЩ
%~+(У, V/a) + (F, Va) = Js И. B-6)
B-7)
где Js и Ja — четная и нечетная (относительно изменения р) части
интеграла столкновений.
Пусть рассеяние носителей заряда происходит только на несо-
несовершенствах решетки (включая фононы). Тогда, поскольку элек-
электронный газ не вырожден, интеграл столкновений дается выражением
(XIII.3.10), в котором разность 1 —•/ (р) можно заменить единицей.
Изменим знак аргумента р в (XIII.3.10) и одновременно произве-
произведем замену переменной интегрирования р' = —р". При этом коэф-
коэффициенты <3\ и ^2. будучи функциями только аргументов (XIII.6.4),
останутся неизменными. Следовательно, интеграл J If] изменит или
сохранит свой знак в зависимости от того, содержит ли он функ-
функцию fs или /а:
Js\f\ = JUs], Ja\f\ = J\fa]. B-8)
Такая простая форма связи между Js, Ja и fs, fa обусловлена тем,
что в рассматриваемом случае функция распределения входит под
знак интеграла столкновений линейно. Если существенно фермиев-
ское вырождение газа носителей заряда или рассеяние последних
друг на друге, то соотношения между Js, Ja и fs, fa оказываются
более сложными.
Теоретическое исследование нагрева электронного газа в полу-
полупроводниках сводится, таким образом, к решению уравнений B.6)
и B.7) при различных механизмах рассеяния носителей заряда.

520 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ.. XVI
§ 3. Уравнения баланса
Исследование системы уравнений B.6) и. B.7) составляет весьма
сложную математическую задачу. Лишь в последние годы были
развиты численные методы ее решения с помощью современных
электронно-вычислительных машин. По этой причине часто оказы-
оказываются полезными более простые соотношения, выражающие за-
законы сохранения энергии и квазиимпульса. Они представляют
собой не что иное, как уравнения баланса для названных величин
и могут быть строго выведены из кинетического уравнения [1,2, 4].
Особенно простой вид зти соотношения принимают, когда газ но-
носителей заряда пространственно однороден и состояние его стацио-
стационарно. Действительно, при этом полная энергия и полный квази-
квазиимпульс носителей заряда не должны меняться со временем, а по-
потоки, связанные с пространственными градиентами каких-либо
величин, отсутствуют. Следовательно, условие постоянства полной
энергии носителей имеет вид A.2). По определению дрейфовой ско-
скорости vrf (гл. I) плотность тока можно записать в виде
}=en\d.
Соответственно вместо A.2) мы получим
e(vrf,e)=J-- . C.1)
Как и в предыдущих главах, дрейфовую скорость можно запи-
записать в виде
v« = i-xA C.2)
где та — эффективная масса электропроводности (XIII.7.15). Необ-
Необходимо лишь иметь в виду, что среднее время релаксации им-
импульса хр теперь следует вычислять, принимая во внимание на-
нагрев электронного газа, т. е. с помощью уравнений B.6) и B.7),
в которых функция /s отлична от /0. Так, в рамках изотропной мо-
модели тр теперь дается выражением (XIII.7.16) с заменой /0 на fs.
Соотношения C.1) и C.2) называются уравнениями баланса.
Следует помнить, что входящие в них времена хе и %р описывают
обмен энергией и квазиимпульсом между носителями заряда,
с одной стороны, и кристаллической решеткой — с другой. При
учете только • межэлектронных столкновений без процессов пере-
переброса эти времена обращаются в бесконечность: внутренние силы
приводят только к перераспределению энергии и квазиимпульса
между носителями, заряда, но не" изменяют полную их энергию и
полный квазиимпульс. Вместе с тем, влияя на вид функции распре-
распределения, взаимодействие между носителями заряда косвенно влияет
и на значения хе и хр, равно как и на форму их зависимости от юйм-
пературы, напряженности поля и т. д.

§ 4J ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕМПЕРАТУРА 521
-§ 4. Электронная температура
В зависимости от роли столкновений между носителями заряда
по сравнению с другими механизмами рассеяния выделяются раз-
различные предельные случаи. Рассмотрим сначала материал с носи-
носителями заряда одного типа. Обозначим через хее среднее время
между столкновениями носителей заряда друг с другом. В силу
близости эффективных масс носителей заряда при таких столкнове-
столкновениях происходит заметный обмен как квазиимпульсом, так и энер-
энергией. Следовательно, время хее характеризует скорость обоих этих
процессов. Могут иметь место три предельных соотношения между
временами %ее, %е и тр:
*ее<Ь <Ге, D.1)
^<тее<те, D.2)
Ь^е <Ъе- D.3)
В случае D.1) носители заряда успевают многократно обменяться
энергией и импульсом до того, как сыграет свою роль рассеяние их
на фононах или иных несовершенствах решетки. В случае D.2)
это относится только к обмену энергией. Наконец, в случае D.3)
рассеяние носителей заряда друг на друге-вообще не играет роли
и им можно пренебречь.
Рассмотрим ситуацию, характеризуемую неравенствами D.1).
Тогда газ носителей заряда можно рассматривать, в первом при-
приближении, как самостоятельную термодинамическую подсистему,
лишь слабо взаимодействующую с решеткой. Столкновения между
носителями приводят к установлению равновесия по энергии и
импульсу внутри данной подсистемы. Это означает, что в данном
случае, во-первых, имеет однозначный смысл представление о тем-
температуре электронов Те, отличной, вообще говоря, от температуры
решетки Т, и, во-вторых, Систему носителей заряда можно харак-
характеризовать скоростью V,;, с которой все они движутся как целое
относительно решетки. В сущности, мы имеем здесь то же, что и
при движении жидкости или газа в сосуде. Роль последнего играет
неидеальная решетка, а роль «жидкости» — система носителей за-
заряда. По этой причине рассматриваемсе приближение часто назы-
называют гидродинамическим.
Функция распределения / (р), зависящая от параметров Те и
v,f» должна обращать в нуль интеграл столкновений (ХШ.ЗЛ1).
При vrf = 0 это означало бы, что / (р) есть функция Ферми, в кото-
которой надо лишь заменить температуру Т на Те. Так же обстоит дело
и при \а Ф О, если рассматривать функцию распределения в си-
системе отсчета, в которой электронный газ как целое покоится.
Переходя к системе отсчета, связанной с кристаллической решеткой
(в которой электронный газ движется); мы должны заменить v на

522 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
v — Vrf. Тогда
{?(yfr- D-4)
Здесь энергия носителя заряда Е рассматривается как функция его
скорости v (р).
В отсутствие фермиевского вырождения равенство D.4) прини-
принимает вид
/(р) = ехр F~?^~Vrf). D.5)
Выражение, фигурирующее в правой части D.5), называется
максвелловским распределением с дрейфом.
Пусть скорость дрейфа мала по сравнению с характерной «теп-
«тепловой» скоростью носителей заряда vTg = YkTelm. Тогда правую
часть D.5) можно разложить в ряд по степеням vT , и мы получаем
выражение вида B.3), причем теперь
f^(v) D.6)
F-E{v) 4?
f
U~ kTe e
Величины F, Те и \d в формулах D.4) — D.7) остаются пока
произвольными. Согласно сказанному в § 3, учет одних межэлект-
межэлектронных столкновений (без процессов переброса) в принципе не
позволяет найти Те и \а. Для определения стационарных значений
дрейфовой скорости и электронной температуры в пространственно
однородной системе удобно воспользоваться уравнениями баланса
C.1) и C.2). Действительно, поскольку функция распределения
в рассматриваемом случае известна, можно, задавшись теми или
иными механизмами рассеяния энергии и импульса (гл. XIV), вы-
вычислить времена хе и хр. Они оказываются теперь функциями'v*
и Те, а уравнения баланса превращаются в систему уравнений от-
относительно названных переменных:
<4-9>
Обратимся теперь к ситуации, характеризуемой неравенствами
D.2). Здесь, как и в предыдущем случае, газ носителей заряда
достигает равновесия по энергиям за время порядка хег, т. е. за-
задолго до того, как станет заметным обмен энергией между электро-
электронами и решеткой. Это означает, что в данных условиях предста-
представление об электронной температуре по-прежнему имеет однознач-
однозначный смысл: по отношению к энергии газ носителей заряда можно

§ 4] ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕМПЕРАТУРА 523
рассматривать как почти независимую термодинамическую под-
подсистему. Симметричная часть функции распределения (в системе
отсчета, в которой электронный газ как целое покоится) здесь
имеет прежний вид D.6). Однако выражение D.7) для антисиммет-
антисимметричной части в условиях D.2) оказывается уже несправедливым,
сколь бы малой ни была дрейфовая скорость. Действительно, по
отношению к импульсу газ носителей заряда в условиях D.2)
отнюдь не образует независимой подсистемы. Рассеяние импульса
здесь происходит в основном на несовершенствах решетки, в ре-
результате чего сам вид антисимметричной функции распределения
оказывается зависящим от механизма рассеяния. Эту функцию
здесь следует определять с помощью уравнения' B.7). При этом
интеграл столкновений Ja If], определяющий скорость рассеяния
импульса, можно вычислять, пренебрегая межэлектронными стол-
столкновениями; рассеяние на несовершенствах решетки здесь, как и
в слабом поле, часто можно считать абсолютно упругим *). В част-
частности, при рассмотрении стационарного состояния системы с изот-
изотропным законом дисперсии остается в силе выражение (XIII.6.11),
в котором надо лишь заменить J на Ja, a f1 — на /а:
Согласно D.10) и B.7) антисимметричная часть функции распре-
распределения в постоянном электрическом поле имеет вид
fa (Р, Щ = - т (Е) {(v, -V/,) - е (S, V,/,)}. D.11)
Поскольку функция fs уже известна, выражение D.11) позволяет
вычислить плотность тока по формуле (XIII.2.2). В пространственно
однородной системе, когда первое слагаемое в D.11) отсутствует,
мы получаем
1=егц1(Те, T)S. D.12)
Условие баланса энергии- дает теперь уравнение для определе-
определения электронной температуры:
ер(Те, Т)&=*%~т>. D.13)
Приближение, выражаемое формулами D.6) и D.11), иногда назы-
называют квазигидродинамическим.
При наличии нескольких типов носителей заряда (электронов
и дырок, «легких» и «тяжелых» дырок и т. д.) времена релаксации
энергии и импульса вводятся для каждого типа в отдельности. Сле-
Следует различать также времена между столкновениями носителей
одного и того же и разных типов. При этом, в зависимости от соот-
*) Исключение, как и в слабом поле, может составить случай рассеяния на
оптических фононах (см. гл. XIV и § XVI.5).

524 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
ношения между их эффективными массами, столкновения между
различными носителями заряда могут как сопровождаться, так
и не сопровождаться заметным обменом энергией. Так, при резком
различии эффективных масс этот тип рассеяния, по сути дела,
не отличается от рассеяния на заряженной примеси. Неравенства
типа D.1) — D.3) теперь надо писать для разных типов носителей
заряда по отдельности, и число различных предельных случаев
заметно возрастает. Отметим два из них.
а) Пусть эффективные массы носителей разного типа — одного
порядка величины. Тогда взаимное рассеяние разных носителей
связано с интенсивным обменом энергией и при достаточно малых
временах между соответствующими столкновениями имеет однознач-
однозначный смысл представление о единой температуре носителей заряда,
отличной, вообще говоря, от температуры решетки.
б) Пусть эффективные массы носителей заряда разного типа резко
различны, но времена между столкновениями носителей одного и
того же типа достаточно малы. Тогда имеет однозначный смысл
представление о температурах носителей разного типа (например,
электронов и дырок), не совпадающих, вообще говоря, как друг
с другом, так и с температурой решетки.
Рассмотрим условия, при которых выполняются соотношения
D.1) и D.2). Прежде всего заметим, что неравенства D.2) могут
иметь место только при условии %р <^ т,,, т. е. в случае слабо нёупру-
гого рассеяния. Как мы знаем, так обстоит дело, если рассеяние
квазиимпульса происходит в основном на атомах примеси (при
любом механизме рассеяния энергии) или если рассеяние и энергии,
и квазиимпульса обусловлено взаимодействием носителей заряда
с акустическими (в том числе и пьезоэлектрическими) колебаниями
решетки. Рассеяние на оптических колебаниях оказывается слабо
неупругим, лишь если средняя энергия носителя заряда значительно
превышает энергию оптического фонона:
В указанных условиях D.1) и D.2) удовлетворяются, если
время хее достаточно мало. Чтобы вычислить его (при параболиче-
параболическом законе дисперсии), надо решить задачу о движении двух
заряженных частиц с массами тг и тг. Потенциальная энергия
их есть
C/=^-exp(-r/re). D.H)
Здесь г — расстояние между частицами, ех и е2 — их заряды, г0 —
радиус экранирования.
Как известно из механики, такая задача распадается на две:
о свободном движении центра инерции всей системы и о движении
одной «частицы» с приведенной массой тг = -тт+2т и радиус-

§4] ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕМПЕРАТУРА 525
вектором г в поле U (г). Выражение D.14) формально не отличается
от энергии взаимодействия носителя заряда с ионом примеси. По
этой причине мы можем непосредственно воспользоваться резуль-
результатами § X1V.5, заменяя в них тяатгнТяа Те. Согласно (XIV.5.19')
для невырожденного газа мы имеем по порядку величины
Мы заменили здесь энергию Е на 3/2kTe и опустили несущественные
численные множители.
Как и следовало ожидать, в невырожденном газе время тее
обратно пропорционально концентрации носителей заряда п (с точ-
точностью до медленно меняющегося логарифмического множителя).
Это означает, что неравенства D.1) и D.2) выполняются лишь при
достаточно больших концентрациях, превышающих некоторые кри-
критические значения. Для оценки их надо вычислить отношения
теЫее и ХрНее- Приравнивая их единице, получим порядковую оцен-
оценку критических концентраций пе и пр, выше которых рассеяние,
соответственно, энергии и квазиимпульса за счет межэлектронных
столкновений оказывается доминирующим. При этом вместо того,
чтобы вычислять хе и тр с помощью формул B.5), B.7), удобно
выразить эти времена через длину свободного пробега по, импульсу
1Р, определяемую равенством *)
h = vTeb> D-16)
где цу — средняя скорость носителей заряда с температурой Те<
При этом
и, согласно D.13),
D.17)
По порядку величины Те — Т ~ Те, и мы получаем
Согласно D.15) и D.17') для критической концентрации пе находим
/4 18)
&г%Чр
*) Опоеделение D.16) отличается от используемого в случае слабого поля
заменой Т на'Те в формуле для средней скорости.

526 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
Далее, на основании формул D.16) и D.15)
D 19)
Составляя отношение правых частей D.18) и D.19) и пользуясь
оценкой D.17'), мы получаем.
Коль скоро рассеяние носит почти упругий характер, правая
часть D.20) значительно меньше единицы.
Таким образом, условия применимости гидродинамического
приближения оказываются заметно более жесткими, чем квази-
гидродинамического. Кроме того, значения п и 1р не всегда незави-
независимы: действительно, если свободные носители заряда поставляются
примесью, то концентрация их не превышает концентрации заря-
заряженной примеси. Это означает, что %ее са хр, и, следовательно, фор-
формула D.7) для антисимметричной части функции распределения
не дает хорошего приближения. С другой стороны, гидродинами-
гидродинамическое приближение может оказаться оправданным в условиях силь-
сильной инжекции или в применении к очень узкозонным материалам,
когда достаточно велика собственная концентрация носителей
заряда.
Квазигидродинамическим приближением иногда пользуются и
в условиях, когда оно, строго говоря, неприменимо — концентра-
концентрация носителей заряда невелика по сравнению с пе. Такой подход
имеет смысл, если мы интересуемся лишь оценкой физических вели-
величин, получающихся путем усреднения сравнительно плавных функ-
функций энергии. Действительно, рассмотрим среднее значение неко-
некоторой величины А (Е) и будем для простоты считать закон дисперсии
изотропным. По определению
оо
JlE)%dE. D.21)
Допустим, что функция А (Е) не имеет нулей и изменяется зна-
значительно медленнее, нежели fs (E). Тогда с хорошей точностью можно
вынести А (Е) за знак интеграла при том значении Е = Ет, кото-
которое отвечает максимуму остальных сомножителей в подынтеграль-
подынтегральном выражении (очевидно, Ет порядка kTe). Остающийся интеграл
дает — независимо от вида fs (E) — концентрацию частиц п, и мы
получаем
(А)^А(Е)\Е=,Ет. D.22)
Неточность связана здесь лишь с отождествлением Ет = kTe.
Этот прием иногда называют методом электронной температуры,

§ 5] РОЛЬ НЕУПРУГОСТИ РАССЕЯНИЯ 527
С другой стороны, если функция А (Е) достаточно сильно зави-
зависит от Е, заметно изменяясь на интервале энергии порядка kTe,
то указанный выше прием может стать непригодным. Действительно,
главный вклад в интеграл D.21) здесь дает лишь сравнительно
небольшая область энергий, отвечающая максимуму всего подынте-
подынтегрального выражения. При этом существенным оказывается явный
вид функции распределения /s (E). Если последняя заметно отли-
отличается от D.6), то метод электронной температуры может оказаться
неприменимым.
§ 5. Роль неупругости рассеяния
В условиях, определяемых неравенствами D.3), носители заряда
нельзя рассматривать как независимую подсистему: доминирующую
роль играет рассеяние их на несовершенствах решетки. Вид нерав-
неравновесной функции распределения / (р) здесь заранее не известен:
он устанавливается в результате совместного действия внешнего
поля и тех же процессов рассеяния, которые определяют и средние
значения энергии и импульса носителей заряда. Эти процессы опи-
описываются уравнениями B.6) и B.7), которые и надо решить для
определения функций /s (p) и/а (р). При этом результат оказывается
не универсальным: вид функции распределения зависит от природы
образца и условий опыта. Существенную роль здесь играет степень
неупругости рассеяния, определяемая равенством
Л = ?. E-1)
Действительно, рассмотрим уравнения баланса C.1) и C.2). Умно-
Умножая равенство C.2) скалярно на \d, получим
«<*. *>-¦=?.
Сравнивая это соотношение с уравнением C.1) и принимая во вни-
внимание A.3'), находим
kTe+~Ed-kT = ^-. E.2)
По определению при слабо неупругом рассеянии т]<^1, а при
сильно неупругом r\ ~ I. Рассмотрим эти два случая по отдельности.
При т] <; 1 из соотношения E.2) вытекает неравенство
E.3)
Поскольку энергия дрейфа Еа обращается в нуль вместе с vd
(например, при квадратичном законе дисперсии Еа = 11'%tnv°a), нера-
неравенство E.3) можно переписать в виде
movd^kTe. E.3')

528
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ
[ГЛ. XVI
Таким образом, при слабо неупругом рассеянии энергия дрейфа
мала по сравнению со средней энергией хаотического движения
носителей заряда. Иначе говоря,
VT =
E.4)
Это позволяет думать, что антисимметричная часть функции рас-
распределения в данном случае мала по сравнению с симметричной ее
частью *).-Мы имеем здесь ту же
ситуацию, что и в слабом по-.„
ле, — с той лишь разницей, что
вместо равновесной функции рас-
распределения /0 появляется сим-
симметричная часть неравновесной
fs. В частности, при исследова-
исследовании стационарного состояния
системы с изотропным законом
дисперсии оказываются справед-
справедливыми соотношения D.10) и
D.11). Подстановка выражения
D.11) в уравнение B.6) (при
dfs/dt = dfa!dt = O) приводит к ин-
тегро-дифференциальному урав-
уравнению для симметричной части
функции распределения.
Приближение, основанное на
неравенствах E.3), E.3'), назы-
называется диффузионным. Оно было введено и обосновано Б. И. Давы-
Давыдовым. Смысл названия состоит в том, что энергия, получаемая
носителями заряда от поля, почти равномерно распределяется по
всем степеням свободы, функция распределения почти симметрична
й вся система электронов лишь очень медленно смещается в направ-
направлении действующей силы. Так обстоит дело при рассеянии импульса
на ионах заряженной примеси или иных структурных дефектах
решетки, на акустических (в том числе и пьезоэлектрических)
фононах, а также на оптических фононах, если температура Те
достаточно велика: kTe I> Ь-Щ-
Случай сильно неупругого рассеяния реализуется, если доми-
доминирующую роль чиграет взаимодействие носителей заряда с опти-
оптическими фононами, причем kT <; Нщ, kTe < Й«о. При этом ЧЙ
Рг
Рис. 16.4. Контуры постоянной функ-
функции распределения в пространстве
квазиимпульсов. Ось Z направлена
вдоль вектора напряженности электри-
электрического поля; оси Y и X (последняя
не показана) эквивалентны. Кривая /
изображает контур при §=0; кри-
кривые 2 и 3 отвечают слабо и сильно не-
неупругому рассеянию (ц <^ 1 и ц =^ 1).
*) Это можно строго доказать, пользуясь уравнениями B.6) и B.7). Выска-
Высказанное утверждение оказывается справедливым даже для носителей заряда с су-
существенно анизотропной формой изоэнергетических поверхностей, если только
вероятность рассеяния на угол в не слишком сильно зависит от в [1].

§ 6] ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ4 529
равенства E.2) вытекает соотношение
k(Te-T)~Ed. E.5)
Энергия дрейфа здесь оказывается сравнимой со средней энергией
хаотического движения носителей, а скорость дрейфа — с величи-
величиной vTe. Поэтому при сильно неупругом рассеянии следует ожидать
резко анизотропной — вытянутой в направлении силы F — функ-
функции распределения (рис. 16.4). Антисимметричная часть ее здесь
отнюдь не мала, и равенства D.10) и D.11) неверны. При определен-
определенных условиях оказывается справедливым приближение максималь-
максимальной анизотропии, когда неравновесная функция распределения
аппроксимируется выражением
= <p(?N(l-cos8). E.6)
Здесь ф — некоторая функция энергии носителя заряда, подлежа-
подлежащая определению из кинетического уравнения, 6 — угол между век-
векторами р и F. Выражение E.6) описывает тонкую «иглу», направ-
направленную вдоль электрического поля; по этой причине рассматривае-
рассматриваемое распределение называется также иглообразным.
§ 6. Зависимость подвижности и концентрации носителей
заряда от напряженности поля
Нагрев электронного газа приводит к зависимости подвижности
носителей заряда и концентрации их от напряженности электри-
электрического поля в образце. Полевая зависимость подвижности может
быть обусловлена двумя причинами.
Во-первых, электроны разной энергии рассеиваются по-разному:
за редкими исключениями время свободного пробега зависит от
энергии носителя заряда. Вызываемое электрическим полем пере-
перераспределение носителей по энергиям приводит к тому, что среднее
время свободного пробега тр, а потому и подвижность [*> оказывается
функцией электронной температуры. Вид зависимости fx (Te) легко
установить, если, как это часто бывает, газ фононов остается
в равновесии при температуре Т. Тогда мы можем воспользоваться
формулами D.21) и D.22) при А (Е) = х(Е) *). Пользуясь выраже-
выражением (XIII.7.20') и заменяя в нем Е на kte, получим
F.1)
Саму функцию Те (Щ можно найти из уравнений баланса. Такой
механизм полевой зависимости подвижности называют перегрев-
ным: он связан с отклонением электронной температуры от темпера-
температуры решетки.
*) Речь идет здесь не о точном вычислении подвижности как функция поля,
а лишь об ее оценке и об установлении вида зависимости ц (S). Для точного
расчета по формуле (XIII.2.2) следует решить кинетическое уравнение.

530
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ
[ГЛ. XVI
Во-вторых, повышение электронной температуры может привести
к переходу заметной части носителей заряда в состояния со сравни-
сравнительно малой подвижностью. Так обстоит дело, если в зоне имеется
несколько систем неэквивалентных долин, причем нижним отвечают
меньшие значения эффек-
эффективных масс, чем верхним.
Рассмотрим это на при-
примере арсенида галлия,
Дисперсионная кривая для
электронов проводимости в
этом материале изображена
на рис. 16.5. Основной ми-
минимум расположен в цент-
центре зоны Бриллюэна, шесть
взаимно эквивалентных по-
побочных минимумов (из ко-
которых на рисунке показан
один)—в направлении [100]
Рис. 16.5. Дисперсионная кривая для элект-
электронов проводимости в арсениде галлия в на-
направлении [100] в зоне Бриллюэна (схемати-
(схематически).
и ему эквивалентных. Энергетическое расстояние между основным и
побочными минимумами Д составляет около 0,34 эВ. Эта величина
столь значительна, что при комнатной температуре электронов
вблизи побочных минимумов почти нет. При достаточно сильном
нагреве электронного газа электрическим полем эти области энер-
энергетической зоны начинают заполняться за счет обеднения нижней
долины. Наблюдаемую на опыте подвижность электронов ц можно
представить в виде
^. F.2)
Здесь [ij и |д2, пх и гс2 — подвижности и концентрации носителей
заряда в нижней и верхней долинах. Заметим, что, приписывая
носителям заряда в каждой долине свою подвижность, мы делаем
предположение о медленности обмена квазиимпульсами между элект-
электронами разных долин по сравнению с электронами одной долины.
К этому есть известные основания. Действительно, переход электро-
электрона из одной долины в другую связан с большим изменением квази-
квазиимпульса, что неизбежно влечет за собой и сравнительно большую
энергию испускаемых или поглощаемых фононов. При не слишком
высокой электронной температуре этот процесс может оказаться
существенно неупругим, что понижает его вероятность. С повыше-
повышением электронной температуры положение меняется. По этой при-
причине оценку с помощью формулы F.2) можно рассматривать лишь
как ориентировочную.
В слабом поле второе слагаемое в правой части F.2) близко к нулю;
в достаточно сильных полях (порядка 103 В/см) оно становится
заметным, что и приводит к падению наблюдаемой подвижности,

§ 6] ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ 531
Аналогичную структуру зоны проводимости имеют и другие мате-
материалы: InP, CdTe, ZnSe, GaAsP, Ga.Jn^vSb, InAs, InSb.
Рассмотренный механизм полевой зависимости подвижности
называют механизмом Ридли—Уоткинса—Хилсума. Обычно он
становится существенным лишь при достаточно сильных полях.
Этот механизм не связан непременно с наличием побочных минимумов
в зоне проводимости. Аналогичные эффекты наблюдались и в гер-
германии — как электронном, так и дырочном, — подвергнутом одно-
одноосному сжатию. Последнее снимало вырождение между подзонами
валентной зоны и между различными долинами зоны проводимости;
в результате становились возможными индуцированные полем
переходы носителей заряда в состоянии с большей эффективной
массой.
Явный вид функции fx (S) зависит от механизма рассеяния.
В не слишком сильных полях, однако, можно ограничиться первыми
двумя членами разложения подвижности в ряд по степеням 82:
|х = М1 + Р&2)- F.3)
Здесь \i0 — подвижность в исчезающе слабом поле, р — коэффициент,
не зависящий от S и определяющийся параметрами и температурой
образца. При полях, допускающих аппроксимацию F.3), обычно
существен только перегревный механизм. По этой причине знак р
определяется знаком показателя степени г в выражении F.1).
Обращаясь к таблице 14.2, видим, что Р > О, если рассеяние ква-
квазиимпульса обусловлено взаимодействием носителей заряда с заря-
заряженной примесью, пьезоэлектрическими фононами или поляриза-
поляризационными фононами при температуре решетки выше дебаевской;
при рассеянии на акустических фононах Р < 0.
Значения напряженности поля, при которых справедлива аппрок-
аппроксимация F.3), определяются параметрами и температурой материала.
При этом иногда говорят о «теплых» электронах. С дальнейшим
повышением напряженности поля вид функции \i (S) усложняется.
В достаточно сильном поле может иметь место насыщение тока,
когда дрейфовая скорость перестает зависеть от- напряженности
поля, и, следовательно, подвижность обратно пропорциональна 8.
Этот эффект обусловлен сильной неупругостью рассеяния при доста-
достаточно сильной связи носителей заряда с оптическими фононами.
Действительно, пусть температура решетки Т <^ йсоо//г, а напряжен-
напряженность поля такова, что дрейфовая скорость, ограничиваемая какими-
либо другими механизмами рассеяния, становится сравнимой с
v0 = B/гШо/тI/2. Достигнув энергии /ш0, электрон очень быстро
(с характерным временем т) испустит оптический фонон, резко
изменив при этом свою энергию. Поглощением оптических фононов
в рассматриваемой нами температурной области можно пренебречь
ввиду малого их числа. Таким образом, для среднего значения

532 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
величины Ё (см. стр. 513) мы получим
Здесь т (Е) дается одной из формул (XIV.4.22) или (XIV.4.23).
При этом уравнения баланса энергии и квазиимпульса C.1) и C.2)
принимают вид
e(ydt S)~fta>0<Ti> F.4)
и
eS = movd<T-1>. F.5)
Заметим, что в уравнения F.4) и F.5) входит лишь одно характер-
характерное время (тг1)--1, поскольку при сильно неупругом рассеянии сред-
средние времена релаксации энергии и импульса совпадают. Пользуясь
уравнениями F.4) и F.5), легко находим
Щ- <6-6>
Не следует удивляться тому, что время (тг1) не содержит
константы связи носителей заряда с оптическими фононами: это —
усредненная величина, для вычисления которой надо было бы решить
кинетическое уравнение с учетом- всех существенных механизмов
рассеяния, а затем усреднить величину т1 (Е) с помощью соответ-
соответствующей функции распределения. -При этом константа связи с опти-
оптическими фононами выпадает именно потому, что она считается дос-
достаточно большой. Использование уравнений баланса позволяет
избежать этой процедуры.
Видим, что дрейфовая скорость действительно не зависит от 8,
а подвижность, пропорциональная в данном случае (г1)'1, обратно
пропорциональна §.
Насыщение дрейфовой скорости в достаточно сильном электри-
электрическом поле наблюдалось, в частности, в n-Ge (рис. 16.1).
Полевая зависимость концентрации носителей заряда может
быть связана со спецификой рекомбинации горячих электронов.
Действительно, в условиях равновесия концентрация свободных
носителей заряда определяется'только положением уровня Ферми
и температурой. Это обусловлено тем, что вероятности захвата
электронов центрами рекомбинации и вероятности обратного выброса
связаны друг с другом принципом детального равновесия (IX.4.6).
В результате в указанных условиях остается независимым лишь
один из двух коэффициентов, описывающих эти вероятности. Он
влияет на кинетику рекомбинации, но не на равновесную концент-
концентрацию свободных электронов. При отклонении системы от термо-
термодинамического равновесия положение меняется: соотношение (IX.4.6)
здесь уже не имеет места, и концентрация свободных носителей
заряда определяется не только температурой решетки, но и соот-
соотношением между вероятностями захвата и обратного выброса. По-

§ 6] ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ 533
скольку сечения захвата зависят от энергии захватываемого элект-
электрона, коэффициент а„ становится функцией напряженности электри-
электрического поля. Соответственно появляется и зависимость времени
жизни и концентрации свободных носителей заряда от напряжен-
напряженности поля. Легко понять, в какую сторону должны изменяться наз-
названные величины при ее возрастании. Здесь выделяются два случая,
отвечающие центрам рекомбинации, заряженным разноименно
и одноименно с носителями заряда.
В первом случае, при наличии сил кулоновского притяжения,
особенно вероятен захват сравнительно медленных электронов,
проводящих много времени вблизи рекомбинационного центра.
С другой стороны, в отсутствие вырождения электронного газа веро-
вероятность обратного выброса захваченных электронов в зону почти
не зависит от напряженности поля (пока последняя не слишком
велика) (см. ниже). Таким образом, нагрев электронного газа дол-
должен приводить к сдвигу равновесия между процессами захвата
и обратного выброса в пользу последних. Иначе говоря, в рассмат-
рассматриваемых условиях время жизни и концентрация свободных носи-
носителей заряда должны увеличиваться с ростом напряженности элект-
электрического поля. Такие эффекты действительно наблюдались при
захвате электронов положительными ионами элементов V группы
ш кремнии.
Выше мы предполагали, что полевая зависимость коэффициента
захвата обусловлена только изменением функции распределения
свободных носителей заряда. Однако есть и другой фактор —
непосредственное влияние внешнего электрического поля на энер-
энергетический спектр связанных электронов. Он оказывается сущест-
существенным, когда напряженность внешнего поля становится сравнимой
с напряженностью поля ловушки. Тогда начинается автоионизация
последней и число свободных носителей заряда быстро возрастает.
Во втором случае, при наличии сил кулоновского отталкивания,
захватываемый электрон должен преодолевать потенциальный барьер
(рис. 16.6) или проникать сквозь него туннельным путем. Факти-
Фактически в n-Ge, легированном медью или золотом, туннельный эффеьт
доминирует (см. § XVII.9). При этом вероятность захвата электрона
быстро возрастает с увеличением его энергии. В результате при
нагреве электронного газа равновесие между процессами захвата
и обратного выброса сдвигается в пользу первых. Это означает,
что время жизни и концентрация свободных носителей заряда
должны уменьшаться с увеличением напряженности электрического
поля. В сущности, это есть механизм Ридли — Уоткинса— Хилсума:
нагрев электронов способствует переходу их в состояние с практи-
практически нулевой подвижностью.
Рассматриваемый эффект хорошо наблюдается в кристаллах
электронного германия, содержащих в качестве центров рекомби-
рекомбинации отрицательно заряженные ионы золота, меди и других акцеп-

534
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ
[ГЛ. XVI
торных атомов. На рис. 16.7 показана полевая зависимость времени
жизни электронов в n-Ge с медью, частично компенсированной мел-
мелкими донорами (сурьмой) *). Концентрации меди NCu и компенси-
компенсирующих доноров Nd удовлетворяли условию 2iVCu < Nd < 3NCa.
Так как медь в германии создает три акцепторных уровня (см. рис.
2.20), то при пониженных температурах (при которых тепловой
V(P)
Рис. 16.6. Потенциальная энергия электрона в по-
поле отрицательного иона примеси. Набольших рас-
расстояниях существует только кулоновское отталки-
отталкивание. На расстояниях порядка постоянной ре-
решетки начинают сказываться короткодействующие
силы притяжения, связанные как с формой распре-
распределения заряда в самом ионе, так и с влиянием ок-
окружающих атомов решетки. Пунктиром показан
энергетический уровень, создаваемый потенциаль-
потенциальной ямой.
выброс электронов с глубоких уровней меди становится пренебре-
пренебрежимо малым, но мелкие доноры остаются еще ионизованными пол-
полностью) все электроны доноров оказываются локализованными
на уровнях меди, которая поэтому существует в виде ионов Си2"
и Си3". Генерация электронов в зону производилась светом с такой
энергией фотонов, чтобы электроны возбуждались только с верхнего
уровня меди (с ионов Си3"). Соответственно захват электронов из
зоны происходит на ионы Си2". Из рисунка видно, что время жизни х
сильно уменьшаете^ при разогреве электронного газа. Зависимость х
от напряженности электрического поля тем снльнее, чем ниже тем-
температура решетки. На рис. 16.8 показана зависимость вероятности
захвата электронов на ионы Си2" (коэффициента захвата a«~, ср.
§ IX.4) от напряженности электрического поля *). Как и следо-
следовало ожидать, а.п~~ увеличивается при разогреве электронного газа.
*) По данным работы: В. Г. Алексеева, Н. Г. Жданова, М. С. Каган, С. Г.
Калашников, Е. Г, Ландсберг, ФТП 6, 316 A972).

§6]
ЗАВИСИМОСТЬ ОТ НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ
535
На рис. 16.9 *) приведена зависимость времени жизни электро-
электронов от напряженности электрического поля в другом хорошо изу-
изученном случае — при рекомбинации горячих электронов на ионах
золота в rc-Ge. Для образца, к которому относится рисунок, также
выполнялось соотношение 2NAa <_ Nd < 3Nau- Вследствие того,
что из четырех энергетических уровней золота в германии (см.
10
10
Рис. 16.7. Зависимость времени жизни
горячих электронов в и-Ge от напря-
напряженности электрического поля при
рекомбинации на ионах Си2". Темпе-
Температура решетки: 1 — 25; 2 — 35;
5 — 40; 4 — 55; 5 — 90 К.
8, д-см~
Рис. 16.8. Зависимость коэффициента
захвата электронов а^ от напряжен-
напряженности электрического поля для меди
в германии. Температура решетки:
/ — 30; 2 — 40; 3 — 55; 4—90 К.
рис. 2.20) только три являются акцепторными (самый нижний уро-
уровень Ех — Ev = 0,05 эВ — донорный), при указанном соотношении
между концентрациями примесей и при низких температурах в гер-
германии существуют лишь ионы Аи2~ и Аи3~. Возбуждение электро-
электронов в зону происходило с ионов Аи3", а их захват из зоны — на
ионы Аи2".
Так как стационарная концентрация электронов в зоне есть
п — gn?, где gn — темп генерации электронов, то уменьшение т
при разогреве электронов сопровождается и соответствующим умень-
уменьшением их концентрации.
При достаточно больших значениях напряженности поля кон-
концентрация свободных носителей заряда в любом полупроводнике
*) По данным работы: И. А. Кирова, М. Врана, П. Берндт, ФТП 2, 1838
A968).

536
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ
[ГЛ. XVI
начинает быстро возрастать. Это обусловлено электрическим про-
пробоем — генерацией свободных носителей заряда, вызванной элект-
электрическим полем. Один из механизмов ее, называемый ударной иони-
ионизацией, состоит в том, что уже имеющиеся свободные носители,
ускоряясь полем, приобретают в нем энергию, достаточную для
ионизации примеси (примесный пробой) или — в более сильных
полях—для генерации пар элек-
электрон — дырка (междузонный
пробой), В германии при ком-
комнатной температуре междузон-
междузонный пробой наступает при g ~
~ 105 В/см. Примесный пробой
возможен лишь при достаточно
низких температурах, когда при-
примесные уровни заполнены; при
Т ~ 6,5 К в германии, легиро-
легированном галлием, это явление на-
наступает при 8 ~ 10 ч- 15 В/см.
Для более глубоких ловушек
необходимы и "более сильные по-
поля. Так, примесный пробой n-Ge,
легированного нейтральными
атомами цинка, при 8 К начи-
начинается при g~300 В/см (соот^
ветствующая энергия ионизации
составляет 0,03 эВ). Другой ме-
механизм электрического пробоя
б
1Ог 103
В,В/см
Рис. 16.9. Время жизни электронов в
n-Ge с золотом как функция напря-
напряженности поля. Кривая / соответст-
соответствует Т = 20 К, кривая 2 — 30 К. В
последнем случае играет роль тепло-
тепловая генерация носителей заряда.
обусловлен туннелированием
электронов из валентной зоны
в зону проводимости в сильном
электрическом поле (см. § IV.6).
До сих пор мы рассматривали лишь
пространственно однородную систему
носителейзаряда. В этих условиях элек*
трическое поле в полупроводнике воз-:
никает лишь при наложении напряжения и оно неизбежно связано с протеканием
тока; энергия, сообщаемая носителям заряда, берется из внешнего источника.
При этом совершенно безразлично, рассматривать ли подвижность, время жизни
и т. д. как функции напряженности поля или электронной температуры: послед-
последние две величины связаны друг с другом уравнениями баланса, и, хотя бы. в прин-
принципе, можно найти явный вид зависимости Те (I). С равным успехом можно было
бы использовать в качестве аргумента а и любую другую функцию напряженно-
напряженности поля, например плотность тока. В пространственно неоднородной системе
(например, при рассмотрении п—р-переходов) положение значительно услож-
усложняется. Действительно, в таких системах существуют внутренние электрические
поля. При равновесии они, разумеется, не производят никакой работы над мода-
телями заряда, ибо плотность тока равна нулю: в областях, где зоны искривлены,
плотность тока состоит из суммы дрейфовой и диффузионной компонент, которые

§7] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ 537
взаимно компенсируются. При нарушении равновесия нагрев становится возмож-
возможным. Тогда уравнения баланса приобретают более сложный вид, нежели C.1)
и C.2): появляются составляющие плотности тока и потока энергии, связанные
с градиентами концентрации электронов и электронной температуры. В резуль-
результате уравнения баланса становятся дифференциальными. Напряженность поля,
концентрация частиц и электронная температура зависят теперь от координат,
а соотношения между ними оказываются, вообще говоря, нелокальными: любая
из этих величин, взятая в какой-нибудь точке пространства, может зависеть от
значений других величин не только в той же точке, но и в других (более подроб-
подробнее рассмотрение этого вопроса можно найти в книге [4]). Некоторые эффекты,
связанные с нагревом электронов -в таких системах, рассматриваются в
книге [3].
§ 7. Дифференциальная проводимость
Плотность тока в пространственно однородной системе дается
выражением
Ь = <*аЭ (Те) &f», Cap = Ф-ap"- G-1)
Уравнение
j = i(S)
определяет вольтамперную характеристику рассматриваемого об-
образца. В условиях применимости закона Ома она линейна. В резуль-
результате нагрева электронного газа вольтамперная характеристика ста-
становится нелинейной.
Для описания таких вольтамперных характеристик удобно ввести
представление о дифференциальной проводимости ad. В простейшем
случае, когда а есть скаляр, аа определяется равенством
w-w- G-2)
Соответствующее тензорное выражение имеет вид
Равенства G.2), G.2') написаны для постоянного тока; в пере-
переменном поле они сохраняются в применении к фурье-компонентам
j (со) и g (to). Дифференциальная проводимость при этом зависит
от частоты поля со.
Для вычисления Оа удобно воспользоваться уравнением баланса
C.1), переписав его в виде
о 2 t* В'— /*7 О \
Введем для краткости обозначение
nk Te~T =Р. G.4)
Тогда

538 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
Величина Р есть мощность, передаваемая решетке электронами
в единице объема.
Рассматривая р,, а, п и %е как функции электронной температуры,
мы имеем (согласно G.2))
Чтобы найти производную dTe/d&, продифференцируем по 8
равенство G.3'):
9л?л-ра da dT" - rfP dT"
жъ + ъ dTe d&~~ dTe~diT'
откуда
dTe 2e%
dP
dTe a dTe
Подставляя это выражение в G.2") и заменяя там 82 на Р/а, полу-
получим с учетом G.1)
JtP_ _P_ da
_ _ dT. ' a dTР ,_ rv
dTe a dTe
Подчеркнем, что использование здесь представления об электрон-
электронной температуре отнюдь не означает, что функция распределения
непременно имеет больцмановский вид D.6) (см. § 4).
В зависимости от того, как ведет себя проводимость а при повы-
повышении напряженности поля, кривая / (8) отклоняется вниз или
вверх от прямой / = а0 8. В первом случае говорят о сублинейной
вольтамперной характеристике (do/de <0), во втором — о супер-
суперлинейной (da/de> 0).
При da/d 8 < 0 проводимость на некотором участке характе-
характеристики может столь быстро убывать с ростом 8, что это перекроет
возрастание тока, связанное с наличием обычного множителя 8
в формуле G.1). Тогда плотность тока будет убывать с возрастанием
напряженности поля: сублинейная вольтамперная характеристика
превратится в характеристику с падающим участком, чему отвечают
отрицательные значения дифференциальной проводимости. При даль-
дальнейшем возрастании напряженности поля причины, вызывающие
столь быстрое уменьшение проводимости, обычно исчезают: проис-
происходит смена механизма рассеяния (в случае перегревного механизма),
уравниваются концентрации электронов в нижней и верхних доли-
долинах (в случае механизма Ридли — Уоткинса — Хилсума) и т. д. Тогда
плотность тока вновь начинает возрастать вместе с полем. В резуль-
результате получается вольтамперная характеристика, схематически изоб-
изображенная на рис. 16.10 (ее называют характеристикой iV-типа).
Как видно из рисунка, в образцах с вольтампериой характеристикой

§ 7]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
539
iV-типа, связь напряженности поля с плотностью тока не всегда одно-
однозначна: в области
Рис. 16.10. Вольтамперная характеристика
./V-типа.
каждому значению плотности тока отвечают три возможных зна-
значения напряженности по-
поля: §1( §2 и §з- Два из них
(8Х и ё3) находятся на воз-
возрастающих ветвях харак-
характеристики, одно (§2)—на
падающей.
При da Id g > 0 прово-
проводимость на некотором уча-
участке характеристики мо-
может столь быстро возра-
возрастать с ростом плотности
тока, что напряжение на
образце, а следовательно и напряженность поля, будет падать с ро-
ростом /. Суперлинейная вольтамперная характеристика превратится
в характеристику с областью отрицательной дифференциальной
проводимости. При дальнейшем возрастании плотности тока при-
причины, вызывающие столь быстрый рост прово-
проводимости, обычно исчезают. Тогда напряжен-
напряженность поля вновь начинает возрастать вместе
с плотностью тока. В результате получает-
получается вольтамперная характеристика 5-типа
(рис. 16.11).
Как видно из рис. 16.11, в образцах с вольт-
амперной характеристикой 5-типа связь плот-
плотности тока с напряженностью поля не всегда
однозначна: в области
Jj iTxT ! каждому значению напряженности поля от-
отвечают три возможных значения плотности
тока. Два из них (/\ и /3) находятся на воз-
возрастающих ветвях характеристики, одно
(/.2) — на падающей.
Условия образования той или иной харак-
характеристики легко найти с помощью формулы
G.5). Действительно, из рис. 16.10 и 16.11
видно, что в случае характеристики iV-типа дифференциальная про-
проводимость меняет знак, проходя через нуль, а в случае характерис-
характеристики S-типа — проходя через бесконечность: в нуль должен обра-
обращаться либо числитель, либо знаменатель в правой части G.5).
Таким образом, условия возникновения падающих участков с
Рис. 16.11. Вольтам-
Вольтамперная характеристи-
характеристика S-типа.

540 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
образованием характеристик N- и 5-типа можно записать в виде
d
— in i
_ a
ИЛИ
G.6)
G.7)
Чтобы придать условиям G.6) и G.7) явный вид, надо найти
подвижность, концентрацию носителей заряда и время релаксации
энергии как функции электронной температуры. Расчеты показы-
показывают *), что для ряда веществ условия G.6) и G.7) действительно
удовлетворяются. Так, в однородном и-GaAs уже при комнатной
температуре возникает характеристика Af-типа. Участок отрица-
отрицательной дифференциальной проводимости начинается при напря-
напряженности поля 8 около 2,3 кВ/см и исчезает при $ ~ 10 кВ/см.
В n-Ge, легированном золотом или медью, также возникает такая
характеристика в области водородных или, соответственно, азот-
азотных температур решетки.
§ 8. Флуктуационная неустойчивость
С точки зрения радиотехники образец с вольтамперной характе-
характеристикой N- или 5-типа представляет собой активный элемент цепи.
При определенных условиях в контуре, содержащем такой элемент,
могут возбуждаться незатухающие колебания тока. Частота их зави-
зависит от параметров контура. Однако активные элементы, рассмотрен-
рассмотренные в предыдущих параграфах, обладают одной важной особеннос-
особенностью, отличающей их от других известных в радиофизике: мы, по пред-
предположению, имели дело с технологически однородными образцами.
Следует, однако, иметь в виду, что представление о пространст-
пространственной однородности в среднем не исключает малых локальных отк-
отклонений — флуктуации — концентрации электронов, напряженности
поля и. т. д. от средних их значений. Эти флуктуации обусловлены,
с одной стороны, беспорядочным тепловым движением носителей
заряда, с другой — случайными неоднородностями в распределении
примесных атомов и других структурных дефектов кристалличес-
кристаллической решетки. Когда электронный газ находится в состоянии термо-
термодинамического равновесия или близком к нему, наличие флуктуа-
флуктуации обычно слабо влияет на явления переноса. Действительно, флук-
*) В применении к n-GaAs подробный расчет можно найти в книге [2].

§ 8]
ФЛУК.ТУАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
541
туации, связанные с тепловым движением, быстро затухают, а веро-
вероятность появления больших флуктуации невелика. Последнее отно-
относится и к случайным неоднородностям в распределении примеси
в технологически однородном образце. Сверх того, неоднородности
в распределении примесных
ионов — как и всякий заряд в
полупроводнике или металле —
экранируются, что еще более
локализует их влияние.
Положение может изменить-
измениться, если электронный газ доста-
достаточно сильно нагрет. Действи-
Действительно, пусть произошла малая
локальная флуктуация напря-
напряженности поля 68 (х) (рис. 16.12);
в силу уравнения Пуассона она
сопровождается и флуктуация-
ми плотности заряда бр =
= -^- div бб. Далее,
J
согласно
Jo
со
G.2) должна появиться и ма-
малая флуктуация плотности тока
8j = ad6S. (8.1)
Как видно из рис. 16.12, при
Оа > 0 флуктуация плотности
тока такова, что приток заря-
заряда в область пониженной кон-
концентрации его увеличивается, а
в область повышенной концен-
концентрации —'- уменьшается, т. е.
флуктуация затухает со вреуе-
нем. С другой стороны, при
®d < 0 увеличивается (умень-
(уменьшается) приток заряда в область,
где плотность его и без того уже
повышена (понижена). Соответ-
Соответственно флуктуация, раз возник-
возникнув^ должна, казалось бы, раз-
разрастаться — в0 всяком случае до тех пор, пока ее рост не будет
ограничен нелинейными эффектами *). В этом рассуждении содер-
содержится, однако, одна неточность. Дело в том, что соотношение G.2)
и, следовательно, (8.1) написаны для пространственно однородной
.'Г.в) Формально влияние нелинейных эффектов проявится в поправках к фор-
формуле (8.1): она вытекает из G.1) лишь при очень малых (формально — бесконечно
малых) значениях 6j и 6S.
Рис. 16.12. Флуктуации напряженно-
напряженности поля, объемной плотности заря-
заряда и плотности тока при положитель-
положительной и отрицательной дифференциаль-
дифференциальной проводимости. Через g0 и /0обозна-
/0обозначены средние значения напряженности
поля и плотности тока.

542 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
системы носителей заряда. При наличии флуктуации плотности
заряда и электронной температуры появляются еще электронные
потоки диффузионного и термоэлектрического происхождения, спо-
способствующие рассасыванию флуктуации. По этой причине флуктуа-
флуктуация начинает расти, лишь если дрейфовая компонента флуктуации
плотности тока (8.1) не только антипараллельна 68, но и достаточно
велика по абсолютной величине: абсолютная величина отрицатель-
отрицательной дифференциальной проводимости должна превосходить некото-
некоторое критическое значение a'd- Для вычисления a'd надо исследовать
поведение флуктуации напряженности поля, плотности заряда
и т. д. Результат зависит от конкретных особенностей рассматривае-
рассматриваемой системы (соответствующие расчеты можно найти в книге [4]),
Коль скоро условие
\od\>a'd (8.2)
выполняется, газ носителей заряда оказывается неустойчивым
относительно развития малых флуктуации плотности заряда и на-
напряженности поля. Об этом говорят как о флуктуационной неустой-
неустойчивости системы. В результате распределение плотности заряда,
напряженности электрического поля и электронной температуры
в технологически однородном образце становится пространственно
неоднородным. Иначе говоря, при достаточно большом отклонении
от термодинамического равновесия, когда \аа\ достигает значения
a'd, газ носителей заряда переходит в некоторое новое состояние,
в равновесных условиях не наблюдаемое.
§ 9. Электрические домены и токовые шнуры
Исследуем распределение напряженности поля и других физи-
физических величин в пространственно неоднородном состоянии, возни-
возникающем в результате флуктуационной неустойчивости. С этой
целью надо выяснить, какие именно отклонения от постоянных сред-
средних значений j, n, & и Те «опасны», т. е. не затухают, а нарастают
со временем.
Удобно воспользоваться уравнением баланса энергии G.3'),
записав его в виде
Г = 0, ?)-Я = 0. (9.1)
Величина Г представляет собой отнесенную к единице объема и
единице времени разность между энергией, получаемой электро-
электронами от поля, и энергией, отдаваемой ими решетке. В результате
флуктуации электронной температуры, плотности заряда и т. д.
значение Г может стать отличным от нуля. При этом существуют
две возможности:
а) Знаки 6Г и ЬТе противоположны. При этом случайное умень-
уменьшение (увеличение) электронной температуры компенсируется отно-

§ 9]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ДОМЕНЫ И ТОКОВЫЕ ШНУРЫ
543
сительным ростом (падением) притока энергии от внешнего поля.
Такие флуктуации затухают со временем — они безопасны.
б) Знаки 6Г и 8Те одинаковы. При этом баланс энергии, посту-
поступающей в электронный газ, таков, что приводит к дальнейшему
росту флуктуации. Такие флуктуации опасны. Коль скоро они имеют
место, предположение о сохранении пространственной однород-
однородности системы электронов оказывается неправильным.
Примем направление тока за ось X. Пусть электронная темпера-
температура испытывает флуктуацию 8Те (х), постоянную (при данном х) по
всему сечению образца; связанная с ней флуктуация напряженности
поля есть Ь%х (х). Флуктуацию х-компоненты плотности тока будем
Рис. 16.13. Флуктуации электронной температуры и на-
напряженности поля в образце с характеристикой TV-типа
приводят к образованию электрического домена. Справа
на рисунке заштрихован домен сильного поля.
считать равной нулю: $jx = 0 (рис. 16.13). Возможны и флуктуации
другого типа, но для наших целей достаточно рассмотреть только
такие: задача состоит в том, чтобы найти опасные флуктуации. В рас-
рассматриваемом случае левую часть (9.1) удобно переписать в виде
Т = ?-Р. (9.Г)
a v '
Флуктуация ее около равновесного состояния, в котором Г = О,
есть
&Т = -^у18Те, (9.2)
где
_f_da_t dP
о dTp dTp
(9.3)
При Yi > 0 реализуется случай а), а при уг < 0—случай б).
Сравнивая выражения (9.3) и G.5), видим, что ух меняет знак вместе
с дифференциальной проводимостью, которая при этом проходит
через нуль. Таким образом, в случае характеристики Л/'-типа опасны
флуктуации плотности заряда и компоненты напряженности поля
в направлении тока *). Раз возникнув, такие флуктуации будут
нарастать, пока нелинейные эффекты не ограничат дальнейшее
их развитие. Распределение поля и плотности заряда станет уже
*) Более подробное исследование показывает, что флуктуации другого типа
в этом случае безопасны. Доказательство этого и дальнейших утверждений, име-
имеющихся в этом параграфе, выходит за рамки этой книги (см. [4]).

544 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
пространственно неоднородным: образец разобьется на области
сильного и слабого поля, расположенные так, как показано на
рис. 16.13. Область повышенной напряженности электрического
поля называют доменом сильного поля или просто электрическим
доменом. Распределение напряженности поля внутри самого домена
может быть различным в зависимости от природы образца. С другой
стороны, в областях слабого поля напряженность его практически
постоянна и электронный газ почти не нагрет.
Могло бы возникнуть и несколько доменов сильного поля. Иссле-
Исследование показывает, однако, что такое распределение поля неустой-
неустойчиво: флуктуации приводят к «слипанию» доменов в один.
Jcriad.
7///7/777Л i
сильн
Рис. 16.14. Флуктуации электронной температуры и плотности1
тока в образце с характеристикой S-типа приводят к образова-
образованию токовых шнуров. Справа на рисунке заштрихован шнур силь-
сильного тока.
Пусть теперь электронная температура испытывает однородную
вдоль оси X флуктуацию ЬТе {у, z), сопровождаемую флуктуацией
^-компоненты плотности тока 5jx (у, z). Флуктуацию 6&д. будем
считать равной нулю (рис. 16.14). Выражение (9.1) удобно перепи-
переписать в виде
Т = о&-Р. (9.1")
Флуктуация величины Г равна
er = -Y8dre, (9.4)
где
йТг a dTe
Как и в предыдущем примере, рассматриваемая флуктуация
безопасна при уа > 0 и опасна при у2 < 0- Сравнивая выражения
(9.5) и G.5), видим, что у2 меняет знак вместе с дифференциальной
проводимостью и последняя в этом случае проходит через бесконеч-
бесконечность. Таким образом, при характеристике S-типа опасны флуктуа-
флуктуации электронной температуры и х-компоненты плотности;тока в на-
направлении, перпендикулярном направлению тока. В результате
развития этих флуктуации образец разбивается на области слабого
и сильного тока, расположенные так, как показано на рис. 16.14.
Область сильного тока могла бы представлять собой как плоский
слой, ориентированный параллельно оси X, так и токовый шнур

§ 10] ДВИЖУЩИЕСЯ И СТАТИЧЕСКИЕ ДОМЕНЫ 545
цилиндрической формы. Исследование показывает, однако, что
устойчивой может быть только последняя конфигурация. Облгсть,
заштрихованная на рис. 16.14, изображает сечение шнура плоскостью
чертежа.
§ 10. Движущиеся и статические домены
В технологически однородном образце тепловые флуктуации
могут привести к образованию домена в любой точке. В силу одно-
однородности образца следует ожидать, что, раз возникнув, домен сможет
перемещаться по образцу, пока не исчезнет на одном из электродов.
Движение доменов наблюдалось в ряде материалов: в /г-GaAs,
в /г-Ge, легированном золотом или медью, в полуизолирующем
арсениде галлия, в сульфиде кадмия я-типа, в p-GaSb и др. Это явле-
явление можно обнаружить, измеряя распределение потенциала в_ об-
образце: напряжение между двумя точками, между которыми нахо-
находится домен, должно быть повышено по сравнению с тем, что наблю-
наблюдается в остальной части образца.
Скорость домена оказывается различной — в зависимости от
механизма, ответственного за возникновение отрицательной диффе-
дифференциальной проводимости однородного образца.
Здесь выделяются два предельных случая, о которых говорят,
соответственно, как о дрейфовой и рекомбинационной нелинейности.
В первом основную роль играет зависимость подвижности от поля —
например, в силу механизма Ридли—Уоткинса—Хилсума. При этом
захват и генерация носителей заряда не играют существенной роли;
при достаточно большой скорости движения домена они вообще
не успевают происходить. Скорость домена в этом случае есть дрей-
дрейфовая скорость основных носителей заряда в слабом поле (соответ-
(соответствующем незаштрихованным областям на рис. 16.13). Она дейст-
действительно оказывается большой в указанном только что смысле.
При рекомбинационной нелинейности основную роль играют
процессы захвата и генерации носителей заряда. В зависимости
от напряженности поля соотношение между концентрациями сво-
свободных и связанных носителей оказывается различным, и переме-
перемещение домена связано с перераспределением электронов между
зоной и уровнями захвата. Этот процесс ограничивает скорость доме-
домена, которая оказывается значительно меньше дрейфовой. Так,
в /г-Ge, легированном золотом, скорость домена при водородных тем-
температурах может составлять от 10 см/с до КУ2 см/с.
Движение доменов сопровождается колебаниями тока в цепи
нагрузки. Действительно, пока домен движется вдоль технологи-
технологически однородного образца, сила тока не изменяется; но, дойдя
до соответствующего электрода, домен исчезает, что ведет к времен-
временному повышению силы тока. При последующем возникновении домена
на другом электроде сила тока в цепи вновь падает (рис. 16.15).

546 ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ [ГЛ. XVI
Время пролета домена по образцу равно t0 = L/v0, где L и v0 —
длина образца в направлении тока и скорость домена. При не слиш-
слишком малой длине образца это время значительно превышает времена
исчезновения и образования домена. При этом период колебаний
тока в цепи нагрузки будет с хорошим приближением равен t0.
Соответственно для частоты этих колебаний со мы получаем
со = 2я^. A0.1)
Это соотношение между со и L хорошо оправдывается на опыте.
В арсениде галлия «-типа частота колебаний A0.1) составляет
примерно 10э 4- 1010 Гц и выше, в зависимости от длины образца.
Возникновение рассматриваемых колебаний в n-GaAs и подобных
ему материалах называет-
^ ся эффектом Ганна. Он
используется в полупровод-
полупроводниковой электронике для
создания генераторов и
усилителей СВЧ, элементов
ЭВМ и ряда других при-
приборов.
* Электрические домены
Рис. 16.15. Сила тока / в цепи нагрузки как МОГУТ возникать не только
функция времени / при движении доменов по в результате тепловых
образцу (схематически). флуктуации, но и благода-
благодаря флуктуациям напряжен-
напряженности поля, связанным со случайными статическими неоднородностя-
ми распределения примеси. Последние играют роль затравок, ини-
инициирующих возникновение макроскопически неоднородного состоя-
состояния. При этом домены могут оказаться локализованными вблизи
затравок. Такие домены называют статическими. Образование
их не влечет за собой колебаний тока в цепи нагрузки. Оно, однако,
приводит к насыщению тока: все изменение напряжения на образце
падает ria домене, размеры которого соответственно изменяются.
С дальнейшим повышением напряжения на образце статический
домен может «оторваться» от затравки и превратиться в движу-
движущийся.
Помимо случайных неоднородностей указанного выше типа,
роль затравки могут играть также электроды. Возникновение до-
домена — статического или движущегося — связано здесь с контакт-
контактным полем, которое в условиях нагрева действует так же, как^и
флуктуационное. Домен образуется у катода или анода, в зависМ*
мости от типа контакта и от знака носителей заряда,

Глава XVII
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ
И ЗАДАЧИ, ВЫХОДЯЩИЕ ЗА ЕЕ РАМКИ
§ 1. Три вопроса к зонной теории
Как мы видели в предыдущих главах, зонная теория твердого
тела позволяет успешно интерпретировать множество эксперимен-
экспериментальных данных, касающихся электрических, гальваномагнитных,
оптических и других свойств полупроводников. Вместе с тем спра-
справедливость основных предположений, на которых базируется зон-
зонная теория, отнюдь не очевидна. Поэтому возникает задача об обос-
обосновании зонной теории и об установлении границ ее применимости.
Здесь можно выделить три основных вопроса, соответствующие трем
основным предположениям, принятым в § III. 1.
Во-первых, уравнение Шредингера (III.2.4) описывает движение
электрона при фиксированном расположении тяжелых частиц,
рассматриваемых просто как источники поля. Фактически тяжелые
частицы также движутся. Это движение мы изучали в гл. XII.
Там, однако, не принималось явно во внимание наличие свободных
электронов. Между тем они не только испытывают действие со сто-
стороны тяжелых частиц, но и сами действуют на них. Возникает
вопрос: можно ли — и если да, то на каком основании — рассмат-
рассматривать по отдельности движение тяжелых частиц — атомных ядер —¦
и электронов?
Во-вторых, уравнение (III.2.4) описывает движение электрона
в периодическом поле. Это означает, в частности, что решетка пред-
предполагается идеальной: тяжелые частицы считаются покоящимися
строго в ее узлах, в результате чего потенциальная энергия элект-
электрона оказывается периодической функцией координат. Фактически,
однако, такое состояние не может реализоваться: оно отвечало бы
точно заданным значениям координат и скоростей частиц, что не
допускается принципом неопределенности. Иначе говоря, кристал-
кристаллическая решетка в принципе не может быть идеальной. Отражением
этого обстоятельства являются нулевые колебания решетки. Как
мы видели в гл. XIV, наличие колебаний решетки (в том числе и
нулевых) приводит к появлению дополнительного слагаемого в опе-
операторе энергии электрона — энергии взаимодействия электрона
с колебаниями решетки.
Возникает вопрос: можно ли — и если да, то на каком основа-
основании — рассматривать задачу об энергетическом спектре электрона

548 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
в идеальной решетке, пренебрегая его взаимодействием с ее коле-
колебаниями?
Наконец, в-третьих, уравнение (III.2.4) описывает движение
одного электрона. На самом деле в любой конденсированной среде,
в том числе и в полупроводнике, мы всегда имеем дело со многими
электронами, взаимодействующими друг с другом. Такая система
описывается волновой функцией, зависящей от координат и спинов
всех электронов, а не только одного из них. Для определения этой
волновой функции надо было бы написать уравнение Шредингера
с гамильтонианом, содержащим не только операторы кинетической
энергии электронов и потенциальной энергии их в поле тяжелых
частиц, но и операторы энергии взаимодействия электронов друг
с другом/
Возникает вопрос: можно ли — и если да, то на каком основа-
основании — рассматривать одноэлектронную задачу (III.2.4) вместо мно-
многоэлектронной?
Проблема обоснования данной теории твердого тела состоит
в том, чтобы выяснить, можно ли дать положительные ответы на
три поставленных выше вопроса.
Как мы увидим, такая возможность действительно существует
для определенного (достаточно широкого) класса материалов и
круга явлений. Обращаясь к изучению других материалов и дру-
других явлений, мы тем самым перейдем к задачам, выходящим за рамки
зонной теории.
§ 2. Адиабатическое приближение
Обратимся к вопросу о возможности раздельно рассматривать
движение электронов и тяжелых частиц. Под последними пока будем
понимать ядра атомов кристаллической решетки.
Физическая причина, оправдывающая указанное разделение,
состоит в резком различии масс электрона и ядра. В силу этого
различия можно ожидать, что- скорости и ускорения электронов
будут в среднем значительно превышать скорости и ускорения ядер.
При этом характер движения электронов будет определяться мгно-
мгновенным расположением ядер. С другой стороны, ядра, в силу
инерционности своего движения, будут «замечать» лишь среднее
расположение электронов.
Задача состоит теперь в квантовомеханическом оформлении этих
полуинтуитивных соображений классического характера. При этом,
в частности, надо придать и точный смысл словам «среднее располо-
расположение» и т. п.
Пронумеруем электроны индексами i, /, а тяжелые частицы —
индексами а, Ъ. Каждый из этих индексов принимает, независимо
от других, столько значений, сколько соответствующих частиц есть
в системе. Обозначим радиус-векторы электронов и тяжелых частиц,

§ 2] АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 549
соответственно, через гг и Ra; совокупности этих переменных обо-
обозначим для краткости через г = {г^ ...} и R = {Rx, ...}. Спиновые
координаты электронов явно указывать не будем, подразумевая
лишь в случае необходимости, что они включены в г. Массы тяже-
тяжелых частиц обозначим через Ма. Для дальнейшего существенно
лишь, что все они гораздо больше массы электрона т0. Потенциаль-
Потенциальные энергии взаимодействия двух электронов друг с другом, элек-
электрона с ядром и двух ядер друг с другом обозначим, соответственно,
через Uj_ (г, — г,), ?/2 (г,- — RJ и Us (Re — R»).
Уравнение Шредингера для рассматриваемой системы частиц
имеет вид
HW=WW, B.1)
где W — полная энергия системы. Волновая функция W зависит
от совокупностей всех координат г = {г1( ...} и R — (Rx, ...}, а
гамильтониан Я дается выражением
i,a
Здесь символы у! и V« обозначают лапласианы по переменным rt
и Ra-
Нам предстоит выяснить, нельзя ли свести уравнение B.1)
к системе двух более простых уравнений, описывающих, соответст-
соответственно, движение электронов при заданном расположении ядер и
(более медленное) движение самих ядер. В соответствии с высказан-
высказанной выше физической идеей представим волновую функцию W
в виде
?(r, R) = X(r, Я)Ф(Я). B.3)
Здесь % и Ф — неизвестные пока функции, причем желательно,
чтобы % зависела от координат R только параметрически. Это
означает следующее: желательно, чтобы переменные Rlf ... входили
в уравнение для х только как аргументы, от которых зависит потен-
потенциальная энергия, но не как координаты, по которым производится
дифференцирование.
Подставляя выражение B.3) в уравнение B.1), получаем
«<1
1Ф1 t,a I

550 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
В третьей строке уравнения B.4) выписаны слагаемые, содержащие
производные от % по координатам ядер: в первом члене на функцию %
действуют операторы скорости тяжелых частиц (— ih/Ma)ya, во
втором — операторы их кинетической энергии (— h2/2Ma) y«.
С другой стороны, в первой строке B.4) на функцию % действуют
операторы кинетической энергии электронов (— Й2/2т0)у?. Посколь-
Поскольку ядра в среднем движутся гораздо медленнее легких частиц,
можно ожидать, что при определении энергетического спектра элек-
электронов слагаемые в третьей строке B.4) будут сравнительно несу-
несущественны. Пренебрегая ими, мы можем выполнить в B.4) разде-
разделение «электронных» и «ядерных» переменных. В самом деле, при-
приравняем коэффициент при Ф в первой строке B.4) некоторой функ-
функции E(R)%. Получим
2 B-5a)
' J= 7 i, a
2 U3(Ra-Rb)O + E(R)O = WO. B.56)
афЬ
Равенство B.5а) есть не что иное, как уравнение Шредингера
для системы электронов, взаимодействующих друг с другом и с
атомными ядрами, покоящимися, в некоторых фиксированных
точках пространства. Координаты последних Rx, ... входят в урав-
уравнение как параметры. Величина E(R) имеет смысл собственного
значения энергии рассматриваемой системы. Естественно, она зави-
зависит от параметров Rj, ..., входящих в уравнение, т. е. от располо-
расположения ядер в данный момент времени.
Как известно из квантовой механики, Е (R) можно рассматривать
и.как квантовомеханическсе среднее значение энергии электронов
при данной конфигурации ядер. Действительно, умножим уравнение
B.5а) слева на функцию %* (принадлежащую данному собственному
значению Е) и проинтегрируем по электронным координатам
(включая и суммирование по спиновым координатам). Замечая, что
имеет место условие нормировки
где dr есть произведение дифференциалов drlt ..., получим
2 ^ ft г) +2и < R) 4dr-
*) 4
)
2
I, i i, a
В правой части B.6) стоит как раз выражение для квантовомеха-
нического среднего значения полной энергии электронов при задан-
заданной конфигурации ядер.

§ 2] АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 551
Равенство B.56) представляет собой не что иное, как уравнение
Шредингера для системы ядер. Потенциальная энергия ее есть
B.7)
Видим, что в рамках принятого приближения ядра действительно
испытывают лишь усредненное воздействие электронов: средняя
энергия последних входит как потенциальная энергия в уравнение,
движения тяжелых частиц.
Уравнения B.5а) и B.56) осуществляют программу, намеченную
в начале этого параграфа. Приближение, в рамках которого они
получены (пренебрежение слагаемыми в третьей строке уравнения
B.4)), называется адиабатическим: функция % (г; R) описывает
поведение системы электронов при бесконечно медленном («адиаба-
(«адиабатическом») изменении параметров R.
Слагаемые, содержащиеся в третьей строке уравнения B.4),
называются членами неадиабатичности; они представляют собой ре-
результат применения «оператора неадиабатичности»
a
к функции %.
Таким образом, мы получили ответ на первый из вопросов,
поставленных в предыдущем параграфе: раздельное рассмотрение
движения электронов и ядер возможно в рамках адиабатического
приближения.
Для оценки степени точности адиабатического приближения
надо, рассматривая оператор неадиабатичности как возмущение,
вычислить связанные с ним поправки к энергетическому спектру
системы и к другим наблюдаемым величинам. В простейшем слу-
случае, когда основное состояние рассматриваемой системы электро-
электронов и ядер не вырождено и отделено достаточно большой энергети-
энергетической щелью от первого возбужденного состояния, результат
оказывается довольно простым [1]: поправки к адиабатическому
приближению — порядка не ниже (то/МI/А, где М — масса ядра.
При отказе от указанных только что предположений возникают
трудности, связанные с применением теории возмущений в непре-
непрерывном спектре. Полная ясность здесь еще не достигнута.
Отметим, что есть явления, при изучении которых учет неадиаба-
неадиабатичности необходим принципиально. Так обстоит дело, если мы
интересуемся обменом энергией между электронами и решеткой *).
Одна из важных задач этого типа есть задача о захвате свободных
электронов и дырок ловушками.
*) Рассеяние электронов фононами (гл. XIV) также есть пример неадиаба-
неадиабатического процесса. Не случайно константа С в выражении (XIV.4.19) содержит
в числителе массу элементарной ячейки М.

552 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
§ 3. Приближение малых колебаний
В рамках адиабатического приближения уравнение B.5а) опи-
описывает поведение электронов в любой атомной системе — твердом
теле, жидкости, газе, отдельной молекуле и т. д. Специализируя
его для идеального кристалла, надо считать, что атомные ядра
расположены в узлах кристаллической решетки. Очевидно, соот-
соответствующие значения R должны отвечать минимуму потенциаль-
потенциальной энергии ядер B.7): в противном случае решетка была бы неустой-
неустойчива. Само выражение B.7), фигурирующее в уравнении B.56),
естественно разложить в ряд по малым отклонениям от- положений
равновесия. Это приближение малых колебаний оправдано, пока
амплитуда колебаний мала по сравнению с постоянной решетки,
т. е. пока температура кристалла не слишком близка к точке плавле-
плавления. Пользуясь таким приближением, мы приходим к постановке
задачи о малых колебаниях, принятой в гл. XII.
Согласно B.7) потенциальная энер_гия системы ядер зависит от
состояния электронов. Следовательно, то же относится и к положе-
положениям равновесия, и к частотам нормальных колебаний: последние,
как мы знаем, определяются вторыми производными от функции
V(R) B.7), взятыми в точке ее минимума. Таким образом, разным
состояниям системы электронов соответствуют, вообще говоря,
различные фононные спектры. Это обстоятельство не играло сущест-
существенной роли в теории подвижности, ибо, как мы видели в § XIV.4,
изменение энергии 'электрона при поглощении или испускании
одного акустического фонона сравнительно невелико. Однако при
захвате электрона примесным центром или иным структурным
дефектом решетки положение может измениться. Как мы увидим
в § 9, это обстоятельство существенно для правильной оценки
вероятности захвата.
До сих пор мы говорили о тяжелых частицах как об атомных
ядрах. Однако весвма часто роль тяжёлых частиц могут играть-
и атомные остовы, содержащие электроны внутренних оболочек.
Действительно, энергия связи внутренних электронов с ядром'
обычно столь велика, что состояния их лишь очень мало меняются ;
как при образовании кристалла, так и при различных электронных
процессах в нем *). Далее, внутренние электроны в среднем расмо
лагаются гораздо ближе к ядру, нежели валентные. Большей степени ,
локализации отвечает и большая кинетическая энергия: валентныеj
электроны движутся в среднем заметно медленнее внутренних. Это
позволяет вновь применить адиабатическое приближение, рассмда
ривая на сей раз внутренние электроны как «быструю подсистему*,
а валентные — как «медленную»; такой подход оправдан, коль
*) Исключение могут составить лишь атомы самых легких элементов.

§ 4] РОЛЬ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ. ПОЛЯРОН . , 553
скоро энергии ионизации первых гораздо больше, нежели вторых.
Таким, образом, оказывается возможным рассматривать систему
валентных электронов, движущихся в поле атомных ядер и среднем
поле внутренних электронов. Иначе говоря, индекс i в уравнении
B.5а) нумерует теперь только валентные электроны, а величина ?/2
есть потенциальная энергия электрона в поле атомного остова. Это
приближение можно назвать валентным. Им обычно пользуются
при изучении большинства полупроводников. Пример, когда ва-
валентное приближение может оказаться недостаточным, представляют
вещества, содержащие ионы или атомы переходных или ред-
редкоземельных элементов: электроны незаполненных внутренних
оболочек также надо рассматривать явно.
Подчеркнем, наконец, что разделение всех электронов на «вхо-
«входящие в атомные остовы» и «рассматриваемые явно» не носит абсо-
абсолютного характера, а зависит от изучаемого явления. Если энергия
какого-либо внешнего воздействия сравнима с энергией ионизации
внутренних оболочек, то соответствующие электроны надо рассмат-
рассматривать явно. Так, например, обстоит дело в случае поглощения
рентгеновских лучей кристаллами или при прохождении быстрых
атомных частиц: через вещество.
§ 4. Роль колебаний решетки. Полярон
Обратимся ко второму из вопросов, поставленных в § 1, — о роли
неизбежной неидеальности решетки, связанной с ее колебаниями.
В сущности, ответ на этот вопрос содержится уже в принятой
в гл. XIV постановке задачи о рассеянии носителей зарядаг: в задаче
об энергетическом спектре электронов неидеальностью решетки
можно пренебречь, если она достаточно мало влияет на полную
энергию электрона. Соответствующий количественный критерий не
отличается от условий применимости кинетического уравнения
(XIVV 2.22а, б).
Как показывают оценки, во всех исследованных до сих пор
материалах взаимодействие носителей заряда с акустическими,
колебаниями оказывается слабым в указанном смысле. То же отно-
относится и к взаимодействию с оптическими колебаниями в неполярных
кристаллах и в полупроводниках типа AIUBV. Положение, однако,
радикально меняется при переходе к ионным кристаллам — щелоч-
но-галоидным и др. Взаимодействие электронов и дырок с продоль-
продольными оптическими колебаниями в этих веществах оказывается
столь сильным, что знак в неравенстве (XIV. 2.22а) может из-
измениться на обратный.
Причину этого легко понять. В ионных кристаллах продольные
оптические колебания решетки связаны с изменениями дипольных
моментов элементарных ячеек. При этом меняется и вектор инер-

554 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
ционной поляризации среды *). По этой причине колебания указан-
указанного типа часто называют поляризационными. Энергия взаимодей-
взаимодействия электрона с ними есть не что иное, как изменение энергии
взаимодействия заряда с дипольными моментами элементарных
ячеек при оптических колебаниях. В силу сравнительно медленного
убывания напряженности поля диполя с расстоянием вклад в энер-
энергию в каждой точке пространства происходит от большого числа
элементарных ячеек. Это приводит к сравнительно большому значе-
значению энергии взаимодействия и, соответственно, малому значению
времени релаксации, формально вычисленному по обычной схеме
кинетического уравнения. Отсюда следует, что в рассматриваемых
материалах взаимодействие электронов с поляризационными колеба-
колебаниями решетки надлежит явно принимать во внимание при определе-
определении энергетического спектра электронов и дырок, Представление
о движении электрона в идеальной решетке здесь становится не-
неоправданным, и мы приходим к задаче, выходящей за рамки зонной
теории.
Характер энергетического спектра электрона, сильно взаимо-
взаимодействующего с поляризационными колебаниями решетки, можно
представить себе с помощью наглядных соображений полукласси-
полуклассического характера. Рассмотрим поведение заряженной частицы
в инерционно поляризующейся среде. Взаимодействие заряда с иона-
ионами среды приводит к появлению поляризации. Связанное с ней
электрическое поле в свою очередь действует на заряд, понижая его
потенциальную энергию. Возникает созданная самим зарядом поля-
поляризационная потенциальная яма, в которой он и находится **).
Выйти из нее (т. е. деполяризовать решетку) заряду энергетически
невыгодно. Перемещение заряда по решетке сопровождается и пере-
перемещением созданной им поляризации. При этом инерционность
поляризации замедляет движение заряда, ибо для «рассасывания»
потенциальной ямы в одном месте кристалла и возникновения ее
в другом требуется конечное время. Таким образом, роль носителей
заряда в инерционно поляризующейся среде играют не электроны
(или дырки) обычного типа, а более сложные объекты — электроны
¦(дырки) вместе с созданными ими поляризационными ямами. Эти
объекты получили название поляронов ***).
*) Как известно, инерционная поляризация кристалла обусловлена смеще-
смещениями ионов решетки из их положений равновесия, безынерционная — деформа-
деформацией электронных оболочек ионов.
**) Об этом иногда говорят как об «автолокализации» электрона. Пользуясь
этим термином, следует помнить о несколько условном его смысле: в отсутствий
каких-либо структурных дефектов такая яма может быть с равной вероятностью
обнаружена в любой точке кристалла.
***) Этот термин был предложен С. И. Пекаром [2], впервые подробно изу-
изучившим рассматриваемые состояния. Исходное представление об автолокализа-
автолокализации электрона в инерционно поляризующейся среде восходит к работам Л. Д.
Ландау и Я. И. Френкеля, выполненным в 30-х годах. Количественная теория

§ 4] РОЛЬ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ. ПОЛЯРОН 555
Размер полярона определяется размером поляризационной по-
потенциальной ямы. Здесь выделяются два предельных случая.
1) Радиус ямы значительно превышает постоянную решетки,
В этом случае говорят о поляронах большого радиуса. Такие поля-
роны возникают, видимо, в ряде ионных кристаллов —щелочно-га-
лоидных, закиси меди и др.
2) Радиус ямы близок к постоянной решетки. При этом говорят
о поляронах малого радиуса. Подобные объекты, по-видимому,
образуются в рутиле.
Движение полярона как целого можно охарактеризовать квази-
квазиимпульсом. Как и квазиимпульс свободного электрона в зонной
теории, он описывает «почти стационарные» (стационарные в отсут-
отсутствие рассеяния) состояния системы: энергию движения полярона
как целого можно рассматривать как функцию квазиимпульса.
Это позволяет ввести представления о поляронных энергетических
зонах и об эффективной массе пблярона. Очевидно, последняя пре-
превышает эффективную массу, которой в том же кристалле обладал
бы свободный электрон в пренебрежении его взаимодействием
с инерционной поляризацией. Соответственно поляронная зона
оказывается более узкой.
Сложные свойства носителя заряда — полярона — особенно
ярко проявляются в том, что полярон может иметь внутреннюю
структуру: поляризационная потенциальная яма, созданная элек-
электроном (дыркой), содержит несколько дискретных уровней, отвечаю-
отвечающих разным распределениям плотности заряда в яме и разным
значениям ее радиуса *). Переходы между дискретными уровнями
в поляроне могут быть вызваны, например, электромагнитным
излучением. Связанное с ними поглощение света, по-видимому,
наблюдалось в металл-аммиачных растворах; роль носителей заряда
при этом играли не электроны, а ионы металла, движущиеся в поляр-
полярном растворителе.
Другая особенность поляронных состояний состоит в том, что
они исчезают в достаточно сильных электрических полях. Действи-
Действительно, поляризационная яма, сопровождающая электрон, представ-
представляет собой не что иное, как набор продольных оптических фононов
с разными длинами волн. По этой причине скорость ее перемещения
не может превышать групповую скорость поляри'зационных фононов.
Следовательно, при достаточно большой дрейфовой скорости элек-
электрон «отрывается» от поляризационной ямы, превращаясь в обычный
зонный электрон: поляризационная яма при этом прекращает свое
существование.
поляронов большого радиуса была развита в 40—50-х годах в работах Н. Н. Бо-
Боголюбова, С. И. Пекара и С. В. Тябликова.
*) Термин «дискретный уровень» имеет смысл только при заданном значе-
значении квазиимпульса полярона. При учете движения полярона как целого каждый
из уровней размывается в узкую зону.

556 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
§ 5. Метод самосогласованного поля
Обратимся к вопросу о возможности свести многоэлектронную
задачу к одноэлектронной. Для определенности ограничимся ва-
валентным приближением, рассматривая явно только электроны ва-
валентных оболочек.
В адиабатическом приближении гамильтониан рассматриваемой
системы многих электронов есть не что иное, как оператор Не,
действующий на % в правой части уравнения B.5а). Перепишем
его для краткости в виде
Здесь через
обозначена' потенциальная энергия взаимодействия t-ro электрона
со всеми тяжелыми частицами, расположенными в узлах идеальной
решетки данного кристалла.
Последнее слагаемое в правой части E.1), описывающее взаимо-
взаимодействие между электронами, строго говоря, не позволяет свести
уравнение Шредингера с гамильтонианом Не к одноэлектронному.
Можно, однако, попытаться заменить взаимодействие между элек-
электронами взаимодействием их с некоторым эффективным внешним
полем, подобрав последнее наиболее выгодным образом. Откладывая
пока вопрос о подборе эффективнбго поля, заменим гамильтониан
Не на
2 ^ r0. E-2)
где U'(r{) — энергия взаимодействия г-го электрона с эффективным
полем. Тогда уравнение Шредингера B.5а) принимает вид
В уравнении E.3) можно произвести разделение переменных. Поло-
Положим
N
X(rlt ..., rN)=U$(rj), E4)
/=i
где N — полное число (валентных) электронов, т|)— пока неизвест-
неизвестные функции, каждая из которых зависит от координат (пространг
ственных и спиновой) только одного из электронов.

§ 5] МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ 557
' Подставляя E.4) в E.3) и замечая, что оператор Hi (г) действует
только на координаты г-го электрона, получим
21Н, (г,) ф (г,) П Ф (гу) = ЕЦ ф (г
Это уравнение удовлетворяется, лишь если
E.5)
где Ej — величины, не зависящие от г, причем
2 E.6)
Равенство E.5) есть не что иное, как одноэлектронное уравнение
Шредингера. Из дальнейшего будет видно, что в идеальной решетке
эффективную потенциальную энергию W (г,) можно определить как
периодическую функцию координат. Поскольку функция ио(г{)
также периодична, мы получили уравнение (III. 2.4), в котором
лишь опущен индекс i. При этом U = Uo + U', а величины if (r;) имеют
смысл волновых функций отдельных электронов. Как и волно-
волновые функции if>?, величины Ei зависят от квантовых чисел отдель-
отдельных электронов V Как мы знаем, в зонной теории роль этих кван-
квантовых чисел играют три компоненты квазиимпульса и номер зоны.
Конечно, это еще не есть полное обоснование зонной теории с
последовательно многоэлектронной точки зрения. Действительно,
возможность перейти к одноэлектронной постановке задачи здесь
не доказана, а навязана заранее заменой Не на Н'е. Смысл метода,
излагаемого в настоящем параграфе, состоит лишь в том, чтобы
наиболее точно выбрать эффективную потенциальную энергию U',
получив тем самым наилучшую аппроксимацию в рамках одно-
электронного приближения.
Обратимся теперь к подбору эффективного поля W. Равенство
в точности не может удовлетворяться. Действительно, в левой его
части стоит сумма функций двух переменных, а в правой каждое
из слагаемых зависит только от одной переменной. Можно, однако,
потребовать, чтобы оно удовлетворялось в среднем. Для этой цели
определим U'(ri) как потенциальную энергию t-ro электрона в поле,
создаваемом средней плотностью заряда всех остальных электронов:
E.7)
В отличие от внешних полей, потенциальная энергия U'L(ri) a priori
иё задана: она зависит от вида волновых функций % , которые в

558 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
свою очередь сами определяются через W из уравнений E.5). Такое
поле называется самосогласованным *). Подставляя в E.7) в качестве
¦ф^(г') функции Блоха, можно убедиться, что функция ?/'(гу-) дей-
действительно периодична с периодом решетки.
Волновая функция E.4) имеет мультипликативный вид. Поэтому
такой же оказывается и вероятность обнаружить электроны, соот-
соответственно, в элементах объема drx ,,, dr^:
IX fa rN) |Мгх... drN = П [%, (r,) j2 drt. E.8)
i= 1
)
По известной теореме теории вероятностей это означает, что
в приближении самосогласованного поля попадания электронов
в элементы объема drly dr.2, ... суть независимые события. Иначе
говоря, волновая функция E.4) не учитывает корреляции в поведе-
поведении электронов. Фактически такая корреляция имеет место. Она
обусловлена двумя причинами — принципом Паули и взаимодей-
взаимодействием между электронами. Согласно принципу Паули волновая
функция системы электронов \J;(ri> •••> rJv) должна быть антисиммет-
антисимметричной относительно перестановки координат и спинов любых двух
электронов (что исключает возможность пребывания двух электро-
электронов в одном и том же стационарном-состоянии). Волновая функция
E.4) не удовлетворяет этому требованию антисимметрии. Как
известно из квантовой механики, для учета принципа Паули надо
произведение функций if> (r;) в правой части E.4) заменить детер-
детерминантом
j),.(r;)|. E.4')
Множитель (Nl)'1^ здесь введен для нормировки % на единицу,
индексы i и / нумеруют, соответственно, строки и столбцы детерми-
детерминанта. При этом в правой части E.7) появляется дополнительное
(«обменное») слагаемое, также содержащее интегралы от функции
**)
**)¦
%
Корреляция, связанная с кулоновским отталкиванием между
электронами, должна проявиться в зависимости [функции %(гъ ...
..., rN) от расстояний между электронами: вероятность обнаружить»,
электроны на малых расстояниях друг от друга должна убывать
с уменьшением этих расстояний. В рамках метода самосогласован-
самосогласованного поля этот эффект теряется. Роль его при определении энерге-
*) Метод самосогласованного поля в такой форме был предложен в 20-х
годах. Д. Хартри в связи с теорией атома.
* *) Этот «метод самосогласованного поля с обменом» был предложен В. А. Фог
1ком в1930 г. В. А. Фок показал, что решения уравнений самосогласованного поля
с обменом —наилучшие из всех одноэлектронных функций вида E.4'): они дают
(самое точное значение энергии системы.

§ 5] МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ 559
тического спектра электронов зависит от их концентрации п и от
степени вырождения. В условиях сильного вырождения влияние
корреляции оказывается тем меньшим, чем больше концентрация.
Действительно, как мы видели в § V.6, для полностью вырожденного
идеального газа электронов
Средняя'энергия, приходящаяся на один электрон, отличается от
этого выражения лишь несущественным постоянным множителем
и, следовательно, также растет как rfi\ Это есть следствие принципа
Паули: при увеличении концентрации электронов должны запол-
заполняться состояния со все большей и большей энергией. С другой
стороны, средняя энергия кулоновского взаимодействия ?/кул
должна быть порядка е2/ег, где г ~ /г1/» — среднее расстояние
между электронами (диэлектрическую проницаемость е здесь следует
писать, лишь если г гораздо больше постоянной решетки; в против-
противном случае е надо заменить единицей):
^кул~^ Г?'*. E.10)
Таким образом, в полностью вырожденном электронном газе
При увеличении п относительная роль взаимодействия между
электронами, а потому и роль корреляции уменьшается — сильно
вырожденный газ ферми-частиц тем ближе к идеальному, чем больше
его концентрация *).
С другой стороны, в невырожденном газе относительная роль
взаимодействия между электронами и, следовательно, роль корре-
корреляции' убывает с уменьшением концентрации электронов.
Как видно из формулы E.7J, система уравнений E.5) оказывается
нелинейной интегро-дифференциальной. Решения ее удается полу-
получать лишь численными методами.
Тем не менее .метод самосогласованного поля (с обменом) широко
применяется в настоящее время для расчета зонного энергетического
спектра твердых тел **).
*) Современные методы теории многих тещ позволяют рассчитать влияние
корреляции в пространственном расположении электронов на среднюю энергию
и другие термодинамические свойства электронной жидкости. Результаты ока-
оказываются в согласии с оценкой E.1!) [3].
**) Обзор работ на эту тему можно найти в книге [4].

560 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
§ 6. Электроны и дырки как элементарные возбуждения
многоэлектронной системы в полупроводнике
Последовательное обоснование зонной теории твердого тела
можно получить с позиций современной теории многих тел. Веду-
Ведущую роль здесь играет представление об элементарных возбужде-
возбуждениях квантовой системы многих частиц [М9].
Суть дела удобно пояснить, рассматривая уже известный нам
пример явного решения задачи многих тел — задачу о малых
колебаниях кристаллической решетки. Как мы видели в гл. XII,
энергия слабо возбужденных состояний такой системы представ-
представляется как энергия газа квазичастиц — элементарных возбуждений
системы, — называемых фононами. Идеальность этого газа обуслов-
обусловлена только малостью возбуждения — т. е. малостью амплитуд
колебаний атомов по сравнению с постоянной решетки — и никак
не связана с какими-либо предположениями о характере взаимо-
взаимодействия между атомами. Ангармоничность колебаний приводит
к слабой неидеальности фононного газа.
Этот пример иллюстрирует общую ситуацию: слабо возбужден-
возбужденные состояния любой квантовой системы многих тел можно предста-
представить как идеальный или слабо неидеальный газ (или газы) квази-
квазичастиц — элементарных возбуждений того или иного типа. Эти квази-
квазичастицы могут подчиняться статистике Ферми—Дирака или Бозе—
Эйнштейна — независимо от типа статистики, которой подчиняются
сами частицы системы *). Соответственно говорят о фермиевской
и бозевской ветвях спектра элементарных возбуждений. В зависи-
зависимости от природы системы квазичастицы могут обладать импульсом
или квазиимпульсом (последнее — в кристаллах). Они могут также
нести электрический заряд, спин и т. д. Полное число квазичастиц
данной ветви бывает как постоянным, так и переменным. Очевидно,
что если переменным оказывается число заряженных квазичастиц,
то среди них должны быть как положительно, так и отрицательно
заряженные. При этом из закона сохранения заряда вытекает, что
они могут возникать и исчезать только парами.
Перемещаясь по кристаллической решетке, квазичастицы могут
переносить заряд, энергию и т. д. Естественно возникает мыслб^
что носители заряда в полупроводнике — электроны проводимск№Й
и дырки — следует рассматривать как элементарные возбуждения
системы многих электронов. Наглядно их можно представлять себе
как состояния с избытком или недостатком, отрицательного заряда
(«лишние» электроны и дырки). Чтобы убедиться в справедливости
сказанного, надо исследовать структуру энергетического спектра*
полупроводника, показать, что такие квазичастицы ведут себя во
*) Так, какой бы статистике ни подчинялись атомы кристаллической ре-
решетки, статистика фононного газа оказывается бозевской.

§ 6] ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ КАК ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ 561
внешних электрическом и магнитном полях (в том числе в поле
примеси), как этого следует ожидать от электронов проводимости
и дырок, и т. д. Эту программу действительно удается реализо-
реализовать.
Таким образом, обоснование ряда важнейших представлений
зонной теории твердого тела оказывается несколько своеобразным:
выясняется, что на самом деле эти представления носят строгий
многоэлектронный характер. Подчеркнем, однако, что это относится
не ко всем зонам. Точное обоснование получают представления о
зоне (зонах) проводимости и о дырочной зоне, но отнюдь не о валент-
валентной зоне, -трактуемой как совокупность одноэлектронных энергий.
Иначе говоря, удается обосновать как раз те понятия, которые
фактически используются для обработки и интерпретации экспери-
экспериментальных данных: точный многоэлектронный смысл придается
зонной энергетической схеме (с локальными уровнями). Известное
обоснование получает также и аппарат зонной теории: уравнения,
определяющие энергетический спектр рассматриваемых ^элемеатар-
ных возбуждений, приближенно сводятся к уравнениям самосогла-
самосогласованного поля с обменом.. Вместе е тем в рамках данного приближе-
приближения учитывается и ряд многоэлектронных эффектов. С одним из
них мы уже встречались в § XIII. 9. Речь идет о коллективныххоле-
баниях плотности газа носителей заряда. Как и в случае колеба^
ний решетки, плазменным волнам можно сопоставить кванты
колебаний с энергией Йсор!. Эти кванты иногда называют п-лаз-
монами.
Отметим, что кулоновское взаимодействие между носителями
заряда (в том числе между электронами и дырками) все же не пол-
полностью учитывается с помощью самосогласованного поля. В резуль-
результате газ носителей заряда оказывается неидеальным. Связанные
с этим эффекты называются корреляционными. Один из них рас-
рассматривается в § 7.
Поляроны также представляют собой элементарные возбужде-
возбуждения, возникающие благодаря кулоновскому взаимодействию сво-
свободных электронов и дырок с колеблющимися гонами решетки.
До тех пор, пока мы не рассматриваем явлений, существенно
связанных с неидеальностью газа носителей заряда, и не вычисляем
параметры энергетического спектра, разница между «невзаимодей-
«невзаимодействующими электронами» зонной теории и «квазичастицами» много-
многоэлектронной теории носит словесный характер. Можно пользоваться
и тем и другим языком. Посмотрим, как на этих двух языках описы-
описываются одни и те же явления — поглощение и испускание света
в беспримесном полупроводнике. Для наглядности изобразим это
в виде таблицы. В средней части таблицы (в виде подзаголовков)
будем указывать то или иное состояние (или процесс) или наблюдае-
наблюдаемую величину. Слева дается их описание на языке одноэлектронной
теории, справа — на языке элементарных возбуждений.

562
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. XVII
Таблица 17.1
Язык одноэлектронной
теории
Зона проводимости пуста,
валентная зона полностью
заполнена
Наименьшее энергетиче-
энергетическое расстояние между
нижним краем зоны про-
проводимости и верхним
краем валентной зоны
Зона проводимости ча-
частично заполнена, в ва-
валентной зоне имеются
вакантные места
Переход электрона из ва-
валентной зоны в зону
проводимости
Переход электрона из
зоны проводимости в ва-
валентную с испусканием
светового кванта
Основное состояние
полупроводника
Ширина запрещенной
зоны
,
Возбужденное состояние
полупроводника
Поглощение светового
кванта
Рекомбинационное
излучение
Язык элементарных
возбуждений
Нет ни электронов про*
водимости, ни дырок
Минимальная работа, не*
обходимая для создания
пары «электрон проводи'
мости —дырка»
Имеется некоторое коли*
чество электронов прово<
димости и дырок. Энер-i
гии их изменяются, соот-
соответственно, в пределах
зоны проводимости и дыч
рочной
Образование пары «элек-
«электрон проводимости —
дырка»
Аннигиляция электрона
проводимости и дырки
с испусканием светового
кванта
¦••ч
Таким же образом можно рассматривать и задачи с участием
примеси и т. д. Эквивалентность двух языков имеет место до тех
пор, пока мы интересуемся только описанием процесса, но не расче-
расчетом его вероятности. Так, например, при одноэлектронном подход^
теряется эффект взаимодействия между электроном проводимости
и дыркой, образующимися при поглощении светового кванта.
Вместе с тем, как мы увидим в следующем параграфе и в гл. XVIII,
он может оказаться существенным.

§ 7] ЭКСИТОН 563
§ 7. Экситон
В ряде веществ (V2O5, некоторые молекулярные кристаллы)
поглощение света вблизи границы собственной полосы не сопровож-
сопровождается фотопроводимостью (фотоэлектрически неактивно). В других
веществах (Cu2O, CdS) поглощение света с частотой, близкой к Egl%,
приводит к фотопроводимости, но величина фототока оказывается
пропорциональной концентрации примеси.
Для объяснения этих явлений Я. И. Френкелем и Р. Пайерльсом
было введено представление о нейтральной квазичастице — экси-
тоне *). Экситон представляет собой связанное состояние электрона
и дырки, возникающее в результате кулоновского притяжения их
друг к другу. Образовав экситон, электрон и дырка движутся по
кристаллу совместно — как одно целое.
Обе указанные выше группы фактов можно объяснить, предполо-
предположив, что поглощение света в рассматриваемой области частот при-
приводит к образованию экситона. Действительно, будучи в целом
нейтральным, экситон не участвует в переносе тока. При столкнове-
столкновении с атомом примеси может произойти ионизация экситона с обра-
образованием двух свободных носителей заряда. При больших энергиях
световых квантов становятся возможными и переходы с образова-
образованием сразу пары свободных носителей заряда.
Рассчитаем энергетический спектр экситона, пользуясь простей-
простейшей моделью полупроводника. Именно, будем считать, что минималь-
минимальные значения энергии электрона и дырки (нижние края соответст-
соответствующих зон) лежат в центре зоны Бриллюэна, причем законы
дисперсии вблизи этих экстремумов имеют вид
G.<p>=*H-lt ?,(р)=4г- GЛ)
Здесь Еп и Ер, р„ и р^ — энергии и квазиимпульсы электрона
и дырки; за нуль энергии принят потолок валентной (т. е. дно
дырочной) зоны.
Предположим также (это будет оправдано последующим расче-
расчетом), что размер экситона (среднее расстояние между взаимосвязан-
взаимосвязанными электроном и дыркой) велик по сравнению с постоянной
решетки. Тогда для описания экситона мы вправе воспользоваться
методом эффективной массы. Соответствующее уравнение Шредин-
гера имеет вид
Здесь г-пи гр — радиус-векторы электрона и дырки, v« и Vp — лап'
ласианы по координатам электрона и дырки, ^(г„, гр) — волновая
функция рассматриваемой системы двух частиц, Е — соответствующее
*) От слова «excitation» — возбуждение.

564 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
собственное значение энергии, отсчитываемое от энергии основного
состояния. Через е обозначена диэлектрическая проницаемость
вещества. Строго говоря, надо было бы взять ее значение при час-
\Ее-Е\
тоте Юэ = —^ ; во многих полупроводниках, однако, юэ лежит
далеко от области дисперсии и под е можно понимать статическую
диэлектрическую проницаемость.
Предельный переход к зонной теории получится, если вычер-
вычеркнуть третье слагаемое в левой части G.2). При этом функция ty
будет иметь вид
±г (рр, г,)], G.3)
где А — нормировочный множитель. Соответствующее значение Е
дается суммой .выражений G.1), при этом Е ~^Eg.
При учете взаимодействия электрона и дырки положение ме-
меняется. Решение уравнения G.2) и в этом случае получается без
труда: надо лишь заметить, что G.2) совершенно идентично уравне-
уравнению Шредингера для атома водорода, причем тр и тп отвечают,
соответственно, массе ядра и массе электрона, а разность Е — Ее —¦
собственному значению энергии атома.
Введем относительные координаты г и координаты центра инер-
инерции R, полагая
mn + mp '
G.4)
Обозначим, также через
т.тп
полную "и приведенную массы системы. Тогда уравнение G.2) примет
вид
-¦ШТ^-Ш7^-~^(Е-ЕеШ G.2').
С точностью до нормировочного множителя решение уравнения
G.2') есть
. у (г, R) = ^(pR)x(r), GJ5)
где х (г) — новая неизвестная функция, р — вектор с веществен-
вещественными компонентами. Для % (г) получается уравнение
причем
j F р Р2 ' П 1\
л — г, с„ q— • V'"''

§ 7] экситон 565
Первый сомножитель в правой части G.5) описывает свободное
движение экситона как целого. Вектор р есть квазиимпульс центра
инерции экситона. Функция х(г) описывает относительное движение
электрона и дырки.
С точностью до замены тг-^ т уравнение G.6) совпадает с уже
известным нам уравнением (IV.7.2), фигурировавшим в «водород-
«водородной» модели примесного центра. Здесь имеются решения двух
типов.
а. Решения, принадлежащие непрерывному спектру. Они суще-
существуют при X >0, т. е., согласно G.7), при любых значениях Е,
удовлетворяющих неравенству
Е^Е*+-ш- <7-8а>
Функция %(г) при этом такова, что вероятность найти электрон
и дырку на любом — сколь угодно большом — расстоянии друг
от друга отлична от нуля. Это — аналог «зонного» решения G.3):
электрон и дырка не связаны друг с другом, а движутся независимо,
испытывая лишь взаимное рассеяние. Мы имеем здесь пару свобод-
свободных носителей заряда.
Энергии световых квантов, способных вызвать образование такой
пары, определяются выражением G.8а). При этом квазиимпульс р
оказывается не произвольным: как будет показано в следующей
главе (§ XVIII.5), при поглощении света идеальной решеткой сумма
квазиимпульсов электрона и дырки (т. е. квазиимпульс центра их
инерции) с точностью до вектора обратной решетки должна рав-
равняться импульсу светового кванта. Из-за большого значения ско-
скорости света импульс "фотона обычно Довольно мал (подробнее см.
§ XVIII.5), и приближенно можно положить р = 0.
б. Решения, принадлежащие дискретному спектру. Они сущест-
существуют при к < 0. Возможные значения % при этом даются формулой
Бора
где п — 1, 2, ... — главное квантовое число.
{'"- Согласно G.7) это означает, что
В частности, при р = 0 (покоящийся экситон) мы получаем
набор дискретных «водородных» уровней, отвечающих энергиям
возбуждения, меньшим Eg.
Функции %(г), принадлежащие собственным значениям G.9),
быстро (экспоненциально) убывают с расстоянием между электроном

566 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
и дыркой г. Например, низшему уровню (п = 1) соответствует
волновая функция
% — const -exp(—г/ав). G.10)
Здесь const — нормировочная постоянная, а
G.11)
<— боровский радиус экситона.
Функция G.10) описывает связанное состояние электрона и
дырки '— экситон. Наиболее вероятное расстояние между электро-
электроном и дыркой в этом состоянии равно аэ. При типичных значениях
е, тп, тр оно заметно превышает постоянную решетки, что и оправ-
оправдывает принятый нами метод расчета.
Энергии световых квантов, при поглощении которых возникают
экситоны рассматриваемого типа, определяются формулой G.86)
(при р = 0). В отличие от случая а они оказываются дискретными.
К
Рис. 17.1. Спектрограмма желтой серии экситона в СиаО при Т = 1,3 К.
Таким образом, при частотах выше Eglfi должна возникать
сплошная полоса поглощения, а при частотах ниже Eglfi должны
быть видны дискретные «водородоподобные линии». Такие линии
действительно наблюдались (впервые Е. Ф. Гроссом и его сотруд-
сотрудниками) в закиси меди и в других материалах (рис. 17.1) *).
Для полупроводников с более сложной зонной структурой
утверждение о существовании экситонных состояний с энергиями
возбуждения, меньшими Eg, остается в силе. Конкретная структура
энергетического спектра экситонов, однако, усложняется. Рассмбт-
рим, например, материал типа германия, в котором дно зоны прово-
проводимости и потолок валентной зоны отвечают разным точкам зоны
Бриллюэна. При этом в той же точке (в данном случае — в центре)
зоны Бриллюэна, где расположен потолок валентной зоны, имеете!^
побочный минимум энергии в зоне проводимости (рис. 3.9). ЗдеСб
могут существовать два типа экситонов, обычно называемых «пря-
«прямыми» и «непрямыми». Они образуются из дырки и электрона,
*) Е. Ф. Гросс, УФН 63, 576 A957).

§ 8] УЧЕТ ЭКРАНИРОВАНИЯ ПРИМЕСНЫХ ЦЕНТРОВ 567
принадлежащего либо побочному, либо главному минимуму. Соот-
Соответственно усложняется и спектр поглощения света.
Мы рассмотрели связанные состояния «большого радиуса» (аэ
гораздо больше постоянной решетки). Об этих состояниях принято
говорить как об экситонах Ваннье—Мотта. Они, по-видимому,
реализуются в кристаллах типа германия и т. п. В материалах
иной природы (в частности, в молекулярных кристаллах) существуют
экситоны другого типа (обычно называемые экситонами Френкеля).
Радиус их — порядка постоянной решетки, так что, в сущности,
такой экситон есть не что иное, как возбужденное состояние отдель-
отдельного атома (или молекулы), способное перемещаться по решетке *).
При не слишком малой ширине запрещенной зоны тепловая
концентрация экситонов Ваннье—Мотта обычно очень мала.' За-
Заметную концентрацию экситонов Na можно получить, создавая их
светом. Пользуясь лазером в качестве источника света, можно до-
добиться значений N3 порядка 1018 см и более. При этом среднее
расстояние между экситонами, по порядку величины близкое
к Nf4\ становится сравнимым с боровским радиусом G.11). При
таких условиях экситоны уже нельзя рассматривать как независи-
независимые квазичастицы. Мы имеем здесь существенно неидеальный
экситонный газ. При достаточно высокой плотности и достаточно
низкой температуре газ экситонов, как и всякий другой газ, должен
испытывать конденсацию. Опыт показывает, что при гелиевых тем-
температурах в полупроводнике с указанными выше значениями N3
действительно появляются экситонные «капли», обнаруживаемые,
например, по вызываемому ими рассеянию света [7]. Линейные раз-
размеры капель могут составлять несколько сот микрон и более.
§ 8. Мелкие локальные уровни при учете экранирования
/ примесных центров
Взаимодействие между электронами приводит к экранированию
неоднородных электрических полей, создаваемых как носителями
заряда, так и атомами примеси, иными несовершенствами решетки
или внешними источниками. Есть задачи (см., например, § XIV.5),
в которых учет экранирования оказывается принципиально необхо-
необходимым. В рамках одноэлектронной задачи эта процедура не вполне
последовательна. Ее, однако, можно обосновать с позиций много-
многоэлектронной теории твердого тела. При этом дается и способ вычис-
вычисления потенциальной энергии носителя заряда 6U с учетом эффекта
экранирования. В частности, при достаточно большом радиусе
экранирования г0 получаются уже известные нам выражения
(П.XII.6а и П.XII.66): они справедливы, если г30 п> 1, где п —
*) Для дальнейшего знакомства с этим кругом вопросов можно рекомендо-
рекомендовать книги [5—7].

568 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
концентрация экранирующих носителей заряда. Для определения
энергетического спектра электронов и дырок, рассматриваемых как
элементарные возбуждения, получается уравнение Шредингера с
экранированным потенциалом 8U *).
Рассмотрим влияние эффекта экранирования на энергетический
спектр локальных уровней, описываемых «водородной» моделью
(§ IV. 7). Соответствующее уравнение Шредингера имеет вид
--^V«?+ &/•* = ?*. (8.1)
Здесь, как и в § IV.7, энергия Е отсчитывается от края зоны прово-
проводимости вверх (если речь идет об электронах) или от края валентной
зоны вниз (если рассматриваются дырки). Для NJ{r) можно восполь-
воспользоваться, например, выражением (П. XI 1.7):
6t/ = --?-exp(-r/r0). (8.2)
Для дальнейшего, однако, важен не явный вид функции 6U, а лишь
то, что она удовлетворяет условию
dr|<oo. (8.3)
(Тогда говорят о короткодействующих силах.)
При г0 ->¦ со (что предполагалось "в § IV.7) уравнение (8.1) имеет
бесконечное число дискретных собственных значений (Е < 0), отве-
отвечающих связанным состояниям электрона на доноре (дырки на
акцепторе). При конечном значении радиуса экранирования число
дискретных уровней оказывается ограниченным; в частности, они
могут и вообще отсутствовать. Дело в том, что в силу принципа
неопределенности локализация электрона на малом расстоянии от
«ядра» (атомного остова донора) невозможна. Действительно, пусть
электрон может с заметной вероятностью отстоять от ядра лишь
на расстояние, не превышающее некоторого значения г. Величину г
можно рассматривать как неопределенность радиальной коорди-
координаты. Тогда неопределенность радиального импульса — порядка filr.
Средняя кинетическая энергия по порядку величины составит
h2/2mr2, а полная энергия будет равна
чпт,
г0 ] '
Минимизируя правую часть (8.4) по г, легко убедиться, что при
г0 ->- со (атом водорода) г = ав, а Е — Ев. Видно, далее, что при
достаточно малых значениях г энергия Е оказывается положительной?
Это означает, что столь сильно локализованные состояния существо-^
*) Это относится и к теории экситона. Уравнение G.2) справедливо лишь
в условиях слабого экранирования, когда га ^> аэ.

§ 9] • МЕХАНИЗМЫ РЕКОМБИНАЦИИ 569
вать не могут. С другой стороны, если радиус экранирования мал,
то притяжение электрона к донору на больших расстояниях от
последнего практически исчезает. Отсюда явствует, что уровни,
которые в отсутствие экранирования были бы «водородными»,
должны исчезнуть, когда величина г^ становится того же порядка,
что и радиус соответствующей орбиты. В частности, при r0 ~ еЙ2//пе2
дискретные уровни должны исчезнуть вообще.
Согласно П.XII.6а и П.XII. 66 радиус экранирования зависит
от температуры и от концентрации экранирующих носителей заряда.
Последняя может быть и неравновесной: инжектированные носители
также принимают участие в экранировании, если их время жизни
больше максвелловского времени релаксации. Таким образом, энер-
энергетическим спектром примесных уровней можно в известных преде-
пределах управлять, варьируя условия опыта. Исчезновение дискретных
уровней в условиях сильной инжекции наблюдалось эксперимен-
экспериментально: при увеличении уровня инжекции исчезали линии реком-
бинационного излучения, связанные с переходами «донорный уро-
уровень — валентная зона».
§ 9. Механизмы рекомбинации
Как было показано в гл. IX, для описания рекомбинационных
процессов необходимо задать коэффициент прямой междузонной
рекомбинации а, значения энергий и факторов вырождения центров
рекомбинации, а также по два коэффициента захвата ап и ар для
каждого из уровней этих центров. Как видно из формул (IX.3.3)
и (IX.4.3), коэффициенты захвата определяются вероятностями
соответствующих процессов, а также видом функции распределения
/(р) в зонах проводимости и дырочной. В отсутствие равновесия
по энергиям функция / отличается от фермиевской, чем и описы-
описывается возможное влияние нагрева носителей заряда на темп реком-
рекомбинации. В этом параграфе мы обсудим, какими физическими фак-
факторами определяются значения коэффициентов захвата и вид темпе-
температурной их зависимости.
Важная 'роль ловушек в процессе рекомбинации определяется
двумя факторами. Во-первых, захватываясь, например, из зоны
проводимости на ловушку, электрон должен передать своему окру-
окружению в решетке меньшую энергию, нежели при непосредственном
переходе в валентную зону. По этой причине вероятность первого
процесса может оказаться заметно больше, чем второго.
щ,Во-вторых, при захвате электрона или дырки на ловушку закон
с&хранения квазиимпульса может и не выполняться. Действительно,
носитель заряда взаимодействует при этом не только с идеальной
решеткой, но и с атомом примеси или иным-структурным дефектом,
образующим ловушку. По этой причине потенциальная его энергия
уже не обладает свойством пространственной периодичности. Волно-

570 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
вая функция электрона на ловушке не имеет вида (III.2.15). Она
локализована в пространстве и электрон в таком состоянии не харак-
характеризуется определенным квазиимпульсом. Неопределенность квази-
квазиимпульса особенно велика для глубоких ловушек, захватившись
на которые носители заряда оказываются локализованными в срав-
сравнительно небольшой области пространства. С другой стороны, при
малой силе взаимодействия с ловушкой, когда энергия ионизации
ее невелика, область локализации расширяется, а неопределенность
квазиимпульса Ар уменьшается. Какие именно значения Ар следует
считать большими, а какие — малыми, зависит от характера задачи.
При рассмотрении захвата электрона (или дырки) Ар надо сравни-
сравнивать с «тепловым» квазиимпульсом рт (если газ свободных носителей
заряда не вырожден).
Как видно из рассуждений предыдущего параграфа, которые
привели нас к формуле (8.4), линейный размер области локализации
по порядку величины близок к Й/]/7и | Е \, а неопределенность импу-
импульса — к У~т [ Е | *); под \Е | здесь надо понимать энергию ионизации
данного локального уровня (для возбужденных уровней эта вели-
величина может быть заметно меньше энергии ионизации ловушки,
определяемой как Ес — Et или — для дырки — как Et — Ev).
Таким образом, при \E\<^kT неопределенность квазиим-
квазиимпульса мала, а при \Е\ ^> kT— велика. В первом случае при рас-
рассмотрении процесса захвата электрон на ловушке можно рассматри-
рассматривать как «почти свободный» и закон, сохранения квазиимпульса
должен приближенно выполняться. Во втором случае даже прибли-
приближенное сохранение квазиимпульса не имеет места. С точки зрения
увеличения вероятности захвата это выгодно, так как теперь захват
может происходить из любой точки зоны Бриллюэна.
Вероятность захвата на ловушку определяется начальным и ко-
конечным состояниями носителей заряда, а также способом отвода
энергии, высвобождаемой при захвате. Иначе говоря, чтобы вычис-
вычислить коэффициенты ап и ар, надо задать:
а) волновую функцию системы «решетка + свободный носитель
заряда»;
б) волновую функцию системы «решетка + захваченный носи-
носитель»; < i
в) вид оператора энергии взаимодействия носителя заряда
с его окружением в решетке.
Для достаточно мелких ловушек волновые функции носителей
заряда можно найти с помощью метода эффективной массы (§ IV.4).
В задаче о рекомбинации, однако, часто бывают интересны бол^е
глубокие центры захвата — с энергиями ионизации, сравнимыми
с полушириной запрещенной зоны. Теория таких центров в настоя-
*) В применении к глубоким ловушкам эта оценка имеет лишь ориентиро-
ориентировочное значение, ибо методом эффективной массы там пользоваться нельзя.

§ 9] МЕХАНИЗМЫ РЕКОМБИНАЦИИ 571
щее время еще не завершена. По этой причине не всегда удается
и полностью рассчитать коэффициенты захвата ап и ар. Все же, как
мы увидим, температурная их зависимость в ряде важных случаев
может быть установлена.
Пункт в) составляет, по существу, часть общей задачи об энерге-
энергетическом спектре полупроводника. Действительно, в принципе
энергия, высвобождаемая при захвате носителя заряда, может
быть передана любым элементарным возбуждениям системы «элек-
«электроны + решетка». В зависимости от конкретной природы этих
возбуждений говорят о том или ином механизме рекомбинации (или
механизме захвата). Как и при переходах зона—зона (§ IX. 1),
наиболее интересными здесь оказываются процессы с передачей
энергии фотонам, фононам и другим носителям заряда (излучатель-
ный, фононный и ударный механизмы).
Механизм захвата существенно зависит от зарядового состояния
ловушки до захвата (заряженная или нейтральная) и от знака заряда
ловушки относительно захватываемой частицы (имеется ли куло-
новское притяжение захватываемой частицы или ее отталкивание).
Рассмотрим эти случаи порознь.
При захвате с притяжением сечения захвата очень велики. Этот
случай мы имеем, например, при захвате дырок на акцепторные
центры Си", ОТ", Аи" и Аи"" в германии. Сечения захвата для дырок
у таких центров при комнатных температурах обычно лежат в пре-
пределах 106ч--103 см2 и увеличиваются при понижении температуры.
Измерения интенсивности рекомбинационного излучения показы-
показывают, что фотоны уносят только очень малую часть освобождаемой
энергии, так что переходы оказываются в основном безызлучатель-
ными.
Наблюдаемый порядок величины сечений и их температурную
зависимость можно хорошо объяснить в предположении, что энергия
передается колебаниям решетки, однако с помощью своеобразного
процесса. Дело в том, что энергия, освобождаемая при захвате,
обычно лежит в пределах 0,1-М эВ. Это заметно превышает макси-
максимальную энергию фонона, благодаря чему для высвобождения всей
энергии необходимо участие нескольких фононов. Вероятность одно-
одновременного их испускания может оказаться небольшой. Как пока-
аывают расчеты, таким путем не всегда удается объяснить наблюдае-
наблюдаемые величины сечений. Напротив, ряду экспериментальных данных
хорошо соответствует предложенный М. Лэксом каскадный" меха-
механизм захвата, в котором фононы испускаются последовательно во
в-ремени и по одному. Рис. 17.2 поясняет этот процесс. В случае
притягивающих сил "рассматриваемый примесный атом создает,
кроме основного, еще и несколько возбужденных уровней (подобно,
например, уровням электрона в атоме водорода). Поэтому электрон
из зоны может быть сначала захвачен на один из высоких возбужден-
возбужденных уровней, так что освобождаемая энергия может быть унесена

572 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
только одним фононом (переход /). Из этих возбужденных состояний
часть электронов выбрасывается обратно в зону (переход 2), но
часть из них переходит на более низкие уровни энергии, опять
с испусканием только одного фонона (переход 3). Опускаясь таким
образом по цепочке- возбужденных уровней, электрон попадает на
самый глубокий уровень основного состояния. Отметим, что для
наиболее глубоких возбужден-
Л оЛ. ^= Ее ных уровней однофононные про-
*• 1 т цессы могут быть' и невозможны,
3\ - так как расстояние между уров-
* г нями увеличивается по мере
возрастания их глубины (см.
рис. 17.2). Однако это уже не
играет никакой роли, так как,
попав на глубокие возбужден-
возбужденные уровни, электрон уже фак-
фактически захвачен и в конце кон-
цов (хотя, быть может, и сболь-
и шим временем жизни в возбуж-
Рис. 17.2. Схема каскадного процесса Денном состоянии) попадает на
захвата электрона на притягивающую ОСНОВНОЙ уровень. Из сказанного
ловушку. также видно, что коэффициенты
захвата должны увеличиваться
при понижении температуры, так как при этом уменьшается вероят-
вероятность обратного выброса электронов с возбужденных уровней.
Явный вид этой зависимости оказывается степенным. Так, при
захвате дырок отрицательно заряженными примесными центрами
в германии и кремнии
ар~Т-т: (9.1)
Число т в этой формуле меняется в пределах от 2*1 до ^5 в зависи-
зависимости от природы материала и примеси.
При фононном механизме захвата коэффициенты захвата ап и ар .
не должны зависеть от концентрации электронов и дырок. Опыт
показывает, что во многих полупроводниках это действительно так.
Однако, когда концентрация электронов л (или, соответственна^
дырок) становится очень большой, а начинает увеличиваться с воз-
возрастанием п приблизительно пропорционально п. Так, например,
в германии при комнатных температурах а начинает зависеть от п
при п "?> 10" см. Это показывает, что при больших концентрациях,
электронов и дырок основным механизмом захвата становится уже^
фй й С
р р у
не фононный, а ударный. Схема ударного механизма захвата неос-
неосновного носителя заряда на ловушку показана на рис. 17.3 для
полупроводника tt-типа (а) и р-типа (б). Как и раньше, в обоих
случаях по вертикали, снизу вверх, отложена полная энергия элек-
электрона. В случае а) (захват дырки) электрон переходит с уровня

МЕХАНИЗМЫ РЕКОМБИНАЦИИ
573
ловушки Et на один из пустых уровней вблизи края валентной
зоны Ev. Выделяемая при этом энергия, равная приблизительно
(Et — Ev), передается одному из основных носителей — электрону
(которых много), и последний возбуждается на более высокий уро-
уровень энергии ?" в зоне проводимости. В случае б) электрон переходит
-Е'
а)
Рис. 17.3. Схема ударного процесса захвата неосновного носителя заряда на
ловушку: а) захват дырки в полупроводнике n-типа, б) захват электрона в полу-
полупроводнике р-типа.
с одного из уровней вблизи Ес на уровень Et, а выделяемая энергия
(Ес — Et) расходуется на ускорение свободной дырки, переходя-
переходящей на уровень Е".
Процессы захвата имеют -другой характер, когда ловушка несет
заряд того же знака, что и захватываемая частица. Здесь на больших
расстояниях на частицу действует кулоновская сила отталкивания,
а на малых расстояниях преобладают более короткодействующие
силы притяжения. Поэтому потенциальная энергия частицы в поле
ловушки V (г) имеет вид, показанный на рис. 16.6, и, чтобы частица
попала в область сил притяжения и была захвачена, она должна
преодолеть потенциальный барьер вокруг центра.
Отсюда можно было бы ожидать, что сечения захвата у отталки-.
вающих ловушек будут на много порядков меньше, чем у незаря-,
женных и притягивающих ловушек, и что они должны быстро
уменьшаться при понижении температуры (как ехр(— VJkT)).
9ЖЬпыт показывает, что сечения захвата притягивающих центров,
как правило, действительно больше сечений отталкивающих цент-
центров. Однако при сравнении отталкивающих и нейтральных центров
оказывается, что в ряде случаев сечения Sn и Sqn имеют одинаковый.
порядок величины (здесь нижний индекс указывает, какая частица

574 ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. XVII
захватывается, а верхний индекс—зарядовое состояние центра
до захвата). Это наблюдается, например, в германии для атомов
Аи, Си и Ni при комнатных температурах. При понижении темпера-
температуры сечения захвата, как и можно было ожидать, уменьшаются,
однако гораздо слабее, чем следует из классических представлений.
Такое сравнительно слабое влияние потенциального барьера
объясняется квантовомеханическим туннельным эффектом. Так как
толщина потенциального барьера сопоставима с длиной волны элек-
электронов, то достигают центра не только те электроны, энергия кото-
которых Е > Vo, но и электроны с меньшими энергиями, Е < Vo,
что ослабляет влияние барьера как на величину сечений захвата,
так и на их температурную зависимость. Последняя (в случае
захвата электронов отрицательно заряженными атомами золота
и меди в германии) удовлетворительно описывается формулой
ая~ехр[-GУ7у/.]. (9.2)
Здесь
„ _
1 ° -
Z — заряд отталкивающего центра в единицах е, а эффективная
масса т ~ 0,2т0 (в Ge).
Однако и здесь энергия, освобождаемая при захвате, должна
быть отведена от центра, чтобы частица могла остаться на центре.
В случае нейтральных и тем более отталкивающих центров
наиболее эффективный каскадный фононный .процесс, по-видимому,
невозможен, так как нет оснований считать, что такие центры имеют
нужный богатый спектр возбужденных уровней. Поэтому остаются
в первую очередь многофононный и излучательный процессы.
Вероятность многофононного перехода оказывается конечной благо-
благодаря отмечавшемуся в § 3 изменению положений равновесия и соб-
собственных частот нормальных колебаний при захвате (или обратном
выбросе) носителя заряда. Действительно, при этом формулы
(XII.5.15а) и (XII.5.156) уже неприменимы, поскольку функции
Ф„, фЯ' в начальном и конечном состояниях принадлежат разным
осцилляторам. Интегралы /±, (XII.5.12) оказываются отличными
от нуля при любых значениях разности п — п', что и означает воз-
возможность испускания (или, при обратном выбросе, поглощения)
любого числа фононов. Все же вероятность процесса заметно убы-
убывает с увеличением необходимого числа фононов \п — п'\ *). По
этой причине в зависимости от глубины ловушки и условий опыта
главную роль может играть либо фононный, либо излучательный
механизм захвата. Если при захвате электрона из зоны проводи-
проводимости освобождаемая энергия (Ес — Et) может быть унесена неболь-
*) Обзор теории многофононных переходов можно найти в статье [8].

§ 9] ' МЕХАНИЗМЫ РЕКОМБИНАЦИИ 575
шим числом фононов, то доминирующим процессом может быть
безызлучательный фононный захват. Если, напротив, для этого тре-
требуется много фононов, то вероятность фононного механизма умень-
уменьшается и тогда основным процессом может стать излучательный
захват. Так обстоит дело, например, в кремнии при захвате электро-
электронов на нейтральные атомы акцепторов III группы (бор, галлий)
при низких температурах. Энергетические уровни этих акцепторов
расположены вблизи края валентной зоны, и при захвате на них
электрона освобождается большая энергия, равная приблизительно
ширине запрещенной зоны кремния Eg ~ 1 эВ, которая намного
больше максимальной энергии фононов в кремнии. Поэтому такие
захваты оказываются главным образом излучательными,

Глава XVIII
оптика полупроводников
вакуум
Полупроводник
е.
§ 1. Поглощение и испускание света полупроводниками.
Феноменологические соотношения
В опытах по поглощению света полупроводниками часто исполь-
используются сравнительно слабые световые потоки. При этом электро-
электромагнитная волна не изменяет энергетический спектр носителей
заряда (или решетки), а лишь создает новые пары электрон—дырка
(или новые фононы) или вызывает перераспределение носителей за-
заряда по состояниям. При этом величины, характеризующие опти-
оптические свойства среды, не зависят от
интенсивности света. В таком случае
говорят о линейном приближении:
величина световой энергии, погло-
поглощаемой в образце, линейно связана
с интенсивностью света. Ограничимся
здесь этим приближением. Будем счи-
считать также, что длина электромагнит-
J"r ной волны значительно превышает
постоянную решетки. Последнее усло-
условие обычно хорошо выполняется
вплоть до энергий фотонов порядка
нескольких сот электронвольт.
Опыты, нас здесь интересующие,
сводятся в конечном счете к изме-
измерению интенсивности света, прошед-
прошедшего через образец или отраженного от него. Для описания экспе-
экспериментальных результатов, относящихся к кристаллам кубической
симметрии (или к изотропным материалам), вводят две величины:
показатели преломления п и поглощения к. Чтобы связать их
с микроскопическими характеристиками вещества, рассмотрим за-
задачу о распространении плоской электромагнитной волны, нормаль-
нормально падающей на поверхность образца. Пусть последняя совпадает
с плоскостью х = 0, причем область х > 0 занята полупровод-
полупроводником (рис. 18.1). Размеры образца во всех направлениях будем
считать сколь угодно большими.
Обозначим через 6, 3) и К, 3$ векторы напряженности и ин-
индукции электрического и магнитного полей электромагнитной
Рис. 18.1. Падающая, прошед-
прошедшая и отраженная волны.

§ 1J ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ СВЕТА 577
волны. Уравнения Максвелла, описывающие распространение попе-
поперечной волны, имеют вид
«*Я = ?1 + -^. 0-2)
divffl = 0, A.3)
divS3 = 0. A.4)
Ограничиваясь кристаллами кубической симметрии, можем поло-
положить
причем, в соответствии с § XIII.8, а = ох + ioit е0 = ех + Щ,
где cr1( cr2, ех, е2 — вещественные величины, зависящие от частоты
падающей волны ю. Магнитную проницаемость (д. будем считать
вещественной константой, не зависящей от ш; в немагнитных полу-
полупроводниках значение \у обычно очень близко к единице.
Возьмем ротор от обеих частей уравнения A.1). Как известно
из векторного анализа,
rot rot б = — V2S -f- grad div S.
Пользуясь этим соотношением и равенствами A.2), A.3) и A.5),
мы получаем
с dt
Такому же уравнению удовлетворяет и вектор JC.
В соответствии с постановкой задачи положим (при х ^ 0)
*, A.7)
где %т — амплитуда волны, прошедшей в образец, при х = 0;
\ — единичный вектор в направлении б, k — комплексное волно-
волновое число. Из физических соображений ясно, что в поглощающей
среде мнимая часть его должна быть положительна: она описывает
затухание волны по мере углубления ее в среду. Подставляя A.7)
в A.6), получим
Это уравнение, совместно с условием ?т Ф 0, дает связь между
bo, т. е. закон дисперсии электромагнитной волны в рассматри-
рассматриваемой среде.

578 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVIII
Удобно ввести комплексную проводимость о', полагая
о' = G; + ш.; = а-{%0; A.9)
при этом
а»==сг1 + ~4^Г' ai = cr2 4^. A-9)
Положим
^ ), A.10)
где иии — безразмерные вещественные положительные величины.
Это и есть соответственно показатели преломления и поглощения.
Смысл названий становится ясным при подстановке выраже-
выражения A.10) в A.7). Мы получаем при этом
] A.7')
При к == 0, т. е. в отсутствие поглощения, выражение A.7') описы-
описывало бы плоскую волну, распространяющуюся с фазовой скоростью
cln и постоянной амплитудой. Если же х Ф 0, то амплитуда вол-
волны экспоненциально убывает по мере проникновения ее в об-
образец.
Вместо показателя поглощения часто вводят линейный коэффи-
коэффициент поглощения у, определяемый равенством
Т = 2-?-х. A.11)
Смысл величины y легко понять, вспоминая, что плотность энергии
электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды
последней. Согласно A.7') это означает, что плотность энергии
(и тем самым число фотонов в единице объема) убывает с ростом
координаты х, как ехр( — 2— хх) = ехр(—ух). Таким образом, у'1
есть длина, на которой плотность энергии волны в результате
поглощения убывает в е раз.
Обращая равенство A.11), получим
где Я==2л— есть длина световой волны в вакууме.
Подставим выражение A.10) в равенство A.8) и сократим по-
последнее на gm. Получим

§ 1], ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ СВЕТА 579
Отделяя здесь вещественную часть от мнимой, находим два алге-
алгебраических уравнения для определения п и и. Корни их имеют
вид
A.13а)
. A.136)
Формулы A.13а, б) решают поставленную задачу. Иногда их запи-
записывают по-другому, вводя вместо комплексной проводимости а'
комплексную диэлектрическую проницаемость
6 =1Г<7 =eo + -^-<7 = e1 + te2. A.14)
Здесь е,' и е^ — вещественные величины,
Очевидно,
и, следовательно,
[|(K ]V'f A.16а)
A.166)
Равенства A.13а, 6) и A.16а, б) эквивалентны, и выбор тех или
других есть дело вкуса.
Согласно A.16а) показатель поглощения оказывается отличным
от нуля, если отлична от нуля мнимая часть диэлектрической про-
проницаемости. Последняя может быть обусловлена как носителями
заряда, так и решеткой. В первом случае имеет место поглощение
электромагнитной волны, связанное с различными электронными
переходами, во втором — поглощение, связанное с передачей энер-
энергии непосредственно решетке, т. е. с генерацией только фононов.
В обоих случаях, однако, расчет оптических характеристик ве-
вещества сводится к вычислению электропроводности а (а>), опре-
определяемой равенством
j(o)) = <j((o)S(o)). A.17)
Здесь j (a>) есть плотность электрического тока, возбуждаемого
в веществе монохроматической электромагнитной волной вида A.7).
Отметим два случая.
а. Непоглощающая среда. Пусть аг = е2 = 0, Тогда, согласно
A.16а, б), х = 0 и
A.18)

580 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVH1
Это есть формула Максвелла для показателя преломления, допол-
дополненная лишь учетом возможной частотной зависимости &\.
б. Слабое поглощение волны достаточно большой частоты.
Пусть о) больше плазменной частоты, определяемой равенством
(XIII.9.4), т. е. е[ > 0. Пусть также
„'2 ^ р'2 /1 1ОД
Тогда показатель преломления по-прежнему дается формулой A.18),
а показатель поглощения есть
Линейный коэффициент поглощения равен теперь
4яо[^
Смысл условия A.19) можно выяснить, вспоминая, что длина
электромагнитной волны в среде есть \ = 2яс/«(о. С помощью
этого соотношения и равенств A.18), A.21) легко привести условие
A.19) к виду
у-!;>А A.19')
Иначе говоря, расстояние, на котором волна заметно поглощается,
должно быть велико по сравнению с ее длиной.
Условие е.2 > 0 и неравенство A.19') выполняется во многих
интересных случаях. При этом вклад свободных носителей заряда
в диэлектрическую проницаемость образца обычно невелик, т. е.
г\ ~ 81ч Небольшим оказывается обычно и решеточное поглощение
в рассматриваемой области частот: е2 <^ 1. При этом формулу A.2J)
можно переписать в виде (при ц ~ 1)
A.21')
На опыте часто измеряют еще коэффициент отражения R. По-
Последний определяется равенством
11^1. A.22)
Здесь ?,,- — амплитуды волны, падающей на образец, §г — ампли-
амплитуда отраженной волны (рис. 18.1). Пользуясь граничными усло-
условиями для компонент вектора § на поверхности образца, можно
выразить R через показатели преломления и поглощения п и и.
В случае нормального падения мы имеем [1]
D (П-1

S 2]
МЕХАНИЗМЫ ПОГЛОЩЕНИЯ
581
§ 2. Механизмы поглощения
Процессы поглощения света следует классифицировать по тому,
на что непосредственно расходуется энергия поглощенных фотонов.
Можно выделить следующие механизмы:
1) Решеточное поглощение: электромагнитная волна непосред-
непосредственно возбуждает колебания решетки. Этот механизм поглоще-
поглощения особенно важен в ионных кристаллах, в которых генерация
оптических фононов приводит к заметному изменению вектора по-
поляризации; однако такое поглощение наблюдается, и в гомеополяр-
ных материалах. Его испытывают волны, частоты которых близки
к предельной частоте оптических фононов ш0 (§ ХП.З). (Обычно
это соответствует энергии в несколько сотых долей электрон-
вольта.)
2) Поглощение свободными носителями заряда: энергия расхо-
расходуется на создание тока высокой (оптической) частоты и в конечном
счете переходит в джоулево тепло.
3) Примесное поглощение: энергия поглощается носителями за-
заряда, локализованными на примесных или иных структурных де-
дефектах решетки. Она расходует-
расходуется либо на перевод носителей
с основного уровня примесного
центра на возбужденный, либо
на ионизацию примеси. В послед-
последнем случае электроны (дырки)
попадают в зону проводимости
(валентную), т. е. имеет место
внутренний примесный фото-
фотоэффект. Таким- путем можно
определять энергии ионизации
ряда примесей.
4) Междузонное поглощение:
энергия фотона расходуется на
создание пары «электрон прово-
проводимости + дырка». В отсутствие
сильного электрического поля
и/или большой концентрации
примеси этот тип поглощения
опознается по наличию гранич-
граничной частоты a>m, близкой к EgIH. При <о < <от поглощение этого
типа отсутствует. Следует, однако, заметить, что вид спектра погло-
поглощения вблизи частоты ш = wm в разных материалах оказывается
различным. На рис. 18.2 представлен спектр поглощения арсенида
галлия*). Видны два края поглощения. Первый.из них приближенно
t,5 2,0 2,5
Знергир,эВ
Рис. 18.2. Спектр поглощения пленки
арсенида галлия.
*) По данным работы М. Sturge, Phys. Rev. 127, 768 A962).

582
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVIII
соответствует значению Нат — Eg*), второй отвечает энергии
Eg + А, где А — расстояние между потолком валентной зоны и
верхним краем валентной подзоны, отщепленной из-за спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия.
Примерно такие же (в измененном масштабе частот) кривые
получаются и при исследовании многих других материалов — анти-
монида и арсенида индия, антимонида галлия и др. С другой сто-
стороны, у ряда интересных полупроводников частотная зависимость
5 -
4 -
z,z-
в,
J
J
/
707 6
ф
У
1708^
/
У
У
\0Ж
/
/
У
/
/
f
1
1
/
k
A
f
ft
ft/
У
i
0,7-
s
t
л
/
0,7SS
О
O,6Z 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 O,PG 0,78 0,00 0j82 0,84 0,80
Энергия сро/пана froo, эВ
Рис. 18.3. Край поглощения германия при различных температурах.
и величина коэффициента поглощения вблизи красной границы
оказываются существенно иными. Так, на рис. 18.3 изображен ход
коэффициента поглощения света в германии при различных тем-
температурах**). При со = com (ftcom = Eg = 0,66 эВ при комнатной
температуре) коэффициент поглощения относительно мал; он ста-
становится сравнимым с тем, что наблюдается в арсениде галлия,
лишь при йсо ~ Eg + 0,1 эВ. Похожая картина (в другом масштабе
частот) наблюдается также в кремнии, фосфиде галлия и других
материалах. Как будет видно из дальнейшего (§ 5, 7, 9), это различие
*) Как будет показано е § 4, вблизи красной границы коэффициент погло-
поглощения очень мал, поэтому поглощение становится заметным при несколько боль-
больших частотах.
**) По данным работы G. G. Macfarlane, Т. P. McLean, J. E. Quarrington,
V. Roberts, Pbys. Rev. 108, 1377 A957).

§ 3] ПОГЛОЩЕНИЕ ГАЗОМ СВОБОДНЫХ НОСИТЕЛЕЙ 583
имеет глубокую физическую природу: оно обусловлено тем, что
в материалах первого типа экстремумы зон проводимости и валент-
валентной лежат в одной точке зоны Бриллюэна, а в материалах второго
типа — в разных.
5) Экситонное поглощение: энергия фотона расходуется на обра-
образование ЭКСИТОНЯ;,
В материалах первого типа экситонному поглощению отвечают
узкие пики у при частотах, несколько меньших сот; в материалах
второго типа вместо пиков наблюдаются «ступеньки»,
§ 3. Поглощение и отражение электромагнитных волн
газом свободных носителей заряда
Рассмотрим поглощение света свободными носителями заряда
с изотропным законом дисперсии. Комплексная электропроводность
такой системы вычислена в § XIII.8 с помощью кинетического урав-
уравнения Больцмана. Согласно (XIII.8.6) и A.2Г)
оо
Y Зсго'> J 1+тЧЦЕ) У ' ' V '
Начало отсчета энергии здесь совмещено с нижней границей соот-
соответствующей зоны.
г, ?, 1 F—E
В отсутствие вырождения —/о = -г~-ехр—т~— и, как и в ста-
статическом случае (§ XIII.7), правая часть C.1) оказывается про-
пропорциональной концентрации электронов п.
Коэффициент поглощения C.1) обращается в нуль как при
очень сильном рассеянии (т -> 0), так и в отсутствие его (т -> оо).
В первом случае носители заряда практически не могут свободно
двигаться и образец, в сущности, представляет собой диэлектрик.
Во втором случае функция распределения не-успевает изменяться
вместе с полем (§ XIII.8). В результате обращается в нуль компо-
компонента плотности тока, синфазная с полем, и поглощение энергии
отсутствует.
Явный вид функции у (со) зависит, вообще говоря, от механизма
рассеяния. Положение упрощается, если частота достаточно ве-
велика, так что в существенном интервале энергий время релаксации
удовлетворяет условию
(^J>1. C-2)
При этом равенство C.1) принимает вид

584 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVIII
Здесь
Как видно из вывода, в рассматриваемых условиях частотная
зависимость коэффициента поглощения, определяемая формулой
C.3), должна иметь место при любом механизме рассеяния и при
любой температуре. Последние факторы влияют только на. вели*
чину коэффициента С
Этот результат, однако, не всегда согласуется с опытом. Так,
в n-Ge в области длин волн порядка 100 мкм и меньше коэффициент
поглощения света свободными электронами пропорционален вели-
величине К3/\ если доминирует рассеяние квазиимпульса на акусти-
акустических колебаниях решетки, и величине V^, если решающую роль
играет рассеяние на заряженной примеси [3].
Причина этого расхождения состоит в невозможности пользо-
пользоваться классическим кинетическим уравнением, если частота элек-.
тромагнитной волны недостаточно мала. Действительно, согласно
классической механике, на которой основано уравнение Больц-
мана, энергия, получаемая в единицу времени каждым отдельным
носителем заряда от электромагнитного поля волны, есть е (v, 8),
где v — скорость данного носителя." При малой напряженности
поля эта энергия может быть сколь угодно мала. На самом деле,
однако, передача энергии происходит квантами величины Йю, ко-
которая никак не зависит от g. Квадрат напряженности поля опре-
определяет лишь среднее число фотонов в единице объема вещества:
это число пропорционально среднему по времени (за период волны)
от классического значения плотности энергии электромагнитного
поля*)
*v+?3nm C5)
w==?m
Отсюда следует, что расчет крэффициента поглощения с помощью
классических соображений может быть оправдан, лишь если энер-
энергия светового кванта мала по сравнению с характерной энергией
носителя заряда: при этом «столкновение» электрона с фотоном
оказывается почти упругим. В отсутствие фермиевского вырожде-
вырождения это означает, что частота волны должна удовлетворять нера-
неравенству
й© < kT, C.6)
т. е.
XT > 1,5 см-град. C.6')
*) Мы считаем здесь е == е,; в интересующем нас круге вопросов это усло-
условие обычно хорошо выполняется, если частота ш не слишком близка к плазменной,

S 3] ПОГЛОЩЕНИЕ ГАЗОМ СВОБОДНЫХ НОСИТЕЛЕЙ 585
Здесь длина волны должна быть выражена в сантиметрах, а темпе-
температура — в градусах Кельвина. При Т = 300 К отсюда следует,
что длина волны должна значительно превышать 4 • 10~3 см = 40 мкм.
Коль скоро условие C.6) не выполняется, возникает необходи-
необходимость квантовомеханической трактовки поведения электронов.
При этом можно по-прежнему пользоваться формулой A.17); следует
лишь вычислять плотность тока методами квантовой механики —
как среднее значение соответствующего оператора.' Иногда бывает
удобнее пользоваться вытекающим из A.17) выражением для сред-
средней энергии Q, получаемой носителями заряда от электромагнитной
волны в единицу времени и в единице объема:
_ /<Р2\ * _ го2 /о 7\
— U \& / ="O1gOT. F.1)
Здесь угловые скобки обозначают усреднение по периоду поля.
Легко выразить Q через среднее число фотонов данной энергии
р (fid)), рассчитанное на единичный интервал энергии и на единицу
объема. Действительно, среднее по времени значение плотности
энергии C.5) равно *)
По определению эта же величина должна равняться
)Д (Ню),
где Л (йсо) есть интервал, в котором заключены возможные значения
энергии фотонов.
Таким образом,
и равенство C.7) можно переписать в виде
Q— ла' й(ор фц>) А (Йф), C.7')
или, с учетом A-21'),
Q = -%- Йсор (ft©) Д (й©). C.9)
?
Очевидно, величину
C.10)
е;"
) Здесь принято во внимание, что в рассматриваемой нами плоской'волне

586 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVIU
можно рассматривать как вероятность поглощения фотона данной
частоты, отнесенную к единице времени *).
Расчет, выполненный квантовомеханическим путем**), позво-
позволяет успешно объяснить указанные выше экспериментальные дан-
данные: при ha J> kT сам вид частотной зависимости у оказывается
различным для разных механизмов рассеяния, причем получаются
как раз те соотношения, которые наблюдаются на опыте. С другой
стороны, в условиях C.6) квантовомеханическое выражение, как
и следовало ожидать, переходит в классическое C.3).
Коэффициент отражения электромагнитной волны от вещества
со свободными носителями заряда можно найти по формуле A.23).
Здесь особенно интересен случай, когда частота излучения близка
к плазменной ®р\ (§ XIII.9), а поглощение сравнительно невелико
(^l). Тогда формулы A.16а, б) и A.14) дают
C.1.1)
Для (т2 в рассматриваемых условиях можно воспользоваться вы-
выражением (XIII.8.14), выразив его правую часть через плазмен-
плазменную частоту по формуле (XIII.9.4). Получим
Видим, что при со = (Dpi показатель преломления обращается
в нуль, а при
m==<Bpi[-^7=7T/tssa)i (ЗЛЗ)
— в единицу. Соответственно коэффициент отражения оказывается
близким к единице (со = copi) или к нулю (со = щ).
Во многих полупроводниках величина цех значительно превос-
превосходит единицу. При этом частоты % и copi оказываются близкими
друг к другу. Следовательно, в интервале длин волн
происходит быстрый рост коэффициента отражения с увеличением
длины волны. Об этом участке говорят как о плазменном крае отра-
отражения. Определяя из опыта длину волны, при которой коэффициент
отражения минимален, можно найти оптическую эффективную
массу носителя заряда.
*) Строго говоря, в формуле для §fi должна была бы фигурировать группо-
групповая скорость электромагнитной волны, а не фазовая с1в[11К Однако сама формула
A.21') получена уже в пренебрежении дисперсией света (§ 1).
**) Соответствующие вычисления можно найти в книге [2].

§4] КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОГЛОЩЕНИЯ И ИЗЛУЧЕНИЯ 587
§ 4. Коэффициенты поглощения и излучения при оптических
переходах зона — зона
Для вычисления коэффициента поглощения, связанного с между-
междузонными переходами, удобно исходить из соотношения C.7). Сред-
Среднюю энергию, выделяемую в единицу времени в единице объема
образца, следует вычислять квантовомеханическим путем. Для этого
надо прежде всего вычислить отнесенную к единице времени вероят-
вероятность W (К, К') междузонного перехода, связанного с поглощением
фотона. В отсутствие внешних электрического и магнитного полей
квантовые числа А , К' здесь представляют собой совокупности но-
номеров зон /, /' и квазиимпульсов р, р' электрона в начальном и ко-
конечном состояниях:
К = {1, р}, Х> = {1', р'}.
Умножив W (Я, Я') на энергию фотона Йсо и поделив на объем
образца V, мы найдем среднюю энергию, поглощаемую в единицу
временив единице объема образца. Далее ее следует просуммиро-
просуммировать по всем конечным состояниям, допускаемым принципом Паули,
и усреднить по начальным состояниям с учетом вероятности их за-
заполнения электронами. Таким образом,
X, К'
Здесь / (к) есть функция распределения электронов.
В первом неисчезающем приближении вероятность W (А, X')
дается выражениями (XIV.2.15), (XIV.2.16), (XIV.2.10). При этом
функции %, i|>j|/ суть обычные функции Блоха, а в качестве Н'
надо взять оператор энергии взаимодействия электрона с электро-
электромагнитным полем. Этот оператор легко найти, записав уравнение
Шредингера в присутствии электромагнитного поля. Мы имеем
Здесь сЯ и ф — скалярный и векторный потенциалы, связанные
с напряженностью электрического поля б и магнитной индукцией 53
соотношениями
6 = _уф-14^, S3 = rotcfl. D.3)
С Ос
Как известно из электродинамики, потенциалы cfl и ф можно вы-
выбирать любым способом, лишь бы удовлетворялись равенства D.3).
В частности, для поперечной электромагнитной волны скалярный
потенциал можно положить равным нулю, подчинив векторный
условию
divcfl = 0. D.4)

588 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVUt
При этом слагаемое—ecpY в D.2) описывает только взаимодейстрие
заряженной частицы со статическими полями (в том числе с перио-
периодическим полем идеальной решетки), а само уравнение можно пере-
переписать в виде
D.2')
Последние три слагаемых в правой части D.2') описывают искомую
энергию взаимодействия заряженной частицы с электромагнитным
полем. При исследовании структуры зон оптическими методами
чаще всего используются сравнительно слабые сигналы: амплитуда
напряженности электрического поля волны очень мала по сравне-
сравнению с напряженностью внутрикристаллического поля. Тогда сла-
слагаемым, квадратичным по вектор-потенциалу, можно пренебречь,
и оператор энергии взаимодействия электрона с электромагнитным
полем принимает вид
Подчеркнем, что здесь фигурирует масса свободного электрона.
Ни метод эффективной массы, ни какие-либо предположения о виде
законов дисперсии носителей заряда .никак не использовались при
выводе формулы D.5). Второе слагаемое в D.5) обусловливает воз-
возможность поглощения электромагнитных волн с изменением ориен-
ориентации спина электрона. Однако вероятность таких электронных
переходов зачастую невелика по сравнению с вероятностью перехо-
переходов, при которых спин сохраняется. В дальнейшем мы будем рас-
рассматривать только переходы с сохранением ориентации спина; при
этом играет роль только первое слагаемое в D.5), а второе можно
опустить.
Рассматривая монохроматическую волну, можем положить,
с учетом D.3),
„Я (С tp „Ikx-iast /A fi\
Соответственно
I, П D-5')
Амплитуда $т рассматривается здесь как классическая величина,
а не как оператор.
Таким образом, в первом неисчезающем приближении вероят-
вероятность перехода Wu/, фигурирующая в формуле D.1), дается выра-
выражением
w ^ х'>=iSJg41 &Ju-> ia fi (Ev -E^- Ы)- D-7)

§ 4] КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОГЛОЩЕНИЯ И ИЗЛУЧЕНИЯ 589
Здесь
Подставляя выражение D.7) в правую часть D.1) и сравнивая
результат с формулой C.7), находим вещественную часть электро-
электропроводности на частоте <о:
°1 = 1гЗх У KS. Ju')ia б (Ev-Ex-ha) /(?,)[! -№')]• D.9)
Заметим, что выражение D.9). имеет меньшую область примени-
применимости, нежели D.1): оно получено в пренебрежении взаимодей-
взаимодействием носителя заряда с любыми неидеальностями решетки. В про-
противном случае в качестве Н' следовало бы взять сумму выраже-
выражения D.5') и операторов, описывающих названное взаимодействие
(гл. XIV).
Одна черта формулы D.9) имеет, однако, общее значение. Имен-
Именно, в правой части D.9) стоит сумма выражений, относящихся к пе-
переходам между различными энергетическими зонами. Разность
энергий Е (X) — Е (X) определяется энергией фотона frco. Послед-
Последняя чаще всего такова, что пара зон /' и / выделяется однозначно:
играют роль только переходы между зонами с данными фиксиро-
фиксированными значениями / и /'. Это позволяет ограничиться исследова-
исследованием лишь одного члена суммы.
Наряду с процессами поглощения фотонов (электронными пере-
переходами из более низкого энергетического состояния X в более вы-
высокое X'), происходят и обратные переходы X' -> X, сопровождаю-
сопровождающиеся излучением фотонов. При этом следует различать два типа
таких процессов: самопроизвольные, или спонтанные, переходы и
вынужденные переходы, возникающие под воздействием уже имею-
имеющегося в образце электромагнитного поля. Необходимость суще-
существования вынужденных переходов была впервые указана Эйн-
Эйнштейном в 1917 г. в связи с анализом законов теплового излучения.
Энергия, излучаемая в результате вынужденных переходов (в еди-
единицу времени и в единице объема), выражается формулой
«>, D.10)
к
которая получается из D.1), если поменять местами индексы Я и У.
Учитывая выражение D.7) для W (к, X') и формулу D.8), можно
убедиться, что
W(X, X') = W(X', X). D.11)
Таким образом, вероятности элементарного акта поглощения
фотона и обратного ему вынужденного излучения одинаковы»

590 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVIII
Из формулы {4.7) также видно, что вероятность вынужденного
излучения, так же как и поглощения, пропорциональна §L
т. е., согласно формуле C.8), пропорциональна концентрации фо-
фотонов в образце.
Для спонтанного излучения, аналогично формуле D.10), можно
написать
Qcn = Y 2 <W(V)A-/(*))ft<o. D.12)
х\ к
Здесь пух *— вероятность элементарного акта спонтанного перехода,
которая, в отличие от W(k', к), не зависит от концентрации уже
имеющихся фотонов.
¦ Рассмотрим, как влияет вынужденное излучение на измеряемый
коэффициент поглощения света. Если бы имело место только излу-
излучение света, то, продолжая пользоваться формулой C.7), мы должны
были бы считать ох < 0 и, соответственно, у < 0. Фактически наблю-
наблюдаемый на опыте коэффициент поглощения определяется разностью
поглощаемого и испускаемого света. С учетом A.2Г) мы лолучаем
D.13)
Если равновесие в электронном газе нарушается только за счет
поглощения света, то функции f (к) и / (к') можно заменить рав-
равновесными функциями Ферми
Разность /0 (к) — /0 (к') при этом положительна, так как Е%> = Ех +
+ Йсо > Е%. Следовательно, у > 0, т. е. имеет место результирую-
результирующее поглощение света.
Найдем теперь величину коэффициента спонтанного излучения
пук. Для этого рассмотрим образец в условиях термодинамического
равновесия. Так как в этом случае энергия электромагнитного поля
не изменяется, то
<2погл-<2вын-<2с„ = 0. D.15)
Более того, согласно принципу детального равновесия это ра-
равенство должно выполняться по отдельности для каждой пары состоя-
состояний к, к'. Рассмотрим две группы состояний с энергиями Е\> и,
соответственно, Ех, заключенные в узком интервале энергий АЕ.
При этом Ех— Ех = Йсо, АЕ = Д (йсо). Учтем, далее, что для
равновесных функций Ферми D.14)
fo (*) A -/о (к')) = /0 (к') A -/„ (к)) ехр (Йсо/feT). D.16)

$ 5] ПРЯМЫЕ И НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ 591
Тогда, подставляя в условие D.15) выражения D.1), D.10), D.12)
и учитывая D.11), находим
au, = W (Я, Я') [exp (h<a/kT) - 1]- D.17)
Воспользуемся для W (X, К') формулой D.7), выражая в ней 8„ через
концентрацию фотонов р (Лсо) по формуле C.8). Учитывая еще,
что в равновесии р0 (йю) дается формулой Планка
(в которой мы заменили показатель преломления п на е1/*), получаем
1A, J^I'i^-^-MAM. D.19)
Не завися от вида функций распределения, эта формула остается
в силе и в любых неравновесных условиях. Из формулы D.19)
видно, что а\>\ не зависит от концентрации фотонов, имеющихся
в образце, чего и следовало ожидать для спонтанных переходов.
Полученные результаты позволяют также найти отношение
энергий, излучаемых при спонтанных и вынужденных переходах.
Из формул D.10) и D.12) следует, что при данном переходе
Пользуясь теперь формулами D.17) и D.18), находим
QBhm пЧЪ р (to) • У -^>
Таким образом, относительная роль обоих процессов зависит от
концентрации фотонов данной частоты, т. е. от интенсивности ак-
активного излучения и от ширины его спектра. С помощью количе-
количественных оценок можно убедиться, что в обычных лабораторных
источниках сплошного спектра (например, лампах накаливания)
спонтанное излучение гораздо важнее вынужденного. Напротив,
в оптических квантовых генераторах (лазерах, § 6), мощность ко-
которых огромна, а спектральный интервал очень узок, р (Йсо) очень
велика и вынужденное излучение играет основную роль.
§ 5. Прямые и непрямые переходы
Рассмотрим поглощение света в идеальной решетке, связанное
с переходами между валентной зоной и зоной проводимости. Для
этой цели можно воспользоваться формулой D.13), взяв в ней сла-
слагаемые с / = с и /' = v. При этом матричный элемент, фигурирую-

592 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. ХУШ
щий в D.13), содержит функции Блоха (II 1.2.15'). Таким образом,
)
dr. E.1)
И
-.- (Р —P'
n
Для удобства записи мы ввели здесь волновой вектор фотона к —
= Я 0, 0}.
Ограничимся наиболее интересным случаем сравнительно сла-
слабого поглощения, когда справедливо условие A.19'). Тогда мни-
мнимой частью k в формуле E.1) можно пренебречь. Соответственно
подынтегральное выражение в E.1) представляет собой произве-
произведение экспоненциальной функции с мнимым аргументом и функции
периодической с периодом решетки. Согласно теореме, доказанной
в Приложении XIV, интеграл Jw может быть отличен от нуля,
лишь если выполняется правило отбора
р' = р + Йк + /лЙЬ, E.2)
где т — целое число или нуль*). Равенство E.2) на первый взгляд
кажется очевидным. Фактически, однако, выражаемый им закон
сохранения не вполне тривиален: вектор Ш есть импульс фотона,
в то время как р и р' суть квазиимпульсы электрона в начальном
и конечном состояниях.
При не слишком большой разности энергий ?V — Е^ величина
Ш заметно меньше характерного квазиимпульса электрона в началь-
начальном или конечном состояниях. В самом деле, согласно равенству
A.10) и закону сохранения энергии, выражаемому б-функцией
в формуле D.13), мы имеем k ~ -^ (Е%- — Ек). Следовательно,
ft* n(EK,-EK) v(p)
_ _ --^-г E.3)
характерная скорость v (p) определяется этим соотношением. Опти-
Оптические переходы могут совершать любые электроны, в том числе
и обладающие очень малыми квазиимпульсами. Однако число таких
электронов невелико, ибо в этой области очень мала плотность со-
состояний (V.2.3). Основную роль играют электроны с конечными
~ Е Е
значениями р; при этом величина v — — обычно оказыва-
оказывается заметно меньше фазовой скорости света в среде с/п. Пусть,
например, Е%— Ек = 1 эВ и п = 4, тогда k ~ 10+й см. Пусть,
далее, точка с энергией Е\- отстоит от края зоны на 10~2 эВ (при этом
плотность состояний уже не слишком мала). Пусть, наконец, спра-
справедлив простой параболический закон дисперсии с эффективной
*)' В дальнейшем мы будем для краткости опускать последнее слагаемое
в правой части E.2): поскольку векторы р и р' лежат в пределах первой зоны
Бриллюэна,' число т определяется однозначно.

§ 51 ПРЯМЫЕ И НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ 593
массой т =. 0,1/л0. Тогда pl% ~ 10е см", т. е. правая часть E.3)
составляет около 0,1- Эта ситуация оказывается довольно типич-
типичной: с точностью до 10 ~ 15% импульсом фотона можно пренебречь.
Поэтому правило отбора E.2) принимает более простой вид:
Р' = Р- E-2')
Поскольку вектор —р есть не что иное, как квазиимпульс дырки,
то равенства E.2К E.2') имеют очень простой смысл: с точно-
точностью до малой величины йк полный квазиимпульс системы «элект-
«электрон проводимости Н- дырка» не изменяется при рассматриваемом
оптическом переходе, оставаясь равным нулю (до поглощения или
после испускания фотона этот квазиимпульс, разумеется, равен
нулю ввиду отсутствия обоих носителей заряда).
При условии E.2') правая часть равенства E.1) принимает вид
u*pi. ¦ Vupl + -j putftipi) dr.
Интеграл от второго слагаемого в скобках равен нулю: в силу
(III.4.3) при V ф I функции Ыр/< и upi взаимно ортогональны. Та-
Таким образом, в рассматриваемом случае
iu- = ^ u*pi- ¦ Vupl dr = -~ pi'i (р), E.1')
где
Ри (р) = — ih \ u%v ¦ Vupi dr E.4)
есть матричный элемент оператора импульса в системе функций
Upf, upi, вычисленный в точке р зоны Бриллюэна. При этом, поль-
пользуясь периодичностью указанных функций, область интегрирова-
интегрирования в E.4) можно ограничить пределами одной элементарной ячейки
(нормируя функции ирг, upi в той же области).
Итак, в идеальной решетке междузонные оптические переходы
происходят практически в одной и той же точке зоны Бриллюэна.
Такие переходы называются прямыми или вертикальными. Смысл
этого названия становится ясным из рис. 18.4, а, где изображены
(схематически) законы дисперсии для электронов проводимости и
дырок в полупроводнике типа германия. Видно, что равенство
E,2') исключает здесь возможность поглощения фотонов с энер-
энергией, близкой к ширине запрещенной зоны. Такое поглощение,
однако, становится возможным, если принять во внимание неидеаль-
неидеальность решетки. При этом, благодаря взаимодействию носителей
заряда с рассеивателями, закон сохранения квазиимпульса в форме
E.2) или E.2') уже не имеет места: часть квазиимпульса поставля-
поставляется атомами примеси или фононами, испускаемыми при оптическом
переходе. Переходы такого типа называются непрямыми или не-
невертикальными. В материалах типа германия именно они ответ-
ответственны за поглощение волн с частотой, близкой к граничной.

594
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVIII
Будучи связаны с необходимостью взаимодействия электронов не
только со светом, но и с рассеивателями, непрямые переходы менее
вероятны, нежели прямые (если последние разрешены). Поэтому
для них характерно заметно меньшее значение коэффициента погло-
поглощения, что и видно на рис. 18.3: область 0,7 эВ < На> <С 0,8 эВ
отвечает там непрямым переходам, а область йсо J> 0,8 эВ — прямым.
Существуют материалы, в которых дно зоны проводимости и
потолок валентной зоны располагаются в одной и той же (или почти
одной и той же) точке зоны Бриллюэна. К числу таких веществ
Лрямои
(вертикальньи
riepexi.
НелрямойШ-
.вертикальныи)
переход
а)
Рис. 18.4. а) Вертикальные и невертикальные переходы в «непрямом» полупро-
полупроводнике, б) Вертикальный переход в «прямом» полупроводнике.
относятся, например, арсенид галлия, антимонид индия и др.
Прямые переходы в них могут вызываться фотонами с энергией,
сколь угодно близкой к красной границе (рис. 18.4, б).
О материалах двух указанных типов иногда говорят как о «не-
«непрямых» и «прямых» соответственно.
Заметим, что вывод равенства E.2) никак не был связан с пред-
предположением о том, что переходы происходят непременно между
различными зонами: последнее условие определяет только область
частот со. В случае внутризонных оптических переходов, рассмот-
рассмотренных в § 3, характерная скорость v — порядка тепловой и пра-
правая часть E.3) также мала. С другой стороны, внутризонные пере-
переходы непременно связаны с изменением квазиимпульса, т. е. они
по определению невертикальные. Следовательно, они могут проис-
происходить лишь при наличии рассеяния носителей заряда, в чем мы
уже убедились другим путем в § 3.
§ 6. Полупроводниковые лазеры
В § 4 мы видели, что величина и знак коэффициента поглощения
света у существенно зависят от разности f(k) — f(K'), где/ —
степень заполнения электронами энергетических уровней, между

§ 6] ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ЛАЗЕРЫ 595
которыми происходят электронные переходы (формула D.13)).
Там же мы отмечали, что если в отсутствие света электронный газ
находится в равновесии, то у > 0 и, следовательно, электромагнит-
электромагнитная волна ослабляется. Однако если в полупроводник вводить энер-
энергию от внешнего источника и этим существенно нарушать равно-
равновесие в электронном газе («накачка» энергии), то может оказаться,
что / (Х)>/(А,'), т.е. что заселенность расположенных вьГше
уровней станет больше заселенности уровней, лежащих ниже (ин-
(инверсия заселенности уровней). В среде с инверсным распределением
электронов у становится отрицательным, т. е. волна не поглоща-
поглощается, а усиливается. Среды, в которых у < О, называются актив-
активными.
Остановимся подробнее на условии возникновения инверсного
распределения. Рассмотрим сначала однородные полупроводники
и прямые электронные переходы зона—зона. Будем считать, что
при накачке успевает установиться равновесное энергетическое рас-
распределение электронов в зоне проводимости и дырок — в валентной
зоне (но, конечно, не имеется равновесия между обеими зонами).
Как мы видели в гл. VII, в этом случае можно ввести квазиуровни
Ферми для электронов Fn и для дырок Fp. Тогда условие инверсии
для какой-либо пары уровней, один из которых, Е^, лежит в ва-
валентной зоне, а другой, ?*,— в зоне проводимости, есть
F.1)
exPVL+1 ехр-_
Отсюда получаем
Fn-FP>EV-E%. F.2)
Так как минимальное значение (?Y— Ех) есть ширина запрещен-
запрещенной зоны Eg, то условие возможности инверсии есть
Fn-Fp>Eg. F.3)
Следовательно, накачка должна быть настолько сильной, чтобы
квазиуровни Ферми оказались внутри разрешенных зон энергии,-
т. е. чтобы электронный и дырочный газы стали вырожденными
(рис. 18.5). При этом все уровни в валентной зоне с энергией Е^ > Fp
будут практически пустыми, а все уровни в зоне проводимости
с Еу <Fn — заполнены электронами. Поэтому фотоны, энергия
которых лежит в интервале tt»min<(o<comax, где
ft®max = Fn — Fp, fKOmin = Eg, F.4)
не могут вызывать электронные переходы валентная зона — зона
проводимости и, следовательно, не будут поглощаться. Обратные же
переходы зона проводимости—валентная зона возможны, и поэтому

596
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVIII
будет происходить излучение фотонов. Соотношения F.4) опреде-
определяют частотный интервал, в котором возможно усиление электро-
электромагнитных волн. Если инверсное распределение создается освеще-
освещением от постороннего сильного источника света, то энергия фото-
фотонов накачки йюн должна, очевидно, быть (рис. 18.5)
Нта 2= Fn — Fp = Й(отах. F.5)
Рассмотрим теперь многодолинные полупроводники и непрямые
переходы. Этот случай изображен на рис. 18.6 для конкретного
Рис. 18.5. Инверсное распреде-
распределение электронов в однодолин-
ном полупроводнике.
Рит
Рис. 18.6. Электронные переходы в
многодолинном полупроводнике (гер-
(германий) с участием фонона.
примера германия. Как показано в § 5, здесь возможны электрон-
электронные переходы только с участием рассеивателеи. Для определенности
мы положим, что выполнение законов сохранения,энергии и квази-
квазиимпульса обеспечивается участием тепловых колебаний решетки,
так что при электронном переходе Зона проводимости—валентная
зона испускается один фонон с энергией йсоф. Фононы будем считать
равновесными (термолизованными) и находящимися в равновесии
с электронным газом. Тогда условие инверсии для пары уровней
Eh- и Ei, вместо формулы F.1), будет иметь вид
ехр
kT
+ 1
¦г-
F.6)
Соответственно условие активности среды, вместо F.3), теперь бу-
будет
Следовательно, при непрямых переходах для возникновения актив-
активности необходима меньшая разность (Fn — F,,), т. е. меньшая накач-

§6] ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ЛАЗЕРЫ 597
ка. Отметим, однако, что это совсем не значит, что для усиления
волн выгоднее использовать непрямые переходы. Действительно,
величина усиления зависит от темпа вынужденных излучательных
переходов, который, при прочих равных условиях, пропорционален
вероятности переходов. А эта последняя, как отмечалось выше
(§ 5), для непрямых переходов меньше, чем для прямых.
Существенная особенность усиления электромагнитных волн
в активных средах состоит в сужении спектрального интервала
при усилении. Это происходит по той причине, что коэффициент
усиления у внутри полосы усиления (comax — comin) зависит от со
и при некоторой частоте имеет максимум. Поэтому преимущественно
усиливаются лишь те частоты, которые лежат вблизи нее, и волна
в процессе усиления становится более монохроматической.
Использование вынужденного излучения в среде с инверсной
заселенностью уровней лежит в основе квантовых генераторов,
или, иначе, лазеров *), предназначенных для генерации когерентных
электромагнитных волн. Принцип их работы заключается в том,
что активная среда сопрягается с резонатором колебаний и между
ними осуществляется обратная связь. Последняя обычно реали-
реализуется тем, что в качестве резонатора используют два плоскопарал-
плоскопараллельных зеркала (оптический резонатор Фабри и Перро), а актив-
активную среду помещают между зеркалами резонатора. Тогда усиленная
волна, отражаясь от одного из зеркал, снова вступает в активную
среду и вызывает усиленное вынужденное излучение, а, следова-
следовательно, и сам,а усиливается еще больше. Отражаясь от второго
зеркала, волна попадает опять в активную среду и снова усилива-
усиливается и т. д. Если сделать зеркала полупрозрачными, то часть-энер-
часть-энергии волн будет выходить наружу. Кроме того, часть энергии волн
теряется вследствие неизбежных потерь в самом резонаторе. Когда
выигрыш в энергии волны становится равным суммарным потерям,
в резонаторе устанавливаются стационарные автоколебания и все
устройство превращается в источник когерентного электромагнит-
электромагнитного излучения высокой степени монохроматичности.
В существующих полупроводниковых лазерах активность среды
создается за счет инверсного распределения электронов между ва-
валентной зоной и зоной проводимости **). Необходимая для инвер-
инверсии большая концентрация электронов и дырок может быть создана
разными способами: инжекцией в р—n-переходе (инжекционная
накачка), освещением сильным (некогерентным) источником света
(оптическая накачка), бомбардировкой быстрыми электронами
(электронная накачка) и другими приемами.
*) Название произошло от первых букв английской фразы «light amplifi-
amplification by stimulated emission of radiation».
**)' Возможность использования полупроводников для создания активной
среды в лазерах впервые была указана в 1958 г. Н. Г. Басовым и Б. М. Вулом.

598
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVIII
На рис. 18.7 показан принцип действия инжекционного лазера.
Его основная часть — монокристалл полупроводника, в котором
путем надлежащего распределения мелких доноров и акцепторов
созданы области р- и «-проводимости. Между ними имеется неиз-
неизбежная переходная область некоторой толщины й. В слабо легиро-
легированных полупроводниках создать большую концентрацию электро-
электронов и дырок, необходимую для выполнения условия инверсии F.3),
путем одной только накачки трудно. Поэтому р- и «-области делают
'W////////////^°
n
Рис. 18.7. Энергетическая диаграмма инжекционного полупроводникового ла-
лазера, а) Вырожденный р — л-переход без внешнего напряжения, б) Вырожден-
Вырожденный р — и-переход при положительном напряжении, d — технологическая ши-
ширина перехода, / — ширина активной области (Fn — Fp^ Eg).
сильно легированными, чтобы электронный и дырочный газы в п-
и, соответственно, в р-области были вырождены. В этом случае
уже без инжекции уровень Ферми в р-области лежит внутри
валентной зоны, а в «-области — внутри зоны проводимости
(рис. 18.7, а), отчего выполнение условия F.3) при накачке облег-
облегчается. При приложении к р — «-переходу положительного напря-
напряжения (плюс источника на р-области, минус на «-области) проис-
происходит инжекция дырок (в «-область) и инжекция электронов
(в р-область). Неравновесные концентрации носителей постепенно
уменьшаются по мере удаления от границ перехода и затухают на
расстояниях порядка их длин диффузии. Соответственно первона-
первоначальный уровень Ферми расщепляется на квазиуровни Fp и Fn, кото-
которые изменяются в пространстве так, как показано схематически на
рис. 18.7, б. Из рисунка видно, что в окрестности перехода воз-
возникает активный слой, в котором Fn — Fp^ Ес — Ev = Eg. Тол-
Толщина активного слоя / может быть значительно больше d.

§ 7] КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ ПРИ ПРЯМЫХ ПЕРЕХОДАХ 599
Многократное отражение излучения происходит от двух парал-
параллельных полированных граней кристалла, которые играют роль
зеркал резонатора. Излучение выходит через узкие полоски, обра-
образованные пересечением активного слоя с частично отражающими
гранями кристалла.
Лазерный эффект наблюдается во многих однодолинных полу-
прогодниках. Одним из лучших полупроводниковых лазеров яв-
является инжекционный лазер на арсениде галлия. Укажем дли
ориентировки некоторые его характеристики. Размеры таких ла-
лазеров очень малы, что связано с трудностями изготовления больших
однородных /^«-переходов. При излучающей поверхности по-
порядка 10~4 см3 излучаемая ими мощность в непрерывном режиме
достигает ~10 Вт, что в пересчете на 1 см2 соответствует ~102 -н
-т- 103 кВт/см2. В соответствии с шириной запрещенной зоны длина
волны излучаемого света равна ~8000—9000 А (в зависимости от
рабочей температуры). Величина пороговой плотности тока через
р—л-переход, при которой наступает самовозбуждение, имеет по-
порядок 100 А/см2 (что соответствует полному току порядка немногих
ампер). Коэффициент полезного действия при охлаждении жидким
азотом достигает 70—80%.
Характеристики полупроводниковых лазеров можно значительно
улучшить, применяя вместо обычных р—«-переходов, созданных
в одном и том же полупроводнике, анизотипные гетеропереходы
(§ VIII.5). Это позволяет существенно уменьшить пороговый ток
и потому легче осуществить непрерывную генерацию в неохлаж-
даемых переходах при комнатной температуре, что сильно рас-
расширяет возможные применения полупроводниковых лазеров. Под-
Подробнее о полупроводниковых лазерах см., например, в [4, 5].
§ 7. Коэффициент поглощения при прямых переходах.
Комбинированная плотность состояний
Рассмотрим коэффициент поглощения при прямых междузон-
междузонных переходах. Будем считать, что функции распределения /(к) и
/(А/) равновесные. Тогда формула D.9) с учетом E. Г) и E.4) примет
вид (при V = с, I = v)
1 & р"} '2 /о <?"(р)) [1 ~/о {Ес т х
р
Хб(?с(р)-Е„(р)-Й<о). G.1)
Переходя здесь от суммирования по р к интегрированию и поль-
пользуясь формулой A.21'), мы получаем
х
х [ 1 - /о (Ес (р))] б (Ее (р)-Е, (р) - Щ. G.2)

600
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
[ГЛ. XVIII
Если свет не поляризован, то величину | (?, рсг,) |2 можно заменить
результатом усреднения ее по углам V3 |рс» I2-
В невырожденных полупроводниках почти все состояния ва-
валентной зоны заполнены, а зоны проводимости — свободны. При
этом множитель /0 (Ev (р))[1 — /0 (Ес (р)I в правой части G.2)
можно заменить единицей. Это означает, что все переходы, дозво-
дозволенные энергетически, разрешены и принципом Паули. Так, в «пря-
«прямых» полупроводниках красная граница поглощения сот отвечает
минимальному значению разности энергий Ес (р) — Ev (p):
ftcom = Eg.
В условиях сильного вырождения положение меняется. Пусть,
например, уровень Ферми лежит в зоне проводимости, причем
F—Ес*^> kf (рис. 18.8). Тогда принцип Паули практически
с
/ г
Невырожденный
полупроводник
Вырожденный
полупроводник
Рис. 18.8. Сдвиг Бурштейна — Мосса.
исключает возможность переходов в состояния зоны проводимости
с энергией Е <.F. Красная граница поглощения при этом отвечает
энергии Её + (F— Ес), т. е. смещается вверх (по сравнению с не-
невырожденным образцом) на величину (F — Ec))h. Это явление на-
называется сдвигом Бурштейна—Мосса. Заметим, что в рассматри-
рассматриваемой задаче
/0 (?„ (р)) [1 - /0 (Ес (р))] = /0 (?„ (р)) - U (Ес (р))
как для вырожденного, так и для невырожденного полупроводни-
полупроводников. Этим оправдано использование формулы D.9) и, следовательно,
G.2) вместо D.13).
Для исследования структуры энергетических зон особый инте-
интерес представляет частотная зависимость коэффициента поглоще-
поглощения G.2). Вычисление функции у (со) в общем виде связано с боль-
большими трудностями, ибо она определяется как законами дисперсии,
так и матричным элементом рС1> (р). Заметим, однако, что последняя
величина есть гладкая функция р, ибо интеграл 45Л) сходится
при любых значениях компонент квазиимпульса. Поэтому мы вправе

S 7] КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ ПРИ ПРЯМЫХ ПЕРЕХОДАХ gOl
выбрать в зоне Бриллюэна некоторую точку р0 и разложить этот
матричный элемент по степеням р — р0:
Р% (Р) = р% (Ро) + саР (рр - р0, р) +... G.3)
Здесь сар— безразмерный тензор; многоточие означает члены выс-
высшего порядка по (р— Ро) *).
Разложение G.3) имеет смысл, если точки р и р0 не слишком
далеки друг от друга. Иначе говоря, нужно, чтобы былл достаточно
близки друг к другу разности энергий Ес (р) —Ev (р) и Ес (р0) —
— Ev (p0). Это означает, что при заданной точке р0 рассматриваемым
разложением можно пользоваться лишь для определения функ-
функции у (со) в не слишком широком интервале частот. При этом вели-
величины рс„ (р0) и сар можно либо рассматривать как параметры тео-
теории, подлежащие определению из опыта, либо вычислять числен-
численными методами.
В зависимости от свойств симметрии волновых функций «р,е
и uPoV матричный элемент
Pcv (Ро) = $ «PV (~ М) «ро* dr G.4)
может быть отличным от нуля или обращаться в нуль.
Пусть, например, функции «Ро11 и «роС характеризуются опре-
определенной четностью, т. е. либо меняют знак (нечетные функции),
либо остаются неизменными (четные функции) при изменении зна-
знаков пространственных координат.
Рассмотрим сначала случай, когда их четность одна и та же,
например, обе четные. Поскольку производная от четной функции
нечетна, все подынтегральное выражение в G.4) меняет знак при
изменении знаков пространственных координат — переменных ин-
интегрирования. То же, очевидно, относится и к самому интегралу.
Но при замене переменных интегрирования интеграл измениться
не может. Следовательно, он равен нулю. Так, например, обстоит
дело при-переходах в точке р„ = 0 между зонами легких и тяжелых
дырок в соединениях типа AIUBV.
С другой стороны, если функции иРо7) и UpoC обладают разной
четностью, то подынтегральное выражение в G.4) не меняется при,
изменении знака переменных интегрирования и интеграл может
быть отличен от нуля. Это имеет место, например, при переходах
между зоной легких дырок и зоной проводимости в арсениде гал-
галлия. При более сложных свойствах симметрии правила отбора уста-
устанавливаются с помощью теории групп.
*) Фактически в дальнеишем значение р<, будет отвечать либо границе зоны
проводимости (или валентной), либо какой-либо другой критической точке (§ 8).

502 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVIII
Если интеграл G.4) отличен от нуля, то говорят о прямых раз-
разрешенных переходах, в противном случае — о прямых запрещен-,
ных.
Рассмотрим сначала прямые разрешенные переходы в невырож-
невырожденном полупроводнике. При этом в правой части G.3) можно
оставить только первое слагаемое, т. е. заменить рсг, (р) на pcv (р0)
(впредь мы будем для краткости опускать аргумент р0). Тогда (для
неполяризованного света) формула G.2) принимает вид
у=
Введем обозначение
Получим
иб И = -$щ? I б (Ес (Р) - Е* (Р) ~ Щ dP- G-6)
GJ)
Величина ркомд (со) называется комбинированной плотностью
состояний. Смысл этого названия становится ясным, если сравнить
правую часть G.6) с формулами для .плотностей состояний в зонах
проводимости и валентной (V.7.86). Разница состоит лишь в том,
что, в отличие от последних формул, правая часть G.6) определя-
определяется не видом каждого из законов дисперсии Ес (р) и Ev (p) rio от-
отдельности, а разностью Ес (р) — Ev (p).
Как видно из формулы G.6), комбинированная плотность со-
состояний отлична от нуля лишь при
a^(Dm = Eg/n. G.8)
Смысл этого неравенства очевиден: в рассматриваемых условиях
междузонные переходы мо1*ут быть вызваны только фотонами доста-
достаточно большой энергии.
Вычислим комбинированную плотность состояний для частот,
близких к пороговому значению сот. В качестве р0 здесь удобно
выбрать точку в зоне Бриллюэна, отвечающую дну зоны проводи-
проводимости (по условию ей же соответствует и потолок валентной зоны).
Предположим сначала, что р0 = 0, и аппроксимируем законы дис-
дисперсии простыми параболическими выражениями, совмещая на-
начало отсчета энергии с дном зоны проводимости:
*«<Р)=ЗйЬ ?ЛР) = -^-^ G.9)
Подставим выражения G.9) в правую часть G.6) и будем вы-
вычислять фигурирующий там интеграл в сферических координатах.

$ 7] КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ ПРИ ПРЯМЫХ ПЕРЕХОДАХ 603
Интегрируя по полярным углам, получим
где
пР /7.11)
есть приведенная эффективная масса электрона и дырки.
Интеграл, фигурирующий в формуле G.10), легко вычислить,
пользуясь правилами Приложения IV. При со ^ а>
>т
[2т? (Й«>—
Рко«б(») =
Результат G.12) легко обобщить и на случай, когда экстремумы
зон лежат в точке р0 ф 0 и законы дисперсии электронов и Дырок
анизотропные (но параболические). При этом частотная зависи-
зависимость ркомб (со) остается такой же, как и в G.12); надо лишь заме-
заменить там множитель т/г на (m^m^m^)'7*, где m7i, mjy,, тГг\ суть
главные значения тензора т^ар = тгс]а$ + т^а^-
Таким образом, при параболических законах дисперсии частот-
частотная зависимость коэффициента поглощения при прямых разрешен-
разрешенных переходах имеет вид
(СО) <~^—(СО — С0т) '». (/.1о)
Обратимся теперь к прямым запрещенным переходам. При этом
в правой части G.3) надо сохранить и второе слагаемое, в резуль-
результате чего матричный элемент pcv (p) оказывается обычно отличным
от нуля. Полагая вновь р0 = 0 и пользуясь формулами G.3), G.2)
(для неполяризованного света) и G.9), мы получаем (по-прежнему
в отсутствие вырождения)
Y= 7 : ч~ \ PpPv" \-Eg — h(!ij dp. G.14)
«. P. V oi r
Как и в случае G.6), интеграл легко вычисляется в полярных коор-
координатах. При со > сот
Этот результат (с точностью до численного множителя) остается
в силе и при ро Ф 0, и при любой анизотропии тензоров обратных
эффективных масс, лишь бы законы дисперсии электронов и дырок

604 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVIII
оставались параболическими. Таким образом, частотная зависи-
зависимость коэффициента поглощения при прямых запрещенных перехо-
переходах имеет вид
Y~I>-fi>m)V,. G.16)
Как уже отмечалось, формулы G.13) и G.16) справедливы при
не слишком больших значениях разности © — ©т: энергии электро-
электронов и дырок должны быть такими, чтобы законы дисперсии остава-
оставались параболическими и чтобы имело смысл разложение G.3).
Количественно эти условия можно сформулировать только при-
применительно к тому или иному конкретному материалу. Следует также
иметь в виду, что формулы G.12) — G.16) оказываются несправед-
несправедливыми не только при очень больших частотах, но и при частотах,
очень близких к пороговой. Дело в том, что вывод этих формул
основан на зонной теории, в рамках которой носители заряда .рас-
.рассматриваются как невзаимодействующие частицы. Фактически,
однако, такое взаимодействие имеет место: электрон и дырка испы-
испытывают взаимное кулоновское притяжение. Как мы видели в§ XVI 1.7,
характерная энергия последнего — порядка боровской энергии
в кристалле к^ш- Следует ожидать поэтому, что принятый выше
упрощенный подход будет оправдан, лишь если
g G.17)
Тщательное теоретическое исследование [6] действительно показы-
показывает, что в условиях G.17) формулы G.12)—G.16) остаются в силе,
в то время как при меньших частотах частотная зависимость коэф-
коэффициента поглощения оказывается иной.
Во многих кристаллах боровская энергия, фигурирующая в пра-
правой части G.17), сравнительно невелика. Так, в арсениде галлия
и фосфиде индия она составляет около 0,004 эВ, в антимониде гал-
галлия — около 0,003 эВ. По этой причине область применимости
формул G.12)—G.16) оказывается довольно широкой. Исключение
составляют лишь узкозонные полупроводники, в которых отклоне-
отклонения законов дисперсии от п-араболических становятся заметными
уже при довольно малых энергиях носителей заряда.
§ 8. Критические точки
Обратимся к изучению коэффициента поглощения при прямых
разрешенных переходах в области частот, заметно превышающих
пороговую. Здесь надо прежде всего выяснить, какие точки в зоне
Бриллюэна представляют наибольший интерес. Для этой цели
вернемся вновь к формуле G.6). Фигурирующий в ней тройной

§ 8] КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 605
интеграл удобно вычислять, интегрируя сначала по поверхности
а затем по всем таким поверхностям, т. е. по всем значениям Е
(сравните с аналогичной выкладкой для плотности состояний
в § V.7). Обозначив через dS элемент площади на поверхности (8.1),
получим, как и в § V.7,
2 С dS
Ркомб (<») -
3 | \
рЕ
(8.2)
р
Вспоминая формулу (IV. 1.3), видим, что
|Vp?| = |vc(p)-vr(p)|, (8.3)
где vc (р) и vB (р) — скорости электрона с квазиимпульсом р в зо-
зонах проводимости и валентной.
Интеграл в (8.2) представляет собой гладкую функцию частоты
при ЕСех значениях со, кроме тех, при которых знаменатель обра-
обращается в нуль:
(8-4)
Если выполнено равенство (8.4), то интеграл должен иметь особен-
особенность: будет расходиться либо сама комбинированная плотность
состояний, либо какие-то ее производные по со (как мы увидим,
в трехмерном случае сам интеграл в (8.2) остается конечным).
Согласно (8.3) так обстоит дело, если междузонный переход проис-
происходит между состояниями с одинаковыми скоростями электронов
(в частности, возможен и случай vc (p) = vB (p) = 0). Точки в зоне
Бриллюэна, для которых
0, (8.5)
называются критическими. Соответствующие сингулярности плот-
плотности состояний и коэффициента поглощения называются особен-
особенностями Ван-Хова.
Можно указать два типа критических точек:
1) критические точки первого рода:
VPEC (р) = vc (р) = 0, Vp?u (p) = v, (р) = 0; (8.6а)
2) критические точки второго рода:
VPEC(P)^PEV(P)?=O. (8.66)
Как правило, условия (8.6а) выполняются только в силу тех
или иных соотношений симметрии в зоне Бриллюэна. Так, напри-
например, в гл. IV было указано, что энергия электрона есть четная
функция квазиимпульса и, следовательно, градиенты УрЕс (р) и
УрЕт, (р) суть функции нечетные. Отсюда явствует, что если в цен-
центре зоны Бриллюэна энергетические зоны не вырождены, то там

606 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVIII
расположена критическая точка. В произвольных точках зоны
Бриллюэна критические точки первого рода могут возникнуть
только случайно. С другой стороны, равенства (8.66) в принципе
могут удовлетворяться при любых значениях р (при каких именно —
зависит от явного вида законов дисперсии Ес (р) и Ev (p)). По этой
причине критические точки второго рода встречаются гораздо
чаще, нежели первого.
Согласно формуле (V.7.8) и аналогичной ей формуле для Nv (Е)
в критических точках первого рода особенности имеет не только
комбинированная плотность состояний, но и отдельно плотности
состояний в валентной зоне и в зоне проводимости. В критических
точках второго рода сингулярной оказывается только комбиниро-
комбинированная плотность состояний.
Критические точки первого рода представляют особый интерес
для исследования структуры зон. Действительно, вблизи них плот-
плотности состояний Nc (Е) и Nv (Е) изменяются наиболее быстро;
с другой стороны, в пространстве между ними функции Nc (Е)
и Nv (E) — гладкие, и их можно аппроксимировать путем интер-
интерполяции от одной критической точки до другой. Таким путем,
определив из опыта положений критических точек первого рода,
можно восстановить вид плотностей состояний — тем точнее, чем
больше критических точек известно. Точно так же, определив поло-
положения ряда критических точек обоих типов, можно восстановить
вид комбинированной плотности состояний. Отсюда явствует, что
в качестве р0 в G.3) надо выбирать именно критические точки.
Как видно из равенств (8.6а), критические точки первого рода
отвечают потолку и дну зоны, а также седловым точкам функций
Ес (р) и Ev (p). С одной из таких точек мы уже имели дело в преды-
предыдущем параграфе, рассматривая междузонные оптические пере-
переходы вблизи порога поглощения. Как видно из формулы G.12),
функция ркомб (со) действительно имеет особенность при /ш = Её:
производная
-^ -(Лео -Я,)', ет^оз. (8.7)
Критические точки второго рода отвечают экстремумам и седло-
седловым точкам только разности Е (р) = Ес (р) — Ev (p). Можно до-
доказать, что периодическая функция Е (р) всегда имеет такие точки.
Исследуем поведение комбинированной плотности состояний
в окрестности критической точки (безразлично, первого или вто-
второго рода). Удобно совместить с ней начало координат в р-про-
странстве (в противном случае величины р в следующих ниже
формулах надо было бы заменить на р — р0). В силу (8.4) функцию
Е вблизи данной критической точки можно представить в виде
Е (р) = Е @) + ~ т^РаР& +... (8.8)

$ 8] КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ 607
Здесь многоточие обозначает члены высшего порядка малости,
а величины т«р суть компоненты тензора обратной эффективной
массы в точке р = 0. Направим оси координат в р-пространстве
вдоль главных осей тензора т^'р, обозначив, как всегда, через т?
главные значения этого тензора. Тогда вместо (8.8) мы получим
Е(р)=Еф)+ J з4- <8-8')
ее —х, у, z
Эффективные массы та могут иметь разные знаки. В зависимо-
зависимости от их сочетания здесь имеются четыре случая:
1) Особая точка типа Мо (минимум): все три величины та поло-
положительны.
2) Особая точка типа Mt (седловая точка): одна из величин та
(для определенности mz) отрицательна, две — положительны.
3) Особая точка типа М2 (седловая точка): две из величин та
отрицательны, одна (для определенности тг) — положительна.
4) Особая точка типа М3 (максимум): все три величины та
отрицательны.
Для вычисления функции ркомб (со) в условиях (8.8') удобно
воспользоваться выражением G.6). Следует лишь помнить о необ-
необходимости ограничить область интегрирования окрестностью кри-
критической точки, где только и имеет смысл разложение (8.8'). Про-
Произведем в выражении G.6) замену переменных интегрирования,
полагая
Получим
z '21 mxml,mz
Ркомб И = 79^3 Л (8-9)
где
точка Мо, (8.10а)
точка М3, (8.106)
точка Мх, (8.10в)
точка М2. (8. Юг)
Здесь
есть разность между энергиями электрона в зоне проводимости
и в валентной зоне, вычисленная в критической точке. Так, в слу-
случае поглощения у порога в прямом полупроводнике, рассмотрен-
рассмотренном в § 7, ?кр = Eg — ширине запрещенной зоны.

608 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVIIJ
Интеграл / для точки типа Мй рассматривался в § 7. Опуская
несущественные множители, не зависящие от частоты, мы имеем:
Точка Мо: Ркомб (со) ~ Г кр/ ркр> (8.11а)
Аналогичный результат получается и для точки типа М3. Дей-
Действительно, пользуясь соотношением (Приложение IV)
б (- <?2 + Екр - йю) = б (<?2 - ?кр + На),
мы получаем:
Точка М3: ^(^{^"^ J^*- (8.116)
Как и в точке Мо, комбинированная плотность состояний имеет
здесь корневую особенность.
Обратимся теперь к точкам типа Мх и Мг. Введем в интеграле
(8.10в) цилиндрические координаты, полагая
qx = qLzo%<$, <7jf = <7iSinq), dq = qL dq L dtp dqs.
Получим
«mill
'max
= 2л ^ ^1^1(?кр-Й(о + 781)-1/8. (8.12)
«min
Нижний предел (/mm находим из условия положительности выра-
выражения в скобках:
—<
?кр), П(о^Екр,
0 Па<Екр. v
Верхний предел <?тах определяется размерами области, в которой
справедливо разложение (8.8'); как будет видно из дальнейшего,
точное его значение несущественно.
Вычисляя интеграл (8.12), мы получаем:
j (?кр - ft© - q*maxL> - (Екр - ftto)'/.,
Точка Mi.- рко«бИ~| Пы^Екр, (8.11в)
Таким образом, здесь комбинированная плотность состояний имеет
излом в точке /ш = ^р, точное значение qm»*. при этом роли не
играет.

S 8]
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
609
Аналогично вычисляется и интеграл (8.Юг). Мы имеем:
,,)•/, _(A@_?Kp)v,, (8.1 lr)
Йсо Ss ?„„.
Точка М2: рКОиб (©)¦
Здесь также имеется излом в точке Ны — ERp.
Точна типа Ид
а)
Точка типа М,
б) *
ш
•-кр
Тачка типа Mt Тачка типа Мг
б) г)
Рис. 18.9. Комбинированная плотность состояний вблизи критических точек
(схематически).
б)
(О
Рис. 18.10. Плато коэффициента поглощения, возникающее при наличии двух
критических точек (схематически).
На рис. 18.9 схематически представлен ход комбинированной
плотности состояний вблизи критических точек всех четырех

610 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XVIII
типов. Как видно из рис. 18.9, в, г, при наличии двух близких по
энергии критических точек типа М1 и М2 на кривой у (©) может
возникнуть плато (рис. 18.10). Такие плато действительно иногда
наблюдаются.
§ 9. Непрямые переходы
Рассмотрим непрямые междузонные переходы в веществах
типа Ge и Si. Ограничимся при этом невырожденными материалами
и областью частот вблизи пороговой. Функцию распределения
электронов по энергиям будем считать равновесной: /0 (Ес (р)) яа 0,
fo(Em(p))~l.
В рассматриваемых веществах точка р0, в которой расположен
главный минимум зоны проводимости, находится недалеко от гра-
границы зоны Бриллюэна. Это означает, что непрямой переход, изо-
изображенный на рис. 18.4,а, связан с изменением квазиимпульса
на величину порядка Й/а, где а — постоянная решетки. Как видно
из формулы (XIV.5.18), вероятность передачи квазиимпульса
| р — р' | при рассеянии на заряженной примеси пропорциональна
e2l^V-(p-p'JJ2' ( '
где Nt — концентрация примеси, зар-яд иона которой (в единицах е)
равен Z, а г0 —радиус экранирования. В не слишком сильно леги-
легированных материалах го^>а, и выражение (9.1) оказывается про-
пропорциональным малой величине
где, как всегда, через а,в обозначен боровский радиус в кристалле.
С другой стороны, согласно (XIV.4.15) вероятность рассеяния на
акустических колебаниях решетки слабо зависит от величины пере-
передаваемого квазиимпульса. По этим причинам при не слишком боль-
большой концентрации заряженной примеси рассеяние носителей заряда
на ней не играет заметной роли при непрямых междузонных пере-
переходах. Доминирующим — при всех температурах, представляю-
представляющих экспериментальный интерес, — оказывается рассеяние на
акустических колебаниях решетки *). При этом возможны процессы,
связанные как с поглощением, так и с испусканием фононов. В боль-
большинстве интересных полупроводников энергия взаимодействия
электронов с фононами сравнительно невелика. Это позволяет
ограничиться рассмотрением только однофононных процессов. Обоз-
Обозначим частоту и квазиволновой вектор фонона через а>ф и q. Тогда
*) Положение меняется в сильно легированных полупроводниках, когда
из-за взаимодействия с атомами примеси изменяется сама структура энергетиче-
энергетического спектра носителей заряда (гл. XIX).

§9] НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ 611
законы сохранения энергии и квазиимпульса при междузонных
переходах с поглощением или испусканием фонона будут иметь вид
P' (9.2a)
p-ftq = p'. (9.26)
Рассматриваемые квантовые переходы происходят в результате
взаимодействия электронов как с фотонами, так и с фононами.
Первое из этих взаимодействий описывается гамильтонианом D.5),
второе — формулой (XIV.3.32). Расчет коэффициента поглощения
с учетом обоих этих взаимодействий требует довольно длинных
вычислений, которые можно найти, например, в обзоре [6]. Общую
структуру выражения для у можно, однако, установить без всяких
вычислений.
Во-первых, ясно, что мы получим здесь сумму двух членов,
Y+ и Y_. соответствующих поглощению фотона с испусканием и по-
поглощением фонона:
(9-3)
Во-вторых, в силу законов сохранения (9.2а) и (9.26) и сообра-
соображений, связанных с принципом Паули, для Y+ и y_ должны полу-
получиться выражения типа G.2). Нужно лишь изменить в G.2) аргу-
аргумент б-функции, включив в него энергию фонрна с квазиимпульсом
— (Р — Р)> ввести под знак суммы дополнительный множитель,
описывающий вероятность испускания или поглощения фонона, и
просуммировать по всем ветвям фононного спектра.
Как и при прямых междузонных переходах здесь следует раз-
различать переходы разрешенные и запрещенные — в соответствии
с тем, не равно или равно нулю первое слагаемое в правой части
формулы G.3). Рассмотрим сначала разрешенные переходы. Опу-
Опуская несущественные постоянные множители, мы получим
Y± И ~ Z С^ {п К,Л 1- + [п К.*) + 1Ш- (9-4)
s
Здесь Cs — константы, описывающие энергию взаимодействия элек-
электронов с фононами s-й ветви и указанные в таблице 14.2; соф s есть
частота фонона s-й ветви, квазиволновой вектор которого равен
ро//2; п (юф),)= ехр—^—1 — равновесное число фононов
данного типа, а через /+ обозначены интегралы
/± = J б (Ес (р') - ?, (р') - /ко ± йюф,,) dp dp'. (9.5)
Правую часть (9.5) легко представить в виде интеграла от произве-
произведения плотностей состояний в валентной зоне и в зоне проводимо-
проводимости. Действительно, введем промежуточное интегрирование по

612 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ (ГЛ. XVIII
вспомогательной энергетической переменной Е, пользуясь тож-
тождеством
J б (Ес (р') - Ev (р) - Йсо ± /шф,,) dp dp' =
= 5 dE\8(Ec(p')-E)dp'\8(E-Ev(p)-fi<u±n<»bs)dp. (9.6)
— ее
Принимая теперь во внимание равенство (V.7.8 б), находим
+ СО
/±~ $ dENe(E)Nv(E-fie>±hv>bS). (9.7)
— со
Вычислим интегралы (9.7) для параболических (не обязательно
изотропных) законов дисперсии (по-прежнему совмещая начало
отсчета энергии с дном зоны проводимости). В этом случае (§ V.2)
| 0, ?<0
и
Nv (E — ti(?>± й(оф, J ~
f (Й(о — Eg — E^z Й©ф, ^.I/г, Йсо — ?g — ? гр Ймф) ^ 5г О,
I 0, So)-?'g-?'it^iS<0.
Подставляя эти выражения в правую часть (9.7), получаем
^¦(Йю-^ + ЙИф,,)». (9.8)
Таким образом, для коэффициента поглощения при непрямых
разрешенных переходах находим
Y ~ I] cs~' {«(»ф, *) (Й© - ?g + Й(йф> ^J +
Как и следовало ожидать, в отличие от прямых переходов, правая
часть (9.9) зависит от температуры.
Формула (9.9) упрощается, если энергия На>ф< s мала по сравне-
сравнению с /ш — Eg *). Тогда
УШ^-. (9.9')
*) Это условие может и не составлять большого ограничения, так как пре-
предельная энергия акустического фонона обычно не превышает нескольких сотых
долей электронвольта.

$10] ЭЛЕКТРООПТИКА 613
При правильно выбранных значениях Cs выражение (9.9) хо-
хорошо описывает температурную и частотную зависимость коэффи-
коэффициента поглощения в германии и кремнии (вблизи порога). Частот-
Частотная зависимость вида (9.9') наблюдалась в фосфиде галлия.
§ 10. Электрооптика
При наложении на образец постоянного и однородного электри-
электрического поля энергетический спектр носителей заряда претерпе-
претерпевает серьёзные изменения (§ IV.6). Соответственно изменяются и
спектры поглощения и испускания света полупроводником. Самое
характерное их отличие от того, что наблюдается в отсутствие поля,
ясно из рис. 4.8: при наложении постоянного и однородного элек-
электрического поля становятся возможными междузонные оптиче-
оптические переходы при частоте света, меньшей красной границы *).
Это—переходы, невертикальные в плоскости (г, Е). Они связаны
с туннельным просачиванием электронов и дырок через запрещен-
запрещенную зону. Из рис. 4.8 видно, что энергия поглощаемого фотона /ш
тем меньше, чем на более далекое расстояние туннелирует электрон.
Отсюда следует, что вероятность такого перехода, будучи отличной
от нуля при любой частоте со, должна все же быстро убывать с уве-
увеличением разности Eg— На. Расчет этой вероятности связан с до-
довольно сложными вычислениями. Мы приведем лишь результат
для простейшего случая, когда переходы — разрешенные и про-
происходят без участия фононов, причем главные оси тензора эффектив-
эффективной массы — одни и те же для электронов и для дырок. Напряжен-
Напряженность электрического поля будем считать направленной вдоль
одной из этих осей (оси Z). Введем характерную энергию
A0.1)
Тогда при ha <.EguEg — йсо ;> Ег коэффициент поглощения дается
выражением [6]
4 / Е„ — П
где А — постоянная.
В соответствии со сказанным выше коэффициент поглощения
действительно оказывается отличным от нуля при На < Eg, но
все же быстро убывает с увеличением параметра {Eg — ЬаIЕг.
С другой стороны, при Й© > Eg и Й«а — Eg^s> Er получается
*) Это явление называют эффектом Келдыша—Франца.

614 ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ 1ГЛ. XVIII
где А1—постоянная. При §->0 это выражение (с учетом A0.1))
переходит в формулу G.13). Поправка, определяемая вторым
слагаемым в фигурных скобках в A0.3), оказывается осциллирую-
осциллирующей функцией частоты света. Заметим, однако, что условия при-
применимости последнего результата могут оказаться довольно жест-
жесткими. Дело в том, что, поднявшись достаточно высоко над ниж-
нижним краем зоны проводимости, электрон получает возможность
участвовать в ряде процессов рассеяния — как упругих, так и
неупругих. В результате их рассматриваемое состояние электрона
становится нестационарным, что приводит к «размазыванию» осцил-
ляционных пиков коэффициента поглощения.
Как видно из формулы A0.2), коэффициент поглощения света
в области Йсо <; Eg сильно зависит от разности Eg— /гсо. Это поз-
позволяет, измеряя 7 (й> Щ *). определять ширину запрещенной
зоны. Такой.способ применим и к «непрямым материалам»; там он
дает ширину «прямой зоны», т. е. энергетическое расстояние между
потолком валентной зоны и уровнем зоны проводимости, находя-
находящимися в той же точке зоны Бриллюэна. Формулы A0.1)— A0.3)
позволяют также, зная Eg, определять приведенную эффективную
массу.
§11. Модуляционная спектроскопия
Чувствительность рассмотренных в предыдущем параграфе мето-
методов исследования резко повышается, если модулировать постоянное
поле сравнительно слабым переменным. При этом модулированной
окажется и интенсивность света, прошедшего через образец или
отраженного от него. Выделяя переменную составляющую интен-
интенсивности, мы получим сигнал, пропорциональный производной
коэффициента поглощения (или отражения) по напряженности
поля §.
В сущности, не обязательно модулировать именно напряжен-
напряженность электрического поля. В принципе можно периодически варьи-
варьировать любую величину, от которой зависит коэффициент поглоще-
поглощения (как в присутствии, так и в отсутствие постоянного поля).
Выделяя переменную составляющую интенсивности прошедшего
или отраженного света, мы найдем производную у или Я по этой
величине. Эта идея лежит в основе метода модуляционной спектро-
спектроскопии. Кроме электрсотражения, используются еще следующие
методики:
а) Пьезоотражение. Модулируется (например, акустически) ме-
механическое напряжение на образце. В результате периодически
изменяются значения всех энергетических зазоров—ширины запре-
*) Непосредственно измеряют чаще коэффициент отражения, вычисляя за-
затем v по формулам A.23) и A.11).

§ 12] МАГНЕТООПТИКА 615
щенной зоны, расстояния между потолком валентной зоны и под-
подзоной, отщепленной благодаря спин-орбитальному взаимодей-
взаимодействию, и т. д. Исследование переменной составляющей интенсив-
интенсивности отраженного света дает в этом случае информацию о зависи-
зависимости ширины запрещенной зоны и других величин от давления.
б) Термоотражение. Модулируется температура образца. При
этом будут периодически изменяться и все энергетические зазоры
(с разными, вообще говоря, коэффициентами). В результате полу-
получается информация о температурной зависимости названных ве-
величин.
в) Оптическая модуляция отражения (фотоотражение). Эф-
Эффект Келдыша—Франца имеет место в электрическом поле любого
происхождения — лишь бы оно достаточно плавно изменялось
в пространстве (т. е. могло рассматриваться как почти однородное).
Это относится и к полю, возникающему вблизи поверхности бла-
благодаря изгибу зон. Величину его можно изменять, варьируя кон-
концентрацию носителей заряда вблизи поверхности. Последнее дости-
достигается оптической инжекцией, при которой электроны и дырки
создаются сильно поглощаемым светом (не тем, отражение которого
изучается). Исследования этого типа дают ту же информацию, что
и электроотражение.
г) Катодоотражение. Идея этого метода та же, что и фото-
фотоотражения. Разница состоит в том, что теперь электронно-дырочные
пары создаются пучком быстрых электронов («катодных лучей»).
д) Модуляция длины волны. При этом определяется производная
от коэффициента отражения (поглощения) по частоте, что полезно
при обнаружении критических точек. Действительно, согласно
формулам G.7) и (8.7) в критической точке производная dy/da
имеет резкий пик.
Подробное рассмотрение методов модуляционной спектроско-
спектроскопии и изложение результатов исследования, полученных таким
путем, можно найти в книге [7].
§ 12. Магнетооптика
Влияние магнитного поля на оптические свойства полупровод-
полупроводника связано как с квантованием Ландау, так и с чисто классиче-
классическими эффектами. С одним из магнетооптических явлений — диа-
диамагнитным резонансом — мы уже встречались в гл. IV. Отметим
еще две группы эффектов.
а. Магнетоплазменные эффекты. Газ свободных носителей
заряда в полупроводнике представляет собой частный случай плаз-
плазмы — в целом нейтральной системы заряженных частиц (в моно-
монополярном материале нейтральность достигается за счет компенси-
компенсирующего заряда примесей). Магнетоплазменными называют опти-
оптические эффекты, обусловленные влиянием неквантующих магнитных

6N ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ [ГЛ. XV111
полей на поведение свободных носителей заряда. Это влияние про-
проявляется через комплексную электропроводность. Согласно § XIII. 1в
в магнитном поле электропроводность становится тензором, ком-
компоненты которого зависят от магнитной индукции <Ж Особенно
интересен случай сравнительно слабого поглощения (к <J 1), когда
при вычислении коэффициентов преломления и отражения поглоще-
поглощением энергии можно, пренебречь (о такой системе свободных зарядов
говорят как о бесстолкновительной плазме). В этих условиях
при параболическом законе дисперсии величины п и R выражаются
только через эффективные массы носителей заряда, что и позволяет
использовать соответствующие экспериментальные данные для
определения компонент тензора /nag. Подробное рассмотрение всех
магнетоплазменных эффектов можно найти в статье 18].
б. Междузонные переходы в квантующем магнитном поле. Коэф-
Коэффициент поглощения света при междузонных переходах в кванту-
квантующем магнитном поле можно вычислить по формулам D.13) (если
ограничиться рассмотрением идеальной решетки). Следует лишь,
в соответствии с § IV.5, использовать в качестве X' и К квантовые
числа k2, k3 и п в конечном и начальном состояниях электрона.
При этом осцилляции плотности состояний, отмеченные в § V.8,
приводят к осциллирующей зависимости коэффициента поглощения
от магнитной индукции (при заданной частоте света) или от частоты
(при заданной магнитной индукции). В невырожденных зонах
пики коэффициента поглощения (без изменения проекции спина)
определяются условием, вытекающим из формулы (V.8.7) и такого
же выражения для плотности состояний в валентной зоне:
~gp)^. A2.1)
Здесь
0)п=
npc
?л и ёр — гиромагнитные отношения для электронов проводимости
и дырок.
Согласно A2.1) экспериментальное исследование междузонных
переходов в магнитном поле позволяет определять параметры
<й„ — (Ор и gn — gp. Существенно, что при этом мы не обязаны огра-
ограничиваться областью энергий, близких к границам запрещенной
зоны. Подбирая значение магнитной индукции, можно вести изме-
измерения в области частот, заметно превышающих Eg/h. При этом
получается информация о структуре зоны проводимости (валентной
зоны) вдали от ее дна (потолка).

Глава XIX
СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
§ 1. Примесные уровни и примесные зоны
Определение понятия «сильно легированный полупроводник»
можно дать, выяснив особенности материалов, содержащих доста-
достаточно много посторонней примеси *). Для этой цели посмотрим
прежде всего, как изменяется зонный энергетический спектр при
добавлении примеси в кристалл.
Как мы знаем (гл. II и § IV.7), изолированные примесные атомы
могут создавать дискретные уровни в запрещенной зоне. Волновые
функции электронов, занимающих эти уровни, локализованы вблизи
соответствующих атомов примеси. Энергетический спектр такого
полупроводника схематически изображен на рис. 19.1, а (для опре-
определенности мы считаем, что каждому примесному атому принадле-
принадлежит лишь один дискретный уровень, и рассматриваем материал
п-типа).
Электроны и дырки, локализованные на дискретных уровнях,
могут перемещаться по кристаллу лишь путем «прыжков» — пере-
перескоков с одного уровня на другой. При этом для преодоления
потенциального барьера, разделяющего примесные атомы, требуется
энергия активации (даже при учете туннельного эффекта). Поэтому,
а также из-за больших — в среднем — расстояний между атомами
примеси, вероятность такого процесса оказывается небольшой и
значения подвижности, соответствующие прыжковой проводи-
проводимости, также весьма малы (порядка десятых долей см2/В -с и мень-
меньше). Прыжковую проводимость удается наблюдать лишь при до-
достаточно низких температурах, когда концентрация свободных но-
носителей заряда становится совсем небольшой. Вместе с тем темпера-
температура не должна быть и слишком низкой: при Т = О тепловая
активация становится невозможной и прыжковая проводимость
(в отсутствие подсветки) обращается в нуль.
Представление об изолированных примесных атомах оправдано,
лишь если не перекрываются ни их силовые поля, ни волновые
функции электронов, локализованных на дискретных уровнях. Так
обстоит дело, если концентрация примеси Л^, боровский радиус
*) Роль примеси могут играть и иные структурные дефекты решетки — меж-
доузельные агомы, вакансии и т. д.

618
СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
1ГЛ. XIX
в кристалле ав и радиус экранирования г0 удовлетворяют усло-
условиям
ЛГГ'/з>г0, N7'/3>aB. A.1)
В наиболее интересном для дальнейшего случая «водородопо-
добных» примесей (§ IV.7) ав = гН2/те2. Этой формулой мы и
о.)
Рис. 19.1. Энергетический спектр полупроводника «-типа в зависимости' от
уровня легирования (заштрихованы области дозволенных значений энергии),
а) Слабо легированный полупроводник. Штрихпунктиром указано положение
уровня Ферми при низких температурах, б) Промежуточно легированный полу-
полупроводник. Пунктирная линич указывает положение бывшего уровня примеси,
штрихпунктирная — положение уровня Ферми при низких температурах.
в) Сильно легированный полупроводник. Пунктирными линиями указаны бывшие
границы зон проводимости и валентной, штрихпунктирной — уровень Ферми
в отсутствие компенсации, г) Сильно легированный компенсированный полу-
полупроводник.
будем далее пользоваться. При этом второе из неравенств A.1)
есть частный случай (IV.7.8) при квантовом числе и = 1. Полупро-
Полупроводники, параметры которых удовлетворяют неравенствам A.1),
называются слабо легированными. С ними мы имели дело, в частно-
частности, в §§ IV.7 и XIV.5, изучая энергетический спектр мелких доно-
доноров и акцепторов и рассеяние на заряженной примеси.

§ 1] ПРИМЕСНЫЕ УРОВНИ И ПРИМЕСНЫЕ ЗОНЫ 619
Заметим, что в этом случае радиус экранирования должен пре-
превышать «радиус орбиты», иначе отдельный атом примеси вообще
не мог бы создать дискретный уровень (§ XVI 1.8). В справедливости
неравенства
го>ав A.2)
в слабо легированных полупроводниках можно убедиться, поль-
пользуясь явными выражениями для радиуса экранирования
(П.XI 1.6а, б) (эти выражения справедливы, если экранирование
обусловлено только перераспределением свободных зарядов). В от-
отсутствие вырождения и при полном вырождении мы имеем, соот-
соответственно,
ав ~ \8л па% EBj
Здесь п — концентрация электронов, Ев — ше*/2е2й2 — боровская
энергия в кристалле.
Полагая теперь п = Nt и пользуясь вторым из неравенств A.1),
видим, что соотношение A.2) удовлетворяется в широком интервале
концентраций примеси.
При повышении концентрации примеси сильные неравенства A.1)
рано или поздно перестанут выполняться. Прежде всего нарушится
первое из них: электрон, локализованный вблизи одного из атомов
примеси, начнет испытывать воздействие и со стороны других при-
примесных атомов. В результате его энергетический уровень, оставаясь
дискретным (пока соблюдается второе из неравенств A.1)), несколько
сдвинется по энергии. Величина этого сдвига зависит от расположе-
расположения других примесных атомов относительно центра локализации:
она тем больше, чем больше атомов примеси отстоит от данного на
расстояние, не превышающее примерно г0. Однако распределение
примеси в решетке никогда не бывает строго упорядоченным (см.
Приложение XIII). Даже при постоянной по образцу средней
концентрации примеси всегда имеют место локальные флуктуа-
флуктуации концентрации. Поэтому и сдвиг энергии примесного уровня
относительно Ес оказывается случайным и различным в раз-
разных местах образца. Иначе говоря, в запрещенной зоне вместо од-
одного дискретного уровня появляется некоторый их набор
(рис. 19.1, б). Это явление называется классическим уширением
уровней.
: При дальнейшем увеличении концентрации примеси знак стро-
строгого неравенства исчезает и во втором из условий A.1). Тогда
становится заметным перекрытие волновых функций электронов,

620 СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ [ГЛ. XIX
локализованных на различных (в основном соседних) атомах при-
примеси, и примесный уровень «размывается» в примесную зону (§ IV.7).
Об этом эффекте говорят как о квантовом уширении уровней.
Полупроводники, в которых образовалась примесная зона,
отделенная запрещенными участками как от валентной зоны, так
и от зоны проводимости, называют промежуточно легированными.
В германии, легированном донорами V группы, эффекты, свя-
связанные с образованием примесной зоны, становятся эксперимен-
экспериментально заметными при Nt ~ 1015 см.
При дальнейшем увеличении концентрации примеси примес-
примесная зона продолжает расширяться и в конце концов сливается
(в образце n-типа) с зоной проводимости (рис. 19.1, в). Энергия
активации примеси при этом обращается в нуль. В таком мате-
материале уже нельзя проводить четкое различие между зоной прово-
проводимости и примесной: имеется единая область дозволенных значе-
значений энергии, проникающая в глубь запрещенной зоны *). Эту
область мы тоже будем называть «примесной».
Полупроводник, в котором примесная зона слилась с ближайшей
к ней «собственной» зоной кристалла, называется сильно легиро-
легированным.
Более тщательное исследование (см. ниже § 2) показывает, что
даже при легировании примесью только одного типа новая .область
спектра возникает у обеих собственных зон кристалла. Компенса-
Компенсация приводит лишь к расширению этой области и к очевидному
смещению уровня Ферми (рис. 19.1, г).
§ 2. Особенности сильно легированных полупроводников
Две особенности сильно легированных полупроводников видны
непосредственно из рис. 19.1, в, г.
Во-первых, в некомпенсированном материале уровень Ферми
попадает в дозволенную область энергий: в сильно легированном
некомпенсированном полупроводнике имеет место вырождение
газа основных носителей заряда. По этой причине такие материалы
часто называют вырожденными.
Во-вторых, в сильно (и промежуточно) легированном материале
взаимодействие электронов и дырок с примесями играет двоякую
роль: формируя определенные участки энергетического спектра
системы, оно вместе с тем обусловливает и рассеяние носителей
заряда (в том числе и тех, которые движутся в «примесных» обла-
областях спектра). С другой стороны, в условиях слабого легирования
это взаимодействие играет альтернативную роль: оно либо создает
*) Здесь и в аналогичных случаях в дальнейшем термины «запрещенная
зона», «эффективная масса» и т. д. относятся к соответствующему нелегирован-
иому полупроводнику.

$ 2] ОСОБЕННОСТИ СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 621
локальные уровни, находясь на которых электроны и дырки сами
не участвуют в явлениях переноса (исключая прыжковую прово-
проводимость), либо вызывает рассеяние свободных носителей заряда,
находящихся в зонах проводимости и валентной. При этом на
структуру указанных зон взаимодействие электронов и дырок с ио-
ионами примеси практически не оказывает влияния.
Третья особенность сильно легированных полупроводников
связана с обстоятельством, характерным для всех явлений, в ко-
которых играет роль взаимодействие носителей заряда с примесными
атомами. Как отмечалось в гл. XIV, наблюдаемые на опыте вели-
величины представляют собой результат некоторого усреднения по
координатам атомов примеси (о совокупности этих координат гово-
говорят как о конфигурации примеси). Действительно, из-за флуктуа-
флуктуации в распределении примеси ее конфигурация в разных частях
образца оказывается несколько различной; выполняя измерения,
мы тем самым производим усреднение по конфигурациям. Именно
поэтому экспериментальные данные, относящиеся к электриче-
электрическим, оптическим и другим характеристикам вещества, оказываются
связанными не с координатами каждого из атомов примеси, а лишь
с такими величинами, как средняя их концентрация. Чтобы ввести
операцию усреднения в аппарат теории, удобно рассматривать коор-
координаты примесных атомов как случайные величины и задавать не
точные их значения, а лишь вероятность того или иного распределе-
распределения примеси в пространстве. Этот подход точно соответствует той
информации, которой мы фактически располагаем: координаты ато-
атомов примеси в опыте не заданы, а о характере их распределения
судить можно.
Возможность — и необходимость — такой статистической поста-
постановки задачи связана с тем, что в рассматриваемых материалах не
имеет места полное термодинамическое равновесие. Действительно,
при полном равновесии реализовалось бы упорядоченное распреде-
распределение примеси, отвечающее условию минимальности свободной
энергии системы. Для этого, однако, примесные атомы должны
продиффундировать из тех мест, куда они случайно попали при леги-
легировании, в положения равновесия. При обычных температурах
этот процесс идет очень медленно и распределение примеси остается
случайным.
Статистическая постановка задачи о взаимодействии носителей
заряда с примесными атомами уже использовалась нами в § XIV.5.
Там, однако, операция усреднения носила тривиальный характер,
сводясь просто к умножению вероятности рассеяния одним атомом
примеси на полное их число. Дело в том, что в условиях слабого
легирования A.1) в каждый данный момент электрон, как правило,
взаимодействует только с одним из атомов примеси. При этом энер-
энергия взаимодействия остается всегда одной и той же, несмотря на
случайный характер распределения примеси в пространстве

622
СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
[гл. xix
(рис. 19.2, а). При промежуточном и, особенно, сильном легирова-
легировании положение меняется: потенциальная энергия носителя заряда
зависит уже от координат сразу нескольких атомов примеси и потому
становится случайной величиной (рис. 19.2, б). Силовые поля,
характеристики которых заданы
только статистически, называют-
называются случайными.
Итак, третья особенность
сильно (и промежуточно) леги-
легированных полупроводников со-
состоит в том, что носители заряда
в них движутся в случайном
поле примеси. Это поле пред-
представляет собой совокупность
случайно расположенных трех-
трехмерных потенциальных ям и
горбов случайной высоты и фор-
формы (см. ниже рис. 19.5). Ямы
можно наглядно представлять
себе как результат случайных
скоплений примесных ионов в
Рис. 19.2. Случайное распределение областях, линейные размеры ко-
примеси и случайный характер потен- торых меньше г0; горбам соот-
циальной энергии, а) Слабое легирова- ветствуют области обеднения.
ние: распределение примеси случайно,
но потенциальная энергия электрона
в поле примеси не случайна. Симво-
Символом «+» обозначены атомы примеси,
символом «—» — электроны, б) Про-
Промежуточное и сильное легирование:
случайное распределение примеси при-
приводит к случайному характеру потен-
потенциальной энергии электрона. Симво-
Символом «+» обозначены атомы примеси,
символом «—» •— электроны.
Такие скопления иногда назы-
называют кластерами *).
Случайное поле рассматри-
рассматриваемого типа (даже при одном
типе примеси) действует на но-
носители заряда обоих знаков.
Действительно, потенциальная
яма для электрона есть вместе
с тем и потенциальный горб для
дырки, и наоборот. Именно по
этой причине примесные области спектра возникают, вообще го-
говоря, как у верхней, так и у нижней границы запрещенной зоны.
Четвертая особенность сильно (и промежуточно) легирэванных
полупроводников вытекает из второй и третьей. Она состоит в том,
что носители заряда в них, вообще говоря, нельзя характеризовать
каким бы то ни было законом дисперсии Е (р) **). Действительно,
квазиимпульс р сохраняется и, следовательно, характеризует
стационарные состояния электрона только в идеально периодиче-
*) Английское слово «cluster* означает «скопление».
**) В этом состоит одно из важных различий между примесной зэнойя энер«
гетической зоной в чистом материале.

§ 2] ОСОБЕННОСТИ СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 623
ском поле. При наличии еще случайного поля происходит рассея-
рассеяние, в результате которого квазиимпульс изменяется во времени.
Иначе говоря, состояния с заданными значениями р оказываются
нестационарными. В принципе так обстоит дело при любых про-
процессах рассеяния. Однако, как мы увидим в § 3, в рассматриваемых
материалах не при всех существенных значениях энергии элек-
электрона выполняется условие малости неопределенности энергии
Ых (Е) по сравнению с самой этой энергией:
' т (?) ^Е — Ес (Для электронов)
или B.1)
(для дырок).
Между тем это условие необходимо для того, чтобы можно было
рассматривать состояния с данным квазиимпульсом как почти ста-
стационарные (ср. § XIV.2). В условиях, когда неравенство B.1) не
выполняется, энергию взаимодействия, ответственного за' столь
малые значения времени релаксации, приходится принимать во
внимание уже при определении энергетического спектра носителей
заряда. В рассматриваемом сейчас случае речь идет о взаимодействии
электронов и дырэк со случайным полем. Этот фактор особенно ва-
важен в области энергий Ev =^ E sc Ec: в отсутствие примеси там вооб-
вообще нет дозволенных состояний. С другой стороны, по мере удале-
удаления от границы зоны проводимости вверх (или от границы валент-
валентной зоны вниз), когда растет полная энергия электрона или дырки,
роль случайного поля должна постепенно ослабевать. При доста-
достаточно больших значениях разностей Е — Ес и Ev — Е условия B.1)
будут выполнены. Это означает, что достаточно глубоко в зонах
проводимости и валентной представление о законе дисперсии носи-
носителей заряда вновь обретает приближенный смысл.
Наконец, пятая особенность сильно легированных полупровод-
полупроводников связана с ролью экранирования поля заряженных атомов
примеси. Причины, обусловливающие эффект экранирования, могут
быть различными: перераспределение свободных носителей заряда
в пространстве (§ VI.7), преимущественное расположение отрица-
отрицательно заряженных ионов примеси около положительных (при
наличии компенсации) и т. д. Для нас сейчас существенны не при-
причины эффекта, а следствия из него. Именно, как мы щидели в XVI 1.8,
при г0 < ав, экранирование приводит к исчезновению дискретных
уровней, создаваемых примесным ионом. Согласно формулам
A.3а, б) именно такая ситуация может возникнуть в сильно леги-
легированных полупроводниках. Действительно, в отсутствие компен-
компенсации в названных материалах п са Nt и условие г0 < ав дости-
достигается (в вырожденном материале) при Nt ~ ав. Аналогичное —¦

624 СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ 1ГЛ. XIX
по порядку величины— условие получается и для компенсирован-
компенсированных полупроводников. Экранирование там может быть обуслов-
обусловлено, например, второй из указанных выше причин; при этом для
оценки отношения го1ав можно воспользоваться формулой A.3а),
заменяя в ней п на Nt, а температуру опыта Т — на температуру,
при которой примеси вводятся в решетку.
Очевидно, в условиях исчезновения примесных уровней не
может возникнуть и примесная область спектра. Следует, однако,
иметь в виду, что рассматриваемая сейчас задача отличается от
изучавшейся в § XVI 1.8. Там исследовался энергетический спектр
примесного атома при условии, что в образце уже создана (напри-
(например, подсветкой) определенная концентрация экранирующих сво-
свободных носителей заряда. Здесь эти носители поставляются в основ-
основном самими атомами примеси. Предположив заранее, что все они
ионизованы, мы действительно придем к выводу об исчезновении
создаваемых ими локальных уровней. Если, однако, предположить,
что электроны в некомпенсированном полупроводнике уже зани-
занимают примесные уровни, то эффект экранирования резко ослабнет:
атомы примеси окажутся нейтральными, а число свободных заря-
зарядов будет невелико. Это означает, что мы не вправе заранее предпо^
лагать ни того, ни другого. Дело в том, что роль экранирования
определяется концентрациями свободных носителей заряда и за-
заряженных атомов примеси, а эти величины зависят от характера
энергетического спектра системы — от того, существуют ли, и
в каком количестве, примесные уровни. С другой стороны, сам
энергетический спектр надо определять с учетом экранирования.
Иначе говоря, энергетический спектр сильно легированного полу-
полупроводника следует определять самосогласованным путем.
В этом и состоит пятая особенность названных материалов. Она
приводит к необходимости ставить задачу об энергетическом спектре
сильно легированного полупроводника в рамках современной
теории многих тел. Вообще говоря, это приводит к большим мате-
математическим трудностям. Избежать их удается, лишь если какие-
либо типы взаимодействия оказываются сравнительно несущест-
несущественными. При этом важно заранее представить себе характер
«самосогласованных» состояний. В связи с этим отметим два обсто-
обстоятельства. В условиях, обратных A.1), состояние, в котором все
доноры заполнены электронами, не может быть самосогласован-
самосогласованным — даже в отсутствие компенсации и при нулевой температуре.
Действительно, при Ntah <; 1 заведомо возникает примесная зона,
т. е. наступает хотя бы частичная делокализация электронов, рас-
расположенных на примесных атомах, с неизбежным появлением
эффекта экранирования.
Во-вторых, при г0 > Ы11/з, ав > NJ4' скопление ионов при-
примеси, расстояние между которыми много меньше ав, можно рас-
рассматривать как один «эффективный ион» с зарядом Ze. Энергия

2] ОСОБЕННОСТИ СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 625
ионизации электрона, захваченного таким ионом, есть 7?ЕВ, а ха-
характерный «радиус орбиты» равен aB/Z. Он может оказаться меньше
г0 даже в условиях сильного легирования. Далее, вероятность
образования кластера тем меньше, чем больше в нем ионов. Следо-
Следовательно, при достаточно большом значении. Z среднее расстояние
между кластерами будет значительно больше Ni1/:>; оно может
заметно превысить и «радиус орбиты» aBIZ. Таким образом, «эф-
«эффективные ионы» с достаточно большими значениями Z могли бы
создавать дискретные локальные уровни, даже когда обычные
донорные уровни исчезают. Чтобы эта возможность осуществилась,
энергия ионизации должна быть меньше
ширины запрещенной зоны *):
Z2EB<Eg.
B.2)
У таких полупроводников, как германий,
кремний, арсенид галлия и др., отношение
EgIEB составляет 70 -4- 100. Поэтому до-
допускаемые неравенством B.2) значения Z
могут удовлетворять поставленным выше
условиям; при этом взаимодействие кла-
кластеров друг с другом и с отдельными
ионами примеси приводит лишь к класси-
классическому уширению уровней.
При г0 ;> Ыт'/з дискретные уровни
могут возникать и в достаточно глубоких
потенциальных ямах, созданных совокуп-
совокупным действием многих не слишком близ-
близких друг к другу ионов примеси. Отли-
Отличие их от уровней, создаваемых «эффек-
«эффективными ионами», не принципиально:
оно состоит лишь в зависимости энер-
энергии ионизации от параметров вещества.
Вывод о существовании дискретных локальных уровней в сильно
легированном полупроводнике имеет принципиальное значение:
оказывается, что при некоторых значениях энергий Е'с и Е'„ в при-
примесных областях происходит перестройка энергетического спектра
электронов и дырок (рис. 19.3) **). При Е~> Е'С{Е <?») состояния
носителей заряда принадлежат непрерывному спектру, при
Рис. 19.3. Области непре-
непрерывного и дискретного
спектров в сильно леги-
легированном полупроводни-
полупроводнике. Горизонтальная штри-
штриховка указывает область
дискретного спектра, ко-
косая — непрерывного.
*) Принимая для Ев выражение (IV.7.7), т. е. пользуясь методом эффектив-
эффективной массы, мы должны поставить в B.2) знак сильного неравенства. Однако
дискретные уровни могут возникать и в условиях, когда метод эффективной массы
уже неприменим.
**) Этот вывод представляет собой частный случай общего утверждения
о перестройке спектра элементарных возбуждений в неупорядоченных систе-
системах [1].

626 СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ [ГЛ. XIX
E'v < Е < Е'с — дискретному. Соответственно меняется и вид вол-
волновых функций: носители заряда, находящиеся в состояниях пер-
первого типа, можно с отличной от нуля вероятностью обнаружить
в любой точке образца; в состояниях второго типа они локализованы
вблизи соответствующих потенциальных ям. При изучении явлений
переноса именно величины Е'с и E'v надо рассматривать как границы
запрещенной зоны.
§ 3. Иерархия энергий
В различных явлениях относительная роль носителей заряда
различных энергий оказывается различной. Так, при вычислении
уровня Ферми важен вклад электронов от всех возможных состоя-
состояний; в явлениях переноса в вырожденном материале главную роль
играют носители заряда с энергией, близкой к фермиевскбй; при
исследовании края оптического поглощения важны электроны н
дырки вблизи границ зон и в примесных областях спектра. Особен-
Особенности сильно легированных полупроводников, рассмотренные в пре-
предыдущем параграфе, по-разному сказываются на поведении носи-
носителей заряда различных энергий и, следовательно, в разных эффек-
эффектах проявляются по-разному.
Рассмотрим сначала некомпенсированный и, следовательно,
вырожденный материал (для определенности п-типа).
При вычислении уровня Ферми следует принять во внимание
три характерные величины: отсчитанную от дна зоны среднюю энер-
энергию электронов, которой бы они обладали в идеальном кристалле,
Ek (мы будем для краткости называть ее «кинетической»), среднюю
потенциальную энергию взаимодействия их друг с другом Еее и
с примесью Eet. По порядку величины мы имеем (при параболиче-
параболическом законе дисперсии) *)
Е^Ц^-, Еее^^, Eet^N\K C.1)
Следовательно,
g *±(?)\ C.2)
Видим, что относительная роль «кинетической» энергии повы-
повышается при увеличении концентрации носителей заряда. Это есть
следствие параболичности закона дисперсии и того факта, что
электроны подчиняются статистике Ферми (§ V.6). Величины авп*/»
и авЫ]/г называются параметрами сильного легирования. Теорию
сильно легированных некомпенсированных полупроводников обычно
строят в предположении, что
и ^>1. C.3)
*) Мы опускаем несущественные для дальнейшего численные коэффициенты.

§ $] ИЕРАРХИЯ ЭНЕРГИЙ 627
Условия C.3) довольно хорошо выполняются в материалах
с малыми эффективными массами — сплавах висмута с сурьмой,
соединениях PbS, РЬТе и т. д. В полупроводниках типа германия
левые части неравенств C.3) даже при наибольших достижимых
концентрациях примеси лишь незначительно превышают единицу.
Тем не менее расчеты, выполненные в предположениях C.3), все
же дают известную ориентацию в свойствах сильно легированных
материалов.
В условиях C.3) «кинетическая» энергия свободных носителей
заряда значительно превышает Еее и Eet. Далее, согласно A.3а, б)
при изменении знаков неравенств A.1) радиус экранирования ока-
оказывается значительно меньше ав, но больше Ni1/s. По этой причине
эффект экранирования должен значительно уменьшить концентра-
концентрацию примесных состояний по сравнению с Nf. Иначе говоря, при
любой температуре большинство электронов должно перейти в об-
область непрерывного спектра. И действительно, расчет, выполнен-
выполненный методами многоэлектронной теории твердого тела [2], показы-
показывает, что в рассматриваемых условиях
^д=^~(ВД)-3/.. C.4)
Таким образом, в сильно легированном некомпенсированном
полупроводнике положение уровня Ферми близко к тому, что имело
бы место в идеальном вырожденном газе носителей заряда с концен-
концентрацией п ~ Nt: с точностью до малых величин оно дается (в элек-
электронном образце) формулой (V.6.2). Эти соображения, в частности,
позволяют оценивать величину сдвига Бурштейна—Мосса (см.
§ XVIII.7) в рассматриваемом материале так, как если бы примесь
вообще не влияла на поведение свободных носителей заряда.
Обратимся теперь к явлениям переноса в электрическом, маг-
магнитном и температурном полях. Согласно (XIV.2.226) в рассматри-
рассматриваемом случае теория, основанная на кинетическом уравнении
Больцмана, оправдана, коль скоро выполняется неравенство *BЛ),
в котором в качестве т (Е) надо использовать время релаксации,
обусловленное рассеянием носителей заряда атомами заряженной
примеси. Согласно (XIV.5.19) с точностью до несущественных чис-
численных множителей порядка единицы
т(?) ~ в&'УШ 1П ft» ' ( Ь)
При Е = ? мы получаем, с учетом (V.6.2),
Й Nt те* , / г/ 2\
Как уже отмечалось, в рассматриваемых материалах п ~ Nt.
Поскольку In (пг/зг5), как правило, не превышает нескольких

628 СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ (ГЛ. XIX
единиц, неравенство B.1) принимает вид
п^а%^1. C.6)
В условиях C.3) это неравенство действительно выполняется.
Видим, что в рассматриваемых материалах роль примеси в явле-
явлениях переноса состоит лишь в рассеянии носителей заряда. Пред-
Представление о законе дисперсии в области ?~F — Ec = t сохраняет
смысл. Вместе с тем относительное изменение подвижности в резуль-
результате примесного рассеяния может оказаться очень значительным.
Так, в n-Ge, содержащем 1018 см~3 мелких доноров, подвижность
электронов при комнатной температуре близка к 250 см2/В -с (а не
3800. см2/В -с, что. было бы в чистом материале).
Итак, на большинство термодинамических, электрических и
оптических характеристик сильно легированных некомпенсирован-
некомпенсированных полупроводников существенное влияние оказывает лишь первая
особенность этих материалов — фермиевское вырождение газа сво-
свободных носителей заряда. Причина этого очевидна: примесная
область спектра не играет роли в рассматриваемых явлениях.
Исключение составляют спектральная зависимость коэффициента
рекомбинационного излучения (§ 6) и вольтамперная характеристика
туннельного диода (§ VIII.3 и § 5).
Положение меняется в сильно компенсированных материалах,
содержащих как мелкие доноры, так и мелкие акцепторы, причем
Концентрация свободных носителей заряда здесь невелика и уро-
уровень Ферми расположен в запрещенной зоне. Следовательно, газ
носителей заряда не вырожден вплоть до довольно низких темпе-
температур, а относительная роль различных видов энергии оказывается
совсем не такой, как в отсутствие компенсации. Важную роль здесь
играет взаимодействие носителей заряда с примесными атомами и
все особенности сильно легированных полупроводников (кроме
первой) проявляются в полной мере.
§ 4. Плотность состояний
Особенности сильно легированных полупроводников, связан-
связанные с ролью случайного поля примеси и с многоэлектронными
эффектами, делают сравнительно малоэффективной привычную
нам схему исследования электронных свойств этих материалов.
Вместо закона дисперсии здесь целесообразно использовать дру-
другие понятия — с одной стороны, более общие, чем представление
об этом законе, а с другой — более простые, чем волновая функция
всей многоэлектронной системы. Важнейшее из таких понятий
есть плотность состояний. Оно возникает уже в обычной зонной

§ 4] ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ 629
теории: согласно (V.4.1) и (V.4.6) именно через плотности состоя-
состояний Nc (Е) и Nv (E) выражаются концентрации свободных электро-
электронов и дырок.
Зная плотности состояний как функции энергии, мы можем
найти концентрации носителей заряда как функции температуры,
уровня Ферми и, может быть, магнитной индукции. Тем самым
определяются все равновесные характеристики электронного газа.
Концентрацию электронов и дырок на локальных уровнях также
можно представить в виде (V.4.1). Действительно, вспоминая фор-
формулы (V.9.3), видим, что плотность состояний, соответствующую
дискретному донорному уровню Еа, можно записать в виде
Nd(E) = Nd&(E-E*i), D.1)
где
E*d = Ed + kTln(g0/gl). D.2)
Наконец, в запрещенной зоне (при Е =? Ed, E Ф Еа) плотность
состояний равна нулю.
Таким образом, плотность состояний Nt (Е) (I = с, v) можно
использовать как характеристику энергетического спектра: она
отлична от нуля и непрерывна в разрешенных энергетических зо-
зонах, равна нулю в запрещенной зоне и имеет дельтообразные осо-
особенности при энергиях, отвечающих дискретным уровням. Вид
функций Nc (Е) и Nv (Е) в известной мере характеризует структуру
зон: согласно (V.7.86) эти функции выражаются через законы
дисперсии носителей заряда.
Вклад носителей заряда с данной энергией в. явления переноса
также связан с видом плотности состояний. Действительно, элек-
электроны и дырки, локализованные на дискретных уровнях, могут
принимать участие в явлениях переноса только путем перескоков
и при Т — 0 их вклад, например, в статическую электропровод-
электропроводность равен нулю. С другой стороны, электроны, находящиеся
в зоне проводимости, всегда дают ненулевой вклад в статическую
электропроводность. В условиях вырождения так обстоит дело при
любой сколь угодно низкой температуре.
Видим, что справедливо следующее утверждение:
1) Статическая электропроводность при Т —¦ 0 остается отлич-
отличной от нуля тогда и только тогда, когда уровень Ферми попадает
в область, где плотность состояний отлична от нуля и непрерывна.
Видна также и связь плотности состояний с температурной
зависимостью статической электропроводности. Именно, если прене-
пренебречь малой прыжковой проводимостью, то справедливо следующее
утверждение:
2) Если уровень Ферми попадает в область E'v < Е < Е'с,
где плотность состояний равна нулю или имеет б-образные особен-
особенности, то статическая электропроводность, связанная с электронами

530 сильно легированные полупроводники [гл. xix
проводимости, пропорциональна выражению
F—E'
ехр—^-. D.3)
Действительно, выражение D.3) (с точностью до коэффициента про-
пропорциональности) определяет просто число свободных элект-
электронов.
Перенос этого утверждения на случай дырок очевиден.
Наконец, плотность состояний коррелирует и с электропровод-
электропроводностью в поле конечной частоты, т. е., согласно гл. XVIII, с коэф-
коэффициентом поглощения или излучения света. Действительно, эти
процессы могут происходить лишь при наличии электронов в на-
начальных состояниях и свободных дозволенных уровней— в конеч-
конечных. Иначе говоря, справедливо следующее утверждение:
3) Коэффициент поглощения или рекомбинационного излучения
электромагнитных волн на частоте со может быть отличен от нуля,
лишь если
Ha = E2-Elf D.4)
где Е2 и Ег — два значения энергии, при которых плотность состоя-
состояний отлична от нуля. (Условие непрерывности плотности состоя-
состояний при этом не обязательно.)
Это утверждение относится и ко взаимодействию электронов со
звуком. В случае поглощения или испускания сразу нескольких
фотонов (или фононов) левую часть D.4) следует заменить суммой
их энергий.
Утверждения 1)—3) называют теоремами о корреляции. В рам-
рамках зонной теории твердого тела они вытекают непосредственно
из формулы (XIII.7.12), из закона сохранения энергии при кванто-
квантовых переходах и из того, что вероятность перехода пропорциональна
числу занятых мест в начальном состоянии и числу свободных мест —
в конечном. Существенно, однако, что эти теоремы имеют и более
общее значение. Действительно, плотность состояний представляет
собой не что иное, как число дозволенных энергетических уровней,
отнесенное к единице энергии и к единице объема. Это понятие не
связано непременно с особенностями поведения одного электрона
в периодическом поле. В равной мере им можно характеризовать и
энергетический спектр электрона, движущегося в. произвольном
(постоянном во времени) внешнем поле, в том числе и случайном.
В последнем случае плотность состояний удобно вводить как
величину, уже усредненную по всем возможным конфигурациям
примеси.
Формула (V.4.1) остается в силе и в произвольном внешнем
поле, но от определений (V.7.8, а, б) надо, вообще говоря, отка-

$ 4] ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ 631
заться. Более того, формулу (V.4.1) можно сохранить и при учете
взаимодействия электронов друг с другом. В последнем случае,
однако, аргумент Е уже не имеет смысла одноэлектронной энергии.
Его следует понимать как изменение энергии всей системы электро-
электронов при изменении числа частиц в ней на единицу. Доказательство
этого утверждения дается в общей теории многих тел [2]; там же
выводится и общая формула, связывающая функцию Ni (E) с ре-
решением соответствующей задачи многих тел.
Таким образом, плотность состояний представляет собой точное
понятие, которым можно характеризовать энергетический спектр
любой системы частиц. Столь же общими оказываются и теоремы
о корреляции. Однако, в общем случае их доказательство требует
несколько более тонких рассуждений, выходящих за рамки этой
книги.
Пользуясь теоремами о корреляции, следует иметь в виду два
обстоятельства.
Во-первых, равенство D.4) есть необходимое, но, вообще го-
говоря, еще не достаточное условие возможности оптических перехо-
переходов: могут существовать правила отбора, связанные с другими
законами сохранения. Так, в идеальном кристалле закон сохра-
сохранения квазиимпульса допускает только вертикальные переходы
(§ XVIII.5).
Во-вторых, в теоремах говорится о наличии корреляции между
плотностью состояний, с одной стороны, и электропроводностью,
коэффициентом поглощения и т. д., с другой, но не о возможности
непосредственно выразить эти величины через Nt (E). Так, согласно
формуле (XIII.7.12) даже в случае почти идеального кристалла
электропроводность выражается не только через плотность состоя-
состояний, но и через вероятность перехода, фигурирующую в формуле
для времени релаксации.
В идеальном кристалле плотность состояний не зависит от коор-
координат. В образце с примесью плотность состояний, не усредненная
по всем конфигурациям примеси, от координат, разумеется, зави-
зависит: пики, отвечающие примесным уровням, имеются только там,
где расположены атомы примеси. Однако при усреднении по кон-
конфигурациям эта зависимость может исчезнуть. Так обстоит дело
в «хорошо легированном» материале, когда атомы примеси в сред-
среднем равномерно распределены по всему объему образца. Матери-
Материалы, в которых плотность состояний, усредненная по конфигу-
конфигурациям примеси, не зависит от координат, мы ранее называли
технологически однородными. Иногда их называют также макро-
макроскопически однородными *). В дальнейшем мы будем рассматривать
либо такие материалы, либо контакт между ними.
*) Пример макроскопически неоднородного материала являет собой полу-
полупроводник с п—р-переходом.

632
СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
?ГЛ. XIX
§ 5. «Хвост» плотности состояний
В полупроводнике с идеальной решеткой плотность состояний
имеет вид, схематически изображенный на рис. 19.4, а.
При слабом легировании в запрещенной зоне появляются острые
(дельтообразные) пики, отвечающие дискретным примесным уров-
уровням (рис. 19.4, б). В условиях промежуточного легирования эти
пики размазываются (рис. 19.4, в), причем площадь каждого пика
(пиков) остается равной концентрации соответствующей примеси.
а)
А
\№
Рис. 19.4. Плотность состояний (схематически-), а) Полупроводник с идеальной
решеткой, б) Слабо легированный полупроводник с донорами одного типа.
в) Промежуточно легированный полупроводник я-типа. г) Сильно легированный
полупроводник. Пунктиром указаны границы зон в чистом материале, штрих-
пунктиром — ход плотности состояний в нем.
При сильном легировании возникает картина, схематически
представленная на рис. 19.4, г. Точки Е = Ес, Е = Ev, отвечавшие
границам запрещенной зоны в чистом образце, равно как и Е — Ed,
здесь ничем не выделены — плотность состояний в них оказывается
отличной от нуля и ограниченной. Примесным областям спектра
отвечают участки с ненулевой плотностью состояний, постепенно
убывающей в глубь запрещенной зоны. Их называют «хвостами»
плотности состояний. Своим происхождением они обязаны случай-
случайному полю примеси. В тех местах, где флуктуации в распределении
примеси привели к образованию потенциальных ям, потенциальная
энергия носителя заряда оказывается пониженной по сравнению
с тем, что было бы в идеальном кристалле (рис. 19.5). Это влечет
за собой и уменьшение полной энергии. Положение оказывается
особенно простым, когда радиус экранирования значительно превы-
превышает среднее расстояние между атомами примеси, т. е. когда знак

$5]
«хвост» плотности состояний
633
первого из неравенств A.1) сменяется на обратный. В этих усло-
условиях случайное поле в среднем достаточно плавно изменяется в про-
пространстве и поведение электронов и дырок можно рассматривать
квазиклассическим путем — с помощью представления об искрив-
искривленных зонах *). Сплошные линии на рис. 19.5 показывают поло-
положения границ таких случайно искривленных зон. При усреднении
по конфигурациям примеси локальный характер флуктуации слу-
случайного поля «смазывается», и остается не зависящая от координат
Рис. 19.5. Изменение потенциальной энергии носителей заряда в случайном
поле (схематически). По оси абсцисс отложена пространственная координата.
Заштрихованы хвосты плотности состояний, получающиеся при усреднении по
конфигурациям примеси.
плотность состояний, отличная от нуля во всех точках, до которых
доходят границы искривленных зон. Плотность состояний на хвосте
при этом пропорциональна вероятности соответствующих флукту-
флуктуации потенциальной энергии; по этой причине она довольно быстро
уменьшается по мере углубления в запрещенную зону. Это и поз-
позволяет говорить по отдельности о хвостах плотности состояний
Nc (Е) и Nv (E) вблизи дна зоны проводимости и вблизи потолка
валентной зоны. По этой же причине полное число состояний
*) Заметим, что в применении к вырожденному полупроводнику слово «ква-
зиклассически» в данном случае имеет ограниченный смысл. Действительно, в на-
наиболее интересном случае мелких доноров или акцепторов ав = гК^/те2, и
большой — по условию — параметр r^N'1/3 — порядка (а^пУз)'/г. Это выражение
содержит постоянную Планка в числителе. Дело в том, что слово «квазикласси-
чески» относится здесь к поведению носителей заряда в случайном поле примеси
при заданном радиусе экранирования. В условиях вырождения последний сам
зависит от Ь, что и приводит к появлению этой постоянной в явно раскрытом
выражении для ^N1/3-

634 СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ [ГЛ. XIX
в области хвоста, отнесенное к единице объема, оказывается
небольшим по сравнению с концентрацией примеси.
Роль хвостов плотности состояний в тех или иных явлениях
различна в зависимости от степени компенсации материала. В не-
некомпенсированных и, следовательно, вырожденных образцах нали-
наличие хвостов заметно в двух эффектах.
Первый из них—избыточный ток в туннельных диодах (§ VII 1.3).
С учетом хвостов зонная диаграмма туннельного п—р-перехода
принимает вид, схематически представленный на рис. 19.6. Видно,
что один из возможных механизмов возникновения избыточного
Рис. 19.6. Зонная диаграмма туннельного п — р-перехода с учетом хвоста плот-
плотности состояний (схематически). Заштрихованы области энергии, в которых
плотность состояний на хвосте достаточно велика. Стрелкой указан один из элект-
электронных переходов, дающих вклад в плотность избыточного тока.
тока обусловлен самой природой сильно легированного полупро-
полупроводника: этот механизм связан с электронными переходами между
уровнями, принадлежащими хвостам плотности состояний в п- и
р-областях. Исследование избыточного тока в туннельных диодах
из германия и арсенида галлия позволило впервые получить прямое
доказательство существования хвостов плотности состояний в этих
материалах [3].
Второй из указанных эффектов состоит в рекомбинационном
излучении фотонов с энергией, меньшей ширины запрещенной
зоны. Он рассматривается в следующем параграфе.
Особенно заметна роль хвостов плотности состояний в сильно
компенсированных полупроводниках. Один из эффективных спо-
способов создания их состоит в облучении образцов нейтронами или
быстрыми (с энергией около 1 МэВ) электронами. Отношение
-—d~ ¦ при этом может достигать 10~5 (при Nd ~ 1019 см)
™ d
В таких материалах уровень Ферми располагается недалеко от
середины запрещенной зоны, и, следовательно, большинство носи-
носителей заряда находится именно в примесных областях энергетиче-
энергетического спектра. При этом важную роль могут играть плавные и до-
достаточно глубокие флуктуации потенциальной энергии носителей

§ 6]
МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
635
заряда. Действительно, при достаточно сильном искривлении зон
границы их могут пересекать уровень Ферми (рис. 19.7). При этом
в материале возникают области п- и р-типа, случайно распределен-
распределенные по объему образца. Вероятность возникновения их может
Рис. 19.7. Сильное флуктуационное искривление зон. Буквами пир отмечены
заштрихованные области, в которых при низких температурах образуются «капли»
электронов и дырок.
оказаться достаточно большой, так что при низких температурах
практически все носители заряда собираются в этих областях.
Последние получили название электронных и дырочных «капель».
§ 6. Междузонные оптические переходы в сильно
легированных полупроводниках
Особенности сильно легированных полупроводников приводят
к некоторым изменениям их оптических характеристик по сравне-
сравнению с тем, что наблюдается в сравнительно чистых материалах.
а). Переходы в глубину разрешенной зоны. Из-за вырождения
газа носителей заряда в некомпенсированных материалах красная
граница поглощения в них сдвигается на величину Д(ол = —^—?
? р
или А(х>р = —^—, соответственно, в -образцах п- и р-типа.
Это есть сдвиг Бурште^йна — Мосса, обсуждавшийся в § XVIII. 7.
В соответствии со сказанным в § 3, случайное поле примеси сравни-
сравнительно слабо влияет на вероятность рассматриваемых переходов.
Коэффициенты поглощения и рекомбинационного излучения здесь
в основном описываются формулами гл. XVIII. Использование
последних для определения ширины запрещенной зоны привело к
выводу, что в сильно легированных полупроводниках она несколько
меньше, чем в чистом материале. Этот эффект может быть обусловлен

636
СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
?гл. xix
как небольшим изменением постоянной решетки при сильном
легировании, так и взаимодействием между электронами.
б). Переходы с участием хвостов плотности состояний. Третья
теорема о корреляции указывает на возможность оптических пере-
переходов с участием хвостов плотности состояний. В силу быстрого
убывания плотности состояний по мере удаления от границ запре-
запрещенной зоны эти переходы следует рассматривать как междузонные.
Тем не менее энергия соответствующих фотонов Н® может оказаться
меньше ширины запрещенной зоны Eg = Ныт. Об излучении или
поглощении таких фотонов говорят как о хвосте коэффициента ре-
комбинационного излучения или поглощения (или «оптическом
С .
F-
а)
б)
Рис. 19.8. Происхождение хвоста коэффициента поглощения в некомпенсирован-
некомпенсированном полупроводнике. Заштрихованы области энергии, в которых плотность состоя-
состояний на хвосте достаточно велика. Стрелкой указан один из возможных переходов,
ответственных за поглощение фотонов с энергией, меньшей Eg. а) и-тип; б) р-тип.
хвосте»). «Величина» этого хвоста, т. е. значение коэффициента ре-
комбинационного излучения или поглощения света при Йоо < Eg,
зависит от степени компенсации. При сильном вырождении в отсут-
отсутствие инжекции переходы в область энергий ниже уровня Ферми
практически запрещены принципом Паули. По этой причине в по-
поглощении фотонов с частотой ю < ют здесь могут участвовать в ос-
основном самые глубокие уровни на хвостах плотности состояний
(рис. 19.8); при этом в образцах n-типа существен хвост плотности
состояний вблизи валентной зоны, а в образцах р-типа — вблизи
зоны проводимости. В результате значения коэффициента поглоще-
поглощения при со < и>т в некомпенсированных сильно легированных полу-
полупроводниках оказываются очень малыми. С другой стороны, хвост
коэффициента рекомбинационного излучения в этих материалах
может быть вполне заметен. Действительно, при инжекции носи-
носителей заряда квазиуровень Ферми может попасть в область соот-
соответствующего хвоста плотности состояний.
В компенсированных полупроводниках принцип Паули практи-
практически не ограничивает возможность электронных переходов из хво-

МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
637
ста у валентной зоны в хвост близ зоны проводимости (рис. 19.9).
Действительно, уровень Ферми здесь расположен между этими хво-
хвостами, в результате чего дозволенные состояния вблизи E'v почти
заполнены, а вблизи Е'с — почти все свободны. Соответственно коэф-
коэффициент поглощения в области со < ыт оказывается довольно за-
заметным.
Спектральная зависимость коэффициентов поглощения и реком-
бинационного излучения при со < сот удовлетворительно описывает-
описывается формулой
F.1)
Здесь С -— сравнительно медленно
меняющаяся функция частоты, Ео —
величина размерности энергии.
Соотношение F.1) называется пра-
правилом Урбаха. Оно было найдено
эмпирическим путем при исследова-
исследовании поглощения света в ионных
кристаллах. В этих материалах ха-
характерная энергия Ео оказалась про-
пропорциональной температуре:
Е0 = сТ, F.2)
А J
X
Рис. 19.9. Происхождение хвоста
коэффициента поглощения в ком-
компенсированном полупроводнике.
Заштрихованы области энергии,
в которых плотность состояний
на хвосте достаточно велика.
Стрелкой указан один из воз-
возможных переходов, ответствен-
ответственных за поглощение фотонов с
энергией, меньшей Eg.
где с—некоторая постоянная. Это указывает на взаимодействие
электронов с фононами (а не с примесью) как на возможную причину
эффекта. Чтобы совершить междузонный переход, электрон должен
получить энергию, не меньшую Eg; часть ее Йсо электрон получает
непосредственно от фотона, а дефицит Eg— Йсо покрывается фоно-
фонолами. При этом правая часть равенства F.1) приближенно воспро-
воспроизводит просто вероятность соответствующего многофононного
перехода. Объяснение правила Урбаха на основе представления об
оптических переходах, сопровождаемых поглощением многих фо-
нонов, было дано А. С. Давыдовым. Соотношение F.2) выполняется
и в сильно легированных полупроводниках, но лишь при достаточно
высокой температуре (в арсениде галлия — при Т Г> 100 К *). При
более низких температурах величина ?„ перестает зависеть от Т.
Вместо этого она становится зависящей от концентрации примеси,
возрастая вместе с ней. Именно тогда наблюдаются переходы с уча-
участием хвостов плотности состояний. Теорию этих переходов удается
построить в условиях сильного легирования C.3). При этом прибли-
приближенно воспроизводится как спектральная зависимость F.1), так и
*) Цифра взята из работы [4].

638
СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
[гл. xix
зависимость Ео от концентрации примеси в образце. По существу, мы
здесь имеем дело с аналогом эффекта Келдыша — Франца, обуслов-
обусловленного, однако, не внешним электрическим полем, а случайным
полем примесей. Последнее, однако, неоднородно в пространстве.
Даже в условиях C.3) оно, будучи плавным в среднем, быстро из-
изменяется вблизи каждого из примесных ионов. По этой причине
здесь нельзя воспользоваться формулами § XVIII. 10, заменяя в них
напряженность поля § некоторым эффективным ее значением.
Подробное изложение расчетов, выполненных в условиях сильного
легирования, можно найти в обзоре [5].
Вертикальный
переаид
Невертшеальный
переход
Рис. 19.10. Вертикальные и невертикальные- переходы в пространстве «энер»
гия — координата».
Следует заметить, что форма оптического хвоста, т. е. частотная
зависимость коэффициента поглощения или рекомбинационного
излучения света, вообще говоря, не воспроизводит плотность состоя-
состояний как функцию энергии. Суть дела легко понять из рис. 19.10, на
котором схематически представлена картина искривленных зон;
положения их границ зависят от координаты, отложенной вдоль
горизонтальной оси. Обе зоны — валентная и проводимости — оди-
одинаково искривляются электрическим полем. По этой причине в каж-
каждой точке пространства расстояние между их границами Ес и Ev
остается неизменным и равным Eg. Электронные переходы с затратой
меньшей энергии могут происходить только между точками, раз-
разделенными в пространстве: это — «невертикальные» переходы
на диаграмме «энергия — координата». Они связаны с туннели-
рованием электрона через запрещенную зону, вероятность чего
сильно зависит от энергии поглощаемого или испускаемого
фотона.
Возможны и условия, когда вид функции у (<о) приближенно вос-
воспроизводит функцию N {Е) вблизи той или иной зоны. Так, напри-
например, обстоит дело, если одно из двух состояний, между которыми
происходит переход, мало изменяется случайным полем примеси.
Однако такая возможность не носит общего характера.

§ 7] НЕКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ 639
§ 7. Некристаллические полупроводники
Сильно легированные полупроводники составляют простейшую
группу неупорядоченных веществ. Под этим термином понимается
любая макроскопическая конденсированная система частиц, в рас-
расположении атомов которой отсутствует дальний порядок. Послед-
Последнее условие означает, что пространственное распределение атомов
неупорядоченного вещества не периодично. В сильно легированном
полупроводнике это относится только к атомам примеси. К числу
более сложных объектов этого типа относятся жидкие, аморфные
и стеклообразные полупроводники (см. гл. II).
Совокупность экспериментальных данных, относящихся к элек-
электрическим и оптическим характеристикам названных материалов,
показывает, что введенные в гл. I феноменологические представле-
представления о разрешенных и запрещенных энергетических зонах в извест-
известной мере сохраняют смысл и здесь *): имеет место резкое изменение
коэффициента поглощения света при некоторой частоте ют, темпера-
температурная зависимость статической электропроводности в широком
интервале температур описывается обычной экспоненциальной фор-
формулой и т. д. Однако для квантовомеханического обоснования пред-
представлений о зонах мы уже не можем обратиться к гл. III, IV: в от-
отсутствие дальнего порядка.в расположении атомов потенциальную
энергию электрона нельзя считать периодической функцией коор-
координат, и теорема Блоха не имеет места. Вместе с тем, и в этих
материалах сохраняют точный смысл представления о непрерывном
и дискретном энергетическом спектре носителей заряда. Области не-
непрерывного спектра электронов (дырок) естественно йазвать зоной
проводимости (дырочной). Это определение как раз соответствует эк-
экспериментальному содержанию представления о разрешенных зонах.
Ряд веществ можно получить как в кристаллическом, так и
в аморфном состояниях. Рентгенографические и электронографиче-
ские исследования показывают, что во многих аморфных веществах
расположение атомов, ближайших к данному, почти то же, что и в со-
соответствующем кристалле. Об этом говорят как о сохранении ближ-
ближнего порядка при переходе в аморфное состояние.
Опыт показывает, что значения ширины запрещенной зоны в том
и другом состояниях довольно близки друг к другу. Отсюда следует,
что основную роль в определении энергетического спектра этих
материалов играет ближний порядок **).
Вместе с тем сходство характеристик кристаллических и аморф-
аморфных веществ оказывается далеко не полным. Действительно, отсут-
*) Подробную сводку и анализ накопленного к настоящему времени мате-
материала можно найти в книгах [6, 7] и в обзоре [8].
**) Эта идея была впервые высказана А. Ф. Иоффе и А. Р. Регелем. Полу-
Полупроводниковые свойства халькогенидных стекол были обнаружены Б. Т. Коло-
мийцем и Н. А. Горюновой.

640 СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ [ГЛ. XIX.
ствие дальнего порядка означает, что представление о зонах Бриллю-
эна в применении к рассматриваемым материалам не имеет смысла,
а вторая и четвертая особенности сильно легированных полупро-
полупроводников (§ 2) характерны для всех неупорядоченных систем.
Отсюда следует, что в спектрах поглощения этих веществ не дол-
должно быть особенностей Ван-Хова: как мы видели в гл. XVIII, воз-
возникновение их связано с существованием закона дисперсии носите-
носителей заряда. И действительно, опыт покавывает, что при аморфиза-
ции эти особенности размываются. Более подробный анализ
экспериментальных данных приводит к выводу о существовании
двух типов неупорядоченных полупроводников: А и Б.
В полупроводниках типа А, как и в чистых кристаллах
(гл. XVIII), наблюдается порог коэффициента поглощения света.
При этом пороговая энергия фотона йшст близка к ширине запрещен-
запрещенной зоны, определенной по температурной зависимости статической
электропроводности а. Последняя в широком интервале температур
описывается обычным экспоненциальным законом (§1.5) с энергией
активации, близкой к ham/2.
У полупроводников типа Б имеется хвост коэффициента погло-
поглощения света. Как и в сильно легированных кристаллических мате-
материалах, он удовлетворительно описывается выражением F.1). Ста-
Статическая электропроводность а таких полупроводников при доста-
достаточно высоких температурах зависит от температуры по такому же
экспоненциальному закону, что и в полупроводниках типа А. Од-
Однако при более низких температурах (в аморфном германии — ниже
примерно 200 К) температурная зависимость а лучше описывается
соотношением
[(Щи] G.1)
где А — медленно меняющаяся функция Т, а То — постоянная
(порядка 108 К). Соотношение G.1) называют формулой Мотта.
Поглощение света с частотой меньше пороговой естественно
связать с наличием хвостов плотности состояний в запрещенных
зонах материалов типа Б. Вывод о существовании хвостов, содер-
содержащих и дискретные уровни, подтверждается также результатами
исследования кинетики фотопроводимости, токов, ограниченных
пространственным зарядом, и др. Полная концентрация уровней
на хвостах, меняясь от вещества к веществу и от образца к образцу,
часто оказывается довольно большой — до 10м ¦*• 1020 см. При
этом в ряде материалов ни сам факт наличия рассматриваемых уров-
уровней, ни их концентрация не зависит существенным образом от соста-
состава и концентрации специально введенной примеси. Зато имеется
сильная зависимость от условий приготовления образца: образцы
одного и того же вещества, будучи по-разному приготовлены, могут
принадлежать как к типу А, так и к типу Б. Первое обычно имеет

§ 7] НЕКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ 641
место для пленок, подвергнутых достаточно длительному отжигу,
второе — при отжиге меньшей длительности. Отсюда следует, что
особенности полупроводников типа Б могут быть связаны с нали-
наличием всякого рода случайных структурных дефектов в образце.
Число их может быть столь большим, что влияние специально вво-
вводимой примеси не сказывается. Вместе с тем в хорошо приготовлен-
приготовленных образцах, легированных достаточно большим количеством при-
примеси, последняя может играть и свою обычную роль. Так, видимо,
обстоит дело в аморфном кремнии и в некоторых халькогенидных
стеклах.
Случайное поле, создаваемое структурными дефектами, приводит,
в принципе, к тем же следствиям, что и поле примесных ионов
в сильно легированных полупроводниках. В частности, в достаточно
глубоких потенциальных ямах могут возникать дискретные уровни,
отвечающие локализованным состояниям электронов. Эти уровни
называют флуктуационными. Как глубина их, так и координаты
центров локализации представляют собой случайные величины.
Это обстоятельство позволяет понять, почему уровни могут оста-
оставаться дискретными даже при таких больших концентрациях, как
указанные выше. Дело в том, что размытие дискретных уровней
в зону связано с туннельными переходами электрона между цент-
центрами локализации (гл. III). При этом указанные центры должны
образовывать цепочку макроскопической длины. Туннельные пере-
переходы, однако, могут происходить лишь между близко расположен-
расположенными центрами, причем соответствующие им уровни энергии должны
быть одинаковыми или близкими друг к другу. В силу случайного
характера рассматриваемых уровней близость их одновременно и
в пространстве, и по энергии маловероятна; По этой причине может
оказаться отличной от нуля вероятность того, что флуктуационные
уровни, возникшие в случайно ¦ расположенных потенциальных
ямах случайного вида, останутся дискретными, несмотря на большое
их число *). Значения энергий ионизации уровней, будучи случай-
случайными, изменяются практически непрерывно в пределах целой энер-
энергетической полосы; последняя может заполнять и всю запрещенную
зону.
В этих условиях термин «запрещенная зона» становится неудоб-
неудобным. Вместо этого говорят о щели для подвижности. Действительно,
электроны, занимающие дискретные уровни, могут участвовать
в явлениях переноса только путем прыжков с одного центра на дру-
другой; при Т = 0 соответствующая прыжковая проводимость также
обращается в нуль.
При понижении температуры в рассматриваемых полупроводни-
полупроводниках происходит смена механизма проводимости: по мере перехода
электронов на локальные уровни она становится прыжковой.
*) Обобразовании таких уровней говорят как об андерсоновской локализации.

642 СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ [ГЛ. XIX
При этом случайный характер расположения уровней в прост-
пространстве координат и энергии приводит к специфической темпера-
температурной зависимости а G.1). В самом деле, пусть энергия активации,
необходимая для одного отдельного прыжка, есть Е„. В рассматри-
рассматриваемой системе уровней эта величина—случайная. Как мы уже ви-
видели, малые значения Еа чаще встречаются при сравнительно боль-
больших расстояниях R между центрами. При этом в той области прост-
пространства, где волновые функции электронов, локализованных на
первом и втором центрах, перекрываются друг с другом, мы можем
воспользоваться их асимптотическими выражениями. Как известно
из квантовой механики, последние (с точностью, может быть, до
сравнительно медленно изменяющегося предэкспоненциального мно-
множителя) имеют вид г|) ~ ехр (— уг). Здесь у'1— параметр, завися-
зависящий от энергии ионизации данного уровня и называемый радиусом
локализации электрона, г — расстояние между данной точкой и
центром локализации. Вероятность прыжка определяется про-
произведением вероятности тепловой ионизации ехр (— EJkT)
(в случае Ea>kT), на интеграл, содержащий волновые функции
электрона на первом и втором центрах. Таким образом, с точ-
точностью до предэкспоненциальных множителей вероятность прыжка
пропорциональна
ехр {- (ух + v2) R} ехр (- EJkT), G.2)
где Yi и Тг — радиусы локализации электронов на первом и втором
уровнях. Первый сомножитель в G.2) убывает с ростом R, а второй —
в среднем возрастает. Разумеется, могут найтись и такие пары
центров локализации, которые, будучи близкими по энергии, ока-
окажутся близко расположенными и пространственно. Однако они
с большой вероятностью будут расположены далеко от других цент-
центров локализации. Вместе с тем для переноса заряда через весь об-
образец требуется образование макроскопической цепочки из центров
локализации, между которыми электроны могут совершать прыжки.
Таким образом, величина а определяется в данном случае вероятно-
вероятностью возникновения цепочки, в которой оптимальным образом со-
сочетаются не слишком большие расстояния между центрами локали-
локализации и не слишком большие значения энергий Еа.
Расчет, основанный на формуле G.2) (его можно найти в книге
[6]), показывает, что при не слишком высоких температурах эти
соображения приводят в формуле G.1).
В ряде аморфных, стеклообразных и жидких полупроводников
наблюдается эффект переключения. Он состоит в резком и обрати-
обратимом изменении электропроводности образца под влиянием электри-
электрического поля. Время переключения может оказаться небольшим:
достигнуты значения до 10~10 с. Это позволяет использовать такие
вещества в переключающих элементах для ЭВМ. Природа эффекта
пока не вполне ясна.

приложения
Приложение I. К доказательству теоремы Блоха
Пусть индексы i, /, k нумеруют различные собственные функции %, ify,
%, принадлежащие одному и тому же собственному значению Е. Производя
замену аргумента г->г + ал, мы получим, вообще говоря,
где су—некоторые коэффициенты.
Введем вместо %, 1|з/ линейные комбинации их
Коэффициенты b/fi (пока неизвестные) образуют некоторую матрицу. Элементы
обратной матрицы обозначим через b^j. По определению
k
где bij — символ Кронекера (П.II.9) и, следовательно,
Согласно (П.1.1)—(П.1.2')
** (г + ¦») = Д] Ь«*/ (г + а») = 2 Ьасц\\, (г) = 2
Наложим на коэффициенты Ь^ условия
2>Л/7 «
1, /'
где С—постоянная (зависящая, может быть, от k и /). Тогда равенство
(П.1.4) принимает вид
что совпадает с (III.2.9).
Равенства (П.1.5) можно привести к более удобному виду, умножая их
на blk, и суммируя по /. Принимая во' внимание определение (П.1.3), мы
получаем при этом
i.i
т. е.

644 ПРИЛОЖЕНИЯ
Это есть система линейных однородных уравнений относительно неизвестных
bkk,. Условие разрешимости ее дает нам значения С, фигурирующие в (П.1.6),
а решения — коэффициенты преобразования ft/,,-.
Таким образом, взяв произвольный набор собственных функций, при-
принадлежащих данному собственному значению энергии, мы можем составить
из них новые собственные функции — линейные комбинации (П. 1.2), удовлет-
удовлетворяющие условию (III.2.9).
Приложение II. Интегралы с функциями Блоха
Напишем уравнение (III.4.1), а также сопряженное ему уравнение с дру-
другим собственным значением энергии Е' и другим квазиимпульсом р':
(ПЛМ)
?Wi- (П.п.2)
При этом Е = Е(р, I), Е' = Е'(р', V).
Умножим уравнение (П.П.1) на upt,, уравнение (П.II.2) —на ир[, затем
вычтем почленно второе уравнение из первого и проинтегрируем результат
по основному объему. Получим
Подынтегральное выражение в первом интеграле в левой части (П.П.З)
можно переписать в виде
= div[«p*,,V«p,-«p/V«*,/,].
Получающийся интеграл можно преобразовать по теореме Гаусса:
J div [«pvv«p;-vv«ptF=5 ([«^'Vv-»p/v"p'/']- rfS)> (ПЛ1-4)
где rfS — элемент поверхности, охватывающей основной объем. В силу усло-
условий (III.3.9) абсолютная величина подынтегрального выражения на противо-
противоположных гранях куба периодичности одна и та же. Следовательно, рас-
рассматриваемый интеграл равен нулю.

ПРИЛОЖЕНИЯ 645
Второй интеграл в левой части (П.И.З) можно переписать в виде
${«*,,, (Р, VV) + V(«p/p'«p%)-«*,r(p', V«p,)}rfr.
Подобно (П.II.4) второе слагаемое здесь обращается в нуль. Таким обра-
образом, уравнение (П.П.З) принимает вид
iSrjlbl"**- СП.Н.Б)
При р' = р мы получаем отсюда
(?-?') $ «*,,«„, rfr = 0. (П.И.6)
При /' = / равенство (П.II.6) удовлетворяется тождественно. Значение интег-
интеграла в левой части (П.II.6) при этом определяется условием нормировки
(III.2.8). С другой стороны, при I' ф1, Е (р, /) Ф Е (р, /') из него вытекает
условие ортогональности:
$a*,,apZdr = 0. (П. П. 7)
При 1'Ф1, но Е (р, /)=?'(р, /') имеет место вырождение: одному и тому же
значению энергии отвечают две (или больше) волновые функции. Известно
(см. ссылку [1] к гл. III), что эти функции всегда можно выбрать так,
чтобы условие (П.П.7) удовлетворялось.
Комбинируя равенства (П.II.7) и (III.2.8), можем написать
$u*lMpldT = 6u.. (П.П.8)
Здесь 6^, есть символ Кронекера:
(
'={
1, V = 1,
о, 1'ф1.
Положим теперь в (П.П.5) /' = / и будем рассматривать близкие значе-
значения р и р', ограничиваясь членами, линейными по р — р'. Тогда
Е~Е' = Е(р, l)-E(p', /)~(p_p', Vp?(p, 0). Р2-р'2=-2(р, р-р'),
а функции и!1,1 под знаками интегралов в левой и правой частях (П.II.5)
можно заменить на и*[. В результате равенство (П.II.5) с учетом (III.2.8)
примет вид
J )-(р-р', Vp?(p, Q) + (p-p\ ^) = 0. (П.И.5')
Поскольку ориентация вектора р — р' произвольна, это равенство может вы-
выполняться, только если обращается в нуль коэффициент при р — р':
- ~ $ *№
= Vp? (p, I) - ^. (П.И. 10)

646 ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение III. Таблица значений интеграла Ф,,
(см. V.4.5) II]; приведенное в таблице значение нужно умножить на 10 в
степени, указанной в скобках.
Фу,
Ф.
1,8199 (-2)
2,0099 (—2)
2,2195 (-2)
2,4510 (—2)
2,7063 (—2)
2,9880 (—2)
3,2986 (—2)
3,6412 (—2)
4,0187 (—2)
4,4349 (-2)
4,8933 (—2)
5,3984 (—2)
5,9545 (—2)
6,5665 (—2)
7,2398 (—2)
7,9804 (—2)
8,7944 (—2)
9,6887 (—2)
1,0671 (—1)
1,1748 (-1)
1,2930 (—1)
1,4225 (—1)
1,5642 (—1)
1,7193 (—1)
1,8889 (-1)
2,0740 (—1)
2,2759 (—1)
2,4959 (—1)
2,7353 (—1)
2,9955 (—1)
3,2780 (—1)
3,5841 (—1)
3,9154 (—1)
4,2733 (-1)
4,6595 (—1)
5,0754 (—1)
5,5224 (—1)
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1-7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
6,0022 (—1)
6,5161 (—1)
7,0654 (—1)
7,6515 (—1)
8,2756 (—1)
8,9388 (—1)
9,6422 (—1)
1,0387 @)
1,1173@)
1,2003 @)
1,2875 @)
1,3791 @)
1,4752 @)
1,5756@)
1,6806 @)
1,7900 @)
1,9038 @)
2,0221 @)
2,1449@)
2,2720 @)
2,4035 @)
2,5393 @)
2,6794 @)
2,8237 @)
2,9722 @)
3,1249@)
3,2816@)
3,4423 @)
3,6070 @)
3,7755 @)
3,9480 @)
4,1241 @)
4,3040 @)
4,4876 @)
4,6747 @)
4,8653 @)
5,0595 @)
5,2571 @)
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5.0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
6,6
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0
8,2
8,4
8,6
8,8
9.0
9,2
9,4
9,6
9.8
0,0
5,4580 @)
5,6623 @)
5,8699 @)
6,0806 @)
6,2945 @)
6,5115@)
6,9548 @)
7,4100@)
7,8769 @)
8,3550 @)
8,8442 @)
9,3441 @)
9,8546 @)
1,0375D-1)
1,0906D-1)
1,1447D-1)
1,1997D-1)
1,2556 (+1)
1,3125D-1)
1,3703D-1)
1,4290D-1)
1,4886D-1)
1,5491 (+D
1,6104 (+1)
1,6725D-1)
1,7355 (+1)
1,7993D-1)
1,8639D-1)
1,9293D-1)
1,9954 (+1)
2,0624D-1)
2,1301 D-1)
2,1986D-1)
2,2678D-1)
2,3378D-1)
2,4085D-1)

приложения 647
ЛИТЕРАТУРА
1. Дж. Блгкмор, Статистика электронов в полупроводниках, «Мир», М., 1964.
Приложение IV. Дельта-функция
Одномерная дельта-функция Дирака б (х) определяется соотношениями
Ь I / @), а < 0 < Ь,
]j / (х) б (х) dx = I '/2/@), а = 0 или 6 = 0, (n.IV.l)
° I 0, 0 < а < Ь или а < Ъ < 0,
б(*) = 0, хфО. (n.IV.2)
Здесь f (х) — любая регулярная функция; значения пределов а и b произ-
произвольны (в частности, возможен и предельный переход a-i—oo и/или
Определения (n.IV.l), (n.IV.2) легко обобщаются на многомерный слу-
случай: многомерная 6-функция есть произведение одномерных. Так, если г есть
вектор с компонентами х, у, г, то
б (г) = б (х) б {у) б (г), (n.IV.3)
J dx dy dz f (x, у, г) б (г) =/ @, 0, 0) (n.IV.4)
при условии, что точка г = 0 лежит внутри области интегрирования.
Согласно (n.IV.l) и (n.IV.2) 6 (х) не относится к числу функций, рас-
рассматриваемых в классическом анализе. Действительно, интеграл
\ 6 (х) dx,
взятый по любому отрезку, содержащему точку дг = О, конечен, в то время
как «функция» 6 (х) отлична от нуля лишь на множестве меры нуль. Все же
определениям (n.IV.l), (n.IV.2) можно придать точный смысл, рассматривая
б (х) как символ некоторого предельного перехода, выполняемого над интег-
интегралом от регулярных функций. Так, по теореме Фурье мы имеем при любой
достаточно регулярной функции / (х)
-f-oo
lim С f(x)^-^-dx=nf@). (n.IV.5)
— oo
Сравнивая это соотношение с (n.IV.l), получаем следующее символическое
представление 6-функции:
с , . 1 ,. sin ах /т_ ... _ч
о(л:)=— lim . (П.1У.6)
Существует много соотношений такого типа. Все они, как и (n.IV.6), при-
приобретают точный смысл, лишь будучи проинтегрированы с какой-либо регу-
регулярной функцией *).
Из определений (n.IV.l), (n.IV.2) вытекают следующие правила преобра-
преобразования б-функций:
*) Понимая соотношение (П.IV.6) буквально, мы получили бы
6@)=— lim a=co.
•^ а—юо
Это «соотношение» часто используется как дополнение к (n.IV.2).

648 ПРИЛОЖЕНИЯ
1) Пусть С —постоянная. Тогда
(ILIV.7)
2) Пусть (р (х)— непрерывная функция, все вещественные корни которой
простые. Обозначим их через хп (га=1, 2, ...). Тогда
6[*W]=2t?t3p (n-IV-8)
Можно определить и производные любого порядка от б-функции. Дейст-
Действительно, пользуясь формальным правилом интегрирования по частям и соот-
соотношением (n.IV.l), мы имеем
ь
^/ (х) 8"» (х) dx=(—\)n/<»> @) а < 0 < Ь, (П.1У.9)
а
где и —любое целое число.
Приложение V. Рекомбинация через многозарядные ловушки
Пусть ловушка может захватывать 0, 1, 2, ... , М электронов, создавая
в запрещенной зоне энергий М локальных уровней. Тогда суммарный темп
захвата электронов из зоны проводимости на уровень / (при этом захвачен-
захваченный электрон становится /-м) можно выразить формулой, аналогичной (IX. 4.7):
Здесь anj — коэффициент захвата электронов на уровень / (до захвата ловушка
имела (/—1) электронов); Ntfj и Ntfj- i — неравновесные концентрации лову-
ловушек в у'-м и, соответственно, в (/—1)-м зарядных состояниях; п,- — величина,
аналогичная % для однозарядных ловушек, равная (с точностью до отноше-
отношения статистических весов) равновесной концентрации электронов в зоне, при
совпадении уровня Ферми с уровнем Е/. Совершенно так же суммарный темп
захвата дырок на уровень / (до захвата дырки ловушка имела / электронов)
выражается формулой, аналогичной (IX. 4.7а):
Rpj = apjNt HjP-ij _ iP/), (П.У.2)
где apf—коэффициент захвата дырки на уровень ?,-, a pj~равновесная кон-
концентрация дырок при совпадении уровня Ферми с уровнем Е/. Полные темпы
захвата электронов и дырок на ловушки в различных зарядных состояниях
равны
мм
В стационарном состоянии концентрация ловушек в каждом зарядном со-
состоянии не зависит от времени. Это дает
p p ЦФ
Отсюда следует, что
R R
(/=1.2 Ж). (TI.V.4)

ПРИЛОЖЕНИЯ 649
Кроме того, мы имеем еще условие постоянства полной концентрации лову-
ловушек
м
?f/=l. (TLV.5)
/=о
Написанные уравнения вполне определяют задачу. Условия (Ft.V.4) и (П.У.5)
дают (Л1+1) уравнений для определения всех неравновесных чисел заполне-
заполнения fj. В частности, уравнения (П.У.4) дают
PjPi
(П.V.6)
Подставляя это в выражения (П-V.l) и (П.У.2), после несложных преобразо-
преобразований получаем
пр — п°.
При выводе этой формулы мы считали полупроводник невырожденным и,
соответственно, полагали n/pj=^nt, где til есть квадрат собственной концентра-
концентрации электронов.
Формула (П.У.7) выражает темп рекомбинации, обусловленный одним
энергетическим уровнем ловушек. Если ловушки могут захватывать только
один электрон, то М=1, // + //_ i = /i + /o= 1 и формула (П.У.7) переходит
в формулу (IX.6.6) для простых ловушек.
Полученные формулы упрощаются для малой концентрации ловушек (когда
Ьрс^Ъп) и малого нарушения равновесия. Тогда, полагая в формуле (FI.V.7)
и удерживая только члены первого порядка малости, получаем
^tf + ^Ca^T^ (n-V.8)
Поэтому обшее время жизни электронов и дырок т выражается формулой
М ¦ М on
2 ^(и+^ 21&Р}щ-1 (л,+4)+i*n,Nt)-1 (po+pjY ' (n-v-9)
в которую входят только равновесные концентрации носителей заряда п0 и р0
и равновесные числа заполнения уровней fj.
Отметим в заключение два важных предельных случая. Положим, что
мы имеем сильно легированный полупроводник р-типа, так что равновесный
уровень Ферми расположен ниже наинизшего уровня ловушек Ег (как на
рис. 9.8, /r = f1). Тогда /о=^1, а все другие //<1, и поэтому в формуле
(П.У.9) остается только одно слагаемое с /=1. При этом р0 > п0, по<^пъ
Ра !> Pi- Если равновесная концентрация дырок достаточно велика, так что
(«ni^/)~ 1 Ро > (apiNt)" 1 ni> то из формулы (FI.V.9) следует, что время жизни,
так же как и для простых ловушек, достигает предельного значения,
независящего от концентрации основных носителей р0 и равного tno=(<ZtiiNt)~ г-
Аналогично, для сильно легированного полупроводника га-типа, когда
равновесный уровень Ферми становится выше наивысшего (М-го) уровня
ловушек, мы имеем /^,,^1, /у < 1 (/ Ф М). Кроме того, п0 >р0, пм <га0,
Рп^Рм' Поэтому при больших концентрациях электронов, когда выполняется
неравенство (арм^()~ 1 до > (ап№^1>~l Pav % становится равным другому
предельному значению %р0 = (<^р^{)~%, которое тоже не зависит от концентра-
концентрации основных носителей га0.

650 ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение VI. Интеграл поверхностной проводимости
Как и в гл. X, мы ограничимся случаем невырожденных полупроводников
для которых справедливы соотношения (Х.2.3). Кроме того, будем считать,
что доноры и акцепторы полностью ионизованы (что имеет место, например,
в германии и кремнии с примесями элементов III и V групп при температу-
температурах выше температуры жидкого азота). Тогда, следуя работе [1], измене-
изменение электропроводности AG можно вычислить следующим образом. В рассматри-
рассматриваемом случае объемная плотность заряда равна
p = t[(p-po)-(n-no)}=e[Pll(e-Y-\)-no{eY-l)].
Поэтому уравнение Пуассона для безразмерного потенциала Y
принимает вид
Здесь i = (po/rtoI/'2> a ¦f-i — длина Дебая в собственном полупроводнике:
i,? = ^ZL# (П. VI.2)
Граничные условия задачи:
лг = О: Y = YS; x=co: ^-=У = 0. (n.VI.3)
Умножая обе части уравнения (П-VI.l) на dY/dx, получаем
Интегрируя обе части этого уравнения от У = 0 до произвольного значения Y,
находим
где
F(Y, Z)=
Так как при Ys > 0 потенциал Y убывает с увеличением х, то в формуле
(П.VI .5) для этого случая нужно брать знак минус. При Ys < 0 следует
выбирать знак плюс. Формулы (П.VI.4) и (П.VI.5) выражают первый интеграл
уравнения Пуассона и дают распределение градиента потенциала (электри-
(электрического поля) в функции самого потенциала Y.
С другой стороны, в интегралах Гр и Г„ (§ Х.2) интегрирование по х
можно заменить интегрированием по Y:
оо 0
= С [р М-Ро] dx= j [p
0 Ys
. dx
(n.VI.6)
Ys

ПРИЛОЖЕНИЯ 651
Подставляя сюда dx/dY из формулы (П. VI.4) и выражая р (Y) и п (К)
по формулам (Х.2.3), мы получаем для изменения проводимости ДО выраже-
выражение
о |
Входящий сюда «интеграл поверхностной проводимости» в общем случае
не выражается аналитически и гребует численных расчетов. Кривые рис. 10.7
дают значения этого интеграла (умноженного на | /») как функцию Ys.
Из формулы (П.VI .7) непосредственно получается величина Ysm, соответ-
соответствующая минимуму ДО. Дифференцируя эту формулу по Ys и приравнивая
производную нулю, мы имеем
= 0. (П.У1.8)
P (Ysm, I)
Условие обращения в нуль числителя приводит к квадратному уравнению
относительно exp Ysm, которое дает два корня:
expFsm=l, exp Fsm = ?2/6.
Однако первый корень не есть решение уравнения (П.VI.8), так как при
этом и F = 0. Поэтому остается только один, второй корень, который и дает
формулу (Х.2.5).
Найдем еще величину подвижного объемного заряда в приповерхностном
слое, находящегося под единицей площади поверхности. Она равна
1
dY ar •
*s
Учитывая, что Т7 @, ?)=0, получаем
Qv=Vr2eniLiF(Ys,l). (П. VI .9)
В более сложных случаях, когда доноры и акцепторы не полностью
ионизованы или электронный (дырочный) газ вырожден, задача решается
аналогично. Примеры таких расчетов можно найти в работах |2, 3].
ЛИТЕРАТУРА
1. С. Garrett, W. Brattain, Phys.Rey. 99, 376 A955).
2. R. Seiwatz, M. Green, Journ.
3. Ю. И. Горкун, ФТТ. 3, 1061
2. R. Seiwatz, M. Green, Journ. Appl. Phys. 29, 1034 A958).
A961).

652
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение VII. Диффузия неравновесных носителей заряда
в магнитном поле
Строгая теория фотоэлектромагнятного эффекта в произвольном магнитном
поле требует решения кинетических уравнений Больцмана для дырок и элек-
электронов (см. например, [1]). Однако интересующие нас соотношения (XI.7.12) —
(XI.7.14) можно получить из более прос-
просей тых феноменологических рассуждений.
0 ^ Будем, как и раньше, считать полу-
. проводник изотропным. Запишем плот-
VV7
AJ/f°Jp4?p
Jn
ности токов дырок и электронов в маг-
магнитном поле в виде
где
; pp n
ис' — плотности токов, обусловленные
дрейфом в электрическом поле и диффу-
диффузией, а А]р и А]п—добавки, возникающие под действием силы Лоренца.
Эффектом магнетосопротивления будем пренебрегать и, соответственно, считать
с и D не зависящими от магнитного поля. Так как сила в магнитном поле
перпендикулярна направлению тока, то Ajp j_ jp и А]п J_ )n. Тогда] (рис. П.VII)
& Дi t /
=ip
=ip -
Ду„=in tg фя=/„ — рпН
где (рр и ф„ — абсолютные значения холловских углов. Поэтому для плотно-
плотностей токов в магнитном поле мы получаем
io=ie+i^Hri0x53i, (n.vn.i)
(П. VI 1.2)
Обобщение этих соотношений для анизотропных полупроводников дано в [2].
Кроме того, мы имеем уравнение непрерывности
(n.VII.3)
(n.VII.4)
р
1 ... 6rt „
— divj»-—= 0.
Применим теперь эти уравнения к задаче о пластинке в магнитном поле
(§ XI.7). В дальнейшем для простоты мы положим V-nH^=V-n< 11Р# ==tin- Полу-
Полупроводник будем считать невырожденным и, соответственно, lxn/[ip = Dn/Dp.
Далее, для сокращения введем обозначения:
(n.VII.5)
Тогда в координатах (направленных, как на рис. 11.15) уравнения (n.VII.l)
и (n.VII.2) будут
bjpx = е\х (Ро + 6р) %х + &iPy, (П.VI1.6)
*~ -Щрх, (n.VII.7)
-einy, (n.vn.8)
(П .VI 1.9)
inx=Щ ("о + 5n)
dn
iny = Ф (n0 + 6n) %y + eD j- + @jnx

ПРИЛОЖЕНИЯ 653
Здесь величины \л, D и G относятся к электронам, а индекс п мы не выпи-
выписываем. Уравнения непрерывности:
Кроме того, для нашей задачи
Исключим из уравнений (П.УП.7) и (П.УП.Э) ?и и учтем соотношение
(П.УН. 12). Это дает
/„х]. (П.УПЛЗ)
Здесь, согласно уравнениям (П.VII.10) и (П.VII.11),
dp dbp тр d2jpy
dy dy ~~ e dy* '
dy e dy2 e difi '
Далее, используя уравнения (П.VII.6), (П.VII.8) и (П.VII. 12), мы имеем
(по + Ьп) )рх + (Ро + бр) inx =
Подставляя эти выражения в уравнение (П.УПЛЗ), мы получаем для тока /_„
дифференциальное уравнение 2-го порядка
D
- \b (п0 + Ьп) + (ро + бр) + 62 [^- (по + Ьп) + (ро + бр)JI /ру-
+-1-) g^ = 0. (П.VII.14)
Это уравнение нелинейно, и поэтому для произвольной интенсивности света
точное вычисление jpy (у) сложно.
Для интересующего нас случая короткого замыкания gx = 0. Если, кроме
того, освещенность не слишком велика, так что выполняются условия
бл, бр<гао + ро, Трби + т„бр<три0 + тлр0, (П.VII.15)
то уравнение (П.VII.14) становится линейным и принимает вид
где

654 приложения
Поэтому для толстого образца (jpy (rf) < jpy @)) уравнение (П.VII.16) дает
iPy = iPy@)e-v/L*. (n.VII.18)
Отсюда видно, что L* есть длина диффузии в магнитном поле, на которой
ток jpy затухает в е раз. Выражение (П.VI 1.17) соответствует формулам
(XI.7.12) —(XI.7.14), в которых Dn выражено через коэффициент амбиполяр-
ной диффучии D и отношение подвижностей b и учтено, что в„ = 6вр.
Вычисление /р0 @) у освещенной поверхности производится \ж же, как и
без магнитного поля. Однако при ЬрфЬп нужно учесть, что скорости поверх-
поверхностной рекомбинации для дырок sp и электронов sn неодинаковы (§ Х.5).
Поэтому граничное условие будет
iW+R (ii.vii.ig)
где
? J?!(O). (n.VII.20)
a s есть результирующая скорость поверхностной рекомбинации на освещаемой
поверхности, выражаемая формулой (Х.5.8).
В формуле (П.VII.20) можно выразить fip @) и 8п @) через ]'ру{0), поль-
пользуясь уравнениями непрерывности (П.VII.10) и (П.VII.11) и законом затуха-
затухания (П.VII.18). Это дает
**--4d-w=i'>®ib'r"L*- (rLVIL22)
Отсюда
6p@) = ^/py(°). 6«@)=J/w@). (n.VII.23)
Тогда из граничного условия (П.VII.19) получается
гДе тфэм определяется формулой (XI.7.13).
Подставляя в формулу (XI.7.8) j,ty из v". >'••'"; " j™i»j>«« (u, »u.«j,
мы опять приходим к формуле (XI.7.9) для iK3. Однако в данном случае время
жизни пар т везде заменяется на комбинированное время ТфЭМ, а вместо L и
D входят L* и D*.
Остановимся еще на фотопроводимости в магнитном поле.'
Сила тока фотопроводимости есть
d
Чп = eg.v \ (y.nbn + \ip8P) dy. (n.VII.25)
о
Подставляя сюда для бр и 8п их выражения (П.VII.21) и (П.VII.22) и выпол-
выполняя интегрирование, находим для толстого образца
*фп = §*гфп (Ил + Ир) ipy (°). (П.У11.26)
где Тфп есть введенное ранее (§ VII.4) время жизни фотопроводимости.
В методе компенсации ФЭМ эффекта и фотопроводимости (§ XI.7) мы имеем
в/.* = ©жтфп 0*в+|АР). (n.VII.27)

ПРИЛОЖЕНИЯ Оо„
В эту формулу удобно ввести новое характерное время
тк = -^- (ПЛШ.28)
сфэм
и новую характерную длину
1*=Yd4'k. (n.VII.29)
Тогда равенство (П.VII.27) можно записать в виде
®р; *Р*?. (п.vii.эф
Оно по форме совпадает (при jx „=» и (хлН = (хл) с формулой (XI.7.11) и
является обобщением последней на случай ие слабого магнитного поля.
Из формул (П.VII.28) — (n.VII-ЗО) видно, что измеряемое методом компен-
компенсации время тк в общем случае не совпадает ни с Тфэм, ни с ТфП. Однако
при Тр = т„=т мы имеем ТфЭМ = гфП = т, и в этом случае гк дает время жизни
электронно-дырочных пар г.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. И. Ансельм, ЖТФ 24, 2064 A954).
2. W. van Roobbroeck, Phys. Rev. 101, 1713 A956).
Приложение VIII. Вычисление сумм (XII.2.6)
Согласно (XII.1.1) сумму (XII.2.6) можно переписать в виде
е^+к^п^~ XI Sa (П.VIII.1
<х=х,у, г
(без суммирования по а в экспоненте).
Поскольку
La = Gaaa> ka= j~-na (а=дс, у, г),
мы имеем по формуле геометрической прогрессии
l-exp2nt(na + n^) ( Ga, «a + «a = 0' /]
1—exp —j—- ("a + na) aa V "• na~f" a^ ¦
Подставляя это выражение в формулу (П.VIII.1), получаем результат (ХП.2.6).
Приложение IX. Вывод условия ортогональности (XII.2.11)
Опуская для краткости аргумент q, перепишем еще раз уравнение (XII.2.10):
ft, a
С учетом вещественности MJ5, вытекающей из (XII.2.10), можем написать сопря-
сопряженное уравнение (при том же q и другом, вообще говоря, значении s) в виде
2u\ hh') зда ^ '—ws' Л'ЬЛ'а'\s/• [ii.lA.Z)
Л, а

656 ПРИЛОЖЕНИЯ
Умножим уравнения (П.1Х.1) и (П.1Х.2) соответственно на ?/*,а< (s'). ?ft,a, (s)
и просуммируем но А', а'. Получим
2 2 Г»*-'&«'(*')СА„ (*) = «! S MA,tf,a,(s')^a,(S), (П.1Х.Г)
ft', a' ft, a ft', a'
2 SiCTWM^M^S Mh,?j[,e,(S') ?„,,,. (s). (П.1Х.2')
ft', a' h, a ft', a'
Примем теперь во внимание равенство (XII.2.12) и вычтем почленно уравнение
(П.1Х.2') из (П.IX.Г):
S { та.»' <*') EAa (s) - rh«'^ (s') ?h,e. (s)} =
ft, ft', a, a'
= K-Ws') 2 Mft'&a'M W (*)• (П-1Х-3>
ft', a'
Выполняя во втором слагаемом в левой части (П.1Х.З) замену индексов сум-
суммирования
h^h', a^a',
видим, что оно совпадает с первым. Таким образом, равенство (П.1Х.З) при-
принимает вид
К-">!') S ^vSjJ'a'(s')EA'e'(s) = °- (ПЛХ-4)
ft', a'
Следовательно, при <о| ф ш|,
S ^ft^'a'(^')Sft'a-W = O- (П.IX.5)
ft', a'
При однозначной зависимости s от а>\ отсюда вытекает условие (XII.2.11).
В противном случае частоты могут оказаться одинаковыми и при s' ф s. Это,
однако, означает вырождение: одному и тому же значению со^ будет отвечать
несколько решений ?,ha (s) уравнения (XII.2.10). Всегда можно выбрать такую
их линейную комбинацию, чтобы равенство (П.IX.5), т. е. условие (XII.2.11),
все же удовлетворялось при s'ф s.
Приложение X. Переход от суммирования по дискретным компонентам
квазиимпульса к интегрированию
Рассмотрим сумму
V V nz
,, . , , 2кП 2лй 2лП
где / (р) — любая регулярная функция, рх = —j—пх, Ру = —-,—пу, pz = —-.—nz,
a nx, ny, nz — положительные или отрицательные целые числа или нули. Раз-
Разность между соседними значениями ра (а=х, у, г) составляет
2лй
Таким образом, выражение (П.Х.1) можно переписать в виде
№)ЬРхЬРуЬРг. (П.Х.2)
".v "</• "г

ПРИЛОЖЕНИЯ G57
Пусть при /,->оо функция /(р) не зависит от L. В правой части (П.Х.2)
стоит интегральная сумма, и при L->-co мы получаем
(p)dp> v=Ls- (rLX-3)
Величина S/V при этом остается конечной и не зависит от V.
Соотношение (П.Х.З) составляет правило перехода от суммирования по пх,
tiy, пг к интегрированию по трехмерному р-пространству. Такое же правило
применимо и в случае одного или двух измерений: надо лишь заменить в (П.Х.З)
V = L3 на L или L2, а тройной интеграл —на однократный или двойной.
Приложение XI. Гамильтониан взаимодействия электронов
с акустическими фононами
Согласно (XIV.3.5) напишем гамильтониан взаимодействия электронов
с акустическими фононами в виде (опускаем временно сумму по s):
& (П.Х1.1)
0*3
Не предполагая пока симметричности тензора Еа$, представим его в виде
суммы симметричной и антисимметричной частей:
? =?5 -|_?а.р) (П.Х1.2)
где
Fs „ — IF -t-F 1 Fa —--IE —E \ Ш XI 31
ар— 2 ^ a$' &a)' ар— 2 *¦ аР Ра/1 vu.ai.oj
Соответственно
1 / дО„ йОя \ 1 / dQa dQa \
hi — ps \ р м - Fa _) m хт 41
2 аР \ дх$ дха /2 аР \ дх$ дха )
Компоненты антисимметричного тензора можно представить в виде [1]
?ap = sapV^- (П. XI.5)
где Ау — компоненты некоторого псевдовектора, а е,ар? — совершенно антисим-
антисимметричный единичный тензор (eaCV = —epaY == — eaYp; 812з= 1)-
Замечая, что, по определению операции взятия вихря,
можем переписать второе слагаемое в правой части (П.Х1.4) в виде
-i-(A, rotQ). (П.Х1.7)
Как известно, если компоненты rot Q не зависят от координат, то выражение
rot Q описывает не деформацию, а поворот тела как целого. Соответственно
слагаемое вида (П.XI.7) не может входить в выражение для энергии взаимо-
взаимодействия электронов с фононами *), и антисимметричная часть тензора ?ар
тождественно равна нулю:
А = 0, Eafi = Esa?>. (П.Х1.8)
*) Этот вывод может быть несправедлив, если вектор Q описывает заве-
заведомо неоднородную деформацию, созданную, например, дислокацией.

658 приложения
Гамильтониан Н' сводится к произведению некоторого постоянного симмет-
симметричного тензора на тензор деформации:
(П.Х1.Э)
Тензор ?ар называется иногда тензором потенциалов деформации; компоненты
его суть потенциалы деформации.
Приведем тензор Еа$ к главным осям, обозначив главные его значения
через Еа. Тогда соотношение (П.XI.9) примет вид
а=х, у, г
Формула (П.XI.10) превращается в (XIV.3.1), если тензор Еао, вырождается
в скаляр, т. е. если Ex=Ey = Ez — Ei. Так обстоит дело в кубическом кри-
кристалле, если дно зоны проводимости лежит в центре зоны Бриллюэна. Главные
оси в данном случае суть оси [100], ]0Ю] и [001] в обратной решетке.
Оговорка о расположении минимума зоны проводимости в центре зоны
Бриллюэна весьма существенна. Действительно, в других точках зоны Брил-
Бриллюэна симметрия системы, вообще говоря, ниже кубической: имеется физиче-
физически выделенное направление вдоль радиус-вектора, связывающего данную точку
с центром зоны. Главные оси тензора Еа$ здесь уже не обязаны совпадать
с осями куба и могут оказаться неэквивалентными. Соответственно тензор Еа$
может и не выродиться в скаляр даже в кубическом кристалле. Так, в частно-
частности, обстоит дело для электронов в германии и кремнии. Формулу (П.XI.9)
для такой «многоэллипсоидной» системы следует писать в виде
где индекс / нумерует эллипсоиды и симметричный тензор Еа$ (/') описывает
взаимодействие фононов с электронами, находящимися вблизи'/-го минимума
энергии. Очевидно, все эти тензоры получаются один из другого преобразо-
преобразованием симметрии, переводящим друг в друга соответствующие минимумы;
поэтому достаточно рассмотреть структуру лишь одного из них.
Естественно ожидать, что главные оси Еа$ (/) будут совпадать с осями /-го
эллипсоида. Соответственно, выбирая ось вдоль большой оси эллипсоида, можем
написать (опуская для краткости индекс /)
Подставляя в (П.XI.9') вектор смещения Q в виде (XII.5.18) и приводя
тензор ?ар (/) к главным осям, получаем под знаком суммы по /, q выражения
Рассмотрим отдельно случаи взаимодействия электронов с продольными
и поперечными фононами.
Для продольных фононов по определению векторы q и g параллельны, т. е.
Соответственно выражение (П.XI. 12) примет вид
q\l\ \e'-(E'~E") y|^} ==q\%\ {E'-(E'-E-) cos* 6}, (П.Х1.14а)
где 9—полярный угол вектора g в системе координат с полярной осью,
параллельной главной оси рассматриваемого эллипсоида.

ПРИЛОЖЕНИЯ 659
Для поперечных фононов мы имеем (q, 9=0 и выражение (П.Х1.12) при-
принимает вид
(?' — Е") (qxt,x + qyZ,y) = (?' — Е") qt, sin б • sin a • cos (ф — Р). (П.XI. 146)
Здесь S и ф — полярные углы вектора ?, а и |3— полярные углы вектора q
в прежней системе координат.
Видим, чго в данном случае тензор потенциала деформации определяется
двумя независимыми константами. В качестве таковых можно выбрать, напри-
например, E' — E" = Et и Е' = 3{.
Подробную теорию потенциала деформации в применении к электронам
проводимости в германии и кремнии можно найти в работе [2].
Особенно сложной становится теория потенциала деформации в случае
вырожденных зон. Соответствующие результаты можно найти в книге 13].
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, Физматгиз, М., 1958.
2. С. Herring, E. Vogt, Phys. Rev. 101, 944 A956) (см. русский перевод в сб.
«Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957).
3. Г. Л. Бир, Г. Е. Пище, Симметрия и деформационные эффекты в полу-
полупроводниках, гл. V, «Наука», 1972.
Приложение XII. Потенциал заряженного центра при учете
экранирования свободными носителями заряда
Как показано в § VI.6, для вычисления потенциала ф с учетом экраниро-
экранирования надо решить уравнение Пуассона, в правой части которого фигурирует
заряд экранирующих носителей, сам зависящий от ф. В гл. VI соответствующий
расчет был выполнен для невырожденного газа при условии, что концентрация
носителей заряда и потенциал зависят только от одной координаты. Здесь мы
рассмотрим трехмерный случай при произвольной степени вырождения. Пусть,
для определенности, образец будет n-типа со средней концентрацией электро-
электронов, равной п0. Концентрация электронов проводимости вблизи примесного
иона дается формулой (V.4.4a). Допустим, что в области, нас интересующей,
e<p/kT <^ 1 (это неравенство может и не иметь места; при этом расчет несколько
усложняется). Тогда функцию Ф,д ( Тт ) s(V.4.4a) можно заменить первыми
двумя членами разложения в ряд Тэйлора:
kT dz
Соответственно вместо (V.4.4a) мы. получим
(П.ХП.1)
где Ф\,(г) = йФ (z)ldz. Уравнение Пуассона примет вид
Введем обозначение
еЛТ
(П-ХП.З)

660 ПРИЛОЖЕНИЯ
и перепишем уравнение (П.XII.2) для потенциальной энергии электрона
6U = — ец>:
Va6f/ =-г„ 26t/. (П.ХИ.4)
Пусть примесный ион (с зарядом Ze) помещен в начале координат (/- = 0).
Тогда при г -*¦ 0 решение уравнения (П.XII.4) должно иметь кулоновский
вид (IV.7.1). С другой стороны, при г ->- со потенциальная энергия 6U (г)
должна убывать по абсолютной величине. Естественно считать также, что
функция W (г) будет сферически симметричной. Анизотропия изоэнергетиче-
ских поверхностей, если она есть, в данном случае «смазывается» благодаря
суммированию по всем минимумам, неявно выполненному в правой части
(V.4.4a). Решение (П.ХП.4), удовлетворяющее поставленным условиям, имеет вид
(П.ХН.5)
Величина г0, определяемая равенством (П.ХП.З), имеет размерность длины
и называется радиусом экранирования. Как видно из формул (П.ХП.1) и
(П.XII.5), она определяет размеры области, в которой в основном находится
экранирующий заряд. Видно, что при г > г0 потенциальная энергия &U (г)
быстро убывает по абсолютной величине и система «заряженный центр +экра-
нирующие носители» ведет себя как нейтральная.
Выражение (П.ХП.З) заметно упрощается, если рассматривать неэырож-
денный или, наоборот, полностью вырожденный газ. Как показано в §§ V.5,
V.6, в первом случае мы имеем
ф, (JL\ = еХр (-0-) и СХр ^ =п\
а во втором случае
12 \ kT I ЗУл\/гТ] 2md
Соответственно в невырожденном полупроводнике
I ekT \V,
ш?) (n-XIL6a)
а в условиях полного вырождения
) • (П.ХП.бб)
При наличии экранирующих носителей заряда обоих знаков формулы
(П.ХП.З) и (П.XII.6а, б) несколько изменяются. Выражение (П.XII.5), однако,
остается в силе, коль скоро ' ' <^ 1 или—^—¦-^ 1. Так же обстоит дело
и при других механизмах экранирования (последнее может быть обусловлено,
например, корреляцией в пространственном распределении примесных атомов,
возникающей при введении их в решетку) *).
ЛИТЕРАТУРА
1. Дж. Займам, Принципы теории твердого тела, изд. 2. «Мир», М., 1974.
*) В металлах, где мы можем иметь сильно вырожденный электронный
газ при сравнительно малой концентрации примеси, вид функции Ш (г)
отличается от (П.ХП.5) [1].

ПРИЛОЖЕНИЯ 661
Приложение XIII. Усреднение по координатам примесных атомов
Вероятность перехода (XIV.5.3) зависят, очевидно, от 3N координат при-
примесных атомов:
^1 = I?52 = 55=^(P, p'; Rr .... Rjv). (П.ХШ.1)
Точный вид этой зависимости характеризует данный конкретный образец и
обычно не представляет физического интереса. Используя совокупность боль-
большого числа кристаллов, мы получим среднее значение
<^) = J^(p, p'; Rr ..., RN)F(RV .... R^rfR^.-dR^. (П.ХП1.2)
Здесь интегрирование по каждой из координат R,, ... производится в пределах
основного объема (куба) V; F (Rr ..., RA,) rfRx ... dRN есть вероятность
обнаружить 1-й, 2-й, ... атомы примеси, соответственно, в элементах объема
dRy rfR2, ..., dKN около точек R^ R2, ..., R^. Она удовлетворяет очевид-
очевидному условию
$F (Rr R2 ..., RN) dKxdR2 ... dR^= 1. (П.ХШ.З)
Заметим, что роль «совокупности большого числа кристаллов» может играть
и совокупность многих малых объемов, на которые можно разбить данный
(достаточно большой) образец. Действительно, каждый из таких объемов можно
охарактеризовать, вообще говоря, своей конфигурацией примеси; макроско-
макроскопический же опыт относится ко всему кристаллу, и, следовательно, в нем
автоматически производится усреднение, описываемое формулой (П.XIII.2) *).
Пока концентрация атомов примеси не слишком велика, вероятности
попадания их в те или иные элементы объема можно считать независимыми:
F(Rr ..., R7V) = /(R1) .../(Rjv), (П.ХШ.4)
причем
j/(R,)dR,= l, i=l,2 Л/-. (П.ХШ.З')
Строго говоря, представление вероятности F (R , ..., RjV) в виде (П.ХШ.4)
носит приближенный характер. Так, здесь не исключена возможность одно-
одновременного попадания многих атомов примеси в один и тот же узел решетки,
что физически невозможно. Если, однако, среднее расстояние между атомами
примеси Nf1^ заметно превышает постоянную решетки а, то такие события
будут сравнительно редкими. Поэтому учет корреляции в расположении при-
примесных атомов, исключающий названную «нефизическую возможность», прак-
практически несуществен и аппроксимация (П.ХШ.4) достаточна для вычисления
кинетических коэффициентов. Более того, в макроскопически однородной
системе примесный атом с одинаковой вероятностью может попасть в любую
точку кристалла, т. е. функция / фактически есть константа. Согласно условию
нормировки (П.ХШ.З')
f=V-i. (П.ХШ.5)
Итак, при не слишком большой концентрации примеси (Л^~1/з >> а) в макро-
макроскопически однородной системе
j ^ ( ' R R) dR d* (П.ХШ.6)
*) Речь идет о кристалле, макроскопически однородном, и о макроскопи-
макроскопически однородных условиях опыта. В макроскопически неоднородной системе
(например, в кристалле с п — р-переходом) интегрирование в (П.XIII.2) удобно
производить особо для каждой однородной области.

662 ПРИЛОЖЕНИЯ
Подставляя сюда выражение (XIV.5.3), получаем
|]И ). (П.ХШ.6')
Поскольку Ах не зависит от координат примесных атомов,
<Л1> = ]^РК1-"Ж^1==Л1. (П.ХШ.7)
Далее, согласно (XIV.5.8)
2 М
Очевидно, все члены суммы по i, j здесь одинаковы, ибо отличаются друг от
друга только заменой переменных интегрирования. Пусть i=l, / = 2. Тогда
интегралы по R3, ..., R^ сразу берутся, и мы получаем, принимая во внима-
внимание, что полное число членов в сумме равно N{N—1),
X jj dRx dR2cos
-, Ri-R2). (П.ХШ.8)
Введем вместо Rx и R2 новые переменные интегрирования
R (
Тогда фигурирующей в (П.Х1Ц.8) интеграл по Rx и R2 примет вид
RdR' = v IT 2H zin fq-^Л
(П.ХШ.9)
где L есть ребро куба.
При неограниченном возрастании размеров системы правая часть (П.ХШ.9)
стремится к произведению б-функций
Таким образом, при N-+co величина (А2) отлична от нуля лишь при р' = р,
т. е. когда рассеяние отсутствует. Иначе говоря, вклад в рассеяние от этого
слагаемого — порядка 1/V, и для макроскопической системы им можно пренеб-
пренебречь. Окончательно:
<^) = ^-А1Ь(Е(р)-Е(р')). (П.ХШ.10)
В основном тексте книги мы опускаем угловые скобки, понимая под всеми
величинами типа (П.XIII.1) только усредненные их значения.
Вычислим среднее значение квадрата флуктуации потенциальной энергии
электрона в поле одинаковых хаотически расположенных ионов примеси. Сог-

ПРИЛОЖЕНИЯ 663
ласно (XIV.5.1) эта энергия дается выражением
N
Я'= 2 oT/(r-R,). (П.ХШ.П)
<= 1
Представим правую часть (П.ХШ.П) в виде
<Я') + 6Я'.
где 6Я'— интересующая нас флуктуация энергии, а (Я') —среднее (по коорди-
координатам примесных ионов) значение Я':
H'dR1...dRN. (П.ХШ.12)
В силу (П.ХШ.П) в правой части (П.ХШ.12) фигурирует сумма N одинаковых
слагаемых. Следовательно, это соотношение можно переписать в виде
(H') = Nt'\lW(r-R)dR. (П.ХШ.13)
Интеграл в правой части (П.ХШ.13) есть некоторая постоянная, зависящая
от явного вида экранированного потенциала Ш. Обозначив ее через и0, имеем *)
N
6Я'= 2 SC/(r-R,-)-./V,u0. (П.ХШ.14)
j = 1
Таким образом,
N N
N Л
-Wtu0 2 bUir-Rfi + NWAdR ...dRN.
(П.ХШ.15)
Очевидно, второе и третье слагаемые в правой части (П.XIII.15) в сумме
составляют
(П.ХШ.16)
В двойной сумме по I, / удобно выделить слагаемые с i=j. Тогда первый
член в правой части (П.XIII.15) можно переписать в виде
IN N
?[6У(г-Нг)Р+ ^ W(r-R{)W (r-
i = 1 i, i = 1 I
[W (r- R)P rfR + N (Ny~ l)u*. (П.ХШ.17)
*) Фактически в макроскопически однородном образце второе слагаемое
в (П.XIII.14) следует отбросить в силу условия полной нейтральности мате-
материала. Действительно, заряд примесных ионов точно компенсируется свобод-
свободными электронами и дырками (либо —в условиях компенсации —ионами другого
знака). Следовательно, к выражению (П.ХШ.П) надо добавить еще постоянное
слагаемое, описывающее энергию взаимодействия электрона с размазанным
в пространстве зарядом всех других электронов и дырок. Можно доказать, что
это слагаемое равно —Ntu0. При вычислении интересующей нас величины
(FЯ'J) это, однако, не играет роли.

664 ПРИЛОЖЕНИЯ
N
Асимптотически при JV->-со, К->аз, Л^ = у-<оо правая часть (П.XIII.17)
принимает вид
Nt\\W(r-R)]*dR + Nho- (П.XIII.17')
Очевидно, интеграл по R здесь не зависит от г: можно ввести новую перемен-
переменную г' = г— R. Складывая выражения (П.XIII.16) и (П.XIII.17'), мы получаем
^1 = Ni^[8U{r')\^dr'. (П.XIII.18)
Пусть, например, потенциальная энергия электрона в поле одного заряжен-
заряженного центра описывается формулой (П.XI 1.5)
б?/(г')= —,-ехр — —). (П.ХШ.19)
Подставляя это выражение в (П.XIII.18), находим
. (П.ХШ.20)
Приложение XIV. Теорема об интеграле от периодической функции
Рассмотрим выражение
? = ^eihO(r)dr, (n.XIV.l)
где Ф (г) — функция, периодическая с периодом решетки a, f — некоторый век-
вектор, а интеграл берется по фундаментальному объему. Компоненты f подчи-
подчиняются условиям периодичности вида (III. 3.10).
Произведем в (П.XIV. 1) замену переменных, полагая
r = r'-j-a.
Получим, с учетом свойства периодичности функции Ф,
j? = cxp (ifa) $ eitr'o (r' + a) dr' = exp (ifa)$ е'(г'ф (f) dr'. (n.XIV.2)
В правой части (n.XIV.2) стоит прежний интеграл у, таким образом,
(tfa).
Отсюда явствует, что интеграл f может быть отличен от нуля, лишь если
exp (jfa) = 1, т. е.
1 = Ът, A1.XIV.3)
где b — вектор обратной решетки, а т — целое число или нуль.
Приложение XV. Интегралы с функцией Ферми в условиях
сильного вырождения
Рассмотрим интеграл
fE)dE. (П-XV.l)
где ф (Е) — некоторая гладкая функция энергии, а /^ = _^. В условиях силь-
ного вырождения функция f'a (Е) Ф 0 лишь при Е ^ ? и в интеграле

ПРИЛОЖЕНИЯ gg5
(n.XV.l) существенны только значения Е, близкие к ?. По этой причине
удобно ввести новую переменную интегрирования
? ?
и разложить выражение ф (Е) = ф (t,-\-f)/iT) по степеням т).
Замечая, что
1 dfo __ ' /„Tii n-i(e-n_[-i)-it (n.XV.2)
мы получаем
*=*1<р (D+W (о й+~ (АГ)а ф" (?) л+.» (n.xv.3)
Здесь
?п= \ vf-if'A^dr], n= 1,2,3. (TI.XV.4)
-Е/АГ
По условию сильного вырождения нижний предел в интегралах fn отри-
отрицателен и велик по абсолютной величине. Как видно из формулы (П.XV.2),
при больших значениях | т) | функция f'o (ц) экспоненциально мала. Пренебре-
Пренебрегая величинами порядка ехр (—Z,/kT), мы можем распространить область
интегрирования до — оо. Тогда
— СО — СО
так как /J есть четная функция т), и, наконец,
-f- со
{
" J A+в-П)A+^1) J
О
00
(-1)*
Сумма последнего ряда составляет п2/12 [1]. Таким образом,
9= - Ф (D-J (*П Ф" (?) + ... (П.ХУ.5)
В пренебрежении величиной порядка (kT/FJ формула (П.XV.5) дает
* = -ф@.
что и оправдывает выражение (XIII.7.17).
ЛИТЕРАТУРА
1. И. М. Рыжик. И. С. Градштейн, Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений, изд. 3, переработанное, стр. 21, Гостехиздат, М., 1951.

ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Ml. Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, «Наука», М., 1976.
М2. А. С. Давыдов, Квантовая механика, изд. 2, «Наука», М., 1973.
МЗ. А. А. Соколов, Ю. М. Лоскутов, И. М. Тернов, Квантовая механика,
изд. 2, «Просвещение», М., 1965.
М4. Г. С. Жданов, Физика твердого тела, изд-во МГУ, М., 1961.
М5. Н. Е. Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления,
изд. 9, «Наука», М., 1965.
Мб. Г. Джонс, Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах,
«Мир», М., 1968.
М7. А. И. Ансельм, Введение в теорию полупроводников, Физматгиз, М.—Л.,
1962.
М8. И. М. Цидильковский, Электроны и дырки в полупроводниках, «Наука»,
М., 1972.
М9. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика (классическая и
квантовая), изд. 3, «Наука», М., 1976.
М10. А. И. Ансельм, Основы статистической физики и термодинамики, «Наука»,
М., 1973.
МП. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика сплошных сред, изд. 2, Физ-
Физматгиз, М., 1963.
Ml2. И. Е. Тамм, Основы теории электричества, изд. 9, «Наука», М., 1976.
М13. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Физ-
Физматгиз, М., 1959.
К главе II
1. Ч. Коулсон, Валентность, «Мир», М., 1965.
2. Н. Momtn, Р. Герни, Электронные процессы в ионных кристаллах, ИЛ, М.,
1950.
3. А. Ф. Иоффе, А. Р. Регель, Некристаллические, аморфные и жидкие элект-
электронные полупроводники, Избранные труды А. Ф. Иоффе, т. 2, «Наука», М.,
1975.
4. Н. Momtn, Э. Дэвис, Электронные процессы в некристаллических веществах,
«Мир», М., 1974.
5. В. С. Вавилов, Действие излучений на полупроводники, Физматгиз, М.,
1963.
6. В. Т. Рид, Дислокации в кристаллах, ИЛ, М., 1957.
7. У. Бардсли, Влияние дислокаций на электрические свойства полупровод-
полупроводников, УФН 73, 121 A961).
К главе III
1. В. И, Смирнов, Курс высшей математики, изд. 18, т. II, Физматгиз, М.,
1961.
2. Д. Гильберт, Р. Курант, Методы математической физики, т. I, ГТТИ, М.
1933.

ЛИТЕРАТУРА 667
3. Дж. Займем, Вычисление блоховских функций, «Мир», М., 1973.
4. О. Маделунг, Физика полупроводниковых соединений элементов III и V групп,
«Мир», М., 1967.
К главе IV
1. Дж. Займан, Принципы теории твердого тела, изд. 2, «Мир», М., 1974.
2. С. И. Пекар, Исследования по электронной теории ионных кристаллов,
Гостехиздат, М., 1951.
3. «Туннельные явления в твердых телах» (сб. под ред. Э. Бурштейна и С. Лунд-
квиста. Пер. с англ. под ред. В. И. Переля), гл. 6, «Мир», М., 1973.
4. К. Киттель, К. Митчелл (в сб. «Проблемы физики полупроводников»),
ИЛ, М., 1957.
5. Дж. М. Латтинджер, В. Кон, (в сб. «Проблемы физики полупроводников»),
ИЛ, М., 1957.
6. А. И. Ансельм, Л. И. Коровин, ЖТФ 24, 8044 A955).
К главе V
1. Дж. Блекмор, Статистика электронов в полупроводниках, «Мир», М., 1964.
К главе VI
1. Н. Мотт, Р. Герни, Электронные процессы в ионных кристаллах, ИЛ, М.,
1950.
2. Г. Е. Пикус, Основы теории полупроводниковых приборов, «Наука», М.—Л.,
1965.
3. А. Роуз, Основы теории фотопроводимости, «Мир», М., 1966.
4. М. Ламперт, П. Марк, Инжекционные токи в твердых телах, «Мир», М.,
1973.
5. А. Милне, Д, Фойхт, Гетеропереходы и переходы металл — полупроводник,
«Мир», М., 1975.
К главе VII
1. С. М. Рывкин, Фотоэлектрические явления в полупроводниках, Фичматгиз,
М., 1963.
2. В. С. Вавилов, Действие излучений на полупроводники, Физматгиз, М.,
1963.
3. W. Van Roosbroeck, Phys. Rev. 91, № 2, 282 A953).
4. Статьи №№ 21—26 в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, М., 1957.
К главе VIII
1. Г. Е. Пикус, Основы теории полупроводниковых приборов, «Наука», М.—Л.,
1965.
2. Я- А. Федотов, Основы физики полупроводниковых приборов, «Советское
радио», М., 1969.
3. А. Милне, Д. Фойхт, Гетеропереходы и переходы металл — полупроводник,
«Мир», М., 1975.
К главе IX
1. С. М. Рывкин, Рекомбинация в полупроводниках. Полупроводники в науке
и технике, т. II, Изд-во АН СССР, М., 1958.
2. Дж. С. Блзкмор, Статистика электронов в полупроводниках, «Мир», М.,
1964.
3. W. van Roosbroeck, W. Shockley, Phys Rev. 94, 1558 A954).

668 ЛИТЕРАТУРА
К главе X
1. А. В. Ржаное, Электронные процессы на поверхности полупроводников,
«Наука», М., 1971.
2. Электронные явления на поверхности полупроводников, Сб. под ред. В. И. Ля-
шенко, «Наукова думка», Клев, 1968.
3. Ф. Ф. Волькенштгйн, Физико-химия поверхности полупроводников, «Наука»,
М., 1973.
4. В. Ф. Киселев, Поверхностные явления в полупроводниках и диэлектриках,
«Наука», М., 1970.
5. С. Дэоисон, Док. Левин, Поверхностные (таммовские) состояния, «Мир», М.,
1973.
К главе XI
1. С. М. Рывкин, Фотоэлектрические явления в полупроводниках, Физматгиз,
М., 1963.
2. Я- Тауц, Фото- и термоэлектрические явления в полупроводниках, ИЛ,
М., 1962.
3. Г. Е. Пикус, Основы теории полупроводниковых приборов, «Наука», М.—Л.,
1965.
4. А. М. Васильев, А. П. Ландсман, Полупроводниковые фотопреобразователи,
«Советское радио», М., 1971.
5. W. van Roosbroeck, Phys. Rev. 101, Ks 6, 1713 A956).
/( главе XII
1. Макс Борн, Хуан Кунь, Динамическая теория кристаллических решеток,
ИЛ, М., 1958.
2. Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел, «Наука», М., 1967.
3. И. Е. Тамм, Zs. f. Phys. 60, 345 A930).
К главе XIII
1. «Вопросы квантовой теории необратимых процессов» (сб. статей, перевод
с англ.), ИЛ, М., 1961.
2. Б. М. Аскеров, Кинетические эффекты в полупроводниках, «Наука», Л.,
1970.
К главе XIV
1. «Вопросы квантовой теории необратимых процессов» (сб. статей, перевод
с англ.), ИЛ, М, 19С1.
2. Г. А. Бир, Г. Е. Пикус, Симметрия и деформационные эффекты в полупро-
полупроводниках, «Наука», М., 1972.
3. Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская, Основы кристаллофизики, «Наука»,
М., 1975.
4. Ф. Блатт, Теория подвижности электронов в твердых телах, ИЛ., М., 1963,
гл. V.
К главе XV
1. В. Л. Гуревич, Физика и техника полупроводников 2, № 11, 1557 A968).
2. В. И. Пустовойт, УФН 97, № 2, 257 A969).
3. A. R. Hutson, J. H. McFee, D. L. White, Phys. Rev. Lett. 7, 237 A961).
4. D. L. White, Journ. Appl. Phys. 33, 2547 A962).
5. A. B. Pippard, Phil. Mag. 8, № 85, 161 A963).
К главе XVI
1. Ф. Г. Басе, Ю. Я- Гуревич, Горячие электроны и сильные электромагнитные
волны в плазме полупроводников и газового разряда, «Наука», М., 1975.

ЛИТЕРАТУРА 669
2. Э. Конуэлл, Кинетические свойства полупроводников в сильных электриче-
электрических полях, «Мир», М., 1970.
3. В. Денис, Ю. Пожела, Горячие электроны, «Минтис», Вильнюс, 1971.
4. В. Л. Бонч-Бруевич, И. П. Звягин, А. Г. Миронов, Доменная электриче-
электрическая неустойчивость в полупроводниках, «Наука», М., 1972.
К главе XVII
1. Макс Борн, Хуан Кунь, Динамическая теория кристаллических решеток,
ИЛ, М., 1958, § 14.
2 С. И. Пекар, Исследования по электронной теории ионных кристаллов,
Гостехиздат, М., 195!.
3. Д. Пайнс, Элементарные возбуждения в твердых телах, «Мир», М., 1965.
4. Дж. Займан, Вычисление функций Блоха, «Мир», М., 1973.
5. Р. Нокс, Теория экситонов, «Мир», М., 1966.
6. А. С. Давыдов, Теория молекулярных экситонов, «Наука», М., 1968.
7. «Экситоны в полупроводниках» (сб.), «Наука», М., 1972.
8. Ю. Е. Перлин, УФН 80, вып. 4, 553 A963).
К главе XVIII
1. Г. С. Ландсберг, Оптика, «Наука», М., 1976.
2. Г. Фэн, Фотон-электронное взаимодействие в кристаллах, «Мир», М., 1969.
3. В. С. Вавилов, Действие излучений на полупроводники, Физматгиз, М.,
1963.
4. О. В. Богданкевич, С. А. Даржнек, П. Г. Елисеев, Полупроводниковые ла-
лазеры, «Наука», М., 1976.
5. Квантовая электроника (отв. редактор М. Е. Жаботинский), «Советская энцик-
энциклопедия», М., 1969.
6. Е. Джонсон, Поглощение вблизи края фундаментальной полосы (в кн. «Опти-
«Оптические свойства полупроводников (полупроводниковые соединения типа
AIUBV)», под ред. Р. Уиллардсона и А. Бира), гл. 6, «Мир», М., 1970.
7. М. Кардона, Модуляционная спектроскопия, «Мир», М., 1972.
8. Е. Патлик, Дж. Райт, Магнетоплазменные эффекты (в кн. «Оптические
свойства полупроводников (полупроводниковые соединения типа AUIBV)»,
под ред. Р. Уиллардсона и А. Бира), гл. 10, «Мир», М., 1970.
К главе XIX
1. И. М. Лифшиц, УФН 83, 617 A964); ЖЭТФ 53, 743 A967).
2. В. Л. Бонч-Бруевич, Вопросы электронной теории сильно легированных
полупроводников (в кн. «Итоги науки. Физика твердого тела» под ред. С. В. Тяб-
ликова, ВИНИТИ, М., 1965).
3. В. И. Фистуль, Сильно легированные полупроводники, «Наука», М., 1967.
4. М. А. Афромович, Д. Редфилд, Труды IX Межд. конф. по физике полупро-
полупроводников, «Наука», Л., 1969, т. I, стр. 103.
5. В. Л. Бонч-Бруевич, Квазиклассическая теория движения частиц в случай-
случайном поле (в кн. «Статистическая физика и квантовая теория поля» под
ред. Н. Н. Боголюбова, «Наука», М., 1973).
6. Н. Мотт, Э. Дэвис, Электронные процессы в некристаллических веществах,
«Мир», М., 1974.
7. Н. Мотт, Электроны в неупорядоченных структурах, «Мир», М., 1969.
8. В. А. Алексеев, А. А. Андреев, В. Я. Прохоренко, Электрические свойства
жидких металлов и полупроводников, УФН 106, вып. 3, 393 A972).

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — постоянная решетки (в кубическом кристалле); совокупность номера
атома в элементарной ячейке и координат центра тяжести ячейки.
ав — боровский радиус в кристалле.
аъ а%, а3 — основные векторы решетки.
55 — вектор магнитной индукции.
bi, 1>2, Ь3 •— основные векторы обратной решетки.
с — скорость света в вакууме.
Cs — фазовая скорость звуковых волн.
Я) — вектор электрической индукции.
D — коэффициент амбиполярной диффузии.
Е (р, /) — энергия носителя заряда, зависящая от квазиимпульса р и но-
номера зоны /.
Ес — энергия дна зоны проводимости.
Ev ¦— энергия потолка валентной зоны.
Eg — ширина запрещенной зоны.
Е — собственные значения энергии электрона.
Ев — боровская энергия в кристалле.
g — вектор напряженности электрического поля.
е — абсолютная величина заряда электрона.
F = t, — еф — уровень Ферми (электрохимический потенциал).
Fn <p> — квазиуровень Ферми для электронов (дырок).
/ — функция распределения электронов; совокупность номера ветви и квази-
квазиволнового вектора фонона.
/о — функция Ферми.
8шр) — темп внешней генерации свободных электронов (дырок).
Н — оператор энергии (гамильтониан).
й — постоянная Планка, деленная на 2л.
I — плотность потока энергии.
/ — интенсивность света.
i — сила тока.
j — вектор плотности конвекционного тока.
ЭС — вектор напряженности магнитного поля.
к — квазиволновой вектор электрона.
k — постоянная Больцмана; координационное число.
I — длина свободного пробега; номер энергетической зоны.
LD — длина экранирования Дебая.
Lb — длина экранирования в общем случае; толщина слоя объемного заряда
в контакте или у поверхности полупроводника.
L = VDx — длина диффузии.
/ (Щ — длина затягивания неравновесных носителей заряда в электрическом
поле.
/п0 — масса изолированного электрона.
тп tp) — скалярная эффективная масса электрона (дырки).
тсф — компоненты тензора обратной эффективной массы.
т,, — эффективная масса для движения вдоль оси вращения эллипсоида
энергии.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 671
т^ — эффективная масса для движения перпендикулярно оси вращения
эллипсоида энергии.
mnrf. mpd — эффективная масса плотности состояний для электронов, дырок.
та = mopt — эффективная масса электропроводности, оптическая эффек-
эффективная масса.
М/, — масса Л-го атома решетки.
М — масса элементарной ячейки.
п — концентрация свободных электронов; совокупность чисел «у со всеми
значениями f.
Nf — концентрация примеси (любой).
N,t — концентрация доноров.
п,( — концентрация связанных электронов на акцепторных уровнях.
пх — характерная концентрация электронов.
ttf — число фононов типа / (квантовое число гармонического осциллятора,
соответствующего нормальному колебанию типа /).
New—эффективная плотность состояний в зоне проводимости (в валент-
валентной зоне).
N с (hi (Е) — плотность состояний в зоне проводимости (в валентной зоне).
?Р — вектор поляризации.
р — квазиимпульс электрона.
р — концентрация свободных дырок.
pt — концентрация связанных дырок на донорных уровнях.
рх — характерная концентрация дырок.
Q — количество тепла.
Q — вектор смещения.
q — волновой вектор фонона.
R — постоянная Холла.
Ra — тройка координат а-го атома решетки.
г — тройка координат электрона.
г„ — темп захвата электронов из зоны на локальные уровни.
Гр — темп захвата дырок из зоны на локальные уровни.
Rn = rn—g,,T —суммарный темп рекомбинации электронов.
Rp — гр — gpT — суммарный темп рекомбинации дырок.
г — число атомов в элементарной ячейке; показатель степени в зависимости
времени релаксации от энергии.
г„ — радиус экранирорания.
S — энтропия; поверхность; безразмерная скорость поверхностной реком-
рекомбинации.
sa(J — компоненты тензора механического напряжения.
Sn, Sp—эффективное сечение захвата электронов, дырок на локальные
уровни.
sn, sp—скорость поверхностной рекомбинации электронов, дырок.
TD — температура Дебая.
Те — электронная температура.
и — электрическое напряжение; деформация.
Mnv — компоненты тензора деформации.
U (г) — потенциальная энергия электрона в идеальной кристаллической
решетке двух атомов.
V — потенциальная энергия колеблющейся решетки; фундаментальный
(основной) объем.
Vo —- объем элементарной ячейки; электродвижущая сила.
\d — дрейфовая скорость носителя заряда.
v (р, /) — скорость носителя заряда с квазиимпульсом р в /-той зоне.
vT—тепловая скорость.
Vs — фазовая скорость звуковых волн.
Ys = eys/kT — безразмерный поверхностный потенциал.

672 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — дифференциальная термоэдс; коэффициент рекомбинации зона — зона;
коэффициент усиления тока в биполярном диффузионном транзисторе в схеме
с общей базой.
ап, ар — коэффициент захвата электрона, дырки на локальные уровни.
Р — магнетон Бора; коэффициент передачи неосновных носителей в тран-
транзисторах и фотоэлементах; коэффициент в формуле зависимости подвижности
от напряженности поля; пьезоэлектрический модуль.
Ра, (XV — компоненты тензора пьезоэлектрических модулей.
у — коэффициент поглощения света или звука; холл-фактор; магнитная длина.
Д — энергия спин-орбитального расщепления валентной зоны в центре
зоны Бриллюэна.
AG — поверхностная проводимость.
е = гг + ге2 — диэлектрическая проницаемость решетки (sb s2 — веществен-
вещественные числа).
?, = F — Ес (г) — химический потенциал для электронов.
?* = 1,1 kT — безразмерный химический потенциал для электронов.
?л (Ч. s) — вектор, указывающий направление смещения /г-ro атома решетки
при нормальном колебании ветви s с квазиволновым вектором q.
т) = Ev (г) — F — химический потенциал для дырок; кпд; степень неупру-
гости рассеяния.
т) * = ц/kT — безразмерный химический потенциал для дырок.
X — длина волны де Бройля; совокупность квантовых чисел, характеризу-
характеризующих стационарные состояния носителей заряда.
Aapl(iV — компоненты тензора модулей упругости.
V-n \p> — дрейфовая подвижность электронов (дырок).
v (?) — плотность поверхностных уровней на единичный интервал энергии.
v (со) — квантовый выход внутреннего фотоэффекта.
р — удельное сопротивление; объемная_ плотность электрического заряда;
плотность кристалла.
р (йсо) — среднее число фононов в единице объема и в единичном интервале
энергии, содержащем энергию Йсо.
0 — удельная электропроводность.
0 (со) = ах-\- i02 — комплексная электропроводность на частоте со (сть а2 —
вещественные числа).
а — спиновый вектор Паули; компоненты его суть матрицы Паули ах, ay, az.
1 (Е) — время релаксации импульса.
TM = е/4яа — максвелловское время релаксации.
хр= (х (?)) — среднее время релаксации импульса (время свободного
пробега).
хе — среднее время релаксации энергии.
т — время жизни электронно-дырочных пар.
т„ ,р, —среднее время жизни избыточных (неравновесных) электронов (дырок).
т5 — время жизни неравновесных носителей заряда, обусловленное поверх-
поверхностной рекомбинацией.
ср — электрический потенциал; угол Холла.
Фп — интеграл Ферми — Дирака с индексом п.
Ф — термоэлектронная работа' выхода; волновая функция колеблющейся
решетки.
¦ф (г) — одноэлектронная волновая функция.
% (г) — сглаженная волновая функция в методе эффективной массы.
% — электронное сродство полупроводника.
Н;,/) — константа акустического потенциала деформации для продольных
(поперечных) фононов.
Еопт — константа оптического потенциала деформации.
ш — круговая частота электромагнитной или звуковой волны.
сос — циклотронная частота.
соо — предельная частота оптического фонона.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 10
Глава I
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 1. Кинетические явления в полупроводниках 13
а. Электропроводность A3). б. Эффект Холла A5). в. Изменение со-
сопротивления в магнитном поле A7). г. Термоэдс A8). д. Эффект Том-
сона A9). е. Эффект Пельтье B0). ж. Эффект Нернста —Эттингсгаузена
B1). з. Эффект Риги—Ледюка B2). и. Продольные термомагнитные
эффекты B3).
§ 2. Время релаксации 23
§ 3. Элементарная теория гальваномагнитных явлений 25
а. Тензор электропроводности в магнитном поле B5). б. Угол Холла и
постоянная Холла B8). в. Магнетосопротивление C0).
§ 4. Смешанная проводимость 32
а. Эффект Холла C2). б. Магнетосопротивление C5).
§ 5. Некоторые экспериментальные результаты 35
а. Электронная и дырочная проводимость C5). б. Собственная и при-
примесная проводимость C6). в. Запрещенная энергетическая зона D0).
г. Удельная электропроводность D2). д. Подвижности D3). е. Собствен-
Собственная концентрация электронов D5). ж. Магнетосопротивление D7).
Глава II
ХИМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
§ 1. Кристаллические решетки 50
§ 2. Электронная конфигурация атомов 53
§ 3. Типы химической связи 56
а. Ионная связь E7). б. Гомеополярная связь E7). в. Ван-дер-ва-
альсовская связь F0).
§ 4. Строение некоторых полупроводниковых кристаллов 60
а. Ионные кристаллы F0). б. Гомеополярные кристаллы F1).
в. Кристаллы со смешанными связями F2).
§ 5. Некристаллические полупроводники 64
а. Аморфные полупроводники F4). б. Жидкие полупроводники F5).
в. Стеклообразные полупроводники F8).
§ 6. Запрещенная зона энергий 69
§ 7. Полупроводниковые свойства и химическая связь 70
§ 8. Полупроводники с малой подвижностью 71
§ 9. Примесные атомы 73
§ 10. Вакансии и междоузельные атомы 78
§ П. Дислокации 81

Глава III
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. ИДЕАЛЬНАЯ РЕШЕТКА
§ 1. Основные предположения 87
§ 2. Волновая функция электрона в периодическом поле 89
§ 3. Зоны Бриллюэна 94
§ 4. Энергетические зоны 100
§ 5. Метод сильно связанных электронов 103
§ 6. Закон дисперсии. Изоэнергетические поверхности . 112
§ 7. Металлы и полупроводники 114
§ 8. Эффективная масса 116
§ 9. Зонная структура некоторых полупроводников 122
Глава IV
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
II. КРИСТАЛЛЫ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ. НЕИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
§ 1. Средние значения скорости и ускорения электрона в кристалличе-
кристаллической решетке 129
§ 2. Электроны и дырки 133
§ 3. Движение носителей заряда в постоянном и однородном магнитном
поле (классическая теория). Диамагнитный резонанс 137
§ 4. Метод эффективной массы 145
§ 5. Энергетический спектр носителя заряда в постоянном и однородном
магнитном поле (квантовая теория) 149
§ 6. Движение и энергетический спектр носителей чаряда в постоянном
электрическом поле 154
§ 7. Мелкие примесные уровни в гомеополярном кристалле 160
Глава V
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
§ 1. Введение 167
§ 2. Распределение квантовых состояний в зонах 168
§ 3. Распределение Ферми —Дирака 169
§ 4. Концентрации электронов и дырок в зонах 170
§ 5. Невырожденные полупроводники 172
§ 6. Случай сильного вырождения 174
§ 7. Эффективная масса плотности состояний 175
§ 8. Плотность состояний в квантующем магнитном поле 179
§ 9. Концентрации электронов и дырок на локальных уровнях. Простые
центры 181
§ 10. Многозарядные центры ., 185
§11. Распределение. Гиббса 186
§ 12. Частные случаи 189
§ 13. Определение положения уровня Ферми 191
§ 14. Уровень Ферми в собственном полупроводнике 193
§ 15. Полупроводник с примесью одного типа 194
§ 16. Взаимная компенсация доноров и акцепторов 195
§ 17. Компенсированные полупроводники 197
§ 18. Определение энергетических уровней примесных атомов 199
а. Многозарядные акцепторы в полупроводнике п-типа A99). б. Много-
Многозарядные акцепторы в полупроводнике р-типа B01). в. Многозарядные
доноры в полупроводнике п-типа B02). г. Многозарядные доноры в полу-
полупроводнике р-типа B02).

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава VI
ЯВЛЕНИЯ В КОНТАКТАХ (МОНОПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ)
§ 1. Потенциальные барьеры 205
§ 2. Плотность тока. Соотношение Эйнштейна 207
§ 3. Условия равновесия контактирующих тел 209
§ 4. Термоэлектронная работа выхода 210
§ 5. Контактная разность потенциалов 213
§ 6. Распределение концентрации электронов и потенциала в слое объем-
объемного заряда 216
§ 7. Длина экранирования 218
§ 8. Обогащенный контактный слой в отсутствие тока 220
§ 9. Истощенный контактный слой 222
§ 10. Токи, ограниченные пространственным зарядом 226
§11. Выпрямление в контакте металл — полупроводник 232
§ 12. Диффузионная теория 236
§ 13. Сравнение с экспериментом 239
Глава VII
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ
§ 1. Неравновесные носители заряда 243
§ 2. Время жизни неравновесных носителей заряда 244
§ 3. Уравнения непрерывности 247
§ 4. Фотопроводимость 250
§ 5. Квазиуровни Ферми 255
§ 6. Электронно-дырочные переходы 258
§ 7. Обнаружение неравновесных носителей заряда 261
§ 8. Амбиполяркая диффузия и амбиполярный дрейф 264
§ 9. Длины диффузии и дрейфа 268
§ 10. п+ — п- и р+ — р- переходы 271
Глава VIII
ВЫПРЯМЛЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ
С ПОМОЩЬЮ р-ге-ПЕРЕХОДОВ
§ 1. Статическая вольтамперная характеристика р —re-перехода 274
§ 2. р — «-переход при переменном напряжении 277
§ 3. Туннельный эффект в р — «-переходах. Туннельные диоды 282
§ 4. Биполярный полупроводниковый триод 285
§ 5. Гетеропереходы 289
Глава IX
СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
§ 1. Различные типы процессов рекомбинации 294
§ 2. Темп рекомбинации зона — зона 295
§ 3. Время жизни при излучательной рекомбинации 298
§ 4. Рекомбинация через примеси и дефекты , , 303
§ 5. Нестационарные процессы , 307
а. Монополярное возбуждение C07). б. Биполярное возбуждение C08)
§ 6. Стационарные состояния 310
§ 7. Многозарядные ловушки 314

б ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава X
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ
§ 1. Происхождение поверхностных состояний 317
§ 2. Влияние поверхностного потенциала на электропроводность .... 322
§ 3. Эффект поля 325
§ 4. Некоторые эффекты, связанные с поверхностными состояниями .... 332
§ 5. Скорость поверхностной рекомбинации 335
§ 6. Влияние поверхностной рекомбинации на фотопроводимость 338
а. Стационарная фотопроводимость при объемной однородной генера-
генерации C38). б. Стационарная фотопроводимость при поверхностной гене-
генерации C40).
§ 7. Затухание фотопроводимости в тонких пластинках и нитевидных
образцах 341
§ 8. Зависимость поверхностной рекомбинации от поверхностного по-
потенциала 343
§ 9. Ток насыщения диодов 345
Глава XI
ФОТОЭЛЕКТРОДВИЖУЩИЕ СИЛЫ
§ 1. Роль неосновных носителей 347
§ 2. Фотоэдс в однородных полупроводниках 350
§ 3. Объемная фотоэдс 351
§ 4. Вентильная фотоэдс 355
§ 5. Вентильные фотоэлементы •. . . 359
§ 6. Поверхностная фотоэдс 365
§ 7. Фотоэлектромагнитный эффект 366
Глава XII
КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
§ 1. Малые колебания 374
§ 2. Нормальные координаты 376
§3. Частоты нормальных колебаний. Акустические и оптические ветви . . . 384
§ 4. Вектор смещения 389
§ 5. Квантовомеханическое рассмотрение колебаний решетки 391
§ 6. Фононы 394
Глава XIП
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА
§ 1. Феноменологические соотношения 399
а. Носители заряда в постоянном и однородном слабом электрическом
поле C99). б. Носители заряда в постоянном и однородном слабом тем-
температурном поле D00). в. Носители заряда в постоянных и однородных
электрическом и магнитном полях D03).
§ 2. Кинетические коэффициенты и функция распределения 406
§ 3. Кинетическое уравнение 408
§4. Термодинамическое равновесие. Принцип детального равновесия . . . . 413
§ 5. Малые отклонения от равновесия 416
§ 6. Интеграл столкновений в случае упругого рассеяния и изотропных
изоэнергетических поверхностей. Время релаксации импульса .... 418

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 7. Элементарные стационарные решения кинетического уравнения
в случае малых отклонений от равновесия 424
а. Статическая электропроводность D24). б. Термоэдс и коэффициент
Пельтье D29). в. Постоянная Холла и магнетосопротивление D34).
§ 8. Носители заряда в слабом переменном электрическом поле 439
§ 9. Плазменные волны 444
Глава XIV
РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В НЕИДЕАЛЬНОЙ
КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
§ 1. Постановка задачи. Теория возмущений 447
§ 2. Вероятность перехода. Условие применимости кинетического урав-
уравнения 448
§ 3. Энергия взаимодействия носителей заряда с фононами 453
а. Общие соображения D53). б. Взаимодействие носителей заряда
с акустическими фононами; метод потенциала деформации D54). в. Взаи-
Взаимодействие носителей заряда с оптическими фононами в гомеополярном
кристалле; метод потенциала деформации D57). г. Взаимодействие
носителей заряда с оптическими фононами в гетерополярном
кристалле D59). д. Взаимодействие носителей заряда с пьезоэлектриче-
пьезоэлектрическими колебаниями решетки D61). е. Сводка формул D64).
§ 4. Рассеяние носителей заряда- фононами 465
§ 5. Рассеяние носителей заряда примесными атомами 474
§ 6. Подвижность, холл-фактор и термоэдс при различных механизмах
рассеяния 481
§ 7. Одновременное действие нескольких механизмов рассеяния 484
Глава XV
АКУСТО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
§ 1. Предварительные замечания 488
§ 2. Взаимодействие упругих волн с электронами проводимости 490
§ 3. Упругие волны в пьезодиэлектриках 493
§ 4. Упругие волны в пьезоэлектрических полупроводниках 494
§ 5. Электронное поглощение и усиление ультразвуковых волн 500
§ 6. Акусто-электрический эффект 502
§ 7. Случай ql > 1 505
§ 8. Усиление тепловых флуктуации 508
$ 9. Заключительные замечания 511
Глава XVI
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ
§ 1. Нагрев электронного газа 513
§2. Симметричная и антисимметричная части функции распределения . . . 518
§ 3. Уравнения баланса 520
§ 4. Электронная температура 521
§ 5. Роль неупругости рассеяния 527
§ 6. Зависимость подвижности и концентрации носителей заряда от на-
напряженности поля 529
§ 7. Дифференциальная проводимость 537
§ 8. Флуктуационная неустойчивость 540
§ 9. Электрические домены и токовые шнуры . 542
§ 10. Движущиеся и статические домены 545

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XVII
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ЗОННОЙ ТЕОРИИ
И ЗАДАЧИ, ВЫХОДЯЩИЕ ЗА ЕЕ РАМКИ
§ 1. Три вопроса к зонной теории , 547
§ 2. Адиабатическое приближение 548
$ 3. Приближение малых колебаний 552
§ 4. Роль колебаний решетки. Полярон 553
§ 5. Метод самосогласованного поля 556
§ 6. Электроны и дырки как элементарные возбуждения многоэлектрон-
многоэлектронной системы в полупроводнике 560
§ 7. Экситон 563.
а. Решения, принадлежащие непрерывному спектру E65). б. Реше-
Решения, принадлежащие дискретному спектру E65).
§ 8. Мелкие локальные уровни при учете экранирования примесных
центров 567
§ 9. Механизмы рекомбинации 569
Глава XVIII
ОПТИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
§ 1. Поглощение и испускание света полупроводниками. Феноменологиче-
Феноменологические соотношения 576
а. Непоглощающая среда E79). б. Слабое поглощение волны доста-
достаточно большой частоты E80).
§ 2. Механизмы поглощения 581
§ 3. Поглощение и отражение электромагнитных волн газом свободных
носителей заряда : 583
§ 4. Коэффициенты поглощения и излучения при оптических переходах
зона — зона 587
§ 5. Прямые и непрямые переходы 591
§ 6. Полупроводниковые лазеры 594
§ 7. Коэффициенты поглощения при прямых переходах. Комбинированная
плотность состояний 599
§ 8. Критические точки 604
§ 9. Непрямые переходы • 610
« 10. Электрооптика 613
§11. Модуляционная спектроскопия 614
§ 12. Магнетооптика 615
а. Магнетоплазменные эффекты F15). б. Междузонные переходы
в квантующем магнитном поле F16).
Глава XIX
СИЛЬНО ЛЕГИРОВАННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
§ 1. Примесные уровни и примесные зоны 617
§ 2. Особенности сильно легированных полупроводников 620
§ 3. Иерархия энергий 626
§ 4. Плотность состояний 628
§ 5. Хвост плотности состояний 632
§ 6. Междузонные оптические переходы в сильно легированных полу-
полупроводниках 635
§ 7. Некристаллические полупроводники 639

ОГЛАВЛЕНИЕ 9,
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. К доказательству теоремы Блоха 643
II. Интегралы с функциями Блоха 644
III. Таблица значений интеграла Ф>/ 646
IV. Дельта-функция 647
Рекомбинация через многозарядные ловушки 648
Интеграл поверхностной проводимости 650
Диффузия неравновесных носителей заряда в магнитном поле .... 652
. Вычисление суммы (XII. 2.6) 655
Вывод условия ортогональности (XII.2.11) 655
Переход от суммирования по дискретным компонентам квазиим-
квазиимпульса к интегрированию 656
XI. Гамильтониан взаимодействия электронов с акустическими фоно-
нами 657
XII. Потенциал заряженного центра при учете экранирования свобод-
свободными носителями заряда 659
XIII. Усреднение по координатам примесных атомов 66)
XIV. Теорема об интеграле от периодической функции 664
XV. Интегралы с функцией Ферми в условиях сильного вырождения 664
Литература 666
Основные обозначения 670