Текст
                    Л.А. БЕКЛЕМИШЕВА
А.Ю. ПЕТРОВИЧ
И.А. ЧУБАРОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Под редакцией Д.В. Беклемишева
Издание второе, переработанное


УДК 514 ББК 22.151 Б42 Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сбор- Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие / Под ред. Д.В. Беклемишева. — 2-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 496 с. — ISBN 5-9221-0010-6. Сборник соответствует объединенному курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Имеются теоретические введения ко всем разделам, большое число задач, способствующих усвоению основных понятий, и серии типовых задач с ответами. Первое изд. — 1987 г. Для студентов вузов с повышенной математической подготовкой. ISBN 5-9221-0010-6 © ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003, 2004
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 5 Глава 1. Векторы и координаты 7 § 1. Линейные соотношения 9 § 2. Скалярное произведение векторов 15 § 3. Векторное и смешанное произведения векторов 20 § 4. Замена базиса и системы координат 24 Глава 2. Прямая и плоскость 30 § 5. Прямая на плоскости 30 § 6. Плоскость и прямая в пространстве 38 Глава 3. Кривые второго порядка 56 § 7. Геометрические свойства кривых второго порядка и их канони- канонические уравнения 61 § 8. Касательные к кривым второго порядка 71 § 9. Общая теория кривых второго порядка 75 Глава 4. Поверхности второго порядка 81 § 10. Уравнения множеств в пространстве и элементарная теория поверхностей второго порядка 81 §11. Общая теория поверхностей второго порядка 93 Глава 5. Преобразования плоскости. Группы 103 § 12. Линейные и аффинные преобразования плоскости 103 § 13. Понятие о группах 120 Глава 6. Матрицы 127 § 14. Определители 127 § 15. Операции с матрицами 134 § 16. Ранг матрицы 150 Глава 7. Системы линейных уравнений 156 § 17. Системы линейных уравнений с определителем, отличным от 0 162 § 18. Системы линейных однородных уравнений 164 § 19. Системы линейных уравнений общего вида 166 Глава 8. Линейные пространства 175 § 20. Примеры пространств. Базис и размерность 180
4 Содержание § 21. Сумма и пересечение подпространств 185 § 22. Комплексные линейные пространства 188 Глава 9. Линейные отображения и преобразования 191 § 23. Основные свойства линейных отображений и преобразований. 191 § 24. Инвариантные подпространства, собственные векторы и соб- собственные значения линейных преобразований 213 Глава 10. Евклидовы и унитарные пространства .. 238 § 25. Скалярное произведение. Матрица Грама 241 § 26. Геометрия евклидова пространства 248 § 27. Унитарные пространства 260 Глава 11. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств 265 § 28. Примеры линейных преобразований евклидова пространства. Сопряженное преобразование 266 § 29. Самосопряженные и ортогональные преобразования 271 § 30. Линейные преобразования унитарного пространства 279 Глава 12. Функции на линейном пространстве 285 § 31. Линейные функции 285 § 32. Билинейные и квадратичные функции 292 Глава 13. Аффинные и точечные евклидовы про- пространства 307 § 33. Аффинные пространства 307 § 34. Точечные евклидовы пространства 315 Глава 14. Тензоры 323 § 35. Определение тензора. Тензорные обозначения, пространствен- пространственные матрицы 328 § 36. Алгебраические операции с тензорами 334 § 37. Тензоры в евклидовом пространстве 341 § 38. Поливекторы и внешние формы 343 Решения 348 Ответы и указания 373 Банк столбцов и матриц 465 Список литературы 495
ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие предназначено для студентов физико-математи- физико-математических, инженерно-физических и инженерно-технических спе- специальностей вузов. Цель авторов состояла в создании единого сборника задач, соответствующего объединенному курсу ана- аналитической геометрии и линейной алгебры. Все составители за- задачника имеют опыт преподавания математики в Московском физико-техническом институте, и этот опыт нашел отражение в содержании сборника. Последовательность разделов, а также определения и обозначения в основном соответствуют учебни- учебнику Д.В. Беклемишева «Курс аналитической геометрии и ли- линейной алгебры». Отметим методические особенности сборника. В задачник включены некоторые разделы, отличающиеся от традиционных: в главу «Преобразования плоскости. Груп- Группы» введен ряд задач, в которых обсуждается общее понятие об отображениях; глава «Функции на линейном пространстве» содержит параграф «Линейные функции»; задачи, относящи- относящиеся к точечным n-мерным пространствам, выделены в отдель- отдельную главу «Аффинные и точечные евклидовы пространства», и круг этих задач значительно расширен; наконец, глава «Тен- «Тензоры», помимо детального обсуждения основных понятий, свя- связанных с тензорами, содержит большое число упражнений с пространственными матрицами. Каждой главе, а также некоторым параграфам предпосла- предпосланы теоретические введения. Введения начинаются со словаря — списка необходимых новых понятий, определения которых затем частично приводятся. Введения содержат также обоз- обозначения, сводки важнейших формул и подробное изложение некоторых алгоритмов. В число задач включен ряд устных вопросов по курсу лек- лекций. Иногда решение нескольких мелких вопросов приводит к решению нетривиальной задачи. Такие задачи расположены группами или обеспечены ссылками. Некоторые задачи предва- предваряют применение линейной алгебры в других математических курсах.
Предисловие Выбор задач, как нам кажется, позволит использовать по- пособие при различных системах построения курса лекций. Так в § 14 «Определители» включены задачи, в которых применя- применяется умножение матриц, задачи из глав X и XI о евклидовых пространствах могут решаться как до, так и после задач на квадратичные формы и т.д. Для облегчения работы преподавателя стандартные задачи даны большими сериями. При этом, чтобы сохранить объем за- задачника, авторам пришлось организовать банк столбцов и мат- матриц (с. 465-494). При ссылках столбцы из банка обозначаются через с&, а матрицы — Л&, где к — соответствующий номер в банке. Однако столбцы и матрицы из банка использованы не во всех задачах, частично изложение оставлено традиционным. Некоторые типовые и более сложные задачи снабжены пол- полными решениями, вынесенными в соответствующий раздел. Та- Такие задачи отмечены знаком (р). Настоящее издание дополнено и переработано. Заново на- написаны главы X и XI, составлен раздел о жордановой форме матрицы, добавлен ряд новых задач в другие разделы. Произ- Произведены также некоторые сокращения. При составлении сборника были использованы учебные по- пособия, список которых приведен в конце книги, а также от- отдельные задачи, предлагавшиеся на приемных экзаменах или входящие в задания для студентов МФТИ. Хотя каждый из авторов нес ответственность за определен- определенную часть материала, труд их был в значительной мере кол- коллективным. В работе над первым изданием большое участие принимал Б.В. Пальцев. В настоящем издании ему принадле- принадлежит § 34 и часть задач § 33. Некоторые задачи были предло- предложены коллегами по Московскому физико-техническому инсти- институту — В.Б. Лидским, В.Р. Почуевым, А.А. Болибрухом. Всем им авторы приносят глубокую благодарность. При подготовке рукописи были с благодарностью учтены все замечания, по- посту пившие по поводу первого издания. Особенно здесь нужно отметить вклад И.А. Борачинского и Ю.Ю. Соонталы. Авторы считают своим приятным долгом отметить, что на их деятельность оказала решающее влияние система препода- преподавания математики в МФТИ, сложившаяся под руководством члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева.
Глава 1 ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ В этой главе используются следующие основные понятия: век- вектор, нулевой вектор, равные векторы, коллинеарные и компланар- компланарные векторы, произведение вектора на вещественное число, сумма векторов, противоположный вектор, разность векторов, линейная комбинация векторов, линейно зависимые векторы {линейно зави- зависимая система векторов), базис на плоскости и базис в простран- пространстве, координаты вектора в базисе, радиус-вектор точки, общая декартова система координат, координаты точки, длина вектора, угол между векторами, скалярное произведение двух векторов, про- проекция вектора на прямую, ортогональный и ортонормированный базисы на плоскости и в пространстве, прямоугольная система координат, ориентация тройки векторов в пространстве, ориен- ориентация пары векторов на плоскости, ориентация базиса, векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векто- векторов, определители второго и третьего порядков. Используются так- также основные свойства линейных операций, скалярного, векторного и смешанного произведений. Пусть векторы а, Ь, с имеют в некотором базисе ei, е2, ез коор- координаты (аь а2, а3), (Ри р2, Рз), Gь 72, 7з)- Необходимым и достаточным условием коллинеарности векто- векторов является пропорциональность соответствующих координат этих векторов. Необходимым и достаточным условием компланарности векто- векторов а, Ь, с является обращение в ноль определителя ai a2 а3 Pi Р2 Рз 7i 72 7з Если базис ортонормированный, то: длина вектора а равна скалярное произведение векторов а, Ь равно (а,Ь) = а1р1+а2 векторное произведение векторов а, Ь равно [а,Ъ]=е e2 е3
Гл. 1. Векторы и координаты где е = +1, если базис правый, и е = — 1, если базис левый. Опреде- Определитель следует понимать символически: ei e2 е3 Pi Р2 Рз Смешанное произведение векторов а, Ь, ев любом базисе выра- выражается формулой: 02 Рз + е2 /Зз /3i + е3 (а,Ъ,с) = (еье2,е3). Pi Р2 Рз 7i 72 7з Если базис ei, е2, е3 ортонормирован, то (ei,e2,e3) = г (число г опре- определено выше). Тройка векторов а, Ь, с является правой, если знак определителя «1 а2 а3 Pi P2 Рз 71 72 7з совпадает со знаком числа е, и левой в противном случае. Это утвер- утверждение справедливо при любом базисе. Косинус угла (р между векторами а, Ь, заданными своими коор- координатами, можно вычислить по формуле (а,Ь) Площадь параллелограмма, построенного на векторах а, Ь, равна 5=|[а,Ь]|. Объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, равен F=|(a,b,c)|. Любой вектор b на плоскости или в пространстве можно пред- представить в виде суммы двух векторов х + у так, чтобы вектор х был коллинеарен данному ненулевому вектору а, а вектор у ортогонален вектору а. Вектор х называется ортогональной проекцией вектора b на прямую, направление которой определяется вектором а; вектор у называется ортогональной составляющей вектора b относительно этой прямой. Пусть в пространстве даны два базиса ei, e2, е3 и е71? е2, е3, и векторы второго базиса выражаются через векторы первого базиса по формулам е2 = A) i + a22e2 + а32е3, е3 = ai3ei + а23е2 + а33е3. Тогда координаты ai, a2, a3 вектора в первом базисе выражаются через его координаты а^, а2, с^3 во втором базисе следующим обра- образом:
1. Линейные соотношения [ + a±2af2 а2 = а21а[ а3 = (коэффициенты в строках формул A) превращаются в коэффициен- коэффициенты в столбцах формул B). Пусть в пространстве даны две системы координат О, ei, e2, е3 и О', е'1? е2, е3, причем начало второй системы координат имеет в первой системе координаты а±о, а2о, &зсь э- векторы второго базиса выражаются через векторы первого базиса по формулам A). Тогда координаты ж, т/, z точки в первой системе координат выражаются через ее координаты ж', у1', z' во второй системе формулами: В задачах § 1 система координат считается общей декартовой без каких-либо дополнительных условий. В задачах § 2, если не оговоре- оговорено противное, координаты векторов задаются в ортонормированном базисе, а координаты точек — в прямоугольной системе координат. В задачах § 3, если не оговорено противное, координаты векторов задаются в ортонормированном правом базисе, координаты точек — в прямоугольной системе координат, базис которой имеет правую ориентацию. § 1. Линейные соотношения 1.1. Доказать утверждения: 1) конечная система векторов, содержащая нулевой век- вектор, линейно зависима; 2) конечная система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима. 1.2. Может ли быть линейно зависимой система, состоя- состоящая из одного вектора? 1.3. Доказать, что для любых трех векторов а, Ь, си лю- любых трех чисел а, /3, 7 векторы аз. — /3b, 7b — ас, /Зс — 7& ли- линейно зависимы. 1.4. Даны три вектора аA,2), Ь(—5,—1), с(—1,3). Найти координаты векторов 2а + ЗЬ — с, 16а + 5Ь — 9с. 1.5. Даны три вектора аA,3), ЬB,—1), с(—4,1). Найти чис- числа а и /3 такие, что аа + /ЗЬ + с = о. 1.6. Проверить, что векторы а(—5,—1) и Ь(—1,3) образу- образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов с(—1,2) и dB, —6) в этом базисе.
10 Гл. 1. Векторы и координаты 1.7. Вектор а имеет в некотором базисе координаты {х, 1 — ж), вектор b — координаты (ж2 — 2х,х2 — 2х + 1). При каких значениях х векторы 1) коллинеарны; 2) одинаково направле- направлены? 1.8. Даны четыре вектора аC,0,—2), ЬA,2,—5), с(—1,1,1), d(8,4,1). Найти координаты векторов —5а + b — 6с + d, За — -b-c-d. 1.9. Даны четыре вектора аD,1,—1), ЬC,—1,0), с(—1,1,1), d(—1,3,4). Найти числа а, /3, 7 такие, что аэ. + /ЗЪ + 'ус + д. = о. 1.10. Проверить, что векторы аD,1,—1), ЬA,2,—5) и с(—1, 1,1) образуют базис в пространстве. Найти координаты векто- векторов 1D,4,-5), тB,4,-10), п@,3,-4) в этом базисе. 1.11. Проверить, будут ли компланарны векторы 1, m и п; в случае положительного ответа указать линейную зависи- зависимость, их связывающую (здесь а, Ь, с — три некомпланарных вектора): 1) 1 = 2а — b — с, m = 2b — с — а, п = 2с — а — Ь; 2)l = a + b + c, m = b + c, n=—а + с; 3I = с, m = a-b-c, n = a-b + c. 1.12. Из одной точки пространства отложены три вектора а, Ь, с. Доказать, что конец вектора с тогда и только тогда лежит на отрезке, соединяющем концы векторов а и Ь, когда выполнено равенство с = аз. + /ЗЬ, где а^О, /3^0, а + /3 = 1.В каком отношении конец вектора с делит этот отрезок? 1.13. В параллелограмме ABCD точка К — середина от- отрезка ВС ж точка О — точка пересечения диагоналей. При- Принимая за базисные векторы АВ и AD, найти в этом базисе координаты векторов BD, СО, KD. 1.14. В треугольнике ABC точка М — середина отрезка АВ и точка О — точка пересечения медиан. Принимая за ба- базисные векторы АВ ж^АС\ найти в этом базисе координаты векторов AM, АО, МО. 1.15. В трапеции ABCD длины оснований АР ж^ВС от- носятся как 3:2. Принимая за базисные векторы^АС и BD, найти в этом базисе координаты векторов АВ, ВС, CD, DA. 1.16. В трапеции ABCD длины оснований AD и ВС от- относятся как 3:1.0 — точка пересечения диагоналей трапеции, S — точка пересечения продолжений боковых сторон. Прини- Принимая j3ajбазисные векторы AD и АВ, найти координаты векто- векторов АС, АО, AS.
§ 1. Линейные соотношения 11 1.17. Точки Е и F являются серединами сторон АВ и CD четырехугольника ABCD. Доказать, что ЕЕ = [ВС + AD)/2. 1.18. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Прини- Принимая за базисные векторы^ЛД и AFj найти в ^этом^ базисе коор- координаты векторов ВС, CD, DE, ЕЕ, BD, СЕ, СЕ. 1.19. В трапеции задачи 1.16 точка М — середина^стороны CD. Найти координаты вектора AD в базисе OS, ОМ. 1.20. В треугольнике ABC точки К и L — середины сто- сторон ВС ж АС соответственно. Точки М и N лежат соответ- соответственно на отрезках АК и BL так, что \АМ\ : |Mif| = 6 : 1 и \BN\ : \NL\ =8:1. Точка Р — середина отрезка MN. Найти координаты вектора АВ в базисе MN, СР. 1.21. В треугольнике ABC точка М — середина стороны АС, точки К и L на сторонах АВ ж ВС расположены так, что \АК\ : \КВ\ = 3 : 5, а \BL\\ \LC\ = 2 : 3. Найти координаты вектора ВМ в базисе AL, СК. 1.22. В треугольнике ABC точки К, L, М расположены соответственно на сторонах АВ, ВС и АС так, что \АК\ : : \КВ\ = \BL\ : \LC\ = \СМ\ : \МА\ =3:1. Медианы треуголь- треугольника ABC пересекаются в точке Р. Найти координаты вектора АР в базисе LK, LM. 1.23. В тетраэдре О ABC точки К, L, M, N, P, Q — се- середины ребер О А, ОВ, ОС, АВ, АС, ВС соответственно, S — точка пересечения медиан треугольника ABC. Принимая за базисные векторы О А, О В л ОС, найти в этом базисе коор- координаты: 1) векторов АВ, ВС, АС; 2) векторов ~KL, ~PQ,~CN, ~MP, ~KQ-, 3) векторов OS и KS. 1.24. Даны три точки О, А, В, не лежащие на одной пря- прямой. Принимая за базисные векторы О А и ОВ, найти: 1) координаты вектора ОМ, если точка М лежит на отрез- отрезке АВ и \АМ\ : \ВМ\ = т : п; ^ 2) координаты вектора ON, если точка N лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и \AN\ : \BN\ =m:n. 1.25. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найти координаты вектора AD в базисе, образованном векто- векторами АВ и АС.
12 Гл. 1. Векторы и координаты 1.26. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Прини- Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АС и АЕ, найти координаты вершин шестиугольника и его центра. 1.27. В трапеции ABCD отношение длин оснований AD и ВС равно 4. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы AD и АВ, найти координаты вершин трапе- трапеции, точки М пересечения ее диагоналей и точки S пересечения боковых сторон. 1.28. Дан параллелепипед ABCT)A\B\C\D\. Принимая за начало координат вершину Л, а за базисные векторы АВ, AD и АА\, найти координаты: 1) вершин С, В\ и С\\ 2) точек К и L — середин ребер А\В\ и СС\ соответственно; 3) точек М и N пересечения диагоналей граней А\В\С\Г)\ и АВВ\А\ соответственно; 4) точки О пересечения диагоналей параллелепипеда. 1.29. Три точки А(х\,у\), В(х2,У2), С(жз,Уз), не лежащие на одной прямой, являются последовательными вершинами па- параллелограмма. Найти координаты четвертой вершины D это- этого параллелограмма. 1.30. Даны две различные точки A(x\,yi,zi), В(х2-)У2,%2)- Найти координаты: 1) точки М, лежащей на отрезке АВ и такой, что |АМ"| : : \ВМ\ =т:щ 2) точки 7V, лежащей на прямой АВ вне отрезка АВ и та- такой, что \AN\ : \BN\ =m :n. 1.31. Даны две точки ЛC,-2) и 5A,4). Точка М лежит на прямой АВ, причем |АМ"| = 3|АВ|. Найти координаты точ- точки М, если: 1) М лежит по ту же сторону от точки Л, что и точка В; 2) М и В лежат по разные стороны от точки А. 1.32. Даны три точки А (хъ уъ z\),B{x2, уг, 22),С(жз, Уз, ^з), не лежащие на одной прямой. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника ABC. 1.33. Зная радиус-векторы ri, Г2, гз, Г4 вершин Л, В, D, А\ параллелепипеда ABC1DA\B\C\D\, выразить через них радиус-векторы остальных четырех вершин. 1.34. Отношение длин оснований AD и ВС трапеции ABCD равно т : п. Выразить радиус-векторы вершины D, точки М
§ 1. Линейные соотношения 13 пересечения диагоналей трапеции и точки S пересечения боко- боковых сторон через радиус-векторы ri, Г2, гз вершин Д В, С. 1.35. Доказать, что радиус-вектор центра правильного многоугольника есть среднее арифметическое радиус-векторов его вершин. 1.36. Зная радиус-векторы ri, Г2, гз вершин треугольни- треугольника, найти радиус-вектор центра окружности, вписанной в тре- треугольник. 1.37. В ^плоскости треугольника ABC найти точку О та- такую, что О А + О В + ОС = о. Существуют ли такие точки вне плоскости треугольника? 1.38. В точках, имеющих радиус-векторы ri, ..., rn, сосре- сосредоточены массы mi, •••, чтп. Найти радиус-вектор центра тя- тяжести этой материальной системы. 1.39. Однородная проволока согнута в виде угла АО В со сторонами \ОА\ = а и \ОВ\ = Ъ. Найти координаты центра тя- тяжести проволоки в системе координат О, ОА/а, ОВ/Ъ. 1.40. Найти координаты центра тяжести однородной пла- пластинки, имеющей форму четырехугольника ABCD с вершина- вершинами в точках ,4C,1), ВG,3), С@,4), ?>(-1,2). 1.41. Доказать, что если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехуголь- четырехугольник — параллелограмм. 1.42. Точки К и L являются серединами сторон АВ и ВС параллелограмма О ABC. Доказать, что точка пересече- пересечения диагоналей О ABC совпадает с точкой пересечения медиан треугольника OKL. 1.43. Точка К лежит на продолжении стороны АВ тре- треугольника ABC за точку В, точка L — на продолжении сто- стороны ВС за точку С, точка М — на продолжении стороны С А за точку Д причем \АВ\ : \ВК\ = \ВС\ : \CL\ = \СА\ : \АМ\. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников ABC и KLM совпадают. 1.44. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно точки М и N так, что |АМ"| : |ВМ| = т\ : ni, \AN\ : |CiV| = 77i2 • ^2- Точку пересечения отрезков BN и СМ обозначим через О. Найти отношения] В О | : |OiV| и \СО\ : |ОМ|. 1.45. Применяя результат задачи 1.44 при mi =щ= rri2 = = П2 = 1, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
14 Гл. 1. Векторы и координаты 1.46 (р). Вершина D параллелограмма ABCD соединена с точкой К, лежащей на стороне ВС', такой, что \ВК\ : \КС\ = = 2:3. Вершина В соединена с точкой L, лежащей на стороне CD, такой, что \CL\ : \LD\ = 5 : 3. В каком отношении точка М пересечения прямых DK и BL делит отрезки DK и ВЫ 1.47. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного тре- треугольника ABC расположены соответственно точки М и N так, что \АМ\ : \ВМ\ = га : 1, \CN\ : \BN\ = n : 1. Прямая MN пере- пересекает высоту BD треугольника в точке О. Найти отношение \DO\:\BO\. 1.48. 1) Доказать, что средняя линия трапеции параллель- параллельна основаниям, а длина средней линии равна полусумме длин оснований (теорема о средней линии трапеции). 2) Точки Е и F являются серединами сторон АВ и CD четырехугольника ABCD (на плоскости или в пространстве). Доказать, что если \EF\ = (\ВС\ + |AD|)/2, то ABCD — тра- трапеция (теорема, обратная теореме о средней линии трапеции). 1.49. На сторонах АВ, ВС и С А треугольника ABC взяты соответственно точки М, 7V, Р так, что \АМ\ = \АВ\/п, \BN\ = = \ВС\/п, \СР\ = \СА\/п. Площадь треугольника ABC равна S. Найти площадь треугольника, полученного при пересече- пересечении прямых AN, BP и СМ. Вывести отсюда, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. 1.50. Доказать, что четыре отрезка, соединяющие верши- вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 3:1, считая от вершины. 1.51. Доказать, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам. 1.52. На диагоналях АВ\ и СА\ боковых граней треуголь- треугольной призмы ABCА\В\С\ расположены соответственно точки Е и F так, что прямые ЕЕ и ВС\ параллельны. Найти отно- отношение \EF\ : \Bd\. 1.53. На диагонали ВС\ боковой грани треугольной приз- призмы ABCА\В\С\ взята точка М, а на диагонали СА\ другой боковой грани — точка N. Прямая MN параллельна плоскости ABBiAi. Найти отношение |CiV| : \САХ\, если \ВМ\ : \BCi\ = = 1:3.
§ 2. Скалярное произведение векторов 15 § 2. Скалярное произведение векторов 2.1. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, если: 1) |а| = 3, |b| = l, Z(a,b) = 45°; 2) |а| = 6, |b| = 7, Z(a,b) = 120°; 3) |а| = 4, |b| = 2, Z(a,b) = 90°; 4) |а| = 5, jbj = 1, а и b сонаправлены; 5) |а| = 2, |Ь|=3, аиЬ противоположно направлены. 2.2. Вычислить выражение |а|2 — л/3(зцЬ) + 5|Ь|2, если: 1) |а| = 2, |b| = l, Z(a,b) = 30°; 2) |а| = 3, |b| = 2, Z(a,b) = 150°. 2.3. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, задан- заданных своими координатами: 2) аB,1 3)аA,2),Ъ(-4,2). 2.4. Найти угол между векторами а и Ь, заданными свои- своими координатами: 1) аA,2),ЪB,4); 2)аA,2),ЬD,2); 3) аA,2),Ь(-2,1); 2.5. Найти расстояние между точками А а В, заданными своими координатами: 1) А(-1,2), ВE,10); 2) ,4C,-2), БC,3); 3) АA,2), 5A,2). 2.6. Найти скалярное произведение векторов а и Ь, задан- заданных своими координатами: 1) аC,2,-5),ЬA0,1,2); 2)аA,0,3),Ь(-4,15,1); 3) аB,1,5), ЬG,-9,-1). 2.7. Найти угол между векторами а и Ь, заданными свои- своими координатами: 1) аA,-1,1),ЬE,1,1); 2) аA,-1,1),Ь(-2,2,-2); 4) аA,-1,1),ЬC,1,-2);
16 Гл. 1. Векторы и координаты 2.8. Найти расстояние между точками А ж В, заданными своими координатами: 1) .4D,-2,3), 5D,5,2); 2) А(-3,1,-1), 5(-1,1,-1); 3) ЛC, -3,-7), 5A,-4,-5). 2.9. Даны три вектора: а(—1,2), ЬE,1), сD, —2). Вычис- Вычислить: 1) Ь(а,с)-с(а,Ъ); 2) |а|2-(Ь,с); 3) |b|2 + (b,a + 3c). 2.10. Даны три вектора: аA,-1,1), ЬE,1,1), с@,3,-2). Вычислить: 1) b(a,c)-c(a,b); 2) |a|2 + |c|2-(a,b)-(b,c); 3) (a,c)-(a,b)-|a|2(b,c). 2.11. Доказать, что векторы а и b(a,c) — c(a,b) взаимно перпендикулярны. 2.12. Верно ли, что для любых векторов а, Ь, с, d выпол- выполняется соотношение (а,Ь) • (c,d) = (а, с) • (b,d)? 2.13. Даны три вектора а, Ь, с такие, что |а| = |Ь| = |с| = 1, а + b + с = о. Вычислить (а, Ь) + (Ь, с) + (с, а). 2.14. В треугольнике ABC даны длины сторон. Найти ска- скалярное произведение (АС,ВС), если: 1) |АВ| = 5, |ВС| = 3, \АС\ = А; 2) \АВ\ = 7, \ВС\ = 4, \АС\ = 5; 3) \АВ\ = 3, \ВС\ = 2, 2.15. Дан треугольник ABC. Выразить через b = АВ и с = = АС: 1) длину стороны ВС] 2) длину медианы AM] 3) площадь треугольника. 2.16. В треугольнике ABC проведена высота АН. Най- ти^координаты вектора АН в базисе, образованном векторами АВ и АС. 2.17. Доказать, что для произвольного прямоугольника ABCD и для произвольной точки М (лежащей или не лежащей в плоскости прямоугольника) имеют место равенства: 1) (MAjdC) = (MBjlD)] 2) \MA\2 + \MC\2 = \MB\2 + \MD\2.
§ 2. Скалярное произведение векторов 17 2.18. В трапеции ABCD отношение длин оснований \AD\ : : \ВС\ равно 3. Выразить через b = АВ и с = АС: 1) длины сторон и углы трапеции; 2) длину отрезка SM, где S — точка пересечения боковых сторон трапеции, М — точка пересечения диагоналей. 2.19 (р). Длины базисных векторов ei и е2 общей декар- декартовой системы координат на плоскости равны соответственно л/2 и 1, а угол между ними равен 45°. Вычислить длины диа- диагоналей и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты B, 2) и (—1, 4). 2.20. Длины базисных векторов ei и е2 общей декарто- декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 4 и 2, а угол между базисными векторами равен 120°. Относи- Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника А(—2,2), В(—2,— 1), С(—1,0). Найти длины сторон и углы тре- треугольника. 2.21. Длины базисных векторов ei, в2, ез равны соот- соответственно 3, л/2, 4, а углы между ними равны Z(ei,e2) = =/(в2,ез) = 45°, /(е1,ез) = 60°. Вычислить длины сторон и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты A, —3, 0) и (—1, 2, 1). 2.22. Длины базисных векторов ei, в2, ез равны соот- соответственно 1, 1, 2; углы между ними равны Z(ei,e2) = 90°, /(е1,ез) = /(в2,ез) = 60°. Вычислить площадь параллело- параллелограмма, построенного на векторах а(—1,0,2) и ЬB,—1,1). 2.23. Из одной точки отложены три вектора а@, —3, 4), b D, 1, —8) и с. Вектор с имеет длину 1 и делит пополам угол между а и Ь. Вычислить координаты вектора с. 2.24 (р). Даны два вектора а и Ь, причем а ф о. Выразить через а и b ортогональную проекцию вектора b на прямую, направление которой определяется вектором а. 2.25. Найти сумму ортогональных проекций вектора а на стороны правильного треугольника. 2.26. Дан вектор аA,1). Найти ортогональную проекцию вектора b на прямую, направление которой определяется век- вектором а, и ортогональную составляющую вектора b относи- относительно этой прямой, если вектор b имеет координаты: 1) A,-3); 2) A,-1); 3) C,3); 4) (-2,-2).
18 Гл. 1. Векторы и координаты 2.27. Дан вектор аA,—1,2). Найти ортогональную проек- проекцию вектора b на прямую, направление которой определяется вектором а, и ортогональную составляющую вектора b отно- относительно этой прямой, если вектор b имеет координаты: 1) B,-2,4); 2) A,1,2); 3) D,0,-2). 2.28. Даны два вектора аC,—1) и Ь(—1,1). Найти век- вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (х,а) = 13, (х,Ь) = -3. 2.29. Даны векторы а(д/3, —3) и ЬA, —1). Найти все векто- векторы х, образующие угол тг/3 с вектором а и такие, что (Ь,х) = 1. 2.30. Даны три вектора аD,1,5), Ь@,5,2) и с(-6,2,3). Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (х,а) = = 18, (х,Ь) = 1, (х,с) = 1. 2.31. Даны ненулевой вектор а и скаляр р. Выразить че- через аир какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий уравнению (х,а)=р. 2.32. Объяснить геометрический смысл всех решений век- векторного уравнения (х, а) = р, а также его частного решения, коллинеарного вектору а: 1) на плоскости; 2) в пространстве. 2.33. Объяснить геометрический смысл: 1) решения системы векторных уравнений (х,а)=р, (x,b) = q на плоскости (векторы а и b неколлинеарны); 2) решения системы векторных уравнений (х, а) = р, (x,b) = g, (х,с) = 5, в пространстве (векторы а, Ь, с некомп- некомпланарны) . 2.34 (р). Даны два вектора аA,—1,1) и ЬE,1,1). Вычис- Вычислить координаты вектора с, который имеет длину 1 и ортого- ортогонален векторам а и Ь. Сколько решений имеет задача? 2.35. Даны два вектора а A,-1,1) и b E,1,1). Вектор с имеет длину 1, ортогонален вектору а и образует с вектором b угол arccos(у2/27). Вычислить координаты вектора с. Сколь- Сколько решений имеет задача? 2.36. В равнобедренном треугольнике медианы, проведен- проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти углы треугольника. 2.37. В параллелограмме ABCD точки К и L — середины сторон ВС и CD. Найти \AD\, если \АК\ = 6, \AL\ = 3, а угол KAL = тг/3.
§ 2. Скалярное произведение векторов 19 2.38. Длины сторон треугольника связаны соотношением а2 + Ъ2 = 5с2. Доказать, что две медианы треугольника перпен- перпендикулярны. 2.39. Длины соседних сторон параллелограмма относятся как т : п, а угол между этими сторонами равен а. Найти угол между диагоналями параллелограмма. 2.40. В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон. Найти угол между диагоналями че- четырехугольника. 2.41. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно пер- перпендикулярны, а отношение длин оснований равно т : п (га > > п). Найти: 1) отношение длин боковых сторон; 2) отношение длин диагоналей; 3) величину острого угла трапеции. 2.42. Доказать, что если в треугольнике равны длины двух медиан, длины двух высот или длины двух биссектрис, то этот треугольник равнобедренный. 2.43. Пусть М — точка пересечения медиан треугольни- треугольника ABC. Доказать, что \АМ\2 + \ВМ\2 + \СМ\2 = (\АВ\2 + + \ВС\2 + \АС\2)/3. 2.44. Длины ребер АА\, АВ и AD параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ равны соответственно а, Ь, с. Величины уг- углов между ними ZBAD, ZA±AD и АА\АВ равны соответствен- соответственно а, /3, 7- Найти длину диагонали АС\. 2.45. Дан произвольный тетраэдр ABCD. Доказать: если перпендикулярны ребра АВ и CD и ребра АС и SD, то ребра ВС ж AD также перпендикулярны. 2.46. Даны два отрезка АВ и CD (вообще говоря, в про- пространстве). Доказать, что отрезки перпендикулярны, если \АС\2 + \BD\2 = \AD\2 + \BC\2. Верно ли обратное утвержде- утверждение? 2.47. В правильном тетраэдре ABCD точки М и Р — се- середины ребер AD и CD соответственно, точки N и Q — центры граней BCD и ABC соответственно. Найти угол между пря- прямыми MN и PQ. 2.48. Длина ребра куба ABCDA\B\C\D\ равна а. Точка Р — середина ребра CCi, точка Q — центр грани АА\В\В. От-
20 Гл. 1. Векторы и координаты резок MN с концами на прямых AD и А\В\ пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка. 2.49. В правильном тетраэдре ABCD точки Е и F яв- являются серединами ребер AD ж ВС соответственно. На ре- ребре CD взята точка 7V, на отрезке ЕЕ — точка М так, что ZMNC = 45°, ZNME = arccos B/3). В каком отношении точ- точки М и N делят отрезки ЕЕ и CD? 2.50. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (S — вершина) длина стороны основания равна 2. Вершины К и М ромба KLMF лежат на ребрах АВ и SD соответственно, и |JOf| = 3, а отрезок KL пересекает ребро SB. Найти объем пирамиды. § 3. Векторное и смешанное произведения векторов 3.1. Найти векторное произведение векторов а и Ь, задан- заданных своими координатами: 1) аC, -1,2), ЪB, -3,-5); 2)аB, -1, 1),Ъ(-4,2, -2); 3) аF, 1, 0),ЬC,-2, 0). 3.2. Упростить выражения: 1) [а + b, а-Ь]; 2) [а-Ь + с/2, -а + 2Ь-5с]. 3.3. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеар- ный другому сомножителю. 3.4. Векторы а и b не коллинеарны. При каких значениях скаляра Л коллинеарны векторы Ла + b и За + ЛЬ? 3.5. Векторы ei, e2, ез образуют: 1) ортонормированный правый базис; 2) ортонормированный левый базис; 3) ортогональный правый базис. Выразить векторные произведения [ei, ег], [в2, ез], [ез, ei] че- через векторы ei, в2, ез- 3.6. Известно, что а= [Ь, с], b = [с, а], с = [а, Ь]. Найти длины векторов а, Ь, с и углы между ними. 3.7. Решить задачи: 1) 2.34; 2) 2.35, дополнительно потре- потребовав, чтобы ориентация тройки векторов а, Ь, с совпадала с ориентацией ортонормированного базиса, в котором заданы координаты векторов.
§ 3. Векторное и смешанное произведения векторов 21 3.8. На векторах аB,3,1) и Ь(—1,1,2), отложенных из од- одной точки, построен треугольник. Найти: 1) площадь этого треугольника; 2) длины трех его высот. 3.9 (р). Длины базисных векторов ei и в2 общей декарто- декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 3 и 2, а угол между ними равен 30°. В этой системе координат даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма: A,3), A,0) и (—1,2). Найти площадь параллелограмма. 3.10. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольни- ка ABCD равна половине длины векторного произведения [AC,BD]. 3.11. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням произвольного тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежа- противолежащих этим граням, равна нулю. 3.12. Доказать, что для трех неколлинеарных векторов а, Ь, с равенства [а,Ь] = [Ь,с] = [с, а] выполняются тогда и только тогда, когда а + b + с = о. 3.13. Доказать тождества: П l[abll2- (а'а) (а'Ь) 1) Ца,Ь]| - (а?ь) (ь?ь) 2) [a, [b,c]] = b(a,c)-c(a,b); 3) (а, с) (a,d) (Ь,с) (b,d) 3.14. Даны а, /3, j — плоские углы трехгранного угла. Най- Найти его двугранные углы. 3.15. Даны два вектора а и b такие, что а/ 0, (а,Ь) = 0. Выразить через аи b какой-нибудь вектор х, удовлетворяю- удовлетворяющий уравнению [х,а] = Ь. 3.16. Объяснить геометрический смысл всех решений век- векторного уравнения [х,а]=Ь, а также его частного решения, коллинеарного вектору [а,Ь]. 3.17. Из одной точки отложены четыре вектора а, Ь, с, d. Вектор d имеет длину 1 и образует с некомпланарными векто- векторами а, Ь, с: 1) равные острые углы; 2) равные тупые углы. Выразить вектор d через векторы а, Ь, с.
22 Гл. 1. Векторы и координаты 3.18. Из одной точки отложены четыре вектора а(—1,1, — 1), Ь(—1,1,1), сE,—1,—1) и d. Вектор d имеет длину 1 и об- образует с векторами а, Ь, с равные острые углы. Вычислить координаты вектора d. 3.19. Найти смешанное произведение векторов а, Ь, с, за- заданных своими координатами: 1)аA,-1,1), ЬG,3,-5), с(-2,2,-2); 2) аC,5,1), 3)аB,1,0), 4)аA,2,3), 3.20. Проверить, компланарны ли векторы, заданные сво- своими координатами в произвольном базисе: 1) аB,3,5), ЬG,1,-1), сC,-5,-11); 2) аB,0,1), ЬE,3,-3), сC,3,10). 3.21. Векторы а, Ь, с некомпланарны. При каких значени- значениях скаляра Л компланарны векторы а + 2Ь + Лс, 4а + 5Ь + 6с, 7а + 8Ь + Л2с? 3.22. Три некомпланарных вектора а, Ь, с отложены из одной точки. Найти: 1) объем треугольной призмы, основание которой построе- построено на векторах а и Ь, а боковое ребро совпадает с вектором с; 2) объем тетраэдра, построенного на векторах а, Ь, с. 3.23. Даны точки АB, 1, -1), БC, 0, 2), С E, 1, 1), D@, — 1, 3), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины С. 3.24. Длины базисных векторов ei, е2, ез в пространстве равны соответственно 1, 2, V% а углы между ними равны: Z(eb e2) = 120°, Z(eb e3) = 45°, Z(e2, e3) = 135°. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты (—1,0,2), A,1,3), B,-1,1). 3.25. Даны неколлинеарные векторы a, b и скаляр р. 1) Найти какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий урав- уравнению (х,а,Ь) = р. 2) Объяснить геометрический смысл всех решений уравне- уравнения (х,а,Ь) =?>, а также его частного решения, ортогонального к векторам а, Ь. 3.26. Доказать тождества: 2 2 22
§ 3. Векторное и смешанное произведения векторов 23 2) [[a,b],[c,d]] = c(a,b,d)-d(a,b,c); 3) d(a,b,c) = a(b,c,d)+b(c,a,d)+c(a,b,d); 4) ([a,b],[b,c],[c 2 5) (а,Ъ,с)[х,у] = 6) (a,b,c)(x,y,z) = = (a,b,cJ; a b с (a,x) (b,x) (c,x) (a,y) (b,y) (c,y) (a,x) (b,x) (c,x) (a,y) (b,y) (c,y) (a,z) (b,z) (c,z) 3.27. Доказать, что проекция вектора Ь на прямую, пер- перпендикулярную вектору а, равна [а, [Ь,а]]/|а|2. 3.28. Доказать, что: 1) если векторы [a,b], [b,c], [с, а] компланарны, то векторы а, Ь, с компланарны; 2) если векторы [a,b], [b,c], [с, а] компланарны, то они кол- линеарны. 3.29 (р). Две тройки векторов ai, а2, аз и bi, b2, Ьз назы- называются взаимными, если (a^bj) = 0 при г ф j, (a^b^) = 1. 1) Доказать, что для существования тройки bi, b2, Ьз, вза- взаимной к ai, а2, аз, необходимо и достаточно, чтобы векторы ai, а2, аз были некомпланарны; 2) выразить в этом случае векторы bi, b2, Ьз через векто- векторы аь а2, а3. 3) Доказать, что если векторы ai, a2, аз образуют базис, то векторы взаимной тройки образуют базис той же ориентации (базис, взаимный к базису ai, a2, аз). 3.30. Для тройки векторов aiC,0,1), аг(—1,1,2), азA,2,1) найти взаимную тройку (см. задачу 3.29). 3.31. Решить систему векторных уравнений в простран- пространстве: (х,а) =?>, (x,b) = g, (x,c) = s (векторы а, Ь, с некомпла- некомпланарны). Геометрическая интерпретация решения дается в за- задаче 2.33. 3.32. Точка М лежит на ребре ВВ\ куба ABCDA\B\C\D\, причем \ВМ\ : \MBi\ = 2:1. Длина ребра куба равна а. Най- Найти расстояние между прямыми CD\ и MD. 3.33. Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан треугольника ABC, равна 3/4 площади треугольни- треугольника ABC. 3.34. В треугольнике ABC через точку Н на стороне АС проведена прямая параллельно стороне ВС до пересечения со
24 Гл. 1. Векторы и координаты стороной АВ в точке М. Площадь треугольника ВНМ в 4,5 раза меньше площади треугольника ABC. Найти отношение \АМ\ : \МВ\. 3.35. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно пер- перпендикулярны. Найти площадь трапеции, если длина высоты ее равна h. 3.36. Площадь трапеции ABCD равна 5, отношение длин оснований \AD\ : \BC\ = 3:1. Отрезок MN параллелен стороне CD и пересекает сторону АВ. При этом \АМ\ : \BN\ = 3:2, |M7V| : \CD\ = 1:3; отрезок AM параллелен отрезку BN. Най- Найти площадь треугольника BNC. 3.37. Точка М — середина бокового ребра АА\ паралле- параллелепипеда ABCDA\B\C\D\. Прямые BD, MD\ и А\С попар- попарно перпендикулярны. Известны длины отрезков: \BD\ = 2а, |AiC| =4а, \ВС\ = За/2. Найти длину высоты параллелепипеда. 3.38. Доказать, что любая плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер произвольного тетра- тетраэдра, делит этот тетраэдр на две одинаковые по объему части. 3.39. В правильном тетраэдре ABCD проведены два се- сечения, параллельные ребрам АС и BD. Найти длину ребра тетраэдра, если площади сечений равны Si и $2, а расстояние между секущими плоскостями равно d. 3.40. Доказать, что все четыре грани произвольного тет- тетраэдра равновелики тогда и только тогда, когда они конгру- конгруэнтны. § 4. Замена базиса и системы координат 4.1. На плоскости даны два базиса ei, в2 и е'1? е72. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты (—1,3) и B,-7) соответственно. 1) Найти координаты вектора в первом базисе, если извест- известны его координаты с^, af2 во втором базисе. 2) Найти координаты вектора во втором базисе, если из- известны его координаты ai, ol<i в первом базисе. 3) Найти координаты векторов ei, e2 во втором базисе. 4.2. В пространстве даны два базиса ei, e2, ез и e7l5 e^, е^. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты A,1,1), (—1,-2,-3), A,3,6) соответственно. 1) Найти координаты вектора в первом базисе, если извест- известны его координаты а'х, с/2, аг3 во втором базисе.
§ 4- Замена базиса и системы координат 25 2) Найти координаты вектора во втором базисе, если из- известны его координаты щ, с^2, с^з в первом базисе. 3) Найти координаты векторов ei, е2, ез во втором базисе. 4.3. На плоскости даны две системы координат О, ei, e2 и О7, e7l5 е2. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (—1,3), а базисные векторы второй систе- системы имеют в базисе первой системы координаты B,3) и A,1) соответственно. 1) Найти координаты точки в первой системе, если извест- известны ее координаты ж7, у1 во второй системе координат. 2) Найти координаты точки во второй системе, если из- известны ее координаты ж, у в первой системе координат. 3) Найти координаты точки О во второй системе и коор- координаты векторов ei, в2 в базисе второй системы координат. 4.4. В пространстве даны две системы координат О, ei, e2, ез и О7, е71? е72, е73. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты A,1,2), а базисные векторы второй системы координат имеют в базисе первой системы координаты D,2,1), E,3,2), C,2,1) соответственно. 1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты ж7, у7, z' во второй системе. 2) Найти координаты точки во второй системе, если из- известны ее координаты ж, ?/, z в первой системе. 3) Найти координаты точки О во второй системе коорди- координат и координаты векторов ei, e2, ез в базисе второй системы. 4.5. Координаты ж, у каждой точки плоскости в систе- системе координат О, ei, e2 выражаются через координаты ж7, у' этой же точки в системе О7, е7х, е72 формулами ж = 2ж7 — у' + 5, y = Sxf + yf + 2. 1) Выразить координаты ж7, у1 через координаты ж, у. 2) Найти координаты начала О и базисных векторов ei, e2 первой системы координат во второй системе. 3) Найти координаты начала О7 и базисных векторов e7l5 е72 второй системы координат в первой системе. 4.6. Координаты ж, у, z каждой точки пространства в си- системе координат О, ei, e2, ез выражаются через координаты ж7, у7, z1 этой же точки в системе О7, e7l5 e2, е^ формулами х = х' + у' + z1 - 1, у = -х' + z1 + 3, z = -х1 - у' - 2. 1) Выразить координаты ж7, у7, z' через координаты ж, у, z. 2) Найти координаты начала О и базисных векторов ei, e2, ез первой системы координат во второй системе.
26 Гл. 1. Векторы и координаты 3) Найти координаты начала О7 и базисных векторов е71? е^, вз второй системы в первой системе. 4.7. Найти координаты вектора в базисе eiB,3), в2C,4) на плоскости, если известны его координаты а^, а2 в базисе ei(l,-l),e'2B,-3). 4.8. Найти координаты вектора в базисе ei(l,3,2), в2(—1,1,0), езB,—1,1) в пространстве, если известны его ко- координаты а[, о12ч с^з в базисе е7^—1,0,2), е/2A,1,1), взD,3,—1). 4.9. Найти координаты точки в системе координат 0B,-1), ei(l,5), в2(—1,4) на плоскости, если известны ее координаты х', у1 в системе координат O7C,2), e^l,—1), е72D,2). 4.10. Найти координаты точки в системе координат 0A,3, 3), eiC,3,1), в2C,5,2), езA,2,1) в пространстве, если извест- известны ее координаты ж7, у7, z' в системе координат О7(—1,0,2), е'^1,-2,1), е'2D,2,1), е'3B,-1,3). 4.11 (р). В параллелограмме ABCD точка Е лежит на диагонали BD, причем \ВЕ\ : \ED\ = 1:2. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АР, е^сли извест- ны ее координаты ж7, у' в системе координат Е, ЕС, ED. 4.12. В параллелограмме ABCD точка Е лежит на сто- стороне ВС, а точка F — на стороне АВ, причем \ВЕ\ : \ВС\ = = 1:4, \BF\ : \AF\ =2:5. Найти координаты точки плоскости в системе координат С, СЕ, CD^ если известны ее координаты х',угв системе координат Е, EF, ED. 4.13. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне ВС, а точка Е лежит на продолжении стороны АС за точку С, причем \BD\ : \DC\ = 1:2, \АС\ : \СЕ\ =3:1. Найти координа- координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АС, если из- вестны ее координаты х1, у1 в системе координат D, DA, DE. 4.14. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне АС, а точка Е — на отрезке BD, причем \AD\ : \AC\ = 1:3, \ВЕ\ : \ED\ = 2:3. Найти координаты точки плоскости в си- системе координат А, АВ, АР, если известны ее координаты х1, у' в системе координат С, СВ, СЕ. 4.15. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, AF, если известны ее координаты х1, у1 в системе координат С, СВ, СЕ.
§ 4- Замена базиса и системы координат 27 4.16. В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точ- точке Е, а длины оснований ВС и AD относятся как 2:3. Най- Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АР, если известны ее координаты х', у1 в системе координат Е, ЕА, ЕВ. 4.17. В трапеции ABCD длины оснований ВС и AD от- относятся как 3:4, точка Е является серединой основания AD, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке F. Най- Найти координаты точки плоскости в системе координат Е, ЕВ, ЕС, если известны ее координаты х'', у' в системе координат F, ЕВ, ЕС. 4.18. В основании призмы ABCDA\B\C\D\ лежит ромб с острым углом А, равным 60°. Точка К лежит на продолжении ребра АВ за точку В, причем угол ADK прямой. Найти коор- координаты точки пространства в системе координат А, АВ, AD, АА\, если известны ее координаты х1, у1, z1 в системе координат К, К A, KD, КСъ 4.19. В треугольной призме ABCА\В\С\ точка М — точка пересечения медиан грани А\В\С\. Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, АС, АВ\, если из- известны ее^координаты х', у', z' в системе координат А\, А\В, АХС, АХМ. 4.20. В тетраэдре ABCD точка М — точка пересечения медиан грани BCD. Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, AC, AD, если известны ее коорди- координаты х1, у1, z1 в системе координат М, MB, МС, МА. 4.21. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка М является центром основания. Найти ко- координаты точки пространства в системе координат А, АВ, AF, AS, если известны ее координаты х', у', z' в системе координат S, SC, SD, SM. 4.22. Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\. Найти коор- координаты точки пространства в системе координат А, АС, АВ\, АА\, если известны ее координаты xf,yf,zfB системе координат Dx, DXD, DxCi, DXB. 4.23. Координаты х, у каждой точки плоскости в первой системе координат выражаются через координаты х1, у1 этой же точки во второй системе координат соотношениями х = = ацх1 + а\2у' + «ю, У — ct2ixf + A22У1 + «20- Первая система ко- координат является прямоугольной. При каком необходимом и
28 Гл. 1. Векторы и координаты достаточном условии вторая система также является прямо- прямоугольной? 4.24. Координаты ж, у, z каждой точки пространства в первой системе координат выражаются через координаты ж7, у1', z1 этой же точки во второй системе координат соотношени- соотношениями х = ацх' + а\2у' у = d2ixf + а22 z = asix' + сежу' + a^z1 + а3о- 1) Пусть первая система координат является прямоуголь- прямоугольной. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной? 2) При каком необходимом и достаточном условии ориен- ориентация базисов первой и второй систем одинакова? 4.25. На плоскости даны две прямоугольные системы ко- координат О, ei, e2 и О7, е^, е^. Начало второй системы коорди- координат имеет в первой системе координаты жо, Уо, а векторы е^ и е'2 получаются из векторов ei и в2 соответственно поворотом на один и тот же угол ср в направлении кратчайшего поворота от ei ке2. 1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты ж7, у' во второй системе. 2) Найти координаты точки во второй системе координат, если известны ее координаты ж, у в первой системе. 3) Найти координаты точки О во второй системе координат. 4.26. На плоскости даны две прямоугольные системы ко- координат О, ei, е2 и О7, е715 е72. Начало второй системы коорди- координат имеет в первой системе координаты 1,3, а векторы е[ и е72 получаются из векторов ei и в2 соответственно поворотом на один и тот же угол <р в направлении кратчайшего поворота от ei к в2- Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты ж7, у' во второй системе, считая угол (р равным: 1) 60°; 2) 135°; 3) 90°; 4) 180°. 4.27. На плоскости даны две прямоугольные системы ко- координат О, ei, e2 и О7, е715 ef2. Начало второй системы коор- координат имеет в первой системе координаты жо, Усь а векторы е^ и —е72 получаются из векторов ei и в2 соответственно по- поворотом на один и тот же угол <р в направлении кратчайшего поворота от ei к е2-
§ 4- Замена базиса и системы координат 29 1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты х', у' во второй системе. 2) Найти координаты точки во второй системе координат, если известны ее координаты х, у в первой системе. 3) Найти координаты точки О во второй системе координат. 4.28. В прямоугольном треугольнике ABC, длины катетов которого равны \АВ\ =3 и \ВС\ =4, точка D является основа- основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла. Векторы ei, в2, е[, е72 имеют длину 1, причем ei сонаправлен с В А, е2 сонаправлен с ВС, е[ сонаправлен с АС, е72 сонаправлен с DB. Найти координаты точки плоскости в системе координат В, ei, е2, если известны ее координаты ж7, у1 в системе координат D, ei, e'2. 4.29. В пространстве даны две прямоугольные системы ко- координат О, ei, в2, ез и О7, e7l5 е72, е73. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты —1,3,5. Вектор е7х образует углы, равные 60°, с векторами ei и в2 и острый угол с вектором ез- Вектор е72 компланарен с векторами ei и е2 и образует с вектором в2 острый угол. Тройки ei, в2, ез и ei> е2> ез одинаково ориентированы. Найти координаты точ- точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты х1\ у1\ z' во второй системе. 4.30. В пространстве даны две прямоугольные системы ко- координат О, ei, е2, ез и О7, e7l5 е2, е73. Точки О и О7 различны, а концы векторов е^ и е7, отложенных соответственно из точек О и О7, совпадают [г = 1,2,3). Найти координаты точки простран- пространства в первой системе координат, если известны ее координаты х1, у1, z1 во второй системе.
Глава 2 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В этой главе уравнения прямой на плоскости, прямых и плоско- плоскостей в пространстве используются в векторной и координатной фор- форме. Основные понятия: направляющий вектор прямой, направляю- направляющие векторы плоскости, нормальный вектор прямой на плоскости, нормальный вектор плоскости, пучок прямых на плоскости, пучок и связка плоскостей, а также параллельность, перпендикулярность, углы, расстояния и проекции. Всюду, кроме задач 6.33 и 6.34, под проекцией понимается ортогональная проекция. § 5. Прямая на плоскости Прямая линия на плоскости может быть задана: 1) векторным уравнением в параметрической форме г = го + а? (а фо), A) где а — направляющий вектор прямой, г о — радиус-вектор фикси- фиксированной точки на прямой; 2) нормальным векторным уравнением (г-г0)п)=0 (п^о), B) где п — нормальный вектор прямой; 3) общим уравнением в декартовой системе координат Ах + Ву + С = 0 (А2 + В2фО). C) Уравнение B) можно записать в виде (г,п)=?>. Если уравнение A) записать в общей декартовой системе координат, то получим параметрические уравнения прямой на плоскости При а ф 0, C ф 0 исключением параметра t параметрические уравне- уравнения прямой приводятся к канонической форме х-хр _ у-уо а ~ /3 При а = 0 каноническое уравнение прямой принимает вид х = хо, при /3 = 0 — вид у = г/о- Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, мо- может быть записано в векторной форме
§ 5. Прямая на плоскости 31 и в координатной форме х-xi у-уг %2 -Хх 2/2 - 2/1 Здесь ri и Г2 — радиус-векторы данных точек, а х\, у\ и Ж2, 2/2 — их декартовы координаты. При х\ = ж 2 или у\ = т/2 уравнение прямой принимает соответственно вид х = х\ или у = у±. Для данной прямой линии ее направляющий и нормальный век- векторы определены с точностью до умножения на ненулевое число. Направляющим вектором прямой, заданной общим уравнением C), является, например, вектор с координатами —В, А. Если система ко- координат прямоугольная, то нормальным вектором прямой C) явля- является, например, вектор с координатами А, В. Если прямая задана общим уравнением C), то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от нее («в положительной по- полуплоскости»), выполнено неравенство Ах + В у + С > О, а для коор- координат всех точек, лежащих по другую сторону («в отрицательной полуплоскости»), — неравенство Ах + By + С < 0. Расстояние от точки с радиус-вектором i*i до прямой, задан- заданной векторным уравнением B), равно |(i*i — го,п)|/|п|. Расстояние от точки M(a?i,?/i) до прямой, заданной уравнением C) в прямоуголь- прямоугольной системе координат, равно \Ахг + ВУ1 + C\/VA2 + B2. Векторные уравнения прямых E.1—5.5) 5.1. При каком необходимом и достаточном условии пря- прямые г = ri + ait и г = Г2 + 3.2t: 1) пересекаются в единственной точке; 2) параллельны, но не совпадают; 3) совпадают? 5.2. Найти угол между прямыми, заданными своими урав- уравнениями: 1) г = ri + ait и г = r2 + s.2t; 2) (г,щ) = ?>1и(г,п2)=1>2. 5.3. Две прямые заданы векторными уравнениями (г,п) = = D и г = го + at, причем (а, п) ф 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 5.4. Даны точка Mq с радиус-вектором го и прямая (г,п) = = D. Найти радиус-векторы: 1) проекции точки Мо на прямую; 2) точки iWi, симметричной с Mq относительно данной прямой.
32 Гл. 2. Прямая и плоскость 5.5. Найти расстояние от точки Мо(го) до прямой, задан- заданной уравнением: 1) (r,n) = L>; 2) r = ri+a?. В задачах 5.6—5.21 система координат общая декартова 5.6. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, которая: 1) имеет угловой коэффициент /с; 2) задана общим уравнением Ах + By + С = 0. 5.7. 1) Записать уравнение прямой х = 2 + 3?, у = 3 + 2t в виде Ах + Ву + С = 0. 2) Записать уравнение прямой Зх — Ау + 4 = 0 в параметри- параметрической и канонической формах. 3) Найти угловой коэффициент прямой х = 2 + 3?, у = 3 + 2?. 5.8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(—3,4) и параллельной прямой: 23 3) ж = 2; 4) i/ = -l; 5) x = 3 + t,y = 4-7t. 5.9. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки: 2) А@,2)иВ(-1,0); 3) АB,1)иВB,-5); 4) ЛA,-3) иВC,-3). 5.10. Установить, пересекаются, параллельны или совпа- совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки их пересечения: ) 2) х + Зу - 1 = 0 и 2 - 2х - 6у = 0; 3) -х - у - 3 = 0 и Зж + Зу + 1 = 0; 4) ж = 1 + 2*, у = 1-?иж = 2-?, у = 2 + *. 5.11. При каких а прямые ах — 4у = 6 и х — ау = 3: 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают? 5.12. При каких а три прямые а х + у = а2 имеют общую точку?
§ 5. Прямая на плоскости 33 5ЛЗ. Точка М лежит на прямой Ах + By + С = 0; вектор ММ\ имеет координаты А,В. Доказать, что точка М\ лежит в положительной полуплоскости относительно прямой с урав- уравнением Ах + By + С = 0. 5.14. Точка ikfC,2) является центром параллелограмма, а его стороны лежат на некоторых четырех прямых. На каждой из этих прямых расположена одна из точек: PB,l), QD,—1), R{—2,0), 5A,5). Найти уравнения прямых. 5.15. Даны две вершины треугольника C,-1) и A,4) и точка пересечения его медиан @,2). Найти координаты тре- третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 5.16. Составить уравнение прямой, проходящей через точ- точку ЛA,2) так, что отрезок этой прямой, заключенный между прямыми Зж + ?/ + 2 = 0 и Ах + у — 1 = 0, в точке А делится по- пополам. 5.17. Две медианы треугольника лежат на прямых х + у = = 3и2ж + 3у = 1, а точка ЛA,1) является вершиной треуголь- треугольника. Составить уравнения сторон треугольника. 5.18. Точки If A,-2), LC,4) и МE,0) являются соответ- соответственно серединами сторон AD, AB и ВС четырехугольника ABCD, диагонали которого пересекаются в точке ОB,2). Най- Найти координаты вершин четырехугольника. 5.19. Составить уравнения прямых, проходящих через точ- точку А(—1,5) и равноудаленных от двух точек ВC,7) и GA,-1). 5.20. (р). Составить уравнения прямых, равноудаленных от трех точек ЛC,-1), В(9,1) и С(-5,5). 5.21. Через вершину С параллелограмма ABCD проведе- проведена прямая, пересекающая продолжения сторон АВ и AD соот- соответственно в точках К и L таких, что |Aff|/|AB| = 5|AL|/|AD|. Найти отношение площади параллелограмма к площади тре- треугольника AKL. В задачах 5.22—5.62 система координат прямоугольная 5.22. Указать хотя бы один нормальный вектор прямой, которая: 1) имеет угловой коэффициент /с; 2) задана общим уравнением Ах + By + С = 0. 5.23. Составить уравнение прямой, проходящей через точ- точку Л(—3,4) и перпендикулярной прямой:
34 Гл. 2. Прямая и плоскость 1) ж-2?/ +5 = 0; 1 2 23 3) х = 2; 4) у = -1; 5) ж = 3 + *, у = 4-7*. 5.24. Точка ^4C,—2) является вершиной квадрата, а точка МA,1) — точкой пересечения его диагоналей. Составить урав- уравнения сторон квадрата. 5.25. Длина стороны ромба с острым углом 60° равна 2. Диагонали ромба пересекаются в точке МA,2), причем боль- большая диагональ параллельна оси абсцисс. Составить уравнения сторон ромба. 5.26. На прямой 5х — у — 4 = 0 найти точку, равноудален- равноудаленную от точек ^4A,0) и ?(—2,1). 5.27. Найти расстояние от точки АA,— 2) до прямой, за- заданной своим уравнением: 1) 2х-Зу + 5 = 0; 2) 4х - Зу - 15 = 0; 3) 4х = Зу; 4) 4х - Зу - 10 = 0; 5) х = 7; 6) у = 9. 5.28. Найти расстояние между параллельными прямыми Ах + By + d = 0 и Ах + By + С2 = 0. 5.29. Составить уравнения прямых, параллельных пря- прямой —2х + у + 5 = 0 и отстоящих от точки АA,—2) на рас- расстояние л/20- 5.30. Точка Л лежит на прямой 2х — Зу + 4 = 0. Расстоя- Расстояние от точки А до прямой Зу = 4х равно 2. Найти координаты точки А. 5.31. Точка А лежит на прямой х + у = 8, причем А рав- равноудалена от точки 5B,8) и от прямой ж — Зу + 2 = 0. Найти координаты точки А. 5.32. Найти координаты всех точек, равноудаленных от точки А(—1,1) и прямых у = —х и у = х + 1. 5.33. Найти множество точек плоскости, отношение рас- расстояний от которых до двух пересекающихся прямых А\х + В\у + С\ = 0 и ^2^ + В2у + С*2 = 0 есть постоянная вели- величина к > 0.
§ 5. Прямая на плоскости 35 5.34 (р). Даны точка ^4A,2) и прямая Зх — у + 9 = 0. Найти координаты: 1) проекции точки А на прямую; 2) точки В, симметричной с А относительно прямой. 5.35. Составить уравнение прямой, симметричной прямой Зх — у + 5 = 0 относительно прямой х + у = 1. 5.36. Даны уравнения сторон треугольника: х + 2у + 1 = 0, 2х — у — 2 = 0, 2х + у + 2 = 0. Составить уравнение высоты, опу- опущенной на третью сторону. 5.37. Точка Н(—3,2) является точкой пересечения высот треугольника, две стороны которого лежат на прямых у = 2х л у = — х + 3. Составить уравнение третьей стороны. 5.38. Даны координаты двух вершин треугольника ЛA,3), 5B,5) и точки пересечения его высот i7(l,4). Найти координа- координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон. 5.39. Точка ^4A,2) является серединой одного из основа- оснований прямоугольной трапеции, а точка 5C,-1) — серединой средней линии. Боковая сторона, перпендикулярная основа- х + 1 у — 2 ниям, лежит на прямой = —-—. Составить уравнения остальных сторон трапеции. 5.40. Точка Л(—1,4) — вершина ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке МB,3). Точка РC,1) лежит на стороне АВ. Составить уравнения сторон ромба. 5.41. Составить уравнения сторон прямоугольного треуго- треугольника, если С(—3,4) — вершина прямого угла, МA,2) — се- середина гипотенузы, а точка i7C,3) лежит на гипотенузе. 5.42. В треугольнике ABC точки MiB,3), М2@,7) и Мз(—2,5) — середины сторон ВС, С А и АВ. Составить урав- уравнение прямой АВ. Найти угол между медианами АМ\ и ВМ2. 5.43. В параллелограмме ABCD вершины А и С имеют координаты A,2) и G,10) соответственно, i7C,0) — основание высоты, опущенной из В на сторону AD. Составить уравнение прямой AD. Найти угол между прямыми AD и АВ. 5.44. В параллелограмме ABCD точки if (—1,2), LC,4) и МE,6) — середины сторон соответственно АВ, ВС и CD. Со- Составить уравнение прямой ВС. Найти угол между прямыми AL и AM.
36 Гл. 2. Прямая и плоскость 5.45. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сто- сторона CD перпендикулярна основаниям, точки А ж С имеют координаты соответственно E,2) и (—2,3), а продолжения бо- боковых сторон пересекаются в точке Р(—3,6). Составить урав- уравнение прямой AD. Найти угол между прямыми AD и АВ. 5.46. Точки КA,3) и L{—1,1) являются серединами осно- оснований равнобедренной трапеции, а точки РC,0) и Q(—3,5) ле- лежат на ее боковых сторонах. Составить уравнения сторон тра- трапеции. 5.47. Найти угол между прямыми: 1) 2х + у-1 = 0лу-х = 2; 2) х = 4л2х-у-1 = 0] 2/-3 ж-4 И 4)И^г ^ 5) ж = 3*, у = -1 + 2* и ж = 1 - 2?, у = -5 + ?. 5.48. Составить уравнения прямых, проходящих через точку ЛC,1) и образующих с прямой Зх = у + 2 углы в 45°. 5.49. Точка ЛB,0) является вершиной правильного тре- треугольника, а противолежащая ей сторона лежит на прямой х + у — 1 = 0. Составить уравнения двух других сторон. 5.50. Основание равнобедренного треугольника лежит на прямой х + 2у = 2, а одна из боковых сторон — на прямой у + 2х = 1. Составить уравнение другой боковой стороны тре- треугольника, зная, что ее расстояние от точки пересечения дан- данных прямых равно 1/л/о. 5.51. Рассматривается тот угол между прямыми у = х + 1 и у = 7х + 1, внутри которого лежит точка ЛA,3). Найти коор- координаты точки В, лежащей внутри этого угла и удаленной от данных прямых соответственно на расстояния 4д/2 и л/2- 5.52. Составить уравнения сторон угла с вершиной в точке В. В угол вписана окружность радиуса R с центром в точке А: 2) АA,-2), В(-2,-1), Д = 3. 5.53 (р). Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми х — Ту = 1 и х + у = — 7, внутри которого ле- лежит точка ЛA,1). 5.54. Составить уравнение биссектрисы острого угла меж- между прямыми х — 7у = 1нх + у = —7.
§ 5. Прямая на плоскости 37 5.55. Составить уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями Зу = 4ж, 4у = 3ж, 5х + 12у = 10. 5.56. Вершинами треугольника являются точки АB0,15), В(—16,0), С(—8,— 6). Найти длины радиусов и координаты центров вписанной и описанной окружностей. 5.57. Даны координаты двух вершин треугольника ЛB, — 1), 5A,5) и точки пересечения его биссектрис LC,0). Составить уравнения сторон треугольника. 5.58. Точки АA,2) и В(—3,0) — вершины равнобедрен- равнобедренного треугольника ABC', углы А ж В при основании равны агссозA/л/5)- Найти координаты вершины G, зная, что она ле- лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и точка МB,3). 5.59. Сторона АВ треугольника ABC задана уравнением х — у+ 1 = 0, сторона ВС — уравнением 2х — 3^ + 5 = 0, сто- сторона АС — уравнением Зх — 4у + 2 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С так, что точка пересече- пересечения этой прямой со стороной АВ удалена от стороны АС на расстояние 1/5. 5.60. Составить уравнения прямых, образующих угол агссозA/л/5) с прямой х + 2у — 1 = 0, и удаленных от точки Л A,1) на расстояние 1. 5.61. Найти радиус и координаты центра окружности, про- проходящей через точку А(—1,3) и касающейся прямых 7х + у = 0 лх-у + 8 = 0. 5.62. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит на прямой 2х + у — 2 = 0, а точка GC, —1) является вершиной пря- прямого угла. Площадь треугольника равна 9/4. Составить урав- уравнения прямых, на которых лежат катеты. Замена системы координат E.63—5.67) 5.63. Даны две системы координат О, ei, e2 и О', е^, ef2. Начало второй системы координат имеет в первой системе ко- координаты аю, а2о, а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты ац, п2\ и ai2, a22 соот- соответственно. В первой системе координат прямая задана урав- уравнением Ах + By + G = 0. Составить уравнение этой прямой во второй системе.
38 Гл. 2. Прямая и плоскость 5.64. На плоскости даны три точки АB,3), В A,4), С (—1,2) и прямая х — 5?/ +7 = 0. Составить уравнение этой прямой в новой системе координат А, АВ, АС. 5.65. Прямые Зу = х + 2 и Зх + 2у — 5 = 0 являются соот- соответственно осями О'х' и О'у' новой системы координат, а точка Л (—1,2) имеет в новой системе координаты A,1). 1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты xf, у' в новой системе. 2) Составить в новой системе координат уравнение прямой, которая в исходной системе задается уравнением Ъх — 4у + 7 = 0. 5.66. В прямоугольной системе координат О, ei, e2 пря- прямая задана уравнением л/Зх + 2у — 6 = 0. Начало новой пря- прямоугольной системы координат находится в точке О7(—2,3), а базисные векторы е^ и е^ получаются из векторов ei и в2 соот- соответственно поворотом на угол 30° в направлении кратчайшего поворота от ei к в2- Составить уравнение данной прямой в си- системе координат О7, е'1? е72. 5.67. Две взаимно перпендикулярные прямые, заданные в прямоугольной системе координат уравнениями 2х — у + 1 = 0 л х + 2у — 7 = 0, являются соответственно осями О'х1 и О1 у1 но- новой прямоугольной системы координат, а точка А B,0) имеет в новой системе положительные координаты. 1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты ж7, у7 в новой системе. 2) Составить в новой системе координат уравнение прямой, которая в исходной системе задается уравнением 4х + у — 1 = 0. § 6. Плоскость и прямая в пространстве Плоскость может быть задана: 1) векторным параметрическим уравнением г = го + &и + Ъу Qa,b]/o), A) где a, b — направляющие векторы плоскости, i*o — радиус-вектор фиксированной точки плоскости; 2) нормальным векторным уравнением (г-го,п)=О (пфо), B) где п — нормальный вектор плоскости; 3) общим уравнением в декартовой системе координат Ax + By + Cz + D = 0 (Л2 + Б2 + С2/0). (з) Уравнение B) молено записать в виде
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве 39 (г,п)=Д а уравнение A) — в виде (г-го,а,Ъ) = 0. D) Если уравнение A) записать в общей декартовой системе координат, то получим параметрические уравнения плоскости х = xq + а\и + a2v, у = уо+ /Зги + f32v, z = z0 + 71 ^ + 72^- Уравнение D) в координатной форме равносильно уравнению X — Xq у — yo Z — Zq «1 Pi 71 = 0. «2 02 72 Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, молено записать в векторной форме (г-г0, ri-го, г2-г0) =0 и в координатной форме х-х0 у-уо z- Х\ - = 0. Х2 -Хо 2/2 - УО Z2 - Zq Здесь Xi, yi, Zi, i = 0,1,2, — декартовы координаты данных точек, а Yi — соответствующие радиус-векторы. Всякий вектор а(а,/?,7)? компланарный плоскости, заданной в общей декартовой системе координат уравнением C), удовлетворяет уравнению Act + Bf3 + C7 = 0. Если система координат прямоуголь- прямоугольная, то нормальным вектором плоскости C) является, например, вектор с координатами Л, В, С. Если плоскость задана уравнением C), то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от нее («в положительном полупро- полупространстве»), выполняется неравенство Ах + By + Cz + D > 0, а для координат всех точек, лежащих по другую сторону («в отрицатель- отрицательном полупространстве»), — неравенство Ах + В у + Cz + D < 0. Расстояние от точки с радиус-вектором i*i до плоскости, за- заданной уравнением B), равно |(i*i — ro,n)|/|n|. Расстояние от точки M(xi,yi,zi) до плоскости, заданной в прямоугольной системе коор- координат уравнением C), равно \Ахг + ВУ1 + Cz1 + ?>|/\Л42 + Б2 + С2. Прямая линия в пространстве может быть задана: 1) векторным параметрическим уравнением г = го + а? (а/о), E) где а — направляющий вектор прямой, г о — радиус-вектор фикси- фиксированной точки прямой; 2) векторными уравнениями [г-г0,а]=о (а фо)
40 Гл. 2. Прямая и плоскость или [г,а] = Ъ (а#о, (а,Ь) = 0), равносильными уравнению E). Если уравнение E) записать в общей декартовой системе коор- координат, то получим параметрические уравнения прямой линии: Исключением параметра t параметрические уравнения приводятся к канонической форме х-хр _ у-уо _ z- z0 а C 7 Если 7 = 0, то канонические уравнения принимают вид х - х0 У-Уо = п •> Z = Z0- а р Аналогично записываются уравнения прямой, если а = 0 или /3 = 0. Если /3 = 7 = 0, то канонические уравнения прямой линии имеют вид y = yQ^ z = zq. Аналогично записываются канонические уравнения, если другая пара компонент направляющего вектора нулевая. Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, молено задать в векторной форме и в координатной форме х-хг _ у-у\ _ z-z-y Х2 -X! 2/2 - 2/1 Z2 - Z1 Здесь ri, r2 — радиус-векторы данных точек, a (#i,2/i,2i), (#2,2/2?22) ~~ их декартовы координаты. Если х\ = х^, то уравнения 2/-2/1 z-z\ прямой принимают вид х = xi, = . Если лее х\ = х2 У2 ~У\ Z2- Z\ и 2/1 = 2/2, то уравнения прямой запишутся в виде х = х\,у = у\. Ана- Аналогично рассматриваются другие случаи совпадения одной или двух координат точек. Прямую можно задать и как линию пересечения двух непарал- непараллельных плоскостей с помощью их уравнений. Векторные уравнения прямых и плоскостей F.1—6.12) 6.1. Записать уравнение: 1) плоскости г = го + аи + bv в виде (г, n) = D\ 2) прямой г = го + at в виде [г, а] = Ь; 3) прямой [г, а] = b в виде г = го + at; 4) прямой (r,rii) = Di, г = 1,2, в виде [г,а] = Ь; 5) прямой (r,nj) = Di, г = 1,2, в виде г = го + at. 6.2. Найти необходимое и достаточное условие, при кото- котором плоскости (r,ni) = D\ и (г,П2) = 1?2-
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве 41 1) пересекаются по прямой; 2) параллельны, но не совпадают; 3) совпадают. 6.3. Найти необходимое и достаточное условие, при кото- котором прямые г = ri + ait и г = Г2 + ^t: 1) пересекаются (т.е. имеют единственную общую точку); 2) скрещиваются; 3) параллельны, но не совпадают; 4) совпадают. 6.4. Даны прямая г = ro + at и плоскость (r,n) = D. При каком необходимом и достаточном условии: 1) они пересекаются (имеют единственную общую точку); 2) они параллельны (не имеют общих точек); 3) прямая лежит в плоскости? 6.5. Найти радиус-вектор точки пересечения: 1) прямой г = го + at с плоскостью (г, n) = D (если (а, п) ф )\ 2) прямой [г, а] = b с плоскостью (г, n) = D (если (а, п) ф ). 6.6. Точка Мо определяется радиус-вектором го- Соста- Составить уравнения: 1) прямой, проходящей через точку М$ перпендикулярно плоскости (г,п) = D] 2) плоскости, проходящей через точку М$ перпендикуляр- перпендикулярно прямой г = ri + at. 6.7. Составить векторное уравнение плоскости, проходя- проходящей через прямую г = г о + at и точку Mi(ri), не лежащую на этой прямой. 6.8. Даны точка Мо(гд) и плоскость (r,n) = D. Найти ра- радиус-вектор: 1) проекции точки Mq на плоскость; 2) точки М\, симметричной с Mq относительно плоскости. 6.9. Даны точка Мд(го) и прямая г = ri +at. Найти ради- радиус-вектор: 1) проекции точки Mq на прямую; 2) точки Mi, симметричной с Мо относительно прямой. 6.10. Составить уравнения: 1) проекции прямой г = г о + at, не перпендикулярной плос- плоскости (r,n) = D, на эту плоскость;
42 Гл. 2. Прямая и плоскость 2) прямой, пересекающей прямую г = ri + at под прямым углом и проходящей через точку Мо(го), не лежащую на дан- данной прямой (перпендикуляра, опущенного из точки Mq(tq) на прямую г = ri + at); 3) прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые г = ri + ait и г = Г2 + а2^ и проходящей через точку Мо(го), не лежащую ни на одной из этих прямых; 4) прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые г = ri + ait и г = Г2 + a2t под прямыми углами (общего перпен- перпендикуляра к этим прямым). 6.11. Найти расстояние: 1) от точки Мо(го) до плоскости (r,n) = D; 2) между двумя параллельными плоскостями г = ri + з.и + + Ъу иг = Г2 + ап + Ьг>; 3) между двумя параллельными плоскостями (r,n) = D\ и 4) от точки Мо(го) до прямой г = ri + at; 5) от точки Мо(го) до прямой [г,а] = Ь; 6) между двумя параллельными прямыми г = ri + at и г = r2 + at; 7) между двумя параллельными прямыми [г, а] = fc>i и [г, а] =Ь2; 8) между двумя скрещивающимися прямыми г = ri + ait и г = г2 + а2*; 9) между двумя скрещивающимися прямыми [r,ai] = fc>i и [r,a2] =b2. 6.12. Даны прямая r = ro + at и плоскость (r,n) = D, не параллельные между собой. Точка М лежит на прямой и удалена от плоскости на расстояние р. Найти радиус-вектор точки М. В задачах 6.13—6.44 система координат общая декартова 6.13. Точка М лежит в плоскости Ах + By + Cz + D = О, вектор ММ\ имеет координаты (Л,Б,С). Доказать, что точка М± лежит в положительном полупространстве относительно данной плоскости. 6.14. 1) Зная параметрические уравнения плоскости: х = 1 + и — v, у = 2 + и + 2г>, z = — 1 — и + 2г>, составить ее общее уравнение. 2) Зная общее уравнение плоскости 2х — Зу + z + 1 = 0, со- составить ее параметрические уравнения.
6. Плоскость и прямая в пространстве 43 6.15. Доказать, что направляющий вектор а прямой, за- заданной в виде пересечения двух плоскостей А\х + В\у + C\z + +D\ = О, А2Х + В2У + C2Z + D2 = 0, можно находить по прави- правилу «векторного произведения» а = В2 С2 С2 А2 е2 А2 В2 не только в прямоугольной правой, но и в общей декартовой системе координат. 6.16. 1) Записать уравнения прямой ж = 2 + 3?, y = 3 — t, z = 1 +1 в виде пересечения двух плоскостей и в канонической форме. 2) Записать уравнения прямой х — ?/ + 2z + 4 = О, — 2х + у + -\-z + 3 = 0 в параметрической и канонической форме. 6.17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку АA, — 1, 2) и параллельной плоскости: 1) х - Зу + 2z + 1 = 0; 2) х = 5; 3) у = 4; 4) z = 3; 5) ж = 4 — u-\-v, у = 2-\-u-\-2v, z =—\-\-7u-\-3v. 6.18. Составить уравнения прямой, проходящей через точ- точку ЛA,3,1) и параллельной прямой: 1) х + у - z + 2 = 0, 2х + Зу + z = 0; 2) ж + 1 = у-2 = z + 2< ^3 4 21 ' 3) ж = 2,у = 3; 4) х = 0,^ = 0; с\ 7/ _ 1 у _ о О) у — —-L, /6 — Zi. 6.19. Составить уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 2) АC,2,5) и 5D,1,5); 3) А(-1,1,2) и 5E,1,2). 6.20. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (если эти точки определяют плоскость): 1) 4B,1,3), В(-1,2,5),СC,0,1); 2) 4A,-1,3), 5B,3,4), С(-1,1,2); 3LC,0,0), 5@,-1,0), С@,0,4); 4) 4B,1,1), 5B,0,-1), СB,4,3); 5) 4A,1,2), 5B,3,3), С(-1,-3,0). 6.21. Даны две плоскости. Установить, являются ли они пересекающимися, параллельными или совпадающими. Если
44 Гл. 2. Прямая и плоскость плоскости пересекаются, составить канонические уравнения линии пересечения. Плоскости заданы уравнениями: 1) Зж + 2/-? + 1 = 0и5ж + Зу + ? + 2 = 0; 2) х + у - 2z + 1 = 0 и 6z - Зх - Зу - 3 = 0; 3) —х + у + z = 1 и х — у — z = 2; 4)x = 3 + u + v, у = 2 — u + v, z = 3u — 2v и х = 5 — и, у = 3 + г>, z = u + 2v. 6.22. При каких а плоскости х + ay + z — 1 = 0 и ах + 9у + ^ ^ 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают? 6.23. Проверить, лежит ли данная прямая в плоскости х — — Зу + z + 1 = 0, параллельна этой плоскости или пересекает ее в единственной точке; в последнем случае найти координаты точки пересечения. Прямая задана уравнениями: 1 1 1 2) х = 2 + 3*, у = 7 + ?, z = 1 + ?; 3) х - у + 2z = 0, х + у - 3z + 2 = 0; 4) Зх - 2у - 1 = 0, 7у - 3z - 4 = 0; 5) ж = 2, у = 5 + t, z 6.24. При каких а прямая — = - = : 1) пересекает плоскость Зо?х + ay + z — 4а = 0; 2) параллельна этой плоскости; 3) лежит в этой плоскости? 6.25. Даны две прямые. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пе- пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. Прямые заданы уравнени- уравнениями: 1) ж + г - 1 = 0, 3x + y-z + 13 = 0 и х- 2у + 3 = 0, 2)x = 3 + t, y= —1 + 2*, z = 4 и x + y-z = 0, 2x-y + + 2z = 0; 3) x = 2 + 4t, y = -6t, z = -l-8t и ж = 7-6*, y = 2 + 9t, z = 12*; 4) x = 9*, у = 5*, г = -3 + * и 2ж - Зу - 3z - 9 = 0, 5) ж = 1 + 2*, y = 7 + t, z = 3 + U и ж = 6 + 3*, у = -1-2*,
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве 45 х — 1 у -1 z - (а- 2J 6.26. При каких а прямые = = — и а 1 а х_ _ у_ _ z< 1 ~ а ~ 1" 1) пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) совпадают? 6.27. Исследовать взаимное расположение трех плоскос- плоскостей; если существуют точки, одновременно принадлежащие трем плоскостям, найти координаты этих точек. Плоскости за- заданы уравнениями: 1) 2х + Зу - Az - 1 = 0, -х + Ъу - z - 3 = 0, Зх - 10у + 7z = = 0; 2) х + у — 2z + 1 = 0, —х — у + 2? + 1 = 0, 2ж + 2у — Az = 0; 3) х + 2у — z — 1 = 0, —2ж — 4у + 2z + 2 = 0, A + Az — Ах — - 8у = 0; 4) 5ж - 2у + 4 = 0, Зж + ? - 5 = 0, 8ж - 2у + z + 7 = 0; 5) 5х - 2у + 4 = 0, Зж + ? - 5 = 0, 8ж - 2у + ? - 1 = 0. 6.28. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ЛA,3,0) и параллельной прямым х + у — ? + 3 = 0, 6.29. Составить уравнение плоскости: ч „ ж-1 г/ + 2 z-1 1) проходящей через прямую = —— = и парал- параллельной прямой — = —-— = —-—; О 4 о 2) проходящей через прямую ж = 3 + *, у = 2 + 5*, ? = —1 + + 3* и параллельной прямой х = 4 — 2*, у = —8 + *, z = 5 + 2*. 6.30. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку т4(—1,1,2) и прямую, заданную уравнениями: 2) x + 5y-7z + l = 0, Зх - у + 2? + 3 = 0. 6.31. Составить уравнение плоскости, проходящей через х — 1 у-\-2 z — 1 х — 2 у две параллельные прямые = = и = - = 5 о 1 5 о z + 3 1 6.32. Доказать, что две данные прямые пересекаются и со- составить уравнение содержащей их плоскости: v x + l_y-2_z-5 ж + 5 8 j ^2" " ~Т~ " ~4~ И ^~ 2) ж = 1 + 3*, у = -1 + 4*, ? = + 2*, ? = 2 + 4*.
46 Гл. 2. Прямая и плоскость 6.33. Прямая проектируется на плоскость Oyz параллель- параллельно оси Ох. Составить уравнения проекции, если прямая задана уравнениями: 1) ж = 1 + 2*, у = 3*, z = l-t\ 2)x + y + z-l = 0, x + 2y-3z + 2 = 0. 6.34. Прямая проектируется на плоскость х + 2у — 3z + 2 = = 0 параллельно вектору 1B, 1, —1). Составить уравнения про- проекции, если прямая задана уравнениями: 1) х = 1 + 2*, у = 3*, z = -6 - *; 6.35. Три грани параллелепипеда лежат в плоскостях х -3^ + 18 = 0, 2x-4y + 5z-21 = 0, Qx + y + z - 30 = 0, а од- одна из его вершин А имеет координаты (—1, 3, 1). Составить уравнения остальных граней параллелепипеда и его диагона- диагонали, проходящей через вершину А. 6.36. Точки т4A, 0, 3) и В(—1, 2, 1) являются вершинами тетраэдра ABCD, точка К(—1, 5, 2) — серединой ребра ВС\ а точка М@, 1, 4) — точкой пересечения медиан грани BCD. Составить уравнения плоскостей, в которых лежат грани тет- тетраэдра. 6.37. Составить уравнения прямой, проходящей через точ- точку О@, 0, 0) и пересекающей две данные прямые: ?-8 = 0и2/-? + 1 = 0, х + у ; 2) х = 1 + 2*, y = 2 + 3t, ? = -*иж = 4*, у = 5-5*, я = = 3 + 2*. 6.38. Составить уравнения прямой, проходящей через точ- точку А{—1, 1, —1) и пересекающей две данные прямые: 1)ж-у + ? + 2 = 0, ж-2у + 3^-8 = 0иу-^ = 0, х + у- -2^ + 4 = 0; 6.39. Составить уравнения прямой, пересекающей две пря- ж + 3 у-Б z ж-10 у + 7 z мые = = - и = = - и параллельной пря- .Z о _1_ О 4r -L х + 2 у-1 г-3 6.40. Составить уравнения плоскостей, проходящих через х-1 у-1 z + 2 прямую = = и равноудаленных от точек (, 2, 5)иВC,0,-1).
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве 47 6.41. Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку ^4A, 0, 4) и равноудаленных от трех точек 5B, 1, 6), С(-2, 3, 2) и Я (8, 1,0). 6.42. Составить уравнения плоскостей, равноудаленных от четырех точек АA, -1, 3), БC, 3, 5), СA, 7, 3) и D E, 1, 5). 6.43. Плоскость m содержит точки А, В, С', 5и пересекает координатные оси Ож, Оу, О? в точках Р, Q, i?, а координатные плоскости Ожу, Ож?, От/2: — по прямым /х, /2? ^з- В плоскости m выбрана система координат Д ЛВ, ЛС. Известно, что точка S в этой системе координат имеет координаты C, 4), а точки Л, В, С в исходной пространственной системе координат имеют соответственно координаты: а) A, 2, 1), (-1, 3, 2), A, 4, 0); б) B, 1, 1), B, 3, 0), A, 1, 2); в) A, -1, 0), A, 0, -1), @, 1, 1). 1) Найти координаты точек Р, Q, Л, S1 и составить урав- уравнения прямых /i, /2, ^з в исходной пространственной системе координат. 2) Найти координаты точек Р, Q, R и составить уравнения прямых /i, /2, /3 в системе координат Л, ЛВ, ЛС 6.44 (р). Через вершину С\ параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ проведена плоскость, пересекающая продол- продолжения ребер АВ, AD и АА\ соответственно в точках So, Dq , |АВ0| |AD0| o\AAo\ и - * и Лд таких, что —-—- = -у-—р = о . Найти отношение ооъ- \АВ\ \AD\ \AAX\ ема параллелепипеда к объему тетраэдра В задачах 6.45—6.92 система координат прямоугольная 6.45. Найти нормальный вектор плоскости: 2) X = Xo + aiU + CL2V, у = yo + biU + b2V, Z = Zo 6.46. Составить уравнения прямой, проходящей через точ- точку АA, —1, 2) и перпендикулярной плоскости: 1) х - Зу + 2z + 1 = 0; 2) х = 5; 3) у = 4; 4) z = 3; 5) ж = 4 - гх + v, y = 2 + u + 2v, z = -l + 7u + 3v. 6.47. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ЛA, 3, 1) и перпендикулярной прямой: 2) * + 1_2/-2_^ + 2. о) х-2 v-3' z) ~^~ — ~^~ — ~^j~' 6) х — z, у — 6, 4)ж = 0, z = 0; 5)y = -l, z = 2.
48 Гл. 2. Прямая и плоскость 6.48. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А B, 1, —1) и перпендикулярной двум плоскостям: 6.49. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости х + Зу — z + 2 = 0 и проходящей через прямую: 1 1 1 } 2 3 4 ' 2) 2х - у + z = 0, х + 2у + z - 3 = 0. 6.50. В пучке, определяемом плоскостями x + 2y — 3z + + 5 = 0 и Ах — у + 3^ + 5 = 0, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку МA,3, 1). 6.51. Точка А лежит на прямой = - = , при- z о — 1 чем А равноудалена от точек 5C, 0, —2) и С(—1, 1, 5). Найти координаты точки А. 6.52. Найти расстояние от точки ^4C,1,—1) до плоскости: 1) х - у - bz + 2 = 0; 2) х - 2у + 2z - 2 = 0; 3) х - 2у + 2z + 7 = 0; 4) х - 2у + 2z = 0; 5) ж - 2у + 2z + 1 = 0; 6) х = 1; 7) у = 5; 8) * = 0. 6.53. Найти расстояние между параллельными плоскостями: 1) 6х - Зу + 2z + 5 = 0 и 6х - Зу + 2z - 9 = 0; 2) 2x + 2y-z + 3 = 0 и 2ж + 2у - z + 18 = 0; 3) Зх + 4z + 1 = 0 и 6х + 8z - 1 = 0. 6.54. 1) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 6х — Зу + 2z + 5 = 0 и отстоящих от нее на рассто- расстояние 3. 2) Составить уравнения плоскостей, параллельных плос- плоскости х + Зу — z + л/И = 0 и отстоящих от нее на расстояние 3. 3) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоско- плоскости 2х + 2у — ? + 3 = 0и отстоящих от точки АA,2, — 1) на рас- расстояние 3. 4) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоско- плоскости Зх + 4z + 1 = 0 и отстоящих от начала координат на рассто- расстояние 3. ПГ> 1 ill У I 1 6.55. Точка А лежит на прямой = - = . Расстоя- Расстояние от точки А до плоскости х + у + z + 3 = 0 равно л/3- Найти координаты точки А.
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве 49 х — 1 у — 3 z + 4 6.56. Точка А лежит на прямой = = , при- 1 о —5 чем А равноудалена от точки Б@,1,1) и от плоскости 2х — у + + 2z + 1 = 0. Найти координаты точки А. 6.57. Точки АA,—1,2) и ВC,0,4) являются вершинами куба ABC'DA\T5\C\D\. Вектор AD перпендикулярен прямой ж = 0, у — z = 0, а ориентация тройки векторов АВ, AD, АА\ совпадает с ориентацией тройки базисных векторов системы координат, причем сумма координат вектора АА\ отрицатель- отрицательна. Составить уравнения граней куба. 6.58. Точки А{—3,0,0) и ВC,0,0) являются вершинами правильного тетраэдра ABCD, вершина С удалена от коор- координатной плоскости Оху на расстояние Зд/2, причем все ко- координаты^ точки С неотрицательны. Ориентация тройки век- векторов АВ, AC\ AD совпадает с ориентацией тройки базисных векторов системы координат. Составить уравнения граней тет- тетраэдра. 6.59. Дана точка ,4C,-1,1). Найти: 1) координаты проекций точки А на координатные плос- плоскости и координаты точек, симметричных А относительно ко- координатных плоскостей; 2) координаты проекции точки А на плоскость х + 2у + + 2z + 6 = 0 и координаты точки, симметричной с А относи- относительно этой плоскости; 3) координаты проекции точки А на плоскость 2х + Зу + + Qz + 40 = 0 и координаты точки, симметричной А относи- относительно этой плоскости. 6.60. Составить уравнения прямой, симметричной прямой х-2 J/ + 1 z-2 = = относительно плоскости ох — у + z — 4 = 0. 6.61. Составить уравнения проекций на плоскость х + 5у — — z — 25 = 0 следующих прямых: ч ж + 1 _ У_ _ z-1 } ~1~~2~^~; 2) х - у + 2z - 1 = 0, Зх - у + 2z + 2 = 0; , х + 1 _у _ z-1 6.62. Найти угол между плоскостями: 1) x + 4y-z + l = 0nx + y-z-3 = 0; 2) x + 2y-z = ln x-y = 3; 3) x + 2y-2z = 0 и z = 5;
50 Гл. 2. Прямая и плоскость 4) х + 2у - z - 1 = 0 и Зх - Ъу - 7z = 0; 5) х + Зу- ? + 1 = 0 и х = 1-щ y = 2-3u-v, 2 = 7 + + U + V] 6) х - Зу + 2z + 1 = 0 и 6z - 9у + Зх + 5 = 0. 6.63. Найти угол между прямыми: v x-l_y-2_z + 3 ж + 1_г/_г-10< ^ 2 ~ 3 ~ -1 И -3 ~ 4 ~ 6 ' 3) x = 5-2t, y = 6 + 4t, z = 8tnx = l + t, у = -2t = 3-4*. 6.64. Найти угол между плоскостью 4x + 4y — 7z + l = 0 и прямой: ^ 4 " 4 " -7 ; ж-1_у+1_2; + 3 ' п ~^^~^Г' 6.65. Составить уравнения прямой, проходящей через точ- точку АA, 3, 2) параллельно плоскости Ожу и образующей: 1) угол 45° с прямой х = у, 2 = 0; 2) угол arcsin(l/\/l0) с плоскостью х — у = 1. 6.66. Составить уравнение плоскости, проходящей через X У точку А(—1,2,1) параллельно прямой — = — = — z ж образую- Z о щей угол 60° с прямой х = у, 2 = 0. 6.67. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x + 5y + z = 0, х — 2 + 4 = 0 и образующей угол 45° с плоскостью х — Ay — 8z + l = 0. 6.68. Доказать, что две данные прямые пересекаются, и составить уравнения биссектрис острого и тупого углов между ними: 1) ж = 4-4*, у = 1 + 4*, 2 =-5 + 7*иж =-3 + *, у = -1 + + 2*, 2 = -4 + 2*; 2) ж = 4 + *, у = 1-*, 2 = 5 + 4* и ж = -3-3*, у = 8 + 3*, 2 = 1; 3)ж = 1 + 2*, у = 2 + 3*, 2 = 11-6* и ж = 1 + *, т/ 2 = 7-*.
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве 51 6.69. Боковые стороны равнобедренного треугольника име- имеют общую вершину ЛC, 4, 5), две другие вершины лежат на осях Ох и Оу, а плоскость треугольника параллельна оси Oz. Найти углы треугольника и составить уравнение его плоскости. 6.70. Даны точка А B, — 1, 0) и прямая /. Вычислить рас- расстояние от точки А до прямой /; найти координаты проекции точки А на / и координаты точки В, симметричной с А от- относительно /; составить уравнения прямой, проходящей через точку А и пересекающей данную прямую под прямым углом («опустить перпендикуляр» из точки А на /). Прямая / задана уравнениями: U х~7 у~1 z~3 ' 3 ~~ 4 ~~ 2 ' 2) ж = 1 + 2*, у = 2 - 2?, я = -3 + ?; 3) 2ж + у - ;? + 1 = 0, ж + у + ? + 2 = 0. 6.71. Точка Л лежит на прямой ж — у — 3 = 0, 2у + ? = 0. Расстояние от точки А до прямой х = у = z равно л/б. Найти координаты точки А. 6.72. Найти расстояние между прямыми: ч х — 4 2/ + 1 z —1 ж —5 г/ z ^ 3 ~ 6 ~ -2 И -6 ~ ^12 ~ 4' 2) ж = 3 + 2*, у = 10 - 3?, z = 3 + 4t и ж = 1 + 3?, у = 1 - 2t, ^-1 = 0, ж + Зу-^ + 2 = 0 и 6.73. Даны прямые 1\ и /2. Составить уравнения их обще- общего перпендикуляра (т.е. прямой, пересекающей 1\ и l<i под пря- прямым углом); найти точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми; вычислить расстояние между 1\ и /2- Пря- Прямые заданы уравнениями: иж = 6 + ?, у =1 + 2*, ; 2) 2ж + 7у - 13 = 0, Зу - 2z - 1 = 0 и ж + у - 8 = 0, 2ж + + y-z = 0- , x-6_y-l_z-10 x + 4 _y-3 _ z-4 ' 1 ~ 2 ~ -1 И -7 ~ 2 ~ 3 6.74. Точки Л(-1, -3, 1), ВE, 3, 8), С(-1, -3, 5), ?>B, 1, —4) являются вершинами тетраэдра. Найти: 1) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D на грань ABC;
52 Гл. 2. Прямая и плоскость 2) длину высоты основания ABC', опущенной из вершины С на сторону АВ; 3) расстояние между скрещивающимися ребрами AD л ВС; 4) угол между скрещивающимися ребрами AD и ВС; 5) угол между ребром AD и гранью ABC. 6.75. Длина ребра куба ABCDA\B\C\D\ равна 1. Найти: 1) расстояние от вершины А до плоскости B\CD\; 2) расстояние между диагональю куба АС\ и скрещиваю- скрещивающейся с ней диагональю боковой грани CD\; 3) отношения, в которых точки пересечения общего пер- перпендикуляра к прямым АС\ и CD\ с этими прямыми делят отрезки АС\ и CD\. 6.76. Три грани ABCD, АВВ\А\ и ADD\A\ параллеле- параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ лежат соответственно в плоскостях 2х + Зу + 4z + 8 = 0, х + Зу — 6 = 0, z + 5 = 0; вершина С\ име- имеет координаты 6, —5, 1. Найти: 1) расстояние от вершины А\ до плоскости B\BD; 2) расстояние от вершины D до прямой АВ; 3) расстояние между прямыми АС и А\С\\ 4) расстояние между прямыми АА\ и ВС; 5) угол между прямыми АС и C\D\; 6) угол между плоскостями BDD\ и АСС\; 7) угол между прямой СА\ и плоскостью DCC\. 6.77. Найти необходимые и достаточные условия для то- того, чтобы тот из четырех двугранных углов, образованных дву- двумя пересекающимися не перпендикулярными плоскостями Aix + Вху + C\z + Di = 0 и А2х + В2у + C2z + D2 = 0, который содержит точку Mo(xo,2/o5?oM был: 1) острым; 2) тупым. 6.78 (р). Даны две плоскости х + 2у + 2z = 0 и 7х + 4у + +Az = 0. Третья плоскость т проходит через начало коорди- координат О так, что конец ее нормального вектора, отложенного из точки О, лежит в тупом двугранном угле, образованном дан- данными плоскостями. Косинусы острых двугранных углов между т и данными плоскостями равны 2/15 и 4/45 соответственно. Составить уравнение плоскости т. 6.79. Рассматривается тот двугранный угол между плос- плоскостями x — 2y + z + 3 = 0 и x + y + 2z = l, внутри которого лежит точка А(—1,0,0). Доказать, что множеством точек, лежащих внутри этого угла и удаленных от данных плоско-
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве 53 стей соответственно на расстояния уб и 2у6, является прямая. Составить уравнения этой прямой. 6.80. Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями х — z — 5 = 0 и Зж + 5?/ + -\-4iZ = 0, внутри которого лежит точка АA,1,1). 6.81. Составить уравнение биссекторной плоскости остро- острого двугранного угла между плоскостями х — z — 5 = 0 и Зх + 6.82. Грани тетраэдра заданы уравнениями х + 2у — 2z + +3 = 0, 4x-4y + 7z-9 = 0, 8x + 4y + z-3 = 0, y-z = 0. Со- Составить уравнения: 1) биссекторной плоскости внутреннего двугранного угла между первыми двумя гранями; 2) прямой, лежащей во внутреннем трехгранном угле меж- между первыми тремя гранями, все точки которой равноудалены от этих трех граней. 6.83. Вершинами тетраэдра являются точки ^4A, 2, 3), Б(-2, 8, 9), СE, 0, 7), L>C, 4, 2). Найти радиусы и координа- координаты центров вписанной и описанной сфер. 6.84. Найти радиус и координаты центра сферы, проходя- проходящей через точку ^4@,1,0) и касающейся плоскостей х + у = 0, 6.85. Найти координаты центра О и радиус г сферы, ка- касающейся плоскостей 5х — у + z — 17 = 0 и х + у — 2 + 11 = 0 и проходящей через точки А(—7, — 1,— 1) и 5A,1,1). 6.86. Найти координаты центра О и радиус г сферы, каса- касающейся плоскости х + 5у + z — 33 = 0 и проходящей через точ- точки ,4B,3,-2), Б(-2,3,4) и С@,-1,2). 6.87. Вершинами треугольника являются точки ЛA,2,3), БA,5,—1), GE,3,-5). Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной окружностей. 6.88. Доказать, что три плоскости х — 2у + 2z + 3 = 0, 2х + 2у + z — 6 = 0, Ъх + 14у — 2z — 21 = 0 не имеют общих то- точек, но три прямые, образованные при пересечении каждой пары этих плоскостей, параллельны, т.е. плоскости образуют призму. Найти радиус и уравнения оси прямой круговой ци- цилиндрической поверхности: 1) вписанной в эту призму; 2) описанной около нее. 6.89. В правильной четырехугольной пирамиде SMNPQ (S — вершина) точки Н и F — середины ребер MN и NP со-
54 Гл. 2. Прямая и плоскость ответственно. Точка Е лежит на отрезке SH, причем \SH\ = 3, \SE\ =9/4. Расстояние от точки S до прямой EF равно у/Ъ. Найти объем пирамиды. 6.90. В основании прямой призмы ABC'DA\B\C\D\ ле- лежит ромб ABCD с углом ZА = 60°. Длина стороны основания призмы равна а, длина бокового ребра равна л/За. Точка Е является ортогональной проекцией вершины С\ на плоскость AB\D\, а точка F — ортогональной проекцией точки Е на плос- плоскость AA\D\D. Найти объем пирамиды ADEF. 6.91. В правильной призме ABC А\В\С\ длина бокового ребра равна 3. Точка М — середина ребра АС, точка N лежит на ребре В\С\, а точка Р принадлежит грани АА\В\В и удале- удалена от плоскости ABC на расстояние 1. Известно, что угол в 30° образуют каждая из прямых РМ и PN с плоскостью АА\В\В и прямая PN с плоскостью ВВ\С\С. Найти объем призмы. 6.92. В правильной призме ABCА\В\С\ длина стороны основания равна 2а, длина бокового ребра равна а. Через вер- вершину А проведена плоскость перпендикулярно прямой АВ\, через вершину В — плоскость перпендикулярно прямой ВС\ и через вершину С — плоскость перпендикулярно прямой СА\. Найти объем многогранника, ограниченного этими тремя плос- плоскостями и плоскостью А\В\С\. Замена системы координат F.93—6.97) 6.93. Даны две системы координат О, ei, e2, ез и О7, е71? е^, е^. Начало второй системы координат имеет в первой систе- системе координаты aw, a2o, «зо, а базисные векторы второй систе- системы имеют в базисе первой системы координаты (an,a2i,a3i), («12,«22,^32), («13,«23,«зз) соответственно. В первой системе ко- координат плоскость задана уравнением Ах + By + Cz + D = 0. Составить уравнение этой плоскости во второй системе. 6.94. В пространстве даны четыре точки ЛA,2,1), Б(-1,3,0), GB,5,3), ?(-2,3,4) и плоскость 2х + у - 3z + 2 = 0. Составить уравнение этой плоскости в новой системе коорди- координат А, ~АВ, ~АС, ~AD. 6.95. Плоскости х - 2у + 3z - 6 = 0, 2х + у - z = 0, 4ж + z - — 5 = 0 являются соответственно плоскостями О'у'z', О'z'x', О'х'у1 новой системы координат, а точка ЛB,0,1) имеет в новой системе координаты 1,1,1.
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве 55 1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты xf, yf, zf в новой системе. 2) Составить в новой системе координат канонические уравнения прямой, которая в исходной системе задается урав- х-1 у + 1 z-2 нениями = = . 1 -4 -1 6.96. В прямоугольной системе координат О, ei, в2, ез плоскость задана уравнением Зх + 5у + y/2z + у/2 = 0. Начало новой прямоугольной системы координат находится в точке О'A,1,— 1), базисный вектор е73 противоположен вектору ез, а базисные векторы е^ и е72 получаются из векторов ei и в2 соответственно поворотом в содержащей ei и е2 плоскости на угол 45° в направлении кратчайшего поворота от ei к в2- 1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты ж7, у7, z' в новой системе. 2) Составить уравнение данной плоскости в новой системе координат. 6.97. Три плоскости, заданные в прямоугольной систе- системе координат уравнениями х + 2у — 2z + 3 = 0, 2х + у + 2z = 0, 2х — 2у — z + 3 = 0 (проверить, что они попарно перпендику- перпендикулярны), являются соответственно плоскостями Ofyfzf, Ofzfxf, О'х'у1 новой прямоугольной системы координат, а точка А(—1,0,0) имеет в новой системе положительные координаты. 1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты ж7, у7, z' в новой системе. 2) Составить в новой системе координат канонические уравнения прямых, заданных в исходной системе уравнениями х — 1 у — 1 z — 3 —-— = —-— = —-— и х = у = z. Вычислить в обеих системах Z 1 1 координат угол и расстояние между этими прямыми; убедиться в совпадении результатов.
Глава 3 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе используются следующие основные понятия: ал- алгебраическая кривая, кривая второго порядка, окружность, эллипс, гипербола, парабола, центр, вершина, ось, полуось, фокус, директри- директриса, эксцентриситет, хорда, асимптота, касательная, нор- нормаль, каноническое уравнение кривой второго порядка, централь- центральная кривая второго порядка. Система координат, если не оговорено противное, прямо- прямоугольная. Алгебраической кривой на плоскости называется множество всех точек плоскости, координаты (х,у) которых в некоторой декарто- декартовой системе координат удовлетворяют уравнению Ф(х,у)=0, где Ф(х,у) — многочлен от переменных х, у. Степень многочлена Ф(х,у) (максимальная степень k-\-l одночленов a^ixkyl, входящих в Ф{х,у)) называется порядком кривой. Порядок кривой не изменяется при за- замене системы координат. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О (А2+ Б2 + С2/0). A) Выражение Ах2 + 2Вху + Су2 называется квадратичной частью, 2Dx + 2Еу — линейной частью, F — свободным членом уравне- уравнения A). Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение кривой имеет канонический вид (см. таблицу 1 на с.59). Уравнение окружности радиуса R с центром в точке С(жо?2/о) имеет вид (x-xoJ + (y-yoJ = R2. B) Эллипс (рис. 1) имеет каноническое уравнение где а ^ Ъ > 0; большая полуось эллипса равна а, а малая равна Ъ. Вер- Вершинами эллипса называются точки (±а,0), @,±Ь). Фокусами эллип- эллипса называются точки Fi(c,0) и ^(—с,0), где с = ^/а2 — Ъ2. При а = Ъ эллипс есть окружность. Площадь части плоскости, ограниченной эллипсом, равна nab.
Гл. 3. Кривые второго порядка 57 Гипербола (рис. 2) имеет каноническое уравнение <7 7 О ? D) где а > О, Ь > 0; действительная полуось равна а, мнимая полуось равна Ъ. Вершинами гиперболы называются точки (±а,0). Фокусами F2(-c,0) Рис. 2 гиперболы называются точки Fi(c,0) и F2(—с,0), где с = \/^2 + ^2- 6 ж2 Асимптотами гиперболы являются прямые у = =Ь—ж. Гипербола — — а а2 2 2 2 — — = — 1 называется сопряженной к гиперболе —- — -— = 1 она Ъ2 а2 Ъ2 имеет те лее асимптоты, но ее ветви расположены в другой паре вер- вертикальных углов между асимптотами. Парабола (рис. 3) имеет каноническое уравнение E) где р > 0. Число р называют параметром параболы. Вершиной пара- параболы является начало координат, фокусом — точка F(p/2, 0). Эксцентриситет эллипса или гиперболы равен s = cja\ для эллип- эллипса 0 ^ е < 1, для гиперболы е > 1. Эксцентриситет параболы равен 1. У2 = 2
58 Гл. 3. Кривые второго порядка Расстояние от точки М(ж,т/), принадлежащей кривой второго порядка, до фокуса кривой называется фокальным радиусом точ- точки М. Для эллипса C) и гиперболы D) |MFi| = \a-exl \MF2\ = \a-\-sx . Фокальный радиус точки М(х,у), при- принадлежащей параболе E), равен х-\-р/2. Прямые х = ±а/е называются директри- директрисами эллипса C) и гиперболы D), (см. рис. 1 и 2). Директрисой параболы E) на- называется прямая х = — р/2, (см. рис. 3). Отношение расстояния от любой точки эллипса, гиперболы или параболы до фо- фокуса к ее расстоянию до соответствующей директрисы равно е. Хорды, проходящие через фокус кривой второго порядка, называются ее фокальными хордами. Пусть точка ЛТ(жо?2/о) лежит на кривой второго порядка. Каса- Касательная к кривой в этой точке определяется уравнением ^ис- az УУо Ъ2 = 1 для эллипса ал = 1; хх0 ууо * х У л — — = 1 для гиперболы — = 1; а2 Ъ2 а2 Ъ2 УУо = р(х -\- xq) для параболы у2 = 2рх и уравнением Ахх0 + В(хуо + хоу) + Сууо + D(x + х0) + Е(у + у0) + F = О для кривой, заданной общим уравнением A). Пусть кривая второго порядка задана уравнением Ф(ж,г/) = 0. Точка О(жо,уо) называется ее центром, если (Ф(жо + ^?2/о + Р) = = Ф(жо — а,уо — C) для любых чисел а и /3. Точка О(жо,2/о) — центр кривой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют системе уравнений Ах0 + Ву0 + D = О, ¦ 77^ _П F) Если линия второго порядка содержит хотя бы одну точку, то каж- каждый ее центр — центр симметрии, и каждый центр симметрии есть центр; однако центр определен и для линий, являющихся пустым множеством. Кривая называется центральной, если она имеет единственный центр. Центральными являются кривые первых пяти типов в табл. 1. Для них центр — начало канонической системы координат. Кривая является центральной в том и только том случае, когда А В В С 5 =
Гл. 3. Кривые второго порядка 59 Таблица 1 Название Эллипс «Мнимый эллипс» (пустое множе- множество) «Пара мнимых пересекающихся прямых» (точка) Гипербола Пара пересекающихся прямых Парабола Пара параллельных прямых «Пара мнимых параллельных пря- прямых» (пустое множество) Пара совпавших прямых Каноническое х2 2 az х2 у2 а2 Ь2 У У У2 ь2 X2 а2 ^2 ^2 2_ 2 _ О у2 У2 ь2 2 "б2" 2рх, а2, п2 —а , У2 = уравнение а>6>0 а ^ (J, о j? (J = 0 = 1 = 0 р>0 а/0 а/0 0 Всего имеется девять типов канонических уравнений кривых второго порядка. В таблице 1 перечислены эти уравнения вместе с названиями соответствующих типов кривых. Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает отыскание канонического уравнения кривой и канонической системы координат. Приведение к канониче- каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение относительно исходной системы координат. Приведение общего уравнения A) кривой к каноническому виду осуществляется в несколько шагов. Опишем их. 1. Если исходная система координат не прямоугольная, перейдем к какой-нибудь прямоугольной системе координат. При этом общий вид уравнения A) не изменится. Далее считаем систему координат прямоугольной. 2. Если в уравнении A) коэффициент 5/0, то следует перей- перейти к такой системе координат, чтобы в преобразованном уравнении коэффициент при произведении х'у' был равным нулю. Для это- этого систему координат надо повернуть вокруг начала координат на угол (р: х = xfcos(p — у'simp, у = xf sin (p + y'cos(p. G) Значение (р находится из уравнения 2Б cos 2<р + (С - A) sin 2(p = 0 (8)
60 Гл. 3. Кривые второго порядка или, при АфС, Уравнение (8) молено свести к уравнению tgV+—j^— tg<p-l = O. A0) Из нескольких возможных значений (р можно брать любое. При А = = С можно положить if = тг/4. Затем следует вычислить sin<^, cos 92, подставить их в формулы G) и выполнить в уравнении A) замену координат. 3. Если в уравнении A) уже нет члена с произведением перемен- переменных, следует, если возможно, добиться исчезновения линейных чле- членов. Это достигается переносом начала координат. А именно: если в уравнении имеются квадрат какой-либо переменной и одноимен- одноименный линейный член, то эта пара дополняется до полного квадрата и начало координат переносится вдоль оси координат так, чтобы в преобразованном уравнении линейного члена уже не было. Пример. „ 2 J 2 2L> D2\ D2 Ах2 + 2Dx = А (х2 + —х + -ту - —г = D\2 D2 Л ,2 D2 ) -Ax где x' = x + D/A. 4. Если уравнение A) содержит лишь три члена: квадрат одной переменной, первую степень другой и свободный член, то с помощью переноса начала координат вдоль оси, соответствующей линейному члену, можно добиться исчезновения свободного члена. Пример. Ах2 + 2Еу + F = Ах2 + 2Е (у + ^Л =0. Замена у + F/2E = у1 дает Ах2 + 2Еу' = 0. После выполнения указанных в пп. 1-4 действий мы придем к уравнению, которое отличается от канонического разве что число- числовым множителем, порядком координат, переносом членов из одной части уравнения в другую или знаком коэффициента при линейном члене. Такое уравнение удобно называть «почти каноническим». Для приведения уравнения к окончательной канонической форме следу- следует выполнить необходимые преобразования уравнения и замены си- системы координат. При этом можно обойтись без смены ориентации исходной системы координат. Изменение порядка координат дости- достигается дополнительным поворотом на 90°. Чтобы сменить знак ко- коэффициента при линейном члене уравнения, можно дополнительно
§ 7. Геометрические свойства и канонические уравнения 61 повернуть систему координат на 180°. При этом, почти канониче- каноническое уравнение Ах2 + 2Еу = 0 преобразуется х2 = (—2Е/А)у, замена х = — у', у = х' приводит к у'2 = (—2Е /А)х'. Если Е/А > 0, то требу- требуется еще замена х' = — х", у' = — у", после чего получается канониче- каноническое уравнение параболы у = 2рх"', где р = Е/А > 0. Для отыскания канонической системы координат выписываем каждую из формул перехода, подставляем их одна в другую и полу- получаем окончательное выражение исходных координат через канони- канонические х = а1Х + a2Y + а0, у = PiX + /^ + Аз- Коэффициенты этих формул дают координаты начала канонической системы координат О*(од,А)) и ее базисных векторов Ei(ai,/3i), Е2 @^2 5/^2) относительно исходной системы координат. Если система уравнений F) совместна (в частности, если S = = АС — В2 ф{) — случай центральной кривой), то упрощение урав- уравнения кривой удобно начинать с переноса начала координат в центр кривой: х = xq + ж;, у = у о + у'. Тогда в преобразованном уравнении коэффициенты при х' и у' обращаются в нуль (см. задачи 9.18, 9.20). Затем следует выполнить шаг 2. В первом приближении тип кривой второго порядка можно определить до упрощения ее уравнения по знаку 5. Кривая относится к эллиптическому типу (эллипс, мнимый эл- эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых) при S > 0; к гиперболи- гиперболическому типу (гипербола, пара пересекающихся прямых) при 5 < 0; к параболическому типу (остальные типы в табл. 1) при 6 = 0. Уравнение второго порядка A) в подходящей декартовой систе- системе координат приводится к одному из канонических уравнений: 1) х2 +у2 = 1; 2) х2 + у2 = -1; 3) х2 +у2 = 0; 4) х2 - у2 = 1; 5) х2-у2 = 0; 6) у2 =х; 7) у2 = 1; 8) у2 = -1; 9) у2 = 0. Таким образом, существуют 9 аффинных типов кривых второго по- порядка. § 7. Геометрические свойства кривых второго порядка и их канонические уравнения Окружность G.1-7.10) 7.1. Найти радиус и координаты центра окружности: 2 2 ) у у 2) х2 + у2 + Ъх - Ъу + 12 = 0; 3) 2х2 + 2у2 - \2х + у + 3 = 0; 4) 7х2 + 7у2-2х-7у-1 = 0. 7.2. При каком необходимом и достаточном условии урав- уравнение Ах2 + By2 + 2Сх + 2Dy + Е = 0 задает окружность? Вы- Выразить радиус и координаты центра окружности через коэф-
62 Гл. 3. Кривые второго порядка фициенты уравнения. 7.3. Составить уравнение окружности с центром в точке МB,2), касающейся прямой Зх + у — 18 = 0. 7.4. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы прямая Ах + By + С = 0: 1) не имела общих точек с окружностью (х — аJ + + (y-bJ = R2; 2) имела с этой окружностью две общие точки; 3) касалась этой окружности. 7.5. 1) Составить уравнение касательной, проведенной к окружности (х — IJ + (у + 2J = 25 в точке М(—3,1). 2) Составить уравнения касательных к окружности (х — IJ + (у + IJ = 9, проходящих через точку МA,4). 7.6. Составить уравнения касательных к окружности (ж + ЗJ + (у + IJ = 4, параллельных прямой Ъх — 12у + 1 = 0. 7.7. Проверить, что две данные окружности касаются, и составить уравнение их общей касательной, проходящей через точку касания: 1) (Ж-1J + (у-2J = 18, (Ж-5J + (у-6J = 2; 2) (Ж + 1J + (у-1J = 45, (Ж-1J + (у-5J = 5. 7.8. Составить уравнения общих касательных к окружно- окружностям (х - 2J + (у + IJ = 9 и (х - 4J + (у - ЗJ = 1. 7.9. Через точку Л, лежащую вне окружности, проведены прямая, касающаяся окружности в точке В, и еще одна пря- прямая, пересекающая окружность в точках СиД. Доказать, что \AB\2 = \AD\.\AC\. 7.10. Две окружности касаются внешним образом. Через точку их касания проведена прямая, пересекающая первую окружность еще в одной точке Л, а вторую окружность еще в одной точке В. Доказать, что касательные к окружностям в точках А и В параллельны. Множества точек на плоскости, при изучении которых используются уравнения кривых второго порядка G.11-7.20) 7.11. Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А ж В отношение |М"А|/|ЛГВ| по- постоянно и равно к > 0, является прямая линия при к = 1 и ок- окружность при кф\. Выразить радиус этой окружности через к и длину отрезка АВ.
§ 7. Геометрические свойства и канонические уравнения 63 7.12. Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А ж В сумма |МЛ| + |ЛГВ| посто- постоянна и равна 2а, является эллипс с фокусами Ал В. Выразить длины полуосей этого эллипса через а и длину отрезка АВ. 7.13. Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А и В модуль разности \МА\ — \МВ\ постоянен и равен 2а, является гипербола с фоку- фокусами А л В. Выразить полуоси этой гиперболы через а и длину отрезка АВ. 7.14. Доказать, что множеством точек, равноудаленных от фиксированной точки А и фиксированной прямой /, является парабола с фокусом А и директрисой /. 7.15. Определить множества точек, которые в прямо- прямоугольной системе координат задаются неравенствами: 1)Ж2 + (у + 2J^4; / 1\2 2) ( + ) 3) х2 + у2 + Зх<0, у <0; 4) -1 ^ х2 + у2 - 2х + 2у ^ 7; х2 7) 1^+у2^9; 8) 4ж2 - 4ж + 9у2 + 6у + 1 < 0; 9) VQr-lJ + j/2 + У(Ж + 1J + у2< 6; 10) ^(Ж2 + (у _ 1J + ^Ж2 + {у + 1J > 4; 13) "> 15) |3ж2-9у2|>1; 16) у/(х - 2J + у2 - ^/(а; + 2J + у2 < 2; 17) у2 ^ 4Ж; 18) у2 > 6ж;
64 Гл. 3. Кривые второго порядка 19) х ^ у2 ^ Зж; 20) -2ж-ж2 <у2 < -2ж. 7.16. Какие кривые на плоскости задаются следующими параметрическими уравнениями: 1) х = 3cos?, у = 3sin?, 0 ^ t < 2тг; 2) ж = 1 + 2cos?, у = 2 + 2sint, 0 ^ * < 2тг; 3) ж = cost, у = sint, 0 ^ ? < тг? 7.17. Доказать, что параметрические уравнения х = хо + + acost, у = уо + bsint (а > 0, Ь > 0) задают эллипс с центром в точке (жо,2/о) и с полуосями а и Ь. 7.18. Доказать, что параметрические уравнения х = хо + + acht, у = уо + bsht, где a > 0, Ь > 0, задают правую ветвь ги- гиперболы с центром в точке (жо, уо) и с полуосями аиб. Как нуж- нужно изменить эти уравнения, чтобы задать обе ветви гиперболы? 7.19. Изобразить множество точек, которое в полярных координатах задается уравнением: 1) г = 1; 2) г = ; 2-cos^' ; sin2 (<p/2)' 7.20. На плоскости дан отрезок АВ (\АВ\ = а). Найти мно- множество точек М таких, что угол при вершине А в треугольнике АВМ вдвое больше угла при вершине М. Эллипс G.21-7.34) 7.21. Точка А лежит вне эллипса с фокусами F\, i*2, отрез- отрезки AF\, AF2 пересекают эллипс в точках В, D соответственно, и С — точка пересечения отрезков F\D, F^B. Доказать, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. 7.22. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса: 5 § 3) 9х2 + 25у2 = 225; 4) 4х2 + у2 = 1. 7.23. Дан эллипс 25ж2 + 144у2 = 1. Определить, лежит ли точка А на эллипсе, внутри или вне его: 1)АA,1/6); 2LA/13,1/13); 3LA/6,-1/24).
§ 7. Геометрические свойства и канонические уравнения 65 7.24. Вычислить длину фокальной хорды эллипса х2 у2 1 = 1, перпендикулярной большой оси. 7.25. В данной системе координат эллипс имеет канониче- каноническое уравнение. Составить это уравнение, если: 1) расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно 10; 2) хорда, соединяющая две вершины эллипса, имеет дли- длину 5 и наклонена к его большой оси под углом arcsinC/5); 3) фокусами эллипса являются точки (±1,0), а точка (л/3, л/3/2) принадлежит эллипсу; 4) фокусами эллипса являются точки (±2,0), а директри- директрисами являются прямые х = ±18; 5) расстояние от директрисы до ближайшей вершины рав- равно 4, а до вершины, лежащей на оси Оу, равно 8; 6) треугольник с вершинами в фокусах и в конце малой оси правильный, а диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7; 7) отрезок оси Ох между фокусом F\ и дальней верши- вершиной А большой оси делится вторым фокусом i^ пополам, а расстояние от F2 до прямой, проходящей через А и вершину малой оси, равно l/\/Tf; 8) директрисами эллипса являются прямые х = ±4, а че- четырехугольник с вершинами в фокусах и концах малой оси — квадрат; 9) эксцентриситет эллипса равен л/7/4, а четырехугольник, вершинами которого являются вершины эллипса, описан около окружности радиуса 4,8. 7.26. Вычислить эксцентриситет эллипса, если: 1) расстояние между фокусами равно среднему арифмети- арифметическому длин осей; 2) отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси делится вторым фокусом в отношении 2:1; 3) расстояние от фокуса до дальней вершины большой оси в 1,5 раза больше расстояния до вершины малой оси; 4) отрезок между фокусами виден из конца малой оси под прямым углом; 5) большая ось видна из конца малой оси под углом 120°; 6) отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси виден из конца малой оси под прямым углом;
66 Гл. 3. Кривые второго порядка 7) стороны квадрата, вписанного в эллипс, проходят через фокусы эллипса. 7.27. Составить уравнения сторон квадрата, вписанного в х2 у2 эллипс ^¦ + т^~ = 1> (а> Ь> 0). Какую часть площади, ограни- CL О ченной эллипсом, составляет площадь этого квадрата? 7.28. Найти множество точек, являющихся серединами о о X У хорд эллипса 1 = 1, параллельных прямой х + 2у = 1. 25 9 7.29. Через точку ^4G/2,7/4) провести хорду эллипса х2 + -\- 4у2 = 25, делящуюся в этой точке пополам. 7.30. Через точку М@,3) провести прямую, пересекаю- пересекающую эллипс х2 + 4у2 = 20 в двух точках Аи В так, что \МА\ = = 2\МВ\. х2 7.31. На эллипсе \-у2 = 1 найти точки, из которых от- отрезок, соединяющий фокусы, виден: 1) под прямым углом; 2) под углом 60°; 3) под наибольшим углом. 7.32. Составить уравнения семейств эллипсов: 1) с общими фокусами (±с,0); 2) с общими директрисами х = did и общим центром в на- начале координат. 7.33. Составить уравнение эллипса, если: 1) точки i^iE,l) и i^2(—1,1) являются фокусами, а прямая х = 31/3 — одной из директрис; 2) точка F(—6,2) является одним из фокусов, точка Л B, 2) — концом большой оси, эксцентриситет равен 2/3; 3) оси эллипса параллельны осям координат, точки АD,0) и В@,4) принадлежат эллипсу, а точка В находится на рассто- расстоянии Зд/2 от одного из фокусов и на расстоянии 6 от соответ- соответствующей директрисы. 7.34. Пусть О — центр эллипса, а, Ъ — его полуоси, a A и В — такие точки эллипса, что прямые О А и ОВ взаимно перпендикулярны. 1) Доказать, что величина + ——— постоянна для \ОА\ \ОВ\ всех возможных пар точек А л В. 2) Найти наибольшее и наименьшее значения длины отрез- отрезка АВ.
§ 7. Геометрические свойства и канонические уравнения 67 Гипербола G.35-7.50) 7.35. Найти полуоси, эксцентриситет, координаты фоку- фокусов, составить уравнения директрис и асимптот гиперболы: 9 9 9 9 !! 3) ?-? = !; 4) •-*> = !; 5) ху = 1; 6) жу= -2. 7.36. Дана гипербола ЮОж2 — Збу2 = 1. Определить, лежит ли точка А на гиперболе, внутри одной из ее ветвей или между ветвями: 1) ЛA/8,-1/8); 2) ЛA,1); 3) АA,7); 4) А(-1/2,0). 7.37. Вычислить длину фокальной хорды гиперболы — = 1, перпендикулярной действительной оси. т:С/ 7.38. В данной системе координат гипербола имеет кано- каноническое уравнение. Составить это уравнение, если: 1) расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12; 2) длина вещественной оси равна 1, а точка A,3) принад- принадлежит гиперболе; 3) директрисами гиперболы являются прямые х = ±л/5/6, а точка (—9,4) принадлежит гиперболе; 4) длина мнимой полуоси равна 1, а вершина гиперболы делит отрезок между фокусами в отношении 4:1; 5) эксцентриситет гиперболы равен 7/5, а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2; 6) точка G, —2д/3), принадлежащая гиперболе, удалена от левого фокуса на расстояние 4д/7; 7) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 60°, а расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно |B - л/5); 8) точка (—5/4, 3/2) принадлежит гиперболе, а асимптота- асимптотами являются прямые у = ±2ж; 9) точка (—1, 3) принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые у = ±2ж. 7.39. Составить каноническое уравнение гиперболы, со- содержащей точку (—1,3) и имеющей асимптоты у = (сравнить с задачей 7.38, 9)).
68 Гл. 3. Кривые второго порядка 7.40. Вычислить эксцентриситет гиперболы, если: 1) ее полуоси равны (равносторонняя гипербола); 2) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 120°; 3) асимптотами гиперболы являются прямые у = ±3ж. 7.41. Вычислить эксцентриситет гиперболы, имеющей в данной системе координат каноническое уравнение, если: 1) расстояния от точки М E, — 4), принадлежащей гипербо- гиперболе, до директрис относятся как 2:1; 2) сумма расстояний от точки JV(—5,— 4) до асимптот ги- гиперболы равна 20/3. 7.42. Выразить эксцентриситет гиперболы через эксцен- эксцентриситет е эллипса, имеющего с этой гиперболой общие фо- фокальные хорды, перпендикулярные действительной оси. 7.43. Составить уравнение гиперболы, которая имеет об- общие фокальные хорды, перпендикулярные действительной х2 у2 оси, с эллипсом 1 = 1. о о 7.44. Найти множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы х2 — 2у2 = 1, параллельных прямой 2х — у = 0. 7.45. Через точку ^4D,4) провести хорду гиперболы х2 у2 = 1, делящуюся в этой точке пополам. о 4 у2 7.46. На гиперболе х2 = 1 найти точки, из которых отрезок, соединяющий фокусы, виден: 1) под прямым углом; 2) под углом 60°; 3) под наибольшим углом. 7.47. Составить уравнения семейств гипербол: 1) с общими фокусами (±с,0); 2) с общими директрисами х = did и общим центром в на- начале координат; 3) с общими асимптотами у = ±кх. 7.48. Составить уравнение гиперболы, если: 1) точки -FiC, —2) и i*2E, —2) являются фокусами, а пря- прямая х = 7/2 — одной из директрис; 2) точка i^(l,3) является одним из фокусов, точка Л (—4, 3) — вершиной, а эксцентриситет равен 3/2; 3) точка F @, 0) является одним из фокусов, а прямые х±у + 2 = 0 — асимптотами.
§ 7. Геометрические свойства и канонические уравнения 69 7.49. Доказать, что для данной гиперболы следующие вели- величины постоянны, и выразить их через полуоси а, Ъ гиперболы: 1) произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот; 2) площадь параллелограмма, одна из вершин которого ле- лежит на гиперболе, а две стороны лежат на асимптотах. 7.50. Доказать, что вершины гиперболы и четыре точ- точки пересечения ее директрис с асимптотами лежат на одной окружности. Выразить радиус этой окружности через длину действительной полуоси. Парабола G.51-7.64) 7.51. Найти координаты фокуса и составить уравнение ди- директрисы параболы: 1) у2 = 2рх, р > 0; 2) у2 = -рх, р > 0; 3) у2 = 6ж; 4) у2 = -Зж; 5) у = ж2; 6) у = -\/Зж2. 7.Ъ2. Как расположены по отношению к параболе у2 = 10ж следующие точки: 1) E, -7); 2) (8, 9); 3) E/2, -5)? 7.53. Вычислить длину фокальной хорды параболы у2 = = ж/5, перпендикулярной оси параболы. 7.54. В данной системе координат парабола имеет канони- каноническое уравнение. Составить это уравнение, если: 1) точка E,-5) принадлежит параболе; 2) расстояние от фокуса до директрисы равно 12; 3) длина хорды, проходящей через фокус под углом 45° к оси параболы, равна 18. 7.55. Найти уравнение множества точек, являющихся се- серединами хорд параболы у2 = Зж, параллельных прямой 2х + Зу-5 = 0. 7.56. Доказать, что середины хорд параболы, параллель- параллельных некоторой прямой, лежат на прямой, параллельной оси параболы. 7.57. Через точку АE,3) провести хорду параболы у2 = = 6ж, делящуюся в этой точке пополам. 7.58. На параболе у2 = 10ж найти точку М такую, что: 1) прямая, проходящая через точку М и фокус параболы, образует с осью Ох угол 60°;
70 Гл. 3. Кривые второго порядка 2) площадь треугольника с вершинами в искомой точке М, фокусе параболы и точке пересечения оси параболы с дирек- директрисой равна 5; 3) расстояние от точки М до вершины параболы равно рас- расстоянию от М до фокуса; 4) расстояния от точки М до вершины параболы и до фо- фокуса параболы относятся как 8 : 7. 7.59. Найти множество значений, которые может прини- принимать отношение расстояния от точки параболы до ее вершины к расстоянию от той же точки до фокуса. 7.60. Составить уравнение параболы с параметром р, вер- вершина которой имеет координаты (a,ft), a направление оси сов- совпадает: 1) с положительным направлением оси Ох\ 2) с отрицательным направлением оси Ох\ 3) с положительным направлением оси Оу] 4) с отрицательным направлением оси Оу. 7.61. Составить уравнения семейства парабол: 1) имеющих общий фокус @,0) и симметричных относи- относительно оси Ох; 2) имеющих общую директрису х = 0 и симметричных от- относительно оси Ох. 7.62. Составить уравнение параболы, если: 1) точка i^G,0) является фокусом, а прямая х = 1 — ди- директрисой; 2) точка FG,0) является фокусом, а прямая х = 8 — ди- директрисой; 3) точка F@,l) является фокусом, парабола симметрична относительно оси Оу и касается оси Ох; 4) ось параболы параллельна оси Оу, фокус лежит на оси Ох, парабола проходит через начало координат и высекает на оси Ох отрезок длины 6. 7.63. Найти наибольший радиус окружности, лежащей внут- внутри параболы у2 = 2рх и касающейся этой параболы в ее вершине. 7.64. Две параболы, оси которых взаимно перпендикуляр- перпендикулярны, имеют четыре точки пересечения. Доказать, что эти четыре точки лежат на одной окружности. 7.65. Кривые у = х5 — 5лх = 3 — у2 пересекаются в четы- четырех точках, лежащих на одной окружности. Найти координаты центра этой окружности.
§ 8. Касательные к кривым второго порядка 71 § 8. Касательные к кривым второго порядка 8.1. Составить уравнение касательной к кривой: 1) ^ + ^ = 1 в точке C, 1); 2) ^ + § = 1 3) у-^ = 1вточке(-3, 0); 4) |^-^ = 1 в точке F, 1); 5) ху = 8 в точке D, 2); 6) у2 = 6х в точке C/2, 3). 8.2. Составить уравнение касательной к кривой: ij ~^~ + ""б2""" ~х' ^j —^ W~ ~ ^ 3) ху = fc; 4) (у — /ЗJ = 2р (ж — а) в точке (жо, УоM принадлежащей данной кривой. 8.3. При каком необходимом и достаточном условии пря- прямая Ах + By + С = 0 касается: 9 9 9 9 х у х у 1) эллипса — -\—- = 1; 2) гиперболы — = 1; а2 о2 а1 Ь1 9 9 X У 3) гиперболы — — — = — 1; 4) гиперболы ху = к] 5) параболы у2 = 2рж? 8.4. При каком необходимом и достаточном условии век- вектор 1(а,/3) является направляющим вектором некоторой каса- ж2 у2 тельной к гиперболе — = 1? а1 Ь1 8.5. Проверить, что данная прямая касается данной кри- кривой, и найти координаты точки касания: 1K,-2^-24 = 0, g + g = i; 3) Зж - 16у + 24 = 0, жу = -3; 4) ж + у + 1 = 0, у2 = 4ж. 8.6. Составить уравнения касательных к эллипсу 2 х2 30 24 1) параллельных прямой 2х — у — 1 = 0;
72 Гл. 3. Кривые второго порядка 2) перпендикулярных этой же прямой; 3) образующих угол 45° с прямой х + Зу + 3 = 0. 8.7. Составить уравнения касательных к гиперболе х2 у2 = 1, параллельных прямой: zo Id 1) 4х = Зу; 2) х = 1; 3) х - 2у + 1 = 0. 8.8. Составить уравнение касательной к параболе у2 = = 10ж, перпендикулярной прямой: 1) 2х + у - 4 = 0; 2) у = 3; 3) ж = 0. 8.9. Какие точки на данной кривой второго порядка уда- удалены на наименьшее расстояние от данной прямой? Найти это расстояние. 2) |*2 + ^2 = 1, Зх + 4у = 0; 3) 6ж2 - 5у2 = 19, 12ж + Ъу - 6 = 0; 4) 6ж2 - 5у2 = 19, 12ж + 5у = 0; 5) у2 = 64ж, 4ж - Зу - 76 = 0. 8.10. Дан эллипс х2 + 2у2 = 1. Найти расстояния: 1) от фокусов эллипса до касательной к нему в точке , 2/3); 2) между касательными к эллипсу, параллельными прямой х + у = 1. 8.11. Составить уравнение эллипса, оси которого совпада- совпадают с осями координат, если он: 1) содержит точку А(—3,2) и касается прямой Ах — 6у — -25 = 0; 2) касается прямых х + у — 5 = 0иж + 4у — 10 = 0. 8.12. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпа- совпадают с осями координат, если она: 1) содержит точку ЛD,— 2у2) и касается прямой Зх + у + + 8 = 0; 2) касается прямых х = 1 и Ъх — 2у + 3 = 0. 8.13. Составить уравнение гиперболы с асимптотами л/Зх ± у = 0, касающейся прямой 2ж — у — 3 = 0. 8.14. Составить уравнение параболы: 1) симметричной относительно оси Оу и касающейся пря- прямых у + 2х = 0, 8х - 2у - 3 = 0;
§ 8. Касательные к кривым второго порядка 73 2) заданной каноническим уравнением и касающейся пря- прямой х + у + 1 = 0. х2 у2 8.15. Составить уравнения нормалей к эллипсу 1 = 4r A = 1, образующих угол 45° с его большой осью. 8.16. Составить уравнение касательной к параболе у2 = = — 8ж, отрезок которой между точкой касания и директрисой делится осью О у пополам. 8.17. Пусть О — вершина параболы, М — произвольная ее точка, 1\ тя. 1% — касательные к параболе в точках О и М, N — точка пересечения прямых 1\ и /25 Р — проекция отрезка ОМ на 1\. Доказать, что точка N делит отрезок ОР пополам. Указать вытекающий отсюда способ построения касательной к параболе. 8.18. Доказать, что: 1) отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания пополам; 2) все треугольники, образованные асимптотами гипербо- гиперболы и произвольной касательной к ней, имеют одну и ту же площадь; выразить эту площадь через полуоси гиперболы. 8.19. Доказать, что хорда, соединяющая точки касания эл- эллипса (гиперболы) двумя параллельными прямыми, проходит через центр кривой. 8.20. Доказать, что середины хорд эллипса (гиперболы), параллельных некоторой прямой /i, лежат на одной прямой /2- При этом касательные к кривой в точках ее пересечения с прямой /2 параллельны прямой 1\. 8.21. Составить уравнения сторон квадрата, описанного 2 2 X У около эллипса 1 = 1. 5 4 8.22. Составить уравнения сторон правильного треуголь- х2 ника, описанного около эллипса \-у2 = 1, если: 1) одна из вершин треугольника лежит на оси Ох; 2) одна из вершин треугольника лежит на оси Оу. 8.23. При каком необходимом и достаточном условии через точку Мо(жо,2/о) можно провести две касательные: о о о о X V X V 1) к эллипсу -— + —- = 1; 2) к гиперболе -—-—- = 1; а2 о2 а2 Ъ2 3) к параболе у2 = 2рх?
74 Гл. 3. Кривые второго порядка 8.24. Составить уравнения касательных к эллипсу X У —¦ + -— = 1, проходящих через точку: 18 8 2 1) (-6, 0); 2) B,7; у/7); 3) (-4,-->/2); 4) A, 2). 8.25. Составить уравнения касательных к гиперболе — у2 = 1, проходящих через точку: 1) (-2, 2); 2) A,6; 0); 3) D, лД); 4) D, 1); 5) (8, 4); 6) @, 0). 8.26. Составить уравнения касательных к параболе у2 = 16ж, проходящих через точку: 1) A, -2); 2) A, 4); 3) A, 5). Если этих касательных две, то вычислить площадь треуголь- треугольника, образованного касательными и директрисой. 8.27. Через точку М"о(жо>Уо) проведены две касательные к кривой второго порядка. Доказать, что прямая, проходящая через точки касания, задается уравнением: ч хх0 ууо х2 у2 1) —z- + -г^- = 1 для эллипса -— + —- = 1; а1 Ъ1 а1 Ъ1 ч хх0 ууо х2 у2 2) —Г ~ Чг = 1 Для гиперболы —- - |- = 1; 3) уу0 = р(х + xq) для параболы у2 = 2рх. 8.28. Составить уравнения общих касательных к двум кривым второго порядка: « + S^^ 3) у 2 4) %г-У2 = 9 У 7) у2 = -ж и у2 = ж-1. 8.29. Доказать, что: 1) нормаль к эллипсу в произвольной его точке делит по- пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы эллипса;
§ 9. Общая теория кривых второго порядка 75 2) касательная к гиперболе в произвольной ее точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точ- точки и проходящими через фокусы гиперболы; 3) нормаль к параболе в произвольной ее точке делит по- пополам угол, образованный лучом, выходящим из этой точки и проходящим через фокус параболы, и лучом, выходящим из этой точки, лежащим внутри параболы и параллельным ее оси. 8.30. Доказать, что: 1) касательные в точках пересечения эллипса и гиперболы, имеющих общие фокусы, взаимно перпендикулярны; 2) касательные в точках пересечения двух парабол с об- общим фокусом и противоположно направленными осями взаим- взаимно перпендикулярны. 8.31. Из произвольной точки директрисы кривой второго порядка проведены две касательные к этой кривой. Доказать, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через фо- фокус, соответствующий этой директрисе. 8.32. Составить уравнения касательных к кривой бху + 8у2 - \2х - 26у + 11 = 0: 1) параллельных прямой 6х + 17у — 4 = 0; 2) перпендикулярных прямой 41ж — 2Ау + 3 = 0; 3) параллельных прямой у = 2. 8.33. Составить уравнения касательных к кривой Ъх2 + + бху + Ъу2 — 16ж — 16у — 16 = 0, проходящих через точку: 1) C,3); 2) @,-0,8); 3) @,1). § 9. Общая теория кривых второго порядка Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (9.1—9.10) 9.1. Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему коор- координат: 1) 6х2 + 6у2 + 6х-2у-1 = 0] 2) 9х2 - 16у2 -6х + 8у- 144 = 0; 3) 9х2 + 4у2 + 6х-4у-2 = 0] 4) 12ж2 - 12ж - 32у - 29 = 0; 5) 9у2-7у-16 = 0- 6) 2х2 + у2 + 4х - 6у + 11 = 0; 7) 2х2 + у2 + 4х
76 Гл. 3. Кривые второго порядка 8) 4ж2 - 25у2 -2х- 75у + 44 = 0; 9) 25х2 - ЗОх + 9 = 0; 10) 45ж2 - Збу2 - 90ж - 24т/ + 41 = 0. 9.2. При каком необходимом и достаточном условии урав- уравнение Ах2 + By2 + 2Сх + 2Dy + E = 0 задает: 1) эллипс; 2) гиперболу? 9.3. Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему коор- координат: 1) 2х2 + 6ху + 10у2- 121 = 0; 2) 3) ; 4) 18ж2 + 24жт/ + 11у2 - 3 = 0; 5) х2- 2 6) 2 7) 8) 9.4. Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему коор- координат: 2) (р) Аху - Зу2 - 4х + 10у - 6 = 0; 3) 9ж2 - 24ху + 16у2 - 8х + 19у + 4 = 0; 4) х2 - ху + у2 + х + у = 0; 5) ху + 2х + у = 0] 6) х2 - 2ху + у2 - Wx - 6у + 25 = 0; 7) 5х2 + 12ху + 10у2 - 6х + 4у - 1 = 0; 8) 8ж2 + 34ху + 8у2 + 18ж - 18у -17 = 0; 9) 25ж2 - ЗОху + 9у2 + 68ж + 19 = 0; 10) 8ж2 + бху + 6х + Зу + 1 = 0; 11) 4ж2 + 12жу + 9у2 -8х-12у-5 = 0] 12) 225ж2 - 240ж?/ + 64у2 + ЗОж - 16у + 1 = 0; 13) ж2 + 2жу + у2 - Ъх - Ъу + 4 = 0; 14) Ъх2 - бху + 5у2 + 2х- Uy + 13 = 0; 15) х2 - 2ху + у2 + 8х-8у + 22 = 0] 16) 15ж2 + 24ху + 15у2 + ЗОж - 24у - 20 = 0; 17) 15ж2 - 16ху - \Ъу2 - Шх - Uy - 13 = 0. 9.5. Доказать, что кривая второго порядка, заданная урав- уравнением 34ж2 + 24ху + 41у2 — Ых + 58у + 1 = 0, является эллип-
§ 9. Общая теория кривых второго порядка 77 сом. Найти длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составить уравнения осей и ди- директрис. 9.6. Доказать, что кривая второго порядка, заданная урав- уравнением 7х2 + 48ху — 7 у2 — 62ж — 34?/ + 98 = 0, является гипербо- гиперболой. Найти длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составить уравнения осей, ди- директрис и асимптот. 9.7. Доказать, что кривая второго порядка, заданная урав- уравнением х2 + 2ху + у2 + х = 0, является параболой. Найти пара- параметр этой параболы, координаты вершины и фокуса, составить уравнения оси и директрисы. 9.8. Пусть М(ж, у) = Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F — многочлен второй степени от координат (ж, у) точки в прямо- прямоугольной системе координат. Обозначим А В D 6 = А В А = В С D E F ВСЕ Доказать, что величины S, 5, А не изменяются при переходе к другой прямоугольной системе координат (т.е. являются орто- ортогональными инвариантами многочлена М(х^у)). 9.9. Кривая второго порядка в прямоугольной системе ко- координат задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + + F = 0. Доказать следующие утверждения (обозначения см. в задаче 9.8): 1) Корни Ai и Л2 характеристического уравнения Л2 — SX + + 6 = 0 вещественны, и хоть один из них отличен от нуля. 2) Кривая является гиперболой тогда и только тогда, когда 5 < 0 и А ф 0. Выразить полуоси гиперболы через 5, A, Ai, Л2. 3) Кривая является эллипсом тогда и только тогда, когда 5 > 0, a SА < 0. Выразить полуоси эллипса через 5, A, Ai, A2. 4) Кривая является параболой тогда и только тогда, когда 5 = 0, а А^О. Выразить параметр параболы через S и А. 9.10. Применяя ортогональные инварианты (задачи 9.8 и 9.9), определить тип и составить каноническое уравнение кривой: 1) х2 + Зху -Зу2 + 5х-7у + 1 = 0; 2) 5х2 + 2ху + Ъу2 - \2х + 20?/ + 32 = 0; 3) х2 - 4ху + 4у2 + 2х + 13 = 0.
78 Гл. 3. Кривые второго порядка Кривые второго порядка в общей декартовой системе координат (9.11—9.22) 9.11. Доказать, что: 1) кривая, заданная уравнением ж2+у2 = 1, является эл- эллипсом; 2) кривая, заданная уравнением х2 — у2 = 1, является ги- гиперболой; 3) кривая, заданная уравнением у2 = ж, является пара- параболой; 4) уравнение х2 — у2 = 0 задает пару пересекающихся прямых; 5) уравнение х2 + у2 = 0 задает одну точку; 6) уравнение у2 — 1 = 0 задает пару параллельных прямых; 7) уравнение у2 = 0 задает одну прямую (пару совпавших прямых); 8) кривая, заданная уравнением ху=1, является гипер- гиперболой; 9) кривая, заданная уравнением у = х -\—, является гипер- х бол ой. 9.12. Доказать, что кривая, заданная в общей декарто- декартовой системе координат уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + +2Еу + F = 0, является гиперболой тогда и только тогда, ко- когда д < 0 и А ф 0, эллипсом тогда и только тогда, когда 5 > О и SА < 0, параболой тогда и только тогда, когда 5 = 0 и А ф 0. 9.13. Определить тип кривой второго порядка, заданной уравнением: 2 2 ( у) ; 2) A2ж - 17у - бJ + A72/ + 5ж + IJ = 1; 3) (х-у-3)(х + у + 3)=4] 4) Dх + Зу-1J + Dх + Зу + 2J = 5; 5) 17ж2 - 2ху + у2 - Зх - у - 3 = 0; 6) 4х2 + 28ху + 49у2 - Зх - 15у + 2 = 0; 7) 4х2 - 12ху + 8у2 - 15х + 2Ъу + 14 = 0; 8) 2ж2 + 2жт/ + 5?/2-27/ + 4 = 0; 9) 2х2 - Ъху - Зу2 + 9х + у + 4 = 0; 10) х2 + Wxy + 2Ъу2 + 2х + l(h/ - 3 = 0; 11) Ъх2 - 16ху + 13у2 + 6х - Wy + 2 = 0; 12) х2 - 4ху + Ау2 + 4х - 8у + 5 = 0; 13) х2 - 8ху + 16у2 + 6х - 24у + 9 = 0.
§ 9. Общая теория кривых второго порядка 79 9.14. Составить уравнение и определить тип кривой вто- второго порядка, проходящей через 5 точек, заданных своими ко- координатами: 1) (-1, -1), A, 0), @, 1), C, 2), B, 3); 2) A, 1), A, 0), @, 1), C, 2), B, 3); 3) (-1, 0), A, 0), @, 1), C, 2), B, 3); 4) (-3, 0), A, 0), @, 1), C, 2), B, 3); 5) (-1, 1), @, 1), B, 3), (-2, -1), C, 4); 6) A, 0), @, 1), A/4, 1/4), D/9, 1/9), A/9, 4/9). 9.15. Исследовать зависимость типа кривой второго по- порядка от параметра: 2 2 ) 2) Л(ж2 + у2) - Wxy 3) х2-2ху + у2(Х 4) Хх2 - 2ху + 2у2-2х + 2у-1 = 0. 9.16. Какие типы кривых второго порядка могут быть за- заданы уравнением: 2 2) (А1Х + В1У + CiJ + (А2х + В2у + С2J = 3) (Агх + В1У + CiJ - (А2х + В2у + С2J = 4) 5) 9.17. Составить уравнения асимптот гиперболы (Предполагается, что А\В2 — А2В± ф 0). 1) (А1Х + В1У + CiJ - (А2х + В2у + С2J = 1; 2) 9.18. Не используя уравнений F) из введения к настоя- настоящей главе, доказать, что начало координат является центром симметрии кривой второго порядка тогда и только тогда, ко- когда уравнение кривой не содержит членов с первыми степеня- степенями переменных х и у. Опираясь на это утверждение, вывести уравнения F) для координат центра кривой второго порядка. 9.19. Проверить, что данная кривая второго порядка яв- является центральной. Найти координаты центра и избавиться в уравнении от членов первой степени при помощи переноса начала координат в центр: 1) х2 - 8ху + Пу2 + 8х - 38у + 24 = 0; 2) 5х2 + ху — 4х — у — 1 = 0; 3) 8х2 - 24ху + 16у2 + Зх-7у-2 = 0.
80 Гл. 3. Кривые второго порядка 9.20. Доказать, что кривая Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + + 2Еу + F = 0 имеет единственный центр симметрии тогда и только тогда, когда 5^0. 9.21. Доказать, что множество центров симметрии кривой второго порядка либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией. 9.22. 1) Доказать, что множество центров симметрии ал- алгебраической кривой либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией. 2) Доказать, что множество центров симметрии произво- произвольного множества точек на плоскости либо пусто, либо состоит из одной точки, либо бесконечно. 3) Привести пример непрерывной кривой, множество цен- центров симметрии которой бесконечно, но не является прямой линией.
Глава 4 ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 10. Уравнения множеств в пространстве и элементарная теория поверхностей второго порядка В этом параграфе использованы следующие основные понятия: уравнение множества, однородный многочлен, алгебраическая по- поверхность, порядок алгебраической поверхности, параметрические уравнения поверхности, поверхность вращения, конус, прямой кру- круговой конус, цилиндр, прямой круговой цилиндр, однополостпный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, пересечение поверхностей, сечение поверхности плос- плоскостью, прямолинейная образующая поверхности, проекция неко- некоторого множества на плоскость, образующие и направляющие ци- цилиндра и конуса, вершины эллипсоида, гиперболоида, параболоида и конуса, ось и полуось эллипсоида и гиперболоида, каноническое урав- уравнение и тип поверхности второго порядка. Всюду предполагается, что система координат декартова прямо- прямоугольная, а проекции, если не оговорено противное, ортогональные. Для каждой поверхности второго порядка существует декартова прямоугольная система координат, в которой эта поверхность име- имеет каноническое уравнение. Всего имеется 17 типов поверхностей второго порядка. Каждый тип поверхностей характеризуется своей формой канонического уравнения. Все типы поверхностей второго порядка и соответствующие уравнения перечислены во введении к § 11. Здесь приведем канонические уравнения и изображения девяти основных типов: ЭЛЛИПСОИД 2 2 2 ^ + !2- + ^ = 1 (рис-4); а2 о2 с2 однополостный гиперболоид двуполостный гиперболоид х2 у2 z2
82 Гл. 4- Поверхности второго порядка конус Т2 II2 72 эллиптический параболоид 2 2 — + ^-=2^ (рис.8); гиперболический параболоид ^-^-=2z (рис.9); B) эллиптический цилиндр х2 у2 ~2 +Тз =1 (РИС- 10M гиперболический цилиндр ж2 у2 параболический цилиндр х2 — = 2z (рис.12). При а = Ъ конус и эллиптический цилиндр называют прямым круго- круговым конусом и прямым круговым цилиндром. Приведем уравнения семейств прямолинейных образующих двух важных типов поверхностей второго порядка. Два семейства прямолинейных образующих однополостного ги- гиперболоида A) могут быть описаны при помощи следующих систем уравнений: Ь Ь где а, /3 — произвольные числа, такие, что а2 -\- (З2 ф 0. Два семей- семейства прямолинейных образующих гиперболического параболоида B) описываются системами уравнений Ь) I \а Ь Ь) \ \а Ь где а, C — произвольные параметры, такие, что а2 -\- (З2 ф 0. Алгебраическое уравнение вида Ф(х,у) = 0 (не содержащее пе- переменной z) определяет цилиндрическую поверхность. Прямолиней- Прямолинейные образующие этого цилиндра параллельны оси Oz: они имеют уравнения х = ж0, у = у0, где Ф(жо,уо) = 0.
§ 10. Уравнения множеств и элементарная теория 83 Рис. 4 Рис. 5 ез Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9
84 Гл. 4- Поверхности второго порядка Рис. 10 ез Рис. 11 Рис. 12 Уравнение вида Ф(х2 -\-y2,z) = О1) определяет поверхность вра- вращения (S). Сечение С этой поверхности плоскостью Oxz, имеющее на плоскости Oxz уравнение Ф(х , z) = 0, симметрично относитель- относительно оси Oz. Каждая «половинка» кривой ?, вращаясь вокруг оси Oz, образует поверхность S. Пусть две поверхности Т и Q определяются алгебраическими уравнениями F(x,y,z) = 0 и G(x,y,z) = 0 соответственно. Тогда мно- множество % = ТГ\0 определяется системой уравнений F(x,y,z)=0, G(x,y,z) = 0. Уравнение, определяющее множество .Л/f, следует из уравнения, оп- определяющего множество Л/", если N С Л4. Уравнение, определяющее поверхность .М, является следствием системы уравнений, определя- определяющих поверхности Т и 5, тогда и только тогда, когда J-DQ С М.. 1) Оно мож:ет быть получено из алгебраического уравнения Ф(и,у) = 0 заменой и = х2 + у2, v = z. При этом, вообще говоря, можно не исключать случая, когда уравнение не имеет вещественных решений. В этом случае говорят о «мнимой» поверхности.
§ 10. Уравнения множеств и элементарная теория 85 Изображение поверхности второго порядка. Типы поверхностей второго порядка A0.1—10.17) 10.1. 1) Что представляет собой алгебраическая поверх- поверхность первого порядка? 2) Привести пример алгебраической поверхности третьего порядка и изобразить ее в декартовой прямоугольной системе координат. 10.2. Может ли алгебраическая поверхность второго по- порядка представлять собой прямую? Плоскость? Пустое множе- множество? Привести примеры. 10.3. Семейство поверхностей задано в прямоугольной си- системе координат уравнением, содержащим произвольный пара- параметр Л. Определить тип поверхности при всевозможных Л: 2 2 2 22 2 ) y ; 3) Xx2 + y2 + z2 = X- 4) x2+y2-z2 = X; 5) x2_y2_z2 = X. g) ж2 + Л(у2+;,2) = 1; 7) x2 + X(y2 + z2) = A; 8) x2 + y2 = Xz- 9) Xx2 + y2 = Z] 10) X(x2 + y2) = Z] 11) x2 + Xy2 = Xz; 12) x2 + Xy2 = Xz + 1; 13) x2 + y2 = X; 14) x2-y2 = X. 10.4. 1) Указать такие типы поверхностей второго поряд- порядка, которые не содержат ни одной поверхности вращения. 2) Перечислить типы поверхностей второго порядка, кото- которым принадлежат какие-нибудь поверхности вращения. 10.5. Написать уравнение сферы: 1) с центром в точке GA, 1, 1) и радиусом д/З; 2) с центром в точке GA, 2, 3) и радиусом 1. 10.6. Найти координаты центра С и радиус R сферы: 1) х2 + у2 + z2 - 4х - 4у - Az = 0; 2) 2х2 + 2у2 + 2z2 + 4х + 8у + 12z + 3 = 0. 10.7. Найти координаты центра поверхности, ее полуоси и уравнения плоскостей симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат: 1) х2 + 2у2 + 3z2 + 2х + 4у + 6z = 0; 2) Зх2 + 2y2 + z2 + 6x + 4y + 2z-6 = 0. 10.8. Найти координаты центра поверхности, ее вершин, уравнения оси симметрии и плоскостей симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат:
86 Гл. 4- Поверхности второго порядка 1) х2 - 2у2 - 3z2 + 6х + 4у + Qz = 0; 2) 2ж2 + Зу2-4^2 + 4ж-8^ + 10 = 0. 10.9. Определить тип поверхности: 1) 2ж2 + у2 - 3z2 + 4х - 4у = 0; 2) 2ж2 + у2 - 3z2 - 4х + 4у + 6 = 0; 3) 222 4) 5) 6) 10.10. Определить тип поверхности, изобразить поверх- поверхность в исходной системе координат: 1)жу = 0; 2)ху=1; 3) ху = -1; 4) 2жу + z = 0; 5) 2жу -2 = 0. 10.11. Найти ось вращения поверхности, изобразить по- поверхность ж2 + z2 + х = 0. 10.12. Определить тип поверхности, найти ось вращения, координаты вершин, изобразить поверхность: 1) х2 + z2 + 2у = 1; 2) z2 = 2ху. 10.13. Найти координаты центра поверхности, уравнения оси вращения и горловой окружности, определить радиус гор- горловой окружности, изобразить поверхность х2 + 2yz = 1. 10.14. Найти точки пересечения поверхности x2 + y2 = z и прямой: 1) х = у = ?, z = 4?; 2) х = у = z + 1; 1 1 6 10.15. Сколько общих точек могут иметь прямая и поверх- поверхность второго порядка? Привести примеры. 10.16. Определить, лежит ли точка МA,1,1) внутри или вне эллипсоида х2 + 2у2 + 3z2 = 4. 10.17. Ось Oz направлена вверх. Определить, лежит ли точка МA,1,1) выше или ниже параболоида х2 + 2у2 = 2z. Поверхности вращения, цилиндры и конусы A0.18-10.45) 10.18. Привести примеры поверхностей вращения, кото- которые являются алгебраическими поверхностями порядка 2, 3, 4. 10.19. Назвать типы и выписать канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка.
§ 10. Уравнения множеств и элементарная теория 87 10.20. Привести примеры цилиндрических поверхностей, ко- которые являются алгебраическими поверхностями порядка 3, 4. 10.21. Привести пример цилиндрической поверхности, не являющейся алгебраической. 10.22. Привести примеры цилиндров и конусов, не являю- являющихся поверхностями вращения. 10.23. Доказать, что всякое уравнение вида F(x,y,z) = О, где F — однородный многочлен, определяет конус с вершиной в начале координат. 10.24. Привести пример конической поверхности, не явля- являющейся алгебраической. 10.25. Можно ли рассматривать плоскость как частный случай конической поверхности? Как частный случай цилин- цилиндра? Как поверхность вращения? 10.26. Составить векторное уравнение прямого кругового цилиндра радиуса i?, имеющего ось г = rg + at. 10.27. Составить векторное уравнение сферы с центром в точке Мо(го) и радиусом R. 10.28. Составить векторное уравнение прямого кругового конуса с вершиной в точке Мо(гд) и осью г = rg + а?, зная, что угол между его образующей и осью равен а. 10.29. Составить векторное уравнение эллипсоида, получа- получаемого вращением эллипса с фокусами в точках Mi(ri), M2(r2) и большой полуосью а вокруг большой оси эллипса. 10.30. Найти уравнение поверхности, получаемой враще- вращением параболы z2 = х: 1) вокруг оси Oz; 2) вокруг оси Ох. 10.31. Найти уравнение и определить тип поверхности, по- получаемой вращением гиперболы х2 — у2 = 2: 1) вокруг оси Ох] 2) вокруг оси Оу. 10.32. Найти уравнение поверхности, получаемой враще- вращением окружности х2 + у2 — 4х + 3 = 0 вокруг оси Оу. 10.33. Найти уравнения поверхностей, получаемых враще- вращением гиперболы ху = 1 вокруг асимптот. 10.34. 1) Написать параметрические уравнения поверхно- поверхности, образованной вращением кривой z = f(x) (x ^ 0) вокруг оси Oz.
Гл. 4- Поверхности второго порядка 2) Написать параметрические уравнения поверхности, об- образованной вращением кривой x = <p(t), y = ip(t), z = %(?) во- вокруг оси Oz. 10.35. Доказать, что цилиндрическая поверхность с на- направляющей, заданной параметрическими уравнениями х = = <p(t), у = ip(t), z = х(?)? и с образующей, параллельной векто- вектору а(а1,а2,аз), определяется уравнениями х = (р(и) + a\v, у = ф(и) + a2v, z = х(и) + «з^- 10.36. Доказать, что конус с направляющей, заданной па- параметрическими уравнениями x = (p(t), y = ip(t), z = x(t), и с вершиной в начале координат определяется уравнениями х = шр(у), у = иф(у), z = ux(v). 10.37. Найти уравнение прямого кругового цилиндра ра- радиуса л/2 с осью x = l+t, у = 2 + ?, z = 3 + t. 10.38. Найти уравнение прямого кругового цилиндра, про- проходящего через точку МA,1,2) и имеющего ось x = l + t, y = 2 + t, z = 3 + t. 10.39. Найти уравнение прямого кругового конуса с вер- вершиной в начале координат и направлением оси, определяемым вектором аA,1,1), зная, что образующие конуса составляют с его осью угол агссозA/л/3)- 10.40. Найти уравнение и определить тип поверхности, об- образованной вращением прямой x = l+t, у = z = 3 + t вокруг оси Oz. 10.41. Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой ж = 0, у — ? + 1 = 0 вокруг оси Oz. 10.42. Найти уравнение и определить тип поверхности, об- образованной вращением прямой х = — ?, у = z = 2t вокруг пря- прямой х = у = z. 10.43. Найти уравнение конуса с вершиной в точке МA,1,1), касающегося сферы х2 + у2 + z2 = 2. 10.44. Найти параметрические уравнения цилиндра с об- образующей, параллельной вектору аA, 1, 1), и направляющей, заданной уравнениями х = — 1 + 2cost, у = — 1 + 2sint, z = 3 — — 2cost — 2sint. 10.45. Исключив параметры, получить алгебраическое уравнение поверхности х = и + cos?;, у = и + sini>, z = и — — cos?; — sin?;. Что это за поверхность?
§ 10. Уравнения множеств и элементарная теория 89 Сечения поверхностей второго порядка A0.46—10.76) 10.46. 1) Сечения поверхности х2 + 2у2 — 3z2 — 1 = 0 плос- плоскостями ж = О, х = 1, х = 2 спроектированы на плоскость Oyz. Изобразить проекции. 2) Сечения поверхности х2 + 2у2 — 3z2 = 0 плоскостями х = = —1, ж = О, х = 1 спроектированы на плоскость Oyz. Изобра- Изобразить проекции. 3) Сечения поверхности 2х2 — у2 = 2z плоскостями х = — 1, х = 0, х = 1 спроектированы на плоскость Oyz. Изобразить проекции. 4) Сечения поверхности 2х2 — у2 = 2z плоскостями у = — 1, у = 0, у = 1 спроектированы на плоскость Oxz. Изобразить проекции. 5) Сечения поверхности 2х2 — y2 = 2z плоскостями z = — 1, 2 = 0, z = 1 спроектированы на плоскость Ожу. Изобразить проекции. 10.47. 1) Сечения поверхностей х2 + 2у2 — 3z2 — 1 = 0, х2 + + 2у2 - 3z2 = 0, х2 + 2у2 — 3z2 + 1 = 0 плоскостью х = 0 спроек- спроектированы на плоскость Oyz. Изобразить проекции. 2) Сечения тех же поверхностей плоскостью z = 1 спроек- спроектированы на плоскость Оху. Изобразить проекции. 10.48. 1) Является ли линия пересечения двух поверхно- поверхностей второго порядка плоской кривой? Привести примеры. 2) Пусть линия пересечения двух поверхностей второго по- порядка плоская. Будет ли эта линия алгебраической? Если да, то какого порядка? Рассмотреть примеры. 10.49. Определить вид линии пересечения поверхностей х2 + у2 = 2z, х2 + у2 + z2 = 8 и найти ее параметрические урав- уравнения. 10.50. Доказать, что линия пересечения поверхности вто- второго порядка с плоскостью есть алгебраическая линия не выше второго порядка. Привести примеры, когда это линия первого порядка. 10.51. Пусть Т — поверхность, определяемая алгебраиче- алгебраическим уравнением F(x^y) = О, С — непустое множество точек, определяемое уравнениями F(x,y) = 0, z = 0. Доказать утвер- утверждения: 1) Т — цилиндрическая поверхность с образующей, парал- параллельной оси Oz, и направляющей С;
90 Гл. 4- Поверхности второго порядка 2) С есть сечение Т плоскостью Оху; 3) С есть проекция Т на плоскость Оху, 4) С есть проекция любой направляющей цилиндра на плоскость Оху; 5) С содержит проекцию на плоскость Оху любой кривой, лежащей на цилиндре Т. 10.52. Найти уравнение проекции линии пересечения по- поверхностей х2 + 2у2 = 2z, х + 2у + z = 1 на плоскость Оху. Что представляет собой эта линия? 10.53. Пусть S — сечение параболоида х2 + у2 = 2z плоско- плоскостью, которая пересекает положительную полуось Oz в един- единственной точке. Доказать, что проекция S на плоскость Оху есть окружность. 10.54. Доказать, что линия пересечения поверхностей х2 + + у2 = 22, х + у + z = 1 есть эллипс, и найти его параметриче- параметрические уравнения. 10.55. По какой линии пересекаются параболоид х2 — у2 = = 2z и плоскость ж + у + z = 1? 10.56. Найти координаты центра и радиус окружности х2 + у2 + z2 - \2х + Ау - Qz + 24 = 0, 2х + 2у + z + 1 = 0. 10.57. Составить параметрические уравнения конуса с вершиной в начале координат и направляющей, определенной уравнениями х2 + у2 = 2z, х + у + z = 1. 10.58. Найти уравнение цилиндра с образующей, парал- параллельной оси Oz, и направляющей — окружностью х2+у2 + + ?2 = 3, z = l. 10.59. Образующая цилиндра параллельна оси Oz, его на- направляющая — окружность х2 + у2 = 2z, х2 + у2 + z2 = 8. Най- Найти уравнение цилиндра. 10.60. Образующие цилиндра параллельны оси Oz, его на- направляющая — эллипс х2 + у2 = 2z, х + у + z = 1. Доказать, что это — прямой круговой цилиндр, написать его уравнение, най- найти ось и радиус. 10.61. Образующие цилиндра параллельны вектору а A,1,1), его направляющая — окружность х2 + у2 = 2z, х2 + у2 + z2 = 8. Написать уравнение цилиндра. 10.62. Найти уравнение конуса с вершиной в точке 0@,0,0) и направляющей — окружностью х2 +у2 + z2 = 1, х + у + z = 1.
§ 10. Уравнения множеств и элементарная теория 91 10.63. Найти уравнение эллипсоида, плоскости симметрии которого совпадают с плоскостями координат, содержащего точку МC,1,1) и окружность х2 + у2 + z2 = 9, х — z = 0. 10.64. Доказать, что центры плоских сечений эллиптиче- эллиптического цилиндра лежат на его оси. 10.65. Найти центр сечения эллипсоида х2 + 2у2 + 4z2 = 40 плоскостью: 1) x + y + 2z = 5; 2) x + y + z = 7. 10.66 (р). Найти центр сечения гиперболоида х2 + 2у2 — — AlZ2 = —4 плоскостью х + у + 2z = 2. 10.67. Пусть МоE,7,2О) — точка плоскости, а р(—З/д/11, 1/л/И, 1/л/11), q(l/\/6, 1/л/б, 2/л/б) — ортонормированный базис на ней. Написать уравнения линии пересечения этой плоскости и конуса ж2 + Ъу2 — z2 = 0 во внутренней системе ко- координат Mq, р, q. Найти координаты центра линии пересечения и уравнения ее осей симметрии в исходной (пространственной) системе координат. 10.68 (р). Найти уравнение множества центров сечений эл- эллипсоида х2 + 2у2 + 3z2 = 4 плоскостями, параллельными плоскости х + у + z = 1. 10.69. Найти уравнение множества центров сечений гипер- гиперболоида х2 + у2 — 3z2 = 2 плоскостями, параллельными плоскости х + у + z = 1. 10.70. Найти уравнение множества центров сечений пара- параболоида х2 + у2 = 2z плоскостями, параллельными плоскости х + у + z = 1. 10.71 (р). Найти уравнение плоскости, пересекающей эл- эллипсоид х2 + 2у2 + 4z2 = 9 по эллипсу, центр которого находит- находится в точке GC,2,1). 10.72. Найти уравнения проекций линии пересечения эл- эллипсоида Зх2 + 4у2 + 5z2 = 36 и сферы х2 + у2 + z2 = 9 на коор- координатные плоскости. Что представляет собой сечение? 10.73. Найти уравнения проекций линии пересечения эл- эллипсоидов х2 + 2у2 + 3z2 = 4, Зх2 + 5у2 + 6z2 = 10 на коорди- координатные плоскости. Что представляет собой эта линия? 10.74. Написать уравнения проекций линии пересечения поверхностей х2 + у2 — z2 = 1, x2 — y2 = 2z на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия? Найти ее па- параметрические уравнения.
92 Гл. 4- Поверхности второго порядка 10.75 (р). Найти уравнения проекций линии пересечения поверхностей Ъх2 — Зу2 + 4z2 = 0, х2 — у2 + z2 + 1 = 0 на коорди- координатные плоскости. 10.76. Доказать, что линия пересечения параболоида х2 + + 2у2 = 4z + 10 и сферы х2 + у2 + z2 = 6 состоит из двух окруж- окружностей. Найти точки пересечения этих окружностей и их радиусы. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка A0.77-10.88) 10.77. Назвать типы поверхностей второго порядка, име- имеющих прямолинейные образующие. 10.78. Может ли число прямолинейных образующих, про- проходящих через одну точку поверхности второго порядка, рав- равняться 0? 1? 2? 3? ... Может ли оно быть бесконечным? При- Привести примеры. 10.79. Найти уравнение семейства прямолинейных образу- образующих цилиндра х2 — у2 = 1. 10.80. Найти уравнение семейства прямолинейных образу- образующих конуса х2 + у2 — z2 = 0. 10.81. Найти прямолинейные образующие параболоида 4х2 — у2 = 1б?, пересекающиеся в точке МB,0,1). 10.82. Найти уравнение плоскости, проходящей через точ- точки МA,1,1) и 7VB,0,2) и пересекающей параболоид х2 — у2 = = 2z по паре прямых. 10.83. Найти уравнение плоскости, пересекающей гипер- гиперболоид х2 + 4у2 — 9z2 = 36 по паре прямых, проходящих через точку МF,-3,2). 10.84. Даны параболоид х2 — у2 = 2z и плоскость х + -\- у -\- z = 1. Найти уравнение плоскости, параллельной данной и пересекающей параболоид по паре прямых. Найти уравнения этих прямых и угол между ними. 10.85. Две прямолинейные образующие гиперболоида вра- вращения х2 + у2 — z2 = 1 пересекаются в точке, принадлежащей плоскости z = h. Найти угол между ними: 1) при h = 0; 2) при /г=1; 3) при произвольном h. 10.86. Найти множество точек поверхности <S, в которых пересекаются ее взаимно ортогональные прямолинейные обра- образующие, если S определена уравнением:
§ 11. Общая теория поверхностей второго порядка 93 1 А гЛ _|_ 7/2 _ ~2 — 1 . О\ J_ ? 2 — о„. о\ 2 _ д7 2 — о^ 10.87. Доказать, что проекции прямолинейных образую- образующих параболоида х2 — у2 = 2z на плоскость Oxz касаются па- параболы х2 = 2z. 10.88. Доказать, что проекции прямолинейных образую- образующих гиперболоида х2 + у2 — z2 = 1 на плоскость Оху касаются окружности х2 + у2 = 1. § 11. Общая теория поверхностей второго порядка В этом параграфе используются следующие определения: ма- малая и большая квадратичные формы поверхности второго порядка, тип поверхности второго порядка, инварианты — ранг и сигнатура малой и большой квадратичных форм поверхности, центр поверх- поверхности, каноническое уравнение поверхности, канонический базис и каноническая система координат. Имеется 17 различных типов поверхностей второго порядка. Каждый тип характеризуется своим набором инвариантов и своей формой канонического уравнения — простейшей формой, к которой молено привести уравнение поверхности с помощью выбора декар- декартовой прямоугольной системы координат. Соответствующие базис и система координат также называются каноническими. Мы воспроизводим таблицу типов и канонических уравнений по- поверхностей второго порядка из [2]. Ранги и модули сигнатур большой и малой квадратичных форм поверхности обозначены соответствен- соответственно через R, Е, г, а. Изложим некоторые детали алгоритма приведения уравнения второго порядка к канонической форме. Этот алгоритм может быть использован для упрощения уравнений с любым числом перемен- переменных. Исходная система координат предполагается прямоугольной. При всех заменах координат также совершается переход к прямо- прямоугольным системам координат. Главным моментом является «уничтожение», с помощью подхо- подходящей замены базиса, членов уравнения, содержащих произведения переменных. Остановимся на этом моменте. Уравнение поверхности ацх2 + 2а\2ху + а22у2 + 2a±3xz + 2a23yz-\- -\-a33z2 + 2aix + 2a2y + 2a3z + k = 0 A) можно записать в матричной форме где *,= X У Z ") А = ац О>12 &13 2 «23 «13 «23 «33 а= ||ai a2
94 Гл. 4- Поверхности второго порядка Название «Мнимый эллипсоид» (пу- (пустое множество) Эллипсоид Однополостный гипербо- гиперболоид Двуполостный гиперболо- гиперболоид «Мнимый конус» (точка) Конус Эллиптический параболо- параболоид Гиперболический парабо- параболоид Эллиптический цилиндр «Мнимый эллиптический цилиндр» (пустое мно- множество) Гиперболический ци- цилиндр Пара пересекающихся плоскостей «Пара мнимых пересе- пересекающихся плоскостей» (прямая линия) Параболический цилиндр Пара параллельных плос- плоскостей «Пара мнимых парал- параллельных плоскостей» (пустое множество) «Пара совпавших плоско- плоскостей» (плоскость) Т а б Каноническое уравнение ?2 v2 С2 9 /О 9 9 aZ jjZ, r^A ?+*>* + С2 а2 02 72 С2 v2 С2 а2 02 72 ~ 9 /О9 9 ^-у ZI /*) '"V ^2 +^2 +^2 =0 ^2 +^2 "^2 =0 j-2 2 а2 /З2 ~~ ?2 2 О* ~ JJ2 = 2^ ^2+^2 =1 ?2 2 9 /Э9 а2 р2 ?2 ^ а2 /З2 " ?2 ^2 ^2 "^2 ~ ^2 772 О ' /ПО а2 /З2 ^2 = 2а7/ А2 2 П ? — а — U ?2 _^ ^2 _ q ?2 п 5 = и ) Л R л 4 4 4 4 3 3 4 4 3 3 я о о Z 2 3 о 2 1 И ] S /1 4 2 п yj 2 3 1 2 п yj 1 3 1 п и 2 1 п и 2 1 ц s г о О 3 я о з 3 3 2 2 2 2 2 о Z 2 1 1 1 -1 1 L 2 а о О 3 1 1 3 1 2 п yj 2 2 п п и 2 1 1 1 1
§ 11. Общая теория поверхностей второго порядка 95 Формулы замены координат при заданной матрице перехода S также запишем в матричном виде: t = SH. C) После подстановки C) в B) получим уравнение Константа к при замене координат C) не меняется: к' = /с, а' = а#, А' = STAS. D) Отыскиваем ортонормированный базис, в котором матрица А' диа- гональна. Для этого: 1) вычисляем корни характеристического урав- уравнения \А — \Е\ = 0; 2) для каждого корня составляем систему урав- уравнений [А — \Е)?, = о и находим ее фундаментальную систему реше- решений; 3) применяя процесс ортогонализации и нормируя полученные векторы, находим искомый базис; 4) из базисных столбцов состав- составляем матрицу перехода S. В новом базисе матрица А' диагональна, на ее главной диагонали расположены корни характеристического уравнения, взятые с их кратностями в том же порядке, что и соот- соответствующие столбцы в матрице S. Коэффициенты при линейных членах преобразованного уравнения вычисляем по формуле а' = a.S. Если матрица А диагональна: А = diag(Ai, А2, Аз), то уравнение поверхности не содержит произведений переменных и имеет вид Aix2 + Х2у2 + A3z2 + 2ахх + 2а2у + 2a3z + k = 0. D) Полное упрощение уравнения A) происходит в несколько этапов. I. Если в уравнении есть члены, содержащие произведения пе- переменных, то заменяем базис с помощью ортогональной матрицы перехода S так, как описано выше. Преобразованное уравнение при- примет вид D). П. Если в уравнении уже нет членов, содержащих произведе- произведения переменных, но имеются квадраты переменных и одноименные линейные члены, то дополняем эти пары членов «до полных квадра- квадратов» и переносим начало координат так, чтобы в преобразованном уравнении соответствующих линейных членов не было. III. Если уравнение упрощено так, что в нем есть квадраты толь- только двух переменных, линейный член с третьей переменной, а кроме этого только свободный член, то переносом начала координат вдоль оси, соответствующей линейному члену, можно обратить в нуль сво- свободный член. Например, в уравнении выполняем замену z = zf — к/а и получаем уравнение \гх2 + Х2у2 + az' = 0 F) без свободного члена. IV. Если в уравнении имеется квадрат лишь одной переменной, линейные члены, содержащие другие переменные и, может быть, сво- свободный член, то можно сделать замену координат в плоскости, соот-
96 Гл. 4- Поверхности второго порядка ветствующей линейным членам так, чтобы все члены ниже второй степени заменились на один. Например, упростим уравнение Хх2 + ay + bz + с = 0. G) Положим yf = fi-1(ay + bz + c), zf = fi-1(-by + az), где /i = \/a2 + b2. (8) Формулы (8) определяют ортогональную замену координат. Уравнение G) переходит в \х2 + цу' = 0. (9) V. Выполнив описанные выше действия, мы получим уравнение поверхности в «почти канонической» форме. Почти каноническими мы называем уравнения, отличающиеся от табличных канонических уравнений, самое большее, числовым множителем, нумерацией ко- координат, переносом членов из одной части равенства в другую или знаком при линейном члене. Соответствующий базис и систему ко- координат также будем называть почти каноническими. Переход от почти канонической системы координат к канонической очевиден. Она получается из почти канонической возможно изменением ну- нумерации базисных векторов и заменой направления каких-либо из этих векторов на противоположные. Начала канонической и почти канонической системы координат совпадают. Отыскание формул перехода к канонической системе координат происходит одновременно с упрощением уравнения поверхности и так- также распадается на несколько этапов. При этом полезно помнить, что: а) при последовательных заменах координат матрицы перехода перемножаются, причем множитель, соответствующий последующей замене, пишется правее; б) применяя алгоритм, изложенный выше, на каждом этапе мы получаем координаты нового начала в промежуточной системе ко- координат. Задача упрощения уравнения поверхности второго порядка счи- считается полностью решенной, если найдено каноническое уравнение поверхности и каноническая система координат. Добавим, что каноническая система координат для данной по- поверхности определена не однозначно, также как и почти канониче- каноническое уравнение и почти каноническая система координат. Существуют и другие способы приведения уравнения поверх- поверхности второго порядка к каноническому виду. В некоторых из них перенос начала координат предшествует изменению базиса, обраща- обращающему в нуль члены с произведениями координат. Эти способы свя- связаны с понятием центра поверхности. Если уравнение поверхности задано в форме B), то координаты центра определяются из уравне- уравнения Ас + ат = о. A0) Если поверхность имеет центр и содержит хоть одну вещественную точку, то центр является центром симметрии поверхности.
§ 11. Общая теория поверхностей второго порядка 97 Приведем один из таких способов упрощения уравнения поверх- поверхности, заданного в форме B). Пусть (р — самосопряженное пре- преобразование, заданное в стандартном базисе арифметического про- пространства S матрицей А\ Q, V — ядро и множество значений этого преобразования. Поскольку V 0 Q = ?, можно разложить строку а в сумму а = рт + qT, где рЭ?, a q Э Q. Имеются две возможности: а) q = 0. В этом случае ат = р, и система уравнений A0) сов- совместна. Замена ?,= ?,+ с приведет B) к виду, не содержащему ли- линейных членов. б) q ф 0. Система A0) не совместна, поверхность не имеет цен- центра. В этом случае q — собственный вектор преобразования <??, от- отвечающий нулевому собственному значению, и найдется диагонали- зирующая А ортогональная матрица S со столбцом q / |q|. Система уравнений Ab + p = O) BqT + p> + fc = Q (n) обязательно совместна. Пусть b — одно из ее решений. После замены ?, = SE, + b уравнение B) станет почти каноническим. Для демонстрации обоих вышеизложенных способов в главе «Решения» разобраны задачи 11.22, 16) и 11.22, 24). Инварианты. Общие свойства поверхностей второго порядка A1.1—11.18) 11.1. Перечислить поверхности второго порядка, для ко- которых: 1) R = 4; 2) R = 3; 3) R = 2; 4) R = 1; 5) г = 3; 6) г = 2; 7) г = 1. 11.2. Охарактеризовать с помощью инвариантов «основ- «основную» группу вещественных поверхностей второго порядка: эл- эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды. 11.3. Охарактеризовать с помощью инвариантов следую- следующие группы поверхностей второго порядка: 1) параболоиды и параболические цилиндры; 2) поверхности, состоящие из плоскостей; 3) «мнимые» поверхности: «мнимые эллипсоиды», «мни- «мнимые конусы», «мнимые эллиптические цилиндры», «пары мни- мнимых пересекающихся плоскостей», «пары мнимых параллель- параллельных плоскостей». 11.4. 1) Какие из «мнимых» поверхностей второго поряд- порядка (см. задачу 11.3, 3)) не имеют вещественных точек? Охарак- Охарактеризовать с помощью инвариантов эту группу поверхностей. 2) Какие из «мнимых» поверхностей второго порядка имеют вещественные точки и как эти поверхности выглядят? Охарак- Охарактеризовать с помощью инвариантов эту группу поверхностей.
98 Гл. 4- Поверхности второго порядка 11.5. Охарактеризовать с помощью инвариантов поверх- поверхности второго порядка, не вырождающиеся в пустое множе- множество, в точку, прямую, плоскость или пару плоскостей. 11.6. Охарактеризовать с помощью инвариантов вещест- вещественные поверхности, имеющие: 1) два семейства прямолинейных образующих; 2) одно семейство прямолинейных образующих. 11.7. Перечислить поверхности второго порядка, канониче- канонические уравнения которых содержат ненулевой свободный член. Охарактеризовать эти поверхности с помощью инвариантов. 11.8. Пусть уравнение поверхности записано в матричной форме B), преобразованное — в форме D) (см. введение к § 11). Выразить коэффициенты А1', а', к1 через Л, a, fc, если: 1) ?,= ?/ + Ь; 2) t = S?' + b. 11.9. 1) Проверить, что существуют такие уравнения вто- второй степени, в которых с помощью перехода к новой декарто- декартовой системе координат нельзя уничтожить все члены с пер- первыми степенями переменных. Перечислить все типы таких поверхностей и охарактеризовать их с помощью инвариантов. 2) Проверить, что существуют такие уравнения второй сте- степени, в которых с помощью перехода к новой декартовой си- системе координат можно уничтожить все члены ниже второй степени. Перечислить все типы таких поверхностей и охарак- охарактеризовать их с помощью инвариантов. 11.10. 1) Какие вещественные поверхности второго поряд- порядка имеют центр симметрии? 2) Сколько центров симметрии может иметь поверхность второго порядка? 3) Доказать, что для поверхности второго порядка осуще- осуществимы только следующие возможности. Поверхность: а) не имеет центра симметрии; б) имеет единственный центр симметрии; в) имеет прямую, состоящую из центров симметрии; г) имеет плоскость, состоящую из центров симметрии. 11.11. Перечислить и охарактеризовать через инварианты типы поверхностей второго порядка: 1) не имеющих центра; 2) имеющих единственный центр; 3) имеющих бесконечно много центров.
§ 11. Общая теория поверхностей второго порядка 99 11.12. Доказать утверждения: 1) если поверхность второго порядка имеет центр, и он рас- расположен в начале координат, то уравнение поверхности не со- содержит линейных членов; 2) если уравнение поверхности второго порядка не содер- содержит линейных членов, то поверхность имеет центр, располо- расположенный в начале координат. 11.13. 1) Пользуясь результатами задач 11.8 и 11.12, полу- получить систему уравнений для центра поверхности второго по- порядка (т. е. уравнение A0) из введения к § 11). 2) Как изменится свободный член уравнения B), если нача- начало координат поместить в центр поверхности второго порядка? 11.14. Доказать, что условие det^4 ф 0 необходимо и доста- достаточно для существования единственного центра у поверхности второго порядка, заданной уравнением B). 11.15. Обосновать второй способ упрощения уравнения поверхности второго порядка, изложенный во введении к § 11, т. е. доказать каждое из утверждений пунктов а) и б). 11.16. 1) Уравнение поверхности второго порядка записа- записано в развернутой форме A) и в матричной форме B). Все коэф- коэффициенты развернутого уравнения умножены на число \i ф 0. Что произойдет с матрицей А? Как изменятся при этом корни характеристического уравнения \А — ХЕ\ = 0? 2) Уравнение поверхности второго порядка записано в пря- прямоугольной системе координат, и в нем совершен переход к другой прямоугольной системе. Доказать, что при этом не из- изменится характеристическое уравнение \А — ХЕ\ = 0, а поэтому не изменятся его корни. Изменится ли det A? 11.17. 1) Дано уравнение второго порядка в матричной форме B). Выразить матрицу В большой квадратичной фор- формы поверхности, заданной этим уравнением, через Л, а, к. 2) В уравнении поверхности совершена замена координат ?, = SE/ + Ь. Выписать матрицу Г, с помощью которой преобра- преобразуется большая квадратичная форма поверхности, и доказать, что при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой det В не меняется. 3) Доказать, что при ортогональной замене координат, ос- оставляющей начало координат на месте, не изменяется характе- характеристическое уравнение \В — ХЕ\ = 0, а потому не изменяются его коэффициенты и корни.
100 Гл. 4- Поверхности второго порядка 11.18. Пусть в некоторой общей декартовой системе коор- координат уравнение поверхности второго порядка по форме совпа- совпадает с одним из канонических уравнений. Доказать, что суще- существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой поверхности будет каноническим того же типа. Определение вида и расположения поверхности, заданной общим уравнением второго порядка A1.19-11.23) 11.19. Пользуясь результатом задачи 11.18, определить тип поверхности, заданной в общей декартовой системе коор- координат уравнением: 2) ( 3) (х + у)(х + у + 1) = х-у\ 4) { 5) ( 6) {x + y)(x-y) = z\ 7) (x + y + z)(x-y + z)=0; 8) ( 9) ( 10) 11) ( y )( y ) ( y ) 12) (x + 2y + 3z) Bx + 3y + Az) - Cx + 4y + 75zJ = 13) (x + y)z-x2 -x = 0\ 14) (x + у + zJ + (x + 2y + 3zJ + {2x-y + zJ = 0; 15) (x + у + zJ + (x + 2y + 3zJ + Bx + 3y + 4zJ = 0; 16) (x + y + zJ + (x -2y + zJ = 0; 17) (x + у + zJ + (x + yJ + {y + zJ = 1987; 18) (x + у + zJ + (x + yJ = 1987; 19) (x + у + zJ + (x + yJ + Bx + 2y + zJ = l; 20) (x + yJ + z2 + l = 0. 11.20. В общей декартовой системе координат гиперболо- гиперболоид задан уравнением (ж + у + z)(x — у + z) — Bх — у + 2zJ = 1. Найти уравнение его асимптотического конуса. 11.21. Поверхность задана в общей декартовой системе координат уравнением, содержащим параметр к. Определить тип поверхности при всех значениях к. 1) х\ + х^+ Ах\ + 4ж1Ж3 + 2х2х3 + 2^1 + 2х2 + 5ж3 + к = 0; 2) 2х\ + кх\ + 8жхЖ2 + 4ж1Жз - 4#i - 8^2 - 4жз = 0;
§ 11. Общая теория поверхностей второго порядка 101 з) 4) + 2х3 5) 6) Зх2г кх1 = 0; 2 (Р) + + + т2 2х\ + 2х Q™2 _|_ ™2 -2Ж2- 1 + 4, + 16^ Ж2 + 2 зж|- Ах2 + 4ж3 + к = 0; + Ах\х% + 4x2^3 — 4ж1 — 4^2 + 1 = 0; - 2х\ 11.22. Поверхность задана уравнением в декартовой пря- прямоугольной системе координат. Найти каноническую систему координат и каноническое уравнение этой поверхности. Опре- Определить тип поверхности. 1) 2х2 + 9у2 + 2z2 - Аху + Ayz - 1 = 0; 2) 4у2 - 3z2 + 4ху - 4xz + 8yz = 0; 3) х2 + у2 + Az2 - 2ху + Axz - Ayz -2x + 2y + 2z = 0] 4) x2 + у2 + z2 - xy + xz + yz + 3x + 3y - 3z = 0; 5) x2 - 3z2 -4yz-4y + 2z + 5 = 0; 6) x2 + y2 + z2 - 2xy - Ax + Ay + 3 = 0; 7) y2 + 2xz + 2x + 2z + 1 = 0; 8) x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz + 20y + 20z -10 = 0; 9) -x2 + 5y2 + 5z2 + 8yz + 2x + 12y + 24z + 36 = 0; 10) 2x2 + by2 + 5z2 + Qyz + 4x + 16y + 16z + 10 = 0; 11) 4ж2 + Ay2 - 4xy - Ylx - 12y - bz + 1 = 0; 12) x2 + y2 + z2 + 2xy -12x + 4y + 6z-3 = 0] 13) 4x2 + 9y2 - 12xy + 2x + Юу + 1 = 0; 14) 6xy - 8y2 -z2 + 60y + 2z + 89 = 0; 15) 5x2 + 8y2 + 4xy + 2x + Uy - 36z + 65 = 0; 16) (p) -x2 + y2 + z2-2yz + 2x + 3y-5z + l = 0] 17) 9y2 + 16z2 + 24yz + 5x + Юу + bz + 11 = 0; 18) 16ж2 + 9y2 -z2- 24xy -9x- 12y + Az + 71 = 0; 19) 2x2 + 2y2 + z2 - Юху + 20ж - 8y + 29 = 0; 20) -x2 + 7y2 - 24yz + 2x + 120?/ = 0; 21) x2 - 4y2 - 4z2 + Wyz + 2x + 2y + 2z + 3 = 0; 22) 3x2 + Axy + 8x + 8y - Az = 0; 23) -x2 - 9y2 + 6xy + 50ж - 50y - 15z - 100 = 0; 24) (p) Ax2 + y2 + 9z2 + Axy - 12xz - Qyz + 2x + Qy-6z- -5 = 0. 11.23. Поверхность задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением, содержащим параметр к. При данном значении к найти каноническую систему координат и каноническое уравнение поверхности. Определить тип поверх- поверхности при всевозможных к. Если поверхность представляет со- собой прямую, плоскость или пару плоскостей, найти линейные
102 Гл. 4- Поверхности второго порядка уравнения этих множеств в исходной системе координат. 1) 5х2 + Ъу2 + 3z2 + 2ху + 2^/2xz + 2^/2yz + 26ж + My 2) 2х2 + 9у2 + 2z2 - 4ху + 4yz + 4x + 2y-4z-l = 0; 3) 4у2 - 3z2 + 4ху - 4xz + 8yz + 4х - 2z + k = 0; a) k = -1; б) k = 5; в) /с = 11. 4) 2х2 + 2у2 + 2z2 + 2ху + 2xz + 2yz + 4х - 4у + 4 = 0; 5) Зх2 + Зу2 + 3z2 - 2ху - 2xz -2yz-8x + 8y + k = 0; а) к = 4; б) к = 8. 6) х2 + у2 + Az2 - 2ху + Axz - Ayz - \2х + \2у - 24z + 6 = 0; 7) х2 + у2 + 4z2 - 2ху + 4xz - 4yz + 24y - 24z + 12 = 0; 8) х2 + у2 + 4z2 - 2ху + 4xz -4yz + 5x + y-2z = 0; 9) 2х2 + 2у2 + 2z2 - 2ху + 2xz + 2yz -6x-6y-12z + k = 0] а) /с = 15; б) к = 18. 10) 2х2 + 2у2 + 2z2 - 2ху + 2xz + 2yz + 18z + 18 = 0; 11) х2 + 2у2 + z2 - 2ху -2yz + 6x-6y + k = 0] а) к = 8; б) к = 9. 12) х2 + 2у2 + z2 - 2ху - 2yz + 18ж - 6у + Qz - 18 = 0; 13) Зх2 - 7у2 + 3z2 + 8ху - 8yz - 8xz - 4х + 6у+ 8z + k = 0; а) к = -12; б) к = -3; в) к = 6. 14) 2у2 - 3z2 - 2\[3ху - 4xz + Ay/byz + 50z + fc = 0; а) /с = -75; б) /с = -70; в) к = -80. 15) 2ж2 + 2у2 + 2^2 + 8ху + 8ж^ - 8^ - 8х - 4у + 8z + к = 0; а) к = -4; б) к = 2; в) fc = 8. 16) 4х2 + Ау2 - 2z2 + 4жу - 8xz + 8^ + 12ж - 12у + 24^ + + fc = 0; а) к = -42; б) к = -36; в) fc = -30. 17) 8у2 + 4ху + 2ж? + 4^ + 4х + 8у + к = 0; a) fe = 0; б) /с = -9. 18) 8у2 + 4жу + 2xz + 4yz + 8x + 6y + 4z + 6 = 0; 19) 4ж2 + у2 + 9^2 + 4ху - 12xz - 6yz + 11ж + Зу - z + 1 = 0; 20) 4ж2 + у2 + 9^2 + 4ху - 12xz - 6yz + 6х - 2у - 6z + 11 = 0; 21) 4ж2 + у2 + 9^2 + 4жу - 12ж? -6yz + 4x + 2y-6z + k = 0] a) fe = l; б) к = -13. 22) -ж2 + Юу2 - z2 - 8ху + 6xz + 8у^ + 24ж -8у- 16z + + /с = 0; a)fc = -26; б) /с = -14; в) /с =-2. 23) 2ж2 - у2 + 2z2 + 4жу - 2xz + 4у^ + Юж - 2у - 2z + к = 0; а) к = 2; б) /с = 5; в) /с = 8. 24) ж2 + у2 - 2z2 + Юху + 4ж? - 4у^ + 13ж + Ну + 2z + + 6 = 0. 25) ж2 + у2 - 2^2 + Южу + 4ж^ - 4yz + 24ж - 12^ + к = 0; а) к = -12] б) /с = -6.
Глава 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ. ГРУППЫ § 12. Линейные и аффинные преобразования плоскости В этом параграфе используются следующие основные понятия: отображение одного множества в другое, преобразование множе- множества, образ элемента и множества, полный прообраз элемента и множества, вложение (иньективное отображение), взаимно од- однозначное [биективное) отображение, наложение (сюръективное отображение), произведение отображений, обратное отображение, линейное преобразование плоскости, аффинное преобразование, об- образ вектора при линейном преобразовании, линейное преобразова- преобразование векторной плоскости, симметрия плоскости относительно прямой, симметрия плоскости относительно точки, гомотетия, параллельный перенос плоскости, сжатие к прямой с коэффициен- коэффициентом к, ортогональное преобразование, главные направления аффин- аффинного преобразования, собственные векторы линейного преобразова- преобразования векторной плоскости. Отображение /: X —>> У множества X в множество У — это правило, которое каждому элементу х G X сопоставляет единствен- единственный элемент у = f(x) G У, называемый образом элемента х при отображении /. Множество X называется областью определения, а множество У — областью значений отображения /. Совокупность f(X) образов всех элементов х G X называется множеством значе- значений отображения f (образом множества X при отображении /). Отображение /: X —>• X называется преобразованием множества X. Ограничением отображения /: X —>> У на подмножестве Л4 С X на- называется отображение Jm: М- ~^ У-> совпадающее с / на М.. Отображение /: X —>> У называется вложением (или инъектив- ным отображением), если из х\ ф х^ следует j(x\) ф /(жг)- Отобра- Отображение / называется наложением (или сюръективным отображени- отображением), если f(X)=y. Отображение / называется взаимно однозначным отображением X на У (или биективным отображе- отображением), если оно является вложением и наложением. Прямым (или декартовым) произведением X х У множеств X, У называется множество упорядоченных пар {(х,у)\х G X,y G У}. Чис- Число элементов конечного множества (порядок) обозначается через \Х\. Произведением отображений /: X ^ У и д: У —>> Z называет- называется отображение h = gf: X —>> Z, определяемое равенством (gf)(x) =
104 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы = g(f(x)) (х G X). Произведение gf определено, если множество зна- значений отображения / входит в область определения отображения д. Тождественное преобразование г (или %х) множества X опреде- определяется равенством г{х) = х для любого элемента х G X. Отображение д: У —>> X называется обратным к отображению /: X —>> У и обозначается /-1, если для любых х G X, у ЕУ справед- справедливы равенства f~1(f(x)) = ж, f(f~1(y)) = У- Обратное отображение существует, если / является взаимно однозначным: f~1(y) = x, где х — единственный элемент из X', такой, что f(x) = y. Прообразом элемента (в геометрии — точки) у ЕУ при отобра- отображении f: X ^ У называется любой элемент х G X такой, что f(x) = y. Полным прообразом f~1(S) множества S С у называется совокуп- совокупность всех прообразов всех элементов из S. Точка х G X называется неподвижной точкой преобразования /: X —>> X, если f(x) = х. Множество М. С X называется неподвиж- неподвижным относительно преобразования /, если все его точки неподвиж- неподвижны. Множество М. называется инвариантным относительно преоб- преобразования /, если для любой точки х G М. также f(x) G М.. Любое неподвижное множество инвариантно, обратное неверно. Пусть / — преобразование плоскости, на которой задана декар- декартова система координат. Координаты ж*, г/* образа произвольной точки плоскости выражаются через координаты ж, у этой точки с помощью пары вещественных функций от двух переменных: х* = <р(х,у), У*=Ф(х,у). A) Формулы A) называются координатной записью преобразова- преобразования плоскости. Линейное преобразование плоскости задается в любой декарто- декартовой системе координат формулами 1/* = ' Взаимно однозначное линейное преобразование плоскости называет- называется аффинным преобразованием. Линейное преобразование, записан- записанное формулами B), аффинно тогда и только тогда, когда Д = Образом вектора а = АВ при линейном преобразовании / называ- называется вектор а* = f(A)f(B). В силу этого, линейное преобразование плоскости определяет преобразование множества векторов плоско- плоскости. Оно обозначается той же буквой / и задается формулами где (a,P) и (а*,/3*) — координаты вектора и его образа. Преобразова- Преобразование множества векторов, задаваемое такими формулами в некотором базисе, называется линейным преобразованием.
§ 12. Линейные и аффинные преобразования плоскости 105 Пусть О, ei, е2 — декартова система координат, в которой преоб- преобразование / задается формулами B), / (е^) = е* (г = 1,2), /(О) = О*. Тогда ej(ai,a2), е$(ЪиЬ2), О*(сьс2). Аффинное преобразование / называется преобразованием пер- первого рода, если базисы ei, е2 и /(ei), /(е2) ориентированы одинаково; второго рода — если противоположно. Для аффинного преобразова- преобразования первого рода Л > 0, для преобразования второго рода Л < 0. Если Ф — фигура на плоскости, имеющая площадь 5, а S* — площадь ее образа при аффинном преобразовании /, то S*/S = |Л . Ортогональным называется преобразование плоскости, сохра- сохраняющее расстояния между точками. Ортогональное преобразование аффинно и задается в прямоугольной системе координат формулами ж* = xcosip-ysimp + xo, , , у* = xsimp + ycosip + yo ^ ' для преобразования первого рода и ж* = xcosip + ysimp + xo, ... у* = xsimp — ycosip + yo ^ ' для преобразования второго рода. Сжатием с коэффициентом А > 0 к прямой I называется аф- аффинное преобразование, задаваемое формулами ж* = ж, у* = Лг/, ес- если прямая / выбрана в качестве оси абсцисс прямоугольной системы координат. (При Л > 1 это преобразование можно называть растяже- растяжением.) Всякое аффинное преобразование / является произведением / = /i1/i25f, где g — ортогональное преобразование, а h\ и /г2 — сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым. Направления этих пря- прямых называются главными или сингулярными направлениями пре- преобразования /. Ненулевой вектор а называется собственным вектором линей- линейного преобразования / векторной плоскости, если существует чис- число Л такое, что /(а) = Ла. Число Л, удовлетворяющее этому условию, называется собственным значением преобразования /. Собственные значения находят как вещественные корни уравнения а\ - Л Ь\ а2 62 — Л Преобразованием подобия с коэффициентом к > 0 называется такое преобразование / плоскости, при котором \f(A)f(B)\ = для любых точек А, В. В задачах этого параграфа угол поворота плоскости при задан- заданном базисе на плоскости отсчитывается в направлении кратчайшего поворота от первого базисного вектора ко второму.
106 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы Общие свойства отображений A2.1—12.24) 12.1. Пусть /: X —±У — отображение. Доказать, что: 1) если Ах С Л2 С X, то f(Ai) С /(Л2); 2)/(ЛиЛ2) = /(Л)и/(Л2); 3) если ВЪВ2 С ДО) С у, то f~1(B1nB2) = 11 4) /(Н-1 П Л2) С /M-i) П/(Л2)- Может ли образ пересече- пересечения не совпадать с пересечением образов? 12.2. Сколькими способами можно установить взаимно од- однозначное соответствие между двумя множествами, содержа- содержащими по п элементов? 12.3. 1) Сколько существует преобразований множества, состоящего из п элементов? Сколько среди них взаимно одно- однозначных? 2) Сколько возможностей имеется для множеств значений преобразований множества из п элементов? 3) Сколько существует отображений множества из т эле- элементов в множество из п элементов? 12.4. Пусть /: X —>> У, \Х\ = га, \У\ = п. Может ли отобра- отображение / быть: 1) Наложением при п > га? 2) Вложением при п < га? 12.5. Пусть /: X —±У, где X, У — конечные множества, состоящие из одинакового числа элементов. Доказать равно- равносильность следующих утверждений: 1) / — вложение; 2) / — наложение; 3) / взаимно однозначно. 12.6. Привести примеры таких отображений fiX—^y бес- бесконечных множеств Л?, У, что: 1) / является наложением, но не вложением; 2) / является вложением, но не взаимно однозначно. 12.7. Установить взаимно однозначные соответствия меж- между множеством всех натуральных чисел и данным множеством: 1) множество всех целых чисел; 2) множество всех четных чисел; 3) множество всех рациональных чисел; 4) множество всех точек плоскости, координаты которых рациональны (рациональных точек);
§ 12. Линейные и аффинные преобразования плоскости 107 5) множество всех интервалов на прямой с рациональными концами; 6) множество всех кругов на плоскости с центрами в раци- рациональных точках и рациональными радиусами; 7) множество всех многочленов р(х) = clq + а\х + ... + апхп (п = 0, 1, 2, ...) с целочисленными коэффициентами щ [г = = 0, 1, ...,п). 12.8. Доказать, что: 1) между множеством всех целых чисел и множеством всех последовательностей чисел 0 и 1 нельзя установить взаимно однозначного соответствия; 2) существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех по- последовательностей чисел 0 и 1. 12.9. Пусть X, У — бесконечные множества, /: X —>> У — взаимно однозначное отображение и У П Z = 0. Придумать взаимно однозначное отображение X на yuZ, если: 1J конечно; 2) Z счетно. 12.10. Доказать, что у любого отображения /: X -^У име- имеется не более одного обратного отображения. 12.11. Придумать взаимно однозначное отображение прямой: 1) на интервал (—1,1); 2) на отрезок [—1,1]. 12.12. Придумать преобразование плоскости, которое вза- взаимно однозначно отображает плоскость: 1) на открытый круг х2 + у2 < 1; 2) на замкнутый круг х2 +у2 ^ 1; 3) на квадрат \х\ < 1, \у\ < 1 (система координат — прямо- прямоугольная). 12.13. Дано линейное преобразование числовой прямой: f(x) = ax + b (а, Ъ — действительные числа). Доказать, что: 1) / взаимно однозначно тогда и только тогда, когда а ф 0; 2) / сохраняет направление векторов на прямой при а > 0 и меняет на противоположное при а < 0; 3) при а ф 0 образом интервала длины / является интервал длины \а\1. 12.14. Дано преобразование f(x) = ax + b числовой пря- прямой. Найти: 1) неподвижные точки преобразования /; 2) преобразование, обратное к преобразованию / (а/0).
108 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 12.15. Написать формулу, задающую линейное отображе- отображение интервала (а, Ь) на интервал (с, d) числовой прямой. 12.16. Даны линейные преобразования / и д числовой пря- прямой: /(ж) = ах + Ь, д{х) = cx + d. Найти произведения fgngf. В каком случае fg = gf? 12.17. Отображение / числовой прямой в плоскость зада- задано формулами в прямоугольной системе координат: х = a cost, y = bsmt (а>0, Ь>0). 1) Найти образ S прямой при отображении /. 2) Является ли отображение / вложением? 3) Указать какие-либо множества на прямой, которые вза- взаимно однозначно отображаются на S. 12.18. Отображение / числовой прямой в плоскость зада- задано формулами в прямоугольной системе координат: х = — cht, у = sht. 1) Найти образ S прямой при отображении /. 2) Является ли отображение / вложением? 3) Найти прообраз t каждой точки из S. 12.19. Преобразование / плоскости задано в прямоуголь- прямоугольной системе координат формулами: ж* = х2 — у2, у* = 2ху. 1) Является ли преобразование /: а) наложением, б) вза- взаимно однозначным? 2) Найти полный прообраз произвольной точки (ж*, у*) плоскости. 12.20. Преобразование / плоскости задано в прямоуголь- прямоугольной системе координат формулами: ж* = ехcosy, у* = exsiny. 1) Является ли преобразование / взаимно однозначным? 2) Выделить на плоскости области, на которых / взаимно однозначно. _ 3) Пусть / — ограничение преобразования / на полосе 0 < < у < тг. Найти формулы, задающие обратное к / отображение. 12.21. Даны отображения /: X —>- У, д : У —>• Z и h : Z —>- —>* U. Доказать ассоциативность умножения отображений, т. е. равенство h(gf) = (hg)f. 12.22. Пусть Х,У — непустые множества, Z = X х У. Ото- Отображение тг: Z —>> У (проектирование Z на У) определяется ра- равенством тг((ж,у)) = у. Показать, что тг — наложение. 12.23. Показать, что для всякого множества X существует вложение 5: X —>> X х X.
§ 12. Линейные и аффинные преобразования плоскости 109 12.24. Графиком отображения f \ X —±У называется под- подмножество Г = {{x,f{x))\x E X} С X х У. 1) Найти образ множества X при отображении ср: X —>> —>> X х У, определяемом равенством (р(х) = (ж,/(ж)). 2) Доказать, что / = тгу? (определение тг см. 12.22). 3) Доказать, что отображение / является вложением тогда и только тогда, когда вложением является ср. 4) Доказать, что / является наложением тогда и только тогда, когда тг(Г) = У. Геометрические свойства линейных и аффинных преобразований плоскости A2.25—12.36) 12.25. Найти радиус-вектор образа произвольной точки М{г) при данном преобразовании плоскости: 1) гомотетия с центром в точке Мо(го) и коэффициен- коэффициентом к ф 0; 2) центральная симметрия относительно точки Мо(го); 3) параллельный перенос на вектор а; 4) ортогональное проектирование на прямую г = rg + ?а; 5) симметрия относительно прямой г = го + ?а; 6) сжатие к прямой г = г о + ta. с коэффициентом Л > 0. 12.26. Аффинное преобразование переводит три точки Л, S, С, не лежащие на одной прямой, соответственно в точки В, С, А. Найти неподвижные точки этого преобразования. При каком необходимом и достаточном условии преобразование бу- будет ортогональным? 12.27. Аффинное преобразование переводит вершины тре- треугольника ABC в середины К, L, М противолежащих им сто- сторон. Найти образы точек X, L, Ми точки О пересечения меди- медиан треугольника ABC. Выяснить геометрический смысл этого преобразования. 12.28. Доказать, что: 1) если А ж В — две различные неподвижные точки аффин- аффинного преобразования, то и все точки прямой АВ неподвижны; 2) если аффинное преобразование / имеет единственную неподвижную точку, то все инвариантные прямые (если они существуют) проходят через эту точку; 3) точка пересечения двух инвариантных прямых аффин- аффинного преобразования неподвижна.
110 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 12.29. Доказать, что аффинное преобразование, имеющее пучок инвариантных прямых, пересекающихся в точке М, яв- является гомотетией с центром в точке М. 12.30. Доказать, что линейное преобразование плоскости тогда и только тогда будет аффинным, когда образ каждого ненулевого вектора отличен от нуля. 12.31. Доказать, что две касательные к эллипсу (или ги- гиперболе) параллельны тогда и только тогда, когда точки каса- касания и центр кривой лежат на одной прямой. 12.32. Доказать, что если эллипс касается стороны описан- описанного около него параллелограмма в ее середине, то он касается остальных сторон этого параллелограмма также в их середи- серединах. 12.33. Около эллипса с центром О описан четырехугольник ABCD. Доказать, что сумма площадей треугольников ОАВ и OCD равна сумме площадей треугольников О ВС и OAD. 12.34. Доказать, что вершины ромба, описанного около эл- эллипса, лежат на осях симметрии этого эллипса. 12.35. Точки А, В, С', D лежат на эллипсе с центром О, причем площади секторов АОВ и COD равны. Доказать, что площади треугольников АОВ и COD также равны. 12.36. Точки А ж В лежат на эллипсе с центром О, дли- длины большой и малой полуосей которого равны а жЬ соответ- соответственно. Найти площадь сектора АОВ, если угол АОВ равен (/?, 0 < (р ^ тг, а точки Ли В симметричны относительно большой оси эллипса. Координатная запись линейных и аффинных преобразований плоскости A2.37—12.62) В задачах 12.37-12.52 система координат предполагается общей декартовой. 12.37. Записать формулы, задающие данное преобразова- преобразование плоскости: 1) гомотетия с центром в начале координат и коэффици- коэффициентом к] 2) гомотетия с центром в точке М(х$, У о) и коэффициентом к] 3) центральная симметрия относительно точки М(жо?2/о); 4) параллельный перенос на вектор а(а,/3). 12.38. Аффинное преобразование плоскости задается фор- формулами ж* = Зх + 2у — 6, у* =4х — Зу + 1. Найти образы:
§12. Линейные и аффинные преобразования плоскости 111 1) точек а) 0@,0); б) ЕхA,0); в) Я2@,1); г) 2) прямых а) у = 0; б) ж = 0; в) ж — у + 1 = 0; г) х — у — -1 = 0; д) 2ж + Зт/ = 7. 12.39. Аффинное преобразование плоскости задается фор- формулами х* = 2х + 3у — 1, у* = —Зж — 4у + 2. Найти прообразы: 1) точек а) (9@,0); б) Л(-1,2); в)БD,-5); 2) прямых а) у = 0; б) ж = 0; в) ж + у — 1 = 0; г) х — у — -1 = 0; д) ж-у + 1 = 0. 12.40. Записать формулы, задающие аффинное преобра- преобразование плоскости, переводящее точки Л, Б, С соответственно в Л* S* С** 1)АA,0), 5@,1), СA,1), А*(-3,5), В*D,-3), С*@,0); 2) ,4C/7,1), 5A,1/4), СB,-1), А*(-4,2), В*(-1,6), С* D,13); 3)^A,0), В(-1/2, л/3/2), С(-1/2,-л/3/2), Л* = Б, Б* = С, С* = Л; 4) АA,2), В(-7,4), СC,-6); Л*, Б*, С* - середины сто- сторон треугольника ABC, противолежащие вершинам А, В, С соответственно. 12.41. Найти всевозможные линейные преобразования плоскости, переводящие точки А, В, С соответственно в А*, В*, С*, если такие преобразования существуют: 1) АA,4), В (-2,1), С @,3), А* @,0), В*A,0), С* @, 4); 2) А(-2, 0), ВB, -1), С@, 4), А*(-2,1), В*B,1), С*@,1); 3)АB,0), 5C,-1), СD,-2), А*B,1), В*(-2,-1), (J*( — Q —3)' 4)А(О,'О), 5(-1,2), СA,-2), А*(-1,-1), Б*@,0), 12.42. Найти все неподвижные точки аффинного преобра- преобразования, заданного формулами: 1) ж* = 7ж-3у, у* = х + у; 2) ж* = —Ъх + у, у* = 6ж; 3) ж* = -5ж + у, у* = 6ж + 1; 4) ж* = 2ж - у + 3, у* = -2ж + 2у - 6; 5) ж* = 4ж + Зу - 1, у* = -Зх - 2у + 1; 6) ж* = ж, у* = у. 12.43. Найти инвариантные прямые линейного преобразо- преобразования, заданного формулами: 1) х* = 2х + 3у, у* = -у,
112 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 2) х* = -х + у, у*=х-у; /\\ % * | 1 1--\ \ гу* / ОТ* I fl I -\ 0 1 У ПГ* I чл I \-\ • KJ I Jb LjJb \~ Ц «J, у ?iJb \^ \J U \J, 6) ж* = Ъх + Зу + 1, у* = -Зх - у; 7) ж* = Зх - 2у + 5, у* = 2ж - у + 5. 12.44. Доказать, что определитель А = 1 ,1 линейного преобразования, заданного формулами не зависит от выбора системы координат. 12.45. Точки А, В, С имеют в системе координат О, ei, е2 координаты A,0), @,1), A,1) соответственно, а в системе координат О*, е*, е^ — координаты A,-1), (-3,2), @,1) со- соответственно. Записать формулы, задающие в системе коорди- координат О, ei, e2 аффинное преобразование / такое, что f(O) = О*, 12.46. Даны формулы перехода от системы координат О, ei, в2 к системе О7, е71? е72. Записать формулы, задающие в системе координат О, ei, в2 аффинное преобразование / такое, что/(О) = О7, /(ei) = ei, Де2) = е7: ' ' '' ) 2) х = 3xf - 4yf - 5, у = 4ж7 + Зу7 + 1. 12.47. Записать формулы, задающие аффинное преобра- преобразование: 1) переводящее прямые х — у+ 1 = 0, х + у — 1 = 0 соот- соответственно в прямые Зх + 2у — 3 = 0, 2ж + Зу + 1 = 0, а точку АA,1) — в точку Б(-1,-2); 2) переводящее прямые Ахж + В\у + С\ = 0 и ^2^ + ^2У + + С2 = 0 соответственно в ось ординат и ось абсцисс, а точ- точку Л(жо,2/о) ~~ в ТОЧКУ -S(l?l) (точка А не лежит на данных прямых). 12.48. Дано аффинное преобразование ж* = 2х + 3у, у* = = Зх + 5у. Составить уравнение образа кривой: 1) х2 + у2 = 1; 2) ж2-з/2 = 1; 3) Ж7/ = 2; 4) у2 = -6х; 5) 6)
§12. Линейные и аффинные преобразования плоскости 113 12.49. Дано аффинное преобразование ж* = —х + 5у + 1, у* = 3х — 2у — 1. Составить уравнения прообраза кривой: 3) ( 4) ( 5) (х + 2у-2)(х + 2у + 2)=0. 12.50. 1) Записать формулы аффинного преобразования х2 первого рода, переводящего эллипс \- у2 = 1 в себя так, что точка АA,\/3/2) переходит в точку В(—2,0). 2) Решить такую же задачу для аффинного преобразова- преобразования второго рода. 12.51. Записать формулы аффинного преобразования, пе- х2 у2 реводящего гиперболу = 1 в себя так, что точка ЛE,4) переходит в точку i? (л/5,0). 12.52. Найти аффинное преобразование, если оно перево- переводит параболу х2 = 4у в себя и: 1) точка AiB,l) переходит в точку SiD,4), а точка ^(l, 1/4) — в точку В2 C,9/4); 2) определитель преобразования равен 1. В задачах 12.53-12.62 система координат предполагается пря- прямоугольной. 12.53. Написать формулы, задающие данные преобразо- преобразования плоскости: 1) поворот на угол ср вокруг начала координат; 2) поворот на угол (р вокруг точки М(хо,уо); 3) ортогональное проектирование на ось абсцисс; 4) ортогональное проектирование на прямую х — Зу + 1 = = 0; 5) симметрия относительно оси ординат; 6) симметрия относительно прямой Зх + 4у — 1 = 0; 7) сжатие к оси абсцисс с коэффициентом Л > 0; 8) сжатие к прямой х + у — 2 = 0 с коэффициентом 1/3; 9) сжатие к прямой 2х — ?/ + 5 = 0 с коэффициентом 2. 12.54. Какие из преобразований задачи 12.53 являются: 1) аффинными; 2) ортогональными? 12.55. Охарактеризовать геометрически преобразования: 1) х* = х, у* = Зу; 2) х* = 2х, у* = 2у;
114 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 3) х* = х-1, у* = 2/4-1; 4) ж* =-ж, у* = у; 5)ж* = -ж, у* = -у; 6)ж* = -у, у*=ж; 7)ж*=у, у*=ж; 10) ж* =3ж-6, у* = Зу + 2; 13) ж* = -ж 14) ** = ^B1* + 12y), у 15) ж* = ^B ^ ^ 2), у (х + 2у + 2); 16) из задачи 12.40, 3); 17) из задачи 12.41, 2). 12.56. При повороте плоскости на угол Зтг/4 вокруг точки А@,1) найти: 1) образы точек 0@,0) и ВA,0); 2) прообразы точек О л В; 3) образы прямых ж = 0 и у = ж; 4) прообразы прямых у = 0 и у = —х. 12.57. На какой угол нужно повернуть прямую Зх — 4у + + 25 = 0 вокруг точки М(—7,1), чтобы ее образ: 1) был параллелен оси абсцисс; 2) касался окружности х2 + у2 = 25/2? 12.58. Центром квадрата является точка Р(—1,2), а одна из сторон задана уравнением х + 2у = 0. Составить уравнения остальных сторон квадрата. 12.59. Центром правильного шестиугольника является точка Р(л/3, 3/2), а одна из сторон задана уравнением у = л/Зх. Составить уравнения остальных сторон шестиугольника. 12.60. Вычислить: 1) площадь параллелограмма, стороны которого заданы уравнениями а\х + Ъ\у + С1 = 0, п2Х + Ъ2У + С2 = 0, а\х + Ъ\у + + d\ = 0, а2Х + ЬгУ + б?2 = 0; 2) (р) площадь треугольника, стороны которого заданы урав- уравнениями а\х + Ъ\у + с\ = 0, а2Х + Ъ2У + С2 = 0, азж + Ьз2/ + сз = 0-
§12. Линейные и аффинные преобразования плоскости 115 12.61. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(—7,13) и образующей с прямыми 2х + у + 3 = 0лх + + у — 2 = 0 треугольник площади 9. 12.62. Окружность задана уравнением х2 + у2 — 6х + 8у = = 0. Составить уравнение окружности: 1) симметричной данной окружности относительно пря- прямой х + у — 6 = 0; 2) полученной из данной окружности поворотом на угол arctgD/3) относительно начала координат; 3) полученной из данной окружности в результате гомоте- гомотетии с центром ^4F,0) и коэффициентом 4. Операции с линейными преобразованиями. Структура ортогональных и аффинных преобразований A2.63-12.89) Система координат, если не оговорено, считается прямоуголь- прямоугольной. 12.63. Записать формулы, задающие произведения fg и gf данных аффинных преобразований (система координат общая декартова): 1) /: ж*=у, у*=ж; д: х* = Зх + 4у + 1, у* = -7х + 5у-2; 2) /: ж* = 4х - 2у + 6, у* = -Зх + у; д: х* = х - у, у* = 4х + + J/+1. 12.64. Записать формулы, задающие произведение fg дан- данных аффинных преобразований / и д, и охарактеризовать это произведение геометрически (система координат общая декар- декартова): 1) / — параллельный перенос на вектор а(—1,1); д — го- гомотетия с центром в точке МA,2) и коэффициентом 3; 2) / — гомотетия с центром в точке МB, — 1) и коэффици- коэффициентом — 1/2; д — центральная симметрия относительно точки 12.65. Записать формулы, задающие преобразование, об- обратное к данному (система координат общая декартова), если такое преобразование существует: 2) ж* = Зж + оч * 4 3 1*3 4 2 3) Х* = -Х+-у+-, у* = -Х--у--] 4) ж* = Зх + Ъу - 4, у* = Ъх + 9у + 6; 5) ж* = Зж-24, 7/* = -ж + 4т/ + 12;
116 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 6) ж* = 2ж-у, у* = -4ж + 2у; 7) ж* = 4ж - Зу, у* = Зж + 4у; 8) ж* = 4ж + 3у, у* = 3ж-4у; 9) ж* = r(xcos(^ — у sin у?), у* = r(xsin(/? + ycos(/?) (г > 0); Ю) ж* = r(xcos(/? + ysin(/?), у* = r(xsin(y9 — ycoscp) (r>0). 12.66. Записать формулы, задающие n-ю степень данного преобразования (п — натуральное число): 1) ж* = xcosa — ysina, у* = xsina + ycosa; 2) ж* = -ж + —у, у* = -—х+ -у; 3) ж* = ж + у, у* = у; 4) ж* = Зж, у* = ж + 2у. 12.67. Записать формулы, задающие произведение fg дан- данных аффинных преобразований / и у: 1) / — гомотетия с центром в точке М@,1) и коэффици- коэффициентом 5, д — симметрия относительно прямой х — 2у — 3 = 0; 2) / — сжатие с коэффициентом 3 к прямой у = ж, у — сжатие с коэффициентом 1/3 к прямой х + у + 1 = 0; 3) / — гомотетия с центром в точке МB,— 1) и коэффици- коэффициентом 4, у — поворот вокруг точки ЛA,1) на угол тг/6; 4) / — сжатие с коэффициентом 1/2 к прямой 2х + Зу = 0, у — гомотетия с центром в точке МA,0) и коэффициен- коэффициентом -3/2. 12.68. Написать формулы и охарактеризовать геометри- геометрически преобразования, обратные к преобразованиям задачи 12.55, 1)-15). 12.69. Написать формулы, задающие произведения fg и gf ортогональных преобразований / и д: 1) / — поворот на угол тг/2 вокруг точки ^4A,1), д — па- параллельный перенос на вектор а(—1,—1); 2) / — симметрия относительно прямой х — 2у — 5 = 0, д — параллельный перенос на вектор аB,1); 3) / — поворот на угол 2тг/3 вокруг начала координат, д — симметрия относительно прямой у = 2; 4) / — симметрия относительно прямой ж — у — 1 = 0, д — симметрия относительно прямой х + у — 1 = 0; 5) / — симметрия относительно прямой Зх — у — 1 = 0, д — симметрия относительно прямой Зх — у + 1 = 0; 6) / — поворот на угол arcsinD/5) вокруг точки ЛA,0), д — поворот на угол arccosD/5) вокруг точки Б(—1,0); 7) / — поворот на угол 30° вокруг точки ^4A,0), д — пово- поворот на угол 330° вокруг точки 5@,1).
§12. Линейные и аффинные преобразования плоскости 117 12.70. 1) Доказать, что произведение поворота плоскости вокруг некоторой точки и параллельного переноса является по- поворотом вокруг некоторой другой точки. 2) Найти координаты неподвижной точки Р преобразова- преобразования, заданного формулами C) из введения к § 12, при <р ф 2тгп, nGZ. Доказать, что преобразование является поворотом на угол (р вокруг точки Р. 3) Охарактеризовать геометрически преобразования fg и gf задачи 12.69, 1). 12.71. 1) Доказать, что преобразование, заданное форму- формулами ж* _ xcoscp + ysmcp, у* = хsirup — ycosip, является симметрией относительно некоторой прямой, прохо- проходящей через начало координат. Найти уравнение этой прямой. 2) При каком условии преобразование, заданное формула- формулами D) из введения к § 12, является симметрией относительно некоторой прямой? Найти уравнение этой прямой. 12.72. 1) Доказать формулы C), D) введения к § 12. 2) Доказать, что любое ортогональное преобразование пер- первого рода является либо параллельным переносом на некото- некоторый вектор, либо поворотом вокруг некоторой точки. 3) Доказать, что любое ортогональное преобразование вто- второго рода является произведением двух перестановочных пре- преобразований — симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса на некоторый вектор (вектор перено- переноса), коллинеарный этой прямой1). Найти вектор переноса а для преобразования, определенного формулами D) введения к § 12. 12.73. Охарактеризовать геометрически преобразование, заданное формулами: 1) х* = х + 1, у* = -у; 2) ж* = я + 1,у* = _у + 2; 3) ж* = х, у* = -у + 2. 12.74. Выяснить, какого рода ортогональными преобразо- преобразованиями являются преобразования /, g, /g и д/ задачи 12.69. Охарактеризовать геометрически (в смысле задачи 12.72) пре- преобразования fg и gf задач 12.69, 3) и 6). 12.75. Написать формулы ортогонального преобразования первого рода, переводящего точку ^4B,0) в точку А*A + \/2,1), х) Если вектор переноса отличен от о, то преобразование называют скользящей симметрией.
118 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы а точку 5B,2) — в точку S*(l, 1 + л/2). Доказать, что это пре- преобразование является поворотом вокруг своей единственной неподвижной точки. Найти координаты этой точки и угол по- поворота. 12.76. Написать формулы ортогонального преобразования второго рода, переводящего точку АB,0) в точку А*A + +л/2,1), а точку 5B,2) — в точку 5*A,1 + л/2). Доказать, что это преобразование является произведением симметрии отно- относительно некоторой прямой и параллельного переноса на век- вектор, кол линеарный этой прямой. Найти координаты вектора переноса и составить уравнение оси симметрии. 12.77. 1) Доказать, что произведение двух преобразова- преобразований, каждое из которых — симметрия относительно некоторой прямой, является параллельным переносом, если эти прямые параллельны, и поворотом, если прямые не параллельны. 2) Охарактеризовать геометрически преобразования fg и gf задачи 12.69, 4). 3) Тот же вопрос для задачи 12.69, 5). 12.78. 1) Доказать, что произведение двух поворотов во- вокруг различных точек на углы, сумма которых равна 2тг, яв- является параллельным переносом. 2) Охарактеризовать геометрически преобразования fg и gf задачи 12.69, 7). 12.79. Доказать, что квадрат ортогонального преобразо- преобразования второго рода является параллельным переносом. 12.80. Представить данное преобразование в виде произ- произведения нескольких преобразований, каждое из которых явля- является осевой симметрией: 1) поворот на угол ср вокруг точки М\ 2) параллельный перенос на вектор а; 3) произвольное ортогональное преобразование второго рода. 12.81. Найти координаты векторов, задающих главные на- направления данного аффинного преобразования: 1)ж* = 3ж, у*=4у; 2)ж* = -3ж, у* = 4у; 3)ж* 4) ж* Б)х* 6)х* 7) х* 8)х* = Зж, у* = -3^ = х-у, у* = х ^> 7/* гр _|_ = 3?/ — 2, у* = - = 2х + 5у, у* = = -4ж + 7у, у* + у; ¦ у* -4ж; : -11ж + 10у; = 8х + у;
§12. Линейные и аффинные преобразования плоскости 119 9) ж* = -4ж + 8у, у* = -7х-11у; 10) ж* = х + V3y + 2, у* = - Зу'Зж + Зу + л/3. 12.82. Представить каждое из аффинных преобразований задачи 12.81 в виде произведения / = h<ih\g, где д — ортого- ортогональное преобразование, a h\ и /i2 — сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым. 12.83. Разложить в произведение hg, где д — ортогональ- ортогональное преобразование, ah — гомотетия, каждое из преобразова- преобразований / и f~l задачи: 1) 12.65, 7); 2) 12.65, 8); 3) 12.65, 9); 4) 12.65, 10). 12.84. Доказать, что преобразование подобия представля- представляет собой произведение ортогонального преобразования и гомо- гомотетии. 12.85. Найти собственные значения и координаты отвеча- отвечающих им собственных векторов линейного преобразования (си- (система координат общая декартова), если: 1) ж* = 7ж, у* = -х + 5у; 2) ж* = 2ж + у, у* = 2ж + 3у; 3) ж* = 5х — 4у, у* = 4ж - 5у; 4) ж* = 8ж + 17у, у* = 5) ж* = 2я, у* = 2у; 6) ж* = х-у, у* = - 7) ж* = 11ж-5у, у* = 8) ж* = 7ж - 2у, у* = 8ж - у. 12.86. Доказать, что аффинное преобразование, заданное формулами ж* = ах + by, у* = bx + су, имеет два взаимно пер- перпендикулярных собственных вектора. 12.87. Аффинное преобразование / задается форму- формулами ж* = а\х + Ъ\у, у* = а,2Х + ?>2У, а преобразование Д — фор- формулами x* = aix + a2y, y* = bix + b2y. Доказать, что главные направления преобразования / совпадают с направлениями собственных векторов преобразования Д/. 12.88. Каждая точка плоскости М(х,у) отождествляется с комплексным числом z = x + iy. Доказать, что: 1) преобразование z i—)> Re z — x является ортогональным проектированием на ось абсцисс; 2) преобразование z ь-)> ~z = х — iy является симметрией от- относительно оси абсцисс;
120 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 3) преобразование z \-> z + z$, где z$ = x$ + iy$ — фиксиро- фиксированное комплексное число, является параллельным переносом на вектор э.{хо,уо); 4) преобразование z i->> az, где а — действительное число, не равное нулю, является гомотетией с центром в начале коор- координат и коэффициентом а; 5) преобразование z i->> (cos(p + ism(p)z = el(pz {cp — фикси- фиксированное действительное число) является поворотом на угол ср вокруг начала координат. 12.89. Выяснить геометрический смысл преобразования / комплексной плоскости (см. задачу 12.88): 1) f(z) = az, где а = r{cos(p + ism(p), г > 0; 2) f(z) = az + ft, где а, ft — комплексные числа, а ф 0. § 13. Понятие о группах В этом параграфе используются следующие основные поня- понятия: бинарная алгебраическая операция, группа, единичный элемент, обратный элемент, абелева группа, циклическая группа, подгруппа, гомоморфизм, изоморфизм групп, нормальная подгруппа, фактор- факторгруппа. Непустое множество G называется группой, если в G задана би- бинарная алгебраическая операция (чаще всего называемая умноже- умножением), т. е. для каждой упорядоченной пары (а,Ь) элементов из G определен единственный элемент с = а-Ъ G G — их произведение в указанном порядке, причем выполнены следующие аксиомы: 1. Умножение ассоциативно: {а-Ъ) • с = а- (Ъ- с) для любых a, b, ce G. 2. В G существует нейтральный {единичный) элемент е такой, что е • а = а • е = а для всех a G G. 3. Для любого a G G существует обратный элемент a G G та- такой, что а • а = а • а = е. Группа G называется коммутативной или абелевой, если а-Ь = = Ь- а для любых а, Ъ G G. В абелевой группе операцию иногда назы- называют сложением и сумму обозначают а + Ъ. При этом нейтральный элемент обозначается нулем 0, а обратный к а элемент называется противоположным и обозначается —а. Число элементов группы G (если оно конечно) называется по- порядком группы G и обозначается \G\. Группа G при этом называется конечной. Если множество G бесконечно, то группа G называется бесконечной. Целые степени элемента a G G определяются рекуррентно: а0 = е, ап+1 = апа для натурального п, ап = {а~п)~1 для целого от- отрицательного п. Группа G называется циклической группой с образу- образующим элементом а, если все элементы группы G являются целыми степенями элемента а.
13. Понятие о группах 121 Наименьшее натуральное число п, для которого ап = е (если оно существует), называется порядком (периодом) элемента а. Если ап ф е для любого п, то а считается элементом бесконечного порядка. Подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно операции, заданной в G. Под- Подгруппа Н группы G называется нормальной в G (или нормальным делителем группы G), если для любых элементов h G if, g G G эле- элемент ghg~x также принадлежит Н. Элемент группы вида ghg~x на- называется сопряженным с элементом h посредством д. Две группы G\ и G^ (с операциями • и * соответственно) назы- называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное (биективное) отображение (р: G\ —>> G2, что для любых двух элемен- элементов а и 5 из G выполняется равенство <??(а • Ь) = <р(а) * <?>(&). Обозначение изоморфизма групп: G\ = G2. Пусть if — подгруппа в G. Левым смежным классом элемента д G G по подгруппе Н называется множество gH = {gh:heH}. Аналогично определяется правый смежный класс Hg = {hg : h G H}. Группа G разбивается на попарно не пересекающиеся левые (правые) смежные классы по подгруппе if, причем мощность лю- любого смежного класса равна мощности Н. Отсюда следует теорема Лагранжа: порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы. В общем случае дН ф Нд\ если подгруппа Н нормальна в G, то дН = Нд для всех д G G. При этом множество G/H смежных классов группы G по подгруппе Н является группой относительно операции умножения классов, определяемой равенством (аН)(ЪН) = (аЪ)Н. Эта группа называется факторгруппой группы G по нормальной подгруппе Н. Пусть Sn — совокупность всех взаимно однозначных преобразо- преобразований множества X = {1,...,п}. Любое преобразование a G Sn опре- определяет перестановку (ii,...,in) чисел A,...,п) (см. § 14); само пре- преобразование а называется подстановкой (или также перестановкой) степени п и изображается двухрядным символом, указывающим об- образ любого числа к A ^ к ^ п): а = ( '" Умножение перестановок определяется так же, как и для любых пре- преобразований. Относительно операции умножения множество Sn об- образует группу — симметрическую группу степени п. 13.1. Образует ли группу относительно операции умноже- умножения данное множество преобразований плоскости:
122 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 1) множество всех параллельных переносов; 2) множество всех параллельных переносов на ненулевые векторы; 3) множество всех поворотов вокруг фиксированной точки; 4) множество всех поворотов; 5) множество всех ортогональных преобразований; 6) множество всех ортогональных преобразований второ- второго рода; 7) множество всех ортогональных преобразований, имею- имеющих общую неподвижную точку; 8) множество всех аффинных преобразований; 9) множество всех линейных преобразований; 10) множество, состоящее из тождественного преобразова- преобразования и симметрии относительно данной прямой; 11) множество поворотов плоскости вокруг центра пра- правильного n-угольника, совмещающих этот n-угольник с самим собой (вращения правильного n-угольника); 12) множество всех преобразований подобия? 13.2. Образует ли группу относительно операции умноже- умножения множество преобразований плоскости, заданных формулами: 1) ж* = Хх, у* = Ху; 2) х* = Ху, у* = Х~1х, А/0; 3) ж* = Ах, у* = у, А ф 0; 4) ж* = х, у* = Хх + у; 5) ж* = ах + by, у* = сх + dy, 6) ж* = ах + by, у* = сх + dy, ad — Ьсф 0; 7) ж* = ах — by, у* = bx + ay, а2 + Ъ2 ф 0; 8) ж* = r(xcos(f — у simp), у* = r(xsm(p + ycos(p), г > 0; 9) ж* = а\х + Ь\у + с\, у* = а2Х + b2y + C2, ai?>2 - аъЬ\ = 1? 13.3. Образует ли группу относительно операции сложения: 1) множество всех действительных чисел; 2) множество всех неотрицательных действительных чисел; 3) множество всех рациональных чисел; 4) множество всех целых чисел; 5) множество всех четных чисел; 6) множество всех нечетных чисел; 7) множество всех комплексных чисел; 8) множество всех чисто мнимых комплексных чисел; 9) множество из одного числа 0? 13.4. Образует ли группу относительно операции умножения: 1) множество всех действительных чисел;
13. Понятие о группах 123 2) множество всех положительных действительных чисел; 3) множество всех рациональных чисел; 4) множество всех натуральных чисел; 5) множество всех ненулевых комплексных чисел; 6) множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1; 7) множество всех ненулевых чисто мнимых комплексных чисел; 8) множество комплексных корней n-й степени из 1 (п — натуральное число)? 13.5. Доказать, что в любой группе: 1) единичный элемент е единственен; 2) для любого элемента а обратный элемент а един- единственен; 3) равенство ах = Ъ равносильно х = а6, а равенство ха = = Ъ равносильно х = Ьа; 4) для любых элементов а и Ъ выполняется равенство (аЪ)-1 = Ь-1а-1. 13.6. Доказать, что если квадрат любого элемента группы равен единичному элементу, то группа абелева. 13.7. Доказать, что все аффинные преобразования плос- плоскости, при которых данный треугольник переходит в себя, об- образуют неабелеву группу. Найти порядок этой группы. 13.8. Доказать, что две группы изоморфны: 1) группа комплексных чисел относительно операции сло- сложения и группа параллельных переносов плоскости относи- относительно операции умножения (композиции); 2) группа комплексных чисел, по модулю равных 1, относи- относительно операции умножения и группа поворотов плоскости во- вокруг фиксированной точки относительно операции умножения; 3) группа ненулевых действительных чисел относительно операции умножения и группа гомотетий с центром в данной точке относительно операции умножения (коэффициент гомо- гомотетии отличен от нуля); 4) группа ненулевых комплексных чисел относительно опе- операции умножения и группа преобразований плоскости, задан- заданных формулами ж* = ах — Ъу, у* = Ъх + ау (а2 + Ь2 > 0), относи- относительно операции умножения; 5) группа действительных чисел относительно операции сложения и группа положительных действительных чисел от- относительно операции умножения;
124 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 6) группа Сп вращений правильного n-угольника относи- относительно операции умножения и группа Un комплексных корней n-й степени из 1 относительно операции умножения. 13.9. Доказать, что существуют только две неизоморфные группы, содержащие четыре элемента. Привести примеры для обоих случаев. 13.10. Доказать, что данная группа является цикличе- циклической, и найти ее образующий элемент: 1) группа всех целых чисел относительно сложения; 2) группа пЪ целых чисел, кратных данному натуральному числу п, относительно сложения; 3) группа Un комплексных корней степени п из 1 относи- относительно умножения; 4) группа Сп вращений правильного п-угольника. 13.11. Найти все подгруппы групп из задачи 13.10. 13.12. Доказать, что: 1) всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел; 2) все конечные циклические группы одинакового порядка изоморфны друг другу. 13.13. Доказать, что: 1) всякая подгруппа циклической группы сама циклическая; 2) порядок любой подгруппы конечной циклической груп- группы является делителем порядка группы. 13.14. Пусть Н — непустое подмножество группы G. До- Доказать, что Н является подгруппой в G тогда и только тогда, когда выполняются два условия: а) если /ii, /12 G Н, то h\h2 Е -Н", б) если h Е Я, то Ъг1 Е Н. 13.15. Пусть Н — непустое подмножество группы G, за- замкнутое относительно умножения (т. е. выполнено условие а) задачи 13.14). Доказать, что при любом из следующих усло- условий Н будет подгруппой в G: 1) Н — конечное множество; 2) все элементы из Н имеют конечные порядки. 13.16. Показать, что: 1) группа всех ортогональных преобразований, сохраняю- сохраняющих данный правильный n-угольник (называемая его группой симметрии, а также группой диэдра степени n, Dn), содержит 2п преобразований;
13. Понятие о группах 125 2) группа Сп вращений правильного n-угольника является нормальной подгруппой в Dn. 13.17. Пусть |б?| = 2п и Н — подгруппа в G порядка п. Доказать, что Н — нормальная подгруппа группы G. 13.18. Доказать при помощи теоремы Лагранжа, что: 1) порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента; 2) группа простого порядка является циклической. 13.19. Пусть G = D% — группа симметрии правильного треугольника (см. задачу 13.16), а Н — ее подгруппа, состо- состоящая из тождественного преобразования г и симметрии отно- относительно одной из высот треугольника. Найти разбиение груп- группы G на левые и правые смежные классы по Н и убедиться в том, что Н не является нормальной подгруппой в G. 13.20. Доказать, что: 1) параллельные переносы образуют нормальную подгруп- подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости; 2) преобразования, имеющие общую неподвижную точку, образуют подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости, но она не является нормальной. 13.21. Доказать, что: 1) если конечное множество аффинных преобразований плоскости образует группу, то все преобразования из этого мно- множества имеют общую неподвижную точку; 2) всякая конечная группа ортогональных преобразований плоскости является группой симметрии или группой вращений некоторого правильного многоугольника. 13.22. Найти (с точностью до изоморфизма) факторгруп- факторгруппу GI'Н, если: 1) G — группа всех комплексных чисел с операцией сложе- сложения, Н — подгруппа всех вещественных чисел. 2) G — группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, Н — подгруппа положительных вещественных чисел. 3) G — группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, Н — подгруппа чисел, по модулю равных 1. 4) G — группа всех вещественных чисел с операцией сло- сложения, Н — подгруппа целых чисел. 5) G = Z — группа целых чисел с операцией сложения, Н = nTL — подгруппа чисел, кратных данному натуральному числу п.
126 Гл. 5. Преобразования плоскости. Группы 6) G — группа всех ортогональных преобразований плоско- плоскости первого рода с операцией умножения преобразований, Н — подгруппа параллельных переносов. 13.23. 1) Доказать, что множество Sn всех подстановок степени п является группой относительно операции умножения преобразований {симметрической группой степени п). Найти порядок этой группы. 2) Доказать, что группы Sn некоммутативны при п ^ 3. 13.24. Вычислить: 2 1 у ' ^ ^ 2 1 3 / 1231 1 о q\ /i94 i ¦ i 2 3 ly уЗ 1 2 13.25. Доказать, что все четные перестановки (см. введе- введение к § 14) образуют нормальную подгруппу 4П в 5П, и найти ее порядок. 13.26. Пусть V — нециклическая подгруппа четвертого по- порядка в $4- Доказать, что: 1) У С А4; 2) V нормальна в 54; 3) S±/V ^ 53. 13.27. Найти: 1) все подгруппы в S%; 2) все нормальные подгруппы в S4.
Глава 6 МАТРИЦЫ § 14. Определители В этом параграфе используются следующие основные понятия: матрица, подматрица, строка матрицы, столбец матрицы, пере- перестановка, четная или нечетная перестановка, число нарушений порядка в перестановке, определитель (детерминант) квадратной матрицы, минор матрицы, элементарные преобразования матри- матрицы, транспонирование матрицы. В задачах 14.33-14.44 используют- используются и другие операции с матрицами и некоторые специальные виды матриц; соответствующие обозначения и определения даны во вве- введении к § 15. Квадратная матрица порядка п А = аи а12 &21 «22 а1п ап2 0"П ). Элементы an,...,ain об- nj — j-й столбец матрицы А. обозначается также через ||а^|| или разуют г-ю строку, элементы a±j,...,a Говорят, что элемент а^ лежит на пересечении ее г-й строки и j-ro столбца. Всюду в этой главе, кроме нескольких специально оговорен- оговоренных случаев, предполагается, что элементы матриц — вещественные или комплексные числа. Определитель матрицы А обозначается че- через detА, \А\ или а12 а1Г( ап1 ап2 • • • апп Приведем основные формулы для вычисления определителей: A) а± Ь\ С\ «2 Ь2 С2 «3 ^3 Сз -ai ЬъС2 -h a b с d 2 -ad- be; B) Рекуррентные формулы:
128 Гл. 6. Матрицы k=l (формула разложения определителя по 1-й строке), C) D) k=l (формула разложения определителя по j-му столбцу). В формулах C), D) через М^ обозначен дополнительный минор элемента а^, т.е. определитель матрицы порядка п — 1, полученной из А вычеркива- вычеркиванием строки и столбца, в которых расположен элемент а^. E) ап\... апп — формула полного разложения (или полного развертывания) опре- определителя, выражающая определитель матрицы п-го порядка через ее элементы. В слагаемых формулы E) значения индексов z'i, ..., in об- образуют всевозможные перестановки чисел 1, 2, ..., п, а через 7V(ii, ..., in) обозначено число нарушений порядка в перестановке (ii,...,in). Напомним, что перестановка (z'i, ..., in) называется чет- четной, если число ЛГ (г'ь ..., гп) четно, и нечетной в противном случае. Приведем формулировку теоремы Лапласа. Минором порядка s (s ^ n) матрицы А называется определитель матрицы, образующей- образующейся в пересечении каких-либо s строк и s столбцов матрицы А. Если эти строки имеют номера (и,... ,г8), а столбцы — номера (ji,..., js), то соответствующий минор обозначается через L ¦ 5 : isj\ isjs Через M-}'"-s обозначаем минор, дополнительный к минору L У'" s , J \_ * * * J S J ^ * * * J S т. е. определитель матрицы порядка п — s, полученной из А вычер- вычеркиванием выделенных строк и столбцов. Для любого натурального числа s (s ^ п) и любого фиксированного набора строк с номерами г*1,... ,г5 таких, что %\ < %2 < ... < г8, справедлива формула Е F) где сумма берется по всевозможным наборам значений индексов ji,..., js, таким, что 1 ^ ji < 2ч < • • • < js ^ п- Формулу F) можно на- назвать формулой разложения определителя по данным s строкам. Аналогична формула разложения определителя по данным s столб- столбцам:
§ 14- Определители 129 Здесь индексы ji,...,js фиксированы, а сумма берется по всевоз- всевозможным наборам значений индексов ii,... ,is таким, что 1 ^ i\ < ... ... < is ^ п. Перестановки A4.1—14.3) 14.1. 1) Доказать, что последовательно переставляя сосе- соседние числа, можно поменять местами любые два элемента переста- перестановки, сохранив при этом расположение остальных элементов. 2) Доказать, что четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два элемента. 14.2. 1) Доказать, что конечное число (к) раз переставляя соседние числа, можно расположить элементы перестановки в порядке возрастания. Однозначно ли определено к? 2) Пусть s — число нарушений порядка в перестановке. До- Доказать, что числа к и s имеют одинаковую четность. 3) Указать последовательность из s перемен мест в парах соседних чисел, в результате которой все элементы перестанов- перестановки будут расположены в порядке возрастания. 14.3. Последовательно переставляя соседние числа, распо- расположить элементы следующих перестановок в порядке возрас- возрастания. Найти число нарушений порядка и определить четность перестановки: 1) E 4 3 2 1); 2) F 4 5 2 3 1); 3)A2 45 6 3); 4) A24359876); 5) (987654321); 6) D32159876); 7) (п, п-1, ..., 1); 8) A, 3, 5, ..., 2п-1, 2, 4, 6, ..., 2п); 9) B, 4, 6, ..., 2п, 1, 3, 5, ..., 2п+1). Вычисление определителей A4.4—14.32) 14.4. Вычислить определитель второго порядка: 1) |Л|; 2) |Л6|; 3) \А7\; 4) |Л81|; 5) \А77\; 6) |Л8|. 14.5. Вычислить |^78| при е = е7™/3. 14.6. Пусть х = rcos(^, у = г sin ср. Вычислить якобиан дх/дг dx/dip ду/дг ду/дср
130 Гл. 6. Матрицы 14.7. Вычислить определитель третьего порядка: 2) 5) |А204|; 6) 3) |А202|; 4) 7) |А209|; 8) 9) |Азбб|; Ю) |А364|; И) |^збв|; 12) 14.8. Вычислить |Л3бз| при и = е27Г'/3. 14.9. Пусть х = г cos (/? cos ^, у = дх/дг дх/д(р дх/дф Вычислить якобиан ду/дг ду/д(р ду/дф dz/dr dz/dip dz/дф 14.10. Решить относительно неизвестного Л уравнение: 1) \А2ц-ХЕ\=0- 2) \А212-ХЕ\=0] 3) \A2i3-\E\=0. 14.11. Сколько слагаемых входит: 1) в формулу полного разлолсения определителя четверто- четвертого порядка; 2) в формулу полного разложения определителя пятого по- порядка? 14.12. 1) Имеются ли в формуле полного разложения опреде- определителя матрицы 11aij 11 пятого порядка слагаемые 2) С какими знаками входят в формулу полного раз- разложения определителя матрицы пятого порядка слагаемые 14.13. Пусть в матрице А порядка п точно п элементов равны 1, а остальные — нули. Чему может быть равен опреде- определитель матрицы А? 14.14. Доказать, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. 14.15. Доказать, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. 14.16. 1) Как изменится определитель, если в матрице пе- переставить две строки? 2) Как изменится определитель, если к одной строке мат- матрицы прибавить другую? 3) Как изменится определитель, если одну строку в матри- матрице умножить на число Л? 4) Как будет изменяться определитель, если со столбцами матрицы совершать такие же элементарные преобразования? 14.17. Изменится ли определитель, если матрицу транспо- транспонировать?
14- Определители 131 14.18. Как изменится определитель, если все элементы матрицы заменить комплексно сопряженными числами? 14.19. Сформулировать несколько достаточных условий, при которых определитель матрицы А равен 0. Сформулиро- Сформулировать необходимое и достаточное условие. 14.20. Пусть det А ф 0. Доказать, что, применяя к строкам матрицы элементарные преобразования, сохраняющие опреде- определитель, можно получить: 1) треугольную матрицу; 2) диаго- диагональную матрицу. 14.21. Вычислить определитель четвертого порядка: 1) |А43о|; 2) |А4311; 3) |Л432|; 4) 5) |А43б|; 6) |А437|; 7) |А438|; 8) 9) |А44о|; Ю) |А4411; и) 1-4.4341; 12) |А442| 13) |А44з|; 14) 1-44441; 15) |Л445|. 14.22. Вычислить определитель пятого порядка: 1) |Л530|; 2) |4>32|; 3) |Л533|; 4) |A54i|; 5) |Аб3 14.23. Вычислить определитель порядка п: 1) |Абоо|; 2) |ЛбО1|; 3) |Л6ю|; 4) |ЛбП|; 5) |Лб18|; 6) |Л605|; 7) |Лб14|; 8) |Лб15|; 9) |Лб22|; 10) \А633\ 11) \А625 15) |Аб41 12) 16) 13) 17) 14) 18) = 2к). 14.24. Вычислить определитель порядка п (полезно полу- получить рекуррентную формулу): 2) |А629|; 3) 4) \А Г)\А 9) 632 644 1 - аЩ 5) \А 6341 6) |Л 6351 («детерминант Вандермонда»); _ nnhn ап°п - anbi 1 - anbn Ю) (р) 2a 1 0 1 2a 1 0 1 2a ... 0 ... 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 1 2а
Гл. 6. Матрицы 12) 13) (р) |А638|. О О О ... 1 2ch<p 14.25. Показать, что определитель матрицы А порядка п равен 0, если в ней имеется нулевая подматрица размеров к х / и к + 1 > п. 14.26. Вычислить det^, зная, что в матрице А сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами. 14.27. Как изменится определитель, если переставить столбцы матрицы, расположив их в обратном порядке? 14.28. Как изменится определитель, если матрицу транс- транспонировать относительно второй диагонали? 14.29. Числа 1081, 1403, 2093 и 1541 делятся на 23. Объ- Объяснить без вычислений, почему число 10 8 1 14 0 3 2 0 9 3 15 4 1 также делится на 23. 14.30. Пусть M{j — дополнительный минор элемента матрицы А. Доказать, что (—1)г+<7 = 0 при кфг (п — порядок А). 14.31. 1) Пусть все элементы матрицы второго порядка яв- являются дифференцируемыми функциями от одной переменной t. Доказать, что для производной от определителя, рассматри- рассматриваемого как функция от ?, имеет место формула a(t) b(t) ' _ a'(t) b'{t) a{t) b(t) c(t) d\t) ~ c(t) d(t) + /(*) d'(t) 2) Составить и доказать формулу дифференцирования определителя порядка п.
§ 14- Определители 133 14.32. Доказать, что det (Л — ХЕ) — многочлен от Л, и вы- вычислить его коэффициенты. Задачи, в которых употребляются операции с матрицами и специальные виды матриц A4.33—14.44) 14.33. Справедливы ли тождества (п — порядок матрицы А): ) 2) 3) 4) 14.34. Пусть А — квадратная матрица порядка n; bij — дополнительный минор ее элемента ajj; C{j — алгебраическое дополнение элемента а^-; из них образованы матрицы В = (Ь^-), С = (dj). Доказать, что detB = detC = (detAO1. 14.35. Доказать, что определитель эрмитовой матрицы — вещественное число. 14.36. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен 0. 14.37. Доказать, что если матрица А унитарна, то 14.38. Доказать, что для любой вещественной матрицы А выполнено detAAT ^ 0. Н = Si,..., квадратные матрицы, 14.39. Пусть В± О •. — блочно диагональная матрица. Доказать, О Вк что det Яп = det Вг... det Bk. II А О II 14.40. Пусть A, D — квадратные матрицы, Н = „ ^ — блочно треугольная матрица. Доказать, что 14.41. Пусть А — квадратная матрица порядка n, det Л = А 2А I ЗА 4А . Вычислить detH п 14.42. Пусть А — квадратная матрица, А2, А3, А4 — ее А А2 степени, Н = А3 А4 . Вычислить deti7D.
134 Гл. 6. Матрицы 14.43. 1) Пусть А, В, С', Е — квадратные матрицы порядка II -А В II п, Е — единичная матрица, Н = L^ ^ . Доказать, что detHB = det(A-BC). 2) Всегда ли справедливо равенство det Нп = det(AD — А В II — ВС) для блочной матрицы Н = ^ г> ? 14.44. Выразить определитель кронекеровского произве- произведения Л®В через определители матриц А, В. § 15. Операции с матрицами В этом параграфе используются следующие основные понятия: матрица, размеры матрицы, подматрица (блок, клетка матрицы), элементарные преобразования матрицы, сумма матриц, произве- произведение матрицы на число, произведение матриц, перестановочные (коммутирующие) матрицы, обратная матрица, след матрицы, многочлен от матрицы. В некоторых задачах предполагается зна- знакомство с алгоритмом Гаусса. Подробное изложение алгоритма Гаус- Гаусса дано во введении к § 16. Приведем некоторые обозначения и определения. Матрица А = а,ц а 12 arnl arn2 • • • a>m\ содержит m строк и п столбцов, имеет размеры (размер) т х п, ши- ширину п и высоту т. Рассмотрим матрицы А, В, С с элементами а^, bij, Cij соответственно. Матрица В называется произведением матрицы А на число а, если для всех элементов этих матриц выполнены равенства Ь^ = сга^ (размеры матриц А, В одинаковые). Обозначение: В = а А. Пусть А, В, С — матрицы одинаковых размеров. Матрица С называется суммой матриц А и В и обозначается С = А-\-В, если для всех значений индексов i,j выполнены равенства с^- = а^ -\-bij. Пусть число п столбцов матрицы А равно числу строк мат- матрицы В. Матрица С называется произведением А на В (справа), С = А В, если для всех значений индексов г, j выполнены равенства п Cij = 2_2aikbkj- Если А имеет размеры т х п, а В — размеры п х р, k=i то матрица С = АВ имеет размеры т х р. Матрицы А и В комму- коммутируют, если АВ = В А. Следующие два типа преобразований строк назовем основными элементарными преобразованиями строк матрицы: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к какой-либо строке матрицы другой ее строки.
§15. Операции с матрицами 135 К элементарным преобразованиям строк относят также: 3) перестановку двух строк матрицы; 4) прибавление к какой-либо строке матрицы другой ее строки, умноженной на число. Матрица В называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается В = АТ, если строками матрицы В явля- являются соответствующие столбцы матрицы А, т. е. для всех i,j выпол- выполнены равенства bij = а^. Операция перехода от А к Ат называется транспонированием матрицы А. Если А имеет размеры т х п, то АТ имеет размеры п х т. Матрица В называется комплексно сопряженной по отношению к комплексной матрице А и обозначается В = А, если для всех i,j выполнено равенство Ь^ = 7Щ. Матрица В называется эрмитово со- сопряженной по отношению к матрице А и обозначается В = Ан, если т В = А , т. е. для всех г, j выполнено Ь^ = Щ1. Матрица называется нулевой, А = О, если все ее элементы рав- равны 0. Матрица А называется матричной единицей с индексами го, jo и обозначается А = Eiojo, если все ее элементы, кроме a^ojo, нулевые, а aiojo = 1- Элементы ац,а22,--- ,апп образуют (главную) диагональ квад- квадратной матрицы А= \\a,ij\\ порядка п и называются ее диагональ- диагональными элементами. Сумма диагональных элементов называется сле- п дом матрицы А и обозначается trA Таким образом, trA = /]ац. i=l Квадратная матрица называется диагональной, если все ее неди- недиагональные элементы равны 0, т. е. aij = 0 при гф]. Диагональ- Диагональная матрица порядка п обозначается diag(an,...,апп). Диагональная матрица порядка п, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной и обозначается Е или Еп. Элементы единич- единичной матрицы обозначаются Siji Е = 115{j 11, *«={! 0 при г ф j. Пусть А — квадратная матрица порядка п. Матрица В назы- называется обратной к А и обозначается В = А~х, если Л5 = В А = Е\ Элементы обратной матрицы можно вычислить по формуле: ij ~ detA ' где Mji — дополнительный минор элемента а^ в матрице А. Матри- Матрица А обратима, если det А ф 0. Пусть p(t) = ao + a±t + ... + aktk — многочлен. Матрица В = = а$Е + а\ А + ... + а& Ак называется многочленом от матрицы А и обозначается В =р(А). Перечислим некоторые специальные виды квадратных матриц А =
136 Гл. 6. Матрицы скалярная: А = diag(A,..., Л), где Л — некоторое число; вырожденная {особая): detA = 0; невырожденная {неособая): detA ф 0; унимодулярная: detA = 1; матрица перестановки: матрица А получена из единичной мат- матрицы Е перестановкой строк; элементарная матрица: матрица А, полученная из Е элемен- элементарным преобразованием; верхняя треугольная: а^ = 0 при г > j; нижняя треугольная: aij = 0 при г < j; симметрическая (или симметричная): АТ = А\ ко со симметрическая (или ко со симметричная): АТ = —А; эрмитова: Ан = А; косоэрмитова: Ан = — А; ортогональная: АТ = А-1\ унитарная: Ан = А~г\ неотрицательная: а^ ^ 0 при всех г, j; п стохастическая {марковская): а^ ^ 0 при всех г, j и 2_2aik = 1 fc=i при г = 1,... ,п; нильпотентная: Ак = О при некотором натуральном /с (наи- (наименьшее из таких к называется показателем нильпотентности матрицы А); периодическая: Ак = Е при некотором натуральном к {к назы- называется периодом матрицы А). Матрица В называется блочной {клеточной), если ее элемента- элементами являются матрицы Bij размеров mi x rij. При этом все матри- матрицы Bij, принадлежащие одной строке В, имеют одинаковую высоту, а все матрицы В^, принадлежащие одному столбцу В, имеют оди- одинаковую ширину. Операции с блочными матрицами определяются по тем же правилам, что и с обычными числовыми матрицами. Ес- Если числовая матрица А разбита горизонтальными и вертикальными прямыми на блоки Bi^ занумерованные естественным образом, и из этих блоков сформирована блочная матрица В = Ц-В^-Ц, то говорим, что матрица В получена из А разбиением на блоки. Пусть, наоборот, дана блочная матрица В = 11 Bij 11. Из элементов матриц Bij можно естественным образом сформировать числовую матрицу А размеров i x /^nj- В этом случае мы говорим, что матрица А получе- i 3 на объединением блоков матрицы В и пишем А = Ви. Когда для путаницы нет оснований, значок опускаем, и числовую матрицу обозначаем той же буквой, что и блочную. Пусть А = \\aij\\ и В — числовые матрицы, С = ||С^-|| — блочная матрица, определенная равенствами dj = aij В при всех г, j. Число- Числовая матрица, получаемая объединением блоков матрицы G, называ-
15. Операции с матрицами 137 ется [правым] кронекеровским произведением (или правым прямым произведением) матриц А и В и обозначается А®В. Основные операции с матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц A5.1—15.24) 15.1. Сформулировать требования, которые надо предъ- предъявить к матрицам для того, чтобы их можно было сложить. 15.2. Вычислить линейную комбинацию матриц: 1K 3) 2 1 21 1 2 3 21 3 2 -4 10 1 0 1 2) 2 2 2 1 -3 0 5 6 1 8 7 -15II_II 5 24 ~7 -1|| 1 -5 -6 11 || ||-1 -2 7 3 ||; 4) А18 + А4о; 5) A2s-A12; 6) 2^573-^571; 2 15.3. Описать условия, при которых верны следующие тождества, и доказать эти тождества (Л, В, С — матрицы, а, /3 — числа): -| \ Л | ТЗ D | Л . О\ Л | / ТЗ | /^\ / Л | Z?N | f~4. J. ) J~\. ~\ П — li ~~\— Ji-* Zj I J~\. \~ l Г) ~(~ i^y I — I ^т. ~(~ П I ~p~ vy • 3) a(/3A) = (a/3)A; 4) a(A + B) = aA + <xB; 5) (a- 15.4. 1) Мож:но ли умножить строку длины т на столбец высоты п? 2) Можно ли умножить столбец высоты тша строку длины га? 15.5. Вычислить произведение матриц: 1) || 2 -3 0| II 1 1 1 3)| 7)- 11) A6OiA6o 15) (A617J; 3 5 5 9 |2 -3 0 4) 6) 12) 16) 14) 5) 9) 13) при e = е2ш/п. 15.6. Каким условиям должны удовлетворять матрицы А и S, чтобы: 1) существовало произведение АВ] 2) существовало произведение В А] 3) существовали произведения АВ и 5Л? 15.7. Выразить размеры матрицы АВ через размеры А л В.
138 Гл. 6. Матрицы 15.8. Матрицы Л, С имеют размеры соответственно т х хп и р х д, и существует произведение ABC. Каковы размеры матриц Б, ABC? 15.9. Проверить справедливость тождества (Л, В, С, D — матрицы, а — число): 1) а{АВ) = (аА)В; 2) (АВ)С = А(ВС); 3) 4) 5) 15.10. Проверить, существует ли произведение, и если да, II; 2)И|12 то вычислить его: 1I11 3) |3 4 И 2 ll 2| 12 4| 4) 15.11. Вычислить: 2) 111 0 0 0 0 0 0 3) 4) 6) (Л)п; 5) (А13)п; 8) (A6Oi)n; 9) (ЛзмГ; 10) (AQl3 15.12. Транспонировать матрицу: 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 7) (А 1) 7 -4 -5 3 2) 0 4) (че- (че5) А9- 6) Лзэо; 7) А544; 8 15.13. Проверить справедливость тождества: 1) (аА)т = аАт; 2) (АВ)Т = ВТАТ; 3) (АВС)Т = СТВТАТ; 4) (А + В)т = Ат + Бг. 15.14. Вычислить матрицу Р = Е — (е^ — e/c)T(e^ — рез е^ обозначена г-я строка единичной матрицы .Б). 15.15. Пусть a, b — столбцы одинаковой высоты и Н = = abT. Доказать, что i72 = ХН для некоторого числа А. 15.16. Всегда ли верно матричное равенство АВ = 5Л? Привести примеры коммутирующих и некоммутирующих мат- матриц. 15.17. Что можно сказать о размерах матриц Л, В, если АВ = В А?
15. Операции с матрицами 139 15.18. Вычислить матрицу [А,В] = АВ — ВА (коммута- (коммутатор матриц А, В), если: 1)А = А12, В = А5- 2) А = А20, В = А16. 15.19. Проверить справедливость тождества (см. зада- задачу 15.18): 1) [А,В] = -[В,А}; 2) [А,А] = О; 3) [А,Е] = [Е,А] = О; 15.20. Вычислить матрицу {А,В} = \{АВ + ВА) (произ- (произведение Йордана матриц А, В), если: 1)А = А12, В = А5- 2) А = А20, В = А16. 15.21. Проверить справедливость тождества (см. задачу 15.20): 1) {А,В} = {В,А}; 2) {А,А} = А2; 3) {А,Е} = А; 15.22. Вычислить /(-А), если: 1 1 1 1 1 1 0 1 2) , A = 3) 4) 5) 15.23. Разложив многочлен /(?) на множители, вычислить f(A), если: 1) /(*) = t2 -1, A = А230; 2) /(*) = t2 + 2t - 3, А = А2Ы. 15.24. Проверить, справедливы ли матричные тождества: 2 2 2 ) ( 2) (А 3) А2 ( )() 4) (А + Ef = А3 + ЗА2 + ЗА + Е. Связь умножения матриц и элементарных преобразований A5.25—15.38) 15.25. Доказать, что k-й столбец матрицы АВ равен про- произведению матрицы А на к-й столбец В. 15.26. Сформулировать и доказать предложение, анало- аналогичное 15.25, для строк. 15.27. Доказать, что к-й столбец матрицы АВ равен ли- линейной комбинации столбцов матрицы А с коэффициентами из элементов к-го столбца матрицы В.
140 Гл. 6. Матрицы 15.28. Сформулировать и доказать аналог предложения 15.27 для строк. 15.29. Доказать, что: 1) при перестановке двух строк матрицы А соответствую- соответствующие строки в АВ также переставляются; 2) если к-ю строку матрицы А умножить на число Л, то к-я строка АВ также умножится на Л; 3) если к к-й строке матрицы А прибавить ее j-ю строку, то с матрицей АВ произойдет то же элементарное преобразо- преобразование. 15.30. Сформулировать и доказать аналоги предложений 15.29 для столбцов. 15.31. 1) Доказать, что прибавление к строке матрицы ли- линейной комбинации остальных ее строк может быть осуще- осуществлено при помощи последовательного применения основных элементарных преобразований строк. 2) Доказать аналогичное утверждение для преобразова- преобразования, состоящего в перестановке двух строк матрицы. 15.32. Вычислить произведение е^Ле^ для произвольной матрицы А (через е^ обозначена г-я строка единичной матрицы подходящего размера). 15.33. Для произвольной матрицы А и матричной едини- единицы Eij подходящего размера вычислить произведение: 1) Е^А; 2) AEij. 15.34. Пусть матрицы А ж В таковы, что для произволь- произвольных столбцов ?, и г) подходящей высоты выполнено равенство Ъ? А\\ = ?,ТВг\. Доказать, что А = В. 15.35. Пусть А — матрица размеров mxn, Еш и Еп — единичные матрицы порядка тип соответственно. Доказать, что ЕтА = АЕп = А. 15.36. На какую матрицу следует умножить матрицу Д чтобы в результате получить: 1) первый столбец А\ 2) первую строку А? 15.37. Подобрать элементарную матрицу К так, чтобы матрица К А получалась из А: 1) перестановкой двух первых строк А; 2) прибавлением первой строки ко второй; 3) умножением первой строки А на число А ф 0.
15. Операции с матрицами 141 15.38. Подобрать элементарную матрицу К так, чтобы произведение АК получалось из А при помощи заданного эле- элементарного преобразования столбцов. Обратная матрица A5.39—15.65) 15.39. Привести примеры вырожденных и невырожден- невырожденных матриц. 15.40. Пусть А — вырожденная матрица второго поряд- порядка, т — натуральное число. Доказать, что существует число Л такое, что Ат = Хт~1А для всех т. 15.41. Обратима ли прямоугольная матрица? 15.42. Доказать, что если матрица Б, обратная к А, суще- существует, то det А ф 0, det Б ф 0, det Б = (det A)~l. 15.43. 1) Доказать, что если Д В, С — квадратные мат- матрицы и АВ = Е, АС = Е, то В = С. 2) Возможно ли равенство АВ = Е для прямоугольных матриц? Справедливо ли утверждение 1) для прямоугольных матриц? 15.44. Дана квадратная матрица А = ||а^||. Выписать си- систему уравнений, которой удовлетворяют элементы j-ro столб- столбца матрицы Л. 15.45. Вычислить: -l ; 2) i) 4) (-4203 -i. i i-i. 5) о -1 1 -1 з) ); 0 6) (А6. Ю) (А227)-1 А„ 7) (.4207; О -1. -1 2 -1 О 2 -1 -1 т); 9) (А202); 15.46. Доказать, что матрица, обратная к элементарной, есть элементарная матрица. 15.47. Вычислить обратную к данной элементарной мат- матрице: 1 0 3 1 1 0 9) А13; 10) Л43; И) А2оо. 1) 5) _2 0 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ; 2) ; 6) 0 1 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 1 ; з) ; 7) 1 0 0 1 0 0 1 4) ; 5 1 0 0 ) -2 0 1 0 ; 0 1 10 0 0 0 1 0 1 0
142 Гл. 6. Матрицы 15.48. Проверить, справедливо ли тождество: 1) (АТ)~1 = (Л-1)т; 2) (аА)-1 = а'1 А'1; 3) (АВ)-1 = В'1 А'1; 4) (ABC)'1 = С-1 В-1 А-1] 5) (А-1)к = (Ак)-1; 6) (А + В)-1 = А~1 + В-1. 15.49. 1) Доказать, что квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно перевести в еди- единичную тогда и только тогда, когда она невырождена. 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для элементарных преобразований столбцов матрицы. 15.50 (р). Доказать, что всякая невырожденная матрица есть произведение элементарных матриц. 15.51. Разложить данную матрицу в произведение элемен- элементарных матриц: 1 1 О -2 1 -1 1 1 3) 0 -2 1 3 1 О О 1 1 2 1 1 3 15.52. 1) Пусть Д В — матрицы одного порядка и матри- матрица А с помощью цепочки элементарных преобразований строк переведена в единичную матрицу Е. В какую матрицу переве- переведет та же цепочка элементарных преобразований матрицу Е1 Матрицу В? 2) Ответить на те же вопросы для цепочки элементарных преобразований столбцов матрицы Д переводящих А в Е. 15.53. 1) Описать и обосновать способ вычисления мат- матрицы А, использующий элементарные преобразования строк матрицы \\В Е\\и. 2) Описать и обосновать способ вычисления мат- матрицы Л, использующий элементарные преобразования столб- цов матрицы А Е 1_1 15.54. Вычислить: > 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 1 0 0 — 1 ; 2) 4) (А439) -1; 1110 -12 10 14 10 0 0 0 3 -1; 6) (А 10) -1 3) 1 1 0 1 433 -1. \-1 0 0 7) ( 11) 1 -1 5) (.4432 9) (Аш 12) (Авов); 13) (А« 15.55. Пусть А2 + А + Е = О. Доказать, что матрица вырождена, и указать простейший способ вычисления А не- неА~1.
15. Операции с матрицами 143 15.56. Пусть Ат = 0. Доказать, что (Е - А)'1 = Е + А + + ... + Лт-1. 15.57. Матрица А коммутирует с В. Доказать, что то- тогда А~1 коммутирует с В~1 (предполагается, что матрицы об- обратимы). 15.58. Проверить формулу (S^ASI71 = S-1AmS. 15.59. Пусть S~1AS = B и f(t) — многочлен. Доказать, что /(Б) = S~1f(A)S. 15.60. Пусть a, b — столбцы одинаковой высоты, l//i = = 1 + bTa / О, В = Е + abT. Проверить справедливость равен- равенства В~х = Е — /iabT. 15.61. Пусть a, b — столбцы высоты n, A — обратимая матрица порядка n, l//i = 1 + bT74-1a /ОиВ = А + abT. Про- Проверить справедливость равенства В~1 = Л — jjJA~1sbTA~1. 15.62. 1) Описать и обосновать способ вычисления произ- произведения А~1В, использующий элементарные преобразования строк матрицы \\В i?||D. 2) Описать и обосновать способ вычисления произведения АВ~1, использующий элементарные преобразования столбцов матрицы 15. 1) 63. 1 0 А Е ? Вычислить и 1 1 -1 2 5 1 3 2) ^203^2055 4) q^os; 5) А450Аш; 6) А618А61\] 15.64. Пусть матрицы Л, С невырожденные. Решить мат- матричное уравнение: 1) АХ = О; 2) АХ = В; 3) ХА = Б; 4) АХС = Б; 3) А{Х + С) = В. 15.65. Найти матрицу X из уравнения: 1) з) 2 1 2 i CO СД 1 1 x = x = 2 1 1 1 10 1 7 X 1 ; 2) ; 4) X l 2 0 2 5 1 3 = ел to to о ' -2 5 2 1 X = 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 5) X 2 2 2-1 -12 -1 2 2 5 5 5 8 2 -1
144 6) X 1 1 8) А12Х 11) А 14) А 111- 126- 1 1 = 1 1 = к5;" X" = Л228 X: >30 Гл -1 -1 . 6. 9) ХЛ12 ; 12) j ; 15) А Матрицы 7) 1 1 0 1 = Аи; Ъ) 113-Х" = ^21з; = х 1 0 13) j 16) X, 1 1 2х 422 1 = А21; зХ = с5з; 7 = ^229- Другие операции с матрицами и специальные виды матриц A5.66-15.130) 15.66. Пусть А, В — диагональные матрицы одного поряд- порядка, а — число. Доказать, что матрицы аД А + В, АВ, В А тоже диагональные и АВ = В А. 15.67. Пусть А = diag(Ai,. ..,An). Доказать, что: 1) столбцы матрицы В А получаются умножением столбцов матрицы В на числа Ai,..., Лп; 2) строки матрицы АВ получаются умножением строк В на числа Ai,..., Ап. 15.68. Пусть А — диагональная матрица, f(t) — много- многочлен. Доказать, что тогда матрица f(A) также диагональна. 15.69. Пусть матрица А диагональна, все ее диагональные элементы различны и АВ = В А. Доказать, что тогда и матрица В диагональна. 15.70. Матрица А перестановочна с любой диагональной матрицей порядка п. Доказать, что А — диагональная матрица порядка п. 15.71. Матрица А перестановочна со всеми матричными единицами порядка п. Доказать, что А — скалярная матрица. 15.72. Матрица А перестановочна с любой матрицей по- порядка п. Доказать, что А — скалярная матрица. 15.73 (р). Найти все матрицы, перестановочные с каждой невырожденной матрицей порядка п. 15.74. Найти матрицу, эрмитово сопряженную данной матрице: 1) А82; 2) A8(i; 3) А89; 4) АЬ1. 15.75. Проверить справедливость тождества: 1) (А + В)н = АН + ВН; 2)(аА)н = аАн; 3) (Ан)н = А; 4) (А • В)н = ВНАН; 5) {Ан)~1 = {А~1)н. 15.76. Определить, является ли указанная матрица второ- второго порядка диагональной, скалярной, треугольной, симметри-
§15. Операции с матрицами 145 ческой, кососимметрической, эрмитовой, косоэрмитовой, уни- унитарной, ортогональной или матрицей перестановки: 1) Л82; 2) А12; 3) А87] 4) Л8б; 5) А77] 6) А1Ъ; 7) Л4б; 8) А23; 9) -±=А88; 10) Л22; 11) -±=А16. \/2 \/2 15.77. Доказать, что: 1) все диагональные элементы кососимметрической матри- матрицы равны 0; 2) диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны; 3) диагональные элементы косоэрмитовой матрицы мнимые. 15.78. Доказать, что: 1) если матрица А эрмитова, то матрица г А косоэрмитова; 2) если матрица А косоэрмитова, то %А эрмитова. 15.79. 1) Найти общий вид эрмитовых матриц второго по- порядка. 2) Найти общий вид косоэрмитовых матриц второго поряд- порядка. 3) Указать все матрицы перестановок второго порядка. Доказать утверждения 15.80-15.86. 15.80. Если матрица А диагональна и все ее диагональные элементы отличны от 0, то Л существует и является диаго- диагональной. 15.81 (р). Если матрица А верхняя треугольная и все ее диагональные элементы отличны от 0, то А~1 существует и является верхней треугольной. 15.82. Если А — невырожденная симметрическая матри- матрица, то А~^ — также симметрическая матрица. 15.83. Если А — невырожденная кососимметрическая мат- матрица, то А~1 — также кососимметрическая матрица. 15.84. Если А — ортогональная матрица, то Л существу- существует и ортогональна. 15.85. Если А — унитарная матрица, то Л существует и унитарна. 15.86. Если А — матрица перестановки, то Л существует и также является матрицей перестановки. 15.87. Доказать, что данная матрица ортогональна и най- найти обратную к ней: 1) А77; 2) Л313; 3) Л318; 4) А322] 5)
146 Гл. 6. Матрицы 15.88. Доказать, что данная матрица унитарна и найти обратную к ней: 1) Аюз; 2) -^488- 15.89. Пусть матрицы А и В — верхние треугольные. Вы- Выразить элементы матрицы АВ через элементы матриц А л В. 15.90. Пусть матрицы Ли В — верхние треугольные. До- Доказать, что матрицы А + В и АВ — также верхние треуголь- треугольные. 15.91. Пусть матрицы А л В симметрические. Доказать, что: 1) А + В — симметрическая матрица; 2) А — симметрическая матрица при любом натуральном к] 3) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны. 15.92. Пусть матрицы А ж В кососимметрические. Дока- Доказать, что: 1) А + В — кососимметрическая матрица; 2) Ак — кососимметрическая матрица при нечетном к и симметрическая матрица при четном к] 3) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда А ж В перестановочны. 4) Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие кососимметричности произведения матриц А и В. 15.93. Пусть А — произвольная квадратная матрица. До- Доказать, что матрицы А + АТ и ААТ симметрические, матрица А — Ат кососимметрическая. 15.94. Доказать, что любую квадратную матрицу моле- молено разложить в сумму симметрической и кососимметрической матриц. Единственно ли это разложение? 15.95. Разложить данную матрицу в сумму симметриче- симметрической и кососимметрической матриц: 1) Л49; 2) А16; 3) А2и. 15.96. Пусть S — невырожденная матрица и STAS = В. Доказать, что каждое из свойств: симметричность, кососим- кососимметричность — выполняется для матриц А л В одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы Л, то выполнено и для Б, и обратно). 15.97. Доказать утверждение: всякая эрмитова веществен- вещественная матрица является симметрической.
§15. Операции с матрицами 147 15.98. Пусть матрицы А ж В эрмитовы. Доказать, что: 1) матрица А + В эрмитова; 2) матрица АВ является эрмитовой тогда и только тогда, когда матрицы А ж В перестановочны. 15.99. Пусть А — эрмитова матрица и A = B + iC, при- причем В ж С — вещественные матрицы. Доказать, что В — сим- симметрическая матрица, а С — кососимметрическая. 15.100. Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму эрмитовой и косоэрмитовой. Единственно ли это разложение? Доказать утверждения 15.101-15.104. 15.101. Вещественная унитарная матрица ортогональна. 15.102. Если матрицы А л В ортогональны, то АВ ор- ортогональна. 15.103. Если матрицы А ж В унитарны, то АВ унитарна. 15.104. Пусть А — ортогональная матрица. Тогда сумма квадратов элементов любой ее строки равна 1, а сумма попар- попарных произведений соответствующих элементов двух различ- различных строк равна 0. Являются ли эти свойства определяющими? 15.105. Сформулировать и доказать свойства столбцов ор- ортогональной матрицы, аналогичные 15.104. 15.106. Сформулировать и доказать свойства унитарной матрицы, аналогичные свойствам 15.104, 15.105 ортогональной. 15.107. Доказать, что матрица перестановки ортогональна. 15.108. Доказать, что если А и В — матрицы перестано- перестановок, то АВ — также матрица перестановки. 15.109. Известно, что матрица А диагональна и ортого- ортогональна. Что можно сказать о ее диагональных элементах А^? 15.110. Матрица А диагональна и унитарна. Что можно сказать о ее диагональных элементах А^? 15.111. Проверить, является ли данная матрица перио- периодичной, нильпотентной или стохастической; найти период, по- показатель нильпотентности: 1) J 6). 11) ^22; ^243; ^43i; 2) Ai 7) Л 12) 4; 235? -4457 з) 1 0 A2; 13) i; 4) л 57; 9) . 1 л 5; 423б5 14) 5) Л77; 10) Лиз-
148 Гл. 6. Матрицы Проверить свойства квадратных матриц, сформулирован- сформулированные в задачах 15.112-15.121. 15.112. Нильпотентная матрица всегда вырождена, пери- периодичная — невырождена. 15.113. Если А — нильпотентная матрица второго поряд- порядка, то А2 = О. 15.114. Треугольная матрица нильпотентна тогда и толь- только тогда, когда все ее диагональные элементы нулевые. 15.115. Если матрицы Л, В нильпотентны и перестановоч- перестановочны, то А + В и АВ нильпотентны. 15.116. Если матрицы А ж В периодические и перестано- перестановочные, то АВ — периодическая матрица. Выразить какой- либо ее период через периоды матриц А, В. 15.117. Пусть Аш + Аш~х + ... + Е = О. Доказать, что А — периодическая матрица. 15.118. Всякая матрица перестановки периодична. 15.119. Пусть матрица А является одновременно унитар- унитарной и эрмитовой. Доказать, что А периодична. 15.120. Пусть S — невырожденная матрица и S~1AS = В. Тогда каждое из свойств: периодичность, нильпотентность — выполняется для матриц А л В одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы А, то выполнено и для В, и обратно). 15.121. Пусть матрицы Ал В неотрицательные. Тогда А + + В, АВ — также неотрицательные матрицы. 15.122. Пусть I — столбец из единиц, и матрица А неотри- неотрицательная. Доказать, что условие AI = I — необходимое и до- достаточное условие стохастичности А. 15.123. Доказать, что если матрицы АжВ стохастические, то матрица АВ также стохастическая. 15.124. Пусть матрица А стохастическая. Существует ли А~11 Будет ли А~1 стохастической, если она существует? 15.125. В каком случае стохастическая матрица является ортогональной? 15.126. Доказать справедливость тождества: 1) tr(A + B) = trA + trB; 2) tvAB = tvBA. 15.127. Пусть А — треугольная матрица, т — натуральное число. Вычислить след матрицы Ат.
§15. Операции с матрицами 149 15.128. Пусть А — произвольная матрица. Вычислить: 1) tr(ATA); 2) tr(AHA); 3) Доказать, что если tr(AHA) = 0, то А = О. 15.129. Доказать, что если А — нильпотентная матрица второго порядка, то tr A = 0. 15.130. Доказать, что не существует матриц А л В таких, что АВ - В А = Е. Блочные матрицы A5.131—15.141) 15.131. Пусть Аи В — блочные матрицы второго порядка. Сформулировать условия, при которых эти матрицы можно пе- перемножить. Доказать, что если существует произведение АВ, то (АВ)и = АиВи. 15.132. Пусть А и В — верхние блочно треугольные матри- матрицы второго порядка и произведение АВ существует. Получить формулу для вычисления матрицы 15.133. Пусть А — блочная матрица второго порядка, В — блочная матрица — столбец из двух блоков. 1) Сформулировать условия, при которых определено про- произведение АВ. 2) Доказать, что если АВ существует, то (АВ)и = АРвР. 3) Получить формулу для вычисления ЛПВП. 15.134. Пусть А и В — блочно диагональные матрицы. Сформулировать условия, при которых: 1) определено произведение АВ] 2) (АВ)и = АиВи; 3) определены произведения АВ и В А] 4) АВ = В А. 15.135. Проверить справедливость тождеств (А + В)и = = т4п + Вп, {АВ)и = ЛПВП для произвольных блочных матриц. 15.136. Разбивая данные матрицы на блоки, вычислить произведение: 1) ^430^4315 2) ^432^450; 3) ^450^4335 4) Л451^452; 5) ^436-4437; 6) ЛзоЛзЬ 15.137. Найти матрицу (i?0), если Н — блочная матрица: Е О А О А Е В С 1) # = 2) Н = гл гч (матрицы Ли С обратимы).
150 Гл. 6. Матрицы 15.138. Пусть Е — единичная матрица порядка г; D — произвольная матрица размера г х s; о, b, x — столбцы. Ре- Решить уравнение: 1) ||??>||пх = о; 2) ||??>||пх = Ь. 15.139. Вычислить кронекеровское произведение матриц: 1) Л17®с7; 2) c7®^i7; 3) Ai8 ®c8; 4)c8®^i8; 5) Ai7®Ai%; 6) ^i8(g)^i7; 7) А13®А19. 15.140. Пусть а= ||ai,...,an||, b = \\ЪЪ .. .,Ът\\Т. Вычис- Вычислить а ® Ъ, b ® а и сравнить с Ьа. 15.141. Проверить справедливость тождества: 2) 3) 4) 5) AB®CD = (A®C)(B®D); 6) 1 11 § 16. Ранг матрицы В этом параграфе используются понятия: ранг матрицы, ба- базисный минор матрицы, базисные столбцы и строки матрицы. При решении задач полезны теоремы о связи этих понятий, а также основной факт, состоящий в том, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов. Дадим описание некоторых методов упрощения матрицы с по- помощью элементарных преобразований ее строк. Мы говорим, что матрица А размеров т х п имеет упрощенный вид, если: 1) некоторые г (г ^ 0) ее столбцов являются первыми г столбцами единичной матрицы порядка т, 2) при г < т последние т — г ее строк нулевые. Ранг упрощенной матрицы равен г. Метод приведения матрицы к упрощенной форме, называемый методом Гаусса-Жор дана, сводится к последовательному выполне- выполнению шагов, каждый из которых превращает один из столбцов данной матрицы в столбец единичной матрицы. Опишем сначала один шаг преобразования. Предварительно от- отметим, что, хотя после каждого элементарного преобразования полу- получается новая матрица, для простоты изложения мы сохраняем для всех таких матриц обозначение А = ||а^||. Пусть выбран некоторый ненулевой элемент а^- матрицы А. На- Назовем его ведущим элементом данного шага. Строку и столбец с номерами г, j, в которых он расположен, будем называть веду- ведущей строкой и ведущим столбцом. Один шаг состоит из следующих элементарных преобразований. 1) Ведущая строка переставляется на новое место. Новый номер ведущей строки равен номеру шага. 2) Ведущая строка умножается на число (а^), в результате чего
§ 16. Ранг матрицы 151 ведущий элемент становится равным единице. 3) К каждой строке, отличной от ведущей, прибавляется ведущая строка, умноженная на некоторое число Л. Числовые множители выбираются так, чтобы обратить в 0 все элементы ведущего столбца матрицы, кроме веду- ведущего элемента: для к-й строки (к ф г) полагаем Л = — a,kj. В результате преобразований 1)-3) j-й столбец матрицы А пре- превращается в s-й столбец единичной матрицы, где s — номер шага. Теперь дадим общее описание одной из возможных последова- последовательностей шагов. Если все столбцы матрицы А нулевые, то А имеет упрощенный вид, г = 0. В противном случае, просматривая столбцы матрицы сле- слева направо, находим первый ненулевой столбец. Пусть его номер ра- равен 2\ • В качестве ведущего элемента первого шага выбираем любой ненулевой элемент этого столбца и выполняем первый шаг преоб- преобразования. Теперь в матрице первые ji — 1 столбцов нулевые, а j-й столбец равен первому столбцу единичной матрицы. Если при этом т=1 или в строках с номерами 2,...,т нет ненулевых элементов, то г = 1 и приведение к упрощенному виду закончено. В противном случае выберем самый левый столбец с номером ii > Ji, у которо- которого имеются отличные от 0 элементы ниже первой строки. Любой из этих элементов может быть взят в качестве ведущего элемента вто- второго шага. Выполнив второй шаг процедуры упрощения матрицы, можно продолжить просмотр остальных столбцов и при необходи- необходимости перейти к третьему шагу. Шаг с номером г будет последним, если г = т или если в строках с номерами г + 1,... ,т не останется ненулевых элементов. На этом процесс упрощения матрицы закан- заканчивается. Другим употребительным способом упрощения матрицы с по- помощью элементарных преобразований строк является метод Гаусса. Вычисления распадаются на два этапа. На первом этапе, называе- называемом прямым ходом метода Гаусса, мы выполняем, как и в методе Гаусса-Жордана, г шагов. При выбранном ведущем элементе aij s- й шаг состоит из трех действий: 1) ведущую строку переносим на s-e место; 2) делим эту строку на а^; 3) из каждой строки с номе- номером, большим чем s, вычитаем s-ю строку, умноженную на некоторое число Л. Множители Л выбираются так, чтобы обратить в 0 все эле- элементы ведущего столбца, расположенные ниже ведущего элемента. Последовательный выбор ведущих столбцов и ведущих элементов совершаем точно так же, как и в методе Гаусса-Жордана. После последнего (r-го) шага матрица приобретает так называемый сту- ступенчатый вид. Ведущие столбцы ступенчатой матрицы образуют первые г столбцов верхней треугольной матрицы, у которой все диагональ- диагональные элементы равны 1. Все строки ступенчатой матрицы с номерами, большими чем г, нулевые. Ранг ступенчатой матрицы равен г. При отыскании ранга матрицы достаточно привести ее к ступен- ступенчатой форме.
152 Гл. 6. Матрицы Для того чтобы привести ступенчатую матрицу к упрощенному виду, можно использовать обратный ход метода Гаусса. Он состоит из г — 1 шагов. На s-м шаге ведущим столбцом является столбец с но- номером jV-s+ъ а ведущей строкой — строка с номером г — s + 1. При этом из каждой строки с номером, меньшим г — s + 1, вычитается ведущая строка с таким множителем Л, чтобы обратить в 0 все эле- элементы ведущего столбца, расположенные выше ведущего элемента. После г — 1 шагов все ведущие столбцы превратятся в столбцы еди- единичной матрицы, а данная матрица А приобретет упрощенный вид. 16.1. Дать описание всех матриц ранга 0. 16.2. Дать описание всех матриц ранга 1. 16.3. Возможно ли, чтобы в матрице не было базисного минора? 16.4. Указать какой-нибудь базисный минор и определить ранг матрицы: 1) 5) 16.5. Указать базисные строки в матрицах 1)-7) задачи 16.4. 16.6. Указать базисные столбцы в матрицах 1)-7) задачи 16.4. 16.7. Указать базисный минор, базисные столбцы и базис- базисные строки в квадратной матрице с определителем, отличным от 0. Чему равен ранг такой матрицы? Доказать утверждения 16.8-16.13 16.8. Ранг диагональной матрицы равен числу ее элемен- элементов, отличных от нуля. 16.9. Если в матрице равны нулю все миноры порядка fc, то и все миноры порядка k + 1 равны нулю. 16.10. Ранг матрицы не меньше ранга любой ее подматрицы. 16.11. Приписывание к матрице нулевого столбца не ме- меняет ее ранга. 16.12. Приписывание к матрице столбца, равного линей- линейной комбинации ее столбцов, не меняет ее ранга. 16.13. Если столбцы матрицы В являются линейными комбинациями столбцов матрицы Д то vgB ^ rg A 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 2) 1 2 ; 6) -1 -2 1 1 2 2 3 3 1 1 3 4 з) 1 0 ; 7) 0 1 2 2 4 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 4) 1 2 3 1 1 3 4 1 0 0 1 0
§ 16. Ранг матрицы 153 16.14. Оценить ранг матрицы ||ЛБ||П через ранги мат- матриц А л В. 16.15. Пусть матрицы А и В имеют одинаковую высоту, и ранг А не меняется после приписывания к ней любого из столбцов В. Доказать, что rg\\A Б||п = rgA 16.16. Доказать следующие свойства ранга матрицы: 1) Умножение какой-либо строки матрицы на число, от- отличное от нуля, не меняет ее ранга. 2) Перестановка строк матрицы не меняет ее ранга. 3) Прибавление к какой-либо строке матрицы линейной комбинации остальных строк не меняет ее ранга. 4) Ранг матрицы не меняется при элементарных преобра- преобразованиях ее столбцов. 16.17. Описать способ вычисления ранга матрицы с испо- использованием элементарных преобразований ее строк и столбцов. 16.18. Вычислить ранг матрицы: 1) ||10||; 2) ЦО1ОЦ; 3) А21; 4) А20; 5) А13; 6) А12; 7) А7; 8) Л81; 9) Лш; 10) А202; 13) А214; 14) Л232; 15) А368- 18) А452; 19) А435; 20) Л453; 23) Л443; 24) А587; 25) А533; 28) А632; 29) Лб34. 16.19. Вычислить ранг матрицы при всевозможных значе- значениях параметра: 1) А78; 2) А367; 3) А365; 4) Л363; 5) ^508; 6) ^6295 7) Aq45- 16.20. Вычислить ранг матрицы А — \Е при всех значени- значениях параметра Л, если: 1) А = А47; 2) А = Л2и; 3) А = А431. 16.21. Доказать, что если det А = 0, то строки матрицы Л, так же как и ее столбцы, линейно зависимы. 16.22. Матрица А имеет порядок п и содержит нулевую подматрицу порядка п—1. Оценить ранг А. 16.23. Матрица А имеет порядок п и содержит нулевую подматрицу порядка s. Оценить ранг А. 16.24. Матрица А имеет порядок п и содержит подматри- подматрицу порядка п—1, имеющую ранг 1. Оценить ранг А. 16.25. 1) Оценить ранг произведения двух матриц через ранги сомножителей. 11) 16) 21) 26) ^2055 А396; A444; A544; 12) 17) 22) 27 ^233; ^408; ^454; Л92;
154 Гл. 6. Матрицы 2) Привести примеры, когда выполнены соотношения: rgAB<rgB, rgAB<min(rgA,rgi?), щАВ = 16.26. 1) Пусть а — строка, b — столбец. Вычислить ранг матрицы Ьа. 2) (р). Пусть YgA = 1. Доказать, что матрица А равна про- произведению некоторого столбца на некоторую строку. 16.27 (р). Пусть А, Б, С — матрицы, det А /Ои определе- определены произведения АВ, С А. Доказать, что vgAB = rgS, vgCA = = rgC. Может ли быть выполнено какое-либо из этих равенств, если det A = О? 16.28. Доказать, что если rg^ = r, то минор, стоящий на пересечении г линейно независимых строк и г линейно незави- независимых столбцов матрицы Д отличен от 0. 16.29. Пусть матрица А состоит из г линейно независимых столбцов, В — из г линейно независимых строк. Чему равен ранг АВ? 16.30. Матрицы А ж В имеют размеры соответственно тхгигхп, и vgAB = г. Найти ранги матриц А л В. 16.31. Разложение матрицы А в произведение А = ВС на- называется скелетным, если vgA = vgB = vgC и матрицы В ж С имеют полный ранг (т.е. ранг, равный одному из размеров мат- матрицы) . 1) Доказать, что всякую матрицу А можно представить как произведение матрицы М, состоящей из базисных строк Л, на некоторую матрицу К (скелетное разложение матрицы по строкам). 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для скелетного разложения матрицы по столбцам. 3) Как связаны между собой различные скелетные разло- разложения одной матрицы? 16.32. Найти какие-нибудь скелетные разложения (см. за- задачу 16.31) по строкам и столбцам для следующих матриц: 1) А14; 2) A23i; 3) А2ь\\ 4) А403; 5) Л454- 16.33. Доказать, что любую матрицу ранга г можно пред- представить в виде суммы г матриц ранга 1. 16.34. Указать, какие из выписанных ниже соотношений возможны. Какие из них выполнены для произвольной пары матриц одинаковых размеров?
§ 16. Ранг матрицы 155 . _. ,=rg^4; 2) rg(A + B) =max(rgJ4,rg5); 3) 4) 5) 6) 16.35 (p). Пусть матрицы А и В имеют размеры соответ- соответственно т х п и пхр, и пусть АВ = О. Доказать, что rg A + + vgB ^ п. 16.36. Доказать, что sin(ai + bi) sii rg 16.37. Доказать, что rg А О О В 16.38. Доказать, что А С rg О В ? ? 16.39. Пусть А — квадратная матрица. Доказать, что rg А А2 А3 А4 ? 16.40. Пусть Е — единичная, А, В — произвольные квад- квадратные матрицы порядка п. Доказать, что ? rg 16.41. Доказать, что Е В А АВ = п. rg А В ЗА -В ? = TgA + rgB. 16.42. Пусть А невырожденная квадратная матрица по- порядка п, а матрицы S, С и D — прямоугольные. Найти необ- необходимое и достаточное условие для того, чтобы ? rg А В С D = п.
Глава 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В этой главе используются следующие понятия и термины: од- однородная и неоднородная система линейных уравнений, основная матрица системы (матрица коэффициентов), определитель си- системы п линейных уравнений с п неизвестными, расширенная мат- матрица системы, столбец свободных членов, совместная и несовмест- несовместная система уравнений, эквивалентные системы уравнений, частное решение и общее решение системы линейных уравнений, фундамен- фундаментальная система решений и фундаментальная матрица однород- однородной системы линейных уравнений, базисные неизвестные и пара- параметрические (свободные) неизвестные, однородная система линей- линейных уравнений, сопряженная данной. Основные теоремы: теорема о существовании и единственности решения системы п линейных уравнений с п неизвестными (теорема Крамера), а также два критерия совместности системы т уравне- уравнений с п неизвестными: теорема Кронекера-Капелли и теорема Фред- гольма. Приведем некоторые формулы и обозначения. Система т линейных уравнений с п неизвестными п = Ь\, A) аш\Х\ -\-... -\- атпхп — от может быть записана в матричном виде: Ах = Ь, где через х и b обозначены столбцы ||ж1...жп|| ветственно. Матрицы соот- А = «ml и||А|Ь|| = al называются основной и расширенной матрицами системы уравне- уравнений. Решением системы A) называется упорядоченный набор чи- чисел, такой, что после подстановки г-ro числа вместо неизвестной Х{ для каждого г во все уравнения мы получим т истинных равенств. Эти числа называются компонентами решения. Решение системы уравнений записываем в виде столбца. Множество всех решений од- однородной системы линейных уравнений с п неизвестными задается формулой X = /iiXi + ... + /in_rXn_r. B)
Гл. 7. Системы линейных уравнений 157 Здесь: столбцы Xi,...,Xn_r — линейно независимые частные ре- решения данной однородной системы, hi,... ,hn_r — произвольные постоянные числа (параметры), r = rgA — ранг системы. Множе- Множество {Xi,... ,ХП_Г} называется фундаментальной системой реше- решений однородной системы уравнений. Все решения однородной системы образуют линейное подпространство в пространстве столб- столбцов высоты щ фундаментальная система решений есть базис в этом подпространстве. Правая часть формулы B) называется общим ре- решением однородной системы. Формуле B) молено придать матрич- матричный вид X = ФЬ. C) Здесь Ф — матрица из столбцов Xi,...,Xn_r, ah — столбец высо- высоты п — г из произвольных постоянных /ii,..., hn-r. Матрица Ф назы- называется фундаментальной матрицей однородной системы уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений мо- может быть записано в векторной форме Х = Л1Х1 + ... + Л„_РХ„_Р + Х0 D) или в матричной форме Х = ФЬ + Х0, E) где Xq — некоторое (произвольное) частное решение неоднородной системы уравнений, a /iiXi + ... + /гп_гХп_г = ФЬ — общее решение соответствующей однородной системы. Системы уравнений, имеющие одно и то же множество реше- решений, называются эквивалентными. Это понятие относим лишь к сов- совместным системам. Мы говорим также, что система уравнений (Б) следует из (А), если множество решений (Б) содержит множество решений (А). При решении некоторых задач полезны утверждения: подсистема есть следствие системы; присоединение к системе урав- уравнений ее следствий заменяет данную систему на эквивалентную. Основным аппаратом при исследовании совместности системы линейных уравнений и отыскании ее решений служат преобразова- преобразования системы уравнений, соответствующие элементарным преобра- преобразованиям строк расширенной матрицы. При этих преобразованиях несовместная система переходит в несовместную, а совместная — в совместную систему уравнений, эквивалентную данной. С помощью элементарных преобразований строк расширенная (и одновременно основная) матрица системы может быть приведена к упрощенной форме. Система уравнений, соответствующая упро- упрощенной расширенной матрице, называется упрощенной. Для того чтобы решить систему уравнений, можно придержи- придерживаться следующей схемы. 1. Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк приводим к упрощенной форме.
158 Гл. 7. Системы линейных уравнений 2. Проверяем совместность упрощенной системы, пользуясь те- теоремой Кронекера-Капелли. Признаком совместности системы яв- является наличие базисного минора расширенной матрицы внутри основной матрицы системы. Система несовместна тогда и только то- тогда, когда в упрощенный вид расширенной матрицы входит строка 3. Решаем упрощенную систему уравнений, если она оказалась совместной. Допустим, что базисными являются первые г столбцов матри- матрицы А совместной системы. Тогда упрощенная расширенная матрица имеет вид (в) 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 an «21 OLrl 0 ... ai?n_r ... a2,n-r . . . OLr^n — r 0 0 Pi /?2 Pr 0 0 Ей соответствует упрощенная система уравнений () %r+i + • • • + ar,n-rxn = f3r. Неизвестные xi,... ,жг, соответствующие базисным столбцам матри- матрицы, называются базисными, остальные неизвестные — жг_|_1,... ,хп — свободными. Задав значения hi,...,hn-r свободных неизвестных, на- находим базисные неизвестные из системы уравнений G). Общее реше- решение получим в параметрической форме где hi,...,hn-r — произвольные постоянные. Общее решение (8) молено записать в векторной D) и матричной E) форме, положив ft Х = Хп = о ф = -аг1 1 О 1 (9) Х^ — столбцы Ф. Пусть г = rg A, ii < %2 < ... < гг — номера базисных столбцов А, ir+i < ... < in — номера остальных ее столбцов. Фундаментальная матрица, строки которой с номерами ir+i < ... < in образуют еди- единичную подматрицу, называется нормальной фундаментальной матрицей, соответствующей базисным неизвестным Х{г,..., Х{г.
Гл. 7. Системы линейных уравнений 159 Столбцы нормальной фундаментальной матрицы образуют нормаль- нормальную фундаментальную систему решений однородной системы урав- уравнений. В частности, Ф в формуле (9) — нормальная фундаменталь- фундаментальная матрица однородной системы х\ + ацжг+1 + ... + а\,п-гХп = О, (ю) xr + аг\хг+\ + ... + аг,п-гхп = 0, соответствующая базисным неизвестным #i,... ,хг. Нормальную фундаментальную матрицу Ф, частное решение Xq и формулу общего решения молено выписать прямо по расширенной матрице F). Если расширенную матрицу кратко записать в виде то и E) примет вид ф = X Er 0 -D En D 0 D P о h + ) = Э о E') Здесь Ег, Еп_г — единичные матрицы порядка г и п — г соответ- соответственно, а C — столбец из чисел /3i,... ,/Зг. Общее решение системы уравнений в форме D) и E) молено получить из систем уравнений G), A0) без обращения к формуле (8). Частное решение молено найти из системы G), задав каким- нибудь образом свободные неизвестные (если мы приравняем их к 0, то получим частное решение, определяемое формулой (9)). Столбцы фундаментальной матрицы можно найти как решения системы A0), придавая параметрическим неизвестным значения, образующие в со- совокупности невырожденную матрицу. В частности, если приравнять значения ||жг+ъ • • • ?хп\\Т к столбцам единичной матрицы, то решения системы A0) образуют фундаментальную матрицу (9). Замечание. Допустим, что данная система уравнений сов- совместна, но базисными являются не первые г столбцов основной мат- матрицы, а какие-то другие. В этом случае, чтобы решить упрощенную систему уравнений, можно действовать одним из двух способов. С п о с о б 1 . Аналогично п. 3 составляем упрощенную систе- систему уравнений, называем базисными неизвестные, соответствующие базисным столбцам матрицы системы, выражаем базисные неизвест- неизвестные через остальные (свободные) и записываем общее решение в форме D) или E). С п о с о б 2 . Неизвестные, соответствующие базисным столб- столбцам матрицы системы, обозначаем через yi,... ,уг, остальные — через i/r+i,• • • чУп. После этой замены неизвестных получаем упрощенную систему уравнений вида G), решаем ее и делаем обратную замену.
160 Гл. 7. Системы линейных уравнений Таким образом, существует много путей получения общего ре- решения системы линейных уравнений и много различных форм его записи. Ниже рассмотрен пример неоднородной системы линейных уравнений, имеющей бесконечное множество решений. Общее реше- решение получено в параметрической (8), векторной D) и матричной фор- форме E). Для сокращения записи в этой главе системы линейных уравне- уравнений и ответы к ним лишь частично приведены в развернутой форме A) и (8). Некоторая часть систем уравнений задана с помощью рас- расширенной матрицы. В ответах к этим упражнениям мы помещаем фундаментальную матрицу решений однородной системы уравнений и столбец какого-либо частного решения неоднородной системы. Как в условиях задач, так и в ответах матрицы и столбцы не выписаны непосредственно, а указаны их номера в банке. Пример. Система уравнений задана расширенной матрицей 11^-581 |с581| (задача 19.6, 42)). В банке находим 13 5 7 9 1-2 3-4 5 2 11 12 25 22 20 -5 65 Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений х1 + Зх2 х\ — 2x2 2a?i + Их2 + 7x4 + 9ж5 = 20, — 4^4 + 5^5 = —5, = 65. (И) Применяя алгоритм Гаусса, приводим расширенную матрицу к упро- упрощенному виду: 19 2 33 5 5 5 01 2- H '- 5 5 5 0 0 0 0 0 A2) Замечаем, что система совместна, так как в расширенной матри- матрице A2) базисными являются два первых столбца. Расширенная мат- матрица A2) соответствует системе уравнений XI + 19 33 = 5, 11 4 — Х4 + -ХЪ = 5, 5 5 A3) эквивалентной данной. Базисные неизвестные — х±, х2, свободные — жз, #4, Ж5- Обозначим последние через hi, h2, h%\ получаем общее решение:
Гл. 7. Системы линейных уравнений 161 19, 2и 33 _ с xi = —rh-L - -h2 - —h3 + 5, 0 0 0 2L 11 4L r x2 = --^i —— ^2 - т^з + 5, 0 0 0 A4) Общее решение системы уравнений A3) молено получить другим спо- способом. Сначала, положив в A3) х% = х4 = х§ = 0, находим ее частное решение: Хп = A5) Далее рассмотрим однородную систему 19 2 33 xi + — х3 + -х4 + — 0 0 0 = О, 2 11 Х2 + -Ж3 + — 0 0 Пололсив х% = 1, ^4 = ^5 = 0, находим 11 4 — Х4 + -Ж5 = 0. а?! = —19/5, Х2 = —2/5. Поло- Положив жз = 0, #4 = 1, ^5 = 05 находим a?i = —2/5, х^ = —11/5. Положив ^з = Х4 = 0, Жб = 1, находим х\ = —33/5, ^2 = —4/5. Таким образом, мы находим три линейно независимых частных решения однородной системы уравнений (фундаментальную систему решений): -19/5 -2/5 1 0 0 -2/5 -11/5 0 1 0 ¦) -33/5 -4/5 0 0 1 Теперь можно записать общее решение данной системы уравнений A1) в векторной форме A6) Очевидно, что A6) есть другая запись формулы A4). Наконец, можно получить общее решение системы уравнений A3) сразу в матричной форме E'). В данном случае 19/5 2/5 33/5 R_ 5 2/5 11/5 4/5 ' Р~ 5 -19/5 -2/5 1 0 0 + /12 -2/5 -11/5 0 1 0 + /г3 -33/5 -4/5 0 0 1 + 5 5 0 0 0 D =
162 Гл. 7. Системы линейных уравнений Таким образом, общее решение -19/5 -2/5 -33/5 -2/5 -11/5 -4/5 0 О 1 О Х = 1 О о о где h — столбец из произвольных постоянных /i A7) есть матричная запись A6). Заменим произвольные постоянные /ii, /12, —5/гз соответственно. Формула A7) примет вид A7) /i2, hs- Ясно, что ,з на — 5/zi, —5/i2, Х = 19 2 -5 0 0 2 11 0 -5 0 33 4 0 0 -5 h + 5 5 0 0 0 где h = h A8) В ответе к данной задаче 19.6, 42) указаны фундаментальная мат- матрица ^-409 и столбец С231- В банке находим 19 2 33 2 11 4 Ф = А409 = -5 0 0 -5 О С231 = О -5 что соответствует решению A8). Напомним, что и фундаментальная система решений, и частное решение определены не однозначно. § 17. Системы линейных уравнений с определителем, отличным от 0 17.1. Выписать расширенную матрицу данной системы уравнений. Решить систему: х\ = 17; 2) 3) 5ж + 9у = 4; пг'п То / ZL 1 7/ —I— \ У I + х2- 2хз = 3, 2х + Зу + 5z = 3, х\ + хз = 3; Зх + 5у + 7z = 6; 5) Зж1 + 4x2 + 2жз + Ж4 = 16, т* л I V т г» I т'г» I т» ,1 — О Q 2х\ + Х2 + Зжз + 5^4 = 10, 4^1 — 3^2 + 4жз + 6^4 = 1; Зж + Зу + 4z + 5t = 34,
§17. Системы уравнений с определителем, отличным от 0 163 7) Xi + Х2 + Ж3 + Х4 + ХЪ = 1, Х\ + Жз + Х4 + Ж5 = -3, #1 + Ж2 +Жз +Ж4 = О, Х\ +Х2 +Х% + Х$ = 3, xi + Ж2 + Ж4 + Ж5 = -2; 8) х\ +Х2 = 3, ^1+ж3 = 4, Ж1+Ж4 = -2, ^1+Ж5 = -1, Xi+Xq = 0, 17.2. Выписать систему линейных уравнений, соответст- соответствующую данной расширенной матрице. Решить систему, поль- пользуясь правилом Крамера: 1) р40|с7||; 2) рб|с9||; 3) р202|с54||; 4) р209|с55||; 5) Р204|с5б||; 6) р2оз|с5з||; 7) р20з|о||. 17.3. Доказать утверждения: 1) Если уравнения системы (Б) являются линейными комби- комбинациями уравнений совместной линейной системы (А), то множе- множество решений системы (Б) содержит множество решений (А). 2) Присоединение к совместной системе линейных уравне- уравнений линейных комбинаций из ее уравнений заменяет систему на эквивалентную. 3) При элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы совместная система линейных уравнений заменяется на эквивалентную. 17.4. Как изменяются решения системы линейных урав- уравнений при элементарных преобразованиях столбцов основной матрицы? 17.5. Какую систему уравнений простейшего вида можно получить, применяя алгоритм Гаусса к строкам расширенной матрицы данной системы п линейных уравнений с п неизвест- неизвестными, если основная матрица невырождена? 17.6. Составить систему линейных уравнений по данной расширенной матрице. Решить систему (нижеследующие мат- матрицы разбиты на 4 группы по порядку основной матрицы): п = 2: 1) Pisldoll; 2) Р8|с12||; 3) Pio|ci2||; 4) p2i6|c59||; 5) Р217|сбо||; 6) p2i8|c6i||;
164 Гл. 7. Системы линейных уравнений 7) Р219|с98||; 8) ||А22о|сбз||; п = 4: 9) Р44б|С154||; Ю) Р447|С155||; 11) Р44 12) Р449|С157||; 13) Р442|С158||; 14) || А4421С15911; 15) Р439|С16О||; п = 5: 16) р537|с232||; 17) ||А538|с238||; 18) НЛзэ^ззН; 19) Р54О|С234||; 20) Р541|С235||; 21) 11А5421С236115 22) Р542|С237||; 23) Р5 § 18. Системы линейных однородных уравнений 18.1. Выписать матрицу коэффициентов данной системы линейных однородных уравнений. Решить систему: 1) х - у = 0; 2) xi - х2 + 2ж3 = 0; 3) Х\ + Х2 + Жз + Х4 + Ж5 = 0; 4) x + 3y + 2z = 0, 5) 5x-8y + 3z = 0, 2х + 4у + 3z = 0; 2х - Зу + z = 0; 6) x + 2y + 3z = 0, 7) 8) 9) 10) И) 12) 5xi — 8^2 H 4xi - 6х2 Н xi + Зх2 + Зх! + 3x2 Н 2ж1 + 4ж2Н Жх + 2^2 + 3^1+ 6^2 Н xi + 2ж2 + Xi + Х2 + 3^1 + 2^2 ЬЗжз + 3^4 = 0, Ь2ж3 + ж4 = 0; ^.^?о _|_ Хл ^ 0 V 4ж3 + х4 = 0; Ь 6ж3 + ж4 = 0, 0Ж3 ~г Х4 —— U5 |_ 9жз — Ж4 = 0, Зжз + 5^4 = 0; Х% — Х4 = 0, + ж3-ж5 = 0; х\ + Зж2 + Зжз + 2^4 + 6х xi -х2 - Х\ +11^2 Х\ \~ %jX2 \ / НС* л 1 / If с\ *jX\ ~\ X2 \ 2ж3 - Зхъ = 0, + 7ж3 + 6ж4 + 1 г ^Xq \ ?Х4 \ оХ \~ 0Ж3 \~ ?Х4 \~ 0 1— О^о 1 От*/! 1 ^У Т'г- 5 = 0, 8х5 = 0; 5 = 0, ж5 = 0, = 0, + Х2 — Жз + Ж4 = 0.
§18. Системы линейных однородных уравнений 165 18.2. Доказать, что: 1) сумма двух решений однородной системы линейных уравнений есть решение той же системы; 2) произведение какого-либо решения однородной системы линейных уравнений на число есть решение той же системы. 18.3. Пусть к — максимальное число линейно независимых решений однородной системы линейных уравнений. Выразить к через размеры и ранг матрицы системы. В каком случае к = О? 18.4. Сколько линейно независимых решений имеет одно- однородная система линейных уравнений, если ее матрица невыро- невырождена? 18.5. Может ли однородная система линейных уравнений оказаться несовместной? 18.6. Сформулировать условия (и проверить их необходи- необходимость и достаточность), при которых однородная система ли- линейных уравнений имеет: 1) единственное решение; 2) беско- бесконечно много решений. 18.7. Составить и решить однородную систему линейных уравнений, заданную своей матрицей коэффициентов: 1)||12||; 2)||111||; 3)||13 0 1||; 4) А391; 5)^4555 6) Лею; 7) Аьы- 8) Л195 9) Л57з; Ю) Л5825 П) А583. 18.8. Составить однородную систему линейных уравнений по заданной матрице коэффициентов, содержащей параметр. Решить систему при всевозможных значениях параметра: 1) А = А221 - ХЕ; 2) А = А212 - ХЕ; 3) А = А222-ХЕ; 4) А = А36Ъ] 5) А = А213 - ХЕ; 2) А = Азвз. 18.9. Решить однородную систему линейных уравнений, заданную своей матрицей коэффициентов. Составить и решить соответствующую сопряженную систему: 1) А1Ы; 2) Лц5; 3) Лц8; 4) А205; 5) А209; 6) А368; 7) Аш; 8) АЫ5; 9) АЫ6- 10) Аиз- 11) А587- 12) А536. 18.10. Могут ли данная однородная система линейных уравнений и ее сопряженная система иметь одинаковое число линейно независимых решений? 18.11. Могут ли совпадать множества решений данной од- однородной системы линейных уравнений и ее сопряженной? 18.12. Доказать, что однородная система линейных урав- уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, ко-
166 Гл. 7. Системы линейных уравнений гда строки основной матрицы сопряженной системы линейно зависимы. 18.13. Зная одну фундаментальную матрицу Ф, найти об- общий вид произвольной фундаментальной матрицы той же си- системы уравнений. 18.14. Данная матрица является фундаментальной матри- матрицей некоторой однородной системы линейных уравнений. Най- Найти хотя бы одну нормальную фундаментальную матрицу: 1) Ацг, 2) А118; 3) А397. 18.15. Данная матрица является фундаментальной матри- матрицей некоторой системы линейных уравнений. Найти все нор- нормальные фундаментальные матрицы этой системы уравнений: 1) А119; 2) ci97; 3) А112; 4) А39$. 18.16. В системе уравнений Лх = о (х — столбец), име- имеющей фундаментальную матрицу Ф, выполнена замена неиз- неизвестных х = Sy (detS ф 0). Какая система уравнений получит- получится для у? Укажите фундаментальную матрицу решений этой системы. 18.17. Найти хотя бы одну однородную систему линейных уравнений, для которой данная матрица является фундамен- фундаментальной: 1) Ацо; 2) Л147; 3) С197; 4) (р) Аш\ 5) Л4ц. 18.18. Найти все однородные системы уравнений, эквива- эквивалентные данной системе Лх = о. 18.19. Найти все однородные системы уравнений, для ко- которых данная матрица Ф является фундаментальной. 18.20. Дана матрица А, строки которой линейно незави- независимы. Снизу к ней приписали транспонированную фундамен- фундаментальную матрицу системы Лх = о. Доказать, что детерминант полученной матрицы отличен от нуля. § 19. Системы линейных уравнений общего вида Системы линейных неоднородных уравнений A9.1-19.12) 19.1. Решить систему линейных уравнений: 1) 2х - Зу = 4; 2) хх + х2 + 2х3 + Зж4 = 1; 3) 2
§ 19. Системы линейных уравнений общего вида 167 4) 5) x + 2y + 3z = -4, 6) 2х + Зу + 4z = 1, 7) 5а 2а За Ж] 8) За 5а 6а Z\ + 4Ж2 +  +Ж2 +Х Z\ + 2Ж2 + + Зж2 - 2 Ч + Х2 + Х z\ + 2жз + ;1 -1_Ж2 -1-5 Ж3 ~г 0Ж4 — 0, 'о —1— 4т* л 0 1 Q а?з + 2а?4 = —4; •з + 2а;4 = -2, жз + 7^4 = —4, 9) Ж1+Ж3 + Ж4 + Ж5 = 6, 10) 6xi + Зж2 + 14ж3 - 2ж4 + хъ = 2, 10ж3 + 4ж4 + 11ж5 = 20, 12ж3 + ж4 + 6ж5 = 11, 46ж3 - 12ж4 - 7ж5 = -12, х\ — 2ж2 — 16жз + 5^4 + 4^5 = 7. 19.2. Доказать, что: 1) разность двух решений неоднородной системы линей- линейных уравнений есть решение соответствующей однородной си- системы; 2) сумма любого решения неоднородной системы линейных уравнений и любого решения соответствующей однородной си- системы есть также решение данной неоднородной системы. 19.3. На сколько единиц ранг основной матрицы системы может отличаться от ранга расширенной? 19.4. Пусть система т линейных уравнений с п неизвест- неизвестными несовместна, а ее основная матрица имеет ранг п. К како- какому простейшему виду можно привести эту систему уравнений, применяя к строкам расширенной матрицы алгоритм Гаусса? 19.5. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, что система т линейных уравнений с п неизвестными имеет единственное решение. 19.6. Составить систему линейных уравнений по задан- заданной расширенной матрице. Решить систему или установить
168 Гл. 7. Системы линейных уравнений ее несовместность. (Нижеприведенные матрицы разбиты на 4 группы по числу столбцов основной матрицы. Внутри каждой группы матрицы упорядочены по числу строк.) п = 3: 1) ||^232|Сб4||; 4) Л239 C67II; 7) Р20б|с5б||; 10) p400|ci62||; 13) Л|"81|с2391|. п = 4: 14) Pf45|ci4||; 17) P5Oi|c16||; 20) ||Л511|с74||; 23) Р517|с63||; 26) Р52о|с244||; 29) Р524|с242||; п = 5: 31) Р574|с18||; 34) ||Л581|с77||; 37) Р577|с78||; 40) Р579|с81||; 43) рг22|с1б3||; 46) ||А588|с1бб||; 2) Л232|сб51|; 5) P24i|c68||; 8) Р20б|с51||; И) Р4о8|с243|| 15) ||Аоб|с1з||; 18) P502|ci7||; 21) ||Л512|с75||; 24) Л^99|с50 ; 27) P52i|c244|| 30) || ^587 С24б|| 32) P575|c46||; 35) P58i|c76||; 38) Р584|с79||; 41) ||А58О|с82||; 44) Pi;3|c164|| 47) \\Al20 cm 3) 6) 9) 1 1 ; 1 ||^2з8|сбб||; m233jc7ojj; 11 ^4-2ое 1 °то 11; 12) р^85|с24о||; 16) pf49|ci5||; 19) Р5ю|с73||; 22) Р513|с62||; 25) ||Л^44|с167||; 28) Р523|с241||; 33) ||А57б|сзз||; 36) ^422 С72 ; 39) Р578|с8о||; 42) Р581|с58||; 45) ||^524|ci65 ; 48) Р544|С246||; 49) Р533|с247||. п = 6: 50) ||A59l|C27l||. 19.7. Составить систему линейных уравнений по заданной расширенной матрице, содержащей параметр. Найти все значе- значения параметра, при которых система совместна, и решить ее: 1) Р22з|с85||; 2) Р224|с86||; 3) Р225|с87||; 4) Р226|с88||. 19.8. Описать все линейные комбинации решений данной неоднородной системы линейных уравнений, которые являют- являются решениями этой лее системы. 19.9. Описать все такие линейные комбинации решений данной линейной неоднородной системы уравнений, которые являются решениями соответствующей однородной системы. 19.10. Пусть столбец из свободных членов линейной си- системы уравнений равен сумме столбцов ее основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы.
§ 19. Системы линейных уравнений общего вида 169 19.11. Пусть столбец из свободных членов линейной си- системы уравнений совпадает с последним столбцом ее основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы. 19.12. Пусть х, у — столбцы решений систем уравнений Лх = a, Ay = b соответственно и а, /3 — некоторые числа. Ка- Какой системе уравнений удовлетворяет: 1) z = ах; 2) z = x + y; 3) z = a Условия совместности системы линейных уравнений A9.13—19.20) 19.13. Доказать, что если столбцы основной матрицы ли- линейно независимы, то система линейных уравнений имеет не более одного решения. 19.14. Доказать, что если строки основной матрицы ли- линейно независимы, то система уравнений совместна при любом столбце свободных членов. 19.15. Доказать следующее утверждение: если система ли- линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, то строки ее основной матрицы линейно независимы. 19.16. Доказать, что всегда имеет место одна из двух возмо- возможностей: либо система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, либо ее сопряженная однородная система имеет ненулевое решение (альтернатива Фредгольма). 19.17. Сформулировать условия (и доказать их необходи- необходимость и достаточность), которым должна удовлетворять основная матрица для того, чтобы число решений системы линейных урав- уравнений, в зависимости от столбца b свободных членов, равнялось: 1) 0 или 1; 2) 1 или ос; 3) 0 или ос; 4) 1 при всех Ь. 19.18. Система линейных уравнений задана своей расши- расширенной матрицей. Проверить совместность этой системы, поль- пользуясь теоремой Фредгольма и результатом задачи 18.9 для со- соответствующей сопряженной системы уравнений: 1) pii4|c89||; 2) ||Aii8|c9o||; 3) p587|cm||. 19.19. Система уравнений задана своей расширенной мат- матрицей, содержащей параметр. Применяя теорему Фредгольма, найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить ее: 1) p205|c9i||; 2) IIAislcgiH; 3) p607|c9i||. 19.20. Система уравнений задана своей расширенной мат- матрицей ||^4б441^2821|5 зависящей от параметров Ai,... , An,/i. Опи-
170 Гл. 7. Системы линейных уравнений сать множество значений параметров, при которых система совместна, и решить ее. Эквивалентные системы уравнений A9.21—19.29) 19.21. Доказать, что если эквивалентны совместные систе- системы линейных неоднородных уравнений, то эквивалентны и со- соответствующие однородные системы. 19.22. 1) Доказать, что нетривиальные уравнения1) а\Х\ + ... + апхп = 0 и b±xi -\ \- Ъпхп = 0 эквивалентны тогда ... ап ... bn 2) Доказать, что нетривиальные1) уравнения а\Х\ ... + апхп = а и Ъ\Х\ + • • • + Ъпхп = Ъ эквивалентны тогда и толь- ап а и только тогда, когда rg = 1. ко тогда, когда rg ,/ r'v 7 =1. 3) Сформулировать признак попарной эквивалентности к линейных уравнений. 19.23. 1) Доказать, что системы линейных уравнений = о, Sx = о эквивалентны тогда и только тогда, когда А rg В 2) Доказать, что совместные системы линейных уравнений = а, Вх = b эквивалентны тогда и только тогда, когда А а rg В b 19.24. Проверить эквивалентность систем уравнений 18.1, 11) и 18.1, 12). 19.25. Проверить, эквивалентны ли системы уравнений, определяемые расширенными матрицами: 1) (Л5о2|с17) и (Лоз|с12); 2) (Л239|с67) и (Л24о|с147); 3) (A58l|c69) И (AJ22\C72). 19.26. Проверить эквивалентность всех систем данной со- совокупности (каждая система уравнений задана расширенной матрицей): (A5oi|ci6), (Лоэ^) и (А51о|сГз). 19.27. 1) Допустим, что добавление к данной однородной системе линейных уравнений еще некоторого числа линейных однородных уравнений не меняет множества ее решений. До- х) Линейное уравнение нетривиально, если хотя бы один из коэффи- коэффициентов при неизвестных отличен от 0.
§ 19. Системы линейных уравнений общего вида 171 казать, что добавленные уравнения являются линейными ком- комбинациями уравнений данной системы. 2) Доказать то же утверждение для совместной системы линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3. 2). 19.28. 1) Допустим, что каждое решение однородной си- системы линейных уравнений (А) является также и решением однородной системы линейных уравнений (Б). Доказать, что тогда каждое уравнение системы (Б) является линейной ком- комбинацией уравнений системы (А). 2) Доказать то же утверждение для совместных систем ли- линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3. 1). 19.29. 1) Доказать, что две однородные системы линейных уравнений эквивалентны тогда и только тогда, когда уравне- уравнения каждой из них являются линейными комбинациями урав- уравнений другой системы. 2) Доказать то же утверждение для совместных систем ли- линейных неоднородных уравнений. Приложения A9.30-19.49) 19.30 (р). Пусть Лх = b — произвольная система ли- линейных уравнений. Доказать, что система уравнений (АТА)х. = АТЪ совместна. 19.31 (р). Дана квадратная матрица А= ||а^||. Доказать, i i V^4 i i что если при всех г выполнено неравенство \ац\ > / j \dih\-, Todet^/O. кфг 19.32. Доказать, что для любых попарно различных чисел а\,..., an+i и любых чисел Ь\,..., Ъп+\ существует единственный многочлен f(t) степени не выше п такой, что f(ai) = bi, ..., 19.33. Найти многочлен f(t) третьей степени такой, что = 1, /D) = 7. Приведенные ниже задачи 19.34-19.49 относятся к прямой, окружности, плоскости и сфере. Следует брать за определение алгебраическое уравнение соответствующего множества, а при решении задач применять теорию систем линейных уравнений, не пользуясь методами аналитической геометрии. 19.34. 1) (р) Сформулировать в терминах рангов и дока- доказать условие на декартовы координаты (ai,fti), @2,62)? («з,Ьз)
172 Гл. 7. Системы линейных уравнений трех точек плоскости, необходимое и достаточное для того, что- чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 2) Решить тот же вопрос для четырех точек плоскости. 19.35 (р). Доказать, что через две различные точки с де- декартовыми координатами (ai,6i), @2,62) проходит единствен- единственная прямая, и найти ее уравнение. 19.36. Показать, что через три точки с координатами (ai,bi), @2,62), @3,63), не лежащие на одной прямой, прохо- проходит единственная окружность, и найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная. 19.37. 1) Три прямые заданы на плоскости в общей де- декартовой системе координат уравнениями А{Х + В^у + С% = О, г = 1,2,3. Сформулировать в терминах рангов и доказать усло- условие на коэффициенты уравнений, необходимое и достаточное для того, чтобы эти прямые не проходили через одну точку. 2) Решить тот же вопрос для четырех прямых. 19.38. Используя результат задачи 19.37, определить, име- имеют ли данные прямые общую точку: 1) 2х + Зу + 1 = 0, 7х + Ну + 4 = 0, Зх + Ау + 1 = 0; 2) х + 8у + 1 = 0, 7х - у + 1 = 0, Их - 26у - 1 = 0, 8х + 7у + 2 = 0. 19.39. 1) Четыре точки заданы своими декартовыми ко- координатами (o^,6^,q), i = 1,2,3,4. Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для то- того, чтобы эти точки не лежали в одной плоскости. 2) Решить тот же вопрос для пяти точек. 19.40. Используя результат задачи 19.39, определить, ле- лежат ли данные точки на одной плоскости: 1) G,-1,2), B,3,1), @,10,0), C,4,1), F,-2,2); 2) F,1,2), B,3,1), C,4,1), F,2,2). 19.41. Показать, что через четыре точки с координатами (aj, &г, q), г = 1,2,3,4, не лежащие в одной плоскости, прохо- проходит единственная сфера, и найти ее уравнение. Система коор- координат декартова прямоугольная. 19.42. Три точки заданы своими декартовыми координа- координатами (aj,&i,Ci), i = 1,2,3. 1) (р) Сформулировать в терминах рангов и доказать ус- условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. 2) Решить тот же вопрос для т точек (га ^ 4).
§ 19. Системы линейных уравнений общего вида 173 19.43. Используя результат задачи 19.42, определить, ле- лежат ли данные точки на одной прямой: 1) B,3,1), C,4,2), @,1,-1), (-2,-1,-3), (-6,-5,-7); 2) B,3,1), C,4,2), @,1,1), B,1,3), F,5,4). 19.44. Доказать, что через три точки с декартовыми ко- координатами (di,bi,Ci), г = 1,2,3, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, и найти ее уравнение. 19.45. Две плоскости заданы в общей декартовой систе- системе координат уравнениями А{Х + Biy + Qz + Di = 0, г = 1,2. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на ко- коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: 1) совпадали; 2) имели единственную общую прямую; 3) были параллельными, но не совпадали. 19.46. Три плоскости заданы в общей декартовой систе- системе координат уравнениями А{Х + В^у + C{Z + Di = 0, г = 1,2,3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на ко- коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости: 1) совпадали; 2) имели единственную общую точку; 3) имели единственную общую прямую; 4) были параллельными, но не все совпадали; 5) образовывали призму. 19.47. Используя результат задачи 19.46, определить вза- взаимное расположение плоскостей: 1) Зх + 2у + 5z - 1 = 0, 2х + Зу + 3z + 1 = 0, 9х + 16у + 132 + 1 = 0; 2) х - у - z + 1 = 0, Ъх - 21у - 17z + 1 = 0, 6х- 26y-21z + 1 = 0. 19.48. Четыре плоскости заданы в общей декартовой си- системе координат уравнениями А{Х + В{у + C{Z + Di = 0, i = 1,2, 3,4. Известно, что пары, соответствующие г = 1,2 и г = 3,4, определяют прямые линии. Сформулировать в терминах ран- рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необхо- необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были параллельными, но не совпадали;
174 Гл. 7. Системы линейных уравнений 3) совпадали; 4) скрещивались. 19.49. Используя результат задачи 19.48, определить вза- взаимное расположение прямых: 1) / -1 = 0, ж + 3у-8^-3 = 0; 2) / х + 3^ + 3^-2 = 0, х — 9у — 6z — 5 = 0, 2x-Uy-9z-9 = 0,
Глава 8 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе используются следующие основные понятия и тер- термины: вещественное линейное пространство (линейное простран- пространство над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство (линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая сис- система векторов, базис в линейном пространстве, координаты век- вектора в базисе, координатный столбец вектора, конечномерное линейное пространство и его размерность, арифметическое про- пространство (вещественное и комплексное), бесконечномерное линей- линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к друго- другому, линейное подпространство, нулевое подпространство, линейная оболочка системы векторов (линейное подпространство, натяну- натянутое на эту систему векторов), сумма и пересечение двух (и любо- любого конечного числа) подпространств, прямая сумма двух (и любого конечного числа) подпространств. Перечислим основные примеры линейных пространств. 1) Геометрическое пространство — множество векторов (на- (направленных отрезков) пространства, изучаемого в элементарной геометрии. 2) Арифметическое n-мерное линейное пространство lZn над полем вещественных чисел (вещественное арифметическое пространство) — пространство столбцов высоты п с вещественными элементами. Опера- Операции сложения столбцов и умножения столбца на число осуществля- осуществляются покомпонентно. Базис этого пространства, состоящий из столб- столбцов единичной матрицы, называется стандартным. Координатами столбца относительно стандартного базиса являются его элементы. 3) Арифметическое n-мерное линейное пространство Сп над по- полем комплексных чисел (комплексное арифметическое простран- пространство) — пространство столбцов высоты п с комплексными элемента- элементами. Операции и стандартный базис определяются так же, как и в lZn. 4) Пространство lZmXn вещественных матриц размера т х п над полем вещественных чисел с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число. Размерность пространства Т^тхп равна тп. В пространстве 71шХп стандартным называем ба- базис, состоящий из матричных единиц E{j, г = 1,..., т; j = 1,..., п (см. введение к § 15). Базисные матрицы упорядочиваем следующим об- образом: Ец, Е21, ..., Emi, E12, ..., ЕШ2, ..., Е\п, ..., Етп ). О другом способе упорядочивания см. введение к гл. 12.
176 Гл. 8. Линейные пространства 5) Пространство СшХп комплексных матриц размера т х п над полем комплексных чисел. Операции, размерность, стандартный ба- базис — такие же, как и в lZmXn- 6) Пространство 7^п' многочленов с вещественными коэффици- коэффициентами от одной переменной ?, имеющих степени, не превосходящие данного числа п. Операции — обычные операции сложения много- многочленов и умножения многочлена на число. Размерность простран- пространства V^ равна п + 1. Стандартным базисом называем базис из мно- многочленов 1, ?, ?2, ..., tn. Произвольное линейное пространство обозначаем буквой ?, его размерность — dim?. Если dim? = n, то пишем: Сп. Элементы ли- линейного пространства называем векторами, их координаты записы- записываем в виде столбцов. Пусть ?, = (?i,... ,?п)т — координатный столбец вектора х в ба- базисе е = (ei,..., еп). Тогда к = еЕч, A) k=i где е понимается как строка из векторов ei,...,en. Формула A) на- называется формулой разложения вектора х по базису е. Пусть векторы ef±,..., е'п базиса е' заданы своими координатами относительно базиса е = (е±,..., еп): п е[ = ^2аыек, г = 1,...,п. B) к=1 Матрица ?, столбцами которой являются координатные столбцы но- новых базисных векторов ej_,...,e^ относительно старого базиса е, на- называется матрицей перехода от базиса е к базису е''. Равенство B) можно переписать так: е' = eS. C) Это равенство сохранится, если вместо строк из векторов еие' рас- рассматривать матрицы из координатных столбцов векторов ei,...,еп и е^,... ,е^ в некотором фиксированном базисе. Если вектор х имеет координатный столбец ?, в базисе е и коор- координатный столбец ?/ в базисе е', a S — матрица перехода от базиса е к базису е', то Z.= SE!. D) При фиксированном базисе пространства каждой линейной ком- комбинации векторов взаимно однозначно соответствует такая же линей- линейная комбинация их координатных столбцов. Пусть векторы ах,...,а& заданы своими координатными столб- столбцами. Составим из этих столбцов матрицу А и будем делать эле- элементарные преобразования ее строк. Столбцы преобразованной мат- матрицы можно интерпретировать как координатные столбцы тех же
Гл. 8. Линейные пространства 177 векторов в новом базисе. Матрица перехода к нему получается из единичной матрицы Е с помощью тех же элементарных преобразо- преобразований строк. Элементарным преобразованиям столбцов матрицы А соответ- соответствует переход к системе векторов, являющихся линейными комби- комбинациями данных. Матрица из коэффициентов этих линейных комби- комбинаций получается из Е теми же элементарными преобразованиями столбцов. Приведем схемы решения некоторых важных типичных задач. 1) Векторы /i,...,/n базиса f и вектор х даны своими коор- координатными столбцами относительно базиса е. Найти координатный столбец ?, вектора х относительно базиса f. Р е ш е н и е. Столбец ?/ находится из матричного уравнения D), где ?, — координатный столбец вектора х в базисе е, a S — мат- матрица из координатных столбцов векторов /i,...,/n в базисе е. Для того, чтобы вычислить столбец ?, , матрицу || S | ?, || с помощью эле- элементарных преобразований строк упрощаем так, чтобы на месте S оказалась единичная матрица. Тогда на месте столбца ?, окажется искомый столбец ?, . 2) Векторы базисов f = (Д,...,/п) и g = (#i,... ,дп) заданы сво- своими координатными столбцами относительно третьего базиса е = = (ei,... ,еп). Найти матрицу перехода S от базиса f к базису g. Р е ш е н и е. Пусть FhG- матрицы из координатных столб- столбцов векторов /i,..., fn и д\,..., дп. Применяя в нашем случае мат- матричное равенство C), имеем: G = FS. Матрицу S = F-1G можно вычислить с помощью элементарных преобразований строк матрицы || F | G ||. Если после элементарных преобразований строк на месте матрицы F окажется единичная мат- матрица, то на месте G будет искомая матрица S. 3) Векторы а1,...,а& заданы своими координатными столбцами в некотором базисе е. Проверить, образуют ли данные векторы базис в пространстве, выявить линейные зависимости между ними, найти базис в линейной оболочке системы ai,...,afc. Р е ш е н и е. Пусть А — матрица из координатных столбцов данных векторов. Элементарное преобразование строк А равносиль- равносильно умножению А слева на невырожденную матрицу Т. При этом все столбцы А также умножаются слева на Т, и линейные зависимости между столбцами матрицы не меняются. Эти действия можно по- понимать как замену координат: новые столбцы — новые координаты данных векторов. Данные векторы образуют базис в Сп тогда и только тогда, ко- когда к = п и det^/O. Обозначим линейную оболочку ai,...,a? че- через V'. Базис в V состоит из таких векторов а^, координатные столб- столбцы которых являются базисными столбцами матрицы А. Остальные векторы раскладываются по ним с теми же коэффициентами, с кото- которыми соответствующие координатные столбцы раскладываются по базисным столбцам А. Для отыскания этих коэффициентов матри-
178 Гл. 8. Линейные пространства цу А следует привести к упрощенной форме с помощью элементар- элементарных преобразований строк. Например, пусть векторы ai, a2, аз четырехмерного простран- пространства имеют в некотором базисе е координатные столбцы 1 -1 1 0 1 1 0 1 5 2 0 1 1 Матрицу А = 1 -1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 1 с помощью преобразований строк приводим к виду А = Очевидно, третий столбец матрицы А равен сумме двух первых. По- Поэтому третий столбец матрицы А также равен сумме двух первых, и 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 Базис в линейной оболочке системы векторов молено найти так же, упрощая матрицу А с помощью элементарных преобразований столбцов. Эти преобразования заменяют данные векторы на их неза- независимые линейные комбинации, и их линейная оболочка остается неизменной. Множество решений системы линейных однородных уравнений с п неизвестными можно рассматривать как множество координат- координатных столбцов векторов некоторого линейного подпространства в про- пространстве Сп. В этом смысле каждая система линейных однородных уравнений с п неизвестными определяет линейное подпространство в Сп. Базис этого подпространства есть совокупность векторов, ко- координатные столбцы которых образуют фундаментальную систему решений данной однородной системы линейных уравнений. 4) Векторы ai,...,afc заданы своими координатными столбцами относительно базиса е пространства Сп. Найти систему линейных уравнений, определяющую линейную оболочку V данных векторов. Р е ш е н и е. Выпишем матрицу А из координатных столбцов векторов ai,... ,а&. Пусть rg A = г. Для того чтобы вектор с коорди- координатным столбцом ?, = (#i,... ,жп)т принадлежал подпространству Р, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А = ||-А|?,|| также был равен г. Элементарными преобразованиями строк матрица А приво- приводится к ступенчатому виду; при этом последние п — г строк стано- становятся нулевыми. Если такие же преобразования проделать с мат-
Гл. 8. Линейные пространства 179 рицей А, то в последних п — г строках на (к-\-1)-м месте появятся некоторые линейные комбинации чисел xi,... ,хп. Приравняв их ну- нулю, получим искомую систему линейных уравнений. Составим, например, систему уравнений, определяющую линей- линейa2, аз из предыдущего номера. 1 -1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 1 Xl X2 хз X4 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 XI . +X4 ную оболочку системы векторов Матрица A = приводится к ступенчатому виду хз -'. xi -\- a Ранг матрицы без четвертого столбца равен 2; для того чтобы ранг всей матрицы тоже был равен 2, необходимо и достаточно вы- выполнение условий xi + Х2 — 2x4 = О, Ж1 — хз — Х4 = 0. Это и есть иско- искомая система линейных уравнений, определяющая линейную оболоч- оболочку векторов ai, а^, «з в базисе е. Суммой конечного числа линейных подпространств Л4, Л/", ..., V называется линейная оболочка объединения множеств Л4, Л/", • • •, V. Сумма Ai + N + • • • + V конечного числа линейных подпространств называется прямой суммой, если каждое из подпространств .М, Л/", • • •, V имеет нулевое пересечение с суммой остальных подпро- подпространств. Прямая сумма обозначается так: АЛ фА^Ф ... 0 V. Если С = АЛ Ф Л/", то проекцией вектора х G С на линейное под- подпространство АЛ параллельно линейному подпространству N назы- называется слагаемое х\ в разложении х = х\ +^2, где х\ G Л4, Х2 G Л/". Остановимся на основных задачах, связанных с понятиями сум- суммы и пересечения подпространств. 5) Линейные подпространства V и Q заданы как линейные обо- оболочки векторов а\,..., а& и &i,..., Ъ\ соответственно. Найти базис сум- суммы V + Q. Р е ш е н и е. Подпространство Р + Q является линейной обо- оболочкой системы векторов а\,..., а&, Ъ\,..., hi. Поэтому задача сводит- сводится к задаче 3). 6) Линейные подпространства ? и Q заданы системами линей- линейных однородных уравнений. Найти пересечение V П Q. Р е ш е н и е. Подпространство V П Q задается системой урав- уравнений, составленной из уравнений обеих данных систем. Размерность подпространства V П Q мож:но вычислить по формуле Грассмана dim(P П Q) = dimP + dim Q - dim(P + Q). 7) Линейные подпространства V и Q — линейные оболочки си- систем векторов ai,...,afc и &i,...,b/. Эти векторы заданы их коорди-
180 Гл. 8. Линейные пространства натными столбцами, которые образуют матрицы Аи В соответствен- соответственно. Найти размерность и базис суммы ? + Q и пересечения V П Q. Р е ш е н и е. Приведем матрицу ||А|5|| к упрощенному виду H-A'l-B'll при помощи элементарных преобразований строк. При этом выберем упрощенный вид так, чтобы в число базисных столбцов во- вошли все базисные столбцы А и столько столбцов из 5, сколько потре- потребуется. Тогда векторы, соответствующие базисным столбцам матри- матрицы HA'I-B'H, составляют базис вР+Q, а соответствующие базисным столбцам, расположенным в А'', составят базис в V. Для того, чтобы найти размерности Q и V П Q, упростим теперь матрицу В' с помощью элементарных преобразований столбцов так, чтобы не менять ранее найденных базисных столбцов (назовем эти столбцы основными). Полный набор базисных столбцов преобразо- преобразованной матрицы В" соответствует базису в Q, а базисные столбцы В", дополняющие основные, соответствуют базису в V Г\ Q. Для то- того чтобы проследить за тем, какие линейные комбинации векторов Ъ\,..., Ь\ они образуют, и таким образом найти исходные координа- координаты базисных векторов подпространства V П Q, молено проделать со столбцами единичной матрицы порядка / те же элементарные преоб- преобразования, что и со столбцами В'. В главе «решения» приведено решение задачи 21.7, 11) указан- указанным способом. § 20. Примеры пространств. Базис и размерность 20.1. Можно ли подходящим введением операций сложе- сложения и умножения на число сделать линейным пространством: 1) пустое множество; 2) множество из одного элемента; 3) множество из двух элементов? 20.2. Доказать, что: 1) если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима; 2) если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима; 3) если векторы ai, ..., a& линейно независимы, а векторы ao, ai, ..., a,k линейно зависимы, то вектор а$ является линей- линейной комбинацией векторов ai, ..., a/~. 20.3. Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов в n-мерном пространстве, и если является, то найти его размерность: 1) множество векторов, все координаты которых равны между собой; 2) множество векторов, первая координата которых равна 0;
§ 20. Примеры пространств. Базис и размерность 181 3) множество векторов, сумма координат которых равна 0; 4) множество векторов, сумма координат которых равна 1. 20.4. Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов геометрического пространства, и если является, определить его размерность: 1) множество векторов плоскости, параллельных данной прямой; 2) множество векторов трехмерного пространства, перпен- перпендикулярных данной прямой; 3) множество векторов плоскости, по модулю не превосхо- превосходящих 1; 4) множество векторов плоскости, образующих угол а с данной прямой @° ^ а ^ 90°). 20.5. Доказать, что множество матриц размера т х п об- образует линейное пространство относительно обычных опера- операций сложения матриц и умножения матрицы на число. Найти размерность и базис этого пространства TZmXn- 20.6. Выяснить, является ли данное множество квадрат- квадратных матриц порядка п, линейным подпространством в про- пространстве всех квадратных матриц порядка п, и если является, то найти его размерность: 1) множество матриц с нулевой первой строкой; 2) множество диагональных матриц; 3) множество верхних треугольных матриц; 4) множество симметрических матриц; 5) множество кососимметрических матриц; 6) множество вырожденных матриц. 20.7. Выяснить, образует ли данное множество функций на произвольном отрезке [a, ft] линейное пространство относи- относительно обычных операций сложения и умножения на число: 1) множество функций, непрерывных на [a,ft]; 2) множество функций, дифференцируемых на [a,ft]; 3) множество функций, интегрируемых по Риману на [a,ft]; 4) множество функций, ограниченных на [a,ft]; 5) множество функций таких, что sup|/(x)| ^ 1; [аД 6) множество функций, неотрицательных на [a,ft]; 7) множество функций таких, что /(а) = 0; 8) множество функций таких, что f(a) = 1; 9) множество функций таких, что lim f(x) = ос; ж—)>а+0
182 Гл. 8. Линейные пространства 10) множество функций, монотонно возрастающих на [а,Ь]; 11) множество функций, монотонных на [а,Ь]. 20.8. Доказать, что при любом натуральном п данное мно- множество функций образует конечномерное линейное простран- пространство; найти размерность и указать базис этого пространства: 1) множество многочленов степени не выше п (обозначает- (обозначается ?>(»)); 2) множество четных многочленов степени не выше щ 3) множество нечетных многочленов степени не выше п; 4) множество тригонометрических многочленов порядка не выше п, т. е. множество функций вида f(t) = clq + aicos? + + bismt + ... + ancosnt + bnsmnt] 5) множество четных тригонометрических многочленов порядка не выше щ 6) множество нечетных тригонометрических многочленов порядка не выше щ 7) множество функций вида f(t) = eat(ao + a\cost + + Ъ\ sint + ... + ап cos nt + bn sinnt), где а — фиксированное дей- действительное число. 20.9. Доказать, что данное множество функций образует бесконечномерное линейное пространство: 1) множество всех многочленов; 2) множество всех тригонометрических многочленов; 3) множество функций, непрерывных на некотором отрезке. 20.10. Найти линейную комбинацию столбцов: 1) 3ci - -с2; 2) -с29 + сзз + 2c3i; 3) ^ 20.11. Найти линейную комбинацию матриц 1 л 1 л л л о ^215 - 2^252 + ^253 ~ ^254- 20.12. Найти столбец х из уравнения: 1\ I о O^ C141+x C146+X 1) С28 + С29 - 2Х = С325 2) 3) 3(С197 + X) + 2(С2О2 - X) = 4(С2О4 - х). 20.13. Выявить линейные зависимости между данными столбцами: 1) Сз4, С35, С29; 2) С84, Cg3, C120; 3) C166, Ci98, C199, С2О15 4) C166, С197, С205, С206-
§ 20. Примеры пространств. Базис и размерность 183 20.14. Найти размерность и базис линейной оболочки дан- данной системы столбцов: 1) ci, c2; 2) сзь с28, сзо; 3) c3i, сзо, с32; 4) Ci21, C124, Сцв; 5) Ci66, Ci98, C199, C201J 6) Ci96, Ci98, C202; 7) C166, C196J Cl97> Ci985 8) о; 9) ci66, C203, С204, С197. 20.15. Найти размерность и базис линейной оболочки си- системы матриц т439Ь ^390, ^389- 20.16. Найти размерность и базис линейной оболочки си- системы многочленов A + ?K, ?3, 1, t + t2. 20.17. Доказать что векторы ei,... ,еп образуют базис в п- мерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе: 1) п= 1, ei = ci, x = С2; 2) п = 2, ei = С28, е2 = c2g, x = с3о; 3) п = 3, ei = сцб, е2 = Ci2o, е3 = ci22, х = с4д; 4) п = 4, ei = ci96, е2 = С197, е3 = С198, е4 = С199, x = с2оо5 5) П = 5, ei = С255, ^2 = С26З, е3 = С264, ©4 = С265, ^5 = C266, X = С267- 20.18. Доказать, что матрицы Л5, Аю, ^4i3, ^4б образуют базис в пространстве квадратных матриц порядка 2, и найти координатный столбец матрицы A2Q в этом базисе. 20.19. Доказать, что матрицы А200, ^202, ^205, ^204, ^203, ^4-242 образуют базис в пространстве симметрических матриц порядка 3, и найти координатный столбец матрицы Л215 в этом базисе. 20.20. Доказать, что многочлены 1, t — a, (t — аJ, ... ..., (t — a)n образуют базис в пространстве многочленов сте- степени не выше п, и найти координатный столбец произвольного многочлена pn(t) степени не выше п в этом базисе. 20.21 (р). Доказать, что многочлены 2? + ?5, t3-t5, t + t3 образуют базис в пространстве нечетных многочленов степени не выше 5, и найти координатный столбец многочлена Ы — ?3 + + 2?5 в этом базисе. 20.22. Найти размерность и базис линейного подпростран- подпространства, заданного в некотором базисе системой линейных урав- уравнений: 1) Л27Х = о; 2) Л238х = о; 3) Л249Х = о; 4) А391х = о; 5) Ац0х = о; 6) Л442Х = о; 7) Л577Х = о.
184 Гл. 8. Линейные пространства 20.23. Составить систему уравнений, определяющую ли- линейную оболочку данной системы столбцов: 1) Сбб, с8з; 2) сзь сзо; 3) с3о, с2д; 4) Ci66, C1965 5) С197; 6) Ci66, С198, Ci99, C2O15 7) ci66, ci96, C197, ci98; 8) @, 0, 0, 0)т. 20.24. Доказать, что каждая из двух систем векторов fi,... ..., fn и gi, ..., gn является базисом в n-мерном арифметиче- арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого ба- базиса ко второму. Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты <^, ..., ^п во втором базисе: 1) п= 1, fi = ci, gi = c3; 2) ГС = 2, fl=C29, f2 = C33, gl = C32, g2 = C28; 3)n = 3, fl=Cn6, f2 = Cn7, f3 = C94, gl = Cn9, g2 = C84, g3 = C835 4) ГС = 4, fi=Ci66, f2 = Ci96, f3 = Ci97, f4 = Ci98, gl = C199, g2 = C2005 g3 = C202, g4 = C203- 20.25. Доказать, что каждая из двух систем матриц Л132, ^143? ^134, ^133, ^4.110? ^135 и ^136? ^137, All2, ^138? ^139? Ans является базисом в пространстве матриц размера 3 х 2, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти коор- координаты матрицы 3 х 2 в первом базисе, если известны ее коор- координаты ?i,... ,?g во втором базисе. 20.26 (р). Доказать, что каждая из двух систем матриц ^250? ^25Ъ ^252 и Л253> ^254, ^255 является базисом в простран- стве кососимметрических матриц порядка 3, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты ко- сосимметрической матрицы порядка 3 в первом базисе, если известны ее координаты ?j_, ^ ?з во ВТОРОМ базисе. 20.27. Доказать, что каждая из двух систем функций t - t2, t3, 1 + 5* +13, A + tf и A +1K, A - tK, t - t2 +13, 1 +1 + + t2 +13 является базисом в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти матрицу перехода от первого базиса ко вто- второму и координаты многочлена в первом базисе, если известны его координаты ^, ??? ?з> ^4 во втором базисе. 20.28. Доказать, что каждая из двух систем функций A+?2J, A-t2J, 1 и 1+?2 + ?4, l-t2+tA,tA является базисом в пространстве четных многочленов степени не выше 4, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти коорди- координаты четного многочлена степени не выше 4 в первом базисе, если известны его координаты ^, ??? ?з во ВТОРОМ базисе.
§ 21. Сумма и пересечение подпространств 185 20.29. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: 1) поменять местами г-й и j-й векторы первого базиса; 2) поменять местами г-й и j-й векторы второго базиса; 3) расположить векторы обоих базисов в обратном порядке. 20.30. Матрица Si является матрицей перехода от первого базиса ei,..., еп в n-мерном линейном пространстве ко второму базису Д,..., /п, а матрица $2 — матрицей перехода от второго базиса к третьему базису gi,... ,gn. Найти матрицу перехода: 1) от первого базиса к третьему; 2) от второго базиса к первому. 20.31. Описать взаимное расположение двух базисов в трехмерном линейном пространстве, если матрица перехода от первого базиса ко второму: 1) диагональная; 2) верхняя треугольная; 3) нижняя треугольная. 20.32. Векторы базисов ai,...,an и bi,...,bn даны своими координатными столбцами относительно базиса е. Эти столбцы составляют соответственно матрицы А л В. Найти матрицу перехода от базиса а к базису Ь, если: 3) ^4 = 20.33. Доказать, что многочлены Лежандра 1, ?, -C?2 — 1), -E?3 — 3t) образуют базис в пространстве многочле- нов степени не выше 3. Найти матрицы перехода от стандарт- стандартного базиса к данному и обратно. 20.34. Найти координаты многочлена p{t) в стандартном базисе пространства многочленов степени не выше 3 и в базисе задачи 20.33: 1) p(t) = 5t3 - 3t; 2) p(t) = 2t - 1; 3) p(t) = 9t2 - 1; 4) 2 3 § 21. Сумма и пересечение подпространств 21.1. Доказать, что пространство квадратных матриц по- порядка п является прямой суммой подпространства симметри- симметрических матриц и подпространства кососимметрических матриц того же порядка.
186 Гл. 8. Линейные пространства 21.2. Доказать, что пространство многочленов степени не выше п является прямой суммой подпространства четных мно- многочленов степени не выше п и подпространства нечетных мно- многочленов степени не выше п. 21.3. 1) Доказать, что n-мерное линейное пространство является прямой суммой подпространства векторов, все коор- координаты которых равны между собой, и подпространства век- векторов, сумма координат которых равна 0. 2) Дана матрица А из п строк. Доказать, что п-мерное арифметическое пространство является прямой суммой линей- линейной оболочки столбцов А и подпространства решений системы линейных уравнений Лтх = о. 21.4. Доказать, что n-мерное арифметическое простран- пространство является прямой суммой линейных подпространств, на- натянутых на системы векторов ai,..., а& и bi,..., b/: 1)гс = 2, ai = c30, a2 = c32, bi = c35; 2)rc = 3, ai = ci4i, a2 = ci46, bi = c66, b2 = ci40; 3) n = 4, ai = ci98, a2 = ci96, bi = ci97, b2 = ci66, b3 = с20б; 4) n = 4, ai = ci96, a2 = ci9s, аз = c2o2, a4 = ci99, bi = ci66? b2 = c2o4- 21.5. Разложить данный вектор х из n-мерного арифмети- арифметического пространства в сумму двух векторов, один из которых лежит в Р, а другой — в Q, где V — линейная оболочка си- системы векторов ai,..., а&, a Q — линейная оболочка системы векторов bi,...,b/. Проверить единственность разложения: l)n = 2, x = c2g, ai = c2s, Ьх = сзо; 2)гс = 3, x = ci20, ai = c84, a2 = c83, bi = c66; 3)n = 3, X = Ci45, ai=C84, a2 = C83, bi=C66; 4)n = 3, x = ci39, ai = c84, a2 = c83, bi = c66; 5) n = 4, x = c2oo, ai = ci66, a2 = cigs, аз = c2o7, bi = c2o2, b2 = c205- 21.6. Найти проекцию данного вектора х из п-мерного арифметического пространства на линейное подпространст- подпространство V параллельно линейному подпространству Q, где V — ли- линейная оболочка системы векторов ai,..., а&, a Q — линейная оболочка системы векторов bi,... ,b/: 1)п = 2, х = сз2, ах = сзо, bi = C34; 2)n = 2, x = c37, ai=c30, bi=c34; 3)n = 2, x = c35, ai = c30, bi = c34; 4)n = 3, x = ci46, ai = c66, a2 = ci2i, a3 = ci22, bi = ci45; 5) n = 4, x = C201, ai = ci66, a2 = ci99, bi = ci97, b2 = ci98.
§ 21. Сумма и пересечение подпространств 187 21.7. Найти размерность и базис суммы и пересечения ли- линейных подпространств n-мерного арифметического простран- пространства, натянутых на системы векторов ai,..., а& и fc>i,..., b/: 1)гс = 2, ai = c34, a2 = c37, a3 = c35, bi = c3o, Ь2 = с3б, Ь3 = с32; 2) п = 3, ai = сцб, а2 = cm, a3 = сцд, bi = ci22, b2 = С125, b3 = ci38; 3) n = 3, ai = Сбб, a2 = ci3g, a3 = C140, bi = C94, b2 = C141, b3 = C117; 4)(p)rc = 3, ai = c83, a2 = ci42, a3 = ci43, bi = c84, b2 = = C144, b3 = C117; 5) n = 3, ai = c66, a2 = сцб, a3 = C145, bi = ci22, b2 = ci46, b3 = ci47; 6)rc = 3, ai = c83, a2 = c84, a3 = ci20, bi = c66, b2 = cm, b3 = ci22; 7) n = 4, ai = ci96, a2 = c2oo, a3 = C217, bi = с2ц, b2 = c2i8, b3 = c2i9; 8) n = 4, ai = ci96, a2 = cig8, a3 = c2o2, bi = ci66, b2 = c2o4, b3 = C197; 9) n = 4, ai = ci66, a2 = ci96, a3 = C197, bi = c203, b2 = c205, b3 = с2об5 10) n = 4, ai = ci66, a2 = ci98, a3 = ci96, a4 = c202, bi = = C207, Ь2 = С2о4, Ь3 = С197, Ь4 = С205; 11) (p) n = 4, ai=||l -1 1 Of, a2=||l 1 0 if, аз =|| 2 0 1 2||T, 84 =|| 2 0 1 if, bi=||3 5 -1 4||T, b2 =|| 1 1 0 Of, b3 = II 2 2 0 3||T, b4 = ||l 3 -1 1||T. 21.8. Найти размерность и базис суммы и пересечения ли- линейных подпространств пространства квадратных матриц по- порядка 3, натянутых на системы матриц Л2о2, ^.20Ъ ^209? ^204 и ^256, ^205, ^257, ^258- 21.9. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства многочленов степени не выше 3, натянутых на системы многочленов 1 + 2? + ?3, l + t + t2, t-t2+t3 и 1+t2, l + 3t + t3, 3t-t2 + t3. 21.10. Используя понятие суммы двух линейных подпро- подпространств, доказать неравенство rg(A + B) ^rg^ + rgS, где А л В — две матрицы одного размера т х п. 21.11. Доказать, что сумма С двух линейных подпрос- подпространств V и Q тогда и только тогда будет прямой суммой,
188 Гл. 8. Линейные пространства когда хотя бы один вектор ig? однозначно представляется в виде x = y + z, где у Е?, z Е Q. 21.12. Пусть Ри Q- два линейных подпространства ко- конечномерного линейного пространства. Доказать, что: 1) если сумма размерностей V и Q больше размерности всего пространства, то пересечение V П Q содержит ненулевой вектор; 2) если размерность суммы V и Q на единицу больше раз- размерности их пересечения, то одно из этих подпространств со- содержится в другом. 21.13. Доказать, что для любого линейного подпростран- подпространства V конечномерного линейного пространства существует другое подпространство Q такое, что все пространство явля- является прямой суммой V и Q. 21.14. Пусть ?, .М, N — три линейных подпространства; 1) Доказать, что V С Q. 2) Возможен ли случай V ф Q? Привести соответствующий пример. 21.15. Доказать, что сумма линейных подпространств \ ..., С(к) совпадает с множеством векторов, представимых в виде х = xi + ... + Xk, где Х{ Е С^г\ г = 1, ..., к. 21.16. Пусть ?, .М, N — три линейных подпространства. Доказать, что С + М +Я = (С + М) +Л/* = С + (М +Л/*). 21.17. Доказать, что сумма С линейных подпространств С^\...,&к' тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор ig? однозначно представляется в виде х = х\ + ... + Xk, где Xi E С^ (обобщение задачи 21.11). § 22. Комплексные линейные пространства 22.1. Найти линейную комбинацию столбцов: 1) A + г)с4-гс5; 2) 2гс42 + C + г)с3о - С41; 3) (l-2i) + 22.2. Найти линейную комбинацию матриц B + г)А89 + iA10 + А27 - 2А91.
§ 22. Комплексные линейные пространства 189 22.3. Найти столбец х из уравнения: 1) A+г)(х-с44)- B + г)(х + с45) = с4з; 2) 2С153 - С149 + гх = С150- 22.4. Выявить линейные зависимости между данными столбцами: 1) С26, С29, С4з; 2) С26, С30, С4О5 3) Сш, С132, Сш- 22.5. Найти размерность и базис линейной оболочки дан- данной системы столбцов: 1) с5; 2) с27, с3д; 3) с2б, С43, C44; 4) С134, Сш, С152; 5) С275, С215, С276; 6) Ci66j C215, Ci96, C193, С216- 22.6. Доказать, что векторы ei,...,en образуют базис в комплексном n-мерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе: 1) п= 1, ei = c4, х = с5; 2)гс = 2, ei=c3i, e2 = c35, х = с3д; 3)n = 2, ei=C26, ?2 = С4о, x = c4i5 4)n = 2, ei = c26, e2 = c27, x = c3s; 5)n = 3, ei = ci26, e2 = ci27, e3 = ci28, х = с27з; 6) П = 4, ei = Ci66, e2 = C207, ^3 = C274, e4 = C275, X = C276- 22.7. Найти размерность и базис линейного пространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений: 1) Л9ох = о; 2) t49ix = o; 3) A3qqx = о; 4) Л371Х = о; 5) Л525Х = о. 22.8. Составить систему уравнений, определяющую линей- линейную оболочку данной системы столбцов: 1) С40, С42; 2) С26, С42; 3) C2155 4) Ci28, C2735 5) С275, С276, С214, С215- 22.9. Доказать, что каждая из двух систем векторов fi, ... ..., fn и gi, ..., gn является базисом в комплексном п-мерном арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в пер- первом базисе, если известны его координаты <^,...,<^ во втором базисе: 1) n=l, fi =c4, gi = c6; 2)n = 2, fi=c3i, f2 = c45, gi = c44, g2 = c3g; 3) n = 3, fi = C129, h = C128, fb = c130, gl = C122, g2 = C126, g3 = C94. 22.10. Найти проекцию данного вектора х двумерного комплексного арифметического пространства на линейное под-
190 Гл. 8. Линейные пространства пространство V параллельно линейному подпространству Q, где V натянуто на вектор С44, a Q натянуто на вектор С4о- 1) X = С26; 2) X = С425 32) X = С45- 22.11. Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств комплексного n-мерного арифмети- арифметического пространства, натянутых на системы векторов ai, ... ..., з.к и bi, ..., b/: 1) п = 3, ai = С83, »2 = ci34? &з = С148, bi = C132, b2 = C149, 2) n = 3, ai = C131, a2 = ci32, a3 = C133, bi = C134, b2 = ci35, 3) n = 4, ai = ci66, a2 = C220, a3 = c2i6, a4 = C215, bi = C221, Ь2 = С222, Ьз = С223, Ь4 = C214- 22.12. 1) Доказать, что если в n-мерном комплексном ли- линейном пространстве рассматривать умножение векторов лишь на вещественные числа, то получим 2п-мерное вещественное линейное пространство. 2) В двумерном комплексном арифметическом простран- пространстве рассматривается операция умножения векторов лишь на вещественные числа. Найти базис в полученном вещественном пространстве и координатный столбец вектора С27 в этом базисе. 22.13. Доказать, что множество многочленов степени не выше п с комплексными коэффициентами можно рассматри- рассматривать и как комплексное линейное пространство, и как веще- вещественное линейное пространство. В обоих случаях найти: 1) базис и размерность пространства; 2) координатный столбец многочлена 1 — 2г + C + i)t — 3t2 в найденном базисе (при п = 2).
Глава 9 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 23. Основные свойства линейных отображений и преобразований Общие понятия, относящиеся к отображениям, введены в § 12. В настоящем параграфе используются также следующие понятия: ли- линейное отображение, линейное преобразование, ранг и ядро линей- линейного отображения, изоморфизм, матрица линейного отображения в паре базисов, матрица линейного преобразования в данном бази- базисе, сумма и произведение линейных отображений, произведение ли- линейного отображения на число, подобные линейные преобразования и матрицы. Пусть С, С — линейные пространства над одним и тем же полем (оба вещественные или оба комплексные). Отображение (р : С —>> С называется линейным, если для любых векторов х,у Е С и любого числа а справедливы равенства <р(х + у) = <р(х) + (р(у), (р(ах) = а(р(х). A) Если пространства С л С совпадают, условия A) определяют линейное преобразование пространства С. Нередко используют так- также термины линейный оператор из С в С и линейный оператор в пространстве С, особенно для дифференциальных и интегральных операторов в пространствах функций. Множество значений (р(?) = lump линейного отображения (р : С —>¦ —> С является линейным подпространством в С. Его размерность на- называется рангом отображения (р и обозначается ig(p. Ядром линей- линейного отображения (р называется множество Кепр = {х Е С\(р(х) = о}. Отображение (р называется вырожденным, если Кег(^ ф {о}, в про- противном случае — невырожденным. Взаимно однозначное линейное отображение пространства С на пространство С называется изоморфизмом С па С Если существует изоморфизм С на С, то пространства С и С называются изомор- изоморфными. Пусть (р : С —>- С — линейное отображение, e=(ei,...,en) — ба- базис пространства С, f = (/i,..., fm) — базис пространства С. Матри- Матрицей линейного отображения (р в паре базисов е, f называется мат- матрица А = А^, столбцами которой являются координатные столбцы
192 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования векторов (p(ei),...,(p(en) в базисе f. Матрицей линейного преобра- преобразования if в базисе е называется матрица линейного отображения (р : С —> С в паре базисов е, е. Если ?, — координатный столбец вектора х G С в базисе е, а Г| — координатный столбец его образа ip(x) G С в базисе f, то Л = Ah. B) Пусть е и е' — два базиса в пространстве ?, f и f - два ба- базиса в пространстве ?, S и Т — матрицы перехода от е к е' и от f к f соответственно. Если А и А' — матрицы линейного отображе- отображения (р : С —>• С в парах базисов е, f и е', f, то A^T^AS. C) В частности, если А и А' — матрицы линейного преобразования в базисах е и е', a S — матрица перехода от е к е', то А' = S^AS. D) Матрицы А, А', связанные соотношением D) для некоторой невыро- невырожденной матрицы ?, называются подобными {А' ~ А). Линейные преобразования (риф пространства С называются по- подобными, если существует такое обратимое линейное преобразование о;, что ф = о;^. Пусть линейное отображение (р имеет матрицу А в паре базисов е, f. Ядро отображения (р определяется в базисе е системой уравне- уравнений АЕ, = о. Множество значений отображения (р является линейной оболочкой системы векторов, координатными столбцами которых в базисе f являются столбцы матрицы А. Ранг отображения (р равен рангу его матрицы. Нулевое отображение в : С —> С определяется формулой 0(х) = = о для всех х G С. Тождественное преобразование линейного про- пространства С обозначается г. Естественное вложение <р : Ai —>- С линейного подпространства М. С С в С определяется равенством (р(х) = х для х G Л4. Гомотетия (растяжение, преобразование подо- подобия) пространства С с коэффициентом Л ф 0 определяется формулой (р(х) = Хх (х G С). Пусть С является прямой суммой ненулевых линейных подпро- подпространств С и С") тогда любой вектор х G С однозначно представля- представляется в виде х = х\ + Х2 где х\ G ?, х^ G С". Проектированием про- пространства С на подпространство С параллельно подпространству С" называется преобразование тг пространства ?, определяемое равен- равенством тг(ж1 + Ж2) = Ж1. Проектирование можно рассматривать и как отображение пространства С на С. Отражением пространства С в подпространстве С параллельно С" (или симметрией простран- пространства С относительно С параллельно С") называется преобразование (р : С —> ?, определяемое равенством (p(xi+X2) = х\ — хч- Линейное пространство S векторов плоскости или трехмерного пространства с заданным в нем скалярным произведением в даль-
§ 23. Основные свойства линейных отображений 193 нейшем упоминается как геометрическое векторное пространство (двумерное или трехмерное). В нем можно рассматривать преобразо- преобразования ортогонального проектирования и ортогонального отражения (ортогональной симметрии) в подпространстве (прямой или плоско- плоскости) . Подробнее об ортогональном проектировании в геометрическом векторном пространстве см. введение к гл. 12. Суммой двух линейных отображений <??, ф : С —>• С называется отображение (р + ф такое, что для всех х Е С (<p + i/;)(x) = <р(х) + ф(х). Произведение отображения (р на число а определяется для всех х Е С равенством [аф)х = а(р(х). Примеры линейных отображений и преобразований. Ядро, множество значений. Матрицы линейных отображений и преобразований B3.1—23.51) 23.1. Пусть х= (жх, ж2, ••-, хп)Т — произвольный вектор n-мерного арифметического пространства. Исследовать линей- линейность преобразования (/?, если: 1) ср (х) = (ж2, xi - х2)Т (п = 2); 2) (р(х) = (ж2, х1х2)Т (п = 2); 3) у>(х) = (ж2, Я1-3, х3)т (п = 3); 4) ^ (х) = Bж3 + Ж1, 2жзжъ ^1 - ж2)т (п = 3); 5) V(x) = @, ...,0)T; 6) (р(х) = (О, Ж1 + Зж2, ж^)т (п = 3); 7) V(x) = @, ...,0, 1)т; 8) 9?(х) = (sinxi, cosx2, жз)т (п = 3); 9) ^ (х) = T 10) ^(х) 23.2. Доказать линейность преобразования ср простран- пространства ?, выяснить, является ли ср инъективным, сюръективным или биективным, указать его матрицу в произвольном базисе пространства ?, если ср есть: 1) нулевое отображение; 2) тождественное преобразование; 3) гомотетия. 23.3. Пусть (р — линейное отображение пространства С в С. Доказать, что: 1) ср(о) = О] 2) ядро <р есть линейное подпространство в С] 3) образ (р(Л4) линейного подпространства Л4 С С есть подпространство в ?, причем dimср(Л4)
194 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 4) ср инъективно тогда и только тогда, когда Кетср = {о}; 5) dimKer(/? + dimIm(y9 = dim?. 23.4. Пусть М — подпространство линейного простран- пространства С. Доказать, что естественное вложение Л4 —>• С — инъ- ективное линейное отображение. Может ли оно быть изомор- изоморфизмом? 23.5. Пусть Л4 — подпространство линейного простран- пространства С. Отображение ср : С —>> Л4 определено правилами: (р(х) = = х при жЕМ, (р(х) = о при х^Л4. Линейно ли отображе- отображение (р? 23.6. Пусть х — произвольный вектор, а, п — фиксиро- фиксированные ненулевые векторы геометрического векторного про- пространства (двумерного или трехмерного). Проверить линей- линейность преобразования ср, заданного следующей формулой, и выяснить его геометрический смысл, если: 3) 5) (^(x)=x-2(x,n)-^; 6) <p(x) = 2(a,x |n| 23.7. Проверить линейность и выяснить геометрический смысл преобразования ср трехмерного геометрического вектор- векторного пространства, заданного формулой (a, u, v — фиксиро- фиксированные векторы): 2) p(x) = u(x, v)-v(x,u) ([u, v 23.8. Пусть а и п — ненулевые векторы трехмерного гео- геометрического векторного пространства, причем (а, п) ф О, С\ — прямая с направляющим вектором а, а ?2 — плоскость с нор- нормальным вектором п. Записать формулой преобразование (/?, проверить его линейность, найти ядро, множество значений и ранг, если ср есть: 1) ортогональное проектирование на ?2; 2) ортогональное проектирование на С\] 3) проектирование на ?2 параллельно вектору а; 4) проектирование на С\ параллельно ?2; 5) ортогональное отражение относительно ?,2] 6) ортогональное отражение относительно С\\
§ 23. Основные свойства линейных отображений 195 7) отражение в ?2 параллельно вектору а; 8) отражение в С\ параллельно Съ- В задачах 23.9-23.14 линейные подпространства трехмер- трехмерного геометрического векторного пространства ?з заданы сво- своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе. 23.9. Вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства ?% на подпространство ?, если С есть: 1) прямая х = z = 0; 2) прямая х = у = z\ 3) плоскость х + у + z = 0; 4) плоскость, натянутая на векторы а(—1, 1, —1) и ЪA,-3,2). 23.10. Вычислить матрицу проектирования пространства <?з на подпространство С параллельно подпространству Л4, если: 1) С определено уравнением х = 0, М — уравнениями 2х = = 2y = -z; 2) С имеет уравнение х = у, Л4 определяется системой уравнений х + у + z = 0, 2х + у + 4z = 0; 3) С определено уравнениями — 20ж = 15у = 12z, .М — ура- уравнением 2ж + Зу — z = 0; 4) С определено системой уравнений х — у + z = 0, 2х — — Зу + Az = 0, Л4 — уравнением 2х + Зу — 4z = 0. 23.11. Преобразования пространства ?% из задач 23.9 и 23.10 рассматриваются как линейные отображения простран- пространства ?з на подпространство С. Вычислить матрицу каждого из этих отображений в какой-либо паре базисов. 23.12. Найти матрицу линейного преобразования (/?, ес- если (р — ортогональное отражение пространства ?%: 1) относительно плоскости х = 0; 2) относительно прямой х = 2у = z\ 3) относительно линейной оболочки векторов аA,0,—1) и 23.13. Найти матрицу отражения пространства ?<$'. 1) в плоскости х = 0 параллельно прямой 2х = у = — z\ 2) в прямой x = z, х — у + z = 0 параллельно плоскости х + у = 0. 23.14. В трехмерном геометрическом векторном простран- пространстве ?з задан ортонормированный базис ei, e2, ез- Вычислить матрицу поворота пространства: 1) на угол а вокруг вектора ез;
196 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 2) на угол тг/2 вокруг вектора ei; 3) на угол 2тг/3 вокруг прямой, имеющей уравнения х = = y = z. 23.15. Пусть линейное пространство С является прямой суммой ненулевых подпространств С1', С". 1) Доказать, что преобразование <р проектирования С на С параллельно С" линейно. Найти ядро и множество значений ср. Записать матрицу преобразования <р в базисе, составленном из базисов подпространств С и С". 2) Решить задачу, рассматривая ср как отображение про- пространства С на С. 23.16. Пусть линейное пространство С является прямой суммой ненулевых подпространств /У, С". Доказать, что от- отражение ср пространства С в С! параллельно С" есть линейное преобразование пространства С. Найти его ядро и множество значений. Показать, что ср является изоморфизмом. Записать матрицу ср в базисе, составленном из базисов подпространств ?', С". 23.17. Пусть ср: С^С — линейное отображение, Л4 = = (р(С). Рассмотрим (р как линейное отображение ср : С —>> ЛЛ. Доказать, что: 1) ядра отображений сриср совпадают так же, как их ранги; 2) ср сюръективно; 3) ср инъективно тогда и только тогда, когда ср инъективно. 4) если dim>C = dim?, то ср тогда и только тогда являет- является изоморфизмом, когда изоморфизмом является ср. Выяснить связь между матрицами отображений ср и ср (выбрать согласо- согласованные базисы в?иМ). 23.18. Доказать, что ранг матрицы линейного отображе- отображения не зависит от выбора пары базисов в линейных простран- пространствах. 23.19. Доказать, что: 1) ранг матрицы линейного сюръективного отображения равен числу ее строк; 2) ранг матрицы линейного инъективного отображения ра- равен числу ее столбцов. 23.20. Пусть (р : ? —)> С — линейное отображение, dim? = = n, dim? = m, A — матрица ср в некоторой паре базисов, vgA = г. Доказать, что: r; 2) dimKevcp = n — r.
§ 23. Основные свойства линейных отображений 197 23.21. Доказать, что: 1) отображение, обратное к изоморфизму, существует и также является изоморфизмом; 2) линейное отображение, не являющееся изоморфизмом, не имеет обратного. 23.22. 1) Чему равен ранг и каково ядро линейного отоб- отображения ср : ?—)>?, являющегося изоморфизмом? 2) Как связаны матрицы Л, В линейного отображения и обратного к нему? 23.23. Пусть (р : С —>> С — линейное отображение, и dim? = dim С Доказать равносильность утверждений: 1) (р изоморфизм; 2) ср инъективно; 3) (р сюрьективно. Показать, что при dim>C ф dim? из 2) или 3) не следует 1). 23.24. Пусть ср : С —>• С — линейное отображение, и dim? = dim>C. Доказать утверждения: 1) Для того чтобы уравнение ср(х) = у (х Е С) было разре- разрешимо при любом у Е С необходимо и достаточно, чтобы одно- однородное уравнение <р(х) = о имело только нулевое решение. 2) Если уравнение <р(х) = у разрешимо при всех у Е ?, то оно имеет для каждого у единственное решение. 3) Пусть уравнение <р(х) = у разрешимо не при всех у Е >С, но при некотором у разрешимо. Тогда его решение не един- единственно. 23.25. Доказать, что любое n-мерное линейное простран- пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству над тем же полем и, следовательно, все линейные пространства одинаковой размерности (над одним и тем же полем) изоморф- изоморфны. 23.26. Линейное преобразование трехмерного арифмети- арифметического пространства задано в стандартном базисе матрицей А. Найти образы векторов ai, a2, аз и объяснить геометрический смысл преобразования (кроме 3)): 1) А = А2еъ ai = A, О, -1)т, а2 = @, 1, 0)т, а3 = C, 3, 3)Т; 2) А = А22Ъ ai = A, 1, 2)t, а2 = A, 2, 3)т, а3 = A, 2, 4)т; 3) А = А2аъ ai = @, 1, 1)т, а2 = A, О, -1)т, а3 = B, 1, 0)т; 4)Л = Л2б2, ai = @, 1, 1)Т, а2 = B, 2, т а3 = B,2, 3-г)т;
198 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 5)^ = Л263, ai = (l, 1, -1)т, а2 = A + г, 1,-г)т, а3 = A-г, 1, if. 23.27. Линейное отображение n-мерного арифметическо- арифметического пространства в m-мерное задано матрицей А. Числа тип определяются размерами матрицы. Вычислить образы указан- указанных векторов: 1) А = А507, а=D,-1,-1, 3)т; 2) А = А45Ь, а=(-1, 1, 1, -1)т; 3) А = А522, а=(-2, 1, 3,-1)т; 4)m = n, A = A507, ai = (l, 1, ..., 1)т, а2 = A, -1, 0, ... ...,0)т, ...,ап = A, 0, ...,0, -1)т. 23.28. Линейное преобразование п-мерного линейного про- пространства С задано матрицей А в базисе е. Число п определяет- определяется порядком матрицы. Найти ядро и множество значений пре- преобразования. Выяснить, является ли оно изоморфизмом, если: 1) А = А30; 2) А = А236; 3) А = А264- 4) А = Л465; 5) А = Аш; 6) А = АЪА7. 23.29. Линейное отображение n-мерного линейного про- пространства в m-мерное задано матрицей А в базисах е и f. Чис- Числа т и п определяются размерами матрицы. Найти ядро и множество значений отображения. Выяснить, является ли оно сюръективным, инъективным, если: 1) А = Л51б; 2) А = АШ] 3) А = Аш; 4) А = А57в; 5) А = А420] 6) А = А585. 23.30. Линейное отображение n-мерного арифметического пространства в m-мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей А. Числа т и п определяются размера- размерами матрицы. Вычислить полный прообраз вектора а, если: 1) Л = Л513, а =(-1,0, т 2) А = АЪЪЪ а =A,2, 1); 3) А = А42Ъ а=D, 2, 9, -20, -3)т; 4) А = А42Ъ а=@, 1, 1,2, -1)т. 23.31. Линейное отображение n-мерного арифметическо- арифметического пространства в m-мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей А. Числа тип определяются размерами матрицы. Найти полный прообраз подпространства М С 7?т, если: 1) А = ^576? М натянуто на вектор C, — 1)т; 2) Л = т4517, М задано системой уравнений xi -хз = 0;
23. Основные свойства линейных отображений 199 3) А = ^-592? Л4 задано системой уравнений 2жх — х% = О, 23.32. Доказать, что пространство TZmXn вещественных матриц размеров тх п (задача 20.5) изоморфно арифметиче- арифметическому пространству 1Zmn. 23.33. Пусть а= (ао, ах, ..., ап)т. Показать, что отобра- отображение /(а) = ао + a\t + ... + antn устанавливает изоморфизм (п +1)-мерного арифметического пространства и линейного пространства многочленов степени, не превосходящей п. 23.34. Отображение двумерного вещественного арифме- арифметического пространства в линейное пространство веществен- вещественных квадратных матриц второго порядка задано формулой = . Доказать линейность и инъективность ото- || У х || бражения ср. Вычислить его матрицу в стандартных базисах пространств. 23.35. Отображение трехмерного вещественного арифме- арифметического пространства в пространство матриц второго поряд- ка сопоставляет вектору (жх, Ж2, х%) матрицу . До- Доказать линейность и инъективность отображения. Вычислить его матрицу в стандартных базисах пространств. 23.36. Пусть Л^2х2 — множество комплексных матриц вто- второго порядка, рассматриваемое как вещественное линейное пространство со стандартным базисом Ец, гЕц, Е21, ii^i, %E\2-i ^22, ^22 (см. задачу 22.12). Отображение <р : 1Z% - сопоставляет вектору {х\)Х2)х^)т матрицу ^3. Xl_ гХ2\\. Доказать, что отображение <р линейно и инъективно. Найти его матрицу в стандартных базисах пространств. 23.37. Отображение (^9:7^4^^2x2 (см. задачу 23.36) за- 1 „ / ч а 6II / ^ I • ДаНО формулой (р(Х) = 7 - 5 гДе \xlix2ix^^xA) , CL = х\-\-1х2-> —о а || а = х\ — 1X2, Ъ = жз + ix±. Доказать, что ср линейно и инъектив- инъективно, найти его матрицу в стандартных базисах пространств. 23.38. Доказать, что данное множество квадратных мат- матриц является вещественным линейным пространством, изо- изоморфным арифметическому пространству Т^з- 1) множество всех вещественных матриц второго порядка с нулевым следом;
200 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 2) множество всех вещественных кососимметрических мат- матриц третьего порядка; 3) множество всех комплексных матриц вида II ixs x\-\-iX2 \\ Г _ _Г . _. Х\ | ЪХ^ o где Ж1, Ж2, жз — вещественные числа. 23.39. Пусть D = — — операция дифференцирования, со- сопоставляющая функции f(t) ее производную ff(t). Показать, что D является линейным преобразованием линейного про- пространства функций, бесконечно дифференцируемых на интер- интервале (а,Ь). 23.40. Пусть р(т) — линейное пространство вещественных многочленов степени не выше т. 1) Проверить, что дифференцирование (определенное в за- задаче 23.39) есть линейное преобразование D: р(т)^р(т)^ найти его ядро и множество значений. Вычислить матрицу пре- преобразования D: а) в стандартном базисе 1, ?, ..., tm] б) в базисе 1, t — to, ..., (t — to)m; t tm в) в базисе 1, —, ..., —-. 1! ml 2) Найти матрицу дифференцирования как линейного отображения D : V^m) ^Т^ш~1) базисах 1, ?, ..., —% и 1, t, ... га! trn-l ¦'¦' (га-1)!' 23.41. Показать, что дифференцирование (задача 23.39) определяет линейное отображение: 1) пространства четных многочленов степени не выше 2п в пространство V нечетных многочленов степени не выше 2п — 1; 2) пространства нечетных многочленов степени не выше 2п +1 в пространство Q четных многочленов степени не вы- выше 2п. Найти ядро, множество значений и ранг отображения. Запи- Записать его матрицу А в стандартных базисах пространств. 23.42. Проверить, что функции eXtp(t), где Л — фиксиро- фиксированное число, p(t) — многочлен степени не выше п, образуют линейное пространство, а дифференцирование является его ли- линейным преобразованием. Вычислить матрицу преобразования tk в базисе ттеЛ^ (к = 0,1,. ..,п).
§ 23. Основные свойства линейных отображений 201 23.43. 1) Показать, что дифференцирование является ли- линейным преобразованием пространства тригонометричес- тригонометрических многочленов f(t) = uq + a± cost + Ъ\ sint + ... + ап cosnt + + bnsmnt порядка не выше п (см. задачу 20.8.4). Найти мат- матрицу преобразования D в стандартном базисе 1, cost, sint, ... ...cosnt, sinnt этого пространства. 2) Доказать, что дифференцирование D устанавливает изоморфизм между линейными пространствами нечетных три- тригонометрических многочленов Ъ\ sint + 62 sin2? + ... + Ъп sinnt и четных тригонометрических многочленов вида aicos? + + ct2cos2t +. .. + ancosnt (n — фиксированное число). Вычис- Вычислить матрицы отображения D и обратного отображения в ба- базисах sint, ..., sinnt и cost, ..., cosnt. 23.44. Пусть f(t) — непрерывная функция (t G Ж). Рас- t смотрим операцию интегрирования / : f(t) —)> / f(?)d?. о 1) Проверить, что интегрирование определяет линейное отображение / : V^n~1^ —>> V^ (n ^ 1), найти его ядро, множе- множество значений и ранг. Записать матрицу отображения в стан- стандартных базисах. 2) Интегрирование рассматривается как линейное преобра- преобразование пространства V всех вещественных многочленов. Най- Найти его множество значений. Является ли это преобразование сюръективным, инъективным, изоморфизмом? 3) Пусть Л4 — пространство многочленов с нулевым сво- свободным членом, / : V —>- М — операция интегрирования и D : Л4 -^V — дифференцирование. Доказать, что эти линей- линейные отображения взаимно обратны. 23.45. Пусть Т — линейное пространство функций /(?), непрерывных на отрезке [—1,1], Т — линейное пространство непрерывно дифференцируемых на [—1,1] функций f(t) таких, что /@) = 0, Q и 1~L — подпространства четных и нечетных функций в Т соответственно. 1) Интегрирование / из задачи 23.44 (—1 ^ t ^ 1) рассмат- рассматривается как линейное преобразование пространства Т. Яв- Является ли это преобразование инъективным, сюръективным? Обратимо ли оно? 2) Доказать, что интегрирование определяет изомор- изоморфизм / : F —± Т. Найти для него обратное отображение.
202 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 3) Показать, что интегрирование определяет линейные отображения I± : <? —)> Н и /2 : %—^G- Ответить для этих отоб- отображений на вопросы п. 1). 23.46. Пусть линейное преобразование пространства всех многочленов от t переводит каждый многочлен t в t (к = = 0, 1, 2, ...). Убедиться в том, что это преобразование инъек- тивно, но не сюръективно. Найти множество его значений. 23.47. Пусть lZmxn — линейное пространство матриц раз- размеров тхп. 1) Доказать, что умножение матриц размеров тхп слева на фиксированную матрицу А размеров к х т есть линейное отображение ср : 7?mXn —^ Т^кхп- Вычислить матрицу отображе- отображения ср в стандартных базисах, если п = 2, А = Л27- Найти ядро и множество значений этого отображения. 2) Доказать, что умножение матриц размеров тхп спра- справа на фиксированную матрицу В размеров пхк есть линейное отображение ср : 1Zmxn —>> TZmXk- Вычислить матрицу отображе- отображения (р в стандартных базисах, если т = 2, В = A±2q. Найти ядро и множество значений отображения ср. 23.48. Пусть xi, ..., хп — столбцы матрицы X = = || xi.. .хп || размеров шхп, и У = ||xi.. .xn_i ||. Отображе- Отображение ср : IZrnxn —^ Kmx(n-i) определим равенством <р(Х) = У. 1) Доказать, что отображение ср линейно, найти его ядро и множество значений. 2) Вычислить матрицу отображения ср в стандартных ба- базисах пространств. 3) Показать, что ср является одним из отображений, опре- определенных в задаче 23.47, для подходящей матрицы В. 23.49. Пусть iWi,...,Mn — фиксированные матрицы по- порядка т, х = (#i,... ,жп)Т. Отображение 99 : 7?п —>> TZmXm опре- определим формулой ^(х) = xi Mi + ... + хпМп. Доказать линей- линейность отображения 99. Найти ядро, множество значений, ранг и вычислить матрицу А отображения ср в стандартных базисах, еслип = 4, Mi = Ai2, M2 = ^i3, M3 = ^i6, М4 = Л20. 23.50. В линейном пространстве вещественных многочле- многочленов р(х^у) от двух переменных х,у преобразование ср определено формулой <р(р(х, у)) = р(х + а, у + Ь) (а, Ъ — фик- фиксированные числа). Показать, что ср определяет линейное пре- преобразование пространства многочленов не выше второй степе- степени, и вычислить его матрицу в базисе 1, ж, у, ж2, жу, у2.
§ 23. Основные свойства линейных отображений 203 23.51. Показать, что однородные многочлены степени п п вида р(х,у) = Уу^а^хп~ у образуют линейное подпростран- к=0 ство liy1' пространства всех многочленов от двух переменных. Преобразование ср определено одной из следующих формул: | д ху. Доказать, что ср — линейное преобразование пространства Ц(п\ и вычислить его матрицу в базисе жп, хп~1у, ..., хуп~1, уп. Найти ядро и множество значений преобразования ср. Матрицы линейных отображений и преобразований в разных базисах. Подобные матрицы B3.52—23.77) 23.52. Пусть ei,..., еп — базис в линейном пространстве ?, а /х,..., fn — произвольные векторы из линейного простран- пространства С. Доказать, что существует единственное линейное отоб- отображение ср : С —>> С такое, что <р(е{) = fi (г = 1,... ,п). 23.53. 1) Пусть ai,...,a/. — линейно независимые векторы линейного пространства ?, а Ъ\)...^Ъ^ — некоторые векторы пространства С. Доказать, что существует линейное отображе- отображение ip: С—± С такое, что (р(щ) = Ь{ (г = 1,..., к). В каком случае отображение ср единственно? 2) Пусть ai,..., dk — векторы из >С, а bi,..., Ъ^ — векторы из С. Сформулировать необходимые и достаточные условия, при которых: а) существует линейное отображение ср : С —)> С такое, что (р(щ) = Ь{ (i = l,...,fc); б) это отображение един- единственно. 23.54. Пусть А — невырожденная матрица порядка п, В — матрица размеров т х п. Доказать, что существует единствен- единственное линейное отображение n-мерного арифметического про- пространства в m-мерное, при котором образами столбцов матри- матрицы А являются соответствующие столбцы матрицы В. Найти матрицу этого отображения: 1) в стандартных базисах пространств; 2) в базисе пространства lZn из столбцов матрицы А и стан- стандартном базисе пространства lZm; 3) в базисе пространства lZn из столбцов матрицы А и ба-
204 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования зисе пространства 1Zm из столбцов матрицы В (при условии, что т = п и В невырождена). 23.55. Пусть АжВ — невырожденные матрицы порядка п. Доказать, что существует единственное линейное преобразо- преобразование n-мерного арифметического пространства, переводящее столбцы матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В. Найти матрицу этого преобразования: 1) в стандартном базисе; 2) в базисе из столбцов матрицы А; 3) в базисе из столбцов матрицы В. 23.56. Линейное преобразование ср двумерного арифмети- арифметического пространства переводит вектор а^ в вектор Ъг (г = 1,2). Вычислить матрицу преобразования ср в стандартном базисе, если: 1) ai = A, -1)т, а2 = (-1, 2)т, bi = B, 0)т, Ь2 = (-3, 1)т; 2) а1 = D, -3)т, а2 = B, if, Ъ, = (-2, -2)т, Ь2 = D, 4)т; 3) а1 = (-5, 3)т, а2 = (-3, 1)т, Ьх = D, 15)т, Ь2 = @, 1)т; 4) ах = A, 1)т, а2 = A, 3)т, Ьх = @, V2)T, b2 = (-А 2^2)т. 23.57. Матрицы А, В составлены из координатных столб- столбцов векторов ах, а2, аз и Ьх, Ь2, Ьз в некотором базисе е трех- трехмерного линейного пространства С. Для приведенных ниже случаев проверить, что существует единственное линейное пре- преобразование (р пространства ?, переводящее векторы а^ в bi [г = 1,2,3). Вычислить матрицу преобразования <р: а) в базисе е; б) в базисе ai, a2, аз, если: 1) А = Л2б5, В = Л2бб; 2) А = Л2б8, В = Л2б9; 3) А = Л270, В = А271] 4) А = Л229, В = А272. 23.58. Показать, что существует и единственно линейное отображение ср : 1Zn —)> Ит, переводящее столбцы данной мат- матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В. Найти мат- матрицу отображения ср: 1) в стандартных базисах пространств 1Zn и lZm] 2) в базисе пространства 1Zn, состоящем из столбцов мат- матрицы Л, и стандартном базисе пространства 1Zm. а) п = 2, m = 3, А = Л33, В = Ai4o; б) п = 3, т = 2, А = т427б, ? = ^3945 в) п = 2, т = 5, Л = Л34, S = Ain; г) П = 4, 771 = 2, Л = т4467, S = ^5055 д) п = 3, т = 4, Л = Л227, Б = е) П = 4, 771 = 3, А = Л484, #
§ 23. Основные свойства линейных отображений 205 23.59. Выяснить, существует ли линейное преобразова- преобразование (р, переводящее столбцы матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В. В случае существования вычислить мат- матрицу <р в стандартном базисе: 1) А = Аъ, В = Л35; 2) А = Л5, В = А12] 3) А = А277, В = А278] 4) А = A2i3, В = Л279- 23.60. При линейном отображении ср : lZn —>• 7?m столбцы матрицы Л переходят в соответствующие столбцы матрицы В. Выяснить, является ли отображение ср инъективным, сюръек- тивным, найти размерность ядра и ранг отображения ср. Вы- Вычислить образ вектора а, если: 1) А = А123, В = А24, а=A, 7, 3)г; 2)А = А392, В = А23о, а=C, 1)т; 3)А = А422, В = АШ, а=D,-4, -3, 12, 2)г; 4) А = Ami, В = А420, а= A6, 5,-6)т. 23.61. Показать, что существует единственное линейное преобразование комплексного арифметического простран- пространства Сп, переводящее столбцы данной матрицы А в соответ- соответствующие столбцы матрицы В. Вычислить матрицу этого пре- преобразования в стандартном базисе, если: 1) п = 2, А = АJ, В = АK; 2) п = 2, ^ 3) п = 2, Л 4) П = 3, Л 23.62. Линейное преобразование ср имеет в данном базисе матрицу Л, а координатные столбцы новых базисных векто- векторов образуют матрицу S. Вычислить матрицу преобразования в новом базисе, если: 1) А = Л36, S = Л33; 2) А = Л37, S = 3) Л = Л38, 5 = Лзэ; 4) А = Л40, S = 5) А = Л280, ^ = Л20з; 6) Л = А281, ^ = А282] 7) А = Л28з, S = А284] 8) А = Л285, S = Л2б5; 9) Л = Л469, S = Л47о; Ю) Л = ,447Ъ S = Л439- 23.63. Линейное преобразование комплексного арифмети- арифметического пространства имеет в стандартном базисе матрицу А. Новый базис задан матрицей перехода S. Вычислить матрицу преобразования в новом базисе: 2) А = А79, S = A80 3) А =
206 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 4) А = А259, S = A3Q3 (o; = e2-/3); 5) А = Л472, S = Л47з; 6) А = Л474, S = Л475. 23.64. Линейное отображение n-мерного арифметического пространства в m-мерное задано в стандартных базисах мат- матрицей Л, столбцы новых базисных векторов f = (/i,... ,/п) и g = (#i,.. .,5m) составляют соответственно матрицы 5 и Г. Вы- Вычислить матрицу отображения в базисах f и g: 1)гс = 3, га = 2, Л 2)гс = 4, га = 2, Л 3) п = 2, га = 3, Л = Лц7, 5 = Дь Г = 4)гс = 3, га = 4, А = Ат?п 5 = 4285, Г 23.65. Вычислить матрицу линейного преобразования ср множества векторов плоскости с заданным на ней базисом, ес- если <р есть: 1) отражение плоскости в прямой х + 2у = 0 параллельно прямой х + Зу = 0; 2) проектирование плоскости на прямую х + у = 0 парал- параллельно прямой 4ж + Ъу = 0; 3) сжатие с коэффициентом Л = 2 к прямой Зж — 2у = 0 па- параллельно прямой х — у = 0. 23.66. Вычислить матрицу линейного преобразования ср трехмерного геометрического векторного пространства (в ко- котором задан ортонормированный базис), пользуясь надлежа- надлежащей заменой базиса, если <р есть: ^проектирование на плоскость Зх — у = 0 параллельно прямой х + z = 0, х + у + 2z = 0; 2) отражение пространства в прямой х = у = — 2z парал- параллельно плоскости х + у + 3z = 0; 3) сжатие с коэффициентом Л = 2 к плоскости х — 2z = 0 параллельно прямой х = у = Z] 4) поворот вокруг прямой ж = ?/ = — z на угол тг/2; 5) поворот вокруг прямой х + у = 0,у — ? = 0на такой угол, что первая из данных плоскостей переходит во вторую. 23.67. Пусть D — дифференцирование в пространстве многочленов степени не выше га. Вычислить матрицу преоб- преобразования D, если базис состоит из многочленов: 1) 1 + ?, t + 2t2, 3t2-l (га = 2); 2)?3 + 1, 1-?, 1-t + t2, l-t + t2-t3 (ra = 3); 3) 1, 1 + t, 1 + n + S' ••" 1 + I[ + --- + 5 (Ш^1);
§ 23. Основные свойства линейных отображений 207 4) 1, 1 + t, 1 + t + t2, ..., l+t + ...+tm (ra^l); 5) 1, t-1, t2-t, ..., t771-^-1 (ra^l). 23.68. Вычислить матрицу преобразования дифференци- дифференцирования в пространстве тригонометрических многочленов по- порядка не выше п (см. задачу 23.43), если базис состоит из функ- функций: 1) 1, cost — sint, cost + sint, ..., cosnt — sinnt, cosnt + + sinnt (n ^ 1); 2) 1, 1 + cost, ..., 1 + cost+ ... +cosnt, sint, ..., sint + ... ... + sinnt; 3) 2cos2t, 2sin2t, sint + cost, sint —cost, (sint + costJ (n = 2). 23.69. Как изменится матрица линейного отображения, заданная в паре базисов ei, ..., en; /i, ..., /m, если: 1) поменять местами векторы е^ и е^; 2) поменять местами векторы /& и //; 3) вектор е^ умножить на число Л ф 0, а //. умножить на /i/0; 4) вектор е^ заменить на е^ + е^, а вектор /& — на /& — // 23.70. Как изменится матрица линейного преобразования, заданная в базисе ei, ..., еп, если: 1) поменять местами векторы е^ и е^; 2) вектор е^ умнож:ить на число Л ф 0; 3) вектор е^ заменить на е^ + е^; 4) перейти к базису en, ei, ..., en_i; 5) перейти к базису en, en_i, ..., ei? 23.71. 1) Пусть А л В — матрицы линейного отображ:ения в двух парах базисов. Доказать, что В можно получить из А элементарными преобразованиями строк и столбцов. 2) Пусть А ж В — матрицы линейного преобразования в двух базисах. Доказать, что В можно получить из А согла- согласованными друг с другом элементарными преобразованиями строк и столбцов. 23.72. Пусть ср : С —>> С — линейное отображение. Дока- Доказать, что: 1) если базисный вектор линейного пространства С при- принадлежит ядру (/?, то соответствующий столбец матрицы отоб- отображения нулевой; 2) если ei, ..., еп — базис пространства ?, причем век-
208 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования торы er+i, ..., еп (г^п) образуют базис ядра <р, то векторы <^(ei), ..., (f(er) образуют базис в (р(С). 23.73. Доказать, что для всякого линейного отображе- отображения <р существует пара базисов, в которых матрица отображе- \\Е О\\ и ния имеет простейший вид \\ ^ ^ . Чему равен порядок мат- матрицы Е1 23.74. В стандартных базисах арифметических прос- пространств lZn и 1Zm линейное отображение <р имеет матрицу А. Найти пару базисов, в которой матрица отображения ср имеет простейший вид (см. задачу 23.73): 1) А = А12; 2) А = А32] 3) А = А25г; 4) А = А28$; 5) А = Л57б; 6) А = А420. 23.75. Пусть А — матрица линейного преобразования в некотором базисе. Доказать, что матрица, полученная из А центральной симметрией, является матрицей того же преоб- преобразования в другом базисе. 23.76. Доказать, что подобны матрицы: 1) Л77 и обратная к ней; 2) A2$q и ^-260- 23.77. Найти все матрицы, каждая из которых подобна только самой себе. Операции с линейными отображениями и преобразованиями B3.78—23.104) 23.78. Даны линейные отображения <р : 1Zn —>- Ит, ф : Til -^Tlk. 1) Указать условия на m, n, fc, /, необходимые и достаточ- достаточные для существования произведений (pip и фср. 2) Пусть х = РФ- Показать, что х ~ линейное отображение. Как связаны матрицы отображений (/?, ф, %? 23.79. Пусть (/?, ф, х — линейные отображения арифмети- арифметических линейных пространств, а — число. При каких условиях на размерности пространств справедливо каждое из следую- следующих равенств: 2) 3) 4) a [ip + ф) = аср + аф? Показать, что матрицы данных отображений удовлетворяют тем же равенствам.
§ 23. Основные свойства линейных отображений 209 23.80. Доказать, что всякое линейное отображение пред- ставимо в виде произведения сюръективного и инъективного линейных отображений. 23.81. Пусть С = ? ® С", где С1\ С" — ненулевые подпро- подпространства линейного пространства С. Показать, что тожде- тождественное преобразование представляется в виде суммы ? = 7Г1+тг2, где TTi GГ2) — проектирование пространства С на подпространство С {С") параллельно подпространству С" [С). 23.82. Координатные столбцы векторов ai, a2, аз; Ьъ ^2, &з? съ с2-> сз образуют соответственно матрицы ^289? ^229? ^-285- Линейное преобразование <р переводит векторы ai, a2, «з в &1? &2, &з? а линейное преобразование ^ переводит bi, &2, &з в С1? С2? сз соответственно. Найти матрицу преобразования f/>(/?: 1) в исходном базисе; 2) в базисе ai, a2, аз5 3) в базисе bi, 62, ^з- 23.83. Пусть ср, ф — линейные преобразования двумерного арифметического пространства, ср имеет матрицу А44 в стан- стандартном базисе, а ф — матрицу А\^ в базисе из столбцов мат- матрицы ^45- Вычислить матрицу преобразования: 1) ср2 - 6(р + 9t] 2) ф2 + 4ф + 4l] 3) ер2 — ф2 в стандартном базисе; 4) 4(рф~1 в базисе из столбцов матрицы Л45; 5) Up + фL в базисе, образованном столбцами A,2) (О, -if. 23.84. Пусть V^ — пространство многочленов степени не выше п (п ^ 1) с вещественными коэффициентами. Отображе- Отображения <р : j>(n-i) _^ р(п)? ф . p(n) _^ p(n-i) определим формулами т ф(а0- Проверить линейность отображений и показать, что фср — тож- тождественное преобразование, а срф — нет. 23.85. Пусть С — линейное пространство функций с бази- базисом е, D — дифференцирование. Найти матрицу преобразова- преобразования Dk (к = 1, 2, ...), если: 1) С — пространство многочленов степени не выше п,
210 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 2) С — пространство тригонометрических многочленов по- порядка не выше п (см. задачу 23.43), е = A, cost, sint, ..., cosnt, sinnt). 23.86. В пространстве всех многочленов от t рассматрива- рассматриваются линейные преобразования: т — умножение на t и диффе- дифференцирование D = —. Найти преобразование: at 1) tD] 2) Dt] 3) коммутатор [D, т] = Dr — tD. 4) Доказать равенство Dmr — rDm = mDm~1 (m = = 1,2,...; D° = l). 23.87. Доказать, что коммутатор [<p, ф] = (рф — фср двух линейных преобразований конечномерного линейного прос- пространства не может быть тождественным преобразованием (ср. задачу 15.130). 23.88. Доказать, что матрицы подобных линейных преоб- преобразований подобны. 23.89. Доказать, что отношение подобия между линейны- линейными преобразованиями является отношением эквивалентности (т.е. (р rsj у?; из <р rsj ф следует ф ^ (/?; из <р ^ ф и ф ~ \ следует <^~х)- 23.90. Пусть (р, ф — линейные преобразования линейного пространства С. Доказать, что: 1) если ф подобно (/?, то для любого базиса е пространства С существует такой базис е7, что матрица преобразования ф в базисе е7 совпадает с матрицей ср в базисе е; 2) если для преобразований ср и ф в С существуют такие ба- базисы еие', что матрица преобразования ср в базисе е совпадает с матрицей преобразования ф в базисе е7, то ср и ф подобны. 23.91. Пусть линейные преобразования ср и ф подобны. По- Показать, что подобны также преобразования: 1) р(ср) = aoL + ai(p +... + ап(рп и р(ф), где p(t) = ao + + a\t + ... + antn — произвольный многочлен; 2) ср~1 и V;~1? если (риф обратимы. 23.92. Пусть сриф — линейные преобразования некоторо- некоторого линейного пространства, хотя бы одно из которых невыро- невырождено. 1) Доказать, что преобразования (рф и ф(р подобны. 2) Сформулировать и доказать матричный вариант этого утверждения.
§ 23. Основные свойства линейных отображений 211 23.93. Доказать, что линейное отображение ранга г пред- ставимо в виде суммы г линейных отображений ранга 1, но не представимо в виде суммы меньшего числа таких отображений (ср. задачу 16.33). 23.94. Пусть (/?, ф — линейные отображения пространства С в С. Доказать, что rg (ср + ф) ^ rgcp + тgф (ср. задачу 16.34, 6)). 23.95. Пусть ср : С —>> .М, ф : Л4 —>> Л/" — линейные отобра- отображения, dim.M = m. Доказать: 1) тg(p + тgф— m ^тg(ф(p) ^min(rg(y9, тgф) (неравенства Сильвестра); 2) (ИтКет(фср) ^ dimKer^ + dimKer^; 3) если фср = 9, то vg(p + тgф ^гп (напомним, что через в обозначено нулевое отображение). 23.96. Пусть (р : С —)> С — линейное преобразование. Дока- Доказать, что для любого fc, удовлетворяющего условию vgcp ^ k ^ ^ п = dim>C, существует линейное преобразование ^ такое, что фср = 6 и rg(p + rgф = к. 23.97. Доказать, что для любых двух перестановочных ли- линейных преобразований ср и ф имеет место включение Кег ср + + Кег^ С Кег(срф). 23.98. Пусть ср — линейное преобразование n-мерного ли- линейного пространства и ср2 = ь. Доказать, что: 1) rg(cp + l)+ rg(cp -i)=n; 2) dimKer((y9 + l) + dimKer((/; — l) = n. 23.99. Пусть (р, ф, x — такие линейные отображения, что произведение срфх существует. Доказать, что 23.100. Пусть V, Q — вещественные линейные простран- пространства и L(V, Q) — множество всех линейных отображений (р: V^Q. 1) Доказать, что L(V, Q) — линейное пространство отно- относительно операций сложения линейных отображений и умно- умножения отображения на число. 2) Пусть dirnV = n, dim Q = m. Построить базис простран- пространства L(V, Q) и найти его размерность. 3) Показать, что в условиях п. 2) пространство L(V, Q) изоморфно пространству 1ZmXn вещественных матриц разме- размеров гпхп.
212 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 23.101. Выяснить, образует ли данное множество линей- линейных отображений линейное подпространство в L(V, Q) (см. за- задачу 23.100): 1) множество всех отображений ранга к ^ 1; 2) множество всех отображений ранга, не превосходящего к^ 1; 3) множество всех отображений, ядра которых содержат некоторое фиксированное подпространство из V; 4) множество всех инъективных отображений; 5) множество всех сюръективных отображений; 6) множество всех отображений, множества значений ко- которых содержатся в фиксированном подпространстве из Q. 23.102. Пусть в линейном пространстве С задан базис е. Доказать, что данное множество линейных преобразований пространства С является группой относительно операции умножения преобразований: 1) множество всех невырожденных преобразований; 2) множество всех преобразований с определителем, рав- равным 1; 3) множество всех невырожденных преобразований, мат- матрицы которых в базисе е верхние треугольные; 4) множество всех невырожденных преобразований, задан- заданных в базисе е диагональными матрицами; 5) множество всех гомотетий А/,, где число Л отлично от 0; 6) множество всех преобразований, имеющих в базисе е матрицы перестановок. 23.103. В линейном пространстве С дан базис е. Является ли группой относительно умножения данное множество линей- линейных преобразований пространства С: 1) множество всех линейных преобразований; 2) множество всех преобразований, матрицы которых диа- гональны в базисе е; 3) множество всех невырожденных преобразований, кото- которые в базисе е задаются целочисленными матрицами, т. е. мат- матрицами ||ttr/||, гДе aij — целые числа; 4) множество всех преобразований, матрицы которых в ба- базисе е целочисленны и имеют определители, равные 1 или —1; 5) множество всех преобразований с данным определителем d\ 6) множество всех невырожденных преобразований, име- имеющих в базисе е матрицы, каждая строка и каждый столбец которых содержат ровно по одному ненулевому элементу?
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 213 23.104. В технике используется уголковый отражатель. Он представляет собой трехгранный угол, грани которого — взаимно перпендикулярные зеркала. Доказать, что луч света, выпущенный из точки внутри этого трехгранного угла, отра- отразившись от всех его граней, сменит свое направление на про- противоположное . § 24. Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейных преобразований В этом параграфе используются понятия: инвариантное подпро- подпространство, ограничение линейного преобразования на инвариант- инвариантном подпространстве, собственное значение, собственный вектор и собственное подпространство линейного преобразования, харак- характеристический многочлен и характеристическое число матрицы линейного преобразования, диагонализируемое линейное преобразо- преобразование, аннулирующий многочлен, минимальный аннулирующий многочлен матрицы (линейного преобразования), корневой вектор, корневое подпространство, нилъпотентное преобразование, цикли- циклическое подпространство, жорданова цепочка, жорданов базис, жор- данова клетка, жорданова матрица. Подпространство ЛЛ линейного пространства С называется инвариантным относительно линейного преобразования (р (или инвариантным подпространством преобразования (р), если для любого х Е ЛЛ выполнено (р(х) Е ЛЛ. Ограничением (сужением) преобразования (р на инвариантном подпространстве ЛЛ называет- называется преобразование (рм пространства ЛЛ, определенное равенством <Рм (х) = ц> (х) для х Е ЛЛ. Если подпространство Кет((р — Xt) ненулевое, оно называется собственным подпространством преобразования (р, отвечающим собственному значению А. Ненулевые векторы собственного подпро- подпространства называются собственными векторами. Иначе, ненулевой вектор х называется собственным вектором преобразования (р, при- принадлежащим собственному значению Л, если существует такое чис- число Л, что (р (х) = Хх. Укажем метод отыскания собственных значений и собствен- собственных векторов линейного преобразования, заданного матрицей. Пусть (р : С —>> С — линейное преобразование и в С выбран базис, в котором А — матрица преобразования (р, а ?, — координатный столбец соб- собственного вектора, отвечающего собственному значению Л. Тогда ?, является решением системы линейных уравнений (А-\Е)?, = о. A) Для существования ненулевого решения системы A) необходимо, чтобы det(A-XE) = O. B)
214 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования Уравнение B) называется характеристическим уравнением, а его корни — характеристическими числами матрицы А. В ком- комплексном линейном пространстве все характеристические числа матрицы линейного преобразования являются его собственными зна- значениями, а в вещественном пространстве — только вещественные характеристические числа. Выражение Ра{^) = det(A — tE) является многочленом от t сте- степени п = dim?, который называется характеристическим многочле- многочленом матрицы А: pA(t) = det(A - tE) = (-t)n + tr Ai-t)*1'1 + ... + det A. C) Характеристический многочлен матрицы А линейного преобразова- преобразования не изменяется при замене базиса, следовательно, не изменяются его коэффициенты, в частности след и определитель матрицы А, а также характеристические числа. Это дает основание называть ха- характеристическим многочленом, характеристическими числами, определителем и следом линейного преобразования соответствующие объекты для матрицы преобразования в некотором (любом) базисе. Собственные векторы линейного преобразования, заданного гео- геометрически или явной формулой, иногда можно находить непосред- непосредственно, не вычисляя его матрицы. Решение задачи на собственные значения и собственные век- векторы линейного преобразования (р включает: а) вычисление корней его характеристического многочлена; б) в случае вещественного про- пространства — отбор вещественных корней, так как только они являют- являются собственными значениями; в) отыскание максимальной линейно независимой системы собственных векторов преобразования (р, кото- которая состоит из базисов собственных подпространств С\ для каждого собственного значения Л. Матрица линейного преобразования (р в некотором базисе диа- гональна тогда и только тогда, когда все базисные векторы — соб- собственные для (р. При этом на диагонали матрицы находятся со- соответствующие собственные значения. Линейное преобразование пространства С называется диагонализируемым (или преобразовани- преобразованием простой структуры), если в С существует базис, в котором мат- матрица преобразования диагональна. Матрица, подобная диагональ- диагональной, называется диагонализируемой (матрицей простой структуры). Диагонализируемость зависит от поля, над которым определено про- пространство С. Вещественная матрица, имеющая комплексные харак- характеристические числа, не диагонализируема как матрица линейного преобразования в вещественном пространстве, но может быть диа- диагонализируемой над полем комплексных чисел. Привести линейное преобразование (или его матрицу) к диаго- диагональному виду — значит найти базис из собственных векторов пре- преобразования и записать матрицу преобразования в этом базисе. Пусть if — линейное преобразование вещественного линейного пространства, Л, Л — пара его комплексно сопряженных характери-
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 215 стических чисел. Они являются корнями квадратного трехчлена t + + pt + q, где р = — (А + А) и q = АА. Подпространство Кет((р2 -\-pcp -\- + д/,) — ненулевое и инвариантное относительно <?>. Оно называется квазисобственным подпространством, отвечающим характеристиче- характеристическому числу А. Многочлен f(t) называется аннулирующим многочленом матрицы А или линейного преобразования (р, если f(A) = О (соот- (соответственно f((p) = о). Согласно теореме Гамильтона—К эли характе- характеристический многочлен матрицы (преобразования) является анну- аннулирующим. Многочлен (со старшим коэффициентом, равным 1) минималь- минимальной степени среди аннулирующих многочленов называется мини- минимальным многочленом и обозначается ^(t) или /м(^)- Пусть характеристический многочлен линейного преобразова- преобразования раскладывается на множители Pv(t) = (-l)n(t-\1)kl...(t-Xa)k' (все Ai, ..., Xs попарно различны). Тогда подпространство г1) \1 — J-? ••• э Ь) называется корневым подпространством, а его ненулевые векторы — корневыми векторами. Для любого преобразования (р комплексного пространства С ? = /Ci0...0/Ce. D) Для вещественного С это верно, если все Ai, ..., As вещественны. Линейное преобразование ф называется нильпотентным, если фш = о для некоторого натурального т. Число т называется его по- показателем нильпотентности. Ограничение ф{ = {ip — A^)|/q преоб- преобразования {(р — \ii) на подпространстве /Q является нильпотентным, и его показатель нильпотентности не превосходит к{. Будем говорить, что корневой вектор х имеет высоту /г, если ф]} (ж) = о, но ^^ ~ ф о. Собственные векторы (р — корневые векто- векторы высоты 1. Вектор е1 называется присоединенным к собствен- собственному вектору е°, если ф{(е1) = е°. По индукции, 1-й присоединен- присоединенный вектор определяется равенством ф^е1) = el-1. Если вектор em+1 не существует, то собственный вектор е° и присоединенные к нему е1, ..., еш образуют эюорданову цепочку. Линейная оболочка векторов жордановой цепочки — инвариант- инвариантное подпространство. Матрица ограничения преобразования (р на нем имеет вид А^ 1 0 ... О О А^ 1 ... О О .... А^ 1 О .... О Ai
216 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования Матрицы такого вида называются жордановыми клетками. Жор- данову клетку порядка т обозначают Jm(X). В каждом корневом подпространстве существует базис, состоя- состоящий из жордановых цепочек. Если имеет место разложение D), то объединение таких базисов — базис в ?, называемый жордановым базисом. В жордановом базисе матрица преобразования <р имеет жорданову форму: является клеточно-диагональной матрицей с жордановыми клетками на диагонали. (Собственные значения кле- клеток не обязательно различны.) Общее число всех жордановых клеток равно сумме размерно- размерностей всех собственных подпространств. оо Пусть дан матричный ряд \.А i гДе А — матрицы одинако- одинаково (к) ^ вых размеров с элементами а\ • . Суммой этого ряда называют матри- матрицу, составленную из сумм числовых рядов 2_2aij • Экспонентой квад- к ратной матрицы А называется сумма матричного степенного ряда: eA-Y — к=о Собственные векторы и собственные значения B4.1-24.65) 24.1. Доказать, что множество всех собственных векторов линейного преобразования, отвечающих одному собственному значению, дополненное нулевым вектором, совпадает с соб- собственным подпространством. 24.2. Доказать, что: 1) ядро линейного преобразования совпадает с собствен- собственным подпространством, отвечающим нулевому собственному значению; 2) Собственное подпространство преобразования ср, отве- отвечающее собственному значению Л, есть множество векторов, удовлетворяющих условию <р(х) = Хх. 24.3. Пусть А — матрица, а Л — собственное значение линейного преобразования n-мерного линейного пространства. Чему равна размерность собственного подпространства, отве- отвечающего собственному значению Л, если ранг матрицы А — ХЕ равен г? 24.4. Какой вид имеет матрица линейного преобразова- преобразования, если первые к базисных векторов являются его собствен- собственными векторами?
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 217 24.5. Доказать, что размерность собственного подпрос- подпространства, отвечающего данному корню характеристического многочлена, не превосходит кратности этого корня. 24.6. Пусть ж, у — собственные векторы линейного преоб- преобразования, отвечающие различным собственным значениям, а числа а, /3 отличны от нуля. Доказать, что вектор ах + Cу не является собственным. 24.7. Доказать, что ненулевое линейное преобразование, для которого все ненулевые векторы собственные, является го- гомотетией. 24.8. Доказать, что система собственных векторов, отвеча- отвечающих попарно различным собственным значениям линейного преобразования, линейно независима. 24.9. Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе тогда и только тогда диагональна, когда все векторы базиса собственные. 24.10. Доказать, что линейное преобразование п-мерного линейного пространства, имеющее п различных собственных значений, диагонализируемо. 24.11. Пусть (р — линейное преобразование конечномерно- конечномерного линейного пространства С. Доказать, что следующие выска- высказывания равносильны: 1) (р диагонализируемо; 2) в С существует базис из собственных векторов преобра- преобразования ер; 3) объединение базисов собственных подпространств явля- является базисом в ?; 4) кратность каждого корня Л характеристического урав- уравнения равна размерности собственного подпространства С\] 5) С является прямой суммой собственных подпространств. 24.12. Доказать, что: 1) в комплексном линейном пространстве каждое характе- характеристическое число матрицы линейного преобразования явля- является собственным значением, так что произвольное линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор; 2) в вещественном пространстве каждое вещественное ха- характеристическое число является собственным значением. 24.13. Доказать, что линейное преобразование нечетно- мерного (например, трехмерного) вещественного линейного пространства имеет хотя бы один собственный вектор.
218 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 24.14. 1) Доказать, что характеристический многочлен, определитель и след матрицы линейного преобразования не за- зависят от выбора базиса. 2) Найти выражение коэффициентов характеристического многочлена, в частности следа и определителя матрицы поряд- порядка п, через характеристические числа. 24.15. Найти собственные векторы и собственные значе- значения каждого из следующих преобразований: 1) нулевого; 2) тождественного; 3) гомотетии. 24.16. Найти собственные значения и собственные векто- векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе n-мерного линейного пространства матрицей А§\2 = Jn(X). 24.17. Пусть матрица линейного преобразования в неко- некотором базисе — верхняя или нижняя треугольная с диагональ- диагональными элементами Ах, ..., Лп. Найти все собственные значения этого преобразования. 24.18. Пусть С = С © Сп', где С1', С" — ненулевые подпро- подпространства. Найти собственные значения и собственные подпро- подпространства линейного преобразования (/?; доказать, что <р имеет базис из собственных векторов, и указать диагональный вид его матрицы, если ср есть: 1) проектирование на подпространство С параллельно С"; 2) отражение в подпространстве С1 параллельно С". 24.19. Найти собственные значения и собственные подпро- подпространства, привести к диагональному виду матрицы линейных преобразований, определенных в задаче 23.65. 24.20. Найти собственные значения, собственные подпро- подпространства, привести к диагональному виду матрицу линейного преобразования, определенного в задаче: 1) 23.9, 1); 2) 23.9, 2); 3) 23.9, 3); 4) 23.9, 4); 5) 23.10, 1); 6) 23.10, 2); 7) 23.10, 3); 8) 23.10, 4); 9) 23.12, 1); 10) 23.12, 2); 11) 23.12, 3); 12) 23.13, 1); 13) 23.13, 2). 24.21. Найти собственные значения и собственные векто- векторы линейного преобразования, определенного в задаче: 1) 23.14, 1); 2) 23.14, 2); 3) 23.14, 3); 4) 23.66, 1); 5) 23.66, 2); 6) 23.66, 3); 7) 23.66, 4); 8) 23.66, 5). Можно ли из собственных векторов преобразования составить базис? 24.22. 1) Найти собственные значения и собственные век- векторы линейного преобразования (/?, заданного матрицей
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 219 А = (аь ..., ап)Т (Ьь ..., Ъп) ф О. 2) Найти необходимое и достаточное условие диагонализи- руемости преобразования ср. 3) Выяснить, диагонализируемы ли преобразования, за- заданные матрицами: а) А213; б) ^222- 24.23. Пусть fc, га, n — натуральные числа, 1 ^ k ^ га ^ п. Привести пример линейного преобразования n-мерного линей- линейного пространства, для которого данное число Л является кор- корнем характеристического многочлена кратности га, а отвеча- отвечающее ему собственное подпространство имеет размерность к. 24.24. Пусть линейное преобразование ср трехмерного ком- комплексного линейного пространства в некотором базисе имеет вещественную матрицу и по крайней мере одно характеристи- характеристическое число этой матрицы не является вещественным. Дока- Доказать, что if диагонализируемо. 24.25. Пусть х — собственный вектор линейного преобра- преобразования (р, отвечающий собственному значению Л, a,p(t) — мно- многочлен. Доказать, что вектор х является собственным для пре- преобразования р(ср) и принадлежит собственному значению р(Л). 24.26. Пусть Ai, ,..., Лп — характеристические числа ли- линейного преобразования <р в n-мерном линейном пространстве. Чему равны характеристические числа (с учетом кратностей) преобразования: 1) (р) ср2; 2) (р) ipm (га — натуральное число); 3) (р~1 (при условии, что ср обратимо); 4) р(<р), где p(t) — произвольный многочлен (при условии, что Ai, ..., Ап различны)? 24.27. Пусть характеристические многочлены квадратных матриц А и В имеют простые корни Ai, ..., Am и /ii, ..., \in соответственно. Найти характеристические числа кронекеров- ского произведения А®В матриц Д В. (См. введение к § 15.) 24.28. Пусть линейное преобразование ср линейного про- пространства С диагонализируемо. Доказать утверждения: 1) Imcp есть линейная оболочка множества всех собствен- собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям; 2) С = 1ш(р®Кет(р. 24.29. Привести пример линейного преобразования ср про- пространства 7?п, для которого 1Zn ф!т<р + Кег ср. 24.30. Линейное преобразование вещественного п-мерного линейного пространства задано своей матрицей. Вычислить
220 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования собственные значения и найти максимальную линейно неза- независимую систему собственных векторов преобразования. Ес- Если найденная система векторов образует базис, записать в нем матрицу преобразования и выяснить геометрический смысл преобразования: 1)- 6)- 11) 16) 21) 26) п = 31) 36) 2: 4465 4is5 О. О. ^26i; ^293; ^2965 -42305 4: Л477; Аид] 2) Аи- 7) А12; 12) 17) 22) 27) 32) 37 -4243 -4294 -4297 -4237 -4479 -4483 з) 8) 1 1 1 1 -4зб5 Л; 13) 18) 23) 28) 33) 38 4) А47; 9) -4- -42905 -42955 -42985 -42995 -44805 -44845 305 14) 19) 24) 29) 34) 39) 5) A4S; 10) Л49; -42915 -42215 -42735 -42875 -44815 -44855 15) 20) 25) 30) 35) 40) -42925 -42675 -42355 -42835 -44825 -4469- 24.31. Линейное преобразование комплексного п-мерного линейного пространства задано своей матрицей. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования в этом базисе: п = 2: 1) А20; 2) Л5о; 3) Л82; 4) А79 (е = е27Г*/3); 5)Л94; 6)Л77; 7) А78 (е = е2™/3); 8) А87; п = 3: 9) Л239; Ю) Л2б2; 11) А2бз; 12) ^зоо; 13) А301; 14) Л2б0; 15) Лзез (о; = е27Г*/3); 16) Л376; 17) А377; п = 4: 18) Л432; 19) Л447; 20) Л48б; 21) Л472. 24.32. Найти собственные значения и максимальную ли- линейно независимую систему собственных векторов линейного преобразования, заданного своей матрицей. Объяснить, поче- почему преобразование не диагонализируемо: 1) A5i; 2) Л52; 3) Л286; 4) Л303; 5) Л289; 6) Л23б; 7) Л45т; 8) Л487; 9) Л548- 24.33. Найти характеристические числа линейного преоб- преобразования, заданного своей матрицей. Выяснить, диагонализи- диагонализируемо ли преобразование: а) в вещественном пространстве, б) в комплексном пространстве. Если да, то найти базис из соб- собственных векторов и записать в нем матрицу преобразования; в противном случае указать, какое из необходимых условий диа-
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 221 гонализуемости не выполнено: 1) Л45; 2) А77; 3) Л259; 4) АМ] 5) Л253; 6) А9$; 7) Л436; 8) Л43о; 9) Л478; Ю) А474. 24.34. Решить задачу на собственные значения и собствен- собственные векторы и указать диагональный вид матрицы линейного преобразования, заданного в стандартном базисе: вещественного n-мерного арифметического пространства: 1) Лб04; 2) Дш (n = 2m); 3) Лб25; 4) А627; 5) Лб4о; 6) ^бзэ; 7) ^634; 8) Лб2о; 9) Лбоб (Ai = ... = Хт = 1, Am+i = ... = Лп = 2; m = [(гс + Ю) ^606 (Ai = ... = Хщ = 1, Am+i = ... = Ап = 0; т=[(п комплексного n-мерного арифметического пространства: 11) ^605 (Ai = ... = Хт = 1, Am+i = ... = Лп = —1; 12) Л614; 13) 24.35. Найти характеристические числа матрицы: 1) Аш; 2) A49i; 3) А492; 4) Л549; 5) А55о; 6) Лб38; 7) Лб43; 8) Лб42; 9) Лб45 (п—нечетно). 24.36. Вычислить: п , п , II Zi II LUo , lj J 7 LUo „ i k = l U fe = l 3) ^efc2, где е = е27Г*/п, n = 2m+ 1; 4) Д (^-^')?гдее = е27Г*/п, п = 2т+1. 24.37. 1) Одна из матриц ^287? ^289 подобна матрице D = = diag(l, 1, —1). Какая именно? Ответ обосновать, не находя собственных векторов и характеристических чисел. 2) Матрица D = diag(l, 1, 0) подобна одной из матриц А2зо9 ^264- Выяснить, какой именно, не находя собственных значений и собственных векторов. 3) Из двух матриц ^4зо4? ^305 одна подобна матрице D\ = = diag(l, —I, 0), а другая — матрице D2 = diag(l, 1,0). Выяс- Выяснить, какая именно, без вычисления собственных значений и собственных векторов. 24.38. 1) Матрица ^283 подобна одной из матриц: —Е, Js(—1), diag(—I, J2(—1)). Какой именно?
222 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 2) Одна из матриц Л4579 ^458? ^485 подобна матрице J4@). Какая именно? Задачи 24.39-24.41 решить как задачи на собственные векторы и собственные значения 24.39. Треугольники ABC и А1 В1 С1 подобны (с коэффици- коэффициентом подобия Л). Если длины сторон треугольника ABC рав- равны а, Ь, с, то соответствующие стороны треугольника А1 В1 С1 имеют длины За + Ъ + с, а + ЗЪ + с, а + Ь + Зс. Доказать, что треугольники правильные, и найти Л. 24.40. Сумма различных натуральных чисел ni, П2, П3, П4 равна 18. После того как их увеличили в одинаковое чис- число Л раз, ПОЛУЧИЛИСЬ ЧИСЛа П\ + П2 + Щ + Щ, П\ + П2 — П% — П4, ni — П2 + пз — щ, п\ — %п2 — пз + 3^4• Найти ni, П2, ггз, щ, А. 24.41. Последовательность {жп} задана рекуррентной 2 1 формулой: жп+1 = -хп + т^Хп-1 (п = 1, 2, ...); ж0 = a, xi = Ь. Доказать, что последовательность сходится, и найти ее предел. 24.42. Найти собственные значения и собственные векто- векторы (собственные функции) дифференцирования D как линей- линейного преобразования каждого из следующих линейных пространств вещественных функций (п — фиксированное на- натуральное число): 1) пространство всех многочленов степени не выше щ 2) пространство всех тригонометрических многочленов ви- вида f (t) = uq + aicost + bismt + ... + ancosnt + bnsmnt; 3) линейная оболочка системы функций eAlt, ..., eAnt, где Ai, ..., An — попарно различные числа. 4) пространство всех функций вида eXotp (?), где р (t) — лю- любой многочлен степени не выше п, Ао — фиксированное число 24.43. Найти собственные значения и собственные векто- векторы преобразования D2 в пространствах функций задачи 24.42. 24.44. Проверить, что функции вида у = е^(?), где p(t) — многочлен не выше второй степени, образуют линейное про- пространство С. Убедиться в том, что ср — линейное преобразо- преобразование пространства ?, и решить для ср задачу на собственные значения и собственные векторы: 1) <р(у)=у"-2у' + у, т. е. (p = D2-2D + L; 2) ip = D3-2D2; 3) ip = D*-3D2 + 3D + L.
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 223 24.45. Проверить, что функции вида у = e~l (acost + bsint) образуют линейное пространство Л4 и что преобразование ср = = p(D), где p(t) — данный многочлен, D — дифференциро- дифференцирование, является линейным преобразованием пространства ЛЛ. Решить для ср задачу на собственные значения и собственные векторы, если: 1) р(t) = (t + IJ; 2) р(t) = t2 - 1. 24.46. В линейной оболочке функций cos2t, sin2?, tcos2t, tsin2t задано линейное преобразование <p=p(D), где p(t) — многочлен, D — дифференцирование. Решить для ср задачу на собственные значения и собственные векторы, если: 1) р (?) = t2 + 4; 2) р (t) = tA + 8t2. 24.47. Найти собственные значения и собственные векто- векторы линейного преобразования ср пространства вещественных многочленов р (t) не выше второй степени, если: 1) ср (р) = tpf; 2) ср (р) = (tp)f; 3) ср (р) = t2p" - tp1 + 2р. 24.48. Найти собственные значения и собственные векто- векторы преобразования дифференцирования в пространстве функ- функций, бесконечно дифференцируемых на всей числовой прямой. 24.49. Пусть С — множество функций у(?), бесконечно дифференцируемых на отрезке [0, тг] и таких, что у@) = 1) Проверить, что С — линейное пространство. 2) Найти собственные векторы и собственные значения ли- линейного преобразования ср пространства ?, заданного форму- формулой if {у) =у". 24.50. Пусть А, В — квадратные матрицы, и матрица А С О В гонализируемы. Показать на примере, что обратное утвержде- утверждение неверно. 24.51. Зафиксируем вещественный многочлен po(t) степе- степени ш (ra^l). Любой многочлен p(t) можно разделить на Po(t) с остатком, т. е. однозначно представить в виде p(t) = q(t)po(t)+r(t) D) (степень остатка r(t) меньше степени po(t)). Преобразование ср пространства V всех вещественных многочленов определим формулой <p(p(t)) = r (t). П диагонализируема. Доказать, что матрицы Л, В диа-
224 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 1) Показать, что преобразование <р линейно и ср2 = ср. 2) Найти собственные значения и собственные векторы преобразования (р. 3) Доказать, что формула D) дает разложение простран- пространства V в прямую сумму собственных подпространств. 24.52. Пусть ср — операция взятия остатка от деления на многочлен po(t) (см. задачу 24.51) в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования ср в этом базисе, если: l)Po{t) = t; 2)po(*) = *2 + l; 3)ро(*) = (*-1K- 24.53. В пространстве TZnxn квадратных матриц поряд- порядка п рассматривается операция транспонирования т \ А—± Ат. Проверить, что г — линейное преобразование и г2 = ь. Най- Найти собственные значения и собственные векторы преобразова- преобразования т. Разложить пространство TZnxn в прямую сумму соб- собственных подпространств преобразования т. 24.54. Множество комплексных матриц порядка п рас- рассматривается как вещественное линейное пространство ЛЛ раз- размерности 2п2. 1) Проверить, что операция rj: А —>> Ан = А эрмитова со- сопряжения матрицы является вещественным линейным преоб- преобразованием пространства .М, причем rf1 = ь. 2) Найти собственные значения и собственные векторы преобразования т\. 3) Показать, что преобразование rj не является линейным преобразованием комплексного пространства Спхп- 24.55. Пусть А — матрица второго порядка. Формула (р (X) = АХ определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка (задача 23.47). Найти собственные значения и максимальную линейно независимую систему соб- собственных векторов преобразования ср. В случае, когда эта си- система является базисом, записать в нем матрицу преобразова- преобразования (р: 1) А = А46; 2) А = АЪ2\ 3) А = Л50 (в пространстве комплексных матриц). 24.56. Решить задачу на собственные значения и собствен- собственные векторы для преобразования ср (X) = ХВ пространства матриц второго порядка, если: 1) В = Лзб; 2) В = A$i (пространство вещественное); 3) В = Л45 (пространство комплексное).
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 225 24.57. Преобразование пространства матриц второго по- порядка определено формулой <р (X) = АХ — ХА, где А — фик- фиксированная матрица. 1) Показать, что преобразование ср линейно, и найти его матрицу в стандартном базисе. 2) Решить для преобразования ср задачу на собственные значения и собственные векторы, если: а) А = АШ; б) А = А22 (пространство вещественное); в) А = А2о (пространство комплексное). 24.58. Пусть А — невырожденная матрица второго поряд- порядка. Показать, что формула <р(Х) = А~ХХА определяет линей- линейное преобразование пространства матриц второго порядка. Ре- Решить для преобразования ср задачу на собственные значения и собственные векторы, если: 1)А = А22; 2)А = А13. 24.59. Найти собственные векторы и собственные значе- значения преобразования сдвига в пространстве многочленов от двух переменных, определенного в задаче 23.50, если: 1) а=1, 6 = 0; 2) а=1, Ъ = -2. 24.60. Решить задачу о собственных значениях и собствен- собственных векторах для линейных преобразований пространства од- однородных многочленов степени п от двух переменных, опреде- определенных в задаче 23.51. 24.61. Пусть А — матрица второго порядка, (ж*, у*) = = (ж, у) А. Преобразование ср пространства многочленов р(ж, у) степени не выше п определим формулой ср(р(х, у)) = р(ж*, у*). Показать, что ср — линейное преобразование. Найти его соб- собственные векторы и собственные значения, если п = 2 и 1) А-\\° г\\- 2) А-\\° Ч- 3) A-W1 °11 1) ||0 0||' > \\1 0||' 6) ||0 -l||' 24.62. Пусть К(х, у)=до(у)+хд1(у)+х2д2(у), где 5о(у), 9i{y)t 92 (у) — непрерывные функции на отрезке [—1, 1]. По- Показать, что преобразование ср, определяемое формулой 1 <р(р(х))= I K(x, y)p(y)dy, E) -1 является линейным преобразованием пространства многочле- многочленов р{х) степени не выше 2. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования (/?, если:
226 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 1) /С (ж, у) = 3 2) К(х,у) = у 24.63. Показать, что формула о определяет линейное преобразование ср пространства тригоно- тригонометрических многочленов вида: 1) acosx + bsinx, если К (ж, у) = sin(x + y); 2) а + 6cos2x + csin2x, если /С(ж, у) = cos2{x — у). Найти собственные значения и собственные векторы преобразования ср. 24.64. Найти собственные значения и собственные векто- д2 д2 ры оператора Лапласа Л = —— + —— в пространстве много- дх2 ду2 членов р(ж, у) с вещественными коэффициентами. 24.65. Пусть (/?, ф — подобные преобразования линейного пространства С (см. формулу E) введения к § 23). Доказать, что: 1) характеристические многочлены преобразований <р и ф совпадают; 2) если х — собственный вектор преобразования ср, то ио~1{х) — собственный вектор преобразования ф, отвечающий тому же собственному значению; 3) если в С существует базис, в котором матрица преоб- преобразования ср диагональна (треугольна), то аналогичный базис существует и для ф. 4) Показать на примере, что совпадение характеристиче- характеристических многочленов двух линейных преобразований не влечет подобия этих преобразований. Инвариантные подпространства. Перестановочные преобразования B4.66—24.112) 24.66. Доказать, что 1) ядро и 2) множество значений линейного преобразования являются инвариантными подпро- подпространствами. 24.67. Доказать, что собственное подпространство линей- линейного преобразования инвариантно. 24.68. Пусть ср — линейное преобразование линейного про- пространства ?, Л4 — подпространство в ?, инвариантное относи-
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 227 тельно (р, и p(t) — многочлен. Доказать, что данное подпро- подпространство в С инвариантно относительно ср: 1) (р(Л4)] 2) ср~г (Л4) (если (р обратимо); 3) <рт(М) (m^l); 4) Kerpfa); 5) р(<р)(М). 24.69. Доказать, что 1) сумма двух (и вообще любого ко- конечного множества) и 2) пересечение двух (и вообще любого множества) инвариантных подпространств линейного преобра- преобразования — инвариантные подпространства. 24.70. Пусть (р — линейное преобразование линейного про- пространства. Доказать, что любое подпространство, содержащее Im(/?, инвариантно. 24.71. Доказать, что если линейное преобразование ср невырождено, то ср и ip~l имеют одни и те же инвариантные подпространства. 24.72. Какой вид имеет матрица линейного преобразова- преобразования n-мерного линейного пространства, если базис инвариант- инвариантного подпространства образован: 1) первыми к базисными векторами; 2) последними п — к базисными векторами? 24.73. 1) Пусть линейное пространство является прямой суммой двух инвариантных подпространств линейного преоб- преобразования. Доказать, что тогда в некотором базисе матрица г \\А О\\ л D преобразования имеет вид \\ ^ „ L где Л, В — квадратные мат- матрицы. 2) Сформулировать и доказать обратное утверждение. 24.74. Доказать, что: 1) характеристический многочлен линейного преобразова- преобразования делится на характеристический многочлен его ограниче- ограничения на инвариантном подпространстве; 2) если все корни характеристического многочлена линей- линейного преобразования ср линейного пространства С принадлежат полю, над которым определено ?, то всякое подпространство в ?, инвариантное относительно ср, содержит собственный век- вектор этого преобразования; 3) если линейное пространство является прямой суммой инвариантных подпространств линейного преобразования (/?, то характеристический многочлен ср равен произведению харак- характеристических многочленов ограничений ср на этих инвариант- инвариантных подпространствах.
228 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 24.75. Найти все подпространства, инвариантные относи- относительно гомотетии линейного пространства. 24.76. Найти подпространства, инвариантные относитель- относительно поворота плоскости вокруг начала координат на угол а. 24.77. Найти подпространства трехмерного геометричес- геометрического векторного пространства, инвариантные относительно по- поворота на угол а вокруг прямой х = ta. (а ф 0). 24.78. Пусть линейное преобразование n-мерного линейно- линейного пространства имеет п попарно различных собственных зна- значений. Найти все инвариантные подпространства и подсчитать их количество. 24.79. Пусть if — диагонализируемое линейное преобразо- преобразование n-мерного линейного пространства С. Найти все подпро- подпространства в ?, инвариантные относительно преобразования ср. 24.80. Пусть в базисе ei, ..., еп линейного пространства С линейное преобразование <р имеет матрицу: 1) J2(A) (n = 2); 2) J3(A) (n = 3); 3) Jn(A). Найти все подпространства в ?, инвариантные относительно ср. 24.81. Пусть С = С\®Li- Найти инвариантные подпро- подпространства данного линейного преобразования пространства С: 1) проектирования на С\ параллельно ?2; 2) отражения в С\ параллельно ?2. 24.82. 1) Показать, что преобразование ср проектирования линейного пространства обладает свойством: ср2 = ср. 2) Доказать, что ненулевое линейное преобразование <р ф и, для которого ср2 = (/?, есть проектирование на 1т ср параллельно Кетср. 24.83. 1) Показать, что преобразование <р отражения ли- линейного пространства в подпространстве обладает свойством (р2 = L. 2) Доказать, что линейное преобразование ср, отличное от ±?, для которого ср2 = ?, есть отражение пространства в под- подпространстве неподвижных векторов параллельно некоторому дополнительному подпространству. 24.84. Пусть (р — линейное преобразование простран- пространства С. Доказать, что при любом а каждое подпространство, содержащее 1т((р + си), инвариантно относительно ср.
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 229 24.85. Доказать утверждения: 1) Если линейное преобразование n-мерного линейного пространства имеет собственный вектор, то для него существу- существует и (п— 1)-мерное инвариантное подпространство. 2) Пусть А — матрица линейного преобразования ср в неко- некотором базисе е, Л — собственное значение и строка а определена уравнением а. (А — ХЕ) = о. Тогда уравнение а? = 0 в базисе е определяет (п— 1)-мерное подпространство, инвариантное от- относительно преобразования ср. Справедливо ли обратное утвер- утверждение? 3) Всякое fc-мерное инвариантное подпространство линей- линейного преобразования комплексного пространства содержит (к — 1)-мерное инвариантное подпространство. 24.86. Линейное преобразование ср арифметического про- пространства 1Zn в стандартном базисе ei, ..., еп задано матри- матрицей А. Найти подпространства, инвариантные относительно (/?, если: 1) А = Л36; 2) А = АЬ1; 3) А = А306; 4) А = А287] 5) А = Лб04; 6) А = А621 (п = 2т); 7) А = 24.87. Найти (п— 1)-мерные подпространства в 7?п, инва- инвариантные относительно линейного преобразования, заданного своей матрицей Л, если: 1) А = A24i; 2) А = А222] 3) А = А238; 4) А = А262; 5) А = А487] 6) А = АШ] 7) А = А549; 8) А = А640. 24.88. 1) Пусть Л = a + iC (/3 ф 0) — характеристическое число вещественной матрицы А порядка п, 1 = х + гу — соб- собственный вектор линейного преобразования пространства Сп с матрицей А (х, у — вещественные векторы). Доказать, что х и у образуют базис двумерного инвариантного подпро- подпространства линейного преобразования пространства Ип, задан- заданного матрицей А. 2) Найти двумерные инвариантные подпространства С для линейного преобразования пространства 7^4? заданного в стан- стандартном базисе матрицей ^474- 24.89. Пусть (р — линейное преобразование вещественного линейного пространства, Л, Л — пара его комплексно сопряжен- сопряженных характеристических чисел, р=— (Л + Л) и q = \\. Дока- Доказать, что квазисобственное подпространство Кег((/?2 +р(р + qt) — ненулевое и инвариантно относительно ср.
230 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 24.90. Найти квазисобственные подпространства преобра- преобразования ср, заданного матрицей А: 10-1 2 1) А= -1 0 -2 ; 2) А = 3) А = 0 -1 -2 0 -1 -2 1 0 2 2 -2 1 0 -2 0 2 2 0 -2 2 -1 0 -1 -2 1 2 1 -2 1 0 -1 0 1 2-2 1 0 4) ^423; 5) Л474- 24.91. Доказать, что квазисобственное подпространство не содержит собственных векторов, и через каждый его вектор проходит двумерное инвариантное подпространство. 24.92. Доказать, что размерность квазисобственного под- подпространства — четное число. 24.93. Доказать, что квазисобственное подпространство можно разложить в прямую сумму двумерных инвариантных подпространств. 24.94. Доказать, что размерность квазисобственного про- пространства не превосходит удвоенной кратности соответствую- соответствующего характеристического числа. 24.95. Доказать, что в двумерном инвариантном подпро- подпространстве преобразования ср, не содержащем собственных век- векторов, можно выбрать базис так, что матрица ограничения ср а C будет иметь вид \\_ра 24.96. Доказать, что любое двумерное инвариантное под- подпространство, не содержащее собственных векторов, лежит в некотором квазисобственном подпространстве. 24.97. Доказать, что любые два квазисобственные подпро- подпространства имеют нулевое пересечение. 24.98. Доказать, что собственные и квазисобственные под- подпространства линейного преобразования расположены так, что сумма их — прямая сумма. 24.99. Для каждого из преобразований задачи 24.90 най- найти матрицу перехода к такому базису, в котором его матрица — клеточно диагональная, и найти матрицу преобразования в этом базисе. (В каждом случае найти хотя бы одно решение.) 24.100. 1) Пусть линейное преобразование ср n-мерного ли- линейного пространства С обладает цепочкой вложенных друг
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 231 в друга попарно различных инвариантных подпространств: С\ С С2 С ... С Сп = С. Доказать, что в С существует базис, в котором матрица преобразования ср верхняя треугольная. 2) Пусть в базисе ei, ..., еп матрица линейного преобразо- преобразования (р пространства С верхняя треугольная. Доказать, что подпространства Ck = ?{еъ ...,e&j (fc = 1, ..., п) инвариант- инвариантны относительно ср и Ck С ?/~+i (к = 1, ..., п — 1). 24.101. Линейное преобразование пространства Т^з задано матрицей А в стандартном базисе. Привести матрицу преобра- преобразования к треугольному виду, если: 1) А = А2А1- 2) А = А222] 3) Л = Л283; 4) А = А263. 24.102. 1) Пусть С\ С С2 С ... С Сг = С — цепочка подпро- подпространств линейного пространства ?, инвариантных относи- относительно линейного преобразования (/?, dimCi = щ (п\ <п2 < ... ...<пг = п). Допустим, что базис ei, ..., еп выбран так, что векторы ei, ..., ещ принадлелсат Ci (г = 1, ..., г). Показать, что матрица А^ — верхняя блочно треугольная с диагональ- диагональными блоками размеров к{ х к^ где кг = щ — Щ-\ (г = 2, ..., г), к\ =п\. 2) Пусть в некотором базисе матрица линейного преобра- преобразования — верхняя блочно треугольная. Доказать, что преобра- преобразование обладает цепочкой инвариантных подпространств. Вы- Выразить их размерности через порядки диагональных блоков. 24.103. Пусть С — линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций f (t) (t Е М), п — целое неотри- неотрицательное число, Л — фиксированное действительное число. Доказать, что данное множество функций образует подпро- подпространство в ?, инвариантное относительно дифференцирова- дифференцирования D: 1) множество всех многочленов; 2) множество всех многочленов степени не выше п; 3) множество всех тригонометрических многочленов по- порядка не выше щ 4) множество всех линейных комбинаций функций eAlt, ... p\nt. . . . , с , 5) множество всех функций f (t) = eXtp(t), где p(t) — про- произвольный многочлен; 6) множество всех функций / (t) = eAtT(t), где Т (t) — про- произвольный тригонометрический многочлен;
232 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 7) множество всех функций p(?)cos?, p(?)sin?, где p(t) — произвольный многочлен. 24.104. Пусть С — линейное пространство функций зада- задачи 24.103, <р = D2. Доказать, что данное множество функций является подпространством в ?, инвариантным относительно преобразования <р. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования на этом подпростран- подпространстве: 1) множество всех четных многочленов степени не вы- выше 2п; 2) множество всех нечетных многочленов степени не вы- выше 2п + 1; 3) множество всех четных тригонометрических многочле- многочленов а$ + aicos? + ... + ancosnt] 4) множество всех нечетных тригонометрических много- многочленов Ъ\ sint + ... + Ъп smnt. 24.105. Найти все подпространства линейного простран- пространства всех многочленов, инвариантные относительно дифферен- дифференцирования. 24.106. Показать, что линейное преобразование простран- пространства всех многочленов, состоящее в умножении многочленов на t, не имеет ни собственных векторов, ни инвариантных подпространств (кроме нулевого подпространства и всего про- пространства) . 24.107. Найти подпространства, инвариантные относи- относительно операции взятия остатка (см. задачу 24.51) в простран- пространстве всех многочленов. 24.108. Пусть (р — линейное преобразование пространства многочленов р(х, у), определенное в задаче 24.61. Доказать, что подпространства однородных многочленов степени п (п = = 0, 1, ...) инвариантны относительно преобразования ср. 24.109. Найти подпространства линейного пространства матриц порядка п, инвариантные относительно транспониро- транспонирования. 24.110. В пространстве 1ZnXn рассматривается преобразо- преобразование (р (X) = АХ, где А — фиксированная матрица. Доказать, что IZnxn является прямой суммой п подпространств, инвари- инвариантных относительно <р. 24.111. В пространстве lZnXn рассматривается преобразо- преобразование if (X) = АХ — ХА, где А — фиксированная матрица. До-
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 233 казать, что данное множество образует инвариантное относи- относительно ср подпространство: 1) множество всех матриц с нулевым следом; 2) множество всех верхних треугольных матриц (если мат- матрица А верхняя треугольная); 3) множество всех кососимметрических матриц (если мат- матрица А кососимметрическая); 4) множество всех диагональных матриц (если матрица А диагональная). 24.112. Линейное преобразование ср пространства 1Znxn вещественных матриц порядка п определено формулой <р (X) = = АТХ + ХА, где А — фиксированная матрица. 1) Доказать, что кососимметрические матрицы образуют подпространство в TZnxn^ инвариантное относительно преобра- преобразования ср; 2) выразить характеристические числа ограничения <р на этом подпространстве через характеристические числа матри- матрицы А. 24.113. Линейное преобразование пространства матриц порядка п определено формулой ip(X) = A~lXA, где А — невырожденная матрица. Доказать, что данное множество мат- матриц является подпространством, инвариантным относительно преобразования ср: 1) множество всех матриц с нулевым следом; 2) множество всех скалярных матриц; 3) множество всех верхних треугольных матриц (если мат- матрица А верхняя треугольная); 4) а) множество всех симметрических матриц; б) множе- множество всех кососимметрических матриц (если матрица А орто- ортогональная); 5) а) множество всех эрмитовых матриц; б) множество всех косоэрмитовых матриц (если А — унитарная матрица и если эти множества — подпространства 2п2-мерного вещественного пространства комплексных матриц порядка п). 24.114. Линейное преобразование ср комплексного прост- пространства матриц второго порядка задано формулой <р (X) = = А~1ХА^ где А = А77, се — вещественное число. Найти соб- собственные значения и собственные векторы ограничения преоб- преобразования ср на подпространстве: 1) симметрических матриц; 2) матриц с нулевым следом.
234 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования Жорданова форма матрицы B4.115—24.138) 24.115. Привести пример матрицы порядка п > 1, имею- имеющей характеристическое число Л кратности /с, 1 ^ к ^ п, и соб- собственное подпространство размерности т. Сколько жордано- вых клеток отвечает этому Л, и чему равна сумма порядков этих клеток? 24.116. Проверить прямым вычислением терему Гамиль- тона-Кэли для данной матрицы и определить ее минимальный многочлен: 1) Л37; 2) Л38; 3) А29; 4) 5) Л98; 6) Л233; 7) А222] 8 24.117. Может ли минимальный многочлен матрицы по- порядка п 1) быть многочленом первой степени; 2) иметь вид (t — А)п. Привести примеры. 24.118. 1) Показать, что собственный вектор является кор- корневым. Чему равна высота собственного вектора? 2) Доказать, что матрица линейного преобразования тогда и только тогда диагонализуема, когда высота каждого корне- корневого вектора равна 1. 24.119. Доказать, что корневые векторы, отвечающие по- попарно различным собственным значениям, линейно неза- независимы. 24.120. Пусть К\ и /С2 корневые подпространства, отве- отвечающие собственным значениям Ai ф А2. Доказать, что /С2 ин- инвариантно относительно ф± = <р — Ai^, и ограничение ф\ на /С2 невырождено. 24.121. Доказать, что размерность корневого подпрост- подпространства равна кратности соответствующего собственного зна- значения как корня характеристического многочлена. 24.122. Доказать линейную независимость векторов жор- дановой цепочки. 24.123. Доказать, что начальные векторы жордановых це- цепочек, составляющих базис корневого подпространства, обра- образуют базис соответствующего собственного подпространства. 24.124. Пусть размерность собственного подпространства, соответствующего характеристическому числу А, меньше крат- кратности А. Каждый ли собственный вектор имеет присоединен- присоединенный вектор?
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 235 24.125. Найти базисы корневых подпространств линейно- линейного преобразования, заданного матрицей А: 1) А27; 2) Ап; 3) А5; 4) А51; 5) А198; 6) Л222; 7) Лзоз; 8) Л289. 24.126. Проверить, что линейное преобразование, задан- заданное матрицей Л, нильпотентно и найти для него жорданов ба- базис и жорданову форму матрицы: 1) А5- 2) Л38 - 2?; 3) Л52 - 5?; 4) Л236; 5) 6)А283 + Е; 7) А458; 8) Л457; 9) А485. 24.127. Привести к жордановой форме матрицу: 1) АЪ1\ 2) Л30; 3) Л49; 4) Л52; 5) ^i98; 6) 7) Л247; 8) Л248; 9) Л2б4; 10) Л273; 11) А738; 12) (р) Л283; 13) Л289; 14) А484] 15) (р) Л4б5; 16) Л4б0; 17) Аш; 18) Л487. 24.128. Приводятся ли к жордановой форме следующие матрицы линейных преобразований вещественного простран- пространства? Найти их жорданову форму как матриц линейных пре- преобразований комплексного пространства: 1) Л45; 2) Лб2; 3) А44; 4) Л2б2; 5) Аш; 6) А447; 7) А474. 24.129. Привести к жордановой форме матрицу линейного преобразования комплексного арифметического пространства: 1) А82; 2) А78; 3) ^80; 4) ^98. 24.130. Вычислить значение следующих многочленов от матрицы Jn(X) : 1) (t — A)m; 2) tm; 3) произвольный многочлен f(t). 24.131. Найти ж:орданову форму матрицы: 1) J2(A); 2) J-(A) (m натуральное); 3) J~l{\) (A^O). 24.132. Что мож:но сказать о матрице Л порядка п, если ее минимальный многочлен удовлетворяет следующему условию: 1) имеет все корни кратности 1; 2) с точностью до знака совпадает с характеристическим многочленом. 24.133. Пусть (рт = l для некоторого натурального числа т. Доказать, что жорданова форма матрицы ср диагональна. Какие числа стоят на диагонали этой матрицы? 24.134. Найти жорданову форму линейного преобразова- преобразования комплексного арифметического пространства с матрицей: 2) Л599; 3) Лб09; 4) Ав15; 5)
236 Гл. 9. Линейные отображения и преобразования 6) ^4б2о; 7) Aqs2] 8) Aq3$; 9) ^4б4о; Ю) Ag4i- 24.135. He находя жордановых базисов, установить жор- дановы формы матриц, зная, что их характеристические мно- многочлены равны (t — IL: 24.136. Проверить, что матрицы А221 и —А273 имеют оди- одинаковые характеристические многочлены. Найти их минималь- минимальные многочлены и жордановы формы. 24.137. Определить жорданову форму матрицы А по за- заданному характеристическому многочлену p(t) = — (t + lK(t — - 2J, зная, что Rg(A - 2Е) = 3, a Rg(A + Е) = 4. 24.138. Найти экспоненту матрицы: 1) Jn@); 2) Л; 3) 10 -а а е. 24.139. Пусть линейные преобразования (/?, ф перестано- перестановочны. Доказать, что: 1) ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другого; 2) собственные подпространства преобразования ср инвари- инвариантны относительно ф. 24.140. Пусть Ао — собственное значение линейного пре- преобразования ср. 1) Доказать, что подпространства ?& = Кет(<р — Xot)k (k = = 1, 2, ...) инвариантны относительно ср. 2) Показать, что ?& С Ck+i- Может ли включение быть строгим? 24.141. Доказать, что: 1) любые два перестановочных линейных преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор; 2) то же утверждение верно для вещественного простран- пространства, если все характеристические числа преобразований веще- вещественны. 21.142. Пусть ср — вырожденное линейное преобразование конечномерного линейного пространства. Доказать, что суще- существует такое sq > 0, что для всех \е\ ^ ?сь преобразование ср + еь невырождено. 24.143. Доказать, что для любых двух линейных преобра- преобразований (/?, ф одного и того же линейного пространства харак- характеристические многочлены преобразований срф лфср совпадают.
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 237 24.144. Пусть (/?, ф — перестановочные линейные преобра- преобразования n-мерного пространства, причем ср имеет п различных собственных значений. Доказать, что все собственные векто- векторы преобразования ср являются собственными и для ф, так что матрицы (риф диагональны в общем для них базисе. 24.145. Пусть линейное преобразование ср диагонализи- руемо и каждое его собственное подпространство инвариант- инвариантно относительно линейного преобразования ф. Доказать, что срф = фср. 24.146. Пусть С = С © С1', где С1\ С" — ненулевые линей- линейные подпространства в С. 1) Пусть ср — проектирование пространства С на С па- параллельно С", а ф — некоторое линейное преобразование в С. Доказать, что срф = фср тогда и только тогда, когда подпро- подпространства С! и С" инвариантны относительно ф. 2) Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для отражения пространства С в С параллельно С". 24.147. Пусть (р, ф — линейные преобразования п-мерного линейного пространства. Дано, что срп = 6, dimKer(y9 = l и [ф, ср] = фср — срф = ср. Доказать, что ф имеет п собственных значений вида Л, Л — 1, ..., Л — (п — 1), где Л — некоторое число. 24.148 (р). Пусть ср и ф — линейные преобразования про- пространства ?, причем ср взаимно однозначно. Найдите такое е > 0, что для любого 6 Е (—?, ?) линейное преобразование ср + бф взаимно однозначно.
Глава 10 ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе используются следующие основные понятия: скляр- ное умножение, евклидово пространство, унитарное (эрмитово) пространство, длина (норма) вектора, угол между векторами, мат- матрица Грама, ортогональная и ортонормированная системы векто- векторов, ортонормированный базис, базис, биорто г опальный данному ба- базису, ортогональное дополнение подпространства, ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора, процесс орто- гонализации, QR-разложение матрицы, объем к-мерного паралле- параллелепипеда, угол между вектором и подпространством, угол между двумя подпространствами. Операция евклидова скалярного умножения в вещественном ли- линейном пространстве С ставит в соответствие каждой паре векторов х и у из С вещественное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и z и чисел ал C выполнены следующие условия: 1) (х, у) = (у, х)', 2) (ах + Cу, z) = a(x, z)+C(y, z); 3) (х, х) > 0 для любых х ф о. Операция унитарного скалярного умножения в комплексном линейном пространстве С ставит в соответствие каждой паре векто- векторов х и у из С комплексное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и z и чисел а и C выполнены следующие условия: !) (х, у) = (у, ж); 2) (ах + (Зу, z) = ol(x, z)+C(у, z); 3) (х, х) > 0 для любых х ф о. Вещественное (или комплексное) линейное пространство с вве- введенной в нем операцией скалярного умножения называется евклидо- евклидовым (или, соответственно, унитарным). Мы обозначаем евклидовы пространства буквой 8, а унитарные — Ы. Число (х, у) называется скалярным произведением (при необхо- необходимости, с уточнением: евклидовым или унитарным). В задачах этой главы часто используются следующие важные примеры евклидовых и унитарных пространств. Множество всех векторов пространства, изучаемого в элементарной геометрии. Его мы будем называть геометрическим пространством. В n-мерном вещественном арифметическом пространстве lZn стандартным скалярным произведением векторов хну называется
Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства 239 число (ж, у) = хТу = х\у\ + ... + хпуп. В n-мерном комплексном арифметическом пространстве Сп стандартным скалярным произведением векторов хну называется число (ж, у) = хТу = х\у\ + ... + Хпу^. В линейном пространстве 71шХп вещественных матриц размеров m х п с обычными операциями сложения и умножения на веществен- вещественное число стандартное евклидово скалярное произведение матриц X = \\xjk\\ и Y = \\yjk|| определяется формулой т п A) Это же число может быть записано и как tiXTY (см. задачу 25.4). Аналогично в пространстве комплексных матриц СшХп стан- стандартное унитарное скалярное произведение определяется формулой j=lfc=l или, что то же, (X, У) = trXTY. В пространстве вещественных многочленов от переменной ?, имеющих степень не выше фиксированного числа п, стандарт- стандартное скалярное произведение определяется формулой (см. зада- чу 25.8, 1)): -1 В евклидовом пространстве скалярное произведение выражает- выражается через координаты векторов в выбранном базисе ei, ..., еп форму- формулой п I rp ni\ X /-] . • ? • ПГ) • Р T^Tl где Г — матрица из элементов д^ = (е^, еу), называемая матрицей Грама базиса ei, ..., еп. Для унитарного пространства соответствующая формула имеет аналогичный вид (ж, у) = ?, Тг\. Если S — матрица перехода от базиса е к базису е', то матри- матрицы Грама этих базисов связаны формулой Г; = STTS для евклидова пространства, и Г' = STTS — для унитарного. Как в евклидовом, так и в унитарном пространстве длиной век- вектора, а также евклидовой (унитарной) нормой называется число х\ = д/(ж, х). Вектор длины 1 называется нормированным векто- вектором. Для любых векторов хну выполняется неравенство Копей— Буняковского
240 Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства \(х, у)\ ^ \x\-\y\. Угол между векторами определяется формулой а = = arccos((x, у) / (\х\ \у\)). Векторы ж и у называются ортогональны- ортогональными, если (ж, у) = 0. Система попарно ортогональных векторов на- называется ортогональной и ортонормированной, если эти векторы нормированы. Пусть а — фиксированный вектор евклидова пространства 8. Сопоставим произвольному вектору х Е 8 число (а, х). Это опреде- определяет линейную функцию, присоединенную вектору х. Соответствие, сопоставляющее каждому вектору его присоединенную функцию — изоморфизм пространства 8 на его сопряженное пространство. Этот изоморфизм не зависит от выбора базиса и потому позволяет отож- отождествить эти пространства: принято отождествлять вектор с его при- присоединенной функцией. Если в 8 выбран базис ei, ..., еп, то функции, составляющие его взаимный базис в сопряженном пространстве, отождествляются с такими векторами е*, ..., е^, что 0, гфз, Базис е*, связанный таким соотношением с базисом е, называется ему биорто г опальным. Вектор называется ортогональным линейному подпространству евклидова или унитарного пространства, если он ортогонален каж- каждому вектору пространства. Множество всех векторов, ортогональных подпространству ?, называется ортогональным дополнением С и обозначается С^. Это линейное подпространство, и С ф С1- = 8. Если х = х' + х", где х' Е ?, а х" G ?-*-, то х1 называется ортогональной проекцией х на С, а х" — ортогональной составляющей х относительно С. Говорят, что вектор х — 2х" получен из х ортогональным отра- отражением в подпространстве С Процесс ортогонализации позволяет построить из произвольной линейно независимой системы векторов Д, ..., fm ортогональную систему ненулевых векторов gi, ..., gm. В частности, произвольный базис можно преобразовать в ортогональный, а при последующей нормировке — в ортонормированный. Для этого из каждого из век- векторов /2, ..., fm вычитают его проекцию на линейную оболочку пре- предыдущих векторов. Это приводит к следующим рекуррентным фор- формулам к_ U) Существенно, что матрица перехода от Д, ..., fm к gi, ..., gm явля- является верхней треугольной (как и матрица обратного перехода). Линейное подпространство С\ называется ортогональным ?2, если С\ С ?^. Тогда и ?2 ^ ?i~-
§ 25. Скалярное произведение. Матрица Грама 241 Рассмотрим к линейно независимых векторов Д, ..., Д в 71- мерном евклидовом пространстве. Под к-мерным параллелепипедом {Д, ..., Д}, построенным на них, мы будем понимать множество всех их линейных комбинаций с коэффициентами щ, 0 ^ оц ^ 1, (г = 1, ..., к). Векторы Д, ..., Д назовем ребрами параллелепипеда. Параллелепипед {Д, ..., Д-i} естественно назвать основанием па- параллелепипеда {Д, ..., Д }, а высотой, соответствующей этому осно- основанию, назовем длину |/г&| ортогональной составляющей hk векто- вектора Д относительно линейной оболочки Д, ..., Д-i- Объем одномерного параллелепипеда {/} мы определим как длину его единственного ребра: V{/} = |/|, а объем к-мерного парал- параллелепипеда V{fi, ..., Д} определим по индукции как произведение объема основания на высоту. Объем ^-мерного параллелепипеда вычисляется по формуле где Ff — матрица Грама системы векторов Д, ..., Д. Пусть е — про- произвольный базис, a F — матрица из координатных столбцов векторов Д, ..., /п в этом базисе. Тогда В частности, для ортонормированного базиса V { Д, ..., /n} = | det F\. Углсш между вектором х и линейным подпространством С называется точная нижняя грань угла, который х образует с раз- различными векторами из С. Пусть ?i и ?2 - два ненулевых линейных подпространства. Ес- Если одно из них лежит в другом, то угол между ними по опреде- определению равен нулю. В противном случае обозначим через С\ и С® ортогональные дополнения подпространства С\ П C<i соответствен- соответственно в С\ и ^2- Углом между подпространствами С\ и Сч называ- называется точная нижняя грань значений угла между векторами жЕ?? куе?°2. В § 25 и § 26 рассматривается евклидово пространство, а в § 27 — унитарное. Это не будет каждый раз оговариваться. § 25. Скалярное произведение. Матрица Грама. Определение евклидова пространства B5.1—25.19) 25.1. Пусть п — фиксированный ненулевой вектор в гео- геометрическом пространстве. Сопоставим произвольной паре векторов х, у: 1) смешанное произведение (п, х, у); 2) скалярное произведение (х + n, у + п); 3) (п, х)(п, у); 4)|п|(х, у); 5) |х| |у|. Можно ли принять такую функцию за скалярное произведение?
242 Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства 25.2. Может ли скалярное произведение в вещественном n-мерном линейном пространстве задаваться следующей функ- функцией от координат векторов: 1) Х1у1 + 2х2у2, а)п = 2; б) п = 3; 2) х1у1+х2, n = 2; 3) Зжц/i + 2х\у2 + x2yi + х2у2, п = 2; 4) 2xiyi + xiy2 + х2у\ + 2ж2У2, п = 2; 5) х\у\ + 2ж1у2 + 2ж2у1 + ж2у2 + жзУз, п = 3. 25.3 (р). На плоскости нарисован эллипс с полуосями 2 и 1. Пусть дан вектор х. Рассмотрим вектор xq, сонаправлен- сонаправленный с х, начало которого — центр эллипса, а конец лежит на эллипсе. Положим (р(х) = |х|/|хо|, и ip(o) = 0. Теперь произ- произвольной паре векторов можно сопоставить число Доказать, что этим определено скалярное произведение. Най- Найти его выражение через координаты векторов в канонической системе координат эллипса. 25.4. 1) Доказать, что функция F(X, Y) =trXTY запи- записывается через элементы матриц формулой A) из введения и может быть принята за скалярное произведение в пространстве вещественных матриц размеров тх п. 2) Евклидовой нормой матрицы называется ее длина при этом скалярном произведении. Доказать, что евклидова норма равна квадратному корню из суммы квадратов всех элементов матрицы. 3) Найти длины векторов стандартного базиса и углы меж- между ними относительно такого скалярного произведения. 25.5. Рассматривается пространство квадратных матриц порядка п, и каждой паре матриц сопоставлено число: 1) F(X, Y)=trXY; 2) F(X, y) = trXtry; 3) F(X, Y) = detXY. Может ли такая функция быть принята за скалярное про- произведение? 25.6. Пусть Р фиксированная квадратная матрица поряд- порядка т. При каких условиях на эту матрицу функция F (X, У) = = tr XTPY является скалярным произведением в линейном пространстве матриц размеров m x п? 25.7. В линейном пространстве функций, непрерывных на отрезке [—1, 1], функциям / и g сопоставляется число
§ 25. Скалярное произведение. Матрица Грама 243 1 = Jf(t)g(t)dt. -1 Доказать, что этим определено скалярное произведение. 25.8. В линейном пространстве многочленов степени не выше п двум многочленам р и q сопоставлено число F (p, q). Доказать, что этим определено скалярное произведение: -1 2) F — сумма произведений производных порядка /с, вы- вычисленных в точке to, п k=0 3) F — сумма произведений коэффициентов при равных степенях, k=0 4) F — сумма произведений значений р и q в т > п раз- различных точках, k=l (Убедиться, что требование т > п необходимо.) 25.9. Доказать, что в евклидовом пространстве из зада- задачи 25.8,1) многочлены Лежандра образуют ортогональный базис. Найти длины (нормы) этих многочленов. 25.10. Пусть е — базис в линейном пространстве ?. Дока- Доказать, что в ? существует одно и только одно скалярное произве- произведение, относительно которого базис е — ортонормированный. 25.11. Пусть в вещественном линейном пространстве за- заданы два скалярных произведения (ж, у)\ и (ж, уJ. Доказать, что для любых положительных чисел Л и \i функция (ж, у) = = Л (ж, у)\ +/i(x, уJ — также скалярное произведение.
244 Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства 25.12. Дано линейное пространство С — прямая сумма подпространств ?i и ?2, в которых заданы скалярные про- произведения (ж, у)± И (ж, уJ. ПуСТЬ Ж = Х\ + Х2 И у = у\ + Т/2, где Ж1, г/1 E ?i; Ж2, У2 ? ?2- Доказать, что функция (ж, у) = = (#1, г/1 )i + (#2,2/2J есть скалярное произведение на ?. 25.13. Пусть |ж| длина вектора ж в евклидовом простран- пространстве. Доказать, что: 1) (х, у) = ^(\х + у\2-\х-у\2); 2) (х,у) = ±(\х + у\2-\х\2-\у\2). 25.14. Пусть в вещественном линейном пространстве зада- заданы два скалярных произведения (ж, j/)i и (ж, j/J, и любой век- вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: (ж, х)\ = (ж, хJ- Доказать, что скалярные произведения совпадают. 25.15. В пространстве многочленов степени ^ 3 со стандар- стандартным скалярным произведением задан треугольник со сторонами ?, t3 и t — t3. Найти 1) углы треугольника; 1) длины его сторон. 25.16. Доказать, что треугольник в евклидовом простран- пространстве прямоугольный тогда и только тогда, когда длина одной из сторон равна длине другой стороны, умноженной на косинус угла между этими сторонами. 25.17. Доказать, что медиана треугольника в евклидовом пространстве короче одной из сторон, между которыми она ле- лежит. 25.18. Доказать, что сумма углов произвольного треуголь- треугольника в евклидовом пространстве равна тт. 25.19. Пусть С конечномерное линейное пространство. До- Доказать, что выбор определенного изоморфизма С на его сопря- сопряженное ?* равносилен заданию скалярного произведения в С. Скалярное произведение в координатах B5.20—25.44) 25.20. В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти скалярные произведения т т 1) || 1 1 1 1|| и||1 2 5 2) || 1 2 1 4||Т и || 1 -1 1 0||Т; 3) ||-1 2 1 -4||Т ж || 4 -1 -2 1||Т; 4) С171 И С172; 5) С174 И С175- 25.21. Найти угол между ребром и диагональю п-мерного куба.
§ 25. Скалярное произведение. Матрица Грама 245 25.22. Найти длины векторов и косинусы углов между ни- ними в задаче 25.20. 25.23. Пусть в некотором базисе квадрат длины любого вектора х равен сумме квадратов его координат. Доказать, что базис ортонормированный. 25.24. Нарисовать на плоскости какой-либо базис с матри- матрицей Грама А\§. Описать все множество таких базисов. 25.25. Найти скалярное произведение векторов, если зада- заданы их координаты в некотором базисе и матрица Грама Г этого базиса: 1)||1 1 if, || 1 3 1 2) ||-1 -1 if, || 0 1 3 Г Т 1 -2 1 г = -2 5 -4 1 2 2 5 3 8 1 -4 6 3 8 14 3) с2о, с2з, Г = Л24; 4) с2з, с3б, Г = Ai7; 5) ||1 ... 1||Т, С282, А630. 25.26. Найти углы между векторами, заданными их коор- координатами: 1)||1 1 1 1||, 11 0 2 0 2 ||; базис ортонормированный; 2) || 2 1 у/2 l||, 11 0 2 0 2 ||; базис ортонормированный; 3)||5 0 2 1||, ||2 1 2 11|; базис ортонормированный; 4) || 1 0||, || 0 111; базис с матрицей Грама L J; 5) Ci2, C33; базис с матрицей Грама А$$] 6) Ci8, C12; базис с матрицей Грама А^. 25.27. Найти длины векторов в задаче 25.25. 25.28. При каких значениях параметров ?, а данные мат- матрицы могут служить матрицами Грама в евклидовом простран- пространстве: 1) А80; 2) А77; 3) А76. 25.29. Доказать, что в n-мерном пространстве квадратная матрица Г порядка п может служить матрицей Грама какого- либо базиса тогда и только тогда, когда найдется квадратная матрица S с детерминантом, отличным от нуля, такая, что Г = = STS. 25.30. Доказать, что в n-мерном пространстве квадрат- квадратная матрица Г порядка п может служить матрицей Грама какого-либо базиса тогда и только тогда, когда она положи- положительно определена, то есть Г = Гт и ?,ТГ?, > 0 для любого столб- столбца ?,/ о.
246 Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства 25.31. Пусть Г — матрица Грама некоторого базиса е. До- Доказать, что матрицами Грама некоторых базисов являются так- также матрицы: 1) Г; 2) Г2; 3) Г*, где к целое. 25.32. Пусть Гх и Г2 — матрицы Грама базисов ei и в2. Доказать, что при любых положительных коэффициентах мат- матрица Г = a\Ti + QL2T2 также есть матрица Грама некоторого базиса. 25.33. В матрице Грама некоторого базиса все элементы равны либо 0, либо 1, либо — 1. Доказать, что базис ортонор- мированный. 25.34. Доказать, что максимальный по модулю элемент матрицы Грама расположен на главной диагонали. 25.35. Может ли третья строка матрицы Грама некоторого базиса в четырехмерном пространстве быть строкой: 1) || 1 1 1 1||; 2) ||-1 -1 -1 -1||; 3) ||1 0 1 0||; 4) ||0 1 0 1||; 5) \\- - - -\\. } " "' ; II 2 2 4 2 II 25.36. Найти матрицу Грама стандартного базиса про- пространства квадратных матриц второго порядка1) со скаляр- скалярным произведением, определенным в задаче 25.6, если Р равно: 1) А17; 2) А24. 25.37. В пространстве многочленов степени не выше двух со стандартным скалярным произведением найти матрицу Гра- Грама стандартного базиса. 25.38. В пространстве квадратных матриц порядка п со скалярным произведением задачи 25.4 найти матрицу Грама стандартного базиса. 25.39. Дана матрица Грама базиса е. Найти матрицу Гра- Грама его биортогонального базиса е*. 25.40. Пусть любые два различных вектора из системы #1, ..., хп образуют угол тг/3. Доказать, что эти векторы ли- линейно независимы. 25.41. Даны две системы векторов х±, ..., хр и yi, ..., ур, и из скалярных произведений Cij = (ж^, yj) составлена матрица С. 1) Доказать, что detC = 0, если хоть одна из систем линей- линейно зависима. 2) Верно ли обратное утверждение? См. введение к § 15
§ 25. Скалярное произведение. Матрица Грама 247 25.42. Две упорядоченные системы векторов ех, ..., е& и /i, ..., /& в евклидовом пространстве называются биортого- нальными, если (е^, /j) = 0 при i ф j>, a (e^, fi) = 1 для всех г. Доказать, что каждая из двух биортогональных систем линей- линейно независима. 25.43. Для системы векторов жх, ..., хр евклидова про- пространства составляется матрица С с элементами Cij = (ж^, ж^). Пусть Rg С = к л минор порядка к в левом верхнем углу — базисный. Указать какую-нибудь максимальную линейно неза- независимую подсистему данной системы векторов. 25.44. Используя свойства матрицы, составленной из все- всевозможных скалярных произведений, доказать, что для любой матрицы А выполнено Rg ATA = Rg A Ортогональные матрицы B5.45—25.58) 25.45. Какие из следующих матриц являются ортогональ- ортогональными: 1) Л32; 2) А22- 3) А16- 4) А15- 5) А20- 6) Лб4; 7) Л243; 8) Л253; 9) Л255; 10) Л329; 11) 4ш; 12) Л432; 13) Л433; 14) ,4445; 15) ^436- 25.46. Останется ли ортогональная матрица ортогональ- ортогональной если: 1) переставить ее строки; 2) переставить ее столбцы; 3) написать элементы строк, имеющих нечетные номера, в обратном порядке; 4) транспонировать; 5) повернуть вокруг побочной диагонали; 6) умножить одну из строк на число; 7) прибавить одну из строк к другой. 25.47. Пусть Ли В — ортогональные матрицы одного по- порядка. Являются ли ортогональными матрицы: 1) А + В; 2) АВ; 3) АВТ; 4) аА; 5) Ак, к целое. 25.48. Найти все такие пары ортогональных матриц вто- второго порядка, сумма которых — ортогональная матрица. 25.49. При каком условии для ортогональной матрицы А найдется число афО такое, что матрица А + аЕ также явля- является ортогональной? Существуют ли такие матрицы, отличные от?и -Е, для п = 2, 3, 4?
248 Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства 25.50. Может ли ортогональная матрица четвертого по- порядка содержать строку: 25.51. Дана строка длины п, сумма квадратов элементов которой равна 1. Существует ли ортогональная матрица по- порядка п с такой строкой? 25.52. Найти все ортогональные матрицы, имеющие пер- II 1 1 1 1 вую строку - - - - J F J II 2 2 2 2 25.53. 1) Могут ли все элементы ортогональной матрицы быть положительными? 2) Доказать, что ортогональная матрица, все элементы ко- которой неотрицательны, получается из единичной матрицы пе- перестановкой столбцов. 25.54. Найти все ортогональные матрицы, являющиеся верхними треугольными. 25.55. При каком условии подматрица ортогональной мат- матрицы также будет ортогональной? 25.56. Допустим, что все элементы ортогональной матри- матрицы порядка п равны между собой по абсолютной величине. Чему равна абсолютная величина элемента? 25.57. Доказать, что ортогональные матрицы, описанные в задаче 25.56, существуют, если п = 2fc, k — натуральное число. 25.58. 1) Даны два ортонормированных базиса ei, ..., еп и fi-, •••? fn- Доказать, что матрица из скалярных произведений (еЬ ij) — ортогональная. 2) Даны две ортонормированные системы по к < п векто- векторов в n-мерном евклидовом пространстве. При каком условии ортогональна матрица из попарных скалярных произведений векторов этих систем? § 26. Геометрия евклидова пространства Ортогональное дополнение подпространства B6.1—26.21) 26.1. Пусть а — ненулевой вектор n-мерного евклидова пространства. Доказать, что уравнение (а, х) = 0 определяет подпространство размерности п—1.
§ 26. Геометрия евклидова пространства 249 26.2. Пусть множества Р и Q векторов евклидова про- пространства таковы, что (ж, у) = 0 для любых х Е Р и у Е Q. До- Доказать, что линейные оболочки этих множеств ортогональны. 26.3. В евклидовом пространстве ? найти ортогональные дополнения 1) нулевого подпространства; 2) пространства ?. 26.4. Пусть подпространства ?i, ..., Cs евклидова прост- пространства попарно ортогональны. Доказать, что С\ +... + Cs — прямая сумма. 26.5. Доказать следующие свойства операции перехода к ортогональному дополнению: 1) (С\ + С2I' = С\ П С^; 2) (А П ?2^ = ^ + /^; 3) (?±)± = ?. 26.6. Подпространства С\ и ?2 ортогональны. Обязатель- Обязательно ли ортогональны С^ и С^ ? 26.7. Найти нормированный вектор, ортогональный за- заданным: 1) ||4 0 4 || , ||2 6 5|| , базис ортонормированный; 2) ||2 3 2 1||Т, ||10 12||Т, ||0 10 0||Т, базис ортонормирован- ортонормированный; гр 3) ||3 1|| , базис с матрицей Грама А§§; 4) || — 1 1 0|| , ||0 1 1|| , базис с матрицей Грама ^207- 26.8. Подпространство С задано в ортонормированном ба- базисе системой линейных уравнений АЕ, = о. Найти: 1) базис в ?^; 2) систему уравнений подпространства С\ 26.9. Пусть ai,...,afc — базис подпространства ?, и ко- координатные столбы векторов а±, ..., а& в ортонормированном базисе пространства ? составляют матрицу А. Найти: 1) базис в С ; 2) систему уравнений подпространства С . 26.10. Решите с помощью геометрических соображений задачу 18.20. 26.11. Подпространство С задано в базисе е с матрицей Грама Г системой линейных уравнений АЕ, = о. Найти: 1) базис в ?^; 2) матрицу системы уравнений подпространства С^. 26.12. Пусть ai, ..., a& — базис подпространства ?, и коор- координатные столбы векторов ai, ..., a& в базисе е пространства ? составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е. Найти: 1) базис в ?^; 2) матрицу системы уравнений подпространства С^.
250 Гл. 10. Евклидовы и унитарные пространства 26.13. Подпространство С задано как линейная оболочка векторов, имеющих в ортонормированном базисе координаты е столбцы: 1)||312|| 2) ||1 -5 -11 3) ||3 -15 9 if ,||3 -6 -32||т; 4) ||4 3 -32||т, Ц-132 -3||Т, ||2 91 -4||т. Найти: а) матрицу системы уравнений, определяющей ?-*-, б) базис в ?-*-. 26.14. Подпространство С задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений АЕ, = о. Найти базис под- подпространства С , если матрица А равна: 1)||32 2) 4) 1-5-6 11 5 1-43 1 8 7 15 1 -5 1 -1 11 3) 1 2 1 3 -1 10 -1 3 -6 2 5 1 5) А 519; 6) 7) А 518; 1) 26.15. Подпространство С задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений АЕ, = о. Найти систему уравнений подпространства С^\ = о, = 0; llxi + 2^2 — хз — Х4 = 0, 2) 8х± — Х2 + 2жз — 4^4 = 0, Зх\ + 5ж2 + хз + 3x4 + 11^5 = 0, + 16ж5 = 0; -Зж4 = 0, _ пг>., уТо I 7 ПГ п I Xo^/i (|* 5) Система уравнений имеет матрицу а) Л573? б) ^583- 26.16. Подпространство С задано в базисе е с матрицей Грама Г системой линейных уравнений АЕ, = о: з) 4) 3) А = 3 12 1 1 1 Г = Л207; 2) А = , Г = Л386; 4) Л = 1 1 0 -110 1 1-210 = ^-385; , Г = ^424- Найти: а) базис в ? ; б) матрицу системы уравнений подпро- подпространства С^.