Г.Е.ШИЛОВ, Б.Л.ГУРЕВИЧ
ИНТЕГРМ МЕР4
И ПР0И5В04НЛЯ

Г. Е. ШИЛОВ, Б. Л. ГУРЕВИЧ
ИНТЕГРАЛ, МЕРА
И ПРОИЗВОДНАЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1964

517.2
Ш 59
УДК 517.397
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
7
ГЛАВА I
ИНТЕГРАЛ
§ 1. Интеграл Римана и ступенчатые функции	 13
I.	Интеграл Римана (13). 2. Определение интеграла Римана с по¬
мощью ступенчатых функций (14). 3. Идея обобщения (15). 4. Дей¬
ствия над ступенчатыми функциями (16). 5. Множества меры 0 и
множества полной меры (16). 6. Интеграл от ступенчатой функ¬
ции (18). 7. Второе определение множества меры 0 (20). Задачи (21).
§ 2. Общая теория интеграла	 22
1. Элементарные функции и элементарный интеграл (23). 2. Множе¬
ства меры 0 (24). 3. Класс и, интеграл в нем (26). 4. Свойства
интеграла в классе L+ (27). 5. Класс L и интеграл в нем (29). 6. Тео¬
рема Беппо Леви (32). 7. Теорема Лебега (34). 8. Вопрос о суммируе¬
мости предельной функции при сходимости почти всюду. Лемма
Фату (36). 9. Теорема о полноте пространства L (37). 10. Теорема
Фубини (40).
§ 3. Интеграл Лебега в /2-мерном пространстве	 44
1. Соотношение интеграла Римана и интеграла Лебега (44). 2. Несоб¬
ственный интеграл Римана и интеграл Лебега (46). 3. Теорема Фу¬
бини для функций нескольких переменных (48). 4. Непрерывные
функции как элементарные функции с интегралом Римана как эле¬
ментарным интегралом (49). Задачи (52).
ГЛАВА II
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ 4. Интеграл Лебега — Стилтьеса	 54
1. Брусы и листы (54). 2. Квазиобъем, квазидлина и производящая
функция (55). 3. Интеграл Римана—Стилтьеса (56). 4. Неотрицательные
непрерывные квазиобьемы. Примеры (60). 5. Брусы, существенные
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
для квазиобъема, и брусы его непрерывности (62). 6. Множества
ст-меры 0 (64). 7. Свойства непрерывного квазиобъема (65). 8. Инте¬
грал Лебега — Стилтьеса (68). 9. Совокупность <т-суммируемых функ¬
ций (70). 10. Построение интеграла Лебега — Стилтьеса на основе не¬
прерывных функций как элементарных с интегралом Римана —Стил¬
тьеса как элементарным интегралом (74). Задачи (79).
§ 5. Эквивалентные квазиобъемы и предельные теоремы . .	80
1. Эквивалентные квазиобъемы (80). 2. Существование и единствен¬
ность непрерывного квазиобъема, эквивалентного данному (82).
3.	Сходимость в существенном и первая теорема Хелли (83). 4. Прин¬
цип выбора (вторая теорема Хелли) (86). 5. Случай /2 = 1 (88). 6. При¬
менения в анализе (88). Задачи (91).
§ 6. Незнакоположительные квазиобъемы
93
1. Постановка задачи (93). 2. Квазиобъем с ограниченным изменением
и его представление в виде разности знакоположительных (94).
3. Описание других возможных разложений (96). 4. Формулы для поло¬
жительного, отрицательного и полного изменения (97). 5. Непрерыв¬
ность полного изменения (99). 6. Случай /2 = 1; теорема Жордана (100).
Задачи (102).
ГЛАВА III
МЕРА
103
1. Измеримые функции (103). 2. Измеримые множества (107). 3. Теорема
о счетной аддитивности n еры (108). 4. Аксиомы Стона (109). 5. Харак¬
теристика измеримых функций в терминах меры (110). 6. Определе¬
ние интеграла Лебега по Лебегу (112). 7. Интегрирование по измери¬
мому подмножеству (113). 8. Мера на произведении пространств (115).
9. Пространство L (117). Задачи (122).
§ 8. Измеримые функции и общая теория меры (продолже-
ние)
123
1. Подпространство, порожденное совокупностью характеристических
функций (124). 2. Достаточная система (127). 3. Вполне достаточное
полукольцо (130). 4. Верхняя мера и критерий измеримости (132).
5. Мера на /2-мерном брусе. Примеры (134). 6. Мера Лебега при
/2 = 1 (138). 7. Элементарная счетно-аддитивная мера и ее расшире¬
ния (139). 8. Построение интеграла по лебеговской мере (148). За¬
дачи (150).
§ 9. Интеграл и мера любого знака .
152
1. Разложение незнакоопределенного интеграла в разность двух не¬
отрицательных (152). 2. Построение пространства суммируемых функ¬
ций и меры для незнакоопределенного интеграла (156). 3. Разложе¬
ние незнакоопределенной меры в разность двух неотрицательных (158).
4.	Незнакоопределенные квазиобъемы с точки зрения общей теории
меры (161). 5. Теоремы о линейных функционалах (163). 6. Разложение
Хана (165). Задачи (168).

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Г Л А В А IV
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 10. Мера и функции множеств

1. Основные типы функций множеств (169). 2. Разложение функции
множеств па непрерывную и дискретную части (171). 3. Усиление
теоремы Хана (172). 4. Разложение непрерывной функции множеств
на абсолютно непрерывную и сингулярную части. Теорема Радона —
Никодима (173). 5. Линейные функционалы в пространстве L и в про¬
странстве Lp (177). 6. Положительное, отрицательное и полное из¬
менение суммы двух счетно-аддитивных функций (180). 7. Производя¬
щая функция для абсолютно непрерывной функции множеств на от¬
резке (181). 8. Производящая функция для сингулярной функции
множеств (185).	9. Производящая функция для дискретной функции
множеств (187). 10. Теорема Лебега о* каноническом разложении функ¬
ции с ограниченной вариацией (188). Задачи (189).
§ 11. Производная функции множеств

1.	Три определения производной от функции множеств на оси (190).
2.	Дифференцирование по сети (193). 3. Дифференцирование по систе¬
ме Витали (194). 4. Примеры; теорема де Посселя, теорема Лебега (199).
5.	Дифференцирование функции множеств в самом сильном смыс¬
ле (204). Задачи (207).
169
190
Предметный указатель

209

ВВЕДЕНИЕ
Эта книга предназначена в качестве учебного пособия
для студентов средних и старших курсов математических и
физических факультетов университетов, а также для других
читателей, владеющих основным курсом математического
анализа *).
Одним из основных понятий анализа является понятие
интеграла. Классическое определение интеграла, завершенное
в середине прошлого века Коши и Риманом, достаточно для
разрешения многих проблем математики и физики. Но для
ряда существенных областей математики и физики, воз¬
никших в недавнее время, оно оказывается недостаточным.
Во-первых, оно применимо лишь к функциям одного или
нескольких переменных, тогда как в настоящее время необ¬
ходимо иметь возможность интегрирования на многообра¬
зиях, не описываемых никаким конечным числом веществен¬
ных параметров. Это требуется, в частности, в теории
вероятностей, в теории уравнений с частными производными,
а также в гидродинамике и в квантовой физике. Во-вторых,
даже в случае одного или нескольких переменных класси¬
ческое определение Римана дает возможность интегрировать
сравнительно узкий класс функций — непрерывных, кусочно
непрерывных и некоторых других. Но можно построить
последовательность функций (х), fn(x), ..., напри¬
мер на отрезке а х Ь, такую, что она будет удовлетво¬
рять «в среднем» условию сходимости Коши, т. е. величина
ь
f I/„(•«) —
		а
*) В объеме, например: Г. М. Фихтенгольц, Основы ма¬
тематического анализа, тт. 1—2, Физматгиз, 1950 и Г. Е. Шилов,
Математический анализ (специальный курс), гл. 1 и 2, Физматгиз,
1961.
8
ВВЕДЕНИЕ
будет стремиться к нулю при п —> оо и т->сс, а никакой
предельной функции среди интегрируемых по Риману не
окажется. Класс функций, интегрируемых по Риману, оказы¬
вается, таким образом, неполным. А требование полноты
класса интегрируемых функций представляется необходимым
чуть ли не в каждой области, имеющей дело с современным
анализом. В третьих, в классическом определении интеграла
многообразие, по которому интегрируют,—прямая, пло¬
скость и т. д.—является фактически однородным; это ска¬
зывается на том, что величина интеграла от любой функ¬
ции не меняется при ее сдвиге. А по существу во многих
вопросах нельзя считать область интегрирования одно¬
родной.
В некоторых случаях можно учесть неоднородность вве¬
дением переменной плотности, например, как это делается
в задачах, связанных с неоднородной струной. Но этот прием
не всегда спасает от затруднений. (Что понимать под плот¬
ностью струны, нагруженной точечными бусинками?) Общая
концепция интеграла, развитая в работах крупнейших мате¬
матиков нашего века (от Лебега до наших дней), свободна,
от указанных трудностей; она не нуждается в конечномер¬
ности и однородности области интегрирования и приводит
к достаточно широкой совокупности интегрируемых функций
(и, в частности, полной относительно сходимости в среднем).
Мы выбрали здесь в качестве основного подхода к изло¬
жению общей теории интеграла метод Даниэля. Он быстрее
и непосредственнее ведет к цели, чем классический метод
Лебега, поскольку не требует предварительного построения
теории меры. Волее того, при таком подходе сама теория
меры выглядит проще и естественнее, как почти само собою
разумеющееся следствие из теории интеграла. Вообще сле¬
дует заметить, что построение теории интеграла по Лебегу
и построение ее по Даниэлю эквивалентны, если в качестве
элементарных функций берутся конечнозначные (типа сту¬
пенчатых); в иных же случаях (как, например, при изучении
линейных функционалов в пространстве непрерывных функ¬
ций на компакте) метод Даниэля приводит к нужному ре¬
зультату, а метод Лебега непригоден.
Ниже следует более подробное изложение содержания
книги по параграфам, которое может служить путеводителем
для читателя.

ВВЕДЕНИЕ
9
В § 1 формулируется определение интеграла Римана для
непрерывной функции от п переменных как предела нижних
интегральных сумм, или, что то же, как предела интегралов
от возрастающей последовательности некоторых ступенча¬
тых функций. Именно такое определение позволяет наметить
путь для дальнейшего обобщения путем аксиоматизации не¬
которых специфических свойств интегралов от ступенчатых
функций. Из них основным является условие непрерывности
сверху: если последовательность ступенчатых функций, убы¬
вая, стремится к нулю, то интегралы от этих функций также
стремятся к нулю.
В § 2 содержится осуществление указанного обобщения.
Исходным объектом является совокупность так называемых
элементарных функций, определенных на произвольном мно¬
жестве. Предполагается, что на этой совокупности определен
интеграл, удовлетворяющий аксиомам, соответствующим выде¬
ленным в § 1 свойствам интеграла от ступенчатых функций.
Расширяя совокупность элементарных функций путем моно¬
тонных предельных переходов и образования разностей, мы
получаем общее пространство суммируемых функций, полное
относительно нормы, определяемой при помощи построен¬
ного интеграла.
В § 3 в результате применения построенной общей схемы
к функциям п переменных мы получаем классический инте¬
грал Лебега.
В § 4 схема § 2 применяется к построению интеграла
Лебега—Стилтьеса в n-мерном пространстве. В обобщение
§ 1 вместо обычных объемов прямоугольных параллелепипедов
(брусов), участвующих там в образовании интегралов ступен¬
чатых функций, здесь рассматриваются квазиобъемы, т. е.
произвольные аддитивные функции брусов; помимо аддитив¬
ности, они предполагаются здесь непрерывными (сверху) и
неотрицательными.
Так как требования непрерывности сверху и неотрица¬
тельности квазиобъемов представляются стеснительными для
приложений, то в §§ 5 и 6 выясняется, в какой мере
от этих требований можно освободиться. Оказывается (§ 5),
что всякий неотрицательный квазиобъем становится непре¬
рывным сверху после надлежащего исправления на сравни¬
тельно небольшом числе брусов, причем интегралы от непре¬
рывных функций остаются неизменными. В § 6 условие
10
ВВЕДЕНИЕ
неотрицательности квазиобъема заменяется более общим усло¬
вием ограниченности его изменения, и доказывается, что вся¬
кий такой квазиобъем есть разность двух неотрицательных
квазиобъемов. Благодаря этому общую схему § 2 оказы¬
вается возможным перенести на случай произвольных квази¬
объемов с ограниченным изменением.
В §§ 7—9 на основании общей схемы § 2 развивается
теория меры. В § 7 снова рассматривается совокупность
элементарных функций, определенных на произвольном мно¬
жестве, с заданным на них интегралом, удовлетворяющим
условиям § 2. Функция, заданная на этом множестве, назы¬
вается измеримой, если она является пределом последова¬
тельности элементарных функций в смысле сходимости почти
всюду. Все суммируемые функции оказываются измеримыми.
Подмножество исходного множества называется измеримым,
если измерима его характеристическая функция, и суммируе¬
мым, если она суммируема. Мера этого подмножества,
по определению, есть интеграл от его характеристической
функции.
Из результатов §	2 немедленно следует, что мера
счетно-аддитивна. Мы показываем дальше, что интеграл от
суммируемой (в смысле § 2) функции может быть получен
по классической схеме Лебега с помощью определенных
здесь мер множеств, на которых рассматриваемая функция
заключена между данными границами. В § 8 доказывается,
что при наличии достаточной системы элементарных мно¬
жеств, каковыми в zz-мерном случае являются брусы и их
конечные комбинации, и сама мера допускает классическое
конструктивное определение Лебега как общее значение
верхней и нижней мер. В этом же параграфе дается построе¬
ние теории интеграла на абстрактном множестве, исходя из
аксиоматически заданной элементарной меры. Методы § 2
позволяют и тут сильно упростить все построение, сводя
всю технику к некоторому варианту теоремы Егорова. Таким
образом, два различных подхода — аксиоматизация интеграла
(§ 2) и аксиоматизация меры (§ 8) — объединяются в еди¬
ную теорию.
До' этого момента мы ограничивались в общей теории
знакоопределенными интегралами и мерами. В § 9 это огра¬
ничение снимается: доказывается, что незнакоопределенный
интеграл разлагается в разность двух неотрицательных инте-
ВВЕДЕНИЕ
11
тралов и, аналогично, незнакоопределенная мера разла¬
гается в разность двух неотрицательных мер. Как один из
результатов теории, естественно, получаются (здесь и в
§ 10) теоремы об общем виде линейных функционалов в
некоторых пространствах функций на абстрактных мно¬
жествах.
В § 10 изучаются две счетно-аддитивные функции под¬
множеств одного и того же абстрактного множества. Одну
из них, неотрицательную, мы продолжаем называть мерой.
Для второй устанавливается каноническое разложение отно¬
сительно первой на дискретную и непрерывную части; в свою
очередь непрерывная часть представляется в виде суммы
сингулярной и абсолютно непрерывной. Абсолютно непре¬
рывная составляющая как функция множества есть интеграл
по этому множеству от некоторой суммируемой функции;
это — известная теорема Радона — Никодима. В применении
к случаю функций одного переменного получается классиче¬
ская теорема Лебега о разложении произвольной функции
(точки) с ограниченным изменением в аналогичную сумму
трех функций — дискретной, сингулярной и абсолютно не¬
прерывной.
Наконец, в § И рассматриваются вопросы, связанные
с операцией, позволяющей получить из данной функции мно¬
жеств ту суммируемую функцию, интеграл от которой дает
абсолютно непрерывную составляющую. На оси соответ¬
ствующей операцией является дифференцирование. Операция
дифференцирования рассматривается в трех аспектах с ис¬
пользованием или специальных интервалов (с двоично-рацио¬
нальными границами), или любых интервалов, или же любых
измеримых множеств. Оказывается, что все эти три типа
дифференцирования можно рассмотреть на произвольнОхМ
множестве с лебеговской мерой; первому типу отвечает диф¬
ференцирование относительно сети де Посселя, второму —
относительно системы Витали, третьему — относительно си¬
стемы всех суммируемых подмножеств. Во всех случаях
устанавливаются существование производных и их совпадение
с плотностью абсолютно непрерывной составляющей данной
счетно-аддитивной функции множеств. Как частные случаи
получаются теорема де Посселя о дифференцировании по
сети и теорема Лебега о дифференцировании функции с огра¬
ниченным изменением на отрезке.

12
ВВЕДЕНИЕ
Этим завершается круг проблем, связывающих интеграл,
меру и производную, который получил освещение в нашей
книге.
В числе первоисточников мы должны указать на следую¬
щие книги: Ф. Рисе и Б. С е к е ф а л ь в и-Н а д ь, Лекции
по функциональному анализу (ИЛ, 1954), где схема Даниэля
проводится для случая одного или нескольких вещественных
переменных; Люмис, Введение в абстрактный гармониче¬
ский анализ (ИЛ, 1956), где схема Даниэля дана в общей
форме, хотя и несколько иным образом; Сакс, Теория
интеграла (ИЛ, 1949), где приведена общая схема дифферен¬
цирования функций множеств в /г-мерном пространстве от¬
носительно системы кубов — простейшего примера системы
Витали. В небольшой части текста использованы материалы
глав IV и VI книги Г. Е. Шилова «Математический анализ
(специальный курс)», Физматгиз, 1961, откуда заимствованы
также некоторые задачи.
Авторы приносят глубокую благодарность Д. А. Рай¬
кову, прочитавшему всю книгу в рукописи и высказавшему
ряд важных замечаний.
Авторы

ГЛАВА I
ИНТЕГРАЛ
§ 1. Интеграл Римана и ступенчатые функции
1. Интеграл Римана. Напомним схему построения инте¬
грала Римана. Пусть / (х)— вещественная непрерывная функ¬
ция, заданная в некотором n-мерном прямоугольном парал¬
лелепипеде. Прямоугольный параллелепипед В определяется
неравенствами
В -—: | х . ах Xj Ьх, .. ., ап	хп	п \ *
причем, естественно, предполагается, что
by>av .... b„> ап.
Такие прямоугольные параллелепипеды будем для краткости
называть «брусами», Максимальное из чисел Ь} — av ...
.. bn — ап будем называть размером бруса В. Величина
s(B) = (b1 — aj ... (bn — an)
есть объем бруса В. Функция s(B) есть аддитивная функция
своего аргумента; это значит, что если брус В разбит на
подбрусы Bv . .., Вт, не имеющие общих внутренних то¬
чек, то
= ...
Для построения интеграла от непрерывной функции /(х) по
фиксированному основному брусу, который будем обозна¬
чать через В, поступают следующим образом. Рассматривают
разбиение к бруса В на подбрусы Вх	Вт\ вводят обо¬
значение
nt: = min f (х), j = 1, 2, .. ., т,

14
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ.
и составляют «нижнюю интегральную сумму Римана»
т
&ЛЛ = 'ZmjS(Bj).	(1)
/=1
Если заменить разбиение it на новое разбиение it', разбив
каждый из брусов Bj на меньшие брусы В;, Bjm,9
то, как легко проверить, мы получим
©Л/) < ©К' (/)•
Рассматривается правильная последовательность itp ic2, ...
itf, ... разбиений основного бруса В, т. е. такая, что
каждое последующее разбиение itf+1 получается из предыду¬
щего itr разбиением его брусов на еще меньшие, причем ма¬
ксимальные размеры брусов в разбиении itr стремятся к нулю
при г —> со.
Соответствующие интегральные суммы образуют неубы¬
вающую числовую последовательность
... ....
ограниченную сверху числом Л4$ (В), где Л1 есть наибольшее
значение функции f (х) в основном брусе В. Поэтому при
г оо числа (/) имеют предел. Доказывается, что он не
зависит от выбора последовательности Этот предел,
по определению, и есть интеграл Римана от функции
f (х) по брусу В.
2.	Определение интеграла Римана с помощью сту¬
пенчатых функций. Посмотрим на эту схему с несколько
иной точки зрения. Введем понятие ступенчатой функции.
Мы будем называть функцию h (х), определенную в основном
брусе В, ступенчатой, если /г(х) принимает постоянное
значение hj на каждом подбрусе Bj некоторого разбиения it
основного бруса.
На граничных плоскостях подбрусов Bj, являющихс.
плоскостями разрыва функции h (х), ее можно определять
различными способами или вовсе не определять; для даль¬
нейших рассуждений значения /г(х) на плоскостях разрыва
не будут существенными.
Величину
lh = £ h.s {В,)

ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
15
будем называть интегралом функции h(x) по брусу В.
В частности, если имеется непрерывная функция /(х), то
каждому разбиению ~ бруса В мы можем сопоставить сту¬
пенчатую функцию /гтс(х), равную zn;. = min/(x) в каждом
подбрусе Bj. Тогда интегральная сумма (1) будет равна
интегралу от функции /z(x) по брусу В. Правильной после¬
довательности разбиений к2, ... отвечает неубывающая
последовательность ступенчатых функций
/4 (х) < ЛТС2 (х)< ... < h^r (х) < ...
Пр и г—>сю функции /zTCf(x) равномерно сходятся к функ¬
ции /(х).
Приведенное выше определение интеграла можно поэтому
перефразировать так: интеграл от непрерывной функ¬
ции f (х) есть предел интегралов от некоторых сту¬
пенчатых функций, которые образуют неубывающую
последовательность, равномерно сходящуюся к f (х).
3. Идея обобщения. Теперь попробуем обобщить поня¬
тие интеграла в направлении, которое после предыдущих
рассмотрений покажется само собой разумеющимся. Возьмем
произвольную неубывающую последовательность ступенчатых
функций /гг(х) с ограниченными интегралами:
Мх)< ...	.... МДх)<С.
Функции /гг(х) при каждом х сходятся к некоторому пре¬
делу /(*) (принимающему, возможно, и значение -Не¬
последовательность чисел Ihr также не убывает (не будем
сейчас задерживаться на доказательстве этого почти очевид¬
ного факта; см. п. 6) и, поскольку она ограничена, имеет
некоторый предел.
Определим значение интеграла от функции f (х) по фор¬
муле
If = lim Ihr.
Г ->оо
Эта последняя величина заведомо конечна (не превосходит С).
Целесообразно ли это обобщение, в какой мере оно раз¬
решает наши трудности, покажет дальнейший анализ.
В первую очередь нужно, конечно, показать, что полу¬
ченная величина If зависит только от самой функции f и не
зависит от выбора последовательности ступенчатых функций,
16
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. 1
сходящейся к /. Далее нужно выяснить свойства полу¬
ченного интеграла и что-то сказать о запасе функций, обла¬
дающих таким интегралом. Чтобы проделать все это, нам
понадобится некоторая техника работы со ступенчатыми
функциями; ее выработке и посвящено дальнейшее содержа¬
ние этого параграфа.
4.	Действия над ступенчатыми функциями. Всю сово¬
купность ступенчатых функций в брусе В мы обозначим
через Н или, при необходимости, Н (В). Совокупность Н
есть линейное пространство с обычными операциями сложе¬
ния и умножения на вещественные числа: если h (х) и k(x)—
ступенчатые функции, то их линейная комбинация /(х) =
= а/г (х)	(х) с вещественными коэффициентами а и [В
также есть ступенчатая функция. Именно, если В{, ...
. . ., Bk —система подбрусов, на которых постоянна функция
Л(х), а В\	Вп—система подбрусов, на которых по¬
стоянна функция k (х), то пересечения В\В\, ВуВ}, . . ., BkB.,n
образуют систему подбрусов, на каждом из которых по¬
стоянна функция I (х) *).
Отметим еще некоторые операции, которые можно про¬
изводить в пространстве Н. Абсолютная величина |/г(х)|
ступенчатой функции /г(х) есть ступенчатая функция. Если
даны две ступенчатые функции /г(х) и &(х), то
/г1(х) = max {/г(х), Л(х)},	&1(х)= ппп{Л(х), k(x)}
суть также ступенчатые функции. В частности, для каждой
ступенчатой функции Л(х) являются ступенчатыми также
положительная часть h+ (х), определяемая равенством
(х) = max (Л(х), 0],
и отрицательная часть h~ (х), определяемая равенством
h~ (х) = max {0, —/г(х)}.
5.	Множества меры 0 и множества полной меры.
В дальнейшем существенную роль будут играть покрытия
множеств системами брусов. Мы будем говорить, что мно¬
жество А (в основном брусе В) покрыто системой бру-
*) Среди указанных пересечений могут оказаться пустые или
вырожденные (без внутренних точек); их мы, естественно, отбросим.

ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
17
§ И
сов {Ва}» если каждая точка множества А является внутрен¬
ней точкой хотя бы одного из брусов Ва. В частности, для
замкнутого множества А имеет место лемма о конечном
покрытии: из любого покрытия множества А системой
брусов {3J можно выделить покрытие лишь конечным
числом брусов из системы {BJ.
Введем теперь важное определение множества меры 0.
Определение. Множество Z в брусе В называется
множеством меры 0, если для любого е > 0 его можно
покрыть конечной или счетной системой брусов Bv Bv
сумма объемов которых не превосходит е.
Так, лист, т. е. сечение бруса В некоторой плоскостью,
параллельной координатной плоскости, есть множество
меры 0, поскольку для любого £ > 0 имеется брус BeczB,
содержащий данный лист и при достаточно малой толщине
имеющий объем меньше е.
С другой стороны, весь брус В заведомо не есть мно¬
жество меры 0. Действительно, предположим, что он покрыт
системой брусов ВГ В2, ... По лемме о конечном покры¬
тии из этой системы можно выбрать конечную подсистему,
также покрывающую брус В; сумма объемов брусов даже
этой конечной подсистемы превосходит объем $(В) бруса В
и поэтому не может быть меньше числа s<s(B).
Пустое множество также будем считать множеством
меры 0.
В дальнейшем мы часто будем использовать следующее
свойство множеств меры 0.
Лемма. Объединение конечной или счетной сово¬
купности множеств меры 0 есть множество меры 0.
Доказательство. Рассмотрим сразу случай счетной
совокупности Zp . . ., Zr, ... множеств меры 0. Для задан¬
ного е > 0 и для каждого г покроем множество Z„ счетной
системой брусов с суммой объемов меньше (г = 1,2, . . .).
Тогда все множество Z — Zj + Z2 + ... окажется покры¬
тым счетной системой брусов (сумма счетного множества
счетных множеств) с суммой объемов, меньшей е. Следова¬
тельно, Z имеет меру 0, что и требовалось.
Множество в брусе В, дополнительное к множеству
меры 0, называется множеством полной меры.
2 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

18
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. 1
Пересечение конечной или счетной совокупности
множеств полной меры есть снова множество полной
меры. Действительно, если Q2, ... —множества полной
меры и Z1 = CQ1, Z2 = CQ2, . . .—дополнительные множества
меры 0, то множество
J	j	j
в силу леммы имеет меру 0; отсюда следует, что	есть
множество полной меры, что и утверждалось.
Если некоторым свойством обладают все точки некото¬
рого множества полной меры в брусе В, то мы говорим,
что это свойство выполняется почти для всех точек
бруса В. Бывают функции, почти всюду непрерывные, т. е.
непрерывные в каждой точке, кроме, может быть, множества
меры 0. Для функций, которым разрешается принимать
и бесконечные значения, имеет смысл название «конечная
почти всюду»; это значит, что множество, на котором функ¬
ция бесконечна, есть множество меры 0.
Множество точек разрыва ступенчатой функции, которое
всегда располагается на конечном числе листов, есть мно¬
жество меры 0. Множество точек непрерывности ступенча¬
той функции — множество полной меры.
6.	Интеграл от ступенчатой функции. Выше мы опре¬
делили интеграл от ступенчатой функции /г(х), принимающей
значения в брусах В;с:В, по формуле
tn
1!г = 2
; = i
Интеграл от ступенчатых функций обладает следующими
свойствами:
а)	/(а/г Д-—a//zдля любых двух ступенча¬
тых функций h и k и любых вещественных чисел а и [3;
б)	если h(x) ^k(x) при каждом х, то Ih^Ik\
в частности, если h(x)^>Q, то Ih^O.
Для доказательства а), имея систему брусов [Bj], на
которых постоянна функция h, и систему брусов {Вр},
на которых постоянна функция k, мы рассмотрим, как и
выше, систему брусов (В;Вр], на которых постоянны обе

ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
19
§ Л
эти функции; мы имеем далее
S (Ву) = 2 5 (В^), 5 (В^) = 2 5 (вХ),
р	j
откуда
lh = I hjS (В;) = hjS (BjB'p),
j	i p
fk = 2 kpS (в'р) = У^р8 (BjB'p),
p	p J
[(ah + ^) = 2 2	+ ^kp) s (BjB'p) = a/h + $lk,
i p
что и требуется. Аналогично доказывается свойство б).
Следующее свойство в) менее очевидно:
в)	если последовательность /г/2(х)^0 не возрастает
(так что hx{x)^ /?2(х)^ . . .) и стремится при каждом х
к нулю, то Ihn—>0.
Для доказательства поступим следующим образом. Мно¬
жество всех точек разрыва всех Нп обозначим через Z;
это — множество меры 0. Покроем его системой брусов
В2, ... с общим объемом, меньшим заданного е > 0.
Каждой из оставшихся точек х' сопоставим номер п = п(х'),
для которого выполняется неравенство Л/г(х')<е, и брус
В'(хг), в котором содержится эта точка х' и функция hn,
сохраняет свое значение. Брусы В{, В2, . . . вместе с бру-
сами В' (xz) образуют покрытие бруса В, из которого мы
можем выбрать конечное покрытие. Обозначим брусы конеч¬
ного покрытия через Bi, . . ., Вт, В\, . . ., Вр. Если г — наи¬
больший из номеров /z(xz), отвечающих соответствующим
точкам x'v .... х', то функция hr и все последующие
на брусах В\, ..., Вр не превосходят е. На брусах Bv ...» Btn,
сумма объемов которых по построению меньше е, эти функ¬
ции не превосходят числа М — максимума функции /^(х).
Брусы Bi, .... Вр можно считать не имеющими попарно
общих внутренних точек, поскольку мы всегда можем до¬
биться этого, перейдя к более мелкой системе брусов и
исключив общие части. Поэтому сумму объемов брусов
Bi, ...» ВР можно считать не превосходящей объема всего
основного бруса В. Теперь ясно, что для интеграла от
2*

20
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
функции hT(x) по брусу В и для интеграла от всех после¬
дующих функций мы получаем оценку вида
Ihr Мг +	(В).
Так как е можно было взять произвольно малым, то мы
приходим к выводу, что	что и требовалось.
7.	Второе определение множества меры О. Можно дать
новое определение множества меры 0 в терминах интегра¬
лов от ступенчатых функций. А именно, множество ZczB
есть множество меры 0, если для любого £>0 суще¬
ствует такая последовательность неотрицательных
ступенчатых функций hx(x) < /г2(х) < . . . < h (х) < ...»
что sup/гр (х)	1 на множестве Z и 1Нр<^г при любом
р
р= 1, 2, ...
Проверим, что это новое определение эквивалентно
исходному. Пусть Z есть множество меры 0 в исходном
определении, так что при любом е > 0 существует система
брусов Bv В2, . . . с суммой объемов, меньшей е, покры¬
вающая множество Z. Обозначим через hp(x) ступенчатую,
функцию, равную 1 на брусах Bv . .., Вр и 0 вне этих
брусов. Очевидно, h1(x)	h2(x)	... и lhp^s\ далее,
любая точка x0£Z входит в некоторый брус Вр, откуда
/гр(х0)=1 и, следовательно, sup hp (х)	1 на множестве Z,
что и требуется.	?
Обратно, пусть Z есть множество меры 0 в новом
определении, так что при любом е > 0 имеется последова¬
тельность неотрицательных ступенчатых функций hx(x)
<^/г2(х)< ... со свойствами Ihp-<^s, sup/zp(x)^l на мно-
р
жестве Z. Рассмотрим систему Qp брусов В{р\ ..., В{р\
1 р
на которых функция hp(x) принимает значения	Так
как lhp е, то общий объем всех брусов системы Gp
не превышает 2е. Каждая точка х £ Z входит при некото¬
ром р в один из брусов системы Gp\ поэтому все мно¬
жество Z покрывается счетным объединением {р— 1, 2, . . .)
систем Gp, каждая из которых имеет объем меньше 2е.
Объединение O =	можно представить в форме объ-
р

ИНТЕГРАЛ РИМАНА И СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
21
§ И
единения непересекающихся систем брусов:
G = 01 U (02 ~ Gi) U • • • U (0р+1 — О,,) U • • •
При этом сумма объемов всех брусов системы G предста¬
вляется в форме
s(G) = s(Gl)-]-s(G2—0^+ ...	•••
Частные суммы этого ряда суть числа	s(G2), .. .
. s(Gp), ... Они не убывают и ограничены числом 2е.
Поэтому общая сумма s(G) также не превышает 2г, что
и требуется.
Теперь мы можем переходить к обоснованию теории
интеграла. Оказывается, что в дальнейшем уже нет надобно¬
сти учитывать конкретную природу области В и функций h (х);
существенно лишь выполнение для интеграла от функций /г(х)
свойств а) — в).
Чтобы оттенить это обстоятельство, мы будем проводить
дальнейшее построение для функций, определенных на аб¬
страктном множестве X. Мы будем предполагать, что для
некоторой совокупности Н функций h (х) на множестве X
интегралы Пг уже известны и удовлетворяют условиям а) — в),
и дальнейшее расширение запаса интегрируемых функций
будем производить по пути, намеченному в п. 3. Это придаст
всему построению значительно большую общность и от¬
кроет возможности самых разнообразных применений.
ЗАДАЧИ
1.
Дано, что замкнутое множество F на отрезке [а, 6] полу¬
чается в результате выбрасывания из этого отрезка счетной сово¬
купности непересекающихся интервалов Др Д2, ..., Д/2, ... с суммой
длин, равной b — а. Показать, что F имеет меру 0.
Указание. F лежит в конечном объединении отрезков, полу¬
чающихся при выбрасывании из [а, интервалов Др Д2, ..., Д/2.
2. Канторово множество. Из отрезка [О, 11 выбрасы-
/12\1
вается интервал 1у, yl длины у, составляющий среднюю из трех
третей всего отрезка. Затем подобная операция производится
с каждым из двух оставшихся отрезков £о, yj и |у, 1J, т. е.
из каждого из них выбрасывается его средняя третья часть, именно
интервал ^у , у) из отрезка £о, yj и интервал ^у , yj из отрезка

22
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
из
Далее аналогичная процедура производится с каждым
четырех оставшихся отрезков: ^0,	,	£-|-, yj
, 1J— и процесс продолжается неограниченно. Оставшееся
и
в результате замкнутое множество С называется -канторовым.
Показать, что канторово множество:
а) имеет меру 0; б) имеет мощность континуума.
Указание, а) Использовать задачу 1; б) рассмотреть запись
точек множества С в троичной числовой системе и сопоставить
с записью точек отрезка [0, 1] в двоичной числовой системе.
3.	Известно, что сумма длин смежных интервалов к замкнутому
множеству Fa[a,b] меньше b — а. Показать, что множество F
не есть множество меры 0.
Указание. В предположении противного весь отрезок [а, Ь]
можно было бы покрыть конечной системой отрезков с общей-
длиной, меньшей b— а.
4.	Рассмотрим функцию f (х), определенную в брусе В и огра¬
ниченную. Для данного разбиения II бруса В на подбрусы Bv ..., Вт
положим
т; — inf f (х), М; = sup f (х).
Функция / (х) называется интегрируемой по Риману, если
sup V niiS (ВЛ = ini V M;S (В;),
п у ?	n "J*
где sup и inf берутся по всем подразбиениям бруса В. Показать,
что f (х) тогда и только тогда интегрируема по Риману, когда она
является одновременно пределом в смысле сходимости почти всюду
некоторой неубывающей последовательности ступенчатых функ¬
ций hn (х) и некоторой невозрастающей последовательности сту¬
пенчатых функций Нп(х), причем всюду hn (х) < f (х) < Нп (х).
Указан и е. Рассмотреть ступенчатую функцию h (х), рав¬
ную nij в брусе Bj (j ~ 1, 2, ..., т), и ступенчатую функцию //(х),
равную Mj в том же брусе.
5.	Показать, что f (х) (задача 4) тогда и только тогда инте¬
грируема по Риману, когда множество ее точек разрыва имеет
меру 0.
У к а з а н и е. Точки сходимости последовательностей hn (х)
и Нп (х) к /(х) суть точки непрерывности f (х).
§ 2. Общая теория интеграла
Этот параграф играет центральную роль во всей книге.
Намеченное в § 1 обобщение понятия интеграла получает
здесь свою реализацию. Результат построения — простран¬
ство суммируемых функций на абстрактном множестве X
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
23
§ 2]
с заданным семейством элементарных функций и с заданным
элементарным интегралом — будет служить опорным пунктом
для всех дальнейших рассмотрений.
1.	Элементарные функции и элементарный интеграл.
Нам дано семейство Н вещественных ограниченных функций,
определенных на некотором множестве Х\ мы будем их
называть в дальнейшем элементарными функциями.
Относительно семейства И мы предположим следующее:
1)	Н — линейное пространство с обычными операциями
сложения и умножения на вещественные числа;
2)	вместе с каждой функцией /?(х) в семейство Н входит
ее модуль h(x) |.
Отсюда следует, что вместе с функцией h (х) в семей¬
ство Н входит ее положительная часть (х) = max {/г (х), 0}
и отрицательная часть h (x) = max{0, —h(x)\, поскольку
эти функции линейно выражаются очевидным образом через
/г(х) и \h (х)|:
h+ (х)-=|(|/г(х)| + й(х)),
Далее, вместе со всякими двумя функциями h и k в семей¬
ство Н входят max{/z(x), k (х)} и min(/z(x), &(х)}, по¬
скольку, как легко проверить,
max \h (х), k (х)} = [1г (х) — k (х)]+ + k (х),
min{/z(x), k(x)] = — max [—/z(x), —£(х)}.
Предпсл ищется, что каждой функции h(~H сопоставлено
число //г, называемое интегралом от h и удовлетворяющее
условиям:
I.	I (&h^$k) — aJh-\-$Ik для любых функций /г, k из Н
и любых вещественных чисел а и р.
II.	Ih^O, если /г(х)^0 (аксиома положительности
интеграла).
Из II и I следует, что Ih .< Ik, если й(х) <&(х); в част¬
ности, для любой h(x)£H всегда Ih .< Ih* < I (| h\),
/Л >/(— lft| )== — /( |A| >. |7Л[ </( ]A| ).

24
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
III.	Если последовательность hn(x), убывая, стремится
к нулю при каждом х £ X, то	(аксиома непрерыв¬
ности).
2. Множества меры 0. Введем определение множества
меры нуль. Из двух эквивалентных определений, приведен¬
ных в § 1, в данной ситуации пригодно второе, которое мы
и принимаем.
Множество ZczX называется множеством меры 0, если
для любого е > 0 имеется неубывающая последовательность
неотрицательных функций hp{x)^H, для которых Ihp<^,
и sup hp (х)	1 на множестве Z.
р
Легко проверить, что объединение конечной или счетной
совокупности множеств Zp ..., Z1V ... меры 0 есть снова
множество меры 0. В самом деле, при заданных е > 0 и п
имеется неубывающая последовательность функций ) £ Н,
р = \, 2, ..., для которых Ih{p} С и sup h{p } (х)	1 на
множестве Zn. Последовательность элементарных функций
р
Нр — хпгх {/ip\ ...ihff*} не убывает; далее, Ihр <21'^р*
и на множестве Z мы имеем sup/z/?(x)^> 1, что и требуется.
р
Множество, дополнительное к множеству меры 0, назы¬
вается множеством полной меры. Из доказанного свой¬
ства множеств меры 0 переходом к дополнениям получается,
что пересечение конечной или счетной совокупности мно¬
жеств полной меры есть снова множество полной меры.
Как обычно, мы говорим, что некоторый факт имеет
место почти всюду на множестве X, если он имеет место
всюду на X, кроме, быть может, множества меры 0, или, иначе
говоря, если он имеет место на множестве полной меры.
Например, последовательность функций hn (х) £ Н, кото¬
рую мы будем рассматривать далее, почти всюду стремится
к нулю; это означает, что имеется множество полной меры,
в каждой точке которого эта последовательность стремится
к нулю.
Лемма. Если невозрастающая последовательность
неотрицательных функций hn(x)£H стремится к нулю
почти всюду, то

§21
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
25
Доказательство. Пусть А4 = sup hx (х) и Z— mho-
д'
жество меры 0, на котором последовательность hn не стре¬
мится к нулю. Для заданного е > 0 имеется неубывающая
последовательность неотрицательных функций kn^H, для
которых Ikn	и sup kn 1 в точках множества Z. Оче-
видно, что существуют числа lim/Zz^^O и lim.
Разность htl—Mkn не возрастает и имеет всюду неположи¬
тельный предел; отсюда, в силу III,
—>0
и, следовательно, lim Ihn — Allim = lim I (hn — у 0.
Но тогда
0 < lim Ihn < Л1 lim Ikn M — e,
и так как e произвольно, то Iim//zrt = 0, что и требовалось.
Функция	отличная от нуля только на мно¬
жестве Z меры, 0, имеет и интеграл lh, равный нулю.
Для доказательства достаточно применить лемму к последо¬
вательности | h |, |/г|, ...; мы получим /( |/г| ) = 0, откуда
и \Ih\ </(|Л|) = 0.
Поэтому две функции h^H и k £ Н, различающиеся
только на множестве меры 0, имеют равные инте¬
гралы.
Этот последний результат позволяет еще больше усилить
результат предыдущей леммы. Именно,	даже если
последовательность htl не возрастает только почти
всюду и стремится к нулю почти всюду. Действительно,
заменяя Нъ на /г2 = min(/zi, /гг). на /z3 = min (/z2, Л3), . ...
мы изменяем функции нашей последовательности лишь на
множестве меры 0, так что интегралы их не меняются; но
мы получаем уже всюду невозрастающую последовательность,
стремящуюся к нулю почти всюду; применяя лемму, полу¬
чаем требуемое.
Мы будем употреблять знак у71 для неубывающей число¬
вой последовательности, а также для функциональной, если
она является неубывающей на множестве полной меры.

26
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
Так, 1гп (х) f f (х) означает, что последовательность функ¬
ций /г/2(х) на множестве полной меры не убывает и схо¬
дится к /(х). Аналогичный смысл будет иметь знак
3.-Класс L* и интеграл в нем. Введем класс функций,
который будем обозначать L' (X), или, короче, L + . Функ¬
ция / (х) (принимающая, возможно, к бесконечные значения)
по определению принадлежит классу £'г, если существует
такая последовательность функций hn(x)£H, что h'n/Zf,
причем интегралы функций hn ограничены в совокупности
М/2<С.	(1)
Покажем прежде всего, что каждая функция /(x)f-Z/
на самом деле почти всюду конечна. Пусть ZcZ- мно¬
жество тех точек, где /(х)=4 °°- Функции hn(x) можно
считать неотрицательными, заменив в противном случае hn(x)
на/г/2(х)—/Zj (х). Выбрасывая, если нужно, множество меры О,
мы можем считать, что на всем множестве Z последователь¬
ность /z,2(x) не убывает и сходится к -|-оо.
Для заданного е > 0 в каждой точке х £ Z, начиная с не-.
(7
которого номера, выполняется неравенство hn (х) >— , так
что Z покрывается счетной совокупностью множеств
| х : !гп (х) >	| (п=1, 2, . ..). Таким образом, на множе-
стве Z заведомо
sup
//
z^n (-*)	1
С
В то же время
г е/гл
С
= -J- lhn < е.
Поэтому, в соответствии с определением, множество Z есть
множество меры 0.
Кроме того, из самого определения ясно, что вместе
с функцией f(x)£L* в класс Л4 входит всякая функция /^(х),
которая отличается от /(х) лишь на множестве меры 0.
Всякая функция /г(х)£/У входит, очевидно, в А+; мы видим,
что в L входит и всякая функция /гДх), отличающаяся
от /г(х) лишь на множестве меры 0. В частности, всякая функ¬
ция, отличная от нуля лишь на множестве меры 0, входит
в класс L\

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
27
§ 2]
Определим теперь интеграл от функции f класса L+
формулой
If — lim Ihn,	(2)
/г->оо
где hn—последовательность функций класса Н, участвую¬
щая в определении функции /. Так как последовательность
чисел Ihn не убывает и ограничена, то предел справа суще¬
ствует; но мы должны еще доказать, что он не зависит от
выбора последовательности htv определяющей функцию f.
Для этого мы докажем следующий, более общий факт: если
и kn — функции класса И с ограниченными в совокуп¬
ности интегралами и почти всюду
kn/g, f^g,
TO
lim Ihf:, lim Ikn.	(3)
m -> oo	n -> co
Для доказательства фиксируем номер tn и рассмотрим убы¬
вающую последовательность функций класса Н:
hm — kn' » = Ь 2> • • •
Ее предел hm — g < /— g < 0; но тогда (hm — А„)+\0
(почти всюду), откуда по свойству Ill / (hm — kn\' \0; так
как	—	—	то интеграл I(hni — kn) =
= Ihm — Ikn, убывая, стремится к некоторому неположитель¬
ному пределу. Отсюда мы делаем вывод, что Ihm lim Ikn.
Так как это неравенство верно при любом tn, то, пере¬
ходя к пределу при т—.>со, получаем (3), что и требовалось.
Полагая g = f, получаем If ±f.Ig> но в силу полной равно¬
правности f и g мы имеем также Ig < I/, откуда следует
If — Ig. Таким образом, определение интеграла функции
f^L'r по формуле (2) однозначно. Если же f£L\ g^Lf
ffg, то имеет место неравенство If -fig.
4. Свойства интеграла в классе Z/. Теперь обычным
предельным переходом мы можем перенести свойства инте¬
гралов от функций класса Н — не все, но некоторые — на
28
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
интегралы от функций класса . Именно, легко проверить,
что:
а)	Класс L+ вместе с функциями f и g содержит f -f-g и
+ = +
б)	Класс Z,4 вместе с функцией f содержит ее произве¬
дение на любое число а О и.
Z (а/) = а//.
Заметим, что в классе Л+, вообще говоря, нельзя вычитать
функции и умножать на отрицательные числа, поскольку мы
все время должны иметь дело с возрастающими последова¬
тельностями функций hn класса Н.
в)	Класс Z,4 вместе с функциями f и g содержит
min(/, g) и тах(/, g).
В частности, функция = max (/, 0) принадлежит классу Z/
вместе с функцией /. (Этого нельзя сказать о функциях
И |/|.)
Следующее свойство показывает, что класс L+ замкнут
относительно предельного перехода по возрастающим после¬
довательностям функций с ограниченными интегралами.
Теорема 1. Если fn^L' (п=1, 2, .. fn/f и
Ifn-i-C, то f^LL и —
Доказательство. Для каждой из функций fn по¬
строим определяющую ее последовательность функций
класса Н:
^11 < ^12
• • • < А1л
< •
• • > >hn 7 fv
^21 "С ^22 'С
. . .	/г2/<
< •
• ■ ’ Ihn 7 7
^/el С ^/?2 -С
• ■ • < hkn
< •
• hkn7fk>
Положим далее hn =
= тах(Л1л,
, hnn). Очевидно, что
hn — также функция
класса Н
и
последовательность hn
(;г=1,	2, .. .) монотонно возрастает. Далее,
< max(/Р	откуда	Обозначим
/* = Пт/гл; согласно определению класса Z/ мы имеем /*£ Z/
и If* — lim Ihn. Но так как hkn	fn при любом фиксиро¬
ванном k и п^> k, то, переходя к пределу при п—>эо, на-

29
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
§ 2]
ходим л </*</’ И’ так как п0 условию л//, то
(ПОЧТИ всюду). Таким образом,	Далее, Ihkn^Ihn^
ТаК как Ihn/If=If, то и Ifn/lf' чем Д0“
казательство и завершается.
оо
Следствие. Если для ряда ^gk, gk£L+, gk О,
/г=1
интегралы от частных сумм ограничены в совокуп¬
ности, так что
оо	со
то f = ^gk есть функция класса L+ и If= ^Igk-
k=i	k=i
n
Для доказательства достаточно положить fп — ^gk и
z? = i
применить предыдущую теорему.
5. Класс L и интеграл в нем. Теперь мы завершим по¬
строение интеграла, распространив его с класса А + на не¬
который более широкий класс L, в котором уже можно будет
производить все естественные для функций операции.
Будем называть суммируемой (или интегрируемой по
Лебегу) функцией всякую функцию ср (х), которая может
быть представлена на множестве полной меры как разность
<?=/— g
двух функций из класса L+. Совокупность всех суммируе¬
мых функций обозначим через L. В классе суммируемых
функций можно производить следующие операции:
а)	Сложение. Если ср = f — g и ср1 = /1 — gx — сумми¬
руемые функции, /, g, fv gr — функции класса L+, то
? + ?i = (/ + Л) — (£ + gi)’
и так как f -|-	L+, £■-(- g1^ L+, то	есть функция
класса L.
б)	Умножение на л юб о е в е ще ст ве н ное чис ло а.
Если а^О, то из ср — f — g, f £ L +, g £ L+, следует аср ==
= а/ — ag, a/ £ 1Л , ag £L+ и, следовательно, аср £ L\ если же
а,< 0, то — а > 0 и равенство аср = (— a) g — (— а) / пока¬
зывает, что по-прежнему аср£Л.

30
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
Из а) и б) вытекает, что любые линейные комбинации
функций класса L суть также функции класса L.
в)	Взятие модуля функции. Пусть ср = / — g,
g£L + \ тогда шах(/, g) и min(/, g) также принад¬
лежат классу //; отсюда |ср| = шах(/, g)—min(/, g) при¬
надлежит классу/ L. Решая уравнения
ср = z L  Ср“ ,	| Ср| = Ф ' 4“ ср~,
мы видим, что функции ср+ и ср" также принадлежат классу L
вместе с функцией ср.
Далее, равенства
max (ср, <р) = (<р —ф)+-|_ф,
rnin (ср, ф) =— шах(—ср, —ф)
показывают, что вместе с функциями ср и ф в класс L вхо¬
дят их максимум и минимум.
Введем теперь в класс L определение интеграла. Для
этого, имея разложение
<? = /-£.	/6/Л',	g£L+,	(I)
положим
Величина /ср называется интегралом Лебега функ¬
ции ср(х) и обозначается также стандартным образом
J ср(х) dx.
х
Следует заметить, что сам Лебег строил свой интеграл
(в 1902 г.) по иной схеме, с которой мы познакомимся в § 8.
Приведенное выше построение принадлежит Даниэлю (1917) *)•
Проверим, что число /ср определено единственным обра¬
зом. Пусть наряду с .разложением (1) имеется второе разло¬
жение
s-v	g^L+.
*) Р. Daniell, A general form of integral, Ann.,of. Math. 19,
(1917), 279—294; см. также Л. Л ю м и с, Введение в абстрактный
гармонический анализ, ИЛ, 1956, гл. 3,

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
31
§ 2]
Докажем, что tf — Ig!fх — IgЭто
лентно равенству
равенство эквива
(2)
Но так как / + gi = ^ + /Р то в силу единственности инте¬
грала в классе L мы имеем
откуда и вытекает (2).
Покажем далее, что полученный интеграл обладает
в классе L обычными линейными свойствами. Пусть q — f—g,
vx = f\ — gv где /« g' fv g] входят в класс L\ Тогда
ф _|_ rpj = (/ 4- /0 — (g gj) и, согласно определению,
/(? + ?i) ==/(/ + /1) - t(g +	= 7 + //1 “	~ ^1 =
•= (// — /g) 4- (7/1 — Igi) —	/?Р
Таким образом, интеграл суммы равен сумме интегралов.
Далее, при а > 0 мы имеем /(аср)=/ (а/—ag)=I (а/)-— I(ag)=
= а/f — olg = а(/f — Ig} — aJy\ с другой стороны, /(—ср) =
= I (g—	fg — If — — /ср, и, следовательно, при а<0
мы имеем / (аср) = /(— |а| ср) — — /( |а| ср) =	|а| /ср = а/ср,
так что число а можно выносить за знак интеграла, каков бы
ни был знак а.
Заметим далее, что если ср £ L, ср О, то /ср 0. Действи¬
тельно, если ср = /—g< f^L+, g^Lv и ср^О, то f^g
и //g, поэтому /<р =//—/g 0. Отсюда получаем
далее, что из cpj < ср2 следует /cpj < /ср2.
Отметим, наконец, что в разложении суммируемой функ¬
ции * = f — g, f£L\ g^LV можно подчинять функции /
и g дальнейшим условиям. Например, всегда можно выбрать g
так, чтобы иметь g 0, lg е, где е - заданное положи¬
тельное число. Для этого нужно рассмотреть в классе Н
последовательность функций hn /' g. так что lg — lim Ihn,
и затем написать
?==/-£ = (/-- /U - (S ~	= fn — g,r
При этом ftl — f — hn — f-\-(—hn) как сумма двух функ¬
ций из if (вторая—даже из /У) сама принадлежит ;
аналогично и gn. Очевидно, что при достаточно большом п
для функции gn — g — hn заведомо выполняются требуемые
32
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
условия gn 0, /gn ^£- Заметим при этом, что если ср 0>
то и функция fn = f — hn> f — g — y также получается
неотрицательной.
6. Теорема Беппо Леви. Теперь докажем важную тео¬
рему о почленном интегрировании рядов с положительными
слагаемыми.
Теорема 2 (Беппо Леви). Если для ряда	О»
/?=1
cp^Z,, интегралы, от частных сумм ограничены в сово¬
купности, так что
'(,Ы<с
оо
то ?=	?/’ есть суммируемая функция и /ср =
/г=1
со
= 2 Iff
k=\
Доказательство. Используя последнее замечание
п. 5, для каждой из функций срл, участвующих в формули¬
ровке теоремы, построим разложение
4k — f ь~ gk>	gk€^>
где fk 0, gk 0, lgk <-1- (/< = 1,2,...). При этом ряд
co
gk удовлетворяет условиям следствия из теоремы 1
/? = 1
( gk	f2 .S'/) < 1\ Поэтому g = s Sk принадлежит
<JO
что и ряд 2 fk
k = \
следствия; действи-
\fe = 1
оо
классу и Ig— У lgk. Покажем,
А’= 1
также удовлетворяет условиям этого
тельно, мы имеем fk 0 и

§ 2]	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА	33
оо
Поэтому и / = 2Л принадлежит классу £'*" и If =
= 2 >fk- Отсюда <р= 2 9й= 2 fk~ 2 Sk — fS при-
/г=1	£=1	/г = 1	Л = 1
надлежит классу L и
оо	оо	оо	оо
/? = //-/£= 2 Ifk -2^=2/ (f,t - gk) = 2 Apft-
k=l	k=l	k=l	k=]
Теорема доказана.
Следствие 1. Если суммируемые функции фп, моно¬
тонно возрастая, стремятся к пределу ф и
то ф— суммируемая функция и
/ф = Игл /фл.
п -> оо
Для доказательства достаточно положить ср1 = ф1, ср2==
= ф2— Ф1»	?/г + 1 — Ф/i + l— Ф« и применить предыдущую
теорему.
Аналогичный результат справедлив, разумеется, и для
убывающих последовательностей ф^'Хф, если только /фл >с.
Следствие 2. Мы видели, что функция ср (х), отлич¬
ная от нуля лишь на множестве меры 0, имеет интеграл,
равный нулю. Верно ли обратное, т. е. можно ли из равен¬
ства /ср = О вывести, что ср (х) = 0 почти всюду? Разумеется,
/ср может равняться нулю в силу взаимной компенсации ин¬
тегралов от ср+ и ср”. Поэтому правильная постановка об¬
ратной задачи должна относиться к функциям, не меняющим
знака, например неотрицательным. В этом случае обращение
оказывается справедливым. Действительно, пусть функ¬
ция <р0(х) неотрицательна, суммируема и /ср0== 0; покажем,
что ср0 = 0 почти всюду. Положим срл = /гср0; функции срл стре¬
мятся к пределу ср, равному нулю там, где срп равна нулю,
и -|-оо там, где ср0 > 0. Но так как, по следствию 1, пре¬
дельная функция должна быть суммируемой, то множество
тех х, где ср(х)=-|-оо, есть множество меры 0. Поэтому
и множество тех х, где ср0(х) > 0, есть множество меры 0.
Мы получаем: если у неотрицательной суммируемой
функции ср0(х) интеграл равен нулю, то эта функция
ср0(х) сама почти всюду равна нулю.
3 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

34
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
7. Теорема Лебега. В дальнейшем мы будем рассматри¬
вать произвольные (немонотонные) предельные переходы.
Классические примеры показывают, что нельзя ожидать тео¬
ремы вида «из уп —> ср следует /срп —> /ср» без дополнительных
предположений о характере сходимости последовательности срл
к своему пределу. Например, функции
?«w=
п sin пх при
О при
сходятся к нулю при каждом Х0О. к], в то время как
интегралы от них остаются постоянными (равными 2) и не
стремятся к интегралу от предельной функции.
Рассмотрим совокупность £(ср0) всех суммируемых функ¬
ций ср, удовлетворяющих (почти всюду) неравенству
— <Ро < ? < <Ро-	(!)
где ср0—фиксированная неотрицательная суммируемая функ¬
ция Очевидно, что для каждой функции ср £ L (ср0) выполнено
нер шенство
— /% < 1<? < /<Ро-
Если имеется монотонная последовательность функций ср^ —
убывающая или возрастающая, — принадлежащих совокуп¬
ности £(срп), то предельная функция ср, разумеется, удовле¬
творяет неравенству (1) на некотором множестве полной
меры вместе с функциями ср/7; эта функция является, со¬
гласно предыдущему следствию, и суммируемой. Следова¬
тельно. совокупность £(ср0) замкнута относительно монотон¬
ных предельных переходов. Заметим, далее, что для любой
последовательности cp/z £ L (ср0) можно утверждать, что функции
sup {<?!(*)	<f>„(X). ...}
п
И
inf (?1 (*)	...}
п
также принадлежат совокупности £(ср0): первая из них
является пределом при п—>оо возрастающей последователь¬
ности функций
тах^х), .... <р„(х)} £Л(<р0),

§2]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
35
а вторая — пределом убывающей последовательности функций
min {ср, (х)	<?„(х)}	t Z,(cp0).
Пусть теперь	— любая последовательность,
сходящаяся почти всюду к некоторой функции ф; покажем,
что ф также принадлежит классу	Достаточно показать,
что ф представляется в виде предела некоторой монотонной
последовательности функций из класса £(ср0). Положим
<p„(x) = sup {<р„(х), <р„+1(х), ...},
Zn(x)=inf {<р„(х), %! + 1(х), ...}.
По доказанному, эти функции суммируемы и принадлежат
классу £(ср0). Если рассмотреть только те значения х, где
функции <?п(х) имеют предел ф (х), то очевидно, что почти
при каждом таком значении
Ых)> lim 'Pn+pW = '+■(*)•
р -> ОО
Х„(х) < lim <р,;+р(х) = ф(х).
р -> СО
Далее, убирая функцию срй из совокупности срл, cprt+1, ....
мы можем только уменьшить верхнюю грань этой совокуп¬
ности и только увеличить нижнюю грань; поэтому
Фя+И-ОС’М*)-
z,+iW>x«(4
Следовательно, фл (х)— убывающая, а X«(x)— возрастающая
последовательность. Далее, ясно, что из <рл(х)—>ф(х) сле¬
дует фл(х)\ф(х) и Х/z (х) / Ф (х)- Таким образом, функ¬
ция ф (х) оказывается пределом возрастающей последователь¬
ности функций класса L (<р0) (и одновременно пределом
убывающей последовательности функций этого класса).
Отсюда ф £ L (ср0), что и утверждалось. При этом мы имеем
>1,7^	и !7.П <Кп <Откуда	Мы
Доказали следующую теорему.
Теорема 3 (Лебега). Если последовательность сум¬
мируемых функций сходится почти всюду к функ¬
ции с? и удовлетворяет условию
1?п /1=1,2,...,
3*

36
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
то ср — суммируемая функция и
/? = Пт Z<pn.	(2)
п -> оо
8.	Вопрос о суммируемости предельной функции при
сходимости почти всюду. Лемма Фату. В некоторых слу¬
чаях, когда из условия cpw —>ср не вытекает следствия
—>/ср, можно все же делать выводы о суммируемости пре¬
дельной функции ср, а для ее интеграла получить некоторую
оценку.
а) Так, например, если в теореме Лебега вместо условия
предполагать лишь, что срл(х)£Л, срл (х) —> ср (х) и
М*)|	(1)
то можно получить суммируемость функции ср(х), однако
без предельного равенства (2) п. 7. Действительно, в ука¬
занном предположении мы имеем
<p(x)= Iim ф„(х),
П -> со
где фл(х) есть функция сря(х), обрезанная сверху по уровню
ср0(х) и снизу по уровню —<р0(х), т. е.
<р„(х) = max [min [<рл(х), <р0(х)], — %(*)}•
Очевидно, что фл (х) суммируема и |Фл(х)| < <р0 (х); применяя
теорему Лебега, получаем суммируемость функции ср0(х) и
оценку
1/ср| </сРо-
В связи с изложенным введем одно важное понятие.
Всякую функцию ср(х), которая является пределом почти
всюду сходящейся последовательности элементарных функций,
будем называть измеримой. Специально измеримым функ¬
циям будет посвящена глава III; мы отметим сейчас только
некоторые простые свойства измеримых функций. Все сум¬
мируемые функции по самому построению являются изме¬
римыми; но класс измеримых функций, вообще говоря, много
шире, чем класс суммируемых. Простое условие, обеспечи¬
вающее суммируемость измеримой функции ср(х), дается
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
37
§ 2]
неравенством (1); иначе говоря, всякая измеримая функ¬
ция, ограниченная по модулю суммируемой функцией,
сама является суммируемой. Для доказательства доста¬
точно заметить, что ср(х) = lim hn(x), где hn(x)— элемен-
п -> оо
тарные — следовательно, суммируемые — функции, и приме¬
нить только что полученный результат.
б) Можно заменить условие теоремы Лебега более сла¬
бым условием /((срп|) С; в этом случае также можно до¬
казать суммируемость предельной функции (p = lim срл с заменой
предельного равенства (2) п. 7 на оценку
/(|ср|) < С.
Начнем со случая неотрицательной функции срп(х).
Лемма (Фату). Если уп — неотрицательные сумми¬
руемые функции, срл—>ср почти всюду и 1уп^С, то ср —
суммируемая функция и
Доказательство. Положим
<p„ = inf {<?„. <p„+i. .. .} >0.
Как и выше, функции образуют возрастающую последо¬
вательность, сходящуюся почти всюду к функции ср. Далее
фл<срл> /фл /срл < С; в силу следствия 1 теоремы Беппо
Леви функция ср суммируема и /срлХ/<р- В частности, 0
/ср = lim /Фл С, что и завершает доказательство леммы.
Рассмотрим теперь общий случай срл (х) —> ср (х), I(| срп |) С.
В этом случае, по лемме Фату, |ср(х)| есть суммируемая
функция. Но тогда в силу а) и ср есть суммируемая функция,
причем /(|ср|)< С, что и утверждалось.
9. Теорема о полноте пространства L. Напомним опре¬
деление нормированного линейного пространства. Линейное
пространство R, состоящее из элементов ср, ф, назы¬
вается нормированным, если каждому элементу ср£/? по¬
ставлено в соответствие неотрицательное вещественное
число || ср ||, называемое нормой, удовлетворяющее следую¬
щим условиям:
1.	|]<р|| > о при ср^О, || о II =0.
2.	|| ср+ф || < II ф II + II ф II ДДЯ любых ср £ R, ф G /?•
3.	|| аср || = |а| || ср || для любого ср £ R и вещественного
числа а.

38
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
Мы построим нормированное линейное пространство из
суммируемых функций. Примем в качестве нормы величину
||<р|| —/(|<р|).	(1)
Строго говоря, при этом условии уже первая аксиома ока¬
зывается не выполненной, поскольку из /11у|) = 0 не сле¬
дует, что ср есть тождественный нуль. Но если /(|ср|) = О,
то, как мы знаем (следствие 2 п. 6). ср равна нулю почти
всюду; поэтому положение исправится, если мы будем счи¬
тать одним и тем же элементом пространства R функции,
различающиеся лишь на множестве меры 0. В частности,
нулем пространства R будет любая из функций ср £ £,, равная
нулю почти всюду, или, если угодно, совокупность всех та¬
ких функций. Выполнение аксиом 2 и 3 теперь легко сле¬
дует из основных свойств интеграла.
След) ющая важная теорема уже в значительной мере
оправдывает затраченные нами усилия на построение про¬
странства L: речь пойдет о полноте этого пространства от¬
носительно нормы (1). Напомним, что нормированное про¬
странство R называется полным, если в нем выполняется
критерий Коши: всякая фундаментальная последовательность
срр ср2, ... элементов пространства R имеет в этом про¬
странстве предел. При этом элемент ср, по определению,
есть предел последовательности срр ср2, . . ., если ||ср — срл || —>0
при zz—>оо, а последовательность срр ср2, ... называется
фундаментальной, если lim || срл— срт||=О, иначе го-
п, т оо
воря, если для любого г > 0 существует такой номер N,
что при /г > А/, zzz > N имеет место неравенство
IK —<Pmll < е-
Теорема 4 (Э. Фишера и Ф. Рисса). Пространство
L — полное пространство', всякая последовательность
суммируемых функций срр ср2, . ... фундаментальная
по норме (1), имеет предел в пространстве L.
Достаточно показать, что имеется предел ср- некоторой
подпоследовательности срй , ср ,	этот элемент ср будет
пределом и всей последовательности ср/г в силу неравенства

§ 2]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
39
поскольку второе слагаемое справа стремится к нулю при
п_>оо и /гА->оо в силу фундаментальности последователь¬
ности ср„.
Пусть срР ср2, •••’ 9/г ••• —фундаментальная последова¬
тельность в пространстве L. Всегда можно выбрать после¬
довательность индексов < п2 < ... так, чтобы при п > nk
выполнялись неравенства
В частности, ||ср —<? II <
h "й + 1 М
это означает, что
2* ’’
Но тогда ряд суммируемых
гласно теореме Беппо Леви,
оо
функций £ |ср — I, со-
k-- I I k +1	k I
сходится почти всюду. Отсюда
следует, что
сходится почти
всюду и ряд
с частными суммами
N
Это
k —>
предел
означает существование предела (почти всюду) при
у последовательности функций срп . Обозначим этот
через ср. При р —> з-о и фиксированном k функции
срл —срл стремятся почти всюду к пределу ср — срл . Так как
/(|'\~%l)=llcs—Ml< товсилуп- 8'б) фун|<ш1я
<р— суммируема. Следовательно, и сама ср суммируема.
Далее, в силу того же п. 8, б). выполняется неравенство
Таким образом, последовательность ср^ сходится к ср по
норме пространства L, и теорема доказана.
Покажем в заключение, что элементарные функции h(x)
образуют в пространстве L всюду плотное множество.
40
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
Поскольку каждая функция из L есть разность двух функций
из класса L+, достаточно проверить, что каждая функция
есть предел по норме L некоторой последователь¬
ности функций hn£H. Мы возьмем, естественно, ту после¬
довательность hrl, которая определяла функцию /, так что
Ая//. lhn/If. Тогда \\f_hn\\=I{f-hn) = lf-Ihn-^O,
что и требуется.
10. Теорема Фубини. Мы завершим наши общие рас¬
смотрения построением интеграла на произведении двух мно¬
жеств и формулой приведения двойного интеграла к по¬
вторному.
В классическом анализе двойной интеграл Римана от
непрерывной функции /(х, у) сводится к двум однократным
интегралам Римана по правилу
dy.
В общей теории интеграла также имеется аналогичное
правило. Чтобы сформулировать его, введем определение
произведения множеств и соответствующих интегралов.
Пусть имеется множество X с заданным на нем простран¬
ством L(X) суммируемых функций ср(х) и интегралом
/хср и аналогичное множество Y с семейством L(Y) сум¬
мируемых функций ф(у) и интегралом /гф. Обозначим
через W совокупность всех пар — (х, у), где х £ X и у £ К.
Множество W называется (декартовым) произведением
множеств X и Y. Пусть на множестве W также имеется
некоторое пространство L(W) суммируемых функций ср(х, у)
с интегралом /ср. Предположим, что это пространство по¬
рождается некоторым семейством Н (W) элементарных функ¬
ций Л(х, у), которые, кроме аксиом п. 1 § 2, обладают
еще следующими свойствами:
1)	каждая функция /г(х, у)£Н, рассматриваемая как
функция аргумента х при фиксированном у, суммируема по х
почти при всех y£Y;
2)	ее интеграл Ixh(x, у) является суммируемой функ¬
цией от у;

§2]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
41
3)	имеет место равенство
Ih = ly [Ixh(x, у)}.
В этих предположениях мы докажем теорему:
Теорема (Дж. Фубини). Пусть <р(х, у) — суммируе¬
мая функция на множестве W. Тогда'. 1) рассматри¬
ваемая как функция аргумента х при фиксирован¬
ном у она суммируема по х почти при всех y^Y\ 2) ее
интеграл по X, который мы обозначим через /х<р(х, у),
является суммируемой функцией на К; 3) имеет место
равенство
Л7 Их? У)} —
Доказательство. Обозначим через Ф совокупность
всех функций	для которых теорема Фубини вы¬
полняется. По условию совокупность Ф содержит все эле¬
ментарные функции Л(х, у). Далее:
(I)	Очевидно, Ф — линейная совокупность, т. е. из
<Р1£Ф» <р2 € Ф следует afpi + а2<р2 £ Ф при любых веществен¬
ных 04 и а2.
(II)	Если функции ^(х, у), ...» <рп(х, у), обра¬
зующие {всюду) монотонную последовательность с соот¬
ветственно ограниченными интегралами, принадлежат
совокупности Ф, то и ср(х, у)= lim уп{х, у) также
/2->ОО
принадлежит Ф.
Пусть для определенности последовательность срл(х, у)
не убывает, так что ^(х, у)<С<р2(х, У) • •• Положим
£л(У)== ^x?n(X} У)- Последовательность gn(y) также не убы¬
вает и интегралы от gn(y) ограничены в совокупности:
ИхТЛ*- У)1 =/tPn//tP-
По теореме Беппо Леви функции gn(y) почти при всех у
сходятся к некоторой суммируемой функции g{y) и при этом
IYg = lim IYgn = I^.
/2->оо
Пусть у — одна из точек того множества Ес/ полной
меры, на котором функция g (у) определена и ограничена.
При этом значении у функции %Дх, у) как функции от х
не убывают и обладают равномерно ограниченными инте¬
гралами:
У) =	(У) / £■ (У)-

42
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. Т
Поэтому предельная функция <р(х, у) при данном у сум¬
мируема по х и в силу той же теоремы Беппо Леви
|im мл*- з’)=^е,)=/Х'р(х- у)-
П —ио
В результате получаем равенство
/? = //£'Ь’)=х=Л'РхТС*- У)}-
Итак, функция ср(х, у) принадлежит к совокупности Ф,
что и утверждалось.
(III)	Всякая функция z(x, у), отличная от нуля лить
на множестве Z меры 0, принадлежит совокупности Ф.
Пусть сначала г(х, у) на множестве Z принимает зна¬
чения между 0 и 1. Поскольку Z ест1> множество меры О,
для лю ого т= 1, 2, ... можно построить неубывающую
последовательность неотрицательных элементарных функций
h[n\x. у) такую, что
Itin\x, у) < —, lim h{™\x> у)^>1 на Z.
т
Мо чиосчитать при этом, что при любом т всегда /г(ят + 1)(х, у)<^
<. дп\х, у), поскольку мы можем заменить Л^7 + 1’(х, у) на
min {h\il + *' (х. у), hn^ix. у))-
Обозначим h'"”(x, у)— lim е™\х, у); поскольку функ-
П ->ио
ции hn (х, у) по условию входят в совокупность Ф, то по (II)
также и h’1' (х, у)£Ф. Далее, последовательность /гР?7)(х, у)
не возрастает и np i /п —> >о стремится к некоторому пре¬
делу Л(х, у), который по (II) также принадлежит Ф. При
этом Ih(m' = lim Z/г^ < — , Ih — lim Ih(m} = 0. Так как
П ->	771	rr -> oo
h{n'(x> y)> 1 при любых rm n и (x, y) £ Z. to /z(x, y)
^г(х, у). Положим g(y) = /x/z(x, у). Так как по дока¬
занному
IYg (У) = \!xh У)) = //2 = 0,
то g (у) почти для всех у равна нулю; для этих же значе¬
ний у и функция /г(х, у) почти всюду по х равна нулю,
а следовательно, для этих у и функция z(x, у) почти всюду
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА
43
§ 2]
по х равна нулю. Отсюда Ixz(x> у) = 0. Таким образом,
мы имеем
Лг(х, у) = 0 = /г (/хг(х. у)),
что и требовалось.
Если г(х, у)^>0— произвольная функция, равная нулю
на множестве Z, то, введя функцию /(х, у), равную 1 на Z
и 0 вне Z, мы имеем z(x, у) — lim /zmin]/(x, у), z- ,
/2->иО	1	п	1
откуда, по (III) и (II), z(x, у)£Ф. Общий случай приводится
к рассмотренным путем представления z = z ' —z~.
(IV)	Любая функция f{x. y)£L (^) принадлежит Ф.
Действительно, пусть hx (х, у), /г2(х. у) — последователь¬
ность элементарных функций, которая почти всюду, не убы¬
вая, сходится к f (х, у), так что !hrt/' If. О-означихМ через
/(х, у) предел всюду неубывающей последовательности функ¬
ций hx{x, у)==/г1(х, у), /г2(х, у)=тах|/г1, /г2}	 почти
всюду совпадающих с соответствующими функциями hx(x, у),
/г2(х, у) и, следовательно, имеющих те же значения инте¬
гралов. Функция /(х, у) почти везде совпадает с /(х, у),
и можно написать f = / z* где z(x, у) отлична от нуля
только на множестве меры 0. Так как по (II) и (III) функ¬
ции /(х, у) и z(x, у) принадлежат Ф, то по (I) и / при¬
надлежит Ф, что и утверждалось.
(V)	Любая функция	принадлежит совокуп¬
ности Ф как разность между двумя функциями совокуп¬
ности £+ (U/). Теорема доказана.
Замечание 1. Естественно поставить вопрос об обра¬
щении теоремы Фубини; иначе говоря, вытекает ли из
существования повторного интеграла
Их? у)}	(О
суммируемость функции ср(х, у) на множестве W?
Вообще говоря, это не так (см задачи 7 и 8 к § 3).
Но если функция ср(х, у) измерима (т. е. является преде¬
лом последовательности элементарных функций, сходящейся
почти всюду, — см. п. 8, а)) и неотрицателъна. то суще¬
ствование интеграла (1) уже влечет суммируемость
44
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
функции ср(х, у) на множестве W и равенство
Лр = /Г {/урО, у)}	(2)
Действительно, пусть существует повторный интеграл
/г{/хЧ>(х, у)) ■-= A, <р(х, у)== lim hn(x, у)
п -У оо
и пусть
y) = min (<р(х, у), max (/гр ..hn\ ].
Функция (а;, у) сама измерима (именно cprt =
= lim min [hm, max \hv	и ограничена суммируе-
m->oo
мой функцией max (Лр ...» hn\. Поэтому срл(х, у) сумми¬
руема на W (в силу п. 8, а)). По теореме Фубини
hn = IY{I^n{x, У))<Л.
С возрастанием п функции фл, монотонно возрастая, стре¬
мятся к функции ср; так как /<рп < А, то по теореме Беппо
Леви функция ср суммируема. Но тогда можно применить
теорему Фубини, и мы получим соотношение (2), что и
требуется.
Замечание 2. Мы исходили из готового интеграла на
декартовом произведении множеств X и Y, определенным
образом связанного с имеющимися интегралами на X и на Y,
В § 8, п. 8 мы увидим, как можно построить интеграл
на декартовом произведении X и Y по известным интегра¬
лам на X и на Y с выполнением требуемых связей.
§ 3. Интеграл Лебега в n-мерном пространстве
В этом параграфе мы применим общую схему § 2 к по¬
строению интеграла Лебега в конечномерном пространстве.
В качестве элементарных функций мы вначале возьмем сту¬
пенчатые функции, а затем непрерывные функции.
1.	Соотношение интеграла Римана и интеграла Лебега.
Вспомним сначала схему интеграла Римана, приведенную
в § 1. Как мы видели там, интеграл Римана от непрерыв¬
ной функции / (х) на основном брусе В есть предел интег¬
ралов от ступенчатых функций, равномерно сходящихся

§ 3]	ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В П-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ	45
к функции f (х). Примем совокупность ступенчатых функций
за класс Н с естественным определением интеграла
lh = S hjs (Bj), Bj={x: h(x) = hj}.
>=1
Условия п. 1 § 2 здесь выполнены, как это мы пока¬
зали в § 1. Поэтому вся схема § 2 применима в данном
случае и приводит к существога чию класса А (В) функций,
суммируемых в брусе В. В этом классе определен интеграл
Лебега /о, и класс А (В), рассматриваемый как нормирован¬
ное линейное пространство с нормой ||ср || = / (| <р |), является
полным пространством.
Дальнейшие рассмотрения имеют целью составить пред¬
ставление, хотя бы частичное, об объеме класса £(В).
Во-первых, всякая непрерывная функция, как предел равно¬
мерно сходящейся последовательности ступенчатых, оказы¬
вается интегрируемой по Лебегу (она входит даже в класс L~)
и ее интеграл Лебега совпадает с ее интегралом Римана.
Более того, пусть f(х)— произвольная, ограниченная, не
обязательно непрерывная функция в брусе В. Интегральная
сумма Римана
2 m}s(Bj), mj= inf /(х)
; = i
снова есть интеграл от ступенчатой функции (равной ntj
в брусе Bj). Рассмотрим последовательность hp ступенчатых
функций, построенных для функции /(х) по правильной по¬
следовательности Пр подразбиений основного бруса В. Эти
функции образуют неубывающую последовательность, огра¬
ниченную сверху функцией /(х). Покажем, что /гр(х)—>/(х)
в каждой точке х0 непрерывности функции /(х). Для за¬
данного е > 0 имеется окрестность точки х0, в которой вы¬
полняется неравенство /(а:)^/(х0) — е; если подразбие¬
ние Пр достаточно мелко, то брус By, содержащий точку х0,
целиком содержится в этой окрестности, и следовательно,
inf /(х)^/(х0) — е. Таким образом, h —
>/(*о) —е. откуда limhp(x0) = f (х0).
Итак, предел последовательности функций /гр(х), вообще
не превосходящий функции /(х), совпадает с /(х) в каждой
46
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
точке ее непрерывности. Если, в частности, множество точек
разрыва функции f (х) имеет меру 0, то Лр(х)-> f (х) почти
всюду; в этом случае /(х) интегрируема по Лебегу (и даже
входит в класс А + ). В теории интеграла Римана доказывается,
что ограниченная функция /(х) интегрируема по Риману
тогда и только тогда, когда множество ее точек разрыва
имеет меру 0 (см. задачу 5 к .§ 1). Поэтому, как мы видим
теперь, всякая, функция, интегрируемая по Риману,
интегрируема и по Лебегу и оба ее интеграла {рима¬
новский и лебеговскии) равны друг другу. Процесс инте*
грирования по Лебегу применим, таким образом, ко всем
функциям, интегрируемым по Риману. Более того, он при¬
меним к значительно более широкому классу функций: функ¬
ция ср(х) может не иметь ни одной точки непрерывности и
быть интегрируемой по Лебегу. Такова, например, функция
Дирихле х(х), равная 1, когда все координаты точки х
рациональны, и 0 в противном случае. Эта функция не инте¬
грируема по Риману, но интегрируема по Лебегу, поскольку
она отлична от нуля лишь на множестве меры 0 — и тем
самым имеет интеграл, равный нулю. Существуют и более
сложные примеры интегрируемых по Лебегу функций, кото¬
рые не имеют ни одной точки непрерывности даже после
произвольного изменения их на множестве меры 0 (см. за¬
дачу 4 к § 8).
Всякая измеримая функция (т. е. в соответствии
с определением § 2 п. 8, а) предел почти всюду сходящейся
последовательности ступенчатых функций), если она огра¬
ничена, является суммируемой; это следует из резуль¬
тата § 2 п. 8. б), если учесть, что в данном случае постоян¬
ные являются суммируемыми функциями.
Естественно, возникает вопрос, существуют ли вообще
ограниченные несуммируемые функции. Хотя до сих пор не
построено ни одного индивидуального примера такой функ¬
ции, общий ответ — утвердительный (см. задачу 6).
2.	Несобственный интеграл Римана и интеграл Лебега.
Рассмотрим далее функции ср(х), несобственно интегрируе¬
мые по Риману. Неотрицательная функция ср(х), непрерывная
в брусе В=(х: |х;-| aj], всюду, кроме начала координат
(например, обращающаяся в начале координат в бесконеч¬
ность), называется несобственно интегрируемой по Риману,

§ з]	ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В /l-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ	47
если при 8 —> 0 существует предел интеграла
J <p(x)dx,	(1)
хев-вг
где Ве есть брус [х: | Xj\ <^е, у=1, ...» п]. Если этот
предел существует, то он называется несобственным интегра¬
лом Римана от функции ср(х). ^Например, функция х^
несобственно интегрируема по Риману, если а < /г, и не
является таковой при
Рассмотрим эту схему с точки зрения операций с инте¬
гралом Лебега. Интеграл (1) есть интеграл по всему брусу В
от функции сре(х), равной <р(х) вне бруса Ве и 0 внутри
этого бруса. Функция сре(х) кусочно непрерывна, и ее инте¬
грал Римана (1) совпадает с ее интегралом Лебега. При е->0
функции сре(х) образуют возрастающую последовательность,
стремящуюся к <р(х). Если интегралы (1) имеют предел
при е—>0, то по теореме Беппо Леви функция ср(х) инте¬
грируема по Лебегу и ее интеграл Лебега есть предел
интегралов (1), т. е. совпадает с ее несобственным интегра¬
лом Римана.
Если же интегралы (1) при е—>0 стремятся к бесконеч¬
ности, то функция ф(х) не суммируема по Лебегу, так как
если бы интеграл /ср существовал, то для всех ср6 выпол¬
нялось бы неравенство /сре /ср. Таким образом, для функ¬
ции ср(х)^О с единственной особенностью в начале коор¬
динат существование несобственного интеграла по Риману
равносильно существованию ее интеграла по Лебегу и зна¬
чения этих интегралов совпадают друг с другом.
Наша схема может быть использована для построения
интеграла и в бесконечно протяженных областях. Например,
для построения интеграла во всем n-мерном пространстве Rn
в качестве исходной совокупности Н элементарных функций
может быть взята совокупность ступенчатых функций, при¬
нимающих постоянные значения в конечном множестве (огра¬
ниченных) брусов любого размера и равная нулю в осталь¬
ных точках Rn. В пространство L войдут, в частности, все
функции, интегрируемые по Лебегу в любом фиксированном
ограниченном брусе, а вне его обращающиеся в нуль.

48
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
Функция ср(х), определенная во всем пространстве Rn, сум¬
мируема тогда и только тогда, когда суммируемы все функ¬
ции, равные <р(х) в любом фиксированном брусе и равные
нулю вне этого бруса, а интегралы этих функций ограни¬
чены в совокупности; достаточность этого условия вытекает
из теоремы Беппо Леви, необходимость получается путем
параллельного построения интеграла функции <р(х) во всем
пространстве и в заданном ограниченном брусе.
Рассмотрим функции, несобственно интегрируемые по
Риману во всем пространстве. Функция ср(х)^>0 называется
несобственно интегрируемой по Риману, если она собственно
интегрируема в любом ограниченном брусе Br = {х: | Xj | г}
и при г—>оо существует предел интеграла
J <р(х) dx.
Вг
Указанный предел принимается за значение интеграла Римана
от функции <р(х) по всему Rn. Учитывая сказанное выше,
мы видим, что и в данном случае класс интегрируемых
по Лебегу функций содержит все неотрицательные
функции, несобственно интегрируемые по Риману.
Условие <р(х)^>0 во всех рассмотренных случаях весьма
существенно; без этого условия утверждение о суммируемости
функции, (несобственно) интегрируемой по Риману, стано¬
вится неверным (см. задачи 4 и 5).
3.	Теорема Фубини для функций нескольких перемен¬
ных. Рассмотрим, что дает теорема Фубини (§ 2, п. 10)
в приложении к функциям нескольких вещественных пере¬
менных. Пусть, например, множество X есть брус Вх —
= {х:	..., ат хт Ьт] в /n-мерном про¬
странстве и Y есть брус Вг = (у: q < У1 < dv .... сп.<
<Уп<^п} в n-мерном пространстве. Тогда W есть брус
В=[(х, у):	ck ^yk^.dk,
j =1, 2, . . ., т\ k—\, 2	п\
в п -j- w-мерном пространстве. В качестве семейства Н (W)
мы возьмем семейство всех ступенчатых функций на брусе В.
Функция /(х, у), равная 1 в некотором брусе В cz В и 0
вне его, есть, очевидно, произведение f (х) g (у), где /(х)
равна 1 в соответствующем брусе Вх с: Вл (именно, проек¬
§ 3]	ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В П-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ	49
ции бруса В на Вх) и 0 вне его, и аналогичным свойством
обладает функция g*(y). Согласно определению объема
/г-|-zn-мерного бруса мы имеем
5	(£) = 11 = / xf • Iyg.
Отсюда для любой ступенчатой функции получаем пред¬
ставление
/г(х, y)==SVAx’ У) = 2
j	j
Очевидно, что функция h (х, у) как функция от х при
фиксированном у определена почти для каждого у (за воз¬
можным исключением конечного числа листов разрыва функ¬
ций £у(у)) и является суммируемой (даже ступенчатой) функ¬
цией от х. Ее интеграл по брусу Вх имеет вид
lxh (х, у) = 2 hi Vxf)\ Sj (У);
j
очевидно, что это выражение есть суммируемая (даже сту¬
пенчатая) функция от у. Далее, мы имеем
/г {Iх^1 (х’ У)} —	hj Rxf ji VySу] — hjllj = Ih.
j	I
Таким образом, предпосылки для теоремы Фубини в данном
случае выполнены. Мы видим, что теорема Фубини при¬
менима к любой функции, суммируемой в п-\- zzz-мерном
брусе В.
Более того, поскольку в данном случае координаты х
и у равноправны, двойной интеграл /ср можно превратить
в повторный любым способом:
/<Р = /Х {/гср(х, у)] =1у {/х<р(х, у)}.
4.	Непрерывные функции как элементарные функции
с интегралом Римана как элементарным интегралом.
Можно построить пространство L суммируемых по Лебегу
функций и иным способом, взяв в качестве совокупности Н
элементарных функций все непрерывные функции в (замкну¬
том ограниченном) брусе Вив качестве элементарного
интеграла — интеграл Римана.
4 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

50
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
В самом деле, для совокупности Н всех непрерывных
функций f (х) в брусе В, очевидно, выполнены оба условия
1) и 2) п. 1 § 2. Далее, для интеграла Римана If легко
проверить выполнение условий I—III п. 1 § 2 для элемен¬
тарного интеграла: мы будем обозначать его здесь через If.
В частности, выполнение условия III получается, при исполь¬
зовании следующей леммы Дини:
Лемма. Невозрастающая последовательность не¬
прерывных неотрицательных функций fm(x)> сходя¬
щаяся к нулю в каждой точке замкнутого бруса В,
сходится к нулю равномерно в В.
Доказательство. Для заданного е>0 и заданной
точки х0 £ В найдем номер /п = /п(х0), для которого
fm (хо) < £< Затем найдем такую окрестность U (х0) точки х0,
что неравенство //7Z(x)<s выполняется во всех точках этой
окрестности. Очевидно, при р > т также fр(х)
для x^U(xf). Окрестности такого типа, построенные для
каждой точки х£В, образуют покрытие бруса В; из этого
покрытия можно выделить конечное покрытие. Если q — наи¬
больший из номеров функций, участвующих в определении
окрестностей этого конечного покрытия, то при г > q вы¬
полняется неравенство fr (х) < е уже для всех точек х £ В,
что и требовалось.
Ясно, что условие III теперь вытекает из леммы Дини и
классической теоремы о почленном инте1 рирозании равно¬
мерно сходящейся последовательности функций.
Итак, предпосылки для построения теории интеграла,
исходя из интеграла Римана как элементарного интеграла,
выполнены. Пространство соответствующих суммируемых
функций мы обозначим через L. Покажем теперь, что наше
построение приводит к тому же результату, что и в п. 1,
где мы в качестве элементарных функций брали ступенчатые
функции.
Проверим вначале, что совокупность новых множеств
меры 0 (построенных по элементарному интегралу /) совпа¬
дает с совокупностью прежних множеств меры 0. Пусть Z
есть множество меры 0 в смысле п. 5 § 1, так что для
любого s > 0 можно найти брусы Bv В2 ... с суммой
объемов < е, покрывающие множество Z. Пусть fm(x) —
непрерывная функция, равная 1 на брусе Вт, равная 0 вне

§ 3]	ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В П-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ	51
концентрического бруса вдвое большего размера и заклю¬
ченная всюду между 0 и 1. Ясно, что
Последовательность неотрицательных непрерывных функций
gm =	... + f т не убывает, ее предел на множестве Z
не меньше 1 и = 7/, + . . . + 7fm < 2" (sB{ + ...
sBm) < 2"s; это означает, что Z есть множество
меры 0 в новом смысле. Обратно, пусть Z есть множество
меры 0 в новом смысле, т. е. для любого е > 0 найдется
неубывающая последовательность неотрицательных непре¬
рывных функций /^(х) такая, что sup (х)	1 на Z и
7f[ni}<i—> Функция /(х) = lira lim /<т)(х) принадлежит
пространству L в силу теоремы Беппо Леви и If =
= lim lim	lim lim 7f{,tl = 0. Так как f (x)^> 1
p -> OJ rn -> oo &	p -> uo tn -> co
на Z, to Z есть множество меры 0 в силу следствия 2
теоремы Беппо Леви.
Итак, понятие «почти всюду» имеет один и тот же смысл
в обоих построениях.
Функция 7z(x), равная 1 на каком-либо брусе В и 0
вне его, может быть представлена как предел ограниченной
и почти всюду сходящейся последовательности непрерывных
функций f т\ поэтому по теореме Лебега h^L и Ih = lim Ihm —
= lim Ihm — lh. Следовательно, и любая ступенчатая функ¬
ция /г(х) входит в L u7h = Ih. Пусть, далее, функция f (х)
принадлежит классу £, + , т. е. является пределом (почти
всюду) неубывающей последовательности ступенчатых функ¬
ций hm (х), причем if = lim Пгт. Покажем, что f £'L и If = If.
Действительно, по доказанному, мы имеем hm^L, причем
Ihm = Ihm ограничены; отсюда / £ £ и If = lim Ihtn =
= lim Ihm = If. Обратно, если f £ L+, to f £ L, что доказы¬
вается тем же приемом с заменой ступенчатых функций hm
на некоторые непрерывные функции fm. Переходя к раз¬
ностям, получаем, что каждая функция	входит в Л,
каждая функция	входит в Л, и при этом /ср = /ср.
Тем самым совпадение результатов обоих построений уста¬
новлено.
4*

52
ИНТЕГРАЛ
[ГЛ. I
ЗАДАЧИ
1.	Показать, что функция f (х), равная 1 на открытом мно¬
жестве Gc[a, ft] и 0 на его дополнении, входит в L+ [а, 6].
1°°1
Указание. Если G = Ду, то f (х) = у. hj (х), где
7 = 1	•	/=1
hj (х) = 1 на Ду и 0 вне Ду.
2.	Построить открытое множество G CZ [а, 6] такое, что функ¬
ция / (х), равная 0 на G и 1 на его дополнении, не входит
в L+ [а, д].
оо	оо
Указание. Взять G = Ду =	(«у, ру),	(Ру—«/) < Ь—а,
7 = 1	7 = 1	J
и так, чтобы каждая точка х С [а, 6] была предельной для G.
3.	Если суммируемая функция f (х) равна нулю вне отрезка
[а, р], внутреннего по отношению к исходному отрезку [а, Ь], так
что функцию f (х) можно «сдвигать», то в пространстве L [а, Ь]
она «непрерывна в интегральном смысле»: для любого е > 0 можно
найти В > О так, что при | Дх | < В
||/(х+Дх)-/(х)||<е.
(1)
У Казани е. Показать, что множество
(1) выполнено, замкнуто в пространстве L.
для ступенчатых функций.
4.
/(*) =
При
— sin
ха
каких значениях параметров
—р- на полуинтервале (0, 1]:
всех /, для которых
Затем проверить (1)
а>0, р>0 функция
а)	несобственно интегрируема по Риману?
б)	суммируема по Лебегу?
Ответ, а) При а < 1 р; б) при а < 1.
Замечание. При 1 < а < 1 —|- р функция f (х) несобственно
интегрируема по Риману, но не суммируема по Лебегу.
5. При каких значениях параметров а, р > 0 функция (х) =
=		—~ в промежутке (1, со):
а)	несобственно интегрируема по Риману?
б)	суммируема по Лебегу?
Ответ, а) При а > 1 — р; б) при а > 1.
Замечание. При 1 — р < а < 1 функция (х) несобственно
интегрируема по Риману, но не суммируема по Лебегу.
6.	Неизмеримая функция. Для удобства построения будем
представлять себе отрезок [0, 1] свернутым в окружность Г
длины 1 и все расстояния будем измерять вдоль этой окружности.
Назовем точки 6 и т) окружности Г родственными, если расстоя¬
ние между ними рационально, и чуждыми, если оно иррационально.
Счетную совокупность всех точек, родственных с дайной (т. е. на-
§ 3] ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В П-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ	53
холящихся от нее на рациональных расстояниях), назовем семей¬
ством. Вся совокупность точек окружности есть объединение
некоторого множества различных семейств. Показать, что функ¬
ция f (х), определенная на окружности Г и для каждого семейства
принимающая на одном его члене значение 1, а на остальных
членах — значение 0, не может быть измеримой.
Указание. Если f (х) измерима, то она суммируема и сум¬
мируемы также все ее сдвиги f(x-}-h), причем If(x-^ h) = If (x).
Показать, что f (х + г) == 1 (г — всевозможные рациональные
г
числа). По теореме Беппо Леви f (х-\-г) =	(х) — 1\ =1,
г	г .
что невозможно ни при If>$, ни при If = 0.
7.	Рассмотреть двойные интегралы
оо со	11
i) У* У е~хУ sin х sin у dx dy, 2) J* J ~^2- dx dy.
6	6 6 6
Показать, что соответствующие повторные интегралы суще¬
ствуют при любом порядке интегрирования (и в случае 1) совпа¬
дают, в случае 2) различны). Тем не менее двойные интегралы не
существуют, подынтегральные функции не суммируемы. Нет ли
здесь противоречия с теоремой Фубини (точнее, с ее обращением,
§ 2, п. 10, замечание 1)?
У Казани е. Подынтегральные функции не сохраняют знака.
8 (Пример Г. П. Толстова). Примем два постулата теории
множеств:
1.	На множестве точек континуума С = {0<£<1} можно
ввести новое отношение порядка, обозначаемое знаком так,
что каждое подмножество будет иметь наименьший элемент (гипо¬
теза о полной упорядочиваемости).
2.	При этом упорядочении всякое подмножество {£:£—$ £0}
при любом % С С не более чем счетно (континуум-гипотеза).
Рассмотрим на квадрате	0 у < 1 множество Z
всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенству х у.
Показать, что каждое горизонтальное сечение множества Z
не более чем счетно, а каждое вертикальное сечение имеет не
более чем счетное дополнение. Далее, для характеристической
функции h (х, у) множества Z имеют место соотношения
/г [Ixh (х, у)] = 0, 1Х [Iyh (х, у)] = 1.
Нет ли здесь противоречия с замечанием 1 к теореме Фубини?
У Казани е. Функция h (х, у), конечно, неизмерима.

ГЛАВА II
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ 4. Интеграл Лебега — Стилтьеса
1. Брусы и листы. Общая схема § 2 может быть при¬
менена еще к одному широкому обобщению понятия инте¬
грала, называемому интегралом Стилтьеса.
Предварительно уточним понятие бруса. Мы назвали в § 1
брусом множество точек х = (х1, ...» хп), удовлетво¬
ряющих неравенствам ах < хх Ьх	 ап	хп Ьп*
Поскольку до сих пор мы имели дело лишь с размерами и
объемами брусов, не играло роли, стоят ли в этих нера¬
венствах знаки < или <, поскольку граница бруса имеет
объем нуль. Теперь мы будем иметь дело с обобщением
объема, объемом Стилтьеса, который может быть положи¬
тельным на границе бруса. Поэтому, начиная с этого места,
мы заключаем твердое соглашение об определении бруса;
именно, мы будем называть брусом множество точек вида
В=1х; ах < хх Ьх, .... a„<x„^bn},
ах<Ьх	 а„ < Ьп,
так что всюду в неравенствах левые концы исключаются,
а правые включаются.
К числу брусов причисляем также пустое множество.
Также не исключаются бесконечные брусы, в которых одна
или несколько из величин bv ап, Ьп обращаются
в бесконечность соответствующего знака; при этом нера¬
венство bj заменяется, естественно, на < -|- оо. Впрочем,
бесконечный брус всегда может быть преобразован в огра¬
ниченный заменой Xj = tg£/ (7=1	п) и присоедине¬
нием верхнего основания ^ = ^-.

§4]
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА- СТИЛТЬЕСА
55
Отметим два основных свойства брусов:
а)	пересечение двух брусов есть снова брус;
б)	если брус Bq содержится в брусе В, то существует
разложение на слагаемые без общих точек
В = Bq и Вх и ... и B!1V
где .... Вт—некоторые брусы.
Гиперплоскость размерности л—1, параллельная коорди¬
натной гиперплоскости (т. е. имеющая уравнение Aj—const),
называется листом; также мы будем называть листом и любую
фигуру на такой гиперплоскости. Множество точек вида
1\ = {х:	а1<х1^Ь1	 хк	— ак..... an<xn<bn\
называется k-м листом нижней границы бруса В\ объе¬
динение всех Гл (/г=1,	п) называется (полной) ниж¬
ней границей В. Точки нижней границы, естественно, не
принадлежат самому брусу В.
Множество точек вида
Г<*>==(х:	Л	 xh = bk, .... a„<bn^bn}
называется k-м листом верхней границы бруса В\ объе¬
динение всех Г(Л) (& = 1, . . ti) называется (полной) верх¬
ней границей бруса В. Как нижняя, так и верхняя границы
бруса В могут содержать бесконечно удаленные точки: можно
было бы формализовать такое понятие, но в этом не будет
надобности. Точки верхней границы бруса с конечными зна¬
чениями bk, во всяком случае, принадлежат брусу В. Сово¬
купность всех точек нижней границы бруса В и всех бес¬
конечно удаленных точек верхней его границы мы назовем
несобственной границей бруса В.
2.	Квазиобъем, квазидлина и производящая функция.
Пусть теперь каждому брусу В в основном брусе В — может
быть, неограниченном — сопоставлено число о (В), причем
так, что выполняется свойство аддитивности: если брус В
есть объединение брусов Вх, .. ., Вт без общих точек, то
а(В) = о(В1)+ ... +^Вт\
Функцию а (В), обладающую свойством аддитивности,
будем называть в дальнейшем объемом Стилтъеса или,
короче, квазиобъемом.

56
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
В случае /г=1 брус В есть полуинтервал (а> #], произ¬
вольный брус В — полуинтервал (a, pj, а < а < р < Ь. Квази¬
объем для полуинтервалов более естественно называть квази¬
длиной. Можно связать всякую квазидлину а (а, р] с неко¬
торой функцией переменного х. Именно, положим
F(x) = a(a, х].
Зная функцию F (х), можно написать квазидлину для любого
полуинтервала (а, р], именно
а(а, В] = а (а, р]— о (а, а] = /?(р)— F (а).	(1)
Эта функция F(x) называется производящей для квази¬
длины а (или, иначе, функцией распределения для этой
квазидлины). Очевидно, что любая всюду конечная функ¬
ция F (х) может служить функцией распределения, поскольку
функция полуинтервалов а (а, р], определенная формулой (1.)
по данной F (х), всегда является аддитивной.
Производящую функцию можно определить и для квазиобъема
в n-мерном пространстве, хотя она там и не приносит особой
пользы. Рассмотрим для простоты случай п = 2, и пусть
В — основной брус; можно считать его определенным неравен¬
ствами
Xj b[f	а>2 Хз	^2*
Обозначим через В^* брус, выделенный неравенствами
«1 < Xi	Pi,	а2 < х2 Рг»
и положим
Л(хг х2) = а(В^>).
Из равенства
• (<;’”) -»(С.1’) - • «■') - ° (С;’)+° «£’) -
= П?1> Рг) —	₽2)— /=■(?!, а2) + ^(«1. «2)
следует, что функция F(x{, х2) позволяет восстановить квази¬
объем а (В) для каждого бруса В; она называется поэтому произ¬
водящей функцией квазиобъема а (В).
3. Интеграл Римана—Стилтьеса. В этом пункте мы на¬
ложим на квазиобъем о следующее дополнительное условие:
(V) Существует такая постоянная V, что для любого
разбиения бруса В на систему непересекающихся брусов

§ 4]	ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА	57
ВР ...» Вт выполняется неравенство
т
2 |о(ву)| <.к
7	= 1
Смысл условия (V) выяснится в дальнейшем. Заметим,
что если квазиобъем о неотрицателен, т. е. а(В)^0 для
любого бруса В, то условие (V) является следствием конеч¬
ности о (В); таким образом, условие (У) есть существенное
ограничение лишь для квазиобъемов, принимающих значения
обоих знаков.
Пусть теперь основной брус В ограничен и в нем задана
некоторая функция /(х). Рассмотрим произвольное разбие¬
ние П бруса В на непересекающиеся подбрусы
В = Bj U • • • U Вт, d (П) = max Разм
выберем в каждом брусе By произвольную точку £у и со¬
ставим «интегральную сумму Римана — Стилтьеса»:
т
$п(/)= 2	(i)
/=1
Если при неограниченном измельчении разбиения II
(т. е. при d (П) -> 0) сумма (1) имеет предел, не зависящий от
вида разбиения и выбора точек £у, то функция /(х) назы¬
вается интегрируемой в смысле Римана — Стилтьеса
в брусе В по квазиобъему а, а указанный предел назы¬
вается интегралом Римана — Стилтьеса от функции
/(х) по брусу В и квазиобъему о; он обозначается символом
J f (х) О (dx).
В
Покажем, что всякая функция f (х), равномерно не¬
прерывная в брусе В, является интегрируемой в смысле
Римана — Стилтьеса в брусе В по любому квазиобъему о,
удовлетворяющему условию (V).
Для заданного s > 0 будем рассматривать такие мелкие
разбиения П = (By) основного бруса, что из х'£Ву, х"£В]
следует |/(xz)— f (xzz) | < е; такие разбиения будем называть
принадлежащими числу е. Пусть имеется некоторое раз¬
биение П, принадлежащее е, и некоторое более мелкое
58
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
разбиение П,= [В//г}, причем каждый брус Bjk входит в брус Bj.
Пусть, далее, ^jk — любая точка бруса Bjk. Мы имеем по
условию
/ (Ц/г)	=	le/^l < е»
Sn (/) = £/ (£у) о (В;) Si, ■ (/) = 2 / Ъ1к) *
/	/, А’
Isn, (/) - Sn (/) | = 12 j 2 f а;,р a (Bjk) - / ар a (spj. |=
= | 2 j 2	} | < e £ I °Bjk | < Ж.
Пусть теперь ГЦ и 112—люгые два разбиения, принадле¬
жащие числу е. Образуем новое разбиение II12 из всех пере¬
сечений брусов, входящих в разбиения 112 и П2. Тогда, по
доказанному,
|5ii, (/)-S1112(/)| <еУ, |Sn2(/)-S„12(/)| <eV.
откуда
|5ц, (/) — Sn2(/)| <2гУ.
Пусть, наконец, Пп есть последовательность разбиений,
принадлежащих соответственно числам s/?—>0. По доказан¬
ному числа Sn (/) образуют последовательность Коши и,
следовательно, имеют некоторый предел Ц/. Если 1Ц — лю'ая
другая последовательность разбиений, принадлежащих чи¬
слам ел, то, по доказанному, S ■ (/) -- S(l	откуда
следует, что /3/ не зависит от выбора последовательности ГЦ.
Отметим очевидную оценку интеграла Стилтьеса для
равномерно непрерывной функции f (х), ограниченной по
модулю числом М:
\/J\	(2)
Сформулируем условие (V) в случае п = 1 в терминах, связан¬
ных с производящей функцией В (х) = о (я, х] квазидлины о.
Разбиение ограниченного бруса В = (&,/>] на непересекаю-
щиеся подбрусы в данном случае есть разбиение ограниченного
полуинтервала (а, Ь] на непересекающиеся полуинтервалы:
(а, /?] = (х0, xj-Ц (Хр х2]-Ц ... “Ц

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА
59
§ 4)
где а = х0<х1< ... < хт_х < хт = Ь. Введя произво¬
дящую функцию F(x) = a(a, х], мы можем записать нера¬
венство (1) в форме
т
X |Пху) — F(X7_I)| < V,
где положено, по определению. F (х0) = F (а) — 0. Впрочем,
можно задать F (а) произвольным образом, что может отра¬
зиться лишь на величине I/, но не на ее конечности.
Всякая функция F(x), определенная на отрезке \а. Ь] и
при любом выборе числа т и точек а = х0 <xt<. . ,<xm — b
удовлетворяющая неравенству
т
s |Г(ху)-/Чх,-!)! < V
/=1
с фиксированной постоянной V, называется функцией с огра¬
ниченным изменением. Такова, в частности, всякая не¬
убывающая ограниченная функция F (х).
Итак, если квазидлина а (а. [3] обладает производящей
функцией F (х) с ограниченным изменением, то для любой
функции /(х), равномерно непрерывной в промежутке (а, Ь]>
существует интеграл Римана—Стилтьеса
т
4/= J/(x)a(dx] = Iim	Xj],
‘а,Ь}	11	; = 1
где ^С(х/-р а предел справа берется при неограничен¬
ном измельчении промежутков (xz_p х;]. Этот же интеграл
через производящую функцию обозначается следующим
образом:
f f(x)dF (х).
Последнее обозначение, естественно, связано с исходным
определением интеграла, выраженным через производящую
функцию:
т	т
*‘m X^1 = Ип| X—
II у = 1	7	11 / = 1	7	J	J
60
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
где снова положено F (х0) = F {а) — 0. В частности, при
/(х)=1 получаем
f 1 >dF(x)^(a, b] —F (b) = F (b)~ F (а)
(a,b]
в соответствии с классическими формулами. В дальнейшем
мы увидим, что в некоторых случаях можно заменить выра¬
жение dF (х) под знаком интеграла Стилтьеса на F'(x)dx
и тем свести его к обычному интегралу Римана; например,
это будет справедливо всегда, когда функция F (х) имеет
непрерывную или кусочно непрерывную производную.
Все эти построения легко переносятся на случай неогра¬
ниченного бруса В. Следует только уточнить смысл «неогра¬
ниченного измельчения». Произведем преобразование Xj~
= tg£y. (п- 1); брус В перейдет в ограниченный брус В*;
будем говорить, что разбиение П бруса В «неограниченно
измельчается», если соответствующее разбиение бруса В*
неограниченно измельчается в обычном смысле. Далее, функ¬
ция /(х), определенная в брусе В, считается равномерно
непрерывной, если равномерно непрерывна в обычном смысле
функция /*(х), или, что то же, если / (х) непрерывна в В
и допускает непрерывное продолжение на бесконечно уда¬
ленные точки. Ясно, что всякая функция /(х), равномерно
непрерывная в В, интегрируема по квазиобъему о.
4.	Неотрицательные непрерывные квазиобъемы. При¬
меры. Наша дальнейшая задача состоит в построении инте¬
грала Лебега — Стилтьеса, обобщающего интеграл Римана —
Стилтьеса в том же направлении, в котором интеграл
Лебега, построенный в § 3, обобщал классический интеграл
Римана.
Для этого построения мы рассмотрим квазиобъем о
(т. е. аддитивную функцию подбрусов основного бруса В),
удовлетворяющий следующим дополнительным условиям:
1)	<з(В)^>0 для каждого бруса ВаВ (неотрицательность
квазиобъема);
2)	если пересечение последовательности брусов BjZD...
<. . oB^ZD . .. пусто, то
lim o(Bm) = 0.
m-»co

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА
61
§ 4]
Второе свойство называют непрерывностью квазиобъема
(точнее, непрерывностью сверху).
Вот три простых примера неотрицательных непрерывных квази¬
объемов:
1.	*з (В) есть s (В) — обычный объем бруса В (если В огра¬
ничен).
2.	о (В) = f g (х) dx, где g (х) — фиксированная неотрицатель-
в
ная суммируемая на всем брусе В функция.
3.	Фиксирована последовательность точек clt ..ст, ... в основ¬
ном брусе В и последовательность положительных чисел аь ...
..., <зт, ... с а/п < оо. Для заданного бруса В с В число а (В)
есть сумма тех из чисел ат, для которых соответствующие
точки ст лежат в брусе В.
Если в примере 2 заменить неотрицательную суммируемую
функцию g (х) на суммируемую функцию, принимающую значения
обоих знаков, мы получим пример незнакоположительного квази¬
объема, удовлетворяющего условию непрерывности.
Если положить а (а, р] = 1 для всякого полуинтервала (а, р],
содержащего правую окрестность фиксированной точки с, а < с < Ь,
и положить далее а (а, Р]=0 для всех остальных полуинтервалов,
то мы получим пример неотрицательной квазидлины, не являю¬
щейся непрерывной. Действительно, (с, (? + &] пусто, в то время
8
как Игл а (с, с + о] = 1.
6-»0
В случае п=\ легко выразить свойства неотрицатель¬
ности и непрерывности квазидлины о (а, [3] в терминах произ¬
водящей функции F(x) = o(a, х].
Ясно, что квазидлина о (а, [3] неотрицательна тогда и только
тогда, когда F (х) не убывает. Если квазидлина о (а, (3] не¬
прерывна, то производящая функция F (х) непрерывна
справа, т. е. F(x + 0)^Hni F(S) = F(x). Действительно,
в этом случае
/7(P + O) = limF(x) = lima(tz, х] = а(а, р]==/7(Р).
Кроме того, в этом же случае F (а + 0) = 1 im а (а, х] = 0.
Покажем, что и обратно, квазидлина а (а, (3] непрерывна
(сверху), если F (х) непрерывна справа и F (а + 0) = 0. Пусть
имеется сжимающаяся последовательность полуинтервалов
Дл = (ал, (3J ({Зл < оо) с пустым пересечением. Это означает,
что все ап, начиная с некоторого номера, равны одному
и тому же числу а, а имеют вид p/J = a4-s/J, где е„\0.
62
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
Если при этом а > а. то в силу непрерывности справа
функции F (х) мы имеем
3 (дп) = F (а + е„) — ? (“) -> 0.
Если же а = а, то применяем условие /?(^ + 0) = 0:
о (AJ = F (а гп) —> F {а 0) = О’,
тем самым наше утверждение полностью доказано.
Таким образом, условия на F (х):
1)	/7(х)>0;
2)	F (х) непрерывна справа, F (а + 0) = 0 — не только
необходимы, но и достаточны для того, чтобы функция F (х)
определяла по формуле (1) неотрицательную и непрерывную
квазидлину.
5.	Брусы, существенные для квазиобъема, и брусы
его непрерывности. В следующих двух пунктах мы будем
предполагать, что квазиобъем а неотрицателен; условие не¬
прерывности мы наложим, только начиная с п. 7.
Если <з(В) неотрицателен, то В^В влечет о(В0) < <з(£),
поскольку по свойству б) п. 1 брус Во всегда можно допол¬
нить какими-то брусами Вх, Вт до бруса В.
Поэтому, если дана последовательность вложенных друг
в друга брусов
Bi=>B2=> ... =>Bm=) ....
то последовательность чисел <з(Вгп) не возрастает и имеет,
следовательно, некоторый предел.
Множество Вш = Q Вт может быть брусом или лежать на
т
каком-либо листе (сечении бруса В координатной гипер¬
плоскостью), или быть пустым.
Если Вш есть брус, то определено число ^(Вт); однако,
вообще говоря, соотношение о(Вш)== lim a(Bf!l) не имеет
т ->оо
места; аналогично, если Вш пусто, то, вообще говоря,
lim е(В,п) ¥= 0.
til -> <Х> •
Рассмотрим случай, когда В^ не пусто и лежит на листе.
Число lim <з(Вт) в этом случае обозначим через а(Вш).
т ->оо
Как показывает приведенный выше пример 3, число а(Вш)
может не быть нулем, если лежит на листе; в этом

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА
63
§ 4]
проявляется существенное отличие между квазиобъемом
и обычным объемом. Но случай о(£ш)>0 для листа все же
есть исключение, а не правило. Покажем, что может суще¬
ствовать лишь конечное число непересекающихся листов
с величиной о(£?ш) большей, чем положительная постоян¬
ная С. Пусть имеется N таких листов Лр AN; обра¬
зуем N непересекающихся брусов £р BN таких, что
BjO/lj, ...,	очевидно, что а(51)>С, ..., o(£yv)>C.
Но так как	••• + 0 (#дгХ-0 (В)’ то мы получаем
NC < о(В), откуда N < -^-о(В), что и требовалось. Отсюда
мы делаем дальнейший вывод, что всего непересекающихся
листов с положительным квазиобъемом может быть
не более счетного множества. В частности, если взять
континуум листов, определяемых пересечениями гиперпло¬
скостей xk = t (k фиксировано, ak < t <. bk) с брусом В,
то почти все из них, за исключением, может быть, счет¬
ного множества, имеют квазиобъем 0.
Можно определить квазиобъем и для некоторых листов,
не лежащих в самом брусе В. Возьмем &-й лист нижней
границы бруса В:
= [х: a, < Xj < bt	xk == ak, .... an < xn C Z>„}.
Назовем квазиобъемом листа ГА величину
а(Гл) = lim о (х: al < х} < blt ...
=—> о
•••• ak<xi!<ak + ^	а„<х,<Ьп].
Если квазиобъем <з непрерывен, то, разумеется, 0(1^) = О
(поскольку пересечение брусов, стоящих под знаком предела,
пусто). Но в общем случае о(Гй)^0, так что нижняя гра¬
ница В может иметь и положительный квазиобъем. Опре¬
деление квазиобъема может быть распространено и на бес¬
конечно удаленные листы. Именно, квазиобъемом листа
Гу=[х: aj<Xj 	х,=	-оо	ап < х„ <. ₽„}
называется величина
o(Iy)= lim о ] х: «j < Xj < pv ...
s->0 I
• • • ’ y ’ ’ ’ * ’ a'< <	’

64
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. И
квазиобъемом листа
Г<‘> = [х: оц < Xj < ?!	xft = + оо	<х„ < хп < ?„}
называется величина
а (Г(Л)) = lim а / х: а: < хг •< {Зр ...
• • * ’ у < Xk> • • • ’ ап < Хп	| •
Листы нулевого квазиобъема — конечные и бесконечно
удаленные — будем называть существенными} мы видели,
что таковых имеется подавляющее большинство.
Брусы, ограниченные со всех сторон листами нулевого
квазиобъема (за исключением листов, лежащих на собствен¬
ной верхней границе основного бруса В, которым раз¬
решается иметь и положительный квазиобъем), называются
существенными брусами.
Важными понятиями являются также листы и брусы не¬
прерывности квазиобъема а. Лист
Г=(х: «j < х, <	.... ху = а;> .... а„ < хп < ?„}
(ау конечно)
называется листом непрерывности (точнее, непрерывности
сверху) для квазиобъема о, если
lim {х: 04 <*!<₽!, ау<х7<ау + е, ...
..., &п-\- хп^ =0.
Очевидно, всякий существенный лист является и листом
непрерывности (но не обратно). Бесконечно удаленный лист,
по определению, является листом непрерывности, если он
имеет нулевой квазиобъем. Листы, лежащие на собственной
верхней границе основного бруса В, по определению, всегда
являются листами непрерывности.
Брус, ограниченный со всех сторон листами непрерыв¬
ности, называется брусом непрерывности квазиобъема а.
6. Множества и-меры 0. Введем понятия множества
а-меры 0; мы будем так называть всякое множество ZczB,
которое при любом е > 0 можно покрыть конечным или
счетным множеством брусов Bv В2, ... так, что S о (Вт) < е.

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА
65
§ 4]
(Напомним, что множество ЯсВ считается покрытым
системой брусов {BJ, если каждая точка множества А есть
внутренняя точка по крайней мере одного из брусов си¬
стемы Ва.)
Заметим при этом, что брусы Вт всегда можно выбирать
из числа существенных брусов для квазиобъема а, что
не ограничит общности.
Понятие множества а-меры 0 по форме аналогично поня¬
тию множества меры 0, которое мы ввели в § 1 для случая
а(В)т= s (В). Отличие состоит в том, что в случае объема
всякая точка или лист имели меру (объем) 0, а в случае
квазиобъема это может быть и не так.
Кроме того, брус В, имевший квазиобъем а (В) = 0, вообще
говоря, не будет иметь а-меру, равную нулю. Так, в последнем
примере п. 4 полуинтервал (а, с] имел, по определению, квази¬
длину, равную нулю, а любой полуинтервал, покрывающий точку с,
имел квазидлину 1; поэтому полуинтервал (а, с] нельзя покрыть
системой полуинтервалов с общей длиной, меньшей 1.
Так же, как и в § 1, доказывается, что объединение
конечной или счетной совокупности множеств о-меры 0 есть
множество о-меры 0. Дополнение к множеству о-меры 0
называется множеством полной а-меры. Пересечение конеч¬
ной или счетной совокупности множеств полной о-меры
есть множество полной о-меры. Если некоторый факт спра¬
ведлив для множества полной о-меры, то говорят, что он
имеет место почти всюду по а-мере.
7.	Свойства непрерывного квазиобъема. Начиная
с этого пункта, будем предполагать неотрицательный квази¬
объем о непрерывным (п. 4). Это означает, что для любой
последовательности вложенных друг в друга брусов
5i=>52=> . . . =>Вт=> . . .
с пустым пересечением	всегда lim o(Bm) = 0. Отсюда
т	т^со
в первую очередь следует, что все листы являются листами
непрерывности для квазиобъема о и все брусы также являются
брусами непрерывности. Далее, предположение непрерыв¬
ности а позволяет усилить некоторые из утверждений п. 5.
Допустим, что имеется последовательность вложенных друг
в друга брусов
. =>втз ...
5 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

66
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
и их пересечение	также является брусом. Тогда,
т
если квазиобъем а непрерывен, имеет место равенство
lim о(Вот).	(1)
т ->оо
Действительно, пусть Вш= [х: а;<Ху<Ру, /=1, ..., п},
Брусы Вт, начиная с некоторого номера, необходимо
имеют вид
вт = Ь < xj < ₽/ + Т' 7=1-2,...,»}
с теми же нижними координатами, что и у самого бруса
(иначе в их пересечение вошла бы точка с хотя бы одной
координатой Ху = ау-, что по условию не имеет места). Рас¬
смотрим брусы BkZ=[x\ ах < хг < &1- ....	< xk <
an < xn Ьп]. Множество n Bki пусто,
8>0
поэтому для заданного e>0 можно найти такое 8 = 8(e),
что для каждого k — 1, 2, . . ., п будет o(Bft8) <	. С дру¬
гой стороны, при любом 8 и достаточно большом т мы
имеем Втс^Вш U U ... U ВпЬ, поэтому
о (BJ < a (BJ < а (BJ + о (В1§) + . . . + о (В„5) < а (BJ + е,
откуда и следует, что lim о (Вт) — о (Вш).
т->со
Аналогично, если имеется расширяющаяся последователь¬
ность брусов Brc:B2cz . .. и их объединение В((о) = LK
т
есть снова брус, то
О(В(Ш))= lim <з(5т).	(2)
ш->оо
Для доказательства рассмотрим вначале случай, когда
верхние координаты бруса В(<о) конечны. В этом случае
брусы Вт, начиная с некоторого номера, необходимо
имеют вид
Вт = [Х: «/ — еУП) < Xj < ₽/> /= Ь 2	П)
е теми же верхними координатами, что и у самого бруса В(ш),
иначе точки с = ру не вошли бы в объединение брусов Вт.

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА
67
§ 4]
Брусы
В(/г5) = (х: а} < xt < bv ...
.... aft — 8 < xk < a4	an < xn < bn}
имеют при о —> О пустое пересечение, поэтому 3 можно
выбрать так, что а (В(Л8)) <	. Далее, при достаточно боль¬
шом т мы имеем
В("°а:В(С0)с:В(,/г) U £(16) U ... U В(п\	(3)
поэтому
о (В(пг)) < б (В(щ)) < в (В(”!)) + б (В(18>) + ...
... +а(В(я8))<а(В('л))+*(
откуда и вытекает (2).
Если какая-либо из координат, например Xj, не ограни¬
чена сверху в брусе В(ш), то при заданном е всегда можно
найти такое р, что брус
В[р,} — \х-. ах<хх-СЬх, .... Xj> р	ап<_хп^.Ьп}
будет иметь квазиобъем a (B(w)) <	. Тогда вместо вклю-
чения (3) мы рассмотрим включение
B(m,cBwcBw U В(18) U • • • U B(n8) (J B{pi) U • • • U В(рп}.
Из неравенства
о (В(т)) < 5 (5(т>) < б (В(т)) + б (В!18)) + . ..
... + б (в(л8)) + о (в(₽1)) + ... + б (В(₽я)) < б (В(т)) + 2е
снова вытекает требуемое соотношение (2).
Покажем далее, что брус В с нулевым квазиобъемом
о(В) = 0 имеет и о-меру (в смысле определения п. 5), рав¬
ную нулю.
Действительно, мы можем рассмотреть последователь¬
ность	. . вложенных друг в друга брусов, содер¬
жащих внутри себя брус В и имеющих этот брус своим
пересечением. Тогда, по доказанному, 0 = о(В) = lim
5*

68
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
но, с другой стороны, это равенство означает, что брус В
есть множество о-меры 0.
8. Интеграл Лебега — Стилтьеса. Переходим к построе¬
нию интеграла Лебега—Стилтьеса. Предположим, что
основной брус В представлен в виде объединения конечного
числа непересекающихся брусов ..., Вт. Функция Л(х),
определенная в брусе В и постоянная на каждом из брусов
.... Вт, называется ступенчатой функцией. Если все
брусы Bv ..., Вт существенны для квазиобъема а (т. е.
ограничены листами нулевого квазиобъема, кроме листов,
лежащих на верхней собственной границе основного бруса В),
то ступенчатая функция h(x) называется существенной сту¬
пенчатой функцией.
Совокупность всех существенных ступенчатых функций
обозначим через Н. Мы примем ее за совокупность элемен¬
тарных функций для построения интеграла (§ 2, п. 1).
Совокупность /У, очевидно, линейна и вместе с каждой
функцией h(x) содержит и | h (х) | , так что условия 1) и 2)
§ 2 выполнены. Определим далее интеграл Стилтьеса от
ступенчатой функции h (х), принимающей значение hj в брусе Bj
(у=1, 2, .... т), по формуле
т
/ = 1
Необходимо проверить выполнение свойств интеграла, обес¬
печивающих применимость основной схемы § 2, а именно:
(а)	/а(аЛ + ^) = а/Л + ₽М;
(б)	если h k, то /а/г <
(в)	если /гт(х) стремится при т—> оо к 0, не возрастая,
то /Д„->0.
Выполнение этих свойств проверяется по той же схеме,
что и для частного случая а(В) = s (В), рассмотренного
в § 1, без изменений, за исключением только того, что
везде вместо слова «объем» нужно поставить «квази¬
объем».
Некоторые отличия будут в доказательстве свойства (в).
Основной брус В не есть замкнутое множество, и лемма
о конечном покрытии к нему непосредственно неприменима.
Пусть вначале основной брус В ограничен. Тогда мы можем
§ 4]
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА
69
рассмотреть брусы
в1== [х: ах < aj-Hp «2 < х2 < Ь2	ап < хя<+„},
В2— (х: ах < хг4 bx, а2 < х2 «г + ^2> • • •■ ап < хп^-^п\'
Вп = {х- ах <х1<&1, а2<х2<£2	ап <	< а„ + 8J.
Поскольку с уменьшением 8;. общая часть брусов Bj стре¬
мится к пустому множеству, в силу непрерывности для за¬
данного е>0 можно найти так, чтобы иметь а(ВхХ
<у, о(Вп)<у. Основное построение леммы будем
проводить уже для замкнутого ограниченного множества
В'= {х: «1 + 4		«ч+4 < х„ <+я}>
как и в § 1. Для интеграла от функции hm (х) по всему
брусу В мы получим оценку (как и раньше, Al = max hx (х))
lhm < Мг 4- ео (В) + Л1 У} а (В.) .< (2Ж + о (В)) е,
/=1
которая и приводит к выводу
Если основной брус не ограничен, например Ьх = 4- оо,
то мы рассмотрим брус Вх — jx: Xj > у, ... | и проведем
аналогичное рассуждение.
Так же как в § 1 для обычных множеств меры 0, в дан¬
ном случае можно доказать эквивалентность двух определе¬
ний множества о-меры 0:
1)	Множество Z имеет о-меру 0, если при любом £>0
оно может быть покрыто конечной или счетной системой
существенных брусов с суммой квазиобъемов < £.
2)	Множество Z имеет о-меру 0, если при любом £ > 0
существует неубывающая последовательность неотрицатель¬
ных ступенчатых функций Л/7(х) (с разрывами только на
листах о-меры 0) такая, что sup/z (х)^> 1 на множестве Z
р р
и Мр £ ПРИ любом р=1, 2, ...

70
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
Теперь мы можем применить общую схему § 2. Ее ре¬
зультатом является класс (В) функций, являющихся пре¬
делами возрастающих последовательностей функций hn £ Н
с ограниченными интегралами Стилтьеса, и затем класс
£а(В) разностей функций класса	эти последние функ¬
ции, суммируемые в обобщенном смысле, составляют полное
нормированное пространство с нормой
ll'Pl|a= U|?|)-
Суммируемые функции называются в данном случае сумми¬
руемыми по Лебегу — Стилтъесу или, короче, а-сумми-
руемыми; соответствующий интеграл обозначается через
/а<р или J (х) a (dx).
в
В случае п=\ интеграл Лебега — Стилтьеса по полу¬
интервалу а < х b обозначается любым из следующих
символов:
ь	ъ
/9<р = f.<p(x)<j(dx)= J'<p(x)dF(x),	(1)
а	а
где F (х)— производящая функция для квазидлины а (а, £].
9.	Совокупность ^-суммируемых функций. Рассмотрим,
какие функции входят в число функций, суммируемых по
Лебегу — Стилтьесу.
В класс Н входили, как мы помним, только ступенчатые
функции с листами разрыва а-меры 0. Пусть теперь й(х)—
любая ступенчатая функция.
Мы утверждаем, что эта функция h (х), во всяком слу¬
чае, принадлежит Л. Достаточно показать, что в простран¬
ство La входит функция h (х), равная 1 в брусе В —
— {х: 04 < Xj < рх, ..., %<х„<(3/г} и 0 вне его.
Рассмотрим брус Ве5=[х: 04 +	< хх < (Зх	• ••
• • • ’ ал + ^/1 < хп + числа и еу- выбираются так,
чтобы листы разрыва ступенчатой функции /ге5(х), характе¬
ристической для бруса Ве8, имели о-меру 0. Тогда /ге5(х) £ Н
и при каждом х
Л(х)= lim Г lim /ге5(х)1 .
s • -> о	е. о
(>=1, ...»/:)L(/=1» •••>«) J

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА
71
§ 4]
при Sy —> 0 мы имеем дело с убывающей последовательностью
функций, а затем при В;->0 — с возрастающей последова¬
тельностью. В итоге Л(х) принадлежит При этом Ih =
= lim lim //zeS — lim lim a (Be5) = a (В). Таким образом,
8 -> 0 e -> О	8 -> О е -> О
La содержит все ступенчатые функции. Из доказанного видно,
что формула интеграла от любой ступенчатой функции та же,
что и выше: если Л(х) принимает значение hj в брусе
Ву(/= 1, 2, . . ., /п), то
т
Далее, каждая равномерно непрерывная функция / (х)
(в ограниченном брусе В) есть равномерный предел ступен¬
чатых функций и потому также входит в класс La. Если,
в частности, в качестве ступенчатой функции hm(x), ап¬
проксимирующей /(х), взять такую, которая в брусе Bj при¬
нимает значение /(£,•), где tj^Bj, то
tn
J=1
и, следовательно,
т
IJ= lim IJim — lim 2 /(^)°(5/)-	(О
tn -> оо	tn -> оо j = 1
В последнем выражении мы узнаём определение интеграла
Римана — Стилтьеса (п. 3). Таким образом, интеграл Лебега —
Стилтьеса от всякой равномерно непрерывной функции со¬
впадает с ее интегралом Римана — Стилтьеса.
В целом запас a-суммируемых функций зависит, есте¬
ственно, от самого квазиобъема о.
Для иллюстрации мы рассмотрим три примера квази¬
объемов, приведенные в п. 4.
1.	Если а (В) есть s (В)— обычный объем бруса В, то, очевидно,
класс a-суммируемых функций совпадает с классом суммируемых
по Лебегу функций.
2.	Пусть для каждого В сВ
’(В) = У g(x)dx,
В
где g (х) > 0 — суммируемая функция на брусе В.

72
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. I
Интеграл Стилтьеса от ступенчатой функции h (х), принимаю¬
щей значение /гу- в брусе By, равен
М = hp (Bj) =	f g(x)dx=-- f h (X) g (X) dx = / (hg),
J	J В J	в
где I обозначает интеграл Лебега.
Если последовательность htn, возрастая, стремится (всюду)
к функции /, причем интегралы .(hm) ограничены, то это озна¬
чает, что ограничены интегралы Лебега / (hmg) и, следовательно,
предел fg последовательности hmg есть суммируемая в обычном
смысле функция; при этом
Л/= lim I'hm= lim I(hmg) = I(hg).
m oo	tn -> co
Получаемая таким образом функция f входит в класс L'°. Лю¬
бая функция из класса Lf отличается от функции f указанного
типа на слагаемое f0, равное нулю почти всюду по с. Покажем, что для
такой функции /0 всегда / (fog) = 0. Пусть Z = {х: /о(х)=^О}.
Так как Z есть множество о-меры 0, то при любом т мы можем
построить последовательность ступенчатых функций 0 <
<	/г*'”*	для которой lim (х)	1 на Z,
в то время как	~ • Можно считать, что /г^7 + 1) (х)<
</г^'м)(х) при любых р и т. При р->оо функции (х), возра¬
стая, сходятся к некоторому пределу h^ (х); при /и->оо функ¬
ции (х), убывая, сходятся к некоторому пределу h (х). Функ¬
ция h (х) > 1 на множестве Z. По теореме Беппо Леви /а (ЛрП)) =
= I (h^g} -> I (h^g) и, следовательно, при любом т мы имеем
; отсюда по той же теореме I (hg) = lim /(/г(ш)^)=0.
т	т-> со
Следовательно, функция hg равна нулю почти всюду (по мере
Лебега). Но тогда и fog почти всюду равна нулю, так как, если
при некотором х0 мы имеем /0 (х0) g (х0) =/= 0, то /0 (*о) =/= 0 и
g (х0) =# 0, т. е. h (хо) > 1, g (х0) =# 0, h (х0) g (х0) Ф 0. Поэтому
/ (fag) = 0. В результате мы получаем: для всякой функции f £ L*
произведение fg суммируемо по Лебегу и I (fg) ~ Iz(ff
Переходя к разностям, получаем, что класс состоит
только из таких функций у, для которых произведение yg
суммируемо в обычном смысле] при этом для любой
имеет место равенство
Ш =	(2)
Обратное утверждение, что всякая функция ср (х) с суммируемым
произведением <?g является сама суммируемой, также верно;
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА
73
§ 4]
мы получим его в § 8 (п. 3) при более углубленном изучении тео¬
рии меры.
3.	В основном брусе В имеется последовательность точек clt
с2, .,ст, ... и задана последовательность положительных чисел
оо
®1> ®2> •••> ай’ ••• с С/г < °°’ Известно, что с>(В) есть сумма тех
из чисел <з/г, для которых соответствующие точки лежат в брусе В.
Интеграл от ступенчатой функции h (х), равной hj в брусе
Bj (у=1, 2,	т), равен
т	т	со
2 hja(Bj)= У hj
7 = 1	7^1	ck^Bj	/?=1
Предположим, что последовательность hp (х) ступенчатых функ¬
ций не убывает и числа IJip ограничены; тогда предельная функ¬
ция f (х), как мы знаем, принадлежит классу L.+. Можно считать,
что Ар>0, вычитая при необходимости из всех функций hp функ¬
цию Ар Мы имеем
со
= 2	ak <
k=i
откуда
hp (ck) ak <
и, следовательно, при каждом k и р->оо числа h.p (с^) имеют предел:
Далее мы имеем при каждом N
W	N
С 2 hp f S
k=i	/?=1
откуда, устремляя N к оо, находим
со	N
Наконец, при заданном е > 0 и некотором N мы имеем
оо
Т f («ft) ’ft < £-
k=N
откуда при достаточно большом р получаем
ОО	’.-О
о < 2 / (с*) — 2	(с*) <
/? = 1
( N-l	N—1	со
< I 2 f («ft) ’ft — S hp («ft) ’ft 4 2 f («ft) ’ft < 2e.
lft=i	ft=i	J ft=xv

74
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
Это означает, что
со
I,f ~ lim /,/ip = S / (c*) ’*•
p-*OT	*=i
Итак, для всякой функции / С мы получаем, что сходится ряд
оо
2	который и представляет собою значение /а/. При этом
fe=i
значения f (х) в остальных точках бруса В не играют никакой роли.
Саму функцию f (х) можно считать определенной только в точ¬
ках Ck.
Переходя к разностям, получаем, что функции (х), входящие
в класс £0, определены (однозначно) только в точках ck (k =
al, 2, ...), причем
ОО	оо
Лт =	? (Cft) ’t и S I ? (с*) I °k <
/г=1	/?=1
оо
Обратно, любая функция ?(*) с 2 I ? (c/?) I *k входит в класс
/г=1
В случае, если <р отлична от нуля только в одной из точек на¬
пример в точке Ср функция <р есть предел убывающей последова¬
тельности ступенчатых функций hm(x), равных <? (xt) в открытом;
брусе Вт, покрывающем точку xlf стягивающемся при т->оо
к точке xlf и равных нулю вне этого бруса; поэтому в этом слу¬
чае € £а. В общем случае <? есть сумма ряда подобных функций
с абсолютно сходящимся рядом интегралов и потому также при¬
надлежит в силу теоремы Беппо Леви. Тем самым простран¬
ство в данном случае полностью описано.
В рассмотренных примерах интеграл Лебега — Стилтьеса вы¬
ражается или через обычный интеграл Лебега, или через числовой
ряд. В общем случае интеграл Стилтьеса имеет более сложную
структуру (см. задачу 2 к § 5).
Интеграл Лебега — Стилтьеса может быть построен почти
так же и в случае, когда основной брус В, являясь объеди¬
нением брусов с конечной мерой, сам не имеет конечной
меры. В этом случае (как и для обычного интеграла Лебега)
следует начинать с интегрирования ступенчатых функций,
равных нулю вне достаточно больших брусов.
10.	Построение интеграла Лебега — Стилтьеса на основе
непрерывных функций как элементарных с интегралом
Римана — Стилтьеса как элементарным интегралом. Су¬
ществует другой прием построения интеграла Лебега —
Стилтьеса, позволяющий осветить это понятие с новых сто¬
рон. Пусть имеется неотрицательный квазиобъем <з, опреде¬
ленный на подбрусах основного бруса В. Обозначим через /У

§4]
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА
75
совокупность всех равномерно непрерывных функций /(х)
на брусе В, обращающихся в нуль на нижнем основании В
(т. е. там, где какая-либо из координат, например Xj, ста¬
новится равной своему нижнему значению а-), а также
в бесконечно удаленных точках верхнего основания. Оче¬
видно, что совокупность Н удовлетворяет условиям § 2,
п. 1 для совокупности элементарных функций. Далее опре¬
делим для функций	интеграл IJ как интеграл Ри¬
мана— Стилтьеса (п. 3)
4/ = f /(x)a(dx).
В
Покажем, что /а/ удовлетворяет условиям § 2, п. 1 для
элементарного интеграла. Требует проверки лишь условие III):
если последовательность элементарных функций /р /2, . . . ,
убывая, стремится всюду к нулю, то IJp->Q. Для доказа¬
тельства убедимся, что в данном случае последовательность
/1» А’ • • • сходится к нулю равномерно на В. В предпо¬
ложении противного в брусе В найдется последовательность
точек х(1), х(2), ... такая, что fp (х(^) с > 0 для беско¬
нечного множества значений р. Пусть х(ш)— предельная
точка соответствующих Если х((о) лежит в брусе В, то
найдется номер г, такой, что fr (x(u,)) < ~; если х(ш) не
лежит в брусе В (т. е. принадлежит к нижнему основанию В
или бесконечно удалена), тогда по условию fr (х(ш)) == 0 для
любого г. В обоих случаях можно найти окрестность точки х(ш)
и функцию /г, которая в точках бруса В, принадлежащих
2с
этой окрестности, удовлетворяет неравенству /г(х)<-у.
2
При любом р > г мы будем иметь также fp (х) /г (х) < г.
Но в этой же окрестности должны быть и точки х^, где
fP	с. Полученное противоречие показывает справед¬
ливость утверждения о равномерной сходимости последова¬
тельности /р /2, ... Поэтому для любого е > 0 найдется
номер т такой, что при р^>т мы будем иметь /р(х)-<8
всюду на В. Но тогда
7jp<eo(B),
откуда и следует, что Iafp -> 0 при р —> эо.

76
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
Итак, интеграл Римана — Стилтьеса может служить эле¬
ментарным интегралом на совокупности Н. Применим общую
схему § 2; мы расширим область определения интеграла /0
до пространства полного относительно нормы /0(|ср|).
В действительности, если квазиобъем о непрерывен,
то пространство La совпадает с пространством L_,
построенным в п. 8 по
-Л
N
ос OC+-L
т
fi н
.Л1
N
-т-1 -т
Л
ОС ос^-~
т
/77 /71^1
./	т
-т-1 -т
m m+1
Рис. 1.
элементарному интегралу
/0 на ступенчатых функци¬
ях h (х).
Доказательство осно¬
вано на лемме, имеющей и само¬
стоятельное значение.
Лемма. Функция h(x),
равная 1 на брусе В и О
вне В, принадлежит про¬
странству при этом,
если В есть брус непрерыв¬
ности квазиобъема а, то
1ahB = °(5)-
Заметим, что в условии лем¬
мы еще не требуется, чтобы
квазиобъем о был непрерывным.
Доказательство. Функ¬
цию h (х) мы представим в виде
предела всюду сходящейся последовательности непрерывных
функций fm(x)£H. В случае п—\, когда брус В есть
полуинтервал (а, р], функции fm(x) строятся, как указано
на рис. 1 (четыре варианта отвечают возможным случаям:
а, р конечны; а = — оо; р = ос; — а = 3 = оо). В слу¬
чае любого п мы построим fm(x) как произведение п анало¬
гичных функций от одного переменного каждая.
Интегральная сумма Римана — Стилтьеса для функ¬
ции fm(x) приводится к виду
где — некоторые брусы, лежащие между брусом В и
брусом Вт={х\ /г (х) =/г,л (х) = 1} и в некоторой окрест¬
ности бруса В, Так как по условию В есть брус непрерыв¬
§ 41
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА
77
ности для квазиобъема о, то для каждого е > 0 найдется
такое т, что 20 то независимо от подразбиения II,
j
если только оно достаточно мелко. Поэтому и
Переходя к пределу по подразбиениям, получаем
0 < / fm (х) ° ^х) — а (Вт) < е.
В
Устремляя т к бесконечности и учитывая, что брус
В — брус непрерывности, так что о (Bz?7) —> а (В), получаем
lim f fm (*) 0 ^Х) = 0 (#)•
ТП-> СО g
В то же время функции fm(x) стремятся всюду к функ¬
ции h(x) и в силу общих теорем о сходимости под знаком
интеграла (§ 2)
М = lim Го/от = <з(В),
ill ->оо
что и требовалось.
Как следствие получаем, что и всякая ступенчатая функ¬
ция Л(х), постоянная на брусах В{, ..., Вт непрерывности
квазиобъема а, принадлежит пространству La и при этом,
если h (х) = Ру на брусе By, то
т
7=1
Интеграл 70 определяет некоторый запас множеств
меры 0 (§ 2, п. 2), которые мы здесь будем обозначать
через Z. Покажем, что всякое множество Z о-меры 0 (п. 6)
есть множество типа Z, и обратно, каждое множество Z
есть множество о-меры 0. Пусть Z есть множество
о-меры 0; для любого т имеется покрытие множества Z
существенными брусами Bi’l\	Вр:\ ... такое, что

78
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
о (Вр11}) < -1-. Положим hpn\x)—l на брусах B{il\ ...
р
.. ., В^ и 0 вне этих брусов. По доказанному функция
~	р
принадлежит £а, причем ЦН{р1} = 2 о(в(/г)). Далее, мы имеем
/=1
sup	1 на Z. Положим h(x)— lim lim	эта
p	m ->oo p->oo
функция входит в La вместе c и Ih = lim lim 73/jj,w)=O.
/,7->OO p->OO
По следствию 2 теоремы Беппо Леви (§ 2, п. 6) множе¬
ство (х: Л(х)>0) есть множество типа Z, откуда и
Z cz {%: /г(х)>0] также есть множество типа Z.
Обратное утверждение доказывается аналогично с заме¬
ной ступенчатых функций	на некоторые непрерывные
функции и использованием равенства	(п. 9).
Теперь, наконец, предположим, что квазиобъем о непре¬
рывен. Тогда существует пространство Аа; покажем, что LQ
совпадает с LQ и для любой функции ср £ мы имеем
/о(р = /о(р. Достаточно доказать это утверждение для функ¬
ции ср из классов Lt и Ц. Пусть ср££а+; тогда имеется
последовательность существенных ступенчатых функций hm
такая, что	почти всюду и lQhTn/[I^. Последователь¬
ность hm принадлежит к пространству Lo и, по доказанному,
сходится к функции ср также почти всюду. Поскольку числа
ЦНт = 1акт ограничены, то функция ср в силу теоремы
Беппо Леви принадлежит к классу Za, причем /аср — lim IJim =
Таким образом, Lt с: L, и, следовательно, с L,.
Обратное включение доказывается аналогично, с заменой
ступенчатых функций hm на некоторые непрерывные функ¬
ции fm. Таким образом, пространства La и La полностью
совпадают, что мы и утверждали.
Установленная здесь теорема полностью соответствует
аналогичной теореме для интеграла Лебега (§ 3, п. 4).
Но доказательство в настоящем случае несколько сложнее
из-за необходимости учитывать особенности квазиобъемов.

§ 4]
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИЛТЬЕСА
79
ЗАДАЧИ
1.	Найти значение интеграла Стилтьеса
где
2
I = х dF (х),
о
Р(хч	f X2 ПРИ
Х ( х + 1 при 1 < х < 2.
Ответ.
1_
6 *
' 2. Квазиобъем а (В) равен 1 для всякого В, содержащего фик¬
сированную точку с, и 0 для всех остальных В (в ограниченном
брусе В). Построить функцию, суммируемую относительно а (В),
но не суммируемую по Лебегу.
Ответ. Например,
О при х = с,
<? W =	1
при х + с-
3.	В условиях предыдущей задачи построить функцию, сумми¬
руемую по Лебегу, но не суммируемую относительно а (В).
Ответ. Например, <р (х) == ( °° П^И Х
н F v I 0 при
4.	На полуинтервале В = (0, 1] дан квазиобъем
Построить функцию (х), суммируемую по Лебегу, но не а-сум-
мируемую, и функцию ф (х), а-суммируемую, но не суммируемую
по Лебегу.
Ответ. Например,
?W = 7!77'	=
5.	Совокупность Н всех равномерно непрерывных функ¬
ций f (х), обращающихся в нуль на несобственной границе основ¬
ного бруса В, представляет собою линейное нормированное про¬
странство, полное относительно нормы || /|| = max | f (х) |. Инте¬
лу В
грал Стилтьеса I^f по неотрицательному квазиобъему а представляет
собою линейный неотрицательный (/7/ > 0 при f (х)	0) функ¬
ционал на пространстве //, непрерывный относительно метрики

80
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
этого пространства (т. е.	если ||fm||->0). Показать, что
всякий линейный неотрицательный непрерывный функционал на
пространстве И имеет вид F [/] = IJ с некоторым неотрицатель¬
ным квазиобъемом а.
Указание. Приняв F [/] за элементарный интеграл на В,
построить интеграл Лебега, как в § 2. Определить а по формуле
а (В) = jji (х). Показать, что интеграл Римана — Стилтьеса
совпадает с исходным функционалом F [/].
§ 5. Эквивалентные квазиобъемы и предельные
теоремы
1. Эквивалентные квазиобъемы. В этом параграфе
будут рассматриваться неотрицательные квазиобъемы, вообще
говоря, не непрерывные.
Мы знаем, что каждый неотрицательный квазиобъем о
позволяет построить для любой равномерно непрерывной
функции ее интеграл Римана — Стилтьеса
f /(x)a(dx).
В
При этом не исключено, что различные квазиобъемы о
и а могут приводить к одинаковым значениям интегралов /а/
и I-f для любой равномерно непрерывной функции f (х),
равной нулю на нижней границе основного бруса Вив бес¬
конечно удаленных точках верхней границы. (Совокупность Н
всех таких функций у нас участвовала во втором опреде¬
лении интеграла Лебега — Стилтьеса (§. 4, п. 10).) Мы желаем
в первую очередь выяснить, когда имеет место такое
обстоятельство.
Выберем на каждом из полуинтервалов (ар ...,
(ап, Ьп], задающих основной брус В, некоторое плотное
подмножество и обозначим эти подмножества через Е{, ..., Еп.
Предполагается, что множество Е^{а^ bj] содержит точку bj
(у = 1, .... п). Множество всех брусов ВсВ,
«!<%! <₽!

у которых граничные координаты ар рр ...; ал, $п при¬
надлежат соответствующим множествам Е{, .... Еп, будем
называть плотным в основном брусе В. Каждый набор
§ 5]	ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ	81
плотных множеств Е1а(а1Ь1]> . .., ЕпС2(ап, Ьп] определяет
некоторое плотное множество брусов.
Так, у каждого квазиобъема о имеется плотное множе¬
ство брусов непрерывности, т. е. ограниченных листами
непрерывности. Более того, можно найти плотное множество
брусов, одновременно являющихся листами непрерывности
для любого конечного или счетного семейства квазиобъемов.
Допустим, что имеются два квазиобъема сиси плотное
множество брусов В, на которых имеет место равенство
о(В) = о(В). Такие квазиобъемы о и а будем называть экви¬
валентными. Покажем, что для любой непрерывной функ¬
ции f (х)3 обращающейся в нуль на несобственной гра¬
нице основного бруса В, имеет место равенство
f/(x)a(dx) = f/(x)a(dx).	(1)
В	в
Для доказательства будем рассматривать интегральные
суммы Римана — Стилтьеса от функции f (х), построенные
по разбиениям основного бруса В, в которых все подбрусы,
не прилежащие к несобственной границе бруса В, принад¬
лежат к тому плотному множеству, на котором значения
квазиобъемов о и о совпадают. Во всех этих брусах точки
будем выбирать одними и теми же как для квазиобъема о,
так и для квазиобъема а. Тогда две интегральные суммы,
для квазиобъема о и для квазиобъема о, будут отличаться
лишь на выражение вида
J'
где штрих у индекса суммирования означает, что суммиро¬
вание идет лишь по брусам, прилежащим к несобственной
границе основного бруса В. Так как функция /(х) по усло¬
вию на несобственной границе В равна нулю, то для задан¬
ного s > 0 и достаточно мелких подразбиений мы будем
иметь | у (£/,) | < е. Поэтому для всей разности А получается
оценка
|A|<s(c(B) + o(B)).
Отсюда следует, что рассматриваемые интегральные
суммы для обоих квазиобъемов а и а в пределе приводят
6 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

82
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
к одному и тому же результату. Поэтому для эквивалент¬
ных квазиобъемов о и а имеет место равенство (1), что и
требовалось.
Пусть, обратно, для некоторых квазиобъемов о и о имеет
место равенство (1) при любой непрерывной функции, равной
нулю на несобственной границе бруса В; покажем, что а
и а эквивалентны.
Действительно, по лемме п. 10 § 4 значения <з (В) одно¬
значно определяются по известным интегралам от непре¬
рывных функций для каждого бруса непрерывности квази¬
объема о. Таким образом, из равенства (1) следует совпа¬
дение о и а на любом брусе непрерывности обоих квазиобъемов
о и а, следовательно, на плотном множестве брусов;
тем самым а и а эквивалентны.
2.	Существование и единственность непрерывного
квазиобъема, эквивалентного данному. Мы покажем здесь,
что у любого неотрицательного квазиобъема а(В)
имеется (и притом единственный) эквивалентный ему
непрерывный квазиобъем. Иначе говоря, всякий неотри¬
цательный квазиобъем можно «исправить», перейдя к экви¬
валентному непрерывному квазиобъему; и это исправление
настолько незначительно, что непрерывные функции не ощу¬
щают его при интегрировании.
Пусть дан произвольный неотрицательный квазиобъем о.
Построим по нему интеграл Лебега — Стилтьеса, исходя
из интегралов Римана — Стилтьеса равномерно непрерывных
функций, как это делалось в п. 10 § 4. Определим далее
новую функцию брусов ах по формуле
О1(В) = /ойв,
где hB(x) равна 1 на В и 0 вне В. Функция брусов «^(В)
аддитивна, неотрицательна и непрерывна в силу основных
свойств интеграла. Далее, ^(В) совпадает с а (В) на всех
брусах непрерывности квазиобъема d по лемме п. 10 § 4.
Итак, квазиобъем с1 эквивалентен а, что и требовалось.
Таким образом, существование непрерывного квазиобъема,
эквивалентного данному неотрицательному квазиобъему,
доказано. Из рассмотрений § 4, п. 7 следует, что непре¬
рывный квазиобъем однозначно определяется на всех бру¬
сах В cz В, если он известен на каком-либо плотном мно¬
§ 5]	ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ	83
жестве брусов; это доказывает и единственность искомого
квазиобъема.
Заметим далее, что для построения интеграла Римана —
Стилтьеса и далее Лебега — Стилтьеса совсем не обязательно
знать квазиобъем а на всех брусах Вс В; достаточно его
знать на плотном множестве брусов. Мы получаем, в част¬
ности, такой результат: если дана на плотном множестве
брусов аддитивная и неотрицательная функция о (В), то суще¬
ствует непрерывный квазиобъем <зр эквивалентный о в том
смысле, что для любой равномерно непрерывной функции / (х),
равной нулю на несобственной границе бруса В, имеет
место равенство
J / (*) °1 (dx) = f f(x) a (dx).
В	в
(Вполне возможно при этом, что квазиобъем не совпа¬
дает с а ни на одном брусе из области определения а.)
3.	Сходимость в существенном и первая теорема Хелли.
Введем важное понятие о сходимости квазиобъемов в суще¬
ственном.
Дана последовательность неотрицательных квазиобъемов
°1’ •••»	•••’ мы скажем, что она сходится в суще¬
ственном к квазиобъему о (В), если числа c^(B) ограни¬
чены в совокупности и
lim зт(В)= а (В)	(1)
для плотного множества N брусов В cz В, являющихся бру-
сами непрерывности одновременно для квазиобъема а и всех
квазиобъемов ар	...
Роль сходимости в существенном иллюстрируется сле¬
дующей теоремой о предельном переходе под знаком инте¬
грала Стилтьеса.
Теорема 1 (Е. Хелли). Если квазиобъемы. ар ...
.	... сходятся в существенном к квазиобъему а,
то для любой равномерно непрерывной функции <р(х),
обращающейся в нуль на несобственной границе основ¬
ного бруса В, мы имеем
lim f ?(x)am(dx) = f <f>(x) <?(</*).
m->oo "	J
6*

84
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
Доказательство. Будем обозначать через ар ...
...» <зт, ... непрерывные квазиобъемы, соответственно эквива¬
лентные заданным квазиобъемам ар . . ., ат, . . .
Если В есть брус непрерывности для квазиобъема о и
для всех квазиобъемов ар . . .,	, то
а (В) = о (В) = /- hB (х), ат (В)	% (В) = 1-^в (х),
где
1 при х £ В,
/гв(х) = \
О при х^В.
Следовательно, по условию для всех В
lim I- hR= I-hr*.	(2)
СТ В	G В	X 7
tn -> co m
Вместе с характеристическими функциями брусов B£N
предельное соотношение (2) справедливо и для их линейных
комбинаций, т. е. для ступенчатых функций /г(х), постоян¬
ных на брусах В£ДЛ
lim /- h (х) — I-h (х).
т->со tn
Пусть теперь <р(х)— равномерно непрерывная функция, рав¬
ная 0 на несобственной границе В бруса В. При задан¬
ном е>0 можно найти ступенчатую функцию /г(х), по¬
стоянную на брусах B£N, для которой всюду
|?(*) — h (х)| < е.
Мы имеем при любом т
- h\ CJ- (|<р-/ф<Се,
т I	т
где С = sup [ат (В), т=\, 2, ..., а (В)}; далее аналогично
К? — hh | <	—й|) <Се
и, следовательно, при достаточно большом т
К ? —	(? —А)1 + |А(/г-?)| +
I т	1 I т	11	I
—I /- h — 1 - h\ ЗСз\
I °т * I

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ
85
но так как для непрерывной функции ср мы имеем
то
3Q-
что и доказывает теорему.
Замечание 1. Эту теорему можно несколько обобщить,
допустив зависимость и интегрируемой функции ср (х) от т. Именно,
мы утверждаем, что справедливо соотношение
Л? = lim /
//z->oo
если выполнены условия:
а)	квазиобъемы (В) сходятся в существенном к квази¬
объему а (В);
б)	непрерывные функции срш (х) равномерно в замкнутом
брусе В сходятся к своему пределу ср (х).
Доказательство немедленно вытекает из оценок
|4_ (? — <Pm)|< max|<f —	| С,
В
11,	(? — Vm) I < max | <f —	| C
в
и только что доказанной теоремы.
Замечание 2. Теорема 1 остается еще справедливой, если
функция ср (х) непрерывна и ограничена только в самом брусе В
(не в В), но квазиобъемы непрерывны на несобственной гра¬
нице В равностепенно по т\ это означает следующее:
(*) Для любого г > 0 моэюно указать ограниченный брус Вг,
содержащийся (с замыканием) в брусе В, такой, что для всех т
(В) —	(В.) < е, 0 < а (В) — а (Ве) < е.
Брус Вг всегда можно взять из числа существенных брусов.
Дополнение Ss к брусу В= есть объединение некоторого (конечного)
числа брусов.
Для заданного е > 0, найдя Ве из условия (*), мы имеем
|ЛтТ — 4<?|<| J <Vm(dx) — J <?am (dx)| +
+ J*l'P(x)|am(dx) + Jw(x)|a(dx). (3)
На основании теоремы Хелли для бруса В3 мы можем найти
номер т0 так, чтобы при т > mQ иметь
<fa,„ (dx) — J ya (dx) | < e.
B„	8
8 6

86
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. 11
Сумма оставшихся интегралов по построению не превосходит
2s шах | ср (х) |; мы видим, что вся левая часть в (3) не превосходит
(1 + 2 шах | т |) е, что и доказывает справедливость предельного
перехода под знаком интеграла Стилтьеса в указанном случае.
Замечание 3. Не случайно в теореме Хелли речь идет
только об интегрировании непрерывной функции f(x). Если
/(х) — разрывная функция, то теорема Хелли становится, вообще
говоря, неверной (см. задачу 4 к этому параграфу).
4.	Принцип выбора (вторая теорема Хелли). Приме¬
нение теоремы 1 весьма облегчается следующей теоремой,
дающей возможность из данного множества квазиобъемов
выбрать сходящуюся в существенном последовательность.
Теорема 2 (Е. Хелли). Из всякого бесконечного мно¬
жества К квазиобъемов (оа(В)}, определенных в основном
брусе В и ограниченных фиксированной постоянной с,
можно выбрать последовательность ат{В)) сходящуюся
в существенном к некоторому квазиобъему о (В).
Доказательство. Пусть Bv В2, . .., ВГ, ... —
последовательность всех брусов в основном брусе В с ра¬
циональными координатами граничных листов. Так как для
числа сДВ^ ограничены, то существует последова¬
тельность квазиобъемов	для которых числа <31т(Вх)
имеют предел. Из этой последовательности aim можно выбрать
подпоследовательность <з2т, для которой сходятся числа
а2т(В2) (а также, конечно, и числа <з2т(В1)); продолжая таким
образом, получим для каждого р последовательность
сходящуюся при т —>оо на брусах Вр В2, . .., Вр. Диаго¬
нальная последовательность атт—будем ее обозначать просто
<зт— сходится на каждом из брусов Bv В2, ... Предел о (В)
последовательности <зт(В), определенный пока еще в брусах
Вр В2, . . ., представляет собой некоторую аддитивную
функцию.
По доказанному в п. 2 существует неотрицательный
непрерывный квазиобъем о, эквивалентный функции а в том
смысле, что для любой равномерно непрерывной функции / (х),
равной нулю на несобственной границе бруса В,
ff(x) a(dx) = f /(x)a(dx).
В	в
Покажем, что последовательность <зт сходится к квази¬
объему а на каждом существенном брусе квазиобъема а.

§ 5]
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ
87
Пусть В есть существенный брус для квазиобъема о. Для
заданного е > 0 найдем брус В£, внутренний по отношению
к брусу В, такой, что	о(В£)-|-г. Затем найдем брус В&
из области определения функции о, заключенный между бру-
сами В, и В. Пусть, далее, f (х) — непрерывная функция,
равная 1 в брусе равная 0 вне бруса Вг и всюду имеющая
значения между 0 и 1, и g’(x) — аналогичная функция для
брусов Ве и В. В силу основных свойств интеграла Римана —
Стилтьеса мы имеем
о(5.)	(.dx) = f fa (fifx) < а (b's) <
В	в
< Jga(dx) = J ga(dx)^a(B). (1)
В	в
Имея брус Вг, найдем номер N так, чтобы иметь при m > W
I <3,П (Be) — a (Bs') I < S.
Отсюда и из (1)
а (В) < а (Ве) + £ < 0 (ВЗ + г < 0;л (вЗ+ 2е < ат (В)+2е. (2)
Таким же образом, строя брусы EdBoB, мы прихо¬
дим к неравенству
5(В)>а„г(£)-2е.	(3)
Из (2) и (3) следует, что
|о(В)-г„(В)|<2г
при всех достаточно больших tn. Отсюда
о(В)= lim <зт(В),
т ->оо
что и требовалось.
Остается заметить, что совокупность всех существенных
брусов для квазиобъема а настолько богата, что, выбросив
из нее все брусы, не являющиеся брусами непрерывности
хотя бы для одного из квазиобъемов о/7г, мы сохраним еще
плотное множество брусов. На каждом из них квазиобъемы
<зр . . ., <зт, . .. и с непрерывны, и имеет место сходимость
<зт (В) —> <з (В). Теорема доказана.

88
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
5.	Случай п — 1. Для /г = 1 после перехода к про¬
изводящим функциям 77(х) = а(а, х] определение сходи¬
мости в существенном и теоремы Хелли приобретают следую¬
щий вид.
Последовательность неубывающих функций Fm (х) назы¬
вается сходящейся в существенном к функции F (х), если
lim Fm (х) = F (х)
т -> оо
на плотном множестве, состоящем из точек непрерывности
всех функций Fm(x) и F (х).
Теорема 1 Хелли гласит: если функции Fm(x) сходятся
в существенном к функции F (х), то для любой функ¬
ции f (х), непрерывной на отрезке {а, Ь\,
ь	ь
lim f f(x)dFm(x) = f f(x)dF(x).
m->co J	J
Теорема 2 Хелли гласит: из всякого бесконечного мно¬
жества неубывающих неотрицательных функций {Fa(х)},
ограниченных фиксированной постоянной С, можно
выбрать последовательность Fm{x), сходящуюся в су¬
щественном к некоторой функции Л(х).
Дополнения, касающиеся возможной зависимости функции
f (х) от индекса т, а также распространения теоремы 1 на
случай бесконечного промежутка, разумеется, остаются в силе и
для п — 1.
6. Применения в анализе. Теоремы о предельном переходе
под знакОхМ интеграла Стилтьеса имеют многочисленные применения.-
Мы приведем в этом пункте некоторые примеры из различных раз¬
делов математического анализа, основанные на этих теоремах.
1.	Отображение единичного круга в правую
полуплоскость. Найдем общий вид функции w«f (z),
аналитической в круге | z | < 1 и имеющей неотрицательную ве¬
щественную часть, т. е. отображающей круг | z | < 1 в правую
полуплоскость. Примером служит постоянная а 4-/?, а>0, а также
функция
с произвольным вещественным t. В самом деле, при заданном t
§ 3]
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ
89
и | z | < 1 точки zx = ea-\-z и z2 = ea — z находятся в пределах
круга Q и радиуса 1 с центром в точке elt на одном диаметре этого
круга (рис. 2). Весь этот диаметр виден из начала координат
(находящегося на окружности круга Q) под углом ; отрезок
'Tt
диаметра между точками z{ и z2 виден под углом — . Сле-
7L
довательно, I arg ft (z)\ — | arg z{ — arg z21 < у, откуда вытекает,
что Re ft (z) > 0.
Оказывается, всякая функция w = f (г), аналитическая в круге
I z | < 1 и отображающая этот круг
чается «стилтьесовским комбини¬
рованием» указанных простейших
функций; именно, имеет место сле¬
дующая теорема.
Теорема 1 (Г. Херглотца).
Всякая аналитическая функция
в круге | z | < 1 с неотрицатель¬
ной вещественной частью мо¬
жет быть записана в виде
- dF (О,
в правую полуплоскость, полу-
значения своей веще-
/(*)
где р — вещественное число, а
F (t) — неубывающая функция.
Доказательство*). Как
известно, аналитическая функ¬
ция / (г) в круге | z | < г < 1
может быть представлена через
ственной части u(z) по формуле Шварца
граничные
f(2) = i f 77737 “ dt+
0
Этот интеграл можно записать в форме
/(*) = / rettit + s dFr(t) + i^,
J rett — z
*) По H. И. Ахиезеру и И. М. Глазману (Теория линей¬
ных операторов, Гостехиздат, 1950). Формулу Шварца см., напри¬
мер, у А. И. М а р к у ш е в и ч а, Краткий курс теории аналитиче¬
ских функций, изд. 2, Физматгиз, 1961, гл. 6.

90
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
где
f
= ~ f litre1') dt
о
— неубывающая функция от t. Мы имеем, далее, по теореме о сред¬
нем для гармонических функций
Fr (0 < F, (2к) = A- f и (reix) d- = u (0),
6
так что семейство функций Fr (t) равномерно ограничено при всех
_L z
г < 1. Функции  —!— (\z\ < 1 фиксировано) сходятся при г->1
геа— z
git —I— Z
равномерно по t к функции ——'—•. Из последовательности
elt— z
Fr(t) (г -+\), согласно теореме 2 Хелли, можно извлечь подпосле¬
довательность, сходящуюся в существенном к некоторой неубы¬
вающей функции F (t)\ применяя теорему 1 Хелли, получим
/(*) = Г ~-Z dFr(t) + i?-> Г jl±±dF(t) + $,
J relt 	 z	Q 6 1 	 Z
что и утверждалось.
Замечание. По формуле (1) может быть представлена и
постоянная а > 0; для этого достаточно положить F (f) = at.
2.	Абсолютно монотонные функции. Бесконечно
дифференцируемая функция f (х), определенная на отрезке
(—оо<;л, &<Joo), называется абсолютно монотонной, если она
сама и все ее производные неотрицательны:,
/"*(*)> 0, п = 0,1,2....
Абсолютно монотонной функцией является положительная постоян¬
ная, а также функция вида еах (а > 0). Оказывается, если отрезок
имеет бесконечную протяженность, то всякая абсолютно
монотонная функция получается «стилтьесовским комбинирова¬
нием» простейших абсолютно монотонных функций еаХ. Ограничимся
для определенности полупрямой —оо<х-<0.
Теорема 2. (С. Н. Бернштейн). Всякая абсолютно моно¬
тонная при х<0 функция f (х) может быть записана в форме
со
/(х)=С+ Je“xdF(a), С>0,
о
(2)
где F (а) — некоторая неубывающая ограниченная функция.

§ 3]
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ
91
3.	Положительно определенные функции. Ком¬
плекснозначная функция f (х) называется положительно опреде¬
ленной, если при любых х{,...,хп матрица || f (xj — хк)\\^^=1
положительно определена, иначе говоря, если квадратичная форма
п
2 f (xj — xk) принимает при всевозможных комплексных
J, л=1
8р...» in только неотрицательные значения.
Примером положительно определенной функции является
f (х) ~ eltx вещественно);
действительно, при любых комплексных ...,
Оказывается, что всякая положительно определенная функция
на прямой —ос. < х < оо получается «стилтьесовским комбиниро¬
ванием» простейших положительно Определенных функций eitx.
Теорема 3 (С. Бохнера — А. Я. Хинчина). Всякая поло¬
жительно определенная измеримая функция f (х) на оси
— со < х < оо имеет вид
оо
f (х) = J* eltx dF (t),
— оо
где F (t)— некоторая ограниченная неубывающая функция.
Доказательства теорем 2 и 3 основаны на применении
теорем Хелли в бесконечном промежутке. Мы не приводим их
здесь *).
ЗАДАЧИ
1 (Функция Кантора). Функция С (х), 0<х<1, определяется
следующим образом. В каждой точке х канторова множества С
(§ 1, задача 2) с троичным разложением х—О, 0ь 02 ... (числа 0л—
нули или двойки) функция С (х) имеет двоичное разложение
О, 0ТО2 ..., где 0л = 0л/2. При этом в концах каждого смежного
интервала к множеству С функция С (х) получает равные значе¬
ния; она доопределяется далее во всем смежном интервале как
соответствующая постоянная.
Показать, что С (х) непрерывна.
Указание. Функция С (х) не убывает и принимает всюду
плотное множество значений.
*) См., например, Г. Е. Шилов, Математический анализ (спе¬
циальный курс), Физматгиз, 1961, стр. 326 и 404.

92
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
2. Показать, что функция Кантора (задача 1) не может быть
представлена в форме
X
C(x)=fg(x)dx,	(1)
а
где g (х) — суммируемая функция.
Указание. В предположении справедливости (1) показать,
что g (х) должна обращаться в нуль почти в каждой точке допол¬
нения к канторову множеству; отсюда получить противоречие.
Примечание. Функция Кантора является производящей для
квазидлины, не сводящейся к типам, указанным в примерах 2
и 3 § 4, и. 4.
3. Вычислить интеграл Стилтьеса
1
/ = f <? (*) dF (х),
О
где
<Р W =----
1 при 0 < х < —,
О при -i-< jv < 1,
О при
1 при
о<х<А.
у < *< 1.
Ответ. I = 1 (!).
Указание. Вначале произвести исправление
4.	На отрезке [0, 2] дана последовательность
функций
функции F (х).
производящих
О при
1 при
всюду сходящаяся к предельной функции
также производящей. Положим
( О
<?(*)	=	| j
при
л<1,
при
X > 1,
при
X < 1,
при
л- > 1.
Показать,
что
здесь противоречия с теоремой Хелли?
У Казани е. Функция (л) разрывна.

§ 6]	НЕЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ	93
§ 6. Незнакоположительные квазиобъемы
1. Постановка задачи. В предыдущих параграфах ква¬
зиобъем, определяющий интеграл Стилтьеса, предполагался
неотрицательным. Но, оказывается, схема наших построений
может быть без труда распространена и на некоторые ква-
зиобъемы, которым разрешается принимать и отрицательные
значения.
В примере, где квазиобъем о (В) задается формулой
g (В) = J* g (х) dx,
в
можно было бы суммируемую функцию g (%) и не считать обяза¬
тельно положительной. Если g (х) принимает значения обоих зна¬
ков, то мы представим ее в форме разности неотрицательных
суммируемых функций
g(*) = g h W —	(*),
для каждой из них построим неотрицательный квазиобъем, поло¬
жим, (В) и а- (В), затем соответствующее пространство
и и, наконец, определим интеграл /а по естественной формуле
= Л+? —	=7 (Ж?) — f (g~v) =1 (gf)-
В конечном счете получается та же формула, что и для g 0.
Аналогично в примере, где имеются точки xk и числа
ск>0 с У ск < со и а (В) = У ск,
также можно было бы не считать числа положительными, но
оо
для чисел ck любого знака потребовать сходимости ряда I ck I-
/г=1
В общем случае предположим, что в основном брусе В
квазиобъем о (В) представляется в форме разности двух не¬
отрицательных квазиобъемов:
о(В) = р (В) — q(B),	p(B)^Q,	q(B)^O,	(1)
каждый из которых аддитивен и непрерывен. Рассмотрим
тогда квазиобъем v (В) — р (В)q (В\, он также аддитивен
и непрерывен и определяет пространство Lv ^-интегри¬
руемых функций. Легко проверить, что каждая из них

94
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
также р-интегрируема и ^-интегрируема. Поэтому для ка¬
ждой функции	можно определить интеграл по квази¬
объему <з(В) по формуле
= —
Мы видим, что интеграл /а оказывается определенным на
пространстве Lv. Очевидно, что он обладает вместе с 1р
и Iq всеми обычными свойствами интеграла.
Пространство Lv было описано в § 4. Оно содержит,
во всяком случае, все непрерывные функции f (х) в замы¬
кании основного бруса В. Интеграл от непрерывной функ¬
ции, как и в случае неотрицательной меры, получается
с помощью предельного перехода от римановских сумм
т
/=1
где В = Bj U ... U Вт> £ By, j = 1, 2, . .., т, при
обычных условиях предельного перехода (размеры брусов By
стремятся к нулю).
Дальнейший план наших рассуждений таков. Мы найдем
внутреннее (необходимое и достаточное) условие на квази¬
объем а (В), которое обеспечивает существование разложе¬
ния (1). Далее мы исследуем все возможные разложения и
найдем среди них наилучшее в том смысле, что соответ¬
ствующее пространство Lv будет наиболее широким. Нако¬
нец, укажем некоторые общие свойства интеграла /а и неко¬
торые применения.
2.	Квазиобъем с ограниченным изменением и его
представление в виде разности знакоположительных.
Итак, пусть имеется разложение
0(В) = р(В)-^(В),	Р(В)>О,	<?(В)>0,	(1)
где р и q — неотрицательные квазиобъемы (не обязательно
непрерывные). Рассмотрим любую систему непересекающихся
брусов Вр ..., Вт‘, мы имеем
т	т	т
2 I<W| <S/’W+2?W<p(B)+?(B).	(2)
Й=1	fe=l	fc=l
Следовательно, сумма в левой части равенства (2) ограни¬
чена фиксированной постоянной, не зависящей от выбора
§ 6]	НЕЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ	95
брусов Вр . . Вт. Всякий квазиобъем о (В), удовлетворяю¬
щий тому условию, что
т
2 |*(вй)|<с
Й=1
при любом выборе непересекающихся брусов Вр ...» Вт,
называется квазиобъемом с ограниченным изменением. Вся¬
кий неотрицательный квазиобъем а(В) имеет ограниченное
изменение, причем в качестве постоянной С можно взять
число о (В). Мы показали, что разность неотрицательных
квазиобъемов есть квазиобъем с ограниченным изменением.
Покажем, что всякий квазиобъем с ограниченным изме¬
нением представляется в виде разности двух неотри¬
цательных квазиобъемов. Положим для данного квази¬
объема о и данного бруса Вс В
p(B) = sup2 *(#,)>
7=1
где Вр .... Вт — любая система непересекающихся брусов,
лежащих в брусе В. Величина р(В) определена и неотри¬
цательна для любого бруса В. Покажем, что функция р(В)
аддитивна вместе с о (В).
Пусть брус В есть объединение непересекающихся бру¬
сов В(1), ..., В^ и Вр ...» В^ —любая система непере¬
секающихся брусов, лежащих в брусе В. Мы имеем, с од¬
ной стороны,
2 * (Ву)= 23*	= 23*	< 2 Р (JW),
jjk	kJ	k
откуда и
p(B) = suP2*(b7)<2p(£w)-	(3)
J	k
С другой стороны, для заданного е > 0 найдем в брусе B(ft)
систему непересекающихся подбрусов В(?\ /==1, 2	rk,
так, чтобы иметь
7=1

96
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ II
Складывая по индексу /г, находим
k	k j
и, так как е > 0 произвольно,
2р(В(/г))<рВ.	(4)
k
Соединяя (3) и (4), находим
2р(В^) = р(В),
/г
т. е. функция р(В) аддитивна и представляет собою неко¬
торый новый квазиобъем.
Положим далее
?(В) = р(В)-о(В).	(5)
Так как о (В) и р(В) — квазиобъемы, то q(B) также является
квазиобъемом. Далее, поскольку р(В)^>о(В), мы имеем
qB 0, так что q есть неотрицательный квазиобъем. Нако¬
нец, если о непрерывен, то, по доказанному, р непрерывен,
и, следовательно, q непрерывен. Из (5) мы имеем
°(В) = Р(В) — q(B),
и тем самым искомое разложение исходного квазиобъема
с ограниченным изменением получено.
Отметим неравенство, вытекающее из (5):
|о(В)|< р (В)-\-q (В) ==v (В)	(6)
для любого бруса BczB.
8.	Описание других возможных разложений. Разложение
о(В) = р(В) —?(В),	р(В)>0,	<?(В)>0,	(1)
конечно, не единственное. Если г (5) — любой неотрицатель¬
ный квазиобъем, то наряду с разложением (1) можно запи¬
сать и другое:
о(В) = р (В) - q (В) = (р (В) + г (В)) - (q (В) + г (В)).	(2)
Оказывается, что в форме (2) заключено уже любое пред¬
ставление квазиобъема о (В) в виде разности двух неотри¬
цательных квазиобъемов. Действительно, пусть известно,
что
о(В) = Р1(В)-^(В),

§ 6]	НЕЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ	97
где рх и qx—неотрицательные квазиобъемы. Мы имеем для
любой системы Bv . Вт непересекающихся подбрусов
бруса В
^(В^^р^В^р^В),
откуда и
р (В) = SilР 2 <3 (Ву) < рг (В).
Положим (В) — р (В) — г (В); квазиобъем г (В), очевидно,
неотрицателен. Мы имеем теперь рг (В) ~ р (В)г (В) и
далее
q{(B) — р^ (В) а (В) = р (В) -о(В) + г(В) = 7(В)+г(В),
что и утверждалось. Таким образом, в указанном нами пред¬
ставлении (1) квазиобъемы р(В) и q(B) — наименьшие воз¬
можные.
Покажем теперь, что соответствующее пространство Lv
в определенном смысле наибольшее возможное. Именно,
всякая функция y£LVx, vx — px-\-qv является суммируемой
и по квазиобъему v=p-\-q. Достаточно проверить, что
каждая функция /£Ц,Х входит в Ly. Действительно, с точ¬
ностью до ступенчатой слагающей такая функция f (х)
есть предел г^-почти всюду сходящейся последовательности
неотрицательных ступенчатых функций hm(x) с ограничен¬
ными значениями IVxhm, Для неотрицательных ступенчатых
функций, очевидно, IVxh < Ivh> так что интегралы iVxhm также
ограничены. Далее, множество Vj-меры 0, на котором по¬
следовательность hm(x) не сходится монотонно к /, есть
и множество 17-меры 0, поскольку из /z ^O, IVxh s следует
lvh е. Таким образом, последовательность hm сходится
‘и-почти всюду к /; отсюда	что и требуется.
4.	Формулы для положительного, отрицательного и
полного изменения. Функция р(В), как мы помним, была
определена по формуле
/
где верхняя грань берется по всем системам непересекаю¬
щихся подбрусов бруса В. Построим аналогичные формулы
для функций q(B) и v(B) = p(B) -\- q(B),
7 Г. Е Шилов, Б. Л. Гуревич

98
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
Функция q(B) играет роль, аналогичную функции р(В)
в разложении квазиобъема — а (В):
-с‘,В) = Я^-р(В\
и так как, по доказанному, q и р минимальны, то справед¬
ливо представление
?(B) = sup(—]р(Ву))
по всем непересекающимся системам подбрусов В] бруса В.
Переходим к построению формулы для квазиобъема v(B).
Рассмотрим систему непересекающихся подбрусов Bj бруса В,
для которой
5о(в))> Р(В)-е.	(1)
J
и пусть (By)—дополнительная система подбрусов. Тогда
^(-«(В})) =
7
и далее, если Ву- есть любой из брусов В; и Ву>
2|а(Ву)| =Sl°(^)l + S|o(B>)l >
> р (В)-Ь <7 (В) — 2s = г/(В) — 2г.
Отсюда
г>(В) < sup 2 |а (Ву)|,
где верхняя грань берется по всем разбиениям бруса В на
непересекающиеся подбрусы.
С другой стороны, если B=^Bj— произвольное раз¬
биение бруса В на непересекающиеся подбрусы, то по не¬
равенству (6) п. 2
^(B) = I^(By)>£HB,.)|.
Таким образом, квазиобъем -v(B) может быть определен по
формуле
v(B) = sup2 |о (В;)|.
(2)

§ 6]	НЕЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ	99
где верхняя грань берется по всем разбиениям бруса В на
непересекающиеся подбрусы. Квазиобъем р{В) называется
положительным изменением квазиобъема а (В), q(B)—
отрицательным изменением и, наконец, квазиобъем
<у(В) = р(В)4- q(B')—полным изменением квазиобъема о(В).
5.	Непрерывность полного изменения. Проверим, что
квазиобъем р{В) оказывается непрерывным, если непреры¬
вен квазиобъем с(В). Пусть пересечение последовательности
брусов В(1)зэВ(2)зэ . .. пусто; покажем, что lim р(В(/га)) = 0.
т->оо
Допустим противное, т. е. что для некоторого с > 0 и
любого т
р(В{гп}) > с.
Выберем подпоследовательность брусов В^т^ по следую¬
щему правилу. Пусть = В(1). Далее, если выбрано
то мы найдем в В^п^ систему брусов Вр Вг так,
чтобы иметь
J
Пересечение последовательности брусов BjB(m} (m=\t
2, ...)пусто. Поэтому в силу непрерывности квазиобъема о(В)
при достаточно большом m — mk + A мы будем иметь
2о(В^(т,)<4.
j
так что на долю оставшейся части приходится
j
Так определяется последовательность чисел mk. Вместе
с тем для каждого k определяется система непересекаю-
щихся брусов с общим значением а, большим у, и системы
эти не пересекаются при разных k\ но в таком случае, беря
достаточно большое число k, мы получим как угодно боль¬
шое значение для соответствующей суммы <з(В;), что ведет
к противоречию с ограниченностью изменения квазиобъема а.
Итак, квазиобъем р непрерывен вместе с а.
7*

100
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[ГЛ. II
Вместе с квазиобъемом р непрерывны в данном случае
квазиобъемы q~p — и v = p-[-q.
Если квазиобъем о с ограниченным изменением не пред¬
полагается непрерывным, то в разложении о = р—q квази¬
объемы р и q также, вообще говоря, не непрерывны. Но,
во всяком случае, квазиобъем а непрерывен на всех тех
брусах, которые являются брусами непрерывности квази¬
объема V, т. е. заведомо на весьма обширной совокупности
брусов.
6. Случай п—1; теорема Жордана. Рассмотрим слу¬
чай п=1, и пусть основной брус В есть полуинтервал
(а, &]. Пусть F (х)— производящая функция для квазидлины
a (a, pj, т. е. F(x) = a(at х]. Поставим вопрос: каким свой¬
ством должна обладать функция F (х), чтобы соответствую¬
щая квазидлина а имела ограниченное изменение? Разобъем
полуинтервал (а, Ь] точками деления
а = х0 < Xi < .. . < ху < ху+1 < ... < хт — b
на т полуинтервалов
х0<х.<Хр хх<х-Сх2, ....
Как мы помним, квазидлина полуинтервала (Ху, ху+1] опре¬
деляется выражением F(xy+1)—F(xj). Если квазидлина о
имеет ограниченное изменение, то, согласно (2) п. 4,
sup s	^+111 = sup 2|F(x-+1) — FCxpl <оо.
j = 0	j =
С функциями F (х), удовлетворяющими условию
sup 2 l^O/+i)~
у = 0
мы встречались уже в § 4 п. 3; как мы помним, они назы¬
ваются функциями с ограниченным изменением.
Таким образом, производящая функция F (х) для квази¬
длины с ограниченным изменением сама имеет ограниченное
изменение.
Пусть, обратно, задана произвольная функция F(x)
с ограниченным изменением. Тогда аддитивная функция полу¬
интервала (т. е. квазидлина)
с (a, ₽] = F(?)-F(a)

§ 6]
НЕЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ КВАЗИОБЪЕМЫ
101
имеет ограниченное изменение и, по доказанному, есть раз¬
ность двух неотрицательных квазидлин
о (а, ₽] = р(а, ₽] — <7 (а, ₽].
Полагая Р(х) = р (а, х], Q(x) — q (а, х], мы получаем тео¬
рему Жордана: всякая функция F (х) с ограниченным
изменением может быть представлена в форме раз¬
ности двух неубывающих функций
F(x)=zP(x) — Q(x).	(1)
Если при этом F (х) непрерывна справа и удовлетворяет
условию /?(а-|-0)=0, то квазидлина о (а, |3] непрерывна и,
по доказанному, квазидлины р(а, (3] и ^(а, (3] также непре¬
рывны; следовательно, в этом случае в равенстве (1) функ¬
ции Р(х) и Q(x) также непрерывны справа и удовлетворяют
условиям P(a + 0) = 0, Q(#-]-0) = 0.
Функции Р(х), Q(x) и V(x) = P(x) + Q(x) называются:
первая — положительным изменением функции F (х), вто¬
рая— отрицательным изменением, третья—полным изме¬
нением функции F (х). Из равенства (2) п. 4 вытекает сле¬
дующая формула для функции V (х):
т -1
K(x) = sup 2 |Г(хж) —
где верхняя грань берется по всем разбиениям а = х0 <
< X! < ... < хт_1 < хт = х полуинтервала (а, х]. Укажем
еще часто встречающиеся обозначения
У(х) = Vxa [Л] = VarjLF].
Если F (х) = Р (х) — Q(x)— представление функции в форме
разности неубывающих функций, то, согласно нашему по¬
строению (п. 1),
ь	ъ	ь
J<pdF = f <? dP — J <p dQ.
a	a	a
Можно было бы написать аналогичные результаты для любого п,
но они будут сложнее выглядеть из-за сложности связи между
квазиобъемом и его производящей функцией (см. § 4, п. 2).

ЗАДАЧИ
1.	Найти значения интегралов Стилтьеса:
з
Л = J х dF (х)У
-1
Л(х) =
0
при
X ~ — 1,
1
при
— 1 < х < 2,
—1
при
2 < х < 3;
3
/2 = J<f </5, ? (х) =
о
1 при О < х < 1,
О при 1 < х < 3;
—1 при 0<х<Д,
2 при 1 < х<2,
—2 при 2<х<Д.
Ответ. /{ = — 5, 12 = 1.
Указание. Для разрывной ср (х) произвести исправление Р(х)
до непрерывной справа.
2.	Показать, что произведение двух функций Р{ (х) и Р2 (х)
с ограниченным изменением есть снова функция с ограниченным
изменением, причем
Va IV21 < ШаХ I<*) I Va [^21 + max I	WI Va 1Л b
3.	Пусть Л(х)>>а>0 есть функция с ограниченным измене¬
нием. Показать, что и -^'(х) есть функция с ограниченным изме¬
нением, причем
4.	Кривая у = F (х) (а^х^Ь) называется спрямляемой, если
длины ломаных с последовательными вершинами в точках
(xj, F (хх)), ..., (хт Р(хп)), где а= х{ < х2 < ... <хп = Ь, огра¬
ничены фиксированной постоянной, не зависящей от числа п и вы¬
бора точек х2у ..., хп_х. Показать, что кривая у = F (х) спрямляема
тогда и только тогда, когда функция F (х) имеет ограниченное
изменение.
Указание. Использовать неравенство
| Дуу I < К(Дх,)2 + (Ду,)2 < I Дх, I + I Дуу |.
5.	Доказать, что непрерывная функция ха sin на отрезке [0,1]
х?
имеет ограниченное изменение при а > $ и не имеет ограниченного
изменения при а<р.
6.	В пространстве всех функций F (х) с ограниченным измене¬
нием на отрезке [а, &] ввести норму
ИИ =^[Л]
(функции, отличающиеся на постоянную константу, считаются экви¬
валентными). Показать, что при этом получается полное норми¬
рованное пространство.

ГЛАВА III
МЕРА
§ 7. Измеримые функции и общая теория меры
При построении теории интеграла мы исходили из опре¬
деления объема (или квазиобъема) элементарных фигур — бру¬
сов. Теперь мы применим развитую теорию интеграла к по¬
строению объемов (и квазиобъемов) неэлементарных фигур —
множеств более или менее общей природы. Естественно, что
объем (квазиобъем) фигуры М должен быть определен как
интеграл от ее характеристической функции /^(х), равной 1
на М и 0 вне М. На этом пути появляются трудности, опре¬
деление которых становится наиболее ясным при переходе
к абстрактной точке зрения.
1. Измеримые функции. Мы рассмотрим снова совокуп¬
ность Н элементарных функций, определенных на абстракт¬
ном множестве X, с аксиомами 1) и 2), указанными в на¬
чале § 2.
Опре; елим класс функций, с которым мы будем иметь
дело в этом параграфе. Это будут измеримые функции.
Эпизодически они встречались уже нам в некоторых местах
гл. I. Функция f (х), определенная на множестве X, назы¬
вается измеримой, если она конечна почти всюду и на мно¬
жестве полной меры может быть представлена как предел
сходящейся последовательности элементарных функций. Из
этого определения прежде всего следует, что любая функ¬
ция, отличающаяся от измеримой функции только на множе¬
стве меры 0, сама измерима.
Если f и g— измеримые функции, т. е. / = ИтЛл (на
множестве полной меры Е),	=	(на множестве полной
меры У7), то при любых вещественных а и (5 мы имеем

104
МЕРА
[ГЛ TH
а/ +	' = Нт (a^m + Ю1 причем последнее равенство имеет
место на множестве полной меры EF\ таким образом, функ¬
ция а/4-р£ также измерима. Аналогично, если измерима
функция / = Ит/гп, то измерима и функция |/| = lim\htl\.
Отсюда следует, что вместе с функцией f измеримы и /”
и вместе с двумя измеримыми функциями / и g являются
измеримыми
шах(/, §■) = (/—g)+ +£+ и min(/, g) = - max(—/. —g).
Всякая функция	измерима, поскольку она является
пределом (даже возрастающей) последовательности элемен¬
тарных функций. Всякая суммируемая функция ср изме¬
рима, как разность двух функций из класса £ + .
Лемма. Предел f возрастаю щей последовательности
суммируемых функций fп, сходящейся (к конечному пре¬
делу) почти всюду, есть измеримая функция (хотя она,
вообще говоря, уже не является суммируемой).
Доказательство леммы получается из рассуждений,
похожих на те, которые мы использовали при доказательстве,
теорем 1 и 2 из § 2.
Пусть сначала функции	и hnk (k = 1, 2, ...) —
последовательность элементарных функций, сходящаяся
при k—>оо, возрастая, к функции f п. Положим htl =
= max(/zlrt, ..., hnry Последовательность элементарных функ¬
ций hn возрастает и, следовательно, при п->оо имеет не¬
который предел /*, который является измеримой функцией.
Из неравенства, справедливого при п k,
fю
предельным переходом по п —> оо мы выводим, что
но так как fk f f, мы получаем, что f — /* и, следова¬
тельно, / есть измеримая функция. Пусть теперь fn — произ¬
вольные суммируемые функции. Мы имеем
JO
/7 = 0
где <р0=/1- ?я = /п+1 —/л («=1- 2, ...)—неотрицатель-
ная суммируемая функция. Можно положить yn = gn — gn,

§7] ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ОБЩАЯ. ТЕОРИЯ МЕРЫ 105
где gn > 0 и gn > 0 принадлежат £ + , и при этом Ign <	.
Ряд	имеет суммой функцию g из класса Л +, ряд
=	+	сходится почти всюду к конечному
пределу g, который представляет собою, по доказанному,
измеримую функцию. Отсюда
/ = 2<р„ = 2кя ——i
есть измеримая функция, что и требовалось.
Вообще говоря, не всякая измеримая функция суммируема
(пример: ср(х) = ^- на отрезке [0, 1]). Но как было отме¬
чено в § 2, п. 8, а), если измеримая функция <р(х) удо¬
влетворяет неравенству
|?(*)| С?о(х)>
где ср0 — неотрицательная суммируемая функция, то
ср(х) сама суммируема.
Пользуясь этим фактом, мы можем получить для неотри¬
цательной измеримой функции обращение предыдущего свой¬
ства, именно: всякая неотрицательная измеримая функ¬
ция есть предел возрастающей последовательности
суммируемых функций. Действительно, если /(х) =
= lim Лл(х)^0 и Лп(х)^0 (что не нарушает общности),
п->оо
то мы можем написать также
/(х) = lim min{/(x), maxC/z^x), .... hn(x))}.
n->co
Функция, стоящая под знаком предела, суммируема, по¬
скольку она измерима, неотрицательна и не превосходит
суммируемой функции max (/Zj (х),	/zrt(x)); очевидно также,
что последовательность этих функций не убывает при воз¬
растании п и стремится к функции /(х).
Теорема 1. Предел /(х) почти всюду сходящейся
последовательности измеримых функций gm(x) есть
измеримая функция.
При доказательстве можно ограничиться случаем, когда
/(х) и gm(x) не отрицательны (рассмотрев в противном
случае по отдельности /' =limg+ и /" = limg~).

106
МЕРА
[ГЛ. Ill
Измеримая функция £т(х) есть предел последователь¬
ности элементарных функций (х) (р-> зо), которые так¬
же можно считать неотрицательными, и, более того, имею¬
щими положительные интегралы. Введем в рассмотрение
функцию
е0(х)=
:п = 1
р=1
h^(x}
Ih^"
(1)
ОО
где числа выбраны так, чтобы ряд 2	сходился.
Р	т,	Р
При этом условии конечность почти всюду и суммируемость
функции е0(х) обеспечены теоремой Беппо Леви, поскольку
по построению ряд из интегралов от отдельных слагаемых
в (1) сходится. Там, где /(х)>0, заведомо и £0(х)>0.
Отсюда следует, что функция /(х) может быть пред¬
ставлена также как предел возрастающей последовательности
функций
fn (X) = min {/(х), пср0(А:)}.
Учитывая доказанную лемму, нам достаточно проверить, что
измеримость gzn(x) влечет за собою суммируемость fn(x).
Но мы имеем в данном случае
/„(x) = min {/(х). n<p0(x)} = lim min [gOT(x), «%(%)];
111 ->co
функции, стоящие под знаком предела, измеримы, ограни¬
чены суммируемой функцией /гср0 (х), следовательно, сами
суммируемы, и по теореме Лебега их предел f п(х) также
является суммируемой функцией, что нам и требуется.
Следствие. Если (х), /2 (х), ... — произвольная по¬
следовательность измеримых функций, то функции
sup/(x) = lim sup[/t(x), /2(х),	/„(х)].
п	/2->оо
inf/(x) = lim infl/^x), /2(х)	/„(*)]
il	n-> CO

ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ
107
также измеримы, если они почти всюду конечны. Далее,
функции
Шп /(*) = lim sup[/„(x), /n+i(x),
Г2->ОО	/2->ОО
Hm /(х)= lim inf[/„(x), /я+1(х), ...]
П -> оо	п -> оо
также измеримы, если они почти всюду конечны.
2, Измеримые множества. Множество Ес.Х называется
измеримым, если измерима его характеристическая функ¬
ция Хе(х) (равная 1 на Е и 0 вне Е). Если функция х£(х)
не только измерима, но и суммируема, то и множество Е
называется суммируемым, и число |i(E)=/y£ называется
мерой множества Е. Мера измеримых, но не суммируемых
множеств принимается равной -(-оо. Неизмеримому множе¬
ству не приписывается никакой меры —ни конечной, ни бес¬
конечной.
Измеримое подмножество суммируемого множества само
является суммируемым (его характеристическая функция изме¬
рима и ограничена сверху суммируемой, следовательно, сама
суммируема).
Любое подмножество множества меры 0 является также
измеримым и имеет меру 0,
Пустое множество считается измеримым и суммируемым
и ему приписывается также мера 0.
Равенства
X££ = min [Ze, Xf}.
У.е + f — max (/в1 ХвЬ
Хв-в = Хв— 7.f	(E=>F)
показывают, что объединение, пересечение и разность
измеримых множеств суть измеримые множества.
Аналогично объединение, пересечение и разность сум¬
мируемых множеств суть суммируемые множества, и
справедливы формулы
[л (£-|- Л) = |х(£’) + н(/7), если Е и F не пересекаются,
р.(£— р) = р(Е) — рД/7), если Е^Е.

108
МЕРА
[ГЛ. Ill
3.	Теорема о счетной аддитивности меры. Основной
в теории меры является теорема о «счетной аддитивности»
меры.
Теорема 2. Объединение Е последовательности
измеримых множеств Ех	Еп, . . . есть снова изме¬
римое множество. Если, кроме того, множества
Ер ...» Еп, ... попарно не пересекаются, то
H^i) + ... +|х(Ел)+ ... = [i(E),	(1)
причем не исключается случай, когда обе части ра¬
венства обращаются в бесконечность.
Доказательство. Характеристическая функция (х)
множества Еп, согласно условию, измерима. Характеристи¬
ческая функция множества Е
<f>£(x) = sup (Хр .... Хп> •••}= Iim sup (Xi	х„}.
/2->СО
по доказанному, также измерима, поэтому Е есть измеримое
множество, чем доказана первая часть теоремы. Если хотя бы
одно из |л(Ел) бесконечно, то у. (Е)^у. (Еп) также бесконечно и
равенство (1) выполнено. Поэтому мы можем ограничиться
случаем, когда все Еп суммируемы; по условию {1(ЕЛ) = /^Л.
Если Еп не пересекаются, то ряд 2Хл(х) —Х(х) предста¬
вляет характеристическую функцию множества Е.
Если ряд	сходится, то по теореме Беппо Леви
/ суммируема и /х=2^Хл- Обратно, если / суммируема,
W	оо
то 2 ^Х/г ^Х ПРИ любом N и, следовательно, ряд S
п-1	п—1
сходится; поэтому, если он расходится, то / не суммируема.
В обоих случаях равенство (1) выполнено, что и завершает
доказательство.
Следствие. Если Е^Е^а... измеримы, то
со
Е — [J Еп измеримо и
п=1
{1(E) = lim y.(Ej.
n->oo
Для доказательства достаточно представить Е в форме объ¬
единения непересекающихся измеримых множеств
Е = Ej (J (Е2 — EJ U .. •

§ 7] ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ	Ц)9
и применить теорему 1; мы получим, в частности,
p.£' = p.(£'i)4-p.(£'2 - Е')+ ... =
п
— lim 2 1а(^й — £*-i)= lim ?(£„) (Eo пусто),
/2 -> OO k=\	/2 OO
что и требуется.
Теорема 3. Пересечение F измеримых множеств
Fv F2, . . . есть снова измеримое множество. Если,
кроме того, FxzdF2td ...и p(F^) < оо, то
mF = lim pF п.
/2~>ОО
Доказательство первой части теоремы получается перехо¬
дом к дополнениям (до F^ и применением теоремы 1. Доказа¬
тельство второй части получается путем представления Fx
в виде объединения последовательности измеримых множеств
без общих точек F} = (f\ — Л2) U (^2 — ^з) U ... U Q Fm
tn =1
и использования теоремы 1.
4. Аксиомы Стона. Начиная с этого места, мы накла¬
дываем на семейство И, сверх аксиом 1) и 2) § 2, сле¬
дующие две аксиомы Стона:
3)	Вместе с каждой функцией /г(х) в пространство Н
входит функция inin [h (х), 1]—срезка функции h (х) сверху
по уровню 1.
4)	Существует последовательность неотрицательных функ¬
ций hn(x)£H такая, что Ihn '>^ и sup/zAZ(x)>0 при любом
х £ Е.	п
Оба эти условия заведомо выполнены, если функция,
тождественно равная 1, принадлежит Н. Но последний слу¬
чай характерен для схемы интегрирования по области X
конечного объема pc(JV) = /1, в то время как общий случай
включает интегрирование и по областям бесконечного объема.
Аксиома 3) предельным переходом немедленно перено¬
сится и на измеримые функции: если ср = lim/г л измерима,
то min (ср, 1) = lim min (hn, 1) также измерима.
Из аксиомы 4) следует существование суммируемой функ¬
ции, положительной на всем Х\ именно, можно положить
_ V 1 hn (*)
~ и2 Ihn ’
(1)

110
МЕРА
(ГЛ III
где hn — элементарные функции, фигурирующие в аксиоме.
Ряд (1) сходится в силу теоремы Беппо Леви.
Наличие функции ср0(х) позволяет сформулировать неко¬
торые новые факты относительно совокупности измеримых
функций. Покажем, что функция /(х)=1 измерима. Мы
имеем
1 — lim min (1, /гср0 (х)}.
/2~>ОО
Функции, стоящие под знаком предела, измеримы по аксиоме 3)
(справедливой, как мы видели, и для всех измеримых функ¬
ций). В силу доказанного измерима и функция /(х)=1.
Тем самым установлена и измеримость самого множе¬
ства X, для которого функция /(х) является характеристи¬
ческой.
Дополнение X — Е любого измеримого множества до
всего X, как разность двух измеримых множеств, также
является измеримым множеством.
Далее, вместе с функцией /(х)=1 измеримы и все
функции-константы f(x) = c. Отсюда следует, что вместе
с функцией ср являются измеримыми при любом с:
min (ср, с}—срезка функции ср(х) сверху по уровню с;
max (ср, с) — срезка функции ср снизу по уровню с\
а также при любых а и Ь, а Ь, функция
max (min (ср, #}. а}—срезка функции ср сверху по уровню b
и снизу по уровню а.
5. Характеристика измеримых функций в терминах
меры. Следующая теорема дает характеристику измеримых
функций в терминах меры.
Теорема 4. Функция f(x\ конечная почти всюду,
измерима тогда и только тогда, когда любое мно¬
жество
Е(<?; с)= (х: <р(х) > с)
является измеримым.
Доказательство. Пусть сначала функция ср(х) изме¬
рима. Тогда измерима при любых с и е функция
z ч min {% с 4-е}—min {ср, с}
(х) = 	 •
Она равна 0 при ср(х) < с и равна 1 при ср(х) ге,
а в остальных точках принимает значения, заключенные

§7] ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 1Ц
между 0 и 1. При £ —> 0 она стремится к пределу, равному О
при ср(х)< с и 1 при <р(ат) > с. Таким образом, характери¬
стическая функция f) множества Е (у; с) есть предел
измеримых функций и потому измерима; следовательно,
Е(ср; с) измеримо.
Обратно, пусть известно, что множество Е(ср; с) при
любом с измеримо; покажем, что функция ср(х) измерима.
Для любых с.и d, с < d, измеримо также множество
{х: с < ср(х) < 6?) = [х: ср(х) < d] — {х: ср(х) < с}.
Для заданного п рассмотрим функцию fn(x)> которая
k
равна — на измеримом множестве
(& = 0,	±1,	±2, ...). Функция fn(x) определена почти
при всех х и отличается от функции /(х) не более чем
на Далее, fn(x) можно записать в форме
оо
/п (х) =	-Ц 1.Ек< п (/) (%)’
. k = — оо
откуда следует, что она измерима. Наконец, при я—>оо
функции fn(x) равномерно на X сходятся к функции f (х);
отсюда следует измеримость /(х). Теорема доказана.
Заметим, что если ср — неотрицательная суммируемая
функция, то при с > О
О min (ср, с} < ср,
следовательно, min {ср, с) есть также суммируемая функция.
В этом случае и множество Е(ср; с)={х: ср(х) > с) также
суммируемо. Действительно, по теореме 4 это множество
измеримо; далее, для характеристической функции АДх)
множества f (ср; с), очевидно, выполняется неравенство
о < !гс{х) < ~/О).
откуда вытекает суммируемость hc(x).
Мы видели выше, что функция f(x)=\ измерима. Если
она при этом и суммируема, то и все X суммируемо и
p,(X) = /l. В общем случае функция /(х)=1 измерима, но

112
МЕРА
[ГЛ. Ill
не суммируема, множество X также измеримо, но не сум¬
мируемо и |л (X) = -р оо. Легко видеть, что множество X
при этом есть объединение расширяющейся последователь¬
ности суммируемых множеств, именно множеств
где ср0(х) — всюду положительная суммируемая функция (п. 4).
6.	Определение интеграла Лебега по Лебегу. Мы можем
теперь связать определение интеграла от суммируемой функ¬
ции ср с мерами некоторых суммируемых множеств, построен¬
ных по функции ср. Будем вначале считать <р>о. При за¬
данном s > 0 рассмотрим множества
Ееп={х: ns < ср(х) (п+ 1)е}, п — 0, 1, 2, ...
Множество Ее/г при п 1 суммируемо как разность сумми¬
руемых множеств {х: ср(х)> ns] и {х: ср(х) > (л 4“ О £}-
Рассмотрим функцию сре(х), равную ns на каждом мно¬
жестве Е&п и 0 во всех остальных точках (т. е. там, где,
<р(х)=0). Поскольку ср£(х) < ср (х), эта функция суммируема.
Далее 0<Сср(х)— сре(х)<£; поэтому функции сре(х) при
е—>0 стремятся к ср(х), откуда по теореме Лебега
/ср = lim /сре.
е->0
Но интеграл от функции сре(х) легко сосчитать. Мы имеем
п = 1
где /е/г(х)— характеристическая функция множества Егп;
поэтому
оо	оо
п=1	п = 1
Это дает следующее правило вычисления интеграла от не¬
отрицательной суммируемой функции ср(х):
/<? = lim /<р6= lim У, /гер. (х: пг <	1)е]. (1)
е->0	е->0 п=1

§7] ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ	ИЗ
Обратно, если для некоторой неотрицательной функции ср(х)
все множества Ееп (п=1, 2, . . .) суммируемы и выражения
ио
S	(2)
п = 1
конечны «равномерно (по е) ограничены, то можно утвер¬
ждать, что функция ср(х) суммируема. Действительно, выра¬
жения (2) суть интегралы от функций сре(х). При е—>0
функции сре (х), как мы видели, стремятся к функции ср(х);
так как /ср. по условию ограничены, то ср(х) суммируема
в силу леммы Фату.
Вопрос о суммируемости функции ср(х) любого знака
приводится к предыдущему, поскольку ср (х) суммируема вместе
с |<р(х)|. Мы получаем, что ср(х) суммируема тогда и только
тогда, когда при любом е > 0 сходится ряд
оо
{*: пе < ср(х)<;(/г4-1)е]-|-
п= 1
— («+ 1)е<<р(х) < — ле}]
и его сумма равномерно (по е) ограничена; предел этих
сумм при е—>0 и будет значением интеграла от |ср|. Инте¬
грал же от самой ср есть предел выражений
оо
ree<'pOX(«+1)e] —
— [i(x: —(«+l)e<?(x)< —пе}].	(3)
7.	Интегрирование по измеримому подмножеству. До
сих пор областью интегрирования было множество X. Но
легко можно определить интегрирование и по любому изме¬
римому подмножеству Ес.Х.
Пусть хя(х) — характеристическая функция множества Е.
Функцию ср мы назовем суммируемой (измеримой) на мно¬
жестве Е, если произведение /^'ср суммируемо (измеримо)
на X, и полагаем, по определению,
f <fdx = I (х£<р).
Е
Интеграл по множеству Е обладает, очевидно, всеми обыч¬
ными свойствами интеграла. Отметим некоторые специфи¬
ческие свойства.
8 Г. Е. Шилов, Б, Л. Гуревич

114
МЕРА
[ГЛ. Ill
а)	Если на Е выполняется неравенство |<р(х)|	то
J |<р (х)| dx <	(£).
Е
Действительно, мы имеем уЕ |ср| < МуЕ, откуда
f | ? I dx = I (х£ I ? I) < М!1е = Ж|Л (£).
Е
б)	Если ср суммируема (измерима) на Е — (J £2 U • • •
и измеримые множества Е2, . . . взаимно не пере¬
секаются, то ср суммируема (измерима) на каждом Еп,
и если ср суммируема на Е, то
f <fdx = f <pdx-j-f 'fdx+ ...	(1)
E	E,	E2
Действительно, так как у = •/_„ , то ’/„ <р= х₽ (х£<р)
есть суммируемая (измеримая) функция на Еп. Далее
Х£,+Х£г+ ••• =Х£> откуда
Хд,? -Ь Xf2? + ••• =Хд?'
причем в случае, когда ср суммируема на Е, частичные суммы
этого ряда ограничены суммируемой функцией уЕ | ср |. Инте¬
грируя ряд почленно, получаем формулу (1).
в)	Если функция ср измерима на каждом из мно¬
жеств Ek (& = 1, 2, ...), то она измерима и на их
объединении E = £'1U£,2U •••> поскольку
х£<?= lim х₽и... и v
/2->ОО	1	П
Но вывод о суммируемости функции ср на Е (при усло¬
вии, что Ek попарно не пересекаются, ср суммируема на
каждом Ek и ряд (1) сходится), вообще говоря, несправедлив
(см. задачу 9); мы получим его при дополнительном
условии ср(х)^О на каждом Еп.
В этом случае /£ср есть предел неубывающей последова¬
тельности частичных сумм ряда Х^ + х^срЧ- • • •» интегралы
которых ограничены общей постоянной; применяя теорему
Беппо Леви, мы получаем, что уЕ суммируема, и равенство (1)
имеет место.

§7] ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ	115
Это свойство применяется иногда в следующей эквивалент¬
ной форме: если функция неотрицательна, суммируема
на каждом из множеств cz с: . .. и интегралы
J* ydx ограничены фиксированной постоянной, то
Еп
со
ср суммируема на Е — Н Etl и \ ydx— lim f vdx.
/2=i	'	/	—
г)	Абсолютная непрерывность интеграла по мно¬
жеству, Оказывается, что интеграл от суммируемой функ¬
ции ср по суммируемому множеству Е стремится к нулю
вместе с мерой этого множества независимо от его расположе¬
ния на множестве X. Иными словами, для любого е>0 можно
указать такое 5 > 0, что из р. (£) < В следует
Е
Для доказательства мы найдем по данному е > 0 элементар¬
ную функцию h (х)	0, для которой
/(||<р|-й|)<|.
Элементарная функция А(х) ограничена, например, числом М,
0<й(х) < М. Тогда для любого суммируемого множества Е
меры меньше В =
f I<p|dx< f I |?| - h\dx + f hdx
E	E	E
что и требовалось.
8.	Мера на произведении пространств» В свое время,
в связи с теоремой Фубини о приведении двойного интеграла
к повторному (§ 3, п. 3), мы рассматривали интеграл Лебега
на произведении двух множеств X и Y (т. е. на совокуп¬
ности W всех пар (х, у), где xGX, у СП- Мы предпола¬
гали тогда, что на множестве W имеется семейство Н (W)
функций h (х, у), порождающих интеграл на W и для кото¬
рых результат теоремы Фубини уже выполнен. Наличие
такого семейства мы проверили тогда для случая произве¬
дения двух конечномерных брусов. Теперь мы можем по¬
строить семейство Н (W), удовлетворяющее требуемым уело-
116
МЕРА
[ГЛ. Ill
виям, для произвольных множеств X и Y с семействами Н(Х)
и H(Y) и интегралами Ixh(x) и Zr£(y).
В качестве класса W мы возьмем, естественно, класс
функций Н (W) вида
h (х, у) = 2 Мг,- (х) hF (у),
где Не. (х) — характеристические функции суммируемых под¬
множеств EjCiX, hr.(y) — аналогичные функции на V,
п произвольно. Эти функции образуют линейное семейство
на W. Как и обычно, для данной функции /г(х, у) можно
считать соответствующие суммируемые подмножества Ejcz X,
так же как и EjC.Y, непересекающимися. Поэтому, в част¬
ности, вместе с каждой функцией h (х, y)^ZZ(lF) ее модуль
|й(х, у)|= 2 |«/|/Ц.(^)/^(у)
также входит в класс Н (W). Таким образом, совокупность
Н(W) удовлетворяет условиям 1) и 2) § 2.
Введем для функций /г(х, y)£EI(W) интеграл по формуле
п
ih= 2	(Д-) р-(Д-)-
7=1
Очевидно, для функций h (х, у) выполнены предпосылки тео¬
ремы Фубини: каждая функция /г(х, у) как функция аргу¬
мента х при фиксированном у суммируема по х; ее интеграл
Ixh='^ajp(Ej') Ьр.(У) есть суммируемая функция от у; и
имеет место равенство
/а = 2	(Д)и(Д) = Д Иxh О- у)}-
/=1
Легко проверить, что интеграл Иг удовлетворяет требова¬
ниям интеграла (§ 2, п. 1):
(I)	Z(a/z + ^)= 7//г + р/^;
(II)	если Л(х)^0;
(III)	если Лп\0, то Z/z„\O.

§7]
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ
117
В частности (III) проверяется так: если Л/г(х, у)\0
при каждом х и у, то Ixhn(x> У)\0 при каждом у согласно
теореме Беппо Леви, откуда и	?)) — /Лл\0
согласно той же теореме. Следовательно, условия построе¬
ния интеграла по схеме Даниэля выполнены.
Таким образом, теорема о приведении двойного интеграла
к повторному получает положительный (а не условный)
смысл и в общем случае.
9.	Пространство Lp. Если / (а:) — измеримая функция, то при
любом р>0 функция \f(x)\P также измерима, поскольку для
любого С > О
(X : I / (X)	< С) — {х : | f (х) | < С1/р}.
Пространство Lp, по определению, состоит из всех измеримых
функций f (х), определенных на множестве X для которых
/(1/1О=/|/|р^<со.
X
Этот класс функций при любом р > 0 есть линейное пространство.
Действительно, очевидно, что а/ при любом вещественном а при¬
надлежит Lp вместе с /.Далее, если f£Lpy g£Lp,wi/i f-\-g£Lp>
так как функция |/ + ^|р измерима вместе с / и g и
f+g \р <-(1/1 + UI)P< [2 sup (|/|, |g|)]' =
- 2P [sup (\f\P> I g |q < 2P [ | f |^+ |g|PJ.
Мы покажем далее, что при р 1 это линейное пространство мо¬
жет быть превращено в полное нормированное линейное прост¬
ранство с введением нормы
ИЛ1р= И(1 /1р) 11/р-	(1)
Этот факт для р — 1 уже был установлен в § 2. Поэтому огра¬
ничимся теперь случаем р > 1. Очевидно, что норма (1) удовле¬
творяет условию || / |!р >0, и || / \\р = 0 влечет f (х) — 0 почти всюду:
далее, очевидно, || а/ \\р — | а 11| /||р при любом вещественном а. Не¬
равенство треугольника устанавливается сложнее. Рассмотрим сна¬
чала следующую лемму.
Лемма. Если yj = со (£) — возрастающая непрерывная функ¬
ция, со (0) — 0 и 6 =•-	('<]) — обратная функция (также, очевидно, не¬
прерывная и возрастающая), то при любых х > 0, у > 0
х	у
■ХУ</	+ f Iх tn) dr<-
о	6

на
МЕРА
[ГЛ. Ill
Доказательство немедленно получается из геометрических со¬
ображений, если рассмотреть рис. 3.
1
Применяя неравенство (2) к функциям f (х) и g(x), получим
(4)
Допустим
на момент, что ||/||р = 7 Р (| / |₽) — 1, ||^||? =
|g (*) |«
q
= Iq (| g |9 = 1; тогда, интегрируя неравенство (4) *), мы получим,
ЧТО
7(1Лг1)<| + |=1-
g£Lq — любые (ненулевые) функции, то для
и gQ =	выполняются условия ||/0||р =
II §
Если же f £ Lp и
функций =
= 11 go Ilf = 1; отсюда
и, следовательно, для любых / С Lp, g £ Lq справедливо неравенство
/(I fg Г)< 11/llpUlk.
*) Измеримость функции fg следует, например, из пред¬
ставления
/«=• g-l +	/2 — £21-

ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ
119
§ 7]
(неравенство Гельдера). Очевидно, что оно остается справедливым
и если хотя бы одна из функций /, g равна нулю.
Предположим теперь, что f$Lp, g^Lp\ оценим || /-f- g ||р.
Имеем
1/+^ Ip< (I/1 + UI )р =
= 1/1 (1/1 + Ш )p-‘ + l (1/1 + 1 £|)р-’.	(5)
Число р — 1 равно у (как видно из (3)); поэтому
р_
(|Л + И)р-1 = (1Л + 1£|/
причем
ll(l/l + l£l)p-‘IW? ((l/l + ШП
Интегрируя (5) и применяя неравенство Гельдера, получаем
НI/1 +1^I )р<11/11р 11(1 /1 + 1 £1П'11? +
+шм(i/i +1 п11|?=(Шр+uiip)14 [(i/i+i*in
_1_
Разделив на Iя [ (| /1 + [ £|)р] и вспоминая, что 1 — у =	> на¬
ходим
1 1
ll/+£llp = Ip (\f+g\y<lP (1/1 + И)р<Шр + 11П>-
Таким образом, при р > 1 выполняется неравенство треугольника.
Доказательство полноты пространства Lp проводится неболь¬
шим усовершенствованием доказательства полноты пространства Lx.
Имея фундаментальную последовательность уп (п = 1, 2, ...), мы
выбираем подпоследовательность ^ (& = 1, 2, ...) так, чтобы
иметь
|Ч+-МЛ|’	*=1-2,...
op
Мы утверждаем, что ряд	1^ + 1“^! имеет почти всюду
k = s
конечную сумму, принадлежащую Lp и имеющую там норму,

120
МЕРА
[ГЛ. Ill
не превосходящую . Действительно, мы имеем
J_ /s + т	\Р
/Р[	) =
X k = s	/
5 4- tn
k-s
s -F tn
k = s
переходя к пределу при tn -> оо и используя теорему Беппо Леви,
получаем требуемое.
Поэтому можно образовать последовательности функций
ОО	V
fs — 4ns — 2 I ?л*+1 Чпк | € Lp’
k=S	,s=l, 2

ОО
5г«='рлл+21 ^s+i-	\ ^Lp
lt = s	'
oo
причем Л<£4и Ui —Л||р = 2 2|<Рлл+1—
k = s
2s _2 *
p
Мы утверждаем, что последовательность fs не убывает, а
следовательность gs не возрастает. Действительно, мы имеем
ПО-
fs+1 fs ^4s + l ^,lS + I ^ns +1 ^ns I’	(6)
&У+1 gs~	^ns I 'f’tfy + l ^П3 I»	(7)
а так как, очевидно,
?/Z5 + l	| < Тлу-ц — 4ns < |	I»
то правая часть равенства (7) неположительна, а правая часть
равенства (6) неотрицательна.
Последовательность /5, как неубывающая и ограниченная сверху
почти всюду (любой функцией gs), имеет предел /, представляю¬
щий собой по теореме Лебега снова функцию, суммируемую в
степени р. Так как	и fs<f<.gs, то
II f ®П$ ||р II gs f S Up "C- 2s ~ 2 ’
откуда следует, что функция f есть предел последовательности
в пррстранстве Lp. Теорема доказана. .
Проверим теперь, что все элементарные функции принадлежат
пространству Lp и образуют в нем всюду плотное множество.

§ 7]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ	121
Возьмем любую элементарную функцию /г (х). Как и всякая
элементарная функция, она ограничена; пусть, например, | h (х) | < М.
Образуем множество А — {х :\ /г (х) | >1}; это множество сумми¬
руемо и
Мр на множестве А,
| Л (л) | вне множества А.
Иначе говоря,
| Л (х) \р < МРхА (X) + | h (х) | -Lx_a (х) < М\А (х) + I h (х) I;
и так как оба слагаемых справа суммируемы, то и | h (х) \р сум¬
мируема. Таким образом, Н cz Lp.
Пусть теперь f(x)£Lp — любая функция. Так как f* и f~
принадлежат Lp вместе с функцией f (х), то можно считать без
ограничения общности, что /(л)>0. Положим
< /(л) < и
f (х) для х £ AIV
О для х £ Ап.
Очевидно, Л//,	(/ — Л)р\0, откуда II/ —Л[|р-=
1
= / р ((/ — fn)p) ->0 в силу теоремы Беппо Леви. При заданном
е > 0 фиксируем п так, чтобы иметь
Ilf — Л11р<
Множество Ап суммируемо, так как Ja ~ Ха ^npfp- Функция
л	п
fn(x) суммируема, поскольку по неравенству Гельдера
1 1
lfn-1'А	1ЧА ‘Г’ fP-
п	п
Так как элементарные функции плотны в пространстве Lx
(§ 2, п. 9), то существует последовательность hk элементарных
функций, сходящаяся (при k -> со) к функции fn по норме Lx.
Можно считать, что функции hk неотрицательны, поскольку
без нарушения сходимости /?/? -» fn можно заменить hk на . Далее,
можно считать, что функции hk ограничены числом /?, поскольку
без нарушения сходимости hk -» fn можно заменить hk на min (hk, п) =
= п mln (— hk, 1), а эти последние функции снова являются эле¬
ментарными по аксиоме 3 Стона (п. 4). При выполнении этих усло¬
вий мы покажем, что hk > fn и по норме Lp.

122
МЕРА
[ГЛ. Ill
Действительно,
1 1
ll/n-Mp = /₽ <\fn-hk\P) = IP (\fn-hk\P-'\fn-hk\)<
p-i 2
p /р (|//2 — &£ |)->0 при /?->сс.
Выберем k так, чтобы иметь'\\fn — hk\]p <	, тогда
II/-’ Мр< ИЛ-hk\\p + \\f- Л||р< е,
что и завершает доказательство плотности элементарных функций
в пространстве Lp.
ЗАДАЧИ
1.	Непрерывная функция от одной или нескольких измери¬
мых функций есть измеримая функция.
У Казани е. Непрерывная функция есть предел многочленов.
Примечание. Наоборот, измеримая функция от непрерыв¬
ной функции уже не обязана быть измеримой; см. задачу 6 к § 9.
2.	На суммируемом множестве X дана, последовательность
/1 (’*), /2 (*), • • • измеримых функций, сходящаяся (почти всюду)
к некоторой функции /. Доказать, что при любом е > 0 сущест¬
вует множество A cz X, р (А) > р (X) — е, на котором сходимость
/о к f равномерна (теорема Егорова).
Указание. Можно считать / = 0 и /л\0. Положим А^ =
=	:0 </л <для заданного е>0 можно найти п = п (пг)
оо
так, что (X	> (*■ (X) — -^п ; рассмотреть А = Q А^.
т = 1
3.	На множестве X дана произвольная последовательность
/п/2’ • • • измеримых функций. Показать, что множество Е точек,
где существует lim /п (х), измеримо.
Указание. Е = QU П : 1 /«(•«) — /« <х)I < т}’
k п tn
4.	Если f п (х) — измеримые функции на суммируемом мно¬
жестве X и fn-+ f почти всюду, то при любом с > О
lim {х : |(х) | > с} = 0.	(1)
Указание.
n U	пУст°-
п=т

§ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	123
5.	Последовательность измеримых функций fn (х), удовлетво¬
ряющих при любом с > 0 соотношению (1), называется сходящейся
по мере к функции /. Показать, что хотя такая последовательность
fn может не сходиться почти всюду к /, но она заведомо содержит
подпоследовательность, сходящуюся почти всюду к /.
У Казани е. Для любых натуральных Лит найдется номер
п = п (Л, т), для которого
Функции fn(x) при Л->оо сходятся к f {х} на множестве меры
> р. (X) — — . Искомая последовательность получается из fn(x)
диагональным процессом по т.
6.	Если каждая подпоследовательность данной последователь¬
ности измеримых функций fn содержит подпоследовательность,
сходящуюся почти всюду к фиксированной функции /, то fn схо¬
дится к f по мере.
Указание. Доказательство от противного с использованием
результата задачи 5.
7.	Если Лг(л:)>0 и	то fn-+® по мере. (Сходимость
почти всюду не вытекает из этих условий.) Условие 0 нельзя
отбросить.
Указание. Использовать задачу 6.
8.	В пространстве всех измеримых функций f (х) на сумми¬
руемом множестве X введена метрика по формуле
Проверить выполнение аксиом метрического пространства. Пока¬
зать, что сходимость по метрике (2) совпадает со сходимостью по
мере. Показать, что это метрическое пространство полно.
9.	Пусть Е= (0, 1],	> п= 11 21 • • • Построить
функцию <р (х), суммируемую на каждом Еп и со сходящимся рядом
интегралов по Еп и не суммируемую на Е.
Указание. Например так, чтобы на Еп
§ 8. Измеримые функции и общая теория меры
(продолжение)
Этот параграф мы начинаем с описания аппроксимации
измеримых множеств множествами более простой природы,
каковыми в n-мерном случае являются брусы и их конечные
и счетные комбинации. Это дает возможность дать конст¬
124
МЕРА
[ГЛ. Ill
руктивное определение измеримых множеств и меры. В даль¬
нейшем мы приводим аксиоматическую теорию меры. Связь
ее с аксиоматической теорией интеграла есть второй
узловой пункт нашей программы; синтез обеих теорий
приводит немедленно к новым следствиям, в частности,
к теоремам об общем виде линейных функционалов
(§§ 9 и 10).
1.	Подпространство, порожденное совокупностью ха¬
рактеристических функций. Мы продолжаем рассматривать
пространство измеримых функций на абстрактном множе¬
стве X, определенных через исходную совокупность элемен¬
тарных функций (§ 7), и соответствующее семейство из¬
меримых множеств.
Система 21 подмножеств АсХ называется полуколь¬
цом, если выполняются следующие условия:
1)	Если Л £21, В£2(, то АВ^[,
2)	Если А1 £ 31, Л£2( и Агс:А, то существуют множе¬
ства А2, ...» Ат£У[ такие, что
... илт=л,
причем Лр Л2, ..., Ат попарно не пересекаются.
Примером полукольца может служить совокупность всех
подбрусов «-мерного бруса (§ 4).
Установим некоторые простые свойства полуколец.
1. Пусть даны попарно непересекающиеся множества
ЛР ..., Ak из полукольца 21, содержащиеся в некотором
множестве А £ 21. Утверждается, что существуют множества
Вл+Р •••»	такие, что
AU ... и л/ги^+1и ... U^= А,
(1)
причем все слагаемые слева также попарно не пересе¬
каются.
Для k = 1 это утверждение вытекает из определения
полукольца. Примем, что оно справедливо для некоторого k,
и докажем его для &-£1. По предположению, существует
разложение (1). Множество Л^+1 содержится в Л и не пере¬
секается с Лр ..., Ak, поэтому
Ая-1 —	+ i U ... U Ак+1Вт
(2)

§ 8]
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
125
По определению полукольца можно написать разложения
Bft+1 = Ak+xBk+x и + 1 U ... и в{^'\
Вт = Ак^Вт и В™ и ... и в^т\
(3)
где слагаемые справа попарно не пересекаются. В итого,
вставляя (3) в (1) и используя (2), получаем требуемое.
2.	Пусть имеется произвольная конечная совокупность
..., Ат множеств полукольца ЭД. Утверждается, что их
объединение можно представить в форме
А1 и • • • и Ат = Л]1’ и ... и Л**1’ и ... и Л*,1? и ... и А%т\ (4)
где А(р	А^^ принадлежат Лу- (/ = 1	т); кроме
того, все они являются элементами полукольца ЭД и попарно
не пересекаются.
Для т— 1 предположение очевидно. Примем, что оно
верно для некоторого т, и докажем его для т-\- 1. По пред¬
положению, имеет место разложение (4). В силу свойства 1
существует разложение
Л,„+1=Лт+М(1”и ... и Л„г+1Л^т)и Л^+iU ... ил^г0,
причем слагаемые справа принадлежат ЭД и попарно не пере¬
секаются Отсюда и из (4)
All ... UAnU Ат+1 =
= Л'/’ и ... и Л<>> и л£’+1 и ... и л£*Я+1).
причем слагаемые справа принадлежат ЭД и снова попарно
не пересекаются, что нам и требуется.
Заметим, что добавление слагаемого Ат+1сводится к до¬
бавлению слагаемых Л(Д.ь ...» A^+i+1^ без изменения пре¬
дыдущих слагаемых в общей сумме. Это позволяет распро¬
странить свойство 2 также и на случай счетной совокупности
множеств Av ..., Ат, ..., что нам впоследствии пона¬
добится.
Пусть есть совокупность всех конечных линейных
комбинаций характеристических функций для некоторого

126
МЕРА
(ГЛ III
полукольца ЭД суммируемых подмножеств множества X. Для
функций	нам известно значение интеграла: если
h{x)— 2 аАх£. (х),	(5)
k-1	k
то
tn
= aft[i (Fft).
k=l
Поставим вопрос, можно ли принять совокупность с имею¬
щимся в ней интегралом Пг за исходную совокупность для
построения интеграла, как мы делали в §§ 1 и 2, и что
получится при этом построении. В силу свойства 2 для каж¬
дой функции /г(х), определенной формулой (5), соответ¬
ствующие множества Ek можно считать непересекающимися.
Если Ek не пересекаются, то
tn
\h(x)\= 5	W
£=1	1 k
также принадлежит совокупности Н^. Кроме того, совокуп¬
ность // , очевидно, линейна. Тем самым для совокупности
выполнены условия § 2. Интеграл Ih, определенный
формулой (2), естественно, удовлетворяет условию линей¬
ности; далее, если /гл\0, то //^Х^О по теореме Беппо
Леви. Итак, условия для построения интеграла выполнены.
Посмотрим, что нам дает это построение.
Пусть последовательность hn возрастает и обладает огра¬
ниченными интегралами lhn. Тогда, согласно теореме Беппо
Леви, функция f = lim hn является суммируемой. Следова¬
тельно, класс LJ, построенный по совокупности /У2(, лежит
в пределах пространства L(X). Разности функций класса
которые следует рассмотреть для завершения построения
интеграла, также, конечно, лежат в пределах класса L(X).
Таким образом, класс функций	построенный по сово¬
купности ЭД, является частью пространства L(X). Класс
удовлетворяет условию полноты относительно нормы /(•)	|)
и, следовательно, является замкнутым подпространством
в L (X). С другой стороны, как мы видели, элементарные
функции	образуют в всюду плотное множество;
§ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	127
таким образом, мы получим снова все £5(, если произведем
замыкание совокупности по норме I (| ср |). Итак, класс
есть просто замыкание совокупности по норме /(]<р|).
2. Достаточная система. Рассмотрим совокупность Но
всех линейных комбинаций характеристических функций всех
суммируемых множеств.
Покажем, что она всюду плотна в пространстве L(X).
Достаточно проверить, что всякая неотрицательная функция
ср £ L принадлежит замыканию Яо по норме /(|ср|). Рассмот-
оо	N .
рим сначала функцию ср£ (х)= 2 пг Хлп (х) = 2 П£ Хея W+
/2=1	/2=1
со
+	2 П£Хе/г(х) (п- 6 §7). В указанном представлении пер-
/2 = 7V+1
вое слагаемое входит в HQ, второе же стремится по норме
к 0 вместе с АЛ так как
оо
II S «eXenWl— Z «еР-(Дп)->0 при N->00.
||/2 = /V+l	|| n = N+l
Таким образом, сре(х) принадлежит замыканию HQ. Далее,
при 8 —>0, например, по последовательности ek = 2~k, мы
имеем <ре//ср, поэтому
/(? — сре) = || ср —% || —>0,
откуда и ср принадлежит замыканию /Уо. Таким образом
Поставим вопрос: в каком случае Ц{ — L(X), иными
словами, в каком случае линейные комбинации харак¬
теристических функций множеств полукольца ЭД обра¬
зуют множество, всюду плотное в пространстве £,(Х)?
Будем называть полукольцо ЭД, обладающее указанными
свойствами, достаточным. Ответ на наш вопрос дается
следующей теоремой.
Теорема 1. Полукольцо ЭД сумми руемых множеств
является достаточным тогда и только тогда, когда
для любого суммируемого множества Е и любого
е > 0 найдется множество F, являющееся объединением
конечного числа множеств полукольца ЭД и такое, что
р(Е — EF) + ^(F — ЕЕ) <е.	(1)

128
МЕРА
[ГЛ. Ill
Доказательство. Неравенство (1) означает, что
^(|х£ — Хг|) = Ия — XfII <s-
Поэтому при выполнении условия теоремы характеристическая
функция любого суммируемого множества Е есть предел
(по норме L) линейных комбинаций характеристических
функций множеств полукольца ЭД. Отсюда- следует, что ли¬
нейные комбинации характеристических функций множеств
полукольца ЭД плотны в L. Обратно, пусть известно, что
линейные комбинации характеристических функций множеств
полукольца ЭД плотны в Ц покажем, что выполняется усло¬
вие теоремы. Пусть Е — суммируемое множество; по условию
Уе (x)=!im gn (х),
где
£«(*)= £„<=21.
/г = 1
Можно считать, что множества Екп (6=1, 2, гл) не
пересекаются при фиксированном п. Рассмотрим функцию
_	ril
£„(*) = 2'Х£„ (*)•
/? = 1
где сумма распространена только на те множества Ekrv для
которых ckn ~ . Обозначим их объединение по индексу k
через Еп.
Мы имеем: для х^ЕЕп уЕ W = 8п (*) = 1 >
для х£Е(Х — Еп) Х£(х)=1. i„(x) = 0, £„(х)<1,
1Хг(*)~£л(*)1 = 1 <2|Хв(х) —g„(x)|;
для х£ (* — Е)Еп Хд(х) = 0. g„(x)=l,
1Хд(*)-£„(*)I = 1 <2 |хн(х) — £„(х)|;
для х£(Х — Е)(Х — Е„) x£(x) = 0, £„(х) = 0.
Поэтому всюду на X |хя — £„| < 2 |/£(х) — g„(x)| и,
следовательно.
Их д —i«ll = zdx£ —i«l) < 2/(|х£(х) — g„ (х)|)->о.

§ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	129
Функция gn(x) сама есть характеристическая функция
для некоторого множества Вп, являющегося конечной сум¬
мой множеств полукольца ЭД. Мы утверждаем, что при до¬
статочно большом п множество Вп удовлетворяет поста¬
вленному условию. Для этого рассмотрим функции (gn— Хе)+
и (gn — Xf)”. Функция (gn—/£)+ есть характеристическая
функция множества тех точек, которые принадлежат
множеству Вп и не принадлежат множеству Е; функция
(gn — Хе)” есть характеристическая функция множества 6Л
тех точек, которые принадлежат Е и не принадлежат Вп.
Множество Е получается из множества Вп прибавлением
множества 23л и вычитанием множества 6Л. С другой сто¬
роны,
+	/(^л — Хе)4 +	— Хе) =
= i(\gn—х£1)= Ilze—irtll
что и завершает доказательство.
Следующая теорема показывает, что, используя счетные
пересечения и объединения множеств достаточного полу¬
кольца, можно получить любое суммируемое множество
с точностью до множества меры 0.
Если ЭД — некоторая система множеств, то через ЭДа обо¬
значают систему тех множеств, которые получаются из си¬
стемы ЭД путем образования счетных объединений, и через
ЭД5 — систему тех множеств, которые получаются из ЭД путем
образования счетных пересечений; далее полагают ЭДс5 = (ЭДо)5,
=	И Т. Д.
Лемма 1. Пусть ЭД — достаточное полукольцо; тогда
для каждого е>0 и каждого суммируемого множе¬
ства Е можно найти такое множество F = Е(е) из
системы ЭД0, для которого Е/?) = 0, р.(Е—
Доказательство. Для заданного суммируемого мно¬
жества Е и натуральных чисел т и я, пользуясь теоремой 1,
найдем такое множество Fmn — конечное объединение мно¬
жеств полукольца ЭД, — для которого
Р* (£ тп) < 2пт ’ ^тп	EF тп) < 2пт '
9 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

130
МЕРА
[ГЛ. Ill
Положим Fm = U Fmn; множество Fm принадлежит 21а.
Мы имеем Е — EFm — f)(£ — EFmn), Fm — EF m =
=	— EFmn)’ ПОЭТОМУ
[X (£ — EFm) < inf |x (E — EFmn) = 0,
tl
P- (Fm ~XK]j P'	~ EF™> <	’
n
Таким образом, при каждом nt та часть множества Fm, ко¬
торая лежит в Е, исчерпывает все Е с точностью до мно¬
жества меры 0, а та часть, которая не лежит в Е, имеет
меру, не превосходящую Очевидно, множество Fm для
1
— < е удовлетворяет условию.
Теорема 2. Пусть ?(— достаточное полукольцо;
тогда для любого суммируемого множества Е можно
найти такое множество F £21о8, что {i(Z? — EF) =
= ^(Е — EF) = 0.
Доказательство. Согласно лемме 1 при каждом т —
= 1, 2, ... существует множество Рт такое, что
И (E — EFm) — 0, v.(Fm — EFm)<^.
Положим =	множество F принадлежит системе ?{а8.
При этом E—EF = (J (£■ — EF т), F — EF = f] (Fm — EFJ,
откуда р. (Е — EF) < Т р (£ — EF^ =0, р (F — EF) <
т
inf (1 (Fm — EF^ = 0. Если записать (что всегда возможно)
E = F+ (E — EF) — (F — EF),
мы видим, что множество Е получается из множества F
прибавлением некоторого множества меры 0 и вычитанием
некоторого множества меры 0, что и утверждалось.
3.	Впол ie достаточное полукольцо. Несколько усили¬
вая условия на полукольцо 21, мы можем добиться того,
§ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	131
чтобы каждое суммируемое множество не только аппрокси¬
мировалось множеством системы с точностью до множе¬
ства меры 0, но и содержалось при этом в аппроксими¬
рующем множестве. Введем следующее определение.
Достаточное полукольцо 21 называется вполне доста¬
точным, если оно удовлетворяет следующему дополнитель¬
ному условию: для любого множества Z меры 0 и любого
е > О можно найти множество В из 21а, покрывающее мно¬
жество Z и имеющее меру < е.
Достаточное полукольцо может не быть вполне доста¬
точным; простым примером может служить система Е всех
измеримых подмножеств Ес.Х, не содержащих фиксирован¬
ной точки х0 с мерой 0.
Лемма 2. Пусть 31 — вполне достаточное полу¬
кольцо} при любом е>0 каждое суммируемое множе¬
ство Ecl X можно покрыть некоторым множеством G £
меры, меныией, чем рь(£) + е*
Доказательство. Согласно лемме 1 для заданного
е> 0 существует множество Ег £ 21а такое, что р(Е— ЕЕе)=0,
р^е-£Те) < е; мы можем написать
E = F,+ A — В,
где А = Е — EFt есть множество меры 0, B = F& — EFe
имеет меру, меньшую е. В частности, р. (Fe)< р. (£)-f-
-(_р,(В) == р, (£*)+ е. Рассмотрим включение Ес:Fe (J А. Мно¬
жество Ле принадлежит системе 21а, множество А, как мно¬
жество меры нуль, можно покрыть множеством Ае £ 318
с мерой < е. В итоге все множество Е оказывается покры¬
тым множеством <7е = Ле (J Де £ 315 с мерой, меньшей, чем
Н(£) 4- 2е.
Теорема 3. Пусть 21— вполне достаточное полу¬
кольцо; каждое суммируемое множество ЕсХ можно
покрыть некоторым множеством G f 31з8 той же меры.
Доказательство. В силу леммы 2 при любом т = 1,
2, . . . множество Е можно покрыть множеством
1 00
меры, меньшей, чем р-(£*)-|	. Положим G = П
т~1
для множества G мы имеем
G^E, Н£)<К0)<Н°т)<М£)+^-
9*

132
МЕРА
[ГЛ. Ill
Так как это неравенство справедливо при любом /п = 1,
2	то |х (£) = / (G) и, следовательно,
p(G — Е) = 0,
что и утверждалось.
Аналогичное предложение справедливо для измеримых
множеств: всякое измеримое множество Е<^.Х есть раз¬
ность некоторого множества G02laga и множества Z
меры, 0.
В самом деле, имея последовательность суммируемых
множеств Ххс_Х2а. .исчерпывающую все X, мы можем
представить множество Е в форме объединения частей, со¬
держащихся соответственно в Xv Х2, ..., именно
Е = ЕХ1[)ЕХ2{) ...
Каждое из множеств ЕХп суммируемо и, по предыду¬
щему, может быть представлено как разность Gn — Zn, где
GnfzKt.’ Р'(^л) = °- Поэтому
£^J(On-Z„) = O-Z,
п
где G — [J Gn £ $loSa, Z —	имеет меру 0, что и тре¬
буется.
4.	Верхняя мера и критерий измеримости. В этом
пункте мы будем называть множества, составляющие вполне
достаточное полукольцо, простыми множествами.
Покроем произвольное множество Лс/, если это воз¬
можно, конечной или счетной системой простых множеств
и найдем сумму мер этих простых множеств. Точная нижняя
граница получающихся чисел при всевозможных покрытиях
множества А системами простых множеств обозначается
|1*(Д) и называется верхней или внешней мерой мно¬
жества А. Возможно, что р.*(Д)=оо или вовсе не суще¬
ствует (если не существует ни одного указанного покрытия).
Всякое множество меры 0 по самому определению вполне
достаточного полукольца имеет и внешнюю меру 0.
Теорема 4. Для каждого суммируемого множе¬
ства А его верхняя мера существует и совпадает
с числом [А (Л).
Доказательство. Прежде всего мы можем рас¬
сматривать лишь покрытия множества А неперекрывающи-
§ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	133
мися простыми множествами. А именно, если G = {Вр В2, . . .
. .., Bk, ...}—произвольная последовательность простых
множеств, покрывающая множество А, то, как было пока¬
зано в п. 1, мы можем заменить множество Bk на множества
Ва-1, Bkrk> из которых состоит разность самого Bk
и той части которая вошла в предыдущие множества;
ясно, что множества BkJ- при всевозможных k и j rk уже
не имеют взаимных пересечений. Сумма же мер множеств
системы {ВуЛ} может быть лишь равна или меньше суммы
мер множеств Bk.
Если G есть объединение неперекрывающихся множеств
покрывающее множество А, то G есть измеримое
множество с мерой, равной сумме мер множеств Bk\ так как
Л с: О, то |1(Л)	|i(G) и, следовательно, верхняя мера мно¬
жества Л, если она существует, не может быть меньше р.(Л):
|1*(Л)= inf |х(О)>И(Л).	(1)
g зэ а
С другой стороны, если множество Л суммируемо, то
по лемме 2 при любом /п=1, 2, ... существует мно¬
жество Gm£?Ia, содержащее Л и имеющее меру<; [х(Л) + -^.
Поэтому
при т—>схэ получаем
И*(Л)О(Л),
откуда и следует требуемое.
Естественно, возникает вопрос, можно ли определить
сами измеримые множества в терминах внешней меры. Ответ
на этот вопрос мы дадим для случая, когда множество X
суммируемо.
Теорема 5. Если X суммируемо, то множество
АсХ измеримо тогда и только тогда, когда сумма
внешних мер множества А и его дополнения СА
(до всего X) равна мере Х\
И)+	= nW-
Доказательств о. Необходимость указанного условия
очевидна: если Л измеримо, то и его дополнение СА изме¬
134
МЕРА
(ГЛ. Ill
римо и из равенства |i (X) = р. (Д)4- (i (СА) следует равен¬
ство (1). Докажем достаточность этого условия. Пусть для
множества А выполнено равенство (1). Тогда для любого
е > О можно найти покрытие множеств А и СА системами
неперекрывающихся простых множеств GA и GCA с общей
суммой мер
Н(Од) + |х(ОСд) < Р
Обозначим через Лд и Н{са характеристические функции
множеств Ga и Gca. Функция 1—Hqa отлична от нуля
только в пределах множества А, и поэтому
о с 1 - Аса (х) < Ха (х) <- № U).
где ул(х)— характеристическая функция множества А.
Отсюда
С другой стороны, по условию,
/Лд — I (1 — ^сд) — f^A “F ^СА — (X) =
= Н (Сд) + Iх (ОСд) — и (X) < 8,
При е—>0 функции h{A (х) образуют последовательность,
которую можно считать монотонно убывающей, и тем самым
последовательность 1—Ьса(х) — монотонно возрастающей.
Поэтому последовательность /гд’(х)— [1—^сд(х)] также
монотонно убывает. Ее предел f (х) есть неотрицательная
измеримая ограниченная функция, интеграл от которой,
согласно теореме Беппо Леви, равен нулю; поэтому /(х)
почти всюду равна нулю. Но так как
h\ (X) - [ 1 - h"A (X)] > hA (х) - хА (•*) > о,
то	= ^а (х) и тем самым есть измеримая и сум-
.->0
мируемая функция. Это доказывает и достаточность сфор¬
мулированного условия.
5.	Мера на «-мерном брусе. Примеры. Рассмотрим,
что дает общая теория меры в применении к ограниченному
«-мерному брусу В. Если исходный интеграл / строился
по квазиобъему	неотрицательному и непрерывному,
§ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	135
то, прежде всего, мы получаем, что всякая такая функция а (В)
может Сыть распространена с брусов на счетно-аддитивное
семейство множеств — a-измеримых множеств,—на котором
она сама обладает свойством счетной аддитивности. Какие же
подмножества BczB оказываются о-измеримыми?
Всякое открытое множество G (т. е. целиком состоя¬
щее из внутренних точек) может быть представлено как
объединение счетной системы брусов (поскольку каждая
точка x0£G может быть покрыта брусом с рациональными
координатами граничных листов, лежащим внутри G) и по¬
этому о-измеримэ. Всякое замкнутое (в В) множество А
является a-измеримым как дополнение к открытому. Всякое
борелевское (мы Судем говорить также классическое боре-
левское) множество, т. е. множество, которое может быть
получено из брусов применением счетной совокупности
операций объединения, пересечения и дополнения, также
является a-измеримым. Разность борелевского множества
и множества а-меры 0 (среди последних могут быть и не
борелевские множества; см. задачу 2) также а-измерима.
Немного ниже будет показано, что всякое a-измеримое мно¬
жество есть разность борелевского множества и множества
а-меры 0. Мы получим этот факт, используя общие тео¬
ремы пп. 1—4.
Пусть ’Я — система всех брусов, границы которых лежат
на листах с нулевыми квазиобъемами; мы знаем, что про¬
странство L. (В) порождается соответствующ ши характери¬
стическими функциями хв(х) и, следовательно, эти последние
образуют достаточную систему в смысле п. 2. Применяя
результат п. 2, получаем следующую характеристику а-изме-
римых множеств с точностью до множеств произвольно
малой меры: для любого a-измеримого множества fcB
и е > 0 можно указать такую конечную систему брусов
О = U • • • U Вт, что a (f — EG) + а (О — EG) < е. Иначе
говоря, каждое Q-измеримое множество с точностью
до множества произвольно малой меры есть объедине¬
ние конечного числа брусов.
Заметим далее, что полукольцо брусов BczB не только
достаточно, но и вполне достаточно (п. 3), поскольку опре¬
деление множеств Z меры 0 строилось в § 4 как раз
по объемлющим системам брусов {Bj}. Поэтому в данном
136
МЕРА
[ГЛ. Ш
случае применимы и результаты п. 4, которые принимают
здесь следующую форму.
Верхней мерой множества Л с В называется величина
а*(Л)= inf а (О),
G ZD А
где G = (J В2 U ... — произвольная (конечная или счетная)
система брусов, покрывающая множество А.
Множество А является с-измеримым тогда и только
тогда, когда
а*(Л)+о*(В — Д)==а(В);
при этом а-мера множества А совпадает с его верхней
мерой о* (Л). Наконец, любое соизмеримое множество
есть разность счетного пересечения счетных систем
брусов и некоторого множества с-меры, 0.
Примеры, а) Если квазиобъем а (В) бруса В есть его обыч¬
ный объем s (В), то s-измеримые множества называются измери¬
мыми по Лебегу (или просто измеримыми), а величина s (Л)
называется мерой Лебега множества А (или просто мерой А).
Таким образом, для меры Лебега справедливы все результаты п. 5,
связанные с верхней мерой и аппроксимациями конечными или
счетными системами брусов.
б) Рассмотрим меру, порожденную квазиобъемом
3 (В) = j g (■*) dx,
В
где £(х)>0 суммируема по Лебегу в основном брусе В (§4,
пример 2). Выясним структуру a-измеримых множеств. Всякое
борелевское множество G является a-измеримым; при этом,
согласно формуле (2) § 4, п. 9,
4G) = ^a=I(l0g)= f g(*)dx.	(1)
G
Всякое множество Z лебеговской меры 0 является a-изме¬
римым и при этом также a (Z) = 0; для доказательства возьмем
борелевское множество (/□ Z, fxG = 0; тогда по формуле (1)
g (G) == J g (л) dx = 0,
а
откуда и a(Z)< а (G) = 0.
Всякое множество Е, измеримое по Лебегу, есть разность
борелевского множества и множества лебеговской меры 0 и поэтому

§ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	137
^измеримо; при этом, очевидно
0 (5) = f g (х) dx.
Е
В частности, множество GQ = {х : g (х) — 0} ^-измеримо и
’ (<?о) = j g(x)dx = 0.
<?о
Всякое подмножество Q cG0 также имеет а-меру 0 (хотя оно
может и не быть измеримым по Лебегу!).
Поэтому объединение множества Е, измеримого по Лебегу,
и множества Q с Go является ^-измеримым.
Покажем, что верно и обратное: всякое ^-измеримое множе¬
ство Е есть объединение множества, измеримого по Лебегу,
и множества Q с Go-
Пусть множество Е с В является a-измеримым. Тогда его
характеристическая функция \Е (х) a-суммируема и, по доказанному
в § 4, п. 9, функция суммируема по Лебегу; при этом
’ (£) = /яхд = / (хд£) = J хд (*) g (*)dx-
В
Обозначим G+ = {х\ g (х) > 0}; это множество измеримо по Лебегу.
Мы имеем
Е = £G0U EG+.
Множество EG = |х : уЕ (х) g (х) > 0| также измеримо по Лебегу.
Таким образом, Е есть сумма двух множеств, одно из которых
измеримо по Лебегу, а на другом функция g (х) равна нулю, что
и требовалось.
В § 4, п. 9 было доказано, что если функция f а-суммируема,
то произведение fg суммируемо по Лебегу. Покажем, что верно
и обратное: если для некоторой функции f произведение fg
суммируемо по Лебегу, то f s-суммируема. Проверим сначала,
что f есть a-измеримая функция. Рассмотрим при заданном С
множество EQ (/) тех точек, где выполняется неравенство f (х) <. С.
Это множество совпадает с множеством А, где выполняется нера¬
венство f (х) g (х) < Cg (х), за вычетом некоторого множества
Вс А, на котором g (х) равна нулю. Множество А измеримо
по Лебегу и, следовательно, a-измеримо, множество В имеет
а-меру 0; поэтому Ес (/) а-измеримо. Так как С произвольно, то мы
приходим к выводу, что функция f a-измерима. Для доказательства
а-суммируемости функции f нам достаточно доказать, что ограни¬
чены интегралы IQfN, где fN (х) = min { |/(х) |, Af}. Но функ¬
ция fN (х) ограничена и a-измерима вместе с функцией /, следова¬
тельно, a-суммируема, а тогда по формуле (1)
I.fN = l 0Ng')<l{\f\g),

138
МЕРА
[ГЛ. Ill
что и требуется. Итак, мы получили полную характеристику' а-сум-
мируемых функций: это те и только те функции, f (х), для
которых ппоизве^ение fg суммируемо в обычном смысле.
в) Рассмотрим меру, порожденную квазиобъемом
□ (В) — с^	о» ZS < °°
xk<_B	\	k	}
(§ 4, n. 4, пример 3). Здесь любое множество E(Z.B a-измеримо и
его a-мера вычисляется по формуле
а(£) = /д£ = Ck.
Действительно, множество Е отличается на множество a-меры О
от множества точек {х^}, лежащего в Е\ а это последнее а-изме-
римо (как не более чем счетное); поэтому и Е a-измеримо. Далее
a (£) = а | (J xk	С/г’ что и УтвеРжДалось-
\xk-E J Х^Е
6. Мера Лебега при п=1. Рассмотрим в заключение
простейший случай и. = 1, B=(a, и лебеговской меры.
Как известно, каждое открытое множество Ос:В есть
объединение конечной или счетной совокупности составляю¬
щих интервалов Gj. Поэтому G измеримо и его мера равна
сумме длин интервалов Gj. Верхняя мера {х*(Л) множества
ЛсВ может быть определена как точная нижняя граница
мер открытых множеств, покрывающ ix множество А. Мно¬
жество А измеримо тогда и только тогда, когда выполняется
равенство
^(Л) + ^(СЛ) = и.(В) = ^ — а.	(1)
В своем построении теории меры и .интеграла творец
этой теории А. Лебег отправлялся от определения измери¬
мого множества как раз в форме, установленной в последней
теореме. Именно, множество Ас(а, Ь] он называл измери¬
мым, если выполнялось соотношение (1)
(х* (Л) + (х* (СЛ) = b — а.
Иногда это определение высказывается в несколько иной
форме, а именно: определяется внутренняя (нижняя) мера
множества Л по формуле
sup p.(F),
Г С А

§ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	139
где верхняя грань берется по всем замкнутым множествам F,
содержащимся в данном множестве А; при этом мерой
замкнутого множества F называется число b — а — }>.(CF),
где CF — дополнительное к F открытое множество. Далее,
А называется измеримым множеством, если
1хДД) = рь*(Д).	(2)
Легко проверить, что определения (1) и (2) равносильны.
Действительно,
sup p.(F)= sup (b — a — y-(CF)) =
FCZA	F(Z.A
— b— a— inf jx(CF).
FCZ A
Но если множество F замкнуто и заключено в множестве А,
то его дополнение CF открыто и покрывает множество СА;
отсюда непосредственно следует, что
(Д) — Ь — а — |х* (СД),
и, следовательно, равенства
(А) = у,* (Д) и (А) + (СД) = b — а
эквивалентны.
Установив затем на основании определения (1) или (2)
счетную аддитивность меры (что далеко не простое дело),
Лебег определял измеримые функции как такие, для которых
измеримы при любом с множества вида
{х : /(х) > с).
и далее строил определение интеграла по формулам, экви¬
валентным нашей формуле (3) п. 6 § 7.
При наличии счетно-аддитивной меры построение инте¬
грала Лебега может быть проведено и на абстрактном мно¬
жестве X. В пп. 7—8 приводится это построение, причем
для доказательств используются известные нам свойства
интеграла и меры из §§ 2, 7 и 8.
7.	Элементарная счетно-аддитивная мера и ее рас¬
ширения. Система й подмножеств множества X называется
кольцом, если вместе со всякими двумя множествами А. В
она содержит их пересечение ДП^> объединение Ди^
140
МЕРА
[гл. hi
и, если В с: А, разность А — В. Множества, входящие
в кольцо ЭД, будем называть элементарными множествами.
Само X может принадлежать кольцу ЭД или не принадле¬
жать; в последнем случае предполагается, что X есть
счетное объединение множеств из кольца ЭД.
Счетно-аддитивной мерой будем называть конечную
аддитивную неотрицательную функцию множеств |х(Л), опре¬
деленную на кольце ЭД и удовлетворяющую следующему
условию:
(а) для
множеств Ах,
любой последовательности непересекающихся
. . ., Ап, .. . кольца ЭД, для которой Л =
также входит в кольцо ЭД, всегда
|1(Л) = [1(Л1)Н- ... -Ь[а(л/2)4“ • ••
Как следствия, получаем:
(б)	для любой последовательности множеств Bxcz ... с
сВяс ... кольца ЭД, для которой B =	также входит
п
В КОЛЬЦО ЭД,
;хВ = lim \ьВп\
п->оо
(в)	для любой последовательности множеств
□Ср ... кольца ЭД, для которой С = |^|СЛ также входит
п
в кольцо ЭД,
[хС = lim [хСл.
/2->0О
Свойство (б) следует из (а): при условиях (б) В = Вх (J
U(B2— U ••• U(Вл—	••• есть разложение на
непересекающиеся слагаемые; отсюда [х(В) = jx(Bj)4- •••
... 4~Р-(ВП — Вл-1)+ ... =Ит|х(Вл). Свойство (в) сле-
/2->оо
дует из (б) переходом к дополнениям (до CJ.
Мера [х на кольце ЭД называется элементарной мерой.
Кольцо ЭД называется а-кольцом, если вместе с любой
последовательностью непересекающихся множеств Ах, ...,
Ап, . . ., содержащихся в (любом) фиксированном множестве
Л0£ЭД, их объединение Л = иДл принадлежат кольцу ЭД.

ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
141
$ 8]
Если 2( есть a-кольцо, то вместе с любой последователь¬
ностью множеств Вх	.... содержащихся в фикси¬
рованном множестве Во£2(, их объединение B =	вхо-
п
дит в 21; действительно, В можно записать в виде объеди¬
нения непересекающихся множеств
В = #1 U (^2	^1^2) U (В3 Я А — ^2^3) U • • • >
каждое из которых содержится в Во и входит в 21. Далее,
пересечение любой последовательности множеств Ср ...,
Сп, . .. a-кольца 2( также входит в это кольцо 21; действи-
тельно,
п	п
поэтому и Q Сп — Cj —	входит в 21.
Множества, входящие в о-кольцо, будем называть боре-
левскими множествами.
Счетно-аддитивная мера |л на о-кольце 21 называется
борелевской мерой.
о-кольцо 21 с борелевской мерой р называется 0^-коль-
цом, если всякое подмножество множества меры 0 также
входит в 21 (и имеет, следовательно, также меру 0). Мера р
в этом случае называется конечно-лебеговской мерой.
Кольцо 21 подмножеств множества X называется Е-коль-
цом, если вместе с любой последовательностью непересе¬
кающихся множеств 	Ап, ... кольцо 21 содержит их
объединение H =	Легко проверить, что Е-кольцо
п
вместе с любой последовательностью множеств Bv ...,
Вп, ... содержит их объединение и пересечение. Множество X
само всегда является элементом Е-кольца. Элементы Е-кольца
мы будем называть обобщенными борелевскими множе¬
ствами.
Неотрицательная аддитивная функция р(Л), определен¬
ная на обобщенных борелевских множествах (принимающая,
возможно, значение -f-oo), называется обобщенной боре¬
левской мерой, если для любой последовательности Av ...
..., Ап, . . . непересекающихся множеств кольца 21
н(I /1/^ = иИ1)+ ••• +нИл)Н" •••>

142
МЕРА
[ГЛ. Ш
причем допускаются и бесконечные значения правой или ле¬
вой части.
Если Е-кольцо 31 вместе со всяким множеством меры О
содержит все его подмножества, то оно называется ^-коль¬
цом. Мера ре в этом случае называется лебеговской мерой.
Предполагается, что само множество X, если р,(А') = оо,
является счетным объединением множеств конечной меры.
По отношению к мере |х множества А £ 31 называются
измеримыми (точнее, fx-измеримыми) множествами; те из
них, для которых |х(Д)<оо, называются суммируемыми
(jx-суммируемыми) множествами.
Примеры. Пусть на X определено пространство эле¬
ментарных функций с элементарным интегралом в смысле
§ 2 и построен интеграл по схеме Даниэля. Измеримые
множества «по Даниэлю» (§ 7) образуют 2^-кольцо, мера [х
на этом 2^-кольце— лебеговская мера. Суммируемые под¬
множества образуют а^-кольцо, мера [х на нем — конечно-
лебеговская мера.
Ограниченные классические борелевские множества на
оси — оо < х < оо (§ 8, п. 5) образуют о-кольцо, мера
Лебега (или Стилтьеса) на нем есть борелевская мера
(но не конечно-лебеговская). Все борелевские множества
на оси — оо < х < оо образуют 2-кольцо, мера Лебега на
нем — обобщенная борелевская мера. Наконец, полуинтер¬
валы (а, р] и их конечные объединения образуют кольцо,
не являющееся a-кольцом, мера Лебега (или Стилтьеса) на
нем есть элементарная мера.
Лемма. Пусть на кольце 31 подмножеств множе¬
ства X задана элементарная мера |х. Пусть Н есть
совокупность конечных линейных комбинаций h(x) =
— ^сf^Ej{x) характеристических функций элементар¬
ных множеств.
Утверждается, что совокупность Н удовлетворяет
условиям 1) и 2) § 2 и 3) и 4) § 7 для системы эле¬
ментарных функций, а интеграл
Ih = ^c^(Ej)	(1)
удовлетворяет условиям I — III § 2 элементарного ин¬
теграла.

§ 8]
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
143
Доказательство. Очевидно, что Н — линейная сово¬
купность. Далее, для всякой функции h^H возможно дать
представление
т
h(x) = ^a.^Ej(x),
где ^Е. (х)—характеристические функции
непересекающихся
множеств.
Отсюда видно, что
т
|/г(х)| =	(*)
/ = 1 J
также принадлежит совокупности Н. Таким образом, усло¬
вия 1) и 2) § 2 здесь выполнены.
т
Согласно условию для функции /г(х) =	(х) опре-
делен интеграл по формуле
tn
j" /г (dx) =	= ayp. (Ej).
x	j=l
Нам понадобится также интеграл от функции /г(х) и по
элементарному подмножеству АсХ, который определяется
по естественной формуле
ео
J h (х) {J. (dx) = 1 Ah = (EjA).
А	/ = 1
Если |/г(х)|	Л4, то для последнего интеграла справедлива
очевидная оценка
\IAh \ < Л4р.(Л).
Имеет место очевидное равенство
I А+вЬ = I а^Л-! В^'
если А и В не пересекаются.
Покажем, что для интеграла Ih выполнены условия (I),
(II), (III) схемы Даниэля (§ 2), именно:
(I) /(a/z -h ₽Хг) = a/7z-4- р/Лг,
(II)	если /z(x)^0,
(III)	если /z„\0 всюду, то

144
МЕРА
[ГЛ. Ill
Выполнение условий (I) и (II) очевидно; следует прове¬
рить лишь условие (III). Пусть	всюду на множе¬
стве X; мы ограничимся далее лишь тем элементарным под¬
множеством ЕсХ, где /гх(х)>0. Пусть
АпП) = ^х : hn(x) < ~ и М = тах/г^х).
гп
Поскольку /гл (х)=	причем Е(ь} (при фикси-
й=1	k
рованном п) можно считать непересекающимися, множе¬
ство	есть конечное объединение некоторых из Е(£}
(тех, для которых а(/г)	и потому также элементарно.
При фиксированном т множество	расширяется
с увеличением индекса п и объединение всех А{™} (по всем п)
есть все множество Е. Поэтому в силу свойства (б) мы
имеем lim	= И (£)* и можно найти такой номер
л->оо
п = п (т), что [1 (Л^т)) > у. (Е) — — , следовательно,
Отсюда для п > п (/п)
IЕл(тп)	Ьп <
с лп (т)	лп (т)
Так как т можно взять произвольно большим, то Ihn~>Qt
что и требуется.
Проверим далее, что выполняются также условия 3), 4)
§ 7.
3) Вместе с каждой функцией h (х) в простран¬
ство Н входит функция min {h, 1}.
т
В нашем случае, если /г(х)= 2ал> ХгД*) и не
пересекаются, мы имеем
min [Л, 1} = £ min (aft,
л=1	*
что и требуется.

§ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	145
4) Существует последовательность неотрицатель¬
ных функций hn£H такая, что Ihn'>^ и sup Ля(х)> О
при любом х £ X.	п
В нашем случае, если р(Аг)<со, можно положить
/гл(х)=1; если p.(X) = oo, то по условию X есть объеди¬
нение расширяющейся последовательности элементарных
множеств Хп и можно положить hn (х) = ^хл (*)•
Таким образом, условие 4) также выполнено, и наша
лемма доказана.
Теперь мы покажем, что каждую элементарную меру
можно расширить до лебеговской меры; именно, имеет место
Теорема 6. Пусть на кольце 21 задана элементар¬
ная мера Тогда кольцо 21 можно включить в неко¬
торое Y^-кольцо с определенной на нем лебеговской
мерой pi, причем на множествах ££21 мера р будет
совпадать с мерой р.
Доказательство. Обозначим через Н совокупность
линейных комбинаций h (х) = 2 ^jlEj (х) характеристиче¬
ских функций элементарных множеств и определим на этих
функциях элементарный интеграл
Только что приведенная лемма позволяет применить здесь
результаты §§ 2 и 7, т. е. построить пространство L(X)
суммируемых функций и совокупность измеримых мно¬
жеств с некоторой мерой р. Мера р, как мы уже заметили,
есть лебеговская мера. Для каждого элементарного мно¬
жества Е мы имеем р(£) = 1^Е — р(£), так что мера р мо¬
жет служить искомым расширением элементарной меры р.
Теорема доказана.
Присоединим к этой теореме некоторые замечания. Исход¬
ное кольцо 21, очевидно, является достаточным кольцом для
интеграла /, поскольку он строился, исходя из характери¬
стических функций кольца 21. Покажем, что это кольцо
является и вполне достаточным. Пусть имеется множество Z
р-меры 0. Для заданного е > 0 имеется неубывающая по¬
следовательность неотрицательных функций hn (х) £ Н, такая,
что Ihn <е и sup/z„(x)> 1 на Z. Пусть, например, hn(x)—
п
10 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич

146
МЕРА
[ГЛ. Ill
—	(*)» где суммируемые по Лебегу множества Ekn
k	kn
не пересекаются при различных k. Пусть Gn — объединение
тех из EklV при которых соответствующие коэффициенты
Так как	то	Поскольку на Z
ОО
мы имеем sup hn (х)	1, то G=HG/zzdZ. Но из h^x)
п	п = 1
^h2(x)<i ... следует, что GtcG2c поэтому p.(G) =
= lim [1 (Gn) < 2s, что и требовалось.
Рассмотрим случай, когда р(2С) конечна и исходная эле¬
ментарная мера (1 с самого начала является лебеговской
мерой. В этом случае можно утверждать, что полученное
указанной конструкцией лебеговское расширение р в дей¬
ствительности не является расширением, иными словами,
область определения 21 меры р совпадает с областью опре¬
деления 51 исходной меры р.
Для доказательства рассмотрим вначале множество Z
р-меры 0. Поскольку элементарные множества, как мы виде¬
ли, образуют вполне достаточное полукольцо, множество Z при
любом т=1, 2, ... покрывается счетным объединением Ет
элементарных множеств Етк (k — 1, 2, . . .) с суммой р-мер
<	. Множество Ет само входит в систему 21 и имеет меру,
меньшую . Мы имеем далее ZczE = (~^Ет. Множество Е
также входит в систему 21 и р(Е) = 0. Так как р— лебе-
говская мера, то также и Z£2I и p(Z) = 0.
Пусть теперь А — любое р-суммируемое множество. Со¬
гласно п. 3 множество А можно представить в форме G—Z,
где G £ 2laS, р (Z) = 0. Множество G входит в систему 21
в силу своей структуры, множество Z также входит в си¬
стему 21 по доказанному, поэтому и A — G — Z входит
в систему 21; при этом очевидно, что р(Л) = р(Л).
Вообще говоря, имеется много лебеговских мер, определенных
на системах подмножеств множества X, включающих систему 91 и
совпадающих на 91 с исходной элементарной мерой р. Мы будем
всех их называть лебеговскими расширениями элементарной меры р.
Сейчас мы выясним, какое место среди них занимает лебеговская
мера р, которую мы только что построили.

§ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	147
Пусть даны две лебеговские меры p-j и р2, являющиеся расши¬
рениями элементарной меры р и определенные соответственно на
кольцах и St2 подмножеств множества X. В частности, для
Е С 94 мы имеем Pi (£) = Рг (^) = р (£) Образуем совокупность 93
всех подмножеств Л cz X, на которых определены обе меры pj и р2
и при этом Р!(Л) = р2(Л). Совокупность '4? содержит, во всяком
случае., всю совокупность 94. Покажем, что мера v, определенная
на системе 93 равенством v (Л) = pt (Л) = р2 (Л), также является
лебеговской. Действительно, пусть имеется пара множеств A CZ В
системы 93; тогда В — А также содержится в системе 93, так как
В — Л с В — Ле Sl2, р, (В — Л) Р1 (В) — Pi (Л) = р2 (В) —
— р2 (Л) = р2 (В — Л). Далее, если Ли ...» Л,л, ... — совокупность
непересекающихся множеств системы 93 и Л = Ат, то Л также
т
принадлежит 93, так как ЛС91П Л С 912 и pj (Л) = Н (Л^) =
т
= 2 Р*2 (Ап) = Р*2 М)- Тем самым на кольце 95 мера v является
гп
борелевской мерой. Наконец, если £ с: £0 С 93 и р? (£0) = р2 (£0) = О,
то множество £ входит в лебеговскую систему Slj и в лебеговскую
систему St2, имеет в каждой из них соответствующую меру, рав¬
ную 0, а следовательно, входит и в систему 93. Итак, мера v на
системе 93 — лебеговская.
Мера определенная, как выше, на кольце 93, называется пе¬
ресечением мер Pi и р2. Мы показали, что пересечение двух лебе-
говских расширений элементарной меры р снова является лебегов-
ским расширением меры р.
Можно определить аналогичным образом пересечение произ¬
вольной совокупности лебеговских расширений элементарной меры р
и доказать, что оно всегда также является лебеговским ее расши¬
рением. В частности, можно рассмотреть пересечение р* всех лебе¬
говских расширений меры р. Очевидно, что оно является вместе
с тем и наименьшим лебеговским расширением элементарной
меры р.
Покажем, что лебеговское расширение р, построенное выше,
совпадает с наименьшим лебеговским расширением р*. Достаточно
показать, что пересечение Р! любого лебеговского расширения
меры р с лебеговским расширением р совпадает с р. Для соответ¬
ствующих областей определения 91, Stp St мы имеем, очевидно,
соотношения StdStjCzSt. Обозначим далее £, L соответствую¬
щие пространства суммируемых функций: пространство L (Lx, L)
строится, как пополнение совокупности Н (Нъ Н) линейных ком¬
бинаций характеристических функций множеств £ С 91 (€91Р С St).
Мы имеем Н cz Н, причем значения интегралов элементарных
функций, принадлежащих меньшей совокупности, сохраняются при
переходе к большей совокупности. Пополнение Н (Нх, Н) по норме
/(| h |) совпадает с L(LX> L). Но по построению £ = £. Поэтому
10*

148
МЕРА
[ГЛ. lit
и Al = А, откуда следует, что = ?1, и наше утверждение
доказано.
Оказывается, что для любого ^-неизмеримого множества АаХ
всегда можно найти лебеговское расширение меры р, в котором
множество А будет измеримо (см. задачу 8).
Теперь мы можем решить вопрос и. о существовании
борелевских расширений данной элементарной меры р. Имею¬
щееся у нас «^-кольцо р-суммируемых множеств, разумеется,
определяет некоторое борелевское расширение меры р. Но
оно, вообще говоря, не является наименьшим борелевским
расширением меры р. Для построения наименьшего борелев-
ского расширения мы рассмотрим все a-кольца, содержащие
кольцо 21, и возьмем их пересечение 21; оно, очевидно, будет
также a-кольцом и притом, конечно, наименьшим, содержа¬
щим кольцо 21. В частности, оно содержится в «^-кольце 21
р-суммируемых множеств и потому на нем определена мера
р— лебеговское продолжение меры р; рассматриваемая только
на 21, она является борелевским расширением р меры р.
Любое другое борелевское расширение р* меры р является
вместе с тем и борелевским расширением меры р (иными
словами, область определения 21* меры р* содержит о-кольцо 21
и для каждого Е £ 21 всегда p*(f) = р (Е)). Действительно,
совокупность всех ЕаХ, на которых определены меры
р*(Е) и р(£) и имеет место равенство рь*(£') = р-(£’), как легко
проверить, есть о-кольцо, содержащее кольцо 21 и, следо¬
вательно, содержащее 21. Таким образом, по данной системе 21
однозначно определяется а-кольцо 21, по данной мере р — ее
борелевское расширение р. Заметим, что в отличие от боре-
левского расширения, о^-кольцо 21, на котором определено
лебеговское расширение р меры р, зависит не только от
кольца 21, но и от меры р. Можно показать, что наимень¬
шее лебеговское расширение 21 получается из наименьшего
борелевского расширения 21 добавлением к каждому из мно¬
жеств Е £21 подмножеств Z множеств Z0£2( меры 0.
8.	Построение интеграла по лебеговской мере. Теперь
мы покажем, как строится теория интеграла Лебега на
множестве X с лебеговской мерой р, заданной на 1^-кольце
Ti подмножеств множества X.

$ 8]	ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	149
Функция <р(х), определенная на множестве X, называется
^-измеримой, если для любого вещественного с каждое из
множеств
Е(?; с)={х: <р(х) < с)
является ^-измеримым.
Если ср (х) ^-измерима, то множества {х: с < ср (х) d\ =
= Е(ср; d) — Ё(ср; с) также ^-измеримы. Интеграл Лебега от
неотрицательной измеримой функции ср(х) определяется по
формуле
/ср = Ит 2пер.[х: гае < <р(х)< (га-|- 1)е},	(1)
е->0 rt=l
если указанный предел существует; функция ср(х) в этом
случае называется [^-суммируемой. ^-измеримая функция ср (х)
любого знака называется ^-суммируемой, если суммируемы
ее положительная часть ср4* (х) и отрицательная часть ср~ (х);
интеграл Лебега от функции ср определяется в этом случае
как разность /ср4*—/ср~.
Следует показать, что определенный этим путем инте¬
грал / обладает всеми привычными свойствами интеграла,
указанными, например, в теоремах пп. 6—9 § 2. Прямое
доказательство довольно кропотливо; но у нас нет в нем
нужды. Имея лебеговскую меру [л, мы строим совокупность Н
линейных комбинаций характеристических функций |л-сумми-
руемых множеств с интегралом (1) п. 7 и, пользуясь леммой
п. 7, расширяем ее процессом Даниэля (§ 2) до простран¬
ства L. Затем рассматриваем, как в § 7, получающиеся
измеримые «по Даниэлю» множества и измеримые «по Да¬
ниэлю» функции. В силу доказанного в п. 7 совокупность
получающихся измеримых «по Даниэлю» множеств совпадает
с исходной совокупностью ^-измеримых множеств. В силу
результатов § 7, п. 5 совокупность функций, измеримых «по
Даниэлю», совпадает с совокупностью функций, ^.-измеримых
в смысле последнего определения. Далее, в силу результатов
§ 7 п. 6, совокупность функций, суммируемых «по Даниэлю»,
совпадает с совокупностью функций, ^-суммируемых в смысле
последнего определения, причем и значения интегралов «по
Даниэлю» и по Лебегу от данной суммируемой функции
совпадают друг с другом. Тем самым все свойства инте¬
грала, установленные в § 2, оказываются справедливыми для
интеграла Лебега в последнем определении.

150
МЕРА
[ГЛ. Ill
ЗАДАЧИ
1.	Доказать, что совокупность всех борелевских множеств на
отрезке [0, 1] имеет мощность континуума.
У к а з а н и е. Борелевское множество можно задать с помощью
последовательности замкнутых множеств. (Подробнее см. Ф. X а у с-
дорф. Теория множеств, ОНТИ, 1937, стр. 195.).
2.	Доказать, что совокупность всех измеримых по Лебегу мно¬
жеств на отрезке [0, 1] — даже только множеств меры 0 — имеет
мощность выше мощности континуума.
У Казани е. Любое подмножество множества меры 0 также
имеет меру 0. Использовать заначу 2 к § 1.
Примечание. Задачи 1 и 2 показывают, что существуют
неборелевские измеримые множества.
3.	Доказать, что совокупность измеримых множеств, каждые
два из которых различаются более чем на множество меры 0, имеет
мощность не выше континуума.
Указание. Всякое измеримое множество с точностью до
множества меры 0 является борелевским.
4.	Построить измеримое множество Е, которое на каждом
интервале имеет положительную меру, так же как и его допол¬
нение.
У к а з а н и е. Построить аналог канторова множества (задача 2
к § 1), но с положительной мерой; повторить эту конструкцию на
каждом смежном интервале.
Примечание. Функция	не интегрируема по Риману
и не становится интегрируемой по Риману после исправления на
каком бы то ни было множестве меры 0.
5.	Всякая измеримая функция в ограниченном брусе В при лю¬
бом е > 0 непрерывна на некотором замкнутом множестве F cz В,
р (Л) > р (В) — £ (Н. Н. Лузин).
У к а з а н и е. Для ступенчатых функций доказательство элемен¬
тарно. Для перехода к общему случаю использовать теорему Его¬
рова (§ 7, задача 2).
6.	Измеримая функция g (у), определенная на множестве Y
с мерой называется равноизмеримой с измеримой функцией /(х),
определенной на множестве X с мерой р, если для любого С мы
имеем X (у: g (у) < С) = р {х: f (х)	С}.
Доказать, что для любой измеримой функции / (х) на абстракт¬
ном множестве X с мерой 1 существует неубывающая равноизме¬
римая функция g (у) на отрезке [0, 1] с обычной мерой Лебега.
Указание. Положим /г(а) = р(х: /(х)<_а}; тогда
g (у) = inf а.
F (а) < V
7.	Назовем функцию f (х), определенную в брусе В, борелев-
ской, если каждое множество Е (/. с) = {х: f (х) < с} борелевское.
Показать, что всякая измеримая функция / (х) в брусе В стано¬
вится борелевской после надлежащего исправления на множестве
меры 0.

§ 8]
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
151
Указание. Каждое из счетной совокупности множеств
В^/,	2^	— В^/, становится борелевским после выбрасы¬
вания некоторого множества меры 0. Соединение всех выброшен¬
ных множеств — борелевское множество; можно на нем положить,
например, f (х) == 0.
8.	Пусть задана лебеговская мера р и дано неизмеримое под¬
множество К; при этом р*(/) = а, р*(П —а < 3- Построить ле-
беговское расширение меры р, в котором множество Y будет
v-измеримым с заданным значением у = ч (X), где а < 7 < р
Указание. В случае р* (X) = |3, р# (К) = 0 р-измеримые мно¬
жества А и В определяются однозначно с точностью до множества
меры 0 по множеству С = AY[JB(X — Y). Положим 5lv —
= {AY\JB(X—Y)} и у(ЯГиВ(Х-Г)) = |(л(Я) + ^1-1]!л(В).
В общем случае имеются р-измеримые множества Ех и Е2 такие,
что Ех cz Y cz Е2, (л(£1) = а, р. (Е2) = На разности Е2 — ЕХ = Е
следует произвести приведенное построение. В результате к си¬
стеме присоединяются все подмножества множества Е, имею¬
щие вид
С = Л(Г — ЕОиВ^г — YY АаЕ, ВсЕ,
где А, В р-измеримы, причем
9.	«Эффективное построение неизмеримого множества». Рассмо¬
трим на квадрате X = (х: 0 хх 1, 0 х2 1} кольцо множеств
Е — Ех X [0, 1], где Ех cz [0, 1] измеримо по Лебегу и имеет
меру т (Ех). Положим р (£) = т (Ех). Похазать, что множество
[0, 1] X ^0, -g-j р-неизмеримо (Е. В. Майков).
10.	Аддитивная (не обязательно знакоположительная) функция
множеств некоторого полукольца 51 всегда может быть продол¬
жена, как аддитивная функция, на некоторое кольцо 53 zd 51.
Указание. Кольцо 53 составляется из конечных объедине¬
ний непересекающихся множеств полукольца 51. Для каждого
В = Ат С 55 положить, по определению, р- (В) —	Про¬
ги	т
верить однозначность и аддитивность.
11 (продолжение). Счетно-аддитивная неотрицательная мера р
при продолжении с полукольца на кольцо, указанном в задаче 10,
сохраняет счетную аддитивность.
Указание. В последовательности непересекающихся мно¬
жеств Вр В2, ... кольца 51 можно устроить разложение на множе¬
ства из полукольца так, что
si = Au ... 1МР1, в2 = лхи ... U^IMA+1UV...

152
МЕРА
[ГЛ. Ill
12.	Условия счетной аддитивности (а), (б), (в)’ п. 7 для кольца
эквивалентны, для полукольца не эквивалентны.
У Казани е. Рассмотреть полукольцо 9Г, образованное из мно¬
жеств рациональных чисел на отрезке [0, 1], удовлетворяющих все¬
возможным неравенствам вида а < х < 3. а < £, а < х < р, а <
(а=р не исключается). Ввести меру по формуле р. (Л) =
= Р—а. Здесь условие (а) не выполнено (мера аддитивна, но не
счетно-аддитивна), а условие (б) выполнено.
§ 9. Интеграл и мера любого знака
В предыдущих рассмотрениях были весьма существенны
условия положительности элементарного интеграла
Ih^>Q при Л(х)^0
или эквивалентное условие положительности меры
р.(Е)>0.
В случае квазиобъема, заданного на подбрусах я-мерного
бруса В, мы видели в § 6, что условие положительности
квазиобъема можно заменить более общим условием ограни¬
ченности его изменения. Возможно ли это проделать в общем
случае, когда функционал Ih или мера р заданы на произ¬
вольном множестве X? Оказывается, что это возможно; при
этом даже не нужно накладывать никакого нового условия;
имеющегося у нас свойства непрерывности функционала Ih
(или счетной аддитивности меры р) достаточно, чтобы осу¬
ществить разложение незнакоопределенного функционала (или
меры) в разность двух неотрицательных функционалов (мер).
1.	Разложение незнакоопределенного интеграла в раз¬
ность двух неотрицательных. Рассмотрим сначала случай
незнакоопределенного функционала. Пусть на множестве X
задано семейство Н ограниченных вещественных функций h (х)
с известным значением интеграла Ih. Предполагается, что
семейство Н обладает теми же свойствами, что и в § 2,
т. ег оно линейно и вместе с каждой функцией Л(х) содер¬
жит ее модуль. Для интеграла Ih предполагаются выполнен¬
ными свойства:
(а)	линейность: I (ah (3&) = alh $Ik для любых h£H,
k£H и для любых вещественных а и р;
(б)	непрерывность: если Лл(х)\0 (всюду на X), то
/Л„->0.

§91
ИНТЕГРАЛ И МЕРА ЛЮБОГО ЗНАКА
153
Мы не предполагаем теперь выполнения условия Ihn О
при й(х)^>0.
Введем для неотрицательных функций	функцио¬
нал Jh по формуле
Jh = sup Ik.
Q^k(x)^h (x)
Если бы интеграл I был неотрицательным, как раньше, то,
очевидно, мы имели бы Jh=Ih. В данном случае равенство,
вообще говоря, не имеет места. Во всяком случае, очевидно,
что Jh^Q и Jh^>Iht поскольку можно положить £ = 0
или k = h. Возможно, что Jh — Q для всех	a priori
не исключено также, что для некоторых h функционал Jh
принимает значение -Р00- Покажем, что выполняется нера¬
венство
J\hx —J— h^J	Jhx —|— J/z2.
(1)
Действительно, пусть 0 kQ < hx + /г2; функцию kQ всегда
можно представить в форме kx-]-k2, где kx ^.hv k2^h2,
достаточно положить &1 = min(/z1, &0), k2 = kQ—kx, ясно,
что kx hv k2 kQ — hx < h2. Имея разложение kQ — k} -4- k2,
мы можем написать IkQ— Ikx-[- Ik2 < Jhx-\- Jh2 и затем
перейти в левой части к верхней грани, что и дает искомое
неравенство (1).
Покажем теперь, что функционал Jh принимает только
конечные значения. Предположим, что для некоторой функ¬
ции /г0^>0 мы имеем j/z0=-|-oo. Мы построим сейчас такую
последовательность функций hn 0, что hn < у hn_x,
Jhn = 4“ оо, \Ihn\^>n\ последнее, очевидно, будет противо¬
речить условию (б), так как hn (х)\10. В качестве началь¬
ной функции последовательности возьмем функцию /г0. Далее,
когда построены /z0, hv ..., hn_x с выполнением поставлен¬
ных условий, найдем функцию k так, чтобы иметь 0 k hn_v
Ik^>\Ihn-i\Если Jk — оо, то мы положим hn = -^\
если Jk < оо, то заведомо
так что мы можем положить hn = ~(hn~x — k). Итак, иско¬
мая последовательность существует, и предположение JhQ — оо
154
МЕРА
[ГЛ. Ill
приводит нас к противоречию; таким образом, значение Jh
конечно для всех h 0 из Н,
Покажем далее, что всегда выполняется и неравенство
Jhx + Jh2^J{hx-\-h2\	(2)
в соединении с доказанным уже неравенством (1) это даст
равенство
J (Л| —j— й2) = Jhx —j— Jh2	(3)
для всех	/z2	0 из H.
Чтобы доказать -(2), для заданного е > 0 найдем функ¬
ции kx hx и k2 -С ^2 так’ чтобы иметь
— е, lk2^>Jh2— е.
Мы имеем
J (hx ~/z2) I (k\ ~Н ^2)== ^1 Н~ ^2 Jhx —УЛ2 —	(4)
поскольку е было взято произвольно, справедливо (2),
а вместе с тем и (3).
Итак, функционал J аддитивен на семействе неотрица¬
тельных функций h^H. Кроме того, очевидно, что он поло¬
жительно однороден, т. е. если дано вещественное а > О,
то J—
Мы сейчас расширим область определения функционала J
до всей совокупности Н. Пусть ср £ Н есть разность неотри¬
цательных функций, y = hx— h2, /z1^>0, /z2^>0. Положим
Уо=у/г1 — j/z2. Это определение однозначно: если ср=*
— hx— h2— /z3— /z4, где /z30, /z40, to
I +	= h2 /Z3,
Jhx —|— Jh4 = J (/z^ -]- h4) = J (Ji2 —|— /z3) = Jh2 -J-
и, следовательно, Jhx—Jh2 = Jh% — Jh4. Покажем, что функ¬
ционал J остается аддитивным на всем классе Н. Г1усть
epi —- h j k j, Ф9 —; /Z9 Zz2, ^1 Q* ^2	^1	^2
тогда срj -4- ?2 = (^1 “b ^2) — (^1 + ^2)’
(?i	т2> —	+ ^2) —	+ ^2) =
= Jhx —|— Jh2 — Jkx —	=== -^91	^^2*
Наконец, при люзом вещественном а мы имеем У(а^) = аУср;
для а^>0 это ясно, и достаточно рассмотреть лишь случай
а = — 1. Но если ср = Л— /г, /1^6, &.>0, то —V = k— h
§9]
ИНТЕГРАЛ И МЕРА ЛЮБОГО ЗНАКА
155
и J(—cp) = J(£) — J(h) — — [J(h) — /(&)] =—Л, что и
требуется.
Покажем, наконец, что из	следует	Для
заданного е > 0 построим числа ez > 0 так, чтобы иметь
оо
2 С е» и найдем функции kn, 0 < kn < hn, так, чтобы
П=1	_
lkn^Jhn— гп. Пусть, далее, ^z; = min(^1	kn). Мы
/г
утверждаем, что Лгп ^Ikn -|- У] еР Для п = 1 это выпол-
( =1 _
нено по определению функции /г1 = /г1. Допустим, что это
выполнено для значений /=1, 2, ..., п. Мы имеем
£л+1 = min (£„, &rt + 1), далее
max(^, £/2 + 1)4-min(£n, kn + }) = knkn + v
/(тах(£п, А?л+1))Н-/^+1 =
== lkn + /kn+1 >Ikn+ Jhn+1 — £я + 1.	(5)
С другой стороны, учитывая, что kn < kn < hn, +
и используя предположение индукции, находим
п
I (max (kn, kn+l)) < J(A„) < lkn 4- S ez.	(6)
i-1
Из (5) и (6) следует, что
п
tkn +^п + 1 — ел + 1 — Ikn+1	Ikn Д- ez,
откуда
_	п + 1
^л+1Х^я + 1+
i = 1
и индукция оправдана. Вместе с тем мы получаем соотно¬
шение
lim Jhn <С lim Ikn -j- e =e,
поскольку kn <hn\^O, и следовательно, Ikn->§. Так как
e произвольно, то	что и требуется.
Рассмотрим также функционал N = J — /, определенный
на сев жупности Н Если h 0, то Nh = Jh —	таким
образом. N — также знакоположительный функционал. Он
линеен вместе с / и J и вместе с ними удовлетворяет условию

156
МЕРА
[ГЛ. Ill
непрерывности:	если	то Nan — Jhn — Ihn-+Q
(в действительности даже \0, поскольку он знакополо¬
жителен).
2.	Построение пространства суммируемых функций и
меры для незнакоопределенного интеграла. Итак, мы пред¬
ставили функционал / в виде разности знакоположитель¬
ных непрерывных функционалов J и N. Теперь, используя
функционалы J и N, можно строить расширение области
определения функционала /. Мы используем, собственно, один
знакоположительный непрерывный функционал А5 = У—7V.
Схема расширения дана в § 2. Мы выделяем сначала мно¬
жества /С-меры 0; множество ZczX имеет, по определению,
/С-меру 0, если для любого е > 0 существует неубывающая
последовательность функций /гл^>0, hn£H, такая, что
sup1 на Z и Khn<^t. (Заметим, что всякое мно-
п
жество /С-меры 0 автоматически есть множество J-меры 0
и Д/-меры 0, так как 0 ^Jhn<^Khn, 0 ^Nhn^Khn.)
Класс L# состоит из функций /(х), являющихся пределами
возрастающих последовательностей hn£H с ограниченными
интегралами Khn. Очевидно, что для таких функций имеют
смысл не только Kf — lim Khn> но также Jf и ДГ/. Класс LK
образуется из разностей ср = /— g, f£Lf<, g£Lx, и для
этих разностей имеют смысл выражения Ky~Kf— Kg,
Jy и Ny. Определим для этих же функций и интеграл
= Jcp — Ny.
Мы получили расширение функционала / на пространство LK.
В этом пространстве /ср есть линейный функционал, удовле¬
творяющий неравенству
|/ср| <	+
и имеющий тем самым норму (/С-норму), не превосходящую 1.
При выполнении условий § 7 можно перенести на случай
незнакоположительного функционала / и всю теорию изме¬
римых функций и меры. Условия эти в данном случае при¬
нимают следующую форму:
3) Вместе с каждой функцией /г(х) в пространство Н
входит функция min(/z(x), 1};

§ 9]	ИНТЕГРАЛ И МЕРА ЛЮБОГО ЗНАКА	157
4) Существует последовательность неотрицательных функ¬
ций hn£H такая, что Ihn=X§ и sup hn(x) > 0 при любом
х^Х.
Так как I = J—АЛ то Khtl = Jhn-\- Nhn^> 0; тем
самым для функционала К выполнены условия 3) и 4) § 7.
Все результаты § 7, таким образом, справедливы для функцио¬
нала К. В частности, /(-измеримыми являются функции, полу¬
чающиеся из функций h^H предельным переходом в смысле
сходимости почти всюду, т. е. за исключением множества
/(-меры 0. Всякая /(-суммируемая функция является и /С-изме-
римой. Множество ЕаХ является /("-измеримым (/("-сумми¬
руемым), если /("-измерима (/(-суммируема) его характери¬
стическая функция /£(х); величина (Е) = КуЕ называется
/(-мерой множества Е. В частности, если измерима, но
не входит в LK, т. е. не /(-суммируема, то /(-мера мно¬
жества Е бесконечна. Семейство /(-измеримых множеств
содержит, например, все множества вида (х: ср(х) < С},
где ср есть /(-измеримая функция. Для /(-суммируемой функ¬
ции ср ее /(-интеграл может быть выражен через меры
множеств (х: а<ср(х)^/>}, как это показано в § 7.
То же самое имеет место для знакоположительных функ¬
ционалов J и N. В частности, если /(-мера множества Е
конечна, то J-мера и /V-мера его также конечны, и можно
определить /-меру по формуле
Pj(E) = pj(E) — ?N(E).	(1)
Для всего X мера /, вообще говоря, не определена, так же
как и для тех /(-измеримых подмножеств Ес.Х, для которых
Р-х (£) — оо. Таким образом, область определения меры |iz,
вообще говоря, не заключает всех /(-измеримых подмножеств.
Но на своей области определения, т. е. на /(-суммируемых
подмножествах, мера |iz может принимать и положительные,
и отрицательные значения. Она счетно-аддитивна в следую¬
щем смысле: если /(-суммируемое множество Е представлено
в виде конечного или счетного объединения /(-суммируемых
множеств без общих точек Ev Е2, . .., Еп	 то
<iz (£*) = [iz (Е{) 4- pz (Е2) -j- ... Можно сказать, что мера [iz
есть конечно-лебеговская мера в смысле § 8, п. 7, если
принять эту терминологию и для незнакоопределенных мер.
Значение интеграла /ср может быть получено с помощью
158
МЕРА
[ГЛ. Ill
лебеговского процесса, исходя от меры с использованием
на каждом этапе равенства (1).
3.	Разложение незнакоопределенной меры в разность
двух неотрицательных. Пусть на множестве X выделено
некоторое кольцо множеств ЭД и каждому £ £ ЭД поставлено
в соответствие вещественное число р- (Е) со следующим свой¬
ством счетной аддитивности (как для борелевской меры,
§ 8, п. 7).
Если Ео, Ev . .., Еп принадлежат кольцу ЭД, EciEq,
Ej(\Efi пусто (j^=k) и Е = ЕХ\] .. . U Еп (J . . ., то
р. (f) = р, (Е^) 4- . . • р (Ел) + . . . Функция р. (£) называется
(незнакоопределенной) борелевской мерой.
Все X не обязано принадлежать ЭД; как и обычно, мы
предположим, что X есть (не более чем) счетное объедине¬
ние множеств системы ЭД.
Мы покажем, что мера р- может быть представлена
в форме разности знакоположительных мер.
Определим функцию ^-измеримого множества Е
Х(Е) = sup р- (4),
ACZF
где верхняя грань берется по всем ^-измеримым подмно¬
жествам множества Е. Так как в качестве А можно взять,
во-первых, пустое множество, а во-вторых, само Е, то
во всяком случае Х(£)^>0 и \(Е)^> р(Е). Не исключено,
что X (£) = + сю.
Покажем, что выполняется неравенство
X^U^U ...)<; X(^i)-|-X (£2)-|- ....	(1)
какова бы ни была конечная или счетная последовательность
р.-измеримых множеств Еу Е2, ... без общих точек, содер¬
жащихся в фиксированном р.-измеримом множестве Е.
Действительно, возьмем р.-измеримое множество
(J ^2 U • • •; ясно, что А = АЕ{ U АЕ2 U ... есть раз¬
ложение А на слагаемые снова без общих точек. Поэтому
в силу счетной аддитивности меры р.
р. (А) = л (А Ех)	р. (АЕ2) -|- ... ^ X (Z:t) -|- X (£2)
Переходя слева к верхней грани по А, получаем тре¬
буемое.
Покажем теперь, что на самом деле число Х(£) всегда
конечно. Допустим противное, и пусть для некоторого
§ 9]	ИНТЕГРАЛ И МЕРА ЛЮБОГО ЗНАКА	159
(х-измеримого множества Е мы имеем X(f) = oo. В таком
случае мы беремся построить последовательность ^-измери¬
мых множеств о Ех ... о Ет ю ..., для которых
= сю, к (О иг. Построение будем вести по индук¬
ции. Положим Ец = Е', очевидно, требуемые условия при
т = 0 здесь выполнены. Далее предположим, что .уже по¬
строены множества EqzdExzd . . . z>Em_v удовлетворяющие
заданным условиям. Так как X(£,w_1) = oo, то имеется
рь-измеримое множество АП1с.Ет_р для которого [х.(Аи)^5*
т-\- |jx(£w_1)|. Если при этом Х(Дт) = ою, то можно
положить Ет — Ат, и условие индукции будет выполнено.
Если же Х(Дт) конечно, то \{Ет_х— Ат) заведомо беско¬
нечно (иначе получилось бы противоречие с (1)). Кроме
того,	—л,„)|	|[л(£'т_1)|	так что
в данном случае можно положить Ет = Ет_х— Ат. Таким
образом, выбирая в качестве Ет множество Ат или Ет_х — Ат,
мы всегда можем удовлетворить нужным условиям. Итак,
искомая последовательность Е^Ехтэ ... тэЕт=> ... суще¬
ствует. Но так как мера jx счетно-аддитивна, то числа и(Ет)
должны иметь предел (== ;х Ет^ j , что приводит нас
к противоречию с построением. Отсюда следует, что Х(Е)
конечно, что и утверждалось.
Покажем теперь, что функция ^(Е) также является адди¬
тивной, и даже счетно-аддитивной функцией множества.
Пусть Ev Е2, ...—непересекающ^еся [х-измеримые множе¬
ства, лежащие в jx-измеримом множестве Е, так что, согласно
условию, также и	• •• |х-измеримо. Для лю ого
е>0 и заданного т=1, 2, .. . найдем множество Ат(гЕт
такое, что X (£,„) < р, (Ат) +	• и пусть А = Ai U A U • • •
Мы имеем
^(^i)+^(^2)+ ••• <+	••• +£ =
= (X(H1UH2U . . .)-Н
откуда, устремляя е к нулю, получаем
(£\) 4“ (£2) ~Ь ••• <X(^U^2U . . .).	(2)
Неравенство (2) в соединении с неравенством (1) дает
счетную аддитивность функции Х(£*).

160
МЕРА
[ГЛ. Ill
Таким образом, функция Х(Е) является элементарной не¬
отрицательной мерой (§ 8, п. 7). Положим v(E) = \(E)—p(E).
Функция v(E) счетно-аддитивна вместе с мерами Х(Е) и р(Е).
Кроме того, она неотрицательна, так как X (Е) ц (Е).
Следовательно, v(E) также является элементарной мерой.
Равенство
|i(E) = X(E)-.(E)
показывает, что мера [1(E) представляется в виде разности
двух неотрицательных элементарных мер.
Неотрицательные меры X, \ и p==X-)-v называются:
первая — положительным изменением, вторая — отрицатель¬
ным изменением и третья — полным изменением меры [х.
Как мы знаем из п. 7 § 8, элементарные меры X, v и р
могут быть расширены до лебеговских мер — соответ¬
ственно X, v и р. При этом всякое р-суммируемое мно¬
жество Е будет одновременно Х-суммируемым и v-суммируе-
мым; действительно, характеристическая функция /£(х) есть
предел последовательности элементарных функций hn(x\ схо¬
дящейся по норме /-	|); эта последовательность является
сходящейся также и по норме (| hn |), и по норме /-(| hn
поскольку для любой элементарной функции Л(х) =
=2 ck7.Ek (х) с непересекающимися Ek мы имеем
= 2К№) < 2 К№)= /Р (I а I).
k	k
и аналогично для /Д|/г|).
На совокупность всех р-суммируемых множеств расши¬
ряется и мера [1 по формуле
|i(E) = X(E) —7(E).
Используя терминологию § 8, п. 7, можно сказать, что
мы тем самым построили конечно-лебеговское расширение
элементарной меры [i. О лебеговском ее расширении говорить
нельзя (если р(Х)=эо) по причине необходимо появляю¬
щихся неопределенностей вида оо — со.
Переходим к определению [i-суммируемых функций и
[л-интеграла. Мы будем говорить, что функция <р(х) является

§ 9]
ИНТЕГРАЛ И МЕРА ЛЮБОГО ЗНАКА
161
|л-измеримой или рь-суммируемой, если она является соответ¬
ственно р-измеримой или р-суммируемой. Как мы знаем, для
р-суммируемой неотрицательной функции ее р-интеграл опре¬
деляется по формуле (1) п. 8 § 8:
функции
ее рь-интеграл мы определим по
/-ср.
На функции произвольного знака это определение пере¬
носится обычным образом с помощью разложения ср = ср+—т~.
Очевидно, что построенный ^-интеграл обладает, вместе
с р-интегралом, всеми обычными свойствами интеграла (за
исключением, естественно, знакополо.кительности).
4.	Незнакоопределенные квазиобъемы с точки зрения
общей теории меры. К незнакоопределенным квазиобъемам
в n-мерном брусе также может быть применена общая теория
меры. Как мы видели в § 6, незнакоопределенный квази¬
объем о (В) с ограниченным изменением представляется в виде
разности знакоположительных квазиобъемов р(В) и q(B-> —
положительного и отрицательного изменения квазиобъема о (В).
Если квазиобъем о (В) был непрерывен, то р (В) и q (В) также
непрерывны, и непрерывен квазиобъем г (В)=р (B)-\-q (В), Не¬
прерывный квазиобъем г, с помощью схемы Даниэля (§§ 2 и 7)
может быть продолжен до счетно-аддитивной лебеговской
меры на семейство г-измеримых множеств (включающее, как
мы видели, все борелевские множества); на это же семейство
продолжаются квазиобъемы р и q, а с ними и квазиобъем а.
С другой стороны, рассмотрим счетно-аддитивную не¬
знакоположительную меру рД£) на о-кольце борелевских
подмножеств /г-мерного бруса В. У пас имеются меры X и
v — положительное и отрицательное изменение-меры рь; они
определяются по формулам
Х(Е) = sup|i(X), v(E)= sup (-—рДД)),	Н)
AQ2F	АаЕ
11 Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич
162
МЕРА
[ГЛ. Ill
где А пробегает все ^-измеримые подмножества множества Е.
С другой стороны, меру [i можно рассматривать на брусах
£с=В, и тогда она будет квазиобъемом в смысле § 6, не¬
прерывным и имеющим ограниченное изменение. Можно по¬
строить его разложение на неотрицательные составляющие —
обозначим их сейчас р и q — так, как это делалось в § 6:
т	т
р (В)= sup 2	<7 (£) = sup (—S !*(£;•))	(2)
7=1
по всем непересекающимся системам подбрусов Bj бруса В.
Спрашивается, совпадают ли квазиобъемы р и q, определен¬
ные равенством (2), соответственно с мерами X и v, опре¬
деленными равенством (1), на каждом брусе В? Из фор¬
мулы (1) вытекает, что
sup ;i(4)> р (В),	(3)
A CZ в
поскольку верхняя грань берется по более широкой сово¬
купности множеств, чем в (2).
С другой стороны, как мы видели в § 8, п. 5, всякое,
^-измеримое множество А может быть заменено конечной
системой брусов Bv . . ., Вт с произвольной малой ошибкой
го [х-мере, так что
[1 (А — GA) + ji (G — GA) < е.	(4)
Собственно говоря, там это доказывалось для неотрица¬
тельного квазиобъема jx. Но легко проверить, что этот факт
справедлив и для знаконеопределенного квазиобъема [i (В)
с заменой в неравенстве (4) величины ti на |{i|. Действи¬
тельно, возьмем разложение ^=р—q квазиобъема [i на знако¬
положительные составляющие и для квазиобъема г = рq
при заданном Е найДем конечную систему брусов G так,
чтобы иметь
г (Е — EG) + г (G — EG) < е.
Тогда и
| н (Е — EG) | + | [1 (G — EG) | С r (£ — EG) + г (G — EG) < е,
что и требуется.
Отсюда следует, что при любом е > 0 имеет место не¬
равенство
К (В) < sup 2 Р- (Д) 4 г — Р (#) + е-

§ 9]
ИНТЕГРАЛ И МЕРА ЛЮБОГО ЗНАКА
163
и так как е произвольно, то
(5)
Соединяя (3) и (5), получаем
ЦВ) = р(В).
Поэтому и у (В)~ q (В), и мы видим, что ответ на наш вопрос
положителен: мера X на всех брусах совпадает с квази¬
объемом р.
Пусть, в частности, п = 1, В = (а, #].
На полуинтервале (а, Ь} непрерывная квазидлина о за¬
дается с помощью производящей функции В (х), /?(а-|-0) = 0,
непрерывной справа и имеющей ограниченное изменение.
И обратно, всякая такая функция В(х) определяет непре¬
рывную квазидлину а, а следовательно, и ее расширение —
a-меру, счетно-аддитивную функцию множеств, определен¬
ную, во всяком случае, на всех борелевских множествах.
Обратно, пусть мера задана производящей функцией В (х)
с ограниченным изменением. Разложению (i = X— ч — р— q
соответствует разложение функции В (х), полученное в § 6,
именно	F(x) = P(x) — Q(x),
где Р(х)— положительное изменение функции F (х), Q(x) —
отрицательное ее изменение. Наконец, полному изменению
р = X -1- v = р -1- q меры р, отвечает производящая функция,
определенная в § 6, п. 6:
V(x) = P(x) + Q(x) = sup 5 \F	— F(xj)\,
где верхняя грань берется по всем подразбиениям
a = xQ<x1< ... <хп_1<хп = х
полуинтервала (а, х].
5. Теоремы о линейных функционалах. Соединение двух под¬
ходов к построению интеграла — по Даниэлю и по Лебегу —"откры¬
вает возможности многих применений. Мы укажем — здесь и в § 10—
некоторые теоремы об общем виде линейных функционалов в про¬
странствах функций на абстрактных множествах.
Если на множестве X задана неотрицательная лебеговская
мера (л, то можно построить интеграл Лебега (§ 8, п. 8)
(1)
и*

164
МЕРА
[ГЛ. Ill
Величина /и<р является линейным функционалом в пространстве
[^-интегрируемых функций непрерывным в том смысле, что
из (х) С L^, ?,(-*) \ О (всюду) следует, что /^->0 при v->oo
(теорема Беппо Леви).
Обратно, если на X задана совокупность элементарных функ¬
ций Н и на ней непрерывный неотрицательный линейный функ¬
ционал Ih с условиями, указанными в начале § 2, то существует
неотрицательная лебеговская мера такая, что интеграл (1) совпа¬
дает с Ih для всех функций h (х) С Н. Все это и есть, собственно,
результат общей теории §§ 2, 7 и 8. В § 9, п. 2, 3 аналогичная
теорема установлена для функционалов и мер произвольного знака.
Найдем общий вид непрерывного линейного функционала в про¬
странстве С (X) всех непрерывных функций h (х) на компактном
метрическом пространстве X с нормой
Л А || = max | h (х) |.
к
Здесь непрерывность функционала Ih мы понимаем в теоретико¬
функциональном смысле как выполнение неравенства
\Ih (х) | < С|| А ||.
Пусть ц есть некоторая борелевская (вообще говоря, не знако¬
положительная) мера на компакте X, определенная на некотором
ои-кольце подмножеств, включающем в себя компакт X и все его
открытые подмножества. Тогда все непрерывные функции h(x)
^-измеримы и [i-суммируемы, и можно образовать интегралы
lh= f h(x)<i(dx).	(2)
X
Функционал /, очевидно, линеен; кроме того, он ограничен на еди¬
ничном шаре пространства С (X), что следует из неравенства
| Ih |< max | h (х) | р (X), р = К 4- у,
X
где X и v — знакоположительные меры, разность которых равна р
(см. п. 3). Таким образом, (2) есть непрерывный линейный функ¬
ционал в С (X).
Мы покажем, что формула (2) описывает общий вид непре¬
рывного линейного функционала в С (X). Пусть дан некоторый
непрерывный линейный функционал Ih в С (X). Применим схему
Даниэля, принимая за множество X компакт X, за пространство
Н — совокупность С(Х) и за интеграл Ih — имеющийся у нас функ¬
ционал Ih. Покажем, что. из /гл\0 вытекает Ihn—>Q. Для не¬
прерывных функций на компакте справедлива лемма Дини:
если /?л(х)\0, то htl (х) стремятся к нулю равномерно на X
(§ 3, п. 4). Так как / — непрерывный функционал, то Ihn->(y что
и требовалось.

ИНТЕГРАЛ И МЕРА ЛЮБОГО ЗНАКА
165
§ 9]
Теперь функционал I может быть представлен в форме раз¬
ности знакоположительных функционалов J — N, и вместе с тем на
компакте X выделяется класс S /(-измеримых подмножеств
(/( = J-|~N). В их число входят все открытые множества, так как
любое открытое множество G может быть представлено в форме
{х: ср (л) > 0}, где <р — непрерывная функция*). На /(-измеримых
множествах определены лебеговские меры X, v и р — X — \, соот¬
ветствующие функционалам J, N и I = J — N, и функционал Ih для
каждой функции h есть интеграл от нее по мере р:
Ih = J* h (х) р (dx),
х
что мы и утверждали.
Замечание. Теорема легко обобщается на случай простран¬
ства непрерывных функций на локально компактном пространстве X,
обращающихся в нуль «на бесконечности» (последнее означает, что
для любой функции f^C(X) и любого £>0 найдется компакт
X. cz X, вне которого выполняется неравенство | f (х) | < е). В ка¬
честве совокупности И следует взять совокупность непрерывных
функций, каждая из которых вне некоторого компакта равна нулю.
6. Разложение Хана. Наряду с разложением незнако¬
определенной борелевской меры р в разность двух знако¬
положительных имеет место другое разложение, связанное
с разложением самого множества X.
Напомним, что множество	являющееся объедине¬
нием последовательности борелевских множеств Ev Е2, . . .
(без предположения, что все Еп содержатся в одном и том же
борелевском множестве £0), называется обобщенным боре-
левским множеством. Так, само X есть обобщенное боре-
левское множество, если р (X) не определена.
Теорема 1. Множество X с определенной на нем
борелевской мерой р можно разложить на два обоб¬
щенных борелевских множества Х+.и Х~ без общих
точек так, что
р(Е)^>0 для всех борелевских ЕсХ\
р(Л) <. 0 для всех борелевских FzzX~.
Для доказательства предположим вначале, что р(2С) опре¬
делена и конечна. Для любого п=1, 2, ... найдем
*) Например, у(х) = р(х,Х—С7). См. Г. Е. Шилов, Мате¬
матический анализ (специальный курс), стр. 38—39.

166
МЕРА
[ГЛ. Ill
множество	так, чтобы иметь
И(Е„)>Х(Х)-А-,
где X — положительная составляющая меры р.
оо оо
Положим теперь X = и А Еп\ иными словами, точку
т = 1 п— т
отнесем к множеству Х+, если она вход)
it во все
множе-
ства Еп, начиная с некоторого. Далее,
положим
X
=
— X — Х+= Q {J (X— Е.,); покажем,
что Х +
и
Х~
//7 =1 п = 1П
удовлетворяют условию теоремы. Иными
словами,
мы
до-
кажем, что Х(Х ) = м(Х+) = 0. Мы имеем, очевидно,
Х(£„)>1л(£;!)> Х(Х)-1, X(X-Z-„) = X(X)-X(£n) < 1,
(£„) = х (£,>) — Н (£л) < X (X) — р- (£„) <	.
Отсюда при любом т
оо
п - tn
и следовательно, XX == 0. С другой стороны, при любом т
и т
П Еп < ^(Еп) <-^п’
откуда
7Га£^=0> v(*+)< 2 А
\п=т /	т = 1 \п= т /
чем теорема доказана пока еще для случая, когда р(Х)
конечна. В общем случае X можно представить как объеди¬
нение последовательности непересекающихся множеств Хп
с конечными значениями р(Х/2). Для каждого Xп най¬
дем разложение на составляющие Хп и	Положим

§ 9]	ИНТЕГРАЛ И МЕРА ЛЮБОГО ЗНАКА	167
х+ =	; таким образом, Х+ есть обобщенное борелев-
п
ское множество. Если Е— борелевское множество и EdX\
то Е = [J ЕХ„ , [х (Е) — 2 р\ЕХ'п} 0. Далее, положим
п
X = |JX/2; таким же образом для каждого борелевского
п
FdX~ мы имеем р(F) = S (F Х'г} 0. Очевидно,
X* Х~ = Х\ тем самым теорема полностью доказана.
Найденное разложение X = Х+ р-Х~ называют разло¬
жением Хана.
Рассмотрим еще, как ведут себя на множествах Х + и X"
неотрицательные меры Хиг положительное и отрицатель¬
ное изменения меры р. Поскольку для любого борелевского
EdX
\{Е) = sup р(Д), v(E) — sup (—|л(Д)),	(1)
A CZ Е	Ad Е
то для любого борелевского подмножества EdX + мы имеем
Х(Е) = р(Е), \(Е) = 0, а для любого борелевского подмно¬
жества FdX~ мы имеем Х(Е) = 0, v(F) =— p(F). Поэтому
для произвольного EdX мы имеем
E = EX+{jEX~,
X (Е) = X (ЕХ+) = р (Е Х+), v (Е) = v (ЕХ) = — р (ЕХ“).
Подчеркнем результат: значение меры X на любом боре-
левском множестве EdX равно значению меры р на
пересечении Е с Х + , а значение меры v на этом мно¬
жестве Е равно модулю значения меры р на пересече¬
нии Е с X .
Формулу, аналогичную (1), можно получить и для пол¬
ного изменения р меры р. А именно, мы утверждаем, что
для каждого борелевского EdX
р (Е) = sup 2 | р. (Ак) |,	(2)
где верхняя грань берется по всем конечным системам не¬
пересекающихся борелевских подмножеств Е. В самом деле,
168
МЕРА
[ГЛ. Ill
поскольку |рдAk}! — IX (AJ—v (Ай) | < X (А/г) Д- v (ДА) = р (Аа),
мы имеем У | р, (Ал) | <; S р (ЛА) р (£),• откуда и
sup 2|^(Л/г)|<р(£').	(3)
k
С другой стороны, по доказанному р (Е) = X (Е) Д- v (Е) —
= р. (£Х+) — р (ЕХ~) = | р (ЕХ+) | +1 р (EX~) |; таким обра-
зом, заведомо
р(£) <sup2|p(zlA.)|.	(4)
k
Соединяя (3) и (4), получаем (2), что и требуется.
ЗАДАЧИ
1.	Доказать, что полученное в п. 1 разложение функционала /
в разность двух неотрицательных функционалов J и N—наилучшее
возможное; иными словами, при всяком ином разложении / = Д-
всегда J\=J-\-C, АД=//Д-С, где С — некоторый неотрицатель¬
ный функционал.
Указание, /Д? =/£ Д-ЛД&>для всех неотрицатель¬
ных k < h.
2.	Доказать, что полученное в п. 3 разложение меры р в раз¬
ность двух неотрицательных элементарных мер X и \ — наилучшее
возможное; иными словами, при всяком ином разложении [л = Xj — vj
всегда Х^ХД-со, м1 = \»Д-оо, где со — некоторая неотрицательная
элементарная мера.
Указание. Xj (А) = р. (А) Д- vj (А) >• р- (А) для всех ^-изме¬
римых А с Е.
3.	Существует доказательство теоремы об общем виде линей¬
ного функционала в пространстве С (В), В cz Rm опирающееся на
теорему Хана — Банаха о возможности продолжения линейного
функционала с данного нормированного пространства R на любое
более широкое R' ZD R. Пользуясь этой теоремой, продолжают задан¬
ный линейный функционал f с пространства С (В) на простран¬
ство S (В) всех ограниченных функций (с той же нормой sup | ? (х) | ).
Значения расширенного функционала f на характеристических функ¬
циях брусов определяют квазиобъем а (В) с ограниченным измене¬
нием (вообще говоря, не непрерывный). По этому квазиобъему а (В)
можно построить интеграл Римана — Стилтьеса, который на непре¬
рывных функциях совпадает с заданным функционалом. Исправляя
квазиобъем а (В), как показано в §§ 5—6, можно превратить его
в непрерывный; при этом значения интеграла Римана — Стилтьеса
на непрерывных функциях не изменятся, а функция множеств з(£)
станет счетно-аддитивной. Провести это построение полностью
(Л. А. Люстерник).

ГЛАВА IV
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 10. Мера и функции множеств
1.	Основные типы функций множеств. Пусть X— мно¬
жество с неотрицательной борелевской мерой р., определен¬
ной на некотором а-кольце ЭД. Мера всего X может быть
конечной или бесконечной; в последнем случае, как и обычно,
мы предполагаем, что X есть объединение последователь¬
ности борелевских множеств Х1сАг2с ...
Кроме меры р. мы будем рассматривать на о-кольце ЭД
другие, вообще говоря, незнакоположительные счетно-адди¬
тивные функции Ф(£) множеств Е.
Как мы знаем из § 8, п. 7 и 8, борелевская мера р
может быть продолжена с a-кольца ЭД на некоторое
ор-кольцо ЭД как лебеговская мера, и по ней может быть
определено интегрирование суммируемых функций. Но функ¬
ция Ф(Е), вообще говоря, уже не продолжается нао-кольцо ЭД.
(Из § 9, п. 3 мы знаем, что функция Ф(£) как незнако¬
положительная мера может быть расширена до некоторой
конечно-лебеговской меры на некотором аф-кольце С; но
а -кольцо ЭД может не содержаться в С. См. задачу 9.)
Во всяком случае, функция Ф (Е) допускает разложение
на положительную и отрицательные составляющие, Ф (Е) и
Х(£), определенные на том же о-кольце ЭД.
Введем несколько определений.
1. Мы будем говорить, что функция Ф (Е) сосредото¬
чена на б о релевмсом множестве EQ, если Ф (Е) опреде¬
лена и равна нулю на каждом борелевском множестве
ЕаХ — Е0.

170
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
Если Ф (Е) сосредоточена на множестве £0, то соста¬
вляющие Ф (£) и Х(£) и их сумма Т (£) = Ф (F) 4-X (£)
также сосредоточены на множестве Ео. Действительно, если
Ф(£’) равна нулю на любом борелевском ЕсХ — Eq, то
также на этих Е
ЦТ (Е) = ?.ирФ(Д) = 0,	Х(£’)= sup [—Ф(Л)] = 0,
лаЕ	ас:е .
Т (Е) = Ф (Е) -+ X (Е) = 0.
2.	Счетно-аддитивная функция Ф (£) называется непре¬
рывной, если Ф определена и равна нулю на всяком одно¬
точечном множестве Е меры 0.
3.	Счетно-аддитивная функция Ф (Е) называется абсо¬
лютно непрерывной, если Ф определена и равна нулю на
всяком множестве Е меры 0.
4.	Счетно-аддитивная функция Ф (Е) называется сингу¬
лярной, если она сосредоточена на некотором множестве
Eq меры 0.
Вот несколько простых утверждений, легко следующих
из определений и предыдущих рассмотрений.
Всякая абсолютно непрерывная функция является
и непрерывной.
Мера рь(Е) — абсолютно непрерывная функция мно¬
жества.
Положительное изменение Ф (JE), отрицательное изме¬
нение X (Е) и полное изменение Т(Е) абсолютно непре¬
рывной функции Ф(Е) также абсолютно непрерывны.
Пусть g(x)— ^-суммируемая функция} тогда
Ф(Е) = $ gdy.
Е
есть абсолютно непрерывная функция множества Е.
Существуют непрерывные, но не абсолютно непрерыв¬
ные функции множеств. Например, пусть X есть квадрат
0 < х 1, 0 < у <1, а Ф (Е) определена как линейная мера
Лебега пересечения множества Е с отрезком 0 х 1;
эта функция Ф (Е) непрерывна и сингулярна. Более тонкие
примеры даны в задачах 4 и 5 к этому параграфу.
Функция Ф(Е), одновременно абсолютно непрерыв¬
ная и сингулярная, равна нулю.

МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
171
§ Ю]
2. Разложение функции множеств на непрерывную и
дискретную части. Пусть мера точки х0 равна нулю, а функ¬
ция Ф(Е) равна 1 для всякого Е, содержащего точку х0, и 0
для всех прочих Е; тогда функция Ф (Е) не непрерывна и син¬
гулярна.
Функция Ф(Е) последнего примера принадлежит к числу
так называемых дискретных функций множеств. Общее опре¬
деление этого класса функций множеств таково. Пусть имеются
последовательности точек хп £ X с нулевой мерой и чисел сп
(zz = 1, 2, ...) такие, что для любого множества Хп сумма
модулей чисел ст с теми номерами, которые являются но¬
мерами точек хт, лежащих в множестве X п, конечна; функ¬
ция Ф(Е) дискретна, если для любого множества Е£ЭД она
имеет значение, равное сумме чисел ст с теми номерами,
которые являются номерами точек хпг, лежащих в множестве Е.
При этом общая сумма всех \ст\ может быть и бесконечной.
Функция Ф (Е), определенная этим правилом на всех боре-
левских подмножествах Е £ ЭД, счетно-аддитивна. Другое,
очевидно, эквивалентное определение дискретной функции
множеств гласит: функция Ф (Е) дискретна, если она сосре¬
доточена на не более чем счетном множестве точек нулевой
меры.
Легко описать положительную и отрицательную соста¬
вляющие дискретной функции Ф (Е). Именно, положительная
составляющая Т (Е) равна сумме положительных чисел сп
с теми номерами, для которых точки хп лежат в множестве Е,
а отрицательная составляющая Х(Е) равна сумме модулей
отрицательных чисел сп с такими же условиями на их но¬
мера. Полное изменение Т (Е) дискретной функции Ф (Е)
равно сумме модулей всех соответствующих чисел сп.
Теорема 1. Л к,бая счетно-аддитивная функция Ф (Е)
может быть представлена в виде суммы
Ф(Е) = С(Е)+ЩЕ),
где С (Е) — непрерывная, a D (Е) — дискретная функция
множеств.
Доказательство. Достаточно рассмотреть неотри¬
цательную функцию Ф (Е). Отметим точки нулевой меры,
в которых Ф (Е) как функция одноточечных множеств прини¬
мает положительные значения, большие постоянной у > 0;
число таких точек конечно на каждом борелевском мно-

172
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
жестве Е и, следовательно, не более чем счетно на всем X.
П	1	1	1
Полагая т= 1, -х-, . . . , —, . . . , получаем, что имеется не
более счетного множества точек нулевой меры с положи¬
тельными значениями Ф (£); при этом сумма D (Е) значений Ф
на всех таких точках, лежащих в одном борелевском мно¬
жестве Ео, конечна (не превосходит Ф^)). Так опреде¬
ляется функция D(£'). Разность С(/?)=Ф(Е)— D (Е) на
каждой точке с нулевой мерой имеет нулевое значение и, сле¬
довательно, непрерывна. В дальнейшем мы будем рассмат¬
ривать в основном непрерывные счетно-аддитивные функции.
3. Усиление теоремы Хана. Для всякой счетно-аддитивной
функции множеств, согласно § 9, п. 6, имеется разложение
в смысле Хана, т. е. все множество X можно разбить на
два обобщенных борелевских подмножества Х+ и Х~ так,
что на всяком борелевском множестве Е с Х+ мы имеем
Ф(£);>0, а на всяком борелевском множестве F cz Х~ мы
имеем Ф(Е)^С0. Используя меру р., мы можем усилить
последний результат следующим образом.
Лемма. Если Ф (Е)— неотрицательная счетно-ад¬
дитивная функция, то для любого а > О существует
разложение множества X на обобщенные борелевские
множества'.
X = Zo U U £2 U ....
где слагаемые не имеют попарно общих точек, для
каждого борелевского ЕаЕп
’ а(п — 1)[х(£)< Ф(Е) С any.(JE),	(1)
и для каждого борелевского Z с Zo
|x(Z) = 0.
Доказательство. Рассмотрим функцию
ф„ (£) = ф (£) — (£);
она счетно-аддитивна вместе с Ф (F) и [х(£). Пусть X =
= Х'п U Х~ есть разложение Хана для функции Фл, так
что Ф (Е) any. \Е) для любого EczX„ и Ф (Е) any. (Е)
для любого	. Очевидно, если мы выберем в качестве Еп
МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
173
§ 10]
какое-либо подмножество множества Gn — Х^-\XT , то не¬
равенство (1) будет выполняться при любом Ес^Еп. Мы имеем
Gi = Xq XT = ХАТ = XT, . . ., Gn = ХТ^ХТ =
= (x - x- = X- — x-^x-, ...
Далее, объединение G = G\ U . . . U Gn U • • • = XT. U •••
. . . U XT I) • • . имеет своим дополнением (до X) множество
Z0 = X-\jX;=(]{X- Х-} = Г\Х^. Пусть ZczZ0,
п	п	п
Z— борелсвское; поскольку ZczХ„ при любом п, мы имеем
Ф (Z) а пр (Z) и, следовательно, у. (Z) — 0.
Множества Gn, вообще говоря, пересекаются. Положим
Е1 = ХГ = О1, Е2==--ХТ — XT XT = G2, . . .
..., Еп — XT-XTXT-x- ... — XT XT c^Gtl, ...
Множества En содержатся в соответствующих множествах Gn,
уже попарно не пересекаются и имеют то же самое объеди¬
нение G = [J Еп — U Gn, дополнение к которому, как мы
п	п
видели, в пересечении с любым борелевским множеством
имеет меру 0. Лемма доказана.
4.	Разложение непрерывной функции множеств на
абсолютно непрерывную и сингулярную части. Теорема
Радона — Никодима. Следующая основная теорема дает
выражение произвольной счетно-аддитивной функции через
функции более простых видов.
Теорема 2. В условиях п. 1 всякая счетно-адди¬
тивная функция множеств Ф (Е) может быть пред¬
ставлена в форме
ф (Е) = А (Е) S (Е) 4- D (Е),
где А(Е) абсолютно непрерывна и. более того, на
каждом Е ^4 является интегралом от некоторой
фиксированной ^-суммируемой функции g (х), S (Е) не¬
прерывна и сингулярна, D(E) дискретна. Указанное
174
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
разложение единственно, функция g (х) определена
однозначно с точностью до множества меры, 0.
Доказательство*). Так как всякая счетно-аддитив¬
ная функция есть разность двух неотрицательных (§ 9), то
с самого начала можно считать Ф (£) неотрицательной. Со¬
гласно п. 2 Ф (Е) — С (£) -|- D (Е), где С (Е) непрерывна,
D (Е) дискретна; поэтому можно без ограничения общности
сразу считать Ф (Е) непрерывной. В силу предыдущей леммы
для каждого т—1, 2, ... существует разложение мно¬
жества X в последовательность обобщенных борелевских
множеств без общих точек
X = Z1'"’ и Е1п) и ••• U£»m,U •••
так, что
И(2) = 0,
где Е — любое борелевское множество, содержащееся в Е{™\
Z — любое борелевское множество, содержащееся в Z^m\
оо
Пусть, далее, Zo= |J Z(w). Любое борелевское множество Z,
т = 1
содержащееся в Zo, также имеет меру 0. Положим
/„,(%)	при x^E(nn), n= 1, 2,	m= 1, 2,
функция fm(x) определена этим выражением всюду на X,
кроме множества Z(m). Мы имеем для любого борелевского
множества Е
Е = EZW + [J ЕЕ(пп},
Ф (£) = Ф (EZ<m>) + Ф (ЕЕ™)
п= 1
сю
> W I1 W’) = J fm W dp, (1)
/2 = 1	Е
) По книге: С. Сакс, Теория интеграла, ИЛ, 1949, гл. 1, § 14.
§ 10]
МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
175
чем, в частности, доказана ^-суммируемость функции fm(x)
на Е\ цж,
Ф (Е) < Ф (EZ0) +	И (Х'Г) -
/2 = 1
= Ф (EZ0) + f fm (х) ф 4- |х (Е).	(2)
Оценим теперь разность между функциями fm(x) и fm+\(x).
Поскольку E^z?)E/fI+1) содержится в Е(/гт) и в Е{рп'х\ мы
имеем для любого борелевского множества Ес:Е//‘)^л + * 1)
^1х(Е)<Ф(Е)<^г11(Е),
следовательно,
k — 1
2",+1
^)<Ф(£)<^1
k — 1
2m+1
(£)
(О,
п— 1
2m
k
^п+Х
н(£)-
[i(E),
Отсюда, если р (Е) > 0, мы имеем k — 1 2/г и 2 (/г— 1) k,
т. е. 2/г — 2^^^2п4“1- При других значениях k, отлич¬
ных от указанных четырех, мы имеем (х(£) = 0. Отсюда
следует, что
р(гп)
L'n
[ФП = о.
На множестве Е{„1} функция /пг(х) принимает значение —^ril - .
Мы видим, что в каждой точке Е^1) функция fm+1(x)t за
исключением, может быть, множества меры 0, принимает
значения от
2п — 3	п — 1	1
2/П-1-1	2т	2m+i
2п
2^п+ 1
Таким образом, всюду, кроме множества меры 0, выпол
няется неравенство
I f tn (Л)	f т+\	I х "gr/T •

176
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
Следовательно, функции fm(x) образуют последовательность,
равномерно сходящуюся (всюду на X, кроме множества
меры 0) к некоторой функции /(х). Поскольку	как мы
видели, рс-суммируем а на каждом борелевском множестве
функция /(х)= lirn fm(x) также ^-суммируема на каждом
т ->оо
борелевском множестве. Переходя к пределу при т—.> сю
в неравенствах (1) и (2), получаем
f f (х) dV. < Ф (£) < Ф (£Z0) + f f(x) dy..	(3)
E	E
Определим функцию множеств 5 (В) равенством
ФСЕ) = £(£>+ f/(x)rf|x;	(4)
Е
функция S(Е) неотрицательна и счетно-аддитивна. Как видно
из (3), S (Е) Ф (£Z0), так что S (£*) сосредоточена на множе¬
стве Zo, которое имеет меру 0; следовательно, S (£*) сингулярна.
Второе слагаемое в (4) является интегралом от функции f (х),
суммируемой на каждом борелевском множестве Е, и тем
самым абсолютно непрерывной функцией множеств. Таким
образом, основная часть теоремы 2 доказана; нам остается
проверить единственность разложения и функции f (х). Если
имеются два разложения функции Ф (Е) на абсолютно не¬
прерывную и сингулярную составляющие
ф (Е) = A j (Е) Ц- S! (Е) — А2 (Е) —j- S2 (Е),
то
A(E)-А2(Е) = s2 (£)-£, (Е).
Справа стоит сингулярная функция, слева — абсолютно не¬
прерывная; но равенство между ними возможно лишь тогда,
когда обе они равны нулю. Отсюда А1 = А2, S1 = S2. Если
имеются две функции (х) и /2(х) такие> что для любого
борелевского множества Е
J fx (х) dx = j' f? (х) dx,
E	E
то для их разности f — fx — мы получаем
j f (x) dx — 0.
E

§ 10]	МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ	177
Беря в качестве Е множество, где /(х)>0, получаем
f+ (х) = 0 почти всюду. Аналогично f~ (х) = 0 и, следова¬
тельно, f (х) =	(х) — f~ (х) = 0 почти всюду. Итак, функ¬
ция / в интеграле (3) определена однозначно с точностью
до множества меры 0.
Следствие (теорема Радона —Никодима). Абсолютно
непрерывная счетно-аддитивная функция Ф (F) есть
интеграл от некото рой суммируемой на каждом боре-
левском множестве Е функции f (х), определенной одно¬
значно с точностью до множества меры 0.
5. Линейные функционалы в пространстве L и в простран¬
стве Lp. Приведем некоторые следствия из теоремы Радона —
Никодима.
1. Найдем общий вид непрерывного линейного
функционала в пространстве L — L (X) всех суммируе¬
мых функций на множестве X. Нормой в пространстве L (X)
служит величина
Ы = /(1?|).
Примером непрерывного линейного функционала в пространстве L
может служить выражение
G (<t) = I	(1)
где g есть измеримая и ограниченная (за возможным исключением
множества меры 0) функция. Этот функционал ограничен в силу
неравенства
I о (?) I < supx I g (х) 11 (I ® I),
где знак supx | g (x) | означает верхнюю грань | g (х) | на всем X,
за возможным исключением множества меры 0 *). Принимая
!| <р|| =/(|	]) = 1, получаем, что
il G j| = sup I G (?) К sup I g (х) |.
В действительности, как мы скоро увидим, норма функционала G
в точности равна supx | g (х) |.
Рассмотрим теперь произвольный непрерывный линейный функ¬
ционал F в пространстве L (X). Так как он ограничен, то выпол¬
няется неравенство
*) Более точное обозначение sup ess | g (х) | (borne superieure
essentielle — существенная верхняя грань).
12 Г. Е. Шилов, Б. Л Гуревич

178
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
Возьмем в качестве функции ср характеристическую функцию
суммируемого множества Е и обозначим F (у^) = Ф (£). Мы полу¬
чим неравенство
|Ф(£)|<С7(7^) = Си (£).
Следовательно, Ф (Е) абсолютно непрерывна и по теореме Радона —
Никодима представляется в виде
Ф (£) = f g (х) dx = I (1Eg),
E
где g (x)— суммируемая функция на каждом суммируемом мно¬
жестве Е. Покажем, что g (х) — ограниченная функция, более того,
что она ограничена числом ||F|| всюду, кроме, может быть, мно¬
жества меры 0. Пусть Е — некоторое множество положительной
конечной меры, где | g (х) | >|| F|| 4-е- Так как ||	— р (Е), то мы
должны иметь | F (у Е) | < || F || р- (£); с другой стороны,
F (У.£) = ф (£) = f g (х) dx XI! Л+ г) |Х (£).
Е
Полученное противоречие показывает, что р. (£) не может быть
положительной. Поэтому почти всюду | g (х) |< |! F |’, что и утвер¬
ждалось.
Рассмотрим теперь функционал в пространстве L
О (?) == / (<§?)»
где g (х) — найденная ограниченная функция. Функционалы F (ср)
и G (ср) оба линейны и непрерывны и совпадают на характеристи¬
ческих функциях суммируемых множеств; но так как линейные
комбинации этих функций образуют в пространстве L (X) всюду
плотное множество, то на всех ср £ L (X)
F (?) G (?) = I (,??)■
Далее, по доказанному, с точностью до множества меры 0
откуда
supx | g (х) |< || FI; = || G || < supx | g (х) |,
И|1=8ирх|^(х)|,
и теорема
2. О б щ и й
странстве Lp (X). Пространство Lp = Lp
доказана.
вид линейного функционала в про-
(А") определяется как
совокупность всех измеримых функций ср, для которых | ср |р £ L (X),
с нормой II ср || = [7 (| ср |	(СМ. § 7, п. 9). Пусть g^Lq (X), где
1 I 1 л
	— = 1; тогда выражение
О (?) = / U?)
(2)

§ 10]	МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ	179
всегда имеет смысл и выполнено неравенство Гёльдера
|G(?)l = |/(^)l<UMkllp.	(3)
Таким образом, (2) есть непрерывный линейный функционал в про¬
странстве Lp. При этом, как следует из (3),
В действительности, как мы далее увидим, норма функционала G
в точности равна
Рассмотрим произвольный непрерывный линейный функцио¬
нал F (<?) в пространстве Lp (X).
Предположим вначале, что мера пространства X конечна.
Тогда Lp cz L, так как | / (?) |< I (1^) / (| ? |р). Функционал F (?)»
определенный на Lp, удовлетворяет неравенству
1
IП?) К С||?!!р = С/(| ¥|р)р.
Возьмем в качестве ? характеристическую функцию измеримого
(и, следовательно, суммируемого) множества Е и обозначим
Ф (£) — F (/Е). Мы получим неравенство
1 1
|Ф(£)|<С/(ХР)Р =С(л(£)Р.
Следовательно, Ф (£) абсолютно непрерывна и по теореме Радона —
Никодима представляется в виде
Ф = f 8 dX =I ^Е8^'
Е
где g — суммируемая функция. Покажем, что g £ Lq (X). Для этого
оценим / (?^), где 0 < ? < | g | и ? ограничена. Функция ?7_1sgn^
может быть представлена как предел равномерно сходящейся по¬
следовательности функций hn — линейных комбинаций характери¬
стических функций суммируемых множеств; поэтому
I < I С/'1 | g | ) = I sgn g- g) = lim I (hng) = lim F (hn) =
= F W -1 sgn g) < || F || |l <?<> ~1 ||p = || F || [/ (?<7)] p,
откуда
±	i--L
[/(<p9J? =[/(?’)]	₽<||n
1
Выбирая ? Z11 g |, получаем, что и I (| g |^)q < || F ||, t. e. g£Lq и
Рассмотрим теперь функционал в Lp (X), определяемый ра¬
венством
G (?) = / (£?),
12*

180
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
где g — найденная функция из пространства Lq (X). Функционалы
F (ср) и G (<р) оба линейны и непрерывны и совпадают на характе¬
ристических функциях измеримых множеств; но тогда они совпа¬
дают и на всех функциях <р С Lp, так что
Р (?) = G (?) = I (£?)•
Далее, по доказанному,
1 1
откуда
11П=/(|£’|)Т = Ш?.
и теорема доказана для случая X конечной меры.
В общем случае, когда р (X) = ос, мы представляем X в виде
оо
U Хп, где Хп имеют конечные меры и Хх а Х2 с ... с Хп с ...
п= 1
Функционал F определен на каждом из пространств Lp (Хп) и
имеет в каждом из них норму, не большую чем в Lp (X). Поэтому
существуют функции gn (х) С Lq (Хп), определяемые единственным'
образом и потому, в сущности, задающие единственную функ¬
цию g (л) на всем X, такие, что для любой y£Lp (Хп)
Е (?) = / (£?),
и при этом	в пространстве Lq (Хп) не превосходит ||F!|.
Отсюда следует, что на всем X функция g (х) принадлежит Lq и
g ||£ < ||Е||, что и требовалось.
6.	Положительное, отрицательное и полное изменение
суммы двух счетно-аддитивных функций. Пусть даны
счетно-аддитивные функции (Е) и Ф2(Е). Рассмотрим их
сумму Ф (Е) = Oj (f1)-]-Ф2 (Е) и обозначим через Е\(Е),
Р2(Е) и Р (Е) соответствующие положительные изменения
этих функций. Для любого ЛсЕ мы имеем
Ф (Л) = Ф! (Л) + Ф2 (Л) < Р, (Е) + Р2 (Е),
откуда, переходя слева к верхней грани, находим
Р(Е)<Р1(Е)-НР2(Е).	(1)
Равенство
Р(Е) = Р1(Е) + Р2(Е),
(2)

§ 10]
МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
181
вообще говоря, не имеет места (например, для Ф2(Е) =
= — Ф1 (Е) 0). Но если Ф1 (Е) сосредоточена на мно¬
жестве Ер а Ф2(Е)— на множестве Е2, не пересекаю¬
щемся с Ер то равенство (2) уже имеет место. Дей¬
ствительно, для заданного Е и е>0 можно найти‘такие
^czEEi и А2сЕЕ2, что Р1(Е) = Р1(ЕЕ1) < Ф^лЛ-е,
Р2 (Е) = Р2 (ЕЕ2) < Ф2 (Л2) -ф- е, и так как ylj и А2 не пере¬
секаются,
Р (Е) > Ф (А, + А2) = Ф (Xj) + Ф (А2) =
- Ф, (ДО + Ф2 (А2) > Р. (Е) + Р2 (£) - 2s.
Полагая г—> 0, находим Р (Е) ^Рх (Е) + Р2 (Е), что в со¬
единении с (1) и дает (2).
Обозначим далее отрицательные изменения функций Фр
Ф2, Ф через Qp Q2, Q и их полные изменения — через V\,
V2, V. При тех же условиях аналогично получаем
Q(E) = Q1(E) + Q2(E),	(3)
IZ(E) = V1(E) + ^2(E).	(4)
Пусть, в частности, Ф! абсолютно непрерывна, Ф2 сингу¬
лярна и сосредоточена на множестве Z меры 0. Так как
Ф1(Е) = Ф1(Е — EZ) при любом Е, то функция сосредо¬
точена на множестве X— Z. Применяя равенство (4), по¬
лучаем: полное изменение любой счетно-аддитивной
функции Ф равно сумме полных изменений абсолютно
непрерывной и сингулярной составляющих функции Ф.
Аналогично, рассматривая разложение функции Ф на не¬
прерывную и дискретную составляющие, получаем следую¬
щий результат: полное изменение любой счетно-адди¬
тивной функции Ф равно сумме полных изменений не¬
прерывной и дискретной составляющих функций Ф.
7.	Производящая функция для абсолютно непрерывной
функции множеств на отрезке. Применим полученные ре¬
зультаты к случаю счетно-аддитивных функций на полу¬
интервале а < х <£, снабженном мерой Лебега р.. Мы пред¬
положим, что в область определения 51 функции Ф (Е) вхо¬
дят, во всяком случае, все полуинтервалы (я, р]; отсюда
следует, что в систему 31 входят все классические борелев-
ские множества. Счетно-аддитивная функция Ф(Е) характе¬
ризуется производящей функцией Е(х) = Ф(а, х], имеющей
13 Г. Е. Шилов, В. Л. Гуревич

182
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
ограниченное изменение и непрерывной справа. Выясним,
какими свойствами описываются производящие функции вве¬
денных нами классов счетно-аддитивных функций. Непрерыв¬
ной функции Ф (£*), очевидно, отвечает функция F (х), не¬
прерывная (и справа и слева) в каждой точке х, потому что
F (х) - F (х — 0) = lim [F (х) — F (В)] =
а х
— lim Ф(£, х] = Ф[х] = 0.
I Л х
Описание производящих функций для абсолютно непрерыв¬
ных функций множеств Ф (£) дается следующей теоремой.
Теорема 3. Функция множеств Ф (Ё), об ладающая
производящей функцией F(x), абсолютно непрерывна
тогда и только тогда, когда функция F (х) обладает
следующим свойством: для любого е > 0 существует та¬
кое 8 > 0, что, какова бы ни была система Aft = (aa» pj
(k = 1,	2, ..., п) неперекрывающихся интервалов
п
с 2 (р* — ал) < 8, мы имеем
k=i
< е
/г = 1
(1)
или (что на самом деле эквивалентно (1))
S |F(₽ft)-F(aft)|<e.	(2)
k 1
Доказательство. По форме условие (2) сильнее
условия (1).
Покажем вначале, что, и наоборот, из (1) следует (2).
Для заданного е > 0 найдем 8 > 0 так, чтобы для любой си¬
стемы непересекающихся полуинтервалов (ар PJ, . . .
.. ., (ал, рл] с суммой длин < 8 иметь
Обозначим через 2+ сумму положительных приращений
функции F (х) на этих полуинтервалах и через S сумму
ее отрицательных приращений. В силу условия (1), при¬
МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
183
§ 10]
мененного к каждой из указанных подсистем полуинтервалов,
мы имеем
откуда
Z I F (₽*) - F (a*) i < 2+ |Л (₽,) - F (а,)} +
+ |2	I < s’
и, следовательно, условие (2) выполнено.
Далее проверим, что каждая функция, удовлетворяющая
условию (2), имеет ограниченное изменение. Для заданного
г > 0, например для s== 1, найдем соответствующее В из
условия (2). В силу этого условия функция F (х) на каждом
полуинтервале длины < В имеет ограниченное изменение, не
превосходящее 1. Весь промежуток (я, &] можно представить
как соединение фиксированного числа (не более + 1 j
полуинтервалов длины В; поэтому изменение функции /7 (х)
на всем промежутке	не превосходит
что нам и требуется.
Теперь можно утверждать, что всякая функция F (х),
удовлетворяющая условию (1) и, кроме того, обращающаяся
в нуль при х\^, является производящей. Действительно,
из условия (1) вытекает, что F (х) непрерывна (даже равно¬
мерно непрерывна), и мы видели, что она имеет ограничен¬
ное изменение; если при этом F (а 4~ 0) = 0, то F (х) тем
самым удовлетворяет всем условиям для производящей
функции.
Покажем, что соответствующая функция множеств Ф (Е)
абсолютно непрерывна. Если Zc:(a, У] есть множество меры 0,
то мы можем заключить его в систему Ег (конечную или
счетную) непересекающихся интервалов с общей длиной,
меньшей числа В > 0, соответствующего заданному е > 0 по
условию (1). На каждой конечной подсистеме Др . . ., Д^
в силу (1) мы имеем
13*

184
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
Так как Ф (£) счетно-аддитивна, то
ф (£\) — ф
и, следовательно,
Отсюда и
Ф (£е) < е.
Ф (Z) < Ф (Ее) < е.
и так как е > 0 произвольно, то Ф (Z)=0, что и требовалось.
Обратно, если Ф^) абсолютно непрерывна, то по тео¬
реме Радона — Никодима
Ф(Е)= J g(x)dx,
Е
где g(x)— суммируемая функция. В частности,
х
F (х) = Ф (а, х]= f g ($)di.
а
Отсюда
п	П ?k
2 PW-F («*)}= £ f g©#= fg©.
fe=l	A>=1 ak	U&k
и в силу абсолютной непрерывности интеграла (§ 7, п. 7, г))
это выражение стремится к нулю вместе с 5.
Функция F (х) переменного х (а<^х^Ь), для которой
при любом 6 > 0 существует В > 0 такое, что для любой
системы непересекающихся интервалов Д^=(аА;, (k = 1,
п
2, .п) с 2(Рй—а*) < & выполняется неравенство
/?= i
< е,
/г=1
называется абсолютно непрерывной на (а, #]. Всякая
абсолютно непрерывная функция является и равномерно не¬
прерывной на (а, £]; вычитая из нее значение Л(я-|-0),
получаем функции^ удовлетворяющую условиям теоремы

§ 10]
МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
185
В силу этой теоремы существует представление
х
Р (х) = F (а 0) 4- У g (£) d^,	(3)
а
где g(x) — некоторая функция, суммируемая на (а, Ь].
И обратно, по той же теореме 3 каждая функция F (х)
вида (3) является абсолютно непрерывной на (а, #].
8.	Производящая функция для сингулярной функции
множеств. Обратимся теперь к характеристике производя¬
щей функции F(x), сингулярной функции множеств Ф(£);
такую функцию точки F(х) будем также называть сингу¬
лярной.
Теорема 4. Функция множеств Ф (F), Ecz(a, Ь\,
обладающая производящей функцией F(x), тогда и
только тогда сингулярна, когда для любого е>0 най¬
дется конечная система полуинтереалов = (ар pj, ..
п
— М такая, что	—aft)<s и
Й=1
где U (Ь) есть полное изменение функции F (х) в полу¬
интервале (а, #].
Доказательство. Пусть Ф (F) = 5 (F) сингулярна и
Z—множество меры 0, на котором сосредоточена функция
множеств 5(F), а следовательно, и ее полное измене¬
ние V (£). Напомним, что производящей функцией функции
множеств V (F) является функция
п-1
и(x) = sup 2 I^Oj+i) — F(X-)|,
J = 0
где верхняя грань берется по всем разбиениям а = х0 <
< Xj < ... < х/2 = х полуинтервала (а, х] (§ 6). В част¬
ности, V' {a, b) = U (ф). Для заданного в > 0 рассмотрим счет¬
ную систему неперекрывающихся полуинтервалов = (аЛ,
2,	...» п), покрывающую Z и такую, что

186
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
Так как функция V (Е) сосредоточена вместе с S (Е) на
оо
множестве Z, то 2	(а/г-	Найдем номер
/г = 1
п
п = п(е) так, чтобы иметь ^И(а/г,	> V (я,	•
/г=1
Далее, в каждом из п полуинтервалов (ал, найдем такое
разбиение а/г ==	< . . . < х® = {^, что
k
р=0
Наконец, складывая по k, находим
i	i/(%. м-
£=1 р = О	£=1
—	> V (а, Ь} — г,
что доказывает необходимость условия теоремы.
Для доказательства достаточности представим функцию
Ф (Е) в форме суммы абсолютно непрерывной и сингулярной
составляющих:
Ф(Е) = Л (£) + $(£).
Одновременно и производящая функция F (х) представится
в форме суммы соответствующих производящих функций:
F(x) = 4(x) + S(x).	(1)
Используя теорему 3, для заданного s > 0 найдем В > О,
так, чтобы для любой системы непересекающихся полуинтер-
валов (ар PJ	(аот, pj с 2 (Pfe — як)<Ъ иметь
т
2 |Л (Р4) - A (aft) I < |.	(2)
7г = 1 ■
Выберем затем такую систему полуинтервалов, чтобы было
«*)<г и
т
2|F(p,)-F(aft)|>^(&)-|.	(3)
й = 1

§ 10]	МЕРА II ФУНКЦИИ множеств	Д87
Из (1), (2) и (3) следует, что
т
2|S(^)-5(«ft)|> V(b) — e.
/2=1
Таким образом, полное изменение функции S(x) не менее,
чем V (6). С другой стороны, согласно п. 6, полное измене¬
ние суммы А (х) и S (х) равно сумме их полных изменений.
Поэтому в данном случае полное изменение функции А(х)
равно нулю. Но тогда и сама А(х) равна нулю,' откуда
F (х) — S (х) сингулярна, что и требовалось.
9.	Производящая функция для дискретной функции
множеств. Наконец, рассмотрим производящую функцию Е (х)
дискретной функции множеств D(E). Согласно определению
дискретной функции множеств имеются конечная или счетная
последовательность точек хР х2, ...	#] и последова-
оо
тельность чисел ср с2, . . . с S |сл| < со таких, что D (Е)
п=1
есть сумма чисел сп с такими номерами, для которых соот¬
ветствующие точки хп попадают в множество Е. В частности,
производящая функция Е (х) = D (а, х] есть сумма чисел сп
с такими номерами, для которых соответствующие точки хп
попадают в полуинтервал (а, х]. Функция F(x), обладающая
этим свойством, называется функцией скачков.
Теорема 5. Функция множеств D (Е), обладающая
производящей функцией F(x), тогда и только тогда
дискретна, когда для любого е>0 можно указать
такие точки разрыва хх	хп функции Л(х), что
п
S|F	(1)
fe = l
где U (х) — полное изменение функции Е (х).
Доказательство. Пусть D (£) дискретна и хР х2, ...
..., ср с2, ... —соответствующие последовательности точек
и чисел. Мы знаем, что
|F(xft) —0)| = \D [xft]| =
V(a. &]= 1 |cft|;
fe=l
отсюда вытекает необходимость условия (1). Для доказа¬
тельства достаточности представим производящую функцию

188
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
F (х) в форме суммы непрерывной и дискретной:
F W — С СИ + D (х).
Для заданного е > О найдем точки разрыва xv .... хп функ¬
ции F (х) так, чтобы иметь
S I F (xk) — F (xk — °) I > v W — e-
k= 1
Поскольку С (x) непрерывна, вместе с тем и
Й=1
Таким образом, полное изменение функции D(x) не меньше,
чем V (Ь). Но полное изменение V (Ь) функции D (х) равно
сумме полных изменений функций С (х) и £)(х), поэтому
полное изменение функции С (х) равно 0. Отсюда
C(x) = 0, F(x) = D(x),
что и требовалось.
10.	Теорема Лебега о каноническом разложении функ¬
ции с ограниченной вариацией. Резюмируем теперь ре¬
зультат общей теоремы разложения (п. 4) для производящих
функций. (Мы помним из § 9, п. 4, что всякая функция F (х)
в полуинтервале (а, Ь], имеющая ограниченное изменение,
непрерывная справа и имеющая значение F (д-4-0) = 0,
является производящей.)
Теорема 6 (разложение Лебега). Всякая функция F (х)
с ограниченным изменением в полуинтервале (а, д],
F (а 4- 0) = 0, непрерывная справа, допускает разло¬
жение
F(x)== Л (x)H-S(x)+ £>(%),	(1)
где Л(х) абсолютно непрерывна и может быть запи¬
сана в форме
A(x)==fg(Qd^, g(x)QL(a<b),
а
S(x) непрерывна и сингулярна, D(x) — функция скач¬
ков, непрерывная справа', слагаемые в (1) определены
МЕРА И ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
189
§ 10]
однозначно функцией F (х), суммируемая функция g(x)
определена однозначно с точностью до множества
меры 0.
Замечание. Условие F (а -]- 0) = 0 и непрерывность
функции F (х) справа, фигурирующие в формулировке тео¬
ремы, можно отбросить; мы знаем из § 6, что всякая функ¬
ция с ограниченным изменением будет удовлетворять этим
условиям, если вычесть из нее некоторую постоянную,
а затем саму функцию исправить в точках разрыва, или,
иначе говоря, добавить некоторую новую функцию скач¬
ков Z)i(x).
Таким образом, функция F (х)— D1(x) уже удовлетво¬
ряет условиям разложения Лебега и может быть представлена
в форме
F (х) — Dx (х) = А (х) + S (х) + D2 (х),
откуда
F (х) = А (х) + S (х) + D (х),
где D(x) = D1(x) + D2(x).
Разумеется, в этой общей форме функция скачков Z)(x)
уже не будет непрерывной справа.
ЗАДАЧИ
1.	Показать, что абсолютно непрерывные функции на отрезке
[а, ft] образуют замкнутое подпространство пространства V функ¬
ций с ограниченным изменением (§ 6, задача 6).
2.	Показать, что непрерывные сингулярные функции на от¬
резке [а, Ь] образуют замкнутое подпространство в пространстве V.
3.	Показать, что функции скачков на отрезке [a, ft] образуют
замкнутое подпространство в пространстве V.
4.	Показать, что функция Кантора С (х) (§ 5, задача 1) сингу¬
лярна.
Указание. Соответствующая функция множеств С (Е) обра¬
щается в нуль на каждом смежном интервале канторова множества.
5.	Построить непрерывную сингулярную функцию на отрезке
[О, 1], не имеющую интервалов постоянства.
У казанце. Интервалы постоянства канторовой функции С (х)
1 1 1 ___ 1
имеют длины 'J > д" > и т- Д- На интервале постоянства длины
добавить функцию ~ С (Зх — 1), аналогичную канторовой и полу¬
чающуюся из нее сжатием по оси х и по оси у и сдвигом вдоль
190
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
оси л. Интервалы постоянства полученной суммы имеют длины
. На каждом из интервалов постоянства длины добавить
функцию вида С (9х — /г), также аналогичную канторовой и по¬
лу чгющуюся из нее некоторыми сжатиями и сдвигом и т. д.
6.	Используя функцию задачи 5, показать, что измеримая функ¬
ция от непрерывной функции не обязана быть измеримой.
Указание. Функция F (х) переводит некоторое множество Е
полной меры в множество меры 0. Рассмотреть неизмеримое под¬
множество W cz Е и функцию G (у), характеристическую для мно¬
жества F (W); показать, что G [Л (у)] неизмерима.
7.	Неубывающая функция F (х), отличная от постоянной, тогда
и только тогда сингулярна, когда она отображает некоторое мно¬
жество меры 0 на множество полной меры; или же когда она ото¬
бражает некоторое множество полной меры на множество меры 0.
8.	Функция G (у), обратная к непрерывной сингулярной функ¬
ции без интервалов постоянства, сама сингулярна.
У Казани е. Использовать задачу 7.
9.	Счетно-аддитивная функция Ф (Е), определенная на боре-
левской системе 2Г и не абсолютно непрерывная относительно боре-
левской меры на системе ?1, вообще говоря, не продолжается на
лебеговские множества меры р. Пусть X есть отрезок [а, 6], р — мера
Лебега, Ф (Е) — счетно-аддитивная функция множеств, определенная
на борелевских подмножествах X. Если Ф (Е) непрерывна, но не
абсолютно непрерывна, то существует несчетное множество Ео cz X,
Р (Ео) = 0, для которого Ф (Ео) 0. Можно построить множество
Ех cz Ео, уже Ф-неизмеримое. В то же время Ех измеримо по Ле¬
бегу (и р (EJ = 0).
§ 11. Производная функции множеств
1.	Три определения производной от функции множеств
на оси. Согласно теореме Радона — Никодима каждая
счетно-аддитивная и абсолютно непрерывная функция Ф(Е)
множеств ЕсХ относительно некоторой меры |л может быть
представлена в форме интеграла от какой-то суммируемой
функции g (х) по мере р.:
ф(£)= fg(x)<fy.
Е
Функцию точки g(x) будем называть плотностью функ¬
ции множеств Ф (Е). Спрашивается: какой процедурой можно
получить плотность функции множеств Ф (Е), зная саму
Ф(Е)?

§ 11]
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
191
В простых случаях такая процедура хорошо известна.
Пусть, например, Х = (а, Z>], р. — мера Лебега и F (х)—
производящая функция для функции множеств Ф(£), так что
х
F(x)_ Ф(а, х] = j'gffydi.
а
Если g(x) непрерывна, то, как известно, g(x) .полу¬
чается из F (х) обычным дифференцированием
^(х)= lim
л->о
F(x+h)-F(x)
lim	*),
Л->0	h
(1)
h
Аналогично если X — В есть брус в n-мерном про¬
странстве, ре — мера Лебега и g(x) = g(xv . .., хя)— не¬
прерывная функция, то также
где s(B) есть объем бруса В, а предельный переход совер¬
шается по произвольной последовательности брусов, стяги¬
вающихся к точке х.
Заметим, что определение дифференцирования (1) по отно¬
шению к обычной мере (Лебега) на оси — не единственно воз¬
можное определение; его можно, с одной стороны, ослабить,
с другой — усилить с сохранением полной естественности.
В формуле (1) используются промежутки вида (х, x-\-h\.
Но можно рассмотреть значительно меньшее число про¬
межутков, например, только двоично рациональные проме¬
жутки	1 j, содержащие заданную точку х0, в кото¬
рой ищется производная. Именно, для данной счетно-адди¬
тивной функции множеств Ф (Е) мы можем в качестве
производной в точке х0 рассматривать выражение
*) Если h < 0, то Ф (х, x-\-!i\ означает —-Ф(х-|-Л, х].

192
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
если этот предел существует. Определение по формуле (2)
более слабое, чем определение по формуле* (1); точнее
говоря, из существования предела (1) следует существование
предела (2), но не обратно.
Действительно, допустим, что в некоторой точке суще¬
ствует предел (1). Тогда мы имеем
«0^1 *(£• -], •(-
1 ~ 1 1 —
2,г 2" 2/г
ф(_£_ J х —	фГу ^+11	х
2Л ’ J 2,г j \ ’ 2п J 2п
— ~ Р 1	Р +1	~ I ’
х 2п 2п 2п Х 2п
что стремится к F'(xQ) как среднее взвешенное двух пере¬
менных величин с общим пределом.
С другой стороны, для данной иррациональной точки £
всегда можно построить непрерывную функцию с ограничен¬
ным изменением, обращающуюся в нуль в граничных точках
промежутков	-• и не имеющую обычной произ¬
водной в точке t Производная же в смысле (2) у такой
функции будет существовать и будет, очевидно, равной нулю.
Усилить определение (1) можно следующим образом.
Вместо отношения (1), в котором рассматриваются проме¬
жутки (х0, х0Н-й], мы можем рассмотреть предел
Ф(^и)
И (Еп) ’
lim
Г2->ОО
(3)
где Еп— любая последовательность борелевских множеств,
стягивающаяся к точке х0. Последнее свойство мы понимаем
следующим образом; множество Ёп содержится в полуинтер¬
вале Дл, содержащем точку х0, концы которого с возраста¬
нием п стремятся к х0 и при этом для всех п выполняется
«неравенство регулярности» и (£л) ср, (Дй), где с — фикси¬
рованная положительная постоянная.
Если в некоторой точке х0 существует предел (3), то
существует и предел (1) — поскольку в качестве множества Еп

§ 11]	ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ	193
мы можем взять полуинтервал (х, x-\-h}. Но из существо¬
вания предела (1) не следует, вообще говоря, существования
предела (3); так, например, у функции x2sin-^- производная
в точке хо = О в смысле (1) существует и равна 0, а произ¬
водная в смысле (3) не существует (см. задачу 1). Таким
образом, определение (3) сильнее, чем определение (1).
Тем не менее указанные различия оказываются сущест¬
венными лишь в отдельных точках. Мы покажем в даль¬
нейшем, что для функций с ограниченным изменением —
или, что то же, для счетно-аддитивных функций мно¬
жеств — существуют производные в каждом из трех
определений (1), (2), (3) на множестве полной меры
и на множестве полной меры совпадают друг
с другом.
Мы будем устанавливать теоремы о существовании произ¬
водных в общем случае для счетно-аддитивной функции на
произвольном пространстве X с мерой р-. Для этого введем
соответствующие определения, обобщающие специальные
конструкции (1), (2), (3).
2, Дифференцирование по сети. Аналогом дифференци¬
рования в смысле (2) является дифференцирование по сети мно¬
жеств. Пусть дано множество X с лебеговской мерой р,. Пусть
имеется разбиение X в конечную или счетную совокупность
суммируемых непересекающихся множеств Av ..., Ат, ...
Множества Av Л2, ... будем называть множествами пер¬
вого ранга. Пусть, далее, каждое множество первого
ранга Ат разбито в конечную или счетную совокупность 2(2
непересекающихся суммируемых множеств AmV ..., Атп—
множеств второго ранга — и далее процесс разбиения про¬
должен неограниченно, так что для любого п у нас имеется
некоторая совокупность УИп непересекающихся суммируемых
множеств n-го ранга, объединение которых составляет все X.
Для каждой точки х0 и любого п имеется одно и только
одно множество м-го ранга, содержащее точку х0; обозна¬
чим его через Дл(х0). Совокупность =	всех мно-
п
жеств всех конечных рангов мы назовем сетью, если она
является вполне достаточной системой (§ 8, п. 3).
Пусть имеется счетно-аддитивная функция Ф (£"),
определенная, в частности, на всех множествах сети 21.

194
ПРОИЗВОДНАЯ •
[ГЛ. IV
П роизводной функции Ф (Е) по сети в точке х0
вается выражение
lim
п->оо
Ф(Л„(х0))
н (Л (•*<>)) ’
назы-
(4)
если этот предел существует.
Имеется теорема (теорема де Посселя), согласно которой
производная по сети для каждой функции Ф (£) существует
на множестве полной меры и совпадает с плотностью абсо¬
лютно непрерывной составляющей функции Ф (Е) (тем самым
эта производная не зависит от выбора сети ?1).
Если X есть полуинтервал (0, 1], то в качестве множеств
n-го ранга можно взять полуинтервалы ^0,	, . ..,(1—~, lj.
Производная по сети из таких полуинтервалов и есть произ¬
водная в смысле (2).
Ниже, в п. 4, мы получим теорему де Посселя из более
общей теоремы, дающей аналог обычного дифференцирова¬
ния (1).
3.	Дифференцирование по системе Витали. Пусть
дано множество X с лебеговской мерой рь. Полукольцо 23
суммируемых подмножеств ЕсХ мы назовем системой
Витали, если она обладает следующими свойствами:
(1)	23 — вполне достаточная система (§ 8, п. 3).
(2)	Для каждой точки х, любого е>0 и любого Д£23,
не содержащего точки х, существует множество В £23
такое, что х£В, рЕ < е, ЛВ=0 (пустое множество).
(3)	Если суммируемое множество Е покрыто некоторой
системой S множеств А £ 23 так, что для любой точки х£Е
и любого 8>0 имеется покрывающее множество Ае(х)^х
меры < е, то можно выбрать подсистему	уже из
непересекающихся множеств, снова покрывающую все мно¬
жество Е, кроме, возможно, множества меры 0.
Пусть Ф (Е)— счетно-аддитивная функция множеств, опре¬
деленная, в частности, на всех множествах системы Ви¬
тали, и Ле(х0)— любое множество системы Витали, содер¬
жащее xQ и имеющее меру < е. Производной функции Ф (Е)
в точке х0 по системе Витали 23 называется выражение
ЕФ (x0) = lim
з->0
Ф(А (*о))
НШ)) 1
если этот предел существует.

§ 11]
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
195
Во всяком случае, всегда существуют (конечные или
бесконечные) выражения
и
ОФ (х0) — lim
£->0
ф (А (*о))
I1 (А (*о))
£)Ф(х0) = lim
Ф(А(*о))
р- (А (*о))
первое из них называется верхней производной функ¬
ции Ф (Е) в точке xQ относительно системы Витали
второе — нижней производной функции Ф(Е) в точке х0
относительно той же системы. Равенство £)Ф(х0) =
= £)Ф (х0) #= оо представляет собою необходимое и доста¬
точное условие существования у функции Ф (Е) производной
в точке х0 относительно системы Витали -В.
Вообще говоря, значения величин £Ф(х0), ОФ (х0) и
Е)Ф (х0) зависят в данной точке xQ не только от функ¬
ции Ф(Е), но и от системы Витали, по которой произво¬
дится построение производных. Но в действительности воз¬
можные различия могут обнаружиться лишь на множестве
меры 0.
Имеет место следующая теорема о дифференцировании
по системе Витали:
Теорема (Лебега — Витали). Для каждой счетно¬
аддитивной функции Ф(Е) на множестве полной меры
существует производная по системе Витали, равная
плотности абсолютно непрерывной составляющей
функции Ф(Е).
Доказательство основано на двух следующих леммах:
Лемма 1. Если в каждой точке xQ некоторого
измеримого множества Е, р-(Е)>0, выполняется не¬
равенство ОФ(х0) = Ит —с фиксировано,
то для любого г>0 найдется множество Qa:E,
|л(Е— Q) < е, для которого Ф(С)>иИ<Э)-
Доказательство. Для заданного е>0 покроем
дополнение СЕ множества Е (конечной или) счетной сово¬
купностью множеств Витали Вг U ... U Вп U .. ,=В так, чтобы
иметь р(В) < рь(СЕ)4-е. Множество Е тем самым оказы¬
вается заключенным в дополнении СВ множества В. Мы

196
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
построим далее последовательность множеств	•••»
удовлетворяющую условиям Ф (Q/Z)>rp, (Qn) и E—BE—Zy— . ..
.. . —Zn <=. Qn с. С (Вг U • • • U BJ (п = 1,	2, . . .), где
Zr . .., Zn — некоторые множества меры 0. Построение
будем проводить по индукции.
Фиксируя п=1, для каждой точки х£Е — BE рассмо¬
трим все множества Витали Ai(x)$x, не пересекающиеся
Ф (Д' (х))
с для которых —X > с. Пользуясь условием (3),
Г- (A W)
выделим из получившегося покрытия множества Е — BE
множествами Витали счетную подсистему непересекаю-
щихся множеств {Лх(х)), покрывающую Е — BE с точ¬
ностью до множества Zx меры 0, так что
Е — BE — Z1a.Qic.CBv
Очевидно,
Ф(£1) = ЗФ(Л1(х))>сЗ!л(А(х)) = М<?1)-
X	X
Предположим, что уже построены множества QjO . . . ^dQ/z_x
и множества Zp . . ., Z/2_1 меры 0. Покажем, как построить
множества Qn и Zn. Для каждой точки х ^E—BE—Z^— . ..
... —Zn_j найдем все множества Витали Ап(х), содержа¬
щиеся в Qn_v не пересекающиеся с Вг (J ... U Вп> и для
Ф (А'п (-*))
которых —X	£ > с. Используя условие (3), заменим мно-
(A W)
жество {J Ап (х) объединением Q/z = |jHn(x) непересекаю-
X	X
щихся множеств Витали с точностью до множества Ztl
меры 0, так что Qnc:Qn_v
E — BE — Zi— ... — Z„_l — Z„aQ„aC(B1U ... U Bn)
И
ф (Qn) = 2 Ф (Л (X)) > с 2 (X (Ап (х)) = Ф (Q„).
X	X
Таким образом, искомая последовательность множеств
Q1z^Q2Z) ... построена. Положим Q = QQn. Мы имеем
п
Ф(<2)= lim Ф(<2„)>с lim р (Q„) = ср (Q).
п -> оо	п -> оо

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
197
С другой
стороны,
со	оо
Е-ВЕ-
/2=1	/2=1
причем
СО
[1 (Е — Q) и (££) + jL р, (^/г) < е»
/2=1
2ср (Е) — Ф (Е), приходим
точке некоторого изме-
выполняется неравенство
< с, с фиксировано, то для любого
и лемма доказана.
Заменяя функцию Ф (Е) на
к следующему утверждению:
Лемма lz. Если в каждой
римого множества Е
е>0 найдется множество QczE, |i(E — Q) < е, для
которого ФОЭХХО-
Лемма 2. Множество Ес—[х\ ЕФ (х) > с} измеримо
при любом с.
Доказательство. Для заданного е > 0 каждую точку
х£Ес можно покрыть множеством Витали Л£(х) меры < е,
для которого	< > с — е. Обозначим через Qe Объеди¬
ни (,-Лб \Х) )
нение всех Ле(х). Покажем, что Qs измеримо. Пусть 5е
есть совокупность всех таких множеств Витали, каждое
из которых содержится хотя бы в одном из множеств А(х).
Очевидно, объединение всех множеств совокупности
совпадает с Qe и система \ есть покрытие множества Qe,
удовлетворяющее условию (3). Поэтому система S£ может
быть заменена счетным объединением множеств Витали
и множества меры 0; следовательно, Q, измеримо.
Положим, далее,	очевидно, что Q также из-
£
меримо. Покажем, что Q = EC. Включение QzdE€ очевидно.
Возьмем какую-либо точку x0£Q; для любого е >0 най¬
дется по крайней мере одно множество Л£(х)$Д£(х; х0),
содержащее х0. Мы имеем
ОФ (х0) > lim	r°n >	— е) > с,
е->0 Ие (А хо) )	6->0
Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич
198
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
откуда следует, что xQ£Ec. Итак, QdEc и, следовательно,
Q — Ec, тем самым Ec — Q измеримо, что и требовалось.
Переходим теперь к доказательству теоремы 1.
Пусть сначала Ф(Е) — S (Е) есть сингулярная функция
множеств относительно меры (х; покажем, что у нее
существует почти всюду производная по системе Витали,
равная 0.
Можно принять, что S (Е)— неотрицательная функция
множеств, разложив ее в противном случае на положитель¬
ную и отрицательную составляющие, которые обе также
сингулярны. Пусть Z— то множество меры 0, на котором
сосредоточена функция S(E). Мы покажем, что почти всюду
на дополнении множества Z имеет место равенство DS (х)=0.
Пусть с > 0.
Множество Ес={х\ DS (х) > c]CZ измеримо в силу
леммы 2. Покажем, что оно имеет меру 0. В предположении
противного по лемме 1 мы смогли бы построить множество
QczEc также положительной меры, для которого было бы
Ф (Q)	Iх (Q) > но это невозможно, так как множе¬
ство Q не пересекается с множеством Z, где сосредоточена
функция 3(E). Таким образом [x(Et) = 0. Но тогда и
jx({x: DS (х) > 0} CZ) = lim [х (Ес) = 0, и, следовательно,
с->0	__
почти всюду вне Z мы имеем DS (х) — 0, что и требовалось.
Пусть теперь Ф(Е)= Л(Е) абсолютно непрерывна. Пред¬
положим, что во всех точках измеримого множества Ео
выполняется неравенство £>Л(х)>с; покажем, что Л(Е0)^>
^>ср.(Е0). Действительно, в силу абсолютной непрерывности
интеграла
А{Е)= f/(x)dp
Е
для заданного е > 0 можно найти В > 0 так, что из »х(Е) < В
следует | А (Е) | < е. По лемме 1 для заданного 8 можно
найти множество Qc:E0, для которого |х(Е0 — Q) < о и
Л (Q) >	(Q)- Отсюда А (Ео) = A (Q) + A (Eq—Q) > qx (Q) —
— е > qx(E0) — е — 8.
Так как е и В произвольно малы, то А (Ео) cjx (Ео),
что и требовалось. Аналогично если во всех точках
§ 11]
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
199
множества EQ выполняется неравенство DA(x)<c, то
Л(Е0)<сИ(Е0).
Покажем, что почти всюду на ЕаЬ={х-. а < / (х) <&)
имеют место неравенства
DA{x)^b, DA(x)^>a.
Действительно, если бы нашлось измеримое подмножество
ЕаЕаЬ, на котором было бы DA (х) > Ь, то по доказанному
на этом подмножестве Е мы имели бы также А (Е) >(Е),
что невозможно. Аналогично невозможно и выполнение не¬
равенства DA (х) < а на подмножестве EczEab положитель¬
ной меры.
Рассмотрим теперь счетную совокупность множеств
rn<-f<xy^sn],
где rn^sn — произвольные рациональные числа. Из каждого
из них выбросим множество меры 0 так, чтобы на остатке
выполнялись неравенства
г tl < DA (х) < DA (х) < sn.
В результате и из всего X будет удалено некоторое
множество меры 0. Покажем, что во всех оставшихся точках,
где f (х) конечна, существует DA (х) и совпадает с /(х).
Действительно, пусть х — любая из оставшихся точек, в ко¬
торой величина /(х) конечна. Тогда
и, следовательно,
rtl < DA (х) < DA (х) < sn;
так как это верно при любых rn <; f (х) sn, то ДЛ(х)—
= DA (х) = f (х), чем теорема и доказана.
4.	Примеры; теорема, де Посселя, теорема Лебега.
1) Покажем, что всякая сеть (п. 2) является систе¬
мой Витали.
Всякая сеть ?( обладает следующим свойством: два раз¬
личных элемента А и В сети 3-1 либо не пересекаются (и так
всегда имеет место, если эти элементы имеют при том оди¬
наковый ’ ранг), либо один из них содержится целиком
14*

200
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
в другом. Поэтому всякую совокупность 5 элементов сети ЭД
можно заменить (не более, чем) счетной подсовокупностью S'
непересекающихся элементов с тем же объединением: именно,
мы можем вначале отобрать из системы S все элементы
первого ранга, затем из оставшихся элементов, не содер¬
жащихся в уже отобранных, выбрать все элементы второго
ранга и т. д.; очевидно, что получающаяся в этом процессе
подсовокупность S' состоит из непересекающихся элементов,
не более чем счетна и имеет то же объединение, что и
исходная система S.
Таким образом, для сети ЭД выполняется условие (3) си¬
стемы Витали. Выполнение остальных условий (1) — (2)
очевидно.
Применяя теорему Лебега — Витали, получаем для сети ЭД
выполнение теоремы де Посселя (п. 2): всякая счетно¬
аддитивная функция множеств Ф(Е) имеет на
множестве полной меры производную по сети,
равную плотности своей абсолютно непрерывной соста¬
вляющей.
В частности, для всякой функции F (х) с ограниченным
изменением в промежутке (а, получаем существование
почти везде производной в смысле (2) и ее равенство плот¬
ности g(x) абсолютно непрерывной составляющей функ¬
ции F (х).
2) Пусть В есть (открытый снизу) брус в n-мерном про¬
странстве. Покажем, что совокупность всех {открытых
снизу) кубов
В = {х : ах < Xj <	+ h, ..., ап < хп < ап £ В
представляет собою систему Витали.
Выполнение условий (1) — (2) системы Витали в данном
случае очевидно. Проверим выполнение условия (3).
Пусть измеримое множество Fez В покрыто некоторой
совокупностью кубов S=={Ba} так, что для каждого х£Е
и каждого е > 0 в системе S имеется куб Ва Э х, имеющий
объем s(Ba) < е. Покажем, что из системы S можно выбрать
не более чем счетную подсистему S', покрывающую все Е,
кроме, может быть, множества меры 0.
Объемы кубов системы S ограничены сверху числом
kx = sup 5 (В). Возьмем любой из кубов системы S объема >

§ 11]	ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ	201
> и обозначим его через Если не покрывает
всего Е, то в системе S имеются кубы, не пересекающиеся
с кубом Их объемы ограничены (точно) числом k2- Мы
выберем в качестве Q2 любой из этих кубов объема > -у-.
Продолжая таким образом дальше, мы или после конечного
числа шагов получим покрытие множества Е конечным числом
непересекающихся кубов Qp .... Qm — и теорема будет
доказана, — или же получим бесконечную последовательность
чисел	km, ... и кубов QP .... Qm	с объемами,
соответственно большими чисел -у-, ... Покажем, что
полученная последовательность кубов Qp ..., Qm, ... по¬
крывает все множество Е, кроме, возможно, множества
меры 0. Обозначим через Z множество точек £*, не попавших
ни в один из кубов Qm. Пусть х0 £ Z; так как для задан¬
ного р точка х0 не покрывается кубами QP ..., Qp, то
в системе S имеется куб Q9xo’ не пересекающийся с ку¬
бами Qp . . ., Qp. Если он не пересекается далее и с кубами
Qp+i> •••’ Qr> то» следовательно, его объем s(Q) не пре-
оо	оо
восходит чисел k +1	kr. Но ряд У km < 2 У s(Qm)
т=1	т=1
сходится, так что числа km стремятся к нулю; поэтому
найдется такой первый номер г, что куб Q пересечется с ку¬
бом Qr. Обозначим через I ребро куба Q, а через 1Г — ребро
п г

куба Qr. Так как 5 (Q) kr_v то I < у kr-v так как s (Qf)С
п 	'
то также 1Г < &г_г Так как, далее, кубы
Q и Qr пересекаются, то куб Q содержится в кубе Qr, кон-
п

центрическом с Qr и имеющем ребро 3 у	объем куба Qr
оо
равен 3ЛА?г_р Рассмотрим множество ^p = (jQr- По по-
г=р
строению, оно содержит при любом р каждую точку х0
оо
множества Z. Но мера множества Вр не более 3Л 2 &r-i 11
г=р
при р —>со стремится к нулю. Отсюда следует, что множе¬
ство Z имеет меру 0, что и требовалось.

202
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
Применяя теорему Лебега — Витали, получаем:
Теорема 1. У каждой счетно-аддитивной функции
Ф (f) в брусе В почти в каждой точке х0 = (х(10), • • • >
имеется производная в смысле
Ф(Ве)
£)Ф (х) = lim
с —о
где Вс есть куб
(х :	< х^ -4-е, . . ., х^ < х/г < х^ 4- е].
При п = 1 получаем следующую теорему.
Теорема 2 (Лебега). Всякая функция В (х) с огра¬
ниченным изменением в промежутке [я, #] обладает
почти всюду в (а, Ь] производной
„г / ч р В (х /г) — F (х)
F'(x) = lim—(1)
Л->0	п
причем эта производная суммируема и совпадает
с плотностью абсолютно непрерывной составляющей
функции В (х).
Отметим два существенных следствия для сингулярной и
абсолютно непрерывной функций.
Следствие 1. Всякая сингулярная в промежутке
(а, Ь] функция В (х) имеет почти всюду производную
В'(х), равную нулю.
Обратно, функция В (х) с производной, почти всюду
равной нулю, если она имеет при этом ограниченное
изменение, сингулярна; для доказательства мы можем раз¬
ложить В (х) на сингулярную и абсолютно непрерывную
составляющие S (х) и А(х) и, используя следствие 1, за¬
метить, что производная абсолютно непрерывной составляю¬
щей почти всюду равна 0; но тогда абсолютно непрерывная
функция множеств
А (Е) = J Ar (х) dx
Е
равна нулю на каждом измеримом множестве Е, и, следо¬
вательно, А(х) = А(я, xJehiO.
Предположение, что функция В (х) имеет ограниченное
изменение, существенно; могут быть функции даже непре¬
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
203
§ II]
рывные с производной, почти всюду равной нулю, и не обла¬
дающие ограниченным изменением (и тем самым не являю¬
щиеся производящими для функции множеств). Пример такой
функции указывается в задаче 2.
Следствие 2. Всякая абсолютно непрерывная
в промежутке (а, Ь] функция В (х) имеет почти всюду
производную в смысле (1) В' (х~) = g (х), которая пред¬
ставляет. собою суммируемую функцию} при этом Е(х)
восстанавливается через g(x) интегрированием\
X
F (х) — F (а) — j" g(Q di..
а
Следствие 2 можно рассматривать как далеко идущее
обобщение классической формулы Ньютона — Лейбница, свя¬
зывающей производную с первообразной.
Следствие 3. Абсолютно непрерывную и сингулярную
составляющие функции В (х) с ограниченным изменением на
(я, можно найти по самой функции В (х) по следующим
формулам:
X	X
A(x) = f F' © di, S(x) — F (х) — f F' © di.
a	a
Пусть имеется на полуинтервале (а, произвольная
счетно-аддитивная функция множеств Ф (Е); пользуясь полу¬
ченными результатами, мы можем описать ее разложение
Хана. Пусть Х+ и Х~ —два множества, участвующие в этом
разложении. На любом подмножестве Е множества X мы
имеем Ф(Е)^-0. Это означает, что почти всюду на X ’
справедливо неравенство В' (х)^-О; в противном случае,
если бы на множестве Ef положительной меры в ХЛ мы
имели бы В'(х)^ — с < 0, то по лемме Iх п. 3 было бы
Ф (Е') < — с^ (Е'\ что невозможно. Аналогично почти всюду
на X справедливо неравенство F'(x')^X). Пусть, далее,
Е(х) = Р(х)— Q(x) есть разложение функции В (х) на не¬
убывающие составляющие (положительное изменение Р(х)
и отрицательное изменение Q(x)) и Ф(Е) = р(Е)— q (Е)—
соответствующее разложение функции множеств Ф (Е); функ¬
ция Р (х) — производящая для меры р(Е), функция Q(x)—
204
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
производящая для меры q(E)- На множестве X ‘ и на всех
его борелевских подмножествах мера q обращается в нуль,
откуда следует, что почти всюду на Х+ мы имеем Qz(x) = 0;
аналогично почти всюду на X мы имеем Р' (х) = 0. Так
как Fr (х) = Рг (х)— Q'(x), то мы имеем F' (х) — Рг (х)
почти всюду на X~v и Ff (х) —— Q'(х) почти всюду
на Х~.
Таким образом,
Р'(х) = [F'(X)]+,	Q'(x) = [F'(x)]~.
и для полного изменения V (х) = Р (х)-|-Q (х) функции F (х)
мы получаем равенство
V(x) = Pz(x) + Qz(x) = |Fz(x)|.
Пусть, далее, F (х) абсолютно непрерывна; тогда функции
Р(х), Q(x) и V (х) также абсолютно непрерывны (§ 10, п. 1).
Так как абсолютно непрерывная функция есть интеграл от
своей производной, то для функций F, Р, Q, V мы полу¬
чаем выражения:
F(x)=^f F' ©	P(x)^f [F' (У)+
а	а
х	х
Q(x)=f	V(x) = f |F'«)|<«.
a	a
5.	Дифференцирование функции множеств в самом
сильном смысле. Введем определение точки Лебега. Пусть
на множестве X с лебеговской мерой задана суммируемая
функция <р(х). Пусть, далее, на X имеется система Витали 31.
Будем говорить, что точка xQ£X есть точка Лебега сум¬
мируемой функции <р(х) относительно системы Ви¬
тали 31, если
!Тон(№о))-	= о (1)
(ло)
(*о6А(*о)69Т |Х(Д(ХО))<8).
Покажем, что почти каждая точка х^^Х является
точкой Лебега для функции ср(х).

§ 11]
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ
205
Пусть г — фиксированное число. Тогда на некотором
множестве Ег полной меры в силу теоремы 1 п. 3 выпол¬
няется предельное соотношение
Рассмотрим всюду плотное счетное множество значений г,
например множество рациональных г. Пересечение Е всех
множеств Ег есть также множество полной меры. Пусть
Хц£Е такова, что ср(х0) имеет конечное значение; покажем,
что х0 есть точка Лебега. Действительно, для заданного
8 > 0 можно указать такое рациональное г, что |<р(х0)—г|<
<у; далее можно написать
TgUxo))
(Хо)
/|т©-'-Н+
■м-м
/k-?(*oW =
л.(*о)
+ 2|?(*o)“rl‘
При достаточно малом е выражение в фигурных скобках
становится меньше, чем 8/3; поэтому при таких е вся сумма
справа будет меньше чем о, откуда и вытекает требуемое
равенство (1).
Будем говорить, что последовательность Ev Е2, ... из¬
меримых множеств правильно стягивается к точке х0,
если Е/г помещается на множестве Ап системы Витали,
содержащем точку х0 и имеющем меру 8л->0. причем
;>ос8л, где а>0 — постоянная, не зависящая от п,

206
ПРОИЗВОДНАЯ
[Г'Л. IV
Пусть имеется счетно-аддитивная функция Ф (£), опреде¬
ленная на некотором о-кольце-ЭД измеримых множеств ЕаХ,
содержащем некоторую систему Витали 2?. Производной
функции Ф (Е) в точке xQ(^X относительно кольца ЭД на¬
зывается выражение
£>ИФ (х0) == lim	,
П->СО
где Еп (п = 1, 2, . . .) — любая последовательность множеств
кольца ЭД, правильно стягивающаяся к точке xQ.
Теорема 3. Производная функции Ф (Е) относи¬
тельно кольца ЭД существует почти во всех точках
х^^Х и равна плотности абсолютно непрерывной со¬
ставляющей функции Ф(Е).
Для доказательства используем следующую' лемму.
Лемма. Если xQ— точка Лебега суммируемой функ¬
ции <р(х) и Еп— последовательность измеримых мно¬
жеств, правильно стягивающаяся к точке xQ, то
1!т [Ц(ё'п)' J ? ©	? Оо)- (3)
Еп
Доказательство. Мы имеем, очевидно,
=
Еп
Еп
/ltPOo)-?GW	/|?О0)-ср®|^-*0.
Еп	Ап
Как следствие, получаем, что в каждой точке Лебега
функция ср(х) равна производной относительно си¬
стемы ЭД от своего «неопределенного интеграла»
Ф(Е)= f gO) dp.
Е
Всякая абсолютно непрерывная функция множеств Ф(Е),
как мы знаем, есть интеграл от некоторой суммируемой
функции. Таким образом, для абсолютно непрерывной функ¬
ции Ф(£) наша теорема доказана.

§ 11]	ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ	207
Рассмотрим сингулярную функцию S (£). Без ограничения
общности ее можно считать неотрицательной. Пусть х—точка,
в которой ее производная DS (х) по системе Витали 03 равна
нулю; как мы знаем, для сингулярной функции такие точки
образуют множество полной меры. Пусть измеримое мно¬
жество Еп> принадлежащее к области определения функции S,
находится на множестве Витали AtV содержащем точку х,
и таково, что р. (Efl) > cji (ЛЛ). Мы имеем при п — >оо
S(En) 1 S (Ап)
с |л (Ап)
Таким образом, теорема 3 справедлива и для сингу¬
лярных функций. (Следует иметь в виду, что функция S (Е)
может не быть определенной на всех измеримых подмно¬
жествах ЕсХ, как это имеет место для абсолютно непре¬
рывной функции Д(Е), а только на некоторых.) Вместе с тем
теорема 1 оказывается справедливой для всех счетно¬
аддитивных функций множеств Ф (Е).
В применении к функциям Е (х) с ограниченным измене¬
нием на промежутке (я, #] получаем: всякая такая функ¬
ция Е (х) имеет почти в каждой точке х0 производную
в смысле
F' (х0) = lim	, Ф(а. x] = F(x).	(4)
где Вл(х0) — борелевское множество, правильно стягиваю¬
щееся в точке х0 в том смысле, что Вп (х0)с(х0 — еп, x04~£J>
е„->0 и
Р (&п (-^о) )
с фиксированной постоянной с > 0.
ЗАДАЧИ
1.	Показать, что функция х2 sin ~ — F (х) в точке хо = О не
имеет производной в смысле (3) п. 1 (хотя ее обычная производная,
очевидно, существует и равна 0).
У Казани е. Принять за Еп совокупность промежутков
(«"»	-“-К на которых F (х) возрастает,

208
ПРОИЗВОДНАЯ
[ГЛ. IV
2.	Функция х sin — не имеет ограниченного изменения на
(— 7i). Заменив ее на участках монотонности функцией типа кан¬
торовой, получить непрерывную функцию с производной, почти
всюду равной нулю и не имеющей ограниченного изменения.
оо
3.	(Малая теорема Фубини.) Дан ряд Фл (Е) неотрицатель-
п = 1
ных счетно-аддитивных функций, сходящихся на всех Е £ 31 к ко¬
нечной функции Ф (Е). Показать, что почти всюду
оо
2 D$n(x) = D$ (х).
п = 1
Указание. На множестве полной меры, где существуют все
ОФп (х) и ОФ (х), переходом к пределу из неравенства
V Ф« (ХО)] Ф[Л (х0)1
nU(x0)) i*MW)
/2 = 1
получить
оо
2 РФ„(Х)<РФ(Х).
72 = 1
Если для заданного k выбрано Nk так, что
/2=1
Nk
то ряд из функций (Е) = Ф (£) — 2	сходится на всех Е.
п= 1
На множестве полной меры сходится ряд из функций OWk (х) =
Nk	Nk
— ОФ(х)—ОФЛ (-*)• Отсюда ОФп(х) -> ОФ (х), а следова-
72 = 1	72=1
N
тельно, и ОФд (х) -> ОФ (х).
/2 = 1

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная непрерывность ин¬
теграла по множеству 115
Абсолютно непрерывная функция
множеств 170
	,ее плотность 190
		—, ее производящая
функция 181
	 точки 184
Аксиомы Стона 109
Борелевская мера 141
	.обобщенная 141
Борелевское множество 135, 141
	 	 классическое 135
	обобщенное 141
Брус 13, 54
—, его верхняя граница 55
—, его несобственная граница 55
—, его нижняя граница 55
—, его объем 13
—, его размер 13
—	непрерывности квазиобъема
64
—	существенный для квазиобъ¬
ема 64
Верхняя мера 132
Внешняя мера 132
Внутренняя мера 138
Граница бруса верхняя 55
	 	 несобственная 55
		нижняя 55
Дискретная функция множеств
171
—	— —, ее производящая функ¬
ция 187
Достаточное полукольцо 127
Замкнутое множество 135
Измеримая функция . 36, 103, 149
Измеримое множество 107, 139,
142
Интеграл Даниэля 30
—	Лебега 30, 112, 148
	в «-мерном пространстве
44
—	Лебега—Стилтьеса 70
—	незнакоположительный 152
—	по множеству ИЗ
	, его абсолютная непре¬
рывность 115
—	Римана 13
	несобственный 46
	, его соотношение с инте¬
гралом Лебега 34
—	Римана—Стилтьеса 57
—	ступенчатой функции 13
—	элементарный 23
Интегральная сумма Римана—
Стилтьеса 57
Интегрируемая функция 29
Канторово множество 21
Квазидлина 56
—, ее производящая функция 56
—	неотрицательная 61
—	непрерывная (сверху) 61
Квазиобъем 55
—, его производящая функция
56
—	незнакоположительный 93, 161
—	неотрицательный 60
—	непрерывный (сверху) 60
—	с ограниченным изменением
57, 94
	, его отрицательное
изменение 99
	 	, его полное измене¬
ние 99

210
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Квазиобъем с ограниченным из¬
менением, его положительное
изменение 99
Квазиобъемы эквивалентные 80
Класс L 29
—	L+ 26
Кольцо множеств 139
Конечно-лебеговская мера 141
Лебеговская мера 141
Лемма Дини 50
—	Фату 36
Лист 17, 55
—	непрерывности квазиобъема
64
Мера борелевская 141
	незнакоположительная 159
	обобщенная 141
—	верхняя 132
—	внешняя 132
—	внутренняя 138
—	конечно-лебеговская 141
—	лебеговская 142
—	на n-мерном брусе 134
—	на произведении множеств 115
—	незнакоположительная 158
—	нижняя 138
—	счетно-аддитивная 140
—	элементарная 140
Множество борелевское 135
	 классическое 135
	обобщенное 141
—	замкнутое 135
—	измеримое 107, 139, 142
	по Лебегу 136
—	меры нуль 17, 24
—	неизмеримое 151
—	открытое 135
—	полной меры 17, 24
		а-меры 65
—	простое 132
—	о-измеримое 135
—	а-меры нуль 64
—	суммируемое 107, 142
—	элементарное 140
Неизмеримая функция 52
Неизмеримое множество 151
Непрерывная функция множеств
170
Неравенство Гёльдера 119
Нижняя мера 138
Норма 37
Обобщенная борелевская мера
141
Обобщенное борелевское множе¬
ство 141
Объем бруса 13
Открытое множество 135
Отрицательная часть функции 23
Пересечение мер 147
Покрытие множества брусами 15
Положительная часть функции
23
Полное изменение квазиобъема
99
	 функции 101
Полукольцо множеств 124, 130
Почти всюду 18, 24
Правильно стягивающаяся по¬
следовательность 205
Произведение множеств 40
	, мера на нем 115
Простое множество 132
Пространство измеримых функ-;
ций 123
—	С(Х) 164
—	L 37
	, его полнота 38
	, линейные функционалы в
нем 177
—	Lp 117
	,линейные функционалы в
нем 178
—	линейное нормированное 37,
38
—	функций с ограниченным из¬
менением 102
	, его подпростран¬
ства 189
Равноизмеримые функции 150
Разложение Хана 165
Сеть 193
2-кольцо 141
ог-кольцо 140
(Тр.-кольцо 141
Сингулярная функция множеств
170
	—, ее производящая функ¬
ция 185

ПРЕДМЕТНЫ PI УКАЗАТЕЛЬ
211
Сингулярная функция точки 185
Система Витали 194
Спрямляемая кривая 102
Ступенчатая функция 11
	, ее интеграл 12
Суммируемая функция 29, 149
		по Лебегу — Стилтьесу 70
Суммируемое множество 107, 142
Сходимость в существенном 83,
88
—	по мере 123
Счетно-аддитивная мера 140
		функция множеств 169
		— — абсолютно непрерыв¬
ная 170
	 — дискретная 171
	, ее верхняя производ¬
ная 195
	, ее нижняя производ¬
ная 195
			, ее производная по
кольцу 206
	 сети 194
		—	системе Ви¬
тали 194
	непрерывная 170
	 	 сингулярная 170
Теорема Беппо—Леви 32
—	Бернштейна 90
—	Бохнера — Хинчина 91
—	Егорова 122
—	Жордана 101
—	Лебега о дифференцировании
202
	 почленном интегрирова¬
нии 34
—	— о разложении функции с
ограниченным изменением 188
—	Лебега — Витали 195
—	Лузина 150
—	де Посселя 200
—	Радона — Никодима 177
—	Фишера — Рисса 38
—	Фубини 40
	для функции п переменных
48
	 малая 207
—	Хана — Банаха 168
Теорема Хелли вторая 86
	 первая 83
—	Херглотца 89
Точка Лебега 204
Функционал линейный 164
Функция, ее отрицательная часть
23
—, ее положительная часть 23
—	измеримая 36, 103, 149
—, интегрируемая по Лебегу 29
—, — по Риману 46
—	Кантора 91
—	множеств 169
	,сосредоточенная на мно¬
жестве 169
	счетно-аддитивная 169
		абсолютно непре¬
рывная 170
	 дискретная 171
-- _	__ непрерывная 170
	 сингулярная 170
—	неизмеримая 52
—	производящая для квазидли¬
ны 56
—	— для квазиобъема 56
—	распределения 56
—	с ограниченным изменением
56, 100
	, ее отрицательное из¬
менение 101
	, ее полное изменение
101
—	— — —, ее положительное
изменение 101
—	скачков 187
—	ступенчатая 14
—	суммируемая 29, 149
—, — по Лебегу—Стилтьесу 70
—	элементарная 23
Элементарная мера 140
	, ее борелевское расширение
148
	, ее лебеговское расширение
146
—	функция 23
Элементарное множество 140
Элементарный интеграл 23

Георгий Евгеньевич Шилов,
Борис Лазаревич Гуревич
Интеграл, мера и производная
М., 1964 г., 212 стр. с илл.
Редактор В. В. Донченко
Техн, редактор С. Я. IIIкляр
Корректор Г. Г. Желтова
Сдано в набор 4/Ш 1964 г.	Подписано
к печати 27/VII 1964 г.	Бумага 84х108,/32.
Физ. печ. л. 6,625.	Условн. печ. л. 10,86.
Уч.-изд. л. 10,38. Тираж 12 500 экз. Т-09157.
Цена книги 72 коп. Заказ Хе 203.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой «Главполиграфпрома»
Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.