/
Текст
Ф.СПИЦЕР
ПРИНЦИПЫ
СЛУЧАЙНОГО
БЛУЖДАНИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
. „МИР"
PRINCIPLES OF
RANDOM WALK
BY
FRANK SPITZER
Professor of Mathematics
Cornell University
PRINCETON
NEW JERSEY
Toronto • New York * London
1964
Ф. СПИЦЕР
ПРИНЦИПЫ
СЛУЧАЙНОГО
БЛУЖДАНИЯ
Перевод с английского
О. В. ВИСКОВА и Е. В. ЧЕПУРИНА
Под редакцией
Э. Л. ПРЕСМАНА и Ю. В. ПРОХОРОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР“
МОСКВА
1969
УДК 519.21
Задачи случайного блуждания по целочисленной
решетке в многомерном пространстве возникают как
в прикладных, так и в теоретических вопросах: по-
строение статистических критериев, задачи массо-
вого обслуживания и многие другие.
Ф. Спицер известен в теоретико-вероятностных
кругах как крупный специалист. В его монографии
впервые делается попытка систематически изложить
результаты и постановки задач теории блужданий.
Изложение отличается четкостью и последователь-
ностью, приводятся задачи для самостоятельного ре-
шения.
Книга может служить основой для специальных
курсов на физико-математических факультетах уни-
верситетов; она поможет студентам и аспирантам в
выборе направления самостоятельных исследований
и методов решения теоретических и практических
задач.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Книга известного американского специалиста по теории ве-
роятностей Франка Спицера посвящена, по словам автора,
изучению «весьма специального класса случайных процессов,
а именно случайным блужданиям по совокупности точек с це-
лочисленными координатами обычного евклидова простран-
ства».
Такая высокая степень специализации позволяет автору ре-
шить сразу несколько трудных задач.
Дело в том, что в последнее время стала отчетливо ясна
связь теории марковских процессов с теорией потенциала. При
этом очень часто методы теории потенциала используются в
вероятностных рассуждениях и, наоборот, вероятностные мето-
ды широко применяются при решении разнообразных анали-
тических задач. Однако изложение этих вопросов часто прово-
дится на таком уровне сложности, что неподготовленный чита-
тель вряд ли может быстро войти в круг рассматриваемых
идей. Сужение класса изучаемых процессов позволяет автору
избежать многих сложных рассуждений относительно измери-
мости и непрерывности рассматриваемых функций и сравнитель-
но быстро ввести читателя в очень интересный и бурно разви-
вающийся раздел математики. Таким образом, книга может слу-
жить хорошим руководством для читателя, интересующегося во-
просами, лежащими на стыке теории вероятностей и теории по-
тенциала.
Кроме того, ограничившись рассмотрением случайных блуж-
даний по целочисленной решетке, автор сумел дать достаточно
полное и сравнительно законченное изложение вопроса и при-
вести очень сильные результаты, полученные совсем недавно.
Стоит особо отметить умелое сочетание методов гармонического
анализа с идеями и методами теории потенциала.
В книге имеется большое число интересных примеров и за-
дач, которые, с одной стороны, иллюстрируют содержание, а с
другой стороны, указывают на возможные направления даль-
нейших исследований.
Теория случайных блужданий непосредственным образом
связана с теорией суммирования независимых одинаково
распределенных случайных величин. Однако при изучении слу-
чайных блужданий возникает ряд специфических задач, таких,
как изучение различных функционалов от траектории (в одно-
мерном случае это распределение максимума последовательных
сумм, совместное распределение максимума и последней суммы,
распределение момента и величины первого перескока через за-
данную границу и т.п.). Надо отметить, что автор внес суще-
ственный вклад в разработку методов решения указанных задач.
Содержание книги хорошо отражает научные интересы ав-
тора и благодаря этому изложение дается с единой точки зре-
ния.
Однако это приводит к тому, что книга имеет довольно одно-
сторонний характер. Так, в ней не освещены вопросы, связан-
ные с управляемыми случайными блужданиями, не показана
связь дискретных и непрерывных блужданий, связь с теорией
очередей и ряд других вопросов. В книге совсем не нашли от-
ражения работы советской вероятностной школы. Мы сочли не-
целесообразным помещать какие-либо подробные комментарии
по этому поводу, ибо это противоречит единому подходу, при-
нятому автором. Кроме того, в скором времени должна появить-
ся монография А. В. Скорохода и Н. П. Слободенюка по слу-
чайным блужданиям, которая, как мы надеемся, восполнит ука-
занный пробел.
Узнав о подготовке русского издания автор любезно прислал
список опечаток, что облегчило редактирование книги. Кроме
того, при редактировании был устранен ряд неточностей, имею-
щихся в оригинале (это делалось иногда, непосредственно в
тексте, а иногда в виде примечаний редактора). Некоторые рас-
суждения казались нам не совсем очевидными; чтобы избавить
читателя от лишней затраты времени на проверку этих рассуж-
дений, в соответствующих местах помещались примечания.
Э. Л. Пресман, Ю. В. Прохоров
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга посвящена весьма специальному классу случай-
ных процессов — случайным блужданиям на совокупности точек
с целочисленными координатами обычного евклидова простран-
ства. Несмотря на то что класс этот столь специален, я считаю
его достаточно важным, ибо теория такого рода случайных
блужданий гораздо законченнее, чем для любого более широкого
класса цепей Маркова. Случайное блуждание занимает такое
привилегированное положение главным образом в силу тонкого
взаимодействия методов гармонического анализа, с одной сто-
роны, и методов теории потенциала — с другой. Уместность
применения гармонического анализа при построении теории
случайных блужданий вытекает, конечно, из инвариантности
переходных вероятностей относительно преобразований в ад-
дитивной группе, образующей пространство состояний. Именно
по этим причинам еще недавно в исследованиях по теории слу-
чайных блужданий преобладал анализ характеристических
функций (преобразований Фурье переходных вероятностей). Од-
нако если бы основной темой этой книги был гармонический
анализ, то было бы нелогично ограничиваться рассмотрением
случайного блуждания на целочисленной решетке (а не на со-
вокупности всех действительных чисел или на каких-либо дру-
гих абелевых группах) — использование этой наиболее простой
модели диктовалось необходимостью продемонстрировать в
замкнутой элементарной форме связь гармонического анализа
со многими современными результатами теории потенциала.
В настоящее время в научной литературе всесторонне ис-
следуется теория потенциала, связанная с теорией марковских
процессов. Однако очень часто это делается на столь высоком
уровне сложности и в настолько общей ситуации, что новичку
трудно войти в круг идей взаимосвязи теории потенциала и
марковских процессов. Теория потенциала в основном связана
с вероятностными законами, определяющими положение и мо-
мент первого достижения марковским процессом заданного
множества из пространства состояний этого процесса. Эти ве-
роятности удовлетворяют уравнениям, полностью аналогичным
уравнениям классической теории потенциала. Существует мар-
ковский процесс — броуновское движение, теория потенциала
которого в точности совпадает с классической. В то время как
изучение вероятностей поглощения даже для броуновского дви-
жения требует привлечения тонких методов теории меры и то-
пологии, эти трудности не возникают при изучении случайного
блуждания. Для произвольных подмножеств пространства, со-
стоящего из точек с целочисленными координатами, время и
место поглощения автоматически являются измеримыми вели-
чинами. Дифференциальные уравнения, с которыми мы сталки-
ваемся при изучении броуновского движения, для случайного
блуждания сводятся к разностным уравнениям. В этом смысле
изучение случайного блуждания приводит к знакомству с тео-
рией потенциала в весьма простой ситуации.
Можно спросить: естественно ли на настоящем этапе раз-
вития теории вероятностей придавать столь большое значение
теории потенциала? Исходя из двух различных посылок, я по-
пытаюсь дать краткий и утвердительный ответ на поставленный
вопрос.
а) После изучения вероятностных законов, описывающих
поведение марковских процессов в фиксированные (не случай-
ные) моменты времени, обычно вводят понятие момента оста-
новки (см. определение 3 § 3). Под моментом остановки Т
понимается случайная величина, для которой событие Т>/ за-
висит только от поведения процесса до момента /. Далее мы
рассмотрим новый процесс, который в точности совпадает с ис-
ходным процессом, остановленным в момент Т. Однако, к со-
жалению, много сказать об этом остановленном процессе нель-
зя, за исключением того случая, когда он является марковским
с переходными вероятностями, инвариантными относительно
сдвига по времени. Таким образом, мы невольно приходим к
вопросу: для каких моментов остановки остановленный процесс
является процессом такого простого типа? Этот вопрос приво-
дит непосредственно к теории потенциала, так как легко видеть*
что остановленный процесс является марковским со стационар-
ными переходными вероятностями тогда и только тогда, когда
момент остановки является случайной величиной следующего
типа: Т равно моменту первого достижения процессом некото-
рого фиксированного подмножества пространства состояний
этого процесса.
б) Классическая теория ньютонова потенциала концентри-
руется вокруг функции Грина (ядра потенциала) G(x, у) = \х—
—у\~\ причем это ядро в теории логарифмического потенциала,
(т. е. потенциала на плоскости) заменяется на А(х, у) =
= In— у\. Как мы увидим, оба эти ядра имеют аналоги в тео-
рии случайного блуждания. Для невозвратного случайного
блуждания G(x, у) соответствует среднему числу попаданий в
точку у блуждания, исходящего из точки х. Для возвратного
случайного блуждания существует такое ядро А(х, у), что ве-
личина А(х, 0) + А (0, у)—А(х, у) равна среднему числу посе-
щений точки у до первого попадания в точку 0 случайным
блужданием, исходящим из точки х. Как мы увидим в дальней-
шем, основным в теории потенциала случайного блуждания
можно без излишнего упрощения считать исследование суще-
ствования, единственности и других основных свойств этих ядер,
таких, как, например, их асимптотическое поведение. Отсюда
возникает естественный вопрос: как много можно узнать о слу-
чайном блуждании, зная его ядро потенциала? Оказывается, что
в принцие все. Мы обнаружим (см. задачу 13 гл. VI и задачу 8
гл. VII), что так же, как характеристическая функция (преоб-
разование Фурье переходной функции) единственным образом
определяет переходную функцию, а следовательно, и случайное
блуждание, точно так же и ядро потенциала полностью опреде-
ляет случайное блуждание.
Я затрудняюсь назвать «предпосылки» успешного усвоения
этой книги, однако полагаю, что у читателя, имеющего интере-
сы и сколь-либо основательные знания, скажем, в двух или трех
из перечисленных ниже разделов анализа, не возникнет техни-
ческих трудностей. Этими разделами являются теория вероят-
ностей, теория функций действительного переменного и теория л
меры, теория аналитических функций, гармонический анализ,
теория дифференциальных и интегральных операторов. В тоже
время я сознаю, что должна иметься менее реальная предпосыл-
ка — наличие у читателя терпения, без которого нельзя одолеть
книгу столь большого, к сожалению, объема. Большинство ре-
зультатов, помещенных в этой книге, было получено в самое
последнее время, поэтому казалось, что многие примеры и обоб-
щения излагаемой теории достаточно актуальны и заслуживают
включения. В книге около 100 страниц занимают примеры и за-
дачи. Одни из них предназначены для пояснений и иллюстра-
ции излагаемого материала. Другие обязаны своим включени-
ем неясному ощущению, что в некотором направлении можно ид-
ти дальше или глубже. Помещенная в книге схема взаимозави-
симости параграфов может подсказать путь наименьшего сопро-
тивления для овладения некоторыми из наиболее конкретных и
интуитивно ясных разделов теории, такими, как простое слу-
чайное блуждание на плоскости (§ 15), задача о поглощении на
полупрямой, часто называемая еще теорией флуктуации (гл. IV),
задача о поглощении вне интервала (гл. V) и простое случайное
блуждание в трехмерном пространстве (§ 26).
Так как большая часть моей деятельности как математика в
той или иной форме нашла свое отражение в этой книге, то
у меня есть все основания поблагодарить тех из моих учите-
лей— Дональда Дарлинга, .Вильяма Феллера и Самюэля Кар-
лина,— которые ввели меня в теорию случайных процессов. Я счи-
таю себя обязанным поблагодарить также Дж. Л. Дуба за идею
написать книгу по теории случайного блуждания и Националь-
ный научный фонд, предоставивший мне возможность провести
1960/61 г. в Принстоне. Именно там мой замысел стал обретать
конкретные формы под стимулирующим влиянием В. Феллера,
Дж. Ханта и Д. Рея. Осенью 1961 г. многое из материала книги
было доложено на семинаре в Корнельском университете, и я
чувствую себя в большом долгу перед коллегами за плодотвор-
ные дискуссии. Особенно удачным было то, что некоторые не-
решенные проблемы вызвали интерес Г. Кестена, поэтому стало
возможным включить часть результатов его последующей ра-
боты. Таким образом книга получила «хеппи энд» в виде тео-
ремы 32.1 из последнего параграфа. (На самом деле, как это
объяснено на нескольких, последних страницах гл. VII, утверж-
дение теоремы 32.1 не является конечным результатом. Весьма
примечательно то, что можно пойти еще дальше, опираясь на
одно из наиболее глубоких изобретений П. Леви, а именно тео-
рию функций концентрации, изложенную в его книге: Р. Levy
«Theorie de 1’addition des variables aleatoires», 1937, которая
явилась первой современной книгой, посвященной исследованию
случайных блужданий.)
И наконец, мне доставляет удовольствие поблагодарить всех
тех, кто сделал замечания к рукописи. В частности, я благода-
рю Дж. Л. Дуба, Г. Кестена, П. Шмидта, Д. Минека и У. Уит-
мана, указавших большое число серьезных ошибок, а также
мою жену, которая помогала мне в сверке и правке коррек-
туры.
СХЕМА ВЗАИМОЗАВИСИМОСТИ ПАРАГРАФОВ
1
1
2
I
3
I
4
I
5-
>6
I
7
I
8
21
11
23
10-
I
11
I
12
I
13
I
14
I
15
I
16
17
•18
I
24
I
25
I
26
19
20
-32-
>28
I
29
I
-30
>27
>31
9
ГЛАВА I
КЛАССИФИКАЦИЯ
СЛУЧАЙНЫХ
БЛУЖДАНИЙ
§ 1. Введение
Проще всего случайное блуждание определить чисто анали-
тически. Формально это определение не связано с идеями тео-
рии вероятностей, однако именно этими идеями мотивируется
само определение случайного блуждания. Другими словами, ве-
роятностные идеи с самого начала будут присутствовать в пред-
посылках теории. Тем не менее представляет определенный
интерес проследить, как далеко можно пойти, не вводя формаль- z
ный и громоздкий аппарат являющийся матема- '
тическим языком теории ве'роятносте^Поэтом^ мы обратимся
к теории меры (§ 3) лишь тогда, когда столкнемся с задачами
настолько сложными, что они звучали бы надуманно, если их
сформулировать чисто аналитически, т. е. как задачи, касаю-
щиеся переходной функции, к определению которой мы теперь
переходим.
Всюду символом R будем обозначать пространство d-мер-
ных векторов с целочисленными координатами, т. е. множество
упорядоченных наборов х= (х1, х2, ..., xd), где х1— целое,
1 = 1, 2, ..., d., После того как мы определим, что надо пони-
мать под случайным блужданием, будет естественно назвать
R пространством состояний случайного блуждания.
Поставим в соответствие каждой паре точек х и у из R дей-
ствительное число Р(х, у) и получившуюся таким образом
функцию Р(х, у) назовем переходной случайного
блуждания, если ондудовлетдоря^угловиая™.
у-х), (1')
\ 2р(о,х) = 1, (1")
где у—х есть точка из R с координатами у1—х\ i=l, 2, ..., d.
Возможно, что наиболее ограничительным из этих требований
является свойство (lz) —свойство пространственной однородно-
сти. Из этого свойства вытекает, что переходнаяПфункция опре-
деляется в действительности функцией одного переменного
р(х) =Р(0, х), обладающей свойствами
оср(х). 2рй = 1.
Иначе говоря, выбор переходной функции эквивалентен зада-
нию на /? вероятностной меры, т. е. неотрицательной функции
р(х), сумма значений которой по всем точкам из R равна еди-
нице.
На этом все заканчивается, но не в том смысле, что в даль-
нейших определениях нет необходимости (такая необходимость
имеется), а в том, что все дальнейшие определения будут даны
в терминах переходной функции Р(х, у). Образно говоря, пере-
ходная функция Р(х, у) и есть случайное блуждание. А строго
говоря, случайным блужданием называется функция Р(х, у),
определенная для всех пар х и у точек пространства R и обла-
дающая свойствами (1') ц (1"). Случайное блуждание называ-
ется d-мерным, если размерность пространства R равна d1)-
Пример 1. Особо важный класс случайных блужданий со-
ставляют так называемые простые случайные блуждания. Пусть
R имеет размерность d. Обозначим через
|х| =
’ d
2 (х?
i = l
евклидово расстояние от точки х до начала координат. Говорят,
что переходная функция Р(х, у) определяет d-мерное простое
случайное блуждание, если.
1
Р(0, х) =
2d
При |х|“1,
при |х|=/=1.
О
В случае Й=1 большой интерес представляет класс блуж-
даний несколько более широкий, чем простое случайное блуж-
' । дание. Если
V Р(0Г1)^7, Р(0,—1)=7, р>0, р + <?=1,
назовем Р(х, у) пЪУе”ходной функцией бернуллиевского случай-
ного блуждания. TiiTTair Р(0,~х) Соответствует нашему интуи-
тивному понятию вероятности перехода «за один шаг» из 0 в
х, то естественно через Рп(0, х) обозначить вероятность перехо-
да из 0 в х за и шагов (вероятность того, что «частица», сделав
9 Этим определением мы будем пользоваться в первых двух парагра-
фах. В § 3 будет дано более сложное определение (определение 3.2).
п перемещений, определяемых переходной функцией Р(х, у),
попадает из точки. О в точку х). (
Предположим, что х и п оба четные или оба нечетные и
что (в противном случае Рп(0, х)=0). Тогда Рп(0, х)
равно вероятности получить (х+п)/2 успехов в последователь-
ности п (независимых) испытаний Бернулли с вероятностью
успеха р (q — вероятность неудачи). Эти соображения наводят
на мысль, что ддя произвольного блуждания мы должны опре-
делить Рп (0, Х)так7^чт‘обы ~для~ бернуллйёвского случайного
блуждания"получить '
Р»(0, x) = p^^((n + x)/2] , (1)
если сумма п+х четна, a jx|^n, и Рп(0, х)=0 в противном
случае. Не составляет труда убедиться, что этот результат как
раз и вытекает из определения 1, приводимого ниже, согласно
которому
Рп (0, х) = S S ... 2 Р (0, %1) Р (х1( х2). Р (х^, х). (2)
Действительно, введем производящую функцию f (z) —
= 2 Р (0. к) zx, где z — отличное от нуля комплексное число;
x^R
для бернуллиевского случайного блуждания получим
f(z) = pz + ^, z =/= 0.
Но из равенства (2) вытекает, что Рп(0, х) является коэффи-
циентом при z\ в ряде Лорана для [f(z)]n. В этом частном слу-^.
чае легко проверить, используя теорему о разложении бинома,(J
что этот коэффициент выражается формулой (1). Аналогично •
можно свести сформулированное ниже предложение 1 к утвер-
ждению о том, что коэффициенты в ряде Лорана для [f(z)]n+,re
являются сверткой соответствующих коэффициентов для [f(z)]n
и для [f(z)]m. -
Определение 1. Для любых х, у из R положим Ро(х,у) =
= д(х, у), где
f 1, если х — у,
6(х, у) = { ’ ,
3 [0, если х^=у.
*) Символом где b — натуральное, а а — произвольное действи-
тельное число, обозначаются коэффициенты разложения бинома (1+/)“ в ряд
по степеням I. При этом . — Прим. ред.
Далее
Р\ (х, у) = Р (х, у), Рп (х, у)=%Р (х, Xi) Р (Xj, х^ ... Р (x„_lt у),
' ' га >2,
причем суммирование в последнем равенстве происходит по все-
возможным наборам х1г х2.....xn-i точек из R.
Непосредственно из определения 1 получаем
Предложение 1. Для любых х и у из R
'Рп+m (х, у)=2 Рп (х, t) Pm (t, у) для п^О, т^О,
t^R
5 Рп(х, у)= 1, рп{х, у) = Рп{0, у-х) для п>0.
y^R
Доказательство. Наиболее естественный путь доказательства
состоит в том, что определение 1 можно интерпретировать как
определение умножения матриц1)- Переходная функция Р(х, y)t
разумеется, является бесконечной матрицей2), но это не су-
щественно, ибо сумма, фигурирующая в определении 1, абсо-
лютно сходится. Первое утверждение предложения 1 легко по-
лучить также, если расписать Рт+п(х, у), согласно определе-
нию 1, в виде
Рт+п(х, у)= 2 Р(х, Х!)Р(Х1, х2) ... Р(хт+п^, у).
Правая часть последнего равенства сходится абсолютно, поэтому
можно произвести суммирование по всем переменным, кроме хп.
Применив затем снова определение 1 и заменив переменную
суммирования хп на /, получим первое равенство предложе-
ния 1. Проверку случая т = 0 или п = 0, в котором предыдущее
рассуждение не совсем корректно; предоставляем читателю.
Два последних утверждения предложения 1 (которые, между
прочим, показывают, что Рп (*, у) есть снова переходная функ-
ция некоторого случайного блуждания) также легко доказать.
Для этого достаточно выполнить указанное суммирование (по.
’) Так как точки из R упорядочены, то каждой функции Р(х, у) двух
дискретных переменных х и у можно сопоставить бесконечную матрицу, у
которой на пересечении Z-й строки и /-го столбца стоит число Р(х/,х<?).
В этом смысле можно говорить о Р(х,у) как о матрице. —Прим, перев.
2) Функцию Р(х,у) можно рассматривать как некоторый оператор Р в
пространстве ограниченных функций, заданных на Р, преобразующий функ-
ции согласно формуле Pf = 2 ? (*» У) f (У)* $ дальнейшем автор называет Р
y^R
переходным оператором. Прим, pedt
у) или произвести сдвиг на —х в правой части последнего ра-
венства определения 1.
Вероятностная интерпретация Рп (х, у) очевидна. Это вероят- .
ность того, что «частица», совершающая. блужданиелЗлаходя---
таяся Bjro4Kg х в момент в'ремени ^'и'ЗудётТ момент времени..,
t=n находиться в точке у. Следующее" ЪпреДёЛйщё''касается
функции того* же типа —Вероятности того, что «частица», нахрД
дясь в момент времени /==0 в точке х, впервые попадех.в..дочку
у в момент временй'Т=^г.'Обдзн~ачим эту' функцию чёрез^Еп J
в отличие от Рп(х, у) она не является переходной функцией.
В приведенном ниже определении 2 символ {у} обозначает под-
множество пространства R, состоящее из одного элемента у, а
символ R—{у} обозначает дополнение к {у}. '
Определение 2. Для всех х, y^R F0(x, у) = 0, F\(x, у) =
= Р{х,у),
Fn(x, у) = 2 Р(х, xOPUj, х2) ... у), п^2.
е ₽-(</}
i-=l, 2, .... n-1
Перечислим наиболее важные свойства функции Fn(x, у).
Предложение 2. При n> 1 и произвольных х и у из R
(a) Fn(x, y) = Fn(0, у — х),
(б) %Fk(x,y)<l,
fe=l
(в) Рп (х, y)=^iFk (х, у) Pn.k (у, у).
fe=l
Доказательство. Справедливость формулы (а) немедленно
следует из определения 2, если только воспользоваться простран-
ственной однородностью случайного блуждания. Доказательство
неравенства (б) значительно тоньше. С вероятностной точки
зрения неравенство (б) «очевидно», ибо левая часть в (б) есть ве-
роятность того, что первое попадание частицы в точку у прои-
зойдет не позже момента п, при условии, что начальной точкой
блуждания является точка х. К счастью, нетрудно построить
элементарное доказательство, опирающееся на эту идею. (Скеп-
тически настроенный читатель заметит, что мы в действительно-
сти собираемся ввести понятие меры, однако эта мера очень
простого вида, ибо пространство элементарных событий счетно.)
Определим множество «элементарных событий» как сово-
купность последовательностей со вида со={хо, -vb ..., хп_ь хп}, где
хо = х, а %1, х2, .х,п могут принимать произвольные значения
2 Зак. 137?
из 7?. Так как R счетно, это множество последовательностей, ко-
торое мы обозначим через Qn, также счетно. С каждым со из Qn
свяжем меру р(со), которая вычисляется по формуле
р(а) = Р(х, Xj)P(xi, х2) ... Р (%„_!, х„).
Из определения 1 и предложения 1 следует, что
2 р(<й) = рп(х, у), 2гр(®) = 2 Л»(х, «/) =
[<э| аейя, хп=у\
С другой стороны, если
Л* = [<о|coе= Q„, Xj #= у, х2=/=у, ..., Ху-г^у, xft = z/j,
то множества Ak являются непересекающимися подмножествами •
в Qn, поэтому, согласно определению 2, имеем
Fk (х, у)= 2 Р (®), 1 < k С п.
Так как множества Ак не пересекаются, то ;
S Fk(x, z/X 2 /?(<»)= 1. !
k=1
Равенство (в) можно доказать аналогично, но мы докажем
его сейчас методом математической индукции. Предположим,
что (в) верно для п=/. Тогда, используя предложение 1, полу* ’
чаем
Ру+1 (х, у) = 3 Р о Pj (t, у)=> 2 Р (Х? /) 2 Fk (t, у) Pj.k {у, у).
J t^R t^R k=\ j
Из определения 2 следует, что i
2Р(х, t)Fk(t, у) — 3 Р(х, t)Fk(t, y) + P(x, y)Fk(y, у)== '
t^R t(==R-{y}
= Ft+1(x, у) + Р(х, y)Fk(y, у).
• Вновь используя предположение индукции, получаем
/ .
Pj+l(x, У) = 2jP*+l(x, y)Pj-k(y, у) +
i
+ S p (x. У) Fk (y, y) Pj-k (y, y) =
Л=1
/+1
= ^iFm(x, y)Pj+1-m(y> y) + Fi(x, y)Pj(y, y) =
m=2 i
/+1
= Pm (-^> У) Pj+l-m У) • i
m=l
Этим заканчивается доказательство предложения 1, ибо равен-
ство (в) справедливо при п=1.
В сформулированном ниже определении 3 мы вводим функ-
дию Gn (х, #), Л£отеетсгв}пощ^
^частицы в точку у за время п^если х— начальная точка блуж-
juhihh, -(Позднее. когда будут изложены основные понятия тео-
рии вероятностей, мы убедимся, что эта функция действительно
является математическим ожиданием,'’хотя формально она опре-
делена как сумма вербЯтнбстёй.) Затем, в предложении 3, мы
докажем одно утверждение, позволяющее сравнить Gn(x, у)
с ожидаемым числом попаданий в исходную точку блуждания.
Определение 3.
Gn(x, у) = 2 Рц(х, у), n = 0, 1, ...; x,y(=R.
Предложение 3.
Grt(x, y)^Grt(0, 0) для и всех х, у из R.
Доказательство. Поскольку, согласно предложению 1,
Gn(x, z/)=Gn(x— у, 0), достаточно доказать предложение 3 для
случая, когда у — 0 и х=#0. Используя равенство (в) предложе-
ния 2, имеем
п п k
Gn(x, 0)=Sp*(x, 0) = S 2^-Дх, 0)РД0, 0).
k=\ fc=l /=,0
Меняя порядок суммирования, получаем
П П~1
Gn(x, 0)=2р7(0, 0)2^(х, 0).
7=0 7=0
И наконец в силу справедливости неравенства (б) предложения
2 заключаем, что
п
Gn(x, 0Х2РД0, 0) = Gn(0, 0).
/=0
Теперь мы в состоянии произвести наиболее важную клас-
сификацию случаййых блужданий, согласно которой каждое
елунайное- блуждание либо возвратно 1), ^либо
9 В общей теории цепей Маркова возможен случай, когда для неко-
торых (но не для всех) точек пространства состояний вероятность возвраще-
ния в исходную точку блуждания равна единице. Такие точки называются
возвратными, а точки, вероятность возвращения в которые меньше единицы,
невозвратными (см. [86, т. 1, стр. 380] и [98, стр. 38]). Так как всякое слу-
чайное блуждание обладает тем свойством, что все его состояния одновре-
менно возвратны или одновременно невозвратны, мы применяем эти опреде-
ления непосредственно к случайным блужданиям, а не к состояниям.
п
Основная идея состоит в следующем. Сумма У Fk (0, 0) есть
—------------------------------------------7е=0--- --
вероятность возвращения случайного блуждания в исходную
точку-ga в^ёмяХменьщее или равнбе^ПП<531еОаТЕШ10С1Е~ЭТй’х
сумм е ростом п не убыва^тГТюгласно предложению 2, все
суммы ограничены единицей. Следовательно, они имеют предел,
который мы обозначим через F, причем F Поэтому есте-
ственно назвать -случайное блуждание возвратным, если Р = 1,.
...
Оказывается, что существует другая, эквивалентная, класси-
фикация случайных блужданий, опирающаяся на значение числа
G — предела монотонной последовательности Gn (0,0). Число G
может быть конечным или бесконечным (в последнем случае
будем писать G= + oo). Мы покажем (в предложении 4), что
G< + oo, есди FCA и G = +po, если Р=1,_.
Но сначала, ради упрощения записи, дадим еще два опреде-
ления.
Определение 4.
ОО
G (х, у)=^Рп(х, г/Х°°;
G„(0, 0)=G„, G (0, 0) = G,
F(x, z/)= 2 Pn{x, #X 1,
n==l
Fn(0, 0) = 4 F(0, 0) = F.
Определение 5. Случайное блуждание, определяемое переход-
ной функцией Р, называется возвратным, если F==l, и невоз-
вратным, если F<1.
Предложение 4. G = l/(1—F), при этом мы считаем, чта
G= + oo, если F=l, и F=l, если G= + oo.
Доказательство. Было бы естественно применить метод про*
изводящих функций к уравнению свертки
Рп(0, 0) = 1/WW0, 0),
/г==0
1,
(О
которое непосредственно следует из равенства (в) предложения
•2 и обозначений, введенных в определении 4. Однако предложе-
ние 4 можно доказать и непосредственно. Суммируя равенства
(1) по п=1, 2, ш и прибавляя /%(0, 0)=1 к обеим частям»
получаем
m
Gra=2PftGm_A+l, /п>1. ' (2)
’£=0
При m->oo имеем
r mN
G = 1 + lim +
m~>°o k—Q k=Q
для любого целого N, поэтому
G>1 + GF.
Это доказывает, между прочим, что G= + oo, если F=l, ибо не-
равенство G^> 1 + G не имеет конечного решения.
С другой стороны, из равенства (2) получаем
1 = Gm - 5 GkFm-k >Gm-Gm^ Fm.k > Gm (1 - F), (3>
fe=0 ЬО
так что 1>G(1—F), откуда следует, что G<oo, если F<1.
Тем самым завершается доказательство равенства G(1—Р) = 1„
а следовательно, и предложения 4.
Пример 2. Рассмотрим бернуллиевское случайное блужда-
ние, для которого Р(0, 1) =р, Р(0, —1) =q. Простой подсчет (см. \
пример 1) показывает, что Рп(0, 0) = 0 для нечетных п и
Р2п (0, 0) = (pq)n ( 2nrt ) = (- If (4pq)n ( . (1) ,
Поскольку р и q не произвольны, а связаны соотношением
0-Ср=1 — q, то 4рд-С1. Используя известную формулу разло-
жения бинома, получим для бернуллиевского блуждания про-
изводящую функцию величин Р2п(0, 0):
S ^(0, 0) = (1-4р^Г'/2. (2>|
Этот ряд сходится для всех комплексных t из единичного круга
Пусть t стремится к 1, принимая действительные значе-
ния меньшие единицы (эту сходимость мы будем обозначать
?/*!). Очевидно, что
lim SAP2„(0, 0)=24(0, 0)=2р„(0, 0) = G<oo. (3>-
//И п=0 п=0 п—0
Из равенства (2), учитывая соотношение (3), получаем, что
(1 — 4р(/)~'/2< оо, если р #= q,
G = 1 1 (4>
+ оо, если p — q — -^. ' г
В силу предложения 4 можно сказать, что одномерное бернул-
лиевское случайное блуждание возвратно тогда и только тогда,..
.когда p = q=\/2, т. е. только простое случайное блуждание яв<
^ляется возвратным бернуллиевским блужданием,^
ТТолтГОТы ради повторим вышеприведенные рассуждения для
F вместо G. Положим х=у=0 в равенстве (в) предложения 2,
получим
Рп (о, 0) = 2 Pn-k (о, 0) Fk (0, 0) для n > 1,
k=0
РИЛИ
п
Рп (0, 0) = 2 Pn-k (0, 0) Fk (0, 0) + d (n, 0) для n > 0.
fe=0
’Отсюда получаем
ОО ОО ОО
2^(0, 0)=2/"Рп(0, 0) 2*"F„(0, 0)4-1, 0</<1.
п=0 п=0 п=1
-Заменив / на У"/, из равенства (2) выводим
ОО
2 tnF2n (о, о) = 1 - /i-w,
п=0
о< t < 1,
(5)
и снова получаем, что
F = Пт 2 tnF2n (0, 0) = 1 - /1-4р<7 = 1
//1 /2 = 1
тогда и только тогда, когда 4pq=l, что выполняется лишь при
.р = <7=1/2.
”**** В несимметричном случае (т. е. когда p=hq)> как мы знаем
-из предложения 3, G(0, x)4^G(0, 0)=G<oo для всех х из R.
Положим для ошэеде^н^ постараемся вычислить
решим пазнос.типп ирама
ире, которому удовлетворяет функция G(0, х). Из предложения
.1 получаем /
Рп+1(0, х) = 2Р(0, y)Pn(y, x) = pPn(l, x) + qP„(-\, х) =
y^R
= рРп(0, x-l) + qPn(0, х + 1)
^для всех п^0 и всех х из R. Суммирование по п^0 дает
G(0, х) — д(х, 0) = pG(0, х — 1) + </G(0, х + 1), x<=R. (6)
Уравнение (6) нетрудно решить. Соответствующее однородное^
разностное уравнение
f(x) = pf-(x-l) + <jf(x+l)
имеет решение
f (х) = Ar* + Вг*, (7>
где r^ — plq и г2=1 являются корнями квадратного уравнения
qt2—t + p — O. Остается найти «иястцое^ решение ф(х) неодно-
родного уравнения
ф(х) —д(х, 0) = рф (х — 1) + рф(х + 1). (8)
Положим ф(0)=ф(1)=0. Тогда функция ф(х) имеет в един-
ственное продолжение, удовлетворяющее уравнению (8). Вычис-
ляя последовательно значения ф(х), нетрудно показать, что
ф(х) = 0 для х>0, ф(х) = (р — q)~ I-tJ —1 для х<0. (9)>
L \ Ч / -I
Из элементарной теории разностных уравнений известно, что-
6(0, х),является суммой функций (7) и (9), т. е. что
0(0, х) = ф(х) +Л (-£)* + В. . (10>
Заметим теперь, что функция ф(х) в (9) ограничена (мы пред-
положили, что p>q)- Согласно предложению 3, 6(0, х)-С
'<6(0, 0) = 6<оо и поэтому Л=0. Таким образом, остается
только вычислить постоянную В. Для этого заметим, что равен-
ство (4) можно переписать в виде
6(0,^0) = (1-4р<7)-'/г = гЬ-.
Из соотношений (9) и (10) делаем вывод, что В=(р — q)-1. Та*
ким образом, мы доказали, что для бернуллйевского случайного-
блуждания с p>q
(р — q)~l для х>0,
6(0, х) =
(р - q)~' (-£-)* для х<0.
(11>
Еще одним результатом, который легко доказать элементар-
ными методами настоящего параграфа, является «слабая» эрго-
дическая теорема для отношений («сильный» вариант этой тео-
ремы будет доказан в теореме 5.1 (теорема 1 из § 5) ).
Предложение б. При хфу для любого случайного блуждания*
A™ GH0.’ 0) ==F^X>
Замечание. Хотя в формулировке предложения 5 не делается
различия между возвратными и невозвратными случайными
блужданиями, тем не менее такое различие возникает при дока-
зательстве. Утверждение предложения 5 верно в обоих случаях,
но совсем по разным причинам! В частности, очевидно, что для
возвратного блуждания утверждение предложения 5 остается
справедливым и для х = у, а для невозвратного блуждания со-
ответствующее утверждение при х=у неверно.
Доказательство. Заметим сначала, что предложение 5 доста-
точно доказать для у = 0. Используя определение 3 и равенство
(в) предложения 2, получим
Gn(x, 0) = d(x, 0)+ ±Рк(х, 0) =
/г=1
= д (х, 0) + 2 Pj (0, 0) 21 Fk (х, 0),
7=0 fc=l
так что
п n—j
°) 2 о)
Gn (х, 0) ‘ д (х, 0) /=о £=о _______
Gn (0, 0) “ « Л
2^(о, °) 2рн°’°)
хе R.
В случае невозвратного блужданйя знаменатель имеет конечный
предел, поэтому приходим к равенству .
lim
П->оо
Gn (х, 0).
G„ (0, 0)
^-^- + F(x, 0)
для всех х из R. В частности, при х=#0 предел равен F (х, 0).
Чтобы доказать предложение 5 для возвратного блуждания,
положим
ап = 2 Fk (х, 0), Ьп = Рп (б, 0), п > 0.
k=0
Задача состоит в том, чтобы установить равенство
lim
п->оо
п
bjCin-j
п
2**
k-0
lim an = F (x, 0).
ra->oo
Для любого натурального N имеем
п n—N п п
^bjan4 2 J (an-j ““ С1) 2 bjCLn—j 2
_ 7=0_____________I l^n-N+l________j=n-N+l
n . a n ’ n a n
^ьк ^bk s bti 2&*
k=0 k=0 k=0 *=0
Это разложение справедливо при всех n>N и для любого дей-
ствительного а. Положим a=F(x, 0). Поскольку {£>«} — ограни-
ченная последовательность и ряд ^Ьп расходится, ясно, что по-
следние два члена разложения для любого фиксированного М
стремятся к нулю при и—<-оо. Мы можем теперь выбрать N=
= М(е) так, что \ап — а|<е, когда ti>N. Тогда
lim
П->оо
П
2 bjO-n-j
/=о
п
2^
Aj=O
F(x, 0)
Так как е — произвольное положительное число, то доказатель-
ство предложения 5 закончено.
Пример 3. Применим теперь предложение 5 к бернуллиев-
скому случайному блужданию. Для случая p>q предложение
5 утверждает, что F(0, х) = 1 для любого х>0, поскольку
Г(0, х) =
Q (0, х)
G (0, 0) ’
а, согласно результату примера 2, для любого х>0 имеем
G(0, х) = (р—9)”1. Поскольку F (0, х) является вероятностью
того, что первое попадание «частицы» в точку х произойдет в
некоторый конечный момент времени (т. е. что вообще про-
изойдет попадание в точку х), не удивительно, что F(0, х) = 1 у
для всех положительных х, если p>q. В этом случае следует, f
естественно, ожидать также, что F(0, х)<1, когда х<1. При- \
мер 2 вместе с предложением 5 показывает, что в действитель- у
ности функция F(0, х) стремится к нулю при х->—оо со ско- I
ростью геометрической прогрессии, а именно )
F(0, х) = (-^) при х<0.
, В заключение рассмотрим простое случайное блуждание с
p = Согласно предложению 5,
Л™ °) (0’
для любого х. Остается еще подсчитать предельную функцию
jF(O, х). Мы знаем лишь, что F(0, 0) = 1, однако было бы весь-
ма удивительно, если бы нашлась точка х0, для которой
^(0, х0)< 1.
В самом деле, тождество F(0, х) = 1 можно наглядно объ-
яснить следующим образом. Возвращение в начало координат
достоверно (ибо F(0,0)=1). Но попадание в точку хо перед
первым возвращением в точку 0, разумеется, возможно, и, дей-
ствительно, это событие- имеет вероятность р (хо)^2",Хо1. Но
раз «частица», достигла точки х0, вероятность того, что она ког-
да-нибудь вернется в точку 0, равна F(xQi 0)=Е(0,—х0), и в
силу симметрии F(0,—хо)=Е(О, х0). Следовательно, мы «пока-
зали», что
l=F(0, O)<l-p(xo) + p(xo)F(O, xo)=l-p(xo)[l-F(O, x0)L
откуда следует, что F(0, х0) = 1.
Единственное затруднение состоит в том, что мы использо-
вали некоторые интуитивно правдоподобные свойства вероят-
ностной меры, индуцируемой переходной функцией Р(х, у), в
то время как метод, которым эта вероятностная мера опреде-
ляется, мы еще не описали. В частности, мы использовали тот
факт, что если р(х0) —вероятность попасть в точку х0 до пер-
вого возвращения в точку 0, то вероятность попасть в точку х0
раньше, чем в точку 0, а затем попасть в точку 0, равна
1р(хо)/7(хо, 0). Это соотношение, выражающее свойство незави-
симости, должно быть следствием любого разумного определе-
ния вероятностной меры, при котором Рп(*, У) сохраняет оче-
видный смысл переходной вероятности за п шагов, но доказа-
тельство этого факта придется отложить до § 3.
Интересно выяснить, можно ли аналитически доказать, что
J(0, х) = 1, если p^q. Мы предлагаем три различных способа
доказательства.
(а) Из формулы Стирлинга
и! ~ Y2ппе~ппп
(здесь и в дальнейшем ап~Ьп обозначает, что ап!Ьп-+\ при
п->оо) получаем
Р2п(0, 0) = (-1)п("^)~(лп)А
Столь же просто показать, что
Р2п (0, х) ~ (лп)"1/2, когда х —целое четное число,
Р2п+1(0» х)~(шг)“1/2, когда х —целое нечетное число.
Суммируя по п, получаем, что для любого х
ом 4«.
/г=1
так что I
F,n-
(б) Более тщательное изучение переходной функции Рп(х,У)'
'(например, методами гармонического анализа гл. II) показы-
вает, что можно обойтись без формулы Стирлинга и доказать»
более сильный результат, а именно
5 [Р„(0, 0) —Р„(0, x)] = lim[G„(0, 0)-G„(0, x)J = | х |.
П = 0 П“>оо
Отсюда с очевидностью следует, что
(в) Согласно предложению 3,
Л Од (0> *) М 1
и^Сл(0, О)^1-
Далее, из предложения 1 и определения 3 следует, что
£р(х, бйЬ) [G"(x’ z/) + pn+i^z/)-6(x, z/)].
Пусть теперь п стремится к бесконечности. Левая часть выше-
приведенного равенства сходится к ОР (Л у), а правая
fe/i!
к F(x, у), поскольку Gn(0, 0) —»оо и |Pn+i (х, у) | -С 1. Следова-
тельно,
2Р(х, y) = F(x, у).
Положив в этом соотношении у—0, получим
Jp(x. t)F(t, 0) = уР(х+1, 0) + 4р(*-1» 0) = Р(х, 0).
Но все решения этого уравнения имеют вид F(x, 0)=ax+b, и
поскольку 0^Р(0, х)-^1 и F(0, 0) = 1, мы снова заключаем, чт&
одномерное простое блуждание обладает тем свойством, что
F(0, х) = 1 для всех х из R.
§ 2. Периодичность и возвратность случайного блуждания
В § 1 было показано, что свойство случайного блуждания
быть возвратным или невозвратным проявляется в предельном
поведении как Gn(0, 0), так и Fn(0, 0). Однако пока не ясно
в точности, как зависит Gn(0, х) —ожидаемое число попадании
случайного блуждания в точку х за время п — от своиства'слу-
чайного блуждания быть возвратным. Тот же вопрос, разумеет-
сяГ^ожно постаТитГ!^^ х) h^F(0, х), где
х)—вероятность достижения случайным блужданием точ-
ки х (за конечное время).
Некоторые факты очевидны. Например, поскольку для лю-
бого х справедливо соотношение G (0, х) <^G (0, 0) -<оо, ясно, что
для невозвратного случайного блуждания 0(0, х)<оо для всех
х. Предположим, что случайное блуждание возвратно, т. е. что
G(0, 0)=оо. Следует ли отсюда, что G(0, х)=оо для любой
точки х из /?? Оказывается, что не следует. В самом деле, мож-
но указать такое возвратное случайное блуждание, что G (0, х0) <
< оо для некоторой точки xq^R. Самым тривиальным примером
этого типа блужданий является случайное блуждание, состоя-
ние которого не изменяется, т. е. Р(0, 0) = 1. Согласно нашим
определениям, оно возвратно, так как Gn(0, 0)=п+1->оо при
—> оо. Очевидно, однако, что G(0, х) =0 для всех х=#0. Заме-
тим, что мы даже не потрудились определить размерность про-
странства состояний R. Это не существенно, поскольку для
случайного блуждания, о котором шла речь выше, размерность
пространства не играет никакой' роли. Оно происходит на про-
странстве состояний, содержащем только начало координат.
Для данного пространства состояний R размерности
и данной точки х0 из R можно определить такое возвратное
блуждание на R, что G(0,x0) =0. Например, пусть
Р(0, 2хо) = Р(О, -2х0) = 4»
Р (0, х) — 0 для всех других х из R,
Это случайное блуждание есть не что иное, как одномерное про-
стое симметричное блуждание, безотносительно к тому, какова
размерность R. Следовательно, оно возвратно, однако снова
ясно, что G(0, %о)=О. Причина этого, разумеется, опять заклю-
чается в том, что случайное блуждание совершается на под-
множестве (подгруппе) в R, не содержащем точку xQ.
Бесполезно искать примеры другого типа, в которых
G(0, 0)=оо, a G(0, х) для некоторого х конечно, потому что
таких примеров просто нет. Вместо этого мы начнем с форма-
лизации идей, навеянных предыдущими примерами, а затем
перейдем к объяснению решающей роли подмножеств из R,
фактически посещаемых при случайном блуждании. Для дан-
ного случайного блуждания, т. е. переходной функции Р(х,у),
определенной для всех пар точек х и у из R, определим _три
подмножества пространства R, которые обозначим 2, R+ и R.
Определение 1.
2 = [х|Р(0, х)>0],
Р+ = [х|Р„(0, х)>0 для некоторого п^О],
R = [xlx — y — z для некоторого у и z<= Р+].
Предложение 1. R* есть множество всех конечных сумм эле-
ментов из 2, включая 0 (пустую сумму). Оно является также
наименьшей аддитивной полугруппой, содержащей 2, a R яв-
ляется наименьшей аддитивной подгруппой в R, содержащей
R+.
Доказательство. Достаточно проверить только выполнение
групповых (полугрупповых) аксиом. (Под полугруппой пони-
мается совокупность элементов, замкнутая, подобно группе, от-
носительно сложения, но не замкнутая относительно обратной
операции. Хотя полугруппа содержит нулевой элемент, не тре-
буется, чтобы все ее элементы обладали противоположными.)
Начало координат принадлежит R+ по определению. Если
хеР+ и х=£0, то из неравенства Рп(0, х)>0 следует, что в R
имеется такая конечная последовательность Хь х2, ..., хп-\, что
Р„(0, х)>Р(0, Х1)Р(хп х2) ... P(x„_i, х)>0.
Но тогда Р(0, Xi) >0, Р(0, х2—Xi) >0 и т. д., так что хь х2—хь ...
..., х — хп-1 лежат в 2. Тем самым х можно представить в виде
конечной суммы элементов из 2: x=xi+(х2—Xi) +...+ (х—xn-i).
Обратно, если x = t/i + t/2+. . -+Уп, где у^£ для 1—1, ..., п, то
в этом случае Р(0, yh) =P(yi+y2 + . • .+Уи-1, yi+y2 + . .+Уи)>0
для k— 1, 2, ..., п, так что
Р„(0, х)~Р„(0, У! + ... +
>Р(0, ух)Р(ух, Уг + Уг) ... Р(У1 + У2+ ••• +Уп-ъ х)>0.
Этим доказано, что Р+ в самом деле является множеством всех
конечных сумм элементов из 2.
Если использовать только что полученную характеристику
R+ или характеристику, данную в определении 1, становится
ясно, что R+ замкнуто относительно сложения. Следовательно,
R+ — полугруппа. Меньшей полугруппы, содержащей 2, не мо-
жет быть, так Как любая такая полугруппа должна содержать
все конечные суммы из S, a R+ как раз и является множеством
всех таких сумм^
Множество R — группа, поскольку оно замкнуто, согласно
определению 1, относительно вычитания. По определению оно
содержит /?+, и, очевидно, не может быть группы меньшей, чем
7?, обладающей этими двумя свойствами. 2
Идеи, которые привели к определению множеств R+ и R,
дают возможность несколько лучше, чем в § 1, понять различие
между возвратным и невозвратным случайными блужданиями.
Сначала рассмотрим невозвратное случайное блуждание, при
изучении которого возникает очень мало затруднений.
Предложение 2. Если Р (х, у) — переходная функция невоз-
вратного случайного блуждания с пространством состояний R,
то
G (0, х) < оо на R
и
G (0, х) - F (0, х) = 0 на R — R+.
Доказательство. Согласно предложению 1.3,
G (О, x) = limG„(0, xXlimG„(0, 0) = G<oo,
П->оо П->оо
что доказывает первое утверждение. Чтобы доказать второе
утверждение, предположим, что множество R—R+ не пусто (в
противном случае второе утверждение предложения 2 бессо-
держательно). В этом случае Рп(0, х) =0 при x^R— R+ для
каждого и^О. Однако тогда
G (0, х)=2Рп(0, х) = 0, если хе/? —R+,
п=0
F(0, х) = S Fn(0, х)< G (0, х) = 0, если х е R - /?+.
п-1
Последнее неравенство справедливо в силу определения 1.2, из
которого вытекает, что
Fn(0, х)<Рп(0, х), хе/?, п>0.
Для возвратного случайного блуждания мы докажем сна-
чала несколько лемм (предложения 3, 4 и 5), представляющих
самостоятельный интерес; в дальнейшем в сочетании с предло-
жением 2 они дадут полное описание (теорема 1) основного
различия между возвратным и невозвратным случайными блуж-
даниями.
Предложение 3. Если случайное блуждание возвратно и
x^R+, то
G (0, х) = оо.
Доказательство. Пусть х е R+. Можно положить, что х=#0, и
выбрать /п>1 так, чтобы Рт(0, х)>0. Затем с помощью пред-
ложения 1.1 выводим, что
Рот(0, х)Рп(х, х)<2ря(0, f)Pn(t, x) = Pm+„(0, х).
t^R
Суммируя по п от нуля до k, получаем
k
Pm(0, x)Qk(x, x) = Pm(0, x)Gft(0, 0)<2Pm+n(0, X) =
n=0
m+k m—\
- 2 Pn(0, x)-2 P»(0, x) = Gm+ft(0, x)—Gm_i(0, x).
n=0 n=0
Полагая fe->oo, приходим к заключению, что
Рщ(0> x)G<lirnGm+ft(0, х) Gm-i (0, х);
k~^CO
Из предложения 1.4 имеем G= + oo. Отсюда следует, что
lim GOT+ft (0, х) = G (0, х) = + оо.
&->ОО
Следующий шаг состоит в исследовании поведения F(0, х)
опять-таки для возвратного случайного блуждания. Весьма по-
лезна очевидная вероятностная интерпретация F(0, х) как ве-
роятности за конечное время достичь точки 0 исходя из точки
х, наводящая на мысль, что F(0, х) = 1 для всех xeR+. В дей-
ствительности требуется проделать значительную работу, что-
бы превратить эту гипотезу в математическую истину. И здесь
полезно вероятностное толкование F(0, х), так как оно подска-
зывает пути достижения цели. Приведенные ниже вероятност-
ные доводы можно сделать строгими при должном использова-
нии некоторых фактов из теории меры, которые будут изложены
в § 3.
Пусть хе/?+. Допустим, что —x^R—R+. Тогда случайное
блуждание с положительной вероятностью может достичь х ис-
ходя из точки 0. Однако, достигнув х, оно никогда не сможет
вернуться в нуль, ибо переход из х в 0, эквивалентный переходу
из 0 в —х, невозможен. Следовательно, возможно покинуть 0
и никогда в него не вернуться. Это противоречит предположе-
нию о возвратности случайного блуждания. Тем самым мы «по-
казали» невозможность того, что х е R+, в то время как —х е
&R—R+. Другими словами, возвратное случайное блуждание
1
обладает тем свойством, что из вытекает —x^R+. Но
7?+— полугруппа, а полугруппа, которая для каждого элемента
х содержит противоположный элемент —х, является группой.
Следовательно, /?+=Я. Теперь легко пойти дальше и заклю-
чить, что F(0, х) = 1 не только когда хе/?+, но и для всех х
из R.
Мы, однако, оставим в стороне интересное доказательство
этого факта, принадлежащее Феллеру (см. [101]), и получим
тот же результат бхолее элементарными методами этого пара-
графа.
Предложение 4. Для произвольного случайного блуждания
при х и у из R и п^ 0
(а) y) = Gn+l(x, y)-b(x, у)
t^R
и для возвратного случайного блуждания
(б) Sp(x, t)F(t, y) = F(x, у).
' te=R
-Доказательство. Формула (а) при помощи простых вычисле-
ний выводится из предложения 1.1 и определения 1.3: '
^Р(х, f)Gn(t, У) = % у) = |
tf==R k=Q t^R j
= 3 Pk {x, y) = Gn+l (x, y)-b (x, y).
*=i
Разделив равенство (а) на Gn(0, 0) (величину положительную),
получим
V n (v A °n (t, y) _ Gn (x, y) Pn+i (x, y) _ 6 (x, y) ...
Г l> i Gn (0. 0) Gn (0, 0)- T Gn (0, 0) Gn (0, 0) ’
(eg
Устремим теперь в (1) n к oo. Так как Gn(0, 0) ->G = oo, то два
последних члена в правой части равенства (1) стремятся к ну-
лю. Заметим теперь, что
о < °п 1 Пт ^.ir ffX’.y). _ pix
и Gn (0, 0) ь Gn (0, 0) г У’
(неравенство следует из предложения 1.3, а равенство из пред-
ложения 1.5).
Ограниченность отношения Gn(x, г/)/б?п(О, 0) означает в
силу теоремы о мажорированной сходимости, что
S Р о" (0, 0) = L Р J™ g”(0, 0) ’
" i<=R t^R
поэтому, устремив в равенстве (1) п к бесконечности, получаем
формулу (б).
Сейчас мы увидим, что из предложения 4 непосредственно
вытекает
Предложение 5. Если случайное блуждание возвратно и
х принадлежит R+, то —х также принадлежит R+. Далее, R+ —
=R и
F (0, х) = 1 для всех x^R,
F (0, х) = О для всех x^R — R.
Доказательство. Положим в формуле (б) предложения 4
г/=0:
2Р(х, t)F(t, 0) = Р(х, 0), xg=P.
t^R
Отсюда следует, что
2?2(х, 0)=SP(x, f)F(t, 0) = P(x, 0).
t^R
Применяя повторно переходной оператор Р(х9 у), получаем
2 Рт(х, /)Р(/, 0) = Р(х, 0), т>0, хер.
t^R
Теперь мы зафиксируем произвольный элемент Хо из /?+ и дока-
жем, что F(Xq, 0) = 1. Положив х=0 в последнем равенстве, по-
лучим
Црот(о, /)Р(/, о) = Р(о, о) = р=1.
i^R
Так как хоеР+, то можно выбрать т0>0 так, чтобы
РтДО,хо)>О. Тогда
1 = Pm, (0, х0) F (х0, 0) + 2 Рта (0, /) F (/, 0)<
/ =7^ Х0
<Рто(О, х0)Р(х0, 0)4- 2Рто(О, 0 =
= 1 4- Р т, (0, ХО)[Р(ХО, 0)-1],
откуда следует, что Р(хо, 0) = 1. Более того,
1=Р(х0, 0) = Р(0, -х0),
а Р(0,—Хо) =0, если —Хо не принадлежит R+._Следовательно,
—Хо принадлежит R+ вместе с х0, так что /?+=Я. Но тогда пре-
дыдущие рассуждения показывают, что F(0, х0)=1, и ясно, что
з Зак. 1375
Г(0, х)=0, когда x^R—Л, если последнее множество вообще
имеет хотя бы один элемент. Тем самым доказательство пред-
ложения 5 закончено.
Прежде чем суммировать результаты, полученные в предло-
жениях 2—5, удобно упростить задачу, сосредоточив внимание
на множестве R. Если то утверждение предложения 5
о том, что R+=R, сводится к R+=R. Однако даже в случае не-
возвратного блуждания та часть множества R, которая не при-
надлежит R, для нас не важна, так как всегда можно вложить
R в большую группу размерности d+1, нисколько не затрагивая
при этом случайного блуждания. Поэтому мы дадим *)
Определение 2. Случайное блуждание Р(х,у), определенное
на R, называется апериодическим, если R=H.
Если случайное блуждание является периодическим (т. е. не
апериодическим), то можно сделать вывод, что_ задача просто
плохо поставлена. Другими словами, если R=£R, то случайное
блуждание определено просто на неправильно выбранной группе
или на классе смежности неправильно выбранной группы, если
его начальное состояние х не принадлежит R. Задачи, в которых
R=£jR, всегда можно свести к случаю апериодического случай*
ного блуждания по той простой причине, что R всегда изо- '
морфно группе R некоторой размерности d^O (см. гл. II, § 7,
где эти соображения обсуждаются более подробно).
Хорошим примером упрощений, получающихся из-за аперио-
дичности случайного блуждания, служит
Предложение 6. Для апериодического возвратного случай-
ного блуждания
lim - 1, x^R.
пч-оо Gn (0. 0)
Доказательство. В силу предложения 1.5 предел равен Г_(0,х),
а в силу предложения 5 Г(0, х) = 1 для всех х из R+=R. Так
как случайное блуждание апериодично, то Г(0, х)=1 всюду в R.
Наконец, если суммировать результаты предложений 2—5,
получается
Теорема 1. Пусть Р(х,у) —переходная функция апериодиче-
ского случайного блуждания. Тогда имеются только две возмож-
ности:
*) Здесь опять вводимая нами терминология отличается от общепринятой
терминологии для цепей Маркова (см. [98] и [86]). Понятие строго апериоди-
ческого случайного блуждания, которое мы введем в определении 5.1, ближе
к общепринятой апериодичности для марковских цепей, чем приведенное
здесь определение апериодического случайного блуждания.
(а) (случай невозвратного блуждания) G(0, х)<оо на R,
F(0, 0)<1, F(0, х) =0 на R — R+,
(б) (случай возвратного блуждания} G(0, х)=оо на R,
F (0, х) = 1 на R.
Здесь нечего доказывать — все утверждения следуют немед*
ленно из предложений 2 и 5 с учетом определения 2.
Упомянем об одном интересном обобщении теоремы 1, кото-
рое в данный момент мы еще не в состоянии доказать. Оно до-
казывается в предложении 24.9 гл. VI и дополняет утверждение
теоремы 1 для невозвратного блуждания. Это обобщение ка-
сается тад,ько,невозвратндго случайного блуждания. Оно утвер-
ждает, что для невозвратного случайного''блуждания F(0, х)<1
для всех х (если случайное блуждание не относится к весьма
частному типу, который мы сейчас определим).
Определение 3. Случайное блуждание называется непрерыв-Л
ным слева, если оно одномерно и если '
Р(0, —1)>0 и Р(0, х) = 0 для х<^ —2.
Аналогично оно называется непрерывным справа, если
Р(0, 1)>0 и Р(0, х) = 0 для х^>2.
Заметим, что бернуллиевское случайное блуждание с 0<р =
= 1 —а<1 одновременно непрерывно спр^а^и'''слева, даже ко-'
гДД оно видоизменено так, что ^(0^ Ь)^07ТУбоВщенйе теоремы 1
будет завершено после того, как мы докажем предложение 24.9
гл. VI, которое состоит в том, что
Для апериодического невозвратного случайного блуждания
F(0, х)<1 для всех х из R, если только блуждание не является
(а) непрерывным слева с дополнительным условием, что
+оо
— оо < 2 хр (0, х) < о
Х= —оо
(в этом случае F(0, х) = 1 для всех х<0 и F(0, х)<1 для всех
х>0),
(б) непрерывным справа с дополнительным условием, что
4-оо
О < 2 хР (0, х) < оо
X—— ОО
(в этом случае F(0, х) = 1 для всех х>0, F(0, х)<1 для х-^0).
На данном этапе изложения теории совсем не очевидно, что
случайное блуждание типа (а) или (б) невозвратно. Этот во-
прос будёт решен в теореме 3.1, где будут получены некоторые
простые достаточные условия невозвратности случайного блу-
ждания. Сейчас мы обратимся к задаче отыскания достаточных
условий того, что случайное блуждание возвратно. Ограничимся
случаем одномерного случайного блуждания.
Определение 4. Положим
т = У | х | Р (0, х) оо
х= —ОО
и для т<_<х>
ц=2 хР(0, х).
х=—ОО
Мы видели в примере 1.2, что бернуллиевское случайное ч
блуждание, для которого р=р—/?, возвратно’лотдатолько^
Тогда, когда р = 0.В конечном счете мы покажем, что любое
Ста<жвр^ёТТуча1иное блуждание обладает этим свойством, если
только т<оо. А именно, оно возвратно, если р = 0, и невозвратно
в противном случае. Заключение, что случайное блуждание с
невозвратно, интуитивно кажется совершенно правдопо-
добным (и чуть ли не очевидным). Однако оказывается, что эту
часть утверждения труднее всего доказать, и поэтому мы теперь
рассмотрим только случай, когда ц = 0.
Первый шаг доказательства состоит в использовании обыч-
ного закона больших чисел для сумм одинаково распределенных
случайных величин. Ясно, что Р(0, х) можно рассматривать как
распределение вероятностей некоторой целочисленной случайной
величины (т. е. смотреть на Р(0, х) как на вероятностную меру).
Обозначив Р(0, х) =р(х), замечаем, что
Р2(о, х) = р (х - у) р (у)
является сверткой двух таких мер, и аналогично Рп(0, х) яв-
ляется п-кратной сверткой меры р(х) самой с собой. Если
Р(0, х) имеет среднее ц, как оно вводится в определении 4
(и т<оо), то обычное утверждение закона больших чисел можно
сформулировать как
Предложение 7.
lim 3 Рп(0, х) = 0 для любого 8>0.
Г . I х „ L „1
Нп-Ч>8]
Мы не станем приводить доказательство этой замечательной
теоремы, принадлежащей Хинчину [96]. Отметим, однако, что
обычные доказательства основываются на элементарных, но точ-
ных оценках Рп(0, х) для больших пи |х| без привлечения
теории меры1)- Первый шаг доказательства состоит в проверке
•справедливости предложения 7 для случая, когда Р(0, х) удо-
влетворяет дополнительному требованию конечности диспер-
сии о2:
о2 = 2 |х —р|2Р(0, х)<оо.
x^R
В этом случае
S S I х — пр. |2Р„(0, х)<
[Л||Л_ц)>е] [х1| ~н|>е]
«Ч5" S I Х ~ I2 ?п (О’ = nt2 О
xt=R
?1рИ П->ОО.
Чжун Кай-лаю и Орнштейну [100] удалось показать с по-
мощью только предложения 7, что любое одномерное случайное
блуждание с т<оо и jx=O возвратно (в более ранних доказа-
тельствах использовались методы гармонического анализа, ко-
торые развиваются в следующей главе). Предположим поэтому,
что Р (х, у) — переходная функция одномерного случайного
блуждания (т. е. R— множество всех целых чисел) с /и<оо и
р = 0. Можно утверждать, опираясь на предложение 1.3, что для
каждого целого N и любого М>0
<?лг(О, 0)> 2МТТ S G*(°> (О
IxKM
Далее
лг . w
2^(0, х)= 2 2М. х)>2 2 РИО, х). (2)
*=о 1х|<м *=° LJ * 1<-м1
ГЧТПл7]
Выбирая M=aN (а>0) и объединяя (1) и (2), получаем
N
<М0, S РИ0, х). ' (3)
£=0 |х| < ka
Так как р = 0 и 2 Рь (0, х) -»1, то в силу предложения 7
x^R
lim <2 Pa(0, х) = 1, а>0.
k-±<x> |х
Ц Изложение можно найти в любом хорошем вводном курсе; например
186], Ц51 [69].
Учитывая (3), заключаем, что
limGHO, 0)>-L ' (4)
ЛГ->оо
Но а можно выбирать произвольно малым, поэтому (4) означает,
что
G = limGyv(0, 0)=2Pft(0, 0) = оо.
ЛГ->оо Л==0
Таким образом, доказано
Предложение 8. Если Р(х, у) одномерно, т= S I х | Р (0, х) <
<оо, а 2 хР(0,х)=0, то случайное блуждание возвратно.
xeR
Как уже упоминалось, предложение 8 допускает частичное
обращение, а именно, случайное блуждание невозвратно, если
/п<оо и ц¥=0. Насколько нам известно, прямого аналитического
доказательства этого факта нет. Мы используем это затрудне-
ние как мотивировку для строгого изложения в следующем па-
раграфе теории случайных блужданий с точки зрения теории
меры. Одним из наиболее часто используемых результатов тео-
рии меры будет усиленный закон больших чисел (предложение
3.4) —уточнение обычного закона больших чисел, принадлежа-
щее Колмогорову [48]. В частности, из усиленного закона станет
совершенно очевидным, что любое случайное блуждание на пря-
мой с т<оо и р,=#0 невозвратно.
§ 3. Элементы теории меры
Мы определим сначала, что понимается под произвольным
вероятностным пространством, а затем ограничимся рассмотре-
нием тех вероятностных пространств, которые полезны при фор-
мулировке задач случайного блуждания в терминах теории меры.
Вероятностное пространство — это тройка (й, Р), где
(а) Й— произвольное пространство (совокупность «точек»
щей);
(б) —так называемая о-алгебра, т. е. система множеств
А, В, С, ... из й, замкнутая относительно операций взятия счет-
ной суммы, счетного пересечения и дополнения; в частности,
пустое множество и все пространство являются элементами
из оТ';
(в) Р — неотрицательная функция множеств, определенная
Г “ I
на & и такая, что Р[й] = 1 и 5 PRJ = Р UAi » где Аа —
п=1 *-п=1 ->
последовательность попарно непересекающихся множеств из
(т. е. Р[>] есть счетно аддитивная вероятностная мера).
Мы будем без каких-либо пояснений пользоваться некото-
рыми стандартными понятиями и теоремами теории меры1) для
произвольных вероятностных пространств (на самом деле нам
редко придется это делать). Вот некоторые из них:
(1) Если Ап — монотонная последовательность множеств из
такая, что для любого k > 1, то
lim Р
П-»оо
п
Lfe-1
Р ГН.
(2) Функция /(со), определенная на Q и принимающая дей-
ствительные значения (в том числе «значения» +оо и —оо), на-
зывается измеримой, если множество [<в|/(g>)-4J] принадлежит
«У* для каждого действительного числа t. Измеримая функция,
принимающая только конечное число различных значений, на-
зывается простой. Говорят, что последовательность измеримых
функций fn (со) сходится п. в. (почти всюду, с вероятностью еди-
ница) , если множество [® | lim fn (<в) существует] имеет меру,
Л->оо
равную единице. В этой терминологии каждая измеримая функ-
ция может быть представлена как предел некоторой сходящейся
п. в. последовательности простых функций. Если последователь-
ность измеримых функций сходится п. в., то и предельная функ-
ция также измерима.
(3) Если ф(со)—простая функция, принимающая конечные
значения-на множествах ..., п, то ее интегпал
определяется формулой
п
/ <p(©)dP(©) =
Q Ы
Произвольная измеримая функция f(co) называется интегрируе-
мой, если
sup Г | <р (со) | rfP (о.) < оо,
при этом верхняя грань берется по всем таким простым функ*
циям, что почти всюду |ф(со) ]<|f(со) Если /(со) интегрируема,
то интеграл
f (о) dP (©),= lim
J q>„(©)dP(©)
!) Их можно найти в [89], [58] и [62].
существует и имеет одно и то же значение для любой последо-
вательности {фп(<о)} простых функций, для которой I фп (о)) I
If (со) I И фп(со) сходится почти всюду к f(co).
(4) Обычные свойства интеграла Лебега по конечному интер-
валу, такие, как теорема Лебега о мажорированной сходимости
последовательностей функций, выполняются для интеграла,
определенного в (3). Особую, важность имеет следующий част-
ный случай теоремы Фубини. Говорят, что две измеримые функ-
ции /(со) и g’(co) независимы, если
Р [co |f (©)<a, g(©)< b] = Р[<о |f (w)<a] Р [© |g(<о)<
для всех действительных чисел а и Ь. Если функции /(со) и g“(co)
независимы и интегрируемы, то
/ f(o)g(©)dP(®)= Jf(®)dP(®)/g(®)dP(®).
й й Й
Теперь мы обратимся к специальному типу вероятностного
пространства, для которого Q является совокупностью бесконеч-
ных последовательностей со= (o>i, (02, ...), где сог-е7?, a R являет-
ся пространством состояний данного случайного блуждания,
о-алгебра определяется следующим образом. Прежде всего
потребуем, чтобы содержало все цилиндрические множества,.
т. е. множества Ап вида
Дп = [©|<ол = ak, k « 1, 2, ..и], п^О,
где a^R для каждого А=1, ..., п, а затем определим как.
наименьшую в-алгебру, содержащую все цилиндрические мно-
жества. И, наконец, для того чтобы определить вероятностную*
меру (в терминах переходной функции Р(х, у) данного случай-
ного блуждания), полагаем
Р[Л] = Р(0, aJPfO, а2) ... Р(0, ап), п^О,
для каждого цилиндрического множества (если п = 0, полагаем
произведение равным единице). Нетрудно доказать теорему' о>
продолжении меры1), утверждающую, что существует одна и
юлько одна счетно аддитивная вероятностная мера Р [•], опре-
деленная на всей о-алгебре и принимающая любые заданные
значения на цилиндрических множествах. Этим заканчивается
определение вероятностного пространства (Q, Р), соответ-
ствующего данному случайному блужданию с переходной функ-
цией Р(х, у) и пространством состояний R, К этому определению
добавим теперь перечень часто используемых вероятностных
терминов.
!) См. [89, стр. 155].
Определение 1. Измеримые функции на определенном выше
вероятностном пространстве называются случайными величина-
ми. Обозначим случайные величины через *)
^==Х*(ф) = Хь 2,
а их суммы через
So = 0, Sn = X! + ... + Xrt, n > 1.
Если есть случайная величина, то для каждого x&R
положим
P[f = x] = P[©|f(®) = *L
м если f (со) =f еще и интегрируема, то интеграл
/ f (со) dP (ф) = Е [f]
называется ее математическим ожиданием (ожидаемым значе-
нием). И наконец, когда , символом E[f; А] обозначим ма-
тематическое ожидание E[f ((о)(рА(со)], где фА((о) = 1 для шеЛ и
<рл((о) — 0 в противном случае.
Два наиболее часто используемые следствия из определения 1
и предшествовавшей ему общей теории меры и интегрирования
мы суммируем как
Предложение 1. (а) Если f(a))=F(Si„ S2, Sn) — инте-
грируемая функция переменных Sb S2, ..., Sn, то ее математи-
ческое ожидание равно
E[f]= 3 F(xlt х2, x„)P[Si = Xi, ..., S„ = x„] =
X} е R, i-1, 2.n
= 2 F(x„ x2.........xn)P(Q, x1)P(xl, x2) ... Р(хп_ъ xn).
x^R, i = l, 2, n
В частности, пусть f (co) = 1, если Sn — x^R, и f(co)=0 в против-
ном случае. Тогда
E[f]==P[S„ = x] = Pft(0, х).
(б) Случайные величины соп = Хп попарно независимы. И во-
обще пусть I и J — непересекающиеся подмножества натураль-
’) Здесь и часто в дальнейшем автор называет величины Хл(<о) случай-
ными величинами, хотя правильнее было бы говорить о случайных векторах.
Определение случайного вектора, а также понятие независимости случайных
векторов можно найти в любом учебнике по теории вероятностей. — Прим,
ред.
ных чисел. Через t обозначим наименьшую а-алгебру, содер-
жащую все множества вида [со|ш=х] для /ге/ и x^R; подоб- |
ным образом определим оТ'j. Предположим теперь, что f(a) и |
g(®) интегрируемы на (Й, , Р) и что ((а) ^измерима, - а |
g(tt>) j-измерима. Тогда f и g— независимые функции и
E[fg] = E[f]-E[g]. |
Доказательство этих утверждений сводится просто к пере- J
сказу содержания определения 1 с учетом следующих двух заме-
чаний. Для дрказательства последнего равенства пункта (а)
необходимо использовать определение 1.1, а последнее соотно- -
шение пункта (б) есть не что иное, как теорема Фубини в той i
форме, в которой она приведена в пункте (4) перечня стандарт- “
ных понятий и теорем теории меры. ।
Продемонстрируем в хорошо знакомой ситуации преимуще- |
ство изложения в терминах множеств (событий) и их мер — до- !
кажем предложение 1.2 с помощью предложения 1. Согласно
определению 1.2, Fn(x, у) можно выразить в виде
Fn(x, Z/)=P[x+Sft^=y для k= 1, 2, ..., п- 1; x+S„ = z/],
п^>1.
Если через Т=7'((о) обозначить момент, когда впервые x+Sn=у,
или, более формально, положить
Т = min [/? 11 < k, х + S* = у] < оо,
то Т = 7’((о) будет случайной величиной (измеримой функцией) ;
на вероятностном пространстве (й,<^, Р). Случайная, величина
Т может на множестве положительной меры принимать значение
+ оо, но нас это не должно волновать. Важно то, что теперь мы
можем написать равенство
Fn (х, У) = Р [Т - п],
поэтому утверждения (а) и (б) предложения 1.2,
Я
Fn(x, y)~Fn(Q, у-х) и X Fk(x, уХ 1,
&=1
совсем очевидны. Чтобы доказать утверждение (в) предложения
1.2, заметим, что, учитывая пункт (а) предложения 1 и аддитив- <
ность меры Р[ • ], можно, разлагая событие x+Sn=y, написать
Рп (х, у) = Р [х + S„ = у] = 2 Р [х + S„ = у, Т = /г]1) =
fc=l
п
= 2Р[Т = А; S„-Sft = O].
*=1
(Здесь мы пользовались тем, что Sn — 8^ = 0, если Т=А и х+
;+Sn=y.) Теперь используем пункт (б) предложения 1. Пусть
/={1, 2, .... k] и /={/г+1, k+2, ..., п} для каждого целого фик-
сированного Тогда величины
( 1, если Т = k,
h ffe (®) i q, если т
[ 1, если S„ — = 0
g* = Ы®) = 10> если Sn_Sft¥=Oj
измеримы относительно о-алгебр i и j соответственно, а
значит, являются попарно независимыми случайными величи-
нами, откуда следует, что E[ffegfe]=E[ffc]E[gft]. Возвращаясь к раз-
ложению Рп(х,у), получаем
п п
Рп (х, У) = 3 Е [fft] Е [gft] = 2 р IT = k] Р [S„ - = 0] =
fe=l fc=l
n
= ^iFk(x, y)P„_ft(0, 0),
k-i
что и доказывает справедливость равенства (в) предложения 1.2.
Как правило, мы не будем проводить во всех деталях такие
очевидные вероятностные рассуждения. Но иногда они доста-
точно сложны, чтобы оправдать тщательное изложение, и то-
гда будут полезны обозначения более сложные, чем те, которые
использовались в определении 1. Вместо того чтобы работать
с единственной вероятностной мерой Р[ • ] и ассоциированным
с ней оператором интегрирования Е[«], введем прямо в опреде-
ление вероятностного пространства понятие исходной точки х
случайного блуждания.
Определение 2. Для каждого х из R тройка Рх) —
вероятностное пространство, определенное следующим обра-
зом. Элементами соейх являются бесконечные последователь-
ности
<о = (х0, хь х2, ...), где х0 = х.
*) Р(А; В]- р (АП В].
Если An={(&\*h=ak, /?=1, ...» n], n>0, ak^R, то
РX Мд] = Р С*'» ^1) Р (^1> ^2) • • • Р ^п)*
e-алгебра х есть наименьшая о-алгебра, содержащая все ци-
линдрические множества Ап, а Рж[ • ] — единственная счетно ад-
дитивная мера на ж, принимающая заданные значения на
цилиндрических множествах. Если интегрируема на
(£2Ж, х, Рх), то ее математическое ожидание определяется как
ЕЛА= / И®)^РЛ(«>).
Тройку [Qx,q7~x, Pxl, полностью определяемую переходной функ-
цией Р(х, у) и пространством состояний R, будем называть
«случайным блужданием хп=хп(й>), исходящим из точки х9=х».
Если х=0, то очевидно, что последовательность Sn,
определенная на (й,<^, Р), согласно определению 1, является
не чем иным, как последовательностью случайных величин хп
для п>0, определенных на (Йо, о, Ро), согласно определе-
нию 2. Если х=#0, то Sn+x на (Й, Р) соответствует хп на
(Йх, О^х, Рх) в том смысле, что
P[x+Sk = yk, k=l, 2, .... п] = Рх[xft = yk, k=\, 2..n]
для любого множества точек у\, у2, ..уп из /?. Преимущество-
этого небольшого, но важного изменения в нашей точке зрения
особенно велико, когда приходится иметь дело с моментами
остановки. Грубо говоря, момент остановки Т есть случайная
величина, значения которой определяются только поведением
случайного блуждания в прошлом. Так, например, событие
Т=й не должно зависеть от значений х^+ь xft+2, .... Ниже, в
определении 3, этому высказыванию будет придан точный
смысл, а именно: событие T=k принадлежит о-алгебре, порож-
денной элементами хь х2, ..., хй. Практически все времена оста-
новки, с которыми мы когда-либо столкнемся, будут одного и
того же простого типа: если А — подмножество в R, то величи-
на Т=ТА, определенная как T=min[fe|^> 1, х^еЛ], будет мо-
ментом остановки; эта величина называется временем достиже-
ния множества А (систематически изучать времена достижения
мы начнем с определения 10.1 гл. III).
Определение 3. Пусть Т=7'((в)—случайная величина, т. е,
измеримая функция на (йж, Рж) для каждого х из R, мно-
жеством значений которой являются неотрицательные целые чи-
сла и J-Joo. Пусть k,x — наименьшая о-подалгебра со-
держащая все множества вида [<о|хп = г/] для n = 0, 1, 2, k
и y^R. Предположим далее, что [<в|7'(и) k,x для лю-
бых k^-Q и x^R. Тогда Т называется моментом остановки.
Предложение 2. Если Т — момент остановки, a F(n, х) —
произвольная неотрицательная функция, определенная для всех
п^-0 и всех х из R, и если F(oo, х) =0, то
Ly А . J
- 2 2 Р, [ХТ = г, т - q Е, [F (К, xj] < оо.
/г=0
В частности, положив F(n, х) =1 при n=k, х=у, и F(n, х)=0 в
противном случае, получим
PJT-*. хГ„-»]- 2Рх [хт = 2; т = Л] Рг [хя = г/].
2 G д
Доказательство мы не приводим', так как в нем все совер-
шенно естественно сводится к задаче с независимыми функ-
циями и тогда утверждение предложения 2 становится частным
случаем пункта (б) предложения 1. Вместо этого продемонстри-
руем применение предложения 2 для еще более короткого до-
казательства равенства (в) предложения 1.2.
Пусть T2/=min[^|fe>l, Ясно, что Ty —момент оста-
новки в смысле определения 3. Имеем
рп у) “ р* " 2 Рл [Ту = k\ хп = у\ =
k~ 1
= [Ту = k\ xT^+n_ft = у],
а так как хт^ = у, то последнее равенство предложения 2 дает
рп (X, у) = 2 Рх [Т^ = k] Ру [х„_* = у] = 2 Fk (X, у) рп-к (у, у),
k—l fe=l
В качестве дальнейшей иллюстрации использования терми-
нологии теории меры, введенной в определении 1, переформули-
руем определение возвратности. Пусть Д>МФ>1=0]. Тогда
оо
событие, заключающееся в том, что за конечное время
произойдет возвращение в точку 0, а
оо оо
iiin Ап = П (J Ак
n'>°° n^lk-n
— событие, состоящее в том, что случайное блуждание возвра-
щается в точку 0 бесконечно часто. Докажем теперь, используя
понятие возвратности, введенное в определении 1.5, что верно
Предложение 3. Р Г lim Л„1 = 1, если случайное блуждание,
Ln->°o J
определяющее вероятностную меру ₽[•] на (Q, &, Р), возврат-
но, и Р [lim Л„1 = 0, если оно невозвратно.
Ln->oo j
Доказательство. Так как Р[«] — вполне аддитивная мера, то
мера пересечения монотонной последовательности множеств
есть предел их мер (см. пункт (1) перечня стандартных понятий
и теорем теории меры, предшествующего определению 1). Мно-
оо
жества = образуют монотонную последовательность,
, k=n
поэтому __
Р[Нт Ля1 = Ит Р[В„]. (1)
Ln->oo J П->оо
Рассмотрим теперь множества
т+п
Вп, т == U
k—n
которые, как легко видеть, имеют меру
т+1
P14J- 2 Р«-1(0, 0 2 Fk(t, 0), п>1, /п>0. (2)
t^R fe=l
В случае возвратного случайного блуждания устремим в равен-
стве (2) m к бесконечности, замечая при этом, что множества
Вп>т монотонно возрастают и стремятся к Вп, поэтому
Р [В„] = lim Р [В„, т] = 2 P„-i (0, о F Ц, 0). (3)
t^R
Согласно предложению 2.5, F(t, 0) = 1 для всех t, для которых
Pn_i(0, 1)>0. Тем самым Р[ВП1=1 для п>1, а из равенства (1).
следует, что __
Р [ lim Л„] = 1.
Чтобы доказать утверждение предложения 3 для невозврат-
ного случайного блуждания, вернемся к равенству (2). Заметим,
что
» т+1
3 Рп-1 (0, 0 3 pk(t, 0) =
t е R &=1
п+тп
= 2 Ру(0, 0) = G„+m(0, 0)-G„_1(0, 0), я>1. (4)
Если мы устремим пг к бесконечности, то в силу предложения
1.4
P[Bn]<G(0, 0)-G„_1(0, 0)<оо;
тогда
РГЙш Л„1 = lim P[B„]<G-G = 0,
Ln->00 J П-><»
и предложение 3 доказано.
Следующий шаг приводит нас к усиленному закону больших
чисел Колмогорова, который мы сформулируем без доказатель-
ства ’) в терминологии определения 1.
Предложение 4. Если для некоторого случайного блуждания
пг = 2 I х | Р (0, х)<оо,
X&R
р = 2 хР (0, х),
хе R
то последовательность случайных величин Sn = Xi + ... + Xn под-
[S 1
lim — == р I = 1.
Л->оо п J
Замечания, (а) Теорема имеет вполне определенный смысл и
даже верна для произвольного d-мерного случайного блужда-
ния, где d> 1. При d>l ц является вектором, так же как и слу-
чайные величины Sn. Однако мы будем пользоваться предложе-
нием 4 только тогда, когда d==l.
9 Первое доказательство теоремы, для бернуллневского случайного блу-
ждания, восходит к Борелю [5]. Наиболее общая формулировка предложе-
ния 4, данная Колмогоровым двадцать лет спустя, стала возможной благо-
даря разработанному им обоснованию теории вероятностей на основе теории
меры [48]. Многие современные монографии, такие, как [24] и [58], содержат
несколько различных доказательств усиленного закона больших чисел (до-
казательство Колмогорова и доказательства, основанные на свойствах мар-
тингалов или эргодической теории)«
(б) Легко доказать, что множество
8п (т)
п
= И
принадлежит представив его в виде комбинации счетного
числа цилиндрических множеств вида [<о | | Sn (а) — пц j > г], где
г может быть любым положительным 'рациональным числом').
Наша первоочередная задача состоит в том, чтобы доказать
достаточное условие возвратности одномерного случайного блу-
ждания. Это условие обсуждалось в конце § 2 и послужило по-
водом для введения теории меры. Для доказательства условия
возвратности нам будет достаточно следующего ослабленного
(на вид, но не на самом деле) варианта предложения 4. Пред-
положим, что р¥=0, и обозначим через Сп множество
Заметим, что из предложения 4 следует, что
Р Г lim С„1 = 0.
|_П->оо J
Положим Лп=[<1>!Sn=0]. Отметим, что Сп определено так, что
Л„сСп для всех «>• 1, поэтому
Р [ lim Л J = 0. -
1п-»оо J
И, наконец, в предложении 3,было показано, что верхний предел
последовательности Ап имеет P-меру нуль тогда и только тогда,
когда определяющее меру случайное блуждание невозвратно.
Следовательно, любое случайное блуждание, для которого
т<оо и р=#0, невозвратно! (Наше доказательство сохраняет си-
лу и в том случае, когда d>l.) Сопоставляя этот факт для d=l
с предложением 2.8, мы можем утверждать, что справедлива
Теорема 1. Одномерное случайное блуждание с конечным аб-
солютным средним т возвратно тогда и только тогда, когда ц;
равно нулю.
*) Соответствующее представление имеет вид
со | lim
— Прим, ред.
Теперь применим идеи этого параграфа для того, чтобы по-
лучить одно интересное обобщение некоторых свойств бернул-
лиевского случайного блуждания.
Пример 1. В примере 1.2 было показано, что для бернуллиев-
ского случайного блуждания с p>q
g(°>x) = T^7 для (О
Г Ч
Этот результат чрезвычайно интересным образом можно распро-
странить на произвольные непрерывные справа случайные блу-
ждания с положительным средним. Предположим, что
1
Р(0, х) = 0 для х>2, 0<ц= 2 хР(0, х),
и докажем, что для такого случайного блуждания
G (0, 0) = G (0, 1) = G (0, 2) = ... =-7. (2)
И
Эти соотношения — четко выраженное обобщение равенства (1),
для которого р = р — q.
Заметим сначала, что в силу теоремы 1 рассматриваемое
случайное блуждание невозвратно. Кроме того, согласно уси-
ленному закону больших чисел (предложение 4), Sn->+oo
(или хп оо) с вероятностью единица. Следовательно, если
= min 11 С k оо, xfe = #],
то
[тг/< °°1 1 ДЛЯ
так как непрерывное справа случайное блуждание не может
«перескочить» точки при движении вправо. Таким образом,
оо
^(О, у) =3^(0, у) = 1, г/>1. (3)
k— 1
Отметим далее, что при хфу
G(x, y) = F(x, y)G(y, y) = F(x, y)G(0, 0) (4)
(это утверждение содержится в предложении 1.5). Положив в
равенстве (4) G(0, 0) = G и х=0, из (3) получаем
G(0, z/) = G для г/>1. (5)
4 Зак. 1375
Таким образом, осталось только показать, что эта постоянная G
равна у.-1. С этой целью используем тождество
<2(0, х) = 2 6(0, у)Р(у, х) + 6(0, х), x^R, (6)
y^R
которое легко получить -из определения 1.4 и предложения 1.1.
При х> 1 это тождество сводится к тривиальному 6 = 6, по-
этому мы должны рассмотреть также отрицательные значения х,
хотя значение 0(0, х) для отрицательных х неизвестно. Спра-
ведлива запись
оо О
Ц=Р(0,i)-2 2 Р(у, х),
У=1 Х=-0О
которая наводит на мысль, что нужно просуммировать тожде^
ства (6) по х от —оо до 0, чтобы получить
о о
2 6(0,-х)-1 = s 6(0, у) 2 Р(у, х) =
Х=~оо х=-оо
оо О 0 0
= 2g(o, у) 2 Р(у, х)+ 2 0(0, у) 2 р(у, *) =
у — 1 Х——ОО у=я—<Х> Х= — ОО
О О
= 6[Р(0, !)-!*]+ 2 0(0, у) 2 Р(у,х)1
у=—оо Х=—ОО
при этом обоснование перестановки порядка суммирования не
вызывает затруднений. Следовательно,
0 Г 0 1
6ц=1 + 6Р(0, 1)- 2 0(0, у) 1- 2 Р(у, X)к
у—— ОО |_ —со J
при 1.
так как
о
2 р (у, х) = 1
Х==-оо
Тем самым доказательство равенства (2) заканчивается.
В гл. VI (предложение 24.6) будет дано дальнейшее обобщение
равенств (2). Если принять предположение о том, что т<со и
р>0, но отбросить гипотезу о непрерывности справа, то равен-
ства (2) уже перестают быть справедливыми. Однако в пред-
ложении 24.6 будет показано, что они остаются верными асим«.
птотически, т,- е.
lim 6(0, х) = -^-.
*->оо
§ 4. Размах случайного блуждания
Чтобы проиллюстрировать с новой точки зрения свойство
возвратности случайного блуждания, изучим случайную вели-
чину, связанную естественным образом с каждым случайным
блужданием. Считаем, что переходная функция Р(х, у) и размер-
ность пространства R произвольны. Наиболее естественный путь
состоит в том, чтобы все формулировать в терминах простран-
ства с мерой определения 3.1. Мы имели So=O, Sn = Xi + .. . + Xn,
где X,- — независимые одинаково распределенные случайные ве-
личины с распределением Р[Х<=х]=Р(0, х). Таким образом, зна-
чение Sn соответствует положению блуждающей частицы в мо-
мент времени п.
Определение 1. Обозначим через Rn, п>0, кардинальное чис-
ло (число точек) случайного подмножества пространства R, со-
стоящего из точек 0=So, Sb , Sn.
Таким образом, ясно, что величина Rn (называемая размахом
случайного блуждания в момент времени п) является измери-
мой функцией на (Й,<У, Р), будучи попросту числом различных
элементов последовательности So. Sb ..., Sn, или числом различ-
ных точек,, посещаемых случайным блужданием за время п.
Заметим, что не представляет труда определить распределе-
ние величины Rn (как раз оно-то нас и интересует) в терминах
простых аналитических структур § 1. Например,
P[R2=l]»tP(0, О)]2,
P[r2 = 2]= 5 Р(0, х)[Р(х, х) + Р(х, 0)] + Р(0, 0) 3 Р(0, х).
Ясно, однако, что это представление не очень удобно.
Нас будет интересовать обычный закон больших чисел для
последовательности Rn; при этом мы будем говорить, что Rn/n
сходится по мере к постоянной с, если
lim Р Г1—— cl > el = 0
П->оо II П I J
для любого 8>0. Будет доказана
Теорема 1. Если случайное блуждание невозвратно, то Rn/n
сходится по мере к G-1=l—F>0; если же оно возвратно, то
RnM сходится по мере к 0 (т. е. в возвратном случае' Rn/n также
сходится к 1 — F).
Доказательство. Сначала подсчитаем E[Rn]. Формула
п+1
E[R„]= 3*P[R„ = £]
мало пригодна, поэтому лучше вернуться к определению 1 и
представить Rn jb виде суммы случайных величин, принимающих
значения 0 или 1 в соответствии с тем, равна ли Sn одной из
предыдущих частичных сумм или нет. Мы можем написать
Rn = Фь
Jfe=0
где <ро=1, <Pfe(Si,..., Sft) = 1, если Sft=#Sv для всех v = 0, 1,...
. —1 и ф4==0 в противном случае. Заметим, что хотя слу-
чайные величины cpfe и не являются независимыми, но все-таки
eirj-Sem.
fe=0
Для 1 имеем в обозначениях определения 1.2
Е [фл]= Р [Sft — #= О, Sfc — Sft_2 =# О, ...» Sft =£= 0] =
= P[Xft=#0, х. + х^^о,..., xft + xft_1+ ... +Xi¥=0] =
= P[X1#=0, Xi + Хг^О, .... Xj+ ... + Xft=^OJ =
k
= P[Sy#=0, / = 1,2.......A] = l-2F/(0,0). (1)
В силу определения 1.5 .
lim E [<p„] — 1 — F 0,
П->оо
где 1—F=0 тогда и только тогда, когда случайное блуждание
возвратно. Но среднее арифметическое чисел Е[<р„] также схо-
дится к 1 — F, т. е.
lim i Е [R„] = lim 1V Е = 1 - Л
П-X» п п-><х> П
Наконец, чтобы показать сходимость Rn/n по мере к 1—Л
нужно рассмотреть отдельно случаи возвратного и невозвратного
случайного блуждания. Наиболее прост случай возвратного слу-
чайного блуждания. Здесь для произвольного е>0 и п—>оо
справедливо соотношение
ОО
L J [А|ГТпе] k=0
поэтому Rw/n->0 по мере.
В случае невозвратного случайного блуждания можно полу-
чить похожую оценку (используя неравенство Чебышева)
Здесь o2(Rn) = E[(Rn— E[Rn]}2] — дисперсия Rn, а так как мы по-
казали, что E[Rn/n]->l—F, то доказательство будет закончено,,
если мы покажем, что
lim -Vo2(Rrt) = 0.
П->ОО п
Произведем следующие вычисления:
п п
2 2{Е[ф/Ы-е[<р,]-е[<ы}<
/=0 Jfe=0
с 2 2 {Е [ф/р»] — Е [фу] Е [ф*]} + 2 Е [фД *).
0</<Л<п /=0
(3>
Заметим теперь, что при j<k
Е[фуФ*]- P[Sy#= So для a<j и Sft=/=Sp для 0<£]<
<P[Sy=# Sa для а</и S*=/= Sp для/<₽<£] =
= Р[Ху=^=О, Ху + Ху^О........Ху+ ... +Х1=/=0;
Хй=#0, Х. + Х^^О, .... Х*+ ... +ХЛ1 0]-
= P[Xi=/=0, ..., Xj+ ... +Ху¥=0] X
X PlXj^O, .... Xi+ ... + Xft_y#=O], (4>
поэтому для j<k
Е [ф7ф*] < Е [фу] • Е [ф*_у].
Подставляя полученную оценку в (3), имеем
a2[R«]<2 2 Е[ф;] • 2 [Eq>ft_y-Eq>4] + EIR„]. (5)-
/=0 Л-/ + 1
9 Справедливость последнего неравенства следует из того, что если,
случайная величина принимает только значения 0 и 1, то ее дисперсия,
всегда меньше математического ожидания. — Прим. ред.
Легко видеть, что для любой невозрастающей последователь-
ности > аз > ... сумма
2 [ак-з~ак] = («i + a2 + ••• + а„-у)-(«м + ••• +«л)
fc=/+i
•максимальна при ]=[п/2] ([п/2]— целая часть от п/2). Из соот*
ношений (1) следует, что последовательность E<pft монотонно
убывает. Тогда, положив ак = Е<рк, получаем из (5)
о2 (R„) < 2 £ Е [<ру] Е [R„-In/2] + R[n/2] ~ Rn] + Е [R„].
/=0
Ранее было показано, что E[Rn/n] стремится к 1 —F при п-^оо,
отсюда следует, что
lim ±1^1 < 2 (1 - F) • lim Е rR"-^21+Rt»/2]ZL?» l =
<П->оо П ri-*™ L П J
= 2(1-Л[-Ц^ + -^-(1-F)] = 0.
Тем самым доказательство теоремы 1 закончено.
Метод, которым была доказана теорема- 1, был разработан
Дворецким и Эрдёшом ([21], 1951), когда они детально изучали
свойства размаха Rn для простого случайного блуждания.
Одним из результатов, полученных ими, был усиленный закон
больших чисел для простого случайного блуждания:
р[ lim —= 1 —fl = 1, (1)
Ln->oo, П J
из которого, конечно, вытекает теорема 1. В самом деле, эта
формула справедлива для любого случайного блуждания. При-
ведем только набросок простого доказательства этого факта, по-
скольку оно выходит за рамки настоящей главы, так как опи-
рается на эргодическую теорему Биркгофа. ч
Пример 1. Чтобы установить справедливость этой формулы
.для произвольного случайного блуждания, введем верхнюю и
.нижнюю границы
Rn Rn, д 0, (2)
следующим образом.
Выберем (большое) целое положительное число М и опреде*
. лим Rn, м как число различных точек к моменту п, причем под-
счет будем производить так, как будто в моменты М, 2М, ЗЛ4,...
.все начинается заново. Чтобы формализовать эту идею, введем
в рассмотрение независимые случайные величины Zft(Af), равные
числу различных частичных сумм среди SftM, S^m+i, .... S(ft+i)M-i
для k=0, 1,2,.... Пусть, затем,
[n/Af]+l
R», м= 2л(Л4).
А=0
Очевидно, что Rn-CRn, м- Применяя усиленный закон больших
чисел (предложение 3.4) к среднему арифметическому последова-
тельности ZA (М), получаем
[п/М]+1
Zft(M)=^-E[Z0(M)] = -l-E[RJf].
П->ОО п п-><*> п — т т
Пусть теперь Л4->оо; при доказательстве теоремы 1 было по*
казано, что
Л4-'ЕЩЛ]->1-Л
поэтому с вероятностью единица
fim — < 1 — Л (3)
П->оо П
Учитывая, что Rn = Rn(Xi, Х2,..., Хп) определялось как случай-
ная величина на вероятностном пространстве (й, Р), где
Wft=Xft(©) и Хй — взаимно независимые одинаково распределен-
ные случайные величины с распределением Р(0,х) = Р[Хй=х],
определим величину Dn как число точек, посещаемых за время
п и никогда уже более не посещаемых после этого момента. Та-
ким образом, Dn будет функцией на том же самом вероятност-
ном пространстве (й,<^~, Р). Точное определение Dn следующее:
, я
= 2 'Фл,
£=0
где фь«=1, если Xft+1+ ... +Xfe+v=#0 для v~l, 2, ..., и $^ = 0 в
противном случае. Очевидно, что Dn удовлетворяет неравенству
(2), ибо любая точка, которая была сосчитана при вычислении
Dn, в действительности посещалась за время п.
Теперь мы готовы применить индивидуальную эргодическую-
теорему (см. [24, стр. 417] или [58, стр 442]). Пусть Т является
оператором сдвига, определяемым соотношением (T(d)h = a)k+i^
^Xfc+p Этот оператор сохраняет меру, т. е.
- Р [г’л] =» Р [Л], Л S зГ,
поэтому с вероятностью единица существует предел
п
для любой интегрируемой функции f на й (этот предел может
быть случайной величиной). Если в качестве f взять f(w) =фо(<х>),
то f (Tfeco) =фй((о) и с вероятностью единица существует предел
п
lim 4 S = lim "ТТ ’
n->°° П — n~>oo n
«=0
Так как (й, <У, Р) — произведение вероятностных пространств,
то можно даже утверждать, что этот предел равен некоторой
константе (это так называемый закон нуля — единицы Колмого-
рова (см. [24, стр. 97])) и эта константа равна
Е[/(®)] = Е[ф0(©)] =
= Р[Xj + ... +Xv=/=0 для всех v^l] = l — F.
Поэтому с вероятностью единица
lim ^-= 1 — F,
пч,™ п
lim
--- п
(4)
и соотношение (1) следует из неравенств (3) и (4).
Замечание. Приведенное доказательство было получено авто-
ром совместно с Кестеном и Уитманом (не опубликовано). Оно
не только проще доказательства теоремы 1, но из него без допол-
нительных усилий получаются интересные обобщения. В задаче
14 гл. VI показано, как можно заменить число Rn точек, которые
посетила блуждающая частица к моменту времени п, числом то-
чек, которые заметет конечное блуждающее множество; предел
в соотношении (1) будет тогда емкостью множества, о котором
идет речь. Таким образом, изучение Rn переносит нас в область
теории потенциала, которая вкратце будет обсуждена в § 13
(гл. III) и § 25 (гл. VI). Несколько предвосхищая последующее
изложение теории, сформулируем аналог теоремы 1 и примера 1
для трехмерного броуновского процесса x(f), являющегося ана-
логом с непрерывным временем простого случайного блуждания
в трехмерном пространстве (см. Феллер [86, т. 1, гл. XIV]). Пусть
S — компактное множество в трехмерном пространстве, а
x(t)+S— его сдвиг случайным процессом х(т). Множество то-
чек, посещаемых блуждающим множеством за время /, яв-
ляется объединением по т множеств вида х(т)+5, где
‘Обозначим меру Лебега (объем) множества, полученного таким
способом, через
RJS) = I и {х (?) + $} .
loctc*
Это определение имеет смысл, так как траектории броуновского'
движения, должным образом определенного, почти всюду непре-
рывны-на своем вероятностном пространстве. Тогда можно дока-
зать, следуя методу примера 1, что на этом пространстве предел
/->оо 1
существует почти всюду. Этот предел есть не что иное, кай
обычная электростатическая емкость множества S.
В § 25 мы покажем, что с каждым случайным блужданием
удобно связать понятие емкости и, как это будет видно из при-
мера 25.1, предел 1—F, фигурирующий в равенстве (1), есть
просто емкость множества, состоящего из одной точки.
§ 5. Сильная теорема отношений
В этом параграфе мы будем изучать отношения переходных
вероятностей вида
Рп (0, х) Pn+t (0, 0)
Р„ (0, 0) и Р„ (0, 0) ‘
Мы покажем, что при надлежащих предположениях о переход-
ной функции Р(х, у) эти отношения сходятся (к единице) при
п—>оо. Очевидно, что это утверждение, сформулированное в при-
веденной ниже теореме 1, представляет собой значительное уси-
ление предложения 1.5 — слабой эргодической теоремы для отно-
шений. Впервые оно было доказано Чжуном и Эрдёшем [102].
Эта довольно глубокая теорема будет несколько в стороне
от наших исследований до последнего параграфа гл. VII. Там
мы будем рассматривать отношения вида
2 Fk (х, 0)
W= -------------
S Fk (о, 0)
для возвратного случайного блуждания. Доказательство сходи-
мости J п(х) при п->оо будет опираться на утверждение теоре-
мы 1, в которой речь идет о гораздо более простом отно-
шении Pn+i (0,0)/Рп(0,0). Хотя Pn+i (0,0)/Рп(0,0) и даже
Рп(0, х)/Рп(0,0) стремятся к «неинтересному» единичному пре-
делу, но о пределе
lim/„ (х) = / (х) (1)
П->оо
этого сказать нельзя. Поскольку этот факт является основным в
теории возвратного случайного блуждания, мы должны сделать
несколько замечаний в целях мотивировки дальнейшей работы.
Задолго до того, как мы будем в состоянии доказать (теоре-
ма 32.1), что отношения /п(х) сходятся, мы докажем (в гл. III и
VII), что ряды
2[Р„(0, О)-Р„(х, 0)] = а(х) (2)
п=0
сходятся для произвольного апериодического случайного блу-
ждания. Этот результат, конечно, связан с задачей настоящего
параграфа: он много сильнее предложения 1.5, но, к сожалению,
слишком слаб, чтобы из него следовала сходимость
Рп(0,х)/Рп(0,0). Таким образом, наш план состоит в следую-
щем. В этом параграфе мы докажем «в лоб», что при соответ-
ствующих условиях Р„(0, х)/Рп(0, 0) —► 1 (теорема 1). Позже
(для двумерного пространства в гл. III и для одномерного в
гл. VII) мы установим справедливость равенства (2) и, наконец,
в § 32 (гл. VII) используем равенство (2) и теорему 1, чтобы
показать существование предела (1) с той же предельной функ-
цией, что и в равенстве (2). Таким образом, мы получим, что
а(х) =Цх) для х¥=0, или
{х, 0)
б (х, 0) + У [Р„ (0, 0) - Р„ (х, 0)] = lim , хеР, (3)
k—n
для произвольного апериодического случайного блуждания, воз-
вратного и невозвратного, вне зависимости от его размерности.
Ясно, что любая совокупность условий для сходимости отно-
шений, подобных Ря(0. х)/Рп(0, 0), должна обеспечивать поло-
жительность Р„(0,0) по крайней мере для достаточно больших п.
Заметим,, что случайное блуждание может быть апериодическим
и даже возвратным, однако не удовлетворять этому условию.
(Для простого одномерного случайного блуждания Рп(0,0)=0
для всех нечетных «.) Поэтому нужно усилить условие аперио-
дичности. Мы дадим определение, которое с первого взгляда мо-
жет показаться запутанным, однако с ним, как это будет видно,
мы достигнем желаемого результата. В то же время оно будет
достаточно слабым, чтобы не налагать существенных ограниче-
ний на класс случайных блужданий. В предложении 1 будет по-
казано, что по крайней мере всякое возвратное случайное блу-
ждание можно модифицировать (подходящим изменением его
пространства состояний и шкалы времени) так, что оно станет-
строго апериодическим.
Определение 1. Случайное блуждание с переходной функ-
цией Р(х,у) и пространством состояний R называется строга
апериодическим, если для каждого х из R наименьшая подгруп-
па в R, которая содержит множество
x + % = [y\y = x + z, где Р(0, z)>0]
совпадает со всем R.
Так как в этом параграфе нас интересуют главным образом
возвратные случайные блуждания, достаточно будет рассмотреть
сущность определения 1 при этом ограничении. (В гл. II (опре-
деление 7.8) мы дадим характеристику произвольного строго апе-
риодического случайного блуждания в терминах характеристиче-
ской функции случайного блуждания, а затем используем ее в
предложении 7.9, чтобы получить сведения, касающиеся асимпто-
тического поведения Рп(0, х) при п->оо. За этим исключением
строгая апериодичность не будет представлять для нас какого-
либо действительного интереса до тех пор, пока мы не перейдем
к упомянутым выше теоремам гл. VII.)
Предложение 1. Для апериодического возвратного случай-
ного блуждания имеются всего две возможности:
(а) случайное блуждание строго апериодично — тогда для
любого х из R найдется такое целое число N=N(x), что
Рп (0, х) >0 для всех п^ N;
(б) случайное блуждание не является строго апериодиче-
ским— тогда существует такое целое число s>2 (период), чта
Pns{0, 0)>0 для всех достаточно больших п и Р^(0, 0) =0, когда
k не делится на s.
Замечание. Из доказательства будет видно, что в случае (б),
если х=/=0, то Рп(0, х)=0, если только п не принадлежит ариф-
метической прогрессии вида n = ks + r, где г зависит от х.
Доказательство. Заметим прежде всего, что множество'
=[п|Рп(0,0)>0] является полугруппой: если Рп(0,0)>0 и
Лп(0,0)> 0, то Pm+n (0,0) >РП (0,0) Рт(0,0) > 0. В силу возврат-
ности случайного блуждания (требование гораздо сильнее, чем
необходимо) e/F’ не пусто. Следовательно, имеются только две
возможности:
1) наибольший общий делитель чисел из e/f3 равен 1;
2) наибольший общий делитель равен $>1.
Доказательство предложения 1 сводится к тому, чтобы по-
казать, что случай (1) соответствует пункту (а), а случай (2)
соответствует пункту (б).
Очевидно, что в случае (1) вероятность Рп(0,0) положи-
тельна для достаточно больших п. Аналогично, для любого
х#=0 существует такое целое число т, что Pw(0, х) >0. Поэтому
Pn+m(0, Х)>Р„(О, 0)Рт(0, х)>0
для всех достаточно больших п. Остается только показать, что
в случае (1) случайное блуждание строго апериодично. Поэтому
выбрав две произвольные точки х и у из R, мы должны пока-
зать, что у принадлежит группе, порожденной множеством
х+S. Поскольку Рп(0,у), как и Рп(0,0), положительно для
всех достаточно больших п, найдется такое и>0, что
У = сГ1 + ог2+ ... +,ап и 0= — on+i — <тп+2— ... — о2п,
где oi, ..., огп — элементы (не обязательно различньГе) из S.
Это позволяет представить у в виде суммы
п п
У = 3 (X + aft) - 3 (х + ст„+й),
k=i fe=i
что и является желаемым представлением у как элемента груп-
пы, порожденной множеством х+S. А отсюда следует, что слу-
чайное блуждание строго апериодично.
Рассмотрим теперь вторую возможность, случай (2). Обо-
значим через — 2* множество точек вида —(сч Н-о24-.. . + ой), где
Заметим, что Рп(0, х)=0, когда хе—если только п
не представимо в виде n = ks— 1. Это совершенно ясно, так как
условия хе —Si и Рп(0, х) >0 вместе означают, что Pn+i (0,0)>
>Рп(0, х)Р(х, 0)>0. Тем самым показано, что в точки из мно-
жества —Si можно попасть только в моменты времени, обра-
зующие прогрессию вида ks — 1. Аналогично, в точки из —2г
можно попасть только в моменты времени, образующие про-
грессию вида ks — 2, и т. д. до тех пор, пока мы не дойдем до
множества точек —Ss, которые посещаются случайным блуж-
данием только в моменты времени вида ks. Далее ясно, что
каждое множество —E3-s+r, / > 0, 1 -О s, как и —Ег, обла-
дает тем свойством, что блуждающая точка может попадать в
это множество только в моменты времени, которые являются
членами прогрессии ks — г. Поскольку случайное блуждание с
переходной функцией Р(х, у) возвратно и апериодично, из тео-
ремы 2.1 следует, что R=R=R*, a R* является полугруппой, по*
рожденной множеством —Е. Следовательно, каждая точка из R
находится в некотором —Sjs+r- Таким образом, R разбивается
в s классов эквивалентности, при этом две точки х и у принад-
лежат одному классу эквивалентности, если арифметическая
прогрессия, состоящая из целых чисел п, для которых
Рп (0, х) > О при достаточно больших п, та же, что и для у. Из
неравенства Pm+n(0,0)>Рт(0, х)Рп(х,0) следует, что точки из
—S3s+r находятся в том же классе эквивалентности, что и точки
из Следовательно, класс эквивалентности, содержащей
начало координат, является группой Н. (Другие классы экви-
валентности являются его классами смежности!) Чтобы закон-
чить доказательство предложения 1, возьмем просто любой х из
Sg-i. Тогда x+SczSs и следовательно, порождает собствен-
ную подгруппу HczR. Тем самым доказано, что случайное
блуждание, обладающее свойством (2), не может быть строго
апериодическим.
В дальнейшем нам будет не достаточно знать, что «-шаго-
вая переходная функция строго апериодического случайного
блуждания положительна для достаточно большого п. Нам по-
требуется явное выражение для ее нижней границы, которое
дается в предложении 2.
Предложение 2. Пусть Р(х, у)—переходная функция воз-
вратного строго апериодического случайного блуждания. Для
любой точки х из R и произвольного е, 0<е< 1, существует та-
кое N=N(x,e), что
Лг(0> ~е)п для n^N.
Доказательство. Так как случайное блуждание возвратно, то
2 (0,0) = оо, а это означает, что радиус сходимости степен-
ного ряда Sz^PnCO, 0) равен единице. Поэтому
Пт [Р„(0, 0)]1/п=1.
П->оо
Отсюда следует, что для любого s, 0<е< 1,
Р„(0, 0)>(1-8)" (1)
для бесконечно многих целых положительных чисел п. Заметим
также, что если соотношение (1) выполняется для п=т, то
Pkm(0, 0)>[Рт(0, 0)]*>(1 -е)ш (2)
Для любого целого Возьмем теперь произвольную точ-
ку х из R и из бесконечной последовательности целых чисел т,
Для которых выполняется неравенство (1), выберем т такое,
что
min Р/(0, х) = Д>0. (3)
т < / < 2т
Это возможно в силу пункта (а) предложения 1. Если п больше
‘2т, то его можно представить в виде п= (&+1)тп+г, 0<r^m;
поэтому
Р„(0, x)>Pm+r(0, x)Pftm(0, 0).
Используя соотношения (2) и (3), получаем
Л, (0, х) > Л (1 — e)m* > А (1 - в)п.
Итак, мы доказали, что даже при А<\
lim Р„ (0, х) (1 - е)"п >0, х е Я,
для любого 8 между 0 и 1, а отсюда следует справедливость
предложения 2’)•
Следующая лемма касается общеизвестной* 2) экспоненциаль-
ной нижней границы для биномиального распределения. Мы
сформулируем соответствующее утверждение в терминах бер-
нуллиевского случайного блуждания.
Предложение 3. Пусть Sn = X] + X2-|-...+Xn — бернуллиев-
ское случайное блуждание в обозначениях определения 3.1 с
0<p = P(0, l) = P[Xft=l] = l-P(0, -1)<1.
Тогда существует постоянная а>0, зависящая от р, но не за-
висящая от п, такая, что
Р [ | - (2р - 1) | > е] < 2e~at?n
для всех и всех 8>0.
Доказательство. Ради удобства записи положим Тп ==
= n-1[Sn — п(2р — 1)]. Так как [Тп|<2, то при 8>2 предложе-
ние 3 выполняется автоматически. Поэтому предположим, что
0<8^2. Можно упростить задачу, доказывая только, что для
некоторого а>0
0<8<2. (1)
}) Действительно, если бы существовали такое 8, 0<8<1, и такая по-
следовательность целых чисел что (0, х)<(1— е)”*, то
неравенство lim Рп (0, х) (1 — е/2)~п > 0 не выполнялось бы, поскольку
lim P„k (0,х)- (1 -е/2) < lim ( ? ~А~) *-=0. —Прим. ред.
*->°° ' 1 z‘2 '
2) Это оценка С. Бернштейна (см. [69, стр. 322-^—326]).
В случае когда Тп заменено на —Тп, доказательство соотно-
шения (1) будет таким же, просто вместо Sn надо рассматри-
вать —Sn. Другими словами, если доказать соотношение (1)
для а = а(р), где р, 0<р<1, произвольно, то (1) будет выпол-
няться для —Тп, но с а=а(1—р), а предложение 3 будет вы-
полняться для a=min[a(p), а(1 — р)].
В обозначениях определения 3.1 получаем, что для каждого
/>0 и е > О
Р [Т„ > е] < е"<еЕ [еп*-, Т„ > е] < е’<еЕ [е<т«]. (2)
п
, fc=i
Е = Е L?
В силу независимости случайных величин Xfe (предложе-
ние 3.1) имеем
IpF т(х*“2р+1)1Г Г т(1"р) j-o \ _трГ
= 1Е[е’1 Jj = \_реп +(1— р)е " J . (3)
Разлагая функцию
f (х) = рех (1~р> + (1 — р) е~хР
I
в ряд Тейлора в окрестности нуля, легко убеждаемся, что
f(0) = l, f(0)=0, f"(0)>0. Следовательно, существуют две по-
стоянные &1>0 и &2>0, зависящие от р и такие, что
f (х) 1 + ktx2 ekiX>,
как только Поэтому из соотношений (2) и (3) сле-
дует, что
Р [Т„ > е] < [/
если \2t\^.nkz. Пусть теперь t=cne, где с>0 выберем позднее.
Тогда
Р[Т„>е]<е-пЕг(с-«‘с2),
если |2се|-^ k2. Так как е-С2, то с можно выбрать так, чтобы
одновременно было 2cs ^k2 и с — 4&ic2>0. Если теперь поло-
жить а — а(р)=с — 4kiC2, то ясно, что неравенство (1), а вместе
с ним и предложение 3 доказаны.
Теперь мы в состоянии доказать сильную теорему отноше-
ний (теорема 1). В доказательстве Орея [45] используется изящ-
ный прием, состоящий в том, что на переходную функцию
сначала налагается условие Р(0,0)>0. Поэтому и мы
в предложении 4 рассмотрим случайные блуждания именно с
этим/свойством, а в последующем доказательстве теоремы 1 по-
кажем, как это предположение можно отбросить.
Предложение 4. Для любого апериодического случайного
блуждания, для которого 0<Р(0,0) = 1 —а<1,
(б) lim ’пЛ'7п ~ 1 &ля всех x^R.
п->оо (и, щ
Доказательство. Предположение о том, что Р(0, 0)>0, озна-
чает, что Рп(0,0)>0 для всех п>0. Но согласно предложе-
нию 1, такое случайное блуждание строго апериодично. Это
свойство решающее, ибо оно позволит нам применить предло-
жение 3 для нахождения оценок, к чему мы сейчас и присту-
пим.
Будем говорить, что в момент j— 1 произошел скачок, если ,
Xj-i¥=xj. В соответствии с числом скачков, совершенных случай-
ным блужданием за время и, вероятность Рп(0, 0) можно пред-
ставить в виде
Рп (0, 0) = Ро [х„ = 0] = s Ро х„ = 0; п - 1 6 (хЛ1, х;) = k . (1)
Л=о L /==1 J
Так как Р(0, 0) = 1—а, то вероятность совершить ровно k
скачков за время п равна j
b(n,k, а) = (£)а*(1-а)пЛ (2) j
т. е. число скачков имеет биномиальное распределение. Если
скачок произошел в момент / и если Xj=x, то вероятность того,
что xi+l=y, равна
( а"1? (х, у) для х=£у,
Q\x, у) = \ Л
( 0 для х = у.
(3)
Нетрудно проверить, что формула (3) определяет переходную
функцию Q(x, у) некоторого случайного блуждания. Итерации
этой переходной функции обозначим через Qn(x,y) и из тож-
дества
Р(х, t/) = (l -a)d(x, i/) + aQ(x, у), х, y&R,
получим!) ,
Рп (о, 0) = 2 QH0, 0) b (п, k, а), п > 0. (4)
k=0
Теперь мы разобьем сумму в правой части равенства (4) на
две суммы (S-X.+2„>е)» причем суммирование в 2„ е
происходит по множеству целых положительных k, таких, что
04^4» и \k — na|<en (здесь е — произвольное положитель-
ное число, которое позже мы устремим к нулю), а 2"е~
сумма по оставшимся значениям k, заключенным между нулем
и п. Используем теперь экспоненциальную оценку, полученную
в предложении 3, представив ее в виде
2" р (п, k, a) < 2е~Ае2п, п > 1, (5)
для некоторой положительной постоянной Л, которую можно
выбрать независимо от 8.
И, наконец, используем соотношение (4), чтобы представить
отношение Рп(0, 0)/Pn+i (0, 0) в виде суммы двух дробей
2n,eQH0-0)6(n,*,a) eQk(0,0)b(n, k,a)
Pn+l (0,0) Ря+1 (0, 0) + P„+I (0,0) • W
В силу неравенства (5) и предложения 2 последнее слагаемое
в равенстве (6) ограничено сверху величиной
2е~Легп < 2е~Ле2,г
Р„+1(0,0) (1 - d)n+I
для всех n^N(6),
если только 0<д<1. При п—>оо оно стремится к нулю. Отсюда
следует, что
— Pn(0,0) — 2n, е Qk (0, 0) b (п, k, a)
X Рл+> (0,0) Р„+1 (0,0) —
<-• ij™ 2n+l, е Q& (®» ®) b (п, k, а)
П ™ Рл+1(0, 0) + ** е.
(7)
где /?п,е—поправочный член, который стрейится к нулю при
п —» оо. (Этот член имеет вид [Pn+i (0, О)]-12 WQfe(0, 0) b(n, k, а),
где суммирование в 2“ распространяется на все значения k из * 5
') Из приведенного тождества нетрудно по индукции получить равенство
П ,
Рп (х, у)= Qk(x} у) b (nt k, а), откуда при x=y=Q имеем (4). — Прим.
k=Q
ред.
5 Зак. 1375
множества, по которому происходит суммирование в но
не в 2д+1 е О* Следовательно,
I р к* 8/2 ^п> а)
РЛ+1 (0, 0)
для всех достаточно больших п и стремится к нулю в силу пре-
дыдущих соображений, основанных на предложениях 2 и 3.)
Продолжая оценку (7), имеем
Р- Рп(0>°) р- K+i,eQH0>0)6(n,ft,a)
lim---------11 гп • ,.------------
л-><» Рп+1 (0, 0) п->ео 2л+1, е Qk (0> 0) + 1> к, а)
л->оо[А| ]fe-(n+l)a|<e(n+l)] b («+!-*>«)
n->oo [£| |fe-(n+l)a|<e(n+l)] («+1)(1~«)
< lim %+рй-а±е1=1+* . (8)
п^оо (я + 1)(1-а) 1—a v/
В силу произвольной малости 8
lim
п->оо
Рп (0,0)
Рп+1 (0, 0)
Этот же метод доказательства можно применить к обратному
отношению Pn+i(0,0)/Pn(0,0), у которого, разумеется, верхний
предел также равен единице, так что пункт (а) предложения 4
доказан.
Переходим к доказательству пункта (б). Из равенства (в)
предложения 1.2 следует, что
п
Рп (0, х) = 2 рк (0, х) (0, 0), n > 1.
ьо
Для любого целого положительного т имеем
* т т
1™ > Ita 2 F» (0. X) _ 2 г, (0, Х).
п->оо П->оо^ = 0 fc=0
1) Легко видеть, что если е достаточно мало, то “ Y+Q^+(O,O)Z>(zi,^+, a) —
—y_Q^_(0,0)6(n,&_, a), где k± = [(a ± e) (n + 1)], а у± принимает значение 0
или 1 в соответствии с тем, выполняется или нет равенство [(<х±е) (п+1)]=
«=[(а±е)п] (здесь [а] —целая часть числа а), — Прим. ред.
При вычислении значения нижнего предела мы использовали
пункт (а) предложения 4. Так как случайное блуждание воз-
вратно, последняя сумма стремится к единице при т —»оо, по-
этому
lim i (о)
Ря(0,0) w
Чтобы закончить доказательство предложения 4, предполо-
жим, что (б) неверно. Тогда существует такое x0^R, что
Мы можем выбрать целое число k так, чтобы Рк(ха, 0)>0.
Тогда
Pn+k (0. 0) _ V1 Рп (0» у) п (у Л\ I Рп (0> Хр) Р /„ Л\ /1А\
/>„(0,0) 2л Рп(0,0) Pb'U<{j) + Р„(0, 0) О)- (10)
При п—>оо левая часть равенства (10) стремится к единице,
поэтому ’)
1 > 2 Р*(У, 0) Пт + (1 + 6)Рк(х0, 0)>
у^=хй п~*°° П ’
>1+бРй(х0, 0)>1.
Полученное противоречие завершает доказательство предложе-
ния 4. .
Теперь отбросим гипотезу о том, что Р(0, 0) >0.
Теорема 1. Для любого строго апериодического возвратного
случайного блуждания
(a) lim Рп (°* °) = 1
(б) lim рЯ £?’ n? = 1 для всех x^R.
«->оо vu>
Доказательство. Заметим сначала, что достаточно доказать
только пункт (а). Действительно, если пункт (а) доказан, то
для доказательства пункта (б) данной теоремы можно исполь-
зовать доказательство пункта (б) предложения 4, в котором не
фигурирует положительность Р(0,0). Обозначим через s наи-
') Автор использует здесь следующее очевидное утверждение: если
Ол, ₽п>0 и lim (ая 4-Р„) = 1, то lim ап + lim ₽я < 1. — Прим. ред.
П->°о П-+<х> П->оо
меньшее положительное целое число, для которого РДО, 0)>0.
На самом деле нас устроит любое положительное целое число,
обладающее этим свойством. Кроме того, мы можем, разумеется,
положить s>l, так как случай $ = 1 был рассмотрен в предло-
жении 4. Из предложения Г следует, что такое s существует, а
также что переходная функция
Q(x, y) = Ps(x, у)
является переходной функцией опять-таки апериодического воз-
вратного случайного блуждания. Эта переходная функция уже
удовлетворяет условиям предложения 4, поэтому
lim
Л->оо'
Qn (0, 0)
Сл+1 (0, 0)
- lim Р™ (0. 0)
Лл+»ио,о)
= 1.
(1)
Следовательно, пункт (а) теоремы 1 будет доказан, как
только мы покажем, что
lim -p5trA-’n?- = 1 Для l<r<s. (2)
n->oo *ns VA Щ
Нижнюю границу для отношения Pft^r(0,0)/Pns(0,0) можно
получить из равенства
^>Л5+г(0, 0) = 2b Рт (0> x}Pns(x> 0), (3)
x&R
применяя пункт (б) предложения 4 к отношению
Рns (-У» 0) __ Qn (*, 0)
РлИ0,0) Qn (0, 0) •
Имеем
lim
П"»оо
pns (0,0)
V Рг (0, х) • lim
I т!?Л“>оо
Qn 0)
Qn (о, о)
для любого Л4>0, поэтому
lim
П“>оо
Рns+r (0, 0)
Pns (0, 0)
>1.
Верхнюю границу получим из соотношения
р„(0,0)=£/ш 0)Рп_*(0, 0),
fe==0
п 1
которое является частным случаем равенства (в) предложе-
ния 1.2. Сначала проверяем, что Fft(0,0)>0 для всех достаточно
больших значений k, скажем для (это довольна легко
следует из возвратности и строгой апериодичности случайного
блуждания). После этого выбираем целое положительное чис-
ло р так, чтобы p(s—и устремляем п к бесконечности
в равенстве
Р{п+р) S (°, 0) V Г m s~k (°’ °) /е\ •
Р..(0.0> ° 1 Р„(»,0) <5>
fe=0
Если теорема 1 неверна, то равенство (2) должно нарушиться,
и в силу неравенства (4) должно найтись такое г, 0<O<s, что
верхний предел отношения Pns+r(0,0)/Pns(0,0) равен 1 + д>1.
Предположим, что это так. Коэффициент при этом отношении
в правой части равенства (5) есть Fps_r(0,0)—величина поло-
жительная в силу выбора р. Поскольку левая часть равенства
(5) стремится к единице, имеем
1>(1 +6)Fpj_r(0,0)+ £ Fft(0, 0) lim P^nsS'^)Q-- (6)
[fe | k ; k=£ps—r] n->oo
для любого 7И>0. Используя неравенство (4), получаем
1>(1+6)/^_г(0, 0)+ 2 Ffc(0, 0) = 1 + 6Fpi_r(0, 0)>1,
k^ps—r
что невозможно. Следовательно, верхний предел отношения
Pns+r(0,0)/Pns(0,0) заведомо не больше единицы для любого г.
Таким образом, равенство (2) выполняется и теорема 1 дока-
зана.
Замечание. Хотя размерность случайного блуждания, как это
может показаться, в процессе доказательства теоремы 1 не име-
ла значения, в следующей главе (теорема 8.1) мы увидим, что
теорема 1 доказана по сути дела только для случая d-^2. Дело
в том, что не' существует апериодического возвратного случай-
ного блуждания на пространстве размерности d^3. Конечно,
существуют случайные блуждания размерности d>3, для ко-
торых справедливы все или некоторые утверждения теоремы 1
(например, для простого случайного блуждания любой размер-
ности выполняется пункт (а) теоремы 1). В то же время легко
привести пример невозвратного строго апериодического случай-
ного блуждания, "Для которого теорема 1 неверна. Таким при-
мером будет служить любое одномерное случайное блуждание
с положительным средним, если Р(0,х)>0 только в конечном
числе точек. Можно показать, что в этом случае Рп(0,0) убы-
вает как геометрическая прогрессия, так что не только неверна
теорема 1, но и нарушается также важнейшая оценка предло-
жения 2.
Задачи
.1. Пусть для произвольного случайного блуждания величина
Ещ, п = Gn+m (0, 0) Gm(0, 0)
' означает ожидаемое число попаданий в нулевое состояние в ин-
тервале времени [т, т+п]. Доказать, что
£0> п Ет, п Для всех /п > 0, и >0.
2. Доказать, что для произвольного случайного блуждания
п-1
2^1(0, х)=1, в то время как 3 Fn(0, х) — 1 — 2 Fk(0, 0)
x&R x*=R fe=l
при п^2.
3. Определим переходную функцию двумерного случайного
блуждания в комплексной плоскости следующими соотноше-
ниями:
0<Р(0, 1) = Р(0, -1) = р<1,
Р(0, z)=l—2р,
так что Р(0, z) =0 для всех других z—m + ni. Показать, что это
случайное блуждание невозвратно, и вычислить F и G.
4. Найти наиболее простое выражение для величины Рп(0,0)
в терминах биномиальных коэффициентов в случае простого
случайного блуждания на плоскости. Применить формулу Стир-
линга для того, чтобы показать возвратность этого случайного
блуждания. (Это утверждение вместе с утверждением, содер-
жащимся в следующей задаче, составляют знаменитую теорему
Пойа [66].)
5. Используя формулу Стирлинга, показать, что простое
случайное блуждание размерности d >• 3 невозвратно.
6. Для произвольного апериодического возвратного случай-
ного блуждания хп с начальным состоянием хо=О вычислить
ожидаемое число попаданий в точку х=£0 до момента первого
возвращения в начальное состояние. Показать, что ответ не
зависит от х (и от конкретного вида случайного блуждания).
7. Проделать аналогичные выкладки (см. задачу 6) для не-
возвратного случайного блуждания.
8. Объяснить, почему легко решить задачи 6 и 7, но трудно
вычислить:
а) ожидаемое число возвращений в точку 0 до момента пер-
вого попадания в точку х;
б) вероятность попасть в х до первого возвращения в точ-
ку 0;
Задачи
71
в) вероятность возвратиться в начальное нулевое состояние
до первого попадания в точку х1).
9. Вероятность P[Rn>Rn-i] того, что в момент п случайное
блуждание попадает в новую точку, выразить в терминах по-
следовательности Ffe(0,0). Используйте этот результат для до-
казательства утверждения задачи 2.
10. Пространство состояний некоторого случайного блужда-
ния подвергнем следующей процедуре: покрасим точки в крас-
ный цвет с вероятностью айв зеленый с вероятностью 1 — а.
Цвета для различных точек выбираем независимо. Мы хотим
теперь определить Та как момент первого попадания случай-
ного блуждания в красную точку. Постройте соответствующее
вероятностное пространство (Q, Р), на котором Та =
= min[n|n>0; хп принадлежит множеству красных точек] яв-
ляется корректно определенной случайной величиной и на ко-
тором ха=хТ(1—также случайная величина.
11. Продолжая задачу 10, доказать, что
P[Ta>n] = Е [(1-a)R«], п>0,
P[Xa = x] = -r^-P[T<Ta], x^R,
где T = min[n|n>0, *п=х], хо=О, а Rn — размах, о котором
шла речь в теореме 4.1.
12. Продолжая задачу 11, доказать, что для невозвратного
случайного блуждания
lim Р [aTe > = e-U-П t,
а->0
13. Продолжая задачу 11, доказать, что для одномерного
простого случайного блуждания х
limP[axa<y] = F(i/)
a->0
для любого действительного у, где F(y) —функция распределе-
ния с плотностью
оо
f(y) = F'(y) = \y\
lei
Г e~s ds
J s2
г/#=0.
14. Обозначим через А случайное подмножество в R, образо-
ванное из красных точек (см. задачу 10). Если qu — характери-
*) Предлагая эти задачи, мы хотим указать мельком на те трудности,
с которыми нам придется столкнуться. Большая часть гл. III и VII посвя-
щена именно этим трем вопросам.
стическая функция множества Л, то величину
п
N„ (а) = 2 Фл (»й)
/г=0
можно интерпретировать как время пребывания случайного
блуждания в множестве А к моменту п. Показать, что
E[Nn(a)]= (п+ 1)а и o2[Nn(a)]/n2 —>0, так что Nn(a)/n—по
мере (отметим, что можно доказать соответствующую сходи-
мость с вероятностью единица, опираясь, например, на эргоди-
ческую теорему Биркгофа, применимость которой следует из
того, что последовательность фл(хь), & = 0, 1, 2, образует так
называемый стационарный в узком смысле процесс). Хотя все
это справедливо для любого случайного блуждания, доказать,
что предел последовательности o2[Nn(a)]/n конечен или беско-
нечен в зависимости от того, невозвратно или возвратно случай-
ное блуждание. Этот предел равен
<х (1 — a) (1 +F)
1-F
15. Продолжение. Вывести центральную предельную теорему
для времени Nn(a) пребывания произвольного невозвратного
блуждания в случайном подмножестве пространства состояний
(подмножество имеет такую же структуру, как и в задаче 14).
Как показано Уитманом,
lim Р [Nn (a) — na <1 х {na (1 — a) (1 + F)/(l — F)}'1*] =
X
— oo
Указание. Проверить, что моменты у предельного распреде-
ления те же, что и у нормального. Согласно предложению 23.3
гл. V, этого будет достаточно для доказательства.
ГЛАВА Ц
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ '
§ 6. Характеристические функции и моменты1)
Как и в предыдущей главе, через R мы будем обозначать
</-&терную решетку точек х = (х1, х2,..., xd), где х* — целые числа.
Для введения обычных понятий гармонического анализа нам по-
требуется еще одно евклидово пространство, которое мы обозна-
чим через Е. Это пространство, той же размерности d, что и
будет уже обычным евклидовым пространством (содержащим
не только векторы с целочисленными координатами). Для обо-
значения элементов из Е мы постоянно будем пользоваться гре-
ческими буквами; так, если размерность R равна d, то элемента-
ми из Е будут векторы 0= (0Ь 02,..., 0Д, где 0г, z= 1, 2, ..., d,—
действительные числа. Удобно ввести следующие обозначения.
Определение 1. Для x^R, 0sE
d d
|x|2=3cm |6|2=S(ez)2,
1 1
d
X • 0 =
1
Пусть, как и в гл. I, задано некоторое случайное блуждание,
полностью определяемое своей переходной функцией Р(х,у) на
d-мерном пространстве состояний R.
Определение 2. Функция
Ф (0) = 2 Р(0, х)е‘*Л 0е£,
хе R
называется характеристической функцией случайного блужда-
ния.
Таким образом, ф(0)—не что иное, как ряд Фурье спе-
циального вида, специального в том смысле, что его коэффи-
циенты неотрицательны, а их сумма равна единице. В теории
’) Факты, излагаемые в настоящем параграфе, хорошо известны. Более
детальное изложение в одномерном случае можно найти в [51], [24], [16], [58]
и [69]; обобщение на случай 2 не представляет труда. Для более глубо-
кого изучения теории рядов Фурье рекомендуется трактат А. Зигмунда [27].
вероятностей термин «характеристическая функция» обычно ис-
пользуется для обозначения рядов и интегралов Фурье именно
такого специального вида.
Многие важные свойства характеристических функций по
сути дела являются общими свойствами рядов Фурье. После
того как в предложении 1 будет установлена ортогональность
показательных функций, мы приведем в предложении 2 некото-
рый ослабленный вариант теоремы Паргеваля, обычная сильная
форма которой утверждает, что показательные функции обра-
зуют полное ортогональное семейство. Затем в предложении 3
мы выведем теоремы о свертке и об обращении рядов Фурье»
теоремы столь же элементарные, сколь и общие. Оставшаяся,
и притом большая, часть этой главы будет посвящена специаль-
ным свойствам характеристических функций (свойствам, свя-
занным с неотрицательностью коэффициентов). Лишь в § 9
(предложение 9.1) мы вновь вернемся к одному общему прин-
ципу— к лемме Римана — Лебега, которая найдет важные при-
менения в последующих главах.
Прежде всего введем удобную форму записи для интегриро-
вания на £, в частности по кубу С из £ с центром в начале
координат и сторонами длиной 2л:
C = [0|0^£,|0J<^/=1, 2, d].
Определение 3. Для комплекснозначной функции /(0), инте-
грируемой по Лебегу на С, интеграл по кубу С будем обозна-
чать через
J fdQ= J fde = J ... | f(Q)der ... dBd.
С -Я -Л
Таким образом, de всегда будет обозначать элемент объема (ме-
ру Лебега в Е). При суммировании по R, краткости ради, будем
писать
3gW = S g(x), если 2j |g(x)|<oo.
x^R x^R
В дальнейшем, как правило, f(0) будет непрерывной функ-
цией на С, так что интеграл J fdQ будет обычным d-мерным ин-
тегралом Римана. В основе гармонического анализа лежит, ко-
нечно, ортогональность показательных функций.
Предложение 1. Для каждой пары х, у из R
(2n)~d j е‘в-<х-^> dQ = 6 (х, у).
Очевидное доказательство этого факта получается редукцией
к одномерному случаю, ибо интеграл, стоящий в правой части
этого равенства, можно представить в виде произведения d одно*
мерных интегралов по действительному интервалу от —л до л.
Таким образом, этот интеграл равен
d st d
П 2Н e‘0ft {х ~у} =П6 yk)=6 (х> у}-
k=l -Л £ = 1
Здесь мы воспользовались лишь тем фактом, что при любом
целом п
J е««<М0 = 6(п, 0).
—л
Сформулируем теперь ослабленный вариант теоремы Парсе-
валя. Пусть ai(x) и а2(х) —две суммируемые комплекснознач-
ные функции на R, т. е.
SI ац (х) I< 00. 6=1,2.
Тогда определим при 0е£ их ряды Фурье fi(0) и f2(0):
= 6=1,2.
Поскольку аь(х) — суммируемые функции, ряды, определяющие
/к(0), сходятся абсолютно и, следовательно, функции /t(0) не-
прерывны на Е. Тогда теорему Парсеваля (в обозначениях
опрёделения 3) можно сформулировать в следующем виде:
Предложение 2.
(2n)"d / Л (0) Ш М = 2 ах (х) ^(х).
Доказательство. Условие суммируемости функций аЦх) по-
зволяет поменять порядок суммирования и интегрирования в ле-
вой части доказываемого равенства, так что
(2n)-d J fj2 d0 = 2 J] а, (хЩу) (2n)’d J el ^-y^dQ.
x^R yt=R
Теперь для завершения доказательства остается лишь восполь-
зоваться соотношением ортогональности (предложение 1).
Замечание. На самом деле для справедливости предложения 2
достаточно предполагать, что
S|aftW|2<°° при fe=l, 2.
Если эти условия выполняются, то функции |/112, I/2I2 и /1/2 ин-
тегрируемы по Лебегу на С, так что предложение 2 по-прежнему
имеет смысл. В частности, пусть
А(е)=/2(0) = /(е),
Й! (х) = а2 W = а(х) = (2n)~d | (6) dO.
Тогда условия
2|aWI2<°° и J | /(0) |2d0< 00
эквивалентны, и если одно из них выполнено, то
(2n)-d / |/(0)|2d0= l«WI2'.
Это равенство носит название тождества Парсеваля, впрочем
использовать в дальнейшем мы будем только более слабый ре-
зультат, а именно неравенство Бесселя, утверждающее, что
(2ji)-d J|f(0)|2d0>2 l«WI2-
Это неравенство будет получено по ходу доказательства предло*
жения 9.1. -
Возвращаясь теперь к характеристическим функциям слу-
чайных блужданий, докажем
Предложение 3. Ёсли ф(0)—характеристическая функция
случайного блуждания с переходной функцией Р(х, у), то при
любом целом п^ 0 ,
а), ср" (0) = 2 PnW, x)eixQ для всех 0 из Е,
б) */) = (2лр* J е-1>ефи (0)^0 для всех у из R.
Доказательство. Для доказательства первой ча^ти предло-
жения воспользуемся вероятностной интерпретацией задачи.
В обозначениях определения 3.1 имеем
Prt(0, Х) = P[Sn = x],
Где 8п = Х1 + .. . + ХП — сумма независимых d-мерных случайных
величин, описывающая положение блуждающей точки в момент
п. Используя предложение 3.1, получаем
V, Р„(0,
Здесь мы воспользовались независимостью случайных величин
и тем фактом, что все они имеют одну и ту же характеристи-
ческую функцию ф(0). Таким образом, пункт (а) предложения
доказан. Умножив обе части равенства (а) на e~iy‘Q и затем про-
интегрировав по С, установим справедливость пункта (б).
Чтобы продемонстрировать использование характеристиче-
ских функций, обратимся теперь к изучению, правда, довольно
фрагментарному, поведения характеристических функций вблизи
0 = 0, особо выделяя те результаты, которые позволят немедлен-
но ответить на вопрос о возвратности случайного блуждания.
Однако некоторые из приводимых результатов, такие, например,
как предложение 5, включены сюда потому, что они будут совер-
шенно необходимы в последующих главах. Мы начнем с одно-
мерного случайного блуждания, уделяя особое внимание соотно-
шениям между моментами переходной функции и производными
соответствующей характеристической функции в начале коорди-
нат. Тот факт, что характер поведения последовательности (или
функции) при больших значениях аргумента тесно связан с пове-
дением соответствующего ряда (или преобразования) Фурье
вблизи начала координат, давно и хорошо известен. В теории
вероятностей эта связь выступает особенно выпукло и интересно,
ибо здесь мы имеем дело с довольно специальным классом
рядов Фурье.
Определение 4. Для одномерного случайного блуждания
определим
mk = 21 * Iй Р (0, х), Ил = 2 xkP (0, х), k 1,
р = рг, m = mlf о2 = р2 — р2.
При этом р/г мы определяем, только если mft<oo.
Предложение 4. Если в одномерном случае mk< оо, то k-я
производная <p<ft>(0) характеристической функции непрерывна и
ф(*)(0) = (Z)fe|i/i. Обратное утверждение неверно, т. е. фД)(0) мо-
жет существовать, даже если гщ бесконечно. Но если q/2)(0) су-
ществует, то т2~ —q/2)(0) < оо.
Доказательство. Если mi<oo, то
1 [ф (0 + й) - <р (9)] -42 (elhx - 1) е‘вхР (0, х).
Напомним, что, согласно определению 3, суммирование произ-
водится по всему R. Далее,
е'Лл-1
hx |hx|
J eu dt J dt — | hx I,
о о
так что
у 21 eihX — 11 • IeiQx IР (0> х) тР
Следовательно, можно поменять порядок суммирования по R с
операцией предельного перехода при Л->0. По существу, это
дискретный аналог теоремы о мажорированной сходимости из
теории интеграла Лебега. Поэтому в силу мажорированной схо-
димости
ф(1) (0) = У lim I (eikx - 1) ei6xP (0, х) = i У хе*хР (0, х)
-- л-*о "
и фОЦО) =ip,i. Ясно, что <р<!>(0)—непрерывная функция, ибо
определяющий ее ряд сходится равномерно. Точно так же уста-
навливается непрерывность <p(ft)(0), если тк<оо, откуда следует,
что <p(ft)(0) =
Что касается обратного утверждения, то мы ограничимся
приведением следующего хорошо известного примера, представ-
ляя проверку читателю. Пусть
Р(0, х) = с | х Г2 (In | х I)-1, если |х|^2, Р(0, х) = 0, если |х|<И,
где постоянная с выбирается таким образом, что SP(0, х) = 1.
Тогда очевидно, что т\ = оо, и можно показать, правда, с по-
мощью несколько, утомительных вычислений, что суще-
ствует.
Предположим, наконец, что существует предел
Л->0 п
Тогда оказывается, что для второй производной в начале коорди-
нат имеет место более удобное представление
ф«(0) = 1™2®+ЛД>^..
е-»о 02
Отсюда
- Ф(2) (0) = lim У(| sin 4^(0. ^) = 1^2(^-)2х2Р(0, х).
*
Следовательно, при каждом п>0
П » .
у х2Р (0, х) = Игл У (^ех~) — ф<2) (0)-
Это показывает, что т2<оо и доказательство предложения 4 за-*
кончено, ибо, согласно его первой части, т2 =—Ф(2)(0).
Обобщение обратного утверждения предложения 4 нам в
дальнейшем не понадобится, и поэтому мы оставляем его в виде
задачи 1 (стр. 127). Разумеется, при дополнительных ограниче-
ниях на Р(0, х) можно получить более сильные, нежели в пред-
ложении 4, утверждения. Так, рассмотрим случай, когда Р(0, х) —
= 0 при х<0, и покажем, что тогда из существования первой про-
изводной характеристической функции в начале координат сле-
дует конечность т\.
Предложение 5. Если Р(0, х) =0 при х < 0 и если
0 — zqp(1) (0) = lim i -—= а < оо,
е-»о 0
оо
ТО 3 хР (0, х) = а.
х=0
Доказательство. Чтобы упростить запись, положим рп =
= Р(0,х) при х=п>0. Тогда при 0->О
оо оо
V1 1— cos £0 n V1 sin £0 /1V
2лРк—§--------->0> 24^~е—а- 0)
О о
План доказательства состоит в том, чтобы на основе этой ин-
ое
формации установить, что т = lijkp к < оо, тогда равенство
т — а, будет автоматически следовать из предложения 4.
Прежде всего разобьем вторую сумму в (1) на две части.
Способ разбиения диктуется следующей оценкой для sinx:
Пусть 0 = [л/20]— целая часть от л/20, т. е. наибольшее целое
число, не превосходящее n!2Q. При согласно предыду-
щей оценке, sin kQ 2Qk/n. Следовательно,
V1 sinM 2 VI , VI sin kf) ,n,
ZiPb—— + li P^—Q-’ <2)
0 fe-0 fe=9+l
Если 0->O, то 0—>-oo, а левая часть в неравенстве (2) стре-
оо
мится в силу (1) к а. Поэтому мы докажем, что
о
если сумеем установить, что последняя сумма в (2) при 0->0
остается ограниченной. А это в свою очередь будет доказано,
если мы убедимся, что функция
оо
л(0)=| S
остается ограниченной при 0->О. На самом деле мы покажем
даже большее, а именно, что Д(0)->-О при 0->О.
Если ^^0+1, то Следовательно, существует
такое положительное число &, что
и поэтому
1 sin &0 1 х. Л 1 Л I <
1----—>&>0, если fe>0+l,
что стремится к нулю, согласно первому из соотношений (1),
следовательно, Л(0)-*О и доказательство закончено.
Следующий результат касается необходимых и достаточных
условий конечности первого момента т, совсем отличных по
форме от соответствующих условий предложения 4. Это утвер-
ждение можно обобщить на моменты произвольного нечетного
порядка, однако это обобщение мы вновь оставляем в качестве
задачи (задача 2 на стр. 127).
Предложение 6.
m _Д_ f Re[l — у (0)]
2л J 1 - cos О
' — Я
оо
и Ш]<оо тогда и только тогда, когда функция 0-2Re[l—<р(0)]
интегрируема {по Лебегу) на отрезке [—л, л].
Доказательство. Действительная часть характеристической
функции равна
Re ф (0) = 2 Р (0, х) cos х 0,
и, следовательно, Re[l—<р(0)]Х). Интеграл в предложении 6,
вне зависимости от того, конечен он или нет, равен
Sp<«.
—л
в том смысле, что этот ряд расходится тогда и только тогда,
когда интеграл в предложении 6 бесконечен. Для завершения
доказательства достаточно проверить, что'
л
1 f 1 — cos if __ п
2Г J -r^T0-d0 = lxl’
-л
Убедиться в справедливости этого равенства не составит труда,
•если воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 — COS Х0 __
1 — cos 0
eikQ
x<=R.
Для случайных блужданий, в пространствах большей размер-
ности (d >2) мы ограничимся лишь аналогом предложения 4
для первых и вторых моментов, однако сначала нам будет
удобно ввести естественные, согласованные с определением 4
•обозначения.
Определение 5.
mi = 2| х \р(9, Д
= х\2P(Q, х),
ц = 2 хР (0, х), если тх < оо,
Q(9) = 2(x-e)2P(o, х), если т2<оо.
Заметим, что в то время как пц и т2 — скаляры, ц, разумеет-
ся, является d-мерным вектором. Функция Q(0) по причинам,
которые поясняются ниже, называется квадратичной формой
вторых моментов случайного блуждания.
Если Х== (Хь ..., ХД— такой случайный вектор, что Х=х с
вероятностью Р(0, х), и все математические ожидания Е|ХД?-|
•существуют, то, очевидно, что
d d
Q(0)=S2E[x(xje(0/.
j=l /=1
Существование же математических ожиданий Е|Хг-ХД гаранти-
руется конечностью т2 = Е|Х|2, как это можно видеть из нера-
венства Шварца
(0 • Х)2<| 0 |2| X |2.
6 Зак. 1375
Из этого неравенства следует, что Q(0)<oo при всех 0 и что,'
действительно, .
Е| ХгХ; |< {Е| Xz |2Е| Ху |2}7’ < Е| X |2.'
Последнее дает еще один способ убедиться, что коэффициенты
квадратичной формы определены корректно.
Примером того, какого рода результаты можно получить,
служит
Предложение 7. Предположим, что для d-мерного случайного
блуждания (d^l) mi< оо. Тогда если а — некоторый вектор >
из Е, то
.. ф (/га) — 1
lim - - -7-----== /а • р.
/г->0 п
Если, кроме того, р = 0 и /и2<оо, то
h->0 п 2
Доказательство. Повторяя слово в слово доказательство
предложения 4, имеем
|ф(/га) — 11 = |2(е'А“^- 1)Р(0, х)|<
<2|ег/,а-*-1 |Р(0, х)</г5|а-х|Р(0, хХ/г/nJal.
Следовательно, в силу теоремы о мажорированной сходимости
1 VT / _ 1 \
lim-г [<р (/га) — 1] — У. Иш (-т-1Р (0, х) = ia • ц.
Л->0 Я й->0 \ я /
В случае ц=0 и т2<оо
<р (/га) —1 = 5 (etha'x — 1 — iha • х) Р (0, х).
Но для комплексного г с нулевой действительной частью суще»
ствует такое О О, что
| ег — 1 — z | с | z |2, Re (г) = 0.
Следовательно, -
2 | eiha-x _ ] _ iha . х I Р (0, х) ch2 5 (« ’ х)2 Р (0, х),
и из неравенства Шварца получаем
2 (а • х)2 Р(0, х) | а |2 т2 < о°.
Так как в этих* условиях предел суммы равен сумме пределов,
то предложение доказано. ,
Заканчивая настоящий параграф, отметим, что центральная
предельная теорема несомненно относится к кругу обсуждаемых
здесь идей. Хотя- ее роль в теории случайных блужданий незна-
чительна, мы все же приведем вкратце основные моменты тради-
ционного доказательства центральной предельной теоремы для
независимых одинаково распределенных случайных величин ме-
тодами гармонического анализа.
Монотонная неубывающая функция F(/), —оо</<оо, назы-
вается функцией распределения, если F(—оо)=0, F( + oo) = l.
Говорят, что последовательность Fn(t) функций распределения
слабо сходится к функции распределения F(t), если для каждой
ограниченной непрерывной функции g(t), —оо<7<оо,
lim
П->оо
оо оо
Jg(Wn(0 =
— оо ' —оо
Утверждение, что Fn(t) сходится к F(t) в каждой точке ее не-
прерывности, эквивалентно определению слабой сходимости.
Преобразование Фурье функции распределения F(t),
оо
<р(Х)= J емdF(t), — оо<Л<оо,
называется ее характеристической функцией. Если <рп — характе-
ристические функции некоторой последовательности функций
распределения Fn и если последовательность Fn слабо сходится
к функции распределения F, то последовательность <рп сходится
к ф — характеристической функции F. Обратно (и это есть со-
держание важной теоремы непрерывности Леви, 1925), если по-
следовательность фп характеристических функций сходится в
каждой точке к некоторой функции ф, непрерывной в начале
координат, то последовательность Fn слабо сходится к неко-
торой функции распределения F, характеристической функцией
которой является ф.
Мы используем эти факты, чтобы доказать
Предложение 8. Если Р(х,у)—переходная функция одно-
мерного случайного блуждания со средним ц = 0 и дисперсией
О2 = /И2<ОО, то
Ит Р„(0, х) = Р(0,
n->°° x<Vn ot
где
t
F(t) = ^= ( e-^dx, -oo</<oo.
Доказательство. Так как последовательность
FAt)= Р„(0, Д
х < Vn at
очевидно, является последовательностью функций распределения,,
то в силу теоремы непрерывности Леви для доказательства
предложения 8 достаточно показать, что
lim ГdFn (/) = Геме~^ dt = е~кг>2
п-»оо J V 2л J
— оо — со
при всех действительных %. Пусть
<р(9) = 2? (О, х) eixQ, — оо < 0 < оо,
— характеристическая функция рассматриваемого случайного
блуждания (см. определение 2). С помощью простых вычисле-
ний убеждаемся, что
оо
<р„(Л)= [ dFAt) = (-£=).
J \ в V П /
— оо
Согласно предложению 4,
где поправочный член е(Х, п) при каждом фиксированном Z стре-
мится к нулю, когда п неограниченно возрастает. Следовательно»
00 о
lim f еш dFn (t) = lim [1 — ~ + e 1 = e-V/2,
П->оо П-»оо L 2;’ П ।
— co
что и доказывает предложение 8.
§ 7. Периодичность
В терминологии гл. I случайное блуждание с d-мерным про-
странством состояний называется апериодическим, если группы
Ti и R совпадают. Конечно, если задана произвольная переход-
ная функция, то всегда можно искусственно увеличить размер-
ность R (вложением R в пространство большего числа измере-
ний) и доопределить Р(0, х) нулем там, где она раньше не была
определена. Следовательно, необходимо избавиться от подобной
нечеткости в терминологии. Мы будем говорить, что случайное
блуждание d-мерно, только если соответствующее пространство-
состояний R d-мерно и переходная функция Р(0, х) определена
при всех х из /?. Именно такое случайное блуждание называется
апериодическим, если R = R.
Как было отмечено, произвольное апериодическое случайное
блуждание можно тривиальным образом сделать периодическим,
если искусственно расширить его пространство состояний. Мы
покажем сейчас, что почти столь же просто периодическое слу-
чайное блуждание можно заменить апериодическим, сохранив
все его свойства, представляющие интерес. Эта возможность опи-
рается на одну простую лемму линейной алгебры.
Предложение 1. Если Rd— группа d-мерных векторов с цело-
численными координатами и R — собственная подгруппа в Rdt
отличная от тривиальной {содержащей лишь начало координат),,
то существуют целое число k, и 1г_линейно независи-
мых векторов Xi, х2, ..., Xk из Rd, такие, что R является аддитив-
ной группой^ порождаемой хь х2, ..xh. Целое число k опреде-
ляется по R единственным образом, и подгруппа R изоморфна
группе Rk k-мерных векторов с целочисленными координатами.
Доказательство. Любая подгруппа группы Rd является так
называемым векторным модулем над кольцом целых чисел (а не
векторным пространством, поскольку целые числа не образуют
поля). Поэтому не удивительно, что доказательство, обычное
для векторных пространств [90, стр. 26], не проходит. И дей-
ствительно, эта теорема для модулей над произвольным кольцом
неверна, однако справедлива для модулей над кольцами глав-
ных идеалов — кольцами, которые обладают тем свойством^ по-
добным свойству кольца целых чисел, что каждый идеал поро-
ждается единственным целым числом. В этом случае проходит
обычное доказательство по индукции [8]. Предположим, что>
предложение 1 справедливо при d^n— 1 (при d=l его спра-
ведливость очевидна), и пусть X — подмодуль (подгруппа) в Rn.
Если последняя координата каждого элемента из X есть 0, то>
в силу предположения индукции доказательство закончено. Если
же это не так, то обозначим через L множество всех целых чи-
сел, являющихся последними координатами элементов из X.
Ясно, что L — идеал и, следовательно, он состоит из тех и только
тех чисел, которые кратны некоторому положительному числу р.
Теперь мы можем выбрать такой элемент хеХ, последняя
координата хп которого равна р. Для каждого у^Х существует
целое число г (разумеется, зависящее от у), такое, что последняя
координата вектора у — гх равна нулю. Когда у пробегает все X,
множество Y всех векторов вида у — гх образует подмо-
дуль группы Rn-i, и по предположению индукции можно найти
k——1 линейно независимых векторов хь х2, х^_ь.
86
порождающих У. Но тогда ясно, что совокупность {xi, х2, ... I
..Xfe-t, х} порождает X. Эти векторы линейно независимы, ибо
последняя координата у х отлична от нуля, так что они обра- ?
зуют в X ^-мерный базис. Следовательно, X изоморфно отобра- I
зится на Rk при k^n, если Xi сопоставить первый единичный век- I
тор из Rk, х2— второй,..., Xk-i—(k—1)-й и х — последний
единичный вектор. Таким образом, индукция проведена.
Доказанную лемму можно использовать следующим обра- |
зом. Предположим, что случайное блуждание, определяемое *
переходной функцией Р(х,у), заданной на пространстве состоя- ?
ний R = Rd, оказалось периодическим. Если /?={0}, то Р(х, у)= л
=б(х, у) п такое случайное блуждание не интересно. Если же '
это не так, то R изоморфно Rk при некотором k d, а, значит, в •
R существует базис xlt х2, • • , Xk, состоящий из k векторов. То- \
гда можно определить оператор Т, линейно и взаимно однознач- j
но отображающий R на Rk по формуле Txi = £,i, i— 1, 2,..., k, где |
ii — единичные векторы в Rk. Определим теперь на Rk функцию *
Q (х, у), положив для х, у из Rk »
Q(x, y) = P(r‘x, Г'у).
Ясно, что Q(x, у) является переходной функцией. Так как Р>0, I
то и так как Т — линейный оператор, то Q(x, у) = 1
= Q(0, у — к). Наконец, 1
5 Q(o,x)= 3 р(о, г‘х)= 2 Р(о, у)=\, I
x^Rk xeRk I
ибо P(0, у) =0, если у не принадлежит Р. j
По построению случайное блуждание, определяемое переход- |
ной функцией Q на Rk, апериодично, при этом оно обладает все- 1
ми существенными свойствами периодического случайного блу- 1
.ждания, определяемого переходной функцией Р на R. Например, I
/ оо оо
2q„(o, о)=2р„(о, 0)<оо,
п=0 п=0 5
так что одно из этих случайных блужданий возвратно только j
тогда, когда возвратно другое. ;
Пример 1. Аналогичные рассуждения можно провести и для
случайных процессов, которые не являются случайными блу- •
.жданиями, но весьма сходны с ними. Рассмотрим, например, в '
плоскости треугольную решетку, образуемую точками (комплекс-
ными числами) г вида
z = m + пел{/3,
где т и п — произвольные положительные или отрицательные
целые числа либо нули. Как легко видеть, эта решетка образует
аддитивную группу G, однако G не является подмножеством
решетки Р = /?2 точек плоскости с целочисленными координат
тами. Тем не менее мы рассмотрим случайный процесс с про-
странством состояний G и вероятностями переходов аз каждой'
точки 2 в одну из соседних точек
Z + 1, 2 + е2я*/3, 2 + £“2jtI/3,
равными одной трети.
Заметим, что каждая точка 2 из G имеет единственное пред-
ставление в виде
2 = m + иея//3, m, п = О, ±1, ±2, ....
Это позволяет определить линейный оператор
Т (z) = Т (tn + neni/3) = т + ni,
взаимно однозначно отображающий G на /?2. Ясно, что Т —
групповой изоморфизм G на /?2. В частности,
Г(1)= 1, 7(^/3)= - 1 +/, Т(е“2Л//3)== -Z.
Следовательно, этот изоморфизм преобразует заданной процесс
в самое настоящее случайное блуждание с вероятностями пере-
хода
Р(0, 1) = Р(0, -1 +/) = Р(0, -/)=1/3,
и Р(0, х)=0 при всех прочих х из /? = /?2. Это — случайное блу-
ждание в плоскости с вектором средних р, = 0 и конечным вто-
рым моментом т2. Как мы увидим в § 8 (теорема 8.1), такое
случайное блуждание возвратно. Тем самым можно говорить о
возвратности процесса, заданного на G, в следующем смысле.
Положим Q(0, г)=1/з при z=l, г = е2тЛ г = е~2ш‘/3 и Q(0, z)=0
при всех прочих z из G. Пусть, кроме того, Q(zi, z2) = Q(0, z2—Zi)
для всех nap zb z2 из G. Положим, наконец, как в предложе-
нии 1.1,
Qo(Zi. z2) = dz2)> Qi (zb z2) = Q (zH z2),
Qn+i(Zi, z2)= 5 Q(z1> z)Qn(z, z2), n>0.
zg G
Тогда из возвратности P-случайного блуждания на /?2 следует^,
что
2Qn(0, 0)=оо.
п=0
Очевидно, что последнее утверждение можно считать определен-
нием возвратности процесса с переходной функцией Q.
Вернемся теперь снова к гармоническому анализу и устано-
вим один простой критерий апериодичности в терминах харак-
теристической функции случайного блуждания.
Теорема 1. Случайное блуждание на (d-мерном) простран-
стве R апериодично тогда и только тогда, когда характеристи-
ческая функция этого блуждания ф(0), определенная при 0 из
(d-мерного) пространства Е, обладает следующим свойством:
ф(0) = 1 тогда и только тогда, когда все координаты у 0 крат-
ны 2л.
Доказательство. Пусть
£ = [0|0^£;ф(0)= И
я
Ео-= [01 0g£, 0а кратны 2л при k = 1, 2, ..., d].
В этих обозначениях утверждение теоремы принимает про-
стую форму:
Е = £о тогда и только тогда, когда R~R. (1)
Импликацию R = R=^>E = Eq доказать довольно просто. В са-
мом деле, из определения_ф(0) очевидно, что Eqcz. Е, и поэтому
достаточно показать, что EczEq, Предположим, что 0 принадле-
жит Е. Это означает, что (2л)-10«х является целым для всех х
таких, что Р(0, х) >0, или для всех х из S. (См. определение 2.1.)
Тогда, по определению /?+, (2л)-10 • х — целое для всех х из /?+ и,
согласно определению R, (2л)-102* является целым для всех х
из R. Но мы предположили, что R = R, следовательно, (2л)“'10-х
будет целым для каждого единичного вектора из R. Подставляя
вместо х последовательно все d единичных векторов из R, убе-
ждаемся, что каждая координата у 0 кратна 2л. Таким образом,
0 принадлежит Eq, и так как 0 — произвольная точка в Е, то
Обратное утверждение, импликация e = Eq=^>R = R, приводит
нас к известной теоретико-числовой задаче. Случай, когда раз-
мерность d, общая для Eq и R, равна нулю, неинтересен. Поэтому
предположим, что R — собственная подгруппа в R и что d==
= dim(£'o) = dim(7?)> 1, и попытаемся построить точку 0О из Е,
не принадлежащую Eq. Такая точка 0о обладает тем свойством,
что 0о кратно 2л при всех х из R, а некоторая координата век-
тора (2л)-10о не является целым числом. Используя предложе-
ние 1, выбираем базис аи а2, ..ak в R; при этом k^.d. Легче
всего доказать утверждение для k^=A\m(R) <d. В этом случае
можно выбрать в d-мерном пространстве Е вектор р, ортогональ-
ный ко всем векторам базиса и такой, что не все координаты
вектора (2л)~'р целые. Тогда, полагая 0о=₽, будем иметь
(2л)-10о'Х=О при x=ait a2,...,ak и, следовательно, при произ-
вольном х из В. _
Предположим, наконец, что A = dim(7?)=d. Пусть
ai = {aix, ati, aid)
— базисные векторы в 7?, записанные в декартовых координатах
пространства Обозначим
Таким образом, <Л— некоторое подмножество евклидова про-
странства, которое мы будем называть фундаментальным парал-
лелограммом в R. Его вершины (точки, для_которых равны О
или 1 при всех 4=1, 2,..., d) принадлежат R\ на самом деле R
является группой, порождаемой этими векторами. Всякая точка
из Л не являющаяся вершиной, называется внутренней точкой.
Ясно, что какая-то внутренняя точка из at должна принадлежать
R. ибо по предположению R=£R. Из этого следует (как это бу-
дет установлено в предложении 2, и именно этот факт является
ключевым моментом доказательства), что объем V фундамен-
тального параллелограмма at больше единицы.
Предположим, что предложение 2 справедливо, и заметим
прежде всего, что
1 < V = | det Л |,
где А = (dij), i, j= 1, 2,..., d,— матрица, составленная из компо-
нент базисных векторов а^ Ясно, что матрица А невырождена,
ибо базисные векторы линейно независимы. Поэтому детерми-
нант матрицы Л-1, равный (det Л)-1, отличен от нуля и по абсо-
лютной величине меньше единицы. Этот факт приводит к заклю-
чению, что не все элементы матрицы Л"1 целые числа. Пусть
для определенности элемент, не являющийся целым числом,
расположен в р-м столбце матрицы Л-1. В этом случае в каче-
стве вектора 0о выберем именно этот столбец, умноженный т<а
2л, т. е.
0о ~ 2 л (Л 1 р, Лгр, •••, Adp).
Поскольку Л-Л-1=/, имеем (2л)~1«/1-0O=S(^, р), так что
(2л)"1х • 0о будет целым при х = аь а2,..., ad и в силу линейности
при всех х из R. Таким образов,_точка 0О удовлетворяет нужным
требованиям: она принадлежит Е и не входит в Ео. Поэтому до-
казательство теоремы 1 будет закончено, если мы установим
следующее
Предложение 2. Объем всякого фундаментального паралле-
лограмма, содержащего внутреннюю точку с целочисленными ко-
ординатами, больше единицы.
Доказательство. Рассмотрим в d-мерном пространстве боль-
шой куб с ребром длины М. Если V — объем фундаментального
параллелограмма Л, то в рассматриваемый куб можно поме-
стить примерно таких параллелограммов. Из того, что ка-
ждая конгруэнтная (т. е. получаемая при сдвиге Л) модифика-
ция Л содержит по крайней мере две точки с целочисленными
координатами (одну граничную и по крайней мере одну внутрен-
нюю), следует, что число точек с целочисленными координатами
в большом кубе по крайней мере порядка- 2AfdI/-1. Но объем
этого куба (тоже приближенно) равен числу содержащихся в
нем точек с целочисленными координатами. Следовательно,
имеет место «приближенное неравенство» Md; нетруд-
но сделать приведенные аргументы совершенно точными и, по-
лагая М -> оо, заключить, что 2V"1 1. Следовательно,1;
Этим доказательство предложения 2, а следовательно, и тео-
ремы 1 закончено, но мы не можем удержаться от искушения
заметить, что обращение предложения 2 тоже верно.
Предложение 3. Если объем фундаментального параллело-
грамма больше единицы, то. он- содержит внутреннюю точку с
целочисленными координатами.
Это утверждение носит название леммы Минковского (1896).
Поскольку наиболее ценные ее применения относятся скорее к
теории чисел, чем к теории вероятностей, доказательство мы
оставляем читателю.
Теорема 1 весьма полезна для получения дальнейших оценок,
касающихся характеристических и переходных функций. Однако
мы считаем целесообразным прежде всего напомнить основные
факты из теории квадратичных форм. Выражение вида
d d
О.'Л0=5 Sa/Дб/,
z=i i=i
называется квадратичной формой, если аг, = ам, i, j = 1,2,..., d,
т. е если матрица А=(а.ц) симметрична. Квадратичная форма
называется положительно определенной, если
О- ДО^О для всех 9 из £
и из равенства О’/19 = 0 вытекает, что 9=0. Собственные зна-
чения положительно определенной квадратичной формы (соб-
ственные значения матрицы Л) действительны и положительны.
В дальнейшем нам понадобится следующая хорошо известная
оценка (см. [90, гл. Ill]):
Предложение 4. Если матрица А положительно определена и
ее собственные значения суть ... -CXd, то
Л1|е|2<е • ле<л<г|е|2, в(=Е.
С помощью этого предложения устанавливается следующая
оценка для действительной части характеристической функции
случайного блуждания. (Напомним, что, согласно определе-
нию 6.3, С есть куб в Е со стороной длины 2л и центром в на-
чале координат.)
Предложение 5. Для d-мерного (d > 1) апериодического слу-
чайного блуждания с характеристической функцией <р(0) суще-
ствует константа Х>б, такая, что
1 -Re<p(0)>Л| 6 |2
при всех 0 из С.
Доказательство. Из апериодичности следует, что R=R, а зна-
чит, в множестве 2=[х|Р(0, х)>0] найдутся d линейно независи-
мых векторов а„ а2, ад. Пусть L = max — длина наиболь-
шего из них. Тогда можно показать, что квадратичная форма
Qi(0)= 2 (х-0)2Р(О, х)
ixia
положительно определена. Чтобы убедиться в этом, заметим, что
d
Qi(e)>2(aft-0)2P(O, ak).
*=i
Так как «jeS, fe = l, ..., d, то выражение, стоящее в правой
части этого неравенства, может равняться нулю, только если
вектор 0 ортогонален всем векторам ai, а2, ..., а^. Но это не-
возможно в силу линейной независимости а2, ..., а<г, так что-
квадратичная форма Ql(Q) положительно определена.
Имеем
Re[l — <р(0)] = [1 — cosx • 0]Р(О, х) =
x<^R
= 2 2 sin2(^-)p(0, х)>2 2 sin2(^)p(0, х).
x^R ' |
1х • 6 I
sin —g- > л”11 х • 01 при | х • 01 л, то
Re[1 -<р(0)]> (х • 0)2 Р (0, х).
[x| | х,<1; |х-ек.я]
Но-если |x|<CL, то |х-0|^л, если только |0|^л£-1. Следо-
вательно, при всех 0, таких, что |0 nL~l,
Re[l-Ф(0)]>А J] (х-0)2Р(О, x) = ^QJ0).
Если М — наименьшее собственное значение формы QL(0), то в
силу предложения 4 имеем
1 - Re<p(0)>^Z1| 9 |2 при |0|<л£-1. (1)
Шар |0|-^л£-1 является подмножеством куба С, так как
Далее из теоремы 1 следует, что 1—Иеф(0)>О при
6еС и 101 > л Л-1. В силу непрерывности функции 1 — Re ф(0)
на С имеем
m= min [1 — Re ф (0)] > О,
[ 0 | 9еС; |0|>nL~'J
откуда следует, что
1 — Reф(0)^/n
ml ер
n2d
при 0еС, 10|J>nL-1. (2)
Объединяя неравенства (1) и (2), видим, что предложение 5
справедливо при X = min [2nr2Z.f, mjr2d-1]>0.
Оценка, доставляемая предложением 5, оказывается весьма
полезной. При сравнительно небольших усилиях, опираясь на
эту оценку, можно получить утверждения, касающиеся асимпто-
тического поведения переходной функции Рп(0, х) при п—»оо.
Простейший результат такого рода
lim Рп (0, 0) = 0, если Р(0,0)=#1, (1)
П->оо
и немного более сильная его модификация
lim supPn(0, х) = 0, (2)
n->oo
причем последнее утверждение справедливо во всех случаях,
если только Р(0, х)=£1 при любом x^R, Отметим, что даже
(1), будучи очевидным для невозвратного случайного блужда-
ния, в возвратном случае доказывается, скажем методами гл. I,
не столь просто. Однако используя методы гармонического
анализа, мы в состоянии получить результат даже более тон-
кий, чем (2), в форме оценки сверху для супремума в (2), за-
висящей от размерности d случайного блуждания. Поскольку
основное значение имеет размерность, а не апериодичность слу-
чайного блуждания, полезно дать
Определение 1. Случайное блуждание называется собственно .
d-мерным, если группа R, соответствующая ему, й-мернах).
Таким образом, собственно d-мерное случайное блуждание
не обязано быть апериодическим, однако в соответствии с пред-
ложением 1 группа R должна иметь базис из d линейно неза-
висимых векторов а^, ..., ad, принадлежащих R.
Предложение 6. Если Р(х, у) — переходная функция собствен-
но d-мерного случайного блуждания (d>-l), обладающего тем
свойством, что функция
Q(x, у) = S Р(х, t)P(y, t) (3)
t^R
также является переходной функцией собственно d-мерного слу-
чайного блуждания, то существует константа 4>0, такая, что
Рп(0, x)^An~dl2, Х(=Р, п>1. (4)
Более того, для всякого собственно d-мерного случайного блу-
ждания (если только Р(0, х)#=1 при всех x^R и d=l) справед-
ливо неравенство
Рп (0, *) < x^R, п 1, (5)
при некотором Д>0.
Доказательство. По-видимому, прежде всего стоит объяснить
роль переходной функции Q(x, у) в (3). Ясно, что это переход-
ная функция, и если
<J>(0)= s Р(0,х)е1х-в
x^R
— характеристическая функция рассматриваемого случайного
блуждания, то характеристическая функция, отвечающая
Q(x,у), равна
Ф(0)= 3 Q(O,x)e^-9 = |<p(0)|2.
x^R
О Отметим, что число d не имеет никакого отношения к размерности
исходного пространства состояний. — Прим. ред.
Предположим теперь, что мы желаем оценить Рп(0, х) свер-
ху. Ясно, что
(2n)d sup Р2„ (0, х) = sup [ V (6) d0 < f | <p (6) |2n d0 = (9) d0
xe=R xg=RJ J J
и что оценка сохранится, если An(0, заменить на An+i(0, *)•
Таким образом, справедливость неравенства (4) будет установ-
лена, если мы сумеем указать такую константу В>0, что
(2n)dQ„(0, 0)= j^(0)d0<Bn-d/2, п>1. (6)
С
Теперь почти все подготовлено для применения предложе-
ния 5. Следует лишь отметить, что случайное блуждание, опре-
деляемое Q(x,у), можно предполагать апериодическим. Дей-
ствительно, если это не так,_то, как это было отмечено сразу
же после определения 1, в R существует базис из d линейно
независимых векторов, принадлежащих В, а значит, можно из-
менением координат заменить Q(x,y) симметричной d-мерной
апериодической переходной функцией Q'(x, у), такой, что
(0> 0)= (0, 0)- (Характеристическая функция, отвечающая
Q', снова будет действительной, но не обязана оставаться не-
отрицательной, а неотрицательность ф нам хотелось бы исполь-
зовать; однако это обстоятельство не столь существенно, ибо
достаточно доказать (6) лишь для четных значений п.)
Поскольку функция ф действительна, согласно предложе-
нию 5, имеем
1-ф(0)>Л|0|2, 0еС,
при некотором Х>0. Таким образом,
О<ф(0)< 1 -%|0|2<е-М012, 0еС,
| *фл (0)d0< j e-M6l2»d0< | e-xl0l2«d0 =
*C С E
== rrdl2 J e~KIa|2 da = Bn-d/2, n1.
E
Константа В, будучи интегралом от гауссовой функции
ехр(—%| а|2) по всему d-мерному евклидовому пространству, ко-
нечна. Таким образом, неравенство (4) доказано.
В качестве иллюстрации необходимости приведенных условий
рассмотрим двумерное апериодическое случайное блуждание, за-
даваемое соотношениями
Р(0, 1) Р(0, Z) = 1/2.
Легко проверить, что P2n(0, n + in) имеет порядок п~,/2, а не п~1.
Объясняется это тем, что Q(x, у) в этом случае одномерно.
Доказательство неравенства (5) получается теперь немед-
ленно. Нетрудно видеть, что истинная размерность пространства
состояний случайного блуждания Q(x, у) влияет на асимптоти-
ческое поведение Рп(0, х). Таким образом, неравенство (5) вы-
полняется при условии, что Q(x, у) по меньшей мере собственно
одномерно, т. е. если Q(0, х)>0 хотя бы при одном х#=0. Равен-
ство (3) показывает, что это всегда так, за исключением случая,
когда Р(0, х) = 1 при некотором x<=R. В этом случае Q нуль-
мерно (Q(0, 0) = 1).
В заключение настоящего параграфа мы покажем, что пред-
ложение 6 дает наилучшую оценку такого рода, поскольку суще-
ствуют такие случайные блуждания, для которых эта оценка
неулучшаема в том смысле, что предел
limnd/2Pn(0, х)
П -> оо
существует и положителен при каждом х из d-мерного R. Вспо-
могательные предложения 7 и 8 позволят в предложениях 9 и
10 точно вычислить значения таких пределов.
Предложение 7. Для произвольного d-мерного (d>l) апе-
риодического случайного блуждания с вектором средних ц = 0
и вторым абсолютным моментом т2<оо квадратичная форма
Q(0) = ~S (х • 0)2 Р (0, х) положительно определена и
x^R
г 1-<Р(0) 1
е™ QW 2’
Доказательство. Поскольку ц = 0, имеем
1-<р(0) = у Q(0) + ^[l +i0-x-^(0-x)2-e''e ^P(O, х).
Заметим теперь, что квадратичная форма Q(0) положительно
определена (при доказательстве предложения 5 была установ-
лена положительная определенность квадратичной формы
Qr(0)<Q(0)) и что, согласно предложению 4, Q(0)>X|0|2 при
некотором Х>0. Таким образом, достаточно доказать, что
Ит|0Г2У [1 +/0-х-4-(0-х)2-еге^1р(О, х) = 0.
0->О 2 J
x^R
Ясно, что каждый член указанной суммы, деленный на |0|2,
стремится к нулю при 0—>0. Однако, чтобы оправдать возмож-
ность изменения порядка операций суммирования и перехода к
пределу, необходимо установить применимость теоремы о мажо-
рированной сходимости. В самом деле, существует такое 4>0,
что
11 + it — ~ t2 — elt | At2
при всех действительных /. Таким образом,
| е |’2| 1 + /9 х-± (6• х)2 —eie~*| < Л ^)2 < А| х |2,
и доказательство закончено. Заметим, что доказанное утвержде-
ние является значительным усилением предложения 6.7.
Следующая лемма дает для строго апериодического случай-
ного блуждания аналог критерия, сформулированного в теоре-
ме 1 для апериодического случайного блуждания.
Предложение 8. Для произвольного d-мерного (d> 1) строго
апериодического случайного блуждания |ф(0) | = 1 только в том
случае, когда все координаты у 0 кратны 2л. Обратно, всякое
случайное блуждание, обладающее этим свойством, строго апе-
риодично.
Доказательство. Для доказательства первой части утвержде-
ния предположим, что |<р(0о) 1=1, так что ф(0о) —еи при некото-
ром действительном t. Это означает, что х • 0о = £+2пл при всех х,
таких, что Р(0, х)>0, при этом, разумеется, целое п может за-
висеть от х. Зафиксируем 0О и выберем точку г0 из R, такую, что
го.0о = /+2тл, где m— некоторое целое число. Рассмотрим те-
перь переходную функцию, определяемую соотношением
Q(0, х)=Р(0, х + г0), где Р(0, х) — переходная функция задан-
ного строго апериодического случайного блуждания. Как это
ясно из определения 5.1, переходная функция Q(0, х) отвечает
некоторому строго апериодическому случайному блужданию. Со-
ответствующая ей характеристическая функция будет
ф(е) = 2 Q(0, x)eix'Q = 2 /’(О. X + Zq)eix0 = e~iz>• %(0).
• x^R x^R
Следовательно,
ф (0О) — e~iz* * е°ф (0О) = e~iz* *Qoeif = 1,
но, поскольку ф(0)—характеристическая функция апериодиче-
ского случайного блуждания, из теоремы 1 следует, что все ко-
ординаты точки 0о кратны 2л.
Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что
случайное блуждание не является строго апериодическим, и най-
дем такую точку 60 из £, что |ф(0о)|=1 и в то же время не
все ее координаты кратны 2л. (Согласно определению 5.1, можно
найти такую точку г0 из £, что переходная, функция Р(0, x + z0)
как функция от х будет соответствовать случайному блужда-
нию, не являющемуся апериодическим. Характеристическая
функция этого случайного блуждания равна ехр(—/го-0)ф(0).
В силу теоремы 1 эта функция равна единице в некоторой точ-
ке 0о из £, не все координаты которой кратны 2л. Следовательно,
|ф(0р)| = 1, т. е. точка 0О удовлетворяет нашим требованиям, и
доказательство предложения 8 закончено.
Предложение 9. Для строго апериодического d-мерного
1) случайного блуждания с вектором средних ц = 0и ко-
нечными вторыми моментами
lim(2nn)d/2P„(0, х) = |Q Г1/2, х е Р,
П-> ОО
где | QI — детерминант матрицы, соответствующей квадратичной
форме
Q(e)=2(x-G)2P(0, х).
xg=R
Доказательство1). Согласно предложению 6.3,
(2nn)d/2P„ (0, х) = nd/2 (2n)’d/2 J (G) e~ix e dQ
c
или после замены e/n = a
(2«n)d/2P„(0, x) = (2jr)“d/2 f <p"/-£=)e~~^~da.
\V nJ
a^VnC
. Выбирая 0 < r < л и 0<Д<гУ^г, представляем этот инте-
грал в виде
__£ о ix • а
(2nn)d/2P„(0, x)=(2n)"d/2 Je 2 е da +
E
+ Ц(п, Д) + /2(п, Д) + /3(п, A, r) + I4(n, г), (1)
9 Мы воспроизводим доказательство Гнеденко [16, стр. 248—251] с оче-
видными изменениями на случай
7 Зак. 1375
где последние четыре интеграла, которые будут играть роль по-
Йравочных членов, суть
* Q (Cl)
/2 (п, А) - - (2n)’d/2 J е 2 е~~^da,
|а| >д
ix • а
Ц (п, Л, г)«(2n)“d/2 f <pn е Vh da,
J _ \V п)
А<\аД^гУп
ix ♦ а
/4(п, r) = (2n)“d/2 f <p”f—7=V Vn ^а-
У _ \ V n /
|а I >r/n,ae VnC
Покажем прежде всего, что главный член этого разложения
дает нужный предел. Если 0<Xi Х2 -С.... — собственные
значения положительно определенной квадратичной формы
(3(0), то, произведя, если это необходимо, поворот системы коор-
динат, получим
d
_1 У Х.а?
/0 «= (2л)’й/2 j е-1«(»> da = (2л)-4'2 J е 2 da =
в Е
d 00 j Г d Т-1/»
= (2Jt)"d/2JJ Jc~2^aMaft= JJlft .
л=1 -оо L k~i
Но произведение собственных значений формы Q равно де-
терминанту |QI, так что A)=|Q|_,/2. Поскольку этот интеграл
конечен, ясно, что
>_1 q (a) ix * , а
lim (2n)-<//2 [ е 2 • е у'п da = | Q
П->оо "
и, следовательно, доказательство предложения 9 будет закон-
чено, если мы сумеем показать, что сумма остальных четырех
интегралов стремится к нулю при п—*оо.
Для оценки Л(п, Л) мы используем предложение 7, из ко-
торого следует, что
v п( « \
11П1ф
И->оо \УП/
е 2
Q(a)
при каждом а из Е. Таким образом, интеграл Zj(n, Л) при лю-
бом Л>0 стремится к нулю, когда п—>оо. Чтобы оценить
/4(и, г), заметим, что
|/4(«> r)K«d/2(2n)"d/2 J |ф(о)|лг/е.
[0| 0е С; | 6| >г]
В силу предложения 7 в области интегрирования имеем
|<р(0) |<1—д при некотором б=б(г)>0. Следовательно, инте-
грал 74(п, г) при п-*оо стремится к нулю, если только 0<г<л.
Теперь нам осталось разобраться лишь с интегралами 72 и 73.
Используя снова предложение 7, выберем г столь малым, чтобы
при | а | г Уп выполнялось неравенство
Тогда
| 73 (п, Л, г) К (2л)~а/2 [ е 4 Q (а)da
|а|>Л
npji всех п. Точно так же независимо от л
| 72 («, Л) | (2n)~d/2 | е 2 Q(a)
|а| >А
Следовательно, сумму интегралов 72 и 73 можно сделать сколь
угодно малой, если выбрать г достаточно малым, а Л достаточно
большим, и тем самым доказательство предложения 9 закон-
чено.
Замечание. Весьма полезна следующая несколько усиленная
форма предложения 9:
В условиях предложения 9
lim [(2лп)й/2Р„ (0, х) -1 Q | ' V[I/(2n)1 • 9’’х)] = о (2)
П->оо
равномерно по x^R.
Если проследить за способами оценки поправочных членов
/ь /2, /3 и /4 в доказательстве предложения 9, то мы увидим, что
их сумма стремится к нулю равномерно по х. Таким образом,
сравнивая соотношения (1) и (2), мы видим, что достаточно
установить равенство
(2n)’d/2 J е~ 2 Q We~~^~ da = | Q \~',ге~^ {х ’Q . (3)
£
В нем так же, как ив (2), через x-Q-1x обозначена квадратич-
ная форма, обратная к Q(a)=a*Qa. В справедливости этого
равенства нетрудно убедиться, если с помощью ортогонального
преобразования системы координат привести квадратичную фор-
му Q(a) к диагональному виду. Правда, наличие показательной
функции, зависящей от х, в левой части соотношения (3) де-
лает эту проверку несколько более сложной, чем вычисление /0
в доказательстве предложения 9, однако никаких новых идей
при этом не требуется.
Пример 2. Простое случайное блуждание в пространстве d>l
измерений не является строго апериодическим. Тем не менее
нетрудно соответствующим образом видоизменить доказатель-
ство предложения 9. Характеристическая функция такого слу-
чайного блуждания равна в d-мерном случае
<р (6) = У] Р (0, х) eix ’0 = 7 [cos 0! + ... + cos 0d],
Pn(0, 0) =0 при нечетных n и
rd ~ 2n
P2„(070) = (2n)-d j ± 2 cos 0* d0. (1)
c L л-1
Поскольку функция, стоящая под интегралом в (1), периодиче-
ская по каждой координате 0/г с периодом 2л, мы вправе сдви-
нуть куб Сна вектор v = (л/2) (1, 1, ..., 1), и при этом ₽2п(0, 0)
будет вновь задаваться соотношением (1), где область интегри-
рования С заменена на C'—C+v.
Замену С на С'=С + ц мы произвели потому, что модуль
подинтегрального выражения в (1) достигает своего максимума
(равного единице) в двух внутренних точках из С' — в начале
координат и в точке л(1, 1, .1). Вклад этих точек в асимпто-
тическое поведение Р2п(0, 0) один и тот же, ибо |ф(0) | =
= |ф(0 + до)|, где йУ=л(1, 1, 1). Из доказательства предло-
жения 9 ясно, что асимптотическое поведение интеграла в (1)
не изменится, если интегрирование будет производиться лишь
по произвольно малым шарам, описанным около точек, для ко-
торых |ф(0)| = 1. Пусть S —такой шар радиуса г<л/2 с цент-
ром в начале координат, тогда
rd n2rt
Р2„ (0, 0) ~ 2 (2n)-d J 7 2 cos 0ft de.
S L ' A=1
При малых значениях 101
d d 1012
Г S ’• = 7 S [* - 2 si"! (4)] ~1 - -Чг ~
(2)
| 0 |->0.
(3)
Применяя оценку (3) к (2), при больших п будем иметь
I ер
Р2„ (0. ~ 2 (2n)’d j е d п de ~
S
~2(2n)“d j
Е
Интеграл от гауссовой плотности равен единице, так что мы
показали, что для простого d-мерного случайного блуждания
I d \dl2
Ап(0, 0)~2^^-] при п-^оо.
Усиленная форма предложения 9, приведенная в замечании,
следующем за доказательством, носит название локальной цен-
тральной предельной теоремы. Хотя эта теорема чрезвычайно
полезна во многих приложениях теории вероятностей, часто воз-
никает необходимость в более тонких оценках (действительно,
предложение 9 мало что^дает для достаточно больших |х|, ска-
жем, при |х| порядка или больше). Существует модифика-
ция предложения 9 (доказанная в одномерном случае Сми-
том [75], 1953), устанавливающая более точную оценку при
больших |х|. Этот результат потребуется нам в § 26, где его
использование в сочетании с предложением 9 позволит выяснить
асимптотическое поведение функции Грина G(x, у) трехмерного
случайного блуждания.
Предложение 10. Для строго апериодического d-мерного
(d>l) случайного блуждания с вектором средних ц = 0 и ко-
нечными вторыми моментами
lim [(2лм)4/2Р„ (0, х) -1 Q Г'/ге~*Г (х' С’1х)] = 0
П->оо П
равномерно по x^R.
Доказательство. Точно так же, как и при доказательстве
предложения 9, запишем
~ (2nn)dl2Pn (0, х) = / <р” (0) e~ix • 6 de.
ri' \ / ri J
С
В правой части этого соотношения член |х|2 можно внести под
знак интеграла. Далее, если вторые производные функции /(0)
непрерывны, то по теореме Грина
|х|2/f (0)e-i*'ed0 = — j f(0)Ae[<r* e]d0 =
С с
= — J e~lx (0) dB + Граничные члены,
с
Здесь
— оператор Лапласа. Мы можем применить это преобразование
к функции <рп(0), вторые производные которой непрерывны (рас-
суждения точно такие же, как и при доказательстве предложе-
ния 6.4). Более того, в этом случае граничные члены оказы-
ваются равными нулю, ибо <р(0) —периодическая функция. Та-
ким образом,
l^-(2nn)d/2P„(0, х)------------I e“ix-eM<Pra (0)]d0 =
П \ I fl J
c
ix • a t
= - (2n)~d/2 f e Да Гф" (^= 11 da,
i L \ V n / J
VnC
где а=*/п$-
Дальнейшее доказательство проводится по той же схеме, что
и доказательство предложения 9, только вместо соотношения
г п ( « \ $(а) г— г
1ш1ф ('-7= ) = е 2 , ае£,
П-> co \ V П /
мы используем соотношение
lim Д0[ф" (-7=11 = Дое 2 Q<a>, ае£.
П-> оо L \ Г fl / J
(2)
(3)
Доказательство этого соотношения опирается на представление
-7=11 = Лф'1-1
У п / J
+ п(п— 1)фп-2
(4)
Вычисления, основанные на предложениях 6.4 и 6.7, убеждают
нас, что
lim п Даф (77=) = — т2 = — V | х |2Р (0, х),
\vn) **
2 = (Qa.Qa) = |Qa|2, (5)
limn2 grad<p(-^=
п-> оо I a \ M,
ix • a
-~Q(a)
-e 2
тп[ a
ф hz
е da,
/ a VI ix-a
,ФЛ \ Kn / J e Vn da,
где Q — матрица ковариаций. Применяя (2) и (5) к (4), полу-
чаем (3).
Равенство (3) подсказывает разложение
-^.(2«n)d/2P„(0, х) =
—Iх ' а __L q (а)
= — (2n)"d/2 J е Дае 2 da + Л + /2 +13 + Ц, (6)
Е
где Ik — поправочные члены того же типа, что и в доказатель-
стве предложения 9, только с оператором Лапласа в подинте-
гральных выражениях. Таким образом,
- Л = (2л)’Л2 / Да
|а|<А
. Г _J-Q(a)l _<*-а
/2 = (2n)”d/2 J Да[е 2 Je Vn da,
|a|>A
- /3 = (2n)'d/2 J Да
— /4=(2n)“d/2 / До[фя^]е"^^.
la| >rVn; aeVnC
Как легко видеть, главный член разложения (6) равен
l£!iior'/se“^(*'Q’lx)
п 1 46 ’
Чтобы показать, что сумма поправочных членов стремится к
нулю равномерно по х, заменим каждый из интегралов Ik инте-
гралом от абсолютных значений подинтегральных выражений.
Это ликвидирует зависимость от х. Мы будем оценивать по-
правочные члены в том же порядке, что и при доказательстве
предложения 9, В силу равенств (3), (4) и (5) подинтегральное
выражение в мажорируется функцией, ограниченной на каж-
дом конечном интервале. Следовательно, Ц стремится к нулю
при каждом А>0 равномерно по х. Что касается /4, то из (4)
и (5) имеем
| доф" < k, (I - б)"-1 + k2 (1 - д)"-2,
где 1—б<1—оценка сверху для <р(0) при 0еС и |0|>г, а
kt и — положительные постоянные, зависящие от г,, но не за-
висящие от п. Таким образом, Z4-*0 равномерно по х при каж-
дом г, 0<г<л. Далее, для оценки 13 выберем г столь малым,
чтобы для | а | -С г Yn было
I \Г п/1
при некотором М>0. Это показывает, что выбирая А достаточно
большим, можно сделать интеграл /3 произвольно малым равно-
мерно по х и п. Наконец, точно так же, как и в предложении 9,
показываем, что /2 стремится к нулю равномерно по п и х, когда
А -* оо. Этим доказательство заканчивается.
§ 8. Критерии возвратности и примеры
В терминах характеристической функции довольно просто от-
ветить на вопрос о возвратности случайного блуждания. Мы на-
чнем с общего критерия, установленного Чжун Кай-лаем и
Фуксом [101] в более общей и более трудной обстановке — для
произвольного (не обязательно по решетке точек с целочислен-
ными координатами) случайного блуждания в евклидовом про-
странстве.
Предложение 1. Если <р (0) —характеристическая функция
случайного блуждания, то
тогда и только тогда, когда это случайное блуждание невоз-
вратно.
Доказательство. Согласно предложению 1.4, случайное блуж-
дание невозвратно тогда и только тогда, когда
С = £Р„(0, 0)<оо.
п=0
Но
G = limS /лР„(0, 0),
t л 1 п-0
если этот предел конечен, и G= оо, если это не так. Используя
предложение 6.3, получаем
оо
(2«)'С - lim J f J ф’(в) М - lim J .
Л п» 0 Л
Замечая, что при 0 /<1
J 1 - (0) = Re J 1-йр(0Г = I $е [ 1 —/Ф(в)] d0.
находим
(2n)dG = lim f Ref-г
t л i J L 1
- *P (©)
]d0,
1
что и доказывает предложение 1.
Этот критерий позволяет получить простые достаточные ус-
ловия возвратности и невозвратности. По аналогии с теоре-
мой 3.1, утверждающей, что одномерное случайное блуждание
возвратно, если /п<оо и р=0, естественно, например, спросить:
при каких предположениях относительно моментов будет воз-
вратно двумерное случайное блуждание? Ответ на этот вопрос
дает
Теорема 1. Собственно
вратно, если
(a) d = 1
или если
(б) d = 2
d-мерное случайное блуждание воз-
и т1<оо, р. = 0,
и т2<оо, ц = 0.
(в) Случайное блуждание невозвратно, если d~^3.
Доказательство. Утверждение (а) было уже доказано в гл. I,
однако ниже (пример 1) мы приведем набросок доказательства
Чжун Кай-лая и Фукса [101], опирающегося на предложение 1.
Что касается части (б), то в силу предложения 7.9, если слу-
чайное блуждание строго апериодическое,
Рп(0,0)~Сп~1 при п->оо,
где С — некоторая положительная постоянная. Поскольку гар-
монический ряд расходится, всякое строго апериодическое
случайное блужданиё в плоскости с вектором средних ц=0 и
конечными вторыми моментами возвратно. Однако от условия
строгой апериодичности можно довольно просто освободиться:
нужно построить новое строго апериодическое случайное блуж-
дание с переходной функцией Q(x, у), удовлетворяющее предпо-
ложениям (б) и такое, что
оо оо
3Q«(o, о)<2р„(о, о).
п=0 п=0
Это построение основывается на том факте, что случайное блуж-
дание с Р(0, 0)>0 апериодично тогда и только тогда, когда оно
строго апериодично. (Это следует из теоремы 7.1 и предложения
7.8, ибо если Р(0, 0)>0, то |$(6) | = 1 тогда и только тогда, ко-
гда <р(0) = 1.) Если переходная функция Р(х, у) удовлетворяет
предположениям (б), то всегда можно найти целое 1, такое,
что Рг(0, 0)>0. Если случайное блуждание с переходной функ-
цией Pt{x, у) апериодично, то оно строго апериодично. Если же
это не так, то, используя предложение 7.1, построим изомор-
физм Т d-мерной группы, порождаемой теми точками х из Р,
для которых Pt(0,x)>0, на пространство R и определим
Q(x,y)^Pt('r1x,rly').
Переходная функция Q(x, у) определяет строго апериодическое
блуждание, причем
Q„(0, 0) = Рп/(0, 0), п>0,
так что
со оо
3Qn(0, 0)<2Р„(0, 0).
п=0 п-0
В силу предложения 7.9 ряд, стоящий в левой части этого нера-
венства, расходится, что и доказывает часть (б) теоремы 1.
При доказательстве утверждения (в), изменяя, если это необ-
ходимо, пространство состояний, можно считать случайное
блуждание апериодическим и собственно d-мерным. Далее за-
метим, что 1
Re 1 - ftp (6) / Re [1 - <р (0)] ’ 6 Е>
и в силу предложения 7.5
(2«/G-limjRerrl7i5rde<
л с
J Re[l-<p(0)] ’ J W’
С с
где X — положительная постоянная. Поскольку при d>3 инте-
грал от функции 10|~2 по кубу С конечен (это проверяется пере-
ходом к полярным координатам!), доказательство теоремы 1
закончено.
Замечание. Если бы мы смогли оправдать перестановку по-
рядка операций интегрирования и перехода к пределу в предло-
жении 1, то получили бы более простой критерий:
«d-мерное случайное блуждание невозвратно или возвратно
в соответствии с тем, интегрируема по Лебегу или нет действи-
тельная часть функции [1—<р(0)]-1 по d-мерному кубу С».
Это утверждение, действительно, справедливо. В силу леммы
Фату *)
J Re 1-ф(0) dQ~ J thP]Re 1-/<р(0)
с с л
1Re i-kwdQ=(2lt)d G<°°-
Следовательно, если G<oo, т. е. если случайное блуждание не-
возвратно, функция Re[l—<р(0)]-х интегрируема по С. Однако,
к сожалению, прямое (т. е. средствами гармонического анализа)
доказательство обратного утверждения не известно. Единствен-
ное известное к настоящему времени (1963 г.) доказательство
опирается на некоторые факты теории возвратных случайных
блужданий, излагаемые в гл. III и VII. Тем не менее мы, хотя
и совсем коротко, приведем сейчас это доказательство в каче-
стве введения в методы, развиваемые в последующих главах.
При этом, поскольку окончательный критерий возвратности
(сформулированная ниже теорема 2) нигде в дальнейшем ис-
пользоваться не будет, мы, не страшась обвинений в непоследо-
вательности, будем свободно использовать необходимые факты
из этих глав. Чтобы избежать тривиальных, но утомительных
переформулировок, мы ограничимся рассмотрением лишь апе-
риодических случайных блужданий и докажем, что имеет место
следующая
Теорема 2. Апериодическое d-мерное случайное блуждание
невозвратно тогда и только тогда, когда функция Refl—<р(0)]-1
интегрируема по d-мерному кубу С. {В силу теоремы 1 это все-
гда так, если d 3.)
*) См. Халмош [89, стр. 114].
Доказательство. Как это ясно из изложенного выше, нужно
лишь доказать, что G<oo, если функция Re[l—ф(б)]-1 интегри-
руема. Предположим, что G = oo (это возможно только при
d^.2), и постараемся прийти к противоречию. При этом предпо-
ложении рассматриваемое апериодическое случайное блуждание
возвратно и ряд
а(х)=1[Р„(0, 0)-Р„(х, 0)] (1>
п«0
сходится при всех хе/?. (Этот факт устанавливается теоре-
мой 28.1 гл. VII.) Далее,
а.(х) + а (- х) = 2 (2я)-“ / dQ =
С
— 2 (2ri)~d J [ 1 — cos х • 0] Re t d0, xe/?. (2)
c
(Это следует из предложения 28.4, если d=l, и из предложе-
ния 12.1, если d = 2.) Наконец, в предложении 29.4 будет пока-
зано, что функция а(х)+а(—х) допускает интересную вероят-
ностную интерпретацию: она равна среднему числу попаданий
в точку х случайного блуждания хп, пХ); исходящего из Хо=х,
до момента первого попадания в начало координат. Таким об-
разом, в обозначениях предложения 29.4 имеем
оо
а (х) + а (— х) = £{0} (х, х) = 2 Рл [х* = х; Т > kJ, (3>
1’ fe-0
где T=min[^|A>0; Xfe=0].
Чтобы завершить доказательство, изучим асимптотическое
поведение а(х)+а(—х) при больших значениях х. Применяя
лемму Римана — Лебега (предложение 9.1) к равенству (2),
получаем
। lim [а (х) + а (— х)] = 2 (2n)"d j Re д dQ < оо. (4>
С другой стороны, используя (3), можно получить
lim [а (х) + а (— х)] = + оо,
(5>
что и приводит к противоречию. Чтобы доказать (5), выберем,
некоторое положительное целое N и заметим, что’для возврат-
него случайного блуждания Т<оо с вероятностью единица. От-
сюда следует, что
N N
а (х) + а (— х) > 2 Рл- [хА = х; Т > k\ = 2 [хй = х] -
Л=0 Л-=0
N N N
-2PJxft = x; T<4]=2Ps(0. 0)-2PJx4 = x; Т<£J.
А-0 А-0 й=0
При каждом фиксированном целом k
РДхЛ = х; Т<£]<РХ[Т<Л]-
k k k
= 2pJt = /]<2pJx7 = o]=2p7(x, 6).
/=0 /=0 /=0
Последняя сумма стремится к нулю при |х| ->оо. Таким обра-
зом, при произвольном W
N
lim [а (х) -На<— х)] > 2 Pk (0, 0)-
I X | -> оо ^=0
Отсюда следует справедливость соотношения (5), ибо случай-
ное блуждание предполагалось возвратным. Полученное проти-
воречие убеждает нас, что апериодическое случайное блуждание
не может быть возвратным, если функция Re[l—ф(0)]н инте’-
грируема, и, следовательно, доказательство теоремы 2 закончено.
Пример 1. Для доказательства части (а) теоремы L с исполь-
зованием предложения 1 заметим, что при и 0<а<л
л а
/ Re[l=W>]I ReШ(1>
—л -а
так как действительная часть функции [1—Ар(б)]"1 неотрица-
тельна. Далее
[ 1 — /ф (6) ] [Re(l —/ф)]2 + /2 [1тф]2
и, задаваясь произвольным е>0, можно, используя предложе-
ние 6.4, выбрать а столь малым, что при |0|<а
11тф(0) |<е| 0 (3)
[Re (1 - /ф (0) )]2 < 2 (1 - /)2 + 2/2 [Re (1 - ф (0) )]2 <
<2(1 -/)2 + 2/W. (4)
Следовательно, сопоставляя (2), (3) и (4), имеем
а
а а 1-£
‘ / Re [ 1 - 1ф (0) ] - I 2 (1 - Z)2 + 3Z2e202 7 I • 1 +е2х2
—а -а ___а_
1-*
и в силу (1)
lim f Re
*^-л
1 - /<р (0) И0 3
(5)
Устремляя 8 к нулю, убеждаемся, что предел в (5) бесконечен
и, согласно предложению 1, рассматриваемое случайное блуж-
дание возвратно.
Доказательство части (б) теоремы 1 с использованием ха-
рактеристической функции проводится совершенно аналогично
предыдущему, поэтому мы перейдем к другой задаче. Докажем
(без использования усиленного закона больших чисел, как это
мы делали в теореме 3.1), что одномерное случайное блуждание
ст<сои ц=£0 невозвратно. Любопытно, что, по-видимому, этого
нельзя доказать, основываясь лишь на предложениях 1 и 6.4.
Однако если дополнительно использовать предложение 6.6, уста-
навливающее, что функция 0~2Re[l—<р(0)] интегрируема по Ле-
бегу на интервале [—л, л], то доказательство проводится до-
вольно просто. Мы можем и будем предполагать случайное
блуждание апериодическим. Нужно показать, что при некотором
а>0
а
й J Re[i-w]de<o°- (6)
Будем исходить из соотношения
р Г 1 1 Re(l-<p) + (l-ORe<p Red-Ф) , 1-Z m
KeLl-Zq>(O)J [Re (1 — Z<p)J2 +I2 (Im <р)2 55=5 Z2 (Imq>)2 "f" 11 —/<р,|2 '
Выбирая а столь малым, что при |0|<a
| Im<p(e)|>|4 I
(это можно сделать в силу предложения 6.4), видим, что
с Re[l—ф(0)] ? Re [1-Ф(0>] <fl
J /2(1тФ)~ d0^C J -------Г©?---dQ<°°
—а —л
при некотором с>0. Теперь осталось только оценить интеграл
от последнего члена в (7). Представим этот интеграл в виде
суммы
I |l-/<Ppd9+ I |1-i<p|2d0^
<(l-o-1 / dQ + ±~-^ J
|6|<l-t l-f<|0|<a
Правая часть этого неравенства при t /'Х остается ограниченной,
так что (6) доказано.
Пример 2. Рассмотрим одномерное симметричное случайное
блуждание, обладающее тем свойством, что при некотором а>0
О < lim | х |1+аР (0, х) = с1 < оо.
I X | -> оо
Если а>1, то по теореме 1 такое случайное блуждание воз-
вратно (в этом случае первый момент tn конечен). Докажем,что
на самом деле рассматриваемое случайное блуждание возврат-
но, если a> 1, и невозвратно, если а<1. Установить это утверж-
дение позволит изучение асимптотического поведения функции
1—<р(0) при 0—*0. Если а>2, то второй момент конечен и в
силу предложения 6.4 1—ф(0)~с202 при 0—>0 для некото-
рого положительного числа с2. Таким образом, можно ограни-
читься рассмотрением случая 0<а4^2. Докажем, что прц
0<а<2
lim
е->о
1 - Ф (0)
|0|°
1 — COS X
I V |«+1
rfX<OO,
(1)
и тогда из предложения 1 будет тривиальным образом следо-
вать, что случайное блуждание невозвратно тогда и только
тогда, когда 0<а<1. Имеем
1—<р(0)= 3 [1 — cosn0] Р(0, п),
П=~со
2 |n|I+aP(0, п) -L“+1|0|[l-cosn0].
rt=-OO
Полагая
f (х) = | х Г(1+о)(1 — cosх), — оо<х<оо,
(2)
замечаем, что (2) принимает вид
оо оо
S 10Н(П0)+ 2 /(пе>|0|еЛ, (3)
П=—оо п=—оо
где еп= |п|1+аР(0, п) —Ci—>0 при п -* оо.. Поскольку интеграл
Jf(x)dx=* | 1~^S1X dx,
J J I х
понимаемый как несобственный интеграл Римана, существует
при каждом положительном а<2, из (3) следует, что равенство
(1) имеет место, если
lim
|0|->о
оо оо
S |0|Нп0)= / f(x)dx.
П—~оо —оо
Но последнее равенство справедливо, поскольку последователь-
ность сумм в его левой части представляет собой обычные инте-
гральные суммы Римана функции f(x).
Заметим, что при а=2 предшествующие рассуждения поз-
воляют утверждать лишь (и даже это требует известной осто-
рожности), что равенство (1) выполняется в том смысле, что
интеграл, стоящий в его правой части, бесконечен. Можно пока-
зать, что при а=2 функция 1—<р(0) ведет себя вблизи 0=0
подобно отрицательной константе, умноженной на 02 In 101
(см. задачу 6).
В следующем примере мы будем рассматривать специальное
случайное блуждание типа, рассмотренного в примере 2 с а=1.
Возвратность этого случайного блуждания будет очевидна из
его вероятностного смысла.
Пример 3. Рассмотрим простое случайное блуждание хп в
плоскости, исходящее из точки хо=О. Будем записывать хп в
комплексной форме (т. е. xn = an-H’bn при каждом п>0, так что
случайная величина ап является действительной частью хп, а
Ьп — его мнимой частью). Определим теперь момент остановки
Т = min [k | 1 < k < oo; = b*]. (1)
Таким образом, T — момент первого достижения простым слу-
чайным блужданием в плоскости диагонали Re (%) =Im(x). Со-
гласно теореме 1, простое случайное блуждание в плоскости воз-
вратно, а вследствие предложения 3.3 это означает, что Т<оо
с вероятностью единица.
Мы будем интересоваться в основном не моментом Т первого
достижения блуждающей частицей диагонали, а ее положением
хт в этот момент. Определим
Q(0, п) = Ро[хт = и(1 + /)], п = 0, ±1, ±2, .... (2)
Из предшествующих замечаний относительно возвратности слу-
чайного блуждания следует, что
2 Q(0, п) = 1,
П = ~ оо
или, иначе говоря, функция Q(m, n)=Q(0, п— m), m,n~0,
±1, является переходной функцией некоторого одномерного
случайного блуждания. На самом деле из теоремы 1 можно
даже вывести, что Q(m, п) является переходной функцией воз-
вратного одномерного случайного блуждания (которое совпа-
дает с исходным простым случайным блужданием в плоскости,
рассматриваемым лишь в те моменты, когда оно попадает на
диагональ Re (х) = Im (х)).
Было бы интересно явно определить переходную функцию
Q(m, п), и, чтобы сделать это, мы покажем, что соответствую-
щая ей характеристическая функция ф(0) задается соотноше-
нием
оо
x|)(0)= 2 n)einQ — 1 — sin|у|, (3)
n=—oq
Тогда с помощью простых вычислений (которые мы опускаем)
из равенства (3) можно получить
Q(0, 0)=1—Q(0, п) = |^Т, п=/=0. (4)
С учетом результата примера 2 соотношения (4) приводят нас
к уже упоминавшемуся заключению, что случайное блуждание,
определяемое переходной функцией Q(m, п) возвратно.
Доказательство справедливости равенства (3) основано на
искусственном приеме, заключающемся во введении новых слу-
чайных величин. Напомним, что xn=an + zbn, хо=О, и определим
uo = vo = O, u„ = art + b„, v„ = a„-bn, п>1. (5)
Тогда
Т = min [k | k 1, v* = 0], xT = -j- (1 + z),
И мы приходим к выводу, что
оо Г . 0 "I
ф(6)= 2 Е0[е‘2 Т = &|. (6)
£=1
8 Зак. 1375
Смысл этого искусственного приема состоит в том, что по-
следовательности случайных величин un и vn независимы. Не-
трудно убедиться, что для каждой пары положительных целых
чисел тип
Ро - um-l = Г-, V„ - Vn^ = s] =
= Pol“m-«m-l=dPo[vn-V„_i = s]. (7)
Более того, при проверке справедливости соотношений (7) обна-
руживается тот замечательный факт, что вероятности, входя-
щие в левую часть соотношения (7), равны V4, если |г( = 1 и
|$|=1, а в остальных случаях равны нулю. Таким образом, мы
убеждаемся, что последовательности un и vn представляют со-
бой пару независимых одномерных простых случайных блуж-
даний.
Остальное просто. Поскольку Т зависит лишь от последова-
тельности vn и не зависит от случайного блуждания un, можно
применить предложение 3.1 к (6), что дает
Ф (0) = 2 Ео [е' 2 “*J P0[T = fc]
6=1
и, так как un — простое случайное блуждание, то
Ф (В) = S (cos 4)* Ро [Т = k] = Ео [(cos |)Т]. (8)
Остается только вычислить E0(sT) при произвольном s из
отрезка [—1, 1]. Случайная величина Т является моментом пер-
вого возвращения в нуль простого случайного блуждания vn и,
согласно равенству (5) примера 1.2,
оо ______
E0(sT) = 2 s"F„(0, 0) = 1 - /1 - s2,
n=l
и<1.
Из (8) и (9) следует, что
4)(0) = 1 - |/1 - (cos4) = 1 -sin|4|,
(9)
(Ю)
и (3) доказано.
Замечание. Очень сходная задача возникает при рассмотре-
нии двух независимых одномерных простых случайных блужда-
ний un и vn, исходящих из начала координат. Пусть
Т = min [k | k 1, u* = vj
— момент первой встречи случайных блужданий un и vn, так что
Ut = vt—место встречи. Можно показать, что, так же как и в
равенствах (9) и (10), случайные величины Т и vt имеют беско-
нечные средние. Можно показать также (см. задачу 9), что
ф (0) = Е [?0Ut] = 1 - у /(1-cos 0)(3 —cos 0) . (11)
В то время как в примерах 1, 2 и 3 речь шла об установле-
нии или опровержении возвратности случайных блужданий спе-
циального вида, в последнем примере этого параграфа мы по-
пытаемся подчеркнуть некоторые общие принципы. Для этого
нам прежде всего потребуются некоторые сведения из абстракт-
ного гармонического анализа. На абелевой группе G мы выде-
лим некоторый класс функций %^(^), g^G, называемых харак-
терами группы G, которые играют ту же роль, что и показа-
тельные функции eiKx на /?. На самом деле мы рассмотрим лишь
одну специальную группу G, структура которой будет суще-
ственно отличаться от структуры группы R точек с целочислен-
ными координатами.
Пример 4. Рассмотрим следующую счетную абелеву группу G.
Элементами ее являются бесконечные последовательности
g = (бр $2, ез> • • •)>
где каждое Zk = &k(g) равно 0 или 1 и лишь конечное число
«координат» отлично от нуля. Сложение производится по мо-
дулю 2: если g^G и h^G, то их сумма g + h определяется соот-
ношением
. _ | °, если 8* (g) = 8ft (Л),
8*(g )~1 1, если zk{g)^=e,k{h).
Каждый элемент g из G можно однозначно представить в виде
конечной суммы образующих gk^G, где
ert(gft) = 6(n, й), й>1, га>1.
Единицей группы G служит элемент
е = (0, 0, ...).
Комплекснозначная функция %(g) на G называется характе-
ром группы G, если
‘ lxte)l=l. x(g + A) = x(g)x(A), g, h<=G. (1)
Из (1) следует, что %(е) = 1 (ПРИ этом мы не используем ника-
ких специальных свойств G) и что %(g) может равняться либо
+ 1, либо —1 (поскольку каждый элемент G имеет порядок 2,
т. е- g+g^e)-
Выделим теперь (достаточно богатую для применений) со-
вокупность характеров. Пусть I обозначает отрезок [—1, 1].
Каждое число можно представить в двоичной форме
(единственным образом, если предварительно принять соответ-
ствующее соглашение о дробях с повторяющимися двоичными
знаками):
оо
= ’ где каждое = равно +1 или —1. (2}
1 /г—1 2
Определим теперь при любом
Ха. (g) = Ха (gi^ Ха (gi2) • • • Ха (gin)
(3)
для каждого g=gil+'gi2+• •-+gin^G. Из (3) очевидно еле-
дует, что является характером.
Классический гармонический анализ опирается на свойство
ортогональности показательных функций (предлбжение 6.1).
Аналогом этого свойства в настоящей ситуации будет следую-
щее соотношение ортогональности:
If /X если
7 Xx(g)Xx(/0cM= j
* J * л 0, если
S“A' (4)
g^h, 1 f
где d% — обычная лебегова мера на отрезке I. Хотя доказатель-
ство этого соотношения,, основанное на (1), (2) и (3), не пред-
ставляет труда, сам факт, что подобное соотношение ортого-
нальности справедливо в довольно общей ситуации, достаточно
глубок и играет одну из ведущих ролей в современном развитии
теории вероятностей и в других областях анализа1). Копируя
ход рассуждений § 6, определим теперь «переходную функцию»
для которой
Р (g, h) = P(e, h — g),
P(e,g)>0, 2 P(e, g)=l,
(5)
i) См. Люмис [59]. Есть основания надеяться, что многие факты из тео-
рии случайных блужданий можно обобщить на произвольные абелевы груп-
пы; вероятно, такое обобщение может даже пролить некоторый свет на
чисто алгебраические проблемы, связанные со строением абелевых групп.
И соответствующую ей «характеристическую функцию»
Ф(Л) = 2 Р(е, g)xAg), Ле/. (6>
g^G А
Далее мы можем обобщить утверждения (а) и (б) предло-
жения 6.3. Если итерации P(gt Л) определить соотношениями
Ро (g, h) = 6 (g, Л), Pj (g, h) = P (g, h),
Pn+l (g, h)=%P (g, f) Pn(f, h}, n^Q,
fsG
то аналогом утверждения (а) упомянутого предложения будет-
ф"(Л) = 2 Рп(е, g)%K(g), Ле/, п>0, (7>
«ей К
а аналог утверждения (б) принимает вид
Рп(е, g) = 4 / Фп(Л)%х(§)йЛ, g^G, п>0. (8>
Доказательство (7) и (8) опирается на соотношение ортогональ-
ности (4) и проводится очевидным образом.
Теперь мы имеем все необходимое для того, чтобы связать
с переходной функцией P(g, h), заданной на группе G, некото-
рое «случайное блуждание» на этой группе. При этом, как и
в § 3, не представляет труда ввести соответствующее вероятно-
стное пространство и меру, в нем.
Таким образом, если задана переходная функция, то соответ-
ствующее случайное блуждание можно назвать возвратным^
если
со '
2 Рп(е, е)= оо, (9>
п=0
и попытаться найти критерий справедливости (9), как и раньше,
в терминах характеристической функции <р(Х). Но в рассматри-
ваемом случае это совсем просто, поскольку из соотношения (8/
следует, что (9) справедливо тогда и только тогда, когда
оо 1
2 J Ф* WdA= ОО.
n==0 -1
(10)
Проверим «полезность нашей теории» на одном весьма «жи-
тейском» примере. Рассмотрим бесконечную последовательность
электрических лампочек и такую бесконечную последователь-
ность чисел рь, что
оо
5р*=1.
/г = 1
В нулевой момент времени все лампочки выключены. Далее
через каждую единицу времени (/=1, 2, ...) выбирают одну из
лампочек (fe-ю лампочку с вероятностью р.&) и повертывают ее
выключатель. Таким образом, лампочка включается, если она
была выключена, и наоборот. Какова вероятность того, что в
момент времени / = п все лампочки выключены? Небольшое раз-
мышление показывает, что эта задача связана со случайным
блужданием на рассмотренной выше группе G и что искомая
вероятность-равна Рп(е, е), если переходную функцию P(g, h)
определить соотношением
P(e,g) = pk, если g = gk> и 0 в других случаях. (11)
(При этом вероятность того, что в момент времени п будут
включены, например, только лампочки с номерами 3, 5, 7 и 11,
равна Рп(е, g), где g=g3+g5+g7+gu, и т. д.)
В этой «прикладной» обстановке вопрос о возвратности имеет
некоторый интуитивный интерес. Равенство (10) эквивалентно
утверждению, что с вероятностью единица система лампочек
будет бесконечно часто находиться в состоянии, когда все они
выключены, и естественно попытаться найти критерий этого в
терминах определяющей последовательности {рь}> (Будем гово-
рить, что система возвратна, если последовательность {рь} тако-
ва, что имеет место (10).)
Из соотношений (11) и (6) имеем
ф €4 = Е рак(gfe)
k— 1
и,, используя (3), получаем
ф (Ч ~ 5 Pk^k>
/г=1
-так что (10) принимает вид
об 1 / оо \ Л
S J dK=°°- (12)
п=0 —1 '
По-видимому, общий критерий справедливости (12) в терминах
последовательности {ръ} получить нельзя. Однако можно при-
вести довольно простые условия, либо достаточные, либо
необходимые. Действительно, разобьем отрезок / на непересе-
кающиеся подмножества
/у = [Z | Z ЕЕ / J Zj — Л»2 — ... “ Zy — 1, Zy। — — 1 ],
7у = [Х|Ле/; ^ = ^2= ... = Лу= - 1, Лу+1= 1], />1.
Тогда
Интеграл, стоящий в левой части этого соотношения, равен
нулю, если п нечетно. Если же п четно, то интеграл по Ц совпа-
дает с интегралом по Jj. Обозначим
/(2р^)2я4Л. (13>.
ч
Тогда в силу равенства (8)
оо оо оо
2Р„(е,е)=2 2/у(п)<оо, (14).
п=0 / = 1 п-0
причем эти ряды расходятся или сходятся в соответствий с тем,
возвратна система или нет.
Ясно, что Ч имеет меру 2^ и, если /3=рз+1+рз+2+..., то
11-2рЛ1 при (15)-
Если выбрать М так, чтобы 1—2f3+i>0 при то
2-l(\-2fJ+1)2n^I}(n)^2-l(l-2pi+1)2n при (16)
в то же время
7у(п)<2-/с2'1 при j<M, (17>
где с — максимальное среди чисел |1—2/з+1| и |1—2pj+l | при.
всех /<Л4. Предположим, что все р3 положительны, тогда с<1
(это допущение не меняет существа дела; если р3=0 при неко-
тором /, то в критерии, который мы получим, j-й член можно
просто не учитывать). Если с<1, то, очевидно, члены в (17) не-
влияют на сходимость двойной суммы в (14). Ввиду (16),
S 1-(1-2/ )2 ^2 2 Л («X 2 1-(1-2р . )2 •
/=м ' j+i' 1=м п-о }=м ' 1 17
Следовательно, система возвратна, если нижняя оценка беско-
нечна, и невозвратна, если конечна верхняя оценка. Упрощая
эти оценки, получаем
оо
достаточное условие возвратности*. 2 2-/(/;)-'= оо; (18)
' оо
достаточное условие невозвратности: 3 2~z (р;)”1 < оо. (19)
Пусть, в частности,
pfe = (l-p)pw, £>1, где 0<р<1.
Тогда из (18) и (19) следует, что такая система лампочек воз-
вратна тогда и только тогда, когда р4р/2.
Замечание. Наиболее интересным из известных к настоящему
времени общих результатов относительно случайного блужда-
ния на группе является обобщение теоремы 1, установленное
Дадли [18]. Он рассматривал счетные аддитивные абелевы груп-
пы G и искал ответ на вопрос: какие из этих групп допускают
апериодическое возвратное случайное блуждание? Иными сло-
вами, на каких группах можно определить переходную функ-
цию Р(х, у), х, z/<=G, так, что Р(х, у)=Р(е, у — х) и
(а) не существует собственной подгруппы группы G, содер-
жащей множество [х|Р(е, х)>0],
(б) S рп(е, е) = оо,
п=0
где е — единичный элемент в G и Рп(х, у) определяется так
же, как в примере 4? Оказалось, что группа G допускает апе-
риодическое возвратное случайное блуждание тогда и только
тогда, когда не существует подгрупп этой группы, изоморфных
/?з. (тройному прямому произведению группы целых чисел). За-
метим, что, следовательно, можно определить апериодическое
возвратное случайное блуждание на аддитивной группе рацио-
нальных чисел!
§ 9. Теорема восстановления
В теории случайных блужданий, как, впрочем, и в любой
другой области математики, встречаются утверждения, тесно
связанные с обсуждаемым предметом, однако не являющиеся
непосредственной целью теории. Два именно таких предло-
жения мы сейчас и докажем: лемму Римана—Лебега (пред-
ложение 1) и теорему восстановления (предложение 3). Первое
/из них, являющееся фундаментальным фактом гармонического
анализа, непосредственно связано с материалом настоящей гла-
вы. Теорему восстановления следовало бы отнести к гл. VI, где
в теореме 24.2 формулируется наиболее общий ее вариант. Од-
нако предложение 3 нам понадобится значительно раньше и,
поскольку существует простое предложенное Феллером [86, т. 2]
доказательство этого утверждения, опирающееся на предложе-
ние 1, мы решили привести теорему восстановления в настоя-
щем параграфе.
Лемма Римана—Лебега относится к коэффициентам Фурье
функции f(0), интегрируемой на кубе
С = [0| |0й|<л, 6=1, ..., d]c£.
Все интегралы, как и в определении 6.3, будут браться по С„ и
через J0 будет обозначаться элемент лебеговой меры (элемент
объема). Пространство R точек с целочисленными координа-
тами, так же как и пространство Е, d-мерно. Для некоторой
функции g(x) на R соотношение
lim g(x) = c
IX | -> ОО
будет означать, что g сколь угодно мало отличается от с вне
достаточно большого шара в R.
Предложение 1. Если функция f(0) интегрируема на С, то
lim f elxef(&)dG = O.
1х\-Ж J
Доказательство. Выведем прежде всего неравенство Бесселя:
если g(x) —некоторая функция с интегрируемым квадратом ня
Си
а (х) — (2л)~d j eixSg (0) d0, x.e R,
— ее коэффициенты Фурье, то
2|а(х)|Ч(2л)-4 J|g(O)|2d0. (1)
x^R »
Доказательство неравенства (1) в отличие от доказательства
тождества Парсеваля, упомянутого в § 6, элементарно. Дей-
ствительно, если
£л(0) = 3 а(х)егхв, в^Е,
то в силу предложения 6.1
0<(2<d J|g(6)-^(e)M = (2n)-d/|g(e)|2d0- £ |а(х)Г
1*|<М
при каждом М>0, откуда и вытекает (1).
Для доказательства предложения 1 представим функцию
/(0) при каждом Л>0 в виде суммы
Г(0) = £а(0) + М0), 0е£,
где
ff(0)> если If (0)1 С л,
Яа(В)“|о, если |f(0)|>A
Лд(0) = Н0)-Яд(0).
Бели аА(х) и ЬА(х) — коэффициенты Фурье функций gA(Q) и
ЛЛ(0) соответственно, то
(2n)"d J eixQf (0) d0 = аА (х) + bA (х), x<=R. (2)
Функция £д(0), будучи ограниченной, является функцией с ин-
тегрируемым квадратом, так что ввиду (1) аЛ(х)->0 при
:|х|-> оо. Далее,
64(x)<(2n)-dj|ftA(0)|d0 = (2n)-d J |/(0)|</0 = ₽д. (3)
[0| lf(O)l>A]
где Ра стремится к нулю при А -> оо. Из (2) следует, что
lim (2n)“d f eixef(0)d0s^ lim aA(x) + lim bA(x)^fiA
|x|->oo J lx|~->oo |x|->oo
при каждом Л>0. Таким образом, полагая Л-> оо, получаем
утверждение предложения 1.
Применим теперь лемму Римана—Лебега для выяснения не-
которых свойств апериодического невозвратного случайного
блуждания. Если Р (х, у) — переходная функция произвольного
блуждания, то, согласно теореме 2.1,
G(0, х)=2р„(0, х)<оо
П=0
при всех х из R. Докажем (краткое обсуждение этого резуль-
тата предшествует доказательству предложения 3)
Предложение 2. Для произвольного апериодического невоз*
вратного случайного блуждания существует предел
lim [G (0, х) + G (х, 0)].
|х|->оо
Доказательство. Как и при доказательстве предложения 8.1,
имеем
2 tnPn (0, х) = j] (2л)-</1" J е-*е-V (0) dQ, 0 < t < 1, (1}
п=0 л=0
где <р(6)—характеристическая функция случайного блужда-
ния. Размерность пространства R равна d>l, и интегрирование
производится по тому же d-мерному кубу С, что и в предложе-
нии 1. Заменяя в (1) х на —х и складывая полученное равен-
ство с (1), получаем
оо '
2 tn [Рп (0, х) + Рп (х, 0)1 = 2 (2n)-d / =
n=0
= 2 (2«)-d J cos (x • 0) Re [y-^y] dQ,- (2>
так что
G (0, x) + G (x, 0) = lim 2 (2n)~d f cos (x • 0) Re Г-j—1 1 dQ. (3)
//1 J L 1 — гф W J
Удобно положить
w<(0) = 2(2n)-dRe[1_/q)(e)], беС,
Используя апериодичность случайного блуждания, из теоремы
7.1 получаем, что предел
w (0) = lim wt (0)< оо, 0еС —{0},
//1
существует при каждом отличном от нуля 0 из С. Для про-
извольного действительного г, 0<г<л, определим шар
Sr=[0| |0|<г]. Тогда, воспользовавшись снова теоремой 7.1,
можно записать соотношение (3) в виде
G (0, х) + G (х, 0) = f cos (х • 0) w (0) dQ + lim [ cos (x • 0) wt (0) dQ.
c\ SJr
(4)
Пусть теперь
Lr = lim f w, (Q)dQ.
В силу равенства (4) этот предел существует. Решающим
моментом во многих частях доказательства будет тот факт,
что функция ку/(0), а потому и функция о>(0), являющаяся
предельной для а»<(0), неотрицательны на С. Полагая в (4)
х—0 и учитывая неотрицательность ш(0), получаем, что
0<£,<2G(0, 0),
и,значит, существует предел
lim Lr = L< оо.
г-»0
Оценим теперь второй интеграл в (4) при произвольном, но
фиксированном значении х. "Зададимся произвольным е>0 и
выберем р > 0 так, что 11 — cos х • 01 < е при всех 0 из Sp. Тогда
(так как Wt (0)^-0)
(I — в) Lr lim [ cos (х • 0) wt (0) dQ (I + в) Lr
при 0<г<р, и так как е произвольно, то
lim lim [ cos(x • Q)wt(Q)dQ — L. (5)
r->0 «/1 SJ
Подставляя (5) в (4), получаем
G (0, x) + G (x, 0) = lim f cos(x • 0) w (0)rf0 + L. (6)
r->0 _
c-sr
Положим теперь в (6) x=0. Так как и>(0)>О на С, то
функция w (0) интегрируема на С. (7)
Следовательно, равенство (6) можно записать в более простой
форме:
G (0, х) + G (х, 0) = [ cosx • Qw (0)d0 + L, x^R. (8)
с
Теперь все подготовлено для применения леммы Римана—Лебе-
га (предложение 1). Функция cosx-0 является суммой двух экс-
понент, и так как функция пу(0) интегрируема, то
lim [G (0, х) + G (х, 0)] = L < оо;
|х|->со
предложение 2 доказано.
Вычислить значение предела в предложении 2 не так просто;
к тому же на первый взгляд не совсем ясно, представляет ли
это какой-либо интерес. Поэтому мы сначала рассмотрим один
специальный и, несомненно, интересный случай так называемого
положительного одномерного случайного блуждания, обладаю-
щего тем свойством, что
Р(0, х) = 0 при х^О.
Очевидно, что такое случайное блуждание невозвратно, так что
можно использовать предложение 2. Следует отметить, однако,
что в этом случае 0(0, х) =0 при х<0, так что предложение
2 сводится к утверждению, что
lim G (0, х) = L < оо.
Х->+оо
Предел L будет вычислен в предложении 3, и мы покажем, что
L = где ц = 2 хР (0, х),
И Х=1
если ц<оо, и А = 0, если ц = оо.
Это утверждение представляет собой «классическую» теоре-
му восстановления в той форме, в которой она была впервые
высказана и доказана Феллером, Эрдёшем и Поллардом ’)
(1949). Своим названием теорема восстановления обязана не-
которым ее приложениям. Положительную случайную величину
Т (с целыми значениями или нет) можно мыслить как случай-
ный временной промежуток, например как длительность жизни
индивидуума из большой популяции или время годности изделия
массовой продукции. Предположим теперь, что идентичные ин-
дивидуумы (или изделия) имеют времена жизни Ть Т2, ..яв-
ляющиеся независимыми одинаково распределенными случай-
ными величинами. Будем считать, что после того, как первое
изделие испортилось (умер первый индивидуум), мы заменяем
его вторым, после порчи (смерти) второго, заменяем третьим
и т. д. Если величины Тл принимают лишь целые значения, то
определим переходную функцию Р(х,у) так, что
Р (0, х) = Р [Т* = х] при х>0,
’) Ср. [86, т. 1, стр. 310], где Феллер приписывает Чжун Кай-лаю заме-
чание о том, что эта теорема полностью эквивалентна фундаментальному
закону, описывающему эргодическое поведение цепей Маркова и устано-
вленному Колмогоровым [49] в 1936 году. Если на целых числах
задана произвольная вероятностная мера рА=Р(0, Л), то легко построить
Цепь Маркова, имеющую состояния аь а2, ..., так, что ph будет вероятностью
первого попадания в состояние а\ в момент k.' Поэтому теорема восстано-
вления будет следовать из того факта, что вероятность находиться в поло-
жении а в момент п стремится к величине, обратной среднему времени
озвращения в это положение. Но последнее утверждение представляет со-
оои теорему Колмогорова.
и Р(0, х) =0 при х<Х). Тогда очевидно, что
Р„(0, х) = Р[Т1 + Т2+ ... +Т„ = х], х>0, п>1,
и
G (0, х) = S Р [Tj + Т2 + ... + Т„ = х]
п=1 . •
Таким образом, 6(0, х) является суммой вероятностей несо-
вместимых событий. Мы можем сказать, что Ti + .. .-}-Тп=х,
если п-е время жизни закончилось в момент х (например, если
в момент х умер п-й индивидуум или n-е изделие массоврго
производства «заменено» или «восстановлено» в этот момент).
Таким образом, 6(0, х)—вероятность того, что в момент вре-
мени х имеет место восстановление, и, согласно предложению 3,
эта вероятность стремится к величине, обратной среднему вре-
мени жизни
р = 2хР(0, х) = Е[Т].
Для целочисленной, случайной величины Т последнее утвержде-
ние может оказаться неверным, если не предполагать аперио-
дичность Р(0, х), при этом требование апериодичности эквива-
лентно тому, что наибольший общий делитель
н. о. д. {х | Р [Т = х] > 0}
равен единице.
Предложение 3. Для апериодического одномерного случай-
ного блуждания с переходной функцией Р(0, х), равной нулю
оо
при х^О, и средним р = 3 хР (0, х) 00
limG(0, х) = 7~ (=0, если р = оо).
Х->+оо "
Доказательство. Если
п
G„(0, х)=2рИ0, х),
ьо
то
G„+1(0, х)= 3 Р(0, х) + б(0, х)
t&R
и, полагая и -> оо, имеем
6(0, х)= 2 Р(0, х) + б(0, х), хер. (1)
Используем последнее соотношение для определения значения
предела
L = lim G (0, х). (2)
Х->+оо
Напомним, что, согласно предложению 2, этот предел сущест-
вует. Просуммируем равенства (1) по х от 0 до п. Замечая, что
Р(0,t)—0 при / -СО и G(t,x)=O при t>x, получаем
п п
1 = 3 G (0, х) - 2 2 Р(0, ОG « х) =
х==0 х=0 te=R
п п
= ^G(Q, х)-2 G(0,x)[P(0,0) + P(0,1)+ ... +Р(0,п-х)] =
х-Ъ х«=0
п
— 2 G (0, п — x)f (х),
х=0
где
Заметим, что
2 Р(0, х).
2М)=&
(3)
вне зависимости от того, конечно ц или нет. Если ц.<оо, то
устремляя п к бесконечности в соотношении
1 = 2 G(0, n-x)f(x) (4)
Х=0
и используя обычные аргументы о мажорированной сходимо-
сти, из (2) и (3) заключаем, что 1=£ц., или L = p-1. Наконец,
если ц=оо, то предел L должен равняться нулю, ибо в про-
тивном случае правая часть равенства (4) стремилась бы к
бесконечности при п->оо. Следовательно, доказательство пред-
ложения 3 закончено.
Задачи
1. Обобщить очевидным образом результат предложения
6.4 на моменты произвольного четного порядка.
2. Обобщая результат предложения 6.6, доказать, что
71
-л
Re [1 — ч> (0)] -[
1 — cos 0 J
dQ
1 — cos 0 ’
при этом т3< оо тогда и только тогда, когда интеграл в правой
части этого соотношения существует в смысле Лебега.
3. Показать, что двумерное случайное блуждание невозврат-
но, если /п<оо, а вектор средних ц ненулевой.
4. Показать, что одномерное случайное блуждание может
быть возвратным даже тогда, когда 3 |х|бР(О, х) = ОО при
X(=R
каждом 6 > 0.
5. При каких действительных значениях а
|А !а
s*ny| -
является характеристической функцией одномерного случайного
блуждания? Для каждого такого а описать асимптотическое по-
ведение Р(0, х) при |х| —> оо.
6. Что можно сказать об асимптотическом поведении 1—ф(0)
при |0|->0, если ф(0)—характеристическая функция одномер-
ного, случайного блуждания, переходная функция которого удов-
летворяет условию
Р (0, x)~|№ при |х|->оо?
7. Простое случайное блуждание на плоскости. Будем ис-
пользовать комплексные обозначения, так что zn— положение
блуждающей частицы в момент п, zo=O. Пусть Т—момент пер-
вого выхода случайного блуждания на прямую z=m+i, m—0,
± 1, .... и пусть
Q (0, m) = Ро [Re (zT) = т].
Показать, что
2J Q (0, т) е1тв = 2 — cos 0 — VG — cos (3 — cos 0).
m=-oo
8. Продолжение. Используя замечания, предшествующие до-
казательству предложения 6.8, вычислить
lim Ро [Re(zTJ^ пх], — оо<х<со,
Л-»оо
где
Т„ = min [k | k 1, Im (zj = nJ.
9. Пусть un и v„ — независимые простые случайные блуж-
дания на прямой, u0=vo=0. Пусть Т—момент их первой встре-
чи. Доказать, что Т<оо с вероятностью единица, и, используя
результат задачи 7, вычислить характеристическую функцию
величины uT=vT. Будет ли также Т<оо, если un и v„ —одина-
ковые и независимые бернуллиевские блуждания?. .
10. Простое случайное блуждание в трехмерном простран-
стве. Пусть Q(0, и)—вероятность того, что первое попадание
случайного блуждания на прямую х1=х2 = 0 осуществляется в
точке х= (0, 0, и). (Исходной точкой является начало коорди-
нат.) Показать, что если
ф(0) = 5 Q(0, п)е‘пв,
П=—оо
ТО
где К — эллиптический интеграл
Л/2 °о 0
О - п-0
11. Продолжение. Пусть F — вероятность возвращения в на-
чало координат; объяснить, почему
G-0-П"-^ МЬгагИ
—л
Этот интеграл был вычислен Ватсоном [13], который показал,
что
G = 3(18+ 12/2- 10/3-7/б)№(2 /3 +/б - 2/2-3)=
= 1,5163860591 ....
Таким образом, вероятность того, что простое случайное блуж-
дание в трехмерном пространстве когда-либо вернется в исход-
ную точку, равна F=1 — G~l=0,340537330... .
12. В задаче о лампочках примера 8.4 обозначим через Nn
число включенных в момент п лампочек (N0=0). Показать, что
при 0^$< 1, 0</<1
2 Е [Л] = ]J [ch (spk) + t sh (spft)],
п—0 £=1
Sh E t =4 S t1 - e'2s₽ftb
rt==0
13. Неоднократно бросается симметричная игральная кость,
очки суммируются. Пусть рп — вероятность того, что общая
сумма очков когда-либо примет значение п. Каков предел рп
9 Зак. 1375
при п—► оо? Обобщая эту задачу, доказать предложение 9.3
для «обобщенной несимметричной игральной кости», имеющей т
граней с вероятностями выпадения qu q2, ..qm- Иначе говоря,
доказать теорему восстановления (предложение 9.3) для поло-
жительных ограниченных случайных величин, не используя ме-
тоды гармонического анализа.
14. Существует ли возвратное одномерное случайное блуж-
дание хп, обладающее тем замечательным свойством, что. при
любом a^R случайное блуждание Уп=хп + шг также возвратно?
Указание. Таким свойством обладает одно из случайных
блужданий в задаче 5.
15. Любопытным непрерывным аналогом простого двумер-
ного случайного блуждания служит случайное перемещение,
изученное Рэлеем (см. [12, стр. 460]). Здесь
xn = Xj + Х2 + ... + Xn, п 1,
где Хг- — независимые комплекснозначные случайные величины,
аргументы которых равномерно распределены на отрезке [0, 2л]
и |Х<| = 1. Развить необходимый гармонический анализ для сфе-
рически симметричных функций (см. [6, гл. 9]) и установить,
что
оо
IР[|х„|<г] + 4 Р[|х„|<г] = г J h{rt)]n0{t}dt
0
при п>Г,_г>0. Если п>2, то правая часть этого равенства яв-
ляется непрерывной функцией от г, а потому
Р[|х„|<1] = Р[|х„|<1] = т4т.
Замечание. Л(х) — функция Бесселя k-vo порядка, появление
которой в решении этой задачи объясняется тем, что при k=.
=0, 1, 2, ...
Л
J* W в 25Г [ e~lkS+ix sin 0 de.
-Л
ГЛАВА Ш
ДВУМЕРНОЕ
ВОЗВРАТНОЕ
СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
§ 10. Общие положения
Почти все известные к настоящему времени ценные резуль-
таты относительно случайного блуждания (или касающиеся лю-
бого случайного процесса, о котором идет речь) тесно связаны
с некоторым моментом остановки Т (определение 3.3). Поэтому
мы и будем изучать эти моменты. Обычно наряду с данным мо-
ментом остановки Т изучают случайную величину хт —положе-
ние случайного блуждания в случайный момент времени, зави-
сящий только от предыстории процесса. Нет никакого сомнения
в том, что проблематика, связанная с изучением хт, представ-
ляет собой естественное обобщение теории гл. I и II, в которых
нас интересовали итерации Рп(0, х) переходной функции
Р(х, у),, другими словами, вероятностный закон, которому под-
чиняется хп в произвольный, но не случайный момент вре-
мени п.
К сожалению, приходится признать, что цель изучить произ-
вольные моменты остановок слишком честолюбива. В качестве
примера больших трудностей, возникающих даже в простых на
вид задачах, рассмотрим знаменитую задачу о случайном блуж-
дании без самопересечений. Пусть хп — простое случайное блуж-
дание на плоскости с начальным состоянием хо = О. Через Т
обозначим первый момент времени, в который положение слу-
чайного блуждания совпадает с положением в один из предше-
ствующих моментов времени, т. е.
T = min[& |А> 1; х*е{х0, хь ..x^J].
Нетрудно проверить, что так определенное Т является момен-
том остановки, однако оказывается, что его зависимость от
прошлого имеет слишком сложный характер и не допускает
простого описания. Несмотря на то что для. любого п можно,
разумеется, вычислить вероятность события Т=п, задача на-
хождения распределения величины хт, по-видимому, еще долгое
время не будет решена. Для каждого х из R событие «хт=х»
зависит от всей истории случайного блуждания до момента Т,
а Т может быть сколь угодно большим. Даже, по-видимому, бо-
лее скромная задача нахождения предела
lim {Р [Т>п]}1/П
П-»оо
не может быть решена при современном уровне развития теории.
(Этот предел, существование которого можно доказать без вся-
ких затруднений, является ключом к ряду интересных физиче-
ских проблем.’Недавнее его вычисление до четырех значащих
цифр [88] не предлагает никакого существенного пути к преодо-
лению математических трудностей проблемы. Мы закончим эту
главу обсуждением в примере 16.2 родственной, но значительно
более легкой задачи, которая тем не менее существенным обра-
зом использует результаты всей этой главы.)
Приведенные соображения указывают на одну из причин,
заставляющих нас сузить область исследования. Другая при-
чина, еще большей важности, была упомянута в предисловии.
Мы будем изучать только те моменты остановок, которые пре-
вращают «остановленные» случайные блуждания в марковские.
Все они одного и того же простого типа. Мы будем рассматри-
вать непустое собственное подмножество А пространства со-
стояний Кардинальное число этого подмножества обозначим
через |Л |, причем |Л| есть целое положительное число, равное
числу точек в Л, если их конечное число, и 1ЛI = оо в противном
случае. Изучаемый нами момент остановки всегда будет иметь
вид
Т = Тл = min [k 11 < k < oo, xk e Л];
другими словами, момент остановки Т является моментом пер-
вого достижения случайным блужданием множества А.
Сейчас мы дадим (в определении 1, сформулированном ни-
же) основные определения, используя при этом понятия теории
меры, в терминологии определения 3.2. Этот подход, вне всякого
сомнения, более других опирается на нашу интуицию, тем не
менее сразу после этого мы повторим определения основных по-
нятий, но уже с другой точки зрения. В соотношениях (1) — (3),
следующих за определением 1, мы дадим некоторые из упо-
мянутых выше определений в чисто аналитическом виде; дру-
гими словами, прямо в терминах переходной функции Р(х, у)
без промежуточного построения вероятностного пространства
(Q, Р).
Следует обратить внимание на один недостаток обозначений.
Мы введем в определении 1 функцию Q(x, у) и ее итерации
У)* Они будут зависеть от множества А и, следовательно,
было бы логичным обозначить их через QA(x, у) и QA, п(х, у).
Однако мы надеемся, что если опустить индекс А, путаницы не
возникнет.
Сначала мы укажем область определения вводимых нами
функций. Они все будут принимать только действительные зна-
чения. При этом, если мы говорим, что f(x, у) определена на
—А), то это означает, что f(x, у) определена для любого
х из R и любого у, принадлежащего R, но не принадлежащего
А (т. е. f отображает RX(R—Л) в множество действительных
•чисел).
Определение 1. Функция
Qn (х, У) определена на (R —A) X(R — А) при п^О,
На* (х, у) определена на RX А при п 0,
НА(х,у) определена на R X А,
Пл(х, У) определена на 'А X А,
gA {х, у) определен^, на RX R. ’
В терминах случайной величины Т=ТД, момента достижения
множества А, эти функции задаются следующим образом:
Qn {х, у) = Рх [х„ = у; Т > п];
[ Рх [хт = у, Т = и]
у) — \ 0
I 6 (х, у)
На(х, у) =
( Рх [хт = У, Т<оо]
I б(х, у)
для x<^R-A,
для хеЛ, п>1
для х<=А, п = 0
для x^R — A,
для х е А;
Пл (х, у) = Рх [хт = у, Т < оо];
£д(х, у) =
S Qn(x, у)
п=0
о
для x<=R — A,y<=R~A,
в противном случае.
Ясно, как можно переформулировать эти определения чисто
аналитически. Так, для задания функции Qn(x, у) положим
<2о(х, у) = д(х, у\, затем Q(x, z/)=Qi(x, у)=Р(х, у), если (х, у)
принадлежит (R — A)X(R — А). Тогда, так же как в предло-
жении 1.1, справедливо равенство
Qn+i (х> у) — Qn(х> 0 Q у)-
t&R-A
Что касается Н(а (х, у) при хе/?— А, п>1, то в качестве
определения можно просто взять равенство
На*(х, у) = 2 Qn-i(x, t)P(t, у). (1>
t<=R-A
Или же для хе/?— A, n> 1, можно записать
Н(аЧх, у)- 2 ... 2 Р(х, хО ... Р(хп_и у) (2)
Xjefi-Л xn_^R-A
и затем доказать эквивалентность определений (1) и (2). Ясно
также, что для хе/?— А вероятность НА(х, у) равна
Мм)-М’(м). (3>
П = 1
Теперь мы используем эти определения для получения неко-
торых простых тождеств, которые будут чрезвычайно полезны
в дальнейшем. Одно из них (пункт (б) приводимого ниже пред-
ложения 1) касается сходимости суммы, определяющей §л(х, у),
что, пожалуй, не следует очевидно из определения 1. Другие то-
ждества устанавливают соотношения между функциями НА, ПА
и gA. В последующих параграфах будет показано, что такие со-
отношения известны как соотношения математической теории
потенциала, однако в данный момент это не относится к делу.
Предложение 1. Для произвольного случайного блуждания
(как возвратного, так й невозвратного)
(а) 2 Р{х, t)HA(t, tf)-HA(x,y) =
teR
( Пл (х, у) — б (х, у) для х^А,у^А,
(О для хе/? —Л, уеЛ.
(б) 0<£л(х, У) для всех xe=R, y^R
и если, кроме того, случайное блуждание апериодично, то
gA(x, х)< ос, x^R.
(в) Для хе/? —Л, i/еЛ имеем
На {х, у)= gA (х, О Р (I, у).
(г) Для x^R — А, у^А
6(х, у)= 2 НА(х, t)G(t,y).
t&A
Доказательство. При хеЛ и у^А левую часть равенства (а)
можно представить в виде
S Р(х, t)HA(t, У)~НА(х, у) =
teR
~ Р (х, у)+ 5 Р(х, t)HA(t, у)-Ъ(х, у).
t^R-A
Поэтому нам нужно показать, что
Пл(х, у) = Р(х, у)+ S Р(х, f)HA(t, у}, хе=Л, у^А.
t^R-A
Представляя Па(х, у) в виде суммы в соответствии со значе-
ниями, принимаемыми Т, получаем
Пд(х, у) = Рх [хт = у, Т<оо] = 2Рх[хт = 0; T<=k] =
k—1
= РДхт = у; Т=1] + 2Рх[хт = у; Т = Л].
S-2
Заметим, что
Рх[хт = у; Т=1] = Р(х, у),
а при 6>2
Рх[хт = у; Т = fe] = [хг=/; хт = у; Т = А>] =
= 2 Р(х, ОР, [хт = у; Т = £-1].
t^R~A
Следовательно,
Пд(х, у) = Р(х, у) + ^_Р(х, 02р,[хт = у; Т = £ —1] =
= Р(х, у)+ 2 Р(х, ОРНхт-у; 1<т<оо] =
t<=R—A
= Р(х,у)+ 2 Р(х, t)HA{t, у).
t<zR-A
Если хеР — Л и уеЛ, то нужно показать, что
НА(х, у)^Р(х, t)HA{t, у),
т. е. что правая часть соотношения (а) равна нулю. Это можно
сделать, разлагая НА(х, у) в соответствии со значениями, при-
нимаемыми величиной Т, точно так же, как в первой половине
доказательства пункта (а).
Доказательство неравенств (б) опирается на интерпретацию
Sa{x, у) как среднего числа попадания случайного блуждания
хп с исходным состоянием х0=х в точку у до момента Т первого^
достижения множества А. Так как в случае, когда х или у при-
надлежит А, утверждение очевидно, то мы сразу предположим:
обратное. Если, кроме того, х=£у, то
(*. у) = 2 Qn У) = 2 Рх [х„ = у, Т > п]
n=Q п=1
и, положив Ту = min [&| 1 ^k^oo, xk=y], получим
Sa(x, «/) = 2 2рх[х„ = !/; Tv = k; T>n] =
fc=l rt=l
oo oo
= 2 2Pxlb = *<T]PJx„_ft = i/; T>n-£] =
k=l n=k
oo oo
= SPxlTi/ = fe<T]2Pjxy = Z/; T>/] =
fe=l M
. -PJTpCT; Ty<°°]gA(y, yXgity, y)-
Итак, для всех x и у из R справедливо неравенство
gA(x, y)<gA(y, у).
Доказательство того, что для апериодического случайного блуж-
дания gA(y> У) < °°» можно свести к несколько более простой за-
даче, если заметить, что £д(у, у)^ёв(у. у), когда В является
подмножеством А. Поэтому достаточно положить В={0},
gB(x, у) =g(xf у) и показать, что при х=#0
g(x, х)<оо.
Это утверждение верно как для возвратных, так и для невоз-
вратных случайных блужданий, однако совсем по разным при-
чинам. Ясно, что для невозвратного случайного блуждания
g(x, x)<G(x, х)<оо.
В случае же возвратного случайного блуждания
g(x, х) = 1 + 2 Px(x„ = х; То>«),
П=1
где Ty=min[&| 1 -<6<оо, х^=у]. Так как случайное блуждание
апериодично, то Рж[Т»<оо]=Е(х, 0) = 1 в силу теоремы 2.1,
К тому же легко видеть, что
Px[To<TJ = n{o,4(x, 0)>0.
Но g(x, х) есть математическое ожидание числа попаданий в
точку х (считая и пребывание в ней в нулевой момент времени)
до первого достижения точки 0. Вычислить это математическое
ожидание совсем просто (оно равно математическому ожиданию
случайной величины, имеющей геометрическое распределение).
В результате получаем
g(x, х) = [П{Ох}(х, 0)]Ч<ОО.
Читатель, не желающий восстанавливать опущенные выкладки,
найдет, что приведенное ниже предложение 3 дает гораздо бо-
лее короткое доказательство того, что g{o}(x, x)=g(x, х)< оо.
Для доказательства пункта (в) разложим НА(х", у) следую-
щим образом. Для хе/?— А, у<=А справедливы соотношения
оо
НА(х, и) = 5 3 Рх[хп-1 = т = п; хт = у] =
м=1 tc=R-A
оо
= 2 2 T>n — \]P(t, у) —
n=l t<^R—A
= 3 gAx, y) = 'SigA(x, y),.
t^R-A t^R
а это и есть утверждение пункта (в).
Утверждение пункта (г) для возвратного случайного блуж-
дания совершенно не интересно, ибо в этом случае обе части
равенства суть бесконечности (не исключена возможность что
для периодического блуждания обе части равенства будут равны
нулю). Но мы приведем доказательство в общем случае. Для
x^R— Л, уеЛ можно написать
оо оо
G (х, у) = 2 Рп(х, //) = 2 Рх [хл == У\ -
п~0 п = 0
ОО П
= 2 ЗРх[хга = //; Т = Л] =
= 2 2 2jPx[x« = i/; Т = /г; хт = /] =
ОО П
= 2 2 SPx[t = £, xT = /]Pz[x„_ft = y] =
ts=A п = 0 k = 1
| оо 1 ( 00 1
= 2 j SpJT = £, xT=f] 2 pjx„ = r/] =
te=A U = 1 J = 9 J
= 3 Яд(х, t)G(t, y).
t€=A
Тем самым предложение 1 доказано.
Очень простой, но мощный метод, приводящий к успеху
вследствие того, что случайные величины Xft=xft+i— хй незави-
симы и одинаково распределены, состоит в обращении случай-
ного блуждания.
Определение 2. Если Р (х, у) — случайное блуждание с про-
странством состояний R, то случайное блуждание с переходной
функцией Р* (х, у) — Р (у, х) и тем же самым пространством со-
стояний называется обращенным случайным блужданием. Для
обращенного случайного блуждания функции, введенные в опре-
делении 1, будем обозначать через G*(x, у), Q*(x, у), Н*А(х, у),
П^(х, у), gA(x, у) и т. д. для того, чтобы отличить их от соот-
ветствующих функций исходного случайного блуждания.
Очевидным следствием последнего определения является
Предложение 2.
G* {х, y) = G (у, х), Qn (х, у) = Qn (у, х),
Пд(х, у) = ПА(у, х), gA(x, y) = gA.(y, х),
каждое из тождеств справедливо во всей области определения
функций, о которых идет речь.
Отметим, что по вполне понятным причинам в предложении 2
нет тождества для Н*А (х, у).
В качестве первого примера применения обращенного слу-
чайного блуждания выведем тождество, связанное с ожидаемым
числом попаданий Nx случайного блуждания в точку хеТ? до
первого возвращения в исходную точку. Для х = 0 положим
т
T = min[/?| 1 <k <оо; хй = 0], NX = S б(х, хя).
, п — 0
Математическое ожидание величины Nx при условии, что хо=О,
равно
E0IN,] = E0
2б(х; хв)
,п •= о
оо
= 2Р0[х„ = х; Т>п],
п = 1
а
Ро[х„~х; Т>л] = 2 Р(О, О(t, х),
где функция Qn(x, у) определена в соответствии с определе-
нием 1 для множества А={0}. В силу предложения 2 имеем для
zi 1
Р0[х =х; T>n] = 2?*a, 0)q;4(x, t)P*(i, 0).
1 t¥=Q
Но это есть вероятность того, что обращенное случайное блуж-
дание, исходящее из точки х=#0, впервые попадет в точку 0 в мо-
мент п. Следовательно,
Р0[х„ = х; Т>п]=Р*(х, 0), E0[Nx]=2^(x, 0) = Г(х, 0).
п = 1
Это дает нам возможность доказать
Предложение 3. Для возвратного апериодического случайного
блуждания Eo(Nx]=l для всех х¥=0*)-
Доказательство. Нам осталось только заметить, что F* (х, 0) =
= /7(0, х), а в силу теоремы 2.1 F(0, х) = 1 для всех х из R.
Как следствие из предложения 3 получаем простое доказа-
тельство того, что у)<оо для всех х и у, если случайное
блуждание апериодично. Задачу можно свести к случаю Л={0}
и х=е/, как это было сделано при доказательстве предложе-
ния 1. Невозвратное блуждание было разобрано в предложении 1.
Положим s = min[nj «>•!; Рп(0, х)>0]. Тогда для возвратного
блуждания
l = Eo[NJ>P>, x)g{0}(x, х).
Отсюда следует, что g{o} (х, х) < оо.
В качестве второго примера использования обращенного слу-
чайного блуждания может служить
Предложение 4. Для произвольного случайного блуждания
2 Пд (х, у) 1 для всех х^А
у^А
U
2пл(х, для всех у^А.
хеД
Доказательство. Согласно определению 1,
2пд(х, z/) = Рх[т<оо]<1, 1
у<=А
где T = min[fe| 1 k оо, хАеД]. Второе утверждение следует
из равенства Пд (х, у) = Пд (у, х), так что
2Пд(х, г/) = ЗПл(«/, х)<1
!) Это ответ к задаче 6 гл. I. В теории возвратных марковских цепей
Дерманом [22] было показано, что f(х)«EO[NX] является единственным не-
отрицательным решением уравнения f(x)=Pf(x). Для возвратных случайных
блужданий это решение равно постоянной. Единственность будет доказана в
предложении 13.1.
в силу первого утверждения предложения 4. Для возвратных
апериодических случайных блужданий это предложение будет-
значительно усилено в начале следующего параграфа (предло-
жение 11.2).
Замечание. Терминология и обозначения, введенные в этом
параграфе, будут использоваться в оставшейся части книги без
каких-либо оговорок. В оставшейся части этой главы (§ 11—16)
будут изучаться двумерные возвратные случайные блуждания..
Для этого случая с помощью весьма элементарных методов
можно построить довольно полную теорию времен остановка
Т = Та Для конечных множеств Лез/?. Соответствующие методы
хороши на начальном этапе развития теории, но оказываются
недостаточными в других случаях, а именно для невозвратных,
случайных блужданий и одномерных возвратных случайных
блужданий. Поэтому теория этой главы будет служить лишь для
иллюстрации и мотивировки многих дальнейших построений.
§ 11. Распределение точки достижения конечного множества
Всюду в оставшейся части этой главы будет предполагаться,,
что случайное блуждание апериодично, возвратно, двумерно1).
Все интересующие нас вероятности, т. е. все функции, введенные
в определении 10.1, будут связаны в дальнейшем с некоторым,
непустым конечным подмножеством В пространства R. Методы
исследований и выводы, как правило, не будут зависеть от чис-
ла |В| точек, входящих в множество В, однако в некоторых,
местах для случая |В|=1 потребуются специальные исследо-
вания.
Основная цель этого параграфа состоит в том, чтобы пока-
зать, как можно вычислить распределение Нв(х, у), которое мы
будем называть вероятностной Мерой первого достижения мно-
жества В, или распределением точки достижения множества В2)^
Опираясь в выкладках на равенство (а) предложения 10.1, по-
лучаем
Предложение 1. Для x^R, у^В и п^О
2 Pn+t (X, 0 Нв (t, у) = Нв (х, у) + 2 Gn (х, t) [Пв (/, у) - д (/, у)].
t^R
’) Это будет предполагаться без дополнительных оговорок, за исключе-
нием формулировок основных теорем, где эти предположения будут повто-
рены.
2) В оригинале hitting probability measure или просто hitting probabi-
lity. Иногда значения Нв (х, у) при фиксированном х называют входными ве-
роятностями множества В. — Прим, ред.
Доказательство. Применяя слева переходный оператор Р (х, у)
к обеим частям равенства (а) предложения 10.1, после очевид-
ных преобразований над левой частью вновь получившегося
равенства получаем
ЗР2(Х, t)HB(t, У)-ЪР(Х, t)HB{t, у)~
t*=R te=R
=2р(х, О[ПВ(/, y)-t(t, Z/)].
teB
Повторим эту процедуру п—1 раз. Получающиеся при этом
п + 1 равенств, в число которых входит и исходное, символиче-
ски можно записать в виде
РЯ = Я + П-/, Р2Я = РЯ + Р(П-/), ...,
Рл+1Я = РлЯ + Рл(П-7)
Складывая эти соотношения и используя символ / для обозна-
чения единичного оператора, приходим к соотношению
Рл+1Я==Я + (/ + Р + ...+Р„)(П-/).
Если вспомнить, что под выражением Z+P+\.. + Pw в силу
определения 1.3 следует понимать
Gn(x, г/) = 2Р*(х, у),
k = Q
то справедливость предложения 1 становится очевидной.
В следующей лемме существенным образом используется
возвратность случайного блуждания.
Предложение 2. У Пв(/, у)= ^Лв(у, t) = 1 для любого у
t^B t^B
из В,
Доказательство. Рассмотрим обращенное случайное блужда-
ние с переходной функцией Р*(х, у) =Р (у, х). Если обозначить
через П* (х, у) то, что получится при вычислении в соответствии
с определением 10.1 Пв для переходной функции Р*, то в силу
предложения 10.2 будем иметь
Пв (х, у) = Пв (у, х) для х и у из В.
Этот факт был уже использован при доказательстве предложе-
ния 10.4. Так как Р*(0, 0) = PJ0, 0), то очевидно, что случайное
блуждание, определяемое переходной функцией Р*, возвратно*
если только возвратно исходное случайное блуждание. Поэтому j
предложение 2 будет доказано, если мы убедимся, что |
2Пй(х, у)—\, х&В, J
~ i
для любого апериодического возвратного случайного блуждания. |
Для этого удобно использовать теоретико-вероятностное опре- |
деление Пв, дающее возможность утверждать, что |
2Пв(х, у) = Рх [Тв < оо] > Рх [ТЛ < оо], |
уеВ Я
так как Tx=min[^|l xft=x]> Тв. Но в обозначениях |
§ 1 ю j
PJb<oo] = ifft(x, х) = 2/?И0,0) = л I
k=l *=1 I
а так как случайное блуждание возвратно, то F—1. Этим пред- а
ложение 2 доказано. Ц
Предложение 2 открывает перед нами замечательную воз- Я
можность. Оно позволяет преобразовать равенство из предложе- Л
ния 1 в равенство II
Sp„+1(x, №(*,!/)= I
ц
= Яд(х, у) + 3[ся + <?п(х, 01[Пд(/, г/)-6(/, г/)], 1
/ев
где сп — произвольные постоянные (не зависящие от /). Поло- а
жим сп=—(?п(0, 0) и дадим
Определение 1. Ап (х, у) = Оп (0,0)— Gn (х, у), где x.y^R, Я
ап (х) = Ап (х, 0), где x&R. И
В этих обозначениях предложение 1 можно переформулировать Ц
следующим образом: I
Предложение 3. 1
2рп+1(х, у) — Нв(х, у)-^Ап(х, 01Пв(/, */)-6(/, #)] I
ieB |
для x^R, у^В, п > 0. • j
Дальнейшее построение теории задерживается теперь в ос- I
новном по двум причинам. Мы желаем устремить п к бесконеч- Ц
ности в предложении 3, а поэтому естественно спросить: Л
(1) Существует ли ИтДп(х, г/)?
(2) Если ответ на вопрос (1) утвердительный, то Что можно
сказать о свойствах другого предела в предложении 3, а именно
о функции
lim 1]P„+I (х, у)?
п->оо fe#
Для того чтобы не прерывать последовательности изложения,
мы ответим на эти вопросы здесь, а затем посвятим следующие
два параграфа доказательству того, что ответы верны. В пред-
ложении 12.1, отвечая на первый вопрос, мы докажем, что пре-
делы
lim Ап (х, у) = А (х, у), lim ап (х) = а(х) (Г)
Я->°° П->°о
существуют для всех х и у из R. При доказательстве этого
утверждения в § 12 будут существенным образом использованы
следующие два предположения. Во-первых, что случайное блуж-
дание апериодично, что очень важно, ибо в противном случае
предел, о котором идет речь, не существует. Во-вторых, что раз-
мерность случайного блуждания равна двум. Второе предполо-.
жение существенно только для способа доказательства; в са-
мом деле, в гл. VII мы дадим другое доказательство, из кото-
рого станет ясно, что
lim А„(х, у) = А(х, у)
П->оо
существует для любого апериодического случайного блуждания.
Что касается второго вопроса, то попытаемся упростить за-
дачу. Если ответ на первый вопрос утвердительный, то из пред-
ложения 3 следует, что
Нт .2 Pn+i (х, t) Нв (t, у)
t<=R
существует для любой пары хе/? и у^-В. Зафиксируем у и
обозначим сумму "2 Лж(*> t)HB(t, у) через fn+)(x). Итерируя
/е R
эту сумму переходной функцией Р{х, у), получаем
fn+1W = 3/’(x,
t^R
Чтобы обосновать законность изменения порядка суммирования,
МЫ использовали тот очевидный факт, что 0-</п(х)<И. Так
как мы знаем, что предел последовательности fn(x) существует,
то можно обозначить его через f(x) и отсюда сделать вывод,
опять-таки в силу теоремы о мажорированной сходимости, что
f (х) = 3 р (х, у) f (у), xf=R.
y^R
В предложении 13.1 мы покажем, что только константы являют-
ся неотрицательными решениями этого уравнения, при этом
будут использованы апериодичность и возвратность случайного
блуждания. Значит, предел, о котором шла речь в вопросе (2),
существует и не зависит от х, поэтому его можно обозначить.че-,
рез цв(у) (так как возможно, что он будет зависеть от у и от
множества В). Запишем ответ на вопрос (2) в виде
Hm 2р„+1(х, t)HB(t, у) = цв(у), x(=R, уе=В. (2')
П->оо
В оставшейся части этого параграфа мы будем предполагать,
что соотношения (Г) и (2') верны. Эта оговорка будет явно
выражена в утверждениях, которые мы сделаем в предложениях
4—8 и в основной теореме 1 в конце параграфа. Читатель, ко-
торому претит это отступление от логической стройности изло-
жения, может предварительно прочитать доказательства пред-
ложений 12.1 и 13.1.
Используя соотношения (Г) и (2'), из предложения 3 немед-
ленно получаем
Предложение 4.
нв (х, у) = (у) + 2 а (х, /) [Пв (/, у) - S (t, Z/)]
t£B
для x<^R, у^В (при условии, что (Г) и (2') справедливы).
Теперь рассмотрим очень специальный случай предложения 4, -
ограничив свое внимание множеством В, состоящим из двух то-
чек. Не ограничивая общности и в то же время несколько упро-
щая задачу, примем, что начало координат принадлежит В, т. е.
мы будем считать В={0, Ь}, где b — любая точка из R, кроме 0.
Рассмотрим теперь квадратную матрицу Пв размера 2x2. Вейлу
предложения 2 эта матрица дважды стохастическая, т. е. если
положить Пв(0, Ь) =П, то будем иметь Пв(Ь, 0) =_П и
Пв (0, 0) = Пв (Ь, Ь) = 1 - П.
Чтобы проникнуть глубже в сущность дела, интересно огра-
ничиться случаем, когда х и у оба принадлежат В. Тогда си-
стема уравнений предложения 4 состоит из четырех уравнений,
и поскольку Нв(х, у)—Ь(х, у), ее можно следующим образом
записать в матричной форме:
1 °\ = /'Нв(0) HbOOV ПМ(—6) —а(—Ь)\
0 1/ \Цв(0) У-в(Ь)} \—а(Ь) а(Ь)/
Из этого матричного тождества вытекает, что П не может
равняться нулю. Из него же легко получается решение системы
(в том смысле, что мы считаем а(х) известной функцией, а
П, Цв(0), Цв(&) неизвестными).
Предложение 5. Для В = {0, &}, 6=И=0, имеют место равенства
П-И°' >”
(|j' = а(6)Л(-й) ’ + 6)
(при условии, что выполнены (Г) и (2')).
Подставляя полученные значения рв(0), рв(6) и Пв в си-
стему уравнений предложения 4, можно получить явное выра-
жение для Нв(х, 0) и Нв(х, Ь) в том случае, когда В = {0, Ь} и
хфВ. Например,
тт (у. _ Л (х, 0) + Л (0, д) Л (х, Ь) А-нД-п
Яв(х, &) =----Л(0>) + Л(^,0)---’ (1)
Более существенными для дальнейших рассуждений являются
свойства функции gB(x, у) для одного важного частного случая.
Определение 2. Если В = {0}, т. е. множество В состоит из од-
ной нулевой точки, обозначим gB(x, у) через g^(x, y)—g(x, у).
Таким образом, g(x, у) равно математическому ожиданию
числа попаданий случайного блуждания/ исходящего из х, в
точку у до момента первого достижения начала координат. По-
кажем, что справедливо '
Предложение 6.
g(x, у) = А(х, 0) + А (0, у)-А(х, у), x^R, y<=R
(при условии, что выполняются соотношения (К) и (2')).
Доказательство. Если х=0 или у—0, или х=0 и г/ = 0, то в со-
ответствии с определением 10.1 g(x, у)=А(0, 0)==0. Если х = у,
то g(x, y)=g(x, х) есть ожидаемое число возвращений случай-
ного блуждания в точку х до момента первого достижения точ-
ки 0, т. е.
оо
g(x, х) = 1 + 2(1 -П)* = 1Г’, (2)
/г=1
где П = П{0^ (х, 0). Следовательно, предложение 6 в этом слу-
чае справедливо (в чем убеждаемся, если посмотрим на выра-
жение для П, полученное в предложении 5). И наконец, если
10 Зак. 1375
хФу и ни одна из этих точек не равна 0, то из очевидных
вероятностных соображений следует, что
g(x, у) = Н{0,у}(х, y)g(y, у). (3)
Если теперь подставить в эту формулу значение Нв(х, у) из со-
отношения (1) и g(y, у) из соотношения (2), то предложение 6
будет доказано.
Нам нужно доказать еще один вспомогательный результат,
прежде чем делать выводы из предложения 4 для множества В,
состоящего из произвольного конечного числа точек. Это более
тонкий факт, чем может показаться с первого взгляда; в гл. VII
мы покажем, что существуют одномерные апериодические слу-
чайные блуждайия, для которых он не верен.
Предложение 7. При х=£0 имеем а(х)>0 (при условии, что
выполняются соотношения (1') и (2')).
Доказательство. Напомним прежде всего, что в силу предло-
жения 1.3
а (х) = lim [G„ (0, 0) - G„ (х, 0)] > 0,
П->оо
так что остается проверить только строгую положительность
а (х). Предположим поэтому, что в R существует точка
в которой а(х) обращается в нуль. Из предложения 6 следует,
что ч-
g(b, — b)=2a(b) — а(2Ь) >0,
а так как а(Ь) =0 и а(26)>0, то g(b, — b) =0.
Это равенство не может выполняться в двумерном простран-
стве, ибо при этом утверждается, что нет траекторий (положи-
тельной вероятности) от b к —&, которые бы не проходили через
нулевую точку. Точнее говоря, утверждается, что если
Р(6, хх)Р{хъ х2) •. .Р(хп, -&)>0,
то по крайней мере одна и$ точек хь х2, ..., хп нулевая. Дело
проясняют простые комбинаторные соображения: существует
траектория положительной вероятности от любой точки к любой,
следовательно, существует такое положительное произведение
упомянутого выше типа, что не все разности х± — &, х2— хь ...
...., —b — хп кратны b (параллельны вектору Ь). Обозначим
эти разности г/ь у2, ..., уп+\ и упорядочим их так, чтобы аргу-
менты arg yk образовали неубывающую последовательность (при
этом считаем, что arg&<argf/fe arg&3-2n), Пусть z2t .
..., Zn+i — вновь полученная последовательность, тогда
arg ft < arg Zi ♦<...< arg zn+i< arg ft+2л. Теперь ясно, что су-
ществует траектория (см. рис. 1), по которой можно переме-
ститься из b в —b без попадания в точку 0, и ее вероятность
равна
Р (ft, 6 + Р (ft + zlt ft + Zi 4- z2) ... P (ft + zx + ... + zn, - ft) > 0.
Полученное противоречие доказывает справедливость пред-
ложения 7.
Мы приближаемся к нашей цели — выразить Нв, Пв и рв
для произвольного конечного множества В в терминах функции
а(х). Случай |В|=1 тривиален, а его рассмотрение в общей
схеме потребовало бы нежелательных изменений в методике ис-
следований. Поэтому начиная с этого места мы будем считать,
что |В|> 2. Ключом к необходимым вычислениям является опе-
ратор, обратный к сужению оператора А(х, у) на область В1).
Определение 3. Оператор, являющийся сужением оператора
А (х, у) на множество В, имеет обратный, если существует функ-
ция Лв(я, У), определенная на В ХВ и такая, что
2Л(х, /)/Св(Л z/)==6(x, у) для х и у из В.
1) Напомним, что функцию А(х, у), так же как и переходную функцию
Р(х,у), можно рассматривать как бесконечномерную матрицу (оператор).
Сужением оператора А(х,у) на множество В называется функция (оператор),
которая совпадает с А(х,у), если и х и у принадлежат В, и равна нулю в
противном случае. Если множество В конечно, то соответствующее сужение
можно считать конечной матрицей. =? Прим. ред,
Это не что иное, как определение обратной матрицы, а в соот-
ветствии с известной теоремой обратная матрица единственна,
если она вообще существует.
Предложение 8. Сужение оператора А{х,у) на множество В,
где В — конечное подмножество в If такое, что | В j 2, имеет
обратный оператор Кв {при условии, что выполняются соотно-
шения (Г) и (2')).
Доказательство. Если бы утверждение предложения 8 не вы-
полнялось, то нашлась бы функция v{x), х^В, не равная на В
тождественно нулю и такая, что
2p(s)4(s, z/) = 0 для у^В.
s^B
Пусть v — такая функция. Умножив обе части уравнения
предложения 4 слева на v(x) и просуммировав получившиеся
равенства по всем х из В, получим
v {у) = Ив {у) 2 о (х), у^В.
хеВ
Так как цв(уУ^0 на В, то или o(z/)>0 всюду на В, или
v(y)->C0 всюду на В. В то же время А(х, у)^ 0 как предел по-
следовательности неотрицательных функций Ап{х, у) —
= Gn(0, 0)—Gn{x, у) (см. предложение 1.3). Ситуация еще
больше проясняется, если вспомнить утверждение предложе-
ния 7, из которого получаем, что А{х, у)>0, если только х#=у.
Следовательно, сужение оператора А на множество В можно
рассматривать как матрицу, у которой на главной диагонали
нули, а все остальные элементы положительны. Далее, эта мат-
рица А обладает тем свойством, что vA=0, где v — ненулевой
вектор, все компоненты которого имеют один и тот же знак. Оче-
видно, что это невозможно. Полученное противоречие доказы-
вает предложение 8.
Введем следующие обозначения:
Определение 4. Для BczR, 2 <оо, положим
Кв{ %)= 2 Кв (у> х), Кв (х •)= 2 Кв (х, у), х^В,
y<sB у&В
.Кв(' •)= 2 2 Кв(х, у).
х&В у^В
Докажем основной результат этого параграфа ').
Теорема 1. Для двумерного апериодического возвратного слу-
чайного блуждания и произвольного Bc=R, 2^С1В|<оо,
Нв(х, у) = (у) + 2 Д(х,/)[ПВ(/, у) -б(Л у)}, xe=R, yf=B,
tsB
где
Кв(”)>0, = У^В,
Кв V '
TT / ч Я/ , „ , ч Кв (х'Жв (-У) о
у} $ У) к в (<#, у) к {* *) * %* У В
(утверждение справедливо, если верны соотношения (Г) и (2')).
Доказательство. Рассмотрим равенство предложения 4 для
хеВ. Применяя слева оператор Кв, получим
Кв(х, У) = Кв{х-)у.в(у) + 'Дв(х, у)-д(х, у) (1)*
для х, у^В. Суммируя затем по всем х из В, в силу предложе-
ния 2 можем утверждать, что
Кв(-у) = ^(--)М</)- (2>
Если бы мы имели здесь Кв(- •) =0, то из (2) следовало бы, что
Кв(- у)=0 для всех у из В. Но тогда Кв, рассматриваемый как
матричный оператор, был бы вырожденным, чего быть не мо-
жет, так как /Св имеет своим обратным оператором сужение
оператора А(х, у) на множество В. Следовательно, Лв(* •)¥=().
Далее, соотношение Кв(' у)=Кв(’ ')цв(у) указывает на то,,
что или Кв(’1/)^0 всюду на В, или Кв('у)^0 всюду на В.
Так как 2 Лв(* t)A(t, х) — 1 для хеВ и А(х, у)>0, то Кв(- у)
tt=B
должно быть неотрицательным на В, следовательно, Кв(- •)>().
Соответствующие формулы для цв и Пв получаем из урав-
нений (1) и (2). Доказательство теоремы 1 заканчивается, если
с помощью предложения 4 выразить Нв через цв и Пв.
!) Первое доказательство теоремы 1 для симметричного случайного-
блуждания содержится в работе [79], а в общем виде теорема доказана в-
[80], где содержатся основные результаты этой главы, за исключением § 16.
Результаты этой главы частично содержатся также в [14]. Кемени и Снелл
[37] распространили недавно утверждение теоремы 1 на очень широкий класс,
возвратных марковских цепей.
§ 12. Ядро потенциала А (х, у)
Сначала мы докажем
Предложение 1. Для двумерного апериодического случайного
блуждания предел
lim А„ (х, у) = lim 3 [Р* (0, 0) - Рк (х, у)] = А (х, у)
п->оо п->оо k—Q
существует (выражение для этого предела дается формулой (3),
приведенной ниже).
Доказательство. Нас интересует, конечно, только возвратное
•случайное блуждание, ибо справедливость предложения 1 для
невозвратного случайного блуждания, во-первых, очевидна, а во-
вторых, не имеет отношения к исследованиям предыдущего па-
раграфа. Доказательство будет проводиться методами гармо-
нического анализа, поэтому мы принимаем обозначения гл. II:
<р(0) —характеристическая функция случайного блуждания.
В силу предложения 6.3 имеем
ап (х) = (2л)-2 J [1 - Ф"+1 (°)] 0)
'Это равенство получается в результате несложных вычислений,
при которых существенно используется соотношение
. п
2 Pk (X, у) = (2л)'2 / е1в (х~у} [1 + <р (9) + ... + ф"(0)] dB.
Интегрирование, как обычно, проводится по квадрату С=
=[0||0i|<^n, i— 1, 2]. Удобнее и проще всего пользоваться
интегрированием по Лебегу, во-первых, потому что все подинте-
гральные функции в равенстве (1) не определены при 0=0, ибо
1 — ср(О)=О, а во-вторых, еще более неотразимое преимущество
интеграла Лебега состоит в том, что он предоставляет в наше
распоряжение теорему о мажорированной сходимости. После-
довательность функций 1 — фп+1 (0) мажорируется числом 2, ибо
|ф(0) | -С 1- Следовательно, существование предела последова-
тельности ап будет гарантировано, если мы сможем доказать,
что функция
1 - р1х •9
-hwr (2>
интегрируема по Лебегу на квадрате С, Если это в самом деле
так, то предел, о котором идет речь в предложении 1, суще-
ствует и записывается в виде
а (х) = lim ап (х) = (2л) Г . _ dB, х <= Р. (3)
и -> оо v I Y \v/
Для доказательства интегрируемости функции (2) восполь-
зуемся двумя элементарными неравенствами:
|6|,
и
|l-<p(0)|>Re[l-<p(0)],
из которых вытекает
1<ЫIе!
1 —Я>(©) l^l lRe[l-<₽(0)] •
Таким образом, достаточно показать, что функция „ л,.
т Rell—ф. (о)]
интегрируема по Лебегу на квадрате С.
На этом последнем этапе используем предложение 7.5, ко-
торое утверждает, что для апериодического случайного блужда-
ния найдется такая постоянная А,>0, что Re[l—<р(0)]>А|0|2"
при 0еС. Поэтому
_____I 1 п — (У
Re[l—ф(0)] Л | О | ’ Ofc=G’
а функция |01"1 интегрируема по Лебегу, поскольку рассматри-
ваемое пространство двумерно и
f dO __ f dQ 2
J |0| J _ |©| -2 л <°°-
С |в|<л/2
Этим предложение 1 доказано.
Для одномерного случая последний этап доказательства не
проходит из-за того, что
Л
Cd® f dx
J | в | ~ J | x | ~°°’
С -л
Тем не менее предложение 1 верно и для одномерного случай-
ного блуждания, только нужны более сложные методы доказа-
тельства (гл. VII).'
Перейдем теперь к двум другим утверждениям, которые бу-
дут полезны в продолжении исследований § 11 и доказательство
которых проводится методами гармонического анализа. Первое
утверждение (предложение 2) является общим законом^ опреде-
ляющим асимптотическое поведение функции Л(х, у) для дву-
мерного апериодического возвратного случайного блуждания.
Второе утверждение (предложение 3) является усиленным
вариантом предложения 2, справедливым только для очень-
ограниченного класса случайных блужданий. Попутно присвоим
функции A (х, у) название ядро потенциала, о причинах этого
мы скажем несколько позже.
Предложение 2. Пусть А(х,у) —ядро потенциала двумерного
апериодического возвратного случайного блуждания. Для любой
фиксированной пары точек у\ и у2 из R
lim [А (х, t/i) - А (х, у2)] = 0.
|х|->ОО
Доказательство. Ясно, что предложение 2 эквивалентно вы-
сказыванию, что для произвольного фиксированного у из Р
lim [а (х + у) — а (х)] = 0,
1х |->оо
т. е. что для любого е>0 найдется такое положительное числоМ
(которое, возможно, зависит от е и у), что \а(х+у) —а(х) |<е,
когда |х|>2И. Доказательство опирается на равенство (3) из
доказательства предложения 1, из которого следует, что
а (х + у) — а (х) = (2л)~2 J eix• еф (6) М,
тде
При доказательстве предложения 1 мы убедились, что ф(0) ин-
тегрируема по Лебегу на квадрате С. Поэтому в силу леммы
Римана — Лебега (предложение 9.1) получаем
lim [ etx'0 ф (0) d 6 = 0,
I х I -> OO J J
и доказательство предложения 2 закончено.
Весьма интересно, конечно, побольше узнать об асимптотиче-
ском поведении а(х) для простого случайного блуждания, для
которого Р(0, х) = 1/4 при |х|=1. Однако оказывается, что не
намного сложнее изучить свойства несколько более широкого
класса случайных блужданий, удовлетворяющего следующим
условиям:
(а) Р(х, у) двумерно и апериодично,
(б) И = s хР (0, х) = 0,
(в) Q (6) = 3 (х • О)2 Р (0, х) = Е [(X • 6)2] = а2| G |2 < оо,
(г) Е [| X |2+6] = S I х |2+5 Р (0, х) < оо для некоторого б > 0.
Конечно» простое случайное блуждание удовлетворяет этим
условиям. Как известно из теоремы 8.1, случайное блуждание,
удовлетворяющее условиям (б) и (в), возвратно. Кроме того»
в пункте (в) требуется, чтобы случайное блуждание было изо-
тропным, т. е. чтобы Q(0) была пропорциональна 1012, а не
произвольной положительно определенной квадратичной форме.
Это требование существенно. Й, наконец, условие (г) введено
для того, чтобы получить следующее сильное и простое утвер-
ждение.
Предложение 3. Для случайного блуждания, удовлетворяю-
щего требованиям (а) — (г),
lim |а(х)--^ +
|х| -> оо L 310 • J я,а
Постоянные cud определяются' по формулам.
0<с = (2л) j [ j _ф(0) ^‘о’(ё)]й0<оо>
2
d = V + In л — — Л,-
' я
где
у = 0,5572 ... — постоянная Эйлера,
оо
S(—1)д
ТрпТТ)7 ” постоянная Каталана.
п~0
Для простого случайного блуждания о2=]/2 и
lim Га(х) —1п|х |1 = 4^ In 8 + — .
Ixl^ooL л '] л л
Доказательство. Сначала проверим интегрируемость по Ле-
бегу на квадрате С функции
1 2
*Н0)= 1-Ф(0) “ qTo)-
В силу условия (в) можно написать
х(в)=|е|-*[1>’-4Е—1+ф(в)].
Из предложения 6.7 следует, что
а в соответствии с теоремой 7.1 в квадрате С равенство I —
— ф(8)=0 возможно только при 0=0. Следовательно, достаточ-
но показать, что х(0) интегрируема на С.
Далее, если X — случайная величина, принимающая значе-
ния из R и такая, что
Р[Х = х] = Р(0, х), хе/?,
то
а2 Ж _ i + ф(0) = е рх-е_ ! _ ix . 0 -1 (iX • 0)21.
Вводя полезное для нас слагаемое iX • 0, мы воспользовались
условием (б). Теперь мы используем положительное число S, фи-
гурирующее в условии (г), сделав очевидное утверждение, что
существует такое ft>0, что
\ег-(1 +г + 4)| < ЛИ2+в
для всех комплексных z из полуплоскости Re z 0. Это дает
(если положить г=«0-Х) неравенство
1х(0)| <Л|0 г4Е [|0 • х|2+в].
Используя неравенство Шварца и условие (г), получаем, что
для некоторого М<оо
|-Х(0)|<h101"4 Е [(10121X I2)*+®/2] = h10 |e“2 Е [|X |2+в] <М10 |в“2.
Таким образом, х(0)> а следовательно, и ф(0) интегрируемы, ибо
л/Г
J|0|e-2d0< J |0|в-2сГ0 = 2л J -Д<оо.
с |0|<л/г 0
Следующий шаг состоит в том, чтобы представить а(х) в
виде суммы:
а(х) = (2л) 2 j dQ =
= -^-(2л)-2/ й0 + (2л)-2 / (1 — е**,е)ф (0)</0.
В силу леммы Римана—Лебега (см. предложение 9.1) послед-
ний интеграл стремится к постоянной с, о которой шла речь в
условии предложения 3. Поэтому доказательство предложения 3,
не считая специальных вычислений, необходимых для получения
утверждения относительно простого случайного блуждания, бу-
дет завершено, если мы покажем, что
lim [“^7 f “—ни* ° d8 —1п|х|1 = у —-^-Л-Мпл.
|x|->оо L 2я J I’M8 J я
„ 1 f 1 — COS X • 6 Jn
Для этого интеграл J -----fop--представим в виде суммы'
двух интегралов h(x)+Iz(x), где /](х)—интеграл по кругу"
|0|<л, a 12(х) —интеграл по оставшейся части квадрата. Пред-
ложение будет доказано, если мы покажем, что
Пт [Л(х) — 1п|х|] = у + 1п-£-
1х|->оо *
и
lim /2(х) = 1п2-4*^
|Х|>оо л
Если ввести полярные координаты, станет видно, что I\(x^
зависит только от |х|:
2л л
J КЛ 1 f 1—cosx-0 1 f f 1 — cos (|я| г sin-
/1W = ^T J —гор—de=2^j dt i---- ----dr =
I ei < л о 0
г
Л/2 Mlxlsinf
о 0
Возьмем в качестве постоянной Эйлера *)
1 оо
Г 1 — COS М < f COS и 1
V = J ---и----du ~ J ~irdu-
О 1
Подстановка в выражение для 1\(х) дает
h(x) = — j [у 4-In | х | + In (sin 0 + In л-К J -co^“ dujdt.
О Л lx| sinf
’) Это определение согласуется (доказательство далеко не тривиально}
с обычным определением
у= lim [1 + 1/2+ ... +l/n —Inn].
Учитывая, что
Л/2
V f ln (sin 0 dt = —In 2
Jv J
0
и
Л/2
lim I* dt Г du = 0,
имеем
lim [/t (x) — In| x|] = у — In2 + Inn,
lx|->oo . ч
что и нужно было показать.
В силу леммы Римана — Лебега
I — cos х • 9
lim Z2(*) = Hm f
|xl->oo UI ->00^ l0 |<JlJ |0 J<3t
|6|>Я
J
|0р
Вновь вводя полярные координаты, получаем
Л/4 Л/cos t
lim /2W = 4‘ f dt J T"
Ы->оо «J i r
JT/4
=—4 fin (c°s 0dt-
0
Можно показать, что этот определенный интеграл равен
In 2 — 2Х/л.
Мы опускаем подробное вычисление предела
lim [а(х) —2/л1п|х|]
1х|->оо
для простого случайного блуждания, ибо в начале § 15 мы вы-
числим его более простым методом. Утверждение предложения |
3 для простого случайного блуждания было получено, между
прочим, несколькими авторами в областях совсем между собой
не связанных, ср. [61], [104] и дополнение II Ван дер Поля в [35].
§ 13. Элементы теории потенциала
Уравнение
2jP(x, у)f(у) = f(х), хе/?, или символически Pf = f,
на самом деле есть не что иное, как уравнение Лапласа, только
в очень тонко замаскированном виде. Если Р — переходный опе-
ратор двумерного простого случайного блуждания, то
Pf(x)-f(x) = ±-[f(x + l) + f(x- l) + f(x + i) + f(x-i)-4f(x) ],
где приняты комплексные обозначения х=(х1, х2)=х1 + /х2. То-
гда Pf — f=(P — I)f, где Р — I есть не что иное, как двумерный
разностный оператор второго порядка. Следовательно, уравне-
ние Pf=f является дискретным аналогом уравнения Лапласа
- d2f । d2f о
dxf дх?,
где f(x)=f(Xi, х2)—дважды дифференцируемая функция. Из
сказанного можно ожидать, что решение уравнения Pf — f будет
обладать свойствами, напоминающими свойства целых гармони-
ческих функций.
Хотя наши результаты автоматически приведут к далеко не
очевидному заключению, что такие аналоги могут быть и полез-
ными, и плодотворными, цель этого параграфа весьма скромна.
Мы дадим очень поверхностное описание трех ключевых про-
блем классической теории потенциала на плоскости. Решение
этих трех проблем в классической теории весьма просто и хо-
рошо известно. По общему признанию, проблемы, которые мы
рассмотрим, не отражают адекватно все основные вопросы
теории потенциала. Но наша цель состоит просто в том, чтобы
использовать эти три проблемы в качестве руководства при
разрешении аналогичных проблем, с которыми мы сталкиваемся
при изучении двумерного возвратного случайного блуждания.
И последнее замечание, заслуживающее большого внима-
ния: наши три проблемы, ниже мы их обозначим через А, В и С,
касаются классической теории потенциала на плоскости, из-
вестной также под названием теории логарифмического потен-
циала. Те же самые проблемы имеют смысл и в трехмерном
пространстве, в связи с теорией ньютонова потенциала. В трех-
мерном пространстве решение этих проблем несколько иное.
Только в гл. VI и VII станет совсем ясно, что с моделью тео-
рии логарифмического потенциала сталкиваются при изуче-
нии возвратных случайных блужданий, тогда как ньютонов
потенциал возникает в задачах о невозвратных случайных
блужданиях.
Оставшаяся часть этого параграфа делится на три части,
в которых проблемы А, В и С сначала обсуждаются в их клас-
сической постановке, а затем ставятся и решаются их аналоги
в теории возвратного двумерного случайного блуждания.
Проблема А. Охарактеризовать вещественные гармонические
функции, т. е. функции и(х,у), удовлетворяющие в каждой
точке плоскости уравнению Лапласа Д«(х, у)=0. В частности,
как описать все неотрицательные гармонические функции?
Хорошо известный ответ на этот вопрос состоит в том, что
и(х, у) должна быть действительной частью некоторой аналити-
ческой функции. В частности, предположим, что гармоническая
на всей плоскости функция и(х,у) неотрицательна. Тогда суще-
ствует целая аналитическая функция
f(z) = «(x, y) + io(x, у).
Функция
g(z)=e~M
также является аналитической на всей плоскости, ее модуль
равен
\g(z)\ = e~u{x-v\
а так как мы предполагали, что всюду и(х, у) > 0, то отсюда
следует, что |g(z) | -^ 1 для всех z. Однако по теореме Лиувиля,
ограниченная целая функция есть постоянная. Следовательно,
и(х, у) равна константе.
Существует другое простое доказательство [7, стр. 171J этого
факта, основанное на свойстве среднего значения гармониче-
ской функции, которое проходит для пространства любой раз-
мерности 1. Предположим, что « — неотрицательная гармо-
ническая функция и и(х)<и(у), где х и у — две точки простран-
ства размерности d. Чтобы прийти к противоречию, проинтегри-
руем и по двум (сплошным) шарам: одному — радиуса/ч с цент-
ром в точке х и другому — радиуса г2 с центром в у. Обозначив
через / (а) интегралы по этим шарам, а через V (rh) объем соот-
ветствующих шаров, будем иметь
и (х) V (ri) == I (rj, u(y)V(r2) = I(r2),
так что
«(х) I (Г|) / r2 \d
и (у) 1 (г2) \ и / '
Поскольку и неотрицательна, очевидно, что можно устре-
мить г\ и г2 к бесконечности так, чтобы первый шар содержал'
второй (отсюда следует, что / (п)>/ (г2)). а отношение гг/п в то
же время стремилось бы к единице. (Просто в качестве г2 нужно
взять такое наибольшее возможное значение, чтобы шар радиу- -
са г2 вокруг у содержался бы в шаре радиуса г* вокруг х.)
Следовательно,
И (х) / Г2 ? .
“ (у) \ Г\ ) ’
откуда м(х)> и(у). Это противоречит первоначальному пред-
положению. Тем самым мы доказали, что все неотрицательные
гармонические функции суть константы.
Чтобы сформулировать аналогичную проблему, связанную со
случайным блужданием, дадим предварительно
Определение 1. Если Р(х,у)—переходная функция аперио-
дического возвратного случайного блуждания, то неотрицатель-
ное решение уравнения
Р(х, y)f(y) = f(x)r xg=R,
y^R
называется регулярной функцией.
Трудности решения проблемы А, сформулированной для
нужд теории случайных блужданий (проблемы характеризации
регулярных функций), мы проиллюстрируем теперь тремя при-
мерами.
Пример!. Пусть Р(х,у)—переходная функция периодиче-
ского случайного блуждания. Не в^жно, возвратно оно или нет
и какова его размерность. Тогда R — собственная подгруппа в
/?. Положим _
f (х)= 1 для R
и _
f(x) = O для R.
Тогда
Pf(x)- 2 Р(Х, y)f(y) = 3 Р(0, y-x)f(y) = 2р(0, t)f(t + x).
y^R y^R t^R
Ho P(0, t) =0, как только t&R—R, поэтому
W) = S P(0, t)f(t + x).
- is/?
Если t<=R, to t+x принадлежит R тогда и только тогда, когда
x^R. Таким образом, Pf(x)=Q, когда х принадлежит R — R, и
mx)=i, когда х принадлежит R. Следовательно, Pf(x)=f(x),
в то время как /(х) не является константой. Этот пример пока-
зывает, что апериодичность необходима для того, чтобы все
Регулярные функции для Р были константами.
Пример 2. Рассмотрим одномерное бернуллиевское случайное
блуждание с Р(0, 1)=р, Р(0,— \)=q, p + q=\, p>q. Как было
показано в примере 1.2, при p^q существуют две линейно не-
зависимые регулярные функции, а именно:
и f (х) - .
Этот пример показывает, что нам заведомо не удастся доказать,
что все регулярные функции для невозвратного случайного
блуждания суть константы.
Пример 3. Отбрасывая ограничение неотрицательности и на-
зывая гармоническим любое решение уравнения Pf=f, рас-
смотрим простое симметричное случайное блуждание на пло-
скости. В этом случае существует так много гармонических
функций, что интересно искать гармонические полиномы
p(z) = ^ ak_mxkym,
k, т
где ak, т — действительные числа, z=x4-n/, а суммирование про-
исходит по конечному числу пар (k, т) неотрицательных целых
чисел. Под степенью полинома p(z) подразумевают наибольшее
значение суммы показателей & + т по всем слагаемым, входя-
щим в p(z). Из классической теории гармонических функций
известно, что любой гармонический полином степени и представ-
ляется единственным образом в виде линейной комбинации
функций
aj,Re(z*) + bk
где ah и bk — действительные числа,
Можно ожидать подобный результат и для гармонических
функций, связанных со случайным блужданием. Поэтому мы
выдвинем две гипотезы, каждая из которых отражает некото-
рые существенные свойства, присущие классическим гармониче-
ским функциям:
(1) Для каждого ri^A существует ровно 2л 4-1 линейно не-
зависимых гармонических полиномов степени не выше п.
(2) Среди этих полиномов существуют два однородных по- *
линома степени и, т. е. таких, что p(tz} == \t\np(z). '
Следуя элегантному методу Штёра [104], мы покажем, что ;
гипотеза (1) верна, а гипотеза (2) ошибочна. Нам потребуются ’
две простые леммы. Обозначим через V оператор Р—/, так что $
J
Лемма 1. Если f(z) —полином степени не выше п, то V f (z) —
полином степени не выше п—2 (или нулевой, если п~0 или 1).
Доказательство. Так как V — линейный оператор, то доста-
точно применить его к простым полиномам вида х?ук и убедить-
ся, что полином Vx^ue содержит членов степени j + k— 1 или
выше.
Лемма 2. Пусть p(z) —полином степени не выше п — 2 (при-
чем p(z)=Q, если п==0 или 1). Тогда существует такой полином
q(z) степени не выше п, что' Vq(z) =p(z).
Доказательство. Мы можем предположить, что п > 2, по-
скольку в противном случае утверждение леммы тривиально.
Запишем p(z) по убывающим степеням х и у, т. е.
р (z) = a„_2,oxn-2 +
+ ап-3, !Хп~3у + a„_3i0xn-3 +
+ ....................+
+ ^,п-2Уп~2 + а0,п-зУп~3+ ••• +а0,1у + а0.0.
Первый ненулевой член в этой таблице назовем главным чле-
ном. Пусть это bxiyh. Дальнейшее доказательство проведем по
индукции. Предположим, что лемма 2 справедлива для всех
таких полиномов, главный член которых Ь'хгук’ стоял бы в на-
шей таблице после члена bxjyh в соответствии с принятым пра-
вилом порядка, т. е. для всех таких полиномов, у которых пока-
затели /' и k' главного члена удовлетворяют соотношениям /'</
или /=/ и k'<k. Далее, полином
h = (£ + 1) (fe + 2) x‘yk+2
имеет степень не более п, a согласно лемме 1, есть по-
лином степени не более п—2. Легко видеть, что Vft(z) имеет
тот же самый главный член, что и p(z). Следовательно, в урав-
нении
Vg (z) = р (z) - V/i (z)
правая часть является полиномом степени не больше п—2, и
этот полином либо равен нулю, либо его главный член следует
(в смысле введенного выше порядка среди полиномов xtyk) за
главным членом полинома p(z). Используя предположение ин-
дукции, утверждаем, что решение приведенного выше уравнения
есть полином степени не выше п. Если g(z) —это решение,
то
V[g + A](z) = p(z),
Н Зак. 1375
поэтому q (2) = g (z) + h (z) — решение уравнения = имею-
щее степень не выше п. Этим заканчивается доказательство
леммы 2, ибо проверка предположения индукции для постоян-
ных или линейных функций не представляет труда.
Для доказательства справедливости гипотезы (1) будем рас-
сматривать совокупность всех гармонических полиномов степени
не выше п как вещественное векторное пространство Vn. Дока-
жем, что размерность этого пространства равна
dim V п = 1 + 2 + ... +2 = 2/i + 1
п раз
(если п=0, то Vo состоит только из одного полинома — постоян-
ной, так что «1» образует базис; Vi имеет базис, состоящий из
трех полиномов 1, х и у). Для произвольного п^-0 рассмотрим
более обширное векторное пространстро IVnz3Vn— простран-
ство всех (не только гармонических) полиномов степени не
более п. Таким образом, IV i имеет тот же базис, что и Vb а ба-
зис пространства W2 состоит из 1, х, у, х2, у2 и ху. Легко ви-
деть, что
dimlV„=(w+-^-^.
Согласно лемме 1, линейный оператор V отображает Wn в
l^n-2, а в соответствии с леммой 2, V отображает Wn на
Wn-2- Пространство
Ип = [р(2)|р(2)еГп, Vp(2) = 0]
есть ядро этого отображения, а из линейной алгебры известно,
что размерность ядра (называемая также дефектом) в данном
случае равна
dim V„ = dim Wn - dim IV„_2 = (n + 1H”t.2> _ = 2/i + 1.
Следовательно, справедливость гипотезы (1) доказана.
Для каждого и с помощью простых вычислений можно по-
лучить базис. Нам нужно найти в нем два однородный полино-
ма степени п. Имеем
n = 0: 1,
п = 1: х, у,
п = 2: х2 — у2, ху,
п = 3: х2 — Зху2, Зх2у — у\
Пока гипотеза (2) верна, но для п=4 она уже нарушается:
п = 4 х4 — 6х2у2 + у4 — х2 — у2, х3у — ху3.
Только одна из этих функций является однородной функцией
четвертой степени, в то время как гипотеза (2) предполагает
существование двух однородных полиномов. И наконец, при
п = 5 имеем
п = 5 : х5 — Юх3#2 + 5х#4 — 1 Оху2, 5х4у — Юх2#3 + у5 — Юх2#.
Здесь не существует линейной комбинации функций базиса,
которая давала бы хотя бы один однородный гармонический
полином степени 5.
Теперь мы вернемся к регулярным (неотрицательным гар^
коническим) функциям и получим ответ на проблему А, сфор-
мулированную непосредственно после определения 1.
Предложение 1. Если Р — переходная функция апериодиче-
ского возвратного случайного блуждания, то единственными не-
отрицательными функциями, регулярными относительно Р, яв-
ляются константы.
Доказательство1). Предположим, что f(x) регулярна и в то
же время не константа. Если f(0)=a, то существует точка
геТ?, где f(z) = p=#a. Очевидно, что мы можем предположить,
что р>а, ибо в противном случае мы сделаем сдвиг простран-
ства, в результате которого z станет нулем и тогда все равно
будет р>а.
' Определим случайное блуждание как
хя = х + S„ = х + Xj + ... + Х„,
считая, что точка х исходная. Тогда T=minXft=z] яв-
ляется моментом остановки, и поскольку случайное блуждание
апериодично и возвратно, Т<оо с вероятностью единица. По-
ложим
( х„, если Т^п.
Х" —j xT = z, если Т<п.
Так как f — регулярная функция, то
E0[f(x„)]= 2Ря(0, x)f(x) = f(0) = a
x^R
для каждого п 0. Аналогично
Ех [f (хя)] = f (х) для всех х из R.
!) Предложено Дж. Вольфовицем. О .более коротком, но менее интуи-
тивно ясном доказательстве говорится в указании к задаче 1 гл. VI.
Кроме ТОГО,
Ео [f (х„)] = Ео [f (х„); Т > п] + Ео [f (х„); Т <п] -
•=Е0[/(х„); Т>п] + Ео[/= (хт); Т<п] =
= Ео [/ (х„)] - Ео [f (х„); Т < п] + 0РО [Т < п] =
= а - 1 Ро [Т = Ег [f (x„_fe)] + РРО [Т < п] =
= а — РРО [Т п] + рР0 [Т п] = а.
С другой стороны, справедливо неравенство
ЕоU(х„)] = Ео [f (х„); Т> п] + рР0 [ТС п] >рР0 [Т< п].
Следовательно,
а = lim Ео [/ (х„)] >р lim Ро [Т < и] = 0,
п-»оо п~>оо
а это противоречит предположению а<р.
В гл. VI мы столкнемся с несколько друпш подходом к этой
проблеме, в частности, мы узнаем при доказательстве (весьма
элементарном) теоремы 24.1, что только ограниченные регуляр-
ные функции для произвольного апериодического случайного
блуждания являются константами. Это более слабое утвержде-
ние справедливо также и для невозвратных случайных блужда-
ний.
Теперь читатель видит, что на вопросы (1)' и (2), поднятые
в § 11, дан исчерпывающий ответ. Вопрос (1) был снят в пред-
ложении 12.1, а вопрос (2) в приведенном выше предложении 1.
Следовательно, мы доказали все утверждения § Ц и, в част-
ности, важную теорему 11.1. Теперь мы чувствуем себя вправе
пользоваться теоремой 11.1 в дальнейших исследованиях. Мы
сделаем это несколько позже в связи с проблемой С.
Проблема В. Речь идет о классической проблеме — о внеш-
ней задаче Дирихле, Для данной ограниченной области (про-
стого связного открытого множества) на плоскости, граница ко-
торой dD является достаточно гладкой простой замкнутой кри-
вой, мы ищем функцию и(х), такую, что
(1) Ди = 0 на дополнении к D + dD,
(2) и(х)=ф(х) на dD,
(3) и(х) непрерывна и ограничена на дополнении к D,
Известно, что эта задача имеет единственное решение1). Как
мы покажем в предложении 2, то же самое можно утверждать и
для дискретного случая. Чрезвычайно простое представление ре- -
шения задачи Дирихле для случайного блуждания (см. пред-
ложение 2 ниже) имеет следующий классический аналог. Пусть
go(x, у) — внешняя функция Грина, связанная с областью D.
Она определена для любых х и у вне D, является гармониче-
ской функцией по каждому переменному всюду, кроме точек
прямой х=у, где она имеет логарифмическую особенность. Если
у — точка границы, обозначим через HD(x,y) производную по
внешней нормали функции £л(х, у), т. е.
HD (х, y)=-^gD (х, у), x<=R-(D + dD), у «= dD.
Тогда решение внешней задачи Дирихле представляется в виде
криволинейного интеграла
ы (х) = j HD (х, у) <р (у) dy.
dD
Система обозначений была выбрана с намерением натолк-
нуть на мысль, что HD является точным непрерывным аналогом
вероятностной меры достижения-Н^х, у), введенной в определе-
нии 10.1, a gn также является аналогом функции Грина gp, вве-
денной в том же определении. (К сожалению, очень трудно
усмотреть дискретный аналог указанного выше соотношения ме-
жду HD и gp, устанавливаемого дифференцированием по внеш-
ней нормали. Можно показать, что таким аналогом будет очень
непритязательное тождество (в) предложения 10.1.)
Теперь мы переходим к аналогу проблемы В в связи с про-
блематикой случайных блужданий. Размерность случайного блу-
ждания опять-таки не имеет значения для выводов (по той при-
чине, что мы изучаем только возвратное случайное блуждание, х
откуда d 2 в силу теоремы 8.1).
Предложение 2. Если Р — переходная функция произвольного
апериодического возвратного случайного блуждания, то внеш-
няя задача Дирихле, определяемая как проблема нахождения
такой функции f(x), что
(1) Pf(x)=f(x) для х из R — B,
(2) f (х) = ср(х) для х из В,
(3) f(x) ограничена для всех x^R,
’) В [64, гл. V] приводится краткое изложение решения проблемы для
двумерного случая. Результат не верен, когда размерность пространства
превышает 2.
имеет единственное решение ' ' 5
/ (х)= 2 Нв(х, у) (у), x<=R.
уе=В
Здесь В — собственное подмножество R, а если |5|=оо, то 1
предполагается, что <р(х) ограничена.
Доказательство. Сначала мы проверим, что решение, давае-
мое предложением 2, действительно удовлетворяет условиям (1),
(2) и (3). Прежде всего, ряд, представляющий f(x), сходится,
поскольку Нв(х, у) является вероятностной мерой на В для каж-
дого х из /?. Требование (1) удовлетворяется в силу пункта (а) |
предложения 10.1, требование (2) также выполняется, поскольку ?
Нв(х, у) = 6(х, г/),' когда х и у оба из В. И наконец, условие (3)
соблюдено в силу того, что Нв является вероятностной мерой,
так что f (х) sup | qp (у) |.
у<=в
Чтобы доказать единственность, предположим, что реше- |
ниями являются две функции: Л и /2, и пусть /i = fi— f2- Тогда f
h будет решением внешней задачи Дирихле с нулевыми гранич-
ными условиями, т. е. ф(х) =0 на В. Если мы определим функ-
цию Q(x, у) и ее итерации Qn(x, у) для х и у из /?— В в соот-
ветствии с определением 10.1 (Q — это просто сужение переход- >
ного оператора Р на множество R— В), то j
Л(х) = S Qn(x,y)h(y) для x<==R- В. I
Далее, А(х), будучи разностью ограниченных функций, сама
ограничена, поэтому, если \h(x) | на /?, то
|й(х)|<м 2 Q„(X, y) — MPxlTs>n] I
yt=R-B f
для любого х из R — Ви каждого Так как случайное
блуждание апериодично и возвратно, то
lim Рх[Тв>n]< lim Рх[Т{у)>п] = 0, j
п->оо п->оо
где у — произвольная точка из В. Следовательно, /i(x)=0.
Предложение 2 доказано.
Проблема С. Эта проблема связана с уравнением Пуассона. i
На области D из проблемы В, или вернее на ее компактном за- i
мыкании D=D + dD, задана неотрицательная функция р(х). Тре-
буется найти такую функцию f (х) на R, что
(1) Д/(х) = 0 на R — D,
(2) Д/ (х) = — р (х) на D
и, наконец, чтобы обеспечить единственность решения задачи
при построении теории логарифмического потенциала, нужно
потребовать, чтобы, выполнялось еще одно условие. Очень огра-
ничительно, но весьма удобно условие
(3)
I Р (у) dy In I х I -* О
_D
при
| X |-> OO.
В физической интерпретации этой задачи pjx) соответствует
плотности заряда, сосредоточенного на теле Д a f(x) соответ-
ствует напряженности,’ порождаемой этим зарядом в плоскости,
окружающей D. Интеграл по объему D в условии (3) есть не
что иное, как полный заряд тела Л. Хорошо известно, что эта
задача имеет единственное решение [64], задаваемое формулой
f(x) = J" Р(у)Ь|х-г/Г'^. x<=R.
D.
Оказывается, что это решение при больших значениях |х| отри-
цательно. Для дискретного случая удобнее, чтобы оно было по-
ложительным, в частности потому, что в дискретной теории не
имеется аналогов особенности типа 1п|х — у\~} при х = 1/. По-
этому при формулировке проблемы С для дискретного случая
в условии (2) будет изменен знак. Следующий наш шаг будет
состоять в том, чтобы обнаружить соответствие между Л(х, у)
в дискретной теории и ядром In |х — у\ в классической. Сильным
аргументом в пользу предположения об этом соответствии яв-
ляется асимптотическое поведение Д(х, у) (см. предложение
12.3). Совершенно естественно, что простое случайное блужда-
ние на плоскости должно давать самое лучшее приближение
непрерывного аналога, потому что оператор вторых разностей
является в некотором смысле приближением к оператору Лап-
ласа, лучшим чем любой другой разностный оператор. Теперь
ясна причина, по которой в предложении 12.2 Л(х, у) названо
ядром потенциала.
Сформулированный ниже дискретный вариант проблемы С
будет модифицирован заменой условия (3) требованием, чтобы
решение уравнения Пуассона было неотрицательным.
, Определение 2. Пусть Р (х, у) — переходная функция двумер-
ного апериодического возвратного случайного блуждания, В —
собственное подмножество в R и 1 |В| <оо. Неотрицательную
функцию р(х) мы назовем распределением заряда на В, если
р(х)=0 на R— В. Функция f(x) на R называется потенциалом,
порожденным зарядом р на В, если
(1) Pf(x)-~ f(x) = 0 для хе=Р — В,
(2) Pf (х) — f (х) = р (х) для х^В,
(3) для х^Р.
Проблема С состоит в нахождении потенциалов, порожден-
ных зарядом р на В.
Частным решением этой проблемы является
Предложение 3. Ядро потенциала А(х,у) =а(х — у) аперио-
дического возвратного случайного блуждания размерности
d — 2 обладает тем свойством, что
(а) 2 Р(х, у)а(у) — а(х)==6(х, 0), хе Р.
у е= R
Следовательно, решение проблемы С дается формулой
(б) f(x) = 2 А (х, у) р (у), x<= R.
у^в
Доказательство. Так как множество В конечно, то равенство
(б) немедленно следует из равенства (а). Доказательство ра-
венства (а) в общем случае весьма длинно, однако для симме-
тричного случайного блуждания оно коротко (см. задачу 3). Воз-
вращаясь к основным соотношениям
ап (х) = 2 [Р* (0, 0) - Pk (х, 0)], хер,
ЬО
видим, что
2 р (X, у) ап (у) = 2 [Рй (0, 0) - Pft+1 (х, 0)] = '
ye=R Л=0
= ап (х) + 6 (х, 0) - Р„+1 (х, 0).
Следовательно, используя, например, предложение 7.6, получаем
lim 2 Р (х, у) ап (у) = а (х) + 6 (х, 0).
П->оо y^R
К сожалению, нельзя утверждать, как нам этого хотелось бы,
что можно поменять местами знаки суммирования и предела и
немедленно получить утверждение предложения 3. Однако можно
заключить в силу очевидных соображений для усеченных сумм
(лемма Фату для сумм вместо интегралов), что
2 Р (х, у) а(у)^а (х) + б (х, 0)
для всех х из /?. Обозначив разность между правой и левой ча-
стями этого неравенства через f(x), можем записать
5 р (X, у) а(у) = а (х) + б (х, 0) - f (х),
y&R
где f (х) >0 на R.
Далее мы используем сложные вероятностные соображения,
опирающиеся на предложение 11.4. Они помогут нам сделать
полезное заключение о том, что f(x) постоянна (не зависит
от х). Нам понадобится только частный случай предложения
11.4, касающийся множества В={0, Ь}, б=£0. Ради упрощения
записи обозначим
Н (х) = Нв(х, 0), р = ив(0), П = Пв(б, 0).
Положив у=0 в утверждении предложения 11.4, получим
Н (х) = р. — [а (х) — а (х — б)] П.
Теперь применим переходной оператор Р(х, у) слева к послед-
нему равенству, т. е. заменим в последнем равенстве х на t,
умножим обе части равенства на Р(х, t) и просуммируем по
всем t^R. Преобразовав левую часть нового равенства в соот-
ветствии с соотношением (а) предложения 10.1, а правую часть
в соответствии с нашим выводом о том, что Ра — a=i> — f, при-
дем к соотношению
Я(х)4-Пв(х, 0)-б(х, 0) =
= р — П [а (х) + б (х, 0) — f (х) — а (х — Ь) — б (х, b) + f (х — б)].
Здесь под Пв(х, 0) нужно понимать нуль, когда хфВ. В выше-
приведенном уравнении заменим теперь Н (х) на р— [а(х) —
— а(х — б)]П, а затем положим х=0. В результате получим
П = П[1 —f (0) + f (—б)].
Так как П не нуль, то f(O)=f(—б), а так как б — произвольная
точка из R — {0}, то f(x) не зависит от х!
Итак, положим f(x)=f и вернемся к уравнению
5 Р (х, у) а(у} = а (х) + б (х, 0) - f.
y^R
Действуя слева на это равенство переходным оператором Р,
затем применяя Р слева к новому равенству и так и—1 раз,
получаем п4-1 равенство (считая и исходное). Сложив их,после
несложных преобразований будем иметь
2 ^n+i (х, У) а{у) = а (х) + Gn (х, 0) - nf.
y^R
Естественно возникает мысль разделить обе части последнего
равенства на п и устремить п к бесконечности. Замечая, что
lim ^- = 0, lim G"(*’ 0) = lim- У Рк(х, 0) = lim (х, 0) = 0,
n -»оо п п->оо п п->со п Т", П->оо
приходим к тому, что
о < lim ± 2 Рп+1 (.X, у) а(у)= — f.
n~>o° y^R
Следовательно, f^O, но нам известно, что f > 0, так что f = 0
и предложение 3 доказано.
'Замечание. Доказательство предложения 11.4 проходит для
любого апериодического возвратного случайного блуждания, для
которого существует
а(х) = lim art(x) = lim [Grt(0, 0) —G„(x, 0)]1),
П->оо П->оо
при доказательстве же предложения 3 было использовано только
предложение 11.4. Следовательно, .равенство
2 Р(х, у) а (у) — а(х)==б(х, 0), x^R,
y^R
имеет место для любого апериодического возвратного случай-
ного блуждания, которое обладает ядром потенциала Л(х, у).
в том смысле; что существует lim ап (х) = а (х).
П->оо
В гл. VII мы обнаружим, что ядро потенциала А(х, у) суще-
ствует для любого апериодического возвратного случайного блу-
ждания. Кроме того, предложение 3 будет значительно усилено.
Усиленный вариант предложения 3 для двумерного апериоди-
ческого возвратного случайного блуждания формулируется так:
Если Pf — f = Q на R — В, Pf — 0 на В и f > 0 на R, то
f (х) = const + А(х, 0₽(0» xgeR.
te.B
В частности, все неотрицательные решения уравнения
S Р (х, у) g(y)-g (х) = 6 (х, 0)
y^R
имеют вид g(x) =const + a(x). Чтобы продемонстрировать, по-
чему в одномерном случае возникают большие затруднения, до-
!) При доказательстве предложения 11.4 использовался еще и тот факт,
что все регулярные относительно Р функции суть константы. Из предложе-
ния 1 следует, что это верно для-любого апериодического возвратного блуж-.
дания независимо от его размерности. — Прим. ред.
статочно рассмотреть простое одномерное случайное блуждание
с Р(0, 1)=Р(0, —1) = 1/2. Это случайное блуждание возвратно,
и можно легко показать (см. пример 29.1), что
а(х)=\чпап(х) = -^ ir-ZSsXQ dQ^x^
—Л
Однако кроме g(x) = а(х) = |х|, теперь существует другое неот-
рицательное решение уравнения Pg—g=*d. Действительно,
'легко проверить, что самым общим неотрицательным решением
является
а +1 х | + Ьх, где а 0, — 1 b 1.
§ 14. Функция Грина конечного множества
Этим параграфом завершается изложение теории потенциала
для двумерного возвратного случайного блуждания. Вернемся к
соотношению, на котором мы остановились в конце § 11 (пред-
ложение 11.4 или теорема 11.1):
Нв (х, у) = Ив (у) + 2 А (х, t) [Пв (/, у) - 6 (t, у)], х е R, у <= В, (1)
/еВ
где 2-<1В|<оо. Случай |В| — 1 не интересен, так как в этом
случае Нв(х, у)—д(х, у).
В дополнение к результатам, использовавшимся при выводе
соотношения (1), мы имеем теперь в своем распоряжении пред-
ложение 12.2, в котором говорится, что для фиксированных yi
и у2 из R
lim [А (х, у0 - А (х, у2)] = 0. (2)
С помощью соотношений (1) и (2) мы в несколько строк дока-
жем, что распределение точки достижения Нв(х, у) обладает
следующим замечательным свойством. Для каждого у из В
функция Нв(х, у) стремится к некоторому пределу при |х| ->-оо.
Обозначим этот предел через Нв(оо, у) и заметим, что Нв(сс,у)
точно так же, как и Нв(х, у), является вероятностной мерой на
множестве В. Другими словами,
Нв(оо, у)>0 и 2 Нв(оо, у)=1.
г/еВ
Интуитивный вероятностный смысл Нв(оо, у) совершенно оче-
виден. Это все еще вероятность того, что первое достижение мно-
жества В произойдет в точке у, при условии, что исходная точка
случайного блуждания находится «в бесконечности». Таким об-
разом, существование предела Нв(х, у) при |х| -> оо означает,
что выражение «в бесконечности» не является двусмысленным,
по крайней мере для определенных целей. Направление на х
(т. е. угол между отрезком [0, х] и горизонтальной осью) не
влияет на значение Нв(х, у) при достаточно больших значениях
|х|. В предвидении некоторых результатов для одномерного
случайного блуждания в гл. VII (для которого аналогичная тео-
рема может и не быть верной) особенно привлекательно сле-
дующее объяснение существования предела. Пространство R
размерности 2 является достаточно «просторным». Блуждающая
точка, исходящая из х, при достаточно большом |х| с большой
вероятностью много раз обойдет вокруг В, прежде чем достигнет
.его. Поэтому окончательное направление приближения к В бу-
дет стохастически независимым от направления на х. Более
образно говоря, блуждающая частица почти наверно забывает
то направление, по которому она вышла из точки х, при условии,
что она ушла от нее достаточно далеко.
Теорема 1. Для двумерного апериодического возвратного слу-
чайного блуждания и множества BaR, такого, что 1<ЦВ|<оог
существует предел
Нв(<х>, у) = Нт Нв(х, у);
для любого у из В. Функция Hb(qq, у) определяет вероятност-
ную меру на В. Если |В| = 1, то Нв(оо, у) = 1; если же
то
Нв(°°. У) = к = Ив («/).
где Кв в соответствии с определением 11.3 и 11.4 является опера-
тором, обратным, по отношению к сужению ядра потенциала
А (х, у) на множество В.
Доказательство. Если |В1=1, то доказывать нечего. Если
| В | >2, воспользуемся равенством (1). Функция нв(*/)> фигури-
рующая в теореме 11.1, как раз и является нужным пределом.
Поэтому достаточно показать, что сумма в равенстве (1) при
|х|—>оо стремится к нулю. Зафиксируем у и положим
= у),
В силу предложения 11.2 c(t) обладает тем свойством, что
"S с (/) = 0. Упомянутую выше сумму можно записать поэтому
t^B
в виде
S А (х, t) с (t) == 2' М (х, 0 — А (х, 0)] с (/).
t&B t^B
Теперь мы получили сумму, состоящую из конечного числа чле-
нов, каждый из которых в соответствии с соотношением (2)
стремится к нулю при Таким образом,
lim 2 А (х, t) [Пв (t, у)-д (I, у)] = О,
I X |->CO t^B
чем и завершается доказательство теоремы.
Пример 1. Рассмотрим двумерное апериодическое симметрич-
ное возвратное блуждание, т. е. дополнительно потребуем, чтобы
Р(х,у)—Р(у,х). Что можно сказать о Нв(<х>,у), если |В|=2?
Из приведенного выше равенства (1) следует, что Нв(оо, у) —
= ув(у), а в предложении 11.5 p,B(z/) было вычислено. Там было
показано, что если В = {0,6}, то
Нв(°) = а(6)+(а(_6) > Нв (6) = a(ft) + a(lz>) •
Однако для симметричного случайного блуждания а(х)=а(—х)
для всех х из R (что следует из определения а(х) как предела
an(x)). Следовательно,
/7в(оо, У) = 1/2 в каждой из двух точек множества В.
Теперь мы вычислим функцию Грина у) конечного мно-
жества В, введенную в определении 10.1. Для случая, когда мно-
жество В состоит из единственной точки, значение ёв(х, У) под-
считано в явном виде в предложении 11.6. Осталось подсчитать
gB(x,y) для случая \В\>2.
Теорема 2. Для двумерного апериодического возвратного слу-
чайного блуждания и2 4 \В | <оо
ёв (х, у)= —А(х, у) - } + 2 И («)А (s> у) + 2 А (*> Он* (0+
+ S Zj А <х’ 1Пв “ 6 А х, у (=R.
s^B t^B
Матрица Пв задается в теореме 11.1, и там же даны значения
Н ($)= Нв ($) = % (• •) ’
н*(о=н;(о=-^ру.
Доказательство. Сначала проверим, что из теоремы вытекает,
что gB(x, у) =0, когда или х, или у, или и х и у принадлежат В.
Предположим, что х принадлежит В, тогда
S А (х, f) [Цв (Л в) — 6 (/, s)] = Нв (х, s) - (в).
/еВ
Тем самым правая часть доказываемого равенства принимает
вид
- А (х, у) - удту + 2 И ($) А ($, у) + А (х, 0 ц*(/) +
В seB t<=B
+ 2 Нв (х> J И ($)А <* s> у) =
seB seB
= - А(х, У)-~^—(7Т) + У А<х> 01**(0 + 6 * В(Х) #) =
& 4- D о е=. D
^-77-г+ £д(х, 0н*(0=-Гтгтг + 2 л<х, 0^Ц = 0.
Если у принадлежит В, то проверка производится тем же спосо-
бом, только в этом случае используется соотношение
S [пв (Л «) “ 6 (*, «)] А (s, у) = Н*в (у, t) - р* (0 = б (у, t) - ц* (О,
s s В
где Нв (у, t) — распределение точки достижения множества В
обращенным случайным блужданием (определение 10.2) с пере-
ходной функцией Р*(х,у)=Р(у,х). Справедливость этого соот-
ношения вытекает из того, что
Пв (х, у) = Пв (у, х), А* (х, у) = А (у, х),
а значит,
2 [Пв(/, «)-6(Л s)] A(s, у) = 2 х{у, $)[Пв(«, 0-б(«,. /)] =
seB seB
В оставшейся части доказательства предполагаем, что ни х,
ни у не принадлежат В. Мы воспользуемся методом, который
часто оказывается полезным в классической теории потенциала,
а именно найдем «уравнение в частных производных», которому
удовлетворяет gB (х, у), и решим его. Окажется, что теория урав-
нения Пуассона (предложение 13.3) обеспечит нам существова-
ние этого решения.
Положим Нв(х, у)=0 для хей, y^R'—В. Тогда ясно, что
ёв(х, у) удовлетворяет уравнению
Нв (х, у) - 6 (х, у) = 2 gB {х, t) Р {t, у) - gB (х, у) (1)
для всех х и у из R. В самом деле, это уравнение является оче-
видным обобщением равенства (в) предложения 10.1 на сово-
купность всех пар (х, у) из пространства R^R. Зафиксируем
теперь некоторую точку х из R — В, и пусть
u(t) = gB(x, t) +А(х, t), tsR. (2)
Подстановка u(t) в уравнение (1) с использованием предложе-
ния 13.3 дает
2 y)-u(y) = Нв(х, у), y&R. (3)
t&R
Следующий шаг состоит в решении уравнения (3). Мы пока-
жем, что каждое решение уравнения (3) представляется в виде
u(z/) = const + 2 НВ(х, t)A(t, у), y&R, (4)
t&B
где постоянная, конечно, может зависеть от х.
Сначала придадим уравнению (3) вид
I 0 для y^R — B,
2 Р*(У, t)u(t)-u(y) = пля (5)
t<=R I ДЛЯ y^D,
где р(у) =Нв(х, у). Тогда u(t) является решением уравнения
Пуассона, о котором говорилось в определении 13.2, и в силу
предложения 13.3 функция (4) действительно удовлетворяет
уравнению (3). Но предложение 13.3 не гарантирует единствен-
ности решения, поэтому мы вынуждены прибегнуть к другим ме-
тодам, чтобы показать, что все решения уравнения (3) имеют
вид (4).
Из соотношения (2) относительно u(t) можно извлечь пред-
варительную информацию следующего вида:
А (х, t) «'(/) А (х, /) + М (х),
где
М (х) = sup gB (х, t).
Вводя в рассмотрение обращенное случайное блуждание,
имеем
М(х) = supg* (t, х) = sup Нвuw(/> x)g*(x, x)<
=C g*B (x, X) = gB (x, x) < oo.
Следовательно, функция u(t) обладает тем свойством, что раз-
ность: «(/) — А(х, t) ограничена, а в силу предложения 12.2')
это эквивалентно тому, что u(t) —а(—t) ограничена на R.
Пусть теперь
а»0/) = 2 Нв(х, t)A(t, у).
t^B
Тогда функция
h(y) = u(y)-w(y) = u(y)-a(-у)+ 2 Нв (х, t) [Л (0, у) - A (t, у)]
ie-B
ограничена по у (ибо, согласно предложению 12.2, Л (0, у) —
—A(t, у) ограничена для любого t). Далее, и (у) удовлетворяет
уравнению (5), поэтому
5 РЧу, s)h(s) — h(y) для y<=R.
st=R
Из предложения 13.1 тогда следует,, что h(y)=c(x) — постоян-
ная, зависящая, конечно, от х. Итак, мы доказали, что и (у) —
=с(х) +w(y), т. е. что соотношение (4) справедливо.
Осталось совсем немного. Теперь мы имеем
ёв(х, у)=-А(х, у) + с (х) + 2 Нв(х, t)A(t,y)=*
t<=B
= - А (х, у) + с(х) + 2 и(«)Л($, у) +
seJ3
+ 2 2 А (х, s) [Пв (S, 0-6 (s. 0] Л (t, у).
s&B t^B
Чтобы завершить доказательство теоремы, достаточно только
показать, что
с(х)= - к (. .) + S А^х’
В t&B
Но это было сделано в самом начале доказательства, когда мы
проверяли, что теорема верна для любого у из В.
Теорему 2 можно использовать для дальнейшего развития
теории в соответствии с классической теорией логарифмического
*) Заметим, что при этом нам не понадобился в полной силе результат
предложения 12.2, в котором утверждается, что A(x,t)—при
|fl->oo. Нам понадобилась лишь ограниченность функции А (х, t) — А (0, t).
Это, казалось бы несущественное, замечание станет решающим в § 30 (тео-
рема 30.2), где для одномерного случайного блуждания будет приведено
доказательство, аналогичное приведенному. В одномерном случае также су-
ществует А(х, /), a A(x.t)—Д(0, t) тоже является ограниченной функцией
от /, хотя последняя разность может и не стремиться к нулю при |/| -> оо.
В § 30 мы сошлемся на это замечание.
потенциала. Не удивительно, что все построения параллельны
построениям в классическом случае. Опишем в общих чертах
основные факты, доказательство которых вынесем в качестве
задач в конце главы.
Зафиксируем множество В с кардинальным числом
1 -<|В|<оо и отбросим индекс В у функций Нв, рв, Кв, Пв, ёв,
что не должно вызвать никакой путаницы. Напомним, что заряд
на В есть неотрицательная функция, равная нулю вне множе-
ства В. Определим потенциал, порожденный зарядом ф на В,
формулой
Лф(х) = 2 А(х, ОФ (О, x^R. (1)
t^B
Можно показать, что потенциалы удовлетворяют принципу ми-
нимума, т. е. любой потенциал Лф(х) достигает минимума на
множестве В, или, вернее, на том подмножестве в В, на котором
ф положительна (доказательство содержится в теореме 31.2).
Можно показать, что принцип минимума означает, что среди
всех зарядов ф на В с суммарным зарядом, равным S Ф W = 1
существует в точности один заряд, потенциал которого постоя-
нен на В. Этот особый единичный заряд называется равновесным
зарядом р*(х) множества В. Легко показать, что
( Ь
Н*(х) = | К(х •)
I К(- •) ’
а также, что
( = 1
Лр (x)j j
I К{- •) ’
если | В | = 1,
если | В | 2,
если хе В,
(3)
если хе В —В.
Чтобы сделать последнее и все последующие утверждения спра-
ведливыми для случая \В \ ==1, положим
Д’(• . )= оо, -^-J—y = o, когда |В|=1. (4)
Потенциал Лц* называется равновесным потенциалом мно-
жества В. Постоянная [/<(••)]"' — «граничное значение» равно-
весного потенциала множества В — называется емкостью С (В)
множества В:
С(В)=--^у. (5)
12 Зак. 1375
Дадим еще два эквивалентных определения емкости. Легко
показать, что существует одна и только одна постоянная С та*
кая, что для любого единичного заряда ф на В
min Лф (х) < С < max Лф (х). (6)
хе=В х&В
Эта постоянная С называется емкостью множества В, причем
оказывается, что С=С(В).
Другое полезное определение емкости дается в терминах
функции Грина g(x, у) множества В. Положим
С'= 3 А(х, Он*(0- lim g(x,y). (7)
t^B Iу I->ОО
Вскоре будет показано (см. теорему 3, сформулированную
ниже), что для всех х из R предел
lim g(x, y) = g(x, оо)
существует, С' на самом деле не зависит от х и равна [К(-*)1"1-
Таким образом, соотношение (7) дает третье определение емко-
сти. Из всех трех определений для раскрытия свойств С (В) как
функции, определенной на конечных подмножествах простран-
ства /?, наиболее полезно первое. Сформулируем наиболее важ-
ные закономерности, которым подчиняется функция С (В).
Если Вх с: В2 <= /?, то С(ВХ)^С(В2). (8)
Если Bi и В2 имеют непустое пересечение, то
С (Bi и в2) + С (Bi п в2) < С (Bi) + С (В2). (9)
Читатель, который исследует аналогию предлагаемой теории
с классической теорией логарифмического потенциала [64] обна-
ружит, что термин «емкость» для С (В) употреблен не совсем
точно. На самом деле С (В) есть дискретный аналог так называ-
емой постоянной Робина, которая равна логарифму логарифми-
ческой емкости.
Изучим теперь асимптотическое поведение функции §в(х, у),
играющее важную роль при исследовании поведения характери-
стик случайного блуждания в зависимости от времени (§16).
Теорема 3. В случае двумерного апериодичного возвратного
случайного блуждания для любого • подмножества В(±Р>
1 1В|<оо, существует
lim gB(x, y) = gB(x, оо), x<=R.
I у I
Если В={Ь}, то
ёв (х, оо) = а (х — Ь).
Если |В 2, то
ёв U, о°)= 2 А ОНв (0 ~ 7. .) ,
/ей '
где =
Доказательство. Для случая | В | = 1 достаточно положить
Ь—0. Тогда из предложения 11.6 следует
ёв (х, у) = А (х, 0) + А (0, у) - А (х, у).
В силу предложения 12.2
lim gB (х, у) = а (х) 4- lim [А (0, у) - А (х, у)] = а (х).
Если же |В| >2, то утверждение теоремы можно доказать не-
посредственно — просто используется явное выражение для
ёв(х, у) (теорема 2) и к нему применяется предложение 12.2.
Проверка оставляется читателю.
§ 15. Простое случайное блуждание на плоскости
Значения ядра потенциала для простого случайного блужда-
ния можно вычислить для любой точки при помощи очень про-
стой рекуррентной схемы. Как было показано,
a(x) = (2n)-2J-L~^fe-'e-de, (1)
где
<р (9) = -£- [cos 0! + cos 02],
но, оказывается, нет необходимости вычислять этот интеграл,
если только точка х не принадлежит диагонали х'=х2. Прежде
всего, используя предложение 13.3, имеем
-|-[a(z+ l) + a(z — V) + a(z + i) + a(z — /)] — a(z) = 6(z, 0). (2)
4
В этом уравнении ради удобства использованы комплексные обо-
значения. Из очевидных свойств симметрии интеграла (1) ясно,
что если z=x + iy, a z=x — iy, то
а (г) = а (— z) = a (z) = а(— z) — a (iz) = а (— iz) = a (iz) = а (— iz).
Следовательно, достаточно вычислить а (г) для г, принадлежа-
щих полуквадранту Полагая в соотношении (2) z=0
и учитывая, что а(0) =0, получаем «
а(1) = а(— 1) = a(i) = а(— 1) = 1.
Теперь вычислим интеграл (1) для z=n(l + i), к
а (п + ш) = f f —Lz-c21g^ + e2) dGj d02 =
-Л -Л 1 - у (cos e! + C0S °2)
1
4л2
1 — COS n (0J + 62)
t/0, d02.
Якобиан преобразования a=(0i + 02)/2, P=(0i — 0г)/2 равен l/2-
При этом преобразовании область интегрирования отображается
у = 0 1 2 3 4
0
1 4 77
со I к 1 1 + 3 1 ОО 16 3?7
17-1» 77 Г -8 3?7 Зтт + 1 92 1577
Рис. 2.
на множество | а | + | ₽ | л. Из очевидных свойств симметрии
подинтегрального выражения имеем
Л л
а (п + ш) = ~ ( f I ~
' 7 4л2 J J 1 - cos a cos р ’
-л —л
л л
_ 1 f 1 — cos 2na * _ 1 f sin2 na < _
“ 1л J “j sin a I aa ” л J I sin a | aa
—л —л
Л Г- n
= -^J ^Jsin(2£—l)a
o Lfe=i
da = — [ 1 + -o’ 4- + ...
Я L о 5
2n- 1
Подсчитав значения функции a(z) при z = n(l + 0 и используя
свойство (2), мы можем построить таблицу значений а (г) для
любого числа z (см., например, рис. 2). Впервые таблицу подоб-
ного рода предложили в 1940 г. Макри и Уиппл [61]. Они обна-
ружили, что как только заполнена одна строка таблицы, очень
легко заполнить и следующую строку, придерживаясь следую-
соответствующие черным точкам, известны, т. е. известны зна-
чения a(k + im) для 0 т k -С п. Тогда можно вычислить зна-
чение п(п+1) исходя из того, что а(и) равно среднему арифме-
тическому значению а(п+1), а(п—1), a(n+i) и а(п — i) =
=a(n+i). Затем находится следующее значение a(n+l+i), по-
скольку точка n+1+i является единственной соседней с n+i
точкой, в которой не известно значение a(z). Таким способом *)
можно определить значения а(г) в (п+1)-м столбце, отмечен-
ные на схеме кружочками (стрелками указана последователь-
ность вычислений).
При |z|—»оо вдоль диагонали г=п(1+г) имеем
[2 1
а (г) — —• In | z I =
л j
-.‘“Ш1 +4+
+ ^-1п8 =
Л
= — у — + In 8 = — у + In8.
л ' л г л л г л
!) При вычислении а(п+И-ш) используются равенства
a(n+1+ш) ==a(n+(n+1)/), а(п—1+ш) =а(и+(n — 1)Z). — Прим. ред.
Согласно предложению 12.3, предел должен существовать при t
|г|->оо вне зависимости от направления на z, так что мы лиш- ч
ний раз подтвердили правильность приведенного в предложе- I
нии 12.3 значения предела для простого блуждания. gi
Далее, как было указано Маккри и Уипплом, аппроксимация ?
a(z) посредством л
•^-[21п| 21 + 1п8 + 2у] |
на самом деле хороша даже для довольно малых по модулю зна- J
чений г. Ниже приводится часть построенной ими таблицы, в ко- ?
торой указаны приближенные значения а (г), вычисленные по $
формуле [2 In | z | + In 8 + 2у] для 0 < Re (2) < Im (2) < 5. j
Im (г) 0 1 2 3 4 5 1
Re (z)
0 — 1 ,#294 1,4706 1,7288 1,9119 2,0540
1 1,2500 1,5417 1,7623 1,9312 2,0665
2 1,6913 1,8458 1,9829 2,1012
3 1,9494 2,0540 2,1518
Для сравнения приводим соответствующую таблицу точных зна-
чений а (2). ' »•
Im (z) Re (z) 0 . 0 1 2 3 4 5
0 1 1,4535 1,7211 1,9080 2,0516
1 1,2732 1,5465 1,7615 1,9296 2,0650
2 1,6977 1,8488 1,9839 2,1012
3 1,9523 2,0558 2,1528 -
В качестве примера вычислим распределение точки достиже-
ния Нв(х, у) некоторого конечного множества В. В силу тео-
рем 11.1 и 14.1
Нв(х, у) = Нв(со, у)+ А(х, О
t^B
для всех у^В, x<=R. Предположим, что наибольшее расстояние
между любыми двумя точками из В равно /п>0. Тогда из опре-
деления функции KB(t, у) следует, что ее значения для /<=В,
у^В, а также и значения функции
#в(о°, у)= £Вв\'У\ » У^В,
можно выразить через известные значения функции а(х) для
|х| < т. Далее, наши, замечания относительно точности прибли-
жения а(х) посредством (л)-’[2 In|х| + In 8+2у] означают, что
когда точка х достаточно далека от ближайшей к ней точки мно-
жества В (скажем, на расстоянии 3 или более), тогда выра-
жение
(°°, у) + S 4 ln I х ~ ZI Кв(*,У)~ -- У) -
t^B В 1
является превосходной аппроксимацией для Нв(х\у). Заметим,
что слагаемые с множителем In 8 + 27 мы отбросили на том осно-
вании, что
2 КвЦ, У)~ Кв<^ - =0, У^В. .
/ев1- В J
И наконец, если х находится очень далеко от множества В,
то Нв (х, у) будет, конечно, очень хорошо аппроксимироваться
функцией Нв(°о, у). Для иллюстрации предположим, что В со-
стоит из трех точек Z2=0, £з=1. Тогда сужение оператора
А (х, у) на множество В можно представить матрицей
A = (A(zit zy)) =
i, j=i, 2, 3.
Обратный оператор представляется матрицей
поэтому из теоремы 14.1 следует, что Нв(оо,у) — вектор
л Л'*"' 2 от
4 (л — 1) ’ 2 (л- 1) ’ 4 (л - 1)
Иррациональность ответа отражает его зависимость от всей
истории процесса, ибо вероятность любого события, определяе-
мого конечным числом шагов, должна для простого случайного
блуждания быть рациональной (в самом деле, если п шагов
полностью определяют какое-то событие, то его вероятность
равна целому числу, умноженному на 4-п). Однако как показы-
вает следующий пример, имеются любопытные исключения из
этого правила.
Входные вероятности Нв(<*>, у) множества В = {—1—i,
О, 1+/} «должны» быть равны {3/8, 2/8, 3/8}, как это «показы-
вают» следующие «эвристические» рассуждения. Каждая точка
из В имеет четыре соседние точки, не принадлежащие В, из ко-
торых она может быть достигнута (см. рис. 4). Точка 1+Z обла-
дает двумя соседними точками, общими с нулевой. Считая ка-
ждую общую точку за половину, получаем, что точка 1+/ обла-
дает тремя «соседними», из которых она может быть достигнута,
(
f
k 1 k
) 0 f k
к ’ » ' -1-Z f k
ч
Рис. 4.
нулевая точка имеет^две «соседние», и точка —1—i три. Пред-
полагая, что вероятность быть достигнутой пропорциональна
числу соседних точек, из которых это можно сделать (при усло-
вии, что вклад соседней выбран справедливо), получаем, что
входные вероятности будут как раз те, что указаны выше. Бы-
стрый подсчет, совершенно аналогичный произведенному ра-
нее, подтверждает, что {3/8, 2/8, 3/8} — правильный ответ!
Теперь мы займемся вычислением некоторых характеристик
для бесконечных множеств ВсТ?. При этом будут использовать-
ся особые свойства простого случайного блуждания, например
непрерывность его траекторий, т. е. тот факт, что Р(х, у) =0,
как только х и у не являются соседними.
Пусть В — нижняя полуплоскость, т. е.
В — [г| Im 2^ 0].
Определим ёв(х,у), как обычно, положив £в(*, у)=0, если х
и у не принадлежат одновременно верхней полуплоскости R—В.
Тогда из определения 10.1 следует, что
ёв (х, у) = 2 Qn (х, у),
п=0
где Q (х, у) — сужение переходной функции на множество R — B,
a Qn — соответствующие итерации. Покажем, что
ёв {х, у) = А (х, у) - А (х, у) для x.y^R-B, (3)
где у=ух — iy2.
Доказательство может служить примером использования так
называемого принципа отражения1). Обозначив через Т = ТВ
время первого попадания случайного блуждания в В, для х и у
из R — В и n > 1 имеем
Рп{х, у) = Рх{х.п = у} = Рх{хп = У, Т>п] + РЛ [х„ = у, Т<п] = '
= Qn(x, у) + 2 [х„ = у, Т = к].
k=i
Для k^n
Рх = у; Т = ft] = РЛ. [х„ = у; Т = k],
что совершенно очевидно, но может быть доказано и формально:
Рх [х„ = у, Т = 6] = Ex {Рхт [х„_* = у]; Т = ft} =
Ex [Хд-fe = у\\ Т = k} =
~ Рх [Хп “ У9 Т = k]*
Заметим, что основная идея доказательства состоит в том, что
Im(xT)=0, поэтому переход из точки хт в точку у за время
п — k имеет ту же вероятность, что и переход случайного блу-
ждания из точки хт в точку у за то же самое время п — k. Сле-
довательно,
Рп(х, у) - Qn.(х, у) + 2 Рх[х„ = У, Т = ft] =
fc=l
= Qn(x, y) + Px[*n = yi т<м].
!) Приводимое нами доказательство равенства (3) было предложено
Маккри и Уипплом [61], которые указали на то, что в их изложении оно
не достаточно строгое. Их трудность заключалась в том, что они опреде-
лили Д(х, 0)=а(х) посредством соотношения (1), отчетливо понимая, что
оо
а (х) = 2 (0, 0) ” (*» 0)], но не будучи в состоянии доказать этого.
V п==0
Что касается принципа отражения, то его корни значительно глубже. В фи-
зических приложениях этот метод часто встречается под названием метода
образов. См. для дальнейших справок стр. 84 и 361 в [86], т. 1.
Событие Т ^«содержится в событии хп = г/ (так как x<=R— В
и у^В), поэтому
Рп(х, y) = Qn(x, у) +Рп(х, у), и>1. -
Кроме того, Р0(х, у) = Qo(x, у) = 6(х, у) и Ро(х, у) =0, так что
ёв(х, y)=^Qn (х, у) = 2 [Р„ (х, у) - Рп (х, г/)] =
п=0 п=0
= S [Рп (0, 0) - Рп (х, £)} - i [Р„ (0, 0) - Р„(х, у)] =
п=0 л=0
= А (х, у) - А (х, у).
и соотношение (3) доказано.
Для вычисления распределения точки достижения Нв(х,у)
нижней полуплоскости В мы не можем воспользоваться теоре-
мами из § 11 и 14, которые в этом случае не пригодны, посколь-
ку В — бесконечное множество. Вместо этого мы можем вос-
пользоваться совершенно общим тождеством
НА(х, у)= 2 gA(x, f)P(t, у), xf=R-A, у<=А, (4)
которое является просто утверждением пункта (в) предложе-
ния 10.1. Из-за симметрии рассматриваемой задачи мы можем,
не ограничивая общности, взять точку х=йг (п>1) на мнимой
оси, а точку y = k(—оо<й<оо) на действительной оси. Так как
траектории непрерывны, то вероятность P(t,y) в соотношении
(4) положительна только для точек у, лежащих на действитель-
ной оси, т. е. на границе множества В. В этом случае из соотно-
шения (4) следует
Нв (in, k) = ±gB (in, k + i), (5)
а с учетом равенства (3J
HB(ln, k) = 1 a[(n + l)z — k] — ia[(« — l)z — k]. (6)
Положим сначала п=1 и вычислим JiB(in, k), используя фор*
мулу (1>:
k) = -^a(2i + k)-^a(k) =
Л л
1 f Г cos fcOi — cos (£0!+ 202) JA JA
-да J J ~ r ~ ~
-Л -Л 1 - у (cos + cos 02)
Непосредственное вычисление этого интеграла кажется без-
надежно скучной затеей, поэтому укажем другой метод его опре-
деления (см. задачу 7 в гл. II). Положим
Ф(0)= 2 HB(i, k)eM,
где 0 — действительное число. Заметим, что этот ряд Фурье яв-
ляется характеристической функцией, так как
HB(l, k)>0, S HB(i, k) = l.
k— — oo
К тому же
Фп (6) = S HB(ni, k) eik9. .
k—— оо
Формальное доказательство последнего тождества, основанное
на равенстве (5) или (6), было бы длинно. Самый легкий путь
состоит в рассмотрении .положения первого достижения хт про-
цесса хп с исходным состоянием x0 = zn как суммы п независи-
мых одинаково распределенных случайных величин с функцией
распределения (описывающих последовательное дости-
жение линий Im z = n— I, п — 2,..., 0). Затем используется раз-
ностное уравнение (пункт (а) предложения 10.1): '
Нв {i, k) = | Нв (г, k - 1) + | нв (i, k + 1) +1 Нв (2г, k) + j 6 (k, 0).
Умножив обе части этого равенства на ет и просуммировав по
всем k от —оо до Ъо, получим
<р(0) = 1 (0) +1 (0) +1 ф2 (0) + j •
Это квадратное уравнение имеет два решения. Но свойству
|ф(0) 1 удовлетворяет только решение
Ф (0) = 2 - cos 0 - /(I-cos 0) (3 — cos 0). (7)
С помощью несложных вычислений получаем
lim ф"(4) = е'~161- (8)
Оказывается, что функция
является характеристической функцией распределения Коши.
Используя теорему непрерывности Леви, упомянутую в связи с
центральной предельной теоремой в предложении 6.8, можно за-
ключить, что
[пх] X
Jun 2 Н (in, k) = ± J ^L^j + ^ardgx. (9)
k~— oo —oo
Чтобы продемонстрировать одно интересное применение этого
результата^ рассмотрим задачу, кажущуюся явно более сложной.
Пусть С — плоскость без первого квадранта, т. е.
C = R — [z| Rez>0 и Imz>0].
Чему равно gc(x, £/), когда х и у принадлежат R— С? Используя
принцип отражения, ответ на этот вопрос получить так же легко,
как на соответствующий вопрос относительно полуплоскости В
в соотношении (3). Просто совершим два отражения: одно отно-
сительно действительной оси, другое относительно мнимой, и по-
лучим
gc (*> У) = А (х, у)-А (х, у) + А (х, - у) - А (х, - у). (10)
Затем берем в качестве исходной точки случайного блужда-
ния точку x0=z=r-H’s из первого квадранта R— Си спраши-
ваем, чему равна вероятность того, что поглощение произойдет
на действительной оси, а не на мнимой. Эта вероятность равна
оо оо
p(z) = ^Hc(z, k) = ^gc(2, i + k).
fe=l fe=l
Из соотношения (10) следует, что
оо
р (г) = -j [а (г — k + i) — а(z — k — i) + a(z + k — i) — a(z + k 4-1)].
И наконец; используя равенство (6), получаем
Р (2) = 25 Нв (is, г — £) — 25 Нв (is, г + k),
s=i r k=l
или
p(z) = 25 HB(is,k) — 25 HB(is, k). (11)
k= — 00 fe=r + l
Устремим, наконец, |z| к бесконечности так, чтобы
lim arctg —= а, О^а^-J.
| г |->оо s
Другими словами, !г|—>оо так, что направление на z составляет
угол а с мнимой осью. Подставим далее (9) в (11), полагая
r=s-tga + es, где е = е(г) —>0. Два поправочных члена (сумма
значений функции k) от &=stga до stga + es и другой
член, подобный этому) стремятся к нулю в силу равенства (9).
Следовательно,
stga
lim p(z)= lim V HB(is, k) — lim V HB(is, k) =
S->oo S-»oo
k=—co k=stga
sign
= 2 lim V HB(is, k) — arctg(tga) = — a.
Го
(12)
Любой другой ответ вызвал бы, конечно, сомнения (см. за-
дачу 11).
§16. Исследование нестационарного поведения
Рассмотрим следующий простой случай внешней задачи Ди-
рихле (проблема В в § 13). Пусть D — область на плоскости;
найти такую функцию и(х), что
1) Ди(х)=0 на дополнении к D + dD,
2) и(х) = 1 на dD,
3) и(х) непрерывна и ограничена на дополнении к D.
Эта задача имеет единственное очень неэффектное.решение
и(х) = \. Ситуация становится интересной только тогда, когда
мы сравниваем и(х) с решением нестационарной задачи, для
которой внешняя задача Дирихле является предельным случаем.
Эта задача звучит так:
Проблема диффузии. Найти такую функцию u(x,t), что
для t > 0, х вне D,
2) и (х, t) = 1
3) limu(x, /) = 0
для t > 0, х на dD,
для всех х вне D.
Такая задача возникает в теории распространения тепла.
Решение u(x,t) представляет собой температуру в точке х вне
тела D в момент времени £ Температура на границе все время
поддерживается на единичном уровне (условие 2), а начальная
температура вне D равна нулю (условие 3). Известно, что эта
задача имеет единственное решение и(х, /), причем -
lim и (х, t) = u(x) = 1 вне D.
t~>OO
Другими словами, температура окружающей среды возрастает
в каждой точке, приближаясь к температуре границы.
Такой вывод мог бы показаться очевидным, однако здесь
нужна известная осторожность. В самом деле, рассмотрим ана-
логи задачи Дирихле и диффузии в трехмерном пространстве.
Для максимального упрощения изложения будем считать D еди-
ничным шаром. Тогда внешняя задача Дирихле имеет по край-
ней мере два решения
а(х)=1 и м(х) = | х Г*.
Решение проблемы диффузии также единственно, но предел
этого решения при £->оо теперь совсем иной, а именно
lim и (х, t) = | х Г1.
t-*oo
Таким образом, компактное множество в трехмерном простран-
стве оказывается недостаточно «обширным», чтобы «прогреть
окружающее пространство» до собственной температуры. На не-
скольких следующих страницах мы еще будем говорить о причи-
нах этого явления, но полное вероятностное объяснение не будет
ясно вплоть до гл. VII. Это объяснение внутренне связано с раз-
ницей между возвратным случайным блужданием (таким, как
простое блуждание на плоскости) и невозвратным случайным
блужданием (любое собственно трехмерное случайное блужда-
ние невозвратно).
Гораздо более тонкий вопрос, который более всего уместен
для возвратного случая, касается скорости сходимости u(x,t)
к стационарному решению и(х). Как было предположено Кацем
и доказано Хантом [91], ответ на этот вопрос содержится в соот-
ношении
lim [1 — и (х, 0] In t = 2ngD (х, оо), (1)
/->ОО
где gp(x, у) — внешняя функция Грина области D, о которой мы
уже говорили в § 13 при обсуждении проблемы В, а функция
gn(x, оо), фигурирующая в соотношении (1). разумеется, яв-
ляется пределом gp(x, у) при \ц\ —>оо.
План оставшейся части этой главы весьма прост. Мы сформу-
лируем дискретный аналог проблемы диффузии для двумерного
апериодического возвратного случайного блуждация, а затем по-
пытаемся доказать теорему, соответствующую приведенному
выше соотношению (1). Эта теорема интересна с вероятностной
точки зрения. В ней речь идет о вероятностном законе, которому
подчиняется случайная величина Тв — момент первого достиже-
ния случайным блужданием множества В. Впервые в данной
главе мы будем в состоянии получить результат относительно
поведения случайного блуждания в зависимости от времени. Все
предыдущие результаты касались случайной величины хТв, опи-
сывающей положение случайного блуждания в момент достиже-
ния, а не самого времени достижения Тв. Например, _
Нв (х, у) = Рх [хтв = у], когда /? — В.
Даже наша явная формула для §в(х,у) не дает никакой инфор-
мации относительно распределения величины Тв.
Введем следующие обозначения:
Определение 1.
TB = min 1; х6еВ],
ч ТВ='Т, если В = {0},
Rn = Ро [Т > п] для п 1,
Fo = O, fn = P0[T = n] для и>1,
Un — Ро1хп = Ь] = Рп(0, 0) для п^О.
Так как случайное блуждание возвратно,'то Тв<оо с вероят-
ностью единица, если только множество В непусто. Проблема
диффузии формулируется теперь следующим образом. Так как
мы имеем дело с дискретным временным параметром, то функ-
ции и(х, t) будет соответствовать последовательность функций
fn(x), определенных для n>0, x<=R. Далее-производной по вре-
мени [и (х, 0] должна соответствовать разность fn+i (х) — fn (х),
а так как оператору Лапласа Д/2 соответствует оператор Р — 1,
то мы приходим к уравнению
Pfn fn = f n+1 fn>
или Pfn—fn+\- Таким образом, дискретный вариант проблемы
диффузии содержит три требования:
1) 5 Р(х, y)fn(y) = fn+i (х), xg=R-B, п^О;
y^R
2) fn (х) = 1 для всех п > 0, х G В;
3) fo(x) = O для всех хе/? — В.
Легко проверить, что система уравнений Pfn=fn+i имеет
единственное решение. Условия (2) и (3) полностью определяют
функцию fo(x) для всех х. Подставляя ее значения в уравнение
(1), определяем fi(x) на R — В, а на В значения fi(x) удовлетво-
ряют требованию (2), поэтому fi(x) однозначно определена на R.
Дальше по индукции: как только fn всюду определена, уравне-
ние (1) определяет fn+i на R— В, а требование (2) доопреде-
ляет fn+\ на В. '
Чтобы избежать итераций, на которые затрачивается много
времени, выпишем просто решение, а затем проверим, что оно
удовлетворяет требованиям (1), (2), (3). Пусть fo (х) = 0 на
R — В, f0(x) = 1 на В, и пусть для п 1
| Рг[Тв<п] для x^R — B,
fn(x)—^ । для хе В.
Требования (2) и (3) очевидно удовлетворяются, а выполнение
требования (1) следует из тождества
PJTB<n+l] = 2 Р(х, у) + 2 Р(х, у)Ру[Тв<п],
у^В y(=R-B
справедливого для x^R — В, п^
Тем самым аналог соотношения (1) для случайного блужда-
ния должен касаться скорости сходимости к нулю последова-
тельности
1 - fn W = Рд- [ТВ > п],
когда п стремится к бесконечности. Мы покажем, что точным
аналогом In t в соотношении (1) здесь явится величина, обрат-
ная к
Rn = Ро [Т{о} > п] = Ро [Т > п].
На самом деле, как это будет показано несколько позже в при-
мере 1, величина Rn для простого двумерного случайного блу-
ждания асимптотически равна л(1п п)-1.
-Теорема 1. Пусть для двумерного апериодического возврат-
ного случайного блуждания В = {0}. Тогда
Р [Тд>п]
lim d гт 1 = Sb (*> °°) = а (х) для всех x<=R — В,
n->oo * о L । ftj
причем в теореме 14.3 доказано существование оо) и ра-
венство §в(х, оо) =а(х).
Доказательство. Доказательство этой теоремы существенным
образом опирается на приведенную ниже лемму. Сначала мы
сформулируем лемму, затем объясним, почему из нее вытекает
теорема 1, а потом докажем саму лемму.
Предложение 1. Для двумерного апериодического возврат-
ного случайного блуждания ч
Можно написать
оо со
PjT>n]=lPjT = ^+l]=S 2 Qk(x, у)Р(у, 0),
k—n, k—n уфО
где Q(x, у), разумеется, есть не что иное, как сужение переход-
ной функции Р(х,у) на множество R — {0}, a Qn(x, у) — итерации
функции Q(x, у), т. е. . ‘
Qk(x, z/) = PJxft = z/; Т>£] для &>1, Q0(x, у) = б(х, у).
Положив
со
g (X, у) = g.0} (х, у) = s Qn (X, у),
1 ' п=0
ОО
получим
PJT>n]=2 2 Qn+Ax} у)Р(у, 0) =
£=0 у ФО
= 2 g(x, о 5 Qn(t, у)Р(у, 0).
tфО у ФО z
Обозначая
М0= оЦ- 2 Qn(t, у)Р(у, 0),
У ФО
имеем
--Х>-и-^7 2 six, х^ о. (1)
Л~ “ 1ф0
Чтобы завершить доказательство теоремы 1, достаточно по-
казать, что правая часть равенства (1) стремится к а(х) при
я—>оо, Учитывая предложение 1, для этого достаточно доказать,
что
lim 2 g (х, t) vn (0 = а (х), х 0. (2)
П-><»1ФО
Чтобы еще больше упростить задачу, заметим, что (2) можно
легко вывести из соотношений
lim g (х, /)» а (х), (3)
vn(0>0, 2v»(0-l. (4)
1Ф0
lim vn(/) = 0 для любого t=/=0. (5)
П->оо
13 Зак. 1375
Но из теоремы 14.3 следует, что соотношение (3) верно. Чтобы
установить справедливость соотношений (4) и (5), вернемся к
определению функций Vn(t), согласно которому
V„-1(0 = -^-P< [Т = «].
Рассматривая обращенное случайное блуждание с вероятно-
стной мерой ,Р*[ ], определяемой переходной функцией
Р*(х, у) = Р(у, х), получаем
Vn-i (/) = Ро [х„ = /; Т > п] -
. ро[хп = /; т>”] _ ро[хп°^ Т>«]
p0[T>«] p;it>«]
Следовательно, является условным вероятностным рас-
пределением на R— {0}. Суммирование по всем t из R— {0} как
раз и дает соотношение (4).
Чтобы доказать соотношение (5), мы должны показать, что
для каждого t
<6>
В последнем равенстве мы отбросили «звездочки» потому, что
докажем справедливость равенства (6) для любого двумерного
апериодического возвратного случайного блуждания. Мы можем
выбрать целое число т>0 так, чтобы Рт(/, 0)=а>0, тогда из
неравенства
Р0[хд«/; T>n] р (. mРо[n<T<n + m]
Po[T>n] Р0[Т>п]
следует
Ро [хл ~ Т > n] 1 Rn — Rn+m ‘
Pq [Т > ^1 Рп 9
а правая часть последнего неравенства в силу предложения 1
стремится к нулю при гг-^-оо.
Теперь доказательство теоремы 1 будет закончено, если мы
сумеем доказать предложение 1, которое эквивалентно утвер-
ждению
Поскольку Un для п>0, достаточно показать, что
lim^-0. (7)
П->ОО Ал
Используем теперь предложение 7.6, из которого следует, что
для некоторого Л>0
А
ип<^, п>1, (8)
(На самом деле нужно более тщательно провести рассуждения,
ибо соотношение (8) справедливо только тогда, когда выполнено
условие (3) предложения 7.6. Но так как наше случайное блу»
ждание возвратно, то существуют три различные ненулевые и
неколлинеарные точки х такие, что Р(0, х)>0, а этого доста-
точно, чтобы условие (3) предложения 7.6 удовлетворялось.)
Кроме Этого нам потребуется тождество
п
2с/лт?„_й=1, п>0, (9)
л=о
которое мы получим, если просуммируем по $ ют 1 до п равен*
ства
S>1,
£=1
являющиеся видоизмененной формой предложения Л.2. Для ка-
ждого целого т п имеем
1 = 3 + •*• + Um)Rn~m + Um+i + ... + Un>
k=0
или
n ~^> ••• A-Um+k) \ \ л» + 1 т + k)
ий+...+ит ..Л, Л, -А
1+т+т+ •••+ ж
при любом выборе целых положительных k и т. Положив т^-
=[с&] (целая часть от числа ck) и устремив k к бесконечности,
получим
1-л(тЛт+ •••
\т+1 m + k / \ 6)
Выбирая е>0 так,' чтобы А 1п(1 + 1/с)<1/2, приходим к нера»
венстВу
справедливому для достаточно больших k. Далее, вновь исполь»
буя неравенство (о), имеем
Щ 2А2 In k
Я* k >
когда k достаточно велико. Эта верхняя граница стремится к
нулю. Итак, справедливость соотношения (7) доказана, а значит,
доказательство предложения 1, а вместе ~с ним и теоремы 1, за-
вершено.
Теорема 1 была специально сформулирована в несколько
своеобразном виде для того, чтобы навести на мысль, что, быть
может,
00)1 0)
для любого множества В с кардинальным числом 1^|В|<оо.
К сожалению, при переходе от | В | = 1 к | В | > 1 возникают зна-
чительные затруднения, поэтому за доказательством справедли-
вости этого равенства мы отсылаем к работе [43].
Для иллюстрации встречающихся трудностей приведем на-
бросок доказательства для произвольных конечных множеств В
методом математической индукцци по кардинальному числу
(числу точек) \В | множества В. Равенство (1) было доказано
для множеств |В| = 1, состоящих из одной точки, поэтому мы
предполагаем, что это равенство справедливо для множеств В,
состоящих из р точек, и докажем, что оно справедливо и для
множеств В, состоящих из р+1 точки. Если \В\—р+\, пред-
ставим В в виде B'\Jz, где \В'\=р, а z— новая точка. Из ве-
роятностных соображений очевидно, что для x^R— В,
Рх[Тв'>п] = Рх[Тв>п]+2 Px[TB = fc, ТВ'>п] =
ы
= Рх [ТВ > п] + S Рх [Тв =Л; Хтв = г] Рг [Тв' >n-k].
&==1
Мы упростим обозначения, положив
ч ап PJT„>«1 1 VI , /ЛЧ
К = Ро [т > n] + ~bn L <2>
k 1
где
ап = Рх[Тв'>п], &„ = Р0[Т>п],
Сп “= Рх [Тв “ п; хТд = > dn = Рг [Тв' > п].
По предположению индукции,
lim= оо), x&R-B'. (3)
П->ОО
Воспользовавшись предложением 1 и вновь опираясь на пред-
положение индукции, получим
lim = оо), zeft- В', й>0. (4)
П->оо °П
Поэтому кажется вполне разумным предположить, что для
х, z^R— В'
П ОО
lim х Sс kdn~k=gB' (2> °°) 2 ck=ёв' (*> *)• (б)
“** л-i *=i
Но если равенство (5) справедливо, то подстановка (3), (4) и
(5) в соотношение (2) приводит к тому, что
Нт Р= ёв' <Х’ °°> “ g*' °°>г)
для всех х из /?— В. Заметим, что
gB' (X, у) - gB, (z, у) нв (х, z) = gB (х, у), y<=R-B. (6)
Это тождество получается разложением gB,(x, у) в сумму мате-
матических ожиданий числа попаданий в у до момента достиже-
ния В и числа попаданий в у после первого достижения точки 2
из В. Читателю должно быть ясно, как следует построить фор-
мальное доказательство этого тождества с использованием пред-
ложения 3.2. Опираясь на теорему 14.3, мы можем положить в
тождестве (6) \у\ —>оо. В результате получим
Р ГТ > п\
Ро[Т>—= ^(Х’ 00)1
что завершает индукцию, и, следовательно, равенство (1) верно,
если верно равенство (5).
Наконец, выведем достаточное условие справедливости со-
отношения (5). Оно совсем просто, а именно:
(7)
П->оо
(Прежде чем свести доказательство справедливости соотноше-
ния (5) к выполнению неравенства (7), заметим, что Кестен
[43] доказал справедливость неравенства (7.) для произвольного
возвратного случайного блуждания. А в случае двумерного слу-
чайного блуждания существует и даже равен единице предел
lim . Для простого случайного блуждания это будет про-
П->оо
верено ниже в примере 1.)
Итак, предположим, что неравенство (7) верно, и для фикси-
рованной точки х=#0 из 7? и некоторого целого числа Л1>0 рас-
смотрим сумму
п-М
I (п, М, х) = 2 Рх [Т = k\ Rn-k.
П k—M
Представляя I(n, М, х) в виде двух сумм, так что суммирование
в одной из них проводится от k=M до & = [п/2], а в другой от
[п/2]+1 до п— М, получаем
I(n, М, х)<^- Рх Т<[п/2]] +
+ рх И«/2] + КТ<п - М]<
АЛ
П D -
< Рим < Т] + Рд I [п/2] < Т].
Кп "п
Используя теорему 1, приходим к неравенству
1{п, М, x)^ka(x)RM-^~-
*\п
для некоторого k>0. И наконец, в силу предположения (7)
lim lim I (п, М, х) = 0. (8)
М -> ОО П -> оо
С помощью этого равенства можно показать, что если
6„ = Ро[Т>«] = /?„, с„ = Рх[Тв = и; хТд = х],
ТО
п оо
lim 4“ X ckbn~k == Zj (9)
Это соотношение очевидно, ибо для любого е>0 можно выбрать
такое М, что
п—М п—М
lim У Йт У Px[Tz = k]Rn_k =
n-°°bnk-M ^Rnk^M
= lim I(n, M, x — z)<_e. (10)
Что касается «хвостов», то в силу предложения 1
М-1 М-1
lim У сьЬп.к = ск,
в то время как
п п п
k—n~ Af+l k-n— Af+l &=n-Af+l
PJTz = fe] =
-1-{Рж.г[Т>п-Л1]-Рж_г[Т>п]}, (11)
а последнее выражение стремится к нулю в силу теоремы 1.
Согласно равенству (4), имеем
lim 4r = gBr(z, o°) = g, (12)
П->ОО ип
где, как и прежде, dn= Рг[Тв' > п]. Разложим сумму
п
-^-^ckdn-k на две:
я k=i
п п п
Ck^n-k ~ Сй^п-й *Ь ь ('k l^n-k g^n-kl- (13)
" й=1 й-1 пй-1
Из соотношений (10), (11) и (12) следует, что последний член в
этом разложении стремится к нулю при п->оо. Далее, из (9)
и (12) получаем
П ОО
Иш у- У chdn_b = g У Ck =
яйм
= gB'(z, 00
- gB' (z> °°) нв (*> 2),
а это и есть равенство (5). Итак, мы доказали, что условие (7)
достаточно для справедливости равенства (5), а следователь-
но, и (1).
Пример 1. Для простого случайного блуждания на плоскости
^-Р.1Т>Л]~т^
при п—>оо.
Доказательство1)* Имеем
Уйж-О, {72„ = 4-2п(Ди)2 *
и с помощью формулы Стирлинга получаем оценку
ГТ 1
Uzn~-—, п~+<х>.
2п пл ’
Следовательно,
Uo+U2+ ... + U2tl~^lnn, П-*<Х>.
Используя, как и при доказательстве предложения 1, тождество
х 2п
/г«=0
получаем
Rin-ni [и0 + ... + ии] + и2Л+2 + ... + и2п> 1.
В последнем неравенстве выберем k в зависимости от п, а имен*
но положим
при И -> ОО и
^2Л+г+ ••• +Uin'"'Q
при п->оо. Следовательно, для каждого в>0
In(n-fe) „ ->1_„
А2П-2* =^18
при всех достаточно больших п, поэтому
lim
п-»оо
С другой стороны,
1 = S RkUn-k> Rn (Uo+ ...+ ип),
k^O
откуда
П-*оо f
’) Это доказательство содержится в [21].
Этим заканчивается рассмотрение примера 1. Для наших
целей важно то, что
In 2п _
In п ~
lim = lim
П->оо *^2П ^*>00
1.
Следовательно, неравенство (7) выполняется, и в силу соображе-
ний, высказанных после доказательства теоремы 1, для простого
случайного блуждания справедливы различные обобщения тео-
ремы 1. Следующие два примера посвящены двум таким обобще-
ниям. Пример 2 касается равенства (1), которое вследствие
утверждения, содержащегося в примере 1, можно переписать в
виде
lim Рх [Тв> п] = gB (х, оо), х (= /? - В.
Пример 2. Мы воспользуемся этим равенством для изложе-
ния нового варианта знаменитой задачи о самопересечении для
простого случайного блуждания (см. стр. 131). Пусть Ап озна-
чает событие, состоящее в том, что х0, xt, ..., хп — положения
случайного блуждания в моменты времени О, 1, ..., п — все раз-
личны. Известно, что предел
2<у = lim {Р[Д„]},/ге<3
П->оо
существует. Как было указано в § 10, для того чтобы подсчитать
с достаточной точностью значение у, большого искусства не тре-
буется. Однако на трудность задачи указывает то, что неиз-
вестно даже, существует ли предел
Нт 4тГГ== lim НЛж|Л„].
П->оо r L^/ZJ п->оо
Конечно, этот предел имеет то же значение, что и предыдущий,
если только он вообще существует.
Мы попытаемся избежать некоторых существенных трудно-
стей, рассматривая несколько отличную задачу. Определим Вп
как событие хп^{х0, ..., xn~i}, т. е. событие Вп заключается
в том, что в момент п случайное блуждание попадает в новую
точку, ранее не посещавшуюся. Мы покажем, что
lim Р[Вя+1|В„]«1/2.
П-»оо
Доказательство.
D г D I о 1_ Ро[Дя^л-н]
Р[В„+1|В„]- Ро[Вп] .
Используя метод обращения случайного блуждания, можно убе*
диться, что
Ро [В»] = Ро IT > n] = Rn.
Точно так же можно показать, что
Ро [„„+1] = 2 Р(0, x)PjT>n, Тж>п],
а
где
T = min[&|1^6, xft = 0], Тж = min[&| 1 хА = х].
Далее, из свойства симметрии простого случайного блуждания
очевидно, что вероятность Рх[Т>п, Тх>д] имеет одно и то же
значение для каждой из четырех точек х, для которых Р(0, х) >0.
Однако мы предпочитаем пренебречь этой удобной возможно-
стью произвести очевидные упрощения, так как мы хотим дока-
зать сформулированное утверждение для произвольного случай- I
ного блуждания на плоскости, являющегося, апериодическим,,
симметричным (Р(х, у) = Р(у, х)), обладающего тем свойством, :
что Р(0, 0) =0, и, наконец, такого, что теорема 1 справедлива для
двухточечных множеств. (Как уже отмечалось, теорема 1 для
двухточечных множеств справедлива всегда, но мы доказали это ?
только для простого случайного блуждания.)
Для любого х=£0 уоложим В={0,х}. Тогда
PJT>n; Tx>n] = P0[T>n; Тх>п] =
= S P(0,Z/)PjTB>n-l].
y^R-B +
Следовательно, 3
lim Рх [Т > ": Тх >-га]- = 2 р Sb (У> ?
" y^R-B
'9
Так как |Bj =2 и случайное блуждание симметрично, то "i
ц(0 = ц*(0 = Яв(оо, 0= 1/2,
г(см. пример 14.1), а из теоремы 14.3 вытекает, что
ёв (У> °0) = J А & 0) + у А (у, х) - к (..) =
=4ia^)+a(y_x)_a(x)i- '
i
«.J-
Используя предложение 13.3, заключаем, что
2 Р<0’ °°)= S Р®' У)ёв(У, °°) =
y^R-B y^R
=4 ta (°)+1+а w -а (*)]=4»
откуда следует, что
lim —=4»
П~»оо *
а это и есть нужный результат, ибо /?п = Ро[Вп].
Пример 3. Пусть
Nrt=36(0, хй)
означает число попаданий случайного блуждания в исходную
точку за время'п. Мы хотим показать, что для любого апериоди-
ческого возвратного случайного блуждания на плоскости, для
которого выполняется неравенство (7) (см. рассуждения, приве-
денные после доказательства теоремы 1), справедливо равенство
lim X = 1
п->оо Нп
для всех х из R и для любого целого 1. Заметим, что при
m = 1
Px[Nn = ll
Rn
п
= аЫХ
” 4=1
Следовательно, утверждение для /п=1 было доказано при выво-
де соотношений (8) и (9) из условия (7) (см. рассуждения, при-
веденные после доказательства теоремы 1). Распространить со-
ответствующие рассуждения на случай tn>\ труда не предста-
вляет. В самом деле, можно записать
Рх [N„ = tn] - 2 Рх И - k] P0[N„.ft = m - 1].
fe==l
Это соотношение дает возможность применить при доказатель-
стве метод математической индукции. Так, если
f _ ₽o[N, = m-1] ,
R~n
при п->оо, разобьем -I на два слагаемых
n-М п
£ р = £] Rn-kfn-k + 7^- S рлт = *1 *«-*/«-**
k~l . k—n—M+l
В силу соотношения (И) последнее слагаемое стремится к нулю
для любого фиксированного Л4>0. Если М выбрано так, что
Ifb—11 <*е при k^M, получаем
Йт I|<е
П->оо1 КП I
и поскольку 8 произвольно, доказательство закончено. •
Задачи
1. Для произвольного случайного блуждания (возвратного ’f;
или невозвратного) доказать, что
ПА(х, х) = Пл(г/, у), :
i
если множество А состоит из двух различных точек х и у. Д.
2. Показать, что для невозвратного случайного блуждания |
3. В этой и в следующих двух задачах мы построим теорию
возвратного апериодического симметричного блуждания на пло- |
скости совсем с иной точки зрения, чем это было сделано в § 11, |
12 и 13. За основу всех дальнейших построений берется доказа- j
тельство .предложения 12.1, Из этого доказательства имеем |
а(х) = (2лГ/ |
Использовать теорему о монотонной сходимости (это невозмо- V
жно сделать, если случайное блуждание не симметрично!) для |
того, чтобы заключить, что* для любого хе/? |
Р (х, 0а (0 = (2л)-2 J 1 ~а(х) + 6(х, 0). f
4. Доказать, что сужение оператора А—А(х, у) на конечное |
множество В, |В|>1, имеет одно простое положительное соб- |
ственное значение, все прочие собственные значения отрицатель»
вы, а оператор Л”, обратный к этому сужению, обладает следую-
щим свойством:
#(••)= 2 %К(х,у)^0.
х^В у^В
Указание. Поступая как автор [79], который следовал Кацу
[34], предположим, что Xi и Х2 — различные положительные соб*
ственные значения сужения оператора Д, a иДх) и и2(х) пусть
будут собственными функциями, соответствующими Xi и Х2. Так
как А — симметричный оператор, то щ и и2 можно взять действи-
тельными и такими, что (ub Ui) = (u2, u2) = l, (ul9 iz2)=0, где
(Л g) = 2 f(x)> g(x). Можно выбрать действительные постоян-
х^В
ные он и а2, не равные одновременно нулю и такие, что у(х) =
= aiUi(x)+а2^2(^) удовлетворяет соотношению S v(x) = 0. Не-
- А х<=В
посредственный подсчет дает
(v, Av) = + а|Л2 > 0.
С другой стороны, из определения а(х)=А(х, 0), данного в за»
даче 3, следует, что
(v, Av)= — (2л) 2 J
v(x)eix'e
х^В
2
[1 -<р(0)Г' </0<О,
причем знак равенства возможен в том и только том случае,
когда о(х)^0 на В.
5. В соответствии с предложением 13.2 функция Нв(х,у),
описывающая распределение точки достижения множества В ис»
ходя из точки х, единственным образом определяется следую»
щими свойствами:
а) %Р(х, t)HB(t, у) — Нв(х, у) = 0, x(=R-B;
б) Нв(х, у) = д'(х, у), х^В;
в) \Нв(х, у) |М для некоторого М < оо.
Показать, что функция
Кв(-у)
+ 2 А(х, t) KB(t, у)
t^B
KB{t-)KB(-y)-\
обладает этими свойствами. Это можно сделать, опираясь только
на утверждения, содержащиеся в задачах 3, 4 и предложениях
12.2 и 13.2. Таким образом, теорему 11.1 для симметричного
случайного блуждания можно доказать без манипуляций, кото-
рые были проделаны при доказательстве предложений 11.1—11.8.
6. Как должно быть модифицировано предложение 12.3, если
отбросить предположение «изотропии» случайного блуждания,
приводившее к тому, что Q(0) = о2[6|2 (пункт (в))?
7. Проверить свойства емкости, сформулированные без дока-
зательства в'конце § 14.
8. Через xlt х2,... ,хп обозначим п фиксированных различных
точек плоскости R, а через В множество В = {хь х2,..., хп, у}. До-
казать, что для двумерного апериодического возвратного слу-
чайного блуждания
lim Нв(<х>, у)*= 1/2.
9. Простое случайное блуждание на плоскости. Случайное
блуждание, исходящее из точки Хо=х¥=О, должно посетить до
момента первого достижения точки 0 либо одну, либо две, либо
три, либо все четыре из четырех точек, граничащих с началом
координат (т. е. точки I, —i, 1, —1). Подразумевая под N точ-
ное число посещенных соседних точек, вычислить
рп — lim P^.[N = n], n=l, 2, 3, 4
| X | ->oo
(кажется забавным то, что отношения р\ : ръ-рз' Рь очень близ-
ки, но не равны, отношениям 4:3:2: 1).
10. Существует ли в плоскости треугольник, вершинами кото-
рого являются точки с целочисленными координатами *з,
такой, что для простого случайного блуждания
Н{Хи Хг, Xi)= 1/3 для /=1,2,3?
11. Объяснить, почему любой ответ, отличный от 2а/л, на
вопрос, поставленный в конце § 15, вызвал бы недоумение.
Указание. Вероятность поглощения на действительной оси
удовлетворяет уравнению
(Р —/) р (z) = 0, когда Re(z)>0, Im(z)>0,
с граничным условием р(&) = 1 при A^-l, p(ik)=O при 1.
Следовательно, непрерывным аналогом р является функция, гар-
моническая и непрерывная в первом квадранте, с граничными
значениями 1 и 0 на положительной и мнимой оси соответствен-
но. Решением этой задачи является распределение точки до-
стижения положительной части действительной оси двумерным
броуновским движением (см. Ито и Маккин [29, гл. VII] или
Леви [57, гл. VII]).
12. Для простого случайного блуждания на плоскости обо-
значим через Ап событие, заключающееся в том, что xn=£xk для
k=Q, 1,..,,п—1, т.’е. что в момент п посещается новая точка.
Точка xn+(xn— xn_j) является точкой, которую случайное блу*
ждание посетило бы в момент п+1, если бы оно продолжалось в
том ж$ самом направлении, что из xn_i в хп. Показать, что если
Вп — событие, состоящее в том, что хп+(хп — xn_i)=#xfe для
k=0, 1,..., п, то
Нт Р0[В„|Дп] = 2-4.
П-><» П
13. Рассматривая простое случайное блуждание на пло-
скости, обозначим через Т момент первого самопересечения (мо-
мент, когда впервые частица попадает в состояние, в котором
она уже побывала в некоторый момент Q^-k-^п). Пусть
Дх) = Р0[хт = х], А (х) = Ро [Тх < Т],
где Tx = min[A|A 0, хА=х]. Доказать, что
Л (х) — 2 А (у) Р (у, х) = 6 (х, 0) — f (х), хе/?,
А(х) = 2 а (х -y)f(y) — а (х), хе/?,
и получить, что
Ео [а (хт)] = 1, Ео [|хт I2] = Ео [Т] Ео [|xt |2].
14. Обобщить утверждения задачи 13 для произвольных
апериодических возвратных случайных блужданий на плоско-
сти, для которых Е0[|Х] |2] < оо и одновременно для следующего
класса моментов остановки: моменты остановки Т должны обла-
дать тем свойством, что с вероятностью единица случайное блу-
ждание попадает в каждую точку не более одного раза до мо*
мента Т. Отметим, что общность этого результата является как
раз причиной того, что нельзя рассчитывать на использование
задачи 13 для получения численного значения величины Е0[Т]
для простого случайного блуждания.
15. Простое случайное блуждание на плоскости. Пусть А —
конечное подмножество в /?, а дА — множество тех точек, которые
принадлежат R — Л, но имеют одну или более соседних точек
в Л. Если ф— заданная на дА функция, то внешняя задача Ди-
рихле состоит в нахождении такой функции f на А КдЛ, что
/ = Ф на дА и Pf(x)=f(x) для всех х^Л. Показать, что эта за-
дача имеет единственное решение
f (х) == Ех [<р (хт)], х <= Л U дА,
где T = 0, х^едЛ]. Справедливо ли это утверждение,
когда |Л|=оо? Можно ли его обобщить на произвольные апе-
риодические случайные блуждания (определяя дЛ как 7? — Л)?
ГЛАВК IV
СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
НА -ПОЛУПРЯМОЙ1)
§ 17. Распределение точки достижения правой полупрямой
Для одномерных случайных блужданий довольно хорошо
разработана теория, касающаяся весьма специального класса
бесконечных множеств. Этими множествами являются полупря-
мые, т. е. полубесконечные интервалы вида а^.х<оо или
—оо<х-<а, где а — точка (целое число) из R. Если BczR—
такое множество, то точно'так же, как и в § 10 гл. III, можно
определить функции
Qn(x, у), Нв(х,у), gB(x,y)' для х, у из R.
Разумеется, все тождества, установленные в § 10, остаются спра-
ведливыми, ибо при их доказательстве не использовались ника-
кие предположения о размерности пространства /?, о периодич-
ности или возвратности случайного блуждания и о числе эле-
ментов множества В.
В настоящей главе мы будем лишь предполагать, что слу-
чайное блуждание собственно одномерно, т. е. в соответствии
с определением 7.1 будем исключать из рассмотрения нульмер-
ное случайное блуждание с Р(0, 0) = 1. Другие же предположе-
ния, касающиеся, в частности, периодичности случайного блу-
!) Материал настоящей главы довольно широко освещен в периодиче-
ской научной печати, причем, как правило, рассматривалась более общая
ситуация суммирования произвольных, а не только целочисленных, случай-
ных величин. В 1930 году Поллячек [67] решил одну трудную задачу в тео-
рии очередей (теории массового обслуживания), и лишь много позже стало
ясно, что эта задача является частным случаем задачи о случайном блужда-
нии с одной поглощающей границей (§ 17) и задачи о нахождении макси-
мума последовательных частных сумм (§ 19). Основные теоремы настоящей
главы были первоначально доказаны с помощью элементарных комбинатор-
ных методов, развитых в [77] и [78]. Ради краткости и единообразия изло-
жения мы будем использовать аналитический подход, подобный подходу
Бакстера [2] и Кемпермана [39]. В книге Кемпермана приводится библиогра-
фия основных теоретических работ до 1960 г. включительно. Было бы за-
труднительно дать библиографию огромного количества прикладных работ,
ибо сходные вероятностные задачи часто возникают при исследовании очере-
дей, в вопросах, связанных с инвентаризацией, хранением запасов, счетчи-
ками частиц, потоками транспорта, а также в страховом деле.
ждания, будут играть второстепенную роль; лишь иногда в ре-
зультатах, подобных предложениям 18.8 и 19.4, требующих
применения теоремы восстановления, существенна апериодич-
ность случайного блуждания. Точно так же возвратность слу-
чайного блуждания здесь не будет столь важна, как в гл. III.
Если ВсТ? — конечное множество, то ясно, что по крайней мере
в апериодическом случае равенство
Ънв(х, у)=1, x^R, (1)
1/еВ
имеет место тогда и только тогда, когда случайное блуждание
возвратно. Однако если В — полупрямая, то критерий справед-
ливости или нарушения равенства (1) имеет совсем иной вид.
Пусть В — правая полупрямая, т. е. В=[х|а'-Сх<оо]; рассмо-
трим бернуллиевское случайное блуждание, для которого
Р(0, 1)=р, Р(0, —1)=^=1—р. Если p=q, то случайное блу-
ждание возвратно, так что соотношение (1) выполняется, по-
скольку каждая точка, а потому и любое подмножество В из R,
достигается с вероятностью единица. Если p~>q, то случайное
блужддние невозвратно, но (1) все же имеет место, так как
любая точка, лежащая справа от исходной, достигается с ве-
роятностью единица. Следовательно, (1) может иметь место
как для возвратных, так и для невозвратных случайных блу-
жданий. Разумеется, соотношение (1) может не выполняться
только для невозвратного блуждания. Соответствующим приме-
ром может служить бернуллиевское случайное блуждание с
p<q. Приведенные примеры показывают, что вопрос о критерии
справедливости равенства (1) совсем нетривиален. Мы увидим,
и это неудивительно, что соотношение (1) эквивалентно утвер-
ждению о том, что случайное блуждание, независимо от исход-
ной точки, с вероятностью единица бесконечно часто попадает
на полупрямую В. В теореме 1 настоящего параграфа будет
дано чрезвычайно простое необходимое и достаточное условие
справедливости равенства (1).
Цель нашего исследования — получение максимально воз-
можной информации относительно распределения точки дости-
жения Нв(х, у), и функции Грина §в(х,у) полупрямой. Начав с
изучения распределения точки достижения, можно попытаться
решить внешнюю задачу Дирихле
3 Р(х, t)HB{t, у) — Нв(х, у) = 0, x<=R-B, у<=В, (2)
t^R
с граничными условиями
у) = 6(х, у) при хе В и у^В.
14 Зак. 1375
Эта задача, очевидно, имеет решение в силу утверждения (а)
предложения 10.1. Другой подход состоит в использовании
пункта (в) того же предложения, именно:
Нв(х,у) = 2 ёв(х, t)P(t, у), x<=R-B,y<=B. (3)
t^R~B
Те методы, которые мы будем использовать, основаны на
тождестве, весьма тесно связанном с (3). В процессе работы
нам потребуются простые, но весьма мощные средства гармони*
ческого анализа или, другими словами, методы теории функций
комплексного переменного. Чтобы избежать трудностей, касаю*
щихся вопросов сходимости, которые могут возникнуть, если»
скажем, попытаться рассмотреть ряд вида
S gB (X, у) е1ув
(как позднее будет показано, этот ряд не обязан сходиться},
естественно ввести вместо gB(x, у) соответствующие производя-
щие функции. Иначе говоря, ряд ,
оо
gB(x, у)= 2 Qn(x, у)
п=0
заменим рядом
оо
ljtnQn(x,y),
п—О
где 0<О<1. Нет нужды давать этому ряду специальное назва*
ние, к тому же в соответствии с установившейся в этой области
традицией будет удобно существенное изменение обозначений.
Напомним коротко обозначения и терминологию определения
3.1, характеризующего случайное блуждание хп с хо=О как
= Xi + ... + ХЛ = Sn,.
где Х^ — независимые одинаково распределенные случайные ве*
личины, принимающие целочисленные значения, и Р[Х^=х]='
= Р(0, х). Таким образом как правило будем считать, что
хо = О; исключения из этого общего правила будут отмечаться
особо. Принципиально новым определением, которое нам потре*
буется, является
Определение 1.
Т = min [п| 1 п оо; Sn > 0],
Tz ==min[/r|l ^n^oo; Sn^0].
Таким образом, Т — момент первого попадания случайного
блуждания хп в множество В=[1, оо). Если случайное блужда-
ние никогда не попадает в это множество, Т = оо. В обозначе-
ниях гл. III
Р[т<оо]= 2//я(0, у),
У^
Р[8т = у; Т<оо] = Яв(0, у) при i/>0, если В = [1, оо).
Аналогично
р[т'<оо]= 2мо, у),
у-о
p[ST' = fr, Т'< оо] = ПВ'(0, у) при если В' = [0, оо).
Переходя к существенной части настоящей главы, мы начнем
с леммы, обобщающей приведенное выше соотношение (3).
Предложение 1. При / < 1 и —со < 0 < оо
e[T2\v0s»
_fc=o
= 2 tkE [<?z0Sft; T>fe] = [1 - Ap(0)]-1 {1 -Е [№т]}.
fe=0
Тот же результат остается справедливым, если Т заменить наТ'.
Замечания, а) Если Т = оо, то /?=0, так что нет необходимо-
сти определять et0ST при Т = оо.
б) Отметим, что предложение 1 обобщает (3) в следующем •
смысле. Ряд
оо оо О
2 /*Е [ezes*; Т>Лг] = 2 tk 2 Qft(0, y)eiQy
k—0 fe=0 #=—оо
является рядом Фурье и его коэффициенты равны
2^Q*(0, у) при у^О и 0 при у>0.
fe-0
Перепишем теперь предложение 1 в виде
[1 - Ар (0)] 2 tkE [ei0s*; Т > &] = 1 — Е [№т].
&=0 В * *
В этом равенстве слева и справа стоят ряды Фурье, и*мы можем
приравнять соответствующие коэффициенты. Имея в виду, что
<р(0) — ряд Фурье для Р(0, х), применим к левой части теорему
о свертке (предложение 6.3). При у>0 (и это наиболее инте-
ресный случай) получим
оо 0 оо
s Qk{o'x)P(x, у)=- Sz*P[T = fe; ST = y], у>0
k—О Х= —ОО Л=*1
Меняя знаки и полагая t/'X (т. е. устремляя t к единице снизу),
имеем
оо О
2 2 Qft(0, х)Р'(х, y) = P[ST = y], у>0.
Л=*»0 Х«=-оо
Но если В=[1, оо), то последнее соотношение есть не что иное,
как
о
2 8в (°> х) Р(х, у) = Нв (0, у),
X-— оо
а это и есть соотношение (3).
Доказательство предложения 1. Хотя предшествующее рас-
суждение можно, очевидно, превратить в строгое доказательство
предложения 1, мы изберем иной, более экономный путь. Пер-
вое равенство в предложении 1 является простым следствием
определения:
Е [eies*; Т>&] = Е [ei0s*Aft],
где Aft — случайная величина, равная единице, если Т>&, и нулю, -
если TKk. Переходя к более существенной части предложения
1, запишем
Е 2 = Е 2 - Е 2 tkeie\
о . о т
Трудностей с обоснованием сходимости здесь не возникает, ибо
Далее,
E2fVes* = [l -Мб)]-1,
о
в то время как'
е 2 ЛА = 2 e[/t+V0St^] = s?e[/W(s^-st)]_
k=T fe-0 fe=0
Но случайная величина ST+ft — ST не зависит от T и ST (это
типичный пример применения предложения 3.1 (б)). Имеем
Е 2 tkeif>sk = [1 - /ф (0)]-1 - 2 t\k (9) Е [/Te/0ST] =
О Л=0
= [1 - ^ф (О)Г1 (1 - Е [iTei0ST]}.
Этим заканчивается доказательство первой части утвержде-
ния. Доказательство для Т' проводится аналогично, и мы его
опускаем. Интересно отметить, что, кроме того факта, что Т —
время остановки, никаких других свойств Т мы по существу не
использовали.
На самом деле справедливость предложения 1 для произ-
вольного времени остановки Т имеет более скромное значение^
чем это могло бы показаться с первого взгляда. Если бы мы не
использовали специальные свойства времени остановки Т, то
вряд ли достигли бы нашей основной цели — точного вычислен
ния Е [/Te‘esT] или сходных характеристических функций. Фак-
тически предложение 1 мало чем может быть полезно для про-
извольного времени остановки, и те результаты, которые мы
получим, существенно зависят от специальной природы Т и Г
как моментов выхода на полупрямую.
Мы изложим сейчас некоторые результаты классического ана-
лиза, необходимые для исследования постоянно встречающихся
в дальнейшем рядов Фурье весьма специального типа — рядов
Фурье вида
оо О
2 akeiM или 2
&=0 &=-оо
4 00
Определение 2. Если ряд Фурье ф(0) = 2 ckeike абсолютно
£=—оо
оо
сходится, т. е. если 2 I ск | < оо, то такой ряд называется внеш-
k = —ОО
ним (внутренним), если ск=0 при k>0 (при k<0). Если ком-
плекснозначная функция f(z) аналитична в открытом круге
|z|< 1 и непрерывна в замкнутом круге |z|<J, то она назы-
вается внутренней. Если функция f(z) аналитична в области
;|z|>l и непрерывна и ограничена в области |z| > 1, то она на-
зывается внешней. Символы ф;, ft будут использоваться для обо-
значения внутренних рядов Фурье и внутренних функций, а че-
рез и fe будут обозначаться внешние ряды Фурье и внешние
функции ').
Предложение 2. Если задан внутренний ряд Фурье ф,(0), то-
су ще ст вует единственная внутренняя функция ft (г), такая, что
fi(ea) = фЛ0) при действительных 0. Аналогично внешний ряд
Фурье фе(0) может быть единственным образом продолжен до
внешней функции fe(z).
') Индекс i связан со словом interior (внутренний), индекс е — со сло-
вом exterior (внешний). — Прим. ред.
Доказательство; Продолжение ряда
Ф/ (0) = 2 Ckeikd
k=Q
задается функцией
fi(z) = 'ZiCkZ11, |z| <1,
' fe=0
являющейся внутренней. Единственность следует из того факта,
что функция, аналитическая в |г|<1, однозначно определяется
своими граничными значениями1). Доказательство для и fe
проводится аналогично, только неравенство заменяется
неравенством |z|>l.
Предложение 3. Если заданы две функции ft и fe, такие, что
при |z|=l,
то существует постоянная с, такая, что
ft(z) = c при и fe(z) — c при |z|^l.
Доказательство. Определим функцию g(z), положив ее рав-
ной fi(z) при |z|<l и равной fe(z) при |z|>l, и пусть g (z)—
= fi=fe при |z|=l. Тогда g(z) является аналитической функ-
цией всюду, за исключением, возможно, единичной окружности.
Но функция g(z) всюду непрерывна и ограничена. Непрерыв-
ность §(£) дает возможность применить теорему Морера. Дей-
ствительно, интегрируем g(z) вдоль контура, окружающего
точку zq с |z0| = 1, и убеждаемся, что этот интеграл равен нулю.
Тогда из теоремы Морера следует, что функция g(z) аналитична
в точке z0. Поскольку zq — произвольная точка, то g(z)—ана-
литическая всюду функция. Но такая функция, будучи к тому
же ограниченной, по теореме Лиувилля является постоянной.
Таким образом, g(z)=c, откуда и следует предложение 3.
Определим две полезные для дальнейшего функции: внутрен-
нюю fi и внешнюр fe.
*) Если бы существовали две такие функции, то их разность достигла
бы максимума внутри единичного круга, а это противоречит принципу ма-
ксимума модуля. По этому поводу, а также относительно теорем Морера и
Лиувилля, используемых ниже, см., если это необходимо, [1].
Определение 3.
fAt', z) — e >
оо tk
-S3-pis*"°]
с (0 = е 1
На решающую роль этих функций в нашем исследовании
указывает
Предложение 4. Если z=eie, где 0 — действительное число,
0</<1, то
1 - /ф (0) = с (0 ft (/; z) fe (t; z).
Доказательство. Прежде всёго заметим, что функция fi(t,z),
в определении 3 действительно является внутренней функцией
по z при всех < L При имеет место следующая
оценка:
00 ь °° ь
24е s*>°] <24р[8*>0^1пТ=Г’
1 1
так что z) |<^(1 — О-1 при. |z|<l. Точно так же, |fe(/;z)|<
'•<(1 — /)-1 при |z|> 1. Аналитичность также очевидна, ибо
P[S» = n].
Таким образом, функции fi и fe действительно удовлетворяют
требуемым условиям непрерывности и ограниченности.
Для доказательства предложения 4 заметим, что так как
!|/ф(0) |<1, то справедливы соотношения
°° ,
-St* <е>
1 — /ф (0) = е 1 ,
24^^=2 4 е iei0Sfci=24Е kies*; s*>°i +
*=1 £=1 £=1
оо °0
+ 24Е s*<°J + 2 4Р (s*=°i-
ы
Это и дает утверждаемую факторизацию функции 1 — /<р.
Теперь все подготовлено, чтобы сформулировать первые ре-
зультаты, представляющие непосредственный вероятностный ин-
терес.
Предложение 5.
(а)
(б) l-E[,rA]»c(0ff(U
(в) 2 ^Е [zs*; Т > *] - [с (/) fe (t- г)]’1,
k~0
(г) i/*E[zs*;T'>fe] = [M*; г)Г‘.
Здесь 0К/<1, в (а) и (б) |z|1, в (в) и (г) |г|> 1.
Доказательство. Для доказательства (а) и (в) (доказатель-
ство (б) и (г) проводится аналогично и потому будет опущено)
положим
ga(2)= 3?Е[гЧ Т>&], .
hi (г) = 1 - Е [/tzSt] .
Легко проверить, что в соответствии с определением 2 ge(z)—
внешняя и hi (г) —внутренняя , функции. Проще всего убедиться
в этом, скажем, в случае функции ge(z), заметив, что
ge (*ie) = S [e*es*; Т > /?] = 3 еЮу 2 [Sft = у, Т > k],
k—0 у= — оо k—0
очевидно, представляет собой внешний ряд Фурье. Поэтому в
силу предложения 2 ge(z)— внешняя функция.
Перепишем теперь предложение 1 в виде
^(еге) = [1-/ф(е)Г*Аг(ег0).
В силу предложения 4 при |z| = l имеем
с (0 ft (t; z) fe (t- z) ge (z) = hi (z).
Так как функции ft, fe и c(t) не обращаются в нуль (являясь
показательными функциями!), то
ge(z)fe(t', z) = с (<) Z) ’ 1*1= !•
Согласно предложению 3, существует постоянная k (возможно,,
зависящая от /, но не зависящая от z), такая, что
g>(z)fe(*; z) = & при |z|>l,
z) при |z|<l.
Для определения этой постоянной положим в последнем тож*
дестве z->0 (это лишь один из возможных способов вычисле*
ния k). Ясно, что
Пт hi (z) •= lim fi (/; z) = 1,
Z->0 Z->0
так что &={c(/)]_1. Следовательно,
hi(z) = fi(t‘,z),
что доказывает (а), и _
&(г)=кШг)Г',
что доказывает (в).
Пример 1. Одномерное симметричное случайное блуждание
ввиду значительных упрощений формул, фигурирующих в опре-
делении 3 и предложениях 4 и 5, заслуживает детального изуче-
ния. Так как Р(х, у)=Р(у, х), то P[Sn = £]=P[Sn=—k], или
Е[е‘и«; S„ > о] « Е [е-'08"; S.<0],
Иначе говоря,
fl(t-,z) = fe(t\z) при 0</<1 И |z|=l. (1)
Согласно предложению 4,
1-М9НЮ1ЬМР. (2)
и из равенства (а) предложения 5 имеем .
1 - /<р (6) - с (/) 11 - Е [№т] |2. (3)
Соотношения (2) и (3) представляют собой любопытный ва-
риант одной классической теоремы гармонического анализа. Ее
первая и простейшая форма, установленная Фейером [85] в
1915 г., относится к представлению неотрицательных тригономе-
трических полиномов. Она утверждает, что если тригонометри-
ческий полином
ф (0) = а0 + 2 2 [a* cos kQ 4- b* sin &0]
неотрицателен при всех действительных значениях 9, то суще*
ствует полином степени п
п
ckzk,
такой, что
ф(0) = |/(ег0)12 при всех действительных 0. (4)
Равенство (3), естественно, является обобщением равенства
(4), поскольку функция 1 — Лр (0) может быть как тригонометри-
ческим полиномом, так и бесконечным тригонометрическим ря-
дом. Действительно, рассмотрим случайное блуждание, для ко-
торого Р(0, х)=0 при |х| >п и Р(0, /г)>0. Тогда
1-/ф(0)= 1-ZP(O, 0)-2/i)P(0, AOcos&O
/г=1
и, поскольку ф(0) —действительная функция и | <р(0) 1,функ*
ция
1-/ф(0) = ф(0)
является неотрицательным тригонометрическим полиномом сте-
пени п. Полагая
f(2) = /^Hl-E[fTzsT]},
из (3) имеем
1 — /ф (0) = ф (0) = | f (z) |2 при z = е‘®,
и мы получим представление Фейера (4), если докажем, что
f(z) — полином степени п по z. Но это очевидно, ибо
оо
f(z)= 5
&=0
где
ck^Vdf)i>(k, О)-]/7(о2Р[Т = /;
/=1
и Cfe=0 при k>n, так как Р(0, х) =0 при k>n и, значит,
Р[Т = /; ST = ^]<P[ST = ^] = 0 при k>n.
Применим полученный результат для вычисления Е[/т] для
простого случайного блуждания] Из вероятностных соображе*
ний очевидно, что St=1. Таким образом,
ф (6) = 1 — /ф (0) = 1 — t cos 0,
в то время как ___
. Дг) = угс(0{1-гЕ[Н).
Решим уравнение
1 —/cos0 = c(/)| 1 —eieE [/т] |2, -до<6<оо,
относительно c(t) и Е[/т]. Преобразовав правую часть этого со*
отношения, получим
[с (ОГ1 (1 -1 cos 0) = 1 - 2 cos 0Е [О + {Е [Л]}2,
и так как 0 произвольно, то
Ф(0Г' = 2ЕИ,
НОГ^иЧеЬЧ)2.
Если учесть, что 0< Е[/т] < 1 при ()</< 1, то решение полу-
ченной системы будет единственным и равным
c(()=l±£pt.
Естественно, что для произвольного симметричного случай-
ного блуждания придется удовлетвориться несколько меньшим.
Выбирая 0 /< 1 и 0^г=г<1, из предложения 5 получаем
г—r rTsl1 - S 4(трМ+ЕР*; sft>o]}
Vc(t) [1 - Е [/TrST] ] = е к-1
424^'1
при этом мы воспользовались тем, что в силу условия сим*
метрии
|p[S* = 0] + Е [A; Sft>0] = iE[rls*l],
Далее
ч 24E[f|Sft|i= S '•,n,s4pis*="i-
&=1 П=~ оо
Последовательность г1"1 имеет ряд Фурье '
оо
S Г1»1еме = _, 0<г<1,
П=ж=-оо
а ряд Фурье последовательности
оо
c«=STplSft==rtl $
k=\
равен
У спе‘пв = — In[1 —/<р(9)],
п~— оо
Поскольку оба ряда абсолютно сходятся, можно применить фор« ' ?
мулу Парсеваля (предложение 6.2) и заключить, что
оо Л
Sc„rl" I = - 4- f -i V-T ~о-—й- In [1 - /ф (0)1 de.
п 2л J 14- г2 — 2r cos 0 1 . т х /j
П=-оо —л
(независимо от того, конечно Т с вероятностью единица или
нет). Таким образом, из соотношения (5) следует, что
/с(0 {1 - Е Н) = ут^7. О< t< 1. (7)
Соотношение (7) позволяет теперь дать ответ на вопрос: будет
ли случайная величина Т конечна с вероятностью единица или
нет? Р[Т<оо]=1 тогда и только тогда, когда
fe=l
Согласно определению 3,
limc(0 = e 1 ,
причем этот предел строго положителен, ибо ввиду предложе-
ния 7.6 при некотором А > О
оо оо
SiI>is*-0i<ASfe"’/,<oe-
1 1
Поэтому из соотношения (7) имеем
lim {1 - Е И) = Р [Т = оо] = О,
t л 1
так что Т<оо с вероятностью единица для любого симметрич-
ного случайного блуждания на прямой (разумеется, при усло-
вии, что Р(0, 0)<1).
Пример 2, Другой тип случайных блужданий, для которых
можно получить достаточно точные результаты, представляют
непрерывные слева случайные блуждания') (см. определение
2.3). Такие случайные блуждания характеризуются следующим
свойством переходной функции Р (х, у):
Р(0, х) = 0 при х< —1, Р(0, —1)>0.
Введем аналитические функции
P(z) = Др(0, n—l)zn, |г|<1,
ft (z) = z — tP (z), |z|<l, 0<f<l.
9 Более полное описание случайных блужданий, допускающих получе-
ние точных результатов, можно найти в книге Кемпермана [39, § 20].
Тогда имеем.
1 - /ф (0) = e~iQ [е‘0 - tp (е‘0)] = e~iQft (eiQ), (1)
где ф(0) — характеристическая^ функция рассматриваемого слу-
чайного блуждания.
В дальнейшем мы будем существенно использовать следую-
щее свойство при каждом t, 0^t< 1, функция ft(z) имеет
единственный простой нуль в круге | z j 1. Этот нуль, который
мы обозначим через r=r(t), расположен на неотрицательной
части действительной оси. Сформулированное утверждение до-
казывается относительно просто. ПопробуехМ прежде всего найти
такой нуль г = г(/), который удовлетворяет неравенствам0<Cr<h
Это означает, что г = 0 при /=0, а при 0 < t < 1
оо
z_ = P(r) = p(0, -i)+ Vp(0, fe-i)A
£=1
Таким образом, на г можно смотреть как на точку пересечения
графика функции Р(г) с прямой r/t. То, что такая точка суще-
ствует и 0<r = r(t) <1, следует из теоремы о промежуточном
значении: при г = 0 прямая расположена ниже Р(г), ибо
Р(0, —1)>0, а при г=1 выше, так как /"1>Р(1)=4. Для дока-
зательства того,, что это единственный, причем простой, нуль
функции ft(z) в единичном круге, воспользуемся теоремой Руше
(ср. [1]). Этот полезный результат из теории аналитических
функций позволит прийти к нужному нам заключению, если мы
сможем указать аналитическую в круге |г|<1 функцию g(z),
имеющую в этом круге единственный простой нуль, такую, что
I ft (z) + g (*) I < | g (z) I
на любой окружности с центром в начале координат, лежащей
внутри единичного круга и имеющей радиус, достаточно близкий
к единице. (Теорема Руше утверждает, что из справедливости
приведенного неравенства на простой замкнутой кривой выте-
кает, что функции ft(z) и g(z) имеют одинаковое количество ну-
лей в области, ограниченной этой кривой.) Выбрать нужную нам
функцию g(z) очень просто. Именно, положим g(z)=&—z, тогда
предыдущее неравенство примет вид
/|P(z) |<| Z |.
Но это неравенство, действительно, справедливо при 0<О<1
и t< |z| 1, ибо при /< |z| 1
/|Р(г)|</ЗР(0, n-l)|z|re</P(0, l) + |z|[l — Р(0, -l)]<|z|.
n—О
Теперь мы покажем, что для непрерывного слева случайного
'блуждания справедливы соотношения
fe{t\ г)=1--ф, |z|>l, 0</<1, (2)
> Iz|<l, 0<*<1, (3)
(4)
Доказательство проводится аналогично доказательству пред*
ложения 5. Соотношение (1) можно записать в виде
1-/Ф (6) = Н/(/; е<е) «,(/;<?*), (5)
где
,, х 2 — tP (z) ,, . . Г (t)
W/J » we(f; z) 1 - .
Нетрудно убедиться, что u, — внутренняя, a ue — внешняя функ- '
дни (см. определение 2). Особенность «,(/; z) в точке z—г ft)
только кажущаяся (устранимая), так как эта точка является
также нулем числителя г—IP(z). Воспользуемся теперь пред*
ложением 4 и перепишем (5) в виде
. z)fe(t; z) = Ui{t-, z)ue(t; z), |z|=l.
Точно так же, как и при доказательстве предложения 5, поделим
обе части этого равенства на и{ и fe- Это можно делать, ибо из
того, что r(t)—простой нуль, следует, что «<=#0 в области
|zi 1. Получаем пару функций
he = fe (/; z) » 1г1>к
обладающих нужными свойствами: hi — внутренняя, a he —
внешняя функции и h{(z) —he(z) при |z| = l. Согласно предло-
жению 3, обе эти функции равны одной и той же постоянной k.
Чтобы определить k, положим |z[->-oo. Получим
lim ue(t-,z)= lim fe(i; z)==l,
|Z I -> OO \z I -> oo
так что k—i. Следовательно,
ue(t-, z) = fe(t; z), |z|>l,
и соотношение (2) выполняется. Соотношение (3) получается
аналогично из того факта, что ht равно единице при |z|
Наконец, (4) следует из (3), если в (3) положить z->-0. ' ~
- Исследуем теперь время остановки Т, желая установить
весьма естественный факт, что Р[Т<оо]=1 тогда и только то-
гда, когда р>0, где р— среднее случайного блуждания (опре-
деление 6.4). Используя предложение 5 и соотношения (3) и
(4), имеем
Полагая z У' 1 (вдоль действительной оси), получаем
1 Е frT] “ * j-r(O ’
Таким образом, будет ли Т<оо с вероятностью единица, зави-
сит от Поведения r(f) при tyi. Но r(t) определяется как корень
уравнения rlt=P(r), и из этого определения ясно, что r(t) —•
монотонно возрастающая функция t. Для получения дальнейшей
информации рассмотрим отдельно три случая; случай (I) и (III)
иллюстрированы графиками на рис. 5.
Случай (I). р = 2 ЛР(0, А) = Р'(1)-1>0.
Л= —1
В этом случае
lim г (0 *= р < 1,
так что в соответствии с (7)
lim {l-E[fT]) = P[T=oo] = 0.
Случай (II). р=0.
В этом случае
Пт/•(/)=!.
Из определения г(/) получаем
1-t 1 -Р[г(/)] . . г(0 1-Р[г(01
1-г(0 \ Р[г(0] l-r(i) '
Следовательно, в силу (7)
limb E[i]} i-r()]
И
И"= Hm-4^ = P'(1) = и + 1 - 1,
так что снова
p [T = oo] = 0.
Случай (III). ц<0.
В этом случае опять r(t) стремится к единице при //Ч, и точно
так же, как и в случае (II), получаем
lim {1 - Е [/ ]} = Р[Т = оо] = р(0> _jy р -lim j_^
В случае (III) интересно также вычислить Р[Т' = оо]. Так как
случайное блуждание непрерывно слева, то
Р[Т' = оо] = 1 — F,
где F— вероятность возвращения в 0 (определение 1.4). Ис-
пользуя предложение 5 и соотношение (4), получаем
1 - F (/) = lim с (О Р [Т - оо] = -
Заметим, что это эквивалентно тому, что G=(—fr)’1, т. е. ре-
зультату, полученному совсем иными методами в примере 3.1
гл. I.
В общем случае ответ на вопрос о том, когда время дости-
жения правой полупрямой конечно, дает
Теорема 1. Для собственно одномерного случайного блужда-
ния следующие четыре утверждения эквивалентны:
(а) Р[Т<оо]=1, (б) Р[Т'<оо]=1,
оо
(в) 2-rplS*>Ol = 00’
1
оо
(г) 2-rpts*>°l = 00’
1
так что (в) или (г) является необходимым и достаточным усло-
вием конечности Т и Т'. В .частности, если существует первый
15 Зак. 1375
абсолютный момент m=S |xjP(0, х), то соотношения (а) — (г)
имеют место тогда и только тогда, когда
ц = 2хР(0, х)>0.
Доказательство. Полагая 2=1 в первых двух утверждениях
предложения 5, получаем
1 - е RT] =
оо ,k
-5 тр is*>oi
е 1
1 - Е И =
ОО k
-2 — P[SA>°]
е 1
Это показывает, что (а) эквивалентно (в) и что (б) эквива-
лентно (г). Но (в) и (г) будут эквивалентны, если мы сумеем
показать, что ряд S&_1P[Sa> = 0] сходится. Это можно сделать,
используя оценку, полученную в предложении 7.6 гл. II, но мы
предпочитаем дать непосредственное доказательство. Полагая
z = 0 в соотношении (б) предложения 5, получаем
1 - Е [Л'; Sr = 0] =
оо ,k
-S-Tp[s*’°i
е 1
Если бы ряд 2^’1P[Sfe = 0] расходился, то отсюда следовало бы,
что
Р[Т'<оо; Sr = 0] = 1,
оо
а это в свою очередь означало бы, что Р [Xft > 0] = S Р (0, х) = 0.
Применяя те же рассуждения к обращенному случайному блу-
жданию, мы получили бы, что и P[Xft<0]=0, так что Р(0, 0) = 1,
Но этот вырожденный случай был исключен из рассмотрения,
00
так что ряд = 0] сходится и утверждения (а) — (г)
k~ 1
эквивалентны.
Для доказательства последнего утверждения теоремы вос-
пользуемся результатами гл. I. Если у.>0, то с вероятностью
единица limn~1Sn = n. > 0 (предложение 3.4), так что Т<оо.
П->оо
Если ц.=0, то, согласно предложению 2.8, случайное блуждание
возвратно, так что любая точка и a fortiori каждая полупрямая
достижимы. Наконец, если ц<0, то соотношение lim Sn = — оо
П->°о
является следствием усиленного закона больших чисел. Пред-
положим теперь, что Т<оо с вероятностью единица. Тогда по
очевидным причинам Р[Тв<оо]= 1 для каждой полупрямой
В==[х| Ъ х<°о] и потому lim Sn = 4-оо. Полученное противо-
П->оо
речие заканчивает доказательство теоремы 1.
§ 18. Случайное блуждание с конечным средним
В настоящем параграфе будем предполагать, что случайное
блуждание обладает конечным первым абсолютным моментом
т = 2 |х|Р(0, х)<оо.
х=—ОО
Если среднее ц неотрицательно, то из теоремы 17.1 предыду-
щего параграфа следует, что время выхода Т на правую полу-
прямую [1, оо) является случайной величиной, иначе говоря,
Т<оо с вероятностью единица. В этом случае представляет ин-
терес (гораздо больший, чем это могло бы показаться с первого
взгляда, особенно для целей последующих трех глав) вычисле-
ние математических ожиданий случайных величин Т и ST. До-
кажем прежде всего
Предложение 1. Если ц = 0, то Е[Т]= оо, если же ц>0, то
2yP[Sft<0] .
Е[Т] = е1 <оо.
Доказательство. С помощью простых вычислений убеждаем-
ся, что
Е[Т] = У /гР [Т = &] = lim У t*P [Т> Аг] = lim
Последний предел может быть конечным или бесконечным. Со-
гласно равенству (а) предложения 17.5,
так что
оо ,k
1-вН _ ?т’МЧ
~е
и
оо Ъ
SVP is*<°]
E[T] = limeI
/л 1
00 1
2 тр [S*<°1
= е 1 оо.
- В силу теоремы 17.1 ряд, стоящий в показателе последней экс-
поненты, конечен, если ц>0, и равен +оо (расходится), если
р, = 0. (Строго говоря, в указанной теореме речь идет о рядах
с общим членом вида ^PfSfeX)] при ц < 0, однако к.нужному
заключению можно прийти, если рассмотреть обращенное слу-
чайное блуждание с переходной функцией Р*(х, у)~Р{у, х),
частичные суммы которого суть —S&). Доказательство закон-
чено.
Предложение 2. Если ц>0, то E[S т] = р/Е[Т].
Доказательство. На самом деле сформулированное утвержде-
ние имеет место для широкого класса времен остановки, что
весьма удивительно, так как оно имеет вид
Е[Х,+ ... + Хт] = Е[Х,]Е[Т],
а это означает, что случайную величину Т можно считать как бы
не зависящей от одинаково распределенных случайных вели-
чин Хг«. Обычное доказательство этого факта основывается на
лемме Вальда в последовательном анализе, которая в свою оче-
редь может быть выведена из одной простой теоремы теории
мартингалов (Дуб [24, стр. 314]). Однако ради полноты мы при-
ведем здесь непосредственное доказательство.
Из предложения 17.1 имеем
~ .П . с ГЛ iOSTl
V tkE \eiQ3k- Т > k] = ~—-____! —- е___-
Ы 1 с ’ 1 к* 1 — /ср (0) - /О
Л==0
а из предложения 1
2 Р [Т > fe] = Е [Т] < оо,
/г=0
поскольку ц>0. Поэтому можно положить t/A, и чтобы избе*
жать осложнений при переходе к пределу в правой части равен-
ства, мы будем делать это лишь для тех 0, для. которых ф(0) =£1.
Итак, если ф(0)=#1, то
fc=0
Поскольку случайное блуждание невырождено, существует ма*
лая окрестность точки 0 = 0, где ф(0)¥г1. Предполагая, что 0
остается в этой окрестности, и устремляя 0 к нулю, в соответ-
ствии с предложением 6.4 получаем
,.—/0 1 ' •
11Ш ---—жг = — .
6->о 1-ф (6) И
Таким образом,
~ _Г 10ST]
Е [Т] = % Р [Т > £] = 1 lim 1 ~ Е 1.
и е->0 ,у
Но St — положительная случайная величина, и в силу пред-
ложения 6.5 из существования предела
следует, что E[ST] конечно и равно этому пределу. Итак, Е[Т] =
= p"1E[ST], что и требовалось доказать.
Нам осталось рассмотреть еще одну, вероятно, наиболее ин-
тересную и трудную задачу, связанную с изучением математи-
ческого ожидания величины St. Речь идет о E[St] для случай-
ного блуждания со средним jx = O. Чтобы проиллюстрировать
различные аспекты этой задачи, вернемся к примерам § 17.
Пример 1. Если случайное блуждание симметрично, то его
среднее автоматически равно нулю, при этом мы предполагаем,
что существует первый абсолютный момент. Однако дисперсия
а2= 2 х2Р(0, х)
- Х==—оо
может быть как конечной, так и бесконечной, и, оказывается,
именно в этом заключена суть задачи. Мы начнем с соотноше-
ния (3) примера 17.1 и положим 17 1, так что
l-<p(6) = dl-EkesT]|2, (1)
где
я
f ln[l-fq>'(0)ld0
0<с = lim с (/) = lim е ~я • <оо.
t т( 1 f Л 1
Это все, что нам нужно знать из примера 17.1 относительно с.
Правда,4 без особого труда можно показать, что функция
1п[1 —ф(0)] интегрируема на отрезке [—л, л], так что
' л
J 1п[1-Ф(0)]^е
с = е
Однако этот факт нам здесь не понадобится (см. задачу 1).
Разделим теперь обе части равенства (1) на 02:
1-Ф(0) _
02 “ 6
1 к Г ‘0st1
1 — Е | е *]
2 .
, е=#о.
(2)
Смысл этих преобразований в том, что, когда 0 стремится к
нулю,
lim
6->0
1 - (0) _ о2
02 “ 2 •
Это следует из предложения 6.4, если о2<оо, а если о2=оо, то
с помощью простых вычислений нетрудно убедиться, что равен-
ство остается справедливым в том смысле, что соответствующий
предел также бесконечен.
Рассмотрим отдельно два случая.
(I) Если о2<оо, то
Если бы, кроме того, было известно, что предел
также существует и положителен, то ввиду предложения 6.5
можно было бы сделать вывод, что математическое ожидание
E[ST] существует и равно значению этого предела. Это привело
бы к следующему результату:
7=-B[sj- (3)
Последнее утверждение можно было бы доказать, основываясь
н’а довольно тонких методах гармонического анализа, исполь-
зующих несколько ослабленные предположения предложения
6.5, но вряд ли стоит это делать. К тому же дополнительные
трудности, возникающие в несимметричном случае, определенно
требуют более глубокого подхода. Равенство (3) будет следо-
вать как частный случай из доказываемой ниже теоремы 1.
(II) Если о2 = оо, то в силу приведенных выше эвристических
рассуждений естественно предположить, что
Е [ST] = оо.
Это легко доказать. Действительно, если бы оказалось, что
E[ST]<oo, то ввиду предложения 6.4 мы пришли бы к противо-
речивому заключению, что
Значительный интерес представляет несколько иная форму*
лировка задачи. Используя предложение 17.5, запишем соотно-
шение (1) в виде
1 — Ф (0) = {1 — Е [ez0ST]} {1 - Е [e-t0sT']}.
Снова деля на 02 и устремляя 0 к нулю, получаем
4 = Е[5т] E[Sr], (4)
и естественно ожидать, что оба математических ожидания в пра-
вой части этого равенства конечны тогда и только тогда, когда
конечна дисперсия о2.
Пример 2. Для непрерывного слева случайного блуждания
примера 17.2 имеем (равенство (6))
1 - f Г/t>st1 - r W z~tp (г)
Если ц>0, то r(t) ->г(1) =р<1 при//1, откуда с помощью
простых вычислений получаем
Е = (1-р)/(0, -1) ’
Итак, /
Дифференцируя полученное равенство по z и устремляя затем z
к единице, приходим к равенству E[ST]=pE[T], иллюстрирую-
щему предложение 2.
Предположим теперь, что р,=0. Тогда, как известно, г(/) 1
при t Z11, так что
1 - Е [zM - 1 . z~p(zY
L J “ P (0, -1) 2-1 *
В этом случае нетрудно показать, что E[ST]<oo тогда и только
тогда, когда
С2= 2 k2P(0, fe) = P"(l)<oo;
k= -1
детали доказательства мы опускаем.
Рассмотренные примеры могут в одном отношении натолкнуть
на неверное заключение. Дело в том, что можно указать такое
случайное блуждание, для которого пг< оо, р=0, <т2= оо и тем
не менее E[ST] < оо. В качестве простейшего примера рассмот-
рим непрерывное справа случайное блуждание, т. е. такое слу-
чайное блуждание, для которого Р(0, 1)>0, Р(0, х) = О при
х> 1. Ясно, что Р(0, &), &=1, 0, —1, —2, ..., можно выбрать
так, что ц = 0 и в то же время <т2 = оо. Однако если ц = 0, то, как
известно, Т<оо. Далее случайная величина ST может прини-
мать лишь одно значение, равное единице. Следовательно,
E[ST]=1<оо, ХОТЯ О2 = оо.
Для описания действительного положения дел в принятом
интуитивном стиле нужно рассмотреть поведение случайного
блуждания в отношении как левой, так и правой полупрямых.
К сожалению, для этой цели потребуются новые обозначения.
Определение 1.
T*==min[n| 1 оо; S„<0],
Т'* = min [п | 1 п <1 оо; Sn^0],
Z = ST и Z = Sr*,
причем случайные величины Т и Z определяются только тогда,
когда Т и Т'* конечны с вероятностью единица.
Понятно, что введение этих обозначений мотивировано тем,
что случайная величина Т* играет роль Т, а Тх* — роль Т' для
обращенного случайного блуждания. Случайные величины Z и
Z введены главным образом для того, чтобы избежать громозд-
ких обозначений. Впервые (1952) эти случайные величины были
использованы Блекуэлом1) и позднее Феллером, удачно назвав-
шим их лестничными случайными величинами случайного блу-
ждания. «Лестницей» называется последовательность Zb
Zi+Z2, ..., Zi + ... + Zn, где случайные величины Z?- независимы
и имеют то же распределение, что и Z. Членами лестницы яв-
ляются первое положительное значение случайного, блуждания,
первое значение, превышающее это первое положительное зна-
9 См. Блекуэл [4] и Феллер [86] т. 1, стр. 303. [См. также Феллер [86]
т. 2, стр. 241, 457. — Ред.]
чение, и т. д. Точно так же Z определяет лестницу влево от на-
чала координат. В тех случаях, когда понятие лестницы действи-
тельно полезно, существенно знать, будет ли лестница иметь
«ступеньки», т. е. будут ли случайные величины Z и Z иметь ко-
нечные математические ожидания. Ответ на этот вопрос дает
Теорема 1. Для произвольного невырожденного одномерного
случайного блуждания (без предположения о том, что m < оо)
следующие два утверждения эквивалентны'.
ГА) Т<оо, Т'*<оо, E[Z]<ooiz Е[—Z]<oo;
и
(Б) ц = 0 и о2<оо.
Доказательство. Довольно просто показать, что из (А) сле-
дует (Б). После того как это будет сделано, мы вынуждены бу-
дем прервать изложение и доказать несколько лемм — предло-
жения 3, 4 и 5. Доказательством предложения 5 будет закон-
чено и доказательство теоремы.
Используя предложения 17.4 и 17.5 и обозначения опреде-
ления 1, при 0<^/<1 и действительном 0 имеем
1 — /ф (0) = {1 — Е [/V02]} {1 — Е [/T'*ei02] [.
Далее, как и в примере 1, разделим обе частей этого равенства
на 02 при 0¥=О и положим t Z 1 (возможность соответствующего
предельного перехода не вызывает сомнений). В силу предполо-
жений (А) и предложения 6.4
.. 1- Е[ег02] _Г71
11т---Z70—1 = Е И-
0->О ш
Аналогичный результат имеет место также и для Z. Поэтому
lim ‘"V- = Е [Z] Е [— Z] < do.
6->0 °
Следовательно,
₽((>,.) 2^2.
является ограниченной функцией 0. Таким образом, при каж-
дом Af>0
м м
У x2P(0, x) = 21im У Р (0, х) 1 ~ »°s х9 < 2Е [Z] Е [ - Z].
х^м в+°х~м
Отсюда следует, что случайное блуждание имеет конечную дис-
персию, и из предложения 6.4 мы заключаем, что р, = 0 и
а2 = 2Е [Z] Е [—Z] < оо.
Итак, доказано, что из (А) следует (Б).
Для доказательства обратного утверждения нам (впервые!)
потребуется одна из форм центральной предельной теоремы
(предложение 6.8).
Предложение 3. Предположим, что ц = 0 и о2<оо. Тогда
lim -4=-Е [Sn; S„>0]
д->оо у П
О
1^2 л *
оо
Доказательство. Из последующего доказательства будет вид-
но, что, не ограничивая общности, можно считать сг2=1. Поло-
жим
Мх)= 2
/=—оо
А4-"-
тогда утверждением центральной предельной теоремы является
сходимость Fn(x) к F (х) при каждом действительном х. При
каждом Л>0, #>0,
J xdFk(x) — | xdF(x) + J xdF(x)+ J xdFk(x).
0 0 A A
Последний интеграл меньше, чем
i r°° 1 Г S? r-l 1 Г Si 1 1
A
Задав произвольное е>0, выберем А столь большим, чтобы од-
новременно выполнялись неравенства
е
*3 ’
1
А
j xdF(x)<^.
А
(1)
Для выбранного нами числа А найдется номер N такой, что при
k>N
А
х dFk (х) — J х dF (х)
о
(2)
(Убедиться в справедливости последнего утверждения проще
всего, воспользовавшись интегрированием по частям. Предпола-
гая, что А не является точкой разрыва для Fh(x) ни при каком
k, получаем
А А
J х dFk (х) — J х dF (х) =
о о
А
= A [Fk (Л) - F (Л)] - j [Fk (х) - F (х)1 dx,
О
так что результат следует из теоремы ,о мажорированной сходи-
мости.) Объединяя (1) и (2), получаем, что при достаточно
большом k
Но
оо оо
J х dFk (х) — J х dF (х)
о о
<8.
(3)
J xt/F,(x) = ^LE[Sft; Sft>0],
оо
и это доказывает первую часть предложения 3. Вторая часть сво-
дится к доказательству того, что если последовательность сп
имеет предел при п->оо, то 4
оо
lim V1 — t V ^4=- = lim сп.
tj! 1 У П «->оо
П=1
Доказательство проводится применением рассуждений, типич-
ных для абелевых теорем. Воспользуемся тем фактом (который
следует из формулы Стирлинга), что
так что, если t стремится к единице, то
оо оо
Him ^/Т=7У(_'/г)(-0п= lim ся.
По ходу доказательства импликации (Б)зф(А) мы сможем,
заключить (см. стр. 239), что в условиях утверждения (Б) тео-
ремы 1 предел
оо
существует и конечен. Согласно центральной предельной тео-
реме, этот степенной ряд имеет вид
оо
где а» = о(у).
1
причем символ о означает, что kak-+0 при k-+<x>. К такому
ряду можно применить тауберову теорему [93], простейшую и
исторически первую (1897 г.) из многих форм обращения абе-
левой теоремы. Таким образом получается
Предложение 4.
оо оо
!™2t{4-pisi>o]}-2;4{4-hs»>oi}.
Теперь мы в состоянии закончить доказательство теоремы 1.
Следуя ранее избранному плану, докажем
Предложение 5. Если ц = 0, о2<оо, то
(a) 0< E[Z] =-р=г е“< оо,
(б) 0<E[-Z] = -^e-“<oo,
где а — сумма сходящегося1) ряда
оо
(в) «=S4{4 - p[sft>o]}-
I
Доказательство. Прежде всего ясно, что сформулированное
утверждение дает несколько больше, чем это необходимо для
доказательства теоремы 1. (Если выполняется (Б), то т < оо и
р —О, так что Т<оо и Т'*<оо по теореме 17.1; далее_о2<оо, так
что предложение 5 не только показывает, что Z и Z имеют ко-
нечные первые моменты, но и дает их. точное значение. Следова-
тельно, доказательством предложения-5 завершается доказа-
тельство теоремы Ц ’
Отметим, что достаточно доказать лишь утверждения (а) и
(в) в предложении 5. Очевидно, что доказательство (а) и (в)
служит одновременно и доказательством (а) и (в) для обращен-
ного случайного блуждания, для которого в качестве Z высту-
пает случайная величина — ST*. Следовательно, Е[ — St*] <
и так как 0^ — Z^ — ST*, то Е[—Z]<oo. Но в таком случае
можно применить ранее доказанную первую часть теоремы I, а
это приводит к заключению, что
о2 = 2Е [Z] Е [—Z].
Последнее соотношение в сочетании с (а) и (в) показывает,
что (б) имеет место.
Вне зависимости от того, конечно E[Z] или нет, представим
его в следующем виде:
Е [Z] = lim S Е [Sft; Т = kJ =
&=1
= lim S{E[Sft; T>6-l]-E[Sft; Т>£]} =
П->ОО k—1
= — lim E[S„; T>ra]2). (1)
__________ П-»оо
!) Мы докажем лишь, что ряд (в) сходится. Однако Розен [73], исполь-
зовав довольно тонкие методы гармонического анализа, показал, что этот
ряд сходится абсолютно.
2) Последнее равенство следует из того, что
lim У {Е 1SA; T>k- 1]- Е [Sft; T>fe]} =
П->оо
{П
ESt + 2 Е ISs-Sft-i; T>fe-1]-E [S„, T > n],
и случайная величина S& — и событие Т>&—1 независимы.— Прим,
ред.
Используя утверждение (в) предложения 17.5, находим, что
при 0^/<1, г>1. Чтобы вычислить первый момент, продиффе-
ренцируем это соотношение по г, а затем положим г\1. Это
дает
s4p[s *ft<°]
T>n] = 2j^E[Sft; Sft<0]e 1 . (2)
п—0 1
Применяя к (1) абелеву теорему [93], имеем
E[Z]=-lim(l-/) 2/"E[S„; Т>п]<оо.
t /I 1 п=0
Следовательно, умножая (2) на (1—t) и полагая затем //Ч>
получаем
E[Z] = limF(/)G(0<oo, (3)
t/i 1
где
________________________
1
Из предложения 3 известно, что
lim 0(0 = -^=-. (4)
t^i У 2
(Заметим, что в предложении 3 рассматривается E[Sv, S^X)],
однако это несущественно; достаточно рассмотреть обращенное
случайное блуждание!) Отметим далее, что при
00 ' U
F(O = e 1
В силу (3) и (4)
E[Z]==^lim^(0<°o.
1 J /2 1 7
(5)
Теперь могут представиться две возможности. Или предел
limF(/) в (5) конечен и тогда, применяя предложение 4, прихо-
дим к заключению, что
оо
так что утверждения (а) и (в) предложения 5 доказаны. Или
же (это единственная из оставшихся возможностей)
limF(/) = + оо. (6)
. / л 1
Заметим, что
I- P[Sft>0] = P[Sft = 0] -{4 - P[Sft<0]}.
Поскольку, как это было отмечено при доказательстве тео-
ремы 17.1,
оо
2|P[Sft = 0]<oo,
из (6) следует, что
ОО '
p™S4R-pis*<0i}=-°o- <7>
Повторим приведенное доказательство вплоть до соотношения
(5) применительно к обращенному случайному блужданию.
Первая его положительная сумма совпадает (более точно, имеет
одно и то же распределение) с — ST* для исходного случайного
блуждания. Но тогда (7) неизбежно ведет к заключению, что
Е[ — ST*| = 0. Однако это невозможно, так как — ST* по опреде-
лению является случайной величиной, принимающей лишь це-
лые положительные значения. Таким образом, соотношение (6)
невозможно, а потому (а) и (в) и, следовательно, предложение
5 доказаны и тем самым установлена справедливость теоремы 1.
Как было вскользь отмечено выше, теорема 1, используемая
в сочетании с теоремой восстановления, является довольно мощ-
ным инструментом анализа. Для целей следующего параграфа
нам понадобится
Определение 2. с(1) = с = е 1 , и при |z|<l
U(z) — —=- е1
У с
УИ-^' •
£/(z)= 2«(«)Л V(z) = 2 v(n)zn.
п—О п-0
В качестве оправдания введенного определения следует за-
метить, что без каких бы то ни было предположений относи-
тельно случайного блуждания функции f7(z) и V(z) аналитичны
в области |z|< 1. Для этого достаточно установить, что ряд,
стоящий в показателе экспоненты U(z), представляет аналити-
ческую функцию; доказательство для V(z) проводится аналог
гично. Ясно, что
оо оо оо
2yE[z-s»; Sft<0]=22nS4P[S* =-«!’
1 n=l k~]
а в соответствии с предложением 7.6 коэффициенты полученного
ряда равномерно ограничены по п, ибо при некотором А>0
оо П
£4р[8*=-п]<д2Х/2-
/г=1 fe==l
Соответствие между степенными рядами U(z) и V(z) и ана-
литическими функциями, рассматриваемыми в § 17, устанавли-
вает
Предложение 6.
С/(г) = lim{/с(0 г-1)} |г|<1,
V (г) = Нт{]/с(0 fdt; z)} |г|<1.
«Л!
Справедливость этого утверждения немедленно следует из
определений 2 и 17.3.
I
Установим теперь связь функций t/(z) и V(z) с лестничными
случайными величинами, при этом,_разумеется, мы будем рас-
сматривать Z, лишь когда Т<оо, и Z толькологда, когда Т'*<оо.
Предложение 7. Если Т<оо, то
<а>
если же Т'*<оо, то
(б) = ----7-=-, ш<1.
. 1-е [г]
В частности, если |ы>0, то имеет место (а); если р<0, то вы-
полняется (б); если же ц = 0, то справедливы как (а), так и (б).
Доказательство. Утверждение (а) получается простым при-
менением равенства (а) предложения 17.5 к предложению 6;
применение же равенства (б) предложений 17.5 к обращенному
случайному блужданию приводит к (б). Наконец, критерий в
терминах среднего ц немедленно следует из теоремы 17.1 пре-
дыдущего параграфа.
Теперь достаточно применить теорему восстановления (пред-
ложение 9.3), чтобы получить
Предложение' 8. Предположим, что случайное блуждание
апериодическое. Если Т < оо и E[Z] < оо, го
(a) lim v (ri) = 1---= 1/"— — —,
«-><» Ус Е[Z] V с о
если же Т'* < оо и Е[—Z] < оо, го
(б) limw(n) =——— = ]/~2с —.
n->oo Е[-Z] а
В частности, если ц = 0 и о2<оо, то (а) и (б) одновременно
имеют место и
2
lim и (ri)* lim y(n) = —•
n->oo n->oo °
Доказательство. Полезно рассмотреть случайное блуждание
Уп = ZT + Z2 4- ... + Zn, у0 = О,
где случайные величины Zb Z2, ... независимы и имеют то же
распределение, что и лестничная случайная величина Z. Если
т
16 Зак. 1375
это случайное блуждание апериодическое и если E[Z]<oo, то,
согласно теореме восстановления,
оо
Д™ Spoty» = xl = TTzT-
п=0
А это и есть первое из равенств (а), ибо из предложения 7 сле-
дует, что
п=0
Наконец; второе равенство в (а) следует из предложения 5.
Остается лишь проверить, что случайное блуждание уп аперио-
дично, если таково исходное случайное блуждание. Обратное
утверждение очевидно, так как множество возможных значений
Уп является подмножеством группы R возможных значений ис-
ходного случайного блуждания. Нужное нам утверждение полу-
чается почти столь же просто. Действительно, оказывается, что
+1 является возможным значением случайного блуждания уп,
т. е. P[Z=l]>0. Это следует из того, что существует такая точка
х^О, что Р(х, 1)>0. Для этой точки существует такая после-
довательность
< 0, х2 < 0, ..., Хт-г <0, хт = X,
что Р(0, Xi)P(xb х2).. ,P(xm-i, х)=р>0. Но тогда P[Z=1]>
> рР(х, 1)> 0. Эту конструкцию нельзя осуществить лишь тогда,
когда Р(0, х) = 0 при всех х-<0, но в этой ситуации случайное
блуждание уп в точности совпадает с исходным случайным блу-
жданием.
Таким образом, справедливость (а) доказана; доказатель-
ство же (б) не содержит ничего нового. Критерий в терминах
р, и о2 непосредственно следует из основной теоремы (теорема 1)
настоящего параграфа.
Пример 3. Специального рассмотрения заслуживает симмет-
ричное случайное блуждание. Из определения 2 ясно, что в этом
случае
U (z) = V (z), и (n) = v (п).
Следовательно, значения пределов в предложении 8, если они
существуют, должны совпадать. Это утверждение, хотя и не
очевидное с первого взгляда, справедливо, ибо, согласно опре-
делению а в предложении 5,
оо
_ а 2т{-1р[s*=°i4--р,
Vc е = е 1 =1.
Рассмотрим простейший из возможных случаев — симметричное
простое случайное^луждание. В этом случае результат предло-
жения 8 точен в том смысле, что (см. пример 17.1)
t/(z)=V(z) = -^, w(n) = o(n) = lX = y-f.
Чтобы пояснить значение предложения 8, заглянем несколько
вперед. В предложении 19.3 будет доказано, что функцию Грина
gB(x,y) левой полупрямой В=[х|х-С—1] можно представить
в виде
min(x, у)
8в(х,у)= 3 u(x — n)v(y — ii) (1)
п=0
при х и у из R — В. Как будет показано, это представление спра-
ведливо для произвольного одномерного случайного блуждания,
однако в тех случаях, когда применимо предложение 8, можно
рассчитывать на получение полезных асимптотических оценок.
Примером тому могут служить результаты гл. III, где изуча-
лась функция Грина §в(х, у) в случае, когда множество В со-
стоит из одной или конечного числа точек. В этом случае была
доказана замечательная формула
ё{о}(х, у) = а (х) + а( — у) — а(х — у), (2)
а утверждение
lim [а(х + у)~ а(х)] = 0 (3)
I X | -> оо
являлось аналогом предложения 8, и, применяя (3) к (2), мы
получали много интересных результатов.
§ 19. Функция Грина и задача о разорении игрока
Изложенные выше методы позволяют изучить максимум
последовательности О=хо, хь х2, ., хп, или, иначе говоря,
max[S0, Sj, ..., Sn], где So=O. Соответствующие результаты,
представляющие и независимый вероятностный интерес, можно
применить, например, к решению упомянутой в названии на-
стоящего параграфа задачи о разорении игрока. Совершенно
различные на вид задачи, возникающие в приложениях теории
вероятностей, можно сформулировать в терминах случайной
величны Mn = max[0, Si, ..., Sn]. Более того, изучение Мп дает
наиболее простой и естественный путь к получению упомянутого
в конце предыдущего параграфа соотношения (I) для функции
Грина полупрямой.
Определение 1.
max Sb n>0,
Tn = min [61 0 k n, SA = MJ, n > 0.
Случайная величина Tn указывает тот момент времени, когда
случайное блуждание впервые достигает своего максимального
за первые п шагов значения Мп. Эта случайная величина играет
вспомогательную роль при выводе характеристической функции
Мп. Один результат относительно Тп, представляющий незави-
симый интерес, приведен в задаче 7 этой главы.
При каждом n>0, |z| 1, имеем следующее раз-
ложение:
Е И^М«-!Ч = 2 Е [sV»"8»; Т„ = =
/г-0
= X Е |zs*ws*-s«; Т„ = k] =
k=Q
= JjE[2s^s^s"; S0<Sb S]<Sft, S^S*,
Sfc+i S^+2 Sb ..., Srt < S J.
Последнее математическое ожидание можно упростить, по-
скольку ясно, что случайная величина zSk и событие
[S0<S^, < Sfc, ..., < SJ
не зависят от случайной величины wsk~sn и события
Sfc+2^Sft, ..., Srt<SJ.
Таким образом, получаем произведение математических ожида-
ний, и если во втором из4 них переобозначить Sfe+i — Sft==
= Sb Sfc+2 — Sfe = $2 и т. д., то получим
Е [гм^м»-8я] = 2 Е [zs*; So< Sb ..., S*_, < Sj •
/ /г-0
•E[^-s-*; Sn_ft<0] =
= 2e[zs‘; T'*>fe] E[ay’s»-*; T>n-Jfc].
k=0
Здесь на последнем шаге мы воспользовались определениями
17.1 и 18.1 времен выхода Т и Т'* соответственно.
$
Представление математического ожидания . в виде свертки,
полученное нами, естественно приводит к мысли воспользоваться
производящими функциями. Действительно, при 0-</< 1 будем
иметь
2 /ЯЕ - 2 tnE [A T'*>n] • 2 МшА Т>4
О п=0 п—0
Остается лишь сослаться на предложение 17.5 и будет доказано
Предложение 1. При 0<С/<1,
2 tnE [AwM«~s«] = [с (/)/,(/; a»"1)]-1.
В качестве иллюстрации применения этого предложения по-
ложим в полученном соотношении w=l и выведем некоторые
простые результаты, касающиеся Мп и предельной случайной
величины М, если таковая существует.
.Определение 2. Говорят, что случайная величина M = maxSft.
fe>0
существует, если с вероятностью единица lim Мп = М < оо.
П->оо
Поскольку Mn-<Mn+i, критерий существования М довольно
прост. Совершенно очевидно, что монотонная последовательность
измеримых функций сходится почти всюду тогда и только тогда,,
когда она сходится по распределению, так что условие опреде-
ления 2 будет выполняться тогда и только тогда, когда вероят-
ности Р[МП~£] при /1->оо имеют предел и сумма этих пределов
равна единице. С другой стороны,, естественно, что сходимость
характеристических функций случайных величин к некоторой
характеристической функции также является необходимым и до-
статочным условием; Учитывая все это, нетрудно доказать
Предложение 2. Случайная величина М существует тогда и
только тогда, когда
оо
(a) 21 P[Sft>0]<oo,
I 1
и если (а) имеет место, то
(б) Е[гм] = е 1 , |z|<l.
Доказательство. Согласно теореме 17.1, Т = оо с положитель-
ной вероятностью тогда и только тогда, когда выполняется (а).
Однако интуитивно ясно, что Т = оо тогда и только тогда, когда.
существует М; можно проверить, что если Т = оо с положитель-
ной вероятностью, то limSrt= — оо,так что с вероятностью еди-
П->оо
ница М<оо, а в противном случае с вероятностью единица
lim Sn = + оо. Мы опускаем детали, так как предпочитаем дать
иное, чисто аналитическое доказательство предложения 2, опи-
рающееся на замечания, предшествующие его формулировке.
Прежде всего, воспользовавшись предложением 1 и соответ-
ствующими определениями, убеждаемся, что при 0-4Л<1 и
°° • е s6 >°]
(1-02«пЕ[Л]=е * . (1)
п-0
Предположим теперь, что М существует. Тогда существует пре-
дел
lim Е [zM«] = Е И
«>оо
и по абелевой теореме
Е [zM] = lim (1 - 0 2 ГЕ [зм«]. (2)
t /И n=o
Если в (1) положить z=0 и затем //Ч,то из (1) и (2) получим
~ tk
“2—pisfe>0J
. P[M = 0] = lime 1 >0. (3)
//fl
Это показывает, во-первых, что выполняется (а) и, во-вторых,
что в соотношении (1) при произвольном |z| 1 можно поло-
жить t1 и тем самым убедиться в справедливости (б). (Мы
не совсем строги, считая доказанным неравенство в (3). Однако
-легко видеть, что из существования М следует, что Р[М = 0]>0.
Это равносильно установлению того, что М не может существо-
вать, если время выхода Т является конечным с вероятностью
единица.)
Предположим, наконец, что имеет место (а). Тогда устрем*
ляя в (1) t снизу к единице, имеем
» -2TEl‘-2Sft;S*>0]
lim(l-0 S ГЕ zM« =е 1
//fl п=0
В силу монотонности последовательности Мп отсюда следует,
что последовательность Е [гМ/г] имеет предел, который задается
формулой (б). Поэтому, согласно замечаниям, непосредственно
предшествующим формулировке предложения 2, случайная вели-
чина М существует (т. е. она конечна с вероятностью единица).
Пример 1. Рассмотрим непрерывное слева случайное блуж-
дание (пример 17.2). Необходимым и достаточным условием су-
ществования М служит отрицательность среднего ц. Соотноше-
ния (2), (3) и (4) примера 17.2 задают г), fe(t; z) и c(Z).
Применяя предложение 1, имеем
2 П [Z.] = [с(/) Л (1; г) f.1)Г -
где
P(z) = 2 Р(0, п-l)z".
п=0
Воспользуемся предложением 2, предполагая при этом, что
|.i < 0. Имеем
Е[zM] = lim /"L • .
1 J <л, l-r(0 z-tP(z)
В § 17 мы видели, что если р.<0, то г(1) = 1 и
1-/ . 1-Р(г)
11Ш-;---77Г = 1 — lim —;-г2- = — II,
<Л1 1“Г(0 гЛ1
так что получаем
и<«.
Еще одно обстоятельство представляет очевидный интерес.
Для нахождения первого момента величины М продифференци*
руем ее производящую функцию:
Е [М]----ц lim 4-( г~\ J.
г->1 dz \г~Р (z) /
Поскольку Р'(1)=|л+1, математическое ожидание
Е[М]=--^Р"(1)<оо
будет конечным или бесконечным в зависимости от того, будет-
ли конечным или бесконечным
оо
Р"(1)=2п(и-1)Р(0, п-1).
п=0
Таким образом, в рассматриваемом случае Е[М]<оо тогда и
только тогда, когда случайное блуждание обладает конечным
вторым моментом. На самом деле можно показать1), что это яв-
ление общего характера, т. е.
для произвольного одномерного случайного блуждания с
т<оо и р<0
оо
E[Mfe] < оо тогда и только тогда, когда = 2 nfe+1P(0, п)< оо.
п=0
Рассмотрим, наконец, функцию Грина полупрямой и некото-
рые простейшие ее применения.
Определение 3. Пусть В = [х|—оо<х<—1], а функция gB(x,y)
задана в определении 10.1. Тогда g(x, y)—gB(x, У) назовем функ-
цией Грина полупрямой.
Замечание. Согласно определению 10.1, g(x, у) = 0, если либо
х, либо у, либо одновременно х и у принадлежат В; в то же
время в соответствии с пунктом (в) предложения 10.1 g(x, у)<<х>
при всех хиг/, если случайное блуждание апериодическое. Од-
нако специальная природа рассматриваемого множества В по-
зволяет высказать и более сильное утверждение. Функция Грина
g(x, у) конечна при всех х и у, вне зависимости от того, яв-
ляется случайное блуждание периодическим, или нет. В самом
целе, если случайное блуждание невозвратно, то g(x, у)
G(x, у) <оо. Если же оно возвратно, то
gB<x> y)<gm<x> У)
для произвольной точки b из В. Но даже в периодическом слу-
чае, если только Р(0, 0)<1, всегда можно найти такую точку b
из В, что случайное блуждание, начинающееся в х0 = х, будет
иметь положительную вероятность попасть в эту точку ранее,
чем в точку у. Легко видеть, что g{b}(x, у) <оо для так выбранной
точки Ь.
Предложение 3. Для комплексных а,Ь, |а|<1, |6|<1,
оо оо
(1 - ab) 2 2 axbyg (х, у)= U (а) V (Ь),
х=0 г/=0
или
min (х, у}
' g(x, у) = 2 и (х - и) V (у - п),
^2=0
1) См. Кифер и Вольфовиц [46].
где ряды Ufa), Vfb) и их коэффициенты и(п) и vfri) задаются
определением 18.2.
Доказательство. В наших выкладках мы будем обозначать ,
через Sn последовательные частные суммы и через Мп их мак-
симум. Необходимо будет рассмотреть и обращенное случайное
блуждание, так что через S„ и М„ будут обозначаться частные
суммы и их максимум для случайного блуждания с переходной
функцией Р* (х, у) =Р(у, х). Имеем
(1 - ab) 2 2 axbyg (х, у) =
х==0 у=0
оо оо оо
= (!-«&) 2 2 2 axbyQn (х, у) =
п=0 х=0 £/=0
= (1 — ab) 2 2'2 axbyP [х + Sn = у, х + S,0
п=0 х==0 у~0
при / = 0, 1..м] =
= (1 —а&)2 2 2 ахЬуР [ S* = х — у, S*<x
п=0 х=0 0=0 1 '
при j — 0, 1, ..., nJ —
= (1-«6)2 2 2а^Р[М*<х, S‘=x-i/] =
n=0 х=0 у~0 L п п J
= 222 axbyp [м; = х; м* - S* = d =
х=0 z/=0
ОО Г ф « #1
= 2j Е[а nb п п].
п=0
Если бы не было «звездочек», то в силу предложения I мы
бы имели
оо оо
(1-а&)2 HaWgfx, у) = [с(1)Л(1; a)fe(l; Zc1)]’1.
х=0 z/=0
Однако «звездочки» присутствуют. Согласно определению функ-
ций fi и fe, это просто приводит к перестановке а и Ь. Другая
трудность, связанная с существованием предельных значений
функций fi и fe при if 1, обсуждалась ранее, непосредственно
после определения 18.2., Используя это определение и следующее
за ним предложение 18.6, имеем
axb«g(x, у) =
» х=0 z/=0
= к(1)Л(1; b)fe(i; ОГ' =
= t/(a)V(&) =
оо оо min (х, у)
= (1— ab)^j ^axby 2 и(х — n)v(y — п).
, х=0 у=0 п=0
Доказательство закончено.
Напомним1)» что распределение точки достижения Нв(хуу)
полупрямой В задается соотношением
Нв(х, #)= 2 g(x, t)Р(/, у), x^R — В'У^В.
/=0
Предложение 3 вместе с предложением 18.8 позволяет найти
предел Нв(х,у) при х-> +оо. Однако при этом необходимо пред-
полагать, что случайное блуждание является апериодическим.
Предложение 4. Для апериодического случайного блуждания
со средним 0 и конечной дисперсией о2 существуют предельные
значения для распределения точки достижения полупрямой при
стремлении исходной точки блуждания к бесконечности. Если
В=[х[—оо<х:<—1], то
оо
lim Нв(х, y) = V%c [о(0)+у(1)+ ...+v(f}]P(t, у), у<=В.
Доказательство. Так как и(х) и и(х) стремятся к конечным
пределам при х->-+оо (согласно предложению 18.8),то£(х,у)^,
£ Л[гшп (х, у) +1] при некотором Л>0. Случайное блуждание
имеет конечный второй момент, так что, используя теорему о
мажорированной сходимости, можно заключить, что
оо оо
lim Нв (х, у) = lim 2 g (х, t) Р (t, у) = 2 Ит g (х, t) Р (t, у),
Л-> + ©0 Х->4-оо/е=0 /=0х-> + со
и потому применение предложения 18.8 и предложения 3 приво-
дит к предложению 4.
Любопытно отметить, что предложение 4 дает не самое про»
стое представление предельных значений распределения точки
достижения. Мы снова встретимся с этой задачей в гл. VI, где с
’) См. соотношения (в) предложения ЮЛ.Прим. ред.
помощью гораздо более прямого подхода (также основанного на
теореме восстановления) получим формулу
На (~х' = TTzT р
здесь А — полупрямая Л=[х|х> 1] и Z — лестничная случайная
величина (определение 18.1). Оказывается, что этот результат
справедлив также и в том случае, когда E[Z]=-+oo, если правую
часть этого равенства интерпретировать как нуль.
Таким образом, предложение 4 представляет собой неполный
аналог теоремы 14.1 гл. III; полная аналогия будет получена
после доказательства предложения 24.7 гл. VI. Хотя мы не соби-
раемся детально развивать теорию потенциала для полупрямых,
а возможность такого развития очевидна, мы сделаем лишь.один,
но решающий шаг в этом направлении. Если В состоит из одной
точки (нацала координат), то в предложении 13.3 было уста-
новлено уравнение Пуассона
5 Р(*, У) а(у) = а (х), хе - В.
y&R-B
Было также найдено сопряженное уравнение1) (допускающее
очевидное толкование)
2 а(—у) Р(у, х) = а(—х), x^R — B.
y^R~B
Здесь множество В совпадало с началом координат. В 'слу-
чае полупрямой (скажем, В = \х\х^—1) эти уравнения суть
сю
(а) 2Р(х, у)f{y) = f(x), х>0,
t/=o
(б) 3 g(y)P(y> X) = g(x), х>0.
t/=o
В несколько ином контексте соотношения (а) и (б) известны
под названием уравнений Винера — Хопфа2); непрерывным ана-
логом этих соотношений является сингулярное интегральное
уравнение вида
оо
f Р{х, y)f (y)dy = f (х), х>0,
О
!) На самом деле о сопряженном уравнении в предложении 13.3 ничего
не говорилось. — Прим. ред.
2) См. [68], где проведено первое строгое исследование этих уравнений;
более полное изложение этой важной ветви гармонического анализа можно
найти в статьях Крейна [52] и Уидома [84].
где
Р U, у) = р (у - х),
со
J \p(x)\dx<oo.
— со
В предложении 5 мы приведем решения уравнений (а) и (б).
Позднее, в примере 27.3 гл. VI, методы теории потенциала по-
зволят нам изучить вопрос единственности решений этих уравне-
ний. Будет показано, что для апериодического возвратного слу-
чайного блуждания решения, приводимые в предложении 5> яв-
ляются единственными неотрицательными решениями.
” Предложение 5. Для произвольного одномерного возвратного
случайного блуждания функция
f(x) = u(0) + u(l)+ ... + w(x), х^*0,
является решением уравнения Винера — Хопфа (а), а функция
g(x) = v(0)4- v(l) + ... + у(х), xJ>0,
является решением уравнения (б).
Доказательство. В действительности эта теорема справедли-
ва тогда и только тогда, когда с вероятностью единица Т<оо и
Т*<оо одновременно (см. задачу 11 гл. VI). Именно для выпол-
нения этих свойств мы и предполагаем возвратность случай-
ного блуждания1). Поскольку Т* < оо, левая полупрямая
В = [х|х><— 1] достижима с вероятностью единица и
— 1 со
2 2g(o, t)p(t, y)==i.
Замечая, что g(0, t) =u(0)u(/) и и(0) =v(0), получаем
— 1 оо
£/“ —оо /==0
у).
(1)
Для дальнейшего удобно выбрать произвольное х>0и перепи-
сать соотношение (1) в виде
оо —1 оо оо
77oj- = S«(O S p(t-y + x> *) = £»(0 S p<k'x^
/—о у— — °° /=0 k—t+x+1
Ч На самом деле доказывается, что ести Т<оо с вероятностью еди-
ница, то f(x) является решением уравнения (а), а если Т*<оо, то g(x)
является решением уравнения (б). — Прим. ред.
Теперь мы можем доказать утверждение (б). Из определе-
ния g(x. у) следует, что !)
g (х, у) = 2 g (х, t) Р (I, у) + 6 (х, у), х>0, г/>0. (3)
Полагая в (3) х = 0, имеем
g (0, у) = и (0) v (у) = S и (0) v (0 Р (/, у) + б (0, у).
t=o
Просуммировав полученные равенства по у от 0 до х, получим
ОО X
v(0)+ ... +v(x)^'^iv(t)^iP(t, у) + -~^ v
f=0 у—0
oo t + x
(4)
f=0 k-t
Подставим теперь в (4) выражение для [и (О)]-1, полученное в (2):
о(0)+ ... +v(x)= 2 V(O| 2*P(k, х)+ 2 P(k, х) .
м 1&==/ &==f+x+i
Тем самым доказано утверждение (б) предложения 5, поскольку
g (х) = v (0) + ... + v (х) = 2 (0 2 Р (&, *) ==
/=о k=t
= iiv(t)P(k, x)=^g(k)P(k, х), x>0.
fe=0 t—Q fe=0
Доказательство утверждения (а) можно опустить, если за-
метить, что уравнение (а) играет роль уравнения (б) для обра-
щенного случайного блуждания. Поэтому применимо доказатель-
ство, приведенное выше, так как возвратность случайного блу-
ждания сохраняется и при его обращении.
Пример 2. Рассмотрим бернуллиевское случайное блужда-
ние. для которого Р(0, 1) =р<Р(0,—1)=д. Вычисление g(x, у)
производится наиболее просто, если заметить, что g(x, 0) =
= w(x)t>(0)—математическое ожидание числа попаданий слу-
чайного блуждания, исходящего из х, в точку 0 за то время,
пока оно не покинет полупрямую х>0. Поскольку при этом
]) Это соотношение следует из рекуррентной формулы для Qn(x,y),
приведенной непосредственно после определения 10.1. — Прим. ред.
случайное блуждание обязательно пройдет через 0, это матема-
тическое ожидание не зависит от х. Таким образом, функция
и(х) постоянна. (Между прочим, те же самые рассуждения по-
казывают, что функция и(х) постоянна для произвольного не-
прерывного слева случайного блуждания со средним ц^О.)
С помощью немного’более сложных соображений непрерывности
можно определить также и функцию v(x), но ради разнообра-
зия для нахождения v(x) мы воспользуемся предложением 51),
Уравнение (б) в данном случае имеет вид
<7g(l) = gr(O), pg(n-\) + qg(n+i) = g(n), п>1.
Очевидно, существует единственное с точностью до постоянного
множителя g(0) решение
п>о,. _
так что, согласно предложению 5, o(0)=g(0) и при 1
v(n) = g(n)-g(n- 1) = »(0)(j) •
Пример 3. В качестве любопытного применения результатов
предыдущего примера рассмотрим следующие случайные вели-
чины:
(а) максимальное значение W, которое принимает бернул-
лиевское случайное блуждание с p<q за время до первого по-
падания в множество (—оо, —1], т. е.
W ~ max Srt;
0<п<Т*
(б) максимальное значение W', которое принимает то же слу-
чайное блуждание за время до первого возвращения в 0, или,
что то же,, до первого попадания в множество (—оо, 0], иначе
говоря,
W' = max Srt.
0<n<T'*
С помощью простых вычислений получаем
оо оо
е [W-] - р + р е [W] - р 2 - р S
п—0 п=0
оо оо
=(? - р) S =(<? -р) Sd (ff •
_________ п=1 и — 1
9 На самом деле предложение 5 неприменимо, ибо рассматриваемое блу-
ждание невозвратно; однако можно воспользоваться сноской, приведенной
на стр. 252. — Прим, ред.
Здесь d(l) = l, d(2) = d(3) =2, d(4)=3, короче, d(n) — число де-
лителей целого п.
Перейдем теперь к изучению класса случайных блужданий,
которые ведут себя примерно так же, как и случайное бернул-
лиевское блуждание с p<q, рассмотренное в предыдущих приме-
рах. Сформулируем те условия, при которых функция и(х) яв-
ляется примерно постоянной, а функция v(x) ведет себя подоб-
но геометрической прогрессии, (Разумеется, следует иметь в
виду аналогичный класс случайных блужданий с ц>0, для ко-
торых результаты, подобные излагаемым ниже, получаются об-
ращением процесса.)
Мы исходим из двух условий. Первое из них — условие апе-
риодичности, играющее существенную роль для применения тео-
ремы восстановления. Второе — это ограничение на порядок
убывания Р(0, х) при больших |х |. Последнее будет выполнять-
ся, в частности, для ограниченных случайных блужданий, т. е.
когда Р(0, х)=0 при достаточно больших |х|. Эти ограничения
на порядок убывания (условия (б) и (в) ниже), тоже суще-
ственны. Если они не выполняются, то можно показать, что при
х -> + оо функция v (х) будет по-прежнему стремиться к нулю,
однако не экспоненциально.
Итак, рассмотрим одномерное случайное блуждание, удовле-
творяющее следующим условиям:
(а) случайное блуждание апериодическое и т<оо, ц<0,
(б) при некотором действительном г>0
5 ГХР(О, х)=1,
хм
(в) для этого г
0< S xrxP(0, x) = |x<r) < оо.
х е R
Предложение 6. Для случайного блуждания, удовлетворяю-
щего условиям (а), (б) и (в), число г определяется однозначно и
г > 1. Существуют две положительные постоянные k\ и k2i такие,
что
lim ^(х) = ^!, lim v(x)rx = k2,
Х->4-оо х~>Ч-оо
Доказательство. Прежде всего заметим, что предельное пове-
дение функции и(х) не зависит от условий (б) и (в). Действи-
тельно, достаточно вспомнить предложение 18.8, чтобы убедить-
ся, что
lim и (х) =
Х->4-оо
у С
E[-Z]
= kr >0,
если Е[—Z]<oo. Но, согласно предложению 18.2, для случайного
блуждания с конечным положительным средним E[Z]<oo, и по-
этому для случайного блуждания, удовлетворяющего условию
(а), Е[—Z]<oo.
Доказательство второго утверждения существенно исполь-
зует условия (б) и (в). Рассмотрим функцию
Нр)= 2^(0,»).
П=“ — оо
Из условия (б) следует, что функция f(p) конечна при всех р,
принадлежащих замкнутому интервалу 1Г с концевыми точка-
ми 1 и г (будет, однако, доказано, что г>1, так что 7г=[1,г]).
Далее
Г(р)в 21 прп-1Р(0, п) при ре/г,
Д—— ОО
и
f" (р) = 5 П (п - 1) р«-2Р (0, п) > О
П==—оо
для всех внутренних точек р интервала 1Г. Последняя сумма по-
ложительна, поскольку Р(0,п)>0 при некотором п<0 (в про-
тивном случае не выполняется условие (а)). Следовательно,
f (р)—выпуклая внутри 1Г функция, поэтому из условия (в),
утверждающего, что /'(г) >0, следует, что 1<г. Наконец, что
касается единственности г, то если существуют два значения п
и г2, удовлетворяющие условиям (б) и (в), и Кп-^г,, то f(p) —
строго выпуклая на функция. Но в силу (a) f(l)=f(ri) =
=f(r2), откуда п=г2.
Дальнейшее доказательство основывается на довольно изящ-
ном приеме. Рассмотрим новое вспомогательное случайное блу-
ждание'). Пусть
Pfr)(x, у) — Р(х, у)гу~х, х, y<=R.
Из условия (б) следует, что Р<г>— переходная функция аперио-
дического случайного блуждания, поскольку
2 Р(г)(х, у)=1, хер,
y&R
*) Иногда говорят, что, рассматривается сопряженное блуждание, полу*
чающееся преобразованием Крамера из исходного. Феллер ([86], т. 2,
стр. 625) указывает, что впервые такого рода преобразование применил
Эсшер (1932 г.), но только после работ Крамера им стали пользоваться си-
стематически.
и, очевидно, что функция Р(г) неотрицательна и является разно-
стным ядром. Кроме того, свойство апериодичности случайного
блуждания, определяемого переходной функцией Р<г\ также со-
храняется. Согласно (в), случайное блуждание, соответствую-
щее переходной функции Р<г\ имеет положительное среднее ц(г).
Пусть теперь g(r>(x, у) — функция Грина полупрямой В —
=[х|х-С—1] для Р<г>. Тогда естественно, что
/ min (х, у)
g(r) (х, у)= 2 «(г) (х - п) о(г) (у - п),
п=0
где функции u<r)(x) и о<г)(х) определяются обычным образом в
терминах Р<г>.
Какова связь (если таковая существует) между функциями
и g, и<г> и и, и о? Оказывается, что эта связь чрезвычайно
проста. Прежде всего
g(r) (х, y) = g(x, y)r«~x, х, y<=R. (1)
Отметим, что тождество (1) формально по своей природе и, не-
видимому, не имеет какой-либо вероятностной интерпретации.
Поэтому для доказательства (1) достаточно обратиться к фор-
мальному определению (определение 10.1) функции g. Исполь-
зуя очевидные обозначения, запишем
g (х, у) = 2 (х, у), g^ (х, у) = S (х, у).
п—0 и=0
При х и у, принадлежащих R— В (в противном случае нечего
доказывать), из соотношений
Qir) (х, у} = Р (х, у) гу~х
И
Qn+i(х, у)= 3 Qi>(х, 0(t, у)
вытекает, что
Qnr)(x, у) = Q„(x, y)ry~xt
откуда следует (1).
Отправляясь от (1), имеем
ы<г) (х) о(г) (0) = g(r) (х, 0) = r~*g (х, 0) = r~xu (х) v (0), (2)
и(г) (0) о(г) (у) = £(г) (0, у) == g (0, у) гу = и (0) v (у) ГУ. (3)
Мы воспользуемся лишь соотношением (3). Случайное блужда-
ние, определяемое переходной функцией Р<г>, апериодическое
17 Зак. 1375
с положительным средним. Обозначим его лестничную случай*
ную величину через Z<r>. Так как из предложения 18.2 известно,
что E[Z<r)]< оо, то в силу предложения 18.8
lim v(r) (у) = —— = k > О,
где, через с(г) обозначено с(1)=с для случайного блуждания,
определяемого Р^. Наконец, из соотношения (3) следует, что
lim о(^)гУ = ^-7^-* = Л2>0,
«++°о и'У>
и предложение 6 доказано.
Пример 4. Переформулируем предложение 6 в том виде, в
котором его впервые рассматривал Текклинд [82] применительно
к задаче о разорении игрока. Предположим, что игрок, имеющий
первоначально капитал х, участвует в «благоприятной игре».
В терминах случайного блуждания это означает, что наблюдает*
ся случайное блуждание хп со средним р>0, исходящее из точки
хо=х>О. Какова вероятность разорения
f(x) = PJx„<0 при некотором п^О]?
Обращением случайного блуждания эту задачу можно свести к
предложению 6. Если уп — обращенное случайное блуждание и
если принять уо=О, то случайное блуждание уп имеет отрица-
тельное среднее —р, и
' f(x)~Polyn>* при некотором п^О].
Таким образом, задача сведена к изучению распределения мак*
симума последовательных частных сумм. Сравнивая производя-
щую функцию в предложении 2 с формулой для функции V(z) в
определении 18.2, находим, что разность
f(x)-f(x + l) = P0[maxyn = xl
Ln>o J
лишь на постоянный множитель отличается от функции v(x) для
случайного блуждания уп. Если вычислить постоянную г для
этого случайного блуждания, то, согласно предложению б, полу-
чаем
lim [f(x) — f(x+l)]r =/г3>0,
Х->+оо
откуда, естественно, следует и более слабый результата
lim f(x)rx =*k4=*k3(l — -Ц >0»
Это показывает, что в благоприятной игре вероятность того, что
игрок в конце концов разорится, с ростом его начального капи-
тала убывает со скоростью экспоненты,
§ 20. Флуктуации и закон арксинуса
Настоящий параграф посвящен той части теории одномерных
случайных блужданий, которая хронологически предшествовала
результатам, изложенным в первых трех параграфах, и в значи-
тельной, мере стимулировала их появление. В 1950 г. Спарре-
Андерсен обнаружил удивительный факт, касающийся числа Nn
положительных членов последовательности So, Sb ..., Sn,
Он доказал [77], что независимо от распределения величины
X^Sj (даже когда Xi—произвольная случайная величина с
действительными значениями)
P[Nrt = ^] = P[Nfe = fe]P[Nrt_ft = OL O^k^n.
\
Он нашел также производящую функцию величин Nn и сумел
показать, что при весьма общих условиях их предельным рас*
пределением является
lim Р [Nn пх] = — arcsin ух, 0 С х < 1.
П->ОО Я
Условия, при которых это соотношение справедливо (см. ниже
теорему 2, а также задачи 8, 9 и 13), выполняются, в частности,
для симметричного случайного блуждания. Чтобы понять всю
неожиданность этого результата, следует принять во внимание
значимость ранней работы Поля Леви [57, гл. VI] о броуновском
движении. Именно в этом контексте закон арксинуса появился
на свет, и, таким образом, прочно установился миф о том, что
областью его применимости является случайное блуждание с ко-
нечной дисперсией, иными словами, случайное блуждание, для
которого в силу центральной предельной теоремы процесс броу-
новского движения является предельным случаем.
Определение 1. При действительном х 0(х) = 1, если х > 0, и
п
0(х) =0 в противном случае. No = O, Nn== S 0(Sft) при 1, где
£=1
Sfe — случайное блуждание xh с х0 = 0. Предполагается, что хп —
произвольное одномерное случайное блуждание, за исключением
тривиального случая Р(0, 0) = 1.
В этих обозначениях теорема Спарре-Андерсена имеет вид:
Теорема 1.
при 0</<1
(a) P[Nn=6]=P[NA=£]P[Nn_ft=0], и
(б)
оо
2p[N7 = 0]/' =
Н
оо k
2 у-
е 1 ,
(в)
Доказательство. Соотношения (б) и (в) немедленно следуют
из установленных ранее результатов. Для получения (б) заме-
тим, что
P[Ny = O] = P[T>/],
так что
£p[N,-0H'-S₽[T>/n'--
/=о /-о
и, если положить z=l в предложении 17.5(a), то
2 P[Ny = O] ? = (1 -О’* fifr D =
/-о
оо £ 00 k
, -2трм 2tp(s*<0J
= (1-0’е 1 = е1
Доказательство справедливости равенства (в), основанное на
тождестве
Р [N; = /J = Р [Т'*>/],
проводится аналогично.
Для получения (а) мы используем рассуждения того же
типа (правда, несколько более глубокие), что и при доказатель-
стве предложения 17.5. Вспомним понятия абсолютно сходяще-
гося, внешнего и внутреннего рядов Фурье, введенные в опреде-
лении 17.2. Обозначим эти три класса функций через Л, Ле и
Заметим, что каждое из этих трех функциональных про-
странств замкнуто относительно умножения. Например, если
функции ф и ф принадлежат то при действительных 0
ф (9) = 2 2l«fel<°°.
О о
Ф (9) = 2 Ькем; 2 I ьь | < оо.
о о
Но тогда их произведение имеет вид
/ Ф (9) (0) = 2 ckeikQ,
где ffe=0 при
при п>0, 2к1<4
fe=0 о
так что произведение фф снова принадлежит <^£г.
Следуя Бакстеру [2], введем в расмотрение «+оператор» и
«—оператор». Для произвольной функции
Ф (0) = 3 akeiiS из
определим
ф+ (6) = S аке‘*,
k-1
0
ф"(0)= 3 акеш.
k= — ОО
Таким образом, если <ре^, то ф+е^ и <р~^<Ле. Иначе гово-
ря, «+» и «—» операторы являются проекторами, переводящими
пространство ut в его подпространства uti и <Де. Перечислим
очевидные алгебраические свойства «4-оператора»: он линейный,
т. е. при произвольных ф, ф из Л
(аф + &ф)+ — аф+ 4- 6ф+.
Так как «4-оператор» является проектором, то (ф+)+=ф+, (ф+)_=
=0, и, так как (множество всех ф, таких, что ф=ф+ при неко-
тором фе<?£) замкнуто относительно умножения, ясно, что при
ф, фе<Л
(ф+ф+)+ = TV-
Удобно также очевидным образом определить множество
•Л~. (Отметим, что е/Г = Ле, в то время как V является лишь
подмножеством в <?£г.) Множества V и <^“ не пересекаются,
так что произвольная функция ф из. <Л может быть единствен-
ным образом представлена в виде ф=ф14-фг, где ф1 из V и ф2
Из JT. Разумеется, ф1=ф+, ф2=Ф“
Теперь мы можем ввести некоторые полезные ряды Фурье,
предоставляя читателю довольно простую, хотя и утомительную,
задачу убедиться в том, что все они принадлежат Л. Эти ряды
зависят от s и t как от параметров, которые будут предпола*
гаться действительными, 04^$<1, ()•<?< 1. Пусть
<₽п ($; 6) = 2 [ei0£4 N„ = Jfe], n > 0,
&==0
ф (s, /; 0) = 2 tn4>n («; 6).
n=0
и, как обычно,
ф(0) — 2 P(0, п)е‘Л
П=~оо
Нам потребуется следующее важное тождество:
«(ффп)+ + (ффпГ = Ф«+1. «>0- СО-
МЫ не указываем здесь явно зависимость от переменных s, t и 0,
однако (1) понимается как тождество при каждом (действитель-
ном) 0, 0^«<1, 0</<1. Для его доказательства запишем
п п
фф„ = 2 ?Е [e,0s"+<; N„ = k] = 2 ?Е [ef0s«+>; Nn+1 =
= fe+l; 8М1>0] + 2?Е[е,й»+|; N„+1 = fe; S„+1<0],
k~0
где мы воспользовались очевидным разложением события Nn = £.
Легко понять, что это соотношение задает разложение функции
ффп на ее проекции в <т£+ и <Л~. Следовательно, воспользовав*
шись единственностью такого разложения, имеем-
п
(ФФ„)+ = 3 sftE [ei0s«*i; N„+1 = k + 1; S„+1 >О]
£=0
и сравнение суммы, стоящей в правой части последнего равен-?
ства, с определением фп+1 показывает, что
5 (фф„)+ = Ф^г
Аналогично находим, что
(фф„)“=ф;+р
и, складывая два последних тождества, имеем (1), Умножая (1)]
на /"+1 и суммируя по всем п^О, получаем
1 + st (фф)+ +1 (фф)" = ф
или, что то же,
[ф (1 - «Ар)]+ = [ф (1 - /ф) - 1]’ = Qf
Последнее означает, что ф(1 — sftp) e <£е, ф(1—ftp)e<^z, и, со-
гласно^предложению 17.2, функции ф(1 — step) и ф(1 —ftp) могут
быть однозначно продолжены до внешней ge и внутренней gi
функций соответственно; Таким образом,
ф(1-sftp) = ge(z), ф(1-ftp) = gz(z) при |z|=l.
Воспользовавшись факторизацией
1 = z)fe(t; z), |z|=l,
предложения 17.4, имеем
a (z\—a 1 ~ sZ<P - ГГ c (sf> fl <st> г) fe (st’
Se(z)~Si(z) l — ttp ~Sl(z) c(f)fi(t-,z)fe(t\z)
и
с ^S(t\ Z\ Si (2)= Se (г) = constant,
c{t)fi(t-,z) SiX ’ ' fe(st;z)
ибо обе части последнего равенства совместно определяют неко-
торую ограниченную аналитическую функцию. Значение этой
постоянной (которая может зависеть от s и /) определяется тем,
яЛ0)=Л(^; 0) = Л(/: о)=1,
откуда имеем
„ z-х fi (ft $
' fi (st; z)
и, поскольку gi=i|>(l — ftp), получаем
Ф- 2 [ЛЛ] = [c(t)ft(st; е'Т*. (2)
га-0
Однако соотношение (2) является гораздо более общим, чем
этого требует доказательство теоремы 1. Поэтому мы ограничим-
ся его частным случаем. Полагая в (2) 6=0, находим, что
5 /яе[А] = [с(0АИ; 1)Ш 1)Г*. (з)
п=0
Для доказательства теоремы 1 остается показать справедли-
вость равенства (а). Запишем теперь ранее доказанные соотно-
шения (б) и (в) в виде
ip[Ny=op'=HOU*; 1)Г\ «)
/«о
ip[N; = /W = [Msft 1)]"’. (5)
i-0
Из (3), (4) и (5) получаем
2 /"В [sN«] = 2 Р [N. = 0] tJ • 2 INy = /] tj =
п=0 /«*0 /=0
= 2 /"2P[N„_* = 0]?P[Nft = £].
n=0 k—0
Сравнение коэффициентов при.tnsk заканчивается доказатель*
ством соотношения (а) и тем самым теоремы 1.
Пример 1. Симметричное случайное блуждание. Как показа-
но в примере 17.1 (соотношение (7)),
так что
У p1n,-он'-Л.-МИ _<-£*. (1>
** 1 1 1-/ УНГ) 17
Точно так же легко получить
2 Р [N; - Л V = у7(0 (Г— О’7’, (2)
/=0
ибо, полагая, например, в предложении 17.4 г—1, имеем
(1-0 = с(0Л(<; 1) =
= {ip[Ny=0]^} {spin,-/]/'} .
Для простого случайного блуждания в примере 17.1 было по»
казано, что ____
поэтому
у с (Z) = -7=^-7=
1 +f + Kl -i
2
Таким образом, вероятности P[Nn=&] могут быть выражены че»
рез биномиальные коэффициенты. Если определить сп соотно-
шением
о
то
P[N„ = 0] = c„+1, P[N„ = n] = |c„ + |d(n,0), n>0.
Причина незначительной, но неприятной асимметрии распре-
деления Nn совершенно ясна. Она заключается в небольшом, но
нежелательном различии между положительными и неотрица-
тельными суммами. Поэтому, как это указано в задачах 13 и 14,
соответствующие результаты для случайных величин с непре-
рывной симметричной функцией распределения выглядят изящ-
нее. Однако даже в случае простого случайного блуждания
можно получить формально более красивые результаты, если
несколько изменить определение Nn = 0(So) +.. ,+0(Sn). Поло-
жим 0(Sfe) = l, если Sfc>0, и 0(Sfe)=O, если 8д<0, но, если
Sfe = 0, будем считать 0(Sfe) равным 0(Sfc_i). Иначе говоря, рав-
ная нулю частная сумма Sft считается положительной или отри-
цательной, в соответствии с тем, положительна или отрицатель-
на предыдущая сумма S^-i. Оказывается1), что в этом случае
Р [N2„ = 2k + 1] = 0, Р [N2„ = 2k} = 2”2n (2*) (2nn~2kk) •
Займемся теперь асимптотическим изучением Nn и покажем,
что отмеченная асимметрия в определении Nn сказывается даже
в предельных теоремах для симметричного случайного блужда-
ния. С подобными трудностями мы столкнемся также, рассма-
тривая того же рода почти симметричное поведение случайного
блуждания с нулевым средним и конечной дисперсией.
Предложение 1. Для симметричного собственно одномерного
случайного блуждания (т. е. такого, что Р(х, у) —Р(у, х),
Р(0,0)<1)
(a) lim /Чл Р [Ый = 0] = -U,
Л->оо V С
(б) lim У пл Р [Nn = п} = Ус.
П->оо
Для собственно одномерного случайного блуждания с нулевым
средним и конечной дисперсией а2 пределы в (а) и (б) суще-
ствуют и без предположения симметричности, но их значения
равны еа и соответственно. Постоянные с и а задаются соот-
ветственно определением 18.2 и предложением 18.5.
Доказательство. Согласно определению 18.2 и предложению
18.5,
оо
-2трм ri , )
с = е 1 , a = 2;|{f-P[Sft>0]}.
Ср. Феллер [86, т. I, гл. III] и Реньи [69, гл. VIII, § 11].
Ряд, определяющий с, всегда сходится и, как было показано при
доказательстве предложения 18.5, при р = 0 и о2<оо ряд, опре-
деляющий а, также сходится.
Мы будем заниматься лишь асимптотическим поведением ве-
роятности P[Nn = 0], поскольку вычисление для P[Nn = n] про-
изводится совершенно аналогично. Используя утверждение (6}
теоремы 1, получаем
/1-/2 P[N„=O]Z"
п=0
оо k
SMpis*<oi4}
= е 1
оо ь
= е 1
При /у/’Гправая часть имеет конечный предел. Ясно, что при
р=0 и о2<оо этот предел равен еа, а для симметричного случай-
ного блуждания в силу того, что P[Sn>0]=P[Sn<0], этот предел
равен Ус. Дальнейшее доказательство в обоих случаях прово-
дится одинаково. Мы будем использовать лишь два простых
свойства последовательности P[Nn = 0] = pn. Этими свойствами
являются монотонность и неотрицательность: Ро Pi ♦
... > Рп Рп+1 • • • >0. Таким образом, предложение 1 бу-
дет доказано, если мы установим
Предложение 2. Если рп — монотонно невозрастающая не-
отрицательная последовательность такая, что
оо
lim /1 — t 2 pntn== 1> (О
//U п=0
то
lim/nnpn=l. (2)
П->оо
Доказательство. Рассуждения проведем в два этапа. Первый
шаг использует лишь неотрицательность рп- Для неотрицатель’
ной последовательности частный случай известной теоремы Ка-
рамата1) утверждает, что из (1) следует
1 9
limV='^1+ •••
fj->oo У П У Л
(3)
Заметим между прочим, что этот результат является обраще-
нием абелевой теоремы, использованной при доказательстве
предложения 18.3. Это обращение, вообще говоря, неверно без
предположения о том, что рп^0.
9 См. Харди [93], где можно найти доказательства этой и других тео-
рем тауберова типа, и Кёниг [44] или Феллер [86, т. II], где приводится
изящное доказательство равенства (3).
На следующем шаге мы используем монотонность Рп^ Рп+х •
и из (3) получим (2). Проще провести доказательство, если за'
менять Уп на па, 0<а<1, предел — на единицу, и попытаться
показать, что из соотношений
/ п п О и р1+ +рп -> 1
/ Рп Рп+12=^ v И 1
следует пг-арп->а. К дальнейшему упрощению доказательства
приводит рассмотрение монотонно невозрастающей функции
р(х), такой, что р(х) =рп при х=п и
X
lim х~а f р (0 dt = 1. (4)
Х->+°о "
Это, разумеется, просто сделать, и остается показать, что
lim х*~ар (х) = а. (5)
Х->+оо
При каждом с> 1 из монотонности р(х) следует, что
сх
хр (сх) < J р (о dt < хр (х).
X
Таким образом,
СХ X
J p(t)dt- J p(t)dt
хр (сх) < о о< хр (х)
X х X •
| р (0 dt (с — 1) J р (0 dt J р (t) dt
о оо
Полагая х—>+оо и используя (4), из второго неравенства полу-
чаем
lim —= lim х1~ар (х).
Х~>оо Г Х->оо
0
Используя также левое неравенство, имеем
са — 1
саЧ-----------------------(х)^ ——lini х1-ар (х).
Х->оо С 1
Эти неравенства справедливы при любом f>l, поэтому, полагая
1, получаем
са _ j
lim xI-ap (х) = lim ——г- = а,
Х->00 с\1 С 1
тем самым (5) и, следовательно, предложения 2 и 1 доказаны.
В заключение настоящей главы приведем одну из форм за*
кона арксинуса.
Теорема 2. Для симметричного собственно одномерного слу-
чайного блуждания, а также для собственно одномерного слу-
чайного блуждания с нулевым средним и конечной дисперсией
(a) Vk(n-k) Р [N„ = k] = + о (k, п),
где о (k, п) стремится к нулю равномерно по k и п, если
min(&, п — &)-->оо;
(б) lim P[N„^nx] = — arcsin у х при Os^x^l.
п->оо Я
Доказательство. Ввиду предложения 1 и утверждения (а)
теоремы 1
/*(n-/t)P[N„ = fe] = VriP[Nft = *]/n-A! P[N„_ft = 0] =
—+ Oj (fe)l '\f— + o2 (n — /г)1 = — + o (k, nJ,
у ел J L я J л
где o(k,n] обладает нужным свойством: если задано произволь-
ное е>0, то существует такое N, что o(k, п)<в при k>N и
п — k>N. Строго говоря, доказательство проведено только для
симметричного случая. Однако в случае |л=0, о2< оо достаточ-
но заменить /с на е~а.
Утверждение (б) представляет собой «классический» закон
арксинуса, который имеет место при более слабых условиях, чем
условия справедливости (а). (См. задачу 8 и 9, где приведено
простое достаточное и необходимое условие.) Для вывода (б)
из (а) запишем
[ях] у
P[N„<nx]=P[N„<[nx]] = |2[4(l-|)] а(^ + о(*. «))•
fe=0
Интерпретируя предел как интегральную сумму Римана, имеем
[пх] у X
||т±у [1 1. *)Г‘.± [ _ A arcsi„ у-х.
n-К» пл ZjlLn\ nJ] nJ я
й=0 и
Поскольку этот интеграл существует, поправочный член должен
стремиться к нулю, что и доказывает теорему 2.
Пример 2. Рассмотрим непрерывное слева случайное блуж-
дание, для которого т<оо, ц=0, о2=оо. Это случайное блужда*
ние является замечательным примером, позволяющим юбнару*
жить различного рода патологии в теории флуктуаций. Особен»
но нерегулярный случай такого сорта был изучен Феллером1);
этот пример, а точнее его обращенная версия, известен под назва-
нием разорительной безобидной игры. Мы покажем, что каждое
случайное блуждание такого вида достаточно патологично, так
что для довольно широкого класса случайных блужданий пре-
дельное поведение, указанное в предложении 1 и теореме 2, не
имеет места. В частности, отсюда будет следовать, что предпо-
ложения предложения 1 и теоремы 2 не могут быть ослаблены.
Из предыдущего изучения непрерывного слева случайного
блуждания (примеры 17.2, 18.2 и 19.1) нам понадобятся лишь
следующие факты:
оо k
-S-т p[s6<°]
\—r(i) = e 1 , 0<f<l, (1)
где r(t) — единственное положительное (меньшее единицы) ре-
шение уравнения
r(t) = tP[r(t}i. (2)
Здесь функция P(z) определяется соотношением
Р(г)=2Р(0,п-1)?,
п=0
где Р(х, у)—переходная функция случайного блуждания. Оче-
видно, что
Р(1) = Р'(1)= 1. Р"(1)=°°> ' (3)
где через Р'(1) и Р"(1) обозначены пределы Р'(г) и P"(z),
когда г, оставаясь действительным, стремится слева к единице.
Наш анализ будет опираться на теорему Харди — Литлву-
да — предшественницу теоремы Карамата (частным случаем
которой является предложение 2). Эта теорема утверждает, что
при ап>0
оо
из lim(l —/)Van/n= 1 следует lim — («i+ ... +а„)=1. (4)
Л 1 q П->«. п
Мы будем изучать поведение функции
Л(0 = (1-0 2^Р[8„<0] (5)
о
’) См. [86, т. 1, стр, 268].
при Z/11. Будет показано, что для произвольной постоянной а из
отрезка y^a^l можно найти непрерывное слева случайное
блуждание с нулевым средним и о2 = оо, такое, что
Пт А (/) = а. (6)
«л 1
В силу (4) отсюда следует, что
п
lim 4S HS*<0]-a.
Я—I
(7)
Можно даже найти такое непрерывное слева случайное блужда-
ние, что предел в (6) и, следовательно (в силу обычных рассу-
ждений абелева типа), предел в (7) вовсе не существует.
Предположим теперь, что предел в (7) существует при неко-
тором а > или что он не существует вовсе. В этом случае
закон арксинуса (точнее, утверждение (б) предложения 4)' не
может выполняться, ибо, если бы он имел место, то с необходи-
мостью
п п
lim Е ВД = lim ± 2 Р [S* > 0] = lim 1 J Р [,Sft < 0] = |.
п->оо L п j п_>оо п п_>оо К f
К=1 Й=1
Ясно также, что, поскольку случайные величины Nn/n ограниче-
ны, предел в (7) должен существовать, если будет существовать
предел P[Nn<^nx] при п->-оо для каждого х. Таким образом,
если мы выполним нашу программу, то будет ясно, что суще-
ствуют случайные блуждания, для которых Nn не имеет невыро-
жденного предельного распределения. На самом деле этот факт
гораздо более значителен: в задачах 8 и 9 в конце настоящей
главы будет показано, что если существует некоторая функция
F(x), определенная на 0<х<1, такая, что
lim Р[Nnпх] = F(х), 0<х<1,
П->оо
то соотношение (7) должно выполняться при некотором а, за-
ключенном между нулем и единицей. Если а—1, то Г(х)==1;
если а=0, то Ё(х) = 0; если же 0<a< 1, то
F (х) = lim Р [N„ < пх] = f Га (1 - О*’1 dt. (8)
П->оо 31 J
Частный случай равенства (8) при а — г12 был доказан в тео-
реме 2, Если, как мы планируем, будет показано, что для под-
ходящего непрерывного слева случайного блуждания имеет ме-
сто (8) с а > Уг. то, естественно, можно также получить (8) с
а < ’/г- Следует просто рассмотреть обращенное (непрерывное
справа) случайное блуждание.
Итак, остается изучить предел в (6). Дифференцируя (1) при
0</<1, получаем
0°
14^j- = S^1P[Sft<0], (9)
а из (2) имеем
г' (О = Р [г (flj-Mr' (t)P' [г (01. (Ю)
Эти соотношения вместе с соотношением (2) будут использо-
ваны дл^ представления функции A (t) в равенстве (5) как функ-
ции от r(t) = r. Ясно, что r(t) — монотонная функция t, и по-
этому t можно определить как функцию г. Более того, как было
отмечено в примере 17.2, поскольку случайное блуждание имеет
нулевое среднее, r(t)-+ 1 при 1.
Используя соотношения (2), (5) и (10), получаем
A (fi = t (1 - П = р<г)-г ________r-__
;l-r(0 l-г P(r)-rP'(r)
(11)
Отсюда ясно, что соотношение (6) будет иметь место при
тором а тогда и только тогда, когда
неко-
Нетрудно построить непрерывное слева случайное блуждание,
для которого предел в (12) принимает любое наперед задан-
ное значение у-ОаС!. Значение этого предела зависит лишь
от поведения функций Р(г) и Р'(г) в окрестности точки г=1, а
это в свою очередь определяется поведением коэффициентов
Р(0, и) при больших п. Предположим, что мы рассматриваем
такое случайное блуждание, что при некотором целом 2V>0 и не-
котором с>0
Р(0, = для n>N, 0<а<1. (13)
п
Постоянная с предполагается выбранной таким образом, что
выполняются соотношения (3)._ Имея это в виду, с помощью
простых вычислений убеждаемся, что (12) справедливо и что
для соответствующего предела справедливы соотношение
а+ 1 < 1
(14)
Чтобы получить (12) с пределом а=1, можно, конечно, взять
а=0 и прийти к правильному результату, поскольку случайное
блуждание с а=0, обладая бесконечным первым моментом, бу-
дет невозвратным, так что с вероятностью единица Nn/n—>- + 1.
Если же желать получить пример с /п<оо так, чтобы случайное
блуждание оставалось возвратным, следует взять
р<0'
при достаточно больших и, однако проверка этого несколько
утомительна.
Наконец, чтобы получить пример, когда предел в (12) не
существует, применим процедуру, обычную в тех случаях, когда
требуются довольно тонкие асимптотические оценки. Разобьем
просто множество целых положительных чисел на блоки, или ин-
тервалы
Л = [1. «1), 4 = [«Ь «г). • • •, = [«*-1. «*).
Затем выберем два числа 0<ai<«2<l и положим
Р(0, п) =
-5^, когда ne/jU/sU/sU ... ,
^2> когда пе/2иЛи/6и ... .
Можно показать, что
при условии, что выполняется очевидное условие: длина &-го
интервала, равная пк — пк_х, должна при &->оо достаточно бы-
стро стремиться к бесконечности. Уточнить эти рассуждения не
слишком трудно, и мы опускаем детали.
Замечание. Последний результат примера 2 равносилен тому
факту, что предельное распределение времени пребывания Nn
на правой полупрямой не обязано существовать. Это обстоя-
тельство типично для широкого класса результатов, называемых
теоремами о времени пребывания. Рассмотрим произвольное не*
вырожденное случайное блуждание и положим
|В|<оо, ф(х)=1 при хеВ и 0 в противном случае,
п
•N„=2<p(Sft). (1)
6=1
Тогда Nn — время пребывания в В. Типичным вопросом является
вопрос, касающийся возможности нахождения такой последова-
тельности положительных чисел ап, что предел
lim P[Nn<aftx] = F(x) (2)
n->oo
•существует во всех точках непрерывности невырожденной (имею-
щей более одной точки роста) функции распределения F(x).
Типичным ответом будет1): если d=l, р = 0, 0<о2<оо, то пре-
дельное распределение В(х) существует, если выбрать ап = Уп
(усеченное нормальное распределение). Однако если d=l,
m<oo, ц = 0, о2=оо, то положение подобно ситуации, относящей-
ся к закону арксинуса. Существует однопараметрическое се*
мейство распределений (так называемые распределения Миттаг-
Лефлера), выступающих в качестве предельных распределений в
(2). Но существуют также случайные блуждания, для которых
нельзя указать никакой нормализующей последовательности ап,
приводящей к невырожденному предельному распределению.
В двумерном случае ситуация аналогична. Если среднее рав-
но нулю и существуют вторые моменты, то можно показать, что
lim Р [Nrt > х In п\ = е~сх, 0 < х, (3)
П->оо »
где постоянная с является функцией вторых моментов и числа
элементов | В | множества В. Разумеется, эта постоянная обрат-
но пропорциональна | В |.
Задачи
1. Используя предложение 7.6, доказать, что для апериоди-
ческого симметричного одномерного случайного блуждания
функция 1п[1—ф(0)] интегрируема по Лебегу на отрезке
— л < 0 < л.
’) Элементарное изложение £м. [86, т. 1, гл. III] и [35, гл. II]. Полные
результаты, включающие необходимые и достаточные условия существова-
ния невырожденного предельного распределения F(x), можно найти в работе
Дарлинга и Каца [20].
18 Зак. 1375
2. Продолжение. Используя задачу 1, показать, что при
0<r< 1
л
ехр-1 4- f , /"о'-----a In П (6)1
г 4л J 1 + г2 - 2r cos 0 * 1
1 - Е [г^]--------—--------------------------.
ехр|“^Г / 1п[1-ф(0)]</0
I —Л
3. Вычислить
Е [/V02]
для двустороннего геометрического случайного блуждания, опре-
деляемого переходной функцией
Р(0, 0) = р, Р(0, х) = ур(1-р)|х|, х^О.
4. Показать, что если |л=0, о2<оо, то
Е[М„] = 2|Е[8Й; Sft>0] ~ S-^EI S*|~при п^оо.
£=1 /5=1
Известно также, что
тк
- lim Р[М„<хЕ[М„]] = -^ f e~i2dt, х>0.
п->«. - V л J
Эту предельную теорему (ср. Эрдёш и Кац [106], Дарлинг [19]))
можно получить из предложения 19.1 с помощью тауберовой тео-
ремы предложения 20.2.
5. Показать, что для одномерного случайного блуждания
т<оо и ц=0 тогда и только тогда, когда
fc=l
при каждом 8>01)\
х) Следующее изящное обобщение этого результата принадлежит Катцу
[31]. Одномерное случайное блуждание имеет нулевое среднее и абсолютный
момент
'Па=2|*|ар<°>А:)<то' а>1>
тогда и только тогда, когда при каждом 8>0 сходится ряд
y_LP[ 1* 1
L k J*
6. Показать, что если Е [Xfe] = 0 и Е | X® | < оо, то Е [Z2] < оо.
Указание', воспользоваться результатом задачи 2 гл. II.
7. Пусть Tn=niin[A|O<l&-Cn; Sfe = Mn], Доказать, что
p[N„ = 6] = P[T„ = £],
8. Пусть = Е [(n — NJ'], г > 0, п 0, где Nn — число по-
ложительных частных сумм к моменту п. Доказать, что
4+1> = ng<? - 3 а g(£, n > 1, г > О,
/п=0
где ап = Р[8п>0]. Используя это рекуррентное соотношение, до,
казать (следуя Кемперману [39, стр. 93]), что при всех r > 1
Пт -!) ... (1 --1)
тогда и только тогда, когда
lim Я1+
П~»оо Л
= а.
9. Используя «метод моментов» (см. предложение 23.3 гл. V),
заключить, что предел
lim Р[Nn<пх] = F(x), — оо<х<оо,
П->оо
существует тогда и только тогда, когда существует предел
lim ~|~а"=а, 0<а<1,
П~>°° П
и что в этом случае функция F(x) связана с а следующим обра^
зом:
f(x) = F«(x) = ^^ j 0<а<1,
О
Fo(x) = O при х<0 и 1 при х>0,
Рх(х) — Ъ при х<1 и 1 при х>1.
10. Для апериодического симметричного случайного блужда-
ния, обладающего конечным третьим моментом, можно, восполь-
зовавшись результатом задачи 6, уточнить утверждение предло-
жения 8, заключающееся в том, что
1/*2”
lim и (n) = lim v (п) = ——.
П->00 n~>OQ Q
Показать, что
ОО ОО
0<^ [j/T“n-1] = 2 [у^г’п-1] =
п=0 п=0
Л
1 Г 1 Г 1 — cos 0 21
“ J п[т^?(ёГо jT^cos0'<00,
— Л
11. Пусть Хь Х2, ... — независимые одинаково распределен-
ные случайные величины, So=O, Sn = X1+...+Xn и, как и в
определении 19.1, Mn = max[So,Sb ..., Sn]. Определим теперь
две другие последовательности Zn и Wn, п > О, случайных вели-
чин. Первой из них является последовательность
Zo = 0, Zt = (Хг)+..Zrt+1 «= (Z„ + X„+i)+,
где х+=х, если х>0, и 0 в противном случае. Вторая последова-
тельность определяется соотношениями
п
wQ=o, w„=2xft0(sft),
где 9(х) = 1, если х>0, и 0 в противном случае. Доказать, что
при всех неотрицательных целых п и х
P[M„ = x] = P[Z„ = x] = P[Wn = x].
Последовательность Zn находит применение в теории очередей
[47].
12. Для произвольного непрерывного слева случайного блу*
ждания, исходящего из начала координат, определим функцию
оо
Р(г)= 2Р(0, k—l)zk. Если Т* — момент первого попадания
о
на левую полупрямую, то, согласно предложению 17.5 и при-
меру 17.2, при О t < 1
Е[Г]~1-М/; 1) = г(0,
где z=r(/)—единственный корень уравнения z=/P(z) в круге
,|г|<С1. По теореме Лагранжа это уравнение имеет решение
оо
z = z (/) = 2 где ka*. — коэффициент при г*-1 в [P(z)]ft. Про-
1
вести детально это рассуждение и заключить, что при 1
Р [Т* = Л] = -£ Р [Sft = — 1].
В качестве применения вне теории случайных блужданий рас-
смотрим простой ветвящийся процесс zn, для которого zo= 1. Он
определяется (см. [94]) так, что Zi=&, &>0, с заданными ве-
роятностями рл, a zn+1 является суммой zn независимых случай-
ных величин, распределение которых совпадает с распределен
оо
нием величины zb Пусть через N = 2zn^°° обозначено «общее
о
число индивидуумов во всех поколениях» (которое конечно тогда
и только тогда, когда zn = 0 при некотором п)\ Показать, что
производящая функция г(/) случайной величины N удовлетво-
ряет приведенному выше уравнению
о
Обозначим, наконец, через Q(i, j) вероятность того, что zn+i=f
при условии zn = i. Доказать, что
P[N = i] = |Q(fc, k-1) при
13. Предположим/ что Xt, Х2,... — независимые действитель-
ные (не обязательно целочисленные) случайные величины с об-
щей функцией распределения
F(i/)=P[Xft<y], -оо<«/<оо.
Заменяя все ряды Фурье в единичном круге преобразованиями’
Фурье в верхней полуплоскости, показать, что каждый из резуль-
татов гл. IV остается (с очевидными изменениями) справедли-
вым.
Предположим теперь, кроме того, что функция распределения
F(y) непрерывна и симметрична, т. е. что F(r/) = 1—F(—у) npit
всех действительных у. Показать, что если
ОО
ф(0)= J e^dFly), — оо < 0 < оо,
— оо
то
(а) 1—/<р(0) = | 1 — Е [ZTez0z] |2, 0</<1,
(б) Р[Т =/г] = (—l)ft+1 ( ^2), Л>1, .
(в) p[Nft = 0] = (-l)A(~y2), £>0,
(г) J Е <2N»-»)] е _ 11 _ /Г1 = ’
/1=0 У 1 4- — 2* cos “
0</< 1,
так что
(д)
E[ei0(2N«-n)]=pn(cos0),
где'Рп(х) есть n-й полином Лежандра.
14. Имитируя доказательство теоремы 20.2, заключить, что
ПтЕИ^-Ч]-! /-^^-/,(8).
П->оо 1 V 1 — X2
— 1
Как отметил Реньи [70], /о(0)—функция Бесселя нулевого по-
рядка
/о(6) =
У (-1)*
А4 (fe|)2
ft=o
/0\2*
12/
так что из закона арксинуса вытекает хорошо известная теорема
об асимптотическом поведении полиномов Лежандра:
lim Р„ [cos (—Л = /0 (6)» — оо < 0 < оо.
n->oo L \n/J
15. Бросание монеты в случайные моменты времени (Текклинд
[82]). Сложный пуассоновский процесс х(/) определяется соотно-
шением х(/) =xN(/), где хп — простое одномерное случайное блу*
ждание, для которого хо=О. N(/), ^>0 — протой пуассонов-
ский процесс, для которого N(0)=0 и при действительных 0=
= /0 < t\ < • • • < h и целых О=По-^«1 -С ...
P[N(/1) = «1, N(/2) = n2, .... N(/ft) = nJ =
JUL (П/-П/-1)!
Таким образом, x(/J —ступенчатая функция; ее скачки по вели*
чине равны единице, а независимые показательно распределен-
ные интервалы между скачками имеют среднее 1/а. Доказать,
что
Ро [max {0, xt, .... xft} > п] =
1 при п = 0,
i
П J е~аХ ~ "х^' ^Х> ПРИ
о
Здесь 1п{х) =1~пГп(1х) и Jn(x} —функция Бесселя первого рода
порядка п.
ГЛАВА V
СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
НА ИНТЕРВАЛЕ
§ 21. Простое случайное блуждание
Цель настоящего параграфа — дать обзор !) некоторых аспек-
тов задачи о поглощении для простого случайного блуждания.
Эта задача имеет довольно длительную математическую исто-
рию, что неудивительно, поскольку ее можно рассматривать как
граничную задачу простейшего типа. Она дискретна, и переход-
ная функция, играющая роль разностного оператора второго
порядка, симметрична. Это позволяет свести задачу к диагона-
лизации соответствующей симметричной матрицы.
Так же, как в случае простого случайного блуждания, задача
о поглощении может быть поставлена и для произвольного слу-
чайного блуждания. Однако, как мы увидим, методы, используе-
мые в настоящем'параграфе для простого случайного блужда-
ния, неприменимы в общем случае. Именно попыткой устранить
этот недостаток мотивируется развитие более тонких методов в
§ 22 и 23.
Мы начнем с нескольких определений, используемых также
в § 22 и 23, для произвольного одномерного случайного блужда-
ния. В дальнейшем всюду исключается вырожденный случай
Р(0, 0) = 1.
Определение 1. N — неотрицательное целое 'число, [0, 2V]—
множество, состоящее из целых точек 0, 1,2, *.., N.
Q/v(x, */) = Р(х, У) для х, у из [О, N],
Q°n (X, у) = IN (х, у) = 6 (х, у), Q'n (х, у) = Qn (х, у), х, у из [0,
N
Q»' <х, у) = s Q" (х, 0 Qn it, у) для х, у из [О, АГ],
/~0
gN {х, .у) = 2 Qtf ix, у), х, у [О, JV],
п=0
1 Более полное изложение можно найти у Феллера [86, т. 1, гл. III и
XIV], Каца [35] или Реньи [69, гл. VII, § 11].
Rn (х, k) = S Sn(х, у)Р(у, N + k) для хе [О, 2V], k^t\,
У~о
N
LN(x, k)—^ gN(x, у)Р(у, — k) для хе [0,2V], &>1,
»-0
Rn(x)= 2 Rn(x, k),
oo
LN(x) = 2j Ln(x, k) для xe[0, Af].
л=1
Некоторые из этих определений, такие, как определение Qn,
использовались ранее. Qn представляет собой просто k-ю итера-
цию сужения1) переходной функции Р(х,у) на множество [0,2V].
"Точно так же ранее часто встречалась функция §n(x, у), однако
в терминологии определения 10.1 ее следовало бы записывать "в
неоправданно сложном виде
gN(x, y) = gR_lOiW1(x, У).
"Переходя к Rn и Ln, заметим, что R соответствует слову «пра-
вая» (right) и L — «левая» (left). Эти функции являются просто
входными вероятностями внешности интервала и в терминологии
определения 10.1 их следовало бы записать в виде
Rn (х, k) = Hr-ю, nj (х, N + k),
Ln (x, k) — Hr-io,n](x, — k)
при xe[0, A/], k 1.
Вычисление этих величин для простого случайного блужда-
ния производится совсем просто. Если рассматривать Qn(x, у)
как квадратную (R+l) X (N4-1)-матрицу (так оно и есть на
•самом деле!), то
“0 1 0 ... 0 0“
1 0 1 ... о о
О О О ... о 1
О О 0 ... 1 0_
и возникает естественный вопрос о ее собственных значениях и
собственных векторах. На этот войрос отвечает
1) Под сужением функции Р(х, у) на множество [0, АП понимается
^функция, которая равна Р(х,у) для х и у из [0, Л/J и равна нулю в про-
-тивном случае. — Прим. ред.
Предложение 1. Собственные значения матрицы QN равны
(a) A* = cos-|±|-«, k = 0, 1....N,
а соответствующие им собственные векторы суть
(б) = sin-^yn(x+1), k = Q, 1, .... N;
0<х<ЛГ,
где при k, m=0, 1,..., N
N
(в) QNVk = M»> (vk, vm) = 2 (x) vm (x) = d (k, tn).
X=0
Доказательство. Пусть AN=AN(h)— детерминант матрицы
Qn — MN- Простое разложение детерминанта по элементам пер-
вой строки приводит к разностному уравнению
— h&n-l &п-2> П = 2, 3, ... .
Непосредственное вычисление двух детерминантов низшего по*
рядка дает начальные условия
До = - Л, Aj = X2 j.
При этих условиях разностное уравнение имеет единственное
решение. С помощью стандартных методов (см. пример 1.2) по*
лучаем
Ай(Л) = Лг« + Вг«,
где Г\ и г2 — корни квадратного уравнения
х2 + Лх + = 0.
Производя подстановку %=—cos/, находим, что
2 л । 1 I elt \l e~li \ п
X2 — X COS t + -у = IX-j-11X---g-1 = О,
так что 2x=e±i(, и общее решение разностного уравнения имеет
ВИД
Д„ (Л) = 2~" [Л cos nt + В sin nt}.
Ввиду начальных условий
А = — Л = cos t, A cos t + В sin t = 2Л2 — у,
Л /1 \ п-п sin 2t cos nt + cos 2t sin nt o-« sin (n + 2) t
2 sin/ -2 2sjn/
Следовательно, Дп(М=0, если («+2)£ кратно л и отлично от
нуля, так что («+2)f= (^4-1)л, &=0, Тем самым най-
дены собственные значения, указанные в утверждении (а) пред-
ложения 1, но с обратным знаком. Однако знак несуществен,
ибо при k=0, 1, ..., N
Zs Ч- 1
C0S Т+2 Я = ~ COS
(N-k) + l
tf + 2
Поскольку найдено W+1 собственных значений, а матрица по*
рядка W-j-1 не может иметь их в большем числе, то (а) дока-
зано.
Проверка того, что функции, указанные в (б), собственные,
осуществляется непосредственно. Действительно, достаточно по-
казать, что
= и (vk, о*)=1 при 0 < k < N.
Равенство (уь, vm) = 0 при k=j=tn является одним из основных ре-
зультатов теории матриц: два собственных вектора, отвечающих
различным собственным значениям симметричной матрицы,
всегда ортогональны. Чтобы убедиться в справедливости равен-
ства нужно использовать тригонометрические тожде-
ства, и, наконец, доказательство предложения 1 заканчивается
проверкой того, что
N
(у*. v*)=
х=0
W+1
~ 1 — W + 2 cos [2 ЛН?2 (* + 1) л] = 1 •
х==-1
Спектральная теорема для симметричных матриц (см. [90],
гл. III) позволяет буквально в одну строчку получить решение
всех наших задач. Иначе говоря, каждая из функций определе-
ния 1 может быть выражена в терминах собственных функций
и собственных значений матрицы Qn- В частности, отметим, что
-справедливо
Предложение 2.
(a) QnN (х, у) = S (х) vk (у),
N
(б) gN (х, у) = 3 (1 - М"1 Vk (х) Vk (у).
k—Q
Эти утверждения не требуют доказательства, поскольку соот»
ношения (а) и (б) являются просто спектральными представ*
лениями матриц Qn и (/—Qw)-1 соответственно. Понятно, что
матрица / — QN имеет обратную, поскольку, согласно предложе-
нию 1, все ее собственные значения лежат строго между нулем
и единицей.
Имея в виду дальнейшие результаты, рассмотрим аналогич-
ную задачу о собственных значениях в непрерывном случае.
Матрица Qn— In является не чем иным, как разностным опера-
тором второго порядка, действующим на функции, определен-
ные на множестве [О, 2V], Поэтому естественно рассматривать
уравнение
^./(х) + и/(х) = 0, 0<х<1, (1).
как непосредственный аналог соотношений
(Qat —/дг) — ро, или QNv = kv, Z=l— |х.
Соответствующим граничным условием, налагаемым на уравне-
ние (1), является условие
f (0) ==/(!) = 0. (2)
Это следует из того, что матричное уравнение QnV=Kv эквива-
лентно разностному уравнению
о(х+1) + у о(х—1) = Ао(х), . 0<x<Af,
с граничными условиями о(—1) = о(М+1) =0. Известные резуль-
таты теории сформулированной в (1) и (2) граничной задачи,
можно суммировать в
Предложение 3. Соотношения (1) и (2) эквивалентны инте-
гральному уравнению
(а)
1
f(x) = g/ R(x, y)f(y)dy,
о
с симметричным ядром
(б) 7? (х, у) = min (х, у) — ху при О^х, */^1.
Собственные значения равны
(в)
pft = n2&2, k— 1, 2, ...,
и соответствующие собственные функции
(г) Ф* (х) = У 2 sin л/гх, O^x^l,
k = 1, 2,
образуют ортогональное семейство, т. е.
(фй, фт) = j" Фй W фт (х) = 6 (fe, ГП).
О
Доказательство этих утверждений можно найти почти в лю-
бой книге, посвященной задачам о собственных значениях. Тео-
рия вполне непрерывных симметричных операторов *) опреде- »
ляет наиболее широкие границы перенесения результатов тео-
рии матриц. Особенно важным результатом, представляющим
собой непрерывный аналог утверждения (б) предложения 2, яв-
ляется теорема Мерсера: ряд
S4>k(x)^k(y)
ц —
равномерно сходится на квадрате Утверждение о
равномерной сходимости справедливо также для аналогичных
рядов, определяющих итерации функции /?(х, у). Эти ряды бу-
дут определены и использованы при доказательстве тео-
ремы 23.2.
С этой точки зрения совершенно неудивительно, что имеет
место
Предложение 4. Для простого случайного блуждания
(а) 2^ + 2)^^’ = W + 2 ’ /ГПг)’
(б) Rn{x) = ~^, Ln(x) = Rn(N-x) = ~x^-.
Здесь R(x, у)—ядро, задаваемое соотношением (б) предло-
жения 3.
Доказательство. Простейшее доказательство равенства (а)
(использующее лишь умножение матриц) состоит в проверке
того, что матрица, стоящая в правой части (а), действительно
обратна к матрице 2(Л1+2)(/дг— Qw). Это предоставляется чи-
тателю так же, как и то, что (б) следует из определения
/?м(х) (определение 1).
Покажем теперь, что в некоторых задачах разложения по
собственным функциям, подобные приведенным в предложении
2, не только полезны, но и необходимы. Речь идет о задачах,
') Ср. Рисе и Надь [72, гл. IV] или Курант и Гильберт [53, т. 1, гл. III].
В частности, функция Грина R(x, у) =min(x, у)—ху возникает в простейшей
математической модели колеблющейся струны с закрепленными концами и
часто называется ядром колеблющейся струны.
связанных с асимптотическим поведением входных вероятностей,
функций Грина и т. д. Мы ограничим наше внимание случайной
величиной Тдг — моментом первого выхода из множества [О, Л/].
Определение 2. T№=min{£|£>l, xfte7? —[О, Af]}.
Для того чтобы несколько упростить задачу без существен-
ного ограничения общности, предположим, что начальной точкой
случайного блуждания является точка x0=Af, средняя точка ин-
тервала [О, 2N],
Совершенно очевидно, что при каждом фиксированном це-
лом п
lim Рдг [Т2ЛГ > n] =J •
AZ->°o
Таким образом, имеет смысл попытаться найти нормирующую
последовательность a(N) (если таковая имеется), такую, что
предел
lim Рлг [Т2дг ха (Af)] = Г(х), х>0,
yV->oo
существует и является невырожденной функцией распределения,
определенной при х>0, для которой F(0) = 0, f(oo) = 1. Есте-
ственно попытаться выбрать последовательность a(N) так, что
ЛГ->со.
Но в силу предложения 4 имеем
2N
[Тгдг] = 2 §2N
х—о
2N
-2(2tf + 2)5>(A±±
х=0
так что можно взять a(N) =N2.
Теперь задача состоит в вычислении (и доказательстве су-
ществования) предела
lim Pjv [T2jV > №х], х>0.
ЛГ->оо
Вычисление распределения Т2# облегчается тем, что
2N
Рдг HW > п\ = Q.2N (N, у).
Используя утверждение (а) предложения 2, получаем
2N 2N
Pjv [Т2Лг > п] = s s knkvk (N) Vk (у).
у=0 k=0
В силу предложения 1 имеем
Pjv [Т2Лг > az] =
_____2ЛГ 2.V
= ]/ аНтт 2 [cos (wT2 Я)Гsin л) S °* =
k—О у-0
= ЛГ+Т [C0S 2N + 2 Я] S Sin [ 2Л/ + 2 я <# + !)] =
/=о у=о
/=о
Здесь последний шаг состоял в вычислении суммы по у с по*
мощью формулы для суммы геометрической прогрессии. .
Легко видеть, что при каждом е>0 равномерно по п
S (-О'(cos 2i*2 л) с^(2^2т)=0.
Это служит оправданием использования приближенных соот*
ношений
cos
2/ + 1
2N + 2
я? (2/+ 1)2 \№х —
8 (V+1)2) ~в
rt~ 2/+1 л 4 ДГ+1
ё 2JV + 2 2 л 2/+ 1 ’
применимых в случае, если / мало по сравнению с N. Таким
способом можно получить
Предложение 5.
00 • л2
lim PJV[T2JV>№x] = l-F(x) = 4S4ттГ<2/+1И*» *>°-
В § 23 будут развиты методы, которые позволят получить
предложение 5 для произвольного одномерного случайного блу*
ждания с нулевым средним и конечной дисперсией.
§ 22. Задача о поглощении для случайного блуждания
с нулевым средним и конечной дисперсией
По многим причинам естественно ожидать тесной аналогии
между простым случайным блужданием и любым другим слу*
чайным блужданием с нулевым средним и конечной дисперсией.
Так, центральная предельная теорема утверждает, что асимпто*
тическое поведение Рп(х, у) в некотором смысле одно и то же
для любого случайного блуждания, имеющего среднее ц.=0 и
дисперсию о2<оо. Однако неясно., какое отношение центральная
предельная теорема имеет к задаче о поглощении, в которой
речь идет скорее о функции Qn(x, у) и ее итерациях, нежели о
переходной функции Р(х, у). (Функция Qn(x, у) является су-
жением Р(х, у) на множество [О, N].) По этой причине мы нач-
нем с изучения вопроса о том, в какой степени поведение опера-
тора Qw — Iff подобно поведению дифференциального оператора
второго порядка.
Предложение 1. Пусть Р(х, у) —переходная функция случай-
ного блуждания, для которого ц=0 и о2<оо, и пусть Qn(x, у) —
ее сужение на множество [О, АГ|. Пусть, далее, f(x) — некоторая
функция, обладающая непрерывной второй производной при
О^х-Cl. Тогда при каждом t, 0</<1,
w
Hm J Rat - Q J ([ОТ], k) f (-^) - - f" (/).
Доказательство. Из предположений относительно функции
f(x) следует, что для каждой пары точек х и у из отрезка [0, 1]
f (У) = f (х) + (у - х) f' (х) + ~ {у - x)2f" (х) 4- р (х, у),
где (х — у)-2р(х, равномерно в произвольном интервале
0<а^х, у^.Ь<\. Более того, можно найти такую положитель»
ную постоянную М, что
max [f (х), f (х), f" (х), р (х, у)} < М.
Если выбрать 0<£<1 и обозначить [Nt\N~l=z(N, t)=z, то
N
2 IS ([ОТ], k} - Qn ([М], fe)] f (£) -
H
Vrlf(*)-P(zN, *){f(*) + (4— z)f'(z) +
+ т(^ —z) f"tz) + p(z> y)}]"^i+4+A+4
Разбиение здесь произведено таким образом, что
7 £/ \ 2N2
A = f(z)—
N
l-^P(zN, k) ,
Л=0
I2-f'(z)^-%P(zN, k)(zN — k),
/г=0
N
h=- f"(z)±2p(zN, k)(zN-k)2,
k—0
N
Mz> 4)-
6=0
Так как функции f(t) и f'(t) ограничены и 0<z< 1, то мо-
жно заключить, чтоО и /г—>0, при ЛГ—> оо. Должно быть
понятным, как проделать соответствующие выкладки, существен-
но используя предположение о том, что р=0, о2< оо. Очевидно,
что третий член /3 при Af->oo сходится к —/"(/)» Чтобы закон-
чить доказательство предложения 1, необходимо разбить /4 на
две части. Задав е > 0, выберем А так, что
|p(z>4)|<8(2“4)2’
когда \z—(k/N)\ ^.А. Тогда имеем |
1ЛКу S P(ZW, ЩгН-ЬГ +-^м S P(zN,k), I
I
Первый член в точности равен 2е, второй же член при Af->-oo Д
стремится к нулю по тем же (не разобранным детально, но оче-
видным) причинам, по которым Л-*-0. Поскольку е произ- W
вольно, доказательство предложения 1 закончено. f
i
Учитывая предложение 21.3, естественно ожидать, что функ* f
ция gN(x, у), обратная к Лу— Qn, будет приближаться при -j
jV->oo к ядру Й
R ($, /) = min (s, /) — st,
подобно тому, как In — QN приближается к оператору взятия
второй производной. Можно предполагать, что справедливо еле- |
дующее утверждение, являющееся аналогом предложения 1, |
Предложение 2. Для случайного блуждания со средним ц=0
и дисперсией 0<о2<оо и для ограниченной интегрируемой по
Риману на отрезке 0<х< 1 функции f (х)
N 1
*)/(£)“ J Ods
равномерно по 0 / -Cl.
Предложение 2, как и предложение 1, интересно и без каких-
либо ссылок на вероятностные термины и идеи. Однако в то
время как доказательство предложения 1 опирается лишь на
элементарные вычисления, предложение 2, по-видимому, имеет
более глубокую математическую природу. В следующем пара-
графе мы докажем это утверждение и фактически даже нечто
значительно большее, но при этом будут существенно исполь-
зованы вероятностные результаты гл. IV.
Можно было бы попытаться доказать предложение 2 мето-
дами используемыми в § 21, но мы слишком мало знаем относи-
тельно асимптотических свойств разложений по собственным
функциям в общем случае. Даже если мы пожелаем ограни-
читься лишь симметричным случайным блужданием, так что
представление функции gN(x, у) имеет вид
н
k-0
трудности слишком велики. Заметим, что в приведенной формуле
следовало бы писать Vk(x)=Vk(N; х), Лл = Лй(Лг), поскольку и
собственные значения и собственные функции зависят от N.
Следовательно, асимптотическое поведение ёя(х, у) при ЛГ->оо
зависит от асимптотических свойств и A*(V) и х). Хотя о
распределении собственных значений Ло(Л^), M(V), ..., Kn(N)
при больших N известно несколько больше (наиболее простые
результаты приведены в задачах 8 и 9), относительно собствен-
ных функций известно совсем немного. Грубо говоря, суще-
ствуют лучшие подходы к решению нашей задачи. Хотя спек-
тральное разложение оператора, т. е. то, чем мы пользовались
до сих пор, является весьма общим и чрезвычайно мощным ма-
тематическим инструментом, такой подход не всегда бывает
наилучшим. Прежде всего, он является слишком общим. Рассма>
триваемая нами задача имеет специфическую особенность, ко-
торой следует воспользоваться: операторы Р(х, у) и Qn(x, у}
являются разностными ядрами (Р(х, у)=Р(0, у — х) и Qn —
сужение Р).
19 Зак. 1375
В 1920 г. Сегё [74] удалось свести изучение симметричных
разностных операторов к исследованию свойств некоторой си-
стемы ортогональных полиномов. Хотя эти полиномы и не яв-
ляются собственными функциями оператора, их роли весьма
сходны. Отсылая читателя к монографии [17] (см. также задачи
5, 8 и 9), мы все же изложим небольшую часть этой теории, не-
посредственно связанную с симметричным случайным блужда-
нием. С точки зрения теории Сегё, это лишь весьма специальный
случай — элементы матриц, рассматриваемых в этой теории, не
обязательно неотрицательны, как это имеет место для случайных
блужданий.
Предложение 3. Предположим, что Р(х,у) = Р(у,х)— пере-
ходная функция симметричного одномерного случайного блу-
ждания с характеристической функцией
ф(0)= 2 (0, x)efx0 = (p(0) = qp(— 0).
х= —оо
Тогда существует последовательность полиномов
(a) prt(z)= 2р„,аД n>0,
fc=0
таких, что
(б) Рп.п>° пРи П^О
U
л
(в) 2Т f PH^e)M^)U-q>(e)]rf0 = 6(fe. m),
—Л
k, tn = 0, 1,2.....
Эти полиномы требованиями (б) и (в) определяются однозначно.
Все коэффициенты рп,ъ неотрицательны. Функция Грина gN (i, j)
(определение 21.1) имеет представление
N
(г) gN(t, i)= 2 Pk,ipit,j =
/г—max (f,/)
min (i, j)
e 2 PN-k, N~iP N-k, N-j При
k=0
Предельное поведение ортогональных полиномов описывается
соотношением
(д) lim рп> n_k = и (£), k^O,
где u(k)—последовательность, определяемая равенством
(е)
оо
•^u(k)zk=U(z) = V(z),
fe=0
и функции U(z) и V(z) задаются определением 18.2. ч
Доказательство. Существование единственной системы поли,
номов pn(z), удовлетворяющих (б) и (в), вытекает из извест-
ного процесса ортогонализации Грама — Шмидта. Последова-
тельность fn(ei0) = е1пв, п = 0, ±1, ±2, ..., образует полное ор-
тонормированное семейство в гильбертовом пространстве
L2(—л,л) функций с интегрируемым квадратом на отрезке
[—л, л]. Ортогональность в этом пространстве означает, что
Л
f fn (ею) fm (eie) de = f>(m, п), tn, п = 0, ± 1, ± 2, ....
—П
Мы же хотим • построить полиномы pn(z), ортогональные в
смысле скалярного произведения
Л
—л
Легко проверить, что формулы
Po(z)= 1.
п (%} = —1 — (fo, fo) (fo, fl) (fl, fo) (fl, fl) ...(fn, fo) ...(fn, fl)
Р V DnDn-,1 (fo, fn-1) (fl, fn-1) • • • (fn, fn-1)
' fo(z) fi(z) ... fn(z)
где
(1)
(fo,fo) (fi,fo) --.(fn, fo)
(fo,fi) (fi, fl) ...(fn, fl)
(fo.'fn) (fl\ fn)'..'.'(f«,fn)
задают систему полиномов такую, что справедливо (б) и
(Pn> = m), n, m = 0, 1, 2, ..
Т. е. выполняется (в). Нетрудно доказать и единственность1).
Приведенное выше представление p„(z) в виде отношения
’) См. [17, стр. 24], где приведено доказательство, пригодное для произ-
вольного гильбертова пространства.
19*
детерминантов имеет, конечно, общий характер — оно остается
справедливым, если функцию 1—ср(0) заменить любой неотри-
цательной весовой функцией w(0), интеграл от которой на от-
резке [—л, л] положителен. В нашем случае имеем
* л
(fn, fm) = J einQe~imQ [ 1 — <р (0)] dQ = б (tn, n) - P (n, m), (2)
— Л
другими словами, матрица (fn, fm), O^-тп, n^N, совпадает с
(N +1) X (N+\)-матрицей In — Qn, задаваемой определе-
нием 21.1.
Для доказательства (г) заметим, что SnU, k) можно рассма-
тривать как (,/, &)-й элемент матрицы, обратной к In — Qn- Это
было отмечено ранее в связи с предложением 21.2. В равной
степени это верно и здесь, так как, хотя мы и не знаем собствен-
ных значений матрицы Qn, легко видеть, что они заключены
между нулем и единицей. Следовательно,
gN (i, k)=%QnN (/, k) = (In ~ Qn)"1 (f, k).
n=0
Поскольку случайное блуждание симметрично, ясно, что
gN(b, j) = gN(M-k, N-j)-
Поэтому достаточно доказать лишь первое из равенств в (г),
которое в терминах производящих функций имеет вид
W W N
S S gN(k, j)2}wk=^ipn(z)pn(w)
&=0 /=0 п=0
(3)
при произвольных комплексных z и w. Чтобы убедиться в спра-
ведливости (3), установим прежде всего с помощью равенств
(1) и (2), что N ^Рп(г)рп(^)= - -fi- n-0 N 1 Cq C~i ... CN 1 -Cl 1 -c0 • • • - cn-i w , (4)
-cn ~ cN-i ... 1 - c0 wN 1 z ... zN 0
где с^(0, k) при Соотношение (4) называется форму-
лой для воспроизводящего ядра1). Анализ детерминанта в (4)
показывает, что коэффициент при wkzi равен
-(1/^)Л1А,у(-1/+/, 0<fc, j<N,
где — минор (kt /)-го элемента матрицы IN— QN. Следова-
тельно,
NN __ N _____
2j ^lgN(k, j)zJw* = ^iPn(z)pn(w). (5)
fe=o j-о n=o
Равенство (3), а вместе с ним и (г) мы смогли бы получить из
(5), если бы.доказали, что все коэффициенты рп,ь полинома
pn(z) действительны. Из равенства (5) следует, что
Sn (N, k) = gN (k, N) = pNt NpN) k = pNt NpN, n,
поскольку матрица gN = In — Qn симметрична. Более того, со-
гласно (б), pN, n=Pn, n, так что pN,k являются действительными
числами при всех
Для доказательства утверждения (д) воспользуемся резуль-
татами гл. IV. Если
gs(x, y) = g(x, у), В = [х|-оо<х<-1],
— функция Грина полупрямой (определение 19.3), то
lim gN(k, j) = g(k, j) при fe>0, />0,
JV->oo
поскольку последовательность gN<k, j) представляет собой ма-
тематическое ожидание числа попаданий случайного блуждания,
исходящего из k, в точку / до момента выхода из множества
[О, V], и поэтому монотонно возрастает к g(k, j)—такому же
математическому ожиданию для полупрямой [0, со). Так как
рассматривается симметричный случай, то, учитывая предложе-
ние 19.3, имеем
lim gN(k, j)= 3 (6)
ЛГ->оо n~Q
’) Обозначим левую часть соотношения (4) через Kn(z, w). Это «ядро»
обязано своим названием следующему свойству:
л
/ к„(г, e«9)g(^)[i-<p(e)H0 = g(z),
-л
каков бы ни был полином g(z) степени, не превосходящей N.,
Рассматривая частный случай этого равенства при / = 0, полу*
чаем
lim gN{k, 0) = lim gN(N — k, N) =
2V-»oo 7V->oo
= lim pN>NpN,N-k = u(k)u(0). (7>
7V->oo
Полагая в (7) k = 0 и замечая, что Pn,n>0, имеем
lim py,N = u (0), lim pNt N_k = u (k),' (8>
ЛГ->оо . JV->oo
тем самым доказательство предложения 3 закончено.
На самом деле предложение 3 нигде в дальнейшем явно не
используется; это утверждение приведено лишь для того, чтобы
лишний раз подчеркнуть, что не следует упускать из внимания
алгебраические аспекты задачи, т. е. то обстоятельство, что
Р(х,у) =Р(0, у — х), а также различные проявления этого факта.
Чтобы избежать утомительных ссылок, воспроизведем теперь не-
которые результаты гл. IV. Эти результаты относятся к функции
Грина
g(x, y) = gB(x, у), в = [х|-°°<х<-1].
Эта функция задается удивительно простой формулой (6)^
приведенной при доказательстве предложения 3, справедливость
которой вытекает именно из того, что Р(х, у) —разностное ядро.
Мы ограничимся лишь случайным блужданием, для которого-
ц = 0, о2<оо, так что все асимптотические результаты § 19, отно*
сящиеся к функции g(x, у), остаются справедливыми.
Предложение 4. Для апериодического случайного блуждания
со средним р — 0 и дисперсией а2<оо
min (х, у)
g(x, у) — 2j u(x — k)v(y — k), х>0, у>0,
ЬО
и
(б) lim u(x) = u>0, lim и(х)=ц>0,
Х->+оо Х->4-оо
где
2
Доказательство. Чтобы получить (а), достаточно вспомнить
предложение 19.3 или приводимое выше соотношение (6); при
этом требование апериодичности и условие р=0, о2 < оо из-
лишни. Для проверки (б) можно воспользоваться предложе-
нием 18.8, которое существенно опирается на то, что случайное
блуждание апериодично и ц = 0, а2 < оо. Точное значение преде-
лов и и v не представляет интереса. Все, что нам нужно знать,
это значение их произведения. Предложение 4 позволяет теперь
начать обобщение теории, развитой в § 21, на случай произволь-
ного апериодического одномерного случайного блуждания с ну-
левым средним и конечной дисперсией. (Некоторые из вспомо-
гательных результатов, такие, как предложения 5 и 6, устанав-
ливаемые ниже, в действительности имеют место при более об-
щих предположениях.)
Предложение 5. Существует такая постоянная М > 0, что г
gN(x, {/К^[1 4-min(x, у, N — x, N — #)]<оо,
если только 0 4%, y^N.
Доказательство. В силу предложения 4 можно выбрать М
таким образом, что 0^и(х)<^М, СХи(х)<СЛ4 при всех х^О
Но из вероятностных соображений очевидно, что
Z/)<g(x, $0<Almin(l 4-х, 1 +у) = М [1 +min(x, у)].
В то же время имеем
gN (к, у) = gN (N ~ У, N - х).
Это не опечатка! Для проверки вовсе не обязательно вводить
обращенное случайное блуждание, ибо это простое тождество
следует непосредственно из определения £n(x, у) (определение
21.1). Таким образом, имеем также
yXigiN -у, N — x)<Almin[l +2V -у, 1 +Af-x],
тем самым доказательство предложения 5 закончено.
Перейдем теперь к изучению функций RN(x, k) и LN(x, fe),
задающих вероятности выхода соответственно вправо и влево
от множества [0, N].
Предложение 6.
(a) %Rn(x, k) + ^LN{x, k)=\, 0<x<7V,
6=1 ы
00 сю
^(N + k)RN(x, k)+^(-k)LN(x, k) = x, 0<x<JV.
*=i *-i
Доказательство. Рассуждение основывается на тождествах
N
\ Rn (х, k) = 2 gN(х, у) Р (у, N + k),
у^О
N
Ln (х, k) = 2 gN (х, у) Р (у, - k),
у=о
справедливых при 0^-x^.N, &>0. Эти тождества очевидны,,
поскольку
Ял(х, у)Р(у, N + k) = 2 Qn(x, у)Р(у, N + k) —
l=o
= 2 ?х [T,v = j + 1; XTN~i=y, х-гд, = jV +/г] =
- Px [хТлг1 = у, *tn = N +
где T.v — момент первого выхода из множества [0, N] (определе-
ние 21.2). Тождество для LN доказывается точно так же.
Левую часть соотношения (а) можно тогда записать в виде
N Г N
^gN(x, у) 1 - 2 Р(У, S)
^=о L s=o
Принимая во внимание, что
N
21gN(x, у)Р(у, s) = gN(x, s)-6(x, s),
j,=0
где x и s одновременно принадлежат [0, 2V], получаем
N
2 u?tf (x, k) + Ln (х, 6)1 =
*=i
N N N
= 3§лг(х, у)-2^(х, $) + 2б(х, s)=L
y=Q S-0 S=0
Доказательство (б) аналогично, однако оно существенным
образом использует предположение о том, что т<со, р=0. Пре-
образуем левую часть соотношения (б):
2 gN(x, y)\%(N + k)P(y, N + k)-^kP (у, - k)
zz/—О |_/г=1 /г=1
= у)
у—^
N
^^iglAx, у)
y=Q
N
OO N
3 jP(y, i)
/=-OO /=0
y- 'SiiPiy, i) =
f“0 j
N
= S ygN (x, у) - S jgN (x, j) + S /6 (x, j) = X.
y—0 i~0
Тем самым это интуитивно очевидное предложение доказано.
Часть (а) означает, что случайное блуждание выходит из мно-
жества [0, АП вправо или влево. Часть (б) представляет собой
утверждение,' характеризующее случайное блуждание со сред-
ним ц=0 как «безобидную игру»: если х0=х и Tv— рассматри-
ваемый нами момент остановки, то (б) означает, что
Е*' Ы = Хо = х.
/
Последнее, конечно, справедливо для любого «разумного» мо-
мента остановки.
Предложение 7.
оо оо
RN(x)~^ + -j^kLN(x, k)-j-^kRN(x, k).
k=\ 4=1
Доказательство. Прежде всего произведем следующие пре-
образования:
оо оо . оо
Rn{x)^Rn(x, k)=^^N-¥k)RN{x, k)-^^kRN(x, k).
4=1 4=1 4-1
Доказательство заканчивается применением утверждения (б)
предложения 6 к предпоследнему члену, что дает
оо оо
Rn (х) = у- + у kLN (х, k) - у 2J kRN (х, k).
й=1 ы
Основная теорема настоящего параграфа (теорема 1) ка-
рается асимптотического поведения Rn(x) и Ln(x) при iV~>oo.
Доказательство ее будет использовать предложение 5, установ-
ил енное лишь в предположении, что о2<оо. Но это не должно
вводить в заблуждение, ибо можно показать, что предложение &
имеет место и при более широких условиях. Тем не менее су-
щественное использование конечности дисперсии позволит делать
оценки, сходные с теми, которые требовались для доказательства
/ предложения 1. При доказательстве теоремы 1 нам придется
рассмотреть функцию
— 2 k? (0, s'+k), (1>
ы
и воспользоваться ее свойством
п
lim-| У(1+s)a(s) = 0. (2)
Установить это свойство легко: из (1) получаем
2a(s)=2 %kP(O, s + A)=S(l+2+ ... + /)Р(0, j)<
s=o k=o s=o 7=1
< S i2P (o. /) < o2< °®.
У=1
и по лемме Кронекера из сходимости ряда2а(5) следует, что
п
lim Vsa(s)==0,
П->оо П
\ 5=sI
а это значит, что (2) выполняется.
Теорема 1. Для одномерного случайного блуждания со сред-
ним р = 0 и дисперсией 0<о2<оо Rn(x)—x/N-^О при N->oo
равномерно по всем Q^x^N, Аналогичный результат спра-
ведлив и для Ln(x) — (1 —x/N).
Доказательство. Мы проведем доказательство для апериоди-
ческого случайного блуждания, однако заметим, что теорема 1
будет тогда автоматически справедлива и в периодическом слу-
v чае, если Р(0, 0) = 1, но последнее исключается предположением
о том, что а2 > 0. (Чтобы возможность обобщения доказатель-
ства на случай периодического случайного блуждания стала
очевидной, достаточно заметить, что в периодическом случае
существует такое целое d> 1, что случайное блуждание на про-
странстве состояний, состоящем из чисел кратных d, является
апериодическим.)
Ввиду предложения 7 достаточно показать, что равномерно
по
оо
lira 4- У kRN (х, k) = 0,
к — 1
и получить аналогичный результат для LN(x, k). Поскольку обе
задачи решаются одним и тем же методом, достаточно разобрать
лишь одну из них. Имеем
оо оо
у (х, k)=~^k %gN(x, y)P(y, N + k),
£=1 /г=1 0=0
и, используя предложение 5 и на последнем этапе обозначение
(1),
оо ОО ДГ
42^ u. N + k) =
fe=l /г=1 0=0
oo /V N
k=i 5=0 5 = 0
Эта оценка сверху не зависит от^х и, как было показано раньше
(см. соотношение (2), предшествующее теореме 1), последний
член в приведенной цепочке равенств стремится к нулю при
7V->oo. Так как аналогичную оценку можно получить и для
вероятности LN, доказательство теоремы 1 закончено.
Теорема 1 лишь «наполовину» обобщает результаты задачи
о поглощении для простого случайного блуждания на случай
ц = 0, а2<оо. Отметим, что теорема 1 соответствует утверждению
(б) предложения 21.4, где получен «точный» результат в том
смысле, что
Теперь мы постараемся получить такой результат для gN(x, у),
который соответствовал бы утверждению (а) предложения 21.4.
Эта цель будет достигнута теоремой 23.1 следующего параграфа.
В заключение настоящего параграфа сделаем некоторые за-
мечания относительно изученных Кестеном [40], [41] возможных
обобщений теоремы 1 для случайного блуждания с о2 = оо. Су-
щество задачи не изменится, если теорему 1 записать в виде
lim ([Afx]) = х, 0<х<1.
оо
Иначе говоря, если ц=0 и о2<оо, то пределом является равно-
мерное распределение. Точно так же, как это было в конце § 21
при обсуждении закона арксинуса и вообще задач о времени,
пребывания, возникает следующий вопрос. Для каких случай-
ных блужданий существует предел
lim Rn([Nx]) = F(x), 0<х<1, (1>
ДГ-> оо
такой, что F(x) является функцией распределения, и какие рас-
пределения F(x) могутч выступать в качестве пределов такого
типа? Так же, как и в задачах о времени пребывания, этот
предел может вовсе не существовать. Для симметричного слу-
чайного блуждания Кестен выявил класс случайных блужданий,
предельным распределением для которого является неполная
бэта-функция:
х а а
= г ‘'*'т I О 0<«<2. (2>
[О] °
По-видимому, этим исчерпываются все возможности. Как и в
задачах о времени пребывания, параметр а связан с асимптоти-
ческим поведением Р(х, у) при. \х — у\ ->оо; в частности, если
р = 0 и о2 < оо, то а=2, что приводит к результату теоремы 1:
?’2(х) = х.
В качестве любопытного частного случая рассмотрим случай-
ное блуждание примера 8.3 гл. II. В этом примере было пока-
зано, что
оо
<р(0) = 2 Р(0, x)eixS= 1 — |sin-|-| (3>
Х=—оо
является характеристической функцией, отвечающей переходной
функции
Р(0, 0)=1-|, Р(0, = (4>
Поскольку, как показал Кестен, предельное распределение с па-
раметром а, 0<а<2, имеет место, когда
Р(0, х)~ const • | х |“(1+а),
для случайного блуждания, определяемого формулами (3) и (4),
lim Rn( [Wx]) = Fi (х) =-2-arcsin Ух, 0<х<1. (5)
N-> оо
Приведем теперь набросок одного способа доказательства (5),
целиком отличного от методов настоящей главы.
Пример 1. Рассмотрим простое случайное блуждание хп в
плоскости /?. Зададимся произвольным положительным целым N
и разобьем R на три множества
z = k(l+i) при некотором
Bn = [z\z^ R, 2 = ^(1+/) при некотором &<0],
С№= R — (An U Bn).
Обозначим, наконец, через D диагональ [z\z — n(\+i),
—оо<п<оо]. В примере 8.3 было показано, что функция Р(х, у),
определяемая приведенными выше соотношениями (4), является
переходной функцией случайного блуждания, получающегося
из случайного блуждания хп, когда это последнее попадает на
диагональ D (вложенное случайное блуждание, связанное с D).
Отсюда следует, что для любого действительного t, 0</<1,
функция 7?n([^]) в соотношении 5 имеет интересную вероят-
ностную интерпретацию в терминах простого двумерного случай-
ного блуждания хп. Достаточно положить
- х0 = [A/Y](l-Н‘), Tjv = min[fe 1, xfe<=AvUBv],
чтобы заключить, что
([АГ/]) = Ppw] (i+i) [хт?; . (6)
Для вычисления /?я([Л^/]) рассмотрим функцию
М2)=рг[хт№
и заметим, что она является решением внешней задачи Дирихле
(см. предложение 13.2):
4 [Av (z + О + In(z “ О + In (z + 0 + In (z "" 01 In (z) (7)
при z^CN с граничными условиями
если z^An, 1к(2) = 0, если z^BN. (8)
Эта граничная задача слишком сложна для того, чтобы на-
деяться получить ее точное решение, однако предельный случай
(при N —>оо) довольно прост. Конечно, для того чтобы полу-
чить корректное дифференциальное уравнение, предельное для
(7), следует с ростом W брать все более частые решетки. Если
на N-м этапе выбрать решетку с шагом N~l, то уравнение (7)
Должно превратиться в уравнение Лапласа, при этом граничные
условия (8), разумеется, останутся неизменными. Эти рассужде-
ния, если они, конечно, корректны, приводят к заключению, что
lim fN(z) = f(z) = u(x, у),
N-> ОО
где Ды=0 для любых х и у, за исключением множества
А =[(х, у) \х—у 1], где мы имеем и(х, у) = 1, и множества
В=[(х, у) |х=г/-СО], где и(х, у) =0. Если мы сможем найти та-
кую функцию и(х, у), то все будет закончено, ибо тогда
lim RN ([ЛЛ]) = Д/(1 + 01 = «(Л 0- (9)
iV-»oo
Методы, необходимые для оправдания перехода к пределу,
хорошо известны. Они были созданы в 1928 г. в связи с изуче-
нием аппроксимации граничных задач разностными уравнениями
(Курант, Фридрихе, Леви [54]). Уже тогда были довольно хо-
рошо поняты и вероятностные аспекты этой задачи.
Найдем, наконец, нужную нам гармоническую функцию. Это
легко сделать, если воспользоваться подходящим конформным
отображением (таким отображением/и(г) множества R—(ЛОВ)
на некоторую область D, что Rem(z) = l при геЛ и Re/n(z)=0
при г<=В !)). Тогда получаем
, , 1 .2Im (w)
и (х, у) = — arctg —=А-,
Л WW — 1 ш
где
2z , 1 + w1 2 т / \ ^ л
, .— 1 == -:--Г, Im(t»)>0.
1 + I 1 — W2 ’ ' ’
Проверяя, что и(х, у)—искомая гармоническая функция, и по-
лагая x=y = t, получаем
w — i , 0 < t < 1,
«(/,/) = — arctg Г= ± arctg -2-^ = 4 arcsin V*-
Л L — 1 J Л L 1—2/ J
(10)
В силу (9) наше доказательство (не считая оправдания пере-
хода к пределу в (9)) того, что случайное блуждание (4) имеет
вероятности поглощения, удовлетворяющие соотношению (5),
заканчивается. Поскольку
>t при
2 г— ।
— arcsin У t 1 .
31 | <t при
1) Имеется в виду отображение т (г) == —— In - . — Прим. ред.
Л Ш т 1
мы приходим к заключению, что симметричное случайное блуж-
дание с бесконечной дисперсией качественно отлично от случай*
ного блуждания, для которого ц = 0 и а2<оо: выход симметрич-
ного случайного блуждания с бесконечной дисперсией через
конец интервала, ближайший к его исходной точке, менее прав-
доподобен, чем выход через противоположный конец.
§ 23. Функция Грина для задачи о поглощении
Функция Грина gN(x, у) была определена (определение 21.1)
при N 0, х и у из множества [О, АД Она представляет собой
математическое ожидание числа попаданий случайного блужда-
ния, исходящего из х0=х, в у до момента его выхода из множе-
ства [О, АД Наша непосредственная целы заключается в обобще-
нии утверждения (а) предложения 21.4 на произвольное случай-
ное блуждание со средним ц=0 и дисперсией 0<о2<оо. Эта
цель будет достигнута теоремой 1; в оставшейся же части на-
стоящей главы будут рассмотрены некоторые применения этой
теоремы.
Для получения информации об асимптотическом поведении
функции gnfx, у) при JV-*oo мы используем теорему 22.1 и
Предложение I.
оо
gN(x, y) = g(x, у)- 2 Rn(x, k)g(N + k, у), X, ye [О, АД
ы
Доказательство. Пусть хп — случайное блуждание, х0=х,-
Tjy—момент (наименьшее число k), когда впервые xfee/?—[О, АП,
и Т — момент, когда впервые xfe<0. Ясно, что Tj^^T, и поэтому
т№* Т-1 Т-1
Sn{x, у) = Ел S б(у, хй) = Еж5б(у, xfe)-Ex 5 б(у, хй) =
fc=0 /г=0
оо
= g(x, у)-ЗЯдг(х, k)g(N + k, у),
k — l
Сопоставляя предложение 1 с теоремой 22.1 и предложением
22.4, убеждаемся, что имеет место
Теорема 1. Для апериодического одномерного случайного
блуждания со средним ц = 0 и дисперсией 0<о2<оо при Nоо
2дГ &v(x> У)“~ R f "у)
равномерно по 0 -^.х, y^N. Здесь
(s, 0 — min (s, Г) — st, O^s, /<1.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно предполо-
жить, что у-^х. Если это не так, то следует рассмотреть обра-
щенное случайное блуждание. Поскольку и(х) —*м>0, и(х) —*
г-+у>0, можно записать
и (х) = и + и (х), v(x)~v + v(x),
где
lim ц(х) = lim v(x) = 0.
X->4-oo x^>4-oo
Тогда, учитывая, что у4хи uv = 2/o2, имеем
g (х, у) = и (х) о (у) + и (х - 1) V (у - 1) + ... + и (х - у) V (0) =
У
- (у + 1) -& + 2 (х ~ У + к) + ц (х - у + k) V (fe)].
fe=0
Более удобно записать последнее соотношение в виде
ё(х, у) = (у + 1)^г + -5гр(х, у),
где остаточный член р(х, у), определенный при обла-
дает тем свойством, что
у
|p(x, Z/)K S е(^), 0<г/<х,
*=0
причем е(п)—фиксированная неотрицательная бесконечно ма-
лая последовательность (lime(n) = 0).
П->оо
Используя предложение 1,. получаем
IF ~ R ( ЛГ ’ 1=
= 2# У)~ tf-(l “ лг) =
оо
= у) k)g(N + k, Z/)~7f(l ~-^) =
k^l
= £y^- + ypu> У)-1^-Ян(х)-
~^KN(X, k)p(N + k,
k=l
Теперь остается только произвести оценку остаточных членов.
Заметим прежде всего, что
у N
ЬО fe=0
оо у N
k)p(N + kt у)
£=1 5=0 /2 = 0
и поэтому оба эти члена, как это и требуется, равномерно стре-
мятся к нулю. Обозначим сумму этих двух членов через влг. Да»
лее, в силу теоремы 22.1
|Ялг(х)-7Н<е"
где в// — некоторая другая бесконечно малая последовательность,
не зависящая от х. Принимая во внимание эти оценки и исполь-
зуя неравенство треугольника, имеем
'N + #
w n >
что стремится к нулю равномерно по и теорема 1
доказана.
Доказанная теорема имеет различные интересные следствия.
Мы остановимся лишь на трех из них (ср. задачи 6 и 7, где
приводятся другие применения этой теоремы). Прежде всего,
мы теперь можем доказать предложение 22.2, сформулированное
в начале предыдущего параграфа, которое в некоторой степени
мотивировало выводы теоремы 22.1 и теоремы 1, но еще не было
доказано. Нужно показать, что
N 1
*)/(4) = s)f(s)ds.
k=0 о
Так как f(x) —ограниченная функция и сходимость в теореме 1
равномерная, то
N N
2Л^k)f{jf]=hrn у jpfl (Цг» -jy)/ (jy),
k=^Q &=0
20 Зак. 1375
I*
и выражение, стоящее под знаком последнего предела, является,
конечно, интегральной суммой Римана, соответствующей инте-
гралу в правой части доказываемого равенства.
В качестве другого приложения, не более глубокого, но пред-
ставляющего значительно больший вероятностный интерес, изу-
чим задачу о времени пребывания. Эта задача будет выглядеть
несколько более естественно, если множество JO, 7V] заменить на
[—N, W] и считать, что процесс начинается в некоторой фикси-
рованной точке, скажем в середине этого интервала. С этой
целью дадим следующие определения.
Определение 1. Случайное блуждание хп исходит из точки
хо=О. TN —момент первого выхода из множества [—N, N], у —
некоторая фиксированная точка из R и
N„te)= S xfe)
— число попаданий случайного блуждания в у до того, как оно
покинет множество [—N, jV].
Докажем
Предложение 2. Для апериодического случайного блуждания
со средним |л=0 и дисперсией о2<оо
lim PotNjyCr/)^ TVx] — e~°2x, x^O.
JV->oo
Доказательство. Рассмотрим лишь случай i/=£0, предостав-
ляя читателю тривиальные видоизменения доказательства, необ-
ходимые при i/==0. Пусть
Pw(t/)=Po[N7V(^)>O],
rN (у)= Ру = У при некотором 0 < k < Т^-].
Тогда
Po[NW^) = /}=sPw(i')r^,(!/)[l-rN(y)], j>l.
*
Чтобы можно было эффективным образом применить теорему 1,
преобразуем множество [—2V, 7V] в множество [О, 2N], при этом
условие хо=О заменится условием x0=2V, а точка у перейдет |
в y + N. С помощью простых вычислений получаем 1
g2NW,N + y) 1
Pn W g2N(N + y,N + y)' :
rN(у) = 1 - g2N(N + y,N + y) • <
Далее,
Ро [Njv {у) > Nx] = pN (у) [Гдг (z/)]tAfJC1.
В силу теоремы 1 ясно, что
lim pN(y) = 1.
N-+OO'
Чтобы оценить г^(у), заметим, что
g2N № + У, N + у) => у - + едг (у),
где 8w(#) —>0 равномерно по у. Поэтому
гМ=1-^ + о(±),
где No(\/N)->0 при Af-*oo. Но этого достаточно, чтобы прийти -
к заключению, что
lim [^(г/)]1ЛГх1= lim (1--J-р =е-а2ж,
» N->oo 7V->oo \ ;v /
и предложение 2 доказано.
Следующее из рассматриваемых нами приложений теоремы 1
относится к асимптотическому поведению момента первого вы-
хода Тя из множества [—N, ЛД Покажем, что предложение 21.5
справедливо при значительно более общих условиях.
Теорема 2. Для произвольного одномерного случайного
блуждания со средним ц = 0 и дисперсией 0<о2<оо случайная
величина TN (определение 1) имеет предельное распределение
lim РоГТдг > х-^-1 = 1 —F(x),
7V->oo L ° J
где
' 00 Ь л2
6=0
Доказательство. Чтобы облегчить использование теоремы 1,
будем предполагать случайное блуждание апериодическим,
учитывая, что это ограничение можно снять с помощью рассуж-
дений, подобных примененным при доказательстве теоремы 22.1.
Доказательство потребует нескольких предварительных лемм,
первая из которых относится к моментам функции распределе-
ния F(x) из теоремы 2.
Предложение 3.
т, - J x'f Wdx = РI i(Af £(-1 )* (г^п-Г". р > 0,
О £=0
где f(x) является плотностью функции распределения F(x). Бо-
лее того, если для некоторой функции распределения G(x)
оо
| хр dG (х) = пгр при всех р = О, I, ...,
то G(x) —F(x).
Доказательство. Первое утверждение предложения 3 опи-
рается лишь на непосредственные вычисления моментов шр рас-
пределения F(x), определенного в теореме 2. Второе же утвер-
ждение, означающее, что проблема моментов для указанной спе-
циальной последовательности моментов тр имеет единственное
решение, можно вывести из хорошо известного критерия. Если
- оо
ср — j хр dH(x), р^О,
— последовательность моментов некоторого вероятностного рас-
пределения Н(х) и если при некотором г>0
k < оо,
/г—О
то Н(х)—единственное распределение, обладающее этими мо-
ментами (проблема моментов для последовательности Ck имеет
единственное решение). Легко видеть, что последовательность
моментов пгр удовлетворяет сформулированным выше условиям
для любого г<л2/8.
Нам потребуется еще один результат из общей теории функ-
ций распределения1). Если Нп(х) — такая последовательность
функций распределения, что
оо
J хр dHn (х) = ср (п), р > 0, и > О,
limcp(n) = cp, р^О,
__________п -> 00
’) См. Лоэв [58, § И и 14], где приведены предельная .теорема и исполь-
зованный выше критерий единственности. Использование указанной тео-
ремы для нахождения предельного распределения с помощью вычисления
пределов моментов называется часто методом моментов.
и если существует единственная функция распределения Н(х)ь
такая, что z
ср = J хр dH (х), р^О,
— оо
то
lim Нп(х) = Н(х)
П-><х>
в каждой точке непрерывности Н(х).
Эта теорема позволяет свести доказательство предложения 2
к анализу предельного поведения моментов случайных вели-
чин Ту. В силу предложения 3 из проведенных рассуждений,
следует
Предложение 4. Если при каждом целом р>0'
lim Ео
W->oo
где тр определено в предложении 3, то имеет место теорема 2.
Анализ моментов случайных величин Tw мы начнем с неболь-
шой хитрости. Принимая во внимание, что случайное блужда-
ние начинается в точке хо=О, определим случайные величины
J 1, если | хг | N при /=1, 2, k,
Я’лг, k — . о в противном случае,
Тогда
оо
Тдг = 2 Л,
fe=0
«1=0 «2—0 «1=0 «2=0
где /=/(Ль Л2)=тах(Л1, Л2). Число различных пар (Ль Л2) не-
отрицательных целых чисел, максимальное из которых равно
оказывается равным (/ + 1)2 — /2, так что
n-iwo+i)2-/2]-
/=0
Упомянутая хитрость состоит в том, что эта процедура весь-
ма просто обобщается. Число различных наборов k2, ..., kp)>
из р неотрицательных целых чисел таких, что max(&i, k2, ...
..kp)—j, оказывается равным (/+1)р— jp (разность объемов
двух кубов!), и мы получаем
Предложение 5.
p>i,
/=0
Полученное представление позволяет.довольно просто вычис-
лить моменты. В терминологии определения 2L1
E0[^v,J=1q^(2V, О-
i=0
Если через g%N(x, у) обозначить р-ю степень матрицы g^tx, у),
х, у -С 2/V, то
оо
g%N (Х> У) ~ Q2n)~P (*’ У) “ S ( ~k ) О* Q™ (х, у).
6=0
Таким образом,
2W оо
S gp2N(N, у) = J ( ) (-1)* Ео [i|w, ft] =
.у—0 k—0
оо
= -(^Т)г2<А:+ 0(£ + 2) ... (Аг + р- 1)Е0[Ч>лг.Л. (1)
k—0
С другой стороны,
оо
Ео[П] = 2 [(Аг-Ь 1)° —Ео[-Флг. Л-
k=Q
Теперь мы можем показать, что справедливо
Предложение 6. Если
2N
(да-Г S S.’» тг Р >1'
!/=0
ТО
lim ]^тР'
L\N / J
Доказательство. Если выполняется условие предложения 6,
то, комбинируя приведенные выше соотношения (1) и (2), мож-
но заключить, что
00
2 [(А +1)... (k+р -1)] е0 »] =
fe = 0
=Лт« (>) (р-di SkP 1е°=
fe=0
) "рг pkP Е° =
fe—0
оо
= Шп (^)Р± 2 [(* + 1)р - F] Ео [^, й] = '
fe—о
]•
(Здесь на различных этапах мы использовали условие предло-
жения 6, отбрасывая конечное число членов порядка №~2 или
ниже.)
Таким образом, доказательство предложения 4 и, следова-
тельно, теоремы 2 будет закончено, если мы сумеем показать,
что первый предел в предложении 6 существует и имеет нужное
значение. Для изучения этого предела естественно определить
итерации функции Грина
jR(s, /) = 7?1(s, /) = min(s, 0 —
именно,
i
Rp+l (s, t)= / R(s, x)Rp(x, t)dx, p > 1.
о
Установим теперь результат, являющийся несколько более силь*
ным, чем это необходимо.
Предложение 7. При р=\, 2, 3, ... ы W —*<х>
равномерно по 0 х, y4N и р^\,
Доказательство. Пусть
±\- М1~РУ р(— ±1 п( lP-l _Н.
% (лг ’ n)~N n) • ’• ’ NJ’
суммирование здесь и далее производится по всем наборам
(t'i, iz, ..., ip-i) из р— 1 чисел таких, что 0^v=l, 2, ...
..р — 1. Воспользуемся теоремой 1 в следующей форме:
2дг У) = R ’ Af”) "1” У)>
при N~>oo.
Тогда
S)-r(£. 1)|-
| 2 (x, l'i)j . . . ("iv- ’ лг) "I” ®wO'p-l> #)]
_v₽f— ill np'p-1 ±11
9 NJ N ’ N /Г
Так как
0<Я(х, г/X-i, 0<x, #<1,
то при N —> oo
=(W'-(T-°
равномерно no р>1. В последнем соотношении мы воспользо-
вались следующими тремя- простыми фактами. В нем неравен-
ство обусловлено тем, что если заданы такие два набора
411, 02, . •., а? и Ь\, b%, ..., Ьр по р действительных чисел в ка-
ждом, что 0 «б •< а, | bk | Ь, то
Следующее за ним равенство вытекает из того, что суммирова-
ние, определенное в начале доказательства, обладает тем свой-
ством, что Наконец, если еп — бесконечно малая по-
следовательность и 0<а<1, то (а+еп)р— ар->0 при п->оо
равномерно по р>0.
Доказательство предложения 7 может быть закончено, если
.показать, что при ^->oo
\N 9 NJ \N 9 N) U
равномерно по всем целым х, у и р = 0, 1,2, ... . Зададимся про-
извольным е>0 и выберем р0 так, что 4“р’<в/2. Тогда, если
р > ро, то
I dp (2L -Е.\ _ рР (— JL\ I д-р _l д-р о
при всех х, у, N. Таким образом, достаточно найти такое целое
/ОО, что при N>K
для всех О^х, у^-N и всех р = 1, 2, ..., ро—1. Поскольку нас
интересует лишь конечное число значений р, достаточно выбрать
необходимое К для каждого из значений р отдельно (а затем
уже взять наибольшее значение К). Поэтому остается показать,
что при каждом положительном целом р
равномерно по y^N. Если р=1, то эта разность равна
нулю. Если р—2, то
N
рр (— _еЛ L V р (— ь р (—
A {N’NJ N A* \N ’ N * \N • N)
k-o
является интегральной суммой Римана для функции
R(x/N, t)R(t,y/N). Такая сумма будет сходиться равномерно
к R2(xlN,ylN), если только рассматриваемая функция /?(х, у)
непрерывна на квадрате 0-<х, //•< 1. Но это легко проверить, и
тогда также и в случае р > 2 новых трудностей не возникает.
Покажем теперь, что предложение 7 завершает доказатель-
ство теоремы 2. В силу предложения 7
2N 2N
8%Н У) =J^>8₽ 2ЛГ 2 (т ’ 2я) =
#=0 {/=0 z
1
= 8Р /я'(у, x)dx.
о
Для вычисления последнего интеграла воспользуемся георемой
Мерсера, упомянутой после предложения 21.3. Имеем
п„ , \ V *₽* W Ф* (у)
R'ix, s)-l ,
где ср* (х) = V^2 sin nkx, = n2k2. Это позволяет совсем просто
произвести интегрирование и получить
1 оо 1
8Р J Rp (, хj dx = 2 • 8Р (nky2p sin j sin knx dx =
о bi о
= (Af1 V (_ i V [_1_Г = A.
2 \ л2 / 2j+ 1 / p!
M
Этим заканчивается вычисление пределов в предложении 6, и,
следовательно, теорема 2 доказана.
Стоит указать также несколько иную формулировку теоре-
мы 2, не лишенную интереса.
Теорема 3. Для одномерного случайного блуждания со сред-
ним р = 0 и дисперсией 0<о2<оо
limPf шах | S* ох Уп 1 == 1 — F (-Ц, х > О,
n->oo LKfcCn J ' * '
где функция распределения F(%) определена в теореме 2.
Доказательство. Обозначим через Gn(x) функцию распреде-
ления случайной величины (o2n)~I/2 max | |. Тогда теорема 3
означает, что последовательность
2laxFn] _
Gn (х) = Q"[xa r-j ([ax Vn ], y\ x > 0,
при n —> oo сходится к пределу
G(x)~ 1 — F(x"2), x > 0.
По-видимому, невозможно получить достаточно сильные оценки
для итераций Q, чтобы непосредственно проверить этот резуль-
тат. Однако мы увидим, что основные трудности уже преодо-
лены по ходу доказательства теоремы 2. Рассмотрим два собы-
тия
(i) max | S* К ax/и, (ii) Т[охИГ] > п.
1 «С k
Очевидно, что эти события совпадают! Иначе говоря,
Gn(x) = Р [Tlaxу-j > и].
Если зафиксировать х>0 и положить т = т(п) = [ахУп ], то
(т+1)2
о2х2
(т+1)21
а2х2 J
р[ти>
<G„(x)<p[t„,>-^-].
Так как п —>оо, то также и т=т(п) —>оо. Таким образом,,
по теореме 2
П^0„(х)<ИтР[тт>-^4-1 = 1-ЕШ'
n*>oo m->oo L и Л J \ л /
и, точно так же,
lim Gn (х) > ПЫ Р Гтт > -g- ± (1 + -М21 >
> lim Р Гтт > - J 4] = 1 - F (-4)
т->~ L 02 x2J \Х2/
при каждом действительном с> 1. Но F(x) и Е(х~2) являются
непрерывными функциями х и, поскольку с можно выбрать сколь
угодно мало отличающимся от единицы,
lim G„ (х) = I - F (х-2).
/г->оо
Замечание. Первое строгое доказательство теорем 2 и 3 при-
надлежит Эрдёшу и Кацу [106], 1946 г. Их доказательство не
только короче, но в некотором отношении интереснее нашего.
Эти авторы свели задачу к доказательству теоремы 3 для броу-
новского движения, являющегося предельным случаем для по-
следовательности случайных блужданий, если подходящим об-
разом изменить пространственную и временную шкалы. В связи
с броуновским движением теорема 3 была фактически известна
уже Башелье в начале этого столетия, так что основным мо-
ментом доказательства в [106] было оправдание указанного пре-
дельного перехода с помощью так называемого принципа инва-
риантности [23].
Задачи
1. Вывести аналог предложения 21.1 для простого случай-
ного блуждания в плоскости, т. е. найти собственные значения
и собственные функции для переходной функции, суженной на
прямоугольник
[z| 0 < Re(z) < М-, 0<Im(z)<JV] = RjM,Ar.
2. Продолжение. Пусть М и N — целые четные числа и
Т = min [£| 1, xk <= R — /?уи,лг1-
Вычислить Е2(Т) при n, в частности при z = ~ (M + iN).
3. Вычислить ортогональные полиномы pn(z) в предложе-
нии 22.3 для простого случайного блуждания и непосредственно
проверить справедливость утверждений (г), (д) и (е) этого
предложения.
4. Вычислить ортогональные полиномы pn(z) в .предложении
22.3 для двустороннего геометрического случайного блуждания,
рассмотренного, в задаче 3 гл. IV.
5. Показать, что непосредственным аналогом предложения
22.3 для несимметричного случайного блуждания является су-
ществование (однозначно определяемой) биортогональной си-
стемы полиномов qn(z) и rn(z), такой, что
л
(2л)-1 f qn(e*)7~&®) [1 - <р (0)] dQ =
—Л
Указание. Проверить, что соотношения биортогональности
имеют место, если
оо
qnk — 3 Pfe[xv = п; Ху < п при / = 1, 2, ..., V— 1] для п > k,
v—0
Япп = 1 >
И
rnk = S Pn[xv = ^; Xj^n при j = 1, 2, ..v] для n^k
v=0
определяются как коэффициенты полиномов
qn (z) = 3 W*> rn (z) = S
ЬО A=0 _
Используя эти полиномы, имеем1)
N
gN(i< i)= qvirvl.
v—max (i, j)
9 Эта биортогональная система изучена Бакстером (см. [2] и [3]) в бо-
лее общем контексте. Фактически все результаты, относящиеся к ортогональ-
ным полиномам предложения 22.3, можно обобщить на рассматриваемую
биортогональную систему. Более того, можно изучать поведение соответ-
ствующих коэффициентов рпк при одновременном возрастании п и k. Так,
было показано 181], что коэффициенты Pnk в предложении 22.3 для симмет-
6. Пусть через DN обозначается число различных точек, в
которые попадает одномерное случайное блуждание со сред-
ним 0 и дисперсией 0<о2<оо прежде, чем оно покидает множе-
ство [—N, 7V]. Вычислить «долю посещаемых точек»
Нт Ео[-^1.
W->oo L J
(Следует ли ожидать, что ответ будет зависеть от о2?)
7. Как и в задаче 10 гл. I, будем предполагать целые числа
в 7? с вероятностью а «красными» и с вероятностью 1 — а «зеле-
ными». Пусть Ем, а — математическое ожидание числа красных
точек в множестве [—N, 7V] и Р^, а — вероятность того, что слу-
чайное блуждание, рассмотренное в предыдущей задаче, по-
падает в красную точку ранее, чем покинет множество [—N, N].
Доказать, что
lim lim = lim lim -pN,a = In 2.
N->oo a->0 a a->0 N->°o
Существует ли двойной предел?
8. Пусть Qn есть (п+,1)Х (и+ 1)-матрица, отвечающая, со-
гласно-определению 21.1, симметричному одномерному случай-
ному блужданию хп, и Л,0‘(п) (п) <... <Л„(п) —ее (действи-
тельные) собственные значения. Тогда след k-й степени матри-
цы Qn равен
п
Wi)-2/? w
Пусть
М* = max ху— min х7.
Доказать, что
(п+1)РД0, 0)-Tr(Q*) =
= (п+ 1)Ро[х* = О; Мй > п] + Е0[Мй; хй = 0; Мй<п].
ричного апериодического случайного блуждания удовлетворяют условию
при п — k -> оо равномерно по k и, п. Конечно, этого достаточно для полу-
чения теоремы 23.1 в качестве простого следствия. Наконец, Ватанабе [11]
упростил методы, развитые в [81], и обобщил результаты на случай биорто-
тональной системы задачи 5.
Без каких бы то ни было предположений относительно моментов
случайного блуждания доказать, что
Ит ЙТГ S <«> = Pk (°* °)’ п > °-
" 9. Продолжение. Используя теорему Вейерштрасса о прибли-
жении непрерывных функций полиномами, показать, что для
произвольной непрерывной на [—л, л] функции f
п л
Здесь <р(0)—характеристическая функция случайного блуждав
ния. М. Кац [33], предложивший решение задачи 8, показал, что
те же методы применимы к матрицам вида
Со ^2 • • • Сп
О = С-1 С0 С1 • ♦ • Сп-1
— С-п С-п+1 С-п+2 • • • —
если только
оо
Си == cTk И 3 I СЬ I < оо.
А>=-0О
Таким образом, результаты'задач 8 и 9 справедливы для дей-
ствительных функций
<р(6)= 2 ckeik\
&s=—ОО
ряды Фурье которых абсолютно сходятся. Аппроксимируя сту-
пенчатую функцию полиномами, наши результаты можно пере-
формулировать следующим образом. Пусть Nn (/) — число соб-
ственных значений матрицы Qn, попадающих в произвольный
интервал /, и £ф(/)—лебегова мера подмножества отрезка
[—л, л], где <р(0)е/. Тогда
г 1 v /п_ЫН.
„^«+1 ^(/) 2л ’
10. Показать, что предельное распределение
00 я‘
4 V (-1)" —о-(2п+1)гж
н*)==1-т1-ктге 8
п=о
в предложении 21.5 и теоремах 23.2 и 23.3 имеет преобразование
Лапласа
Г e~sxdF(x} = f 2 (-1)“------------------(ch ]Л2? )' -
о „-о s + -у (2п +1)2
= 26-^ ^ (- l)fe e~2kV^.
fe=0
Обращая (почленно) последний ряд, показать, что плотность
этого распределения может быть представлена в виде ряда
п—0
(2п+1)2
е 2х ,
который очень быстро сходится при малых (положительных) х,
в то время как ряд
Их) = т2 (-0"(2п НН) <2п+1)Ч
п=0
полученный почленным дифференцированием F(x), быстро
сходится при больших х. Эти два представления плотно-
сти f являются специальным случаем закона преобразования
тэта-функции.
ГЛАВА VI
НЕВОЗВРАТНОЕ
СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
§ 24. Функция Грина G (х, у)
Можно попытаться строить теорию невозвратного случайного
блуждания в том же плане, что и теорию возвратного блужда-
ния на плоскости (гл. III). В этом случае в первую очередь
нужно былрх бы вычислить распределение точки достижения
Нв(х, у) для конечных подмножеств В пространства состояний
В. Для невозвратного случайного блуждания это сделать очень
просто, мы получим значение Нв(х, у) в начале § 25 (предложе-
ние 25.1). Объясним причины отсрочки этих вычислений.
Для возвратного случайного блуждания чрезвычайно инте-
ресным и полезным было явное выражение распределения
Нв(х, у). В нем содержалась вся информация относительно
асимптотического поведения Нв(х, у) при больших |х|. Чита-
тель, возможно, помнит, что этот факт объясняется тем, что рас-
пределение Нв(х,у) выражается через Л(х,у)=а(х — у)—ядро
потенциала возвратного случайного блуждания и что пришлось
всесторонне исследовать свойства а(х), прежде чем мы сумели
выразить Нв(х,у) через а(х).
Для невозвратного случайного блуждания выразить распре-
деление Нв(х, у} через ядро потенциала G(x, у) весьма просто.
Однако при этом мы не получаем никакой информации об асимп-
тотическом поведении G(0, х) при больших |х). Поэтому мы
сразу займемся центральной задачей теории невозвратного по-
тенциала— исследованием асимптотического поведения G(0, х)
при больших |х|. Основной результат (теорема 2) этого пара-
графа найдет в § 25 интересные применения. Так, например, на
теорему 2 опирается доказательство предложения 25.3, суть ко-
торого в следующем. Для апериодического невозвратного слу-
чайного блуждания и любого конечного подмножества В в
R имеются три возможности. Если d>l или если d=l и
т = 2| х |Р(0, х) = оо, то
lim Hs(x, у) = 0
для любого у^В. Если d=l и т < оо, ц 2 хР(0, х)> 0, то су-
ществует предел
lim Нв{х, у) = Нв(-со, у), у<=В,
Л>-оо
и этот предел положителен для некоторого у из В, тогда как
lim Нв(х, у) = 0, у<=В~.
Х->+оо
Когда т<оо, ц<0, справедливо аналогичное утверждение, при-
чем, разумеется, +оо и —оо надо поменять местами.
Это утверждение является типичным результатом относи-
тельно невозвратного случайного блуждания. С этой точки зре-
ния теория (как она оформилась к 1963 г.) полна. Однако в не-
возвратном случае наше внимание привлекают новые задачи,
которые не возникали для возвратного случайного блуждания.
Наиболее интересна задача о «полной» вероятности достижения
множества В
Нв(х)=^Нв(х,у).
у^в
i
В возвратном случае Нв(х)=Л для всех хе/? и любого непу-
стого множества В с 7? конечного или бесконечного. А в невоз-
вратном случае существуют два типа множеств: множества В,
для которых йв(х) = 1, и такие, для которых Нв(х)<1 по край-
ней мере для некоторого х. Очевидно, что множества обоих ти-
пов существуют. В самом деле, если В есть все пространство, то
ясно, что это множество первого типа (так называемое возврат-
ное множество), и кажется разумным предположить, что многие
бесконечные множества В обладают тем свойством, что
Нв(х)= 1, т. е. что они достижимы случайным блужданиям с
вероятностью единица из любой исходной точки блуждания.
С другой стороны, множества другого типа (так называемые
невозвратные множества) также должны быть довольно рас-
пространены. Очевидно, что каждое конечное множество невоз-
вратно. Можно также показать, что для любого невозвратного
случайного блуждания существуют и бесконечные невозвратные
множества. Задача определения, к какому типу принадлежит
данное множество, возвратному или невозвратному, будет рас-
сматриваться, правда, совсем поверхностно в § 25. По-настоя-
щему удовлетворительное решение поставленной проблемы, как
мы увидим далее, зависит от более тонких свойств асимптоти-
ческого поведения G(0, х) по сравнению с теми, которые будут
изучаться в § 25. В § 26 будут рассматриваться только трехмер-,
ные случайные блуждания с нулевым средним и конечными
21 Зак. 1375
вторыми моментами. Для таких случайных блужданий известно
очень много о поведении G(x, у), поэтому для них мы получим
нужную характеризацию возвратных и невозвратных множеств
(см. теоремы 26. Г и 26.2). И, наконец, § 27 будет посвящен од-
ному обобщению теории потенциала. В нем мы расширим сферу
наших исследований так, чтобы включить в рассмотрение пере-
ходные функции, не являющиеся разностными ядрами. Так из-
ложенная общая теория потенциала будет необходима для более
глубокого понимания заДач, связанных с конкретными случай-
ными блужданиями. На эту теорию мы будем опираться также
в гл. VII, посвященной возвратным случайным блужданиям.
Согласно определению 13.1 функция f(x) регулярна относи-
тельно переходной функции Р(х, у), если
Pf(x) = 3 P(x,y)f(y) = f(x), x^R,
y&R
и f>0 на R. В гл. Ill, предложение 13.1, было показано, что
если случайное блуждание, определяемое переходной функцией,
апериодично и возвратно, то единственными регулярными функ-
циями являются константы. В невозвратном случае, как пока-
зано в примере 13.2, ситуация гораздо сложнее: апериодические
невозвратные случайные блуждания могут иметь регулярные
функции, отличные от постоянной. Таким образом, можно было
бы попытаться найти класс апериодических невозвратных пере-
ходных функций Р(х, у), для которых все соответствующие регу-
лярные функции постоянны. И в самом деле, такие случайные
блуждания существуют (примером может служить простое слу-
чайное блуждание размерности с/>3). Однако доказательство
(см. пример 27.2 или задачу 8) даже для этого очень специаль-
ного случая весьма тонкое. Поэтому целесообразнее не ограничи-
вать класс рассматриваемых переходных функций, а просто
сузить класс изучаемых регулярных функций. Следующее важ-
ное и изящное утверждение было известно уже лет десять или
более назад, однако первое простое доказательство было дано
только в 1960 г. Шоке и Дени [103]. Их теорема справедлива
при несколько более общих условиях, чем ,мы потребуем ниже.
Теорема 1. Если Р(х, у) апериодическая переходная функция,
а функция f регулярна относительно Р и ограничена на R, то f
постоянна на R.
Доказательство. Для данной переходной функции Р(х, у) и
функции f(x), удовлетворяющей условию теоремы 1, пусть
g(x) = f(x)-f(x-a),
где а является (по крайней мере на время) произвольным эле-
ментом из /?+. Ясно, что функция g(x) ограничена. Легко прове-
рить также, что
Pg(x) = g(x), xe=R.
(Это равенство справедливо потому, что сдвиг любой регулярной
функции вновь является регулярной функцией, a g e; .u разность
двух таких функций). Пусть теперь
supg (х) = М < оо.
Выберем последовательность хп точек из 7? так, чтобы
lim g (хп) = М,
И->оо
и пусть
gn(x) = g(x + Xn).
Так как g(x) ограничена, то можно выбрать такую подпоследо-
вательность хп из последовательности хп, что для некоторой
точки x=Xq предел
limg(x0 + x;)
П->оо
существует. Однако можно поступить еще лучше! Можно взять
такую подпоследовательность х" подпоследовательности х', что
g(x + x'') имеет предел как в точке х=х0, так и в точке Xi. Про-
цесс выбора подпоследовательности можно продолжить. Тем са-
мым мы получим знаменитый диагональный процесс Кантора.
Этот процесс своим названием обязан удобной конструктивной
процедуре получения последовательности, которая с некоторого
элемента является подпоследовательностью каждой из счетного
числа таких последовательностей х^, х^2), х®, что х^+1)
есть подпоследовательность последовательности х^. Так как
счетно, то мы имеем все необходимое для следующего вывода:
существует такая подпоследовательность п' целых положитель-
ных чисел, что предел
lim£n,(x) = g*(x)
П'->оо
существует для любого х из R. Очевидно, что
g*(0) = M, g*(x)^M, x^R.
Справедливо также (в силу теоремы о мажорированной сходи«
мости) равенство
Pg*(x) = g*(x), x^R.
Таким образом, мы построили функцию £*(х), которая «по
существу регулярна», т. е. она становится регулярной, если к ней
добавить подходящую постоянную. Кроме того, g*(x) достигает
своего максимального значения в начале координат. Как раз
последнее свойство вместе со свойством апериодичности Р(х, у)
приведет к заключению, что f(x) постоянна.
Применяя последовательно п раз оператор Р к функции g*t
получаем
2р„(0,х)^(х) = ^(0) = Л4, п>0.
В соответствии с определением это означает, что
§*(х) = Л1 на
Поэтому для любого целого положительного числа г и любого
е>0 можно найти достаточно большое целое число п, такое, что
gn(a)>M — e, gn(2a)>M-&, gn(ra)>M-s.
Возвращаясь к определению gn(x) и складывая эти неравенства,
получаем, что для любого е>0 и любого положительного целого
г найдется достаточно большой номер п, такой, что
f (га + хп) - f (х„) > г (М - в).
Если- бы М было положительно, то г можно было бы выбрать
столь большим, что величина г(М — е) превзойдет по крайней
мере верхнюю границу f(x). Но это невозможно, следовательно,
0. В этом случае g (х) -С 0 и тем самым f (х) f (х — а) для
всех хеТ?, ае/?+. Те же самые рассуждения можно применить
и к функции —f(x), после чего получается, что f(x)>f(x — а),
поэтому
f(x) = f(x — a) для хе J?,
Это все, что можно доказать (большее не верно) в общем слу-
чае. Однако если случайное блуждание апериодично, то можно
заключить, что f является постоянной. Действительно, произ-
вольное y(=R в этом случае можно представить в виде у=а— Ь,
где а и b принадлежит R+, поэтому f(y) =f(y — a) =f(—b) =f (0).
Далее мы приступаем к рассмотрению целого ряда предло-
жений (предложения 1—8), каждое из которых описывает раз-
личные аспекты асимптотического поведения функции Грина
G(x, у). На некоторых этапах наших рассуждений теорема 1
явится мощным орудием исследований. В самом деле, после
предложения 3 или по крайней мере после предложения 6 станет
ясно, что теорема 1 дает возможность простым и естественным
путем доказать для положительных случайных величин теорему
восстановления, которая в гл. II была доказана методами гар-
монического анализа. Хотя теорема 1 достаточно сильна и, вос-
пользовавшись ею в полном объеме, можно было бы обойтись
без предложений 9.2 и 9.3 гл. II, но будет намного удобнее вос-
пользоваться этими предложениями. Так как их результаты при-
надлежат к кругу вопросов, обсуждаемых в этоц^главе, то для
облегчения ссылок на них сформулируем их заново в виде пред-
ложений 1 и 2.
Предложение 1. Для любого апериодического невозвратного
случайного блуждания предел суммы
lim [G (0, х) + G (х, 0)]
I х|->СЮ
существует, ~
Предложение 2. Пусть для одномерного апериодического слу-
со
чайного блуждания Р(0, х) =0 при х40и ц= 2 хР(0, х)^ оо.
Х-1
Тогда
lim G (0, х) = -J- (lim G (0, х) = 0, если р = + оо).
Теперь мы докажем
Предложение 3. Для любого апериодического невозвратного
случайного блуждания
lim [G (х, у) — G (х, 0)] = 0, у е R.
1х|-> ОО
Доказательство. Для удобства положим G(x, 0)=м(х). Если
предложение 3 неверно, то должны найтись е>0 и последова-
тельность хп из R, для которой
lim | хп |= оо,
П->оо
такие, что для некоторой точки t из R
|и(х„ + 0-«(хя)|>е
для всех п. Предположим, что это так. Тогда, используя диаго-
нальный процесс, как и при доказательстве теоремы 1'), можно
*) Ограниченность и(х) следует из невозвратности блуждания и из того,
что G(x, 0) ^G(0,0) (см. предложение 1.3). — Прим. ред.
выделить из последовательности хп подпоследовательность уп,
такую, что предел
lim и(уп + у)= v (у)
П-><»
существует для любого у из R, причем |о(/)—v (0) | 8. Мы
закончим доказательство предложения 3, если покажем, что это
невозможно потому, что v (х) должна быть постоянной на /?.
В самом деле, так как
G(x, 0)= 5 Р(х, y)G(y, 0) + б(х, 0), x^R,
y^R
ТО z
ч«(уп + х)= з Р(уп + х, у)и(у) + Ь(уп + х, 0) =
y^R
= 2 P(fi, s)u(yn + s + x) + 6(yn, -х)
seS
для всех хе/? и всех п. При п->оо получаем
v (х) = 2 Р (0. s) v (s + х) = 2 Р (X, у) v (у), x^R.
s^R y^R
Следовательно, функция v(x] регулярна и по теореме 1 посто-
янна на /?, а это противоречит первоначальному утверждению
о том, что о(/)=#о(0).
Здесь мы оставляем, но только на очень короткий промежу*
ток времени, этот, очевидно, плодотворный подход. Мы вернемся
к нему в предложении 6, в котором мы попытаемся распростра-
нить предложение 2 на более широкий класс одномерных слу-
чайных блужданий, а сначала рассмотрим еще одно совершенно
общее свойство функции Грина G(x, у), которое можно получить
с помощью простых вероятностных рассуждений. Заметим, что
это свойство выполняется вне зависимости от того, периодично
или нет случайное блуждание.
Предложение 4. Для любого невозвратного случайного блу-
ждания
lim G (0, x)G(x, 0) = 0.
|х|->00
Доказательство. Возьмем х—0, положим Тж=пмп[£|£> 1,
хй=х]-Соо и подсчитаем двумя разными способами сумму
S(x) = E0| 2б(хь0) .
Сначала запишем ее в виде
Учитывая свойства моментов остановки (см. предложение 3.2),
последнее равенство можно переписать в виде
оо
Тх< °о
= Ро1тх<оо] G(x, 0) =
G (0, х) G (х, 0)
G (0, 0)
Так как 6(0, 0)>0, то, очевидно, достаточно доказать, что
5(х) ->0 при |х| ->оо. А в этом легко убедиться, записав S(x)
в виде
оо оо
3(х)= 2 E0[d(xft, 0); T,<fc]=SPo[x* = O;
fe=0
<2Ро[Тж<6]+ 1 Polxft=O],
k=Q k~n+l
причем, неравенство справедливо для каждого п>0. Так как
случайное блуждание невозвратимо, мы можем выбрать произ-
вольное в > 0 и найти для него такое N, что
N
3(х)<2Ро[Тх<й] + 8.
ьо
Следовательно, S (х) -> 0 при условии, что для каждого фикси-
рованного k
lim Р0[Тх<^] = 0.
|х| ->ОО
Однако
k
Ро[Тх<А]<2Р;(О, х),
i=o
и очевидно, что каждое слагаемое Р,(0, х) стремится к 0 при
|х| —>-оо. Следовательно, предложение 4 доказано.
Следующим предложением завершается изучение свойств
функции Грина G(x, у) невозвратного случайного блуждания на
пространстве размерности d^-2. При этом мы воспользуемся
одним очень «слабым» свойством пространства R размерности
2, которое, однако, очень эффективно отличает упомянутые
выше аддитивные абелевы группы от одномерной группы целых
чйсел. (Этот факт заслуживает упоминания, ибо мы получаем
утверждение, которое в силу предложения 2 неверно при d=L))
Свойство пространства состояний 7? размерности d 2, о кото-
ром говорилось выше, можно описать следующим образом. Пред-
положим, что 7? разбито на трй подмножества А, В и С (непе-
ресекающиеся подмножества, объединение которых равно R)
так, что А конечно или даже пусто, а В и С оба бесконечны.
Тогда существует пара соседних точек х и у из R' (т. е. иара
таких точек, что | х — у | = 1), такая, что х принадлежит В, & у
принадлежит С. Должно быть очевидным, что это свойство вы-
полняется для пространства R размерности d<>2 и не выпол-
няется для одномерного пространства, состояний R. На самом
деле для наших целей существенно то, что х и у в некотором
смысле не «слишком далеко отстоят друг от друга», а требова-
ние |х— #|=1 служит просто для упрощения изложения.
Предложение 5. Для апериодического невозвратного блужда-
ния размерности d^-2
. lim G(0, х) = 0.
Доказательство. Предположим, что предложение 5 неверно.
Положим G(x, 0)=м(х). Тогда, учитывая предложение 1, мы
должны иметь
lim [u(x) + «(-x)] = L>0.
Далее выберем число е, 0<«<L/3, и следующим образом разо-
бьем R на три множества А. В и С. Пусть А — шар [х| !х|О],
радиус г которого выбран так, чтобы
|и(х + 0~ и(х)|<е, когда) 71=1, x<=R — A,
и
min [ | «(х) |, | и (х) — L | ] < в, когда х е R — А.
Возможность выбора такого г следует из предложений 3 и 4 и
из нашего предположения о том, что сумма и(х)+и(—х) стре-
мится к L.
Далее представим R — А в виде суммы двух подмножеств В
и С, где В — такое подмножество в R — А, что |u(x) | <е, а С —
такое подмножество, что |и(х)—L|<8. Эти подмножества не
пересекаются, поскольку L>3s. Так как L>0, то С должно быть
бесконечным множеством, а из предложения 4 следует, что В
также бесконечно (если — х принадлежит В, то х принадлежит
С). Однако используя характеристическое свойство простран-
ства R размерности d > 2, о котором мы говорили перед фор-
мулировкой предложения 5, получаем, что существует такая
пара х, у, что
|«(х)|<8, \и(у) — Ь\<г, \х — у 1=1, хеВ, у^С.
Так как L>3e, то эти неравенства дают
| и (х) — и (у) 1 > L — 2в > 8.
Но y=x+t, где |Н = 1, и, согласно определению множества А,
х должно принадлежать А, что на самом деле неверно. Мы при-
шли к противоречию, следовательно, предложение 5 справед-
ливо.
Заметим, что, строго говоря, апериодичность вовсе не необ-
ходима для справедливости предложения 5. Достаточно, чтобы
R было группой с более чем одной образующей, т. е. чтобы слу-
чайное блуждание не происходило на одномерном подпростран-
стве в JR.
Теперь мы можем окончательно сосредоточить наше внима-
ние на изучении одномерного случайного блуждания, которое,
к сожалению, во много раз труднее. Сначала мы изучим сравни-
тельно простой случай, когда первый абсолютный момент коне-
чен. Выводы о свойствах такого случайного блуждания являются
довольно очевидным обобщением теоремы восстановления. Эта
теорема была получена Блекуэлом [4] и некоторыми другими
авторами около 1952 г., однако для частного случая она была
доказана еще до 1940 г. ’)
Предложение 6. Рассматривается одномерное апериодическое
‘ невозвратное блуждание такое, что d=\,m=^ | х |Р(0, х) < оо,
x^R
jx = 5 хР (0, х). Если р. > 0, го
lim G(0, х) = 4» Нт G(0, х) = 0.
Х->+оо Н Х->—оо
Если ц <0, то
. lim G(0, х) = ( — ц)4, lim G(0, х) = 0.
Х->—оо Х->+оо
Доказательство. В принципе доказательство использует тот
же прием суммирования по частям, как в предложении 2 (вернее
в предложении 9.3 гл. II). Только в данном случае требуется
‘) См. [4], [30] и особенно [76], где дано описание развития этого вопроса
вплоть до 1958 г.
соблюдать большую осторожность. Заметим сначала, что суще-
ствование пределов
lim G (0, x)=G(0, + оо), lim G (0, x)=G(0, — оо)
Х->+оо , Х->-оо
не вызывает сомнений. Это просто следствие предложений 1, 3,
4, ибо предложение 1 констатирует, что сумма G (0, х) +G(0,—х)
имеет предел при х ->+оо, предложение 4 утверждает, что в
случае существования один из этих пределов равен нулю, а пред-
ложение 3 предупреждает какую-либо возможность колебания
для G(0, х), в силу которой оба предела могли бы не существо-
вать. Поэтому нам остается только подсчитать пределы. Если
внимательно присмотреться к предложению 6, то можно заме-
тить, что тождество
[G (0, + oo)-G(0, - оо)]ц=1
эквивалентно предложению 6. Если предложение 6 верно, то
тождество выполняется независимо от того, р>0 или ц<0 (ра-
венство р=0 невозможно, ибо тогда случайное блуждание было
бы возвратным), и обратно, если это тождество выполняется, то
верно предложение 6. Например, предположим, что р>0 и тож-
дество справедливо. Так как из предложения 4 известно, что
или G(0, +оо), или G(0, —оо) равно нулю, то из тождества
следует, что G(0, +оо)=|л-1 и G(0, —оо)=0. Если p<0, то
<7(0, —оо) = (~и)-1 и G(0, оо)=0.
Введем теперь следующие обозначения. Пусть
ь
f(a, b) = 2 Р(0, х),
х—а
где а может принимать значение —оо, а b значение +оо, и по*
ложим
р+= 2 хР(0, х)= 2 f(a, + оо),
х=1 а=1
-1 -1
— 2 хР(о, х)= 2 /(“ °°> ь)
Х==—оо Ъ = — оо
ц = ц+-Н".
Далее, полагая ы(х)=С(0, х), получаем
и (х) = 2 и (0 Р (0, х — t) + 6 (0, х), х^Р.
/=—оо
Если М и N — два положительных числа, то
У оо
2 и(х)= S М — t, N — t) + 1.
X=~M /=3—00
Соответствующим образом сгруппируем члены и, заменив пере-
менные суммирования, получим
N ' . ~
1 = S и {N — $)[/(— °°> — N — М — 1) + f (s + 1, оо)] +
s=0
О
+ 2 u(— Л4 — s)[f(— оо, s—1) + f(M + N + s + 1, oo)]—
s=-M+l - .
- S u(N + s)f(- M — N — s, — s) —
5=1
— 1
— 2! и(— M + s)f(— s, M + N— s)
s=— oo
Теперь последовательно придадим числам N и М большие зна-.
чения. Положим сначала N + оо. Конечность первого абсолют-
ного момента, разумеется, существенно- используется. Она га-
рантирует мажорированную'сходимость рассматриваемых рядов
и обосновывает тем самым предельный переход
л
lim 2 u(N — s)f(s+ 1, оо) =
JV->oo s=0
= lim и (N) S f (s + 1» °0) = G (0, + oo) ц+.
N->oo 5=0
Таким образом, полученное «разложение единицы» при 7У->оо
принимает вид
1 =S«(s)/(-оо, — Af — s — 1) 4-G (О, + оо)ц+ +
5=0
О
+ 2 «(— M — 5— 1)4-0 —
S--M+1
-1
— G (0, 4-оо)р_— 2 «(— М 4- s)f (— s, оо).
5=-оо
(Здесь для облегчения проверки слагаемые записаны в прежнем
порядке.) Пусть теперь Af->+oo. Тогда получаем
1 =0 + 0(0, + оо)ц+ +G(0, - оо)ц- + 0-
— G (0, + оо) — G (0, — оо) р,+ = г
= [G (0, +oo)-G(0, - оо)][р+-ц-] =
= [G (0, + оо) - G (0, - оо)] и.
А это и есть нужный результат, из которого следует справедли*
вость предложения 6.
Теперь осталось только исследовать невозвратные одномер*
ные случайные блуждания, для которых т = со. И, конечно, сле-
дует ожидать, что справедливо равенство
lim G (0, х) = 0.
1х|->со
К сожалению, по-видимому, невозможно получить этот резуль-
тат методами, которые до сих пор излагались в этой главе. Вме-
сто этого мы применим несколько более тонкий аппарат, осно-
ванный на понятии лестничной случайной величины Z, введенной
в гл. IV (определение 18.1). Между прочим, впервые лестнич-
ная случайная величина Z и лестничное случайное блуждание»
представляющее собой совокупность частных сумм случайных
величин с тем же самым распределением, что и Z, были изу-
чены Блекуэлом [4] в связи с теоремой восстановления. Но в то
время как Блекуэл рассматривал лестничные величины только
для случая конечного абсолютного момента т, нам эти вели-
чины понадобились лишь при т = оо, т. е. в случае, который
является наиболее трудной частью общей проблемы. Будет
удобно ввести следующие обозначения.
Определение 1. Множество А является полупрямой [х|х>0]„
T = min[n|n>l, хпеЛ], как и в определении 17.1, НА(х, у) =
= Рх[Т< оо, хт=у](см. определение 10.1) и
НА(х)~ % НА(х, у).
> у^А
Если Т<оо с вероятностью единица, положим, как и в опреде-
лении 18.1, хт = Z. В этом случае Р(х, у) = P0[Z=y— х], и, нако-
нец, НА(х, у) —распределение точки достижения множества А
для случайного блуждания с переходной функцией Р(х, у).
1 Очевидно, что распределение точки достижения НА(х, у)
тесно связано с функцией Грина невозвратного случайного блу-
ждания. Например (см. пункт (г) предложения 10.1), если
х-СО и у>0„ то
G(x, у)=2ял(х, t)G(t, у).
<-i
Поэтому асимптотическое поведение НА(х,Щ при х->—оо свя-
зано с асимптотическим поведением G(x, у). Эта связь кажется
достаточно заманчивой, чтобы оправдать несколько более де-
тальное, чем это на самом деле необходимо, изложение основ-
ных фактов о распределении НА(х,у). Эти факты принимают
форму простой классификации. Перечислим очевидные возмож-
ности асимптотического поведения НА(х, у):
(I) ПтЯл(х) = 0;
Л->-оо
(II) НА(х) = 1 для всех х из R, lim НА(х, у)= 1 для у А',
Х->-оо
(III) НА(х)=\ для всех х из R, Пт НА (х, у) = Ул (у) для
у е А и
S Ча(у)= 1.
Хотя к настоящему моменту нам это не известно, но в дальней-
шем будет показано, что на самом деле эта классификация слу-
чайных блужданий полна в том смысле, что пунктами (I), (II)
и (III) исчерпываются все возможности. Более того, эта же
классификация справедлива и для возвратного случая. По-
скольку такое положение дел представляется вполне естествен-
ным, уместно спросить, связана ли как-либо эта классификация
с той, которая хорошо знакома нам из гл. IV,
(1) Ро[Т= оо]>0, т. е. не Z определена-,
(2) Р0[Т<оо]=1 и Eq[Z] = oo;
(3) Р0[Т<оо]=1 и E0[Z]<oo.
Оказывается, что эта совокупность альтернатив в точности со-
впадает с классификацией, приведенной в пунктах (I) — (III)'.
Предложение 7. Для произвольного одномерного случайного
блуждания (возвратного или невозвратного) обе классификации
эквивалентны в том смыле, что (I) выполняется тогда и только
тогда, когда справедливо (Г) и т. д. Других возможностей нет.
Далее, в случае (II) (соответствующем альтернативе (2)) ив
случае (III) (соответствующем альтернативе (3)) имеем
lim НА(х, z/) = Y4(y) = -g-7zTPoIZ>^
Х->-оо Do L"J
для'у^А. В случае (II) под пределом следует понимать нуль.
Доказательство. Очевидно, что альтернативы (1), (2) и (3)
взаимно исключают друг друга и исчерпывают все возможные
случаи. Далее импликация (1)=ф(1) следует из очень простых
доводов, которые проводились в гл. IV. Для х^О справедливо
равенство НА(х) = Р[М >—х], где M = maxSfe. А в предложе-
но
нии 19.2 было показано, что если (1) имеет место, то М являет*
ся случайной величиной, а это как раз и доказывает (I).
Предположим теперь, что справедлива альтернатива (2) или
(3). Очевидно, что в этом случае НА(х) = 1 на R и
НА(х, у) = НА(х, у) для х^О, у>0.
Последнее равенство'облегчает изучение случайного блуждания
хп, определенного переходной функцией Р(х, у) (см. определе-
ние 1). Блуждание хп невозвратно, какое бы случайное блужда-
ние не определяла переходная функция Р(х, у), возвратнде или
невозвратное. Поэтому случайное блуждание хп имеет конечную
функцию Грина, которую можно обозначить
G (х, z/)== 2 Рп(х, у).
п-0
При х<0и у>0 функция G(x, у) является вероятностью собы*
тия, заключающегося в том, что случайное блуждание хп, опре-
деляемое Р, достигнет у за конечное время при условии, что
оно исходит из точки х0 = х. Разложим G(x, I/) в соответствии с
тем, какое последнее значение из А принимает хп, прежде чем
оно попадет в точку у:
у-1
G(x, у) = НА(х, y)+^G(x, t)P0[Z —у — t].
t=l
Формальное доказательство этого равенства основано на том,
что
НА U, У) == Рх Iх* = У и xfc-i 0 для некоторого k < оо]
и
G{x, t)P0[Z~y-t\ =
= Рл [xft = у и х^ = t для некоторого k < оо].
Применяя далее к функции Грина 6(х, у) теорему восста-
новления для положительных случайных величин (см. предло-
жение 2), получаем
lim G (х, 0= с !71 ^0,
оо 1^1
Следовательно, для у 1 имеем
lim НА(х, у) = lim НА(х, у) —
= lim
оо
у-\
G(x, z/)-2g(x,7)P0[Z = z/-Z]
t=i
1
E0[Z]
у-l
/= 1
Po[z>vl
Eo [Z]
Но ерли выполняется альтернатива (2), то E0[Z]= + oo, так
что в соответствии с предложением 2 полагаем этот предел рав-
ным нулю. Следовательно, выполнение альтернативы (2) влечет
за собой осуществление возможности (II). И по тем же самым
причинам (3) влечет за собой (III). Формула для ул(у) получе-
на выше как промежуточный этап доказательства.
Осталось сделать один маленький шаг, чтобы получить
Предложение 8. Для невозвратного случайного блуждания с
т = оо
lim G (0, х) = 0.
|х|-»оо
Доказательство. Ясно, что достаточно показать справедли-
вость равенства
lim G (0, х) = 0,
Х->+оо
так как в предложении 8 не делается никакого различия между
+ оо и —оо. Доказательство основывается на тождестве, которое
использовалось при исследовании справедливости предложе-
ния 7. Теперь оно понадобится нам в довольно специальном
виде:
(a) G(x, 1)=2ял(х, y)G(y, 1).
0=1
Просмотрим бегло все три пункта классификации, приведен-
ной в предложении 7. Предположим сначала, что имеет место (I).
Тогда из тождества (а) следует
Пт G(x, 1)<G(1, 1) lim Ял(х)=0.
Х-»“ОО — ОО
Рассмотрим случай (II). Тогда справедливо то же заключение,
только рассуждения, с помощью которых оно получается, стано-
вятся несколько сложнее. Так как НА(х, у) стремится к нулю
для каждого у>0 при х->—со, в то время как общая вероят-
ностная «масса» НА(х) постоянна (равна единице), то из тожде-
ства (а) следует
lim G (х, 1)^ lim G(y, 1),
%->-0О ^->4-00
а так как известно-, что оба предела существуют (это было ука-
зано в начале доказательства предложения 6), то
lim G (х, 1) = G(O, + оо)<: lim G(y, 1) = G(O, — со).
Х->—оо ^->4-00 I
Однако если бы было G(0, +оо)>0, то это неравенство повлек-
ло бы за собой неравенство G(0, —оо)>0, что противоречит
предложению 4. Следовательно, предложение 8 справедливо как
при альтернативе (I), так и при альтернативе (II).
Рассмотрим теперь альтернативу (III). Кажется, что в этом
случае ничто не мешает величинам G(—оо, 0)=G(0, +оо) быть
положительными. Поэтому здесь должен быть другой выход из
создавшейся дилеммы. Он состоит в том, чтобы показать, что
если абсолютный момент т бесконечен, то невозвратное случай-
ное блуждание не может принадлежать к типу (III) упомянутой
выше классификации! В самом деле, если т = оо, то или ц.+, или
ц-, или обе эти величины одновременно равны бесконечности
(ц.+ и ц.- были определены при доказательстве предложения 6).
Если р.+<оо, а р."=оо, то реализуется альтернатива (I), посколь-
ку с положительной вероятностью (в силу закона больших чи-
сел), Т=оо. Наконец, если ц+=оо, то возможно, что реализуется
случай (I) и тогда нечего доказывать. Возможно также, что
реализуется случай (II), а этот случай также был рассмотрен.
В то же время альтернатива (III) не может реализоваться при
р,+=оо, ибо, когда Т<оо с вероятностью единица, тогда
Ео [Z] > Ео [Z; Т = 1] = 2 хР (0, х) = ц+.
На этом завершается доказательство предложения 8, и те-
перь осталось только собрать вместе все результаты предложе-
ний 5, 6 и 8 и объединить их в утверждение, довольно приятное
в силу своей общности1)-
Теорема 2. Функция Грина невозвратного случайного блуж-
дания удовлетворяет соотношению
lim G(0, х) = 0
I % I ~>оо
во всех случаях, кроме d=\ и т<оо. В этом случае пределы
lim G (0, х) = G (0, — оо) и lim G (0, х) = G (0, оо)
Х->оо Х->4-оо
различны и
G (0, + оо) = у- и G(0, — оо) = 0 при ц>0.
G(0, — oo) = yjjj и G(0, + оо) = 0 при ц.<0.
Наиболее важное применение этой теоремы связано с изуче-
нием распределения точки достижения, которое будет произво-
диться в следующем параграфе. Однако в качестве хорошей ил-
люстрации использования этой теоремы можно сделать одно за-
мечание, которое углубит и дополнит фундаментальный вывод
теоремы 2.1 гл. I. Для невозвратного случайного блуждания ве-
роятность F(0,0) возвращения в исходную точку блуждания
меньше единицы. Поведение же F(0, х) было проблемой, кото-
рую нельзя было решить прежними методами. Теперь мы можем
доказать
Предложение 9. Для апериодического невозвратного случай-
ного блуждания F (0, х)<1 для всех хе₽, за одним и только
одним исключением. Если d=\, m<oo, р,<0 и случайное блужда-
ние непрерывно слева (т. е. Р(0, х) =0 для х^.—2), то F(0, х) =
= 1 для х < 0, тогда как F(0, х)<1 для х > 0. Аналогичное
утверждение (разумеется, обращенное) справедливо для случай-
ных блужданий непрерывных справа и таких, что т<_оо ыц>0.
Доказательство. Предположим, что для некоторого аперио-
дического невозвратного случайного блуждания F(0, а) = 1, а=#0.
Тогда F(0, па) = 1 для любого целого n> 1. В самом деле, если
') Для d=l эта теорема принадлежит Феллеру и Орею [87]. Для про-
странств большей размерности первым рассмотрел теорему восстановления
Чжун Кай-лай [99].
22 Зак. 1375
Тх является моментом, когда хп впервые достигает х при уело»
вии хо=О, то
F(0, а) = Р0[Тв<оо],
F (0, па) — Ро [Т„в С 00] -5^ Ро [Та Тга <С ... С Тпл <С 00 ] =
= [F (0, й)]" = 1.
В силу предложения 1.5
1-F(O,
При п-+оо правая часть равенства в соответствии с теоремой 2
стремится к нулю, если только случайное блуждание, о котором
идет речь, не является одномерным с абсолютным моментом
т<оо. Теперь достаточно предположить, что а<0, и показать,
что ц<0, а случайное блуждание непрерывно слева. Случай а>0
рассматривается аналогично. Заметим, что ц отрицательно, ибо
если ц>0, то F(0, х)<1 для х<0, так как с вероятностью еди-
ница хп-> +ос при +оо, кроме того, р, не может равняться
нулю, так как случайное блуждание невозвратно.
Совершенно ясно, что непрерывное слева случайное блуждав
ние с ц<0 обладает нужным свойством. Так как для такого
блуждания хп->—оо с вероятностью единица и не имеется то*
чек, которые можно «перескочить», то F(0, —1)==F(O, —n)=l
для и > 1.
И, наконец, если ц<0 и случайное блуждание не является
непрерывным слева, то можно показать, что для любого a<Q су*
ществут некоторая «траектория» О=хо, Хи...,хп, такая, что
хп<а,
Р (О, Xi) Р (хи х2) ... Р (*„-!, Х„) > О,
и ХьФа для k= 1, 2,..., п — 1. Показывается это с помощью про^
стых комбинаторных соображений (подобных тем, которые были
использованы при доказательстве предложения 18.8). При этом,
конечно, принимают в расчет апериодичность случайного блу*
ждания. Поскольку р.<0, существование такой траектории озна«
чает, что F(xn, а) <1 и, следовательно,
1—Г(0, а)>Р(О, xj ... Р(хп-и х„)[1-Р(хл, а)]>0.
Это неравенство показывает, что непрерывность слева является
< необходимым свойством апериодического случайного блуждания,
у которого |л<0 и F(0, а) = 1 для некоторого а<0. Следова-
тельно, предложение 9 доказано.
§ 25. Распределение точки достижения
Пусть Р(х, у) — переходная функция невозвратного случай-
ного блуждания. В этом параграфе всюду будет предполагаться
апериодичность случайного блуждания, хотя, койечно, как пра-
вило, можно переформулировать утверждения таким образом,
чтобы избавиться от этого ограничения. Найти распределение
точки достижения для невозвратного случая во много раз легче,
чем это делалось в гл. III для возвратного случайного блужда-
ния. Поэтому мы сразу приступаем к изучению общего случая,
считая, что Лез/? является произвольным непустым, возможно
бесконечным, собственным подмножеством в R. Интересующие
нас величины были введены в определении 10.1, но поскольку мы
добавляем к ним две новых (вводим величины НА и ЕЛ), дадим
еще одно определение.
Определение 1. Для произвольного множества A<ziR, для ко-
торого 1 -С | А । < оо, a R — А непусто, функция НА (х, у) при x^R,
y^R, а также функция ПА(х, у) при х^А, у^А, были введены
в определении 10.1. Положим, кроме того,
НА(х)= 2iHa(x, у), x(=R,
У^А
Еа(х)= 1 - 2 Пд(х, у), хе А.
У^А
Функция НА(х) называется вероятностью достижения множе-
ства А, а функция Еа(х) — вероятностью невозвращения в мно-
жество А,
В общем случае мало что можно сказать о вероятностях
HA(x)f и ЕА(х). Очевидно, что НА(х) равна единице на А и
меньше или равна единице на R — А. Однако получить большую
информацию не просто. Чтобы понять встречающиеся при этом
трудности, достаточно взять в качестве А множество, состоящее
из единственной точки х = 0, и вспомнить предложение 24.9, сфор-
мулированное в конце предыдущего параграфа. Согласно этому
предложению, значение Н^(х) меньше единицы при всех х¥=0
для «большинства» невозвратных случайных блужданий. Непре-
рывные справа или слева случайные блуждания с /п<оо соста-
вляют исключение.
Рассмотрим теперь вероятность невозвращения. Если
Т = min [п | и > 1, хЛ <= А],
то из определения ЕА(х) получаем
£д(х) = 1-РЛ[Т<оо] = РЛТ= +оо], хеА.
Из последнего соотношения видно, почему мы назвали функцию
ЕА(х) вероятностью невозвращения в множество А. Единствен-
ная.информация общего характера относительно значений ЕА(х)\
которую можно получить из предложения 10.4 или просто из ве-
роятностной интерпретации функции ЕА(х) в терминах времени
достижения Т, состоит в том, что ЕА(х)^. 1 на А. Очевидно, что
искать пример такого множества А, для которого ЕА (х) >0 на
А, нужно среди «маленьких» множеств, скажем конечных. Одна-
ко и в этой ситуации, предложение 24.9 учит нас с почтением от-
носиться к сложности задачи. Если случайное блуждание непре-
рывно слева, причем т<<х> и р,<0, и если множество А опреде-
ляется как А ={0, —1}, то Е{0 _1)j (0) =0. В то же время для лю-
бого другого одномерного невозвратного случайного блуждания
£{о, -1} (0) >0. Еще более труден вопрос о том, сколь «обширно»
должно быть множество А, чтобы Еа(х)=0 на А. Мы вернемся
ко всем этим вопросам после того, как получим дополнительную
информацию относительно поведения НА(х,у) и Пд(х, у).
Предложение 1.
НА(х, у) = 2 G(x, О[б(Л 1/)-Пл(Л I/)] при x<=R, у^А.
Доказательство. Вернемся к пункту (а) предложения 10.1:
2 Р(х, у)-НА{х, у)—
i^R
{ПА(х, у) — Ъ{х, у), если хе Л, уеЛ,
0, если хеR — А, у^А.
Если к последнему равенству слева k раз применить переходной
оператор Р(х,у), то придем к соотношению
2 Pft+1(x, у) - 2 Pk(x, t)HA(t, у) —
t^R
= 2 Pk {x, t) [Пд (/, у) - 6 (t, z/)] для хер, у e A.
t&A
Далее будем действовать в- соответствии с процедурой, которая
была уже использована при доказательстве предложения 11.1.
Точно так же, как это делалось там, сложим п+1 полученное
равенство, полагая последовательно &=0;В результате
получим равенство
НА(х, у)= 2 Gn(x, 0[б(/, у)-Пд(/, у)] +
/ед
+ 2 Рл+1(х, 0-^д(^> У)* х s 7?, у А,
t&R
Начиная с этого момента ситуация для невозвратного случай-
ного блуждания несравненно проще, чем для возвратного слу-
чайного блуждания.
Замечая, что
0< 3 Р„+1(х, t)HA(t, у)< 2 Рп(х, у)^
t^R i^R
< 3 Р» (X, y) = G (x, y) - Gn (x, y),.
&=n+l
а разность G(x, y)— Gn(x, у) стремится к нулю при п'-> оо, очень-
просто прийти к равенству
НА(х, у)= lim 5 Gn(x, t) [S(f, y)-HA(t, //)], xe=/?, y<=A.
Чтобы закончить доказательство предложения 1, осталось толь-
ко показать, что
lim 3 Gn(x, /)[6(f, y)-HA(t, у)] =
n->oo t e A
= 3 G(x, у)-Пд(/, y)]„
t^A
а это вытекает (даже когда А бесконечно) из неравенства
Gn(x, f)^G(x, /)<G(0, 0)
и неравенства
5 Пд(/, z/X 1, y^R,
t^A
доказанного в предложении 10.4.
В дальнейшем для нас будут весьма полезны несколько след-
ствий из предложения 1, или, вернее, из метода доказательства!
этого предложения.
Предложение 2.
у Ч , ч „ , ч „ , ч [ ~ ЕА(х) для х е Л,
а> у^На^~На^ = \ о для xf=R-A.
(б) 6(х, у)= 3 G (х, 0 [6 (/, z/) —Пд(/, //)] =
t^A
— 3 [б (х, 0 — Пд (х, /)] G (/, у), для х е А, у s Д.
t^A
Доказательство. Если просуммировать по всем у из мно-
жества А левую и правую части первого равенства, приведен-
ного в доказательстве предложения 1, то получим в точности*
равенство пункта (а). Пункт (б) есть не что иное, как утвержде-
ние предложения 1 при х^А. В самом деле, при х^А
НА(х, «/) = 6(х, «/)= 2 G(x, 0[б(/, у)-Пл(Л у)}.
t<^A
Чтобы закончить доказательство, рассмотрим обращенное случай-
ное блуждание, для которого G* (х, у) = G (у, х) и П* (х, у) =
= П(у, х). При х<=Д и у^А имеем
6(х, у)= 2 G*(x, 0 [б(/, y)-n*A(t, z/)] =
te=A
= 2 [6(у, t)-KA(y, x).
i еД
'Так как д(х, у) = 6(г/, х), то доказательство предложения 2 за*
кончено.
Другое следствие из предложения 1, значительно более глу-
бокое и более важное, чем предложение 2, касается распределе-
ния точки достижения НА (х, у) для случая, когда А является
конечным подмножеством в R. Сформулируем это следствие в
?виде следующего предложения.
Предложение 3. Рассмотрим апериодическое невозвратное
случайное блуждание. Пусть А — конечное подмножество в R.
Тогда имеются три альтернативы'.
(а) Если d^2 или d = 1, но пг = <х>9 то
lim НА(х, у) = 0 для всех" у^А.
(б) Если d=\ и a ji>0, то
У^А,
lim НА(х, у) = -±~ 1- Упл(/, у) ,
— ОО Г*
х-> —
t €= А
lim НА(х, у) = 0, у<=А.
(в)
Если d = l, m<oo и ц<0, то
lim НА(х, У)= нГТ Г1 ~ X 11
У<^А,
lim НА(х, у) = О, у g=.A.
Доказательство. Предложение 3 мгновенно
получается, если
'Применить теорему 24.2 к предложению 1.
Более подробные сведения об асимптотическом поведении
распределения точки достижения НА(х,у) будут даны в гл8 VII*
Это не должно удивлять, поскольку еще в гл. III (теорема 14.1)
мы обнаружили, что для двумерного апериодического возврат-
ного случайного блуждания существует предел
lim НА{х, у), у<==А.
|х|-»оо
Аналогичное утверждение для произвольного возвратного слу-
чайного блуждания (соответствующее предложению 3) будет
сформулировано в теореме 30.1 гл. VII.
Теперь мы приступаем к изучению свойств вероятностей не-
возвращения Еа(х) и соотношений между ЕА(х) п вероятностя-
ми достижения НА(х). Читатель, который узнал в равенстве^
пункта (а) предложения 2 уравнение Пуассона, обсуждавшееся
в гл. III (определение 13.2), не будет удивлен, увидев, что сей-
час мы станем решать это уравнение, т. е. выражать НА(х) че-
рез ЕА(х). (Пусть, как и ранее, А — произвольное непустое соб-
ственное подмножество в R, конечное или бесконечное.)
Предложение 4.
HA(x) = hA(x) + 3 О(х, f)EA(f), x^R,
te=A
причем сумма в правой части равенства сходится, a hA(x) за-
дается формулой
hA (х) = lim 5 Рп (х, 0 НА (0, x^R.
Более того, hA (х) не зависит от х, а зависит только от переход-
ной функции Р(х,у] и множества А.'
Доказательство. Из пункта (а) предложения 2 известно, что»
f(x)=HA(x) удовлетворяет уравнению Пуассона
. f Еа(х) для хе Л,
f(x)-ДР(х, y)f (у) = | 0 для X^R_A
Поэтому, чтобы доказать предложение 4, мы просто изучим об-
щее уравнение Пуассона J
(a) f(x)- 2 Р(х, у)/(у) = Ф(х), хе/?.
Относительно функции ф(х) предполагается только, что она яв-
ляется заданной неотрицательной функцией на R. Нам понадо-
бятся следующие три основные свойства решений уравнения (а)
(с этими свойствами мы столкнемся в более общей ситуации ви
§ 27).
(i) Если f(x) — неотрицательное решение уравнения (а), то
f(x) = h(x)+ S G(x, 0Ф(0<°°» x,^R,
где
(ii) 0^ft(x) = lim 2 Pn{x, 0/(0 < °°>
n->oo t<=R
причем
(iii) Ph(x) =h(x), t. e. h(x) — регулярная функция.
Для того чтобы доказать свойства (i), (ii) и (iii), применим
к левей и правой частям уравнения (а) итерации Pk(x, у) пере-
ходной функции Р(х,у). Используя удобные операторные обо-
значения, получаем
/-Р/ = Ф, Р/-Р/ = Рф, .... Р„/-Р„+1/ = Р„ф.
На любом шаге итерирования не возникает сомнения в сходи-
мости встречающихся сумм. В самом деле, сумма, представляю-
щая Рф, существует, так как существует Pf и Рф(х)'-СР/(х)\
Продолжая этот процесс, получаем, что из существования Pnf(x)
в силу неотрицательности f и ф и неравенства Рпф (х) < Pnf (х)
следует, что Рпф(х) также существует. В то же время Pn+j(x)
существует в силу того, что неравенство Pn+if(x)^.Pnf(x) спра-
ведливо. Далее сложим равенства Pkf — Pk+if=Phty, k=0, 1, ...
..., п. В результате получим
f (х) - Pn+lf (х) = С„ф (х).
Так как
Спф(х)= S.G„(x, г/)ф(^)</(х)<оо
y^R
и, кроме того,
С«Ф(х)<Оп+1Ф(х), -
то очевидно, что
lim О„ф(х)= 5 G(x, y)ty(y).
y^R
Имеем, также
lim 3 Pn+i(x, y)f(y)<oo.
П->оо y€=R
Тели теперь обозначить последний предел через Л(х), то тем
самым будут установлены свойства (i) и (ii). И, наконец,
Л(х) = lim 5 Pn+i(x, y)f(y) =
П->оо y^R
= 3 P(x, Of lim S P„(f, y)f(y)]= 3 P(x,
t*=R Lrt->oo yz=R J t(=R
откуда следует, что h(x) регулярна, и свойство (iii) доказано-
Чтобы закончить доказательство предложения 4, положим
$(х) = ЕА(х) для хеЛ, ф(х) = 0 для хе/?- А.
Все утверждения предложения 4, за исключением последнего,
вытекают из свойств (i), (ii) и (iii) решений уравнения Пуассо-
на. Последнее же утверждение сводится к тому, что hA(x)—по-
стоянная. Однако в силу свойства (ii) функция hA(x) удовлетво-
ряет соотношению
Ад(х)= lim 2 Рп(х, t)HA(t),
откуда следует, что она неотрицательна и ограничена. Из свой-
ства (iii) вытекает, что hA(x) является ограниченной регуляр-
ной функцией. Следовательно, мы можем применить теорему 24.1,
чтобы заключить, что hA(x)—hA постоянна.
Чтобы разъяснить смысл утверждения и доказательство
предложения 4 без обращения к вероятностной интуиции, рас-
смотрим очень простой частный случай. Решением уравнения
(б) /(х)- 2 Р{х, y)f(y) = 6(x, 0), хе/?,
является f(x) = G(x, 0). Мы много раз уже использовали этот
факт, и последний раз при доказательстве некоторых утвержде-
ний § 24. Было бы интересно суметь охарактеризовать функцию
Q (х, 0) тем, что она удовлетворяет уравнению (б), и еще как
можно меньшему числу естественных требований. Заметим, что
из свойств (i) — (iii) (см. доказательство предложения 4) выте-
кает, что единственными неотрицательными решениями уравне-
ния (б) являются функции вида
/ (х) = й (х) + G (х, 0),
где й(х)— любая регулярная функция. Хотя до сих пор у нас
нет информации относительно существования неограниченных
регулярных функций (ограниченные- регулярные функции суть
постоянные), тем не менее мы в состоянии доказать
Предложение 5. Функция Грина G (х, 0) является минималь-
ным неотрицательным решением уравнения (б). Более того, она
является единственным ограниченным неотрицательным реше-
нием, для которого
lim f(x) = O.
1*1-» о»
Доказательство. Так как f (х) = й(х) +G(x, 0), и h(x)^-0, то
G(x, 0)—минимальное решение, т. е. любое неотрицательное ре-
шение уравнения (б) всюду больше или равно G(x, 0). В силу
теоремы 24.1 любое ограниченное неотрицательное решение
уравнения (б) представимо в виде G(x, 0) + const, а если учесть
теорему 24.2, такое решение будет иметь нулевой нижний пре-
дел при |xj->oo тогда и только тогда, когда эта постоянная
равна нулю.
Теперь мы займемся классификацией подмножеств А из 7? в
соответствии с тем, возвратны они или нет. (Мы увидим, что
только бесконечные множества представляют истинный интерес.)
Чтобы избежать какого-либо возможного недоразумения, под-
черкнем вновь, что предполагается апериодичность и невозврат-
ность случайного блуждания. Кажется естественным назвать
множество А возвратным, если случайное блуждание заведомо
достигает множества Д, откуда бы ни начиналось блуждание.
В этом случае НА (х) = 1 для всех х из В то же время, если
Яд(х)<1 для некоторого х, то множество А можно назвать не-
возвратным. Беря за основу эти соображения, мы вводим фор-
мальную классификацию.
Определение 2. Собственное подмножество Дс=/?, 1<4Д|<С
^оо, называется возвратным, если НА(х) = 1 для всех х из R, и
невозвратным в противном случае.
Усложним на время рассматриваемую проблему и поставим
вопрос о разумности определения 2. Дело в том, что столь же
разумная классификация подмножеств из R может основывать-
ся на вероятностях невозвращения ЕА(х). Если Е,А(х)=0 для
всех х из Д, то можно заключить, что множество в некотором
смысле «достаточно обширно», поэтому невозможно, чтобы слу-
чайное блуждание навсегда покинуло его. Такое множество мо-
жно назвать возвратным. Наоборот, множество А такое, что
Еа(х)->0 для некоторого х из Д, должно быть тогда невозврат-
ным. К счастью, оказывается, что эта классификация эквива-
лентна классификации, предложенной в определении 2. В самом -
деле, из предложения 4 имеем
HA(x) = hA + 2 G(x, f)EA(f), xe=R.
t&A
Если EA(t)=O для всех t из А, то flA(x)s=hA. Но постоянная
hA должна быть равна единице, так как НА(х) = 1, когда х при-
надлежит А. Поэтому множество А, на котором ЕА(х) тожде-
ственно равно нулю, обязательно возвратно. Обратно, предполо-
жим, что А возвратно, так что НА(х)==1. Тогда из предложе-
ния 4 следует, что
йл= lim 2 Р„(х, Г)Ял(0=1,
П->оо
и, значит, хп / ч „ /а
1 = 1+3 G (х, t)EA(t)t x&R.
t^A
Из этого уравнения вытекает, что Ел(/)==0 на Л. Действительно,,
если бы для некоторого /о из А было EA(t0) >0, то отсюда следо-
вало бы, что 0=G(x, t0) для всех х из R, что невозможно. Сле-
довательно, мы доказали
Предложение 6. Если А возвратно, то Еа(х)=0 на А; если А
невозвратно, то ЕА(х) >0 для некоторого х из А.
Но это еще не все. Из доказательства предложения 6 изве-
стно, что для возвратных множеств hA<=l. В то же время ин-
формации, касающейся возможных значений этой постоянной
для невозвратных множеств, получено не было. На самом деле
только теперь, при изучении hA, мы в полной мере воспользуем-
ся всеми свойствами переходной функции Р(х, у). Предложе-
ние б остается верным для гораздо более широкого класса пере-
ходных функций, который будет изучаться в §27.
Если принять во внимание то, что мы изучаем случайное
блуждание (т. е. равенство Р (х, у) = Р (0, у — х)), то мы сможем
показать, что постоянная hA может принимать только два значе-
ния— нуль или единицу.
Предложение 7. Для рассматриваемого случайного блужда-
ния (апериодического и невозвратного) обозначим через Ап со-
бытие, заключающееся в том, что х„^А. Тогда
[0° П
U>U , X(=R,
n=0 J
hA — hA(x) = Vx Л IM
_ n=l k=n
k , x<=R.
Доказательство. Оно заключается в простой переформули-
ровке приведенных выше определений. Если х^А, то РХ[ДО]=1,
поэтому Яд(х) = 1. Если же хе/?— А, то утверждение предло-
жения 7 относительно НА(х) является просто определением
/7а (х)— вероятности достижения множества А. Так как события
оо
Вп = образуют монотонную последовательность, то
k—n
pv П li b = lim PJBJ.
_л-1 ft=n J п->°°
Через Вп обозначается событие, заключающееся в том, что
в момент времени п или после него, но за конечное время,
произойдет посещение множества А. Из вероятностной интерпре-
тации Вп следует, что
PJB«]= 2 Рп(х, у) нм
y^R
и если вспомнить определение hA(x) из предложения 4, станет
ясно, что доказательство предложения 7 закончено.
Теперь мы сделаем последний шаг. Нам понадобятся довольно
тонкие соображения, чтобы показать, что любое множество А
посещается бесконечно часто либо с вероятностью единица, либо
с вероятностью нуль'). Как можно надеяться, эта двойствен-
ность будет естественно соответствовать классификации, предло-
женной в определении 2.
Предложение 8. Если А возвратно, то hA(x)^=hA—\, а если
А невозвратно, то hA(x) = hA=0.
Доказательство. Из предложения 4 известно, что hA(x) яв-
ляется постоянной; обозначим ее через hA. Первое утверждение
уже было проверено в процессе доказательства предложения 6,
поэтому мы предположим, что Л не возвратно, и докажем, что
Ла=0. Но сначала забудем о том, каким является множество А —
возвратным или невозвратным, и докажем на вид более сильный
результат:
Лд[1 — Яд(х)] = 0 для всех х из R . (1)
Получив сотношение (1), мы тем самым докажем и предложение
8, ибо если А невозвратно, то 1—НА(х)>0 для некоторого
x^R— А, поэтому Лд = 0.
Так как hA(x) не зависит от х, то равенство (1) можно запи-
сать в виде
ЛЛ(х)= 3 НА(х, y)hA(y). (2)
У^А
Это соотношение с вероятностной точки зрения весьма правдопо*
добно: hA(x) является вероятностью бесконечно много раз посе-
Ч Более общая теорема была доказана Хьюитом и Сэвиджем [97]. Пусть
(Q, еГ, Р)—вероятностное пространство в соответствии с определением 3.1.
Предположим, что —событие, инвариантное относительно всех точеч-
ных преобразований Т : Q -> Q таких, что Т(со) является просто перестанов-
кой конечного числа координат (o=(coi, (02, ...). Тогда в соответствии с [97]
P[S] равно или нулю, или единице. Очевидно, что событие S, заключающееся
в том, что данное множество A посещается бесконечно часто, обладает
свойством инвариантности относительно всех конечных перестановок коорди-
нат. Два непосредственных доказательства этого так называемого закона
нуля и единицы приводятся в [97]. Одно из них принадлежит Дубу, другое •
Халмошу.
тить А исходя из точки х. Это событие можно разложить в сумму
непересекающихся событий в соответствии с точкой у первого
достижения множества А. После этого первого попадания в А
случайное блуждание, исходя теперь уже из точки уу должно
совершить бесконечное число попаданий в множество А. Правая
часть равенства (2) как раз и представляет собой сумму вероят-
ностей осуществления этих событий.
Раньше в похожих ситуациях после такого короткого эври-
стического обоснования того, что должно быть сделано, мы часто
«заявляли», что теорема доказана. Однако в данном случае мы
намерены дать полное доказательство, поскольку здесь мы встре-
чаемся с одним из самых сложных рассуждений подобного вида.
Пусть Ап — событие, состоящее в том, что хпеЛ (см. предложе-
оо
ние 7), Вп = (J Ah, а событие Сп заключается в том, что Т = п,
k=n
где Т — момент остановки:
1 Т—min[n|n>l, х„еЛ].
Правая часть равенства (2) тогда примет вид
S ВА(х, y)hA(y)= lim 2 НА{х, у) 3 РАУ, t)HA(t) =
у&А n-Х» У&А t^R
= lim ₽J (J С*П (J AJ
П-*оо j = k + n )
= ₽х U с*пЛ***«
_ k— 1 \ п =4 <
Так как множества Bk убывают, то
оо оо
О = О
/1 = 1 /1=1
поэтому
[оо / ОО \*1 г/ оо \ / оо >
U с*п Лвп =₽х Uc»)n(lfBn
fe = l \ П=1 /J 1\^»1 / \П = 1 J
Очевидно, что
оо оо
к=1 п-1
следовательно,
[оо
Лв«
а это и есть ЛА(*), согласно предложению 7. Таким образом, мы
доказали равенство (2), из которого следует (1), что в свою
очередь доказывает предложение 8.
Предложение 4, 6 и 8 можно объединить в следующее утвер-
ждение.
Теорема 1. Пусть А — непустое собственное подмножество
пространства состояний R некоторого апериодического невоз-
вратного случайного блуждания. Тогда множество А или воз-
вратно и в этом случае
НА{х)^\, ЕА(х) = 0, hA=\,
или невозвратно и тогда
НА(х)<\ для некоторого x^R,
ЕЛ(х)>0 для некоторого х^А,
hA = 0 и НЛ(х)= 2 G(x, у)ЕА(у), x<=>R.
У^А
Замечание. Для любого невозвратного . случайного блужда-
ния любое конечное множество А невозвратно. Доказательство
этого замечания можно свести к случаю .{Л | =1 в силу следую-
щих простых соображений. Множество, состоящее из одной
точки, в соответствии с определением невозвратного случайного
блуждания (определение 1.5) невозвратно тогда и только тогда,
когда само случайное блуждание невозвратно. Предположим,
что конечное множество А возвратно. Тогда по крайней мере
одна из его точек с положительной вероятностью должна быть
посещаемой бесконечно часто. Эта отдельная точка должна быть
возвратным множеством в смысле определения 2, но тогда слу-
чайное блуждание возвратно, что противоречит условию.
Теперь мы вкратце остановимся на некоторых аспектах
теории потенциала, связанного с невозвратным случайным блу-
жданием. Мы не намерены развить в полной мере теорию, ана-
логичную классическому ньютонову потенциалу, и не будем
доказывать теоремы из анализа только потому, что их «можно
доказать». Мы просто хотим получить аппарат, который нам по-
надобится для дальнейшего развития вероятностной теории слу-
чайного блуждания. На самом деле нам хотелось бы найти
эффективные методы решения вопроса, возвратно или нет задан-
ное подмножество пространства состояний. Эта цель будет до-
стигнута в следующем параграфе, но, к сожалению, лишь для
весьма ограниченного класса случайных блужданий.
Несмотря на ограниченность нашей цели, нам понадобятся
некоторые понятия, которые принадлежат стандартному репер-
туару теории ньютонова потенциала.
Определение 3. Если А — невозвратное подмножество в R, то
Еа(х) называется равновесным зарядом множества А; величина
НА(х) = з G(x, у)ЕА(у)
У^А
называется равновесным потенциалом (или емкостным потенциа-
лом) множества 4, а величина
С(А)= 2 Еа(у)^ж,
У^А
которая может быть конечной или бесконечной, , есть общий рав-
новесный заряд, или емкость множества А.
Пример 1. Емкость множества, состоящего из одной точки,
равна 1 — F(0,0) —[<7(0,0)]-1. Емкость любого конечного множе-
ства можно вычислить следующим образом. Пусть A={xi,x2, ...
..., хп}, где Xi — различные точки пространства состояний R. Со-
гласно определению 1, ЕА(х) выражается через функцию
Пл(х, У)- В силу пункта (б) предложения 2 б(х, у)—ПА(х, у)
для х и у из R можно рассматривать как матрицу, обратную к
(пХ «)-матрице
G = G (xi, Xj) i, j = 1, 2, ..., n.
Из определения 3 следует, что С (А) есть сумма элементов
(«Хп)-матрицы G-1.
При п=|Л|=2, 4={0, х} получаем
г (A} — 2G(0,0)-G(x, 0) — G (0, х)
С v4' G2 (0, 0) - G (0, х) G (х, 0) ’ еСЛИ Х °'
Отсюда можно сделать важный вывод, что С ({0, х}) =
= С({0,—х}), т. е. емкость двухточечного множества инвариант-
на при отражении этого множества относительно начала коор-
динат. Этот факт легко обобщается на произвольные конечные
множества. К этому нужно, разумеется, добавить, что емкость
любого множества инвариантна относительно всех его сдвигов.
Другое интересное свойство емкости касается предела
С({0,х|) при |х|—>-оо. При изучении этого предела мы исключим
из рассмотрения случай одномерного блуждания с конечным
Средним, который будет изучен в конце этого параграфа в теоре-
ме 2 и примере 2. Для всех остальных случаев из теоремы 24.2
получаем
о
lim* С ({°, х}) = G {0> 0) .
Это соотношение обобщается следующим образом:
lirn С ({%i, •.., хл}) = q (Q, Q) ,
когда |Хй|->оо для £=1, 2,...,п так, что \xi — Xj[->oo для ка-
ждой пары i^=j, i, / = 1, 2, .. .,п. (При таком предельном пере-
ходе все недиагональные элементы матрицы G = G(Xi,Xj), i,j~
= 1,2, ...,п, стремятся к нулю, поэтому обратная матрица G~l
стремится к матрице [6(0, О)]"1/.) Кроме того, мы скоро увидим
(как следствие из предложения 11), что любое множество, со-
стоящее из п точек, имеет емкость меньшую, чем п[6(0, О)]4. Это
явление можно назвать принципом громоотвода. «Длинное тон-
кое» множество, подобное громоотводу, имеет значительно боль-
шую емкость, т. е. может «поглотить» больший заряд, чем «бо-
лее круглые» тела того же самого объема (состоящие из такого
же числа точек). Но это обстоятельство не является очень уж
удивительным, если иметь в виду его вероятностную интерпре-
тацию. Емкость является суммой вероятностей невозвращения,
поэтому «тонкое» или «редкое» множество предоставляет боль-
ше благоприятных возможностей для того, чтобы случайное блу-
ждание «не возвратилось» в данное множество, чем другие мно-
жества, имеющие то же количество точек.
Сейчас мы выведем некоторые общие свойства потенциалов,
т. е. функций вида
f(x)= 2 G(x,y)^(y), X(=R,
y^R
-где ф(г/)— неотрицательный заряд на R. Эти свойства будут
полезны как при получении нового определения емкости, отлич-
ного от приведенного в определении 3, так и при изучении
свойств емкости как функции множеств. Полученные при этом
результаты можно рассматривать как принцип максимума.
Предложение 9.
(а) Если f(x) =Gty(x)—потенциал, заряд которого ф сосре-
доточен на множестве А, т. е. ф=0 на R— А, то
f(x)< sup/=(/)•
/еД
(б) Если — и f2=G^2 — такие два потенциала, что
•ф](х) =$2(х) =0 для x^R— А, и если f1(x)-^.f2(x) для всех х из
А, то
АООСЫ*) для всех х из R.
(в) Если выполняются условия пункта (б), то
х^Д хеД
В правой части (и даже в обеих частях) последнего неравенства
суммы могут быть бесконечными.
Доказательство. При хеR и у^А справедливо тождество
2 НА(х, t)G(t, y)=G(x, у).
t^A
Это тождество существенным образом использовалось при дока-
зательстве предложения 24.8. Здесь оно тоже будет играть перво-
степенную рбль. Применяя оператор НА(х, t) к равенству
получаем
2 Яд(х, /)/(/) = /(х), хе/?. (1)
/ЕЛ
Следовательно,
f (х) < [sup f (0] Яд (х) < sup f (0.
[/е=Д J /еД
Тем самым мы доказали пункт (а). Справедливость пункта (б)
также следует из равенства (1):
f2(x)-fi(x) = 2 Яд(х, 0[f2(0-fi(0]>0. хе/?.
/еД
При доказательстве пункта (в) можно предположить, что
5 W*) = М < °°,
хеД
поскольку в противном случае утверждение пункта (в) три-
виально.
Так как рассматриваемое множество А может оказаться воз-
вратным, выберем последовательность конечных (и, -следова-
тельно, невозвратных) множеств Ап, которые возрастают и стре-
мятся к А при п->оо. Применяя теорему 1 к обращенному слу-
чайному блужданию, для каждого из этих множеств получаем
2 EAn(t)G(t, у) — Н*а(у), y^R.
t^A„ а п
23 Зак. 1375
Следовательно,
0< 2 £лл(0О)-А(01 =
^Ап .
= 3 [Ф2(у)~Ф1(г/)] + 3 Ялп(^)[ф2(«/)-ф1(^)]<
у ^А—Ап
< 3 [Ф2 (у) -Ф1 («/)]+ 2 ФгО/),
У^Ап у^А-Ап
так что для каждого множества Ап
2 Ф1(уХ 2 ^(у)-
У^Ап У^А
Переходя к пределу при п->оо, получаем неравенство пунк*
та (в).
Предложение 10. Емкость невозвратного множества можно
определить также формулой
С (Л) = sup 2 ф (х),
Ф № Л
где верхняя грань берется по всем ф таким, что
ф(х)^>0 на А, 2 G(x, у) ф (у) 1 на А.
У^А
Доказательство. Если С (А) < оо в смысле определения 3, то
общий равновесный заряд конечен и его потенциал равен
НА(х) = 2 G(x, у)ЕА(у)=1 для ,геЛ.
У^А
В силу пункта (в) предложения 9
2 Ф(х)< 2 Еа(х)
х^А х^А
для каждого заряда ф^О на А, такого, что
S G(x, г/)ф(у)< 2 G(x, у)ЕА(у) = 1.
у^А у^А
Таким образом, С(А) не просто верхняя грань, как она зада*
на в предложении 10, но она действительно достигается при
ф(х)=Ел(х).
Если же С (Л) = + оо в смысле определения 3, то ЕА является
зарядом ф, удовлетворяющим условиям предложения 10 и та*
ким, что 2 Ф(х)= + о°. Предложение доказано,
х^А
Предложение 11. Если Д1 и Л2— любые два невозвратные
подмножества в R, то * .
(а) С (Лх U Д2) + С (Лх Л Л2) < С (ДО + С (Л2).
(Если Д1 и Д2 не пересекаются, то емкость множества Д1Г)Д2
полагается равной нулю.)
(б) Если Д1С=Д2, то С(Д1)^С(Д2).
Доказательство. Для любого невозвратного множества AczR
положим
T4 = min[&|0^&< оо, х^еД], если 1<|Л|<оо,
и ТА = + оо, если Л пусто. Тогда из вероятностных соображений
получаем, что для каждого х из R
Рх [ТЛ1 U Л2 < оо] - Рх [Та2 < ОО] =
== Рх[ТЛ1ил2< оо, ТЛ2=оо]<Рх[ТЛ1<оо, ТЛ1ПЛ2= 4“ оо] =
, = Р* [ТЛ1 < оо] Рх [ТЛ1 п а2 < °0] •
Заметим далее, что ,
РЛТл<оо] = Ял(х),
если только А непусто. (Но если А пусто, то можно положить
НА(х) равным нулю, и тогда это равенство также будет справед-
ливо.) Следовательно, мы показали, чдю
На. и а, (х) + НА. п л2 (х) < НА. (х) + На2 (х).
Это — неравенство между двумя потенциалами, заряды которых
равны соответственно
Еа. и л2 (х) + Еа. П а2 (х) и £Л1(х) + £д2(х)
(Еа(х) полагается равным нулю, если А пусто или если
x^R— А). В соответствии с пунктом (в) предложения 9 полные
заряды удовлетворяют тем же неравенствам, что и потенциалы,
если рассматривать все заряды как заряды на одном и том же
множестве Л]1М2- Этим доказывается справедливость пункта (а),
если емкость определить как в определении 3.
Доказательство пункта (в) еще проще. Так как с вероят-
ностью единица Та2 Та. > то
Рх [Тл2 < оо] - Рх [ТЛ1 < оо] = На2 (х) - На. (х) > О,
откуда получаем нужный результат, если соответствующим об-
разом используем пункт (в) предложения 9.
Одним из наиболее простых следствий из предложения 11
является упомянутое в примере 1 утверждение, что
СМХ G(0,0) ПРИ И1 = «-
При (Л| = 1 емкость в точности равна величине, обратной к
G(0, 0), а из пункта (а) предложения 11 можно по индукции по-
лучить соответствующее неравенство для любого п.
В заключение приведем теорему, которая показывает, что
изучение емкости бесконечного невозвратного множества как
правило не представляет интереса. Причина заключается в том,
что, за исключением одного важного класса блужданий, емкость
любого бесконечного невозвратного множества равна бесконеч-
ности. Возможно, что наиболее привлекательными качествами
теоремы 2 являются ее простота и изящный способ использова-
ния в ней теоремы восстановления в самой сильной ее форме,
приведенной в теореме 24.2.
Теорема 2. Пусть А бесконечное подмножество простран-
ства состояний R некоторого апериодического невозвратного
случайного блуждания. Предположим, что А невозвратно в
смысле определения 2. Тогда имеются две возможности. Если
d=l и первый абсолютный момент ш случайного блуждания ко-
нечен, то С(Д) = |ц|. Во всех других случаях С(Л) = 4-оо.
Доказательство. Предположим сначала, что d=\,
Так как задача инвариантна при отражении относительно начала
координат (обращение случайного блуждания), можно поло-
жить ц<0. Покажем, что тогда множество А может содержать,
не более чем конечное число точек слева от начала координат.
Действительно, предположим, что имеется бесконечная последо-
вательность таких точек уп (п= 1, 2,...) из А, что
limz/n=-oo.
П-X»
Пусть Ап является событием, заключающемся в том, что точ-
ка уп посещается в некоторый конечный момент времени. Оче-
видно, что вероятность hA(x)~hA бесконечное число раз посе-
тить А удовлетворяет неравенству
Воспользовавшись элементарным результатом из теории меры,
получим
[ОООО-1 ОО -|
П (J v=lim р- U л* >
n=l Л=п J «*00 Lft-n J
Нетрудно вычислить, что
РЯЛ„] =
G (х, уп)
0(0,0) ’
з в силу теоремы восстановления (см. предложение 24.6 или
теорему 24.2)
lim РЖ[Л„] = [G(0, 0)]“1 lim G (х, у) = [G (О, 0)|ц|Г' >0.
П->ОО у-^-оо
Объединяя это неравенство с неравенством, приведенным выше,
получаем, что /1д>0, что невозможно, поскольку множество А
невозвратно.
Отсюда заключаем, что А содержит бесконечно много точек
справа от начала координат (так как |Л| = оо и А содержит
только конечное число точек слева от начала координат). По-
этому можно выбрать такую последовательность zn из А, что
lim zn = + оо
П-»оо
и на основании теоремы 1
Ял(г„)=1= 3 G(zn, t)EA(t).
t^A
Для любого целого N>Q
l>lim 2 G(zn, О£д(0=п|г 2
Л‘>°° [/| / ел, [/| / ел,
(Переход к пределу под знаком суммы законен, так как множе-
ство содержит лишь конечное число точек слева от N.) Поэтому
С(Л)= 2 £д(0<|И|.
t ел
Теперь можно повторить процесс перехода к пределу, используя
то, что С(Л)<оо и G(zn, t)4*G(0, 6), чтобы заключить (на осно-
вании теоремы о мажорированной сходимости), что С(Л) = |ц|.
Осталось только рассмотреть случай d—1 и т=<х>, или d^-2.
При доказательстве будем вновь опираться на тождества
Ял(г„)=1= 2 G(z„, i)EA(t),
t^A
где теперь является последовательностью таких точек из Л,
что
lim | гп | = оо.
П->оо
Из теоремы 24.2 следует, что С(Д) = 4-оо, ибо если бы это было
не так, то на основании теоремы о мажорированной сходимости
мы получили бы
1= lim 2 G(z„, /)£л(0 = 2 Hm G(z„, /)Ел(0 = 0
n->oo t^A t^A n->oo
(последнее равенство справедливо в силу теоремы 24.2), и тео*
рема 2 доказана.
Пример 2. Какие множества невозвратны для одномерного
апериодического случайного блуждания, для которого т<оо и
р<0? Эта задача была полностью решена в процессе доказатель-
ства теоремы 2. Очевидно, что любое конечное множество А не-
возвратно. Кроме того, если А бесконечно и невозвратно, то, как
мы видели, оно должно содержать только конечное число точек
слева от начала координат. Далее, легко видеть (используя уси-
ленный закон больших чисел!), что Дюбое множество такого типа
невозвратно. Следовательно, невозвратные множества — это как
раз те, которые ограничены слева.
Естественное расширение этой задачи состоит в описании не-
возвратных множеств для случайных блужданий, для которых
/и = оо, р+<оо, р,~=оо (где р+ и ц" определяются в предложе-
нии 24.6). Оказывается, что в этом случае существуют невоз-
вратные множества, неограниченнее слева (см. задачу 3).
§ 26. Случайное блуждание в трехмерном пространстве
с нулевым средним и конечными вторыми моментами
В этом параграфе мы столкнемся с более глубокими, чем в
предыдущем параграфе, проблемами. Это утверждение надо по-
нимать следующим образом. К настоящему моменту о невоз-
вратном блуждании сказано почти все, что следует только из об-
общенной теоремы восстановления (теорема 24.2). При d ^>2 из
теоремы 24.2 следует, что G(0, х)->0 при |х|-> оо, и хотя число
нуль является «довольно обезоруживающей постоянной»1), мы
убедились в том, что этот результат далеко не тривиален. Тем
не менее для нас едва ли будет удивительным обнаружить, что
некоторые интересные аспекты поведения невозвратного случай-
ного блуждания зависят от асимптотического поведения функции
Грина б(х, у) еще более сложным образом. Поэтому теперь мы
ограничимся рассмотрением класса случайных блужданий, для
которых можно легко найти скорость сходимости G(0, х) к нулю
при |х|—>оо. Этот класс выбирается так, чтобы он содержал
простое случайное блуждание в трехмерном пространстве. Обыч*
1) См. Чжун Кай-лай [99, стр. 188].
ное ядро ньютонова потенциала обратно пропорционально рас-»
стоянию между двумя точками, и мы покажем, что функция
Грина для простого случайного блуждания ведет себя таким же
образом: G(x,у) имеет порядок |х— i/j-1 при |х— у|->оо. На
самом деле, как мы увидим, этим свойством обладает широкий
класс трехмерных случайных блужданий.
Предложение 1. Если случайное блуждание удовлетворяет
условиям
(а) Р(х, у) трехмерно и апериодично.
(б) Ц = 2 хР(0, х) = 0,
x^R
(в) т2 = 2 I х |2 Р (0, х) < оо,
xeR
то асимптотически его функция Грина при (х|->оо ведет себя
следующим образом-.
G(0, х)~^№Чх-0Г'х)~\
где Q— ковариационная матрица вторых моментов случайного
блуждания Р(х,у), т. е. матрица, соответствующая квадратич-
ной форме
Q(0)= 2 (х • 6)2Р(0, х),
x^R
Q~l — матрица, обратная к Q, а | Q | — определитель матрицы Q.
В частном (изотропном) случае, когда Q пропорциональна еди-
ничной матрице, т. е. когда
(г) Q(0) = |0|2o2,
справедливо равенство
lim | х | G (0, х) = .
|х|->оо
(Последнее утверждение можно применить к простому трехмер-
ному блужданию, для которого Q(0) = |0|2/3.)
Доказательство. Доказательство опирается на довольно тон-
кие факты гармонического анализа, поэтому мы должны будем
в полную силу, использовать локальную центральную пре-
дельную теорему и ее усиления (см. предложения 7.9 и 7.10).
Эти теоремы применимы только к строго апериодическому слу-
чайному блужданию. Мы освободимся от этого ограничения
на последнем этапе доказательства, а пока в предположении
строгой апериодичности имеем:
| х | Рп (0, х)= IX | (2nn)~dl21Q | *’/2 е (xQ У +1 х | ndl2Ex (п, х), (1>
| х | Рп (0, х) = | х | (2nn)”d/21 Q Г'Л е~^ (xQ У+1 х Г* n''d/2E2 (п, х). (2>
Соотношение (1) содержится в замечании к предложению 7.9, а
соотношение (2) вытекает из предложения 7.10. В обоих этих
соотношениях поправочные члены Е^п, х) и Е%(п, х) при п->оо
стремятся к нулю равномерно по х. Конечно, чтобы соотноше-
ние (2) было справедливо, мы должны предположить, что х^О..
Покажем сначала, что при описании асимптотического пове-
дения величины
|x| G (0, х) = 3 |х|Р„(0, х).
' п=0
главные члены в соотношениях (1) и (2) соответствуют указан-
ному в предложении 1 асимптотическому поведению функции
Грина. При х=£0 и d=3 для получения оценки этой величины
составим ряд (учитывая соотношения (1) и (2))
S (х) = (2л)’’/21 Q Г'/! | х | 2 п'а/2е'^ (x'Q 'х).
П=1
При |х|—>оо эту сумму легко заменить асимптотически равным
ей интегралом Римана. Положим (х • Q-^x)”1^, заметив попут-
но, что А —> 0 при |х|->оо (квадратичная форма, соответствую-
щая матрице Q-1, является положительно определенной!). Тогда
S(x) =
(2л)-% | Q Г'А | х |
(x-Q-’x)72
^(иДр^^'д,
п=1
и при Д->0 сумма в правой части равенства стремится к сходя-
щемуся несобственному интегралу Римана
[ t-4,e-V2idt = уГ—
о
Следовательно,
S (х) ~ (2л)"11 Q PU • Q'1*) Л I х | при | х | -> оо. (3)
Это асимптотическое равенство нам и надо было получить. Те-
перь мы должны объяснить, почему поправочные члены не
влияют на асимптотическое поведение суммы, определяющей
;|x|G(0, х). Как раз в этом месте становится очевидной необходи*
мость в двух различных типах поправочных членов в соотноше-
ниях (1) и (2). Чтобы оценить ошибки, совершаемые нами при
замене величины |х|Рп(0,х) ее главным членом, мы будем ис-
пользовать в разных областях пространства R разные попра-
вочные члены, а именно для [ | х |2] < п < оо мы используем по-
правочный член соотношения (1), а для 1 Хп^[|х|2] поправоч-
ный член соотношения (2). (Через [у] обозначается целая часть
числа у.) Так как вклад главных членов соотношения (3) поло-
жителен, мы должны показать, что
( I X |2]
lim |х I”1 2j n“,/21 E2(n, x)| +
'|Л'|~>оо П=1
+ lim | x | 2 п~’/г I Ег (n, x) | = 0. (4)
| X (->oo n=[ I X I2] + I
Предел любого конечного числа членов первой суммы автомати-
чески равняется нулю, поскольку конечность вторых моментов
гарантирует, что для любого фиксированного п
lim | х | Рп (0, х) = 0.
I х| ->оо
Выберем теперь такое достаточно большое число М, что
|£2(и, к) | <е, как только М. Тогда
, 11*1’1 „ , 11*1’1 „ [1*1’1
1х| 5 п~ ' I Е2(п, х) | =Се | х Г 2 п-/2^8|хГ' 2 rT'^^eki,
п=М п—М п=1
где положительная постоянная ki не зависит от е и х. Так как 8
произвольно, то первый предел в соотношении (4) равен нулю.
Второй предел тоже равен нулю, ибо
|х| 2 « */2|£1(п, х)|<|х| sup IEjOj, х)| 2 n-S/2<
n=[|x|2] + l n>[lx|2] n=[|x|2]
< k2 sup I (n, x) I ,
n >[ I x|2J
а правая часть получившегося неравенства стремится к нулю
при |х|->оо (&2— постоянная, не зависящая от х).
Итак, доказательство предложения 1 для случая строго апе-
риодического случайного блуждания завершено. Однако это
ограничение не существенно и его можно отбросить при помощи
одного удивительно простого приема (вариант которого был ис-
пользован при доказательстве предложения 5.4). Если Р(х, у) —
переходная функция апериодического, но не строго апериодиче-
ского случайного блуждания, зададим новую переходную функ-
цию Р'(х, у) формулой
Р' (х, у) = (1 - a) S (х, у) + аР (х, у),
где 0<а<1. Случайное блуждание, определяемое Р'(х,у), яв-
ляется теперь уже строго апериодическим, и если Р удовлетво-
ряет условиям (а), (б) и (в) предложения 1, то этим условиям
удовлетворяет и Р'. Функция Грина G' случайного блуждания
Р', как это нетрудно подсчитать, равна
G'(x, y) = ^G(x, у).
В частности,
I х | G (0, х) = а | х | G' (0, х), хе R. (5)
Так как предложение 1 доказано для строго апериодических слу-
чайных блужданий, то асимптотическое поведение lx|G'(0, х)
нам известно, а асимптотическое поведение |x|G(0, х) можно
вывести из асимптотического поведения |x|G'(0,х). Остается
только проверить, что в результате получится правильное зна-
чение постоянной. Асимптотическое поведение функции |x|G'(0,x)
определяется вторыми моментами переходной функции Р'. Эти
последние являются непрерывными функциями от а. Так как
равенство (5) справедливо для всех а, лежащих между 0 и 1,
то можно положить а->1 и, опираясь на свойство непрерыв-
ности, сделать вывод, что предложение 1 справедливо и для слу-
чайного блуждания, не являющегося строго апериодическим.
Замечание. Так как матрицы Q и Q-1 положительно опреде-
лены (см. предложения 7.4 и 7.5), из предложения 1 можно за- ,
ключить, что если условия (а), (б) и (в) удовлетворяются, то
0< lim |х| G (0, х)^ lim |хI G (0, х)< оо.
|лс|->оо |х |~>оо
Следовательно, любая достаточно удаленная точка с положи-
тельной вероятностью посещается за конечное время. Из этого
вытекает, что полугруппа R+ должна совпадать с Л. Из пред-
положения апериодичности получаем /?+=Л=*=Я, следовательно,
любая точка с положительной вероятностью посещается в неко-
торый конечный момент времени. Отсюда следует, что для лю-
бого апериодического трехмерного случайного блуждания с ну-
левым средним и конечными вторыми моментами функция
Грина G (х, у) всюду положительна — почти очевидное и чрезвы-
чайно полезное следствие из предложения 1.
В качестве первого применения предложения 1 рассмотрим
поведение распределения точки достижения конечного множе-
ства А. Для любого трехмерного случайного блуждания
lim НА(х, у) = 0.
|х|->оо
Это было доказано в предложении 25.3. Можно видоизменить
задачу и попытаться получить более интересное заключение, на-
ложив условие, что А посещается за конечный промежуток вре-
мени. Пусть
Тл = min [n 10^ п оо, хлеЛ].
Тогда условная вероятность того, что впервые достижение мно-
жества А произойдет в точке у, при условии,.что Тл<оо, равна
Рх [хтл = у> ТЛ < °°] НА <*> У)
МТЛ<~]
Чтобы подсчитать предел этой вероятности при |х|->оо для слу-
чайного блуждания, удовлетворяющего условиям (а) — (г) пред-
ложения 1, заметим, что в силу предложения 25.1
НА(х, у)= 2 G(x, Z) [6 (/, «/)],
t&A
поэтому
lim | х | НА (х, у) = lim | х | G (х, 0) 2 [6 (К у) - Пл (t, i/)].
|х|~»оо t^A
Пусть Е*а — равновесный заряд обращенного случайного блужда-
ния. Тогда, согласно предложению 1 и определению 25.1,
lim \х\НА(х, у) = -^ЕА{у).
1x1->00
Так как |Л|<оо, то
lim |х|Ял(х) = lim |х| У НА(х, у)<=
|х|->00 |х|->00
____1_ V Р* АЛ- С* (Л). С (Л)
“ 2ла2 а ХУ) ~ 2ла2 “ 2nd2 ’
у еЛ
причем последнее равенство следует из того, что емкость С* (А)
множества А для обращенного случайного блуждания равна
С (А) . Следовательно, мы доказали
Предложение 2. Если случайное блуждание удовлетворяет
условиям (а) — (г) предложения 1, то для любого конечного под-
множества А из R
lim |х|Яд(х, У) = -^Е*а(у), lim \х\НА(х) = ^^- (1>
|х|->оо |х|->оо
и
НА (X, у) _ Е*а (у)
Ix l^oo Яд(х) С (А) •
(2>
Заметим, что равенство'(2) значительно слабее, чем (1). Для
его доказательства вовсе не необходимо использовать в полной
мере предложение 1, а достаточно, чтобы для функции Грина
случайного блуждания
Ит -%!*’ о! =1>
| X|->oo G И, °)
Пример 1. Тесельским и Тейлором [83] было замечено, что- i
две интересные случайные величины, связанные с процессом- j
броуновского движения, имеют одно и то же распределение: 1
время до первого выхода d-мерного броуновского движения из <
единичного шара имеет то же. распределение, что и общее время |
пребывания (d+2)-мерного броуновского движения в единич- |
ном шаре (это утверждение имеет смысл, поскольку броуновское |
движение размерности d+2>3 невозвратно. Разумеется, для |
того чтобы эта теорема выполнялась, оба броуновских движения 1
должны исходить из начала координат). |
Используем предложение 1, чтобы доказать аналогичную тео- |
рему для одномерных случайных блужданий. Пусть Т„ — момент |
первого выхода одномерного случайного блуждания из отрезка J
[—п, п]. Если случайное блуждание имеет нулевое среднее и KO' f
нечную дисперсию о2 и исходит из начала координат, то, как *
было показано в теореме 23.2,
Ит РО[Т„>^1 = 1 -F(x) =
2->OO L u J
00 ь Л»
S(—1)* -•j-eft+D’x
2fe+ 1 в
k~0
(1>
Рассмотрим теперь трехмерное случайное блуждание, удо-
влетворяющее условиям (а) — (г) предложения 1. Положим
( 1, если | х | г,
М*)= А 11^
, [0, если \х | > г,
Nr=3Mxft).
*=0
Очевидно, что Nr является общим временем, проведенным слу-
чайным блужданием в шаре [х| |х|О]. (Так как случайное блу-
ждание невозвратно, Nr с вероятностью единица конечно.) Мы
покажем, что
lim PofNr >-^1 = 1 -F(x), (2)
Г->оо L u J
где о2 определяется в предложении 1, a F(x)—та же функция
распределения, что и в равенстве (1).
Доказательство равенства (1) было проведено в § 23 с по-
мощью метода моментов. Отсылая к представленному там обос-
нованию этого метода, мы докажем здесь только, что для р 1
lim Ео
Г~>оо
(-D*
(2fe+ 1)2₽+1
(3)
В правой части равенства (3) стоят р-е моменты функции
распределения F(x) (вычисление последних было выполнено в
предложении 23.3). Основная идея доказательства равенства (3)
станет ясна, если мы рассмотрим случаи р=1 и р=2.
Полагая р=1, получаем
3 б (х, xj
fc=0
= 3 Злдо, х) = 3 G (0, х).
[xl |xl <r] fe—О [х| |х|<г]
(4)
Используя предложение 1, получаем при г->оо асимптотическое
равенство
S 1*Г’~
[х| |хКг,х=£0]
1
г2 f da 2r2 f , г2
~ 2ла2 J | a | ~ a2 J Z dt ~
|a|<l 0
При этом первый из написанных в равенстве (5) интегралов
берется по единичному шару (a|4^ 1 в Е. а через da, как обычно,
обозначается элемент объема.
При р=2
00 оо
Ео [Np] = Ео J 2 S S 6 6 “
[х| |х| <г] [£/| И<г] /=о k=0
=—е0 2 26 (*>+
W |х|<г] *=0
+ 2Е0 2 S
-W |x|<r] [t/J |г/| <г]
оо оо
2 ж х7)2ш х*)
/=0 k-j
----E0[Nr] + 2 2 2 G(0, x)G(x, y)~
[x| I x|<r] [£/| ]*/ I < r]
r2 f da o r4 f f dadfi
2no2 J |а| (2ла2)2 J J | a| Ip - a | *
|a|<l |a|<l |pKl
(6)
Главный член в соотношении (6) имеет, конечно, порядок г4.
Метод, которым мы подтвердили справедливость равенства (3}
для случаев р=1 и р — 2, можно обобщить на произвольное
р^> 1, при этом получим
S'" S G (0, xx) G (хь x2) ... G (xp_lt xp) ~
N lx, |<r] [Xp| |V|<r]
( r2 r p dat da2 dap
• \2ло2/ J “ J |аП |a2 —ad ‘ ‘' |Op_j -ap | '
|a,|<l |ap <l
Обозначим через K(a, P) значение ядра ньютонова потен-
циала для точек а и р из единичного шара трехмерного евкли-
дова пространства Е. Тогда
la-pr^KCa, P) = A’1(a, р), /Ср+1(а, р)= J Яр (а, у)Ш PMY
IV 1<1
являются итерациями сужения ядра К на единичный шар и со*
отношение (7) можно переписать в виде
Ео [Nr] -р! [2УР J Кр(0, a) da. (8)
la |<1
Сравнивая соотношение (8) с равенством (3), нетрудно понять,
что для доказательства равенства (3) достаточно показать, что
оо
, I <9>
Можно предположить, что равенство (9) получено на основе раз*
ложения ядра КР по некоторой системе собственных функций. На
самом деле так оно и есть. Сначала мы значительно упростим
задачу, заметив, что ядро К.р(0, а) сферически симметрично, т. е.
зависит только от | а |. Поэтому изучим действие ядра К(а, ₽) =.
= |а — р|-1 на класс сферически симметричных функций. Инте-
грал
Kf(a)= / tf(<x, ₽)f(p)dp = J T’.f(p)dp
i₽)<i IPK1
является просто ньютоновым потенциалом, порожденным за-
рядом f, сосредоточенным на единичном шаре |а|-^1. Мы вы-
числим его, опираясь на два известных следствия из теоремы
Гаусса о среднем значении (см. [36, стр. 83]). Потенциал вне
шара, порожденный сферически симметричным зарядом, будет
тем же, если считать, что весь заряд сосредоточен в центре
шара Потенциал внутри шарового слоя, на котором находится
симметричный заряд, равен постоянной. Следовательно, можно
разложить потенциал Kf (а) на две его составляющие — первая,
порожденная зарядом, сосредоточенным в области |р|-<|а|=г,
а вторая — зарядом в области ||$|>|а|=г. Вторую составляю-
щую (так как она постоянная!) удобно подсчитать, положив
|а|=0. В результате получаем
Г 1
Kf (а) = f f (₽) |а1р| dp =~ f f (р)р2 dp + 4л J 7 (р)рdp, (10)
|₽|<1 0 г
если |<х| =г и f(P) =/(р) при jp|*=p.
Предположим далее, что f является сферически симметричной
собственной функцией оператора К, т. е. что f=7.Kf на единич-
ном шаре для некоторого Х¥=0. Удобно обозначить г/(г) =<р(г),
и тогда из разложения (10) следует, что уравнение f=KK.f мо-
жно записать в виде
1
<р (г) = 4лА. J <р (р) min (р, г) dp, O^rs^l. (11)
о
Другими словами, мы ищем собственные функции интегрального
оператора (с ядром 4л min(p, г)), который обладает необходимыми
свойствами (он симметричен, положителен и всюду непрерывен;
следовательно, собственные функции соответствующего инте-
грального оператора образуют полную ортонормальную систему,
и можно применить теорему Мерсера). Почленное дифференци-
рование уравнения (11) приводит к дифференциальному уравне-
нию второго порядка
ф" (г) + 4лЛф (г) = 0, 0<г<1, (12)’
с граничными условиями
ф(0) = ф'(1) = 0. (13)
Решениями уравнения (12) с граничными условиями (13) яв-
ляются
Л„ = ^-(2п+1)2, ф„(г) = /2sin[-J(2n+ 1)г],
J Фл (r) <Рт (r) dr = d (m, n), п > О, пг > 0. (14)
о
Теперь нетрудно закончить доказательство равенства (9). При
р=1 справедливость равенства (9) очевидна. При р>2
КД0,а)= / /((а, р)7^(0,р)dp,
IP Ki
поэтому Лр(0, а) является результатом применения оператора К
к сферически симметричной функции. Пусть | а | == г, | а | Кр(0, а) =
= фр(г). Тогда
Фр (') = 4л J фрН (р) min (р, г) dp, р > 2.
о
Следовательно, фр является результатом применения (р — 1) -й
итерации ядра 4л min (р, г) к функции ф1(г) = 1. Согласно теоре-
ме Мерсера (см. предложение 21.3)
п=0 0 п
Наконец,
1' ОО 1 1
j Кр(0, a)t/a=4nj typ(r)rdr = - ", J <fn(r)rdr j <p„(p)dp.
|a|<l 0 n=0 О 0
Несложный подсчет, использующий соотношения (14), показы-
вает, что равенство (9) верно. Это доказывает предельную тео-
рему (равенство (2)) для Nr — времени, проведенного трехмер-
ным случайным блужданием в шаре радиуса л
Еще существеннее предложение 1 используется при характе-
ризации неограниченных невозвратных множеств (все конечные
множества, разумеется, невозвратны). Следующий критерий был
предложен Ито и Маккином [28].
Теорема 1. Предположим, что трехмерное случайное блужда-
ние удовлетворяет условиям (а) — (в) предложения 1. Обозна-
чим через Ап пересечение бесконечного множества А с совокуп-
ностью точек х шарового слоя 2п^\х\<2п+1. Пусть далее
С(Ап)— емкость множества Ап (см, определение 25.3). Тогда
множество А возвратно в том и только в том случае, когда
V с _
£ 2я "
п=1
ОО.
Доказательство. Чтобы подчеркнуть характерные особенно-
сти доказательства (к которым можно отнести применение ре-
зультатов § 25 и оценки, вытекающей из предложения 1, а так-
же способ их использования при решении задачи), мы будем
несколько небрежны с теми аспектами доказательства, которые
относятся к теории меры. Достаточно будет только сказать, что
следующие утверждения эквивалентны.
(1) А — возвратное множество, т. е. оно посещается беско-
нечно часто,
(2) Случайное блуждание хп. при условии хо=О, посещает
с вероятностью единица бесконечно много множеств Ап,
Ясно, что из утверждения (2) вытекает утверждение (1). Из
утверждения (1) утверждение (2) также вытекает, ибо hA(x)
не зависит от х. каждое Ап конечно, а следовательно, посещается
только конечное число раз.
Пусть Еп обозначает событие, заключающееся в том, что Ап
посещается за конечное время. Возвратность означает, что
Ро П Ш =1
71-1 k = H
Оценим теперь вероятности Ро[£п], опираясь на теорему 25.1,
и получим
РО[£„] = ЛГЛ„(0)= 2 0(0, х)Еа (х).
хеАп -
24 Зак. 1375
i
Пусть С2, ... — положительные постоянные, тогда в соответ-
ствий с предложением 1
q I х Г1 < G (0, х)< с21 х Г1 для всех х О,
поэтому
Сз 2 2-пЕЛп(х)<Р0[£„]<с4 2 2-п£Лп(х),
Х^А„
или
с32~пС (А„) < Ро [£„] < с42-пС (Л„).
Это делает понятнее смысл теоремы 1. Кроме того, теперь стало
ясно, что осталось доказать. Мы должны показать, что
оо
тогда и только тогда, когда'2 Polini = 00• К этому заключению
П=1
можно прийти, используя хорошо известную лемму Бореля —
Кантелли1).
Предложение 3. Пусть Еп— произвольная последователь-
ность событий (множеств) из вероятностного пространства (бо-
релевской алгебры подмножеств некоторого пространства, на ко-
торой задана счетно аддитивная мера р, причем мера всего про-
странства равна единице).
(а) Если 2 Н {Еп) <
оо, то р
n U£* =°
-и=1 k=n
(б) Если 2 И = оо и для некоторого с > О
lim
’ П->оо
П П
3 2 Н(£йЛВт)
k—\ m=\_____________
n "12
Jfe=l
9 Обычный вариант этой леммы состоит из пункта (а) предложения 3
и утверждения, обратного к пункту (а), для того случая, когда события Еп
взаимно независимы. Более сложная формулировка обратного утверждения,
приведенная в пункте (б) предложения 3, сравнительно нова; она была по-
лучена независимо несколькими авторами. Ср. [50], [69] и в особенности [55],
где Ламперти показал, как можно использовать предложение 3, чтобы до-
казать теорему 1 для широкого класса невозвратных марковских случайных
процессов.
I
i
ТО
[оо оо "1
П U £ ~ •
п= 1 k=n
Мы докажем предложение 3 после того, как закончим дока-
зательство теоремы 1. Из пункта (а) предложения 3 следует,
что если множество А возвратно, то ряд, фигурирующий в тео-
реме 1, расходится. Из пункта (б) хорошо бы получить обрат-
ное утверждение. Поэтому мы предположим, что ряд У Ро [Еп]
расходится. Если мы сможем удостовериться в том, что нижний
предел, о котором идет речь в предложении 3, конечен, то из
этого факта будет следовать, что множество А с положительной
вероятностью посещается бесконечно часто. Однако в соответ-
ствии с теоремой 25.1 эта вероятность равна Aa(0)=/ia; но кон-
станта hA равна или единице или нулю. Если мы докажем, что
она положительна, значит она равна единице'.
Пусть теперь Tft — момент первого достижения случайным
блужданием множества Ah. Так как Ро[2^] = Ро[Т\<оо], то
Ро №k П Ет] ~ Ро [Т* < < оо] + Ро [Tm < Tfc < оо]
< Ро [Тл < оо] max Рх [Tm < оо] + Ро [Tm < оо] max Рх [Т* < оо] =
х^Ат
= P0[£ft]max 2 G(x, у)ЕАт(у) +
Ak у^Ат
+ P0[£J max 2 G(x, у)ЕА (у).
*^Ат y^Ak
Используем утверждение предложения 1 в виде неравенства
G(x, у) -Сс2|*— чтобы получить оценку
P0[£ftn£j<c2P0[£ft]max 2 к-у Г1 ЕА (у) +
x^Ak у^Ат.
+ с2Р0[£Jmax 2
Если k<m—1, то из геометрического строения множества Ап
вытекает, что
Ро[£*П£т]<
< с2Р0 [£*] 12ft+1 - 2m Г' с (Ат) + с2Р0 [£m] | 2ft+1 - 2m Г С (Ak).
Следующий шаг состоит в использовании неравенства
СС4п):Ссз12лРо[Е’п], которое мы получили непосредственно
перед формулировкой предложения 3. (ПрйГдоказательстве этого
неравенства существенно использовалось предложение 1.). Итак,
Pol£* Л Ет\ < Р„ [Eft] Ро [EJ ( <
< сР0 [Ей] Ро [Ет] для k < т - 1,
где постоянная с=4с2/сз не зависит от k и т. Таким образом,
получаем
__ 2 2ро[Е»Л£т]
lim —с<оо,
n->°° «
2 5 р<> [£й1 ро
fe=l m=l
что вытекает из того, что оценка, которую мы вывели, справед-
лива и для случая /п<&— 1, а члены, для которых \k — т \ 1,
практически не могут влиять на значение верхнего предела.
Теперь осталось только доказать лемму Бореля — Кантелли.
Пункт (а) леммы вытекает из соотношения
и П U£* " limP Ll£* <lim 2 >*(£*) = о.
Ln=i k—n J n“>o° J n^°° k—n
Для доказательства пункта (б) положим ^=1, если Eh осуще-
ствилось, и нулю в противном случае. Пусть
N„=2<h, E(Nn)=2H(Eft).
6=1 fe=l
Для любого положительного числа 8 под Вп> 8 понимается такое
измеримое подмножество вероятностного пространства, что
Nfc^eE(Nfc) для некоторого k^n.
Воспользуемся теперь неравенством Шварца
' [E(fg)]2< E(f2)E(g2),
выбирая в качестве измеримых функций f и g характеристичен
скую функцию f множества Вп, е и
g = fN„.
Тогда имеем
.. Г о 1 — F fE <f S) J2 ъ. (Е (f8) 12 -> <Е - Е IN« - fHJ2
Так как
E[N.„(l-f)]<eE(N„),
то для каждого п > 1,
ii[d I /1 р\2 [Е (Мл)]2
а так как E(Nn) ->оо при п~>оо, то
[оо оо
пи^
п- 1 /г=п
> lim fi [Вп, е].
П->оо
Все это верно для любого положительного в, следовательно,
[оо оо
П U£*
1 Л=п
nsllIMi.ita
«“>оо Е (N2) П~>оо
П 12
2 и (^)
&=1
2 2 ц (ЕкГ\Ет)
k=l т—\
Итак, предложение 3, а вместе с ним теорема 1, доказаны.
Критерий Винера (так называется теорема 1, потому что она
является аналогом, принадлежащего Н. Винеру1) критерия ха-
рактеризации сингулярных точек ньютонова потенциала) иногда
можно использовать для того, чтобы определить, возвратно или
нет данное множество. Однако в общем случае вычисления не-
преодолимо трудны.
Пример 2. Пусть А — множество вида А = (J(0, 0, а(п)), где
п—\
а(п) —монотонная последовательность положительных целых
чисел. Из соображений, не связанных с критерием Винера, оче-
видно, что если а(п)=п, то А возвратно. Чтобы применить кри-
терий Винера, когда А является произвольной монотонной по-
следовательностью точек, принадлежащих положительной части,
оси х, заметим, что из предложения 25.11 следует, что
поскольку отдельная точка имеет емкость [G(0, О)]-1.
’) Относительно критерия Винера характеризации сингулярных точек,
см. [53, т. 2, стр. 305] или [36, стр. 331], а также [29, гл. VII], где обсужде-
ние затронутых вопросов проводится в терминах броуновского движения и
отчетливо проявляется связь между критерием Винера и предложением U
Чтобы получить для С(АП) оценку снизу, заметим, что в со-
ответствии с предложением 1
2 G(x,y)^k2 5 k-i/Г1
«sAn
.для некоторого ^>0. Предположим, что для последовательности
а (га),
max 2 |х — уГ1</г3<оо, (1)
хеАп У^АП
где k3 не зависит от га. Следовательно, справедливо неравенство
/(%)= 2 G(x,y)^kz, х<=Ап,
у^лп
которое на языке теории потенциала означает, что заряд, тожде-
ственно равный единице на Ап, порождает потенциал f(x), гра-
ничное значение которого не превосходит k3. В силу предложе-
ния 25.10 полный равновесный заряд множества Ап (т. ё. ем-*
кость множества Ап) больше или равен kzl, умноженному на
число точек в Ап, т. е.
С(А„)>^'|А„|.
Таким образом, при выполнении условия (1)х
ь V 1л*1 V |Л„|
JmU 2я 5=55 2я • ЛЛ 2п ’
1 1 1
Итак, мы показали, что множество, для которого выполняется
условие (1), возвратно тогда и только тогда, когда расходится
ряд 22-п|А„|.
Осталось только привести примеры множеств, которые удов-
летворяют условию (1). На самом деле условие (1) оказы-
вается довольно умеренным требованием регулярности, наложен-
ным на последовательность а(га). Можно показать, что оно вы-
полнено, если
а (га + 1) — a (га) In п
для достаточно больших га. Вместе с тем этого оказывается не-
достаточно (как было замечено Ито и Маккином [28]), чтобы
ответить на вопрос, будет ли бесконечно много раз посещаться
множество всех положительных простых чисел (на самом деле
ответ положителен, ср. [105] и [60]). Тем не менее можно сделать
.заключение, что множество
А = (J (0, 0, а (га)), а (га) = [га • In га • 1п2 га ... (lnft га)“],
1
где lru+in = ln(lnfen), 1, 1П1М = 1пп, посещается бесконечно*
часто тогда и только тогда, когда
Критерий Винера (теорема 1) был сформулирован таким об-
разом, что может создаться впечатление, будто свойство воз-
вратности для конкретного множества зависит от случайного
блуждания, о котором идет речь. Сейчас мы используем принцип
максимума теории потенциала (предложение 25.10), и покажем,,
что это не так.
Теорема 2. Бесконечное множество А трехмерного простран-
ства R или возвратно (т. е. с вероятностью единица посещается
бесконечно часто) для любого апериодического трехмерного слу-
чайного блуждания с нулевым средним и конечными вторыми'
моментами, или невозвратно для любого такого случайного блу-
ждания.
Доказательство. Если Р и Р'— переходные функции двух:
апериодических трехмерных случайных блужданий с нулевым
средним и конечными вторыми моментами, то их функции Грина
G и G' всюду положительны (согласно замечанию к предложе-
нию 1). Следовательно, из предложения 1 вытекает, что суще-
ствуют такие два положительных числа с± и Сг, что
qG(x, y)^G'(x, y)^c2G(x, у), х, y^R.
Для данного конечного подмножества BczR обозначим через
С (В) и С'(В) емкости, индуцируемые этими двумя случайными
блужданиями. Из характеризации емкости, данной в предло-
жении 25.10, вытекает, что
С'(В)= sup V ф(х)^ sup У i|)(x) =
(Ф| наВ] “Г 1Ф|С1ОФ<1ваВ]
X о X D
= sup У с-1ф (х) = — С (В)..
[<Р | G<p < 1 на В] '
X *= D
Подобным образом получая нижнюю границу для С'(В),.
имеем
|с(В)<С'(В)<{С(В).
Обе постоянные Ci и с2 не зависят от множества В. Следова-
тельно,
1 V С (Ап) V С' (Д„) 1 V С (Ля)
с2 Т4 1п Zj 2” Cl Zj 2” ’
п=1 n—1
где множества Ап являются шаровыми слоями, фигурирующими
в формулировке критерия Винера (теорема 1). Отсюда выте-
кает, что оба ряда или одновременно сходятся, или одновре-
менно расходятся. Следовательно, множество А или возвратно
для обоих случайных блужданий, или невозвратно для обоих
случайных блужданий, и теорема 2 доказана.
§ 27. Приложения к анализу
Через S обозначим произвольное конечное или бесконечное
счетное множество. Во всех наших приложениях под S мы бу-
дем понимать или R, или некоторое подмножество из /?, но сей-
час мы только затемнили бы суть дела, обсуждая конкретную
природу множества S. Нас будет интересовать вещественная
•функция Q(x, z/), определенная на произведении S с самим со-
бой и обладающая следующими свойствами.
Определение 1.
Q (х, у) 0 для х, у е S,
У Q(x, i/)^l для x<=S,
y^s
Qo (х, у) = Ъ (х, у), Qj (х, y) = Q (х, у),
Qn^(x,y) = 2 Qn(x, у), x,ye=S,
t^S
oo
2 Qn(x, y) — g(x, y)<°°, x, y<=S.
n=0
Такая функция Q называется невозвратным ядром.
1Лъ\ избегаем применять термин переходная функция по от-
ношению к функции Q(x, у), так как от нее не требуется, чтобы
она была разностным ядром (в самом деле, на S даже не опре-
деляются операции сложения или вычитания). Тем не менее
Q(x, у) и ее итерации Qn(x, у) во многом ведут себя подобно
переходным функциям. Нетрудно видеть, что функции Q (х, у)
можно сопоставить некоторый случайный процесс. Подобная
конструкция лежит в основе теории марковских цепей1), а слу-
чайное блуждание может рассматриваться как специальный
случай марковских цепей. Если сконструировать марковскую
цепь с пространством состояний S и такую, ято функция Q(x, у)
определяет ее переходные вероятности, то эта цепь будет не-
возвратной в соответствии с обычной терминологией теории мар-
ковских цепей.
9 См. Чжун Кай-лай [98, § 1.2].
Однако мы не собираемся изучать такую сложную конструк-
цию. Мы просто выведем некоторые необходимые для дальней-
ших исследований простые аналитические свойства невозврат-
ных ядер, задаваемых определением 1. Точно так же, как эта
было сделано для невозвратного случайного блуждания, мы
выделим класс неотрицательных функций, удовлетворяющих
уравнению
Qf (х) = 2 Q(x, y)f(y) — f(x), xeS,
y^S
и назовем эти функции Q-регулярными. Затем определим еще
два класса функций; класс Q-потенциалов, а также подходящий
класс функций, содержащий все Q-потенциалы. Последний класс
называется классом Q-эксцессивных функций. Он является ана-
логом класса супергармонических функций из классического
анализа.
Определение 2..Если Q — невозвратное ядро на SXS, то не-
отрицательная функция f(x) на S называется (а) Q-регуляр-
ной, (б) Q-эксцессивной, (в) Q-потенциалом, если
(a) Qf(x) = f(x), xsS,
(б) Qf(x)^f(x), X€=S,
(в) f(x) — s g(x, y)^(y)<oo, x<=S,
y^S
где ф(х)>0 для xeS. В случае (в) функция f называется
потенциалом, порожденным зарядом ф.
В дальнейшем, если это не будет вызывать путаницы, будем
называть Q-регулярные функции просто регулярными и т. д.
Мы часто будем использовать некоторые элементарные свой-
ства только что введенных классов функций, объединив их в
виде следующего предложения.
Предложение 1. (1) Потенциалы являются эксцессивными
функциями.
(2) Минимум двух эксцессивных функций является эксцес-
сивной функцией.
(3) Если f(x) —потенциал, то
lim Qnf(x) = O, x^S.
П~>оо
Доказательство. Пункт (1) следует из соотношения
S Q U, у)- g(x, у) = — & (х, у), х, y^S,
t^S
которое показывает, что g(x, у)—эксцессивная функция от х
для каждого фиксированного у. В самом деле, если f — потен-
циал, то в соответствии с пунктом (в) определения 2 f является
выпуклой комбинацией эксцессивных функций. Следовательно,
она эксцессивна, ибо из пункта (б) определения 2 легко полу-
чить, что сходящаяся линейная (с неотрицательными коэффи-
циентами) комбинация эксцессивных функций сама эксцес-
сивна.
Чтобы получить (2), заметим, что если Pf^f, Pg^Cg, то
min [/ (х), g (х)] > min Г 2 Р (х, у) f (у), 2 Р (х, у) g (у)] >
Ly^s y^s J
> 2 Р(х, у) min (у),
y^s
Наконец, предположим, что f(x) —потенциал. Если
Дх)= 2 g(x, у)^(у) = gty(x),
y^S
то
[оо
2 Qfe U, у) ,
k—n
и правая часть последнего равенства при п—>оо стремится к
нулю для любого х.
Фундаментальная связь между классами функций, введен-
ными в определении 2, была обнаружена Риссом [71, стр. 337].
Он показал, что любую эксцессивную функцию можно предста-
вить в виде суммы регулярной функции и потенциала. Это раз-
ложение единственно, т. е. для любой эксцессивной функции
существует только одно такое представление. Сформулируем
соответствующую теорему.
Теорема 1. Если Q — невозвратное ядро, a f есть Q-эксцес-
сивная функция, то
f(x) = ft(x) + u(x),
где
fi(x)=lim 2 Qn(x, y)f(y)<o°, x<=S,
ГР->оо y^S
является Q-регулярной функцией, а
и (х) = 2 g(x, t)[f(t)-Qf(t)J, x<=S,
t e s
есть Q-потенциал. Более того, указанное разложение единст-
венно.
Доказательство. Пусть f(x) — Qf(x) = -ф (х). Так как f эксцес-
сивна, то гр неотрицательна на S. Далее
Q*fW-Q*+ifW = Q*tW>o> xe=s, ,fe>o.
Складывая первые п+1 из этих равенств, получаем
/ (*) - Qn+if (х) = gnty (х),
где
£пФ(х) = S gn(x, у)^(у), gn(x, у) — S Qk(x, у).
№S fe=0
Далее при n—>oo суммы gn(x,у), возрастая, стремятся к g(x,y),.
а значит, в силу неравенства
£пф(х)</(х)<оо, xe=S,
справедливо соотношение
lim (х) = £ф (х) < оо,
П->°°
xeS.
Функция gip (х) как раз и является потенциалом и(х), указан-
ным в формулировке теоремы 1. Доводы, с помощью которых
мы обосновывали существование предела £пф(х), говорят о том,,
что существует также предел
lim Qn+1f(х)<оо, хе$.
П->оо
Очевидно, что в пределе получается регулярная функция (так
как Qnf и Qn(Qf) имеют один и тот же предел), поэтому мы
отождествим ее с функцией h(xf, фигурирующей в теореме 1.
Следовательно, разложение Рисса получается переходом к пре-'
делу при п->оо в соотношении/=фп+1/+£пф.
Чтобы доказать единственность, Предположим, что,' кроме
представления f=h+u, где h и и определяются в теореме 1,.
существует другое представление f=h'+u', где h' регулярна, а.
и' — потенциал. Тогда
г>(х) = м'(х) —ы(х) = /г(х) —Л'(х), xs$,
а так как
то
Qh(x)— Qh'(x) — Л(х)— Л'(х), хс$,
Qv(x)= Qnv(x)—v(x) xeS, n>0.
Поскольку o(x) является разностью двух потенциалов, из пунк-
та (3) предложения 1 получаем
lim Qnv (х) = 0 = и (х), х е 5.
Это означает^ что и(х)~и'(х), а следовательно, й(х) = Л'(х), |
чем и устанавливается единственность разложения. J
В дальнейшем нам потребуются только перечисленные свой- |
ства невозвратных ядер, однако соблазнительно продвинуть |
изыскания в этой области несколько дальше. Достаточно приме- |
нательным является тот факт, что теория потенциала произ- <
вольного невозвратного ядра сохраняет многие свойства теории ;
потенциала, которая была развита нами для случайного блуж- *
дания в § 25. |
Пример 1. Принцип максимума (аналог предложения 25.9). f
Пусть и (х) = Т g(x, y)ty(y) является Q-потенциалом, причем -
y^s
<ф(х)=0 для всех х из S — А, где А — произвольное подмноже-
ство из S. Тогда
u(xXsupu(f), xsS.
i е Л
Доказательство. Положим Q'(x,y) = Q(x,y), когда х и у при-
надлежат множеству 5 — А. Пусть, как обычно, Qn(x, у) —ите-
рации Q' по множеству S — А, и пусть Д-
оо
g'(x, г/)=,2о<?'U, у), x,y<=S-A. I
Так как Q'n(x, y)^Qn(x, у) для х и у из S — А, то g'(x,y)^. j
<Cg(x, у) для всех х и у из S— А, поэтому g'(x, у) <°°, а зна- д
чит, Q' является невозвратным ядром на множестве S — А. Да- '
лее, положим j
НА(х, у)= 2 g'(x, у), xe=S-A, у(=А. (1) |
t S S— А
Заметим, что если рассматривать Q(x, у) как функцию, опре- Л'
деляющую некоторый случайный процесс на множестве S, то
функция На(х,у) будет иметь ту же вероятностную интерпре- 4
тацию, что в определении 10.1. Функция НА(х,у) задает ве- |
роятность того, что первое попадание в множество А произой-
дет в точке у, при условии, что процесс исходит из точки х, |
принадлежащей S — А. Приведенные рассуждения наводят на
мысль о справедливости тождества ;
g(x, у) — S НА(х, t)g(t, у), x<=S-A, у(=А, (2) '
t^A
и неравенства j
• 2яли,/)<1, xeS-A. (3)
t S л
Для случайного блуждания соотношения (2)' и (3) были по-
лучены в предложении 10.1. Если предположить, что они спра-
ведливы в . более общей ситуации, то придем к тому, что из
равенства (2) вытекает
и(х) = 2 g(x, у)^(у)= 3 x(=S-A,
у^А t<=. А
поэтому
2 На(х, 0] sup и(f), x£S- А,
U €= Л J t е» А
И, наконец, с помощью неравенства (3) можно закончить до-
казательство принципа максимума.
Соотношения (2) и (3) удобно доказывать, используя ап-
парат теории меры, поскольку такое доказательство делает за-
конным употребление интуитивно полезных времен остановки.
Однако совеем не сложно одно элементарное доказательство
соотношений (2) и (3), опирающееся на определение функции
НА(х,у), содержащееся в равенстве (1). При этом нужно вос-
пользоваться методом индукции или провести некоторые вычис-
ления, подобные тем, которые были проделаны для похожего
невероятностного доказательства предложения 1.2 гл. I. Все
это мы с удовольствием оставляем читателю в качестве упраж-
нения.
Специального упоминания заслуживает наиболее простой
частный случай применения принципа максимума. Когда
ф(х) = 1 в точке х = у и 0 во всех остальных точках xeS, то,
согласно принципу максимума,
g(x, y)^g(y. у) для всех (4)
Это утверждение опять-таки очевидно, если считать очевидной
вероятностную интерпретацию g(x, у) как ожидаемого числа
попаданий в точку у процессом, исходящим из точки х, по-
скольку тогда g(x, у) является произведением g(y,y) на ве-
роятность (которая не превосходит единицы) за конечное время
по крайней мере один раз попасть в точку у, исходя из точки х.
Теперь мы займемся некоторыми приложениями теории ве-
роятностей к анализу. С помощью мощной теоремы Рисса о
разложении (теорема 1) можно изучать регулярные функции
невозвратных ядер. Более конкретно, мы увидим, что имеется
тесная связь между асимптотическим поведением отношения
— у) дЛЯ больших I и |
g (*2> у) 1J ‘
и различными Q-регулярными функциями (если такие суще-
ствуют). Эта связь впервые систематически использовалась
Р. С. Мартином [63] в его исследовании свойств гармонических
функций, заданных на произвольной области в плоскости. Мы
ограничимся тем, что попытаемся изложить полезный частный
случай метода нахождения и представления Q-регулярных функ-
ций. В недавних работах по теории вероятностей Дуба, Ханта и
других1) этот плодотворный и в его полной общности довольно
глубокий метод называется построением границы Мартина.
Извинением за попытку этого вторжения в абстрактную тео-
рию потенциала нам служит то, что вероятностные результаты
из предыдущих глав довольно неожиданно найдут изящные при-
менения в новой обстановке. Например, в примере 3 в конце
этого параграфа мы вернемся к случайному блужданию на по-
лупрямой. Следовательно, под R будет подразумеваться мно-
жество всех целых чисел, а в качестве S естественно взять мно-
жество [0, оо) неотрицательных целых чисел. Если Р(х,у) —пе-
реходная функция некоторого апериодического случайного блуж-
дания, и если Q(x,y) —сужение функции Р(х,у) на множество
S, то Q является невозвратным ядром на S в смысле определе-
ния 1. Очевидно, что g(x, у) —функция Грина ядра Q в смысле
определения 1 и одновременно функция Грина gB(x,y) =g(x,y)
в смысле определения 19.3. Об этой частного вида функции
Грина мы знаем много. Так, согласно предложению 19.3,
min (х, у)
g(x, у)= s U(у-п) v(у-п), х>0, #>0,
п-0
а в § 1.8 гл. IV мы вполне основательно изучали функции и(х)
и v(x). В частности, при рассмотрении асимптотических свойств
g(x9y) не должно возникнуть значительных затруднений по
крайней мере при разумных дополнительных предположениях.
Используя эту информацию о поведении g(x9 у), мы будем в
состоянии доказать, что при некоторых ограничениях сущест-
вует одна и только одна Q-регулярная функция. Это утвержде-
ние интересно с вероятностной точки зрения, ибо уравнение
Qf(x)=f(x) для xeS является уравнением Винера —Хопфа
2Р(х, y)f(y)-fW, х>0
(см. определение 19.4). В предложении 19.5 было показано, что
это уравнение имеет решение
(х) = и (0)+ «(!) + .. . +и{х), х>0.
’) См., например, Дуб [25], Хант [92] и Ватанабе [9].
Таким образом, в примере 3 мы увидим, что для возвратного
апериодического случайного блуждания уравнение Винера—
Хопфа имеет единственное неотрицательное решение, или, если
предпочесть иную точку зрения, функция и(х), которая играет
такую важную роль в теории флуктуаций, имеет простую харак-
теризацию с точки зрения теории потенциала.
Подобным же образом можно привести мощные доводы в
пользу рассмотрения апериодического возвратного случайного
блуждания на плоскости с другой точки зрения. Если Р(х,у) —
переходная функция на R, то пусть S=/?— {0}, Q(x, у) =Р(х, у)
для х и у из /? — {0}. Тогда Q — невозвратное ядро. Согласно
предложению 13.3,
S Р (х, у) а (у) —а (х) = д (х, 0), хе/?,
y^R
где а(х)—ядро потенциала из предложения 12.1. Так как
а(0) =0, то это уравнение можно переписать в виде
2 Q(x, у)а(у) —а(х), xeS.
y^s
Поэтому а(х) есть Q-регулярная функция на S. Является ли эта
функция единственной (не считая отличающихся от нее постоян-
ным множителем) Q-регулярной функцией? Из предложения 3
вытекает, что ответ на этот вопрос утвердителен, причем дока-
зательство будет опираться на то, что, согласно предложению
11.6 и 12.2,
g(x, у) = а(х) + а(— у) - а(х - у),
а
lim [а (х + у) - а {у)] = 0.
|#|->оо
Подробности будут приведены в примере 4. Последнее приме-
нение теории потенциала в примере 5 уже относится собствен-
но к анализу и касается хаусдорфовой проблемы моментов.
Нам понадобятся два новых определения. Пусть S — произ-
вольное счетное или конечное множество, a f(x)—вещественная
функция на S.
Определение 3. lim f(x)=a, если для произвольного фикси-
|х|-> ОО
рованного е>0 неравенство |f(x)— а|<е выполняется для всех,
за исключением конечного числа, точек х из S.
Очевидно, что это определение содержательно только тогда,
когда S бесконечно (в противном случае в качестве предела
Функции /(х) можно взять любое действительное число). Во
всех интересных для нас случаях S будет бесконечным. Более
важно
Определение 4. Если Q — невозвратное ядро на множестве
S, a h(x) — положительная Q-регулярная функция, то положим
ГI
и
gh(x, у) = g (yZ? (У) ’ х, y<=S.
fl
Определение 4 понадобилось нам для того, чтобы сформу-
лировать.
Предложение 2. QA(x, у) — невозвратное ядро на S. Если че-
рез QA(x, у) обозначить его итерации, а через
gh(x, y)=2QnU, у), х, yf=S,
п—0
его функцию Грина, то gh(x, у) совпадает с функцией, введен-
ной в' определении 4. Ядро Qh обладает тем свойством, что кон-
станта е(х)=\ является Ср-регулярной функцией.
Доказательство, будучи вполне очевидным, опущено. Теперь
мы собираемся привести ряд условий, достаточных для того,
чтобы невозвратное ядро Q имело единственную регулярную
функцию (при этом единственность всегда понимается с точно-
стью до постоянного множителя).
Предложение 3. Пусть Q(x,y)—такое невозвратное ядро naS,
что g(x,y)> 0 для всех х и у из S. Предположим, что для не-
которой точки из S существует для всех х из S предел
Предположим далее, что f(x) есть Q-регулярная функция1).
Тогда f(x) является единственной с точностью до постоянного
множителя Q-регулярной функцией.
Доказательство. Предположим, что функция h(x) Q-регуляр-
на и не равна тождественно нулю. Нам нужно показать, что для
!) Легко показать, что это условие можно ослабить; достаточно
потребовать, чтобы существовала по крайней мере одна нетривиальная
Q-регулярная функция. Покажите, что большего и требовать нельзя, по-
строив переходное ядро такое, что оно не имеет регулярных функций, но
предел, который фигурирует в предложении 3, для него тем не менее су-
ществует.
некоторого с>0 справедливо равенство ft(x)=cf(x) для всех х
из S. Сначала заметим, что Л(х)>0 на S, так как
2 Qn (х> У) А (у) = h (х), x^S, п^О.
y^S ч
Если бы для некоторого Xo^S было /г(хо)=О, то можно было
бы выбрать такое у0, что h(y0)>D, и затем заключить, что
Q„(x0, Уо) =0 для всех п>0. Это противоречит нашему пред-
положению, о том, что g(x,y)>Q для всех х и у из S. Следо-
вательно, любая Q-регулярная функция h(x) строго положи*
тельна на всем S.
Используя положительность Q-регулярной функции h(x),
мы определим далее Qh и gh(x, у) так, как это сделано в опре-
делении 3 и предложении 2. Функция е(х)=1 на S является
Qл-peгyляpнoй, причем ее можно приблизить снизу последова-
тельностью
vn (х) = min [е (х), ngh (х, т|)].
В последнем равенстве rj — произвольная, но фиксированная
точка из S. Легко видеть, что о„(х)4е(х) и ип(х)—»е(х)
при п—»оо.
Используем далее теорему 1, чтобы показать, что оп(х)
есть (^-потенциал. В силу пункта (2) предложения 1 vn(x),
будучи минимумом двух эксцессивных функций, сама эксцес-
сивна. Следовательно, в соответствии с теоремой 1
°п (•*) = k (х) + и (х),
где /г(х) Сл-регулярна, а м(х) есть Р^-потенциал. Далее
k(x)^.ngh(х, г]), xsS,
следовательно, из пункта (3) предложения 1 вытекает, что
/г(х)н^О'). Тем самым нам удалось показать, что vn(x) яв-
ляется последовательностью Qh-пoтeнциaлoв, сходящейся к е(х).
Все другие свойства этой последовательности нас не инте-
ресуют. . j
Согласно определению потенциала, существует такая после*
довательность зарядов цп(х), что
fn(x)= S £*(*> у}$п(у\ (1)
у е= S
’) В самом деле, k (х) = Q$k (х) < nQ^gh (х, л), а так как gh (х, rj)
является (^-потенциалом, то lim Q^gh (х, ?]) == 0, — Прим, ред,
25 Зак. 1375
Если g— точка, фигурирующая в условии предложения 3, то
о,(х)= 8'lh^y) ъЛу), (2)
y=s S & У)
где уп(у) =gh(l, y)gn(y)- Из равенств (1) и (2) следует, что
. 0< 3 Yn(y) = vna)<l. (3)
у е S
Известно также, что
е(х)=1 = lim 2 ga(z>’ V\ УЛУ)-
»->«>," gn(l, у}
у *= о
(4)
Далее мы выбираем такую подпоследовательность {п'} це-
лых адсел (воспользовавшись диагональным процессом), что
предел
lim у„, (у) = у (у) (5)
п' -> ОО
существует для каждого у из S. Заметим, что в силу условий
предложения 3
lim
gh (х, у) _
gh (g, У)
lim
g (х, у) h (s) _
g(g> у\ h(x)
(6).
1 W h (x) '
Выбирая M столь большим, чтобы
I когда'у |>Л1>
I gn (g, у) п w |
получаем из равенств (4), (5) и (6), что
1- S
'у К м
,gk (х’ у)
gh(l, У)
у(у) + lira
п' -> ОО
f М h (g)
h (х)
S Y„-(y) + /?W.
I у I > м
где 7?(A4)—поправочный член, абсолютная величина которого'
не превышает 8. Далее 7?(А4) стремится к нулю при М —изо.
Если обозначить через у<» повторный предел
lim lim
M->oo n'-><x> | у | > M
Y„- (У) = Yoo.
то из предыдущего равенства вытекает, что
1 = S VY^ + YooAx)-^, xes. (7)
y^s gh (g> y) n w
Значение постоянной у°» в равенстве (7) заключено между
нулем и единицей, а общая масса меры у (у) не превосходит
единицы. Это все, что можно получить из соотношения (3).
А теперь мы покажем, использовав теорему Рисса о разложе-
нии, что у (у) тождественно равна нулю. Постоянная в левой
части равенства (7) (^-регулярна. Очевидно, что в правой ча-
сти равенства (7) функция
S y^s’ <8>
yTS 8 &
есть фЛ-потенциал. Наконец, заметим, что отношение 1(Х)/У(Х)
является (^-регулярной функцией, поскольку
V у) Ну) _ V ОМ-уЬ/.а Мх)
Zj h(y) Zj h(x) lyy> h(x)'
У e= S y^S
Используя утверждение теоремы 1 о единственности разложе-
ния, убеждаемся, что потенциал, определяемый соотношением
(8), равен нулю, в то время как
xeS. (9)
Следовательно, h(x) только множителем отличается от f(x),
что и доказывает предложение 3.
Первое применение предложения 3 относится к невозврат-
. ному случайному блужданию, свойства которого изучались в
предыдущем параграфе. . -
Пример 2. Рассмотрим апериодическое трехмерное случай^
ное блуждание, удовлетворяющее условиям'(а) — (в) предло-
жения 26.1. Тогда из предложения 26.1 следует
Для того чтобы применить предложение 3 к задаче нахожде-
ния P-регулярных' функций, проведем вполне очевидное ото-
ждествление
# = S, Р(х, y) = Q(x, у), x,y(=S,
g(x, y) = G(x, у), £ = 0.
Нужно заметить также, что функция
/(х)= lim 8\х’ у\ = 1, xgS,
P-регулярна (постоянная функция P-регулярна для любого
случайного блуждания), а следовательно, и Q-регулярна. Те-
перь можно применить предложение 3 и сделать вывод, что
25*
апериодическое трехмерное случайное блуждание с нулевым
средним и конечными вторыми моментами не имеет регулярных
функций, отличных от постоянных. Требования, наложенные вы-
ше, являются, конечно, слишком строгими (см. задачу 6). Тем
не менее не существует «легкого» доказательства этого факта
даже в частном случае простого случайного блуждания (способ
короткого, но сложного доказательства для простого случайного
блуждания намечен в задаче 8).
Пример Д Теорема. Если Р(х,у)—одномерное возвратное
апериодическое случайное блуждание, то уравнение Винера—
Хопфа
%P(x,y)f(y) = fM, х = 0, 1, 2, ...
у=о
имеет единственное неотрицательное решение. Оно представимо
в виде
/(Л) = «(0) + и(1)+ ... + м(х), х^О,
где и(х) —функция, о которой шла речь в определении 18.2.
Доказательство. Задача состоит просто в проверке выполне-
ния условий предложения 3. В соответствии с обсуждением
этой задачи, предшествующим предложению ,3, имеем
g (х, у) = и (х) v (у) + и (х - 1) v (у - 1) + ...
и (0) v (у — х), если у х,
и(х — y)v(Q), если х^у.
Положительность g(x,y) на множестве S (которое состоит из
всех целых неотрицательных чисел) следует из апериодичности
случайного блуждания. Поэтому мы постараемся доказать ра-
венство
lim gffl»! =c[«(°)+ ••• +“(*)L (2)
\у I -> оо S У'
Здесь с может быть любой положительной постоянной, в каче-
стве точки § взято начало координат, а условие |у|-*оо озна-
чает в данной задаче просто, что у-*+оо. С учетом равенства
(1) соотношение (2) эквивалентно соотношению
,im « m (,Л [ц (х) V (у) + Ц (х - 1) р (у -1) + .,.. +ы(0)р(г/-т-х)1 =
# -> + оо u V-V и \У I
— с [и (0) + и (1) + ... +м(х)], х^О, (3)
... +
которое справедливо, если
lim
#-> + оо
о(у+ 1) _
» (у}
1.
(4)
В самом деле, если равенство (4) выполняется, то функция
f(x), как это следует из предложения 3, отличается лишь по-
стоянным множителем'от и(0) + ...+«(х), а последняя функ-
ция, как было показано в предложении 19.5, регулярна. Следо-
вательно, нам осталось только доказать равенство (4).
В предложении 18.8 был доказан более сильный, чем равен-
ство-(4), результат, правда, при дополнительном ограничении,
что случайное блуждание имеет конечную дисперсию. Там было
показано, что v (у) стремится к положительной постоянной при
у—>+оо. Равенство (4),-являющееся значительно более слабым
утверждением, можно доказать для любого возвратного слу-
чайного блуждания, опираясь на следующие простые вероятно-
стные доводы (предложенные Кестеном). (Заметим, однако, что
доказательство равенства (4), которое мы собираемся дать, не
проходит в том случае, когда блуждание невозвратно (см. за-
дачу 11).
'Для х>0и г/^-0 обозначим иерез 1(х,у) вероятность того,
что случайное блуждание, исходящее из Хо=х, посетит точку у
прежде, чем достигнет множества 7? — 5=[х|х<0]. Положим
также J(x,x) = l. Тогда
g(0, х) = и (0) v (х) = J (0, x)g(x, х),
о(х+1)
»(х)
J(0, х+ 1)
I (0, х)
(5)
Далее нам понадобится несколько просты^ утверждений:
0 v (х) и (х) М для всех х; (6)
S н(п)ц(п) = оо; (7)
1(0, х + 1)>/(0, х)/(х, х+1),
/(0, х)>/(0,х+1)/(х+1, х), х>0; (8)
lim / (х, х+1)= lim /(х+1, х)=1. (9)
Х-> + оо + оо
Наиболее просто неравенство (6) получается из равенства
#(х, 0) = и(х)о(0) =/(х, 0)g(0, 0), откуда следует, что н(х) —
ограниченная функция, и аналогично и(х) ограничена, так как
она играет роль и(х) для обращенного случайного блуждания.
Равенство (7) является следствием возвратности случайного
блуждания: если х —>+оо, то g(x, х)—>оо, так как, говоря не
очень строго, момент остановки (момент достижения множества '
R— S) стремится к бесконечности. Неравенства (8) также дол-
жны быть интуитивно очевидными: первое из них, например,
утверждает, что если случайное блуждание, исходя из точки О,
попадает в точку х+1,а затем из точких+1 попадает в точку х,
минуя все это время множество R — S, то тем самым оно из точ-
ки 0 попадает в точку х,'оставаясь все время вне множества
R— S. И, наконец, соотношение (9) справедливо в силу тех же
самых доводов, что и равенство (7). '
Объединяя очевидным образом соотношения (6), (7), (8) и
(9), замечаем, что правая часть равенства (5) стремится к еди-
нице при х-*+оо. А это и есть утверждение (4), которое, как
было показано, гарантирует справедливость теоремы примера 3.
В задаче 12 будет показано, что если не требовать знако-
постоянства решения уравнения примера 3, то оно не будет
единственно.
Пример 4. Пусть А (х, у)=А(О, у — х), а(х)=А(х, 0)—ядро
потенциала возвратного апериодического случайного блуждания
на плоскости. Тогда а(х) является единственным неотрицатель-
ным решением уравнения
5 Р (*, У) а (у) —а (х) = 0, х =/= 0.
у ф о
Чтобы доказать это, положим Q(x, у)=Р(х, у) для х и у
из S = R— {0} (Р— переходная функция случайного блуждания).
Согласно результатам гл. III,
g{0}(x> y) = g(x, у)>0, x,y<=S,
а(х) является Q-регулярной функцией и для произвольного £
из S
g (х, у) _ а (х) + а (— у) — а (х — у)
g (5, У) a (g) + а (— у) - а (£ - у)
Предельный переход при \у\ —»оо в определении 3 эквивалентен
тому, что |у|—>оо в смысле метрики (евклидово расстояние)
пространства R. И, наконец, из предложения 12.2 следует, что
Нт 8 у) - а <*)
iy ^g(l,y) а (У
Таким образом, утверждение примера 4 получено из предложе-
ния 3. Аналогичные выводы для одномерного случайного блуж-
дания обсуждаются в следующей главе. Там ситуация еще более1
усложняется, но весьма интересным образом (см. теорему 31.1).
Пример 5. Этот пример !) служит совсем иным целям, чем
те, которые преследуются в оставшейся части книги. Вместо
того чтобы иллюстрировать то, что сделано, в нем мельком го-
ворится о том, что лежит вне построенной теории. При этом
имеется намерение пробудить любопытство читателя, а не удо-
влетворить его. Поэтому, хотя мы докажем несколько утвержде-
ний, не будет сделано ни одной попытки объяснить смысл до-
казанного. Причина этого в том, что общая теория потенциала
случайных процессов является довольно новой областью, про-
блемы которой во много раз труднее тех, которые до сих пор
преодолевались. '
Пусть Р(х, у)—переходная функция следующего простого
несимметричного двумерного случайного блуждания. Если
х = (т, п), где т и п— координаты точек пространства /?, то
Р(0, х) = ~, если х = (0, 1) или х = (1, 0).
Пусть далече
Mx) = 2™+V*(l-0", x = (m, n), 0</<1. (1)
Тем самым задано однопараметрическое семейство функций
ft(x) на /?. Для каждого значения параметра /, заключенного
между 0 и 1, />(х) является регулярной функцией. Для доказа-
тельства достаточно проверить, что
2 Р(0, х)А(х) = |.2< + |.2(1-0=1=/(0).
x^R
Заметим, что функции вида (1) регулярны также при t = 0 и
/=1, если предположить, что йы будем рассматривать их только
на первом квадранте
R+ = [x\x = (m9 ri), т^О, п^О].
Рассматривать их на R+ очень естественно, ибо R+ — полу-
группа, ассоциированная с носителем S мерйы Р(0, х), Начиная
с этого места мы сосредоточим наше внимание на изучении ре-
гулярных функций, которые являются неотрицательными реше-
ниями уравнения
Г(х)= 2 Р(х, y)f(y), x^R+. ' (2)
y^R+
]) Этот пример из теории границ восходит к Ханту (Принстонские лек-
ции) и Ватанабе [10]. В качестве обобщения см. задачи 9 и 10.
В силу линейности интегрирования для каждой конечной меры
сосредоточенной на единичном интервале, функция
1 х 1
>(х) = / ft (х) = 2m+n j tm (1 - t)ndy, (/), x €= R+, (3)
о 0
регулярна в смысле уравнения (2). Интеграл в соотношении
(3) является интегралом Лебега — Стильтьеса по отношению
к произвольной неубывающей функции ц(х), заданной на от-
резке 0<Сх-С 1. (Соответствующая мера может иметь ненулевую
массу в конечных точках интервала, при этом функция ц(х) бу-
дет разрывной в этих точках.)
Таким образом, непосредственно предложение 3 здесь при-
менить нельзя, но метод его доказательства применим, и мы по-
кажем, что любая регулярная функция представима в виде (3)
для некоторой меры ц. В дальнейшем мы отождествляем R+
с S, Р(х, у) с Q(x, у) и G(x, у) с g(x, у). К счастью, случайное
блуждание настолько просто, что можно в явном виде выписать
функцию
g(0, x) = 2“ra-n(m + ra) для x = (m, n)e=R+. (4)
Следующий шаг — проверка справедливости асимптотического
равенства
lim Г^-4-2т+п(_£_Г(_1_Г1 = о (5>
где х=(т, п) и i/=(r, s) принадлежат /?+ (первому квадранту).
Доказательство равенства (5) опирается на формулу, Стир-
линга
п\~ tine~nY 2лп при /г—>оо.
Мы опускаем утомительные, но очевидные детали доказа-
тельства.
Точно так же, как при доказательстве предложения 3, выбе-
рем произвольную регулярную функцию /г(х) (неотрицательное
решение уравнения (2)) и покажем, что она обладает интеграль-
ным представлением типа (3). При этом мы должны будем раз-
личать два случая:
I: /z(x)==0 для всех х = (т, п), таких, что т>0, n>(k
В этом случае h(x)=2na при m = 0, 1; h(x)=2mb при
п = 0 и, наконец, й(0) =а + Ь, тде а и Ь — неотрицательные кон-
стантьц Отсюда следует, что функция /г(х) представима в виде
{3) с мерой ц, сосредоточенной в точках 0 и 1, причем мера
точки 0 равна а, а мера точки 1 равна Ь. Следовательно, в этом
случае нечего доказывать.
II: Л(х)>0 хотя бы для одного такого х — (т, п), что
т >0 и и>0.
В этом случае, тщательно проанализировав уравнение (2), мож-
но убедиться, что Л(х)>0 для любого х<=/?+. (Чтобы прийти к
этому, предположим обратное. Тогда множество нулей функ-
ции h с необходимостью определяется следующим образом:
[x|x=(m, га); т то, п п0], где либо тй>\, либо По>1, либо
и /и0>1 и га0>1, ибо мы имеем дело не со случаем I. Поэтому
предположим, что /га0>1..На вертикальной полупрямой, опреде-
ляемой уравнением х= (т0—1, га), га^-гао, функция h(x). тогда
должна иметь вид h(x)=2na, где а — некоторая постоянная. Те-
перь, однако, как показывают несложные вычисления, нельзя
доопределить /г(х) на полупрямой х=(т0 — 2, п), п^по, так,
чтобы h удовлетворяла (2) и была неотрицательной.)
Следовательно, в случае II в силу строгой положительности
h на /?+ можно определить
и
«*(*. у)= y^R*.
точно так же, как в предложении 3. Не представляет труда вы-
брать такое (которое, возможно, зависит от х), что
vn (х) = rnin [е (х), ngh (х, г])], х е R+, (6)
является последовательностью (^-потенциалов, сходящихся к
^(х) = 1. И, наконец,
•м- 2 ’"<’> (7)
у Я+
где
Y»(y)>0. S (8)
у R+
Разумеется, теперь мы выберем такую подпоследователь-
ность k\ что
lim Yft- (f/) = Y (у). У^Я+, (9)
k' -> ОО
и такое число М, что ошибка в соотношении (5) не превзойдет е
при \у\ > М. Тогда из равенства (7) вытекает, что
lim vk' (х) — 1 =
gh (х, у)
gh (0> у)
y(«/) +
(Ю>
где х— (т, п), y=(r, s), не превышает (/г(О)//г(х))е. Если
положить М —>оо, то и равенство (10) превратится в
1 = 0'(х)+Ат»Лт»та2“ S <“>
I у I > м
где vh является (^-потенциалом
Уцх)= у 4^Y(y).
^+£Л(0,у) VL"
y&R
Заметим далее, что сумму в соотношении ^11) можно интер-
претировать как интеграл на единичном интервале по мере*
масса которой сосредоточена в рациональных точках. Равен-
ство (11) можно переписать в виде
l = ^X) + |S-2m+rt lim lim f/'n(l-0"dvA1.r(0, x = (m, n),
" W M -> OO kr -> OO /
где vm, k' — последовательность мер, о которых идет речь. С дру-
гой стороны, если взять подпоследовательность этих мер, слабо
сходящуюся (см. предложения 6.8 и 9.2) к предельной мере
то будем иметь
1
1 = оЛ(х) + 2т+л|^- / tm(l-t)ndv(t). (12)
7 о
Последний член в этом равенстве является (^-регулярной функ-
цией согласно представлению (3). Следовательно, из утвержде-
ния теоремы Рисса о единственности разложения вытекает, что
потенциал vh(x) тождественно равен нулю. Тогда ясно, что
1
/г (х) = Л (0) 2т+л J Г(1 — t)ndv(t), хе/?+, (13)
о
и все регулярные функции имеют такой вид.
Этот результат дает возможность решить одну из проблем
классического анализа — хаусдорфову проблему моментов (на
самом деле он эквивалентен решению этой проблемы). После-
довательность с{п) называется хаусдорфовой последовательно-
стью моментов, если
1
с (га) = j*л>0,
о
для некоторой меры ц на [0, 1].
Чтобы представить характеризацию Хаусдорфа [95] последо-
вательностей моментов, введем разностный оператор Д, дей-
ствующий на функции, определенные на множестве неотрица-
тельных целых чисел, по формуле
Af(n) = f(n)-f(n+l), п>0.
Итерации этого оператора обозначим A°f=f, AV=Af, Д2/=Д(Д/),
дп+7=д(дп/).
Теорема. Последовательность с(п) является последователь-
ностью моментов некоторой меры тогда и только тогда, когда
&kc(п)0 для любых п^О.
Доказательство. Для любой данной последовательности
с(п), п^-0, определим функцию h(m, 0) формулой
h(m, 0) = 2mc(/n), пг^О.
Положим
h(m, l) = 2m+IAc(rn), m>0,
h(m, ri) = 2m+n &nc(m), m^O, n^O.
Пусть
f(x) = h(m, ri), x = (m, ri) e /?+.
Теперь, используя определение оператора Д и его итераций,
убедимся, что f(x) удовлетворяет уравнению
S Р{х, у) f (у) = f (х), хеГ
У
Заметим, что f не обязательно регулярна, так как она не обяза-
тельно неотрицательна. В соответствии с представлением (13)
она регулярна тогда и только тогда, когда для некоторой меры ц
справедливо равенство
1
f (х) = 2m+n f tm (1 - t)n dp (0, х = (m, ri) е= R+.
о
А так как f определяется своими значениями на действительной
оси, то это эквивалентно тому, что
-H^L = c(m)=
О
Это и доказывает теорему и, более того, показывает, что про-
блема моментов эквивалентна проблеме характеризации регу-
лярных функций для случайного блуждания специального вида.
Задачи
I. Доказать предложение 13.1, опираясь на теорему 24.L
Указание. Показать, что для возвратного блуждания не су-
ществует собственно эксцессивных функций, т. е. таких функций
f >0, что f^Pf на R и f не регулярна. Показать затем, что для
любой фиксированной постоянной с>0 функция н(х) =
rpin [f (х), с] эксцессивна при условии, что f(x) регулярная
функция.
2. Доказать, используя определение 25.2, что любое невоз-
вратное случайное блуждание имеет бесконечные возвратные и
невозвратные множества.
3. Для одномерного апериодического невозвратного случай-
ного блуждания с р+<оо и рг=оо привести пример невозврат-
ного множества, неограниченного слева (или доказать, что такое-
множество существует!).
4. Для данного апериодического случайного блуждания с
пространством состояний R пусть B^R является произвольной
аддитивной подгруппой в R. Доказать, что множество В воз-
вратно (т. е. посещается бесконечно часто с вероятностью еди*
ница) тогда и только тогд^, когда
5 G(o, %) = оо.
х еВ
Указание. Эта сумма есть общее время, проведенное случай-
ным блужданием в множестве В.
5. Распространить предложение 26.1 на случайные блужда-,
ния размерности d>3, доказав, что
G(0, QT/2U • dt2 ПРИ |x|->oo
для апериодического d-мерного случайного блуждания с нуле-
вым средним и конечными вторыми моментами и такого, что-
произведение |x|d~2Pn(0, х) для каждого п стремится к нулю
при |х|—*оо. (Последнее условие излишне для d = 3 или 4.)
Постоянные Cd положительны и зависят только от размерности d-
6. Продолжение. Распространить предложение 26.2, теоре-
мы 26.1, 26.2 и пример 27.2 на случайные блуждания размер-
ности d>-3.
7. Простое случайное блужданиё в трехмерном пространстве.
Показать, что емкость С (г) шара [х | |х| г] для больших г из-
меняется приблизительно как линейная функция переменной г
и определить
г С (г)
lim ——.
8. Для простого случайного блуждания произвольной размер-
ности через С обозначим класс регулярных функций f(x), для
которых /(0) = 1. Следуя Ито и Маккину [28], упорядочим про-
странство состояний R произвольным образом: O=xo,xi,x2, .
Пусть
Cq=(?,
Ci = [<р | <р <= С, ф (xj) - min f (xj)],
fsC
Cn+1 = [ф IФ ^Cn, Ф (x„+1) = min f (x„)].
co
Показать, что (")Cn состоит из единственной регулярной функ-
п-0
ции /(х) и что это минимальная регулярная функция, т. е. если
feC и f J на /?, то / =/. Однако из равенства
/(*) = S Р(х, y)f(y)= 2 Р(0, z)f(z)&±A
y^R z<=R
следует, что f представима в виде выпуклой комбинации функ-
ций
Т(г) ’
• принадлежащих С. Так как f минимальна, то отсюда можно за-
ключить, что фг=Д как только Р(0, z)>0. Следовательно,
f (z+x) (z)f(x) для всех х, ze/?, откуда вытекает, что f яв-
ляется экспонентой. Доказать, что f постоянна, и сделать вывод,
что только постоянные являются регулярными функциями.
9. Задача 8 настоятельно наводит на мысль, что любая регу-
лярная функция невозвратного случайного блуждания должна
быть выпуклой комбинацией минимальных регулярных функций.
Как и в задаче 8, можно показать, что минимальная регулярная
функция является экспонентой, т. е.
f(x) = eax,
где а является вектором, размерность которого совпадает с раз- -
мерностью пространства R (см. [26]). Вследствие результата за-
дачи 6, случайные блуждания с нулевым средним не представ-
ляют интереса. Поэтому мы рассмотрим строго апериодическое
случайное блуждание с вектором средних ц#=0, предполагая так-
же, что Рп(0, х)>0 для некоторого и, возможно зависящего,
от х, и что
2 Р (0, к) еа'х < 00
для любого вектора а (эти условия, конечно, можно ослабить).
Положим, далее
Л = [a|as£, Spec, х)еах=\].
Доказать, что А — граница выпуклого тела в Е. (Если размер-
ность Ей/? равна единице, то А состоит, разумеется, из двух
точек, одна из которых совпадает с началом координат.) Пока-
зать, что для данного ненулевого вектора р существует един-
ственная точка а = а(р)еЛ, в которой внешняя нормаль рав-
на р, умноженному на положительное число.
10. Продолжение. Использовать локальную центральную
предельную теорему (предложения 7.9 и 7.10) для того, чтобы
показать, что если х -* оо в направлении вектора средних ц, то
Если х —*оо в направлении вектора р, выбрать точку а=а(р)еА,
как указано в задаче 9, и заметить, что вектор средних для слу-
чайного блуждания с переходной функцией
Q(x, У) = Р(х, yje0-^-^
коллинеарен р. Используя эту идею, П. Ней доказал, что
lim
I X I -> оо
G (у, х)
G (0, х)
_еа(х)-у =0
для любого г/е/?. Применяя, метод, сходный с тем, который был
использован в примере 27.5, можно прийти к заключению, что.
регулярные функции случайного блуждания, удовлетворяющего'
условиям задачи 9, имеют представление
f(x) = J ea'xdp.(a), x^R,
А
где р. — мера Лебега — Стильтьеса, заданная на А.
11. Не известно, имеет ли уравнение Винера — Хопфа
y)f(y) = f(x), х>0,
z/=o
решение для любого невозвратного блуждания (исключая, ко-
нечно, тривиальный случай Р(0, х) = О для х>0 и Р(0, 0)< 1,
когда решения нет). Продемонстрировать, что результат при-
мера 27.3 не распространяется на невозвратные случайные блу-
ждания по следующим причинам. Возьмем случайное блужда-
ние с отрицательным средним, удовлетворяющее к тому же усло-
виям предложения 19.6. Показать, что единственное неотрица-
тельное решение приведенного выше уравнения Винера —Хопфа
имеет в этом случае вид
f (х) = 2 rku (х — /г), х О,
k=o
где г>1 является постоянной, фигурирующей в предложении
19.6. Следовательно, функция и(0) + z/(l) + ... +&(х) не может
удовлетворять записанному для рассматриваемого случайного
блуждания уравнению Винера — Хопфа.
12. Показать, что в примере 27.3 решается естественная за-
дача теории потенциала в том смысле, что уравнение Винера —
Хопфа вообще будет иметь много решений (но лишь одно из них
не будет менять знак).
Указание, Рассмотреть симметричное случайное блуждание
с переходной функцией Р (0, х) > 0 для | х | М и Р (0, х) = 0 для
'|х| >М. Каково в этом случае число линейно независимых реше-
ний уравнения Винера — Хопфа?
13. Показать, что функция Грина G(x, у) определяет случай-
ное блуждание (т. е. два невозвратных случайных блуждания
с одной и той же функцией Грина должны иметь одну и ту же
переходную функцию).
Указание. Показать, что G(x, у) определяет Па(х, у), а за-
тем увеличивать число точек в множестве А так, чтобы
Па(*, У) ->Р(х, у).
14. Еще одно определение емкости. Для данного апериодиче-
ского невозвратного случайного блуждания и конечного подмно-
жества AczR рассмотрим {случайное) множество Ап — совокуп-
ность точек пространства 7?, заметаемых блуждающим множе-
ством Л, или формально
АЛ = [х|хех^ + Л для некоторого k, O^k^n].
Пусть, наконец, Сп (А) = | Ап |—кардинальное число (число то- ?-
чек) множества Ап. Доказать, что емкость С (А) множества А
задается соотношением
lim
П > ОО 11
причем предел существует с вероятностью единица.
Указание, Учесть, что если А={0}, то Cn(A)=Rn— размах
случайного блуждания (см. определение 4.1). Тогда в соответ-
ствии с примером 4.1 искомый предел существует и равен
1—F=G-\ т. е. совпадает с емкостью отдельной точки. Заме-
тить, что метод доказательства, использованный в примере 4.1,
применим с очевидными видоизменениями и в настоящем случае.
15. Для простого случайного блуждания в трехмерном про-
странстве или, что более обще, для произвольного случайного
блуждания, удовлетворяющего условиям (а) — (г) предложения
26.1, пусть А— конечное подмножество в /?. Доказать, что
Рж [Тл < оо] - рж [Тл < п] = Рх [п < Тл < оо] ~
~Рх[Тд = оо]-^^_п-'/2 при Н->ОО (1)
для всех х из R. (Это невозвратный аналог утверждений § 16
относительно скорости сходимости'величины Рх[ТА<Сп] к стацио- ;
нарному решению РХ[ТА < оо].) Чтобы просто доказать соотно-
шение (1),"используйте предложение 26.2, которое дает
Рх[п<Тл<оо]= PJxn = y; Тл>п]РДТл<оо]~
y<^R~A
S И’,рЛх„ = !/; Тл>п], !
V ¥ О |
и закончите доказательство, применив центральную предельную |
теорему. В качестве следствия из соотношения (1) получить |
S РЛТл = п]-СС4)= S РД«<Тл<оо]~ J
х^Н-А У^А |
, ~ 2 (2л<т2)~’/2 ]С (Я)]2 а~'1г при и -> оо. (2) j
ГЛАВА VII
ВОЗВРАТНОЕ
СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
§ 28. Существование одномерного ядра потенциала
Первые несколько параграфов настоящей главы посвящены
изучению апериодического одномерного возвратного случайного
блуждания1)- Результаты, полученные в гл. III для двумерного
апериодического случайного блуждания, будут при этом в зна-
чительной степени служить моделью. Действительно, каждый
результат настоящего параграфа, где речь идет о существовании
ядра потенциала а(х) =А(х, 0), вполне аналогичен соответствую-
щему факту гл. III. Будет показано, что существование предела
п
а(х) = lim 3 [Рй(0, 0) — Рк(х, 0)]
п *> оо k == 0
является общей теоремой, справедливой для произвольного воз-
вратного случайного блуждания при весьма естественном огра-
ничении, что это случайное блуждание апериодическое. Лишь
в § 29 мы столкнемся с различием между одномерным и дву-
мерным случаем. Эти различия возникают, когда исследуются
аспекты теории, которые так или иначе связаны с асимптотиче-
ским поведением ядра потенциала а(х) при больших |х|. Так,
в § 29 будет показано, что результат предложения 12.2, утвер-
ждающий, что
lim [а (х + у) — а (х)] = 0, у е /?,
|Х|->°О
неверен для апериодического одномерного возвратного случай-
ного блуждания с конечной дисперсией.
Будет удобно, сейчас и в дальнейшем, придерживаться сле-
дующей классификации.
9 Сжатое, но достаточно полное изложение результатов § 28—31 можно
найти в [80]. Некоторые результаты содержатся в близких исследованиях
Гёфдинга [14] и Кемени и Снелла [37]. Общая теория потенциала для воз-
вратных марковских цепей была развита Кемени и Снеллом [38] и Ореем [65].
Однако эта теория не давала удовлетворительного критерия существования
ядра потенциала, соответствующего А (х, у) для случайного блуждания.
26 Зак. 1375
Определение 1. Тип I: Одномерное апериодическое возврат-
ное случайное блуждание с а2==5х2Р(0, х)= + оо;
Тип II: Одномерное апериодическое возвратное случайное
блуждание с а2 = 2 х2Р (О, х) < ОО.
Будет обнаружено, что, хотя в некотором отношении поведе-
ние случайных блужданий типа I близко поведению случайных
блужданий типа II, различие между этими двумя случаями вы-
ступает достаточно ярко; это приводит к необходимости различ-
ных методов доказательства даже тогда, когда конечные резуль-
таты совпадают! Поэтому целесообразно рассматривать эти два
типа отдельно. Поскольку частые ссылки на гл. III позволяют
значительно сократить настоящее изложение, мы заранее про-
сим извинения у читателя за те трудности, которые будут воз-
никать перед ним при проверке справедливости замечаний вроде
«доказательство А в гл. III без каких бы то ни было изменений
приводит к В в настоящем контексте».
В частности, остаются в силе предложения 11.1, 11.2 и 11.3
гл. III. Предложение 11.3, например, можно сформулировать в
следующем виде:
Предложение 1.
3 Р„+1(х, t)HB(t, у) = Нв(х, у)- 2 Ап(х, 0[Ця(Лг/)-Ж«/)] ,
(еД ieB LB J
где BczR таково, что 1 |В| <°о, хеТ?, y^R. Здесь
п
Q^a3x-t) = An(x, /)=2Ж(0, 0) —Рй(х, 01-
£=0
Удобно выделить также частный случай этого предложения
для множества С={0, с}, c=RQ. С помощью простых вычислений,
учитывая равенство (см. предложение 11.2)
Пс(0, с) + Пс(0, 0)=1,
можно показать, что справедливо
Предложение 2.
2 Рп+Х (х, f) Нс нс (х, 0) + [ап (х) - ап (х - с)] Пс (0, с), x<=R.
t €= R
Полагая в предложении 2 х=с и замечая, что Пс(0, с)>0,
поскольку случайное блуждание возвратно и апериодично, полу*
чаем
Предложение 3.
О < ап (с)<[Пс (0, с)]"'<оо, c(=R.
Конечно, эту оценку можно было бы получить и в гл. III,
однако там она была бы не нужна, в то время как здесь эта
оценка оказывается необходимой.
Наконец, нам потребуется одна лемма гармонического ана-
лиза, которая будет использована, хотя и несколько по-разному,
для случайных блужданий обоих типов (I и II). В этой лемме
речь идет о симметризованных приближениях ап(х). +ап(—х)
ядра потенциала, сходимость которых установить значительно
проще, чем сходимость только ап(х).
Предложение 4. Для любого одномерного апериодического
возвратного случайного блуждания предел
(a) lim[an(x) + ап(—*)] < 00 существует при каждом х из R.
Более того,
1 2
(б) lim — lim [a„(x) + art(—х)] = —j-(=0, если o2= 4-oo),
X-> + oo X n-> oo „ °
где
a2= S x2P(O, x).
X OO
Доказательство. Полагая, как обычно (см. определение 6.2),
ф(0) = Ео[ег0Ч= 5 Р(0, х)еЧ
находим, что
п л
ап(х) + а„(— л:) = 2^ J [1 - cosх9]<pft(0)d9 =
k=0 -л
-4 !i'mi м.. о)
—л
Прежде чем переходить к пределу при п—>оо, следует показать,
что при каждом х из R функция
[1 — cos х0] [1 — <р (0)]-1
интегрируема нц отрезке [—л, л]. Согласно предложению 7.5,
при некотором А'<оо
I 1 — cos х0 I 11 — cos xQ I . I 1 — cos x0 I
I l-q>(0) 1^ Re[l-q>(0)] О2 I'
Следовательно, функция
[ 1 — COS Х0] [ 1 — ф (0)]-1
интегрируема на отрезке [—л, л]. Таким образом, в соотношении
(1) можно положить п—► оо, в результате чего получаем
л
Jim [а„(х) + а„(— х)] = -^ / \-^(9)° dQ<°°> x^R. (2)
—Л
Соотношение (2) доказывает утверждение (а) предложе-
ния 4. Для доказательства утверждения (б) сделаем следующее
разбиение:
Л
+ °). (3)
-л
где д>0, х=#0,
6
-б
/ Л\ 1 Г 1 — COS Х0
gb(x, 0>- хп J 1-<р(0) dQ"
6 < | 0|< Я
Ясно, что при каждом б>0
lim g6(x, 0) = О. (4)
X “> ОО
Рассматривая случай о2=оо, выберем 6>0 столь малым, что
при |0|<6
|_|<8
Это всегда можно сделать при произвольном 8>0, ибо
|1-ф(0)|Же[1-ф(0)] = 2 2 Р(0, х) sin2 (4-) >
х е= Я
s ^(0.4
|^0| |<л]
Поэтому
б
Нт |/б(х, 6)|<£ Нт у
л-> + оо х-> 4-00 * Д v
оо
е f 1 — cos t .. .
-n J —— d‘-‘- <5>'
Таким образом, подставив (4) и (5) в (3), получим, что в слу-
чае о2=оо утверждение (б) предложения 4 справедливо.
Если о2<оо, то в соотношении (3) выберем б>0 таким обра-
зом, что при |01-< б
I 02 2 I .
| 1-ф(0) а2|<8, 6'
Возможность такого выбора б при любом заданном е>0 обеспе-
чивается предложением 6.4, поскольку случайное блуждание
(будучи возвратным) имеет нулевое среднее. Используя (6) для
оценки f6(x, 0), имеем
д
ПЖ f6(x, 0)< lim J ^g5*8 d0 +
Л-> + ОО ** + оо ° V
. — б
__.2 1 f 1 — cos t ,, , e p— f 1 — cos x0 .Q 2
J —~\ -^r-dQ=^ + ^
— OO —6
Точно такие же рассуждения приводят к оценке снизу
lim fb(x, 0)>4‘-е
Х~> + ОО
и, так как в произвольно, доказательство предложения 4 за-
кончено. >
Теперь мы можем перейти к доказательству сходимости ап(х)
для случайного блуждания типа I. Рассмотрим частный случай
предложения 2v для множества С={0, 1} и введем следующие
обозначения:
Пс(0, 1) = П, Нс(х, 0)==Я(х),
2 Р„+1(-х, 0)= 2 Р„+1(х, t)H(t) = fn(x), xt=R. (1}
l^R t^R
Тогда предложение 2 для этого специального множества С ут-
верждает, что
fn(x) = H(x) + [an(x)-an(x- 1)]П. (2>
Рассмотрим такую подпоследовательность п' положительных,
целых чисел, что предел
lim аП’ (х) = а' (х)
д' -> оо
существует при всех х из R. Ясно, что такую подпоследователь-
ность можно построить с помощью диагонального процесса, по-
скольку в приведенном выше предложении 3 было показано, что
последовательность ап(х) ограничена.
Если рассматривать эту последовательность и', то из (2) сле-
дует, что
lim fn,(x) = Н (х) + [а'(х)~ а'(х — 1)]П, x^R. (3)
п' -> ОО
'Из определения fn(x) в (1) ясно, что
2 y)f,(у), |/„(х)|<1, хе=Р. (4)
у^к
Если обозначить
lim f„,(x) = f'(x),
п' -> ОО
то из (4) видно, что
Пт fn'+iW= 2 Р(х, y)f'(y), X(=R. (5)
п' -> оо у е R
С другой стороны, из (2) получаем
./л+1 С^) fn (•*-) = [®п+1 00 ^п (-01 П [^n+l (X 1) Un (х —• 1)] П =
= [Ря+1(х-1, О)-Р„+1(х, 0)]П,
и последний член стремится к нулю при п —► оо (согласно пред-
ложению 7.6).
Следовательно,
Пт f„,+1(x) = lim f , (х) = f'(х),
п' -> ОО n' -> ОО
так что (5) принимает вид
/'(*) = 2 Р(х, у) г (у), x^R. (6)
y^R
/
Таким образом, f'(x) —ограниченная регулярная функция. По-
этому, используя предложение 13.1 или теорему 24.1, убеждаем-
ся, что эта функция тождественно равна постоянной, которую
мы обозначим через
Следующий шаг доказательства состоит в суммировании со-
отношений (3) по х = 1, 2, ..., г, где г — произвольное положи-
тельное целое число. В результате получим
гГ=2я(х) + Па'(г), г>0/ (7)
х=1
Аналогично, суммируя (3) по х=0, —1, —2, ..—г + 1, нахог
дим, что
о '
rf' = 2 Н (х) — Па' (— г), г>0. (8>
х——г +1
Предположим теперь, что для некоторого случайного блужда-
ния типа I и некоторой точки х0 его пространства состояний R
предел liman(x) не существует. Это может быть лишь тогда,.
П->оо
когда случайное блуждание обладает следующим свойством: су-
ществуют две такие подпоследовательности п' и п" целых поло-
жительных чисел, что пределы
lim аП’ (х) = а' (х), lim а„’ (х) = а" (х)
п' -> оо га" -> ОО
существуют при каждом х из R, но по меньшей мере в одной
точке хо=£О из R
а'(х0)=/= а"(х0). (9>
(Начало координат исключается из рассмотрения, так как
ап(0)=0 при любом п.) Чтобы прийти к противоречию, приме-
ним к последовательности п" те же рассуждения, которые при-
вели нас к соотношениям (7) и (8), и обозначим
lim f„,(x)=f".
n"-> ОО
Вычтем теперь из соотношения (7) точно такое же соотношение,
полученное для последовательности п". Получаем
г(Г-Г) = П[а'(г)-а"(0], г>0. (10>
Подобным образом из соотношения (8) получаем
rtf — f") = —-П[а'(— г) — а"(— г)], г>0. (11>-
Так как П^=0, то из соотношений (9), (10) и (11) следует,
что в случае Хо > 0 это можно увидеть, если в (10) поло-
жить г=Хо, в противном случае достаточно в (11) положить
г = —х0. Без ограничения общности можно предположить, что
Тогда из соотношения (10) имеем
<*'(r)>£tf-f"), г>0,
и, следовательно, также
>-l(f- f") >0, г > 0. (12>
Но
a'(r) + a'(—r) = lim [а„ (г) + ап (— г)],
П->оо
причем существование предела было доказано в утверждении
(а) предложения 4. Поэтому из соотношения (12) следует, что
lim 4 lim [a„(r) + an(—г)]>0,‘ (13)
Г>~+оо г п + оо
вопреки предложению 4. Таким образом, доказано
Предложение 5. Для случайного блуждания типа I при каж-
дом х из R существует предел
lim ап(х) = п(х)< оо.
п -> оо
Приведенное доказательство неприменимо для случайного
блуждания типа IT: все рассуждения проходят без каких-либо
изменений вплоть до соотношения (13), которое, однако, совер-
шенно бесполезно, если дисперсия о2 конечна, ибо оно попросту
не противоречит предложению 4. Поэтому следует идти иным
путем, и хотя этот путь приводит к нужному результату, сле-
дует отметить, что некоторые используемые при этом рассужде-
ния неприменимы для случайных блужданий типа I. В частно-
сти, мы вынуждены будем использовать теорему 18.1, утвер-
ждающую, что лестничная случайная величина Z случайного
‘блуждания типа II имеет конечное математическое ожидание.
Наша первая задача — доказать
Предложение 6. Если Нв(х,у)—распределение точки дости-
жения конечного непустого подмножества BczR для случайного
блуждания типа II, то при каждом у из В пределы
<а) lim Нв(х, у) = Нв(—оо, у),
Х-> — оо
<б) lim Н в(х, у) = Нв(+ оо, у)
Х-> + ОО
существуют.
Доказательство. Основания этой теоремы были предусмотри-
тельно заложены предложением 24.7 предыдущей главы. Пусть,
как и в определении 24.1, через А обозначается полупрямая
Д=[х|х>0]. Без ограничения общности можно предположить,
что множество В в предложении 6 является подмножеством в А.
Тогда простые вероятностные соображения показывают, что рас-
пределения точек достижения множеств А и В при х^О свя-
заны соотношением
Формальное доказательство может быть без риска опущено; оно
очевидным образом основывается на использовании момента
остановки Т=min [n | и > 1, хп е Л].
Напомним теперь, что по теореме 18.1 для случайного блуж-
дания типа II
E0[Z] < оо, где Z = хт.
Таким образом, настоящая ситуация соответствует случаю (3)
или, эквивалентно, случаю (iii) предложения 24.7. Это позво-
ляет прийти к заключению, что
lim НА(х, у) = Уа(у), У^А, 2ул0)= 1- (2)
X -> - оо у^\
Применяя (2) к (1), немедленно получаем существование пре-
дела
со
lim Нв(х, у)= S Уа(*)Нв(*> У)> У^В.
Л-»-ОО /=1
Это доказывает справедливость утверждения (а) предложения 6.
Для доказательства утверждения (б) достаточно заметить, что
обращение случайного блуждания типа II приводит к случай-
ному блужданию типа II.
В качестве простого следствия предложения 6 докажем
Предложение 7. Для случайного блуждания типа 11 и В cz R,
1<|В|<ОО,
lim У Рп(х, у) = 4-[Вв(-оо, у) + Нв(+ оо, у)], ye=R.
Доказательство. Нам необходимы следующие факты:
lim Рп(х, у) = 0, х, y^R, (1)
П-> оо
(см. предложение 7.6) и
lim 2Р„(х, /) = ‘/2 (2)
п -> оо t>=a
при каждом х е R и каждом а из R. Последний факт представ-
ляет собой весьма слабую форму редко используемой нами
одномерной центральной предельной'теоремы (предложение 6.8).
В сочетаний с предложением 6 соотношения (1) и (2) очевид-
ным образом приводят к предложению 7, если воспользоваться
%
1
простыми рассуждениями, использующими усечение: выберем 1
JV>0 столь большим, что
у)-Нв(— оо, у)|<е при f
\HB(t, у)-Нв( + оо, у) |<е при t^N,
тогда
N-1
lim У Рп(х, t)HB(t, г/)< lim У Рп(х, /) +
n + °°t—N+l
-N
+ [Нв(-оо, z/) + e] lim У Рп(х, f) +
+ [Нв(+<х>, у) + г] lim Ур„(х, t) =
= j[#b(~ °°> У) + НВ( + °°, *01+ е.
Получаемая тем же способом оценка снизу позволяет закончить
доказательство предложения 7.
Применим теперь предложение 7 к предложению 2, положив
в последнем х = с:
2 Рп+Лс, 0) = Яс(с, 0) + а„(с)Пс(0, с).
Полагая п —»оо и замечая, что, согласно предложении? 7, предел
левой части этого равенства существует, приходим к зайлюче-
нию, что должен также существовать и предел ап(с) для произ- „
вольного с=#о. Так как ап(0)=0 при любом п, то доказано i'
Предложение 8. Для случайного блуждания типа II при каж-
дом х из R существует предел -
lim а„(х)<оо.
П -> оо
Предложения 5 и 8 вместе с предложением 12.1 гл. III можно
свести в одно утверждение: для любого апериодического воз-
вратного случайного блуждания независимо от размерности
существует ядро потенциала (напомним, что по теореме 8.1
d=l или 2!). Кроме того, в это утверждение мы можем вклкн ;
чить также уравнение 2
2 Р(х, у) а (у) — а (х) = 6 (х, 0), хс 7?,
у е R
которое в § 31 будет использовано в качестве характеризации
ядра потенциала. Заметим, что доказательство этого уравнения,
приведенное в предложении 13.3, без каких бы то ни было
изменений применимо и в одномерном случае, коль скоро мы
доказали, что имеют место предложения 5 и 8.
Таким образом, можно утверждать, что справедлива сле^
дующая
Теорема 1. Если Р(х,у)— переходная функция произвольно-
го .апериодического возвратного случайного блуждания (одно-
мерного или двумерного), то для всех пар х и у из R существует
предел
(а) А(х, у) = а(х — у) — lim 2 [РИО, О)-Р*(х, #)]<«>.
и -> оо /г=0
Более того, А (х, у) удовлетворяет уравнению
(б) 2 Р(х, f)A(t, у) — А(х, у) = б(х, у), x,y<=R.
§ 29. Асимптотическое поведение ядра потенциала
Результаты настоящего параграфа поясняются следующими
примерами, соответствующими двум специальным случаям, ко-
гда известно точное выражение для а(х)=А(х, 0).
Пример 1. Как было показано при доказательстве предложе-
ния 6.6, для простого случайного блуждания с Р(0, 1) =
=Р(0, —1) = 1/2 имеем
Л • ,
“Ю-тя-
—л
Этот результат типичен для случайных блужданий типа II (т. е.
одномерных возвратных апериодических случайных блужданий
с нулевым средним и конечной дисперсией) в том .смысле, что
для любого случайного блуждания такого вида
а(х)~с\ х | при |x|'~>oot
где с — некоторая положительная постоянная. Будет показано,
что с является обратной величиной к о2, как это и должно быть,
согласно предложению 28.4. В предложении 1 будет доказан
даже более сильный результат, касающийся асимптотического
поведения разности а(х+1) — а{х).
(В качестве своего рода развлечения заметим, что функцию
а(х) в данном случае можно вычислить с помощью простых
вероятностных рассуждений без использования приведенного
выше интегрального представления. Применяя теорему 28.1 к
предложению 28.2, получаем
lim 2 Лж (х, О Нс (t, '0) = Нс (х, 0) + [а (х) — а (х — 1)] Пс (0,. 1),
п -> сю i е R
где С — множество, состоящее из точек 0 и 1. Ясно, что Нс(х,0)
равно 1 при х4^0 и равно 0 в противном случае. В то же время
Пс(0, 1) =1/2, так что в силу предложения 28.7
( 1, если х>0,
а(х)-а(х-1)=1-2Яс(х, 0) = (_ь если х<0
я, так как а(0) =0, отсюда следует, что а(х) = |х|.)
Пример 2. Вторым примером служит случайное блуждание,
с которым мы сталкивались раньше в примерах 8.3 и 22.1:
Р(0, 0)=1-|,
Р(о, х) = ^- 4xi_{ при х#=0.
Характеристическая функция этого случайного блуждания равна
<р(9)= 1 -|sin-||
и, таким образом, его дисперсия бесконечна. Соответствующее
ядро потенциала равно
- л I1 + 3 + 5 + ••• + 2|х|-1]’
Логарифмическое поведение а(х) непосредственным образом
связано с тем фактом, что характеристическая функция ведет
себя подобно | 0J вблизи 0=0, и разумеется, это обстоятельство
' не является в общем случае типичным для случайного блужда-
ния типа I (о2=оо). Как будет показано, типичным является
значительно более слабое свойство:
lim [а (х) — а (х + г/)] = 0 при y^R.
оо
Мы начнем со случайного блуждания типа II. Изучение этого
случая, в значительной степени подготовленное результатами
предыдущего параграфа, наиболее просто. Однако прежде
всего заметим, что, применяя теорему 28.1 к предложению 28.2,
получаем
Предложение 1. Для любого апериодического возвратного
случайного блуждания независимо от размерности
lim S Ря+1 (х, t)Hc (t, 0) = Нс (х, 0) + [а (х) - а (х - с)] Пс (0, с),
п -> оо t е R
где С={0, с), с^=0.
Предложение 2. Для случайного блуждания типа II
lim [а (х + у) - а (х)] = ,
Х“> 4-00 и
lim [а (х + у) — а (х)] = —, y^R.
Х->~оо ' ' U
Доказательство. Применяя предложение 28.7 к предложе-
нию 1, имеем
у Нс (- оо, 0) + J Нс (+ОО, 0)=Йс (х, 0)+[а (х) - а (х - с)] Пс (0, о).
Полагая сначала х->+оо, а затем х-*—оо, приходим к соот-
ношениям
|-Яс(+ оо, 0)--^Нс(-оо, 0) = Пс(0, с) lim [а (х - с) - а (х)],
~НС(— оо, 0)-уЯс(+оо, 0) = Пс(0, с) lim [а (х - с) - а (х)].
z z Х-> - ОО
Эти соотношения показывают, что пределы в предложении 2 су-
ществуют и отличаются лишь знаком. (Поскольку точка с про-
извольна, полагаем с==г/#=О.) Чтобы вычислить эти пределы,обо-
значим
lim [а(х + 1) — а (х)] = а.
Х-> 4- оо
Предложение 2 будет доказано, если только мы сумеем пока-
зать, что а=(о2)-1. Но, если взять среднее Чезаро, т. е. запи-
сать при х>0
а (х) = S la (ty — a (k — 1)]
ы
и поступить аналогичным образом при х < 0, то получим
lim £«.= Пт £« =а.
Х-> + оо Х £-> — 00 1-^1
Таким образом,
Но значение последнего предела было вычислено в предложении
28.4, где показано, что 2а = 2(о2)"1. Таким образом, а=(о2)-1
и предложение 2 доказано.
Изучение случайного блуждания типа I требует несколько
более тонкого анализа. Свойства ядра потенциала, описываемые
в трех последующих леммах, будут решающими при доказатель-
стве (в предложении 8) того, что функция а(х) возрастает мед-
леннее линейной функции |х|.
Предложение 3. Для случайного блуждания типа I
lim “W=o.
| X I -> оо X
Доказательство. Это утверждение является непосредствен-
ным следствием теоремы 28.1 и предложения 28.4.
Предложение 4. Для произвольного возвратного апериодиче-
ского случайного блуждания и всех х, у из R
у) = А(х, d) + A(Q, y)-A(x, у)
и
а(х + у)^а(х) + а (у).
Доказательство. Формула для функции g{0}(x,y), задавае-
мой определением 10.1, была выведена для двумерного случай- ч
ного блуждания в предложении 11.6. То же доказательство при-
менимо и в общем случае, поскольку оно опирается лишь на те
факты, которыми мы теперь располагаем и для одномерного слу- .
чайного блуждания (все необходимое содержится в теореме 28.1
и предложении 1). Неравенство в предложении 4 следует из не-
равенства
-у) = а(х) + а(у)-а(х + у), у <= R.
Предложение 5.
lim [а(х+1) + а(х—1) —2а(х)] = 0.
I X I -> 00
Доказательство. Эта лемма справедлива в общем случае, для
произвольного апериодического возвратного случайного блужда-
ния. Но нам потребуется лишь одномерный случай, поэтому мы
проведем доказательство только для этого случая. Используя
определение ап(х), с помощью непосредственных вычислений
получаем
ап(х+ 1) + ап(х— 1)-2ап(х) =
—Л
Но при доказательстве предложения 28.4 было отмечено, что
функция [1—cos0][l—ф(в)]"1 интегрируема на отрезке [—л,л].
Поэтому
-• л
а(х+ 1)4- а (х - 1) - 2а (х) = ~ J у-Ф°(е)8 е‘хвм-
—л
Доказательство предложения 5 теперь заканчивается примене-
нием леммы Римана — Лебега (предложение 9.1).
Наша цель — показать, что для случайного блуждания типа!
lim [а (х +1) — а (х)] = 0.
I -> оо
Предложение 3 представляет собой ослабленную (в смысле Че-
заро) форму этого результата. Следующую лемму можно рас-
сматривать как некоторый шаг в направлении усиления предло-
жения 3. z
Предложение 6. Для случайного блуждания типа I
(a) lim [а(х) — а(х — 1)]< 0,
(б) lim [а(х)~а(х—1)]>0.
— ОО
Доказательство. Достаточно доказать (а). В самом деле,
предположим, что случайное блуждание типа I обладает свой-
ством (а). Если обратить такое случайное блуждание, то оно
по-прежнему будет принадлежать типу I, а соответствующее
ему ядро потенциала будет равно а*(х)=а(—х). Но если а*(х)
удовлетворяет (а), то, как легко видеть, а(х) удовлетворяет (б).
(На самом деле нашим методом можно доказать как (а), так
и (б).)
Обозначим
Д(х) = а(х) — а(х — 1), х^1.
Тогда неравенство предложения 4 можно записать в виде
Д(х + 1)+Д(х + 2)+ ... +Д(х + г/)<Д(1) + Д(2)+ ... +Д(г/), (1)
если только х^=-1 и у^-1. Согласно предложению 5,
lim [Д(х+1)-Д(х)] = 0. (2)
1x1-» ОО
В силу (2), полагая в (1) х-»+оо, получаем
у ШН Д(х)<Д(1) + Д(2)+ ... +Д(г/) (3)
Х-> + оо
при каждом у 1.
Последний шаг состоит в делении обеих частей неравенства
(3) на у и дальнейшем переходе к пределу при у—+<х>. Если
при этом воспользоваться предложением 3, то получим
fim Д(х)< lim -^-[Д(1) + Д(2)+ ... +Д(//)]= lim ^ = 0,
Л->4-00 ./->4-00 У #->4-00 У
что и доказывает предложение 6.
Результат предложения 6 выглядит несколько несимметрич-.
ным, хотя на самом деле и верхний, и нижний пределы в предло-
жении 6 равны нулю. Чтобы показать, что это в действитель-
ности имеет место, рассмотрим вероятностную интерпретацию
предложения 6. Положим в предложении 1 с=1, так что
С = {0,1}. Заметим также, что функция
lim 2 Лж(-г. О) = р(х)
п -> оо t е R
является неотрицательной постоянной, которую мы обозначим
через ц. (Если бы значения этой функции зависели от, х, то
р(х) была бы регулярной ограниченной функцией, отличной от
постоянной, что невозможно. Эти рассуждения подобны рассуж-
дениям, примененным при доказательстве предложения 11.4.)
Предложение 1 можно теперь записать в виде
Нс(х, 0) = ц — [а(х)~ а (х — 1)] Пс (0, с)
и, поскольку Пс(0, с)>0, из предложения 6 получаем
Предложение 7. Для случайного блуждания типа I
lim Нс (х, 0) р, lim Нс (х, 0) р.
Х» + оо Х-»-00
Отметим, что предел функции Нс(х, 0) существует тогда и
только тогда, когда разность а(х) —а(х— 1) стремится к нулю
при |х|—>оо. Установим теперь существование этого предела.
Предложение 8. Для случайного блуждания tuna I
lim [а (х + у) - а (х)] = 0, у е/?.
| X I -> оо
Доказательство. Понятно, что достаточно доказать предло-
жение 8 в частном случае у=\. Ввиду тождества, предшествую-
щего формулировке предложения 7, для этого достаточно пока-
зать, что оба предела в предложении 7 существуют и равны ц.
Это будет сделано с помощью теоремы 18.1, не играющей в дей-
ствительности решающей роли, и теоремы восстановления в
форме предложения 24.7, которая, напротив, является существен-
ной. Так как о2 = оо, то из теоремы 18.1 известно, что по крайней
мере одна из лестничных случайных величин, Z или —Z (см.
определение 18.1), имеет бесконечное математическое ожидание.
Будем предполагать, что E[Z]= + oo, и проведем доказательство
только в этом случае. Рассмотрение обращенного случайного
блуждания будет тогда автоматически охватывать и те случай-
ные блуждания, для которых E[Z]<oo, но Е[—Z] = oo.
Как и при доказательстве предложения 28.1, мы восполь-
зуемся обозначениями, принятыми в определении 24.1, за одним
тривиальным исключением: А будет обозначать множество
[х|х > 0], а не [х|х>0]. Имеем
оо
Н(х) = 2 Нд(х,
t=0
х < 0,
где
Я(х) = Яс(х, 0), С = {0, 1}.
Согласно предложению 24.7,
3 НА(х, t)= 1 при
всех х е R.
и
lim НА(х, t) — Q
х •> — ОО
при
Следовательно,
lim /7(х)> lim Н (х).
Х->-оо Х->+оо
Сопоставляя это неравенство с неравенствами предложения 7,
находим, что
lim Я(х) = ц = lim Н (х); lim Я(х)>р.
/ Х->-оо х->+оо Х->+оо ,
Существуют две возможности. Если Е[—Z] = oo, то приведен-
ные рассуждения можно повторить применительно к правой по-
лупрямой, и это покажет, что
lim Я(х) = lim Я(х) = ц.
Х->-оо Х->+оо
Во втором возможном случае Е[—Z] < оо. Но тогда можно
использовать теорему восстановления точно так же, как это
делалось при доказательстве предложения 28.6, и убедиться, что
предел ПшЯ(х) существует. Наконец, поскольку этот предел
Х->+оо
существует, он обязан быть равным верхнему пределу, который,
как было показано, равен ц. Таким образом, доказательство
предложения 8 закончено.
Предложение 8 следует сравнить с предложением 12.2 гл. III,
где с помощью значительно более простых методов был получен
тот же, что и в предложении 8, результат для произвольного
апериодического случайного блуждания на плоскости. Таким
образом, предложение 12.2 вместе с предложениями 8 и 2 при-
водит к следующей теореме.
Теорема 1. Для апериодического возвратного случайного блу-
ждания существуют две возможности.
(1) Размерность d — 2 или d=l, но о2 = оо. В этом случае
lim [а (х + у) — а (х)] = 0, y<^R.
|х|-»оо
(2) Размерность d=l и о2<оо. В этом случае
lim [а(х + у)-а (х)] = ± -Л-, y^R.
х->±оо U
Таким образом, по крайней мере на данном уровне изложе-
ния нет совершенно никакого различия между двумерным слу-
чайным блужданием и одномерным случайным блужданием с
бесконечной дисперсией. В обоих случаях, грубо говоря, про-
странство состояний R достаточно «обширно», так что выпол-
няется утверждение (1) теоремы 1. Таким образом, «размер» R
зависит от переходной функции: если о2 < оо, то множество R
целых чисел не столь «обширно», как. в случае о2 = оо. С этим
обстоятельством мы уже встречались ранее в связи с теоремой
восстановления.
В следующем параграфе мы столкнемся с единственной ано-
малией, отличающей одномерное случайное блуждание с беско-
нечной дисперсией от двумерного случайного блуждания; это
отличие связано с нахождением точных формул для распределе-
ния точки достижения НА(х9 у) и функции Грина g“A(x, у), ко-
нечного множества А. Для двумерного случая эти точные фор-
мулы были найдены в гл. III, при этом существенно использо-
валось еще одно свойство ядра потенциала (предложение 11.7):
при х=#0
а (х) > 0.
Как мы увидим далее, для произвольного одномерного апериоди-
ческого возвратного случайного блуждания это неверно.
§ 30. Распределение точки достижения и функция Грина
Как было отмечено в конце предыдущего параграфа, следует
ожидать серьезных трудностей при рассмотрении тех свойств
случайного блуждания, которые зависят от положительности
ядра потенциала п(х). Поэтому мы прежде всего обратим вни-
мание на некоторые более общие аспекты теории. Только что
установленная теорема 29.1 предыдущего параграфа*необходима
для доказательства следующего результата:
Теорема 1. Рассмотрим возвратное апериодическое случайное
блуждание и подмножество AcziR такое, что 1 <|Д|<оо. Тогда
возможны два случая:
(1) d = 2 или d=\ и о2 = оо; в этом случае существуют пре-
делы
lim НА(х, у) при каждом у из А и lim gA(x, у) при ка-
1x1 -»оо |х|->оо
ждом у из R;
(2) d=l и о2<оо; в этом случае существуют пределы
lim /7л(х, у) lim НА(х, у),
Х->+оо %->-оо
lim gA(x, у), lim gA(x, у),
Х->+оо Х-»-оо
однако пределы при х^ +оо и х-*—оо в общем случае не обя-
заны совпадать.
Доказательство. Доказательство теоремы 1 основано на сле-
дующем утверждении:
Предложение 1. Для любого непустого конечного множе-
ства А
НА(х, у) = Рл(у)+ 2 Л(х, /)[ПЛ(/, у)-д(/, #)], xeR, у&А.
t^A
Предложение 1 следует йз предложения 28.1 и теоремы 28.1.
Здесь, конечно,
цд(г/)= lim 2 P„+i(x, у),
П->со
будучи ограниченной регулярной функцией от х при каждом у
из Л, не зависит от х. В той мере, в которой это касается рас-
пределения точки достижения НА(х, у), доказательство тео-
ремы 1 почти закончено. В случае (1) дословно повторяется до-
казательство теоремы 14.1, разумеется, с использованием утвер-
ждения (1) теоремы 29.1. В случае (2) имеем
lim НА(х, у) = цА(у)+ lim 2 а(х- y)-5(t, у)\ =
_х->+оо х->+оо/еД
= Нд(//)+ lim s ]a(x — t) — a (х)][Пл(/, y)-b(t, #)],
х->+оо/е=Д
используя при этом предложение 11.2, из которого следует, что
2 [Пл(/, y)-b(t, у)] = 0, у<=А.
t^A
Далее из теоремы 29.1 вытекает, что
lim НА(х, у) — цА(у) ~ 2 ЧПд(/, y)-t>(t, у)].
x*+oe t^A
Аналогичные рассуждения применимы, конечно, и для доказа-
тельства существования предела при х,-»—°°-
Наконец, простейшее доказательство той части теоремы 1,
которая относится к функции Грина, получается из соотношения
gA(x, y) = HAUy(x, y)gA(y, у), x<=R — A, y<=R-A,
где А\}у— множество А с присоединенной к нему точкой у.
(Если у&А, то утверждение теоремы, относящееся к функции
Грина, очевидно, ибо в этом случае Использова-
ние приведенного выше соотношения, а также той части теоремы,
которая уже доказана, позволяет закончить доказательство тео-
ремы 1.
Теорема 1 приобретает еще больший интерес при сопоставле-
нии ее с предложением 25.3, где было показано, что у распреде-
ления точки достижения НА(х, у) конечного множества А суще-
ствуют пределы при х->+оо и —оо даже в невозвратном
случае. Там эти пределы были равны нулю, за исключением
случая d=l с конечным средним. Теорема 1 вместе с предложе-
нием 25.3 дает довольно глубокий результат. Они описывают
интуитивно понятные, но далекие от очевидности, свойства ре*
гулярности, которыми наделено каждое случайное блуждание
(при этом условие апериодичности вряд ли является ограниче-
нием, оно представляет собой скорее существенную часть точной
формулировки,таких теорем). Лишь в последнем параграфе на-
стоящей главы (теорема 32.1) мы встретимся с другой, столь же
или даже более глубокой, общей теоремой регулярности.
Перейдем теперь к рассмотрению любопытного обстоятель-
ства, о котором мы вскользь упоминали ранее; речь идет о клас-
сификации апериодических возвратных случайных блужданий в
соответствии с тем, будет
а(х)>0 при всех х#= 0,
или нет. Несколько неожиданным результатом является
Предложение 2. За единственным исключением, все аперио-
дические возвратные случайные блуждания обладают тем свой-
ством, что я(х)>0 при каждом х=#0. Исключение составляют
непрерывные слева или справа случайные блуждания, имеющие
бесконечную дисперсию.
Для непрерывного слева случайного блуждания с бесконеч-
ной дисперсией
а(х) =0 при х> 0 и а(х) > 0 при х < 0,
а в случае непрерывного справа случайного блуждания ситуа-
ция, естественно, противоположная.
Доказательство. Рассмотрим сначала возвратное непрерыв-
ное слева случайное блуждание с бесконечной дисперсией. Если
Д={0, 1}, то в соответствии с предложениями 29.1 и 1
Яд(х, 0) = цд (0) 4-[а (х — 1) —а(х)]Пд(0, 1).
Ясно, что /7д(х, 0)=0 при х>0 (за единицу времени случайное
блуждание может сместиться влево лишь на один шаг). Если
теперь просуммировать приведенное соотношение по х=1,2, ...
..., г, то получим
фд(0) = а(г)Пд(0, 1), г>0.
Деля на г и полагая г->оо, по теореме 29.1 находим, что
0<Ид(0) = Пд(0, 1) lim -4^ = 0.
Следовательно, а(г)=0 при каждом r>0. С другой стороны,
ясно, что НА{х, 0)>0 при каждом х-^0, так что
О < а(х — 1) — а(х), х^О,
откуда следует, что а(х) >0 при х<0. Аналогичным образом рас-
сматривается и непрерывное справа случайное блуждание.
Чтобы закончить доказательство предложения 2, достаточно
рассмотреть возвратное апериодическое одномерное случайное
блуждание, обладающее тем свойством, что а(с)=0 при некото-
ром с>0, и установить, что такое случайное блуждание должно
быть непрерывным слева и иметь бесконечную дисперсию. (Дву-
мерное случайное блуждание нет необходимости рассматривать,
ибо, согласно предложению 11.7, в этом случае а(х)>0 при всех
х из /?.) Для доказательства этого факта положим А={0, с}.
В соотношении
НА(х, 0) = (0) + [а (х - с) - а (х)] Пл (0, с)
ПОЛОЖИМ Х = С И получим, ЧТО |Лд(0)=0, поскольку
а(с) = 0 и НА(с, 0) = 0.
Но в таком случае
НА(2с, 0)= — а(2с)Пл(0, с)<0,
что возможно только, если а(2с)=0. Продолжая очевидным
образом это рассуждение, приходим к заключению, что
а(пс) =0, /2=1,2, ... .
Следовательно,
lim = 0,
----- х ’
Х-> +оо
откуда (по теореме 29.1) вытекает, что о2 = оо.
Теперь, в добавление к тому, что о'2 = оо, остается только по-
казать, что рассматриваемое случайное блуждание должно быть
непрерывным слева. С этой целью заметим, что, используя тож-
дество для g^y (%, у) в предложении 29.4, получаем
£{о) (с, — с) = а(с) + а(с) — а (2с) = 0.
Подобная ситуация может иметь место лишь тогда, когда не су-
ществует конечного «пути» положительной вероятности из точки
с в точку —с, не проходящего через начало координат. Более
точно, из того, что g{0}(c, —с)=0, следует, что каждое произве-
дение вида
Р(с, х2) ... Р(хп, - с)
равно нулю, если Хг¥=0 при f=l, 2, ..., п. Именно этим свой-
ством обладает непрерывное слева случайное блуждание, и оно
в действительности является характеристическим свойством та-
кого случайного блуждания. Предположим, что Р(0, а)>0 при
некотором а<—1. Тогда существует некоторый, не проходящий
через нуль, путь, ведущий из с в +1; существует также другой
путь (состоящий из одного шага) из 1 в 1+а, и третий —из
1+ав —с. Существование первого и третьего путей было уста-
новлено при доказательстве предложения 18.8.
Поскольку непрерывное справа или слева случайное блужда-
ние с нулевым средним и конечной дисперсией ведет себя регу-
лярным образом, коль скоро речь идет о положительности а(х)\
возникает естественный вопрос, обладает ли оно другими инте-
ресными свойствами. Оказывается, что ядро потенциала непре-
рывного справа или слева случайного блуждания со средним 0 и
дисперсией о2<оо обладает одним специфическим свойством,
характеризующим случайные блуждания такого типа. Это свой-
ство будет полезно при доказательстве теоремы 31.1.
Предложение 3. Одномерное апериодическое возвратное слу-
чайное блуждание обладает тем свойством, что
а(х)=ах при всех х>0, где а — некоторая положительная по-
стоянная, тогда и только тогда, когда это случайное блуждание
непрерывно слева о2 = а-1.
Доказательство. Предположим сначала, что а(х)—ах при
х>0, где а>0. Тогда по теореме 29.1 о2--=а-1. Пусть, далее,
Л ={—1, 0}. Легко вычислить, что
Ял(х, -1)==На(- 1) + [а(х)~а(х+ 1)] Пл(0, -1), x<=R.
Полагая х=0, получаем
цл(-1) = а(1)Пл(0, -1) = аПл(0, - 1).
Следовательно,
НА(х, — 1) = [а + ах —а(х+1)]Пл(0, — 1) = 0
при каждом х>1. Таким образом, если случайное блуждание,
исходящее из точки х0=х> 1, впервые попадает в какой-то мо-
мент времени в множество А, то оно оказывается при этом в
точке 0. Теперь нет нужды приводить очевидные аргументы в
пользу того, что рассматриваемое случайное блуждание должно
быть непрерывным слева.
Обратно, предположим, что задано непрерывное слева слу-
чайное блуждание с конечной дисперсией о2. С помощью рассу-
ждения, проведенного выше, получаем
Ял(х, - 1) == [а(1) + а(х) — а(х+ 1)]Пл(0, — 1), х>1.
28*
Но мы знаем, что НА(х, —1) = О при х>0, так что
а(х + 1) —а(х) = а(1),
если х>0, или а(х) =ха(1) =ха. Таким образом, а(х)=ах при
х^-0 и, поскольку дисперсия конечна, а=(а2)-1, согласно тео-
реме 29.1.
Замечание. Предложения 2 и 3 в действительности представ-
ляют собой проявления гораздо более общего обстоятельства:
можно показать (см. задачу 8), что ядро потенциала определяет
случайное блуждание. Другими словами, два апериодических
возвратных случайных блуждания, имеющих одно и то же ядро
потенциала А(х, у), имеют одну и ту же переходную функцию
Р(х, У)- (В задаче 13 гл. IV подобное же обстоятельство было
отмечено для невозвратного случайного блуждания, определяе-
мого его функцией Грина G(x, у).)
В оставшейся части настоящего параграфа мы рассмотрим
чрезвычайно простые, но интересные следствия предложений 1
и 2. Покажем сначала, каким образом можно вычислить функ-
цию Нв(х, у) для непрерывного слева случайного блуждания с
бесконечной дисперсией. Задавшись некоторым множеством В
таким, что \В| —п, упорядочим его элементы
bx<b2< ... <Ьп.
Тогда при хе/? и fe=l, 2, .... п
п
Нв(х, bk) = iLB(bk)+ 2 a(x-bj)[nB(bj, bk)-b(j, k)].
/=1
Если |В| = 1, то все очевидно. Если же |В|=п>1, то положим
x=bt. Тогда
П
б (i, k) — HB(bi, bk) = pB(bk)+ s a {bi - &У)[ПВ(6У> м-б(/, *)]
f=i+l
при Полагая i<=k—n, получаем
Но из определения рв(у) в виде
рв{у)= lim ZPn+i(x, t)HB{t, у)
П-> ОО /е/?
ясно, ЧТО
2 Нв (У) = 1, Нв (&й) = 0 при k < | В | = п.
у^в
Далее, воспользовавшись соотношением
6(/, k) = 6(n, k)+ s а(^-^)[Пв(&7, 6ft)-d(bfe)L
/ = /4-1
довольно просто определить матрицу Пв в терминах значений
а(х), где х является разностью точек из В. Зная же Пв и цв,
точную формулу для Нв(х, у) получаем, естественно, из предло-
жения 1.
Исключив, таким образом, из рассмотрения непрерывные
справа или слева случайные блуждания с бесконечной диспер-
сией, мы вновь постараемся насколько это возможно, получить
результаты, аналогичные результатам гл. III. Во всех остальных
случаях (и это обстоятельство решающее) матрица-оператор
4(х, у) при х и у, принадлежащих такому множеству В, что
2<1|В|<оо, имеет обратную матрицу. Это было установлено в
предложении 11.8 и приведенное там доказательство применимо
в рассматриваемом случае, ибо оно опирается лишь на тот факт,
что а(х)>0 при х¥=0. Как и в определении 11.3, обозначим эту
обратную матрицу через Кв{х, у), и пусть
Кв(х-)= 2 Кв(х, у), Кв(-у) = 2 Кв(х, у),
у^В х&В
Кв(- •)= 2 Кв(х-), х,у^В.
х&В
В этих обозначениях, имитируя теоремы 11.1 и 14.2, можно полу-
чить следующий результат.
Теорема 2. Для апериодического возвратного одномерного
случайного блуждания с конечной или бесконечной дисперсией
(исключая в последнем случае непрерывные справа или слева
случайные блуждания) и множества В такого, что 2<С|В|<оо,
(а) Пв(х, у) = 6(х, у) + Кв(х, у) - , х, у*=В,
(б) Ив (//) Кв(' *) ’ Ив 00 Кв(* •) ’ У
(в) Нв{х, у) = Ив (у) + 2 А(х, t) [Пв(/, у)-6(/, ?/)],
x^R, у^В,
(г) gB(x, у) = ~ А(х, у) - к , . + 2 Hb(sM(s, у) +
+ 2 А{х, /)цв(/)+ 5 2 А (х, t) [Пв (t, — у),
t (=в SG В t^B
X, y^R.
Доказательство аналогичных утверждений, приведенное в
гл. III, проходит без изменений и в рассматриваемом случае.
Труднее всего было доказать утверждение (г) теоремы 14.2. При
доказательстве этого утверждения мы тщательно следили за -
тем'), чтобы не использовать каких бы то ни было асимптотиче-
ских свойств а(х), за исключением ограниченности функции
Л (х, t) — Л (0, t) при каждом фиксированном х, а в настоящем
контексте ограниченность этой функции следует из теоремы 29.1.
Кроме того, доказательство опиралось на уравнение
2 Р(х, у)а(у) —а(х) — (>(х, 0),
y^R
справедливое также и в одномерном случае в соответствии с
теоремой 28.1.
Существенное различие между случаями о2 = оо и о2<оо ска-
зывается и непосредственно в асимптотическом поведении функ-
ций, фигурирующих в теореме 2. Например, если о2=оо (непре-
рывное справа или слева случайное блуждание исключается), то
lim Нв(х, у) = цв(у), у^В, (1)
| X I > ОО
lim gB(x, у)=* У |^(s)X(s, .-, ye=R. (2)
1*1->00 Кв{--)
С другой стороны, если о2<оо, то пределы функций Нв и §в
как при х->+оо, так и при х->—оо, оказываются несколько
более сложными. Хотя, опираясь на теорему 2 и зная характер
асимптотического поведения а(х), нетрудно вычислить значение
этих пределов, замечательным обстоятельством является тот
факт, что и в этом случае (1) и (2) остаются справедливыми,
правда, в несколько модифицированном виде. Пусть
Limf(x) = y lim f(x) + ±- lim f(x) (3)
X r *->+oo X’ x->-°o
для произвольной функции f(x), определенной на множестве це-
лых чисел и обладающей тем свойством, что оба обычных пре-
дела существуют. Тогда можно легко проверить, что (1) и (2)
остаются справедливыми в случае о2<оо, если пределы в них
понимать в смысле Lim, согласно (3).
Теперь несколько слов о понятии емкости логарифмического
типа, упомянутом в конце § 14 в гл. III. Можно не принимать во
внимание непрерывное справа или слева случайное блуждание
с бесконечной дисперсией, ибо его рассмотрение не внесет ника-
*) См. сноску на стр. 176.
кого ощутимого вклада в теорию потенциала. Вообще в соответ-
ствии с любым естественным определением емкости (три опре-
деления обсуждались в гл. III), для непрерывного справа или
слева случайного блуждания емкость произвольного конечного
множества будет равна нулю.
Должно быть ясно, что теория потенциала, соответствующая
любому другому одномерному случайному блужданию с беско-
нечной дисперсией, в точности совпадает с той теорией, контуры
которой мы набросали в гл. III.
Рассмотрим, наконец, случай о2<оо. Если емкость конечного
множества В определить соотношениями
С(В) = 0, если |В|=1, C(B) = v, если |В1>1,
Ад I• •)
то соотношение, устанавливающее связь между емкостью и
асимптотическим поведением функции Грина, становится суще-
ственно другим. В то время как в случае d=2 или d=l и о2=оо
С(В)= lim [a(x) — gB(x, оо)],
|х| -> ОО
в случае d= 1 и о2 < оо получаем
С (В) = Lim [а (х) — Lim gB (х, #)].
х у
Приведенное изложение теории потенциала было проведено
преднамеренно сжато по нескольким причинам. Прежде всего
неясно, почему следует придавать значение формальным обоб-
щениям классической теории потенциала под предлогом изуче-
ния теории вероятностей. (Логарифмическая емкость не имеет
столь простой вероятностной интерпретации, как емкость для
невозвратного случайного блуждания; см. задачи 9 и 10 в конце
главы.) Кроме того, в соответствии с общим планом, намечен-
ным в начале гл. III, мы собирались изучать времена остановки
и, в частности, время первого достижения Тв конечного подмно-
жества пространства состояний. Теорема 2 и аналогичная ей тео-
рема в гл. III в известном смысле решают эту проблему. Но го-
раздо большее значение, чем непосредственное явное решение,
имеют развитые при этом методы. В частности, особенно трудным
было доказательство утверждения (г) теоремы 2. Читатель, со-
знательно проследивший истоки этого доказательства в гл. III,
вряд ли охотно согласится примириться с создавшимся положе-
нием. Формула для gB была получена при решении уравнения
2 Р(х, 0 gB (t; у) = Нв (х, у), x<=R~B, у^В.
Подстановкой
u(t) = gB(x, t) + A(x, t)
это уравнение сводилось к уравнению
S у) — и(у) = Н А(х, z/),x y^R,
t&R
которое представляет собой частный случай уравнения Пуас-
сона
Pf (я) —/(х) = ф W, x^Rt на R.
Однако теория уравнения Пуассона в том виде, как она пред-
ставлена предложением 13.3 и теоремой 28.1, слишком груба, и
была развита раньше, чем стало понятным, какие требования
к ней будут предъявлены в дальнейшем.
В части, касающейся существования и единственности не-
отрицательных решений уравнения Пуассона, эта теория будет
значительно усовершенствована в следующем параграфе По
ходу этого усиления теории мы будем использовать лишь основ-
ные результаты настоящей главы, касающиеся существования
и асимптотического поведения ядра потенциала. Короче говоря,.,
мы воспользуемся только теоремами 28.1 и 29.1 и предложе-
ниями 2 и 3. Таким образом, не опасаясь порочного круга, чи-
татель может использовать результаты следующего параграфа
для получения упрощенного доказательства теоремы 2.
§ 31. Единственность ядра потенциала
В предыдущей главе (пример 27.4) изучалось уравнение
5 Р(х, у)f(y) = f(x), х¥=о,
где Р(х, у)—переходная функция апериодического возвратного
случайного блуждания на плоскости. Было показано, что все
неотрицательные решения этого уравнения могут отличаться
лишь постоянным множителем от ядра потенциала а(х) =Л(х,0).
В то время у нас еще не было достаточно -информации, относя-
щейся к одномерному возвратному случайному блужданию. Од-
нако в настоящий момент относительно просто обобщить этот
результат на произвольное апериодическое возвратное случай-
ное блуждание. Для этого мы вновь обратим внимание на суще-
ственное различие между одномерным случаем с конечной дис-
персией, с одной стороны, и всеми другими случаями — с другой.
Нам понадобится одна предварительная лемма, задающая
просто некоторые решения без каких бы то ни было утвержде-
ний о единственности.
Предложение 1. Рассмотрим возвратное апериодическое слу-
чайное блуждание. Если d = 2, или если d—\ и ц2 = оо, то функ-
ция а(х) является неотрицательным решением уравнения
^4 Р(х, y)f(y)-f(х) = 0, Х#=0. (П
Если d—\ и о2<оо, то функция f(x) =а(х) +ах является неотри-
цательным решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда
действительный параметр а принадлежит интервалу —(о2)"1^
а (а2)-1.
Доказательство. Первое утверждение'предложения 1 пред-
ставляет собой простую переформулировку утверждения (б) тео-
ремы 28.1. Второе утверждение, нуждается в доказательстве.
Ввиду теоремы 28.1, функция а.(х) удовлетворяет уравнению (1).
Но функция f(x)=x также удовлетворяет этому уравнению, по-
скольку возвратное случайное блуждание с конечной дисперсией
имеет нулевое среднее. Таким образом, функция f(x) ~а(х) Ц-ах
удовлетворяет уравнению (1), но не обязана быть неотрицатель- -
ной на R — {0}, как это требуется. Далее ввиду теоремы 29.1
условие |а|^С(о2)“1 необходимо, поскольку если f (х)> 0, то
i. а (х) + ах 1 . п
lim —~------= -г + а>0,
Х->+оо * Q2
v а (х) + ах 1 А
lim — = —5- — 0,
откуда следует, что |aj(о2)-1. Чтобы доказать достаточность,
предположим, что |а|<До2)~1. Известно, что
у) = а(х) + а(-у)-а(х-у).
Полагая +оо и —оо и используя теорему 29.1, получаем
0<я(х)-|-0<а(х) — x<=R.
Так как эти функции неотрицательны, то и функция а(х)+ах
будет таковой, если только |а|<С(о2)-1.
Перейдем теперь к доказательству единственности, значи-
тельно более тонкой задаче.
Предложение 2. Единственными неотрицательными решения-
ми уравнения (1) являются решения, указанные в предложе-
нии 1.
Доказательство. Двумерный случай может быть опущен, ибо
он был рассмотрен в примере 27.4. Доказательство в одномер-
ном случае будет дано в тесном соответствии с ходом рассуж-
дений в примере 27.4. Поэтому будет удобно использовать обо-
значения, принятые в определении 27.4 и предложении 27.3.
Прежде всего, естественно положить Q(x, i/)=P(x, у), если х
и у принадлежат R— {0}. Тогда в качестве счетного множества
5 из предложения 27.3 можно было бы взять 5 = /? — {0}. Но
это не очень хорошо, поскольку функция g{0}(x, у) может не
быть положительной при некотором х или некотором у из
R — {0}. Вместо этого мы выберем S несколько более искусным
образом, что позволит значительно облегчить дальнейшее дока-
зательство.
Если задано некоторое (не тождественно равное нулю) ре-
шение h(x) >0 на R — {0} уравнения
5 р (х, у)h (у) = h (х), х#=0, (1)
у¥=0
то определим
S = [х|х €= R - {0}, Л (х) > 0].
Тот факт, что выбор S зависит от Л, не является неудобством.
Более того, в действительности существуют лишь три возмож-
ности. Или S = R — {0}, или, если это не так, S является либо
правой полупрямой [х|х>0], либо левой полупрямой [х|х<0].
Это нетрудно проверить. Предположим, что Л(х0) >0 при некото-
ром Xq^R — {0}. Производя итерацию (1), находим, что
3 Qn(x, y)h(y) = h(x), х=/=0, (2)
£/¥=0
если функция Q(x, у) является сужением Р(х, у) на /?— {0}. Та-
ким образом, из неравенства Л(хо)>О, следует Л(//)>0, если
только §{0}(у, %о)>О, но последнее действительно справедливо
при всех у, имеющих тот же знак, что и х0 (вследствие простых
комбинаторных соображений, с которыми мы уже встречались
при доказательстве предложения 18.8). Эти соображения дока-
зывают наше утверждение о том, что S либо является полупря-
мой, либо совпадает с R — {0}. Предположим теперь, что S —
полупрямая, скажем, положительная. Тогда, как мы только что
видели, отсюда следует, что
£{0}(х, у) = 0, если х < 0, у>0,
и, в частности,
Р(х, z/) = 0, если х<0, у>0, (3)
как это видно непосредственно из (1). Это обстоятельство зна-
чительно упрощает ситуацию. Во всех случаях (т. е. когда S
или полупрямая, или все R) можно теперь положить
Q(x, y)=Q\(x, у) = Р(х, у), Q0(x, у) = Ь(х, у), x,y<=S.
Qn+Лх, </)= 3 Q„(x, у), х, у eS, п^О,
t е S
и, наконец,
оо
g(x, z/)= 3 QAx, У), X, y(=s,
при ЭТОМ
g(x, у)>0 при х, y^S, (4)
g(x, y) = gl0}(x, у) при х, у <=S. (5)
Определим, далее, невозвратное ядро
QAx, У) = ~-Х,^{У} , х, y^S,
его итерации Q^(x, у) и соответствующую ему функцию Грина
sh(X, у) = 2 Qhn(х, у) = , (6)
п=0
и будем придерживаться в дальнейшем хода рассуждений, при-
нятого в предположении 27.3. Однако будет удобно отдельно
рассмотреть два случая, соответствующих о2 = оо и о2<оо.
Если о2=оо, то, согласно (5) и теореме 29.1, '
lim —г?—г= lim * 7?—г =
| У | -> оо S (»> У' | у | -> ОО £{0} 'О* У>
= lim aW + a(~y)~flU-y)
|</l^.oo а(1) + а (-y)-a(l-y) a (s) ’
(7)
где | — произвольная точка из S. Если временно отбросить не-
приятную возможность а(£)=0, то мы видим, что в силу (5),
(7) и предложения 1 выполняются все условия предложения
27.3. Таким образом, мы можем заключить, что функции h(x)
и а(х) отличаются лишь постоянным множителем, и тем самым
установить справедливость предложения 2 в случае о2 = оо, если
только мы сможем выбрать £ так, что а(£)>0. Предположим
теперь, что |>0 и a(g)==O (случай g<0 рассматривается анало-
гично). Тогда ввиду предложения 30.2 случайное блуждание не-
прерывно слева. Далее, если S = R— {0}, то можно модифициро-
вать (7), выбрав £<0 так, что a(g)>0. Случай же S=[x|x>0]
невозможен, ибо из уравнения (1) тогда следовало бы, что
0 = Л(- 1) = Р(- 1, 1)й(1) + Р(- 1, 2)/г(2)+ ... >0.
Итак, в случае о2=оо доказательство предложения 2 закончено.
Если о2<оо, то мы не можем надеяться, что доказательство
будет дословным повторением рассуждений предложения 27.3,
ибо в этом предложении рассматривались лишь случаи, когда
существует единственное решение. Тем не менее довольно про-
сто проследить все этапы доказательства предложения 27.3
вплоть до решающего равенства (см. соотношение (4) этого до-
казательства)
е(х)=1= lim у) уп(у). (8)
у *= °
С помощью тех же соображений компактности, которые были
использованы там и в примерах 27.4 и 27.5, равенство (8) при-
водит к заключению, что
1=мЛ(х) + lim -4тг-гт(-°°) +
У+-°» gn(z, у)
+ Um ,g*(x, У) Y( + ро), х<=$. (9)
(О+°° у)
Здесь uh(x) является (^-потенциалом и, разумеется, если S—
полупрямая, а не множество R — {0}, то в приведенном соотно-
шении будет фигурировать лишь один из двух пределов. (Эта
ситуация может возникнуть в случае симметричного простого
случайного блуждания.) С помощью вычислений, основанных
на применении к соотношению (6) теоремы 29.1, находим, что
пределы в (9) равны
lim = ±5. MIL, (Ю)
(z^±oo gh& у) aW)±s h(x)
’ Исключим сначала случаи
(£) + £ = 0_ и о2а (Ю ~ = 0.
Как это можно видеть, применяя предложение 1 к (10), соотно-
шение (9) задает (^-регулярную функцию е(х) = 1, ибо она
является суммой (?/1-потенциала и двух (^-регулярных функций.'
По теореме разложения Рисса (теорема 27.1) потенциал должен
быть равен нулю. Подставляя (10) в (9) и умножая (9) на h(x),
находим, что
h (х) = V (- оо) ~2Д|у2_'Е l0^ W “ *] +
+ V (+ °°) I0*0 U) + 4
Это показывает, что любая регулярная функция h(x) является
линейной комбинацией а(х) и х, а именно это мы и хотели дока-
зать!
Доказательство предложения 2 будет теперь закончено, если
мы сумеем исключить ту неприятную возможность, при которой
соотношения (9) будут лишены смысла, когда один из знамена-
телей o2a(g)±g в (10) обращается в нуль. Согласно предложе-
нию 30.3 предыдущего параграфа, это беспокоящее нас обстоя-
тельство может возникнуть лишь при рассмотрении непрерыв-
ного справа или слева случайного блуждания. Для любого иного
случайного блуждания всегда можно выбрать g так, что
o2a(g)—|g |=#0. Рассмотрим отдельно все возможные случаи.
(а) Предположим, что случайное блуждание одновременно
непрерывно и справа и слева. Тогда 0 < Р(0, 1) =Р(0,—1) =
=(1—Р(0, 9)]/2<С 1/2. Но в этом весьма простом случае пред-
ложение 2 может быть проверено непосредственно. д
(б) Предположим, что случайное блуждание непрерывно
слева, но не непрерывно справа. Рассмотрим различные возмож-
ности, отвечающие различным множествам S. Если S = P— {0}
или S = [x|x<0], то в соответствии с предложением 30.3 можно
выбрать такое отрицательное значение g, что и o2a(g)+g и
o2a(g)—g отличны от нуля. Рассмотрим, наконец, случай S =
= [х|х>0]. Анализ уравнения (1) показывает, что этот случай
не может иметь места: из уравнения (1) следует, что если
А(х)>0 при х>0, то й(х)>0 при всех х. Таким образом, случай
(б) разобран.
(в) Рассмотрение непрерывного справа, но не непрерывного
слева случайного блуждания проводится так же, как и в случае
(б), и, таким образом, доказательство предложения 2 закончено.
Объединим теперь предложения 1 и 2 в виде следующей тео-
ремы.
Теорема 1. Если Р(х,у)—переходная функция апериодиче-
ского возвратного случайного блуждания, то неотрицательные
решения уравнения
h (х) = 2 Р (х, у) h (у), х=/=0,
кратны
а(х), если d = 2 или d—1 и а2=оо, (1)
а (х) + ах, где | о2а | 1, если d = 1 и а2 < оо. (2)
Для многих приложений важна также переформулировка
теоремы 1 в терминах потенциалов, т. е. в терминах неотрица-
тельных решений уравнения
S Р(х, y)f(у)-Дх) = 6(х, 0), x<=R,
y^R
или, более общо, в терминах функций f(x)>0, определенных на
/?, таких, что
Pf (*М(4 x^R
где
ф(х) = 0, если x^R — A.
Эта переформулировка достигается с помощью принципа ми-
нимума, являющегося аналогом для возвратного случая прин-
ципа максимума, справедливого для невозвратного случайного
блуждания (утверждение (а) предложения 25.9 гл. VI).
Теорема 2. Предположим, что Р(х,у)—переходная функция
апериодического возвратного случайного блуждания. Предполо-
жим также, что f(x)^0HaRu
2 Р(х, y)f(y)-f(x)^O на R — A,
y^R
где А — заданное подмножество в R. Тогда
f (х)> inf f (/), x^R.
t^A
Доказательство. Пусть Q.(x,y) — Р(х,у), если х и у из R — А,
и пусть Qn(x, у)—итерации невозвратного ядра Q, определен-
ного на множестве S=/? — А. (Поскольку исходное случайное
блуждание возвратно, Q является невозвратным ядром, если,
как это можно предположить, множество А непусто.) Заметим,
что функция f(x) эксцессивна относительно Q на S, либо
f(x)> 2 QU, y)f(y)— 2 P(x, t)f(t) = w(x)>Q, x^S. (1)
y&S
Рассуждая далее так же, как при доказательстве теоремы Рисса
о разложении, что возможно, ибо Pf — на S, применим
оператор Q к (1) п раз и получим
fU)> 2 Q/z+i (х> y)f(y)= 2 [QoU> у)+ ... +Qn(x, y)]w(y).
y&S y^S
(2)
Если обозначить
оо
g(x, у)= 2 Qn(x, у), X, y<=S,
то правая часть в соотношении (2) при п->оо имеет предел
2 g(x, y)w(y)= ^ 2 g(x, у)Р(у, 2 НА(х,
y^S y^StsA t^A
(3)
Здесь, конечно, HA(x, t) —распределение точки достижения мно-
жества А для случайного блуждания на /?, задаваемого переход-
ной функцией Р(х, у). Далее, из (2) следует, что
№)> 2 нА(х,
t^A
>[inf ДО] 2 НА(х, f)= inf f(f), xeS,
te=A tt=A t<=A
Это доказывает теорему 2. На самом деле мы будем исполь-
зовать лишь весьма специальный случай этой теоремы, когда
множество А состоит из единственной точки. Тем не менее тео-
рема 2 в полном объеме незаменима для дальнейшего развития
теории потенциала логарифмического типа, рамки которой были
намечены в конце предыдущего параграфа.
Полагая в теореме 2 А ={0}, немедленно получаем следующее
обобщение теоремы 1.
Предложение 3. Неотрицательные решения уравнения
2 Р(х, y)f(y)-f(x) = 6(x, 0), x<=R, (1)
y^R
имеют следующий вид: если d = 2 или d=l и о2 = оо, то
f(x) = a(x) + ct где с^О;
если d= \ и о2<оо, то
f (х) = а (х) + ах + с,
где —(o2)”1^a-<(d2)”1 и с^О.
Доказательство. В силу теоремы 2 каждое неотрицательное
решение f(x)' уравнения (1) достигает своего минимального зна-
чения в начале координат. Пусть h(x)=f(x) — f(0). Тогда оче-
видно, что Л(х)>0 и
S Р(х, y)h(y) — h(x) = 0, х#=0.
£/¥=0
Следовательно, h(x) с точностью до постоянного множителя
совпадает с решениями, заданными в теореме 1. Наконец, этот
постоянный множитель может быть определен, если использо-
вать утверждение (б) теоремы 28.1.
Предложение’ 3 является аналитической характеризацией
ядра потенциала а(х), за исключением случая конечной диспер-
сии. В последнем случае необходимы дополнительные ограниче-
ния; например, условие симметрии «/(—x)~f(x) при х->оо»
может служить для выделения а(х) из однопараметрического
семейства решений, задаваемого предложением 3. Нетрудно
обобщить предложение 3 на более широкий класс потенциалов.
Теорема 3. Пусть Р(х,у)—переходная функция апериодиче-
ского возвратного случайного блуждания, и пусть AczR,
1 |<оо, г|) = 0 на R —A, f^O на R. Предположим, что
" Pf (х) — f(х) = гр(х)>0, x<=R. (1)
Тогда
f(x) = 2 А(х, у)^(у)± съ если d = 2 или d=\ u<o2=oo,
у^а
и
f(x)= S А(х, у)$>(у) + с2х + с3, если d= \ и о2<оо.
у^А
Здесь постоянные Ci, с% и сз удовлетворяют условиям
q + min 5 А(х, y)ty(y)^0,
х^Ау^А
о2|с2|< 3 Фи), c3 + min[2 А(х, у)^(у) + с2х] >0.
х^А х <= А у^А
Обратно, каждая функция f(x) указанного вида неотрицательна
и удовлетворяет условию (1).
Доказательство. Если ,
g(x) = 2 А(х, s Ф(х) = с,
t(==R х^А
то, согласно теореме 29.1,
lim [g(x)~ са(х)] — 0, если d — 2 или d=l и а2=оо,
1%| -> оо
lim [g(х) — са(х)] = + -у V /ф(0, если d=l и а2<оо.
*-> ±°° ° , = л
В любом случае функция g(x)— са(х) ограничена. По теореме
28.1 функция
Л (х) = f (х) + са (х) — g (х) + у
является неотрицательным решением уравнения
Ph (х) — h (х) = сб (х, 0),
если только Pf(x)—/(х)=ф(х) и постоянная у достаточно ве-
лика. Следовательно, задача сводится к нахождению й(х), а это
можно сделать, воспользовавшись предложением 3. Если d=2,
или если d=l и о2 = оо, то h(х) =са(х) + const, так что
f(x) = /г(х) — са(х) + g(x) — у= 2 Л(х, 0Ф(0 + const.
t g=A
Если d—\ и а2<оо, то
f(x) = 2 А(х, 0Ф(0 + ал: + СОП8^ | а | (о2)-1.
t&A
Нетрудно проверить, что возможные значения постоянных С\, сг
и с3 задаются условиями теоремы 3.
Теорему 3 можно без труда обобщить на случай зарядов, но-
сителями которых может • служить бесконечное подмножество А
из 7?, или даже все R, правда, если только функция ф а-интегри-
руема, т. е. если 2 а(х — 01 ф(0 I < 00 при хе/?. Чтобы пока-
зать, что, на большее надеяться не стоит, рассмотрим следующий
пример.
Пример
дание, т. е.
Положим
Тогда
1. Рассмотрим простое двумерное случайное блуж-
пусть
Р(0, 2) =
1 1 1 •
-j для z=l, — 1, г, —г,
0 для всех других ze/?.
f(z) = |Re(z)|,.4 = [z|Re(z) = 0],
2 Р(2, С)ИС)-/(2) = ф(2),
где
ф(г) =
у для геЛ,
0 для z е R — А.
Это легко проверить. Далее, из предложения 3 или теоремы 3,
если бы они были применимы в настоящем случае, следовало бы,
что
а это неверно, поскольку сумма, стоящая в правой части, расхо-
дится, ибо
2
А(0, z)~~ln|z| при |z|->оо.
Теорема 3 показывает, что если d = 2 или d=l и о2 = оо, то
теория потенциала, наброски которой приведены в § 30 и 14,
«корректна» и является лишь аналогом классической теории ло-
гарифмического потенциала. Однако, как показывают предложе-
ние 3 и теорема 3, в случае d=l и а2<оо существует целое одно-
параметрическое семейство различных теорий потенциала: при
каждом а любое конечное подмножество В из R обладает раз-
личными равновесными зарядами, емкостями и т. д. Их свой-
ства подобны некоторым свойствам в теории логарифмического
потенциала; принцип минимума (теорема 2) позволяет развить
полную теорию, если найден равновесный заряд ц*(х) множе-
ства В. Легко проверить, что каждое конечное множество В
имеет однопараметрическое семейство равновесных зарядов
= + о. lalCl;
другими словами, при хеВ
2 [л (х, /) + J (х - /)] = const.
t^B
Здесь Н*в — распределение точки достижения для обращен-
ного случайного блуждания. Если положить а = 0, то получим
простейший (симметричный) равновесный заряд
н*0(0 = нв(0 = 4^(+оо. п + 4я’(-оо, 0 =
удовлетворяющий соотношению
А (х, t) ц* (0 = const = к * , х s В.
ttsB в
§ 32. Время достижения отдельной точки
В теореме 16.1 гл. Ill было показано, что для апериодиче-
ского двумерного случайного блуждания
Д™ Po[T>J = х °*
Здесь, как обычно, а(х) —ядро потенциала и
Т = min [n| 1 ^и^оо; хл = 0]
— момент первого, после момента 0, попадания случайного блу-
ждания в начало координат.
Теория невозвратного случайного блуждания, изложенная в
гл. VI, и теория одномерного возвратного блуждания, развитая
в настоящей главе, позволяет выявить те общие условия, при
которых эта^теорема остается справедливой. К счастью, оказы-
вается, что мы имеем здесь дело с совершенно общим свойством
случайного блуждания, возвратного или невозвратного, с един-
ственным, и весьма естественным, ограничением апериодичности.
Все, дальнейшее будет посвящено доказательству этого
утверждения, которое мы сформулируем в виде следующей
теоремы.
Теорема 1. Для произвольного апериодического случайного
блуждания, возвратного или невозвратного, в пространстве раз-
мерности d 1 при каждом х=#0
п
lim = lim o)-^u ой.
П->оо Го L 1 "J n->ooj“
k—Q i
Оба эти предела конечны и неотрицательны.
Сначала будет дано доказательство для невозвратного слу-
чайного блуждания (предложение 1). Следующим этапом будет
доказательство теоремы 1 для одномерного возвратного случай-
ного блуждания с конечной дисперсией о2. На самом деле в этом
случае будет получен результат более сильный, чем теорема 1,
поскольку в предложении 4 будет показано, что
Рх[Т>п]~а(х)Р0[Т>п]~о при п->оо, х =# 0.
Так как для двумерного случайного блуждания теорема 1 была
доказана в гл. III, после предложения 4 останется лишь рас-
смотреть одномерное возвратное блуждание с бесконечной
дисперсией. Последний случай наиболее труден. Его изучение
будет опираться на теорему Кестена [43] относительно вероят-
ностей Fn = ₽о[Т = п].
Теорема 2. Для строго апериодического одномерного воз-
вратного случайного блуждания
П-»оо ? П
Теорема 2 на самом деле справедлива и в двумерном случае
(задача.4), но нам это не понадобится. Доказательство теоре-
мы 2 доставляется предложениями 5^8. Мы отложим на время
это доказательство и рассмотрим сначала очень простой и прак-
тически неинтересный невозвратный случай, с тем чтобы к нему
больше не возвращаться.
Предложение 1. Для произвольного апериодического невоз-
вратного случайного блуждания
. PotT>n] =а(х)’ х¥=0’
если (что вполне естественно) положить
a(x)=G(0, O)-G(x, 0)= 5 [Р„ (0; 0) - Ра (х, 0)].
п—0
Доказательство. Это простое доказательство можно было по-
лучить уже в гл. I, поскольку оно использует только методы и
понятия § 1. Принимая во внимание, что
PJT>n] = Pjn<T<oo],
имеем
1-5Л,(х, 0)
lim PxtT>n] РЛТ-оо] _______п-1
Ро[Т>п] Р0[Т = «,] 1-Г(0, 0) ’
Из предложения 1.2 следует, что
ОО - 0)
^tnFn(x, °) = ^---------, х=/=0, 0</<1.
п-1 2 ‘пр» (°. °)
п=0
Полагая/—»! и используя предложение 1.5, находим, что
. F(x, 0) = 2/nU. = х ^О.
Следовательно,
1 - 2 Fn (х, 0)
-2=L—=G(0,0)-G(x,0) = flW, x=^0.
Это доказывает теорему 1 в невозвратном случае, и остав-
шаяся часть этого параграфа будет целиком посвящена аперио-
дическому возвратному одномерному случайному блужданию.
Мы будем придерживаться обозначений определения 16.1, так
что
Тх = min [л | л 1, х„ = х], Т0 = Т,
Fn - Ро [Т = и], Rn = Ро [Т > п], ип = Ро [хЛ = 0], п > 0.
Следующая лемма показывает, что для каждого возвратного
случайного блуждания теорема 1 справедлива в некотором «ос-
лабленном» смысле, именно в смысле абелевой суммируемости.
Предложение 2. Для возвратного случайного блуждания
2/яРх[Т>п]
lim -----------= а (х) при х ф ,0.
*Л1 2S ₽° [т >
п=0
Доказательство. Заметим для начала, что при хеТ?,
(1-О2/яРо[Т>п]=1-Ео[/т1
п==0
(1 - 0 S С Рх [Т>п] = 1 - Ех[/То] = 1 -тв0 [*ТЧ
п=0
Поэтому предложение 2 будет доказано, если мы установим, что
при всех х=£0
lim 1-~ЕЦ-^=а(-х). (1)
М11-Е0[Л] v /. \t
Далее, определим
Я,(х, У) — S tnpn(x, у)
п=0
И
<р0(х) = 1, если х=0, и фо(х) = О в противном случае»
29 Зак. 1375
Тогда при /<1
Ео [ 2 Ар0(хя)] = Ео [2 /лф0(хя)] - Ео [ 2 Аро(х«)] =
п=0 п=0 п=тх
-л,(0, о)-е0[2^о(ч+1)|.
Используя тот факт,, что Тх—момент остановки, можно пре-
образовать последнее математическое ожидание; в результате
получим, что при 0 <О<1, х=#0
Ео [ 2 /Ч(хя)] = К (0. 0) - Ео [*Ч Rt (х, 0). (2)
Аналогично (доказательство опускаем) находим, что
Ех [ 2 Ар0 (х„)] = Rt (х, 0) - Ео [ZTo] Rt (х, 0). (3)
п=0
Используя (2) и (3), отношение в (1) можно записать в сле-
дующем виде: при 0 <1 /<1, х¥=0
1-Е0[<Ч
i-E0[fT’]
= \Rt(x, О)-ЯДО,О) + Ео
тх-1 '1'1 f гтх-1
2 Аро(хп) eJ 2 /пФо(хп)
Ln=0 J' k Lrt=0
Далее по абелевой теор'еме
lim [/?, (х, 0) - Rt (0, 0)] = 2 [Р„ (х, 0) - Рп (0, 0)] = - а (х); (5)
z/ч п-о
последнее равенство следует из утверждения (а) теоремы 28.1.
Заметим теперь, что, согласно определению функции Грина
(определение 10.1),
Ъ"1 1 ГТг-1 1
2 /пф0 (х„) = Е„ 2 Фо (х„) = g,x} (0, 0). (6)
n=0 J Ln-0 J w
Но в силу предложения 29.4
W0’ 0) = а(х) + а(-х). (7)
lim Ео
Подстановка (5), (6) и (7) в (4) показывает, что предложение 2
справедливо, если только
'ту-1
limEx 2 Ар0(хп)
= 1.
(8)
Однако этот факт был установлен в предложении 10.3. (Ча-
стые ссылки в этом доказательстве на довольно сложные ре-
зультаты не должны вводить в заблуждение. На самом деле
можно дать вполне элементарное, но более длинное доказатель-
ство.)
Предложение 3. Для одномерного апериодического возврат-
ного случайного блуждания с конечной дисперсией о2<оо
lim У nP0 [Т > n] = l/"^- ст.
М->оо Г Д
Доказательство. При 0<У<1 имеем
оо оо Л
t/(0-S«Z = i;/’P.(0. 0)-А. (I)
n=0 n=0 —л
где ф(0) —характеристическая функция случайного блуждания.
Наша непосредственная задача — показать, что
lim/b=7[7(0 = -^L-. (2)
tZi /2а 7
Задавшись произвольным е>0, можно выбрать 0<б<л так, что
^ + Н(1-
е)<1-Лр(0)=1-ф(О) + (1-/)<р(е)<
<[-^ +!.-/](!+е)
при |0|^б. Поскольку случайное блуждание апериодическое,
интегралы в (1), взятые от 6 до л и от —л до —б, при /->1
остаются ограниченными. Следовательно, эти интегралы играют
в (1) роль поправочных членов и, будучи умноженными на
У \—t, стремятся к нулю. Поэтому соотношение (2) будет до-
казано, если мы покажем, что при каждом б>0
д
lim 4- f , (3)
iZi 2п V2a,
а это легко проверить, если сделать замену переменной, вводя
вместо 0 новую переменную х=0о[2(1 —1)]~\
Следующий шаг опирается на тождество
оо
являющееся следствием предложения 1 9
тании с (2) приводит к равенству ’ ’ 0,10
тождество в соче-
*
(4)
Заметим, что последовательность Р = Ргт. ,
возрастает, что Дает возможность примени! i монотонно не
Усиленная форма этой теоремы, сформулипп!°РеМу КаРамата.
жении 20.2, показывает, что т рмулированная в предло-
lim Ки/?п = а1/Г—
rt->oo Г Л *
тем самым предложение 3 доказано
2 следует, m „„„ каж
«”? '"₽-'T>»J-ar2oW. (5J
к этому равенству можно снова применить теорему Карамата
и получить
Предложение 4. Для х ¥= 0 ___
lim Уn Рх [Т > п] = <т1/~a (х).
„->00 г я
Разумеется, из предложений 2 и 4 следует, что при х=£0
Итак, остается доказать теорему I в одномерном случае ко-
гда О2 = оо Естественно обратиться к доказательству теопе
мы 16.1 и посмотреть, можно ли в настоящем случае воспольчп
ваться теми же методами. При доказательстве теоремы 16 1 мм
пришли к соотношению . ремы 1ЬЛ мы
1 t ф о
(1)
В этом соотношении vn(t)—последовательность вероятностных
мер на R — {0}. Используя результат предложения 16.1
Ит-/*-=1, (2)
* П->оо ^Л+1
мы сумели показать, что
lim vn (0 = 0, t^R — {0}. • (3)
n->oo
Доказательство теоремы 16.1 следовало тогда из соотношений
(2), (3) и асимптотического равенства
lim g(х, t) = a(х), хеR — {0}. (4)
Ввиду предложения 29.4 и теоремы 29.1 соотношение (4) спра-
ведливо также и для апериодического возвратного одномерного
случайного блуждания с бесконечной дисперсией. (Оно неверно,
если о2<оо, и именно поэтому в этом случае потребовалось
иное доказательство, доставляемое предложениями 2, 3 и 4.)
Следовательно, доказательство теоремы 1 будет закончено, если
мы сумеем установить (2). Эта трудность будет преодолена в
теореме 2, где будет установлен гораздо более глубокий резуль-
тат, из которого следует (2). (Если случайное блуждание строго
апериодическое, то очевидно, что из FnIFn+l -♦ 1 следует
_£«_ = 1 _1_2л±к_>1
Яя+1
Если же случайное блуждание не является строго апериодиче-
ским, то в силу предложения 5.1 7ч=0, если только k=f=ns при
некотором целом s>l. Но тогда случайное блуждание с пере-
ходной функцией Р5(х, у) будет строго апериодическим на не-
которой подгруппе группы R, которая является его естествен-
ным пространством состояний, и мы получим, что Ли/Лп+1)в-*• 1-
Последнего факта достаточно, чтобы утверждать, что равен-
ство (2) справедливо.)
Предложение 5. Для каждого е, 0<е<1, существует такое
N=N(e), что
EnXl-e)", n>N.
Доказательство. Пусть задано произвольное е, 0<8<1. Со-
гласно предложению 5.2, при всех достаточно больших и и про-
извольном целом а
Polx„ = a] = P[Sn = a]>(l-8)n.
Поскольку случайное блуждание возвратно, можно выбрать
й1>0 и а2>0 таким образом, что
Р (0, aj > 0 и Р (0, — а2) > 0.
Тогда при достаточно большом п_
₽[&! = «!, Sn = 0]>(l-8)\ (1)
Это очевидно, так как указанная вероятность есть не что иное,
как Р(0, flj) P[Sn-2 = a2 — 0i]P(O, —а2). При этом понятие част-
ных сумм Sfe = Xi + .. . + Хд, введенное в гл. IV, было использо-
вано потому, что оно позволяет сделать более наглядным сле-
дующее комбинаторное рассуждение. Рассмотрим последова-
тельность случайных величин Х2, Х3, ..Xn_i и произведем все-
возможные циклические" перестановки (всего имеется п — 2 та-
ких перестановок, включая тождественную). Если р — одна из
этих циклических перестановок (действующих на множестве
целых чисел 2, 3, ..., п— 1), то мы получим последовательность
Хр(2), ..., Xp(n-i). Для каждой циклической перестановки р рас-
смотрим на плоскости ломаную L(p), образованную отрезками,
соединяющими точки
(1, aj, (2j tfi + Хр (2)), (3, + Хр (2) + Хр (з)), (п — 1, а2)
(см. рис. 6). По крайней мере для одной из п — 2 перестановок
соответствующая ломаная будет целиком лежать не ниже хорды,
соединяющей точки (1, и (п—I, а2). К этому выводу легко
можно прийти, рассматривая частный случай (см. рис. 6), где
п=6 и р — циклическая перестановка (3, 4, 5, 2). Какая именно
перестановка обладает описанным свойством, зависит, разу-
меется, от значений случайных величин Х2, ..., Xn_i. Но это не
суть важно. Существенно лишь то, что вероятность в (1) инва-
риантна относительно этих перестановок, ибо случайные вели-
чины Хц независимы и одинаково распределены, т. е. их совмест-»
ная вероятностная мера инвариантна относительно перестановки
координат. Таким образом, каждая из циклических перестановок
целых чисел 2, ..., п — 1 с равной вероятностью приводит к ло-
маной, обладающей нужным свойством.
Теперь мы уже близки к окончанию. Обозначим через Еп(р)
событие, заключающееся в том, что Xi = ai( Хп = —а2, а лома-
ная L(p) лежит выше хорды, соединяющей эти точки. Тогда
при каждом р вероятность события Еп(р) не меньше вероятно-
сти в (1), деленной на п — 2. Если е обозначает тождественную
перестановку, то при достаточно большом п
С другой стороны, из факта осуществления событий Еп(е) сле-
дует, что первое возвращение в начало координат случайного
блуждания хп, для которого Хо=О, наступает в момент п. Сле-
довательно,
Fn>^[En{e)]^^f
при достаточно большом п, и тем самым предложение 5 дока-
зано.
Замечание. Используя предложение 5, можно было бы бук-
вально в несколько строк закончить доказательство теоремы 2,
если дополнительно предположить, что Р(0, 0)>0. Это делается
точно так же, как и при доказательстве эргодической теоремы
отношений в предложении 5.4. (В тех местах доказательства
предложения 5.4, где использовалось предложение 5.2, в котором
устанавливалась показательная оценка снизу Рп(0, 0)>(1 —е)п,
в настоящем контексте можно точно таким же образом исполь-
зовать предложение 5.) Однако, когда речь идет не о последо-
вательности Un = Pn(0, 0), а о последовательности Fn, изба-
виться от предположения о том, что Р(0, 0)>0, по-видимому,
невозможно. Поэтому необходим иной подход. Докажем прежде
всего
Предложение 6. Для каждого целого т и каждого е>0 су-
ществует такое М=М(т, е), что при каждом Д>0
п—М
Нт Т X Р11 или Sk+j^Sk, когда =
Доказательство. В формулировке этого предложения Т — мо-
мент первого возвращения в начало координат. Наряду с услов-
ными вероятностями вида
Р[Л|В]= Р^В1 .
где (как это всегда будет иметь место) Р[В]>0, мы будем ис-
пользовать условные математические ожидания
E[f|B] = -p^E[f: В].
Определим следующие случайные величины (характеристиче-
ские функции событий): Jfe(A, и)=1, если |Sfe|-СЛ и Т = п, и
Jft(A, п) =0 в противном случае; Lk(m, М, п) = 1, если Sfe+,=£Sft
при М, и Lk(m, М, п)=0 в противном случае. Для лю-
бой пары событий Ai, Az имеем P[A1UA2|B]"CP[Ai |В]-Ь’
+ Р[А2|В], так что сумма в предложении 6 не превосходит
Задавшись tj>0 (которое позднее будет положено равным
е/2), выберем М столь большим, что
Р [Sjfe+y =/= S* при = Р [Sy =# 0 при т jМ] 11-
Это можно сделать потому, что т фиксировано и случайное блу-
ждание возвратно. Тогда
п—М
^Lft(/n, М, и)|Т = га
*=i
Lfc=l fe-1
< 2ni) + р [т = га] Р
~П-М
(zn, М, n)^2nti
- fe-=i
(2>
Заметим теперь, что случайная величина Lh=Lfe(zn, М, п)'
зависит от ХА+1, Хй+2, .,., Xfe+M, но не зависит от других шагов
Xn=Sn—-Sn_i случайного блуждания. Таким образом, можно
записать
п-М
5 Ц = (Lo + + L2m + ...) + (Li + L^+1 + ...) + ...
Л=0
• •• + (Ь-лг-i + L2A[-i + ...) = Ii + I2+ ... + Ijf.
Каждая сумма Ir, r=l, ..M, содержит самое большее [n/M]
членов. Далее, 1г является суммой независимых случайных вели-
чин, каждая из которых принимает значение, равное единице,
п-М
с вероятностью, не превосходящей т|. Если 2 Lk>2nt\, то по
k— 1
крайней мере одна из сумм 1г должна превосходить 2пт]/Л4, так
что
п—М
^Ls(m, М,
Л=1
Р
п) 2пг\
м
Г=1
(3)
Согласно предложению 5.3, если I — сумма j независимых
бернуллиевских случайных величин, каждая из которых равна
единице с вероятностью т] и нулю с вероятностью 1 — т), то ве-
роятность того, что I превзойдет 2/т>, меньше, чем постоянная,
умноженная на Следовательно,
Р[11>2т]-^]<С1в-С2(пда,
(4)
тде Сь сг — положительные постоянные, зависящие только от т).
Объединяя (2), (3) и (4), получаем
’n-M
Е 5 (т, М, п) | Т = п 2m] 4
_fe=i J
2^1 ce-ctWM)t
Fn 1
(5)
Займемся теперь оценкой суммы, включающей А (А п).
Пусть <рь — случайная величина, равная единице, если |Sfe|-C4,
и нулю в противном случае. Поступая так же, как при выводе
(2), получаем
[п-М 1 Г п
2^6 (А п)|Т = и ^пт]4--к-Р 2<Рб^«Л и
6-1 J л 1.6=1
Т = п <
пт] 4 Р Т п
г л I
п
2 q>6 > «п
1
(6)
Выберем теперь некоторое действительное %>0 и целое />0
таким образом, что
Тогда
min P[Sft = a при некотором k < г] % > 0. (7)
I а | <Л
Р[Т>/ + г||8у|<Л]<1-х,
и поскольку из факта осуществления события <jpi+’.. .+<рп > иг)
следует, что одна из «подпоследовательностей» q>j+<pj+r+-..
«последовательности» . .+<рп должна превосходить пх\[г,
приходим к заключению, что
Р Т>п
ПТ]
(1-х)
(n'n)Zr
(8)
Объединяя (5), (6) и (8), получаем
п-М
или при всех и</
£=1
< 2т] + У- схе~‘> + 4-(1 - Х)(пч)/Г.
г п гп
<А1|Т = п]<
О)
Положим теперь 2г) = е. Тогда предложение 6 будет доказано,
если в (9) взять верхний предел при п—»оо и показать, что оба
показательных члена в (9) стремятся к нулю быстрее, чем Fn.
А это следует из предложения 5, каковы бы ни были положи-
тельные постоянные с2 и х, так что предложение 6 доказано.
Предложение 7. Пусть заданы ei>0, m и А. Тогда' сущест-
вуют положительные целые k и М такие, что
где
4г— 1 Bj при всех достаточно больших п,
Г п I
qn — Р [Т = га, | Sft |> А и Sft+y=SA при некотором
Доказательство. Положим в предложении 6 e = ef и выберем
М так, чтобы это предложение было справедливым. Из предло-
жения 6 следует, что при каждом б>0 и достаточно большом га
п-М
2 Р [{I S* К А или Sft+y¥= Sft при Af}f){T = n}]<
fe=l
<(ef + 6)nFn.
Отсюда видно, что существует по крайней мере 8in значений ky
для которых
Р[{1 8»|<4 или при
Если в определении qn (которое зависит от k) выбрать именно
такое значение k, то
(1 Fn^ qn^.Fn,
что и доказывает предложение 7.
Предложение 8. Для достаточно больших m и А существуют
положительные целые k и М, такие, что
I Яп ~ Яп+i I е1<7л при достаточно большом п,
где 81 и qn определены в предложении 7 и
qn+1 = Р [Т = п + 1, | S* | > А, Sk+J = Sfe при некотором m + 1 <
С/СЛ14-1].
Доказательство. Напомним, что t/n = P[Sn=O] и, согласно те-
ореме 5.1,
lim -^-=1.
П->оо иП
Это равенство является решающим для доказательства. Выбе-
рем m так, что
I uk+l-при k^m, (1)
и пусть А столь велико, что
Р [ I S < I А при некотором /^Л1+1]^4?- min Uk. (2)
Положим, ради простоты записи,
P[Sft+y = a, Sft+r =/= 0 при г = 1, .... /-1 |S* = a] = cft>y(a) = cft>y,
Р[Т = п —/г —/; Sp =/= а при р=1, .... Af-/|S0 = a] =
= 4-А./(а> M) = dn.k<) г).
Тогда, разлагая qn в соответствии с возможными значениями
Sfe и с последним моментом &+/, когда Sft+j=Sft, получаем
м
2 = Т > k] 2 ck, jdn-k,
|«1>Л i=m
Производя аналогичное разложение для qn+i, имеем
м
Qn+i^ 2 = Т > 2 ^k, j+\dn-k, j,
|а|>4 /=т
1) So=O по определению (см. определение 3.1). Поэтому запись
Р[.. t |S0=a] следует понимать как РД« •
так что
м
Qn Qn+i~ P[S^ = 6i; Т > (су Ck, j+\) dn-kt j. (3>
|a| >A /=m
Чтобы оценить эту разность, заметим, что
ckt у = Р [Sy == О, Sry= — а при r= 1, 2, ..., j — 1] =
= Uj — Р [Sy = О, Sr = — а при некотором г = 1, 2, ..., / — 1 ]-
Так как \а | >Д, то
I ck, j ~ Uj |=С Р [ I Sr |> А при некотором г^Л1+ 1],
и из (2) получаем
(4)
Точно так же доказывается, что
UJ’ (5>
Объединяя (4) и (5), имеем
£7? + l UJ+i-Uj\
и, учитывая (1), приходим к заключению, что
I ck, j+i ““ ckt j I Uj-
Снова воспользовавшись неравенством (4), получаем, что
I сk, J+i ck, j I “J” (1 Ck, j 81Q, j (6)
по крайней мере (как это можно предполагать) при достаточно
малом 81.
Применяя неравенство (6) для оценки разности (3), имеем
м
кп-^иКв! s P[Sft = a; Т>й] s =е1?„,
|al>A j=m
что и доказывает предложение 8.
Теперь мы можем закончить доказательство теоремы 2. По
определению qn+i Fn+i, а в силу предложений 8 и 7 при до-
статочно большом п
Fп+1 Чп+1 (1 8i) Qn (1 8i)2 Fп>
откуда следует, что
lim 1.
п—^ Fn
Но очевидная модификация предложения 7 дает
так что
Гп Яп 1 + в1 <7п+1 1 +81 Л+Р
Следовательно,
1йй -^-<1,
П->оо ? П
и тем самым доказательство теоремы 2 закончено. В силу заме-
чаний, предшествующих предложению 5, закончено также до-
казательство теоремы 1.
Замечание. Одно из возможных обобщений теоремы 1 было
упомянуто в гл. III. Оно касается предела при п—»оо отно-
шений
PJTB>»]
Ро[Т>п] '
Переход от теоремы 1 к теореме (доказанной в [43]), утверждаю-
щей существование предела этих отношений при п—>оо для
любого конечного множества В, требует значительных усилий.
Как это можно понять из дискуссии в конце § 16, основная труд-
ность при этом связана с доказательством того, что для произ-
вольного возвратного случайного блуждания отношения Rn/Rin
ограничены. Эта трудность преодолена в [43] с помощью весьма
тонких оценок, связанных с функцией концентрации П. Леви
([56, § 16]).
Другие аспекты асимптотического поведения последователь-
ностей Rn, Un и Fn далеко не столь ясны и дают повод к раз-
ного рода предположениям. Так, Кестен ([42]) показал, что
каждое одномерное строго апериодическое возвратное случай-
ное блуждание, принадлежащее области притяжения симметрич-
ного устойчивого закона (т. е. удовлетворяющее условию
О < lim | 0 Г“ [1 — <р (0)] = Q < оо
е-»о
при некотором а, 1-<а^2) обладает тем свойством, что
п
lim -р— FkFn_k = 2.
“-»00 я
Он предположил, что соотношение (1) имеет место для любого
строго апериодического возвратного случайного блуждания. Это
предположение очевидным образом связано со случайными ве-
личинами
^момент k-ro возвращения в 0.
Равенство (1) означает просто, что отношение Po[T2=n]/Po[Tt=n]
стремится при п—>оо к 2, но из него следует также, что
для каждой пары г, s положительных целых чисел.
Задачи
1. Показать, что для одномерного апериодического возврат-
ного случайного блуждания, имеющего абсолютный момент по-
рядка 3 + д при некотором 6 > 0,. предел
lim [a(x)--Ul]
I X | ->0O L a j
существует и конечен. Верно ли это утверждение, если конечна
лишь дисперсия о2? (Для получения точного результата восполь-
зоваться задачей 2 гл. II.)
2. В этой и следующей задачах рассматривается одномерное
апериодическое случайное блуждание, характеристическая функ-
ция которого удовлетворяет условию
•0 < lim = Q < оо
е->о 10 |а
при некотором а, 1^а4^2. Показать, что все случайные блу*
ждания такого сорта возвратны. Доказать, что
lim PO[T_X<1J = 1/2,
|х |->оо
где Тх — момент первого попадания в х,
3. Продолжение. Показать, что
lim Р0[Тх<Т2х1 = 2о-2.
4. В качестве обобщения теоремы 32.2 показать, что для
произвольного строго апериодического возвратного случайного
блуждания на плоскости
lim 1.
П->оо ? П
5. В этой и следующей задачах рассматривается одномерное
апериодическое случайное блуждание со средним 0 и дисперсией
о2<оо. Используя предложение 32.3, показать, что отношения
RnIRzn ограничены по п. Затем, используя обсуждение в кон-
це гл. III, доказать, что при всех x<=R— В для каждого конеч-
ного множества В
lim рХ Гт^пГ = Lim Sb {х, у) = у Г lim gs(x, у) + lim gB (х, у)].
П-+ОС г0 1‘ z [у->+оо J
6. Используя результат задачи 5 и предложение 32.3, вычис-
лить прёдел
lim Уп Ро [Т{Х, -х} > п] = f (х),
П->оо
где х¥=0 — произвольная (отличная от начала координат) точка
из R. Показать, что или f(x)?=O при х=£0, или /(х)>0 при всех
х=#0, и охарактеризовать те случайные блуждания, для кото-
рых f (х) =0.
7. Расстояние в среднем квадратичном положения случайного
блуждания хп от начала координат при условии, что это случай-
ное блуждание до момента п не возвращается в начало коорди-
нат, равно
Dn = Ео[ |х„ |21 Т>п] = -Ь Ео[ |х„ |2; Т>п].
Предположим, что случайное блуждание собственно d-мерно с
нулевым вектором средних и вторым моментом т2= E0[|xi |2]<оо.
Доказать, что если d=l, то
Dn~2nm2 = 2Е0( |х„ |2] при /г->оо;
если же d 2, то
Dn~nm2 = Ео[ |х„|2] при и->оо.
Указание. Для получения этих асимптотических соотношений
вывести сначала тождество
Е0[[хга|2; Т>п] =Ro + R!+ ... п>1.
8. Доказать, что ядро потенциала А(х, у) возвратного слу-
чайного блуждания однозначно определяет переходную функ-
цию.
Указание. В духе задачи 13 гл. VI показать, что для каждого
подмножества B<=.R функция Пв(х, у) определяется ядром по-
тенциала А(х, у). Во всех случаях, за исключением случайного
блуждания непрерывного слева или справа, это следует из тео-
рем 11,1 и 30.2 (Но даже в этом исключительном случае А(х, у)
определяет Пв(х, у), согласно рассуждениям, предшествующим
теореме 30.2.) Наконец, пусть Вг=[х| \х|-Сг]. Показать, что
Р(х, л) = НтПв (х, у).
Г->оо
9. Логарифмическая емкость С (А) конечного множества
ДсзТ? для произвольного возвратного апериодического случай-
ного блуждания была определена в § 30 (стр. 427). Используя
утверждение (г) теоремы 30.2, С (А) можно интерпретировать
как разность размеров множества А и одной точки {0}, рассмат-
риваемых из бесконечности. Определим разность этих размеров,
рассматриваемых из точки х, формулой
С(Д; x) = g{0)(x, x)-gA(x, х).
Таким образом, мы характеризуем размер множества А, рассма-
триваемого из х, математическим ожиданием времени, проведен-
ного в х между двумя попаданиями в А. Доказать, что если
d—2 или если d=l и о2 = оо, то
С(Д)= lim С(Д; х),
|х|->оо
Если же d=l и о2<оо, то ситуация значительно сложнее.
10. Емкость можно охарактеризовать еще и как энергию,
рассеиваемую конечным множеством А (или как математическое
ожидание площади, заметенной множеством Д):
£„(Д)=2рЛтл<п].
x^R /
Выяснить, можно ли подходящим образом нормализовать
Еп(А) —Еп(В), чтобы аппроксимировать С (А] —С (В) для про-
извольного возвратного случайного блуждания.
Указание. Рассмотреть прежде всего асимптотические абе-
левы суммы и показать, что
оо Г оо " 2
2ПШ"М0})1~2Я/ С(Д) при f/l.
n=0 1_п=0
Здесь, как обычно, Вп = Ро[То>п]. Доказать, что
lim Е„ = с _ с
fc=0
4 . если только этот предел существует. Существование этого пре-
дела для произвольного возвратного случайного блуждания
остается открытым вопросом1).
/ 11 2). Используя свойства ядра потенциала а(х), доказать,
* что для -произвольного возвратного случайного блуждания ма-
тематическое ожидание числа различных точек, в которые оно
попадает между двумя последовательными возвращениями в
нуль, всегда бесконечно.
112. Доказать, что ядро потенциала произвольного двумер-
ного апериодического возвратного случайного блуждания удов-
летворяет условию
(i) lim а(х)=оо.
Ixl ->оо
13. Продолжение. Доказать, что если в одномерном случае
<у2<оо, то (i) также имеет место. Показать, что если о2=оо, то
I либо имеет место (i), либо
(ii)
либо
(iii)
lim а(х) — М<оо, lim а(х)=+оо,
Х->+оо оо
lim а(х) = М< оо,
Х->—оо
lim а(х) = +оо.
Х->+оо
Замечание. Точные критерии этой классификации до сих пор
неизвестны.
]) Недавно этот вопрос был положительно решен С. Портом.
2) Задачи 11—13 (а-также примечание 1) добавлены автором в русском
издании. — Прим. ред.
ЛИТЕРАТУРА
1. Альфорс (Ahlfors L. V.), Complex analysis, New York, 1953.
2. Бакстер (Baxter G.), An analytic approach to finite fluctuation pro-
blems in probability, /. d’Analyse Math., 9 (1961), 31—70.
3. Бакстер (Baxter G.)\ A norm inequality for a «finite-section»
Wiener-Hopf equation, III. J. Math., 7 (1963), 97—103.
4. Блекуэл (Blackwell D^), Extension of a renewal theorem, Pacific
J. Math., 3 (1953), 315—320.
5. Борель (Borel E.), Les probabilites denombrables et leurs applica-
tions arithmetiques, Rend. Circ. Mat. Palermo, 27 (1909), 247—271.
6. Бохнер (Bochner S.), Lectures on Fourier integrals, Princeton Uni-
versity Press, Princeton, N. J., 1959. [Русский перевод: Бохнер С.,
Лекции об интегралах Фурье, Физматгиз, М., 1962.]
7. Брело (В relot М.), Elements de la theorie classique du potentieL
Les cours de Sorbonne, Paris, 1959. [Русский перевод: Брело M., Осно-
вы классической теории потенциала, «Мир», М., 1964.]
8. Ван дер Варден (Waerden В. L. van de г), Algebra II, 4th
ed., J. Springer, Berlin, 1959. [Русский перевод 2-го изд.: Ван дер Вар-
де н Б. Л., Современная алгебра, ч. 1 и 2, Гостехиздат, 1947.]
9. Ватанабе (Watanabe Т.), On the theory of Martin boundaries
induced by countable Markov processes, Mem. Coll. Science, University
Kyoto, Series A, 33 (1960), 39—108.
10. Ватанабе (Watanabe T.), Probabilistic methods in Hausdorff mo-
ment problem and Laplace-Stieltjes transform, J. Math. Soc. of Japan, 12
(1960), 192—206.
11. Ватанабе (Watanabe T.)\ On a theorem of F. L. Spitzer and
C. J. Stone, Proc. Japan Academy, 37 (1961), 346—351.
12. Ватсон (Watson G. N.), A treatise on the theory of Bessel func-
tions, 2nd ed., Cambridge University Press, 1944. [Русский перевод:
Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, ИЛ, М., 1949.]
13. Ватсон (Watson G. N.), Three triple integrals, Oxford Qu. J. of
Math., 10 (1939), 266—276.
14. Гёфдинг (Hoeffding W.), On sequences of sums of independent
random vectors, Fourth Berkeley Symp. on Statistics and Probability,
vol. II, 1961, 213—226.
15. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, «Наука», М., 1965.
16. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения
для сумм независимых случайных величин, ГИТТЛ, М. — Л., 1949.
17. Гренандер, Сегё (Grenander U., Szego G.), Toeplitz forms
and their applications, University of California Press, Berkeley, 1958.
[Русский перевод: Гренандер У., Сегё Г., Теплицевы формы и их
приложения, ИЛ, М., 1961.]
18. Дадли (Dudley R. М.), Random walk on Abelian groups, Proc*
Am. Math. Soc., 13 (1962), 447—450.
19. Дарлинг (Darling D. A.), The maximum of sums of stable random
variables, Trans. Am. Math. Soc., 83 (1956), 164—169.
20. Дарлинг, Кац (Darling D. А., Кас M.), On occupation times
for Markoff processes, Trans. Am. Math. Soc., 84 (1957), 444—458.
21. Дворецкий, Эрдёш (Dvoretzky A., Erdos P.), Some prob-
lems on random walk in space, Second Berkeley Symp. on Statistics and
Probability, 1951, 353—368.
22. Дерм ан (D e r m a n C.), A solution to a set of fundamental equations
in Markov chains, Proc. Am. Math. Soc., 5 (1954), 332—334.
23. Донскер (Donsker M.), An invariance principle for certain proba-
bility limit theorems, Mem. Am. Math. Soc., 6 (1951).
24. Дуб (Doob J. L.), Stochastic processes, New York, 1953. [Русский пе-
ревод: Дуб Дж. Л., Вероятностные процессы, ИЛ, М., 1956.]
25. Д у б (Doob J. L.), Discrete potential theory and boundaries, J. Math,
and Meeh., 8 (1959), 433—458.
26. Дуб, Снелл, Уильямсон (Doob J. L., Snell J. L., William-
son R. E.), Application of boundary theory to sums of independent ran-
dom variables, Contr. to Probability and Statistics (Hotelling Anniver-
sary Volume), Stanford University Press, 1960, 182—197.
27. Зигмунд (Zygmund A.), Trigonometric series, I, II, Cambridge
University Press, 1959. [Русский перевод: Зигмунд А., Тригонометри-
ческие ряды, т. I и II, «Мир», М., 1965.]
28. Ито, Маккин (116 К., McKean Н. Р., Jr.), Potentials and the
random walk, III. J. Math., 4 (1960), 119—132.
29. Ито, Маккин (116 K., McKean H. P., Jr.), Diffusion processes
and their sample paths, J. Springer, Berlin, 1965. [Русский перевод:
Ито К., Маккин Г., Диффузионные процессы и их траектории, «Мир»,
М., 1968.]
30. К а р л и н (Karlin S.), On the renewal equation, Pacific J. Math., 5
(1955), 229—257.
31. Катц (Katz M.), The probability in the tail of a distribution, Ann.
Math. Stat., 34 (1963), 312—318.
32. Кац (Кас M.), Random walk and the theory of Brownian motion, Am.
Math. Monthly, 54 (1947), 369—391.
33. К а ц (Кас M.), Toeplitz matrices, translation kernels, and a related
problem in probability theory, Duke Math. J., 21 (1954), 501—510.
34. Кац (Кас M.), A class of limit theorems, Trans. Am. Math. Soc., 84
(1957), 459—471.
35. К а ц (К a с M.), Probability and related topics in physical sciences,
New York, 1959. [Русский перевод: Кац M., Вероятность и смежные
вопросы в физике, «Мир», М., 1965.]
36. Келлог (Kellogg О. D.), Foundations of potential theory, Dover
Publications, Inc., New York, 1953.
37. Кеменй, Снелл (Kemen'y J. G., Snell J. L.), A note on Markov
chain potentials, Ann. Math. Stat., 32 (1961), 709—715.
38. Кеменй, Снелл (Kemeny J. G., Snell J. L.), Boundary theory
for recurrent Markov chains, Trans. Am. Math. Soc., 106 (1963), 495—
520.
39. Кемперман (Kemperman J. H. B.), The passage problem for a
stationary Markov chain, University of Chicago Press, Chicago, 1961.
40. Кестен (Kesten H.), On a theorem of Spitzer and Stone and random
walks with absorbing barriers, III. J. Math., 5 (1961), 246—266.
41. Кестен (Kesten H.), Random walks with absorbing barriers and
Toeplitz forms, III. J. Math., 5 (1961), 267—290.
42. Кестен (Kesten H.), Ratio theorems for random walk 11, Journal
d’Analyse Math., 9 (1963), 323—379.
43. Кестен, Спицер (Kesten Н., Spitzer F.), Ratio theorems for
random walk, Journal d’Analyse Math., 9 (1963)\ 285—322.
44. Кёниг (Konig H.), Neuer Beweis eines klassischen Tauber-Satzes,
Archiv der Math., 9 (1960), 278—281.
45. Кингман, Op ей (Kingman J. F. С., О re у S.)> Ratio limit theo-
rems for Markov chains, Proc. Am. Math. Soc., 15 (1964), 907—910.
46. Кифер, Вольфовиц (Kiefer J., Wolfowitz J.), On the cha-
racteristics of the general queueing process with applications to random
walk, Ann. Math. Stat., 27 (1956), 147—161.
47. Кокс, Смит (Cox D. R., Smith W. L.), Queues, London, 1961.
[Русский перевод: Кокс Д., Смит У., Теория очередей, «Мир», М., 1966.J
48. Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, М. — Л.,
1936. [Впервые на немецком языке: Kolmogorov A. N., Grundbegriffe
der Wahrscheinlichkeitsrechnung, J. Springer, Berlin, 1933.]
49. К о л м о г о p о в A. H., Anfangsgriinde der Theorie der Markoffschen
Ketten mit unendlich vielen moglichen Zustanden, Мат. сборник, новая
серия, 1 (1936), 607—610.
50. Кохен, Стоун (Kochen S. В., Stone С. J.), A note on the Borel-
Cantelli lemma, 111. J. Math., 8 (1964); 248—251.
51. Крамер (Cramer H.), Mathematical methods of statistics, Princeton,
N. J., 1946. [Русский перевод: Крамер Г., Математические методы ста-
тистики, ИЛ, М.,_ 1948.]
52. К р е й н М. Г., Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зави-
сящим от разности аргументов, У МН, 13, вып. 5 (1958), 3—121.
53. Курант, Гильберт (Courant R., Hilbert D.), Methods of
mathematical physics, v. I, II, Interscience Publishers, Inc., New York,
1953 and 1962. [Русский перевод 1-го изд.: Курант Р., Гильберт Д.,
Методы математической физики, т. 1 и 2, ГИТТЛ, М. — Л., 1951; 2-го изд.
т. II: Курант Р., Уравнения с частными производными, «Мир», 1964.]
54. Курант, Фридрихе, Леви (Courant R., Friedrichs К.,
Lewy Н.), Ober die partiellen Differenzengleichungen der mathemati-
schen Physik, Math. Ann., 100 (1928), 32—74. [Русский перевод: Ку-
рант P., Фридрихе К., Леви Г., О разностных уравнениях мате-
матической физики, У МН, 8 (1941), 125—160.]
55. Ламперт и (Lamperti J.), Wiener’s test and Markov chains, /.
Math. An. and Appl., 6 (1963), 58—66.
56. Леви (Levy P.), Theorie de 1’addition des variables aleatoires, Paris,
1937.
57. Леви (Levy P.), Processus stochastiques et mouvement Brownien,
Paris, 1948.
58. Лоэв (Loeve M.), Probability theory, 3rd ed., Princeton, N. J., 1963.
[Русский перевод 2-го изд.: Лоэв М., Теория вероятностей, ИЛ, 1962.]
59. Л юмис (Loomis L. Н.), An introduction to abstract harmonic analy-
sis, Princeton, N. J., 1953. [Русский перевод: Люмис Л., Введение в
абстрактный гармонический анализ, ИЛ, М., 1956.]
60. Маккин (McKean Н. Р., Jr.), A problem about prime numbers and
the random walk I, III. J. Math., 5 (1961), 131.
61. Макк ри, Уиппл (McCrea W. H., Whipple F. J. W.), Random
paths in two and three dimensions, Proc. Royal Soc. Edinburgh, 60 (1940),
281—298.
62. Манро (Munroe M. E.), Introduction to measure and integration,
Mass., 1953.
63. Мартин (Martin R. S.), Minimal positive harmonic functions, Trans.
Am. Math. Soc., 49 (1941), 137—172.
64. Неванлинна (Nevanlinna R. H.), Eindeutige analytische Funk-
tionen, 2nd ed., J. Springer, Berlin, 1953. [Русский перевод первого изда-
ния: Н е в а н л и н на Р., Однозначные аналитические функции, Гостехиз-
дат, М. — Л., 1941.]
65. О р е й (О г е у S.), Potential kernels for recurrent Markov chains, J. Math,
Anal, and Appl., 8 (1964), 104—132.
66. Пой a (Polya G.), Uber eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
betreffend die Irrfahrt im Strassennetz, Math. Ann., 84 (1921), 149—160.
67. Поллячек (Pollaczek F.), Uber eine Aufgabe der Wahrscheinlich-
keitstheorie I—II, Math. Zeitschrift, 32 (1930), 64—100, 729—750.
68. Пэли, Винер (Paley R. E. A. C., Wiener N.), Fourier transforms
in the complex domain, Am. Math Soc. Coll. Publ., v. XIX, 1934. [Русский
перевод: Пэли P., Винер H., Преобразование Фурье в комплексной
области, «Наука», М., 1964.]
69. Реньи (Renyi A.), Wahrscheinlichkeitsrechnung, D. V. d. Wissen-
schaften, Berlin, 1962.
70. Реньи (Renyi A.), Legendre polynomials and probability theory, Ann.
Univ. Sc. Budapestiniensis, III—IV (1960—61), 247—251.
71. Рисе (Riesz F.), Sur les fonctions surharmoniques et leur rapport
a la theorie du potentiel 2, Acta Math., 54 (1930).
72. P и с с, Секефальви-Надь (Riesz F., S z. - N a g у В.), Lemons
d’analyse fonctionelle, Kiadd, Budapest, 1952. [Русский перевод: Рисе Ф.,
Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, ИЛ,.
М., 1954.]
73. Розен (Rosen В.), On the asymptotic distribution of sums of indepen-
dent identically distributed random variables, Arkiv for Mat., 4 (1962),
323—332.
74. Cere (Szego G.), Beitrage zur Theorie der Toeplitzschen Formen, I,
II, Math. Zeitschrift, 6 (1920), 167—202; 9 (1921), 167-И90.
75. Смит (Smith W. L.), A frequency function form of the central limit
theorem, Proc. Cambridge Phil. Soc., 49 (1953), 462—472.
76. Смит (Smith W. L.), Renewal theory and its ramifications, J. Royal
Stat. Soc., Series B, 20 (1958), 243—302. [Русский перевод: Смит В. Л.,
Теория восстановления и смежные с ней вопросы, сб. Математика, 5: 3
(1961), 95—100].
77. Спарре-Андерсен (S parre Andersen Е.), On the fluctuations
of sums of random variables, Math. Scand., 1 (1953), 263—285; 2 (1954),
195—223.
78. С п и ц e p (Spitzer F. L.), A combinatorial lemma and its application
to probability theory, Trans. Am. Math. Soc., 82 (1956), 323—339. [Рус-
ский перевод: С п и ц e p Ф., Комбинаторная лемма и ее приложения к
теории вероятностей, сб. Математика, 8:4 (1964), 135—150.]
79. Спицер (Spitzer F. L.), Recurrent random walk and logarithmic
potential, Fourth Berkeley Symp. on Statistics and Probability, vol. II,
1961, 515—534.
80. Спицер (Spitler F. L.), Hitting probabilities, J. Math, and Meeh..
11 (1962), 593—614.
81. Спицер, Стоун (Spitzer F. L., Stone C. J.), A class of Toeplitz
forms and their application to probability theory, 111. J. Math., 4 (I960),
253—277.
82. Текклинд (Tacklind S.), Sur le risque de ruine dans des jeux
inequitables, Skand. Aktuarietidskrift, 25 (1942), 1—42.
83. Тесельский, Тейлор (Ciesielski Z., Taylor J.), First passage-
times and sojourn times for Brownian motion in space and exact Haus-
dorff measure of the sample path, Trans. Am. Math. Soc., 103 (1962),
434—450.
84. Уидом (Widom H.), Toeplitz matrices, Math. Assoc, of America Stu-
dies in Mathematics, vol. 3 (в печати),
85. Фей ер (Fejer L.), Ober trigonometrische Polynome, J.f.d. reine u.
angew. Math., 146 (1915), 53—82.
86. Ф e л л e p (Feller W.), An introduction to probability theory and its
applications, vol. I, 2nd ed., 1957, Vol. II, 1966. [Русский перевод: Фел-
лер В., Введение, в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1, т. 2,
«Мир», М., 1967.]
87. Феллер, Ор ей (Feller W., Оге у S.), A renewal theorem, Л Math,
and Meeh., 10 (1961), 619—624.
88. Фишер, Сайкс (Fisher М. Е., Sykes М. F.), Excluded volume
problem and the Ising model of ferromagnetism, Phys. Rev., 114 (1959),
45—58.
89. Халмош (Halmos P. R.), Measure theory, Princeton, N. J., 1950.
[Русский перевод: Халмош П., Теория меры, ИЛ, М., 1953.]
90. Халмош (Halmos Р. R.), Finite-dimensional vector spaces, Princeton,
N. J., 1958. [Русский перевод: Х'алмош П. Конечномерные векторные
пространства, Физматгиз, М., 1963.]
91. Хант (Hunt G. A.), Some theorems on Brownian motion, Trans. Am.
Math. Soc., 81 (1956), 294—319.
92. Хант (Hunt G. A.), Markoff chains and Martin boundaries, III. J. Math.,
4 (1960), 313—340. [Русский перевод: Хант Г. А., Цепи Маркова и гра-
ницы Мартина, сб. Математика, 5:5 (1961), 121—149.]
93. Харди (Hardy G. Н.), Divergent series, Oxford, England, 1949. [Рус-
ский перевод: Харди Г., Расходящиеся ряды, ИЛ, М., 1951.]
94. X а р р и с (Harris Т. Е.), Branching processes, J. Springer, Berlin
1963. [Русский перевод: Харрис Т., Теория ветвящихся случайных про-
цессов, «Мир», М.., 1966.]
95. Хаусдорф (Hausdorff F.) Summationsmethoden und Momentfol-
gen, I, II, Math. Zeitschrift, 9 (1921), 74—109; 280—299.
96. X и н ч и н А. Sur la loi des grands nombres, Comptes Rendus Ac. Sci.
Paris, 188 (1929), 477—479.
97. Хьюитт, Сэвидж (Hewitt E., Savage L. J.), Symmetric measu-
res on Cartesian products, Trans. Am. Math. Soc., 80 (1955), 470—501.
98. Чжун Кай-лай (Chung К. L.), Markov chains with stationary tran-
sition probabilities, J. Springer, Berlin, 1960. [Русский перевод: Чжун
Кай-лай, Однородные цепи Маркова, «Мир», М., 1964.]
99. Чжун Кай-лай (Chung К. L.), On the renewal theorem in higher
dimensions, Skand. Aktuarietidskrift, 35 (1952), 188-194.
100. Чжун Кай-лай, Орнштейн (Chung К. L., Ornstein D.), On
the recurrence of sums of random variables, Bull. Am. Math. Soc., 68
(1962), 30—32.
101. Чжун Кай-лай, Фукс (Chung К. L., Fuchs W. H. J.), On the
distribution of values of sums of random variables, Mem. Am. Math. Soc.,
6 (1951).
102. Чжун Кай-лай, Эрдёш (Chung К. L., Erdos P.), Probability
limit theorems assuming only the first moment, Mem. Am. Math. Soc.,
6 (1951).
103. Шоке, Дени (Choquet G., Deny J.), Sur 1‘equation pt=p,*o, Comp-
tes Rendus Ac. Sc. Paris, 250 (1960), 799—801.
104. Штёр (Stohr A.), Uber einige lineare partielle Differenzengleichungen
mit konstanten Koeffizienten, I, II and III, Math. Nachr., 3 (1949—50),
208—242; 295—315; 330—357.
105. Эрдёш (Erdos P.J, A problem about prime numbers and the random
walk II, III. J. Math.. 5 (1961), 352—353.
_106. Эрдёш, Кац (Erdos P., Кас M.), On certain limit theorems of the
theory of probability, Bull. Am. Math. Soc., 52 (1946), 292—302.
Бакстер (Baxter G.) 208, 261, 316
Башелье (Bachelier L.) 315
Бернштейн С. Н. 62
Блекуэл (Blackwell D.) 232, 329, 332
Борель (Borel Е.) 47
Ван дер Поль (Van der Pol В.) 156
Ватанабе (Watanabe Т.) 317, 382, 391
Ватсон (Watson G. N.) 129
Винер (Wiener N.) 373
Вольфовиц (Wolfowitz J.) 163, 248
Гёфдинг (Hoeffding W.) 401 \
Гильберт (Hilbert D.). 284
Гнеденко Б. В. 97
Дадли (Dudley R. М.) 120
Дарлинг (Darling D. А.) 273, 274
Дворецкий (Dvoretzky А.) 54
Дени (Deny J.) 322
Дерман (Derman С.) 139
Дуб (Doob J. L.) 228, 348, 382
Зигмунд (Zygmund A.J 73
Ито (Ito К.) 206, 369, 374, 397
Катц (Katz М.) 274
Кац (Кас М.) 190, 205, 273, 274, 279,
315, 318
Кемени (Kemeny J. G.) 149, 401
Кемперман (Kemperman J. Н. В.)
208 221 275
Кестен (Kesten Н.) 56, 197, 299, 300,
389, 440, 453
Кёниг (Konig Н.) 266
Кифер (Kiefer J.) 248
Колмогоров А. Н. 38, 47, 56, 125
Крейн М. Г. 251
Курант (Courant R.) 284, 302
Лагранж (Lagrange J. L.) 276
Ламперти (Lamperti J.) 370
Леви Г. (Lewy Н.) 302
Леви П. (Levy Р.) 83, 206, 259, 453
Лоэв (Loeve М.) 308
Люмис (Loomis L. Н.) 116
Маккин (McKean Н. Р., Jr.) 206,
369, 374, 397
Маккри (McCrea W. Н.) 181, 182, 18$
Мартин (Martin R. S.) 382
Ней (Ney Р.) 398
Орей (Orey S.) 63, 337, 401
Орнштейн (Ornstein D.) 37
Пойа (Polia G.) 70
Поллард (Pollard Н.) 125
Поллячек (Pollaczek F.) 208
Порт (Port S. С.) 457
Реньи (Renyi А.) 265, 278, 279
Рисе (Riesz F.) 284, 378
Розен (Rosen В.) 237
Рэлей (Rayleigh) 130
Сеге (Szego G.) 290
Секефальви-Надь (Sz.-Nagy В.) 284
Смит (Smith W. L.) 101
Снелл (Snell J. L.) 149, 401
Спарре-Андерсен (Sparre Ander-
sen Е.) 259
Сэвидж (Savage L. J.) 348
Тейлор (Taylor J.) 364
Текклинд (Tacklind S.) 258, 278
Тесельский (Ciesielski Z.) 364
Уидом (Widom Н.) 251
Уиппл (Whipple F. J. W.) 181, 182,..
185
Уитман (Whitman W.) 56,. 72
Фейер (Fejer L.) 217
Феллер (Feller W) 32, 56, 121, 12$.,
232, 256, 265, 266, 269, 279, 337
Фридрихе (Fridrichs К.) 302
Фукс (Fuchs W. Н. J.) 104, 105
Халмош (Halmos Р: R.) 107, 348
Хант (Hunt G. А.) 190, 382, 391
Харди (Hardy G. Н.) 266
Хаусдорф (Hausdorff Р.) 395
Хинчин А. Я. 36
Хьюитт (Hewitt Е.) 348
Чжун Кай-лай (Chung К. L.) 37, 57,
104, 105, 125, 337, 358, 376
Шоке (Choquet G.) 322
Штёр (Stohr А.) 160
Эрдёш (Erdos Р.) 54, 57, 125, 274,
315
> Эсшер (Esscher F.) 256
}
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелевы группы 115, 327
-----характеры 113
— теоремы 236, 238, 266, 442
Апериодическое блуждание 34, 84, 88,
91, 95
-----возвратное 34, 35, 139
-------двумерное 140
----------симметричное 204, 206
----- невозвратное 35, 122
-----строго 34, 59, 96, 97, 101
Арксинуса закон 268, 270, 302
Асимптотическое поведение переход-
ной функции 92
----------простого блуждания 100
-----распределения точки достиже-
ния 342, 364, 419
-----функции Грина 337, 358, 359,
419
-----ядра потенциала 151, 411, 418,
454, 457
Безобидная игра 297
----- разорительная 269
Бернулли испытания 15
Бер нуллневское блуждание 14, 15, 21,
25, 35, 49
-----производящая функция 21
-----регулярные функции 160
-----функция Грина 23
----- экспоненциальная оценка 62,
447, 449
Бернштейна экспоненциальная оценка
62, 65
Бесселя неравенство 76, 121
— функции 130, 278
Биортогональная система полиномов
316
Биркгофа эргодическая теорема 54,
72
Благоприятная игра 258, 259
Блуждающее множество 56
-----заметенная площадь 399, 456
Бореля — Кантелли лемма 370
Броуновское движение 56, 206, 259,.
315, 364, 373
Бэта-функция 300
Вальда лемма 228
Вейерштрасса теорема 318
Векторный модуль 85
Векторы с целочисленными координа-
тами 13, 85
Вероятностная мера (первого) до-
стижения 140, 165
Вероятностное пространство 38
Вероятность достижения 339, 343
— невозвращения 339, 343
Весовая функция 292
Ветвящийся процесс 277
Винера критерий 373, 375, 376
Винера — Хопфа уравнение 251, 382,
388, 399
Вложенное блуждание 301
Внешние (внутренние) ряды Фурье
213, 260
-----функции 213
Внешность интервала 280
-----время достижения 284, 285, 307
—- входные вероятности 280
-----поглощение для блуждания
простого 279
------------- с |х=0, о2<оо287
-----функция Грина 280, 293, 303
Внешняя (внутренняя) задача Ди-
рихле 164, 188, 207, 209, 301
Внутренние (см. внешние)
Возвратное блуждание 20, 31, 33, 35,
38, 46
-----апериодическое 34, 35, 139
-----—* двумерное (см. двумерное
блуждание)
-----емкость логарифмического ти-
па 427
-----потенциал 177
-------порожденный зарядом 177
Возвратное блуждание принцип ми-
нимума потенциала 177, 434
-----равновесный заряд 177, 438
-----равновесный потенциал 177
-----существование ядра потенциа-
ла 401, 410
-----функция Грина 165
— множество 321, 346, 350
----- критерий 369
-----характеризация 369, 375
— ядро (см. ядро возвратное)
Возвратности критерий 38, 48, 104,
105, 107
Воспроизводящее ядро 293
Восстановления теорема 125, 130, 239,
241, 329, 332, 335, 417, 418
Вполне непрерывный оператор 284,
368
Время выхода из единичного шара
364
— достижения 44, 132
-----внешности интервала 284, 285,
307
— —• конечного множества 453, 455
-----полупрямой 225, 227, 232
-----точки 439, 454
— пребывания 273, 300, 306
-----в единичном шаре 364
-------случайном подмножестве 72
----- на полупрямой 272
Входные вероятности (см. распреде-
ление точки достижения)
Выпуклое тело 398
Гармонические полиномы простого
блуждания 160
— функции 158
-----случайного блуждания 160
Гаусса плотность 101
— теорема о среднем значении 367
Геометрическое блуждание 274, 316
— распределение 137
Гильбертово пространство 291
Главные идеалы 85
Грама — Шмидта процесс ортогона-
лизации 291
Грина теорема 102
- функция (см. функция Грина)
Громоотвода принцип 352
Двумерное блуждание 94
-----апериодическое симметричное
173
—- — возвратное 140, 141, 174
-------апериодическое 140
—----------симметричное 204, 206
Двумерное блуждание простое (см.
простое блуждание)
Диагонализация 279
Диагональный процесс Кантора 323,
386, 406
Диагональ, положение и момент ее
достижения 113
Дирихле задача 164
----внутренняя (внешняя) 164, 188,
207, 209, 301
Дисперсия 36
Доля посещаемых точек 317
Достижения вероятность 339, 343
Емкостный (равновесный) потенциал
невозвратного блуждания 351
Емкость 177
— бесконечного множества 356
— конечного множества 57, 351
— логарифмического типа (возврат-
ного блуждания) 427
— невозвратного блуждания 351, 399
----множества 354
— неравенство для 355
— одноточечного множества 57
— шара для простого блуждания 397
— электростатическая 57
Задача о красных и зеленых точках
71, 317
---- разорении игрока 258
----электрических лампочках 118,
129
Закон больших чисел 36
-------- для размаха 51
--------усиленный 38, 47
---------- для размаха 54
— 0 или 1 Колмогорова 56
----------Хьюитта и Сэвиджа 348
Запасов хранение 208
Идеал 85
Измеримая функция 39
Изоморфизм 85
Изотропное блуждание 359
Инвариантности принцип 315
Интеграл от простой функции 39
Интегральные суммы Римана 112,268,
306, 313
Интегрируемая функция 39
Кантора диагональный процесс 323,
386, 406
Карамата теорема 266, 269, 444
Кардинальное число 51
Каталана постоянная 153
Квадратичная форма 90, 97
----вторых моментов 81
----собственные значения 90
Кестене предположение 453
Классы смежности 61
Ковариационная матрица 103, 359
Колмогорова закон 0 или 1 56
Кольцо главных идеалов 85
Комбинаторные методы 208
Конечное множество, время достиже-
ния 453, 455
----входные вероятности 425
----емкость 57, 351
----функция Грина 171, 173
Коши распределение 188
Критерий возвратности 38, 48, 104,
105, 107
----множества 369
Кронекера лемма 298
Лапласа оператор 102, 191
— преобразование 319
— уравнение 156, 157, 301 ч
Лебега интеграл 40
— мера 74
Лебега — Стильтьеса интеграл 392
— теорема о мажорированной сходи-
мости 40, 78, 150, 235
Леви теорема непрерывности 83, 188
— функция концентрации 453
Лежандра полиномы 278
Лестничные величины .232, 332, 408,
417
Линейно независимые векторы 86, 91
Лиувилля теорема 158, 214
Логарифмический потенциал (см. по-
тенциал)
Мажорированная сходимость 32, 78,
82, 96, 127, 143, 321, 323, 357, 358
Максимум частных сумм 244, 245,
249, 314
-------моменты 248
Максимума модуля принцип 214
— принцип для невозвратного ядра
380
------- потенциала невозвратного
блуждания 352, 375, 380
Мартина граница 382
Мартингал 47, 228
Математическое ожидание 41
Матрица ковариаций 103, 359
Мерсера теорема 284, 313, 368
Минимальное решение уравнения Пу-
ассона 345
Минимума принцип 319
Минимума принцип для потенциала-
возвратного, блуждания 177, 434
Минковского лемма 90
Миттаг-Лефлера распределение 273
Модуль 85
Момент остановки 44, 45, 131
— (первого) достижения 132, 133
Моментов метод 275, 308, 365
— проблема 308, 383, 395
Морера теорема 214
Невозвратное блуждание 20, 30, 46
-----апериодическое 35, 122
-----емкостный (равновесный) по-
тенциал 351
-----емкость 351, 399
-----потенциал, порожденный заря-
дом 167, 352
-----принцип максимума потенциа-
ла 352, 375, 380
----- равновесный заряд 351
----- функция Грина 320
— множество 321, 346, 350
----- бесконечное 396
-----емкость 354
-----трехмерного блуждания 369,
375
----- характеризация 375
— ядро (см. ядро)
Невозвращения вероятность 339, 343'
Независимость измеримых функций
40, 41
— случайных величин 40, 41
Непрерывное справа (слева) блуж-
дание 35, 49, 221, 231, 268, 276, 337,.
421, 423, 433
Нормальное распределение 72, 83
Ньютонов потенциал (см. потенциал)
Образов метод 185
Обращение ядра потенциала 149, 425*
Обращенное блуждание 141, 174, 175,
194
Одномерное блуждание 36—38
-----положительное 125
Оператор интегрирования 43
Операторы «+» и «—» 261
Ортогональность показательных функ-
ций 74
— характеров 117
Ортогональные полиномы 290
— собственные функции 284
Отношений теорема сильная 57, 63*
67
-----слабая 23, 57
Отражения принцип 185
Ларсеваля теорема 74, 75
— тождество 76, 121 ,
— формула 220
Первый момент случайного блужда-
ния 36
Перестановка координат 348
Переходная функция 13, 14
-----асимптотическое поведение (см.
асимптотическое поведение)
-----симметричная 94
Переходной оператор 16, 33, 141
-----сужение 147
Периодическое блуждание 34
Периодичность '28, 84
Площадь, заметенная блуждающим
множеством 399, 456
Поглощение вне интервала (см.
внешность интервала)
Подгруппа 28, 85, 396
Пойа теорема 70
Положительное одномерное блужда-
ние 125
Положительность ядра потенциала
146, 421
Полугруппа 29, 32
Полупрямая, время достижения 225,
227, 232
-----пребывания 272
-----входные вероятности 208, 232
— функция Грина (см. функция Гри-
на) '
Потенциал внутри шарового слоя 367
— возвратного блуждания 177
-------логарифмического типа 178,
435, 438
-------принцип минимума 177, 434
— невозвратного блуждания 352
-------емкостной (равновесный)
351
-------принцип максимума 352, 375,
380
-----ядра 377
— порожденный зарядом 167—168,
352
-------возвратного блуждания 177
------- невозвратного ядра 377
Принцип максимума модуля 214
Проектор 261
Производящая функция 15
Простая функция 39
Простое блуждание 14, 25, 27, 70, 100
-----асимптотическое поведение пе-
реходной функции 100
-----входные вероятности полупло-
скости 186
---------- треугольника 206
Простое блуждание гармонические по-
линомы 160
----двумерное 112, 128, 152, 179,
199, 201, 206, 207, 301, 437
------- ядро потенциала 179
----емкость шара 397
----поглощение вне интервала 279
---- представление Фейера 217
----регулярные функции 327, 397
----собственнее значения 281
----трехмерное 129, 359
---- функция Грина полупрямой
184
----число положительных частных
сумм 264
---- ядро потенциала 411
Пространственная однородность 13,
17
Пространство состояний случайного
блуждания 13, 40
Пуассона сложный процесс 278
— уравнение 166, 174, 175, 343, 428
----минимальное решение 345
—‘ ядро 220
Равновесный заряд возвратного блу-
ждания 177, 438
----невозвратного блуждания 351
— потенциал возвратного блуждания
' 177
----невозвратного блуждания 351
Разложение по собственным функци-
ям 284, 367
Размах 51, 71, 400
— закон больших чисел 51
----------усиленный 38, 47
Разностное уравнение 22, 23, 281, 302
Разностный оператор второго поряд-
ка’ 57, 279, 283
Разорение игрока 258
Распределение заряда 167, 352
— геометрическое 137
— Коши 188
— Миттаг-Лефлера 273
— нормальное 72, 83
— точки достижения 140, 165
--------асимптотическое поведение
342, 364, 419
--------внешности интервала 280
--------конечного множества 425
-------- первого квадранта простым
блужданием 206
--------полуплоскости простым блу-
жданием 186
—-------полупрямой 208, 232
Распределение точки достижения тре-
угольника простым блужданием
206
Регулярные функции 159, 163, 322,
344
-----бернуллиевского блуждания 160
----- интегральное представление
394, 398
-----минимальные 397
-----невозвратного ядра 377
-----несуществование 384
-----простого блуждания 327, 397
-----трехмерного блуждания 387
-----экспоненциальные 397
Римана интегральные суммы 112, 268,
306, 313
Римана — Лебега лемма 74, 108, 120,
152, 154, 156, 415
Рисса разложение эксцессивных функ-
ций 378, 381, 387, 394, 432, 434
Робина постоянная 178
Руше теорема 222 z
Самопересечение 131, 201
Свертка 36
Сингулярные точки 373
Скалярное произведение 291
Слабая сходимость функций распре-
деления 83 "
Случайное блуждание 13, 14
-----апериодическое (см. апериоди-
ческое блуждание)
-----без самопересечений 131, 201
-----бернуллиевское (см. бернулли-
евское блуждание)
-----вложенное 301
----- возвратное (см. возвратное
блуждание)
----- в прямоугольнике 315
-----геометрическое 274, 316
----- двумерное (см. двумерное блу-
ждание)
-----d-мерное 14
—-------собственно 93, 105
-----изотропное 359
-----исходящее из точки х 44
-----на рациональных числах 120
— — невозвратное (см. невозвратное
блуждание)
----- непрерывное слева (справа)
(см. непрерывное справа (слева)
блуждание)
-----обращенное 141, 174, 175, 194
•----одномерное 36—38
* * — — положительное 125
Случайное блуждание определяется
функцией Грина 399
--------ядром потенциала 424, 455
----первый момент 36
----периодическое 34
----поведение в зависимости от
времени 191
----простое (см. простое блужда-
ние)
----симметричное 111, 217, 229, 242,
264, 265, 273
— — собственно d-мерное 93, 105
----строго апериодическое 34, 59,
96, 97, 101
----типа I и II 402
----трехмерное (см. трехмерное
блуждание)
— перемещение 130
Случайные величины 36, 41
Собственные значения квадратичной
формы 90
— функции 284
----полная ортонормальная систе-
ма 368
----разложение по ним 284, 367
Спектральная теорема 282, 289
Среднее время возвращения 125, 126
— для случайного блуждания 36
Стационарный в узком смысле про-
цесс 72
Стирлинга формула 26, 70, 200, 236,
392
Сужение переходного оператора 147
Супергармонические функции 377
Сферически симметричные функции
130, 367
Сходимость по мере 51, 72
— почти всюду 39, 71
— с вероятностью единица 39, 72
Счетно-аддитивная вероятностная ме-
ра 38
Тауберова теорема 236, 274
Теория ньютонова и логарифмическо-
го потенциала 157, 176, 351
— очередей 208, 276
— потенциала 56, 134
Транспортные потоки 208
Треугольная решетка 86
Трехмерное блуждание, невозвратные
множества 369, 375
----регулярные функции 387
----простое (см. простое блужда-
ние)
----функция Грина 101, 359
Тэта-функция 319
Устойчивый закон 453
----область притяжения 453
Факторизация 216
Фату лемма 107
----для сумм 168
Фейера представление 217
----для простого блуждания 218
Флуктуации 259
Фубини теорема 40, 42
Фундаментальный параллелограмм 89
----объем 89, 90
Функция Грина 165
---- асимптотическое поведение 337,
358, 359, 419
----бернуллиевского блуждания 23
----внешности интервала 280, 293,
303
---- задачи Дирихле 165
----конечного множества 171, 173
----невозвратного блуждания 320
----определяет случайное блужда-
ние 399
---- первого квадранта простого
блуждания 188
----полупрямой 243, 248, 293, 382,
388
-------простого блуждания 184
----трехмерного блуждания 101,
359
— распределения 83
---- слабая сходимость 83
Фурье преобразование 83
— ряд 73, 213
----внешний (внутренний) 213, 260
Характеристические функции 73, 76,
83, 88, 150
Характеры абелевых групп 113
Харди — Литлвуда теорема 269
Хаусдорфа проблема моментов 308,
383, 395
Хьюитта и Сэвиджа закон 0 или 1
348
Центральная предельная теорема 83,
101, 234, 400, 409
-------локальная 101, 359, 398
Цепи Маркова 34, 125, 149, 376
Цилиндрические множества 40, 44
Частные суммы, максимум 244, 245,
249, 314
— — моменты максимума 248
Частные суммы число положительных
259
----------простого блуждания 264
Чебышева неравенство 53
Чезаро среднее 413
Число точек, заметенных конечным
блуждающим множеством 56
-----посещенных блуждающей ча-
стицей 51
Шар единичный, время выхода 364
-----общее время пребывания 364
-----емкость для простого блужда-
ния 397
Шварца неравенство 81, 82, 154, 372
Эйлера постоянная 153, 155
Экспоненциальная оценка биномиаль-
ного распределения 62, 447, 449
-----Бернштейна 62, 65
Эксцессивные функции невозвратно-
го ядра 377
-----разложение Рисса 378, 381, 387,
394, 432, 434
Эллиптический интеграл 129
Энергия, рассеиваемая множеством
456
Эргодическая теорема Биркгофа 54,
72
Эргодическая теория 47
Ядро воспроизводящее 293
— отображения 141, 174
— невозвратное 376, 431
----- потенциал 377
--------порожденный зарядом 377
----- принцип максимума 380
-----регулярные функции 377
-----эксцессивные функции 377
— потенциала 150, 152, 167, 320
-----асимптотическое поведение 151,
411, 418, 454, 457
-----возвратного блуждания, суще-
ствование 401, 410 >
-----единственность 428, 433, 435
-----ньютонова 359, 366
-----обращение 149, 425
-----определяет случайное блужда-
ние 424, 455
-----положительность 146, 421
-----простого блуждания 411
---------- двумерного 179
-----удовлетворяет уравнению Пу-
ассона 435
— Пуассона 220
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию..................................... 5
Предисловие автора.............................................. . 7
Схема взаимозависимости параграфов.................................11
Глава I. Классификация случайных блужданий.........................13
§ 1. Введение............................................ . 13
§ 2. Периодичность и возвратность случайного блуждания .... 28
§ 3. Элементы теории меры....................................38
§ 4. Размах случайного блуждания.............................51
§ 5. Сильная теорема отношений...............................57
Задачи....................................................70
Глава II. Гармонический анализ ......................................73
§ 6. Характеристические функции и моменты.....................'73
§ 7. Периодичность ............................................84
§ 8. Критерии возвратности и примеры..........................104
§ 9. Теорема восстановления...................................120
Задачи....................................................127
Глава III. Двумерное возвратное случайное блуждание.................131
§ 10. Общие положения........................................ 131
§ 11. Распределение точки достижения конечного множества . . .140
§ 12. Ядро потенциала А(х, у).................................150
§ 13. Элементы теории потенциала..............................156
§ 14. Функция Грина конечного множества...................... 171
§ 15. Простое случайное блуждание на плоскости................179
§ 16. Исследование нестационарного поведения..................189
Задачи.................................................. 204
Глава IV. Случайное блуждание на полупрямой....................... 208
§ 17. Распределение точки достижения правой полупрямой . . . 208
§ 18. Случайное блуждание с конечным средним..................227
§ 19. Функция Грина и задача о разорении игрока...............243
§ 20. Флуктуации и закон арксинуса............................259
Задачи.................................................. 273
Глава V. Случайное блуждание на интервале...........................279
§ 21. Простое случайное блуждание.............................279
§ 22. Задача о поглощении для случайного блуждания с нулевым
средним и конечной дисперсией .........................287
§ 23. Функция Грина для задачи о поглощении..................303
Задачи....................................................315
Глава VI. Невозвратное случайное блуждание..................320
§ 24. Функция Грина G(x,y) ............... 320
§ 25. Распределение точки достижения...................339
§ 26. Случайное блуждание в трехмерном пространстве с нулевым
средним и конечными вторыми моментами..................358
§ 27. Приложения к анализу.............................376
Задачи..............................................396
Глава VIII. Возвратное случайное блуждание..................401
§ 28. Существование одномерного ядра потенциала........401
§ 29. Асимптотическое поведение ядра потенциала........411
§ 30. Распределение точки достижения и функция Грина . . . .419
§ 31. Единственность ядра потенциала...................428
§ 32. Время достижения отдельной точки.................439
Задачи ...................................... ...... 454
Литература..................................................458
Именной указатель...........................................463
Предметный указатель .......................................465
Ф. Спицер
ПРИНЦИПЫ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ
Редактор Л. Б. Штейнпресс
Художник В. И. Журавский Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор А. Д. Хомяков Корректор Л. Г. Ч учу кина
Сдано в производство 9/VII 1968 г. Подписано к печати 11/II 1969 г. Бумага тип. № 3,
60 X 90716=14,75 бум. л. Усл. печ. л. 29,5. Уч.-изд. л. 25,69. Изд. № 1/3781.
Темплан изд. «Мир» 1968 г., пор. № 21. Цена 1 р. 97 к. Зак. 1375.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР, Измайловский проспект, 29.