Текст
                    С.И. Часе
ГИДРОМЕХАНИКА
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Екатеринбург
2006

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный горный университет» С. И. Часе ГИДРОМЕХАНИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия I li ш । сльство УГГУ Екатеринбург - 2006
УДК 532 424 Часе С. И. Ч 24 Гидромеханика в примерах и задачах: Учебное пособие. - Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2006. 216 с. ISBN 5-8019-0119-1 В учебном пособии изложены теоретические положения, примеры гидравлических расчётов и задачи для самостоятельной работы по основным разделам курса гидромеханики (гидравлики). Учебное пособие предназначено для студентов выспшх учебных заведений, обучающихся по специальности ‘Торное дело”; “Горные машины и оборудование”; “Технологические машины и оборудование”, а также может быть рекомендовано для сгудентов других вузов, изучающих курсы “Гидромеханика”; “Гидравлика”; “Механика жидкости и газа”. Рис. 126. Табл. 10. Библ.: 7 назв. Рецензент: Лаптева Н. Е., кандидат технических наук, доцент кафедры гидравлики Уральского государственного технического университета. Печатается по решению Редакционно-издательского совета Уральского государственного горного университета. ISBN 5-8019-0119-1 ©Часе С. И., 2006 © Уральский государственный горный университет, 2006
ПРЕДИСЛОВИЕ Успешное изучение любого курса прикладных технических дисциплин, в том числе технической гидромеханики, или гидравлики, зависит от умения студента работать самостоятельно. Основное назначение данного учебного пособия - помочь изучающим гидромеханику применить теоретические знания и освоить методику гидравлических расчётов для решения практических и инженерных задач. Книга включает три основных раздела курса гидромеханики: “Гидростатика”, “Гидродинамика”, “Прикладная гидромеханика”. Каждый раздел содержит несколько глав конкретной тематики. Глава начинается с теоретической части, в которой приводятся основные расчётные формулы с подробным пояснением их применения для решения примеров по данной теме. Учебное пособие содержит разнообразные по тематике и степени сложности примеры, охватывающие основные разделы курса гидромеханики. Примеры гидравлических расчётов приближены к горному производству. В приложении приводятся таблицы справочного характера, которые используются при решении примеров и задач. Кроме приведённых справочных таблиц можно пользоваться справочным материалом других учебников и учебных пособий. Опыт преподавания гидромеханики показал, что студенты сравнительно легко усваивают те сведения, которые поясняются в учебнике при помощи чертежей. Именно поэтому в данном учебном пособии примеры гидравлических расчётов содержат большое количество графического материала. Задачи даются с подробными численными решениями. Некоторые приведённые примеры общеизвестны по другим учебным пособиям, но отличаются методикой решения, которой нет в других учебниках и учебных пособиях. По каждой теме предложены задачи с ответами для самостоятельной работы. Такое изложение материала позволяет студентам проверить свои знания и способности в решении задач по гидромеханике. 3
ВВЕДЕНИЕ Гидромеханика (гидравлика) - наука о механических свойствах жидкой среды, о законах равновесия и движения жидкости, взаимодействия жидкости с твёрдыми поверхностями. Гидромеханика - техническая прикладная дисциплина, выводы и законы которой предназначены для решения технических и инженерных задач. Гидромеханика является одной из наук, составляющих фундамент инженерных знаний, и включает несколько разделов. В разделе “Гидростатика” даётся вывод основного уравнения гидростатики, определяется давление в покоящейся жидкости, действие жидкости на плоские и криволинейные поверхности. В разделе “Гидродинамика” рассматриваются основные законы движения жидкости, уравнение Д. Бернулли, изучаются режимы движения жидкости и потери напора в гидравлических сопротивлениях. Раздел “Гидравлический расчёт трубопроводных систем” является основой для решения инженерных задач по расчёту простых и сложных трубопроводных систем. В разделе “Истечение жидкости через отверстия и насадки” даётся расчёт малых и больших отверстий, истечения жидкости из насадков. В соответствии со специализацией изучаются вопросы равномерного движения жидкости в открытых руслах, фильтрации, взаимодействия потока жидкости и твёрдого тела и другие . ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЖИДКОСТЯХ Жидкость - непрерывная среда, обладающая свойством текучести и чрезвычайно малым сопротивлением деформации разрыва. Различают капельные, газообразные и многофазные жидкости. Капельные жидкости (вода, масла, спирт, ртуть и т. п.), в отличие от газообразных, образуют свободную поверхность^ т. е. поверхность, отделяющую капельную жидкость от газообразной среды. К многофазным жидкостям относятся туман, дым, илистые растворы и т. п. Прежде чем перейти к изучению физических свойств жидкости и законов равновесия и движения жидкости, отметим, что единицы измерения в гидромеханике приняты согласно Международной системе единиц измерения (СИ). Вместе с этим, в некоторых расчётах пользуются внесистемными единицами, широко применяющимися в производственной деятельности. 4
Плотность и удельный вес жидкости Плотность - это масса жидкости, заключённая в единице объёма, единица измерения кг/м3: р m/V. Удельный вес - сила тяжести жидкости в единице объёма, единица измерения П/м3: Y-G/K Так как сила тяжести G^mg, получим пересчётную формулу между удельным весом и плотностью: Y^Pg Удельный вес не является справочной величиной, так как зависит от ускорения силы тяжести (g) в месте измерения, поэтому в дальнейших расчётах будем пользоваться справочной величиной плотности (р). Для технических расчётов с достаточной точностью можно принимать плотность воды (в дальнейшем будем записывать без индекса) р = 103 кг/м3, плотность ртути ррт=13,61О3 кг/м3. Для других жидкостей следует пользоваться табл. 1 (см. приложение). В этой таблице приводятся коэффициенты плотности жидкостей. Физические свойства жидкостей В курсе гидромеханики следует изучить по любому учебнику или курсу лекций следующие физические свойства жидкостей: сжимаемость, капиллярность, кавитацию и вязкость. Обратим внимание на физическое свойство жидкости - вязкость. Вязкость - свойство жидкости оказывать сопротивление сдвигу или относительному перемещению слоёв жидкости. В технических расчётах и при решении задач пользуются двумя коэффициентами вязкости: коэффициент динамической вязкости ц, размерность Пас; коэффициент кинематической вязкости v, представляющий собой отношение динамической вязкости к плотности: v = g/p . Подставив размерности р и р в расчётную формулу коэффициента кинематической вязкости, получим размерность v в системе СИ - м2/с. Экспериментально вязкость жидкости определяется вискозиметрами. По вискозиметру определяют вязкость относительную, условную (ВУ), или так называемый градус Энглера (вЕ). Для перехода от условной вязкости к коэффициенту кинематической вязкости v пользуются эмпирической формулой Уббелоде: v-(0,0731 °Е- 0,0631/ •£)-10Л Отметим, что значение коэффициентов вязкости жидкостей приводится в табл.1 (см. приложение) и будет использовано при решении задач в разделе “Г идродинамика”. 5
Раздел первый ГИДРОСТАТИКА Глава 1 ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ В ЖИДКОСТИ 1. Понятие гидростатического давления В результате действия внешних сил (поверхностных и массовых) в жидкости возникают внутренние нормальные напряжения, называемые гидростатическим давлением. Таким образом, гидростатическое давление - это нормальное сила с точностью до бесконечно малых (ей?), равномерно распределённая на бесконечно малой площадке (dA): p=dR/dA. Единица измерения давления соответствует размерности напряжения Н/м2. Примечание. В данном учебном пособии силу давления будем обозначать буквой R. чтобы не путать при написании давление р и силу Р, площадь буквой А, как это принято в дисциплинах механического профиля. 1.1. Свойства гидростатического давления Первое свойство. Давление, как нормальное напряжение, всегда направлено по внутренней нормали к площадке, величина давления является функцией только координат точки и не изменяется во времени: P=f(x,y,z). Второе свойство. Давление в точке жидкости действует по всем направлениям и имеет одинаковую величину. 1.2. Основное уравнение гидростатики. Абсолютное, манометрическое, вакуумметрическое давление Для определения давления в покоящейся жидкости пользуются основным уравнением гидростатики: Р=рв+Р£й. (1.1) Давление в любой точке покоящейся жидкости складывается из давления на поверхности жидкости (ро) и силы тяжести столба жидкости с основанием, равным единице, и высотой, равной глубине погружения точки в жидкость (pgA). Величина pg/z может быть названа весовым давлением, или избыточным давлением жидкости. Поверхностное давление может быть обусловлено давлением на поверхности капельной жидкости газа, воздуха или твёрдого тела, например поршня. 6
Давление на поверхности жидкости ро может быть равным атмосферному давлению, больше атмосферного или недостающим до атмосферного. Давление, рассчитанное от абсолютного нуля, т. е. с учётом атмосферного давления, называется абсолютным. Так, если в уравнении (1.1) давление на поверхности жидкости равно атмосферному (р0 “ Ра), то у давления р следует поставить индекс "абс” и считать его абсолютным давлением: Ра«с=Ра4Р^Й- (1.2) Если абсолютное давление больше атмосферного, то давление, превышающее атмосферное, называется манометрическим, или избыточным (термины равнозначны). В закрытом резервуаре при условии, ЧТО роабс> Ра, величина манометрического давления Р май = Роабс 'Ра * Манометрическое давление в открытом резервуаре на глубине h Рман ~ pgfc (13) Давление, недостающее до атмосферного, называется вакуумметрическим: Р вак = Ра “ Рабе, (1 *4) При УСЛОВИИ, ЧТО рабе < Ра- При решении задач манометрическое давление учитывается со знаком вакуумметрическое - со знаком Следует запомнить: чтобы записать абсолютное давление в месте установки манометра, нужно к атмосферному давлению прибавить манометрическое, т. е. Рабе ” Ра + Рман- Чтобы записать абсолютное давление в месте установки вакуумметра, нужно к атмосферному давлению прибавить рлак со знаком минус, т. е. Рабе — Ра ' Рюх* В соответствии с изложенным учтём, как в дальнейших расчётах пользоваться понятиями манометрического, вакуумметрического и абсолютного давлений. 1.3. Плоскость уровня. Понятие пьезометрической высоты. Эпюры гидростатического давления При решении задач по определению давления в покоящейся жидкости используют условие равновесия жидкости относительно плоскости уровня (плоскости равного давления). Плоскость уровня - это плоскость с постоянным гидростатическим давлением во всех точках этой плоскости. Вывод уравнения плоскости уровня 7
и примеры плоскости уровня приводятся в учебниках и учебных пособиях по гидромеханике (см. библиографический список). Частным случаем плоскости уровня является горизонтальная плоскость в однородной покоящейся жидкости, находящейся в поле действия только сил тяжести. Пьезометрическая высота, или пьезометрический напор, - это такая высота столба жидкости, которая своим весовым давлением (pg/г) соответствует давлению (р) в покоящейся жидкости. Характерные случаи представления пьезометрической высоты приведены в учебной литературе. Рассмотрим один из случаев. Пусть имеем закрытый резервуар, в котором на свободной поверхности действует абсолютное давление, больше атмосферного (ра&^ра) (рис. 1.1,а). На глубине h выведена открытая стеклянная трубка, называемая пьезометром. Если бы резервуар был открыт, уровни жидкости в резервуаре и в пьезометре были бы на одном горизонте (как в сообщающихся сосудах). Поскольку давление на поверхности жидкости в резервуаре больше, чем атмосферное, уровень жидкости в пьезометре будет выше, чем в резервуаре. Высота, на которую поднимется жидкость в пьезометре, называется пьезометрической высотой и обозначается hp. Докажем, что пьезометрическая высота hp соответствует избыточному давлению. Проведём горизонтальную плоскость уровня 0-0 на глубине h и составим условие равенства давления, рассчитаннохо слева по пьезометру (pi), и давления (р2) справа в баке на глубине h: Р\'~~Ръ Согласно основному уравнению гидростатики (1.1): Pi ~Р& + Pghp; pi = Рабе * pgh; Р* Pghp =р&с + pgh; h ^Рабс"Ра+Р^^Ризб Р Pg Pg Условие доказано, таким образом, избыточное давление в любой точке покоящейся жидкости можно заменить давлением столба жидкости в пьезометре. Аналогичные рассуждения можно провести по вакуумметрическому давлению. Графическое представление величины и направления гидростатического давления, действующего на любую точку поверхности, называется эпюрой давления. Согласно основному уравнению гидростатики (1.1), закон распределения давления (р) по глубине (Л) линейный. На рис. 1.1 представлены эпюры абсолютного давления (б) и весового давления жидкости без учёта давления на поверхности жидкости (в). 8
Рис. 1.1 Эпюры давления представляют соответственно равномерно распределённую нагрузку в виде трапеции для абсолютного или полного давления и в виде треугольника для весового давления. Угол наклона эпюры р зависит от величины плотности жидкости р. Стрелками показано, что давление в любой точке по глубине действует по внутренней нормали к поверхности АВ. 1.4. Единицы измерения давления Основной системой единиц измерения давления является система СИ. Но наряду с этой системой при технических расчётах и в производственной практике пользуются технической системой (CGS) и внесистемными единицами измерения. Система СИ: Н/м2 = Па; 103 Па = кПа; 106 Па - МПа; бар = 105 Па. Техническая система: 1 кге/см2 = 1 ат; кге/м2. Внесистемные единицы измерения: мм рт. ст.; м вод. ст.; мм вод. ст. Покажем перевод единиц измерения давления: 1 ат = 1 кгс/см2 = 104кгс/м2 - 9,8*104П/м2 ~ 98 кПа; 1 ат - 735,6 мм рт. ст. 1 ат= 10 м вод. ст. 1 мм рт. ст. = 133,3 Па. Перевод единиц измерения давления из ат или Па в высоту столба жидкости и наоборот может быть выполнен по формулам: H=plpg и p = pgH. Проверим приведённые выше величины. Переведём 1 ат в м вод.ст., зная, что плотность воды р = 103 кг/м3: 9
Н^. = (98-103) / (1О3-9,8) = 10 м. Теперь переведём 1 ат в мм рт. ст. при плотности ртути ррт= 13,6-Ю3 кг/м3: Ярт.ст.«( 98-Ю3) /( В.бЮ’-РЛ ) = 0,7356 м = 735,6 мм. В приложении (табл. 2) приведено соотношение между единицами давления. 1,5. Примеры решения задач по теме: “Гидростатическое давление в жидкости” Задача 1.5,1. К резервуару (рис. 1.2), заполненному бензином плотностью Рбенз~ 700 кг/м3, присоединён (7-образный ртутный манометр, показание которого = 0,1 м; уровень масла над ртутью Лм== 0,2 м. Определить абсолютное давление р^с паров на поверхности бензина и показание пружинного манометра (см. обозначение буквой М), установленного на крышке резервуара, а также возможную высоту уровня бензина в пьезометре при условии, что h ~ 0,75 м; а ~ 0,15 м; Н = 1,1 м; принять плотность ртути ррт - 13,6-103 кг/м3; плотность масла рмас. = 820 кг/м3. Рис. 1.2 Решение. Решение ведём с учётом атмосферного давления, так как по условию задачи требуется определить абсолютное давление паров бензина. Для решения задачи воспользуемся понятием плоскости уровня. Выберем плоскость уровня 0-0 на разделе жидкостей бензин - ртуть и составим условие равенства давления, приравняв давления в правом (рО и левом колене (р2) (/-образною манометра: 10
Р\ =Р2-, Pl Рл + Рмас£^м Pprg^pi 9 Рг=Р&с +pteng(h+a). Приравняем давление в правом и левом колене У-образного манометра: Ра + Рмас^йм + ppyg/lpT ^Рабс ^РбензЯ^ +<*), отсюда абсолютное давление паров бензина: Рабе “ Ра + Рмас^^м **“ Pprgfyyr “ Рбенз§(^ ^)- Принимая атмосферное давление ра 98' 103 Па = 98 кПа, получим: рабе 98-103 + 820'9,8*0,2 413,6’103*9,8’0,1 -700’9,80,9 = 106,76 Ю3 Па. Показание манометра, установленного на крышке бака, можно определить так: Рман = Рабе “ Ра s Рма^м + Ррт^рт ” Рбенз^ ^0 = 8,76 кПа =* 0,089 НТ. Для определения возможной высоты бензина в пьезометрической трубке h? составим условие равновесия жидкости относительно плоскости уровня 0-0, в этом случае расчёты можно вести по избыточному (манометрическому) давлению. Для плоскости уровня 0-0 запишем равенство давлений р3 ~р4: Рбенз^^р “Рмаи + рбенз£^4 отсюда h = ~-н- + Н = 2,38 м. Рбенз# Ответ: = 106,76 • 103 Па = 106,76 кПа; рман - 8,76 кПа; hp = 2,38 м. Задача 1.5.2. Два резервуара, заполненные водой и бензином, линии центров которых находятся на одном уровне, соединены двухколенным ртутным манометром (рис. 1.3). Пространство между уровнями ртути в манометре заполнено маслом плотностью рмас = 900 кг/м3. Определить, в каком резервуаре давление больше и на какую величину, если высоты уровней жидкостей соответственно: h\- 250 мм; й2=120мм; Лз =» 80 мм; й4 = 50 мм. Принять плотность бензина рбенз “720 кг/м3, ртути Ррт*=13,6-103 кг/м3. Решение. Резервуары закрыты, поэтому давление будем рассчитывать по избыточному давлению без учёта атмосферного давления. Обозначим давление на уровне центра в левом резервуаре рА , в правом - рй. Покажем положение плоскостей уровня для данной равновесной системы: это плоскости 0-0; 0-0 и 0 -0 . Эти горизонтальные плоскости проводятся по однородной жидкости: плоскость 0-0 по маслу, две другие по ртути. Для этих плоскостей запишем условие равенства давлений: р\ = р^ 11
р3 = Р4; Р$ - Pb‘ Плоскость 0-0 является основной плоскостью равновесного СОСТОЯНИЯ, ДЛЯ которой PJ =Р2 • Согласно основному уравнению гидростатики (1.1), чтобы записать давление рь нужно к давлению в центре резервуара А (рл) прибавить давление столба воды pgh} - получим давление рз = p4i из давления р4 вычтем (поднимаемся вверх) давление столба ртути ррт^2 и, таким образом, получим давление pj: Pi ~Ра~ Pgbi-Pvrghz. Аналогично запишем давление р2: к давлению в центре резервуара В (рв) прибавим давление столба бензина рбенл?^5 и давление столба ртути p?rgh4- получим давление р6 == р$. Затем от плоскости 0- 0 поднимемся вверх до плоскости 0-0, т. е. вычтем давление столба масла рмас^з и получим давление Pi- р2 =РВ -^Рбен^ + Ppvgh4 - Pwacg^j. РИС. 1.3 Согласно чертежу, высота столба бензина h$ - h\ - h2 + Лз - ^4 = 160 мм. По распределению уровня ртути в дифференциальном манометре предполагаем, что давление в резервуаре А больше, чем давление в резервуаре В. Находим эту разность: Др ~ Рл~~ Рв = Ptonghs - Ррт£Й4- рмас#Лз -- Р£Й1 + Ррт^2. При подстановке численных значений следует перевести высоты уровней жидкости в м. Ответ: Др Рд-рв =20,63 кПа. Ответ получился положительным, значит, предположение, что давление в резервуаре А больше, верно. 12
Задача 1.53. Определить, какое давление - манометрическое или вакуум, показывает мановакуумметр (РмД установленный по оси резервуара В с керосином, если показание манометра по центру резервуара А с водой Рман~ 0,12 ат. Между резервуарами подключён 17-образный ртутный манометр, показание которого /1рт = 200 мм; расстояние от уровня ртути в левом колене до оси резервуара Ah = 300 мм. Оси центров резервуаров находятся на одной линии (рис. 1.4). Принять плотность керосина рКСр~ 820 кг/м3; ртути - ррт = 13,6* 103 кг/м3. Примечание. Мановакуумметр - это прибор для измерения как манометрического, так и вакуумметрического давления, имеющий шкалу Измерения со знаком "+" (манометрическое давление) и со знаком °-" (вакуумметрическое давление). Решение. В задачах 1.5.1 и 1.5.2 подробно изложена методика определения давления путём составления условия равенства давления относительно плоскости уровня. Из этих решений следует сделать выводы. Во-первых, по плоскости уровня можно перейти в любую точку жидкости, и давление останется той же величины. Во-вторых, при расчёте весового давления жидкости (pgh) в случае увеличения глубины (отсчёты вниз) давление увеличивается и учитывается со знаком в случае уменьшения глубины (поднимаемся вверх) давление уменьшается и учитывается со знаком 13
В данной задаче (см. рис. 1.4) основной плоскостью уровня для всей системы является плоскость 0-0, в левой части она проходит по воде, в правой - по ртути tZ-образного манометра. Для этой плоскости р\ - р2 *= рз- В другой плоскости 0-0, проведённой в керосине, р4 =р5. Задачу будем решать без учёта атмосферного давления. Значит, если рассчитанное давление на уровне установки мановакуумметра (МВ) получится положительным, прибор работает как манометр, если давление получится отрицательным, т. е. вакуумметрическим, прибор работает как вакуумметр. А теперь запишем давление на уровне установки мановакуумметра путем следующих рассуждений. Имеем манометрическое давление рман по оси резервуара А, поднимаемся до плоскости уровня 0-0, значит, вычитаем давление столба воды pgh, получаем давление по плоскости уровня переходим в левое колено {/-образного манометра, где = р2. Затем переходим в правое колено манометра, где р3 - р2г поднимаемся к плоскости 0-0, значит, вычитаем давление столба ртути ррт gh^9 получаем давление р4; переходим по плоскости уровня 0-0 к давлению р5 - р4. И последний этап: к полученному давлению р5 прибавляем давление столба керосина pKepg(^+^pr)3 поскольку опускаемся вниз до оси резервуара В, Таким образом, записали давление по оси резервуара с керосином, где установлен мановакуумметр. Представленные рассуждения запишем следующим образом: Рмая- Pg* “ Pprg*pr +PKepg( Л+М =Рыв- Подставим численные значения: рю = 0,12-98-Ю3 - 103'9,8 0,3 -13,6103*9,80^ + 8209,8-0,5 = 9,8-103 • (1,2-0,3- -2,72+0,41) = -1,41-9,8103 Па= -13,82 кПа. Знак свидетельствует о том, что мановакуумметр работает как вакуумметр. Показание вакуумметра рмк - 13,82 кПа = 0,14 ат ( в такой записи индекс вак заменяет знак Ответ-, мановакуумметр работает как вакуумметр и показывает вакуумметрическое давление рвак = 0,14 ат, В разделе 1.6 приведены задачи для самостоятельной работы по усвоению знаний определения давления в покоящейся жидкости. 14
1.6. Задачи для самостоятельной работы по теме: “Гидростатическое давление в жидкости*9 Задача 1.6.1 Определить, каким прибором следует измерять давление в баке, заполненном маслом, и показание этого прибора (в ат), установленного на глубине h 1,2 м, если показание {/-образного ртутного манометра, установленного на поверхности масла, = 200 мм. Принять плотность масла рмас=900 кг/м3 (рис. 1.5). Ответ: следует пользоваться вакуумметром, рприб = рвак = 0,163 ат. Рис. 1.5 Задача 1.6.2 Определить показание {/-образного ртутного манометра (Арт), Подключённого к резервуару с маслом на глубине h = 0,8 м, если показание пружинною манометра, установленного на глубине h\ = 1,2 м, рман- 0,15 ат. Принять поправку ртутного манометра а - 0,3 м, плотность масла рмас= 900 кг/ м3, плотность ртути ррт = 13,6 *103 кг/м3 (рис. 1.6) . Ответ: йрт=104мм. 15
Задача 1.6.3 Определить давление (ро) на поверхности бензина в закрытом резервуаре и показание мановакуумметра (рмв), установленного на глубине h = 1,5 м, если показание {Т-образного ртутною манометра Лрт = 400 мм. Принять глубину h\ == 1,0 м, плотность бензина рбенз = 720 кг/м3 (рис. 1.7) . Ответ: ро~Рвак~ 60,4 кПа; _рмв-рВак“ 49,8 кПа. Задача 1.6.4 Определить абсолютное давление на поверхности бензина в закрытом резервуаре (рабс), а также показание мановакуумметра (рмв в бар), установленного на глубине h\ = 1,6 м при заданных величинах h = 0,5 м, = 300 мм, атмосферное давление ра = 740 мм рт. ст. Принять плотность бензина рвенз = 720 кг/м3; ртути р рт = 13,6*103 кг/м3. Давлением воздуха в С7- образном ртутном манометре можно пренебречь (рис. 1.8). Ответ: рабс= 55,13 кПа; Рмв=:Рвак= 0,32 бар. 16
Задача 1.6.5 Определить, каким прибором (манометром или вакуумметром) следует измерить давление газа в баллоне по показанию (Л) двухжидкостного чашечного манометра, заполненного водой и ртутью (р = 13,6'103 кг/м 3), если Я= 0,6 м; h “ 100 мм; A h = 40 мм. Показание прибора представить в ат (рис. 1.9). Ответ: следует пользоваться вакуумметром, р1фИб.=Аак= 0,13 ат. Задача 1.6.6 Определить абсолютное давление воздуха в резервуаре В, если показание манометра, установленного по центру резервуара Л, заполненного маслом, рман = 0,12 ат, высоты уровней масла и ртути в Сообразном ртутном дифференциальном манометре Лм = 600 мм; Лрт = 200 мм (рис. 1.10). Принять плотность масла рмас = 900 кг/ м3; ртути ррт = 13,6 • 103 кг/м3. Ответ: рабс = 88,4 кПа. ртуть Рис. 1.10 17
Задача 1*6.7 Определить разность давлений (в ат) в центрах трубопроводов А и В, заполненных водой и маслом, если высоты уровней воды и масла в {/-образном ртутном дифференциальном манометре: йв = 500 мм; Лм « 400 мм (рис. 1.11). Принять плотность масла рмас = 900 кг/м3; ртути ррт= 13,6*103 кг/м3. Ответ: Ар =рА -рв = 0,122 ат. Задача 1«6.8 Два сосуда наполнены разнородными жидкостями: маслом и керосином. На поверхности жидкостей в сосудах действуют давления р\ ир^ Найти разность этих давлений, если показание {/-образного ртутного манометра h = 100 мм, высота уровня масла Н— 500 мм, превышение уровня керосина A h = 40 мм. Принять плотности жидкостей: масла р мас= 900 кг/м3; керосина ркер = 800 кг/м3; ртути ррт= 13,6 -103 кг/м3 (рис. 1.12). Ответ: Ар 18
Задача 1.6.9 Из открытого резервуара С через трубу В вода поднята в резервуар А с глубиной заполнения h - 0,5 м. Давление воздуха на поверхности воды в резервуаре А измерено 17-образным ртутным манометром, показание которого Лрт = 200 мм (рис. 1.13). Определить высоту воды Н в трубе В. Принять плотность ртути ррт = 13,6* 103 кг/м3. Ответ: /7=2,22 м. Задача 1.6.10 Определить избыточное давление рх (в бар) в центре сосуда с бензином, если показание манометра, включённого на уровне центра сосуда с водой Рман= 0,12 ат, высоты уровней жидкостей: h\ = 400 мм; h 2= 200 мм. Центры резервуаров находятся на одном уровне. Принять плотность бензина Рбенз = 720 кг/м3; ртути ррт = 13,6*103кг/м3 (рис. 1.14). Ответ: рх-р^ь =0,354 бар. 19
Задача 1.6.11 Определить показание манометра рман (в ат), установленного на маслопроводе диаметром d = 200 мм, если абсолютное давление в воздушном резервуаре рабс = 0,9 ат. Между воздушным резервуаром и маслопроводом подключён {7-образный ртутный манометр, показание которого Лрт = 200 мм. Высота столба масла от оси маслопровода до уровня ртути в Сообразном манометре Лм - 600 мм. Принять плотность масла рмас - 900 кг/м3; ртути ррт~ 13,6*103 кг/м3 (рис. 1.15). Ответ: рман = 0,11 ат. Рис. 1.15 Задача 1.6.12 В закрытом резервуаре А, заполненном маслом, давление на поверхности жидкости р0. На глубине h = 0,6 м подключён {/-образный ртутный манометр, показание которого йрт= 40 мм, понижение уровня ртути в правом колене а = 0,2м. Определить давление ро (в бар) на поверхности масла, а также высоту подъёма воды (Лв) в стеклянной трубке, опущенной в открытый резервуар Л, заполненный водой (рис. 1.16). Принять плотность масла рмас = 900 кг/м3; ртути ррг= 13,6’103 кг/м3. Ответ: ро=Рвак= 0,124 бар; йв= 1,264 м. 20
Задача 1.6.13 Определить, на какой высоте Z находится уровень ртути в левом колене СУ-образного ртутного манометра, если при манометрическом давлении по центру маслопровода рман = 0,24 бар и показании ртутного манометра hpT “ 110 мм система находится в равновесии. Принять плотность масла Рмас= 900 кг/м3, плотность ртути рР1- 13,6*103 кг/м3 (рис. 1.17). Ответ: Z-1,06 м. Задача 1.6.14 Два резервуара А и В, линии центров которых совпадают, соединены двухколенным ртутным манометром. Определить, каким прибором следует измерять давление воздуха рх в резервуаре Д если давление на поверхности воды в резервуаре А рм&а = 0,18 ат, а разности уровней ртути в дифференциальном манометре: h} 100 мм; h2 = 120 мм. Уровень ртути в левом колене расположен ниже уровня воды в резервуаре А на величину h = 0,5 м. Пространство между уровнями ртути в манометре заполнено маслом плотностью рмас = 880 кг/м3. Принять плотность ртути Ррт 13,6*103 кг/м3. Плотностью воздуха при расчётах можно пренебречь (рис. 1.18). Ответ: давление измеряется вакуумметром: рх ~рвм = 5,9 кПа = 0,06 ат. Рис. 1.18 21
Глава 2 СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ В практике гидравлических расчётов часто приходится определять величину и точку приложения силы давления жидкости на плоские стенки различной конфигурации. Такими плоскими стенками, воспринимающими давление жидкости, являются стенки резервуаров, плоские затворы, 1фышки, грани плотин, элементы гидротехнических сооружений и др. Для определения силы давления жидкости на плоские стенки пользуются двумя методами - аналитическим и графо-аналитическим. Аналитический метод применим для плоских стенок любой формы, графо- аналитический - только для прямоугольных стенок. 2Л. Аналитический метод определения силы давления жидкости Для расчёта силы полного или абсолютного давления жидкости на плоскую поверхность пользуются аналитической расчётной зависимостью: ^полн “ Рс А. (2.1) Сила полного давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки (А) на полное давление на глубине погружения центра тяжести стенки в жидкость (рс)- Согласно основному уравнению гидростатики (1.1), давление на глубине погружения центра тяжести стенки (рс) Pc=Pb + pghc, (2.2) где hc - глубина погружения центра тяжести стенки в жидкость, отсчитанная от свободной поверхности; р- плотность жидкости; g - ускорение свободного падения. В формуле (2.2) давление на поверхности жидкости (ро) может быть атмосферным, манометрическим (избыточным), вакуумметрическим. Формулу (2.1) с учётом формулы (2.2) можно записать: Яполи =РоА + pghcA. (2.3) Таким образом, сила полного давления может быть представлена в виде двух составляющих: сила внешнего, или поверхностного, давления /?о ~РоА', (2.4) сила весового давления жидкости Ъ ~pghcA. (2.5) 22
Сила полного давления Лполн находится как геометрическая сумма двух параллельных сил 7?о и /?ж: -^полн = -^0 • Давление на поверхности жидкости, согласно закону Паскаля, передаётся внутрь жидкости всем точкам без изменения. Это значит, что эпюра внешнего давления (р0) представляет равномерно распределённую прямоугольную нагрузку, а равнодействующая такой нагрузки (Ro) приложена в центре тяжести поверхности стенки, т. е. на глубине hc. Составляющая от весового давления жидкости Аж приложена в точке, называемой центром давления. Центр давления силы всегда располагается ниже центра тяжести стенки. Глубина погружения центра давления (ho) рассчитывается по формуле _ r /rsin2a zo . (2-6) 2 hcA Ic sin a Где -------= е _ эксцентриситет центра давления, его величина hcA соответствует смещению центра давления относительно центра тяжести; 1с - центральный момент инерции плоской стенки относительно горизонтальной оси; a - угол наклона плоской стенки к горизонту. В приложении (табл. 3) для некоторых плоских симметричных фигур приведены формулы для определения центральных моментов инерции относительно горизонтальной оси, площадей и координат их центров тяжести. Для определения точки приложения силы полного давления Яполн нужно воспользоваться теоремой о моменте равнодействующей: момент равнодействующей относительно какой-либо оси равен сумме моментов её составляющих относительно той же оси. Применение этой теоремы будет рассмотрено далее при разборе решения задачи 2.3.2. 2.2. Графо-аналитический метод расчёта силы давления и центра давления на прямоугольные поверхности Графо-аналитический метод расчёта силы давления основан на построении эпюр гидростатического давления. Эпюры давления представляют собой равномерно распределённую нагрузку по ширине (или длине) плоской прямоугольной поверхности. Для поверхностей в виде круга, эллипса, треугольника и им подобных эпюра давления в объёмном представлении является довольно сложной фигурой, так как изменение давления следует учитывать при переменной глубине по всей плоской поверхности. Для таких поверхностей графо-аналитический метод не применяется. 23
Определим силу давления жидкости на прямоугольную стенку АВ высотой Я и длиной (О, перпендикулярной плоскости чертежа. Удерживаемый напор равен высоте стенки (рис. 2.1). Совместим прямоугольную стенку с плоскостью чертежа и покажем положение центра тяжести стенки точку - С, Рассчитаем силу давления жидкости R* аналитически и графически. Аналитический метод расчёта. Согласно формуле (2.5), сила давления жидкости Лж=р^сл = ^/, (2.7) где hc = H/2;A=Hl. Положение центра давления рассчитываем по формуле (2.6) где 1С = —— центральный момент инерции относительно горизонтальной оси для прямоугольника (см. приложение табл. 3); а « 90°; sin а « 1,0. » Я 1Н32 Н Н 2U „оч Таким образом. hn = — +------— = — + — = ~ Я. (2.8) В 2 12 Я2/ 2 6 3 v А теперь перейдём к графо-аналитическому метру расчёта силы давления и центра давления. Построим эпюру гидростатического давления. Давление жидкости в точке Л вточкеД-рз»р$Я. Эпюра давления в плоскости чертежа представляет равномерную нагрузку в виде треугольника, в объёмном представлении - это треугольная призма. Равнодействующая такой равномерной нагрузки равна объёму треугольной призмы и проходит через центр тяжести этой призмы, т. е. через центр тяжести эпюры гидростатического давления. Проверим: ^=^риз.=5эп/ = ^/, (2.9) где 5ЭП - площадь эпюры давления в виде треугольника. Центр тяжести эпюры располагается на расстоянии 2/3 Я (центр тяжести треугольника): Ацхэп.=2/ЗЯ. (2.10) 24
Сравнивая формулы (2.7) и (2.9), а также (2.8) и (2.10), приходим к выводу: графо-аналитически сила давления жидкости на прямоугольные поверхности равна произведению площади эпюры гидростатического давления на длину ( или ширину ) плоской стенки и проходит через центр тяжести эпюры давлениях ~ $эп I» ““ ^ц.т.эп. Рис. 2.1 Используя выше изложенные теоретические положения, рассмотрим примеры определения силы давления на плоские поверхности. 23. Примеры решения задач по теме: “Расчёт силы давления жидкости на плоские поверхности” Задача 2.3.1. Прямоугольная крышка АВ (рис. 2.2), расположенная под углом а - 60° к горизонту, перекрывает патрубок закрытого резервуара с водой. Высота патрубка h = 600 мм, ширина Ъ = 400 мм. Крышка может поворачиваться вокруг шарнира А. Высота уровня воды над шарниром а = 200 мм. Давление на поверхности воды соответствует показанию 17- образного ртутного манометра = 80 мм. Определить силу натяжения троса Т для удержания крышки АВ в закрытом положении. Угол натяжения троса В « 45°. Принять плотность воды р ==• 103 кг/м3. Решение. Чтобы определить силу натяжения троса Т для удержания крышки АВ в закрытом положении, нужно определить силу от внешнего давления Аои силу давления воды Рассмотрим аналитический способ расчёта силы давления и центра давления. 25
Методика расчёта силы давления включает следующую последовательность: - рассчитывается сила давления жидкости и сила от внешнего давления, при этом на чертеже обозначаются центральные оси плоской стенки и глубина погружения центра тяжести стенки от свободной поверхности (Лс); - определяются точки приложения сил, на чертеже обозначается точка приложения силы давления жидкости, т. е. центр давления, и глубина погружения центра давления hD\ - показывается направление действия сил. Следует помнить, что сила давления всегда направлена по нормали к поверхности. 1. Определим силу от внешнего давления Ro. Значение давления р0 по показанию ^/-образного манометра получим из условия равновесия жидкости относительно плоскости уровня 0-0. Давлениеро является избыточным: Ро = Ррт^Арт; ро = 13,б-Ю3^,80,08 = Ю.ббЮ3!!# 10,7 кПа. Значение р0 можно получить другим способом, а именно перевести показание манометра 80 мм рт. ст. в Па: ро = 80433,3 = 10,66 103 Па = 10,7 кПа. Сила от внешнего давления, согласно формуле (2.4), Ло ро Л, где А ~ площадь крышки, м2. Для наглядности крышку совместим с плоскостью чертежа, тогда ширина крышки равна А, а высота Л/sin а ~ h/sin60° - 0,693 м. Площадь крышки А = йй/sin 60°. Сила от внешнего давления Дов 10,7-0,40,693 =<2,97 кН. Покажем линию действия и тошф приложения силы Согласно пояснениям в разделе 2.1, эпюра давления ро представляет равномерно распределённую прямоугольную нагрузку, равнодействующая от такой нагрузки (Ло) проходит через центр тяжести эпюры и приложена в центре тяжести стенки на глубине hc (рис. 2.2,6). Сила Ро направлена по нормали из жидкости на стенку, как сила внешнего, избыточного давления. 2. Определим силу давления жидкости R* согласно формуле (2.5): Яж = PghcA, где hc =(а 4 h/2) ~ 0,5 м; глубину погружения центра тяжести стенки в жидкость he отсчитываем от свободной поверхности (см. рис, 2.2, а). Подставим значения: Рж (а + h/2) h 2>/sin а; Яж = 103 • 9,8 • 0,5 • 0,693 • 0,4 = 1,36 • 103 Н= 1,36 кН. 26
Рис. 2.2 Чтобы показать геометрическое положение силы давления жидкости 2?ж, рассчитаем глубину погружения центра давления т.е. точки приложения силы по формуле (2.6): Jc sin2 а hc 4* 27
где Ic =------ - центральный момент инерции прямоугольной крышки 12sin а относительно горизонтальной оси (т. е. проходящей через центр тяжести крышки). Подставив все параметры в буквенном выражении, чтобы сделать возможные сокращения, получим глубину погружения центра давления hD: hD = he + h2A2hc = 0,5 + 0,06 = 0,56 м. Эксцентриситет е = h?A2hc , т. е. понижение центра давления относительно центра тяжести е = 0,06 м = 60 мм. Покажем на чертеже (рис. 2.2,a) hD и е. Сила давления жидкости Яж приложена в центре давления (точка D) по нормали из жидкости на крышку. 3. Рассчитаем силу натяжения троса Т. При решении этой задачи можно не находить равнодействующую сил давления. Составим уравнение механики: сумма моментов сил относительно шарнира А равна нулю: ЪМА = 0. От каждой силы Ro, Rx и Т берется момент относительно точки А\ R^AC + R^AD-T-AK^ RQh + /?Ж(ЛЛ - a) Th sin 45° _ 2sin60° sin 60° sin 60° После сокращения на sin 60° и преобразований получим Т = 3,25 кН. Ответ: ддя удержания крышки АВ в закрытом положении необходима сила натяжения троса Т £ 3,25 кН. Рассмотрим другой вариант в условии задачи 2.3.1, когда показание U- образного манометра будет представлено так, что уровень ртути в левом колене Сообразного манометра будет выше на величину йрт (рис. 2.3). 28
Из условия равенства давления относительно плоскости уровня 0-0 (см. рис. 2.3) запишем: РОабс Ррт^рт ~Ра ИЛИ ра “РОабс ~ РртЯ^рт» Ра-РОабс = Рвак, ЗНаЧИТ, рш =- ррт^рт . На поверхности воды действует вакуумметрическое давление. Это значит, что сила от внешнего вакуумметрического давления будет приложена в центре тяжести стенки, но направлена по нормали внутрь жидкости (рис. 2.4). Рис. 2.4 В уравнении моментов сил относительно точки А момент от силы Яо нужно учитывать со знаком минус, как и момент от силы Т*. R^AD-RbAC-TAK = Q. Возможно, получится такой случай, когда не потребуется трос, а момент от силы давления жидкости будет равен или меньше момента от внешней вакуумметрической силы. Под действием вакуумметрического давления на поверхности воды крышка будет в закрытом положении: Rx • AD ~ Ro • AC. Можно рассчитать предельный вакуум для удержания крышки в закрытом положении. Из приведённого равенства следует: Rq^ 1,632 кН. Зная, что А, определимр^: Рвак = Яо/Л; А Wsin60° = 0,2772 м2; тогдар^ = 5,89 кПа. 29
Рассчитаем высоту столба ртути в ^/-образном манометре (см. рис. 2.3), при котором крышка будет в закрытом положении под действием вакуума на поверхности воды: рвак = РртЯ^рт, отсюда Лрт ~ 0,044 м = 44 мм. Задача 2.3.2. В торцевой стенке цистерны, заполненной бензином, предусмотрена плоская круглая крышка диаметром d - 1,6 м, укреплённая при помощи болтов. Определить силу давления бензина на крышку и точку приложения силы, если высота уровня бензина над нижней кромкой крышки Н - 2,0 м. На поверхности бензина действует вакуумметрическое давление Рвак ~ 0,2 ат. Принять плотность бензина рбенз^ЗО кг/м3 (рис. 2.5). Рис. 2.5 Решение. Для определения равнодействующей давления воспользуемся аналитическим методом. Согласно формуле (2.3), равнодействующая, или сила полного давления: _ Яра.н= РоА + pghcA или R?as„ = RO+RX. 1. Определим силу от внешнего, вакуумметрического давления: *0 ~ ^вак ~Рвак где А - площадь крышки; А = &d 1 2/4 = 3,14-1,62/4 - 2,0 м2. = 0,2-98 103-2,0 - 39,4-Ю3 Н =• 39,4 кН. 30
Показываем линию действия Эта сила приложена в центре тяжести крышки (т. С) и направлена по нормали внутрь жидкости, как сила отрицательного, вакуумметрического давления. 2. Рассчитаем силу давления бензина на круглую крышку по формуле (2.5) R-ж. ” Рбенз^^СА, где hc- глубина погружения центра тяжести крышки в жидкость, отсчитанная от свободной поверхности. Определяем hc по чертежу (см. рис. 2.5): Я-4^2-1,2 м. Лж = 720-9,8-1,2-2,0 = 16,9103 Н = 16,9 кН. Показываем линию действия силы давления бензина. Сила давления жидкости (Яж) приложена в центре давления на глубине hD и направлена по нормали из жидкости. По формуле (2.6) глубина погружения центра давления , , Ic sin2 а hcA где а - 90ф; sin а = 1,0 для вертикальной крышки; 1с - центральный момент инерции круглой крышки относительно горизонтальной оси: 1С = (см. приложение, табл. 3). 64 После подстановки данных в буквенное выражение hD получим: W—; ^ = 1,2 + 0,13 = 1,33м. ° 16V Эксцентриситет е = 0,13 м. Покажем на чертеже Лд и е. 3. Определим величину и положение равнодействующей Rpwa (или силы полного давления) путём векторного сложения сил и /?ж: ^равн = ^0 “* ^ж > -^равн = Rq “ R& ~ 22,5 кН. Положение равнодействующей можно определить, пользуясь теоремой Вариньона: момент от равнодействующей равен сумме моментов составляющих. Составим сумму моментов сил относительно оси, проходящей по свободной поверхности бензина. Введём обозначение: пусть глубина погружения центра давления для равнодействующей, тогда равн ~ Mr о 4 -Л/яж j 31
R^hJ™ = ЛоЛс-Лжйо, отсюда V“H= (Rohe - ^ж^У^равн . После подстановки численных значений Лдрвви = 1,1 м. Покажем на чертеже hjJ™, центр давления для равнодействующей и линию действия равнодействующей Лравн. по нормали внутрь жидкости. Ответ: Яравн= 22,5 кН; = 1,1 м. Задача 23.3. Квадратный затвор АВ со стороной а - 1,2 м, перекрывающий выход воды из зумпфа, укреплён шарнирно и может поворачиваться относительно оси, проходящей через центр затвора (рис. 2.6). Определить силу F, которую нужно приложить на расстоянии 0,1а от нижнего края затвора, чтобы удерживать затвор в закрытом положении при глубине воды перед затвором h = 1,5 м. Решение. Слева от затвора имеем открытую свободную поверхность с атмосферным давлением, справа щит также находится под действием атмосферного давления, поэтому при определении силы давления будем учитывать только силу давления жидкости, силу от атмосферного давления в таком случае не учитывают. Решение задачи проведём аналитическим и графо-аналитическим методами. 32
1. Аналитический метод расчёта. а) Рассчитаем силу давления воды по формуле (2.5) Я» = pg^c А, где А ~ площадь затвора: А = a2 e 1,44 м2; hc - глубина погружения центра тяжести затвора: he = h - а/2 = 0,9 м; покажем he на чертеже. Лж= 103-9,80,9 1,44 = 12,7 103 Н= 12,7 кН. б) Определим глубину погружения центра давления т. е. точки приложения силы давления /?ж по формуле (2.6) , , /rsin2a D с hcA где a = 90”; sina = 1,0; центральный момент инерции относительно горизонтальной оси для квадратного затвора 1с= а*1\2. После подстановки всех значений в буквенное выражение hD и соответствующих сокращений получим: 2 hD = hc + ; hD= 0,9 + 0,13 = 1,03 м. 12hr Эксцентриситет е ==0,13 м. Покажем на чертеже hD, е и силу , приложенную в центре давления (т. D) в) Определим силу F для удержания затвора в закрытом положении, т. е. в состоянии равновесия, составив уравнение механики: сумма моментов сил относительно шарнира С равна нулю: 0; /?ж е - F0,4a = 0, отсюда F = 3,44 кН. 2. Графе-аналитический метод расчёта силы давления воды Вж и глубины погружения центра давления hD. а) Определим давление воды в точках А и В: Ра=Pg (h-a); рЛ = 1039,80,3 = 2,94-103 Па = 2,94 кПа; Рв = Pgh‘, рв= 1048-1,5 = 14,7 кПа. б) Строим эпюру гидростатического давления воды: в любом выбранном масштабе по нормали к стенке откладываем величину давления рА и рв, соединяем полученные значения наклонной прямой, так как закон изменения давления по глубине линейный (см. раздел 1.3), и заштриховываем горизонтальными штриховыми линиями, стрелками обозначив направление 33
давления. Получим эпюру давления воды в виде трапеции в вертикальной плоскости. в) Рассчитаем силу давления воды 2?ж. Согласно формуле (2.11): /?ж •“ iS^n (Г9 „ с Ра + Рв Pg(h-a) + pgh Лэп = Лтрап “--- а “ “ а* После подстановки данных получим: 5ЭП:= 10,6 кПам; 7?ж= 12,7 кН. г) Определим положение центра давления. Согласно графо- аналитическому методу сила давления жидкости проходит через центр тяжести эпюры гидростатического давления: hD = йцхэп. Положение центра тяжести эпюры в виде трапеции определяется по табл. 3 (см. приложение): = ogp<iPi) = M7ii 3(Рл +Рв) У Ц.Т.ЭП. Согласно чертежу, глубина погружения центра давления йр hD= h -Хт.эл = 1,5- 0,47 = 1,03 м. Таким образом, аналитический и графо-аналитический методы расчёта силы давления Яж и глубины погружения центра давления hD дают одинаковые значения. Ответ: сила F-3,44 кН. Задача 23.4. Определить равнодействующую давления воды и положение центра давления на грани напорной храни плотины АВС, удерживающей напоры: Н\ = 3,0 м; Н2 = 2,0 м. Угол наклона наклонной грани плотины а = 60°. Длина плотины в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, I = 10 м (рис. 2.7). Решение выполнить графо-аналитическим методом. Решение. Графо-аналитический метод решения предусматривает выполнение чертежа в масштабе. Представим в удобном выбранном масштабе сечение плотины и действующие напоры. Равнодействующая давления воды на грани плотины определится путём векторного сложения сил, действующих на наклонную (Дав) и вертикальную (Две) грани плотины: Я = &ав + &вс • 34
Расчёт силы давления на плоские поверхности графо-аналитическим методом проводим по следующей методике. 1. Определяем давление воды в характерных точках плотины А , В и С: Ра =0; рв = pgHj; Pc =pg (#1 ~ Я2); рв = 103‘9,8’3,0 = 29,4’103 Па = 29,4 кПа; pc = 103’9,8’5,0 = 49,0103 Па = 49,0 кПа. 2. Строим эпюры гидростатического давления воды. В выбранном масштабе откладываем величину давления в точках Л, В и С, помня, что давление действует нормально к плоской поверхности (см. рис. 2.7). Эпюра давления на наклонную грань плотины представляет равномерную нагрузку в виде треугольника. Основание треугольника соответствует величине давления рв - pg/Zi, т. е. давлению в точке В9 отложенному по нормали к наклонной грани. При построении эпюры давления на вертикальную грань то же самое давление в точке В откладываем нормально к вертикальной грани плотины. В точке С откладываем давление рс = pg (Hi + Я2) также по нормали к вертикальной грани плотины. Для вертикальной грани эпюра давления представляет равномерную нагрузку в виде трапеции (см. рис. 2.7). Рис. 2.7 35
3. Рассчитываем силы давления воды на грани плотины согласно формуле (2.11): Ъс = S3n21 = Sxpan Г, RBC = 784,0 кН. 4. Показываем линию действия сил RAS и Rbc • Согласно формуле (2.11), графически сила давления жидкости проходит через центр тяжести эпюры гидростатического давления. Центр тяжести эпюры в виде треугольной нагрузки расположен на расстоянии 2/3 высоты треугольника, т. е. 2/ЗЛВ = 2/3 -Н\ /sin 60а. Находим в масштабе центр тяжести треугольника и показываем линию действия силы RAS, Сила проходит через центр тяжести треугольника и приложена нормально к наклонной грани плотины в центре давления (точка £>i). Показываем на чертеже глубину погружения центра давления = 2/3 Н\. Для определения положения центра тяжести эпюры в виде трапеции можно воспользоваться табл. 3 (см. приложение), как было отмечено в задаче 2.3.3. Поскольку метод решения задачи графо-аналитический, рассмотрим геометрический способ определения центра тяжести трапеции: а) к меньшему основанию трапеции на его продолжении в любую сторону прибавляем большее основание трапеции; б) к большему основанию трапеции в противоположную сторону прибавляем меньшее основание; в) соединяем полученные две точки прямой линией; г) через середины оснований трапеции проводим вторую линию; д) точка пересечения двух линий построения является центром тяжести эпюры давления в виде трапеции. Показываем центр тяжести трапеции и через эту точку проводим силу RBc по нормали к вертикальной грани Учитывая масштаб действующих напоров, находим величину - 4,1 м. 5. Определяем величину и линию действия равнодействующей сил давления R путём векторного сложения сил RAb и Rbc - Продолжаем силы по линии действия до взаимного пересечения в точке К. По линии действия откладываем величины сил в удобном принятом масштабе и складываем их 36
“по правилу треугольника” или “по правилу параллелограмма”. Может быть вариант, когда точка пересечения составляющих сил расположена так, что её следует вынести за пределы чертежа, как представлено в данном решении, и произвести сложение векторов сил, затем по линии действия равнодействующую R параллельно перенести в точку пересечения составляющих и определить точку пересечения равнодействующей с плоской поверхностью. В данной задаче (см. рис. 2.7) силу R, найденную путём векторного сложения, переносим параллельно в точку пересечения составляющих - К, по линии действия силу R продолжаем до пересечения её с гранью плотины в точке D. Точка D является центром давления для равнодействующей R . Глубину погружения центра давления hD следует определить по масштабу. Величину равнодействующей силы определим по принятому масштабу при сложении сил. По масштабу глубина погружения центра давления hD = 3,5м. Проверим значение силы R аналитическим расчётом, пользуясь теоремой косинусов. Угол между силами RAS и Rbc при их сложении “по правилу треугольника” Р = 150е (см. рис. 2.7). Равнодействующая сила давления воды: К ~ 2RAb Rbc<x>s15Q° + &вс > cos 150°= - cos 30*=-0,866; R = V509.22 + 2 • 509,2 • 784,0 • 0,866 + 784Т = 1251,2к11. Проверив значение силы R по масштабу, получим с допустимой точностью то же самое значение. Ответ, Сила давления воды на напорную грань плотины R =1251,2 кН. Глубина погружения центра давления 3,5 м. Задача 2.3.5. Определить величину, направление и точку приложения силы давления воды на наклонную стенку АВ, удерживающую напоры: слева Н = 4,5 м, справа - h =1,5 м. Длина стенки в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, I = 5,0 м. Угол наклона стенки к горизонту а = 45° (рис. 2.8). Представить графо-аналитический метод решения. Решение. Методика расчёта силы давления на плоские прямоугольные поверхности графо-аналитическим методом подробно рассмотрена в задаче 2.3.4. Решение данной задачи будет представлено более кратко. Равнодействующую силу давления воды определим путём построения результирующей эпюры гидростатического давления. 37
1. Давление воды в характерных точках: слева рл=0; pBa‘ = pgH= lO’ W.S = 44,1 103 Па = 44,1 кПа; справа рлг=О; pBenp = pgA=103-9,8 1,5 = 14,7 -103Па=14,7 кПа. 2. Строим эпюры давления воды слева и справа. Слева эпюра давления представляет равномерную нагрузку в виде прямоугольного треугольника АВК с основанием КВ ~ рв™ - pgH. Это давление откладываем в масштабе по нормали к стенке АВ, стрелками показываем направление давления из жидкости на стенку. Справа эпюра давления также представляет равномерную нахрузку в виде треугольника NBE с основанием BE = /?дспр = pgh. Давление справа является противодавлением, поэтому направление давления соответственно показано стрелками навстречу давлению слева, по аналогии из жидкости на плоскость. Углы наклона эпюр одинаковые, так как слева и справа жидкости одинаковой плотности - вода (см. раздел 1.3). Из построения эпюр следует, что из эпюры давления слева (из треугольника АВК) можно вычесть эпюру давления справа (треугольник NBE). Результирующая эпюра давления представляет трапецию FMAB (см. рис. 2.8). 38
3. Рассчитываем равнодействующую силу давления воды: FB-1. £ Из построения эпюр (см. рис. 2.8) находим: АВ •= Я/sin а = Я/sin 45’ = 6,36 м; FM=NB = й/sin а = й/sin 45’ = 2,15 м; FB = -рвач> = pg (H-h) =29,4 кПа. R = 2,15 + 636 = 2 4. Показываем линию действия равнодействующей R. Сила проходит через центр тяжести эпюры в виде трапеции. В задаче 2.3.4 рассмотрено геометрическое определение центра тяжести трапеции. Путём геометрических построений покажем центр тяжести трапеции и через него проведём равнодействующую R по нормали к стенке АВ. Точка пересечения линии действия равнодействующей с плоской стенкой является центром давления т. D. Глубину погружения центра давления hD = 2,87 м можно определить по масштабу, вычислить по формуле (см. приложение, табл. 3) или через координаты центров тяжести сложной фигуры, состоящей из прямоугольника и треугольника. Этот метод рассматривается в курсе сопротивления материалов. В данном учебном пособии такой метод будет представлен при определении силы давления на криволинейные поверхности. Ответ: равнодействующая давления воды R = 625,5 кН, глубина погружения центра давления hD = 2,87 м. При расчёте силы давления жидкости на плоские, а в дальнейшем и на криволинейные поверхности могут быть случаи, когда резервуар закрыт, находится под некоторым напором, отсутствует свободная поверхность жидкости, но известно показание прибора для измерения давления на определённом уровне. Такими приборами могут быть пьезометр, манометр механический или жидкостный, вакуумметр, мановакуумметр. В этом случае рациональным считается метод расчёта силы давления, при котором производится перевод давления из ат, бар, мм рт. ст. и т. п. в давление столба жидкости по пьезометру. 39
Задача 2.3.6. Определить силу давления масла на плоскую круглую крышку диаметром d = 600 мм закрытого резервуара и положение центра давления, если показание манометра, установленного на расстоянии а = 200 мм от нижней кромки крышки рман =0,11 ат, плотность масла Рмасл = 900 кг/м3 (рис. 2.9). р условная свободная поверхность П Рис. 2.9 Решение. Силу давления на плоскую круглую крышку следует рассчитывать аналитическим методом, графо-аналитический метод не применим. Рассмотрим два варианта решения. 1. Первый вариант. Силу давления жидкости определяем по известной формуле (2.1): Яж=Рс 4 где рс - давление масла на уровне центра тяжести круглой крышки: Рс =Рман- Рмасл g (« + d/2)\ А - площадь крышки: A = -d—^Q,2826м2. 4 Значит, сила давления масла Яж Рман Рмасл nd2 Т’ 40
R = (0,11-98103 - 900-9,8 0,5) 0,2826 = l,8103 H = 1,8 кН. Для определения положения силы R^ находим эксцентриситет из формулы (2.6) 7~ sin2 а Л тсб/4 е = ---------; где а = 90°; sin а = 1,0; 1С - ~. hcA с 64 После подстановки параметров в буквенном выражении получаем: d1 е~-----, 16hc где he “ глубина погружения центра тяжести крышки или напор на уровне центра тяжести, который можно рассчитать по формуле _ ~Рс_____ Рман Рмасл 8 Рмасл 8 0,11-98-103 900-9,8 -0,5 = 0,72 м; 0 6 2 е =—’-----= 0,031м = 31 мм. 16-0,72 Отмечаем на чертеже эксцентриситет е - 31 мм. Эту величину откладываем ниже центра тяжести стенки и на этом уровне показываем положение силы давления масла R^ (см. рис. 2.9), Сила приложена по нормали к крышке в центре давления (т. D). 2. Второй вариант. Давление рмам на уровне установки манометра можно перевести в давление столба жидкости, условно заменив манометр пьезометром. На рис. 2.9 пьезометр представлен пунктирной линией. Рассчитываем высоту уровня масла в пьезометре по формуле (1.5) , Рман , 0,11-98 103 , „ Л„ = ; hn = —-------------= 1,22 м. ' Рмасл/ ' 900-9,8 Так как пьезометр - это открытая стеклянная трубка, то таким образом можно показать условную свободную поверхность, или пьезометрическую плоскость (П П). От условной свободной поверхности отсчитывается глубина погружения центра тяжести крышки (ц.т.) и глубина погружения центра давления (ц.д.). Силу давления масла рассчитываем по формуле (2.5) 41
/?ж Рмасл £ А, где hc ~ глубина погружения центра тяжести крышки, отсчитанная от условной свободной поверхности: hc = hp-(a + d/2y, hc = 1,22- 0,5 = 0,72 м. Тогда сила давления масла Лж = 900'9,8-0,72-0,2826 = 1,8Ю3 Н - 1,8 кН. Глубина погружения центра давления от условной свободной поверхности согласно формуле (2.6) : f 7 Ic sin2 а , d2 hn == hc ч---------- hc ч----$ D с hc A с 16АС hD =0,72 + 0,031 = 0,751 м. На глубине hD показываем силу давления масла. Центр давления ниже центра тяжести крышки на величину второго слагаемого, т. е. эксцентриситета е = 0,031 м = 31 мм. Таким образом, оба варианта расчётов совпадают. Ответ. Сила давления масла ~ 1,8 кН, глубина погружения центра давления = 0,751 м, эксцентриситет е = 31 мм. Рассмотрим ещё несколько случаев установки измерительных приборов давления, перевод давления по прибору в давление столба жидкости и определения положения свободной поверхности. Задача 2.3.7. Определить величину силы давления бензина на прямоугольную крышку АВ высотой h = 600 мм и шириной Ь = 400 мм, если показания 17-образного ртутного манометра: ртути йрт = 40 мм, масла йма£Л = 30 мм; расстояния: а =100 мм, с = 200 мм (рис. 2.10). Найти геометрическое положение центра давления. Принять плотности жидкостей: масла рмасл ~ 900 кг/м3, ртути ррт= 13,6* 103 кг/м3, бензина рбенз 720 кг/м3. Решение представить аналитическим и графо-аналитическим методами. 42
Решение. 1. Аналитический метод. Силу давления бензина рассчитаем по формуле (2.5) Лж =Рбенз S где А - площадь крышки, А = ЬИ; йж = Pbmghcbh. Переведём показание (7-образного манометра в давление столба жидкости по пьезометру. Вспомним условие равенства давления относительно плоскости уровня 0-0 (см. главу 1; параграф 1.5), учитывая только избыточное давление (см. рис. 2.10): р\ = р2; Р\ РмаслАГ ^масл + Ррт£ ^рт Рбеиэ# Р1 ~~ Рбенз£> ^рбенз? Рмасл£Г ^масл + Ррт£ ^рт РбензЯ а Рбенз# hp бенз* Отсюда А =Р^А^Р.А_а; Рбенз л 43
, 900 •0,03 + 13,6 10’ 0,04 Л1 ft,„ =-------------~------------0,1 = 0,693 м. Рвекз 720 Рассчитаем глубину погружения центра тяжести крышки от условной свободной поверхности: hc = йрбенз +с + AZ2; hc “ 1,193 1,2 м. Определим силу давления бензина: Лж = 720-9,8 1,2-0,4-0,6 = 2,0 Ю3 Н = 2,0 кН. Глубину погружения центра давления от условной свободной поверхности определяем по известной формуле (2.6) = hc + —-S- -; а = 90°; sin а = 1,0. йс А Подставив в формулу hD значение центрального момента инерции для прямоугольника Л? = bh*!\2 (см. табл. 3, приложение), получим: hD = hc + Л2/12ЛС; hD = 1,2 + 0,025 м = 1,225 м. Эксцентриситет соответствует второму слагаемому: е = 0,025 м = 25 мм. 2. Графо-аналитический метод определения силы давления бензина: а) определяем давление в характерных точках А и В: Ра = Рмасл^масл + Ррт^рт +p6eH3g(c-«); Ра =6,3 кПа; Рв ~Ра + РбензЯЙ; Рв = 10,53 кПа. б) строим эпюры гидростатического давления в удобном масштабе. По нормали к стенке АВ откладываем величину давления рА и рв (см. рис. 2.10). в) рассчитываем силу давления бензина по формуле (2.11) ^ж = 5эп Ь\ Rx = Рл *Рв- hb-, Rx = 2,0 кН. г) определяем положение центра тяжести эпюры, т. е. центра тяжести трапеции по табл. 3 (см. приложение): 44
•Уц.т.эп. \ ’ -Уц.т.эп 0,275 м. 3(Рл +Рв) д) через центр тяжести эпюры проводим силу давления бензина Яж. Проверяем величину эксцентриситета е: е =т Л/2 “.Уц.т.эп. 9 е = 0,3 - 0,275 = 0,025 м = 25 мм. Результаты расчёта силы давления бензина и геометрического положения центра давления двумя методами совпадают. Ответ: = 2,0 кН; hD = 1,225 м; е = 25 мм. Задача 2.3.8. Определить силу давления воды на наклонную прямоугольную стенку АВ, перпендикулярную плоскости чертежа, наклонённую под углом а к горизонту, перекрывающую патрубок шириной Ь и высотой А. Давление на поверхности воды соответствует рман. Уровень воды над верхней кромкой крышки равен а (рис. 2.11). Решение представить в буквенном выражении. Решение. Схема расположения прямоугольной крышки АВ аналогична схеме к задаче 2.3.1 (см. рис. 2.2). Покажем более рациональный подход к решению задачи. Переведём показание манометра в давление столба воды. Покажем на чертеже (см. рис. 2.11) пунктиром пьезометр от свободной поверхности воды, получим высоту (напор) йман = . Pg Условно можно представить, что над свободной поверхностью взамен манометрического давления действует давление столба воды 6ман. Покажем пунктиром эту жидкость и условную свободную поверхность. Теперь от условной свободной поверхности будем отсчитывать глубину погружения центра тяжести плоской стенки (Лс) и глубину погружения центра давления (Лд). Рассчитываем силу давления жидкости /?ж по формуле (2.5) Я» = pghc Л, где he - глубина погружения центра тяжести стенки: hc~ hM&n I а + h/2; А ~ площадь стенки: А - bh/sin а . 45
Рис, 2.11 Покажем на рис. 2.11 глубину погружения центра тяжести стенки hc. Получим выражение для силы давления воды: /?ж = pg (йман + л + h/2) bh/sin а. Покажем линию действия силы давления воды. Сила йж приложена по нормали из жидкости на стенку АВ на глубине Лр, согласно формуле (2.6) где 1С - центральный момент инерции стенки АВ относительно горизонтальной оси для прямоугольника (см. табл. 3 в приложении): 1 . з • 12 sm а После подстановки данных и соответствующих сокращений получим: , . h1 2 hn = hr Ч-----. D с 12ЛГ 46
Покажем на рис. 2.11 глубину погружения центра давления hp И силу давления воды Rx: сила приложена в центре давления по нормали к наклонной поверхности. Таким образом, этот метод решения следует признать более простым И рациональным и применять при расчёте силы давления жидкости как на плоские, так и на криволинейные поверхности. Рассмотрим случай, когда известно вакуумметрическое давление на определённом уровне закрытого резервуара. В этом случае можно нс показывать пьезометр и условную свободную поверхность, а представить решение путём логических рассуждений (см. задачу 2.3.9). Задача 23.9. Определить силу давления воды на круглую крышку диаметром d закрытого резервуара, если известно показание вакуумметра Рвак на высоте h от центра тяжести крышки (рис. 2.12). Силу давления воды рассчитаем по известной формуле (2.1) R*=Pc Л9 где А = площадь крышки: А - nd2!^, Рс - давление на уровне центра тяжести крышки. Здесь следует помнить, что при решении задачи манометрическое давление учитывается со знаком м+м, а вакуумметрическое - со знаком (см. раздел 1.2): PC = (.-Pw + pgh), 47
тогда Яж = ( pgh-рт) juZ2/4. (2.12) Пересчитаем пьезометрический напор на уровне центра тяжести крышки АВ: hc=—~ = h-^an-. pg pg Центр давления находится на расстоянии эксцентриситета е от центра тяжести крышки, из формулы (2.6) имеем: Zcsin2a ЛЛО . 1Л nd4 е = —------, где a = 90°; sin a -1,0; Ic =-. hcA c 64 После подстановки параметров получим: d2 е~-----. 16АС Рассмотрим три возможных варианта значения силы давления R* и положения центра давления (рис. 2.13). Рис. 2.13 1. Вакуумметрическое давление меньше давления воды от уровня установки вакуумметра до центра тяжести крышки, т. е. pgh > рллк . Согласно формуле (2.12), получим положительное значение силы давления жидкости Сила направлена из жидкости на стенку. Значение эксцентриситета е- также величина положительная. Сила давления приложена ниже центра тяжести на величину эксцентриситета (е) (см. рис. 2.13, а). 48
2. Вакуумметрическое давление рзлк = pgh Из расчётной формулы (2.12) получим = 0. Это значит, что сила давления воды уравновешивается силой вакуумметрического давления (см. рис. 2.13, б). 3. Вакуумметрическое давление больше давления воды на уровне центра тяжести крышки: рт > pgh. При подстановке в расчётную формулу (2.12) получим отрицательное значение силы Rx. Это значит, что сила будет направлена внутрь жидкости за счёт вакуумметрического давления. Значение эксцентриситета е также получается отрицательным, значит, центр давления расположен выше центра тяжести крышки (см. рис. 2.13, в). Ниже предлагаются задачи для самостоятельной работы с использованием теоретических положений по определению силы давления жидкости на плоские поверхности. 2.4. Задачи для самостоятельной работы по теме: “Сила давления жидкости на плоские поверхности’9 Задача 2.4.1 Выход из резервуара, заполненного водой, представляет патрубок, который закрывается круглой крышкой диаметром D = 600 мм. Крышка может поворачиваться вокруг шарнира^. Определить силу Т для удержания крышки в закрытом положении, если показание ртутного манометра = 120 мм, высота уровня масла над ртутью йм = 50 мм. Принять а = 500 мм, плотность ртути ррт= 13,6* 103 кг/м3, плотность масла р мас = 900 кг/м3 (рис. 2.14). Ответ: Т£3,53 кН. Рис. 2.14 49
Задача 2.4.2 Патрубок резервуара с маслом перекрывается круглой крышкой, поворачивающейся вокруг шарнира А. Определить, каким должно быть показание U-образной трубки, заполненной ртутью (Лрт), установленной на поверхности масла, чтобы крышка находилась в закрытом положении за счёт вакуума. Принять: диаметр крышки D = 600 мм, глубину масла до шарнира А равной h = 200 мм, плотность масла рмас— 900 кг/м 3, плотность ртути ррт=13,6 -103 кг/м3 (рис. 2.15). Ответ: h рт = 38 мм. Задача 2.4.3 В вертикальной перегородке отстойника, состоящего из двух резервуаров - А и В, сделано квадратное отверстие со стороной а = 600 мм, которое перекрывается крышкой, поворачивающейся вокруг шарнира О. Определить, какой наименьший вакуум нужно создать на поверхности воды в закрытом резервуаре А, чтобы крышка оставалась в закрытом положении. Резервуар В открыт. Принять Я] = 1,5 м ; Я2 = 0,8 м (рис. 2.16). Ответ: рт = 6,86 кПа. 50
Задача 2.4.4 Отстойник для воды разделён вертикальной перегородкой, в которой сделано круглое отверстие диаметром D = 0,6 м с крышкой, поворачивающейся вокруг шарнира О. Закрытое положение крышки обеспечивается избыточным давлением на поверхности воды в закрытом резервуаре В. Резервуар А открыт. Определить, при каком показании манометра в резервуаре В крышка останется в закрытом положении. Принять Н\ = 2,3 м; Н2 = 0,8 м (рис. 2.17). Ответ: рман - 0,15 ат. Задача 2.4.5 Определить величину и направление силы N, приложенной к штоку гидроцилиндра для удержания его на месте, если показание мановакуумметра Рмв: а) рмв = рман = 0,12 ат, б) р^г 0,11 ат. Гидроцилиндр заполнен маслом плотностью рмас = 900 кг/м3, диаметр поршня d = 100 мм, высота уровня масла на уровне оси поршня Н - 0,8 м (рис. 2.18). Ответ: a) N = 147,7Н (направлена влево), б) N = 29,2 Н (направлена вправо). Рис. 2.18 51
Задача 2.4.6 Определить силу давления бензина на треугольный затвор шириной b ~ 600 мм и высотой h - 800 мм , а также положение центра давления, если показание манометра, установленного на расстоянии а - 300 мм от верхней кромки затвора рман = 0,11 ат (рис. 2.19). Плотность бензина принять рбенз= 720 кг/м3. Ответ: 7?ж = 4,0 кН, эксцентриситет е - 15,0 мм. Задача 2.4.7 Определить величину и положение равнодействующей сил давления воды на плоскую ломаную стенку АВС, удерживающую слева напор воды Н = 5,0 м, справа h - 2,0 м. Длина стенки в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, L = 6,0 м. Верхняя часть стенки наклонена под углом а = 60е к горизонту. Расчёт выполнить графо-аналитическим методом (рис. 2.20). Ответ: R = 636 кН. 52
Задача 2.4.8 Определить величину и положение равнодействующей сил давления воды на плоскую ломаную стенку АВС, удерживающую напоры Я] = 3,0 м и Я2 = 1,5 м, если длина стенки L == 5,0 м, угол наклона нижней части стенки к горизонту а = 45°. Расчёты выполнить графо-аналитическим методом, показать положение центра давления (рис. 2.21). Ответ: R = 568 кН. Рис. 2.21 Задача 2.4.9 Определить нормальное усилие F, приложенное к наклонной крышке АВ для удержания крышки в закрытом положении. Крышка расположена под углом а = 60° к горизонту, укреплена с помощью шарнира В и перекрывает патрубок квадратного сечения со стороной а = 200 мм. Патрубок заполнен маслом плотностью рмасл - 900 кг/м3. К дну патрубка присоединён пьезометр, показание которого Н= 300 мм. Сила F приложена на расстоянии b = 50 мм от стенки патрубка (рис. 2.22). 53
Задача 2.4.10 Патрубок маслобака квадратного сечения со стороной а = 150 мм перекрывается крышкой АВ9 перемещающейся в вертикальных пазах. Определить силу F для открытия крышки, если показание манометра, установленного на верхней стенке патрубка, рмад " 0,12 ат. Принять плотность масла рмас ~ 900 кг/м3, коэффициент трения скольжения в пазах /= 0,5. Масса крышки М- 2,0 кг (рис. 2.23). Ответ: F= 159,0 Н. Задача 2.4.11 В закрытом резервуаре с водой круглое донное отверстие закрывается крышкой D = 300 мм, шарнирно укреплённой в точке А. Определить наименьшую силу натяжения троса Т для открытия крышки. Трос укреплён под углом а = 60°. Принять показание манометра на поверхности воды рман = 0,12 ат; глубину заполнения резервуара Я = 1,5 м; массу крышки М = 2,0 кг. Трением в шарнире и направляющих троса пренебречь (рис. 2.24). Ответ: Ттн = 1,09 кН. 54
Задача 2.4.12 Закрытый резервуар, заполненный водой, находится под давлением. В резервуаре донное круглое отверстие диаметром d = 300 мм закрывается крышкой D = 380 мм, закреплённой шарниром в точке А. Определить силу F, удерживающую крышку в закрытом положении, если масса крышки Л/=3,0кг. Показание манометра на расстоянии Л = 1,5 м от Дна рман => 0,25 ат (рис. 2.25). Ответ: F- 1,4 кН. Рис. 2.25 Задача 2.4.13 Определить давление р в правой части гидроцилиндра диаметром 73 = 200 мм, заполненного маслом “Индустриальное 20”. Сила, действующая на шток d “ 50 мм при равновесном состоянии поршня, F = 2,0 кН. Принять избыточное давление на поверхности масла ро = 0,8 ат, напор масла на уровне ОСИ поршня 1,5 М, ПЛОТНОСТЬ масла Рмасл = 890 кг/м3 (рис. 2.26). Ответ: р == 29,55 кПа. Рис. 2.26 55
Задача 2.4.14 Прямоугольный плоский щит, перекрывающий канал шириной В = 2,0 м, вверху поддерживается двумя крюками, а внизу соединён шарнирно с дном канала. Слева щит удерживает напор воды й] = 2,1 м, справа - h2- 0,9 м. Крюки укреплены на расстоянии а = 0,5 м от верхнего уровня воды. Определить реакции крюков от действия воды на щит (рис. 2.27). Ответ: R кр= 5,36 кН. Рис. 2.27 Задача 2.4.15 Определить усилие Г, которое нужно приложить к вертикальному тросу для открытия щита, перекрывающего канал прямоугольного сечения. Щит расположен под углом а = 60е к горизонту и закреплён шарнирно в т. О к опоре. Ширина щита в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, В = 3,0 м. Глубина воды перед щитом Hi = 2,0 м, за щитом Н2 = 0,7 м. Уровень воды над шарниром h = 0,5 м. Масса щита М~ 400 кг (рис. 2.28). Представить аналитическое и графо-аналитическое решение. Ответ: Т-64,4 кН. 56
Глава 3 СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 3.1. Основные понятия и теоретические положения Примерами криволинейных поверхностей, испытывающих давление покоящейся жидкости, являются сферические и цилиндрические стенки резервуаров, секторные, сферические и цилиндрические затворы, клапаны насосов, поверхности трубопроводов и т. п. В практике инженерных расчётов ставятся задачи определения силы давления на криволинейные поверхности, необходимые усилия для открытия клапанов и затворов или удержания их в закрытом положении. Сложность определения силы давления на криволинейные поверхности заключается в том, что каждое элементарное усилие, действующее на криволинейную поверхность, направлено по нормали к элементарной площадке и имеет угол наклона по отношению к другому элементарному усилию. Это значит, что при определении силы давления жидкости придётся интегрировать зависимость элементарной силы dR по площади криволинейной поверхности. Для инженерных расчётов это затруднительно. В связи с этим принят метод, согласно которому равнодействующая давления на криволинейную поверхность определяется как геометрическая сумма составляющих по двум или трём выбранным направлениям: R=kx+Ry+Rx. (3.1) Чаще всего криволинейные поверхности, используемые в технике, имеют ось симметрии или ось вращения. Для таких поверхностей при определении силы давления жидкости достаточно двух составляющих горизонтальной и вертикальной: R = ^+R2y. (3.2) Горизонтальная составляющая силы давления на криволинейную поверхность равна силе давления жидкости на плоскую вертикальную проекцию криволинейной поверхности: Rx=fogy^Ay, (3.3) где р - плотность жидкости; Ау - площадь вертикальной проекции криволинейной поверхности; 57
Ус - координата центра тяжести вертикальной проекции, отсчитанная от • свободной поверхности. Глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции hc совпадает с координатой центра тяжести ус, поэтому в дальнейшем ус можно называть глубиной погружения центра тяжести или напором на уровне центра тяжести вертикальной проекции криволинейной поверхности. Другими словами, чтобы найти горизонтальную составляющую, нужно криволинейную поверхность спроектировать внутрь жидкости на вертикальную плоскость и найти силу давления на полученную проекцию. Сравнивая формулу (3.3) с формулой силы давления жидкости на плоскую стенку (2.5), видим аналогию расчётных зависимостей. Значит, координату yD или глубину погружения точки приложения горизонтальной составляющей, т. е. центра давления, определяем по формуле для вертикальной плоской поверхности: (3-4) Ус^у где 1С - центральный момент инерции вертикальной проекции относительно горизонтальной оси. Вертикальная составляющая силы давления на криволинейную поверхность равна силе тяжести жидкости в объёме “ тела давления": Ry-?gV^„ (3.5) где Кт. д. - объём тела давления. Рассмотрим понятие “тело давления". Тело давления - это криволинейный объём, ограниченный: а) самой криволинейной поверхностью; б) поверхностью, образованной вертикальными проектирующими линиями, проведёнными из контура криволинейной поверхности до свободной поверхности или её продолжения; в) горизонтальной проекцией криволинейной поверхности на свободную поверхность жидкости или её продолжение. Различают два вида тела давления. 1. Реальное, действительное или положительное тело давления. Это случай, когда тело давления построено на смоченной части криволинейной поверхности, заполнено жидкостью, т. е. сила тяжести жидкости реально действует на криволинейную поверхность. Вертикальная составляющая силы давления Ry из центра тяжести объёма тела давления направлена вниз и также считается положительной. 58
Примеры положительного тела давления и вертикальной составляющей для криволинейной поверхности АВ представлены на рис. 3.1. Рис. 3.1 свободная поверхн. 2. Фиктивное, мнимое или отрицательное тело давления. Это случай, когда жидкость находится вне криволинейной поверхности, тело давления построено на несмоченной части криволинейной поверхности. Жидкость в объёме тела давления отсутствует. Вертикальная составляющая Ry из центра тяжести объёма тела давления направлена вверх и считается отрицательной. Примеры отрицательного тела давления и вертикальной составляющей для криволинейной поверхности CD приведены на рис.3.2. Рис. 3.2 Из определения понятия тела давления и примеров построения тела давления можно представить методику построения тела давления. Чтобы определить объём тела давления и его вид (положительное или отрицательное), нужно из контура криволинейной поверхности, т. е. из всех точек криволинейной поверхности, провести вертикальные линии до 59
свободной поверхности жидкости или её продолжения. Если очерченный вертикальными линиями объём заполнен жидкостью, тело давления построено на смоченной части криволинейной поверхности, оно считается положительным. Стрелками, направленными вниз, показываем, что жидкость давит на криволинейную поверхность (см. рис. 3.1). Таким образом, выделенный объём можно назвать эпюрой тела давления. Определяем положение центра тяжести тела давления. Из центра тяжести объёма вертикальную составляющую Ry направляем вниз. В противном случае, если очерченный вертикальными линиями объём тела давления построен на несмоченной поверхности и не заполнен жидкостью, тело давления считается отрицательным. Стрелками, направленными вверх, показываем, что жидкость как бы вытеснена за счёт конфигурации криволинейной поверхности. Из центра тяжести отрицательного тела давления вертикальная составляющая Ry направлена также вверх (см. рис. 3.2). Рассмотрим случай, когда при построении может получиться не одно, а два тела давления (рис. 3.3). Рис. 3.3 Имеем криволинейную поверхность АКБ, удерживающую некоторый напор жидкости. Криволинейную поверхность можно разделить на две части - АКъКВ. Для части АК строим тело давления по приведённой методике. Получаем положительное тело давления объёмом АКМ, построенным на смоченной поверхности АК. 60
Для части криволинейной поверхности КВ тело давления объёмом KBNM, построенное на несмоченнои поверхности КВ, отрицательное. В объёме KMNE происходит наложение отрицательного тела давления на положительное, два тела давления взаимно уничтожаются (компенсируются, сокращаются). После построений имеем два тела давления: положительное объёмом ANE, сила R из центра тяжести тела давления направлена вниз; отрицательное объёмом ЕКВ, сила Ry2 направлена вверх. В приведённых примерах “тела давления** эпюру положительного тела давления заштриховываем сплошными линиями, отрицательного - пунктирными. Такую же штриховку будем показывать в приведённых примерах и задачах. Предлагается рассмотреть примеры расчёта силы давления жидкости на криволинейные поверхности различной сложности. 3.2. Примеры решения задач по теме: “Расчёт силы давления жидкости на криволинейные поверхности99 Задача 3.2.1. Цилиндрический затвор диаметром D = 0,6 м перекрывает прямоугольное отверстие в вертикальной стенке, удерживающей напор воды. Высота отверстия равна диаметру затвора, длина отверстия L » 2,0 м. Уровень воды над верхней кромкой затвора h = 0,2 м. Затвор может поворачиваться относительно горизонтальной оси и, перемещаясь, открывать отверстие (рис. 3.4). Определить величину и угол наклона к горизонту силы давления воды на цилиндрический затвор. Решение. На рис. 3.4,а показан общий вид затвора. Решение представим в плоском чертеже для вертикального сечения затвора, при этом длина затвора L перпендикулярна плоскости чертежа (рис. 3.4,6). Для наглядности и лучшего понимания чертёж выполнен в масштабе. На примере решения этой задачи представлена методика расчёта силы давления жидкости на криволинейные поверхности. 1. Выбираем два направления х и у9 по которым определяем составляющие силы давления жидкости. Сила полного давления R: R=^+R2y: Для данной цилиндрической поверхности достаточно двух направлений, так как поверхность имеет ось симметрии. 61
Рис. 3.4 Начало координат выбираем на свободной поверхности. Ось у направляем вертикально вниз, так как положительное значение глубины 62
отсчитывается от свободной поверхности вниз. Ось х направляем по свободной поверхности вправо по направлению действия жидкости (см, рис. 3.4, б). 2. Определяем горизонтальную составляющую по формуле (3.3): Лх = РОсЛ- Криволинейную поверхность АВ спроектируем внутрь жидкости на вертикальную плоскость. Получим вертикальную проекцию А 'В представляющую прямоугольник высотой D и шириной (длиной) L (см. рис. 3.4, в). Рассчитаем силу давления воды на эту вертикальную проекцию. Площадь вертикальной проекции Ау =- DL. Координата, или глубина погружения центра тяжести С этой проекции Ус ~ h + D/2 = 0,5 м. Покажем на чертеже ус. Рассчитаем горизонтальную составляющую: tfx = pg(A г D/2)DL> (3.6) Rx = 103'9,80,5'0,6'2,0 = 5,88'103 Н = 5,88 кН. Определяем глубину погружения центра давления yD для горизонтальной составляющей, т. е. глубину точки приложения силы Rx по формуле (3.4): где 1С - центральный момент инерции относительно горизонтальной оси для вертикальной проекции криволинейной поверхности. Момент инерции для прямоугольника, согласно табл. 3 (см. приложение): 1с.т. с 12 После подстановки данных получим: LD3 D2 D2 Уо =Ус + ~----™=ус +т;-----; эксцентриситет е = ——; 12ycDZ И.Ус 0 6^ уD = 0,5 + —--= 0,5 + 0,06 = 0,56м; е = 0,06 м = 6 см. D 12-0,5 Покажем на чертеже у в, эксцентриситет е и положение силы Rx. 63
Горизонтальную составляющую Rx можно определить также графо- аналитическим методом, согласно формуле (2.11): В* “ $эп L* Определим давление воды в точках А* и В': рА = Pgk Ри' = Ю3 • 9,8 • °’2 = 1.96 • Ю3 Па = 1,96 кПа. рв. = Pg(* + О); Рв- = 103 • 9,8 • 0,8 = 7,84 • 103 Па = 7,84 кПа. Построим эпюру гидростатического давления (см. рис. 3.4, в). Эпюра представляет призму с основанием в виде трапеции и высотой Z, тогда Rx = S^L = = pg(A + D!2}DL. Получили формулу, соответствующую формуле (3.6). Находим графически положение центра давления. Можно воспользоваться данными табл. 3 (см. приложение). Глубина погружения центра давления, согласно формуле (2.11), совпадает с положением центра тяжести эпюры в виде трапеции (см. рис. 3.4, в). Находим координату центра тяжести эпюры: У Ц.Т.ЭП. Wp^Pb'^ 3(Ру +РД.) = 0,24 м. Центр тяжести трапеции можно определить геометрическим построением (см. задачу 2.3.4). На рис. 3.4, в покажем Уд.т.зпл получим уг> = Л+Г>-уц.т,эа = 0,56 м. Расчёты горизонтальной составляющей Rx а глубины погружения центра давления Jd аналитическим и графо-аналитическим методами совпали. 3. Определяем вертикальную составляющую Ry силы давления воды на цилиндрическую поверхность по формуле (3.5): Ry ~ Р^т,. Криволинейная поверхность имеет две части - А С и СВ, СтроихМ тело давления для части АС, Из контура криволинейной части АС проводим вертикальные линии до свободной поверхности жидкости, получим реальное (положительное) тело давления в виде криволинейной призмы с основанием АКМС, построенное на смоченной поверхности АС и заполненное водой. В эпюре тела давления стрелки направляем вниз. 64
Для части криволинейной поверхности СВ снова проводим вертикальные линии до свободной поверхности, получим отрицательное тело давления в виде криволинейной призмы с основанием ВСМК, так как оно построено на несмоченной поверхности и не заполнено жидкостью. Стрелки в эпюре тела давления покажем пунктиром и направим вверх. Анализ построения двух тел давления показывает, что в объёме АКМС два тела давления взаимно уничтожаются (сокращаются, компенсируются). Результирующее тело давления отрицательное в виде полуцилиндра объёмом: Вертикальная составляющая Ry. r = pg^-Z; R = 103 - 9,8 3’14^-2- • 2,0 = 2,77 • 103 H = 2,77 кН. у 8 9 у 8 Показываем линию действия и точку приложения Ry. Вертикальная составляющая приложена в центре тяжести тела давления и направлена вверх. Центр тяжести полуцилиндра (см. приложение, табл. 3) находится на расстоянии хс -4г/3л - 0,13 м от оси цилиндра. Показываем на чертеже (см. рис. 3.4, б) расстояние хс, центр тяжести полуцилиндра и направление силы Ry. 4. Определяем величину равнодействующей давления воды на цилиндрический затвор: R = ^5,882 + 2,772 = 6,5 кН. Чтобы найти линию действия, направление и точку приложения равнодействующей Л, по линии действия продолжим Rx и Ry до взаимного пересечения, получим точку N. Геометрическое сложение сил проведём вне чертежа. Вынесем точку N и покажем сложение сил в масштабе. Параллельно по линии действия силу R перенесём в точку N на основном чертеже и продолжим ее до пересечения с криволинейной поверхностью. Равнодействующая R должна пройти через точку пересечения составляющих и центр криволинейной поверхности. Точка пересечения равнодействующей с цилиндрической поверхностью является центром давления. Угол а наклона равнодействующей R найдём через tg а : tga = = 0,47; а = 25°. Rx 5,88 65
Ответ: равнодействующая давления воды Я = 6,5 кН направлена радиально под углом а = 25е. В практике решения задач могут быть случаи определения силы давления на криволинейную поверхность, когда жидкость действует с двух сторон. Такое решение рассмотрим на примере задачи 3.2.2. Задача 3.2.2. Определить силу давления нефти на цилиндрическую поверхность АВ, а также угол наклона силы к горизонту, если слева уровень нефти Hi = D = 1,2 м, справа Н2 = D/2 = 0,6 м. Длина цилиндрической поверхности £==4,0 м. Принять плотность нефти рн= 900 кг/м3 (рис. 3.5). Решение. На рис. 3.5,а представлен общий вид цилиндрической поверхности длиной L, воспринимающей давление нефти с двух сторон. В случае действия жидкости с двух сторон целесообразно определить составляющую Rx> как геометрическую сумму горизонтальных сил слева и справа RX2, и вертикальную составляющую Ry через объём результирующего тела давления, затем геометрически сложить Rx и Ry и получить результирующую силу давления R и её положение. Рассчитать силу давления жидкости на криволинейную поверхность сначала слева, затем справа, геометрически сложить эти составляющие для определения равнодействующей и её положения более трудоёмко, как аналитически, так и геометрически. 1. Покажем два направления - х и у (см. рис. 3.5,6), по которым определим составляющие силы давления с последующим их геометрическим сложением: R^Rl+R*. 2. Определим величину и положение горизонтальной составляющей Rx. Расчёт проведём графоаналитическим методом: а) Определим силу давления нефти слева RX1. Криволинейную поверхность АВ спроектируем внутрь жидкости на вертикальную плоскость и получим вертикальную проекцию А'В' в виде прямоугольника высотой Н\ и длиной (шириной) L (см. рис. 3.5,6). Давление нефти в точках А1 и В1: Af=0; Рв- =900-9,8-1.2 = 10,6-103 Па = 10,6кПа. Строим эпюру давления. Откладываем по нормали к вертикальной проекции величину давления в характерных точках в удобном масштабе, соединяем полученные точки наклонной прямой. Эпюра давления представляет треугольную призму с основанием в виде треугольника и 66
высотой, равной £. Заштриховываем эпюру, стрелками показываем направление давления нефти слева направо (см. рис. 3.5,6) Рис. 3.5 67
Силу RX1 рассчитаем по формуле (2.11): Я = L = R = • 4,0 = 25,4 • 103 Н = 25,4 кН. *i эп 1 2 ’ *i Покажем линию действия силы RX{. Сила проходит через центр тяжести эпюры, т. е. через центр тяжести треугольника (см. формулу (2.11)). Глубина погружения центра давления для силы RX} : "" ^ц.т.эп] На чертеже (см. рис. 3.5,6) покажем и линию действия силы RXI. Сила направлена по нормали к вертикальной проекции А'В' слева направо (из жидкости на вертикальную проекцию). б) Определим силу давления нефти справа RX2. Криволинейную поверхность СВ спроектируем внутрь жидкости на вертикальную плоскость, получим вертикальную проекцию СЯВ в виде прямоугольника высотой Н2 и длиной L. Рассчитаем силу RX2. Давление в характерных точках: Рс = Рв =Рн&^2« Рв = 900-9,8 0,6 = 5,3-103 Па = 5,3 кПа. По аналогии строим эпюру давления нефти справа. Эпюра давления в вертикальной плоскости также представляет равномерную нагрузку в виде треугольника. Стрелками покажем направление действия нефти на вертикальную проекцию справа налево. Рассчитаем силу RX2 : Я = S L = L; R = 900-9,8-0,62_. 4,0=6,35 • 103 Н = 6,35 кН. *2 ЭП2 2 ’ 2 Покажем линию действия силы RX2. Сила проходит через центр тяжести второй эпюры на глубине ТЭП2 = 2 / ЗН2 и направлена по нормали к вертикальной проекции СВ справа налево (см. рис. 3.5, б). в) Определим горизонтальную составляющую Rx путём геометрического сложения составляющих R^ и RX2: Rx=RXi-R^ -, Ях=19,05кН. 68
Положение силы Rx определим, пользуясь теоремой Вариньона: момент от равнодействующей Rx равен сумме моментов составляющих сил R^ и RX2 относительно той же оси, например 0-0, совмещённой с дном. Обозначим через уд расстояние от оси 0-0, на котором приложена сила Rx: RxyD = RX] Л!ЗНУ - RX2 * 1 /ЗН2; отсюда yD = 0,47 м. На расстоянии у& от дна покажем линию действия и точку приложения горизонтальной силы Rx (см. рис. 3.5,6). Глубина погружения центра давления для горизонтальной составляющей hD- Н\-уо = 1,2 - 0,47 - 0,73 м. Сила Я* направлена по нормали слева направо на вертикальную проекцию Л 'В9 криволинейной поверхности. 3. Определим величину. направление и точку приложения вертикальной составляющей Ry. Согласно формуле (3.5): = PS Найдём положение результирующего тела давления. На рис. 3.5,в представлено построение тела давления для левой и правой части криволинейной поверхности согласно принятой методике (см. глава 3; 3.1). Для левой части получаем отрицательное тело давления объёмом в виде полуцилиндра: Для правой части четверти цилиндра: тело давления положительное объёмом в виде у = т-л-2 4 При геометрическом сложении объёмов двух тел давления положительного и отрицательного, т. е. при наложении объёмов тела давления, получим результирующее тело давления отрицательное в виде четверти цилиндра (см. рис. 3.5,6). Вертикальная составляющая Ry. Ry = РнЯ^резул. = Рн£ ~~ Ь Ry = 9>97 “И’ 10 Из центра тяжести результирующего тела давления, т. е. из центра тяжести четверги цилиндра, вертикальная составляющая Ry направлена 69
вверх. Центр тяжести четверти цилиндра так же, как центр тяжести полуцилиндра, находится на расстоянии хс = 4г/3л (см. приложение, табл. 3): 4Я2 Хс~ Зя ’ хс 441,6 3-3,14 = 0,25 м. На рис. 3.5,6 покажем хс и положение вертикальной составляющей Ry, 4. Находим величину равнодействующей Л: R = 7л2+Л2; R = 719,052 + 9,972 = 21,5 кН. Чтобы найти положение и точку приложения равнодействующей сил давления нефти R, продолжим составляющие Rx и Ry до взаимного пересечения, получим точку N(см. рис. 3.5,6). Вынесем точку N вне чертежа и проведём геометрическое сложение сил. По линии действия равнодействующую R параллельно перенесём в точку пересечения составляющих на основном чертеже и найдём точку пересечения силы R с криволинейной поверхностью. Эта точка является центром давления для результирующей сил давления нефти. Равнодействующая R должна быть направлена радиально к криволинейной поверхности. Проверим, действительно сила R проходит через центр цилиндрической поверхности, построение верно. Угол а наклона равнодействующей найдём через tg а : Rv 9.97 Л . tga= 0,523; а = 27°40'. Rx 19,05 Ответ: сила давления нефти на цилиндрическую поверхность R = 21,5 кН, сила действует радиально под углом a = 27°40'. В задачах 3.2.1 и 3.2.2 представлены аналитический и графо- аналитический методы определения горизонтальной составляющей силы давления жидкости на криволинейную поверхность, расчёт вертикальной составляющей через объём результирующего тела давления. В этих задачах объём тела давления представлен простыми геометрическими фигурами, положение центра тяжести которых определяется по таблице. Наряду с простыми геометрическими фигурами тела давления при решении задач могут быть случаи, когда тело давления представляет криволинейную призму с основанием, состоящим из нескольких геометрических фигур. На примере решения задачи 32.3 рассмотрим определение положения центра тяжести тела давления, как сложной геометрической фигуры. 70
Задача 3.2.3. Определить силу давления воды на четверть цилиндрической поверхности АВ открытого резервуара, угол наклона силы к горизонту и глубину погружения центра давления, если глубина заполнения резервуара Н = 1,6 м, радиус цилиндрической поверхности г = 0,8 м, длина резервуара L ~ 5,0 м (рис. 3.6). Решение. На рис. 3.6,а дан общий вид резервуара с цилиндрической поверхностью в изометрии. На рис. 3.6,6 представлено среднее сечение резервуара нормальной плоскостью в соответствующем масштабе. Согласно принятой методике, проводим следующие расчёты. 1. Выбираем направления х и у, по которым определяем составляющие силы давления с последующим их геометрическим сложением: R = Jr*+R$'. Начало координат выбираем на свободной поверхности. Ось х направляем вправо по направлению действия жидкости, ось у - вертикально вниз. 2. Определяем горизонтальную составляющую Rx по формуле (3.3): Rx = pgycAy. Спроектируем цилиндрическую поверхность АВ на вертикальную плоскость. Получаем в проекции прямоугольник высотой АВ' = г и шириной, равной длине резервуара L. Площадь вертикальной проекции четверти цилиндра Ay = rL. Находим координату (глубину погружения) центра тяжести вертикальной проекцииус, которая отсчитывается от свободной поверхности жидкости: 2 Показываемое на чертеже (см. рис. 3.6,6). Рассчитываем горизонтальную составляющую Rx: Rx = pg(H-~)rL; R„ = 103 • 9,8 • 1Д • 0,8 • 5,0 = 47,0 • 103 H = 47,0 кН. 71
a в 72
Показываем направление и точку приложения силы Сила приложена в центре давления по нормали к вертикальной проекции АВ' на глубине ув- По формуле (3.4) 1С Уо~Ус +—у. УсАу где 1С - центральный момент инерции вертикальной проекции криволинейной поверхности относительно горизонтальной оси, т. е. момент инерции прямоугольника, согласно табл. 3 (см. приложение): Подставим значения всех параметров: Lr3 г2 уь=ус+т~~—7=^с+-—; \2ycrL 12ус 0,64 12*1,2 = 1,2+ 0,044 = 1,244 м. Эксцентриситет е, т. е. понижение центра давления относительно центра тяжести вертикальной проекции: г2 е =-----; е = 0,044 м = 44 мм. 12ус На чертеже (см. рис. 3.6,6) показываем координату центра давления у», эксцентриситет е, направление и точку приложения силы Rx. 3. Определяем вертикальную составляющую Ry по формуле (3.5): Ry Вертикальная составляющая равна силе тяжести жидкости в объёме тела давления. Чтобы найти объём тела давления, построим эпюру тела давления. Из контура цилиндрической поверхности проведём вертикальные линии до продолжения свободной поверхности. Тело давления ограничено самой криволинейной поверхностью АВ, вертикальными проектирующими плоскостями и горизонтальной проекцией криволинейной поверхности АВ на продолжение горизонта свободной поверхности. х 73
Очерченное тело давления построено на несмоченной части криволинейной поверхности АВ, не заполнено жидкостью, поэтому оно считается отрицательным. Стрелки в эпюре тела давления направлены вверх (сила Ry будет также направлена вверх). Тело давления представляет криволинейную призму с основанием А А*” и высотой, равной £. Площадь основания тела давления можно рассматривать как разность площадей двух фигур: прямоугольника и четверти круга 52 - . Тогда объём тела давления: -2 -51/4Kp.)£ = (r//-^-)Z. Вертикальная составляющая Ry 71Г2 R = pg(rH Л 4 Rv = 103 • 9,8(0,8 • 1,6 - • 5,0 - 38,1 • 103 H = 38,1 кН. 4 Переходим к определению направления и точки приложения вертикальной составляющей Ry. Сила Ry из центра тяжести тела давления будет направлена вверх, так как тело давления отрицательное. Нужно найти положение центра тяжести тела давления, т. е. центра тяжести основания тела давления. Положение центра тяжести составной фигуры определим, пользуясь понятием статического момента площади. Согласно формулам, изучаемым в курсе сопротивления материалов, в данной задаче координаты центра тяжести сложной фигуры рассчитаем по формулам: ^lXCi ~$2хс2 $\Ус} ~~ ^1Ус2 х =--------—----—: v =-------!------—. ц’т- Sj-S2 п-т' Sj-S2 где 51 - площадь прямоугольника В'А”В”В; S2 - площадь четверти круга; Xi и х2; j>i и уг - координаты центров тяжести прямоугольника и четверти крута относительно временных осей хвр ,; улр. На рис. 3.6,в представлено основание тела давления АА*В”В. Временные оси х вр. и у вр. для удобства расчётов совпадают с направлением осей х и у на основном чертеже (см. рис. 3.6,6). Для расчёта координат центра тяжести х ц<т, и у шт. фигуры АА"” имеем: 74
Sj ~rH = 1,28м2; xCj = - = 0,4м; yCi = - = 0,8м; 2 2 4 f* 4 v S, = — = 0,50м2; хс, = - = 0,34м; ус=Н---------------------= 1,26м; 2 4 ’ с2 Зя °2 Зя Ц.Т. 1,28 • 0,4 - 0,50 • 0,34 0,342 л АЛ ----------------г— = _л.. - = 0,44 м; 1,28-0,50 0,78 1,28 • 0,8 - 0,50 • 1,26 ЛС1 у =-----------------— = 0,51м. 1,28-0,50 Откладываем значения координат центра тяжести тела давления хц.т. и на рис. 3.6,в, показываем положение центра тяжести тела давления. В соответствующем масштабе переносим положение центра тяжести тела давления на основной чертёж и показываем линию действия и точку приложения вертикальной составляющей jR^. Как было указано выше, эта сила приложена в центре тяжести тела давления и направлена вертикально вверх. 4. Определяем величину равнодействующей сил давления воды R на цилиндрическую поверхность АВ по формуле (3.2): R = 747,02 +38,12 = 60,5 кН. Находим положение силы R. Геометрически сложим составляющие силы Rx и Ry: продолжим силы по линии действия до взаимного пересечения, получим точку N, через которую пройдёт равнодействующая R. Для удобства построения точку N вынесем за пределы чертежа и покажем сложение сил. Чтобы найти положение центра давления для равнодействующей R, силу R по линии действия параллельно перенесём в точку N на основной чертеж (см. рис. 3.6,6) и продолжим её до пересечения с криволинейной поверхностью АВ. Итак, центр давления - это точка пересечения линии действия силы R с цилиндрической поверхностью АВ. Равнодействующая R должна быть направлена радиально и проходить через точку N пересечения составляющих Rx и Ry , так как сила давления всегда действует по нормали или радиально к поверхности. Проверим построение в масштабе. Построение верно. Определим угол а наклона равнодействующей к горизонту через tg а : tga = —= 0,81; а = 39°. R ’ 75
Глубину пофужения центра давления для равнодействующей R рассчитаем по формуле: Л'рравн = Н - г sin 39°; yDpaBH = 1,6 - 0,8 • 0,63 = 1,1 м. Показываем глубину погружения центра давления для равнодействующей (у£>равн) на основном чертеже (см. рис. 3.6,6). Ответ: сила давления воды на цилиндрическую поверхность R = 60,5 кН радиально направлена под углом а = 39°, приложена на глубине ХРравн. “ М При решении задач по определению силы давления жидкости на криволинейную поверхность могут быть случаи расчёта объёма тела давления в виде криволинейной призмы, основанием которой является криволинейный треугольник, сегмент, полусегмент и им подобные. На рис. 3.7 представлены некоторые геометрические фигуры и показано положение их центров тяжести. 76
Рассмотрим ещё один типовой случай определения силы давления жидкости на криволинейную поверхность в виде полусферы на примере решения задачи 3.2.4. Задача 3.2.4. Определить силу давления бензина на полусферическую крышку закрытого резервуара. На поверхности бензина действует избыточное давление паров бензина /?ман. = 0,03 ат. Крышка перекрывает круглое донное отверстие радиусом г = 0,3 м. Глубина заполнения резервуара Н = 0,9 м. Принять плотность бензина Рбенз. ~ 750 кг/м3 (рис. 3.8). Решение. На рис. 3.8,а представлен общий вид резервуара с бензином в вертикальном разрезе. Прежде чем приступать к решению задачи, следует определиться с методикой учёта избыточного давления на поверхности при расчёте силы давления на полусферическую поверхность. Здесь могут быть выбраны два варианта. Во-первых, рассчитывать отдельно составляющую силу от внешнего, манометрического давления, а затем суммировать её с силой давления жидкости и находить равнодействующую сил давления. Во-вторых* манометрическое давление на поверхности жидкости можно перевести в давление столба бензина, условно заменив манометр пьезометром, найти пьезометрическую высоту и положение условной свободной поверхности. Такая методика расчёта рассмотрена в главе 2, в задачах 2.3.6; 2.3.7; 2.3.8. Эта методика расчёта позволит сразу определить равнодействующую сил давления жидкости и манометрического давления. Выберем второй вариант решения. Рассчитаем пьезометрический напор по показанию манометра, пользуясь формулой (1.5): hp бенз Рман . Рбенз£ hp бенз 0,03-98-103 ”750 -9,8 = 0,4 м. На уровне свободной поверхности в резервуаре (см. рис. 3.8,6) пунктиром покажем пьезометр, высота столба жидкости в котором соответствует hp6aa. По уровню жидкости в пьезометре покажем условную свободную поверхность* от которой будем отсчитывать координаты центров тяжести фигур и центра давления. Дальнейший расчёт силы давления бензина на полусферическую поверхность проводим по принятой методике: 1. Выберем два направления - х и у (рис. 3.8,6), по которым определим составляющие силы давления с последующим их геометрическим сложением. 77
Рис. 3.8 78
2. Определим горизонтальную составляющую Rx по формуле (3.3): Дх = Р бенз£ Ус Ау Полусферическая поверхность АКБ имеет две части: АК> на которую бензин действует слева, и КВ с действием бензина справа. Чтобы определить горизонтальную силу на левую часть полусферы, спроектируем часть АК внутрь жидкости на вертикальную плоскость. В яг2 проекции получим полукруг площадью А'у=-~, Проекция показана пунктирными линиями. Затем спроектируем правую часть полусферы внутрь жидкости и получим точно такую же проекцию в виде полукруга площадью Ау = . Находим координаты центров тяжести этих проекций: Ус ~Ус =Ус =н + hP6elo. -7^ ЗЯ Покажем координаты центров тяжести проекций на чертеже (см. рис. 3.8,6). Получим формулы для горизонтальных сил слева и справа: R, ~ Рбы&8Ус Лу’ % =РбензЯУс А’у Силы R'x и R” равны по величине, но противоположно направлены. Поскольку равны координаты центров тяжести проекций, то равны и координаты центров давления слева и справа: Уп=Уп=Уо* На глубине уд покажем силы Rx и R” противоположно направленными. Таким образом, при геометрическом сложении сил Rx и R* получим: Rx = Rx + R” 9 Rx — 0. Горизонтальная составляющая силы давления жидкости на полусферическую поверхность равна нулю. 79
3. Определим вертикальную составляющую силы давления на полусферическую поверхность R? по формуле (3.5): Ry = Р бензё ^т.л. • Чтобы построить тело давления, из контура полусферы проведём вертикальные линии до условной свободной поверхности. Получим эпюру тела давления. Тело давления построено на смоченной части полусферы, заполнено жидкостью, значит, оно действительное, или положительное. Стрелками, направленными вниз, покажем действие бензина на полусферическую крышку ( сила Ry также будет направлена вниз). Горизонтальная проекция полусферы на условную свободную поверхность представляет круг. Таким образом, объём тела давления - это объём цилиндра высотой (Н + hp ^3 ), за вычетом объёма полусферы: у = у _у г кд. г пил. г полусф. > V-гя. =nr2(H + hp6eta)- уу = лг2 (II + hp6tm - |г). Вертикальная составляющая Ry: &у “”Рбенэ.£^7* С^ + ^рбенз. Ry = 750 • 9,8 • 3,14 • 0,09 • 1,1 = 2284,8 Н = 2,29 кН. Следует показать линию действия и точку приложения вертикальной силы Ry. Линия действия силы совпадает с геометрической осью полусферической поверхности и цилиндра. Необязательно находить точку приложения силы Ry, т. е. центр тяжести тела давления, в котором она приложена, так как силу по линии действия можно перемещать. Но по правилам методики расчёта определим положение центра тяжести тела давления. Нужно определить только координату центра тяжести тела давления - Уц.т. (см. задачу 3.2.3). Временную ось у вр. совместим с осью у, тогда $2 Ус2 “^1 V =---------------- 80
яг2 где Sj = —— площадь полукруга (вертикальное сечение полусферы); S2 = 2 г(Я + hp ) - площадь прямоугольника; 4 г ус = (Я + Арбснз-----) - координата центра тяжести С] полукруга; 3 71 Я + ^лбенз Ус2 s-----2—“ * координата центра тяжести С2 прямоугольника. Для расчётов: 5, = 0,14 м2; S2 = 0,78 м2; уС} =1,17м; уС2 = 0,65м. Получим Ju.T.= 0,54 м. Покажем на чертеже уц.т. и положение центра тяжести тела давления. Из центра тяжести тела давления вертикальную силу Ry направим вниз. Поскольку горизонтальная сила равна нулю, на полусферическую поверхность действует только вертикальная сила. Ответ: на полусферическую крышку резервуара по оси полусферы действует сила R = Ry » 2,29 кН. В задаче 3.2.4 представлен случай, когда на поверхности жидкости закрытого резервуара действует манометрическое давление. В практике расчётов силы давления на криволинейную поверхность может быть условие, когда на поверхности жидкости или на определённом уровне в закрытом резервуаре известно вакуумметрическое давление (рвах.) В этом случае методика расчёта силы давления не меняется. При определении горизонтальной составляющей можно воспользоваться принципом расчёта силы давления, изложенным в задаче 2.3.9. При определении вертикальной силы следует помнить, что вертикальная составляющая от вакуумметрического давления отрицательная и направлена вверх. По аналогии с манометрическим давлением можно найти вакуумметрический напор Лвак =~—9 который учитывается со знаком минус, Pg поэтому объём тела давления будет отрицательным, значит, и вертикальная составляющая силы от вакуумметрического давления отрицательная, направленная вверх. В представленных примерах решения задач рассмотрены различные случаи действия жидкости на криволинейные поверхности. Предлагается проверить свои знания и умение пользоваться методикой расчёта силы давления на криволинейные поверхности при решении задач для самостоятельной работы. 81
3.3. Задачи для самостоятельной работы по теме “Сила давления жидкости на криволинейные поверхности” Задача 33.1 Определить величину и угол наклона силы давления бензина на полусферическую крышку закрытого резервуара (рис. 3.9), если радиус полусферы г = 0,2 м, показание пьезометра, выведенного на уровне нижней кромки крышки Я= 0,8 м, плотность бензина Рбенз - 800 кг/м3. Ответ: сила давления бензина R - 605,2 Н, угол наклона силы к горизонту а = 12°; глубина погружения центра давления yDpaBH.= 0,643 м. Задача 33.2 Определить силу давления масла на цилиндрическую стенку резервуара АВ (рис. 3.10), угол наклона силы и глубину погружения центра давления, если глубина заполнения резервуара Н = 0,8 м; радиус цилиндрической части г = 0,6 м; секторный угол равен 90°; длина образующей цилиндрической поверхности L = 1,2 м. Принять плотность масла Рмасл=860 кг/м3. Ответ: сила давления масла R = 3,64 кН; угол наклона силы к горизонту 82
Задача 3.3.3 Определить величину, угол наклона и глубину центра давления для равнодействующей давления воды на криволинейную стенку АВ (рис. 3.11) длиной L = 10 м. Действующий напор Н ® 4,0 м. Криволинейная стенка представляет часть цилиндрической поверхности с секторным углом ф ~ 60°. Ответ: равнодействующая сила давления воды R = 1013 кН; угол наклона силы к горизонту а = 39е; глубина центра давления урравн.= 2,93 м. Задача 3.3.4 Определить величину и угол наклона к горизонту равнодействующей давления воды на криволинейную стенку АВ резервуара (рис. 3.12), если ширина резервуара В = 3,0 м, напоры воды соответственно Ну - 2,0 м, Н2~ 1,0 м. Ответ: равнодействующая давления воды R = 155,6 кН; угол наклона силы к горизонту а = 3 Г. Рис. 3.12 83
Задача 3.3.5 Определить величину, угол наклона к горизонту и глубину центра давления для силы давления воды на секторный затвор АВ (рис. 3.13), удерживающий напор Н = 1,5 м, если ширина затвора В = 2,0 м, секторный угол затвора <рж60°. Ответ: равнодействующая давления воды R = 28,5 кН; угол наклона силы к горизонту а = 39е; глубина центра давления yD равн. = 1,1 м. Рис. 3.13 Задача 33.6 Определить величину, угол наклона к горизонту и глубину центра давления для силы давления воды на криволинейную стенку АВ (рис. 3.14) длиной L - 3,0 м, удерживающую напор Н = 1,5 м. Криволинейная стенка представляет часть цилиндрической поверхности с секторным углом <р= 60°. Ответ: равнодействующая сила давления воды R = 35,0 кН; угол наклона силы к горизонту а = 18е; глубина центра давления уорайН. = 0,95 м. Рис. 3.14 84
Задача 3.3.7 Определить силу давления бензина на полусферическое дно цилиндрического резервуара (рис. 3.15) радиусом г = 0,4 м, если показание манометра, установленного на расстоянии h = 0,8 м от дна резервуара, Л>ман“ 0,12 ат. Принять плотность бензина р бенз.= 720 кг/м3. Ответ: сила давления бензина R - 7,81 кН. Рис. 3.15 Задача 3.3.8 Определить усилие F, которое нужно приложить к полусферической крышке резервуара с водой (рис. 3.16) для удержания её в закрытом положении, если радиус полусферы г = 0,2 м. Крышка поворачивается вокруг шарнира в точке А. Показание пьезометра, установленного на уровне шарнира, Л ~ 0,6 м. Ответ: усилие F £ 287 Н. Рис. 3.16 85
Задача 3.3.9 Определить равнодействующую сил давления воды, угол наклона её к горизонту и глубину погружения центра давления для цилиндрической поверхности АВ с секторным углом ср = 120е. Длина поверхности L = 3,0 м. Действующий напор воды слеваЯ= 1,5 м, справа h-H/2 = 0,75 м (рис. 3.17). При решении представить чертёж в виде вертикального сечения криволинейной поверхности. Ответ: равнодействующая сил давления воды R = 25,73 кН действует под углом а = 15е к горизонту, глубина похружения центра давления Уоравн. 0,98 м. Задача 33.10 Определить величину и угол наклона к горизонту равнодействующей сил давления воды на устройство в виде цилиндрического затвора (рис. 3.18), если диаметр цилиндра D = 0,9 м, действующий напор слева Н = 1,2 м, справа h = D/2. Длина цилиндрического затвора L = 4,0 м. Ответ: равнодействующая сил давления воды R = 29,24 кН действует под углом а = 39е к горизонту. 86
Задача 33.11 В закрытом резервуаре, заполненном бензином, в боковой стенке сделано круглое отверстие, которое закрывается полусферической крышкой радиусом г = 0,6 м (рис. 3.19). Крышка укреплена с помощью шарнира в точке А. На расстоянии h = 1,2 м от шарнира на свободной поверхности бензина действует вакуумметрическое давление р^к - 0,05 ат. Определить усилие F для удержания крышки в закрытом положении. Принять плотность бензина р бенз. 710 кг/мэ. Ответ: усилие для удержания крышки F > 4,25 кН. Рис. 3.19 Задача 33.12 Закрытый резервуар с полуцилиндричсским дном радиусом г = 0,6 м и длиной L = 1,5 м заполнен маслом плотностью p^^ = 900 кг/м3 (рис. 3.20). Сила давления масла на дно резервуара R - 15,4 кН. Определить на какой высоте Н от оси цилиндрической части установлен вакуумметр, показание которого Рвак. = 0,063 ат. Ответ: высота установки вакуумметра Н = 1,2 м. Рис. 3.20 87
Задача 3.3.13 Определить силу давления воды на верхнюю и нижнюю половины сферического резервуара радиусом г = 0,3 м, полностью заполненного водой, а также растягивающее усилие в болтах фланцевого соединения (6 болтов), если показание манометра, установленного под углом <х - 45° в нижней части резервуара рман. = 0,1 ат. (рис. 3.21). Ответ: Rytepx =1,63 кН; Rymm = 2,74 кН; Я6оот = 0,73 кН. Рис. 3.21 Задача 33.14 Определить величину равнодействующей давления воды на полуцилиндрическую крышку АВ закрытого резервуара и угол наклона силы к горизонту. Диаметр цилиндрической части D = 600 мм, длина образующей цилиндрической поверхности L = 800 мм, показание манометра, установленного на расстоянии h ~ 100 мм от дна резервуара, рман. = 0, 07 ат (рис. 3.22). Рассчитать растягивающее и срезающее усилие, воспринимаемое болтами крышки. Ответ: равнодействующая R - 2,6 кН, угол наклона силы к горизонту 88
Раздел второй ГИДРОДИНАМИКА Гидродинамика - раздел гидромеханики, в котором изучаются законы движения жидкости, взаимодействие жидкости с твёрдыми поверхностями и движущимися твёрдыми телами. Раздел гидродинамики является основой для решения теоретических и инженерных задач по расчёту трубопроводных систем, открытых русел, истечения жидкости через отверстия и насадки. Глава 4 ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 4Л. Основные понятия о параметрах движения жидкости К гидродинамическим характеристикам потока относятся: давление, скорость и ускорение, т. е. изменение скорости во времени. При установившемся движении жидкости распределение давления по сечению движущегося потока подчиняется гидростатическому закону, т. е. давление не является функцией времени. Что касается скорости, то она изменяется во времени и в пространстве. Математически такую зависимость трудно записать, поэтому гидродинамические законы имеют достаточно общий характер с некоторыми допущениями. Скорость в точке потока или скорость в сечении элементарной струйки (понятие струйки будет приведено ниже) обозначается буквой и. Средняя скорость потока обозначается - v. В зависимости от того, являются ли основные параметры движения функцией времени, различают два вида движения жидкости: неустановившееся и установившееся. Неустановившееся - это движение жидкости, при котором скорость является функцией времени. В качестве примера неустановившегося движения можно привести истечение жидкости при переменном напоре (опорожнение резервуара). Установившееся - это движение жидкости, при котором все параметры движения в одной и той же точке пространства не меняются во времени, т. е. приращение скорости во времени (ускорение) равно нулю. В зависимости от характера изменения скорости по длине пространства, заполненного жидкостыо, установившееся движение может быть: 89
а) равномерным, при котором скорость по длине струйки, потока остаётся постоянной (движение в трубах постоянного диаметра); б) неравномерным, если скорость по длине потока резко изменяется по величине или (и) по направлению (внезапное сужение или расширение потока, резкий поворот и другие); в) плавно изменяющимся, если изменение скорости происходит достаточно плавно (конические переходники сужающиеся и расширяющиеся). В этом случае с достаточной для практики точностью применимы законы равномерного движения. В программу данного курса входит изучение законов установившегося движения и применение этих законов для решения инженерных задач. 4,2. Понятие идеальной жидкости и потока жидкости В разделе “Общие сведения о жидкостях” рассмотрены физические свойства жидкостей. В разделе “Гидродинамика” при выводе законов движения необходимо учитывать плотность, удельный вес и все физические свойства жидкостей. Учесть влияние всех этих параметров на условия движения жидкости невозможно, поэтому для облегчения решения задач гидродинамики введено понятие идеальной жидкости. Идеальная жидкость ~ это условно принятая жидкость, не сжимаемая при изменении давления и не расширяющаяся при изменении температуры, обладающая абсолютной подвижностью, т. е. вязкость жидкости равна нулю; не сопротивляющаяся деформации разрыва. Таким образом, законы и уравнения гидродинамики выводятся для идеальной жидкости, затем в них вносятся дополнительные члены, коэффициенты, поправки с учетом физических свойств и условий движения реальной, вязкой жидкости. В гидродинамике поток жидкости рассматривается как совокупность элементарных струек (рис. 4.1,а). а б Рис. 4.1 Элементарная струйка - бесконечно малый замкнутый объём жидкости, поверхность которого образована линиями тока (рис. 4.1,6). Линия тока - линия, в каждой точке которой в данное мгновение вектор скорости жидкости совпадает с касательной к этой линии. При 90
установившемся движении линия тока совпадает с траекторией движения материальной точки жидкости. Для элементарной струйки приняты свойства, которые используются в теоретических выводах: а) форма струйки не изменяется с течением времени; б) поверхность струйки непроницаема со стороны окружающей жидкости, жидкость не входит в струйку и не выходит из неё; в) в силу малости нормального сечения струйки скорость в пределах сечения считается постоянной. Различают два вида потоков. Напорные потоки - это потоки жидкости, ограниченные со всех сторон твёрдыми стенками. Примерами служат движение воды, масла, нефти в трубопроводах, воздуха в вентиляционных системах и им подобные. Безнапорные потоки ~ это потоки жидкости, отраниченные твёрдыми поверхностями не со всех сторон и имеющие по всей длине свободную поверхность. Примерами таких потоков являются движение жидкости в реках, каналах, лотках, желобах и других открытых руслах. 43. Гидравлические элементы потока Живое сечение (со) - сечение струйки или потока плоскостью, нормальной в каждой своей точке к проходящей через нес линии тока. Для равномерного и плавно изменяющегося движения живое сечение является плоским. На рис. 4.2 представлено живое сечение для круглой трубы диаметром d, полностью заполненной жидкостью (рис. 4.2,а), и для открытого русла шириной Ь и глубиной наполнения h (рис. 4.2,6). Рис. 4.2 Смоченный периметр (%) - длина контура живого сечения по твёрдым стенкам русла. На рис. 4.2,а для круглой трубы % = ти/ = 2яг (длина окружности круглой трубы); для открытого потока (см. рис. 4.2,6) 2Л +й. 91
Гидравлический радиус (R) - отношение площади живого сечения к смоченному периметру: Л = -. (4.1) X Для напорного потока в круглой трубе (см. рис. 4.2,а) гидравлический радиус d г R = 1— = - = откуда d = 47?, (4.2) 4ти7 4 2 j для открытого потока (см. рис. 4.2,6) 2h + b Гидравлический радиус (7?) является универсальной геометрической характеристикой потока, которая может быть использована в теоретических выводах для потоков любой формы с различной степенью заполнения жидкостью. 4.4. Расход жидкости. Средняя скорость потока. Уравнение неразрывности потока Расходом называется количество жидкости, проходящее через живое сечение в единицу времени. В зависимости от того, в чём выражают количество жидкости, различают: - объёмный расход (0); - массовый расход (Л7); - весовой расход (G ). Для вывода расчётной формулы объёмного расхода рассмотрим элементарную струйку в установившемся движении, выделим в ней живое сечение da>, которое за время dt переместится из положения 1 в положение 2, пройдя путь dl (рис. 4.3). Рис. 4.3 92
Допустимо считать, что на расстоянии dl площадь живого сечения Jco остаётся постоянной и скорость и в живом сечении также постоянна согласно свойствам элементарной струйки. При перемещении живого сечения из положения 1 в положение 2 за время dt жидкость заполнит отсек 1-2 объёмом dV ~ durdl. Согласно определению объёмный расход для элементарной струйки dV , dl dQ- - = do- . dt dt т-r При установившемся движении — = м, где и - скорость струики в dt живом сечении, таким образом, расход для элементарной струйки: dQ = и бйо. Переходя к целому потоку жидкости, следует учесть, что скорости струек в пределах живого сечения потока изменяются по величине и по направлению. Чтобы найти расход жидкости для целого потока, следует просуммировать расходы струек по всему живому сечению, т.е проинтегрировать зависимость dQ по плошади живого сечения потока со: Q- judo. со Для инженерных расчётов вводится понятие средней, условной скорости потока (и). Средняя скорость - это такая одинаковая для всех струек скорость, при которой расход жидкости равен суммарному расходу элементарных струек с действительными скоростями, тогда [и do со со отсюда Q - v со. (4.3) Единица измерения объёмного расхода Q: м3/с; л/с. Массовый расход М = р0, кг/с. Весовой расход G ~ Н/с. 93
Экспериментальное определение объёмного расхода (Q) проводится объёмным методом, а именно определяется время наполнения (/) определённого объёма жидкости (IF) в мерной ёмкости, тогда JF 0 = р (4.4) Объём протекающей жидкости (W) можно также определить по водомеру, счётчику воды или любому прибору для измерения скорости и расхода (примеры таких приборов будут рассмотрены ниже). Важным уравнением в гидродинамике является уравнение неразрывности потока (приводится без вывода). В случае, если плотность жидкости - величина постоянная (р - const), что имеет место при движении капельных жидкостей, уравнение неразрывности имеет вид: 61 = 02 = 0 = const или для двух сечений t>i coj = 02^2- со 2 Как следствие можно записать —- =—(4.5) v2 <0t nn.Mwrnnttrnvfi»- Ul_j2 для круглой трусы: — 2’ dx Для сплошного неразрывного потока расход жидкости постоянный, скорости в живых сечениях обратно пропорциональны площадям живых сечений. 4.5* Основное уравнение гидродинамики. Уравнение Даниила Бернулли Уравнение Бернулли является основным уравнением гидромеханики, с помощью которого решаются теоретические вопросы и инженерные задачи. Принципы действия многих приборов, в том числе для измерения скорости и расхода жидкости, основаны на уравнении Бернулли. В уравнении Бернулли установлена связь между основными параметрами движения: давлением, скоростью в живом сечении струйки или потока и геометрическим положением живого сечения струйки или потока жидкости. В данном разделе рассматривается уравнение Бернулли для установившегося движения жидкости, находящейся в поле действия сил тяжести, т. е. действует только ускорение свободного падения g. 94
Уравнение Бернулли выводится в три этапа: 1) для элементарной струйки идеальной жидкости (см. понятие идеальной жидкости и элементарной струйки в разделе 4.2); 2) для элементарной струйки реальной, вязкой жидкости; 3) для целого потока реальной жидкости. Каждое из последующих уравнений выводится на основе предыдущего. Вместе с тем каждое уравнение имеет своё назначение и круг решаемых задач. Рассмотрим последовательно все уравнения Д. Бернулли. 4.5.1. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкост и Идеальная жидкость - это условная жидкость, в которой отсутствует такое физическое свойство, как вязкость. Идеальная жидкость обладает абсолютной текучестью и движется без возникновения сопротивлений, поэтому энергия струйки остаётся постоянной по ходу движения. Уравнение имеет вид: 2 + — + -— = const. (4.6) Pg 2g Для двух и более сечений по направлению движения струйки уравнение принимает вид: 2 2 2 +El+uj _2 +Pl + u.i.. Zi т---г--— Zy “Г - г Pg 2g pg 2g Рассмотрим смысл всех слагаемых, входящих в уравнение (4.7). (4.7) const 4.5.2. Интерпретация уравнения Бернулли Все члены уравнения имеют линейную размерность, поэтому могут характеризоваться с геометрической точки зрения как высоты или напоры, а с энергетической точки зрения как удельная энергия. Геометрический смысл уравнения Бернулли: z “ Агеом - геометрическая высота, или геометрический напор, отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскости сравнения; ~hp- пьезометрический напор, или пьезометрическая высота (см. Pg раздел 1.3). Пьезометрический напор соответствует показанию пьезометра в заданном сечении струйки; w2 — йск - скоростной напор в живом сечении струйки. 2g 95
Уравнение (4.6) с геометрической точки зрения может быть записано: А геом. + Ар +А ск. -йполн. COIlSt, (4.8) где Яполи. - полный напор в заданном сечении струйки. Сумма геометрического и пьезометрического напоров называется статическим напором. обозначаетсяН„- hTtmt.^hp = H„. или z + -^- = H„_ Pg (4.9) Графическое представление уравнения Бернулли называется диаграммой уравнения. Для построения диаграммы рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости в установившемся плавно изменяющемся движении, выделим в ней два живых сечения 1-1 и 2-2 с площадями dtoi и Ло2> со скоростями «1 и иг и давлениями в этих сечениях р\ и р2. Представим графически уравнение (4.7). Выбираем произвольно ориентированную горизонтальную плоскость сравнения 0-0 (рис. 4.4). Отсчёты геометрических высот сечений Zi и z2 от плоскости сравнения по вертикали вверх считаются положительными. Рис. 4.4 96
Показываем z^ и z2 для выделенных сечений. В каждом сечении по вертикали прибавляем пьезометрические напоры — и затем РЯ Pg U\ и2 скоростные напоры у- и ~ . При построении диаграммы следует учесть, что для изображённой струйки площадь второго живого сечения меньше площади первого живого сечения значит, согласно уравнению неразрывности (см. формулу 4.5), скорость и скоростной напор во втором сечении больше, чем в первом: ^2 > *1 . 2g 2g Сумма трёх напоров для элементарной струйки идеальной жидкости величина постоянная, равная полному напору Н. Показываем на диаграмме ^Аюлн. const. Линия, соответствующая полному напору, называется линией полного напора. Для идеальной жидкости линии полного напора располагаются на одной горизонтальной плоскости. Линия, соответствующая пьезометрическим напорам, называется пьезометрической линией. Очертание пьезометрической линии соответствует форме элементарной струйки. Для струйки цилиндрической или плавно изменяющейся формы пьезометрическая линия является наклонной прямой. Анализ диаграммы показывает, что при сужении струйки скоростной напор возрастает, а статический напор падает. Энергетический смысл уравнения Бернулли Все слагаемые уравнения представляют удельную энергию, т. е. отнесённую к единице веса: z = е „олож. - удельная потенциальная энергия положения; р — = е давл - удельная потенциальная энергия давления; Pg и2 — ~ кин. - удельная кинетическая энергия. 2g С энергетической точки зрения уравнение имеет вид: £ полож. + е давл. + С кин. ~ Е~ CODSt, (4.10) где Е ~ полная удельная энергия струйки. Для идеальной жидкости полная удельная энергия струйки остаётся постоянной для всех сечений по длине движущейся струйки. Таким образом, уравнение Бернулли согласуется с законом сохранения энергии. 97
Закон сохранения энергии можно проследить на диаграмме (см. рис.4.4): во втором сечении удельная кинетическая энергия (•—) 2g увеличивается, значит, удельная потенциальная энергия (z2 + —) PS уменьшается. 4.53. Уравнение Бернулли для элементарной струнки реальной, вязкой жидкости Реальная жидкость считается несжимаемой, обладающей важным физическим свойством - вязкостью (см. раздел “Общие сведения о жидкостях”). Вязкость противодействует относительному перемещению слоёв жидкости, в связи с чем возникают силы трения. На преодоление сил трения затрачивается энергия (напор) движущейся жидкости. Это значит, что полный напор (Н) или полная удельная энергия (£) струйки не остаются постоянными по длине движущейся струйки, часть напора (энергии) затрачивается на преодоление сил трения. В уравнение Бернулли вводится дополнительный член h'w, называемый потерями напора. Таким образом, если Н\ - полный напор в первом сечении струйки, то ко второму сечению останется полный напор а часть напора 2 израсходуется на преодоление гидравлических сопротивлений между первым и вторым сечениями: (4.П) Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной, вязкой жидкости принимает вид Pi Pg (4-12) Геометрический и энергетический смысл каждого слагаемого уравнения остаётся таким же, как для идеальной жидкости. Представим диаграмму уравнения для элементарной струйки реальной жидкости на рис. 4.5. 98
Чтобы проследить подобие построения диаграммы, примем элементарную струйку примерно той же формы, что для идеальной жидкости (см. рис. 4.4). Выделим два живых сечения 1-1 и 2-2 с площадями </<»1 и da>2, покажем три напора (геометрический, пьезометрический, скоростной) в первом сечении и полный напор в первом сечении - Для второго сечения аналогично отложим три напора так, чтобы полный напор во втором сечении Нг был меньше полного напора в первом сечении на величину h'm 2. Величина это потери напора между сечениями 1-1 и 2-2. Обозначим на диаграмме линию полного напора, пьезометрическую линию, а также линию начального напора (см. рис. 4.5). Если выбрать любое сечение N- N по длине движущейся струйки, то для него можно показать потери напора h' в виде вертикальной линии между линией начального напора и линией полного напора. Таким образом, вертикальные штриховые линии между линией начального напора и линией полного напора будут соответствовать потерям напора по длине реальной струйки, а заштрихованная часть называется эпюрой потерь напора. 99
4.5.4. Уравнение Бернулли для целого потока реальной, вязкой жидкости Переходя к целому потоку, учитываем струйную модель потока. Это значит, чтобы записать уравнение для целого потока, нужно просуммировать энергии струек, составляющих поток, по всему живому сечению потока. Подробный теоретический вывод уравнения следует изучить по учебнику или курсу лекций. Рассмотрим более упрощённо и кратко теоретические. положения по уравнению Бернулли для потока реальной жидкости. Два слагаемых уравнения z + -- соответствуют статическому напору Pg Яст. согласно формуле (4.9). В гидродинамике принято считать: распределение статического напора по живому сечению подчиняется гидростатическому закону: z + — = const. (4.13) Pg Покажем этот закон графически на рис. 4.6. В заданном живом сечении потока (со) выделим произвольно элементарные струйки 1, 2, 3, давления в которых pt, рг, Рз соответственно. Проведём плоскость сравнения 0-0 и покажем геометрические высоты (zi, Zj, гз) живых сечений струек. 100
На уровне выбранных струек покажем пьезометры и соответственно Р\ Pi Ръ пьезометрические напоры Уровни жидкости во всех Pg Pg Pg пьезометрах будут на одном горизонте, а сумма z + — = const Такая Pg постоянная величина статического напора будет только в данном живом сечении, в другом сечении она будет также постоянной, но другой величины. Следующая задача - просуммировать кинетические энергии струек, составляющих поток, по живому сечению потока. Скорости струек (м) в пределах живого сечения потока переменны, поэтому следует учесть неравномерность распределения скорости по живому сечению. Для практических расчётов вводят среднюю, или условную, скорость потока (о) (см. раздел 4.4), одинаковую для всех струек. Теоретически рассчитывают условную кинетическую энергию (Е™‘) через среднюю скорость потока d. Затем теоретически определяют действительную кинетическую энергию ( Е^^) через действительные скорости («) элементарных струек, составляющих поток. Неравномерность распределения скорости по живому сечению учитывают коэффициентом корреляции кинетической энергии, или коэффициентом неравномерности распределения скорости - а: Коэффициент а называется также коэффициент Кориолиса, Значение коэффициента а зависит от режима движения жидкости. Режимы движения жидкости будут рассмотрены ниже. Пока следует учесть, что для ламинарного режима а - 2,0; для турбулентного режима а = 1,0 * 1,15 (для практических расчётов при турбулентном режиме воды принимают а = 1,0). С учётом введённого коэффициента а скоростной напор (Лск.) или ^„2 удельная кинетическая энергия потока (екин) представляется как-. 2g Дополнительный член уравнения Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости h’w учитывает потери напора в элементарной струйке. Для целого потока вводится осреднённая величина потерь напора Аналогично средней скорости считается, что суммарные потери напора элементарных струек с действительными величинами условно равны полным потерям напора для потока hw. 101
С учётом выше изложенных положений уравнение Бернулли для целого потока реальной жидкости принимает вид: z\ (4Л5) Уравнение (4.15) является основным уравнением гидродинамики, которым пользуются для решения теоретических и инженерных задач. Диаграмма уравнения для целого потока реальной жидкости аналогична диаграмме для элементарной струйки реальной жидкости (см. рис. 4.5). На диаграмме следует обозначить живые сечения и а 2 2 ohvr a2i>2 скоростные напоры соответственно---— и------. 2g 2g Рассмотрим практическое применение уравнения Бернулли. 4.5.5. Экспериментальное определение статического и полного напоров. Расчёт скорости в точке потока Рассмотрим наклонную трубу диаметром d, выделим живое сечение со, в котором следует определить статический и полный напор по оси трубы (рис. 4.7). Рис. 4.7 Проведём произвольно плоскость сравнения 04) и отложим геометрический напор сечения (z) до оси живого сечения со. Покажем пьезометр в живом сечении и отметим пьезометрический напор (—) по Pg уровню жидкости в пьезометре. 102
Таким образом, по показанию пьезометра определяем статический напор: Для определения полного напора по оси потока пользуются трубкой Пито. Это трубка очень малого диаметра с загнутым под углом 90е и гладко обработанным концом. Трубка Пито устанавливается по оси трубы или в любой другой точке потока так, чтобы скорость и была направлена на входное отверстие трубки. Если бы не было движения жидкости (и = 0), уровни жидкости в пьезометре и трубке Пито были бы на одном горизонте. При действии скорости и на входе в трубку Пито уровень жидкости в трубке поднимется выше уровня в пьезометре на величину, соответствующую и2 скоростному напору, - —. Таким образом, трубкой Пито определяется полный напор в заданной точке потока, в частности по оси потока. Трубка Пито в сочетании с пьезометром является прибором для измерения скорости. Действительно, разность показаний трубки Пито и пьезометра соответствует скоростному напору: — =я -н о П ПОЛИ. ст.» 2g отсюда скорость в точке потока: и = ^2g(Hwm - Н„ ). Для практических расчётов скорости пользуются формулой « = <р/2^(Ялшм.-Яст.), (4.16) где (р - поправочный коэффициент, который определяется путём тарирования трубки Пито. Для определения скорости воздушных и газовых потоков пользуются пневмометрической трубкой Пито-I Трандтля. В такой трубке совмещены пьезометр и трубка Пито. В корпусе трубки через прорезь в горизонтальной части снимается статический напор, а через открытый носик трубки определяется полный напор. Трубка подключается к LZ-юбразному манометру, микроманометру, дифференциальному манометру или подобным приборам для измерения разности давлений (напоров). По показанию прибора рассчитывается скоростной напор. С конструкцией трубки Пито-Прандтля следует ознакомиться в учебной литературе. 103
4.5.6. Диаграмма уравнения Бернулли для потока жидкости в трубе переменного сечения Рассмотрим экспериментальное построение диаграммы уравнения Бернулли для потока жидкости в трубе переменного сечения диаметрами d\ , d2 9 d$ (рис. 4.8). Пусть d2 < d2 < d$ . Для построения диаграммы воспользуемся принятой методикой (см. разделы 4.5.2; 4.5.3). По направлению движения жидкости выделим три живых сечения 1-1; 2-2; 3-3; выберем плоскость сравнения 0-0 и отложим геометрические высоты (напоры) выбранных сечений: zi, Zj, В сечениях покажем пьезометрические трубки. Как было отмечено выше (см. раздел 4.5.2), при сужении трубы пьезометрический напор падает, а скоростной напор возрастает, и, наоборот, при расширении трубы пьезометрический напор повышается, а скоростной напор уменьшается. п. п, п- Отметим уровни жидкости в пьезометрах к Pg Pg Pg геометрическим напорам прибавим пьезометрические напоры. Проведём пьезометрическую линию по уровням жидкости в пьезометрах (см. рис. 4.8). 104
Анализ построения пьезометрической линии показывает, что пьезометрическая линия очерчивается ломаной линией, которая может повышаться или понижаться в зависимости от геометрических размеров трубы. К сумме геометрического и пьезометрического напоров прибавим а,!)? очи? аль скоростные напоры в сечениях: — > L . 2g 2g 2g В каждом сечении получаем полные напоры, причём следует учесть, что /71 > Нг > Нз, соединяем ломаной линией их значения. Это линия полного напора, показываем её на диаграмме (см. рис. 4.8). Линия полного напора по ходу движения жидкости понижается. Понижение линии полного напора соответствует величине потерь напора мужду сечениями по ходу движения жидкости. Вертикальными линиями заштриховываем эпюру потерь напора. Методика построения пьезометрической линии, линии полного напора и эпюры потерь напора будет применена при расчёте трубопроводных систем. Следует запомнить, что на участках трубы с постоянным диаметром линия полного напора проходит параллельно пьезометрической линии на расстоянии, равном скоростному напору. 4.5.7. Методика составления уравнения Бернулли для решения теоретических и инженерных задач С помощью уравнения Бернулли решаются многие теоретические и практические задачи. Применение уравнения Бернулли предусмотрено для реальной, вязкой жидкости при установившемся движении для тех сечений, где движение не должно быть резко изменяющимся. На использовании уравнения Бернулли основано создание приборов для измерения скорости и расхода потока жидкости. При составлении уравнения Бернулли следует пользоваться следующей методикой. 1. Выбираются два сечения, в которых известно наибольшее количество параметров, входящих в уравнение, или их нужно определить. Такими сечениями служат свободная поверхность жидкости или места установки измерительных приборов (манометров, вакуумметров, пьезометров и им подобных). Сечения проводятся горизонтально по свободной поверхности (для практических расчётов скорость на свободной поверхности принимается равной нулю, в = 0) или нормально к направлению движения жидкости, т. е. по живому сечению. 105
2. Сечения нумеруются по направлению движения жидкости. Это обусловлено тем, что потери напора в гидравлических сопротивлениях увеличиваются по направлению движения жидкости, и дополнительный член уравнения hw, учитывающий эти потери, должен быть со знаком плюс. 3. В уравнении Бернулли рекомендуется учитывать абсолютное давление в выбранных сечениях. Это позволит избежать ошибок при определении давления в сечениях. 4. Выбирается плоскость сравнения 0-0. Как правило, она совмещается с одним из сечений или проводится через его ось, тогда геометрическая высота этого сечения равна нулю (z = 0). Следует помнить, что плоскость сравнения всегда горизонтальная. Отсчёты геометрической высоты сечения z от плоскости сравнения вверх считаются положительными, вниз - отрицательными. 5. Уравнение Бернулли записывается в общем виде. Под уравнением представляются значения параметров. Производится подстановка всех величин в уравнение в буквенном выражении. Уравнение решается относительно неизвестного параметра. Ниже рассмотрим применение уравнения Бернулли для приборов, служащих для измерения скорости и расхода потока жидкости. В этих приборах можно пренебречь потерями напора. 4.5.8, Приборы для измерения скорости и расхода, основанные на уравнении Бернулли Расходомер Вентури - это труба с плавным переходом от большего диаметра к меньшему, небольшой цилиндрической вставки меньшего диаметра и плавного перехода от меньшего диаметра к большему. В широкой и узкой части расходомера подключены приборы для измерения давления, например пьезометры, по показаниям которых рассчитывается скорость и расход неразрывного потока. Как правило, соотношение диаметров принимается равным: di \d\ - 1/2; 1/3 и тому подобным. Схема расходомера представлена на рис. 4.9. Для определения скорости и расхода жидкости воспользуемся уравнением Бернулли. Пусть представленный прибор является водомером. Согласно принятой методике (см. раздел 4.5.7), выполним все пункты составления уравнения. 1. Выберем два живых сечения в местах установки пьезометров. Сечения проведём нормально к направлению движения потока воды. 2. Сечения 1-1 и 2-2 пронумеруем по направлению движения воды. 106
3. В выбранных сечениях покажем пьезометрические напоры: и —, обозначим разность показаний пьезометров через h. Р5 Pg 4. Проведём произвольно горизонтальную плоскость сравнения 0-0 и покажем геометрические высоты выбранных сечений zj и z2 (рис. 4.9). 5. Запишем уравнение Бернулли в общем виде: Р\ . “l”? _ у . Pl , “2^2 , h --+ —----= Z, +----1- —--+ п , • pg 2g pg 2g Пренебрегаем потерями напора в водомере 0), считая, что переходы от одного диаметра к другому сделаны плавно и хорошо механически обработаны, как этого требуют приборы. Принимаем оц = а2 = 1,0 для движения воды в круглой трубе при турбулентном движении. Группируя соответственно члены уравнения со статическим и скоростным напорами, получим: z \ \ 2 2 L +£l|_|, +Е1 I Pg) I Pg) 1g 2g 107
Из рис. 4.9 следует: I Pg) I Pg) значит, 2g 2g В этом уравнении два неизвестных i)j и 1)2, но из условия неразрывности потока (см. формулу (4.5)) следует, что VjOJj = 1)2ф2 . ш, ш. d? Определяем отсюда о2 = и. —далее —L = -4г- Для лучшего понимания о2 ш2 dl дальнейшего решения, принимаем d2 : d\- 1/2, тогда п2 = 41^. Разность показаний пьезометров h _ 161)?-1)? 151)* Л =--------- = — -, 2g 2g отсюда Расход воды где _ /2я^ -г гг e = vIco1=®1^^- =K^a>^h, К - Й приб' ~v15 Значение поправочного коэффициента прибора (ЯСприб.) зависит от соотношения диаметров расходомера Вентури в широкой и узкой частях прибора. Как правило, в расчётную формулу расхода (Q) вводится также тарировочный коэффициент <р, который учитывает потери напора в расходомере и определяется опытным путём. Формула расхода принимает вид: Q - ср А^приб. (Di Jh • (4.17) Анализируя формулу (4.17), видим, что расход жидкости является функцией разности показаний пьезометров (Л) или показания другого прибора для измерения разности напоров. Для удобства практических расчётов можно построить графическую зависимость Q = f (Л) или Di “/ Wj =/(Л). Это будет квадратичная зависимость, графически в виде параболы. 108
Расходомер Вентури используется не только для капельных жидкостей, но и для газообразных. В этом случае в широкой и узкой частях расходомера выводятся штуцера, к которым подсоединяется жидкостный прибор для измерения разности давлений, например 17-образный манометр или микроманометр с наклонной трубкой. Конструкция и принцип действия таких приборов подробно изложены в учебниках и учебных пособиях. . Входной коллектор. Входной коллектор используется для определения скорости и расхода во всасывающих воздушных, газовых, вентиляционных, пневмотранспортных и других системах. Входной коллектор устанавливается на входе в систему и представляет трубу с плавным входом, выполненным по какому-либо криволинейному закону, например по параболе (рис. 4.10), так, чтобы исключить потери напора на входе в коллектор. На расстоянии 3-5 диаметров трубы от входа выводится штуцер, к которому подключается жидкостный прибор для измерения давления ((/- образный манометр, микроманометр). Рабочей жидкостью в приборе может быть вода, спирт или другая капельная жидкость. По показанию прибора (Л) рассчитывается средняя скорость потока газообразной жидкости в трубе и её расход. Покажем расчёт скорости и расхода газообразной жидкости во всасывающей системе, пользуясь уравнением Бернулли. 1. Выберем два сечения по кромке входного сечения коллектора, где скорость ещё практически отсутствует, и в месте установки измерительного прибора. Сечения проведём нормально к направлению движения жидкости, например воздуха (см. рис. 4.10). 2. Пронумеруем сечения 1-1 и 2-2 по напрвлению движения воздуха. 109
3. Учтём абсолютное давление в выбранных сечениях. Абсолютное давление в первом сечении р\ -рЛ. Абсолютное давление во втором сечении будет , меньше атмосферного, так как всасывание идёт за счёт создания вакуума. Пользуясь уравнениями гидростатики (см. разделы 1.3; 1.5), составим условие равенства давления относительно плоскости уровня 0-0 в Lf-образном манометре, получим абсолютное давление во втором сечении Рг ~Ра “ ржвдк^- 4. Плоскость сравнения 0-0 совместим с осью коллектора, тогда геометрические высоты сечений Zj == 0; Zt - 0 (см. рис. 4.10). 5. Запишем уравнение Бернулли в общем виде, под уравнением представим значения всех параметров и сделаем подстановку данных. При подстановке слагаемых уравнения принимаем а2 = 1,0 (круглая труба), потерями напора на входе в коллектор и на участке в трубе между сечениями 1-1 и 2-2 пренебрегаем: Pl I а1ц? pg 2g . +Ei+_“d.+A 2 Pg 2g w’-2> zj = O; P\ =P* vi = 0; Z2- 0; p2 ~ Pa. РжидкЛГ^» а2 - 1,0; «2 = v; 2 = 0. Принимаем движущуюся ЖИДКОСТЬ - воздух ПЛОТНОСТЬЮ p^. После подстановки слагаемых в уравнение Бернулли: Р» = Ра _ Ржиак.^ + V2 Рвозд. £ Рвозд.£> Рвозд. 8 После соответствующих сокращений и преобразований получим расчётную формулу для скорости движения воздуха в трубе: _ |^РжидкЛ _ „ ГГ ~ / ^КОЛЛ. “ > V Рвозд. где 7<колл = w коэффициент прибора (коллектора), зависящий от \ Рвозд. вида транспортируемой жидкости (воздух, газ) и плотности жидкости в измерительном приборе давления. 110
Как правило, приборы для измерения скорости и расхода тарируются, т. е. проверяются расчёты по поверенным, стандартным приборам и вводится поправочный тарировочный коэффициент ф, тогда v = ф £колл. 4h , соответственно Q = ф Кколл;<й 4h, (4.18) nd2 где (О =-----площадь живого сечения трубы. 4 Формула расхода для коллектора (4.18) аналогична формуле расхода для расходомера Вентури (4.17). По аналогии с расходомером Вентури для входного коллектора можно построить графическую зависимость о = f (Л) и Q - f (Л), которой практически удобно пользоваться для определения скорости и расхода без проведения расчётов. 4.6. Режимы движения жидкости Английский физик Осборн Рейнольдс на основе многочисленных опытов и обработки данных других учёных в 1883 году представил теоретические положения о двух режимах движения жидкости - ламинарном и турбулентном. Ламинарный режим - это спокойное, прямолинейное, параллельно струйное, послойное движение жидкости. Турбулентный режим - это неупорядоченное движение струек, с поперечными пульсациями скорости, колебаниями, завихрениями струек, а при больших скоростях с полным перемешиванием жидкости. Классические опыты Рейнольдса и теоретические положения по изучению режимов движения жидкости подробно изложены во всех учебниках и учебных пособиях, поэтому рассмотрим основные расчётные формулы, необходимые для практических расчётов. На опытной установке Рейнольдса экспериментально изучено, что при малых скоростях движения жидкости можно наблюдать ламинарный режим. При дальнейшем увеличении скорости наблюдается разрушение параллельной струйности, колебания, разрыв струек, а при ещё большем увеличении скорости - завихрения струек и перемешивание потока, т. е. устанавливается турбулентный режим. Скорость, соответствующая переходу одного режима в другой называется критической^ обозначается окр. Как правило, учитывают два значения критической скорости: верхнюю окр (переход от ламинарного режима к турбулентному) и нижнюю ( переход от турбулентного режима к ламинарному). Область движения, соответствующая переходу от одного режима к другому, считается неустойчивым движением или переходной областью. 111
Согласно теории Рейнольдса, критическая скорость (»кр.) зависит от диаметра трубы (d) кинематического коэффициента вязкости жидкости (v) и параметра JteKp, называемого критическим числом Рейнольдса, или критерием Рейнольдса. (4.19) Критерий Рейнольдса (Re) - величина безразмерная. Экспериментальные исследования показали, что для труб круглого сечения может меняться от 1000 до 2300. Общепринятым для практических расчётов считается ReKV =2300. Если скорость движения жидкости будет меньше критической (и^кр.), то режим движения будет ламинарным и Re<Re^ и, наоборот, при число Рейнольдса должно быть больше критического - RoRe^ Таким образом, критерий Рейнольдса является гидродинамической характеристикой потока, по которому устанавливается режим движения. В соответствии с формулой (4.19), расчётная формула Re для круглой трубы: Re = , (4.20) v для потоков другого профиля Re = —, (4.21) v где I - характерный геометрический размер, который может быть выражен через гидравлический радиус (R) (см. формулу 4.1), например, для круглой трубы 1-4R (см. формулу 4.2). Следует запомнить правило: Если для потока жидкости Re<Re^ = 2300 - режим движения жидкости ламинарный. Если для потока жидкости Re > Re^ = 2300 - режим движения жидкости турбулентный. Ламинарный режим движения характерен для вязких жидкостей таких, как масла, нефть, а также при движении воды в трубках малого диаметра (капиллярах) и через поры грунта. В турбулентном режиме движется вода в водопроводных трубах, желобах, каналах, реках. 112
Глава 5 ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 5.1. Потери напора в гидравлических сопротивлениях Дополнительный член уравнения Бернулли hw (см. формулу (4Л 5)) соответствует потерям напора в гидравлических сопротивлениях, которые складываются из суммарных потерь напора в местных сопротивлениях (ЕЛГ) и потерь напора по длине (А/): (5.1) В гидродинамике принято считать, что потери напора в любом о2 гидравлическом сопротивлении пропорциональны скоростному напору . 2g Местными сопротивлениями называются различного рода устройства, при прохождении через которые происходит деформация потока, изменение направления движения жидкости или величины скорости, или того и другого. К местным сопротивлениям относятся краны, задвижки, отводы (колена), внезапное сужение, внезапное расширение, вход в трубу и прочие. Знак суммы (L) в местных сопротивлениях показывает, что на одном трубопроводе может быть установлено несколько местных сопротивлений, потери напора в которых суммируются. Теоретически потери напора в местном сопротивлении рассчитываются по формуле о2 hr=t£~, (5.2) 2g где £ - коэффициент местного сопротивления, значения которого, как правило, устанавливается экспериментально, для некоторых видов местных сопротивлений коэффициент £ рассчитан теоретически. На величину коэффициента ? влияют геометрические размеры, конфигурация местного сопротивления и режим течения жидкости. Значения коэффициентов местных сопротивлений ? приводятся в справочниках и таблицах, в данном учебном пособии в табл. 4 (см. приложение). Потери напора по длине - это потери напора, возникающие при движении жидкости вдоль стенок трубопровода, зависящие от диаметра (d), длины трубы (/), скоростного напора и состояния внутренней поверхности ИЗ
трубы. Потери напора по длине называются также линейными потерями и рассчитываются по формуле , / V2 hi — Az ' dig (5.3) где 1 - коэффициент гидравлического сопротивления, или коэффициент Дарси Значение коэффициента X или выбор расчётной зависимости этого коэффициента зависит от режима движения жидкости и шероховатости трубы (или другого русла). В гидродинамике введено понятие единичных, или удельных, потерь напора по длине, называемых гидравлическим уклоном. Гидравлический уклон 1 = ЬД и рассчитывается по формуле dig (5.4) Расчётные зависимости гидравлического уклона (7) для различных режимов движения выводятся теоретически или эмпирически, затем можно перейти к потерям напора по длине (А/). Многими учёными проведены исследования движения жидкости при турбулентном режиме, как наиболее сложном, и даны эмпирические зависимости для коэффициента гидравлического сопротивления (X), который входит в расчётные формулы (5.3) и (5.4). Иногда при расчётах потери напора в местных сопротивлениях заменяют потерями напора в прямолинейном участке трубы эквивалентной длины. Эквивалентная длина (/э) - это такая длина прямолинейного участка трубы, потери напора в котором равны (эквивалентны) потерям напора в местном сопротивлении при том же расходе жидкости: dig *lg’ 3 X (5.5) (5.6) значит, Рассмотрим, от каких факторов и параметров зависят потери напора по длине при ламинарном и турбулентном режимах движениях жидкости. 114
5.2. Потери напора по длине при ламинарном режиме движения жидкости Исследования Рейнольдса и других учёных показали, что при ламинарном режиме потери напора пропорциональны скорости в первой степени и зависят только от числа Рейнольдса (Re). Аналитически выведена формула для гидравлического уклона (вывод этой зависимости приведён во всех учебниках и учебных пособиях) при ламинарном режиме: 64 1 -и2 Red 2g (5.7) Сравнив формулу (5.7) с формулой (5.4), заключаем, что при ламинарном режиме коэффициент гидравлического сопротивления (к): Х = , т.е. X-f(Re). Re (5.8) Потери напора по длине при ламинарном режиме соответственно рассчитываются по формуле Red 2g (5.9) Формула (5.9) носит имя автора доктора медицины Пуазейля, который исследовал движение жидкости, в частности крови, в капиллярных трубках, вывел эту формулу эмпирически, в гидродинамике формула доказана аналитически. 5.3. Потери напора по длине при турбулентном режиме Турбулентное течение жидкости является наиболее распространённым в технике, но представляет в то же время одно из сложных гидравлических процессов. Многочисленные исследования учёных показали, что создать строгую теорию турбулентного режима не представляется возможным, поэтому для теоретических и инженерных расчётов пользуются экспериментальными данными, графическими зависимостями и эмпирическими формулами. Как отмечено выше, при числах Рейнольдса Re<ReKp имеет место ламинарный режим движения. С возрастанием скорости потока и чисел Рейнольдса снижается устойчивость ламинарного режима, начинаются 115
колебательные движения струек, появляются пульсации скорости, т. е. кроме продольных составляющих скорости возникают поперечные составляющие, при дальнейшем увеличении скорости образуются завихрения, неупорядоченное движение, перемешивание потока, т. е. режим движения становится турбулентным. Разрушение ламинарного течения начинается с оси потока, постепенно образуется турбулентное ядро потока, а у стенки трубы остаётся пограничный {пристеночный) слой, который состоит из ламинарного (вязкого) подслоя и переходного слоя. Ламинарный подслой расположен непосредственно у стенки трубы, скорость в нём меняется от 0 у стенки (частицы жидкости просто прилипают к стенке и не двигаются) до некоторой величины. Изменение скорости в пределах вязкого слоя близко к линейному закону. Толщина ламинарного подслоя (S) имеет малую величину (от долей миллиметра до 1-2 мм) и рассчитывается по формуле 30J Rejk (5.10) Из формулы (5.10) следует, что с увеличением числа Рейнольдса {Re) толщина вязкого подслоя уменьшается. 5.3. L Понятие о гидравлически гладких и шероховатых трубах Рассмотрим, как влияет шероховатость труб на потери напора по длине при турбулентном режиме. На внутренней поверхности трубы имеются неровности, выступы, которые называются шероховатостью. Различают: а) абсолютную шероховатость, которая соответствует высоте выступов, неровностей, обозначается А, измеряется в мм; А А б) относительную шероховатость: — или —; в) относительную гладкость - величина, обратная относительной d г шероховатости: — или ~. Форма и высота выступов и неровностей вдоль стенки трубы неодинаковы, поэтому измерить и учесть абсолютную шероховатость практически невозможно. С целью упрощения гидравлических расчётов введено понятие эквивалентной шероховатости (Аэ), при которой потери напора в трубе равны (эквивалентны) потерям напора с фактической неоднородной шероховатостью. 116
(5.И) В данном учебном пособии, как и во многих учебниках, в расчётных формулах эквивалентная шероховатость Аэ упрощённо может записываться, как абсолютная шероховатость А. Значение эквивалентной шероховатости Аэ для некоторых видов труб Приведено в табл. 6 (см. приложение). Согласно данным большинства учёных и авторов учебников, при турбулентном режиме можно выделить три зоны (области) сопротивления. 1. Движение вдоль гладких стенок. Это случай, когда толщина вязкого слоя больше абсолютной шероховатости (8>Аэ). Турбулентное ядро скользит по ламинарному подслою. Выступы, неровности перекрыты вязким слоем, шероховатость не влияет на потери напора. Такие трубы называются “гидравлически гладкими". Потери напора по длине пропорциональны скорости о1’75. Коэффициент гидравлического сопротивления (X.) не зависит от шероховатости и является функцией только числа Рейнольдса (Ле). Для этой зоны сопротивления пользуются эмпирической формулой Блазиуса'. . _ 0,3164 Ле0’25 т. е. Х=/(Ле) 2. Зона доквадратичного сопротивления. Это область сопротивления, в которой потери напора зависят как от числа Рейнольдса (Re\ так и от шероховатости. Потери напора по длине пропорциональны скорости о1’75-2,0, т. е. степенной коэффициент скорости до 2,0, отсюда и название - "зона доквадратичного сопротивления”. В этой области происходит переход от гидравлически гладкого к вполне шероховатому трению. А. Д. Альтшуль обобщил экспериментальные данные, графические зависимости и теоретические положения ряда учёных и для зоны доквадратичного сопротивления предложил эмпирическую формулу 1 = + , (5.12) т.е. Х=/(Re а 3. Зона квадратичного сопротивления. Это движение, при котором толщина вязкого слоя меньше абсолютной шероховатости (6<ЛЭ). Вязкий слой при больших числах Рейнольдса (Ле) практически разрушен, турбулентное ядро касается неровностей, возникают дополнительные завихрения и связанные с ними потери напора. Потери напора по длине 117
пропорциональны скорости v2, отсюда и название - “зона квадратичного сопротивления”. Коэффициент гидравлического сопротивления (к) является функцией шероховатости. Другое название этой области сопротивления - “движение вдоль шероховатых стенок", а трубы называются “гидравлически шероховатыми". Для этой области в соответствии с гидравлическими особенностями явлений турбулизации применимы эмпирические формулы многих учёных. Для практических расчётов рекомендуется пользоваться формулами: формула Никурадзе: X =----------------, (5.13) (1,74 + 21g— | V А/ т.е. х Хд х0.25 формула Шифринсона: X = 0,11 — , (5.14) \d ) т. е. Х=/| — ~|. Для турбулентного режима формула А. Д. Альтшуля (5.12) признана наиболее обобщённой и удобной для практических расчётов, так как вычисления по ней сводятся к элементарным алгебраическим действиям и дают надёжные результаты. d Согласно теории Альтшуля, при 2300< Re< 20 — второе слагаемое в формуле (5.12) значительно меньше первого, на потери напора влияет только число Рейнольдса (Re), и формула практически совпадает с формулой Блазиуса (5.11): х к 0 25 b = 0,llW’ =-£Ш; Х=/(Ле). (5.15) \Re) Re' Как правило, эта зона сопротивления соответствует числам Рейнольдса доЯе = 2-104. d d При числах Рейнольдса 20 —< Re < 500— на потери напора Лэ Дэ „ Лэ оказывают влияние как число Re, так и относительная шероховатость ---, имеет место зона доквадратичного сопротивления. 118
Коэффициент гидравлического сопротивления к следует рассчитывать по формуле (5.12) Л >°>25 Х = 0,11| —+=*| . d) Границы изменения чисел Рейнольдса Re - 2’104 - 5’104. При числах Рейнольдса Re > 500 имеет место зона квадратичного сопротивления, или движение вдоль шероховатых стенок. В формуле (5.12) первое слагаемое значительно меньше второго, им можно пренебречь. Потери напора по длине зависят только от относительной шероховатости —, и формула (5.12) переходит в формулу Шифринсона (5.14): d 1 = 0,1 if к d 0,25 Согласно графической зависимости А. Д. Альтшуля, для этой области сопротивления значения чисел Рейнольдса находятся в пределах Re = 5Ю4- 106. Из выше изложенного следует, что понятие “гидравлически гладкие” и “гидравлически шероховатые" трубы относительное. Так, одна и та же труба с определённой шероховатостью может считаться гидравлически гладкой или шероховатой в зависимости от скорости движения (или числа Re\ тогда для коэффициента гидравлического сопротивления к выбирается соответствующая расчётная формула. В представленной методике выбора расчётной зависимости коэффициента К следует учитывать, что в трубах с большой шероховатостью при движении воды даже при малых числах Рейнольдса (Яе<2300) ламинарный режим движения невозможен. 5.3.2. Потери напора по длине в трубах с описательной шероховатостью В гидравлических расчётах трубопроводов и других ipyceл часто приходится встречаться с такой внутренней поверхностью трубы (бетонные, асбестовые, загрязнённые, водосточные трубы и им подобные) или иного русла (канала, лотка, жёлоба), для которых невозможно определить абсолютную шероховатость. В этом случае предложено коэффициент гидравлическою сопротивления X рассчитывать по формуле Х = ^-, (5.16) 119
где С- коэффициент Шези. Коэффициент Шези (Q зависит от многих факторов, в том числе от геометрических размеров и состояния внутренней поверхности трубы или другого русла. В практике расчётов коэффициент С можно принимать по таблицам или рассчитывать по специальным формулам. Наиболее простой формулой для определения коэффициента Шези является формула Маннинга'. C = -Rv6, п (5.17) где п или 1/w - коэффициенты шероховатости стенок трубы или русла по описанию, приводятся в таблицах. В данном учебном пособии значения коэффициентов п и 1/п приведены в табл. 7 (см. приложение); R - гидравлический радиус, м. Согласно формуле (4.2), для круглой трубы гидравлический радиус R -d/4. 5.3.3. Потери напора по длине, выраженные через обобщённые параметры В практике расчётов гидравлических систем, в частности трубопроводных систем, часто приходится рассчитывать потери напора по длине не через скорость (о), а через расход (Q), который известен или его нужно определить. Преобразуем формулу (5.3) потерь по длине: а) выразим скоросзъ через расход- в2 = & • Ш б) введём гидравлический радиус: d- 4А; в) коэффициент гидравлического сопротивления (X) запишем по 8 g С2 ’ формуле (5.16): Х = Получаем: 8g / Q2 Q2 ' С2 4Л o22g С2со2Л (5.18) В формуле (5.18) обозначим С2<й2Л = АГ2, 120
Схема выбора теоретической формулы для расчёта коэффициента гидравлического сопротивления X Рис. 5.1 121
где К = Ccn\R называется модулем расхода, или расходной характеристикой, единица измерения м3/с. Формула (5.18) принимает вид: О2 (5.19) л Для удобства практических расчётов величина 1/1? обозначается через А: (5.20) где А - удельное сопротивление (сопротивление единицы длины), единица измерения с2/м6. Таким образом, потери напора по длине рассчитываются по формуле h^AQ2!. (5.21) В приведённых формулах параметры К и А называются обобщёнными параметрами, значения которых приводятся в таблицах (см. приложение, табл. 8) для нормальных водопроводных труб, другое название - водопроводные трубы в нормальных условиях. В табл. 9 (см. приложение) приведены значения удельного сопротивления А для расчёта трубопроводов при квадратичном законе сопротивления в соответствии с абсолютной шероховатостью (А) труб. Обобщив все теоретические положения по расчёту потерь напора по длине (А/), предлагаем схему для выбора теоретической расчётной формулы коэффициента гидравлического сопротивления 1 (рис. 5.1). 122
Раздел третий ПРИКЛАДНАЯ ГИДРОМЕХАНИКА Задача прикладной гидромеханики - применение основных законов 1идростатики и гидродинамики для практических и инженерных расчётов. Глава 6 ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ расчёт трубопроводных систем По методике расчёта трубопроводные системы делятся на две группы простые и сложные. Простые системы состоят, как правило, из одной трубы, возможно соединение нескольких труб сравнительно небольшой длины (примерно до 100 м), в которых учитываются все виды гидравлических сопротивлений, но, главное, с постоянным расходом. Сложные системы состоят из труб разной длины и разных диаметров, соединённых по определённой гидравлической схеме, причём расход жидкости на каждом участке различный в соответствии с расходами потребителей. Эти системы, как правило, большой длины. Главными гидравлическими сопротивлениями являются потери по длине. Потери напора в местных сопротивлениях принимаются равными (5 -ь 10) % от потерь напора по длине, т. е. Uir = (0,05 -s- 0,1) hi. 6.1. Расчёт простых трубопроводных систем При расчёте простых трубопроводов в зависимости от поставленной задачи, известных и определяемых параметров выделяют три типа расчётов, 1. Определение напора (Н) или давления (р) при известных: расходе жидкости (0), геометрических размерах трубопровода (длине I, диаметре d), местных сопротивлениях на трубопроводе. 2. Определение расхода (0), или пропускной способности трубопровода, при известных: действующем напоре (Н) или давлении (р) в системе; геометрических размерах и установленных местных сопротивлениях. 3. Определение геометрических размеров трубопроводов (/; d)9 характеристик местных сопротивлений при известном расходе (0), действующем напоре (Н) или давлении (р). Наиболее трудоёмкой считается 123
задача по определению диаметра (d) трубопровода, так как такой расчёт проводится методом подбора и пересчёта нескольких вариантов. Рассмотрим расчёт простого трубопровода. Здесь возможны два случая: истечение жидкости в атмосферу и истечение подуровень. Расчёты простых трубопроводных систем основаны на использовании основного уравнения гидродинамики - уравнения Бернулли. 6.1.1. Расчёт простой трубопроводной системы с истечением жидкости в атмосферу На рис. 6.1 представлена схема простого водопровода с водонапорной башней, создающей постоянный напор Н. Известны длина трубопровода I, диаметр d, местные сопротивления в виде входа в трубу, вентиля и двух колен (отводов). Давление на поверхности воды в баке атмосферное (ра), выход воды в конце трубы также в атмосферу (ра). В представленной схеме действующий напор Н считается постоянным, уровень жидкости в напорном баке поддерживается на постоянном горизонте за счёт подачи воды (или другой жидкости) в бак, например, из скважины или от насосной установки, так, чтобы автоматически регулировался приток в бак, равным расходу жидкости в системе. Постоянная подача жидкости показана по трубопроводу, обозначенному пунктирной линией. 124
В дальнейших схемах трубопроводных систем приток жидкости в систему не обозначается, но всегда подразумевается установившееся движение, т. е. скорость движения жидкости в трубе не изменяется во времени. Расчёт простой системы проведём путём применения уравнения Бернулли. В разделе 4.5.7 представлена методика составления уравнения Бернулли, которая была использована при изучении приборов для измерения скорости и расхода жидкости (см. раздел 4.5.8). При составлении уравнения Бернулли для этих приборов не учитывались потери напора в гидравлических сопротивлениях. В приведённых расчётах трубопроводных систем будут учтены все виды гидравлических сопротивлений. Итак, при расчёте простой системы с истечением в атмосферу воспользуемся уравнением Бернулли (4.15). Согласно методике составления уравнения, выполним следующие пункты. 1. Выбираем два сечения: одно сечение проводим по свободной поверхности в напорном баке (башне), где скорость допустимо считать равной нулю (уровень жидкости постоянный, движения нет), другое - на выходе жидкости из трубы, где существует определённая скорость движения. 2. Сечения 1-1 и 2-2 нумеруем по направлению движения жидкости. 3. В выбранных сечениях учитываем абсолютное давление, т. е. давление, рассчитанное с учётом атмосферного: р\ =ра; р2 = р* 4. Плоскость сравнения 0 — 0 совместим с сечением 2 — 2, тогда z\ = Н; Z2 = 0. Если бы плоскость сравнения совместили с сечением 1-1, тогда zj == 0; z2 = -Я. Помним, что отсчёты от плоскости сравнения вверх считаются положительными, вниз - отрицательными. 5. Записываем уравнение Бернулли (4.15) в общем виде и расписываем значение всех параметров: 2 2 ohDi р2 a2i)2 f 2 Pg 2g г1 + — Pg) 2g Я1=Я; Pi = а; =0; 22 = 0; Р2=Р^ v2 = v; а2=1,0; для коэффициента аг предполагаем турбулентный режим в круглой трубе. 2 Получим: Н + — = — + —- + hv. Pg Pg 2g 125
В этом уравнении у потерь напора в гидравлических сопротивлениях (h*) индекс 1-2 опускаем, поскольку вся расчётная схема системы входит между выбранными сечениями. После сокращений получим: + /iw. 2g (6Л) Вывод: при истечении жидкости в атмосферу действующий напор затрачивается на создание скоростного напора и преодоление гидравлических сопротивлений. Представим в уравнении (6.1) гидравлические сопротивления согласно формуле (5.1) hw = + Л/.. С учётом формул (5.2) и (5.3): и2 и 2g h . 1 V1 ' d2g или I)2 V2 I 1? Получим Я = —+ EC—+ X.-— 2g zg d2g 2g ’2g и2 ( l\ Я = ~ 1 + ZC + X- . 2g < S d J (6.2) Таким образом, по формуле (6.2) рассчитывается действующий напор простой системы при истечении жидкости в атмосферу. Из формулы (6.2) можно получить расчётную формулу для расхода. Скорость движения жидкости в трубе »- |---1-- (6.3) Расход Q = «св; nd2 где со - площадь живого сечения: со =--; 4 126
2 = <о ---i T^2gH. \ll + 2£ + X- (6-4) В формуле (6.4) величина системы, влияет на величину расхода *, обозначается jiCHCT.: I--------постоянная для заданной A 1+EC + V I d расхода и называется “коэффициент <aimSto-j2gH • (6.5) Формула (6.5) является обобщённой формулой для расхода жидкости в простых системах, а значение коэффициента р рассчитывается для каждой системы. 6.1.2* Расчёт простой трубопроводной системы при истечении жидкости под уровень Истечением подуровень считается случай, когда жидкость поступает в резервуар, заполненный жидкостью, т. е. под уровень жидкости. Схема трубопровода с истечением под уровень может быть получена из предыдущей схемы (см. рис. 6.1), но выход жидкости покажем в другой открытый резервуар (рис. 6.2). Для расчёта простой системы с истечением под уровень воспользуемся также уравнением Бернулли (4.15): 1. Выберем два сечения по свободным поверхностям жидкости в резервуарах, где скорости жидкости равны нулю. 2. Сечения 1-1 и 2-2 пронумеруем по направлению движения жидкости. 3. Учтём абсолютные давления в выбранных сечениях: р\ -ра; pi~p„ 4. Плоскость сравнения 0-0 совместим с сечением 2-2, тогда zx = Н; z2 = 0. 5. Запишем уравнение Бернулли в общем виде и покажем подстановку параметров: *l+— pg 2 2 “Pl -г “Л . U • -----= z, ч----------h ; 2g 2 pg 2g 127
zj = Л; z2 == 0; P\ ~~ Pto Pl ““ P&9 D] = 0; v2 = 0. После подстановки параметров и сокращений получим: Я=К. (6.6) Вывод: в простой трубопроводной системе при истечении жидкости под уровень действующий напор затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений. 2g к а) (6.7) Гидравлический расчёт двух рассмотренных систем аналогичен, а формулы (6.2) и (6.7) тождественны. Различие в формулах состоит в том, что при истечении в атмосферу единица в скобках учитывает единичную кинетическую энергию на выходе (или скоростной напор u2/2g). 128
При истечении под уровень единица в скобках входит в сумму коэффициентов местных сопротивлений, а именно = 1,0, По аналогии с предыдущим выводом получим формулу для расхода: е-«!— I « (6.8) Обозначим: Q Рсист. под ур.<о V Цсист. подур. > тогда (6.9) Формула (6.9) подтверждает обобщённость применения формулы (6.5). На рис. 6.1 и 6.2 представлены схемы простых систем в самом общем виде. В технике имеют место различные схемы трубопроводных систем в виде водопроводов, нефтепроводов, газопроводов и им подобные. Движение жидкости происходит не только за счёт напорного бака (башни), разности напоров в резервуарах, но и за счёт давления, создаваемого насосом. 6.13. Методика расчёта простых трубопроводных систем Расчёт простых систем первого типа по определению напора (Н) или давления (р) включает следующие этапы. 1. Составляется уравнение Бернулли для характерных сечений. 2. Производится подстановка всех параметров в буквенном выражении для определения неизвестного напора или давления. 3. Определяется скорость движения жидкости в трубе при известном расходе. 4. Рассчитываются потери напора в местных сопротивлениях (ЕЛГ). 5. Определяются потери напора по длине (hi) по схеме, представленной на рис. 5.1. 6. Производится численный расчёт напора или давления. Простые системы второго типа по определению расхода (Q) рассчитываются в следующей последовательности: 1. Составляется уравнение Бернулли для выбранных сечений. 2. Производится подстановка входящих параметров и уравнение решается в буквенном выражении относительно скорости движения жидкости. 129
3. В расчётную формулу скорости входит коэффициент гидравлического сопротивления (X), формула для которого выбирается в соответствии со значением числа Рейнольдса (Re). Но в формулу (4.20) для (Re) также входит неизвестная скорость, поэтому при заданной шероховатости трубы (Лэ) при движении воды предполагается турбулентный режим, зона квадратичного сопротивления, для которой X не зависит от числа Рейнольдса Re. Коэффициент X рассчитывается по формуле Шифринсона (5.14), а затем определяется скорость движения жидкости. 4. Проверяется режим движения жидкости и зона сопротивления (см. схему на рис. 5.1). Если подтверждается квадратичная зона сопротивления, рассчитывается расход жидкости (б). Если режим движения и зона сопротивления не подтвердится, проводится повторный расчёт коэффициента X в соответствии с числом Re по схеме (рис. 5.1). 5. После окончательного уточнения режима движения и области сопротивления определяется коэффициент X и рассчитывается расход Q. Как правило, при движении воды в шероховатых трубах имеет место турбулентный режим, зона квадратичного сопротивления. Расчёт простых систем третьего типа по определению длины или значений коэффициентов местных сопротивлений различных устройств (кранов, задвижек, диафрагм и им подобных) не представляет трудности. Составляется уравнение Бернулли для характерных сечений, затем оно преобразуется в буквенное выражение для расчёта предельной длины трубопровода или для определения коэффициента местного сопротивления какого-либо устройства. В буквенное выражение подставляется значение заданных или рассчитанных параметров. Трудной представляется задача по определению диаметра трубопровода (d) при заданных расходе, напоре и длине (g; Н и I). Наиболее просто такую задачу решить графически. Расчёт проводим путём нескольких приближённых решений. Как и ранее, предполагаем квадратичную область сопротивления, рассчитывая коэффициент X по формуле (5.14) при заданной шероховатости - Лэ, задаём ряд значений диаметра (di;d2;.dn). Пользуясь формулой для расхода в буквенном выражении, например формулой (6.4): ,CZL 4 у i+s; + х -- 130
просчитываем несколько вариантов значений расхода (йь &;....Qn) для принятых диаметров и строим графическую зависимость Q=f (d). Эта зависимость квадратичная ив общем виде представлена на рис. 6.3. По графику для заданного значения расхода Q определяется диаметр трубопровода d. Рис. 6.3 Для ориентировочного определения наивыгоднейшего диаметра трубопровода (d) при заданном расходе (0 можно пользоваться также формулой В. Г. Лобачёва: </=(0,8-1,2) 2 °’42. На практике для расчёта диаметра трубопровода пользуются оптимальными значениями скоростей: при движении в водопроводных системах скорость v = (0,8 - 1,2) м/с, реже до 1,5 м/с; для шахтных водоотливных трубопроводов v ₽ (2,0 - 2,5) м/с. Следует отметить, что для технико-экономических расчётов по определению оптимальных значений диаметров трубопроводов следует пользоваться специальной литературой и таблицами. Ниже представлены примеры расчётов различного вида простых систем. Расчёты включают определение основных параметров движения, построения пьезометрической линии и графическое определение потерь напора в системе. 131
6.2. Примеры решения задач по теме: “Расчёт простых трубопроводных систем9’ Задача 6.2.1 С помощью насоса по трубе диаметром d = 50 мм и длиной I = 70 м нефть подаётся в закрытый резервуар на высоту Н - 15 м. Считать Н = const. Определить показание мановакуумметра (рмв), установленного на поверхности нефти в закрытом резервуаре, если показание манометра после насоса рман = 1,3 ат. Расход нефти Q = 1,2 л/с, плотность нефти рн =- 900 кг/м3, относительная вязкость по Энглеру °Е = 4,0. В системе установлен пробковый кран с углом закрытия а = 40е и два колена с коэффициентом сопротивления ^ол.= 0,8 (рис. 6.4). Рис. 6.4 Решение. Представленная трубопроводная система относится к первому типу простых систем. Следует вспомнить из главы 1 (задача 1.5.3), что мановакуумметр - это прибор, который может измерять, как манометрическое (избыточное) давление, так и вакуум. При решении задачи давление на поверхности нефти будем обозначать />мв. Если при решении задачи значение давления получится положительным, значит, мановакуумметр работает, как манометр; отрицательное значение давления означает, что мановакуумметр работает, как вакуумметр. Для определения показания мановакуумметра воспользуемся уравнением Бернулли. Согласно методике составления уравнения (см. раздел 4.5.7): 132
1. Выбираем два сечения: одно - в месте установки манометра, это сечение проводим нормально к направлению движения жидкости, где скорость равна скорости движения нефти в трубе - о; другое - по свободной поверхности в резервуаре, где давление определяется по мановакуумметру, а скорость равна нулю. 2. Сечения 1-1 и 2-2 нумеруем по направлению движения жидкости, чтобы в уравнении потери напора в гидравлических сопротивлениях учитывались со знаком 3. В выбранных сечениях принимаем абсолютное давление, т. е. с учётом атмосферного:рх =рл +рмвн; р2 =ря +Рмв- 4. Плоскость сравнения 0-0 проводим через ось первого сечения: Zi = 0; z2 = H. 5. Записываем уравнение Бернулли (4.15) в общем виде и производим подстановку всех параметров: zi = 0; Z2 = Я; Р1 Рманз р2 ~ Ръ +Рмв, 01 ссч. ~ 2,0, ссч. 0. Движущаяся жидкость - нефть относится к вязким жидкостям, поэтому предполагаем ламинарный режим (коэффициент сц = 2,0). В процессе решения задачи режим движения нефти будет проверен. Подставляем все параметры в уравнение Бернулли: Ра Рман 21)2 „ рл рмз . Рн£ РнЯ 2g pBg pHg После сокращений и преобразования уравнения Бернулли получим: ^- = ^ + —-Я-Лк. (6.10) P»g p«g 2g Рассчитаем все слагаемые в уравнении (6.10): рмаи 13-98-103 pHg 900-9,8 13.3
Скорость движения нефти в трубе (у) рассчитываем через расход (0: о nd2 расход Q и диаметр d переводим: Q “ 1,2 л/с = 1,2 • 10'3 м3/с; d - 0,05 м; 4-1,2-Ю'3 v =---------г 3,14-0,052 = 0,61м/с; о2 0 612 скоростной напор — = = 0,019м (достаточно малая величина). Рассчитаем потери напора в гидравлических сопротивлениях по формуле (5.1) hw = Ейг + hi; потери напора в местных сопротивлениях по формуле (5.2) где - сумма коэффициентов местных сопротивлений. Учитываем потери напора в двух коленах и в пробковом кране: = 2 ^КОЛ. £кр. + ^ВЫХ. 5 по табл. 4 (см. приложение): £кр. = 17,3 при угле закрытия а - 40”, ^ых. =1,0, тогда: 2^-2- 0,8 +17,3 ^1,0 = 19,9; получим = 19,9 • 0,019 = 0,38 м. Потери напора по длине определяем согласно формуле (5.3): , « I и2 hi л — — d2g 134
Для выбора расчётной формулы коэффициента гидравлического сопротивления X (см. схему, рис. 5.1) определим режим движения жидкости по критерию Рейнольдса (см. формулу 4.20): В формулу (4.20) входит коэффициент кинематической вязкости v. Для расчёта этого коэффициента воспользуемся значением относительной вязкости в градусах Энглера (°£) (см. физические свойства жидкости). По формуле Уббелоде: v = f0,0731°Е - ~ —| -10"4; I °Е J v = [ 0,0731 • 4,0 - 14 О"4, м2 / с; v = 0,277-10‘4 м2/с. I 4>° ) Получим: Re = 0,61-0,05 = 1101 < Rg = 2300. 0,277-10-4 Так как число Re меньше критического значения, заключаем, что имеет место ламинарный режим движения нефти. Принятое значение коэффициента а, = 2,0 верно. Для ламинарного режима коэффициент гидравлического сопротивления X рассчитывается по формуле (5.8) Re Рассчитаем потери напора по длине: , 64 Z V2 . 64 70 ... hi=----------; h ----------0,019 = 1,54м. 1 Re dig 1 1101 0,05 Потери напора в гидравлических сопротивлениях: й„ = 0,38+ 1,54 = 1,92 м. 135
Подставим значение всех слагаемых в преобразованное уравнение Бернулли (6.10): -Рлв. = 14,44 + 0,019 • 2 -15,0 -1,92 = -2,44м. Рн£ Получили отрицательное значение, значит, мановакуумметр работает как вакуумметр. Величина вакуума 1 Рыв =Рвак. ~ 2,44 * рн g = 2,44*900’9,8 ~ 21521 Па или = 0,22 ат. Ответ. Показание мановакуумметра соответствует вакуумметрическому давлению: рмв=Рвак. = 0,22 ат. Задача 6.2.2. Вода из закрытого резервуара А поступает в открытый резервуар В при пропускной способности системы Q = 15 л/с по трубам: rfi = 75 мм; /1 = 8 м и 12 - 12 м; d2 =100 мм и /3 = 15 м. Напоры воды в резервуарах постоянны относительно оси трубы: #1-1,5 м; Н2 = 3,5 м (рис. 6.5). Определить показание манометра (рман) на поверхности воды в закрытом резервуаре, а также соответствующий манометрический напор (^ман)* Принять абсолютную шероховатость труб: Ai - 0,5 мм; А2 = 0,2 мм. Учесть местные сопротивления в системе: на входе в первую трубу; в пробковом кране при угле закрытия а = 30е; при внезапном расширении и на выходе из второй трубы. Движение воды в системе считать установившемся, т.е. Q = const. Построить линию полного напора (напорную линию), пьезометрическую линию, показать эпюру потерь напора. Решение. Представленная схема (см. рис. 6.5) относится к простым трубопроводным системам первого типа с истечением подуровень. Для определения избыточного (манометрического) давления (рман) на поверхности воды в резервуаре А воспользуемся уравнением Бернулли (см. методику в разделе 4.5.7): 1. Выберем два сечения по свободным поверхностям в резервуарах, где скорость допустимо считать равной нулю. 2. Сечения 1-1 и 2-2 пронумеруем по направлению движения воды. 3. В выбранных сечениях учтём абсолютное давление: р\ = рл + рман,; Р*=Р* 4. Плоскость сравнения совместим с осью трубы, тогда Zi ~ H^9 Z2 ~ Нг- 5. Запишем уравнение Бернулли (4.15) в общем виде и решим его: 136
1 2 A 4. alVl 4. Pi . а2И2 . I, . ----1-----= z. +--1—------г ; pg 2g pg 2g zi=Ht; z2=Hi, Pl ~P& + .Рмаи» p2 ~Рил сеч. ” 0; ®2 сеч. = после подстановки параметров и сокращений получим: я, + А«ш =я2 +hw, отсюда -^=Н2 -Нх + hw. (6.11) Pg Pg В формуле (6.11) следует определить величину потерь напора в гидравлических сопротивлениях (Л„). Ввиду того, что по условию задачи необходимо представить графически распределение напора по длине системы, запишем потери напора по порядку по направлению движения воды: = ^вх + fyj + ^кр. + ^2 *** ^ЖР- + ^3 + ^вых. (6-12) Все потери напора в гидравлических сопротивлениях пропорциональны скоростному напору, поэтому потери напора в трубе диаметром d\ 2 2 V 1) определим с учётом скоростного напора —, а в трубе диаметром d2 —-. 2g 2g Скорости t>i и «2 рассчитаем через расход Q по формулам: u и v - 1). —------—--------— jh Vj — — ZT 9 ®1 Itrf] <»2 Jtrfj при подстановке данных учитываем: 0= 15 л/с = 15*10'3 м3/с; d\ = 75 мм = 0,075 м; d2 = 100 мм = 0,1 м. После вычислений получим скорости: t>i = 3,4 м/с; v2 = 1,9 м/с; п? о? соответственно скоростные напоры: у-= 0,6 м; ~=0,2м. Рассчитаем потери напора е местных сопротивлениях. Потери напора на входе в трубу диаметром : о2 Лвх = вх принимая ^вх= 0,5 по табл. 4 (см. приложение), 2g получим Ацх - 0,5*0,6 = 0,3 м. 137
Потери напора в пробковом кране*. и2 ^кр = £кр принимая £кр. = 5,47 при а = 30е по табл. 4 (см. приложение), 2g получим Акр. = 5,37*0,6 = 3,3 м. Потери напора при внезапном расширении*, о2 ( V А = £ —, где £ = — -11 =0,6 согласно табл. 4 (см. приложение), 2g <©1 ) тогда Ав,р. = 0,6*0,2 = 0,12 м. Потери напора на выходе из трубы в резервуар В: и2 АЙЫХ “ £вых —»принимая £вых = 1,0 по табл. 4 (см. приложение), 2g получим Ааых = 0,2 м. Переходим к определению потерь напора по длине по формуле (5.3): -Х-— dig d2 следует рассчитать коэффициенты и и Для труб с диаметрами d\ гидравлического сопротивления 11 Выбор расчётной зависимости коэффициента X зависит от режима движения жидкости и шероховатости труб (см. схему на рис. 5.1). Рассчитаем числа Рейнольдса для каждой трубы по формуле (4.20): „ Vi di п и2 d2 Re^-^; Яе2=—-- v v значение коэффициента кинематической вязкости воды (v) принимаем по табл.1 (см. приложение), для воды v = 1,008е Ю-6 м2/с. Получим Re\ = 255000; Re2 = 190000, следовательно, режим движения воды турбулентный, так как Re\ и Re2 больше Re^, = 2300. Рассчитаем граничные значения для чисел Re, чтобы установить область сопротивления для обеих труб при турбулентном режиме: 20 — = 20 — = 3000; 20 -- = 20—- = 10000; А, 0,5 Д2 0,2 138
500 d-L = 500-— = 75000; 500-^- = 500— = 250000. A, 0,5 A2 0,2 d. Для первой трубы Rex = 255000500—, значит имеет место зона Л1 квадратичного сопротивления, коэффициент X рассчитывается по формуле Шифринсона (5.14): /д 40.25 , ч 0.25 X. = 0,11 -i- ; X. = 0,11 — = 0,032. UJ 175 J Потери напора по длине на первом и втором участках согласно формуле (53): Л. = 0,032-^-0,6 = 2,0м; Л,, = 0,032^-0,6 = 3,0м. '* 0,075 '2 0,075 Для второй трубы 20— <Re = 190000<500—, имеет место зона Д2 А2 доквадратичного сопротивления^ коэффициент X рассчитываем по формуле Альтшуля (5.12) (см. схему рис. 5.1): Х2=0,11 А \0»25 68 А2 J Яе2 d2 J Х2 = 0,024. Потери напора по длине на третьем участке: = Ь2 ——5 А, = 0,024 — 0,2 = 0,7м . A 2 d2 2g А 0,1 Подставим значение всех потерь напора в формулу (6.12): hv = 0,3 + 2,0 + 3,3 + 3,0 + 0,12 + 0,7 + 0,2 = 9,62 м. После подстановки слагаемых в формулу (6.11) получим: = з>5 _ lj5 + 9>62 = 11,62 м, Pg значит соответствующий манометрический напор 11,62 м. 139
Рмав Рис. 6.5
Представим манометрическое давление (рмаи.) в кПа: рыап = 11,62 ’pg = 11,62-1048 = ИЗ,9103 Па- 113,9 кПа. Манометрическое давление в атмосферах рман< - 1,16 ат. Переходим к построению линии полного напора. От уровня жидкости в резервуаре А пунктиром покажем пьезометр, Показание которого соответствует величине pMaH/(pg) (см. главу 2, задачи 2.3.6; 2.3.8). По уровню жидкости в пьезометре проведём горизонтальную линию начального напора. До линии начального напора проводим вертикальные линии по характерным сечениям трубопровода: входа в трубу; крана; внезапного расширения; выхода из трубы (рис. 6.5). Откладываем по порядку, начиная от линии начального напора, по вертикали потери напора: - на входе в виде скачка Авх = 0,3 м; - по длине первого участка в виде наклонной прямой =2,0 м; - в кране в виде скачка = 3,3 м; - по длине второго участка в виде наклонной прямой hl2 = 3,0 м; - при внезапном расширении в виде скачка Лв.р. = 0,12 м; - по длине третьего участка hl3 =0,7 м; - на выходе в резервуар В также в виде скачка Лвых = 0,2 м. Линия полного напора должна закончиться на свободной поверхности в резервуаре В ( на рис. 6.5 масштаб не выдержан). Пьезометрическую линию проводим ниже линии полного напора на 2 2 1)7 л л л величину — = 0,6 м для трубы диаметром а\ и на величину —= 0,2 м для 2g 2g трубы диаметром Пьезометрическая линия показана пунктиром. Следует обратить внимание, что при внезапном расширении полный напор падает, а пьезометрический напор повышается. Строим эпюру потерь напора. Показываем вертикальные штриховые линии от линии начального напора до линии полного напора. Каждая вертикальная штриховая линия соответствует потерям напора от начала трубопровода до выбранного сечения. Графическое представление распределения напоров закончено. Ответ', показание манометра Рман. = 1,16 ат, манометрический напор, соответствующий показанию манометра = 11,6 м. 141
На примерах задач 6.2.1 и 6.2.2 рассмотрен расчёт простых трубопроводных систем первого типа: в задаче 6.2.1 определялось давление, а в задаче 6.2.2 ~ действующий напор и построение пьезометрической линии. Ниже предлагается расчёт простой трубопроводной системы второго типа с определением пропускной способности (расхода жидкости) системы с истечением в атмосферу. Задача 6.2.3. С помощью насоса вода поднимается на высоту Н- 15 м с истечением в атмосферу. Определить пропускную способность (расход) системы, если показание манометра, установленного после насоса, Рман ~ 1,6 ат; длина трубы I = 80 м; диаметр трубы d~ 100 мм с абсолютной шероховатостью Д = 0,5 мм. На трубопроводе установлены: задвижка Лудло со степенью закрытия a/d = 3/4 и три колена. Принять плотность воды р = 103 кг/м3, кинематический коэффициент вязкости v = 1,008*1О’6 м2/с. Движение воды считать установившимся, т. е. Q = const (рис. 6.6). Решение. Для определения расхода (0) воспользуемся уравнением Бернулли (4.15) по принятой методике (см. раздел 4.5.7): 1. Выбираем два сечения, где известны давления, т. е. в месте установки манометра и на выходе воды в атмосферу. В этих сечениях скорости одинаковы (о - const), так как не изменяется диаметр трубопровода и пропускная способность. Сечения проводим нормально к направлению движения жидкости, т. е. трубу рассекаем нормальной плоскостью. 2. Сечения нумеруем по направлению движения жидкости: 1-1 - в месте установки манометра, 2-2 - на выходе воды в атмосферу. 142
3. В выбранных сечениях учитываем абсолютное давление, т. е. давление, рассчитанное с учётом атмосферного: pi=рЛ + рмаи; р2 = 4. Плоскость сравнения 0-0 проводим через ось первого сечения, тогда 21 = 0; Zj = H. 5. Записываем уравнение Бернулли (4.15) в общем виде и делаем подстановку параметров: Р1 . <М? _ , -------— Zn Pg 2g Pl .“2U2 . h ---1------1- Л Pg 2g zi = 0; z2 = Я; Pl ~pft ^~рмш9 P2 ~Paj 01 ~ 02 “ V “ Const. После преобразований и сокращении получим: ^ = H + h. Pg (6-13) Прочитаем преобразованное уравнение Бернулли: напор, создаваемый насосом, идёт на подъём воды на высоту Н и преодоление гидравлических сопротивлений Л„. Согласно формулам (5.1), (5.2) и (5.3), представляем гидравлические сопротивления: Л*, = ЕЛ, + Лй и2 , . I v2 ЕЛ =ЕС— и Л,=Л--------. r ^2g 1 d 2g Из формулы (6.13) запишем потери напора в гидравлических сопротивлениях: Л_ ^Рман ц w —---------/1 pg --Ге^+х-1=^--я, 2gk d) pg отсюда скорость движения воды в трубе: 143
(6.14) Рассчитав скорость по формуле (6.14), определим расход: Q = txo. Для расчёта скорости в формуле (6.14) нужно определить сумму коэффициентов местных сопротивлений для задвижки и трёх колен (EQ и коэффициент гидравлического сопротивления (1). Сумма коэффициентов местных сопротивлений: 2-5 ~ 5задв. + По табл. 4, 5 (см. приложение): = 17,0; £кох = 0,39 при диаметре d- 100 мм, получим Е? = 18,17. Для выбора расчётной формулы коэффициента гидравлического сопротивления к кроме абсолютной шероховатости трубы (А) необходимо определить режим движения жидкости по критерию Рейнольдса (Re) (см. формулу (4.20)). В формулу (4.20) также входит неизвестная скорость (»), поэтому при заданной шероховатости (Д) предполагаем турбулентный режим, зону квадратичного сопротивления, для которой X не зависит от Re, и рассчитываем коэффициент X по формуле Шифринсона (5.14), затем определяем скорость движения воды. После расчёта скорости нужно проверить режим движения. Если подтвердится квадратичная зона сопротивления, рассчитаем расход. Если режим движения и зона сопротивления не подтвердится, проводим повторный расчёт коэффициента X в соответствии с числом Re. Итак, предполагаем для трубы диаметром d = 100 мм с шероховатостью Д = 0,5 мм турбулентный режим, зону квадратичного сопротивления. Коэффициент X рассчитаем по формуле (5.14): /д А0*25 <05 А0,25 Х = 0,11 - ; Х = 0911|- - =0,029. UJ Uooj Подставляем все данные в формулу (6.14). Для удобства расчётов: Рман 1,6-98-Ю3 ,, ----------------= 16м. pg 103 -9,8 144
Рассчитаем скорость движения воды по формуле (6 Л 4): 1 18,17 + 0,029 — 0,1 -5/2-9,8-1 =0,69 м/с. Рассчитаем критерий Re по формуле (4.20): Re = п 0,69 0,1 Re =----------т- 1,008 10-6 = 68452. Сравнивая число Рейнольдса (2?е) для потока воды с критическим (#£кр.)> заключаем, что Re = 68452 > Квкр ~ 2300, значит, режим движения турбулентный. По схеме (см. рис. 5.1) определим граничные значения чисел Re для установления зоны сопротивления при турбулентном режиме: 20- = 20-— = 4000; А 0,5 500- = 500 — = 100000. А 0,5 Значение числа Рейнольдса (Re) входит в интервал: 20—< Re = 68452 < 500 - А А значит, квадратичная зона сопротивления не подтвердилась, имеет место турбулентный режим, зона доквадратичного сопротивления, для которой коэффициент к рассчитываем по формуле А. Д. Альтшуля (5.12): а\0,25 Х = 0,11|—+ -| l/te d) Х = 0,11 68 68452 | 0,5 У’25 + 100 J = 0,031. v Снова рассчитаем скорое гь (и) при значении X =0,031: 145
о = |Z----J----- . 7F9,8 • 1 = 0,676 м/с; 1118,17 + 0,031--- V 0,1 n 0,676 0,1 далее Re = —- ---— = 67044; 1,008 IO-6 теперь 20 < Re = 67044 < 500 . Доквадратичная зона сопротивления подтвердилась. Рассчитаем расход ltd2 0 = = —и; 4 q=1’L4:. 0^10,676 = 5,3 • 10-3 м3 / с = 5,3 л /с. 4 Ответ: пропускная способность системы Q = 5,3 л/с. Особыми случаями простого трубопровода являются расчёт высоты установки насоса и расчёт сифона. В задаче 6.2.4 приводится расчёт высоты установки центробежного насоса (рис. 6.7). Центробежный насос имеет всасывающий трубопровод, по которому насос засасывает жидкость из водохранилища, бассейна, зумпфа и им подобных ёмкостей, и нагнетательный трубопровод, по которому жидкость под действием избыточного давления, создаваемого насосом, транспортируется по трубопроводу и поднимается на определённую высоту. Примеры расчёта нагнетательных систем приведены в задачах 6.2.1 и 6.2.3. Движение жидкости во всасывающем трубопроводе происходит под действием вакуума. Наибольшая величина вакуума имеет место непосредственно у входа в насос перед рабочим колесом. 146
Задача 6.2.4. Определить высоту установки центробежного насоса (Янас>), который отсасывает воду из зумпфа больших размеров, если диаметр всасывающего трубопровода d - 100 мм, длина I = 25 м; вакуумметрическое давление на входе в насос рт. - 0,6 ат. Труба водопроводная несколько загрязнённая имеет водозаборную сетку с обратным клапаном и одно колено с углом поворота а = 90е. Насос должен обеспечить постоянную подачу воды Q - 9,0 л/с (см. рис. 6.7). Решение. За высоту установки центробежного насоса (Янае.) принимается удаление вала центробежного насоса от свободной Для определения Нилс воспользуемся уравнением Бернулли (4.15). 1. Выберем два сечения: одно по свободной поверхности в зумпфе, другое - на входе в насос, где установлен вакуумметр, причём нормально к направлению движения потока воды. 2. Сечения пронумеруем по направлению движения жидкости: 1-1 - по свободной поверхности воды в зумпфе, 2-2 - в месте установки вакуумметра. 3. В выбранных сечениях учтём абсолютное давление: pt = ря; Р1 “Рвак. 4. Плоскость сравнения 0-0 совместим с сечением 1-1, тогда Zi = 0; Z2 ~ Ямас. 5. Запишем уравнение Бернулли (4.15) и произведём преобразования: 147
Z1 2 2 Pl al^l Pl a2U2 i + — + -J—1- = Z, , pg 2g pg 2g Z\ ~~ 0; Zi //нас.? Pl = Pa.\ p2 ~Pa "“Рвак.» Dj == 0; «2 = uBC.; a2 = 1,0 (турбулентный режим в круглой трубе). После подстановки параметров и сокращений: Рвак Pg (6.15) Прочитаем преобразованное уравнение Бернулли: вакуумметрический напор на входе в насос должен быть таким, чтобы обеспечить подъём воды у2 на высоту /4ас ? создать скоростной напор и преодолеть гидравлические 2g сопротивления Aw. Из формулы (6.15) представим высоту установки центробежного насоса: ^нас. 2 Рвак. __ Pg 2g (6.16) Определим потери напора в гидравлических сопротивлениях (К)? пользуясь формулами (5.1), (5.2) и (5.3): hw = + й/; у2 Ей — Г 2g й 1)2 ' dig и Рассчитаем скорость всасывания и скоростной напор через расход (0): до Q = = “7-ивс.> отсюда , 4 Ы получим вс. 4 3,14-ОД2 = 1,15м/с; 148
v2 1152 скоростной напор: = = (достаточно малая величина). Потери напора в местных сопротивлениях Ейг: v2 Ей = , 2g’ W + по табл. 4 и табл. 5 ( см. приложение) находим: ^сетк. = 10,0; U. = 0,39(для</==100 мм); значит££= 10,37, тогда = 10,37 * 0,067 = 0,7 м. Чтобы рассчитать потери напора по длине (hi), необходимо выбрать расчётную формулу коэффициента гидравлического сопротивления (к). Проанализируем схему выбора расчётной формулы к (см. рис. 5.1). По условию задачи дано описание состояния внутренней поверхности трубы: водопроводная труба несколько загрязнённая, значит, коэффициент к определяем по формуле (5.16): где коэффициент Шези (Q рассчитываем по формуле Маннинга (5.17): C = -RV6, п по табл. 7 (см. приложение) для несколько загрязнённых труб принимаем и =0,013 или 1/и = 76,9. Гидравлический радиус (R) для круглой трубы, согласно формуле (4.2): R = d/4 = 0,025 м. Получим С = 76,9 -0,0251/6 = 41,53. Рассчитаем значение коэффициента гидравлического сопротивления к по формуле (5.16): Х = ~Ц =0,045. 41,532 149
Потери напора по длине по формуле (5.3): 25 h, = 0,045 --0,067 = 0,75 м. ' ’ 0,1 ’ Все потери напора в гидравлических сопротивлениях по формуле (5.1): й» = 0,7 + 0,75 = 1,45 м. Рассчитаем вакуумметрический напор, входящий в формулы (6.15) и (6.16): pg 103 -9,8 Подставим все данные в формулу (6.16): янас. = 6,0 - 0,067 -1,45 = 4,5 м. Анализ проведённого решения показывает, что высота установки центробежного насоса зависит от величины вакуума на входе в насос. Обычно вакуум перед рабочим колесом насоса должен быть в пределах Яаак 4,0 4- 7,0 м вод.ст. Пример расчёта насосной установки с построением напорной характеристики водоотливного трубопровода хорошо представлен в учебнике “ Гидравлика и гидропривод “. Авторы: В. Г. Гейер, В. С. Дулин и др. М.: Недра, 1981. Ответ: высота установки насоса Hmc. == 4,5 м. Рассмотрим расчёт сифона. Сифоном называется короткий трубопровод, расположенный выше горизонта жидкости в питающем резервуаре, способный перемещать жидкость в другой резервуар, уровень жидкости в котором ниже уровня в питающем резервуаре (см. рис. 6.8), т. е. должна быть постоянная разность уровней в резервуарах. Принцип действия сифона основан на создании вакуума в верхней точке сифона, ддя. этого сифонную трубу каким-либо способом заполняют жидкостью до верхней точки, например, устанавливают подпитывающий трубопровод. На входе в сифонную трубу, как правило, устанавливают сетку с обратным клапаном, который закрывается при заполнении трубы жидкостью, а при работе сифона обратный клапан поднимается (открывается). 150
Расчёт сифона включает определение двух параметров - пропускной способности (расхода) и высоты сифона. В задаче 6.2.5 представлен расчёт сифона с истечением жидкости под уровень. Задача 6.2.5. Рассчитать максимальную пропускную способность и высоту сифона, откачивающего воду из верхнего зумпфа в нижний, при неизменной разности уровней воды в зумпфах Н = 2,0 м. Труба водопроводная нормальная диаметром d = 150 мм длиной Ц = Юм (до верхней точки сифона) и 12 = 20 м. На входе в трубу установлена водозаборная сетка с обратным клапаном. Система имеет вентиль с коэффициентом сопротивления ^вент. = 7,0, одно колено с углом поворота а “ 90е и два поворота трубы с углами щ = 30' и а2 = 60’. Величина предельного вакуума в верхней точке сифонарш. = 0,55 ат ( рис. 6.8). Рис. 6.8 Решение. Как и в предыдущих задачах, при расчёте сифона пользуемся уравнением Бернулли, методика составления которого уже отработана. 1. Определим пропускную способность сифона (Q). Следует провести расчёт простой трубопроводной системы с истечением под уровень (см. раздел 6.1.2). Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, проведённых по свободным поверхностям воды в зумпфах, где скорости можно считать равными нулю (i>i ссч. “ *>2 сеч. ~ 0), а абсолютное давление - равным 151
атмосферному (pi = ра; pi ~ ра), так как резервуары открыты. Плоскость сравнения совместим с сечением 2-2, тогда zx z2 = 0. Запишем уравнение Бернулли (4.15) и сделаем подстановку параметров: Рх , <м? pg 2g Pi i — + -г-^- + Л1и • Pg 2g zi=H; *2 = 0; Pi=P»; P2=P* 01 сеч. = О, ®2 сеч. “ 0. После подстановки данных и сокращений получим: Н сиф. Прочитаем формулу (6.17): разность уровней жидкости Н (напор) в резервуарах должна быть такой, чтобы преодолеть гидравлические сопротивления в трубопроводе - Л», «^ф. Представим потери напора в гидравлических сопротивлениях с учётом формул (5.1), (5.2) и 5.3): или 2g(Ei’ + X’rf2} Формулу (6.17) представим в следующем виде: и-”2- 2g lt+ll d (6.18) Формула (6.18) аналогична формуле (6.7). Найдём скорость движения воды в трубе (о): 152
расход g = a>»: 1 0 = ® -rrH2gH + —г- I d (6.19) Формула (6.19) аналогична формуле (6.8). Обозначим: 1 , . Р-сиф, (6.20) где р,сиф. - коэффициент расхода сифона. Рассчитаем этот коэффициент. Сумма коэффициентов местных сопротивлений: — ^сехк. + £кол] + £кол2 + ^коиз + вент. + ^вых. Пользуясь табл. 4 и табл. 5 (см. приложение), рассчитаем Е£ = 10,0 + 0,2 + 0,37 + 0,55 + 7,0 + 1,0 = 19,12. Коэффициент гидравлического сопротивления (коэффициент Дарси) для нормальных водопроводных труб принимаем X = 0,0286 для d = 150 мм по табл. 8 (см. приложение). Получим значение коэффициента расхода сифона: Рсиф. I эд 1 19,12 + 0,0286—- V 0,15 Подставляя все параметры в формулу (6.19), учитываем, что площадь icrf2 живого сечения трубы со =--, значит: 4 (6.21) После подстановки численных значений: q = 3>14'°4L. о,2 • 72-9,8-2^0 = 0,022 м3 / с = 22 л / с. 4 153
2. Определим высоту сифона. За высоту сифона (ЯСИф.) принимается превышение верхней точки сифона над уровнем жидкости в питающем резервуаре (см, рис. 6.8). Для расчёта высоты сифона воспользуемся уравнением Бернулли (4.15) для сечений 1-1 по свободной поверхности в питающем резервуаре и 3*3 - в верхней точке сифона. Сечение 3*3 проводим нормально к направлению движения потока воды, где скорость равна а абсолютное давление р$ = рЛ - рмк. Плоскость сравнения О' - О' совместим с сечением 1-1, тогда Zi = 0; гз=Ясиф. Рассуждения по составлению уравнения Бернулли для определения высоты сифона свидетельствуют о том, что расчёт высоты сифона аналогичен расчёту высоты установки центробежного насоса (см. задачу 6.2.4). Итак, уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 3-3: 2 2 Р1 . 01^1 , ₽з . «зиз , h . ---+ “-— = гз Ь ~ * , , pg 2g pg 2g == 0; Pi =ра; «1 = 0; гз ЯСИф.; Рз “ Ра “ Рвак.» »з= о; аз = 1,0 (для круглой водопроводной трубы). Потери напора в гидравлических сопротивлениях учитываются между сечениями 1-1 и 3-3: 1 2 , + Л,, , =Щ-3 —+ Х.-- -- 1-3 п-з '1-3 Ь1 3 2g d 2g После подстановки данных в уравнение Бернулли получим: П f I Л pg 2g V а ) (6.22) Скорость движения воды в трубе рассчитаем, зная величину расхода: Q 4Q v == — = —~ co ltd2 и = 4-0,022 , ------------ = 1,25 м/с. 3,14-0,152 154
Сумму коэффициентов местных сопротивлений учтйм между сечениями 1-1 и 3-3: SC1-3 = Сети. + ^ол, + W SCl-Э -10,57. 0,55-98*103 103 -9,8 Вакуумметрический напор Нт = —= РЯ «5,5м. Вакуумметрический напор можно также записать путём перевода НТ. в м вод. ст. (см. табл. 2, приложение): 1 ат = Юм вод, ст., значит, Рвак. “ 0,55 ат - 5,5 м вод. ст., т.е. Нт. - 5,5 м. Значение коэффициента Дарси (X) возьмём из предыдущего расчёта: Х = 0,0286. После подстановки численных значений параметров в формулу (6.22) получим высоту сифона: 1 252 ( 10 ЯСИ(Ь = 5,5 “ 1 + Ю,57 + 0,0286---= 4,4м. “*• 2-9,81 0,15 J Из формулы (6.22) следует, что максимальная высота сифона определяется максимальным вакуумметрическим напором в верхней точке сифона. Считается, что допустимый вакуум без образования разрыва турбулентности струи = (6 * 7) м. Значит, предельная высота сифона Ясифтах = (5 + б)м. Ответ: пропускная способность сифона Q = 22 л/с; высота сифона ЯСИф, = 4,4 м. Итак, в разделах 6.1 и 6.2 рассмотрены теория и примеры расчёта простых трубопроводных систем. Методика расчёта таких систем основана на уравнении Бернулли. Важно уметь применить эту методику для расчёта трубопроводных систем различных типов. В разделе 6.3 предлагаются задачи для самостоятельной работы, которые позволят студентам проверить знания и умение использовать вышеизложенную теорию и методику расчёта простых систем. К задачам даны ответы, однако они могут несколько отличаться от полученных Вами, в зависимости от того, какими таблицами, из каких учебников и учебных пособий Вы пользуетесь. 155
6.3. Задачи для самостоятельной работы по теме "Расчёт простых трубопроводных систем" Задача 6.3.1 При закрытом кране на трубопроводе диаметром d - 50 мм и длиной /= 10 м показание манометра перед краном рман = 0,18 ат. Определить показание манометра при открытом кране, если слив воды происходит в мерную ёмкость. За время t ~ 30 с наполняется объём W - 70,5 л. Труба водопроводная с абсолютной шероховатостью А 1,0 мм. Учесть потери напора на входе в трубу с острыми кромками. Принять коэффициент вязкости воды v =1'10'6м2/с (рис. 6.9). Ответ-, при открытом кране показание манометра рМан.(откр.) = 0,116 ат. Задача 63.2 Из напорного бака с постоянным напором Н = 3,0 м вода подаётся в зумпф по двум трубам d\ = 100 мм длиной 1\ - 5,0 м и d2 = 50 мм длиной /2 = 8,0 м. Определить расход воды в трубопроводе и скорости движения воды в каждой трубе. На трубе диаметром d\ установлен пробковый кран с углом закрытия а = 40е. Учесть потери напора на входе в трубу с острыми кромками, а также при внезапном сужении (^в.с.= 0,38). Трубы водопроводные нормальные (рис. 6.10). Ответ: расход Q = 5,1 л/с. 156
Задача 633 Из резервуара А в резервуар В вода подаётся по трубопроводу диаметром d = 50 мм, состоящему из трёх участков длиной 1\ - 5,0 м; /2 “ 4,0 м; 1з = 6,0 м. Расход воды в системе Q = 2,5 л/с. На входе в трубу установлена решётка без обратного клапана, на первом участке стоит вентиль с коэффициентом сопротивления £Вент = 5,0 (рис. 6.11). Напор воды в резервуаре А Н\ = 1,5 м, в резервуаре В - Н2 = 2,5 м. Определить показание манометра (рмаН2) на поверхности воды в резервуаре В, если показание манометра на поверхности воды в резервуаре А РмаН1 ~ 0,45 ат. Принять абсолютную шероховатость трубы А = 0,5 мм; кинематический коэффициент вязкости воды v = ЬЮ-6 м2/с. Построить напорную и пьезометрическую линии. Ответ: показание второго манометра 2 = 0,15 ат. М2 Рис. 6.11 157
Задача 6.3.4 Определить расход воды из дозаторного резервуара А в резервуар В при постоянном напоре Н = 2,5 м по трубам dx = 50 мм; 1\ ~ 5,0 м и d2 = 100 мм; 12 = 8,0 м. Трубы водопроводные нормальные. На трубе d2 - 100 мм установлен пробковый крап с углом закрытия а = 40*. Учесть потери напора на входе и выходе трубопроводной системы, а также при внезапном расширении трубопровода. Построить напорную и пьезометрическую линии, показать эпюру потерь напора (рис. 6.12). Рис. 6.12 Задача 6.3.5 С помощью насоса вода подаётся в напорный бак на высоту Н~ 6,0 м, диаметр трубы d = 100 мм, длина I ~ 80 м. Показание манометра в начале трубопровода рман1 = 1,5 ат, в конце /?ман2 = 0,75 ат. Определить, при каком коэффициенте сопротивления пробкового крана будет обеспечен расход Q - 6,0 л/с. Принять абсолютную шероховатость трубы Л « 0,5 мм, коэффициент кинематической вязкости воды v = 1 • 1 О'6 м2/с (рис. 6.13). Ответ: коэффициент сопротивления пробкового крана ~ 25,6. М2 Mi насос Рис. 6.13 напорный бак 158
Задача 6.3.6 Бензин из бензохранилища с помощью насоса подаётся в бензобак на высоту Н = 3,0 м. На поверхности бензина в бензобаке поддерживается вакуум рвак = 0,16 ат. Определить, каким должно быть манометрическое давление (рман в ат) на выходе из насоса при подаче Q = 2,4 л/с, если транспортирование бензина происходит по новой стальной трубе с абсолютной шероховатостью А = 0,05 мм, диаметром d = 50 мм, длиной I = 30 м, на трубе установлена задвижка Лудло со степенью закрытия a/d = 5/8, учесть потери напора в двух коленах и на выходе из трубы в бензобак. Принять плотность бензина Рбснз~ 720 кг/м3; коэффициент кинематической вязкости бензина Vgcm.= 0,65*1 О'6 м2/с (рис. 6.14). Ответ: манометрическое давление рман = 0,3 ат. Рис. 6.14 Задача 6.3.7 В пневмотранспортной системе регулирование скорости и расхода воздуха осуществляется с помощью задвижки и контролируется по U- образному спиртовому мановакуумметру, установленному на входном участке коллектора. Определить, каким должно быть показание мановакуумметра (Лсп) на трубе диаметром d = 100 мм при расходе воздуха Q = 180 л/с. Принять коэффициент сопротивления на входе в коллектор = 0,2; плотность воздуха р^д = 1,22 кг/м3; плотность спирта Реп = 880 кг/м3 (рис. 6.15). Ответ: показание ^/-образного мановакуумметра = 45 мм. 159
Задача 6.3.8 В плотине сделан водоспуск в виде железобетонной трубы с весьма хорошей бетонировкой диаметром d = 800 мм и длиной I = 5,0 м. Напор над водоспуском при истечении в атмосферу Н = 4,0 м. Определить пропускную способность трубы (0, м3/с), если она имеет водозаборную сетку без обратного клапана. Как изменится пропускная способность трубы, если за водосливом напор поднимется до h ~ 2,5 м (рис. 6.16). Ответ: в первом случае Q\ = 1,44 м3/с; во втором - Q2 = 1,02 м3/с. Рис. 6.16 Задача 6.3.9 Определить показание (/-образного спиртового манометра, установленного на трубе Вентури в вентиляционном трубопроводе при значении диаметров d\ = 100 мм и d2 = 50 мм, если расход воздуха Q — 78,5 л/с. Принять плотность воздуха Рвозл. = 1,23 кг/м3; плотность спирта Реп » 820 кг/м3. Коэффициент сопротивления трубы Вентури принять равным ^в«гг.= 0,2 (рис. 6.17). Ответ: показание [/-образного манометра = 140 мм. 160
Задача 63 J О Для измерения расхода воды в трубопроводе диаметром d\ - 100 мм установлен расходомер Вентури с диаметром цилиндрической части d2 = 50 мм. К широкой и узкой части расходомера подсоединены пьезометры в виде СА-образной трубки, расстояние между которыми равной. Пренебрегая потерями напора в расходомере, определить скорости в широкой и узкой части трубы Вентури, а также расход воды в трубопроводе, если разность показаний пьезометров h = 40 см. При расчёте давлением столба воздуха в пьезометре пренебречь. Коэффициент Кориолиса принять равным единице (а =Т,0) (рис. 6.18). Ответ: скорость щ = 0,72 м/с; 02 = 2,9 м/ с; расход воды в трубопроводе 0-5,7 л/с. Задача 6.3.11 Для определения коэффициента кинематической вязкости (v) масла “Турбинное 30” производится прокачка его через трубку диаметром d = 12,5 мм. На расстоянии / = 1,5 м подключён Сообразный ртутный манометр, показание которого йрт. = 50 мм. Расход масла Q = 0,1 л/с, плотность масла рмасл. = 900 кг/м3, плотность ртути ррт. = 13,6’103 кг/м3. Предположить режим движения масла ламинарным. По окончании расчёта проверить режим движения (рис. 6.19). Ответ: коэффициент кинематической вязкости масла v = 0,3ТО'4 м2/с. 161
Задача 6.3.12 Определить, на какой высоте (й) следует установить шестеренчатый насос системы смазки, подающий масло 'Турбинное 22” при расходе Q = 0,6 л/с по стальной трубе диаметром d - 35 мм и длиной / = 2,0 м. Показание вакуумметра на входе в насос рвак = 0,15 ат. В системе установлен пробковый кран с углом закрытия а » 40°. Учесть потери напора в двух коленах при £кол. == 0,86 и на входе в трубу из бензобака ^вх = 0,5. Принять плотность масла рмасд. = 900 кг/м3, коэффициент кинематической вязкости масла vMacn< = 22' 10'6м2/с (рис. 6.20). Ответ: высота установки насоса h - 1,18 м. Задача 6.3.13 Сифонный водосброс диаметром d = 200 мм и длиной / = 10 м сбрасывает воду из водохранилища в водоём, уровень которого на Я = 2,5 м ниже уровня воды в водохранилище. Определить пропускную способность сифона (0, л/с), если труба водопроводная загрязнённая имеет водозаборную сетку с обратным клапаном, два колена: одно с углом закругления а] = 90” и отношением r/R = 0,5; второе без закругления с углом а2 = 60е; вентиль с коэффициентом сопротивления ^ент. 5,0 и выход из трубы в резервуар больших размеров. Рассчитать, каким должен быть вакуум (рдак, в ат.) в конце горизонтального участка сифона, если длина трубы до этого сечения 1\ = 4,0 м, высота сифона /?СИф. = 1,5 м (рис. 6.21). Ответ: пропускная способность сифона Q = 51,8 л/с, вакуум в конце горизонтальною участка рвак. = 0,37 ат. 162
Рис. 6.21 Задача 6.3.14 Определить предельную длину трубопровода диаметром d = 100 мм с абсолютной шероховатостью А = 0,1 мм, с помощью которого бензин плотностью Рбенз. = 720 кг/м3 и коэффициентом кинематической вязкости V6eH3. = 0,65Ч0‘б м2/с может быть поднят на высоту Н = 15,5 м при пропускной способности Q = 8,0 л/с, если показание манометра после насоса рман =1,2 ат. Истечение бензина происходит под уровень. Учесть потери напора в пробковом кране при угле закрытия а=30°, трёх коленах и на выходе из трубы в резервуар больших размеров (рис. 6.22). Ответ: предельная длина трубопровода I = 70 м. 163
Задача 63.15 Из водоёма с помощью центробежного насоса вода подаётся на горное предприятие. Определить высоту расположения оси центробежного насоса над уровнем воды в водоёме (/?нас)> если расход воды Q = 30 л/с, диаметр трубы d ~ 200 мм, длина I ~ 25 м, вакуумметрическос давление на входе в насос = 0,5 ат. На входе в трубу установлена сетка с обратным клапаном. Учесть потери напора в трёх коленах при угле а - 90° и в задвижке Лудло со степенью закрытия a/d = 5/8. Считать трубу водопроводной загрязнённой (рис. 6.23). Ответ: высота установки насоса ЛНас.“ 3,9 м. Рис. 6.23 Задача 6.3.16 Поршень диаметром D = 200 мм движется равномерно вверх в цилиндре, засасывая воду из открытого водоёма с постоянным уровнем по трубопроводу диаметром d = 50 мм и длиной I = 12 м. Труба водопроводная нормальная имеет два колена, вход в трубу с острыми кромками и выход воды под уровень. Когда поршень находится выше уровня воды в водоёме на высоте h - 2 м, необходимая сила для его перемещения F= 2,4 кН. Определить скорость подъёма поршня (оп ) и найти, до какой высоты Ашах его можно поднимать с такой скоростью без опасности отрыва от него жидкости, если давление насыщенных паров /?и.п. = 4,25 кПа. Давление насыщенных паров учитывать как абсолютное давление под поршнем. Массой поршня, трением его о стенки и потерями напора в цилиндре можно пренебречь (рис. 6.24). Ответ: скорость движения поршня 0,19 м/с; максимальная высота подъема поршня /2тах = 3,72 м. 164
Fl |A|f| | ~D coast Рис. 6.24 Задача 6.3.17 На водопроводной трубе диаметром d\ = 50 мм установлен пробковый кран с углом закрытия а^. = 20е, разность показаний пьезометров, соответствующая потерям напора в кране, = 45 см. Определить разность показаний пьезометров (h) при внезапном расширении трубы до диаметра d2 = 100 мм. Потерями напора по длине между краном и внезапным расширением можно пренебречь (рис. 6.25). Ответ: разность показаний пьезометров h = 11 см. 165
6.4. Расчёт сложных трубопроводных систем Сложные трубопроводы имеют разветвлённые участки, состоящие из нескольких труб, по которым распределяется жидкость в соответствии с расходами потребителей. В зависимости от гидравлической схемы соединения трубопроводов различают: 1. Системы с последовательным соединением труб с одним конечным потребителем или с потребителями по ходу движения жидкости и также с одним конечным потребителем. 2. Системы с параллельным соединением труб, или кольцевые, также с одним или несколькими потребителями. 3. Распределительные сети, или тупиковые системы. Это системы с несколькими конечными потребителями. 4. Системы комбинированного типа, включающие участки трубопроводных систем первых трёх видов. 5. Системы с непрерывной раздачей жидкости, их также называют системами с путевым расходом. Как и при расчёте простых трубопроводных систем (см. раздел 6.1), для сложных систем можно выделить три основных типа расчётов: - определение действующего напора (Н); давления (р) в системе; разности напоров в питающем резервуаре и у потребителя при известном расходе (g), длинах и диаметрах трубопроводов отдельных участков; * определение расходов жидкости на отдельных участках и в целом в системе при известных геометрических размерах трубопроводов и напоре (или давлении); - определение геометрических размеров труб по заданным для них расходе и перепадах напора (давления). Встречаются также расчёты, включающие указанные три типа в определённой комбинации для решения инженерных задач. При расчёте сложных трубопроводных систем по аналогии с простыми системами следует пользоваться уравнением Бернулли. Так, при истечении жидкости у потребителя в атмосферу (см. рис. 6.26) получаем формулу (6.1) Как правило, в сложных системах скоростным напором (v2/2g) как малой величиной можно пренебречь. Действительно, эксплуатационная скорость в водопроводных системах г)экс. = (1-И,5) м/с, реже до 2,0 м/с, значит, скоростной напор t?/2g < 0,12 м (очень малая величина по сравнению с действующим напором). 166
Таким образом, полный напор в любом расчётном сечении сложной системы практически равен гидростатическому напору, который выражается путём построения пьезометрической линии. В сложных трубопроводных системах потери напора в местных сопротивлениях составляют (5-ь 10) % от потерь напора по длине: SAr = (0,05 4-0,1) й,. Тогда, согласно формуле (5.1): ^ = 2ЛГ +Л/== (1,05-ь 1,1) й7. Формула (6.1) для действующего напора принимает вид: Н = (1,05 4-1,1)й. , X ’ ’ / »сист. ’ (6.23) где (1,05 4-1,1) - поправочный коэффициент на местные сопротивления; й/сист - потери напора по длине в сложной системе, они представляются в соответствии с гидравлической схемой системы. Потери напора по длине (hi) на любом участке для сложных систем рассчитываются через расход (Q) (см. раздел 5.3.3) по формулам (5.19) или (5.21): или й,=Л02/, К2 где К, №, А - обобщённые параметры, которые принимаются по табл. 9 (см. приложение) в зависимости от диаметра трубопровода. При решении задач по расчёту сложных трубопроводных систем рекомендуется пользоваться следующей методикой: 1. Рассматривается распределение расхода в системе. На каждом участке обозначается расход (Qi) с индексом, соответствующим индексу диаметра трубопровода. 2. Представляются потери напора в системе, согласно схеме соединения труб. 3. По условию поставленной задачи определяются действующий напор, давление, разность напоров в питателе и у потребителя и подобные условия. 4. Дополнительно могут рассчитываться диаметр трубы при заданном расходе, свободный (остаточный) напор у потребителя, геодезическая отметка водонапорной башни или потребителя и тому подобное. 167
Рассмотрим особенности расчёта сложных трубопроводных систем с различными гидравлическими схемами. Ниже приведены гидравлические схемы сложных систем от более простых к усложнённым и даны примеры решения задач по расчёту систем. 6.4.1. Системы с последовательным соединением труб Вначале рассмотрим простой случай сложной системы, состоящей из напорной башни с напором Н и трёх последовательно соединённых труб разного диаметра и разной длины с истечением жидкости в атмосферу (число участков может быть любым) (рис. 6.26). Как отмечалось выше в разделе 6.4, расчёт такой системы можно провести, пользуясь уравнением Бернулли для двух сечений: по свободной поверхности жидкости в напорной башне и на выходе жидкости в атмосферу (см. раздел 6.1.1). Путём рассуждений, приведённых в разделе 6.4, получим формулу (6.23) для действующего напора. Рис. 6.26 Особенности расчёта системы Пусть трубопроводная система не имеет путевых потребителей. Пользуемся принятой методикой расчёта сложных систем (см. раздел 6.4). 168
1. Распределение расхода. Ввиду отсутствия потребителей по ходу движения жидкости, расход остаётся величиной постоянной, т. е. какое количество воды поступает из напорной ёмкости, такое же количество истекает в атмосферу у потребителя, следовательно, Q = const 2. Потери напора по длине при последовательном соединении труб рассчитываются, как сумма потерь напора на отдельных участках: Aw «А +Ч ‘А- 3. Действующий напор определяется по формуле (6.23) Я = (1,05^1,1)Л/оист = (1,05 ч-1,1) (Л/( +hh + hh) (6.24) или с учётом формулы (5.21): hi = A(?l при постоянном расходе: ЯЧ1Д)5*1,1)02(4А +4Л + 4*з), (6.25) где Ль Л2, Лз - удельное сопротивление трубопровода, принимается по табл. 9 (см. приложение) в соответствии с диаметрами d\9 d3; h, h h “ длины участков трубопроводов. 4. Строится пьезометрическая линия на основном чертеже (рис. 6.26) аналогично построению пьезометрической и напорной линии для простой системы (см. рис. 6.5). При построении пьезометрической линии нужно учитывать не только потери напора по длине, но и потери в местных сопротивлениях, поэтому на каждом участке покажем h„( = (1,05 ч-1,1) . Проектируем начало трубопровода на свободную поверхность в башне, из конца каждого участка трубопровода проводим вертикальные линии. Откладываем потери напора на первом участке (/ц), изменение потерь напора подчиняется линейному закону, так как длина трубы входит в формулу потерь напора (5.21) в первой степени. К потерям напора на первом участке прибавляем потери напора на втором (^) и потери на третьем (^) участках. В сумме потери напора равны действующему напору, т. е. весь действующий напор (Н) идет только на преодоление сопротивлений в системе, затратой напора на создание скорости при истечении в атмосферу пренебрегаем (см. раздел 6.4). Вертикальными штриховыми линиями показываем эпюру потерь напора. 5. Пусть дополнительно требуется определить показание манометра (^ман.)> установленного на расстоянии lN от начала второй трубы. 169
Покажем геометрическое определение потерь напора до точки N. Из точки N проводим вертикальную линию. На эпюре потерь напора находим потери напора до точки N В месте установки манометра можно показать пьезометр (пунктирная линия). Показание пьезометра соответствует ——. Такая методика перевода манометрического давления PS в пьезометрический напор была рассмотрена в задачах 2.3.6; 2.3.8; 6.2.2. Рассмотрим аналитический расчёт манометрического давления в точке N: далее = Н- (1,05 +1,1) (hh +hlN), (6.26) — а^ = Я-(1,05 + 1,1)б2(Л1/1 + A2l}i), (6.27) Pg из формулы (6.27) определяется показание манометра в точке N. 6.4.2. Системы с параллельным соединением труб Это системы, в которых магистральный трубопровод в некоторой точке разветвляется на несколько труб разных длин и разных диаметров, затем трубы вновь объединяются в машетральный трубопровод того же или другого диаметра. Эти системы называются также кольцевыми, т. е. закольцовано несколько труб. Преимущество таких систем состоит в том, что обеспечивается надёжность и бесперебойность работы системы (например, одна из ветвей может быть резервной), а также включение труб меньшего диаметра при той же пропускной способности системы. Рассмотрим кольцевую систему, представленную в плане. Известно манометрическое давление в начале магистрального участка, длины и диаметры всех участков (рис. 6.27). Параллельно проложенные трубы разветвляются в точке А и соединяются в точке В, лежат на одном горизонте. Для наглядности параллельное соединение труб показано в изометрии. Пусть отсутствуют путевые потребители, а у конечного потребителя С должен быть остаточный (или свободный) напор Л Следуя принятой методике расчёта сложных систем (см. раздел 6.4), рассмотрим особенности расчёта систем с параллельным соединением труб. 170
04, 4, d* Рис. 6.27 1. Распределение расхода. На каждом участке введём обозначение расхода с индексом, соответствующим диаметру: 0b 02, Qi, 05- При отсутствии потребителей по длине системы и наличии только одного конечного потребителя с расходом Qc расход на магистральном участке равен сумме расходов в параллельных ветвях трубопроводов: 01==02 + 0з + 04. (6.28) На пятом магистральном участке Qs = 0ь а также 05 = Qc. 2. Потери напора в системе. При параллельном соединении труб давление, а следовательно, и пьезометрический напор в точках разветвления Л и В одинаковы для любого из параллельных участков. На рис. 6.27 пунктирными линиями показаны пьезометры в точках А и Ра Рв В, а также пьезометрические напоры —~ и — Pg Pg В главе 5 отмечалось, что потери напора в гидравлических сопротивлениях определяются, как разность показаний пьезометров в начале и в конце участков сопротивлений, следовательно, потери напора в кольце равны потерям напора по любому из параллельных участков: 171
pg pg mnv h —h ~h — h п*кояып п™2 ”w4 * (6.29) Из равенства потерь напора в параллельных участках трубопроводов можно найти распределение расходов по ветвям в кольце. Приравняем потери по длине, т. е. в формуле (6.29) не учитываем поправочный коэффициент на местные сопротивления: hl2 =f,l3 (6.30) или с учётом формулы (5.21): A2Q%12 = Д$бз^з = А04^4- (6.31) Имеем два уравнения (6.28) и (6.31) с тремя неизвестными. Решим их. В формуле (6.31) выразим Q3 через Q2, затем 04 через Q2, подставим значения & и в формулу (6.28), получим уравнение с одним неизвестным Q2 (при условии, что Q\ задано). Определим Q2, затем Q3 и 04. Итак, приравняем: A2Q2l2 ~ ^зйз (з> выразим 0з через Q2: Л Л Ж’ Уз V2V3/3 (6.32) приравняем: A2Q2I2 =J^404^4’ выразим 04 через Q2: (6.33) Подставим значения 0з и 04 в формулу (6.28): й=а|1+ получим Q2, выраженное через Qr. q2 = _ f, iA212 lA2l2 I \u3/3 \a4/J (6.34) (6.35) 172
затем по формулам (6.32) и (6.33) определим 2з и При расчётах формула (6.35) математически становится очень простой, так как и представляют собой простые числа: длины участков заданы, значения коэффициентов А в соответствии с диаметром трубы принимаются по табл. 9 (см. приложение). Таким образом, рассмотрены два самых важных момента при расчёте кольцевых систем: расход на магистральном участке равен сумме расходов в параллельных ветвях; потери напора в параллельных участках равны. 3. Действующий напор для представленной кольцевой системы (см. рис. 6.27) с учётом формулы (6.23): Н = (1,05 1,1)Л/иют + ЛОСТ.С = (1,05+1,1) (й^ +й/ю)лы1а +Л/5) + йостс. (6.36) Прочитаем формулу (6.36): действующий напор должен быть таким, чтобы преодолеть сопротивление в системе и обеспечить остаточный напор у потребителя С. Учтём потери напора в кольце, например, по второму участку кольца, введём в формулу (6.36) расходы: Н = (1,05 +1,1) (а,0^ + A2Q2l2 + AsQ2l5)+ . (6.37) Следует помнить, что Н = , 4. На схеме установки (см. рис. 6.27) строим пьезометрическую линию и эпюру потерь напора по аналогии с системой последовательно соединённых труб (см. рис. 6.26). 6.43. Распределительные сети, или тупиковые системы Это сложные системы, состоящие из разветвлённой сети трубопроводов, имеющие несколько конечных потребителей. Как правило, известно, какими расходами следует обеспечить потребителей, а также какой должен быть остаточный (свободный) напор у потребителя или на какую отметку следует поднять воду у потребителя. При известном расходе ставится также задача подобрать диаметры трубопроводов. 173
Тупиковые системы принято представлять в плане. Рассмотрим принцип расчёта тупиковой водопроводной системы на примере системы, представленной на рис. 6.28. Система имеет четыре конечных потребителя (A9B9CJ>) и один потребитель в точке N по пути движения воды. Остаточные напоры (или высота подъёма) воды у конечных потребителей различные ( ^ОСТ.^ ’ ^ОСТ.Д ’ ^ОСТ.£ ’ ^ОСТ. д )* Рис. 6.28 Согласно принятой методике расчёта сложных систем (см. раздел 6.4), покажем особенности расчёта тупиковых систем. 1. Распределение расхода. Расход на каждом участке представим через расходы потребителей. Помним, что на магистральном участке расход равен сумме расходов потребителей. Первый участок является магистральным для всех потребителей: 81= Qa + Qn + Qb + Qc + Qd> а также Qx = 82+ 8з- На третьем участке: 8з = Qn + Qb Qc + Qd\ а также 8з = Qn + 84+ 8s- На пятом участке: 8з = Qc + Qd ; а также Q5 = 06 + Q?. 174
На отдельных участках, ведущих к потребителю, расход равен расходу потребителя: 02 = 0z 04 = 0s; 06 = 0с; 07 = 0п- 2. Потери напора по длине любого из направлений рассчитываются из условия последовательного соединения труб, т. е. суммируются. Для рассматриваемой схемы (см. рис. 6.28) потери напора до потребителя Л: \ =hh-l ~h,l +hh> до потребителя В: hB = hh_3_4 = , до потребителей Си В соответственно: hic = АА-з-5-6 =hh+hi3+ his + hk > hiD=\.^=\+hh+hh+hh' Потери напора с учётом местных сопротивлений по любому направлению = (1,05 s- l,l)fy . (6.38) ^напр v z *квлр 4 7 Поправочный коэффициент на местные сопротивления (1,054-1,1) принимается согласно поставленному условию в задаче. 3. Потребный действующий напор (Н), или высота водонапорной башни, определяется по максимальной величине суммы потерь напора и остаточного напора по одному из направлений. В частности, для представленной схемы (см. рис. 6.28) действующий напор: (5 39) +^ост.л где сравниваем, из них выбираем максимальную величину: т. е. (к, + . V наир. ост* 'max 175
4. Дополнительным условием в задаче может быть расчёт диаметра трубопровода по заданному расходу потребителя, при этом рекомендуется эксплуатационная скорость в пределах оэкс= (1,0-? 1,5) м/с. Диаметр трубопровода на любом участке рассчитывается через расход: * (6.40) По окончании расчёта, как правило, строится пьезометрическая линия. 6.4.4. Системы с путевым расходом жидкости Эти системы включают трубопровод, в котором жидкость раздаётся в ряде пунктов по его длине. При большом количестве таких пунктов с достаточной точностью можно считать, что расход жидкости распределяется равномерно по длине / с интенсивностью q - Q^tJL Такие трубопроводы называются также трубопроводами с равномерной раздачей жидкости. Наиболее характерным является случай, когда в трубопроводе кроме равномерного путевого расхода gnyr. s ql имеется транзитный расход £>тр., проходящий по трубе и забираемый в конце трубопровода (рис. 6.29). При этом общий расход жидкости, поступающий в трубопровод: Q 0тр. + (2пуг. 0тр. + ql* Q Qrp. Рис. 6.29 Основным вопросом для систем с путевым расходом является определение величины потерянного напора. Общие потери по длине трубопровода с учётом путевого и транзитного расходов можно определить по формуле ( О2 л;=л/е;.^0тр.епу1.+^ (6.41) 176
где А - удельное сопротивление для заданного диаметра трубы, принимается по табл. 9 (см. приложение). Основные теоретические положения по расчёту сложных систем рассмотрены. Ниже предлагаются примеры решения задач с построением пьезометрических (напорных) линий. 6.5. Примеры решения задач по теме: “Расчёт сложных трубопроводных систем” Задача 6.5.1. Сложная система с водонапорной башней включает кольцевое соединение труб и доставляет воду двум потребителям (рис. 6.30). Определить отметку уровня воды в водонапорной башне, питающей два потребителя: А с расходом Qa = 18 л/с и С с расходом Qc = 32 л/с. Система включает магистральный трубопровод d} = 250 мм; Ц = 600 м; два параллельно проложенных трубопровода: “ 150 мм; /2 “ 550 м; d$~ 100 мм; /3 = 400 м и трубопровод <4 ~ 200 мм; /4 = 720 м, подающий воду потребителю С. Остаточный напор у потребителя С должен быть не менее 10м(ЛОСТс £10м). Трубы водопроводные нормальные. Местные потери напора принять равными 10 % от потерь по длине. Построить пьезометрическую линию. Решение. Руководствуемся методикой расчёта сложных систем с параллельным соединением труб (см. раздел 6.4.2). 1. Распределение расхода (пропускной способности). На каждом участке вводим обозначение расхода с индексом, соответствующим индексу диаметра трубы (см. рис. 6.30). Расход на первом участке равен сумме расходов потребителей: 61 = Qa +Qc ; 0i = 50 л/с = 0,05 м3/с. Сумма расходов в параллельных трубопроводах равна расходу потребителя С: Q2 + 63 = Qc; + бз = 32 л/с = 0,032 м3/с. (6.42) ' Пропускная способность четвёртого участка равна расходу потребителя С: Q4 - 0,032 м3/с. 2. Приравняем потери напора по длине в параллельных трубопроводах кольца, чтобы найти распределение расхода в параллельных участках (см. раздел 6.4.2): й,2 = hh ’с Улётом формулы (5.21): A^Q*^ - A3Q313. 177
Выразим 03 через Q2: 03 = Q2 Л1ГТ~ v А*з Согласно данным табл. 9 (см. приложение), для d2 - 150 мм удельное сопротивление Л2 = 31,18 с2/м6; для d$ = 100 МхМ значение А3 =265 с2/м6, тогда вз [31,18-550 265-400 = О,402. Подставим 0з, выраженное через 02, в формулу (6.42): 02 + ОЛ 02 = 0,032 м3/с, отсюда 02 = 0,023 м3/с; значит 03 = 0,009 м3/с. 3. Геодезическая высота, или отметка уровня воды в водонапорной башне относительно нулевой отметки (см. рис. 6.30): башни — 2,0 4- с + ^wCHCT 178
Рассчитаем потери напора в системе: Чист. =1А +hlmm +hk)> где 1,1 - поправочный коэффициент на местные сопротивления, так как по условию задачи потери напора в местных сопротивлениях составляют 10 % от потерь по длине, кольца “ потеРи напора по длине в кольце, их учтём по одной из ветвей, например, по второй: ^/кольца = . Потери напора в системе с учётом формулы (5.21): Чия. =м(лаЧ Рассчитаем потери напора в системе, принимая = 2,11 с2/м6; Ал - 6,78 с2/м6 по табл. 9 (см. приложение): aWcHCT = М(2Д 1 • 0,052 • 600 + 31,18 • 0,0232 • 550 + 6,78 0,0322 • 720) « = 3,5 + 10,0 + 5,5 - 19,0 м. Для построения пьезометрической линии имеем потери напора на каждом участке: -3,5м; JL = -h^. =10,0м; hWA =5,5м. *1 икошца "3 "Ч На рис. 6.30 откладываем в масштабе потери напора на каждом участке и строим пьезометрическую (напорную) линию, как показано в разделе 6.4.2. Находим отметку уровня воды в водонапорной башне: Ябашни = 2,0 + 19,0 + 10,0 = 31,0 м. Ответ: отметка уровня воды в водонапорной башне равна 31,0 м. Задача 6.5.2. Тупиковая водопроводная система имеет пять участков труб, длины и диаметры которых указаны на рис. 6.31. В системе четыре потребителя с расходами: QA = 10 л/с; Qb = 18 л/с; Qc - 12 л/с; QD = 8 л/с; на пятом участке равномерная раздача воды с путевым расходом £?пут.= 15 л/с. Определить высоту водонапорной башни (Я), рассчитать диаметры труб на первом и третьем участках системы при условии, что эксплуатационная скорость оэкс. < 1,4 м/с. 179
Принять /i = 500 м; 13 = 450 м; d2 = 150 мм; 12 = 550 м; = 125 мм; /4 = 600 м; d3 = 150 мм; Z5 = 700 м. Потери напора в местных сопротивлениях составляют 5 % от потерь по длине. Построить пьезометрическую линию. Рис. 6.31 Решение. Воспользуемся методикой расчёта тупиковых систем и систем с путевым расходом (см. разделы 6.43 и 6.4.4). 1. Обозначим на схеме (рис. 6.31) расходы на каждом участке с соответствующими индексами и найдём их значение, при этом переводим л/с в м3/с. Первый участок является магистральным для всех потребителей: 01 = Qa Qb + Qc + Qd + 0пуг. = 0,063 M3/c. Третий участок магастральный для потребителей С и D и путевого расхода: Оз = Qc + Qd + £?пуг.= 0,035 м3/с. 180
Для второго и четвёртого участков: (?2 = <?а = 0>018 м3/с; 04 = Gc = 0,012 м3/с. 2. Рассчитаем диаметры труд на первом и третьем участках, пользуясь формулой (6.40): ^Ж. V Я^экс. Получим: rfj = = 0,239 м, принимаем rfj - 250 мм; _ o j7gMj принимаем с/3 = 200 мм. 3. Определим потери напора на участках 1-4 с учётом местных сопротивлении по формуле: ^ = 1,05^ = 1,05^4 Для всех диаметров труб выбираем значения коэффициентов удельного сопротивления по табл. 9 (см. приложение): А\ = 2,11 с2/м6; Л2 = 31,18 с2/м , А3 = 6,78 с2/м6; Л4 = 81,6 с2/мб; А5 = 31,18 с2/м6. Получим Л^ = 1,05’2,11*0,0632,500 = 4,4 м, по аналогии: Лш, = 5,8м; й =3,9м; h = 7,4 м, *>*3 9 "4 z Потери напора на пятом участке с учётом путевого расхода (£?пуг.) и транзитного расхода в виде расхода потребителя D (Qd), согласно формуле (6.41): ( О2 1 ^=1,05^ Q2d+QdQ^A~- ’ k J после подстановки численных значений; hWK = 5,9 м. Рассчитаем потери напора по трём направлениям к потребителям В; С и D, принимая последовательное соединение труб: 181
hwg — 2 + hW2 — 10,2 м, ~ ^wi-3-4 "*" ^*1 + *4 + ^w4 ~ 1m, h-wp *~ ^^1-3-5 ““ + ^*з + ^w5 "**’ m. 4. По формуле (6.39) определим высоту водонапорной башни'. я=к +лост) , \ ”напр. ост'тах в данной задаче остаточный напор у всех конечных потребителей принимаем равным 10 м, поэтому сравниваем потери напора по всем направлениям и выбираем максимальные, такими являются потери напора до потребителя С: = й„ = 15,7 м. Таким образом, высота водонапорной башни Н = h„c + = 15,7 +10,0 = 25,7 м. 5. Строим пьезометрическую линию. Для первого и третьего участков пьезометрическую линию построим в вертикальной плоскости, для других участков пьезометрическую линию представим в изометрии путём параллельного переноса направления трубопровода (см. рис. 6.31). Построение можно несколько упростить. Чтобы на чертеже не было наложения эпюр потерь напора, можно от остаточного напора в точках А и N откладывать потери напора на участках втором, четвёртом и пятом, как представлено на рис. 6.31. Из построения пьезометрической линии следует, что остаточные напоры у всех потребителей, кроме потребителя С, больше 10,0 м. Вертикальной штриховкой показана эпюра потерь напора. В примерах решения задач 6.5.1 и 6.5.2 расчёты сложных систем проведены без составления уравнения Бернулли, т.к. эти расчёты аналогичны расчётам простых систем ( см. раздел 6.2). На примере решения задачи 6.5.3 представим расчёт сложной системы путём составления уравнения Бернулли. 182
Задача 6.53. Из водонапорной башни А, на поверхности воды в которой действует избыточное давление (рМа«), по трём последовательно соединённым трубам подаётся вода трём потребителям с расходами: Qb = 15 л/с; Qc “ 8 л/с; QD = 12 л/с. Диаметры и длины участков системы принять: di = 200 мм, Ц = 700 м; </2 = 150 мм, /2 = 600 м; d3 = 125 мм, 13 = 500 м. Остаточный (свободный) напор у потребителя D должен быть не менее Юм (АОСТр>10м). Действующий напор водонапорной башни 15 м считать постоянным (рис. 632). Определить, каким должно быть показание манометра (рмап ) на поверхности воды в башне для обеспечения водой потребителей при условии, что местные сопротивления составляют 10% от потерь по длине. Трубы водопроводные нормальные. Построить пьезометрическую линию. Рис. 6.32 Решение. Для расчёта системы (см. рис. 632) воспользуемся уравнением Бернулли по принятой методике (см. раздел 4.5.7). 1. Выбираем два сечения по свободной поверхности воды в башне, где скорость воды можно считать равной нулю, и у потребителя D. 2. Сечения нумеруем по направлению движения воды: 1-1 по свободной поверхности воды, где установлен манометр, 2-2 по трубопроводу у потребителя 2). 183
3. В выбранных сечениях учитываем абсолютное давление: Pt =Р* +Рмая; Р2 =Pi + Pg^ocTo • 4. Плоскость сравнения 0-0 совместим с сечением 2-2, тогда z\ ~ Н; z2 = 0. 5, Записываем уравнение Бернулли в общем виде и производим подстановку параметров: , +.Р1 I Pg 2g _ у ^Рг 4- а21>1 4- А • Zi = Н\ z2 “ 0; Р1=Р»+Рман; p2=Pa + PgA0CI£i; Vi = 0; «2 = v; а2 = 1,0; Л^2 = Л„сисг. После подстановки параметров получаем: Р» + Рман = А + Р^остр + У2. + Л Pg Pg Pg Pg 2g WCMCT * и2 Как указано в разделе 6.4, скоростным напором (—), как малой 2g величиной, можно пренебречь, поэтому после соответствующих сокращении уравнение Бернулли принимает вид: Я + ^ = Лос1+А . остд wcacr (6.43) Прочитаем уравнение (6.43): за счёт избыточного напора (^йй-) на Pg поверхности воды в башне и действующего напора (77) происходит преодоление всех сопротивлении в системе (йж ) и обеспечение остаточного напора у потребителя D ). Чтобы рассчитать показание манометра (рман) в формуле (6.43), следует определить потери напора в системе (^Wci(CT )• Воспользуемся методикой расчёта сложных систем (см. раздел 6.4). 1. Распределение расхода. На каждом участке вводим обозначение расхода с индексом, соответствующим индексу диаметра трубы: Qi, Q2'9 Q3. Рассчитаем расход на каждом участке через расходы потребителей: Q\ = Qb + Qc + Qd-, <2i = 35 л/с = 0,035 м3/с; 02 = Qc + Qd', Qi = 20 л/с = 0,020 м3/с; Q3 = Qd; Оз = 12 л/с = 0,012 м3/с. 184
2. Определим потери напора в системе - Л„сист. При последовательном соединении труб потери напора на всех участках суммируются (см, раздел 6.4.1). С учётом поправочного коэффициента на местные сопротивления получим: = 1,1( hh + Л. + Л. ), затем с учётом формулы (5.21): 4^ = 1,1(4^/, + A2Q22l2 + A&IJ. (6.44) Рассчитаем потери напора в системе, принимая А^ = 6,78 с2/м6; Аг = 31,18 с2/м6; Аз = 81,60 с2/м6 (см. приложение табл. 8). Для построения пьезометрической (напорной) линии нужно знать потери напора на каждом участке трубопровода, поэтому формулу (6.44) представим в виде трёх слагаемых: -Ц-6,78-0,0352 *700 = 6,4м; = UA2Q*l2; /^ = 1,1* 31,18 • 0,0202 • 600 = 8,2 м; = 1,1Л3032/3; = 1,1 • 81,60 • 0,0122 • 500 = 6,5 м. А =6,4 + 8,2 + 6,5 = 21,1м. Обратимся к формуле (6.43) для определения показания манометра (Рман) на поверхности воды в водонапорной башне: = 21,1 + 10 -15 = 16,1м, Pg отсюда рман = 16,lpg= 16,Г103,9,8 = 157 103 Па= 157 кПа. Показание манометра можно представить в атмосферах, помня, что 1ат - 10 м вод. ст., получим: = 16,1м соответствует манометрическому К давлению рман = 1,61 ат. Ответ: показание манометра рман = 157 кПа или рм<ш= 1,61 ат. Ниже в разделе 6.6 предлагаются задачи для самостоятельной работы, чтобы проверить знания по расчёту сложных трубопроводных систем. 185
6.6. Задачи для самостоятельной работы но теме “Расчёт сложных трубопроводных систем“ Задача 6.6.1 Водонапорная башня А с отметкой 22,0 м питает два потребителя - В и С - через систему двух последовательно соединённых труб. Пьезометрический напор в конце первого участка hp - 15,0 м. Определить расход воды на первом участке (0i) и расход потребителя С (Qc\ а также отметку потребителя С. Принять расход потребителя В Qb = 10 л/с. Диаметры и длины участков водопроводной системы соответственно: d{ = 150 мм, /1 = 600 м; d2 = 125 мм, /2 - 500 м. Трубы водопроводные нормальные. Местные потери напора принять равными 5 % от потерь по длине. Построить пьезометрическую линию (рис. 6.33). Ответ: Q] = 19 л/с; Qc = 9 л/с; отметка потребителя С равна 11,5 м. Из водонапорной башни А обеспечиваются водой три потребителя в точках В, С и D. Пропускная способность первого участка 0! = 30 л/с; расходы потребителей: Qs « 12 л/с; Qc =10 л/с. Определить расход потребителя D (QD, л/с), а также отметку свободной поверхности воды в водонапорной башне, если остаточный напор у потребителя D должен быть не менее 10 м. Принять диаметры и длины участков труб: di = 200 мм, /1 = 600 м; d2 = 150 мм, 12 = 500 м; = 125 мм, /3 = 400 м. Трубы водопроводные нормальные, местные сопротивления составляют 10% от потерь по длине. Построить пьезометрическую линию (рис. 6.34). Ответ: Qd = S л/с; отметка свободной поверхности воды в башне 24 м. 186
Рис. 6.34 Задача 6.6.3 Из водонапорного бака А с избыточным давлением на поверхности Лан - 19,6 кПа по трём последовательно соединённым трубам вода подаётся потребителям В, С и D с одинаковыми расходами: QB = Qc = Qd - Q- У потребителя D - выход воды в атмосферу. Определить расход воды на каждом участке трубы, диаметры и длины участков соответственно: rfi = 200 мм, Zi = 600 м; d2 = 150 мм, 12 = 500 м; = 125 мм, 13 = 400 м. Действующий напор Н- 15 м считать постоянным. Трубы водопроводные нормальные. Местные потери принять равными 10 % от потерь по длине. Построить пьезометрическую линию (рис. 6.35). Ответ: Q\ = 32,4 л/с; Q2 = 21,6 л/с; Q3 = 10,8 л/с. 77Г~777 й: d\ l\ !с d313 Рис. 6.35 187
Задача 6.6.4 От насосной установки по трубопроводной системе с параллельным соединением труб вода подаётся двум потребителям - А и В - с расходами Qa= 10 л/с; QB- 12 л/с. Длины и диаметры участков системы: d\ = 100 мм, /1 = 500 м; d2 = 125 мм, 700 м; rf3 = 125 мм, Z3 = 600 м. Высота подъёма воды у потребителя В - Нв = 8 м. Определить распределение расходов в параллельных участках труб, а также показание манометра, установленного после насоса (рман)- Местные сопротивления принять равными 5 % от потерь по длине. Считать, что трубы водопроводные нормальные уложены на одном горизонте (рис. 6.36). Ответ: = 0,009 м3/с; q2 - 0,013 м3/с; /?ман = 2,55 ат. Задача 6.6.5 Тупиковая система, представленная в плане, предназначена для снабжения водой четырёх потребителей - Л, В, Си 2>. Расходы потребителей: 0л “ 16 л/с; 05 = 14л/с; Qc~ 12л/с; 0^ = 8 л/с. Рассчитать диаметры труб на каждом участке при условии, что средняя скорость в трубах не должна превышать иср. = 1,2 м/с. Определить высоту водонапорной башни Н, если остаточный напор (йост) У потребителей должен быть не менее 10 м. Длины участков сети: 4 - 700 м; 12 » 400 м; Z3 = 600м; /4 - 350м. Трубы водопроводные нормальные. Потери напора в местных сопротивлениях принять равными 10 % от потерь по длине. Построить в аксонометрии пьезометрическую линию (рис. 6.37). Ответ: высота водонапорной башни Н6ашни = 28,7 м. 188
Задача 6.6.6 Два цеха обогатительной фабрики В и С с расходами QB = 20 л/с и Qc - 15 л/с питаются от насосной установки. Отметки, на которые надо поднять воду у потребителей: hB = 12,0 м; he = 10,0 м; диаметры и длины трубопроводов: d2 = 150 мм, /2 = 500 м; d2 - 125 мм, /3 = 400 м. Определить расход воды на магистральном участке (gi), рассчитать диаметр трубы первого участка (t/j) при условии, что эксплуатационная скорость не должна превышать t>3Kc“ 1,2 м/с, длина первого участка /1 = 600 м. Рассчитать показание манометра (рМан.)? установленного после насоса. Трубы водопроводные нормальные. Потери напора в местных сопротивлениях принять равными 10 % от потерь по длине (рис. 6.38). Ответ. Qi = 35 л/с; di - 200 мм; = 2,44 ат. 189
Задача 6.6.7 Система водоснабжения, представленная в плане, имеет три потребителя - А, В и С. Определить расходы воды у потребителей (0Л> Qb, Qc в л/с), если свободные (или остаточные) напоры у потребителей: 20 м; кв- 14 м; hc = 15 м. Показание манометра, установленного после насоса, рман - 2,7 ат. Потребители расположены на одном горизонте. Диаметры и длины участков сети: d} = 200 мм, Д = 600 м; d2 = 150 мм, 12 = 500 м; d3 = 125 мм, = 400 м. Трубы водопроводные нормальные. Потери напора в местных сопротивлениях принять равными 10 % от потерь по длине. Построить в аксонометрии пьезометрическую линию (рис. 6.39). Ответ: расходы потребителей: QA - 9,0 л/с; Qb - 19,0 л/с; Qc = 12 л/с. Рис. 6.39 Задача 6.6.8 Определить, каким должно быть давление на поверхности воды в закрытом резервуаре (рманД из которого по системе труб с кольцевым соединением вода поступает в другой закрытый резервуар с давлением на поверхности рмаВ2 = 0,2 ат. Общий расход воды в системе Q = 45,0 л/с. Длины и диаметры водопроводной сети: di = 250 мм, /1 = 500 м; d2 = 150 мм, 12 = 300 м; d3 = 100 мм, /3 = 250 м; d^ - 200 мм, /4 = 400 м. Разность уровней воды в резервуарах Н = 4 м. Трубы водопроводные нормальные. Местные сопротивления принять равными 10 % от потерь по длине. Построить пьезометрическую линию (рис. 6.40). Ответ: показание манометра в питающем резервуаре рман1 1,76 ат. 190
Рис. 6.40 Задача 6.6.9 От насосной установки по двум трубам d\ = 250 мм, Ц - 600 м и с/2 - 200 мм, 12 = 400 м вода подаётся двум потребителям А и В с расходами Qa = 30 л/с; £>в = 10 л/с. На втором участке предусмотрена равномерная раздача воды с путевым расходом 0пут. = 20 л/с (рис. 6.41). Определить остаточные напоры у потребителей А и В, если показание манометра, установленного после насоса, рт = 2,0 ат. Трубы водопроводные нормальные. Местные сопротивления принять равными 10 % от потерь по длине. Построить пьезометрическую линию. Ответ: = 15,0 м; h^.g - 13,7 м. Рис. 6.41 191
Задача 6.6.10 Из двух напорных резервуаров - А и С - вода подаётся потребителю В с расходом QB = 10 л/с. Определить расходы воды из резервуаров QA и Q& построить пьезометрическую линию, если длины и диаметры участков сети: d] — 100 мм, Ц - 400 м; d2 = 125 мм, 12 = 250 м. Отметка резервуара Л равна 17,8 м, резервуара С - 12,0 м. Трубы водопроводные нормальные. Местные потери принять равными 5 % от потерь по длине (рис. 6. 42). Ответ: расходы из резервуаров: Qa ® 7,31 л/с; Qc = 2,69 л/с. Насос, дающий подачу Q = 20 л/с, перекачивает воду в резервуар по трём параллельным трубам под уровень Н = 3,0 м. Определить показание манометра (рман), установленного на линии нагнетания, а также расходы воды в каждой трубе. Принять диаметры и длины параллельных участков сети : di ~ 150 мм, 7] - 450 м; d2 ” 100 мм, 12 - 400 м; d3 = 125 мм, /3 = 450 м. Трубы водопроводные нормальные. Местные потери составляют 10 % от потерь по длине (рис. 6.43). Оценить, как изменится показание манометра, если один или два из параллельных трубопроводов будут отключены. Ответ: Qi = 10 л/с; Q2 - 3,7 л/с; Q3 ~ 6,3 л/с;рман = 0,46 ат. 192
Рис. 6.43 Задача 6.6.12 Из напорного бака А вода подаётся двум потребителям - В и С (рис. 6.44) на отметку 3,0 м при необходимых расходах Qs = 10 л/с; Qc = 25 л/с по трубам: di = 200 мм, Ц = 500 м; rf2 = 200 мм, /2 = 650 м. На первом трубопроводе предусмотрена непрерывная раздача воды в виде путевого расхода 0пут. = 20 л/с. Определить отметку уровня воды в напорном баке Л. Трубы водопроводные нормальные, потери напора в местных сопротивлениях принять равными 10 % от потерь напора по длине. Ответ: отметка уровня воды в напорном баке равна 6,0 м. Рис. 6.44 193
Глава 7 ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ В инженерной практике часто встречаются случаи истечения жидкости через отверстия и насадки, представляющие собой короткие патрубки различной конфигурации. Путём расчёта истечения жидкости из отверстий и насадков решаются такие технические задачи, как измерение количества проходящей жидкости, создание сильной дальнобойной и компактной струи, распространение свободной струи, конструирование сопл и форсунок и др. Истечение может происходить при постоянном или переменном напоре. В первом случае движение жидкости считается установившимся. Истечение жидкости может происходить в атмосферу и называется свободным истечением, а также в другой резервуар, заполненный жидкостью. Такое истечение называется истечением под уровень или истечением через затопленное отверстие. Классификация отверстий 1. Малое отверстие в тонкой стенке (незатопленное и затопленное). 2. Малое отверстие в толстой стенке. Аналогом является короткий патрубок длиной I ~ (3 ч- 5)^/^. (<У0ТВ. - диаметр отверстия), присоединённый к малому отверстию. 3. Большое отверстие в тонкой стенке. Малым считается отверстие, если разность напоров над верхней и нижней кромками отверстия не превышает' 10 % вертикального размера отверстия. Действующий напор принимается по оси отверстия. В противном случае, если разность напоров над верхней и нижней кромками отверстия превышает 10 %, отверстие считается большим. При расчёте такого отверстия учитываются напоры над верхней и нижней кромками отверстия. Тонкой считается стенка, если толщина её (5) не превышает трёх линейных размеров отверстия. Например, для круглого отверстия 5<3 <4гВ; для квадратного отверстия 8^ За (я - сторона квадрата). Толстой считается стенка, толщина которой 6 - (3 4- 5)б4тв., Если толстую стенку убрать, оставить только ограничение, например, в виде патрубка, то такой патрубок называется гидравлическим насадком. Итак, гидравлический насадок - это короткий патрубок длиной I = (3 ч- 5)с/, присоединённый к малому отверстию в тонкой стенке. Если длина патрубка I > 5d, то такое движение жидкости следует рассматривать как движение в короткой трубе. Рассмотрим теоретические основы расчета истечения жидкости через отверстия и насадки. 194
7.1. Истечение жидкости из малого незатопленного и затопленного отверстий в тонкой стенке Под расчётом отверстия понимается определение пропускной способности отверстия, или расхода (Q). Рассмотрим малое отверстие в тонкой стенке закрытого резервуара, на поверхности жидкости в котором действует абсолютное давление ро3 в общем случае не равное атмосферному (рис. 7.1, а). Площадь живого сечения отверстия со, действующий напор по оси отверстия Я, уровень воды в резервуаре постоянный. 1 const jp* 1 Рис. 7.1 При истечении жидкости через малое отверстие на расстоянии 0,5J происходит сжатие (инверсия) струи. Это явление объясняется инерцией частиц жидкости, параболической траекторией струек в потоке, которые пересекаются, уменьшая при этом сечение. В сжатом сечении (площадь aw) движение жидкости можно считать установившимся и применить для него уравнение Бернулли. Для определения расхода жидкости через малое незатопленное отверстие, т. е. свободное истечение в атмосферу, используем уравнение Бернулли, согласно принятой методике (см. раздел 4.5.7). 1. Выберем два сечения: по свободной поверхности жидкости в резервуаре, проведём его горизонтально, здесь скорость v = 0, и на выходе струи в атмосферу по сжатому сечению, это сечение проведём нормально к направлению движения струи. 2. Сечения 1-1 и 2-2 пронумеруем по направлению движения жидкости. 195
3. В выбранных сечениях учтём абсолютное давление. Подчеркнём, что давление в сжатом сечении равно атмосферному (выход жидкости в атмосферу): р1=р0; Р1=Р*- 4. Плоскость сравнения 0-0 проведём через ось отверстия, тогда Zi » Н; Х2 = 0. 5. Запишем уравнение Бернулли (см. формулу (4.15)) в общем виде и сделаем подстановку параметров: 2i+PL + ^Z2 + Pt Pg 2g pg z\ -H; z2 - 0; Pi =po; P2-p£ «1 = 0; «2 = «сжл а2=Оотвл где Ootb. - коэффициент неравномерности распределения скорости в отверстии. Потери напора по длине между сечениями 1-1 и 2-2 (расстояние 0,5<7) отсутствуют, значит, потери напора в гидравлических сопротивлениях (Aw) учтём, как потери напора в самом отверстии, как местном сопротивлении: l __ l _ г еж. n-w птв. ’□отв. ’ 2g где ^отв. - коэффициент сопротивления отверстия. После подстановки параметров получим: я+^-« pg 2g ’ откуда скорость в сжатом сечении: в сж. '2g Я + £»_ I Pg (7.1) В формуле (7.1) обозначим приведённый напор (ЯПрИВ.): ирив. Pg 196
Если резервуар будет открытым, в сечении 1-1 давление рг = ра, то приведённый напор Ядр™.» Н. Формулу (7.1) представим в виде: V». = J-----• (7.2) V ^отв. 'эотв. Введём коэффициент скорости (<р): 1 ф= /---------. V О'ОТВ, + С отв. Формула (7.2) принимает вид: ^сж. . (7.4) При расчёте расхода Q (или пропускной способности) из отверстия нужно скорость в сжатом сечении умножить на площадь сжатого сечения: Q ~ Цэк. ®гак. • Уменьшение площади сжатого сечения учитывается коэффициентом сжатия - е: е = ——. ш Расчётная формула для расхода с учётом формул (7.4) и (7.5): e = 6<p<0^2gff,nnra.. (7.6) Произведение коэффициентов Е<р обозначим через jiora., который называется коэффициентом расхода отверстия: Цата.= Бф- Окончательно расход жидкости через малое незатопленное отверстие рассчитывается по формуле Q = . (7.7) 197
Рассмотрим малое затопленное отверстие в тонкой стенке, или истечение из малого отверстия под уровень (рис. 7.1, б). Расчёт аналогичен расчёту малого отверстия в тонкой стенке с истечением в атмосферу. Также составляется уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, скорости в которых соответственно: = 0; »2 = «еж.; давления в выбранных сечениях: pi = рЛ; рг-ря^ pgthl плоскость сравнения совмещается с осью отверстия: zi = Як Zt - 0. После преобразования уравнения Бернулли (предлагается сделать самостоятельно) (7.8) Можно обозначить Н\ -th- таким образом, ДЯ - действующий напор для затопленного отверстия. Расход жидкости через затопленное отверстие: 0 = НОТв.<»\/2^ДН. (7.9) Формулы (7.7); (7.9), а ранее при расчёте простых трубопроводных систем формула (6.5) имеют общий вид. Таким образом, для всех видов истечений из отверстий и насадков формула расхода может быть представлена обобщённой формулой: Q = ^(j^2gH, (7.Ю) где Н— действующий (или приведённый) напор. 7,2. Истечение жидкости через большое боковое отверстие при постоянном напоре Представим себе большое боковое отверстие прямоугольной формы, ширина которого Л, напор над верхней кромкой отверстия над нижней Н2- Пусть напоры над верхней и нижней кромками отверстия отличаются более, чем на 10 %, тогда в формуле расхода учитываем оба напора: (7.11) Теоретический вывод формулы (7.11) следует изучить по учебникам и другим учебным пособиям. 198
73. Истечение жидкости из насадков при постоянном напоре По форме патрубка различают следующие типы насадков: а) внешний цилиндрический насадок (рис. 7.2, а); б) внутренний цилиндрический насадок (рис. 7.2, б); в) конический сходящийся насадок (рис. 7.2, в); г) конический расходящийся насадок (рис. 7.2, г); д) коноидальный насадок (рис. 7.2, д). Рис. 7.2 Во всех типах насадков, кроме коноидального, внутри насадка, как правило, на расстоянии 0,5d образуется сжатие струи. В области сжатия возникает вакуум, затем струя расширяется, заполняет весь насадок и выходит полным сечением. Наличие вакуума внутри насадка доказывается с помощью уравнения Бернулли, такие расчёты приведены в учебниках и курсах лекций. Вакуум внутри внешнего цилиндрического насадка способствует дополнительному подсосу жидкости и увеличению пропускной способности насадка. Так, в цилиндрическом внешнем насадке Нвак. = 0,75 Я, значит, согласно формуле (7.7): Q = цт<^28(Н + Нт) = . Зная, что у/1,75 = 1,32, обозначим 1,32}^ = Цнас,- Следовательно, пропускная способность внешнего цилиндрического насадка увеличится на 32%, действительно, ротв> = 0,62; = 1,32* 0,62 = 0,82. Таким образом, назначение насадков - увеличение пропускной способности. 199
Внутренний цилиндрический насадок используется, когда нужно увеличить пропускную способность, но по техническим условиям нельзя вывести внешний насадок. Конический сходящийся насадок даёт возможность получить компактную струю с большой скоростью, используется в гидромониторах, брандспойтах и им подобных устройствах. Коэффициент расхода насадка зависит от угла конусности. Оптимальное значение угла конусности 13°24'. Конический расходящийся насадок даёт увеличение пропускной способности на 40 ч-45 %, малые скорости на выходе. Эти насадки применяются в эжекторных установках, оросительных системах и др. Оптимальный угол конусности 5*47°. При увеличении угла конусности происходит срыв вакуума В1гутри насадка, струя отходит от стенок насадка, насадок не выполняет своего назначения, истечение происходит, как через малое отверстие. Коноидальный насадок выполнен по форме струи, вытекающей из малого отверстия, имеет малое сопротивление при движении жидкости, обеспечивает повышение пропускной способности на 40 4-50 %. Такие насадки применяются в соплах гидравлических турбин, аэродинамических установках. При теоретических обоснованиях истечения жидкости из отверстий и насадков были введены коэффициенты: а, <Р> Я* Значения этих коэффициентов зависят от многих факторов: формы отверстия, степени механической обработки кромок отверстия, полноты и совершенства сжатия струи, а также от числа Рейнольдса (Re). Эти коэффициенты определены экспериментально или рассчитаны аналитически. Значения коэффициентов приведены в справочниках и учебниках. В данном учебном пособии значения коэффициентов <р, £ и ц приведены в табл. 7.1. Таблица 7.1 Значения коэффициентов скорости (<р), сжатия (с) и расхода (ц) для отверстий и насадков Вид отверстия, насадка £ i н Малое отверстие 0,97 0,64 0,62 Внешний цилиндрический насадок 0,82 1,0 0,82 Внутренний цилиндрический насадок 0,71 1 1,0 0,71 Конический сходящийся насадок 0,96 0,98 1 0,94 Конический расходящийся насадок 0,45 J,0_ 0,45 Коноидальный насадок : 0,97 1,0 _0,92 200
7А. Пример решения задачи по теме: “Истечение жидкости из отверстий и насадков" Задача 7.4.1. На водонапорной станции установлен трёхкамерный отстойник. В стенках отстойника сделаны отверстия с площадями живых сечений: ®i == 3 дм2; ©2 ~ 2 дм2; к третьему отверстию присоединён внешний цилиндрический насадок площадью сечения соз ~ 1,2 дм2. Уровни воды в камерах постоянны. Общий напор Н = 3,0 м. Определить распределение напоров h2, и расход воды (g), вытекающей из отстойника. Считать стенки отстойника тонкими (рис. 7.3). Рис. 7.3 Решение. Из рис. 7.3 следует: Я=Л2 + й3. (7-12) Согласно уравнению неразрывности потока, расходы воды через отверстия и насадок одинаковы: 2i = 02 = 2з =const. Расходы воды через каждое отверстие можно вычислить по формуле (7.10), а именно: 22=Ро».2®2л/2^(А2-А1); 0з • 201
Приравняем расходы и, произведя простые преобразования (сократим на величину ^/2g ), получим: Нив., ®1 ’ Маи.,2 Ю2 А - А1 = Цтс.©зл/^’- (7.13) Подставим численные значения площадей живых сечений (о) и коэффициентов расхода (ц) из табл. 7.1. 0,62 • 3,0^ = 0,62 • 2,0^h2-ht = 0,82 • 1,2^. Приравняем попарно равенства, чтобы найти зависимости между напорами Ль h2, й3, а затем решить их совместно с уравнением (7.12): 9/1] ~ 4(й2 ~ /?]), отсюда /?2 = 3,25 /ii; 3,46 hi - 0,97 h3, отсюда h3 = 3,57 hb Подставим значения h2 и h3, выраженные через hb в уравнение (7.12): 3,25 Л1 + 3,57й1 = 3,0 м, отсюда = 0,44 м, значит, Л2 “ 1,43 м; h3 = 1,57 м. Расход воды можно рассчитать через любое отверстие; рассчитаем через первое: Q - 01 = 0,62'0,03• 72-9,8 0,44 - 0,0546 м3/с = 54,6 л/с. Ответ: напоры воды в отстойнике: h\ = 0,44 м; h2 = 1,43 м; h3 - 1,57 м; расход воды из отстойника Q - 54,6 л/с. 202
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Представленное учебное пособие составлено на оснований многолетнего преподавания курса гидромеханики (гидравлики). Опыт методической работы показал, что успешное овладение знаниями по этому курсу возможно только на основе решения задач. Решение задач развивает самостоятельное инженерное мышление. На сегодняшний день имеется немало сборников задач и учебных пособий по гидравлике, тем не менее в этих изданиях недостаточно освещена методика решения задач по различным разделам и темам. Для студентов очень важно усвоить именно методику решения задач, чтобы перейти от решения простых к более сложным задачам. При разработке учебного пособия ставилась цель - добиться наиболее последовательного и широкого применения методики решения задач. Во многих задачах использованы графические методы решения, дающие возможность просто и наглядно проанализировать ход решения задачи и конечный результат решения. В учебном пособии даны только основы теории по нескольким разделам гидромеханики, поэтому, само собой разумеется, студент должен обращаться к учебникам по этому курсу. Кроме таблиц, приведённых в приложении, можно пользоваться аналогичными таблицами других учебников и учебных пособий, в этом случае ответы в задачах могут незначительно отличаться. Автор надеется, что учебное пособие представит интерес и принесёт пользу в изучении курса гидромеханики. Возможно, книга будет использована преподавателями вузов для проведения практических занятий. Хотелось бы получить отзывы на книгу, замечания, пожелания. Автор С. И. Часе 203
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Альтшуль А. Д., Животовский Л. С., Иванов Л. П. Гидравлика и аэродинамика. М.: Стройиздат, 1987. 497 с. Андреевская А, В., Кременецкий Н. И., Панова М. В. Задачник по гидравлике. М.: Энергия, 1970.567 с. Гейер В. Г, Дулин В .С.,3аря А. Н. Гидравлика и гидропривод. 4-е изд. М.: Недра, 1991. 331 с. Гидравлика и гидропривод: Учеб, пособие / Н. С. Гудилин, Е. М. Кривенко, В. С. Маховиков, И. Л. Настоев; Под ред. И. Л. Постоева. 2-е изд., стереотип. М.: Изд-во МГУ, 2001. 520 с. Примеры расчётов по гидравлике: Учеб, пособие/Под ред. А. Д. Альтшуля. М.: Стройиздат, 1976. 256 с. Сборник задач по машиностроительной гидравлике: Учеб. пособие/Под ред. И. И. Куколевского и Л. Г. Подвиза. 4-е изд. М.: Машиностроение, 1981. 464 с. Чугаев Р. Р. Гидравлика (техническая механика жидкости). Л.: Энергоиздат, 1982. 552 с. 204
ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица 1 Плотность, коэффициент кинематической вязкости, условная вязкость некоторых жидкостей | Жидкость । Вода пресная Плотность р, кг/м3 ' Кинематический коэффициент вязкости v, Ю^м^с Условная вязкость •£(ВУ) 998 1,008 1,0.... ; Этиловый спирт 790 1,52 1,04 Ртуть 13546 0,16 - Воздух 1,22 14,9 - Бензин при t = 15’С 740-780 0,83-0,93 - Керосин 820 2,5 1,13 i Нефть 810-930 25,0-27,0 3,740 Масло турбинное 900 20,0-48,0 3,0-6,7 Масло трансформаторное 884 28,0-30,0 _ -1,05-430 Таблица 2 Соотношение между единицами давления Единица Па (Н/м2) кгс/см2 (ат) кгс/м2 ММ вод. ст. м вод. ст. мм рт. ст. бар 1Па (Н/м2) 1 10,210* 0,102 0,102 10240* 750-Ю'5 10’5 1 кгс/см2 (ат) 9.81-104 1 ю4 104 10 735,6 0,981 1 кгс/м2 I 9,81 104 1 1 10'3 73,56-Ю'3 98,110* 1 мм вод. ст. 9,81 Ю'4 1 1 10'3 73,56-Ю'3 98,1-10* 1 м вод. ст. 9,81 103 I 0,1 103 103 1 73,56 98,140* 1 мм рт. ст. 133,3 1.3610'3 13,6 13,6 13,610'3 1 1,33-Ю'3 1 бар 105 1,02 102-103 10.2103 10,2 750 1 205
Таблица 3 Координаты центров тяжести, площади и моменты инерции плоских фигур относительно горизонтальной центральной оси 206
Продолжение табл. 3 207
Таблица 4 ________________________Местные сопротивления Тип, схема местного _______сопротивления Вход в трубу А =Г — явх Ч вх ~ 2g v const I Коэффициент местного сопротивления £ При острых кромках ^х = 0,5; при закруглённых кромках и плавном входе £ях= 0,2; ! при весьма плавном входе ^х = 0,05 Внезапное расширение h г «1 в.р. Чв.р. j ______ -Vi Г---ZL V2 —f“<»2 - Wl / \2 г =1^-1] в₽‘ ^<В, J 208
Продолжение таблицы 4 Местные сопротивления Задвижка Лудло a/d Полное открытие 1/4 3/8 £задв. 0,12 0,28 0,81 a/d 1/2 5/8 3/4 7/8 2,06 5,25 17,0 978 Пробковый кран?Ле^ 104 а" 5 10 20 30 Ско. 6,05 0,29 1,56 5,47 а’ 40 50 60 17,3 52,6 206 209
Окончание таблицы 4 Вентиль Местные сопротивления_______ Полностью открытый, Ле > Ю4 Диафрагма в трубе d9 мм 40 J 80 ! too 150 200 I 250 300 4,9 ! 4,0 4,1 4,4 4,7 j 5,1 54 i Re> 104 j2 ; «0 _/2_ 1 0,1 1 0,2 0,3 0,4 1 0,5 0,6 5_7 224 | 60,2 19,2 9,8; 4,4 _?dL 1,22] Всасывающий клапан с сеткой, Re > 104 ] d, мм 40 70 100 i 200 300 ' 500 1 12 8,5 L2A..I 4,7 3,7 i 2,5~ Для ориентировочных расчётов: при наличии обратного клапана = 10,0; при отсутствии обратного клапана “ 5 -г 6 Таблица 5 Коэффициенты сопротивления колен водопроводных труб при а ~ 90° d, мм i 50 100 ! ! 150 200 _ 250 300 ?кол. 0,76 0,39 0,37 0,37 0,40 0,45 d9 мм 350 400 450 i 500 600 700 i 0,45 0,42 0,42 0,46 _ 0,47 0.48 J 210
Таблица б Значения эквивалентной абсолютной шероховатости Аэ в трубах Материал и вид трубы Состояние трубы Лэ, мм Тянутые из стекла и цветных металлов Новые, технически гладкие 0,001 Бесшовные стальные Новые и чистые, тщательно уложенные 0,014 После нескольких лет эксплуатации 0,2 Стальные сварные Новые и чистые 0,06 С незначительной коррозией после очистки 0,15 Умеренно заржавевшие 0,5 Старые заржавевшие 1 Сильно заржавевшие или с большими отложениями 3 Чугунные Новые асфальтированные 0,12 Новые без покрытия оз Бывшие в употреблении 1 Очень старые 3 Бетонные Новые из предварительно напряженного бетона 0,03 Новые центробежные од Бывшие в употреблении 03 +0,8 Из необработанного бетона 1-3 211
Таблица 7 Значения коэффициентов шероховатости п и 1/л (для формул Павловского, Агроскина, Маннинга) Категория Характеристика поверхности i п 1/и | I 1 Исключительно гладкие поверхности, покрытые эмалью 0,09 111 II Весьма тщательно остроганные доски, хорошо пригнанные. Штукатурка из чистого цемента 0,010 ; 100 i III Лучшая цементная штукатурка. Чистые новые гончарные, чугунные и железные трубы, хорошо уложенные и соединенные 0,011 90,9 IV । Неостроганные доски, хорошо пригнанные. Водопроводные трубы в нормальных условиях; весьма чистые водопроводные трубы; весьма хорошая бетонировка 0,012 833“ I V Тесовая кладка, хорошая кирпичная кладка. Водосточные трубы в нормальных условиях. Несколько загрязненные водопроводные трубы 0,013 76,9 VI Загрязненные трубы (водопроводные и водосточные); средняя кирпичная кладка, бетонировка каналов в средних условиях 0,014 71,4 । VII 1 Средняя кирпичная кладка, облицовка из тесаного камня в средних условиях. Значительно загрязненные водостоки. Брезент по деревянным _рейкам | 0,015 66,7 VIII Хорошая бутовая кладка, старая кирпичная j кладка, сравнительно грубая бетонировка. Гладкая, весьма хорошо разработанная скала 0,017 58,8 1 212
Таблица 8 Значения величин С, X, К я МК1=А для нормальных водопроводных груб, подсчитанные по формуле акад. Н. Н. Павловского при я 0,012 d, мм С % К,м3/с Л, а1/*? 50 44,79 0,0391 0,00987 10340,0 " 75 47,45 0,349 0,0287 1214.0 100 49,48 0,0321 0,0614 265,0 125 51,07 0,0301 0,111 81,60 150 52,42 0,0286 0,179 31,18 * 200 54,62 0,0263 0384 6,78 250 56,40 0,0247 0,692 2,11 300 57,90 0,0234 1,121 0,794 350 59,18 0,0224 1,684 0354 .. 400 60,31 0,0216 2,397 0,174. 450 ' 61,28 0,0209 4,259 0,0932 500 62,28 0,0202 4324 0,0532 600 63,91 0,0192 6,999 0,0204 700 65,32 0j0184 10,517 0,00904 800 66,58 0,0177 14,965 0,00495 900 Г 67,70 0,0170 20,430 0,00239 1000 68,72 0,0166 ' 26,485 0,00137 Таблица 9 Значение коэффициента удельного сопротивления A (c2/m*) для расчёта трубопроводов (при квадратичном законе сопротивления) в зависимости от абсолютной шероховатости А Диаметр d, мм А = 0,2 мм А = 0,5 мм А «1,0 мм 50 7570 10000 12 900 , 75 886 1.160 1460 100 194 252 313 125 62,6 80,0 952 150 23,1 293 362 200 i 5,08 6,45 7,81 ....... 250 ; ! 1,58 1,98 2,40 300 0,607 0,709 031.7 __ 400 0,135 0,167 0201 _ 500 0.0422 0.0518 0,062 213
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ............................................... 3 ВВЕДЕНИЕ.................................................. 4 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЖИДКОСТЯХ................................ 4 Раздел первый. ГИДРОСТАТИКА............................... 6 Глава 1. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ В ЖИДКОСТИ.......... 6 1. Понятие гидростатического давления.................. 6 1.1. Свойства гидростатического давления............... 6 1.2. Основное уравнение гидростатики. Абсолютное манометрическое, вакуумметрическое давление............................ 6 1.3. Плоскость уровня. Понятие пьезометрической высоты. Эпюры гидростатического давления............................ 7 1.4. Единицы измерения давления........................ 9 1.5. Примеры решения задач по теме: “Гидростатическое давление в жидкости”.......................................... 10 1.6. Задачи для самостоятельной работы по теме: “Гидростатическое давление в жидкости”................................. 15 Глава 2. СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ............................................ 22 2.1. Аналитичес кий метод определения силы давления жидкости.... 22 2.2. Графо-аналитический метод расчёта силы давления и центра давления на прямоугольные поверхности................ 23 2.3. Примеры решения задач по теме: ’’Расчёт силы давления жидкости на плоские поверхности”.............................. 25 2.4. Задачи для самостоятельной работы по теме: “Сила давления жидкости на плоские поверхности”..................... 49 Глава 3. СИЛА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ............................................ 57 3.1. Основные понятия и теоретические положения....... 57 3.2. Примеры решения задач по теме: “Расчёт силы давления жидкости на криволинейные поверхности”........................ 61 3.3. Задачи для самостоятельной работы по теме: “Сила давления жидкости на криволинейные поверхности”............... 82 Раздел второй. ГИДРОДИНАМИКА............................. 89 Глава 4. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ...................................... 89 4.1. Основные понятия о параметрах движения жидкости.. 89 4.2. Понятие идеальной жидкости и потока жидкости..... 90 4.3. Гидравлические элементы потока................... 91 4.4. Расход жидкости. Средняя скорость потока. Уравнение неразрывности потока................................. 92 214
4.5. Основное уравнение гидродинамики. Уравнение Даниила Бернулли............................................... 94 4.5.1. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.............................................. 95 4.5.2. Интерпретация уравнения Бернулли................ 95 4.5.3. Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной, вязкой жидкости....................................... 98 4.5.4. Уравнение Бернулли для целого потока реальной, вязкой жидкости.............................................. 100 4.5.5. Экспериментальное определение статического и полного напоров. Расчёт скорости в точке потока.............. 102 4.5.6. Диаграмма уравнения Бернулли для потока жидкости в трубе переменного сечения.................................. 104 4.5.7. Методика составления уравнения Бернулли для решения теоретических и инженерных задач..................... 105 4.5.8. Приборы для измерения скорости и расхода, основанные на уравнении Бернулли................................... 106 4.6. Режимы движения жидкости.......................... 111 Глава 5. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ.................... 113 5.1. Потери напора в гидравлических сопротивлениях..... 113 5.2. Потери напора по длине при ламинарном режиме движения жидкости.............................................. 115 5.3. Потери напора по длине при турбулентном режиме.... 115 5.3.1. Понятие о гидравлически гладких и шероховатых трубах... 116 5.3.2. Потери напора по длине в трубах с описательной шероховатостью....................................... 119 5.3.3. Потери напора по длине, выраженные через обобщённые параметры............................................ 120 Раздел третий. ПРИКЛАДНАЯ ГИДРОМЕХАНИКА.................... 123 Глава 6. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ.................................................. 123 6.1. Расчёт простых трубопроводных систем.............. 123 6.1.1. Расчёт простой трубопроводной системы с истечением жидкости в атмосферу................................. 124 6.1.2. Расчёт простой трубопроводной системы с истечением подуровень........................................... 127 6.1.3. Методика расчёта простых трубопроводных систем. 129 6.2. Примеры решения задач по теме: “Расчёт простых, трубопроводных систем”..............................,..132 6.3. Задачи для самостоятельной работы по теме: “Расчёт простых трубопроводных систем”............................... 156 6.4. Расчёт сложных трубопроводных систем.............. 166 215
6.4.1. Системы с последовательным соединением труб. 168 6.4.2. Системы с параллельным соединением труб..... 170 6.4.3. Распределительные сети, или тупиковые системы.... 173 6.4.4. Системы с путевым расходом жидкости......... 176 6.5. Примеры решения задач по теме: “Расчёт сложных трубопроводных систем”............................... 177 6.6. Задачи для самостоятельной работы по теме: “Расчёт сложных трубопроводных систем”............................... 186 Глава 7. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ. 194 7.1. Истечение жидкости из малого незатопленного и затопленного отверстий в тонкой стенке............................ 195 7.2. Истечение жидкости через большое боковое отверстие при постоянном напоре.................................... 198 7.3. Истечение жидкости из насадков при постоянном напоре. 199 7.4. Пример решения задачи по теме: “Истечение жидкости из отверстий и насадков”................................ 201 ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................. 203 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................. 204 ПРИЛОЖЕНИЕ............................................... 205 216
Учебное издание Часе Светлана Ивановна ГИДРОМЕХАНИКА в примерах и задачах Учебное пособие Редактор изд-ва Л. В. Устьянцева Компьютерная вёрстка автора Подписано в печать ЮЛ 1.06 г. Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16. Гарнитура Times New Roman. Печать на ризографе. Печ. л. 13,625. Уч.-изд. л. 13,5. Тираж 400 экз. Заказ 5И Изд-во УГГУ 620144, г. Екатеринбург, ул. Куйбышева, 30 Отпечатано с оригинал-макета в ООО “ИРА УТК” 620219, г. Екатеринбург, ул. К. Либкнехта, 42