Текст
                    Я И ВОИТКУНСКИИ,
Ю И ФАДДЕЕВ,
К К ФЕДЯЕВСКИЙ
ГИДРОМЕХАНИКА
$




СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ И УРАВНЕНИЯ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ

§ 2, Классификация сип.
внешние нормали^ этим площадкам направлены противоположно (1 11) на AS и используем" (1.12) Устремим объем тетраэдра к нулю стягивая его в точку к на pn = ptcos(n х)pycos(n, у)-гр^со&(п, z). (I.I3) (1 14) ния, а р*о, /„. — — касательные напр
КОВЫХ^ нХ" С₽аВИ"ВаЯ ” " “0Э<М™™ ”Р" (I 23)


R vjzndS (1113)


Между скоростями абсолютного v0 и обращенного ообр течения легко установить связь в виде векторного равенства (рис. III.4).







ляющей в форме произвольной кривой АВ и образующей единич

Прибавим и вычтем в левой части члены
grad — V + j dr


(IV 25)

g.

I I I I
(V Ю) vx (V 12) d(iy) Следовательно, tp и i|> в плоском потоке являются гармониче сними функциями.

характеристическую функцию
чески этот случай, согласно теореме Стокса, соответствует наличию в особой точке вихревой нити с циркуляцией Г. Поэтому иногда это течение называют плоским вихрем- Вне вихревой нити течение ординатой гх то характеристическая функция потока (V 26) течение называемое вихреисточником.У Характеристическая функ (V 27) точкой в начале координат, откуда происхо’ 4. Плоский диполь Рассмотрим числа в полярных координатах, легко от (созб—i sin б) с центром в начале координат. Величина Л1 — момент диполя Линия, касательная вектору скорости в начале координат, назы отрицательной оси х. Точка г - 0 является особой точкой этого потока: в ней скорость стремится к бесконечности. Характеристическая функция диполя с осью, образующей угол 0 называются течениями с гидродинамическими особенностями; их используют в методе наложения для исследования обтекания ци § 22 Обтекание кругового цилиндра В качестве иллюстрации применения метода наложения^рас ций поступательного потока, текущего параллельно оси х [полагая в (V.20) а = 0], диполя с осью, направленной вдоль отрицательной оси х (V.28) и циркуляционного потока (V.24) с центром в начале а,-у“г+1ГТ+‘^1пг Величины о», М и Г считаются заданными постоянными Пе- (V29) переходя к декартовым координатам в которых Вычислим радиальную составляющую скоростей рассматри ' дг Видно, что радиальные с
На основании изложенного получим характеристическую функцию и потенциал обтекания кругового цилиндра с циркуляцией Г в виде: (V 31) Проекции скоростей в потоке вокруг цилиндра (V 32) Из этих формул следует что всюду в области течения (при г > ги) вне цилиндра скорости конечны т е особые точки в потоке В точках поверхности цилиндра проекции скоростей представ у -О Ч — 2оа,зше + ^--!-




ф. у}
где А >0 — постоянная. Эта функция представляет собой фунда <V63)


(OSA) f
потенциальным бесциркуляционным потоком можно выполнить используя метод интегральных уравнений. странстве, включая поверхность S тела, распределим на этой по верхности источники с интенсивностью q (хх, ylt ?1), образующие потенциал простого слоя (рис. V.13). Потенциал обтекания тела согласно (V 67) и (V.72) представим в виде тл vJbtr’^vJlS*




ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА В НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (V.7). Cndl-0
X ф-^-cosO! x)dl JL^smpdZ Y = ф cos (n y)dl =-------|-фо2со5Рс1/



тает вид ? Р Р Р Тж--^ f x) + <P-^-cos(n, (,) + —------^-cos^ x)-r-^-cos^ y)±^-cos^ Z)




Х11
p4rfTi^_‘is—t4',«cos<" ^ds <vi63>




(VII 25) ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ


’ + 0-^ <vinil>


dl дх \ dy ) dy \ dx ) (VIIT 23)

%”« p Ptp (VIII 34) “ - kg-£- (grad A + -^ <Л»'б -k (gradp),) — (Ла),. (VIIt 35) "S P"c V
pn o(j- (VIII 46) где наедены безразмерные радиусы гб - r/L Сила инерции рав-





вают пульсационными скоростями. Указанный способ осреднения

(IX II) (IX 12) (XI 13) 17^+ т — -г — А А - ----А ду dz р V дх ду dz ) -Р»л)] (XI 14)
I I I
(IX 19) N pp(^)’ (1Х2°)

ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧА ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (1X34)



Уравнение (X.I6) применяется при решении внутренних задач, когда необходимо учесть влияние нестационарное™ потока на его Н (X 18) § 53 Общие формулы для потерь напора критерии3динамиче,ск(И'о^подобияХпотоковХ^'аэтюй адлью^мот11 шения одномерных задач гидромеханики вязкой жидкости воз- можно только при условии создания формул для расчета потерь , напора Н, связывающих величину этих потерь с основными харак- ‘ ловлеяо появлением ссйрйивдения на пути данжеия потока ме жду-раеематрпваемыми...сечениями. Это-севротивление иногда на- . зывают- гидравлическим. С точки зрения расчета гидравлические сопротивления удобно разделить на два вида: сопротивления и свя- занные с ними потери энергии, распределенные по всей длине по- тока, и сопротивления местные. В связи с этим и удельную потерю напора Н можно представить в виде Н = HL + Ни. Она зависит от протяженности участков, в которых условия тече ння различны, например, вследствие разных диаметров или неоди- структуры потока, величины или направления его скорости. ' При расчете потерь напора широко используется принцип на- Й чТотдальнТ' В соответствин с ЭТИМ пРинЦипом предполагается, . ; ’ ристиками потока. Применяя этот принцип ₽можно величину1# для всего потока определить как сумму потерь по длине на отдель- • участке трубы с переменным сечением и местным сопротивлением р С OT„dS — | pndS г J TosdS (X 17) : — р р f v22dS PlSl—p2S2— 1 Как показывают результаты опытов, это выражение можно рас- У Значения П, и Нк могут быть определены экспериментально. ? t| разность высот zT и ze, разность показаний пьезометров -Р1~Рг- , | установленных в начале и конце участка, где расположено исследу- ' | емое сопротивление, и разность скоростных напоров а*”сР»~* % в потоке При исследованиях, производимых в горизонтальной ? — [t0cos(s x)d5— ] pcos(« x)dS номерности распределения^скорости' по сечению трубы на квадрат
то полученная формула позволит выразить перепад давления в еле- 4- J т0 cos (s х) dS± J p cos (n x) dS co смоченным периметромWТогда в формуле (Х.19) будет cos (s. (X 19) yHL (X 20) стенке т0 можно согласно (VIII.50) выразить через безразмерный честве которой в данном случае принимается средняя скорость Подставив это выражение в (X 20) (Х21) ; (X 22)
(X 25) Постоянную интегрирования С определяем используя граничное

напряжения. Используя для пути смешения I зависимости (IX.33) или (IX.34), подставляя их в уравнение (IX.35) и производя его в виде кривой 7//ЗУЛЬТаТ ТЗКИХ расчетов пРеДставчен на рис. X 5
(X 38)
. степени \1п в этой фор Re = 4-10’ч-3- 10е т Ve до VI0. Прини только при l-105’>Re>2,4-J03. Формула (Х.44) позволяет уста где оно формируется после 2 lg (Re-\А ) —0 8 (X 43)





(X 63)

I f
i‘s д/2г(л +
Si^cp; SafCp2 = SjOCp. — SvCp.
(X 80) согласно формуле (X.83) У '' Q S^f^- K-JTr Здесь /н, HL । г It —It R^tiQ^. (X 84)
В-8 “ I s S S S





(XI 6) Так как ускорения и силы вязкости
(XI 7)

6** - 0 664 , ’° 11 (4г).,.» (Х1'2о>

Рассмотрим плоский пограничный слой конечной толщины вдоль криволинейном поверхности. Применим закон количества движения к объему жидкости ABCD (рис. X 1.8). заключенному ме жду двумя бесконечно близкими сечениями пограничного слоя 4й ницеи счояВС^О&Г + ТВерЛ°}' стснкой AD и внешней гра с-кцию на ось л количества движения жидкости, переносимых сквозь слоя можно с ошиокои высшего порядка малости принять скорость 1^6** - | у (a — vt)dt/ [ а “ (XI 34) об* Ци-lA | (XI 32) -М(рЛ") + -^-рЛ*-т. (XI35) Подставляя сюда из (XI 31) значения величин т и /, находим <Х136>
RT = pvlf>'i't

Определив по форму те (XI.53) величину f можем вычислить для любой абсциссы х вдоль поверхности тела толщину потерн импульса по формуле (XI 54)





висимостью (IX.16) ₽ Р < ) Р А области потока внутри пограничного слоя можно получить интег -1-^- [»(6-б*)1 <х,70> ^„2^-0 030б(^-3)“И



профиль скорости определяется единственным параметром р*2. В непосредственной близости от твердой поверхности ^турбу
" (Х.94)
as 0,585 —0,125g 420,4^ а4 = 0 28 —0 034£-j-(0 1£)9 определения параметра Н и местного коэффициента трения ст в ин- тегральном соотношении импульсов (XI.36). Графики величин Re**) и Н (f Re**) изображены на рис. XI.19. ° Для зависимостей показанных на рис XI.19, были подобраны Яо (1—aj) —0 0I9/£^ ст - 0 002 [6 55 — О 0685{£ — 4 4) + 0 2506 4 4)г] Re* di — 0,2814—0,036£ 4 36Г~4 5 аа-0 1185^—0,262;

Во втором диапазоне lg Re** 3 — 5 5 полагая Fo - 1 179 Re" -(f)2”Re" ” f = - 137Re"LmQ (XI.114) Для третьего диапазона lg Re“ - 4-6 5 аналогичные фор при]/|<2 Re" = [?s,Re;’u“ +0 005 98Re f (XI 115)
”об"




V* p°j % у/1 ) (XI 123)
(Xi 126)


f °§ f I I 5 i I I?
Из сравнения соотношении (XI 131) и (XI 132) следует что const (XI 133)
После замены 6 его значением согласно (XI 33) получим (XI 134) Для следа за телом среднее значение величины на поло вине ширины следа пропорционально т. е. глубине впадины формула (XI.131) примет вид а формула (XI 132) 0ч, 6~ (рСд^)2 х2 (XI 138) (XI 139) (XI 135) (XI. 121) и запишем ₽ У Р I fp»* ff» — о*) <iS (y=o —Pk) Pu) vlx Ъ I - R, ® pa.f (XI 136) Ширина a СТРУЯ 4 произведения б ихт или б«,т, входящие в формулу (XI.130),
VT=XCX(yi—Уа) Рис XI 36 6 (У1—Уа) 0 256л- в виде полинома, коэффициенты которого определяются на основе

I 2р.Г*^2Рй,.б((^)"Ч- 2p3m6 ,f (1 — 6г,’ + Sr,3 — Зц*) *) ™ у pi£„6 Глава XII ТЕОРИЯ КРЫЛА


/ л v
Hi

Рис XII 12 § ВО Теорема Н. Е

Используя формулы _(XII.3O), (X1I.31) и (ХН.ЗЗ) можно про екции X и У реакции 7? определить из (XII.29): 1 (ХЧ34) Теперь вычислим циркуляцию скорости Г по контуру ABCDA обходя его так, чтобы внутренняя область располагалась слева Эта циркуляция будет равна циркуляции вокруг профиля в решетке При вычислении циркуляции вдоль участков линии тока AD и СВ следует учесть, что контурные интегралы по ним равны, но имеют Г (XII35) й «в iii й5И ?Л Й№!| ii hrtiWBl =1 is = }I? sHiM ; § “ - =S 8 g » й I ФБО: I- 1 iiM !h ! * Hf! Iii й i 5 случае решетка не отклоняет поток. Р ЛГ-(,ЧГ (XII.36) обтекания те/или гидродинамических особенностей. Примером ского для профиля в решетке. П Специальным случаем является теорема Жуковского «в малом» Y -р%Г (XII 37) при этом гидродинамическую реакцию, когда циркуляция вихря, В результате вычисляя модуль реакции, находим |К|-рг/?« +<4 ~Р».Г '(XII 38)' Направление линии действия реакции можно установить, если равенства (XII.36) н (XII.37) соответственно умножить на о0л Х^ + У% 0 (XI1.39) Эго условие означает что вектор реакции перпендикулярен вектору и0. Выражение (XII.38) позволяет сформулировать теорему Н. Е Жуковского для профиля в решетке: при обтекании профиля ; кости впереди и позади решетки направление этой реакции можно - определить, если вектор средней скорости о, повернуть на 90° в Так как при выводе формулы (XII.38) рассматривались только расположенного в произвольной точке плоскости комплексного переменного г, составляет величину Г. Если характеристическая “'(г) + !"(—) <хп4!> формулой 4„.(VI.3)^^ риваемый вихрь 324 325
жение (XII.42)^, получим^ 4 |r^W‘I43> х-,г.АШЛ .il. (X1145) (XII 46)
(XII.50), на- „рофи^ (XII 51)
Эго — особые точки, где конформность отображения нарушается. Они являются точками разветвления преобразующей функции. Чтобы в результате конформного отображения из контура окруж- ности был получен контур профиля с одной задней острой кромкой, в соответствующей ей точке с координатой £0 на окружности комплексная скорость в этой da> (U)



(XII 83) (XII 85) (ХИ 86) cosi-A^0 (XII 89) Учитывая (XI 1.85) получаем •»«sln<x д/•7^(д/_l) (X1I87)

ч,« ’/-з :.„,^ = Чг + г т7—Э
Cv 2я Vl + а? (а | а0) (XII 107)





рис. XII.25, а вихревую пелену — плоской. Рассмотрим поле ин (XII 134) (XII.135) = ?!— z а Г dr получаем dv-y = dr~ Полное значение индуцированной скорости ty = viy в данной (XII 133)?


2 " (XII 150) (XII 151) (ХП.8146) В108ч^им°ЭФФИЦИеНТ 1,ОДЪемНОЯ СИЛЫ КрЫЛа ПОЛЬЗУЯСЬ (XII 152) ренциальным уравнением (XII.140). * п |- sin б) Ап sm пб — а -у «j sm 0
(S91 ПХ) ,(w) ~ IД « (191 ПХ) (091 ПХ) Ш-’Д°д '
zpTr^-(z)j J J 4“^ (wi их)
u(x ij z)------------------ST J “>’f*1 <xn 171) формулу Ф--^ f Jt(*, (XII 172) к(т)- -b- r(«-z,) l(z z,)- S-|(z z,)_[ (z-zj= + s> C T r ) fj, =— «Woo при у О (XII 174)

Рис XII 29


(XII 192) tg₽ 8^7- (XII 193) p [и» cos a -f-f/cpsin (a—₽)] Г02г (XII 194)

Рис XU 36
_________________Глава XIII ТЕОРИЯ ВОЛН И ВОЛНОВЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ




Имея одно уравнение, можем две неизвестные постоянные Dchk(z^H) (XIII 23) Учитывая (XIII.15) (XIII.21) и (XIII.23), получаем следующее ~kx)]Dchk(2 + H) (XIII.25) <p = Ccos(crf—fex)chfe(z (XI11.26) — cchkH sin(of —йх) — a sin (of—kx) (XIII 27)
(XIII 36)

-cos2(at — Ax)Ash kHdx (XIII 44) П -ГрМх Используя для гв его выражение (XIII 27) получим dS-dx a ПРИ г 0 П^-^-1 (XIII 45) Как следует из формул (ХШ.44) и (XIII.45), кинетическая и по Е Т4-П (XIII 46)



ИШШП1



ставляющих^ гидродинамической реакции R В случае тела проиэ l Г oV.JL oJ I К cos2 0 / I cos\0 (XIII 80) R, f k}H{k 0)Г“+ в][-Чгл^- <ХШ8') н(_а_ в) - f,c^r<+"'“ =+«-«ds





I? I?
Р - Pmln а ? = получим / 2 (ря — Роо)


которая обеспечивает конформно отображение плоскости ш на



Чд — j J .ids При этом величина кинетической энергии жидкости будет рассматриваемом случае составляет (XIV 42) (XIV 43)

рости погружения клина. В случае погружения тела с переменной во времени^ вертикаль-- времени, т. е. в конечном счете функцией глубины погружения °К°Широкий Тцруг вопросов гидродинамики удара и погружения тел в жидкость рассмотрен Г В.Логвивовичем [17] ЛИТЕРАТУРА
ОГЛАВЛЕНИЕ

=
ГИДРОМЕХАНИКА