Математика — посредник между духом и материей - Штейнгауз Г.

Гуго Штейнгауз. Автобиография. Перевод Ю. А. Данилова
Что такое математика и на чем основан ее прогресс?
Теория вероятностей как инструмент исследований в естествознании и производстве
Выступление в дискуссии на конференции «Статистика как метод познания»
Статистическое оценивание как метод приемки товаров массового призводства
Взаимодействие наук на примере роли математики во вроцлавской научной среде
Стефан Банах. Выступление на торжественном заседании, посвященном памяти Стефана Банаха
Автор: Штейнгауз Г.
Теги: математика естественные науки сборник статей история математики
ISBN: 5-94774-214-4
Год: 2005
Похожие
Современная математика и ее творцы
Избранные труды. Том 4. Математика и математики. Книга 1. О математике
Платон и математика
Стили в математике. Социокультурная философия математики
Текст
                    Г. Штейнгауз
МАТЕМАТИКА
ПОСРЕДНИК
МЕЖДУ
ДУХОМ
И МАТЕРИЕЙ
00 00 ГО 2д -
-J со ^ СО
о) су О 00
Р *- О/Л/
о_/х

МАТЕМАТИКА -
ПОСРЕДНИК
МЕЖДУ
ДУХОМ
И МАТЕРИЕЙ

HUGO
STEINHAUS
MIEDZY
DUCHEM
A MATERIA
POSREDNICZY
MATEMATYKA
fc
WYDAWN1CTWO NAUKOWE PWN
Wirsziwi - Wrocfcw 2000

Г. Штейнгауз
МАТЕМАТИКА -
ПОСРЕДНИК
МЕЖДУ
ДУХОМ
И МАТЕРИЕЙ
Перевод с польского
Б. И. Копылова
под редакцией
А. В. Хачояна
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2005

Предисловие
Эта книга, вышедшая в свет благодаря инициативе издатель-
ства «БИНОМ. Лаборатория знаний», принадлежит к ряду других,
пока немногочисленных изданий, возрождающих замечательную
отечественную традицию — традицию регулярных переводов за-
рубежной литературы, популяризирующей математику. К числу
шедевров этого жанра относятся «Наглядная геометрия» Д. Гиль-
берта и С. Кон-Фоссена, «Что такое математика» Р. Куранта и
Г. Роббинса, «Математика и правдоподобные рассуждения»
Д. Пойа. В классику входят и предыдущие две книги Г. Штейнгау-
за, изданные в СССР: «Математический калейдоскоп» и «100 за-
дач».
Особо следует выделить первое издание «Калейдоскопа»
(1947 г.), в котором удалось воспроизвести все остроумные на-
ходки, которыми автор справедливо гордился. Академик
А. Н. Колмогоров, автор предисловия к первой книге Штейнгау-
за, высоко ценил как общий замысел «Калейдоскопа», посвящен-
ного «нематематическим» задачам, решаемым с помощью мате-
матики, так и полиграфическое исполнение.
Гуго Штейнгауз (1887-1972 гг.) — крупный математик, один
из родоначальников замечательной польской математической
школы, выпускник Геттингенского университета в легендарные
времена Ф. Клейна и Д. Гильберта.
Несомненно, написание фрагментов истории математики в
Польше было одной из задач автора. Воспоминания о С. Банахе,
Л. Лихтенштейне, 3. Янишевском, автобиография самого Г. Штей-
нгауза, вошедшие в сборник, содержат множество ярких событий,
фактов, идей. Обращает на себя внимание и гражданская ответст-
венность ученого за состояние науки в его родной стране.

6
Предисловие
Другая задача книги — популярное изложение тем, входя-
щих в сферу научных интересов автора: «Теория вероятностей
как инструмент исследования в естествознании и в производст-
ве», «Об установлении отцовства», изящная работа «О треуголь-
никах» и т. д.
Но главная роль иная: это глубокие методологические и фи-
лософские размышления о природе математики и, в первую оче-
редь, о соотношении математики и действительности, о взаимо-
действии математики и других наук, математики и производства.
Редкий математический дар, наблюдательность и остроумие, гро-
мадный опыт и неизменный интерес к так называемой «приклад-
ной математике» позволили Г. Штейнгаузу всегда оставаться в
поле конкретных задач, не впадая в чрезмерно абстрактную об-
щность рассуждений.
Примечательна оригинальная классификация «математик»,
предложенная Г. Штейнгаузом (с. 49-50): «Таким образом, од-
ной из целей математики является открытие и доказательство но-
вых утверждений. Математику, которая занимается именно этим,
назовем логической математикой или математикой а.... Матема-
тику, которая занимается решением задач, назовем математикой
р или вычислительной математикой (речь идет о задачах типа
школьных, т. е. о задачах с ясной постановкой и очевидно суще-
ствующем решением—А. А.)... На основе того факта, что утверж-
дения чистой математики можно применять и к другим наукам,
возникла математика у, которую называют прикладной. При этом
мы должны научиться выполнять ряд вычислений. Как проще и
лучше осуществлять стандартные вычислительные операции —
этому учит практическая математика, которую можно назвать ма-
тематикой 8». А далее формулируется основная проблема: «Ка-
кое значение в жизни имеют математики а и 8?».
Сам Г. Штейнгауз, прекрасно знающий математику а, несо-
мненно относится к приверженцам математики у. Об этом, в част-
ности, свидетельствует его темпераметная полемика с Л. Швар-
цем (на самом деле с обобщенным оппонентом с известным име-
нем Николя Бурбаки), которая содержится в статье «О
математической строгости».

Предисловие
7
Автор нисколько не преуменьшает сложность решения задач
«прикладной математики»: приводятся немногочисленные удач-
ные примеры (среди нематематиков Г. Штейнгауз знал двух че-
ловек, успешно применяющих математику) и многочисленные
неудачные примеры сотрудничества математиков и нематемати-
ков. На конкретных примерах рассматривается тот стиль мышле-
ния, которым должны владеть математики, способные к решению
сложных задач, возникающих в реальной действительности.
Книга содержит немало замечаний, относящихся к препода-
ванию математики. Примечательна мысль, высказанная в 1963 г.:
«Сопоставляя наши обычаи с научной атмосферой Запада, мы мо-
жем констатировать наше преимущество в навыках коллективной
работы, благодаря чему нам удается, несмотря на многочислен-
ные трудности (к которым относятся низкое материальное и кад-
ровое обеспечение, недостаток жилья и постоянная катастрофа,
именуемая реформой школьного образования) претендовать на
более высокое место в науке, чем то, которое соответствует наше-
му реальному жизненному уровню». Мысль актуальна и поныне,
и не только в Польше.
Книга сочетает глубину мысли с доступностью изложения,
остроумием и замечательным литературным языком, что в боль-
шой степени является заслугой переводчика.
Пересказ и длительный комментарий к этой книге Г. Штей-
нгауза — занятие неблагодарное, имеющее единственный смысл:
привлечь внимание читателя. Погрузившись в чтение, читатель
несомненно получит редкое удовольствие от ярких идей, сообра-
жений, образов. Удовольствие от заочного общения с мудрым че-
ловеком, человеком большой внутренней свободы — замечатель-
ным математиком, педагогом, популяризатором Гуго Штейнгау-
зом.
Член-корреспондент
Российской академии образования
Александр Абрамов

Автобиография1
Перевод с польского Ю. А. Данилова
У меня два имени: Гуго Дионисий Штейнгауз; я родился в
Ясле 14 января 1887 года и там же окончил в 1905 году классиче-
скую государственную гимназию. В 1906 году изучал во Львове
философию у Твардовского и математику у Юзефа Пуцыны. Слу-
чайно встреченный мною Станислав Джоллес, профессор геомет-
рии Политехнического института в Шарлоттенбурге, посовето-
вал мне перевестись в Геттинген; осенью 1906 года мне удалось
осуществить его совет, а в 1911 году я получил в Геттингене док-
торскую степень. В Геттингене я прежде всего слушал лекции
Гильберта и Клейна; там же тогда читали лекции Рунге, Цермело,
Минковский, Э. Ландау, Вейль и многие другие математики;
польская колония была многочисленна и пользовалась коллегиа-
льной помощью братьев Дзевульских, Эдварда Лота, Розенблю-
ма, Антония Ломницкого, Ф. Кемпиньского, Казимежа Янцена,
Яна Кроо, Леона Хвистка, Влодзимежа Стожека, Зигмунда Яни-
шевского, Стефана Мазуркевича и других, а также познаниями
Банахиевича и Серпиньского, тогда уже известных, хотя и моло-
дых ученых. После недолгого пребывания в Мюнхене и Париже я
вернулся в Польшу. После защиты диссертации «Neue Anwendun-
gen des Dirichlet'schen Prinzips» (Новые приложения принципа
Дирихле) я занялся обобщением понятия границы, предложенно-
1 Опубликовано в «Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego», Seria II:
Wiadomosci Matematyczne XVII (1973). Перевод печатается с разрешения.

10
Гуго Штейнгауз
го Отто Тёплицем на его семинаре, — мне удалось показать, что
не существует универсального метода линейного суммирования.
По возвращении в Польшу я занялся тригонометрическими и сте-
пенными рядами и написал несколько заметок по этому предмету.
В первой из них (Sur ипе serie trigonometrique divergente (Об од-
ном расходящемся тригонометрическом ряде)) я привел пример
всюду расходящегося тригонометрического ряда с членами, стре-
мящимися к нулю; в пятой заметке (Bull. Crac. 1913) я использо-
вал этот ряд для решения проблемы Лузина и Серпиньского — на-
шел, что заданный ими степенной ряд сходится на некоторой дуге
единичной окружности на комплексной плоскости, а в остальной
ее части расходится. Диссертационная работа также была посвя-
щена рядам Фурье. До Первой мировой войны я жил в Ясле и Кра-
кове, во время войны (до 1917 года) — в Кракове и Вене; недолго
служил в армии и был участником нескольких сражений в составе
1-го артиллерийского полка Польских легионов. В 1917 году был
допущен к чтению лекций во Львове, женился и переехал из Кра-
кова во Львов, где работал в качестве «технического сотрудника»
в Центре восстановления края. Там написал в 1918 году первую в
Польше работу о функциональных операциях, дав канонический
вид линейного функционала в пространстве L (т. е. в пространст-
ве функций, интегрируемых по Лебегу {Additive undstetige Funkti-
onaloperationen, Math. Zeitschr. 5 (1919), pp. 186-221 (Аддитив-
ные и непрерывные функциональные операции)). В течение неко-
торого времени — с конца Первой мировой войны до заключения
мирного договора — работал в Ясле под руководством незабвен-
ного инженера Александра Детциуса в качестве математика на
фирме Waterkeyn, обслуживавшей газопровод, протянутый через
«окна» в ясельско-крошненьскую впадину. В 1920 году вернулся
во Львов, где был назначен экстраординарным профессором (ор-
динарным профессором я стал в 1923 году). В том же году в жур-
нале «Fundamenta Matematykae» вышла моя первая работа по тео-
рии вероятностей (Lesprobabilites denomerables et leur rapport a la
theorie de la mesure (О несчетных вероятностях и их отношении к
теории меры)). То были один из первых шагов в направлении ма-
тематизации теории вероятностей путем введения в теорию веро-
ятностей понятия меры и первая работа, в которой встречаются

Автобиография
11
числовые ряды вида £ ±а„, где члены а„ заданы, а знаки + и - рас-
пределены случайно. Хотя Ясло разрушено, я мог бы показать
место на улице Костюшко, где во время прогулки я воочию уви-
дел эту задачу и постиг ее смысл. В 1925 году я опубликовал в сту-
денческой ежедневной газете работу «Definicie potrzebne do theo-
rii gier i poscigu» (Определения, необходимые для теории игр и
погони) — это первая работа, в которой речь идет о погоне как об
игре в смысле современной теории игр. Понятие «минимакс»,
фундаментальное в теории игр, одним из первых ввел Эмиль Бо-
рель, о чем я не знал, но работа Бореля также долгое время остава-
лась незамеченной — ныне моя статья была издана как историче-
ский курьез в США на английском языке в ежеквартальном жур-
нале «Navy Logistics Quaterly». В 1927 году мое сотрудничество с
Банахом привело к появлению работы «.../еprincipe de la conden-
sation des singularites» (... принцип сгущения особых точек)
(Fund. Math. 9), который в свое время был высказан Ханкелем в
качестве эвристической догадки. Уже при редактировании рабо-
ты нам оказал помощь Ст. Сакс, который впоследствии углубил
этот принцип, введя в него понятие категории так, что это стало
существенным достижением Польши в области функциональных
операций. В 1929 году мне удалось уточнить и обосновать тезис
Бореля о степенных рядах со случайными коэффициентами в слу-
чае, когда модули коэффициентов с„ = г„ещ, или г„ — фиксиро-
ванные величины, а фазы — случайные (Math. Zeitschr. 31 (1929)
«Uber die Wahrscheinlichkeit dafur, dass der Konvergenzkreis einer
Potenzreihe ihre naturliche Grenze ist» (О вероятности того, что
граница круга сходимости степенного ряда есть его естественный
предел)); недавно Рылл-Нардзевский доказал тезис Бореля во
всей его общности.
Десятилетие 1930-1940 гг. характеризуется следующей тема-
тикой: независимые функции, проблема измерения длины, со-
трудничество с медиками, «Kalejdoskop Matematyczny» (Матема-
тический калейдоскоп), квадратичный тариф.
Независимые функции — еще один шаг к математизации тео-
рии вероятностей. Когда я сообщил их определение моему учени-
ку Марку Кацу из креминецкого лицея, он нашел аналитический
критерий независимости функций — это была первая работа се-

12
Гуго Штейнгауз
рии под общим названием «Sur lesfonctions independantes» (О не-
зависимых функциях — речь идет о стохастической независимо-
сти, т. е. такой, которая соответствует независимости случайных
величин в теории вероятностей). К таким работам (хотя и вне се-
рии) можно отнести мою работу о кривой Пеано (Commentarii
Math. Helvetici 9, 1936-1937), заполняющей квадрат: непрерыв-
ные функции jc(0, y(t\ которыми описывается обычная классиче-
ская кривая Пеано, статистически независимы, — этот результат
оказался неожиданным для выдающегося советского математика
Хинчина, который знал современное понятие независимости
(введенное Колмогоровым в работе, которая до нас не дошла).
Шестая работа серии (Studia Math. 9 (1940)) содержала решение
задачи о движении облака частиц в ограниченном сосуде, отража-
ющихся от стенок по классическому закону при условии, что
внутренние силы равны нулю. Может показаться, что в этом слу-
чае реализуются законы, которые обычно находят с помощью те-
ории вероятностей, — но в этой задаче законы движения частиц
оказалось возможным найти без обращения к теории вероятно-
стей — путем выбора эффективных начальных условий, что по-
зволяет следить за движением каждой частицы в отдельности так,
что эта модель реализует одновременно детерминистский и веро-
ятностный характер движения облака материальных точек.
Проблема измерения длины встала передо мной, когда моей
дочери дали в школе задание измерить по карте длину Вислы. Эта
задача весьма поучительна для родителей. Проще всего ее решить
с помощью квадратной сетки, наложенной на физическую карту с
наклоном к краям карты под углом 30°, — работу с этой задачей я
поместил в Czasopisme Geogrqficznym (Географическом журнале)
(3, 1931) и в Polskim Przeglqdzie Kartograficznym (Польском кар-
тографическом обозрении) (37, 1932). Ныне эта задача видится
иначе: эмпирические линии неспрямляемы (т. е. не имеют дли-
ны) — поэтому измерение длины польской береговой линии дает
результаты, отличающиеся на несколько процентов. Те длины,
которые указывает практик (например, на железнодорожном би-
лете), относятся скорее к определению оси железнодорожной ко-
леи, заданной математически, а не к реальному железнодорожно-
му пути...

Автобиография
13
Контакт с медициной возник благодаря Францишеку Гройе-
ру —я написал вместе с ним работу о «патергометрии» туберку-
леза у детей (Lwowskie Towarzystwo Naukowe, 1935, XV, 2)
(Львовское научное общество). Эта совместная с медиками рабо-
та навела меня на проблему локализации инородных тел, выяв-
ленных при рентгенологическом обследовании пациентов — ее я
решил в 1938 году, когда увидел, как в витринном стекле отража-
ются снежинки, лежащие на рукаве моего пальто: движением
плеча их можно было поместить в точности на поверхности шля-
пы за окном или на 3 мм ниже шляпы и т. д.; первая публикация —
заметка в парижских Comptes Rendus, 206, 1938. «Интровизор»
был запатентован в 1938 году — он позволяет извлекать в обыч-
ном свете, не прибегая к рентгеновской трубке, невидимое чуже-
родное тело, оперируя так, как если бы тело пациента было про-
зрачным; тем самым интровизор позволял устранить опасность
рентгеновского излучения для больного и для хирурга.
На десятилетие 1930-1940 гг. приходится книга «Theorie der
Orthogonalreihen» (Теория ортогональных рядов), написанная в со-
авторстве со Стефаном Качмажем (серия «Monographie Matema-
tyczne» (Математические монографии), 1936). Перед Второй миро-
вой войной был издан «Kalejdoskop Matematyczny» (Математиче-
ский калейдоскоп) — в 1938 году издательством «Ksiqznica-Atlas»
одновременно на польском и английском языках, мне довелось до-
ждаться новых изданий на польском языке (PZWS, 1954, 1956),
американского издания (Oxford Univ. Press), а также изданий на
русском (М.: Гостехиздат, 1949), венгерском, чешском, немецком,
японском языках — подготавливается к печати издание на фран-
цузском языке. Издание 1938 года содержало в каждом экземпляре
модель платонова двенадцатигранника (додекаэдра) из картона
в виде плоской развертки — стоило раскрыть книгу, как модель ав-
томатически приобретала вид додекаэдра; найти эту конструкцию
стоило мне одной бессонной ночи, когда советы инженеров и ху-
дожников оказались ложными. Книжка «Математический калей-
доскоп» имела целью визуализацию математики; для этого она со-
держала много гравюр и фотографий. Трудности, возникшие в свя-
зи с иллюстрациями, были значительными — чтобы получить
фотографию 4 мыльных пузырей, потребовались 2 недели обуче-

14
Гуго Штейнгауз
ния хитрой науке выстраивания мыльных пузырей на ковре. Желая
купить искусственную муху для иллюстрации кратчайших путей
на поверхности куба, я зашел в магазин игрушек и амулетов, но
мушки в продаже не было; вместо мушки продавец предложил мне
приобрести миниатюрного слоника. Я сказал ему: «Вы лучший
продавец в мире: Вы реализовали известную прибаутку, и сделали
из мухи слона!»
Идея квадратичного тарифа возникла, когда инженер Детци-
ус предложил мне задачу тарификации, возникающую в связи с
оплатой счетов за потребление электроэнергии. Первая работа
(Der Quadratleistungstarif, Schweizerischer Elektrotechnischer Ver-
ein, 1939) содержала проект специального счетчика; автор проек-
та, инженер Розенцвейг, выступал в качестве соавтора — позднее
он погиб от рук немецких убийц.
Неоднократно упоминавшийся выше журнал «Studia Mathe-
matica» был основан мной и Банахом в 1928 году. Первый том вы-
шел в 1929 году во Львове — ныне этот журнал «дошел» уже до
XIX тома. Он посвящен функциональным операциям, и его мож-
но считать органом так называемой львовской школы функцио-
нального анализа. До войны в Studia публиковались работы на
французском, немецком, английском и итальянском языках, впо-
следствии место итальянского языка занял русский язык.
Вторая мировая война застала меня с женой, дочерью и зятем
над Прутом в Камне Добоша. Мы вернулись во Львов. Там вскоре
начал действовать университет; помимо прежних сил математика
приобрела эмигрантов из немецкой оккупации (Сакс, Кнастер,
Войдыславский, Марчевский и др.). Меня назначили профессо-
ром на кафедре высшего анализа и научным сотрудником Киев-
ской Академии наук. Неопределенность ситуации парализовала
научную деятельность, однако вышел IX том журнала Studia Mat-
hematical который был подготовлен ранее. После падения Пари-
жа неопределенность сменилась тревогой, а после вторжения
немцев в Париж с конца июня 1941 года тревога уступила место
трагедии. 4 июля я покинул свою квартиру на Кадетской улице,
14 и до 26 ноября вместе с женой пользовался жилищем моей се-
стры в доме профессора Фулиньского. Благодаря профессору Бу-
ланде (бывшему ректору Львовского университета) и пани Мор-

Автобиография
15
ской-Кнастровой мне и моей жене удалось найти безопасное жи-
лье на Осичине — около Рудна, что близ Зимней Воды под
Львовом на вилле Витольда Отто, бывшего заведующего финан-
совым отделом Львовского университета. Там я начал писать
свои воспоминания и продолжаю их записывать; я пишу чернила-
ми в обычных тетрадях и к настоящему времени уже заполнил
почти 1600 страниц. В гимназии я был отличником, но по чисто-
писанию имел неудовлетворительную оценку — физическое со-
противление пера затрудняло писание в переносном смысле;
стремясь избежать усилия при письме, я старался писать сжато,
что привело к росту моего интереса к вопросам языка. Уже в атте-
стате зрелости наилучшую оценку я имел по польскому языку;
польская колония в Геттингене, ощущавшая провинционализм
своего разнородного состава, тоже многому меня научила, а обя-
занности редактора журнала «Studia» (прочитавшего по 4 раза
каждую букву четырехязычного журнала) сделали из меня ищей-
ку, вынюхивавшую ошибки и неправильно расставленные запя-
тые, как пес трюфели... С 26 ноября 1941 года до 26 августа 1945
года я жил под именем Гжегожа Крохмального, крестьянина из
окрестности Пшемысла, метрику которого раздобыл для меня
поэт Тадеуш Холлендер; его самого двумя годами поздже рас-
стреляли немцы на Павяке. Научная работа в тот период ограни-
чивалась записыванием замыслов и проб. 13 июля 1942 года мы
оба переехали в Бердехов около Строжа. Там вместе с моим шу-
рином, инженером, мы занялись тайным обучением в достаточно
широком масштабе — нашими учениками были сыновья кресть-
ян и железнодорожников. В Бердехове мне удалось в 1945 году
после поражения немцев подготовить две работы: «О zagadnieniu
taryfy elektrycznej» (Об обосновании тарифа на электроэнергию)
и «О polowieniu bryl przez plaszczyzny» (О делении геометриче-
ских тел пополам плоскостью). Первая работа вышла в 1947 году
как первая публикация Вроцлавского научного общества, а затем
в других вариантах в «Przegl^d Elektrotechnyczny» (Электротех-
ническое обозрение) (24, 1948) и в «Hutnik» (Металлург) (9-10,
1949), и вызвала интерес в Польше, Венгрии, Палестине, Фран-
ции (Электричество Франции) и в Западной Германии — элект-
ронные предприятия во Вроцлаве решили сконструировать счет-

16
Гуго Штейнгауз
чик для квадратичного тарифа. Вторая работа (о делении пополам
геометрических тел) была опубликована в Fund. Math. 33 (1945);
ее результат, известный как «теорема о сандвиче», гласит, что лю-
бой бутерброд можно разделить пополам плоским сечением так,
чтобы хлеб, сыр и ветчина оказались разделенными поровну (поэ-
тому на поверхности земного шара можно провести такую окруж-
ность, которая делила бы пополам сушу, море и население).
Мое пребывание в Бердехове закончилось, когда Ст. Куль-
чиньский поручил мне организовать во Вроцлаве Отделение мате-
матики, физики и химии. С того времени я жил во Вроцлаве. В тот
период—с осени 1945 года по настоящее время — я стал особенно
интересоваться приложениями математики. Причинами этой эво-
люции в равной мере стали и то обстоятельство, что Отделение ма-
тематики, физики и химии принадлежало к обеим высшим школам
(Политехническому институту и Университету), и организация во
Вроцлаве Отдела естественнонаучных и экономических приложе-
ний Государственного института математики. Еще в Бердехове я
задал себе вопрос, допускает ли принцип справедливого дележа
для двух участников («один делит, другой выбирает») обобщение
на большее число участников дележа; я нашел искомый «прагма-
тичный способ дележа» для трех участников (а моя дочь нашла
другой вариант дележа для трех участников), но Банах и Кнастер
(которым я написал во Львов) нашли решение для произвольно-
го п. Об этом результате мы доложили в 1947 году на Статистиче-
ском конгрессе в Вашингтоне {The Problem of Fair Division (Проб-
лема справедливого дележа), Econometrica, 1948, pp. 101-104),
а также Г. Штейнгауз и Б. Кнастер, Sur la division pragmatique
(О прагматичном дележе), Ann. Soc. Polon. Math. 19 (1946).
Принцип прагматичного дележа может оказаться полезным
при решении некоторых международных территориальных спо-
ров. За работу «Elementary inequalities between the expected values
of current estimates of variance» (Элементарные неравенства меж-
ду ожидаемыми значениями текущих оценок дисперсии) (Coloq.
Math. 1 (1948)), подготовленную в Бердехове, я получил награду
Польской Академии наук. Во Вроцлаве я построил с помощью
слесаря модель интровизора, которую в случае необходимости
можно было использовать на практике. В 1947 году я стал совет-

Автобиография
17
ником Польского Комитета по стандартизации, и в этом качестве
принял участие в создании стандарта статистического контроля
качества; этот стандарт был опубликован в феврале 1951 года под
знаком PN/N-03001, авторы проекта — Я. Одерфельд, Г. Штей-
нгауз и К. Вишневский. В 1950 году я опубликовал (Studia iprace
statystyczne 2) замысел одной статистической оценки.
Главные направления моей научной работы во Вроцлаве:
А) правила Байеса; Б) установление отцовства; В) случайные чис-
ла; Г) приложения топологии в обычной геометрии; Д) математи-
зация теории вероятностей; Е) дидактика; Ж) другие направле-
ния.
А) В томе I журнала «Zastosowania Matematyki» (Приложения
математики), основанного мной с помощью д-ра Я. Одерфельда,
находятся работы «Podstawy kontroli statystycznej» и «Prawdopo-
dobienstwo, wiarogodnosc i mozliwosc» («Основы статистического
контроля» и «Вероятность, достоверность и возможность»).
В первой работе показано, что в случае отбора товара на основе
проб так называемая гипотеза Байеса (Н) однородного априори
распределения качества не более обоснованна, чем другие гипо-
тезы, и что используемый в Америке так называемый перспектив-
ный способ представляет собой лишь кажущееся избавление от
априорных гипотез. Во второй работе анализируется общий факт,
замеченный Я. Одерфельдом в статистическом контроле качест-
ва, а именно вероятность практических рекомендаций, следую-
щих из гипотезы Байеса, по отношению к тем рекомендациям, ко-
торые дает перспективный способ — эта работа носит принципи-
альный характер, имеет философское значение; ее английское
издание под названием «Probability, verisimilitude, credibility»
ныне готовится к печати редакцией журнала «Annals of Math. Sta-
tistics» в Чикаго.
Б) О группах крови и проблемах установления отцовства я
узнал от Л. Гиршфельда, которому многим обязан. Гиршфельд
обнаружил, что число исключений отцовства в материалах
о взыскании алиментов гораздо ниже, чем было бы, если бы кар-
точки, содержащие определения группы крови (А, В, О) муж-
чин-ответчиков, были извлечены из папок в медицинских уч-
реждениях, доставлены курьерами в суды и были наугад присое-

18
Гуго Штейнгауз
динены к другим материалам по делам о взыскании алиментов.
Однако он не учитывал, что на основании сведений о группе
крови можно вычислить вероятность того, что ответчик априо-
ри, т. е. до судебного процесса, является отцом: в Польше эта ве-
роятность составляет 70%. Из этого вытекает возможность
(чрезвычайно редкая в естествознании) вычисления вероятно-
сти отцовства апостериори, т. е. после определения групп крови
ответчика, матери и ребенка. Моя работа была доложена в 1952
году на заседании Вроцлавского научного общества, Отделения
общественных наук, 15 марта. Я опубликовал ее на английском
языке в трудах Вроцлавского научного общества и на польском
языке в журнале «Zastosowania Mat.» (том I, тетрадь 2, 1954).
Благодаря этой работе, ныне можно определить вероятность от-
цовства ответчика даже в том случае, когда не удается исклю-
чить отцовство на основе групп крови. Можно также оценить
число ложных заключений об отцовстве — в послевоенные годы
до 1954 года они составляли 12-17%, и только самое большее
5% приходилось на долю судебных ошибок. Мой бывший уче-
ник и нынешний коллега Юзеф Лукашевич показал (Zast. Mat.,
II4, 1956), что результат определения отцовства не зависит все-
цело от генетических гипотез и даже от определения биологиче-
ского отцовства. В 1958 году появилось (Prace Wrocl. Tow. Nauk.
А, № 63) мое предложение об изменении основ установления от-
цовства и назначения алиментов — польская версия: Ruch Praw-
niczy iEkonom. (Движение правовое и эконом.), том ХХ/Ш.
В) Для выборки случайных проб в промышленности, торгов-
ле, сельском хозяйстве и т. д. требуются таблицы случайных чи-
сел, а эти таблицы до того времени сами были случайными. Я со-
ставил проект таблицы случайных чисел, свободной от указанно-
го дефекта. Ее издал Институт математики Польской Академии
наук (ПАН). Таблица значилась под номером ZM II 1956. Глав-
ный статистический институт издал мои «Железные числа» (Licz-
by zelazne) — каждая часть этой таблицы состоит из равномерно
распределенных четырехзначных чисел. Этой таблицей «Желез-
ные числа» пользовались до большого польского издания, подго-
товленного Комиссией по антропометрии ПАН. В основу этой
таблицы легло мое наблюдение, согласно которому при отклады-

Автобиография
19
вании на окружности циркулем произвольной дуги, устанавлива-
емой в каждом исследовании, окружность оказывается разделен-
ной на дуги только трех категорий по длине. Доказательство
этого утверждения недавно дал в своей докторской диссертации
г-н Сверчковский.
Г) В Fund. Math. 41 (1955) топология отнесена к геометрии
выпуклых тел: оказывается, например, что произвольно выбран-
ная точка внутри тела есть центр тяжести некоторого*плоского
сечения данного тела. Идеей использования топологии мы обя-
заны X. Ауэрбаху. К тому же периоду относится совместная ра-
бота с Куратовским, а также некоторая гипотеза, доказанная Ко-
синьским.
Д) В тот период мной выполнена работа «Sur les fonctions
independantes» в журнале «Studia Math.» 13 (1953), посвященная
той же модели, что и работа VI из той же серии (см. выше); в той
работе (эффективно!) вычислены колебания центра массы б мил-
лионов точечных частиц, а в этой оценено равнораспределение
тех же точечных частиц. К этой же группе можно также отнести
работу «Zagadnienie nieodwracalnosci» (Проблема необратимо-
сти) (Kosmos В, 1955), которую я доложил в Спале на Съезде фи-
зиков. В 1957 г. я опубликовал в журнале «Ann. of Math. Statistics»
(28, 3, pp. 638-648) работу «The problem of estimation» (Проблема
оценивания). Эта работа стоила мне (буквально!) немало здоро-
вья! Она дает решение проблемы статистического оценивания
с помощью новой теории игр (человека с дьяволом — природой).
X. Рубин нашел решение этой проблемы раньше, но не опублико-
вал; моя работа охватывает случаи, не рассмотренные Рубином.
Предложенная мной модель была применена два года назад при
оценке производительности работников PAFAWAG.
Е) Моя дидактическая деятельность в университете охватила
курсы математического анализа, аналитической геометрии, вари-
ационного исчисления, основ геометрии, элементарной матема-
тики и математики для студентов естественнонаучных специаль-
ностей, теоретической механики, теории меры и интеграла Лебе-
га,, теории рядов Фурье, ортогональных рядов, аналитических
функций, теории вероятностей, теории независимых функций,
математической географии, математики для медиков, теорий раз-

20
Гуго Штейнгауз
ностных и интегральных уравнений. Вот уже 12 лет я провожу се-
минар по приложениям математики — 20 сентября 1960 г. состоя-
лось 386-е заседание этого семинара, его целью является приме-
нение математики к решению актуальных проблем из области
наук естественных, медицинских и общественных. Более 100 че-
ловек из математического клана ставили на заседаниях семинара
задачи и выступали с докладами. С возникновением Института
математики ПАН семинар принадлежит Отделу естественно-
научных и экономических приложений этого института. С одоб-
рения Ст. Скжешевского, высказанного им на Съезде математи-
ков в 1948 г., я занялся составлением элементарных задач для
журнала «Matematyka», выходящего раз в два месяца и предназ-
наченного для учителей. Так возникла книжка «Sto zadan» (Сто
задач), выпущенная издательством PWN в 1958 году. Она была
опубликована в русском переводе1, а ныне подготавливается из-
дание ее переводов на английский и японский языки. К дидактике
и популяризации следует отнести упомянутый выше «Математи-
ческий калейдоскоп», а также такие публикации, как «Rola mate-
matyky» (Роль математики) — текст моего выступления на конфе-
ренции под тем же названием (Kosmos В, IV, 2, 1958), «Wspolpra-
са roznych паик» (Сотрудничество различных наук) (Nauka Polska
IV, 16, 1956), «Matematyka wczoraj i dzis» (Математика вчера и се-
годня) (Kosmos В, V, 18, 1959) и различные популярные выступ-
ления по радио и телевидению.
Ж) К этому направлению относятся упомянутые выше фило-
софское эссе «Wnioskowanie indukcyjne» (Индуктивное умоза-
ключение) (Mysl Filozoficzna V, 25, 1956), статья о прогнозирова-
нии (Zast. Matematyki III, 1,1956) или статья «Oscislosci matemas-
tycznej» (О математической строгости) (Matematyka XI, 3, 1958).
В первой работе проблема естественной индукции сводится к эво-
люции рода человеческого, во второй работе трактуется зависи-
мость прогноза от потребителя, в третьей работе критикуются
взгляды Л. Шварца на математику. Здесь уместно также вспом-
нить две работы, которые не были бы написаны без помощи моих
учеников (ныне — коллег): о некотором парадоксе в прикладной
1 Г. Штейнгауз. Сто задач. — М.: Физматлит, 1976.

Автобиография
21
теории вероятностей (Г. Штейнгауз и Ст. Трибула, Bull. Acad. Ро-
lon. Ill, VII, 2, 1958) и пуассоновских процессах (Г. Штейнгауз и
К. Урбаник, Math. Zeitschr., том, посвященный Лихтенштейну).
Первая работа обращает внимание на парадокс, возникающий
при статистическом сравнении трех разновидностей схожего то-
вара: может случиться, что случайное попарное сравнение штук
товара дает систематически в 60% сравнений — результат «А
лучше, чем В», в 60% сравнений — результат «В лучше, чем С» и
в 60% сравнений — результат «С лучше, чем В». Написать 70%
вместо 60% невозможно. Граница лежит около 618 промилле (зо-
лота!). Вторая работа показывает, каким образом известный фи-
зикам пуассоновский процесс можно описать эффективно, полно-
стью исключая вмешательство случая. — Общее число работ:
около 140.
Моя формальная карьера протекала следующим образом:
Я профессор Вроцлавского университета по кафедре при-
кладной математики, глава Отдела естественнонаучных и эко-
номических приложений Математического института ПАН,
действительный член ПАН. Член Математического комитета
ПАН, Научного совета Математического института ПАН, член
Психометрического комитета ПАН, член Антропометрической
комиссии ПАН, председатель Вроцлавского научного общества
(избран после двухлетнего перерыва в третий раз). Научные на-
грады: Польской Академии наук, I государственная премия в
1951 году, две премии Польского математического общества
(1947, 1951 гг.), научная премия ректора университета
(30. X. 1959). Научная премия города Вроцлава (29. 4. I960), пре-
мия журнала «Problemy» (Задачи), почетный доктор Вроцлавско-
го университета.
Основатель и первый редактор журнала «Studia Mathemati-
cal, а также главный редактор журнала «Zastosowania Matematy-
ki». Вхожу в состав редакции серии «Colloquium Mathematicum i
Monografii Mat.»

22
Гуго Штейнгауз
Награды: Офицерский крест ордена Возрождения Польши,
Командорский крест того же ордена со звездой, Знамя Труда
I класса.
Имена моих бывших учеников и сотрудников, коллег и дру-
гих лиц, без которых мои научные достижения были бы более
скромными: Стефан Банах, Марк Кац, X. Ауэрбах, Ю. Шаудер,
В. Серпиньский, Збигнев Ломницкий, Ал. Райхман, 3. Янишев-
ский, К. Янцен, Станислав Улам, А. Зигмунд, Б. Кнастер, К. Ку-
ратовский, Ч. Рылл-Нардзевский, Э. Марчевский, Ю. Перкал,
Ю. Лукашевич, Ст. Трибула, Казимеж Урбаник, Ян Одерфельд,
Александр Детциус, X. Фаст, А. Гётц, Ст. Хартман, А. Зяба,
Ст. Дробот, Д. Блекуэлл, Отто Теплиц, Эдмунд Ландау, Л. Гирш-
фельд, X. Коваржик, Ян Мицельский и другие.
Дополнение к автобиографическим материалам
профессора Штейнгауза
Проф. Штейнгауз вышел на пенсию 30. XI. I960 года.
16. XI. 1963 года профессор Штейнгауз получил степень почет-
ного доктора (doktorat honoris causa) Университета им. Адама
Мицкевича в Познани, а 22.XI.1965 года — степень почетного
доктора Вроцлавского университета, и 27.V. 1961 года — степень
почетного доктора Медицинской Академии во Вроцлаве.
В 1968 году был избран почетным членом Польского матема-
тического общества.
Профессор Штейнгауз умер во Вроцлаве 25 февраля 1972
года.

Математика вчера и сегодня1
Ваше Превосходительство, господа министры, глубокоуважа-
емые слушатели! Традиция требует торжественно отмечать
начало учебного года, и одним из мероприятий является публич-
ная лекция. Я присутствовал на многих таких торжествах, но мне
никогда не доводилось слушать на них выступление математика,
ибо обычно эта почетная функция доверялась гуманитариям
(чаще всего философам или историкам, преимущественно исто-
рикам литературы), изредка выпадала юристам, иногда биологам
или врачам или даже физикам, но никогда — математикам. Поэ-
тому, когда Его Превосходительство поручил мне прочитать пуб-
личную лекцию по случаю начала этого учебного года, нашего
четырнадцатого года во Вроцлаве, я сказал себе, что ведь я давно
имел на это право. Поэтому я выбрал название, которое должно
понравиться гуманитариям, или хотя бы историкам. Увы, при-
знаю это с сожалением, сам я не историк и, возможно, никогда бы
не осмелился говорить в этом актовом зале о вчерашней матема-
тике, если бы летом не встретил за границей молодого зоолога,
польского стипендиата, который задал мне следующий простой
вопрос: «Почему все современные теоремы не были доказаны
еще в древности?».
Сначала я даже не понял смысла этого вопроса, однако после
короткого обмена мнениями загадка разъяснилась. Молодой чело-
век считал принципиальной разницей между биологией и матема-
тикой тот очевидный факт, что в биологии все время появляются и
применяются новые методы и инструменты. Новым орудием ис-
1 Matematyka wczoraj i dzis — Лекция, прочитанная 6 октября 1958 г. по случаю
начала 1958/59 учебного года во Вроцлавском университете.

24
Гуго Штейнгауз
следований стали микроскоп (когда его сконструировали физики),
микротом (когда его позволила изготовить точная механика) и кра-
сящие вещества (когда их открыли химики). Молодой биолог по-
нимал, что математика не может рассчитывать на такую внешнюю
помощь (которая в биологии являлась главным двигателем про-
гресса) и удивлялся тому, что в течение тысячелетий математика
не исчерпала всех возможностей, заключенных в античных кон-
цепциях, другими словами, не превратилась в мертвую область
знаний, подобную грамматике некоего древнего языка.
Я хотел бы сегодня ответить на этот вопрос, который косвенно
затрагивает название лекции, однако все же боюсь, что поставил
себе слишком трудную задачу: лекция о математике, адресованная
публике, среди которой математики составляют меньшинство, не
может рассчитывать на резонанс аудитории. Гуманитарии всегда
находятся в гораздо лучшей ситуации хотя бы потому, что они го-
ворят общедоступным языком и о понятиях, имеющих конкретные
модели... (до какой степени люди не знакомы с математическими
моделями, я убедился из передачи одной радиостанции, пользую-
щейся хорошей репутацией: в студии экзаменовали молодого ре-
месленника, и он не знал, сколько граней имеет куб, на что все-
ведущий экзаменатор доброжелательно сообщил ему и всему зем-
ному шару, что их 8...).
Впрочем, роль математика всегда неблагодарна, не только
тогда, когда ему приходится выступать публично. Дело не в том,
что математика трудна и непонятна, а в том, что она чужда и непо-
нятна для широкой общественности. Физик или химик гораздо
скорее может рассчитывать на отклик общества. Во Вроцлаве
есть улица Врублевского и если кто-то спросит, чем этот краков-
ский ученый заслужил уважение общества, то на это можно отве-
тить, что именно он первым в мире получил жидкий воздух, что
это открытие практически применяется в современных холодиль-
никах (где нагревание аммиака вызывает понижение температу-
ры). Любой человек с улицы (возможно, даже не знающий, какие
пути привели от эксперимента Врублевского к этим парадоксаль-
ным следствиям законов термодинамики и к устройству совре-
менных холодильников) может понять, о чем идет речь, и что ули-
ца справедливо названа именем этого физика. Иначе обстоит дело

Математика вчера и сегодня
25
с улицей Банаха. За исключением немногочисленных специали-
стов, никто в мире и Польше не знает, чем знаменит Банах, и если
бы кто-то из прохожих на этой улице даже спросил бы экспер-
тов-математиков, то они не нашли бы подходящих слов для отве-
та по существу.
Представим себе, что этот прохожий — журналист, и что он
решил пополнить свою картотеку вырезками из польских и ино-
странных газет с разнообразной полезной информацией (не пре-
небрегая, как подобает истинному журналисту, даже сплетнями и
слухами), позволяющей кратчайшим путем получить ответ на во-
прос — кто и почему имеет право называться математиком. Ячей-
ка «Математика» в его картотеке заполнилась бы очень быстро,
где оказались бы и официальные сведения о том, что в текущем
году все польские университеты принимали кандидатов на отде-
ления математики без всяких ограничений, тогда как другие отде-
ления ограничили число поступающих количеством мест. Там
оказалась бы вырезка из ежемесячника KOSMOS, где сообщалось
о письме, направленном из Кракова учащимися одной из общеоб-
разовательных школ на имя члена Государственного Совета Ежи
Завейского с просьбой посодействовать отмене преподавания в
школах математики, поскольку (по мнению этих учащихся) мате-
матика ни для чего не нужна. А, возможно, там окажется и комп-
лект лондонского еженедельника «Observer», где публикуются
все объявления заводов, ищущих математиков, — их можно най-
ти почти в каждом номере и подумать, что в Англии нехватает
математиков, коль скоро объявления обещают им прекрасные
условия. В связи с этим можно поинтересоваться подобными
объявлениями в нашей прессе и... не встретить ни одного. Одна-
ко в приложении к Trybuna Ludu можно найти цитату из «Тгак-
tat» Котарбиньского о «хорошей работе» и прочитать следую-
щее суждение: «...современные тенденции развития промыш-
ленности придают большое значение совершенствованию спо-
собностей действующих субъектов в направлении все большей
интеллектуализации и преобладания знаний и скорости мышле-
ния над точностью управления механизмами». Прочитав эту уче-
ную формулировку, следует задуматься о том, имеем ли мы до-
статочное число математиков? Желая глубже исследовать эту

26
Гуго Штейнгауз
проблему, мы начнем листать американские информационные
ежемесячники и найдем в American Mathematical Monthly (64,
1957, с. 557-566) статью о практической стороне математики. Ав-
тор статьи, Р. Ю. Гаскелл говорит, что практическая сторона дела
существенно зависит от общественного мнения о том, для чего
существуют математика и математики. «К счастью, — пишет Гас-
келл, — математика глубоко проникает на рынки сбыта, но, тем
не менее, повсеместно распространено неверное представление о
том, что такое математика и что она может. Более того, у некото-
рых людей вырабатывается интенсивное, агрессивное и заразите-
льное невежество... Можно найти таких, которые думают, что
математикам легче, чем кому-либо, помнить, что происходит при
игре в бридж, а другие не видят разницы между математиком и
бухгалтером. Инженеры и некоторые специалисты отождествля-
ют математику с формулами, диаграммами, графическими схема-
ми и вычислительными машинами...».
На этом пути наш исследователь может случайно натолк-
нуться на характеристику Стефана Банаха, помещенную вскоре
после его смерти (в 1946 г.) в Bulletin of the American Mathematical
Society (52, с 600-603). В этой очень краткой (но, одновременно,
очень меткой и интересной) характеристике мало предложений,
непонятных для дилетанта, но именно они отвечают на вопрос,
почему на сегодняшний день в каждом ежемесячнике, посвящен-
ном актуальным математическим проблемам, можно найти имя
Банаха. Причина заключается в том, что так называемое «банахо-
во пространство» стало общепринятой универсальной концеп-
цией, на основе которой постоянно появляются всё новые работы.
Неутомимый журналист начнет искать персональные сведения и
заинтересуется авторами некрологов об этом львовском матема-
тике. Если ему повезет, он доберется до статьи-некролога, опуб-
ликованной в одной из американских газет (озаглавленной «Уче-
ный, признанный слишком поздно»), автором которой является
Станислав У лам, ученик Банаха. Закончив политехнический фа-
культет Львовского университета, Улам получил степень докто-
ра, но коллекционера вырезок гораздо больше заинтересует ин-
формация из другой американской газеты (предоставленная Се-
нату США сенатором Клинтоном П. Андерсоном, председателем

Математика вчера и сегодня
27
комиссии по изучению полетов в межпланетном пространстве) о
том, что именно Улам (а не Эдвард Теллер, как считалось раньше)
первым предложил создать водородную бомбу. Те немногие жи-
тели Львова, которые помнили, как Банах с Уламом целыми часа-
ми беседовали друг с другом в львовских кафе (наскоро поясняя
свои слова загадочными символами, нарисованными карандашом
на крышке столика), наверняка не предполагали, что один из со-
беседников 10 лет спустя возьмет на себя ответственность за то,
что первая попытка осуществить цепную реакцию в крупных мас-
штабах может закончиться буквально ничем. Вероятно, ни слу-
чайные свидетели этих бесед, ни сами собеседники не могли
предвидеть такого развития событий. О чем мог тогда разговари-
вать Банах со своим учеником? Возможно, о теореме Банаха-Тар-
ского, которая позволяет разделить шар на несколько частей так,
чтобы из них можно было сложить шар большего размера, чем ис-
ходный. Этой математической теореме пока не нашлось никакого
применения (возможно, она никогда не найдет применения) и она
вызывает возражения у каждого физика. Однако на основе евкли-
довой геометрии можно вывести и другие парадоксальные логи-
ческие умозаключения, ничем не отличающихся от тех, которы-
ми математики пользовались в течение многих веков...
Это снова заставляет вспомнить об интерпретации биолога,
которую можно сформулировать в форме почти нелепого вопро-
са: «Почему Евклид не знал теоремы Банаха-Тарского?».
Евклид является первым математиком в самом широком
смысле этого слова. Он создал геометрию, т. е. ту элементарную
геометрию, которую греческие учителя преподавали детям рим-
ских патрициев и которую в английских школах до недавнего
времени называли просто «Евклид». Именно ее всем нам вбивали
в голову и именно ее отмены сегодня добиваются краковские уче-
ники от Ежи Завейского. В связи с этим, стоит заглянуть в ориги-
налы книг Евклида с должным уважением, ибо они были написа-
ны за 300 лет до Рождества Христова в Александрии, которая в то
время была центром эллинистической культуры. По-гречески на-
звание этих книг звучит как «Stoicheia», что переводчики на ла-
тынь воспроизвели как «Elementa» (в переводе на русский язык —
«Начала Евклида». — М.-Л.: Гостехиздат, 1948-1950). Книги на-

28
Гуго Штейнгауз
чинаются с определений и аксиом, которые делятся на две груп-
пы. Первая из них охватывает «koinai ennoeiai» (т. е. знакомые
всем свойства и отношения, не вызывающие сомнений — эта
группа напоминает основные положения современной теории
множеств), а вторая начинается с императива «aitestho», соответ-
ствующего современным оборотам «следует принять» или «при-
мем, что». Следовательно, их следует считать постулатами, а их
введение демонстрирует, что Евклид понимал роль соглашений
(и даже их необходимость) в основах геометрии. Пятнадцать книг
содержат несколько сотен теорем, каждая из которых является
логическим следствием определений и аксиом и каждая из них
сопровождается доказательством. Однако совершенство евкли-
довой системы проявилось только в современной математике, а
история этого открытия поистине захватывающа. Еще древним
ученым (а среди них и великому Птолемею из Александрии, отцу
астрономии) не нравился евклидов постулат о параллельных: две
прямые на плоскости пересекаются третьей, с которой образуют
углы, сумма которых меньше половины полного угла, лежащего
по обе стороны от пересекающей линии. Считается, что этот по-
стулат, который позже получил название XI аксиомы, в то время
был слишком сложным и обрекал «Elementa» на то, чтобы они не
представлялись очевидной истиной. Делались также попытки вы-
вести этот постулат из остальных аксиом, но дотошные читатели
всегда обнаруживали ошибки в этих попытках, которые чаще все-
го заключались в выводе XI аксиомы благодаря интуитивному
введению какой-то новой аксиомы, равнозначной этому постула-
ту. Эти бесплодные попытки продолжались вплоть до XIX века,
но только около 1825 г. этой недоступной вершины геометрии

Математика вчера и сегодня
29
удалось достичь независимо друг от друга трем гениальным лю-
дям. Это были Гаусс, Бойяи (младший) и Лобачевский.
Семья Бойяи происходила из Трансильвании, и оттуда Кас-
пар Бойяи де Бойя переехал в Венгрию, в Марош-Вашархели. Его
сын Вольфганг был необычайно способным ребенком. В XVII
веке трансильванская аристократия имела обычай посылать сво-
их сыновей для получения образования в Германию, и благодаря
помощи трансильванских баронов обнищавший Каспар послал
своего сына в Геттинген. Вольфгангу был 21 год, когда там он по-
знакомился с Гауссом, который был на два года моложе. Когда
однажды мать Гаусса спросила Вольфганга, кем станет ее сын,
Карл Фридрих, Вольфганг без раздумий ответил: величайшим ев-
ропейским математиком... Гаусс и Бойяи уже тогда занимались
XI аксиомой.
Несколько лет спустя Гаусс вернулся в Брунсвик, где погру-
зился в работу, которая позволила ему получить прозвище «кня-
зя математиков» и (кроме разных областей математики) охваты-
вала многие области науки: механику, теорию электричества,
астрономию и геодезию. Но эта работа не принесла ему никакой
материальной выгоды и вызвала недовольство всей семьи. Его
коллега Бойяи должен был вернуться в Марош-Вашархели и
ради заработка стал профессором математики в местном универ-
ситете, а потом и его ректором. Дружба с князем математиков
продолжалась, но XI аксиома оставалась загадкой для Воль-
фганга Бойяи, который постоянно делал попытки доказать ее и
столь же постоянно опровергал. В 1804 году он послал Гауссу
свою последнюю версию под названием «Геттингенская теория
параллельных» с просьбой к нему высказать свое мнение. Гаусс
неожиданно быстро ответил ему в дружеском тоне и обстоятель-
но, что он сам хотел бы развязать этот-гордиев узел, но все его
усилия оканчиваются безрезультатно. Содержащееся в «Геттин-
генской теории параллельных» доказательство Гаусс считал не-
удовлетворительным и указывал, в чем состоит ошибка (хотя се-
годня подробно излагать суть упрека Гаусса не стоит). Гаусс
считал, что Бойяи использовал то же самое рассуждение, соглас-
но которому Зенон Элеатский заключил, что быстрый Ахиллес
никогда не догонит медленную черепаху.

30
Гуго Штейнгауз
У Вольфганга был сын по имени Ян, и из его писем Гауссу мы
знаем, что, заканчивая школу в Марош-Вашархели, 15-летний Ян
уже знал дифференциальное и интегральное исчисление и решал
задачи из аналитической механики. В 10 лет он играл первую
скрипку в классических квартетах и сам сочинял произведения;
он также был прекрасным латинистом, как и его отец. Мечтой мо-
лодого Бойяи было остаться дома и посвятить себя математике,
но недостаток денег, последствия непрактичности и различных
неудач отца в хозяйственных делах вынудили Яна обратиться за
помощью. И снова такую помощь ему оказал один из богатых
трансильванских друзей семьи, обещая в течение 4 лет оплачи-
вать обучение молодого человека в Военно-инженерной акаде-
мии в Вене и все связанные с этим расходы. Когда Ян закончил
академию в звании подпоручика, это был уже отличный офицер.
Высокий брюнет с темноголубыми глазами, искусный наездник,
лучший математик в академии, непобедимый мастер фехтования,
срубавший железные крюки саблей дамасской стали, он был по-
стоянной заботой отца, который в своих письмах предостерегал
его от дуэлей и увлечения женщинами. Но еще больше он предо-
стерегал его от попыток обосновать XI аксиому. Вот выдержка из
письма, датированного 1820 годом: «Не вступай на эту дорогу, я
знаю ее всю до самого конца — я тоже шел по ней и днем и ночью,
на ней угасли все радости моей жизни — молю бога, оставь в по-
кое науку о параллельных...». И несколькими строками ниже:
«.. .я хотел пожертвовать собой ради истины, был готов стать му-
чеником, только чтобы вручить роду человеческому геометрию,
избавленную от этого белого пятна...». И далее: «Здесь кроется
корень всех моих позднейших ошибок и неудач...». И наконец:
«Здесь находятся Геркулесовы столбы, не иди ни на шаг дальше,
ибо погибнешь...».
Так ответил отец на письмо Яна, который весной 1820 г. сооб-
щил ему из Вены о своих попытках обосновать XI аксиому, но за-
преты еще больше разожгли амбиции молодого офицера, кото-
рый решил исследовать проблему любой ценой. В 1823 г. он пи-
шет на четвертушке бумаги: «...я нашел нечто такое, что сам
удивляюсь...но пока не могу сказать ничего, кроме того, что это
открывает новый, совершенно иной мир». Когда Ян в 1825 г. на-

Математика вчера и сегодня
31
вестил отца в Марош-Вашархели, открытие абсолютной геомет-
рии (так он ее назвал) было уже совершено, но затем появились
разочарования. Первым было то, что отец не мог понять, что су-
ществует бесконечно много разных геометрий, когда опроверга-
ется XI аксиома, и что вопрос об истинности или ложности этой
аксиомы не имеет смысла, ибо и она и ее отрицание вместе с ос-
тальными аксиомами образуют систему, свободную от противо-
речий. Когда в 1830 г. Яна перевели из его первого гарнизона
в Темешваре во Львов, он решил при посредничестве отца отдать
свою работу для оценки Гауссу, однако рукопись пропала, и до
Геттингена в 1832 г. дошла лишь другая, улучшенная ее версия.
Гаусс ответил, что работа согласуется с его собственными раз-
мышлениями, которые занимали его в течение последних 30 лет,
и он рад, что сын его старого приятеля его опередил. В письме
другому своему приятелю он называет Яна гением первой вели-
чины и признает, что его собственные идеи были далеки от той
зрелости, которой достиг младший Бойяи. Однако это не удовлет-
ворило безграничных амбиций Яна, который даже не поверил,
что Гаусс пишет правду, и стал подозревать, что его собственный
отец обманным путем выдал приятелю секреты новой геометрии.
Это нелепое подозрение отдалило Яна от обоих людей, понимав-
ших важность этой проблемы, а никто другой из окружения моло-
дого Бойяи не мог их в этом заменить. Ян стал затворником, росли
его претензии ко всем, особенно к отцу, которого он даже вызвал
на дуэль. В служебной характеристике, данной его войсковым на-
чальством, записано: «...в 1832 г. за некую брошюрку получил
благодарность от советника королевского двора Гаусса, одного
из величайших математиков.. .пригоден к должности профессора
математики...». И далее: «скуп на слова, раздражителен, вспыль-
чив, избегает общества офицеров, в инженерной службе не прояв-
ляет усердия, заядлый шахматист...».
В 1833 г. Яна отправили на пенсию; его дальнейшая судьба -
это история одинокого человека, поссорившегося с семьей и
окружающими. Из блестящего офицера он превратился в разо-
рившегося чудака, деклассированного дворянина и скандалиста,
на которого указывали пальцем, и только скрипка и математика
спасали его от окончательного падения. Когда в 1860 г. он умер

32
Гуго Штейнгауз
в Трансильвании, никто там и не узнал, что ушел из жизни один из
величайших мыслителей.
Когда идет речь о вчерашней и сегодняшней математике, то
Вольфганга Бойяи следует считать представителем вчерашней,
а его сына — сегодняшней математики, так же как и Лобачевско-
го, который одновременно с Гауссом и Бойяи-младшим открыл
неевклидову геометрию. Незнание на Западе русского языка
было причиной того, что работы Лобачевского, написанные в Ка-
зани, слишком поздно дошли до Германии и дальше. В чем смысл
неевклидовой геометрии? Она не доказывает ни то, что в плоско-
сти через точку, лежащую сбоку от прямой, проходит только одна
параллельная ей, ни то, что таких параллельных больше одной.
Именно Ян Бойяи в своем дополнении к сочинению «Tentamen»
Вольфганга Бойяи доказал, что утверждение о единственности
параллельной, равно как о множественности параллельных, со-
гласуется с остальными аксиомами Евклида, и что Евклид был
прав, поместив XI аксиому среди постулатов. Если бы этот посту-
лат был опущен, получилась бы так называемая пангеометрия, а
если его заменить утверждением о множестве параллельных, то
получилась бы неевклидова геометрия Бойяи-Лобачевского.
Двигаясь по этому пути дальше, современная математическая ло-
гика в лице Гёделя пришла к выводу, что это противоречие (кото-
рое Вольфганг Бойяи называл белым пятном, упущением Созда-
теля всего сущего) является особенностью любой системы акси-
ом: ни одна система аксиом не является полной, ибо в каждой из
них можно сконструировать неразрешаемое суждение.
Почему открытие иных геометрий, которые и сегодня неизве-
стны даже высокообразованным людям (если только они не явля-
ются математиками), следует считать решающим этапом в исто-
рии науки? Разве можно придавать значение таким открытиям,
которые только с трудом можно объяснить, и то лишь незначите-
льному проценту высокообразованных людей? Дело в том, что
элементарная геометрия, положения которой установил Евклид
(ее изучают в общеобразовательных школах и она доступна боль-
шей части молодежи), прекрасно подходит для описания твердых
тел и объяснения простейших оптических явлений. В ее основе
лежит опыт многих поколений и приобретенные на заре челове-

Математика вчера и сегодня
33
чества знания о поведении таких тел, а аксиомы Евклида являют-
ся лишь изложением знаний о пространстве, полученных с помо-
щью зрения и осязания. Это и есть главная причина, по которой
другие геометрии долго считались невероятным вымыслом уче-
ных с целью запутать и затемнить простые и ясные вещи.
Среди не понявших новую геометрию оказался даже австрий-
ский физик и философ Эрнст Мах, который в последнем десяти-
летии XIX века изложил свою критику понятий и утверждений
физики. Именно Мах первым поставил вопрос о том, что смысл
утверждений физики сводится к наблюдениям, а язык физики
должен быть таким, чтобы каждое суждение можно было под-
твердить или опровергнуть экспериментально. На целое поколе-
ние раньше Маха Бернгард Риман в Геттингене далеко продвинул
неевклидову геометрию и верил в возможность такой физики, для
которой старой геометрии недостаточно. Несомненно, Альберт
Эйнштейн был последователем Римана и Маха. Влияние Маха об-
наруживается в отказе от абсолютного времени, т. е. такого вре-
мени, которое нельзя определить экспериментально, а влияние
Римана проявилось в позднейшем труде Эйнштейна и в его готов-
ности принять неевклидову геометрию, если она облегчит форму-
лировку понятий на языке новой физики. Как известно, так назы-
ваемая специальная теория относительности объяснила экспери-
мент Альберта Майкельсона, который показал, что вращение
Земли вокруг Солнца не влияет на оптические явления, наблюда-
емые в системе зеркал и линз, связанных с Землей. Этот экспери-
мент нанес удар по концепции абсолютного пространства. Эта те-
ория относительности, которой ныне исполнилось 50 лет, в физи-
ке произвела такую же революцию, которую совершили Бойяи и
Лобачевский в геометрии. А какая польза от нее для широких кру-
гов общественности? Почти никакой, если не считать некоторых
изменений в фразеологии, например, журналисты стали охотнее
смешивать представления о времени и пространстве. Например,
стало возможным писать «на протяжении последних лет» (такой
своеобразный оборот был использован в отношении одного не-
давно умершего ученого, который, хотя и не был математиком,
однако завоевал право на почетный титул лауреата премии имени
Бойяи). Не только в общеобразовательной школе, но даже в уни-

34
Гуго Штейнгауз
верситетском курсе физики трудно донести до студентов основы
теории относительности.
Многие пути ведут из вчера в сегодня, и мы наметили всего
лишь набросок одного из них — от Евклида через Яна Бойяи к со-
временной физике. Среди многочисленных читателей Евклида,
возможно, наиболее любознательным был Блез Паскаль, воспита-
ние которого сделало его великим человеком, подобно тому, как
это было с Тауринусом, Бойяи-младшим и Стюартом Миллем. Ка-
жется, он еще ребенком самостоятельно дошел до нескольких евк-
лидовых теорем, за что и получил в подарок «Elementa». Это в его
сочинениях мы находим альтернативу «esprit de geometrie — esprit
de finesse» (дух геометрии—дух проницательности), которая под-
черкивает различие духа математического и духа гуманитарного,
хотя сам он был примером сочетания их в одной личности.
В молодости Паскаль некоторое время входил в компанию
игроков. В 1654 г. он написал одному из своих бывших друзей
письмо об игре в кости, в котором изложил основы вычисления
вероятности благоприятного исхода в азартных играх. Этот рас-
чет приобрел наибольшее значение только тогда, когда его стали
использовать в иной модели, совершенно не связанной с игрой в
кости. Такой моделью является множество материальных частиц,
а именно так представляли себе газ Дж. Клерк Максвелл, Людвиг
Больцман и Мариан Смолуховский. В течение полувека, завер-
шившегося Первой мировой войной, эти три ученых создали так
называемую кинетическую теорию материи. Положения теории
вероятностей, примененные к хаосу миллиардов невидимых ма-
териальных частиц, дали те законы, которые физики значительно
раньше сформулировали как свойства газов, но получали их без
помощи математики, из непосредственного наблюдения газа, за-
ключенного в сосуде и подвергаемого сжатию или нагреванию.
В чем же было дело? Просто в применении термодинамики к ме-
ханике, в демонстрации того, что механика, которая так прекрас-
но предсказывает движение одной гигантской планеты, столь же
хорошо может предсказать траектории целого роя частиц в зам-
кнутом объеме. Как бы то ни было, а математика доказывает, что
классическая механика Ньютона является универсальной. Изве-
стно, что эта механика позволяет предсказать траекторию снаря-

Математика вчера и сегодня
35
да по его начальному положению и начальной скорости, но такая
информация о каждой частице газа недоступна. Мы не можем вы-
числить траекторию каждой отдельной молекулы из миллиарда
других, но даже если бы и могли, все равно не сумели бы вывести
из этого никакого закона физики, просто воспользовавшись тео-
рией вероятностей для вычисления средних скоростей молекул
или их полного импульса при сжатии газа поршнем в цилиндре.
Этого можно добиться лишь благодаря так называемому закону
больших чисел, и расплачиваемся мы за это преклонением перед
неким божком, который из-за зеленого игрового столика пересел
за письменный стол физика-теоретика. Этим божком является так
называемый «случай». За последние 30 лет оказалось, что можно
попытаться исключить этот неопределенный случай и очень да-
леко продвинуть математические основы теории вероятностей.
Быть может, даже удастся (к радости ортодоксальных детермини-
стов) полностью исключить теорию вероятностей из классиче-
ской физики, однако в квантовой физике она сохранит преоблада-
ющее значение. Во всяком случае, это исключение является забо-
той математиков, и они должны объяснить, почему это
недостижимо (если дело обстоит именно так).
От того же Паскаля тянется еще одна линия, ведущая к созда-
нию вычислительных машин. Паскаль даже построил первую та-
кую машину, но она была просто интересной игрушкой, которая
никогда не использовалась на практике. Слабой (в буквальном
смысле этого слова) ее стороной были шестеренки, так как в то
время механики еще не умели придавать зубцам требуемый гео-
метрический профиль. В машине использовали примитивные ко-
лышки-«пальцы», вмонтированные в торец круга, которые легко
ломались при быстрых оборотах. Лишь после того как технологи
научились вытачивать зубья циклоидального профиля, удалось
построить вычислительную машину, пригодную для практиче-
ского применения — сегодня это очень широко распространен-
ное устройство (арифмометр). Но тут неожиданно подоспела по-
мощь со стороны электронной техники. Электронная лампа в ма-
шине просто играет роль контакта, который пропускает ток или
прерывает его. Никакой обыкновенный контакт не может изме-
нять свое состояние миллионы раз в минуту, а электронная лампа

36
Гуго Штейнгауз
может, так как инерционность электронов ничтожно мала по
сравнению с наилучшими механическими элементами. Для чего
необходима такая скорость? Вряд ли она необходима для реше-
ния таких вычислительных задач, которые изо дня в день выпол-
няются в строительных конторах или в банках. Скорость вычис-
лений важна в задачах с громоздкими вычислениями, простей-
шим примером которых выступает построение баллистических
таблиц. Нетрудно подсчитать, где будет находиться орудийный
снаряд через 1/100 секунды после выстрела, и какую он будет
иметь скорость с учетом сопротивления ветра, так как эти пара-
метры определяются четырьмя числами. Используя еще раз эти
же формулы, можно по этим четырем числам найти другие четы-
ре, которые дадут положение и скорость снаряда через следую-
щие 1/100 секунды и т. д. Повторяя эти операции несколько тысяч
раз, можно представить себе всю траекторию снаряда. Поскольку
траектория меняется в зависимости от угла подъема ствола ору-
дия, необходимо вычислить сотни траекторий, чтобы получить
полную таблицу. Именно для решения таких задач необходима
быстродействующая машина, которая способна за несколько ча-
сов выполнить все операции, благодаря быстродействию ламп и
непрерывной передаче исходных данных на вход машины по
электрическим проводам.
В чем заключается роль математика, имеющего в распоряже-
нии такую машину? Его хлебом насущным является быстрое ко-
дирование таких задач, которое заключается в шифровании
команд путем пробивания отверстий в перфокарте, ибо машина
понимает только такой шифр. Самые новые машины вообще ста-
ли универсальными, и недавно у математиков появились задачи
иного типа. Например, потребовалось составить для машины ин-
струкции, позволяющие ей играть в шахматы против человека, и
эту задачу удалось решить, хотя и не до конца (о чем я скажу еще
несколько слов позднее). Какая проблематика возникает на осно-
ве новых возможностей, видно из памятной записки, еще не опуб-
ликованной и подготовленной группой математиков по заданию
фирмы IBM, производящей новейшие вычислительные машины.
Документ содержит несколько идей и предложений, которые я,
впрочем, не цитирую дословно. Авторы утверждают, что до сих

Математика вчера и сегодня
37
пор быстродействующие машины используются исключительно
для решения задач математической физики или техники, причем
производительность машины полностью определяется закодиро-
ванными инструкциями и последовательностью их исполнения.
Известно, что человек использует иной подход и способен изме-
нять план действий в процессе работы. В памятной записке пред-
лагается новый способ, представляющий собой нечто среднее.
Вместо того чтобы предоставить машине действовать самостоя-
тельно, ее можно было бы объединить с человеком, который во
время работы видит промежуточные результаты, вмешивается в
последующие действия и даже изменяет алгоритм решения зада-
чи. Такое взаимодействие называется «синергетикой» — приме-
ром может служить взаимодействие водителя с автомобилем, ког-
да человек получает информацию о положении на дороге, и на
основе этих данных, например, изменяет скорость, уменьшая ее
там, где предстоит поворот или где он видит нужный номер
дома... При игре в шахматы с машиной можно позволить ей вы-
ступить в качестве советника, который время от времени исследу-
ет последствия нескольких ходов, а затем позволяет человеку иг-
рать дальше. Один из авторов памятной записки посвятил меня
недавно в идею будущих машин, поведение которых в некоторых
ситуациях будет детерминированным (как до сих пор), а в дру-
гих — вероятностным (т. е. отдельные лампы будут изменять
свое состояние случайным образом). Машины такого типа можно
было бы использовать для исследования явлений, которые час-
тично протекают в соответствии с законами классической физи-
ки, а частично в соответствии с теорией вероятностей — такие си-
туации часто встречаются на практике (например, в строитель-
ных конструкциях, элементы которых подвержены случайным
изменениям).
Новейшие машины являются примером того, как техника
оказала существенное влияние на развитие математики, и в пер-
вую очередь в направлении математического мышления. Но есть
одно исключение, напоминающее то, что в биологии является
правилом: это внешняя помощь, помощь аппаратуры. Основная
черта математики в том, что она развивается автономно, и на во-
прос нашего зоолога мы должны ответить, что прогресс матема-

38
Гуго Штейнгауз
тики выглядит совсем иначе, нежели прогресс естественных или
гуманитарных наук. Ее развитие идет ввысь, подобно совершен-
ствованию живого организма. Вне всякого сравнения в ней отчет-
ливее, чем в других дисциплинах, проявляется происхождение
человека. В настоящее время на земле одновременно живут люди,
которые по уровню знания математики принадлежат к эпохе
древнеегипетских пирамид (такие люди составляют значитель-
ное большинство), небольшой процент дорос до уровня средневе-
ковья, а до XVIII века едва ли дошел один человек из тысячи.
По-видимому, первобытный человек не может стать математи-
ком за счет только эволюции, так как чрезвычайно короткий про-
цесс развития (определяемый биогенетическими законами) не по-
зволяет получить изменения мозга, которые превращают неан-
дертальца в Паскаля. Все новые и новые поколения людей
должны пройти тернистым путем, который невозможно сокра-
тить, так что, как говорили в древности, «в математике нет коро-
левской дороги». Образно говоря, дистанция между авангардом и
огромной массой странников увеличивается, процессия растяги-
вается и лидеры, идущие впереди, становятся все более одиноки-
ми. Они исчезают из виду, о них мало кто знает, о них рассказыва-
ют фантастические истории. Некоторые люди в процессии вооб-
ще перестают верить в их существование.
Вернемся к картотеке. В предназначенном для учителей жур-
нале LEcole du Grand Paris выдающийся французский математик
Лоран Шварц опубликовал статью о тенденциях современной ма-
тематики. По мнению автора: «математика — наука наиболее аб-
страктная и одновременно наиболее независимая от внешнего
мира и от текущей жизни, но с другой стороны — это предмет, ко-
торый практически ничего не может рассказать нематематикам о
современной математике». Иными словами, профессор Сорбон-
ны констатирует, что практически не имеет смысла читать лек-
ции, подобные настоящей,... и он почти прав. Но его первый те-
зис является лишь подготовкой к следующему, суть которого в
абсолютной произвольности выбора проблем, и этот тезис я счи-
таю значительно опаснее первого, ибо автономия науки заключа-
ется в свободе выбора, а не в его произвольности. Бурный про-
гресс всех отраслей знаний (который скорее заслуживает назва-

Математика вчера и сегодня
39
ния мутации, чем эволюции) и, что не менее важно, изменения в
мире материальной культуры полностью доказали фиктивность
веры в то, что каждая математическая теория когда-нибудь для
чего-нибудь пригодится, хотя здесь бывают и приятные неожи-
данности. Современный математик Норберт Винер заметил, что
математическая теория управления имеет фундаментальное зна-
чение для физиологии, ибо живой организм подобен нынешним
саморегулирующимся автоматам. Эту доктрину он назвал кибер-
нетикой, а ее главный принцип — обратной связью. Обратная
связь заключается в непрерывном измерении отклонения между
направлением движения и поставленной целью и в использова-
нии этого отклонения управляющим устройством для автомати-
ческой и непрерывной корректировки движения. Применим этот
принцип к шествию авангарда процессии математиков сквозь ис-
торию - здесь обратная связь требует знания конечной цели, ко-
торую никогда нельзя упускать из виду. Но цель всего шествия не
может указать отдельно взятая личность, которая свободна толь-
ко в выборе дороги к цели...
Как я уже говорил, практическое значение математики зави-
сит от того, каково мнение общественности о математике и мате-
матиках. Жаль, что никто до сих пор не проводил соответствую-
щих опросов, ибо их результаты были бы сенсационными. Люди,
близкие к техническим наукам, знают о роли классической мате-
матики в инженерном деле и машиностроении, но считают ее вто-
ростепенной; к такой точке зрения их склоняет назначение мате-
матических справочников. Их очень удивляет, когда, например,
кто-то говорит, что вроцлавское общество технической матема-
тики решило проблему оболочек и куполов, представив их опти-
мальную форму для каждого контура. Удивление возникает пото-
му, что эмпирики не понимают категорических суждений такого
рода. Более того, нематематик чувствует себя особенно задетым
за живое, когда кто-то делает из его предпосылок заключение,
превышающее его воображение. Математики этим занимаются
профессионально и добиваются признания вопреки мнению ди-
летантов. Распространено мнение, что в промышленности, гор-
ном деле, средствах связи, торговле и денежном обороте иногда
возникают трудности вычислительного характера, но нет ника-

40
Гуго Штейнгауз
ких математических проблем. Занять должность математика на
какой-нибудь фабрике у нас невозможно, потому что никакой ди-
ректор никогда не слышал о чем-либо подобном (речь идет об об-
разованных директорах, а не о таких, которые заставляют матема-
тика составлять платежные ведомости). Разумный директор спро-
сит себя: что должен математик делать целый день на фабрике?
Ответ на это мы находим в цитированной ранее работе Котар-
биньского, где говорится, что хороший организатор должен не
действовать, а только наблюдать за всем происходящим (поль-
ская поговорка гласит, что «от хозяйского глаза скотина жиреет»,
и это можно отнести как к живому коню или ослу, так и к механи-
ческому!). Например, перед математиком на текстильном пред-
приятии можно поставить скромную задачу, которую он смог бы
решить после года бездельничанья на фабриках: установить опти-
мальный выпуск продукции. Такая задача вполне достойна мате-
матика, ибо даже распределение 10 работников между 10 разно-
родными автоматами, обеспечивающее максимальную произво-
дительность, не является шаблонной вычислительной задачей.
Не следует, однако, возмущаться по поводу директоров или руко-
водителей более высокого ранга, ибо даже Генри Форд-старший
считал математику совершенно ненужным балластом в техниче-
ском образовании. Меня скорее удивляет не Форд, а естествоис-
пытатель (ученик Бенедикта Дыбовского и Нусбаума-Хиларови-
ча), который на заседании Краковской академии по поводу серо-
логической экспертизы (для объективной оценки доли
ошибочных решений в делах по установлению отцовства) вос-
кликнул: «чутье и вера говорят мне больше, чем стекла прибора и
глаз умника!».
Итак, каково же будущее польских математиков? Я говорю
о математиках творческих и самостоятельных, ибо иным место в
общеобразовательных школах. Выдающиеся по таланту матема-
тики (из упоминавшегося выше авангарда) занимают прекрасные
должности в высшей школе, в университетах и политехнических
институтах, в промышленности и в различного рода производст-
ве... Но где? В Соединенных Штатах, куда мы уже давно постав-
ляем наших выпускников. Там также многие директора не верят
в необходимость математики, но и спрос на должности математи-

Математика вчера и сегодня
41
ка не так уж велик, поскольку американская молодежь предпочи-
тает конкурировать в других областях. Польские математики
имеют высокий курс на заморской бирже труда. Наше государст-
во обучает их, не скупясь на слова благодарности, однако не нахо-
дит для них надлежащей роли. Должны ли мы их экспортировать
или предлагать в качестве рекламного продукта с надписью «не
для продажи»? Действительно, наша техническая отсталость за-
трудняет осознание значения современной математики и, следо-
вательно, уменьшает роль математиков, но без математики мы не
преодолеем техническое отставание. Если мы хотим догнать дру-
гих, то должны надеть сапоги-скороходы, а их имеет на складе
только современная (но никак не вчерашняя!) математика.
Неприязнь к практике у ученых и неприязнь к теории у прак-
тиков ведет к накапливанию математических результатов в тщет-
ной надежде, что мы используем эти интеллектуальные запасы в
будущем или другие страны используют их сейчас. Но другие
страны уже сегодня сетуют на недостаток литературы по матема-
тике! Один из участников прошедшего недавно Международного
Конгресса в Эдинбурге, который неоднократно демонстрировал
умение предвидения и универсальной ориентации, пишет, что ма-
тематика явно отстает от фантастического развития физики, аст-
рономии, а также биологии и технологии. Итак, мы должны по-
мнить, что безграничное ожидание, когда появятся потребители
науки, не является разумной тактикой. В странах, которые осоз-
нали необходимость применения математики, мы видим особый
интерес к проблемам преподавания математики. К этим странам
относятся Италия, Бельгия и Югославия, и по их примеру и Фран-
ция сейчас задумалась о реформировании образования с тем, что-
бы математика дошла до гораздо большей части молодежи, чем
ныне. Ответственные круги отдают себе отчет в том, что без мате-
матики нельзя выдержать соревнования с теми странами, где ма-
тематика в почете. С другой стороны, история и опыт отчетливо
указывают на то, что большая часть молодежи либо вообще не по-
нимает математики, либо понимает, но не находит в ней ничего
интересного, а у нас подумывают даже о введения обучения мате-
матике для лиц, не имеющих призвания к педагогике. Я не верю,
что какие-либо новые дидактические приемы могут радикально

42
Гуго Штейнгауз
увеличить долю понимающих математику в школе. Подводя ито-
ги экспериментам педагогов, мы оказываемся перед дилеммой:
либо уступить требованиям краковских школьников и отменить
математику (кроме простой арифметики и элементов планимет-
рии), либо поступить так, как учит природа, которая разбрасыва-
ет тысячи зерен, хотя лишь несколько из них упадут на плодород-
ную почву. И из этих нескольких зерен позже вырастут Паскаль,
Гаусс и Бойяи...

Что такое математика и на чем
основан ее прогресс?1
Немодный ныне Уайлд сказал, что каждый называет своей
специальностью то, в чем он меньше всего понимает. Смысл
этого.парадокса, пожалуй, сводится к следующему утверждению:
подобно тому, как рыба, по всей вероятности, не отдает себе от-
чет в том, что такое вода и каковы ее свойства (точно так же
юрист редко задумывается над сущностью законов, а биолог не
волнуется по поводу определения жизни), так и математик не час-
то думает и говорит о том, что такое математика. Такие вопросы
возникают только при контакте с нематематиками, так как рыба,
вероятно, лишь выпрыгнув из воды, замечает ее поверхность, ее
границы и ее специфические свойства. Например, очень трудно
определить, что такое химия. Сказать, что она изучает состав ма-
териальных тел, будет явно недостаточно, ибо перед этим необхо-
димо определить, что мы понимаем под «материей» (при этом,
именно химия и физика дают нам средства для выработки поня-
тия материи). Несмотря на то, что химия уже в прошлом столетии
была достаточно развита, знание ее основ очень редко станови-
лось предметом интереса профессиональных химиков — импульс
для таких исследований дала современная физика. Точно так же
импульс к занятиям основами математики дало наше столетие —
Статьей «Czem jest matematyka i na czem polega jej postejD?» проф. Штейнгауз
открывает серию популярных математических лекций, прочитанных зимой
1926-27 гг. перед профессорами Университета и Политехнического института
во Львове. Ввиду того, что между математикой и естествознанием укрепляется
все более тесная связь, нам кажется очень важным познакомить естествоиспы-
тателей с актуальными проблемами математики. Редакция «Kosmos».

44
Гуго Штейнгауз
он поступил со стороны математиков, интересующихся логикой,
и логиков с математическим образованием, которые и занялись
основами и определением математики.
Слово «логик» здесь означает вовсе не человека, мыслящего
логически, а специалиста, занимающегося механизмами мышле-
ния, определения, умозаключения и аргументации. Речь идет о
чисто формальном механизме, позволяющем ему из одних сужде-
ний выводить другие (независимо от их сущности). Довольно
давно было установлено, что математика является такой систе-
мой логически связанных суждений, и уже Лейбниц в начале
XVIII века отдавал себе в этом отчет. Тем труднее в популярной
лекции представить, что такое математика и что лежит в основе ее
прогресса. Свободные математические суждения не только не
дают надлежащего представления о безграничности и важности
этой науки, но и не позволяют должным образом оценить огром-
ных усилий поколений, необходимых для постановки математи-
ческих проблем и для преодоления трудностей, встречающихся
на путях, ведущих к их решению. Роль популяризатора математи-
ки осложняется дополнительно и тем, что этой науке настолько
редко уделяется внимание в обычных лекциях, что даже сама тех-
ника популярного разговора о математике не определена дол-
жным образом.
Математика подобна башне, фундамент которой был зало-
жен много веков назад и в которой все еще достраивается верхний
этаж. Чтобы оценить общий ход строительства, надо подняться
на самый верхний этаж по очень крутой лестнице с множеством
ступеней. Роль популяризатора состоит в том, чтобы втащить
слушателя в лифт и довезти к вершине, откуда он не увидит ни
промежуточных этажей, ни веками украшавшихся комнат, но
сможет убедиться, что здание очень высокое и продолжает расти.
Вместо попыток одним предложением определить, что такое
математика, мы постараемся «показать» ее, причем не только
из-за трудности дать общее определение, но также и потому, что,
как нам кажется, иногда за математику принимают нечто, чем она
наверняка не является.
Существует некий сатирический взгляд на математику, точ-
нее даже два таких взгляда. О них часто можно услышать в вагоне

Что такое математика и на чём основан её прогресс? 45
или в салоне или прочитать в книгах и журналах. Многие весель-
чаки во время непринужденной беседы могут рассказать забав-
ные вещи о математике. Например, считается, что математики —
это люди, для которых наибольшее удовольствие представляет
умножение в уме 10-значных чисел на 12-значные, запоминание
страниц из таблицы логарифмов или просто коллекционирование
необычных чисел. Для разнообразия можно рассказывать и прямо
противоположные истории о том, как математики плохо вычисля-
ют (например, анекдот о том, что первый встречный лавочник
способен задать жару математику, рассчитав в уме сложный про-
цент, пока математик листал таблицы логарифмов, чтобы не оши-
биться в вычислениях).
Естественно, реальная жизнь совершенно не соответствует
этим рассказам. Математики обычно не являются хорошими
«счетчиками» или счетоводами, но считают не хуже других
средне образованных людей. Они, как правило, не имеют склон-
ности и не обладают большим опытом в вычислительной работе.
Вычислительная работа (связанная обычно с чисто арифметиче-
скими операциями) вообще играет в математике весьма малую
роль, что бы ни думали об этом необразованные люди. Напро-
тив, в прикладной математике (например, в астрономических за-
дачах) вычислительной работы очень много, и именно астроно-
мы являются примером людей, обладающих обширными знани-
ями математики и умеющих считать значительно лучше самых
квалифицированных бухгалтеров. Астрономия нуждается в объ-
емных вычислениях не потому, что небесные тела находятся на
удаленных расстояниях, а потому, что их движение относитель-
но Земли является весьма сложным — расчет траектории бли-
жайшего спутника Земли, Луны требует гораздо больше вычис-
лений, чем расчет траекторий самых отдаленных звезд.
Но иногда действительно появляются люди, которые способ-
ны выполнять арифметические действия над многозначными чис-
лами быстрее, чем вычислительные машины. О таких феноменах
часто пишут психологические журналы, и многие из вас знают
фамилии Иноди, Диаманди или Рюкле. Эти люди вовсе не явля-
ются математиками в обычном понимании, хотя и могли бы быть
ими (о чем свидетельствует пример Рюкле, доктора математики).

46
Гуго Штейнгауз
Чаще всего они не имеют математического образования и редко
когда обладают математическими способностями. С одним из
них мне довелось иметь продолжительную беседу, и я был пора-
жен абсолютным отсутствием математических способностей: он
не мог понять вещей, которые доступны почти всем ученикам
старших классов средней школы, обладающим рядовыми способ-
ностями.
Ввиду того, что математики не занимаются вычислениями, а
ведь, пожалуй, они должны ими заниматься по необходимости
(иногда это является матерью смекалки), среди наиболее созна-
тельных неучей возникла третья, полусерьезно трактуемая шут-
ка, связанная с нелепым объяснением работы математиков (типа:
они доказывают, что 2x2 = 5).
Самая глубокая причина этих недоразумений заключается в
форме математических сочинений. Их текст постоянно перепле-
тается с формулами, которые порой заполняют целые страницы и
состоят из букв и непонятных знаков. Математика многим пред-
ставляется таинственной наукой. Для чего предназначены эти не-
понятные символы и знаки? Очевидно, что из этих букв, больших
и малых, латинских и греческих, должна вытекать какая-то новая
скрытая истина, но она должна отличаться от банальных утверж-
дений типа 2x2 = 4 (ибо люди давно это знают без всяких знач-
ков). Отсюда и возникает мысль, что такие усилия и тексты дол-
жны привести к чему-то парадоксальному или невозможному, по-
добному эликсиру жизни, философскому камню или вечному
двигателю — одним словом, к «2 х 2 = 5».
То, что уже в средней школе изучают математику, в которой
вводятся символы а, Ь, с9..., х, у, z, не изменяет этой точки зрения,
поскольку большинство учеников не видит смысла и значения
этих символов. Люди не понимают этих символов, потому что в
практической жизни они пользуются не буквами, а конкретными
числами (2, 3, 5, 6.5 и т. д.). Но существуют и исключения: напри-
мер, если штаб армии планирует наступление и ждет для этого
прибытия тяжелых орудий (известно, что они обязательно посту-
пят, но неизвестно точно когда), то можно подготовить деталь-
ный план всей операции и отдать приказ, что пехотная дивизия

Что такое математика и на чём основан её прогресс? 47
выступает в час х, полевая артиллерия начинает действовать в х ч
45 мин, а тяжелые орудия — в х + 1 ч. Такой приказ можно довес-
ти до нижестоящих командиров, не указывая конкретное значе-
ние символа*, а последние могут потребовать у командования ар-
мией разъяснений по поводу способа выполнения приказов и по-
лучить их до того, пока одна короткая депеша не сообщит им
наконец точный смысл символа (х = 31 августа, 4 ч 30 мин). Этот
пример демонстрирует, что в некоторых случаях символ необхо-
дим и что его не может заменить конкретное число. Именно так
математики и употребляют символы: они не пишут чисел до тех
пор, пока числа являются лишь ненужными подробностями, не
имеющими ничего общего с сутью дела.
Какой интерес представляют для нас эти символы или числа?
Ни об одном из них в отдельности ничего интересного сказать
нельзя, но между выражениями, образованными из них различ-
ными способами, возникает огромное множество порой очень
удивительных и интересных зависимостей. Выберем один из
множества примеров: возьмем произвольные числа а, Ь, с, d, e,f
и образуем из них произведения axd,bxe,cxf, которые, для
краткости, будем обозначать ad, be, cf.
Далее, найдем их сумму {ad+be + cf) , возведем ее в квадрат
(ad+be + cf)2,
а полученное таким способом число обозначим через /.
Теперь образуем квадраты тех же самых шести чисел а, Ь, с, d,
e,f т. е. а2, Ь2, с2, d2, e2,f2, образуем из них две суммы:
я2 + 62 + с2, </2 + е2+/2
и перемножим:
(д2 + 62 + с2)х(^2+^+/2).
Полученное таким способом число обозначим через т. Так
вот, относительно этих чисел можно смело утверждать, что число
/ всегда (т. е. при любых конкретных значениях а, Ь, с, d, e,f) бу-
дет меньше или равно числу т. Например, для набора чисел (а = 1,
6 = 2, с=1, d=3, е = 4, /= 1) мы получим:
axd=3, bxe = S, cxf=\,

48
Гуго Штейнгауз
arf + fo + c/=3 + 8 + 1 = 12,
(ш/ + 6е + с/)2=144,
т. е. / = 144. Для нахождения числа т вычислим требуемые значе-
ния:
а2 = \,Ь2 = 4, с2 = \,d2 = 9, е2 = 16,/2 = 1,
а2 + Ъ1 + с2 = 1 + 4 + 1 = 6,
</2 + е2+/2 = 9+16+1 = 26,
(я2 + б2 + с2) х (</2 + е2 +/2) = 6 х 26 = 156.
Таким образом, w = 156, что очевидно больше 144. Мы можем
для проверки подставить в качестве чисел а, Ь, с, d, e,f любые дру-
гие конкретные значения, но высказанное выше утверждение
остается справедливым. Математически этот факт записывается
кратко в виде:
(ad + Ъе + cff < (а2 + Ъ2 + c2)(d2 + е2 +/2)
и называется неравенством Лагранжа. Без использования буквен-
ных обозначений его было бы очень трудно выразить и записать.
В качестве еще одного примера рассмотрим два положи-
тельных и различных числа р и q. Разделим сперва р на q, потом
q на/? и сложим полученные результаты. Можно утверждать, что
сумма всегда будет больше числа 2, что соответствует буквен-
ной записи:
Ч Р
Таким образом, например, имеем 3/4 + 4/3 = 25/12 = 2 V^,
2/3+ 3/2 =13/6 = 2 V6 и т. д., что всегда дает число, большее 2.
Одной из задач математики является именно доказательство
таких утверждений. Однако доказательство не основывается на
попытках, и его нельзя заменить даже тысячами подстановок в ка-
честве чисел р и q все новых конкретных чисел. Доказательство
требует вывести общий случай неравенства plq + qlp > 2, исходя
из принципиальных свойств чисел. Когда это удается сделать, по-
лученное суждение plq + qlp>2 называют математическим утвер-

Что такое математика и на чём основан её прогресс? 49
ждением, и с этого момента наступает уверенность, что никакая
попытка не сможет опровергнуть это суждение.
Таким образом, одной из целей математики является откры-
тие и доказательство новых утверждений. Математику, которая
занимается именно этим, назовем логической или математикой
«а». Школа, как известно, в меньшей степени интересуется мате-
матикой а, так как она не требует от учеников открытия новых
утверждений, а всего лишь добивается от ученика умения вы-
брать из известных ему утверждений те, которые легче всего при-
ведут к решению конкретной задачи. Математику, которая зани-
мается решением задач, назовем математикой <ф» или вычисли-
тельной математикой. На первый взгляд может показаться, что
неравенство Лагранжа — это математическая шарада, лишенная
всякого значения. Однако оно имеет значение не только в матема-
тиках а или р, поскольку его, например, часто используют естест-
воиспытатели, когда хотят выразить зависимость двух явлений
друг от друга. Числа /и/и могут быть равны, если две серии чисел
а9 Ь9 с,... и d9 е,/,... пропорциональны (например, когда а - 2d,
b - 2е9 с = 2/). Предположим, что мы, например, каждый час из-
меряем в данном месте атмосферное давление и температуру (со-
ответственно, мы обозначаем через я, Ь, с,... значения давления, а
через d9 e9f9... — значения температуры). Если мы затем образуем
из полученных значений числа / и w, то их отношение позволит
судить о степени взаимозависимости этих двух величин. Равенст-
во / = т будет означать сильную зависимость температуры от дав-
ления, малость отношения 11т (например, 7г) будет указывать на
слабую зависимость этих параметров, а близость отношения 11т
к нулю будет доказательством того, что исследуемые величины не-
зависимы. Число 11т называется коэффициентом корреляции.
На основе того факта, что утверждения чистой математики
можно применять и к другим наукам, возникла математика «у»,
которую называют прикладной. При этом, если мы действитель-
но захотим исследовать две последовательности наблюдений
с использованием коэффициента корреляции, то мы должны нау-
читься выполнять целый ряд вычислений. Как проще и лучше
осуществлять стандартные вычислительные операции — этому

50
Гуго Штейнгауз
учит практическая математика, которую можно назвать матема-
тикой «5». Например, в случае исследования зависимости давле-
ния от температуры гораздо удобнее отсчитывать атмосферное
давление не от нуля, а, скажем, от 700 мм рт. ст. (т. е. считать дав-
ление 705 мм за 5 мм и т. д., что значительно упростит вычисле-
ния). Примерно так выглядят правила практической математики.
Неполный, односторонний взгляд на сущность математики
заключается в том, что огромное большинство людей никогда не
имеют дела с математикой, иной нежели «5». Огромное большин-
ство образованных людей не встречаются с математикой, отлич-
ной от «Р» и «5». Поэтому зададим себе вопрос: какое значение в
жизни имеет математика «а» и «у»?
Здесь достаточно привести один пример: в XVII веке Декарт
открыл аналитическую геометрию, позволившую его последова-
телям заняться так называемой проблемой касательных, т. е. зада-
чей определения положения прямой, касающейся данной кривой
линии. Из этой проблемы выросло дифференциальное и интегра-
льное исчисление Лейбница и Ньютона, что позволило Ньютону
проверить, применима ли его теория взаимного притяжения тел
к движению планет. Согласие этого движения с теорией убедило
физиков в справедливости принципов ньютоновской механики,
а применение этой механики к земным физическим явлениям по-
ложило начало современной физике. Все это стало основой совре-
менной техники, которая (главным образом благодаря небывало-
му совершенствованию средств коммуникации и замене ручного
производства машинным) повлекла за собой изменение матери-
альной культуры, изменила распределение благ, что в результате
привело к социальному расслоению, образованию новых классов,
новых политических систем, взглядов и нравов. Историк упрек-
нет нас за эти рассуждения и скажет, что к столь далеко идущим
последствиям привело не что иное, как открытие новых конти-
нентов, но эти открытия (например, географические открытия ве-
нецианцев) не имели бы особого значения без существенного
прогресса навигационного искусства, который был бы невозмо-
жен без развития астрономии и оптики, т. е. без наук, неразрывно
связанных с математикой.

Что такое математика и на чём основан её прогресс? 51
Вы спросите, как конкретно математика связана с физикой?
Что общего могут иметь между собой законы, которым подчиня-
ются числа, и законы, которым подчиняется материя? Так вот, за-
коны физики устанавливают связь между некоторыми величина-
ми, которые доступны наблюдению и измерению. Измерение
этих величин дает определенные числа, т. е. фактически мы по-
лучаем зависимости между числами. Математика учит, какие
связи между числами возникают из этих первичных зависимо-
стей, и тем самым позволяет из наблюдаемых законов физики вы-
водить (уже без наблюдения) новые законы, а затем и предсказы-
вать новые явления. Наблюдение учит, что если в замкнутом со-
суде изменять объем газа, например, сжимая его с помощью
поршня, то давление изменяется так, что произведение объема на
давление будет оставаться постоянным. Если до изменения объ-
ем был равен vo, а давление —ро, а после изменения — соответст-
венно v и/?, то v хр = vo хро- Это утверждение называется законом
Бойля. Из зависимости vp = vqPo можно вычислить, какое давле-
ние необходимо приложить для превращения данного газа в жид-
кость, если известно только то, во сколько раз плотность жидко-
сти больше плотности газа. В действительности дело осложняет-
ся тем, что на данный процесс также оказывает влияние
температура, но и это влияние тоже можно учесть математиче-
ски. Зависимость vp = vqPo сама по себе является не математиче-
ским утверждением (как, например, предложенное выше нера-
венство Лагранжа), а лишь законом физики, записанным в мате-
матической символике.
До сих пор все наши примеры имели тот недостаток, что они
не выходили за пределы четырех арифметических действий, а
арифметика—это самая элементарная часть математики. Однако
нам придется выйти за рамки элементарной математики уже при
решении некоторых весьма простых с виду задач, например, при
рассмотрении свойств окружности. Чему равна длина окружно-
сти? Из школы мы знаем, что она в 3.1415926... раз больше диа-
метра, но этот факт сам по себе мало интересен. Для его проверки
требуется измерить длину окружности, что невозможно осущест-
вить жесткой деревянной линейкой, и это приводит нас к пробле-
ме измерения длины кривых линий. Очевидно, что измеряя дугу

52
Гуго Штейнгауз
кривой линии в дециметрах, мы совершим меньшую ошибку, чем
при использовании метра, а еще лучше было бы измерять ее в сан-
тиметрах и т. д. Как же, однако, определить истинную длину?
Можно брать все меньшие меры длины и получать все большие
числа (в метрах), например, 1.9, 1.99, 1.999... Но ни одно из них
нельзя будет считать истинной длиной дуги — назовем таковой
целое число, которое больше каждого из полученных (например,
2). Определения такого рода относятся уже к сфере высшей мате-
матики. Она учит также тому, как найти и точно вычислить число
3.1415926..., называемое лудольфовым числом1 (тг). Эйлер, на-
пример, предложил следующую формулу:
/7 П I I 1
VI2 22 З2 42
Для математика «а» наиболее любопытным будет факт (до-
казанный Линдеманом из Мюнхена), что число я никогда не мо-
жет являться решением уравнения с целыми коэффициентами.
Поэтому, записав довольно замысловатое уравнение
10jc7 - 24/ + IOOjc5 - 3jc4 + 1хъ + 15jc - 365 = О,
можно заранее сказать, что число к не является его решением. Из
этого вытекает невозможность точного измерения длины окруж-
ности и площади круга с помощью циркуля и линейки — так на-
зываемая «невозможность квадратуры круга».
Даже самые простейшие явления имеют свой математиче-
ский аспект, и более глубокое их исследование порой приводит к
трудным и важным задачам. Картографам издавна известно, что
для раскраски карт на шаре достаточно 4 цветов. Иными словами,
если нужно, чтобы на глобусе каждая страна имела иной цвет, не-
жели соседняя с ней страна (или море — если страна приморская),
то для этого достаточно использовать четыре краски (при этом не
требуется, чтобы страны, граничащие только в отдельных точках,
имели разный цвет). Доказать это до сих пор никому не удалось,
Лудольф ван Цейлен (1540-1610) — нидерландский математик, вычисливший
я с 32 десятичными знаками. — Прим. перев.

Что такое математика и на чём основан её прогресс? 53
однако вместо этого доказано, что на поверхности тора (т. е. зам-
кнутой трубы) любое распределение стран требует не более 7 цве-
тов. Отсюда сразу возникает вопрос о принципиальном отличии
шара от тора. С виду этот вопрос кажется наивным, ибо они име-
ют совершенно разную поверхность, и нетрудно дать их геомет-
рические описания, которые также будут различными. Но речь
идет не об этом. Ведь каждому известно, что если говорить о рас-
краске карт, то безразлично, является ли глобус точным шаром,
или он сплющен, или лишь местами изогнут. Здесь речь идет о ка-
ких-то других «неточных формах» и различиях. Возьмем, напри-
мер, бутылку. Когда-то она была большой каплей горячего стек-
ла, висящей на конце трубки-воздуходувки работника стекольно-
го завода, из которой он мог тогда выдуть как пузатую бутылку,
так и вазу для цветов. Но без отрыва капли от трубки он не смог
бы изготовить бутылку с двумя горлышками. Способ описания и
определения формы, при котором отождествляется все, что с по-
мощью «растяжения» можно получить из одного и того же исход-
ного состояния, называется топологией. Для топологии плоский
круг и бутылка — это одно и то же. Ведь из круга путем вытягива-
ния его краев можно получить вазу, а из вазы путем вытягивания
горлышка — бутылку. Бутылка отличается от шара тем, что ее
можно разрезать, проведя сечение от одной точки края горлышка
до другой, тогда как шар таким способом разрезать не удается.
Чтобы разрезать шар, нужно будет начать и закончить сечение в
одной и той же точке, что позволит изготовить две бутылки. Та-
кая операция называется «замкнутым сечением», но ее выполне-
ние на торе не приведет к распаду тора на две части. Для распада
тора необходимо провести два замкнутых сечения.
Некоторым достаточно изложить только основы такой теории
форм, чтобы они смогли самостоятельно ее развить и вникнуть в ее
проблемы, у других же возникнет вопрос — а для чего вообще
нужна топология. Сразу можно видеть, что различные топологиче-
ские формы также принципиально отличаются и с физической точ-
ки зрения. Это различие не является количественным — очевидно,
что, например, в шаре жидкость не может находиться без разрыва
непрерывности так, чтобы все ее частицы постоянно находились
в движении, тогда как в торе подобная циркуляция возможна. Гол-

54
Гуго Штейнгауз
ландский математик Брауэр доказал, что если по поверхности шара
бегают частички без разрыва непрерывности, то всегда хотя бы
одна из них находится в покое. Для гидродинамики и для науки об
электричестве эти рассуждения имеют большое практическое зна-
чение, особенно когда распределение тока в электрической сети за-
висит от ее топологии, так как до сих пор определение оптималь-
ных размеров сети наталкивается не столько на вычислительные
трудности, сколько на чисто математические.
Размышления о картографии с иной точки зрения приводят
к другим интересным математическим теориям. Можно ли для
некоторой страны изготовить карту таким образом, чтобы грани-
ца страны выглядела как окружность? Предположим, что страна
представлена на плоскости и что мы хотим составить карту так,
чтобы соотношение (масштаб) длины на карте и в действительно-
сти в каждой точке не зависело от направления (и, следовательно,
чтобы изменение масштаба в направлении север-юг и в направле-
нии восток-запад было одним и тем же), но в то же время допуска-
ется, чтобы это соотношение было различным в разных точках
карты. При этом малые области не подвергнутся деформации, но
вся карта изменит истинную форму — а мы хотели бы, чтобы гра-
ница страны выглядела на карте в виде окружности. Эту задачу
поставил и решил Бернгард Риман, создатель топологии, столе-
тие со дня рождения которого отмечалось недавно. Принадлежа-
щий к следующему поколению берлинский ученый Г. А. Шварц
вычислил, как выглядела бы кругообразная карта квадрата. Рису-
нок показывает, как выглядели бы на кругообразной карте парал-
лели и меридианы страны в виде квадрата.

Что такое математика и на чём основан её прогресс? 55
Если теорема Римана относится к логической математике, то
расчеты Шварца относятся к математике <ф».
И снова на первый взгляд может показаться, что изготовле-
ние кругообразных карт квадратных стран является напрасной
тратой времени и энергии. Между тем оказалось, что если нарисо-
вать на плоскости линии течения жидкости (невязкой и несжима-
емой), а затем составить карту этой сети линий так, чтобы малые
участки не подвергались деформации, то изображения этих ли-
ний на карте будут снова линиями, вдоль которых жидкость мо-
жет течь при указанных условиях. Это и есть прикладная матема-
тика. Для практического использования предложенных выше
преобразований Киргхоф и Рэлей предложили методы, которые
оказались полезными в современном авиастроении и позволили,
например, описать обтекание крыла самолета набегающим пото-
ком воздуха.
Для решения этой задачи необходимо представленное на ри-
сунке поперечное сечение заменить кругом, иначе говоря — най-
ти линии течения для случая, когда воздух наталкивается на брус
круглого сечения. Вычисления здесь выполняются гораздо легче,
чем при определении линий течения сразу для обычного крыла,
имеющего всегда достаточно сложную форму. Нарисовав линии
течения воздуха, наталкивающегося на брус, мы можем получить
карту плоской области, лежащей за сечением крыла (незаштрихо-
ванной области), так чтобы граница этой области, определяемая
поперечным сечением крыла, выглядела на карте в виде круга.
Изображенные перед этим на карте линии течения воздуха явля-
ются образами истинных линий, которые теперь можно (зная
связь между областью и картой) нарисовать в области снаружи
крыла. Здесь мы имеем, как и во всей аэродинамике, пример при-

56
Гуго Штейнгауз
кладной математики, а если бы мы действительно для данного
крыла определили линии течения воздуха и затем вычислили
силу его давления, то это был бы прекрасный пример практиче-
ской математики. Все это относится уже к области высшей мате-
матики. Поучительным примером прикладной математики явля-
ется геометрическая оптика. Опыт показывает, что лучи света в
каждом оптическом приборе распространяются так, чтобы время
их движения от одной точки до другой было по возможности наи-
меньшим. На этом основании можно применить геометрию к по-
строению оптических приборов и предсказать правила распро-
странения в них лучей света. Можно даже заранее определить,
как надо шлифовать стекла и зеркала, чтобы получить требуемый
эффект. Для линзы (с фокусным расстоянием/) геометрическая
оптика позволяет получить следующую простую формулу:
I 1=1
а+Ъ~f'
где а — расстояние от предмета до линзы, а Ъ — расстояние до
изображения. Эта формула очень проста и позволяет легко вычис-
лять/ по известным значениям а и Ъ. Однако, если кому-то на пред-
приятии, изготовляющем линзы, необходимо несколько десятков
раз производить такие вычисления, то ему следует прибегнуть к
методикам прикладной математики. Дело в том, что любую из трех
величин/ а и Ъ (при двух известных) можно найти без вычислений,
пользуясь тремя простыми шкалами, расположенными под углом
60° друг к другу. Если приложить к таким шкалам нить, проходя-
щую через две заданные точки (как показано на рисунке), то по за-
данным числам а и Ъ (илиУ) можно сразу определить/(или, соот-
ветственно, Ь). Графические приемы подобного рода являются за-
слугой современного французского математика д'Окань.
Нескольких таких примеров математического мышления
достаточно для того, чтобы показать, хотя бы в самых общих
чертах, чем является математика. В них также скрывается часть
ответов на вопрос, развивается ли математика, и если да — то на
чем основан этот прогресс. Возвращаясь к шутке о математиках,
доказывающих нелепости типа «2x2 = 5», можно сказать, что ее
истоки лежат в следующем, довольно распространенном мне-

Что такое математика и на чём основан её прогресс? 57
/
-1-12
+11
нии: наука, в которой нет разногласий, не может развиваться. За-
коны и истины математики утвердились в течение тысячелетий
(действительно, трудно оспорить, что законы арифметики были
установлены уже много веков назад), но в отсутствие полемики
нет научных дискуссий или спорных вопросов, а без этого науке
нечего исследовать и она не имеет внутренних стимулов для раз-
вития. На самом деле такое мнение ошибочно, так как в математи-
ке существует некоторая отчетливо выраженная граница между
тем, что известно, и тем, что неизвестно. Например, известно, что
число 2 +1 не является неделимым, ибо можно доказать, что оно
делится без остатка на 3. В то же время неизвестно, делится ли
212
число 2 +1 на какое-то другое, или нет. Если завтра кто-то дока-
жет, что это число делится (например, на 257), он совершит реши-
тельный переворот в арифметике. Но ни сегодня, ни завтра не бу-
212
дет никакой дискуссии по поводу того, является ли число 2+1
делимым, или нет. Сегодня никто из математиков не выскажется
за делимость этого числа или против этого (такое мнение он дол-
жен был бы назвать не научным тезисом, а не поддающимся дока-
зательству предположением). Откуда же тогда берется настойчи-
вое мнение о необходимости полемики? Его источник — в естест-
венных науках, где оперируют экспериментальными данными.
Чтобы доказать прямолинейность распространения света (при
любых переходах между двумя точками), были проведены тыся-
чи экспериментов в разных условиях, которые всегда давали

58
Гуго Штейнгауз
именно этот, положительный результат. Но при этом не были об-
наружены некоторые иные факты (например, возникновение ин-
терференционных полос), для регистрации которых нужны были
более совершенные приборы и более точные наблюдения, что
стало возможным только в новое время, после Ньютона. После
этого на противоположную чашу весов начал ложиться один факт
за другим, и оказалось, что луч света при определенных условиях
может искривляться. В истории физики был момент, когда таких
фактов было немного, и тогда, естественно, возникла и стала воз-
можной полемика (сторонники прямолинейного распростране-
ния света сомневались в точности новых наблюдений, объясняли
появление полос иным способом и т. п.), но в конечном счете чис-
ло опытов с отрицательными результатами оказалось настолько
большим, что чаша весов перевесила.
Ничего подобного не может произойти в математике. Здесь
не накапливаются факты, здесь нет естественной индукции. До-
статочно одного аргумента, чтобы утверждение было верным, а
если же аргументов не хватает, то ничего не значат тысячи дово-
дов в защиту утверждения. Если кто-нибудь попробует делить
212
число 2 +1 на все числа от 2 до 10 000 и докажет, что ни одно из
них не умещается без остатка в числе 2 +1, то это еще не будет
212
говорить о том, что 2 +1 есть число «простое», т. е. вообще не
делится ни на одно число.
О прогрессе в области арифметики я не говорил, потому что
этот вопрос подробно излагается в специальной лекции проф. Ру-
зевича.
Что касается алгебраических уравнений, то наиболее порази-
тельного успеха здесь достигли в начале XIX века Руффини,
Абель и Галуа, доказавшие, что уравнение 5-го порядка не может
быть решено в общем виде (как это свойственно уравнениям низ-
ших порядков) даже с помощью формул, требующих выполнения
4-х арифметических действий и извлечения корня в соответству-
ющей последовательности. Здесь надо сказать несколько слов о
роли и природе негативных утверждений. Когда профан узнает,
что не существует конструктивного способа деления любого угла

Что такое математика и на чём основан её прогресс? 59
на три равные части, это вызывает у него принципиальные сомне-
ния. Он может вспомнить, например, что невозможность полета с
помощью механических средств неоднократно доказывалась са-
мыми серьезными учеными, до тех пор, пока несогласный с их до-
водами изобретатель не взлетел на первом аэроплане. Но такая
аналогия совершенно неуместна, ибо (как я говорил чуть выше)
утверждения физики основаны на индуктивных умозаключениях,
которые могут быть опровергнуты новыми фактами и факторами.
В авиации таким новым фактором стал легкий бензиновый мотор.
Зато утверждение о невозможности трисекции угла является ло-
гическим следствием аксиом евклидовой геометрии. Разумеется,
оно относится к построениям, выполняемым с помощью жестких
циркулей и линеек, или даже с помощью любых других инстру-
ментов, свойства которых ограничены аксиомами Евклида.
В физике может возникать целый класс новых задач. Погру-
жая в мыльную пену согнутую в кольцо проволоку, мы получим
на ней мыльную пленку. Физика свидетельствует о том, что обра-
зующаяся на кольце поверхность имеет минимально возможную
площадь. Желание математически описать это явление и обосно-
вать образование поверхности с наименьшей площадью приводит
нас к так называемым «дифференциальным уравнениям в част-
ных производных», представляющим большой интерес для мате-
матической физики. Этими «минимальными» поверхностями за-
нимались уже цитированные Риман и Шварц, а также многие их
последователи (вплоть до настоящего времени), но никто из них
не смог доказать наличие минимальной площади для всех форм.
Сомнение такого рода вначале представляется нелепым: во-пер-
вых, минимальная поверхность существует (поскольку ее реаль-
но образует мыльная пленка), а во-вторых, из всех поверхностей,
натянутых на один контур, одна должна быть наименьшей. Оба
аргумента не являются достаточными для современной матема-
тики. Доказательство, основанное на физическом эксперименте,
является спорным и подлежит критике. Аргумент, базирующийся
на том, что среди всех поверхностей одна является наименьшей,
содержит скрытую ошибку (подмеченную еще Вейерштрассом
в 70-х годах XIX века), связанную с тем, что не всегда из данного
множества чисел одно является наименьшим. Например, среди

60
Гуго Штейнгауз
кривых, соединяющих две точки А и В, нет кратчайшей, ибо крат-
чайшим расстоянием между этими точками является отрезок пря-
мой АВ, не относящийся к кривым линиям. Поэтому современная
математика в большинстве случаев пытается прежде всего дока-
зать существование решения, и только после этого принимается
за вычисление этого решения. Иногда оказывается, что решения
не существует — и не в том смысле, что оно не может существо-
вать, а просто потому, что мы не умеем его найти.
Без систематического, многолетнего обучения трудно углу-
биться в этот лес задач и решений, однако можно надеяться, что
приведенные рассуждения облегчат понимание того, на чем осно-
ван тот математический метод, который (будучи насквозь логич-
ным) преобладает над логикой бесконечного разнообразия поня-
тий, теорем и задач.

О математической строгости
В номере 5 (49) Matematyka за 1957 г. на стр. 13-18 появился
перевод статьи, опубликованной в мае 1957 г. в журнале
UEcole du Grand Paris, Автором оригинала является профессор
Сорбонны Лоран Шварц, а перевод озаглавлен «Tendencje mate-
matyki wspoiczesnej» (Тенденции современной математики). Мы
обращаемся сегодня к читателям Matematyka, которые благодаря
этому переводу имели возможность познакомиться с взглядами
парижского математика, потому что считаем эти взгляды одно-
сторонними и вызывающими серьезные возражения. Я боюсь,
что большинство польских математиков разделяют эти взгляды, и
поэтому мое молчание могло бы выглядеть как одобрение и^ей
Шварца..
Автор статьи является выдающимся ученым, о чем в извест-
ной мере свидетельствует его адрес. Сорбонна, Коллеж де Франс,
Политехническое училище и другие крупнейшие парижские
учебные заведения имеют прекрасные математические традиции
и помнят о них. В номере 6 (50) Matematyka (стр. 12-24) Казимеж
Войцеховский пишет о великих математиках после Ньютона, сре-
ди которых много французов. Даламбер, Лагранж, Лаплас и
Коши — эти четверо (последний из которых умер в 1857 г.) вмес-
те с плеядой других упрочили традиции французской математи-
ки, которые затем (после короткой депрессии во время правления
Наполеона III) подхватили Эрмит, Дарбу, Пуанкаре, Борель, Ада-
мар и Лебег. Эти два поколения соединили настоящее с прошлым,
так что при каждом назначении на должность какой-либо из па-
рижских кафедр ученый мир Франции невольно должен сравни-
вать новых кандидатов с этими гениями нашей науки. Сравнения

62
Гуго Штейнгауз
напрашиваются и у нас, читателей статьи о «тенденциях совре-
менной математики», но по иным причинам. Дело в том, что ав-
тор во вступлении сразу же заявляет, что «сегодня математика
стала независимой наукой и, как кажется, окончательно отказа-
лась от подходов, похожих на методы экспериментальной физи-
ки, которые были свойственны ей до недавних пор». С другой сто-
роны, перед соответствующим текстом, предшествующим изложе-
нию материала, мы читаем, что «математика — это наиболее
абстрактная наука и одновременно наиболее независимая от внеш-
него мира и текущей жизни, а поэтому практически невозможно
рассказывать нематематикам о современной математике...».
Доверившись тезисам профессора Шварца, можно прийти
к заключению, что только современная математика полностью за-
служивает этого названия, вчерашняя — наполовину, а математи-
ков, портреты которых украшают последний выпуск ежегодника
Matematyka (1957 г.), откровенно следует лишить этого звания
(подобно тому, как нельзя алхимиков называть химиками, а аст-
рологов — астрономами). Действительно ли дело обстоит именно
так? Не подвергается ли автор самообману (характерному для
многих специалистов, особенно в области точных наук), который
называется отсутствием исторической перспективы и основан на
преувеличении современности по сравнению с прошлым? Боль-
шинство читателей Matematyka занимаются обучением элемен-
тарной математике, так что если они будут пользоваться совре-
менными методами (которые, по мнению профессора Шварца, и
делают из этого предмета истинную математику), то она не станет
понятнее их ученикам, так как последние не являются математи-
ками и, следовательно, «им практически невозможно» объяснить
истинную математику. Если же они учат математике на примерах
и полагаются на интуицию и на опыт, то сами перестают быть ма-
тематиками и становятся учителями физики. Что же касается
того, что экспериментальная физика и другие подобные науки
принципиально отличаются от математики, то в этом каждый со-
гласится с уважаемым автором статьи. Действительно, если
кто-то выведет теорему Пифагора путем измерения катетов пря-
моугольного треугольника с помощью линейки и (после большо-
го числа таких измерений) начнет утверждать, что сумма квадра-

О математической строгости
63
тов катетов дает квадрат гипотенузы с погрешностью 0.3%, то это
и означает, что он занимался экспериментальной физикой (как в
отношении метода, так и результата). Но наш автор рассуждает не
об этом, а доказывает, что существовавшая с древности и до на-
ших дней геометрия всего лишь считается точным методом, но не
является таковым, поскольку геометры всегда пытались найти
правду о геометрических объектах по некоторым наглядным
свойствам этих объектов. А ведь еще греческие гении Пифагор,
Платон и Евклид решительно отклонили попытки эксперимен-
тального поиска геометрической истины, которую они считали в
высшей степени объективной, в противоположность всему, что
говорят о мире наши ощущения, подвластные иллюзиям и ежеми-
нутно показывающие каждому все новый образ этого мира...
Впрочем, что может быть лучшим «алиби» в этом споре, нежели
факт, что никто из этих мнимых «физиков-экспериментаторов»
не открыл ничего в физике? Таким образом, мы должны задаться
вопросом, что же в их дедуктивном методе поразило профессора
Шварца.
Желая понять, о какой строгости идет речь, обратимся к той
эпохе, которую автор считает наиболее критичной, а именно к по-
следним годам XIX века. До 1892 года считалось очевидным, что
плоская замкнутая и непересекающаяся кривая делит плоскость
на две области так, что всякая непрерывная дуга, соединяющая
точку, лежащую в одной из этих областей, с точкой в другой обла-
сти, должна пересекать эту кривую. Лишь в 1892 г. Камилл Жор-
дан (профессор Политехнического училища и, следовательно,
также парижский математик) заметил, что это свойство замк-
нутых кривых является особым утверждением и поэтому нужда-
ется в доказательстве. Его собственное доказательство, однако,
содержало изъян, и только в 1902 г. Веблен внес дополнения в
рассуждения Жордана. Для профессора Шварца предшественни-
ки Жордана, которые не задумываясь писали «пусть С — произ-
вольная замкнутая кривая, а V — область внутри кривой С», не
были математиками (поскольку они непосредственно из очевид-
ных свойств обычной замкнутой кривой делали вывод о сущест-
вовании области V), но зато математиком был именно Веблен. То,
что Шварц называет строгостью, пожалуй, берет начало от Гиль-

64
Гуго Штейнгауз
берта, который запретил усматривать в геометрических понятиях
(таких как «точка» или «прямая», а также в отношениях типа
«точка Р лежит на прямой») какой-либо смысл кроме того, кото-
рый четко сформулирован в аксиомах и определениях. Начиная
с работы Гильберта Grundlagen der Geometrie (Основы геомет-
рии), стало анахронизмом связывать с названиями «точка», «пря-
мая», «плоскость» и т. п. некие свойства, которые пытаются оха-
рактеризовать рисунок или пространственное воображение, а на-
рушители этого запрета, по-видимому, «перестали быть
математиками в современном значении этого слова». Но у Гиль-
берта были предшественники. Уже в середине XIX века, т. е. за 50
лет до появления Основ геометрии Гильберта, Риман исследовал
гипотезы, на которых основана геометрия, в сочинениях, содер-
жащих зародыши релятивистской теории пространства и време-
ни, т. е. мысли, явно высказанные лишь в начале нашего столетия
Альбертом Эйнштейном. В открытии неевклидовой геометрии
Римана на четверть века опередили Лобачевский и Бойяи-млад-
ший, а из писем Гаусса вытекает, что эти идеи не были чужды и
ему. Желая понять существование разных геометрий, следует
смириться с предположением о наличии разных аксиоматических
систем, каждая из которых сама не определена точно, но и не со-
вместима с иными системами. Если бы предшественники Гиль-
берта были уверены лишь в существовании «истинного» геомет-
рического пространства и не задумывались о свойствах точек,
прямых и плоскостей этого пространства (и о том, что эти свойст-
ва необходимо изучать, а не вводить безапелляционно посредст-
вом декретов, называемых аксиомами и лишенных материально-
го значения!), то они бы никогда не открыли геометрий, отлич-
ных от евклидовой.
Предоставим слово профессору Шварцу! На стр. 14 цитируе-
мой статьи он ясно формулирует, о чем идет речь: «...математик
вначале обязан принять некоторое количество аксиом, в извест-
ной степени представляющих правила игры, которыми он будет
пользоваться; из этих аксиом математик выводит теоремы, кото-
рые доказывает строгим методом. Так, шахматист сначала уста-
навливает правила игры, весьма произвольные и не поддающиеся
доказательству, и, только приняв их, может правильно разыграть

О математической строгости
65
партию...». Разве так поступал Евклид, праотец всех геометров?
В Истории точных наук (W. С. Dampier, History of Science, Camb-
ridge, 1949, с. 40) читаем: «Евклид из Александрии (около 300 лет
до Р. X.) собрал, развил и систематизировал существующие зна-
ния (геометрические). Из немногих аксиом, признанных очевид-
ными свойствами пространства, он на логических основаниях вы-
вел необыкновенный ряд теорем способом, который до новейших
времен остался единственным признанным методом». И неудиви-
тельно, что до конца XIX века в английских школах элементар-
ную геометрию называли просто «Евклид». В начале своей книги
александрийский мудрец установил «правила игры» и последова-
тельно придерживался их: почему же он в глазах профессора
Шварца не заслужил милости и права называться математиком?
Прочитаем еще раз мнение сэра Уильяма Дампира о произведе-
нии Евклида: «...Из немногих аксиом, признанных очевидны-
ми свойствами пространства...» — далее не читаем, поскольку
этих нескольких слов достаточно для дисквалификации одного из
величайших ученых. Евклид верил, что идеальным прямым и точ-
кам, о которых говорится в его аксиомах, отвечает нечто реаль-
ное. Если бы он знал, что ему дозволено подбирать, изменять, со-
здавать и перечеркивать аксиомы, то он, вероятно, бросил бы нау-
ку как забаву, недостойную философа, — но на свое счастье он не
дожил до эпохи Бельтрами и Гильберта. Точно так же и Коперник
испытал бы моральный крах, если бы дождался эксперимента
Майкельсона1, результат которого заставил бы его признать, что
Земля не вращается вокруг Солнца. Такие парадоксы, по-видимо-
му, подстерегают каждого, кто пренебрегает основами историче-
ской перспективы. Геометрия в переводе с греческого означает
«измерение Земли», и это первоначальное значение выражения
далеко от всякой игры, даже от игры в шахматы или от игры в ма-
тематические доказательства.
Но математика не ограничивается только геометрией. Евклид
доказал, что существует бесконечно много простых чисел. Никто
1 Альберт Майкельсон экспериментально доказал, что движение Земли вокруг
Солнца нельзя подтвердить путем сравнения скорости света в направлении
этого движения со скоростью в противоположном направлении. — Прим. ав-
тора.

66
Гуго Штейнгауз
в этом утверждении не сомневается, и по сегодняшний день мож-
но пользоваться оригинальным доказательством Евклида. Про-
фессор Шварц, вероятно, упрекнул бы это доказательство в том,
что в нем проявляется замаскированная математическая индук-
ция, но неосознание этой аксиомы никогда никого не привело к
ошибочным суждениям. Незнание системы аксиом, определяю-
щих круг натуральных чисел, не повредило ни древним, ни Фер-
ма, но такую систему представил Дж. Пеано только в конце XIX
века. Знаменитые исследователи теории чисел Дирихле и Гаусс
не могли доказать, что а + Ъ = Ъ + а для всех натуральных а и b
(поскольку не знали ни этой системы, ни какой-либо другой). Для
них закон перестановки мест слагаемых был естественным свой-
ством конечных множеств, и это никак не сказалось на их всемир-
но-исторических работах. Итак, что же представляет собой стро-
гость, ставшая как бы философским камнем современной матема-
тики? Не будем пренебрежительно относиться к строгости!
Сколько раз легкомысленное игнорирование сомнительных дета-
лей в конструкции доказательств математиком, полагающимся на
интуицию, приводило к совершенно ошибочным результатам!
Сколь часто легкие на вид дополнительные звенья логической
цепи не удается ничем заменить, если ложным является исходный
тезис! Умение формулировать истинные утверждения прежде,
чем найдутся их доказательства, является исключительной при-
вилегией самых крупных представителей нашего цеха, но и они
не злоупотребляют этим правом, а подвергают свои предположе-
ния неоднократной и тщательной проверке.
Математическая строгость, как ее понимает профессор
Шварц, несомненно, является достижением нашего времени и
подобна тем открытиям, которыми гордятся другие науки, на-
пример биология (и, в частности, ее ветвь, называемая биохи-
мией). В качестве примера можно привести следующие факты.
Происходящие в живом организме химические превращения
давно считались специфическими, принципиально отличными
от тех, которые происходят в неживой материи. Хотя уже 130
лет назад были получены синтетический этиловый спирт (Хен-
нелл) и мочевина (Вёлер), однако огромная химическая слож-
ность живых существ в сравнении со скудностью явлений, кото-

О математической строгости
67
рые можно осуществить in vitro (т. е. в пробирке, заполненной
стерильным веществом), вплоть до XX века поддерживала веру
в дуализм химии. Сейчас трудно определить день и час, когда
эта вера уступила место убеждению, что есть только одна химия,
ибо на протяжении сотен лет появлялись философии, провозгла-
шавшие единство материи. Так было и со становлением матема-
тики, но здесь эволюция началась уже в древности. Греческая
математика в отношении строгости была недосягаема вплоть до
XIX века. Известные открытия второй половины XVII века, по-
ложившие начало так называемой высшей математике, отнюдь
не сводились к установлению основных положений и освобож-
дению методов от неточностей. Никто не ощущал такой потреб-
ности, так как в унаследованной от древних греков элементар-
ной математике не встречал никаких противоречий. Последова-
тели Евклида (Декарт, Лейбниц, Ньютон, Гюйгенс, а также
братья Ян и Якоб Бернулли) своими гениальными идеями были
обязаны знаниям, почерпнутым из книги, которая лежала откры-
той перед каждым. Название этой книги — ДЕЙСТВИТЕЛЬ-
НОСТЬ, но ее язык понимали только избранные. Именно склон-
ный к строгой логике Лейбниц ввел опасную для математики не-
строгость через понятие дифференциалов или бесконечно
малых чисел. Парадоксы, связанные с этими числами (а также
с нахождением сумм бесконечных рядов), перестали беспокоить
ученых только во второй половине XIX века. Ньютон не был оза-
бочен проблемой строгости при создании дифференциального и
интегрального исчислений. Он и его последователи получили
результаты огромной важности в области дифференциальной
геометрии, анализа, а также механики твердых и жидких тел, од-
нако все эти ученые не заботились об упрочении основных поло-
жений математики (подобно тому, как первооткрыватели неиз-
вестных ранее континентов не задумывались над подбором на-
званий). Своим ученикам, которые не могли понять основ
исчисления бесконечно малых, Лагранж говорил: «Смело впе-
ред — разберетесь позже!» Его собственные попытки создания
нового исчисления были неудачными, но уже Коши умел абсо-
лютно правильно оперировать понятиями границы и сходимо-
сти, а Риман ввел определенный интеграл и современное поня-

68
Гуго Штейнгауз
тие функции (определяемой каким-либо упорядоченным набо-
ром чисел у и х) и порвал с неясной концепцией «формулы».
Сегодня кажется чрезвычайно удивительным, что эти ученые
(великие и в созидании, и в критике) совершенно не ощущали
потребности строгого определения понятия вещественного чис-
ла. Вскоре после Римана засверкал Вейерштрасс (которого и до
наших дней никто не превзошел в строгости), и именно он пер-
вым доказал, что непрерывная функция, которая нигде не обра-
щается в нуль, везде должна иметь один и тот же знак. Но лишь в
1888 году Дедекинд предложил современную теорию вещест-
венных чисел. Сегодня эти открытия толкуются в обратной по-
следовательности: от работ Дедекинда через теорему Вейершт-
расса до интеграла Римана и равномерной сходимости Коши.
Каким образом историк математики может установить тот пере-
ломный момент, когда математика вдруг и сразу перестала быть
чем-то «вроде экспериментальной физики» и превратилась в
игру по установленным правилам, смысл которых доступен то-
лько узкому кругу посвященных?
Посвященным известен источник строгости, на котором вид-
на надпись БУРБАКИ. Это собирательный псевдоним несколь-
ких французских математиков, которые разрабатывают матема-
тический анализ с таких систематических позиций, чтобы он
удовлетворял требованиям современной строгости, на которые
указывает нам профессор Шварц в статье о тенденциях современ-
ной математики. Этот светский орден с достойной восхищения
настойчивостью и последовательностью в течение многих лет
подкладывает под здание современной математики кирпичик по
кирпичику... и такое мнение не является стилистическим недо-
смотром: здание стоит, а они день за днем кладут его фундамент!
И это неудивительно — так происходит с каждой наукой; только
тогда, когда готово уже несколько этажей и когда они уже обитае-
мы, архитекторы начинают думать о фундаментах. Сегодня мно-
гие исследователи ссылаются на изданные книги Николя Бурба-
ки. Один из них недавно пожаловался мне, что поиск чего-либо в
этом кодексе является очень тяжелым, так как требует отступле-
ний от текста и проверки определений, которые совершенно не
соответствуют терминологии, принятой в классическом анализе.

О математической строгости
69
Нет сомнения, что г-н Николя доживет до момента, когда его кни-
ги войдут под крыши даже самых малых математических хат и во-
все не потому, что я доверяю его знаниям и настойчивости, а в
большей степени потому, что верю в здравые основы классиче-
ского анализа, раз они так долго выстояли без фундамента... Но
профессор Шварц не ограничивается требованием полной и чет-
кой кодификации математики. Он кроме того провозглашает по-
стулат творческой свободы: каждая система аксиом хороша, каж-
дая определяет свою игру — надо только выбрать для себя пред-
ставляющую интерес игру и разыгрывать увлекательную партию,
и тогда вы будете настоящим математиком! Сравнение математи-
ки с шахматами, которое профессор Шварц употребляет в под-
держку своего тезиса, таит опасность для него самого хотя бы по-
тому, что в соответствии с его тезисом оно не является ни сравне-
нием, ни риторической аналогией, а всего лишь достоверным
примером. Действительно, правила игры в шахматы не являются
точно определенной системой аксиом, и каждый эндшпиль (на-
пример, пятиходовку) можно рассматривать как математическую
проблему (в смысле проф. Шварца), а ее решение — как доказате-
льство утверждения, что данная позиция действительно пятихо-
довка. Решение означает фактически, что для белых существует
способ игры, при котором (независимо от поведения черных) на
пятом ходу существует ход, ведущий к выигрышу, и не существу-
ет способа игры для черных, который (независимо от поведения
белых) позволил бы черным продолжить игру до их пятого хода.
Справедливость этого определения заставила бы считать всех со-
ставителей шахматных окончаний талантливыми математиками в
понимании профессора Шварца. Как известно, математической
теории шахмат нельзя отказать ни в эстетических качествах, ни в
одобрении в историческом плане, как, впрочем, нельзя оспари-
вать, что эта игра весьма интересна и имеет довольно много при-
верженцев во всем мире. Ее строгость безупречна, и никто никог-
да не пытался утверждать, что в каждом начальном положении
король и ладья имеют гарантированное преимущество против од-
ного короля согласно очевидным свойствам фигур (т. е. согласно
их форме и материалу) и, следовательно, чдесь нет никакого следа
«экспериментальной физики». Недостатком шахмат можно счи-

70
Гуго Штейнгауз
тать лишь то, что о них можно говорить или шутить среди людей,
даже не знакомых с этой игрой и не видящих в ней ничего эзоте-
рического, однако и этот недостаток может обернуться преиму-
ществом для профессора Шварца (если он считает невразуми-
тельность естественной особенностью математики, то мне не хо-
чется его в этом упрекать). Но каждый знает, что научная
ценность красивейшего окончания шахматной партии — это ни-
что по сравнению с простейшей теоремой элементарной геомет-
рии, потому что игра под названием геометрия старше человека с
окружающим его миром, и каждая победа в этой игре имеет не-
преходящее значение для рода человеческого.
Недавно вторым изданием вышел первый том превосходной
книги У. Феллера {Introduction to Probability, vol. I, 2nd ed., New
York, 1957)"". Вот что мы читаем буквально во втором предложе-
нии этого Введения в теорию вероятностей: «В каждой области
надо стараться различать три аспекта теории: (а) формальную
логическую сущность, (б) интуитивную основу и (в) примене-
ние». Мне кажется, что последователи профессора Шварца сво-
дят математику только к одному из этих трех аспектов, а именно
к логической сущности. При специализации каждый предмет
имеет отдельного эксперта — в вопросах строгости экспертами
являются логики. Тот, кто имел дело с современными логиками,
знает, что они стараются отличать то, что можно высказать на
языке, термины которого определены через систему аксиом, от
высказываний о самой этой системе. Эти суждения не принадле-
жат исходной системе, и относящаяся к ней теория не несет за
нее ответственность. Поэтому и наши взгляды на геометрию, и
мысли о ней проф. Шварца находятся вне границ геометрии и не
требуют математического обоснования или одобрения. К пред-
метам, находящимся вне данной системы (т. е. вне формализо-
ванной математической теории), прежде всего следует отнести
тот предмет теории, о котором система ничего не говорит. Г-н
Л. Шварц не интересуется предметом математики, а еще ме-
нее — ее интуитивной основой и применением, которые Феллер
1 Имеется перевод на русский язык: В. Феллер. Введение в теорию вероятностей
и ее приложения. — М : Мир, 1983. — Прим. перев.

О математической строгости
71
считает равноправными с формальной конструкцией математи-
ческих теорий. Историческое развитие математики подтвержда-
ет первенство предмета: прямые, точки и плоскости существова-
ли и до геометрии, но это не те прямые, точки и плоскости, о ко-
торых размышлял Гильберт, а реальные вещи (те, которые
учитель показывает ученикам как ребра, углы и грани модели из
дерева или стекла). Именно они являются предметом геометрии
и имеют примат перед теорией, точно так же, как розы перед бо-
таникой и звезды перед астрономией. Интуитивной основой гео-
метрии является естественное знание об этих моделях, частично
полученное в раннем детстве путем непосредственного контак-
та с ними или подобными им вещами, а частично унаследован-
ное, т. е. врожденное. Благодаря этому теория, т. е. евклидова
геометрия, применима к геодезии, проведению границ и ориен-
тации на суше и на море (здесь указаны только старейшие при-
менения). Современная геометрия способна создавать иные тео-
рии, последовательные и непротиворечивые, но далекие от ин-
туитивной основы, а также от всяких применений (разве что мы
назовем применениями факт использования этих теорий в дру-
гих, столь же искусственных теориях). Передо мной лежит про-
спект немецкого издательства Springer, рекомендующий книгу
японского математика Фумитомо Маеда — из предисловия вы-
текает, что он создал бесконечномерную геометрию, аналогич-
ную обычной проекционной геометрии, но лишенную прямых и
точек. Я вовсе не думаю ограничивать математику: если легко
играть в шахматы, то трудно запретить заниматься геометрией,
в которой нет точек и прямых. Иногда такие теории имеют эсте-
тическую ценность, но г-н Шварц прав в том, что невозможно
растолковать их кому-либо, кто не принадлежит к небольшой
группе посвященных.
Совсем по-другому, однако, появляются открытия непрехо-
дящего значения. Как появилась топология? Листинг (1847 г.)
заметил, что резиновая трубка с тонкими стенками отличается
от тонкого квадратного куска резины существеннее, чем этот ку-
сок от кружка, потому что квадратный кусок можно растянуть и
получить круг, но при попытке сделать квадрат из трубки нам
пришлось бы разрезать се по длине. Это наблюдение положило

72
Гуго Штейнгауз
начало новой классификации геометрических тел. Идя по этому
пути, Листинг (1858 г.) обнаружил новые объекты или предме-
ты, до того остававшиеся незамеченными, например, так назы-
ваемую ленту Мёбиуса1. Он ввязался в эти исследования, но ему
даже не пришло в голову, что он обязан начать с системы аксиом
этой новой геометрии. Топология стала полезной задолго до
того, когда ее «придумали»: например, в науке о движении пла-
нет она позволила доказать существование замкнутых орбит,
что до того было неразрешенной задачей. Одновременно Риман
сумел наглядно доказать некоторые явления в теории функций
комплексного переменного, которые трудно было понять без из-
готовления бумажных моделей, состоящих из нарезанных карто-
чек и сшитых крест-накрест вдоль разреза. Многозначные функ-
ции, такие как 4z, были известны раньше, чем эти бумажные по-
верхности Римана, но только спустя несколько десятилетий после
его смерти Г. Вейль предпринял попытку строгого определения
этих поверхностей.
А как поступает автор статьи о тенденциях современной мате-
матики, когда сам ищет что-то новое? В математических кругах он
получил признание за теорию распределений, которая позволила
обобщить понятие производной и, следовательно, обобщить в фи-
зике понятия плотности массы и скорости движения. Это стало су-
щественным достижением, например, для описания движения час-
тиц суспензии (так называемое броуновское движение, по имени
Р. Броуна). В принятой ранее теории такие частицы двигались по
траекториям, каждый отрезок которых был бесконечно длинным,
хотя частица и проходила его за конечное время. Это не позволяло
рассматривать скорость частиц в обычном смысле, но недавно мо-
лодой польский математик Урбаник показал, как можно объяснить
этот парадокс с помощью распределений Шварца. Из этого приме-
ра видно, что сам профессор Шварц (как и каждый истинный мате-
матик) умеет ставить перед собой естественные вопросы (т. е. во-
просы, которые задает природа или которые нам оставили в на-
следство великие предшественники), а не пытается играть в
какую-то довольно замысловатую игру неизвестно против кого...
1 Мёбиус открыл ее одновременно с Листингом.

О математической строгости
73
Роль строгости в современных математических исследовани-
ях можно сравнить с асептикой в хирургии. Хотя сегодня ни один
хирург не захочет оперировать иначе, было бы смешно утверж-
дать, что якобы раньше (т. е. до того, как благодаря открытию Па-
стера была обнаружена причина высокой смертности пациентов)
вообще не было мастеров скальпеля, достойных этого звания. По-
скольку асептика не является прерогативой хирурга, а, подобно
строгости в математике, есть только одна из гарантий успеха, то
сама цель процедуры и ее характер определяются иными взгляда-
ми, далекими от асептики, а забота о ней поручается сегодня опе-
ратору обслуживающего персонала.
Очень многие математики обращаются к критерию эстетич-
ности: эта теория красива — и это основание, чтобы ею занимать-
ся! Красивым, однако, является понятное и достаточно распро-
страненное (чтобы оно могло быть применено к известным, а не
ad hoc, т. е. специально сотворенным примерам), а вместе с тем
не обыденное до тривиальности. Чувство меры имеет естествен-
ное объяснение, продиктованное природой, поскольку именно
природа подсказала Евклиду его геометрию. Нетрудно привести
и другие примеры — что может быть более естественным, чем со-
зданная Понселе проекционная геометрия! Но красивы не только
эти теории — никто не отрицает красоты теории Галуа, которая
разрешила проблему решения алгебраических уравнений. Она
возникла на основе тщетных усилий решить уравнение пятой сте-
пени теми способами, которые были достаточными в случае урав-
нений низших степеней. Такие уравнения появились очень давно
в результате возвращения к многочленам, которые в свою оче-
редь возникли как естественный продукт арифметических дейст-
вий... Разумеется, я не ссылаюсь ни на несуществующий абсо-
лютный критерий красоты, ни также на какую-либо объективную
концепцию «природы», а хочу только напомнить, что субъектив-
ные критерии, выработанные на основе этих понятий, сильнее
влияют на ход математических исследований, чем принцип безу-
пречной строгости.
Эти примеры связаны с темой дискуссии, так как они напоми-
нают нам, что математика никогда не дается готовой, что отдель-
ные ее направления растут и развиваются, а другие отмирают.

74
Гуго Штейнгауз
Математика является органичным продуктом народов и сооб-
ществ, а не только творением индивидуального каприза, в соот-
ветствии с советом «установить произвольные правила игры, а за-
тем играть, соблюдая эти правила». Грех профессора Шварца со-
стоит не только в том, о чем я уже говорил, но и в том, о чем я
умолчал. Дело в том, что математика является таким же органич-
ным творением, как речь, ремесло, музыка или земледелие (ана-
логия простирается настолько далеко, что историк О. Шпенглер
без колебаний приписал каждой культуре свою математику, как
если бы это была отдельная наука...). Органичные творения появ-
ляются в соответствии с биогенетическим законом Геккеля, т. е.
эволюция индивидуума переходит в эволюцию вида. Отсюда вы-
текает невозможность обучения математике но работам Николя
Бурбаки, потому что ученики лишены способности познания той
математики, которая представляет собой «нечто вроде экспери-
ментальной физики», и поэтому преподаватели обязаны указы-
вать одной рукой в уже пройденное прошлое, а другой — в еще
неизвестное будущее...
Взгляды профессора Шварца не новы. Моему поколению они
известны уже полвека, и они нанесли большой вред. Многие по-
льские математики поверили в то, что строгость является фило-
софским камнем математики только потому, что ни физика, ни ес-
тественные науки не могут мечтать о такой строгости, и презрите-
льно отстранились от этих наук, в результате чего философский
камень превратился в камень преткновения и это вызвало взаим-
ные обиды и оскорбления. Широкая общественность вскоре узна-
ла от обиженных и оскорбленных, что математика, которой зани-
маются известные польские ученые, ни для чего не нужна, а «об-
ладатели камня» вообще на это не реагировали ...
Впрочем, за границей ситуация была и остается не лучше,
если Р. Ю. Гаскелл в 1957 г. (American Mathematical Monthly, vol.
64, ■ 8, pp. 557-566) так пишет о математике в ее практическом
применении: «К счастью, некоторая часть математики доходит до
потребителей, но и без этого столь распространено невежество по
поводу того, что представляют собой математики и что они уме-
ют делать. Это невежество не только распространено, но у неко-
торых отдельных людей оно находит интенсивное, агрессивное и

О математической строгости
75
провоцирующее выражение...». В отношении наших невежд я
могу только подтвердить эти слова. Даже те, кто равнодушно от-
носятся к нашей науке, знают о ней немногим больше, чем дети.
Одни убеждены, что математики — это увлеченные вычислители,
которые заучивают наизусть таблицы логарифмов и состязаются
в этом с машинами (современные вычислительные машины вско-
ре сделают это бесполезным). Другие думают, что математика яв-
ляется «философией» и даже чем-то вроде числовой кабалистики,
которая благодаря понятию бесконечности покрыта туманом ми-
стицизма и утратила всякий контакт с арифметикой бухгалтеров
и торговцев (т. е. с тем, что, по их мнению, имеет хоть какой-то
практический смысл). Если взгляды профессора Шварца получат
распространение, появится невежда нового типа — ему будет ка-
заться, что математика чем-то похожа на пасьянс.
Разумеется, по меньшей мере часть ответственности за эти
совершенно ложные тезисы несут сами математики, причем не
математики прошлого, а действующие и общепризнанные. В этом
скорее повинны не учителя, а авторы школьных программ и учеб-
ников, хотя и их вину уменьшает то обстоятельство, что чрезвы-
чайно трудно найти примеры применения математики на ступе-
ни, доступной школьной молодежи. Эта трудность вызвана тем,
что учебники и задачники отталкиваются от искусственных при-
меров, шарад и головоломок, что также дискредитирует матема-
тику в глазах наиболее образованной части школьной молодежи.
Поэтому следует выразить благодарность журналу Matematyka за
то, что он опубликовал перевод статьи г-на Л. Шварца и вынудил
своих читателей переосмыслить вопросы, которые эта статья под-
нимает.

Индуктивное умозаключение
...Я еще никогда не встречал ни такой
сильной рыбы, ни такой, которая поступа-
ла бы так своеобразно. Быть может, она
настолько умная, что умеет прыгать. Она
могла бы прикончить меня, если бы внезап-
но прыгнула или набросилась. Но, видимо,
ее уже не раз брали на крючок, и она знает,
что именно так должна бороться. Она не
может знать, что перед ней только один
человек и что этот человек — старик...
(Э. Хемингуэй. Старик и море.)
Эта статья не претендует на то, чтобы называться философ-
ским произведением, так как она не содержит сложных рас-
суждений, а довольствуется лишь описанием фактического поло-
жения, сложившегося в XX веке вокруг проблемы естественно-
научной индукции. Любая не опирающаяся на факты философия
быстро приобретает привкус фидеизма, и поэтому, возможно, чи-
тателям Mysli Filozoficznej (Философская мысль) будет интересно
узнать, как должны точные науки относиться к некоторым свя-
занным с этим понятиям, например, к индукции.
Сразу же устраним двусмысленность заголовка, обусловлен-
ную тем, что в математике уже используется понятие, называемое
полной или математической индукцией, дедуктивный характер
которого не вызывает сомнений. В очень упрощенной форме оно
подразумевает, что если какой-либо наследственный признак
принадлежит родоначальнику, то он будет принадлежать также и
всем поколениям потомков. Но не об этом правиле (которое необ-
ходимо скорее логикам, нежели философам) я буду вести речь.

Индуктивное умозаключение
77
1. Естественная индукция или обобщение. Откуда мы знаем,
что железо, доведенное до белого каления, обжигает? Из опыта:
до сих пор каждый, кто пробовал взять в руки раскаленную до-
бела железную болванку, обжигался — и если я это сделаю, то
тоже обожгусь... Однако в систематизированной схоластиками
аристотелевой логике нет никакого правила, которое санкцио-
нировало бы приведенное выше рассуждение. Впрочем, и совре-
менная логика не запрещает появления факира, который сможет
без последствий голыми руками схватить раскаленную добела
болванку. Это бессилие логики совершенно не препятствует ис-
пользованию в науке и в жизни неполной индукции: мы пользу-
емся ею чаще, чем всеми принципами формальной логики, вмес-
те взятыми...
Очевидно, никто бы не огорчился отсутствием логической
гарантии, если бы принцип индукции был несомненным. Недав-
но получило огласку дело о лекарстве доктора Салка против дет-
ского паралича (полиомиелита). Проблема состоит в том, что ис-
пытанное на многих тысячах детей с благоприятным исходом
средство иногда (в нескольких десятках случаев) при превентив-
ном использовании приводило к фатальным результатам, вызы-
вая увечья или смерть. В связи с этим в некоторых странах Се-
верной Америки это средство было запрещено использовать,
что, естественно, вызывает (у математиков и практиков) вопрос
о том, каким должно быть число положительных результатов ис-
пытаний, чтобы к этому случаю можно было применить прин-
цип обобщения.
Все, о чем мы до сих пор говорили, страдает недостатком
строгости, и поэтому нам следует попытаться немного уточнить
рассматриваемую задачу, поставив ее в следующей форме. Пусть
эксперимент (или наблюдение) повторяется п раз таким образом,
что каждый опыт не зависит от всех предыдущих. Пусть среди ре-
зультатов было т положительных (т. е. т раз произошло событие
А) и (п - т) отрицательных (т. е. п - т раз произошло событие
не-А). Что можно предположить по поводу очередного опыта?
В такой постановке проблема индукции приобретает привыч-
ную математическую форму, имеющую бесчисленное количест-
во вариантов. Естествоиспытатели и врачи, инженеры и торгов-

78
Гуго Штейнгауз
цы, учащиеся, экономисты и статистики, а также простые люди
сознательно или бессознательно ежедневно решают эту задачу.
Для краткости будем описывать результат серии экспериментов
символом ml In, хотя можно было бы и возразить против использо-
вания такого символа, поскольку он не отражает последователь-
ность положительных и отрицательных результатов. Если мы же-
лаем исходить из предпосылки независимости опытов так, чтобы
была безразлична их очередность во времени, то можно даже пред-
ставить, что имеется п лаборантов, и все они одновременно прово-
дят одинаковый эксперимент. Число т может быть равно 0,1,2,...,
л, но особый интерес представляют крайние результаты (т = 0 и
т = п). Между ними нет принципиальной разницы, так как если мы
присвоим событию не-А имя В, то эксперименты, относящиеся к
событию В, дадут тот же самый результат (естественно, с заменой
результата 01/п на nlln). Третий случай (0 < т < п) выделить труд-
нее, потому что серия экспериментов с результатом 10//10 может
предшествовать серии с 0//10, вследствие чего (если оба эти резу-
льтата принять к сведению как крайние, т. е. типичные для принци-
па обобщения) нельзя игнорировать тот факт, что обе серии вместе
порождают новую серию с результатом 10//20.
К сожалению, мы слишком слабо знаем историю филосо-
фии, чтобы предположить, что Гиппократ и эпикурейцы догады-
вались о неполной индукции, однако допускаем, что сформули-
рованные выше замечания уже лежали в радиусе действия тог-
дашней науки. С другой стороны, несомненно, что теория
индукции вплоть до наших дней оставалась бы только собрани-
ем элементарных и выхолощенных трюизмов (более или менее
педантично разработанных), если бы на ее основе не возникла
новая ветвь математики.
2. Теория вероятностей. Первым математическую задачу,
касающуюся игр со случайным исходом, поставил Лука Пачоли
(в 1487 г.), но потребовался гений Паскаля, чтобы создать доктри-
ну, называемую сегодня теорией вероятностей. Именно Паскаль
триста лет назад написал Ферма письмо (29 июля 1654 г.) об игре
в кости, и эту дату можно считать днем рождения теории вероят-
ностей. Новое исчисление, несомненно, ведет свое происхожде-

Индуктивное умозаключение
79
ние из практики азартных игр: настойчивость шулеров выработа-
ла у них умение оценивать шансы, вытекающие из правил игры.
Классический метод вычисления вероятности сложился в конце
XVII века, а в 1795 г. он уже был предметом курса Лапласа в Ecole
Normale. Сегодня эта дисциплина обоснована не хуже других и
(подобно другим разделам математики) ее тоже можно сформу-
лировать настолько абстрактно, что трудно догадаться, о чем
идет речь. Но уже Паскалю была известна шкала шансов, на кото-
рой 0 означал вероятность невозможного исхода, 1 — вероят-
ность несомненно положительного исхода, а х1г — вероятность
равного исхода, примером которого является выпадение орла или
решки в момент остановки идеально симметричной монеты, при-
веденной во вращение вокруг диаметра в вертикальной плоско-
сти. Обе стороны (орел и решка) с точки зрения гравитационного
поля находятся в одинаковой ситуации, так что вероятность вы-
падения, например, орла равна {1г (из чего сразу следует, что веро-
ятность выпадения двух орлов при одновременном вращении
двух монет составляет V4).
Шкала шансов охватывает все числа от 0 до 1. В 1713 г. Якоб
Бернулли открыл «закон больших чисел», который в современ-
ной формулировке гласит, что в бесконечно длинной серии бро-
саний монеты частота выпадения орлов будет равна V2. Более
того, по всей видимости, это будет выполняться с вероятностью 1
(так как в бесконечно длинных играх «вероятность 1» не эквива-
лентна несомненности). Если бы монета была некачественной, то
орлы появились бы с иной частотойр (р Ф V2); это было бы доказа-
тельством того, что р — вероятность выпадения орла при одном
бросании. Существуют теории, в которых частота по определе-
нию является вероятностью единичного случая, но в настоящее
время вероятность вводится аксиоматически (по примеру геомет-
рии), и тогда закон больших чисел становится теоремой, которую
нужно и можно доказать. Вопрос о связи закона больших чисел с
действительностью на самом деле ничем не отличается, напри-
мер, от вопроса, относится ли теорема Пифагора к прямоугольно-
му треугольнику, вырезанному из жести, но для нас важно лишь
знать, что на основе теории вероятностей можно построить тео-
рию индуктивного умозаключения.

80
Гуго Штейнгауз
Применение теории вероятностей к индуктивному умоза-
ключению основывалось на двух посылках. Первая из них — от-
каз от вывода в категоричной форме (типа «если на безлюдной
улице мы десять раз подряд встретили мужчину, то следующий
встречный тоже несомненно будет мужчиной») и принятие за-
ключения в иной форме («если мы десять раз подряд встретили
мужчину, то вероятность того, что очередной встречный будет
мужчиной, равна 92%»). Здесь речь идет не о том, что 92% — это
действительно вычисленное значение, а о том, что окончатель-
ным выводом может быть число, отличное от 100% (а также от
0%). Другая идея сводится к заимствованию модели теории игр с
вероятностным исходом и выводу на этом основании индуктив-
ного умозаключения-суждения, подобного оценке шанса в игре.
Если мы 10 раз подряд вынимаем из урны белый шар и делаем
ставку в один злотый, что одиннадцатый шар тоже будет белым,
то какой ставки мы должны потребовать от партнера, чтобы игра
была справедливой? Для этого мы должны научиться вычислять
вероятность извлечения белого шара в описываемой ситуации.
Лаплас воспользовался для этого формулойр = (и + \)1{п + 2), где
р есть вероятность того, что после серии из п успешных исходов
следующая попытка тоже будет успешной. Он даже без колеба-
ний использовал эту формулу для вычисления вероятности того,
что завтра утром снова взойдет солнце.
К ответу на поднятые вопросы нам поможет приблизиться
другой пример. Представим себе, что получен некоторый меди-
цинский препарат (назовем его Н), который необходимо исследо-
вать для использования с новой целью (например, в качестве за-
менителя определенного гормона, имеющего важное терапевти-
ческое значение). Исследование заключается в том, что мыши
получают растворенный в воде препарат Н, после чего (спустя
определенное время) этих мышей изучают на предмет появления
у них конкретного симптома, вызываемого настоящим гормоном.
Каждую таблетку Н, вызывающую эти симптомы и изготовлен-
ную описанным способом, мы будем называть «доброкачествен-
ной», а эффективностью препарата Н в целом мы назовем долю/
доброкачественных таблеток во всей их произведенной партии.
Министерство здравоохранения дает разрешение на использова-

Индуктивное умозаключение
81
ние препарата Н в качестве гормона при условии, если фир-
ма-производитель докажет, что его эффективность превышает
95%. Чему равна вероятность того, что требование министерства
выполнено, если проведенный на 100 мышах эксперимент дал
97% положительных результатов? Ответ кажется очевидным: эк-
сперимент дал 97% успешных результатов, министерство требует
95% и, следовательно, его условие (/> 95%) выполнено. Правило,
согласно которому доля в пробной партии сравнивается с долей
в популяции (т. е., как в описанном эксперименте /= т/п), все
еще распространено, но даже практики, например врачи, переста-
ют ему доверять, если п является малым (например, 5), а т в точ-
ности равно л. Если бы, например, какой-то новый операционный
метод был применен только к пяти пациентам, никто не припишет
ему 100%-ю надежность, хотя у всех пяти операция прошла
успешно.
Обратим внимание на определение эффективности. В опи-
санном случае мы можем рассматривать препарат Н как асим-
метричную монету (внутренние изъяны которой неизвестны),
выбор пробной таблетки — как бросание монеты, ее доброкаче-
ственность — как орла, а/ — как вероятность выпадения орла
именно у этой монеты. Таким путем фармацевтическая задача
сводится к проблематике, известной уже предшественникам
Лапласа, в курсе которого (цитированном выше) мы можем най-
ти подобные задачи, касающиеся урн с белыми и черными шара-
ми. Классических решений здесь, однако, недостаточно, и анг-
лийский пастор Томас Байес уже в 1764 г. задался вопросом, где
же лежит трудность. По мнению Байеса, задача разрешима, если
еще до эксперимента мы располагаем некоторой информацией,
и неразрешима, когда такой информации нет. Эта информация
имеет название «априорная вероятность». Ниже я приведу един-
ственный известный мне пример, в котором такая информация
доступна.
3. Судебное установление отцовства. Для упрощения пред-
положим, что эксперт, приглашенный в суд, располагает только
одной сывороткой, которая позволяет определить, имеет ли ис-
следуемый субъект группу крови С или нет. Отсутствие этой

82
Гуго Штейнгауз
группы крови у обоих родителей приводит, согласно абсолют-
ному правилу наследственности, к отсутствию ее у потомка, так
что наличие группы С у ребенка матери, не имеющей этой груп-
пы, категорически исключает отцовство каждого мужчины, не
имеющего группы С. Если, однако, мужчина, являющийся от-
ветчиком перед матерью, имеет группу С, то задача перестает
быть банальной: какова же тогда вероятность, что он является
отцом ребенка, по поводу которого внесен иск? Желая в этом
случае использовать теорию Байеса, мы до экспертизы должны
знать вероятность того, что ответчик является отцом ребенка, по
поводу которого судом затребовано заключение такого рода,
т. е. именно «априорную вероятность». Иными словами, нам
надо знать, сколько всего вероятных отцов среди ответчиков.
Это удалось доказать совсем недавно с помощью весьма просто-
го статистического приема: исследования групп крови показы-
вают, с какой частотой с появляется группа крови С во всем
польском населении, и из скольких тысяч судебных экспертиз
можно вычитать, какова частота группы С среди мужчин, явля-
ющихся ответчиками по иску в отношении детей, имеющих эту
группу крови. Как показал Л. Гиршфельд1, эта вероятность до-
статочно высока, и из сравнения двух частот вытекает, что в По-
льше 70% ответчиков по делам об установлении отцовства соот-
ветствуют доказательной истине. Следовательно, в послевоен-
ной Польше величина 0.7 и есть априорная вероятность того
факта, которому суд должен придать законную силу или откло-
нить его. Если бы судья имел в распоряжении исключительно
эту информацию и желал игнорировать показания сторон и все
прочие аргументы, то он обязан был бы всегда принимать сторо-
ну ответчика. Серологическое исследование групп крови трех
лиц, участвующих в игре, является источником новой, отдель-
ной информации, а модель Байеса учит, как дополнительное
привлечение этого факта позволяет определить так называемую
апостериорную вероятность истинности довода ответчика.
В случае исключения факта отцовства (о чем шла речь выше) эта
См. J. Lukaszewicz: О dochodzenht ojcostwa. Zastosowania Matematyki, 1956,
с. 349-379.

Индуктивное умозаключение
83
вероятность уменьшается с 0.7 до нуля и вычисления оказыва-
ются ненужными, в противном случае она даже может вырасти
до 99 % в зависимости от частоты с, которая известна для основ-
ных групп крови. Формула Байеса в этой задаче принимает сле-
дующий вид:
Р = ^ (в Польше;? = 0.7), (1)
р+(1-р)с
где Р—искомая апостериорная вероятность, ар — априорная ве-
роятность (в Польше она равна 0.7 а, например, в Копенгаге-
не 0.5)1.
Несмотря на то, что Людвиг Гиршфельд уже имел в руках
ключ к решению рассматриваемой задачи, он не воспользовался
им 22 ноября 1951 г., излагая результаты своих исследований на
заседании медицинского отделения Вроцлавского научного об-
щества. На этом заседании выясняли, что и как определяет серо-
логия и какие количественные заключения она может предоста-
вить суду в случаях, когда исключить отцовство не удается (тогда
это можно было сделать только в одном случае из десяти). Тогда
же участники обратили внимание на то, что представленное чис-
ло вовсе не является вероятностью и его нельзя так называть, в ре-
зультате чего завязалась дискуссия, которую через 10 минут
председательствующий прервал словами: «... речь здесь идет
только о терминологии...». Был ли он прав?
Да, поскольку в то время никто не знал, как вычисляется ис-
комая вероятность. Спустя год, однако, стало известно, что фор-
мулу Байеса можно использовать в качестве «ключа Гиршфель-
да», хотя только в отношении небольшого числа лиц. Еще и се-
годня большинство серологов и антропологов в мире не умеют
пользоваться этим ключом (вследствие чего даже некоторые
французские математические публикации текущего года являют-
ся неактуальными). Однако мы вправе спросить, что и как вычис-
ляли раньше ученики Гиршфельда и он сам?
1 L. Hirszfeld: Wege undA usblicke der Blutgruppenforschungfiir die Feststellung der
Vaterschaft. Schweizerische Zeitschrift fiir Allgemeine Pathologie und Bakteriolo-
gie, 1952, №15, s. 257-280.

84
Гуго Штейнгауз
В логике известно правило противоположности:
Суждение «А включает В» эквивалентно суждению «не-В
включает не-А», из чего следует вывод:
(R) Если не-А с вероятностью 90% включает не-В, то В с ве-
роятностью 90% включает А.
Этим правилом ранее почти повсеместно пользовались при
определении вероятности отцовства на основании экспертизы.
Выглядит это так: группа крови С появляется у польского населе-
ния с частотой 10%. Суждение «ответчик X является отцом ре-
бенка женщины-истца» обозначим через А, а суждение «X имеет
группу крови С» обозначим через В. Тогда правило, предшеству-
ющее выводу (R), звучит теперь так: «Если X не является отцом
ребенка истицы, то с вероятностью 90% он не имеет группы крови
С». В действительности это означает, что X выбран случайно, без
биологической связи с ребенком, среди всех мужчин, которые в
90% случаев не имеют группы крови С. Вывод (R) гласит, что
(в связи со сказанным) справедливо также и следующее утверж-
дение: «Если X имеет группу крови С, то с вероятностью 90% он
является отцом ребенка истицы». Вместо формулы (1) мы, следо-
вательно, имеем
Р=1-с. (2)
Именно такой вывод следует из того, что X имеет группу кро-
ви С. Нелепость такой дедукции легко можно проиллюстриро-
вать следующим примером. Эксперт исследовал мать, мужчи-
ну-ответчика и ребенка, но вероятность вычислил только из двух
предпосылок: 1) X имеет группу крови С; 2) Группа С имеется у
10% населения. При этом эксперт вообще не использовал группы
крови матери и ребенка (они не участвуют к дедукции), вследст-
вие чего можно было бы для той же самой цели использовать лю-
бой другой редкий признак. Например, можно было бы исходить
из того, что ответчик имеет имя Геральд — так как это имя появ-
ляется в Польше с частотой 1:10 000, то, стало быть, ответчик яв-
ляется отцом с вероятностью 99.99%... Где скрывается ошибка?
Она заключена в выводе (R), который вообще не вытекает из
правила противоположности. Как могло получиться, что такая
ошибка осталась незамеченной? Она обнаружилась бы сразу,

Индуктивное умозаключение
85
если бы адвокат ответчика использовал в качестве аргумента имя
ответчика. Проблема возникает из-за того, что определенный
факт (ребенок имеет группу крови С, а мать ее не имеет и, следо-
вательно, ответчик удовлетворяет необходимому условию уста-
новления отцовства, т. е. имеет нужную группу крови) воздейст-
вует и даже ошеломляет человека, читающего экспертизу, кото-
рый не отдает себе отчета в том, что является жертвой софизма и
не замечает, что умозаключение фактически обходится совер-
шенно без генетического аргумента.
4. Статистическая проверка. Как же тогда следовало посту-
пить, чтобы не подвергнуться упреку в нелогичности? Маргарет
Венингер предлагает следующий выход1: принять в формуле (1)
априорную вероятность равной {/г (допустим, что автор не знает,
что использует формулу Байеса и не догадывается, что априорная
вероятность может быть иной), что приводит к следующей фор-
муле:
р—а*—л.. (3)
1/2 +с/2 1 + с
Этот результат можно было бы обосновать постулатом су-
дебной беспристрастности: судья обязан (пока не имеет никаких
аргументов pro и contra) спорящих истца и ответчика считать
одинаково правыми, т. е. приписать их утверждениям одинако-
вую справедливость (по 50% каждой стороне), что, кстати, в об-
щем случае советовал делать и сам Байес. Разумеется, сегодня мы
знаем, что априорная вероятность правоты ответчика в Польше
равна 0.7. Мы знаем также, что формула (3) абсолютно верна в
Копенгагене. Наконец, легко убедиться, что формулы (1), (2) и (3)
дают почти одинаковые значения Р, если группа крови С является
редкой.
Логично спросить, а можно ли вообще называть некоторые
методы худшими или лучшими, и какой смысл имеют такие опре-
1 М. Weninger. Zur zahlenmcissigen Erfassung der Ahnlichkeit im naturwissenschaft-
lichen Verwandtsnachweis. Mitt. d. Osterr. Ges. f. Anthropologic, Ethnologie u.
Prahistorie, т. 78/9, Вена 1944, с. 33-58.

86
Гуго Штейнгауз
деления? Почему мы считаем, что определяемый формулой (1)
метод лучше других, упомянутых здесь? Ответ на это дает прин-
цип статистической проверки — так мы будем называть интерп-
ретацию формул с помощью закона больших чисел. Представим
себе судью, который в случаях, когда эксперт обнаружил группу
крови С у ответчика и у ребенка (но не у истицы!), всегда будет
признавать иск справедливым. Решения такого судьи (если коли-
чество дел подобного рода будет неограниченно расти) будут со-
ответствовать истине с частотой Р, которая вычисляется по фор-
муле (1). Другие способы вычисления Р не обладают таким свой-
ством, поэтому мы называем их худшими. Для читателя может
быть более интересной другая формулировка этого принципа:
если бы судьи умели принимать безошибочные решения, соответ-
ствующие истине, то в делах об установлении отцовства они вы-
носили бы 70% решений в пользу истца — мы по-прежнему име-
ем в виду неограниченное количество процессов. Статистические
данные 900 процессов показывают, что число таких решений со-
ставляло 82%, из чего следует вывод, что законодательство, про-
цедура и ориентация судов совместно образуют аппарат, который
в делах такого типа по большей части стоит на стороне женщины.
Таким образом, умозаключение на основе статистики имеет ре-
альный смысл и даже открывает факты, до которых иным спосо-
бом добраться было бы невозможно1.
5. Сравнительный аргумент', доверительность. Вернемся к
препарату Н, так как мы еще не ответили на вопрос министерства
здравоохранения, обладает ли он (в качестве гормона) эффектив-
ностью не менее 95%. Ответ должен вытекать из эксперимента,
результат которого был равен 97//100. Вопрос имеет альтернатив-
ный характер, но ответ должен быть категоричным (как и приго-
вор судьи). При этом эксперт (пример п. 3) не дает категорическо-
го ответа, а ограничивается мнением: «да, с вероятностью Р», ко-
торую можно вычислить с помощью формулы (1), а ее можно
использовать только зная априорную вероятность (о чем в дан-
ном случае нельзя и мечтать). Ранее мы имели совокупность, со-
См. цит. ранее Lukaszewicz.

Индуктивное умозаключение
87
ставленную из всех ответчиков по делам об алиментах в Польше
за 10 лет, и ключ Гиршфельда, здесь же нам потребовалось бы
провести оценку по совокупности препаратов. Такую оценку до-
вольно трудно представить, но даже если бы ее и удалось сделать,
совокупность была бы слишком неоднородной для получения на
ее основе какой-либо статистической информации. В качестве
суррогата был придуман так называемый сравнительный аргу-
мент, создателями которого являются Р. Э. Фишер и К. Пирсон.
На примере препарата Н эта уловка выглядит так: рассчитывается
вероятность того, что препарат с эффективностью 95% даст
в 101 опыте самое большее 97 положительных результатов. Не-
сложные вычисления показывают, что искомая вероятность рав-
на 94.8%. В результате, вместо ответа на свой вопрос, министер-
ство здравоохранения получает ответ на другой, но приверженцы
сравнительного аргумента считают, что число 94.8% можно пред-
ставить как гарантию требуемой эффективности препарата. Мож-
но обнаружить аналогию между сравнительным аргументом и
формулой (3), основанной на беспристрастности судьи, но в юри-
дическом примере мы можем доказать ошибочность формулы
(поскольку там мы имели дело с совокупностью разбирательств),
а здесь нам не хватает совокупности препаратов. Введению такой
совокупности препятствуют даже не технические, a sit venia verbo
(с позволения сказать) философские, а точнее, даже эпистемоло-
гические трудности.
Можно, однако, отважиться и предложить такие формули-
ровки, которые были бы доступны статистической проверке (хотя
бы только теоретической, но принципиально возможной), одну из
которых нашел Ежи Нейман1. Ее также, впрочем, можно считать
и уловкой, ибо она обходит стороной основную проблему. В соот-
ветствии с этой теорией, эффективность в рассматриваемом слу-
чае заключается между величинами 93.6% и 100% «с доверитель-
ностью 95%». При этом выражение «доверительность 95%» здесь
означает построение формулы расчета таким образом, что среди
полученных с ее помощью ответов 95% будут достоверными
J. Neyman: On the problem of confidence intervals. Annuls of Mathematical Statis-
tics, 1935, №6, p. 111.

88
Гуго Штейнгауз
(иными словами, в среднем один раз из двадцати эффективность
будет находиться вне интервала, гарантированного этой форму-
лой). В нашем случае «доверительный интервал» равен
(93.6%—100%), а если бы эксперимент дал результат, например,
90%, то доверительный интервал был бы равен (84%-96%). Выше
мы говорили, что министерство здравоохранения интересует
именно и только интервал (95%—100%). Метод Неймана, однако,
каждый раз дает в качестве ответа иной интервал, но поддержива-
ет риск постоянно на уровне 5%. Таким образом, хотя министерст-
во задает точный интервал и интересуется риском, ответ по задан-
ному риску каждый раз соответствует другому интервалу.
Очевидно, что на поставленные вопросы было бы желательно
получать ответы в форме «да, с риском гу» (индексу означает но-
мер экспертизы), т. е. мы хотели бы, чтобы в некотором смысле
последовательность чисел гу- соответствовала частоте неправиль-
ных ответов..., но, к сожалению, эти пожелания остаются невы-
полнимыми, и сомнительно, что их вообще удастся выполнить.
На практике из тупика удается выйти за счет введения двух
границ вместо одной, т. е. установить, например, что лекарство
с эффективностью 97% и выше является «хорошим», а лекарство
с эффективностью 91 % и ниже — «плохим». К таким определени-
ям можно подобрать приемлемый рецепт или «план», примене-
ние которого позволяет в среднем отвергнуть не больше одного
хорошего препарата из двадцати хороших, но и пропустить
в среднем не больше одного плохого препарата из двадцати пло-
хих. В рассматриваемом примере таким планом будет предписа-
ние исследовать 160 подопытных животных и апробировать ле-
карство, которое дает менее 9 отрицательных результатов, а ос-
тальные лекарства — исключить из применения. Кажется, что это
решает практические проблемы, но оптимизм умеряет следую-
щее соображение: действительно, определенный выше план по-
зволяет выявить при контроле плохой препарат (в целом), но он
вовсе не гарантирует, что прошедший контроль препарат будет в
целом хорошим. Ситуация станет понятнее, если представить
себе, что речь идет о препарате Н, который производит только
одна фабрика. Препарат является «плохим» с эффективностью
91%, т. е. в среднем каждая двадцатая упаковка пройдет контроль

Индуктивное умозаключение
89
и поступит в аптеки, а из них найдется и такая, которая будет со-
держать таблетки Н, являющиеся плохими.
6. Степень достоверности. В биологии задачи, подобные
описанным выше, появляются в разных модификациях, одна из
которых обычно заключается в сравнении двух методов (напри-
мер, двух способов обработки земли, двух инсектицидов и т. д.).
Аналогично, в технике, в производстве промышленной продук-
ции и многих других областях часто требуется определить луч-
ший из двух методов (или, возвращаясь к нашему примеру, выяс-
нить, какой из препаратов Н, производимых двумя фирмами, яв-
ляется лучшим). При такой постановке вопроса надлежит
определить lege artis statisticae (по всем правилам искусства ста-
тистики) риск ошибки, который выше был равен 5%. При этом
возникает вопрос о степени предполагаемого риска. На жаргоне
статистики это значит, что речь идет о «достоверности» событий.
Если считается, что из двух инсектицидов А «достоверно» лучше
В, то это означает, что сравнительный аргумент определил А луч-
шим с риском ошибки 5% (иногда говорят также, что А лучше В
с достоверностью 95%). В других отраслях считается удовлетво-
рительной достоверность 90% и т. п., так как в каждой сфере при-
менений существует и установлена специфическая степень досто-
верности. В сущности здесь повторяется мучительный вопрос
о соответствующем количестве опытов при индукции. Почему
в разных сферах человеческой деятельности это число устанавли-
вается по-разному? Ответ сводится к тому, что степень достовер-
ности зависит от последствий правильного определения «Hi луч-
ше, чем Нг». Если такое определение не связано ни с какими по-
следствиями, то установить степень достоверности невозможно.
В медицине определение «эффективность препарата Н превышает
95%» приводит к разрешению его применения в лечебной практи-
ке. В противном случае его применение исключается, т. е. можно
совершить ошибку в двух случаях: допустив к применению препа-
рат с низкой эффективностью или запретив применение препарата
с достаточно высокой эффективностью. В обоих случаях наносит-
ся вред, который трудно выразить чисто экономически (как оце-
нить вред от прописывания вместо необходимого гормона беспо-

90
Гуго Штейнгауз
лезных таблеток Н и связанного с этим нарушения процесса лече-
ния?). Кроме вреда от ошибки следует учитывать и ущерб,
связанный с затратами на исследование таблеток, которые растут
с количеством анализов. Даже если кому-то удастся определить
степень вреда/ (в денежном выражении), вызванного выпуском в
оборот миллиона таблеток с эффективностью s9 как функцию/(s)
этой эффективности, то необходимо найти и функцию g(s), опре-
деляющую вред от недопущения в оборот этого миллиона. После
этого перед исследователем возникает следующая математиче-
ская задача: необходимо разработать правила, согласно которым
можно определить число п пробных таблеток и наибольшее коли-
чество т экспериментов с отрицательным результатом, при кото-
рых партия препарата Н еще получает одобрение, но одновремен-
но можно и минимизировать ожидаемый ущерб от затрат на ис-
следования. Здесь скрывается немало трудностей, но нам сейчас
хочется сказать то, что проблема индукции является принципи-
ально разрешимой, если увязать ее с продвижением, обусловлен-
ным результатами экспериментов. Собственно говоря, рассматри-
ваемая задача не имеет решения в форме констатации факта «пар-
тия препарата Н пригодна для использования» (так как такой
вывод был бы отягощен первородным грехом неполной индук-
ции!). Конечный результат должен сводиться к приказу «распро-
странить партию препарата!», несмотря на то, что мы не имеем об-
щего и точного определения эффективности данной партии. Оста-
ются только эксперимент и приказание, зависящее от его
результатов. Такой подход ничего не говорит о вероятности (в виде
некоторой дроби), а просто создает механизм, связывающий экспе-
римент с реальной жизнью и прогрессом. Оптимальность подхода
определяется с вероятностью 1 (в смысле закона больших чисел),
т. е. с такой вероятностью мы обещаем послушному исполнителю,
что никто не сумеет уменьшить средние затраты, связанные с ис-
следованиями и возможным ошибочным решением.
Мы дошли до главного тезиса. Проблему индукции можно
решить только тогда, когда мы откажемся от вопроса, обжигает
ли раскаленное добела железо, а вместо него спросим, может ли
это случиться, если взять его в руки. Это не является лишь иной
формой данного вопроса, что и доказал Муций Сцевола.

Индуктивное умозаключение
91
7. Природная индукция. Не только люди, но и животные
(главным образом высшие млекопитающие) умеют принимать
решения и действовать по индукции, как если бы они обучались
на собственном опыте. Даже низшие организмы регистрируют
импульсы, приходящие от органов чувств в центральный нер-
вный аппарат (у высших организмов это мозг), который при до-
статочно высокой частоте импульсов подвергается изменениям и
начинает реагировать на них по-новому, изменяя существующие
рефлексы или создавая новые. Одним словом, существует теория
условных рефлексов, основой которой является природная или
биологическая индукция. Здесь философская проблема была ре-
шена на низшей ступени эволюции без сознательного рассужде-
ния, и (что хуже всего для философов) — была решена правильно.
Если бы количество опытов, необходимых организму для закреп-
ления реакции, не совпадало с общими интересами биологиче-
ского вида, то такой вид перестал бы существовать. Если число
таких опытов мало, то некоторые представители вида погибали
бы, не достигнув половой зрелости, от слишком быстрого обуче-
ния (строго говоря, по причине излишнего доверия получаемому
опыту). С другой стороны, если бы число п механизмов, закрепля-
ющих опыт («память»), было слишком большим, то погибали бы
также и те особи, которые обучались бы слишком быстро и за-
крепляли свои рефлексы уже при малых п (их погубила бы склон-
ность принимать преждевременные решения). Тот факт, что не-
кий вид существует, является биологическим доказательством
установления путем индукции соответствующего значения п
в ходе индивидуальной и видовой эволюции. Раз вид существует,
ergo (следовательно) он приспособился к окружающей среде и
удачно решил проблему индукции (т. е. решил ее так, что внеш-
ний мир не опровергнул этих неосознанных вычислений). Этот
биологический критерий, однако, неприменим в тех случаях, ког-
да вопрос выживания не имеет значения для особи и для вида, т. е.
когда речь идет об абстрактных, чистых суждениях и об их истин-
ности. В таких ситуациях утрачивает силу не только биологиче-
ский критерий, но и неясна цель самой математики.
Возможно, читателя заинтересует, что пишет английский не-
вролог д-р У. Грэй Уолтер в статье The imitation of mentality (Nalu-

92
Гуго Штейнгауз
re, 14 апреля 1956 г., vol. 177, № 4511): «Основная концепция, на
которую опирается описание мышления посредством ассоциа-
ции, состоит в том, что разум полагается скорее на статистиче-
ский или вероятностный анализ эксперимента, чем на логический
или детерминистский... Эта концепция вовсе не так далека, как
казалось бы, от действительной проблемы мозга и его функции;
способность к обучению есть характерная особенность мозга,
а гипотеза, что обучающийся мозг постоянно просматривает мир
опытов в погоне за подлинной статистической информацией,
подсовывает нам новый, экспериментальный подход к проблеме,
подобно тому, как обучаются животные... Все это выглядит, как
если бы животные (домашние или иные) вели себя во время обу-
чения подобно статистическим автоматам, настроенным на при-
нятие в качестве уровня истинности шанса более чем 1000:1 про-
тив гипотезы случайной ассоциации. Следовательно, если в осно-
ве обучения лежит определение истинности, то большинство
животных являются значительно большими скептиками, чем про-
фессиональные статистики, которые обычно считают соотноше-
ние шансов 100:1 против случайности индикатором истинно-
сти...»
Эта выдержка, возможно, станет понятнее на фоне статьи
Computers and automata, автором которой является один из созда-
телей математической теории информации К. Э. Шеннон (статья
появиласьв Proceedings ofthe I. R. A., 1953, vol. 41, pp. 1235-1241,
а затем была перепечатана в виде монографии № 2150 сборника
технических публикаций компании Bell Telephone System). В ста-
тье сообщается, что Д. У. Хагельбергер создал обучающуюся
электронную машину, предназначенную для игры «в угадыва-
ние» против живого партнера. В игре машина должна угадать, ка-
кой стороной (орел или решка) положил партнер монету, т. е. жи-
вой человек кладет монету под ладонь, а затем нажимает старто-
вую кнопку. Машина старается отгадать и высвечивает на
матовом экране одну из двух надписей «Орел» — «Решка», Бла-
годаря надписи человек узнает, отгадала машина или нет. Поско-
льку машина не может это определить сама (ибо не видит моне-
ту), то партнер сообщает ей об этом, передвигая ручку ответа из
нейтрального положения в одно из двух крайних, обозначенных

Индуктивное умозаключение
93
надписями «Орел» — «Решка». Таким образом, машина действу-
ет по тем же правилам, что и партнер № 2 в игре между двумя лю-
дьми. При этом она исходит из накапливаемого опыта. Например,
живой партнер может иметь привычку или тенденцию, выиграв
два раза подряд на орла, на третий раз класть монету вверх реш-
кой. До тех пор, пока машина не обнаружит этой тенденции, она
будет полагаться на случай, но после выявления тенденции она
станет ее учитывать. Оказалось, что машина Хагельбергера выиг-
рывает у человека в 55-60% партий, поскольку человек не умеет
отказываться от привычек, а еще труднее ему перехитрить маши-
ну, неожиданно изменив систему игры на противоположную. Са-
мое удивительное — это то, что человек мог бы с легкостью срав-
нять счет с машиной, если бы просто бросал монету, не заботясь о
том, как она упадет. Но обыкновенный живой игрок с пренебре-
жением относится к искусственному партнеру, так как полагает,
что автомат имеет ограниченное число возможностей и должен
играть стереотипно, но в конечном счете, стараясь «раскусить»
машину и ее систему, человек бессознательно информирует ее
о своем автоматизме и... проигрывает. Для той же самой игры
была создана машина иной конструкции, которая была менее
сложной, но легче обучалась и быстрее запоминала. Теоретиче-
ски можно было бы предвидеть, что получится, если мы прика-
жем машинам играть друг против друга, но соответствующие вы-
числения оказались слишком запутанными. Поэтому был органи-
зован публичный матч (с механическим арбитром, который
нажимал стартовые кнопки и извещал стороны о каждом резуль-
тате), и через несколько часов оказалось, что более простая маши-
на выигрывает у противника в соотношении 55:45. Поединок ма-
шин Хагельберга — это модель борьбы между двумя организма-
ми, один из которых быстрее закрепляет и стирает рефлексы,
а второй (более осторожный) труднее их вырабатывает, зато
дольше сохраняет. Победа более простой машины доказывает,
что ее индуктивное умозаключение («... мой противник три раза
подряд выставил решку — ^р^р^О^Р^Р >значит так поступит и
в очередной раз...») лучше соответствует окружающей среде (для
нее таковой является другая машина), а, Следовательно, и прави-
льнее умозаключений противника.

94
Гуго Штейнгауз
Интересно, что машины не используют принципа случайного
выбора, когда играют друг против друга, хотя и имеют средства
для применения такой тактики. Этот принцип был бы выгоден для
менее понятливой машины, которая без него проиграла бы, полу-
чив 50% очков. Почему так? Машины не используют современную
теорию игр, а поступают эмпирически. Первая машина случайным
образом выбирает первый ход; пусть это будет решка. Противник
также случайным образом выбирает ответ и ошибается. Предполо-
жим, что первая, быстрее обучающаяся машина М\ считает выбор
орла другой машиной Мг ее предпочтением, и сама следующим хо-
дом выбирает решку. Машина Мг, получив два раза информацию
РР, посчитает это доказательством того, что Mi, выиграв раз на
решке, повторит ее и воспользуется этой информацией в ближай-
шем случае — таким образом, отдельные ошибочные действия
превращаются в систему... Это напоминает явление взаимодейст-
вия ротора и статора при запуске электрического генератора.
8. Прогноз. Что такое наилучший прогноз? Мы желаем знать,
какая будет завтра в полдень температура на улице в тени на осно-
ве уже имеющейся информации. В данном случае мы называем
информацией комплекс наблюдений в соответствии с принятой
метеорологической теорией. Благодаря этой информации метео-
ролог может, например, сообщить нам вероятность того, что зав-
тра в полдень температура будет ниже а градусов. Вероятность/?
является функцией /?(а), которую на основе информации можно
определить для каждого а. Предсказания относятся не только
к погоде, но и ко многим другим объектам (например, к расписа-
нию движения поездов). Объявление о том, что обычный поезд №
682 отправится в 13.43, является предсказанием. Управление же-
лезной дороги располагает информацией, т. е. перечнем истин-
ных времен отправления данного поезда за месяц (представляю-
щим собой фактически реализованное расписание). Если бы по
этой информации просто вычисляли среднее (так называемое
ожидаемое) время отправления и представляли его в качестве
прогноза, то в расписании следовало бы вместо 13.43 написать
13.57, так как в среднем поезд отправляется на 14 минут позже.
Почему же публике не сообщают именно среднее время?

Индуктивное умозаключение
95
Простое рассуждение показывает, что если бы ущерб, нане-
сенный пассажиру, был пропорционален квадрату (с - df разности
между временем с его появления на перроне и временем d фактиче-
ского отправления, то следовало бы сообщать об отправлении в
13.57, поскольку таким образом вред, причиняемый публике, поль-
зующейся поездом № 682, сводится к минимуму. Известно, одна-
ко, что такая гипотеза является нелепой, поэтому объявляется
13.43, т. е. время,ранее которого руководителям движения под уг-
розой дисциплинарных наказаний запрещено отправлять поезд.
Как известно, иногда пассажир опаздывает из-за того, что его часы
отстают (а ему кажется, что он пришел вовремя), и учитывая это
обстоятельство, раньше в некоторых странах часы пристанцион-
ных ресторанов переводили на одну минуту вперед. Так — хотя и
без математического анализа — управления железными дорогами
решали задачу наилучшего прогноза. Один прогноз они давали
пассажирам, изучающим расписание дома, а другой — сидящим в
железнодорожном ресторане. Кому же они сообщали прогноз
13.57? Они сообщали его министерству, заинтересованному в ис-
следовании пунктуальности железнодорожного движения и ис-
пользовании этих данных для определения средних возможностей
движения. Кто-то мог бы назвать эти прогнозы «истинными», что
было бы неверным: истинных прогнозов не бывает — из одной и
той же информации для двух потребителей вытекают разные про-
гнозы, которые отличаются способом использования информации,
а в результате и разные последствия в смысле нанесенного ущерба.
9. Оценка и теория игр. Прогноз представляет собой разно-
видность так называемой оценки, которая невозможна, если от-
сутствует практическая цель. Если же такая цель существует, то
оценка становится возможной благодаря наличию информации.
Информация также подпадает под понятие предварительного
описания, так как она является источником априорных вероятно-
стей, и в п. 2 мы уже сетовали на редкость ситуаций, в которых мы
располагаем этими вероятностями. Индукция должна обходиться
без них. Вернемся к этому вопросу.
Не подлежит сомнению, что азартные игры положили начало
теории вероятностей, а она дала теоретическую основу не только

96
Гуго Штейнгауз
играм, но разрослась в теорию чрезвычайно важного философ-
ского и практического значения—достаточно хотя бы вспомнить
кинетическую теорию материи, т. е. статистическую физику. Но
неполных 30 лет тому назад появилась другая, современная тео-
рия игр, в которой главное место заняли новые и довольно свое-
образные понятия. Эту всеобщую доктрину можно было бы на-
звать наукой борьбы и соревнования, или, если угодно, теорией
состязаний. Примером задачи из теории игр является окончание
шахматной партии: полное ее решение (если это, например, пяти-
ходовка) демонстрирует, как в каждой ситуации должны посту-
пать белые, чтобы самое позднее на пятом ходу объявить мат,
а также — как в каждой ситуации должны поступать черные, что-
бы не проиграть раньше. Возможно, еще интереснее задача о пре-
следовании, на примере которой можно проиллюстрировать
принцип «минимакса», характерный для современной теории
игр. Предположим, что речь идет о гонке кораблей, в которой до-
гоняющий корабль обладает большей скоростью. Задача пресле-
дования состоит в выработке оптимальной тактики для его капи-
тана, т. е. тактики, которая гарантирует, что он перехватит про-
тивника самое позднее через 5 часов. Другая часть задачи состоит
в выработке оптимальной тактики для противника, гарантирую-
щей, что его не догонят раньше. Название «минимакс» возникло
вследствие того, что время от начала маневров до конца есть фун-
кция F(Ts, Тц) тактики Ts преследователя и тактики Тц убегающе-
го, а решение основано на подборе для каждой Ts такой Ту, кото-
рая придает функции F максимальное значение. Поскольку это
значение зависит только от Ts , мы обозначим его через M(Ts),
а затем станем подбирать Ts так, чтобы функция F приняла мини-
мальное значение. В этом случае Ts будет являться наилучшей
тактикой преследователя и гарантирует ему достижение цели
за время, не превышающее 5 часов. Если мы изменим последова-
тельность этих операций, то найдем наилучшую тактику для убе-
гающего, которая гарантирует ему по меньшей мере 5 часов сво-
боды. Если обе стороны будут использовать свои наилучшие так-
тики, то маневры продлятся ровно 5 часов. Здесь мы видим
аналогию с шахматами — там тоже существует основной вари-
ант, требующий 5 ходов. Обе игры, преследование и шахматное

Индуктивное умозаключение
97
окончание, мы называем «замкнутыми». Но намного интереснее
«открытая» игра, в которой не существует двух антагонистиче-
ских тактик, отвечающих интересам каждой стороны (такими
примерами изобилует война, главным образом в области страте-
гии, а не тактики). Пусть, например, сторона W умеет произво-
дить два вида танков, А и В, а сторона Z — тоже два, С и D, и из
предыдущего опыта на полях сражений известно, что 70% встреч
АС выигрывает А, 60% встреч СВ выигрывает С, 85% встреч BD
выигрывает В, а 65% встреч DA выигрывает D. В этой ситуации
ни W, ни Z не могут определить, какой тип выбрать для производ-
ства — наилучшего типа не существует, т. к. нет взаимно наилуч-
шей пары и нет игры «острие на острие» или основного варианта.
Принцип «минимакса» здесь помочь не может, так как, приме-
няя его, ни одна из сторон не продвинется до границ своих воз-
можностей. Однако оказывается, что эту открытую игру удается
свести к замкнутой, если стороны откажутся от поиска наилуч-
шего типа, а вместо этого перейдут к «смешанной стратегии»,
т. е. на производство обоих типов (А и В, а также С и D в некото-
рых пропорциях), и тогда метод «минимакса» позволяет опреде-
лить требуемые пропорции. В данном примере для W лучше все-
го будет производить 37.5% танков А и 62.5% танков В — ника-
кое другое решение не гарантирует этой стороне лучших
результатов, причем это соотношение возникает независимо от
решения противника. Существование наилучшей взаимной сме-
шанной стратегии доказал Дж. фон Нейман1, однако здесь нас
интересует не общее доказательство, а применение рассмотрен-
ного метода для задач оценки.
Желая из оценки сделать игру, следует представить себе
партнеров и определить правила игры. Если мы хотим в соответ-
ствии с формальным требованием исследовать эффективность
препарата Н на дюжине мышей, то одним партнером является
биолог, а другим — комплекс бесчисленных факторов, от кото-
рых зависит эффективность препарата (к ним относятся также ин-
дивидуальные особенности мышей). Поскольку «черт его знает,
1 См., например, J. С. С. McKinsey: Introduction to the Theory of Games. New York,
1952. McGraw-Hill Book Co., X + 371 p.

98
Гуго Штейнгауз
какова эффективность на самом деле», мы можем назвать этот
комплекс факторов «чертом», вследствие чего первым правилом
игры является право черта назначить препарату такую эффектив-
ность, какую он захочет. Второе правило — это право биолога на
умозаключение по дюжине опытов. Третье — это штраф за ошиб-
ку, который платит черту биолог при ошибке, т. е. когда считает,
что эффективность равна р\ если на самом деле она равна/?. Счи-
тая, что этот штраф равен (р -р')2 (согласно классической теории
ошибок), мы вновь приходим к открытой игре и поэтому можем
воспользоваться теорией фон Неймана. Согласно этой теории,
наилучшая тактика биолога при результате mlln выражается
оценкой
. W + 1/2V/T , ,^ч
р = (в нашем случае п = 12), (4)
п +V/T
зато черт выигрывает по большей части тогда, когда пользуется
смешанной тактикой, основанной на некотором утонченном спо-
собе придания каждой таблетке разной эффективности. Формулу
(4) получил в 1950 г. американский математик Г. Рубин1. Сводя
задачу оценки к игре, мы должны отметить следующие интерес-
ные особенности:
1. Биолог обходится без знания тактики черта и даже без зна-
ния «априорных вероятностей».
2. Правило (4) является наилучшим; всякое другое увеличи-
вает средний квадрат ошибки.
3. Правило (4) обеспечивает независимость биолога от внеш-
них факторов, так как средний квадрат его ошибки всегда равен
(т. е. в нашем примере 11.2 %).
2(V^T+1)
4. Правило (4) является строгим; оно избавляет биолога от не-
обходимости постоянного изменения расчетной формулы — та-
1 См. J. L. Hodges and Е. L. Lehmann: Some problems in minimax point estimation.
Annals of Mathematical Statistics 21,1950, pp. 182-197, а также H. Steinhaus: The
problem of estimation. [Annals of Mathematical Statistics 28, 1957, pp. 633-648. —
Прим. ред. польского издания.]

Индуктивное умозаключение
99
кая возможность появляется в иных ситуациях при использова-
нии метода «минимакса» и заставляет изменять суждения, хотя
результат эксперимента и не изменился. В таких ситуациях чело-
век (в отличие от биологической среды) может делать однознач-
ные выводы. Без формулы (4) мы постоянно сталкивались бы с
индетерминизмом суждения, причем в его наиболее фатальной
разновидности.
10. Обсуждение метода п. 9. Очевидно, что этот метод явля-
ется еще одним примером необходимости связи (на общих осно-
ваниях) индукции с практическими результатами индуктивного
заключения. Возможно, что формула (4) несколько упрощает за-
дачу за счет введения штрафа (р - р')2, который, по-видимому,
было бы лучше определить через ущерб, нанесенный пациенту
запуском в обращение нейтрального препарата или уничтожени-
ем активного препарата. Мы можем привести и более наглядный
пример. Пусть, например, фабрика одежды хочет на основании
небольшого количества измерений установить типы рабочих
комбинезонов: производитель хочет выпускать 12 «размеров»,
и из 500 измеренных работников размер L подходит для 30 чело-
век. Оценка доли L в продукции должна учитывать, что не нашед-
ший применения комбинезон означает потерю рабочего времени
и материала, а потребитель, не нашедший соответствующего ком-
бинезона и заказавший его у частного портного, теряет разницу
в цене. Штраф, который платит общество, и оценка доли L в этих
случаях, конечно, имеют различный характер, но в обеих ситуа-
циях речь идет об игре, оптимально обеспечивающей общие ин-
тересы.
Кроме того, подход теории игр в целом вызывает и иные воз-
ражения. В частности, его упрекают в том, что он как бы позволя-
ет «придать» черту слишком много умственных способностей и
фальши, в соответствии с известной фразой «природа не желает,
чтобы мы заблуждались». Этот упрек можно было бы не прини-
мать во внимание, потому что черт, по-видимому, вообще ничего
не желает (в отличие от нас!), и эта его характерная особенность
не оставляет нам (а мы очень хотим чего-то!) ничего лучшего, чем
метод «минимакса», чтобы проиграть как можно меньше. Недо-

100
Гуго Штейнгауз
статком метода считают и то, что в нем игнорируется любая апри-
орная информация, которая ведь (хотя бы частично) обычно явля-
ется доступной.
Еще более наглядным примером может служить исследова-
ние групп крови. Предположим, что путешественник исследовал
50 эскимосов, принадлежащих к некоторому роду, и обнаружил
среди них шесть человек с группой крови Rh-. Для оценки часто-
ты появления Rh- у всего рода можно воспользоваться формулой
(4). Кроме этого, можно изучить информацию, полученную дру-
гими исследователями, которые не добрались до этого рода, но
брали ранее пробы крови у нескольких сотен эскимосов из других
местностей (предположим, что они обнаружили при этом, напри-
мер, в среднем 15% людей с группой крови Rh-). С точки зрения
объективных критиков, следовало бы принять во внимание и эту
информацию или хотя бы тот факт, что ни в одной популяции до
сих пор не встречалось более 35% группы Rh-. С учетом этих дан-
ных оценка путешественника (которая равнялась 16.7%) умень-
шилась бы. С другой стороны, задача исследователя состоит не в
цитировании чужих результатов, а в получении независимых дан-
ных (ведь его спрашивают не о том, что обнаружили другие
где-то еще, а о том, что он сам смог зарегистрировать в доступных
ему пределах). Поэтому критика выглядит несправедливой. Ну, и
все мы (и это не только мое мнение) заблуждаемся, когда не жела-
ем или не позволяем обвинять природу в наличии дьявольских
свойств. Мы приписываем ей эти свойства не потому, что имеем
на это основания, а потому, что обычно ничего о ней не знаем.
Впрочем, если мы даже что-то и знаем, то, как было только что
показано, не можем извлечь из этого пользу.
Заслуживает внимания также следующий упрек: обсуждае-
мая нами игра заставляет статистиков угадывать р и зависимость
штрафа от разности между р* и действительным значением/?, что
не является ответом на поставленный в п. 1 вопрос: «какой исход
можно предсказать в ближайшем опыте по результату тПпЪ>. Та-
кой вопрос придает проблеме эмпирическую основу, на которой и
должна базироваться игра, и, следовательно, в ней не следует во-
обще ничего говорить об истинном, скрытом значении/?. Игру та-
кого типа можно создать (сконструировать) только вводя штраф,

Индуктивное умозаключение
101
зависящий от разности между значением р\ которое дает стати-
стика, и результатом ближайшего опыта (этот результат мы бу-
дем обозначать через 1 при выпадении орла и через 0 — при выпа-
дении решки). Предлагаем читателям самим найти примеры, в ко-
торых проявляется разница между описанной ранее игрой
и предлагаемой сейчас.
По поводу применения теории игр можно сделать еще один
упрек, связанный с автоматами Хагельбергера. В сущности, эти
автоматы используют не современную теорию игр, а похожи ско-
рее на шулеров-психологов в дурацких фильмах, которые следят
за каждым вздрагиванием мускулов на лице партнера, за каждым
его движением и каждым взглядом. Таких демонических психо-
логов вне экрана не существует, однако машины не только реали-
зуют эти мечты авторов и читателей криминальных повестей, но
даже добиваются большего, благодаря феноменальной памяти —
она верна, устойчива и всегда в готовности. Машины действи-
тельно играют с каждым партнером по-разному, в чем живой че-
ловек не может с ними сравняться. Заслуживающий особого вни-
мания парадокс заключается в том, что человек может применять
математическую теорию игр, но биологическую игру (основан-
ную на приспособляемости к окружающей среде) может осущест-
влять только машина, ибо только она может в течение немногих
минут пройти путь эволюции, на который живым организмам
требуются миллионы лет. Конечно, за эту привилегию автоматы
расплачиваются тем, что могут выучиться только конкретным иг-
рам (например, в «подкидного дурака»). Мы уже говорили о пре-
следовании, и в свете этих замечаний появляется новая возмож-
ность — создание машины, которая использует психологическую
теорию состязания и таким образом предугадывает курс против-
ника на основе опыта.
Попробуем обобщить пройденный путь, не останавливаясь
на сложностях, пробуждая у внимательного читателя сомнение и
не усыпляя его подробностями. В индуктивном умозаключении
вывод имеет форму предпосылки, которая в строгом виде гласит:
«если до сего времени эффективность лекарства была равна 90%,
то оно всегда будет эффективно в 90% случаев». Известно, что та-

102
Гуго Штейнгауз
кая формулировка порочна, и ее тщательный анализ приводит
к уподоблению вывода схеме выбора. Эта схема сама является
идеализацией понятия случая (случайного события), а ее исполь-
зование требует определения априорных вероятностей. На при-
мере задачи определения отцовства мы показали, что иногда эту
трудность удается устранить, однако следует вспомнить, что при
этом мы ссылались на частоту с группы крови С у популяции та-
ким образом, как если бы эта константа с была известна. Однако
реально величина с определяется без исследования всей популя-
ции, а лишь на основе проверки всего нескольких тысяч людей.
В отношении всей популяции затем делается индуктивный вы-
вод, а мы вынуждены приписывать вероятность (долю) в пробной
партии популяции в целом, совершая ошибку, решительно осуж-
денную в тексте. Такое поведение можно оправдать только ссыл-
кой на то, что ошибка «не играет роли», если пробная партия до-
статочно велика. Можно доказать, что влияние априорных веро-
ятностей на величину апостериорной вероятности уменьшается
по мере увеличения количества экспериментов. Ригорист упрек-
нет нас в том, что мы пользуемсяpetitoprincipii, т. е. аргументом,
основанным на выводе из положения, которое само еще требует
доказательства (ибо вся проблема индукции сводится именно
к определению числа необходимых экспериментов). Мы можем
утешить критика лишь соображением, что все применения тео-
рии на практике также представляют собой замкнутый круг —
ведь прецизионная аппаратура есть продукт других, менее совер-
шенных средств. Остается призвать на помощь закон больших
чисел, который позволяет нам определить некоторые события
с вероятностью почти равной 1, но эти события не являются до-
стоверными. Это препятствие тоже удается преодолеть (извест-
но, что в физике можно приписывать некоторым явлениям веро-
ятность 1, не опасаясь вступить в конфликт с действительно-
стью). К сожалению, пока еще не создана последовательная
теория чудес, т. е. явлений с нулевой вероятностью, но над такой
теорией следует подумать. Чаще всего мы имеем дело с неболь-
шим числом экспериментов и не знаем априорного распределе-
ния вероятностей, и тогда задачу необходимо свести к игре (более
или менее искусственной), в которой на первый план выходит

Индуктивное умозаключение
103
роль ставки. Ставку можно определить, зная интересы участвую-
щих сторон. Например, примем судью за представителя общества
и будем считать, что ошибочный приговор наносит социальный
вред, который в случае установления отцовства можно выразить
в деньгах, а именно в сумме К, взимаемой в пользу ребенка. Об-
щество несет убыток К как в том случае, когда приговор обреме-
няет ответчика взиманием денег в пользу чужого ребенка, так и
тогда, когда это бремя перекладывается с отца на мать. Мнение
суда можно и следует так увязать с экспертизой, чтобы ожидае-
мый общественный вред был минимальным. Ученый, который
хочет получить полное решение задачи путем индукции, не смо-
жет этого сделать в случае чисто теоретической, т. е. не связан-
ной с жизнью задачи. С другой стороны, организмы, приобрета-
ющие условные рефлексы и через это изменяющие свое поведе-
ние при повторении импульсов, не делают выводов в логическом
смысле, а являются лишь моделями индуктивного умозаключе-
ния. Это сравнение показывает надлежащее место индуктивного
поведения, которое основано на сочетании наблюдения с дейст-
вием. У организмов такое сочетание автоматизировано, не требу-
ет умозаключений и касается только «естественных» действий.
Человек же способен наблюдать факты, лишенные естественного
значения. Предположения ученого относительно повторения
этих фактов нельзя понять ни в одной научно обоснованной тео-
рии, пока им не будет придано значение в смысле выгоды и убыт-
ка, выраженных в экономических единицах. Однако если такие
связи найдутся, умозаключение в виде высказывания станет не-
нужным, а путь от наблюдения до действия можно будет сокра-
тить, минуя высказывание. Точнее, вместо умозаключения «экс-
перимент дал ml In, в связи с этим ближайший опыт даст положи-
тельный результат, а, следовательно, мы должны принять
решение D» появится императивная форма: «эксперимент дал ре-
зультат ml In, следует принять решение D». Результатом являются
правила действия. Устранение промежуточного звена является не
стилистической, а методической экономией, избавляющей нас от
утверждения, которое само нуждается в доказательстве. Это не
освобождает нас, пишущих об индукции и, следовательно, зани-
мающихся метаиндукцией, от доказательства справедливости

104
Гуго Штейнгауз
императивной формы: если удалось свести конкретную проблему
к игре, средний убыток живого партнера (советниками которого
мы являемся) будет по возможности наименьшим. Впрочем, и это
положение имеет лишь фигуральное значение, так как оно отно-
сится к игре, продолжающейся бесконечно долго.
Это может огорчить приверженцев «законов» природы, одна-
ко им можно напомнить, что даже если такие абсолютно обяза-
тельные законы существуют (и даже если они принадлежат к чис-
лу уже открытых), то из этого вовсе не следует, что индуктивный
метод позволит отличить их от тех, которые завтра будут опро-
вергнуты. Это безусловно следует учитывать, говоря исключи-
тельно о сфере действия этого метода.
Все эти выводы требуют еще одного уточнения. Статистика
учит и требует, чтобы выбор объектов эксперимента был случай-
ным (например, для испытания лекарства нужно по жребию ото-
брать 12 пациентов, которым его назначить). Поэтому нам легко
поставить в вину, что наше поведение основано на иррациональ-
ном элементе, которым является жеребьевка (попугай, вытягива-
ющий номерки из корзинки, — решающий фактор нашего пове-
дения), и выглядит как подражание древним римлянам, у которых
вопросы войны и мира решались при помощи гадания по полету
птиц. Этот упрек можно отвести с помощью примеров из физики,
в которых удалось исключить понятие «случая», и современных
успехов в разработке рациональных способов отбора.
Таким образом, анализ индуктивного умозаключения остав-
ляет на дне реторты две первоначальные субстанции, которые не
удается разложить нашими средствами: одна из них — это инте-
рес потребителя, другая — подстановка бесконечно большого ко-
личества принимаемых решений и соответствующих каждому ре-
альному действию выгод и убытков... Такая подстановка напо-
минает этическую максиму Канта, хотя в ней и не усматривается
непосредственная связь с этикой... Теория индукции оказывается
в действительности связанной с бытием личности и общества го-
раздо глубже, чем гласит соответствующая этой связи избитая
фраза.

Беседа
(немного историческая)
В истории математики XIX века есть переломная дата, когда
было сформулировано определение непрерывной функции.
Проблема непрерывности, разумеется, терзала еще древних уче-
ных, поскольку была навязана им геометрией и кинематикой, но
удивительным капризом эволюции математических понятий се-
годня кажется тот факт, что дифференциальное и интегральное
исчисление на целое столетие опередило то определение непре-
рывной функции, которое используется современной математи-
кой. Общепризнанным автором этого определения считается
Коши, благодаря работам, выполненным в 1821, 1823 и 1829 го-
дах. Переломным моментом, однако, следует считать не одну из
этих дат, а 1817 год, когда в Праге была опубликована статья под
заголовком «Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen
jezwey Werthen, dieein entgegengesetztes Resultat gewahren, wenig-
stens eine reelle Wurzel der Gleihung liege». Именно эту работу со-
временные исследователи эволюции основ дифференциального
исчисления считают началом той математической строгости, ко-
торая на целое поколение позже воцарилась в европейских науч-
ных центрах благодаря влиянию Вейерштрасса. Автором статьи
был Бернгард Больцано, философ и математик. Его отец происхо-
дил из северной Италии, а сам он всю жизнь провел в Праге —
предикат «из Богемии», упоминаемый в английской энциклопе-
дии, трудно признать за принадлежность к чешской национально-
сти, тем более, что Больцано писал только по-немецки... Поэто-
му, может, его следует считать австрийцем?
Больцано опередил свою эпоху также как автор примера функ-
ции, везде непрерывной, но, однако, не имеющей производной ни

106
Гуго Штейнгауз
в одной точке. Обычно первенство этого открытия приписывают
Вейерштрассу (в первой половине XIX века мало кто знал Боль-
цано, который не имел академических званий и не публиковал
свои работы в Crelle's Journal), и лишь через 50 лет Г. Ханкель вы-
тащил на свет преданное забвению имя Больцано. Сегодня одна
из центральных пражских улиц носит его имя, но почти ничего не
говорит прохожим. В Польше об этих исторических фактах знал
Самуэль Дикштейн, который в 1899 г. опубликовал материалы к
вопросу об истории принципов исчисления бесконечно малых.
Заглавие статьи от 1817 г., приведенное выше в оригинальной
версии, содержит сокращенный текст теоремы: Если непрерывная
функция принимает на одном конце интервала непрерывности
отрицательное значение, а на другом — положительное, то в ка-
кой-то точке этого интервала она должна принимать нулевое
значение. В своей статье Больцано дал полное доказательство
этой теоремы, благодаря строгому определению непрерывности,
которое он сам и сформулировал. Мне очень трудно понять, поче-
му некоторые польские математики говорят, что функция, кото-
рая пробегает в некотором интервале все значения между крайни-
ми значениями, обладает свойствами Дарбу, поскольку Гастон
Дарбу родился много лет спустя после опубликования пражской
статьи и только в конце XIX века обнародовал работу, в которой
доказал, что производная/'^) произвольной дифференцируемой
функции также имеет свойство принимать промежуточные значе-
ния... разумеется приведя во вступлении классическое определе-
ние непрерывной функции как общеизвестное. Ввиду этого мож-
но изложить содержание работы Дарбу как открытие, что произ-
водная тоже обладает свойством Больцано, который первым
строго доказал его для непрерывных функций — не забудем, од-
нако, что интуитивное представление о справедливости положе-
ния, содержащегося в заглавии пражской статьи, имели все выда-
ющиеся математики XVIII века.
Из теоремы Больцано легко вытекают различные следствия,
например, такое: Если две функции J(x), g(x) являются непрерыв-
ными на [а, Ь] и удовлетворяют условиям j{a) < g(a), J[b) > g(b),
то на [a, b] существует такая точка с, что J[c) = g(c). Я хочу
здесь привести следующий вариант этой теоремы:

Беседа (немного историческая)
107
Теорема I. Предпосылка: Функция Дх) непрерывна на [а, Ь];
функция g(x) является неубывающей на [а, Ь]\ Ла)<ё(а)^
ДЬ) > g(b). Утверждение: На [а, Ь] существует такая точка с,
чтоДс) — g(c), и, более того, можно ее выбрать так, чтобы фун-
кция g(x) была непрерывной в с.
Как видим, теорема I является модификацией следствия, при-
веденного несколькими строками выше: вместо непрерывности
g(x) в ней выступает монотонность.
Доказательство.
1) Ввиду того, что ДЬ) -g(b) > 0, а также учитывая непрерыв-
ность Дх) в Ь, существуют такие положительные А, меньшие чем
b - а, что во всем интервале [Ь - h, b] выполняется/(jc) - g(b) > 0;
если учесть, что g(b) есть максимальное значение функции g на
[а, Ь], последнее неравенство дает Дх) > g(x) на интервале
[b-h,b].
2) Из предпосылки известно, что неравенство Дх) > g(x) не
выполняется при х = а; из 1) следует, что оно выполняется на
[Ь - h, b]. В связи с этим можно точки х интервала [а, Ь] поделить
на два множества: Z\ объединяет такие jc, что неравенство/> g вы-
полняется везде от х до b\ Z2 объединяет остальные точки интер-
вала [at Ь]. Известно, что точка b-h принадлежит Zj, а точка а —
Zi\ ясно также, что все точки множества Z\ лежат справа от всех то-
чек множества Z^ Существуют такие положительные к, что для
всех х из интервала [а, а+ к] справедливо неравенствоДх) < g(x) —
это следует из предпосылки теоремы I путем рассуждений, подоб-
ных 1). Из этого вытекает существование такой точки с внутри
[а, Ь], что все х справа от с принадлежат Zj, а все х слева от с при-
надлежат Zi. Теперь необходимо исследовать, удовлетворяет ли
определенная таким образом точка с требованиям теоремы I.
3) Рассмотрим три существующие возможности: а) функция
g(x) непрерывна в точке с; Р) функция g(x) не является непрерыв-
ной в с и g(c) = g(c + 0); у) функция g(x) не является непрерывной
в с и g(c) < g(c + 0). В случае а разность d(x) =Дх) - g(x) непрерыв-
на в с, неотрицательна справа от с и неположительна слева от с,
из чего следует d(c) = 0 и Дс) = g(c). В случае Р выполняется

108
Гуго Штейнгауз
g(c - 0) < g(c), но тогда d(x) правосторонне непрерывна в с, и, сле-
довательно, d(c) > 0. Поскольку g(c - 0) < g(c), то g(x) <J[c) для
х < с, и, следовательно, d(jc) > 0 в интервале [с -у, с] при достаточ-
но малом положительном j. Из этого вытекает неравенство
d(x) > 0 в интервале [с -j, b], которое противоречит определению
точки с. В случае у мы имеем g(c) < g(c + 0) <j{c + 0) =У(с), и, сле-
довательно, d(c) > 0, что (учитывая первый пункт доказательства)
приводит к включению точки с -j в группу Z\ и противоречию
с определением точки с. Возможным оказывается только случай
а (поскольку только при этом выполняется утверждение теоре-
мы I), что и требовалось доказать.
Воспользуемся теоремой I для решения задачи определения
числа точек, являющихся узлами решетки в круге. Имеется в виду
круг с уравнением и2 + v2 = л, т. е. круг, центр которого находится
в начале прямоугольных координат с осями и, v и радиус которого
г -4п есть произвольное положительное число; узлами решетки
мы называем точки с целыми значениями координат и, v. Мы хо-
тим доказать, что существует такая последовательность кругов
с радиусами гт что lim г = оо и что для каждого круга этой по-
/и->оо
следовательности число охватываемых им узлов решетки равно
его площади,.
Обозначим через L(n) число узлов решетки, охватываемых
кругом и +v =п. Элементарный вывод (его можно найти, напри-
мер, в Теории чисел Серпиньского, изд. 1, 1950, с. 86) приводит
к формуле
Цп) = 1 + 4^л1п-к2, (1)
где символ Eq означает наибольшее целое число, не превышаю-
щее q. В элементарной теории чисел известно так называемое
«тождество Лиувилля» (см. § 6 цитированной книги, с. 399-400),
которое позволяет преобразовать правую часть выражения (1) и
придать ему вид
Цп) = 1 + 41е-- Е- + Е--- ±.Д, (2)

Беседа (немного историческая)
109
причем сумма в правой части (2) только с виду кажется бесконеч-
ной, поскольку Е—= О для к> п. Представим далее число п в виде
к
1 -3-5.. .(2т +1), где т — натуральное число, и рассмотрим соотно-
шение (2) отдельно для четных и нечетных значений т. В обоих
случаях вместо (2) можно записать
[13 5 7 п
причем для четного т последний член имеет знак +, а для нечет-
ного знак -. Выражение в фигурных скобках в (3) представляет
собой частичную сумму ряда Лейбница, а полная сумма всего
ряда равна я/4. Поэтому
L(ri) > 1 + пп для четного т (случай а),
L(n) < 1 + пп для нечетного т (случай б). (4)
Мы видим, что в случае а число узлов решетки, охватывае-
мых кругом, больше его площади, и это относится ко всем кругам
с радиусами 1-3-5... (4s + 1), где s — произвольное натуральное
число.
В случае б мы воспользуемся выражением (2) и заменим в
нем п на п' = п + 1/3, из чего следует п = 1-3-5... {As + 1)(4s + 3).
Очевидно, что L(n') = L(ri), так как добавление 1/3 к л не изменяет
значение правой части в (2), но площадь круга увеличивается на
величину (ri - п)п = я/3 > 1. Из этого сразу следует соотношение
L(ri) = L(n) < 1+ пп < п'п.
Подытоживая полученные результаты, отметим, что для
х= 1-3-5... (4s + 1) имеет место неравенство L(x) > хп9 а для
х = 1-3-5... (4s + 3) + 1/3 — неравенство L(x) <хп (где s — произ-
вольное натуральное число). Функция пх представляет собой пло-
щадь круга с радиусом 4х, из чего очевидно, что функция Дх) яв-
ляется непрерывной в интервале 0 < х < оо, а значит и в интервале
[а, Ь], где
а = 1-3-5 - (4s +1), Ъ = 1/3 + 1-3-5 - (4s + 3). (5)
(3)

110
Гуго Штейнгауз
Функция L(x) представляет собой число узлов решетки, нахо-
дящихся в круге с радиусом <Jx (причем сюда включаются и точ-
ки, лежащие на границе круга), так что эта функция является неу-
бывающей в интервале [0, оо), а значит, и в интервале [а, Ь\. Обо-
значив ее через g(x), можно записать неравенства J[a) < g(a) и
J{b) > g(b). Поскольку определенные таким образом функции/и
g, а также определяемый уравнением (5) интервал [а, Ь], удовлет-
воряют условиям теоремы I, то должно удовлетворяться и ее
утверждение: между а и Ъ существует точка с, в которой/= g и в
которой функция g(x) непрерывна. Иначе говоря:
Теорема II. Предпосылка: Дано натуральное число s.
Утверждение: В интервале [а, Ь], определяемом (5), существует
такое число с, что круг с радиусом 4с охватывает столько узлов
решетки, сколько составляет его площадь.
Эту теорему можно было бы оспорить на том основании, что
причисление лежащих на границе круга точек к точкам, лежащим
внутри круга, является чрезвычайно искусственным приемом.
Однако это возражение отпадает в силу того, что равенство «пло-
щадь = число узлов решетки» никогда не может выполняться на
окружности и2 + v2 = г2, проходящей через какой-либо узел решет-
ки. Действительно, в этом случае мы имеем г2 — целое число, т. е.
площадь составляет г2п — число иррациональное (а число узлов
решетки может быть только целым).
Назовем особыми такие радиусы г, при которых площадь кру-
га и2 + v2 = г2 равна числу узлов решетки, лежащих внутри круга.
Особые радиусы можно упорядочить по величине и получить по-
следовательность гш причем можно доказать, что для этой после-
довательности lim гт = оо. Доказательство основывается на том,
что радиусы окружностей, проходящих через узлы решетки, об-
разуют последовательность, возрастающую до бесконечности, а
уравнение такой окружности можно представить в виде и2 + v2 =
= п = «о + Vq , где щ, vo — точка, являющаяся узлом решетки. По-
скольку п должно быть целым числом, то эти окружности (назо-
вем их узловыми) можно упорядочить по п. Узловая окружность
соответствует не каждому целому л, а только п = О, 1,4,... (и всем

Беседа (немного историческая)
111
другим п вида q , если q — целое число), из чего следует, что узло-
вые окружности представляют собой частичную последователь-
ность другой (бесконечной) последовательности окружностей с
радиусами л/и, где п — нуль либо натуральное число (п = О, 1,
2,...)-
Если мы хотим доказать, что последовательность особых ра-
диусов гт стремится к бесконечности, то необходимо воспользо-
ваться уже доказанным в теореме II фактом, в соответствии с ко-
торым в каждом интервале лежит особый ради-
ус, а также учесть, что в кольце, образованном двумя соседними
узловыми окружностями, находится самое большее одна особая
окружность, или окружность с особым радиусом. Это следует из
того, что в кольце нет узловых точек и что, как мы уже знаем, осо-
бые окружности никогда не являются узловыми. Следовательно,
если бы в кольце были две разные особые окружности, то боль-
шая из них охватывала столько узловых точек, сколько и мень-
шая, а площади соответствующих кругов были бы различными,
что противоречит определению особых окружностей. Очень ко-
ротко полученный результат можно выразить следующим утвер-
ждением: особые окружности можно упорядочить по возраста-
нию, а их множество перечислимо. Так как для каждого натураль-
ного s имеется особый радиус гш больший чем 4s + 1, то lim гт=со
для каждого упорядочения множества особых радиусов.
Теорема III. Если круг с центром в точке и = 0, v = 0 непре-
рывно увеличивать так, чтобы его радиус стремился к бесконеч-
ности, то мы все время будем встречать особые окружности,
т. е. такие, которые заключают внутри столько узловых точек,
сколько площади занимают ограниченные этими окружностями
круги.
Доказательство теоремы III предшествует ее формулировке.
Автор старался получить эту теорему элементарным путем. Вели-
кий английский математик Г. Г. Харди (1877-1947) занимался
проблемой узловых точек (1924-25) и получил с помощью теории
функций Бесселя формулу для разности L(n) - п, из которой путем
ее оценки можно вывести нашу теорему III. С другой стороны,

112
Гуго Штейнгауз
ясно, что доказательство, намеченное формулами (1) и (2), а так-
же (3)-(4)-(5), короче и легче дороги к цели, определяемой тек-
стом теоремы III.
Нетрудно показать, что число узловых точек в центральном
круге (т. е. в таком, центр которого находится в узловой точке)
всегда равно 4к+ 1 и ввиду этого в такой круг никогда не попадает
7 узловых точек. Однако можно легко доказать также, что круг
с площадью, равной 7, можно так расположить на решетке, чтобы
в него попало ровно 7 узловых точек — в этом утверждении вмес-
то 7 можно также использовать произвольное натуральное число.
В этой беседе мы затронули занимательную и непростую за-
дачу: всегда ли между двумя следующими непосредственно друг
за другом узловыми окружностями находится особая окруж-
ность?

О треугольниках
В школьной планиметрии треугольники классифицируются по
виду (равнобедренные, равностронние, остроугольные, ту-
поугольные и т. д.). Целью данной статьи является наглядное
представление этой классификации.
Мы будем рассматривать треугольники, расположенные на
плоскости, и их перемещения именно по данной плоскости. По-
скольку классификация будет относиться к форме, а не к величи-
не, то мы ограничимся треугольниками с периметром, равным 1
(если это условие не оговорено особо). Все рассматриваемые тре-
угольники можно разделить на классы по конгруэнтности (т. е.,
говоря о треугольнике со сторонами 1/3, 1/4 и 5/12, мы будем
иметь в виду не конкретный треугольник с такими сторонами,
а целый класс, образованный им и всеми конгруэнтными ему тре-
угольниками). В соответствии с принятым в элементарной плани-
метрии мы не будем считать конгруэнтными такие два треуголь-
ника, которые нельзя совместить движением на плоскости (иначе
говоря, надвинуть друг на друга), хотя они и являются симмет-
ричными (т. е. их можно сместить только перемещением в про-
странстве).
Ниже приводятся условия, которым должна удовлетворять
тройка действительных чисел (х, у, z), необходимые для того, что-
бы ее можно было считать тройкой длин сторон треугольника.
Каждому треугольнику соответствует некая тройка чисел, но не
каждая тройка дает треугольник.
Пусть тройка (х, у, z) состоит из самых разных чисел и пусть
возможно построение треугольника, стороны которого х, у, z сле-
дуют друг за другом так, как расположены цифры I, V и IX на ци-

114
Гуго Штейнгауз
фсрблате часов — условимся понимать (х, у, z) как символ именно
этого треугольника. Поэтому символ (1/3, 1/4, 5/12) означает то
же самое, что и символ (1/4, 5/12, 1/3), но отличается, например,
от символа (1/4,1/3, 5/12). Последний в нашем обозначении отно-
сится к треугольнику, симметричному (1/3, 1/4, 5/12), а эти треу-
гольники не являются конгруэнтными. Если два треугольника
симметричны, но не конгруэнтны (как в приведенном примере),
то их обозначают так, чтобы последовательность сторон (в поряд-
ке уменьшения их величины) соответствовала обходу по цифрам
I, V, IX на циферблате. В одном случае треугольники будут соот-
ветствовать порядку чтения символа (х, у, z), а в другом случае —
нет, и мы будем треугольники первого типа называть правоориен-
тированными, а второго типа — левоориентированными.
Теперь запишем условия, которым должны удовлетворять
символы (х, у, z):
0<х, 0<у, 0<z, (1)
у + z > х, z + х>у, х + y>z, (2)
jc+j/ + z=1. (3)
Ниже мы будем говорить исключительно о тройках (х, у, z),
удовлетворяющих условиям (1)-(3), и каждый геометрический
эквивалент такой тройки будем считать треугольником, интерп-
ретируя символ (х, у, z) описанным выше образом. Это позволяет
нам получить полный обзор видов треугольников в планиметрии,
так как тройки (*, у, z) дают нам все треугольники с единичным
периметром, включая сюда и треугольники предельного или вы-
рожденного вида.
Введем теперь вспомогательную плоскость, или плоскость
рисунка в осях ОХ и OY. На этой плоскости каждый треугольник
(х, у, z) получает образ (х, у), т. е. точку с координатами (х, у). По
этому образу можно восстановить исходный треугольник (х, у, z),
т. к. из (3) мы имеем z = 1 -х-у9 что позволяет определить z по из-
вестным величинам х и у.
Из (1)-(3) следует, что образы треугольников заполняют тре-
угольную область Тс вершинами (0,1/2), (1/2,1/2), (1/2,0). Центр
тяжести Л этой области (для краткости ниже мы будем дальше на-

О треугольниках
115
зывать его просто центром) имеет координаты (1/3, 1/3), так что
точка Л, следовательно, является образом треугольника (1/3, 1/3,
1/3), поскольку величину z мы можем вычислить из условия (3),
как было сказано выше. Поэтому А является образом равносто-
роннего треугольника.
Образы равнобедренных треугольников лежат на прямых, от-
вечающих условиям у = z, z = х или х=у, так что, в соответствии
с условием (3), уравнения этих прямых на вспомогательной плос-
кости имеют вид:
2у + х=1, 2х+у=1, х=у. (4)
Прямые (4) делят область Г на 6 треугольников. Два из них
объединяются в дельтоид А с диагональю АВ, в котором точка В
имеет координаты (1/2, 1/2) и является образом треугольника
(1/2,1/2,0). Этот треугольник является одновременно вырожден-
ным (с двумя прямыми углами), равнобедренным (с основанием в
виде точки) и прямоугольным. Две другие вершины дельтоида
А (ЕиЕ') являются двумя разными образами одного вырожденно-
го треугольника (1/4, 1/2, 1/4), который также является равнобед-
ренным с нулевыми углами при основаниях.

116
Гуго Штейнгауз
Отрезок АВ состоит из образов равнобедренных треугольни-
ков и делит область внутри дельтоида А на две треугольные части
(ЛЕВ и АЕВ), первая из которых содержит образы левоориенти-
рованных, а вторая — правоориентированных треугольников.
Точки отрезка АЕ (и АЕ) соответствуют равнобедренным треуго-
льникам с углом при вершине не менее 60°, имеющим минимум
(60°) в точке А и максимум (180°) в Е (и Е). Отрезки ЕВ (и ЕВ) со-
стоят из образов вырожденных треугольников, т. е. таких, верши-
ны которых лежат на одной прямой (треугольников с нулевой
площадью).
Заметим, что вспомогательный треугольник Т является вер-
тикальной проекцией на вспомогательную плоскость треугольни-
ка R, расположенного в пространстве. Мы можем восстановить в
точке О ось OZ перпендикулярно плоскости OXY и поставить в
соответствие удовлетворяющим условиям (1)-(3) тройкам (х, у, z)
обычные точки (х, у, z) декартова пространства XYZ. Полученные
точки заполнят равносторонний треугольник 7?, который образу-
ется путем пересечения плоскости х + у + z = 1 (на которой он ле-
жит) с плоскостями у + z = 1/2, г+х=1/2их+у= 1/2. Треуголь-
ник R можно разделить на три прямоугольных дельтоида, проведя
из его центра перпендикуляры к его сторонам, причем дельтоид А
является вертикальной проекцией на вспомогательную плоскость
одного из этих трех дельтоидов.
Это рассуждение демонстрирует равноправие дельтоидов,
образующих треугольник R, что соответствует эквивалентности
осей Х9 У, Z, а также равноправию чисел х, у, z при условиях
(1)-(3). Из этого также следует, что в каждом дельтоиде находят-
ся образы всех возможных треугольников, вследствие чего (воз-
вращаясь к рисунку) можно утверждать, что в А находятся образы
всех треугольников.
Как мы уже знаем, на сторонах ЕВ и ЕВ лежат образы всех
вырожденных треугольников, причем симметричным относи-
тельно диагонали АВ точкам соответствуют одни и те же вырож-
денные треугольники (напомним только, что среди них нельзя от-
личить левоориентированные треугольники от правоориентиро-
ванных) .

О треугольниках
117
Образы равнобедренных треугольников находятся на АВ, АЕ
и АЕ', и вновь каждой паре точек (одна из которых лежит на АЕ,
а другая на АЕ, симметрично относительно диагонали АВ) соот-
ветствует один и тот же равнобедренный треугольник, без отли-
чия в ориентации.
Прямоугольные треугольники должны удовлетворять, по
крайней мере, одному из условий:
y2 + z2=x2, z2+x2=y2, x2+y2 = z2. (5)
Исключая переменную z из (3) и (5), получим три уравнения:
(1-*Х1->0=1/2, (у + *)(1-*)=1/2, (х + у)(1-у) = №, (6)
каждое из которых соответствует гиперболе в плоскости рисунка.
При этом гипербола (1 — jc)(1 -у) = 1/2 нигде не пересекает дельто-
ид А, а две другие симметричны относительно АВ (одна из них пе-
ресекает ЕА в точке Д другая — ЕА в точке П\ каждая из точек D
и D' является образом одного и того же равнобедренного и прямо-
угольного треугольника). Часть дельтоида А, заключенная между
гиперболами, соответствует остроугольным треугольникам,
остальная часть — тупоугольным.
Таким образом, дельтоид А является как бы картой различ-
ных треугольников, а вернее, различных треугольных форм, ибо
каждой форме соответствует какая-либо точка или две точки,
принадлежащие дельтоиду. Это соответствие обладает свойством
непрерывности, если малым изменениям формы (т. е. малым из-
менениям чисел х, у, z) соответствуют малые смещения точек-об-
разов на карте. Однако соответствие не является однозначным,
так как некоторые формы имеют на карте два образа. Для устра-
нения этого недостатка мы должны склеить края дельтоида АЕВ и
АЕВ таким образом, чтобы из каждой пары точек (расположен-
ных на краях симметрично относительно АВ) сделать одну (одна-
ко при этом внутренняя область треугольника АЕВ должна впредь
оставаться отличной от внутренней области треугольника АЕВ).
Бумажная модель определенного таким способом преобразова-
ния, получается путем склеивания по бокам двух прилегающих
треугольников, наложенных друг на друга. Если бы модель была

118
Гуго Штейнгауз
резиновой, то мы могли бы ее натянуть на шар; поэтому говорят,
что такое образование гомоморфно со сферой (или шарообразной
поверхностью).
Таким способом мы можем получить однозначную и непре-
рывную карту всех треугольных образований, где точка Е дельтои-
да располагается на северном полюсе глобуса, точка А — на юж-
ном. Дуги гипербол (6) лежат на экваторе, точка В находится на
географической долготе 0°, точка D (и D') — на долготе 180°, а весь
край ЛЕВЕ А дельтоида находится на гринвичском меридиане
(полном, т. е. состоящем из всех точек с географической долготой
0°, с долготой 180° и обоих полюсов). На такой карте-глобусе се-
верное полушарие соответствует тупоугольным треугольникам
(а южное остроугольным), восточное левоориентированным (а за-
падное правоориентированным), экватор — прямоугольным, а
главный меридиан равнобедренным и вырожденным (последним
соответствует европейская четверть этого меридиана).
Как известно, каждая точка на сфере имеет свой антипод (т. е.
наиболее удаленную от нее точку), так что можно легко опреде-
лить соотношение «точка Q является антиподом точки Р» и запи-
сывать это соотношение сокращенно в виде PrQ. Это соотноше-
ние (связь) является взаимным (инволютивным), т. к. из PrQ вы-
текает QrP, в чем читатель без труда может убедиться сам. Более
того, если мы имеем PrQ, то всегда P*Q. Связь PrQ является не-
прерывной, то есть такой, что если точки Р и F (с антиподами Q и
Q) расположены близко, то Q также находится близко к Q'. Раз-
местив образы треугольных форм на сферическом глобусе, мы
установили антиподизм в множестве этих форм, т. е. взаимную и
непрерывную связь, обладающую дополнительно свойством, что
никакая форма не связана сама с собой. Однако это принципиаль-
ное решение проблемы антиподизма треугольных форм на сфере
является на практике неудобным, так как сферическая модель
приводит к сложным вычислениям, когда реально заданному тре-
угольнику надо поставить в соответствие точку на глобусе (на-
пример, в прикладных задачах). Поэтому мы вернемся к рассмот-
рению дельтоида и покажем, как можно установить антиподизм
непосредственно на этой модели (который, вообще говоря, не бу-

О треугольниках
119
дет согласован с антиподизмом, обнаруживаемым с помощью
карты на глобусе).
Внутренность треугольника ABE (с центром S ) можно за-
полнить подобными ему треугольниками, расположенными по-
добно (т. е. так, чтобы каждая их сторона была параллельна со-
ответствующей стороне треугольника ABE), Более того, запол-
нение можно осуществить даже так, чтобы все эти треугольники
/ имели общий центр в точке S. Сам треугольник ABE мы тоже
причислим к множеству треугольников /, а точку S можно счи-
тать треугольником / с нулевыми сторонами, так как треуголь-
ники t находятся на вспомогательной плоскости, и к ним не от-
носятся требования (1)-(3). Каждая точка Р, расположенная
внутри или на сторонах треугольника ABE, находится на ка-
ком-либо из треугольников t и только на одном из них. Прямую
PS продолжим до другого пересечения с этим треугольником t и
получим точку Q , причем в случае Р = S будем считать точку S
за искомое пересечение, и тогда Q = P. Обозначим через Q точ-
ку, симметричную Q относительно прямой АВ, и тогда каждой
точке Р однозначно будет соответствовать некоторая точка Q, и
это соответствие будет непрерывным. Как мы знаем, каждая
точка Z дельтоида А является образом некоторого треугольника
(точнее говоря, некоторой треугольной формы), который мы
обозначим через «Z». Далее поставим в соответствие каждому
треугольнику «Р» некоторый треугольник «£?'», а именно так,
чтобы точке Р соответствовала (в описанном выше смысле) точ-
ка Q, т. е. получим некоторый антиподизм множества треуголь-
ных форм. Прежде всего, необходимо доказать, что треугольник
«Р» всегда отличен от треугольника «£?'». Для точек Р9 лежащих
внутри области ABE (или ABE') это очевидно, т. к. тогда Q ле-
жит внутри области ABE (или ЛАЕ), а следовательно, существу-
ет антиподизм между лево- и правоориентированными треуго-
льниками. Если Р находится на границе вспомогательного треу-
гольника ABE (или ABE), то Q находится на границе ABE (или
ABE), следовательно «(?'» будет идентичен «Q», и поэтому ан-
типодом треугольника «Р» будет «Q». Но точки Р и Q различны
и расположены на границах одного и того же вспомогательного

120
Гуго Штейнгауз
треугольника (ABE или ABE1). Следовательно, они являются об-
разами разных треугольников «Р» и «£?», что и требовалось до-
казать.
Далее покажем, что если точка Р соответствует Q\ то точке
Q соответствует Р. Это вытекает из общей симметрии относи-
тельно АВ\ действительно, достаточно обозначить символом F
точку, симметричную Р, символом /' треугольник (в плоскости
рисунка), симметричный /, и символом 5" точку, симметричную S,
чтобы убедиться, что построение точки, соответствующей Q\
приводит от Р' к Р.
В заключение заметим, что полученное соответствие тре-
угольных форм является непрерывным. Очевидно, что соответст-
вие между формой «Р» и ее образом Р является непрерывным, в
чем мы убедились из построения карты А. Соответствие Р -> Q
также является непрерывным, а в силу однозначности непрерыв-
ным также является соответствие между Q и «Q'». Из непрерыв-
ности трех соответствий «Р» -> Р -> Q -> «£?'» следует и непре-
рывность соответствия «Р» -> «Q'». Таким образом, мы доказали,
что оно обладает и двумя другими особенностями антиподизма
(а именно, взаимностью и тем, что ни одна форма не соответству-
ет сама себе).
Какой треугольник является антиподом равностороннего?
Точке А соответствует середина С отрезка ЕВ, имеющая коорди-
наты х = 3/8,>>= 1/2, следовательно, z = 1/8. Искомый антиподиме-
ет вырожденную форму (3/8, 1/2, 1/8), поскольку является отрез-
ком, поделенным в отношении 3:4.
Полученный антиподизм не является единственно возмож-
ным, но, по-видимому, является простейшим. Предоставляем чи-
тателю возможность найти более простой с помощью рисунка.
Желая избавиться от условия (3), мы можем вместо одной
сферы с радиусом 1 (на которой находятся, как было показано, об-
разы треугольников с периметром, равным 1) использовать все
сферы, концентрические с первой. Каждый треугольник с пери-
метром s в качестве образа имеет точку на сфере с радиусом s. Мы
поместим ее на радиусе, проведенном из общего центра Мк обра-
зу треугольника, подобного данному и удовлетворяющего уело-

О треугольниках
121
вию (3), причем этот образ лежит на исходной сфере. Так мы по-
лучим образы всех треугольников (точка М будет образом тре-
угольника со сторонами 0, 0, 0), и их множество заполнит все
трехмерное пространство. Напомним, что это образы всех тре-
угольников, лежащих на основной плоскости, причем в соответ-
ствии с предварительным выводом треугольники одного класса
отождествляются, а треугольники разной ориентации отличают-
ся друг от друга (однако в предлагаемом построении теряет силу
условие, исключающее учет размеров треугольников). Таким об-
разом, оказывается, что множество всех разных плоских треуго-
льников (т. е. попарно не подобных) удается однозначно и непре-
рывно отразить на трехмерное пространство. Введение антипо-
дизма вынуждает отказаться от точки М, т. е. от треугольника,
вырожденного в точку.
Наше последнее замечание касается иного определения треу-
гольной формы, имея в виду определение подобия через равенст-
во соответствующих углов в подобных треугольниках. Такое
определение отождествляет все формы, которые на рисунке име-
ют образы на отрезке ЕВ или ЕВ, за исключением формы, имею-
щей образ в точке 5, что делает невозможным использование при-
веденного выше рисунка для аналогичных исследований при но-
вом определении. Эту задачу, как и доказательство возможности
введения антиподизма форм при новом определении, мы оставля-
ем читателям.

Об играх
(в свободном изложении)
В первом десятилетии текущего века, будучи студентом в Гет-
тингене, я много слышал о Феликсе Клейне, о котором с вос-
хищением говорили как о великом математике, но одновременно
подвергали критике его доказательство существования решений
уравнения потенциала. Клейн считал распределение электричест-
ва в металлическом проводнике убедительным аргументом в
пользу существования таких решений. Большинство математи-
ков избегают приемов такого рода, однако они играли и будут иг-
рать значительную роль в развитии нашей науки. Предлагаемый
ниже отчет о моем соприкосновении с теорией игр не претендует
на полную строгость (которой я в целом придерживаюсь), и поэ-
тому его не следует рассматривать как лекцию, предназначенную
для лиц, профессионально занимающихся математикой.
1. Существуют два определения непрерывности, первое из
которых принадлежит Коши, а второе приписывается Гейне. Мы
назовем их, соответственно, /^-непрерывностью и /"-непрерывно-
стью. Функция/(х), определенная на интервале (- 1, + 1) при усло-
вииДО) = 0, является /^-непрерывной в точке 0 тогда и только тог-
да, когда для каждого натурального числа п существует натураль-
ное число т(п) такое, что из | х | < \1т следует \Дх) | < \1п. Она
является /"-непрерывной в точке 0 тогда и только тогда, когда
| хт | < 1 для всех натуральных т и из
limx/w=0 следует lim /(*,„) =0.
т—>оо т—>со

Об играх (в свободном изложении)
123
К означает, что/является /^-непрерывной в О, Г— что она
/"-непрерывна в 0. Доказательство импликации К => Г является
простым. Обратное утверждение, что /"включает К, удается дока-
зать с помощью рассуждения, основанного на аксиоме выбора
(аксиоме Цермело), которую мы обозначим через AZ. Некоторые
математики не любят аксиому AZ, однако пользуются ею на лек-
циях при доказательстве того, что Г=> К.
Отнесемся к этой проблеме так, как если бы мы занимались
делом, представленным в суд. Судебный исполнитель спрашива-
ет, все ли согласны с утверждением /"=> К, и если никто не начи-
нает дискуссии, то суд постановляет считать импликацию Г=> К
справедливой и объявляет .Г => К доказанной путем consensus in-
geniorum (несмотря на то, что суду не было представлено никако-
го формального доказательства). В противном случае возникает
юридический спор между г-ном А (который внес дело в суд, и
убежден, что импликация Г=>К истинна) и его оппонентом,
г-ном В.
— Я знаю, — говорит г-н В, — что Г=> К можно доказать,
если мы примем аксиому AZ, но я не признаю доказательств, опи-
рающихся на правила, отвергаемые некоторыми выдающимися
математиками.
— Я разделяю мнение г-на В об аксиоме AZ, — отвечает
г-н А, — однако полагаю, что Г => К, и если никому не удастся
определить /"-непрерывную в точке 0 функцию^*), которая не яв-
ляется /f-непрерывной в 0, то пусть высокий суд вынесет вердикт
Г=>#.
Далее судья призывает г-на В определить Дх) в соответствии
с требованиями г-на^4. Предположим, г-н В утверждает, что име-
ет пример такой функции и обозначает ее условно через g(x). От-
сутствие /^-непрерывности этой функции в 0 влечет за собой су-
ществование такого натурального числа N, что каждый интервал
1т = (- 1//и, \1т) содержит такие хт, что | g{xm) \ > 1/ N для произ-
вольного натурального т. Г-н В должен привести такое число N и
делает это. Г-н А в свою очередь рискует предположить, что
| g{xm) \>\IN для всех х в 1\ (если бы это предположение оправда-
лось, г-н В оказался бы в неприятном положении). Однако этого

124
Гуго Штейнгауз
не происходит, так как г-н В указывает некоторую точку х\ в 1\ и
триумфально заявляет: g(x\) > l/N. Г-н А не знает определения
g(x), но признает это утверждение справедливым. Поскольку onus
probandi (бремя доказательства) ложится на него, ему не остается
ничего иного, как искать счастья в h. Г-н В тотчас же парирует эту
попытку, выбрав хг в h и утверждая, что | g{xi) \>l/N. Г-н А вновь
не может этого опровергнуть. В этот момент судья прерывает
игру и обращается к г-ну В со следующим вопросом: «Уверен ли
он, что всегда справится с определенным им N1» («всегда» в дан-
ном случае означает «в каждом интервале /„,»). Прежде чем г-н В
успевает ответить, г-н А прерывает расследование следующей
репликой:
— Высокий суд, что бы ни говорил г-н В, его дело проиграно!
Если он скажет «нет», то откажется от своего примера g(x), а если
он скажет «да», его ответ будет равносилен утверждению, что су-
ществует бесконечная последовательность {хт}9 хт е 1т, такая,
что g(xm) > l/N для каждого т, что противоречит /"-непрерывно-
сти g(x) в х = 0. Из этого следует, что g(x), не обладая /"-непрерыв-
ностью в 0, не может быть контрпримером для Г=> К.
Стратегия г-на А основана на следующем приеме: г-н В под-
вергнет сомнению доказательство импликации /"=> К, если г-н А
будет пытаться доказать ее с помощью AZ (т. е. аксиомы выбора),
поэтому г-н А просит г-на В привести контрпример для Г=> К, не
интересуясь даже определением используемой для этого функ-
ции g(x). Г-н А указывает, что если г-н В имеет в распоряжении
хорошо определенную функцию g(x), которая /"-непрерывна, но
не является /f-непрерывной, то он может запутаться в противоре-
чии. В 1923 г. я познакомился в Штейне близ Кёльна с О. Тёпли-
цем и рассказал ему, что не уверен в доказательствах, основанных
на аксиоме Цермело. Он спросил, а не пытался ли я найти контрп-
римеры против теорем, доказанных с помощью этой аксиомы?
Я честно ответил: «Нет!».
Идея обращения к суду в таком вопросе, как эквивалентность
двух определений непрерывности, может показаться необычной
для большинства математиков, но не для тех из них, кто интересу-
ется теорией игр, так как судебная процедура часто напоминает

Об играх (в свободном изложении)
125
игру по установленным правилам. Несколько лет назад я расска-
зал о деле «А против В» известному геометру Э. Чеху, который
тогда гостил в Польше, и такой подход ему не понравился. Одна-
ко когда я встретился с ним через пару лет снова (к сожалению,
это стало его последним посещением Польши), он вернулся
к теме «судебной» математики и сказал, что считает ее правиль-
ной. За прошедшее время, сказал он, аргументы спорящих сторон
поколебали мою прежнюю уверенность.
Доктор Ян Мицельский, прочитав приведенный выше абзац,
сказал мне, что считает судебное разбирательство «А против В»
серьезным аргументом (в пользу цермеловой аксиомы выбора)
в силу следующих рассуждений: «Г-н А считает, что Цермело прав.
Г-н В приводит контрпример и утверждает, что знает такое семей-
ство Fмножестве, что ни одно из множестве, принадлежащих F,
не является пустым, и что не существует функции/(ЛО, определен-
ной для каждого X, принадлежащего F, удовлетворяющей условию
f(X) е Хдля каждого X е F. Поскольку г-н В заявляет, что ни одно
из множеств X, принадлежащих F, не является пустым, то он смо-
жет найти х в Хдяя каждого Хиз F— а если не сможет, то значит он
проиграл свое дело. Если он подтвердит, что сумеет это сделать, то
мы будем иметь дело с функцией /, охарактеризованной выше,
а это противоречит его первоначальному утверждению о семейст-
ве F, а следовательно, он терпит поражение».
2. Рассказ о двух противниках, представивших суду свои пре-
дельно различные взгляды на некоторую математическую проб-
лему, не является неудачной шуткой, как могло бы показаться чи-
тателям части 1. В прикладной математике имеются задачи, кото-
рые можно представить как игры, а их решения представляют
наилучшую стратегию фиктивных (а иногда реальных) партне-
ров. Поскольку спор, разрешаемый в судебном зале в соответст-
вии с правилами юридической процедуры, тоже представляет со-
бой некоторую игру, нет никакого повода считать математику и
судопроизводство независимыми и несвязанными областями дея-
тельности. Речь идет о применении игр в чистой математике
(см. [6]), и конечно, говоря об играх, мы должны иметь в виду их
современную теорию.

126
Гуго Штейнгауз
Первым важным достижением этой теории была лекция, про-
читанная Цермело на пятом Международном математическом
конгрессе в 1912 г. [1]. Полученный в ней результат относится
к решению задач в играх типа шахмат. Для пояснения ситуации
в этих играх, представим себе N шахматных досок и N пар шахма-
тистов, принимающих участие в игре. Предположим, что каждый
из партнеров играет безупречно, т. е. всегда выбирает наиболее
верный ход. Тогда все результаты будут одинаковы, т. е. либо бе-
лые выиграют на N досках, либо все N игр закончатся вничью.
Утверждение Цермело справедливо для всех игр, имеющих сле-
дующие свойства, общие с шахматами: (а) чередование ходов;
(б) конечное число ходов; (в) полная информация. Свойство (а)
означает, что сначала ход делают белые, потом черные, потом
опять белые и т. д. Свойство (б) означает, что существует такое
число М, что игра с большим количеством ходов невозможна, т. е.
все игры продолжаются до определенного результата, получаемо-
го через п ходов, причем всегда п <М. Свойство (в) означает, что не
существует никаких иных обстоятельств, влияющих на результат,
за исключением последовательных ходов обоих партнеров и ис-
ходной позиции, известной им; все ходы делаются открыто.
Результаты Цермело не получили должной оценки и призна-
ния из-за начала Первой мировой войны. После войны следую-
щий шаг в этом направлении сделал Эмиль Борель [2], который и
ввел в математику понятие «минимакс», но его работы не были
должным образом оценены во Франции и не дошли до польских
математиков. Я со своей стороны интересовался теорией пресле-
дования, и моя работа 1925 года на эту тему была переведена на
английский язык в 1960 году [3]. В ней я поставил перед собой за-
дачу найти наилучшую стратегию в игре более древней, чем чело-
веческая цивилизация, а именно — в игре с преследованием и
убеганием. В самой простой форме эта игра сводится к тому, что
партнер А стремится поймать партнера В за кратчайшее время,
тогда как В старается как можно дольше пользоваться свободой.
Рассмотрим упрощенную версию этой игры, когда А и В все
время движутся с постоянными скоростями а и Ъ (естественно,
что а> Ь). Положения партнеров являются функциями времени
A(t) и B(t), где / — время, прошедшее с начального момента / = 0,

Об играх (в свободном изложении)
127
а начальное расстояние между ними, т. е. отрезок А(0)В(0) имеет
длину d. Задачей А является выбор функции а(А, 5), где а — угол
между направлением на восток и траекторией движения А. Эту
функцию мы назовем стратегией игрока А. Аналогично, для игро-
ка В определим р как угол между направлением на восток и тра-
екторией движения В, и будем называть это стратегией Р(Л, В).
Очевидно, что наилучшей стратегией для А является та, при кото-
рой а есть угол между направлением на восток и вектором
A{i)B(t). Это означает, что если А выберет свою траекторию в со-
ответствии с вышеприведенным правилом, то ему всегда будет
удаваться опережать 5, и общее время погони Т будет равно или
меньше величины dl(a - b). Соответственно, если В всегда будет
двигаться так, чтобы А оставался сзади, то время Т будет равно
или больше d/(a - b). Описанная модель представляет собой про-
стейшую форму задачи «минимакс» для частного случая игры
«преследование и убегание», которую можно выразить общим со-
отношением:
minmaxT(a(A9B)fi(A,B))>maxminT(a(A,B)£(A9B)) (1)
а Р Ра
Доказать (1) довольно просто. Очевидно, что действитель-
ное время Г, вытекающее из произвольного выбора стратегий а
и р, определяется левой и правой сторонами неравенства (1). Я
еще тогда полагал, что знак > в (1) с успехом можно было бы за-
менить знаком равенства. В 1925 г. мне не была известна работа
Цермело, несмотря на то, что она была опубликована в 1913 г.,
поэтому я не мог сформулировать рассматриваемую задачу в бо-
лее общем виде. Обобщение в данном случае означает развитие
теории преследования на ограниченной плоскости или на произ-
вольной поверхности, такой, как эллипсоид или тор. Два доказа-
тельства соотношения (1) со знаком равенства, имеющие силу
для общей теории преследования и убегания, можно найти в ра-
ботах [10] и [11]. Дж. фон Нейман также отдавал себе отчет в
важности принципа «минимакс» (см. [4]), однако трудно понять,
почему в его публикациях отсутствуют цитаты из лекции Цер-
мело. Попробуем теперь описать полученный результат в иной
постановке задачи.

128
Гуго Штейнгауз
Пусть партнер А имеет п кошельков А\, А2,..., Ап, содержа-
щих разные жетоны, каждый из которых обозначен некоторым
символом (например, ап), а партнер В обладает п кошельками В\9
i?2,..., Вп с жетонами, также обозначенными символами (напри-
мер, Ьп). При этом партнерам А и В известно содержимое всех 2л
кошельков. Партнер А вынимает жетон из А\ и кладет его на
стол. Партнер В видит символ а\ жетона, находящегося на столе,
и вынимает из В\ жетон, который кладет рядом с а\. Партнер А
наблюдает символ жетона Ъ\ и вынимает следующий жетон из Аг
и т. д. Игра заканчивается в тот момент, когда В положит на стол
жетон из Вп. Образованная таким способом последовательность
a\b\ci2b2...anbn дает «слово». По правилам, известным А и В,
определяется дихотомическое деление «словаря» S, т. е. множе-
ства всех слов: S = 21 + 25,2195 = 0. Если полученное в результате
игры слово принадлежит к 21, то побеждает А, а если к 25, то по-
беждаете. Утверждение Цермело относится к играм описанного
выше типа. Оно говорит, что либо существует такая стратегия
для А, которая гарантирует выигрыш А независимо от ходов В,
либо существует аналогичная стратегия для В. Тем самым оно
подтверждает принципиальную бесплодность игр подобного
типа в случае двух партнеров, располагающих полной информа-
цией, относящейся к игре. Примером может служить игра «вол-
ки и овцы» [14], когда игроки знают, что выиграет овца, если бу-
дет вести себя в соответствии с определенной стратегией, кото-
рая обеим сторонам известна; ходы волка не влияют на его
конечную судьбу. В шахматах такой ситуации быть не может,
так как даже гроссмейстерам далеко до обладания полной ин-
формацией — они играют в шахматы как дети в волка и овцу.
Тем не менее, утверждение Цермело применимо и к игре в шах-
маты, несмотря на то, что обычно невозможно предсказать ито-
говый результат игры. Мы не знаем, чего ожидать (выигрыша
белых, выигрыша черных или ничьей), но самые разные резуль-
таты, достигаемые мастерами высокого класса, доказывают
сложность этой игры.
Д-р Ян Мицельский несколько лет назад нашел следующую
формулировку утверждения Цермело, являющуюся одновремен-
но его доказательством:

Об играх (в свободном изложении)
129
-UA-^A(e,*"A-'A)'"}
Г 1 (2)
^еЛ^бЯ, а„еАпЬпеВ„ J
Выражение (2) является одним из многих, связанных с именем
А. де Моргана [5], и относится к формальной логике. Его формули-
ровка не содержит букв 23 и S — вместо того, чтобы писать, что
слово принадлежит 23, автор пишет, что оно не принадлежит 21.
3. Между выражениями (1) и (2) до сих пор существует брешь,
для устранения которой нам следует поразмышлять над обыкно-
венной шахматной задачей, типа публикуемых в периодических
изданиях. Обычно задача изображается в виде шахматной доски с
искусственно расставленными белыми и черными фигурами. Под
словом «искусственно» здесь подразумевается, что такая позиция
могла бы возникнуть во время настоящей игры, но чаще всего ее
выдумывает автор. Большинство таких задач содержат обращение
к читателю: «Белые начинают и выигрывают в к ходов», где к —
это 2, 3 или 4 хода (лишь изредка к > 4, поэтому мы просто поло-
жим к=4). Проблема состоит в выборе такой стратегии для белых,
которая гарантирует им выигрыш за четыре хода, и одновременно
такой стратегии для черных, которая гарантирует, что они не про-
играют в течение трех первых ходов БЧБЧБЧ. Таким образом, не-
зависимо от расстановки фигур существует число к (конечное),
обладающее следующим свойством:
«Существует стратегия для белых, которая гарантирует им
выигрыш самое позднее на их к-м ходу, а также существует стра-
тегия для черных, которая делает невозможным выигрыш белых
раньше их А>го хода». Предложение «к есть стоимость игры, опре-
деляемая расстановкой фигур» означает именно то свойство, ко-
торое приведено выше в кавычках. Эквивалентом к в игре с пре-
следованием и убеганием является наименьшее время Т погони,
т. е. время, определяемое наилучшей стратегией для А.
Чтобы усмотреть полную аналогию между шахматами и пре-
следованием, мы должны себе представить произвольные исход-
ные позиции в обеих играх. При преследовании одного корабля

130
Гуго Штейнгауз
другим мы имеем дело с произвольными исходными позициями,
в то время как в классической игре в шахматы исходная позиция
устанавливается раз и навсегда международными правилами.
Шахматные задачи не всегда являются эквивалентом преследова-
ния именно потому, что они допускают произвольные исходные
позиции. Следует подчеркнуть, что в обеих играх существуют так
называемые «решения» — это название означает ход событий,
произошедших в результате использования обоими партнерами
стратегии «минимакс». Они однозначно указывают, каким ходом
следует отвечать на ход противника — чаще всего без доказатель-
ства, что «основной вариант» является вариантом «минимакс».
Еще одна разница между (1) и (2) состоит в том, что выраже-
ние (2) нельзя усилить, тогда как (1) допускает возможность уси-
ления путем замены знака > знаком =. Я уже упоминал, что при
написании статьи [3] не знал о лекции Цермело [1]. Игры со зна-
ком = в (1) я назвал «замкнутыми», а со знаком > — «открыты-
ми», и нечеткость общих представлений заставляла меня думать,
что игра «преследование и убегание» является замкнутой. Работа
Ч. Рылл-Нардзевского [10], цитированная в части 2, основана на
цермеловском утверждении (2). Автор считает непрерывную
игру в погоню предельным случаем замкнутых дискретных игр в
соответствии с утверждением (2). Он также использует то обстоя-
тельство, что процедура «минимакс» определена упрощенно, как
в части 3, т. е. когда партнере не рассматривает своего противни-
ка В как человека (мыслящего категориями типа «стратегия»),
а просто изучает все возможные функции В =f(f)9 описывающие
траекторию движения В, где / есть время.
Если а(А, В) есть множество всех стратегий игрока Л, опреде-
ленных в части 2, то необходимое для перехвата противника
время Г становится функционалом Т[(а(А, B),f(f)]9 в отношении
которого А использует операцию «минимакс»:
min maxT(a(A,B\f(t))
а(А,В) /(/)
вместо операции min a max Р из (1). Таким способом находится
наилучшая стратегия для А, и разумеется, В может использовать
аналогичный метод. Состязание приводит к тому же самому ре-
шению, что и в случае (1), но является более приемлемым с логи-

Об играх (в свободном изложении)
131
ческой точки зрения. Понятие стратегии является более изыскан-
ным, чем для траектории в задаче преследования, а полученное
новое выражение показывает, что оно в общем случае не исклю-
чает случай игрока, который выбирает траекторию своего движе-
ния случайным образом.
Разницу между открытыми и замкнутыми играми проще объ-
яснить на примере погони собаки за кроликом, показанной на ри-
сунках (см. с. 132). В прямоугольном огороде кролик может вы-
брать произвольное место, а собака может находиться в произ-
вольном месте у забора, отделяющего огород от улицы, но не
может покинуть улицу. Собака D стремится максимально умень-
шить расстояние DR, отделяющее ее от кролика, тогда как кролик
хотел бы увеличить DR так, чтобы находиться возможно дальше
от собаки. Игра, представляющая результат двух диаметрально
противоположных тенденций, имеет две разные математические
модели.
Модель 1. Участникам D и R показали план местности, чтобы
они могли одновременно выбрать место, которое им лучше всего
подходит. После этого судья обозначает эти места на своей карте
и указывает их партнерам. D и R обязаны занять свои позиции на
реальном поле сражения. Эта модель определяет игру без точной
информации. Ясно (см. левый рис.), что собака может уменьшить
расстояние DR так, чтобы было DR < 5, выбрав на тротуаре место
М в середине забора. Очевидно также, что какой-либо выбор
D Ф М включает возможность того, что будет DR > 5. Таким обра-
зом, 5 есть стоимость игры для собаки. Иначе дело обстоит для
кролика: он всегда рискует встретиться с собакой, глядя на нее с
расстояния 4 метра. Неравенство 5 > 4 показывает, что игра явля-
ется открытой. Выбор D Ф М несомненно является лучшим реше-
нием для собаки. А что мы можем посоветовать кролику? Наша
теория не дает ему никаких возможностей принять выигрышное
решение, так как кролик всегда рискует попасть в положение
DR = 4, поскольку никогда не может быть DR < 41. Существует,
1 Автор предполагает, что кролик отказывается от выбора места внутри прямо-
угольного огорода и имеет в виду только положения на стороне Q\Q2, противо-
положной забору Р\Рг- — Прим. ред. польского издания.

132
Гуго Штейнгауз
однако, настоятельная причина, чтобы кролик R выбрал один из
углов Q 1,2. Подход «минимакс» основан на пессимистической
предпосылке, что противник выберет для себя наиболее выгод-
ный ход, что не дает кролику никакого шанса. Однако, в соответ-
ствии с расширенным пониманием правила, ситуация изменяется
и выглядит следующим образом: предположим, что кролик знает
о том, что собака D использует принцип «минимакс» (это подска-
зывает, что D выберет место М) и, соответственно, кролик R обя-
зан занять угол Q\ или Q 2. Такой подход при новом понимании
правила делает игру замкнутой, и 5 = QM становится стоимостью
игры для обоих игроков.
Улица Л м з '?г А °3 М Da Dl Ули»а
Модель 2. А что будет, если собака и кролик попробуют раз-
влечься в измененной игре с полной информацией, т. е. в случае,
когда ареной состязания будет являться огород, как показано на
левом рисунке? В этом случае игра превращается в бесконечную
погоню, при которой собака D будет бегать вдоль улицы, а кролик
R вдоль стороны Q[Q2- Если исходное положение задано в виде
D = Р\9 R = £?2, то развитие событий будет следующим:
\.DPxP2\RQ2Qu
2. ВРг Р\ ; RQ\Qi, третий ход = 1, четвертый ход = 2 и т. д.
Дело обстоит совсем иначе, если огород имеет скругленную
границу с одной стороны. В этом случае модель 1 допускает ре-
шение «минимакс», в соответствии с которым R выбирает точку
Q посредине скругленной стороны, a D выбирает точку М. Стой-

Об играх (в свободном изложении)
133
мостью игры является расстояние MP = 7, одинаковое для DhR.
Предположим, что в модели 2 первым положением собаки D бу-
дет D\, тогда наилучшим выбором для кролика R очевидно станет
положение R\. Собака же, в свою очередь, выбирает положение
Z)2 и т. д. Нетрудно доказать, что такая игра является бесконеч-
ной. Тем не менее, поочередные положения Z)„, Rn образуют схо-
дящиеся последовательности:
lim Dn = М, lim Rn = Q.
Хотя n -> oo, пределы Ми Q будут достигнуты за конечное
время, если и D и R передвигаются с постоянной скоростью.
Одним из важных достижений Дж. фон Неймана в теории игр
является утверждение о замыкании открытых игр [4]. Версия это-
го утверждения исходит из предположения д-ра Рылл-Нардзев-
ского, что имеются две команды игроков, руководимых капитана-
ми, которые управляют решениями своих коллективов. Простей-
шим примером является игра в орла и решку. Ясно, что если эта
игра ведется между двумя противниками, то она является откры-
той — никакая стратегия не предотвратит потери монеты игро-
ком А, что станет наихудшим результатом; ситуация для В та же
самая. Если же А имеет в распоряжении команду из двух игроков
А\иА2 (одновременно играющих против 5), он может приказать
А1 поставить на орла, а Аг — на решку, так что при любом выборе
В общий результат Л :i? будет 0:0; таким образом, 0 есть стоимость
игры как для А, так и для В, Недостаток этого примера в том, что
игра в орла и решку относится к играм без полной информации,
однако он объясняет идею фон Неймана замыкания открытых игр
при помощи изменяемых стратегий. При этом интересно, что по-
следовательность стратегий становится суперстратегией, т. е. те-
ория «минимакса» применяется к итоговому результату, превра-
щая «суперигру» в игру замкнутого типа.
4. Сразу после опубликования [3] С. Банах и Ст. Мазур реши-
ли исследовать бесконечные игры, чтобы проверить, применимо
ли .правило «минимакса» (2) к переменным играм такого типа
с полной информацией. В 1925 г. они обнаружили такие игры,
опровергнув тем самым мое предположение, что все переменные

134
Гуго Штейнгауз
игры с полной информацией являются замкнутыми. Вот простей-
ший пример бесконечной игры между двумя игроками А и В: ин-
тервал [0, 1] делится на два множества точек 21 и 95. Игроки А и В
знают, к какому множеству, 21 или 23, принадлежит каждая точка х
в интервале [0,1]. Их задачей является записывать на полоске бу-
маги попеременно цифры а\, b\, а2, &2v и до бесконечности1,
причем каждый из них отмечает про себя цифру сразу же после
появления ее на полоске. Символ 0.a\b\a2b2...anbn, прочитанный
как развернутое двоичное число, определяет точку х в [0,1]. Если
х е 2(, выигрывает А, если х е 33, выигрывает В.
Как могут происходить реально эти бесконечные игры? Парт-
неры могут представлять свою стратегию на двух бумажных кар-
точках третейскому судье, который и оценивает каждое сообще-
ние х на основе всей доступной ему информации, т. е. относит это
сообщение к одному из классов (21 или 23), и в зависимости от это-
го решает, кто из игроков выиграл. В некоторых случаях задача
третейского судьи будет чрезвычайно трудной, а если рассматри-
вать ее теоретически, она в каждом случае будет представлять со-
бой хорошо обусловленную сформулированную математическую
задачу. Правила, которых должны придерживаться А и В, доста-
точно просты: партнер А первым решает, что записать в качестве
а\ (О или 1), и записывает это на карточке. Затем он должен дать
определение функции с(£), стоимостями которой являются 0 или
1 для произвольного натурального числа к. Третейский судья
трактует это определение как обязательство стороны А записы-
вать цифры с(к) всегда в виде а„т+\9 начиная с момента, когда по-
следовательность а\...Ьп (считываемая как развернутое двоичное
число) достигает к. Партнер В должен определить d(k), и его пове-
дение во всем подобно поведению^. Разница состоит лишь в том,
что вместо с(к) он записывает на своей карточке d(k). При таком
поведении партнеров отсутствует эквивалент выбора а\.
Значение приведенных банальных рассуждений в том, что
они доказывают возможность на самом деле разыгрывать беско-
нечные игры за конечное время.
1 Можно записывать только цифры двоичной системы, т. е. только 0 или 1. —
Прим. ред. польского издания.

Об играх (в свободном изложении)
135
Пример. 21 = множество измеримых точек в [0,1|,35 = множе-
ство неизмеримых точек в [0, 1]. Игрок В может обеспечить себе
выигрыш, используя стратегию, которую читатель легко может
угадать. С другой стороны, как показано в работе [9], если 21 и 25
являются двумя полностью несовершенными множествами, то
выигрышной стратегии ни для А, ни для В не существует.
У меня был соблазн распространить выражение (2) на случай
п = оо, чтобы показать, что бесконечные переменные игры между
двумя игроками являются замкнутыми, но Ян Мицельский обра-
тил мое внимание на скрытые противоречия в расширениях по-
добного рода. Тот факт, что аксиома Цермело вызывает дискус-
сию при рассмотрении всех примеров, типа исходящих от Бана-
ха-Мазура, является критическим моментом для рассмотрения
этой задачи, так как аксиома предназначается для определения
множеств 21,25. Известно, что AZ приводит к таким последствиям,
как разбиение шара на пять частей, которые затем можно сложить
таким образом, что получается новый шар с объемом в два раза
больше. Большинство ученых считают этот результат очередным
парадоксом. Существует и другая оговорка: можно ли говорить
о полной информации для А и В, если ее невозможно установить,
и имеют ли партнеры в виду одно и то же множество, когда гово-
рят об 21? Такая невозможность скрывается в каждом множестве,
для которого единственной метрикой происхождения является
AZ. При этих условиях весьма сомнительно, что люди когда-ни-
будь будут играть в какую-либо игру ВМ (Банаха-Мазура).
Все эти размышления заставили меня усомниться в справед-
ливости аксиомы выбора. Минуло шестьдесят лет с тех пор, когда
она была обнародована, и некоторые размышления, подобные
приведенным в первой части этой статьи, убедили меня, что пол-
ностью негативный подход в отношении AZ таит много опасно-
стей. Все это побудило меня заменить AZ следующей «аксиомой
определенности» (AD):
Все переменные игры между двумя игроками с полной инфор-
мацией являются замкнутыми.

136
Гуго Штейнгауз
Основная трудность, с которой я столкнулся, заключалась в
том, что распространение (2) на бесконечные игры дает в качест-
ве следствия AZ\ с другой стороны, AZ приводит к 5А/-играм, т. е.
открытым бесконечным играм, которые мы не хотим признавать.
Отсюда берет начало мое сотрудничество с Я. Мицельским, кото-
рое включало такие эпизоды, как две телеграммы (Беркли - Зако-
пане), которыми мы обменялись летом 1961 г.: «Аксиома мерт-
ва», но днем позже — «Аксиома все еще жива!». Заметка обоих
авторов [7], представленная 14.Х.1961 г. А. Мостовским, содер-
жит формальное определение AD. Эта формулировка обобщает
утверждение Цермело о шахматах на все бесконечные игры и
утверждает, что бесконечные игры также являются замкнутыми.
Выражение (А) на стр. 3 работы [7] можно считать обобщением
(2), т. е. новым выражением типа А де Моргана. Однако было бы
нелепостью делать это verbatim (дословно): классические форму-
лы применяются к общим множествам (конечным или бесконеч-
ным) лишь при условии, что число используемых кванторов ко-
нечно, тогда как в нашем случае (А) мы имеем дело с со кванторов.
Если допустить появление общих квалифицированных мно-
жеств, то мы получим ложное утверждение. Для наших целей до-
статочно было бы рассмотреть простейший вид бесконечных игр,
описанных в части 4, и сформулировать AD следующим образом:
либо существуют цифра а\ и функция с(к) такие, что А выигрывает
независимо от вида функции d(k\ либо существует функция d(k)
такая, что В выигрывает независимо от выбора а\ и функции с(к).
Аксиома AD и ее следствие были исследованы Я. Мицель-
ским в работе [9], где он подтвердил эквивалентность определе-
ний непрерывности по Коши и по Гейне. Этот факт удается уста-
новить на основе обычной системы аксиом (т. е. аксиом Церме-
ло-Френкеля-Сколема) с добавлением AD, но без AZ, так что
полученную систему можно обозначить аббревиатурой ZFSAD.
Следствием ZFSAD является отсутствие существования такого
кардинального числа т, что К0<т<2х°. Я. Мицельский и
С. Сверчковский показали в [8], что ZFSAD влечет за собой изме-
римость в смысле Лебега каждого подмножества действительной
прямой. Таким образом, наша аксиомами уничтожает многие ре-

Об играх (в свободном изложении)
137
зультаты, полученные с помощью AZ. Одним из них является раз-
биение шара Банаха-Тарского: части шара, полученные в резуль-
тате такого разбиения, не имеют никакого объема в смысле Лебе-
га, что противоречит ZFSAD. Зато AD приводит к положительным
результатам в случае таких свойств, как свойство Байре и ряд дру-
гих, упомянутых мною выше. Мицельский в [9] пишет, что гипо-
теза о непротиворечивости ZFSAD не идет вразрез с современным
состоянием математики (я привожу здесь его мнение, поскольку
наше сотрудничество первоначально было основано на противо-
речии во мнениях, именно он в этом вопросе являлся пессими-
стом). Эта осторожность была весьма обоснованной, поскольку
К. Гёдель доказал, что AZ не противоречит ZFS. Этот результат
скрывает в себе возможность того, что AZ окажется в будущем
утверждением, согласующимся с ZFS, а вследствие этого AD —
ложным. Впрочем, сейчас угроза возникновения такой ситуации
существенно ослабла, так как П. Дж. Коэн недавно доказал [12],
что AZ не зависит от ZFS. Что же касается вопроса, приводит ли
AD к укреплению математики, я бы ответил утвердительно: в со-
временной теории вероятностей часто возникает необходимость
доказательства измеримости множеств и функций, и было бы по-
лезно избавиться от необходимости искать доказательства подоб-
ного рода.
5. Большинство людей интересуются скорее играми с элемен-
том случайности, а не играми с полной информацией. Простей-
шим примером случайных игр является игра в орла и решку. Иг-
роке кладет злотый на стол и закрывает его рукой, затем игрок В
кладет свой злотый, а игрок А поднимает руку. Если две монеты
оказываются вверх одной и той же стороной (неважно, орлом или
решкой), игрок В забирает обе, в противном случае — они оказы-
ваются в кармане А. Стоимость этой игры равна -1 злотый для А и
+1 злотый для 5, и, следовательно, разность составляет 2 зло-
тых — эта игра является открытой. Дело обстоит совсем иначе,
если игра состоит из бесконечной последовательности описывае-
мых выше событий. Действительно, пусть gn означает итоговый
выигрыш А после п первых пари, который, однако, ему не выпла-

138
Гуго Штейнгауз
чивается. Все выигрыши отмечаются в книге, a lim — есть сум-
л-»оо /7
ма, которая должна быть выплачена участником В игроку А. При
определенных стратегиях этот предел существует. Оба игрока по-
ступят умнее всего, если не будут придавать значения тому, какой
стороной вверх они кладут злотый на стол, так как могучий закон
больших чисел гарантирует, что предел будет равен 0. Таким об-
разом, бесконечная по длительности игра является замкнутой, а
ее стоимость равна 0 как для А, так и для В. Этот пример является
простейшим частным случаем общего закона, открытого Дж. фон
Нейманом [4]: открытые игры превращаются в замкнутые в ре-
зультате последовательного повторения розыгрышей. Д-р Рылл-
Нардзевский заметил, что вместо бесконечного повторения од-
ной игры, можно было бы организовать турнир с одновременно
играющими п парами, где п — большое целое число. Будем счи-
тать, что А — капитан п игроков Ак {к = 1,2,..., л), а В — капитан п
игроков Bk. Таким образом, имеются п игровых полей F*, причем
каждая из пар А^ Де имеет свое собственное игровое поле F^ и на
каждом из этих полей действуют одни и те же правила игры. Ка-
питан А назначает стратегии своим игрокам Ak, но эти стратегии
различны для разных игровых полей (капитан В, возглавляющий
команду {Bk}, поступает аналогичным образом). Предположим,
что ставка s равна 1/ п для каждого поля F* и что игра на каждом
поле является открытой, gn — разность, аАиВ — соответственно
казначеи клубов, которые они представляют. Нардзевский пока-
зал, что в смысле «минимакс» существует наилучшая стратегия
для А и наилучшая для В (в том же самом значении), такая, что
разность между стоимостью игры соответственно для А и В оста-
ется очень малой для больших п. Это превращает игру в замкну-
тую при п -> оо, хотя gn > О для любого конечного я. Игры, содер-
жащие элемент случайности, можно также рассматривать с иной
точки зрения: чтобы сделать их замкнутыми, мы можем принять
во внимание ожидаемый выигрыш вместо случайного (источник
[3] содержит упоминание о подходе такого рода). В свое время
большой популярностью пользовалась игра между двумя лицами
под названием баккара, при которой банкомет вслепую вынимает

Об играх (в свободном изложении)
139
из колоды карту, а затем то же самое делает его противник Р. За-
тем каждый смотрит на свою карту (не показывая ее противнику),
после этого игрок Р либо добирает карту (если желает), либо от-
казывается это сделать — эту вторую карту он должен показать
банкомету В. В свою очередь В либо берет следующую карту,
либо нет. После этого оба игрока показывают друг другу карты и
сравнивают очки. Ни одна карта не имеет стоимости более 9 оч-
ков. Если сумма очков на какой-либо из пар карт равна s и s > 9, то
эта пара сразу оценивается как s-9. Перед началом игры обозна-
чается ставка, и выигрывает тот из игроков, который набирает
больше очков. Нетрудно найти приблизительно наилучшую стра-
тегию Pi для игрока Р. Пусть В\ — наилучшая стратегия для игро-
ка В против игрока, использующего Р\. Зная эту относительно
наилучшую стратегию В и можно найти Рг, которая будет относи-
тельно наилучшей стратегией для Р. Переходя к Вг, мы устано-
вим, что Вг = В и следовательно, Рз является идентичной Рг. Та-
ким образом, комбинация (Рг, Вг) является наилучшей стратегией
в абсолютном смысле, т. е. в силу общего правила, говорящего,
что две стратегии, из которых одна является наилучшей относи-
тельно остальных, описывается стратегией «минимакс». Комби-
нация (Рг, Вг) становится решением «минимакс» карточной игры
баккара между двумя лицами, и этот вывод (который, кстати, ни-
когда не был опубликован) является иллюстрацией общего зако-
на о сведении открытых игр к вероятностным, установленного
Дж. фон Нейманом [4]. Закон гласит, что вследствие неполной
информации каждая отдельная игра в баккара является открытой,
повторение же игр делает всю их серию замкнутой игрой. Реше-
ние (Р2, Вг) показывает, что игра не является честной: для банко-
мета ожидаемый выигрыш положителен, так как повторение игр в
пределе приводит к нечестной игре, согласно его предвидению.
6. Заканчивая эту статью об играх, признаюсь, что я не знаю,
противоречит ли аксиома AD теории множеств ZFS, однако за ее
признание говорят следующие доводы.
Эта аксиома упрощает математику, удаляя те из следствий
AZ, которые всегда приводили в смущение многих серьезных уче-
ных. С другой стороны, AD не является поводом для отмены тео-

140
Гуго Штейнгауз
рем, считающихся большинством математиков основными инст-
рументами современной науки, и которые традиционно доказы-
ваются с помощью AZ. Новая аксиома AD перенимает задачи
аксиомы AZ, сохраняя важность этих утверждений. Ради точно-
сти признаюсь, что я не уверен, относится ли сказанное ко всем
приведенным утверждениям.
Достоинством AZ является ее интуитивная ясность и легкость
понимания. Аксиома AD заставляет усомниться в том, что зам-
кнутость бесконечных игр является их явным признаком. С дру-
гой стороны, AZ влечет за собой ряд интуитивно вовсе не очевид-
ных следствий.
Д-р А. Мостовский выдвигает следующее возражение против
AD: утверждение AD не сформулировал бы ни один логик, кото-
рому присущ способ мышления азартных игроков. Позволю себе
заметить, что вся теория вероятностей основана на аналогичном
способе мышления, и поэтому вплоть до Первой мировой войны
теорию вероятностей вообще не причисляли к математике (но те-
перь она, безусловно, составляет важную часть математической
науки). Такая эволюция объясняет, почему AD относится к мате-
матике: AD имеет отношение к науке об играх, последняя отно-
сится к математике, таким образом Л£> является частью математи-
ки. Не исключено, что в будущем мы дождемся появления утвер-
ждений, абсолютно равноценных AD и столь же ясных с
формальной точки зрения, как и большинство правил теории мно-
жеств ZFS.
В процессе написания этой работы я воспользовался критиче-
скими замечаниями д-ра Яна Мицельского, чью помощь я вспо-
минаю с благодарностью.
Гуго Штейнгауз
Литература
[1] Е. Zermelo, Uber eine Anwendung der Mengenlehre aufdie Theorie des
Schachspiels, Proc. of the Fifth International Congress of Mathematici-
ans, Cambridge, 2 (1912) 501-504.
[2] E. Borel, La theorie dujeu et les equations integrates a noyau symetrique
gauche, С R. Acad. Sci. Paris, 173 (1921) 1304-1308. Sur lesjeux ой

Об играх (в свободном изложении)
141
interviennent le hasard et Vhabilete des joueurs, Theorie des Probabi-
lite, Paris 1924, pp. 202-224.
[3] H. Steinhaus, Definicje potrzebne do teorii gry iposcigu. My si Akade-
micka 1, Lwow 1925,13-14. (This note has been reprinted in English,
Naval Res. Legist. Quart. 7 (1960) 105-107).
[4] J. v. Neumann, Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Math. Ann., 100
(1928)295-320.
[5] A. de Morgan, Formal Logic or the Calculus of Inference necessary and
probable, 1847.
[6] A. Ehrenfeucht, An application of games to the completeness problem
for formalized theories, Fund. Math., 49 (1961) 129-141.
[7] Jan Mycielski and H. Steinhaus, A mathematical axiom contradicting the
axiom of choice, Bull. Acad., Pol. Sci., Ser. Sci. Math., Astr., Phys., 10
(1962) 1-3.
[8] Jan Mycielski and S. Swierczkowski, On the Lebesgue measurability
and the axiom of determinateness, Fund. Math., 54 (1964) 67-71.
[9] Jan Mycielski, On the axiom of determinateness, Fund. Math., 53 (1964)
205-224.
[10] С Ryll-Nardzewski, Theory of pursuit and evasion. Advances in Game
Theory, Princeton Univ. Press, Princeton N. J. 1964, 113-126.
[11] Jan Mycielski, Continuous games with perfect information, ibid.,
103-112.
[12] P. J. Cohen, The independence of the continuum hypothesis, I, Proc. Nat.
Acad. Sci., 50 (1963) 1143-1148; II, ibidem, 51 (1964) 105-110.
[13] H. W. Kuhn and A. W. Tucker, John v. Neumanns' work in the theory of
games, Bull. Amer. Math. Soc, 64 (1958) 100-122.
[14] Maurice Kraitchik, Mathematical Recreations, George Allen and Un-
win, London 1955, pp. 309-310.

Пути прикладной математики1
Яне собираюсь браться за такую трудную задачу, как опреде-
ление прикладной математики, название которой связано
с самыми разными науками (геодезия, теория судостроения, тео-
рия вероятностей, номография, баллистика, статика или основы
кристаллографии). Прикладную математику обычно путают
с приложениями математики, но это замечание не облегчает мою
задачу. Леон Лихтенштейн, крупный математик, который в тече-
ние многих лет работал на предприятиях Сименса в качестве ин-
женера-теоретика (впрочем, он лично считал эту работу небесной
карой), говорил, что «прикладной математики не существует во-
обще, есть только математика». Он с большим успехом применял
математику к теории форм планет, так что этим мнением не стоит
пренебрегать.
Известно, что недостаток общепринятых взглядов создает
обилие особых точек зрения. Я хочу воспользоваться этой приви-
легией, говоря о путях прикладной математики, и поэтому прошу
трактовать мои вольные суждения и комментарии лишь в качест-
ве выражения личных тенденций, пристрастий и неприязни.
Я отдаю себе отчет, что в Польше нет школы прикладной ма-
тематики, которую можно было бы сравнить по числу людей и ра-
бот со школой теории множеств и топологии или даже с той груп-
пой польских математиков, которые занимаются теорией функ-
ций и анализом. Эта ситуация является плохой с точки зрения
практических потребностей, но она хороша для тех, кто хотел бы
1 Содержание доклада, сделанного на пленарном заседании съезда польских ма-
тематиков в Варшаве в сентябре 1948 г. Однако эта статья (Drogi matematyki
stosowanej) весьма существенно отличается от доклада.

Пути прикладной математики
143
создать школу прикладной математики, поскольку ее можно бу-
дет создать такой, какой мы желаем ее видеть (именно это я имел
в виду, говоря о тенденциях). Я вспоминаю, как Зигмунд Янишев-
ский, создавая свои Fundamenta Matematicae, говорил: «Занятия
теорией множеств (в Польше) имеют большое преимущество, по-
скольку, желая что-то сотворить в классической математике, нам
надо будет сначала подняться до мирового уровня». Во многих
классических областях нам уготована второстепенная роль, но в
теории множеств мы имеем одинаковые стартовые позиции: удо-
вольствие от создания новых понятий дало мощный импульс на-
шим молодым математикам. В свое время теория множеств была
новой областью, и Янишевский имел основания так говорить, что
и доказала история тех 30 лет, которые прошли с момента форму-
лирования его программы.
Задумаемся о похожей ситуации с прикладной математикой.
Сегодня в мире нет великих школ прикладной математики, кото-
рые можно было бы сравнить с такими центрами математической
мысли, как Париж, Геттинген и Берлин конца XIX и начала XX
века до Первой мировой войны. Существует, правда, английская
«середина», как я называю школу статистики, которая возникла
из исследований Р. Э. Фишера и его учеников, а затем перемести-
лась в Америку (не без сильного влияния Ежи Сплавы-Неймана)
и попала там на почву, подготовленную математиками, работаю-
щими в промышленности и коммерции. В Англии эта школа пре-
имущественно занималась генетикой и научно-исследователь-
скими работами в области сельского хозяйства, а в Америке она
обратилась к экономическим проблемам и к статистическому
контролю промышленной продукции. Кроме этого, в обеих этих
странах проявляется большой интерес к теории и практике вы-
числительных машин, в особенности электронных. Я рискну
утверждать, что прикладная математика во всем мире находит-
ся в зачаточном состоянии. Очевидно, против этого можно воз-
разить, что сейчас выходит множество журналов, в название ко-
торых входит словосочетание «прикладная математика». Кроме
того, количество статей по геометрической оптике, гидравлике,
теории упругости, статистике или по кинетической теории мате-
рии (и многому другому, имеющему отношение к прикладной ма-

144
Гуго Штейнгауз
тематике) уступает только числу работ в области чистой матема-
тики. Но подавляющее большинство этих работ относится к про-
шедшему времени, т. е. они являются новыми лишь по
результатам, а их методика и научный стиль — давно устарели.
В чем заключается основная разница между старой и новой (или
даже будущей) прикладной математикой? Она сводится к спосо-
бам взаимодействия с другими научными дисциплинами*
В молодости нас учили, что сотрудничество математика с ес-
тествоиспытателем должно развиваться примерно по следующей
схеме: естествоиспытатель встречается с математической зада-
чей в виде алгебраического или дифференциального уравнения и
приносит ее математику, который решает задачу и отдает в руки
естествоиспытателю готовое решение в виде формул. При этом
математик не обязан беспокоиться о том, откуда появилась задача
и для чего предназначено ее решение. Он вовсе не обязан также
заглядывать в протоколы, где зафиксированы результаты экспе-
риментов. Убеждение, что специализация наук продвинулась так
далеко, что люди только одного и того же круга знаний могут по-
нимать друг друга, заранее обрекало такие попытки взаимодейст-
вия на неудачу. Нам говорили также, что в естественных науках
нет ни точных определений, ни доказанных утверждений, что вы-
звало пренебрежительное отношение к этим наукам у математи-
ков нашего поколения. Нам советовали принять фактическое по-
ложение вещей, представленное естествоиспытателем в виде сис-
темы аксиом, переложив всю ответственность на него:
разумеется, мы не можем ошибаться, а если наши формулы не
применимы к действительности, то виновата в этом не математи-
ка, а исключительно естествоиспытатель (или даже сама действи-
тельность!).
Такой подход, в целом, редко приводил к положительным
результатам и даже вызывал у большинства естествоиспытате-
лей убеждение в невозможности плодотворного сотрудничества
с математиками. У математиков этот подход вызывал чувство,
что естественные науки являются набором вольно трактуемых
эмпирических фактов, а так называемые законы природы —
умозаключениями, основанными на естественной индукции, не
заслуживающими права называться научными истинами. Эта

Пути прикладной математики
145
система взглядов неоднократно имела забавные проявления.
Помню, как молодой доцент спросил крупного польского мате-
матика, что необходимо включить в курс математики для естест-
венников, на что тот посоветовал включить в этот курс некото-
рые менее важные разделы из теории рядов, на которые сам про-
фессор не нашел времени в курсе анализа для математиков.
Когда я в Польском математическом обществе делал сообще-
ние о географических индексах, то на заседание не пришли даже
те географы, с которыми я много лет разговаривал об этих индек-
сах. Позднее выяснилось, что секретарь отделения (молодой и
способный математик), не уведомил Географическое общество,
поскольку был уверен, что географические индексы представля-
ют собой математическое понятие, а сообщение не будет иметь
ничего общего с географией. Со студенческих лет я также помню
лекции по философии в Геттингене, где один старый профессор
привел пример того, как наблюдение может способствовать воз-
никновению математических утверждений. По его мнению, мате-
матик, увидев на дороге след телеги, может задуматься о том, что
колея представляет собой красивую кривую, которую следует
изучить математически! Стало быть, еще в 1907 году славным
геттингенским математикам не были известны лучшие примеры
математических размышлений, на которые наводит природа. Тог-
да же мне пришлось слышать разговор между актуарием, кото-
рый приехал из Кракова в Геттинген, чтобы познакомиться у Лек-
сиса со статистическими методами, и свежеиспеченным докто-
ром математики из Львова. Первый восхищался всемогуществом
математики, которая описывает точными законами такие явле-
ния, как смертность или прирост населения (казалось бы основан-
ные на чистой случайности), на что второй с раздражением отве-
чал, что эти законы являются не математическими, а природны-
ми, и что математика не несет за них ответственности (так что,
если завтра эти законы окажутся обманчивыми, то математиков
это совершенно не тронет). Страховой служащий не отступал
и продолжал славословить математику, что довело беседу до лич-
ных оскорблений. Особенно интересно, что молодой доктор ма-
тематики был естествоиспытателем-любителем (а также сыном

146
Гуго Штейнгауз
и братом известных естествоиспытателей), но ему в голову
не пришло спутать законы человеческие (т. е. природные) с зако-
нами божественными (т. е. математическими). Разговоры между
математиками и естествоиспытателями часто бывают исключи-
тельно трудными и часто заканчиваются недоразумениями, даже
когда собеседники имеют одинаковые цели.
В душе математика, как и каждого человека, сохраняются
разные верования и пристрастия, неприязнь и поклонение, пред-
рассудки и склонности. Самым сильным из этих ощущений и наи-
более заслуживающим уважения является восприятие красоты
математики. Не каждому дано видеть красоту гор, не каждый оча-
ровывается видом моря и не каждому что-то говорят ночные звез-
ды. Еще труднее объяснить, в чем заключается красота функции
комплексной переменной или так называемой синтетической гео-
метрии. Существуют даже такие математики, которые считают
все ее практические применения святотатством. 3. Янишевский
говорил, что он занимается математикой не потому, что она мо-
жет быть полезной при строительстве домов, и я ему верю (он чи-
стый математик и убежден, что это дома строятся для того, чтобы
математикам было где жить). Вера в абсолютную ценность мате-
матики связана с верой в существование таких математических
объектов, как числа, функции, точки, множества или поверхно-
сти. Это удивительная религия, и в этом она подобна большинст-
ву других религий с гораздо большим числом адептов, которые
верят, что некие сверхъестественные создания наделены особым
видом существования, с позиций которого обычное существова-
ние является чем-то иллюзорным и преходящим. Божества про-
жорливы — поэтому для математика pur sang (чистокровного)
идеальный шар не только существует, но и поглощает все обык-
новенные шары, так что ни Луна, ни мыльный пузырь не являют-
ся шарами (что, впрочем, математики готовы моментально дока-
зать). Такая точка зрения представляет опасность не только для
прикладной математики, но она является разрушительной и для
всех остальных естественных наук. Эту идеалистическую точку
зрения обычно связывают с именем знаменитого древнегреческо-
го мыслителя Платона, объединявшего культ философии с куль-
том геометрии. Платоновская точка зрения не препятствует боль-

Пути прикладной математики
147
шинству математиков презирать философию (это значительно
более поздняя традиция позитивизма), так что математик склонен
считать бессмыслицей любую философию, за исключением мате-
матической логики. Эта доктрина произрастает из некоторой спе-
цифической философской точки зрения и имеет многочисленных
сторонников именно в кругах ученых, далеких от практики. Мож-
но сказать, что такие математики верят в разных призраков, духов
или в ужасы, которые мешают им вступить на путь прикладной
математики.
Как должно выглядеть взаимодействие математики с други-
ми дисциплинами? Лучше всего это можно выяснить, сравнивая
сотрудничество ученых и правительств в истории двух мировых
войн. В обеих войнах генеральные штабы взаимодействовали
с гражданскими экспертами (при этом военные были «естество-
испытателями», а ученые-эксперты выступали в роли «матема-
тиков»). Во время Первой мировой войны взаимодействие обеих
групп складывалось именно по той схеме, которую я назвал
устаревшей: экспертов не посвящали в детали (т. е. не объясня-
ли, для чего нужен тот или иной аппарат, а просто требовали
сконструировать его). В первые годы Второй мировой войны,
которые стали полосой катастроф для Британии, сотрудничест-
во с самого начало носило разумный характер (т. е. эксперты до-
пускались к обсуждению разработки, смысла и важности задач),
на что оказались неспособны немцы с их преобладающей воен-
ной мощью. Таким образом, можно постулировать, что начинать
сотрудничество надо не тогда, когда задача уже поставлена, а
значительно раньше. Впрочем, существуют и такие задачи, ко-
торые естествоиспытателями не признаются математическими.
Например, в географии оперируют понятием горного хребта, но
до сих пор ни один географ не требовал от математиков дать точ-
ное определение этого термина. Как-то один математик спросил
об этом географа и получил элементарный ответ: каждый найдет
на карте горный хребет, поскольку это просто водораздел. Но
после непродолжительной беседы оказалось, что географы ис-
пользуют понятие хребта не только для изогипсов, но также и
для других так называемых изоритмов (например, для изотерм,

148
Гуго Штейнгауз
при обозначении климатических границ), когда не рассматрива-
ются реки и ручьи, окружающие водораздел. Желая понять
(и убедить) географа, достаточно произвольно нарисовать сис-
тему изоритмов и спросить, чем он сам руководствуется, вычер-
чивая линию хребта. После нескольких таких попыток географ
поймет, что необходимо выработать соответствующее опреде-
ление, а математик уяснит для себя, что географ называет гор-
ным хребтом. Однажды некий выдающийся бактериолог навес-
тил математика и представил ему свой способ вычисления веро-
ятности того, что между матерью и плодом будет существовать
различие в группе крови, обозначенной символом Rh. Матема-
тик с большим трудом следил за его рассуждениями, поскольку
вся проблематика была для него совершенно новой, и ежеминут-
но задавал наивные вопросы. Через некоторое время бактериолог
заявил, что он решил радикально изменить свой способ вычисле-
ния, так как «разговор с человеком, который понимает, что ему
говорят, так стимулировал его собственные мысли, что он обна-
ружил вещи, которые сам раньше не замечал!». Очевидно, новый
способ был лучше, но его нашел не математик, а сам биолог, что и
являет собой пример сотрудничества.
Приведу другой пример, который свидетельствует о роли
научного стиля разных эпох в эволюции решений одной и той же
задачи. Существует очень важная практическая задача: опреде-
ление объема древесных стволов при помощи вычислений на
основе измерения только диаметра и высоты дерева. В справоч-
никах по дендрометрии приведено много формул для вычисле-
ния объема, представляющих собой образцы прежнего стиля
прикладной математики. Можно представить, как появились эти
формулы: ученые рассматривали ствол просто как параболоид
вращения, нейлоид, трактрисоид или еще более сложную фигу-
ру. По-видимому, когда лесники заметили, что ствол совсем не
похож на усеченный конус или параболоид, математики предло-
жили им еще более прекрасные геометрические тела (к сожале-
нию, формулы, подходящие для этих тел, невозможно использо-
вать в настоящем лесу). Затем наступил долгий перерыв, при ко-
тором математики, вероятно, пришли к выводу, что древесные

Пути прикладной математики
149
стволы не стоят того, чтобы ими занимались серьезные геомет-
ры, а лесники — что природа не хочет, чтобы ее исследовали ма-
тематики. Последняя фраза достойна быть занесенной в словарь
банальностей, так как ее в разных вариантах можно услышать из
уст биологов, врачей и даже mutatis mutandis (с необходимыми
изменениями) из уст юристов и экономистов. Как выглядела бы
та же самая задача в свете программы, которую я здесь хочу
предложить? Прежде всего математик должен был бы подверг-
нуть сомнению упрек лесников, что все применявшиеся до сих
пор формулы являются плохими. Одна из них, основанная толь-
ко на измерении диаметра в середине высоты, чрезвычайно про-
ста. Насколько я знаю, никто не показал, что она является наи-
лучшей, и очень часто она дает значительную ошибку. Из этого
был сделан вывод, что она плохая. Так вот, плохая формула мо-
жет быть наилучшей, и обязанностью математиков было обра-
тить на это внимание лесников. Они должны были также объяс-
нить лесникам, что введенный коэффициент я/4 не является ка-
кой-то святыней, так что если какой-нибудь другой
коэффициент дает лучшие результаты, то можно его смело испо-
льзовать. Некоторые таксаторы вычисляют кубатуру древесины
с помощью коэффициента я/4, а потом добавляют 2% (т. е. вмес-
то я/4 пишут 0.8), но это просто ненужная работа. В конце кон-
цов, они должны были разработать наилучший план пробных из-
мерений, по которым можно было бы получить наилучшую фор-
мулу, основанную на измерении только одного диаметра, —
наилучшую в статистическом смысле. Ибо суть дела заключает-
ся в том, что задача касается не одного дерева, а их множества.
Сегодня все это кажется чрезвычайно простым и естественным,
но не было таковым 100 и даже 50 лет назад. Даже поверхност-
ные исследования указывают на то, что идя по намеченной доро-
ге, можно улучшить считавшиеся до сих пор выдающимися спо-
собы измерения, не выходя за рамки простоты. Можно поста-
вить вопрос еще радикальнее: можно вообще отказаться от
формул и составить наилучшие таблицы для определения куба-
туры, основанные на измерении диаметра на оптимальной высо-
те. В сущности, в рассматриваемой задаче речь идет не о коэф-
фициентах и формулах, а об объеме, который является эмпири-

150
Гуго Штейнгауз
ческой функцией двух переменных, причем одну из них следует
получить на основе статистических данных.
В связи с историей определения кубатуры становится ясной
роль, которую сыграл математический анализ. Эта классическая
ветвь математики дала столько плодов в XVIII и XIX веке, что
многие и сегодня не желают замечать ее другие ветви, располо-
женные ниже. Например, теория дифференциальных уравнений
(обыкновенных и в частных производных) оказалась полезной
для развития математической физики, но нельзя забывать, что ее
классические задачи первоначально были сформулированы
именно в физических терминах. Рихард Курант (ныне профессор
в Нью-Йорке) в свое время прочитал лекцию о практической зада-
че, которая привела к дифференциальному уравнению. Он под-
вергнул это уравнение всем методам анализа (как говорится, вы-
стрелил по нему из всех орудий), но уравнение «уступило» лишь
немного: так далек путь от теории до применений. Кто-то может
сказать, что иных методов у нас нет, но я укажу, по меньшей мере,
два из них. О первом я уже говорил: мы можем вернуться к «дома-
тематической» фазе и сформулировать задачу по-иному. Второй
путь заключается в использовании современных средств, таких,
как электронные машины. Не следует думать, что создание таких
машин представляет собой только инженерную задачу. Сегодня
такая техника становится привычной й надежной, так что подоб-
но астроному (который может заказать набор линз для телескопа,
не будучи сам шлифовальщиком стекла), математик может зака-
зать электронную машину, указав тип и количество основных
операций и число их повторений. Поэтому создание таких машин
относится к области прикладной математики, но проблема, по-
ставленная Курантом, этим не решается. По его мнению, уравне-
ние следует считать решенным, если найден ответ, например
в виде интеграла сложной формы, где искомая функция и незави-
симая переменная были бы связаны, например, посредством эл-
липтических функций. С точки зрения чистой математики, такое
решение было бы полным и изящным, но в связи с обсуждаемыми
проблемами такой интеграл вообще не следовало бы рассматри-
вать в качестве решения (даже приближенного, если он не позво-
ляет найти значение функции ни в одной точке). Загипнотизиро-

Пути прикладной математики
151
ванному традиционной терминологией математику наиболее
важным представляется существование такого интеграла и его те-
оретические особенности. Он считает это действительным реше-
нием, а его изящество называет (подобно китайцу) каллиграфиче-
ской красотой формул.
Г. Г. Харди, недавно умерший крупный английский матема-
тик и незаурядная личность, в своей Апологии математика напи-
сал: «Мои исследования никогда не имели никаких применений,
они не пригодились ни для убийства людей, ни для порабощения
народов». Великие математики всех времен выражали уверен-
ность, что развитие математики оправдывается красотой резуль-
татов и потребностью познания истины. Эта потребность счита-
лась бескорыстной, так что математики часто с пафосом отверга-
ли критерий практической полезности своей науки. Возможно,
здесь играет роль еще и то, что математика обладает ничем не
ограниченной свободой выбора тематики и методов, а также не
нуждается в лабораториях и значительных денежных средствах.
Это позволяет представлять математику в виде какого-то идеаль-
ного острова, на котором живут ее приверженцы, получая награ-
ды из рук своей королевы в виде прочных и бессмертных истин.
Тот же самый Харди в свое время составил шкалу ценности со-
временных математиков, на которой самый слабый из его учени-
ков получил 1 балл, а Альберт Эйнштейн — 100. Харди просто
оценивал каждого по степени сложности доказанных им теорем.
Такой спортивный способ классификации до сих пор распростра-
нен в мире математиков, но для прикладной математики он про-
сто вреден, так как здесь речь идет не об утонченности распуты-
вания узлов, а об их разрезании. Чем проще математические мето-
ды, применяемые для извлечения практической выгоды, тем
лучше. Поразительно, сколько неиспользованных возможностей
скрывается в элементарных математических зависимостях.
Ведь речь идет о том, как увидеть естественный смысл таких
зависимостей, а не о том, как запутать математические проб-
лемы, которые изначально были понятными и само собой разуме-
ющимися.

152
Гуго Штейнгауз
В географии есть задача о концентрации и рассредоточении
населенных пунктов. Всю страну можно разделить на п квадрат-
ных ячеек, если в ней всего п населенных пунктов, затем сосчи-
тать я, населенных пунктов в каждой ячейке (i = 1,2,..., п) и обра-
зовать выражение, имеющее вид -1 + ^ a]In. При случайном раз-
мещении населенных пунктов это выражение близко к единице.
Если оно заметно больше единицы, то существует причина для
слияния таких пунктов, а если меньше единицы, то есть какая-то
причина для их рассредоточения. Очевидно, что этот же простой
способ позволяет также определить, является ли (и в какой степе-
ни) распределение произвольных точек (например, зернышек
эмульсии на фотопленке) результатом действия сил притяжения
или отталкивания. Каждый математик знаком с этой формулой,
а описываемое ею понятие дисперсии известно каждому студен-
ту, изучавшему статистику. Проблема заключается в том, что гео-
графы не знали или не сообразили, что речь идет о дисперсии и,
пытаясь решить задачу распределения населенных пунктов, вве-
ли по договоренности между собой непонятное по сути дела пред-
ставление о «нормальной» удаленности населенных пунктов друг
от друга. Математик сразу заметит, что так называемая нормаль-
ная удаленность не может быть определена как абсолютная кон-
станта, так как это всего лишь средняя удаленность, зато предло-
женная нами формула является простейшим способом определе-
ния отклонения удаленности от ее среднего значения.
Единственная математическая находка при этом — выбор вели-
чины ячейки: вместо общепринятой величины (например, 1 км2)
вводится ячейка, отвечающая условию «столько ячеек, сколько
населенных пунктов».
Часто приверженцам чистой математики приходится убеж-
дать в полезности математики профанов, главным образом таких,
от которых зависит выделение денег на науку1. При этом они час-
1 От редакции польского издания: Польская Народная Республика ежегодно
вкладывает много миллионов злотых в развитие математических наук, а мате-
матика у нас относится к щедро дотируемым наукам. Автор статьи, несомнен-
но, столь же далек от подозрения широких кругов в недостатке щедрости, как и
от выступления против субсидирования чистой математики.

Пути прикладной математики
153
то предпочитают работать над какой-либо проблемой чистой ма-
тематики, не рассчитывая на практическое применение результа-
тов. Обычно такие руководители ссылаются на то, что созданный
математический аппарат когда-нибудь найдет применение (по-
добно тому, как риманова геометрия пригодилась для теории от-
носительности или теория интегральных уравнений для спектра-
льного анализа). Такие аргументы представляются совершенно
наивными. Достаточно сосчитать, сколько математических работ
появилось в прошлом в таком-то году и сколько их результатов в
том же году нашло применение, и мы увидим, что долг этого оп-
тимистического пророка перед поверившими ему профанами не-
сравненно больше. Если даже появляются работы, связанные с
применением высоких математических теорий в практических за-
дачах, то рентабельность усилий (измеряемая экономическим эф-
фектом) обычно оказывается ничтожной — я уже упоминал о
том, что формула еще не является ответом на вопрос техника или
естествоиспытателя.
Наконец, нам известен еще один эксперимент, который осу-
ществила сама история. Наполеон I, великий поклонник матема-
тики, основал в Париже высшую школу Ecole Poly technique > в ко-
торой будущие инженеры, администраторы, а в первую очередь
штабные офицеры должны были приобретать теоретические зна-
ния по математике, химии и другим фундаментальным предме-
там. В этой школе преподавали известнейшие математики, на-
пример Камилл Жордан и Жак Адамар. Считалось, что анализ и
высшая геометрия дают выпускнику квалификацию, необходи-
мую для всех руководящих должностей в армии, в администра-
ции и в промышленности. Но этим надеждам не суждено было
оправдаться, так как воспитание политехников на многотомных
курсах анализа лишало их связи с действительностью. Школа вы-
пустила много блестящих математиков, но не нашла своего места
в современности и в чем-то даже дискредитировала прикладную
математику, исходя из необоснованной уверенности, что «все
когда-нибудь может пригодиться».
Единственным способом изучения прикладной математики
является знакомство с чистой математикой, и уже это является

154
Гуго Штейнгауз
достаточным обоснованием для обучения чистой математике,
если кому-то такие обоснования необходимы1.
Эти горькие высказывания в адрес математиков не означают,
что их оппоненты правы. Обычно все сетуют на недостаток мате-
матической подготовки у естествоиспытателей, но не это является
их основным недостатком. В гораздо большей степени у естество-
испытателей ощущается недостаток логической подготовки, так
как постоянное пребывание в рабочем состоянии и привыкание к
механическому повторению определенных лабораторных дейст-
вий (что, впрочем, безусловно необходимо при получении экспе-
риментальных данных) создают тип узкого специалиста. Эта огра-
ниченность является наиболее болезненным недостатком, и уже из
нее вырастает чувство отвращения к классической культуре, пре-
зрительное отношение к философии, распространенное убежде-
ние, что мышление — это пустая трата времени. У этих поденщи-
ков от науки изменяется даже язык. Интересно, что они любят на-
зывать себя научными сотрудниками (и, может, имеют на это
какое-то право). Ведь был же назван «научным сотрудником» в од-
ном из номеров журнала Wszechswiat сам Исаак Ньютон!
Генри Форд имел свои взгляды на школьные программы и был
убежден, что история, философия и математика (кроме четырех
арифметических действий) ни для чего не нужны и даже вредны.
Они на самом деле не нужны, чтобы быть работником у Форда (или
даже самим Фордом), но нельзя забывать, что ни одна существен-
ная деталь автомобиля Форда не была изобретена на его заводе.
Поэтому я считаю Форда покровителем всех узких специалистов,
которые приступают к делу лишь тогда, когда вся мыслительная
работа проделана другими людьми. Для воспроизведения лишь од-
ной и той же модели в количестве трех миллионов нужны совсем
иные способности, нематематические. А вот во время войны теоре-
тики часто оказывались лучше практиков, когда речь шла о реше-
нии совершенно новых задач, не имеющих прецедентов.
1 Автор считал бы идеальной такую ситуацию, при которой средства в приклад-
ную математику вкладывают те, кому она необходима, но образовавшуюся от
этого прибыль направляют на развитие чистой математики.

Пути прикладной математики
155
Математика переоценена и одновременно недооценена. Ма-
тематики переоценивают ее достижения, а все остальные недо-
оценивают ее возможности. Несколько лет назад в журнале Ре-
diatrija Polska появилась полемическая статья, направленная
против одного из профессоров педиатрии, который использовал
математику в своих исследованиях детского туберкулеза. Меж-
ду прочим, в статье говорилось, что математику нельзя приме-
нять к человеческому организму, поскольку (по выражению ав-
тора) организм якобы является «многомерным», а современная
математика одномерна. Отсюда делается вывод, что только
«многомерная, открытая математика» (я снова цитирую полеми-
ста), созданная Лукасевичем и Лесневским, когда-нибудь будет
востребована медициной. Самое любопытное заключается в
том, что именно сам нападавший на педиатра первым ввел в
практику двухпараметрическую оценку реакции кожи на тубер-
кулин и, таким образом, использовал концепцию многомерно-
сти — до него эту реакцию оценивали с помощью одного показа-
теля, что критика совершенно не поразило. Цитирование Лука-
севича всего лишь доказывает, что автор статьи перепутал
трехзначную логику с «многомерной математикой», хотя труд-
но понять смысл этого термина. Еще труднее понять упрек в
«одномерности», поскольку математика оперирует многомер-
ными пространствами, причем даже с бесконечным числом из-
мерений. А ведь к этому моменту библиография по данному во-
просу уже содержала сотни позиций и ссылок, и автор, вероят-
нее всего, не отдавал себе отчета в том, что умозаключение по
кривой температуры о течении болезни уже относится к при-
кладной математике. Автор (узкий специалист) впервые в жизни
при чтении какой-то (и явно, не математической) книги узнал
о многих других работах по медицине, связанных с приложения-
ми математики к медицине. В том же номере журнала появилась
еще одна статья, посвященная тому же вопросу, в которой педи-
атра упрекали в том, что из формулы а = b следует вывод
log а = log Ъ (очевидно упрекавший знал, что такое логарифм, но
не умел рассуждать). Вот к чему приводит узкая специализация.

156
Гуго Штейнгауз
Путь к новым математическим идеям, действительно полез-
ным для медиков, вовсе не должен быть связан с «многомерной
математикой». Иногда следовало бы именно уменьшить число
параметров. Например, если больничная статистика приводит
данные о смертности, наблюдаемой при некоторой болезни, вы-
бирая их из п случаев, то рядом с дробью р, обозначающей эту
смертность, следует записывать также «среднюю ошибку» ^рд/п,
где q = 1 -р.
Врач, знакомящийся с этой статистикой, получает информа-
цию двух видов: первая определяет смертность от болезни (пока-
затель р), вторая связана с числом статистических данных и опре-
деляет достоверность первой (средняя ошибка ^pqln). Очевидно,
что оба показателя основаны на одних и тех же наблюдениях и
что второй вычислен теоретически по формуле Бернулли, но под-
линным выступает лишь первый показатель, так как с ростом чис-
ла наблюдений п будет расти и показатель р. Это изменение не
слишком существенно, и в конце концов его разброс станет ни-
чтожно малым, после чего мы и получим истинный показатель
смертности (одновременно средняя ошибка уменьшится практи-
чески до нуля). Очевидно, что роль второй информации здесь яв-
ляется второстепенной. Совсем иначе выглядит дело, если мы ис-
следуем уменьшение числа лейкоцитов в крови больных, кото-
рым назначался пенициллин. Это снижение графически
представляет ломаную линию, тенденция изменения которой мо-
жет иметь возрастающий либо убывающий характер. Основной
информацией является снижение s, а вторичной вновь является
«средняя ошибка» 6, определяющая отклонение линии от посто-
янного направления. При этом определяющим фактором для про-
гноза является частное t = sib. Обе информации мы можем объе-
динить в этом одном числе t, ибо только оно интересует практику-
ющего врача. Если бы мы точно так же поступили со статистикой
смертности, то получили бы частное, которое при увеличении
числа наблюдений стремится к бесконечности. Математическая
ценность и интерпретация этого факта была бы в сущности убо-
гой, так как он всего лишь следует из того, что смертность отлич-
на от нуля. Зато при других исследованиях (например, при изуче-

Пути прикладной математики
157
нии уровня гранулоцитов) вторая информация вовсе не является
«ошибкой» первой: именно она является «истинной» и в совокуп-
ности с первой дает показатель, определяющий характер явления.
Эту очень простую идею, вероятно, можно использовать не толь-
ко в вышеприведенном примере.
То, что математическое образование не является самым
главным в научной работе, доказывает жизнь и деятельность
Р. Э. Фишера. Этот выдающийся английский генетик самостоя-
тельно обдумал и изучил математические проблемы, возникаю-
щие в естественных науках при планировании и интерпретации
статистических экспериментов. Написанная им книга была непо-
нятна естествоиспытателям (так как в ней вводились новые
и сложные понятия и методы). С другой стороны она была жесто-
ко раскритикована математиками, как неясная и ошибочная (по-
скольку автор являлся математиком-самоучкой и не располагал
ни терминологией, ни стилем, к которым приучали нас учебники,
написанные людьми математического круга). Несмотря на это,
книга Statistical Methods for Research Workers, благодаря содержа-
щимся в ней математическим и методологическим мыслям, про-
била окружающую стену предубеждений и выдержала 10 изда-
ний, последнее из которых (1946 г.) было переиздано в том же
году. Книга Фишера для математической статистики сделала
больше, чем все учебники по этому предмету, появившиеся в тот
период. Ее ценность заключается не в каких-то запутанных мате-
матических доказательствах или сложных формулах, а в правиль-
ной трактовке сущности задач. Понятие вариации (так ученики
Фишера называют квадрат дисперсии) было, пожалуй, известно и
до него, но совершенно элементарный метод, заключающийся в
разложении этой вариации на части, analysis of variance, является
заслугой Фишера. В сельскохозяйственных и многих других экс-
периментах этот метод имеет огромное значение.
Эра простоты не прошла. Элементарная математика может
много сделать не только в естественных науках, но и в технике.
Если высшая математика даже и нужна, то ее не должно быть
слишком много, что можно проиллюстрировать следующим при-
мером. В Польше существует школа линейных функциональных

158
Гуго Штейнгауз
операций (Банах, Сакс, Мазур, Орлич и другие), безусловно отно-
сящаяся к чистой математике. Однако достаточно заметить, что
понятие нормы (одно из обычно используемых в этой теории, с
которого и начинается новая ветвь науки о функциональных про-
странствах) может быть непосредственно применено к задаче
определения тарифа на электроэнергию, и это позволяет напра-
вить дискуссию о тарификации на новый путь. В общеизвестных
концепциях скрываются неисчерпаемые возможности, а труд-
ность состоит в том, что на свете мало инженеров-электриков, ко-
торые слышали о нормах функций. Впрочем, возможно, еще
меньшее число чистых математиков догадываются о том, что во-
прос о тарифе на электроэнергию сводится не к тому, должна ли
она быть дешевой или дорогой.
Я бы хотел привести еще один пример самой простой матема-
тики, для которой достаточно сведений из общеобразовательной
школы. Мальчишкам известно, что двое могут поделить между
собой орехи по принципу «один делит, другой выбирает». Этот
способ можно обобщить на нескольких партнеров, а также на слу-
чай, когда партнеры в неравных частях присутствуют в массе, ко-
торую необходимо разделить. Здесь только следует заметить, что
задача справедливого в юридическом смысле раздела является
математической, однако юрист не смог бы этого сообразить. Ему
помешало бы убеждение, что в математике нет места иной кон-
цепции равенства, кроме равенства чисел (если масса складыва-
ется из штук) или половин (если масса, например, представляет
собой участок земли). Юристу трудно понять, что математиче-
ские суждения можно считать субъективными, и что расхожде-
ние суждений не затрудняет, а облегчает справедливое деление,
хотя именно эти результаты математического мышления широко
используются в обычных житейских ситуациях. Каждый из нас
знает, что сущность открытия не имеет ничего общего с формула-
ми высшей математики.
В некоторых случаях решение элементарной на вид задачи
действительно бывает связано с высшей математикой, но, подоб-
но выбору маршрута в альпинизме, можно найти и другие, более
короткие пути к вершине. Даже если эти другие пути можно
упрекнуть в отсутствии строгости, с ними следует считаться, что-

Пути прикладной математики
159
бы не сбиться с пути. Теория вероятностей изобилует такими пу-
тями.
Но достаточно примеров, и пора перейти к выводам. Вот
наши тезисы: Прикладная математика находится в начальной
стадии развития, и сегодня ей еще можно придать произвольное
направление. Здесь существует огромная свобода, но надо толь-
ко отдавать себе отчет в том, что математика не является на-
бором готовых сведений, а представляет собой скорее школу
мышления. Естественные, технические и общественные науки
не являются лишь реестром наблюдений и экспериментов. Со-
трудничество — вот суть прикладной математики. Прикладной
математики как готовой доктрины не существует, и она фор-
мируется при соприкосновении математической мысли с окру-
жающим миром, но только тогда, когда и математический дух,
и природная материя находятся в состоянии развития. Надо
также сознавать, что наука не только описывает действитель-
ность, но также и создает новую действительность. В этих во-
просах следует каждый раз занимать активную позицию, не
ожидая появления задачи, а выдвигая ее. Результаты приклад-
ной математики в таком ее понимании могут превзойти самые
смелые ожидания.

Проблема необратимости1
ожет показаться дерзостью, когда кто-то попытается вы-
двинуть новые аргументы относительно проблемы,
по которой более 80 лет продолжалась страстная полемика, при-
чем по разные стороны стояли или предлагали противоположные
решения знаменитые физики и математики — Больцман, Лош-
мидт, Цермело, А. Пуанкаре, Эренфест, Эйнштейн, Дж. фон Ней-
ман, Макс Борн..., называю только тех, кто сразу приходят на
ум.» Так пишет Эрвин Шрёдингер в статье Irreversibility (Procee-
dings of the Royal Irish Academy, vol. 53, section А, стр. 189-195,
Дублин, 1950). Шрёдингер продолжает: «По моему мнению,
в этом случае (как и в ряде других) появившаяся в 1925/26 году
«новая доктрина» скорее затемнила, чем осветила умы...».
В своей статье он предлагает некоторый новый способ спасения
принципа необратимости, а «новой доктриной» называет теорию
квантов. Шрёдингер выступает здесь против Борна, который от
этой теории ожидает спасения спорного принципа (Макс Борн,
Natural Philosophy of Cause and Chance, Оксфорд, 1949).
Автор настоящей статьи цитирует Шрёдингера, потому что
проблему необратимости все еще можно считать актуальной,
даже в рамках старой физики (т. е. физики до открытия квантов),
и Шрёдингер именно на классической основе хочет защитить
принцип необратимости.
Когда Дж. К. Максвелл и Л. Больцман создали кинетическую
теорию газообразного состояния материи, они, возможно, не со-
1 Доклад Zagadnienie nieodwracalnosci, сделанный на конференции физиков
в Спале в сентябре 1954 г. Настоящий текст расширен за счет ответов автора на
вопросы и возражения, возникшие в процессе дискуссии.
«м

Проблема необратимости
161
знавали ту высокую «цену», которой пришлось оплатить про-
гресс в объяснении термодинамических явлений. Прогрессом я
здесь называю осуществленное ими разрушение стены, отделяю-
щей термодинамику от классической механики, в результате чего
сбылась старая мечта атомистов. Мечта заключалась в сведении
явлений в сплошной материи к игре частиц, представляемых
в виде упругих миниатюрных мячиков или шариков, подчиняю-
щихся законам той механики, которую французы XVIII века на-
зывали рациональной (чтобы еще раз подчеркнуть сходство ее за-
конов с рациональным рассуждением). Под высокой ценой я по-
дразумеваю последовавший за этим отказ от фантастического
проекта Лапласа — предсказывать будущие состояния мира по
существующему, интегрируя системы дифференциальных урав-
нений движения, как это делают астрономы, предсказывающие
будущие положения планет. Отказ был необходим, поскольку ко-
личество частиц в одном литре воздуха (при давлении 1 атм и тем-
пературе 0°) так велико, что одно составление уравнений, описы-
вающих поведение воздуха в литровом сосуде, потребовало бы
целых озер чернил. Создатели кинетической теории пошли иным
путем — они расширили сферу действия статистики, которая до
того использовала теорию вероятностей для описания массовых
явлений в человеческих популяциях, и охватили ею «популяции»,
образованные из молекул. Таким образом, кинетическая теория
материи свела термодинамику к механике, но не к рациональной
механике. Однако никто в то время не осмелился выдвинуть про-
тив кинетической теории принцип индетерминизма. Это объясня-
ется тем, что во времена Максвелла и Больцмана (и даже уже при
жизни Смолуховского) теории вероятностей не хватало мощных
основ (которые были заложены только после Первой мировой
войны). Естественно, что недоразумения и противоречия не за-
ставили себя долго ждать.
В феноменологической термодинамике важную роль играет
принцип возрастания энтропии с течением времени. Он является
обобщением и точным выражением многих важных эксперимен-
тальных наблюдений и явлений (например, более холодное тело
не может передать тепло более теплому; после открытия отвер-
стия в перегородке, отделяющей половину заполненного возду-

162
Гуго Штейнгауз
хом сосуда от пустой половины, происходит выравнивание дав-
лений во всем объеме и т. п.). Э. Цермело упрекнул этот принцип
в несоответствии с так называемой квазиэргодической теоремой,
которую впервые сформулировал А. Пуанкаре, а позднее строго
доказал К. Каратеодори, воспользовавшись теорией меры Лебега.
Теорема гласит, что изолированные механические системы дол-
жны (спустя достаточно продолжительное время) стремиться к
начальному состоянию, и этим свойством не обладают только на-
чальные состояния. Лошмидт заметил, что каждой механической
системе можно поставить в соответствие другую, движение кото-
рой демонстрирует киносъемка движения первой системы при
прокручивании ленты в обратном направлении. Наблюдаемая
при этом картина согласуется с законами механики, в связи с чем
становится невозможным объяснить принцип возрастания энтро-
пии, который ведь не позволяет определить, правильно ли была
установлена лента или нет.
Сегодня нелегко обнаружить в работах Больцмана или Смо-
луховского аргументы, которыми они отражали обвинения Лош-
мидта и Цермело. Проф. Вейссенхофф считает, например, что
Больцман не вполне отдавал себе отчет в ситуации, и что Смолу-
ховский никогда не был на стороне наивных приверженцев прин-
ципа необратимости.
Как примиряли ученые той эпохи теорему о возрастании энт-
ропии с законами классической механики, которой неизвестно
отличие времени, текущего «вперед», от времени, текущего «на-
зад»? Я не могу ответить на этот вопрос категорически, однако
можно предположить, что понятие так называемого хаоса счита-
лось (возможно, не вполне сознательно) средством спасения.
Основатели кинетической теории полагали, что условием приме-
нения теории вероятностей к движению молекул является хао-
тичность этого движения, причем, с другой стороны, огромное
число молекул и их высокая скорость в сочетании с частыми стол-
кновениями именно и создают этот желательный хаос. Из этого
делался вывод, что законы классической механики (важные для
каждой молекулы в отдельности) утрачивают силу для коллекти-
ва молекул. Поведение коллектива начинает определяться стати-
стическими законами, которые в действительности уже не отно-

Проблема необратимости
163
сятся к отдельным частицам, но зато позволяют говорить о пове-
дении некоторых средних величин (например, давления на
стенки сосуда, температуры газа и т. д.).
Вера в то, что божественное желание примирить механику со
статистикой будет выслушано природой, облегчала возникшую
тогда неопределенность понятия «статистических законов».
Изучим игру случая на модели Шрёдингера, которая как пре-
красный дидактический прием должна войти в набор школьных
реквизитов. Представим себе, что в левой половине замкнутого
сосуда находятся сто одинаковых и хаотически двигающихся ша-
риков (пронумерованных от 1 до 100), а в перегородке, являю-
щейся плоскостью симметрии сосуда и отделяющей левую поло-
вину от правой, есть отверстие, через которое эти шарики могут
проскакивать, но только поодиночке.
Так называемое «колесо счастья» (вариант рулетки) имеет 100
одинаковых секторов, пронумерованных от 1 до 100. Представим
себе, что шарики подчиняются законам случая и что именно такое
«колесо счастья» диктует им эти законы. В некоторый момент мы
приводим колесо во вращение, и если оно остановится на номере и,
то шарик с номером п перескакивает через отверстие в другую по-
ловину сосуда. Таким образом, если первым, например, выпадет
номер 17, то шарик с номером 17 перескочит из левой половины в
правую, если же в следующий раз колесо остановится на 39, то из
левой половины в правую перескочит шарик с номером 39. В учеб-
нике теоретической физики К. Шефера можно найти диаграмму,
показывающую ход эксперимента, проводимого по указанным
здесь правилам. Ось времени является горизонтальной, перескоки
шариков следуют друг за другом в каждую единицу времени, а по
вертикали откладывается количество шариков, находящихся в
данный момент в левой половине. На диаграмме отчетливо видно,
как начальная сотня уменьшается, сначала быстро, а затем (по мере
того как число шариков в левой части приближается к 50) все мед-
леннее. В дальнейшем состояние левой половины (а затем и пра-
вой) незначительно колеблется около числа 50. Это школьный экс-
перимент, который подтверждает и одновременно объясняет прин-
цип возрастания энтропии на изолированной модели, ибо только о
таких мы можем говорить в настоящей статье.

164
Гуго Штейнгауз
Присмотримся ближе к этой красивой игрушке. Если в левой
половине находится только 70 шариков, и, следовательно, в пра-
вой 30, то вероятность, что колесо укажет номер одного из шари-
ков, находящихся в левой половине, равна 70/100, а то, что оно
укажет номер одного из правых шариков, соответственно 30/100.
Таким образом, вероятностьр, что после состояния 70:30 наступит
состояние 69:31, равна 70/100, а то, что наступит состояние 71:29,
соответственно 30:100, т. е. значительно меньше. Это кажется до-
казательством возрастания энтропии, но такое доказательство яв-
ляется ошибочным, так как, например, для наблюдения события
70 -> 69 необходимо, чтобы сначала в левой половине было 70 ша-
риков, а потом 69. Фактически речь идет о переходе из состояния
70:30 к состоянию 69:31. Обе половины сосуда эквивалентны, поэ-
|(1/2)100, вероят-
тому вероятность состояния 70:30 равна Р =
(\ 00^
70
ность же перехода 70 -> 69 (когда состояние 70:30 уже существова-
ло), или так называемая условная вероятность, равна, как мы уже
знаем, р = 70/100. Известное правило теории вероятностей дает ве-
роятность 77 того, что мы будем наблюдать переход 70 -> 69:
П=Рр=\
F 70
|(1/2)юо.^О
1 100
Можно легко показать, что • 70 =
Вычисляя аналогичным образом вероятность противополож-
ного события, т. е. перехода 69 -> 70, мы получим:
И ' 69 У ' 100
100^1
•31,т. е.77=77,и
69J
следовательно, мы с одинаковой частотой будем наблюдать как
событие 70 -> 69, так и событие 69 -> 70 (которое и соответствует
первому, если прокручивать киноленту в обратном направлении).
Из этого следует, что наблюдение переходов не позволит отли-
чить правильное направление от неправильного и, значит, не по-
зволит и определить направления времени статистическим спосо-

Проблема необратимости
165
бом. Вычисление также показывает, что начальное состояние
100:0 с вероятностью 1 будет повторяться бесконечно много раз.
Против такой интерпретации модели Шрёдингера можно
выдвинуть следующие возражения. 1) Откуда мы взяли форму-
лу, определяющую Р! Эта формула была бы обоснованной, если
бы мы 100 раз подряд голосовали орлом-решкой, куда следует
поместить шарик номер 1, шарик номер 2,..., шарик номер 100.
Между тем, описание модели этого вовсе не предусматривает:
задается лишь начальное состояние сосуда (100:0), а следующие
возникают в результате перехода шариков. 2) Модель Шрёдин-
гера не отвечает тем статистическим законам, которым подчиня-
ется сплошная среда материи, поскольку тогда необходимо
было бы ввести в рассмотрение бесконечно много материальных
точек, или (хотя бы из желания сохранить идеи кинетической те-
ории, которая порывает с непрерывностью) следовало бы огра-
ничиться перечислением бесконечного множества материаль-
ных точек. 3) Модель имеет только формальное сходство с ис-
тинным ходом событий в сосуде, заполненном молекулами, так
как основана исключительно на гипотезе, что все молекулы име-
ют одинаковую вероятность того, что им выпадет ближайший
переход.
Возражение 1) является серьезным, и мы вернемся к нему
позднее. Возражение 2) подвергает сомнению не только саму мо-
дель Шрёдингера, но и всю классическую кинетическую теорию,
которая не может порвать с конечными множествами молекул
(как известно, эта теория в каждом конкретном процессе эффек-
тивно представляет исчислимость этих множеств). В данной ста-
тье рассматривается кажущееся противоречие между классиче-
ской кинетической теорией и законами рациональной механики,
и поэтому мы не можем менять основы этих доктрин. Несомнен-
но, однако, что мы обязаны заняться рассмотрением возражений
1) и 3), для чего мы построим другую, собственную модель, на
примере которой и обсудим те же вопросы, но сделаем нашу де-
дукцию независимой от искусственного характера модели
Шрёдингера. Возможно, это позволит нам справиться как с возра-
жениями 1) и 3), так и с многими другими, которые можно было
бы выдвинуть в адрес старой модели.

166
Гуго Штейнгауз
Новой моделью будет ящик (коробочка) кубической формы
объемом в один литр с неподвижными стенками, где мы размес-
тим некоторое число молекул (например, 6 000 000) в опреде-
ленных местах (например, на горизонтальном отрезке посреди-
не левой стенки) и на одинаковых расстояниях друг от друга.
Молекулы будут представлять собой материальные точки, прону-
мерованные в порядке возрастания (в начальном положении) от
передней стенки до задней. Каждой молекуле мы придадим эф-
фективную начальную скорость, являющуюся функцией от ее но-
мера. Предполагая, что между молекулами действуют классиче-
ские законы абсолютно упругого столкновения, мы сможем ука-
зать место, где в произвольно заданный момент времени
находится частица с произвольно заданным номером. В конкрет-
ном примере (приведенном в одной из цитированных ниже работ)
вычисления, связанные с решением этой задачи, потребуют не бо-
лее четверти часа и будут элементарными. На этой модели можно
доказать, что распределение частиц в точности соответствует
предсказаниям кинетической теории, оперирующей классиче-
ской теорией вероятностей, хотя в описании модели совершенно
отсутствует предпосылка хаотичности, а формулы, описываю-
щие движение молекул, не имеют ничего общего с теорией веро-
ятностей. Более конкретно, это означает, что разделив коробочку
на левую и правую половины (без материальной перегородки),
мы сможем определить, насколько часто в левой половине будет
находиться, по крайней мере, на 5% больше молекул, чем в пра-
вой. «Насколько часто» означает ту часть времени, в течение ко-
торой будет выполняться это превышение > 5%, а часть времени
следует понимать как предел при Г-> оо выражения (1/27) х [сум-
му длительностей интервалов времени на отрезке (- Г, 7), в тече-
ние которых выполняется превышение > 5%]. Заменив в этом и
подобных утверждениях термин «часть времени» на «вероят-
ность», мы получим утверждение о поведении модели, которая
с помощью теории вероятностей поддерживала бы классическую
кинетическую теорию, исходя из предпосылки о хаосе. При этом
в нашей новой терминологии ничего не говорится о вероятности,
но утверждения доказываются достаточно лаконично, а выводи-
мые формулы совпадают с результатами классической теории.

Проблема необратимости
167
Из них можно получить все выводы кинетической теории, если
принять следующее определение: вероятность того, что в произ-
вольно выбранный момент времени наблюдатель зафиксирует
состояние S, равна частоте появления состояния S (которая опре-
деляется как доля времени, в течение которой имеет место это со-
стояние). В частности, мы получим формулу Р =
1(1/2)", опре-
деляющую относительную частоту состояния (N - г):г. Однако
полученная информация будет значительно более точной, напри-
мер, можно определить относительную частоту того состояния,
при котором в каждом из тысячи см3, составляющих объем сосу-
да, будет не менее 5940 и не более 6060 частиц.
Каким образом это можно доказать? Запишем через три фун-
кции времени xn(t), yn{t) uzn(t) координаты л-й молекулы в момент
/, что нетрудно сделать, просто расположив оси х,у, z вдоль ребер
ящика. Разумеется, в этих формулах фигурируют и заранее задан-
ные составляющие £„, г\п и С,П9 соответствующие начальной скоро-
сти w-й молекулы. Предполагается, что эти составляющие ариф-
метически независимы, т. е. уравнение
N
Y,Mn+b„4n+Cntn)=0 (2)
/1=1
с целыми коэффициентами аП9 Ъп, сп выполняется только при зада-
нии нулевых значений всем а, Ь, с. В этом случае можно доказать
независимость системы из 3N функций, описывающих движение
всей совокупности N частиц. Свойство независимости (точнее
стохастической независимости) для двух функций j{t), g(t) опре-
деляется соотношением
|£(/(0< a,g(t)< b)\ =\E(f(t)< a)\-\E(g(t)< b\, (3)
/ t t
которое должно выполняться для всех чисел а и 6, где Е( W) озна-
чает частоту состояния, выраженного условием W. Математиче-
ская запись E{W) означает множество значений /, при которых
t
выполняется W,aE обозначает относительную меру множества
Е на интервале (- оо, оо). Взаимная независимость 3N функций
системы, требуемая в нашей задаче, выражается формулой типа

168
Гуго Штейнгауз
(3), в которой везде используются произведения не двух, а трех
сомножителей. Независимость действительно имеет место, что
можно доказать с помощью критерия М. Каца (см. Studia Mathe-
matica VI (1936), стр. 46-58) из теории независимых функций,
предполагая арифметическую независимость начальных скоро-
стей, которую мы уже оговорили выше. Дальнейшие рассужде-
ния подобны тем, которые можно найти в учебниках по теории
вероятностей и которые отличаются только интерпретацией.
Переходя к более детальному обсуждению нашего метода,
необходимо отметить характерные свойства нашей модели: а) ее
свойства вытекают из уравнений движения молекул (в смысле ра-
циональной механики) путем полной математической индукции;
Р) вывод этих свойств сделан без помощи теории вероятностей;
у) модель является полностью детерминированной в смысле Лап-
ласа; 6) модель позволяет получить все те характеристики, кото-
рые классическая кинетическая теория пыталась вывести с помо-
щью теории вероятностей (безотчетно отказавшись от принципа
детерминизма в физике). Наконец, мы утверждаем, что эта мо-
дель является изолированной, а следовательно, ограниченной
в пространстве и не подверженной внешним силам.
Этих свойств достаточно, чтобы опровергнуть кажущееся
противоречие между кинетической теорией и ньютоновским де-
терминизмом, а также указать на ошибочность принципа необра-
тимости, хотя бы только в отношении изолированных систем.
Действительно, частота событий, состоящих в том, что все моле-
/1 /л\6 000 000
кулы находятся в левой половине сосуда, равна (1/2) , из
чего следует, что общее время нахождения в этом состоянии явля-
ется бесконечно большим, что явно противоречит принципу не-
обратимости.
Сейчас самое время предоставить слово оппоненту, который
выдвигает следующие обвинения:
(а) Полностью ли проведено доказательство? (б) Каков физи-
ческий смысл предположения о независимости начальных скоро-
стей? (в) Какие ограничения наложены на значения начальных
положений? (г) На чем основан аргумент, что молекулы беско-
нечное число раз будут собираться в левой половине сосуда?

Проблема необратимости
169
(д) Не связаны ли приведенные нами свойства модели с кубиче-
ской формой сосуда, т. е. не являются ли они исключением для
реального мира, в котором такие идеальные формы никогда не
встречаются?
Легче всего дать ответ на первый вопрос. Доказательство
можно найти в работе, опубликованной в 1953 г. (XIII том Studia
Mathematica, стр. 1-17) под заголовком Sur lesfonctions indepen-
dantes (X), которая является третьей в серии статей о поведении
множества точек в сосуде кубической формы. Первая из статей
(Studia Math. IX, 1948, стр. 1-20) посвящена описанию поведения
центра массы множества точек при допущениях, идентичных
принятым в нашей модели. Из нее следует, что осцилляция цент-
ра массы относительно центра куба подчиняется закону Гаус-
са-Лапласа из теории вероятностей (если придать этому закону
определенную выше частотную интерпретацию). Вторую работу
(S. М. XII, 1951, стр. 170-180) Эгервари и Туран написали для
опровержения одного возражения, не фигурировавшего в приве-
денном выше перечне (а)-(д). Этому же посвящена также третья
статья (хотя она не появилась бы, если бы венгерские математики
своевременно опубликовали свою работу). Рассматриваемая
в них проблема связана с тем, что частота событий, определенная
в обеих моих работах, не изменится, если произвольным спосо-
бом изменить движение модели на любом конечном интервале
времени (например, охватывающем миллиард лет). Это означает,
что мы можем не дождаться наблюдения даже таких состояний
модели, которые (по нашим же вычислениям!) должны появлять-
ся с частотой 99%. Упомянутые венгерские математики также
смогли оценить время ожидания конкретного события (напри-
мер, выравнивания числа молекул в обеих половинах сосуда)
с ошибкой менее 5%. Мы еще вернемся к этому вопросу, но сей-
час заметим, что данная проблема весьма характерна и для клас-
сической кинетической теории, где 99%-я вероятность, опреде-
ленная для какого-либо состояния, также не гарантирует, что мы
когда-нибудь в жизни его увидим.
В вопросе (б), относящемся к физическому смыслу предполо-
жения о независимости начальных скоростей, скрывается следу-
ющее обвинение: условие независимости, определяемое неразре-

170
Гуго Штейнгауз
шимостью (2), может выполняться для какого-то набора скоро-
стей, но не выполняться для другого, близкого набора. Поскольку
физические наблюдения никогда не являются абсолютно точны-
ми, то независимость никогда не удастся подтвердить. На это я
отвечу, что условие независимости почти всегда выполняется
в пространстве (£ь..., C,n), а это значит, что множество точек того
пространства, которое соответствует зависимым начальным
скоростям, имеет нулевую (по Лебегу) меру, и следовательно, ве-
роятность появления такого начального состояния равна нулю.
Ввиду этого именно с физической точки зрения было бы правиль-
ным принять, что независимость имеет место всегда. Если бы,
однако, этот аргумент вызывал сомнения, то мы должны были за-
думаться над созданием модели, учитывающей взаимную зави-
симость начальных скоростей. Примером этого является набор
точек с горизонтальными начальными скоростями. Очевидно, что
тогда число молекул в левой половине куба является неизменным,
и выравнивания не наступит, если его не было вначале—таким об-
разом, в данном случае принцип необратимости не действует.
Правда, этот пример зависимости (2) является простейшим, но нет
никаких оснований предполагать, что связь начальных скоростей
зависимостью (2) в иных случаях сохранит необратимость.
Эгервари и Туран от обвинения (б) защитились иначе: в их ра-
боте начальные скорости также связаны некоторыми условиями,
но эти условия выражены с помощью неравенств, а, значит, путем
наблюдений можно подтвердить, что в конкретном физическом
примере они выполняются. Выполняются же эти условия только в
некоторой части пространства (£i,..., C,n) начальных скоростей.
Ответ на вопрос (в) заключается в том, что начальные поло-
жения являются произвольными в предположении, что столкно-
вения невозможны. Если же мы не хотим делать такое предполо-
жение, то должны исключить определенные начальные положе-
ния, что приведет к исключению некоторых точек в бМ-мерном
фазовом пространстве (jci,..., z//,; £i,..., £#), совокупность которых
в этом пространстве образует множество с нулевой мерой. Как за-
метили Эгервари и Туран, можно обойтись без этого ущемления
общности начального состояния, если допустить, что в момент

Проблема необратимости
171
соударения материальных точек происходит изменение векторов
скорости. Это ослабляет условие определенности движения, но
мы можем все же еще использовать предшествующие вычисле-
ния для определения положения к-й молекулы в момент /. Дейст-
вительно, в вычисленном месте в указанный момент оказывается
молекула, но это не обязательно будет молекула с тем же номе-
ром к.
Вопрос (г) касается отдельных координат {хп} молекул. Од-
ной лишь арифметической независимости скоростей £„ достаточ-
но для доказательства того, что относительная частота события,
определяемого одновременным выполнением N неравенств
0<хп < 1/2 (л = 1,2,...,Л0>Равна 1/2^. Из этого следует, что никог-
да вся масса газа не перестанет возвращаться в левую половину
сосуда, в связи с чем возникает вопрос о том, можно ли считать
нашу модель эквивалентом игрушки в виде колеса счастья или ру-
летки? Введем, например, запрет на одновременное прохождение
двух молекул сразу через плоскость х = 1/2, делящую куб попо-
лам. В этом случае мы можем говорить о последовательности со-
бытий Z\9 Z2,..., Z*,..., заключающихся в поочередных переходах
через эту плоскость. Математическая формулировка этой пробле-
мы сводится к тому, соответствует ли в последовательности {Z}
частота переходов слева направо игрушке Шрёдингера? Точнее
говоря: если бы в сосуде находилось 100 молекул, то была бы час-
тота события 70 —> 69 в последовательности {Z} равна вероятно-
сти Я, определяемой выражением (1)?
Положительный ответ позволил бы сразу опровергнуть все
возражения 1) - 3) в адрес модели Шрёдингера. К сожалению, от-
вет является отрицательным, что легко видеть на примере 100 мо-
лекул, одна из которых (например, молекула номер 37) имеет го-
ризонтальную составляющую скорости в тысячи раз большую,
чем остальные молекулы. В этом случае в каждом состоянии со-
суда чаще всего будет происходить переход этой молекулы из од-
ной половины в другую. Следовательно, переход будет происхо-
дить не из той половины, где больше частиц, а (что самое важное
для нашей модели) из той, в которой находится частица под номе-
ром 37. Замена модели Шрёдингера на механическую, таким об-
разом, не является прямой, и неизвестно, осуществима ли она во-

172
Гуго Штейнгауз
обще. Следовательно, наиболее востребованной оказывается но-
вая модель.
Перейдем к вопросу (д). Кубическая форма сосуда сущест-
венна, и к ней можно было бы свести, например, параллелепипед,
но оппоненты, пожалуй, имеют в виду не это. Представим себе
сферический сосуд, содержащий N молекул с такими начальными
положениями и скоростями, что ни одна прямая, проведенная че-
рез начальное положение молекулы в направлении ее начальной
скорости, не проходит через центр сферы. Вообще говоря, это
предположение выполнимо (в фазовом пространстве положений
и скоростей множество точек, не удовлетворяющих этому усло-
вию, имеет нулевую меру), из чего немедленно следует, что суще-
ствует сфера (концентрическая с исходной), внутрь которой ни-
когда не попадет ни одна молекула. Поэтому в данной системе
никогда не возникнет близкое к равномерному распределение,
что означает нарушение принципа возрастания энтропии. Другие
геометрические формы (например, тетраэдр) также порождают
большие математические трудности. Даже в кубе, разделенном
пополам материальной мембраной (х = х1г) с отверстием (напри-
мер, квадратным), рассмотрение поведения газа требует серьез-
ных математических средств, и пока не удалось доказать, что
множество точек в таком сосуде подчиняется тем же статистиче-
ским законам, которые мы ввели для исходного куба.
Основное обвинение сводится к тому, что куб представляет
собой идеальную геометрическую форму, не существующую в
природе. С другой стороны, в природе нет также точечных и абсо-
лютно упругих молекул. Таким образом, идеализация реальности
в нашей модели не отличается от общепринятой в классической
механике (а за ней и в теоретической физике на разных этапах ее
развития). В дискуссии по поводу возрастания энтропии ни одна
из сторон pro и contra этого обвинения не оказалась пока победи-
телем. Отсутствие идеальности (или свойство неидеальности)
имеет негативный характер, и неизвестно, что из него вытекает,
так что у нас нет никаких оснований предполагать, что рассмот-
рение сосудов со стенками неправильной формы и молекул с ко-
нечными размерами, сталкивающихся не по центру, будет приво-
дить к необратимости в поведении систем.

Проблема необратимости
173
Подытоживая полученные результаты, можно утверждать,
что существует некая модель, определенная присущим классиче-
ской механике способом, движение которой предопределено не
только принципиально, но и эффективно, и которая (как и другие
модели подобного рода) не позволяет по наблюдению ее движе-
ния указать направление течения времени. Однако при описании
движения центра массы и распределения частиц модель ведет
себя в соответствии с теми утверждениями, которые кинетиче-
ская теория выводит из теории вероятностей. В связи с этим воз-
никает совершенно «нейтральный вопрос» о том, существуют ли
иные модели, поведение которых имеет существенно иной харак-
тер? Пример рассмотренной выше системы опровергает обманчи-
вое представление о том, что якобы в кинетической теории скры-
ваются секреты, позволяющие теоретически защитить принцип
необратимости. Наша модель не выходит за рамки формул этой
теории, но является совершенно иной по построению. Все другие
механические модели, созданные до сих пор, ведут себя подобно
модели в виде куба либо иначе (но в последнем случае все они
вступают в противоречие с принципом необратимости). На теоре-
тическом обосновании этого общего явления должны быть сосре-
доточены усилия математиков. Наш вывод не является повторе-
нием замечания Лошмидта, а представляет собой общее сужде-
ние, касающееся статистической механики.
Иногда приведенную выше модель, как и модель Шрёдинге-
ра, критикуют за то, что в ней выполняется неравенство/? >р' для
вероятностейр ир\ определенных выражениями (1) и (Г). Возра-
жение связано со следующим обстоятельством. Ограничиваясь
в нашей модели, например, состояниями 70:30 и изучая частоты
переходов 70 -> 69 и 70 -» 71, мы обнаружим, что первые проис-
ходят чаще. Из этого мы делаем вывод, что более «поздние» со-
стояния действительно являются более поздними, и считаем, что
таким образом мы можем определить направление течения вре-
мени (если же наблюдение даст обратный результат, то и заклю-
чение будет обратным). Подобное рассуждение, однако, основа-
но-на софизме, так как вычисления соответствуют следующей си-
туации:

174
Гуго Штейнгауз
Вероятность того, что состояние 71 предшествует 70, равна/?
(точно так же, как вероятность того, что состояние 69 предшест-
вует 70, равна/?'), из чего следует, что второй наблюдатель, кото-
рый смотрит фильм в обратном направлении (относительно пер-
вого), пользуясь тем же критерием, также будет считать намотку
ленты (и последовательность событий) правильной. Другими
словами, независимо от способа намотки ленты, переход 70 -» 69
всегда будет наблюдаться чаще, чем переход 70 -» 71.
Последний аргумент contra исходит от практиков. Если с по-
мощью поршня сжать газ в левой половине цилиндра, а потом
резко вернуть поршень в исходное положение, то газ немедленно
заполнит весь цилиндр. Процесс является необратимым, так как
газ сам никогда не может скопиться в левой половине.
Скажем проще: экспериментаторы предлагают описывать пе-
реход от неравновесного распределения к равновесному просто
положением стрелок часов (минутная стрелка относится к нерав-
новесным состояниям, часовая к равновесным). Но суть аргумен-
та заключается в том, что экспериментатор считает сжатие подго-
товкой и только после этого «поднимает занавес» и начинает на-
блюдать и описывать явления. Если же мы начнем наблюдения
с самого начала, то увидим следующую последовательность рас-
пределений: «равномерно — неравномерно — равномерно»,
и введенное правило дает две стрелки, направленные противопо-
ложно. В сущности, экспериментатор в момент ввода поршня
в цилиндр сам стал одной из частей физической системы, а потом
отделился от нее и велел нам наблюдать другую часть, что явно
нарушает постулат об изолированности системы. Когда экспери-

Проблема необратимости
175
ментатор говорит, что можно начинать наблюдение в произволь-
ный момент (игнорируя все, что было до этого), он делает petitio
principii (с латинского: аргумент, основанный на выводе из поло-
жения, которое само еще требует доказательства). Само право иг-
норирования прошлого уже подразумевает возможность как-то
выделить перед экспериментом ту половину «временной полу-
оси», которой соответствует прошлое. Однако если кто-то умеет
отличать ее от «полуоси будущего», то он может вообще обой-
тись без эксперимента! Таким образом, этот аргумент не имеет
ничего общего с экспериментом. В действительности ни у кого не
возникает трудности с определением направления времени в по-
вседневной жизни, но это определение основано на биологиче-
ском различии между новорожденным и покойником, а не на ис-
следовании механизмов.
Можно спросить, какое в связи с этим практическое значение
имеет принцип необратимости. Могут ли инженеры утверждать,
что сталь, вытекающая из доменной печи, остынет, и на чем осно-
вана их уверенность? Ответ сводится к тому, что далекие от рав-
новесия состояния являются очень редкими (как показывает и
наша кубическая модель) как в прошлом, так и в будущем. Поэто-
му мы можем смело не только предсказать, что вытекающая сталь
остынет, но даже и то, что она будет такой же холодной, как окру-
жающая среда (этой формулировкой я обязан проф. Марчевско-
му). При этом нельзя забывать, что все сказанное относится лишь
к моделям и механизмам, изолированным в пространстве (но неи-
золированным во времени!). Пространственная изоляция запре-
щает человеку вмешиваться в эксперимент и, следовательно, объ-
единять данный механизм с другими (хотя бы на момент), а неи-
золированность во времени означает запрещение обрезать
временную ось, т. е. наблюдение должно распространяться в обе
стороны времени.
Вернемся к работе Шрёдингера, с цитирования которой нача-
лась наша статья. Автор предлагает следующий аргумент в защи-
ту необратимости. Предметом наблюдения являются две системы
U\hU2, которые являются неизолированными в моменты време-
ни t9 предшествующие а и следующие за 6, но изолированными в
моменты времени между а и 6. Обозначим энтропии системы U\

176
Гуго Штейнгауз
в моменты а, Ъ через Е\а и Е\ъ (аналогично через Ега и Егъ обозна-
чим энтропии системы U2 в те же моменты). Принцип энтропии
по Шрёдингеру гласит, что разности (Е\ь - Е\а) и (Егь - Е2а) всегда
имеют один и тот же знак. Если они обе положительны, то момент
Ъ наступает позже а, а если обе отрицательны, то Ъ предшествует
я. К сожалению, автор настоящей статьи не понимает содержаще-
гося в цитированной работе доказательства.
В заключение я хотел бы поблагодарить всех тех участников
конференции физиков в Спале в сентябре 1954 г., которые в раз-
личных дискуссиях позволили мне сформулировать, а часто и
уяснить для самого себя разнообразные аспекты предмета настоя-
щей статьи.

Теория вероятностей
как инструмент исследований
в естествознании и производстве1
I. Введение
В XX веке теория вероятностей повторила судьбу геометрии
XIX века. К тому времени, когда Д. Гильберт в своей работе Grun-
dlagen der Geometrie придавал окончательную логическую форму
открытиям Гаусса, Лобачевского и Бойяи-младшего (а позднее,
Бельтрами, Паша, Клейна и Пуанкаре), теория вероятностей была
обоснована ничуть не лучше, чем при Лапласе. В ее рамках теоре-
мы чистой математики, приближенные формулы, эмпирические
правила и вольно трактуемые статистические данные объединя-
лись в нечто, что скорее заслуживало название умения, чем мате-
матической науки. Перед Первой мировой войной никто не знал,
можно ли теорию ошибок (давно используемую в геодезии, аст-
рономии и физике) обосновать математически или она также яв-
ляется лишь средством описания экспериментов и наблюдений,
хотя математические познания таких создателей этой теории, как
Гаусс, Бессель и Хелмерт, были весьма глубоки.
Перед Первой мировой войной никто также не отдавал себе
отчета и в том, что утверждения теории вероятностей являются
истинными, а не правдоподобными. Формулировка закона боль-
1 Статья Rachunekprawdopodobienstwajako narz$dzie badan w przyrodoznawstwie
iprodukcjiy написанная в сотрудничестве с Т. Чеховским, М. Фишем, О. Ланге,
Я. Одерфельдом и В. Садовским, была представлена в виде доклада на VIII
Съезде польских математиков в Варшаве 9 сентября 1953 г., печатается по ма-
териалам, предоставленным оргкомитетом Съезда.

178
Гуго Штейнгауз
ших чисел в учебнике Э. Чубера (наиболее полном и самом попу-
лярном у немецкоязычных читателей) имела смысл какого-то не-
опровержимого закона, хотя автор, подобно всем современным
ему специалистам в этой области, умел доказывать только про-
стейший закон вероятности (закон Бернулли). Для игры в орла и
решку сильный закон больших чисел равносилен теореме Бореля
о двоичных формах, которая появилась на несколько лет раньше
упомянутого учебника, но и сам Борель этой эквивалентности не
заметил. Подобно всем остальным, он тогда полагал, что теория
вероятностей представляет собой доктрину о весьма своеобраз-
ных объектах, а свойства двоичных форм относятся только
к обычным действительным числам. Смысл сильного закона
больших чисел первым осознал Кантелли, который и доказал его
в 1916 году. В 1917 г. независимо от него то же самое осуществил
С. Мазуркевич, один из трех создателей варшавской математиче-
ской школы (из-за войны он не знал о публикации Кантелли).
Таким образом, процесс развития теории вероятностей дока-
тился до Польши только после Первой мировой войны. До этого
учебник Госевского, включающий обстоятельную библиогра-
фию, олицетворял у нас ту же самую эпоху, что и Чубер в Герма-
нии. Из наиболее самобытных основоположников теории вероят-
ностей в Польше следует упомянуть В. Борткевича и М. Смолу-
ховского. Борткевич постоянно проживал в Берлине и был мало
известен в нашей стране, но именно он первым указал на приме-
нения закона Пуассона, который он назвал законом малых чисел.
Общеизвестно, что Смолуховский значительно продвинул идеи
Максвелла и Больцмана (кинетическую теорию материи) на осно-
ве теории вероятностей и применил ее к броуновскому движе-
нию, опалесценции и другим задачам оптики и термодинамики.
Он занимался также парадоксами этой теории, известными по
именам Цермело и Лошмидта.
Пребывание Смолуховского в течение нескольких лет во
Львове, конечно, оказало влияние на местных математиков, но
лишь после войны в Fundamenta Mathematicae (в IV томе, 1922 г.)
появились две работы по теории вероятностей. Автор первой из
них, А. Ломницкий предлагает определение вероятности с помо-
щью интеграла Лебега и пытается придать понятию независимо-

Теория вероятностей как инструмент исследований... 179
сти случайных величин математический характер. Автор другой
работы, Г. Штейнгауз впервые вводит ряды случайных величин
и понижает аксиоматику конечной последовательности бросания
монеты (орел-решка) до аксиоматики меры Лебега. Характерно,
что ни один из этих авторов в то время не был знаком с работой
Кантелли, хотя во второй работе сильный закон больших чисел
доказан более строго, чем было известно. Вскоре, однако, обе ра-
боты были превзойдены двумя представителями московской
школы: А. Хинчин доказал и опубликовал в Fundamenta Mathe-
maticae теорему о повторном логарифме, т. е. привел наиболее
строгую формулировку закона больших чисел применительно
к альтернативе орел-решка, а А. Колмогоров опубликовал фун-
даментальную работу об основах теории вероятностей, в кото-
рой была приведена программа математизации теории вероят-
ностей.
Эти исторические воспоминания имеют целью показать роль
польской математики и разъяснить текущее состояние теории ве-
роятностей и ее практических приложений в нашей стране. Не-
сколько раз случалось, что на короткое время самые современные
идеи этой науки расцветали именно у нас, но дело никогда не дохо-
дило до создания сильной школы по двум причинам. Прежде всего,
притягательная сила варшавской школы вовлекала в свою орбиту
значительную часть молодых математиков и делала их безразлич-
ными ко всему, что не относилось к теории множеств. Второй при-
чиной позднее стала неясная политическая ситуация в стране, ко-
торая в 1939 году обернулась трагедией. В Варшаве параллельно с
С. Мазуркевичем теорией вероятностей занимался только А. Рай-
хман. Во Львове Ломницкий-младший и С. Улам опубликовали в
парижских Comptes Rendus заметку о вероятности применительно
к оценке продуктов, которая имела значение для математического
обоснования теории вероятностей, а начиная с работы М. Каца
в Studia Mathematica стала публиковаться серия статей о независи-
мых функциях. Позднее А. Зигмунд и Ю. Марцинкевич привели
вариант закона повторного логарифма, который стал сенсацион-
ным ввиду своей парадоксальности. В Варшаве и Пулавах развер-
нулась статистическая школа Е. Сплавы-Неймана. Перед войной
эмигрировали М. Кац, С. Улам и Ломницкий-младший, а также

180
Гуго Штейнгауз
Е. Сплава-Нейман и его ученик В. Козакевич; где-то в начале войны
погиб Ю. Марцинкевич; от рук гестапо погибли Ломницкий-стар-
ший и А. Райхман. После войны в стране осталась только горстка
математиков, и сегодня можно по пальцам пересчитать тех, кто вла-
деет теорией вероятностей и ее практическими приложениями.
Тем временем строительство нашего государства поставило
перед нами задачи, превышающие возможности этой небольшой
горстки людей. Диспропорция между их возможностями и не-
объятностью задач делает нереальной любую программу матема-
тических исследований, относящуюся ко всей области вероятно-
стной проблематики.
Ниже мы кратко представим современное состояние теории
вероятностей и ее важнейших применений, направление их разви-
тия, а также постоянно расширяющийся круг математических
средств, используемых теорией вероятностей и ее приложениями.
Особое внимание мы обратим на достижения польских математи-
ков и постараемся выявить все предложения, касающиеся задач,
стоящих перед ними в области теории вероятностей. Мы также
остановимся на том, что надо сделать для подготовки специали-
стов, которым можно было бы доверить не только обучение моло-
дежи, но и внедрение известных статистических методов в про-
мышленность, торговлю, естественные науки и медицину. Наибо-
лее трудными являются вопросы подготовки людей к решению
конкретных практических задач, не подпадающих под типовые
схемы, а также преодоление недоверия, которое традиционно пи-
тают к математикам практики и руководители, привыкшие к эмпи-
рическому подходу. Таким людям знахарство (под знахарством мы
подразумеваем некритическое рутинное мышление) порой пред-
ставляется более уместным, чем разумное поведение.
И. Теория независимых функций и их применение
в механике и физике
К теоретическим достижениям польской науки можно отнес-
ти теорию независимых функций, в особенности теорию степен-
ных рядов со случайными коэффициентами. Можно отметить
первую правильную формулировку теоремы Бореля о таких ря-

Теория вероятностей как инструмент исследований... 181
дах (Math. Zeitschrift, 31, 1929), а позднее и окончательное под-
тверждение Ч. Рылл-Нардзевским (в XIII томе Studia Math., 1953)
гипотезы Блекуэлла, что позволило получить полное решение за-
дачи Бореля в случае независимости коэффициентов. Большую
роль в развитии теории вероятностей именно в этом направлении
сыграло знание и использование меры и интеграла Лебега, чем
мы обязаны В. Серпиньскому, С. Банаху, А. Тарскому и С. Саксу.
Поэтому задачи из теории эргодических и стохастических про-
цессов попали на подготовленную почву, о чем свидетельствуют
многочисленные результаты, полученные в последние годы
Э. Марчевским, Ч. Рылл-Нардзевским, С. Хартманом, К. Урбани-
ком и другими. Однако задачи, связанные с понятием реализации
случайной последовательности, на этом не заканчиваются. У Ми-
зеса это понятие еще является математически нестрогим, у нас же
такой последовательности было дано строгое определение (см.
работу о независимых функциях в XI томе Studia Mathematica,
1950). Из этого определения следует, что примером реализации
является последовательность цифр двоичного представления аб-
солютно нормального числа, приведенная значительно раньше В.
Серпиньским.
Введение случайных функций позволяет трайтовать случай-
ные величины в качестве функций вспомогательной переменной
t, а затем показать, что в физике могут существовать функции вре-
мени t, придающие течению процессов независимость в стохасти-
ческом смысле, т. е. в смысле Колмогорова. Эти результаты уда-
лось получить благодаря тому, что у нас было конкретизировано
понятие независимости, констатирующее, например, что взаимно
независимыми являются две функции Пеано, определяющие кри-
вую, заполняющую квадрат, и что независимыми являются (в
пределе, стремящемся к бесконечности) гармонические функции
с несовпадающими периодами. Это обстоятельство ведет к новой
интерпретации теории вероятностей, поскольку считая вспомога-
тельной переменной время t, можно теперь применять теоремы
теории вероятностей к некоторым механическим моделям, пол-
ностью лишив их случайного характера. Наглядным примером
может служить модель кубической коробки, в которой множест-
во материальных точек отражается от стенок в соответствии

182
Гуго Штейнгауз
с классическим законом равенства углов при отражении. Резуль-
таты, которые эта модель позволяет получать относительно взаи-
модействия частиц и движения центра массы, полностью совпа-
дают с расчетами по теории вероятностей, но их вывод имеет со-
вершенно иной характер. В то время как классическое решение
задачи основано на постулатах (которые невозможно доказать ни
в математике, ни в механике), в новой модели используются толь-
ко математический анализ и свойства движения в отсутствие
внешних сил, а вместо вероятностей событий вычисляются часто-
ты их появления во времени.
Кроме того, эта модель демонстрирует соответствие детер-
министской механики (для каждой частицы с эффективно опреде-
ленной траекторией) таким статистическим явлениям, как поло-
жение центра массы и т. п. Важность этого результата состоит в
том, что ранее непротиворечивость таких аспектов описания при-
нималась на веру без доказательства. Полученные результаты
можно найти в X, XII и XIII томах Studia Math. В X и XIII томах
приведены работы Г. Штейнгауза, а в XII — статья венгерских
математиков Э. Эгервари и П. Турана, основанная на другой ме-
тодике и появившаяся под влиянием первой из упомянутых, по-
зволяющая оценить время, необходимое для приближения газа
к равномерному распределению по объему. Идя по этому пути,
можно надеяться на отказ в будущем от специальной формы ре-
зервуара и получение когда-нибудь без применения теории веро-
ятностей всего того, чем гордится кинетическая теория материи
XIX и начала XX веков. Однако даже описанная специальная мо-
дель достаточна, чтобы показать справедливость обвинений
Лошмидта и Цермело и продемонстрировать, что классический
способ обоснования второго закона термодинамики с помощью
теории вероятностей является ошибочным. Уточнение модели, о
которой шла речь, должно охватывать также пространственные
(т. е. не точечные) частицы.
Рассмотренный пример приводит и к задаче турбулентности,
или вихревого движения жидкости. В теории турбулентности
уравнения Навье-Стокса соответствуют законам Гей-Люссака
и Ван-дер-Ваальса классической (т. е. феноменологической) тер-
модинамики, и следовательно, в ней также необходимо сделать те

Теория вероятностей как инструмент исследований... 183
два шага, которые были осуществлены в теории газов за XIX и XX
века. Я подразумеваю создание стохастической теории турбулен-
тности, основанной на случайном поведении частиц жидкости,
а затем (по образу и подобию того, что удалось сделать в частном
случае с множеством частиц газа) отказ в теории от вероятност-
ных концепций. Такая задача является несравненно более слож-
ной, поскольку в жидкости частицы находятся гораздо ближе
друг к другу, чем в газе (вследствие чего их размерами нельзя пре-
небрегать), и модель газа в виде идеальных точечных частиц ста-
новится нереалистической и неэффективной.
III. Классические задачи теории вероятностей
Уже во введении к этой статье мы в общих чертах обрисовали
развитие проблематики, связанной с законами больших чисел.
Современное состояние этой проблемы включает две основные
теоремы Колмогорова о сильном законе больших чисел и его же
теорему о повторном логарифме, обобщающую результаты
А. Хинчина. До сих пор известны только достаточные условия
для применения сильного закона больших чисел, однако эти усло-
вия не являются необходимыми, известные же до сих пор необхо-
димые условия не являются достаточными. Проблематика зако-
нов больших чисел составляет фрагмент общей теории предель-
ных распределений сумм случайных переменных, к наиболее
старым результатам которой относятся теоремы Муавра-Лапласа
и Пуассона о границах биномиального распределения, а также за-
коны больших чисел Бернулли и Пуассона. В этих теоремах речь
идет о предельном распределении стандартизированных сумм не-
зависимых случайных величин, в которых каждая может с извест-
ной вероятностью принимать два значения. Предельными рас-
пределениями здесь соответственно являются: нормальное, Пуас-
сона и унимодальное.
Долгие годы многие математики размышляли над пробле-
мой нахождения необходимых и достаточных условий того, что-
бы . последовательность распределений стандартизированных
сумм случайных величин сходилась к распределению Гаусса
при увеличении числа слагаемых до бесконечности. Решение

184
Гуго Штейнгауз
этой задачи облегчило введение в теорию вероятностей характе-
ристических функций, однако было ясно, что класс возможных
предельных распределений сумм случайных величин не ограни-
чивается нормальным, пуассоновским и унимодальным распре-
делениями. Более того, во многих задачах (например, физиче-
ских) получаются распределения с бесконечной дисперсией. К
тому же возник вопрос о возможных предельных распределени-
ях сумм, нормированных не стандартным методом.
Проблема предельных распределений сумм случайных вели-
чин, таким образом, требовала новой, общей формулировки. Эта
проблема была решена А. Хинчиным, который ввел так называе-
мые двойные суммы вида
в которых слагаемые £„* являются независимыми, однако могут
изменяться вместе с л, причем отдельные слагаемые £„* играют
все меньшую роль при возрастании их числа до бесконечности
(£„* является бесконечно малым). Стандартизированные суммы,
рассматриваемые ранее в центральных предельных теоремах,
а также средние арифметические в законах больших чисел пред-
ставляют особый случай сумм вида (1). Общая формулировка за-
дачи сводится к:
(А) нахождению класса возможных предельных распределе-
ний сумм (1),
(Б) нахождению необходимых и достаточных условий, кото-
рым должны удовлетворять распределения переменных £„* для
того, чтобы последовательность распределений сумм (1) сходи-
лась к данному распределению.
Поставленные задачи были решены с помощью введения в
теорию понятия о бесконечно делимых переменных, т. е. пере-
менных, которые для произвольного натурального п могут быть
представлены в виде суммы п независимых случайных величин
с одинаковыми распределениями (частным случаем бесконечно
делимых являются нормальная и пуассоновская случайные вели-
чины). При этом следует заметить, что согласно теореме Крамера,
если нормальная случайная величина является композицией ко-
нечного числа величин, то эти величины имеют нормальное рас-

Теория вероятностей как инструмент исследований... 185
пределение. Аналогичную теорему для пуассоновских величин
доказал Д. Райков.
Теория распределений бесконечно делимых, возникшая на
основе исследования однородных стохастических процессов,
оказала глубокое влияние на теорию предельных распределений
сумм независимых случайных величин. Основную роль в ней иг-
рает теорема Гнеденко, позволяющая исследовать предельные
распределения сумм независимых случайных величин с помо-
щью границ соответствующей последовательности распределе-
ний бесконечно делимых случайных величин.
Задача (А) была решена А. Хинчиным, который нашел, что
класс предельных распределений сумм (1), в которых слагаемые
^nk являются бесконечно малыми, совпадает с классом распреде-
лений бесконечно делимых переменных. На основе упомянутой
теоремы Гнеденко были получены необходимые и достаточные
условия сходимости последовательности распределений сумм (1)
к данному распределению. Упомянутая теорема Линдеберга-
Феллера вытекает из вышеприведенных теорем в качестве непо-
средственного следствия.
Ограничиваясь нарастающими суммами, т. е. суммами вида
Zn4t£k\lBn-An> (2)
П. Леви нашел класс всех возможных предельных распределений,
так называемый класс Z,. Как показали А. Хинчин и П. Леви, если
все £* в (2) имеют одинаковое распределение, то единственно воз-
можными распределениями сумм (2) являются устойчивые рас-
пределения, т. е. такие, для которых сумма двух произвольных
независимых линейных функций случайной переменной с устой-
чивым распределением представляет собой линейную функцию
переменной с таким же распределением.
Следует заметить, что нормальное распределение является
единственным устойчивым распределением с конечной диспер-
сией, что и объясняет доминирующую роль этого распределения
в приложениях теории вероятностей. Кроме этого, известны еще
два устойчивых распределения: одним из них является распре--

186
Гуго Штейнгауз
деление Коши, другим — предельное распределение, которое
получается при «блуждающем движении» молекулы по прямой
линии.
Несмотря на то, что описанная теория предельных распреде-
лений сумм является весьма продвинутой и развитой, здесь все же
имеются и нерешенные задачи. В частности, дальнейшее иссле-
дование устойчивых распределений с целью эффективного их
определения имеет не только теоретическое значение, но и полез-
но для практических приложений.
Из новейших исследований в области предельных распреде-
лений сумм отметим следующие:
1. Результат А. Реньи, который нашел необходимые и доста-
точные условия того, чтобы последовательность сумм независи-
мых целочисленных случайных величин сходилась к распределе-
нию суммы независимых величин Пуассона.
2. Результат М. Фиша, который нашел класс всех возможных
предельных распределений сумм независимых r-мерных случай-
ных величин с одинаковым распределением. Оказалось, что кро-
ме равномерного распределения к этому классу принадлежат то-
лько нормальное распределение, распределение Пуассона, а так-
же композиция двух последних, включающая самое большее г - 1
слагаемых.
Отдельную проблему в области предельных распределений
сумм представляет уточнение предельных теорем путем указания
точности асимптотических формул, что имеет существенное зна-
чение для применения результатов теории предельных распреде-
лений сумм. Из наиболее важных результатов здесь следует упо-
мянуть теоремы Ляпунова-Крамера и Эссена, касающиеся точно-
сти асимптотических формул в интегральной и локальной
предельных теоремах.
О степени актуальности этой проблематики может свидете-
льствовать то, что в последнее десятилетие появились две работы
С. Бернштейна и У. Феллера, уточняющие теорему Муавра-Лап-
ласа.
Более широкого интереса эта проблематика в Польше до сих
пор не пробудила. Некоторых результатов добился М. Фиш.

Теория вероятностей как инструмент исследований... 187
Фундаментальными работами в области предельных распре-
делений сумм зависимых случайных величин считаются работы
С. Бернштейна. Этой же проблемой применительно к эквивалент-
ным (в смысле Кантелли) зависимым переменным занималась
Г. Милицер-Гружевска. Как с теоретической, так и с практической
точки зрения было бы желательно расширение исследований кро-
ме сумм независимых и зависимых случайных величин также и на
их функции.
IV. Стохастические процессы
За последние двадцать лет истории теории вероятностей не
только были созданы математические основы (А. Колмогоров) и
проведены богатые результатами исследования по предельным
распределениям сумм случайных величин, но также возникла но-
вая ветвь теории вероятностей под названием «стохастические
процессы». В этой области (теоретические основы которой зало-
жил А. Колмогоров) теория вероятностей в невиданных ранее
масштабах заимствует много полезного из понятий и аналитиче-
ского аппарата других математических дисциплин (главным об-
разом теории дифференциальных, интегральных и интегро-диф-
ференциальных уравнений, теории рядов Фурье, а также функци-
онального анализа), выдвигая одновременно новые с
теоретической точки зрения задачи. Теория стохастических про-
цессов ведет свое происхождение из двух источников, одним
были рассуждения Башелье о непрерывных вероятностях, дру-
гим — работа А. Маркова о случайных событиях, связанных
в цепь.
В практических применениях стохастические процессы ока-
зываются очень хорошими теоретическими моделями для иссле-
дования динамических систем в тех случаях, когда состояние
системы не определяется однозначно с помощью имеющейся о
ней информации согласно значениям параметров, а может бьпъ
определено только с некоторой вероятностью для каждого из
возможных состояний. Понятия системы и ее состояния для
определенных значений параметров на основе стохастических
процессов можно трактовать очень широко (в качестве парамет-

188
Гуго Штейнгауз
pa могут выступать, например, амплитуда телеграфного сигна-
ла, число занятых линий телефонной станции, число особей ис-
следуемой популяции, сумма задолженности в страховых ком-
паниях и т. д.). Поэтому теория стохастических процессов
широко используется и изучается во всех случаях, когда к иссле-
дуемым системам принципиально не применимы методы клас-
сического детерминизма, например в квантовой и статистиче-
ской механике.
Для описания состояний исследуемой системы используется
понятие случайной функции f{t\ значениями которой являются
случайные переменные, а стало быть, абстрактные функции (функ-
ционалы), определенные на абстрактном множестве Q (множест-
ве элементарных событий). Со многих точек зрения случайную
функцию удобно рассматривать как функцию j[t, со) двух пере-
менных, определенную на Тх Q, где Т— множество значений t.
Приняв t за случайную величину, являющуюся аргументом слу-
чайной функции, и задав значение со, мы получим функцию пере-
менной t, называемую реализацией процесса. Согласно Слуцко-
му, все значения случайной функции можно полностью охаракте-
ризовать w-мерным распределением случайной переменной (хь
*2v> *п)> компоненты которой соответствуют произвольным мо-
ментам времени t\9 *2,.--> **• Несмотря на это, теория случайных
функций, существовавшая до сих пор, определяет случайные
функции в некотором смысле фрагментарно, связывая их с опре-
деленными типами исследуемых явлений. Таким образом, в тео-
рии стационарных процессов (в самом широком смысле) А. Хин-
чин делает заключение о свойствах случайных функций, исходя
из условий, удовлетворяющих первым двум моментам распреде-
ления случайной функции. А процессом Маркова называется та-
кой процесс, у которого вероятность будущих состояний одно-
значно определяется состоянием в данный момент, подобно тому,
как это имеет место в классической механике.
Принимая также во внимание определения Н. Винера и
П. Леви, отправной точкой считают стохастическое уравнение,
а также аналитическое определение с помощью рядов Фурье с ко-
эффициентами, являющимися случайными переменными. Тесно
связывая их с упоминавшимися ранее исследованиями Г. Штей-

Теория вероятностей как инструмент исследований... 189
нгауза, следует подчеркнуть, что не всегда все свойства случай-
ной функции с очевидностью вытекают только из определения.
Например, до сих пор неизвестно, всегда ли определение случай-
ной функции через стохастическое уравнение дает информацию
о ее корреляционной функции, т. е. об ожидаемом значении про-
изведения/^, со) •/($, со). Эта проблема связана с недавними ис-
следованиями П. Леви. С другой стороны, стационарные на осно-
ве корреляционной теории функции могут не быть стационарны-
ми в смысле определения Слуцкого.
Основную роль в теории стационарных процессов играет
корреляционная функция. Теория стационарных процессов, опи-
рающаяся исключительно на первые моменты и на корреляцион-
ную функцию, носит название корреляционной теории, создате-
лями которой являются А. Хинчин, А. Колмогоров и Н. Винер.
На основе корреляционной теории решены задачи экстраполяции
и фильтрации. Экстраполяция заключается в таком предсказании
значений случайной функции на всей прямой t (на основании зна-
ния ее значений в некотором множестве точек), чтобы средний
квадрат ошибки предсказания был минимально возможным. За-
дача экстраполяции имеет простую геометрическую интерпрета-
цию в гильбертовом пространстве. Фильтрация также заключает-
ся в предсказании значений случайной функции в условиях, когда
ее наблюдаемые значения сопровождаются помехами. Классиче-
ским применением теории фильтрации является очищение сигна-
ла от шумов в телекоммуникации.
Особую важность для теории имеет тот факт, что корреляци-
онная функция оказалась положительно определенной, вследст-
вие чего преобразование Фурье позволило связать корреляцион-
ную функцию с функцией распределения средней мощности сиг-
нала по частотам. Ценность этого результата в том, что на
основании эргодической теоремы (применимой к стационарным
процессам) корреляционную функцию можно определить экспе-
риментально по произвольной реализации сигнала. Корреляци-
онная теория стационарных процессов в большей части является
теорией преобразования Фурье, обобщенной в том смысле, что
она применяется не только к функциям с числовыми значениями,
но и к случайным функциям.

190
Гуго Штейнгауз
В более широком смысле стационарный процесс может быть
интерпретирован как кривая, расположенная на шаре в гильбер-
товом пространстве, а затем как группа унитарных операторов.
Методы функционального анализа нашли применение к стацио-
нарным процессам в исследованиях А. Колмогорова, Кархунена,
а в последние годы и в работах Гренандера, связанных с провер-
кой статистических гипотез в стохастических процессах.
Отдельную область применений стационарных процессов
представляет собой проблема корреляции временных последова-
тельностей (называемых в статистике также «временными ряда-
ми»). В этой области работы Г. Вольда сделали возможным пра-
вильное математическое понимание оценки коэффициентов рег-
рессии и проверку гипотез, относящихся к этим коэффициентам.
В связи с этим следует вспомнить об аппарате стохастических
дифференциальных уравнений, предназначенных для описания
стохастических процессов, реализации которых представляют
собой случайные временные последовательности.
Важным классом случайных функций являются разностные
процессы, т. е. такие, для которых приращенияД/) -flu) в непе-
рекрывающихся интервалах (/, и) являются независимыми. К раз-
ностным процессам, в частности, относятся пуассоновский про-
цесс и броуновское движение (т. е. стохастические процессы,
в которых распределения приращений являются пуассоновским
и нормальным, соответственно). В последнем процессе вероят-
ность можно понимать как меру Винера в пространстве непре-
рывных функций (в пространстве реализаций).
Процессы типа Маркова составляют наиболее широкий класс
разностных процессов. Для марковских процессов выполняется из-
вестное уравнение, связанное с именами А. Маркова, М. Смолухов-
ского, А. Эйнштейна, Чепмэна и А. Колмогорова. Это уравнение ча-
сто принимается за определение процесса Маркова (так, например,
у Колмогорова). Возникает вопрос, каждый ли процесс, удовлетво-
ряющий этому уравнению (и, кроме того, возможно удовлетворяю-
щий некоторым условиям регулярности), действительно соответст-
вует процессу Маркова в приведенном выше смысле.
Процессы Маркова находят применение в таких областях,
как нагрузка телефонной сети, радиоактивный распад, космиче-

Теория вероятностей как инструмент исследований... 191
ское излучение, а также в исследованиях развития биологических
популяций, в процессах диффузии и броуновском движении.
Специальным случаем процессов Маркова являются так называе-
мые ветвящиеся процессы, описывающие распад некоторых объ-
ектов на большее число элементов. Эти процессы находят приме-
нение при исследовании цепных химических реакций, а также ра-
диоактивного распада.
Аналитический аппарат, применяемый для изучения марков-
ских процессов, представляет собой системы линейных диффе-
ренциальных уравнений, уравнения параболического типа, а так-
же уравнения дифференциально-интегрального вида, больше ни-
где не встречающиеся. В исследованиях некоторых авторов
появляются функциональные уравнения, например, Б. Гаррис ис-
пользует уравнение типа Кёнига, а А. Реньи в своих исследовани-
ях независимых приращений отказывается от аппарата теории
дифференциальных уравнений и использует функциональные
уравнения. Перенос понятий и метода функционального анализа
на марковские процессы можно найти в книге Э. Хилле Functional
analysis and semigroups (Нью-Йорк, 1948). В практических приме-
нениях теории вероятностей часто встречаются задачи, приводя-
щие к стохастическим процессам, не являющимся марковскими,
некоторые из которых имеют вид z{t) =f[x(t)], где x(t) — процесс
Маркова. Исследованием таких типов немарковских процессов
занимался А. Реньи, который констатировал, что в принципе все
процессы данного вида можно свести к процессам Маркова, при-
чем для некоторых классов немарковских процессов подобное
сведение позволяет изучать их различные свойства, например
свойство эргодичности.
В Польше Группа действительных функций Государственно-
го математического института1 приступила к систематической
работе над стохастическими процессами в январе 1951 г. и прово-
дит ее в основном на симпозиуме во Вроцлаве, которым руково-
дят Э. Марчевский и Г. Штейнгауз. Первоначальная тематика ка-
салась однородных разностных процессов, в основном пуассо-
1 После создания Польской Академии Наук (ПАН) Государственный математи-
ческий институт был преобразован в Математический институт ПАН. —
Прим. ред. польского издания.

192
Гуго Штейнгауз
новского процесса и броуновского движения, а главной целью
работы было решение двух принципиальных задач:
1. Упрощение теорем о распределениях путем отказа от раз-
личных аналитических предпосылок или замены их другими.
2. Разработка доказательств существования вероятности, ко-
торых нет ни в одном учебнике.
Для процесса Пуассона удалось изучить оба этих вопроса, а
также получить новые результаты.
Прежде всего, удалось доказать, что если функция f[t) неот-
рицательной переменной удовлетворяет условиям
(S) ( ДО) = О, ДО = 0,1, 2,...,
\f(t) является неубывающей и имеет единичные скачки,
то для однородного разностного процесса, определенного множе-
ством функций, удовлетворяющих условиям (S), приращения во
времени имеют распределение Пуассона с математическим ожи-
данием, пропорциональным /. Э. Марчевский заметил, что выше-
приведенное утверждение остается справедливым, если вместо
приращений в интервале длиной / использовать приращение —
или сумму скачков — в произвольном борелевском множестве
с мерой /. Этот метод оперирования произвольными подмножест-
вами временной оси вместо интервалов оказался очень полезным,
и именно на этом пути Ч. Рылл-Нардзевский получил результаты,
аналогичные вышеприведенному утверждению, но без предполо-
жения об однородности процессов.
Для броуновского движения поставленные задачи были реше-
ны С. Хартманом и Ч. Рылл-Нардзевским, однако в этой области не
было получено новых теорем, а были сформулированы только до-
казательства, которые трудно было бы найти в литературе.
Дальнейшие работы относились к связям между теорией сто-
хастических процессов и эргодической теорией, подчеркнутым
Крамером. Придерживаясь линии вопросов Г. Штейнгауза,
Ч. Рылл-Нардзевский сформулировал и доказал эргодическую те-
орему применительно к броуновскому движению, а К. Урба-
ник—эргодическую теорему для однородных процессов «рожде-
ния и смерти», а также получил другие результаты, которые сам
представил на съезде польских математиков.

Теория вероятностей как инструмент исследований... 193
Группа математической статистики Государственного мате-
матического института занималась проблемой статистической
оценки параметров, а также проверкой статистических гипотез в
процессах Маркова. В этой области некоторые предварительные
результаты были получены О. Ланге. Данная проблематика за-
служивает внимания и нуждается в дальнейших исследованиях.
V. Математическая статистика
Математическая статистика как отдельная и строгая дисцип-
лина математики начала развиваться относительно недавно. В са-
мых ранних работах в этой области была представлена часть опи-
санного во введении конгломерата теорем теории вероятностей,
приближенных формул, эмпирических наблюдений и интуитив-
ных правил поведения. Сравнительно недавно началась работа
над строгой формулировкой задач, а также над уточнением пред-
мета исследований математической статистики, в основном бла-
годаря трудам Е. Неймана и А. Вальда.
Исследования велись прежде всего в трех направлениях:
1) теория оценивания;
2) теория проверки статистических гипотез;
3) направление, сформировавшееся значительно позже, кото-
рое можно было бы назвать теорией статистических испытаний
(design of experiments, планирование эксперимента).
Опишем кратко состояние каждого из этих трех разделов ста-
тистики, указав на перспективы их развития.
1. Теория оценивания. В теории оценивания речь идет о со-
здании методов, позволяющих произвести оценивание одного
или большего количества параметров, которые участвуют в рас-
пределении случайных переменных, являющихся предметом на-
блюдения. Первые решения, относящиеся к оцениванию неизве-
стных параметров, были основаны на известной теореме Байеса и
на так называемом постулате Байеса. Предполагалось, что неиз-
вестный параметр, подлежащий оцениванию, является случайной
переменной с известным a priori распределением, а в случае неиз-
вестного распределения обычно исходили из постулата Байеса,

194
Гуго Штейнгауз
считая распределение оцениваемого параметра равномерным.
Байесовское решение задачи оценивания столкнулось с серьез-
ной критикой из-за того, что на практике оцениваемый параметр
либо является постоянной величиной, либо (если это случайная
величина) его распределение неизвестно, так что при данных
условиях использование постулата Байеса ничем не оправдано.
Основы современной теории оценивания заложил Е. Нейман,
создатель распространенной ныне теории доверительных интер-
валов {confidence intervals). Эта теория является достаточно об-
щей, так как оцениваемый параметр может быть как постоянной
величиной, так и случайной, причем в последнем случае знание ее
распределения не обязательно. Следует подчеркнуть, что теория
Неймана в противоположность аналогичной теории Фишера {ин-
тервалы доверия —fiducial intervals) имеет ясный логический
смысл и частотную интерпретацию. Эта и другие теории Неймана
(о которых речь будет идти ниже) свободны от всяких субъектив-
ных концепций понятия вероятности, чего нельзя сказать о теори-
ях Фишера. В работах Неймана можно заметить влияние россий-
ской школы вероятностей, из которой вышел Нейман, являющий-
ся учеником С. Бернштейна. Желательно, чтобы польские
математики занялись вплотную исследованием взаимного отно-
шения теорий Неймана и Фишера.
В процессе практической работы по статистическому контро-
лю качества Я. Одерфельд обратил внимание на тесную связь до-
стоверности (в смысле Фишера) с вероятностью, определяемой из
постулата и теоремы Байеса. Позднее Г. Штейнгауз назвал эту ве-
роятность «возможностью» и показал, что при правильном опре-
делении достоверность и возможность совпадают. Кроме того, он
показал, что каждый из двух методов a priori основан на собст-
венной гипотезе об априорном распределении, причем обе гипо-
тезы одинаково искусственны. Наконец, Г. Штейнгауз обратил
внимание на то, что существует частотная проверка положений
Байеса, не требующая предположений о распределении, т. е. реа-
билитировал теорию Байеса.
В последнее время начаты исследования в области непарамет-
рического оценивания, когда речь идет об оценке неизвестного
распределения или его плотности. В частности, исследуются «до-

Теория вероятностей как инструмент исследований... 195
верительные интервалы», которые с заданной вероятностью содер-
жат истинное распределение наблюдаемых случайных перемен-
ных. Один из первых результатов в этой области был получен в
1933 г. А. Колмогоровым, который нашел вероятность, с которой
эмпирическое распределение заключено в некотором доверитель-
ном интервале. Впоследствии исследования в этой области прово-
дили также Н. Смирнов, А. Вальд и Я. Вольфовиц, но полученные
результаты пока еще очень незначительны, и хотелось бы, чтобы
исследования в этом направлении были продолжены.
2. Теория проверки статистических гипотез. Основной за-
дачей в теории проверки статистических гипотез является разра-
ботка критерия, т. е. правил поведения, позволяющих на основе
наблюдаемых значений случайных переменных решить, следует
ли принять или отвергнуть проверяемую гипотезу. Долгое время
создание соответствующих критериев основывалось на чисто ин-
туитивных предпосылках, и не существовало общей и строгой те-
ории проверки статистических гипотез.
Современную теорию проверки статистических гипотез со-
здал Е. Нейман совместно с Э. Пирсоном. Нейман доказал, что
нельзя создать теории проверки без рассмотрения множества воз-
можных гипотез, а его главная идея состояла в том, что в про-
странстве опытов (т. е. в пространстве возможных результатов
статистических наблюдений) находится некоторая область, назы-
ваемая критической. Если наблюдаемая точка в многомерном
пространстве опытов принадлежит этой области, то гипотеза от-
вергается, в противном случае — принимается. Критическая об-
ласть строится так, чтобы она была подобна пространству опы-
тов, т. е. чтобы вероятность отклонения гипотезы (если она в дей-
ствительности истинна) была меньше наперед заданного числа.
В число критических областей входит и та, для которой веро-
ятность принятия гипотезы (если она в действительности оши-
бочна) была бы по возможности наименьшей. Такая область на-
зывается областью наибольшей мощности. Теория Неймана и
Пирсона предлагает систему теорем, позволяющих получить ре-
шение как при наличии критических областей с указанными свой-
ствами, так и при их отсутствии. Эта теория, однако, имеет серь-

196
Гуго Штейнгауз
езное ограничение, так как она применима только к так называе-
мым параметрическим гипотезам, т. е. содержащим некоторое
предположение относительно одного или нескольких парамет-
ров, в то время как сам вид распределения считается известным.
В области параметрических критериев в Польше начата рабо-
та над применением критериев, основанных на предельном рас-
пределении отношения разности двух случайных величин к их
сумме (М. Фиш и Я. Одерфельд).
Лишь сравнительно недавно начались самые серьезные иссле-
дования в области проверки непараметрических гипотез. Справед-
ливости ради следует отметить, что уже достаточно давно существо-
вало несколько непараметрических критериев (например, извест-
ный критерий %2), однако все они не были достаточно обоснованы
теоретически. Здесь стоит вспомнить о двух важных непараметри-
ческих критериях — так называемых критериях Колмогорова и
Смирнова, основанных на двух предельных теоремах этих авторов.
Следует упомянуть также об интересном применении к мате-
матической статистике теории стохастических процессов, при ко-
тором Дуб и Донскер использовали доказательства упомянутых
предельных теорем Колмогорова и Смирнова. Первоначально до-
казательства этих теорем были очень сложными, но Дуб привел
эвристическое доказательство (основанное на элементарном про-
цессе Гаусса), которое затем подтвердил Донскер. Тем самым
был создан мост между математической статистикой и теорией
стохастических процессов, и желательно, чтобы польские мате-
матики заинтересовались этой проблематикой. Возможно, что
метод Дуба и Донскера позволит решить задачу о мощности
Х-критерия Колмогорова и Смирнова.
Систематические исследования, ведущие к созданию общей
теории проверки статистических гипотез, начал Р. Э. Фишер,
предложивший метод, основанный на перестановке наблюдений,
который сделал возможным построение подобных областей и для
непараметрических гипотез. В развитии этого метода приняли
участие А. Шеффе, Э. Лехманн и К. Штейн. В ходе этих исследо-
ваний при довольно слабых допущениях было доказано, что ме-
тод перестановки наблюдений является единственным, позволя-
ющим построение критических областей. В этом направлении на-

Теория вероятностей как инструмент исследований... 197
чаты также исследования эффективности непараметрических
критериев, из которых можно отметить результаты Ф. Мэсси, а
также В. Хёффдинга, который исследовал эффективность непара-
метрических критериев, построенных на основе метода переста-
новки наблюдений в случае, когда число наблюдений стремится к
бесконечности.
По-видимому, это направление исследований интересно
и важно не только с теоретической точки зрения, но имеет также
и большое практическое значение, так как мы часто встречаемся
с ситуациями, когда вид функции распределения наблюдаемой
случайной величины неизвестен. До сих пор в таких ситуациях
приходилось отказываться от применения статистических крите-
риев, а тем самым — от использования математической статисти-
ки вообще. Теория проверки непараметрических гипотез, таким
образом, позволяет значительно расширить круг явлений, до-
ступных статистическому исследованию.
В связи с этими исследованиями укажем на проблему к проб
{к > 2), взятых из разных популяций с неизвестными распределе-
ниями. Здесь речь идет не только о проверке какой-то конкретной
гипотезы, а о решении, позволяющем из многих возможных гипо-
тез (относительно этих к популяций) отобрать единственно вер-
ное. В последнее время исследования в этом направлении пред-
приняты Ф. Мостеллером, У. Крускалом и другими. Некоторые
результаты в этой области получил В. Садовский, в частности при
решении задачи, имеющей наибольшее число вариантов для рас-
сматриваемых к популяций. Это направление исследований так-
же имеет практическое значение.
3. Теория статистических испытаний. Третьим разделом
статистики является так называемая теория статистических испы-
таний, которая выросла на почве применений статистики, глав-
ным образом в сельскохозяйственных экспериментах.
Существенную роль в применении статистики играет сама
схема испытаний, так как (в зависимости от схемы испытаний)
при одном и том же числе наблюдений можно получить меньшее
или большее количество «информации». Систематические иссле-
дования в этом направлении были начаты Р. Э. Фишером и

198
Гуго Штейнгауз
Е. Нейманом. Важные результаты здесь получили также С. Бар-
бацкий, С. Колодзейчик и К. Ивашкевич.
В течение последних десяти лет развивалась очень продук-
тивная теория, называемая последовательным анализом. В клас-
сической статистике число наблюдений, на основе которых дела-
ется статистическое умозаключение, определяется заранее перед
началом испытаний. Новый, совершенно иной подход предложил
А. Вальд, введя так называемый последовательный анализ
(по-видимому, его правильнее было бы назвать последователь-
ным методом), характерной особенностью которого является то,
что число наблюдений не является постоянным и заранее задан-
ным, а представляет собой случайную величину. Проверка стати-
стических гипотез производится согласно этому методу последо-
вательно, в несколько этапов. На каждом этапе всегда возможны
три решения:
а) принять проверяемую гипотезу,
б) отклонить гипотезу,
в) сделать дополнительные наблюдения.
Такой процесс оказывается намного более эффективным, чем
классический. При заранее заданных вероятностях отклонения
достоверной гипотезы (ошибка первого рода) и принятия оши-
бочной гипотезы (ошибка второго рода) число наблюдений, тре-
буемых при классическом методе, обычно в два раза больше, чем
при последовательном методе.
Последовательный анализ находится в постоянном развитии,
главным образом благодаря работам М. Гиршика, Я. Вольфовица
и других. Г. Штейнгауз заметил, что теория Байеса дает более ес-
тественное понимание последовательного анализа, нежели под-
ход Вальда и его школы.
Последовательный метод оказался особенно полезным в
применении к теории оценивания. Серьезным недостатком,
значительно снижающим практическое значение неймановской
теории доверительных интервалов, выступает то обстоятельст-
во, что в этой теории величина интервалов доверия (в большин-
стве встречающихся на практике ситуаций) является случайной
величиной. Практически это означает, что до испытаний никог-
да не известно, какой будет величина полученного интервала, с

Теория вероятностей как инструмент исследований... 199
помощью которого оценивается неизвестный параметр. Оказы-
вается, что этот недостаток можно устранить, если считать чис-
ло наблюдений случайной величиной. Решение этой задачи по-
лучил К. Штейн, а его результаты позже были обобщены А. Валь-
дом. В целом можно сказать, что связанные с последовательным
методом исследования имеют важное теоретическое и практиче-
ское значение, и поэтому эти исследования, особенно в области
статистического контроля качества, следует продолжить. В част-
ности, необходимо развивать работы, относящиеся к примене-
нию последовательного анализа к теории оценивания, где суще-
ствует еще много нерешенных вопросов. Кроме того, представля-
ется, что стоило бы предпринять попытки применения
последовательного метода к проверке непараметрических гипо-
тез. Некоторая схема лотереи последовательного типа, приемле-
мая в исследованиях репрезентативного метода, обсуждалась в
работах М. Фиша.
4. Общая теория статистических функций решения. Иск-
лючительно важным направлением исследований является со-
зданная А. Вальдом теория статистических функций решения,
объединяющая все традиционные разделы статистики в единое
целое. Она охватывает все разделы математической статистики.
Кроме того, в свете этой теории становится совершенно ясным
своеобразие математической статистики, отличающее ее от дру-
гих математических дисциплин, особенно от теории вероятно-
стей, что имеет большое методологическое значение.
Каждая задача принятия статистического решения возникает
на основе рассмотрения некоторого конечного или бесконечного
множества наблюдаемых случайных величин. Эти взаимосвязан-
ные или независимые величины распределены каким-то образом,
и об их распределении известно только то, что оно является эле-
ментом некоторого класса распределений, который в каждой кон-
кретной ситуации считается заданным. Задача состоит в том, что-
бы, имея множество решений, потенциально возможных по при-
чине неизвестного распределения, принять одно из них. Решение
данного типа носит название окончательного решения в отличие
от решений, относящихся к методу проведения испытаний, т. е.

200
Гуго Штейнгауз
методу наблюдения значений случайных величин. В каждом кон-
кретном случае пространство возможных решений заранее зада-
но; оно является суммой двух пространств (пространства оконча-
тельных решений и пространства решений), относящихся к мето-
ду проведения испытаний. Функция решений образуется так,
чтобы ее значениями являлись элементы пространства возмож-
ных решений, а аргументами — точки в пространстве испытаний.
Вся задача сводится к построению такой функции решений, кото-
рая обладала бы соответствующими свойствами. Для нахождения
наилучшей из функций решения А. Вальд ввел два вспомогатель-
ных понятия: функцию веса и функцию риска.
В своем нынешнем состоянии теория функций решения со-
стоит из нескольких теорем, определяющих условия существова-
ния функций решения, что уже позволяет эффективно получать
решения конкретных статистических задач, так что и в этой обла-
сти мы сейчас имеем некоторые результаты (полученные в основ-
ном А. Вальдом и Я. Вольфовицем). Работы, имеющие целью по-
лучение эффективных решений статистических задач на основе
теории функций решения, продолжаются, хотя полученные резу-
льтаты пока еще имеют только теоретическое значение.
В заключение следует еще раз подчеркнуть, что развитие ма-
тематической статистики во всех указанных выше направлениях
должно привести к важным практическим применениям.
О применениях математической статистики в польской про-
мышленности и технике речь будет идти чуть ниже, а сейчас мы
напомним о ее использовании в демографических задачах и
сельскохозяйственных экспериментах. В обеих этих областях
польская статистика имеет определенные достижения. Так, на-
пример, материалы всеобщей переписи населения в 1950 г. были
обработаны репрезентативным методом, что позволило полу-
чить важнейшие результаты за несколько месяцев. Точно так же
мы имеем интересные результаты и в сельскохозяйственных эк-
спериментах, однако в целом эти области математической ста-
тистики используются слабо, что отрицательно сказывается как
на практике, так и на развитии самой теории математической
статистики.

Теория вероятностей как инструмент исследований... 201
VI. Применения в промышленности
1. Общие проблемы. Особое применение математическая
статистика имеет в промышленной сфере, где ключевой пробле-
мой является проверка статистических гипотез. Известно много
универсальных и специальных критериев (иногда весьма изобре-
тательных), существуют также описанные выше общие теории,
однако сделанного явно недостаточно для ответа на два главных
вопроса, диктуемых практикой: 1) какой должна быть величина
пробной партии? 2) какой уровень истинности следует выбирать
в конкретных ситуациях?
Оба этих вопроса тесно связаны друг с другом, так как вели-
чина пробной партии зависит от принятого уровня истинности и
обратно.
Ни на один из этих вопросов математик не может осмысленно
ответить без учета экономических факторов. Лишь введение та-
ких факторов позволяет дать конкретный ответ на первый вопрос,
а вместо ответа на второй вопрос математик может предложить
только правило поведения, сформулированное в понятных и до-
ступных для практика терминах. Поясним это, взяв для примера
два крайних случая проверки продуктов. Если проверка не требу-
ет затрат, то можно и нужно отказаться от статистических мето-
дов и проверять полностью все продукты. Если же проверка стоит
слишком дорого, то надо отказаться от исследований. Все практи-
ческие случаи лежат между этими крайностями, и в каждом из
них практик задается вопросом о величине пробной партии и
о правилах поведения. Для ответа на второй вопрос необходимо
сперва уточнить, какую сумму мы можем заплатить за исследова-
ния, какова цель этих исследований, и какова цена последствий,
которые повлечет за собой решение, основанное на ошибочном
результате исследований.
Постулат наименьшего общего экономического ущерба, вве-
денный Г. Штейнгаузом, позволяет установить величину пробной
партии и задать правила поведения, совершенно не используя беза-
пелляционные уровни истинности. Следует, однако, отметить, что
оценка этого ущерба представляет собой очень сложную задачу,
так как среди экономистов нет согласия по принципиальным во-

202
Гуго Штейнгауз
просам. Некоторые из них даже могут посоветовать оставить опре-
деление величины пробной партии (а к этому и сводится в данном
случае главная задача математики) на усмотрение практиков. Ко-
нечно, такое решение является наихудшим, вследствие чего прак-
тики обычно обращаются к математикам, чтобы те дали заключе-
ние, являются ли их привычные действия обоснованными. С. Дро-
бот выдвинул чрезвычайно оригинальную и удачную идею,
позволяющую развязать этот гордиев узел, применяя измеритель-
ный анализ к статистическому контролю качества. Основным резу-
льтатом его статьи (написанной в соавторстве с М. Вармусом и
опубликованной во втором томе «Zastosowania Matematyki») явля-
ется формула, определяющая величину пробной партии. В форму-
ле, помимо таких переменных, как общее число экземпляров, стои-
мость одного экземпляра, цена испытания одного экземпляра и
т. д. (которые обычно непосредственно известны), фигурируют и
другие переменные, а что касается значений последних, то извест-
но, какие предварительные статистические исследования и эмпи-
рические данные необходимы для их определения. Практический
эффект заключается в том, что принятие численности пробной пар-
тии для одной группы товаров означает то же самое и для всех
остальных. Чрезвычайная важность проблемы и универсальность
метода дает нам право надеяться, что систематическое проведение
в жизнь идеи Дробота не только оживит польскую статистику, но
будет способствовать упрочению нашей научной позиции в пол-
ном значении этого слова.
Имеются многочисленные примеры применения последовав
тельного анализа к испытанию продукции. Некоторые работы при-
кладного характера, выполненные в Комиссии статистического кон-
троля качества Польского Комитета по стандартизации, продолжа-
ются в Математическом институте Польской Академии наук.
Интересным направлением математической статистики явля-
ется выработка заключения на основании естественного или ис-
кусственного упорядочения элементов в пробной партии. Первый
случай возникает, например, при текущем испытании продукции,
когда заключение о стабильности продукции делается на основа-
нии комплекса измерений, выполненных в хронологической по-
следовательности. Важным применением этого являются конт-

Теория вероятностей как инструмент исследований... 203
рольные карты, предложенные Шухартом и используемые в на-
стоящее время в промышленности почти всех стран. Под
давлением практических потребностей математические методы
претерпели здесь некоторую вульгаризацию, что стимулирует во-
зобновление теоретических исследований.
Второй пример, помимо всего прочего, имеет отношение
к распределению элементов пробной партии, упорядоченных в
порядке возрастания, или к их линейным комбинациям. В этом
направлении интересные результаты были получены С. Романов-
ским и другими авторами.
Определенные работы в обоих направлениях проводятся сей-
час в Институте математики ПАН.
Во всех промышленных применениях математической стати-
стики постоянно необходима помощь классической математики
и, в особенности, анализа.
Необычно плодотворным оказалось применение измеритель-
ного анализа к статистическому контролю качества. Упомянутые
выше работы Дробота и Вармуса позволили по-новому подойти
к решению задачи о величине пробной партии и с новой стороны
осветили роль статистического эксперимента.
Представляется, что ценную помощь математической стати-
стике в вопросах однородности популяции смогут оказать таксо-
номические методы (Объединенная группа применений Матема-
тического института ПАН).
Большое значение для применения вероятностных теорий
имеют численные методы математики, разрабатываемые в не-
скольких группах Математического института. В качестве приме-
ра упомянем применение в этой области последовательностей Ре-
нара (Я. Одерфельд).
Отчетливо вырисовывается тесный контакт между вероятно-
стными теориями и техническими науками, в частности, наукой
о сопротивлении материалов. Сдвиги в этом направлении можно
обнаружить также и в нашей стране (в довоенный период можно
отметить работы В. Вержбицкого, а в последние годы — В. Мо-
шиньского, В. Погоржельского и Я. Одерфельда).
Для промышленных применений вероятностных теорий в на-
шей стране крайне необходима отсутствующая пока помощь эко-

204
Гуго Штейнгауз
номистов, без которой невозможно эффективно решить такие
фундаментальные проблемы, как определение величины пробной
партии и безопасности конструкций.
2. Некоторые применения. Из многих промышленных при-
менений математической статистики отметим только несколько,
ограничиваясь теми, которые разрабатываются у нас в стране
и представляются нам особенно важными.
А. Горное дело. К задачам, почти полностью не затронутым
математически, относится проблема пробных бурений в горнодо-
бывающей промышленности. Она заключается в поиске и оценке
месторождений угля, цинка, олова, нефти и т. д. и, стало быть,
имеет первостепенное экономическое значение. Эта проблема
распадается на комплексы задач. Первый из них — размещение
пробных буровых установок, второй — извлечение информации
из образца породы, полученного при бурении. Большинство гео-
логов не полностью отдают себе отчет, что кроме морфологиче-
ского существует и математический аспект задачи. Отсюда сле-
дует, что чрезвычайно трудно абстрагироваться от эксперимен-
тов, которые складываются на основе знаний геолога-практика,
что облегчает поиск подходящего пути в каждой отдельно взятой
местности, но затрудняет создание ясно определенного метода
исследований, который можно было бы довести до сведения дру-
гих. Первым шагом математика является статистическое изуче-
ние покрытых буровыми скважинами площадей и определение
корреляции между толщиной пласта месторождения в двух точ-
ках (на расстоянии d друг от друга) для нахождения тех пар точек,
для которых корреляция/(d) окажется убывающей функцией пе-
ременной d. Определив эти функции, мы сможем предложить
способ определения объема месторождений по данным, получен-
ным из буровых скважин. Эта, отнюдь не простая, задача чрезвы-
чайно интересна с математической точки зрения. Кроме теорети-
ческих трудностей здесь появляется и проблема нахождения про-
стых схем, позволяющих доверить вычисления вспомогательным
силам и не требующих кропотливых расчетов. После решения
этой задачи можно будет думать о проблеме планирования разме-

Теория вероятностей как инструмент исследований... 205
щения буровых скважин. Заметим, что здесь могут и должны най-
ти применение как принцип наименьшего экономического ущер-
ба, так и измерительный анализ.
Б. Прочность конструкций. Как заметил В. Вержбицкий, бе-
зопасность строительных конструкций подпадает под теорию ве-
роятностей, так как прочность их отдельных элементов является
случайной величиной. Так, например, прочность стержня на раз-
рыв очевидно является случайной величиной, поскольку серийно
производимые стержни (с номинально одинаковым сечением и из
одного материала) имеют индивидуальные отличия. Поэтому их
прочность на разрыв тоже различна, и для этой случайной вели-
чиной известны математическое ожидание и дисперсия.
С другой стороны, случайной величиной является и нагрузка,
которой будет подвергаться элемент конструкции, причем по
двум причинам. Первая причина связана с неизбежными неточно-
стями при изготовлении (за счет чего, например, в ферме могут
возникнуть внутренние напряжения), а вторая, даже более важ-
ная, связана с изменением рабочих нагрузок во времени. Напри-
мер, плуг может вспахивать мягкую или каменистую почву, рама
автомобиля за полчаса езды по местности подвергается многим
тысячам ударов разной амплитуды и частоты, нагрузка на кровлю
крыши зависит от скорости ветра и т. д. Из этого следует, что жиз-
неспособность конструкции есть случайная величина, так что
определенную долговечность конструкции можно гарантировать
лишь с некоторой вероятностью, которую следует аргументиро-
вано обосновывать, а не использовать аналогии из далеких облас-
тей (например, из астрономии или геодезии).
Многообещающим представляется исключение произвола
с помощью постулата наименьшего ущерба, представляющего
собой комбинированный математически-технически-экономи-
ческий метод. Здесь мы снова только лишь определяем програм-
му и обозначаем цели, для реализации которых требуется дли-
тельное время. Необходимо много голов для размышлений и
формулировки определений. Очевидно, что в этой области об-
щее применение найдут задачи со многими случайными вели-

206
Гуго Штейнгауз
чинами, что снова наводит на мысль об использовании измери-
тельного анализа.
В. Статистический контроль качества. Эта область приме-
нения математической статистики, открытая 30 лет назад Шухар-
том и выросшая в отдельную дисциплину, стала известной у нас
всего шесть лет назад, однако уже представлена в лекционных
курсах высших учебных заведений и достаточно развита исследо-
вательскими работами Г. Штейнгауза и его учеников.
После достаточно детальной разработки методов статистиче-
ского отбора готовых продуктов в виде отдельных экземпляров
(таких как болты, металлоизделия, очки и т. д.), в ближайшие
годы предусматриваются исследования по отбору бесформенных
тел или продуктов (таких как цемент, бензин, уголь и т. д.). При
этом в полной мере должны проявиться сложности задачи о вели-
чине пробной партии, о чем упоминалось выше, и, по-видимому,
в решении найдет применение последовательный анализ. Про-
сматривается также возможность применения ретроспективных
методов, принимающих во внимание предшествующие промыш-
ленные испытания.
Две проблемы, а именно, оценка точности лабораторных ис-
следований и исследование предметов со многими качественны-
ми особенностями, требуют быстрого развития теории в области
решения задач со многими случайными переменными, о которых
речь шла выше.
Одной из наиболее актуальных задач представляется внедре-
ние в промышленность предварительного статистического конт-
роля, т. е. контроля, осуществляемого в процессе производства
продукции. Цель состоит в выборе средств производства для
обеспечения планируемого уровня качества и надзоре за практи-
ческим постоянством этого качества. Для этого вновь необходи-
мо найти свободное от произвола решение трудной задачи опре-
деления величины пробных партий и частоты их отбора, исполь-
зуя по мере возможности и необходимости измерительный
анализ и теорию структуры пробной партии.
Необходимо продолжить работы в области товарооборота,
исходя из постулата наименьшего экономического ущерба.

Теория вероятностей как инструмент исследований... 207
Методы сравнения новых товаров, нового оборудования и
новых методов должны быть основаны на простых и эффектив-
ных тестах (возможно последовательного типа) и служить даль-
нейшему техническому прогрессу.
Особого внимания заслуживает задача исследования това-
ров, не поддающихся штучному измерению, которой много вре-
мени посвятил Г. Штейнгауз. Исследование штучных товаров
имеет обширную библиографию, а теория и практические методы
этой ветви статистики уже охватывают все ситуации, с которыми
обычно встречаются инженер, продавец, браковщик или контро-
лер. Иначе обстоит дело с не поддающимися штучному измере-
нию товарами (такими как уголь, руда, цемент, нефть, бензин,
карбид и др.), которые обычно исследуются лабораторно. Напри-
мер, для изучения теплотворности угля обычно измельчают в по-
рошок несколько сотен кусков угля из дневной выработки шахты,
а затем щепотку этого порошка сжигают в калориметре. Такой
подход, однако, не отвечает на вопрос о практической полезности
товара, так как потребителю важно знать не только значение кон-
кретного физического параметра (каким является, в данном слу-
чае, теплотворность), а практическую полезность товара или про-
дукта в целом. Эту полезность нельзя определить по одному при-
знаку и даже по комплексу измеренных признаков, поэтому у нас
возникла идея исследовать такие товары с помощью штучных об-
разцов из материала, представленного сплошной массой. Напри-
мер, в случае с нефтью, предназначенной для использования в
кондукторских фонарях, ею заполняют 20 случайно выбранных
фонарей и определяют стоимость цистерны нефти в соответствии
с тем, сколько фонарей сохраняло заданную яркость 15 свечей
в течение по меньшей мере 6 часов. Благодаря этому можно не
только использовать теорию статистического контроля качества
штучных товаров, но и избавиться от трудного (и не отвечающего
на вопросы потребителя) лабораторного исследования несколь-
ких признаков. В этом случае может возникнуть сомнение отно-
сительно предмета, принятого за критерий, поскольку фонари
ведь могут быть с изъяном и т. д. ... Кроме того, фонари надо ис-
пытывать одним и тем же способом, анализируя их яркость.
На первый взгляд здесь возникает замкнутый круг, но, как извест-

208
Гуго Штейнгауз
но, математика умеет ехать на этом круге-колесе: такую этимоло-
гию имеет термин «последовательные приближения». Этот захва-
тывающий процесс мышления до сих пор не настолько основа-
тельно разработан, как и большинство идей, находящихся в
архивах Комиссии статистического контроля качества Польского
комитета по стандартизации.
VII. Применения к естественным наукам,
медицине и сельскому хозяйству
В области естественных наук в Польше можно отметить сле-
дующие достижения, полученные с помощью математической
статистики. Первое из них связано с исследованием снижения
уровня гранулоцитов по мере выздоровления пациентов (которым
назначался пенициллин, но это не существенно), имеющих симп-
томы нагноения. Это снижение обычно бывает замаскировано ко-
лебаниями, но его можно определить так же, как определяется ко-
эффициент регрессии двух переменных, в качестве которых вы-
ступают время и уровень гранулоцитов. В рассматриваемом
случае колебания гранулоцитов играют роль ошибки этого коэф-
фициента, а открытие заключается в том, что поведение организ-
ма является не ошибочным, а просто симптомом, который тоже
следует учитывать. Коэффициент регрессии делится на кажущую-
ся ошибку, и пациенты классифицируются по этому частному,
т. е. по истинному снижению гранулоцитов, а не по их наблюдае-
мому уровню. Это открытие пока использовано только в одной ра-
боте, медицинская часть которой принадлежит Щеклику.
Другим интересным приемом является связь понятия дендри-
тов с теорией вероятностей. Она возникает из задачи о звездных
цепочках. Если на звездной карте неба каждую звезду соединить
прямыми с ближайшими, то можно построить так называемые
дендритные структуры, имеющие конечные точки разных типов
(переходные или парные, точки разветвления или тройные, чет-
верные, пятерные и т. д.). Распределение плотности этих точек
характеризует тенденцию объединения звезд в цепочки, при ко-
тором парных точек будет больше, чем было бы при их случай-
ном размещении. Но вычисление положения звезд при случайном

Теория вероятностей как инструмент исследований... 209
размещении является очень сложным, поэтому С. Зубрицкий ре-
шил создать карту искусственных звезд, взяв их координаты из
таблицы случайных чисел и построив дендриты, что оказалось го-
раздо проще. Сравнение обоих дендритов показало, что они име-
ют одну и ту же плотность точек каждого типа. Астрономические
выводы из этого наблюдения можно найти в работе В. Зонна, ко-
торая находится в печати. Намечаются и другие применения.
Третьим применением теории вероятностей является уста-
новление отцовства. Как известно, законы наследования групп
крови таковы, что иногда позволяют абсолютно исключить от-
цовство мужчины-ответчика (при серологическом исследовании
вместе с матерью и ребенком), а в остальных случаях — увели-
чить или уменьшить вероятность отцовства. Экспертизы преиму-
щественно дают вероятность a posteriori, но почти постоянно воз-
никающая при этом ошибка обусловлена незнанием вероятности
a priori (либо ее полагают равной 1/2, либо принимают ложное
положение «если R включает S с вероятностью р, то не-S включа-
ет не-Л с вероятностью/7»).
Используя наблюдения Л. Гиршфельда и материалы двух ты-
сяч судебных экспертиз, удалось вычислить вероятность a priori
отцовства мужчин-ответчиков (в данный момент она составляет
72%), что позволяет сегодня правильно представить вероятность
отцовства при экспертизах.
Произведено также сравнение статистики с судебными ре-
шениями. Оказывается, что суды как правило отклоняют иски о
признании отцовства, а поскольку случаев исключения отцовст-
ва около 10%, то в оставшихся 90% находится 72% отцов. Из
этих 90% суды освобождают от ответственности только 5%;
впрочем, даже если бы они никогда не ошибались, то осталось
бы 18% - 5% = 13% приговоров, унижающих ответчиков. Юри-
сты неоднократно возражали против заключений на основании
теории вероятностей, склоняясь к принципу индивидуального
подхода к каждому делу. Статистика, которую мы привели, сви-
детельствует, что суды поступают как раз наоборот и принима-
ют решения преимущественно в соответствии с теорией вероят-
ностей. При этом они опираются обычно на экспертизу (т. е. на
доказанную или предполагаемую объективную истину) и часто

210
Гуго Штейнгауз
просто не умеют осуществлять конкретную оценку в индивиду-
альных случаях.
Четвертым достижением, которым мы обязаны Ю. Лукаше-
вичу и А. Келусу, является изучение С. Бернштейном наследова-
ния групп крови А, В, О, АВ, а также М и N. Исследования были
проведены на 86 популяциях, а результаты сравнивались с теми,
которые соответствуют не действительным, а случайно выбран-
ным популяциям. Результаты будут опубликованы в «Zastosowa-
nia Matematyki» и поэтому мы их здесь не приводим.
Характерная особенность этих исследований — все они явля-
ются оригинальными, а не повторением уже выполненных (рань-
ше и лучше) зарубежных работ. Поэтому каждое из этих исследо-
ваний может иметь продолжение, и уже сегодня мы можем про-
гнозировать длительное развитие в указанных направлениях.
Среди наук, которые могли бы извлечь немало пользы из тео-
рии вероятностей, почетное место занимает география. Матема-
тическая география включает в себя раздел, трактующий астро-
номические факты, важные для физической географии, времен-
ной и пространственной ориентации, а также для математической
картографии, относящейся к отображению земного эллипсоида
на плоскости карты. Зато в ней нет разделов о математическом
понимании формы, определении границ, показателей крутизны,
вертикальных колебаний, рельефа местности, геометрического
показателя эрозии или коэффициентов распределения (рассредо-
точения и концентрации) географических пунктов, т. е. городов
и других образований. Попытки правильного определения ука-
занных параметров часто вызывают возражения не только со сто-
роны приверженцев описательной, порой даже литературной
трактовки науки о Земле, но также и со стороны так называемых
антиформалистов. В обоих случаях психологическая основа оди-
накова и сводится к боязни критериев, позволяющих объективно
оценивать факты.
Наукой, которая по необходимости долго обходилась без
вмешательства математики, является метеорология. Метеороло-
гические обсерватории собирали наблюдения и регистрировали
показания приборов до тех пор, пока объем собранного материала
не стал превышать возможности вычислений без помощи машин.

Теория вероятностей как инструмент исследований... 211
К тому же большая часть информации не использовалась, в то
время как поступали все новые и новые данные. Однако уже се-
годня можно себе представить машину для составления метеоро-
логических прогнозов, причем она не обязательно должна быть
электронной, и ее функции не должны ограничиваться только ме-
теорологией. Идея создания машины для медицинской диагнос-
тики сегодня уже не кажется слишком смелой. По сути такая ма-
шина является устройством, регистрирующим материал наблюде-
ний таким образом, чтобы из него можно было выбрать все записи,
относящиеся к случаям, аналогичным данному по симптомам, и,
одновременно, устройством, рассчитывающим долю благоприят-
ных исходов болезни среди первоначально выбранных случаев
(что должно обеспечивать разумный прогноз). Вопрос терапии
весьма сложен, но вовсе не безнадежен. С другой стороны, уже се-
годня очевидно безнадежным представляется чтение врачебной
казуистики, насчитывающей миллионы позиций.
VIII. Приборы, таблицы, упрощения вычислений
Очень многие вероятностные задачи (именно из тех, которые
выдвигает практика) требуют чрезвычайно сложных вычисле-
ний, однако среди них преобладают такие, в которых можно было
бы пользоваться выборкой данных для соответствующих расчет-
ных популяций, при условии, что такая выборка будет беспри-
страстной и многократно повторяемой. Прибор, предназначен-
ный для этой цели, должен был бы уметь создавать расчетную по-
пуляцию, очень быстро осуществлять многократный выбор и,
наконец, регистрировать результаты выбора. При современном
состоянии техники сконструировать такую машину невозможно,
но Ч. Райский уже разработал предварительный проект машины
для быстрой эмпирической проверки планов приемки продукции.
Машина сама создает генеральную популяцию с погрешностью,
которую можно установить заранее. Исходным элементом для со-
здания генеральной популяции является некоторый род элект-
ронного вращающегося диска. Источник радиоактивного излуче-
ния с помощью счетчика Гейгера-Мюллера формирует случай-
ную последовательность цифр, удовлетворяющую строгим

212
Гуго Штейнгауз
требованиям, относящимся к равенству как частоты появления
цифр, так и частоты образованных этими цифрами чисел. Таким
способом мы получим электронный промышленный прибор с по-
грешностью, заданной с шагом 1%. Если, например, мы использу-
ем символы 04,05,06 для обозначения бракованных экземпляров
продукции, то погрешность составит 3%. На этом мы прервем
техническое описание и лишь отметим, что в итоге машина фор-
мирует множество чисел, информирующее нас, сколько раз (на-
пример, при 1000 применений) она приказала отклонить партию,
сколько раз принять, и как долго продолжалось каждое из 1000
испытаний при погрешности партии 3% и при определенном пла-
не испытаний. Таким способом мы можем исследовать стоимость
рассмотрения планов и издержки их использования без кропотли-
вого математико-вероятностного анализа.
Однако иногда в наших условиях простые приспособления
являются более важными, нежели разнообразные многофункцио-
нальные приборы. Таким приспособлением, например, является
так называемая вероятностная бумага, на которой благодаря иска-
жению масштаба вертикальной оси кривая нормального распреде-
ления имеет вид прямой линии. Нет ничего проще, чем изготовить
соответствующее клише и напечатать такую бумагу. Другим при-
способлением, имеющим большое практическое значение, явля-
ется сконструированный Г. Штейнгаузом дисперсиометр, модель
которого уже существует — это просто пластина из жести, изог-
нутая под прямым углом и снабженная масштабными линейками
с соответствующими делениями. Пластина кладется на доску
с вбитым гвоздиком, который направляет ее движение вдоль пла-
стины, а при каждом перемещении второй стационарной точкой
является булавка, которая втыкается в соответствии с отклонени-
ями, полученными при наблюдении, после чего вынимается. При-
способление дает величину стандартного отклонения, и при не-
скольких десятках наблюдений его применение является совер-
шенно оправданным. Поскольку стандартное отклонение имеет
большое значение при оценке однородности продукции, такой
дисперсиометр, благодаря простоте его изготовления и легкости
применения, может оказаться очень полезным устройством в за-
водской и фабричной практике. Не будем также забывать, что

Теория вероятностей как инструмент исследований... 213
врачи и естествоиспытатели неоднократно вынуждены опреде-
лять дисперсию, а зачастую не делают этого лишь потому, что их
отпугивают вычисления.
Заслуживают упоминания автоматические приборы. Этим
термином мы обозначаем устройства для специальных целей, ко-
торые сочетают измерения и вычисления. В области статистиче-
ского контроля качества этим занимался Я. Одерфельд. Один из
проектов, например, предусматривает одновременное измерение
нескольких десятков пружин, причем результат сразу же получа-
ется в виде среднего арифметического значения и отклонений от
него, минуя индивидуальные измерения и всевозможные вычис-
ления.
К этому же разделу относятся случайные числа. Вскоре Мате-
матическим институтом ПАН будет издана «Tablica liczb przeta-
sowanych» (Таблица перемешанных чисел) (она уже появилась в
«Rozprawy Matematyczny», № 6, 1954 — прим. ред. польского из-
дания), содержащая все четырехзначные числа (каждое один и то-
лько один раз), причем все они основательно перемешаны. Она
отличается от известных таблиц случайных чисел не только тем,
что охватывает интервал от 0000 до 9999, но также и тем, что со-
ставлена не по принципу случайного выбора, т. е. не имеет физи-
ческую природу и не основана на статистических записях. Числа
перемешаны именно математическим способом, с использовани-
ем некоторого аналога эргодического принципа, то есть машина
повторяет некоторый процесс, а затем попросту подвергает числа
определенной перестановке, но таким образом, что в конце кон-
цов соседние числа в таблице появляются, каждое вслед за преды-
дущим, лишь через несколько сотен итераций. Созданную таким
образом таблицу можно трактовать и как таблицу тасованных чи-
сел, и как таблицу случайных чисел. Второй способ основан на
чтении по вертикали блоков, составленных из строк. Заметим, что
в самой концепции таблицы случайных чисел скрывается пара-
докс: она перестает быть случайной, когда напечатана, но была
бы таковой, если бы содержалась в машине, которая сама выбира-
ет числа. Постулат, требующий от таблицы, чтобы она была сво-
бодна от любой закономерности в расположении чисел, невоз-
можно сформулировать математически и ему трудно приписать

214
Гуго Штейнгауз
какой-то определенный смысл. Практически, случайной считает-
ся такая последовательность чисел, которая не проявляет никакой
простой закономерности, например такой как чередование чисел
четных и нечетных. Иногда кажется довольно странным, что так
называемые случайные числа играют такую роль в практических
задачах. Возможно, более глубокий анализ понятия случайности
когда-нибудь избавит всех математиков от манипуляций с кол-
лективами чисел или от магических фокусов с вытягиванием но-
мерков дрессированным попугаем, так как трудно поверить в то,
что, например, при отборе железобетонных свай этот попугай бу-
дет наилучшим советчиком. Нам представляется, что тасованные
числа являются первым шагом на этом пути.
IX. Дидактика и обучение
Что касается обучения теории вероятностей, то дело начина-
ет хромать там, где нужно переходить к ее применениям. Как сле-
дует обучать людей самых разных специальностей (техников, ес-
тествоиспытателей и врачей) применениям теории вероятностей
в этих областях знаний? Автор данной статьи не верит в то, что
можно преподавать прикладную математику вообще, но считает,
что обычную математику можно преподавать с особым упором на
возможности ее практического применения.
В 1952 году в Варшаве, а теперь и во Вроцлавском универси-
тете в рамках математических курсов при подготовке магистров
было введено изучение применений статистики. Кроме того,
в Главной школе планирования и статистики в Варшаве открыва-
ется магистерская специализация в области математической ста-
тистики и ее применений. Я считаю излишним выдвигать далеко
идущие требования к кафедрам, институтам и дотируемым обра-
зовательным учреждениям. Импульс развития должен придти
из каких-то других мест, где действительно будут применяться
теория вероятностей и математическая статистика.
Людям советуют ходить к врачам и не ходить к математикам.
А ходили бы они к врачам, если бы последние читали бы только
лекции по медицине? Ходили бы они к врачам, если бы не было
больниц, клиник и аптек, если бы существовали только профессо-

Теория вероятностей как инструмент исследований... 215
ра медицины или преподаватели гигиены, но никто не умел бы
обследовать больного и выписать ему лекарство? Все наше на-
чальное и высшее математическое образование будет бесполез-
ным до тех пор, пока на каждой фабрике, в каждой конторе, каж-
дом ведомстве, банке или в управлении железной дорогой не бу-
дут работать математики-практики. Эти специалисты должны
давать математические советы, т. е. уметь лечить «математиче-
ские болезни». Подобно врачу, математик-практик должен ле-
чить своих пациентов (людей, жалующихся на математическое
недомогание), а не требовать, чтобы они сами себе ставили диа-
гноз.

Выступление в дискуссии
на конференции «Статистика
как метод познания»1
Более четверти века сотрудничая с естествоиспытателями
и врачами, я вижу, как из года в год растет понимание роли
математических методов в соответствующих сферах. Но с другой
стороны, нельзя не заметить и другие явления, из которых силь-
нее всего меня беспокоит недостаток постоянной связи между
страной естествоиспытателей и островом, населенным математи-
ками. Даже в тех редких случаях, когда туристу-естествоиспыта-
телю удается высадиться на этот остров, никто из островитян не
позаботится, пожалуй, чтобы путешественник поскорее попал по
нужному адресу, так что путешественник обычно входит в пер-
вую понравившуюся ему избу. Иногда ему везет, а чаще всего —
нет, ибо не каждый, кто называет себя математиком, является им
в том значении, которое отвечает потребностям естествоиспыта-
теля. Случается также, что разочарованный турист возвращается
домой с убеждением, что на острове живут одни глухонемые. Как
у математиков (особенно глухонемых), так и у естествоиспытате-
лей сложилось мнение, что во всем повинен недостаток матема-
тического образования у естествоиспытателей, причем у послед-
них это часто перерождается в раздражающий комплекс неполно-
ценности, который делает невозможным или, по меньшей мере,
затрудняет сотрудничество. При сотрудничестве с естествоиспы-
1 Профессор Штейнгауз не смог лично участвовать в конференции «Statystyka
jako metoda poznawcza», организованной в Варшаве в 1954 г. Свое выступле-
ние в письменном изложении он направил участникам конференции. — Прим.
ред. польского издания.

Выступление в дискуссии на конференции...
217
тателями математиков мало интересует, знают ли они математику
чуть больше или чуть меньше рядового адвоката, писателя или
железнодорожного служащего, но нас приводит в отчаяние, когда
естествоиспытатель не отличает факты от гипотез, умозаключе-
ния от предположений и определения от утверждений. Такая пу-
таница наблюдается даже при обсуждении фактов, подмеченных
им самим, или его собственных заявлений. Поразительно часто
мы, математики, должны повторять декларации, представляющи-
еся нам очевидными, и почти всегда эти декларации упираются
в «железобетонную стену» в мозгах именно тех «скромных» есте-
ствоиспытателей, которые постоянно твердят, что они совсем не
знают математику. Скромность, однако, не мешает им втолковы-
вать нам самые нелепые идеи, типа того, что «в математике один
плюс один всегда равно двум, а в медицине не всегда один плюс
один будет два». Я хотел бы здесь недвусмысленно констатиро-
вать, что считаю такое суждение полным нонсенсом, который
свидетельствует лишь о следующих фактах: 1) высказывающий
его (вопреки упомянутой скромности) почему-то полагает, что
знает определение математики; 2) он не знает, чем является мате-
матика; 3) он не знает методологии собственной науки; 4) указан-
ные заблуждения 1), 2) и 3) связаны не с тем, что этот естествоис-
пытатель не изучал высшую математику, а с тем, что в результате
повторения в течение всей жизни некоторых рутинных действий
он совершенно разучился мыслить. В какой степени живая приро-
да следует равенству 1 + 1=2, говорят хотя бы законы сохранения
энергии и массы, которым любые живые организмы подчиняются
так же точно, как и неодушевленная материя.
По прочтении программы варшавской конференции у меня воз-
никли некоторые подозрения и сомнения, возможно, необоснован-
ные или преувеличенные. Составители программы, по-видимому,
считают, что некоторую часть молодых математиков следует выу-
чить на хороших статистиков, а некоторых естествоиспытателей
следует пропустить через мельницу курсов и экзаменов по матема-
тике, после чего все остальное сложится само собой. Я позволю себе
высказать иное мнение. Неотъемлемой частью обучения каждого
студента-медика является клиническая практика, и нельзя себе
представить врача, которому болезни и их лечение известны только

218
Гуго Штейнгауз
по книгам и лекциям. Как для астрономии самым важным являются
звезды (а для ботаники розы), так и для статистики самым важным
являются ее применения. Реальная проблематика теории вероятно-
стей изобилует изящными задачами, и некоторые ученые способны
оценить это изящество и готовы без остатка посвятить себя этим за-
дачам, но это лишь увеличивает опасность, что ученики известных
вероятностников сами станут прекрасными теоретиками статисти-
ки, от которых естественные и медицинские науки «не дождутся де-
тей». Разве не сообщали газеты, как ни в чем не бывало, что некто X
является величайшим на свете теоретиком в области прикладной ма-
тематики? Возвращаясь к сравнению со студентом-медиком, мы
должны считать практику существенной частью подготовки студен-
та к его будущей роли математического консультанта естествоиспы-
тателей, а следовательно, к участию в таких работах, с которыми
ему самому когда-либо придется столкнуться. На самом деле нет ни-
какой «чистой» статистики, а есть только математическая доктрина
(называемая теорией вероятностей) и есть естественные науки. Ста-
тистиками следует называть тех специалистов, которые хотят и уме-
ют применять теорию вероятностей к этим наукам, а определение
«чистый статистик» можно оставить тем, кто не желает быть ни ма-
тематиком, ни естествоиспытателем.
Не будем отрицать необходимости дополнительного образо-
вания естествоиспытателей и медиков в математическом направ-
лении. Эта необходимость возникла не только в Польше, но и за
рубежом, в результате чего и появились учебники, адаптирован-
ные к потребностям естествоиспытателей или медиков. Прекрас-
ным примером является книга Хилла «Principles of Medical Statis-
tics» (Лондон, «The Lancet», 1937), которая выйдет в переводе на
польский язык. На всего лишь 163 страницах этой книги врач най-
дет все, что ему нужно из статистики, причем материал изложен
ясно, без ошибок и элементарно на основе реальных примеров,
взятых из врачебной практики. Если бы существовали подобные
книги для химиков, биологов и географов, их также стоило бы пе-
ревести.
Почему, спрашивается, мы должны переводить чужие книги
вместо того, чтобы самим писать их, если польская математика
является всемирно известной? Однажды я спросил одного пре-

Выступление в дискуссии на конференции...
219
красного математика, обремененного в университете лекциями
для естественников, какие разделы математики он включает в
свой курс. Он ответил, что придерживается программы, состав-
ленной естествоиспытателями, и для него явилось откровением
мое мнение, что ни один естествоиспытатель не может составить
такую программу. Пару лет спустя я по официальным каналам до-
стал такую программу, действительно, оказавшуюся очень забав-
ной (смешнее выглядел бы, пожалуй, только курс физиологии,
написанный математиком). Вероятность того, что кто-то одно-
временно является математиком и естествоиспытателем и что та-
кой человек захочет и сумеет написать учебник, настолько мала,
что таких специалистов следует специально разыскивать по всей
планете, чтобы встретить такой редкий случай. Поэтому надо
внимательно следить за иностранной литературой, тем более, что
хотя весь математический багаж естествоиспытателя должен
уместиться в одной небольшой книге, эта книга не может быть од-
ной и той же и для врачей, и для географов. Лекция является всего
лишь суррогатом, и без хорошего учебника ее чтение нельзя бу-
дет доверить кому-либо, кто не имеет опыта сотрудничества с ес-
тествоиспытателями, что, повторяю, является исключительно
редким случаем.
Ни лекции, ни книги не устраняют препятствий, возникаю-
щих при подготовке научной публикации по проблемам примене-
ния статистики. Вообразим, например, следующую ситуацию: не-
кий врач заметил, что туберкулез вызывает превышение над нор-
мой определенного вида белых кровяных телец, вычислил
среднее значение этих изменений по результатам нескольких де-
сятков наблюдений и опубликовал эти данные в печати. Критик,
который, к сожалению, был немного знаком со статистикой, ука-
зал автору, что его результат неубедителен, потому что среднее
превышение не доходит до двух сигм (а) и составляет всего 1.9 а.
Расхождение является несущественным, но критик безапелляци-
онно верил в правило двух сигм и не хотел прощать автору ни ка-
пельки расхождений. Автор не мог защититься и обратился за по-
мощью к статистикам. Даже специалисты по статистике в данном
случае поддались внушению, и им потребовалась пара дней на то,
чтобы сориентироваться и сообразить, что в данном случае вы-

220
Гуго Штейнгауз
числение среднего значения вообще не имело смысла, так как
утверждение относилось не к среднему пациенту, а к каждому в
отдельности (оно означало, что туберкулез почти всегда повыша-
ет функцию телец Ypsylon). Справедливость вывода вытекала из
статистики и по существу нарушала самые жесткие требования.
Мораль такова: любая ситуация (состоящая в наблюдениях, их
описании и регистрации численных значений) не имеет научного
содержания, если она не сопровождается логическим анализом
утверждения автора, и (вопреки распространенному мнению)
именно в этом направлении должно быть ориентировано вмеша-
тельство математика.
Иногда полученные в результате наблюдений данные можно
оформить в виде математических выражений, но это требует
от естествоиспытателя большого объема вычислений, а от чита-
теля — приличного знания математики. В одном конкретном слу-
чае я спросил, зачем нужна такая мучительная процедура, и полу-
чил ответ, что так поступает Р. Э. Фишер (которого я лично счи-
таю великим статистиком), но поскольку в этом случае речь шла
о плодовитости свиней, я и по сей день не знаю, зачем надо было
украшать эту задачу математическими формулами, содержащими
меньше информации, чем сами наблюдения. Еще более загадоч-
ным было то, что предлагаемые формулы не могли использовать-
ся ни для интерполяции, ни для экстраполяции результатов на-
блюдений.
Я считаю, что в любую статью не следует вносить ни одной
таблицы, ни одной формулы, ни одного вычисления до того, пока
автор не выяснит для себя (и не объяснит читателям), какую тео-
ретическую и практическую пользу получит естествоиспытатель
от всех этих вычислений, таблиц и формул!

Статистическое оценивание
как метод приемки товаров
массового производства
Несмотря на то, что исследования, относящиеся к методам
статистического оценивания, продолжаются, а их история
охватывает всего несколько месяцев, я решил довести этот очерк
до сведения широкого круга лиц, интересующихся промышлен-
ной статистикой, до того как текущий материал будет преобразо-
ван в стандарты. Поскольку я и сам до сего времени несу ответст-
венность за описанные здесь методы, то я заинтересован в предо-
ставлении их на суд критики. Несомненно, Польский комитет по
стандартизации, быть сотрудником которого я считаю за честь,
разделяет это мнение.
Повсеместно используемые планы выборочного исследова-
ния штучных товаров предусматривают альтернативную клас-
сификацию каждого экземпляра по принципу хороший-плохой
и альтернативное решение относительно каждой партии по
принципу прцнятъ-отклонитъ. В простейшем случае план
определяется числами тип (что указывается символом mlln),
где число п — количество экземпляров в пробной партии, am —
то наибольшее количество плохих экземпляров в этой партии,
при котором еще возможно решение «принять». Таким образом,
план 3//50 означает следующее правило: случайным образом вы-
брать 50 экземпляров из партии, испытать их и принять партию,
если среди них обнаружено 0,1, 2 или 3 плохих экземпляра, или
же отклонить партию, если обнаружено 4, 5, 6,... или 50 плохих
экземпляров. Планы типа ml In являются результатом математи-

222
Гуго Штейнгауз
ческой теории, которая обусловлена четырьмя принятыми по
договоренности параметрами, обозначенными буквами w\> W2,
Pi9 Р2- Параметры w,- — верхний и нижний уровни дефектности
партии (дефектностью партии мы называем долю плохих экзем-
пляров в ней). Верхняя погрешность w\ такова, что приемщик
соглашается только в виде исключения принять партию, если
погрешность выше этого значения, нижняя же погрешность м>2
такова, что поставщик может решиться на доставку партии с по-
грешностью значительно ниже данной только в виде исключе-
ния. Смысл слов «в виде исключения» определяется параметром
р. Задание параметра р = 95% (Pi = р2 = 0.95, как это обычно де-
лается) означает, что мы с вероятностью 95% защищаем прием-
щика от принятия партии с погрешностью w\ и с такой же веро-
ятностью (95%) защищаем поставщика от поставки партии с по-
грешностью М>2-
Естественно, возникает вопрос об обоснованности введения
этих параметров. Обычно почти во всех стандартах параметр р
принимается равным 90% или 95%. Это значение не основано ни
на каких рассуждениях; пожалуй, и так ясно, что если можно при-
нять 90% или 95%, то нет серьезных оснований возражать против
порога в 93%. Хуже обстоит ситуация с оценкой, когда некачест-
венный товар может нанести большой вред (например, если он
может испортить дорогостоящую мащину), так что риск в 5% мо-
жет быть слишком велик. Смиримся с этой трудностью и призна-
ем раз и навсегда авторитет большинства стандартов, основанных
на р = 95%. Требуется определить параметры w,-. Эксперименты
и компромисс позволяют приближенно установить границу по-
грешности, выше которой товар уже является нежелательным,
а также другую границу, ниже которой условия производства не
позволяют преуспеть поставщику. Таким образом, не без сомне-
ний и оговорок мы определим четыре параметра (ivi, vt>2, Pi, Р2),
а уже затем задачей математика будет установление плана ml In.
Такая задача решена и, например, в проекте польского стандарта
PN/N-03001, среди прочих, мы найдем план 3//60 со значениями
w\ = 12.92% HW2 = 2,28%. Кроме этих планов, называемых еди-
ничными, в статистическом контроле известны многоступенча-

Статистическое оценивание как метод приёмки товаров... 223
тые и последовательные планы, о которых здесь мы лишь укажем,
что и они требуют задания четырех параметров.
Первым упреком, который следует предъявить описанному
методу (который мы назовем классическим), является его непо-
нятность для практиков. Эту непонятность нельзя объяснить не-
достатком математической подготовки — напротив, практики бо-
лее математиков склонны к признанию испытанных способов. Но
ни те, ни другие не сумеют однозначно определить необходимые
параметры. Метод имеет и другой, более серьезный недостаток:
классические планы совершенно не учитывают ни численность
партии, ни затраты на исследование отобранных экземпляров.
Правда, существуют общепринятые таблицы, которые количест-
во отобранных для исследования экземпляров ставят в зависи-
мость от численности партии, но они не только не имеют ка-
ких-либо теоретических обоснований, но и сводят на нет все уси-
лия по разъяснению сущности четырех параметров. Проблема
заключается в том, что при задании р = 95% увеличение п приво-
дит к сближению параметров w,-. Поэтому, если мы в дальнейшем
зададим значения w, на основании опыта, то уже не сможем
учесть численность партии согласно общепринятой таблице,
а если захотим учесть эту численность (т. е. рассчитать по табли-
це л), то должны будем отказаться от полюбившихся эмпириче-
ских значений w\ и м>2.
Этот второй упрек можно было бы не принимать во внима-
ние в тех частых случаях, когда численность партии не имеет
значения. Многие стандарты придерживаются данного принци-
па, однако легко показать, что он является ложным. План 3//60
хорош для приемщика партии из 1000 апельсинов, но захочет ли
этот приемщик по результатам проверки 60 апельсинов разре-
шить принять корабельный груз, состоящий из 2000 тонн апель-
синов? Здравый рассудок повелевает в данном случае исследо-
вать пробную партию из нескольких тысяч апельсинов, причем
затраты на это ничтожны по сравнению с риском, который пред-
ставляет ошибка при таких больших перевозках. Ясно также,
что. основную роль играет не численность партии, а ее стои-
мость: если партия — это куча песка, состоящая из миллионов
песчинок, то не окупится исследование под микроскопом даже

224
Гуго Штейнгауз
60 песчинок, а при закупке партии из ста локомотивов стоит ис-
следовать каждый из них.
Придерживаясь обычных стандартов, мы должны были бы
при приемке кучи размолотого известняка подвергнуть проверке
тысячи гранул, неся при этом затраты, в тысячи раз превышаю-
щие стоимость известняка, а при закупке ста локомотивов иссле-
довать только несколько из них, т. е. допустить риск, в сотни раз
превышающий стоимость исследования всех локомотивов. Здра-
вый смысл подсказывает нам, что разумнее принять известняк
«на глаз» (сведя стоимость исследований к нулю), но тщательно
проверить все локомотивы (сведя к нулю риск ошибки).
Из сказанного очевидно, что численность пробной партии,
наилучшим образом отвечающая цели исследований, должна за-
висеть от того, чем мы рискуем при ошибке, т. е. в простейшем
случае — от стоимости партии и от затрат на исследование одно-
го экземпляра. Поскольку обычно применяемые стандарты не
предусматривают такой зависимости, ее следует оставить на
усмотрение исследователя.
Помимо указанных недостатков классического метода, суще-
ствуют и другие. Например, он приводит к расхождению на осно-
ве правила Байеса, которое ставит эксперта-статистика между
Сциллой принципиальной ошибки (которая ему угрожает, если
он примет a priori равномерное распределение качества товара) и
Харибдой предполагаемого метода (не позволяющего ему опре-
делить, какие риски допускает приемщик, используя план mllri).
Кроме этого, принятие альтернативного решения ставит перед
плановым хозяйством вопрос утилизации отклоненного товара.
Действительно, отказ от товара будет означать, что мы завалим
некачественной продукцией склады магазинов, фабрик, железно-
дорожных центров и вокзалов. Товар можно отклонить фиктивно
или формально (а на самом деле принять), но тогда следует под-
вергнуть поставщика судебным тяжбам с вышестоящими властя-
ми. Ясно, что первое решение соответствует классическому мето-
ду, но влечет за собой экономические убытки, которыми нельзя
пренебрегать, второе же заменяет статистический контроль реги-
страцией испытаний, дорогостоящих и лишенных тех выгод, ко-
торые сулит классический метод, т. е. гарантии для обеих сторон.

Статистическое оценивание как метод приёмки товаров... 225
Из этого введения, пожалуй, достаточно ясно, насколько важ-
но внедрить в практику метод, который был бы свободен от пере-
численных недостатков классического метода и, кроме того, был
бы понятным и легким в применении, т. е. заслуживал бы вопло-
щения в жизнь. Именно таким является метод статистической
оценки, имеющий и другие преимущества, о которых будет сказа-
но ниже.
§ 1. Принцип статистического оценивания
Проще всего представить новый метод на примере оценки то-
варов, обладающих свойством аддитивности, т. е. когда стои-
мость партии складывается из суммы стоимостей отдельных эк-
земпляров. Так, например, шахта или город, закупающий партию
электроламп для освещения улиц, может считать стоимость пар-
тии равной сумме стоимостей отдельных ламп, причем каждую
лампу можно оценить в соответствии с ее мощностью (в ватт-ча-
сах) и затратами на хранение, установку и извлечение из патрона.
Если л:, есть стоимость i'-й лампы (i = 1, 2,..., TV), а партия состоит
N
из Л/ламп, то стоимость партии равна W = ]>]*,•. Представим себе,
что мы выбираем из партии п ламп и подвергаем их последова-
тельному испытанию в лаборатории, записывая стоимости х\9
п
х2,..., хп. Среднее из этих чисел, хп =1/п-^х( мы принимаем за
/=1
среднюю стоимость лампы во всей партии и на этом основании
оцениваем стоимость партии как N •*„. Эта процедура составля-
ет суть договора, и поставщик должен отдать партию, а получа-
тель принять ее за оплату Z, где
Z = N-xn. (1)
На самом деле Z зависит от случая, так как лампы отбираются
для испытаний произвольным образом и Z может оказаться от-
личной от истинной стоимости W, однако игра в соответствии
с условиями договора является справедливой, если
E(Z)=W9 (2)

226
Гуго Штейнгауз
т. е. если математическое ожидание оплаты равно истинной стои-
мости. Выражение (2) есть следствие элементарной теоремы, гла-
сящей, что математическое ожидание суммы случайных перемен-
ных равно сумме их математических ожиданий, а математическое
ожидание случайной переменной, умноженной на константу с,
равно произведению константы с на математическое ожидание
этой переменной.
Однако легко заметить, что описанная игра может быть очень
рискованной. Например, если п = 2, a N= 1 000 000, то это означа-
ет, что партию из миллиона ламп мы оцениваем по испытанию
двух штук. Нам следует быть очень осторожными и в случае
п = 100, N= 500, т. е. когда партию из 500 ламп мы оцениваем по
результатам испытаний ста штук. Кардинальный вопрос в таких
ситуациях состоит в разумном определении числа п.
§ 2. Постулат минимального экономического ущерба
Абсолютная разность \Z-W\ является мерой экономического
ущерба, возникшего по причине неправильной оценки. Ущерб
возникает как в случаях, когда поставщик получил за товар мало
(Z< W), так и тогда, когда он получил много (Z> W). В обоих слу-
чаях происходит неэквивалентный обмен товара на наличные
деньги. Помимо этого, возрастает и ущерб за счет затрат на сами
испытания, так как эта деятельность не создает ценностей. Об-
щий ущерб равен
К + пк, (3)
где К— предварительные затраты, не зависящие от п (подготовка
образцов для испытаний и персонала), а к — стоимость испыта-
ний одного экземпляра после отчислений на подготовку.
Постулат минимального экономического ущерба требует
сведения к минимуму суммы ущерба от неправильной оценки и
стоимости испытаний. Поскольку разность \Z-W\ есть случайная
переменная, то вместо нее следует использовать ее математиче-
ское ожидание E\Z- W\. Необходимо, чтобы ожидаемый эконо-
мический ущерб был минимален:
S = Е \Z- Щ + К + пк = min, (4)

Статистическое оценивание как метод приёмки товаров... 227
причем это условие должно выполняться за счет соответствую-
щего выбора числа л, поскольку это единственное остающееся ва-
рьируемым число. Все другие величины, такие как стоимость эк-
земпляров, устанавливаются по соглашению и становятся извест-
ными до начала испытаний (а также указываются в договоре),
либо являются константами (К, к).
§ 3. Принцип минимакса
Решение задачи минимизации S, т. е. суммы вида (4), было бы
легче при известном распределении случайной переменной х в
партии, потому что тогда b\Z-W\ фигурировали бы выражения,
образованные из переменных с известными распределениями и
мы могли бы вычислить математическое ожидание E\Z - W\.
Впрочем, тогда отпала бы необходимость в самих испытаниях,
потому что была бы известна W, т. е. истинная стоимость партии,
и не потребовалось бы никакой статистической оценки. С другой
стороны, если мы ничего не знаем о распределении х, то задача
становится неразрешимой. Однако обычно в реальных ситуациях
известны лишь некоторые свойства распределения: например,
в случае с лампами известно, что ни одна из них не имеет стои-
мость ниже а и выше Ь. Будем пока считать п заданным и попыта-
емся найти максимум выражения E\Z-W\. Легко убедиться, что
E\Z-W\ = Nln-E\(xx-x) + (x2-x) + --+(xn-x)i (5)
где х означает Е(х), т. е. среднее значение х для всей партии. Мож-
но также показать, что
Е(х( - jc) = 0 для каждого /, а также max(x/ - jc) - minfo - jc) = b - я. (6)
Обозначив разность jc,- - x через д>„ мы должны определить
наибольшее возможное значение £[у,|, если известно, что E(yi) = О
для каждого /, а интервал изменения переменной^/ равен b-a = d.
Легко убедиться, что этот максимум достигается, если каждая из
независимых друг от друга переменных yi принимает только
крайние значения ±{Ь - я)/2, каждое с частотой 50%. Вычислим
Е\у\ при этих условиях:
£[у,| = (6-я)/2 = <//2. (7)

228
Гуго Штейнгауз
Легко показать также, что при тех же условиях получается и
наибольшее возможное среднее отклонение а, которое определя-
ется выражением
c2=E(y2)-E2(yi), (8)
а если yt = ±d/2 и E(yi) = 0, то из (8) сразу получаем
а = d/2. (9)
Тогда выражение (5) можно переписать в виде
E\Z-W\ = NI^-E\
П , .
1=1
(10)
Согласно теореме Муавра-Лапласа, распределение случай-
ной величины £, фигурирующей в (10), при увеличении п стре-
мится к нормальному с равным нулю математическим ожиданием
и средним отклонением а, если а является средним отклонением
каждой из переменных;;. В связи с этим для достаточно больших
п выражение Е\Ц в (10) можно с учетом (9) записать в виде
c^ = dl2-fiin=d-0399. (11)
Тогда, округляя 0.399 до 0.4, получим
E\Z- W\=0A- Ndyfc. (12)
Это максимальное значение ожидаемого ущерба от непра-
вильной оценки (его не следует понимать как максимальное зна-
чение ущерба!). Выражение для S (4) при этом принимает макси-
мальное значение
S max =0.4-Ndyfc+K+Пк, (13)
которое нам и предстоит минимизировать соответствующим вы-
бором п. Условие минимума мы получим, взяв производную от
правой стороны (13) и приравняв ее нулю:
-0.2^</-/Г3/2 + * = 0, (14)
и, следовательно,
n = (Nd/5k)2/3. (15)

Статистическое оценивание как метод приёмки товаров... 229
Для практика метод оценивания сводится к двум формулам,
(1) и (15). Сначала вычисляется численность пробной партии по
формуле (15), а затем случайным образом отбираются п экземпля-
ров, определяется стоимость каждого из них, находится среднее
значение хп и по формуле (1) принимается партия за оплату Z.
Принцип минимакса может вызвать у читателей определен-
ное затруднение. Для иллюстрации можно воспользоваться при-
мером игры в шахматы: я имею несколько ходов на выбор, и на
каждый из них противник имеет несколько ответов. В связи с
этим, на каждый из моих возможных ходов найдется такой ответ,
который дает противнику максимальный шанс, а поэтому я вы-
бираю такой ход, которому соответствует минимальный шанс,
т. е. наименьший из этих максимумов.
§ 4. Обсуждение предыдущего результата
Заметим, что формула (15) не содержит К, т. е. численность
пробной партии не зависит от затрат на подготовку к испытаниям.
Если исключить эти затраты, то ожидаемый ущерб (13) будет со-
стоять из двух слагаемых, первое из которых равно QA-NdJn и
представляет собой ожидаемый ущерб от неправильной оценки,
а второе равно пк и является текущей стоимостью испытаний.
Подставляя в эти выражения п из формулы (15), мы получим сум-
му в виде
2-(Ш/5)2/3-кт + (Nd/5)2/4m = 3(D/5)2/3-km9 (16)
где первое слагаемое в два раза больше второго, из чего следует
практическое правило: текущая стоимость испытаний равна по-
ловине ожидаемого ущерба от неправильной оценки (D означает
произведение Nd).
Может случиться, что формула (15) даст для п дробное значе-
ние. Однако поскольку мы используем приближение (основанное
на теореме Муавра-Лапласа), которое на практике является до-
статочно точным только для п > 25, то не только дробный резуль-
тат для л, но и значение п < 25 лежат за пределами применимости
метода. Это вовсе не означает, что метод оценивания не включает
эти случаи (которые имеют место, когда d является малым, т. е.
когда известно, что товар однородный, а к является большим, т. е.

230
Гуго Штейнгауз
испытания являются дорогостоящими). В этих ситуациях точное
определение п представляет собой очень трудную математиче-
скую задачу, однако они возникают чрезвычайно редко.
Может также случиться, что формула (15) даст для п значе-
ние, превышающее N (что бывает, когда известно, что партия яв-
ляется неоднородной, а затраты на испытания невелики). Однако
и в этом случае теория остается применимой: численность проб-
ной партии может превышать всю партию товара, так как вывод
основан на предположении, что испытание не изменяет состава
партии и ее экземпляры, а каждый экземпляр после испытания и
оценки возвращается в партию. На практике поступают иначе,
о чем будет сказано в § 7.
Заметим также, что выражение Nd = D представляет собой
диапазон стоимости партии, т. е. разность между ее наибольшей и
наименьшей возможной стоимостью. Формулу (15) можно запи-
сать в виде
n = (DI5k)2l\ (17)
из чего видно, что численность пробной партии зависит только от
отношения диапазона стоимости партии к текущей стоимости ис-
пытаний одного экземпляра.
§ 5. Средний разброс и метод дюжин
Формула (15) требует знания диапазона d, и ее применение
становится невыгодным в тех случаях, когда лишь немногие эк-
земпляры в партии имеют крайние стоимости. Если известен,
хотя бы приближенно, средний разброс стоимости в партии, то
можно использовать другую формулу. Средний разброс опреде-
ляется как Е \х - Е(х)\9 поэтому в терминах § 3 средний разброс а
случайной переменной х равен
a = E\xi-E(xj)\ = Е\у\ для каждого i = 1, 2,..., и. (18)
Если среднее отклонение случайной величины jc,- (а стало
быть, и yi) равно а, а распределение этой величины (а, значит, и
переменной yi) является нормальным, то
a=a-<j2/n, o = a-<Jn/2. (19)

Статистическое оценивание как метод приёмки товаров... 231
Используя теорему Муавра-Лапласа из § 3, найдем для случай-
ной переменной S среднее отклонение а, или а • ^к12. Поскольку
£ также является нормально распределенной переменной с нуле-
вым математическим ожиданием, то Е\Ц представляет собой
средний разброс этой переменной, который можно вычислить по
среднему отклонению (19), умножив последнее на .Jl/n. Это дает
E№yi/n\=a-J^-fijn=a. (20)
Формулы (10) и (20) приводят к соотношению
E\Z-W\ = Nal4n9 (21)
откуда, так же как и (15) из (12), следует
п = (Na/2kf3. (22)
Этот метод предполагает нормальное распределение случай-
ной величины х. Обычно это условие не выполняется, однако эту
трудность можно обойти с помощью «метода дюжин»; использу-
ется то обстоятельство, что сумма 10, 12 или большего числа не-
зависимых случайных величин с одним и тем же распределением
в приближении имеет нормальное распределение. Таким обра-
зом, достаточно, например, принять дюжину электроламп за один
экземпляр и получить из наблюдения средний разброс стоимости
дюжин. Формула (22) дает нам число п дюжин ламп, необходи-
мых для испытаний и оценки (попросту путем задания стоимости
одного экземпляра). Следует помнить, что в этом методе а есть
средний разброс стоимости дюжины, вследствие чего, очевидно,
число N будет в 12 раз меньше, а к (стоимость испытаний дюжи-
ны) в 12 раз больше, чем для одного экземпляра. Простые вычис-
ления приводят к такому правилу: в формуле (22) можно сохра-
нить значения символов п,Ыик9аа рассматривать не как средний
разброс стоимости отдельных экземпляров, а как а = я7V12, где а'
— средний разброс стоимости дюжин (если бы а' было средним
разбросом стоимости десятков, то надо было бы считать
я=я'Л/Г0).

232
Гуго Штейнгауз
§ 6. Последовательные приближения
Преимуществом формулы (15) перед формулой (22) является
то, что параметр d обычно известен, а слабая сторона этой форму-
лы в том, что затраты на испытания превышают потребности, так
как допускается возможность наихудшего распределения. Фор-
мула (22) не имеет этого недостатка, но редко используется непо-
средственно, поскольку параметр а неизвестен. Ниже мы пока-
жем, как можно обойти это препятствие. Для этого в формуле (22)
надо временно принять в качестве а некоторое значение а§ и вы-
числить для п временное значение щ. Далее мы вместо п0 отберем
для испытаний лишь г экземпляров (например, возьмем г = по/2) и
вычислим средний разброс стоимости экземпляров этой партии,
т. е. величину
г г
*1=^Г"Д*|-*Л гдехг=1/г •£*,.. (23)
7=1 1=1
Полученное значение а\ мы подставим в (22) вместо а и полу-
чим некоторое значение щ. Если п\ меньше г, то останавливаемся
на уже отобранной и испытанной партии; если щ близко к и0, то
мы добираем еще щ-r экземпляров и основываем оценку на со-
вокупной пробной партии из щ экземпляров. Если же п\ значи-
тельно больше щ, то мы принимаем п\ в качестве временного п и
поступаем, как выше (т. е. добираем к г столько экземпляров, что-
бы увеличить пробную партию вщ/щ раз и т. д.). Через пару ша-
гов приближение заканчивается, так как rij будет близко к wy_i или
меньше численности уже отобранной и испытанной партии. По-
скольку здесь не идет речь о точности отдельных шагов, которые
не являются конечными, то использование формулы (22) не будет
утомительным. Заметим, что эту формулу можно превратить
в номограмму, так как в некоторых случаях (в частности, когда
величина к для одного и того же вида товара в течение длительно-
го времени остается неизменной) формулу (22) можно предста-
вить с помощью трех параллельных логарифмических шкал.
Определение разброса я, требует только простых вычислений
вида (23).

Статистическое оценивание как метод приёмки товаров... 233
Пример. Партия состоит из 100 000 электроламп. В зависимости от
силы света и продолжительности свечения она но соглашению делится
на четыре класса со стоимостями 500 злотых, 300 злотых, 100 злотых и
-50 злотых (отрицательная цена относится к лампам, которые перегора-
ют так быстро, что являются непригодными и вызывают бесполезные
затраты у приемщика). Испытание одного экземпляра обходится в 275
злотых, так что мы имеем d = 500 - (- 50) = 550, N = 100 000, к = 275, D =
= Nd = 55 000 000; формула (17) дает временное значение п0 =
= (55106/5-275)2/3 = (40 000)2/3 = 1170. Выберем случайным образом 450
ламп и разделим их на 50 групп по 9 экземпляров. Лабораторные испы-
тания определили, к какому классу относится каждая лампа, и отсюда
следует стоимость каждой группы. Результаты оказались таковы:
1 группа имеет стоимость 4 500 злотых всего 4 500 злотых
5 групп имеют стоимость по 4 000 злотых всего 20 000 злотых
13 групп имеют стоимость по 3 500 злотых всего 45 500 злотых
17 групп имеют стоимость по 3 000 злотых всего 51 000 злотых
4 группы имеют стоимость по 2 500 злотых всего 10 000 злотых
10 групп имеют стоимость по 2 000 злотых всего 20 000 злотых
50 групп 151 000 злотых
Средняя стоимость группы равна 151 000:50 = 3 020 злотых, а сред-
ний разброс составляет
1/50{1(4 500 - 3 020) + 5(4 000 - 3 020) + 13(3 500 - 3 020) +
+ 17(3 020 - 3 000) + 4(3 020 - 2 500) + 10(3 020 - 2 000)} = 501.
В соответствии с последним правилом из § 5 это значение следует
разделить на 79 = 1 что дает а\ = 501:3 = 167. По формуле (22) сразу на-
ходим П\\
щ = (100 000-167/2-275)273 = 973.
Это число близко к 1170, а поскольку мы уже испытали 450 экземп-
ляров, нам следует испытать еще 523, чтобы довести численность проб-
ной партии до 973 экземпляров. Если новые экземпляры будут иметь об-
щую стоимость 165 000 злотых, то средняя стоимость одной лампы со-
ставит 316 000 : 973 = 324.8 злотых. Партия будет принята за 32 480 000
злотых.
В этом примере мы не использовали временное значение я<>.
Описанный в данном параграфе метод ничего не говорит о выбо-
ре значения ао, поэтому мы применяли формулы (15) и (17), осно-
ванные на диапазоне d. Однако при следующей поставке электро-

234
Гуго Штейнгауз
ламп с той же фабрики мы могли бы в качестве яо взять число 167,
полученное как а\ для текущей поставки, что соответствует сле-
дующему практическому правилу: значение ат (или последнее
значение а для принятых партий) может служить в качестве яо
при определении численности пробной партии для очередной по-
ставки.
Подчеркнем, что некоторая неопределенность при отыска-
нии п не является существенным недостатком нового метода,
так как речь идет только о среднем числе экземпляров, и поэто-
му не существенно — будет ли это среднее равно 1170 или 973.
Не будем забывать и о том, что в классическом методе числен-
ность пробной партии тоже является достаточно неопределен-
ной и колеблется в более широком диапазоне, а пробная партия
там определяет радикальное решение о принятии или отклоне-
нии товара.
§ 7. Малые партии
До сих пор мы не учитывали тот факт, что отбор образцов для
испытаний изменяет всю партию по двум причинам: 1) полное
или частичное уничтожение образцов при испытаниях, 2) умень-
шение численности партии за счет невозвращения в нее испытан-
ных образцов. Первое обстоятельство увеличивает стоимость ис-
пытаний, что можно учесть при определении коэффициента к, но
при возврате образцов в партию изменяется ее стоимость, что на-
рушает справедливость выводов § 3 и последующих. Невозврат
уменьшает численность неиспытанной части партии (однако это
выгодно, так как уменьшает ожидаемый ущерб от неправильной
оценки), так что некоторое усложнение вычислений оказывается
экономически обоснованным и согласуется с представлением
практика. Модификация процесса оценки окупается при малых
партиях, т. е. когда п является большой частью N.
В этом случае вместо (13) мы будем иметь
Smax = 0.4• (N- ri)dljk + К+пк9 (24)
а вместо (14)
-0.2Ndrfy2-0.2 dnm + к = 0, (25)

Статистическое оценивание как метод приёмки товаров... 235
ИЛИ
Ndl5-nm = к\ где к' = к- dlS^t
и
п = {Ndl5k!)m, где к' = к- d/5yfc. (26)
Аналогично, вместо (22) мы получим
n = (Na/2k')2/\ mek' = k-alljn. (27)
Пример. Повторим предыдущий пример (из § 6). По испытаниям
450 электроламп мы получили а\ = 167 и щ = 973. Используем эти значе-
ния в качестве а и п в правой части формул (27). Это дает
к' = 275-167/2л/973 =27233 и п = (100 000-167/544.66)2/3 = 980.
Увеличение пробной партии с 973 до 980 экземпляров особой роли
не играет. В результате испытаний мы получим среднюю стоимость, на-
пример 325 злотых. Испытанные экземпляры (поскольку они не подвер-
глись уничтожению) закупаются приемщиком по цене, соответствую-
щей их истинной стоимости, зато остаток партии (т. е. 99 020 экземпля-
ров) — по цене 325 злотых, т. е. за 32 180 000 злотых. Если учесть
стоимость не уничтоженных пробных экземпляров, то получим сумму
оплаты, отличающуюся от найденной ранее.
В данном случае численность пробной партии составляет около 1%
от всей партии. На практике обнаружилось, что в таких случаях отпада-
ет необходимость внесения поправок в изложенный метод, так как не
следует забывать, что неточность определения п (обусловленная незна-
нием закона распределения) при этом гораздо больше выигрыша от по-
правок. Следовательно, достаточно было бы взять пробную партию из
973 экземпляров и по результату их испытаний оценить только оставшу-
юся часть всей партии, т. е. 99 027 экземпляров, а за 973 испытанных эк-
земпляра заплатить согласно их истинной стоимости.
А каким был бы результат для партии из 100 экземпляров? Формула
(17) в этом случае дает значение п0 = 12, а поправка (26) приводит к ре-
зультату
к* = к- d/5yfn = 275- 550/5л/12 = 243.25,
п{ = {NdlSKyn = (100-550/5-243.25)2/3 = 12.7 « 13.
Увеличение численности пробной партии с 12 до 13 экземпляров
соответствует изменению на 8% и может иметь практическое значение
(в предыдущем примере численность пробной партии увеличилась
только на 8 промилле).

236
Гуго Штейнгауз
Хотелось бы обратить внимание на следующий парадокс:
в случае невозврата пробных экземпляров в партию требуемая
численность пробной партии возрастает, хотя, как известно, эта
методика дает более точную информацию. На первый взгляд
представляется, что для получения одного и того же ущерба при
невозврате было бы достаточно меньшей пробной партии. За-
гадка объясняется тем, что при невозврате меньший ущерб мож-
но получить не только даже при той же самой пробной партии,
но и еще меньший при большей пробной партии, так как при не-
возврате мы получаем полную информацию о значительной час-
ти партии, благодаря чему справедливее оплачивается само ис-
пытание.
§ 8. Упрощение метода оценивания
В типичных случаях приемки товаров, характерных для боль-
шей части хозяйственной деятельности, методы оценивания мож-
но свести к простейшим вычислениям, доступным для каждого
выпускника общеобразовательной школы.
Формула (17) п = (D/5k)m определяет численность пробной
партии в предположении, что D есть разность между наибольшей
и наименьшей возможными стоимостями партии, а к — текущие
затраты на испытание одного экземпляра. Выше было показано,
что эта формула может быть получена на основании метода мини-
макса в предположении наибольшего среднего разброса (т. е. со-
ответствует случаю, когда в партии находится по 50% экземпля-
ров с наибольшей и наименьшей стоимостями).
Если d есть разность наибольшей и наименьшей стоимости
двух экземпляров и в партии нет экземпляров с промежуточной
стоимостью, то среднее отклонение (стандартное) стоимости од-
ного экземпляра равно d • д/wO-w), где w—погрешность партии,
т. е. доля экземпляров с наименьшей стоимостью. Для среднего
разброса средней стоимости одного экземпляра пробной партии,
состоящей из п образцов, получим выражение
JUk . d • Jw(l- w)ln =0.8 • d^w{\- w)/n,
а затем E\ Z - W\ = 0.8 • D • Jw(l-w)/n (см. формулу (12) из § 3).

Статистическое оценивание как метод приёмки товаров... 237
Как ранее (15) и (17), на этот раз получим формулу
п =(2Djw(l-w)/5kf\ (28)
При каком w значение л, полученное в соответствии с (28),
будет в два раза меньше значения лтах, полученного по формуле
(17)? Это произойдет при выполнении условия
(2Vw(l-w))2/3=l/2,
или w(l- w) = 1/32, откуда w = 2.33% или w = 97.67%.
Из этого следует, что если мы хотим уменьшить wmax наполо-
вину, то должны будем обратиться к очень однородным партиям
(т. е. таким, качество которых выше 97.67% или ниже 2.33%).
С менее однородными партиями никогда не следует опасаться,
что партия с численностью пт\п = лтах/2 будет считаться большой.
Ввиду того что пробная партия с численностью wmax никогда не
считается малой, для оценки альтернативных партий можно все-
гда пользоваться следующей таблицей:
Dlk
Wmax
Лср
Hmin
100
7
5
3
200
12
9
6
500
22
17
11
1000
34
25
17
2000
54
40
27
5000
100
75
50
10000
160
120
80
15000
208
156
104
В первой строке приведены отношения Dlk\ во второй — зна-
чения wmax, вычисленные по формуле (17); в последней строке —
flmin = итах/2, а между ними — средние значения п, равные
(«max + Hmin)/2.
Эта табличка позволяет осуществлять следующую процеду-
ру оценивания, при которой все вычисления не выходят за рамки
умножения и деления. Выбираем пробную партию с численно-
стью пт\п и по результатам ее испытаний оцениваем всю исход-
ную партию. Дополняем пробную партию до численности пср и
еще раз оцениваем всю партию. Разность оценок дает информа-
цию, полученную при испытании (лср - пт\п ) экземпляров. Если
затраты на это испытание превышают стоимость информации, то
испытания прекращаются, в противном случае — добираем еще
столько экземпляров, чтобы затраты на их испытание в сумме с
предыдущими сравнялись со стоимостью информации (однако

238
Гуго Штейнгауз
суммарная численность пробных партий не должна превышать
Wmax)- Окончательная оценка исходной партии дается на основа-
нии испытаний совокупной пробной партии.
Пример. Партия коробок для папирос содержит 10 000 экземпля-
ров, качественная коробка согласно договору стоит 5 злотых, затраты на
проверку коробки составляют 10 злотых, некачественная коробка не
имеет стоимости. Для этой партии Dlk = 50 000: 10 = 5 000, а конкретное
значение wmjn = 50 мы найдем из приведенной выше таблицы в колонке
под обозначением 5 000. Отберем в пробную партию 50 коробок и обна-
ружим одну некачественную коробку, что соответствует оценке в 49 000
злотых. Добираем еще 25 экземпляров и не обнаруживаем среди них не-
качественных. Поэтому новая оценка составляет 50 000-74/75 = 49 333
злотых. Разность стоимости равна 333 злотых, а стоимость этой инфор-
мации составляет 25-10 = 250 злотых; поэтому нам позволено отпустить
еще 83 злотых для испытаний, т. е. испытать еще 8 коробок. Предполо-
жим, что среди них мы тоже не находим некачественного экземпляра.
Таким образом, мы проверили в совокупности (50 + 25 + 8) = 83 экземп-
ляра, среди которых нашелся только один некачественный. Окончатель-
ная оценка составляет 50 000-82/83 = 48 397 злотых (для особенно любо-
знательных отметим, что поправка оценки в 64 злотых не компенсирует
затрат в 80 злотых на испытание оставшихся 8 коробок).
§ 9. Заключение
Метод статистического оценивания сводится к совершенно
естественному правилу оплаты за партию товара — в соответст-
вии со средней стоимостью пробного экземпляра, а численность
пробной партии определяется исходя из постулата минимального
экономического ущерба (что можно сделать без всяких предполо-
жений относительно неизвестной партии). Численность пробной
партии можно уменьшить, используя некоторую информацию,
которую можно получить в процессе испытаний (метод последо-
вательных приближений). Можно показать, что метод статисти-
ческой оценки является наилучшим с экономической точки зре-
ния, при условии, что речь идет не об интересе сторон, а об инте-
ресе государственной экономики. При использовании метода
последовательных приближений численность пробной партии
подвержена некоторым колебаниям, однако их значение второ-
степенно, так как они незначительно влияют на оценку. Выраже-

Статистическое оценивание как метод приёмки товаров... 239
ние (16) в сумме с К определяет ожидаемый экономический
ущерб от испытаний — этот ущерб неизбежен и должен быть пре-
дусмотрен в плановом хозяйстве. Для практических целей форму-
лы для определения численности п можно представить в виде
простых номограмм, применение которых не должно вызывать
споров, так как для договаривающихся сторон эта численность не
является критичной. В наиболее часто встречающихся случаях
оценку можно упростить, воспользовавшись табличкой из § 8, из-
бавляющей применяющего стандарт от всех действий, выходя-
щих за рамки трех простых правил арифметики. Одна эта таблич-
ка заменяет все планы классического статистического контроля, а
сам принцип оценивания имеет важное преимущество перед
классической альтернативой «принять - отклонить», которая на
практике ведет либо к спорам, либо к компромиссу, весьма дале-
кому от математического смысла статистического контроля.
Можно, однако, распространить метод минимального ущерба на
альтернативное решение в случае товаров, допускающих отбра-
ковку. Последняя ситуация не была освещена в тексте статьи и
требует особого рассмотрения.
Сведения из теории вероятностей, необходимые для понима-
ния текста, можно найти в любом учебнике, например, в книгах
Гливенко и Хоэля.

Об установлении отцовства1
Предметом настоящей работы является установление судом
отцовства в случаях, когда суд приглашает эксперта и полу-
чает от него заключение, основанное на серологическом исследо-
вании крови матери, ребенка и мужчины, вызванного в качестве
ответчика. Речь идет о разъяснении экспертиз с помощью теории
вероятностей и придании им надлежащей формы, а также об ука-
зании на неиспользованные ранее возможности, скрытые в мате-
риалах серологических экспертиз и судебных решений.
1. Юридическая проблема. Как наши давнишние уставы,
так и Польский семейный кодекс от 27 июня 1950 г. предусматри-
вают установление отцовства в судебном порядке. В Статье 47,
§ 1 данного кодекса говорится: «При отсутствии добровольного
признания, как ребенок, так и мать могут потребовать судебного
установления отцовства». Эта формулировка по умолчанию при-
нимает принцип «mater semper certa est» (мать всегда достоверно
известна), хотя имеют место и другие случаи установления отцов-
ства, которых мы здесь не будем касаться. Будем обозначать че-
рез F{X) факт, что мужчина Jf, ответчик перед матерью М и ребен-
ком Д действительно является отцом ребенка D. Требование су-
дебного установления отцовства обычно имеет целью обязать
ответчика выплачивать средства на содержание ребенка или га-
рантировать ему права наследования, однако гражданский кодекс
предусматривает четкое отделение в иске требования установле-
Работа О dochodzeniu ojcostwa, представленная Гуго Штейнгаузом на заседа-
нии Отделения общественных наук Вроцлавского научного общества 15 марта
1952 г.

Об установлении отцовства
241
ния F(X) от дальнейших требований, основанных на допущении
F{X). Кроме того, в формулировке приговора должно присутство-
вать primo loco (на первом месте) заключение F(X) либо He-F(JQ,
а последствия этого заключения — secundo loco (на втором месте)
(см. Статью 337 Польского гражданского кодекса от 25 августа
1950 г.). Тем самым как в иске, так и в приговоре факт F(X) явля-
ется четко изолированным.
Цитированная выше Статья 47 семейного кодекса в § 2 кон-
статирует: «Существует предположение, что отцом является тот,
кто имел общение с матерью ребенка в период от трехсотого до
стовосьмидесятого дня перед его рождением». Сторона, выступа-
ющая в качестве истца, обязана доказать, что ответчик ^действи-
тельно имел общение с М в период от 300-го до 180-го дня перед
рождением D; без этого доказательства иск отклоняется. Однако
если суд признает доказательство, — обозначим его основание
через Е{Х) — то возникнет praesumptio iuris (презумпция права)
против ответчика X, и судья вынесет решение F{X) на основании
Е(Х)9 если только Хне докажет ue-F(X). К доказательным средст-
вам гражданский кодекс относит также мнения сведущих людей
или экспертов, которых суд приглашает на заседание после того,
как выслушает предложения сторон по поводу выбора экспертов
и их количественного состава (Статья 293 §§ 1 и 2 гражданского
кодекса от 25 августа 1950 г.).
Из вышеприведенных замечаний видно, что: 1) до эксперти-
зы в процессе дело доходит только после доказательства истицей
Е(Х), против которого X выдвигает обоснование hc-F(X)9 впро-
чем, не противоречащее Е(Х); 2) экспертиза имеет целью разре-
шение альтернативы F(X) — hc-F(X) на стадии, определенной
в п. 1; 3) решение, которое не обязательно соответствует выводам
экспертизы, получает отдельную формулировку в судебном по-
становлении. Обратим также внимание на то, что если ограничи-
ться только теми судебными разбирательствами, в которых дело
дошло до экспертизы, то мы должны исключить как те случаи, в
которых не удалось доказать Е(Х), так и те, в которых Е(Х) дейст-
вительно доказать удалось, но ответчик не поддержал аргумент
He-F(X). В последнем случае утверждение F(X) может быть под-
держано в юридическом смысле (хотя оно и не соответствует фак-

242
Гуго Штейнгауз
тической истине), но мы обойдем это противоречие, ограничив-
шись только изучением дел, потребовавших экспертизы; в силу
этого факт F(X), о котором говорится в дискуссии сторон и судеб-
ном постановлении, идентичен факту F(X), о котором говорится в
заключении экспертизы.
2. Группы крови. Теория групп крови появилась в начале те-
кущего столетия. Одним из создателей этой теории является
польский ученый Людвиг Гиршфельд, автор многочисленных
публикаций на эту тему. Некоторые из них предназначены для
широкого круга читателей и посвящены вопросам установления
отцовства. В них освещается биологическая подоплека задачи и
показывается на конкретных примерах связь между теорией
групп крови и юридической проблемой1. Сначала К. Ландштай-
нер открыл некоторые свойства человеческой крови, по которым
все люди делятся на группы, описываемые сегодня символами О,
А, В, АВ. Он же совместно с Левином позже обнаружил другие
свойства, ведущие к делению на группы М, N и MN. Во время по-
следней войны было открыто свойство Rh, явившееся основой но-
вой классификации. Три упомянутых здесь классификационных
признака являются взаимно статистически независимыми. При-
сутствие в крови элементов, обозначенных приведенными выше
символами, или их отсутствие можно объективно установить с
помощью соответствующих сывороток, вызывающих или не вы-
зывающих (после смешивания с кровью исследуемого человека)
явление агглютинации, в зависимости от того, какую группу кро-
ви имеет исследуемый и тот, от кого взята сыворотка. Более по-
дробную информацию об этих явлениях можно найти в упомяну-
тых работах Гиршфельда.
Уже первые исследования групп крови обнаружили, что
свойства крови являются наследуемыми. Дунгерн и Гиршфельд,
Ландштайнер с Левином, а также Ф. Бернштайн сформулировали
законы наследования групп крови, которые подтверждаются
огромным экспериментальным материалом. Количественно ме-
ханизм наследования групп крови строго подчиняется моделям
L. Hirszfeld. Dochodzenie ojcostwaw swietle nauki о grupach krwi. Вроцлав, 1948.

Об установлении отцовства
243
отбора классической теории вероятностей по схеме Менделя. Се-
рологическая экспертиза по существу основывается на законах
наследования групп крови, а в данной работе мы безоговорочно
примем как теоретические предпосылки эксперта-биолога, так и
его наблюдения.
3. Серологическое исключение отцовства. Применение на-
уки о группах крови к определению отцовства основано на зако-
нах наследования групп крови. Так, например, каждое из свойств
А, В, М, N, Rh+ имеет ту особенность, что не может присутство-
вать у ребенка, если его нет в крови ни у матери, ни у отца. Под
свойством мы здесь понимаем присутствие элемента, обозначен-
ного соответствующей буквой, которое можно обнаружить с по-
мощью необходимой сыворотки. Тогда мы говорим, что свойство
имеет тип Z. Если серологическое исследование показывает от-
сутствие какого-либо свойства С типа Z у матери ребенка D
и у ответчика Хи наличие этого же свойства у Д то тем самым до-
казывается факт hc-F(X), и тогда мы говорим, что с помощью
свойства С удалось исключить отцовство X. В экспертизе при
этом дается категорическая формулировка «X не является отцом
ребенка D». На практике ситуация становится очень сложной,
если, как это обычно бывает, кровь М, D и Jf исследуется сразу на
наличие нескольких свойств. Для ясности принципиального вы-
вода мы здесь опустим детали, относящиеся именно к таким слу-
чаям, содержащиеся в приведенной ниже (п. 9) таблице результа-
тов судебных экспертиз. Приглашая эксперта, суд предполагает,
что этот специалист располагает необходимыми сыворотками
и умеет профессионально пользоваться ими. Ввиду идентичности
факта He-F(X), категорически установленного экспертом, и юри-
дического факта He-F(JQ, который мы пояснили в п. 1, судебное
решение должно содержать определение He-F(JQ, и действитель-
но суды придерживаются такого принципа на практике, хотя за-
кон их к этому не принуждает. Может случиться, что исключить
отцовство с помощью свойства С не удастся, что включает два
случая: 1) Мимеет свойство С или D его не имеет—тогда предпо-
сылки, необходимые для исключения, отсутствуют, так что зара-
нее известно, что исследование X не исключает его отцовства;

244
Гуго Штейнгауз
2) Мне имеет С, D его имеет, вследствие чего исследование ^по-
зволяет надеяться на исключение, но при исследовании у него об-
наруживается С. При использовании свойства иного типа, нежели
Z, возникают ситуации, аналогичные как 1) так и 2), и тогда экс-
перт принимает к рассмотрению другие свойства, но каждый раз
может потерпеть неудачу, как в случаях 1) или 2). Исчерпав все
возможности своих лабораторных исследований, эксперт делает
заключение типа: «исследование не исключает отцовство ответ-
чика Х\ т. е. X может быть отцом ребенка Д но из серологиче-
ских исследований не вытекает, что он действительно является
отцом £>». Определение или исключение отцовства при такой
формулировке очевидно не является точным, и статистика также
показывает, что менее 10% экспертиз (около 9.1%) приводят
к исключению отцовства, а более 90% не высказываются катего-
рично ни за F(X)9 ни за ue-F(X). Можно полагать, что так и должно
быть, ибо иски в большинстве случаев, по-видимому, указывают
на действительного отца. Оставим пока в стороне статистику и
займемся другим вопросом: какую информацию дает судьям от-
рицательный результат экспертизы? Укрепляет ли неудавшееся
исключение отцовства мнение a contrario (обратное), о котором
говорит кодекс, или его необходимо заменить на вероятность, и
можно ли вероятность факта F(X) выразить количественно? От-
вет на этот вопрос — одна из задач данной работы.
4. Серологическое установление отцовства. Если в популя-
ции, состоящей из п индивидов, свойство С имеют т человек, то
отношение/= т/п называется частотой свойства С в данной по-
пуляции. Частота разных свойств крови достаточно точно извест-
на из записей гематологических институтов, а их оценка облегча-
ется тем обстоятельством, что эти свойства являются скрытыми и
независимыми от внешних признаков, так что почти каждый кол-
лектив, составленный из людей, отобранных в какой-либо стране
(например в Польше) по отличным от групп крови критериям,
представляет собой репрезентативную партию. В частности, та-
кой пробной партией является коллектив мужчин-ответчиков по
делу об установлении отцовства. Параметр/одновременно явля-
ется вероятностью обнаружения свойства С у индивида, наугад
выбранного из всей популяции.

Об установлении отцовства
245
Рассмотрим результаты экспертизы некоторого свойства С
типа Z, проявляющегося достаточно редко (например, с частотой
5%), т. е. при условии:
М не имеет С, D имеет С, (1)
X имеет С (/*=0.05). (2)
Очевидно, что признаки (1) и (2) не дают оснований для иск-
лючения отцовства X. Возникает вопрос: если у мужчины, фигу-
рирующего в иске, обнаруживается эта редкая группа крови, на-
личие которой у него необходимо, чтобы он мог быть отцом ре-
бенка D (имеющего эту группу, хотя мать ее не имеет), то
подкрепляет ли это предположение, что F(X) является истиной?
На этот вопрос неопытный эксперт будет склонен ответить:
«В связи с (1) и (2) вероятность F(X) равна 95%», что является
очевидной ошибкой, так как если в Польше сейчас около 7 милли-
онов взрослых мужчин, то из них 350 000 имеют группу крови С
(5% от 7 000 000—это 350 000). Формально (с точки зрения науки
о группах крови) каждый из них в равной степени может быть от-
цом ребенка D от матери М— вероятность, что им является имен-
но ответчик Jf, ничтожно мала (равна 1/350 000). До исследования
M,Du ^вероятность факта F(X) была равна 1/7 000 000 (в 20 раз
меньше, чем до результатов (1) и (2) серологической экспертизы),
но и эта величина была и будет столь малой, что судья вообще не
должен принимать это во внимание.
Неопытный эксперт скажет: «Отцом ребенка D может быть
только кто-то, кто имеет группу крови С. Это редкая группа, ее
имеет лишь каждый двадцатый человек, a Jf именно ее и имеет».
Само по себе это верно, но, к сожалению, не отвечает на вопрос
судьи: «Какова вероятность, что имеет место факт F(X)?». У не
знакомого с теорией вероятностей человека может сложиться
мнение, что высказывание эксперта — всего лишь изложенное
другим языком суждение «вероятность F(X) равна 95%», которое
мы осудим как ошибочное.
Наше рассуждение, безусловно, не понравится практику, по-
скольку противоречит его представлению, что обнаружение
группы С у X, именно у ответчика Х9 является обстоятельством,
которое нельзя отбросить, особенно потому, что группа С редкая.

246
Гуго Штейнгауз
Это не доказательство, а всего лишь совет (indicium, как говорят
юристы), но практик имеет свои соображения. Наше вычисление
основано на вымышленном предположении, что Xвыбран наугад
из всех взрослых мужчин в Польше, и тогда, действительно, до
экспертизы вероятность F(X) будет равна 1/7 000 000, а с учетом
результатов (1) и (2) составит 1/350 000. Эти вычисления, однако,
совершенно не учитывают того, что X является ответчиком по
иску и что уже до экспертизы существовало предположение
о возможности его отцовства, так что вероятность факта F(X) уже
к моменту приглашения эксперта была довольно высока. Весьма
интересно, что так называемую вероятность a priori можно вы-
числить совершенно точно, но почему-то данное обстоятельство
никогда до сих пор не учитывалось. Проведем эти вычисления,
воспользовавшись материалом 1515 судебных экспертиз, собран-
ных профессором Гиршфельдом.
5. Вероятность a priori факта F(X). Предположим, что для
некоторой группы С типа Z, частота которой в популяции равна/,
выполняется условие (1), и только теХ, которые удовлетворяют
условию (2), принимаются во внимание как возможные отцы ре-
бенка D матери М.
Предположим, что именно такая ситуация встретилась п раз
в судебных разбирательствах с привлечением экспертизы. Сколь-
ко исключений отцовства можно ожидать среди этих п случаев?
Пусть р — полная, без исключений доля тех предполагаемых от-
цов Jf, которые действительно являются отцами. Оставшаяся доля
(1 -р) относится к предполагаемым отцам, которые на самом деле
не являются отцами, и может рассматриваться как пробная пар-
тия численностью (1 -р)п9 выбранная наугад из всей популяции,
так как между их группами крови и группами предъявляющей иск
пары MD нет никакой связи. Вероятность, что X, принадлежащий
к такой популяции, в результате исследований на группу С будет
исключен, равна 1 -/, а поскольку численность пробной партии
равна (1 -р)п, то ожидаемое количество исключений отцовства
среди этих п дел равно п(\ -/) (1 -/?). Материал 1515 дел состоит
из 15 классов, и в каждом из них результат исследованияMuD
определяет нам множество возможных отцов и его частоту/ в по-

Об установлении отцовства
247
пуляции; численность щ каждой группы также известна. Ожидае-
мое число исключений в i'-й группе равно и,(1 -/•)( 1 ~Рд>а ожида-
емое число исключений во всех 1515 делах равно
5>о-/)(1 -р)=(1 -/о!>(1-/). (3)
Число рассматриваемых дел достаточно велико (1515),
вследствие чего, согласно закону больших чисел, отношение (3)
к истинному числу g удавшихся исключений, в связи с большим
количеством дел (1515) близко к единице, что дает приближенное
равенство
(1-^2 д,(1-/)=г,
из которого мы сразу находим р:
/,=1-__£__. (4)
В правой части (4) фигурируют числа, известные эксперту из
статистики, поэтому данное выражение позволяет определить ис-
комое значение р или долю предполагаемых отцов Х9 которые
действительно являются отцами. Разумеется, р одновременно яв-
ляется вероятностью a priori факта F(X)9 относящегося к како-
му-либо ответчику X, по делу которого было доказано Е(Х) и на-
значена экспертиза. Эту вероятность a priori следует отличать от
вероятности a posteriori (т. е. от вероятности факта F(X) после эк-
спертизы), к определению которой мы приступим чуть ниже.
Значение р, вычисленное по формуле (4) для 1515 судебных
экспертиз на основании материалов, полученных мною из отделе-
ния микробиологии медицинской академии во Вроцлаве, состав-
ляет 71.3%] со средней ошибкой около 2%. Это значение было из-
вестно проф. Гиршфельду, который назвал его мерой правдиво-
сти женщин. В его вычислениях этот параметр возник как
2.VIII. 1952 г. дописано:
В тексте, представленном 15 марта 1952 г., фигурировало значение 71.1%,
основанное на предварительных вычислениях. Перед отправкой статьи в пе-
чать вычисления были пересмотрены, а материал дополнен новыми эксперти-
зами, что дало для/? значение 71.3%. Видно, что разница в несколько сотен экс-
пертиз не оказывает существенного влияния на результат.

248
Гуго Штейнгауз
побочный продукт и никогда до сих пор не определялся точно и
не использовался при установлении отцовства.
6. Вероятность a posteriori факта F(X). Знание величины р,
которое для каждой популяции можно получить из материалов
судебных экспертиз с помощью формулы (4), позволяет правиль-
но решить труднейшую задачу об установлении отцовства (суще-
ствовавшие подходы мы подвергли критике в п. 4). Как было от-
мечено в конце п. 3, серологические экспертизы в 9 случаях из 10
допускают оба факта, F(X) и He-F(A), либо вообще не определяя
вероятности факта F(X), либо определяя ее неподходящим обра-
зом. Благодаря знанию р мы можем извлечь из арсенала классиче-
ской теории вероятностей заржавевшее оружие, называемое пра-
вилом Байеса, и по результатам экспертизы определить вероят-
ность Р факта F{X).
Правило Байеса говорит, как найти вероятность a posteriori Р
по вероятностям a priori и так называемым условным вероятно-
стям. Покажем это на примере группы С типа Z в ситуации (1) из
п. 4, приводя в скобках конкретные значения.
Прежде всего, выпишем последовательно все используемые
вероятности: вероятность a priori факта F{X) равна р (= 71.3%);
вероятность a priori факта ne-F(X) равна 1 -р = g (= 28.7%); услов-
ная вероятность того, что если F(X), то X имеет группу С, равна г
(= 100%); условная вероятность того, что если ue-F(X)9 то Jf имеет
группу С, равна/(= 5%); вероятность того, что при выполнении
условий (1) и (2) справедливо F(X), равна Р, где
pr+gf
или
Р= f—: (=98%). (5)
Формулу (5) можно использовать в общем случае; например,
в нее сразу можно подставить вместор значение 0.713, что имело
место в Польше в 1952 г. Также для каждой группы С типа Z изве-
стна ее частота/, и остается подставить это значение в правую
часть формулы (5).

Об установлении отцовства
249
7. Значение и использование формул (4) и (5). Судья, при-
нявший иск с требованием признания отцовства F(X) и получив-
ший от Jf ответ «He-F(A)>>, обязан придать обоим фактам одинако-
вую вероятность, т. е. по 50% факту F(X) и факту He-F(X). Такое
поведение суда диктуется постулатом беспристрастности, кото-
рый мы в данный момент не будем принимать во внимание. Если
же сторона, выдвигающая иск, выполняет условие, которое в со-
ответствии с § 2 Статьи 47 Польского семейного кодекса от
27.VI.1950 г. создает предположение F(X)9 а ответчик настаивает
на факте ue-F(X), то становится актуальной серологическая экс-
пертиза. На этот момент (т. е. на момент приглашения эксперта,
но до проведения экспертизы) чаша весов склоняется в сторону
истицы, показывая на шкале вероятности значение р, которое
(как мы знаем из п. 5) в Польше равно 71.3%. Иными словами, та-
кова к этому моменту вероятность факта F(X)9 т. е. по формуле (4)
мы можем вычислить среднее значение того, что кодекс называет
предположением, используя термин, который на юридическом
языке является аналогом вероятности. Таким образом, доказа-
тельство факта Е(Х) увеличивает вероятность F(X) с 50% до
71.3%. Если при серологической экспертизе у ребенка будет об-
наружена группа С типа Z, но ее не окажется у матери и у ответчи-
ка X, то отцовство X будет исключено и вероятность факта F(X)
станет равной нулю (образно говоря, стрелка весов покажет на 0).
Однако если у D будет обнаружена группа С, у Мее не окажется, а
серологическая экспертиза обнаружит ее также у ответчика X, и
если С является единственной группой, учитываемой при экспер-
тизе, то должна использоваться формула (5), которая дает вероят-
ность Р фактаF(X). Если, например, частота/группы С равна 5%,
то Р = 98% и стрелка весов сместится почти до 100%. Заметим,
кстати, что если Ми D имеют группу С, то ее наличие у Jf смещает
стрелку сразу с 71.3% в сторону, благоприятную для истца, а об-
ратный факт—в противоположную сторону, но мы не будем опи-
сывать способы вычисления вероятности, а ограничимся лишь
характерными примерами.
У каждого юриста, а особенно у юриста-практика, в этом пун-
кте рассмотрения могут возникнуть разные сомнения, которые
мы по очереди рассмотрим.

250
Гуго Штейнгауз
1) Можно ли достаточно высокую (например, даже 99-про-
центную) вероятность считать основанием для признания факта
F{X)1 Не должно ли оно уступить непредвзятой оценке судьи, ко-
торый, непосредственно вникнув в суть дела, в поведение сторон
и свидетелей и в важность иных доводов (отличных от результа-
тов серологической экспертизы), благодаря своему опыту и зна-
нию мира и людей пришел к выводу, что имеет место факт
не-ад?
На этот вопрос я отвечу так: вычисленное значение Р вовсе не
заставляет судью ни на основании гражданского кодекса, ни по
результатам исследований принимать решение F(X). Оно дает
только количественную оценку некоторых фактов, с которыми
судья не будет считаться, если ему известны другие, очевидно
свидетельствующие об ином, но должен считаться с вычисления-
ми в тех случаях, когда дело представляется ему неясным. Напом-
ним, что для назначения экспертизы суд должен был иметь ка-
кие-то основания. Правда, наш оппонент может сослаться на то,
что суд ожидает категорической экспертизы (т. е. исключающей,
а не вероятностной), но ведь в повседневной практике он прини-
мает некатегорические доводы, примером чего являются показа-
ния свидетелей.
2) Даже если принять высокое значение Р как достаточное
основание для решения F(X), можно ли обременять ответчика
экономическими и иными последствиями такого решения? Не
должна ли хотя бы малая вероятность факта ue-F(X) удержать су-
дью от вынесения решения F{X)1 Нет! Если судье недостаточно
99% уверенности для отягощения ответчика затратами на воспи-
тание ребенка, то он должен будет удовлетвориться одним про-
центом уверенности и переложить эти затраты на мать или третье
лицо (tertium поп datur, третьего не дано), поскольку формули-
ровка решения должна содержать только F(X) или ue-F(X)9 и су-
дья не может уклониться от решения.
3) Соответствует ли установление отцовства в смысле объек-
тивной истины, полученной в результате серологической экспер-
тизы, истине в юридическом смысле? Ведь судья принимает за
правду те факты, по которым у сторон нет расхождения в мнени-
ях, совершенно не вдаваясь в их объективную истинность.

Об установлении отцовства
251
Мне кажется, что этот упрек основан на смешении требова-
ний сторон (которые судья обязан признать справедливыми, если
они не являются противоречивыми и не затрагивают интересов
третьих лиц) с такими требованиями, как иск о признании отцов-
ства. Даже тогда, когда ответчик не возражает, судья не может
дать заключение вопреки своему убеждению, что факт F{X) явля-
ется объективно ложным, поскольку признание F(X) влечет за со-
бой последствия для третьих лиц (например, оно исключает воз-
можность брака между сыном D матери Ми дочерью ответчикаX
и другой матери М). Но даже тогда, когда судья не разделяет этот
взгляд автора, можно идентифицировать оба представления об
отцовстве в выводах этого исследования — из таких дел получе-
ны статистические данные и к ним мы хотим применить результа-
ты наших исследований. Ясно, что при согласии сторон дело не
доходит до экспертизы, и этот редкий случай не повлияет на ста-
тистику и без учета наших советов в конце п. 1.
4) Не совершаем ли мы принципиальной ошибки, применяя к
конкретному делу заключения, извлеченные из всей массы судеб-
ных разбирательств? Не является ли это принуждением судов к
исправлению статистики: «до сих пор мы обязали выплачивать
алименты слишком мало людей — так что в ближайшем квартале
мы должны обязать к этому всех ответчиков!».
Мы не совершаем такой ошибки, поскольку наша статисти-
ка охватывает не все судебные решения, а только сами эксперти-
зы, и из них выводит инструкцию для экспертов, имеющую вид
формулы (5). Судья получает правильное значение Р, а исполь-
зование этой величины относится к его профессиональной дея-
тельности.
5) Можно ли считать значение/7, определяемое формулой (4),
раз и навсегда установленной константой? Не изменяется ли оно с
течением времени?
Параметр р характеризует общество в целом, и при измене-
нии экономических и бытовых условий он подвержен измене-
нию, но это изменение является медленным, так что нам доста-
точно получить значение р на год проведения переписи населе-
ния.

252
Гуго Штейнгауз
8. Объективность судебных определений и исключений
отцовства. Займемся теперь иной стороной проблемы. Знание
величины р дает объективную информацию о том, сколько сре-
ди ответчиков действительных отцов. Значение р получено на
основании статистических данных относительно групп крови
у М, D и X, участвовавших в 1515 судебных разбирательствах,
и статистических данных по тем же группам крови во всей попу-
ляции, без учета других данных, в частности без учета судебных
решений по этим делам. В связи с этим мы попытаемся получить
новую информацию, вытекающую из предшествующих резуль-
татов, когда доберемся до судебных папок с документами и вы-
числим долю р' решений F(X) среди всех приговоров по тем са-
мым 1515 делам.
Разность р -р' может оказаться значительной или незначите-
льной, мерой чего является средняя ошибка этой разности, кото-
рую легко вычислить. Мы будем считать ее значительной, если
она в несколько раз превышает эту ошибку. Значительная поло-
жительная разность будет доказательством предпочтительного
вынесения решений в пользу ответчика, а значительная отрица-
тельная разность — доказательством вынесения решений в поль-
зу истцов. Незначительность разности устраняет как упрек в сис-
тематическом покровительстве ответчиков, так и упрек в обрат-
ном поведении, но она еще не является доказательством
справедливости решений или их соответствия объективной исти-
не. Но и этот вопрос доступен математическому исследованию.
Собранная проф. Гиршфельдом статистика по 1515 делам поделе-
на на 15 классов, где каждому классу соответствует отличное от
других множество возможных отцов (см. п. 5). Мы можем вычис-
лить «математическое ожидание числа отцов» отдельно для каж-
дого класса и сравнить его с числом признаний факта F(X), отно-
сящихся к тому же классу. Так, например, в классе № 2, куда отно-
сятся 128 дел1, в которых М имеет группу крови MN, a D имеет
группы MN и О, множество возможных отцов образовано имею-
Ниже в следующих строках внесены изменения в соответствии с исправлени-
ем, помещенным в 4 отдельном выпуске 1-го тома Zastosowania Matematyki
(1954), с. 354. —Прим. ред. польского издания.

Об установлении отцовства
253
щими группы О, А и В. Частота этого множества/г = 0.91, и в этом
классе мы имеем 5 исключений отцовства. В оставшихся 123 слу-
чаях вероятность Р факта F(X) в соответствии с формулой (5) рав-
на 0.732, а ожидаемое число действительных отцов 0.732-123 =
90. Таким способом мы вычисляем ожидаемое число отцов в каж-
дом классе, а затем сравниваем его с помощью критерия хи-квад-
рат с числом решений, признающих факт F(X). Этот тест опреде-
ляет, достоверна ли и в какой степени гипотеза о том, что в ука-
занных 1515 случаях судебные решения по делу об отцовстве
соответствуют объективной истине.
Хотелось бы обратить внимание читателя на это совершенно
новое применение науки о группах крови, которое является од-
ним из главных итогов данной работы: объективное исследова-
ние справедливости судебных решений.
Поскольку Фемида до сих пор не прибегала к практике серо-
логических исследований, мы обязаны посвятить этому вопросу
еще несколько слов, а также прокомментировать и некоторые
другие вопросы нашей работы.
9. Дополнения и заключение, а) Было бы ошибкой думать,
будто описанное в п. 8 исследование справедливости судебных
решений основывалось на подтверждении в каждом отдельном
случае соответствия между формулировкой решения и результа-
тами экспертизы, так как такого соответствия вообще не требует-
ся. Более того, наш метод не исключает возможности того, что
множество решений судьи, который часто устанавливает факт
F(X) для малого Р и обратный (hq-F(X)) для большого Р, соответ-
ствует сдаче экзамена на отлично. Подобный результат будет до-
казательством того, что опыт и интуиция судьи существенным
образом исправляют данные экспертизы, но ситуация допускает
и прямо противоположную возможность. Теоретически можно
определить (используя параметр р и частоты групп крови в попу-
ляции) предельное значение G так, чтобы доля экспертиз, в кото-
рых P>G, была равна р. Тогда можно было бы представить себе
мыслящий автомат, который в каждом деле, где экспертиза дала
Р > G, оглашал решение F(X) (и соответственно решал hq-F(X)

254
Гуго Штейнгауз
в остальных делах). Сравнительно легко, с помощью критерия
хи-квадрат, можно численно выразить несправедливость этого
автомата и сравнить ее с аналогичным образом полученной не-
справедливостью действительных судебных решений. В принци-
пе, нельзя заранее отрицать возможность того, что автомат ока-
жется лучше живого судьи, что означало бы, что различные пре-
дубеждения и мыслительные привычки судей (статистически)
часто не позволяют им правильно оценить фактическое положе-
ние, и лишь экспертиза дает позитивную информацию. В данный
момент мы далеки от таких выводов, но они вполне реальны, если
анкета, разосланная в суды отделением микробиологии Меди-
цинской академии во Вроцлаве, позволит нам получить тексты
судебных решений1.
б) Ниже в таблице приводятся данные из 1515 послевоенных
судебных дел по материалам отделения микробиологии Меди-
цинской академии во Вроцлаве. Дела разделены на упомянутые
15 классов с разными частотами/- возможного отцовста. Помимо
эффективных исключений отцовства Ni (их сумма составляет
полное число исключений g), в столбце V можно найти необходи-
мые для определения р произведения и,(1 -fi), а в столбце VI —
ожидаемое число исключений N =л,-(1 -//)(1- р). Разности чи-
сел в столбцах IV и VI, возведенные в квадрат и деленные на чис-
ла в столбце VI, приведены в столбце VII, а их сумма %2 равна
19.73.
Критерий %2 дает вероятность 0.10 случайного превышения
найденного значения %2 (что, кстати, соответствует достаточно
большой вероятности), поэтому все вычисления можно было счи-
тать подтверждением гипотезы, что доля действительных отцов
равна р и не зависит от гематологического класса, а следователь-
но, является характеристическим параметром популяции подсуд-
ных мужчин X. Этот вывод можно считать комментарием к за-
ключительной части п. 5.
Дописано 3.XI.1953 г.: Результаты этой анкеты являются предметом работы
Ю. Лукашевича (в процессе подготовки). [От редакции польского издания: эта
работа была опубликована в 1956 г. в Zastosowania Matematyki, т. 2, вып. 4,
с. 349-378].

Об установлении отцовства
255
Таблица
Данные 1515 послевоенных экспертиз из материалов
Отделения микробиологии Медицинской академии во Вроцлаве
I
№
класса
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Всего
II
Частота
невоз-
можных
отцов
1-fi
0
0.09
0.16
0.23
0.33
0.36
0.42
0.44
0.53
0.57
0.61
0.70
0.72
0.79
0.82
III
Число
экс-
пертиз
П;
173
128
286
197
195
8
148
13
62
7
79
62
32
73
52
1515
IV
Число
исклю-
чений
N,
5
17
17
11
12
4
11
1
15
10
12
11
14
140
V
И|(1 -ft)
11.5
45.9
45.3
64.4
2.9
62.2
5.7
32.9
4.0
48.2
43.4
23.0
55.5
42.6
487.4
VI
Ожидаемое
число
исключений
N = n,(l-f,)
V-P)
3.3
13.1
13.0
18.5
0.8
17.9
1.6
9.4
1.1
13.8
12.5
6.6
15.9
12.2
139.7
VII
N
0.88
1.16
1.23
3.04
0.80
1.94
3.60
0.27
0.01
0.10
0.50
4.42
1.51
0.27
19.73
У N, МО
1-р== ^ =-11^- = 0.287; п = 0.713.
2>,(1-//) 487.4
Число степеней свободы 15 - 2 = 13. Р13 (%2 > 19.7) = 0.10.
в) Сделанные в п. б) выводы представляют интерес и для
иных коллективов, в отношении которых описанная выше табли-
ца может рассматриваться как статистическое исследование
пробной партии, например, для каждого множества послевоен-
ных дел о взыскании алиментов, в которых применялась сероло-
гическая экспертиза. Мы ограничились лишь статистикой по-
следних лет в Польше, но теория важна и для других стран (ко-

256
Гуго Штейнгауз
нечно, для каждой страны и для каждого периода времени
параметр;? надо определять отдельно). Гиршфельд заметил, что,
например, в Копенгагене р значительно меньше, чем в Польше, и
равно довоенному значению в районе вольного города Гданьска.
г) Для практической работы экспертов важно, что каждая эк-
спертиза должна содержать значение Р, или вероятность факта
F(X). В случае исключения Р = 0, и этот результат всегда бывает
explicite (ясно) подтвержден в экспертизе как категорическое
исключение отцовства ответчика. Хуже, если исключение не
удается. В п. 4 мы обратили внимание на ошибочную или неу-
довлетворительную формулировку результата экспертизы в
этих частых случаях, поскольку они охватывают 90% всех дел. В
п. 6 мы привели способ определения Р с помощью формулы (5),
но только для группы крови С типа Z и условий (1) и (2). Напом-
ним, однако, что Р можно вычислить во всех возможных случа-
ях, даже тогда, когда иМиО имеют группу С, ибо наличие груп-
пы С у ^повышает вероятность Р по сравнению с/?, а ее отсутст-
вие — понижает Р относительно р. Результат исследования D и
X также позволяет определить Р даже в том случае, когда, напри-
мер, Муже умерла. В этой работе мы не приводим формул, необ-
ходимых для охвата всех ситуаций, поскольку они еще не изве-
стны специалистам-серологам, и нашей обязанностью является
опубликовать их в ближайшем будущем. Можно подчеркнуть,
что эксперты все внимание сосредоточили на проблеме исклю-
чения отцовства, тем самым отодвинув вопрос об установлении
отцовства на второй план и сделав неактуальным вычисление Р.
Подобная ориентация привела к признанию понятия о группах
крови, на основании чего можно определить вероятность исклю-
чения отцовства у наугад выбранного мужчины. По моему мне-
нию, наиболее существенным является понятие коэффициента
полезности комплекса групп крови, и я предлагаю именно так
называть ожидаемую долю t правильных судебных решений,
когда для Р > G признается факт F(X), а для Р < G — факт
hq-F(X), причем G подбирается так, чтобы / было максималь-
ным.
д) Можно предугадать скептическое отношение мира юрис-
тов ко всей этой проблеме. Даже если бы оказалось, что машина

Об установлении отцовства
257
сможет решать дела справедливее живых судей, для практики это
ничего не значило бы, поскольку каждый судья самого себя мо-
жет считать непогрешимым, а всех остальных — ответственными
за компрометирующую статистику. Но у законодателей может
возникнуть и иная точка зрения, поэтому, если окажется, что из-
менение законов и процедур приведет к увеличению числа спра-
ведливых решений, то это станет ценным указанием для законо-
дателей данной страны, а также и других стран.
е) В конце укажем на источник ошибки, о которой говорилось
в п. 4. Из логики известно, что суждения «Если Л, то S» и «Если
не-£, то не-i?» являются эквивалентными. Из этого следует и ра-
венство вероятностей суждений «Если R, то S» и «Если не-£, то
не-i?». Однако при этом возникает ложное представление, что
суждение «Если Л, то с вероятностью 5% имеет место не-£» также
эквивалентно суждению «Если не-£, то с вероятностью 5% имеет
место не-i?». Такая формулировка неверна и она ответственна за
грубые ошибки в определении Р. Предоставляем читателям само-
стоятельно объяснить этот парадокс, возникающий, впрочем, при
всех судебных доказательствах ex indicins.
Выражаю благодарность профессору Гиршфельду за терпе-
ливое объяснение мне основ науки о группах крови и за предо-
ставление мне своих работ до их публикации, профессору Гвяздо-
морскому — за объяснение мне юридических основ расследова-
ния дел об отцовстве и моему товарищу по работе в
Объединенной группе применений Польского математического
института, магистру Ю. Лукашевичу — за помощь при обработке
статистического материала и при редактировании текста1. Выра-
жаю также признательность Отделению общественных наук
Вроцлавского научного общества за согласие предоставить ему
работы автора из другого отделения.
Математический институт ПАН
{Работа поступила 22.9.1952 г.)
Эта работа потребовала критического обзора 2000 экспертиз.

Взаимодействие наук
на примере роли математики
во вроцлавской научной среде1
В книге, посвященной участию Вроцлава в восстановлении
польской науки в Нижней Силезии, изданной Вроцлавским
научным обществом и написанной председателем этого обще-
ства Станиславом Кульчинским, целый раздел посвящен дости-
жениям вроцлавской математики. Это освобождает меня от обя-
занностей хроникера, состоящих в регистрации тем, званий, ре-
зультатов и фамилий, но одновременно возлагает на меня
другую задачу, превышающую мои возможности. А именно, я
должен написать о той особенной части вроцлавского коллекти-
ва ученых, которая символизирует собой сотрудничество раз-
ных наук. Поэтому, возможно, сперва следовало бы попытаться
набросать основы учебника коллективной работы, по которому
можно было бы понять, каковы цели и средства этого сотрудни-
чества, как организуются и претворяются в жизнь объединенные
исследования, как выбираются люди и проблемы, как планиру-
ются, контролируются и (что, конечно, является наихудшим!)
протоколируются исследования. Я боюсь, что при этом обнару-
жилось бы мое незнание действующей терминологии, и я могу
спутать коллективность с комплексностью или загадочные
проблемы с проблемными задачами.
1 Статья Wspolpraca паик naptzykladzie roli matematyki w srodowisku wrociawskim
основана на тексте лекции, прочитанной 21 мая 1955 г. на научной сессии Уни-
верситета им. Б. Берута, организованной Вроцлавским научным обществом во
время «Дней десятилетия».

Взаимодействие наук на примере роли математики... 259
Эверс однажды написал сказочку об удивительных насеко-
мых — сороконожках, в которой кто-то из злобных завистников
спросил сороконожку: «Как ты ходишь, сороконогое божество?
Как ты запоминаешь, насколько 17-я левая нога опережает 19-ю
правую, и что делает 47-я правая, когда отдыхают 12-я и 40-я ле-
вые?». Сороконожка задумалась, оцепенела и замерла. Она боль-
ше не могла сделать ни шагу, поскольку с ужасом осознала, что
вообще не знает, как она ходит! Поэтому я не собираюсь писать
учебник ходьбы для сороконожек и оставляю эту привлекатель-
ную, но трудную тему специалистам по управлению всяким дви-
жением (в том числе и движением науки) и позволю себе укло-
ниться в пространстве и во времени от названия этой статьи.
Желая понять роль математики среди всех наук, нельзя огра-
ничиваться только одним центром и одним decennium (десяти-
летием). Сущность нашей науки остается непознанной, и мало
кто сможет сказать, на чем она основана. Даже среди самих мате-
матиков лишь немногие отдают себе в этом отчет, поскольку
рыба, погруженная в воду, знает о ней меньше, чем человек, кото-
рый видит реку не только тогда, когда плывет по ней или стоит на
берегу. Математика скорее всего является универсальным мето-
дом и в своем роде единственным. Это не единственная дорога к
творчеству, поскольку ремесло, искусство пластики и речи, а так-
же музыка идут своими собственными путями. Хотя мы и гордим-
ся этим городом и этим десятилетием, мы хорошо знаем, что ма-
тематика придумана не в Польше, а о ее практических примене-
ниях не было и речи вплоть до окончания Второй мировой войны.
Чем мы можем похвалиться? Если кем-то и следует восхищаться,
то именно теми настоящими революционерами, которые в 1794 г.
основали в Париже Политехническую школу, которая до сих пор
является высшим военным учебным заведением с упором на тео-
ретическое образование, главным образом по математике. Изве-
стный немецкий геометр Феликс Клейн (мой геттингенский про-
фессор) в своих очерках по истории математики XIX века целому
разделу дал заглавие Ecole Poly technique. Задача этой школы за-
ключалась в подготовке офицерских кадров для революционной
армии; когда революция окончилась, школа поставляла офицеров
армии Наполеона. С самого начала она превратилась в блестящий

260
Гуго Штейнгауз
математический центр, и употребляемое в Польше название «по-
литехника» применительно к высшим инженерным учебным за-
ведениям является красноречивым свидетельством влияния
французского примера. Почти все европейские государства вос-
приняли французскую традицию, так как еще и сегодня она про-
является в воинских званиях и названиях военных подразделений
и видов оружия. В этой школе позже учился наполеоновский офи-
цер Понссле, основоположник проективной геометрии, а ее про-
фессором являлся великий Монж, который нацеливал политехни-
ческое обучение прежде всего на геометрию. Если до недавних
пор в наших политехнических учебных заведениях преувеличен-
ный упор делался на начертательную геометрию, то это и было
чаще всего несознанной данью Монжу и Понселе. Последний по
возвращении из плена стал специалистом по фортификации, бла-
годаря чему начертательная геометрия получила статус военной
тайны. Монж некоторое время являлся военно-морским минист-
ром, участвовал в походе на Египет и организовал крупномасш-
табное производство пороха. Феликс Клейн, грустно при этом
вздыхая, говорил: «Когда во Франции была эпоха математиков и
инженеров, у нас (т. е. в Германии перед Первой мировой войной)
было время юристов». Математика тогда служила военным це-
лям. Раньше она использовалась в навигации, позднее (в век пара
и механики) — при создании машин, так что ее современные при-
менения не должны нас удивлять. Ведь французский культ мате-
матики (вместе с французским рационализмом) пришел в Польшу
в век Просвещения, что отчетливо прослеживается у Мицкевича,
бывшего студента физико-математического факультета в Виль-
но. В эпоху варшавского позитивизма Прус в своих повестях и
рассказах воздает почести этой науке, и даже Сенкевич иногда
выглядит огарком этой свечи. В качестве одного из литературных
персонажей (Селим Мирза) он представил друга своей юности,
Абданка Абакановича, ставшего цюрихским инженером и изоб-
ретателем интеграфа. Для обоих писателей инженер и матема-
тик — это почти синонимы, но Прусу импонирует непогреши-
мость математики, а Сенкевича привлекает ее трезвость. XIX век
упрочил позиции математики в умах просвещенного общества.
Математика получила титул королевы наук в то время, когда еще

Взаимодействие наук на примере роли математики... 261
действительно правили короли, а позже, подобно им, она сохра-
нила только корону и титул, т. е. место и роль математики были
несомненны и ясны, но достаточно ограниченны. Английский ло-
гик Джон Стюарт Милл сто лет назад назвал ее «мельницей, кото-
рая перемелет все, что в нее заложат, но сама по себе ничего дать
не может». Для Милла математика была готовым и замкнутым
corpus doctrinae (учением), как и сегодня для большинства обра-
зованных людей. Он знал только ту математику, которую в раз-
ных учебных заведениях должны были изучать будущие строите-
ли машин, дорог и мостов, и которую позже французы системати-
зировали в своих прекрасных курсах математического анализа,
почти полностью этим инженерам ненужных. Мог ли Милл пред-
видеть, что именно тогда его современник Георг Бернгард Риман
напишет научную работу об основных гипотезах геометрии, и что
еще через сто лет, в 1954 году никто даже не вспомнит плоской
фразы Милла? Все будут вспоминать лишь труды Римана, в кото-
рых пустили ростки те мысли, которые через 50 лет расцвели в те-
ории относительности. В эти годы основной проблемой физики
было объяснение отрицательного результата эксперимента Май-
кельсона2. Альберт Эйнштейн вместо объяснения создал из него
постулат и подверг понятия времени и пространства невиданной
ранее и радикальной ревизии. Поэтому, обосновывая присужде-
ние Эйнштейну премии имени Бойяи, учрежденной для крупней-
ших математиков, лауреат этой премии Гильберт написал, что
премия является признанием высокого полета математического
духа, возвышающего дело Эйнштейна. Последствия этого дела
преобразили физику и привели к открытиям, с которыми челове-
чество связывает сегодня наибольшие надежды и самые страш-
ные опасения. Математика специальной теории относительно-
сти была элементарной, а ее физическая интерпретация чрезвы-
чайно трудной, поскольку противоречила представлениям,
сложившимся в нашем сознании в течение тысячелетий. Мин-
ковский считал Эйнштейна физиком и позволил себе снисходи-
тельно отнестись к его математике, и подобное мнение просле-
1 Этот эксперимент, если бы он был проведен во времена Коперника, задержал
бы решение вопроса о движении Земли еще на пару сотен лет.

262
Гуго Штейнгауз
живается у самого Гильберта, когда он говорит о математиче-
ском духе, а не о самом Эйнштейне как математике. Такое
раздвоение характерно для переплетения двух наук в одной лич-
ности, что прекрасно понимал Гильберт, гений которого соот-
ветствовал гению лауреата.
На этот раз из мельницы высыпалось нечто, что никто в нее
не засыпал и чего никто даже не мог себе вообразить в качестве
продукта размола. Вдохновило ли Эйнштейна чтение работ Ри-
мана или он руководствовался какими-то иными идеями? Пре-
мия носит имя Бойяи... Кем был Бойяи? Он был профессиональ-
ным офицером, одним из лучших выпускников военной акаде-
мии в Вене и создателем неевклидовой геометрии — это одна из
нитей, ведущая к Эйнштейну. Несомненно, Гильберт, который
был автором известных Gmndlagen der Geometrie (Основ гео-
метрии), хорошо знал, что творение Эйнштейна является про-
должением работ Бойяи и Лобачевского. А имя другого члена
жюри, Анри Пуанкаре, напоминает нам философские трудно-
сти, которые надо было преодолеть, создавая единую теорию
времени и пространства. Кем был Пуанкаре? Однажды я задал
этот вопрос известному чистому математику Э. Ландау, испы-
тывавшему отвращение к практическим применениям матема-
тики, который мне на это ответил просто: «Я никогда не слышал
о таком математике! Это ведь физик!». Нарочитое недоумение
или преднамеренное святотатство означало, что Пуанкаре не за-
ботился о математической строгости, но он был великим уни-
версалом. И дело не сводится к тому, что Пуанкаре в 1913 году
был приглашен в Вену, где прочитал прекрасную лекцию о зна-
чении гуманитарных наук для наук точных. Неважно, что, заняв
после смерти комедиографа Викторьена Сарду его кресло во
Французской Академии, он сумел высказать eloge (похвалу)
своему предшественнику в такой блестящей речи, которой не
постыдился бы ни один из 40 бессмертных (как принято назы-
вать французских академиков). Пуанкаре был универсалом
именно потому, что он не задумывался о границах наук. Он был
математиком в самом высоком значении этого слова, в особен-
ности тогда, когда использовал топологию для решения пробле-
мы замкнутых траекторий в механике небесных тел. Его пример

Взаимодействие наук на примере роли математики... 263
показывает, что запахивание межей даже внутри одной и той же
науки может иметь существенное значение и придать отдельно-
му исследователю силу коллектива.
Несомненно, Эйнштейн знал методологические работы не
только Пуанкаре, но и его предшественника, Эрнста Маха. Этот
австрийский физик и философ начал свою карьеру на кафедре ма-
тематики в Граце, но не совершил ничего заметного в этой науке.
Зато он занимался методологией точных наук и создал направле-
ние, из которого полвека спустя выросла философская школа под
названием «Wiener Kreis». Характерным примером идей этого на-
правления может служить работа Маха Analyse der Empfindungen
(Анализ ощущений).
Я настолько далеко отошел от темы доклада, что должен объ-
яснить, почему вспомнил Маха. Знаменитый Эль Греко изобра-
жал человеческие фигуры, выглядевшие неестественно стройны-
ми. Некоторые историки искусства говорят, что он рисовал так,
как видел; другие упрекают его в маньеризме и отсутствии худо-
жественной искренности. Никогда никому не пришло в голову
спросить математиков о том, был ли действительно Эль Греко ма-
ньеристом, но каждый математик (даже никогда не читавший
Analyse der Empfindungen) рассмеется, когда ему скажут, что этот
критянин изображал людей стройными, потому что они так вы-
глядели в его глазах. Математик рассуждает следующим образом:
если бы Эль Греко видел квадрат как прямоугольник, то он нари-
совал бы его в виде квадрата, поскольку тогда видел бы и на по-
лотне и в действительности одно и то же, т. е. его глаз растянул
бы в высоту одинаково и модель и образ. Следовательно, испан-
ский мастер изображал квадраты как прямоугольники скорее все-
го потому, что ему было безразлично реальное сходство изобра-
жения с моделью. Вы спросите, почему мы пытаемся дать ответ
на незаданный вопрос? Почему вмешиваемся не в свои дела? По-
чему не отсылаем полемизирующих эстетов к специалистам,
к философам и психологам, к окулистам и анатомам? Мы не дела-
ем этого, потому что наш клиент может попасть к такому анато-
му, который объясняет пугливость лошадей тем, что на сетчатке
лошадиного глаза все предметы выглядят в 4 раза больше, чем на
сетчатке человеческого глаза. Тот же самый нонсенс, напечатан-

264
Гуго Штейнгауз
ный черным по белому, мы можем найти в нашумевшей автобио-
графии Франка Гарриса, где этим же автор объясняет нам, почему
несколько сотен украденных им в Мексике лошадей разбежались
по дороге. Но, как говорится, специалисты находятся на медицин-
ских факультетах, и поэтому обращаться следует именно к ним,
а не к зоотехникам, писателям и конокрадам. На врачебном отде-
лении одного из наших довоенных университетов объясняли, что
младенец должен постепенно учиться правильно доставать на-
блюдаемые предметы, потому что, дескать, их образы на сетчатке
глаза ребенка перевернуты, и он ищет внизу предметы, находя-
щиеся высоко, и вверху — предметы, находящиеся низко (и поэ-
тому часто промахивается). Это наивное объяснение не выдержи-
вает никакой критики: ребенок ведь не смотрит на сетчатку, а сет-
чатка видит образы именно так, как Эль Греко и лошади Гарриса.
Очевидно, нетрудно предугадать, что кто-то из читателей
уже задает себе привычный вопрос: «Как все это связано с мате-
матикой? Почему автор упрекает врачей в ошибках 25-летней
давности?». Я говорю об этом, потому что в этом и есть суть во-
проса, над которым мы сегодня размышляем. И роль, которую
определила себе вроцлавская математика, состоит именно в том,
чтобы разъяснить нашу точку зрения естествоиспытателям и убе-
дить их, что если лошадь видит все предметы в 4 раза большими,
чем мы сами, то она видит все это точно так же, как и мы! Объяс-
няя это, мы не раз ударимся головой об стену, но когда нам гово-
рят, что головой стену не прошибешь, то утешимся тем, что про-
шибить ее можно только и именно головой. Очевидно, что в этой
позиции есть превышение компетенции, но взаимное сотрудни-
чество разных наук прежде всего и превыше всего есть превыше-
ние компетенции, беспрерывное нарушение границ и агрессия.
Возможно, кто-то упрекнет меня в том, что я изменяю само поня-
тие математики: «Мы ведь тоже учились математике в школе.
В то время она ассоциировалась с покупкой, при которой хоро-
шие яблоки продавались по 3 штуки за 10 грошей, а те что поху-
же — по 4 штуки за 11 грошей, а всего 7 штук за 21 грош, или каж-
дое яблоко за 3 гроша, из чего вытекали неслыханные затрудне-
ния для всего класса вместе с учителем. А высшая математика —
это когда для покупок в нашем распоряжении целая ярмарка. Как

Взаимодействие наук на примере роли математики... 265
и полагается обывателям, мы верим в силу всяких математиче-
ских формул и поэтому требуем, чтобы математики решали конк-
ретные задачи (пусть, например, они вычислят число точек со-
прикосновения двух веществ, измельченных в порошок и сме-
шанных в равных количествах, если диаметр зерен одного
вещества в три раза больше, чем другого). Вместо решения конк-
ретных задач математики рассказывают нам философские анек-
доты. Мы подозреваем, что эти анекдоты суть просто дымовая за-
веса, за которой скрывается беспомощность математики перед
конкретными естественнонаучными и техническими задачами».
С сожалением должен признать, что обвинение на 90% спра-
ведливо, и один естествоиспытатель может действительно поста-
вить больше вопросов, чем десять математиков дать на них ответ.
Даже один вопрос, с которым приходит к нам биолог, геолог или
инженер, является чрезвычайно трудным. Но еще чаще этот во-
прос несуществен, и спрашивающий не получил бы никакой по-
льзы от ответа. Случается, что от нас требуют математических
обоснований заранее поставленных положений, которые либо во-
обще не связаны с какой-либо математикой, либо сформулирова-
ны так, что не могут быть ни ложными, ни истинными. Иногда это
просто элементарные истины без последствий. Очень редко слу-
чается, чтобы сразу возникла потребность преодоления матема-
тических трудностей, но зато очень часто мы с удивлением ви-
дим, что понятия и объекты, которые мы, математики, поставили
бы на первое место, вообще не фигурируют в данной дисциплине.
И поэтому мы относимся к нашим клиентам как к тем поварам и
рестораторам, которые не позволяют посетителям заказывать
блюда по своему усмотрению, а пытаются накормить их по собст-
венному вкусу и желанию.
Главный принцип, который мы сознательно используем, на-
ходится в наиболее явном противоречии с обожествленным в XIX
веке принципом специализации. Такая позиция заставляет нас не-
прерывно сражаться на два фронта, для объяснения чего мы снова
должны призвать читателей к терпению. Ведь мы до сих пор не
упомянули, что только часть математиков пошла той большой ис-
торической дорогой, которая привела к поразительным открыти-
ям, только эта часть осталась верной девизу: Eritis sicut deus, sci-

266
Гуго Штейнгауз
entes bonum et malum! (Будьте как боги, знающие добро и зло!)
Большинство же признало внутреннюю непротиворечивость или,
если угодно, логическое согласие с критерием истины и чистосер-
дечно поверило лести таких почитателей, как Прус. Исходя из
исключительности математики, эти люди пренебрегли всеми дру-
гими доводами.
Говоря откровенно, этот вопрос весьма сложен вообще, так
как почти все ученые действительно остаются честными, занима-
ясь своей наукой, но весьма вольно все приукрашивают, когда им
приходится говорить о ней. Поэтому я начну с довольно резкого
утверждения и скажу, что большинство (причем огромное боль-
шинство) математических работ не только не имеют никакого
прикладного значения, но и никогда его иметь не будут. Обычно
математики это отрицают, используя аргументы поразительной
наивности. Например, они приводят многочисленные примеры
разработанных теорий из области чистой математики, которые
позднее неожиданно пригодились физикам и техникам. Матема-
тикам не стоит забывать, что такие примеры можно пересчитать
по пальцам, в то время как ежегодно появляется несколько тысяч
оригинальных теоретических работ, так что, пожалуй, нельзя
считать, что (хотя бы с точки зрения использования интеллектуа-
льных ресурсов человечества) решение математикой проблем
иных наук выглядит сколь-нибудь рациональным. По-видимому,
было бы значительно лучше, если бы эти математики по примеру
моего (к большому сожалению, рано ушедшего из жизни) друга
Зигмунда Янишевского открыто признались, что верят в цен-
ность только чистой математики, а от ее применений им ни жар-
ко, ни холодно.
Вера математиков в свою науку не сводится к ритуалу. Изве-
стно ли вам, что такое простые числа? Мы называем так числа, ко-
торые являются неделимыми (2, 3, 5, 7, 11 и т. д.). Доказано, что
их бесконечно много, и среди них встречаются пары-близнецы,
типа (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)... Предполагается, хоть этого
никто и не доказал, что число таких пар бесконечно. Можно спро-
сить, какой смысл в доказательстве такого утверждения? Кто
огорчится, если выяснится, что утверждение неверно? Какое оно
может иметь значение? Сама задача настолько трудна, что ни

Взаимодействие наук на примере роли математики... 267
одно орудие современного математического арсенала не сумеет
ее поразить. Но более интересным, чем эта задача, является суще-
ствование людей, которые охотно посвятили бы полжизни, если
бы имели шанс дознаться, так ли это на самом деле. Они подобны
тем, кто посвящает половину жизни, чтобы подготовиться к экс-
педиции в Гималаи, которая может отобрать у них остаток жизни.
Что это за люди, занимающиеся поиском простых чисел? Это те,
которые другие занятия считают скучными и недостойными вы-
сшего разума. Не будем обольщаться: для людей подобного скла-
да даже такие открытия, как кванты энергии или переход массы в
энергию — это пустяки, которыми не стоит заниматься, а их отно-
шение к применениям математики выражается в снисходитель-
ной терпимости.
Впрочем, числа-близнецы — не самый яркий пример, так как
теория чисел имеет с этим миром хотя бы платоническую связь
через тривиальную арифметику. Некоторые другие разделы мате-
матики (например, геометрия многомерных пространств или тео-
рия множеств) гораздо более отдалены от всяких приложений и
лишены не только прямых и косвенных применений, но даже едва
уловимой связи с окружающим нас материальным миром.
Психика этих мечтателей не отличается равнодушием, ибо не
существует науки без ученых. Так случилось, что несколько силь-
ных личностей решили заняться развитием математики в Польше
в XX веке. К ним принадлежал уже упоминавшийся Зигмунд Яни-
шевский, памятником которому является «Fundamenta Mathema-
ticae»; принадлежали к ним и другие основатели варшавской
школы, прежде всего Вацлав Серпиньский и Стефан Мазуркевич,
а также логики. Эта школа вместе с краковской, которую возглав-
лял Станислав Заремба-старший, и со львовской (быстрому росту
которой мы обязаны Банаху) в период между мировыми войнами
подняли провинциальный уровень польской математики до евро-
пейского. Это явление было столь отчетливым, что его заметили
и другие польские ученые, особенно физики, которые и попробо-
вали обратиться к математикам за помощью в решении некото-
рых задач. Из этого не вышло ничего примечательного, но я при-
веду одно исключение. Научный эмигрант Леон Лихтенштейн,
большой знаток теории планет и сам математик высокого класса,

268
Гуго Штейнгауз
поставил перед Стефаном Мазуркевичем одну из задач, относя-
щихся к равновесным формам вращающихся жидких тел. Мазур-
кевич решил ее (получив необходимое ограничение длины оси та-
кого тела) и опубликовал результат в общеизвестном периодиче-
ском издании «Mathematische Zeitschrift». Этот результат,
поразивший Лихтенштейна и несомненно являющийся одним из
важнейших достижений соавторства представителей варшавской
школы, не был упомянут в научном некрологе Мазуркевича, так
как математики его просто не заметили. Таким образом, это иск-
лючение еще сильнее свидетельствует против нас, чем все упреки
физиков. Даже Заремба, известный знаток теории потенциала
и уравнений математической физики, не только не посодейство-
вал развитию польской физики, но скорее наоборот — замедлил
это развитие своим негативным отношением к теории относи-
тельности.
Появлению теоретической физики в Польше мы обязаны та-
ким ученым, как Смолуховский, Рудзкий и Рубинович — все эти
физики обучались математике за границей. Новое поколение фи-
зиков, вышедшее из школы Рубиновича и Инфельда, все еще не
может найти общий язык с математиками. Контакт начинает завя-
зываться, но сегодня пока рано об этом говорить.
Математики в этой игре имели лучшие карты, поскольку об-
ладали высшим научным рангом, и поэтому сетования физиков
также не находили отклика. Скажем откровенно, что в большин-
стве случаев математики в самом деле не понимали, чего от них
хотят, так что их совесть была чиста (что значительно облегчало
их положение при взаимных обвинениях), и лишь некоторые чув-
ствовали, что здесь что-то не в порядке. Налаживание отношений
с физиками не является легким — оно требует многих лет для изу-
чения современной теоретической физики, и математику трудно
рисковать своим «капиталом времени» без гарантии получить от-
дачу.
Существует еще одна связанная с этим проблема. Как извест-
но, первые инженеры появились в Польше каких-то 100 лет назад
(а инженеры, подготовленные в самой Польше, — всего 75 лет на-
зад). Все они изучали математику и должны были ее применять на
практике, вследствие чего наиболее подходящим местом для

Взаимодействие наук на примере роли математики... 269
установления контакта с другими науками являлись, пожалуй, ка-
федры математики в политехнических институтах. Однако пре-
подаватели этих кафедр придерживались западных образцов
(либо косвенно, т. е. беря их у берлинских и венских подражате-
лей, либо непосредственно — из французского источника поли-
технического обучения), вследствие чего преподавание велось
без связи с практическими потребностями. Самым удивительным
выглядит то, что даже компетентные в технике профессора со-
всем не сетовали на создавшееся положение. Они лишь требова-
ли, чтобы математики были хорошими преподавателями, т. е.
умели излагать свой материал так, чтобы студенты успешно сда-
ли экзамен и забыли о математике (как забыли ее их профессиона-
лы-профессора!). Учебники, написанные математиками-политех-
никами, вообще не имели никакой связи с техникой и даже не
приводили примеров применения математики. Ситуацию спасали
кафедры механики, которые доказывали, что в математике есть
вещи, способные заинтересовать будущего инженера, а в универ-
ситетах сходными с ними были кафедры теоретической физики.
На этих кафедрах по необходимости нередко преподаватели изла-
гали некоторые разделы математики без помощи математиков,
подвергая себя насмешкам специалистов-математиков, которым
студенты позднее повторяли ошибки, дозволенные преподавате-
лям физики. Тогда-то и возникла не вылеченная до сих пор «трав-
ма» у физиков, некоторые из которых даже думают, что главным
козырем математики является ее строгость.
Несомненную роль в этом застое сыграла стабилизация отно-
шений в Европе с 1871 до 1914 года. Но ничто не длится вечно, и
в конце концов такое положение вещей стало вызывать возраже-
ния. Я уже упоминал великого геттингенского геометра Клейна,
который принадлежал к сторонникам индустриализации и (как,
впрочем, и большинство его коллег), подобно Вильгельму II
и всему лагерю национал-либералов, считал образцом Соединен-
ные Штаты. Поэтому именно он сознательно начал формировать
обучение в направлении применения математики, создал в уни-
верситете кафедры прикладной математики, начертательной гео-
метрии и даже электротехники, что привело к спору с политехни-
ками, которые рассорились в Геттингене на основании неразре-

270
Гуго Штейнгауз
шимой конкуренции. Она дошла до того, что участие двух
геттингенских корифеев (Клейна и Гильберта) в семинаре, посвя-
щенном строительству кораблей, вызвало всеобщее огорчение их
наиболее консервативных коллег. Сегодня уже не подлежит со-
мнению актуальность идеи геттингенских сподвижников, что до-
казывают именно сетования политехников. Ведь мы и во Вроцла-
ве не так давно слышали, что мы не должны вмешиваться не
в свои дела.
Симбиоз математики с техникой не дал тех результатов, кото-
рые ожидались, возможно потому, что обе стороны имели свои
традиции, а также из-за психологических различий при оценке
и понимании роли математики в технических приложениях. Для
математика висячий мост или турбина Лаваля были обычно лишь
предлогом для начала исследований. Когда оказывалось, что та-
кие задачи ведут к изящным и глубоким математическим теори-
ям, математики в своих изысканиях заходили так далеко, что за-
бывали о практическом смысле задачи. Более того, в тех случаях,
когда им удавалось получить элементарное решение задачи, они
с отвращением забрасывали его. Поэтому порой даже такие выда-
ющиеся инженеры, как Эберман, заявляли, что конструкторам
достаточно той минимальной порции математики, которую дает
средняя школа.
Если нигде в мире в этом отношении не было ничего хороше-
го, то в Польше было хуже, чем где-либо еще. Вторая мировая
война заставила нас забыть об этих проблемах, а когда она закон-
чилась, надо было идти напролом, чтобы наверстать отставание,
вызванное шестью годами военной летаргии и предвоенной бес-
печности. Обычной тактикой стала переброска «моста» с матема-
тического берега на противоположный в самом широком месте:
необходимо было атаковать лагерь биологов и врачей — самый
отдаленный и с виду самый неприступный. Чтобы охарактеризо-
вать сложившуюся ситуацию, достаточно вспомнить, что перёд
войной студенты-естественники должны были слушать лекции
по математике для естествоиспытателей и даже сдавать экзамен
по этому курсу, но такие лекции читались иногда логиками, ино-
гда доцентами математики, а иногда — лицами, которые вообще
не представляли, что надо делать. Все эти лекторы имели одну ха-

Взаимодействие наук на примере роли математики... 271
рактерную особенность: они не знали никаких своеобразных при-
менений математики к естественным наукам, не интересовались
математикой с этой точки зрения и чаще всего не имели ничего
общего с вопросами природоведения. Название «математика для
естествоиспытателей» они понимали как «элементы высшей ма-
тематики», а слова «для естествоиспытателей» — как пренебре-
жительный эпитет, типа прилагательного «дежурное» к сущест-
вительному «блюдо». Истинные же математики признавали сво-
боду обучения и получали всё a la carte (согласно меню). Однако
еще перед войной были попытки перебросить мост, и эти попыт-
ки предпринимались с противоположного берега — врачами.
Здесь я позволю себе высказать слова признательности и благодар-
ности Францишеку Гройеру за то, что он первым из врачей пере-
плыл на математический берег, для чего были необходимы науч-
ный темперамент и фантазия. Сегодня уже трудно найти во Вроц-
лаве ежегодник Pediatriipolskiej, в котором тогда сразу три автора
набросились на Гройера за его патергеометрию (для написания та-
кого набора бессмыслицы потребовалось целых три автора!). Я ку-
пил бы сегодня этот том по цене филейной вырезки, чтобы можно
было здесь процитировать целые отрывки из этих статей, ибо по-
добный эффект можно сравнить лишь с восстановлением фильма
с участием Асты Нильсен, звезды экрана 50-летней давности.
Но оставим в стороне воспоминания и попытаемся расска-
зать, как в действительности обстоит дело. На чем основано взаи-
модействие с естествоиспытателями и врачами? Обычно нам го-
ворят, что для успешного взаимодействия необходимо знать био-
логию и медицину. Это, конечно, совершенно неверно! Знать
надо все, но наш век (который постоянно хвастается принципом
специализации) учит, что тот, кто знает все, не знает ничего, а кто
хочет поймать сразу двух зайцев, не поймает ни одного. Надо от-
казаться от принципа специализации и понять, насколько мнимой
является скромность тех, которые в любой ситуации говорят: «я в
этом ничего не смыслю». Следует помнить, что наука есть теория
действительности, в которой все взаимно связано. Но откуда
можно взять необходимые знания? Должны ли математики изу-
чать анатомию и физиологию или, наоборот, естествоиспытатели
должны изучать дифференциальное и интегральное исчисление?

272
Гуго Штейнгауз
Были такие естествоиспытатели, которые делали подобные по-
пытки и спустя несколько лет утверждали, что у них из этого ни-
чего хорошего не вышло. А как же надо поступать? Надо учиться
на конкретных задачах, а не по книгам и про запас.
Один врач заметил существование связи между туберкулезом
и картиной крови, а именно — обнаружил, что некоторые кровя-
ные тельца у туберкулезников появляются в меньшем количест-
ве, чем у здоровых людей. Я спросил его, откуда ему это известно
и притворился, что знаю, что такое туберкулез, моноциты и лим-
фоциты, хотя на самом деле никто из нас не видел ни лейкоцитов,
ни палочек Коха (да и вообще не желает их видеть!). Врач отве-
тил, что нормальный состав крови известен по тысячам наблюде-
ний. Я согласился с этим, но спросил, легко ли распознать состав
крови, нужен ли для этого микроскоп и расшифруют ли два врача
одно и то же у одного пациента? Такие вопросы часто застают
врасплох врача, который не знает, являемся ли мы круглыми не-
веждами или только выдаем себя за них. В таких ситуациях обыч-
но врач бьется над тем, чтобы словесно объяснить нам то, что на
его взгляд является простым и ясным, пока мы уже раздумываем
над очередным вопросом. Таким способом мы быстро обучаемся
без особых хлопот, точнее, за счет нашей жертвы, которая думает,
что ее экзаменуют. Однако знакомый с основами статистики врач
может вполне справиться и без помощи математика. Он вычислит
по 63 наблюдениям среднее отклонение (в сторону уменьшения)
от нормы содержания этих телец в крови туберкулезников, а за-
тем определит дисперсию и опубликует свою работу в печати. На
это другой врач, прочитавший учебник по статистике, показывает
ему книгу, где черным по белому написано, что полученное им
отклонение не является существенным, поскольку не доходит до
двух сигма, а составляет всего 1.95 сигма. Несчастный автор при-
ходит к нам за помощью, считая, что если бы у него было еще
одно наблюдение, то все было бы lege artis (по всем правилам ис-
кусства). Бедный врач полагает, что из-за такого пустяка он теря-
ет труд нескольких месяцев! Тогда мы снова его спрашиваем, о
чем идет речь: о том, чтобы получить конкретный диагноз (позво-
ляющий сделать вывод о наличии туберкулеза или a contrario
(напротив) о его отсутствии), или о составе крови в банке, куда

Взаимодействие наук на примере роли математики... 273
слита кровь всех 63 пациентов? Сначала он даже не понимает на-
шего гротескного способа разговора, но через некоторое время
мы находим другое, еще более грубое сравнение, и, конечно, врач
соглашается с тем, что речь всегда идет именно о конкретном па-
циенте. Тогда оказывается, что действительность (реальная доля)
искомого явления составляет 999 промилле, поскольку из 63 ис-
следуемых только три пациента имеют отрицательный резуль-
тат — именно у них явление настолько сильно выражено, что это
так влияет на состав крови в банке. Таким образом, работа спасе-
на и, более того, показывает, что отрицательный результат обыч-
но отчетливо проявляется, хотя и является редким.
Мораль из этого правдивого случая такова, что врачам вооб-
ще не нужно книжного математического образования и что такое
образование скорее затрудняет нашу роль. Когда естествоиспы-
татель в первый раз появляется на заседании Отделения примене-
ний Математического института ПАН , он никак не может по-
нять, почему все присутствующие с трудом сдерживают смех по-
сле первой же высказанной им фразы. Математики смеются,
заранее зная, что в девяти случаях из десяти докладчик скажет:
«Прошу меня извинить, если я буду произносить математические
нелепости, поскольку не знаю математики и едва помню то, чему
учился в школе...». Как я уже упоминал, подобная скромность не
пользуется у нас признанием. Она подобна скромности пассажи-
ра, проходящего на границе таможенный досмотр и декларирую-
щего, что он имеет для обложения пошлиной одну плитку швей-
царского шоколада: истинная цель такой декларации заключается
в том, чтобы отвлечь внимание от целой коробки с часами, спря-
танной в чемодане. Когда естествоиспытатель, врач или юрист
говорит, что он не знает математики, мы думаем: «Помоги Бог,
чтобы он не знал только математики, ибо догадываемся, что бу-
дет, если он не знает и того, что обязан знать».
А в чем, по нашему мнению, должен разбираться, например,
естествоиспытатель? Он должен уметь объяснить нам, что он де-
лает, почему это делает, откуда ему известны излагаемые факты,
1 Полное название: Отделение естественнонаучных и народнохозяйственных
применений.

274
Гуго Штейнгауз
в чем он сомневается и что из этих сомнений следует. Но все эти
трудности выглядят пустяками по сравнению с теми, которые
встречаются в науках, что сами создали себе математический ап-
парат (такова, например, дендрометрия). Поскольку она уже сто
лет оперирует формулами, то дендрометры владеют дифференци-
альным и интегральным исчислением и сами придумали различ-
ные формулы. Если кто-то из их клана приведет такую формулу,
то его предупредят, что лес и математика несовместимы. Матема-
тики не понимают таких утверждений, как не понимают и газет,
в которых можно встретить фразу «спорт, в частности велосипед-
ный, это не математика, ибо в нем еще много других факторов».
Такое высказывание прекрасно понимают 99 из 100 читателей
ежедневной прессы, за исключением того единственного, кото-
рый и является математиком. Мы не понимаем, почему формулы
дендрометров применимы к лесу, а наши — нет. Когда они гово-
рят, что надо считаться с опытом, то мы отбрасываем в сторону
всякие формулы и предлагаем прекрасные таблицы, определяю-
щие объем древесины по одному измерению охвата и длины ство-
ла. Когда они удивляются, почему мы называем эти таблицы пре-
красными, мы объясняем это тем, что в таблицах нет ничего кро-
ме наблюдений. Иногда они говорят, что необходимо считаться
с дендрометрией, наукой старой, серьезной и имеющей свои ка-
федры. Но очень часто те, кто сидят на этих кафедрах, взаимно не
понимают друг друга, так что им время от времени требуются ма-
тематики в качестве экспертов в собственных спорах.
Все эти байки не ограничиваются какой-то одной местностью
или даже масштабами всей страны: известно, что в Чехии и Сак-
сонии война между дендрометрами и математиками развивается
подобным же образом, и закончится лишь тогда, когда дендро-
метры обучатся математической статистике. Нельзя ничего посо-
ветовать людям, которые не хотят верить математикам, но сами
являются наполовину математиками. Такой человек должен
прежде стать полным математиком. В качестве известного приме-
ра можно привести Р. Э. Фишера (из сельскохозяйственной шко-
лы в Ротэмстеде, Англия), который, не найдя общего языка с ма-
тематиками, сам создал оригинальные статистические методы.
Его работа выдержала несколько изданий и оказала математиче-

Взаимодействие наук на примере роли математики... 275
ской статистике большую услугу, нежели учебники, написанные
профессиональными математиками.
Многие из естествоиспытателей (а, возможно, еще более
многие — среди врачей) вообще не верят в применимость матема-
тики к исследованиям живой природы. Не верят потому, что
предмет математики в школе выработал у них предубеждение
в отношении абстрактности понятий, формализма определений
и искусственности задач, напоминающих шарады и ребусы. Ка-
рикатурная простота геометрических концепций (как их видит
математик) кажется противоречащей текучести и сложности жи-
вого мира (великий антиматематик Гёте писал о «вечно зеленею-
щем древе жизни»). Эта антитеза компрометирует в глазах нату-
ралистов саму мысль о математическом истолковании живой
природы как наивную и вредную в своих претензиях на простоту.
Такие натуралисты воображают, что математики хотят найти
формулы для всего сущего, что они хотят заранее составить горо-
скопы жизни (подобно их средневековым братьям-астрологам),
что в конце концов они захотят предсказывать каждый шаг и каж-
дое содрогание живого организма.
Каким образом сформировались такие взгляды? Они вовсе не
являются оригинальными и свежими — образ именно такого ма-
тематика мы найдем у Вольтера, а еще раньше у Свифта. Ян По-
тоцкий высмеял их в повести, написанной 150 лет назад, и мы
были бы признательны историкам литературы, если бы захотели
и сумели понять, откуда берет начало эта идея. Из какого источ-
ника течет этот ручей, к счастью уже убывающий? Но иногда ес-
тествоиспытатели из одной крайности попадают в другую, кото-
рая представляет собой мистическую веру в таинственную силу
математического аппарата, и им начинает казаться, что элемен-
тарные тождества, подвергнутые тривиальным алгебраическим
преобразованиям, способны придать естественнонаучным поло-
жениям характер несомненности. Между двумя флангами нахо-
дятся те, которые считают, что математику можно применять ко
всем наукам, за исключением той, которую именно они представ-
ляют. Математики же старого типа все еще надеются встретить
такого идеального естествоиспытателя, который сумел бы ка-

276
Гуго Штейнгауз
ким-то неизвестным (и вероятнее всего невозможным) способом
заменить свою специальность и науку на дедуктивную схему. Та-
кой естествоиспытатель должен экспериментальные основы
своей науки обрядить в одежды аксиом (подобно тому, как Евк-
лид поступил с основами геометрии) и заключить в них все, что
нужно и можно знать о смысле технических терминов. Затем он
поднес бы, как на тарелочке, сформулированные в этих терминах
естественнонаучные задачи математику для решения. В одной из
своих новелл Анатоль Франс пишет: «Один раз в жизни я видел
справедливого судью — это было на картине», а я не могу пред-
ставить себе такой сцены даже на картине. Если бы такой естест-
воиспытатель родился и существовал, то вероятнее всего он вы-
брал бы для изучения точные науки. Если бы он умел формализо-
вать свои задачи, то смог бы их решать и без математика. Если бы
для него это оказалось трудным, то плохой математик тоже не
смог бы ему помочь, а хороший не захотел бы тратить на это
время. Если бы каким-то чудом все эти препятствия исчезли и ес-
тествоиспытатель сумел бы получить желанную формулу, то он
не знал бы, что с ней делать. Я встречал в работах по естествозна-
нию формулы, играющие чисто декоративную роль — авторы та-
ким идолопоклонническим способом и трудным, ненужным или
невразумительным языком пытались донести до читателя некото-
рые детали. В эту ловушку часто попадают даже физики.
Если сотрудничество наталкивается на такие трудности, то
почему тогда в цитированной книге Кульчинского говорится
о положительных достижениях вроцлавских математиков в со-
вместной работе с естествоиспытателями, техниками, врачами
и даже с гуманитариями и юристами? Как нам это удалось? Как
были преодолены преграды, казалось бы непреодолимые в своей
разнородности и многочисленности?
Сотрудничество оказалось возможным лишь благодаря тому,
что сама научная работа — это естественный процесс и она под-
чиняется законам развития, применения и эволюции. Точно так
же, как новые виды животных и растений формируются при изме-
нении внешних условий или возникают путем скрещивания су-
ществующих видов, так и на наших глазах изменяются содержа-
ние, смысл и стиль науки. Та математика, которая содержится в

Взаимодействие наук на примере роли математики... 277
учебниках, не подходит для той медицины и истории естествозна-
ния, которые утвердились в музеях, анатомических атласах и пре-
паратах. Все школьное, известное и общепринятое при сотрудни-
честве не принимается во внимание, а подходит лишь то, что то-
лько зарождается. С того момента, когда естествоиспытатель
приходит к нам или мы к нему, первые часы напоминают разговор
глухого с немым. Мы смотрим на красивые цветные диаграммы и
удивляемся, почему они не пользуются таблицами, а они удивля-
ются, что никак не могут убедить нас в чем-то, что они упорно на-
зывают достоверностью или гарантированным результатом. Ес-
тествоиспытатель начинает говорить, а мы (вместо того, чтобы
экзаменовать его по математике, чего он опасался!) спрашива-
ем, где можно выучиться так плохо говорить по-польски. Он на-
столько доволен, что мы не заставляем его извлекать корень тре-
тьей степени из семи, что пропускает мимо ушей нашу наглость
и продолжает говорить, оказываясь прекрасным популяризато-
ром. Например, специалист-мукомол показывает нам прибор, на-
зываемый фаринографом, который используется для определе-
ния впитывающей способности, рыхлости, упругости и других
объективных свойств теста. Тогда мы спрашиваем, а почему его
интересует тесто — он считает этот вопрос доказательством не-
слыханного невежества; надо быть математиком, чтобы не знать,
что из теста выпекается хлеб! Поэтому от качества теста зависит и
качество хлеба. А что такое хороший хлеб? Это такой хлеб, кото-
рый по вкусу людям! Все это для нас таинственно, ибо хлеб дела-
ется из теста, тесто из муки, а мука из пшеницы. Речь идет о выбо-
ре сортов пшеницы, из которых получается вкусный хлеб. Тогда
мы предлагаем вообще не интересоваться ни тестом, ни мукой,
а исключительно пшеницей и хлебом. Нам кажется, что следова-
ло бы сперва выпечь хлеб из разных сортов пшеницы, предло-
жить его попробовать разным людям, а затем по результатам
опроса отобрать сорта культивируемой пшеницы. Но мукомол
непременно хочет оценить только объективные качества теста!
Мы совершенно не можем понять, для чего ему это надо, а он не
умеет нам это объяснить. Измучившись, мы расходимся с убеж-
дением, что в результате нашего общения хлеба не получится. Но
через пару недель мы встречаемся снова. Теперь уже ни он, ни мы

278
Гуго Штейнгауз
не являемся теми, кем были месяц назад. Мы узнали о неслыхан-
ной сложности процесса превращения муки в хлеб, а он узнал,
что правильные рассуждения могут быть важнее голландского
фаринографа, даже для самых практических целей. Взаимодей-
ствие изменило и его, и нас. Мы привыкли думать (а не экспери-
ментировать), они — естествоиспытатели — экспериментиро-
вать (а не думать), и лишь совместно мы умеем и то, и другое.
Это напоминает рассмотрение фотографии двумя глазами. По-
добным образом изменяются не только люди, преобразуются
стиль и проблематика самих взаимодействующих научных дис-
циплин. Впрочем, так происходит не всегда. Существуют ученые,
выработавшие иммунитет ко всяким влияниям — среди естество-
испытателей этому присягнули непокорные морфологи, среди
нас таковыми являются мечтатели, которые слышат музыку сфер,
льющуюся из мира математических абстракций. Такими матема-
тиками были Платон и его современник Архитас из Таренто, про-
славившийся искусством применения математики. Именно их
Норвид заставил вести поэтический спор о дороге, которой дол-
жна шествовать королева наук. Пожалуй, во всей мировой лите-
ратуре никто удачнее и глубже Норвида не осмыслил этого веко-
вого антагонизма.
Не будем слишком удаляться от Вроцлава и настоящего вре-
мени, поскольку мы говорим о здешней, специфической научной
атмосфере. Каким образом она сложилась? На ее создание повли-
яли несколько обстоятельств уже в 1945 году. Во-первых, этому
способствовало объединение всех высших учебных заведений
в один Университет (с большой буквы У), а во-вторых — необхо-
димость взаимной помощи и дружбы, которая объединила изг-
нанников, отыскавших друг друга после войны. В-третьих, воз-
никла некая потребность ежедневных встреч за общим столом
в Мирусе. И наконец, по дороге мы растеряли тоги и должны
были дать голос также и тем, которые вообще никогда в жизни не
имели на себе тоги.
Но все это не дало бы никакого эффекта, если бы не несколь-
ко людей, умеющих заглянуть далеко за пределы собственной де-
ятельности. Я назову здесь только Гиршфельда и, полностью опу-
ская заслуги этого великого ученого и необыкновенного человека

Взаимодействие наук на примере роли математики... 279
в области его деятельности (т. е. в микробиологии и иммуноло-
гии), скажу лишь несколько слов о его сотрудничестве с матема-
тиками. Оно началось очень давно — еще в переписке между Гир-
шфельдом и Феликсом Бернштайном, вскоре после открытия
групп крови. Феликс Бернштайн являлся выдающимся профессо-
ром математики в Геттингене, когда я был там студентом, и его
имя связано с одной из основных теорем теории множеств. Пере-
писка закончилась принятием формулировки законов наследова-
ния групп крови (А, В, О, АВ), предложенной Бернштайном, ко-
торый вообще не был естествоиспытателем. Каким же образом он
смог обнаружить в группах крови что-то, чего не заметили их пер-
вооткрыватели? Несомненно, ему и на ум не пришло эксперимен-
тирование или наблюдение, и он просто принял явление prima fa-
cie (не подвергая сомнению), анализируя наблюдения Ландштай-
нера, Дунгерна и Гиршфельда. Там не было никакой
математической проблемы, так как проблема была чисто методо-
логической, но ее следовало только распознать и понять. Недавно
во Вроцлаве проф. Слупецкий занялся определением групп кро-
ви и оказалось, что группа О логически отличается от остальных
и определение генотипов для логика является совсем непростой
задачей, значительно отличающейся от определения фенотипов.
Характерно, что дискуссия о генетических принципах, которая
обычно не выходит за рамки фразеологии, во Вроцлаве впервые
действительно прошла в освещении представлений логики.
Гиршфельд был естествоиспытателем par excellence (по преи-
муществу), но он отлично чувствовал математическую сущность
возникающих задач. Наше сотрудничество, прежде всего, оказа-
лось связанным с задачами установления отцовства, и оно позво-
лило определить вероятность отцовства до проведения экспертизы
(результат в точности оказался равным доле истинных отцов среди
ответчиков). Работа также позволила в каждом случае установить
вероятность отцовства после экспертизы и оценить число ошибоч-
ных судебных заключений, и позволила освободить вычисления от
генетических гипотез (за исключением генетического подобия) и
все заключения основывать лишь на материале самих экспертиз.
Тем самым мы смогли учесть в них возможные ошибки экспертов
и отбросить концепцию так называемых истинных семей. И нако-

280
Гуго Штейнгауз
нец, наша работа позволила указать путь к распространению этого
метода на все наследуемые группы крови. Прогресс в этом направ-
лении еще при жизни Гиршфельда сдерживался невежеством и за-
вистью, а после его смерти те, кто в первую очередь должны были
спасать наследие великого ученого, скромно говорили: «Мы об
этом ничего не знали». Зато у практикующих юристов понимания
оказалось гораздо больше, чем можно было ожидать, так как имен-
но для этой науки из судебных дел вытекают выводы, касающиеся
не только законодательства, но и критики «стоимости» приговоров
в делах иного рода.
Я могу привести и обратный пример сотрудничества (при ко-
тором инициатива исходила от математиков), относящийся к так
называемой вроцлавской таксономии. Исследование началось
с абстрактного вопроса: как надо строить железнодорожную
сеть? В более сложном варианте вопрос формулируется следую-
щим образом: как может авиационный инспектор самым быст-
рым маршрутом посетить все аэродромы страны? Задача является
весьма сложной для всех математиков, которым она была предло-
жена, однако начертить схему кратчайших связей между 16-ю
польскими городами (при условии, чтобы она не содержала раз-
ветвлений) оказалось достаточно просто, и эта задача коллектив-
но была решена. Позднее я сообразил, что не только города харак-
теризуются взаимным удалением друг от друга: в методе Чека-
новского упорядочение всех предметов по их характерным
свойствам тоже определяется расстояниями между этими свойст-
вами.
Так появилась концепция вроцлавской таксономии, которую
мы затем пытались применить к антропологии, к классификации
населения по частоте групп крови, к экологии растений, к крими-
нальным (блатным) сонетам и к проблеме строения звездных
структур. Теория пригодна также к стандартизации самых обыч-
ных предметов, например, плетеных корзин или образцов одежды.
Очевидно, что только некоторая дистанция от предмета,
взгляд издалека могут создать концепцию такого рода, и ясно, что
в этих проблемах нельзя ожидать инициативы поэтов или порт-
ных. В подобной ситуации сотрудничество должно сразу начи-
наться с агрессии. Во всех задачах такого типа появляется как бы

Взаимодействие наук на примере роли математики... 281
железнодорожная сеть, называемая деревом (дендритом), а роль
математики заключается в рассмотрении этого понятия всеобщей
важности и значения.
Особым открытием здесь является идея перестановки
свойств и предметов, так как, имея набор предметов и систему
свойств, можно поменять их роли и получить иной дендрит. Мы
решили это сделать с видами лесных мхов и с лесами, в которых
они произрастают, для чего мы использовали одну чужую работу,
опубликованную Польской Академией наук. Оказалось, что мхи
обладают свойствами, характерными для соответствующих ле-
сов, и по ним можно даже судить о типе леса (но по типу леса
нельзя судить о виде мхов, что наглядно демонстрируют те же
дендриты). Ботаники не приняли наши результаты серьезно, но
недавно я получил гранки работы, автор которой (довольно изве-
стный естествоиспытатель) предлагает свою концепцию количе-
ственных измерений в биохимии. Брошюра написана разумно,
понятным языком, и выглядит крайне необходимой. Для коллег
автора она будет полезна, так как 90% из них до сих пор знали то-
лько 10% ее содержания и сути. Проблема состоит в том, что ее
содержание было известно статистикам во всем мире уже 50 лет
тому назад (и уже тогда не представляло собой ничего нового).
Почему возникает такая ситуация? Возможно, из-за различия
стиля мышления в разных дисциплинах, так как естествоиспытате-
ли просто не заметили существования некоторых научных фактов
и понятий, которые косвенно и постепенно должны были внедря-
ться в их науки. Один из этих фактов заключается в том, что мате-
матическая статистика является не чем иным, как теорией естест-
венной индукции. Я предполагаю, что именно так биологи воспри-
нимали и некоторые давным-давно известные химические факты.
Мы живем одновременно, но в разных эпохах. Огромные за-
траты труда были бы сэкономлены, если бы небольшая, доступ-
ная и практичная книжечка Medical Statistics, написанная биоло-
гом Хиллом, была переведена и издана на польском языке.
Но вернемся к основам коллективной работы. Такая работа
требует непосредственного контакта. Она совсем не заключается
в том, чтобы взять два «склада мудрости» и ссыпать их содержи-
мое в один, нельзя также рассчитывать, что на каждый вопрос

282
Гуго Штейнгауз
найдется ответ в иной науке. Смысл коллективной работы осно-
ван на взаимном изменении стиля мышления. Математики дол-
жны отказаться от выискивания в иных науках дедуктивных тео-
рий и также выяснить у естествоиспытателей не то, чем является
математика, а то, чем она обязана быть (сами естествоиспытатели
этого не знают, но, возможно, они помогут нам это выяснить?).
Как это можно сделать? С помощью такой постановки задач, при
которой мы должны будем переосмыслить идеи, повторяющиеся
у них без критики из столетия в столетие. Взаимодействие наук
происходит одновременно и полностью изменяет взгляды обеих
сторон, а постоянная совместная работа изменяет стиль научной
эпохи.
Я уже упоминал о цюрихском профессоре Эйнштейна — Гер-
мане Минковском, который достаточно точно первым сформули-
ровал малую (по-видимому, автор имеет в виду специальную —
перев.) теорию относительности. Как-то на лекции он сказал, что
Эйнштейн имел плохую математическую подготовку («я могу это
утверждать, поскольку сам учил его математике»). Минковский
прекрасно отдавал себе отчет в том, что необходимо полностью
пересмотреть принципы кинематики в соответствии с теорией от-
носительности, но нельзя довольствоваться лишь упреками в ад-
рес Эйнштейна. Рано или поздно, но в один прекрасный момент
профессора обязаны стать учениками своих учеников, и только
способные к этому пригодны для коллективной работы.
Особая вроцлавская концепция заключается в исключении
вероятностных понятий отовсюду, где можно прийти к цели
иным путем. Для этой концепции весьма характерна идея Стефа-
на Дробота, умевшего в статистических задачах заменить такие
понятия измерительным анализом, причем измерительный ана-
лиз (или теория моделей) был связан для него с физикой или тео-
рией вероятностей через конкретную математическую задачу
(а именно, вычисления статистической оценки). Решение эконо-
мических задач с помощью измерительного анализа стало неожи-
данностью и для математиков, и для экономистов. Несомненно,
это не удалось бы сделать, если бы ученые не выходили за грани-
цы своей специальности. Такое требование можно назвать зако-
ном дистанции: чем дальше друг от друга какие-то науки, тем

Взаимодействие наук на примере роли математики... 283
ярче свет от их соединения, подобно тому, как с расстоянием уве-
личивается мощность молнии.
Необходимо также нарушить временные границы и планиро-
вать завтрашнее сотрудничество еще до того, как наши будущие
сподвижники узнают об этом. Мечтая о сотрудничестве с метео-
рологами, мы не должны начинать с изучения аэродинамики и ис-
правления прогнозов погоды или применять сложные методы ма-
тематического анализа к перемещению воздушных масс. Нас ин-
тересует, что такое хороший прогноз. Интересно, что это можно
строго определить только при условии, что известна цель прогно-
за и величина ущерба в результате неправильного прогноза. Изве-
стно, что с этой точки зрения прогноз, являющийся просто трак-
товкой наблюдений, хуже абсолютного прогноза, рассчитанного
по тому же самому материалу (по нашему мнению, он оказывает-
ся ошибочным в каждом втором случае). Еще интереснее, что аб-
солютный прогноз зависит от потребителя, поскольку от ущерба,
который ему будет нанесен вследствие ошибочного прогноза, су-
щественно зависит само предсказание. Без метеорологов эти меч-
ты так и останутся только лишь мечтами; однако в целом эта про-
грамма соответствует математической тенденции отыскания on-
тимума при данных условиях, а не тому, к чему обычно
стремятся естествоиспытатели, — ожиданию повышения точно-
сти приборов и увеличению количества наблюдений.
К другому направлению, имеющему шанс развития во Вроц-
лаве, относится огромная проблематика, связанная с задачами те-
ории решений, игр или планирования, непосредственно относя-
щаяся к экономике. В некоторых странах это направление давно
вышло за рамки теоретических решений и можно привести конк-
ретные примеры математического планирования практической
деятельности в крупных масштабах. У нас оно вообще не извест-
но тем лицам, которые должны о нем знать в первую очередь. Ма-
тематики еще не добрались до этих лиц и их задач, а без делового
контакта любое углубление этой теории (на лекциях и семинарах)
будет явно противоречить той программе коллективных исследо-
ваний, которую я пытаюсь предложить и охарактеризовать в
предлагаемой статье. Мой упрек обоснован — об этом свидетель-
ствует тот факт, что пока вообще не существует математических

284
Гуго Штейнгауз
организаций и даже отдельных консультантов, способных ока-
зать неотложную помощь тем специалистам, которые постоянно
решают математические проблемы (подобно тому, как Журден
в пьесе Мольера говорил прозой, не сознавая этого).
Итак, как выглядит рецепт коллективной работы? Коллектив-
ность в нашем случае имеет по меньшей мере три разных значе-
ния. Она может заключаться в самой тематике (например, в науч-
ном плане вроцлавской медицинской школы предусматривается
изучение интерференции разных болезней в одном организме),
а также просто основываться на совместной работе нескольких
лиц над одним заданием, что во Вроцлаве постоянно практикует-
ся не только математиками, но и врачами. Но наибольший инте-
рес представляет коллективность в значении сотрудничества
между дисциплинами.
Таким образом, совместная работа во Вроцлаве выступает
в разных формах, является здесь нормальным явлением и ее мож-
но наблюдать на сотнях примеров. Она является не подражанием
чужим образцам, а нашим собственным достижением. Мы не вы-
гребли ее из опустошенных погребов и не вынесли из руин сго-
ревших домов. Она не возникла по приказу или прихоти отдель-
ной личности, так как никому нельзя приказать: «с завтрашнего
дня мы начинаем сотрудничать!». Наша коллективность сама яв-
ляется продуктом нашего содружества и именно поэтому мне так
трудно объяснить, на чем она основана.

Немного о кибернетике
Минуло уже триста лет после смерти Блеза Паскаля, но наша
мысль все возвращается к этому независимому духу, далеко
обогнавшему свою эпоху и поэтому оставшемуся для нее малопо-
нятным. Он угас на сороковом году жизни, но сумел изобрести
машину для вычислений еще до того, как ему исполнилось два-
дцать. В принципе, арифмометр Паскаля не отличался от тех, ко-
торые с начала нашего столетия выполняют роль счетоводов в ма-
газинах, банках или конторах, и тоже мог быстро складывать мно-
гозначные числа1. Но прототип, изготовленный автором
МЫСЛЕЙ2, не нашел применения, так как в его время не умели
изготовлять зацепления, которые используются в современных
арифмометрах. В XVII веке еще не была разработана геометрия
и кинематика зубчатых колес, и никто не умел вырезать такие ко-
леса из твердого металла. Вместо колес поэтому использовались
диски, снабженные по окружности штифтами, но при большой
скорости оборотов штифты ломались, и этот технологический не-
достаток обрек изобретение на неудачу. Наше время сумело спра-
виться с подобными проблемами точной механики, и счетные ма-
шины в разных вариантах и под разными названиями нашли себе
надлежащее место и применения. Арифмометры не скрывали
в себе ничего таинственного и поэтому вызывали не большее
удивление, чем локомотивы и паровые мельницы. Лишь во время
Второй мировой войны возникла задача, с которой не мог справи-
ться самый лучший арифмометр: как можно зениткой сбивать
1 Только Г. В. Лейбниц показал, что идею Паскаля можно использовать для ум-
ножения.
2 Так назывался последний философский трактат Паскаля.

286
Гуго Штейнгауз
смертоносные самолеты, несущиеся со скоростью несколько сот
километров в час? Для решения задачи надо было уметь по поло-
жению и скорости самолета мгновенно вычислять такое направ-
ление стрельбы, чтобы снаряды попали в крылатого врага. Други-
ми словами, было необходимо создать автоматическое устройст-
во, которое в доли секунды воспринимало бы положение
самолета и производило вычисления, а также управляло наводкой
всех орудий так, чтобы сбивать даже высокоскоростные самоле-
ты... Для решения такой задачи техника так называемого «века
пара и электричества» была уже недостаточной, так как зубчатые
колеса не могли работать с такой большой скоростью, а еще труд-
нее было придумать аппарат, который выдерживал бы огромные
стартовые ускорения. Проблему удалось решить, только исполь-
зуя электронные лампы, широко применявшиеся до этого в ра-
диоаппаратуре. Такие лампы способны изменять свою проводи-
мость тысячи раз в секунду, что и позволило создать на их основе
современные вычислительные машины.
Как часто бывает, решающий скачок в военной технике при-
вел к новым результатам в других областях исследований, дале-
ких от первоначальных задач. Американский математик Нор-
берт Винер заинтересовался иными аспектами стрельбы, а имен-
но проблемами сбора информации, действий на основе этой
информации, определения ошибки при этих действиях и устра-
нения этой ошибки при новой попытке действий. Этот метод
«проб и ошибок» известен артиллеристам еще со времен изобре-
тения пороха для стрельбы, но Винер первым осознал его уни-
версальность. Этим методом пользуются, например, велосипе-
дисты и водители автомобилей, когда они незначительными
движениями руля непрерывно компенсируют отклонения транс-
портного средства от движения вдоль автострады. Вообще гово-
ря, так же поступает и любой рулевой, и поэтому именно кора-
бельный руль дал Винеру наилучший пример всеобщего закона,
который он назвал «обратной связью». На больших судах управ-
ление автоматизировано: если руль установлен так, чтобы судно
двигалось прямо (например, на север), а случайная причина от-
клоняет его от курса, то ось гироскопа (постоянно сохраняющая
северное направление) отклоняется от оси судна, и это отклоне-

Немного о кибернетике
287
ние вызывает подачу пара в соответствующую камеру цилинд-
ра. Работа поршня перекладывает руль и вызывает возвращение
судна к заданному курсу, а после восстановления правильного
курса на север вентиль перекрывает подачу пара. Это остроум-
ное приспособление, однако, не является исключительной при-
вилегией современных автоматизированных морских гигантов:
одинокому гребцу на обычной лодке весло служит рулем, а маяк
на берегу — ориентиром направления, так что когда гребец ви-
дит, что лодка отклонилась от курса, то он веслом выправляет
направление. В этом случае полный цикл (действий и управле-
ния) состоит из нескольких элементов: маяк образует свое изоб-
ражение на сетчатке глаза гребца, зрительный нерв пересылает
образ в мозг и возбуждает там импульс. Импульс другим путем
поступает в мышцы руки, держащей весло, после чего импульс
вызывает там реакцию мышц, приводящую к изменению угла
весла относительно лодки. Такой принцип обратной связи ис-
пользовался уже много тысяч лет, но вплоть до последних лет
Второй мировой войны он не был предметом сознательного на-
учного анализа, хотя в случае гребца он безусловно проявляется
гораздо утонченнее и универсальнее, чем в случае современного
гироскопического управления рулем. Именно Винер первым
осознал принципиальное подобие этих двух с виду разных меха-
низмов, и он же организовал коллектив ученых, которые заня-
лись систематическим «нарушением» границ своих специально-
стей. В своей книге «Кибернетика или управление и связь в жи-
вотном и машине» Винер приводит отчет о работе этого
коллектива за период с начала Второй мировой войны и до даты
публикации книги, цитируя в ней, в первую очередь, американ-
ского физиолога Артура Розенблюта, своего товарища по работе
времен войны, а также многих других физиологов, врачей, мате-
матиков и инженеров. Наиболее интересным в книге является
раздел IV, посвященный обратной связи и колебаниям, в кото-
ром впервые пациент неврологической клиники сравнивается
с неисправным корабельным рулевым механизмом автоматиче-
ского типа. Винер первым заметил, что каждая неисправность
руля имеет свой клинический эквивалент в виде одного из мно-
гих заболеваний нейромоторного аппарата, хорошо известных

288
Гуго Штейнгауз
врачам, и первым показал, какие дефекты регуляторов и управ-
ляющих автоматов являются эквивалентами многих конкретных
заболеваний (например, tabes dorsalis или болезнь Паркинсона).
Подобие становится очевидным, когда мы пытаемся описать ма-
тематические модели таких обыденных действий, как достава-
ние спичек или манипуляции дверной щеколдой. Винер и его то-
варищи разработали именно такие модели — сегодня их техни-
ческие термины (вход, канал связи, выход, память, шум,
количество информации, обратная связь и т. п.) из речи специа-
листов перешли даже в жаргон прессы, обогатив ее излишним
балластом. Но здесь речь идет не о названиях, а об изумитель-
ном событии в истории медицины и науки вообще. Мы имеем
дело со странными диагнозами удивительных врачей: рулевой
механизм корабля был неисправен, симптомы определил мате-
матик, а неврологи знали вид заболевания, прежде чем инжене-
ры изобрели автоматические рулевые механизмы, или своих па-
циентов!
В истории философии можно найти одинаково знаменатель-
ные события — сегодня их трудно оценить в надлежащей степе-
ни, но в свое время они стали верстовыми столбами мудрости,
хотя позже направление дороги неоднократно вынужденно изме-
нялось. Мнение Декарта, что животные являются лишь автомата-
ми, требовало недюжинной независимости разума. Этот сверхма-
териалистический тезис так настойчиво просился к применению
в отношении людей (столь близких к высшим млекопитающим
полным подобием структуры всех органов, не исключая и нейро-
моторного аппарата), что математик мог бы привести собаку и ее
хозяина в качестве примера пары топологически эквивалентных
созданий. Но от Декарта до Павлова прошло три века... Ведь
только сто лет назад поняли, что химические превращения орга-
нической материи подчиняются тем же самым законам, что и хи-
мия неживой природы, и что принцип сохранения массы и энер-
гии справедлив и в отношении живых организмов! Очень трудно
было также преодолеть психологические предрассудки эпохи при
доказательстве того, что действиями людей и животных управля-
ет одна и та же динамика, которая прекрасно была известна уже
в XVIII веке, а вскоре и была практически проверена на различ-

Немного о кибернетике
289
ных машинах. Но самый захватывающий эпизод случился значи-
тельно позже, в 1903 году, когда Вилбур Райт на моторном само-
лете очертил первый круг на небе, а на вопрос, как летает машина,
которая тяжелее воздухе, ответил: «Like a bird» — подобно пти-
це!... Как мы должны это понимать? Поскольку птица является
летающей машиной, то — говорит Райт — я построил машину,
подражающую птице... В этом суждении первого авиатора скры-
вается вера в положение Декарта — до 1903 года большинство
даже очень образованных людей верили, что птица летает пото-
му, что является птицей (и, следовательно, как бы создана для по-
лета) и никакой аппарат с ней не сравнится, так как не является
птицей... Райт поставил на другую карту: птица летает, потому
что является машиной для полета, так что для полета надо просто
построить аппарат, снабженный крыльями, и дать ему вместо му-
скулов бензиновый мотор... Путь Винера шел параллельно пути
Райта, но в обратном направлении: автоматический рулевой ме-
ханизм корабля иногда проявляет неисправность, называемую
«рысканием» — ее можно описать математически. Винер исхо-
дил из того, что человек, протягивающий руку к стакану, должен
иметь управляющий аппарат, и, следовательно, он подвержен де-
фектам, подобным дефектам автоматического рулевого механиз-
ма. Так говорит Винер, а Райт сказал себе, что коль скоро сущест-
вует живая летающая машина, то можно построить искусствен-
ную, которая будет подражать живой по образу действий. Винеру
была известна теория корабельного рулевого механизма и его де-
фектов, и он знал также, что человеческий нейромоторный аппа-
рат подвержен заболеваниям. На этой основе он мог описать сим-
птомы болезни Паркинсона, не заглядывая в учебник нейрофизи-
ологии — его открытие не требовало изобретений иных, нежели
само открытие, что птица является машиной1.
Открытия такого рода не часто отмечает история человече-
ской мысли — к ним можно отнести теорию гравитации Ньютона.
В свое время она не произвела большого впечатления на его со-
1 Братья В. и О. Райт имели многочисленных предшественников, которые, одна-
ко, не сумели подкрепить это открытие созданием искусственной птицы, пре-
доставив это изобретение нашему веку.

290
Гуго Штейнгауз
временников. Даже позднее многие образованные люди (такие,
как Гёте) долго не отдавали себе отчета в том, сколько времени
пробежало на часах, — возможно потому, что моделями теории
были планеты и Луна, т. е. предметы далекие и загадочные. Когда
пару лет назад удалось поместить на орбитах искусственные
спутники Земли, большинство обеспокоилось тем, что будет,
если искусственная Луна упадет на Землю, а меньшинство удив-
лялось, что она не падает. Когда кто-то заметил, что настоящая
Луна тоже не падает на Землю, ему отвечали: «Луна не падает, по-
тому что это Луна», почти дословно повторяя тезис скептиков
авиации «птица не падает, потому что это птица». Лишь немногие
поняли, что если Луна не падает, то и другой предмет, отправлен-
ный во вращение вокруг Земли, тоже не упадет. Еще меньшее
число людей заметили, что являются свидетелями первого в исто-
рии эксперимента, отлично подтверждающего теорию Ньютона
на предметах, к которым прикоснулась рука человека, и видимых
невооруженным глазом. Этого события также пришлось дожи-
даться без малого триста лет, и вновь причиной промедления
были технологические трудности, так как во времена Ньютона не
существовало взрывчатых веществ, способных придать снаряду
скорость по меньшей мере в тридцать раз большую, чем скорость
тогдашнего пушечного ядра. Сегодня еще мало экспериментов
в лабораторном масштабе, позволяющих объяснять ученикам
в школе законы гравитации на моделях, подобно демонстрации,
например, колебания маятника. Недавно я нашел в газете заметку
о наблюдениях, которые межпланетная станция MARINER II пе-
редала на Землю. Информация доказывала невозможность орга-
нической жизни на Венере — эта заметка была набрана петитом.
Ракета за сто дней преодолела около 80 000 000 км, чтобы под-
твердить старый афоризм, что между небом и Землей есть многое,
что и не снилось школьным умникам. Действительно, мне бы ни-
когда не могло присниться, что я увижу такое утверждение, напе-
чатанное петитом в газете, т. е. там, где обычно самыми жирными
буквами сообщаются нелепые новости (которые даже со знаком
минус не становятся правдивыми).
Философы давно задумались над вопросом, является ли чело-
век машиной? Прекрасный ответ на этот вопрос дают марионет-

Немного о кибернетике
291
ки, которые вызывают аплодисменты подобием своей внешности
и движений человеческому прототипу — секретом деревянного
полишинеля является его подчинение тем же самым законам ме-
ханики, которым подвластен живой клоун в цирке. Но я не думаю,
что всегда было легко поверить в принципы, которые сегодня зву-
чат так естественно... Ведь не более чем сто лет назад Парижская
Академия наук занялась парадоксом кота, падающего на четыре
лапы, если его вначале удерживать в перевернутом положении,
подвесив на четырех нитках, привязанных ко всем лапам. Рацио-
нальная механика (так назвали ее великие создатели, члены той
же Академии) давно умеет объяснять этот занимательный экспе-
римент, но сам факт разногласий во мнениях свидетельствует,
что было немало и сторонников иного объяснения кошачьего sal-
to mortale — пожалуй, каждый догадается, что это объяснение
сводилось к тому, что кот всегда падает на четыре лапы, потому
что это... кот. Людям всегда такая иррациональная механика нра-
вилась больше рациональной.
В настоящее время полемика развернулась вокруг машины
для вычислений, а говоря чуть серьезнее — электронного циф-
рового компьютера, который уже не является ни играющим шка-
фом, ни автоматом для продажи перронных билетов. У совре-
менных компьютеров более высокие амбиции: они играют
в шахматы, сочиняют танцевальную музыку и подтверждают
аутентичность подписей. Правда, пока они делают это хуже,
чем живые специалисты, но нелегко найти человека, который
один заменил бы компьютер во всех трех функциях, а в качест-
ве побочного занятия за несколько минут мог бы решить сто
уравнений со ста неизвестными. Скептики утверждают, что лю-
бая деятельность электронного компьютера всегда является
лишь выполнением программы, написанной рукой человека и
вложенной в выдвижной ящик машины тоже человеком, для ко-
торого она остается слепым инструментом. Но защитники ма-
шины указывают им, что метафора «слепой» в данном случае не-
уместна, так как человеческий глаз тоже является инструментом
(но отнюдь не слепым), и что эволюция науки была подобна от-
крытию кибернетики, поскольку изобретение стеклянной линзы
и открытие ее свойства концентрировать световые лучи предше-

292
Гуго Штейнгауз
ствовали признанию анатомами роли хрусталика глаза . В ответ
противники машин упрекают компьютеры в отсутствии созна-
ния, так как трудно представить себе такую машину, отдающую
себе отчет в проделанном, а еще труднее — такую, которая мог-
ла бы свободно принимать решения.
Вместо того, чтобы защищать машины, я позволю себе на-
помнить, что пишет Паскаль о таких играх, как орел-решка. По
его мнению, даже игрок с небольшими умственными способно-
стями победит в этой игре наивного противника, если правильно
оценит его «наивность» — т. е. догадается, например, что про-
стачок, проиграв на орла, поставит на решку. Более изощренный
партнер справится со средне сообразительным, который может
победить только абсолютно неразвитого и т. д. Для того чтобы
воспользоваться теорией Паскаля, надо на основании несколь-
ких первых ходов (а, возможно, и по внешнему виду партнера)
правильно оценить степень его сообразительности. Однажды в
баре в Нью-Мексико я видел, как мой приятель играл со случай-
ным противником и успешно побеждал его, используя советы
Паскаля. Но что случится, если партнером будет компьютер?
Д. У. Хагельбергер дал ответ на этот вопрос с помощью соответ-
ствующей модификации машины, которую он заставил угады-
вать, положил ли живой партнер монету вверх орлом или реш-
кой. После большого количества опытов оказалось, что машина
в среднем выигрывает в 55 случаях из 100. Секрет выигрыша ма-
шины заключается в том, что она записывает в память всю исто-
рию игры с самого начала, так как ее опекун каждый раз инфор-
мирует ее о результате. Сначала эта информация не дает ника-
кой пользы, но после нескольких десятков записей машина
начинает основывать свои решения на опыте, т. е. она ищет в па-
мяти этапы игры, состоящие из нескольких (например, из трех)
последовательных решений игрока и стольких же собственных
ответов. При этом она производит отбор так, чтобы такие циклы
(шестерки) совпадали, и, обнаружив такие циклы, делает вывод,
что живой игрок поступит так, как он поступал раньше в боль-
1 С конца ХШ века уже Роджеру Бэкону было известно об увеличительных стек-
лах, но только в XVI веке Ф. Мавролико сравнил глазной хрусталик с линзой.

Немного о кибернетике
293
шинстве этих выбранных случаев. Это предположение машина и
сообщает в качестве своего ответа. В этой ситуации живому иг-
року не поможет даже паскалевское остроумие: даже если он по-
пытается отступить от используемых до сих пор правил и изме-
нить тактику, то рано или поздно он начнет действовать рутинно
и проиграет на долгой дистанции. Еще хуже обстоит дело, когда
живой игрок начинает считать, что он имеет дело с «тупым» ав-
томатом, циклически повторяющим сигналы, раз и навсегда за-
писанные на ленте. И наоборот: электронный компьютер прини-
мает живого партнера за автомат и не сильно в этом ошибает-
ся — положительный баланс машины заставляет человека
признать, что это компьютер его раскусил, а он, живой игрок,
недооценил разумность аппарата. Таким образом, электронный
шулер оказывается гораздо богаче и мудрее живых...
Две большие войны стерли из нашей памяти имя испанского
ученого Торреса Кеведо. Не имея в своем распоряжении элект-
ронной техники, он сумел перед Первой мировой войной сконст-
руировать электрического шахматиста, объявлявшего мат коро-
лем и ладьей одинокому королю, управляемому живым игро-
ком, который имел право определять произвольное начальное
положение всех трех фигур; электрический игрок побеждал все-
гда за кратчайшее число ходов, определяемое давно известной
живым шахматистам теорией. Улам и Штейн решили исследо-
вать, не ошибся ли Винер в своем предсказании, что электрон-
ные компьютеры сравняются с опытными шахматистами марки
«гомо сапиенс». В своем отчете 1957 года они объясняют, поче-
му компьютеры играют очень слабо. Если машина должна играть
посредственно, то обязана, подобно человеку, рассматривать и
оценивать по меньшей мере три ближайших собственных хода и
столько же ответных ходов противника. По приближенной оцен-
ке это соответствует 64 миллионам ветвей, соединяющих началь-
ное положение с тем, которое будет на шахматной доске после
этих щести ходов, так что даже самые качественные машины дол-
жны были бы думать над каждым ходом несколько часов, а зна-
чит партия продолжалась бы целыми неделями... Как же получа-
ется, что на 64 полях человек все еще полностью преобладает над
компьютерами? Ведь несовершенство человеческой памяти, к со-

294
Гуго Штейнгауз
жалению, нам хорошо известно! Каким образом человек в течение
одной или двух минут находит ход, радикально разрушающий по-
зицию, которую машина создавала в течение многих часов? Преи-
мущество человека обусловлено широтой его мышления: если че-
ловек, например, видит, что его король находится в трудном поло-
жении на правом фланге, то он не будет раздумывать над
возможным ходом своей пешки на краю левого фланга. Человек
также не будет учитывать очевидно бесцельные ответы против-
ника — это настолько уменьшает поле выбора, что у него редко
возникает необходимость десятиминутного размышления. Имен-
но это умение отличать существенное от несущественного или,
иными словами, искусство «обрисовать» ситуацию несколькими
движениями кисти (минуя тысячи деталей, которые машина по-
следовательно анализирует все без исключения) дает шахматисту
преимущество над компьютером. Это поразительное человече-
ское свойство до последнего времени оставалось столь незаме-
ченным, что у него нет даже соответствующего названия, но
именно оно позволяет нам осуществлять массу операций, требу-
ющих специфической точности (умение ходить по пересеченной
местности, оценка на глаз ширины канавы, отгадывание по не-
скольким штрихам изображаемого на карикатуре лица, понима-
ние содержания документа при беглом чтении и многое другое), и
именно этому свойству человека будут завидовать компьютеры,
если когда-нибудь научатся у человека чувству зависти.
Идя по этому пути, Ст. Улам выдвинул концепцию «синерге-
тики», основанную на разделении работы между человеком и ма-
шиной. Человек делит поле зрения на несколько частей и класси-
фицирует их по важности, после чего отбрасывает те, которые
считает не имеющими значения (в шахматной игре или в иной
проблеме, требующей его решения), а в оставшейся части поля
выбирает несколько возможных решений и приказывает машине
изучить их последствия и помочь ему выбрать наилучшее реше-
ние. После нескольких собственных ходов человек может вновь
подключить машину к анализу ситуации. Например, при игре
в бридж роль машины следовало бы ограничить запоминанием
ходов, а человеку — предоставить выбор карты, после получения
от электрического суфлера сообщения относительно расклада.

Немного о кибернетике
295
Общеизвестным примером синергетики может служить взаимо-
действие водителя автомобиля с двигателем, при котором послед-
ний выполняет работу, связанную с энергетическими затратами,
оставляя водителю функцию коррекции направления движения.
Если мы сравним аппарат Торреса Ксвсдо с компьютером, иг-
рающим в шахматы при полном комплекте фигур, то возникает
вопрос — почему старомодный электрический аппарат блестяще
справляется с заданием, а в тысячу раз более быстрый компьютер
оказывается таким беспомощным перед человеком? Ответ сво-
дится к тому, что шахматисты давно решили проблему игры коро-
ля и ладьи против одинокого короля, а также вывели точные пра-
вила, определяющие для каждого положения этой тройки фигур
наилучший ход белых, так что (поскольку аппарат играет белы-
ми) Торресу потребовалось только встроить эти правила в аппа-
рат. Ничего подобного нет в шахматной игре с полным комплек-
том фигур, так как, вообще говоря, в шахматах неизвестно даже,
игра каким цветом теоретически должна приводить к победе или
поражению (хотя известно, что такое правило должно существо-
вать!).
Война отличается от шахматной игры тем, что здесь ситуа-
ция оценивается посредством тысяч телеграфных, телефонных,
радиотелефонных и прочих сообщений, а так называемый театр
военных действий охватывает целые континенты и океаны. Не-
которые теоретики проблем современной войны желают под-
нять на высший уровень значение «здравого рассудка» полко-
водцев. Например, один из экспертов, сэр Солли Цукерман1,
опасается, что слишком изощренная автоматизация всех реше-
ний может (в связи с огромным числом параметров, точные зна-
чения которых знать невозможно) привести к фатальным реше-
ниям в определенной ситуации. Действительно, если все будет
зависеть от беспощадной логической машины, то может прои-
зойти какая-нибудь неожиданность, важность которой машина
не заметит, хотя ее мог бы с легкостью учесть каждый благора-
зумный и опытный полководец, доверяющий не столько маши-
не, сколько обычной крестьянской смекалке. Короче говоря, ан-
1 Operation Research Quarterly, 13, 3, Sept. 1962.

296
Гуго Штейнгауз
глийский эксперт НАТО мог бы считаться сторонником сине-
ргетики, если бы знал, что такая теория существует и дозрела до
практического применения, но оба предположения выглядят со-
мнительными. Но как можно полагаться на здравый смысл или
крестьянскую смекалку, если они возникают в основном из опы-
та, а приобрести опыт современной войны не имел возможности
еще никто, поскольку никто еще не применял атомные боеголов-
ки и ракеты дальнего радиуса действия на густо населенных тер-
риториях. Сегодняшняя война, в которой одна сторона верила
бы в непогрешимость машин, а другая — в рекомендации и опа-
сения С. Цукермана, была бы подобна игре в шахматы, когда по
одну сторону шахматной доски сидел бы компьютер, а по дру-
гую неопытный шахматист — как мы знаем из исследований
Улама и Штейна1, шансы в этом случае более или менее равны...
Эксперт также с недоверием относится к современной теории
игр, которую он считает разделом статистики и теории вероят-
ностей, в чем ошибается. В связи с тем, что нам (к счастью)
очень мало известно о будущей войне, мы должны будем (если
примем предположение о возможности такой войны за разум-
ную гипотезу) учиться на собственном опыте в процессе сраже-
ний. Регистрацию столь важных событий и обеспечение непре-
рывной «обратной связи» в этом случае нельзя доверить никому,
кроме машины будущего — обладатель такой машины будет в
такой же ситуации, что и конструктор машины, выигрывающей
в соотношении 55 : 45 в орла-решку.
В конце XIX века многие охотно повторяли фразу известного
физиолога Эмиля Дюбуа-Реймона {Ignoramus et ignorabimus, т. е.
«не знаем и не будем знать!») и составляли списки так называе-
мых неразрешимых проблем, которые за сто лет до этого Имма-
нуил Кант назвал антиномиями чистого разума. Было ли начало
мира или он существовал всегда? Будет ли он существовать веч-
но? Ограничен он или безграничен? Может ли живая материя воз-
никнуть из мертвой или только из живой? Появление электрон-
ных компьютеров напомнило нам фразу берлинского физиолога,
который помещал ответы за границами науки, как недосягаемые
1 Chess Review, Jan. 1957.

Немного о кибернетике
297
для человеческого разума. На фоне этих классических дилемм во-
прос о том, является ли электронный компьютер живым сущест-
вом, каждому представляется комичным по своей нелепости, од-
нако его стоит поставить, так как он заставляет задуматься над
тем, что является характерной особенностью живых организмов.
Новые открытия механизмов в органическом мире и в самом че-
ловеке пробуждают у нас старую как мир мечту о гомункулусе —
если человек является машиной, то почему машина не может
быть человеком? Название «электронный мозг» 30 лет назад вы-
теснило из словаря термин «робот», но оба они суть проявление
одних и тех же идей, самая старая из которых восходит еще к Ада-
му, вылепленному из глины. Эти идеи раньше имели лишь одно
направление: из мертвого можно было сотворить живое, а обрат-
ное превращение всегда было сопряжено с проклятием и карой.
Кроме того, нельзя забывать о проблеме сосуществования сво-
бодной воли с абсолютным детерминизмом — пример такого
подхода мы видим в исламе. В решении задачи подводит и эстети-
ческий критерий, поскольку лишь некоторые люди (почти исклю-
чительно мужчины) склонны усматривать в машинах специфиче-
скую красоту. Известная работа Гюйсманса «A rebours» (против
шерсти), который первым ввел в искусство так называемый техно-
романтизм, завершает определенную эпоху, а гениальный созда-
тель этого выражения предсказал гибель тому поколению, которое
продаст душу машине. А может быть, и тело? Кто победит в войне
машин и людей? Сколько людей и сколько машин погибло в по-
следних войнах? Эта статистика известна, хоть для машин это и не
похвально.
Естествоиспытатели склонны считать критерием жизни об-
мен материей между живым существом и окружающей средой,
а также продолжение существования живых организмов путем
размножения. Я добавил бы сюда и смерть как одну из особенно-
стей жизни: все, что живет, умрет. Самопроизвольное движение
является не необходимым атрибутом жизни, а лишь достаточ-
ным, и существуют машины, которые могут претендовать на зва-
ние живых в силу своего движения. Название «автомобиль» до-
словно означает лишь нечто, что само движется, чему соответст-
вует в переводе слово «самоход». Весьма характерно, что первые

298
Гуго Штейнгауз
люди, которым на глаза попались автомобили, видели в них имен-
но то, что казалось наиболее существенным (накопленный опыт
научил их, что повозка нуждается в тягловом животном, которое
ходит самостоятельно, потому что является живым), и удивление
при виде самодвижущейся повозки отразилось в названии. Люди,
знакомые с ролью автомобилей на Западе (особенно в Соединен-
ных Штатах), и сами западные социологи сходятся в том, что су-
ществующее там пристрастие к автомобилям нельзя объяснить
никаким рациональным образом. Дорог для пешеходов там, соб-
ственно говоря, нет, а улицы настолько забиты автомобилями,
что для них необходимо строить многоярусные магистрали.
Правда, цена автомобиля, особенно подержанного, невелика, но
стоимость содержания, ремонта, страховки и парковки является
ощутимой. Дальние поездки на автомобиле утомительны, а хло-
пот с ним в чужом городе немало. Столь неразумное отношение
к машине можно объяснить только усмотрением в ней чего-то
большего, чем бездушная глыба вещества. Мне известен только
один пример превосходства машины над человеком (даже более
всеобъемлющего, чем автомобиль) — это ротационная печатная
машина, однако в этом случае превосходство является косвенным
(через продукт, именуемый печатью), так что этот пример требу-
ет отдельного изучения, которое невозможно уместить на полях
рукописи.
Самопроизвольное движение требует свободной воли, нали-
чие которой у машины сомнительно, но мы можем спросить, име-
ет ли ее сам человек? Однажды я был свидетелем постгипнотиче-
ского эксперимента (т. е. такого, в котором медиум после пробуж-
дения должен выполнить приказания, отданные ему во время
гипнотического сеанса), причем эксперимент был организован
так, что любые возможности мошенничества были исключены.
После пробуждения медиум вел себя совершенно нормально,
хотя присутствующие знали, что когда придет пора возвращаться
домой, то медиум потребует, чтобы ему одолжили книгу, лежа-
щую на столе. В нужный момент хозяин сознательно создавал
трудности, но медиум обосновывал свои действия и упорствовал
в желании, которое было ему чуждым. Не было ли это желание
тогда подобно камню, сброшенному ногой туриста с горного

Немного о кибернетике
299
склона? Возможно (если бы камень обладал сознанием свободно-
го выбора и умел говорить), камень сказал бы нам: я иду вниз, так
как договорился о встрече со знакомым мне камнем?... Ведь еще
Аристотель объяснял падение тел стремлением всякой материи к
движению вниз в вертикальном направлении.
Для принципиальных материалистов не существует резкой
границы, разделяющей мир на органическую и неорганическую
половины — есть только вопрос сложности, поскольку богатст-
вом структур органические клетки превышают все, что мы счита-
ем мертвой материей. Печень состоит из миллионов клеток, каж-
дая из которых является столь сложным комплексом различных
элементов, что самый большой электронный компьютер выгля-
дит в сравнении с ней слишком примитивным механизмом, по-
скольку физиологические задачи печени удивительно разнород-
ны и сложны. Решая эти задачи, природа не стала прибегать к ма-
гическому заклинанию «печень — это печень», а построила
гигантский комплекс миниатюрных автоматизированных фаб-
рик, что является доказательством универсальности и единства
законов природы. Электронные машины безусловно технически
проще этих фабрик, и поэтому мы должны не удивляться, что они
слабо играют в шахматы, а лишь констатировать, что природа
тоже не располагает гениальными конспектами, когда ей пред-
стоит решать трудную задачу.
Верующие люди (я подразумеваю верующих в Священное
Писание) решают вопрос о живой и мертвой материи, приписы-
вая Творцу живую и бессмертную силу творения из хаоса косми-
ческого порядка, а затем и органической жизни, вершиной кото-
рой является человек. Так что неудивительно, если бы этот чело-
век в свою очередь сумел сконструировать и создать предметы,
наделенные способностью восприятия, координирования движе-
ний, питания, размножения, принятия решений, умения играть и
борьбы за существование. Один из самых великих математиков
нашего века, недавно умерший Дж. фон Нейман поставил перед
собой задачу определить, способна ли электронная машина со-
здать другую (лучшую и более точную копию себя самой), и по-
лучил некоторые результаты, свидетельствующие о возможности
такого процесса.

300
Гуго Штейнгауз
Имя фон Неймана связано с теорией игр, а вероятностные
игры — с творчеством Паскаля, который первым сформулиро-
вал теорию азартных игр в виде отдельной доктрины, называе-
мой теорией вероятностей. Но фон Нейман, а до него пара дру-
гих ученых, из которых самым ранним был французский мате-
матик и политик Эмиль Борель, занялись иным аспектом игр, а
именно принципом оптимального поведения. На первый взгляд
кажется, что такое поведение невозможно определить без зна-
ния правил, которыми пользуется противник, однако нам изве-
стно, что противник тоже не знает наших правил. Математика
умеет справляться с такими ситуациями, в результате чего тео-
рия игр, никому не известная до Первой мировой войны, после
Второй стала развитой областью науки. Эта теория позволяет
выйти из заколдованного круга с помощью оптимальной страте-
гии, но в реальных ситуациях поиск такой стратегии может по-
требовать долгих вычислений. Именно в таких ситуациях спе-
циалистам по теории игр на помощь приходит электронная ма-
шина, так как она может не только играть в шахматы и шашки,
но и многое другое. Теория игр, действительно, позволяет ре-
шать множество задач: от распределения грузовых вагонов по
железнодорожной сети страны до определения эффективности
применения конкретного лекарства на основании нескольких
сотен проб.
Проблема потенциальных способностей машины (или наобо-
рот, их неспособности) появилась примерно сто лет назад в меч-
тах об автоматах, говорящих человеческим голосом. Затем из
лиры возникла обычная шарманка (но она была при этом лишена
поэтического ореола), а уже позднее дело дошло до героев бари-
тона и героинь сопрано, имена которых мы видим на мраморных
досках театров, хотя создатели памятных досок возможно не по-
нимали, что скорее следовало бы процарапать иглой на воске
голос знаменитой Малибран, чем высечь резцом на камне ее имя.
Из всех машин, созданных во второй половине XIX века, простей-
шей является граммофон: вращающаяся пластинка (сначала вос-
ковая, потом эбонитовая) и стальная игла, острие которой опира-
ется на пластинку, а другой конец соединен с металлическим ру-
пором. Благодаря своей простоте изобретение Эдисона уже

Немного о кибернетике
301
в прототипе можно было изготовить настолько превосходно, что
когда его впервые продемонстрировали в парижской Академии
наук, то многие академики стали озираться в поисках чревовеща-
теля. Дело в том, что врачи (ссылаясь на свой авторитет в вопро-
сах горла, носоглотки, голосовых связок и языка) утверждали до
этого, что естественный фонетический аппарат человека является
уникальным. Считалось, что он имеет столько изумительных осо-
бенностей, что никакая машина (не говоря уже о какой-то там
пластинке с гвоздиком) никогда не сможет подражать человече-
скому голосу, созданному матерью-природой. В этом эпизоде
вновь проявилась сила веры в наследственную привилегию по-
томков Адама: человек говорит, потому что он является челове-
ком, а следовательно, никакая машина не может говорить челове-
ческим голосом. Но машина говорила человеческим голосом, а ее
победа была полной — о впечатлении пусть свидетельствует по-
весть Eve future*, герой которой с помощью Эдисона создает ис-
кусственную женщину. Сюжет книги построен на вопросе: если
граммофон верно воспроизводит высоту тона и его окраску, ак-
цент, индивидуальные особенности речи и напряжение голоса (а
также звуковой образ всех чувств, которые мы ощущаем в словах
и песнях), то не превзойдет ли искусственная женщина живую в
том, о чем мечтает создавший ее поклонник? Все человеческие
чувства (радость и отчаяние, надежда и сомнение) при этом сво-
дятся к следу в канавке, вырезанной иглой на пластинке в процес-
се записи. Этот след можно представить зависимостью у =f(x),
где х означает время, а у глубину следа... таким образом, все оча-
рование голоса тенора в известной арии из оперы «Тоска» можно
выразить с помощью непрерывной функции одной переменной, а
граммофон является экспериментальным доказательством этого
утверждения. Для воспринимающих музыку людей он играет за-
ранее оговоренную роль, из чего можно сделать и обратный вы-
вод: человек является говорящей и поющей машиной, а его орга-
низм содержит среди многих других аппаратов также голосовой
аппарат. Сегодня об этом знает каждый, но до Эдисона мало кто
принял бы такую грубую формулировку фактов.
1 Villiers de l'lsle Adam, 1886.

302
Гуго Штейнгауз
Не заслуживает ли внимания философов настойчивое жела-
ние людей оговорить свою монополию на некоторые действия и
их неспособность сделать общий вывод из поражений, то и дело
наносимых нам машинами? Обычно мы утешаемся тем, что эти
машины создал человек... Дело обстоит именно так, но из этого
не видно никаких принципиальных оснований, гарантирующих
нам вечные патентные права на все возможные изобретения, мно-
гие из которых нам еще не снились...
Граммофон является звуковым аналогом фотопленки (т. е.
аппаратом только регистрирующим и воспроизводящим), так что
его нельзя отнести к универсальным машинам, похожим на со-
временные компьютеры. Проблемы сегодняшнего дня уже требу-
ют создания аппарата, который бы мог читать ноты и текст, пре-
вращая их в песню так, как это делает певец, глядя на партитуру.
На этом пути нет никаких принципиальных препятствий (хотя
технические трудности могут быть немалые), однако остается не-
ясным, должны ли мы радоваться или огорчаться тому, что в не-
далеком будущем мы будем представляться друг другу в виде ко-
робочек, которые на банальные вопросы будут давать банальные
ответы. Материалы для таких бесед можно найти в «Словаре че-
ловеческой глупости» Г. Флобера, так что на вопрос о том, может
ли машина мыслить, мы можем получить деликатный ответ: «к
сожалению, нет — у нас нет души» (в связи с этим можно отме-
тить, что термин «могущественный электронный мозг», приду-
манный мозжечком недалеких журналистов, выглядит не опла-
ченной взаимностью лестью в адрес машины).
Концепция обратной связи в вычислительных машинах про-
является в виде контролирующих устройств, и мы можем пред-
ставить себе се использование в граммофоне. Можно предполо-
жить, что принцип синергетики вскоре найдет себе дорогу и к
компьютерам, но ситуацию характеризуют не только эти, мимо-
ходом сформулированные тенденции. Популяризация задач, сто-
ящих перед нашим поколением, сама по себе является непростой
проблемой. Количество ученых, вовлеченных в нее, превышает
их совокупное количество во всех предыдущих поколениях, поэ-
тому следует, прежде всего, говорить о популяризации для самих
ученых. Лишь немногие гуманитарии отдают себе отчет в сущно-

Немного о кибернетике
303
сти математической проблематики. Например, недавно я прочи-
тал серьезную статью, в которой «математическим гением» был
назван один из так называемых счетчиков (умеющих за пару се-
кунд перемножать в уме многозначные числа). Писавший об этом
журналист, по-видимому, просто не знал работ французских пси-
хологов конца XIX века (которые еще тогда подметили, что среди
таких счетчиков много умственно недоразвитых личностей), но, с
другой стороны, лишь очень немногие математики знакомы с до-
стижениями современной генетики. Мы подобны Крезу, который
не мог сосчитать своих богатств. Мы живем в эпоху взрывов, не
только атомных. Европейские монархи в первой четверти XIX
века посылали своих гонцов на перекладных конях, но за тысячи
лет до этого такой способ был известен и египетским фараонам.
Скорость передвижения менялась очень незначительно за время
от момента, когда человек впервые оседлал коня, до момента пус-
ка локомотива Стефенсона, но в это последнее мгновенье она сра-
зу удвоилась. Удвоение скорости первых поездов произошло все-
го лишь за следующие 50 лет, после чего последовало еще 8 таких
удвоений скорости транспорта. Переход от реактивного самоле-
та, летящего со скоростью звука, к ракетам с космонавтами, летя-
щими вокруг Земли, потребовал пяти удвоений и произошел в те-
чение шести лет — это значит, что в настоящее время человек
ежегодно удваивает скорость своих транспортных средств! Рост
населения земного шара тоже приобретает характер взрыва —
в настоящее время период его удвоения составляет около 50 лет.
Если бы темп роста был постоянным, то из этого следовало бы,
что до Рождества Христова на Земле вообще не было людей (оши-
бочность такого рассуждения наглядно доказывает то, что период
удвоения населения стремительно убывает). Экономические
(а следовательно, и политические) последствия таких процессов
сегодняшний наблюдатель просто не видит, и они предстанут пе-
ред нами внезапно, как свершившийся факт. Это недалекое буду-
щее проявится как результат бурного развития технологии, кото-
рая основана на новых источниках энергии. С 1643 года (когда
Паскаль придумал свою машину) до появления арифмометров
прошло около 250 лет. Для перехода от арифмометров к компью-
терам понадобилось лишь 50 лет, а в настоящее время период уд-

304
Гуго Штейнгауз
воения быстродействия цифровых машин продолжает иметь
взрывной характер (поэтому все здесь написанное устареет еще
до того, как будет напечатано).
Таким образом, трудно оценить или предвидеть роль цифро-
вых машин в будущем. Когда в начале нашего столетия появился
кинематограф, зрители наслаждались видом въезжающего на
станцию поезда или преодолевающего препятствия всадника.
Тогда всем казалось, что кино будет продолжать показывать ин-
тересные события, заснятые в движении, но никто не предвидел,
что оно станет производителем произведений искусства, т. е. те-
атром универсального и коммерческого формата. Современные
компьютеры рассчитывают пенсии и зарплаты работников или
находят противоречия в налоговых ведомостях, но следует ду-
мать, что сам факт существования машин вызовет и иные, несрав-
ненно более важные проблемы, о которых мы сегодня ничего не
знаем.
Удастся ли решить все эти проблемы? Думаю, что нет. Удаст-
ся ли решить некоторые из них? Думаю, что да. Как закончится
игра между человеком и машиной? Не знаю, но лишь уверен, что
эта проблема представляет собой игру с бесконечно большой
ставкой...

Памяти Леона Лихтенштейна
августа 1933 года в Закопане скоропостижно скончался
Леон Лихтенштейн, доктор философии и технических
наук, профессор математики Лейпцигского университета, дейст-
вительный член Польской Академии наук, Саксонской Академии
наук и Львовского научного общества, член Польского матема-
тического общества и многих других научных организаций и
объединений.
Это известие быстро распространилось по всем научно-ис-
следовательским центрам. На страницах профессиональных из-
даний математический мир подробно был проинформирован о ве-
личине этой утраты. Это нелегкая задача. Богатство и многосто-
ронность научных достижений покойного затрудняют суждение
о его заслугах, суждение, обоснование и суть которого не были
бы слишком легкими в связи с важностью Дела, и оценку, форму-
лировка которой соответствовала бы достоинству Человека.
Поэтому в настоящем некрологе я ограничусь приведением
некоторых фактов и дат из жизни Леона Лихтенштейна в надеж-
де, что и другие специалисты напишут об иных заслугах этого
всемирно известного математика, превосходного знатока теоре-
тической астрономии и гидродинамики, основателя и издателя
математических журналов, прекрасного лектора и любимого уче-
никами профессора. Еще в юности он понял, что исток и устье ма-
тематики совпадают (они находятся в ее применениях). Он всю
жизнь шел вверх по течению этой реки, и в конце жизни начал ис-
кать в философии те таинственные источники, из которых выте-
кают истина и красота математики.
21

306
Гуго Штейнгауз
Составленный ассистентом лейпцигского Математического
института предварительный список работ покойного насчитыва-
ет 127 названий, включая четыре книги.
Самая объемная из них, «Grundlagen der Hydrodynamik» (XVI
+ 506 с), опубликованная в 1929 г. издательством Springer, явля-
ется полным учебником гидродинамики, причем львиную долю
содержания составляют собственные результаты автора.
«Astronomie imd Mathematik in ihrer Wechselwirkung» (1923)
представляет собой обзор классических проблем астрономии и
анализа в их взаимодействии от Ньютона до новейших времен.
«Vorlesungen tiber einige Klassen nichtlinearer Integralglei-
chungen und Integrodifferentialgleichungen» (1931) является мо-
нографией, где, в частности, помещены также те новые резуль-
таты, которые автор излагал на лекциях во Львове в течение од-
ного триместра 1930 года, будучи гостем университета Яна
Казимежа.
Последняя из книг, «Gleichgewichtsfiguren rotierender Flussig-
kciten» вышла в текущем году и появилась на полках книжных
магазинов незадолго до смерти автора.
По размеру книгам немногим уступают энциклопедические
статьи. Статьи о теории потенциала и конформных отображениях
и дифференциальных уравнениях в частных производных эллип-
тического типа (200 и 57 стр.), представляют собой части ИСЗ и
НС 12 математической энциклопедии Тойбнера (они были опуб-
ликованы в 1918 и 1924 гг.), а о количестве вложенного в них тру-
да свидетельствуют 640 ссылок к первой из статей. Третья, о тео-
рии интегральных уравнений и функциях бесконечно многих пе-
ременных, помещена в 4 параграфах списка работ Паскаля (1929).
Четыре статьи являются рецензиями на работы Ф. Рисса,
К. Неймана, О. Д. Келлога и Э. Мейерсона. Последняя из них от-
носится к философии и вышла в «Erkenntnis» (1933). Но кроме нее
мы найдем в списке пять философских работ, появившихся под
влиянием Э. Мейерсона, последняя из которых (в журнале «Jour-
nal de psychologie») еще находится в печати.
Одиннадцать научных работ в области космогонии, в осо-
бенности по теории формы небесных тел, появились в «Mathe-
matische Zeitschrift», а также в отчетах саксонской и баварской

Памяти Леона Лихтенштейна
307
академий, в отдельном сборнике в честь Зеелигера, в «Annali
della Scuola Normale superiore di Pisa», в «Wiadomosci Matema-
tyczne» и в «Enseignement Mathematique». Эти 11 работ, появив-
шиеся в течение стольких же лет, являются наибольшей из науч-
ных заслуг Леона Лихтенштейна и незыблемым памятником ему.
Идя по пути великих математиков двух столетий, по пути Макло-
рена, Клеро, Даламбера, Лапласа, Якоби, Дирихле, Римана и Пу-
анкаре, Лихтенштейн решил использовать все те математические
средства, которыми столь обильно располагал, чтобы в серии за-
думанных крупномасштабных аналитических исследований рас-
крыть загадки равновесия вращающихся тел, которые мы видим
над собой в виде планет или планетарных и кольцевых систем.
Нужна была большая вера в могущество анализа и не мень-
шая вера в свои силы, чтобы работать в областях, откуда вожди
математической мысли не раз возвращались, не одержав решаю-
щей победы. Достаточно вспомнить, что полемика между
Дж. Г. Дарвином и Ляпуновым относительно устойчивости од-
ной из форм равновесия продолжалась целые годы, поскольку ни-
кто не хотел углубляться в гущу формул, хотя было известно, что
наверняка содержащийся в них результат важен для космогони-
ческой теории. Лихтенштейн не ожидал, подобно другим, счаст-
ливого момента вдохновения, который укажет легкий путь, пока
изящный прием избавит от копания в формулах и поисков доказа-
тельств сходимости. Он любил цитировать Больцмана: «Изяще-
ство — это дело сапожников и портных». Он был из тех строите-
лей, которые сами тащат камни, когда подводят каменщики.
К космогоническим работам примыкает также другая серия из
тринадцати публикаций в области гидродинамики, где он допол-
няет математические основы, размышляет над предпосылками,
подводит результаты и делает обобщения.
Ранние работы, однако, говорят о технических применениях
математики; восемнадцать работ касаются теории кабелей высо-
кого напряжения и связанных с этим математических и экспери-
ментальных задач. Об этом периоде своей жизни он не любил
вспоминать, но один из профессоров политехнического институ-
та уверял меня, что именно эти работы определили деятельность
автора на кафедре электротехники.

308
Гуго Штейнгауз
Чистая математика обязана ему одиннадцатью работами по
вариационному исчислению, девятнадцатью по теории потенци-
ала, двадцатью шестью по теории дифференциальных уравне-
ний в частных производных и четырнадцатью по другим разде-
лам анализа, в том числе по теории функций действительной пе-
ременной. Он одним из первых использовал в анализе теорию
функций бесконечно многих переменных, а в вариационном ис-
числении получил бесконечный ряд все более точных условий,
используя ортогональные разложения, — идею совершенно ори-
гинальную и неожиданную.
Леон Лихтенштейн родился 16 мая 1878 г. в Варшаве, закон-
чил там в 1893 г. частную школу Панкевича и в следующем году
сдал экзамен на аттестат зрелости в государственной школе. За-
тем он записался на отделение механики политехнического ин-
ститута в Шарлоттенбурге ив 1901 г. получил диплом инженера
по строительным машинам. Год он был на практике и имел также
один год перерыва в учебе. В 1901-1902 гг. изучал электротехни-
ку в том же самом политехническом институте и поэтому посту-
пил на фирму Сименс-Гальске (переименованную позже в Си-
менс-Шукерт) в качестве инженера-электротехника. В течение
трех лет работал в лаборатории этой фирмы, один год рассчиты-
вал провода для электрифицированных железных дорог, а с
1906 г. возглавлял кабельную лабораторию. С 1918 г. был матема-
тиком-экспертом на фирме Сименса.
В 1908 г., т. е. будучи 30-летним мужчиной, он сдает экзамен
на знание немецкого языка, чтобы в том же году получить степень
доктора технических наук в Шарлоттенбурге.
Несмотря на успехи в инженерной деятельности, он не нашел в
своей профессии достаточного поля для его теоретических способ-
ностей и поэтому в 1906 г. записался простым слушателем в бер-
линский университет, где в 1909 г. получил звание доктора филосо-
фии. В следующем году в Шарлоттенбурге защитил диссертацию
и до 1920 г. преподавал там математику, а в 1919 г. стал почетным
профессором. На этот период (1904-1920 гг.) приходятся работы
в области теоретической и практической электротехники.
В 1920 г. он был приглашен на кафедру математики в Мюн-
стер, что означало для него освобождение от различных практиче-

Памяти Леона Лихтенштейна
309
ских обязанностей и разрыв с инженерной сферой деятельности,
которую он считал не столь необходимой, планируя на далекую
перспективу занятия математикой. Старая обитель математики,
Лейпцигский университет, связанный с именами Нейманов и исто-
рией теории потенциала, пригласил его в 1921 г. на должность про-
фессора. Там он в течение двенадцати лет работал как ученый и
профессор, там издавал «Jahrbuch uber die Fortschritte der Mathema-
tik» (1919-1927), там продолжал издание «Mathcmatische Zeitsch-
rift», главным редактором которого был с его основания в 1918 г.
Саксонская Академия наук 8 июня 1925 г. избрала его своим дейст-
вительным членом, а спустя три года этой чести его удостоила
Польская Академия наук. В 1931 г. он становится действительным
членом Львовского научного общества, с 1923 г. он является соре-
дактором «Prace Matematiczno-Fizyczne» в Варшаве, а с 1928 г. —
членом редакционного комитета сборника «Circolo Matematico di
Palermo».
Таковы сухие даты из жизни Леона Лихтенштейна, но они не
дают полной картины его научного и личного достоинства. Са-
мое важное то, что ученый мир хорошо узнал его, что дал ему
возможность работать и не скупился на внешние проявления
признания. А теперь, перед лицом утраты, со всех сторон разда-
ются голоса, с несдерживаемой искренностью (которую нельзя
найти в официальных декретах и дипломах) выражающие
скорбь и восхищение.
«...Cet ouvrage est merveille1...» — говорит французский мате-
матик о «Gleichgewichtsfiguren rotierender Flussigkeiten». — «Ses
travaux font preuve d'une capacite de travail phenomenale et de Г en-
vie d'ettre utile au monde savant bien d'avantage que de Penvie
d'etre hi et apprecie»2, — пишет другой. — «Was mich zu Ihm hin-
zog, war nicht nur die Gemeinsamkeit mathematischer Interessen,
sondern nicht minder die Reinheit seines mathematischen Idealismus
1 Эта работа великолепна. — Прим. перев.
2 Его труды свидетельствуют о феноменальной работоспособности и убеждают,
что его желание быть полезным научному миру гораздо сильнее желания быть
прочитанным и оцененным. — Прим. перев.

310
Гуго Штейнгауз
und Gtitc seines Herzens»1, — признает немецкий математик.
А другой добавляет: «Er hatte uns daran gewohnt, dass seine Arbeits-
fahigkeit, seine Gestaltungskraft ebenso unbegrenzt war wie seine Ge-
nialitat»2. И одно блистательное имя за другим появляются у гро-
ба и все соглашаются с тем, что умер не только великий предста-
витель науки, но несравненный человек, своей жизнью явивший
пример, как должен мыслить и поступать ученый.
Нет человека, более далекого от типа «специалиста», чем
Леон Лихтенштейн. Ему не только было чуждо всякое сведение
математики к роли полезного практического аппарата, но он
даже не мог согласиться с теми адептами Маха, которые видели
роль науки в точном описании явлений. На съезде естествоиспы-
тателей в Праге в 1928 г. он даже использовал ироничное выра-
жение, назвав их «тривиалистами». Взирая ввысь, где сверкают
планеты, которым он отдал столько сил, он иначе понимал мате-
матику, требовал иных объяснений от философии. Поэтому зна-
комство с работами Мейерсона оказало на него особое влияние.
Он завязал переписку с этим автором, проникся его идеями и
при ближайшей возможности поехал в Париж главным образом
с тем, чтобы познакомиться с семидесятилетним писателем. Эти
поездки он предпринимал неоднократно и знакомство перешло
в искреннюю дружбу, о чем красноречиво свидетельствует пере-
писка. Парижским друзьям Мейерсона должно было казаться
странным, что парижский философ и лейпцигский математик
могут много о чем поговорить... по-польски. Ибо Леон Лихтен-
штейн никогда не утрачивал связи с родиной. Он живо интере-
совался делами нашей науки и культуры, в чем мог убедиться
каждый, кто проезжал через Лейпциг. Его гостеприимством
пользовались наши стипендиаты, обучавшиеся в Лейпциге, ма-
тематики и другие люди. Он не забывал о математических конг-
рессах в Варшаве и во Львове, с радостью принял приглашение
прочитать в течение триместра лекции в университете Яна Кази-
1 Меня привлекает в нем не только общность математических интересов, но и в
не меньшей степени чистота его математического идеализма и сердечная доб-
рота. — Прим. перев.
2 Он приучил нас к тому, что его работоспособность и сила воображения так же
безграничны, как и его гениальность. —Прим. перев.

Памяти Леона Лихтенштейна
311
межа во Львове и содействовал публикации работ наших авто-
ров в «Mathematische Zeitschrift». В польских изданиях он поме-
стил 20 работ, из них 8 на польском языке.
Вот дословные отрывки из его последних писем:
15 мая 1933 г. он пишет: «... Слава Богу, что для «Studiow» и «Мо-
nografij»1 нашлись материальные средства... Наверное, Вы хотели бы
знать, каковы мои научные планы. Так вот, через какие-нибудь четыре
недели в издательстве Springer выйдет книга (приблизительно 180 стра-
ниц) о видах равновесия вращающейся жидкости. Пишу пару новых ра-
бот и готовлю к печати вещь, занимающую меня много лет — об эстети-
ке математики (около 100 страниц), которая также должна выйти в изда-
тельстве Springer. Все это, несомненно, требует свободного времени.
Того, на которое я рассчитываю, скоро буду иметь достаточно много и
даже слишком.»
25 мая 1933 г.: «Что касается работы об эстетике математики, то я
размышляю об этом по меньшей мере восемь лет. Скоро, по-видимому,
на эту тему появится моя статья в «Revue psychologique». Это будет
очерк общего характера, который я хотел бы разработать более деталь-
но. Материала у меня пропасть, однако желательны были бы более глу-
бокие знания алгебры, теории чисел и разных других предметов. При
случае хотелось бы прочитать пару новых работ в этих областях науки.
Работы Биркгофа, Шпейсера, Фосса и других трактуют вопросы с совер-
шенно иной точки зрения. Очень, очень хотелось бы написать работу, о
которой упоминал выше. Ведь мне кажется, что у меня есть несколько
идей, которые никто до сих пор не высказывал. Смогу ли я осуществить
свои планы, очень трудно предвидеть...»
14 июня 1933 г.: «Заканчиваю корректуру книги о видах равновесия
и на самом деле не имею свободной минуты...»
2 августа 1933 г.: «... надеюсь, что дорогой друг получил мою книгу
«Gleichgewichtsfiguren ratierender Flussigkeiten»... Слава Богу, что она
уже вышла, так что я теперь могу немного отдохнуть и подумать о даль-
нейших работах. Как обычно случается, систематическая разработка не-
которого раздела науки выдвигает ряд новых идей. Это большое преи-
мущество систематической работы. У меня возникли пара новых идей и
1 Речь идет об учебниках математики и польских математических монографиях.

312
Гуго Штейнгауз
намерение прочитать об этом лекцию на съезде швейцарских математи-
ков в Альтдорфе в начале сентября. Вскоре я пришлю дорогому другу
статью о кольцах Сатурна и об эстетике математики, опубликованную
в «Revue psychologique»... Как Вы видите, я имею различные намерения
и надеюсь, что их осуществлю, — хотя не всегда легко подняться над
всем, что преподносит жизнь, и думать только о наилучшем и наивыс-
шем, т. е. о научной работе.»
11 августа 1933 г.: «... В своих эстетических рассуждениях я обра-
щаюсь только лишь к читателю, основательно знакомому с математи-
кой, физикой и т. д. Мне хочется объяснить тот факт, почему нам, мате-
матикам, эта наука представляется столь красивой. Я ничуть не намере-
ваюсь переубеждать «профанов»... Как я уже Вам сообщал, через пару
дней я выезжаю на неполные две недели в Закопане. Первый раз в жиз-
ни!... В конце августа я поеду через Лейпциг в Швейцарию и одновре-
менно на съезд швейцарских математиков в Альтдорф. Я предупредил
о чтении лекции о видах равновесия и т. д. Хочу привести ряд новых ре-
зультатов, частично уже предсказанных в моей книге, частично же со-
вершенно новых и даже весьма важных.»
17 августа 1933 г., Закопане, Быстре: «... Вероятно, я останусь здесь
самое большее до субботы, 26-го. На обратной дороге мне выпадет день
или два остаться в Варшаве у сестры, которую не видел года четыре, за-
тем целый день пробуду в Лейпциге и, несмотря ни на что, самое позд-
нее 31 -го планирую быть уже в Альтдорфе... Забыл добавить, что задер-
жусь еще в Кракове, куда пригласил меня N... Он снова написал мне
одно из тех писем, которые заслуживают опубликования как с точки зре-
ния внутренней формы, так и философской глубины. Я действительно
нахожусь иод впечатлением от этой необычной эпистолярной вещи.
Я, как говорится, очень утомлен и сплю по 10 часов в сутки...»
Когда я ответил на эту последнюю страничку, то через пару
дней получил свое письмо обратно с почтовой припиской: «Адре-
сат умер». 30 августа его останки были сожжены в лейпцигском
крематории в присутствии сотрудников Университета, Академий
и многочисленных немецких и прочих ученых. В соответствии
с уставом 1 сентября Леон Лихтенштейн должен был покинуть
университетскую кафедру.

Памяти Зигмунда Янишевского1
3 января 1920 года во Львове в возрасте 31 года умер Зигмунд
Янишевский, доктор Парижского университета, бывший при-
ват-доцент Львовского университета, бывший секретарь и один
из основателей Польского математического общества, член Поль-
ского философского общества и Варшавского философского ин-
ститута, а в последнее время профессор математики в Варшав-
ском университете.
Европейская наука потеряла первоклассного специалиста в
области топологии, польская наука потеряла создателя этого на-
правления математических исследований у нас и понесла урон,
который, особенно в современных условиях, ничем нельзя возме-
стить. Но день 3 января 1920 года не только одел в траур ученых
Общества, обоих университетов и сравнительно небольшой кол-
лектив специалистов, коллег и учеников покойного, но и нанес
ощутимый ущерб каждому благородному делу. Ибо значение это-
го незаурядного человека, память которого мы сегодня хотим
почтить, не ограничивается лишь его научными заслугами, оно
простирается дальше и глубже.
Родившись в Варшаве в 1888 г., он в 1907 г. закончил реаль-
ную школу во Львове, а затем в Цюрихе, Мюнхене, Геттингене и
Париже обучался математике у Буркхардта, Брунна, Гильберта,
Минковского, Цермело, Теплица, Бернштайна, Рунге, Ландау,
Бореля, Гурсата, Адамара и Пикара, а философии — у Фёрстера,
Пфандлера, Рейнака, Бергсона, Дуркхайма и других. В Париже,
1 Воспоминание, зачитанное 7 февраля 1920 г. на заседании Польского матема-
тического общества во Львове, посвященном памяти Зигмунда Янишевского.

314
Гуго Штейнгауз
сдав экзамен, получил лицензию и степень доктора точных наук,
а о том, как относились к нему французские ученые, свидетельст-
вует факт, что Пуанкаре (который очень неохотно общался с кол-
легами) проводил длинные дискуссии с этим 22-летним студен-
том о его топологических воззрениях. Спустя несколько лет по-
сле его отъезда из Парижа А. Лебег еще выделял его из легиона,
прошедшего за это время через ворота Сорбонны, причем вспо-
минал с глубоким признанием его особой индивидуальности.
Статья «О kontynuach nicprzywiedlnych miqdzy dwoma punkta-
mi», опубликованная в 1911 г. в «Journal de TEcole Polytechnique»,
не только важна и чрезвычайно любопытна с точки зрения ее ре-
зультатов, но и отличается от других работ подобного рода логиче-
ским использованием специальной символики, которая, будучи
пересаженной из алгебры логики на почву топологии, впервые
дает свои плоды. Континуум — это связное замкнутое множество,
которое нельзя разбить на два замкнутых непустых множества.
Континуум, неприводимый между точками А и В, это такой конти-
нуум, включающий А и В, никакая часть которого не является кон-
тинуумом, содержащим А и В. Следовательно, неприводимый
континуум является наиболее естественным с точки зрения analy-
sis situs (топологии) определением дуги, соединяющей А с В. По-
скольку существуют и другие определения, например, определе-
ние Жордана, основанное на идеологии аналитической геометрии,
то возникает задача о соотношении старого и нового определений.
Пытаясь решить эту непростую задачу, многие известные ученые1
допустили ошибку, а Янишевский решил ее полностью и изящным
методом. Из этих исследований возник целый ряд его заметок:
Contribution a la geometrie des courbes planes generates (Comptes
Rendus, 1910), Sur la geometrie des lignes cantoriennes (C. R., 1910),
Nowy kierunek w geometrji (Wiadomosci matematyczne, 1910),
Demonstration d'une propriete des continus irreductibles entre deux po-
ints (Akademja UmieJQtnosci w Krakowie, 1912).
Но уже одного взгляда на титульный лист докторской диссер-
тации Янишевского достаточно, чтобы заметить, что математика
не была для него всем на свете. На этом листе мы видим посвяще-
1 Л. Зоретти.

Памяти Зигмунда Янишевского
315
ние лидеру французских христианских демократов Марку Санье,
с которым он познакомился и подружился в кооперативе союза
«Sillon» — социальные проблемы были другим увлечением Яни-
шевского. Это посвящение напоминает друзьям покойного не-
значительную, но характерную деталь: во время пребывания в
Париже он обычно столовался в ресторане кооператива и, не же-
лая, однако, извлекать выгоду из дешевизны этого заведения,
ежемесячно возмещал разницу между обычной ценой и ценой
кассы союза.
В 1911/12 гг. в Обществе научных курсов он читал лекции по
«analysis situs» и философии математики. В 1912 г. был в Кемб-
ридже на международном математическом конгрессе, где высту-
пил с докладом о «понятии линии и поверхности», в котором ука-
зал на неудовлетворительность всех существовавших до тех пор
определений поверхности. Затем он выехал в Марбург, чтобы
слушать Наторпа, потом с той же целью в Грац к Мейнону и нако-
нец в Падую и Болонью к Энрикесу и Пинчерле.
В 1913 г. во Львовском университете он защитил диссерта-
цию, выполненную под руководством профессора Ю. Пуцины
и В. Серпиньского (в настоящее время профессора Варшавского
университета), которые познакомились с ним и правильно оцени-
ли на XI Съезде польских врачей и естествоиспытателей в Крако-
ве в 1911 г. Диссертация на тему «О реализме и идеализме в мате-
матике», посвященная вопросу о том, всегда ли можно дать сло-
весное определение математическому понятию существование,
получила всеобщее признание. Двумя годами позже эта интерес-
ная и красивая работа была опубликована в печати (Przegl^d Filo-
zoficzny, 1916). Научная работа «О rozcinaniu plaszczyzny przcz
kontinua», которая вышла в «Prace Matematyczno-Fizyczne» в
1913 г., исследует топологическую проблему типа так называе-
мого утверждения Жордана, которое гласит, что замкнутая кри-
вая (непересекающаяся) делит плоскость на две несвязные облас-
ти. Речь шла о том, обладает ли этим же свойством «кривая Яни-
шевского», т. е. два непрерывных континуума, соединяющих
одни и те же точки А, В. На этот вопрос Янишевский ответил
утвердительно.

316
Гуго Штейнгауз
В летнем полугодии 1913/14 г. он читал лекции по теории
аналитических функций и функциональному исчислению. Ког-
да началась война, он завербовался в Восточный легион, а после
его расформирования перешел в Западный и с карпатской брига-
дой в качестве солдата артиллерии принял участие в зимней кам-
пании 1914/15 гг. Затем, будучи вместе со всем дивизионом пе-
реведенным в Королевство, нес в Хожуве службу как простой
солдат. Когда командование решило (по примеру Австрии) ввес-
ти так называемые «одногодичные полоски», он начал протесто-
вать против распоряжения, считая, что такая привилегия унижа-
ет других добровольцев. В конце концов войсковое начальство
пришло к выводу, что человеку подобного рода даже во время
войны надо предоставить возможность заниматься соответству-
ющей работой, и перевело его во Львов. Он снова начал препода-
вать, когда возник вопрос о принятии воинской присяги. Пре-
данный Пилсудскому и его делу как член и курьер Р. О. W., он не
мог принести присягу и поэтому должен был сбежать в Радом и
скрываться под вымышленным именем. Имеется фотография
того периода, представляющая его в кругу детей на лестнице
детского приюта, который он основал за счет собственных
скромных сбережений и в котором сам опекал детей, обучая их
и заботясь о муке, каше и молоке.
Будучи в 1918 г. назначен профессором Варшавского универ-
ситета, он строит далеко идущие планы, набросок которых приво-
дит в короткой статье «О potrzebach matematyki» (О потребностях
математики) в I томе «Nauki Polskiej» (1919). Он собирает все бо-
льше сторонников своего плана «Математического института».
Это должно было быть объединение всех серьезно работающих
польских математиков в единое целое, задача которого сводилась
бы к контролю над развитием науки и организации математиче-
ского обучения. План включал в себя несколько пунктов: 1) рас-
пределение наград и стипендий; 2) представление мнений о кан-
дидатах на должности в высших учебных заведениях; 3) руковод-
ство коллективными работами в области библиографии и
дидактики, составление терминологии и формирование научных
планов и т. д.; 4) издание журналов и учебников. Этот план в та-
кой степени получил признание даже за пределами математиче-

Памяти Зигмунда Янишевского
317
ских сфер, что варшавские философы на основании устава Яни-
шевского учредили устав философского института. 3. Я. имел
также полностью выработанные взгляды в вопросах реформы вы-
сшей школы. Он считал неотложным (а если вдуматься, то трудно
с этим не согласиться) отделение Университета в виде свободной,
открытой для каждого научной академии типа College de France
или Ecole dcs Hautes Etudes, от всех остальных, территориально и
организационно сгруппированных вокруг него профессиональ-
ных учебных заведений (т. е. от управленческого училища, меди-
цинского училища, технического, педагогического и т. д., кото-
рые должны были иметь свои четкие научные планы и выдавать
дипломы по соответствующей специальности). Весной 1919 г. он
заболел испанкой и для лечения выехал в Италию, добрался до
Неаполя и вернулся полный художественных впечатлений, опти-
мизма и надежд. Еще в корректуре он просматривает первый вы-
пуск основанного им «Fundamenta Mathematicae», международ-
ного журнала, посвященного основам математики и издаваемого
польскими учеными, а приехав во Львов на рождественские кани-
кулы, 3 января 1920 года умирает после скоротечного воспаления
легких.
Его жизнь длилась 31 год, но была так полна мыслей, чувств и
действий, что этого хватило бы на несколько обычных человече-
ских жизней.
Зигмунд Янишевский каждую вещь рассматривал с самой
глубокой стороны и сам о себе говорил, что является не столько
математиком, сколько философом. Одному из своих друзей он
признался, что занимается математикой для того, чтобы убедить-
ся, как далеко одним логическим рассуждением может зайти че-
ловеческая мысль. Помимо математических работ, изданных
и неизданных (как, например, исследование овалов), он оставил
после себя статьи философского содержания, например, диссер-
тационную работу и статьи в пособии для самообразования
(1915) под названием «Logistyka i Zagadnienia filozoficzne mate-
matyki» (Логистика и философские проблемы математики». Во-
обще это пособие очень многим ему обязано. Такие разделы, как
Общее введение (с оригинальной генеалогической таблицей раз-
личных ветвей математики), Введение к 3-й части, Обыкновен-

318
Гуго Штейнгауз
ные дифференциальные уравнения, Функциональные, разно-
стные и интегральные уравнения, Разложения в ряды, Топология,
Основы геометрии, Заключение и Справочный аппарат — это
почти половина целого тома «Matematyka». В «Справочном аппа-
рате» он проявил столь необычное знание европейских универси-
тетов, что читая его, трудно поверить, что писал это 25-летний
молодой человек.
Он глубоко интересовался проблемами общественной жизни,
имел коммунистические воззрения. В последние годы все больше
стремился к воплощению в действие наиболее близко принимае-
мой к сердцу идеи любви к ближнему. Не занимаясь поиском для
своей деятельности места в политике, он просто руководствовал-
ся моральным императивом, согласно которому он, будучи уче-
ником реальной школы во Львове, раздаривал свою одежду одно-
кашникам, а присужденную ему в 1917 г. премию Натансона
в сумме нескольких тысяч рублей отдал на цели народного про-
свещения. Этот императив в конце концов проявился и в его по-
следней воле, отписывающей все имущество на общественные
нужды, тело для анатомического театра, а череп для френологи-
ческих исследований, чтобы — как написано в завещании — и по-
сле смерти быть полезным.
Он был ученым большой величины, глубокого интеллекта и
оригинальных творческих способностей, человеком незыблемых
принципов, который даже у противников вызывал уважение своим
зрелым, бескорыстным и логичным отношением к любому делу.
Правильность характера, прямолинейность поведения, граждан-
ское мужество и при этом благородное сердце сделали из него че-
ловека, утрата которого не только для друзей (а их было немало,
так как он сам был надежным другом), не только для учеников (ко-
торых он, несмотря на собственную молодость, выискал, выучил и
привил им навык самостоятельной работы), но и для страны и об-
щества является не менее ощутимой, чем для науки.
Львов, 12 февраля 1920 г.

Стефан Банах
Выступление на торжественном заседании,
посвященном памяти Стефана Банаха
Стефан Банах родился 20 марта 1892 года в Кракове. Его отец
носил фамилию Гречек, был чиновником в краковском
управлении железной дороги и происходил из горской семьи села
Йорданова. Никто точно не знает истории детских лет Банаха, но
известно, что сразу после рождения он был отдан на воспитание
прачке по фамилии Банахова, проживавшей в мансарде на улице
Гродзкой (дом № 70 или 71). С этого времени он уже никогда
больше не встречался со своей матерью, так что, собственно гово-
ря, совсем ее не знал. Отец тоже о нем не заботился, так что с 15
лет Банах перестал получать систематическое образование, но
с большой охотой брал частные уроки математики. Математику
он изучал самостоятельно и еще в гимназии читал французскую
книгу Таннери о теории действительных функций; неизвестно,
откуда он знал французский язык. Перед Первой мировой войной
он посещал лекции Станислава Зарембы в Ягеллонском универ-
ситете, но нерегулярно и недолго, после чего перешел во Львов-
ский политехнический институт, где сдал так называемый «пер-
вый экзамен», подтверждающий два первых года обучения по ин-
женерной специальности. Когда в 1914 г. началась мировая
война, он вернулся в Краков. Проходя летним вечером 1916 года
по бульвару, я услышал разговор, а скорее всего несколько слов;
слова «интеграл Лебега» были так неожиданны, что я подошел к
скамейке и познакомился с беседующими. О математике говори-
ли Стефан Банах и Отто Никодим, которые сказали мне, что их

320
Гуго Штейнгауз
третьим компаньоном является Вилкош. Эту тройку объединяла
не только математика, но и безнадежность положения молодых
людей в крепости (какой был в то время Краков), неуверенность в
завтрашнем дне, отсутствие оплачиваемой работы и потеря кон-
такта не только с заграничными, но даже и с польскими учеными.
Такова была краковская атмосфера в 1916 году, но это не мешало
троице просиживать в кафе и решать задачи в гомоне и толчее —
Банах шума не избегал, а даже (неизвестно почему) охотно выби-
рал столики поближе к оркестру.
Мечтой Банаха была должность ассистента математики во
Львовском политехническом институте, и она осуществилась
в 1920 г., когда Антоний Ломницкий предоставил Банаху желан-
ную должность. Банах уже тогда был автором работы о сходимо-
сти в среднем частичных сумм рядов Фурье. Эту задачу поставил
ему я еще в 1916 году, когда познакомился с ним на краковских
бульварах. До этого я долгое время пытался решить ее сам, так
что велико было мое удивление, когда Банах получил отрицатель-
ный ответ, который сообщил мне через несколько дней с некото-
рой оговоркой (она заключалась в незнании примера Дюбуа-Рей-
мона). Нашу совместную заметку С. Заремба представил Краков-
ской Академии с большой задержкой, так что вышла она
датированной 1918 годом.
С момента прибытия во Львов положение Банаха радикально
изменилось. Он стал материально обеспеченным, женился и посе-
лился в университетском здании на улице Св. Николая. В 1922 г.
в III томе «Fundamenta Mathematicae» появилась его докторская
диссертация: Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur
application awe equations integrates, с 133-181.
Это была седьмая работа Банаха, а первая была посвящена те-
ории линейных операций. В том же году состоялась его защита.
В отношении Банаха не были соблюдены университетские тради-
ции — ему присудили докторскую степень (хотя он не имел за-
конченного образования) и сразу после защиты дали должность
профессора в возрасте 30 лет. Не было недостатка в признании и
с других сторон. В 1924 г. Банах стал членом-корреспондентом
Польской Академии наук, в 1930 г. получил премию г. Львова, а в
1939 г. он стал лауреатом большой премии Академии. Сегодня

Стефан Банах
321
трудно понять, почему в той же Академии не нашлось кресла для
мальчишки с краковской улицы, но львовские математики сразу
поняли, что Банах прославит польскую математику. До его при-
хода львовской школы не существовало в буквальном смысле
этого слова, поскольку Серпиньский вскоре после Первой миро-
вой войны вернулся в Варшаву, откуда его прогнала война,
а вскоре после этого умер Зигмунд Янишевский. В межвоенное
двадцатилетие львовская школа завоевала признание в первую
очередь за счет теории операторов, ибо на этом поле выросли ее
главные достижения. Банах занялся линейными функционалами,
такими как интеграл. Он показал, что понятие интеграла можно
расширить так, чтобы оно охватило все функции, сохраняя свой-
ства, постулированные Лебегом; на самом деле это понятие неэф-
фективно, но доказательство его существования и вывод (Fund.
Math., 1923) свидетельствуют о силе Банаха. Основной его рабо-
той является книга о линейных операторах. Изданная в 1932 г.
в виде первого тома «Monografie Matematyczne» (Варшава, VII +
254 с), сегодня она во всем математическом мире известна под
названием Theorie des operations lineaires. Ее успех основан на
том, что, благодаря так называемым «банаховым пространст-
вам», можно получать в общем виде решение многих задач, кото-
рые до того требовали специальной трактовки и немалой сообра-
зительности. Были и другие математики, большие и малые, кото-
рые до Банаха пытались создать теорию операторов. Я помню,
как известный геттингенский математик Эдмунд Ландау выска-
зался о книге Operazioni distributive, которую написал Пинчерле:
«Пинчерле написал книгу, в которой не доказал ни одной теоре-
мы» — и это действительно было так. Но были также и более
крупные конкуренты. Прочитаем, что пишет создатель киберне-
тики Норберт Винер в своей автобиографии, изданной в Лондоне
в 1956 г. (под названием lama mathematician). Он упоминает там
Фреше, который первым привел вид линейного функционала
в пространстве L2, но не отважился на создание системы постула-
тов, определяющих такое общее пространство, чтобы L2 было то-
лько одним из многих в нем. Эту заслугу Винер приписывает себе
самому. Он рассказывает, как Фреше, гостем которого был Винер
в Страсбурге в 1920 г. по случаю математического конгресса, по-

322
Гуго Штейнгауз
казал ему в «каком-то польском математическом издании» ста-
тью Банаха; Фреше был возмущен тем фактом, что Банах на не-
сколько месяцев раньше Винера привел систему аксиом беско-
нечномерного векторного пространства, идентичную системе
Винера. «Таким образом», говорит Винер, «через некоторое вре-
мя новая теория стала называться теорией пространства Бана-
ха-Винера, но я написал об этом еще пару раз и впоследствии от-
казался от своего имени — в настоящее время это пространство
по справедливости называется именем только одного Банаха...»1
После этого признания Винер несколько страниц своей автобио-
графии посвящает данной коллизии и объясняет, почему он поки-
нул поле сражения: ему казалось, что теория Банаха является
формализмом, который не оправдывается изобилием нетривиаль-
ных теорем, до того времени неизвестных, а затем он признается,
что ошибся, поскольку спустя 34 года, прошедших со страсбург-
ского конгресса, теория Банаха все еще популярна как инстру-
мент анализа и «только теперь начинает в полной мере проявлять
свою эффективность в качестве научного метода». Слава Банаха
дошла до Соединенных Штатов еще до появления Operations
lineaires. Уже в 1934 г. в Бюллетене Американского математиче-
ского общества (том 40, с. 13-16) Я. Д. Тамаркин в рецензии на
книгу Банаха писал: «Она представляет собой заслуживающую
внимания climax (кульминацию) долгой серии исследований,
начатых Вольтеррой, Фредгольмом, Гильбертом, Адамаром,
Фреше и Риссом, и успешно продолженных Стефаном Банахом и
его учениками». И далее: «Теория линейных операций уже сама
по себе является захватывающей областью, но ее важность под-
черкивают многочисленные и красивые применения». Один из
наиболее способных учеников Банаха, Станислав Улам, так пи-
шет в некрологе, опубликованном в июле 1946 г. в Бюллетене
Американского математического общества (т. 52, № 7 (1946),
с. 600-603): «Недавно пришло известие, что вскоре после войны
в Европе умер Банах, работы которого нас очень интересовали.
Действительно, в одном из основных направлений его деятельно-
сти, а именно в теории линейных бесконечномерных про-
1 Это название ввел в употребление Фреше.

Стефан Банах
323
странств, американская школа продвинулась вперед и добивается
все более важных результатов. Это был изумительный перебеж-
чик научной интуиции, который объединил усилия многочислен-
ных польских и американских математиков в этой области...». И
далее: «Работа Банаха впервые в общем случае подчеркнула
успех метода геометрического и алгебраического подхода к проб-
лемам линейного анализа, выйдя далеко за рамки скорее форма-
льного открытия Вольтерры, Адамара и их последователей. Его
результаты охватывают более общее пространство, чем работы
таких математиков, как Гильберт, Э. Шмидт, фон Нейман, Рисе и
другие. Многие американские математики, особенно молодые,
применили эти идеи к геометрическому и алгебраическому изу-
чению линейных функциональных пространств, а эта работа
(1946) продвигается все энергичнее и дает важные результаты».
Пожалуй, только этих мнений известных ученых (один из ко-
торых сыграл значительную роль в расчетах термоядерной реак-
ции) достаточно для доказательства того, что Бана* смог занять
ведущее место в истории развития чрезвычайно важного и нового
раздела анализа и войти в ряд известных математиков, работав-
ших в этом направлении.
От себя лично, как свидетеля работы Банаха, я позволю доба-
вить, что ясность мышления Банаха Казимеж Бартель однажды
назвал «даже неприятной...». Он никогда не рассчитывал на сча-
стливый случай, на то, что в данную минуту вдруг исполнятся его
ожидания, и охотно говорил, что «надежда — мать глупцов». Это
пренебрежение оптимизмом он применял не только в математике,
но также и в политических пророчествах. Он был схож с Гильбер-
том в том, что набрасывался на задачу напрямую — отбрасывая
все окольные пути и концентрируя усилия на центральном на-
правлении, ведущем прямо к цели. Банах верил, что логический
анализ проблемы должен напоминать шахматный анализ трудной
позиции и приводить к точному доказательству или к опроверже-
нию утверждения.
Значение Банаха не ограничивается тем, чего он сам добился
в теории линейных операций, в списке его 58 публикаций можно
найти как работы, написанные совместно с другими математика-
ми, так и его собственные работы, относящиеся к другим облас-

324
Гуго Штейнгауз
тям. К обеим этим категориям принадлежит работа о разбиении
множеств на смежные части,-написанная совместно с Тарским
(Fund. Math., 6,1924, с. 244-277). Решение этой задачи напомина-
ет школьный метод доказательства теоремы Пифагора путем раз-
резания большого квадрата на части, из которых можно сложить
два малых квадрата. Результат для трехмерного пространства яв-
ляется неожиданным — шар можно разложить на несколько час-
тей, таких что из них можно образовать два шара, причем каждый
из них будет таким же большим, как исходный шар! На меня осо-
бое впечатление произвела небольшая работа в «Proceedings of
the London Mathematical Society» (том 21, с. 95-97). Задача заклю-
чается в нахождении ортогональной системы, полной в Z,2, но не-
полной в L. Банах выбирает интегрируемую (L) функцию /(/),
1 1
\f(i)dt = \ но такую, что f f2(t)dt = оо9 обозначает через {ф«(0}
о о
последовательность всех тригонометрических функций {cos nt,
sin nt) и определяет числовую последовательность {сп} соотно-
1
шением Г /(i) q>„(t) dt = сп. Если мы теперь определим последова-
о
тельность {\)/и(0} как \|/я(0 = Фл(0 - с„, то из этого будет следовать
1
n(t)dt=0 для всех п. Ортонормируя последовательность
о
{\|/„}, мы получим искомую последовательность {уп(0}- Остро-
умие доказательства основано на том, что вспомогательная по-
следовательность {фл(0} не имеет того свойства, которое требу-
ется от искомой последовательности. Известна также работа, по-
священная сходимости функционалов, начатая одним из коллег
Банаха, обобщенная Банахом и доведенная Ст. Саксом до оконча-
тельного вида (1927, Fund. Math., 9, с. 50-61). Банах интересовал-
ся также проблемой компланации (т. е. определением понятия
площади кривых поверхностей), его определение является очень
удачным и все еще остается предметом исследований (например,
во Львове этим занимается проф. Кованко). В этой задаче, к сожа-
лению, никто не умеет привести той принципиальной леммы, ко-
JAOv

Стефан Банах
325
торая необходима для того, чтобы доказать соответствие банахо-
ва определения классическим. С сожалением надо еще раз под-
твердить, что многие ценные результаты Банаха и его школы
пропали (с большим ущербом для польской науки) из-за педан-
тизма адептов этой школы, и прежде всего самого Банаха. Краси-
ва была также его идея замены классического определения коле-
бания функции^ =/[х) другим, более соответствующим эпохе Ле-
00
бега, а именно с помощью интеграла [Цц)с1г\, где £(г|) означает
— 00
число пересечений кривой >> =J[x) прямой >> = ц. Возможно, при-
сутствующим будет интересно узнать, что этот подход имеет
практическое значение — например, позволяет быстро рассчи-
тать в «злотоднях» банковские кредиты, выдаваемые в заводских
магазинах в виде сырья, ожидающего переработки.
Не буду больше говорить о многочисленных и важных пози-
циях списка работ создателя львовской школы и основателя жур-
нала «Stadia Mathematica», сыгравшего немалую роль в развитии
этой школы и в истории теории линейных операторов, а предпоч-
ту вернуться к личности Банаха и его непосредственному влия-
нию на окружение. Банах стал профессором в 1927 г., но ни до
этого, ни после он не был профессором в академическом смысле
этого слова. Он великолепно читал лекции, никогда не углубля-
ясь в детали и не загромождал таблицы сложными и многочис-
ленными обозначениями. Он не заботился о безупречности сло-
весной формы, ему чужд был всякий гуманитарный глянец, и в те-
чение всей жизни он сохранил некоторые черты краковского
хулигана в способе существования и в речи. Письменное изложе-
ние мысли доставляло ему большие трудности. Свои рукописи он
писал на больших страницах, вырванных из тетради; когда надо
было изменить часть текста, он вырезал ненужные места и под-
клеивал части чистой странички (на которых писал новые вер-
сии), поэтому без помощи друзей и помощников первые работы
Банаха никогда не дошли бы до типографии. Писем он почти со-
всем не писал и не отвечал на запросы в письменном виде. Он не
увлекался логическими исследованиями, хотя отлично понимал
их. Его не привлекали также практические применения математи-

326
Гуго Штейнгауз
ки, хотя, несомненно, он мог бы ими заняться, если бы захотел —
ведь спустя год после получения степени доктора он читал лек-
ции по механике в политехническом институте. Он говорил, что
математика отличается специфической красотой, и ее никогда не
удастся свести к жесткому дедуктивному методу, потому что
рано или поздно она прорывает каждую формальную границу и
создает новые принципы. Определяющей для него была ценность
математический теорий, но не утилитарная, а самобытная. Его за-
граничные конкуренты по теории линейных операторов тракто-
вали пространство слишком обобщенно, вследствие чего получа-
ли только банальные результаты, либо слишком много основыва-
ли на этих пространствах, сводя сферу их применения к
немногочисленным и искусственным примерам — гений Банаха
проявился в нахождении золотой середины. Это умение прони-
кать в суть вопроса характеризует Банаха как прирожденного ма-
тематика.
Банах умел работать всегда и везде. Он не привык к удобст-
вам и не требовал комфорта, поэтому ему вполне хватало профес-
сорского жалованья. Но пристрастие к посещениям кафе и полное
отсутствие обывательской бережливости и планомерности в по-
вседневных делах загнали его сперва в долги, а в конце концов в
очень трудное положение. Желая из него выбраться, он занялся
написанием учебников. Так появилось Rachunek rozniczkowy i
calkovy (Дифференциальное и интегральное исчисление) в двух
томах, из которых первый был выпущен издательством Оссо-
линьских (1929, 294 с), а второй издательством Ksi^znica-Atlas
(1930, 248 с). Этот учебник написан сжато и понятно, и он поль-
зовался и сегодня еще пользуется популярностью среди студен-
тов первых лет обучения в высших учебных заведениях. Больше
всего времени и сил отняло у Банаха написание учебников ариф-
метики, алгебры и геометрии для средних школ, которые он пи-
сал сам или в соавторстве с Серпиньским и Стожеком. Его учеб-
ники ни в коем случае не были копированием существующих
школьных книг, так как Банах (благодаря своему опыту репетито-
ра) полностью отдавал себе отчет в том, что каждое определение,
каждый вывод и каждая задача чрезвычайно важны для автора
школьного учебника, который беспокоится о дидактической цен-

Стефан Банах
327
ности. По моему мнению Банаху не хватало только одного из
множества талантов, необходимых авторам школьных учебни-
ков: пространственного воображения. Продуктом опыта, приоб-
ретенного во время многократных лекционных курсов по механи-
ке в политехническом институте, стала Mechanika wzakresie szkol
akademickich (Механика в объеме академических учебных заведе-
ний) (Monografie Matematyczne 8, 9). Этот двухтомный курс, из-
данный впервые в 1938 г., был переиздан в 1947 г., а несколько
лет назад вышел его перевод на английский язык.
Чтобы оценить значение Банаха для науки в целом, а для
польской науки в первую очередь, необходимо перечислить име-
на его учеников. Мы здесь видим нескольких из них. Мазур и Ор-
лич являются непосредственными учениками Банаха: они пред-
ставляют сегодня в Польше теорию операторов, их имена на об-
ложке «Studia Mathematica» свидетельствуют о прямом
продолжении банаховой научной программы, которая нашла яв-
ное выражение в этом издании. Станислав Улам, который обязан
Куратовскому занятиями математикой, после получения степени
доктора также вошел в орбиту Банаха. Банах, Мазур и Улам ког-
да-то занимали самый лучший столик в так называемом шотланд-
ском кафе города Львова, и именно там проходили те заседания, о
которых Улам пишет в уже цитированном некрологе: «it was hard
to outlast or outdrink Banach during these sessions» (трудно было пе-
ресидеть или перепить Банаха во время этих заседаний). А было
даже совещание, которое продолжалось 17 часов — его результа-
том явилось доказательство одной важной теоремы в пространст-
ве Банаха, — но никто его не записал, и сегодня уже никто не спо-
собен его воспроизвести... вероятно, поверхность столика со сле-
дами химического карандаша после этого совещания, как
обычно, была вытерта уборщицей кафе. Такая судьба постигла не
одну теорему, доказанную Банахом и его учениками. Огромной
заслугой г-жи Люции Банаховой, которая ныне покоится на вроц-
лавском кладбище, было то, что она купила толстую тетрадь в
твердой обложке и вручила ее хозяину шотландского кафе. В тет-
ради на первых страницах записывались вопросы и задачи, с тем
чтобы возможные ответы когда-нибудь могли быть вписаны на
свободных местах рядом с текстом вопросов. Оригинальная

328
Гуго Штейнгауз
«шотландская книжка» предоставлялась по первому требованию
каждому математику, посещавшему кафе, а за решение некото-
рых предложенных в ней проблем было даже обещано вознаграж-
дение, которое варьировалось от небольшой чернильницы до жи-
вого гуся. Те, кто сегодня снисходительно улыбается, когда слы-
шит о таких способах занятия математикой, пусть поймет, что —
согласно мнению Гильберта — формулировка проблемы есть по-
ловина ее решения, а список нерешенных и выдвинутых проблем
заставляет искать ответы и является вызовом для всех, желающих
испытать себя. Именно подобное состояние умственной боевой
готовности и создает научную атмосферу. Среди учеников Бана-
ха, которые погибли от рук убийц в мундирах со свастикой, несо-
мненно самым выдающимся был Павел Юлиуш Шаудер, лауреат
международной премии имени Метаксаса, присужденной ему и
Лере ex aequo (поровну). Именно Шаудер увидел, какое значение
может иметь банахово пространство для краевых задач диффе-
ренциальных уравнений в частных производных. Трудность за-
ключалась в подборе соответствующих норм, но Шаудер ее прео-
долел, и, благодаря этому молодому ученому, пальму первенства
в такой классической теории, как дифференциальные уравнения в
частных производных, делят между собой Франция и Польша.
На более позднюю деятельность Банаха свою мрачную тень
бросила Вторая мировая война. В 1939-1941 гг. он был деканом
во Львовском университете и даже членом-корреспондентом Ки-
евской Академии, а после вторжения немцев (в конце июня
1941 г.) стал кормить вшей в бактериологическом институте Вей-
гля. Несколько недель он провел в тюрьме, когда в его квартире
застали людей, занимавшихся контрабандой немецких марок.
Впрочем, пока решался его вопрос, он в тюрьме смог доказать
одну новую теорему...
Банах прежде всего был математиком. Его мало интересова-
ли политические вопросы, хотя он имел проницательный взгляд
на любую актуальную ситуацию, в которой ему приходилось на-
ходиться. Природа не производила на него никакого впечатления,
а искусство, литература, театр были для него второстепенными
развлечениями и выпадали ему очень редко, во время кратких пе-
рерывов в работе — зато он ценил сплоченный рюмкой коллектив

Стефан Банах
329
друзей. Концентрация всей его умственной энергии в одном на-
правлении не знала никаких преград. Он не обольщался надеждой
и прекрасно знал, что среди людей есть всего лишь небольшой
процент тех, кто способен понять математику. Однажды он ска-
зал мне: «Знаешь, друг, что я тебе скажу? Гуманитарные науки в
средней школе важнее математики — математика это острый ин-
струмент, он не для детей...».
Было бы ошибкой представлять Банаха мечтателем, неряхой,
апостолом или аскетом. Это был реалист, который даже физиче-
ски не напоминал кандидатов в святые или хотя бы в святоши. Не
знаю, существует ли сейчас, но наверняка еще 25 лет назад суще-
ствовал идеал польского ученого, созданный не столько по на-
блюдениям настоящих ученых, сколько исходя из духовных по-
требностей той эпохи, выразителем которой был Стефан Жером-
ский. Такой ученый должен был вдали от мирских утех работать
для неясно определенного «общества», причем ему заранее про-
щалась даже безрезультатность этой работы, невзирая на то, что в
других странах ученых оценивают не по степени их отреченности
от жизни, а по их реальному вкладу в науку. Польская интелли-
генция еще между двумя войнами находилась под впечатлением
этого мученического идеала, но Банах никогда ему не был под-
властен. Он был здоровым и сильным, был реалистом вплоть до
цинизма, а польской науке, особенно математике, сумел дать бо-
льше любого другого. Он лично больше всех остальных способст-
вовал развенчанию ошибочного мнения, что в научной конкурен-
ции недостаток гениальности (или, хотя бы, только недостаток
таланта) можно заменить какими-то иными качествами, которые,
впрочем, отличаются тем, что их трудно подтвердить. Банах отда-
вал себе отчет в своей значимости и в том, какие ценности он со-
здал. Он подчеркивал свое горское происхождение и довольно
пренебрежительно относился к типу общеобразованного интел-
лигента без портфеля.
Он дождался во Львове прражения немцев, но скончался
вскоре после этого, 31 августа 1945 г. Его похоронили за счет
Украинской Республики. Его именем названа одна из вроцлав-
ских улиц. Собрание его работ издано Польской Академией
наук.

330
Гуго Штейнгауз
Самой главной заслугой Банаха является преодоление и раз-
рушение до основания комплекса неполноценности поляков от
ощущения своего низкого уровня в точных науках, маскирующе-
гося возвышением посредственных личностей. Банах этому ком-
плексу никогда не был подвержен — он соединял в себе искру ге-
ниальности с каким-то внутренним императивом. Он как бы по-
стоянно слышал слова поэта: «Есть только одно: пылкая слава
ремесла!»1 — а математики хорошо знают, что их ремесло сродни
поэзии и ее секретам...
1 П. Верлен: «II n'y que la gloire ardente du metier».

Речь, произнесенная
при присвоении степени
почетного доктора
Варшавского университета
(28 апреля 1958 г.)
апреля 1958 г. в золотом зале Казимировского Дворца на Краков-
ском Предместье в Варшаве, в присутствии министра высшего
образования проф. Стефана Жолкевского состоялось торжественное
присвоение степени почетного доктора профессору Гуго Штейнгаузу.
Инициатором был проф. Вацлав Серпиньский.
В своем выступлении проф. Серпиньский, особо подчеркнув обстоя-
тельства личной дружбы, обрисовал область интересов проф. Штейн-
гауза, который многие годы занимался теорией меры и тригонометриче-
ских рядов, где получил много фундаментальных результатов, был вдох-
новителем и одним из создателей польской школы функционального
анализа, инициатором польских исследований в теории вероятностей
(в настоящее время развивающихся весьма энергично) и первым, кто об-
ратил внимание польских математиков на важность применения матема-
тики к различным отраслям естествознания, народного хозяйства, про-
мышленности и техники. Его личный вклад играл и будет играть особую
роль в этих исследованиях. Профессор Штейнгауз всегда был отличным
популяризатором, а его известная книга Математический калейдоскоп1,
переведенная на многие языки, пользуется популярностью во всем мире.
В торжествах приняло участие значительное число коллег, учени-
ков, друзей и деятелей науки, которые с признательностью восприняли
ответные благодарственные слова выдающегося ученого, одного из со-
здателей и летописцев польской математической школы.
1 Русский перевод: М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
28

332
Гуго Штейнгауз
Речь проф. Гуго Штейнгауза
Ваше превосходительство, уважаемые господа деканы, мило-
стивые господа организаторы! Диплом, который я получил из ва-
ших рук, дает мне не только почетный титул доктора Варшавско-
го университета, но и наделяет тремя особыми привилегиями.
Первая из них более всего доставляет удовольствие их обладате-
лю: обычные дипломы свидетельствуют о том, что соискатель ad
doctoris gradum pertinent (прошел через экзамены для получения
степени), а этот деликатно замалчивает такой вопрос. В данный
момент, выступая в этом уважаемом коллективе, я воспользуюсь
второй привилегией — не буду злоупотреблять правом последне-
го слова. Для длинной речи у меня не хватает опыта, но как я мог
его приобрести? В такой роли никто не выступает часто (разуме-
ется, за исключением моего любезного покровителя). Наиболь-
шую совестливость пробудила во мне третья привилегия: это ve-
nia studiorum (зачисление в студенты). Как я могу быть доктором
университета, студентом которого я никогда не был? С того мо-
мента, когда ректор и декан отделения математики и физики со-
благоволили уведомить меня, что я удостоен исключительной че-
сти — получить степень почетного доктора с вытекающими от-
сюда последствиями, меня одолевает именно это сомнение.
Вопрос, где и чему я учился, подобен мучительному сну, в кото-
ром взрослому человеку приказывают вернуться в школу и по-
вторно пройти последние классы, и этот вопрос вызывает во мне
не одно воспоминание.
Когда я начинал учиться, прошла забастовка под лозунгом по-
лонизации образования в школах в условиях тогдашней россий-
ской аннексии (в первую очередь под лозунгом возвращения поль-
ского характера этому университету), но эта забастовка протеста
привела к изгнанию и выпихнула за границу волну из тысяч сту-
дентов. Эта волна катилась далеко на запад, а меня привела в Гет-
тинген, где я встретился с прекраснейшей молодежью, собравшей-
ся со всей Польши, прежде всего из Варшавы. Там я узнал братьев
Дзевульских, Тадеуша Банахиевича, Эдварда Лота, Генрика Ко-
лодзейского, Зигмунда Янишевского, Вацлава Серпиньского, Ро-

Речь при присвоении степени почётного доктора (Варшава) 333
зенблюма, Стефана Мазуркевича, Фелициана Кемпиньского. С Ка-
зимежем Янценом, Мечиславом Бернацким, Генриком Лауэром,
Александром Райхманом и многими другими спустя несколько лет
я встретился в Мюнхене и в Париже. Вот таким образом я оказался
студентом этого университета, хотя и partibus infidelium (частично
не по своей воле). Сказанное не является преувеличением. Там и
тогда Банахиевич заказал мне написать популярную статью в вар-
шавский «Wszechswiat», и эта студенческая компиляция числится
под номером один в списке моих работ. Вторую работу я обсуждал
с Янценом. Серпиньский специально для меня написал две лекции,
чтобы обучить меня цепным дробям и формуле суммирования
Эйлера-Маклорена. Во время ночных прогулок я учился астроно-
мии у Банахиевича, это он объяснил мне красоту и важность меха-
ники, а также практическое значение теории вероятностей.
Дзевульские, духовные предводители геттингенской Поло-
нии, направляли мои интересы к приложениям математики, но
все тогдашние Филоматы и Филареты единодушно и систематич-
но вводили мне противоядие против опасности, которая угрожала
каждому прибывшему в Саксонию за знаниями эмигранту, а осо-
бенно мне, выходцу из Галиции. Эта опасность заключалась в
признании превосходства западной цивилизации, представлен-
ной лучшими в мире университетами, что поощряло забыть обо
всем том, что мои тогдашние друзья (как присутствующие здесь,
так и те, которых, к сожалению, уже никогда не увижу) всегда по-
мнили и мне забыть не позволили.
Поскольку университет удостоил меня степени доктора (как
бы в порядке амнистии в связи с приближающейся 150-летней го-
довщиной своего образования), то да будет мне позволено сказать
pro domo mea (про мой дом), что 50 лет назад я был заочным сту-
дентом того Варшавского университета, который тогда сущест-
вовал только в мечтах моих тогдашних коллег и покровителей.
Сила желания привела к тому, что мечта стала явью — поэто-
му кроме тех, кто сегодня хранят славу и достоинство этой вы-
сшей школы, пусть соблаговолят принять мои благодарности и
те, кого мне дано было знать в течение полувека, и кому по спра-
ведливости принадлежит имя возродителей Варшавского универ-
ситета!

Речь, произнесенная при
присвоении степени почетного
доктора Университета им. Адама
Мицкевича в Познани
(16 ноября 1963 г.)
Ваше Превосходительство, почтенные господа деканы, много-
уважаемые господа организаторы! Только что Университет
имени Адама Мицкевича удостоил меня степени почетного док-
тора. Высокое отличие, которым является степень доктора hono-
ris causa, я понимаю как выражение признания двух математиче-
ских школ, к которым я имел счастье принадлежать. Не буду го-
ворить о львовской, поскольку мой любезный покровитель1, в
свое время ее приверженец, достойно ее представляет в Познани
и успешно пересадил на здешнюю почву ее математический дух.
0 львовской школе еще сегодня ходят анекдоты, касающиеся ее
работы. Вроцлавская школа частично переняла этот стиль, одна-
ко имеет иную проблематику. Молодые вроцлавские ученые име-
ли возможность сравнить наши обычаи с научной атмосферой За-
пада, особенно с тем, что они видели в Соединенных Штатах, где
много центров, много ученых и много достижений. Однако мы
можем констатировать наше преимущество в навыках коллектив-
ной работы, благодаря чему нам удается, несмотря на многочис-
ленные трудности (к которым относятся низкое материальное и
кадровое обеспечение, недостаток жилья и постоянная катастро-
фа, именуемая реформой школьного образования), претендовать
1 Проф. Владислав Орлич. — Прим. ред. польского издания.

Речь при присвоении степени почётного доктора (Познань) 335
на более высокое место в науке, чем то, которое соответствует на-
шему реальному жизненному уровню или масштабу производст-
ва электроэнергии.
Всякие торжества являются поводом для обмена приветст-
венными словами. Но мое уважение к этому Университету и к
участникам этого почтенного собрания не позволяет мне ограни-
читься лишь благодарностями. Ведь ваш доктор honoris causa,
Казимеж Твардовский, выступил в этом актовом зале с лекцией
о достоинстве Университета. Право и обязанность говорить прав-
ду ex cathedra (с кафедры) — это было в Познани основным тези-
сом речи Твардовского. Правда редко бывает легкой и не всегда
всем приятна — я позволю себе сказать, что я думаю о той лице-
мерной ситуации, в которой оказалась математика в нашей совре-
менной действительности. Я считаю эту ситуацию пагубной для
общества и унизительной для математиков. Как обычно, из газет
трудно узнать о сегодняшней роли математики, ибо пресса умеет
только морочить головы читателей и распространять несколько
избитых фраз и положений, якобы защищающих позиции матема-
тики. Лучше всего имитируют правду три следующих газетных
штампа: 1) польская математика — лучшая на свете; 2) электрон-
ные машины дают математикам новые возможности проявить
себя, а промышленности и администрации позволяют экономить
время и силы (так как электронные мозги заменяют массу бухгал-
теров, кассиров и счетоводов); 3) без математики не было бы ис-
кусственных спутников, космонавтов и всяких ракетных чудес.
Из этих трех суждений газетчики делают вывод, что в течение 20
лет нужно будет подготовить 17 000 математиков! Отсюда легко
подсчитать, что в 1965 году нам не будет хватать нескольких ты-
сяч математиков, после чего естественным представляется вы-
вод: королева наук останется без подданных! (Express Wieczorny,
№ 83, 8 апреля 1963 г.) К счастью, не все читают газеты. Один из
них, 7-летний сын способного молодого ученого, моего коллеги
по профессии, когда его в школе спросили, кто по специальности
его отец, ответил: «железнодорожник». «Почему же ты не отве-
тил, что отец математик?» — спросили его дома. «Тогда все стали
бы смеяться надо мной...». Газеты бьют тревогу, что некому бу-
дет учить в общеобразовательных школах, поскольку для получе-

336
Гуго Штейнгауз
ния высшего математического образования подается лишь 800 за-
явлений на 1000 вакантных мест, т. е. на 20% меньше. Однако да-
вайте присмотримся к газетной информации поближе. Фраза о
славе польской математики не очень вяжется со следующей (об
электронных машинах как главном прогрессе этой науки), поско-
льку польская математика на 95% обязана своей славой исследо-
ваниям, далеким от конструирования вычислительных машин.
Еще труднее согласиться с третьей фразой, так как ни один выда-
ющийся польский математик (и даже ни один из средних) не от-
личился в расчетах орбит космических полетов (хотя термин
«стратосфера», прочитанный по-польски, звучит для нас как
определение этой сферы). Кроме того, надежда на то, что про-
мышленность может получить какую-то экономию при примене-
нии современных компьютеров из-за снижения персональных из-
держек, является призрачной: амортизация дорогих заграничных
машин (и еще более дорогих отечественных) обходится дороже,
чем все счетоводы, заменяемые этими машинами.
Положение математики в Польше является трагикомедией
ошибок и недоразумений. Уже само именование «математикой»
школьных вычислений является неправильным — ведь никому не
приходит в голову называть уроки чтения и письма наукой поль-
ской литературы! Другим недоразумением, значительно более
важным, является упорное игнорирование факта, известного каж-
дому учителю по собственному опыту: 25% юношей и чуть боль-
ше девушек перестают понимать слова учителя, когда на доске
появляется алгебраическая символика. Для меня из этого факта
вытекает беспрекословный вывод, что принуждение всех учени-
ков к изучению математики подобно обязательному обучению
музыке глухих людей. Поэтому я уверен, что после 6 или 7 лет
обучения надо дать ученикам право выбора между гуманитарным
и математико-естественным направлением. Перевод слабых в ма-
тематике на гуманитарные отделения облегчит им изучение дру-
гих предметов, а произведенный отбор позволит учителям мате-
матики без труда выполнить программу на математическом отде-
лении. Кроме того, это облегчит поиск кандидатов на роль
учителей математики, так как в старших классах их понадобится
в два раза меньше, чем в настоящее время.

Речь при присвоении степени почётного доктора (Познань) 337
Значительно глубже недоразумение, которое я назвал бы за-
колдованным кругом. Математики-выпускники университе-
тов — это по большей части будущие преподаватели различного
рода школ: начальных, средних и высших. Значительную часть
учебного времени у них занимают лекции и семинары, т. е. дидак-
тическая работа. Для чего могут пригодиться такие знания? Толь-
ко для обучения математике других (например, в школах). Сегод-
няшнее положение таково, что лишь несколько процентов сту-
дентов будут заниматься именно математикой (то есть сами себе
будут ставить задачи, которые необходимо решать), а почти все
остальные выпускники будут заниматься педагогической рабо-
той в обычных школах. Если такое переливание математических
знаний из одних мозгов в другие и имеет какой-то реальный
смысл, то оно должно закончиться там, где кто-то учится матема-
тике без намерения дальнейших занятий ею. Речь идет о примене-
нии математики к реальным проблемам (а не только к таким, ко-
торые интересуют исключительно любителей теоретической ма-
тематики). Такое намерение можно назвать программой
Архимеда. Пожалуй, эта программа совершенно естественна хотя
бы потому, что ведь выпускники медицинских высших учебных
заведений (по крайней мере в 90% случаев) выбирают специаль-
ность врача, и только немногие из них предполагают в дальней-
шем заняться исследовательской работой или преподаванием ме-
дицины! А вот в математике программа Архимеда является
чем-то новым. Меня удивляют школьники, которые хотят, чтобы
папа был железнодорожником, и не верят, что математик не обя-
зательно должен быть учителем. Но меня удивляют и те, кто изу-
чает математику, не веря в то, что эта наука может пригодиться
для чего-либо большего, нежели для защиты диссертации... Кри-
зис, который в настоящее время переживает математика, является
весьма острым, поскольку сейчас непомерно увеличивается чис-
ло общеобразовательных школ. Если верить газетам, то промыш-
ленность, торговля, горное дело, сельское хозяйство, биология,
медицина, география, метеорология и многие другие отрасли
нуждаются в помощи математика, особенно, когда речь идет
о планировании в государственном масштабе. Если бы так было
на самом деле, то тревога газет была бы обоснованной, но реальная

338
Гуго Штейнгауз
ситуация выглядит совсем иначе: в данный момент в промышлен-
ности занято едва ли несколько сотен математиков (большинство
которых связано с несвойственной им работой), и тщетны надеж-
ды, что ежегодно будет требоваться пара сотен архимедов и что
разные ведомства, проектные бюро, банки и фабрики будут за них
драться так, как спортивные команды за игроков. Пока мы не ви-
дим ни спроса, ни предложения. Почему?
Как перевести на современный польский язык специфиче-
ское прусское изречение Бисмарка, что «в конце концов ведь ни-
кто никогда не будет чем-то большим, нежели кирасиром!». Я за-
меню слово «кирасир» на «инженер», ибо инженер должен знать
все (он — физик и математик, чертежник и монтер, изобретатель
и конструктор). Я встречал таких инженеров. Скольких? Одного!
Его звали Александр Детциус, он был моим шефом в конторе по
распределению природного газа и он пригласил меня в качестве
математика. Это было в 1919-1920 годах (т. е. 45 лет тому назад),
но с тех пор я не встречал никого, кто бы умел так ставить перед
математиками задачи, имеющие практический смысл. Благодаря
ему я познакомился in vivo (наяву) с программой Архимеда, а пе-
регонные заводы фирм «Gartenberg», «Waterkein» и «Karpaty»
имели в штате математика для решения задач, возникающих при
совместной эксплуатации газопровода — я что-то не слышал,
чтобы сегодня, например, фирма «Туров» имела постоянного ма-
тематического эксперта... Еще более удивительно, что горное
дело и промышленность еще реже используют физиков, чем мате-
матиков. Мне трудно объяснить это иначе, чем глубокой верой
директоров в кирасиров... прошу прощения за машинальную
описку — здесь должно было быть «инженеров». Я не хочу здесь
затрагивать трудный вопрос преподавания математики в поли-
технических учебных заведениях (чем я занимался в первые годы
пребывания во Вроцлаве), но я знаю, что студенты политехниче-
ского института по большей части считали математику одним из
главных препятствий на пути к карьере. Блестящий профессор
Львовского политехнического института и конструктор подвод-
ных лодок, Эберман, считал балластом все, что выходит за рамки
вычислений, так что я не надеюсь, что математик мог бы найти
поддержку у главного инженера завода, руководителем которого

Речь при присвоении степени почётного доктора (Познань) 339
когда-то был Эберман! Разматывая этот клубок нитей (или проб-
лем), мы доходим до того, что надо учить не детей, а взрослых.
Сколькие из них знают, что такое математика? Удовольствуемся
следующим примером: экспортные товары у нас проходят стати-
стический контроль качества. Польский комитет по стандартиза-
ции за несколько лет работы взыскал немало денежных штрафов,
прежде чем опубликовал стандарты качества для штучных това-
ров — эта небольшая книжка (среди авторов которой есть выдаю-
щийся инженер и пара математиков) вовсе не требует от читателя
знания высшей математики. Я лично знаком с начальником Ар-
битражной палаты и знаю, что он никогда не слышал об этих
стандартах... знаю также, что наши официальные экспортеры не
придерживаются их. Они сами выдумали свои стандарты, кото-
рые имеют ту особенность, что большие партии товаров почти
никогда не пройдут через контроль, зато даже некачественный
товар можно протолкнуть малыми партиями. Таким способом мы
сами себя вынудили малыми партиями поставлять в Египет водо-
мерные счетчики, что затрудняет импортерам их приемку... еги-
петский получатель не желает знать самозванных стандартов и
сам заново контролирует поставки, а именно... согласно докумен-
там Польского комитета по стандартизации! Можно ли ожидать,
что наш поставщик даст работу математику, если не доверяет
официальным стандартам, которые можно купить за 20 злотых?
На этом фоне сложился необычный альянс двух партнеров.
Один из них — великие ученые, люди, преданные науке, всемир-
но известные математики (этого партнера не интересуют ни ре-
альный мир, ни реальная математика), а второй — эмпирики, счи-
тающие мышление ненужной роскошью. Их образование не по-
зволяет даже представить себе, что такое математика и как ее
следует использовать. Между этим молотом и той наковальней
находится молодой математик, который желает применять свои
знания на практике. Уже при защите докторской диссертации он
становится объектом дискриминации, поскольку корифей науки,
постоянно пребывающий за границей (я имею в виду границу
здравого рассудка), требует от диссертанта, чтобы он в своей ра-
боте привел новую математическую теорему (хотя бы даже ли-
шенную практической пользы). Корифей не хочет понимать, что

340
Гуго Штейнгауз
наибольшим научным открытием является исключение матема-
тики отовсюду, откуда ее можно удалить, а не искусственное ее
введение туда, где можно без нее обойтись. Отсюда следует логи-
ческий вывод: способные математики выбирают теоретические
темы, чтобы избежать дискриминации — это облегчает им науч-
ную карьеру. Те же из них, кто несмотря ни на что выдерживают
программу Архимеда и переплывают через Сциллу докторской
диссертации, позже попадают в Харибду сыгранного клуба кира-
сиров, которым университетская докторская степень не внушает
уважения.
Возможно, мне удалось представить сущность тайного и бес-
сознательного соглашения двух категорий вредителей. Мой
упрек направлен тем, кто не дорос до руководства современными
производственными коллективами, ибо они даже не догадывают-
ся, что каждый второй их шаг ошибочен, не требует гражданского
мужества, поскольку не получит отклика... но атака на жрецов
абстракции вызывает реакцию. Легко предсказать какую. Уни-
верситеты и академии имеют привилегию свободы научных ис-
следований — никто не может диктовать профессорам, чем они
должны заниматься. Наука должна, конечно, беречь свободу, как
зеницу ока. Несмотря на это, необходимо ограничить число поль-
ских ученых, занимающихся, например, исследованием поведе-
ния пауков в Гибралтаре. Если математика не находит понимания
даже у нуждающихся в ней практиков, то не стоит удивляться
ученикам Платона, считавшим занятия Архимеда математикой
делом, недостойным настоящего философа. Математика не отно-
сится к числу дорогостоящих наук, но, несмотря на это, министр,
который должен отстаивать бюджет в сфере математики на науч-
ные исследования, на публикации, институты, кафедры и стипен-
дии, требует от специалистов привести аргументы. Если он сам в
глубине души является приверженцем Платона, то какими дол-
жны быть аргументы? Убежденный в приоритете абстрактной ма-
тематики и далекий от современного мира, загипнотизированно-
го техникой с ее семимильными шагами, имеет ли он право ссы-
латься на практическую важность математики? Предположим,
что министр в чем-то откажет. Известно ли кому-то, когда и какие
реальные плоды вырастут на каком-то абстрактном кусте матема-

Речь при присвоении степени почётного доктора (Познань) 341
тики? Впрочем, если министр относится к кирасирам, он всегда
может сказать: «Hie Rhodus, hie salta!»1.
Несколько месяцев назад действительность вмешалась в вы-
мышленную полемику, когда оказалось, что очень абстрактная и
очень современная теория стохастических процессов позволяет
устранить препятствия, затрудняющие подачу бурого угля по
ленточному транспортеру с открытых разработок на электростан-
ции, постоянно питаемые этим углем. Математическую идею
предложил Ст. Гладыш, а инженеры-специалисты утверждают,
что за счет этого получается огромная экономия, большая нежели
все суммы, выделенные до сих пор государственным казначейст-
вом на нужды математики.
Недавно в одном из многих популярных периодических изда-
ний прозвучал голос об обратной тенденции. Заглавие статьи пре-
достерегает от использования математики, а автор критикует
принцип оптимальности, используемый для решения практиче-
ских задач. Если мы намерены серьезно прислушаться к этому го-
лосу, то надо было бы прежде всего подвергнуть сомнению упо-
минавшееся туровское решение, однако все указывает на то, что
автор не очень понимает проблему и постоянно намекает на неко-
торые обстоятельства, которыми нельзя пренебрегать, хотя они
этого заслуживают.
Таким образом, главный мотив сетований отпал: математи-
ков мало не из-за отсутствия у абитуриентов желания учиться,
а потому, что профессия учителя является малопривлекательной.
Аналогично, в промышленности математиков мало не из-за недо-
статка соответствующих выпускников университетов, а потому,
что промышленность и экономика не понимают роли математи-
ков в современном мире материального производства. К матема-
тикам на промышленных предприятиях относятся хуже, чем к ин-
женерам: если они не очень сообразительны — им предлагают
второстепенную административную работу, а если сообразитель-
ны, то их способности остаются недооцененными и нереализо-
ванными. Поэтому самые лучшие и амбициозные из них выбира-
ют научную карьеру.
1 «Прыгай здесь и сейчас!»

342
Гуго Штейнгауз
Итак, мы имеем здесь пример товара, когда предложение
приспосабливается к спросу. Спрос небольшой, цена товара низ-
кая, поэтому нечего удивляться, что предложение такое незначи-
тельное. Нам грозит опасность и с другой стороны — войска гене-
рала Бурбаки атакуют нашу начальную школу. Бурбаки сделал
открытие, что детей с колыбели можно учить математической ло-
гике, теории множеств и абстрактной алгебре, так как им это
очень нравится — по такому пути можно зайти далеко, особенно
когда тайно сложится союз математики с геометрией и физикой...
детям лучше этого не знать.
Шесть лет назад во Вроцлаве состоялась конференция, пред-
метом которой была роль математики в настоящий момент. Я по-
зволю себе зачитать заключительную часть своего выступления
из протоколов этой конференции (полностью их можно найти в
«Kosmos В», IV, выпуск 2 (14), 1958, стр. 123-151), и эти предло-
жения стоит сравнить с тем, что я имел честь здесь высказать, бла-
годаря терпеливости и любезности уважаемой аудитории!
«Дискуссия не идет в направлении, которое меня интересует. Я ска-
зал, что не может быть, чтобы Польша не знала, что такое математика.
Один из наших экономистов сказал на это следующее: «Все у нас очень
плохо. Финансовое положение плачевное, но некоторые резервы име-
ются. Одним из резервов, например, является то, что у нас нет электри-
фицированных железных дорог. Мы можем их электрифицировать и
очень много на этом заработать. И таких резервов несколько». Меня бес-
покоит не то, какое место занимает математика, а то, что мы находимся в
ситуации, когда из всего надо извлекать пользу.
Я считаю, что математика так же хороша, как и электрификация,
при условии, что она правильно используется. Между тем эта математи-
ческая электрификация выглядит так, что все средства вложены в по-
стройку бетонных столбов и натягивание проводов, но при этом не за-
куплены локомотивы. Проблема в том, что все считают, что на самом
деле дела идут очень хорошо.
Мы слышали восторг по поводу искусства для искусства и прене-
брежительные слова о ничтожных выгодах. Я повторяю, что в нашей си-
туации такое отношение недопустимо.
Молодежь из общеобразовательной школы обратилась к Ежи За-
вейскому, чтобы он поспособствовал ликвидации математики в школе,
поскольку она ни для чего не нужна.

Речь при присвоении степени почётного доктора (Познань) 343
Может, государство думает, что я осуждаю эту молодежь? Нет!
Я считаю, что это мыслящая часть молодежи, потому что если она пола-
гает, что математика ни для чего не нужна (и не видит в ней реальной по-
требности), то имеет право и основания писать об этом. Вежливый уче-
ник доверяет профессорам, но именно те невежливые, которые написа-
ли Завейскому, являются самыми умными.
А что мы им отвечаем? Мы говорим им о Платоне и об искусстве
ради искусства, и таким образом подтверждаем справедливость их пети-
ции!
Польские математики утверждают (правда, не все), что их наука
в Польше развита достаточно высоко, и зарубежные математики в целом
это мнение подтверждают (во всяком случае продукт, произведенный
каким-нибудь известным польским математиком, получает в мире луч-
шую оценку, чем польские консервы, текстиль или радиоприемники).
Трудную экономическую ситуацию нашей страны в данный момент зна-
ют все трезвые люди (я не считаю, что они составляют большинство), но
эти люди не знают, что математика располагает средствами, делающими
возможным повышение качества консервов, текстиля и радиоприемни-
ков. Попытки использования математической науки для этих, и даже бо-
лее удивительных целей встречают поддержку со многих сторон. Легко
говорить о том, что творчество нельзя ограничивать определенными
рамками, что благородный мудрец должен работать для чистой науки
(без оглядки на сиюминутную прибыль), что математика обходится зна-
чительно дешевле физики, а физика — значительно дешевле театра (не
говоря уж о спорте!) и т. п. В данный момент речь идет о другом. Сессия
показала, что многие из польских ученых не разбираются в той парадок-
сальной роли, которую играет математика в польской трагедии. Когда
тонет корабль, лучше выбросить рояль за борт, чем дискутировать, что
на нем играть — Моцарта или рок-н-ролл. Даже если бы прикладная ма-
тематика ежегодно обходилась государству всего в 1000 злотых, то и эту
тысячу следовало бы вычеркнуть из бюджета, если и впредь будет про-
должаться молчаливый сговор против всякого применения науки на
практике. А ученых можно экспортировать за валюту!».

Перечень источников
Автобиография. Опубликовано в «Roczniki Polskiego Towarzystwa Matema-
tycznego», Seria II: Wiadomosci Matematyczne XVII (1973).
Математика вчера и сегодня, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Wroclawskie-
go. Matematyka-Fizyka-Astronomia II, seria B, nr 3 (1959), s. 5-19.
Что такое математика и на чем основан ее прогресс?, Kosmos, t. LII, z. IV
(1927), s. 346-361.
О математической строгости, Matematyka nr 3 (53) (1958), s. 1-11.
Индуктивное умозаключение, Mysl Filozoficzna nr 5 (25) (1956), s. 26-47.
Беседа (немного историческая), Wiadomosci Matematyczne VII (1963), s. 21-26.
О треугольниках, Wiadomosci Matematyczne I, 2 (1956), s. 169-174.
Об играх (в свободном изложении), Studia Filozoficzne, z. 5 (1969), s. 3-13.
Пути прикладной математики, Matematyka z. 3 (5) (1949), s. 8-19.
Проблема необратимости, Kosmos nr 2, seria B, z. 2 (1955), s. 123-132.
Теория вероятностей как инструмент исследований в естествознании и
производстве, Prace Matematyczne II, 1 (1956), s. 27-55.
Выступление в дискуссии на конференции «Статистика как метод позна-
ния», Zeszyty Problemowe Kosmosu z. 2 (1954), s. 83-85.
Статистическое оценивание как метод приемки товаров массового произ-
водства, Studia i Prace Statystyczne z. 2 (1950), s. 1-13.
Об установлении отцовства, Zastosowania matematyki I, 2 (1954), s. 67-82.
Взаимодействие наук на примере роли математики во вроцлавской научной
среде, Nauka Poiska IV, nr 4 (16) (1956), s. 45-66.
Немного о кибернетике, Znak 112 (1963), s. 1123-1142.
Памяти Леона Лихтенштейна, Mathesis Poiska VIII (1933), s. 131-137.
Памяти Зигмунда Янишевского, Przegla_d Filozoficzny nr 22 (1919), z. Ill, s.
113-117.
Стефан Банах. Выступление на торжественном заседании, посвященном
памяти Стефана Банаха, Wiadomosci Matematyczne IV (1961), s. 251-259.
Речь, произнесенная при присвоении степени почетного доктора Варшавского
университета (28 апреля 1958 г.), Wiadomosci Matematyczne III (1959), s. 9-11.
Речь, произнесенная при присвоении степени почетного доктора Универси-
тета им. Адама Мицкевича в Познани (1963 г.), Wiadomosci Matematyczne
VIII (1965), s. 119-135.

Именной
Абаканович-Абданк Бруно 260
Абель Нильс Генрих 58
Адамар Жак Саломон 61, 153, 313,
322, 323
Андерсон Клинтон П. 26
Аристотель 299
Архитас из Таренто 278
Байес Томас 81-83, 85,193, 194, 198,
224, 248
БайреРене 137
Банах Стефан 25-27, 133, 135, 136,
158,181,267,319-330
Банахиевич Тадеуш 332
Банахова Люция 327
Банахова, опекунша Стефана Банаха
319
Барбацкий Стефан 199
Бартель Казимеж 325
Башелье Луи 187
Бельтрами Эугенио 65, 177
Бергсон Анри 314
Бернацкий Мечислав 333
Бернулли Иоганн 156, 178, 183
Бернулли Якоб 67, 79
Бернштайн Феликс 242, 279, 313
Бернштейн Сергей Н. 186, 187, 194,
210
Бессель Фридрих Вильгельм 111,
177
Биркгоф Георг Дэвид 311
Бисмарк Отто, фон 338
Блекуэлл Дэвид 181
Бойль Роберт 51
Бойяи Вольфганг 29, 32, 34
Бойяи Каспар, де Бойя 29
Бойяи, семья 29
указатель
Бойяи Янош 30, 32-34, 42, 64, 177,
261,262
Больцано Бернгард 105, 106
Больцман Людвиг Эдуард 34, 160,
162, 178,307
Борель Эмиль 61, 126, 178, 181, 192,
300,313
БорнМакс 160
Борткевич Владислав 178
Броун Роберт 72
Брунн Герман 313
Бурбаки Николя, псевдоним 68, 74,
342
Буркхардт Генрих 313
Бэкон Роджер 292
Ваальс Иоганн Дидерик, ван дер 182
Вальд Абрахам 193, 195, 198-200
Вармус Мечислав 202, 203
Веблен Торстен 63
Вейгль Рудольф 328
Вейерштрасс Карл 59, 105, 106
Вейль Герман 72
Вейссенхофф Ян 162
Венингер Маргарет 85
Вержбицкий Витольд 203, 205
Верлен Поль 331
Вёлер Фридрих 66
Вилкош Витольд 320
Вильгельм II 255
Вилье де л'Иль-Адам Огюст, де 301
Винер Норберт 39,189-191,287,289,
294, 322
Войцеховский Казимеж 61
В ольд Герман 190
Вольтер (действ. Франсуа Мари
Аруэ) 275

346
Именной указатель
Вольтерра Вито 323
Вольфовиц Якоб 195, 198,200
Врублевский Зигмунт Флорентий 24
Галуа Эварист 58, 73
Гаррис Бернард 192
Гаррис Франк Э. 264
Гаскелл Роберт Юджин 26, 74
Гаусс Карл Фридрих 29, 30, 32, 42,
64, 169, 177, 196
Гвяздоморский Ян 257
Гейгер Ганс 211
Гей-Люссак Луи Жозеф 182
Гейне Генрих Эдуард 122, 136
Геккель Эрнст 74
Гёдель Курт 32, 137
Гёте Иоганн Вольфганг, фон 275,290
Гильберт Давид 61-63, 177,261,262,
313,322,323,328
Гиппократ 78
ГиршикМ. А. 198
Гиршфельд Людвиг 82, 83, 87, 209,
242, 246, 247, 252, 257, 278, 279
Гладыш Станислав 341
Гливенко Валерий Иванович 240
Гнеденко Борис Владимирович 185
Госевский Владислав 178
Греко Эль (действ. Доминикос
Теотокопулос) 263
Гренандер Ульф 190
Гречек, отец Стефана Банаха 319
Гройер Францишек 271
Гурсат Эдуард 313
Гюйгенс Христиан 67
Гюйсманс Иорис Карл 298
Даламбер Жан Лерон 61
Дампир Уильям Сесиль, сэр 65
Дарбу Гастон 61, 106
Дарвин Джордж Говард 308
Дедекинд Рихард 68
Декарт Рене 50, 67, 288
Детциус Александр 338
Дзевульские, братья, Вацлав Михал,
Владислав 332, 333
Диаманди Перикл 45
Дикштейн Самуэль 106
Дирихле Петер Густав Лежён 66,307
Донскер Монро Д. 196
Дробот Стефан 202, 203, 282
Дуб Джозеф Л. 196
Дунгерн Эмиль, фон 243, 280
Дуркхайм Эмиль 314
Дыбовский Бенедикт 40
Дюбуа-Реймон Эмиль 296, 320
Евклид 27, 32, 34, 59, 63-65, 67, 73
Жеромский Стефан 329
Жолкевский Стефан 331
Жордан Камилл 63, 153, 314, 315
Завейский Ежи 25, 27, 343
Заремба Станислав 267,268,319,320
Зенон из Элей 29
Зигмунд Антон 179
Зонн Влодзимеж 209
Зоретти Людовик 314
Зубрицкий Стефан 209
Ивашкевич К. 198
Иноди Джакомо 45
Инфельд Леопольд 268
Кант Иммануил 104, 296
Кантелли Франческо Паоло 178, 187
Каратеодори Константин 162
Кархунен 190
Кац Марк 168, 179
Келлог Оливер Димон 306
Келус Анджей 211
Кемпиньский Фелициан 333
Кёниг Дитер 191
Кирхгоф Густав Роберт 55
Клейн Феликс 122,177,259,260,269
Клеро Алексис Клод 307
Кованко Александр С. 324
Козакевич Вацлав 180
Колмогоров Андрей Николаевич
181, 183, 187, 189, 190, 195, 196
Колодзейский Генрик 332
Кол одзейчик Стефан 198
Коперник Николай 65
Котарбиньский Тадеуш 25,40
Кох Роберт 272
Коши Огюстен Луи 61, 67, 105, 122,
136, 186
Коэн Поль Джозеф 137
Крайчик Морис 141

Именной указатель
347
Крамер Гаральд 184, 186, 192
Крускал Уильям Г. 197
Кульчинский Станислав Леон 258,
276
Кун Гарольд У. 141
Курант Рихард 150
Куратовский Казимеж 327
Лаваль Карл Густав, де 270
Лагранж Жозеф Луи, де 48, 49, 51,
61,67
Ланге Оскар 177, 193
Ландау Эдмунд 262, 313, 321
Ландштайнер Карл 242, 279
Лаплас Пьер Симон, де 61, 79-81,
168, 169, 177, 183, 186, 228,229,
231
Лауэр Генрик 333
Лебег Анри Леон 61, 136, 162, 178,
181,314,319,321,325
Леви Поль Пьер 185, 188
Левин Эжен 242
Лейбниц Готфрид Вильгельм 44, 50,
67, 109,285
Лексис Вильгельм 145
Лере Жан 328
Лесневский Станислав 155
Лехманн Эрих Лео 197
Линдеберг Дж. У. 185
Линдеман Фердинанд 52
Листинг Иоганн Бенедикт 71, 72
Лиувилль Жозеф 108
Лихтенштейн Леон 142, 267, 268,
305,307-312
Лобачевский Николай Иванович 29,
32,33,64, 178,263
Ломницкий Антоний Мариан 178,
180,320
Ломницкий Мариан 179
Лот Эдвард 332
Лошмидт Иосиф 161, 163, 174, 179,
183
Лукасевич Ян 155
Лукашевич Юзеф 82, 210, 254, 257
Ляпунов Александр Михайлович
186,307
Мавролико Франческо 292
Маеда Фумитомо 71
Мазур Станислав 133, 135, 158, 327
Мазуркевич Стефан 178, 179, 267,
268
Майкельсон Альберт Абрахам 33,
65,261
МакКинси Дж. К. К. 97
Маклорен Колин 307, 333
Максвелл Джеймс Клерк 34,160,178
Малибран Гарсиа Мария Фелисита
300
Марков Андрей Андреевич 187, 188,
190, 191, 193
Марцинкевич Юзеф 179, 180
Марчевский Эдвард 175, 181, 191,
192
Мах Эрнест 33, 263, 310
Мейерсон Эмиль 306, 310
Мейнонг Алексиус Риттер, фон
Хандшусхайм 315
Мендель Грегор Иоганн 243
Мёбиус Август Фердинанд 72
Мизес Рихард, фон 181
Милицер-Гружевска Галина 187
Милл Джон Стюарт 34, 261
Минковский Герман 262, 283, 313
Мицельский Ян 125, 128, 135, 136,
130
Монж Гаспар 260
Морган Аугустус, де 129
Мостеллер Фредерик 197
Мостовский Анджей 140
Моцарт Вольфганг Амадей 343
Мошиньский Вацлав 203
Муавр Абрахам, де 183, 186, 228,
229,231
Мэсси Франк Дж., мл. 197
Мюллер Эрвин Вильгельм 211
Навье Луи Мари 183
Наполеон I (Наполеон Бонапарт)
153,260
Наполеон III (Карл Людвик Наполе-
он Бонапарт)61
Наторп Пауль 315
Нейман Джон, фон 88, 97, 98, 127,
133,138, 139, 160,299,300,323
Нейман Карл Готфрид 306
Нейман Сплава Ежи 87, 88, 143, 179,
180, 193-195, 198
Нейманы 309

348
Именной указатель
Никодим Отто Марцин 319
Нильсен Аста271
Норвид Киприан 278
Нусбаум-Хиларович Юзеф 40
Ньютон Исаак 34,50,61,67,154,289,
306
ОдерфельдЯн 177,194,196,203,213
Окань Морис, д' 56
Орлич Владислав 158, 327, 334
Павлов Иван Петрович 288
Паркинсон Джеймс 288
Паскаль Блез 34, 35, 42, 78, 285, 292,
300, 306
Пастёр Луи 73
Пачоли Лука 78
Паш Мориц 177
Пеано Джузеппе 181
Пикар Шарль Эмиль 313
Пилсудский Юзеф 316
Пинчерле Сальваторе 315,321
Пирсон Кеннет Р. 87
Пирсон Эгон Шарп 195
Пифагор 62, 63, 79
Платон 63, 146, 278, 340, 343
Погоржельский Витольд 203
Понселе Жан Виктор 73, 260
Потоцкий Ян 275
Прус Болеслав (действ. Александр
Гловацкий) 260
Птолемей Клавдий 28
Пуанкаре Анри 61,160,162,177,262,
263,314
Пуассон Симеон Дени 178, 183, 186,
192
ПуцинаЮзеф 315
Пфандлер Александр 314
Райков Дмитрий А. 185
Райский Чеслав 211
Райт Вилбур 289
Райт Орвилл 289
Райхман Александр 179, 180
Рейнак Соломон 314
Ренар Шарль 203
Реньи Альфред 186, 191
Риман Бернгард 33, 54, 55, 59, 64, 67,
72,261,262
Рисе Фриджис 306, 322, 323
Розенблюм Марвин 332
Розенблют Артур 287
Романовский Святослав 203
Рубинович Войцех 268
Рудзкий Мауриций Пий 268
Рузевич Станислав 58
Рунге Фердинанд 313
Руффини Паоло 58
Рылл-Нардзевский Чеслав 130, 133,
138, 181,192
Рэлей Джон Уильям, лорд 55
Рюкле Г. 45
Садовский Веслав 177, 197
Сакс Станислав 158, 181
Салк Йонас Эдвард 77
СаньеМарк 315
Сарду Викторьен 262
Сверчковский Станислав Славомир
136
Свифт Джонатан 275
Сенкевич Генрик (псевд. Литвос)
260
Серпиньский Вацлав 108, 181, 267,
315,321,326,331,332
Сколем Торальф А. 136
Слупецкий Ежи 279
Слуцкий Евгений Евгеньевич 188
Смирнов Николай Васильевич 195,
196
Смолуховский Мариан 34, 162, 178,
190,268
Стожек Влодзимеж 326
Стоке Джордж Габриэль, сэр 182
Сцевола Муций 90
Такер Альберт У. 141
Тамаркин Якоб Давид 322
Таннери Жюль 320
Тарский Альфред 27, 136, 181
Тауринус Франц Адольф 34
Твардовский Казимеж 335
Теплиц Отго 124,313
Торрес Кеведо Леонардо 294, 296
Туран Пауль 169, 170, 182
Уайлд Оскар 43

Именной указатель
349
Улам Станислав Марцин 179, 293,
294, 322, 327
Уолтер Уильям Грэй 91
Урбаник Казимеж 72, 181, 192
Феллер Уильям 70, 185, 186
Ферма Пьер, де 66, 79
Фёрстер Фридрих Вильгельм 313
Фиш Марк 177, 186, 196, 199
Фишер Рональд Эйлмер, сэр 87, 143,
157, 194, 196, 198,220.274
Флобер Гюстав 302
Форд Генри 40, 154
Фосс Генрих 312
Франс Анатоль (действ. Жак Ана-
толь Тибо) 276
Фредгольм Эрик Ивар 323
Френкель Авиезри С. 136
Фреше Морис 321, 322
Фурье Жан 187-189, 320
Хагельбергер Д. У. 92, 101, 292
Ханкель Герман 11, 106
Харди Годфри Гарольд, сэр 111, 151
Хартман Станислав 181, 192
Хелмерт Фридрих Роберт 177
Хемингуэй Эрнест 76
Хеннелл 66
Хёффдинг Василий 197
Хилл Брэдфорд А. 218, 281
ХиллеЭйнар 191
Хинчин Александр Яковлевич
184-186, 189,190
Ходже Джозеф Л., мл. 98
Хоель Пауль Герхард 239
Цермело Эрнст 123-128, 130, 135,
136, 160, 162,178,182,313
Цукерман Солли, сэр 295
Чекановский Ян 280
Чепмэн Сидней 190
Чех Эдуард 125
Чеховский Тадеуш 177
Чубер Эмануэль 179
Шаудер Юлиуш Павел 330
Шварц Герман Амандус 54, 55, 59
Шварц Лоран 38, 61-66, 68, 70, 72,
74,75
Шеннон Клод Элвуд 92
Шефер Клеменс 163
Шеффе Анри 196
Шмидт Эрхард 323
Шпейсер Давид 311
Шпенглер Освальд 74
Шрёдингер Эрвин 160, 163, 165, 171,
173, 175,176
Штейн К. 196, 199,293
Штейнгауз Гуго Дионисий 22, 43,
140, 182, 191, 192, 194, 198, 201,
206,207,212,240,331,332
Шухарт 206
Щеклик Эдвард 208
Эберман Людвиг 270, 338, 339
Эверс Ганс Гейнц 259
ЭгервариЭ. 170, 171, 183
Эдисон Томас Альва 301, 302
Эйлер Леонард 52
Эйнштейн Альберт 33, 64, 151, 160,
190,261-263,282
Энрикес Федерико 316
Эренфейхт Анджей 141
Эренфест Пауль 160
Эрмит Шарль 61
Эссен Маттс Р. 186
Якоби Карл Густав Якоб 307
Янишевский Зигмунд 143, 146, 266,
267,313-317,321,332
Янцен Казимеж 333

От польского издательства
Согласно желанию проф. Штейнгауза, которое он выражал
еще при своей жизни, издательство решило не вносить каких-ли-
бо изменений в пределах текстов. Ибо Гуго Штейнгауз сопрово-
дил свои работы оговоркой versio ultima (окончательная версия)
и не позволял — даже ценой отзыва из печати — вносить в них
никаких изменений или поправок, в особенности в отношении
грамматических правил.
Опубликованные в разных местах и в разное время работы
Штейнгауза подготавливались к печати редакциями отдельных
периодических изданий с разной степенью тщательности, хотя их
окончательная языковая форма соответствовала условиям, опре-
деленным желанием автора. Сноски, которыми раньше были
снабжены эти тексты и которые помещены в настоящем сборни-
ке, сделаны Штейнгаузом и редакциями периодических изданий.
В данном издании все они оставлены, а в некоторых дополнитель-
но учтено влияние времени и правил, руководящих научной
жизнью в послевоенной Польше. Издательство решилось только
исправить очевидные ошибки, возникшие по причине неточности
предыдущих изданий.

Содержание
Предисловие. Абрамов А. М. 5
Гуго Штейнгауз. Автобиография. Перевод Ю. А. Данилова 9
Математика вчера и сегодня 23
Что такое математика и на чем основан ее прогресс? 43
О математической строгости 61
Индуктивное умозаключение 76
Беседа (немного историческая) 105
О треугольниках 113
Об играх (в свободном изложении) 122
Пути прикладной математики 142
Проблема необратимости 160
Теория вероятностей как инструмент исследований
в естествознании и производстве 177
Выступление в дискуссии на конференции
«Статистика как метод познания» 216
Статистическое оценивание как метод приемки товаров
массового призводства 221
Об установлении отцовства 240
Взаимодействие наук на примере роли математики
во вроцлавской научной среде 258
Немного о кибернетике 285
Памяти Леона Лихтенштейна 305
Памяти Зигмунда Янишевского 313
Стефан Банах. Выступление на торжественном заседании,
посвященном памяти Стефана Банаха 319
Речь, произнесенная при присвоении степени почетного доктора
Варшавского университета (28 апреля 1958 г.) 331
Речь, произнесенная при присвоении степени почетного доктора
Университета им. Адама Мицкевича (16 ноября 1963 г.). . . . 334
Перечень источников 344
Именной указатель 345
От польского издательства 350

ББК22.1
Ш88
Штейнгауз Г.
Ш88 Математика — посредник между духом и материей/ Г. Штейн-
гауз; Пер. с польск. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. —
351 с: ил.
ISBN 5-94774-214-4 (русск.)
ISBN 83-01-13383-Х (польск.)
Книга представляет собой сборник статей и выступлений автора, посвящен-
ных истории развития отдельных разделов математики и их приложениям к био-
логии, медицине, геологии, судебной практике, экономике и другим областям.
Объединяющим моментом являются глубокие методологические рассуждения ав-
тора о природе математики и ее взаимодействии с другими науками. Приведены
малоизвестные факты из биографий выдающихся ученых-математиков.
Для преподавателей математики, студентов и всех интересующихся историей
этой науки и ее приложениями к различным сферам народного хозяйства и к науч-
ным исследованиям.
УДК 51-7
ББК 22.1
По вопросам приобретения обращаться:
«БИНОМ. Лаборатория знаний» (095) 955-03-98, e-mail: LBZ@aha.ru
http://www.LBZ.ru
ISBN 5-94774-214-4 (русск.)
ISBN 83-01-13383-Х (польск.)
© Wydawnictwo Naukowe PWN SA,
Warszawa-Wroclaw 2000
© перевод на русский язык,
БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005

Научно-популярное издание
Штейнгауз Гуго Дионисий
МАТЕМАТИКА — ПОСРЕДНИК
МЕЖДУ ДУХОМ И МАТЕРИЕЙ
Ведущий редактор И. Маховая
Художник Ф. Инфантэ
Художественный редактор О. Лапко
Компьютерная верстка В. Носенко
Подписано в печать 15.12.04. Формат 60x901/]ь.
Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 22,0. Тираж 1000 экз. Заказ 2718.
Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний».
Адрес для переписки: Москва, 119071, а/я 32.
Телефон (095)955-0398. E-mail: LBZ@aha.ru
http://www.LBZ.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в полиграфической фирме «Полиграфист»
16000L г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3

Гуго Дионисий Штейнгауз (1887-1972) —
крупный математик, один из родоначальников замечательной
польской математической школы, выпускник Геттингенского
университета в легендарные времена Ф. Клейна и
Д. Гильберта.
Написание фрагментов истории математики в Польше было
одной из задач автора. Другая задача — популярное
изложение тем, входящих в сферу его научных интересов.
Но главная роль иная: это глубокие методологические и
философские размышления о природе математики и,
в первую очередь, о соотношении математики
и действительности, о взаимодействии математики и других
наук, математики и производства. Редкий математический
дар, наблюдательность и остроумие, громадный опыт
и неизменный интерес к так называемой «прикладной
математике» позволили Г. Штейнгаузу всегда оставаться
в поле конкретных задач, не впадая в чрезмерно абстрактную
общность рассуждений.
Погрузившись в чтение, читатель несомненно получит редкое
удовольствие от ярких идей, соображений, образов.
Удовольствие от заочного общения с мудрым человеком,
человеком большой внутренней свободы — замечательным
математиком, педагогом, популяризатором Гуго Штейнгаузом.
Член-корреспондент РАО,
Александр Абрамов