N I V E R S U М
О науке, ее прошлом и настоящем, о великих открытиях, борьбе идей и судьбах тех, кто посвятил свою жизнь поиску научной Истины


Ian
Stewart
DO DICE PLAY GOD?
THE MATHEMATICS OF UNCERTAINTY


Иэн
Стюарт
СЛУЧАЙНЫЙ БОГ ИЛИ БОЖЕСТВЕННАЯ СЛУЧАЙНОСТЬ?
МАТЕМАТИКА
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Перевод с английского Н. А. Шиховой
4W
Москва Лаборатория знаний


УДК 51 ББК 22.1 С88
Серия основана в 2013 г.
Стюарт И.
С88 Случайный Бог или божественная случайность? Математика неопределенности / И. Стюарт ; пер. с англ. Н. А. Шиховой. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 345 с. : ил. — (Universum).
ISBN 978-5-00101-321-1
Мы хотим быть уверены — всегда и во всем. Нам не нужна неопределенность. Однако она повсюду: фондовый рынок может внезапно обрушиться, климат поменяться, а вместо желанного мальчика может родиться девочка. И, наконец, кто не знает об известном принципе неопределенности Гейзенберга в квантовой механике?
К счастью, есть и обратная сторона медали. Если неопределенностью правильно пользоваться, из нее можно извлечь массу полезного. На протяжении всей истории человечества математика давала эффективные инструменты для управления неопределенностью и применения ее в нашей жизни. Какие? Об этом в новой увлекательной книге Иэна Стюарта.
Для широкого круга читателей.
УДК 51 ББК 22.1
Copyright © Joat Enterprises, 2019 ISBN 978-5-00101-321-1 © Лаборатория знаний, 2021


ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Шесть эпох неопределенности 6
Глава 2. Гадание по внутренностям 21
Глава 3. Метание игральных костей 33
Глава 4. Подбрасывание монеты 44
Глава 5. Слишком много информации 58
Глава 6. Ошибки и парадоксы 80
Глава 7. Социальная физика 98
Глава 8. Вы уверены? 115
Глава 9. Закон и беспорядок 132
Глава 10. Не предсказывая предсказуемое 147
Глава 11. Фабрика погоды 165
Глава 12. Лечебные мероприятия 194
Глава 13. Финансовые предсказания 210
Глава 14. Наш байесовский мозг 228
Глава 15. Квантовая неопределенность 248
Глава 16. Играют ли кости роль Бога? 269
Глава 17. Применение неопределенности 299
Глава 18. Неизвестные неизвестные 317
Примечания 323
Иллюстрации 335
Указатель 336


ГЛАВА 1
ШЕСТЬ ЭПОХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Неопределенность: состояние, в котором человек не обладает точным знанием или полной ясностью; сомнения или колебания.
Оксфордский словарь английского языка
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ — ЭТО НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО ПЛОХО. Приятные сюрпризы нам нравятся. Некоторые из нас не прочь попытать счастья на скачках, да и большинство спортивных состязаний потеряли бы смысл, знай мы заранее, кто победит. Иногда будущие родители не хотят, чтобы им объявили, кто родится — мальчик или девочка. Я подозреваю, что многие не хотели бы заранее знать дату собственной смерти, не говоря уж о том, как эта смерть произойдет. Но все это исключения. Жизнь — это лотерея. Неопределенность рождает сомнения, мы чувствуем себя не в своей тарелке, а потому хотим уменьшить или вовсе исключить неопределенность. Мы беспокоимся о том, что случится, Мы следим за прогнозами погоды, хотя ее непредсказуемость уже стала притчей во языцех и прогнозы часто оказываются ошибочными.
Мы узнаем новости по телевизору, или читая газету, или путешествуя по интернету. Поразительно, как далеко простираются те области, где мы не знаем, что произойдет. Падают самолеты. Землетрясения и вулканы опустошают города и села. Взлетают и падают биржевые курсы; и хотя мы говорим о циклах их взлетов и падений, на самом-то деле мы имеем в виду лишь то, что рост сменяется падением, а падение — ростом. Мы почти ничего не знаем о том, когда
6
Иэн Стюарт | Случайный Бог


одно сменит другое. Точно так же мы говорим о «циклах сухой и влажной погоды» и утверждаем, что предсказываем ее. Перед выборами мы следим за опросами общественного мнения, пытаясь выяснить, у кого из кандидатов больше шансов на победу. В последние годы опросы кажутся менее надежными, но все равно они вселяют в нас надежду или обескураживают — как повезет.
Иногда мы не просто испытываем неуверенность — мы даже не понимаем, в чем именно мы не уверены. Изменения климата беспокоят многих, но крикливое меньшинство настаивает, что все это мистификации, нарочно измышленные учеными (которые не могли бы организовать мистификацию даже ради спасения собственной жизни), или китайцами, или на худой конец марсианами... — выберите свою любимую теорию заговора. Но даже климатологи, которые предсказывают изменение климата, очень мало могут сказать о том, в чем именно это изменение будет заключаться. Однако у них есть довольно четкое представление о его общей природе, и на практике этого более чем достаточно для того, чтобы бить во все колокола.
Мы не уверены не только в том, что нам готовит природа, мы не знаем даже того, что мы готовим себе сами. Мировую экономику все еще пошатывает после финансового кризиса 2008 года. Но люди, которые его спровоцировали, продолжают вести свои дела как ни в чем не бывало, так что, скорее всего, нас ждет еще более серьезное финансовое бедствие. Мы очень мало знаем о том, как предсказывать финансовую ситуацию в мире.
После периода относительной (и в исторической перспективе очень необычной) стабильности мировая политика еще сильнее раздроблена, и это расшатывает все давние устои. «Фейк ньюс» вплетают настоящие факты в поток дезинформации. Как и следовало ожидать, те, кто громче всех возмущается, больше других виновны в распространении лжи. Интернет, вместо того чтобы распространять знания, распространяет невежество и мракобесие. Убрав привратников, он оставил врата нараспашку.
Жизнь человеческого сообщества всегда была неупорядоченна, да и в науке старая идея о том, что природа подчи¬
ГЛАВА 1 | Шесть эпох неопределенности
7


няется точным законам, уступила место более гибким представлениям. Мы можем найти правила и модели, которые приблизительно верны (причем в одних областях «приблизительно» означает «с точностью до десятого знака после запятой», а в других — «плюс-минус в десять раз больше или меньше»). Но они всегда временные и подлежат замене при появлении новых данных. Теория хаоса говорит нам, что даже если что-то действительно подчиняется жестким правилам, оно может все равно оставаться непредсказуемым. А квантовая теория утверждает, что где-то в глубине, на уровне мельчайших объектов, Вселенная по природе своей непредсказуема. Неопределенность — это не просто знак нашего незнания, это то, из чего соткан мир.
МЫ МОЖЕМ ОТНОСИТЬСЯ К БУДУЩЕМУ С ФАТАЛИЗМОМ — и будем не одиноки. Но большинству из нас такое отношение чуждо. Мы подозреваем, что оно приведет к катастрофе, что немного предусмотрительности — и катастрофу можно было бы предотвратить. Обычная человеческая тактика: столкнувшись с чем-нибудь неприятным, или противостоять этому, или изменить его. Но какие предупредительные меры предпринять, если мы даже не знаем, что может случиться? После катастрофы «Титаника» было принято решение снабдить корабли дополнительными спасательными шлюпками. И что же? Именно из-за веса дополнительных шлюпок перевернулся корабль «Истлэнд» на озере Мичиган, когда погибло 848 человек. Закон «хотели как лучше, а вышло как всегда» противостоит самым лучшим намерениям.
Будущее беспокоит нас, потому что мы животные, живущие во времени. Чувство времени в нас встроено, мы прогнозируем будущие события и действуем в соответствии с этими прогнозами. У нас нет машины времени, но часто мы действуем так, будто бы она есть, и будущее событие определяет наши действия еще до того, как произошло. Конечно, настоящая причина сегодняшних действий — это не завтрашние свадьба, гроза или счета на оплату. Мы верим, что они произойдут, и именно в этом настоящая причина наших действий. Наш мозг, отточенный эволюцией и обучением, помогает нам выбрать действие сегодня, чтобы
8
Иэн Стюарт
Случайный Бог


упростить жизнь завтра. Мозг — это машина для принятия решений на основе прогноза будущего.
Многие решения мозг принимает за доли секунды. Как баскетболист ловит мяч? Сначала зрительная система воспринимает образ мяча, и только после задержки, хотя совсем небольшой, мозг определяет его местоположение. Как правило, баскетболист успешно ловит мяч, потому что его мозг довольно хорошо предугадывает траекторию. Может случиться и так, что спортсмен пропускает сравнительно легкий мяч; это значит, что-то пошло не так: либо прогноз, либо реакция на него. Этот процесс подсознательный и, по-видимому, цельный, и мы даже не замечаем, что живем в мире, который на долю секунды опережает наш мозг.
Некоторые решения принимаются, когда мы строим планы на несколько дней, недель и месяцев вперед или даже несколько лет и десятилетий. Мы встаем в установленное время, чтобы сесть в автобус или метро и отправиться на работу. Мы покупаем еду на завтра или на неделю. Мы планируем семейную поездку на новогодние каникулы, и все причастные к этому действуют сейчас, чтобы подготовиться к тому, что будет потом. Состоятельные родители в Великобритании записывают своих детей в престижные школы еще до рождения. Люди сажают деревья, которые вырастут через столетия, так что наслаждаться прекрасным видом будут лишь их пра-пра-пра-пра-внуки.
Как мозг предсказывает будущее? Он строит упрощенные внутренние модели мира — того, как он работает, или может работать, или как предполагается, что он работает. Мозг подает то, что знает, в модель и наблюдает за результатом. Если мы видим незакрепленный ковер, одна из моделей предупредит нас об опасности: можно споткнуться и упасть с лестницы. Мы принимаем превентивные меры — закрепляем ковер в правильном положении. Не так важно, насколько правильным был прогноз. После того как мы закрепили ковер, негативный прогноз уже не может сбыться, потому что данные, введенные в модель, устарели. Тем не менее эволюция или личный опыт могут проверить модель и улучшить ее, когда мы узнаем, что происходит в подобных случаях, если ничего не предпринимать.
ГЛАВА 1 | Шесть эпох неопределенности
9


Такие модели не обязаны описывать устройство мира точно. Они лишь отражают наши представления о том, как он устроен. Так, за десятки тысяч лет человеческий мозг эволюционировал в машину, принимающую решения на основе представлений о том, к чему эти представления приведут. Поэтому не стоит удивляться способу наших предков справляться с неопределенностью: построить систему верований в сверхъестественных существ, которые управляют миром. Мы знали, что это не мы управляли им, а природа постоянно подбрасывала нам сюрпризы, часто неприятные, поэтому казалось разумным предположить, что есть настоящие правители: какие-то сверхчеловеческие существа — духи, призраки, боги, богини. Вскоре появился особый класс людей, которые утверждали, что могут ходатайствовать перед богами, чтобы помочь нам, смертным, достичь наших целей. Люди, которые утверждали, что предсказывают будущее, — пророки, провидцы, гадалки, оракулы — стали особенно ценными членами сообщества.
То была первая эпоха неопределенности. Мы изобретали системы верований, которые становились все более и более изощренными, потому что каждое поколение хотело сделать их еще великолепнее. Мы объяснили себе неопределенность природы как волю богов.
САМЫЙ РАННИЙ ЭТАП ОСОЗНАННЫХ отношений людей с неопределенностью длился тысячи лет. Эти отношения соответствовали действительности, потому что волей богов можно было беззастенчиво объявлять что угодно. Если боги были довольны, все было хорошо; если они злились, все шло наперекосяк. И правда, если с вами случилось что-то хорошее, то вы, очевидно, потрафили богам, а если случалось что-то плохое, то это вы сами виноваты, разозлив их. Так что верования в богов были тесно переплетены с моральными императивами.
Со временем все больше людей начали осознавать, что столь гибкие системы верований на самом деле не объясняют ничего. Если голубой цвет неба объяснять тем, что это боги все так устроили, то с тем же успехом оно могло бы быть розовым или пурпурным. Люди попытались мыслить о
10
Иэн Стюарт | Случайный Бог


мире иначе, основываясь на логических рассуждениях, которые поддерживаются (или нет) данными наблюдений.
Это уже была наука. Она объясняет голубой цвет неба рассеянием света на частицах мелкой пыли в верхних слоях атмосферы. Это не объясняет, почему голубое выглядит голубым; нейробиологи работают над этим вопросом, но наука никогда не утверждала, что ей известно все. Наука развивалась и добивалась все больших успехов, терпя по дороге ужасные неудачи, и со временем научила нас управлять некоторыми природными явлениями. Открытие связи между электричеством и магнетизмом в XIX веке — один из первых по-настоящему революционных примеров превращения науки в технологию, которая изменила жизнь почти всех людей на Земле.
Наука показала, что природа может быть менее неопределенной, чем нам кажется. Пути планет в небесах не объясняются прихотью богов: планеты, если не считать мелких отклонений из-за их взаимного влияния, движутся по строго эллиптическим орбитам. Мы можем рассчитать эти траектории, учесть эффект мелких отклонений и предсказать положение планеты на века вперед. А в наши дни — и на миллионы лет, при условии ограничений, налагаемых хаотической динамикой. Есть законы природы; мы можем их открыть и использовать, чтобы предсказать будущее. Неуютное чувство неуверенности сменилось верой в то, что большинство вещей можно объяснить, если только удастся выявить управляющие ими законы. Философы стали задумываться, не является ли вся Вселенная лишь реализацией этих законов в течение эонов1 времени. Может быть, и свобода воли — это иллюзия, а мы с вами живем внутри огромного часового механизма.
Возможно, неопределенность — это просто временное невежество. Приложить еще немного сил и размышлений — и все станет ясно. Это была вторая эпоха неопределенности.
НАУКА ЗАСТАВИЛА НАС ИЗОБРЕСТИ эффективный способ количественно оценивать, насколько определенным или неопределенным является событие, — вероятность. Исследо¬
1 Эон — длительный период времени, состоящий из нескольких
эр. — Прим. ред.
ГЛАВА 1 | Шесть эпох неопределенности
11


вание неопределенности стало новым разделом математики, и основная задача этой книги — изучить, какими способами мы применяем математику в стремлении сделать наш мир более определенным. В этом направлении работают и другие ветви культуры, такие как политика, этика и искусство, но я сосредоточусь на роли математики.
Теория вероятностей выросла из нужд и опыта двух очень разных групп людей: азартных игроков и астрономов. Игроки хотели лучше понимать шансы на выигрыш, а астрономам нужны были точные результаты наблюдений посредством несовершенных телескопов. Когда идеи теории вероятностей проникли в сознание людей, ее предмет покинул свои первоначальные рамки: теория вероятностей применяется теперь не только для азартных игр и вычисления орбит астероидов, но и для изучения фундаментальных физических принципов. Каждые несколько секунд мы вдыхаем кислород и другие газы. Огромное количество молекул, составляющих атмосферу, мечутся как крошечные бильярдные шары. Если бы все они скопились в одном углу комнаты, а мы в другом — это была бы беда. В принципе такое может случиться, но по законам вероятности настолько редко, что на практике это не происходит никогда. Воздух остается однородной смесью из-за второго закона термодинамики, который мы часто понимаем как утверждение, что Вселенная всегда становится более беспорядочной. Кроме того, второй закон парадоксально связан с направлением, в котором течет время. Это все очень глубокие вещи.
Термодинамика довольно поздно появилась на научной сцене. К тому времени теория вероятностей уже обосновалась в мире человеческих дел. Рождения, смерти, разводы, самоубийства, преступность, рост, вес, политика... Родилась прикладная ветвь теории вероятностей — статистика. Она дала мощные инструменты для анализа чего угодно: от эпидемии кори до предпочтений избирателей. Она пролила немного света, хотя и не так много, как хотелось бы, на сумеречный мир финансов. Она показала, что все мы дрейфуем в море вероятностей.
Теория вероятностей и ее прикладная ветвь — статистика — доминировали в третьей эпохе неопределенности.
12
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ЧЕТВЕРТАЯ ЭПОХА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ворвалась к нам в начале XX века. До тех пор у всех форм неопределенности, с которыми мы сталкивались, была общая черта: неопределенность отражала наше незнание. Если мы не были в чем-то уверены, то лишь потому, что нам недоставало информации для предсказания. Вспомните о монетке — самом привычном символе случайности. А ведь монета — это очень простой механизм; механические системы детерминированы, и в принципе любой детерминированный процесс предсказуем. Если бы мы знали все силы, действующие на монету, ее начальную скорость и направление броска, как быстро она вращается и вокруг какой оси, — мы могли бы применить законы механики и рассчитать, какой стороной она упадет.
Новые открытия в фундаментальной физике заставили нас пересмотреть эту точку зрения. Может быть, для монет она и верна, но иногда нужная нам информация совершенно недоступна, потому что неизвестна даже самой природе. Около 1900 года физики начали понимать структуру вещества на микроуровне — уровне не только атомов, но и составляющих их субатомных частиц. Классическая физика, родившаяся, когда Исаак Ньютон открыл законы движения и тяготения, дала человечеству глубокое понимание физического мира, проверенное измерениями все более высокой точности. Из всех теорий и экспериментов выкристаллизовались два разных подхода к пониманию мира: частицы и волны.
Частица — это крохотная крупица вещества, точно определенная и локализованная. Волна похожа на рябь на воде, на движущееся возмущение; она более эфемерна, чем частица, и распространяется сквозь большую область пространства. Чтобы рассчитать орбиту движения планеты, планету можно представить частицей, потому что расстояния между планетами и звездами настолько чудовищны, что, если их уменьшить до размеров человека, планеты станут частицами. Звук — это возмущение воздуха, которое движется, хотя сам воздух остается практически в одном и том же месте; значит, звук — это волна. Частицы и волны — важные объекты классической физики, и они очень не похожи друг на друга.
ГЛАВА 1 | Шесть эпох неопределенности
13


В 1678 году началась серьезная полемика о природе света. Христиан Гюйгенс представил Парижской академии наук свою теорию о волновой природе света. Ньютон был убежден, что свет — это поток частиц, и его точка зрения тогда взяла верх. Но со временем, после ста лет блужданий в неверном направлении, были поставлены новые эксперименты, которые и выявили истину. Ньютон ошибался, а свет — это волна.
Около 1900 года физики открыли фотоэлектрический эффект: свет, попадающий на металл определенного типа, может вызвать небольшой электрический ток. Альберт Эйнштейн сделал вывод, что свет — это поток крошечных частиц — фотонов. Ньютон все же был прав. Но ведь от его теории отказались не без оснований: множество экспериментов очень ясно показали, что свет — это волна. Полемика вспыхнула с новой силой. Так что же такое свет — волна или частица? В конце концов решили, что правильный ответ — «и то и другое». Иногда свет ведет себя как частица, а иногда как волна — зависит от эксперимента. Все это было непостижимо.
Однако нашлись первопроходцы, попытавшиеся осмыслить эту двойственность, — так родилась квантовая механика. Все классические данности, такие как положение частицы и скорость ее движения, оказались неприменимыми в микромире. Квантовый мир пронизан неопределенностью. Чем точнее вы измеряете положение частицы, тем меньше у вас уверенности в том, насколько быстро она движется. Хуже того, на вопрос «где она?» нет внятного ответа. Все, что вы можете сделать, — описать вероятность того, что она находится там-то и там-то. Квантовая частица — это уже и не частица вовсе, а размытое облако вероятностей.
Чем глубже физики погружались в квантовый мир, тем меньше определенности видели вокруг. Они могли описать это математически, но сама математика была причудливой. Прошли десятилетия, и физики осознали, что невозможно изгнать случайность из квантовых явлений. Квантовый мир действительно соткан из неопределенности, и дело не в недостатке информации — просто не существует более глубокого уровня описания. Стал популярным лозунг «Заткнись и считай»; и даже спрашивать неловко, в чем здесь смысл.
14
Иэн Стюарт
Случайный Бог


ФИЗИКА ОТПРАВИЛАСЬ ПО КВАНТОВОМУ ПУТИ, а математика тем временем прокладывала собственную дорогу. Мы привыкли думать, что противоположностью случайного процесса является детерминированный: если настоящее фиксировано, то возможно только одно-единственное будущее. Пятая эпоха неопределенности началась, когда математики и несколько физиков осознали, что детерминированная система может быть непредсказуемой. Такие системы изучает теория хаоса — так журналисты назвали нелинейную динамику. Квантовая теория могла бы развиваться совсем иначе, если бы математики сделали это важнейшее открытие намного раньше. На самом деле один пример хаоса был обнаружен еще до появления квантовой теории, но к нему отнеслись только как к любопытному курьезу. Связная теория хаоса была построена лишь в 1960-х и 1970-х годах. Но чтобы рассказ мой был последовательным, я расскажу сначала о ней, а потом уж о квантовой теории.
«Предсказывать очень трудно, особенно трудно предсказывать будущее», — говорил физик Нильс Бор (или это был Йоги Берра? Видите, мы даже это не знаем наверняка [I]1). Это не так смешно, как кажется на первый взгляд, потому что предсказание — совсем не то же, что прогнозирование. Большинство научных предсказаний говорят, что событие произойдет при определенных условиях, но не говорят, когда именно. Я могу предсказать, что землетрясение происходит из-за накопления напряжений в земной коре, и это можно проверить, измерив напряжения. Но таким методом нельзя спрогнозировать землетрясение, заблаговременно определив, когда оно произойдет. Можно даже «предсказать» событие в прошлом, подкрепив это предсказание ссылками на старые записи или находки. Я знаю, что этот прием иногда называют «послесказанием» или «постдикцией», но для проверки научной гипотезы он вполне годится. В 1980 году Луис и Уолтер Альваресы предсказали, что 65 миллионов лет назад на Землю упал метеорит и уничтожил динозавров. Это было настоящее предсказание: после того, как они его сде-
В квадратных скобках здесь и далее даются ссылки на примечания автора в конце книги. — Прим. ред.
ГЛАВА 1 | Шесть эпох неопределенности
15


л ал и, они могли искать геологические данные и ископаемые останки в подтверждение или опровержение своей гипотезы.
Десятилетия наблюдений показывают, что размеры клюва у некоторых видов вьюрков Дарвина на Галапагосских островах полностью предсказуемы — при условии, что вы можете предсказать среднегодовое количество осадков. Размеры клюва меняются в зависимости от того, насколько влажным или сухим был год. В засушливые годы семена тверже, поэтому нужны большие клювы. А если год влажный, то удобнее клювы поменьше. Размер клюва предсказуем условно. Если бы надежный оракул сообщил нам, какими будут в следующем году осадки, мы могли бы смело предсказать размеры клюва. Это совсем не то же самое, когда размеры клюва меняются случайно. Если бы они были случайными, то не зависели бы от осадков.
Бывает и так, что одни функции системы предсказуемы, а другие нет. Мой любимый пример — из астрономии. В 2004 году астрономы объявили, что астероид под названием 99 942 Апофис может столкнуться с Землей 13 апреля 2029 года, или, если этого не произойдет, то 13 апреля 2036 года может появиться вторая возможность. Один журналист (правду сказать, в юмористической колонке) спросил: почему астрономы так уверены в дате, если они даже год не знают наверняка?
Оторвитесь от книги и подумайте над этим вопросом. Подсказка: что такое год?
Все просто. Столкновение может произойти только когда орбита астероида или пересекает орбиту Земли, или проходит очень близко к ней. Орбиты этих небесных тел несколько меняются с течением времени, влияя на то, насколько близко они подходят друг к другу. Если у нас недостаточно наблюдений, чтобы определить орбиту астероида с нужной точностью, мы не знаем, насколько близко он подойдет к Земле. У астрономов было достаточно данных, чтобы исключить большинство лет в ближайшем будущем, но только не годы 2029 и 2036. А вот дата возможного столкновения ведет себя совершенно иначе. Земля возвращается (почти) в одно и то же место своей орбиты каждый год. Собственно, так мы и определяем «год». В частности, приближение на¬
16
Иэн Стюарт | Случайный Бог


шей планеты к месту пересечения с орбитой астероида происходит с интервалом в год, то есть в один и тот же день ежегодно. (Может быть, на день раньше или позже, если время приближается к полуночи.) Как оказалось, для Апо- фиса этот день — 13 апреля.
Так что Бор или Берра был абсолютно прав, и слова его действительно глубоки. Даже когда мы в деталях понимаем, как все работает, мы можем не знать, что произойдет на следующей неделе, в следующем году или в следующем столетии.
СЕЙЧАС МЫ ВСТУПИЛИ в шестую эпоху неопределенности. Для нее характерно осознание, что неопределенность проявляется в разных формах, каждая из которых в той или иной мере постижима. У нас есть большой набор математических инструментов, чтобы принимать правильные решения в мире, который все еще ужасно неопределен. Мощные современные компьютеры позволяют быстро и точно анализировать огромные объемы данных. «Большие данные» сейчас у всех на слуху, хотя пока мы лучше собираем их, чем извлекаем из них пользу. Наши теоретические модели подкрепляются вычислениями. За секунду мы можем выполнить больше вычислений, чем все математики в истории, обходившиеся ручкой и бумагой. Наше математическое понимание различных форм неопределенности мы вооружаем сложными алгоритмами, чтобы выявить закономерности и структуры или просто оценить меру неопределенности, — и это позволяет нам хотя бы отчасти приручить наш неопределенный мир.
Мы гораздо лучше предсказываем будущее, чем раньше. Нам все еще случается попадать под дождь, когда прогноз погоды обещает сухую погоду; но точность прогноза погоды значительно улучшилась с 1922 года, когда метеоролог Льюис Фрай Ричардсон писал свою работу «Прогноз погоды численными методами». Прогноз не просто стал лучше: к нему прилагается оценка вероятности того, что он верен. Когда сайт с прогнозом погоды сообщает о 25% -й вероятности дождя, это означает, что в 25% случаев, когда было сделано такое же заявление, дождь действительно проливался.
ГЛАВА 1 | Шесть эпох неопределенности
17


Если написано «вероятность дождя 80%», такое утверждение будет верным в четырех случаях из пяти.
Когда Банк Англии выпускает прогнозы уровня инфляции, он также дает оценку надежности своего прогноза. В банке научились эффективно представлять эту оценку общественности. Для этого строят «веерный график», который отображает изменение прогнозируемого уровня инфляции с течением времени, но не в виде четкой линии, а в виде размытой полосы (рис. 1). Со временем полоса становится шире, что указывает на потерю точности. Интенсивность заливки указывает на уровень вероятности: темная область более вероятна, чем светлая. Затененная область представляет 90% вероятных прогнозов.
Здесь важны два аспекта. Во-первых, чем глубже наше понимание, тем точнее становятся достижения. Во-вторых, мы можем справиться с неопределенностью, уточнив, насколько уверенными мы можем быть в прогнозе.
6 5 4 3 2
1
+
0
1
2
3
Рис. 1. Веерный график инфляции по прогнозу Банка Англии согласно индексу потребительских цен, февраль 2010
Рост цен в процентах по сравнению с предыдущим годом
2005 06
08 09
11 12 13
18
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Есть и третий аспект, который мы теперь осознаем. Иногда неопределенность может быть полезна. В некоторых технологиях намеренно создают неопределенность в контролируемых масштабах, чтобы устройства и процессы работали лучше. Математические методы поиска наилучшего решения промышленных задач используют случайные возмущения, чтобы не увязнуть в стратегиях, которые хороши только по сравнению с ближайшими соседями, но уступают более отдаленным. Если подвергнуть реальные данные случайным изменениям, можно повысить точность прогнозов погоды. В спутниковой навигации применяются потоки псевдослучайных чисел, чтобы избежать проблем из-за электрических помех. Космические миссии используют хаос и за счет этого экономят дорогое топливо.
НЕСМОТРЯ НА ВСЕ СКАЗАННОЕ, МЫ ВСЕ ЕЩЕ дети, «играющие на морском берегу», как выразился Ньютон, «отыскивающие камешек более цветистый, чем обыкновенно, или красивую ракушку, в то время как великий океан истины расстилается перед [нами] неисследованным». Многие глубокие вопросы остаются без ответа. Мы не вполне понимаем глобальную финансовую систему, хотя от нее зависит все на планете. Наша медицина позволяет нам обнаруживать большинство эпидемий на ранних стадиях и принимать меры для смягчения их последствий, но мы не всегда можем предсказать, как эпидемии распространятся. Время от времени появляются новые болезни, но мы никогда не знаем, когда и где появится следующая. Мы можем проводить точнейшие измерения параметров землетрясений и вулканов, но наше умение их прогнозировать столь же ненадежно, как земля под нашими ногами.
Чем больше мы узнаем о квантовом мире, тем больше свидетельств того, что углубленная теория сможет объяснить его явные парадоксы. Физики математически доказали, что с квантовой неопределенностью нельзя справиться добавлением более глубокого слоя реальности. Но доказательства опираются на предположения, которые не всегда бесспорны, так что время от времени в них обнаруживаются изъяны. Новые явления в классической физике поразительно схожи
ГЛАВА 1 | Шесть эпох неопределенности
19


с квантовыми головоломками, а ведь мы знаем, что их проявления не имеют ничего общего с неизбежной случайностью. Если бы мы узнали о них или о хаосе до того, как обнаружили квантовую запутанность, современные теории могли бы быть совсем другими. А может быть, мы десятилетиями тщетно искали бы детерминизм там, где его нет.
Я аккуратно выделил шесть эпох неопределенности, но действительность, как всегда, сложнее. Принципы, которые в конечном итоге оказались простыми и ясными, формировались путями замысловатыми и затейливыми. Случались внезапные повороты, грандиозные прорывы и глухие тупики. Одни математические достижения оказывались со временем невостребованными; другие томились годами, пока кто-нибудь не осознавал их значение. Случались идеологические расколы, даже среди математиков. На сцене действовали политика, медицина, деньги и юриспруденция, причем иногда все одновременно.
Не имеет смысла рассказывать такую историю в хронологическом порядке, даже внутри отдельных глав. Поток идей важнее, чем поток времени. В частности, мы доберемся до пятой эпохи неопределенности (хаоса) раньше, чем до четвертой (кванта). Мы рассмотрим современные приложения статистики еще до того, как столкнемся с более ранними открытиями в фундаментальной физике. Иногда мы будем отвлекаться на любопытные загадки, простые вычисления и удивительные сюрпризы. Однако на все есть причина, и всякая деталь здесь на месте.
Добро пожаловать в шесть эпох неопределенности.
20 Иэн Стюарт | Случайный Бог


ГЛАВА 2
ГАДАНИЕ ПО ВНУТРЕННОСТЯМ
Когда среди домашних суровые окрики, то будет раскаяние в строгости, но будет и счастье. Когда же жена и дети болтают и хохочут, то в конце концов будет сожаление.
И цзин
Храмовый двор в Вавилоне окружен высокими стенами. Правитель в великолепном облачении простирает руку. Тишина охватывает толпу вельмож и чиновников, собравшихся в огромном храмовом дворе.
Снаружи течет повседневная жизнь обычных людей, они пребывают в блаженном неведении о том, что происходящее может полностью изменить их жизнь. Это неважно: они привыкли к этому, на все воля богов. Тревоги и жалобы все равно не помогут. Люди даже думают об этом редко.
С ножом в руке у жертвенного алтаря ждет жрец бару. На короткой веревке влекут овцу, тщательно отобранную согласно древним ритуалам. Животное чувствует, что должно произойти что-то ужасное. Овца блеет и сопротивляется изо всех сил.
Нож пронзает ее горло, хлещет кровь. Толпа замирает в единодушном «Ах!». Поток крови превращается в струйку, жрец делает надрез и извлекает овечью печень. Благоговейно положив ее на забрызганный кровью камень, он наклоняется и внимательно изучает извлеченный орган. Толпа затаила дыхание. Царь подходит ближе к жрецу. Они негромко переговариваются, жестикулируя и изредка указывая на какую-нибудь особенность вырезанного органа — здесь изъян, там необычный выступ. Жрец вставляет деревянные колышки в отверстия в специальной глиняной табличке
ГЛАВА 2 | Гадание по внутренностям
21


для записи наблюдений. Явно довольный, священник снова совещается с царем, затем уважительно отступает назад, а царь оборачивается к своим вельможам. Он объявляет, что предзнаменования благоприятны для нападения на соседнее царство, и они кричат, ликуя. Позже, на поле брани, некоторые из них посмотрят на эти события совсем иначе, но ничего уже нельзя будет изменить.
ТАК, НАВЕРНОЕ, ВСЕ И БЫЛО. Мы очень мало знаем о древнем Вавилонском царстве. Однако сценки вроде описанной, видимо, были довольно обычным явлением в этом древнем городе. Вавилон славился ими. Библия говорит нам [2], что «царь Вавилонский остановился на распутье, при начале двух дорог, для гаданья: трясет стрелы, вопрошает терафимов, рассматривает печень». Вавилоняне верили, что специально обученные жрецы, бару, могут предсказывать будущее по печени овцы. Они составили огромный список предзнаменований — Баруту. На практике пользовались его сокращенной версией, чтобы получать ответы быстрее. Процедура гадания была дотошно организована и освящена традицией; бару осматривал определенные области печени, каждая имела собственное значение, символизируя конкретного бога или богиню. Баруту существует до сих пор — это более ста глиняных табличек, испещренных клинописью, в которых перечислены более восьми тысяч примет. Массив информации, которую вавилоняне считали закодированной в одном органе мертвой овцы, поражает разнообразием, невнятностью и иногда банальностью.
В Баруту десять основных глав. В первых двух речь идет обо всех органах несчастного животного, кроме печени. Остальные восемь посвящены особым отделам печени: бе на, «станция» — бороздка на левой доле печени; бе гир, «путь» — еще одна канавка под прямым углом к первой; бе гиштукул, «благоприятные отметины» — небольшой выступ и так далее. Многие из этих областей делились на более мелкие. Приметы, связанные с каждой областью, формулировались как предсказания, часто исторические, как если бы жрецы фиксировали ранее установленные связи между областями печени и происходившими событиями. Некото¬
22
Иэн Стюарт | Случайный Бог


рые были конкретными: «Предзнаменование царя Амар- Суэна, которого забодал вол, но который умер от укуса обуви». (Эта туманная фраза может означать, что, когда он был обут в сандалии, его укусил скорпион.) Некоторые звучат правдоподобно и для нас: «Бухгалтеры разграбят дворец». Другие настолько расплывчаты, что практически бесполезны: «долгосрочный прогноз: горестное стенание». Некоторые области печени считались ненадежными или двусмысленными. Система предсказаний выглядит высокоорганизованной и, как ни странно, почти научной. Список составляли в течение долгого времени, много раз редактировали, дополняли, его копировали более поздние переписчики, и так он дошел до нас. Сохранились и другие свидетельства. Например, в Британском музее представлена глиняная модель печени овцы периода 1900-1600 годов до н. э.
Теперь мы называем этот метод предсказания будущего гепатомантией — гаданием по печени. Более общий метод, гаруспиция, — это гадание по внутренностям жертвенных животных (в основном овец и цыплят), а иероскопия — это гадание с использованием органов вообще, по их форме и местоположению. Методы эти были унаследованы этрусками, о чем свидетельствует найденная в Италии бронзовая модель печени 100 года до н. э., разделенная на области, которые названы именами этрусских божеств. Традицию продолжили римляне; они называли предсказателей не бару, а гаруспиками, от «гару» — внутренности, «спек» — наблюдать. Практика гадания по внутренностям зафиксирована во времена Юлия Цезаря и Клавдия, но закончилась при Феодосии I около 390 года н.э., когда христианство окончательно вытеснило последние остатки древних культов.
ПОЧЕМУ Я РАССКАЗЫВАЮ ВАМ об этом в книге, посвященной математике неопределенности?
Практика гаданий говорит о том, что глубинное человеческое стремление предвидеть будущее возникло давным-давно. Оно, несомненно, намного старше древнего города, но вавилонские таблички подробны, их происхождение надежно установлено. Кроме того, история показывает нам, как религиозные традиции со временем становились
ГЛАВА 2 | Гадание по внутренностям
23


все изощреннее. Памятники прошлого недвусмысленно свидетельствуют, что вавилонские цари и жрецы верили в метод или, по крайней мере, находили удобным демонстрировать веру. Гепатомантия практиковалась очень долго, и сама длительность этого явления говорит о том, что вера была искренней. Даже сегодня подобных суеверий предостаточно — бойтесь черных кошек и пустых ведер, бросайте щепотку соли через плечо, если что-то пролили, разбитое зеркало приносит несчастье. «Цыганки» на привокзальной площади по-прежнему предлагают прочитать ваше будущее по руке, и при этом их термины вроде «линии судьбы» и «пояса Венеры» напоминают эзотерическую классификацию отметин на овечьей печени из канона Баруту. Многие из нас скептически относятся к таким суевериям, другие признают, что «в этом что-то есть», а третьи абсолютно уверены, что будущее можно предсказать по звездам, чаинкам, линиям руки, картам Таро или стеблям тысячелистника, а еще И цзин, китайской Книге Перемен.
Некоторые методы гадания столь же изощренны и сложны, как Баруту древнего Вавилона. Но все возвращается на круги своя... Знатный человек верхом на осле — это же высокий брюнет из современных гороскопов в бульварных листках: предсказание достаточно неопределенное, чтобы связать его с возможными событиями и тем самым «подтвердить» его, но при том настолько конкретное, чтобы создать впечатление тайного знания. А все для того, чтобы обеспечить гадалке постоянный доход.
Почему мы так одержимы предсказанием будущего? Это разумно и естественно, ведь мы всегда жили в неопределенном мире. Он таким и остается, но сейчас, по крайней мере, у нас есть некоторое понимание того, чем обусловлена и в чем заключается неопределенность нашего мира, и мы даже можем более-менее эффективно использовать это понимание. Мир наших предков был менее определенным. Они не воспринимали землетрясение как сдвиг пород вдоль геологического разлома и не подозревали, что напряжение в породах можно отслеживать. Для них землетрясение было внезапным стихийным бедствием, непредсказуемость которого приписывалась прихоти могущественных сверхъ¬
24
Иэн Стюарт | Случайный Бог


естественных существ. В то время это был самый простой и, пожалуй, единственный способ разобраться в событиях, которые происходили без видимых причин. Что-то должно вызывать их, и оно должно обладать собственной волей, способной предопределить будущие события и гарантировать, что они произойдут. Воля бога или богини — наиболее правдоподобное объяснение. Божества имели власть над природой; они делали что хотели, когда хотели и как хотели, а простые смертные лишь разгребали последствия. Правда, имелся некоторый шанс умилостивить богов и повлиять на их деяния — во всяком случае, так говорили жрецы, и не было никакого смысла ставить под сомнение их авторитет, не говоря уже о непослушании. В любом случае, правильные магические ритуалы, прерогатива королевской власти и жречества, могут открыть окно в будущее и разрешить некоторую неопределенность.
Подоплека такого положения вещей — в одной черте рода человеческого, которая, возможно, выделяет наш вид среди большинства других животных: привязка ко времени. Мы осознаем, что наступит будущее, и мы планируем наши действия в контексте наших ожиданий этого будущего. Даже когда мы еще охотились в африканских саваннах, старейшины племени знали, что времена года сменяются, животные будут мигрировать и разные растения созреют в разное время. Отдаленные знаки в небе возвещали о приближающемся шторме, и чем раньше вы их замечали, тем больше у вас было шансов укрыться до наступления шторма. Предвидя будущее, иногда можно было смягчить некоторые из его худших проявлений.
По мере того как общества и технологии развивались, мы все активнее, все точнее и глубже приручали время. Теперь в рабочие дни мы просыпаемся в заданный час, потому что хотим сесть на пригородный поезд, чтобы добраться до работы. Мы знаем, когда поезд должен отправиться со станции; мы знаем, когда он должен прибыть в пункт назначения; мы организуем жизнь так, чтобы приехать на работу вовремя. Перед выходными мы заказываем билеты на футбол, в кино или в театр. Мы резервируем столик в ресторане за несколько недель, потому что в субботу 29-го у Эсмераль-
ГЛАВА 2 | Гадание по внутренностям
25


ды день рождения. Мы покупаем новогодние открытки на январских распродажах, потому что они дешевле, и прячем их на одиннадцать месяцев, до тех пор пока они не понадобятся. А потом отчаянно пытаемся вспомнить, куда же их положили. Короче говоря, наша жизнь находится под сильным влиянием событий, которые, как мы думаем, произойдут в будущем. Без этого было бы трудно объяснить наши действия.
Как существа, привязанные ко времени, мы знаем, что будущее не всегда разворачивается так, как ожидалось. Поезд задерживается, и мы опаздываем на работу. Из-за грозы исчезает доступ к интернету. Ураган проносится по дюжине Карибских островов и опустошает их. Выборы заканчиваются совсем не так, как прогнозировалось по опросам, и наша жизнь опрокидывается с ног на голову людьми, с которыми мы глубоко не согласны. Неудивительно, что мы придаем большое значение прогнозированию будущего. Это помогает нам защитить себя и свои семьи, это дает нам чувство (хотя и иллюзорное) контроля над своей судьбой. Мы так отчаянно хотим знать, что ждет нас в будущем, что поддаемся на старые банальные уловки людей, которые утверждают, что обладают сокровенным знанием о будущем. Если жрец может повлиять на бога, то может устроить благоприятное будущее. Если шаман может предсказать приход дождей, то по крайней мере мы можем подготовиться заранее, не тратя слишком много времени на ожидание. Если ясновидящий составит наш гороскоп, мы не пропустим появление высокого брюнета или вельможи верхом на осле. И если кто-нибудь из них убедит нас в своих способностях, мы выстроимся в очередь за их услугами.
Даже если это допотопный замшелый вздор.
ПОЧЕМУ ТАК МНОГО ЛЮДЕЙ все еще верят в удачу, судьбу, приметы?
Почему нас так легко одурачить загадочными символами, длинными списками, необычными словами, изысканными старинными одеяниями, ритуалами и песнопениям?
Почему мы наивно воображаем, что огромная, непостижимая Вселенная бросает жребий, заботясь о кучке перераз¬
26
Иэн Стюарт
Случайный Бог


витых обезьян на покрытом водой булыжнике, вращающемся вокруг заурядной звезды, одной из (ста квадриллионов) звезд в наблюдаемой области Вселенной, которая, видимо, еще обширнее? Почему мы объясняем эту вселенную с человеческой точки зрения? Похожа ли она на ту сущность, которая может бросить кости?
Почему мы так охотно верим очевидной чепухе даже сегодня?
Я, конечно, говорю о ваших убеждениях, а не о моих. Мои-то рациональные, основанные на достоверных фактах, на древней мудрости. Ими я и руководствуюсь, когда строю свою жизнь так, как это следовало бы делать и всем остальным. А ваши убеждения — всего-навсего бездумные суеверия, они держатся не на фактах, а лишь на беспрекословной приверженности традициям, и при этом вы постоянно указываете всем остальным, как им себя вести.
Вы, конечно же, думаете то же самое обо мне, но есть разница.
Я прав.
Вот в чем проблема с убеждениями. Убеждения в смысле слепой веры по природе своей непоколебимы. Даже когда сама жизнь испытывает их на прочность, мы часто игнорируем результаты, а если проверка опровергает наши убеждения, мы отрицаем ее значимость. Такое отношение представляется неразумным, но оно обусловлено эволюцией и организацией человеческого мозга. Внутри каждого человеческого разума убеждения имеют смысл. Даже те, которые внешний мир считает нелепыми. Многие нейробиологи считают, что разумно рассматривать человеческий мозг как байесовский механизм для принятия решений (Томас Байес был пресвитерианским священником и искушенным статистиком, подробнее о нем в главе 8). Грубо говоря, я имею в виду механизм, сама структура которого является воплощением убеждений. Жизненный опыт и длительная эволюция позволили нашему мозгу собрать сеть взаимосвязанных предположений о том, насколько вероятно какое-либо событие при условии другого события. Если попасть молотком по пальцу, будет больно: скорее всего, так. Если выйти под дождь без плаща или зонта, промокнешь: аналогично. Если
ГЛАВА 2 | Гадание по внутренностям
27


небо хмурится, но дождя нет, а вы без плаща или зонтика, то промокнете: ну, не обязательно. Инопланетяне в своих летающих тарелках регулярно посещают Землю: наверняка, если вы верите в это; категорически нет в противном случае.
Когда мы сталкиваемся с новой информацией, мы не сразу принимаем ее. Это было бы слишком неразумно: на эволюцию человеческого мозга всерьез влияла необходимость отличать факты от вымысла, правду от лжи. Мы оцениваем новую информацию в контексте того, в чем мы уже убеждены. Кто-то сказал, что видел, как в небе с чудовищной скоростью двигалось необычное свечение? Это явное доказательство визита пришельцев, если вы верите в НЛО. Но если не верите — это неправильная интерпретация или, возможно, просто выдумки. Мы делаем такие суждения инстинктивно, часто без связи с непосредственными фактами.
Одни из нас осознают противоречия, когда рациональная составляющая нашего мозга замечает явные несоответствия. Некоторые истерзанные души полностью теряют свою веру. Другие обращаются в новую религию, культ, систему верований... называйте это как хотите. Но в большинстве своем мы очень привержены тому, во что нас научили верить. «Эпидемиология» религии, то, как состав некоторых сект меняется от поколения к поколению, показывает, что вы усваиваете убеждения от родителей, братьев и сестер, родственников, учителей и авторитетных деятелей вашей культуры. И это одна из причин, почему мы часто придерживаемся убеждений, которые посторонние считают полным вздором. Если воспитатели учили вас поклоняться богине кошек, если каждый день твердили о страшных последствиях, которые ожидают вас, если вы забудете воскурить священное благовоние или воспеть правильные заклинания, то эти действия и сопровождающее их чувство удовлетворения скоро укоренятся. На самом деле они встраиваются в ваш принимающий решения байесовский мозг, и вы не можете просто отбросить веру, независимо от того, насколько противоречат ей факты. Так кнопка дверного звонка не может внезапно решить, что теперь будет запускать автомобиль. Это потребовало бы радикальной перестройки, и перемон- тирование мозга чрезвычайно сложно. Более того, знание
28
Иэн Стюарт
Случайный Бог


правильных заклинаний отличает вашу культуру от всех тех варваров, которые даже не верят в богиню кошек, не говоря уже о том, чтобы поклоняться ей.
Убеждения легко подкрепить. Всегда можно найти им подтверждения, если искать достаточно долго и выбирать придирчиво. Каждый день случается много разного, хорошего и плохого: будут и события, которые укрепят ваши убеждения. Ваш байесовский мозг велит вам игнорировать все остальные: они не имеют значения. Он их отфильтровывает. Вот почему так много шумихи вокруг фейковых новостей. Проблема в том, что они имеют для вас значение. И вашему разуму придется много поработать, чтобы отвергнуть встроенные убеждения.
Однажды мне рассказали о распространенном на Корфу суеверии: когда вы видите богомола, это может быть и счастливым предзнаменованием, и несчастливым, в зависимости от происходящего. Это может показаться нелепым (и не вполне правдивым), но когда выжившие в стихийном бедствии благодарят Бога за то, что тот услышал их молитвы и спас их, им редко приходит в голову, что тех, кто умер, больше здесь нет, так что жаловаться просто некому. Некоторые христианские секты считают богомола символом благочестия, другие — символом смерти. Я полагаю, это зависит от того, как вы представляете себе причину, по которой богомол молится, и, конечно, от того, как вы верите (или не верите) в молитву.
Человечество эволюционировало, чтобы эффективнее функционировать в хаотичном мире. Наш мозг набит тяп-ляп-решениями возможных проблем. Разве разбитое зеркало приносит несчастье? Экспериментировать, разбивая все попавшиеся на глаза зеркала, дорого; если примета неверна, этим ничего не добьешься, но если верна, то накличешь на свою голову неприятностей. Намного проще не бить зеркала, просто на всякий случай. Каждое решение такого рода укрепляет звено в сети вероятностей байесовского мозга.
Раньше эти звенья служили нам верой и правдой. Мир тогда был проще, и наша жизнь тоже. Если мы иногда и бежали в панике от леопарда, который оказывался кустом, качающимся на ветру, в худшем случае мы просто немного
ГЛАВА 2 | Гадание по внутренностям
29


глупо выглядели. Но сегодня, если слишком многие попытаются управлять планетой на основе своих убеждений, не учитывая объективных свидетельств, мы рискуем нанести серьезный ущерб себе и всем остальным.
ЕЩЕ ПОДРОСТКОМ ПСИХОЛОГ Рэй Хайман начал гадать по руке ради заработка. Надо сказать, что сам он не верил в гадание, но притворялся, что верит, иначе бы не набрал клиентов. Он толковал линии на ладонях так, как велит традиция, и через некоторое время его предсказания стали настолько успешными, по словам клиентов, что в конце концов он сам начал верить: в этом что-то есть. Стэнли Джакс, профессиональный экстрасенс, знакомый со всеми тонкостями профессии, предложил Хайману провести эксперимент: определить, что означают знаки на ладонях клиентов, а затем дать им абсолютно противоположное предсказание. Хайман согласился и позднее так говорил об этом опыте: «К моему удивлению и ужасу, мои предсказания были столь же успешными, как всегда». Хайман быстро стал скептиком [3].
Но не его клиенты. Они подсознательно выбирали прогнозы, которые казались верными, и игнорировали все остальные. Когда предсказания расплывчаты и неоднозначны, а значит, открыты для интерпретаций, уверовавшие могут найти множество доказательств того, что хиромантия работает. Примета Корфу о богомоле работает всегда, потому что никакое событие не может его опровергнуть.
Почему некоторые древние цивилизации придавали столь большое значение именно овечьей печени — загадка, но гепатомантия — это лишь одно орудие из обширного арсенала футуролога. Как записано в книге Иезекииля, царь Вавилонский советовался еще и с домашними идолами — вопрошал богов. А еще «потрясал стрелами» — это бело- мантия. Вавилон уже пал, а она все еще была популярна у арабов, греков и скифов. Ее практиковали по-разному, но всегда использовали специальные ритуальные стрелы, украшенные магическими символами. Тайная символика всегда производит впечатление, особенно на малообразованных людей, намекая на тайные силы и скрытые знания. Возмож¬
30
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ные ответы на важные вопросы записывали и привязывали к разным стрелам и запускали их в небо. Ответ, залетевший дальше всех, считался самым верным. Или, возможно, чтобы не тратить время на поиск улетевших стрел, их просто помещали в колчан, а потом одну вынимали наугад.
Печень, стрелы... еще что? Да что угодно. В «Кратком лексиконе оккультизма» Джерины Данвич перечислены сто разных методов гадания. Мы знакомы с гороскопом, предсказывающим судьбу человека по расположению звезд при его рождении; с хиромантией, когда будущее читают по линиям руки; с тассеографией — гаданию по осадку на дне чайной или кофейной чашки. Но это лишь рябь на поверхности моря методов, которые изобрело человечество, чтобы предсказывать будущее по повседневным объектам. Если вам не нравится гадание по руке, почему бы не попробовать подомантию, предсказывая судьбу человека по линиям на его стопах? Или нефеломантию: делать заключения о будущих событиях по форме и направлению движения облаков. Миомантия — гадание по писку мышей или крыс. Сико- мантия — по листьям смоковницы. Кромниомантия — по зеленым побегам лука. А еще можно взять целого кабана (а еще лучше козла или осла) и заняться кефалономанти- ей, когда-то очень популярной у германцев и лангобардов. Принесите в жертву козу или осла, отделите голову и испеките ее. Сыпьте горящие угли на голову, перечисляя имена подозреваемых в преступлении [4]. Когда голова начнет потрескивать, вы определите виновного. Это не предсказание будущего, но проникновение в тайны прошлого.
На первый взгляд, все эти методы настолько разнородны, что трудно найти в них что-то общее, кроме выполнения обряда с обычными предметами и расшифровки тайных знаков. Однако многие из них основаны на одном и том же допущении: чтобы понять что-то большое и сложное, изобразите это чем-нибудь маленьким и сложным. Узоры чаинок в чашке разнообразны, случайны и непредсказуемы. Будущее тоже разнообразно, случайно и непредсказуемо. И вовсе не требуется большая работа мысли, чтобы заподозрить связь между ними. То же относится к облакам, мышиной возне и линиям на стопах. Если вы верите в предназначение, то
ГЛАВА 2 | Гадание по внутренностям
31


ваша судьба предопределена при вашем рождении — так почему бы ей не быть записанной в каком-нибудь месте, где подходящий адепт сможет ее прочитать? Что меняется вместе с датой и моментом вашего рождения? Движение Луны и планет на фоне неподвижных звезд... Ага!
Дело не в том, что древним культурам не хватало обширных научных знаний, которыми мы обладаем сейчас. Многие люди все еще верят в астрологию. Другие не совсем верят, но им интересно читать гороскопы и проверять, оправдываются ли они. Во многих странах огромное количество людей участвует в розыгрышах национальной лотереи. Они знают, что шанс на выигрыш очень мал (хотя могут не оценить, насколько мал), но чтобы выиграть, требуется участвовать, и если вы выиграете, то все финансовые тревоги испарятся в мгновение ока. Я не хочу сказать, что играть разумно, ведь проигрывают почти все, но я знаю человека, который выиграл полмиллиона фунтов...
Лотерея (они похожи во многих странах) — это игра чистого случая, эту точку зрения подтверждает статистический анализ, но тысячи игроков полагают, что их хитроумная система может победить случай [5]. Купите игрушечный лотерейный автомат, который выбрасывает крошечные пронумерованные шары наугад. Используйте его, чтобы выбрать, на какие числа сделать ставку. И если действительно есть какое-то разумное объяснение, оно должно быть в духе «лотерейный автомат работает так же, как игрушечный, оба случайны, поэтому каким-то таинственным образом игрушечный автомат ведет себя как настоящий». Большое повторяется в малом. Это та же логика, что и для чаинок и мышиного писка.
32
Иэн Стюарт
Случайный Бог


ГЛАВА 3
МЕТАНИЕ ИГРАЛЬНЫХ КОСТЕЙ
Лучший способ бросания костей — это бросить их совсем.
Поговорка XVI века
В СТРЕМЛЕНИИ ПРЕДСКАЗАТЬ БУДУЩЕЕ люди веками и тысячелетиями разрабатывали самые разные виды гаданий, опрашивали оракулов, изощрялись в способах умилостивить богов и поддавались бесчисленным суевериям. Все это очень мало способствовало развитию рационального мышления, не говоря уже о науке и математике. Даже если бы кому-нибудь пришло в голову записывать предсказания и затем сверять их с действительностью, было слишком много способов отмахнуться от неудобных данных: то ли боги оскорбились, то ли предсказание оракула было неправильно истолковано. Люди вечно попадали в ловушку предвзятости: замечали то, что согласуется с предсказаниями или верованиями, и игнорировали все, что не согласуется. Они и сейчас попадают в эту ловушку.
Однако в одной области человеческой деятельности игнорирование фактов автоматически приводило к катастрофе — в азартных играх. Даже они оставляют место для некоторого самообмана; до сих пор миллионы людей имеют иррациональные и неверные представления о вероятности. Но миллионы других довольно хорошо ориентируются в шансах и их связях, поэтому игроки и букмекерские конторы получают больше, когда разбираются в вероятностях. Можно даже обойтись без глубокой математики, достаточ¬
ГЛАВА 3 | Метание игральных костей
33


но хорошо усвоенных основ плюс несколько практических приемов и наработанного опыта. В отличие от религиозных (оракулов и т. д.) и политических предсказаний (безосновательные заявления, фейковые новости, пропаганда), азартные игры позволяют объективно проверить ваши представления о вероятности: зарабатываете ли вы в конечном счете деньги, или теряете их. Если ваша хваленая система игры не работает, вы быстро узнаете об этом и пожалеете. Вы можете продать ее доверчивому простаку, но это не то же самое. Если вы используете ее, рискуя собственными деньгами, реальность быстро вправит вам мозги.
Азартные игры — это большой бизнес, и так было всегда. Ежегодно во всем мире около десяти триллионов долларов переходят из рук в руки в легальных азартных играх. (Цифра станет гораздо больше, если включить сюда финансовый сектор...) Большая часть этих денег меняет хозяев по многу раз: игрок делает ставки на бегах, букмекер выплачивает выигрыши, а проигравшие ставки удерживает; проходя через руки многих людей, деньги текут так или этак; но в конце концов значительная часть оседает в карманах (и на банковских счетах) букмекеров и владельцев казино. Так что чистая прибыль, хотя и существенна, все же несколько меньше.
Настоящая, математическая теория вероятностей зародилась, когда математики стали тщательно анализировать азартные игры, особенно то, как проявляются вероятности в долгосрочной перспективе. Пионеры теории вероятностей извлекали разумные математические принципы из месива интуиций, суеверий и примет, на которых в давние времена и основывались методы работы со случайными событиями. Идея начать с решения сложных социальных или научных проблем обычно не так уж хороша. Например, если бы математики тех времен попытались предсказывать погоду, то не продвинулись бы далеко, — у них просто не было на то адекватных методов. Вместо этого они поступили так, как математики делают всегда: исключив сложные детали, они упражнялись на самых простых примерах, где можно ясно сформулировать, о чем идет речь. Нематематики обычно неправильно понимают такие «игрушечные модели», потому
34
Иэн Стюарт | Случайный Бог


что они кажутся далекими от реального мира. Но вся история науки говорит нам о том, что серьезные открытия, критически важные для прогресса, возникали из таких игрушечных моделей [6].
АРХЕТИПИЧЕСКИЙ ОБРАЗ СЛУЧАЙНОСТИ — это классическое приспособление для азартных игр: игральная
кость [7].
Впервые игральные кости появились, видимо, в долине Инда. Им предшествовали еще более древние бабки — кости животных, которые использовали для гадания и игр. Археологи обнаружили шестигранные кости, по сути аналогичные нынешним, в Шахри-Сухтё (Сожженный город). Этот город в древнем Иране существовал с 3200 по 2100 год до нашей эры. Самая старая игральная кость датируется примерно 2800-2500 годами до н. э. Она использовалась для игры, напоминающей нарды. Практически в то же время древние египтяне использовали кости для игры сенет; правила ее неизвестны, хотя в предположениях недостатка нет.
Мы не можем утверждать наверняка, что кости в то время использовались для азартных игр. У древних египтян не было денег как таковых, но они часто использовали зерно как форму валюты, часть сложной системы бартера. Однако две тысячи лет назад в Риме азартные игры в кости были широко распространены. Большинство римских костей показались бы нам необычными. На первый взгляд они похожи на кубики, но среди них девять из десяти имеют прямоугольные, а не квадратные грани. Им не хватает симметрии подлинного куба, поэтому некоторые числа на такой кости должны появляться чаще остальных. Даже небольшой перекос может иметь значительный эффект в длинных сериях ставок — а ведь в кости обычно играют именно так. Только в середине XV века симметричные кубики стали общеприняты. Почему же римские игроки не возражали против несимметричных костей? Йелмер Эркенс, археолог из Нидерландов, изучавший игральные кости, предположил, что римляне могли руководствоваться скорее верой в судьбу, чем какими-либо другими соображениями. Когда ваша судьба находится в руках богов, то вы выиграете, если они того
ГЛАВА 3 | Метание игральных костей
35


пожелают, и проиграете, если наоборот. Форма кости при этом не имеет значения [8].
Похоже, что к 1450 году игроки стали мудрее, поскольку к тому времени большинство кубиков были симметричны. Удалось даже стандартизовать расположение чисел на гранях, возможно, чтобы было проще проверить наличие всех шести чисел. (Типовое жульничество, которое в ходу и сегодня, — незаметно подменить кости на поддельные, где некоторые числа встречаются дважды, что повышает вероятность их появления. Поместите одинаковые числа на противоположных гранях, и беглый взгляд не заметит подмены. Проделайте этот трюк с двумя кубиками, и некоторые исходы станут невозможны. Есть и другие виды шулерства, даже с совершенно обычными кубиками.) Первоначально у большинства кубиков число 1 располагалось напротив 2, 3 — напротив 4 и 5 — напротив 6. Такое расположение можно назвать «простые числа», потому что все суммы чисел на противоположных гранях, 3, 7 и 11, просты. Около 1600 года простые числа утратили популярность, и победила конфигурация, которую мы используем и сегодня: 1 напротив 6, 2 напротив 5 и 3 напротив 4. Ее можно назвать «семерки», поскольку сумма чисел на противоположных гранях всегда равна 7. И «простые числа», и «семерки» могут встречаться в двух разных формах, левой и правой; они являются зеркальными отражениями друг друга.
Возможно, как раз из-за того, что игральные кости стали симметричными и стандартными, игроки приняли более рациональный подход. Они перестали верить в госпожу Удачу, повелевающую несимметричными костями, и обратили внимание на правдоподобность каждого конкретного исхода без божественного вмешательства. Бросая правильные кости, невозможно не заметить, что, хотя последовательность выпавших чисел непредсказуема, любое число так же вероятно, как и другие. Поэтому в длинной серии бросаний все числа должны появляться одинаково часто, плюс-минус небольшие отклонения. Такое представление постепенно привело к созданию новой ветви математики — теории вероятностей.
36
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ОДНИМ ИЗ ЕЕ ПИОНЕРОВ был Джероламо Кардано, итальянец эпохи Возрождения. Он снискал себе математическую славу в 1545 году, написав книгу Ars Magna, «Великое искусство». Это была третья в череде действительно важных книг о том, что мы теперь называем алгеброй. В «Арифметике», датируемой примерно 250 годом н. э., греческий математик Диофант ввел символы для обозначения неизвестных чисел. Персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми в книге «Аль-китаб алъ-мухтасар фи хисаб аль-джебр ва-ль-мукабала» («Краткая книга восполнения и противопоставления») около 800 года н.э. дал нам слово «алгебра». Он не использовал символы, но зато разработал систематические методы решения уравнений; они получили название «алгоритмы» по латинизированному варианту его имени, Algorismus. Кардано соединил обе идеи — символическое обозначение неизвестного плюс возможность рассматривать символы как новые виды математических объектов. Кроме того, он опередил своих предшественников, научившись решать более сложные уравнения.
Его квалификация как математика была безупречна, но характер оставлял желать лучшего: он был игроком и мошенником и вдобавок склонен к жестокости. Но не надо забывать, что он жил в эпоху азартных игроков и жуликов, когда насилие подкарауливало за каждым углом. Кроме того, Кардано был врачом, и по меркам того времени довольно успешным. А еще он был астрологом. Он составил гороскоп Христа, из-за чего нажил неприятностей с церковью. Говорят, что он составил собственный гороскоп, что было еще хуже. Профессиональная гордость заставила его покончить с жизнью, чтобы оправдать предсказанную дату собственной смерти. Похоже, что в пользу этой истории объективных свидетельств нет, но в нее можно поверить, если учесть личность Кардано.
Прежде чем познакомиться с вкладом Кардано в теорию вероятностей, полезно уточнить терминологию. Когда на бегах вы ставите на лошадь, букмекер не предлагает вам вероятности: он объявляет шансы. Например, он может предложить шансы 3 : 2 на Резвого Джероламо на скачках на кубок Ренессанса на Факенхемском ипподроме. Это означа¬
ГЛАВА 3 | Метание игральных костей
37


ет, что, если вы поставите 2 фунта и выиграете, букмекер заплатит вам 3 фунта плюс вернет вашу первоначальную ставку в 2 фунта. Если вы выиграете, то разбогатеете на 3 фунта стерлингов; если проиграете, на 2 фунта разбогатеет букмекер.
Это честное предложение, если в длинной серии забегов выигрыши и поражения компенсируют друг друга. Таким образом, при шансах 3:2 у лошади на каждые две победы должно приходиться три поражения. Другими словами, в среднем должно быть две победы в каждых пяти гонках. Поэтому вероятность выигрыша равна двум пятым: 2/5. Как правило, если шансы лошади составляют т : п, то вероятность победы равна
п
Р = >
т + п
это при условии, что шансы скрупулезно точны. Последнее, конечно, редко случается, ведь букмекеры занимаются своим бизнесом ради прибыли. Однако шансы будут близки к этой формуле: букмекеры не хотят, чтобы клиенты догадались, что их объегоривают.
Каким бы ни было положение дел в действительности, эта формула показывает, как перевести шансы в вероятности. Вы можете сделать это по-другому, понимая, что шансы — это отношение: 6:4 — это то же самое, что 3:2. Отношение т:п — это дробь т/п, которая равна 1/р—1. Давайте-ка проверим: если р = 2/5, то т/п = 5/2 - 1 = 3/2, шансы составляют 3:2.
КАРДАНО ВЕЧНО НЕ ХВАТАЛО денег, и он увеличивал свое благосостояние, играя в азартные игры и шахматы. Он написал «Книгу об игре в кости» (Liber de ludo aleae) в 1564 году, но опубликовали ее лишь в 1663 году как часть его собрания сочинений, к тому времени он давно умер. Она представляет собой первое систематическое изложение теории вероятностей.
Для иллюстрации основных понятий Кардано использовал кости. Он писал: «В какой мере вы отходите от... справедливости, в той же мере вы глупы, если отход в пользу
38
Иэн Стюарт | Случайный Бог


вашего оппонента, или нечестны, если в вашу пользу». Это его определение «справедливости». В другом месте книги он объясняет, как жульничать, так что на самом деле он, похоже, не возражал против несправедливости, пока она была направлена на кого-то другого. С другой стороны, даже честный игрок должен быть знаком с разными видами обмана, чтобы замечать, когда противники к ним прибегают. На основе своего определения Кардано объясняет, почему справедливые шансы можно рассматривать как отношение потерь к выигрышам (для игрока; для букмекера это будет отношение выигрышей к потерям). По сути, он определяет вероятность события как отношение числа случаев, когда оно произошло, к общему числу — все это за долгий период времени. Свои математические идеи Кардано проиллюстрировал применительно к игре в кости.
Прежде чем приступить к анализу, он заметил: «Самый главный принцип в азартных играх — это просто равные условия; например, для противников, для сторонних наблюдателей, денег, ситуации, коробки для игральных костей и самой кости». Придерживаясь этого принципа, бросок одной кости описать просто. Есть всего шесть исходов, и если кость правильная, каждый из них осуществляется в среднем один раз каждые шесть бросков. Таким образом, вероятность каждого равна 1/6. Кардано сумел правильно описать исходы для бросания двух или более кубиков, хотя в те времена многие другие математики не умели этого делать. Он утверждал, что есть 36 одинаково вероятных бросков двух кубиков и 216 бросков трех. Сегодня мы бы заметили, что 36 = 6 х 6 (или 62) и 216 = 6x6x6 (или 63); но Кардано считал так: «Есть шесть бросков с одинаковыми гранями и пятнадцать комбинаций с разными гранями, которые при удвоении дают тридцать, так что всего тридцать шесть бросков».
Зачем удваивать? Предположим, что одна кость красная, а другая синяя. Тогда комбинация 4 и 5 может выпасть двумя разными способами: 4 на красной и 5 на синей; 5 на красной и 4 на синей. Однако комбинация 4 и 4 выпадает только одним способом: 4 на красной и 4 на синей. В этом рассуждении кости раскрашены, чтобы было понятнее. Но даже если кости выглядят одинаково, все равно есть
ГЛАВА 3 | Метание игральных костей
39


два способа выбросить комбинацию разных чисел и только один способ выбросить одно и то же число на обеих костях. Ключевые составляющие здесь — упорядоченные пары чисел, а не неупорядоченные [9]. Сколь ни просто выглядит это замечание, оно было значительным достижением.
Кардано сумел справиться с задачей о трех костях, которая долгое время не поддавалась попыткам решения. Из опыта давно было известно, что при бросании трех костей общая сумма 10 более вероятна, чем 9. Однако было непонятно почему. Действительно, существует шесть способов получить 10:
1+4+5 1+3+6 2+4+4 2+2+6 2+3+5 3+3+4.
Но и способов получить 9 — тоже шесть:
1+2+6 1+3+5 1+4+4 2+2+5 2+3+4 3+3+3.
Так почему же сумма 10 выпадает чаще? Кардано указал, что существует 27 упорядоченных троек с суммой 10, но только 25 с суммой 9 [10].
Он также рассмотрел процесс многократного бросания кости и здесь тоже сделал важные открытия. Первое заключалась в том, что вероятность события — это доля случаев, в которых оно осуществляется при большом числе испытаний. Мы теперь называем это статистическим определением вероятности. Второе — вероятность того, что событие осуществится в п испытаниях подряд, равна рп, если вероятность отдельного события равна р. Кардано потребовалось некоторое время, чтобы вывести эту формулу, и в его книгу вошли ошибки, которые он сделал по дороге.
ТРУДНО ПРЕДСТАВИТЬ, ЧТО АДВОКАТ и католический богослов всерьез заинтересовались азартными играми, но так оно и было. Пьер де Ферма и Блез Паскаль были опытными математиками, которые не могли устоять перед вызовом. В 1654 году шевалье де Мере, известный игрок, распространивший свой опыт «даже на математику» — действительно редкий комплимент, — попросил Ферма и Паскаля найти решение «задачи о разделе ставки».
40
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Рассмотрим простую игру, в которой каждый из двух игроков имеет 50%-й шанс на выигрыш; например, подбрасывание монеты. Вначале игроки вносят равные ставки в «банк» и соглашаются с тем, что первый человек, выигравший определенное количество раундов («очков»), выигрывает деньги. Однако игра внезапно прерывается до ее завершения. Как в этом случае игроки должны разделить «банк», если известно число выигрышей каждого на этом этапе? Например, предположим, что банк составляет 100 франков, игра должна остановиться, как только один игрок выиграет 10 раундов, но прерывается на счете 7:4. Сколько должен получить каждый игрок?
Этот вопрос вызвал обширную переписку двух математиков, сохранившуюся до наших дней, за исключением самого первого письма Паскаля к Ферма, где, по-видимому, был предложен неверный ответ [11]. В своем ответе Ферма привел другие расчеты, убеждая Паскаля сказать, согласен ли он с теорией. Ответ оправдал его ожидания:
Сударь,
мной овладело нетерпение, и, хотя я еще нахожусь в постели, мне трудно удержаться от того, чтобы не взять перо и не сообщить Вам, что вчера вечером мне передали от г. Каркави Ваше письмо о справедливом разделе ставки, которое привело меня в неописуемый восторг. Не стану растягивать вступления и скажу сразу: Вы вполне правильно решили задачу о костях и задачу о справедливом разделе ставки.
Паскаль признал, что в его предыдущей попытке решения содержалась ошибка, и они разобрали задачу от и до, а Пьер де Каркави (как и Ферма, математик и советник парламента) выступил в качестве посредника. Ключевая идея состояла в том, что важна не история прошлого — если не считать самих данных — а то, что может произойти за оставшиеся раунды. Если цель игры — набрать 20 побед, а игра прерывается со счетом 17 : 14, деньги следует делить точно так же, как для цели 10 и счета 7:4. (В обоих случаях одному игроку нужно еще 3 очка, а другому — 6. Как именно они достигли этой стадии, не имеет значения.) Два математика проанализировали эту постановку задачи и вычислили то, что мы позднее назвали ожиданием выигрыша
ГЛАВА 3 | Метание игральных костей
41


каждого игрока — среднюю сумму выигрыша при условии, что игра повторялась бы много раз. Ответ для этого примера: ставку следует разделить в отношении 219 к 37, при этом большую часть получает лидирующий игрок. Не так-то просто было до этого додуматься [12].
СЛЕДУЮЩИЙ СЕРЬЕЗНЫЙ ПРОРЫВ сделал Христиан Гюйгенс в 1657 году в книге «О расчетах в азартной игре» (De ratiociniis in ludo aleae). Гюйгенс также рассмотрел задачу о разделе ставки и явно ввел понятие ожидания. Вместо того чтобы записывать его формулу, давайте рассмотрим типичный пример. Предположим, вы много раз играете в азартную игру в кости с такими выигрышами и проигрышами:
• вы проигрываете £4, если выпадает 1 или 2;
• вы проигрываете £ 3, если выпадает 3;
• вы выигрываете £ 2, если выпадает 4 или 5;
• вы выигрываете £ 6, если выпадает 6.
Не сразу понятно, выгодно ли вам играть в долгосрочной перспективе. Чтобы выяснить это, сделаем расчет:
• вероятность проиграть £4 равна 1/3;
• вероятность проиграть £ 3 равна 1/6;
• вероятность выиграть £2 равна 2/6 = 1/3;
• вероятность выиграть £ 6 равна 1/6.
Далее, говорит Гюйгенс, чтобы найти ожидание результата игры, надо умножить каждый выигрыш или проигрыш (потери выражаются отрицательными числами) на соответствующую вероятность и затем все сложить:
(-4»|И-з>|н2»1НбЛ),
что дает -1/6. То есть в среднем вы теряете - фунта 2
(16- пенса) за игру. Чтобы понять, почему это работает,
о
представьте, что вы бросаете кость шесть миллионов раз, тогда каждое число выпадает миллион раз — в среднем. Точно так же вы можете бросить кость шесть раз, при этом каждое число появляется ровно однажды, потому что про¬
42
Иэн Стюарт | Случайный Бог


порции одинаковы. В этих шести бросках вы теряете £4, когда выпадает 1 или 2, вы теряете £3, когда выпадает 3, вы получаете £ 2, когда выпадает 4 и 5, и £ 6, когда выпадает £ 6.
При этом ваш общий «выигрыш» равен (-4) + (-4) + (-3) + 2 + 2 + 6 =-1.
Если вы разделите на 6 (количество рассматриваемых игр) и сгруппируете слагаемые с одинаковым проигрышем или выигрышем, то получите выражение Гюйгенса. Ожидание — это вид среднего для отдельных выигрышей или проигрышей, но каждому из них должен быть приписан «вес» — его вероятность.
Гюйгенс сумел применить свои разработки к реальным задачам. Вместе со своим братом Лодевиком он применял вероятности для анализа ожидаемой продолжительности жизни, основываясь на таблицах Джона Граунта, опубликованных в 1662 году в «Естественных и политических наблюдениях над списками умерших» (Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality). Принято считать, что это самая первая серьезная работа по демографии — науке о численности населения и одна из первых по эпидемиологии — науке об эпидемиях. Вероятность уже начала вмешиваться в дела людей.
ГЛАВА 3 | Метание игральных костей
43


ГЛАВА 4
ПОДБРАСЫВАНИЕ МОНЕТЫ
Если выпадет орел — я выиграл, а если выпадет решка — ты проиграл.
Так бывает в детских играх
ВСЕ РАБОТЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, созданные до эпического труда Якоба Бернулли Ars conjectandi («Искусство предположения»), в сравнении с ним незначительны. Он был написан между 1684 и 1689 годами, а опубликован в 1713 году уже после смерти автора его племянником Николаем Бернулли. Якоб Бернулли и раньше публиковал работы по вероятности, но в этой книге собрал основные известные в то время идеи и результаты и добавил еще много своих.
Принято считать, что именно с изданием этой книги теория вероятностей оформилась как самостоятельная ветвь математики. Труд начинается с комбинаторных свойств перестановок и сочетаний, скоро мы рассмотрим их, используя современные обозначения. Затем Бернулли излагает и перерабатывает идеи Гюйгенса о математическом ожидании.
Излюбленная модель в текстах по теории вероятностей — подбрасывание монеты. С ним все знакомы, и на этом простом эксперименте можно проиллюстрировать многие фундаментальные идеи вероятности. Орел или решка — самая примитивная альтернатива в азартных играх. Бернулли проанализировал этот эксперимент, его модель мы сейчас называем испытаниями Бернулли. Она описывает многократное повторение игры с двумя исходами, для брошенной монетки их два — О (орел) или Р (решка). Монета может
44
Иэн Стюарт | Случайный Бог


быть несимметричной, например исход О может иметь вероятность 2/3, а Р — соответственно 1/3. Эти две вероятности должны в сумме давать 1, потому что с каждым броском выпадает или орел, или решка, других вариантов нет. Бернулли ставил вопросы типа «Какова вероятность выпадения не менее 20 орлов при 30 подбрасываниях?» и давал ответы, подсчитывая количества перестановок и сочетаний. Научившись применять комбинаторные методы, он установил их глубокие связи с другими математическими идеями. Он связал комбинаторные формулы с биномом Ньютона — это формула для разложения в сумму степени бинома (двучлена) х + у; например,
(х + у)4 = х4 + 4xsy + 6х2у2 + 4 ху3 + у4.
В третьей части книги полученные результаты применяются к распространенным в то время играм в карты и кости. В четвертой, последней части по-прежнему делается акцент на приложениях, но теперь к принятию решений в социальной сфере, включая право и финансы. Большой вклад Бернулли здесь — закон больших чисел. Он подсчитывает, сколько раз осуществится конкретный исход (орел или решка, к примеру) в длинной серии испытаний. Это количество близко к числу испытаний, умноженному на вероятность этого исхода. Бернулли назвал этот закон своей золотой теоремой — «задачей, которой я посвятил двадцать лет». Этот результат можно рассматривать как мотивировку статистического определения вероятности: «доля случаев, когда данное событие происходит». Но Бернулли смотрел на свой закон иначе: тот давал теоретическое обоснование использованию экспериментально найденных частот для нахождения вероятностей. Такой взгляд близок к современному аксиоматическому подходу в теории вероятностей.
Бернулли высоко поднял планку для своих последователей, но оставил неразрешенными несколько важных вопросов. Один из них — из практики. Расчеты в схеме испытаний Бернулли становятся очень сложными, когда число испытаний велико. Например, какова вероятность выпадения 600 орлов из 1000 подбрасываний симметричной монетки? По формуле требуется перемножить шестьсот целых чисел
ГЛАВА 4 | Подбрасывание монеты
45


и результат разделить на произведение еще шестисот. Без компьютеров и калькуляторов вычисления в лучшем случае были долгими и утомительными, а в худшем — за пределами человеческих возможностей. Решение таких проблем стало следующим большим шагом в приручении неопределенности методами теории вероятностей.
ГОВОРИТЬ О ВЕРОЯТНОСТЯХ, используя исторические термины, очень неудобно — обозначения, слова и понятия неоднократно менялись по мере того, как математики прокладывали путь к ясной и прозрачной теории. Поэтому сейчас я хочу рассказать об основных идеях, которые возникли в результате исторического развития, более современными терминами. Это нужно, чтобы прояснить некоторые понятия, которые потребуются в дальнейшем, и установить связи между ними.
Интуитивно ясно, что в долгой серии подбрасываний симметричной монеты орлов выпадет примерно столько же, сколько решек. Каждый отдельный бросок непредсказуем, но общий результат серии подбрасываний в среднем предсказуем. Поэтому, хотя мы не можем предсказать результат какого-либо конкретного броска, мы все же можем ограничить уровень неопределенности в долгосрочной перспективе.
Я бросил монету десять раз и получил такую последовательность орлов и решек:
РОРРРОРООР
Выпало 4 орла и 6 решек — почти поровну, но не совсем.
Насколько вероятен такой результат?
Я доберусь до ответа постепенно. В первый раз выпадет либо орел, либо решка с равными вероятностями 1/2. Первые два броска могут привести к любому результату из 00, ОР, РО, PP. Всего четыре исхода, все равновозможны, поэтому у каждого вероятность 1/4. Первые три броска дают один из исходов ООО, OOP, ОРО, ОРР, POO, POP, РРО, РРР. Всего исходов восемь, все они равновозможны, поэтому вероятность каждого равна 1/8.
Наконец, давайте посмотрим на первые четыре броска. Есть 16 исходов, вероятность каждого 1/16, и я сгруппирую их в зависимости от того, сколько раз встречается орел:
46
Иэн Стюарт | Случайный Бог


0 раз: 1 последовательность (РРРР);
1 раз: 4 последовательности (ОРРР, POPP, РРОР, РРРО);
2 раза: 6 последовательностей (ООРР, ОРОР, ОРРО, POOP, РОРО, РРОО);
3 раза: 4 последовательности (ОООР, ООРО, ОРОО, РООО);
4 раза: 1 последовательность (ОООО).
Последовательность, которую я получил в своем эксперименте, начиналась на РОРР — здесь только один орел. Такое число орлов встречается в четырех последовательностях из 16, вероятность такого события равна 4/16 = 1/4. Для сравнения: два орла и две решки выпадают в 6 последовательностях из 16, вероятность их равна 6/16 = 3/8. Хотя орлов и решек здесь поровну, вероятность такого события не 1/2, а меньше. Однако вероятность того, что число орлов будет близко к 2 — 1, 2 или 3, — равна (4 + 6 + 4)/16 = 14/16, а это 87,5 %.
При десяти подбрасываниях возможны 210 = 1024 последовательности орлов и решек. Вычисления вроде тех, что мы проделали (срежем путь), позволяют найти вероятности каждого количества орлов в последовательности:
Количество
орлов
Количество
последовательностей
Вероятность
0
1
0,001
1
10
0,01
2
45
0,04
3
120
0,12
4
210
0,21
5
252
0,25
6
210
0,21
7
120
0,12
8
45
0,04
9
10
0,01
10
1
0,001
ГЛАВА 4 | Подбрасывание монеты
47


В моей последовательности 4 орла и 6 решек, вероятность такого исхода 0,21. Самое вероятное количество орлов — 5, вероятность этого всего 0,25. Точное число орлов — не самый информативный параметр. Гораздо интереснее вопросы типа «Какова вероятность получить число орлов из ка- кого-то диапазона, например между 4 и 6?» Ответ такой: 0,21 + 0,25 + 0,21 = 0,66. Другими словами, бросив монетку 10 раз, мы можем ожидать, что в двух случаях из трех орлы и решки выпадут почти поровну, в отношении 5 • 5 или 4:6. Но мы ожидаем, что в одном случае из трех разнобой будет больше. Некоторое отклонение от теоретического среднего не только возможно, но вполне правдоподобно.
Посмотрим на большие отклонения, скажем, когда количества орлов и решек относятся как 5:5, 6:4 или 7 : 3 (в любую сторону). Вероятность попасть в эту область равна 0,12 + 0,21 + 0,25 + 0,21 + 0,12 = 0,9. Теперь шансы получить дисбаланс примерно один из десяти. Это немного, но не ничтожно мало. Удивительно, но когда вы бросаете монету 10 раз, вероятность получить не больше двух орлов или не больше двух решек равна 0,1. Такое будет случаться примерно в одном случае из десяти.
КАК ПОКАЗЫВАЮТ ЭТИ ПРИМЕРЫ, простейшие задачи по вероятности в основном опираются на методы подсчета для равновероятных случаев. Раздел математики, который занимается методами подсчета вариантов, называется комбинаторикой, а понятия, с которыми здесь работают, — перестановками и сочетаниями.
Перестановка — это способ расположить несколько символов или объектов по порядку. Например, символы А, В, С можно упорядочить шестью способами:
ABC АСВ ВАС ВСА CAB СВА
Аналогичные списки показывают, что есть 24 способа упорядочить четыре символа, 120 способов — упорядочить пять, 720 — шесть и так далее. Общее правило простое. Допустим, например, что мы хотим расположить шесть букв А, В, С, D, Е, F в некотором порядке. Первую букву мы можем выбрать шестью различными способами: это либо А,
48
Иэн Стюарт | Случайный Бог


либо В, либо С, либо D, либо Е, либо F. Когда первая буква уже выбрана, у нас остается еще пять, чтобы расставлять их далее. Поэтому вторую букву можно выбрать пятью способами. Каждый из них может продолжать первоначальный выбор, значит, первые две буквы вместе мы можем выбрать
6 • 5 = 30
способами. Для следующей буквы остается четыре способа, для следующей — три, два для следующей и один-един- ственный для последней. Поэтому всего способов упорядочить шесть символов
6-5-4-3-2-1= 720.
Запись 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 обычно обозначают 6! (читается «шесть факториал»).
Точно такие же рассуждения показывают, что число способов упорядочить 52 карты в колоде равно
52! = 52 • 51 • 50 • • 3 • 2 • 1.
Мой верный компьютер вычисляет его с поразительной скоростью:
80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000.
Это точный ответ. Число огромно, и вы не смогли бы его получить, перечисляя все возможные варианты.
Мы можем решить и более общую задачу — вычислить, сколькими способами можно получить упорядоченный набор любых четырех букв из шести возможных А, В, С, D, Е, F. Такие наборы называются размещениями (из шести букв по четыре). Вычисления похожи, только мы останавливаемся, выбрав четвертую букву. Всего получается
6 • 5 • 4 • 3 = 360
способов упорядочить четыре буквы из шести. Аккуратнее всего на математическом языке это выражают так:
6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 6! 720
FT =1~ = 360-
Здесь мы разделили на 2!, чтобы избавиться от лишнего хвостика в конце 6!. Такие же рассуждения позволяют
ГЛАВА 4 | Подбрасывание монеты
49


вычислить число способов упорядочить 13 карт из колоды в 52 листа:
521/39! = 3 954 242 643 911 239 680 ООО.
Сочетания похожи на размещения, но только мы теперь учитываем не способы упорядочить символы, а способы их выбрать — без учета порядка. Например, сколькими способами можно раздать 13 карт из колоды в 52 листа? Фокус в том, чтобы сначала найти число размещений, а потом вычислить, сколько размещений отличается только порядком карт. Мы уже знаем, что 13 карт можно упорядочить 13! способами. Это значит, что каждый (неупорядоченный) набор из 13 карт встречается 13! раз в (гипотетическом) списке всех 3 954 242 643 911 239 680 ООО упорядоченных последовательностей 13 карт. Поэтому число неупорядоченных наборов равно
3 954 242 643 911 239 680 000/13! = 635 013 559 600,
столько есть способов сдать 13 карт.
Допустим, мы хотим найти вероятность сдать некоторые определенные 13 карт, скажем, все пики. Это только один набор из возможных 635 миллиардов сдать карты, поэтому вероятность получить все пики равна
1/635 013 559 600 = 0,000 000 000 001 574...
Это примерно одна полуторатриллионная. В среднем на планете Земля такая сдача случается один раз из 635 013 559 600 случаев.
Есть один очень полезный способ записать такой ответ. Число способов выбрать 13 карт из 52 (число сочетаний из 52 по 13) равно
52! _ 52!
13! 39! 13!(52 - 13)! ’
Число способов выбрать г объектов из п можно записать в общем виде алгебраически:
п\
г\(п - г)\
50
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Мы умеем выражать это количество с помощью факториалов. Его называют биномиальным коэффициентом и применяют для него специальный символ: С£ (читается «цэ из п по г»).
Слово «биномиальный» говорит о связи с биномиальной теоремой в алгебре. Вернемся к формуле (x + z/)4, которую мы встретили несколькими страницами выше. Выпишем коэффициенты в разложении этого бинома: 1, 4, 6, 4, 1. Те же числа мы получили, когда вычисляли, сколько имеется последовательностей, содержащих определенное число орлов в четырех подбрасываниях. Такое разложение выполняется не только для 4, но и для других натуральных чисел.
ВООРУЖИВШИСЬ ЭТИМИ ЗНАНИЯМИ, давайте посмотрим на список из 1024 последовательностей О и Р. Я уже сказал, что есть 210 последовательностей, содержащих четыре орла. Это число мы можем найти, применяя формулу для сочетаний. Не вполне очевидно, как это сделать сразу же, потому что у нас последовательности упорядоченные, в которых символы могут повторяться, — разве такого зверя мы видели раньше? Фокус в том, чтобы спросить, на каких позициях появляются четыре орла. Например, они могут стоять на позициях 1, 2, 3, 4 — ОООО, а далее за ними следуют шесть Р. Или же орлы могут стоять на позициях 1, 2, 3, 5: 000Р0, — а затем еще пять Р. Или... Позиции могут быть разными, но в любом случае это список из четырех чисел из набора 1, 2, 3, ..., 10 — на этих позициях стоят О, а на остальных Р. Количество таких списков — это число сочетаний из 10 чисел по 4. А мы уже знаем, как его найти: просто подставить значения в формулу
10! =М=2Ю.
4!(10 - 4)! 4!6!
Магия! Продолжая в том же духе, мы получим весь список:
10! , 10! 1Л 10! лк 10! 10Л 10! 01Л 10! 0_0
= 1, —— = 10, —— = 45, ——=120, —— = 210, —— = 252,
ОНО! 1!9! 2!8! 3!7! 4!6! 5!5!
после чего числа повторяются в обратном порядке. Это можно проверить алгебраически или логически рассудить, что, например, шесть решек в десяти подбрасываниях — это все рав¬
ГЛАВА 4 | Подбрасывание монеты
51


но что четыре орла; поэтому способов получить четыре орла ровно столько же, сколько способов получить шесть решек.
Последовательность этих чисел подчиняется определенной «форме»: сначала они маленькие, потом постепенно растут, достигая пика в середине, а затем убывают, причем весь список симметричен относительно середины. Диаграмма (для педантов гистограмма) этой последовательности — зависимость числа последовательностей от числа орлов в них — наглядно иллюстрирует эту форму (рис. 2).
Измерим наугад какой-нибудь параметр в ряду возможных событий — получим случайную величину. Математическое правило, которое ставит каждому значению случайной величины его вероятность, называется распределением вероятностей.
В нашем эксперименте случайная величина — это «количество орлов», а ее распределение вероятностей очень похоже на гистограмму, за одним исключением: чтобы получить вероятности, числа на вертикальной шкале надо разделить на 1024. Это конкретное распределение вероятностей называется биномиальным распределением из-за связи с биномиальными коэффициентами.
Число последовательностей 250 —
200 —
150 ~
100 —
50 —
0 —
01 23456789 10
Число орлов
Рис. 2. Биномиальное распределение для десяти испытаний, когда орлы и решки выпадают с одинаковыми вероятностями. Чтобы получить вероятности, разделите числа по вертикальной шкале на 1024
52
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Бывают и другие распределения вероятностей. Например, когда мы бросаем игральную кость, с равными вероятностями выпадают числа 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Такое распределение называется равномерным.
Если же мы подбрасываем две игральные кости и суммируем выпавшие очки, значения от 2 до 12 образуются разными способами:
2 = 1 + 1
1 способ
3=1+2=2+1
2 способа
4=1+3=2+2=3+1
3 способа
5=1+4=2+3=3+2=4+1
4 способа
6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1
5 способов
7=1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1
6 способов
Количество способов увеличивалось на 1 с каждым шагом, но потом начинает уменьшаться, пока опять не сравняется с единицей:
8=2+6=3+5=4+4=5+3=6+2
5 способов
9=3+6=4+5=5+4=6+3
4 способа
10=4+6=5+5=6+4
3 способа
11=5+6=6+5
2 способа
12 = 6 + 6
1 способ
Поэтому распределение вероятностей для этой суммы имеет форму треугольника (рис. 3). На графике по вертикали отмечено число способов набрать сумму; соответствующие вероятности получаются, если эти числа разделить на их общее количество, равное 36.
Если мы подбросим три игральные кости и просуммируем выпавшие очки, соответствующая форма округлится и станет больше походить на биномиальное распределение, хотя не вполне с ним совпадет (рис. 4). Получается, что, чем больше костей мы подбрасываем, тем ближе распределение общей суммы к биномиальному. Центральная предельная теорема, обсуждаемая в главе 5, объясняет, почему так происходит.
ГЛАВА 4 | Подбрасывание монеты
53


Число способов набрать сумму
4 5 6 7 8 9 10
Сумма очков на двух костях
11 12
Рис. 3. Распределение суммы очков на двух костях. Чтобы получить вероятности, разделите числа на вертикальной оси на 36
Число способов набрать сумму
25
20
15
10
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12131415161718 Сумма очков на трех костях
Рис. 4. Распределение суммы очков на трех костях. Чтобы получить вероятности, разделите числа на вертикальной оси на 216
МОНЕТЫ И КОСТИ — ТРАДИЦИОННЫЕ метафоры для случайного. Скажем, широко известно высказывание Эйнштейна о том, что Бог не играет в кости со Вселенной.
Менее широко известно, что его слова не были буквально такими, но все-таки он имел в виду примерно то же: он
54
Иэн Стюарт | Случайный Бог


думал, что среди законов природы нет законов о случайностях. Все же он, видимо, выбрал неправильную метафору. Монеты и кости хранят страшный секрет. Они не так случайны, как кажется.
В 2007 году Перси Диаконис, Сьюзан Холмс и Ричард Монтгомери исследовали динамику подбрасывания монет [13]. Они начали с физики, построив монетокидательную машинку. Она подбрасывала монету в воздух, а та в полете свободно вращалась, пока не падала на плоскую принимающую поверхность без подпрыгиваний. Экспериментаторы настроили машинку так, чтобы можно было контролировать все детали подбрасывания. Настолько тщательно контролировать, что, если положить монету в машинку орлом вверх, всегда будет выпадать орел, даже если монета много раз переворачивается в полете. Положите монетку вверх решкой, и выпадет решка. Этот эксперимент очень ясно показывает, что подбрасывание монеты — это полностью детерминированный механический процесс, а не случайный.
Еще раньше Джозеф Келлер, прикладной математик, изучал особый случай: монета вращается вокруг абсолютно горизонтальной оси, переворачиваясь снова и снова, пока не окажется в руке человека. Его математическая модель показала, что если монета вращается достаточно быстро и остается в воздухе достаточно долго, то даже небольшая изменчивость в начальных условиях приводит к равным долям орлов и решек. То есть вероятность выпадения орла очень близка к ожидаемому значению 1/2, как и вероятность выпадения решки. Более того, этот результат остается в силе, даже если вы всегда начинаете с орлов или всегда с решек. Так что энергичный бросок дает хорошую рандомизацию при условии, что монета вращается особым образом, как в модели Келлера.
Но бросать можно совсем иначе — столь же энергично, но заставляя монету вращаться вокруг вертикальной оси, как в автомате для проигрывания виниловых пластинок. Монета поднимается, потом опускается, но так и не переворачивается, поэтому она всегда падает той же стороной вверх, как лежала в руке при броске. Реальный бросок монеты находится где-то в промежутке, ось вращения при этом
ГЛАВА 4 | Подбрасывание монеты
55


не вполне горизонтальна и не вполне вертикальна. Если вы не жульничаете, она, вероятно, ближе к горизонтали.
Предположим для определенности, что мы всегда начинаем подбрасывание монеты, расположив ее орлом вверх. Команда Диакониса показала, что, если монета не подчиняется в точности предположениям Келлера и переворачивается вокруг не вполне горизонтальной оси (а на практике совершенной горизонтали добиться невозможно), она будет падать орлом вверх в более половины случаях. В экспериментах с людьми, подбрасывающими монету в обычных условиях, орлы выпадали приблизительно в 51% случаев, а решки — в 49% случаев.
Прежде чем обеспокоиться вопросом, насколько симметрична наша привычная монета, надо обратить внимание еще на три фактора. Люди не могут бросать монету столь же точно, что и машина. Еще важнее, что люди не всегда бросают монеты, стартовав с орла. Они начинают с орла или решки, наугад. Это выравнивает вероятности выпадения орла и решки, поэтому результат получается (очень близким к) пятьдесят на пятьдесят. К равенству вероятностей приводит не сам бросок, а несознательная рандомизация, выполняемая человеком, когда он кладет монету на большой палец, прежде чем подбросить ее. Если вы хотите получить небольшое преимущество, то можете заранее потренироваться в предсказуемом подбрасывании, пока не добьетесь действительно хорошего результата, а потом всегда на старте класть монету той стороной, которой вы хотите, чтобы она приземлилась. Обычная процедура в игре исключает и эту возможность, вводя еще один элемент случайности: один человек бросает, а другой объявляет «орел» или «решка», когда монета находится в воздухе. Бросающий не знает заранее, что объявит партнер, а потому не может повлиять на вероятность, выбрав, какой стороной монету запускать.
ПОДБРАСЫВАНИЕ ИГРАЛЬНОЙ КОСТИ сложнее, возможных исходов здесь больше. Но и для нее разумно рассмотреть ту же проблему. Когда бросают кость, какой фактор важнее всего для определения выпавшей грани?
56
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Вариантов много. Как быстро кость крутится в воздухе? Сколько раз она отскакивает? В 2012 году Марцин Капитаняк и его коллеги разработали подробную математическую модель подбрасывания игральной кости. Модель учитывала такие факторы, как сопротивление воздуха и трение [14]. Они смоделировали кость как идеальный математический куб с острыми углами. Чтобы проверить свою модель, они снимали подбрасывание кости высокоскоростной камерой. Оказалось, что один фактор по важности далеко превосходит остальные, и это всего-навсего исходное положение кости. Если вы держите кость единичкой вверх, то единица выпадает несколько чаще, чем остальные значения. По симметрии то же самое относится и к любому другому числу.
Традиционное предположение о «симметричной кости» состоит в том, что вероятность выпадения каждой грани
равна — & 0,167. Теоретическая модель показывает, что в 6
крайнем случае, когда кость падает на мягкую поверхность и не отскакивает, грань, которая была верхней на старте, выпадает с вероятностью 0,558 — намного больше. Если сделать более реалистичное предположение, что кость подскакивает четыре или пять раз, вероятность становится 0,199 — все еще значительно больше теоретической. Только когда игральные кости вращаются очень быстро или подскакивают примерно двадцать раз, вероятность становится близкой к 0,167. Эксперименты со специальным механическим устройством, которое подбрасывает кость с очень точно заданными скоростью, направлением и начальным положением, показали аналогичное поведение.
ГЛАВА 4 | Подбрасывание монеты
57


ГЛАВА 5
СЛИШКОМ МНОГО ИНФОРМАЦИИ
Разумная вероятность — единственный вид достоверности.
Эдгар Хау «Проповеди грешника»
«КНИГА ОБ ИГРЕ В КОСТИ» ДЖЕРОЛАМО КАРДАНО приоткрыла ящик Пандоры. А «Искусство предположений» Бернулли снесло с него крышку. Теория вероятностей изменила все — ив буквальном смысле саму игру, учитывая применения вероятности в азартных играх; но ее радикальные последствия для оценки вероятности случайных событий проявились только спустя долгое время. Статистика — грубо говоря, прикладная ветвь теории вероятностей — вышла на сцену куда позднее. Подготовительные работы относятся к 1750 году, а первый крупный прорыв произошел в 1805 году.
Статистика берет свое начало в двух областях: в астрономии и социологии. Хотя они очень различаются, в обеих стояли похожие задачи — извлечь полезную информацию из несовершенных или неполных данных наблюдений. Астрономы хотели рассчитать орбиты планет, комет и других небесных тел. Астрономические данные позволяли проверить математические теории небесных явлений, но предполагали и практическое применение, особенно для мореплавания. Социальные приложения появились чуть позже, с работой Адольфа Кетле в конце 1820-х годов.
Между этими областями была связь: Кетле был астрономом и метеорологом в Королевской обсерватории в Брюс¬
58
Иэн Стюарт | Случайный Бог


селе. Но кроме того, он был региональным корреспондентом бельгийского бюро статистики, и именно в этом качестве завоевал свою научную репутацию. Кетле заслуживает отдельной главы, и я расскажу о его идеях в главе 7. А пока сосредоточусь на астрономических истоках статистики. Именно тогда был заложен ее прочный фундамент, а некоторые из созданных методов продолжают использоваться и по сей день.
В XVIII-XIX веках астрономия изучала в основном движение Луны и планет, а позднее принялась и за кометы с астероидами. Благодаря теории тяготения Ньютона астрономы смогли построить очень точные математические модели многих видов движения небесных тел. А главной научной задачей было сопоставить эти модели с наблюдениями. Точность данных, полученных с помощью телескопов, постоянно росла, по мере того как совершенствовались инструменты. Но абсолютная точность в измерении положения звезд и планет была недостижима, все наблюдения были подвержены неконтролируемым ошибкам. На инструменты влияли изменения температуры. Постоянно меняющаяся атмосфера Земли преломляла лучи света и приводила к неустойчивым изображениям планет. Для подгонки различных шкал и датчиков применяли нарезные винты, резьба которых была не вполне совершенной, и когда вы поворачивали ручки, те могли на мгновение застопориться и не сразу послушаться. Если одно и то же наблюдение проводилось одним и тем же инструментом, то обычно получали немного разные результаты.
Хотя техника и приборы совершенствовались, эти проблемы оставались, потому что астрономы постоянно раздвигали границы знания. Новые теории требовали все более точных и надежных наблюдений. Все же казалось, что возможность многократно наблюдать одно и то же небесное тело должна была работать в пользу астрономов. К сожалению, математические методы того времени не были к ней приспособлены; казалось, что изобилие данных больше порождало проблемы, чем решало их. На самом деле математические теории, хотя и были верны, приводили к неправильным выводам; их методы решали не ту задачу. Математики превратили эту проблему в возможность: они, как и астрономы,
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
59


создали новые методы; но потребовалось некоторое время, чтобы новые идеи заработали.
С ошибками были связаны в основном две области: решение алгебраических уравнений и теория ошибок, в то время обе они уже были хорошо известны.
В школе мы все учимся решать системы уравнений, вроде
(2х- у = 3;
\ Зх + у = 7.
Решение этой системы х = 2; у= 1. Чтобы найти значения и х, и у, требуется два уравнения, потому что одно уравнение лишь устанавливает связь между неизвестными. Если неизвестных три, то для однозначного ответа нужно уже три уравнения. То же верно и для большего числа неизвестных: уравнений нужно столько же, сколько и неизвестных. (На самом деле имеются некоторые технические условия, чтобы исключить противоречащие друг другу уравнения. Кроме того, речь идет только о линейных уравнениях, где нам не попадаются такие штуки как х2 или ху, но мы не будем вдаваться в такие подробности.)
Беда с алгебраическими уравнениями в том, что, когда уравнений больше, чем неизвестных, решения обычно не существует. Иногда говорят, что неизвестные «переопределены» — вам сказали о них слишком много, и эта информация противоречива. Например, если к приведенной системе добавить еще условие хл-у- 4, тотчас же начнутся неприятности: уже из двух первых уравнений следует, что х — 2; у=1, поэтому х + у = 3. Упс. Есть только один случай, когда третье уравнение не противоречит первым двум: когда оно из них следует. Ничего страшного не случилось бы, если бы третье уравнение имело вид х + у = 3 или (что то же самое) 2х + 2у = 6. Но такое совпадение очень неправдоподобно, если только третье уравнение не подбирают специально.
В теории ошибок работают с одним выражением, например 3хл-у. Если мы знаем, что х-2; у= 1, то значение выражения равно 7. Но предположим, что нам известно лишь, что х лежит где-то в промежутке от 1,5 до 2,5, а у — в промежутке от 0,5 до 1,5. Что можно сказать о значении
60
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Зх + у? В этом случае верхняя граница получается, если мы выберем максимально возможные значения х и у:
3x2,25 + 1,5-9.
Аналогично нижняя граница получается, когда мы выбираем наименьшие возможные значения хну:
Зх 1,5 + 0,5 = 5.
Теперь мы можем сделать вывод, что 3х + у лежит где-то в районе 7 ± 2. (Здесь знак ± означает плюс-минус, а интервал возможных значений простирается от 7-2 до 7 + 2.) На самом деле мы можем получить этот результат еще проще, просто учитывая наибольшую и наименьшую ошибки:
3 х 0,5 + 0,5 = 2; 3 х (-0,5) - 0,5 = -2.
В XVIII веке математикам все это было известно, и даже больше: они умели работать с более сложными формулами для ошибок, когда числа умножаются или делятся, и знали, как на оценки влияют отрицательные числа. Формулы выводились методами математического анализа — самой мощной математической теории того времени. Самый главный вывод здесь — что при работе с несколькими значениями, подверженными ошибкам, в результате ошибки только вырастут. В нашем примере ошибки ±0,5 только для х и у приводят к ошибкам ±2 для 3х + у, например.
ТЕПЕРЬ ПРЕДСТАВЬТЕ, ЧТО ВЫ — ведущий математик того времени и столкнулись с 75 уравнениями, в которые входят 8 неизвестных. Что бы вы сразу «узнали» об этой задаче?
У вас большие проблемы — это было бы ясно сразу. Уравнений на 67 больше, чем нужно, чтобы найти восемь неизвестных. Можно, конечно, быстренько решить восемь уравнений и проверить, что ответы (чудесным образом) соответствуют оставшимся 67. Очень точные наблюдения соответствовали бы друг другу (если теоретическая формула верна), но вам достались обычные результаты наблюдений, — они неизбежно содержат ошибки. В моем примере решения
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
61


первых восьми уравнений не удовлетворяли оставшимся 67. Возможно, они подходили приблизительно, но этого было недостаточно. И потом, есть почти 17 миллиардов способов выбрать 8 уравнений из 75. И какие же выбирать?
Один из подходов в такой ситуации — как-то скомбинировать уравнения, чтобы уменьшить их количество, но опыт говорил, что комбинирование уравнений приводит к увеличению ошибки.
Вся эта история произошла на самом деле. Математиком был Леонард Эйлер, один из величайших математиков всех времен и народов. В 1748 году Академия наук Франции объявила очередную ежегодную задачу, за которую полагалось вознаграждение. Двумя годами ранее астроном Эдмунд Галлей, в честь которого названа комета, заметил, что Юпитер и Сатурн заставляют друг друга то немного ускоряться, то замедляться, по сравнению с движением в отсутствие других тел. Задача Академии заключалась в том, чтобы объяснить этот эффект с помощью закона тяготения. Эйлер, как это часто бывало, принял участие в соревновании и представил свои результаты в труде на 123 страницах. Основной теоретический результат работы — уравнение, которое связывало восемь величин, ассоциированных с орбитами двух тел. Чтобы сравнить свою теорию с наблюдениями, Эйлер должен был найти значения этих величин. Недостатка в наблюдениях не было: в астрономических архивах, собранных между 1652 и 1745 годами, их нашлось целых 75 штук.
Итак: 75 уравнений с 8 неизвестными — переопределейность налицо. Что же сделал Эйлер?
Для начала он поиграл с уравнениями, чтобы получить значения двух неизвестных, в которых он был более-менее уверен. Он смог это сделать, заметив, что данные через каждые 59 лет выглядят очень похожими. Скажем, очень похожими были уравнения для 1673 и 1732 годов (с интервалом 59 лет), и когда он вычел одно из другого, осталось только два важных неизвестных. То же самое произошло с данными за 1585 и 1703 годы (разница в 118 лет: дважды 59), от которых удалось оставить те же два неизвестных. Два уравнения, два неизвестных: все в порядке. Решив два уравнения, он нашел эти два неизвестных.
62
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Теперь у Эйлера остались те же 75 уравнений, но уже только с 6 неизвестными — от этого легче не стало, система стала еще более переопределенной. Он попробовал проделать тот же фокус с остальными данными, но не смог подобрать таких уравнений, чтобы исчезло большинство неизвестных. В отчаянии он записал: «Из этих уравнений вывести ничего нельзя; и причина, возможно, в том, что я пытался удовлетворить нескольким наблюдениям в точности, тогда как следовало удовлетворить им только приблизительно; и эта ошибка затем умножилась [курсив мой]». Здесь Эйлер явно ссылался на известный факт из теории ошибок: сочетание уравнений увеличивает ошибку.
После этого он сделал еще несколько попыток на авось и практически ничего не достиг. Статистик и историк Стивен Стиглер [15] замечает: «Эйлер... искал решение на ощупь» — и противопоставляет эйлеровы блуждания вслепую анализу, выполненному астрономом Иоганном Тобиасом Майером в 1750 году. Хотя мы обычно говорим, что Луна всегда повернута к Земле одной и той же стороной, на самом деле тут все несколько сложнее. Большая часть обратной стороны Луны действительно всегда скрыта, но по разным причинам видимая часть лунной поверхности слегка варьируется. Эти колебания называются либрацией, именно она интересовала Майера.
Около года в течение 1748-1749 годов Майер наблюдал положение некоторых элементов лунной поверхности, в частности, кратера Манилий.
В своей статье 1750 года Майер описал несколько особенностей орбиты Луны, для чего построил формулу с тремя неизвестными, а затем вычислил их на основе своих наблюдений. Он столкнулся с той же проблемой, что и Эйлер, ведь у него были наблюдения за 27 дней, что давало 27 уравнений с тремя неизвестными. Но Майер применил совсем другой подход. Он разбил данные на три группы по девять наблюдений и сложил все уравнения для каждой группы вместе, построив обобщенное уравнение для группы. Так у него получилось три уравнения и три неизвестных. Никакой пере- определенности не случилось, так что Майер решил их как обычно.
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
63


Кажется, что Майер допустил некоторый произвол, а именно произвол в разбиении данных на группы. Однако на самом деле у него был систематический подход: он группировал вместе уравнения, которые выглядели более-менее похоже. Это было разумно. На этом пути Майеру удалось избежать большой проблемы — неустойчивости численного решения. Когда вы решаете множество похожих уравнений, вам приходится делить большие числа на маленькие, отчего возможные ошибки становятся довольно большими. Майер знал об этом, когда писал: «Преимущество [его группировки] состоит в том, что... различия между этими тремя суммами сделаны как можно больше. Чем больше различия, тем точнее можно определить неизвестные значения». Метод Майера представляется настолько разумным, что нам теперь трудно оценить, насколько он оказался революционным. Никто раньше не делал ничего подобного.
Задумайтесь еще раз: разве не должно объединение девяти уравнений вместе увеличить ошибки? Если ошибки практически одинаковы для всех уравнений, не увеличит ли эта процедура общую ошибку в девять раз? Майер, конечно, так не думал. Он утверждал, что, «если увеличить число наблюдений в 9 раз, ... то получатся значения в 9 раз вернее». То есть возможная ошибка делится на 9, а не умножается.
Ошибался ли Майер? Или что-то не так было с классической теорией ошибок?
Ответ: всего понемножку. С точки зрения статистики теория ошибок того времени всегда рассматривала результаты для наихудшего случая, когда объединение всех отдельных ошибок дает максимально возможную сумму. Такой подход дает решение (верное) неправильной задачи. Астрономам нужна была типичная или наиболее правдоподобная общая ошибка. Она обычно включает ошибки противоположных признаков, а они в некоторой степени компенсируют друг друга. Например, у вас есть десять наблюдений, каждое из которых принимает значение 5±1, то есть каждое равно 4 или 6. Их сумма попадает в промежуток от 40 до 60, — отклонение от верной суммы дает ошибку 10. На практике, однако, примерно половина наблюдений будет равна 4, а другая — 6. Если тех и других будет поровну, то полу¬
64
Иэн Стюарт | Случайный Бог


чится сумма 50 — в яблочко! А скажем, шесть четверок и четыре шестерки дадут сумму 48, что тоже неплохо. Отклонение составляет только 4%, в то время как каждое отдельное наблюдение ошибочно на 20%.
Идея Майера была верна, но он ошибался насчет одной технической детали: в утверждении, что в девять раз больше наблюдений дают ошибку в 9 раз меньше. Позднее статистики выяснили, что ошибку надо делить не на 9, а на 3 — квадратный корень из 9 (чуть позже мы увидим почему). Но Майер был на правильном пути.
МЕТОД МАЙЕРА ДЛЯ РАБОТЫ с переопределенными уравнениями был более систематическим, чем Эйлеров (последний вообще методом можно назвать только с натяжкой), и включал прорывную идею о том, что правильное комбинирование наблюдений повышает точность, а не уменьшает. Довел этот метод до ума Адриен Мари Лежандр, который в 1805 году опубликовал небольшую книгу «Новые методы определения орбит комет». Лежандр переформулировал вопрос: какие значения неизвестных в переопределенной системе линейных уравнений удовлетворяют этим уравнениям с наименьшей общей ошибкой?
Теперь игра пошла совсем по другим правилам, потому что решение можно найти всегда, если только ошибка будет достаточно большой. Полностью устранить ошибки нельзя, и остается ключевой вопрос: как близко можно подойти к истинному значению? Математики того времени не знали на него ответа; но теперь мы можем найти решение методами анализа или даже просто алгебры. Правда, для этого придется ввести один дополнительный ингредиент: определение общей ошибки. Сначала Лежандр придумал было складывать отдельные ошибки, но тут обнаружилась одна закавыка. Если верное значение 5, а вы получаете в двух разных наблюдениях 4 и 6, то частные ошибки равны 1 и — 1, в сумме они дают нуль. Ошибки с противоположными знаками уничтожаются. Чтобы этого избежать, Лежандру нужно было преобразовать все ошибки в положительные числа.
Для этого можно было заменить ошибки их абсолютными значениями (модулями), поменяв знак у отрицатель¬
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
65


ных. К сожалению, такой подход приводит к сложным алгебраическим выкладкам и не дает красивого ответа (сегодня мы научились применять и этот подход, используя компьютеры). Поэтому Лежандр пошел по другому пути: все ошибки он возвел в квадрат, а потом сложил. Квадраты и положительных, и отрицательных чисел всегда положительны, к тому же алгебраические выкладки с квадратами гораздо проще, чем с модулями. Минимизировать сумму квадратов ошибок — это несложная задача, и для ее решения есть простая формула. Лежандр назвал свой метод методом наименьших квадратов и утверждал, что он «находит состояние системы, наиболее близкое к истинному».
Очень часто этот метод применяется для случая двух переменных, когда нужно провести прямую линию через набор точек, заданных этими переменными. Например, как цена бензина связана с ценой на нефть? Допустим, нефть сегодня стоит 52,36 доллара за баррель, а бензин — 1,21 фунта за литр. Это дает одну точку с координатами (52,36; 1,21). Объехав несколько автозаправочных станций за несколько дней, вы получите, скажем, 20 таких пар. (В реальных приложениях их больше: сотни или даже миллионы.) Предположим, вы хотите предсказать цену бензина по цене на нефть в будущем (рис. 5). Вы отмечаете цены на нефть вдоль горизонтальной оси, цены на бензин вдоль вертикальной оси, и в этих координатах получаете набор точек, описывающих данные. Даже на этом рисунке видна общая динамика: как и ожидалось, чем выше цена на нефть, тем выше цена на бензин. (Однако иногда цена на нефть падает, а цена на бензин остается на месте или растет. Мой опыт показывает, что бензин в цене никогда не падает, когда растут цены на нефть. Рост цен на нефть сразу сказывается на потребителе; но требуется заметно больше времени, чтобы до каждой заправки добралось падение.)
Но метод Лежандра позволяет нам добиться большей точности. Он позволяет построить прямую линию, которая проходит через облако точек как можно ближе к ним в том смысле, что сумма квадратов ошибок достигает наименыпе-
66
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Рис. 5. Гипотетические данные о ценах на бензин и нефть.
Точки: данные. Прямая линия: аппроксимированная линейная зависимость
го возможного значения. Уравнение этой прямой подсказывает нам, как предсказать цену бензина исходя из цены на нефть. Например, оно показывает, что цена бензина (в фунтах за литр) лучше всего аппроксимируется умножением цены на нефть (в долларах за баррель) на 0,012 и добавлением 0,56. Это не идеальное уравнение, но оно дает самую маленькую ошибку. Если переменных больше двух, то график уже не спасает, но сам математический метод дает наилучший возможный ответ.
Подход Лежандра дает очень простой, однако очень полезный ответ на главный вопрос этой книги: как справишься с неопределенностью? Ответ Лежандра: сделать ее как можно меньше.
Конечно, сказать проще, чем сделать. Лежандр дает «наилучший возможный» ответ именно для этого конкретного способа измерять общую ошибку; при другом способе минимизировать ошибку будет уже другая прямая линия. Кроме того, у метода наименьших квадратов есть недостатки. Трюк с возведением ошибок в квадрат прекрасно упрощает алгебраические выкладки, но может придать слишком большой вес «выбросам» — данным, которые резко отличаются от
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
67


остальных. Может случиться так, что на какой-то автозаправке продают бензин по 2,50 фунтов за литр, когда все остальные берут по 1,20. Когда ошибку возводят в квадрат, вклад именно этой заправки становится намного большим, чем остальных, внося значительные искажения. Прагматичное решение — удалить выбросы из выборки. Но в науке или в экономике выбросы иногда бывают очень важны. Удалите их — и вы упустите главное. Например, можно доказать, что все люди в мире — миллиардеры, если выбросить данные, относящиеся ко всем остальным.
И еще: если вам разрешается выбрасывать данные, то вы можете удалить любые наблюдения, которые противоречат тому, что вы намереваетесь доказать. В наши дни многие научные журналы требуют, чтобы для каждой публикации все экспериментальные данные, связанные с ней, были доступны в Интернете. Тогда любой человек может проверить, что данные не были подтасованы. Нельзя сказать, что журналы ожидают большого эффекта от этого правила, но быть открытым — полезная практика для обеспечения честности. Время от времени ученые действительно жульничают, так что такое правило помогает предотвратить обман.
Метод наименьших квадратов Лежандра — не последнее слово в статистическом анализе связей между данными. Но это было веское первое слово — первый действительно систематический метод получения осмысленных результатов из переопределенных уравнений. Позднее его обобщили, научившись рассматривать больше переменных и проводить вместо прямых линий многомерные «гиперплоскости». Кроме того, теперь мы умеем работать с меньшим количеством переменных. Допустим, нам задан набор чисел. Какое од- но-единственное число лучше всех описывает этот набор в смысле наименьших квадратов? Например, дан набор трех чисел 2, 3 и 7. Вычислим квадраты разностей между ними и некоторым числом. Для какого числа сумма этих квадратов минимальна? Легко подсчитать, что это среднее арифметическое (или просто среднее) данных, (2 + 3 + 7)/3 = 4
[16]. Аналогичные вычисления показывают, что наилучшая (в смысле наименьших квадратов) оценка для любого набора данных — это среднее.
68
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ТЕПЕРЬ МЫ СДЕЛАЕМ ШАГ НАЗАД В ЭТОЙ ИСТОРИИ, чтобы вплести в нее новую нить. Для больших чисел биномиальные коэффициенты трудно вычислить вручную, поэтому пионеры в науке искали для них наилучшие приближения. Одно из них мы используем до сих пор, а нашел его Абрахам де Муавр. Он родился в 1667 году во Франции, но в 1688 году эмигрировал в Англию, чтобы избежать религиозных преследований. В 1711 году он начал публиковать работы по теории вероятностей, а в 1718 году собрал свои идеи в книге «Доктрина шансов». К тому времени он отчаялся применить идеи Бернулли к экономике и политике, потому что для большого числа испытаний параметры биномиального распределения рассчитать трудно. Но чуть позже он начал продвигаться вперед, сумев построить удобные приближения. Предварительные результаты он опубликовал в 1730 году в книге Miscellanea analytica, а через три года довел дело до конца. В 1738 году эти новые идеи он включил в «Доктрину шансов».
Сначала де Муавр нашел приближенное выражение для наибольшего биномиального коэффициента (того, что посредине): 2л + 1/л/2ятг, где п — число испытаний. Затем он попытался вывести значения других биномиальных коэффициентов, продвигаясь от середины к краям. В 1733 году он вывел приблизительную формулу, которая связывает биномиальное распределение Бернулли с тем, которое мы сегодня называем нормальным распределением. Эти соотношения легли в фундамент теории вероятностей и статистики.
Нормальное распределение описывается изящной кривой с единственной вершиной в середине (рис. 6), такая же форма у биномиального распределения, которое нормальным аппроксимируется. Кривая симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, и быстро убывает с обеих сторон от нее, поэтому площадь под кривой конечна; на самом деле она равна 1. Эта форма чем-то напоминает колокол, поэтому иногда ее называют колоколообразной кривой. Нормальное распределение непрерывно, можно вычислить его значение в любой действительной точке (выраженной конечной или бесконечной десятичной дробью). Как и любое другое непрерывное распределение, нор-
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
69


Вероятность того, что А Плотность вероятности наблюдение попадет в этот диапазон
Диапазон значений Наблюдение
Рис. 6. Кривая нормального распределения
мальное распределение не дает нам вероятности какого-либо конкретного значения. Считается, что эта вероятность равна нулю. Нормальное распределение позволяет нам найти вероятность того, что измеренное значение попадает в некоторый заданный диапазон. Эта вероятность равна площади под кривой в пределах соответствующего диапазона.
Статистики любят использовать целое семейство родственных кривых, в которых оси «масштабируются» для разных средних значений и стандартных отклонений. Все кривые этого семейства описываются формулой
е-(х - ц)2/2а2
V271CJ2
и для краткости обозначаются iV(|u, а2). Здесь |и — среднее (или математическое ожидание), оно указывает на положение вершины, а а — стандартное отклонение, мера «разброса» распределения; оно показывает, насколько широка центральная область кривой. Среднее говорит нам о среднем арифметическом значении нормально распределенных данных, а стандартное отклонение показывает, насколько велики в среднем отклонения от среднего. (Квадрат стандартного отклонения, а2, называется дисперсией, иногда проще работать с ней.) Коэффициент с числом л в знаменателе гарантирует, что площадь под кривой равна 1. Появление числа я в вероятностной задаче весьма примечательно, потому что обычно это число указывает на некоторую связь с кругами, но никакой связи нормального распределения с кругами не видно. Тем не менее это то же самое число, что равно отношению длины окружности к диаметру.
70
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Рис. 7. Слева: нормальная аппроксимация биномиального
распределения с 10 испытаниями и вероятностью успеха 1/2; справа: для 50 испытаний приближение еще точнее
Теперь мы можем сформулировать великое открытие де Муавра: для большого числа испытаний л гистограмма биномиального распределения имеет ту же форму, что и нормальное распределение iV(|i, а2), причем jл = л/2 и о2 = п/4
[17]. Даже если п мало, это довольно хорошее приближение. На рис. 7, слева, изображены гистограмма и кривая для десяти испытаний, а справа — для пятидесяти.
ПЬЕР-СИМОН ДЕ ЛАПЛАС — еще один математик, который всерьез интересовался астрономией и теорией вероятности. Много лет он создавал главный свой труд — Traitё de mecanique celeste («Небесная механика»), пять томов которого были опубликованы между 1799 и 1825 годами. В 1805 году вышел четвертый том, после чего Лаплас вернулся к одной своей старой идее и доработал ее. В 1810 году он представил Французской академии наук теорему, которую мы сейчас называем центральной предельной теоремой. Она глубоко обобщила результаты де Муавра и закрепила особую роль нормального распределения в статистике и теории вероятностей. Де Муавр в свое время доказал, что число успехов в серии испытаний приблизительно описывается нормальным распределением, а Лаплас установил гораздо более общий результат: приблизительно нормально распределена сумма элементов любой последовательности случайных величин с одним и тем же распределением, каким бы оно ни было. То же самое верно и для среднего значения, которое равно сумме случайных величин, деленной на ко¬
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
71


личество испытаний; при этом требуется аккуратно выбрать масштаб по горизонтальной оси.
Давайте во всем этом разберемся. Наблюдение в астрономии или в другой науке — это число, которое из-за ошибок может изменяться в некотором диапазоне. Насколько вероятна та или иная ошибка, говорит нам «распределение ошибок». Правда, обычно мы не знаем, что это за распределение. И центральная предельная теорема гласит, что на самом деле это неважно, если мы повторяем наблюдение много раз и берем среднее значение. Каждая серия наблюдений приводит к одному такому среднему. Если мы повторим весь процесс много раз, то в конце концов получим список средних, обладающих некоторым распределением вероятностей. Лаплас доказал, что оно всегда приблизительно нормально и мы можем добиться сколь угодно точного приближения, если соберем достаточно длинный список средних. Неизвестное распределение ошибок влияет на математическое ожидание и стандартное отклонение этих средних, но не на общий вид их распределения. На самом деле математическое ожидание не меняется от серии к серии, а стандартное отклонение делится на квадратный корень из числа наблюдений в каждой серии. Чем больше это число, тем плотнее группируются усредненные наблюдения вокруг математического ожидания.
Теперь понятно, почему утверждение Майера о том, что девятикратное увеличение количества наблюдений делит ошибку на 9, неверно. Из 9 надо еще извлечь квадратный корень, что дает 3.
Почти в то же самое время, в 1809 году, великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс использовал ту же колоколообразную кривую при обсуждении метода наименьших квадратов в своем астрономическом шедевре Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solum ambientium («Теория движения небесных тел»). Гаусс применял вероятности для обоснования метода наименьших квадратов в задаче поиска наиболее вероятной линейной модели данных. Чтобы оценить, насколько вероятна та или иная прямая, ему нужна была формула, задающая кривую: вероятностное распределение ошибок наблюдений. Чтобы получить эту фор¬
72
Иэн Стюарт | Случайный Бог


мулу, Гаусс предположил, что среднее многих наблюдений является наилучшей оценкой истинного значения, и сделал вывод, что кривая ошибки описывается нормальным распределением. Затем он доказал, что максимизация правдоподобия приводит к стандартной формуле наименьших квадратов.
Это был странный подход. Стиглер указывает на порочный круг в рассуждениях Гаусса. Гаусс утверждал, что математическое ожидание является лишь «наиболее вероятным», если ошибки распределены нормально; общепринято считать математическое ожидание хорошим способом объединения наблюдений, чтобы распределение ошибок было нормальным, поэтому предположение о нормальном распределении приводит нас обратно к методу наименьших квадратов. Позднее Гаусс сам критиковал собственный подход. Но его результат сразу же нашел отклик у Лапласа.
До этого Лапласу не приходило в голову, что его центральная предельная теорема связана с поиском прямой, которая наи лучшим образом подгоняется под данные. Но теперь он понял, что теорема подтверждает подход Гаусса. Если ошибки наблюдений обусловлены множеством мелких ошибок — а это разумное предположение, — тогда из центральной предельной теоремы следует, что кривая ошибок должна быть (приблизительно) нормальной. Это, в свою очередь, означает, что оценка наименьших квадратов является наи лучшей в естественном вероятностном смысле. Словно бы ошибка определяется серией случайных подбрасываний монет, причем каждый орел увеличивает наблюдаемую величину на некоторое крохотное значение, а каждая решка уменьшает ее на такое же крохотное значение. Пазл сложи л с я.
В главе 4 мы рассмотрели общую сумму очков, которые выпадают на одной, двух или трех костях. Я вычислю математические ожидания и стандартные отклонения соответствующих распределений. Ожидание находится посередине. Для одного кубика оно лежит между 3 и 4, точнее, в 3,5. Для двух кубиков ожидание равно 7. Для трех оно лежит между 10 и 11 и равно 10,5. Бросание двух костей, можно представлять себе как двукратное бросание одной. Среднее наблюдение при этом — это сумма, деленная на 2. Если мы разделим 7 на 2, мы получим 3,5 — среднее значение для
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
73


одной кости. То же рассуждение применимо и к трем костям: разделите 10,5 на 3 и снова получите 3,5. Мы видим, что усреднение наблюдений из данного распределения не меняет среднего. В соответствии с центральной предельной теоремой стандартные отклонения составляют соответственно 1,71* 1,21 и 0,99; отношение этих чисел 1 .
V2 V3
КОГДА НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ хорошо моделирует вероятностный процесс, оно позволяет нам вычислить вероятность того, что измерения попадают в любой конкретный диапазон. В частности, мы можем найти вероятность того, что наблюдение отклонится от среднего значения на некоторую фиксированную величину. Для этого достаточно вычислить соответствующую площадь под колоколообразной кривой. Поскольку ширина колокола пропорциональна стандартному отклонению а, такие результаты можно записать в форме, не зависящей от стандартного отклонения. Вычисления показывают, что примерно 68% вероятности находится в пределах ±а от среднего значения, а 95% лежит в пределах ±2а от среднего значения. Эти цифры означают, что вероятность наблюдения, отличающегося от среднего значения более чем на а, составляет около 32%, тогда как отклонение более 2а возникает только в 5% случаев. По мере того как отклонение увеличивается, вероятность уменьшается очень быстро:
• вероятность отклонения от среднего более чем на а составляет 31,7%;
• вероятность отклонения от среднего более чем на 2а составляет 4,5%;
• вероятность отклонения от среднего более чем на За составляет 2,6%;
• вероятность отклонения от среднего более чем на 4а составляет 0,006%;
• вероятность отклонения от среднего более чем на 5а составляет 0,000 06%;
• вероятность отклонения от среднего более чем на 6а составляет 0,000 000 2% .
В большинстве биологических и медицинских исследований уровень 2а считается заслуживающим внимания,
74
Иэн Стюарт | Случайный Бог


а уровень За — весьма убедительным. А в области финансов, когда хотят описать, насколько маловероятно какое- либо событие, скажем падение цены акции на 10% за несколько секунд, используют фразы типа «событие четырех сигм». Эти слова означают, что при нормальном распределении такое событие должно происходить только в 0,006% случаев. В главе 13 мы увидим, что нормальное распределение не всегда хорошо описывает финансовые данные: из-за их «тяжелых хвостов» экстремальные события могут быть гораздо более распространенными, чем при нормальном распределении. В физике элементарных частиц существование новой фундаментальной частицы определяется на основании статистических данных о миллионах столкновений. Считается, что новое открытие объявлять еще слишком рано, если вероятность того, что оно объясняется лишь статистической погрешностью, преодолевает уровень 5а. Грубо говоря, вероятность того, что данные в пользу обнаружения новой частицы обусловлены случайностью, составляет один на миллион. Бозон Хиггса обнаружили в 2012 году, но не объявляли об открытии до тех пор, пока данные не достигли такого уровня достоверности. При этом исследователи пользовались предварительными результатами на уровне За, чтобы сузить диапазон энергий, которые надо было изучать.
ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ВЕРОЯТНОСТЬ, строго говоря? До сих пор я говорил о ней довольно расплывчато: вероятность события — это доля испытаний, в которых оно происходит, в длинной серии испытаний. Такое «частотное» определение основано на законе больших чисел Бернулли. Однако в любой конкретной серии испытаний эта доля колеблется, и она очень редко равна теоретической вероятности события.
Мы можем попытаться определить вероятность как предел (в аналитическом смысле) этой доли, когда число испытаний растет. Предел последовательности чисел (если он существует) — это конкретное число, такое, что для любого сколь угодно малого заданного отклонения чйсла в последовательности уклоняются от предела еще меньше, если вы пройдете вдоль последовательности достаточно далеко.
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
75


Проблема в том, что хотя и очень редко, но серия испытаний может оказаться такой:
оооооооооооооооооооооооооооооооооооооо...,
когда выпадают одни орлы. Или серия может представлять собой преимущественно орлов с редкими вкраплениями решек. Да, такие серии неправдоподобны, но не вполне невозможны. И потом: что мы подразумеваем под словом «неправдоподобны»? Очень малую вероятность. Похоже, нужно определить «вероятность», чтобы определить правильный вид предела, и нужно определить правильный вид предела, чтобы определить «вероятность». Замкнутый круг.
В конце концов математики придумали способ обойти это препятствие — позаимствовали уловку древнегреческого геометра Евклида. Нет смысла беспокоиться о том, что такое вероятность; лучше записать, как она работает. Точнее, записать наши пожелания о том, что мы от вероятности хотим — общие принципы, которые выкристаллизовались со временем. Эти принципы называются аксиомами, а все остальное из них выводится. После этого, если вы хотите применить теорию вероятностей к реальности, вы выдвигаете гипотезу, что вероятности работают так-то и так-то. На основании аксиом вы выводите следствия из этой гипотезы, а затем вы сравниваете их результаты с экспериментом, чтобы установить, верна ли гипотеза. Как понял Бернулли, его закон больших чисел оправдывает использование наблюдаемых частот для оценки вероятности.
Довольно просто задать аксиомы вероятности, когда число событий конечно, например, когда мы подбрасываем монету (у нее две стороны) или игральную кость (у нее шесть граней). Обозначим через Р(А) вероятность события А, тогда можно записать основные свойства вероятности, которые нам нужны:
• положительность: Р(А) > 0;
• универсальное правило: P(U) = 1, где U — универсальное событие «все исходы»;
• правило сложения:
Р(А или В) = Р(А) + Р(В) - Р(А и В),
76
Иэн Стюарт | Случайный Бог


потому что А и Б могут пересекаться. Если они не пересекаются, то правило сложения упрощается:
Р(А или В) = Р{А) + Р(В).
Из соотношения мы легко выводим правило отрицания Р(не А) = 1 - Р(А).
Если два независимых события происходят последовательно, мы определяем вероятность того, что они оба произойдут, так:
Р(А и затем В) = Р(А)Р(В).
Мы можем доказать, что эта вероятность удовлетворяет перечисленным правилам. Вы можете проследить зачатки этих правил до самого Кардано, в более-менее явном виде они появились у Бернулли.
Это все очень хорошо, но вместе с блестящим результатом де Муавра неизбежно появилось непрерывное распределение вероятностей, и аксиомы пришлось усложнить. Без этого никак, потому что измерения не должны теперь представлять собой целые числа, а значит, и в приложениях требуются непрерывные распределения. Например, угол между направлениями на две звезды — непрерывная переменная, она может принимать любые значения между 0° и 180°. Чем точнее вы можете измерить угол, тем важнее становится непрерывное распределение.
Тут есть одно полезное соображение. Рассказывая о нормальном распределении, я сказал, что оно представляет вероятности в виде площадей. Так что на самом деле мы должны аксиоматизировать свойства площадей, добавив правило, что площадь под всей кривой равна 1. Главное дополнительное правило для непрерывных распределений состоит в том, что формула сложения работает для бесконечного числа событий:
Р(А, или Б, или С, или...) = Р(А) + Р(Б) + Р(С)+ ...,
при условии, что никакие из событий А, Б, С и т. д. не пересекаются. Многоточие указывает, что с обеих сторон записи могут быть бесконечными; сумма справа имеет
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
77


смысл (сходится), потому что все слагаемые положительны, а сумма никогда не превышает 1. Это условие позволяет для работы с вероятностями использовать математический анализ.
Кроме того, полезно обобщить «площадь» на любую величину, которая ведет себя так же. Например, на объем трехмерных тел. При таком подходе вероятности соответствуют «мерам», которые назначают нечто, похожее на площадь, подходящим подмножествам (называемым «измеримыми») пространства событий. В теорию интегрирования меры ввел Анри Лебег в 1901-1902 годах, а русский математик Андрей Колмогоров использовал их для аксиоматизации вероятности в 1930-х годах следующим образом. Выборочное пространство состоит из множества, набора его подмножеств, называемых событиями, и меры Р для событий. Согласно аксиомам Р является мерой, а мера всего множества равна 1 (то есть вероятность того, что произойдет хоть что-нибудь, равна 1). Это все, что нужно знать о вероятности, за исключением того, что набор событий должен обладать некоторыми техническими теоретико-множественными свойствами, обеспечивающими измеримость. Точно такая же модель применяется и к конечным множествам, только не нужно возиться с бесконечностью. Аксиоматическое определение Колмогорова прекратило горячие споры, длившиеся несколько столетий, и дало математикам строго определенное понятие вероятности.
Для выборочного пространства есть более технический термин — вероятностное пространство. Когда мы применяем теорию вероятностей в статистике, мы моделируем выборочное пространство возможных реальных событий как вероятностное пространство в смысле Колмогорова. Например, при изучении соотношения мальчиков и девочек в группе реальное выборочное пространство — все дети этой группы.
Модель, которую мы здесь применяем, — вероятностное пространство, состоящее из четырех событий: пустого множества 0; Д, М и универсального множества {Д, М}. Если
78
Иэн Стюарт | Случайный Бог


мальчики и девочки одинаково вероятны, мы получаем такие вероятности событий:
Р(0) = О, Р(Д) = Р(М) = 1/2, Р({Д,М}) = 1.
Для простоты я буду использовать термин «выборочное пространство», чтобы описывать и реальные события, и их теоретические модели. Важно убедиться, что используемое нами выборочное пространство аккуратно работает в обоих смыслах. Мы убедимся в этом на примерах ошибок и парадоксов из следующей главы.
ГЛАВА 5 | Слишком много информации
79


ГЛАВА 6
ОШИБКИ И ПАРАДОКСЫ
Я видЪлъ, какъ люди, страстно желавнпе имЪть сына, съ прискорб1емъ узнавали о рождешяхъ мальчиковъ въ томъ мЪсяц'Ь, когда они должны были стать отцами. Воображая, что OTHOHieHie этихъ рожденш къ рождешямъ д'Ьвочекъ должно быть одно и то же въ концЪ всякаго месяца, они считали, что уже рожденные мальчики дЪлаютъ бол'Ье вероятными ближайния рождешя дЪвочекъ.
Пьер-Симон де Лаплас «Опыт философии теории вероятностей»
НАШИ ИНТУИТИВНЫЕ СУЖДЕНИЯ О ВЕРОЯТНОСТИ безнадежны.
Когда нас просят по-быстрому оценить вероятности случайных событий, мы часто даем совершенно неправильные оценки. Потренировавшись, можно научиться делать это лучше — как профессиональные игроки и математики, но для этого требуются время и силы. Когда мы делаем скоропалительные суждения о вероятностях тех или иных событий, то, скорее всего, ошибаемся.
Чем это объяснить? В главе 2 я предположил: тем, что эволюция предпочитает методы «на скорую руку», когда более обоснованный ответ может быть опасным. Уж лучше ошибочно увидеть оцасность там, где ее нет, чем по ошибке расценить ситуацию как безопасную. Когда нужно разобраться, что это там такое бурое виднеется — леопард или камень, одна-единственная ошибка в решении «никакой опасности» может оказаться смертельной.
Классические вероятностные парадоксы (в смысле «удивительный результат», а не противоречивые рассуждения) подтверждают эту точку зрения. Рассмотрим парадокс дней рождения: сколько людей нужно собрать в одной комнате, чтобы вероятность присутствия двоих с общим днем рождения стала больше вероятности того, что такой пары нет? Предположим, что в году 365 дней (29 февраля не учитыва¬
80
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ем) и все они одинаково вероятны (что не совсем верно, но мы же не будем придираться). Если люди не сталкивались с этой задачей раньше, они дают довольно большие оценки: может быть, 100 или даже 180 — ведь это примерно половина из 365. Правильный ответ — 23. Если вы хотите знать почему, почитайте объяснения в конце книги [18]. Если дни рождения распределены неравномерно, ответ может быть меньше 23, но не больше [19].
Вот еще одна задачка, которая многих приводит в замешательство. У Смитов ровно двое детей, и по крайней мере одна из них — девочка. Предположим для простоты, что рождения мальчиков и девочек одинаково вероятны (на самом деле рождения мальчиков чуть более вероятны, но у нас ведь задачка, а не научная статья по демографии) и что каждый ребенок — это обязательно мальчик или девочка (мы пренебрегаем ситуациями с необычными хромосомами). Предположим еще, что пол одного ребенка не зависит от пола другого (это верно для большинства пар, но не для всех). Какова вероятность того, что у Смитов две девочки? Нет, не 1/2. Ровно 1/3.
Теперь предположим, что старший ребенок — девочка. Какова вероятность того, что в семье две девочки? На этот раз это действительно 1/2. Наконец, предположим, что по крайней мере одна девочка родилась во вторник. Какова вероятность того, что в семье их две? (Предположим, что все дни недели одинаково вероятны — это на самом деле тоже не совсем правда, но очень близко к ней.) Оставляю эту задачку для вас, чтобы вы немного поразмышляли.
До конца этой главы мы рассмотрим еще несколько парадоксальных заключений и ошибочных рассуждений о вероятности. Одни из них давно кочуют из книги в книгу, а другие менее известны. Их главная цель — убедиться в том, что, когда дело доходит до неопределенности, мы должны очень тщательно все обдумать и не делать поспешных выводов. Даже когда существуют эффективные методы для работы с неопределенностью, мы должны осознавать, что они могут подвести, если их неправильно использовать. Ключевое понятие в этих примерах — условная вероятность — еще много раз встретится в книге.
ГЛАВА 6 | Ошибки и парадоксы
81


КОГДА ПЕРЕД НАМИ СТОИТ ВЫБОР МЕЖДУ ДВУМЯ АЛЬТЕРНАТИВАМИ, часто ошибочно по умолчанию предполагают, что шансы равны — пятьдесят на пятьдесят. Мы беспечно называем события случайными, но редко задумываемся, что это значит. Мы часто понимаем это слово так, что событие может произойти или не произойти с равными вероятностями: пятьдесят на пятьдесят шансов. Словно бы бросают правильную монету.
Проверенные временем вероятностные головоломки показывают, что мы скорее ошибемся, решая их, чем избежим ошибок. В главе 8 мы увидим, что наше плохое понимание вероятностей может нас подвести всерьез, например, когда в суде решается вопрос о виновности или невиновности.
Вот бесспорный пример, когда мы можем все точно рассчитать. На столе лежат две карты, и вам сказали (честно!), что одна из них — туз пик, а другая нет. Разве не очевидно, что вероятность выбрать наугад туза пик равна 1/2? Да, в таких условиях это верно. Но в других ситуациях, очень похожих, обычное предположение «пятьдесят на пятьдесят», на которое нас запрограммировала эволюция, совершенно ошибочно. Классический пример — парадокс Монти Холла, который очень любят специалисты по теории вероятностей. В наши дни это избитый пример, но некоторые его детали часто упускаются из виду. Кроме того, через этот парадокс проходит идеальный маршрут по зыбким почвам условной вероятности, куда мы сейчас и направляемся. Так называют вероятность какого-либо события при условии, что какое-то другое событие уже произошло. И надо сказать, что, когда дело доходит до условных вероятностей, допущения по умолчанию, которыми эволюция оснастила наш мозг, совершенно неадекватны.
Монти Холл когда-то вел американское телевизионное игровое шоу Let’s Make a Deal. В 1975 году Стив Селвин, специалист по биостатистике, опубликовал статью об одной стратегии в этой игре, а в 1990 году ее популяризовала Мэрилин вое Савант в своей колонке в журнале Parade (что сопровождалось бурной и не всегда уместной полемикой). Задача такая. Перед вами три закрытые двери. За одной звездный приз — «феррари»; за двумя другими — по козе.
82
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Вы выбираете одну дверь; вам достанется все, что за ней скрыто. Однако в этот момент ведущий (который знает, где стоит автомобиль) открывает одну из двух других дверей, за которой, как он знает, стоит коза, и дает вам возможность переменить выбор. Предположим, что вы предпочитаете «феррари» козе. Что вам тогда следует делать?
Эта задача относится и к моделированию, и к теории вероятностей. Многое зависит от того, всегда ли ведущий предлагает сменить выбор. Давайте начнем с самого простого случая: он это делает всегда и всем это известно. Тогда вы удваиваете шансы на выигрыш автомобиля, если перемените первоначальный выбор.
Это утверждение, разумеется, противоречит нашим стандартным установкам «пятьдесят на пятьдесят». Теперь перед вами две закрытые двери. За одной коза; за другой автомобиль. Шансы наверняка должны быть пятьдесят на пятьдесят. Однако это не так, потому что действия ведущего зависят от того, какую дверь вы выбрали первоначально. А именно эту дверь он не открыл. Вероятность того, что за дверью автомобиль при условии, что именно эту дверь вы и выбрали, равна 1/3. Это потому, что вы выбрали одну из трех дверей, и машина с равной вероятностью может быть за каждой из них, ведь у вас был свободный выбор. Если бы вы провели длинную серию испытаний, то ваш выбор приносил бы автомобиль в одном случае из трех и не приносил бы автомобиля в двух случаях из трех.
Теперь же, когда одну дверь исключили, условная вероятность того, что автомобиль находится за дверью, при условии, что вы ее не выбрали, равна 1 - 1/3 = 2/3, потому что выбранная дверь лишь одна и мы только что видели, что в двух случаях из трех вы выбираете не ту дверь. Поэтому в двух случаях из трех, меняя выбор двери, вы выигрываете автомобиль. Так говорил Стив, так говорила Мэрилин, хотя многие им и не верили. Однако это правда при заданных условиях на действия ведущего.
Если вы все еще не верите, продолжайте читать.
Есть одна прелестная психологическая особенность: люди, которые утверждают, что шансы должны быть пятьдесят на пятьдесят (так что с равными вероятностями авто¬
ГЛАВА 6 | Ошибки и парадоксы
83


мобиль может быть за любой дверью), обычно предпочитают не менять свое мнение, хотя шансы пятьдесят на пятьдесят подразумевают, что от обмена никакого вреда не будет. У меня есть подозрение, что это связано с их способом моделирования. Он включает заднюю мысль — она вполне может быть верна, — что ведущий собирается вас одурачить. Или во всем виноват байесовский мозг, считающий, что его обманывают.
Если мы откажемся от условия, что ведущий всегда предлагает возможность передумать, расчет будет совсем другим. С одной стороны, предположим, что ведущий предлагает вам сменить дверь только тогда, когда ваш выбор пал на дверь, за которой стоит машина. При условии, что он предложит вам сменить выбор, ваша дверь выиграет с вероятностью 1, а другая — с вероятностью 0. С другой стороны, если ведущий предлагает сменить дверь только тогда, когда ваш выбор оставляет вас без автомобиля, то условные вероятности меняются местами. Разумно предположить, что, если ведущий смешивает эти две возможности в подходящих пропорциях, ваш шанс выиграть, не меняя выбора, может быть любым, как и ваш шанс проиграть. Расчеты показывают, что так оно и есть.
Есть еще один способ понять, что вариант пятьдесят на пятьдесят не может быть верным. Надо обобщить задачу и рассмотреть совсем уж крайний случай. Например, иллюзионист выкладывает колоду карт рубашкой вверх (обычная колода с 52 разными картами, никакого подвоха) и предлагает вам приз, если вы угадаете туза пик. Вы выбираете карту и откладываете ее, все еще рубашкой вверх. Иллюзионист берет остальные 51 карту, рассматривает их все, не показывая вам, и начинает класть их на стол лицевой стороной вверх. Ни одна из них не оказывается тузом пик. Некоторое время так и продолжается, но затем иллюзионист кладет одну карту рубашкой вверх рядом с вашей и продолжает выкладывать карты, пока не закончится вся колода. Теперь лицевой стороной вверх лежат 50 карт, среди которых туза пик нет, и две карты лежат рубашкой вверх: та, которую вы выбрали изначально, и та, которую рядом положил иллюзионист.
84
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Предположим, что он не сжульничал — чего, конечно, трудно ожидать от фокусника, но я уверяю вас, что как раз в этом случае он ничего такого не делал. Какая карта, скорее всего, будет пиковым тузом? Или для обеих это одинаково вероятно? Вряд ли. Вы выбрали наугад одну карту среди 52 карт в колоде, поэтому она может оказаться пиковым тузом один раз из 52. А в оставшуюся часть колоды пиковый туз будет попадать в 51 случае из 52. А раз так, пиковым тузом скорее будет карта иллюзиониста. И лишь изредка такого не случится — в одном случае из 52, когда ваша карта — туз пик, а карта иллюзиониста — любая из тех, что остались после открытия 50 карт. Итак, вероятность того, что ваша карта — туз пик, равна 1/52; вероятность того, что карта иллюзиониста — туз пик, равна 51/52.
Однако при подходящих условиях сценарий «пятьдесят на пятьдесят» действительно возникает. Если на сцену выйдет человек, который не видел, что произошло, и попробует угадать, какая из двух карт — туз пик, его шанс на успех составляет 1/2. Разница между ним и вами в том, что вы выбрали свою карту в начале процесса и действия иллюзиониста были обусловлены этим выбором. Новичок же появляется после завершения процесса, и теперь иллюзионист уже не может сделать что-либо в зависимости от его действий.
Чтобы расставить точки над i, мы повторим фокус, но на этот раз вы переворачиваете карту лицом вверх, прежде чем карты начнет открывать иллюзионист. Если туз пик не у вас, значит, у него (опять же если он не применяет ловкость рук). Такое случается в 51 случае из 52 в долгосрочной перспективе. Если туз пик ваш, то не его; это происходит в одном случае из 52.
То же рассуждение работает с автомобилем и козами, если вы откроете выбранную дверь. В одном случае из трех вы увидите машину. В остальных двух вы увидите двух коз в двух отворенных дверях и одну закрытую дверь. Как вы думаете, где машина?
ВЕРНЕМСЯ К СМИТАМ и их детям. Эта головоломка попроще, но столь же коварна. Напомним две версии:
ГЛАВА 6 | Ошибки и парадоксы
85


1. У Смитов ровно двое детей, и вам сказали, что из двух по крайней мере одна девочка. Предполагая равные вероятности рождения мальчиков и девочек, а также другие перечисленные выше условия, найдите вероятность того, что у них две девочки.
2. Теперь предположим, что вам сказали, что старший ребенок — девочка. Какова вероятность того, что в семье две девочки?
При ответе на первый вопрос первое, что приходит в голову — рассуждение «Один ребенок — точно девочка. Другой с равными вероятностями может оказаться и мальчиком, и девочкой». Так и получается ответ 1/2. В этом рассуждении есть изъян: в семье может быть две девочки (в конце концов, вероятность именно этого события требуется найти), и в этом случае кто из них «другая», не определено однозначно. Представьте себе, что дети родились в определенном порядке (даже из двух близнецов один рождается первым). Возгдожны такие варианты:
дд, ДМ, мд, мм.
Мы предположили, что пол второго ребенка не зависит от пола первого, поэтому все четыре варианта одинаково вероятны. Если каждый из них может осуществиться, то каждый имеет вероятность 1/4. Однако дополнительная информация исключает случай ММ. Остается три варианта, и они по-прежнему одинаково вероятны. Только один из них — ДД, поэтому вероятность его равна 1/3.
Кажется, что вероятности здесь изменились. Первоначально вариант ДД имел вероятность 1/4; и вдруг она стала 1/3. Как это произошло?
Изменился контекст. Все эти задачки — о соответствующих выборочных пространствах. Дополнительная информация «не ММ» сокращает выборочное пространство с четырех вариантов до трех. Выборочное пространство реального мира теперь состоит не из всех семей с двумя детьми, а из семей с двумя детьми, не все из которых мальчики. Соответствующая модель выборочного пространства состоит из трех элементов: ДД, ДМ, МД. Все они равновероятны, поэтому их вероятность в таком выборочном пространстве
86
Иэн Стюарт | Случайный Бог


составляет 1/3, а не 1/4. Исход ММ не имеет значения, потому что в этом случае он не может осуществиться.
В том, что дополнительная информация изменяет соответствующие вероятности, никакого парадокса нет. Если на скачках вы поставили на Резвого Джероламо и получили из первых рук сведения, что фаворита Улетного Бернулли поразила загадочная болезнь, отчего он едва ползает, ваш шанс на победу определенно увеличился.
Эта задачка — еще один образчик применения условной вероятности. С точки зрения математики способ вычисления условной вероятности состоит в том, чтобы сузить пространство выборки, включив в него только те события, которые еще могут произойти. Чтобы сделать полную вероятность для меньшего выборочного пространства равной 1, все предыдущие вероятности должны быть умножены на подходящую постоянную. Мы скоро увидим, что это за постоянная.
В третьем варианте задачки нам известно, что по крайней мере один ребенок — девочка, рожденная во вторник. Вопрос тот же, что и раньше: какова вероятность того, что у Смитов две девочки? Это событие я назову целевым. Вероятность, которая нас интересует, — это вероятность того, что Смиты поразят цель. Как я уже сказал, мы для простоты предполагаем, что все дни недели одинаково вероятны.
На первый взгляд кажется, что новая информация к делу не относится. Какая разница, в какой день она родилась? Они все одинаково вероятны! Но прежде чем делать скоропалительные выводы, давайте посмотрим на соответствующие выборочные пространства. На рис. 8 показаны все возможные сочетания пола и дня рождения как для первого, так и для второго ребенка. Это полное выборочное пространство, и все его 196 квадратов (14 х 14) одинаково вероятны, вероятность каждого составляет 1/196. Верхний левый квадрант (четверть большого) содержит 49 клеток. Они соответствуют событию «две девочки»; вероятность этого события равна 49/196 = 1/4, как и ожидалось.
Новая информация «по крайней мере одна девочка родилась во вторник» сужает выборочное пространство до двух темных полос. В них всего 27 квадратов: 14 горизонтальных, плюс 14 вертикальных, минус еще 1 — потому что
ГЛАВА 6 | Ошибки и парадоксы
87


Рис. 8. Выборочные пространства для девочек, родившихся во вторник. Светлый серый цвет: по крайней мере одна девочка. Средний серый: две девочки. Темно-серый цвет: по крайней мере одна девочка родилась во вторник
один квадрат посчитан два раза — в горизонтальной и в вертикальной полосах, а мы не должны считать одно и то же событие дважды. В нашем новом суженном выборочном пространстве все эти события по-прежнему одинаково вероятны, поэтому условная вероятность каждого равна 1/27. Подсчитайте, сколько темных квадратов лежит в области «обе девочки»: их там 13 (7 + 7, минус 1, чтобы не учитывать один квадрат дважды). Остальные 14 темных квадратов попали в области, где у Смитов есть хотя бы один мальчик, эти квадраты нам не подходят. Все маленькие квадратики одинаково вероятны, поэтому условная вероятность того, что в семье Смитов две девочки, при условии, что по крайней мере одна девочка родилась во вторник, равна 13/27.
День рождения имеет значение!
88
Иэн Стюарт
Случайный Бог


Сомневаюсь, что кто-то может угадать этот ответ, разве что по случайности; ну или профессиональный статистик может догадаться, если он хорошо считает в уме. В этой задаче нужны неочевидные вычисления.
Однако если бы нам сказали, что по крайней мере один ребенок — девочка, родившаяся в среду (ну или в пятницу), мы получили бы такую же условную вероятность, хотя полосы на рисунке выделили бы другие. В этом смысле день не имеет значения. Да что же это делается?!
Что происходит, когда людям рассказывают о некоторых математических явлениях, которые противоречат интуиции? Люди не воспринимают ее поразительной силы, а полагают, что она бесполезна. В этой задаче тоже есть такая опасность, потому что некоторые инстинктивно отвергают такой ответ. У них не укладывается в голове, что день рождения девочки может изменить вероятности. Расчеты тут не сильно помогают справиться с ощущениями; вы всерьез подозреваете, что где-то в них допущена ошибка. Поэтому для подкрепления расчетов нам необходимо какое-то интуитивное объяснение.
Подоплека в рассуждении «день, когда она родилась, ничего не может изменить» неуловима, но важна. Какой именно день выбран — не имеет значения, но то, что выбор дня зафиксирован — важно, потому что может случиться так, что под «девочкой» не подразумевается конкретная девочка. Насколько нам известно — в этом суть загадки, — у Смитов может быть две девочки. В таком случае мы знаем, что одна из них родилась во вторник, но не знаем, какая именно. Две задачи попроще показывают, что дополнительная информация, которая повышает шансы различить двух детей (например, кто из них родился первым), изменяет условную вероятность события «две девочки». Если старший ребенок — девочка, то вероятность именно та, что мы ожидаем: 1/2. (То же самое верно, если девочкой был бы младший ребенок.) Но если мы не знаем, кто из детей девочка, условная вероятность уменьшается до 1/3.
Эти две простые задачи показывают важность дополнительной информации, но интуиция не говорит нам, на¬
ГЛАВА 6 | Ошибки и парадоксы
89


сколько именно она важна. В новом варианте задачи не очевидно, что дополнительная информация различает детей: мы же не знаем, какой ребенок родился во вторник. Чтобы понять, что происходит, мы считаем квадраты на рисунке.
Три четверти квадратов раскрашены серым, они соответствуют событию «по крайней мере одна девочка». Сред- не-серая четверть соответствует событию «две девочки», светло-серая — событиям «старший ребенок — девочка» и «младший ребенок — девочка», а белая четверть — «два мальчика». В каждой четверти 49 маленьких квадратов.
Информация «по крайней мере одна девочка» исключает белую четверть. Если нам больше ничего не известно, то целевое событие «две девочки» занимает 49 квадратов из 147, его вероятность равна 49/147 = 1/3. Однако если у нас есть дополнительная информация «старший ребенок — девочка», то выборочное пространство содержит только две верхние четверти с 98 квадратами. Теперь целевое событие имеет вероятность 49/98=1/2. Именно эти числа мы получили выше.
В этих случаях дополнительная информация увеличивает условную вероятность события «две девочки». Это происходит потому, что выборочное пространство сужается, но также и потому, что дополнительная информация не противоречит целевому событию. Все происходит в средне-серой области, и она находится внутри обоих суженных выборочных пространств. Таким образом, доля занимаемого ею выборочного пространства увеличивается, когда само пространство сужается.
Доля может и уменьшиться. С дополнительной информацией «старший ребенок — мальчик» выборочное пространство сужается до двух нижних четвертей, и тогда целевое событие исключается вовсе: его условная вероятность снижается до 0. Но всякий раз, когда дополнительная информация согласуется с целевым событием, она повышает его условную вероятность.
Чем конкретнее дополнительная информация, тем уже становится выборочное пространство. Однако в некоторых
90
Иэн Стюарт | Случайный Бог


случаях информация может уменьшить и размер целевого события. Результат определяется взаимодействием этих двух эффектов: первое увеличивает условную вероятность цели, а второе уменьшает ее. Общее правило простое:
условная вероятность
вероятность осуществления
целевого события
целевого события и условия
при условии данной
вероятность условия
информации
В сложной версии задачи новая информация такова: «По крайней мере один ребенок — девочка, родившаяся во вторник». Нельзя сказать, что она полностью соответствует целевому событию, но сказать, что она несовместима с ним, тоже нельзя. Одни темно-серые квадраты находятся в верхней левой четверти, а другие нет. Вот и приходится считать. Выборочное пространство сужено до 27 квадратов, из которых 13 соответствуют целевому событию, а остальные 14 нет. В итоге получается условная вероятность 13/27, что намного больше, чем 1/3, которую мы получаем без дополнительной информации.
Давайте проверим, что этот результат согласуется с правилом, которое я только что сформулировал. «Условие» встречается в 27 клетках из 196, вероятность его равна 27/196. «Целевое событие и условие» происходит в 13 клетках из 196, вероятность этого равна 13/196. По моему правилу интересующая нас условная вероятность равна
13/196 13
27/196 ~~ 27 ’
Именно это число мы получили, подсчитывая квадратики. Знаменатели 196 сокращаются, поэтому, по сути, правило выражает процедуру подсчета квадратиков в терминах вероятностей, определенных для полного выборочного пространства.
Обратите внимание, что значение 13/27 близко к 1/2 — вероятности, которая получается при условии, что старший ребенок — девочка. И это возвращает нас к главному вопросу и причине изменения условной вероятности. Оба ребенка
ГЛАВА 6 | Ошибки и парадоксы
91


могут быть девочками, поэтому очень важно, помогает ли дополнительная информация различать их. Вот почему условие «один ребенок — девочка, родившаяся во вторник» важно: неопределенность, когда это условие выполняется для обоих детей, не имеет большого значения. Почему? Потому что даже когда другой ребенок — тоже девочка, в большинстве случаев ее день рождения приходится на другой день недели. Только в 1/7 случаев день недели будет тем же. По мере того как мы увеличиваем шансы различить детей, мы удаляемся от случая 1/3 (различий нет) и приближаемся к случаю 1/2 (мы точно знаем, о каком ребенке мы говорим).
Причина, по которой мы не получаем здесь в точности вероятность 1/2, состоит в том, что в целевой области две темные полосы длиной в 7 квадратов перекрываются по одному из них. За пределами этой области полосы не перекрываются. Таким образом, мы получаем 13 квадратов внутри и 14 снаружи. Чем меньше перекрытие, тем ближе условная вероятность к 1/2.
Ну а теперь последняя версия задачи. Условия те же, что и раньше, за исключением того, что вместо дня недели нам говорят, что один ребенок — девочка, родившаяся в Новый год. Предположим, что все дни года одинаково вероятны (как и раньше, это предположение не выполняется в реальном мире) и что 29 февраля не бывает (аналогично). Какова условная вероятность того, что оба ребенка — девочки?
Как вам ответ 729/1459? В примечаниях приведены расчеты [20]. Важна ли такая высокая точность при вычислении условных вероятностей? В головоломках нет, особенно если вы не фанат головоломок. Но в реальном мире такая точность может быть буквально вопросом жизни и смерти. Мы увидим, почему так получается, в главах 8 и 12.
В БЫТУ ЛЮДИ ЧАСТО говорят о «законе средних». Возможно, это словосочетание возникло как упрощенная формулировка закона больших чисел Бернулли, но в повседневном языке оно представляет собой опасную ошибку, поэтому вы не найдете математиков или статистиков, которые так
92
Иэн Стюарт | Случайный Бог


говорят. Давайте посмотрим, почему им это не нравится и о чем вообще речь.
Допустим, вы раз за разом подбрасываете симметричную монету и считаете, сколько выпадет орлов и решек (О и Р). Возможны, конечно, случайные колебания, так что в некоторый момент орлов и решек может оказаться не поровну, — скажем, орлов на 50 больше, чем решек.
Интуитивные представления, стоящие за законом средних, подсказывают, что, если продолжать бросания, избыток орлов должен исчезнуть. Это утверждение верно, если правильно его интерпретировать, но здесь есть тонкое место. Ошибочно считать, что избыток орлов повышает вероятность выпадения решек. Однако нельзя сказать, что ожидать этого совсем уж неразумно; в конце концов, должны же количества орлов и решек сравняться?
Такого рода представления поощряются таблицами, в которых собраны сведения о частоте выпадения разных чисел в лотерее. Данные для Национальной лотереи Великобритании можно найти в Интернете. Они довольно сложные, потому что изменившиеся правила увеличили диапазон чисел, которые могут быть выигрышными.
С ноября 1994 года по октябрь 2015 года, когда было 49 номеров, лотерейный автомат выдал шарик с номером 12 в 252 случаях, а номер 13 появлялся только 215 раз. Это число появлялось реже всех. Чаще всех выпадало число 23, оно выпало 282 раза. Эти результаты можно понимать по-разному. Может быть, одни числа выпадают чаще других потому, что лотерейные автоматы не отлажены? Может быть, 13 встречается реже всех, потому что несчастливое число? Не должны ли мы в будущем делать ставку на 13, раз уж оно отстает, а по закону о средних должно наверстать упущенное?
Довольно любопытно, что 13 — число редкое; кто бы ни писал сценарии для Вселенной, он, похоже, злоупотребляет штампами. Так получилось, что число 20 тоже выпало 215 раз, а я не знаю никаких суеверий, связанных с этим числом. Статистический анализ, основанный на принципах, открытых Бернулли, показывает, что, когда автоматы выдают все числа с равными вероятностями, следует ожидать
ГЛАВА 6 | Ошибки и парадоксы
93


колебаний в количестве чисел. Нет никаких научных оснований полагать, что автоматы неисправны. Более того, трудно представить, что машина «знает», какое число написано на каком-либо конкретном шаре, в том смысле, что числа не влияют на механику автоматов. Простая и очевидная вероятностная модель из 49 равновероятных чисел почти наверняка применима, и вероятность того, что 13 выпадет в будущем, не зависит от того, что происходило в прошлом. Это число не более и не менее вероятно, чем любое другое, даже если оно выглядит несколько недооцененным.
То же самое относится и к монетам, и по той же причине: если монета симметрична, временный избыток орлов не повышает вероятности выпадения решек. Вероятность орлов и решек неизменно равна 1/2. Выше я задал риторический вопрос: как еще могут количества орлов и решек сравняться? Оказывается, есть еще один способ достичь равенства. Хотя избыток орлов не влияет на вероятность выпадения решки в будущем, закон больших чисел подразумевает, что при большом числе бросаний количества орлов и решек стремятся выравняться. Это не значит, что они должны стать равными; их отношение становится ближе к 1.
Допустим, что в 1000 бросаниях монеты выпало 525 орлов и 475 решек. Орлов на 50 больше, чем решек, а их отношение равно 525/475 = 1,105. Теперь предположим, что монету бросили еще два миллиона раз. В среднем мы ожидаем около миллиона орлов и столько же решек. Представим себе, что именно так и случилось. Теперь всего выпало 1 000 525 орлов и 1 000 475 решек. Орлов по-прежнему на 50 больше. Но вот отношение теперь равно 1 000 525/1 000 475, то есть 1,00005. Это гораздо ближе к 1.
В ЭТОМ МЕСТЕ Я ДОЛЖЕН ПРИЗНАТЬ, что по теории вероятностей верно более сильное утверждение и оно звучит так же, как люди представляют себе закон средних величин. А именно каким бы ни был первоначальный дисбаланс, если продолжать подбрасывать монету достаточно долго, то вероятность того, что в какой-то момент решки наверстают упущенное и достигнут такого же количества, что и орлы, равна 1. В сущности, наверняка так и будет,
94
Иэн Стюарт | Случайный Бог


но, поскольку мы обсуждаем потенциально бесконечный процесс, лучше сказать «почти наверное». Даже если орлы будут опережать решек на миллион раз, решки почти наверное наверстают упущенное. Вам достаточно не отступать и просто продолжать бросать достаточно долго, хотя это будет по-настоящему очень долго.
Математики часто интерпретируют этот процесс как случайное блуждание. Представьте себе указатель, который двигается вдоль числовой прямой (на которой по порядку отмечены положительные и отрицательные целые числа), стартовав в 0. При каждом подбрасывании монеты перемещайте его на шаг вправо, если выпал орел, и на шаг влево, если выпала решка. Тогда в любой момент времени положение указателя говорит нам, на сколько орлов больше, чем решек. Например, если два раза выпадет орел (00), указатель сделает два шага вправо и окажется у числа 2; если выпадет ОР, указатель сделает шаг вправо, потом влево и вернется в 0. Если нарисовать зависимость числа, на котором остановился указатель, от времени, то движение вле- во-вправо будет изображаться как вниз-вверх и получится ломаная линия, изломы которой выглядят случайными. Например, последовательность
РРРРОРООООООРРРОРРРО
(я получил ее, подбрасывая настоящую монету) приводит к графику, изображенному на рис. 9. Всего здесь 11 решек и 9 орлов.
Математика случайных блужданий говорит нам: вероятность того, что указатель никогда не вернется в ноль, равна 0. Поэтому вероятность того, что количества орлов и решек в конце концов сравняются, равна 1 — это случится почти наверное. Но кроме этого, теория готовит нам несколько сюрпризов. Во-первых, эти утверждения верны, даже если орлы или решки имеют большую фору на старте. Каким бы большим ни было отклонение от равенства вначале, оно почти наверное обнулится, если мы будем продолжать бросать достаточно долго. Однако среднее время, которое для этого потребуется, бесконечно. Эти слова похожи на парадокс, но они имеют точное значение. Дождемся первого возврата
ГЛАВА 6 | Ошибки и парадоксы
95


в 0, это займет некоторое время. Продолжаем бросать монету. В конце концов почти наверное указатель вернется в О во второй раз. На это может потребоваться меньше времени, чем в первый раз, но может и больше. Возможно, значительно дольше; вы можете выбрать любое сколь угодно большое число, и почти наверное какое-либо возвращение займет время, не меньшее этого числа. Если вы усредняете бесконечно много сколь угодно больших чисел, разумно ожидать, что получится бесконечное среднее.
Казалось бы, привычка постоянно возвращаться в 0 противоречит утверждению о том, что у монеты нет памяти. Тем не менее это не так. Несмотря на все сказанное, есть смысл и в том утверждении, что результаты бросания монеты не имеют тенденцию выравниваться в длинной серии. Мы видели, что если достаточно долго ждать, то отклонение от нуля почти наверное окажется таким большим (отрицательным или положительным), как мы захотим. По тем же причинам любое первоначальное отклонение в конце концов должно обнулиться.
Как бы то ни было, вернемся к тенденции выравнивания при достаточно большом времени ожидания. Разве она не доказывает закон средних? Нет, потому что теория случайных блужданий не влияет на вероятности появления орлов или решек. Да, их количества выравниваются «в длинной
96
Иэн Стюарт | Случайный Бог


серии бросаний», но мы не знаем точно, как длинна она должна быть в каждом конкретном случае. Если мы остановимся именно в этот момент, то закон средних покажется правдоподобным. Но мы сжульничали: остановились, как только достигли желаемого результата. Большую часть времени количества орлов и решек не были равны друг другу. Если заранее зафиксировать число бросаний, у орлов и решек не будет причин выравняться к этому моменту. На самом деле в среднем после любого заданного числа бросаний расхождение будет точно таким же, как и вначале.
ГЛАВА 6 | Ошибки и парадоксы
97


ГЛАВА 7
СОЦИАЛЬНАЯ ФИЗИКА
Прим'Ьнимъ къ политическимъ и нравст- веннымъ наукамъ методъ, основанный на наблюденш и исчисленш, методъ, который служилъ намъ такъ хорошо въ наукахъ есте- ственныхъ.
Пьер-Симон де Лаплас «Опыт философии теории вероятностей»
Научно-фантастическая сага Айзека Азимова «Основание» в 1940-х годах печаталась в журналах, а в 1951 году вышла в виде книги. Один из главных героев, математик Гэри Сел- дон, предсказал развал Галактической империи методами созданной им науки психоистории. Она изучает закономерности в реакциях человеческих масс на социальные и экономические события. Сначала Селдона осудили за измену на основании того, что его предсказание развала провоцирует этот развал, но потом разрешили создать исследовательскую группу на удаленной планете. Цель группы — минимизировать разруху и сократить последующий период анархии с тридцати тысяч лет до одной.
Ни Азимов, ни его читатели не думали, что возможно предсказать крупномасштабные политические события на тысячи лет вперед, но тут сработала «приостановка неверия». Мы все делаем это, когда читаем художественные книги. Никто из поклонников Джейн Остин не огорчается, когда ему говорят, что Элизабет Беннет или мистера Дарси на самом деле не существует. Но Азимов был достаточно проницателен, чтобы понимать: этот вид прогноза, каким бы точным он ни был, уязвим для любой значительной аномалии, которой никто не ожидал даже в теории, — сейчас такие события модно называть «черными лебедями». Он
98
Иэн Стюарт | Случайный Бог


понимал еще, что и читатели, безропотно принявшие психоисторию, осознают то же самое. Поэтому во второй книге цикла именно такое событие разрушает планы Селдона. Однако и Селдон не лыком шит: он запланировал даже нарушение своих планов и у него есть специальный план действий в чрезвычайной ситуации, раскрытый в третьем томе. Это еще один уровень долгосрочного планирования.
В цикле «Основание» сделан акцент на политических интригах ключевых общественных групп, этим он отличается от других фантастических произведений, в которых страница за страницей сражаются чудовищные, вооруженные до зубов космические флоты. Главные герои цикла регулярно получают отчеты о таких битвах, но описания их бесконечно далеки от голливудских картинок. Сюжет (как говорил сам Азимов) создан по образцу книги Эдварда Гиббона «История упадка и разрушения Римской империи», и весь цикл представляет собой мастер-класс по планированию неопределенности в эпохальном масштабе. Каждый премьер-министр, каждый государственный служащий должен его прочитать.
Психоистория берет вымышленный математический метод и доводит его до крайности, что и дает драматический эффект. Но саму идею мы используем ежедневно, хотя и не для столь масштабных задач. Образ Гэри Селдона в какой-то мере был навеян математиком XIX века, который одним из первых всерьез заинтересовался применением математики для изучения человеческого поведения. Звали его Адольф Кетле, он родился в 1796 году в бельгийском городе Гент. Сегодня мы одержимы искусственным интеллектом и большими данными, их перспективами и угрозами, а все это вышло из наследия Кетле.
Конечно, он не называл свое детище психоисторией. Он назвал его социальной физикой.
ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ статистики родились в физических науках, особенно в астрономии, как систематические инструменты для извлечения максимума полезной информации из наблюдений, неизбежно содержащих ошибки. Но понимание теории вероятностей со временем углублялось, ученые освоились с новыми методами анали¬
ГЛАВА 7 | Социальная физика
99


за данных, а самые храбрые попытались вывести метод за пределы его первоначальных границ. Проблема получения максимально точных выводов из ненадежных данных возникает во всех областях человеческой деятельности. Проще говоря, мы пытаемся достичь максимальной определенности в нашем неопределенном мире. Она нужна каждому человеку или организации, когда они сейчас строят планы относительно событий, которые произойдут в будущем. На самом деле она нужна практически всем, но в особенности правительствам (государств и местных общин), предприятиям и военным.
Довольно быстро статистика вышла за пределы астрономии и передовой математики. Она пережила взрывной рост и стала незаменима во всех областях науки (особенно в науках о жизни), медицины, государственного управления, гуманитарных наук и даже искусства. Поэтому неудивительно, что человек, который заварил всю кашу, начинал чистым математиком, потом стал астрономом, поддался обаянию социальных наук и применил статистические методы к характеристикам и поведению людей. Кетле оставил нам в наследство понимание того, что, несмотря на все капризы свободной воли и обстоятельств, человеческое поведение гораздо более предсказуемо, чем мы можем себе представить. Не абсолютно конечно же, не вполне достоверно, но часто «достаточно хорошо для работы правительства», как принято говорить.
Среди наследия Кетле — две конкретные идеи, обе чрезвычайно влиятельные: о «среднем человеке» и универсальности нормального распределения [21]. Обе эти идеи приводят к серьезным просчетам, если воспринимать их слишком буквально или трактовать слишком широко, но они проложили дорогу новым способам мышления. Обе все еще жизнеспособны сегодня, несмотря на недостатки. Они ценны как «пилотный проект» в попытке заставить математику рассказать нам что-то существенное о наших действиях. Идея эта и сегодня выглядит спорной (а что бесспорно?), но представлялась еще более спорной в то время, когда Кетле делал первые робкие шаги в статистических исследованиях характеристик людей.
100
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Кетле получил научную степень и стал первым доктором в только что созданном Гентском университете. Его диссертация была посвящена коническим сечениям. Эта тема восходит еще к древнегреческим геометрам, которые строили важные кривые — эллипс, параболу, гиперболу, — проводя сечения конуса плоскостями. Какое-то время он преподавал математику, но потом его избрали в Королевскую академию в Брюсселе, и так началась его пяти десяти летняя научная карьера, он стал центральной фигурой бельгийской науки. Около 1820 года он присоединился к движению за основание новой обсерватории. Он не особенно разбирался в астрономии, но был прирожденным предпринимателем и был вхож в правительственные круги. Он начал с того, что заручился поддержкой правительства и получил обещание финансирования.
Только после этого он постарался заполнить пробелы в своих знаниях предмета, для которого и создавали обсерваторию. В 1823 году за счет правительства он отправился в Париж, чтобы учиться там у ведущих астрономов, метеорологов и математиков. Он изучал астрономию и метеорологию у Франсуа Араго и Алексиса Бувара, а теорию вероятностей у Жозефа Фурье и, возможно, уже пожилого Лапласа. Тогда- то он и стал одержим применением вероятности к статистическим данным. К 1826 году Кетле был региональным корреспондентом статистического бюро Королевства Нидерландов (тогда в него входила Бельгия). Я буду называть его бельгийцем, а не голландцем или нидерландцем.
НАЧИНАЛОСЬ ВСЕ ДОВОЛЬНО НЕВИННО. На все, что происходит и будет происходить в стране, существенно влияет один очень простой параметр: количество ее жителей. Если вы не знаете, сколько в стране людей, ничего толком спланировать не получится. Конечно, можно сделать прикидку, а на случай ошибки составить план экстренных мероприятий, но это дилетантский подход. Он может привести к чрезмерным тратам на ненужную инфраструктуру или вызвать кризис из-за недооценки спроса. XIX век с этой проблемой не справился. Она стоит перед каждым народом и сегодня.
ГЛАВА 7 | Социальная физика
101


Естественный способ узнать, сколько людей живет в стране, — сосчитать их. То есть провести перепись, что не так просто, как кажется. Люди переезжают, прячутся от правосудия и налогов или просто не дают властям совать нос в то, что наивно считают своим личным делом. Так или иначе, в 1829 году правительство Бельгии планировало новую перепись. Кетле некоторое время работал над данными о населении за прошлые годы, и так вышло, что его тоже привлекли к работе. «Данные, которыми мы располагаем в настоящее время, могут считаться только предварительными и нуждаются в исправлении», — писал он. Статистика была основана на более старых данных, полученных в сложных политических условиях; потом их обновили: добавили количество зарегистрированных рождений и вычли количество зарегистрированных смертей. Это все равно что навигация по «расчетной траектории» без внешних ориентиров: со временем будут накапливаться ошибки. А миграцию вообще не учитывали.
Полная перепись — дорогое удовольствие, поэтому имеет смысл применять такого рода расчеты для оценки населения между переписями. Но долго это продолжаться не может. Поэтому принято проводить перепись каждые десять лет. Вот Кетле и призывал правительство провести новую перепись, чтобы получить точную основу для будущих оценок. Однако из Парижа он вернулся с интересной идеей, которую ему подал Лаплас. Если бы она сработала, то сэкономила бы много денег.
Лаплас определил численность населения Франции, перемножив два числа. Первое — количество рождений в прошлом году. Его можно узнать из реестров рождений, которые велись довольно точно. Второе — отношение общей численности населения к годовому числу рождений, то есть величина, обратная рождаемости. Ясно, что их произведение дает общее число населения, но как найти второе число, не зная общее население? Блестящая идея Лапласа заключалась в том, что его можно разумно оценить с помощью метода, который мы сейчас называем выборочным. Выберите небольшое количество достаточно типичных областей, проведите в них полную перепись и сравните население с
102
Иэн Стюарт
Случайный Бог


числом рождений в этих областях. Лаплас рассчитывал, что примерно тридцати таких областей будет достаточно для оценки населения всей Франции, и привел некоторые вычисления в обоснование своей точки зрения.
Тогда, однако, правительство Бельгии отказалось от выборочного метода и провело полную перепись. Причиной того, что Кетле поменял мнение, по-видимому, была разумная, обоснованная, но крайне ошибочная критика со стороны государственного советника барона де Кеверберга. Он совершенно верно отметил, что коэффициенты рождаемости в разных областях зависят от огромного множества факторов и лишь малую их часть можно учесть. А отсюда барон сделал вывод, что создать репрезентативную выборку невозможно. Ошибки будут накапливаться, и потому пользы от результатов не будет. Барон совершил ту же ошибку, что в свое время и Эйлер: предположил наихудший случай, а не типичный. На практике большинство ошибок выборки погасили бы друг друга из-за случайных изменений. Тем не менее, это была простительная ошибка, поскольку Лаплас полагал, что для построения выборки лучше всего заранее выбрать области, которые в некотором смысле хорошо репрезентативны: в них похожие соотношения богатых и бедных, образованных и необразованных, мужчин и женщин и так далее.
Сегодня, чтобы получить хорошие результаты на небольших выборках, к их формированию подходят примерно так же. Это мудреный бизнес: методы, которые раньше работали хорошо, похоже, терпят неудачу все чаще. Я подозреваю, причина в том, что все уже по горло сыты опросами, анкетами и назойливыми маркетологами. В конце концов статистики обнаружили, что случайные выборки обычно вполне репрезентативны, если только достаточно велики. Насколько велики, мы увидим позже в этой главе. Но тогда все это было в будущем, а Бельгия пыталась должным образом сосчитать каждого человека.
КРИТИКА БАРОНА ДЕ КЕВЕРБЕРГА имела один плюс: она побудила Кетле собирать огромные объемы очень точных данных и тщательно их анализировать. Вскоре он пе¬
ГЛАВА 7 | Социальная физика
103


решел от подсчета к измерению людей и сопоставлению с разными параметрами — временем года, температурой, географическим положением. Восемь лет он собирал данные о рождаемости, смертности, браках, датах зачатия, росте, весе, силе, скорости роста, пьянстве, безумии, самоубийствах, преступности. Он изучал, как они меняются в зависимости от возраста, пола, профессии, местоположения, времени года, пребывания в тюрьме или в больнице. Он всегда сравнивал только два фактора за один раз, что позволяло ему рисовать графики для соотношений. Он собрал обширный объем данных о количественных изменениях всех этих параметров в типичном сообществе. В 1835 году Кетле опубликовал свои выводы в книге «О человеке и развитии его способностей ».
Примечательно, что всякий раз, ссылаясь на книгу, он всегда называл ее по подзаголовку: «Социальная физика». И когда он подготовил новое издание в 1869 году, то поменял местами прежние название и подзаголовок. Он знал, что построил: математический анализ понятия «быть человеком». Или, по крайней мере, тех человеческих характеристик, которые можно выразить количественно. Одно понятие, введенное в книге, захватило воображение общества и не отпускает до сих пор: средний человек.
Один мой друг-биолог частенько говорил: у «среднего человека» одна грудь и одно яичко. В наши гендерно-тревожные времена надо быть очень осторожным с терминологией. На самом деле Кетле прекрасно понимал, что (насколько его концепция вообще имела смысл) следует рассматривать среднюю женщину, среднего ребенка и много других разных средних для разных групп населения. Почти сразу он заметил, что данные о таких параметрах, как рост или вес (разумно ограниченные одним полом и одной возрастной группой), как правило, группируются вокруг одного значения. Если мы изображаем данные в виде гистограммы, самый высокий столбец находится посередине, а остальные ступеньками снижаются по обе стороны от него. Рисунок более-менее симметричен, поэтому центральный пик — самое распространенное значение — является также и средним значением.
104
Иэн Стюарт
Случайный Бог


Замечу сразу же, что эти выводы не вполне точны и применимы не ко всем данным, даже не ко всем социальным данным. Распределение богатства, например, имеет совершенно иную форму: большинство людей бедны, а очень небольшое количество сверхбогатых владеет половиной планеты. Стандартная математическая модель, описывающая распределение богатства, — это распределение Парето (вид степенного распределения, рис. 10). Опыт показывает нам, что этой закономерности подчиняются многие типы данных, и именно Кетле осознал ее значение для социальных наук. Но самая важная кривая из обнаруженных Кетле — это та самая колоколообразная кривая, которая задается нормальным распределением Эйлера и Гаусса, или нечто столь близкое к ней, чтобы сделать математическую модель разумной.
Горы графиков и таблиц — это очень полезно, но Кетле хотел выразить информацию кратко и емко, чтобы ее было проще уяснить и запомнить. Вместо длинного выражения вроде «среднее значение колоколообразной кривой для роста мужчин из некоторой группы людей старше 20 лет составляет 1,74» он говорил: «Рост среднего мужчины в этой группе — 1,74 метра». Теперь можно было сравнивать этих средних людей из разных групп населения. Как сравнить среднего бельгийского пехотинца со средним французским фермером? «Он» короче, выше, легче, тяжелее или почти такой же? Каков он по сравнению со средним немецким
Рис. 10. Распределение Парето с плотностью вида ха для некоторого параметра а, усеченное в точке х - 1
ГЛАВА 7 | Социальная физика
105


офицером? Чем отличается средний мужчина из Брюсселя от среднего лондонца? А средняя женщина? Средний ребенок? Среднестатистическая кошка или собака, если хотите, хотя на самом деле Кетле занимался только людьми. Как учесть все собранные данные, чтобы ответить на вопрос: средний мужчина какой страны с большей вероятностью станет убийцей или жертвой? Врач, посвятивший свою жизнь спасению больных, — окончит ли он ее самоубийством?
Важно отметить: Кетле вовсе не утверждал, что типичный человек, выбранный наугад, будет во всех отношениях похож на среднестатистического. Действительно, в некотором смысле это даже невозможно. Рост и вес приблизительно связаны таким образом, что оба значения не могут быть средними одновременно. При прочих равных вес пропорционален объему, или кубу роста. В выборке из трех кубов высотой 1, 2 и 3 метра средняя высота равна 2. Но объемы этих кубов равны 1, 8 и 27, поэтому средний объем равен 12. Так что средний объем куба — это вовсе не куб длины среднего ребра. Другими словами, средний куб на куб среднего вовсе и не похож. На практике эти соображения не играют большой роли для данных о людях, потому что такие данные в большой мере сосредоточены вблизи среднего. Кубики высотой 1,9, 2 и 2,1 метра имеют среднюю высоту 2 и средний объем 8,04. В такой ситуации средний куб очень похож на куб среднего.
Кетле все это понимал. Он представлял себе разных «среднестатистических мужчин» (женщин, детей) для каждого параметра. Он просто подобрал удобные слова, чтобы проще выражать сложные утверждения. Как говорил Стивен Стиглер: «Среднестатистический человек — это прием для сглаживания случайных изменений в популяции и выявления закономерностей, которые должны были стать законами „социальной физики44 Кетле» [22].
МАЛО-ПОМАЛУ СОЦИОЛОГИ ПРИШЛИ к тому же выводу, что и астрономы: комбинируя данные из нескольких источников, можно сделать правильные выводы, даже если нет точных сведений и контроля над различными обстоятельствами и величиной вероятных ошибок. Конечно, кое-
106
Иэн Стюарт | Случайный Бог


что знать все-таки необходимо, и, чем лучше данные, тем точнее результаты, но ключи к качеству результатов содержатся в имеющихся данных.
После 1880 года в общественных науках начали широко использовать статистические идеи, особенно колоколообразную кривую, часто даже в качестве замены экспериментов. Большую роль здесь сыграл Фрэнсис Гальтон. Он первым применил анализ данных для прогнозирования погоды, обнаружив существование антициклонов. Он подготовил первую карту погоды (ее опубликовали в газете «Таймс» в 1875 году) и был одержим реальными цифровыми данными и скрытыми в них математическими закономерностями. Когда Дарвин опубликовал «Происхождение видов», Гальтон начал изучать наследственность человека. Как рост ребенка соотносится с ростом его родителей? А вес? Интеллектуальные способности? Гальтон использовал колоколообразную кривую Кетле, чтобы разделять разные группы населения. Когда данные давали два пика, а не один, как у кривой колокола, Гальтон утверждал, что соответствующая группа населения должна состоять из двух отдельных подгрупп, для каждой из которых имеется собственная колоколообразная кривая [23].
Гальтон был убежден, что желательные человеческие черты передаются по наследству, хотя сам Дарвин этот вывод из эволюционной теории отвергал. Гальтон считал, что средний человек Кетле — это вовсе не то, к чему следует стремиться. Человечество должно быть более амбициозным. В своей книге «Наследственный гений», опубликованной в 1869 году, Гальтон применил статистику для изучения наследования гениальности и величия. Нам сегодняшним она представляется любопытной смесью стремления к равенству («у каждого [должен быть] шанс проявить свои способности, а самые одаренные [должны иметь] доступ к первоклассному образованию и профессии») и «гордости за расу». Это Гальтон ввел термин «евгеника» в 1883 году в работе «Исследования способностей человека и его развития». Это Гальтон ратовал за финансовое вознаграждение с целью поощрять браки между семьями высокого ранга и за целенаправленное выведение пород людей с якобы супер¬
ГЛАВА 7 | Социальная физика
107


способностями. Евгеника была у всех на слуху в 1920-х и 1930-х годах, но популярность ее быстро угасла из-за широко распространенных порочных практик, таких как принудительная стерилизация психически больных, и нацистских заблуждений о господствующей расе. В наши дни евгенику считают расистской, она идет вразрез с Конвенцией Организаций Объединенных Наций о предупреждении геноцида и наказании за него, а также с Хартией Европейского союза по правам человека.
Что бы мы ни думали о характере Гальтона, его вклад в статистику был значительным. К 1877 году исследования привели его к изобретению регрессионного анализа, обобщающего метод наименьших квадратов. В регрессионном анализе сравнивают один набор данных с другим, чтобы найти наиболее вероятную связь между ними. Согласно этому методу, прямая регрессии — это наиболее подходящая прямолинейная модель взаимосвязи между данными [24]. Метод привел к еще одному важному понятию в статистике — корреляции. Этот параметр количественно определяет степень взаимосвязи между двумя (или более) наборами данных, например между потреблением сигарет и заболеваемостью раком легких. Статистическое измерение корреляции восходит к физику Огюсту Браве, наиболее известному своими работами по кристаллам. Некоторые примеры, такие как связь между длиной предплечья и ростом, Гальтон обсуждал в 1888 году.
Предположим, вы хотите численно выразить, насколько тесно связаны между собой рост человека и длина его руки. Вы формируете выборку, измеряете эти величины и изображаете соответствующие пары чисел на графике. Затем вы проводите прямую линию через эти точки, используя метод наименьших квадратов, точно так же как я линейно связывал цену на бензин с ценой на нефть. Этот метод всегда дает некоторую прямую линию, даже если точки очень разбросаны. Корреляция выражает количественно, насколько точно линия соответствует облаку данных. Если точки сосредоточены очень близко к прямой, то две переменные сильно коррелируют. Если же они образуют размытое облако, то корреляция меньше. Наконец, если линия имеет
108
Иэн Стюарт | Случайный Бог


отрицательный наклон (то есть одна переменная уменьшается по мере увеличения другой), то применимы те же соображения, но корреляция считается отрицательной. Итак, требуется определить такой параметр, который численно выражает, насколько тесно данные связаны друг с другом и в каком направлении.
Соответствующий статистический показатель был определен в его нынешнем виде английским математиком и биостатистом Карлом Пирсоном [25]. Пирсон ввел коэффициент корреляции. Пусть даны две случайные величины. Найдите их математические ожидания. Уменьшите каждую случайную величину на ее ожидание, перемножьте полученные величины и найдите математическое ожидание этого произведения. Разделите то, что получилось, на произведение стандартных отклонений обеих случайных величин. Если заданные величины одинаковы, получится 1; если они строго противоположны (отличаются только знаком), получится -1; а если они независимы, получится 0. В более общем случае любая точная линейная связь между величинами приводит либо к 1, либо к -1, в зависимости от знака наклона прямой.
Если две случайные величины имеют причинно-след- ственную связь — одна обусловливает другую, — они должны быть сильно коррелированы. Когда данные показали большую положительную корреляцию между курением сигарет и развитием рака легких, врачи начали подозревать, что одно вызывает другое. Однако корреляция ничего не говорит о том, какая из двух величин может быть причиной. Возможно, предрасположенность к раку легких заставляет людей курить больше. Вы даже можете придумать почему: например, курение может помочь в борьбе с раздражением легких, вызванным предраковым состоянием. Или, может быть, что-то является общей причиной обоих явлений, например стресс. Всякий раз, когда медицинские исследования обнаруживают значительную корреляцию между каким-ли- бо продуктом и заболеванием, компании выдвигают лозунг «Корреляция не означает причинность». Они потеряли бы прибыль, если бы стало известно, что их продукт действительно вызывает заболевание. Действительно, корреляция
ГЛАВА 7 | Социальная физика
109


не всегда подразумевает причинность, но лозунг скрывает неудобную правду: корреляция — полезный индикатор возможной причинности. Более того, если есть независимые данные о том, как продукт может привести к заболеванию, высокая корреляция может усилить эти обоснования. Когда обнаружилось, что табачный дым содержит канцерогены, научное обоснование причинности стало намного сильнее.
Когда нужно выяснить, какое именно из ряда возможных воздействий играет роль, применяют обобщения коэффициента корреляции, например матрицу корреляций. Она состоит из коэффициентов корреляции для множества различных наборов данных. Корреляционные матрицы полезны для определения связей, но иногда ими пользуются неправильно. Предположим, вы хотите узнать, как диета влияет на целый ряд заболеваний. Вы составляете список из 100 продуктов питания и 40 болезней. Затем формируете выборку людей и выясняете, какие продукты они едят и чем болеют. Для каждой пары продукт-болезнь вычисляете соответствующий коэффициент корреляции: насколько тесно они связаны в данной выборке. Получается матрица корреляций — прямоугольная таблица, ее 100 строк соответствуют продуктам питания, а 40 столбцов — болезням. На пересечении заданной строки и заданного столбца записывается соответствующий коэффициент корреляции. Всего в этой таблице 4000 чисел. Вы смотрите на таблицу и пытаетесь найти числа, близкие к 1. Они указывают на возможную связь между продуктом питания и болезнью. Допустим, на пересечении строки «морковь» и столбца «головная боль» записано число 0,92. Вы выдвигаете рабочую гипотезу о том, что употребление моркови может вызвать головную боль.
Теперь нужно начать совершенно новое исследование с новой выборкой и собрать новые данные, чтобы проверить эту гипотезу. Это дорого, поэтому иногда исследователи берут данные из первоначального эксперимента. Затем они применяют статистические методы для оценки значимости этой конкретной корреляции, игнорируя все остальные данные и анализируя только одну эту связь, как будто ничего другого не измеряли. И приходят к выводу, что существует
110
Иэн Стюарт | Случайный Бог


значительная вероятность того, что употребление моркови вызывает головную боль.
Такой подход с двукратным использованием данных в том виде, как здесь описан, приводит к ошибкам. Вот пример. Предположим, что вы наугад выбираете женщину, измеряете ее рост и обнаруживаете, что при нормальном распределении с вероятностью 1% случайный человек не ниже этой женщины. Тогда с вашей стороны будет разумно предположить, что она необычно высока, и возможно, для того есть причина. Однако, если вы выбирали ее не наугад, а вместо этого измерили рост сотен женщин и взяли самую высокую, такое предположение будет неправомочно. При такой процедуре выбора очень вероятно, что вы получите исключительно высокого человека в выборке. Двукратное использование данных в работе с корреляционной матрицей имеет тот же изъян, но в более сложной ситуации.
В 1824 ГОДУ ОДНА ПЕНСИЛЬВАНСКАЯ ГАЗЕТА провела «соломенный опрос»1 — неофициальное голосование, — чтобы предугадать, кто будет избран президентом США: Эндрю Джексон или Джон Квинси Адамс. Опрос выявил 335 голосов за Джексона и 169 за Адамса. Джексон победил. С тех пор центры изучения общественного мнения стали заниматься и выборами. По практическим соображениям для опросов (или «обзоров») привлекается лишь небольшая часть избирателей. Поэтому встает важный вопрос: насколько большой должна быть выборка, чтобы результаты получились точными? Этот же вопрос важен во многих других областях, например при медицинских испытаниях нового препарата или проведении переписи.
В главе 5 мы увидели, что выборочный метод изучал еще Лаплас. Правда, для точного результата он рекомендовал убедиться, что данные в выборке имеют те же пропорции, что и во всей популяции. Добиться этого не так просто, поэтому опросы (до недавнего времени) в основном
Автор термина «соломенные опросы» — известный английский юрист и политический деятель Джон Селден. Он писал: «...возьмите клок соломы и подбросьте в воздух — вы сможете увидеть, куда дует ветер». — Прим. перев.
ГЛАВА 7 | Социальная физика
111


проводились в случайных выборках, куда людей отбирали посредством некоторого случайного процесса. Предположим, например, что мы хотим узнать средний размер семьи в большой популяции. Мы формируем случайную выборку и вычисляем выборочное среднее: средний размер семьи в этой выборке. Видимо, чем больше выборка, тем ближе среднее выборочное значение к фактическому среднему. Сколь велика должна быть выборка, чтобы мы были вполне уверены в том, что достигли заданного уровня точности?
Математическая постановка задачи каждой семье из выборки ставит в соответствие случайную величину. Предполагается, что каждая семья принадлежит к одному распределению вероятностей — распределению для всего населения, — и мы хотим оценить его среднее значение. Закон больших чисел гласит, что, если выборка достаточно велика, среднее значение выборки «почти наверное» становится настолько близким к истинному, насколько мы хотим. Иначе говоря, выборочное значение близко к истинному с вероятностью, стремящейся к 1, когда размер выборки неограниченно растет. Но это ничего не говорит нам о том, насколько большой должна быть выборка. Чтобы выяснить это, нам нужен более сложный результат — центральная предельная теорема, о которой мы говорили в главе 5, — связывающий разность между выборочным и фактическим средними с нормальным распределением [26]. Нормальное распределение применяется для вычисления соответствующих вероятностей и определения наименьшего размера выборки, который нам подходит.
В примере с размерами семей сначала мы делаем предварительную выборку для оценки стандартного отклонения. Достаточно приблизительного значения. Мы заранее фиксируем, насколько мы хотим быть уверенными в истинности результата (скажем, на 99%) и насколько велика ошибка, которую мы готовы принять (скажем, 1/10). Иначе говоря, размер выборки должен быть таким, чтобы при стандартном нормальном распределении со средним 0 и стандартным отклонением 1 вероятность того, что среднее значение выборки отклоняется от истинного среднего менее чем на 1/10, составляла не менее 99%. Зная характеристики нормально¬
112
Иэн Стюарт | Случайный Бог


го распределения, мы вычисляем необходимый размер выборки: он должен быть не менее 660а2, где а2 — дисперсия для всей совокупности. Поскольку мы оценили эту дисперсию по приблизительной выборке, нам следует учесть, что ошибка может быть чуть больше, поэтому и размер выборки мы возьмем немного больше. Обратите внимание, что здесь размер выборки не зависит от численности всего населения. Он зависит от дисперсии случайной величины, от того, насколько разбросаны ее значения.
Аналогичные рассуждения проходят и в других случаях, в зависимости от соответствующего распределения и оцениваемой величины.
ОПРОСЫ ОБЩЕСТВЕННОГО МНЕНИЯ — особая область в теории выборочного оценивания. Способы их проведения с появлением социальных сетей изменились. В хорошо продуманных интернет-опросах тщательно отбирают людей и выясняют их мнение. Однако зачастую в опросах разрешается проголосовать всем желающим. Качество таких опросов низкое, ведь в них чаще голосуют люди с твердым мнением, в то время как многие даже не знают об опросе, а некоторые могут даже не иметь подключения к Интернету, поэтому выборка не репрезентативна. Телефонные опросы также могут давать искаженный результат, потому что многие люди не отвечают на звонки или отказываются отвечать на вопросы, когда их опрашивают. С распространением телефонного мошенничества нельзя быть уверенным, что звонят действительно из центра исследования общественного мнения. У кого-то может не быть телефона. Некоторые не сообщают свои истинные намерения — например, могут не сказать незнакомцу, что планируют голосовать за экстремистскую партию. Даже то, как сформулирован вопрос, может повлиять на реакцию опрашиваемых.
Центры изучения общественного мнения применяют различные методы, пытаясь минимизировать эти источники ошибок. Многие из этих методов математические, но учитываются также психологические и другие факторы. Нет недостатка в ужасных историях, когда опросы уверенно предсказывали неправильный результат, и, похоже, такие случаи
ГЛАВА 7 | Социальная физика
113


происходят все чаще. Иногда включаются особые факторы, «объясняющие», почему так происходит: например, внезапные колебания в последнюю минуту или умышленная ложь тех, кто хочет заставить оппонентов расслабиться. Трудно оценить, насколько обоснованы такие оправдания. Тем не менее при грамотном проведении опросы в целом проявляют себя хорошо, а потому служат полезным инструментом для снижения неопределенности. Правда, есть риск, что опрос повлияет на результат; например, люди могут прогулять выборы, если уверены, что их кандидат победит в любом случае. Экзит-поллы, когда людей опрашивают на выходе с избирательных пунктов, часто бывают очень точными. Они дают правильный результат задолго до того, как его покажет официальный подсчет голосов, и не могут повлиять на результат.
114
Иэн Стюарт
Случайный Бог


ГЛАВА 8
ВЫ УВЕРЕНЫ?
Абсурд, сущ. Утверждение или мнение, явно противоречащее тому, что думаем на этот счет мы сами.
Амброз Бирс «Словарь сатаны»
КОГДА НЬЮТОН ОПУБЛИКОВАЛ АНАЛИЗ, тогдашнему епископу Джорджу Беркли пришлось отвечать. Он сделал это в памфлете «Аналитик», снабженном подзаголовком «Рассуждение, адресованное неверующему математику, где исследуется, являются ли предмет, принципы и заключения современного анализа более отчетливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры». На титульном листе было приведено изречение из Библии: «Вынь прежде бревно из твоего глаза и тогда увидишь, как вынуть сучок из глаза брата твоего» (Мф. 7 : 5).
Не нужно быть утонченным наблюдателем, чтобы заметить: епископ не был фанатом анализа. Его памфлет появился в 1734 году, к тому времени наука достигла больших успехов, и многие ученые и философы стали утверждать, что основанная на опытных данных наука превосходит веру как способ понять устройство мира. Раньше абсолютной истиной считались христианские догмы, освященные божественным авторитетом. Теперь их место заняла математика. Она была не просто верна, но необходимо верна, и могла это доказать.
Конечно, на самом деле математика не могла занять место религии. Однако в то время у епископа были все основа¬
ГЛАВА 8 | Вы уверены?
115


ния чутко реагировать на вызов вере. Он решил исправить положение, указав на некоторые логические несообразности в анализе. Его незамысловатый подход состоял в том, чтобы убедить мир, что математики не настолько логичны, как сами говорят, и чтобы низвести их с пьедестала единственных защитников абсолютных истин. Он по-своему был прав, но лобовая атака — плохой способ убедить людей, что они неправы; математики не любят, когда посторонние пытаются указывать им, как заниматься математикой. Беркли не достиг цели, и эксперты понимали это, даже если в то время не могли строго сформулировать логические обоснования.
ЭТА КНИГА — НЕ ОБ АНАЛИЗЕ, но я рассказываю здесь эту историю, потому что она ведет нас к одному из великих непризнанных героев математики, человеку, чья научная репутация была незначительной при жизни и выросла уже после смерти. Звали его Томас Байес, и в статистике он устроил революцию, которая никогда не была актуальнее, чем сегодня.
Байес родился в 1701 году, предположительно в Хартфордшире. Его отец Джошуа был пресвитерианским священником, и Томас пошел по его стопам. Он получил степень по логике и теологии в Эдинбургском университете, некоторое время помогал отцу, а затем и сам стал священником в городке Танбридж-Уэллс. Из-под его пера вышли две совершенно разные книги. Первая была написана в 1731 году и называлась «Благость Господня, или попытка доказать, что конечной целью Божественного провидения и направления является счастье Его созданий». Чего-нибудь такого мы и ожидали от строптивой особы духовного звания. Вторая, 1736 года, называлась «Введение в доктрину флюксий и защита математиков от возражений автора „Аналитика"». А вот это сюрприз. Священник Байес защищал ученого Ньютона от нападений епископа. Причина проста: Байес был не согласен с математическими выкладками Беркли.
Когда Байес умер, часть его архива досталась его другу Ричарду Прайсу, который и опубликовал две математические статьи из этого архива. В одной из них речь шла об
116
Иэн Стюарт
Случайный Бог


асимптотических рядах — они приближают искомую величину суммой большого числа относительно простых слагаемых, при этом у слова «приближают» есть точный смысл. Вторая называлась «Очерки к решению проблемы доктрины шансов», она появилась в 1763 году и была посвящена условной вероятности.
Ключевую идею Байес вводит в начале статьи. Предложение 2 начинается так: «Если у человека есть ожидание, зависящее от осуществления некоторого события, вероятность осуществления события относится к вероятности его неосуществления как отношение потерь человека при условии, что оно не произойдет, к его выигрышу, при условии, что, оно произойдет». Нельзя сказать, что это кристально ясное утверждение, но Байес объясняет его подробнее. Я перевожу его текст на современный язык, но ничего не добавляю, все это есть в его статье.
Путь Е и F — два события. Обозначим условную вероятность события Е при условии, что F произойдет, через P(E\F) (читается «условная вероятность события Е при условии F»). Тогда формула, которую мы сейчас называем теоремой Байеса, утверждает, что
P(F\E)P(E)
P(F) ’
Она легко следует [27] из принятого сейчас определения условной вероятности:
Р(Е и F)
P(E\F) = — .
1 P(F)
Давайте проверим формулу Байеса на задачке о двух девочках в ее первом варианте, когда нам говорят, что по крайней мере один из детей Смитов — девочка. В полном выборочном пространстве есть четыре события: ДД, ДМ, МД, ММ, вероятность каждого равна 1/4. Обозначим буквой Е событие «две девочки», то есть ДД. Буквой F обозначим событие «не два мальчика», это множество {ДД, ДМ, МД}, его вероятность равна 3/4. Событие «Е и F» — это ДД, оно совпадает с событием Е. Вероятность того, что в семье две
ГЛАВА 8 | Вы уверены?
117


девочки при условии, что по крайней мере одна девочка есть, согласно формуле равна
P(F\E)P(E) 1/4 1 P(F) 3/4 ” 3 '
Это тот же результат, который мы получили раньше.
Далее Байес рассматривал более сложные комбинации условий и связанных с ними условных вероятностей. Эти результаты, как и более широкие современные обобщения, также называют теоремой Байеса.
У ТЕОРЕМЫ БАЙЕСА ЕСТЬ ВАЖНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ следствия, например для контроля качества на производстве. Она дает ответы на вопросы вроде таких: «Какова вероятность того, что игрушечный автомобиль был изготовлен на нашей уормингемской фабрике, при условии, что от него отвалились колеса?» Но со временем эта теорема выросла в глубокую философию о том, что такое вероятность и как с ней обращаться.
Классическое определение вероятности — возможно, лучше его называть интерпретацией — основано на понятии «частота»: частота, с которой происходит событие, когда эксперимент повторяют много раз. Как мы видели, эта интерпретация восходит к пионерам науки о вероятности. Но у этого определения есть несколько недостатков. Не вполне ясно, что именно означают слова «много раз». В некоторых (редких) сериях испытаний частота не обязана сходиться к какому-либо вполне определенному числу. Но самое главное — считается, что мы можем проводить один и тот же эксперимент столько раз, сколько захотим. Если же это невозможно, то непонятно, имеет ли «вероятность» какой-либо смысл, и если имеет, то непонятно, как ее найти.
Например, какова вероятность того, что мы обнаружим разумных инопланетян до 3000 года нашей эры? Этот эксперимент по определению можно провести только один раз. Однако большинство из нас интуитивно чувствуют, что эта вероятность должна иметь смысл, даже если мы не можем договориться о ее значении. Одни скажут, что она равна 0, другие — что 0,99999, а нерешительные любители поси¬
118
Иэн Стюарт | Случайный Бог


деть на двух стульях поставят на 0,5 (автоматический выбор пятьдесят на пятьдесят почти всегда неверный). Кто-то щегольнет уравнением Дрейка, но его переменные слишком неточны, чтобы заметно помочь [28].
Основная альтернатива частотному подходу — байесовский. Признает преподобный его своим детищем или нет, не совсем ясно, но Байес определенно в какой-то мере считает этот подход заслугой (сомнительной в глазах некоторых). На самом деле этот подход восходит к Лапласу, который ставил вопросы вроде «Насколько вероятно, что завтра взойдет солнце?». Но мы уже привыкли к названию «байесовский», хотя бы по историческим причинам.
Вот как Байес определяет вероятность в своей работе: «Вероятность любого события — это отношение между значением, при котором должно быть рассчитано ожидание, зависящее от события, и вероятностью того, что событие ожидается в случае его возникновения». Заявление несколько двусмысленно. Каково наше «ожидание»? Что значит «должен быть»? Разумно понимать сказанное так, что вероятность какого-либо события может быть истолкована как наша степень уверенности в том, что оно произойдет: насколько мы уверены в этом как в гипотезе; какие шансы убедят нас поставить на то, что оно произойдет; как сильно мы верим в это.
У такого понимания есть достоинства. В частности, оно позволяет нам назначать вероятности событиям, которые могут произойти только однажды. На мой вопрос об инопланетянах можно было бы дать разумный ответ: «Вероятность того, что к 3000 году нас посетят разумные инопланетяне, равна 0,316». Это утверждение не означает: «Если мы повторим этот период истории тысячу раз, в 316 случаях инопланетяне появятся». Даже если бы у нас была машина времени и путешествия в прошлое не меняли бы историю, мы бы получили или ноль инопланетных вторжений, или всю тысячу. Но число 0,316 означает всего лишь, что наша убежденность в их появлении умеренная.
Однако у понимания вероятности как степени уверенности есть и очевидные недостатки. Как писал Джордж Буль в «Исследовании законов мышления» в 1854 году: «Было бы
ГЛАВА 8 | Вы уверены?
119


недостойно философа утверждать, что силу ожидания, рассматриваемую как эмоцию разума, можно отнести к любому числовому стандарту. Спокойный человек возлагает большие надежды там, где робкое отчаяние и нерешительность теряются в сомнениях». Иначе говоря, если вы не согласны с моей оценкой и оцениваете вероятность вторжения инопланетян всего в 0,003, нет никакого способа выяснить, кто из нас прав. И прав ли хоть кто-нибудь. Если пришельцы не появятся, ваша оценка лучше моей; если появятся, то моя лучше. Но невозможно доказать, что одна лучше другой; к тому же какое-то другое число может быть лучше их обеих — в зависимости от того, что происходит.
На это замечание у поклонников Байеса есть ответ. Они допускают возможность повторить эксперимент, пусть даже и в несколько иных условиях. Подождем еще тысячу лет и посмотрим, не заявится ли еще компания пришельцев. Но перед этим пересмотрим нашу степень уверенности.
Предположим чисто теоретически, что в 2735 году прибывает экспедиция с планеты Апеллобетниз III. Тогда мое число 0,316 оказывается лучше вашего 0,003. Поэтому на пороге следующего тысячелетия мы оба пересматриваем свои степени уверенности. Ваша, безусловно, нуждается в повышении; может быть, и моя тоже. Допустим, мы достигли компромисса на 0,718.
На этом мы можем и остановиться. Точное событие неповторимо. И мы смогли улучшить оценку. Если мы захотим сделать еще один шаг, мы можем пересмотреть вопрос о «вероятности прибытия инопланетян в течение 1000 лет» и повторить эксперимент. Но на этот раз, увы, никаких пришельцев на горизонте. Тогда мы снова пересматриваем нашу степень уверенности, скажем, до 0,584, и ждем еще тысячу лет.
Похоже, что в этой процедуре много произвола, и в том виде, как я описал, так оно и есть. Байесовский подход более систематичен. Идея в том, что мы начинаем с некоторой стартовой степени уверенности — априорной вероятности. Мы проводим эксперимент (ожидаем пришельцев), наблюдаем результат, а затем по теореме Байеса вычисляем апостериорную вероятность — это наша откорректированная с
120
Иэн Стюарт
Случайный Бог


учетом новой информации степень уверенности. Мы ее не просто угадали, теперь она основана на некоторых данных, пусть и ограниченных. Даже если мы остановимся на этом этапе, мы уже кое-чего добились. Но в подходящих условиях мы можем переосмыслить эту апостериорную вероятность как новую априорную. Затем мы проводим второй эксперимент, получаем вторую апостериорную вероятность, которая в некотором смысле должна быть еще лучше. Используем ее как новую априорную и снова проводим эксперимент, получаем еще лучшее апостериорное значение... и так далее.
Эта процедура все еще представляется субъективной, и она действительно такова. Однако работает она на удивление хорошо. Она дает результаты и предлагает методы, которые недоступны в частотном подходе к вероятности. Эти результаты и методы позволяют решать важные задачи. Так что сейчас мир статистики разделен на две разные партии с двумя разными идеологиями: частотной и байесовской.
Прагматичный подход — не делать выбор между ними. Одна голова хорошо, а две лучше; две интерпретации лучше одной, и две философии лучше, чем одна. Если одно не работает, попробуйте другое. Постепенно этот подход начинает преобладать, но до сих пор многие настаивают на том, что истина только на одной стороне. Во многих областях исследователи прекрасно работают и с тем и с другим, причем байесовские методы широко распространены, потому что более адаптируемы.
ХОТЯ ЗАСЕДАНИЕ СУДА МОЖЕТ ПОКАЗАТЬСЯ не лучшей испытательной площадкой для математических теорем, теорема Байеса имеет важные приложения в области привлечения к уголовной ответственности. К сожалению, юристы в значительной степени игнорируют ее, и судебные процессы изобилуют ошибочными статистическими рассуждениями. По иронии судьбы — но вполне предсказуемой — как раз в той области человеческой деятельности, где снижение неопределенности жизненно важно, где для достижения этой цели имеются весьма действенные математические инструменты, и обвинение, и защита предпочитают прибегать к рассуждениям, архаичным и ошибочным одновременно.
ГЛАВА 8 | Вы уверены?
121


Более того, сама правовая система препятствует применению математики. Может показаться, что в суде применение теории вероятностей ничем не хуже, чем использование арифметики для выяснения того, насколько водитель превысил ограничение скорости. Однако есть проблема: статистический вывод открыт для неверных толкований, создавая лазейки, которыми могут воспользоваться обе стороны — и защита, и обвинение.
Самое разгромное решение против теоремы Байеса в судебных разбирательствах было вынесено в апелляции 1998 года по делу «Регина против Адамса» об изнасиловании. В этом деле единственным доказательством было соответствие ДНК обвиняемого и ДНК, полученного из мазка, взятого у жертвы. У подсудимого было алиби, он не подходил под описание преступника, составленное жертвой, но его осудили на основании установленного соответствия. В апелляционной жалобе защита опровергла утверждение обвинения в том, что вероятность случайного совпадения ДНК составляла один на 200 миллионов, на основании показаний эксперта, который объяснил, что какие бы то ни было статистические доводы должны учитывать и доказательства защиты и что правильно было бы применять теорему Байеса. Апелляция была успешной, но судья отмел все статистические рассуждения: «Задача присяжных состоит в том, чтобы... оценить улики и прийти к выводу не с помощью формулы, математической или иной, а путем совместного применения к имеющимся свидетельствам их личного здравого смысла и представлений о мире». Звучит неплохо, но глава 6 показывает нам, насколько бесполезным может быть «здравый смысл» в таких обстоятельствах.
В 2013 году в муниципальном совете Милтон-Кинса было возбуждено гражданское дело против компании Nulty&Ors о пожаре в центре по переработке отходов неподалеку от Милтон-Кинса. Судья пришел к выводу, что причиной была выброшенная сигарета, потому что второе объяснение — электрическая дуга — было еще менее вероятным. Компания, застраховавшая инженера, который якобы выбросил сигарету, проиграла дело и была оштрафована на 2 миллиона фунтов стерлингов. Апелляционный суд не подтвердил мотивировку
122
Иэн Стюарт
Случайный Бог


судьи, но отклонил апелляцию. Решение суда отрицало самые основы байесовской статистики: «Иногда стандарт «соотношения вероятностей» математически выражается как «вероятность более 50%», но здесь есть опасность применения псевдоматематики... Выражать в процентах вероятность того, что какое-либо событие произошло, — это подход иллюзорный ».
Норма Фентон и Мартин Нил [29] сообщают, что адвокат заявил: «Послушайте, парень либо сделал это, либо нет. Если он это сделал, то он на 100% виновен, а если нет, то он виновен на 0%; поэтому указание вероятности вины в качестве вероятности где-то посередине не имеет смысла и не имеет места в законе». Неразумно присваивать вероятности событиям, о которых вы точно знаете, что они произошли (или не произошли). Но совершенно разумно назначать вероятности, когда точных сведений у вас нет, и байесовский подход позволяет сделать это рационально. Например, предположим, кто-то бросает монету; он видит ее, а вы нет. Для него результат известен, и его вероятность равна 1. Но с вашей точки зрения вероятность составляет 1/2 и для орла, и для решки, ведь вы оцениваете не то, что произошло: вы оцениваете, насколько вероятно ваше предположение. В каждом судебном деле обвиняемый либо виновен, либо нет, но эта информация не имеет отношения к суду, задача которого — выяснить истину. Отвергать полезный инструмент только потому, что он может сбить с толку присяжных, — неумно, особенно если позволять законнику обманывать их проверенным временем способом — длинными речами.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ МНОГИХ ИЗ НАС СМУЩАЮТ и никак не помогают нашей интуиции, вовсе не приспособленной для условных вероятностей. Тем не менее это не причина для отказа от ценного статистического инструмента. Судьи и присяжные обычно имеют дело с очень сложными обстоятельствами. В какой-то мере им помогают консультации экспертов (хотя, как мы увидим, их советы не безошибочны) и продуманные указания присяжным со стороны судьи. В двух описанных мною случаях было, пожалуй, разумно установить, что адвокаты не представили
ГЛАВА 8 | Вы уверены?
123


достаточно убедительных статистических данных. Но решение против использования чего-то такого в будущем, по мнению многих комментаторов, — это уж слишком. Такой шаг затруднит осуждение виновных и тем самым защиту невиновных. Таким образом, блестящее и, по сути, простое открытие, полезный инструмент для уменьшения неопределенности, не сработало, потому что юристы либо не понимали его, либо пытались злоупотребить им.
К сожалению, злоупотреблять вероятностными рассуждениями, особенно об условных вероятностях, слишком легко. В главе 6 мы увидели, как легко наша интуиция может нас подвести, а ведь тогда математическая суть была ясной и точной. Представьте себе, что идет судебное заседание, вас обвиняют в убийстве. Тест ДНК по пятну крови на одежде жертвы показал, что эта ДНК очень похожа на вашу. Обвинение утверждает: соответствие настолько близко, что вероятность такого совпадения для случайно выбранного человека составляет один на миллион. Это вполне может быть правдой, и мы допустим, что так оно и есть. Но на этом основании обвинение приходит к выводу, что вероятность вашей невиновности — тоже одна миллионная. Это полная чушь; здесь мы видим логическую ошибку под названием «ошибка прокурора» в простейшей форме.
Включается ваш адвокат: в Соединенном Королевстве шестьдесят миллионов человек. Даже при таких низких шансах «один на миллион» 60 из них с равной вероятностью будут виновны. Значит, вероятность того, что виноваты именно вы, равна 1/60, или около 1,6%. Это тоже чушь, но теперь «ошибка адвоката».
Эти примеры искусственные, но есть много дел, в которых что-то подобное было передано в суд, в том числе дело «Регина против Адамса», где обвинение выдвинуло на первый план вероятность совпадения ДНК, которая не должна быть основанием для вынесения обвинения. Известны случаи, когда невинные люди были осуждены из-за логической «ошибки прокурора», причем сами суды признали это отменой приговора после апелляции. Эксперты в области статистики считают, что многие аналогичные ошибки правосудия, вызванные неверными статистическими рассуждения¬
124
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ми, остались неисправленными. Кажется правдоподобным, хотя доказать это труднее, что и преступников признавали невиновными, поскольку суд не распознавал «ошибку адвоката», допущенную защитой. Однако несложно объяснить, почему обе линии рассуждений ошибочны.
Давайте оставим в стороне вопрос о том, следует ли вообще разрешать в судебных разбирательствах вероятностные расчеты. В конце концов, суды должны решать вопрос о виновности, а не осуждать вас на том основании, что вы, вероятно, совершили что-то дурное. Мы сейчас обсуждаем, на что надо обратить внимание, когда применять статистику разрешается. Как показывает практика, ничто не мешает применять вероятностные рассуждения в качестве доказательства в британском или американском законодательстве. Очевидно, что в моем примере с ДНК адвокат и прокурор не могут быть правы одновременно, так как их оценки сильно различаются. Так в чем же дело?
Сюжет рассказа Конан Дойла «Серебряный» закручивается вокруг «странного поведения собаки в ночь преступления», на которое обратил внимание Шерлок Холмс. «Собака? Но она никак себя не вела!» — протестует инспектор Скотланд-Ярда. На что Холмс, как всегда загадочно, отвечает: «Это-то и странно». В двух примерах, которые мы обсуждали, как раз есть собака, которая никак себя не ведет. Как это понимать? Нет никаких других свидетельств, которые бы указывали на вину или невиновность. А ведь именно дополнительные свидетельства значительно меняют априорную вероятность вины и тем самым влияют на рассуждения.
Вот еще один сценарий, который может помочь прояснить проблему. Вам звонят по телефону и сообщают, что вы выиграли 10 миллионов фунтов в Национальной лотерее. Это чистая правда, и вы идете в банк за призом. Но в банке вам на плечо ложится тяжелая рука: это полицейский, и он арестовывает вас за кражу. В суде обвинение утверждает, что вы почти наверняка сжульничали и обокрали лотерейную компанию на сумму приза. Основания просты: для любого наугад выбранного человека шанс выиграть в лотерею составляет один на 20 миллионов. Следовательно (именно
ГЛАВА 8 | Вы уверены?
125


так работает «ошибка прокурора»), это и есть вероятность того, что вы невиновны.
В этом случае очевидно, что рассуждение ошибочно. Десятки миллионов людей играют в лотерею каждую неделю; очень вероятно, что кто-то да победит. Вас не выбрали наугад заранее; вас выбрали после того, как событие произошло, потому что вы выиграли.
ТРАГИЧНЫЙ И ОСОБЕННО ТРЕВОЖНЫЙ ЮРИДИЧЕ- СКИЙ КАЗУС, основанный на статистических доказательствах, произошел в ходе суда над Салли Кларк, британской адвокатессой, потерявшей двоих детей в результате «смерти в колыбели» (СВДС, синдром внезапной детской смерти). Эксперт со стороны обвинения утверждал: вероятность того, что двойная трагедия произошла по случайному совпадению, составляет один на 73 миллиона. Он также заявил, что фактическая наблюдаемая частота выше, и объяснил это несоответствие тем, что многие повторные случаи «смерти в колыбелях» не случайны, а вызваны синдромом Мюнхгаузена по доверенности — именно в этой области специализировался эксперт. Несмотря на отсутствие каких-либо существенных доказательств, кроме статистических данных, Кларк осудили за убийство своих детей, облили грязью в средствах массовой информации и приговорили к пожизненному заключению.
Серьезные недостатки в деле были очевидны с самого начала, что вызвало тревогу Королевского статистического общества, которое указало на них в пресс-релизе после вынесения приговора. Отсидев более трех лет в тюрьме, Кларк была освобождена по апелляции, но вовсе не из-за признания статистических ошибок, а потому, что выяснилось новое обстоятельство: патологоанатом, осматривавший детей после смерти, скрыл возможные доказательства ее невиновности. Кларк так и не оправилась от этой ошибки правосудия. У нее появились проблемы с психикой, и четыре года спустя она умерла от отравления алкоголем.
Ошибок здесь было несколько. Известны явные свидетельства в пользу того, что в СВДС имеется генетическая составляющая, поэтому одна смерть в семье повышает ве¬
126
Иэн Стюарт | Случайный Бог


роятность второй. Неразумно оценивать вероятность двух последовательных смертей, умножив на себя вероятность одной такой смерти. Эти два события не являются независимыми. Можно оспорить и утверждение о том, что большинство двойных смертей являются результатом синдрома Мюнхгаузена по доверенности. Синдром Мюнхгаузена — это вид психического расстройства, при котором больной причиняет себе вред. Синдром Мюнхгаузена по доверенности — это причинение вреда себе посредством причинения вреда кому-то другому. (Какой в этом смысл — большой вопрос.) Похоже, что суд не знал, что более высокая частота двойных смертей, о чем заявил эксперт, может быть просто фактической частотой тех из них, что произошли по случайности. Несомненно, возможны несколько редких случаев, когда детей действительно убивали.
Но все это не относится к делу. Независимо от того, какую приняли вероятность двойной случайной смерти в колыбели, эту вероятность следует сравнить с возможными альтернативами. Более того, все вероятности должны быть условными при имеющемся условии: две смерти произошли. Таким образом, есть три возможных объяснения: обе смерти были несчастными случаями; обе были убийствами; что-то совсем другое (например, одно убийство и одна естественная смерть). Все три события крайне маловероятны: если уж применять вероятности, то надо сравнивать вероятности между ними. И даже если смерть была убийством, остается еще вопрос: кто виноват? Нельзя автоматически заключать, что именно мать.
Таким образом, вердикт суда был основан на вероятности того, что
• в случайно выбранной семье произошли две смерти в колыбели.
А следовало рассматривать вероятность того, что
• мать является двойным убийцей при условии, что произошли две смерти в колыбели.
В суде перепутали эти два события, основываясь на неверных вычислениях.
Математик Рэй Хилл провел статистический анализ смертности в колыбели, используя реальные данные. Он об-
ГЛАВА 8 | Вы уверены?
127


наружи л, что вероятность того, что в одной семье будет два несчастных случая СВДС, в 4,5-9 раз больше вероятности двойного убийства. Другими словами, на основании только статистических данных вероятность виновности Кларк следует оценивать всего в 10-20%.
Опять же, собака никак себя не вела. В этом случае вывод на основании одних только статистических соображений абсолютно ненадежен, если они не подтверждены другими свидетельствами. Например, позиция обвинения стала бы сильнее, если бы независимо было установлено, что обвиняемая имела опыт жестокого обращения с детьми, но таких данных не было. А позиция защиты стала бы сильнее, если бы не было признаков жестокого обращения. В конечном счете, единственным «доказательством» вины Кларк было то, что двое детей умерли, по-видимому, от СВДС.
Фентон и Нил обсуждают много других дел, в которых статистика могла применяться неправильно [30]. В 2003 году Люсию де Берк, медсестру в нидерландской детской больнице, обвинили в четырех убийствах и трех покушениях на убийство. Необычайно большое количество пациентов умерло во время ее дежурств, и обвинение собрало косвенные доказательства, утверждая, что вероятность того, что это произошло случайно, составила один из 342 миллионов. Рассчитывалась вероятность такого совпадения при условии, что обвиняемая невиновна. При этом вычислять следовало вероятность вины при условии, что события произошли. Де Берк осудили и приговорили к пожизненному заключению. После рассмотрении апелляции приговор был оставлен в силе, и это несмотря на то, что в ходе разбирательств один свидетель признался, что все выдумал. (В то время этот свидетель содержался в отделе криминальной психологии.) Журналисты, что неудивительно, усомнились в обвинительном приговоре, была организована общественная петиция, и в 2006 году Верховный суд Нидерландов направил дело обратно в Амстердамский суд, который вновь поддержал приговор. В 2008 году, после широкой огласки, Верховный суд возобновил дело. В 2010 году повторное судебное разбирательство показало, что все смерти произошли по естественным причинам и что медсестра спасла несколько жизней. Суд отменил обвинительный приговор.
128
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Должно быть очевидно, что при большом количестве смертей в больницах и большом количестве медсестер следует ожидать, что на какую-то конкретную медсестру может приходиться необычно много смертей. Рональд Меестер и его коллеги [31] предполагают, что цифра «один на 342 миллиона» получена двукратным использованием данных (см. главу 7). Они показывают, что более адекватные статистические методы приводят к показателю примерно один из 300 или даже один из 50. Эти значения не являются статистически значимыми в качестве доказательства вины.
В 2016 ГОДУ ФЕНТОН, НЕЙЛ И ДАНИЭЛ БЕРГЕР ОПУБЛИКОВАЛИ обзор применения байесовских рассуждений в судебных делах. Они изучали, почему юристы относятся с подозрением к таким доказательствам, и проанализировали их потенциал. Вначале авторы указывают, что за последние четыре десятилетия использование статистики в судебных процессах значительно возросло, но в большинстве случаев используется классическая статистика, хотя байесовский подход позволяет избежать многих ошибок, связанных с классическими методами, и шире применим. Основной вывод работы — этот недостаток обусловлен «неправильными представлениями юридического сообщества о теореме Байеса... и непринятием современных вычислительных методов». Авторы ратуют за новый метод — применение байесовских сетей, что автоматизировало бы необходимые расчеты таким образом, чтобы «устранить большинство опасений по поводу использования байесовского закона».
Классическая статистика с ее довольно жесткими требованиями и давними традициями дает много поводов для неверного толкования. Акцент на статистических критериях и уровнях значимости может приводить к ошибке прокурора, поскольку вероятность события при условии виновности неверно понимают как вероятность виновности при условии события. В статистике встречаются сложные понятия, такие как доверительный интервал, — это диапазон значений, с заданной надежностью охватывающий некоторое число, параметр. По словам авторов, такие сложные понятия «почти всегда толкуются неверно, поскольку их правильное опреде¬
ГЛАВА 8 | Вы уверены?
129


ление сложно и противоречит интуиции (на самом деле его должным образом не понимают даже многие профессиональные статистики)». Из-за этих трудностей и плохой репутации классической статистики юристы и избегают всех видов статистического вывода.
Возможно, в этом заключается одна из причин сопротивления байесовским методам. Фентон и его коллеги предлагают другую, более интересную: слишком многие байесовские модели, представленные в суде, чересчур упрощены. Зачем? Чтобы соответствующие расчеты были настолько простыми, что их можно выполнять вручную, тогда судья и присяжные смогут их использовать.
В эпоху компьютеров в таком ограничении нет нужды. Разумно сомневаться в непонятных компьютерных алгоритмах; в качестве крайнего случая мы можем представить себе Компьютер Правосудия, снабженный искусственным интеллектом, который безмолвно оценивает доказательства и объявляет «виновен» или «невиновен» без объяснения причин. Но когда алгоритм вполне ясен, а вычисления несложные, предусмотреть и предотвратить трудности и неоднозначности не так сложно.
Мы с вами обсудили игрушечные модели байесовских рассуждений, которые содержат совсем немного утверждений. Все, что мы сделали, — поразмышляли о том, насколько вероятно одно утверждение при условии другого. Но в судебных разбирательствах доводов и свидетельств много, с ними связано еще больше утверждений, таких как «подозреваемый был на месте преступления», «ДНК подозреваемого соответствует следам крови на жертве» или «поблизости видели серебристый автомобиль». Байесовская сеть отображает все эти факторы и их взаимовлияние в виде ориентированного графа: набора блоков, соединенных стрелками. Каждый фактор отображается блоком, а каждое влияние — стрелкой. Каждой стрелке сопоставлено число: условная вероятность фактора, к которому ведет стрелка, при условии фактора, от которого она ведет. Обобщенная теорема Байеса по такому графу позволяет вычислять вероятность любого конкретного фактора при условии любого другого или даже при условии всех известных факторов.
130
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Фентон и его коллеги предполагают, что байесовские сети, тщательно реализованные, разработанные и проверенные, могут стать важным юридическим инструментом, способным «моделировать правильные соответствующие гипотезы и полный причинный контекст доказательств». Конечно, остается много вопросов о том, какие виды доказательств поддаются такому инструменту, и эти вопросы необходимо обсудить и согласовать. Тем не менее основное препятствие такому обсуждению — существующие серьезные культурные барьеры между наукой и законом.
ГЛАВА 8 | Вы уверены?
131


ГЛАВА 9
ЗАКОН И БЕСПОРЯДОК
От холодного к горячему тепло не перейдет. Не веришь — сам попробуй, но тебе не повезет.
Майкл Фландерс и Дональд Суонн «Первый и второй законы»
ОТ ЗАКОНА И ПОРЯДКА к закону и беспорядку. От дел человеческих к физике.
Только немногие научные принципы известны даже домохозяйкам или близки к такой известности, и среди них — второй закон термодинамики. В своей знаменитой лекции Рида1 1959 года «Две культуры и научная революция» писатель Ч. П. Сноу заявил, что ни один человек не может считать себя культурным, если он не знает, в чем этот закон заключается:
Множество раз мне приходилось бывать в обществе людей, которые по нормам традиционной культуры считаются высокообразованными. Обычно они с большим пылом возмущаются литературной безграмотностью ученых. Как-то раз я не выдержал и спросил, кто из них может объяснить, что такое второе начало термодинамики. Ответом было молчание или отказ. А ведь задать этот вопрос ученому значит примерно то же самое, что спросить у писателя: «Читали ли вы Шекспира?»2
Традиционная ежегодная лекция в Кембриджском университете, названная в честь Роберта Рида, судьи XVI века. В 1959 году чести прочитать ее удостоился Чарльз Перси Сноу, английский писатель, ученый и государственный деятель. — Прим. перев.
Цит. по книге Сноу Ч. П. Портреты и размышления. — М.: Прогресс, 1985. — Прим. перев.
132
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Сноу справедливо замечает: фундаментальная наука не меньше, чем, скажем, умение цитировать в оригинале Горация, или Байрона, или Колриджа, является частью человеческой культуры. С другой стороны, ему следовало бы выбрать пример получше, потому что даже многие ученые не на короткой ноге со вторым законом термодинамики [32].
Правда, Сноу на этом не остановился. Он заявил, что из десяти образованных людей не более одного может объяснить смысл более простых понятий, таких как масса или ускорение, — а ведь это научный эквивалент вопроса «Умеешь ли ты читать?». Литературный критик Ф. Р. (Фрэнк Рэймонд) Ливис ответил на это, что существует только одна культура, его собственная, чем, собственно, и подтвердил, что слова Сноу относятся и к нему тоже.
Майкл Фландерс и Дональд Суонн эстрадный комический дуэт — поддержали Сноу и написали одну из самых популярных своих комических песен, которые они исполняли в 1950-х и 1960-х годах, строчки из нее и стали эпиграфом к этой главе [33]. Из песни мы понимаем, что, научно формулируя второй закон, мы вступаем на довольно скользкий путь, и заканчивается песня Фландерса и Суонна строчкой «Да, это энтропия, чувак».
Термодинамика — это наука о тепле и о том, как оно может передаваться от одного объекта или системы к другому. Примеры — чайник, в котором кипит вода, или воздушный шар над свечой. Самые известные термодинамические переменные — температура, давление и объем. Закон для идеального газа описывает, как они связаны: произведение объема и давления пропорционально абсолютной температуре. Так, например, если мы нагреем воздух в воздушном шаре, температура вырастет, поэтому должен увеличиться или объем (воздушный шар расширяется), или давление внутри шара (воздушный шар лопнет), или оба они понемногу. Здесь я игнорирую очевидное соображение, что тепло может сжечь или расплавить воздушный шар, — оно выходит за рамки закона для идеального газа.
Еще одна термодинамическая переменная — теплота. Это не то же самое, что температура, и во многих отношениях проще. Гораздо более тонкое понятие — энтропия,
ГЛАВА 9 | Закон и беспорядок
133


зачастую ее неформально описывают как меру беспорядка термодинамической системы. Согласно второму закону, в любой системе, не подверженной влиянию извне, энтропия всегда растет. Здесь «беспорядок» — это не определение, а метафора, и ее легко интерпретировать неправильно.
У второго закона термодинамики есть важные для научного понимания окружающего мира следствия. Одни из них имеют космический масштаб: тепловая смерть Вселенной, когда в далеком будущем все превратится в однородный тепленький супчик. Другие — просто недоразумения, например утверждение, что второй закон делает эволюцию невозможной, потому что более сложные организмы более упорядоченны. А некоторые совсем уж загадочны и даже парадоксальны: «стрела времени», в которой энтропия,
по-видимому, выделяет направление потока времени, хотя уравнения, из которых выводится второй закон, не меняются, в каком бы направлении время ни текло.
Теоретическим базисом для второго закона служит кинетическая теория, построенная австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1870-х годах. Это простая математическая модель движения в газе молекул, которые представлены в виде крошечных твердых сфер, сталкивающихся друг с другом и разлетающихся в разные стороны. Предполагается, что среднее расстояние между молекулами очень велико по сравнению с их размерами. Молекулы газа не упакованы плотно, как в жидкости или, тем более, в твердом теле. В то время большинство ведущих физиков не верили в молекулы. Они даже не верили, что материя состоит из атомов, которые объединяются в молекулы, а потому Больцману трудно было убедить окружающих в своих идеях. Его идеи не встречали поддержки на протяжении всей карьеры, и в 1906 году во время отпуска Больцман повесился. Трудно сказать, было ли тому причиной неприятие его идей, но это неприятие, безусловно, было ошибочным.
Главная особенность кинетической теории в том, что на практике движение молекул выглядит случайным. Именно поэтому глава о втором законе термодинамики появилась в книге о неопределенности. Хотя модель сталкивающихся и отскакивающих друг от друга шаров детерминистская, их
134
Иэн Стюарт
Случайный Бог


движение хаотично. Но математикам потребовалось более столетия, чтобы это доказать [34].
РАЗВИТИЕ ТЕРМОДИНАМИКИ И КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ шло путями извилистыми, поэтому я опущу мелкие подробности и буду обсуждать только газы — самый простой случай теории. Эта область физики прошла два основных этапа. На первом этапе, в классической термодинамике, важными характеристиками газа были макроскопические переменные, описывающие его общее состояние. Мы о них уже говорили: температура, давление, объем и т. д. Ученые знали, что газ состоит из молекул (хотя до начала 1900-х годов в этом не было уверенности), но точное положение и скорости этих молекул не рассматривались, пока общее состояние не менялось. Например, теплота — это общая кинетическая энергия молекул. Когда в результате столкновений одни из них ускоряются, а другие замедляются, общая энергия остается постоянной, поэтому такие изменения не влияют на макроскопические переменные. Математика должна была описать, как макроскопические переменные связаны друг с другом, и использовать полученные уравнения («законы»), чтобы сделать вывод о поведении газа. Сначала главным приложением этой теории было конструирование паровых двигателей и другого промышленного оборудования. Именно теоретический анализ предельной эффективности паровых двигателей привел к понятию энтропии.
На втором этапе систему рассматривали в основном на микроуровне, интересуясь преимущественно положением и скоростью отдельных молекул газа. Первая и главная теоретическая проблема состояла в том, чтобы описать, как изменяются эти переменные, когда молекулы перемещаются внутри контейнера; вторая — в том, чтобы вывести законы классической термодинамики из этой более подробной ми- кроуровневой картины. Позднее в теорию включили квантовые эффекты. Так появилась квантовая термодинамика, которая рассматривает новые понятия, такие как информация, и предоставляет подробные обоснования классической теории.
ГЛАВА 9 | Закон и беспорядок
135


В классическом подходе энтропия системы определяется косвенно. Сначала мы определяем, как изменяется эта переменная при изменении самой системы; затем мы складываем все эти крошечные изменения, чтобы получить энтропию. Если состояние системы меняется немного, изменение энтропии — это изменение теплоты, деленное на температуру. (Если изменение состояния достаточно мало, температуру можно считать постоянной во время изменения.) Большое изменение можно рассматривать как множество последовательных небольших изменений. Соответствующее изменение энтропии представляет собой сумму всех небольших изменений на каждом шаге. Говоря строгим языком математического анализа, это интеграл всех изменений.
Но так мы работаем с изменением энтропии, а что насчет ее самой? С точки зрения математики изменение энтропии не определяет энтропию однозначно: оно определяет ее с точностью до некоторого постоянного слагаемого. Мы можем уточнить эту постоянную, сделав конкретный выбор для энтропии в некотором четко определенном состоянии. Обычно выбор состояния основан на идее абсолютной температуры. В большинстве распространенных шкал для измерения температуры, таких как шкала Цельсия (обычно применяют в Европе) или Фаренгейта (в Америке), имеется некоторый произвол. Для шкалы Цельсия О °С определяется как точка таяния льда, а 100 °С — как точка кипения воды. По шкале Фаренгейта соответствующие значения составляют 32 °F и 212 °F. Первоначально Даниэль Фаренгейт принял значение 100 °F для температуры человеческого тела, а 0 °F — для самой холодной температуры, какую мог получить. Такой опрометчивый выбор и привел к значениям 32 и 212. В принципе этим двум температурам можно было присвоить любые два числа на свой вкус или выбрать совсем другие температуры, например температуры кипения азота и свинца.
Ученые пытались достичь все более и более низких температур и в какой-то момент обнаружили, что существует предел того, насколько холодным может быть тело. Это примерно -273 °С. Такая температура называется абсолютным нулем. При ней прекращается все тепловое движение
136
Иэн Стюарт
Случайный Бог


в смысле классической термодинамики. Сколько ни старайся, более низкой температуры не достичь. Температурная шкала Кельвина названа в честь ирландско-шотландского физика лорда Кельвина. Она представляет собой термодинамическую шкалу температуры с началом отсчета в абсолютном нуле. Единица температуры — Кельвин (обозначается °К). Эта шкала почти такая же, как по Цельсию, только к каждому значению температуры прибавляется 273. Теперь лед тает при 273 К, вода кипит при 373 К, а абсолютный нуль — это О К. Энтропия системы теперь определяется (с точностью до выбора единиц) добавлением произвольного слагаемого так, что энтропия равна нулю, когда абсолютная температура равна нулю.
Это классическое определение энтропии. Современное определение в терминах статистической механики в некоторых отношениях еще проще. Хотя это сразу и не очевидно, для газов оба определения сводятся к одному и тому же, поэтому ничего страшного, если мы будем использовать одно и то же слово в обоих случаях. Современное определение работает в терминах состояний на микроуровне, для краткости мы будем называть их микросостояниями. Рецепт прост: если система может существовать в любом из равновероятных N микросостояний, то энтропия S задается равенством
S = kB In N,
где kB — постоянная, называемая постоянной Больцмана. Она равна 1,38065 х 10-23 Дж/К. Здесь In — натуральный логарифм, логарифм по основанию е- 2,71828... . Другими словами, энтропия системы пропорциональна логарифму числа микросостояний, которые она в принципе может занимать.
Давайте рассмотрим пример. Предположим, что система — это колода карт, а микросостояние — это любой из порядков, в котором карты могут расположиться после тасования. Как мы видели в главе 4, количество микросостояний равно 52!. Это довольно большое число, оно начинается с 80 658..., всего в нем 68 цифр. Рассчитаем энтропию, взяв логарифм и умножив на постоянную Больцмана:
S = 2,15879 х 10-21.
ГЛАВА 9 | Закон и беспорядок
137


Если мы возьмем другую колоду карт, она будет иметь ту же энтропию S. Объединим теперь эти две колоды и перетасуем получившуюся большую колоду. Количество микросостояний станет равно N = 104!. Это число гораздо больше, оно начинается с 10 299..., и в нем 167 цифр. Энтропия объединенной системы теперь равна
Т - 5,27765 х 10-21.
Сложим энтропии двух подсистем (колод) до их объединения:
2S = 4,31758 х 10~21.
Мы видим, что Т больше 2S, а значит, энтропия объединенной системы больше, чем сумма энтропий двух подсистем.
В каком-то смысле объединенная колода заключает все возможные взаимодействия между картами двух отдельных колод. Мы не только можем перетасовать каждую колоду по отдельности; мы можем получить новые комбинации, смешивая их вместе. Таким образом, энтропия системы, когда взаимодействия между подсистемами разрешены, больше, чем сумма энтропий двух подсистем, которые не взаимодействуют между собой. Марк Кац, специалист по вероятности, описал этот эффект на примере двух блохастых кошек. Когда кошки разлучены, блохи жизнерадостно скачут, но только на «своей» кошке. Если кошки общаются, то могут обменяться насекомыми, и количество возможных расположений для блох увеличивается.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей, поэтому энтропия растет, когда число микросостояний в объединенной системе больше, чем произведение количеств микросостояний отдельных систем. Так оно часто и бывает, потому что произведение — это количество микросостояний объединенной системы, когда двум подсистемам не разрешается смешиваться. Смешивание дает больше микросостояний.
Теперь представьте себе контейнер с перегородкой, по одну сторону от нее множество молекул кислорода, а по другую — вакуум (рис. 11). Каждая из этих двух отдельных
138
Иэн Стюарт | Случайный Бог


1
4i-
t! !
44—
■ , ,
. —4—
„4-
1 I l j I
~Г'{~
1
4-U
■ft
it
4-U44-
444-H-
_4_
щл.
—]—P® - i~r
- 44-
. .„4^4-
i
“j~
-h4~H~
тТТТГ
-и®
■'fii
Mix:
*4-
4-
.,4-
1 г » »
-rrrtt
■fl~
irf-
-Hr
{---
4-
1"
44:
44444
4rttf-
4'Hti'
“Ни
Hdi
. ■-j-'V r-j
- 4~
> rffUr
.. 4__
+b
Г 1—|—j j-—1
. ..4.
4
^.4,.
-lJL-
-t+
±i±i±
4444^444^.1^.4444.
i ) ‘ i \ j ' i \ v \ 1 5 «
:: j*:i: xj .т:|:фх:П : Hi
XTil т ПХШ5ХЕШ*.
-H-H-H-H-lt-'H-H-
— ^ j-.L-.L-4. i V^J i—
J* 1:444.14:444.1.44.
_^H4^_l4_++4_^^|._
...j. 4 ...-y- .
• -• L-:
44.4_l-4_b.y4_l_f^4444_
-f-t- t тт i -'4~-4‘p't'+'4 t4'
-+-ЬНт1'"Н*Н-Н++'
Рис. 11. Слева: контейнер с перегородкой. Справа: когда перегородку убрали, стало больше новых микросостояний.
Разбиение на ячейки показано серыми клеточками
подсистем имеет свою энтропию. Микросостояниями можно считать способы упорядочения положений отдельных молекул. Чтобы их описать, разделим пространство на большое, но конечное количество очень маленьких ячеек и используем их, чтобы сказать, где находятся молекулы. Удалим перегородку: все старые микросостояния молекул все еще существуют. Но есть много новых микросостояний, потому что молекулы могут попасть в другую половину контейнера. Новых способов гораздо больше, чем старых, и в конце концов с огромной вероятностью газ равномерно заполнит весь контейнер.
Итак, количество доступных микросостояний при удалении перегородки увеличивается, поэтому энтропия — логарифм этого числа — также увеличивается.
Физики говорят, что состояние с перегородкой упорядочено в том смысле, что множество молекул кислорода в одной части находится отдельно от вакуума в другой. Когда перегородку удаляют, части больше не отделяются, поэтому состояние становится более беспорядочным. В этом смысле энтропию можно понимать как количество беспорядка. Это не самая полезная метафора.
И ТУТ МЫ ПОДОШЛИ к пресловутому вопросу о стреле времени.
Детальная математическая модель газа — конечное число очень маленьких жестких шариков, сталкивающихся и разлетающихся внутри контейнера. Каждый шарик представляет одну молекулу газа. Столкновения между моле¬
ГЛАВА 9 | Закон и беспорядок
139


кулами предполагаются абсолютно упругими; это значит, что при столкновении энергия не исчезает и не возникает. Предполагается также, что, когда шарик сталкивается со стенкой, он отскакивает так, как идеализированный бильярдный шар при ударе о бортик: угол падения равен углу отражения (без вращения), и движение продолжается с той же скоростью, что и до удара о стенку (идеально упругая поверхность). Энергия, опять же, сохраняется.
Поведение этих маленьких шариков подчиняется ньютоновским законам движения. Особенно важен здесь второй закон: сила, действующая на тело, равна его ускорению, умноженному на его массу. (Первый закон гласит, что если на тело не действуют никакие силы, то оно движется с постоянной скоростью по прямой; третий — что всякому действию сопоставлено равное по силе и противоположное по направлению противодействие.) Когда мы изучаем механические системы, мы обычно знаем силы и хотим знать, как движется частица. По второму закону Ньютона в любой момент ускорение равно силе, деленной на массу. Это относится к каждому из маленьких шариков, поэтому в принципе мы можем выяснить, как все они движутся.
Когда мы применяем законы движения Ньютона, возникает дифференциальное уравнение: оно описывает скорость, с которой величины изменяются с течением времени. Обычно нас интересуют сами величины, а не скорость их изменения, но, зная скорости изменения, мы можем найти сами величины, применив интегральное исчисление. Ускорение — это скорость изменения скорости, а скорость — это скорость изменения положения. Чтобы выяснить, где находятся шарики в любой заданный момент, мы находим все ускорения на основании закона Ньютона, а затем применяем анализ, чтобы найти их скорости, а потом еще раз анализ, чтобы получить местоположение.
Для этого требуется еще два ингредиента. Первый — это начальные условия. Они указывают, где все шарики находятся в начальный момент (скажем, в момент времени t = 0) и как быстро они двигаются (и в каком направлении). Эта информация задает единственное решение уравнений, описывающих, что происходит с начальным расположением
140
Иэн Стюарт | Случайный Бог


с течением времени. Для сталкивающихся шаров все сводится к геометрии. Каждый шар движется с постоянной скоростью по прямой (направление его начальной скорости задано), пока не столкнется с другим шаром. Второй ингредиент — это правило, описывающее то, что происходит потом: шары отскакивают друг от друга, приобретая новые скорости и направления, и снова продолжают движение по прямой до следующего столкновения и так далее. Эти правила и определяют кинетическую теорию газов, из них могут быть выведены газовые законы.
Законы движения Ньютона для любой системы движущихся тел приводят к уравнениям, которые обратимы во времени. Если мы возьмем какое-либо решение уравнений и обратим время вспять (изменив временную переменную t на противоположную ей — t), мы также получим решение уравнений. Обычно это не то же самое решение, хотя иногда оно может быть тем же. Представьте, что сняли фильм с решением и запустили его в обратном направлении. Интуитивно понятно, что вы опять увидите решение.
И правда, представьте, что вы бросаете мяч вертикально вверх. Вначале его движение довольно быстрое, затем он замедляется, поскольку сила тяжести тянет его вниз, на мгновение замирает неподвижно, а затем падает, ускоряясь, пока вы не поймаете его снова. Запустите этот фильм в обратном направлении — то же самое описание подойдет и теперь. Или ударьте бильярдный шар кием, чтобы он ударился о бортик и отскочил; запустите фильм в обратном направлении и снова увидите, как мяч ударяется о бортик и отскакивает. Как показывает этот пример, возможность отскока шара не мешает обратимости, если правило отскока работает в обратном направлении так же, как и в прямом.
Тут все ясно, но все мы понимаем, что, когда некоторые фильмы запускают в обратном направлении, происходят странные вещи. Яичный белок и желток в миске внезапно поднимаются в воздух, попадают между двумя половинками яичной скорлупы, те соединяются, и в руке повара оказывается целехонькое яйцо. Осколки стекла загадочно движутся по полу навстречу друг другу и собираются в неповрежденную вазу, которая подпрыгивает вверх. Водопад течет вверх
ГЛАВА 9 | Закон и беспорядок
141


по скале, а не падает вниз. Вино поднимается из бокала обратно в бутылку. Если это шампанское, пузырьки сжимаются и возвращаются в бутылку вместе с вином; пробка внезапно появляется на некотором расстоянии и протискивается обратно в горлышко бутылки, закупоривая ее. Несимпатично выглядит задом наперед фильм, в котором люди едят кусочки торта, — лучше не пытайтесь это представить!
Большинство процессов в реальной жизни обессмысливаются, если обратить время вспять. Хотя исключения, конечно, есть. Кажется, что время течет только в одном направлении: стрела времени указывает из прошлого в будущее.
Тут нет ничего удивительного. Фильм, запущенный задом наперед, на самом деле не обращает вспять время. Он просто дает нам представление о том, что случилось бы, если такое было возможно. Но термодинамика подкрепляет необратимость стрелы времени. Второй закон гласит, что энтропия растет с течением времени. Запустите его назад, и вы получите процесс, в котором энтропия уменьшается, нарушая второй закон. Опять же, это имеет смысл; вы даже можете определить стрелу времени как направление, в котором энтропия растет.
Однако все усложняется, когда мы пытаемся соотнести эти рассуждения с кинетической теорией. Второй закон Ньютона гласит, что система обратима во времени; а второй закон термодинамики — что это не так. Но ведь законы термодинамики следуют из законов Ньютона. В этом есть что-то не то; как сказал Шекспир, «пала связь времен»1.
Об этом парадоксе написано много книг, и многие из них на высоком научном уровне. Еще Больцмана беспокоил этот вопрос, когда он создавал кинетическую теорию. Часть ответа — в том, что законы термодинамики статистические. Их нельзя применять к каждому отдельно взятому решению уравнений Ньютона для миллиона сталкивающихся шаров. В принципе все молекулы кислорода могут собраться в одной половине контейнера. Но обычно они так не поступают; вероятность того, что это произойдет, равна примерно 0,000000... — нулей после запятой так много, что они не уместятся на нашей планете.
Гамлет», акт I, сцена 5, в переводе А. Кронеберга. — Прим. перев.
142
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Но это еще не конец истории. Каждому решению, в котором энтропия со временем растет, соответствует обращенное во времени решение, в котором энтропия со временем уменьшается. Очень редко эти два решения совпадают (брошенный мяч, если начальные условия взяты в момент, когда он достигает верхней точки своей траектории; бильярдный шар, если начальным считается момент столкновения с бортиком). За этими редкими исключениями, решения ходят парами: одно с растущей энтропией; другое с убывающей. Нет смысла утверждать, что статистические эффекты выбирают только одну половину. Это все равно что говорить, что симметричная монетка всегда падает орлом.
Еще в одном частичном решении имеет место нарушение симметрии. Помните, я сказал, что, когда вы обращаете во времени решение законов Ньютона, вы обязательно получаете решение, хотя и не обязательно то же, что и было. То, что симметричны во времени законы, не обязательно означает, что симметрично и любое отдельное решение. Это верно, но бесполезно, потому что решения все равно ходят парами и прежняя проблема никуда не девается.
Так почему же стрела времени направлена только в одну сторону? У меня такое ощущение, что ответ заключается в чем-то таком, на что никто не обращает внимания. Все сосредоточиваются на симметрии по времени законов. Я думаю, что следовало бы учесть асимметрию во времени начальных условий.
Сами эти слова звучат предупреждением. Когда время обращается вспять, начальные условия перестают быть начальными. Они теперь финальные. Когда мы фиксируем, что происходит в нулевой момент времени, и выводим движение для положительного времени, мы уже задаем направление стрелы. Это звучит глупо, ведь математика также позволяет судить нам и о том, что происходит в отрицательное время, но давайте притормозим и разберемся. Давайте сравним процесс, когда ваза падает и разбивается, с обратным: разбитые осколки соединяются и воссоздают вазу заново.
В сценарии «разбить» начальные условия просты: неповрежденная ваза, удерживаемая на некоторой высоте. Ее роняют. Время идет, ваза падает и разбивается на тысячи
ГЛАВА 9 | Закон и беспорядок
143


крошечных осколков. Конечные условия очень сложны, упорядоченная ваза превратилась в неупорядоченный хлам на полу, энтропия увеличилась, второй закон выполнен.
Сценарий «воссоздать» совсем не такой. Начальные условия сложны: множество крошечных осколков стекла. Они кажутся неподвижными, но на самом деле все они очень медленно двигаются. (Помните, мы игнорируем трение.) Время идет, осколки собираются вместе и образуют целехонькую вазу, которая поднимается вверх. Конечные условия очень просты: беспорядок на полу превратился в упорядоченную вазу, энтропия уменьшилась, а второй закон не выполнен.
Отличие этих сценариев не имеет отношения к закону Ньютона или его обратимости. И дело не в энтропии. Оба сценария не противоречат закону Ньютона; отличие заключается в выборе начальных условий. Сценарий «разбить» легко запустить экспериментально, потому что начальное условие легко организовать: взять вазу, поднять ее, уронить. Сценарий «воссоздать» невозможно осуществить на практике, потому что начальное условие слишком сложное и слишком детализированное. В принципе оно существует, потому что мы можем решить уравнения для движения падающей вазы вплоть до некоторого момента после падения. Затем мы возьмем это состояние в качестве начального условия, но только со всеми противоположными скоростями. Симметрия математики говорит нам, что ваза действительно воссоздастся, но только если мы в точности воссоздадим эти невероятно сложные «начальные» условия.
Наша способность решать задачи для отрицательного времени также начинается с неповрежденной вазы. Мы рассчитываем, как она попала в это состояние. Скорее всего, кто-то поместил ее туда. Но если вы заставите законы Ньютона работать в обратном направлении во времени, вы не выведете из них невесть откуда взявшуюся руку. Частиц, составляющих руку, нет в модели, с которой вы работаете. Вы получаете гипотетическое прошлое, которое математически согласуется с выбранным «начальным» состоянием. На самом деле, бросить вазу вверх — это обратимый во времени процесс, поэтому обратное решение будет включать падение
144
Иэн Стюарт | Случайный Бог


вазы на землю, и по «симметрии» она все равно разобьется. Но в обратном времени.
Полная история вазы — вовсе не то, что произошло на самом деле, потому что Длань Бога в нулевой момент времени не входит в модель. Полная история вазы начинается из тысяч осколков стекла, которые начинают сближаться, соединяться в настоящую вазу, та поднимется вверх целехонькой, достигнет пика траектории в нулевой момент времени, затем упадет, разобьется и разлетится на тысячи осколков. Первоначально энтропия уменьшится; но затем она опять увеличится.
Примерно то же [35] говорит в своей книге «Срок времени» Карло Ровелли. Энтропия системы определяется соглашением не проводить различий между определенными конфигурациями (для этого мы делали разбиение на ячейки). Таким образом, энтропия зависит от того, какая информация о системе нам может быть доступна. По его мнению, мы не ощущаем стрелу времени как направление, в котором энтропия увеличивается. Наоборот, нам кажется, что энтропия растет, потому что по нашим ощущениям прошлое имеет меньшую энтропию, чем настоящее.
Я сказал, что воспроизвести исходные условия в эксперименте с разбиванием вазы легко, но в некотором смысле это вовсе не так. Да, я пойду в магазин и куплю вазу. Но откуда она взялась в магазине? Если мы проследим ее историю, то, вероятно, узнаем, что составляющие ее молекулы прошли через множество циклов переработки и переплавки; они взяты из других стеклянных предметов, зачастую разбитых во время переработки или до нее. Все осколки в конце концов восходят к песчинкам, расплавленным, чтобы получить стекло. Настоящие «начальные условия» десятилетия или столетия назад были не менее сложными, чем те, которые я объявил невозможными в сценарии «воссоздать» вазу.
И все же, о чудо! Вазу сделали.
Опровергает ли это второй закон термодинамики?
Вовсе нет. Кинетическая теория газов — да и вся термодинамика — основана на упрощениях. Она моделирует некоторые типовые сценарии, и модели хороши, когда эти сценарии выполняются.
ГЛАВА 9 | Закон и беспорядок
145


Одно из таких упрощений — предположение, что система «изолирована». Обычно его формулируют так: «система не обменивается энергией с внешней средой». Но на самом деле нам нужно требование «не допускается обмен с внешней средой, не встроенный в модель». Изготовление вазы из песка включает в себя огромное количество обменов, которые не учитываются, если вы отслеживаете только молекулы в вазе.
Все традиционные сценарии в книгах по термодинамике опираются на это упрощение. В них обсуждаются контейнеры с перегородками, отгораживающими молекулы газа в одной половине (или что-то в этом духе). Так объясняют, что, если вы после этого уберете перегородку, энтропия возрастет. Но в книгах не пишут, как газ в контейнере попал в такое исходное состояние. В нем энтропия меньше, чем тогда, когда газ был частью земной атмосферы. Да, в таком случае это уже не изолированная система. Но ведь на самом деле очень важен тип системы или, более конкретно, предполагаемые начальные условия. Математика ничего не говорит нам о том, как эти условия были созданы. Если мы запустим обратно во времени модель с разбитой вазой, то она не приведет нас назад к песку. Так что на самом деле модель относится только к привычному направлению времени. В приведенном выше описании я выделил курсивом два слова: после этого и исходное. Во времени, текущем вспять, они должны превратиться в до того и конечное. Термодинамика задает времени единственное направление несмотря на то, что ее уравнения обратимы во времени. Причина в том, что в рассмотренных сценариях направление времени встроено, оно определяется начальными условиями.
Это давняя история, и в истории человечества она повторялась не раз. Все настолько сосредоточены на содержании, что игнорируют контекст. Здесь содержание обратимо, а контекст нет. Вот почему термодинамика не противоречит Ньютону. Но есть и еще одно следствие. Обсуждение такого тонкого понятия, как энтропия, такими расплывчатыми словами, как «беспорядок», может привести к путанице.
146
Иэн Стюарт
Случайный Бог


ГЛАВА 10
НЕ ПРЕДСКАЗЫВАЯ ПРЕДСКАЗУЕМОЕ
Мы требуем жестко установленных границ сомнения и неопределенности!
Дуглас Адамс «Автостопом по Галактике»
В XVI-XVII веках два великих естествоиспытателя обнаружили в окружающем мире математические закономерности. Галилео Галилей обнаружил их на земле, наблюдая за катящимися шарами и падающими телами. Иоганн Кеплер обнаружил их на небесах, наблюдая, как движется по орбите планета Марс. Основанные на их работах, «Математические начала натуральной философии» Ньютона в 1687 году изменили наше представление о мире, открыв глубокие математические законы, которые управляют неопределенностями природы. И сразу же многие явления, от приливов до движения планет и комет, стали предсказуемыми. Европейские математики быстро перевели открытия Ньютона на язык анализа, а потом применили аналогичные методы к теплоте, свету, звуку, волнам, жидкостям, электричеству и магнетизму. Родилась математическая физика.
Самый важный посыл «Начал» в том, что описать, как ведет себя природа, — не главная цель. Вместо этого мы должны искать глубокие законы, которые управляют ее поведением. Зная законы, мы можем понять поведение, обрести власть над окружающей средой и снизить неопределенность. Многие из этих законов имеют очень специальный вид: они представляют собой дифференциальные уравнения, выражающие состояние системы в любой данный момент в
ГЛАВА 10 | Не предсказывая предсказуемое
147


зависимости от скорости изменения состояния. Уравнение задает законы, или правила игры. Его решение определяет поведение системы, или игру в любой момент времени: в прошлом, настоящем и будущем. Вооружившись уравнениями Ньютона, астрономы могли с большой точностью предсказать движение Луны и планет, время затмений и орбиты астероидов. Неопределенные и беспорядочные движения небес, управляемых прихотями богов, люди заменили на огромный космический механизм, работа которого полностью определялась его устройством.
Человечество научилось предсказывать непредсказуемое.
В 1812 году Лаплас в своем эссе «Опыт философии теории вероятностей» писал, что в принципе Вселенная полностью детерминирована. Если бы достаточно разумное существо знало настоящее состояние каждой частицы во Вселенной, оно могло бы вывести весь ход событий, как прошлых, так и будущих, во всех подробностях. «Для такого разума — писал Лаплас, — ничего не было бы неясного и будущее существовало бы в его глазах точно так же, как прошлое». Эту точку зрения в книге «Автостопом по Галактике» спародировал Дуглас Адамс. Суперкомпьютер Думатель семь с половиной миллионов лет размышлял над «главным вопросом жизни, Вселенной и всего такого» и в конце концов дал ответ: 42. Для астрономов своей эпохи Лаплас был в значительной степени прав. В те времена Думатель получал бы отличные ответы, как и его собратья наших дней. Но когда астрономы начали задавать более сложные вопросы, стало ясно, что, хотя в принципе Лаплас, может быть, и прав, не все так просто. Иногда для прогноза какой-либо системы всего на несколько дней вперед требовались невероятно точные данные о состоянии системы сейчас. Такое явление называется хаосом, и оно полностью изменило наши представления о связи между детерминированным и предсказуемым. Мы можем знать законы детерминированной системы в совершенстве, и вместе с тем не можем предсказать ее состояние. Как ни парадоксально, это не объясняется проблемами с будущим. Все дело в том, что мы не можем достаточно точно знать настоящее.
148
Иэн Стюарт | Случайный Бог


НЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕШИТЬ ПРОСТО, а их решения ведут себя регулярно. Это линейные уравнения. Грубо говоря, они описывают системы, в которых последствия пропорциональны причинам. Такие уравнения могут хорошо описывать природные явления, когда изменения невелики. Создатели математической физики обычно вводили это ограничение, чтобы заставить работать свои теории. Нелинейные уравнения сложнее. Зачастую до появления быстрых компьютеров найти их решения не удавалось, но, как правило, нелинейные уравнения лучше моделируют природные явления. В конце XIX века французский математик Анри Пуанкаре разработал новый подход к нелинейным дифференциальным уравнениям — геометрический. Его идея — «качественная теория дифференциальных уравнений» — положила начало медленной революции в нашей борьбе с нелинейностью.
Чтобы разобраться с идеями Пуанкаре, давайте рассмотрим простую физическую систему — маятник. Простейшая модель маятника — стержень с тяжелым грузом на одном конце, шарнирно закрепленный в фиксированной точке и качающийся в вертикальной плоскости (рис. 12). На груз
Рис. 12. Маятник и две переменные, задающие его состояние: положение, измеряемое углом в направлении против часовой стрелки, и скорость, также измеряемая против часовой стрелки (угловая скорость)
ГЛАВА 10 | Не предсказывая предсказуемое
149


действует сила тяжести, направленная вниз, и изначально мы предполагаем, что никакие другие силы не действуют, даже трение. Все мы представляем, что происходит в старинных дедушкиных маятниковых часах: маятник мерно движется туда-сюда. (Пружина или груз на шкиве компенсирует любую энергию, потерянную из-за трения.) По легенде, маятниковые часы придумал Галилей, когда в церкви наблюдал за раскачивающимся паникадилом. Он заметил, что время качания было одинаковым, на какой бы угол ни отклонялось паникадило. Линейная модель подтверждает это наблюдение, пока колебания малы, но более точная нелинейная модель показывает, что оно неверно для больших колебаний.
Обычно движение описывают дифференциальным уравнением, составленным на основе законов Ньютона. Ускорение груза определяется действием силы тяжести в направлении его движения, а направлено оно по касательной к окружности в той точке, где находится груз. Скорость в любой момент времени может быть найдена из ускорения, а отсюда уже можно вычислить и положение груза. Таким образом, динамическое состояние маятника определяется этими двумя переменными: положением и скоростью. Например, если в стартовой точке он висит вертикально вниз, а скорость его нулевая, то просто остается в этом положении; но если начальная скорость не равна нулю, маятник начнет качаться.
Решить полученную нелинейную модель очень трудно; столь трудно, что для точного решения пришлось изобрести новый математический инструмент — эллиптические функции. Пуанкаре предложил мыслить геометрически. Две переменные — положение и скорость — становятся координатами в так называемом «пространстве состояний». Оно представляет собой все возможные комбинации двух переменных — все возможные динамические состояния. Положение задается углом; обычно его измеряют против часовой стрелки от самой нижней точки. Здесь 360° — это тот же угол, что и 0°, поэтому эта координата, пройдя круг, возвращается к стартовой точке, как показано на рисунке. Скорость — это на самом деле угловая скорость, которая может быть любым действительным числом: положительным для движения против часовой стрелки, отрицательным для движения по часовой
150
Иэн Стюарт | Случайный Бог


стрелке. Таким образом, пространство состояний (его еще называют фазовым пространством по причинам, для меня непостижимым) представляет собой бесконечно длинный цилиндр с круглым поперечным сечением. Высота точки на цилиндре задает скорость, угол поворота задает положение.
Начнем раскачивать маятник с некоторыми начальными положением и скоростью; эта комбинация задает точку на цилиндре. Два числа изменяются с течением времени, подчиняясь дифференциальному уравнению, при этом точка движется по поверхности цилиндра, описывая кривую (может случиться так, что она остается неподвижной, и кривая описывает эту единственную точку). Кривая представляет собой траекторию этого начального состояния и рассказывает нам, как движется маятник. Разные начальные состояния приводят к разным кривым. Отберем и изобразим некоторые из них — получится красивый рисунок, называемый фазовым портретом. На рис. 13 я разрезал цилиндр вертикально вдоль линии, соответствующей 270°, и развернул на плоскость, чтобы прояснить геометрию событий.
Скорость
Положение I I
0 180
Рис. 13. Фазовый портрет маятника. Левая и правая стороны прямоугольника отождествляются, потому что положение — это угол. А — центр; В — седло; С — гомоклиническая траектория;
D — еще одна гомоклиническая траектория
ГЛАВА 10 | Не предсказывая предсказуемое
151


Большинство траекторий представляют собой плавные кривые. Все линии, уходящие за пределы рисунка справа, возвращаются слева, потому что представляют собой единое целое на цилиндре; таким образом, большинство кривых получаются замкнутыми. Все эти плавные траектории периодические: маятник повторяет одни и те же движения снова и снова, вечно. Траектории вокруг точки А описывают положение дел в дедушкиных часах; маятник качается туда-сю- да, никогда не достигая вертикального положения на 180°. Другие траектории, выше и ниже толстых линий, описывают движение маятника по кругу; маятник вращается, как пропеллер, либо против часовой стрелки (выше темной линии), либо по часовой стрелке (ниже). Точка А описывает состояние, когда маятник неподвижен, свисая вертикально вниз. Точка В интереснее (и не встречается в дедушкиных часах): маятник неподвижен, направлен вертикально вверх. Теоретически он может находиться в этом положении равновесия вечно, но на практике это состояние неустойчиво. Малейшее возмущение — и маятник упадет, заняв противоположное положение. Точка А устойчива: небольшое возмущение просто столкнет маятник на крошечную кривую в виде цикла, близкого к А, поэтому маятник начнет едва колебаться.
Особенно интересны толстые кривые С и D. Кривая С — это то, что происходит, если движение маятника начинается с самой верхней точки после очень маленького толчка, так что он вращается против часовой стрелки. Затем он качается назад, пока не поднимется опять почти вертикально. Если дать маятнику лишь необходимый толчок, он будет подниматься все медленнее и стремиться к вертикальному положению, когда время стремится к бесконечности. Обратим время вспять, и маятник тоже будет приближаться к вертикали, но уже с другой стороны. Такую траекторию называют гомоклинической: она ограничивается одним и тем же (гомо) стационарным состоянием как для прямого, так и для обратного течения бесконечного времени. Есть и другая гомоклиническая траектория D, где вращение происходит по часовой стрелке.
Мы описали все возможные траектории. Имеется два состояния равновесия: устойчивое в точке А, неустойчивое в
152
Иэн Стюарт | Случайный Бог


точке В. Есть два вида периодических состояний: дедушкины часы и пропеллер. Две гомоклинические траектории: против часовой стрелки С и по часовой стрелке D. Кроме того, элементы А, В, С и D организуют все это вместе в красивую картинку. Однако на ней отображается далеко не вся информация; в частности, нет данных о времени. Например, рисунок не говорит нам о периоде периодических траекторий. (Некоторую информацию о времени сообщают стрелки: направление, в котором разворачивается траектория со временем.) Однако для прохождения всей гомоклинической траектории требуется бесконечно много времени, поскольку маятник движется все медленнее по мере приближения к верхней точке. Таким образом, период любой траектории, близкой к этой, очень велик, и чем ближе траектория к С или D, тем больше этот период. Вот почему идея Галилея была верна для небольших колебаний, но неверна для больших.
Стационарная точка (или точка равновесия), подобная А, называется центром. Точка типа В представляет собой седло, около нее толстые кривые образуют крестообразную форму. Две из них, расположенные друг напротив друга, ведут в точку В, а две другие — из нее. Их я буду называть входным и выходным множествами В. (В технической литературе они называются устойчивыми и неустойчивыми многообразиями, и такое название, по-моему, не добавляет ясности. Смысл в том, что точки входного множества движутся в направлении В, так что это «устойчивое» направление. Точки на выходном множестве движутся прочь, это «неустойчивое» направление.)
Точка А окружена замкнутыми кривыми. Это происходит потому, что мы игнорируем трение, при этом энергия неизменна. Каждая кривая соответствует определенному значению энергии, представляющему собой сумму кинетической (связанной со скоростью) и потенциальной (обусловленной силой тяжести и зависящей от положения) энергий. Если небольшое трение все же имеется, то мы получаем «затухающий» маятник, и картина меняется (рис. 14). Замкнутые траектории превращаются в спирали, а центр А превращается в сток, то есть все близлежащие состояния движутся к нему. Седло В остается седлом, но выходное множество С
ГЛАВА 10 | Не предсказывая предсказуемое
153


D
С С
о-
D
Скорость
Положение | |
0 180
Рис. 14. Фазовый портрет затухающего маятника. А — сток;
В — седло; С — две ветви выходного множества седла, образующие гетероклинные связи со стоком; D — две ветви входного множества седла
распадается на две части, причем обе они по спирали направляются к А. Это гетероклиническая траектория, соединяющая В с другим (гетеро) стационарным состоянием А. Входное множество D тоже раздваивается, и каждая половина обматывается вокруг цилиндра, не приближаясь к А.
Эти два примера — маятники без трения и с трением — иллюстрируют все основные особенности фазовых портретов, когда пространство состояний двумерно, то есть когда состояние описывается двумя переменными. Надо только отметить, что кроме стоков могут быть истоки: стационарные точки, из которых все траектории ведут наружу. Если обратить направление всех стрелок, А станет истоком. И еще одно замечание: замкнутые траектории могут возникать, даже когда энергия не сохраняется, правда, не в механической модели с трением. Они обычно изолированны — поблизости нет других замкнутых траекторий. Такая замкнутая траектория возникает, например, в стандартной модели сердцебиения, она представляет собой нормально бьющееся
154
Иэн Стюарт | Случайный Бог


сердце. Любая начальная точка вблизи спирали все теснее приближается к замкнутой траектории, так что сердцебиение остается устойчивым.
Знаменитая теорема Пуанкаре и Ивара Бендиксона, по сути, утверждает, что любое типичное дифференциальное уравнение от двух неизвестных может иметь различное число стоков, истоков, седел и замкнутых циклов, которые могут быть разделены гомоклиническими и гетероклиниче- скими траекториями, но ничего другого быть не может. Тут ничего сложного нет, и мы знаем все основные ингредиенты. Но, как мы сейчас увидим, все резко меняется, когда состояние описывается тремя или более переменными.
В 1961 году метеоролог Эдвард Лоренц работал над упрощенной моделью атмосферных потоков. Уравнения он решал на компьютере численно, но как-то раз! ему пришлось прервать работу программы. После паузы он снова ввел цифры вручную, чтобы возобновить расчеты, но оставил некоторое перекрытие в процессе, чтобы убедиться, что все в порядке. Через некоторое время результаты разошлись с его предыдущими расчетами, и он предположил, что ошибся, вводя цифры вручную. Но когда он все проверил, цифры оказались верными. В конце концов Лоренц обнаружил, что компьютер хранит больше цифр, чем выводит. Разница была совсем небольшой, но каким-то образом она резко выросла и повлияла на результат. Лоренц писал: «Один метеоролог заметил, что если теория верна, то один взмах крыльев чайки может напрочь изменить ход погоды».
Замечание было задумано как уничижительное, но Лоренц был прав. Чайка быстро превратилась в более поэтичную бабочку, и его открытие прославилось под названием «Эффект бабочки». Чтобы его изучить, Лоренц применил геометрический метод Пуанкаре. В его уравнениях было три переменных, поэтому пространство состояний было трехмерным. На рис. 15 показана типичная траектория, начинающаяся с нижнего правого края. Она быстро приближается к фигуре, похожей на маску, причем левая половина страницы направлена в нашу сторону, а правая — в противоположную. Траектория некоторое время крутится по спирали внутри одной половины, затем переходит в другую полови-
ГЛАВА 10 | Не предсказывая предсказуемое
155


Рис. 15. Типичная траектория уравнения Лоренца в трехмерном пространстве, сходящаяся к хаотическому аттрактору
ну и продолжает крутиться. Но моменты перехода из одной половины в другую распределены нерегулярно — они выглядят случайными, — и траектория не периодична.
Если начать траекторию в другом месте, она получится совсем другой, но все равно закончится спиралью в той же фигуре в виде маски. Поэтому эта фигура называется аттрактором. Он похож на две плоские поверхности, по одной для каждой половины, которые сходятся в верхнем центре и сливаются. Однако основная теорема о дифференциальных уравнениях гласит, что траектории никогда не сливаются. Значит, две отдельные поверхности должны лежать друг на друге, тесно прилегая. А тогда нижняя поверхность на самом деле имеет два слоя. Но тогда и сливающиеся поверхности также имеют два слоя, так что одна поверхность внизу на самом деле имеет четыре слоя. А тогда...
В этой ситуации только один выход: все видимые поверхности имеют бесконечно много слоев, тесно связанных друг с другом сложным образом. Мы построили пример фрактала — этим словом Бенуа Мандельброт называл любую фигуру, которая сохраняет детальную структуру, сколько ее ни увеличивай.
156
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Лоренц понял, что эта удивительная фигура объясняет, почему второй прогон программы на компьютере отличался от первого. Представьте себе две траектории, начинающиеся очень близко друг к другу. Обе они направляются к одной половине аттрактора, скажем, к левой, и обе крутятся по спирали внутри. Со временем они начинают отдаляться: спиральные пути остаются на аттракторе, но расходятся. Когда они приближаются к середине, где поверхности сливаются, одна из них может направиться к правой половине, в то время как другая еще задержится для нескольких спиралей слева. К тому времени, когда она тоже перейдет в правую половину, первая уйдет уже так далеко, что будет двигаться практически независимо.
Именно это расхождение и приводит к эффекту бабочки. На таком аттракторе траектории, стартующие близко друг к другу, расходятся и становятся по существу независимыми, — даже если обе подчиняются одному и тому же дифференциальному уравнению. Это означает, что вы не можете точно предсказать будущее состояние, потому что любая крошечная начальная ошибка будет расти все быстрее, пока не сравнится по размеру со всем аттрактором. Такой тип динамики называется хаосом, и это объясняет, почему некоторые особенности динамики выглядят совершенно случайными. Однако вся система является полностью детерминированной, без явных случайных элементов в уравнениях [36].
Лоренц назвал это поведение неустойчивым, но теперь мы рассматриваем его как новый тип устойчивости, связанный с аттрактором. Неформально аттрактор можно представлять себе как такую область пространства состояний, что любое начальное условие, начинающееся вблизи этой области, сходится к траектории, лежащей в этой области. В отличие от традиционных аттракторов классической математики — точек и замкнутых контуров, — хаотические аттракторы имеют более сложную топологию, они фрактальны.
Аттрактором может быть точка или замкнутый контур, они соответствуют стационарному и периодическому состояниям. Но в трех или более измерениях все сложнее. Сам аттрактор является объектом устойчивым, и динамика на нем устойчива: если система подвергается малому возмуще-
ГЛАВА 10 | Не предсказывая предсказуемое
157


нию, траектория может резко измениться; однако все равно останется на том же аттракторе. На самом деле почти любая траектория на аттракторе обегает весь аттрактор в том смысле, что она рано или поздно приближается к любой точке аттрактора сколь угодно близко. В течение бесконечного времени почти все траектории плотно заполняют аттрактор. Устойчивость такого рода означает, что хаотическое поведение физически осуществимо, в отличие от обычного понятия неустойчивости. Неустойчивые состояния обычно не встречаются в реальности — например, карандаш, балансирующий на острие. Но в этом обобщенном понятии устойчивости детали не повторяются, а повторяется только общая «структура». Эту ситуацию отражает технический термин для наблюдения Лоренца: не «эффект бабочки», а «чувствительность к начальным условиям».
СТАТЬЯ ЛОРЕНЦА ОЗАДАЧИЛА МНОГИХ МЕТЕОРОЛОГОВ. Они заподозрили, что странное поведение возникло из- за чрезмерного упрощения модели. Им не приходило в голову, что если даже простая модель ведет к такому странному поведению, то сложная может оказаться еще более странной. «Физическая интуиция» подсказывала им, что более реалистичная модель будет вести себя лучше. В главе 11 мы увидим, что они были не правы. Математики долгое время не замечали работы Лоренца, потому что не читали метеорологических журналов. В конце концов они ее изучили, но лишь потому, что американец Стивен Смейл отправился по еще более давнему следу в математической литературе, оставленному Пуанкаре в 1887-1890 годах.
Пуанкаре применил свои геометрические методы к пресловутой задаче трех тел: как система из трех тел — таких как Земля, Луна и Солнце — ведет себя под действием ньютоновского закона всемирного тяготения? Пытаясь решить эту задачу, Пуанкаре сначала допустил серьезную ошибку, потом исправил ее и в конце концов дал ответ, что поведение такой системы может быть чрезвычайно сложным. «Поражает сложность этой фигуры, которую я даже не пытаюсь нарисовать», — писал он. В 1960-х годах Смейл, русский математик Владимир Арнольд и их коллеги обобщили подход Пуанкаре
158
Иэн Стюарт | Случайный Бог


и разработали мощную систематическую теорию нелинейных динамических систем, основанную на топологии. Пуанкаре был пионером и в этом виде геометрии — гибком. Топология имеет дело с геометрическими свойствами, которые остаются неизменными при любой непрерывной деформации. В ней рассматриваются вопросы вроде таких: заузлена ли замкнутая кривая? Распадается ли на несвязанные части некоторая фигура? Смейл надеялся классифицировать все возможные качественные типы динамического поведения. В конце концов стало ясно, что это слишком амбициозная задача, но по дороге Смейл обнаружил хаос в некоторых простых моделях и понял, что это явление должно быть очень распространено. А потом математики раскопали статью Лоренца и поняли, что его аттрактор — это еще один удивительно интересный пример хаоса.
Изучая маятник, мы с вами познакомились с основными геометрическими элементами, некоторые из них переносятся на более общие системы. Теперь пространство состояний должно быть многомерным, по одному измерению для каждой динамической переменной. (Здесь в «многомерности» нет ничего загадочного; с точки зрения алгебры это просто означает, что у вас длинный список переменных. Но зато можно применять геометрический подход, проведя аналогию с двумя и тремя измерениями.) Траектории — это по-прежнему кривые; фазовый портрет — это система кривых в пространстве высокой размерности. Имеются стационарные состояния, замкнутые траектории, представляющие собой периодические состояния, а также гомоклинические и гетероклинические связи. Существуют обобщения входных и выходных множеств, таких же, как для седловой точки в модели маятника. Но появляется важное дополнение: в трех или более измерениях могут существовать хаотические аттракторы.
Развитию этой области поспособствовало появление быстрых и мощных компьютеров, они значительно упростили изучение нелинейной динамики методами численного аппроксимирования поведения системы. Эти методы в принципе существовали и раньше, но на практике выполнять миллиарды или триллионы операций вручную было невоз¬
ГЛАВА 10 | Не предсказывая предсказуемое
159


можно. Теперь эту задачу могла выполнить машина, и в отличие от человека она не делала арифметических ошибок.
Синергия этих трех движущих сил — топологического подхода, прикладных нужд и грубой силы вычислительных машин — совершила революцию в нашем понимании нелинейных систем, природы и даже мира человеческих забот. В частности, из-за эффекта бабочки хаотические системы предсказуемы только на период времени вплоть до некоторого «горизонта предсказания». После чего предсказание неизбежно становится слишком неточным, чтобы быть полезным. Для погоды горизонт предсказания составляет несколько дней. Для приливов и отливов — несколько месяцев. Для планет Солнечной системы — десятки миллионов лет. Но что касается положения нашей собственной планеты через 200 миллионов лет, мы понятия не имеем, где она будет находиться, хотя можно быть вполне уверенным, что ее орбита не сильно изменится.
Однако нам многое известно о долгосрочном поведении в статистическом смысле. Средние значения переменных вдоль траектории, например, одинаковы для всех траекторий на аттракторе, если не учитывать совсем уж редкие неустойчивые периодические траектории, которые могут сосуществовать внутри аттрактора. Это происходит потому, что почти каждая траектория посещает каждую область аттрактора, поэтому средние значения зависят только от самого аттрактора. Для описания таких явлений существенно такое понятие как инвариантная мера, и оно пригодится нам, когда мы будем обсуждать связь между погодой и климатом в главе 11 и размышлять о квантовой неопределенности в главе 16.
Мы уже знаем, что такое мера. Она обобщает такие понятия как «площадь» и ставит в соответствие численные значения подходящим подмножествам некоторого пространства; примерно так же, как вероятностное распределение. Здесь пространством является сам аттрактор. Самый простой способ описать соответствующую меру — взять любую плотную траекторию на аттракторе. Если продолжить ее достаточно далеко, такая траектория сколь угодно близко подходит к любой точке. Чтобы сопоставить меру произвольной
160
Иэн Стюарт | Случайный Бог


заданной области аттрактора, мы долгое время идем вдоль этой траектории и подсчитываем, какую долю времени траектория проводит внутри области. Если время достаточно велико, вы получите меру этой области. Поскольку траектория плотна, полученное значение на самом деле определяет вероятность того, что случайно выбранная точка аттрактора находится в этой области [37].
Задать меру на аттракторе можно разными способами. Но тот, что нам нужен, имеет особенное свойство: он динамически инвариантен. Если мы выделим некоторую область и позволим всем ее точкам следовать по своим траекториям в течение некоторого определенного времени, то фактически будет двигаться вся область. Инвариантность означает, что при движении области ее мера остается неизменной. Все важные статистические характеристики аттрактора можно вывести из инвариантной меры. Таким образом, несмотря на хаос, мы можем делать статистические прогнозы. Мы делаем предположения о будущем настолько точные, насколько это возможно, и умеем оценить, насколько надежны эти предположения.
С ЭТОГО МОМЕНТА ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, их топологические особенности и инвариантные меры будут нам встречаться постоянно. Поэтому лучше прояснить еще несколько моментов сейчас, пока мы углубились в тему.
Есть два вида дифференциальных уравнений. Обыкновенное дифференциальное уравнение определяет, как изменяются несколько переменных с течением времени. Переменными могут быть, например, положения планет Солнечной системы. Уравнение в частных производных описывает величину, которая меняется как в пространстве, так и во времени. Такое уравнение связывает скорость изменения во времени со скоростью изменения в пространстве. Например, волны в океане имеют как пространственную, так и временную структуру: волны образуют формы, и эти формы движутся. Уравнение в частных производных описывает связь между тем, как быстро движется вода в данном месте, с тем, как изменяется общая форма. Большинство уравнений математической физики являются уравнениями в частных производных.
ГЛАВА 10 | Не предсказывая предсказуемое
161


Сегодня любая система обыкновенных дифференциальных уравнений называется «динамической системой», и это название удобно метафорически распространить на уравнения в частных производных, которые можно рассматривать как дифференциальные уравнения относительно бесконечного множества переменных. Поэтому я буду использовать выражение «динамическая система» в широком смысле для любого набора математических правил, который определяет будущее поведение некоторой системы в зависимости от ее состояния — значений ее переменных — в любой момент времени.
Математики различают два основных типа динамических систем: дискретные и непрерывные. В дискретной системе время тикает, как секундная стрелка, и измеряется целыми числами. Правило описывает, во что перейдет текущее состояние через один тик. Применив правило еще раз, мы получим состояние через два тика, и так далее. Чтобы узнать, что произойдет за миллион тиков времени, правило надо применить миллион раз. Очевидно, что такая система детерминированна: если начальное состояние задано, то все последующие однозначно определяются математическим правилом. Если правило обратимо, то определяются и все прошлые состояния.
В непрерывной системе время — это непрерывная переменная. Правило имеет вид дифференциального уравнения, определяющего, насколько быстро меняются переменные в каждый момент времени. При выполнении технических условий (которые выполняются почти всегда) из любого заданного начального состояния в принципе можно получить состояние в любой другой момент времени, в прошлом или будущем.
ЭФФЕКТ БАБОЧКИ НАСТОЛЬКО ЗНАМЕНИТ, что Терри Пратчетт спародировал его в книгах «Интересные времена» и «Ноги из глины», запустив в Плоский мир квантовую погодную бабочку (мотылекус буреносу с). Менее известно, что в детерминированной динамике есть много других источников неопределенности. Предположим, что в системе существует несколько аттракторов. Тогда возникает вопрос:
162
Иэн Стюарт | Случайный Бог


к какому аттрактору при заданных начальных условиях стремится система? Ответ зависит от геометрии «бассейнов притяжения». Бассейн аттрактора — это совокупность начальных условий в пространстве состояний, траектории которых сходятся к этому аттрактору. Вопрос можно переформулировать в терминах бассейнов: они разделяют пространство состояний на области, по одной для каждого аттрактора, и нужно выяснить расположение этих областей. Зачастую границы бассейнов выглядят просто, как границы между странами на карте. Тогда основная неопределенность относительно того, где заканчивается траектория, возникает только для начальных состояний, очень близких к этим границам. Однако топология бассейнов может быть гораздо более сложной, и это создает неопределенность для широкого диапазона начальных условий.
Если пространство состояний представляет собой плоскость, а области имеют достаточно простой вид, то две из них могут иметь общую границу в виде кривой, но три или более уже не могут. В лучшем случае у них будет общая точка границы. Но в 1917 году Кунидзо Енэяма показал, что три достаточно сложные области могут иметь общую границу, которая не состоит из изолированных точек. Он
Рис. 16. Первые несколько шагов построения озер Вады. Каждый диск выпускает все более тонкие протуберанцы, которые извиваются все теснее. Этот процесс продолжается бесконечно, заполняя промежутки между областями
ГЛАВА 10 | Не предсказывая предсказуемое
163


приписал эту идею своему учителю Такео Ваде, и вся конструкция получила название «озера Вады» (рис. 16).
Динамическая система может иметь бассейны притяжения, которые ведут себя как озера Вады. Один важный пример естественно возникает в методе Ньютона-Рафсона. Это давно известный численный метод нахождения корня алгебраического уравнения последовательными приближениями. В этом смысле он является дискретной динамической системой, в которой время делает один тик с каждой итерацией. Озера Вады встречаются и в физических системах, например, когда свет отражается от четырех равных сфер, касающихся друг друга. Озера соответствуют четырем просветам между сферами, через которые луч в конце концов выходит.
Дырчатые бассейны, похожие на дуршлаг, — это более сложная версия озер Вады. Теперь мы хорошо знаем, какие аттракторы могут возникать в системе, но их бассейны настолько сложно переплетены, что мы не можем определить, к какому аттрактору будет притягиваться система. В любой области пространства состояний, какой бы малой она ни была, существуют начальные точки траекторий, которые заканчиваются в разных аттракторах. Если бы мы знали начальные условия точно, абсолютно точно, то могли бы предсказать конечный аттрактор, но малейшая ошибка делает конечный пункт непредсказуемым. Лучшее, что мы можем сделать, — оценить вероятность сходимости к заданному аттрактору.
Дырчатые бассейны — это вовсе не математическая диковинка. Они встречаются во многих типовых и важных физических системах. Примером может служить маятник, приводимый в движение периодически изменяющейся силой, когда на оси вращения действует небольшая сила трения; аттракторы здесь — различные периодические состояния. Джуди Кеннеди и Джеймс Йорк показали, что их бассейны притяжения дырчатые [38].
164
Иэн Стюарт
Случайный Бог


ГЛАВА 11
ФАБРИКА ПОГОДЫ
Весна да осень — на дню погод восемь.
ПОГОДА — ЭТО ТАКАЯ ШТУКА, в которой мы никогда не уверены. Однако физика, которая ею управляет, очень хорошо изучена и все нужные уравнения нам известны. Так почему же погода так непредсказуема?
Пионеры численного прогнозирования погоды были полны оптимизма в своих надеждах предсказать погоду, решив нужные уравнения. Приливы обычно можно предсказать на месяцы вперед. Почему бы не предсказывать погоду? Но надежды рухнули, когда стало ясно, что с погодой все не так. Физика погоды такова, что ее невозможно предсказать на долгий срок, каким бы мощным ни был ваш компьютер. Компьютерные модели всегда приближенные, а использование более реалистичных уравнений может ухудшить прогноз, если вы недостаточно аккуратны.
Уточнение наблюдений тоже не сильно помогает. Прогнозирование — это задача с начальными значениями: решив уравнения, надо по заданному состоянию атмосферы предсказать ее будущее поведение. Но если динамика хаотична, то даже самая маленькая погрешность в измерении текущего состояния атмосферы нарастает экспоненциально, и прогноз становится бесполезным. Когда Лоренц моделировал крошечный кусочек погоды, он обнаружил, что за пределами определенного горизонта точным прогнозам пре¬
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
165


пятствует хаос. На практике этот горизонт составляет несколько дней, даже для самых реалистичных моделей, используемых метеорологами.
В 1922 году Льюис Фрай Ричардсон опубликовал свое видение перспектив прогнозирования в работе «Предсказание погоды с помощью численных методов». Он вывел ряд математических уравнений состояния атмосферы, основанных на фундаментальных физических принципах, и предложил использовать их для составления прогнозов погоды. Достаточно было ввести сегодняшние данные и решить уравнения, чтобы предсказать завтрашнюю погоду. Ричардсон так описывал «фабрику погоды»: огромное здание, полное вычислителей (специально обученных людей), выполняющих огромные вычисления под руководством начальника. Этот августейший персонаж был бы «похож на дирижера оркестра, в котором инструменты — это логарифмические линейки и арифмометры. Но он не размахивает палочкой, а направляет луч розового света на тех, кто опережает остальных, и луч голубого света на тех, кто отстает».
Сегодня существует множество разновидностей фабрики погоды Ричардсона, хотя и не в таком виде: это центры прогнозирования погоды, вооруженные электронными суперкомпьютерами, а не сотни людей с механическими арифмометрами. В свое время лучшее, что мог сделать Ричардсон, — это взять арифмометр и подсчитать все самостоятельно, шаг за шагом и очень аккуратно. Он попробовал свои силы в численном «предсказании погоды»: используя данные метеорологических наблюдений в 7.00 утра 20 мая 1910 года, попытался вычислить, какая будет погода через шесть часов. Его расчеты заняли несколько дней и показали существенное повышение давления. На самом деле давление почти не изменилось.
Пионерские работы всегда неуклюжи, и позднее выяснилось, что подход Ричардсона был намного лучше, чем можно было судить по результату. Его уравнения и вычисления были верны, но вот тактика была ошибочной, потому что реалистичные уравнения для атмосферы численно нестабильны. Когда вы переводите уравнения в дискретный числовой вид, вы вычисляете такие величины как давление, не
166
Иэн Стюарт | Случайный Бог


в каждой точке, а только в узлах решетки. Численные методы берут значения в этих узлах и обновляют их в течение очень малого периода времени, используя приближение к истинным физическим законам. Изменения определяющих погоду переменных вроде давления происходят медленно и в больших масштабах. Но атмосфера может поддерживать звуковые волны, которые представляют собой быстрые небольшие изменения давления, и уравнения модели тоже могут включать их. Решения для звуковых волн в численной модели могут резонировать с решеткой и резко расти, отчего фактическая погода будет искажаться.
Метеоролог Питер Линч обнаружил, что если применить современные методы сглаживания для гашения звуковых волн, то предсказания Ричардсона окажутся верными [39]. Иногда прогноз погоды только улучшится, если сделать уравнения модели менее реалистичными.
ЭФФЕКТ БАБОЧКИ ВОЗНИКАЕТ в математических моделях, но обнаруживается ли он в реальном мире? Разумеется, ураган бабочка вызвать не может. Взмах ее крыла добавляет в атмосферу ничтожное количество энергии, в то время как энергия урагана чрезвычайно велика. Разве энергия не должна сохраняться? Должна. С математической точки зрения взмах крыла не создает ураган из ничего. Его эффект нарастает, вызывая перестройку атмосферных структур в масштабах сначала небольших, но быстро растущих, пока вся погода в целом не изменится заметно. Энергия присутствовала все это время, но она была перераспределена одним взмахом крыла бабочки. Так что сохранение энергии ничему не мешает.
Когда ученые впервые столкнулись с явлением хаоса, оно казалось экзотическим, потому что не проявляется в сравнительно простых уравнениях, для которых решение выражается формулой. Но, с геометрической точки зрения Пуанкаре, хаос — столь же естественное и распространенное явление, как и регулярные формы поведения — стационарные состояния и периодические циклы. Если какая-то область в пространстве состояний локально протяженная, но ограниченная, эффект бабочки неизбежен. Он не может
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
167


проявиться в двух измерениях, но легко возникает в трех или более. Хаотическое поведение может показаться необычным, но на самом деле оно довольно распространено в физических системах; в частности, именно по этой причине работают многие процессы смешивания. Однако решить, имеет ли место хаос в реальных погодных условиях, гораздо сложнее. В масштабах планеты мы не можем дважды воспроизвести погодные условия, которые отличаются только взмахом крыла бабочки. Однако эксперименты на более простых системах с жидкостями подтверждают вывод, что в принципе реальная погода чувствительна к начальным условиям. Критики Лоренца ошибались: эффект бабочки — это не просто дефект чрезмерно упрощенной модели.
Это открытие изменило способ расчета и интерпретации прогнозов погоды. Раньше казалось, что раз уравнения детерминированы, для построения хороших долгосрочных прогнозов следует повышать точность наблюдений и численных методов, используемых для продолжения текущих данных в будущее. Хаос все изменил. Теперь принято применять вероятностные методы, которые обеспечивают широкий спектр прогнозов и оценку их точности. На практике на телевидении или веб-сайтах дают только наиболее вероятный прогноз, но к нему обычно прилагается оценка того, насколько он вероятен, например «вероятность дождя 25%».
Основной метод здесь — так называемое ансамблевое прогнозирование. «Ансамбль» — это просто модное слово, физики им обозначают то, что математики назвали бы множеством. (Этот термин, по-видимому, возник в термодинамике.) Вы строите не один прогноз, а целый набор. Вы отказываетесь от методов астрономов XIX века и не делаете повторные наблюдения за текущим состоянием атмосферы. Вместо этого вы получаете один набор данных наблюдений и запускаете программное обеспечение для построения прогноза на десять дней вперед. Затем вы вносите небольшое случайное изменение в данные и снова запускаете программу. Повторяете раз 50. В результате вы получаете выборку из 50 прогнозов, основанных на случайно измененных наблюдениях. По сути, вы исследуете диапазон прогнозов, которые могут возникнуть из данных, близких к наблюденным.
168
Иэн Стюарт
Случайный Бог


После этого можно подсчитать, сколько прогнозов говорят, что будет дождь, и отсюда получается вероятность дождя.
В октябре 1987 года синоптик ВВС Майкл Фиш сообщил телезрителям, что кто-то позвонил им на телевидение и предупредил о том, что к Британии приближается ураган. «Если вы смотрите нас, — сказал Фиш, — не волнуйтесь, потому что ничего подобного не ожидается» [40]. Он добавил, что сильные ветры вполне вероятны, но самые сильные из них ограничатся Испанией и Францией. В ту ночь Великая Буря 1987 года обрушилась на юго-восток Англии. Порывы ветра достигали 220 километров в час, а постоянная скорость ветра в некоторых районах — 130 километров в час. Пятнадцать миллионов деревьев были повалены, дороги перекрыты, сотни тысяч человек остались без электричества, на берег было выброшено множество судов, включая паром компании Sealink, а один сухогруз перевернулся. Страховые компании выплатили страховки в размере 2 миллиардов фунтов стерлингов.
Замечания Фиша основывались только на одном прогнозе — изображенном на правой карте в первом ряду рис. 17. Других вариантов у него в то время не было. Позднее Европейский центр среднесрочных прогнозов погоды задним числом построил ретроспективный комплексный прогноз, используя те же данные, что и в остальной части рисунка. Около четверти прогнозов в ансамбле показывают очень глубокое снижение давления, характерное для урагана.
ТАКОЙ ЖЕ ПОДХОД МОЖНО ПРИМЕНЯТЬ и для более конкретных вопросов. Важно предсказать и направление движения урагана. Ураганы — это погодные системы огромной энергетической силы. Продвигаясь, они наносят огромный ущерб, а их траектории поразительно переменчивы. Вычисление ансамбля возможных траекторий может дать приблизительную оценку того, где и когда ураган проявится, а также вероятный размер ошибки. Таким образом, города могут планировать действия заранее, по крайней мере, с некоторой достоверной оценкой опасности.
Чтобы сделать ансамблевые прогнозы эффективными, применяется довольно тонкая математика. Для улучшения
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
169


Рис. 17. 66-часовой ансамблевый прогноз на 15-16 октября 1987 года. Верхний ряд, вторая карта: детерминированный прогноз.
Верхний ряд, первая карта: другой прогноз, с резким падением давления и разрушительными ветрами вдоль ее южного края.
Остальные 50 карт показывают другие возможные исходы, основанные на небольших случайных изменениях начальных условий.
На многих из них видно резкое снижение давления (темный овал)
применяемых методов необходимо оценивать точность прогнозов. Численные модели обязательно аппроксимируют состояние непрерывной атмосферы дискретным набором чисел. Чтобы максимально упростить вычисления, не потеряв при этом важных деталей, применяют различные математические приемы. Удалось включить в расчеты состояние Мирового океана — и это серьезный прогресс. Когда имеется несколько разных моделей, можно применять еще один вероятностный метод: многомодельные прогнозы. Вы не просто выполняете много симуляций на основании одной модели. Вы запускаете их, применяя разные модели. Это позволяет судить не только об их чувствительности к начальным условиям, но и о чувствительности к допущениям, заложенным в модель.
170
Иэн Стюарт | Случайный Бог


На заре численного прогнозирования погоды компьютеров еще не было, и чтобы дать прогноз на 12 часов вперед, требовалось несколько дней на вычисления вручную. Это было полезно для проверки самой концепции и для совершенствования численных методов, но для практики не имело значения. С появлением компьютеров метеорологи могли рассчитывать погоду до того, как она действительно наступала, но даже крупные официальные организации могли строить только один прогноз в день, используя самые быстрые на тот момент компьютеры. Сегодня нет никаких трудностей в создании 50 или более прогнозов за час или два. Однако, чем больше данных вы используете, чтобы повысить точность прогнозов, тем быстрее должен быть компьютер. Многомодельные методы требуют еще большей производительности.
Реальная погода подвержена разным воздействиям, и чувствительность к начальным условиям — не всегда самая важная причина непредсказуемости. В частности, бабочка может быть не одна. Небольшие изменения в атмосфере происходят постоянно и на всей планете. В 1969 году Эдвард Эпштейн предложил использовать статистическую модель, чтобы предсказывать, как среднее и дисперсия атмосферных состояний изменяются с течением времени. Сесил Лейт понял, что этот подход работает только тогда, когда используемые распределения вероятностей хорошо соответствуют распределению атмосферных состояний. Например, нельзя просто так предположить нормальное распределение. Однако, ансамблевые прогнозы, основанные на детерминированных, но хаотических моделях, быстро вытеснили эти статистические подходы как устаревшие.
МОЖНО БЫЛО БЫ НАДЕЯТЬСЯ, что, подобно небольшим ошибкам в астрономических наблюдениях, эти бесчисленные бабочки со своими крылышками по большей части нейтрализуют друг друга. Но даже это, по-видимому, слишком оптимистично — это открытие также восходит к Лоренцу. Знаменитая бабочка появилась на свет в 1972 году в его популярной лекции под названием «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?».
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
171


Долгое время считалось, что это название относится к статье 1963 года, но Тим Палмер, А. Деринг и Г. Серегин [41] убедительно доказывают, что он имел в виду другую статью 1969 года. В ней Лоренц утверждал, что погодные системы непредсказуемы в гораздо более сильном смысле, чем чувствительность к начальным условиям [42].
Лоренц поставил вопрос: с каким упреждением мы можем предсказать ураган? Размер урагана — около тысячи километров. Внутри него находятся среднемасштабные структуры, порядка сотни километров, а внутри них — облачные системы диаметром всего в километр. Турбулентные вихри в облаке имеют несколько метров в поперечнике. Лоренца интересовало, какая из этих шкал наиболее важна для предсказания урагана. Ответ не очевиден: возможно, мелкомасштабная турбулентность «усредняется» и не имеет большого значения; но может быть, она усиливается с течением времени и играет большую роль?
Отвечая на этот вопрос, Лоренц выделил три особенности этой многомасштабной метеорологической системы. Во-пер- вых, ошибки в крупномасштабной структуре удваиваются примерно каждые три дня. Если бы этот важный эффект был единственным, то, сократив вдвое ошибки в крупномасштабных наблюдениях, можно было бы увеличить диапазон точных прогнозов на три дня, что открыло бы перспективу строить хорошие прогнозы на несколько недель вперед. Однако это невозможно из-за второй особенности: ошибки в тонкой структуре, такие как расположение отдельных облаков, растут гораздо быстрее, удваиваясь примерно за час. Само по себе это не проблема, потому что никто и не пытается предсказать тонкую структуру, но это становится проблемой благодаря третьей особенности: ошибки в тонкой структуре распространяются на более грубую. Так что уменьшение вдвое ошибок в наблюдениях за тонкой структурой позволило бы расширить диапазон предсказаний не на дни, а на час. Все эти три особенности вместе приводят к тому, что вопрос о точном прогнозе на две недели вперед даже не встает.
Все сказанное до сих пор относилось к чувствительности к начальным условиям. Но ближе к концу своей лекции
172
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Лоренц повторил сказанное в статье 1969 года: «Два состояния системы, первоначально отличающиеся небольшой ошибкой наблюдения, в течение конечного интервала времени эволюционируют в два состояния, отличающиеся так же сильно, как и случайно выбранные состояния системы. Этот интервал нельзя удлинить путем уменьшения амплитуды начальной ошибки». Другими словами, существует абсолютный предел горизонта предсказаний, который не может быть увеличен, как бы ни были точны ваши наблюдения. Это гораздо сильнее, чем эффект бабочки. С учетом его одного вы могли сделать наблюдения с точностью до достаточного количества десятичных знаков, и тем самым сделать горизонт предсказания таким большим, как вам заблагорассудится. Лоренц же говорил, что неделя или около того — это предел, какими бы точными ни были ваши наблюдения.
Палмер и его коллеги продолжают утверждать, что ситуация не так уж плоха, как полагал Лоренц. Явления, которые создают конечный предел в теории, работают не все время. Ансамблевое прогнозирование иногда могло бы давать точные прогнозы на две недели вперед. Но для этого потребовалось бы гораздо больше наблюдений, собранных на более близких расстояниях в атмосфере, а также более мощные и быстрые суперкомпьютеры.
МОЖНО ДЕЛАТЬ НАУЧНЫЕ ПРЕДСКАЗАНИЯ О ПОГОДЕ, не предсказывая саму погоду. В качестве примера можно привести блокирующие атмосферные образования, когда состояние атмосферы не меняется долгое время, в течение недели или более, а потом внезапно и, по-видимому, совершенно случайно переключается на другую долгоживущую модель. Таковы, например, североатлантические и арктические колебания. Периоды движения атмосферных потоков с востока на запад в этих регионах чередуются с периодами движения с севера на юг. О таких состояниях известно многое, но переходы между ними, которые, возможно, являются их наиболее существенной чертой, это совсем другое дело.
В 1999 году Тим Палмер предложил использовать нелинейную динамику для улучшения долгосрочных прогнозов
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
173


поведения атмосферы [43]. В рамках этой идеи Даан Кром- мелин предоставил убедительные доказательства того, что блокирующие атмосферные образования могут быть связаны с возникновением гетероклинического цикла в нелинейных моделях крупномасштабной динамики атмосферы [44].
В главе 10 мы говорили, что гетероклинические циклы представляют собой последовательности связей между седло- выми точками — равновесными состояниями, которые стабильны в одних направлениях, но нестабильны в других. Гетерок линические связи создают в потоках структуры, которые сохраняются в течение долгого времени, перемежаясь быстрыми переключениями от одной такой структуры к другой. Такое поведение противоречит нашей интуиции, но вполне осмысленно в рамках гетероклинического цикла.
Гетероклинические циклы имеют элемент непредсказуемости, но их динамика относительно проста и во многом предсказуема. Для них характерны случайные всплески активности, перемежающиеся длительными периодами застоя. Эти застойные состояния предсказуемы: они возникают, когда система находится вблизи равновесия. Главный элемент неопределенности — когда именно застой прекратится и наступит другая погода.
Чтобы обнаружить такие циклы в данных, Кроммелин анализирует «эмпирические собственные функции», или общие закономерности атмосферных потоков. В этом методе реальный поток аппроксимируется наиболее близкой возможной комбинацией набора независимых базовых структур. Таким образом, сложные дифференциальные уравнения в частных производных в метеорологии преобразуются в систему обыкновенных дифференциальных уравнений с конечным числом переменных, которые описывают, насколько велик вклад, который компоненты структуры вносят в общий поток.
Кроммелин проверил свою теорию, используя данные о Северном полушарии за период 1948-2000 годов. Он нашел свидетельства существования общего динамического цикла, связывающего различные режимы блокированного потока в Атлантическом регионе. Цикл начинается с потоков север-юг через Тихий океан и Северную Атлантику. Они сли¬
174
Иэн Стюарт
Случайный Бог


ваются, образуя единый Арктический поток восток-запад. Он, в свою очередь, вытягивается над Евразией и западным побережьем Северной Америки, приводя к потоку с преимущественным направлением север-юг. Во второй половине цикла структуры потока возвращаются к своему первоначальному состоянию, но в другой последовательности. Полный цикл занимает около 20 дней. Полученные данные позволяют предположить, что североатлантические и арктические колебания взаимосвязаны — каждое из них может выступать в качестве частичного триггера для другого.
НАСТОЯЩАЯ ФАБРИКА ПОГОДЫ — это Солнце, которое доставляет тепловую энергию в нашу атмосферу, океаны и на сушу. Пока Земля вращается, а Солнце встает и садится, вся планета проходит через ежедневный цикл нагревания и охлаждения. Этот цикл запускает погодные системы и приводит ко многим довольно регулярным закономерностям в планетарном масштабе, но детали оказываются весьма изменчивыми из-за значительной нелинейности физических законов. Если какое-то воздействие — изменение излучения Солнца, изменение количества тепла, отраженного обратно в космос, изменение количества удерживаемого в атмосфере тепла — повлияет на количество тепловой энергии, то погодные условия изменятся. Если систематические изменения будут продолжаться слишком долго, то глобальный климат может измениться.
Ученые изучают результаты изменений в тепловом балансе Земли по меньшей мере с 1824 года, когда Фурье показал, что атмосфера сохраняет тепло на нашей планете. В 1896 году шведский ученый Сванте Аррениус проанализировал, как влияет на температуру углекислый газ (С02) в атмосфере. Это «парниковый газ», он помогает улавливать солнечное тепло. Принимая во внимание другие факторы, такие как изменение ледяного покрова (который отражает солнечный свет и тепло), Аррениус рассчитал, что сокращение уровня С02 на планете вдвое может вызвать оледенение.
Сначала эта теория вызвала интерес главным образом у палеонтологов, которые задавались вопросом, можно ли объяснить резкие переходы в ископаемых находках изменением
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
175


климата. Но в 1938 году британский инженер Ги Кэллендар собрал свидетельства того, что и уровень С02, и температура повышались в течение последних пятидесяти лет, и вопрос приобрел большую актуальность. Большинство ученых либо игнорировали его теорию, либо возражали против нее, но к концу 1950-х годов некоторые из них начали задаваться вопросом, не приводит ли изменение концентрации С02 к постепенному нагреванию планеты. В 1960 году Чарльз Килинг показал, что уровень С02 определенно растет. Некоторые ученые опасались, что применение аэрозолей может вызвать охлаждение и начать новый ледниковый период, но число статей, предсказывающих потепление, превзошло число статей с предсказанием похолодания в отношении шесть к одному. В 1972 году Джон Сойер в работе «Техногенный диоксид углерода и „парниковый44 эффект» предсказал, что к 2000 году ожидаемое увеличение С02 (около 25%) приведет к нагреву планеты на 0,6 °С. Средства массовой информации все еще предсказывали неизбежный ледниковый период, но ученые перестали беспокоиться о глобальном похолодании и с большей серьезностью стали относиться к глобальному потеплению.
К 1979 году Национальный исследовательский совет США предупреждал, что если рост выбросов С02 не остановить, то глобальная температура может повыситься на несколько градусов. В 1988 году Всемирная метеорологическая организация учредила межправительственную группу экспертов по изменению климата для изучения этого вопроса, и мир наконец начал осознавать надвигающуюся катастрофу. Все более точные данные свидетельствовали, что повышается как температура, так и уровень С02. В 2010 году исследование НАСА подтвердило прогноз Сойера. Измерения пропорций изотопов (различных видов атома) углерода в атмосфере подтвердили, что основной причиной появления дополнительного С02 стала человеческая деятельность, особенно сжигание угля и нефти. Глобальное потепление стало предметом напряженных споров. Ученые победили в них уже много лет назад, но оппоненты («скептики» или «отрицающие» — что вам больше по вкусу) продолжают возражать. Их стандартные доводы иногда привлекают своей
176
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Глобальные средние оценки, основанные на данных о суше и океанах
Рис. 18. Изменение глобальной температуры в 1880-2020 гг.
безыскусностью, но климатологи опровергли их все уже десятки лет назад.
Правительства почти всех государств сейчас признают, что глобальное потепление имеет место, что оно опасно и что мы являемся его причиной (рис. 18). Вопиющее исключение — нынешняя администрация Соединенных Штатов. Похоже, она невосприимчива к научным доводам и по краткосрочным политическим причинам вышла из Парижского соглашения 2015 года об ограничении производства парниковых газов. После 50-летних колебаний, когда мутили воду отрицатели изменения климата, остальной мир, наконец, принимает серьезные меры. Несколько американских штатов тоже присоединяются, несмотря на окрики из Белого дома.
«ЗВЕРЬ С ВОСТОКА» — это другое. Типичный британский зимний шторм приходит с запада как область низкого давления. Ее приводит в движение поток, который представляет собой огромный вихрь холодного воздуха, вращающийся вокруг Северного полюса. Но в 2018 году необычно теплые условия в Арктике вытеснили на юг много холодного воздуха, который, в свою очередь, вытеснил еще больше хо-
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
177


лодного воздуха из Сибири в Центральную Европу и оттуда в Великобританию. Это привело к шторму Эмма, когда выпало 57 сантиметров снега, температура упала до -11 °С и шестнадцать человек погибли. Необычайный холод держался более недели, а через месяц все повторилось, хотя и не в столь суровой форме.
Америка тоже переживала подобные события. В 2014 году зима во многих регионах США была очень холодной; озеро Верхнее было покрыто льдом до июня — своего рода рекорд. К июлю в большинстве восточных штатов, кроме тех, что граничат с Мексиканским заливом, температура была на 15 °С ниже обычного. В то же время в западных штатах стояла значительно более жаркая погода. То же самое повторилось в июле 2017 года — самом холодном июле в истории Индианы и Арканзаса и более прохладном, чем обычно, на большей территории восточной части США.
Если, как уверены климатологи, человеческая деятельность приводит к потеплению нашего мира, почему же продолжают происходить эти беспрецедентные похолодания?
Ответ таков: потому что человеческая деятельность приводит к потеплению мира.
Потепление не происходит равномерно. Больше всего оно заметно вблизи полюсов: именно там, где может нанести наибольший ущерб. Более теплый воздух на Северном полюсе заставляет поток двигаться на юг и вместе с тем делает его слабее, так что он чаще меняет свое положение. В 2014 году из-за этого эффекта холодный воздух с полюсов поступил на восток США. В то же время остальная часть страны получала необычно теплый воздух из экваториальных регионов, потому что поток формировался в виде S-образ - ного изгиба. Это был один из десяти самых теплых июлей в истории шести западных штатов — Вашингтона, Орегона, Айдахо, Калифорнии, Невады и Юты.
Любой человек, имеющий доступ в Интернет и искренне желающий разрешить очевидный парадокс появления необычных вспышек холода в разогревающемся мире, может легко найти объяснение вместе с подтверждающими его свидетельствами. Нужно только понимать разницу между погодой и климатом.
178
Иэн Стюарт | Случайный Бог


КЛИМАТ МЕНЯЕТСЯ ПОСТОЯННО. Это излюбленное возражение тех, кто отрицает изменения климата. Президент США Дональд Трамп повторял его в твитах о глобальном потеплении и изменении климата. В отличие от многих других возражений, это заслуживает ответа. Ответ таков: нет, климат меняется не всегда. Это утверждение может показаться вам глупым, тем более что у нас не всегда тепло и солнечно, иногда льет как из ведра, а в некоторые дни природа погребена под толстым слоем снега. Конечно, климат все время меняется! Да, меняется. Но не климат, а погода. Это не одно и то же. Может, в быту мы их и не различаем, но в науке это разные понятия.
Мы все понимаем, что такое погода. Это то, о чем нам рассказывают в прогнозе погоды по телевизору: дождь, снег, облака, ветер, солнце. Это то, что ждет нас завтра, а может быть, и через несколько дней. Такое представление согласуется с научным определением погоды: то, что происходит в коротких промежутках времени — несколько часов или несколько дней. Климат — это другое. Этот термин часто понимают более широко, но он означает типичную картину погоды в течение долгого времени — десятков лет. Официальное определение климата — это 30-летняя скользящая средняя погоды. Скоро я объясню смысл этих слов, но сначала нужно уяснить, что среднее значение — это тонкое понятие.
Предположим, что средняя температура за последние 90 дней составляет 16 °С. Затем приходит жара, и еще десять дней температура держится на отметке 30 °С. А что происходит со средним значением? Может показаться, что оно должно заметно вырасти, но на самом деле оно поднимается всего на 1,4 градуса [45]. Средние значения не сильно меняются, если колебания краткосрочные. С другой стороны, если бы жара продолжалась в общей сложности 90 дней, то средняя температура за 180-дневный период поднялась бы до 23 градусов — на полпути между 16 и 30. Долгосрочные колебания влияют на среднее значение сильнее.
Чтобы найти 30-летнее скользящее среднее значение температуры на данный день, надо сложить температуры каждого дня за последние 30 лет, а затем разделить на полное количество дней. Этот параметр очень стабилен, он
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
179


может изменяться только в том случае, когда температуры отличаются от этого значения в течение очень длительного периода времени; причем только если они изменяются в одном и том же направлении (в среднем теплее или в среднем холоднее). Жаркие и холодные периоды, чередуясь, в какой-то мере компенсируют друг друга; лето обычно жарче зимы, и среднее годовое значение находится между ними. Средний показатель за 30 лет определяет типичную температуру, вокруг которой все колеблется.
Вот почему климат не может меняться «постоянно». Как бы резко ни менялась погода сегодня, даже если это изменение постоянно, потребуются годы, чтобы оно существенно повлияло на средний показатель за 30 лет.
Более того, сейчас мы рассматривали просто местный климат, скажем, в вашем родном городе. «Изменение климата» — это не про ваш родной город. Чтобы оценить глобальный климат — то, что, по словам ученых-климатоло- гов, становится теплее, — требуется, чтобы среднее значение принималось не только за длительный период времени, но и по всей планете, включая пустыню Сахара, Гималаи, покрытые льдом полярные регионы, сибирскую тундру и океаны. Если в Индиане холодает сильнее обычного, а в Узбекистане заметное потепление, эти два явления уравновешивают друг друга, и среднемировой показатель остается практически неизменным.
И еще одно замечание по терминологии. Существуют некоторые «естественные» (не вызванные человеком) среднесрочные воздействия на климат. Самое известное из них — Эль-Ниньо, потепление в восточной части Тихого океана, которое естественным образом наступает каждые несколько лет. В большей части современной литературы термин «изменение климата» подразумевает «антропогенное изменение климата» — изменение климата, вызванное деятельностью человека. Естественные явления, такие как Эль-Ниньо, не учитываются. Мы сейчас обсуждаем другие изменения, которые возникают, только если какой-то новый фактор влияет на климат.
Есть много свидетельств, которые подтверждают, что новый фактор есть, и это мы. Деятельность человека подня-
180
Иэн Стюарт | Случайный Бог


450
400
350
300
Уровень СОг, миллионные доли (ppm)
2018-
1950^
400 ООО лет уровень СО2 не поднимался выше этой линии
400 000 300 000 200 000 100 000
Годы до настоящего момента: 0 = 1950
Рис. 19. Как менялся уровень С02 за последние 400 000 лет.
До 1950 года он никогда не превышал значения 300 миллионных долей (ppm — parts per million). В 2018 году он составил 407 миллионных долей
ла уровень С02 в атмосфере выше 400 миллионных долей (ppm — parts per million). Предыдущие 800 000 лет он в основном колебался между 170 ppm и 290 ppm (на рис. 19 показаны последние 400 000 лет) [46]. Все, что выше 300 ppm, относится ко времени после промышленной революции. Из элементарной физики известно, что с ростом С02 Земля удерживает больше тепла. Глобальные температуры (полученные очень тщательными измерениями ледяных кернов и океанических отложений) за последние 150 лет поднялись почти на 1 °С; физика подтверждает, что к этому и должно приводить увеличение уровня С02.
ЕСЛИ ВЫ НЕ УМЕЕТЕ ПРЕДСКАЗЫВАТЬ ПОГОДУ на неделю вперед, как вы можете предсказать изменение климата через двадцать лет? Этот аргумент был бы сокрушительным, если бы между погодой и климатом не было разницы, но она есть. Может случиться так, что одни особенности системы предсказуемы, а другие нет. Помните астероид Апофис из первой главы? Закон всемирного тяготения говорит нам, что с ненулевой вероятностью он может столкнуться с Землей либо в 2029, либо в 2036 году, но случится ли это в действительности — мы точно не знаем.
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
181


Однако мы абсолютно уверены в том, что если столкновение произойдет, то оно произойдет 13 апреля — вне зависимости от года. Наша способность предсказать что-либо зависит от того, что именно мы собираемся предсказывать и что нам об этом известно заранее. Бывает так, что одни особенности системы можно предсказать со значительной степенью уверенности, даже если другие особенности совершенно непредсказуемы. Кетле заметил, что параметры отдельного человека непредсказуемы, но при усреднении по популяции их можно предсказать со значительной точностью.
Что касается климата, то все, что нам нужно смоделировать, — это медленные, долгосрочные изменения 30-летней скользящей средней. Что касается изменения климата, то мы должны еще смоделировать, как эти долгосрочные параметры связаны с меняющимися обстоятельствами — такими как количество парниковых газов, обусловленное деятельностью человека. Это непростая задача, потому что климатическая система очень сложна, а ее реакция очень чувствительна. Из-за повышения температур может образовываться больше облаков, которые отражают больше поступающего от Солнца тепла. Из-за него же тает больше льда, его замещает более темная вода, которая отражает меньше тепла.
Повышение уровня С02 влияет на растительность, которая может поглотить больше С02, поэтому в какой-то степени потепление может самокорректироваться. (Последние результаты показывают, что первоначально рост С02 приводит к увеличению растительности, но, к сожалению, этот эффект исчезает примерно через десять лет.) Модели должны как можно точнее учитывать все возможные эффекты такого рода.
Климатические модели (а их немало) работают непосредственно с климатическими данными, а не погодными, масштаб которых меньше. Одни из моделей простые, другие необычайно сложные. Сложные более «реалистичны», они включают в себя больше известных физических характеристик атмосферных потоков и другие факторы. В простых моделях факторов меньше; зато их легче понять и расчеты с ними проще. Чрезмерный реализм (а значит, и сложность) — это не всегда хорошо, но он всегда требовательнее
182
Иэн Стюарт | Случайный Бог


к вычислительным мощностям. Цель хорошей математической модели в том, чтобы сохранить все важные характеристики, не вводя при этом ненужных усложнений. Как якобы сказал Эйнштейн: «[это] должно быть сделано просто, как только возможно, но не проще того» [47].
Чтобы дать вам общее представление о климатических моделях, я расскажу в общих чертах об одном их виде. Цель такой модели в том, чтобы понять, как меняется средняя глобальная температура с течением времени, в прошлом и будущем. По сути, это почти бухгалтерский учет: дополнительная тепловая энергия в течение года — это разница между энергетическим приходом — в основном от Солнца, но можно было бы включить, скажем, испускаемый вулканами углекислый газ, — и энергетическими расходами: теплом, излучаемым или отраженным от планеты. Если приход превышает расход, то планета нагревается; если наоборот, то она остывает. Следует учитывать «запасы» — где-то хранящееся, возможно временно, тепло. Они представляют собой расходы, но могут возвращаться и донимать нас, если мы будем воспринимать их как приход.
Приход — это (относительно) простая штука. Большая его часть исходит от Солнца. Мы знаем, сколько энергии излучает Солнце, и можем рассчитать, сколько ее попадает на Землю. Главная забота — это расход. Каждое горячее тело излучает тепло, физические законы этого процесса известны. Именно здесь играют свою роль парниковые газы (в основном углекислый газ и метан, а еще закись азота): создавая «парниковый эффект», они удерживают тепло, так что оно излучается меньше. С отражением уже сложнее, потому что тепло отражается льдом (он белый, поэтому отражает больше света, а также больше тепла), облаками и так далее. У облаков очень сложные формы, которые трудно смоделировать. Кроме того, тепло может быть поглощено; в частности, массивный теплоприемник представляют собой океаны (формируя запасы). Позднее запасенное тепло может появиться вновь (часть сбережений можно снять со счета).
В математической модели все эти факторы учитывают и строят уравнения, которые описывают обмен тепла между Солнцем, планетой, атмосферой и океанами. Потом эти
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
183


уравнения решает компьютер. Все такие модели — приближенные; во всех делаются предположения о том, какие факторы важны, а какие можно игнорировать; и в этом смысле все модели небезупречны. Конечно, ни одна модель не должна восприниматься как Евангелие. Скептики придираются к моделям как только могут, но главный вывод сформулировать легко: все модели предсказывают, что производство человеком чрезмерного количества С02 путем сжигания ископаемого топлива и накопленного углерода (такого как леса) уже повысило и будет повышать температуру всей планеты по сравнению с тем уровнем, который был бы без нашей деятельности. Вся эта дополнительная энергия приводит к новым экстремальным погодным условиям, усредняясь по мере изменения климата.
Темпы роста температуры и устойчивость такого роста точно определить нельзя, но все модели сходятся в том, что в течение следующих нескольких десятилетий он будет составлять несколько градусов по Цельсию. Наблюдения показывают, что с 1880 года температура уже выросла на 0,85 °С. На самом деле она растет с самого начала промышленной революции, когда обрабатывающие производства стали потреблять ископаемое топливо в больших количествах. Рост ускоряется, причем в последние годы потепление идет в два раза быстрее, чем в предыдущие. За последнее десятилетие оно несколько замедлилось, отчасти потому, что многие страны наконец-то предприняли шаги по сокращению использования ископаемого топлива, а отчасти из-за глобальной рецессии, вызванной банковским крахом в 2008 году. Теперь потепление снова ускоряется.
Возможно, самая большая угроза — это повышение уровня моря, вызванное таянием льда и расширением воды в океане по мере ее прогревания. Но есть и много других: потеря морского льда, таяние вечной мерзлоты, высвобождение метана (еще более мощного парникового газа), изменение ареала болезнетворных насекомых и так далее. Описание неблагоприятных последствий может занять целую книгу, их написано уже много, поэтому я не буду этого делать. Воздействие на окружающую среду невозможно предсказать с абсолютной точностью на десятилетия вперед, как
184
Иэн Стюарт | Случайный Бог


того требуют скептики, но очень многие неблагоприятные последствия мы видим уже сейчас. Все модели предсказывают катастрофы того или иного масштаба. Единственное, о чем можно спорить, — это насколько они широки и насколько разрушительны.
ОДИН ГРАДУС В СТОЛЕТИЕ — что в этом страшного? На нашей планете есть много мест, где жители только обрадовались бы, если бы климат стал на один градус теплее. Мало кто из нас очень встревожится, если изменения только этим и ограничатся. Но давайте включим мозги. Если бы все было так просто, ученые-климатологи тоже были бы с этим согласны. Они бы не беспокоились, не били бы в набат. Так что — как многие вещи в нашей жизни и все в нелинейной динамике — все не так просто.
Один градус — это не так уж много, но за последнее столетие нам, людям, удалось разогреть всю поверхность нашей планеты на такую величину. Я упрощаю: атмосфера, океаны и суша нагреваются по-разному. Не будем придираться по мелочам — количество энергии, необходимое для такого масштабного изменения, просто огромно. И это первая проблема: мы вкладываем огромное количество дополнительной энергии в нелинейную динамическую систему, составляющую климат планеты.
Некоторые говорят, что это слишком самонадеянно — воображать, будто люди могут оказать такое огромное влияние на климат. Не верьте. Один человек может сжечь лес, и это даст очень много С02. Мы лилипуты, но нас много, и у нас много машин, большая часть которых выделяет С02. Измерения неопровержимо показывают, что мы уже воздействовали на климат: посмотрите на график на рис. 19. Мы оказали серьезное влияние и в других отношениях. Мы запоздало обнаружили, что выбрасывание мусора в реки и моря привело к распространению огромного количества пластиковых отходов по всему океану. Более того, это, несомненно, наша вина. Никто другой на планете пластмасс не производит. Мы можем нарушить океаническую пищевую цепочку, просто выбрасывая мусор, так что вряд ли можно считать чересчур самонадеянным предположение, что мы
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
185


можем нанести вред окружающей среде, выделяя огромное количество парниковых газов: примерно в 120 раз больше, чем все вулканы на Земле (включая подводные) вместе взятые [48].
Один градус представляется безобидным, но огромное увеличение энергии в планетарном масштабе нет. Когда вы накачиваете дополнительную энергию в нелинейную динамическую систему, она не просто отклоняется в своем поведении на одну и ту же небольшую величину всюду. Меняется характер колебаний системы — как быстро она меняется, как сильно она меняется и как нерегулярно она меняется. Летние температуры не повышаются равномерно на один градус. Их колебания выходят за пределы своего исторического диапазона, вызывая волны тепла и холода. Для каждого отдельного события такого рода можно найти аналогичное, произошедшее десятилетия назад. Но кое-что изменилось: экстремальные события стали случаться куда чаще. Глобальное потепление в настоящее время достигло стадии, когда возникают тепловые волны, не имеющие исторических аналогов: в США в 2010 году и снова в 2011, 2012 и 2013 годах; в Юго-Западной Азии в 2011 году; в Австралии в 2012-2013 годах; в Европе в 2015 году; в Китае и Иране в 2017 году. В июле 2016 года в Кувейте зафиксирована температура 54 °С, а в Басре в Ираке — 53,9 °С. Это (на сегодняшний день) самые высокие температуры, когда-либо зарегистрированные где-либо на Земле, за исключением Долины Смерти.
В первой половине 2018 года во многих странах мира наблюдалась сильная жара. Британия пережила длительную засуху, которая нанесла ущерб будущему урожаю. Швеция пострадала от лесных пожаров. В Алжире зафиксирована самая высокая за всю историю Африки температура — 51,3 °С. По меньшей мере тридцать человек погибли от жары, когда температура в Японии превысила 40 °С. Австралийский штат Новый Южный Уэльс пережил самую сильную засуху в истории, которая вызвала нехватку воды, неурожай и недостаток кормов для скота. Калифорния была опустошена лесным пожаром в округе Мендосино, уничтожившим более четверти миллиона акров земли. С каждым
186
Иэн Стюарт | Случайный Бог


годом рекордов все больше. То же самое касается наводнений, штормов, метелей — выбирайте бедствие, оно становится все более экстремальным.
Кроме того, дополнительная энергия в системе погоды изменяет пути воздушных потоков. Похоже, что сейчас Арктика нагревается гораздо сильнее, чем другие части планеты. Это изменяет течение полярного вихря — холодных ветров, которые закручиваются вокруг полюса в высоких широтах. Нагревание ослабляет поток, поэтому холодный воздух отдаляется от полюса, и в частности, он продвигается южнее. Весь поток циркулирующего холодного воздуха может продвинуться далеко на юг, что и произошло в начале 2018 года. Глобальное потепление может вызвать гораздо более холодную зиму, чем обычно — это кажется парадоксальным, но ничего удивительного тут нет. Все так и бывает, когда вы возмущаете нелинейную систему, закачивая в нее больше энергии. Когда Европа замерзала из-за температуры на пять градусов ниже нормы, Арктика купалась в тепле на двадцать градусов выше нормы. По сути, наше чрезмерное производство С02 заставило Арктику экспортировать свой холодный воздух к нам.
ТО ЖЕ САМОЕ ПРОИСХОДИТ на другом краю земли, и там ситуация может быть еще хуже. В Антарктике куда больше льда, чем в Арктике. Раньше считалось, что Антарктика тает медленнее, чем Арктика. Оказалось, что она тает быстрее, просто процесс идет незаметно в основании прибрежных ледяных щитов, глубоко под водой. Это очень плохая новость, потому что ледяные щиты могут дестабилизироваться, и весь этот лед затем потечет в океаны. Огромные куски ледяных шельфов уже отваливаются.
Таяние полярных льдов — это поистине глобальная проблема, ведь океаны будут подниматься по мере поступления в них дополнительной воды. Нынешние оценки показывают, что если весь лед в Арктике и Антарктике растает, то уровень моря поднимется на 80 метров и более. Это произойдет еще не скоро, но подъем на 2 метра уже считается неизбежным, мы ничего с этим не поделаем. Эти оценки были бы ниже, если бы потепление ограничилось только од¬
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
187


ним градусом. Но так не выйдет. Этого не произошло бы даже в том случае, если бы среднее потепление составляло всего один градус — что и происходит со времен промышленной революции. Почему? Потому что потепление происходит неравномерно. На полюсах, именно там, где мы предпочли бы наименьшее потепление, температура растет сильнее, чем в более умеренных широтах. Арктика прогрелась в среднем примерно на 5 °С. Раньше считалось, что Антарктика представляет меньшую угрозу, так как она, казалось, меньше нагревается, но это было до того, как ученые заглянули под воду.
Точные данные о потере льдов и о накоплении нового льда на поверхности жизненно важны для понимания вклада Антарктики в повышение уровня моря. Интернациональная команда полярных ученых, возглавляемая Эндрю Шепардом и Эриком Айвинсом, проводит оценки — насколько повышается уровень моря из-за таяния ледяных щитов. В их отчете [49] за 2018 год, объединившем результаты 24 независимых исследований, указано, что с 1992 по 2017 год Антарктический ледяной щит потерял 2720 ± 1390 млрд тонн льда, отчего средний глобальный уровень моря вырос на 7,6 ± 3,9 мм (число после знака ± представляет собой одно стандартное отклонение). В Западной Антарктиде скорость таяния льда, главным образом шельфового льда на краю континента, за последние 25 лет выросла втрое — с 53 ±29 млрд до 159 ±26 млрд тонн в год.
Стивен Ринтул и его коллеги [50] изучили два возможных сценария для Антарктиды в 2070 году. Если нынешние тенденции в выбросах будут бесконтрольно продолжаться, — а они будут продолжаться, если не принять решительных мер в глобальном масштабе, — то по отношению к базовому уровню 1900 года средняя глобальная температура суши повысится на 3,5 °С, что значительно превышает уровень в 1,5-2 °С, принятый в Парижском соглашении. Таяние антарктических льдов повлечет за собой подъем уровня моря на 27 сантиметров, возможен и более высокий подъем по другим причинам. Южный океан потеплеет на 1,9 °С, а летом будет потеряно 43% антарктического морского льда. Число вторжений «чужеродных» видов увеличится в
188
Иэн Стюарт | Случайный Бог


десять раз; экосистема изменится; нынешние виды, такие как пингвины и криль, сменятся крабами и сальпами (разновидность планктона).
Таяние льда запускает порочный круг положительной обратной связи, что усугубляет проблему. Свежий лед белый, он отражает часть солнечного тепла обратно в космос. По мере таяния морского льда белый лед превращается в темную воду, которая поглощает больше и отражает меньше тепла. Так что регион прогревается еще быстрее. Ледники Гренландии от таяния становятся грязными, отчего они тоже тают быстрее. В Сибири и Северной Канаде, где раньше была вечная мерзлота, мороз уже не такой вечный. Вечная мерзлота тает. Внутри нее заключено огромное количество метана, образованного гниющей растительностью, а ведь метан — кто бы мог подумать! — это парниковый газ, причем гораздо более мощный, чем С02.
И это мы еще не говорили о гидрате метана — твердом веществе, похожем на лед, в котором молекулы метана заключены внутри кристаллической структуры воды. В мире есть гигантские залежи гидрата метана на отмелях континентального шельфа. По имеющимся оценкам, они содержат эквивалент трех триллионов тонн С02, что составляет примерно сто лет текущего производства человеком. Если эти отложения начнут таять...
Вы думаете, что один градус в столетие — это ничего страшного? Подумайте еще.
Это еще не конец света, если люди объединятся и начнут действовать вместе. Если удастся сохранить выбросы на низком уровне, то глобальное повышение температуры составит 0,9 °С, отчего уровень моря повысится на 6 сантиметров.
В Южном океане будет на 0,7 °С теплее. Летом будет потеряно 12% антарктического морского льда. Тамошняя экосистема останется такой же, как сейчас. С ратификацией Парижского соглашения 196 странами и нынешним резким повышением эффективности и стоимости возобновляемых источников энергии сценарий снижения выбросов вполне осуществим. К сожалению, Соединенные Штаты решили выйти из этого соглашения, чтобы возродить свою угольную промышленность, и это решение вступает в силу в 2020 году.
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
189


Однако такое возрождение маловероятно по экономическим причинам, какими бы иллюзиями ни тешилась нынешняя администрация. Мир не может позволить себе продолжать идиотскую политическую тактику и отложить решение вопроса еще на пятьдесят лет.
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА МОЖЕТ ДАТЬ НАМ полезную точку зрения на погоду и климат, на то, как они связаны и как они изменяются. Они подчиняются уравнениям в частных производных, поэтому язык динамических систем здесь вполне уместен. Я использую его как метафору, чтобы представить здесь один из способов думать о математике.
Пространство состояний атмосферы в любом заданном месте состоит из всех возможных комбинаций температуры, давления, влажности и т. д. Каждая точка в этом пространстве представляет собой один возможный набор наблюдений за погодой. С течением времени эта точка движется вдоль некоторой траектории. Мы можем считывать погоду, следуя за движущейся точкой и наблюдая, через какие области пространства состояний она проходит. Мы получаем последовательности данных, собирая их через короткие промежутки времени. Различные последовательности таких данных дают различные траектории, лежащие на одном и том же (хаотическом) аттракторе.
Разница между погодой и климатом заключается в том, что погода — это один-единственный путь через аттрактор, тогда как климат — это весь аттрактор целиком. В неизменном климате через один и тот же аттрактор может проходить много траекторий, но в долгосрочной перспективе все они имеют сходную статистику. Одни и те же события происходят с одинаковой общей частотой. Погода все время меняется, потому что динамика приводит к множеству различных траекторий на одном и том же аттракторе. Но климат меняться не должен, если только не происходит что-то из ряда вон выходящее. Изменение климата происходит только тогда, когда меняется аттрактор. Чем значительнее меняется аттрактор, тем более резким может быть изменение климата.
Примерно так же можно описать и всю глобальную метеорологическую систему. Пространство состояний стано¬
190
Иэн Стюарт | Случайный Бог


вится бесконечномерным функциональным пространством, потому что переменные зависят от местоположения на земном шаре. Однако главная черта сохраняется: погодная структура — это траектория на аттракторе, а климат — это весь аттрактор. Такое описание — просто метафора, потому что нет никакого способа наблюдать аттрактор в целом; для этого понадобились бы триллионы записей глобальных погодных моделей. Но мы можем обнаружить еще одну характеристику: вероятность того, что погода находится в заданном состоянии. Она связана с инвариантной мерой на аттракторе, поэтому если вероятность меняется, то и аттрактор тоже должен измениться. Вот почему 30-летние статистические средние определяют климат, вот почему мы можем использовать их для мониторинга — меняется ли климат, и почему мы уверены, что да, меняется.
Даже когда климат изменился, погода в основном все еще может быть очень похожа на ту, что была раньше. В этом одна из причин, почему мы не замечаем, что климат изменился. Мы похожи на пресловутую лягушку в кастрюле: вода постепенно нагревается до кипения, но мы не выпрыгиваем, потому что нагревается она так медленно, что мы этого не замечаем. Однако ученые-климатологи еще шестьдесят с лишним лет назад заметили, задокументировали, проверили и очень упорно, но безрезультатно пытались опровергнуть тот факт, что экстремальные погодные явления во всем мире становятся все более распространенными. Это просто факт: они есть. Именно их предсказывали теории глобального потепления.
Вот почему ученые сегодня говорят об изменении климата, а не о глобальном потеплении. Это выражение описывает явление более точно. Причина остается прежней: планета нагревается, потому что люди производят слишком много парниковых газов.
ИЗМЕНЕНИЯ В КЛИМАТИЧЕСКОМ АТТРАКТОРЕ вызывают тревогу, потому что даже небольшое изменение приводит к серьезным негативным последствиям. То, что я скажу, относится ко всем экстремальным погодным явлениям, но мы сейчас остановимся на наводнениях как на удобном
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
191


Новое
t Уровень
Опасный уровень наводнения наводнения
Рис. 20. Как столетнее наводнение может стать пятилетним, когда среднее и стандартное отклонение увеличиваются
примере. У инженеров, проектирующих защитные сооружения от наводнений, есть полезное понятие — десятилетнее, пятидесяти летнее или столетнее наводнение. Это наводнение такого уровня, которое случается в среднем раз в десять, пятьдесят или сто лет. Высокие уровни наводнений встречаются редко, и защита от них обходится дорого. В какой-то момент стоимость сооружения превышает вероятный ущерб. Предположим, что этот уровень — столетнее наводнение.
Это понятие хорошо работает, пока статистика уровней наводнений не меняется. Но что, если она изменится? Если средний уровень наводнений увеличивается, то более высокие уровни становятся более вероятными. То же самое происходит, если колебания относительно среднего становятся больше: стандартное отклонение увеличивается. Дополнительная энергия, добавленная глобальным потеплением, увеличивает и то и другое, и оба эти параметра усиливают друг друга. На рис. 20 показано, как эти эффекты сочетаются; для простоты здесь использовано нормальное распределение, но аналогичное рассуждение применимо и к более реалистичным распределениям.
При старом распределении вероятностей область под кривой, соответствующей опасным уровням наводнения, представляет собой светло-серую область — сравнительно небольшую. Но когда распределение меняется, область под кривой, соответствующая опасным уровням наводнения, включает теперь темно-серую область, а она гораздо больше. Возможно, эта новая область соответствует вероятности одного такого
192
Иэн Стюарт | Случайный Бог


наводнения каждые пять лет. А раз так, то прежнее столетнее наводнение становится пяти летним. Опасные наводнения могут случаться в двадцать раз чаще, и экономические расчеты, оправдывающие отсутствие защиты от критического уровня наводнения, больше не применимы.
В прибрежных районах штормы и повышение уровня моря усиливают опасность, создаваемую сильными и постоянными осадками. Глобальное потепление значительно усугубляет все эти причины наводнений. Реалистичные математические модели показывают, что если резко не сократить глобальные выбросы С02, то Атлантик-Сити, штат Нью-Джерси, вскоре будет страдать от постоянных наводнений [51]. Через каких-то тридцать лет уровень воды, который в настоящее время наблюдается раз в столетие, мы будем видеть дважды в год. Столетнее наводнение станет шестимесячным, поставив под угрозу дома стоимостью 108 миллиардов долларов. И это всего лишь один прибрежный город. В настоящее время 39% американского населения проживает в прибрежных районах.
ГЛАВА 11 | Фабрика погоды
193


ГЛАВА 12
ЛЕЧЕБНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ
Естественная смерть — это когда ты умираешь сам, без помощи врача.
Из ответа школьника на экзамене
В 1957 ГОДУ В ГЕРМАНИИ ПОЯВИЛОСЬ новое чудо-лекарство. Продавали его без рецепта. Сначала оно считалось успокоительным, но потом его стали рекомендовать для борьбы с тошнотой у беременных. Продавалось оно под названием Контерган, но более общий термин — талидомид. Через некоторое время врачи заметили, что значительно выросло число младенцев, рожденных с фокомелией — когда конечности сформированы лишь частично, что в большинстве случаев приводило к смерти, — и поняли, что виноват препарат. Пострадало около 10 ООО детей, причем 2000 из них умерли. Беременным женщинам рекомендовали не принимать этот препарат, и в 1959 году после того, как было обнаружено, что длительное применение может привести к повреждению нервов, его запретили. Однако позже одобрили, уже для ограниченного числа заболеваний: проказы и множественной миеломы (рак плазматических клеток в крови).
Трагедия с талидомидом — это напоминание о неопределенности в самой природе медицинского лечения. Препарат тщательно протестировали. Ожидалось, что талидомид не сможет преодолеть плацентарный барьер между матерью и ребенком, а потому не окажет никакого воздействия на плод. Тем не менее исследователи провели стандартные тесты для выявления тератогенных эффектов — пороков
194
Иэн Стюарт | Случайный Бог


развития плода — на небольших лабораторных животных. Ничего подозрительного не обнаружилось. Позже выяснилось, что люди в этом отношении необычны. Медицинское сообщество, фармацевтические компании, производители лекарств и медицинского оборудования, например протезов, или просто врачи, изучающие разные варианты процедур лечения (например, как лучше всего проводить лучевую терапию больному раком), разработали методы проверки эффективности лечения и снижения риска для пациентов. Как показывает история с талидомидом, эти методы не стопроцентно надежны, хотя и представляют собой разумный способ снизить неопределенность. Основной инструмент здесь — статистика. Мы с вами познакомимся с основными статистическими понятиями и методами, рассмотрев, как они используются в медицине. Эти методы постоянно совершенствуются, ведь статистика не стоит на месте.
В таких исследованиях есть этическая составляющая, поскольку в какой-то момент новое лекарство, процедура или протокол лечения должны быть опробованы на людях. В прошлом медицинские эксперименты иногда проводились над преступниками, военнослужащими, бедными и обездоленными, рабами, часто без их ведома и согласия. Нынешние этические нормы гораздо строже. Неэтичные эксперименты все еще случаются, но в большинстве стран мира они преследуются по закону.
Три типа неопределенности в медицине относятся к лекарствам, оборудованию и протоколам лечения. Все три составляющие разрабатываются в лабораториях и тестируются, прежде чем их опробуют на людях. Иногда эти испытания проводят на животных, и тут открываются новые этические соображения. Животных разрешают использовать, только если нет другого способа получить необходимую информацию, и только со строгими ограничениями. Некоторые люди хотят, чтобы эксперименты на животных были полностью запрещены.
После этого проводятся клинические испытания — эксперименты на людях. Они необходимы для того, чтобы врачи могли использовать лекарство, медицинское оборудование или особый протокол для лечения пациентов. Государственные регуляторы разрешают проведение таких испытаний,
ГЛАВА 12 | Лечебные мероприятия
195


основываясь на оценках рисков и возможной пользы. Разрешение на проведение испытания не обязательно означает, что его считают безопасным, и весь процесс во многом основан на статистическом понятии риска.
В разных обстоятельствах проводят исследования разных типов. Обычно начинают с экспериментов на небольшом количестве людей. Они могут быть добровольцами или даже пациентами. Статистические выводы, основанные на небольших выборках, нельзя назвать надежными, но такие эксперименты дают полезную информацию о рисках, что позволяет лучше спроектировать эксперименты для дальнейших исследований. Например, если лечение привело к серьезным побочным эффектам, испытание прекращается. Если ничего страшного не случится, то исследование может быть распространено на большие группы людей. На этом этапе статистические методы дают более достоверную оценку эффективности процедуры лечения. Если она проходит достаточное количество тестов такого рода, то врачи могут применять ее для лечения пациентов. Очень возможно, что при этом накладываются ограничения на тип пациентов, для которых она считается подходящей. Исследователи продолжают собирать данные о результатах лечения, и они могут повысить уверенность в его применимости или выявить новые проблемы, не обнаруженные на первых шагах.
ПОМИМО ПРАКТИЧЕСКИХ И ЭТИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ, есть еще два взаимосвязанных аспекта, которые влияют на организацию клинического исследования. Первый — это статистический анализ данных, полученных в ходе испытаний. Второй — проектирование эксперимента: как его спланировать так, чтобы данные были полезными, информативными и как можно более надежными. Методы, выбранные для анализа данных, влияют на то, какие данные собираются и каким образом. А структура эксперимента влияет на диапазон и надежность собираемых данных.
Такие соображения применимы ко всем научным экспериментам, поэтому клиницист может заимствовать методы из естественных наук, и его работа также способствует естественно-научному прогрессу в целом.
196
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Клинические испытания призваны ответить на два основных вопроса: действенно ли лечение и безопасно ли оно? На практике ни на тот ни на другой нельзя ответить абсолютно достоверно. Пить понемногу воду — почти на 100% безопасно (не совсем, ведь можно подавиться), но это не вылечит корь. Вакцинация детей против кори почти на 100% эффективна, но не вполне безопасна. В редких случаях у ребенка может наблюдаться тяжелая реакция на вакцину. Это крайние случаи: многие методы лечения более рискованны, чем питье воды, и менее эффективны, чем вакцинация. Так что, возможно, придется пойти на компромисс. Именно здесь на первый план выходит риск. Риск неблагоприятного события — это вероятность того, что оно произойдет, умноженная на ущерб, который оно нанесет.
Даже на стадии проектирования экспериментаторы стараются учесть эти факторы. Если известно, что какое-то лекарство уже применяли для лечения другого состояния и при этом не проявились серьезные побочные эффекты, то вопрос безопасности в какой-то степени решен. Если таких сведений нет, то размер выборки для исследования должен быть небольшим, по крайней мере до тех пор, пока не появятся первые результаты. При проектировании экспериментов важно наблюдать контрольную группу людей, которым не назначали препарат или лечение. Сравнение этих двух групп дает больше информации, чем просто тестирование людей без такого контроля. Еще один важный аспект — условия, при которых проводится исследование. Спланировано ли оно таким образом, чтобы дать надежный результат? В испытаниях талидомида был недооценен потенциальный риск для плода. Оглядываясь назад, мы понимаем, что исследования для беременных женщин должны проводиться тщательнее. На практике планирование клинических исследований развивается по мере усвоения новых уроков.
Есть и более тонкий вопрос — как сам экспериментатор влияет на собираемые данные. Он может влиять на них бессознательно. Но иногда это делается даже осознаннр, когда очень хочется «доказать» излюбленную гипотезу — и для этого отбирают подходящие данные. Поэтому сегодня к большинству клинических исследований предъявляют три важ¬
ГЛАВА 12 | Лечебные мероприятия
197


ных требования. Для определенности предположим, что мы тестируем новый препарат. Одна группа испытуемых будет получать этот препарат; контрольная группа получит плацебо — таблетку, которая кажется неотличимой от препарата, но не оказывает лечебного воздействия.
Первое требование — рандомизация. Кто из пациентов получает препарат, а кто — плацебо, распределяется строго случайно.
Второе — это «слепота». Испытуемые не должны знать, получают они препарат или плацебо. Такое знание может влиять на то, как они сообщают о своих симптомах. В двойном слепом эксперименте даже исследователи не знают, кто получает препарат, а кто плацебо. Такая постановка предотвращает неосознанную предвзятость при интерпретации данных, при их сборе и в таких статистических процедурах как удаление выбросов. По этому пути можно пойти еще дальше — назначать каждому испытуемому поочередно и лекарство, и плацебо.
И в-третьих, применение плацебо в качестве контроля позволяет исследователям объяснить хорошо известный теперь эффект плацебо, когда пациенты чувствуют себя лучше только потому, что врач дал им таблетку. Этот эффект может проявиться даже тогда, когда они знают, что таблетка — это плацебо.
Некоторые из этих требований могут быть нарушены по самой природе испытания — болезни, которую оно должно вылечить или смягчить, и состоянию испытуемого. Давать пациенту плацебо вместо лекарства может быть неэтично, если это делается без его согласия. Но при получении согласия исследование перестает быть слепым. Когда речь идет о новом лечении и цель состоит в том, чтобы сравнить его с существующим, имеется относительно эффективный способ. Он заключается в использовании «активного контроля», когда одни пациенты получают старое лечение, а другие — новое. Можно даже рассказать им, что происходит, и получить их согласие на случайный выбор из этих двух методов лечения. В таких обстоятельствах испытание все еще может оставаться слепым. Возможно, с научной точки зрения это не вполне удовлетворительно, но этические соображения превалируют над остальными.
198
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ТРАДИЦИОННЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ клинических испытаний были разработаны в 1920-х годах на экспериментальной станции в Ротамстеде — исследовательском центре в области сельскохозяйственных наук. Кажется, что сельское хозяйство от медицины далеко, но и там и там обнаруживаются сходные проблемы в проектировании экспериментов и анализе данных. Самой влиятельной фигурой в Ротамстеде был Рональд Фишер. В его работе «Планирование экспериментов» сформулированы многие из центральных идей и основных статистических инструментов, широко используемых и ныне. Дополнили инструментарий его последователи, среди них Карл Пирсон и Уильям Гос- сет (писавший под псевдонимом Стьюдент). Статистические тесты и распределения вероятностей они обычно обозначали специальными символами, поэтому теперь у нас есть £-тест, хи-квадрат- и гамма-распределения.
Есть два основных способа анализировать статистические данные. Параметрическая статистика моделирует данные семействами вероятностных распределений (биномиальным, нормальным и т. д.), включающими числовые параметры (такие как среднее и дисперсия). Цель анализа — найти значения параметров, для которых модель наилучшим образом соответствует данным, а также дать правдоподобный диапазон ошибок и значимость соответствия. Альтернативная, непараметрическая статистика, не прибегает к явным моделям, а полагается исключительно на данные. Простейший пример — гистограмма, представляющая данные без всяких комментариев. Параметрические методы лучше, когда данные хорошо соответствуют модели. Непараметрические модели более гибки и не включают необоснованных предположений. Оба вида анализа широко применяются.
Пожалуй, наиболее распространенный из всех этих методов — метод Фишера для проверки значимости данных в поддержку (или не в опровержение) научной гипотезы. Это параметрический метод, обычно основанный на нормальном распределении. В 1770-х годах Лаплас проанализировал распределение по полу почти полмиллиона новорожденных. Данные выявили избыток мальчиков, и Лаплас хотел выяснить, насколько значителен этот избыток. Он создал
ГЛАВА 12 | Лечебные мероприятия
199


модель: биномиальное распределение с равными вероятностями рождения мальчиков и девочек. Затем Лаплас поставил вопрос: насколько вероятны наблюдаемые значения, если модель верна? Вычисленная им вероятность оказалась очень мала, поэтому он пришел к выводу, что если шансы рождения мальчиков и девочек были бы равны, то реальные наблюдения крайне маловероятны.
Фишер формализовал процедуру, и с тех пор вычисленную таким образом вероятность называют р-значением. Метод Фишера сравнивает две противоположные гипотезы. Одна из них, нулевая, утверждает, что наблюдения обусловлены чистой случайностью. Другая, альтернативная гипотеза, утверждает, что это не так, и именно эта возможность нас действительно интересует. Предполагая, что верна нулевая гипотеза, мы вычисляем вероятность получения имеющихся данных (или данных в соответствующем диапазоне, так как конкретные полученные числа имеют нулевую вероятность). Эта вероятность обычно обозначается буквой р, откуда и термин «/7-значение».
Предположим, например, что мы подсчитали количество мальчиков и девочек в выборке из 1000 рождений и получили 526 мальчиков и 474 девочки. Мы хотим понять, является ли избыток мальчиков значимым. Поэтому мы формулируем нулевую гипотезу так: эти цифры возникают случайно. Альтернативная гипотеза заключается в том, что это не так. На самом деле нас не интересует вероятность того, что случайно получились именно эти значения. Нам интересно, насколько экстремальны собранные данные о том, что мальчиков больше, чем девочек. Если бы мальчиков оказалось 527, или 528, или еще больше, мы все равно понимали бы, что данные говорят о необычном избытке. Так что самое главное здесь — вероятность того, что количество 526 или больше мальчиков объясняется случайностью. Соответствующая нулевая гипотеза такова: это количество или еще больший избыток мальчиков возникает случайно.
Теперь надо рассчитать вероятность осуществления нулевой гипотезы. В этот момент становится ясно, что я упустил важную деталь в формулировке нулевой гипотезы: предполагаемое теоретическое распределение вероятностей.
200
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Похоже, здесь разумно следовать Лапласу и выбрать биномиальное распределение с вероятностью рождения мальчика и девочки пятьдесят на пятьдесят. Какое распределение мы бы ни выбрали, оно по умолчанию встроено в нулевую гипотезу. Поскольку число рождений велико, мы можем выбранное Лапласом биномиальное распределение аппроксимировать соответствующим нормальным. В результате получается, что р = 0,05, то есть вероятность того, что такие экстремальные значения возникают случайно, составляет всего 5%. Поэтому, по выражению Фишера, мы отвергаем нулевую гипотезу на уровне 95%. Это означает, что мы на 95% уверены в том, что нулевая гипотеза неверна, и принимаем альтернативную гипотезу.
Означает ли это, что мы на 95% уверены в том, что наблюдаемые цифры статистически значимы — что они не возникают случайно? Нет. Это утверждение следует уточнить: мы на 95% уверены, что наблюдаемые цифры не возникают случайно при условии биномиального распределения пятьдесят на пятьдесят (или соответствующего нормального приближения). Другими словами, мы на 95% уверены, что либо наблюдаемые цифры не возникают случайно, либо предполагаемое распределение не имеет места.
Терминология Фишера несколько туманна и поэтому о таком уточнении легко позабыть. А тогда гипотеза, которую, как нам кажется, мы проверяем, не совсем совпадает с альтернативной гипотезой. Последняя несет дополнительную нагрузку — возможность того, что в первую очередь мы выбрали неверную статистическую модель. В рассмотренном примере нас это не слишком беспокоит, потому что биномиальное или нормальное распределение здесь очень разумно. Однако зачастую нормальное распределение предполагают по умолчанию, даже если оно не подходит. Студентов обычно предупреждают об этом, когда они изучают метод, но через некоторое время эта деталь может ускользнуть от внимания. Даже в опубликованных статьях иногда бывают ошибки.
В последние годы все большее значение приобретает вторая проблема, связанная с р-значениями, — разница между статистической значимостью и клинической значимостью.
ГЛАВА 12 | Лечебные мероприятия
201


Например, генетический тест на риск развития рака может быть статистически значимым на уровне 99%, что выглядит довольно хорошо. Но на практике он может обнаруживать только один дополнительный случай рака на каждые 100 ООО человек, давая при этом «ложноположительный результат» (показывает, что рак есть, когда на самом деле его нет) в 1000 случаях на каждые 100 000 человек. Это делает тест клинически бесполезным, несмотря на его высокую статистическую значимость.
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ О ВЕРОЯТНОСТЯХ в медицине можно прояснить, применяя теорему Байеса. Вот вам типичный пример [52]. Для выявления угрозы рака молочной железы у женщин есть стандартный метод: маммография — низкоинтенсивное рентгеновское изображение молочной железы. Заболеваемость раком молочной железы у женщин в возрасте 40 лет составляет около 1 %. (А на протяжении всей жизни она больше 10% и к тому же растет.) Предположим, что женщин такого возраста проверяют, проводя маммографию. Приблизительно для 80% женщин с раком молочной железы результат теста будет положительным, и для 10% женщин без рака молочной железы — тоже (тогда его называют ложноположительным). Теперь предположим, что у какой-то конкретной женщины положительный результат теста. Какова вероятность того, что у нее рак молочной железы?
В 1995 году Герд Гигеренцер и Ульрих Хоффрадж обнаружили, что когда врачам задают этот вопрос, только 15% из них дают верный ответ [53]. Большинство из них оценивают эту вероятность в 70-80%.
Эту вероятность можно вычислить по теореме Байеса. Другой способ — рассуждать так же, как и в главе 8. Действительно, для определенности рассмотрим выборку из 1000 женщин этой возрастной группы. Размер выборки не имеет значения, потому что на самом деле нас интересуют пропорции. Мы предполагаем, что рассматриваемые числа точно соответствуют вероятностям. В реальной выборке так не бывает, но мы используем гипотетическую выборку для вычисления вероятностей, поэтому такое предположение
202
Иэн Стюарт
Случайный Бог


разумно. Из этих 1000 женщин у 10 есть рак, и 8 из них тест выявит. Из оставшихся 990 женщин 99 получат положительный результат теста (и он ложноположителъный). Таким образом, общее число положительных результатов составляет 107. И только в 8 случаях из этих 107 рак действительно есть, так что вероятность этого события 8/107, что составляет около 7,5%.
Это примерно одна десятая того значения, которое дают большинство врачей, когда их просят оценить вероятность в контролируемых исследованиях. Правда, имея дело с реальным пациентом, они могут проявлять большую осторожность, чем когда их просят дать оценку в общем виде. Будем надеяться, что это так. Еще лучше — снабдить врачей специальным программным обеспечением, чтобы избавить от лишних хлопот. Основные ошибки в рассуждении заключаются в игнорировании ложных положительных результатов, приводящих к 80%-й оценке, или в предположении, что они не играют большой роли, отчего эта цифра снижается до 70% или около того. Такой подход здесь не работает, потому что число женщин, у которых нет рака, намного больше, чем число тех, у кого он есть. Даже при том, что ложноположительный результат менее вероятен, чем настоящий положительный, само число женщин без рака превосходит число тех, кто имеет это заболевание.
Это еще один пример ошибочных рассуждений об условных вероятностях. На самом деле врачи фактически думают
• о вероятности того, что женщина с раком молочной железы имеет положительную маммографию,
хотя на самом деле они должны думать
• о вероятности того, что у женщины с положительной маммографией есть рак.
Гигеренцер и Хоффрадж показали интересную вещь: врачи лучше оценивают вероятность, если им сообщают данные не цифрами, а словами. Если «вероятность 1%» заменить на «одна женщина из ста» и так далее, врачи мысленно представляют нечто более похожее на расчеты, которые мы только что провели. Психологические исследования показывают, что зачастую люди лучше отвечают на математические
ГЛАВА 12 | Лечебные мероприятия
203


или логические вопросы, если их представить в виде истории, особенно в знакомой социальной ситуации. История математики говорит нам, что азартные игроки интуитивно постигали многие основные черты вероятности задолго до того, как над ней начали работать математики.
СЕЙЧАС Я СОБИРАЮСЬ РАССКАЗАТЬ о современном медицинском исследовании, в котором применялись более сложные статистические методы. Начну с самих методов. Два из них традиционны — это метод наименьших квадратов и подход Фишера к проверке гипотез, но в менее привычных условиях. Третий более современный.
Бывает так, что данные доступны только в двоичном виде, вроде выбора «да/нет», например «сдать/не сдать экзамен по вождению». Вы хотите выяснить, влияет ли что-то на результаты, например, влияет ли количество пройденных уроков вождения на шансы сдать экзамен. Вы можете построить график результата (скажем, 0 — экзамен не сдан, 1 — экзамен сдан) в зависимости от часов занятий. Если бы результаты более-менее заполняли какой-то диапазон, вы бы применили регрессионный анализ, выбрали наи лучшую прямую линию, рассчитали коэффициент корреляции и проверили, насколько он значим. Однако при наличии только двух значений такая линейная модель не очень разумна. В 1958 году Дэвид Кокс предложил использовать логистическую регрессию. Логистическая кривая — это гладкая кривая, которая медленно растет, начиная от 0, ускоряется и затем снова замедляется, приближаясь к 1 (рис. 21). Крутизна подъема в середине и его расположение — это два параметра, которые определяют семейство таких кривых. Вы можете представить себе эту кривую как предположение о мнении экзаменатора о водителе по шкале от плохого до отличного или как предположение о фактических оценках, поставленных экзаменатором, если тест работал именно так.
Логистическая регрессия пытается соответствовать этому предполагаемому распределению мнений или оценок, используя только данные «сдан/не сдан». Для этого строят оценки параметров, при которых кривая наи лучшим образом отвечает данным, причем в соответствии с любым же-
204
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Рис. 21. Данные о гипотетическом экзамене по вождению и приближающая их логистическая кривая
лаемым определением «наилучшего соответствия». Вместо того чтобы пытаться сопоставить данным лучшую прямую линию, их приближают лучшей логистической кривой. Основной параметр обычно выражается в виде отношения соответствующих шансов — отношения вероятностей двух возможных результатов.
Второй метод, регрессия Кокса, около 1972 года также был разработан Коксом. Это модель пропорциональных рисков, она позволяет работать с событиями, которые меняются с течением времени [54]. Например, уменьшает ли прием какого-либо препарата вероятность инсульта, и если да, то на сколько? Риск — это число, которое описывает, насколько правдоподобно наступление инсульта в течение определенного периода времени; удвоение риска уменьшает среднее время до инсульта вдвое. В такой статистической модели рассматривается специальный вид функции риска — зависимость риска от времени. В нее входят и другие числовые параметры. Они описывают, как функция риска зависит от других факторов, таких как медицинское лечение. Цель в том, чтобы оценить эти параметры и на этом основании решить, насколько существенно они влияют на вероятность инсульта или любого другого изучаемого исхода.
ГЛАВА 12 | Лечебные мероприятия
205


Третий метод используется для оценки надежности статистик, рассчитанных на основе выборки, таких как среднее выборочное значение. Этот вопрос восходит к Лапласу, и в астрономии он может быть решен путем многократного измерения одной и той же величины и применения центральной предельной теоремы. В медицинских исследованиях и во многих других областях науки такой возможности может и не быть. В 1979 году Брэдли Эфрон предложил способ, не требующий сбора дополнительных данных, в статье «Методы бутстрэпа: еще один взгляд на складной нож» [55]. Первый термин происходит от поговорки «вытащить себя за ремешки на ботинках»1; метод «складного ножа» был более ранней попыткой подобного рода. Бутстрэппинг основан на «повторной выборке» из одних и тех же данных. При этом строят случайные выборки из имеющихся данных, вычисляют их средние значения (или любую другую статистику, представляющую интерес) и находят распределение полученных значений. Если дисперсия этого пересчитанного распределения невелика, то исходное среднее, скорее всего, будет близко к истинному среднему для исходного набора данных.
Например, предположим, что у нас есть данные о росте в выборке из 20 человек и мы хотим сделать вывод о среднем росте всех людей на земном шаре.
Это довольно маленькая выборка, поэтому достоверность среднего значения в ней сомнительна. Самая простая версия бутстрэпа выбирает 20 из этих людей случайным образом и вычисляет среднее значение для этой выборки. (При этом один и тот же человек может быть выбран несколько раз; статистики называют это «повторной выборкой с заменой». Таким образом, каждый раз могут получаться разные средние.) Вы делаете это много раз, скажем 10 ООО. Затем вы вычисляете статистику, например дисперсию этих 10 ООО пересчитанных точек данных. Или строите их гистограмму. На компьютере это сделать легко, но до их появления практически неосуществимо, поэтому никто не предлагал таких методов. Как ни странно, бутстрэппинг дает лучшие резуль¬
1 Приблизительно так же, как барон Мюнхгаузен вытащил себя из
болота за волосы. — Прим. перев.
206
Иэн Стюарт
Случайный Бог


таты, чем традиционное предположение о нормальном распределении или вычисление дисперсии исходной выборки.
ТЕПЕРЬ МЫ ГОТОВЫ РАССМОТРЕТЬ глубоко продуманное современное медицинское исследование. Я выбрал исследовательскую статью Александра Викторина и его коллег, опубликованную в 2018 году [56]. Они изучали широко применяемые препараты и искали непредусмотренные эффекты. В частности, они собирались исследовать, что происходит, когда отец использует антидепрессанты в момент зачатия ребенка. Есть ли свидетельства какого-либо вредного воздействия на ребенка? Авторы рассмотрели четыре возможных варианта: преждевременные роды, пороки развития, аутизм и умственная отсталость.
Исследование проводилось на очень большой выборке из 170 508 детей. Согласно данным шведского медицинского регистра рождений, который охватывает около 99% рождений в этой стране, все они были зачаты в Швеции в период с 29 июля 2005 года по 31 декабря 2007 года. Эта база данных включает в себя информацию, которая позволяет рассчитать дату зачатия с точностью до недели.
Отцы были идентифицированы с помощью «Регистра поколений», предоставленного статистическим управлением Швеции; в него следует включать только биологических отцов. Если необходимые данные были недоступны, то ребенок исключался. Региональный комитет по этике в Стокгольме одобрил это исследование; по законам Швеции, это означало, что не требовалось получать согласие на исследование от отдельных лиц. В качестве дополнительной меры предосторожности для обеспечения конфиденциальности все данные были анонимизированы: они не были связаны с конкретными именами. Эти данные собирались до 2014 года, когда детям исполнялось 8 или 9 лет.
Выяснилось, что в 3983 случаях отец принимал антидепрессанты в период зачатия. У контрольной группы из 164 492 детей отцы не принимали антидепрессанты. В третью, «негативную контрольную группу», вошли 2033 ребенка, чьи отцы не применяли антидепрессанты в период зачатия, но принимали их позже, во время беременности
ГЛАВА 12 | Лечебные мероприятия
207


матери. (Если препарат вреден, то вред должен проявляться в первой группе, но не во второй. Более того, мы не ожидаем его проявления и в третьей группе, потому что основной путь передачи лекарственного средства или его воздействия от отца к ребенку лежит через зачатие. Проверка этого ожидания — полезная проверка.)
В статье сообщалось, что ни одно из четырех исследуемых состояний не вызвано тем, что отец принимал антидепрессанты в период перед зачатием. Давайте посмотрим, как команда пришла к этим выводам.
Чтобы сделать данные объективными, исследователи использовали стандартные клинические классификации для выявления и количественной оценки четырех неблагоприятных состояний. В статистическом анализе применялись разные методы, каждый из которых соответствовал и состоянию, и данным. Для проверки гипотезы исследователи выбрали 95% -й уровень значимости. Для двух состояний — преждевременных родов и пороков развития — имеющиеся данные были двоичными: у ребенка либо было это состояние, либо нет. В таком случае применяется логистическая регрессия, она дает оценку отношения шансов для преждевременных родов и пороков развития с использованием 95%-х доверительных интервалов. При этом определяется такой диапазон значений, что мы на 95% уверены, что статистика лежит внутри этого диапазона [57].
Другие два состояния — расстройство аутистического спектра и умственная отсталость — являются психическими расстройствами. С возрастом они становятся все более распространенными у детей, поэтому данные зависят от времени. Для учета эффектов такого рода данные были скорректированы с использованием регрессионных моделей Кокса, обеспечивающих оценки риска. Поскольку данные для родных братьев и сестер могут вносить ложные корреляции в данные, исследователи применяли бутстрэппинг для анализа чувствительности и оценки надежности статистических результатов.
В заключение они предоставили статистические данные для количественной оценки возможной связи приема антидепрессантов с четырьмя типами состояний. Для трех
208
Иэн Стюарт
Случайный Бог


из них не было никаких признаков связи. На втором этапе сравнивали первую группу (отец принимал препарат в период зачатия) с третьей (отец не принимал его в период зачатия, но принимал во время беременности матери). Для первых трех состояний опять же не было найдено никаких существенных различий. Что касается четвертого — умственной отсталости, — то здесь обнаружилась небольшая разница. Если бы она указывала на более высокий риск умственной отсталости для первой группы, то можно было бы заподозрить, что препарат оказывал некоторый эффект при зачатии — единственный момент, когда он мог повлиять на конечный плод. Но на самом деле у первой группы риск умственной отсталости был незначительно ниже, чем у третьей.
Это впечатляющее исследование. Оно демонстрирует тщательное планирование эксперимента и строгие этические процедуры. В нем применяются статистические методы, далеко выходящие за рамки проверки гипотез в стиле Фишера. Исследование опирается на традиционные подходы, такие как доверительные интервалы, чтобы зафиксировать доверительный уровень результатов, но адаптирует их к применяемым методам и типу данных.
ГЛАВА 12 | Лечебные мероприятия
209


ГЛАВА 13
ФИНАНСОВЫЕ ПРЕДСКАЗАНИЯ
Спекулянты не приносят вреда, если они остаются пузырями на поверхности ровного потока предпринимательства. Однако положение становится серьезным, когда предпринимательство превращается в пузырь в водовороте спекуляции. Когда расширение производственного капитала в стране становится побочным продуктом деятельности игорного дома, трудно ожидать хороших результатов.
Джон Мейнард Кейнс «Общая теория занятости, процента и денег»
15 СЕНТЯБРЯ 2008 ГОДА ОБАНКРОТИЛСЯ крупнейший инвестиционный банк Lehman Brothers. Немыслимое стало реальностью, и нескончаемый экономический бум внезапно прекратился. Встряска в одной отдельной области американского ипотечного рынка вылилась в полномасштабную катастрофу, затронувшую все сферы финансового сектора. Финансовый кризис 2008 года угрожал обрушить всю мировую банковскую систему. Правительства предотвратили катастрофу, направив огромные потоки денег налогоплательщиков в те самые банки, которые ее вызвали. Кризис запустил глобальный спад всех видов экономической активности: началась Великая Рецессия. Ее пагубные последствия до сих пор дают о себе знать.
Я не хочу разбираться в причинах финансового кризиса — они сложны, разнообразны и противоречивы. Считается, что необузданная жадность и гипертрофированная самонадеянность привели к дико завышенным оценкам стоимости и к риску сложных финансовых инструментов — «деривативов», которых никто толком не понимал. Какой бы ни была его причина, кризис наглядно продемонстрировал, что финансы связаны с глубокой неопределенностью. Когда-то мы думали, что финансовый мир прочен и стабилен, что за наши деньги отвечают высококвалифици¬
210
Иэн Стюарт | Случайный Бог


рованные специалисты, а их богатый опыт воспитал в них благоразумие и консервативный подход к риску. Теперь мы знаем, что это не так. Кризисов было предостаточно и раньше, они предупреждали, что мы смотрим на ситуацию через розовые очки, но мы не замечали сигналов, а если и замечали, то считали сбоями, которые никогда больше не повторятся.
Финансовые учреждения бывают разные. В обычный банк вы идете, чтобы снять или положить деньги на депозит. Все чаще случается так, что вы даже не входите внутрь, а останавливаетесь снаружи у банкомата, устанавливаете банковское приложение или входите в Интернет, чтобы перевести деньги или убедиться, что платеж прошел. Инвестиционный банк, который вкладывает деньги в новые проекты, предприятия или спекуляции, — это совсем другое дело. Первые должны быть безрисковыми, вторые не могут без риска обойтись. В Великобритании эти два типа банков раньше были отделены друг от друга. Ипотека раньше предоставлялась строительными обществами, которые были кооперативами, то есть некоммерческими организациями. Страховые компании продавали страховку, а супермаркеты — мясо и овощи. Все изменилось в 1980-х годах с введением финансового дерегулирования. Банки вкладывались в ипотечное кредитование, строительные общества отказывались от своих социальных задач и превращались в банки, супермаркеты торговали страховками. Отменяя якобы обременительные правила, правительства того времени заодно снесли барьеры между финансовыми учреждениями разных типов. Поэтому, когда у нескольких крупных банков возникли проблемы с «плохими» ипотечными кредитами [58], оказалось, что ту же ошибку сделали все остальные, и кризис распространился, как лесной пожар.
Финансовые потрясения очень трудно предсказать. Фондовый рынок — это, по сути, скачки на ипподроме. Это высокоорганизованный, полезный источник финансирования для бизнеса, способствующий созданию рабочих мест, но в конечном счете то, чем там занимаются, сродни ставкам на Резвого Джероламо в 16.30 в Сандауне. Валютные рынки, где трейдеры обменивают доллары на евро, а также на
ГЛАВА 13 | Финансовые предсказания
211


иены, рубли или фунты стерлингов, в основном предназначены для получения очень маленького процента прибыли от сделок большого объема. На бегах опытные профессиональные игроки знают все шансы и пытаются оптимизировать свои ставки; точно так же профессиональные дилеры и трейдеры опираются на свой опыт, чтобы снизить риски и увеличить прибыль. Но фондовый рынок куда сложнее скачек, и сегодня трейдеры полагаются на сложные алгоритмы — математические модели, реализованные на компьютерах. Большая часть торгов автоматизирована: алгоритмы принимают решения за доли секунды и торгуют друг с другом без участия человека.
Автоматизация была вызвана желанием сделать финансовые вопросы более предсказуемыми; снизить неопределенность, а значит, уменьшить риск. Финансовый кризис возник из-за того, что слишком много банкиров решили, что им это удалось. Как оказалось, с таким же успехом они могли разглядывать кофейную гущу на дне своей чашки.
ПРОБЛЕМА НЕ НОВА. Между 1397 и 1494 годами в Италии эпохи Возрождения могущественная семья Медичи управляла самым большим и респектабельным во всей Европе банком. Какое-то время богаче их никого во всей Европе не было. В 1397 году Джованни ди Биччи де Медичи отделил свой банк от банка племянника и перевел его во Флоренцию. Банк расширялся, открыв филиалы в Риме, Венеции и Неаполе, а затем протянул свои щупальца в Женеву, Брюгге, Лондон, Пизу, Авиньон, Милан и Лион. Казалось, все шло размеренно под контролем Козимо де Медичи, пока в 1464 году он не умер и его не заменил сын Пьеро. Не все, однако, знали, что Медичи неуемно тратили: около 17 ООО золотых флоринов ежегодно с 1434 по 1471 год. Это где-то около 20-30 миллионов долларов в сегодняшних деньгах.
Гордыня всегда ведет за собой Немезиду; неизбежный крах начался в Лионском филиале, где управляющий был нечист на руку. Затем лондонский филиал ссудил крупные суммы тогдашней королевской семье. Это было рискованное решение, поскольку короли и королевы отличались легкомыслием и были печально знамениты тем, что не платили долгов.
212
Иэн Стюарт | Случайный Бог


К 1478 году Лондонский филиал потерпел крах с огромными потерями в 51 533 золотых флорина. Филиал в Брюгге совершил ту же ошибку. По словам Никколо Макиавелли, Пьеро пытался укрепить свои финансовые позиции, требуя возврата долгов. Это вызвало банкротство несколько местных предприятий и раздражение властей. Филиалы закрывались один за другим, и когда в 1494 году Медичи впали в немилость и утратили свое политическое влияние, конец был уже близок. Даже на этом этапе банк Медичи был самым крупным в Европе, но Центральный банк Флоренции дотла сожгла толпа, а Лионский филиал подвергся рейдерскому захвату. Тамошний управляющий выдал слишком много плохих кредитов и скрыл катастрофу, заняв большие суммы в других банках.
Все это знакомо до ужаса.
Во время пузыря доткомов 1990-х годов инвесторы распродавали свои акции в огромных прибыльных отраслях, производивших реальные товары, и делали ставки на мелочь — часто на компанию ребят на чердаке с компьютером и модемом. Тогда в 1996 году председатель совета директоров Федеральной резервной системы Алан Гринспен выступил с речью, осуждающей рынок за его «иррациональное изобилие». Никто не внял его речи, но в 2000 году акции интернет-компаний рухнули. К 2002 году они потеряли 5 триллионов долларов рыночной капитализации.
Это тоже случалось раньше. И не однажды.
В XVII веке Голландия была процветающим стабильным государством, богатевшим от торговли с Дальним Востоком. Тюльпан, редкий цветок из Турции, стал символом статуса, и цены на него подскочили. Всех охватила «тюльпано- мания», и даже была создана специализированная биржа тюльпанов. Спекулянты скупали акции и прятали их подальше, чтобы создать искусственный дефицит и взвинтить цены. Возник фьючерсный рынок, где торговали контрактами на покупку или продажу луковиц тюльпанов в будущем. К 1623 году какой-нибудь редкий тюльпан стоил больше, чем купеческий дом в Амстердаме. Но пузырь лопнул, и это отбросило голландскую экономику на сорок лет назад.
В 1711 году британские предприниматели основали «компанию купцов Великобритании для торговли в южных
ГЛАВА 13 | Финансовые предсказания
213


морях и других частях Америки, а также для поощрения рыболовства» — Компанию Южных морей. Корона предоставила ей монополию на торговлю с Южной Америкой. Спекулянты задрали цену на акции в десять раз, и идея так понравилась, что люди стали создавать самые удивительные компании такого рода. Одна из них поставила своей целью «добиться большой выгоды, хотя никто не знает, что это такое». Другая решила выпускать квадратные пушечные ядра. Но здравый смысл вернулся, и тогда рынок обвалился; простые инвесторы потеряли свои сбережения, но крупные акционеры и директора к тому времени давно уже покинули тонущий корабль. В конце концов первый лорд казначейства Уолпол, продавший все свои акции на самом верху рынка, восстановил порядок, разделив долг между правительством и Ост-Индской компанией. Руководству компании предписали компенсировать инвесторам убытки, но многим из самых злостных спекулянтов все сошло с рук.
КОГДА ПУЗЫРЬ ЮЖНЫХ МОРЕЙ ЛОПНУЛ, Ньютон был хранителем монетного двора и потому должен был бы разбираться в финансах. Но тогда он лишь заметил: «Я могу рассчитать движение небесных тел, но не безумие толпы». Не сразу за изучение рыночных механизмов взялись ученые с математическим складом ума. И даже они сначала основывались на предположении о рациональном принятии решений или, по крайней мере, на своих лучших догадках о том, какое поведение считать рациональным. Признаки математической науки экономика начала приобретать в XIX веке. Этот подход вызревал долгое время во многом благодаря таким людям, как немец Готфрид Ахенвалль, которому часто приписывают изобретение термина «статистика», и англичанин сэр Уильям Петти, который изучал налогообложение в середине 1600-х гг. Петти предложил, чтобы налоги были справедливыми, пропорциональными, регулярными и учреждались на точных статистических данных. К 1826 году Иоганн фон Тюнен уже строил математические модели экономических систем, например использования земельных угодий в сельском хозяйстве, и разрабатывал методы анализа таких систем.
214
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Первые методы основывались на арифметике и алгебре, но затем появилось новое поколение ученых, владеющих математической физикой. Уильям Джевонс в книге «Теория политической экономии» утверждал, что экономика «должна быть математической просто потому, что имеет дело с количествами». Соберите достаточно данных о том, сколько товаров продается и по каким ценам, и математические законы, лежащие в основе экономических операций, несомненно, будут раскрыты. Джевонс первым применил понятие предельной полезности: «По мере того как количество любого товара, например потребляемой простой пищи, увеличивается, полезность или выгода, получаемая от последней используемой порции, уменьшается». Иначе говоря, если у вас какого-то товара в достатке, его большее количество становится менее полезным, чем при его нехватке.
Математическая экономика в ее «классической» форме отчетливо прослеживается в работах Леона Вальраса и Антуана Огюстена Курно, которые делали акцент на полезности: насколько ценен данный товар для покупателя. Если вы покупаете корову, вы уравновешиваете ее стоимость, включая содержание, доходами от молока и мяса. Теория состояла в том, что покупатель из множества возможных вариантов выбирает тот, который максимизирует полезность. Если выразить функцию полезности разумной формулой, которая описывает, как полезность зависит от выбора, то методами анализа можно найти максимум этой функции. Курно был математиком, и в 1838 году он разработал модель, в которой две компании конкурируют за один и тот же рынок. Такая модель называется дуополией. Каждая компания регулирует свои цены в соответствии с тем, сколько производит другая, и вместе они достигают равновесия (или устойчивого состояния), в котором обе получают максимум возможного. Слово equilibrium («равновесие») происходит из латинского языка и означает «равноплечие весы», указывая, что, как только такое состояние достигнуто, оно не меняется. Причина здесь в том, что любое изменение будет невыгодно той или другой компании. Равновесная динамика и полезность стали преобладать в математическом экономическом мышлении. Большое влияние
ГЛАВА 13 | Финансовые предсказания
215


оказали идеи Вальраса, пытавшегося распространить такие модели на всю экономику целого государства или даже целого мира. В этом заключалась его теория общего конкурентного равновесия. Запишите уравнения, описывающие выбор покупателя и продавца в любой сделке, учтите их все для каждой транзакции на планете. Решив уравнение, найдите равновесное состояние, и вы получите наилучший возможный выбор для каждого. Эти общие уравнения слишком сложны, чтобы их можно было решить доступными тогда методами, но они привели к двум основополагающим принципам. Закон Вальраса гласит, что если все рынки, кроме одного, находятся в равновесии, то и последний находится в равновесии. Причина в том, что если он может изменяться, то изменятся и другие. Второй принцип выражается французским словом tatonnement («движение на ощупь»). Вальрас считал, что именно так реальные рынки достигают равновесия. Рынок рассматривается как аукцион, где аукционист предлагает цену, а покупатели делают ставку на желаемую корзину товаров, когда цена соответствует их предпочтениям. Предполагается, что у покупателей есть такие предпочтения (отправные цены) для каждого товара. У этой теории был недостаток: фактически никто ничего не покупает до тех пор, пока все товары не будут выставлены на аукцион, и никто не пересматривает свои отпускные цены в ходе аукциона. На практике так не бывает. На самом деле совершенно неочевидно, что понятие «равновесие» вообще применимо к реальным рынкам. Вальрас строил простую детерминистическую модель системы, исполненной неопределенности. Его подход закрепился только потому, что никто не мог придумать ничего лучше.
Фрэнсис Эджуорт приложил много усилий, чтобы привести в порядок математический формализм статистики. Аналогичный подход он применил к экономике в 1881 году в работе «Математическая психология». В начале XX века начали появляться новые математические методы. Вильфредо Парето разработал модели, в которых экономические агенты торгуют товарами, чтобы улучшить свой выбор. Система находится в равновесии, если она достигает такого состояния, когда ни один агент не может улучшить свой собственный
216
Иэн Стюарт | Случайный Бог


выбор, не ухудшив положение другого агента. Теперь такое состояние называется равновесием Парето. В 1937 году Джон фон Нейман доказал, что в подходящем классе математических моделей равновесные состояния существуют всегда, применив мощную топологическую теорему — теорему Брауэра о неподвижной точке. В его модели экономика может расти, и он доказал, что в состоянии равновесия темп роста должен быть равен процентной ставке. Он также разработал теорию игр — упрощенную математическую модель конкурирующих агентов, которые выбирают подходящую стратегию из конечного их набора, стараясь максимизировать свой выигрыш. Позже Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике [59] за результаты о равновесии в теории игр, оно тесно связано с равновесием Парето.
К середине XX века уже в общих чертах сложилась классическая математическая экономика. Ее все еще широко преподают в университетах и уже многие десятилетия это единственный общепринятый подход. Большая часть архаичной терминологии, которую мы сегодня применяем (рынок, потребительская корзина), и акцент на росте как показателе здоровья экономики пришли из тех времен. Теория предоставляет инструменты для принятия решений в неопределенной экономической среде, и достаточно часто она работает достаточно хорошо, а потому полезна. Однако растет понимание, что у такой математической модели есть серьезные ограничения. В частности, предположение о том, что экономические агенты — это совершенно рациональные существа, которые четко представляют свою кривую полезности и стремятся ее максимизировать, не соответствует действительности. Поразительно, но широко распространенную и общепризнанную классическую математическую экономику почти не проверяли на реальных данных. Это «наука» без экспериментальной базы. Великий экономист Джон Мейнард Кейнс писал об этом так: «Слишком большая часть современной „математической" экономики — это просто выдумки, столь же неточные, как и исходные допущения, на которых они основываются. Они позволяют автору не замечать сложности и взаимозависимости реального мира в лабиринте претенциозных и бесполезных символов».
ГЛАВА 13 | Финансовые предсказания
217


В конце этой главы мы коротко обсудим некоторые современные предложения по созданию чего-то лучшего.
Совершенно иной подход к одной из отраслей финансовой математики мы видим в докторской диссертации Луи Баше- лье, которую он защитил в Париже в 1900 году. Башелье был учеником Анри Пуанкаре — ведущего французского математика того периода и одного из лучших в мире. Диссертация называлась «Теория спекуляций» (Theorie de la speculation). Может быть, в математике и есть такой раздел, но Башелье имел в виду спекуляцию акциями и облигациями. В этой области математику обычно не применяли, в результате идеи Башелье не нашли понимания. У него были результаты, потрясающие и сами по себе, и как вклад в математическую физику, где те же самые идеи применяются в другой модели. Но они были утеряны, пока их не переоткрыли десятилетия спустя. Башелье был пионером «стохастического» подхода к финансовой неопределенности. Так говорят о моделях, в которые встроены элементы случайности.
Любой, кто читает финансовые колонки в газетах или следит за фондовым рынком в Интернете, быстро замечает, что стоимость акций и облигаций меняется нерегулярно и непредсказуемо. На рис. 22 мы видим, как изменялся индекс FTSE 100 (он основан на курсах акций 100 компаний с наибольшей капитализацией, котирующихся на Лондонской фондовой бирже) с 1984 по 2014 год. График больше похож не на плавную кривую, а на случайное блуждание. Башелье глубоко проникся этим сходством и смоделировал изменения цен на акции в виде броуновского движения. В 1827 году шотландский ботаник Роберт Броун рассматривал через микроскоп крошечные частицы, застрявшие в полостях внутри зерен пыльцы, взвешенных в воде. Он заметил, что частицы двигались беспорядочно, но не мог объяснить почему. В 1905 году Эйнштейн предположил, что частицы сталкиваются с молекулами воды. Он объяснил физику этого явления математически, и его результаты убедили многих ученых в том, что материя состоит из атомов. (Удивительно, но в 1900 году эта идея была еще весьма спорной.) В 1908 году Жан Перрен подтвердил объяснение Эйнштейна.
218
Иэн Стюарт | Случайный Бог


8000
1984 1989 1994 1999 2004 2009 2014
Рис. 22. Индекс FTSE 100 (ведущий индекс Британской фондовой биржи) с 1984 по 2014 г.
Башелье применил модель броуновского движения, чтобы ответить на статистический вопрос о фондовом рынке: что происходит с ожидаемой ценой — статистическим средним — с течением времени? И даже конкретнее: какова плотность распределения вероятностей цены и как она меняется? Ответ дает оценку наиболее правдоподобной будущей цены и описывает, насколько цена может колебаться относительно этой оценки.
Башелье записал уравнение для плотности распределения вероятностей, теперь называемое уравнением Колмогорова- Чепмена, и решил его, получив нормальное распределение, дисперсия (разброс) которого линейно растет со временем. Теперь мы знаем, что это плотность распределения вероятностей в уравнении диффузии. Его еще называют уравнением теплопроводности, потому что именно в этой области оно впервые появилось. Если нагревать на плите металлическую кастрюлю, то ручка тоже нагреется, даже если она не контактирует непосредственно с нагревательным элементом. Это происходит потому, что тепло распространяется через металл. В 1807 году Фурье записал «уравнение теплопроводности», управляющее этим процессом. То же самое уравнение применимо и к другим видам диффузии, например
ГЛАВА 13 | Финансовые предсказания
219


к чернильной капле, растворяющейся в стакане воды. Башелье доказал, что в модели броуновского движения цена опциона ведет себя подобно теплу.
Он разработал еще один подход, основанный на случайных блужданиях. Если в случайном блуждании шаги делаются все мельче и чаще, оно приближается к броуновскому движению. Башелье показал, что такой подход приводит к тому же результату. Затем он вычислил, как со временем должна меняться цена «фондового опциона». (Опцион — это контракт на покупку или продажу какого-либо товара в будущем по фиксированной цене. Такой контракт можно купить или продать; удачна ли эта сделка, зависит от того, как меняется реальная цена товара.) Разобравшись, как меняются цены на товары, мы получим наилучшую оценку фактической будущей цены опциона.
Математическое сообщество восприняло диссертацию довольно прохладно, вероятно, из-за необычной области применения, но она была одобрена и опубликована в авторитетном научном журнале. Башелье не поняли, и в дальнейшем это неблагоприятно повлияло на его жизнь в науке. Он продолжал исследования по диффузии и связанным с ней вероятностным темам, став профессором Сорбонны, но с началом Первой мировой войны его призвали в армию. Помыкавшись после войны, он подал заявление на постоянную работу в Дижоне. Морис Жевре, оценивая кандидатов, полагал, что он нашел серьезную ошибку в одной из работ Башелье, эксперт Поль Леви поддержал его. Карьера Башелье рухнула. Но оба эксперта неправильно поняли его обозначения, ошибки в работе не было и быть не могло. Башелье написал в ответ гневное письмо, но безрезультатно. В конце концов Леви понял, что Башелье был прав с самого начала, извинился, и они закопали топор войны. Но и позднее Леви не приветствовал исследования фондового рынка. В своей записной книжке он сделал один-единственный комментарий к диссертации Башелье: «Слишком много финансов!»
СО ВРЕМЕНЕМ МАТЕМАТИКИ-ЭКОНОМИСТЫ и биржевые аналитики взяли на вооружение методику Башелье,
220
Иэн Стюарт | Случайный Бог


чтобы анализировать, как меняется стоимость опциона в результате случайных колебаний. Они стремились понять поведение рынка опционов, а не лежащих в их основе реальных товаров. Главная задача здесь — найти рациональный способ установить цену опциона. Такое значение все заинтересованные стороны могли бы вычислить независимо по одним и тем же правилам. Это позволило бы оценить риск любой конкретной сделки и стимулировать рыночную активность.
В 1973 году Фишер Блэк и Майрон Шоулз в журнале «Политическая экономия» опубликовали статью «Оценка опционов и коммерческих облигаций». Целых десять лет они работали над выводом математической формулы для определения рациональной цены опциона. Их эксперименты по торговле по формуле оказались не слишком успешными, и они решили обнародовать свою работу. Математическое объяснение их формуле дал Роберт Мертон, и она стала известна как модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза. В такой модели колебания стоимости опциона и риски, связанные с базовым товаром, рассматриваются по отдельности. Это приводит к торговой стратегии, известной как дельта-хеджирование: многократная покупка и продажа товара таким образом, чтобы исключить риск, связанный с опционом.
Модель представляет собой уравнение в частных производных, тесно связанное с уравнением диффузии, которое Башелье вывел из броуновского движения. Это и есть уравнение Блэка-Шоулза. При любых начальных условиях его можно решить численными методами и получить оптимальную цену опциона. Наличие уникальной «разумной» цены (даже основанной на модели, которая в действительности могла быть неприменимой) — достаточно сильный довод для финансистов. Они стали использовать это уравнение, и возник огромный рынок опционов.
Математические допущения, заложенные в уравнение Блэка-Шоулза, не вполне реалистичны. Одно из них — важное! — состоит в том, что распределение вероятностей для базового процесса диффузии нормально. В таком предположении экстремальные события очень маловероятны.
ГЛАВА 13 | Финансовые предсказания
221


Рис. 23. Сравните два распределения с толстыми хвостами (черные линии) и нормальное распределение (серая линия). Все три распределения — из параметрического семейства «устойчивых распределений», значения ключевого параметра указаны
На практике они встречаются гораздо чаще — это явление известно под названием «толстые хвосты» (или «тяжелые хвосты») [60]. На рис. 23 мы видим три графика четырехпараметрического семейства устойчивых вероятностных распределений. Они различаются значениями ключевого параметра. Когда он равен 2, мы получаем нормальное распределение (серая линия), у него нет тяжелого хвоста. У двух других распределений (черные линии) хвосты тяжелые: по краям черные линии лежат выше серых.
Использование нормального распределения для моделирования финансовых данных, у которых на самом деле тяжелые хвосты, означает недооценку риска экстремальных событий. В норме они редки, с тяжелыми хвостами или нет, но тяжелые хвосты делают их достаточно распространенными, чтобы представлять собой серьезную проблему. И, конечно же, именно экстремальные события могут оставить вас без гроша. Из-за неожиданных потрясений — внезапных политических переворотов или краха крупной корпорации — экстремальные события могут стать еще вероятнее, чем предсказывает тяжелый хвост. Пузырь доткомов и финансовый кризис 2008 года были связаны с такими неожиданными рисками.
222
Иэн Стюарт
Случайный Бог


Несмотря на эти недостатки, уравнение Блэка—Шоул- за широко применялось по причинам прагматическим: его легко решить численно и обычно оно дает хорошее приближение к состоянию реального рынка. Инвестор-миллиардер Уоррен Баффет предостерегал: «Формула Блэка—Шоул за
приблизилась к статусу Священного Писания в финансах... Однако если применить ее к длительным периодам времени, то она может привести к абсурдным результатам. По правде говоря, Блэк и Шоулз почти наверняка это хорошо понимали. Но их адепты норовят игнорировать все подводные камни, о которых предупреждали авторы, когда впервые опубликовали формулу». [61]
Позднее были построены более сложные и реалистичные модели, а на их основе разработаны более сложные финансовые инструменты — деривативы. Одной из причин кризиса 2008 года было неверное представление об истинных рисках для некоторых наиболее популярных деривативов, таких как кредитные дефолтные свопы и обеспеченные долговые обязательства. Инвестиции, которые модель описывала как безрисковые, на самом деле таковыми не были.
СТАНОВИТСЯ ВСЕ БОЛЕЕ ОЧЕВИДНО, что традиционная математическая экономика и финансовые модели, основанные на традиционных статистических допущениях, больше не работают. Менее очевидно, что теперь делать. Я коротко обрисую два различных подхода: анализ «снизу вверх», когда моделируются действия отдельных дилеров и трейдеров, и подход «сверху вниз», который исходит из общего состояния рынка и указывает, как его контролировать, чтобы не было сбоев. Это лишь небольшая выжимка из обширной литературы на эту тему.
В 1980-е годы среди математиков и ученых вырос интерес к «сложным системам», в которых большое количество отдельных элементов взаимодействует по относительно простым правилам, отчего возникает неожиданное «эмерджент- ное» поведение на уровне всей системы. Пример такой системы — наш мозг с его 10 миллиардами нейронов. Все нейроны устроены (довольно) просто, как и сигналы между ними, но достаточно правильно собрать их вместе, и вы по¬
ГЛАВА 13 | Финансовые предсказания
223


лучите Бетховена, Достоевского или Эйнштейна. Футбольный стадион — это система из 100 ООО человек со своими намерениями и возможностями; они взаимодействуют друг с другом или тихонечко стоят в очереди за билетами. Смоделируйте эту систему, и вы получите очень реалистичные прогнозы движения толпы. Например, плотные толпы, движущиеся в противоположных направлениях вдоль коридора, могут разветвляться, образуя длинные параллельные ряды с чередующимися направлениями движения. Традиционные «сверху вниз» модели толпы как жидкости не воспроизводят это поведение.
Фондовый рынок имеет схожую структуру: большое количество трейдеров, конкурирующих за прибыль. Брайан Артур и другие экономисты начали моделировать экономические и финансовые явления как сложные системы. Так возник стиль моделирования, который теперь называется агентной вычислительной экономикой (или АВЭ). Это довольно общая структура. Задайте модель, в которой много агентов взаимодействуют по разумным правилам, просчитайте все на компьютере и узнаете, что происходит. Классическое экономическое предположение об абсолютной рациональности (каждый стремится оптимизировать для себя полезность) можно заменить на рациональность ограниченную, что более реально отражает положение дел. В любой момент времени агенты делают то, что кажется им разумным, основываясь на своей собственной ограниченной информации о состоянии рынка и своих догадках о том, куда он движется. Они не похожи на альпинистов, взбирающихся на далекую вершину по тропе, которую видят все, — они ощупью карабкаются по туманным склонам, стараясь двигаться вверх. Они даже не уверены, есть ли там вершина, но постоянно боятся сделать неверный шаг и сорваться вниз со скалы.
В середине 1990-х годов Блейк Лебарон изучал агент- ориентированные модели фондового рынка. В таких моделях акцент ставится не на равновесии, как это принято в классической экономике. Здесь цены колеблются по мере того, как агенты наблюдают за происходящим и соответственно меняют стратегию, — совсем как в жизни. Некоторые модели воспроизводят не только это качественное поведение,
224
Иэн Стюарт | Случайный Бог


но и общую статистику рыночных колебаний. В конце 1990-х годов американская фондовая биржа NASDAQ стала фиксировать цены не в долях (например, 23-), как раньше, а в десятичных дробях (например, 23,7 или даже 23,75). Это позволило бы точнее указывать цены, но, поскольку цены теперь могли меняться с меньшим шагом, это могло повлиять на применяемые трейдерами стратегии. Фондовая биржа наняла ученых из BiosGroup, чтобы построить агент-ориентированную модель и получить правильную статистику. Модель показала, что, если бы ценовые движения были слишком малы, трейдеры могли бы получать быструю прибыль при одновременном снижении эффективности рынка. Это было бы неудачно, и NASDAQ учла этот эффект.
В 2011 году Эндрю Холдейн из банка Англии и эколог Роберт Мэй решили отказаться от моделирования «снизу вверх». Вместо этого они ввели в банковское дело идеи из экологии [62]. Они обратили внимание, что нельзя учитывать только риски (или их отсутствие), связанные со сложными производными финансовыми инструментами, и при этом игнорировать коллективное их воздействие на устойчивость всей банковской системы. Эта идея пришла из экологии: слоны могли бы процветать, но, если их слишком много, они уничтожают так много деревьев, что страдают другие виды. Экономисты уже показали, что массовый рост хедж-фондов — экономических слонов — может дестабилизировать рынки [63]. Чтобы проиллюстрировать свои идеи, Холдейн и Мэй подобрали особенно простые модели и адаптировали методы, применяемые экологами для изучения взаимодействующих видов и стабильности экосистем. Одна из таких моделей — пищевые сети: они показывают, кто кем питается. Узлы сети — это отдельные виды; связи между видами представляют, какие виды питаются друг другом и как. Что-то похожее происходит и в банковской системе: каждый крупный банк представляется узлом, но перетекают между ними деньги, а не пища. Аналогия неплохая. Банк Англии и Федеральный резервный банк Нью-Йорка разработали эту структуру для изучения последствий банкротства одного банка для банковской системы в целом.
ГЛАВА 13 | Финансовые предсказания
225


Некоторые из ключевых математических параметров таких сетей можно определить приближением среднего поля. Этот метод предполагает, что каждый банк ведет себя как все банки в среднем. (Кетле сказал бы, что каждый банк — это средний банк. Это не так уж и неразумно, потому что все большие банки подражают друг другу.) Холдейн и Мэй изучали, как поведение системы определяется двумя основными параметрами: стоимостью чистых активов банка и долей активов в межбанковских кредитах (рис. 24). Последние связаны с риском, так как кредит может быть не погашен. Если какой-то банк обанкротится, кредиты не возвращаются и последствия распространяются по всей сети.
Эта модель показывает, что банк наиболее уязвим, когда он очень активен как в обслуживании частных лиц (массовый сегмент), так и в инвестициях (казино). После финансового кризиса многие правительства запоздало потребовали от крупных банков разделить эти два вида деятельности, чтобы неудачи в казино не отражались на обслуживании
Доля активов в межбанковских кредитах
Кризис распространяется / все шире
Банкротство одного банка ^ приводит к банкротству его кредиторов
Доля утраченных внешних активов
Стоимость чистых активов банка
Рис. 24. Как банкротство одного банка, вызванное потерей внешних активов, может распространить инфекцию на кредиторов или всю систему. Разные области на графике показывают, что происходит для соответствующей комбинации чистых активов и доли активов, находящихся в межбанковских кредитах
226
Иэн Стюарт | Случайный Бог


физических лиц. Эта модель вскрывает еще один путь распространения потрясений в банковской системе, который проявился во время кризиса 2008 года: банки замыкаются в себе и перестают кредитовать друг друга. Прасанна Гай и Суджит Кападиа [64] показали, что здесь работает эффект домино, и такое поведение может быстро распространяться от банка к банку. Оно может сохраняться долгое время, если только какая-то центральная политика не приведет к оживлению межбанковского кредитования.
Простые нисходящие модели такого рода полезны для информирования руководства. Например, можно потребовать от банков увеличивать свой капитал и ликвидные активы. Обычно такая форма регулирования применялась для того, чтобы отдельные банки не брали на себя слишком большой риск. Экологическая модель показывает, что у нее есть гораздо более важная функция: предотвращать эффект домино, чтобы сбой в одном банке не распространялся на всю систему. Кроме того, она демонстрирует необходимость в барьерах, которые изолируют одни части системы от других. (Именно такие барьеры были разрушены политически мотивированным дерегулированием в 1980-х годах.) Общий посыл в том, что финансовые регуляторы должны действовать как экологи: заботиться о здоровье всей экосистемы, а не только отдельных видов.
ГЛАВА 13 | Финансовые предсказания
227


ГЛАВА 14
НАШ БАЙЕСОВСКИЙ МОЗГ
Раньше я был нерешителен, но теперь уже не так уверен в этом.
Надпись на футболке
Во второй главе я задался вопросами, почему люди так легко верят радикальным и бездоказательным утверждениям, почему так охотно принимают иррациональные убеждения, даже когда есть явные свидетельства их несостоятельности. Естественно, у каждого из нас есть свой взгляд на то, какие убеждения иррациональны, а какие нет, но мы вполне можем задавать эти вопросы о других людях.
Часть ответа — в том, как наш мозг эволюционировал на протяжении миллионов лет, чтобы научиться быстро принимать решения о неопределенных, но опасных для жизни возможностях. Такие эволюционные объяснения — всего лишь предположения. Непонятно, как их проверить, ведь среди древних окаменелых останков нет мозга и нет никакого способа узнать наверняка, что происходило в сознании наших предков; но все же это правдоподобные предположения. В том, как работает современный человеческий мозг, мы разбираемся куда лучше, потому что можно проводить эксперименты, которые связывают структуру мозга с функцией мозга, а также с генетикой.
Было бы неразумно недооценивать трудности в понимании мозга — даже такого простого, как мозг плодовой мушки, не говоря уже о чрезвычайно сложном человеческом мозге. Плодовая мушка Drosophila melanogaster — ос¬
228
Иэн Стюарт
Случайный Бог


новной объект генетических исследований. В ее мозге около 135 ООО нейронов, связанных синапсами, обменивающимися электрическими сигналами. В настоящее время ученые исследуют структуру этой сети, известной как коннектом плодовой мушки. На данный момент созданы карты только двух из 76 основных отделов ее мозга. Так что мы пока не знаем даже структуру коннектома плодовой мушки, не говоря уже о том, как он работает. Математики знают, что сеть даже из восьми или десяти нейронов может вести себя очень загадочно, потому что простейшие реалистичные модели таких сетей — это нелинейные динамические системы. Сети обладают особыми свойствами, не характерными для динамических систем общего вида; возможно, именно поэтому природа так часто использует сети.
В человеческом мозге около 100 миллиардов нейронов и более ста триллионов синапсов. В его работу вовлечены и другие клетки, например глиальные. Их в мозге почти столько же, сколько нейронов, но мы пока не знаем, в чем их функции [65]. Сейчас ведутся работы по составлению карты человеческого коннектома, но не потому, что это позволит нам смоделировать мозг, а с целью создать надежную базу данных для будущих исследований мозга.
Раз уж математики не могут понять «мозг» из десяти нейронов, то есть ли надежда понять работу мозга из ста миллиардов нейронов? Как в ситуации с погодой и климатом, все зависит от того, какие вопросы вы задаете. Некоторые десятинейронные сети можно понять во всех подробностях. Можно понять и отдельные части мозга, даже если весь целиком он остается непостижимо сложным. Можно постичь некоторые из общих принципов, на которых строится мозг. В любом случае такой подход «снизу вверх», когда мы перечисляем компоненты и их связи, а затем пытаемся вывести из них поведение всей системы, лишь один из возможных. Очевидная альтернатива — анализ «сверху вниз», основанный на крупномасштабных особенностях мозга и его поведении. На практике мы можем комбинировать оба подхода довольно сложным образом. Наше понимание собственного мозга быстро растет благодаря технологическим достижениям, которые показывают,
ГЛАВА 14 | Наш байесовский мозг
229


как устроена нейронная сеть и что она делает, а также благодаря новым математическим представлениям о поведении таких сетей.
ВО МНОГИХ ОТНОШЕНИЯХ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ МОЗГА можно рассматривать как процесс принятия решений. Когда мы смотрим на мир, наша зрительная система должна определить, какие объекты она видит, угадать, как они будут себя вести, оценить их потенциальную угрозу или полезность и заставить нас действовать в соответствии с этими оценками. Психологи, бихевиористы и специалисты по искусственному интеллекту пришли к выводу, что в некоторых жизненно важных аспектах мозг работает как байесовская машина принятия решений. Наши представления об окружающем мире временно или постоянно встроены в его структуру, и это заставляет его принимать решения, которые очень напоминают те, к которым приводит байесовская вероятностная модель. (Раньше я говорил, что наша интуиция относительно вероятности обычно довольно слаба. Это не противоречит сказанному здесь, потому что внутренняя работа этих вероятностных моделей недоступна сознанию.)
Байесовский взгляд на мозг объясняет многие другие особенности нашего отношения к неопределенности. В частности, он помогает объяснить, почему так легко укореняются суеверия. Основная интерпретация байесовской статистики состоит в том, что вероятность — это степень уверенности. Когда мы оцениваем вероятность как пятьдесят на пятьдесят, мы фактически говорим, что готовы поверить в той же степени, что и не поверить. Таким образом, эволюция привела к тому, что наш мозг содержит верования об окружающем мире и они временно или постоянно встроены в его структуру.
Так работает не только человеческий мозг. Его структура уходит корнями в далекое прошлое, к нашим предкам — млекопитающим и даже рептилиям. Их мозг тоже воплощал «верования». Это не такие верования, которые мы умеем выразить словами вроде «разбитое зеркало приносит семь лет невезения». Большинство наших собственных верований в мозге тоже не такие. Я имею в виду такие верования
230
Иэн Стюарт
Случайный Бог


рептилий, как «если я щелкну языком таким-то образом, то скорее всего поймаю муху», встроенные в ту область мозга, которая активирует нужные мышцы. Человеческая речь добавила дополнительный слой к верованиям, и теперь мы можем их выразить и, что более важно, передать другим.
Чтобы создать простую, но информативную модель, представьте себе область мозга, содержащую несколько нейронов. Они могут быть связаны синапсами, и связи эти могут быть разной силы. Одни посылают слабые сигналы, другие сильные. Некоторых связей вообще нет, и тогда нейроны не обмениваются сигналами. Чем сильнее сигнал, тем больше реакция нейрона, принимающего его. Мы можем даже выразить силу связи числом, что полезно для построения математической модели: в соответствующих единицах измерения слабая связь может иметь силу 0,2, сильная — 3,5, а несуществующая — 0.
Нейрон реагирует на поступающий сигнал, резко меняя свое электрическое состояние: он «срабатывает». Создается электрический импульс, который может передаваться другим нейронам, каким именно — зависит от структуры сети. Поступающие сигналы вызывают срабатывание нейрона, если переводят его состояние за некоторое пороговое значение. Есть два разных типа сигналов: возбуждающие, которые приводят к срабатыванию нейронов, и тормозные, которые останавливают возбуждение. Можно представлять себе, что нейрон суммирует силы входящих сигналов, считая возбуждающие положительными, а тормозные отрицательными; если сумма достаточно велика, то он срабатывает.
У новорожденных детей многие нейроны связаны случайным образом, но со временем синапсы меняют свою силу. Некоторые могут быть удалены полностью, но могут образоваться и новые. Дональд Хебб открыл особую форму «обучения» в нейронных сетях, его так и называют обучением Хебба. Оно основано на принципе fire together wire together: нервные клетки, которые вместе срабатывают, соединяются. Иначе говоря, если два нейрона срабатывают приблизительно синхронно, то связи между ними укрепляются. В нашем байесовском подходе сила связи отражает степень убежденности мозга в том, что, когда срабатывает один нейрон, то
ГЛАВА 14 | Наш байесовский мозг
231


же самое должен делать и другой. Обучение Хебба укрепляет структуру убеждений мозга.
ПСИХОЛОГИ ЗАМЕТИЛИ, ЧТО, КОГДА ЧЕЛОВЕКУ СООБЩАЮТ новую информацию, <£>н не просто заносит ее в память. Для эволюции это было бы катастрофой, потому что неразумно верить всему, что вам говорят. Люди лгут, пытаются ввести других в заблуждение, зачастую с целью на них повлиять. Природа тоже нас обманывает: извивающийся хвост леопарда при ближайшем рассмотрении может оказаться свисающей виноградной лозой или плодом; палочники притворяются палочками. Поэтому, когда мы получаем новую информацию, мы оцениваем ее, сравнивая с имеющимися у нас убеждениями. Если мы умны, мы оцениваем информацию еще и на правдоподобие. Если она исходит из надежного источника, мы в нее поверим с большей вероятностью; если нет, то с меньшей. Принимаем ли мы новую информацию и соответственно изменяем свои убеждения — это результат внутренней борьбы между уже имеющимися убеждениями, соотношением между новой информацией и наличными убеждениями и мерой нашей уверенности в том, что новая информация истинна. Часто эта борьба идет подсознательно, но мы можем и сознательно судить о поступающей информации.
В терминах модели «снизу вверх» происходящее выглядит так, будто сложные массивы нейронов срабатывают и посылают друг другу сигналы. Нейтрализуют они сигналы друг друга или усиливают — все это определяет, воспримем ли мы новую информацию и изменятся ли связи между нейронами, чтобы усвоить ее. Это и объясняет, почему так трудно убедить «истинно верующих» в их неправоте, даже когда всем остальным доказательства представляются исчерпывающими. Если человек горячо верит в НЛО, то, когда правительство Соединенных Штатов публикует объяснение, что наблюдаемое явление на самом деле было экспериментом с воздушным шаром, байесовский мозг верующих почти наверняка отвергнет это объяснение как пропаганду. Публикация, скорее всего, укрепит их веру в то, что правительству в этом вопросе доверять нельзя, и они будут гордиться
232
Иэн Стюарт
Случайный Бог


тем, что не настолько доверчивы, чтобы поддаться на уловки властей. Убеждения срабатывают и в противоположном лагере, поэтому не верящие в НЛО часто принимают объяснение как факт, не предпринимая независимой проверки. Такая информация только укрепит их представления о том, что адептам НЛО доверять нельзя. Они будут гордиться тем, что не настолько доверчивы, чтобы верить в НЛО.
Человеческая культура и язык позволяют переносить систему верований из одного мозга в другой. Этот процесс не является ни абсолютно точным, ни надежным, но зато он эффективен. В зависимости от убеждений и от того, кто анализирует весь процесс, его называют по-разному: образование, промывание мозгов, воспитание детей, единственная истинная религия. Мозг маленьких детей податлив, и их способность оценивать доказательства все еще развивается: вспомните, например, Деда Мороза, Бабу-ягу или домового — хотя дети довольно проницательны, и многие догадываются, что это всего лишь игра, они продолжают ее ради награды. У максимы иезуитов «Дайте мне ребенка до семилетнего возраста, и потом вы получите человека» есть два возможных значения. Во-первых, то, чему вы учитесь в молодости, сохранится дольше всего; во-вторых, если промывать мозги невинным детям, чтобы они усвоили систему верований, то она закрепится в их сознании на протяжении всей взрослой жизни. И то и другое, скорее всего, верно, и в некоторых смыслах означает одно и то же.
БАЙЕСОВСКАЯ ТЕОРИЯ МОЗГА ОБЯЗАНА разным областям науки: очевидно, байесовской статистике, но еще искусственному интеллекту и психологии. В 1860-х годах Герман Гельмгольц, первопроходец в области физики и психологии человеческого восприятия, предположил, что мозг организует свое восприятие, создавая вероятностные модели внешнего мира. В 1983 году Джеффри Хинтон, специалист в области искусственного интеллекта, предположил, что человеческий мозг — это машина, которая принимает решения о неопределенностях, с которыми она сталкивается, наблюдая за внешним миром. В 1990-е годы эта идея созрела до машины Гельмгольца — математической модели, основанной
ГЛАВА 14 | Наш байесовский мозг
233


на теории вероятностей. Это не механическое устройство, а математическая абстракция, состоящая из двух взаимосвязанных сетей математически смоделированных «нейронов». Одна из них, сеть распознавания, работает снизу вверх. Она обучается на реальных данных и представляет их в виде набора скрытых переменных. Вторая, нисходящая «генеративная» сеть, порождает значения этих скрытых переменных и, следовательно, данных. Созданы специальные алгоритмы для обучения этих сетей, чтобы они точно классифицировали данные. Две сети изменяются поочередно, такой способ известен под названием алгоритма сх^-бодрствования.
Для подобных структур с гораздо большим количеством слоев разработаны алгоритмы «глубокого обучения». Они достигают значительных успехов в области искусственного интеллекта. Приложения включают в себя распознавание естественной речи с помощью компьютера, а также компьютерные победы в игре го. Еще до того имелось компьютерное доказательство, что при идеальной игре соперников партия в шашки всегда заканчивается ничьей. В 1996 году компьютер Deep Blue компании IBM одержал победу над шахматным гроссмейстером и чемпионом мира Гарри Каспаровым, но проиграл серию из шести партий со счетом 4:2. После серьезного обновления следующую серию он выиграл со счетом 3,5 : 2,5. Однако эти программы использовали глубокий перебор, а не алгоритмы искусственного интеллекта, которые побеждают в игре го.
На первый взгляд игра го незамысловата, но в ней есть тонкость и глубина. Ее изобрели более 2500 лет назад в Китае. Полем для игры служит доска 19 х 19. У одного игрока белые камни, у другого — черные; они по очереди ставят свои камни, захватывая окруженные камни соперника. Тот, кто окружает большую часть территории, выигрывает. Игра плохо поддается строгому математическому анализу. Алгоритм, разработанный Дэвидом Бенсоном, может определить, когда цепочку камней нельзя захватить вне зависимости от действий соперника [66]. Элвин Берлекэмп и Дэвид Вулф проанализировали сложную математику эндшпиля, когда большая часть доски захвачена и выбирать ход куда сложнее, чем обычно [67]. На этом этапе игра распадается на не¬
234
Иэн Стюарт | Случайный Бог


сколько областей, которые почти не взаимодействуют друг с другом, и игроки должны решить, в какой области играть дальше. Каждой позиции авторы сопоставили число или еще более эзотерическую структуру и сформулировали правила, как выигрывать с учетом этих значений.
В 2015 году компания DeepMind, принадлежащая Google, протестировала алгоритм AlphaGo для игры го, основанный на двух сетях глубокого обучения: ценностной сети, которая оценивает, насколько выгодна позиция на доске, и решающей сети, которая выбирает следующий шаг. Эти сети обучались на партиях, которые провели люди, и на партиях, в которых алгоритм играл против самого себя [68]. Затем AlphaGo сразился с Ли Седолем, лучшим профессиональным игроком в го, и обыграл его со счетом 4:1. Программисты выяснили, почему одну игру алгоритм проиграл, и скорректировали его стратегию. В 2017 году AlphaGo обыграл Кэ Цзе, лучшего игрока в мире, в матче из трех партий. У AlphaGo был удивительный стиль игры, демонстрирующий, что алгоритмы глубокого обучения не обязательно должны функционировать подобно человеческому мозгу. AlphaGo часто делал ходы, которые ни одному игроку-че- ловеку не пришли бы в голову — и выигрывал. Кэ Цзе заметил: «После того как человечество потратило тысячи лет на совершенствование тактики, пришли компьютеры и сказали, что мы в корне заблуждались... Я бы сказал, что ни один человек даже не прикоснулся к истине го».
Нет никакой разумной причины для того, чтобы искусственный интеллект работал так же, как человеческий: не зря же здесь стоит прилагательное «искусственный». Однако математические сг£руктуры, воплощенные в электронных схемах, имеют некоторое сходство с когнитивными моделями мозга, разработанными нейробиологами. Так возникла петля творческой обратной связи между искусственным интеллектом и когнитивной наукой, каждая из которых заимствовала идеи у другой. Возникает подозрение, что и наш мозг, и искусственный действительно (иногда и отчасти) работают на похожих структурных принципах. Хотя по материалам, из которых они сделаны, по принципам работы их сигнальных процессов они, конечно, очень различаются.
ГЛАВА 14 | Наш байесовский мозг
235


ЧТОБЫ ПРОИЛЛЮСТРИРОВАТЬ ЭТИ ИДЕИ НА КОНКРЕТНОМ ПРИМЕРЕ, хотя и с более динамичной математической структурой, рассмотрим оптические иллюзии. В зрительном восприятии есть загадочные явления, когда один или оба глаза получают неоднозначную или неполную информацию. Один из видов неопределенности — двусмысленность: мы не уверены, что именно видим. Давайте взглянем на два вида такой двусмысленности.
Двусмысленность первого вида открыл Джамбаттиста делла Порта; в 1593 году он описал ее в своем трактате по оптике «De refractione» («О рефракции»). Делла Порта поместил одну книгу перед одним глазом, а другую перед другим. Он сообщил, что в каждый момент он может читать одну книгу, а также может переходить от одной книги к другой, снимая «зрительную энергию» с одного глаза и перенося ее в другой. Этот эффект теперь называется «бинокулярным соперничеством». Он возникц^т, когда два разных изображения, предъявленные по одному каждому глазу, приводят к чередованию восприятия и, возможно, ни одно изображение не будет восприниматься по отдельности.
Второй тип — это иллюзии, или мультистабильные фигуры. Они возникают, когда одно изображение, статичное или движущееся, может восприниматься несколькими способами. Один из обычных примеров — куб Неккера, введенный швейцарским кристаллографом Луисом Неккером в 1832 году; кажется, что он может изображать две разные ориентации (рис. 25, слева). Еще пример — иллюзия кролик/утка, изобретенная американским психологом Джозефом Джастро в 1900 году. Эта картинка иногда выглядит как не очень убедительный кролик, а иногда как чуть более убедительная утка (рис. 25, справа) [69].
Простая модель восприятия куба Неккера — это сеть, состоящая всего из двух узлов. Каждый из них представляет собой нейрон или небольшую сеть нейронов, но модель предназначена только для схематических целей. Один узел соответствует (и предполагается, что он был обучен так реагировать) одной воспринимаемой ориентации куба, а другой — противоположной ориентации. Эти два узла соединены друг с другом тормозящей связью. Эта структура «по-
236
Иэн Стюарт
Случайный Бог


Рис. 25. Слева: куб Неккера. Справа: кролик/утка Джастро
бедитель получает все» очень важна, и тормозящая связь гарантирует, что если один узел активен, то другой нет. Таким образом, сеть приходит к однозначному решению в любой момент времени. Другое предположение модели состоит в том, что это решение определяется тем, какой узел наиболее активен.
Изначально оба узла неактивны. Затем, когда перед глазами располагают изображение куба Неккера, узлы получают входную информацию, которая запускает работу узлов. Однако структура «победитель получает все» означает, что оба узла не могут быть активны одновременно. В математической модели они чередуются: сначала активнее один, потом другой. В теории чередование идет с регулярными интервалами, но на практике это не совсем так. Испытуемые сообщают о сходных чередованиях восприятия, но они происходят с нерегулярными интервалами. Эти флуктуации обычно объясняются случайными воздействиями, исходящими от остальной части мозга, но этот вопрос пока открыт для обсуждения.
Такая же сеть моделирует бинокулярное соперничество. Теперь два узла соответствуют двум изображениям, которые предъявляют испытуемому: одно левому глазу, другое — правому. Люди не воспринимают два наложенных друг на друга образа; вместо этого они попеременно видят то один, то другой. То же самое происходит в модели, хотя и с более регулярным временем переключения.
Если бы математическая модель предсказывала только переключение между двумя известными возможностями,
ГЛАВА 14 | Наш байесовский мозг
237


вряд ли она представляла бы большой интерес. Но в чуть более сложных обстоятельствах аналогичные сети ведут себя куда удивительнее. Классический пример — эксперимент «обезьяна/текст» Илоны Ковач и ее коллег [70]. Изображение обезьяны (она подозрительно похожа на молодого орангутана, но все называют его обезьяной) разрезано на шесть частей. Изображение синего текста на зеленом фоне разрезается на шесть таких же по форме частей. Затем три кусочка в каждом изображении меняются местами с соответствующими кусочками в другом, и получаются два смешанных изображения. Потом их показывают отдельно левым и правым глазам испытуемых (рис. 26).
Что же они видят? Большинство сообщают, что видят чередование двух смешанных изображений. Это вполне логично: то же самое было с двумя книгами Порта. Как будто сначала побеждает один глаз, потом другой и так далее. Но некоторые испытуемые сообщают о чередовании полного изображения обезьяны и полного текста. Этому есть простое объяснение: их мозг «знает», как должна выглядеть полная обезьяна и полный текст, поэтому он складывает подходящие фрагменты вместе. Но так как он видит обе смеси, он все равно не может решить, на какую из них смотрит, поэтому переключается между ними. Все же это не вполне удовлетворительное объяснение, и при %?ом все равно непонятно, почему одни испытуемые видят одну пару изображений, а другие другую.
Математическая модель проливает больше света. Она основана на сетевой модели принятия решений в мозге на
Рис. 26. Если каждому глазу по отдельности предъявляют два первых «смешанных» изображения, некоторые испытуемые видят чередование двух последних полных изображений
238
Иэн Стюарт
Случайный Бог


высоком уровне, предложенной нейробиологом Хью Уилсоном. Я буду называть модели этого типа сетями Уилсона. В своей простейшей форме (необученная) сеть Уилсона представляет собой прямоугольный массив узлов. Их можно рассматривать как отдельные нейроны или семейства нейронов, но для целей моделирования им можно не приписывать никакой конкретной физиологической интерпретации. В условиях соперничества каждый столбец массива соответствует одному «атрибуту» изображения, представленного глазу; например, цвету или ориентации. У каждого атрибута есть ряд значений: например, цвет может быть красным, синим или зеленым; ориентация может быть вертикальной, горизонтальной или диагональной. Эти дискретные значения интерпретируются как «уровни» атрибута. Каждый уровень соответствует узлу в столбце атрибутов.
Любое конкретное изображение можно рассматривать как комбинацию вариантов уровней, по одному для каждого атрибута. Например, красное горизонтальное изображение сочетает в себе «красный» уровень цветового столбца с «горизонтальным» уровнем столбца ориентаций. Архитектура сети Уилсона предназначена для обнаружения закономерностей путем более сильной реакции на «выученные» комбинации определенных уровней, по одному для каждого атрибута. В каждом столбце все пары отдельных узлов соединены друг с другом тормозящими связями. Без дополнительных данных или модификаций эта структура создает динамику «победитель получает все» в столбце, так что обычно только один узел выделяется своей активностью. Затем столбец определяет соответствующий уровень своего атрибута. Обучение по изображениям, представленным глазам, моделируется путем добавления возбуждающих связей между узлами, соответствующими подходящей комбинации уровней. В модели соперничества такие связи добавляются для обоих образов.
Кейси Дикман и Мартин Голубицкий показали, что сетевая модель соперничества Уилсона иногда приводит к неожиданным последствиям [71]. Она предсказывает, что для эксперимента «обезьяна/текст» чередование может проходить двумя разными способами. Как и следовало ожидать, чередоваться могут два смешанных образа, предъявленные
ГЛАВА 14 I Наш байесовский мозг
239


р р р р
(ф |ф (ф [ф Ь Ь '6 ъ
Рис. 27. Слева: нетренированная сеть Уилсона с пятью атрибутами, каждый из которых имеет три уровня. Пунктирные линии — это тормозящие связи. Справа: изображение (темный уровень для каждого атрибута) представлено возбуждающими связями (сплошными стрелками) между этими узлами. Добавление этих связей в исходную сеть обучает ее распознавать это изображение
глазу. Но кроме того, чередоваться могут картинки с обезьяной и полным текстом. Какое именно чередование происходит, зависит от силы связи. Это наводит на мысль, что разница между испытуемыми объясняется тем, насколько сильно или слабо соответствующие популяции нейронов связаны в мозгу испытуемого. Поразительно, что простейшая сеть Уилсона для этого эксперимента предсказывает именно то, что наблюдается на практике.
СЕТИ УИЛСОНА — ЭТО СХЕМАТИЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, призванные пролить свет на то, как простые динамические сети в принципе могут принимать решения на основе информации, полученной из внешнего мира (рис. 27). Более того, некоторые области мозга имеют структуру, очень похожую на сеть Уилсона, и кажется, что и решения свои принимают почти таким же образом. Наглядный пример тому — зрительная кора, которая обрабатывает сигналы от глаз, чтобы решить, на что мы смотрим.
Что бы там ни говорили школьные учебники, человеческое зрение работает не так, как фотокамера. Честно говоря, работа глаза напоминает работу камеры с линзой, которая фокусирует входящий свет на сетчатку. Сетчатка больше похожа на полупроводниковую светочувствительную матрицу в современной цифровой камере, чем на старинную пленку. Сетчатка состоит из большого числа дискретных рецепторов, называемых палочками и колбочками; это специаль¬
240
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ные светочувствительные нейроны, которые реагируют на поступающий свет. Колбочки бывают трех типов, и каждый из них более чувствителен к свету в определенном диапазоне длин волн, то есть (грубо говоря) к свету определенного цвета. Можно считать, что это красный, зеленый и синий цвета. Палочки реагируют на низкий уровень освещенности. Сильнее всего они реагируют на свет с длиной волны, соответствующей голубому цвету, но наша зрительная система интерпретирует эти сигналы как оттенки серого, поэтому ночью мы не видим много цветов.
Однако на следующем этапе человеческое зрение начинает значительно отличаться от камеры. Входящие сигналы передаются по зрительным нервам в область мозга, называемую зрительной корой. Кора головного мозга представляет собой тонкие слои нейронов, она обрабатывает сигналы от глаз, чтобы другие области мозга могли идентифицировать то, что они видят. Каждый слой динамически реагирует на поступающие сигналы, примерно так же, как сеть Уилсона реагирует на куб Неккера или на пару изображений обезьяна/текст. Эти реакции передаются вниз на следующий слой, структура которого заставляет его реагировать на различные особенности, и так далее. Сигналы также проходят от более глубоких слоев к поверхностным и влияют на то, как те реагируют на следующую партию сигналов. В конце концов, где-то в этом потоке сигналов что-то решает: «это бабушка» или что-то еще. Возможно, это делает конкретный нейрон (назовем его бабушкиной клеткой), а возможно, мозг принимает решения и более сложным способом. Пока что нам это неизвестно. Как только мозг распознает бабушку, он может извлечь дополнительную информацию из других областей, например: «помоги ей снять пальто», или «она любит, чтобы ее напоили чаем», или «сегодня она выглядит немного взволнованной».
Камеры, подключенные к компьютерам, тоже начинают решать задачи такого рода. Например, применяют алгоритмы распознавания лиц, чтобы отмечать на фотографиях имена изображенных на них людей. Хотя зрительная система не похожа на камеру, камера становится все более и более похожей на зрительную систему.
ГЛАВА 14 | Наш байесовский мозг
241


Нейробиологи довольно подробно изучили схему связей в зрительной коре, а новые методы обнаружения связей в мозге, несомненно, обрушат на нас поток более точных результатов. Используя специальные красители, чувствительные к электрическому напряжению, нейробиологи построили карту связей общего вида в верхнем слое VI зрительной коры у животных. Грубо говоря, VI обнаруживает отрезки прямых линий там, куда падает взгляд, и определяет, в каком направлении эти линии указывают. Это необходимо, чтобы определять границы объектов. Оказывается, что по своей структуре слой VI очень похож на сеть Уилсона, обученную на прямых линиях в различных ориентациях. Каждый столбец в сети соответствует «гиперстолбцу» в VI, атрибутом которого является «направление линии, видимой в этом месте». Уровни этого атрибута представляют собой набор приблизительных направлений, вдоль которых может располагаться линия.
По-настоящему умная часть — это аналог выученных образов в сети Уилсона. В VI эти образы представляют собой длинные прямые линии, пересекающие визуальные поля многих гиперстолбцов. Предположим, что один отдельный гиперстолбец обнаруживает короткий отрезок прямой, наклоненной под углом приблизительно 60° к горизонту, отчего срабатывает нейрон для этого «уровня». Затем он посылает возбуждающие сигналы нейронам соседних гиперстолбцов, но только тем, которые находятся на том же уровне 60°. Мало того, — только тем гиперстолбцам, которые лежат вдоль продолжения этого отрезка линии в VI. Есть, правда, и другие связи, более слабые, но самые сильные я описал более-менее точно. Сама архитектура слоя VI способствует обнаружению прямых линий и фиксации их направлений. Если он видит кусок такой линии, он «предполагает», что эта линия будет продолжаться, и на этом основании дорисовывает недостающее. Но это не происходит автоматически. Если Достаточно сильные сигналы от других гиперстолбцов противоречат этому предположению, то побеждают они. Скажем, на углу, где имеется излом границы объекта, направления конфликтуют. Передайте эту информацию на слой уровнем ниже, и вы получите систему для обнаружения углов, а не только отрез¬
242
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ков прямых. Где-то в этом каскаде данных ваш мозг в конце концов узнает бабушку.
ОДНА ИЗ ФОРМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, с которой большинство из нас рано или поздно сталкивается, выражается вопросом «где я?». Нейробиологи Эдвард и Мэй-Бритт Мозер вместе с учениками обнаружили в 2005 году, что в мозге крыс есть специальные нейроны (их называют по-разному: клетками решетки, нейронами координатной сетки), которые моделируют положение крысы в пространстве. Они находятся в части мозга с длинным названием: дорсально-ка- удальная медиальная энторинальная кора. Это центральный процессор для определения местоположения и памяти. Как и зрительная кора, она имеет слоистую структуру, но порядок срабатывания нейронов от слоя к слою различается.
Ученые поместили электроды в мозг крыс, а затем позволили им свободно бегать по открытому пространству, чтобы отследить, какие клетки в мозге крысы активируются при перемещениях. Оказалось, что всякий раз, когда крыса попадает в одну из узловых точек пространства («областей возбуждения»), срабатывают соответствующие этой области нейроны. Узловые точки организованы в шестиугольную сетку. Исследователи пришли к выводу, что эти нейроны представляют собой ментальную структуру пространства, когнитивную карту со своей системой координат, сообщающую мозгу крысы, где находится животное. Активность нейронов решетки постоянно обновляется по мере его движения. Одни клетки срабатывают при любом направлении движения крысы; а другие зависят от определенного направления и поэтому реагируют на него.
Мы еще не понимаем, как именно клетки решетки сообщают крысе, где она находится. Любопытно, что геометрическое расположение нейронов решетки в мозгу нерегулярно. Каким-то образом слои этих нейронов «вычисляют» местоположение крысы, связывая воедино ее микродвижения во время блуждания. Математически этот процесс можно реализовать с помощью векторных вычислений, когда положение движущегося объекта определяется путем сложения множества небольших изменений, каждое из которых имеет свою
ГЛАВА 14 | Наш байесовский мозг
243


собственную величину и направление. Примерно так моряки определяли свое местоположение по навигационному счислению до изобретения совершенных навигационных приборов.
Мы знаем, что сеть нейронов решетки может функционировать без какого-либо визуального ввода, потому что области возбуждения не меняются даже в полной темноте. Однако сеть довольно сильно реагирует на любой визуальный ввод. Предположим, например, что крыса бегает внутри цилиндрического корпуса, а на стене висит карта, которая служит ориентиром. Выберите отдельный нейрон решетки и измерьте его сетку областей возбуждения. Затем поверните цилиндр и повторите опыт: сетка повернется на ту же величину. Решетки и расстояния в них не меняются, когда крысу помещают в новую среду обитания. Однако нейроны решетки вычисляют местоположение, система очень надежна.
В 2018 году Андреа Банино и его коллеги сообщили об успешном использовании сетей глубокого обучения для выполнения аналогичной навигационной задачи. В их сети было много контуров обратной связи, поскольку навигация, по-видимому, опирается на использование выходных данных одного этапа обработки в качестве входных данных для следующего. Фактически это дискретная динамическая система с сетью в качестве итерированной функции. Исследователи обучали сеть, используя записанные варианты маршрутов, по которым различные грызуны (например, крысы и мыши) передвигались в поисках пищи, а также передавали в сеть информацию, которую остальная часть мозга могла посылать нейронам решетки.
Сеть научилась эффективно ориентироваться в различных средах, и ее можно было перенести в новую среду без потери результативности. Команда проверила возможности сети, ставя перед ней конкретные цели, а в более продвинутой постановке заставляла ее отыскивать дорогу в лабиринте (в симуляторе, поскольку вся установка находится внутри компьютера). Исследователи оценили эффективность сети, применив байесовские методы, подгоняя данные к смесям трех различных нормальных распределений.
Один из замечательных результатов заключался в том, что по мере обучения один из средних слоев сети глубокого
244
Иэн Стюарт | Случайный Бог


обучения показал активность, аналогичную той, что наблюдается в нейронах решетки; он активировался, когда животное попадало в какую-либо область возбуждения. Подробный математический анализ структуры сети позволил предположить, что она имитировала векторные расчеты. Нет никаких оснований предполагать, что она делает это так, как математик, записывая векторы и складывая их вместе. Тем не менее достигнутые результаты подтверждают теорию о том, что нейроны решетки имеют решающее значение для векторной навигации.
И ВООБЩЕ: СХЕМЫ, которые мозг использует для понимания внешнего мира, в некоторой степени этим внешним миром и моделируются. Структура мозга эволюционировала на протяжении сотен тысяч лет, «усваивая» информацию об окружающей среде. Она меняется и на коротких периодах, когда мы учимся. Обучение шлифует и дорабатывает врожденные структуры. То, чему мы учимся, основано на том, чему нас учат. Поэтому, если нас с самого раннего возраста учат определенным верованиям, они, как правило, закрепляются в нашем мозгу. В каком-то смысле это с нейробиологической точки зрения подтверждает цитированную выше максиму иезуитов.
Таким образом, наши культурные убеждения во многом обусловлены той культурой, в которой мы выросли. Мы определяем свое место в мире и наши отношения с окружающими по тому, какие мы поем гимны, какие футбольные команды поддерживаем, какую музыку играем. Если «убеждения», встроенные в наш мозг, разделяют многие люди или если их можно рационально обсуждать, то это куда ни шло. Но наши убеждения, которые не имеют такой поддержки, могут создавать проблемы, если мы не признаем разницу. К сожалению, такие верования играют важную роль в нашей культуре, что является одной из причин их существования вообще. Убеждения, основанные на вере, а не на доказательствах, прекрасно служат тому, чтобы отличить Наших от Ваших. Да, все мы «верим», что 2 + 2 = 4, так что тут между нами никакой разницы нет. Но молишься ли ты богине-кошке каждую среду? Я так и думал. Ты же Не Наш Человек.
ГЛАВА 14 | Наш байесовский мозг
245


Этот подход работал прекрасно, когда мы жили маленькими группами, потому что почти все вокруг молились бо- гине-кошке по средам, и было очень полезно знать, если кто-то этого не делал. Но уже когда он распространялся на небольшие племена, то становился причиной трений, часто приводя к насилию. В современном связанном мире он превращается в катастрофу.
Сегодняшняя популистская политика подняла на новую ступень то, что раньше называлось «ложью» или «пропагандой». Фейк ньюс — сфабрикованные лживые новостные материалы. Становится все труднее отличить настоящие новости от фальшивых. Любой человек с лишней парой сотен долларов может заполучить огромные вычислительные мощности. Широкое распространение сложного программного обеспечения демократизирует планету, что в принципе хорошо, но усугубляет проблему разграничения правды и лжи.
Пользователи могут настроить поток получаемой информации так, чтобы к ним попадала только та, что подкрепляет их собственные предпочтения. Потому становится все проще угодить в информационный пузырь, где вы получаете только те новости, которые хотите услышать. Чайна Мье- виль пародировал эту тенденцию, доведя ее до крайности в романе «Город и Город», научно-фантастическом криминальном месиве, в котором инспектор Борлу, детектив из отдела по борьбе с особо опасными преступлениями города Бешель, расследует убийство. Он часто бывает в городе Уль-Кома, чтобы работать с тамошней полицией, пересекая границу между городами. Поначалу обстановка напоминает Берлин до падения стены, разделенный на Восток и Запад, но постепенно вы начинаете понимать, что географически оба города занимают одно и то же место. Граждане каждого из них с рождения приучены не замечать другого, даже когда ходят среди его зданий и людей. Сегодня многие из нас делают то же самое в Интернете. Наше восприятие бывает настолько предвзято, что вся получаемая информация лишь укрепляет мнение, что мы правы.
Почему мы так легко поддаемся фейковым новостям? Во всем виноват тот самый глубинный байесовский мозг, работающий на усвоенных убеждениях. Наши убеждения не по¬
246
Иэн Стюарт | Случайный Бог


хожи на файлы в компьютере, которые можно удалить или заменить одним движением мыши. Они больше похожи на апгё&ратное обеспечение, встроены в нас. Менять встроенные шаблоны очень трудно. Чем сильнее мы верим или даже просто хотим верить, тем труднее это сделать. Каждая сфабрикованная новость, в которую мы верим, потому что так нам удобно, укрепляет силу этих шаблонов. Каждая мелочь, в которую мы верить не хотим, игнорируется.
Я не знаю хорошего способа предотвратить это. Образование? А что, если ребенок ходит в специальную школу, воспитывающую определенный набор убеждений? Что, если запрещено преподавать предметы, фактический статус которых ясен, но которые противоречат убеждениям? Наука — это лучший способ, придуманный человечеством для того, чтобы отделить факты от вымысла. Но что, если правительство решит разобраться с неудобными фактами, сократив финансирование исследований по ним? На момент написания книги в США запрещено федеральное финансирование исследований о последствиях владения оружием, и администрация Трампа рассматривает возможность сделать то же самое для исследований изменения климата.
Так вот: от этого никуда не деться.
Одно из предположений — обзавестись привратниками в Интернете. Но сайт, которому доверяет атеист, — это анафема для истово верующего, и наоборот. Что, если злая корпорация получит контроль над сайтом, которому мы доверяем? Как всегда, ничто не вечно под луной. Где-то в сотом году нашей эры римский поэт Ювенал в своих Сатирах спрашивал: Quis custodiet ipsos custodes? Кто устережет самих сторожей? Но с тех пор проблема только усугубилась, потому что один твит может охватить всю планету.
Возможно, я слишком пессимистичен. В целом лучшее образование делает людей более рациональными. Но наш байесовский мозг, чьи быстрые и грязные алгоритмы выживания так хорошо служили нам, когда мы жили в пещерах и на деревьях, возможно попросту не пригоден для использования в век дезинформации.
ГЛАВА 14 | Наш байесовский мозг
247


ГЛАВА 15
КВАНТОВАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
Невозможно одновременно с точностью определить координаты и скорость квантовой частицы.
Вернер Гейзенберг «Физика атомного ядра»
В БОЛЬШИНСТВЕ ОБЛАСТЕЙ ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ деятельности неопределенность возникает из-за невежества. Знание же может избавить от неопределенности, по крайней мере, в принципе. Есть и практические препятствия: чтобы предсказать результат демократического голосования, нам, возможно, потребуется выяснить, что происходит в сознании каждого избирателя. Но если бы мы знали это, то могли бы решить, кто будет голосовать и как.
Однако есть область физики, в которой общепринято представление о том, что неопределенность — это неотъемлемая черта нашего мира. Никакое количество дополнительных знаний не может сделать события предсказуемыми, потому что сама система не «знает», что она собирается делать. Она просто делает. Эта область — квантовая механика. Ей около 120 лет, и она в корне изменила не только науку, но и наш образ мыслей, когда мы думаем об отношениях между наукой и реальным миром. Некоторых склонных к философии людей это заставляет задаваться вопросом, в каком смысле реальный мир существует. Научный подвиг Ньютона в том, что он показал: природа подчиняется математическим правилам. Квантовая теория демонстрирует нам, что даже правила могут быть изначально неопределенными. По крайней мере, так утверждают почти все физики, и у них
248
о
Иэн Стюарт | Случайный Бог


е<$ъ множество доводов за это утверждение. Однако в вероятностной броне есть несколько брешей. Я сомневаюсь, что квантовую неопределенность можно когда-либо сделать предсказуемой, но у нее может найтись детерминистское объяснение. Прежде чем мы углубимся в эти умозрительные идеи в главе 16, нам нужно разобраться с классической историей.
ВСЕ НАЧАЛОСЬ С ЛАМПОЧКИ. Не метафорической, парящей над головой гения как знак вдохновения, а настоящей. В 1894 году несколько электрических компаний обратились к немецкому физику Максу Планку с просьбой разработать наиболее эффективную электрическую лампочку. Разумеется, Планк начал с фундаментальной физики. Свет — это форма электромагнитного излучения, с длиной волны, доступной восприятию человеческим глазом. Физики знали, что наиболее эффективным излучателем электромагнитной энергии является «абсолютно черное тело», характеризующееся дополнительным свойством: оно полностью поглощает излучение всех длин волн. В 1859 году Густав Кирхгоф задался вопросом: как интенсивность излучения черного тела зависит от частоты испускаемого излучения и температуры черного тела? Экспериментаторы проводили измерения, теоретики придумывали объяснения; результаты расходились. Тут была некоторая путаница, и Планк решил разобраться.
Его первая попытка сработала, но не удовлетворила его, потому что была основана на довольно произвольных предположениях. Месяц спустя он нашел способ получше. Это была радикальная идея: электромагнитная энергия — не непрерывная величина, а дискретная. Она всегда поступает в количествах, кратных некоторой фиксированной, очень крошечной величине. Точнее, для данной частоты энергия всегда является целым числом, умноженным на частоту, умноженную на очень малую постоянную, которая теперь называется постоянной Планка и обозначается символом Н. Ее официальное значение составляет 6,626 х 10-34 Дж • с, то есть 0,0...0626 с 33 нулями после запятой. Один джоуль энергии увеличивает температуру чайной ложки воды при¬
ГЛАВА 15 | Квантовая неопределенность
249


мерно на четверть градуса Цельсия. Таким образом, h — это действительно очень малая порция энергии, настолько малая, что в эксперименте диапазон энергетических уровней все еще выглядит непрерывным. Тем не менее замена непрерывного диапазона энергий дискретным набором с очень малым шагом позволила избежать математической нестыковки, которая давала неправильные результаты.
В то время Планк этого еще не понимал, но его удивительное предположение об энергии дало старт большой революции во всей науке: квантовой механике. «Квант» — это очень маленькая, но дискретная величина. Квантовая механика — это лучшая из имеющихся у нас теорий поведения материи в очень малых масштабах. Хотя квантовая теория с поразительной точностью согласуется с экспериментами, многое из того, что мы знаем о квантовом мире, вызывает явное недоумение. Говорят, что великий физик Ричард Фейнман сказал: «Если вы думаете, что понимаете квантовую механику, значит, вы ее не понимаете» [72].
Например, наиболее очевидная интерпретация формулы Планка состоит в том, что свет состоит из крошечных частиц, называемых теперь фотонами, а энергия фотона — это его частота, умноженная на постоянную Планка. Световая энергия кратна этой величине, потому что число фотонов должно быть целым. Это разумное объяснение, но оно поднимает другой вопрос: что это за частота у частицы? Частота имеет смысл для волн. В конце концов, фотон — это волна или частица?
И то и другое.
ГАЛИЛЕЙ УТВЕРЖДАЛ, ЧТО ЗАКОНЫ ПРИРОДЫ на-
писаны на языке математики, и «Начала» Ньютона подтверждали эту максиму. В течение нескольких десятилетий математики континентальной Европы углубляли понимание теплоты, света, звука, упругости, колебаний, электричества, магнетизма и течения жидкости. Эпоха классической механики, созданная этим потоком математических уравнений, добавила в физику два важных компонента. Один из них был частицей — клочком материи, настолько маленьким, что для целей моделирования его можно считать точкой.
250
Иэн Стюарт | Случайный Бог
(?


Другим ключевым понятием была волна. Представьте себе водяную волну, пересекающую океан. Если ветер слабый, а берег далеко, то волна движется с постоянной скоростью, не меняя своей формы. Сами молекулы воды, составляющие волну, не перемещаются вместе с ней. Они остаются почти там же, где и были. По мере прохождения волны молекулы воды движутся вверх-вниз и из стороны в сторону. Они передают это движение соседним молекулам, которые движутся сходным образом, создавая ту же основную форму. Так что волна движется, а вода нет.
Волны всюду. Звук — это волна давления в воздухе. Землетрясения образуют волны в толще земли, обрушивая здания. Радиосигналы, дающие нам телевидение, радары, мобильные телефоны и Интернет — это волны электричества и магнетизма.
Свет, оказывается, тоже волна.
К концу XVII века природа света стала предметом научных споров. Ньютон считал, что свет состоит из множества мельчайших частиц. Нидерландский физик Христиан Гюйгенс привел убедительные доказательства того, что свет — это волна. Ньютон парировал, противопоставив ему остроумные доводы, что свет — частица, и почти сто лет его взгляды преобладали. А потом оказалось, что с самого начала Гюйгенс был прав. Неоспоримым аргументом, решившим спор в пользу волновых представлений, стало явление интерференции. Если свет проходит через линзу или щель, он образует узоры: более-менее параллельные полосы светлых и темных областей. Это явление проще увидеть с помощью микроскопа, и еще лучше, если свет одноцветный.
Волновая теория объясняет такие явления простым и естественным образом: это интерференционные картины. Когда два набора волн накладываются, их гребни усиливают друг друга, ложбины — тоже, но гребень и ложбина уравновешивают друг друга. Вы можете легко убедиться в этом, бросив в пруд два камня. Каждый камень создает серию круговых волн, которые распространяются наружу от точки падения. Там, где эти волны пересекаются, вы увидите сложный узор, больше похожий на изогнутую шахматную доску, как на рис. 28.
ГЛАВА 15 | Квантовая неопределенность
251


Рис, 28. Рисунок Юнга двухщелевой интерференции, основанный на наблюдениях за волнами на воде
Это вполне убедительное объяснение, и ученые признали, что свет — волна, а не частица. Это было очевидно. А потом появился Планк, и вся очевидность вдруг улетучилась.
КЛАССИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО ФОТОНЫ имеют двойственную природу — иногда проявляют свойства частицы, иногда волны, — появилось в результате серии экспериментов. В 1801 году Томас Юнг представил себе, как луч света проходит через две тонкие параллельные щели. Если свет — это волна, то он будет дифрагировать, проходя через тонкую щель. Он будет расходиться вдаль, как круговая рябь на водной глади. Если щелей две, дифракция должна создавать характерную интерференционную картину, вроде той, что образуется при падении в пруд двух камней близко друг к другу.
На рисунке Юнга темные области — это гребни волн, а белые — ложбины. Два концентрических кольца волн, возникающих в щелях А и В, накладываются друг на друга и интерферируют, приводя к линиям гребней, распространяющихся в направлениях С, D, Е и F. На правом краю изображения наблюдатель обнаружил бы чередующиеся полосы света и тьмы. На самом деле Юнг не проводил этот эксперимент, но он продемонстрировал аналогичный, с тонким лучом солнечного света, разделенным пополам кусочком картона. Как и ожидалось, стали видны диф¬
252
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ракционные полосы. Юнг объявил, что свет — это волна, и оценил длины волн красного и фиолетового света по размерам полос.
Пока что этот эксперимент лишь подтверждает, что свет — это волна. Следующий шаг не был стремительным, и потребовалось некоторое время, чтобы осознать его последствия. В 1909 году Джеффри Инграм Тейлор, еще в бытность студентом, провел вариант двухщелевого эксперимента с очень слабым источником света, дифрагированного по обе стороны швейной иглы. Как и в случае с кусочком картона Юнга, «щелями» были области по обе стороны иглы. В течение трех месяцев дифракционная картина формировалась на фотопластинке. В отчете об эксперименте не упоминаются фотоны, но свет был настолько слабым, что большую часть времени мимо иглы проходил только один фотон, поэтому позднее эксперимент сочли доказательством того, что картина не вызвана двумя фотонами, интерферирующими друг с другом. А раз так, это доказывает, что один-единственный фотон может вести себя как волна. Еще позже Фейнман утверждал, что если поместить детекторы для наблюдения за тем, через какую щель проходит фотон, то картина должна исчезнуть. Это был «мысленный эксперимент», а не настоящий. Но если сложить все вместе, то получается, что фотоны иногда ведут себя, как частицы, а иногда как волны.
Некоторое время в книгах по квантовой теории вводили двойственную корпускулярно-волновую природу фотона, описывая двухщелевой эксперимент и запоздалую мысль Фейнмана как факт, хотя эксперимент Фейнмана был только мысленным и на самом деле не проводился. В наше время оба эксперимента проведены, и оказалось, что фотоны ведут себя так, как написано в учебниках. Такое же поведение обнаруживают электроны, атомы и (по нынешним данным) молекула из 810 атомов. В 1965 году Фейнман писал [73], что это явление «невозможно объяснить каким-либо классическим способом, и что в нем заключается суть квантовой механики».
Позднее были обнаружены другие подобные примеры квантовой запутанности, и я кратко расскажу о паре экспе¬
ГЛАВА 15 | Квантовая неопределенность
253


риментов из статьи Роджера Пенроуза [74], которые поставили проблему корпускулярно-волнового дуализма в совершенно новом свете. Эти эксперименты к тому же иллюстрируют некоторые общие методы наблюдений и предположения модели, которые нам пригодятся позднее. Ключевой прибор здесь — любимый экспериментаторами светоделитель, который половину света, падающего на него, отражает под прямым углом, а вторую половину пропускает. Светоделитель можно сделать из наполовину посеребренного зеркала, в котором отражающее металлическое покрытие настолько тонко, что через него может проходить часть света. А иногда стеклянный куб разрезают по диагонали на две призмы, а затем склеивают их вместе по диагональному сечению. Толщина клеевого слоя задает соотношение между проходящим и отраженным светом.
В первом эксперименте лазер испускает фотон, который попадает на светоделитель (рис. 29, слева). В результате ровно один из детекторов, А или В, регистрирует фотон. Так ведут себя частицы: фотон либо отразился и попал в точку А, либо был пропущен и обнаружен в точке В. (Часть «делитель» в слове «светоделитель» относится к вероятности того, что фотон отражен или пропущен. Сам фотон остается невредимым.) Если фотон — волна, то этот эксперимент не имеет смысла.
Во втором эксперименте используется интерферометр Маха—Цендера: два светоделителя и два зеркала, расположенные в вершинах квадрата (рис. 29, справа). Если бы фотоны были частицами, мы бы ожидали, что половина фо-
Детектор А
Лазер
Детектор А
Детектор В Лазер
Зеркало
Детектор В Зеркало
Светоделитель Светоделитель
Рис. 29. Слева: свет — это частица. Справа: свет — это волна
254
Иэн Стюарт | Случайный Бог


тонов будет отражена первым светоделителем, а другая половина будет пропущена. Затем зеркала направили бы их ко второму светоделителю, где у них был бы 50% -й шанс попасть в точку А и 50%-й шанс попасть в точку В. Вместо этого В регистрирует фотон всегда, а А — никогда. Но такое поведение вполне логично, если фотон представляет собой волну, которая делится на две меньшие волны первым светоделителем. Каждая из них попадает во второй светоделитель, чтобы тоже быть разделенной. Подробные расчеты, которые я сейчас набросаю, показывают, что две волны, направляющиеся к детектору А, сдвинуты по фазе (у одной гребень, а у другой ложбина) и гасят друг друга. Две волны, идущие к детектору В, находятся в фазе (их гребни совпадают) и объединяются, чтобы дать одну волну — фотон.
Итак, первый эксперимент, по-видимому, доказывает, что фотон — это частица, но не волна, а второй эксперимент, по-видимому, доказывает, что фотон — это волна, но не частица. Неудивительно, что физики были ошарашены. Удивительно, что они нашли разумный способ все эти явления согласовать. Я дам неформальное математическое их описание; оно не служит буквальным физическим описанием. Волновая функция выражается с использованием комплексных чисел. Это числа вида a + ib, где а и b — обычные вещественные числа, a i — квадратный корень из минус единицы [75]. Главное, что следует иметь в виду: когда квантовая волна отражается либо в зеркале, либо в светоделителе, ее волновая функция умножается на i. (Это следует, хотя и не с очевидностью, из предположения, что делитель пучка не имеет потерь: все фотоны либо передаются, либо отражаются [76].)
У волны есть амплитуда, или «высота», и фаза, которая указывает на положение гребня. Сдвинув гребень немного вперед, мы сделаем «фазовый сдвиг», он выражается в долях периода волны (рис. 30, слева). Волны, фазы которых отличаются на 1/2, гасят друг друга (рис. 30, справа); волны с одинаковой фазой усиливают друг друга. Умножение волновой функции на i похоже на сдвиг фазы на 1/4, потому что i4 = (-l)2 = l. Когда волна передается, проходя через светоделитель без отражения, она не меняется — фазовый сдвиг равен 0.
ГЛАВА 15 | Квантовая неопределенность
255


Фазовый Сдвиг на
Рис. 30. Слева: амплитуда и фазовый сдвиг двух волн. Справа: фаза сдвинута на половину длины волны; гребни одной приходятся на ложбины другой, поэтому волны гасятся при наложении
При каждой последующей передаче или отражении фазовые сдвиги складываются. Пройдя через светоделитель, волна становится двумя полуволнами, каждая из которых следует в своем направлении. Отраженная волна сдвинута по фазе на 1/4, а переданная фазу сохраняет. На рис. 31 мы видим варианты путей через устройство. Полуволны окрашены в серый цвет, а дроби выражают фазовые сдвиги. Каждое отражение добавляет еще 1/4 к общему сдвигу фазы. Проследите за траекториями, подсчитывая отражения, и вы увидите, что детектор А принимает две полуволны с фазами 1/4 и 3/4.
Разность фаз у них равна 1/2, поэтому они гасят друг друга и детектор ничего не регистрирует. Детектор В тоже принимает две полуволны, но их фазы равны 1/2 и 1/2.
Детектор А
Лазер
Рис. 31. Путь луча в эксперименте. Полуволны показаны серым цветом. Числами отмечен сдвиг по фазе
256
Иэн Стюарт
Случайный Бог


Разность фаз равна 0, поэтому они объединяются, чтобы дать одну волну — и детектор В регистрирует фотон.
Чудо!
Полные расчеты можно найти в статье Пенроуза. Подобные методы применимы к огромному числу экспериментов и дают согласованные результаты — замечательный успех для математического аппарата. Неудивительно, что физики считают квантовую теорию триумфом человеческой изобретательности, а также доказательством того, что на микроуровне природа мало похожа на классическую механику Ньютона и его последователей.
КАК МОЖЕТ ЧАСТИЦА БЫТЬ ВОЛНОЙ? Квантовая теория отвечает на этот вопрос так: правильный вид волны может вести себя как частица. И правда, в некотором смысле одиночная волна — это несколько размытая частица. Гребень перемещается без изменения формы, что в точности соответствует движению частицы. Луи де Бройль и Эрвин Шредингер, два пионера квантовой теории, представляли частицу как небольшой пучок волн, сосредоточенных в небольшой области, колеблющихся вверх и вниз по мере движения, но остающихся нераздельными. Они называли такой пучок волновым пакетом. В 1925 году Шредингер вывел общее уравнение для квантовых волн, теперь названное его именем, и через год опубликовал его. Уравнение применимо не только к субатомным частицам, но и к любой квантовой системе. Чтобы понять, как работает система, запишите соответствующую версию уравнения Шредингера и решите его — получится волновая функция системы.
С точки зрения математики уравнение Шредингера линейно. Если его отдельно взятое решение умножить на постоянную или если сложить два решения, то результат тоже будет решением. Эта конструкция называется суперпозицией. Нечто подобное происходит и в классической физике.
Хотя в ее рамках две частицы не могут находиться в одном и том же месте в одно и то же время, две волны могут счастливо сосуществовать. В простейших вариантах волнового уравнения решения накладываются друг на друга, опять-таки давая решения. Как мы уже видели, одним
ГЛАВА 15 | Квантовая неопределенность
257


из эффектов суперпозиции является появление интерференционных картин. Это свойство уравнения Шредингера означает, что его решения лучше всего трактовать как волны, откуда и произошел термин «волновая функция» для квантового состояния системы.
Квантовые события происходят в очень малых пространственных масштабах, их нельзя наблюдать непосредственно. Наше знание о квантовом мире выводится из эффектов, которые мы можем наблюдать. Если бы можно было наблюдать всю волновую функцию, скажем, электрона, многие квантовые загадки исчезли бы. Однако это, по-видимому, невозможно. Некоторые особые аспекты волновой функции открыты для наблюдения, но не вся функция в целом. На самом деле, как только вы наблюдаете один аспект, остальные либо оказываются ненаблюдаемыми, либо меняются настолько, что второе наблюдение не имеет никакой полезной связи с первым.
Эти наблюдаемые аспекты волновой функции называются собственными состояниями. В каком-то смысле их можно считать характерными состояниями, но в математике есть четкое определение этого термина. Любая волновая функция может быть построена путем сложения собственных состояний. Нечто подобное происходит и в уравнении теплопроводности Фурье, но его легче визуализировать, ведь с ним тесно связано волновое уравнение, которое моделирует вибрирующую скрипичную струну. Аналогами собственных состояний здесь служат функции синуса, графики которых напоминают рис. 30; сложением подходящих комбинаций можно построить любую форму волны. Базовая синусоидальная волна — это чистая нота, которую производит скрипичная струна; другие, более близко расположенные синусоидальные волны — это ее гармоники. В классической механике мы можем измерить форму струны полностью. Но если вы хотите наблюдать состояние квантовой системы, вы должны сначала выбрать собственное состояние, а затем измерить только эту составляющую волновой функции. Впоследствии вы можете измерить и другую, но первое наблюдение нарушает волновую функцию, поэтому к моменту второго измерения первое собственное состояние, вероятно, уже
258
Иэн Стюарт | Случайный Бог


изменится. Хотя квантовое состояние может быть (и обычно является) суперпозицией собственных состояний, результат квантового измерения должен быть чистым собственным состоянием.
Например, у электрона есть свойство, известное как спин. Это название происходит от английского слова «вращение» — такова была ранняя его механическая аналогия; но смысл ее мог бы быть совершенно другим без какой-либо потери понимания. В этом заключается одна из причин, почему позднее субатомные частицы получали такие названия свойств, как «очарование» или «аромат». Спин электрона имеет одно общее математическое свойство с классическим вращением: обладает осью. Вращение Земли вокруг своей оси приводит к смене дня и ночи, и ось эта наклонена под углом 23,4 градуса к плоскости орбиты. У электрона тоже есть ось, но это математическая конструкция, в любой момент она может указывать в любом направлении. А вот величина спина всегда одна и та же: 1/2. По крайней мере, таково связанное со спином «квантовое число». Оно всегда либо целое, либо половина от целого числа для любой квантовой частицы и всегда одинаково для данного вида частиц [77]. Принцип суперпозиции означает, что электрон может вращаться одновременно вокруг многих различных осей — до тех пор, пока вы его не измерите.
Выберите ось, измерьте спин: вы получите либо +1/2, либо -1/2, потому что каждая ось указывает в двух противоположных направлениях [78].
Все это очень запутанно. Теория говорит, что состояние почти всегда является суперпозицией; наблюдения говорят, что это не так. В других областях такую запутанность расценивали бы как чудовищное несоответствие, но в квантовой теории, чтобы чего-то достичь, вы все это должны принять. Принимая запутанность, вы получаете результаты, столь прекрасные, что было бы полным безумием отвергать такую теорию. Вместо этого вы признаете, что сам акт измерения квантовой системы каким-то образом разрушает особенности того, что вы пытаетесь измерить.
Одним из физиков, пытавшихся разобраться с подобными вопросами, был Нильс Бор, работавший в институте, кото¬
ГЛАВА 15 | Квантовая неопределенность
259


рый сам же и основал в Копенгагене в 1921 году. Тогда он назывался институтом теоретической физики, а в 1993 году его переименовали в институт Нильса Бора. Вернер Гейзенберг работал там в 1920-х годах, а в 1929 году он прочитал лекцию в Чикаго, ссылаясь (на немецком языке) на «копенгагенский дух квантовой теории». Так к 1950-м годам закрепился термин «копенгагенская интерпретация» квантовых наблюдений. Согласно этой интерпретации, в момент наблюдения квантовой системы волновая функция вынуждена кол- лапсировать в однокомпонентное собственное состояние.
ШРЕДИНГЕР НЕ ОСОБО РАДОВАЛСЯ коллапсу волновых функций, потому что считал их реальными физическими вещами. Он придумал свой знаменитый мысленный эксперимент с котом, чтобы опровергнуть копенгагенскую интерпретацию. Эксперимент включает в себя еще один пример квантовой неопределенности — радиоактивный распад. Электроны в атоме располагаются на определенных энергетических уровнях. При изменении уровня атом испускает или поглощает энергию в виде различных частиц, в том числе фотонов. В радиоактивном атоме переходы такого рода могут стать достаточно сильными, чтобы выбить частицы из ядра и превратить атом в другой элемент. Этот эффект называется радиоактивным распадом. На этом принципе основаны действие ядерного оружия и работа ядерных электростанций.
Распад — это случайный процесс, поэтому квантовое состояние одного радиоактивного атома, который в настоящее время не наблюдается, представляет собой суперпозицию состояний «не распадается» и «распадается». Классические системы так себя не ведут. Они существуют в определенных наблюдаемых состояниях. Мир, в котором мы живем, в соразмерных нам масштабах является (в основном) классическим, но в малых масштабах — полностью квантовым. Как же это происходит? Мысленный эксперимент Шредингера противопоставил квантовый мир классическому. Поместите радиоактивный атом (квантовый бит) в коробку, где находятся кот, колба с ядовитым газом, детектор частиц и молоток (классическая система). Когда атом распадается, де¬
260
Иэн Стюарт | Случайный Бог


тектор включает молоток, тот разбивает колбу, и для кота наступают печальные последствия.
Если коробка непроницаема ни для какого метода наблюдения, то атом находится в суперпозиции состояний «не распадается» и «распадается». Поэтому, сказал Шредингер, кот также должен находиться в суперпозиции состояний «живой» и «мертвый» в соответствующих пропорциях [79]. Только когда мы открываем коробку и наблюдаем, что там внутри, мы разрушаем волновую функцию атома, а следовательно, и кота. Теперь он либо мертв, либо жив, в зависимости от того, что сделал атом. Точно так же мы обнаруживаем, что атом либо распался, либо нет.
Я не хочу вдаваться в подробности этого мысленного эксперимента [80], отмечу только, что Шредингер не считал, что существование на одну половину живого, а на другую мертвого кота имеет смысл. Главное, что он хотел сказать, — что никто не мог объяснить, как коллапсирует волновая функция, и никто не мог объяснить, почему большие квантовые системы вроде кота, рассматриваемые как огромный набор фундаментальных частиц, похоже, становятся классическими. Физики экспериментировали со все более крупными квантовыми системами, чтобы показать, что суперпозиция действительно имеет место. До котов пока еще не дошло, но с другими системами, от электронов до очень маленьких кристаллов алмаза, физики справились. Саймон Греблахер надеется провести эксперимент с тихоходками — это крохотные, поразительно живучие существа, — поместив их на квантовый батут [81]. (Я не шучу и еще вернусь к этому.) Однако эти эксперименты не дают ответ на вопрос Шредингера.
Центральный философский вопрос здесь звучит так: что такое наблюдение? Вспомним опыт с котом Шредингера: коллапсирует ли волновая функция кота в тот момент, когда детектор внутри коробки «наблюдает» распад? Или она коллапсирует, когда кот заметит ядовитый газ? (Кот может быть наблюдателем: один из наших котов был одержим наблюдением за золотыми рыбками.) Или функция ждет, пока коробку откроет человек, чтобы посмотреть, что внутри? Можно выдвинуть аргументы за любой из вариантов, и
ГЛАВА 15 | Квантовая неопределенность
261


если коробка действительно непроницаема для наблюдений, то нет никакой возможности точно узнать, какой именно верен. Поставить внутрь видеокамеру? Да, но вы не узнаете, что она записала, пока не откроете коробку. Может быть, она находилась в суперпозиции состояний «записан живой кот» и «записан мертвый кот» до тех пор, пока вы не просмотрели запись. Возможно, ее состояние коллапсировало сразу, как только распался атом. А может быть, где-то на полпути.
Вопрос «Что такое квантовое наблюдение?» до сих пор остается нерешенным. В математике мы моделируем его кристально четко и аккуратно, но эти модели не имеют серьезного сходства с тем, как производится фактическое наблюдение, поскольку предполагают, что измерительный аппарат не является квантовой системой. Вопрос, как следует понимать квантовое наблюдение, игнорируется большинством физиков, а остальные горячо спорят по этому поводу. Я вернусь к этой дискуссии в главе 16. На данный момент главное, что нужно помнить, — это принцип суперпозиции; тот факт, что собственное состояние — это все, что мы обычно можем измерить; и неразрешенная природа квантового наблюдения.
НЕСМОТРЯ НА ЭТИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ, КВАНТОВАЯ механика действительно пошла в гору. Вооружившись ею, горстка гениальных первопроходцев объяснила длинный список экспериментов, которые ранее были необъяснимы, и придумала множество новых. Альберт Эйнштейн использовал квантовую теорию для объяснения фотоэлектрического эффекта, при котором луч света, попадая на подходящий металл, создает электричество. За эту работу он получил Нобелевскую премию. По иронии судьбы, Эйнштейн никогда не был полностью доволен квантовой теорией. Больше всего его беспокоила неопределенность. Не в его голове, а в самой теории.
Механические величины (классические или квантовые) ходят парами. Например, положение связано с импульсом (масса, умноженная на скорость), а скорость — это быстрота изменения положения. В классической механике можно
262
Иэн Стюарт | Случайный Бог


измерить обе эти величины одновременно, и в принципе эти измерения могут быть сколь угодно точны. Просто следует позаботиться о том, чтобы не беспокоить частицу слишком сильно в момент измерения. Но в 1927 году Гейзенберг провозгласил, что в квантовой механике все не так: чем точнее вы измеряете положение частицы, тем менее точно вы можете определить ее скорость, и наоборот.
Гейзенберг неформально объяснил это «эффектом наблюдателя»: акт наблюдения нарушает то, что вы наблюдаете. Это многих убедило в его правоте, но на самом деле здесь имеет место чрезмерное упрощение. Эффект наблюдателя возникает и в классической механике. Чтобы наблюдать за положением футбольного мяча, вы можете осветить его. Падающий на мяч свет отражается, отчего мяч замедляется — очень, очень слабо. Когда вы после этого измеряете скорость, скажем, подсчитывая, сколько времени требуется мячу, чтобы преодолеть один метр, мяч оказывается чуть ниже, чем был непосредственно перед тем, как его осветили. Таким образом, измерение положения мяча влияет на измерение его скорости. Гейзенберг указал, что в классической физике тщательные измерения делают это изменение незначительным. Но в квантовом мире измерения больше похожи на здоровенный пинок по футбольному мячу. Ваша нога говорит вам, где он был, но вы понятия не имеете, куда он улетел.
Это прекрасная аналогия, но технически она ошибочна. Ограничение Гейзенберга на точность квантовых измерений гораздо глубже. На самом деле оно имеет место для любого волнового явления, и это еще одно доказательство волновой природы материи на микроуровне. В квантовом мире оно технически сформулировано как принцип неопределенности Гейзенберга. Математически в 1927 году его сформулировал Гессе Кеннард, а еще через год — Герман Вейль. Принцип гласит, что произведение неопределенности в положении и неопределенности в импульсе не меньше, чем h/4л, где h — постоянная Планка:
GxGp^ h/4n,
сигмы означают стандартное отклонение, х — это координата, а р — импульс.
ГЛАВА 15 | Квантовая неопределенность
263


Эта формула показывает, что в квантовую механику заложен изначально присущий ей уровень неопределенности. Наука предлагает теории и проверяет их с помощью экспериментов. В экспериментах измеряют величины, предсказанные теорией, чтобы убедиться, что теории верны. Но принцип неопределенности говорит, что некоторые комбинации измерений невозможны. Это не ограничение имеющегося у исследователей аппарата: это ограничение природы. Поэтому некоторые аспекты квантовой теории невозможно проверить экспериментально.
ТЕПЕРЬ-ТО МЫ ЗНАЕМ, ЧТО, ВОПРЕКИ объяснению Гейзенберга, неопределенность, выраженная принципом неопределенности, вытекает не из эффекта наблюдателя. В 2012 году Юджи Хасегава измерил спины групп нейтронов и обнаружил, что акт наблюдения не создает того количества степени неопределенности, которое предписал Гейзенберг [82]. В том же году команда под руководством Эфраима Штейнберга сумела провести измерения на фотонах настолько тонкие, что они вносили меньшую неопределенность в отдельные фотоны, чем указывает принцип неопределенности [83]. Однако математика остается верной, поскольку полная неопределенность относительно поведения фотонов все еще превышает предел Гейзенберга.
В эксперименте изучались не положение и импульс, а более тонкое свойство, называемое поляризацией. Это направление колебания волны, представляющей собой фотон. Она может колебаться вверх-вниз, или из стороны в сторону, или еще в каком-то другом направлении. Поляризации в направлениях, расположенных под прямым углом друг к ДРУГУ» являются сопряженными переменными, поэтому по принципу неопределенности их нельзя измерить одновременно с произвольно высокой точностью. Экспериментаторы произвели слабое измерение поляризации фотона в одной плоскости, что не сильно его затронуло (все равно что пощекотать перышком футбольный мяч). Результат получился не очень точным, но дал некоторую оценку направления поляризации. Затем они точно так же измерили поляризацию того же фотона в другой плоскости.
264
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Наконец, они измерили его поляризацию в исходном направлении, выполнив сильное измерение (здоровенный пинок ногой), которое дало очень точный результат.
Так экспериментаторы выяснили, насколько значительно мешали друг другу слабые измерения. Последнее наблюдение заметно воздействовало на фотон, но к тому моменту это уже не имело значения.
Многократные наблюдения показали, что измерение одной поляризации не нарушало фотон так сильно, как утверждает принцип Гейзенберга. Фактическое возмущение могло быть и вполовину меньше предсказанного. Однако сам принцип при этом не нарушается, поскольку вы не можете достаточно точно измерить оба состояния. Эксперимент показывает, что не всегда акт измерения создает неопределенность. Она была там с самого начала.
ЕСЛИ НЕ СЧИТАТЬ КОПЕНГАГЕНСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ, СУПЕРПОЗИЦИИ ВОЛНОВЫХ функций казались простыми до 1935 года, когда Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен опубликовали знаменитую статью о том, что теперь называется ЭПР-парадоксом. Они утверждали, что в соответствии с копенгагенской интерпретацией система из двух частиц должна нарушать принцип неопределенности, если только измерение, произведенное над одной из них, не окажет мгновенного влияния на другую — независимо от того, насколько далеки друг от друга эти частицы. Эйнштейн назвал это «жутким дальнодействием», потому что оно не согласуется с основным релятивистским принципом, согласно которому ни один сигнал не может двигаться быстрее света. Эйнштейн тогда считал, что ЭПР-парадокс опровергает копенгагенскую интерпретацию, а следовательно, квантовая механика неполна.
Сегодня квантовые физики смотрят на это совсем по-дру- гому. Эффект, выявленный ЭПР, действительно имеет место. Он возникает в очень специфической обстановке: две (или более) «запутанные» частицы или другие квантовые системы. Когда частицы запутываются, они теряют свою собственную идентичность в том смысле, что любое возможное наблюдение относится к состоянию всей системы, а не к
ГЛАВА 15 | Квантовая неопределенность
265


отдельным ее компонентам. Математически состояние комбинированной системы задается «тензорным произведением» состояний компонентов (я постараюсь объяснить это через минуту). Соответствующая волновая функция, как обычно, дает вероятность наблюдения системы в любом заданном состоянии. Но сами состояния не распадаются на наблюдения отдельных компонентов.
Давайте посмотрим, как работает тензорное произведение. Предположим, у каждого из двух человек есть шляпа и пальто. Шляпы могут быть красными или синими, пальто — зелеными или желтыми. Каждый человек выбирает по одному из этих предметов одежды, поэтому «состояние» их костюма — это пара, например (красная шляпа, зеленый плащ) или (синяя шляпа, желтый плащ). В квантовой Вселенной состояния шляп могут находиться в суперпозиции, так что имеет смысл выражение вроде «1/3 красная+ 2/3 синяя шляпа», и аналогично для пальто. Тензорное произведение распространяет суперпозиции на пары (шляпа, пальто). Математические правила гласят, что для фиксированного выбора цвета пальто, скажем зеленого, суперпозиция двух состояний шляпы раскладывает всю систему так:
(1/3 красная+ 2/3 синяя шляпа, зеленое пальто) =
= 1/3 (красная шляпа; зеленое пальто) +
+ 2/3 (синяя шляпа; зеленое пальто).
То же самое относится и к суперпозиции двух состояний пальто при фиксированном выборе шляпы. Подобные состояния фактически говорят нам, что никакого существенного взаимодействия между состояниями шляпы и пальто не происходит. Однако такие взаимодействия имеют место для «запутанных» состояний, таких как
1/3 (красная шляпа; зеленое пальто) +
+ 2/3 (синяя шляпа; желтое пальто).
Правила квантовой механики предсказывают, что после измерения цвета коллапсирует не только состояние шляпы, но и вся система шляпа/пальто. Отсюда и следуют ограничения на состояние пальто.
То же самое относится и к парам квантовых частиц: одна вместо шляпы, другая вместо пальто. Вместо цветов теперь
266
Иэн Стюарт | Случайный Бог


такие переменные, как спин или поляризация. Может показаться, что измеряемая частица каким-то образом передает свое состояние другой частице, влияя на любое произведенное над ней измерение. Однако эффект имеет место независимо от того, насколько далеко друг от друга находятся частицы. Согласно теории относительности, сигналы не могут двигаться быстрее света, но в одном эксперименте они должны были бы двигаться со скоростью, в 10 ООО раз превышающей скорость света, чтобы объяснить этот эффект. По этой причине эффект запутанности в наблюдениях иногда называют квантовой телепортацией. Он считается отличительной чертой — возможно, единственной отличительной чертой, — которая показывает, насколько квантовый мир отличается от классической физики.
ДАВАЙТЕ ВЕРНЕМСЯ К ЭЙНШТЕЙНУ, обеспокоенному жутким дальнодействием. Первоначально он предпочитал другой ответ на загадку запутанных состояний: теорию скрытых переменных. Объяснение загадки могло быть детерминистским. Представьте себе подбрасывание монеты, о чем мы говорили в главе 4. Вероятностное состояние орел/решка объясняется более детальной механической моделью монеты с переменными положения и скорости вращения. Они не связаны с двоичной переменной орел/решка. Отсутствие связи проявляется, когда мы «наблюдаем» состояние монеты, прерывая ее траекторию на столе, в руке или на земле. Нельзя сказать, что монета таинственно трепещет между орлом и решкой случайным образом; она делает что-то совсем другое.
Предположим, что каждая квантовая частица обладает скрытой динамикой, которая аналогичным образом определяет результат наблюдения. Предположим еще, что, когда две частицы изначально запутаны, их скрытая динамика синхронизируется. Тогда в любой заданный момент обе частицы находятся в одном и том же скрытом состоянии. То же самое верно, если частицы разделены. Если результат измерения не случаен, а предписывается этим внутренним состоянием, то измерения, выполненные на обеих частицах в один и тот же момент, должны совпадать. Нет никакой необходимости передавать сигнал между частицами.
ГЛАВА 15 | Квантовая неопределенность
267


Это как два шпиона, которые встречаются, синхронизируют свои часы и расходятся. Если в какой-то момент один из них посмотрит на часы и увидит, что они показывают 6 часов 34 минуты, то может предсказать, что в этот момент часы другого тоже показывают 6 часов 34 минуты. Они оба могут действовать в один и тот же заранее оговоренный момент, не передавая друг другу никаких сигналов. Скрытая динамика квантовой частицы может работать точно так же — как часы. Конечно, синхронность должна быть очень высокой, но квантовые состояния очень точны. Например, массы всех электронов одинаковы с точностью до многих десятичных знаков.
Это изящная идея. Она очень близка к тому, как образуются запутанные частицы в экспериментах [84]. Она не просто показывает, что детерминистская теория скрытых переменных в принципе может объяснить запутанность без жуткого дальнодействия: она приближается к доказательству того, что такая теория должна существовать. Но позднее физики решили, что никакая теория скрытых переменных невозможна, и, как мы увидим в следующей главе, она отошла на второй план.
268
Иэн Стюарт
Случайный Бог


ГЛАВА 16
ИГРАЮТ ЛИ КОСТИ РОЛЬ БОГА?
До Космоса был Хаос, и именно в Хаос, пустой и бесформенный, мы погрузились.
Джон Ливингстон Jloyc «Дорога на Ксанаду»
ФИЗИКАМ ПРИШЛОСЬ ПРИЗНАТЬ, что на микроуровне материя обладает собственной волей. Ей может вздуматься измениться: от частицы к волне, от радиоактивного атома одного элемента к совершенно другому элементу — спонтанно. Никакой внешний агент для этого не требуется: она просто меняется. Без правил. Оказалось, дело вовсе не в том, что, как ворчал Эйнштейн, Бог не играет в кости. Все было еще хуже. Кости могут быть символом случайности, но, как мы видели в главе 4, на самом деле они детерминированы. Так что Эйнштейну следовало бы жаловаться, что Бог играет в кости, которые падают так, как велят им скрытые динамические переменные. Квантовый подход, против которого возражал Эйнштейн, заключался в том, что Бог не бросает кости, но получает те же результаты, как если бы бросал. Или, еще точнее, кости сами себя бросают, и наша Вселенная — это и есть результат этого бросания. По сути, квантовые кости играют роль Бога. Но чем же они являются? Может быть, это метафорические кубики, воплощения подлинной случайности? Или же это детерминистские кубики, хаотично скачущие по ткани космоса?
В мифах Древней Греции слово «хаос» означало бесформенное изначальное состояние, возникшее до сотворения Вселенной. Это промежуток, возникший, когда Небо и Зем¬
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
269


ля были разделены, пустота под Землей, на которой Земля покоится, и — в «Теогонии» Гесиода — первый изначальный Бог. Хаос предшествовал Космосу. Однако в развитии современной физики это Космос предшествовал Хаосу. В частности, квантовая теория была изобретена и развита за полвека до того, как физики поняли, что возможен детерминированный хаос. Поэтому с самого начала предполагалось, что квантовая неопределенность чисто случайна и встроена в структуру Вселенной.
К тому времени, когда теория хаоса стала широко известна, сформировалось представление о том, что квантовая неопределенность случайна по своей сути, без какой-либо более глубокой структуры для объяснения этого явления, и что нет никакой необходимости в такой структуре. Это представление настолько укоренилось, что даже подвергать его сомнению было табу. Но я не могу отделаться от мысли, что все могло бы быть иначе, если бы математики создали теорию хаоса,— как хорошо развитую ветвь математики, а не просто чудной пример, найденный Пуанкаре, — до того, как физики начали интересоваться квантами.
Вопрос в том, откуда берется квантовая случайность. Ортодоксальный подход: она не берется ниоткуда, она просто существует. Но тогда непонятно, как объяснить, почему же квантовые события имеют такую регулярную статистику. Каждый радиоактивный изотоп имеет вполне определенный период полураспада — время, необходимое для распада половины атомов в некотором образце. Как радиоактивный атом может знать, каким должен быть его период полураспада? Что подсказывает ему, когда пора распадаться? Сказать «случайно» легко, но в любом другом контексте случайность отражает либо незнание механизмов, которые приводят к тем или иным событиям, либо математические выводы из знания этих механизмов. В квантовой механике случайность — это и есть механизм.
Есть даже математическая теорема, гласящая, что так и должно быть: теорема Белла, которая могла бы принести Джону Беллу Нобелевскую премию по физике. Широко распространено мнение, что он был номинирован на эту награду в 1990 году, но номинантов не оглашают, а Белл умер
270
Иэн Стюарт | Случайный Бог


от инсульта до того, как были объявлены победители. Но, как и с большинством утверждений фундаментальной физики, если копнуть поглубже, все оказывается уже не так просто, как все говорят. Часто упоминают, что неравенство Белла исключает любую теорию скрытых переменных для квантовой механики, но это утверждение слишком широко. Неравенство действительно исключает некоторые виды объяснения скрытых переменных, но не все. Доказательство теоремы включает в себя ряд математических допущений, не все из которых сформулированы явно. В более поздней работе предполагается, что некоторые типы хаотической динамики могут в принципе задать детерминированный механизм, лежащий в основе квантовой неопределенности. В настоящий момент это только намеки, а не окончательная теория, но они наводят на мысль, что если бы хаос был открыт до квантовой теории, ортодоксальной точкой зрения могла бы стать детерминистская.
С САМОГО НАЧАЛА некоторые физики оспаривали ортодоксальный взгляд на квантовую неопределенность. А в последние годы появились новые экстравагантные идеи, идущие вразрез с господствующим мнением о том, что некоторые двери лучше не открывать. Роджер Пенроуз, один из ведущих физиков мира, — из тех, кому не по душе нынешнее отношение к квантовой неопределенности. В 2011 году он писал: «Квантовая механика вынуждена жить не только с глубокими загадками интерпретации, но... еще и с глубоким внутренним противоречием, отчего кто-то может полагать, что в этой теории есть что-то серьезное, требующее внимания» [85].
Попытки предложить альтернативу ортодоксальной позиции обычно наталкиваются на глубоко укоренившееся недоверие большинства физиков. Это вполне объяснимая реакция на целые поколения безумных нападок на фундаментальную физику и спорадические набеги философов, которые жаждут объяснения загадок квантовой механики простыми словами и одновременно поносят физиков за то, что те все неправильно понимают. Есть простой способ избежать всех этих проблем, и искушение прибегнуть к нему долж¬
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
271


но быть сильным. Квантовая механика — странная штука. Сами физики так говорят. Они даже восхищаются ее странностью. Очевидно, что любой, кто не согласен с ними, — это замшелый классический механист, которому недостает воображения, чтобы признать, что мир может быть настолько странным. Слова «заткнись и считай» стали доминирующим девизом.
Однако всегда существовала контркультура. Некоторые люди, в том числе лучшие и умнейшие из мировых физиков, все равно не перестают задавать глупые вопросы. И вовсе не от недостатка воображения, а от его избытка. Вдруг квантовый мир еще более странен, чем ортодоксальное описание? Глубокие открытия, к которым привели глупые вопросы, потрясли основы физики. Сочинялись книги, публиковались статьи. Многие пытались обратиться к более глубоким аспектам квантовой реальности; некоторые попытки оказались настолько эффективны, что они согласуются практически со всеми данными принятой ныне квантовой теории, но при этом добавляют новый уровень объяснения. Именно успех этих попыток и обратили против них. Раз нет никакого способа отличить новую теорию от существующей с помощью обычных экспериментов, новая теория бессмысленна, и мы должны придерживаться существующей! У этого удивительно несимметричного довода есть очевидный антипод: по тем же самым причинам бессмысленной можно объявить старую теорию, после чего всем переключиться на новую. В этот момент оппозиция выключает свой байесовский мозг и возвращается на проверенные временем пути.
И все же... В общепринятом описании квантового мира слишком много концов не сходятся с концами. Явления, в которых не видно смысла. Предположения, которые противоречат сами себе. Объяснения, которые ничего не объясняют. А под всем этим скрывается неприятная правда, которую наспех замели под ковер, потому что она совершенно сбивает с толку: команда «заткнись и считай» тоже ее толком не понимает.
Правда в том, что даже квантовые физики такого толка не просто считают. Прежде чем приниматься за сложные
272
Иэн Стюарт | Случайный Бог


вычисления, они выводят квантово-механические уравнения, моделирующие действительность, и выбор этих уравнений выходит за рамки простого вычисления по правилам. Например, они моделируют светоделитель как четкую математическую структуру, внешнюю по отношению к уравнениям, которая либо пропускает фотон, либо отражает его — и все же чудесным образом оставляет его состояние неизменным, если не считать сдвига на четверть фазы в отраженной волне. А ведь такие структуры не бывают идеально однозначными. Настоящий светоделитель, рассматриваемый на квантовом уровне, представляет собой чрезвычайно сложную систему субатомных частиц. Когда фотон проходит через такой светоделитель, то взаимодействует со всей системой. Ничего идеально однозначного в этом процессе нет. Однако, как это ни удивительно, идеальная модель, похоже, работает. Я не думаю, что кто-то на самом деле знает почему. Вычисления здесь невозможны: в светоделителе слишком много частиц. Заткнись и считай.
Большинство квантовых уравнений включают в себя такого рода предположения моделирования, привнося в математику четко определенные объекты, которые не существуют в размытом квантовом мире. Делается акцент на содержание уравнений, а не на их контекст — «граничные условия», которые следует зафиксировать до того, как выводить и решать уравнения. Квантовые физики прекрасно знают, что доставать из своего мешка математических трюков; они виртуозные исполнители, которые могут выполнять удивительно сложные вычисления и получать ответы с точностью до девяти знаков после запятой. Но мало кто спрашивает, почему это работает так хорошо.
РЕАЛЬНА ЛИ ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ? Или, раз уж мы не можем наблюдать ее целиком, это просто математическая абстракция? Существует ли она на самом деле или это просто удобная фикция, — вроде физической версии среднего человека Кетле? Среднего человека не существует; мы не можем подойти к нужной двери, постучать в нее и встретиться с ним лицом к лицу. Однако этот вымышленный персонаж заключает в себе много информации о реальных
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
273


людях. Может быть, такова и волновая функция. Ни у одного электрона ее на самом деле нет, но все они ведут себя так, как будто она есть.
Чтобы построить классическую аналогию, рассмотрим монету. У нее такое распределение вероятностей: Р(О) = Р(Р) = 1/2. Оно существует в стандартном математическом смысле: это хорошо определенный математический объект, и он управляет почти всем, что можно сказать о повторных подбрасываниях монеты. Но существует ли распределение как реальный физический объект? На монете мы его не видим. Вы не можете измерить его мгновенно. С каждым подбрасыванием монеты вы получаете определенный результат. Орел. Еще орел. А теперь решка. Монета ведет себя так, как будто ее распределение вероятностей реально, но единственный способ измерить это распределение таким «инструментом» как подбрасывание монеты — бросать ее снова и снова и подсчитывать, что произойдет. Отсюда вы делаете вывод о распределении.
Если бы монета просто лежала на столе, как-то беспорядочно переключаясь между орлом и решкой, все это было бы очень загадочно. Откуда монета знает, как осуществить шансы пятьдесят на пятьдесят? Кто-то должен был сказать ей об этом. Таким образом, либо распределение вероятностей заключено в реальности монеты, либо происходит что- то более глубокое, чего мы не видим, и распределение — это знак того, что нам еще остается найти более глубокую истину.
В данном случае мы знаем, что происходит. Монета не просто лежит на столе, переключаясь между двумя состояниями О и Р, которые мы можем измерить. Она снова и снова переворачивается в воздухе. Пока она вращается, ее состояние — ни орел, ни решка. Это даже не суперпозиция орлов и решек в соотношении пятьдесят на пятьдесят. Это совершенно другое: положение и скорость вращения в пространстве, а не выбор орел/решка на столе. Мы «наблюдаем» за выбором орел/решка, заставляя монету взаимодействовать с «измерительным прибором» — столом. (Или с рукой человека, или что там еще останавливает падение.) Существует скрытый мир вращения, о котором столу ничего не извест¬
274
Иэн Стюарт | Случайный Бог


но. В этом скрытом мире решается судьба монеты: она заканчивается орлом, если именно орел находится сверху, когда монета падает на стол. В противном случае — решкой. Все мельчайшие детали движения в пространстве стираются актом наблюдения: буквально расплющиваются в лепешку.
Может ли квантовая неопределенность быть того же рода? Это вполне правдоподобная идея. Именно так Эйнштейн надеялся объяснить запутанность. Может быть, у вращающегося электрона есть какое-то внутреннее динамическое состояние, скрытая переменная, которая не наблюдается непосредственно, но которая определяет, какое значение будет присвоено спину электрона, когда он взаимодействует с измерительным прибором?
Если это так, то электрон очень похож на монету, скрытой переменной которой является ее динамическое состояние. Случайное наблюдаемое — это просто его конечное состояние покоя, «измеряемое» падением на стол. Та же самая идея могла бы объяснить, как распадается радиоактивный атом: случайно, но подчиняясь регулярным статистическим закономерностям. Не так уж трудно изобрести подходящую хаотическую динамику.
В классической механике существование таких скрытых переменных со своей тайной динамикой объясняет, откуда монета знает, что орел выпадает в половине случаев. Эта информация является математическим следствием динамики: вероятность того, что система окажется в заданном динамическом состоянии. (Похоже на инвариантную меру, но технически отличается: речь идет о том, как в пространстве состояний распределены начальные условия, приводящие к заданному наблюдению.) Когда монета вращается, мы можем математически забежать вперед в ее полностью детерминированное будущее и выяснить, упадет она на стол орлом или решкой. Затем мы концептуально обозначим текущее состояние этим результатом. Чтобы найти вероятность выпадения орла, мы вычисляем долю пространства состояний (или некоторую выбранную область), точки которой помечены орлами. Вот и все.
Практически каждое возникновение случайности в динамической системе может быть объяснено в терминах есте¬
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
275


ственной вероятностной меры, связанной с детерминированной, но хаотической динамикой. Так почему же нельзя таким образом объяснять квантовые системы? К несчастью для искателей объяснений через скрытые переменные, есть ответ, который выглядит довольно хорошо.
В КОПЕНГАГЕНСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ СЧИТАЕТСЯ
бесполезным рассуждать о скрытых переменных на том основании, что любая попытка наблюдать «внутреннюю работу» атомных и субатомных процессов должна нарушать их настолько, что наблюдения становятся бессмысленными. Но это вряд ли можно назвать сногсшибательным аргументом. Сегодня мы регулярно наблюдаем аспекты внутренней структуры квантовых частиц с помощью ускорителей. Они дороги — целых 8 миллиардов евро для Большого адронного коллайдера, на котором открыли бозон Хиггса, — но не невозможны. В XIX веке Огюст Конт утверждал, что нам не суждено узнать химический состав звезд, но никто не говорил, что звезды не имеют химического состава. Затем выяснилось, что Конт был глубоко (и спектрографически) неправ: химический состав звезд — это одна из главных вещей, которые мы можем наблюдать. Спектральные линии в свете звезды раскрывают тайну химических элементов внутри нее.
На копенгагенскую интерпретацию сильно повлиял логический позитивизм — подход в философии науки, господствовавший в начале XX века. Согласно этому подходу, ничто не может считаться существующим, если вы не можете его измерить. Ученые, изучающие поведение животных, приняли эту точку зрения и пришли к убеждению, что все действия животного контролируются неким механистическим «приводом» в его мозгу. Собака пьет воду из миски не потому, что ей хочется пить: у нее есть стремление пить, которое включается, когда уровень гидратации падает ниже критического значения. Логический позитивизм сам по себе был реакцией на свою противоположность: антропоморфизм, склонность предполагать, что у животных есть эмоции и мотивы, как и у людей. Но это была чрезмерная реакция, превращающая разумные организмы в бездумные машины.
276
Иэн Стюарт | Случайный Бог


В настоящее время принят более тонкий подход. Например, эксперименты, проведенные Галит Шохат-Офир, показывают, что самцы плодовых мух испытывают удовольствие во время секса. «Система сексуального вознаграждения — это очень древний механизм», — говорит она [86].
Возможно, основатели квантовой механики тоже отреагировали слишком остро. В последние годы ученые нашли хитрые способы заставить квантовые системы раскрывать гораздо больше своих внутренних механизмов, чем предполагалось во времена Бора. С одним из них мы встречались в главе 15: с методом Эфраима Штейнберга для преодоления принципа неопределенности. Теперь кажется общепринятым, что волновая функция — это реальная физическая характеристика: очень трудно поддающаяся детальным наблюдениям, возможно, не поддающаяся до конца, но не просто полезная фикция. Так что отказ от скрытых переменных на том основании, что несколько видных физиков в Копенгагене в 1920-х годах решили, что это невозможно, не более разумно, чем отказ от внутренней химии звезд, потому что когда-то Конт сказал, что вы никогда не сможете узнать, что это такое.
Однако есть и более веская причина, по которой большинство физиков отвергают скрытые переменные как объяснение квантовой неопределенности. Любая такая теория должна быть согласована со всем, что в настоящее время известно о квантовом мире. Именно здесь на сцену выходит эпическое открытие Джоном Беллом своего неравенства.
В 1964 ГОДУ БЕЛЛ ОПУБЛИКОВАЛ одну из самых важных работ по теории скрытых переменных в квантовой механике: «О парадоксе Эйнштейна — Подольского — Розена» [87]. На Белла повлияла более ранняя попытка Джона фон Неймана в 1932 году, который включил в свою книгу Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik («Математические основы квантовой механики») доказательство того, что никакая теория скрытых переменных квантовой механики невозможна.
В 1935 году математик Грета Герман обнаружила изъян в этом доказательстве, но ее работу оставили без внимания,
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
277


и сообщество физиков еще десятки лет не сомневалось в доказательстве фон Неймана [88]. Адам Беккер предполагал, что одной из причин такого невнимания был ее пол, ведь в те времена женщинам обычно запрещалось преподавать в университетах [89]. Герман была докторантом величайшей женщины-математика того времени, Эмми Нетер из Геттингенского университета. Нетер начала читать лекции в 1916 году, номинально в качестве ассистента преподавателя Давида Гильберта, но ей не платили за чтение лекций до 1923 года. Во всяком случае, Белл независимо заметил, что доказательство фон Неймана было неполным. Пытаясь найти теорию скрытых переменных, он вместо этого обнаружил гораздо более сильное доказательство ее невозможности. Его центральный результат исключает возможность любой основанной на скрытых переменных модели квантовой неопределенности, если эта модель удовлетворяет двум основным условиям, полностью разумным в классическом контексте:
• Реальность: микроскопические объекты обладают реальными свойствами, определяющими результат квантовых измерений.
• Локальность: реальность в любом данном месте не зависит от экспериментов, выполняемых в тот же самый момент в отдаленном месте.
Приняв эти предположения, Белл доказал, что некоторые измерения должны быть связаны неравенством - математическим выражением, утверждающим, что некоторая комбинация наблюдаемых величин меньше или равна некоторой другой комбинации. Отсюда следует, что если в эксперименте производятся измерения, нарушающие неравенство, то должен иметь место один из трех исходов: либо не выполняется условие реальности, либо не выполняется условие локальности, либо не существует теории скрытых переменных. Когда эксперименты привели к результатам, несовместным с неравенством Белла, теории скрытых переменных были объявлены невозможными. Квантовые физики вернулись в режим «заткнись и считай» и удовлетворились тем, что со странностями квантового мира сделать больше ничего нельзя. А тот, кто желает дальнейших объяснений, напрасно тратит время — и свое собственное, и всех остальных тоже.
278
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Я не хочу слишком углубляться в математические детали, но нам нужно хотя бы примерно представить, как работает доказательство Белла. Его пересматривали и проверяли много раз, и все полученные в результате вариации в совокупности тоже известны как неравенство Белла. Нынешняя стандартная формулировка включает в себя знаменитую криптографическую парочку Алису и Боба. Они выполняют наблюдения над парами запутанных частиц, которые взаимодействовали, а затем разделились. Алиса измеряет одну, Боб — другую. Для определенности будем считать, что они измеряют спины. Вот ключевые ингредиенты:
• Пространство скрытых переменных. Они представляют собой гипотетический внутренний механизм, спрятанный в каждой частице, состояние которого определяет результаты измерений, но непосредственно не наблюдается. Предполагается, что на этом пространстве задана своя собственная мера, которая дает вероятность того, что скрытые переменные лежат в некотором определенном диапазоне. Эта конструкция не является детерминированной, как было заявлено, но мы можем включить детерминированные модели, если зададим динамику скрытых переменных, а затем используем инвариантную меру для вероятностей.
• У Алисы и Боба есть по детектору, и они выбирают «настройку». Настройка а — это ось, относительно которой спин измеряет Алиса; настройка Ъ — это ось, относительно которой спин измеряет Боб.
• Наблюдаются корреляции между спинами, измеренными Алисой, и спинами, измеренными Бобом. Это величины, которые количественно выражают то, как часто они оба получают один и тот же результат «спин вверх» или «спин вниз», по сравнению с получением противоположных результатов. (Эти корреляции не вполне совпадают со статистическими коэффициентами корреляции, но выполняют ту же задачу.)
Давайте рассмотрим три такие корреляции: экспериментально наблюденную, предсказанную стандартной квантовой теорией и предсказанную некоторой гипотетической теори¬
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
279


ей скрытых переменных. Белл выделил три оси а, Ъ, с и согласно теории скрытых переменных рассчитал для них парные корреляции, обозначив их С(а,Ь) и т. д. Связывая эти корреляции с предполагаемым распределением вероятностей в пространстве скрытых переменных, он показал при довольно общих математических условиях, что, какой бы ни была теория скрытых переменных, корреляции должны удовлетворять следующему неравенству [90]:
С(а, с) - С(Ъ, а) - С(Ь, с) ^ 1.
Это неравенство характеризует мир скрытых переменных. Согласно квантовой теории, оно не выполняется в квантовом мире. Эксперименты подтверждают, что оно не выполняется в реальном мире. Счет 1 : 0 в пользу квантовой теории.
Почему должно выполняться такое довольно общее условие, нам поможет уяснить классическая аналогия. Предположим, что три экспериментатора подбрасывают монеты. Результаты случайны, но либо монеты, либо бросающие их устройства сконструированы так, что они дают сильно коррелированные результаты. Алиса и Боб получают один и тот же результат в 95% случаев; Боб и Чарли получают один и тот же результат в 95% случаев. Итак, Алиса и Боб расходятся во мнениях по поводу 5% бросков, и Боб с Чарли тоже расходятся во мнениях по поводу 5% бросков. Поэтому Алиса и Чарли могут расходиться не более чем на 5 + 5 = 10% бросков, а значит, они должны получать один и тот же результат по крайней мере в 90% случаев. Вот мы и получили пример неравенства Буля—Фреше. В квантовом контексте для неравенства Белла требуются более-менее аналогичные рассуждения, но его не так просто вывести.
Неравенство Белла ознаменовало собой жизненно важный этап в исследовании теорий скрытых переменных, выделив их основные черты и исключив теории, которые пытались замахнуться на все сразу. Оно подпортило простое Эйнштейново объяснение парадоксальных особенностей запутанности: что частицы синхронизировались скрытыми переменными. Поскольку никакой скрытой динамики нет, то и синхронизировать нечего.
280
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Тем не менее, если бы можно было обойти теорему Белла, запутанность стала бы куда более осмысленной. Похоже, эта игра стоит свеч. Давайте-ка поглядим, какие здесь есть лазейки.
ВОЛНА ДВИЖЕТСЯ К БАРЬЕРУ, в котором очень близко друг к другу проделаны две узкие щели. Различные области волны проходят через каждую щель насквозь и распространяются по другую сторону барьера. Две возникающие волны накладываются друг на друга в сложном узоре чередующихся пиков и впадин. Это дифракционная картина, и это то, что мы ожидаем от волны.
Крошечная частица движется к барьеру, в котором очень близко друг к другу проделаны две узкие щели, поэтому она проходит либо через одну, либо через другую. Через какую бы щель она ни проходила, она может менять направление движения совершенно случайным образом. Но если наблюдения за положением частицы усредняются в течение большого числа повторений, они тоже образуют регулярную картину. Как ни странно, это выглядит точно так же, как дифракционная картина для волны. И вот такого мы от частицы не ожидали. Это очень странное поведение.
Вы ведь узнали описание одного из первых экспериментов, который показал, насколько странен квантовый мир? Это тот самый знаменитый двухщелевой эксперимент, который показывает, что фотон ведет себя как частица в одних обстоятельствах, но как волна в других.
Это он и есть. Но это еще и описание более позднего эксперимента, который не имеет никакого отношения к квантовой теории вообще. И это еще более странно.
В новом эксперименте частица — это крошечная капелька масла, а волны двигаются в бассейне с тем же маслом. Удивительно, но капелька подпрыгивает на волнах. Обычно мы ожидаем, что если капля масла попадает в бассейн с той же жидкостью, то она растворится там и исчезнет. Однако очень маленькие капельки масла можно заставить удержаться на поверхности такого же масла, не утонув и не растворившись в нем. Хитрость в том, чтобы заставить бассейн быстро вибрировать в вертикальном направлении,
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
281


например, поместив его на громкоговоритель. В жидкостях есть силы, которые в какой-то мере противостоят слиянию, и главная из них — поверхностное натяжение. Поверхность жидкости действует скорее как тонкая, мягкая эластичная мембрана — деформируемая оболочка, которая удерживает поверхность как единое целое. Когда капля касается поверхности, поверхностное натяжение пытается удержать их по отдельности, в то время как сила тяжести, в частности, пытается заставить их слиться. Кто победит, зависит от обстоятельств. Вибрация создает волны на поверхности. Когда капля, падающая вниз, ударяется о волну, поднимающуюся вверх, удар может преодолеть тенденцию к слиянию, и капля отскочит. Если удачно подобрать размеры капель, амплитуды и частоты колебаний, капля будет отскакивать в резонансе с волнами. Этот эффект очень надежен — при частоте 40 герц, 40 раз в секунду, капля обычно отскакивает 20 раз в секунду (вдвое медленнее, на то есть математические причины, в которые я вдаваться не буду). Капля может сохраняться миллионы отскоков.
В 2005 году исследовательская группа Ива Кудера начала исследовать физику шагающих капель. Эти капли очень малы по сравнению с бассейном, для их наблюдения применяют микроскоп и замедленную съемку. Меняя амплитуду и частоту вибрации, каплю можно заставить «путешествовать», медленно перемещаться вдоль прямой. Это удается за счет того, что капля немного рассинхронизирована с волной и, вместо того, чтобы попадать точно в пик, она отскакивает под небольшим углом. Волновая картина тоже движется, и если удачно подобрать величины, то же самое произойдет и при следующем падении. Теперь капля ведет себя как движущаяся частица (ну а волна ведет себя как движущаяся волна).
Группа под руководством Джона Буша продолжила работу Кудера, и обе команды вместе сделали несколько очень любопытных открытий. В частности, скачущие и движущиеся капли могут вести себя точно так же, как квантовые частицы, даже несмотря на то, что физика здесь полностью классическая, а математические модели, воспроизводящие и объясняющие это поведение, основаны только на ньюто¬
282
Иэн Стюарт | Случайный Бог


новской механике. В 2006 году Кудер и Эммануэль Форт показали, что капли имитируют двухщелевой эксперимент, который так озадачил основателей квантовой теории [91]. Они установили в вибрирующем бассейне аналог двух щелей и несколько раз направляли к ним каплю. Как и частица, капля проходила либо через одну щель, либо через другую и продолжала движение в направлении, подверженном случайной изменчивости. Но когда исследователи измерили положение появляющихся капель и построили по этим данным статистические гистограммы, результат был похож на дифракционную картину.
Это заставляет усомниться в утверждении Фейнмана о том, что эксперимент с двумя щелями не имеет классического объяснения. Хотя Буш наблюдал, через какую щель прошла частица, освещая ее, это не совсем полный аналог квантового наблюдения, которое должно включать что-то гораздо более энергичное. В духе мысленного эксперимента Фейнмана, когда он считал очевидным, что обнаружение фотона, проходящего через щель, испортит дифракционную картину, мы можем быть уверены, что соответствующий аналог квантового измерения — придание капле серьезного удара — также испортит дифракционную картину.
Другие эксперименты вскрывают еще более поразительные параллели с квантовой механикой. Капля может ударить в барьер, который должен остановить ее, но затем чудесным образом появиться с другой стороны — это своего рода квантовый туннель, в котором частица может пройти через барьер, даже если ей не хватает энергии для его преодоления! Пара капель может вращаться одна вокруг другой, подобно тому как электрон вращается вокруг протона в атоме водорода. Однако, в отличие от планет, вращающихся вокруг Солнца, расстояния между каплями квантованы: они представляют собой ряд конкретных дискретных значений, точно так же, как обычное квантование энергетических уровней в атомном ядре, где возможны только конкретные дискретные энергии. Капля может даже сама двигаться по круговой орбите, привнося угловой момент — грубый аналог квантового спина.
Никто не думает, что именно эта классическая система с жидкостью объясняет квантовую неопределенность.
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
283


Электрон, видимо, не является микроскопической каплей, скачущей в бассейне космической жидкости, заполняющей пространство, и капли не похожи на квантовые частицы во всех подробностях. Это всего лишь самая простая система с жидкостью в своем роде. Однако она наводит на мысль, что квантовые эффекты кажутся странными лишь потому, что мы сравниваем их с неправильными классическими моделями. Если мы думаем, что частица — это крошечный твердый шарик, и ничего больше, или что волна — это что-то вроде ряби на воде, и ничего больше, то корпускулярно-вол- новой дуализм действительно кажется странным. Либо волна, либо частица, не правда ли?
Капельки недвусмысленно говорят нам, что неправда. Возможно, что объект может быть и тем и другим, и какой аспект, как нам кажется, мы видим, зависит от того, какие особенности мы наблюдаем. Мы склонны сосредоточиться на капле, но она тесно связана со своей волной. В некотором смысле капля (назовем ее теперь «частицей», чтобы подчеркнуть аналогию) говорит системе, как должна вести себя частица, но волна говорит ей, как должна вести себя волна. В эксперименте с двумя щелями, например, частица проходит только через одну щель, а волна проходит через обе. Нет ничего удивительного в том, что при усреднении статистических данных по многим испытаниям черты волн проявляются в чертах частиц.
Может ли квантовая механика действительно быть такой, глубоко укрытой под холодными уравнениями бригады «заткнись и считай»? Может быть, и так. Но это не новая теория.
МАКС БОРН РАЗРАБОТАЛ СОВРЕМЕННУЮ интерпретацию волновой функции квантовой частицы в 1926 году. Она не говорит нам, где находится частица; она говорит нам о вероятности ее нахождения в любом заданном месте. Единственная закавыка в современной физике в том, что частица на самом деле не имеет местоположения; волновая функция сообщает нам вероятность того, что наблюдение зафиксирует частицу в определенном месте. Была ли она «на самом деле» в этом месте до наблюдения — это в лучшем случае философская спекуляция, а в худшем — недоразумение.
284
Иэн Стюарт
Случайный Бог


Год спустя де Бройль предложил переосмыслить идею Борна: возможно, у частицы действительно есть местоположение, но она может имитировать волну в подходящих экспериментах. Возможно, у частицы есть невидимый спутник, «пилотная» волна, которая говорит ей, как вести себя подобно волне.
По существу, де Бройль предположил, что волновая функция — это реальный физический объект, поведение которого определяется уравнением Шредингера. Частица имеет определенное положение в любой момент времени, так что ее перемещение детерминировано, но задается ее волновой функцией. Если задана система частиц, то их комбинированная волновая функция удовлетворяет соответствующей версии уравнения Шредингера. Положения и импульсы частиц — это скрытые переменные, которые вместе с волновой функцией влияют на результаты наблюдений. В частности, плотность вероятности местоположения выводится из волновой функции в соответствии с указаниями Борна.
Вольфганг Паули возражал против этого подхода, заявив, что экспериментальная волновая теория не согласуется с некоторыми явлениями рассеяния частиц. Де Бройлю удовлетворительный ответ в голову не пришел, поэтому он и отказался от этой идеи. В любом случае физики могли наблюдать распределение вероятностей, но казалось невозможным наблюдать одновременно и частицу, и ее пилотную волну. В конце концов все привыкли считать, что волновая функция не может быть наблюдаема целиком — только кусочками, если так можно выразиться. Когда фон Нейман предложил ошибочное доказательство того, что никакая теория скрытых переменных невозможна, пилотные волны были преданы забвению.
В 1952 году Дэвид Бом, белая ворона среди физиков, заново открыл теорию пилотных волн и показал, что возражения Паули были необоснованными. Он разработал систематическую интерпретацию квантовой теории как детерминированной системы пилотных волн, управляемых скрытыми переменными. Он показал, что все стандартные статистические характеристики квантовых измерений в этой интерпретации имеют место, поэтому теория пилотных волн
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
285


3000 4000 5000 6000 7000 8000 Дальность распространения
Рис. 32. Слева: траектории электронов в двухщелевом эксперименте, предсказанные теорией пилотных волн Бома. Справа: экспериментальные усредненные траектории, построенные с использованием слабых измерений одиночных фотонов
согласуется с копенгагенской интерпретацией. На рис. 32 изображены исход двухщелевого эксперимента, предсказанный теорией Бома, и недавние наблюдения с использованием слабых измерений, которые не нарушают состояния [92] отдельных фотонов. Сходство поразительное. Сглаживая кривые, можно даже вывести распределение вероятностей фотонов, воссоздавая дифракционную картину, предсказанную волновой моделью.
Эксперты в квантовой теории не пришли в восторг от предложения Бома. Одна из причин с физикой не связана: в юности он был коммунистом. Другая серьезнее: теория пилотных волн по определению нелокальна. Поведение системы частиц (они локализованы) зависит от их комбинированной волновой функции (а она не локализована). Волновая функция задается на всем пространстве и зависит не только от частиц, но и от граничных условий.
Теорию пилотных волн Бома-де Бройля продвигал Джон Белл, который отнесся к ней позитивно. Поначалу он задался вопросом, нельзя ли избавиться от этой не локальности, и в результате доказал, что нельзя, — это знаменитое доказательство. Тем не менее некоторые физики продолжили работать над нелокальными альтернативами. Это вовсе не так глупо, как кажется на первый взгляд. Давайте посмотрим почему.
286
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ЛЮБАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ОСНОВАНА на некоторых предпосылках. Теорема — это утверждение вида «если... то»: если некоторые предпосылки выполняются, то из них логически вытекают определенные следствия. Доказательство объясняет, как именно они следуют. В формулировке теоремы должны быть перечислены все предпосылки, но некоторые из них часто принимаются по умолчанию — те, которые настолько стандартны в этой области, что нет необходимости перечислять их явно. Иногда в ходе тщательного изучения доказательства выясняется, что оно опирается на некоторое предположение, явно не сформулированное, но однако и не общепринятое. Тут-то и обнаруживается логическая лазейка, через которую может вытечь весь смысл утверждения теоремы.
Белл пришел к своей теореме, обнаружив в рассуждениях фон Неймана лазейку (ту же, что нашла Грета Герман) и исправив ее. Но физики бывают очень упрямы, а математики — очень педантичны, поэтому время от времени люди ищут незамеченные лазейки в теореме Белла. Даже если вы такую найдете, это само по себе не дает жизнеспособную теорию скрытых переменных для квантовой механики, а дает лишь намек на то, что она может существовать.
Тим Палмер, физик, ставший метеорологом, который все еще интересовался физикой, обнаружил одну такую лазейку в 1995 году. Он предположил, что имеется скрытая динамика — детерминированная, но хаотичная. Палмер понял, что, если динамическая система ведет себя достаточно плохо, доказательство неравенства Белла разваливается, потому что корреляции, которые в него входят, не поддаются вычислению. Например, предположим, что мы хотим смоделировать спин электрона. Мы знаем, что спин может быть измерен в любом заданном направлении и что (в подходящих единицах измерения) он всегда равен 1/2 или -1/2. Знак спина кажется случайным. Представьте себе, что скрытые переменные образуют нелинейную динамическую систему с двумя аттракторами, один из которых соответствует спину 1/2, а другой — спину -1/2. При заданных начальных условиях спин приходит к одному из этих двух значений. К какому именно? У каждого аттрактора есть свой собственный
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
287


бассейн притяжения. Если начальное значение переменной относится к одному бассейну, она притягивается к аттрактору со спином 1/2; если к другому — то к аттрактору со спином -1/2.
Если у бассейнов простые формы с приятными границами, доказательство теоремы Белла проходит, а идея с двумя аттракторами нет. Однако бассейны притяжения могут быть очень сложными. В главе 10 упоминалось, что два (или более) аттрактора могут иметь сложные бассейны, переплетенные так хитроумно, что малейшее возмущение переводит состояние из одного бассейна в другой. Тогда доказательство теоремы Белла рушится, потому что корреляции, которые в нем обсуждаются, не существуют как разумные математические объекты.
Они невычислимы, и слово «невычислимы» здесь имеет тонкий смысл, он не мешает природе использовать такую систему. В конце концов, копенгагенская интерпретация («она просто коллапсирует, и мы не знаем как») еще менее поддается вычислению, поскольку не сопоставляет коллапсу никакого математического процесса. Статистическое распределение состояний ±1/2 должно быть связано со статистическими свойствами загадочных бассейнов, и эти свойства могут поддаваться вычислениям и иметь смысл, а потому их можно сравнивать с экспериментальными данными.
Палмер обосновал эту модель подробными расчетами. Он даже предположил, что причиной коллапса волновой функции может быть гравитация. Другие физики ранее принимали подобные идеи, поскольку гравитация в силу своей нелинейности нарушает принцип суперпозиции. В модели Палмера гравитация подталкивает состояние электрона к тому или иному аттрактору. С тех пор Палмер опубликовал ряд статей с обсуждением других лазеек в теореме Белла. Эти работы пока не привели к конкретному описанию динамики скрытых переменных, которая позволила бы основать всю квантовую механику на детерминированном хаосе, но они имеют ценность как изучение рабочей гипотезы.
ЧИСТО ТЕОРЕТИЧЕСКИ я хочу указать на некоторые другие возможные лазейки в теореме Белла.
288
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Доказательство теоремы основано на сравнении трех корреляций. Привязав их к предполагаемому распределению вероятностей в пространстве скрытых переменных, Белл выводит соотношение между ними, которое оказывается неравенством. Это соотношение выводится интегрированием распределения вероятностей по подмножествам пространства скрытых переменных, определяемых измеряемыми корреляциями. Затем можно доказать, что эти связи между интегралами приводят к неравенству Белла.
Это изящный вывод. Но что, если пространство скрытых переменных не имеет распределения вероятностей? Тогда вычисления, на которых основано доказательство неравенства, не имеют никакого смысла. Распределение вероятностей — это особый вид меры, и многие математические пространства не имеют разумных мер. В частности, пространство всех возможных волновых функций обычно бесконечномерно — оно состоит из всех комбинаций бесконечного количества собственных состояний. Такие пространства называются гильбертовыми, и на них нельзя задать разумную меру.
Я должен объяснить, что я имею в виду под словом «разумную». Каждое пространство имеет по крайней мере одну меру. Выберем в нем точку и назовем ее «особой». Припишем меру 1 каждому подмножеству, содержащему особую точку, и меру 0 всем остальным. Эта мера (ее еще называют атомарной, с особой точкой в качестве атома) сосредоточена в одной точке. Она имеет свои применения, но даже отдаленно не похожа на объем. Чтобы исключить такие тривиальные меры, заметьте, что объем объекта в трехмерном пространстве не изменяется, если вы сдвинете объект. Это свойство называется трансляционной инвариантностью. (Объем также не меняется, если вы поворачиваете объект, но это свойство мне не нужно.) Только что описанная атомарная мера не является трансляционно инвариантной, потому что сдвиг может переместить особую точку (меры 1) в какое-то другое место (меры 0). В квантовом контексте было бы естественно искать аналогичную трансляционно инвариантную меру на гильбертовом пространстве. Однако теорема Джорджа Макки и Андре Вейля
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
289


гласит, что таковой не существует, за исключением редких случаев, когда гильбертово пространство оказывается конечномерным.
Далее, хотя пространство скрытых переменных не имеет никакой разумной вероятностной меры, корреляции наблюдений все еще могут иметь смысл. Наблюдение — это проекция из пространства волновых функций на одно собственное состояние, а каждое собственное состояние живет в конечномерном пространстве, на котором мера уже есть. Поэтому представляется вполне разумным, что если скрытая динамика для квантовой системы существует, то она должна иметь бесконечномерное пространство состояний. В конце концов, именно так работают нескрытые переменные. В сущности, волновая функция и есть скрытая переменная: «скрытая», потому что вы не можете наблюдать ее целиком.
Эта идея не нова. Лоуренс Ландау показал, что эксперимент Эйнштейна—Подольского-Розена приводит к неравенству Белла, если считать, что теория скрытых переменных основана на классическом (колмогоровском) вероятностном пространстве, но не приводит к нему, если считать, что число независимых скрытых переменных бесконечно, потому что в таком случае вероятностного пространства не существует. Это лазейка номер один.
Вторая относится к главному возражению против пилотных волн — не локальности. Волны распространяются по всей Вселенной и мгновенно реагируют на изменения, какими бы далекими они ни были. Но нет ли в этом возражении преувеличения? Вспомните об экспериментах с каплями, где возникают явления, удивительно похожие на квантовую теорию в детерминистской обстановке. Эти эксперименты служат эффективной крупномасштабной физической аналогией для пилотных волн. Капельку в какой-то мере можно считать локальной. Соответствующую волну — нельзя, но она, конечно, не распространяется на всю Вселенную, а ограничена бассейном. Для объяснения эксперимента с двумя щелями требуется лишь волна, которая распространяется достаточно далеко, чтобы достичь щелей. Можно даже утверждать, что без какого-то квазинелокального «ореола» фотон не может знать, что нужно выбирать одну
290
Иэн Стюарт
Случайный Бог


из двух. В модели щель может быть сколь угодно узка, но реальная намного шире фотона. (Это еще одно несоответствие между четкими граничными условиями и нечеткой реальностью.)
Третья лазейка — это неявное предположение, что вероятностное пространство скрытых переменных не имеет контекста, то есть не зависит от проводимого наблюдения. Если распределение скрытых переменных зависит от наблюдения, то доказательство неравенства Белла разрушается. Контекстное вероятностное пространство может показаться неразумным: как скрытые переменные могут «знать», что их будут наблюдать? Если вы подбрасываете монету, она не знает, что упадет на стол, пока это не произойдет. Однако квантовые наблюдения каким-то образом обходят неравенство Белла, поэтому квантовый формализм должен допускать корреляции, которые нарушают неравенство. Как же так? Дело в том, что квантовое состояние контекстно. Проводимые измерения зависят не только от фактического состояния квантовой системы — если оно вообще существует, — но и от типа измерения. Иначе неравенство Белла не нарушалось бы в экспериментах.
Тут нет ничего удивительного, наоборот, это все совершенно естественно. Я сказал, что «монета не знает, что она упадет на стол», но это не имеет значения. Монете это знать не обязательно. Контекстом служит не состояние монеты, а наблюдение, представляющее собой взаимодействие между монетой и столом. Результат зависит от того, как монета будет наблюдаться, а также от внутреннего состояния монеты. Если для простоты мы представим себе, что монета вращается в невесомости, а затем мы останавливаем ее с помощью стола, то результат будет зависеть от того, когда мы это сделаем, и от угла между осью вращения монеты и плоскостью стола. Наблюдаемая с плоскости, параллельной оси вращения, монета чередует состояния «орел» и «решка». Наблюдаемая из плоскости, перпендикулярной оси, она вращается на ребре.
Поскольку квантовые волновые функции контекстны, абсолютно разумно допустить, что контекстны и скрытые переменные.
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
291


ПОМИМО УМОЗРИТЕЛЬНЫХ РАССУЖДЕНИЙ о смысле квантовых явлений, есть еще одна причина для рассмотрения детерминистских теорий скрытых переменных: желание объединить квантовую теорию с теорией относительности [93]. Сам Эйнштейн провел годы в поисках — бесплодных — единой теории поля, сочетающей квантовую теорию с гравитацией. Такая «теория всего» остается святым Граалем фундаментальной физики. Лидировавшая в последние годы теория струн в какой-то степени вышла из моды; неудача Большого адронного коллайдера в обнаружении новых субатомных частиц, предсказанных суперструнами, похоже, ничего не изменила. Имеют своих приверженцев и другие теории, такие как петлевая квантовая гравитация, но до сих пор не появилось ничего, что удовлетворяло бы большинство физиков. В математическом смысле существует несоответствие на довольно базовом уровне: квантовая теория линейна (состояния могут быть суперпозицией), а общая теория относительности нет (состояния не могут).
Большинство попыток соорудить единую теорию поля оставляют незыблемой квантовую механику и возятся с теорией гравитации, чтобы привести в соответствие ее. В 1960-е годы этот подход почти сработал. Основное уравнение Эйнштейна для общей теории относительности описывает, как распределение вещества в гравитационной системе взаимодействует с кривизной пространства-времени. Здесь распределение материи — это четкий математический объект с четкой физической интерпретацией. В квазиклассическом уравнении Эйнштейна распределение материи заменяется квантовым объектом, определяющим среднее распределение материи, ожидаемым по результатам многих наблюдений. Это хорошее предположение о том, где находится материя, а не точное утверждение. Такой подход позволяет материи быть квантовой, оставляя классическим пространство-время. В качестве рабочего соглашения этот вариант уравнений Эйнштейна оказался довольно успешным; одно из его достижений — открытие излучения Хокинга, которое испускают черные дыры. Однако соглашение не так уж хорошо работает, когда мы изучаем квантовые наблюдения. Если волновая функция внезапно коллапсирует, уравнения дают противоречивые результаты.
292
Иэн Стюарт | Случайный Бог


В 1980-х годах эту проблему независимо пытались решить Роджер Пенроуз и Ладжос Диоси, заменив теорию относительности ньютоновской гравитацией. Все, что было изучено в этой версии, может быть, если повезет, распространено на релятивистскую гравитацию. Но в этом подходе тоже обнаружилась проблема. Ее проявление еще более экстремально, чем кот Шредингера, — теперь это Луна Шредингера. Луна может расщепиться в суперпозицию двух частей, одна половина будет по-прежнему вращаться вокруг Земли, а другая — где-то еще. Хуже того, существование таких суперпозиций макроскопических состояний позволяет сигналам двигаться быстрее света.
Пенроуз связал эти неудачи с настойчивым нежеланием заниматься квантовой механикой. Может быть, проблема в ней, а не в гравитации. Ключом ко всему этому явился тот простой факт, что даже физики, принимающие копенгагенскую интерпретацию, на самом деле не могут сказать нам, как происходит коллапс волновой функции. Кажется, что этого не происходит, если измерительный прибор сам по себе является небольшой квантовой системой — такой как другая частица. Но если вы измеряете спин фотона с помощью стандартной аппаратуры, то получаете конкретный результат, а не суперпозицию. Насколько большим должен быть измерительный прибор, чтобы волновая функция наблюдаемой частицы коллапсировала? Почему передача фотона через светоделитель не нарушает его квантового состояния, а передача его на детектор частиц нарушает? Стандартная квантовая теория не дает никаких ответов.
Проблема обостряется, когда мы изучаем всю Вселенную. Происхождение пространства-времени описывается теорией Большого взрыва, и потому природа квантовых наблюдений — это чрезвычайно важный вопрос в космологии. Если волновая функция квантовой системы коллапсирует только тогда, когда ее наблюдают извне, то как может коллапси- ровать волновая функция Вселенной, породив все эти планеты, звезды и галактики? Для этого требуется наблюдение извне Вселенной. Все это было довольно туманно.
Рассуждая о коте Шредингера, некоторые комментаторы из самого существования термина «наблюдение» сделали вы¬
ГЛАВА 16
Играют ли кости роль Бога?
293


вод, что наблюдение требует наблюдателя. Волновая функция коллапсирует только тогда, когда ее наблюдает некое разумное существо, обладающее сознанием. Поэтому одна из причин существования рода человеческого может быть в том, что без нас сама Вселенная не существовала бы, и это дает нам цель в жизни и объясняет наше предназначение. Однако такой ход мысли дает человечеству привилегированный статус, а эта заносчивая позиция — одна из обыкновенных ошибок, которые мы продолжаем делать на протяжении всей истории науки. Она также плохо согласуется с тем, что Вселенная существовала уже около 13 миллиардов лет, подчиняясь, по-видимому, тем же самым общим физическим законам, хотя нас как наблюдателей еще не было. Более того, это «объяснение» до странности самореферент- но. Поскольку мы существуем, мы можем наблюдать Вселенную, заставляя ее существовать... что, в свою очередь, приводит к нашему существованию. Мы здесь, потому что мы здесь, потому что мы здесь. Я не говорю, что нет никаких способов обойти такие возражения, но вся идея выводит на передний план отношения между человечеством и Вселенной. Мы здесь потому, что Вселенная существует, а не наоборот.
Менее возбудимые личности делают лишь вывод о том, что волновая функция коллапсирует, когда маленькая квантовая система взаимодействует с достаточно большой. Более того, большой объект ведет себя классическим образом, поэтому его волновая функция, должно быть, уже коллапсиро- вала. Может быть, все дело в том, что достаточно большие системы разрушаются автоматически [94]. Даниил Сударский в настоящее время исследует один из подходов — спонтанный коллапс. Он полагает, что квантовые системы коллапси- руют произвольно сами по себе, но когда коллапсирует одна частица, она вызывает коллапс всех остальных. Чем больше частиц, тем больше вероятность того, что одна из них скол- лапсирует, и тогда это произойдет со всеми остальными. Поэтому большие системы становятся классическими.
Маанели Деракшани осознал, что версия квантовой теории со спонтанным коллапсированием могла бы лучше соответствовать ньютоновской гравитации. В 2013 году он
294
Иэн Стюарт
Случайный Бог


обнаружил, что странные состояния Луны Шредингера исчезают, если ньютоновская гравитация сочетается с теорией спонтанного коллапса. Однако сигналам все еще разрешается двигаться быстрее света, а это нехорошо. Отчасти проблема в том, что в отличие от теории относительности ньютоновская физика не запрещает такие сигналы автоматически. Антуан Тиллой изучает модифицированный тип коллапса, который происходит спонтанно в случайных точках пространства-времени. Как следствие, распределения материи, которые раньше были нечеткими, приобретают определенные местоположения, порождая гравитацию. Пространство-время остается классическим, поэтому в нем нет Луны Шредингера. И сигналов, движущихся быстрее света, тоже нет. По-настоящему большим достижением было бы отказаться от Ньютона и заменить его Эйнштейном: объединить квантовую теорию коллапса с общей теорией относительности. Группа Сударского сейчас пытается сделать именно это.
Ах да: я обещал рассказать о тихоходках на батуте. Греблахер планирует проверить теорию квантового коллапса, сделав тонкую мембрану, натянутую на квадратную рамку, — крошечный миллиметровый батут. Заставьте его вибрировать и используйте лазер, чтобы перевести его в суперпозицию состояний: часть «вверх» и часть «вниз». А еще лучше, поместите на этот батут тихоходку и посмотрите, сможете ли перевести в суперпозицию состояний ее.
Тихоходка Шредингера. Круто!
ВСЕ ЧУДЕСАТЕЕ И ЧУДЕСАТЕЕ... Большинство физиков убеждены, что формализм квантовой теории, копенгагенский и все остальные, применим не только к электронам, тихоходкам и котам, но и к любой реальной системе, какой бы сложной она ни была. Но последний взгляд на кота Шредингера, опубликованный в 2018 году Даниэлой Фраухигер и Ренато Реннером [95], ставит под сомнение это убеждение. Трудность обнаруживается в мысленном эксперименте, в котором физики используют квантовую механику для моделирования системы физиков, использующих квантовую механику.
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
295


Основная идея появилась еще в 1967 году, когда Юджин Вигнер подправил сценарий Шредингера, чтобы доказать: ортодоксальный квантовый формализм может порождать противоречивые описания реальности. Он поместил в ящик физика, «друга Вигнера», чтобы тот наблюдал за волновой функцией кота, фиксируя, в каком из двух возможных состояний тот находится. Однако сторонний наблюдатель все еще считает, что кот пребывает в суперпозиции состояний «жив» и «мертв», поэтому два физика расходятся во мнениях относительно его состояния. В этом эксперименте есть недостаток: друг Вигнера не может сообщить результат своего наблюдения внешнему наблюдателю, который может разумно считать, что друг Вигнера находится в суперпозиции состояний «наблюдаю мертвого кота» и «наблюдаю живого кота». С внешней точки зрения это состояние в конечном счете коллапсирует в единственную из двух возможностей, но только после того, как ящик откроют. Этот сценарий отличается от того, что думал друг Вигнера все это время, но логического несоответствия здесь нет.
Чтобы получить подлинное противоречие, Фраухигер и Реннер делают еще один шаг. Вместо котов у них физики, что, очевидно, более этично, а также позволяет ставить более сложный эксперимент. Физик Алиса устанавливает спин частицы наугад либо вверх, либо вниз и посылает частицу своему коллеге Бобу. Тот наблюдает частицу, когда они вместе с лабораториями находятся внутри ящиков, и их состояния становятся запутанными. Другой физик, Альберт, моделирует Алису и ее лабораторию с помощью квантовой механики, а обычная математика запутанных состояний подразумевает, что иногда (не всегда!) он может с полной уверенностью вывести, какое состояние наблюдал Боб. Коллега Альберта Белинда делает то же самое для Боба и его лаборатории, и та же математика подразумевает, что она иногда может с полной уверенностью вывести, какое спиновое состояние установила Алиса. Очевидно это и есть то состояние, которое измерил Боб. Однако когда вы применяете ортодоксальную математику квантовой теории, вычисления показывают: если этот процесс повторяется много раз, то должен быть
296
Иэн Стюарт
Случайный Бог


небольшой процент случаев, в которых выводы Альберта и Белинды — оба совершенно правильные — расходятся.
Если отбросить (довольно сложные) подробности, статья основана на трех предположениях, и все они соответствуют ортодоксальной квантовой физике:
• Стандартные правила квантовой механики можно применять к любой реальной системе.
• Разные физики не приходят к противоречивым результатам, корректно применяя эти правила к одной и той же системе.
• Если физик делает измерение, то результат получается однозначный. Например, если физик определил, что спин частицы «вверх», то он не может также утверждать (корректно), что спин «вниз».
Мысленный эксперимент Фраухигер и Реннера доказывает совершенно тупиковую теорему: все три утверждения не могут быть истинными одновременно. Поэтому ортодоксальный формализм квантовой механики внутренне противоречив.
У квантовых физиков эта новость не вызвала большого энтузиазма. Похоже, они возлагают свои надежды на то, что в теореме отыщутся лазейки, но до сих пор никто их не нашел. Если рассуждения верны, то по крайней мере одно из этих трех предположений следует отбросить. Наиболее вероятной жертвой будет первое, и тогда физикам придется признать, что некоторые системы реального мира выходят за рамки стандартной квантовой механики. Отрицать второе или третье предположение еще больнее.
Как математик, я не могу отделаться от ощущения, что в принципе «заткнись и считай» есть риск упустить нечто важное. Причина в том, что если вы заткнетесь, то расчеты имеют смысл. Есть правила, часто прекрасные правила. Они работают. Математика, стоящая за ними, глубока и изящна, но она построена на фундаменте несводимой случайности.
Так откуда же квантовая система знает, что она должна подчиняться правилам?
Я не единственный, кто задается вопросом, нет ли более глубокой теории, объясняющей все эти странные явления,
ГЛАВА 16 | Играют ли кости роль Бога?
297


и я не вижу никакой веской причины, почему она должна быть обязательно вероятностной. В эксперименте с каплями, например, это не так, хотя он действительно напоминает квантовые головоломки. Чем больше мы узнаем о нелинейной динамике, тем больше нам кажется, что история была бы совсем другой, если бы мы познакомились с ней до открытия квантового мира.
Дэвид Мермин прослеживает установку «заткнись и считай» до Второй мировой войны, когда квантовая физика была тесно связана с Манхэттенским проектом по разработке атомного оружия. Военные активно призывали физиков заняться вычислениями и прекратить сомневаться в их значении. В 1976 году Нобелевский лауреат физик Марри Гелл-Ман сказал [96]: «Нильс Бор промыл мозги целому поколению теоретиков, заставив их думать, что работа [по интерпретации квантовой теории] была сделана 50 лет назад». В книге «Что реально?» Адам Беккер предполагает, что корни этого отношения в том, как настаивал Бор на копенгагенской интерпретации. Как я уже говорил, настойчивое убеждение в том, что только результаты экспериментов имеют смысл и что за ними нет более глубокой скрытой реальности, по-видимому, было чрезмерной реакцией на логический позитивизм. Беккер, как и я, признает, что квантовая теория работает, но добавляет, что оставить ее в ее нынешнем состоянии — значит «замазать дыру в нашем понимании мира и игнорировать широкое представление о науке как общественном процессе» [97].
Беккер не говорит нам, как заделать эту дыру, и вся эта глава тоже не говорит. Но намеки есть. Одно несомненно: если здесь играет роль более глубокий слой действительности, мы никогда не найдем его, убедив себя, что искать его не стоит.
298
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ГЛАВА 17
ПРИМЕНЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Мы счастья ждем, а на порог Валит беда...
Роберт Бернс «Полевой мыши, гнездо которой разорено моим плугом»
ДО СИХ ПОР Я В ОСНОВНОМ ОБСУЖДАЛ неопределенность как проблему: как что-то, что мешает нам спрогнозировать будущее; что-то, что вмешивается в наши самые продуманные планы, отчего они исполняются вкривь и вкось, то есть неправильно. Мы исследовали, откуда берется неопределенность, какие формы она принимает, как ее измерить и как смягчить ее последствия. Чего я еще не сделал, так это не посмотрел, как мы можем ее использовать. На самом-то деле есть много обстоятельств, которым чуточка неопределенности идет на пользу. Таким образом, хотя неопределенность обычно считается проблемой, она может быть и решением, хотя и не обязательно той же самой проблемы.
САМОЕ ПРЯМОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНОСТИ имеет место при решении математических задач, которые не поддаются решению лобовой атакой. Не обязательно ведь моделировать решение, а затем прогонять его на множестве наборов данных для оценки связанных с ним неопределенностей. Вместо этого можно перевернуть подход с ног на голову, делая множество выборочных симуляций и выводя из них решение. Это метод Монте-Карло, названный в честь знаменитого казино.
Традиционный игрушечный пример — нахождение площади фигуры сложной формы. Прямой метод состоит в том,
ГЛАВА 17 | Применение неопределенности
299


чтобы разрезать фигуру на части, площади которых можно вычислить по известным формулам, а потом сложить результаты. К более сложным фигурам можно применять интегральное исчисление, которое, по сути, делает то же самое, аппроксимируя их множеством очень тонких прямоугольников. Подход Монте-Карло совсем другой. Заключите фигуру внутри другой, площадь которой известна, скажем, в прямоугольник. Бросьте много дротиков наугад и подсчитайте долю тех, что попали в фигуру, от всех дротиков, попавших в прямоугольник. Если, скажем, площадь прямоугольника — один квадратный метр, а дротики попадают в фигуру в 72% случаев, ее площадь должна быть где-то около 0,72 квадратных метров.
Этот метод поставляется с множеством оговорок. Во-первых, он работает лучше всего тогда, когда вы ищете диапазон, в котором содержится нужное значение. Результат получается приблизительным, и нужно оценить вероятный размер ошибки. Во-вторых, дротики должны быть равномерно распределены по прямоугольнику. Хороший игрок в дартс, целясь в фигуру, может попадать в нее каждый раз. Здесь нам нужен очень плохой игрок в дартс, который разбрасывает дротики повсюду, без какого-либо предпочтительного направления. В-третьих, иногда случайно получаются плохие оценки. Впрочем, есть и свои плюсы. Плохого игрока в дартс можно сымитировать с помощью таблиц случайных чисел или, еще лучше, компьютерных вычислений. Метод работает в более высоких размерностях — позволяет найти объем сложной трехмерной области или более абстрактный «объем» в больших измерениях. В математике многомерных пространств полным-полно, и в них нет ничего загадочного: это просто геометрический язык для обсуждения большого количества переменных. Наконец, этот метод обычно гораздо эффективнее прямого.
Методы Монте-Карло были изобретены (в том смысле, что были явно признаны в качестве общей техники) Станиславом Уламом в 1946 году, когда он работал над ядер- ным оружием в Лос-Аламосской Национальной лаборатории в США. Он боролся с болезнью, проводя время за игрой в пасьянс Кэнфилд. Будучи математиком, он заинтересовался,
300
Иэн Стюарт | Случайный Бог


можно ли вычислить шансы на победу, применяя комбинаторику и теорию вероятностей. После неудачной попытки он «задумался, что вместо „абстрактных рассуждений44 для решения задачи будет практичнее разложить пасьянс, скажем, сто раз, а затем просто подсчитать, сколько раз он успешно сошелся».
Компьютеры того времени были уже достаточно хороши, чтобы делать такие вычисления. Но поскольку он был также математическим физиком, У лам сразу же задумался о более серьезных задачах, которые сдерживали прогресс в ядерной физике, таких как описание диффузии нейтронов. Он понял, что та же идея дает практическое решение всякий раз, когда сложное дифференциальное уравнение может быть переформулировано как случайный процесс. Он сообщил эту идею фон Нейману, и они испробовали ее на реальной задаче. Методу требовалось кодовое название, и Николас Метрополис предложил «Монте-Карло», излюбленное место дядюшки Улама, азартного игрока.
Методы Монте-Карло играли важную роль при создании водородной бомбы. С некоторых точек зрения мир вполне мог бы быть лучше, если бы эта идея никогда не пришла Уламу в голову, и я не решаюсь продвигать ядерное вооружение в качестве причины для занятий математикой. Но здесь мы воочию видим разрушительную силу математических идей и мощное использование случайности.
ПО ИРОНИИ СУДЬБЫ, ГЛАВНЫМ ПРЕПЯТСТВИЕМ для развития методов Монте-Карло было то, что компьютер трудно заставить вести себя случайным образом.
Цифровой компьютер детерминирован. Дайте ему программу, и он выполнит все инструкции до последней буквы. Эта особенность привела к тому, что раздраженные программисты изобрели пародийную команду DWIT (Do What I’m Thinking — Угадай, чего я хочу, и выполни), а пользователи задались вопросом об искусственной глупости. Но этот же детерминизм мешает компьютерам вести себя случайно. Есть три основных решения этой проблемы. Вы можете сконструировать некий нецифровой компонент, который ведет себя непредсказуемо; вы можете предоставить сигналы
ГЛАВА 17 | Применение неопределенности
301


от некоторых непредсказуемых реальных процессов, таких как радиошум; или вы можете научить компьютер генерировать псевдослучайные числа. Это последовательности чисел, которые кажутся случайными, несмотря на то что они генерируются детерминированной математической процедурой. Они просты в реализации и имеют то преимущество, что вы можете запустить точно такую же последовательность снова, когда вы отлаживаете свою программу.
Общая идея состоит в том, чтобы для начала сообщить компьютеру единственное число — начальное значение. Затем алгоритм преобразует значение математически, выдавая следующее число в последовательности, и процесс повторяется. Если вы знаете начальное значение и правило преобразования, вы можете воспроизвести последовательность. Если не знаете, то, возможно, будет трудно выяснить, что это за процедура. SatNav (GPS, глобальная система позиционирования) в автомобилях использует псевдослучайные числа. Для работы GPS требуется, чтобы спутники посылали синхронизирующие сигналы, которые гаджет в вашем автомобиле принимает, анализирует и на этом основании определяет местоположение автомобиля. Чтобы избежать помех, сигналы представляют собой последовательности псевдослучайных чисел, и гаджет может распознавать правильные сигналы. Сравнивая, как далеко продвинулось сообщение, поступающее с каждого спутника, он вычисляет относительные временные задержки между всеми сигналами. Это дает относительные расстояния между спутниками, и на их основании ваше положение можно определить с помощью старой доброй тригонометрии.
После теории хаоса существование псевдослучайных чисел в нашем мире больше не парадоксально. Их может генерировать любой хаотический алгоритм. То же самое можно сказать и об алгоритмах, которые технически не хаотичны. Многие практичные алгоритмы в конце концов начинают повторять одну и ту же последовательность чисел снова и снова, но если это происходит через миллиарды шагов, кого это волнует? Один из первых алгоритмов стартовал с довольно большого целочисленного начального значения, скажем
554 378 906.
302
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Затем возводил его в квадрат:
307 335 971 417 756 836.
И в начале, и в конце полных квадратов цифры подчиняются некоторым простым правилам. Существуют регулярные математические закономерности в квадратах чисел вблизи обоих концов. Например, здесь повторяется последняя цифра 6, потому что 62 = 36 также заканчивается на 6. И нетрудно предсказать, что первая цифра квадрата должна быть 3, потому что 552 = 3025 начинается с тройки. Такие явления не случайны, поэтому, чтобы их избежать, новое число урезают с обоих концов (отбрасывают последние шесть цифр и берут девять предыдущих, например), получается
335 971417.
Это число тоже возводят в квадрат:
112 876 793 040 987 889.
От него тоже оставляют только кусок из середины:
876 793 040.
И так далее.
С этим рецептом связаны теоретические проблемы, и одна из них в том, что его очень трудно проанализировать математически, чтобы выяснить, действительно ли он ведет себя как случайная последовательность. Поэтому обычно используются другие правила, наиболее распространенные из них — линейные конгруэнтные генераторы. Здесь процедура такая: умножить число на некоторое фиксированное число, прибавить другое фиксированное число, а затем взять остаток при делении на какое-то определенное большое число. Для повышения эффективности вычисления проводят в двоичной арифметике. Большой шаг вперед здесь сделали японские ученые Макото Мацумото и Такудзи Нисимура, изобретя вихрь Мерсенна. Этот генератор псевдослучайных чисел основан на числе 219937 - 1. Это простое число Мерсенна — простое число, которое на единицу меньше степени двойки, курьез из теории чисел, подмеченный монахом Мареном Мерсенном в 1644 году. В двоичном коде это число записывается 19 937 единицами подряд, правило преобразования является техническим. Преимущество этого ге¬
ГЛАВА 17 | Применение неопределенности
303


нератора в том, что последовательность чисел, которую он генерирует, повторяется только после 219937 - 1 шагов (в десятичной записи у этого числа 6002 цифры), а подпоследовательности длиной до 623 чисел распределены равномерно.
С тех пор были разработаны новые генераторы псевдослучайных чисел — еще быстрее и лучше. Те же самые методы полезны для обеспечения безопасности Интернета, поскольку используются для шифрования сообщений. Каждый шаг в алгоритме можно рассматривать как «кодирование» предыдущего числа, и цель состоит в том, чтобы построить криптографически защищенные генераторы псевдослучайных чисел, генерирующие свои числа с помощью кода, который доказуемо трудно взломать. Точное определение носит более технический характер.
Я ТУТ НЕМНОГО СЖУЛЬНИЧАЛ. Статистики идут на всякие ухищрения, чтобы объяснить, что случайность — это особенность процесса, а не его исходов. Если вы подбросите правильную кость десять раз подряд, вы можете получить 66666666666. На самом деле, в среднем такое событие должно происходить один раз в каждые 60 466 176 испытаний.
Однако есть немного другой смысл, в котором слово «случайный» разумно применять к исходам, так что последовательность вроде 2144253615 более случайна, чем 6666666666. Это различие лучше всего сформулировано для очень длинных последовательностей, и оно характеризует типичную последовательность, созданную случайным процессом. А именно должны присутствовать все ожидаемые статистические характеристики последовательности. Каждая цифра от 1 до 6 должна появляться примерно в 1/6 части случаев; каждая последовательность из двух последовательных цифр должна происходить примерно в 1/36 части случаев и так далее. Более тонкое требование: не должно быть никаких долгосрочных корреляций; возьмем число в данной позиции и, скажем, в двух шагах от нее — никакая пара в таком положении не должна повторяться значительно чаще, чем любая другая. Поэтому исключаются последовательности вроде 3412365452, ведь здесь нечетные и четные числа чередуются.
304
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Наиболее экстремальную форму таких условий ввел в свою1 теорию алгоритмической информации математик- логик Грегори Хайтин. В традиционной теории информации количество информации в сообщении — это количество двоичных цифр («битов»), необходимых для его записи. Таким образом, сообщение 1111111111 содержит десять битов информации, и сообщение 1010110111 тоже. Хайтин сосредоточился не на последовательности, а на правилах, которые могут ее генерировать, — на алгоритмах для ее создания. Они также могут быть закодированы в двоичном коде на некотором языке программирования; на каком именно, не так уж важно, когда последовательности достаточно длинны. Если, например, единица повторяется миллион раз, то последовательность выглядит как 111... 11 — с миллионом единиц. Программа «записать единицу миллион раз», закодированная в двоичный код любым разумным способом, намного короче. Длина самой короткой программы, которая может генерировать заданный результат, — это алгоритмическая информация, содержащаяся в этой последовательности. В этом описании игнорируются некоторые тонкости, но нам его будет достаточно.
Последовательность 1010110111 выглядит более случайной, чем 1111111111. Так ли это на самом деле, зависит от продолжения. Я выбрал ее, потому что это первые десять цифр в двоичной записи числа л. Предположим, что она продолжается по этому же правилу до миллиона цифр. Выглядеть она будет крайне случайным образом. Но алгоритм «вычислить первый миллион цифр в двоичной записи числа п» намного короче, чем миллион битов, поэтому алгоритмическая информация в этой миллионной последовательности намного меньше миллиона битов, хотя цифры л удовлетворяют всем стандартным статистическим тестам на случайность. Требование, которому они не удовлетворяют, — «отличаться от цифр к». Никто в здравом уме не стал бы использовать цифры числа л для системы шифрования;
Хайтин не был единоличным создателем этой теории. Эта область компьютерной науки изучает колмогоровскую сложность и другие сложные меры для строк символов, пионерами в этом направлении были Р. Соломонофф и А. Н. Колмогоров. — Прим. перев.
ГЛАВА 17 | Применение неопределенности
305


противник скоро бы ее разгадал. С другой стороны, если бы последовательность продолжалась действительно случайным образом, а не исходила из я, то, вероятно, было бы трудно найти более короткий алгоритм, который ее генерирует.
Хайтин определил последовательность битов как случайную, если она несжимаема. То есть, если вы запишете алгоритм, который ее генерирует до заданной позиции, то он будет по крайней мере таким же длинным, как и сама последовательность, при условии, что количество цифр очень велико. В традиционной теории информации количество информации в двоичной строке — это количество битов, которые она содержит, то есть ее длина. Алгоритмическая информация в двоичной последовательности — это длина самого короткого алгоритма, который ее генерирует. Таким образом, алгоритмическая информация в случайной последовательности совпадает с ее длиной, но алгоритмическая информация в последовательности цифр я — это длина самой компактной программы, которая ее генерирует. Это гораздо меньше.
Используя определение Хайтина, мы можем разумно утверждать, что определенная последовательность случайна. Он доказал две интересные вещи о случайных последовательностях:
• Случайные последовательности из нулей и единиц существуют. На самом деле почти каждая бесконечная последовательность случайна.
• Если последовательность случайна, вы никогда не сможете это доказать.
Доказательство первого утверждения исходит из подсчета количества последовательностей заданной длины по сравнению с более короткими программами, которые могли бы их генерировать. Например, существует 1024 десятибитовых последовательности, но только 512 девятибитовых программ, поэтому по крайней мере половина последовательностей не может быть сжата с помощью более коротких программ. Доказательство второго утверждения состоит в основном в том, что если вы можете доказать, что последовательность случайна, то доказательство сжимает данные в ней, а тогда она не случайна.
306
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ТЕПЕРЬ ПРЕДПОЛОЖИМ, ЧТО ВЫ ХОТИТЕ сгенерировать последовательность и быть уверенным, что она действительно случайна. (Например, вам может потребоваться ключ к какой-то схеме шифрования.) Понятно, что работа Хайтина исключает такую возможность. Но в 2018 году Питер Бир- хорст и его коллеги опубликовали статью, показывающую, что это ограничение можно обойти с помощью квантовой механики [98]. По существу, их идея состоит в том, что квантовая неопределенность может быть переведена в конкретные последовательности с физической гарантией того, что они случайны в смысле Хайтина. То есть ни один потенциальный противник не может вывести математический алгоритм, который их создает, — потому что его нет.
Может показаться, что безопасность генератора случайных чисел гарантирована только тогда, когда он удовлетворяет двум условиям. Пользователь должен знать, как генерируются числа, иначе он не может быть уверен, что сгенерированные числа действительно случайны. А противник должен быть не в состоянии вывести внутреннюю работу генератора случайных чисел. Однако на практике первое условие с помощью обычного генератора случайных чисел выполнить невозможно, потому что какой бы алгоритм ни применялся, все может пойти не так. Наблюдение за внутренней работой алгоритма может спасти положение, но это обычно непрактично. Второе условие нарушает базовый принцип криптографии, называемый принципом Керкгоффса: вы должны предполагать, что противник знает, как работает система кодирования. Просто на тот случай, если он действительно это узнал. У стен есть уши. (Вы уповаете на то, что противнику неизвестна система декодирования.)
Квантовая механика приводит к замечательной идее. Предполагая, что никакой детерминистской теории скрытых переменных не существует, вы можете создать квантовомеханический генератор случайных чисел, который доказуемо безопасен и случаен, так что оба вышеперечисленных условия не работают. Как это ни парадоксально, пользователь ничего не знает о том, как работает генератор случайных чисел, а вот противник знает это в полной мере.
ГЛАВА 17 | Применение неопределенности
307


Устройство использует запутанные фотоны, передатчик и две приемные станции. Сгенерируйте несколько пар запутанных фотонов с сильно коррелированными поляризациями. Отправьте один фотон из каждой пары на одну станцию, а другой — на вторую. На каждой станции измерьте поляризацию. Станции находятся достаточно далеко друг от друга, чтобы никакой сигнал не мог пройти между ними, пока идут измерения, но из-за запутанности наблюдаемые поляризации должны быть сильно коррелированы.
Теперь следите за руками. Теория относительности подразумевает, что фотоны нельзя использовать для передачи сигнала со сверхсветовой скоростью. Это означает, что измерения, хотя и сильно коррелированные, должны быть непредсказуемыми. Поэтому те редкие случаи, когда результаты измерений расходятся, должны быть действительно случайными. Нарушение неравенств Белла, вытекающих из запутанности, гарантирует, что результаты этих измерений случайны. Противник должен согласиться с этой оценкой, что бы ему ни было известно о процессе, используемом генератором случайных чисел. Пользователь может проверить наличие нарушений неравенств Белла, только наблюдая статистику выходов генератора случайных чисел; внутренний механизм работы здесь не имеет значения.
Эта общая идея уже была известна некоторое время, но команда Бирхорста осуществила ее экспериментально, используя установку, которая избегает известных лазеек в неравенствах Белла. Метод очень тонкий, и нарушения неравенств Белла незначительны, поэтому требуется много времени, чтобы получить последовательность, которая гарантированно будет случайной. Эксперимент был похож на генерацию случайной последовательности из двух одинаково вероятных исходов путем подбрасывания монеты, которая падает орлом в 99,98% случаев. Это можно сделать, проанализировав последовательность после того, как она была сгенерирована. Например так. Двигайтесь вдоль последовательности, пока не достигнете первой точки, в которой результаты последовательных бросаний различаются: ОР или РО. Эти пары имеют одинаковую вероятность, поэтому вы можете считать, что ОР — это «орел», а РО — «решка».
308
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Если вероятность О очень велика или очень мала, вы не задействуете большую часть данных в последовательности, но то, что осталось, будет работать как симметричная монета.
Эксперимент длился десять минут. За это время наблюдались 55 миллионов пар фотонов, что привело к случайной последовательности длиной 1024 бита. Обычные квантовые генераторы случайных чисел, хотя и недоказуемо безопасные, генерируют миллионы случайных битов в секунду. Так что пока дополнительная безопасность, которую гарантирует этот метод, не стоит потраченных усилий. Еще одна проблема заключается в размере установки: две станции находятся на расстоянии 187 метров друг от друга. Это не то устройство, которое вы захотите носить в портфеле, не говоря уже о мобильном телефоне. Миниатюризация установки представляется затруднительной, и о том, чтобы поместить ее на чип, в обозримом будущем не может быть и речи. Тем не менее эксперимент показал, что идея работает.
СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА (с этого момента я буду опускать «псевдо») используются в огромном разнообразии приложений. Бесчисленные проблемы в промышленности и смежных областях связаны с оптимизацией тех или иных процедур для получения наилучшего возможного результата. Например, авиакомпания может планировать свои маршруты так, чтобы использовать наименьшее количество воздушных судов или использовать заданное количество воздушных судов для покрытия как можно большего числа маршрутов. Или, точнее, максимизировать прибыль. Завод может пожелать запланировать техническое обслуживание своих машин, чтобы свести к минимуму «время простоя». Врачи могут захотеть вводить вакцину так, чтобы она была наиболее эффективной.
Математически этот вид задачи оптимизации можно представить как поиск максимального значения некоторой функции. Геометрически это все равно что найти самую высокую вершину в ландшафте. Ландшафт в таких задачах обычно многомерен, но для лучшего понимания мы можем представлять себе обычный ландшафт — двумерную поверхность в трехмерном пространстве. Оптимальная стратегия соответствует положению самого высокого пика. Как же его найти?
ГЛАВА 17 | Применение неопределенности
309


Самый простой подход — карабкаться все выше. Начни с чего-нибудь, не важно с чего. Найди самый крутой путь наверх и следуй по нему. В конце концов ты достигнешь точки, где уже не сможешь подняться выше. Это и есть вершина. Хотя не обязательно. Это одна из вершин, но она не обязана быть самой высокой. Если вы находитесь в Гималаях и поднимаетесь на ближайшую гору, то это, скорее всего, не Эверест.
Идея «карабкаться все выше» хорошо работает, если вершина только одна, но если их больше, то альпинист может попасть в ловушку, оказавшись не на той вершине. Он всегда находит локальный максимум (поблизости нет ничего выше), но, возможно, не глобальный (когда выше вообще ничего нет). Один из способов избежать попадания в ловушку — время от времени давать альпинисту пинка, телепортируя его из одного места в другое. Если он застрял на неправильной вершине, это заставит его подняться на другую, и он поднимется выше прежнего, если новая вершина выше старой и он не получит пинка слишком рано. Этот метод называется имитацией отжига, поскольку напоминает поведение атомов в жидком металле, когда металл остывает и, наконец, переходит в твердое состояние. Тепло заставляет атомы двигаться хаотично, и, чем выше температура, тем энергичнее они движутся. Поэтому основная идея заключается в том, чтобы на ранней стадии давать пинки посильнее, а затем уменьшать их, как будто температура снижается. Когда вы изначально не знаете, где находятся различные пики, метод лучше всего работает, когда пинки раздаются наугад. Таким образом, правильный вид случайности делает этот метод более эффективным. Большая часть тонкой математики уходит на выбор эффективного графика отжига — правила для уменьшения силы пинков.
С ЭТИМ МЕТОДОМ СВЯЗАН ДРУГОЙ, КОТОРЫЙ ТОЖЕ может решать задачи самых разных видов. Заключается он в использовании генетических алгоритмов. Он черпает вдохновение в дарвиновской эволюции, реализуя простую карикатуру на биологический процесс. Алан Тьюринг предложил этот метод в 1950 году в качестве гипотетиче¬
310
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ской обучающей машины. Карикатурная эволюция выглядит примерно так. Организмы передают свои характеристики потомству, но со случайным изменением (мутацией). Те, кто более приспособлен к выживанию в своей среде обитания, выживают, чтобы передать свои характеристики следующему поколению, в то время как менее приспособленные нет (происходит выживание наиболее приспособленных, или естественный отбор). Продолжайте отбор в течение достаточного количества поколений, и организм действительно становится очень здоровым — близким к оптимальному.
Эволюцию можно довольно грубо смоделировать как проблему оптимизации: популяция организмов беспорядочно блуждает по ландшафту приспособленности, взбираясь на местные вершины, а те, кто находится слишком низко, вымирают. В конце концов выжившие собираются вокруг пика. Разные пики соответствуют разным видам. На самом деле все гораздо сложнее, но карикатура дает достаточно для мотивации метода.
Биологи много говорят о том, что эволюция изначально случайна. Под этим они подразумевают (вполне разумно), что эволюция не начинается с определенной цели и не стремится к ней. Миллионы лет назад она не принимала решения вывести человека, а затем не вела отбор обезьян, которые становились все ближе и ближе к этому идеалу, пока не достигла совершенства в нашем лице. Эволюция не знает заранее, как выглядит ландшафт. На самом деле, сам ландшафт может изменяться с течением времени по мере эволюции других видов, поэтому метафора ландшафта несколько натянута. Эволюция выясняет, что работает лучше, проверяя различные возможности, близкие к имеющимся, но со случайными отклонениями. Затем она сохраняет лучшие из них и продолжает ту же процедуру. Так что организмы продолжают совершенствоваться, шаг за крошечным шагом. Таким образом, эволюция одновременно конструирует вершины ландшафта приспособленности, выясняет, где они находятся, и заселяет их организмами. Эволюция — это стохастический алгоритм преодоления подъема, реализованный в людях.
ГЛАВА 17 | Применение неопределенности
311


Генетический алгоритм имитирует эволюцию. Он начинается с популяции алгоритмов, которые пытаются решить задачу, случайным образом варьирует их и отбирает те, которые работают лучше других. Делает то же самое для следующего поколения алгоритмов и повторяет до тех пор, пока вас не устроит производительность. Можно даже сочетать алгоритмы в пародии на половое размножение, так что две хорошие черты, по одной от каждого из двух разных алгоритмов, могут быть соединены в одном. Процедуру можно рассматривать как своеобразный процесс обучения, в котором совокупность алгоритмов находит наилучшее решение методом проб и ошибок. Эволюцию можно рассматривать как сопоставимый процесс обучения, применяемый не к алгоритмам, а к организмам.
Существуют сотни применений генетических алгоритмов, и я расскажу только об одном из них, чтобы дать представление об их работе.
Университетские расписания очень сложны. Следует запланировать сотни лекций так, чтобы тысячи студентов могли следовать бесчисленным различным курсам обучения. Зачастую студенты изучают дополнительные курсы по различным предметам; простой пример — принятое в США деление курсов на основные и второстепенные. Лекции должны быть запланированы так, чтобы избежать ситуаций, когда студент должен слушать две лекции одновременно, или когда лектор должен читать подряд три лекции на одну и ту же тему. Генетический алгоритм начинает с некоторого расписания и выясняет, сколько в нем таких неудобных ситуаций. Затем он произвольно изменяет расписание в поисках лучшего и повторяет процесс. Возможно, даже удастся комбинировать части двух довольно успешных расписаний, имитируя рекомбинацию при половом размножении.
РАЗ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПОГОДЫ ИМЕЕТ НЕПРЕОДОЛИМЫЕ ограничения, может, заняться управлением погодой? Не спрашивайте, испортит ли дождь пикник или высадку десанта: добейтесь, чтобы дождя не случилось.
312
Иэн Стюарт | Случайный Бог


Народные сказания в Северной Европе гласили, что пальба из пушек может предотвратить град. Эпизодические свидетельства об этом эффекте появились после нескольких войн, включая Наполеоновские войны и американскую Гражданскую войну: каждый раз после большой битвы идет дождь. К концу XIX века военное министерство США потратило 9000 долларов на взрывчатку и взорвало ее в Техасе. Ничего такого, что имело бы хоть какую-то научную обоснованность, не наблюдалось. Чтобы вызвать дождь, в наши дни широко применяется засев облаков мелкими частицами йодида серебра; они создают очаги конденсации, вокруг которых может конденсироваться водяной пар. Но когда это срабатывает, все равно остается подозрение, что дождь выпал бы в любом случае. Предпринимались попытки ослабить ураганы путем введения йодистого серебра в глаз урагана, но и тут нет решительных свидетельств об успешности методики.
Национальное управление океанических и атмосферных исследований США изучает теоретические идеи по остановке ураганов, такие как использование лазеров, запуск молниевых разрядов и рассеивание некоторой части энергии в штормах. И есть теории заговора о том, что изменение климата вызвано не производством человеком С02, а работой некой тайной группы злодеев, регулирующих погоду так, чтобы поставить Америку в невыгодное положение.
Случайность возникает в разных формах, и теория хаоса говорит нам, что взмах крыльев бабочки может радикально изменить погоду. Мы уже обсуждали, в каком смысле это верно: «изменить» на самом деле означает «перераспределить и модифицировать». Когда фон Нейману рассказали об этом эффекте, он заметил, что эффект не только приводит к непредсказуемости погоды, но и потенциально делает ее управляемой. Чтобы перераспределить ураган, найдите подходящую бабочку.
Мы не умеем сделать это для урагана или торнадо. Ни даже для легкой мороси. Но мы можем применить этот эффект для электрических волн в кардиостимуляторе. Кроме того, он широко используется для планирования экономичных космических полетов, когда параметр времени не кри¬
ГЛАВА 17 | Применение неопределенности
313


тичен. В обоих случаях основное математическое усилие уходит на подбор правильной бабочки: на то, чтобы разобраться, как, когда и где чуточку подтолкнуть работу системы, чтобы получить желаемый результат.
В 1990 году Эдвард Отт, Селсо Гребоги и Джеймс Йорк разработали математический аппарат для управления хаосом [99]. Хаотические аттракторы обычно содержат огромное количество периодических траекторий, но все они нестабильны: любое незначительное отклонение от одной из них растет экспоненциально. Отт, Гребоги и Йорк заинтересовались, может ли правильное управление динамической системой стабилизировать такую траекторию. Эти встроенные периодические траектории обычно являются седловыми, так что некоторые близлежащие состояния первоначально притягиваются к ним, а другие отталкиваются. Почти все близкие состояния в конце концов перестают притягиваться и попадают в отталкивающие области, отсюда и нестабильность. Метод управления хаосом Отта-Гребоги-Йорка шаг за шагом чуть изменяет систему. Эти небольшие возмущения выбираются так, что каждый раз, когда траектория начинает удаляться, она улавливается вновь: но для этого не состоянию дается толчок, а изменяется вся система и перемещается аттрактор, так что состояние опять возвращается на периодическую траекторию.
Человеческое сердце бьется довольно размеренно — периодическое состояние, но иногда возникает фибрилляция, и сердцебиение становится серьезно нерегулярным — настолько, что может привести к смерти, если не остановить фибрилляцию быстро. Она возникает, когда регулярное периодическое состояние сердца нарушается, приводя к особому типу хаоса: спиральному хаосу, в котором обычная серия круговых волн, проходящих через сердце, распадается на множество локализованных спиралей [100]. Стандартное лечение нерегулярного сердцебиения заключается в установке кардиостимулятора, который посылает электрические сигналы сердцу, чтобы заставить его биться в унисон. Электрические стимулы, подаваемые кардиостимулятором, довольно велики.
314
Иэн Стюарт | Случайный Бог


В 1992 году Алан Гарфинкель, Марк Спано, Уильям Дит- то и Джеймс Вайс сообщили об экспериментах с тканями из сердца кролика [101]. Они применили метод управления хаосом, чтобы вернуть спиральный хаос обратно в регулярное периодическое поведение, изменяя время электрических импульсов, заставляющих сердечную ткань биться. Их метод восстанавливал регулярные биения, используя напряжения намного меньшие, чем в обычных кардиостимуляторах. Этот подход позволяет сконструировать менее разрушительный кардиостимулятор, и в 1995 году были проведены испытания на людях.
Управление хаосом теперь широко распространено в космических полетах. Динамическая особенность, которая делает возможным такое управление, восходит прямо к открытию Пуанкаре хаоса в задаче трех тел. В космических полетах эти три тела могут быть Солнцем, планетой и одной из ее лун. Первое успешное применение, предложенное Эдвардом Белбруно в 1985 году, включало Солнце, Землю и Луну. Когда Земля вращается вокруг Солнца, а Луна — вокруг Земли, сочетание их гравитационных полей и центробежных сил создают энергетический ландшафт с пятью стационарными точками, где все силы уравновешиваются: одна вершина, одна впадина и три седла. Они называются точками Лагранжа. Одна из них, L1, находится между Луной и Землей, где их гравитационные поля и центробежная сила Земли, вращающейся вокруг Солнца, уравновешиваются. Вблизи этой точки динамика хаотична, поэтому траектории малых частиц очень чувствительны к малым возмущениям.
Космический зонд в этой системе считается маленькой частицей. В 1985 году у аппарата ISEE-3 (International Sun-Earth Explorer, Международный исследователь системы Солнце-Земля) почти полностью закончилось топливо, использовавшееся для изменения его траектории. Если бы удалось его переместить в точку L1, не расходуя много топлива, то можно было бы использовать эффект бабочки, чтобы перенаправить его к какой-нибудь отдаленной цели, опять-таки почти не используя топлива. Этот метод позволил спутнику встретиться с кометой Джакобини-Циннера.
ГЛАВА 17 | Применение неопределенности
315


В 1990 году Белбруно призвал японское космическое агентство использовать аналогичную технику для их зонда «Хитэн», который израсходовал большую часть топлива, завершив свою основную миссию. Поэтому они перевели его на лунную орбиту, а затем перенаправили на две другие точки Лагранжа, чтобы наблюдать захваченные частицы пыли. Этот вид хаотического управления так часто использовался в беспилотных космических полетах, что теперь это стандартная техника в тех случаях, когда топливная эффективность и снижение затрат важнее, чем скорость.
316
Иэн Стюарт
Случайный Бог


ГЛАВА 18
НЕИЗВЕСТНЫЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ
Есть известные известные — вещи, о которых мы знаем, что знаем их. Есть также известные неизвестные — вещи, о которых мы знаем, что не знаем. Но еще есть неизвестные неизвестные — это вещи, о которых мы не знаем, что не знаем их.
Дональд Рамсфелд, пресс-брифинг Министерства обороны США, 12 февраля 2002 года
РАМСФЕЛД СДЕЛАЛ СВОЕ ЗНАМЕНИТОЕ ЗАМЕЧАНИЕ, оправдывая необходимость вторжения в Ирак, хотя не было никаких доказательств связи этого государства с террористическим нападением Аль-Каиды на башни Всемирного торгового центра на Манхэттене в 2001 году. «Неизвестные неизвестные» — это то, что еще мог замышлять Ирак, хотя Рамсфелд понятия не имел, что бы это могло быть, но гипотетическая эта возможность была представлена как повод для военных действий [102]. Однако в менее милитаристском контексте различие, проведенное Рамсфелдом, вполне могло быть самым разумным высказыванием, которое он сделал за всю свою карьеру. Когда мы осознаем свое невежество, мы можем попытаться углубить наши знания. Когда мы невежественны, но не осознаем этого, нам остается жить в раю для дураков.
Эта книга рассказывает в основном о том, как человечество превращало неизвестные неизвестные в известные неизвестные. Вместо того чтобы приписывать природные катаклизмы богам, мы фиксировали их, изучали результаты измерений и извлекали полезные закономерности. Мы не получили непогрешимого оракула, но зато построили статистический оракул, который предсказывает будущее лучше, чем измышления наугад. Иногда нам даже удавалось
ГЛАВА 18 | Неизвестные неизвестные
317


превратить известные неизвестные в известные известные. Мы знали, как будут двигаться планеты, и мы также знали, откуда нам это известно. А когда наш новый оракул законов природы давал сбой, мы применяли экспериментирование и четкое мышление для количественной оценки неопределенности: хотя мы все еще были не уверены, мы знали, сколь велика эта неуверенность. Так родилась теория вероятностей.
Мои шесть эпох неопределенности выявляют самые важные достижения в понимании того, почему мы не уверены и что с этим можно поделать. Чего здесь только не было! Азартные игроки объединили свои усилия с математиками, чтобы раскрыть основные понятия теории вероятностей. Один из математиков был таким азартным игроком, и сначала он эффективно применял свои математические знания, но в конце концов потерял семейное состояние. Та же история повторяется в начале этого столетия и с мировыми банкирами, которые так твердо верили, что математика исключает риск из их азартных игр, что тоже теряли семейное состояние. Правда, и семья у них немаленькая: все население планеты. Азартные игры ставили перед математиками увлекательные вопросы и поставляли игрушечные примеры, достаточно простые для тщательного анализа. По иронии судьбы оказалось, что ни кости, ни монеты не столь случайны, как нам представляется; большая часть случайности исходит от человека, который подбрасывает кость или монету.
По мере того как росло наше математическое понимание, мы поняли, как применить те же самые идеи к миру природы, а затем и к самим себе. Астрономы, стремясь получить точные результаты от несовершенных наблюдений, разработали метод наименьших квадратов для подгонки данных к модели с наименьшей погрешностью. Игрушечные модели подбрасывания монет объясняли, как можно усреднить ошибки, чтобы их уменьшить. Это привело к нормальному распределению как практичному приближению к биномиальному, и к центральной предельной теореме, которая утверждает, что нормального распределения следует ожидать тогда, когда большое количество малых ошибок
318
Иэн Стюарт | Случайный Бог


объединяется, каким бы ни было распределение вероятностей отдельных ошибок.
Тем временем Кетле и его последователи приспосабливали идеи астрономов к моделированию человеческого поведения. Вскоре нормальное распределение стало преимущественной статистической моделью. Возник совершенно новый предмет — статистика, позволившая не просто подгонять модели под данные, но и оценивать, насколько хорошо они подходят, а также количественно оценивать значимость экспериментов и наблюдений. Статистику можно применять ко всему, что может быть измерено. Достоверность и значимость полученных результатов оставались под вопросом, но статистики научились оценивать и эти характеристики. Философский вопрос «Что такое вероятность?» привел к глубокому расколу между приверженцами частотного подхода, которые вычисляли вероятности на основе данных, и сторонниками Байеса, которые считали вероятность мерой уверенности. Не то чтобы сам Байес непременно присоединился бы к точке зрения, названной теперь его именем, но я думаю, что он был бы готов принять на себя ответственность за признание важности условной вероятности и за создание инструмента для ее вычисления. Игрушечные примеры показывают, каким коварным понятием может быть условная вероятность и как плохо может работать с ней человеческая интуиция. То, как условная вероятность применяется в медицине и юриспруденции, иногда только усугубляет проблемы из-за ее непонимания.
Эффективные статистические методы, основанные на данных хорошо продуманных клинических испытаний, значительно расширили понимание болезней врачами, способствовали созданию новых лекарств и методов лечения, обеспечив надежную оценку их безопасности. Эти методы далеко выходят за рамки классической статистики, и некоторые из них осуществимы только потому, что теперь у нас есть быстрые компьютеры, которые могут обрабатывать огромные объемы данных. Финансовый мир продолжает ставить задачи для всех методов прогнозирования, но мы учимся не слишком полагаться на классическую экономику и нормальные распределения. Новые идеи из таких разроз¬
ГЛАВА 18 | Неизвестные неизвестные
319


ненных областей, как сложные системы и экология, проливают новый свет и предлагают разумную стратегию для предотвращения следующего финансового краха. Психологи и нейробиологи начинают думать, что наш мозг движется по байесовским путям, воплощая наши убеждения в сильные связи между нервными клетками. Мы также пришли к пониманию того, что иногда неопределенность — наш союзник. Ее можно использовать для выполнения полезных задач, часто очень важных. Она применяется в космических полетах и кардиостимуляторах.
Именно неопределенность позволяет нам дышать. Физика газов оказалась макроскопическим следствием микроскопической механики. Статистика молекул объясняет, почему вся атмосфера не скапливается в одном месте. Термодинамика возникла из потребности в эффективных паровых двигателях, а привела к появлению нового и в чем- то неуловимого понятия — энтропии. Та, в свою очередь, казалось, объясняла направление времени, потому что со временем энтропия увеличивается. Однако объяснение энтропии в макроскопическом масштабе противоречит основному принципу микроскопического масштаба: механические системы обратимы во времени. Парадокс остается парадоксом; я утверждал, что он происходит оттого, что все внимание сосредоточено на простых начальных условиях, что разрушает симметрию по времени.
Примерно в то время, когда мы решили, что неопределенность — это не прихоть богов, а признак человеческого невежества, новые открытия на переднем крае физики разрушили это объяснение. Физики пришли к убеждению, что в квантовом мире природа является чисто случайной и зачастую совершенно запутанной. Свет — это одновременно и частица и волна. Запутанные частицы каким-то образом общаются посредством «жуткого дальнодействия». Неравенства Белла доказывают, что только вероятностные теории могут объяснить квантовый мир.
Около шестидесяти лет назад математики подбросили в колесо палку: обнаружили, что «случайный» и «непредсказуемый» — это не одно и то же. Хаос показывает, что детерминистские законы могут порождать непредсказуемое
320
Иэн Стюарт | Случайный Бог


поведение. Может существовать горизонт предсказания, за которым прогнозы перестают быть точными. В результате методы прогнозирования погоды полностью изменились; теперь строят ансамбль прогнозов, чтобы вывести из них наиболее вероятный. И ситуацию ничуть не упрощает то, что некоторые аспекты хаотических систем могут быть предсказуемы в гораздо более длительных временных масштабах. Погода (траектория движения на аттракторе) непредсказуема уже через несколько дней; климат (сам аттрактор) предсказуем на протяжении десятилетий. Правильное понимание глобального потепления и связанного с ним изменения климата основывается на понимании этой разницы.
Нелинейная динамика, частью которой является хаос, теперь ставит под сомнение некоторые аспекты неравенств Белла; их пытаются опровергнуть через возможные лазейки в логике. Явления, которые когда-то считались характерными для квантовых частиц, обнаруживаются в старой доброй классической ньютоновской физике. Возможно, квантовая неопределенность вовсе не является неопределенностью. Возможно, хаос предшествовал космосу, как и полагали древние греки. Может быть, изречение Эйнштейна о том, что Бог не играет в кости, нуждается в пересмотре: Он таки играет в кости, но они скрыты и не вполне случайны. Совсем как настоящие кости.
Я восхищен тем, как эпохи неопределенности все еще сталкиваются друг с другом. Вы часто обнаруживаете, что методы разных эпох сочетаются, — как сочетаются вероятность, хаос и квантовые теории. Один из результатов наших долгих стремлений предсказать непредсказуемое состоит в том, что теперь мы знаем о существовании неизвестных неизвестных. Нассим Николас Талеб написал о них книгу «Черный лебедь», назвав такие события черными лебедями. Римский поэт II века Ювенал писал (на латыни): «...редкая птица в землях, как черный лебедь», — это его метафора для того, чего нет. Каждый европеец знал, что все лебеди белые, вплоть до 1697 года, когда голландские исследователи обнаружили в Австралии черных лебедей — и в большом количестве. Только тогда стало ясно, что то, что Ювенал считал своим знанием, вовсе не было известным знани¬
ГЛАВА 18 | Неизвестные неизвестные
321


ем. Та же ошибка преследовала банкиров во время кризиса 2008 года: «пятисигмовые» катастрофы, слишком редкие, чтобы их учитывать, оказались обычным явлением, но в обстоятельствах, с которыми банкиры ранее не сталкивались.
Все шесть эпох неопределенности заметно повлияли на человечество, и сегодня они все еще с нами. Если случается засуха, некоторые из нас молятся о дожде. Некоторые пытаются понять, в чем причина. Некоторые пытаются помешать другим снова совершить ту же ошибку. Некоторые ищут новые источники воды. Некоторые задумываются, нельзя ли вызвать дождь по заказу. А кто-то ищет лучшие методы предсказания засухи с помощью компьютера, используя квантовые эффекты в электронных схемах.
Неизвестные неизвестные все еще морочат нам головы (один пример: запоздалое осознание того, что пластиковый мусор душит океаны), но мы начинаем осознавать, что мир гораздо сложнее, чем нам хотелось бы себе представить, и все в нем взаимосвязано. Каждый день приносит новые открытия о неопределенности, в ее многочисленных различных формах и смыслах. Будущее неопределенно, но наука о неопределенности — это наука будущего.
322
Иэн Стюарт | Случайный Бог


ПРИМЕЧАНИЯ
1. Эта цитата, вероятно, не имеет никакого отношения к Берре. Возможно, она восходит к старой датской пословице: https: //quoteinvestigator.com/2013/ Ю/20/no-predict /
2. Библия. Иезекииль, 21 : 21.
3. Ray Hyman. Cold reading: how to convince strangers that you know all about them, Zetetic 1 (1976/77) 18-37.
4. Я точно не знаю, что подразумевается под «горящими углями» — может быть, древесный уголь? Однако несколько источников упоминают об угле в этой связи, в том числе: John G. Robertson, Robertson*s Words for a Modern Age (reprint edition), Senior Scribe Publications, Eugene, Oregon, 1991.
http://www.0ccult0pedia.c0m/c/cephal0mancy.htm
5. Если «победить случай» означает «повысить свои шансы на получение выигрышных чисел», то теория вероятностей предсказывает, что тут не поможет никакая система, разве что случайно. Но если понимать эти слова как «максимизировать свой выигрыш, если он произойдет», то тут можно кое-что предпринять. Главный совет: избегайте выбирать числа, которые, скорее всего, выберут и многие другие люди. Если ваши числа выпадут (это произойдет с той же вероятностью, что и для любого другого набора чисел), вы разделите выигрыш с меньшим количеством людей.
6. Хороший пример — волновое уравнение, первоначально выведенное из модели скрипичной струны как отрезка прямой, вибрирующего в плоскости. Эта модель проложила путь более реалистичным моделям, используемым сегодня для всего — от анализа вибраций в скрипке Страдивари до расчета внутренней структуры Земли по сейсмическим данным.
7. Я знаю, что единственное число по правилам пишется die, но в настоящее время почти все используют dice в един¬
ПРИМЕЧАНИЯ
323


ственном числе. Слово die старомодно, и в нем легко ошибиться; многие люди не знают, что dice — это множественное число. Поэтому в этой книге я напишу dice1.
8. Мы бросили судьбу, чтобы сделать кости честнее, New Scientist, 27 января 2018 года, р. 14.
9. Если вам все понятно с красным и синим кубиками, но вы сомневаетесь в ситуации, когда кубики выглядят одинаково, вам могут помочь две вещи. Во-первых, как разноцветные кости «знают», что они дают вдвое больше комбинаций, чем если бы они были одного цвета? Другими словами: как цвета могут влиять на броски в такой степени? Во-вторых, возьмите две кости, настолько похожие, что даже вы не можете различить их, бросайте их много раз и подсчитайте долю случаев, когда выпадают две четверки. Если учитываются только неупорядоченные пары, вы получите что-то близкое к 1/21. Если же упорядоченные пары, должно получиться около 1/36. Если вас не убедили даже цветные кубики, то подойдут те же соображения, но вы должны провести эксперимент с цветными кубиками.
10. Вот 27 способов набрать сумму 10:
1 + 3 + 6
1+4 + 5
1 + 5 + 4
1 + 6 + 3
2 + 2 + 6
2 + 3 + 5
2 + 4 + 4
2 + 5 + 3
2 + 6 + 2
3 + 1 + 6
3 + 2 + 5
3 + 3 + 4
3 + 4 + 3
3 + 5 + 2
4 + 1 + 5
4 + 2 + 4
4 + 3 + 3
4 + 4 + 2
4 + 5 + 1
5 + 1 + 4
5 + 2 + 3
5 + 3 + 2
5 + 4 + 1
6 + 1 + 3
6 + 2 + 2
6 + 3 + 1
И 25 способов набрать
сумму 9:
1 + 2 + 6
1 + 3 + 5
1 + 4 + 4
1 + 5 + 3
1 + 6 + 2
2 + 1 + 6
2 + 2 + 5
2 + 3 + 4
2 + 4 + 3
2 + 5 + 2
3 + 1 + 5
3 + 2 + 4
3 + 3 + 3
3 + 4 + 2
3 + 5 + 1
4 + 1 + 4
4 + 2 + 3
4 + 3 + 2
4 + 4 + 1
5 + 1 + 3
5 + 2 + 2
3 + 5 + 1
6 + 1 + 2
6 + 2 + 1
11. 	https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/pascal.pdf
Это техническое примечание, относящееся только к английскому оригиналу, но не к переводу на русский язык. — Прим. перев.
324
Иэн Стюарт | Случайный бог


12. Ставки следует разделить в таком отношении:
Zs-l (ik уГ + S-
k = 0 W+s-l K k — s W+s-r
Здесь первому игроку осталось г партий до победы, а второму — s. В нашем случае отношение равно
Cg -f Cg + Cg + Cg + Cg + Cg к Cg + Cg + Cg.
13. Persi Diaconis, Susan Holmes, and Richard Montgomery. Dynamical bias in the coin toss, SIAM Review 49 (2007) 211-235.
14. M. Kapitaniak, J. Strzalko, J. Grabski, and T. Kapitaniak. The three-dimensional dynamics of the die throw, Chaos 22 (2012) 047504.
15. Stephen M. Stigler, The History of Statistics, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1986, p. 28.
16. Мы . хотим минимизировать значение (х - 2)2 + (х - З)2 + + (х - 7)2. Это квадратичный многочлен относительно х. Коэффициент при х2 равен 3 — положительный, поэтому у многочлена есть единственный минимум. Он достигается, когда производная равна нулю, то есть при 2(х - 2) + 2(х - 3) + + 2(л;-7) = 0. Поэтому х = (2 + 3 + 7)/3, среднее арифметическое. Аналогичные вычисления приводят к среднему арифметическому для любого конечного набора данных.
17. Приближенное значение вероятности выпадения х орлов в п бросаниях выражается формулой ^(2/пп) ехр(-2(х - \ п)2/п).
18. Представьте себе, что люди входят в комнату по одному. После того как k человек вошли, вероятность того, что все их дни рождения разные, равна
365 364 363 365 — k + 1
X X X ... X ,
365 365 365 365
потому что каждый новый входящий должен избежать k — 1 предыдущих дней рождения. Это число равно 1 минус вероятность того, что есть по крайней мере один общий день рождения; поэтому нас интересует наименьшее значение k, при котором это произведение меньше Оказывается, k = 2S. Подробнее см. https://гu.wikipedia.org/wiki/Пapaдoкc_днeй_ рождения
19. Неоднородные распределения обсуждаются в статье
М. Klamkin and D. Newman. Extensions of the birthday surprise, Journal of Combinatorial Theory 3 (1967) 279-282.
ПРИМЕЧАНИЯ
325


Доказательство того, что вероятность двух совпадающих дней рождения является наименьшей для равномерного распределения, приведено в статье
D. Bloom. A birthday problem, American Mathematical Monthly 80 (1973) 1141-1142.
20. Рисунок выглядит аналогично, но теперь каждый квадрант разделен на клетки 365 х 365. Темные полосы в каждом квадранте содержат по 365 квадратов. Но есть перекрытие по одной клетке внутри целевой области. Таким образом, она содержит 365 + 365 + 1 = 729 темных квадратов, да еще 365 + 365 = 730 темных квадратов вне целевой области. Таким образом, общее количество темных квадратов равно 729 + 730 = 1459. Условная вероятность попадания в цель равна 729/1459, то есть 0,4996.
21. Для расчетов Кетле использовал биномиальное распределение при 1000 подбрасываний монет — так ему было удобнее, но в своей теоретической работе он применял нормальное распределение.
22. Stephen Stigler, The History of Statistics, Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1986, p. 171.
23. Это не обязательно верно. Здесь неявно предполагается, что все распределения получаются путем объединения ко- локолообразных кривых. Но для целей Гальтона этого было вполне достаточно.
24. Слово «регрессия» пришло из работы Гальтона о наследственности. Он использовал нормальное распределение, чтобы объяснить, почему в целом дети двух высоких родителей или двух низких сами обычно среднего роста, называя это явление «регрессией к среднему».
25. Еще один человек, заслуживающий упоминания, — это Фрэнсис Исидор Эджуорт. Ему недоставало проницательности Гальтона, но он гораздо лучше владел техникой и поставил идеи Гальтона на прочную математическую основу. Однако его история слишком технична, чтобы включать ее в книгу.
26. Точное выражение:
где в правой части стоит функция нормального распределения со средним 0 и дисперсией 1.
—00
326
Иэн Стюарт | Случайный бог


27. Имеем Р(А|В) = Р(А П В)/Р(В) и Р(В|А) = Р(В П А)/Р(А). Но АГ)В и В ПА — одно и то же событие. Разделив одно уравнение на другое, мы получим Р(А|В)/Р(В|А) = Р(А)/Р(В). Осталось умножить обе стороны равенства на Р(В|А).
28. Фрэнк Дрейк представил свое уравнение в 1961 году, чтобы обобщить некоторые ключевые факторы, влияющие на вероятность существования инопланетной жизни, в рамках первой встречи SETI (Search for Extra Terrestrial Intelligence). Уравнение часто используют для оценки количества инопланетных цивилизаций в Галактике, но многие переменные трудно оценить, и оно не подходит для этой цели. Кроме того, оно включает в себя некоторые невообразимые предположения моделирования. Подробнее:
https://ru. wikipedia.ог^^1к1/Уравнение_Дрейка
29. N. Fenton and M. Neil. Risk Assessment and Decision Analysis with Bayesian Networks, CRC Press, Boca Raton, Florida, 2012.
30. N. Fenton and M. Neil. Bayes and the law, Annual Review of Statistics and Its Application 3 (2016) 51-77.
https: //en .wikipedia. org / wiki/Lucia_de_Berk
31. Ronald Meester, Michiel van Lambalgen, Marieke Collins, and Richard Gil. On the (ab)use of statistics in the legal case against the nurse Lucia de B. arXiv:math/0607340 [math.ST] (2005).
32. Историку науки Клиффорду Трусделлу приписывают такие слова: «Каждый физик знает, что означают первый и второй законы [термодинамики], но проблема в том, что никто не может согласовать свои взгляды друг с другом». См. также: Karl Popper. Against the philosophy of meaning, in: German 20th Century Philosophical Writings (ed. W. Schirmacher), Continuum, New York, 2003, p. 208.
33. Остальное вы можете найти здесь:
https://lyricsplayground.com/alpha/songs/f/firstandsecond law. html
34. N. Simanyi and D. Szasz. Hard ball systems are completely hyperbolic, Annals of Mathematics 149 (1999) 35-96.
N. Simanyi. Proof of the ergodic hypothesis for typical hard ball systems, Annales Henri Poincare 5 (2004) 203-233.
N. Simanyi. Conditional proof of the Boltzmann-Sinai ergodic hypothesis. Inventiones Mathematicae 177 (2009) 381-413.
ПРИМЕЧАНИЯ
327


Есть еще препринт 2010 года, который, похоже, так и не был опубликован:
N. Simanyi. The Boltzmann-Sinai ergodic hypothesis in full generality: https://arxiv.org/abs/1007.1206
35. Carlo Rovelli. The Order of Time, Penguin, London 2018.
36. Результат компьютерных расчетов тоже подвержен тем же ошибкам. Уорик Такер нашел компьютерное, но строгое доказательство того, что система Лоренца имеет хаотический аттрактор. Сложность здесь реальная, а не просто вычислительная.
W. Tucker. The Lorenz attractor exists. С. R. Acad. Sci. Paris 328 (1999) 1197-1202.
37. Технически существование инвариантных мер, дающих правильные вероятности, было доказано только для особых классов аттракторов. Такер доказал, что у аттрактора Лоренца есть такая мера, в той же статье. Но обширные численные данные говорят о том, что они распространены.
38. J. Kennedy and J.A. Yorke. Basins of Wada, Physica D 51 (1991) 213-225.
39. P. Lynch. The Emergence of Numerical Weather Prediction, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
40. Позднее Фиш утверждал, что звонивший имел в виду ураган во Флориде.
41. Т. N. Palmer, A. Doring, and G. Seregin. The real butterfly effect, Nonlinearity 27 (2014) R123-R141.
42. E. N. Lorenz. The predictability of a flow which possesses many scales of motion. Tellus 3 (1969) 290-307.
43. T. N. Palmer. A nonlinear dynamic perspective on climate prediction. Journal of Climate 12 (1999) 575-591.
44. D. Crommelin. Nonlinear dynamics of atmospheric regime transitions, PhD Thesis, University of Utrecht, 2003.
D. 	Crommelin. Homoclinic dynamics: a scenario for atmospheric ultralow-frequency variability, Journal of the Atmospheric Sciences 59 (2002) 1533-1549.
45. Вычисления здесь таковы: итого за 90 дней: итого за 10 дней: итого за 100 дней: среднее:
а это на 1,4 больше, чем 16.
90 х 16 = 1440, 10 х 30 = 300, 1740,
1740/100 = 17,4,
328
Иэн Стюарт | Случайный бог


46. Данные за 800 ООО лет:
Е. 	J. Brook and С. Buizert. Antarctic and global climate history viewed from ice cores, Nature 558 (2018) 200-208.
47. Эта цитата появилась в Reader*s Digest в июле 1977 года без каких-либо ссылок. 8 января 1950 года газета New York Times опубликовала статью «Как „трудный" композитор становится „трудным"» композитора Роджера Сешнса. Он писал: «Я также помню замечание Альберта Эйнштейна, которое, безусловно, относится и к музыке. Он сказал, в сущности, что все должно быть так просто, как только может быть, но не проще!»
48. Согласно данным Геологической службы США вулканы на Земле производят около 200 миллионов тонн С02 в год. Транспорт и промышленность выбрасывают 24 миллиарда тонн, что в 120 раз больше.
https://www.scientificamerican.com/article/earthtalks-volca
noes-orhumans/
49. The IMBIE team (Andrew Shepherd, Erik Ivins, and 78 others). Mass balance of the Antarctic Ice Sheet from 1992 to 2017, Nature 558 (2018) 219-222.
50. S. R. Rintoul and 8 others. Choosing the future of Antarctica, Nature 558 (2018) 233-241.
51. J. Schwartz. Underwater, Scientific American (August 2018) 44-55.
52. E. S. Yudkowsky. An intuitive explanation of Bayes’ theorem: http: / /yudkowsky. net/r ational/bay es/
53. W. Casscells, A. Schoenberger, and T. Grayboys. Interpretation by physicians of clinical laboratory results, New England Journal of Medicine 299 (1978) 999-1001.
D. 	M. Eddy. Probabilistic reasoning in clinical medicine: Problems and opportunities, in: (D. Kahneman, P. Slovic, and
A. 	Tver sky, eds.), Judgement Under Uncertainty: Heuristics and Biases, Cambridge University Press, Cambridge, 1982.
G. Gigerenzer and U. Hoff rage. How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats, Psychological Review 102 (1995) 684-704.
54. Оценка Каплана-Мейера заслуживает упоминания, но она прервала бы рассказ. Это наиболее широко используемый метод оценки выживаемости по данным, в которых некоторые испытуемые могут покинуть испытание до полного
ПРИМЕЧАНИЯ
329


периода времени — либо из-за смерти, либо по другим причинам. Это непараметрический метод, он введен в работе, занимающей второе место в списке высоко цитируемых математических работ. См.:
Е. 	L. Kaplan and P. Meier. Nonparametric estimation from incomplete observations, Journal of the American Statistical Association 53 (1958) 457-481.
55. В. Efron. Bootstrap methods: another look at the jackknife, Annals of Statistics 7 В (1979) 1-26.
56. Alexander Viktorin, Stephen Z. Levine, Margret Altemus, Abraham Reichenberg, and Sven Sandin. Paternal use of antidepressants and offspring outcomes in Sweden: Nationwide prospective cohort study, British Medical Journal 316 (2018); doi: 10.1136/bmj.k2233.
57. С доверительными интервалами непросто освоиться, и их часто понимают неверно. Технически 95%-й доверительный интервал обладает следующим свойством: истинное значение статистики лежит внутри этого интервала для 95% случаев, когда доверительный интервал вычисляется по выборке. Это не значит, что вероятность того, что истинная статистика лежит в интервале, составляет 95%.
58. Корпоративный эвфемизм для обозначения «Эти люди никогда не смогут расплатиться по кредиту».
59. Строго говоря, это была Премия Шведского национального банка в области экономических наук в память Альфреда Нобеля, учрежденная в 1968 году, а не одна из премий, учрежденных Нобелем в его завещании 1895 года.
60. Формально распределение f(x) имеет тяжелые хвосты, если оно убывает по степенному закону; то есть f{x) ~ яг(1 + а) при х, стремящемся к бесконечности, и а > 0.
61. Warren Buffett. Letter to the shareholders of Berkshire Hathaway, 2008:
http://www.berkshirehathaway.com/letters/2008 ltr.pdf
62. A. G. Haldane and R. M. May. Systemic risk in banking ecosystems, Nature 469 (2011) 351-355.
63. W. A. Brock, С. H. Hommes, and F. O. O. Wagner. More hedging instruments may destabilise markets, Journal of Economic Dynamics and Control 33 (2008) 1912-1928.
64. P. Gai and S. Kapadia. Liquidity hoarding, network externalities, and interbank market collapse, Proceedings of the Royal Society A (2010) 466, 2401-2423.
330
Иэн Стюарт | Случайный бог


65. Долгое время считалось, что человеческий мозг содержит в десять раз больше глиальных клеток, чем нейронов. Достоверные интернет-источники до сих пор говорят о четырехкратной разнице. Но в обзоре 2016 года по этой теме делается вывод, что глиальных клеток в человеческом мозге немного меньше, чем нейронов.
Christopher S. von Bartheld, Jami Bahney, and Suzana Hercu- lanoHouze, The search for true numbers of neurons and glial cells in the human brain: A review of 150 years of cell counting, Journal of Comparative Neurology, Research in Systems Neuroscience 524 (2016) 3865-3895.
66. D. Benson. Life in the game of Go, Information Sciences 10 (1976) 17-29.
67. Elwyn Berlekamp and David Wolfe. Mathematical Go Endgames: Nightmares for Professional Go Players, Ishi Press, New York 2012.
68. David Silver and 19 others. Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search, Nature 529 (1016) 484-489.
69. L. A. Necker. Observations on some remarkable optical phaeno- mena seen in Switzerland; and on an optical phaenomenon which occurs on viewing a figure of a crystal or geometrical solid, London and Edinburgh Philosophical Magazine and Journal of Science 1 (1832) 329-337.
J. Jastrow. The mind’s eye, Popular Science Monthly 54 (1899) 299-312.
70.1. Kovacs, Т. V. Papathomas, M. Yang, and A. Feher. When the brain changes its mind: Interocular grouping during binocular rivalry. Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA 93 (1996) 15508-15511.
71. С. Diekman and M. Golubitsky. Network symmetry and binocular rivalry experiments, Journal of Mathematical Neuroscience 4 (2014) 12; doi: 10.1186/2190-8567-4-12.
72. Ричард Фейнман, в лекции «Характер физических законов». Ранее Нильс Бор говорил: «Любой, кого не поразила квантовая теория, не понимает ее», но у этих слов другой смысл.
73. Richard P. Feynman, Robert В. Leighton, and Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics, Vol. 3, Addison-Wesley, New York, 1965, p. 1.1-1.8.
ПРИМЕЧАНИЯ
331


74. Roger Penrose. Uncertainty in quantum mechanics: Faith or fantasy? Philosophical Transactions of the Royal Society A 369 (2011) 4864-4890.
75. https: //ru. wikipedia. org/wiki/Комплексное_число
76. Franois Henault. Quantum physics and the beam splitter mystery: https: //arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1509/1509.00393.
77. Если спиновое квантовое число равно п, то спиновый угловой момент равен S = (h/4n)^ln(n + 2), где h — постоянная Планка.
78. Спин — любопытная штука. Суперпозиция двух спиновых состояний t и I означает, что точка в противоположных направлениях может быть интерпретирована как одно спиновое состояние с осью, чье направление связано с пропорциями, в которых наложены исходные состояния. Однако измерение вокруг любой оси дает либо 1/2, либо -1/2. Это объясняется в статье Пенроуза, цитируемой в примечании 74.
79. Непроверенное предположение здесь состоит в том, что если классическая причина производит классический эффект, то квантовая доля этой причины (в некотором наложенном состоянии) производит квантовую долю того же самого эффекта. Полураспавшийся атом порождает наполовину живого кота. Это имеет некоторый смысл с точки зрения вероятностей, но если бы это было правдой в целом, то полуфо- тонная волна в интерферометре Маха-Зендера создала бы половину разделителя пучка, когда она попадает в один из них. Поэтому такого рода суперпозиция классических нарративов не может объяснять квантовый мир.
80. Я подробно обсуждал кота Шредингера в книге Calculating the Cosmos, Profile, London, 2017.
81. Tim Folger. Crossing the quantum divide, Scientific American 319 (July 2018) 30-35.
82. Jacqueline Erhart, Stephan Sponar, Georg Sulyok, Gerald Badurek, Masanao Ozawa, and Yuji Hasegawa. Experimental demonstration of a universally valid error-disturbance uncertainty relation in spin measurements, Nature Physics 8 (2012) 185-189.
83. Lee A. Rozema, Ardavan Darabi, Dylan H. Mahler, Alex Ha- yat, Yasaman Soudagar, and Aephraim M. Steinberg. Violation of Heisenberg’s measurement-disturbance relationship by weak measurements, Physics Review Letters 109 (2012) 100404. Erratum: Physics Review Letters 109 (2012) 189902.
332
Иэн Стюарт | Случайный бог


84. Если вы создадите такую пару частиц с ненулевыми спинами, что общий спин равен нулю, то принцип сохранения углового момента (другой термин для спина) подразумевает, что их спины будут оставаться совершенно антикоррелиро- ванными, если они затем разделятся — до тех пор, пока на них не воздействуют. То есть их спины всегда направлены в противоположные стороны вдоль одной и той же оси. Если вы теперь измерите один из них и осуществите коллапс его волновой функции, он приобретет определенный спин в определенном направлении. Так что другой тоже должен коллапсировать и дать противоположный результат. Это звучит безумно, но, похоже, работает. Это также вариация на тему моей пары шпионов; они просто синхронизировали свои часы противоположно.
85. См. примечание 74.
86. Even male insects feel pleasure when they „orgasm", New Scientist, 28 April 2018, p. 20.
87. J. S. Bell. On the Einstein Podolsky Rosen paradox, Physics 1 (1964) 195-200.
88. Джеффри Буб утверждал, что Белл и Германн неверно истолковали доказательство фон Неймана и что оно не ставит своей целью показать, что скрытые переменные совершенно невозможны.
Jeffrey Bub. Von Neumann’s „no hidden variables" proof: A reappraisal, Foundations of Physics 40 (2010) 1333-1340.
89. Adam Becker, What is Real?, Basic Books, New York 2018.
90. Строго говоря, оригинальная версия Белла также требует, чтобы результаты с обеих сторон эксперимента были точно коррелированы, когда детекторы параллельны.
91. Е. Fort and Y. Couder. Single-particle diffraction and interference at a macroscopic scale, Physical Review Letters 97 (2006) 154101.
92. Sacha Kocsis, Boris Braverman, Sylvain Ravets, Martin J. Stevens, Richard P. Mirin, L. Krister Shalm, and Aephraim M. Steinberg. Observing the average trajectories of single photons in a two-slit interferometer, Science 332 (2011) 1170-1173.
93. Этот раздел основан на работе Anil Anathaswamy, Perfect disharmony, New Scientist, 14 April 2018, p. 35-37.
94. Дело не может быть в одном только размере, не так ли? Рассмотрим эффект делителя пучка (сдвиг фазы на 1/4) и детектора частиц (скремблирование волновой функции). И то
ПРИМЕЧАНИЯ
333


и другое вполне макроскопично. Первый думает, что это квант, второй знает, что это не так.
95. D. Frauchiger and R. Renner. Quantum theory cannot consistently describe the use of itself, Nature Communications (2018) 9:3711; doi: 10.1038/S41467-018-05739-8.
96. A. Sudbery. Quantum Mechanics and the Particles of Nature, Cambridge University Press, Cambridge, 1986, page 178.
97. Adam Becker, What is Real?, Basic Books, New York, 2018.
98. Peter Bierhorst and 11 others. Experimentally generated randomness certified by the impossibility of superluminal signals, Nature 223 (2018) 223-226.
99. E. Ott, C. Grebogi, and J. A. Yorke. Controlling chaos, Physics Review Letters 64 (1990) 1196.
100. Именно хаос, а не просто случайность был зафиксирован у людей при сердечной недостаточности:
Guo-Qiang Wu and 7 others, Chaotic signatures of heart rate variability and its power spectrum in health, aging and heart failure, PLos Online (2009) 4(2): e4323; doi: 10.1371/ journal.pone.0004323.
101. A. Garfinkel, M. L. Spano, W. L. Ditto, and J. N. Weiss. Controlling cardiac chaos, Science 257 (1992) 1230-1235. Более свежая статья о хаосе в управлении моделью сердца:
В. 	В. Ferreira, A. S. de Paula, and М. A. Savi. Chaos control applied to heart rhythm dynamics, Chaos, Solitons and Fractals 44 (2011) 587-599.
102. В то время президент Джордж Буш-младший решил не нападать на Ирак в ответ на события 11 сентября. Но позднее США и их союзники все же вторглись в эту страну, ссылаясь в качестве причины на «поддержку терроризма» Саддамом Хусейном. Газета Guardian за 7 сентября 2003 года сообщила об опросе, показавшем, что «семь из десяти американцев продолжают верить в то, что Саддам Хусейн сыграл определенную роль» в этих нападениях, несмотря на отсутствие доказательств.
https://www.theguardian.com/world/2003/sep/07/usa.
theobserve
334
Иэн Стюарт | Случайный бог


ИЛЛЮСТРАЦИИ
Рис. 1: David Aikman, Philip Barrett, Sujit Kapadia, Mervyn King, James Proudman, Tim Taylor, Iain de Weymarn, and Tony Yates. Uncertainty in macroeconomic policy-making: art or science? Bank of England paper, March 2010.
Рис. 17: Tim Palmer and Julia Slingo. Uncertainty in weather and climate prediction, Philosophical Transactions of the Royal Society A 369 (2011) 4751-4767.
Рис. 26: I. Kovcs, T.V. Papathomas, M. Yang, and A. Fehr. When the brain changes its mind: Interocular grouping during binocular rivalry, Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA 93 (1996) 15508-15511.
Рис. 32 (слева): Sacha Kocsis, Boris Braverman, Sylvain Ravets, Martin J. Stevens, Richard P. Mirin, L. Krister Shalm, and Aephraim M. Steinberg. Observing the average trajectories of single photons in a two-slit interferometer, Science (3 Jun 2011) 332 issue 6034, 1170-1173.
Чтобы определить возможных правообладателей иллюстраций, было сделано все возможное. Однако автор и издательство с благодарностью примут любую информацию о тех иллюстрациях, авторов которых установить не удалось, и внесут соответствующие ссылки при последующих переизданиях книги.
ИЛЛЮСТРАЦИИ
335


УКАЗАТЕЛЬ
АВЭ 224
Адамс, Дуглас 148 Азимов, Айзек 98 аксиома вероятности 76 алгебра 37 алгоритм 37
-генетический 310, 312 -сна-бодрствования 234 аль-Хорезми 37 анализ регрессионный 108 Апофис 99 942 16 Араго, Франсуа 101 Арнольд, Владимир 158 Аррениус, Сванте 175 астероид 16
аттрактор 156, 157, 160, 190, 287 -хаотический 314 Ахенваллъ, Готфрид 214
Байес, Томас 27, 116, 319
батут квантовый 261
Башелье, Луи 218, 220
Беккер, Адаж 278, 298
Белл, Джон 270, 277
беломантия 30
Беркли, Джордж 115
Бернулли, Якоб 44, 58, 69, 76, 77, 93
Блэк, Фишер 221
бозон Хиггса 75, 276
Больцман, Людвиг 134, 137, 142
336
Иэн Стюарт | Случайный бог


Большой адронный коллайдер 276, 292
Бом, Дэвид 285
Бор, Нильс 15, 259, 277, 298
Борн, Макс 284
Браве, Огюст 108
броуновское движение 218
Броун, Роберт 218
Бувара, Алексис 101
Буль, Джордж 119
бутстрэппинг 206, 208
Вальрас, Лео« 215 Вейль, Герман 263 вероятность 11, 75
-апостериорная 120 -априорная 120 -классическое определение 118 -распределение 52 -статистическое определение 40, 45 -условная 81, 82, 87, 90, 117, 123, 319 вихрь Мерсенна 303 волна 13, 251 выбросы 67 вьюрки Дарвина 16
Газы парниковые 183, 191
Галилей, Галилео 147, 150, 153, 250
Галлей, Эдмунд 62
ГальтоНу Фрэнсис 107
гаруспиция 23
Гаусс, #арл Фридрих 72
Гейзенберг, Вернер 260, 264
Гелл-Ман, Марри 298
Гельмгольц, Герман 233
генераторы линейные конгруэнтные 303
гепатомантия 23, 24, 30
Герман, Грета 277
гидрат метана 189
Гильберт, Давид 278
гистограмма 52, 199
горизонт предсказания 321
УКАЗАТЕЛЬ
337


Госсет, Уильям 199
гравитация 288
Граунт, Джон 43
Греблахер, Саймон 261
Гюйгенс, Христиан 14, 42, 43, 44, 251
Дарвин, Чарльз 107
де Бройль, Луи 257, 285
де Каркави, /Тьер 41
делла Порта, Джамбаттиста 236
дельта-хеджирование 221
де Мере 40
де Муавр, Абрахам 69, 77 деривативы 223 де Ферма, Пьер 40 Джастро, Джозеф 236 Джевонс у Уильям 215 Диаконис, Перси 55 динамика
-нелинейная 173, 190, 298, 321 -хаотическая 11 Диоси, Ладжос 293 Диофант 37 дисперсия 70
Евгеника 107 Евклид 76 Ёнэяма, Кунидзо 163
Задача
-трех тел 158, 315 -о разделе ставки 40 закон
—больших чисел 112 -движения Ньютона 140 -Ньютона второй 140, 142 -термодинамики второй 12, 134, 142 -больших чисел 45, 75, 76, 92, 94
Игра го 234
-азартные 34, 39, 58 излучение Хокинга 292
338
Иэн Стюарт
Случайный бог


иллюзия оптическая 236 имитация отжига 310 интервал доверительный 129
интерпретация копенгагенская 265, 276, 286, 288, 293, 298 информация алгоритмическая 306 испытания Бернулли 44 Йорк, Джеймс 164
Капитаняк, Марцин 57
Кардано, Джероламо 37, 38, 40, 58, 77
Каспаров, Гарри 234
Кац, Марк 138
квант 250
Келлер, Джозеф 55
Кеннард, Гессе 263
Кеннеди, Джуди 164
Кеплер, Иоганн 147
Кетле, Адольф 58, 99, 182, 226, 319
Кирхгоф, Густав 249
климат 179, 190
Кокс, Дэвид 204
Колмогоров, Андрей 78
комбинаторика 48, 301
коннектом плодовой мушки 229
Конт, Огюст 276
корреляция 108
-коэффициент 109 -матрица 110 кости игральные 35 кот Шредингера 293, 295 коэффициент
-биномиальный 51 -корреляции 109 кривая
логистическая 204
колоколообразная 69, 72, 74, 105, 107 криптография 307 кролик/утка Джастро 237 Кроммелин, Даан 174 куб Неккера 236 Курно, Антуан Огюстен 215
УКАЗАТЕЛЬ
339


Лаплас, Пьер-Симон 71, 101, 102, 111, 119, 148, 199, 206
Лебег, Анри 78
Лежандр, Адриен Мари 65
Лейт, Сесил 171
либрация 63
Линч, Питер 167
Лоренц. 157, 165, 168, 171
Лоренц, Эдвард 155
Луна Шредингера 295
льды полярные 187
Майер, Иоганн Тобиас 63, 72 Мандельброт, Бенуа 156 машина Гельмгольца 233 маятник 149 мера 160, 289
-атомарная 289 Мерсенн, Марен 303 метан 189 метод
-выборочный 102, 111 -Майера 65 -Монте-Карло 299
-наименьших квадратов 66, 68, 72, 108, 204, 318 -Ньютона—Рафсона 164
—статистический клинических испытаний 199 -Фишера 199 механика
-квантовая 14, 248, 250, 253, 262, 264, 265, 271, 277, 284, 288, 293, 295, 297, 307 -статистическая 137 модель
-Блэка-Шоулза 221 —климатическая 182 -Кокса регрессионная 208 мозг байесовский 84 Монтгомери, Ричард 55
Наводнение 191 нейрон 231 Неккер, Луис 236
340
Иэн Стюарт | Случайный бог


неопределенность 8 -квантовая 271 неравенство Белла 308, 320, 321 Нетер, Эмми 278 нуль абсолютный 136
Ньютон, Исаак 13, 14, 19, 59, 115, 147, 214, 248, 250, 257, 295
Нэш, Джон 217
Обучение Хебба 231 ожидание математическое 70 озера Вады 164 опцион 220
отклонение стандартное 70
Пакет волновой 257 Палмер, Тим 173, 287 парадокс
-дней рождения 80 -Монти Холла 82 Парето, Вильфредо 216 Паскаль, Блез 40 Паули, Вольфганг 285 Пенроуз, Роджер 254, 257, 271, 293 перестановка 48 период полураспада 270 Перрен, Жан 218 Петти, Уильям 214 Пирсон, Карл 109, 199 Планк, Макс 249 погода 179, 190 -карта 107 -прогнозирование 107 подбрасывание монеты 44 поляризация 264, 267 портрет фазовый 151 постоянная Планка 249 Пратчетт, Терри 162 предсказание 15 принцип
-Керкгоффса 307
-неопределенности Гейзенберга 263, 264
УКАЗАТЕЛЬ
341


прогнозирование 15
-ансамблевое 168, 171, 173 проект Манхэттенский 298 простое число Мерсенна 303 пространство
-вероятностное 78 -выборочное 78, 86 -фазовое 151 псевдослучайные числа 302 психоистория 99
Пуанкаре, Анри 149, 150, 158, 167, 218, 270, 315
Размещения 49
распад радиоактивный 260
распределение
-биномиальное 52, 69, 201, 318 -вероятностей 289
-нормальное 69, 73, 74, 77, 100, 105, 112, 171, 199, 219, 222, 318
-Парето 105 -равномерное 53 регрессия
-Кокса 205 -логистическая 208 -прямая 108 риск 205
Ричардсон, Льюис Фрай 17, 166 Ровелли, Карло 145
Седолъ, Ли 235 сеть
-байесовская 131 —нейронная 230 -Уилсона 240 система
-динамическая 314 —нелинейная 229 скорость 140 Смейл, Стивен 158 Сноу, Чарльз Перси 132 соглашение Парижское 189
342 Иэн Стюарт | Случайный бог


сочетания 50
спин 259, 264, 267, 283, 287, 293, 296 среднее арифметическое 68
статистика 12, 58, 99, 108, 121, 125, 130, 195, 319
Стиглер, Стивен 63
стрела времени 134, 139, 142, 143, 145
структура общая 224
Суонн, Дональд 133
суперпозиция 257
Талидомид 194 Тейлор, Джеффри Инграм 253 телепортация квантовая 267 теорема 287
-Байеса 117, 118, 120, 121, 129, 202 —обобщенная 130 -Белла 270
-Брауэра о неподвижной точке 217 -центральная предельная 53, 71, 72, 112, 206, 318 теория
-вероятностей 12, 34, 36, 37, 38, 69, 78, 94, 99, 122, 234, 301, 318 —аксиоматический подход 45 -газов кинетическая 134, 145 -игр 217 -квантовая 8
-относительности 267, 292, 295, 308 -ошибок 60, 64 -поля единая 292 -хаоса 8, 15, 302, 313 термодинамика 133, 142, 145, 168, 320 тихоходка 261 точка Лагранжа 315 траектория
-гетероклиническая 154 -гомоклиническая 152 Тьюринг, Алан 310
Уилсон, Хью 239 Улам, Станислав 300 уравнение
-алгебраическое 60
УКАЗАТЕЛЬ
343


-в частных производных 161 -Колмогорова-Чепмена 219 -обыкновенное дифференциальное 161 -теплопроводности 219, 258 -Шредингера 285 ускорение 140 условия начальные 140, 143
Фаренгейт, Даниэль 136 Фейнман, Ричард 250, 253, 283 физика
-математическая 147, 149, 161, 215, 218 -социальная 99 -элементарных частиц 7 5 Фишер, Рональд 199, 209 Фиш, Майкл 169 Фландерс, Майкл 133
фон Нейман, Джон 217, 277, 278, 287, 301, 313
фон Тюнен, Иоганн 214
фотон 250, 308
фрактал 156
функция
-волновая 277, 290 —эллиптическая 150 Фурье, Жозеф 101, 175, 219
Хайман, Рэй 30
Хайтин, Грегори 305
хаос 148, 157, 159, 167, 320, 321
Хебб, Дональд 231
Хилл, Рэй 127
Хинтон, Джеффри 233
Холмс, Сьюзан 55
Царство Вавилонское 22 Цзе, Кэ 235
цикл гетероклинический 174 Частица 13
человек средний 100, 104, 107, 273 черная дыра 292
344
Иэн Стюарт
Случайный бог


Шахри-Сухте 35 шкала
-Кельвина 137 -Фаренгейта 136 -Цельсия 136 Шоулз, Майрон 221 Шредингер, Эрвин 257, 296 Штейнберг, Эфраим 264, 277
Эволюция 311 Эджуорт, Фрэнсис 216 Эйлер, Леонард 62, 65
Эйнштейн, Альберт 14, 183, 218, 262, 265, 267, 269, 275,
292, 295, 321 экономика агентная вычислительная 214, 216, 224 энтропия 133, 137, 320 Эпштейн, Эдвард 171 Эркенс, Иелмер 35 эффект
-бабочки 155, 157, 160, 162, 167, 173, 315 -фотоэлектрический 14
Юнг, Томас 252
УКАЗАТЕЛЬ
345


Научно-популярное издание Серия: «Universum»
Стюарт Иэн
СЛУЧАЙНЫЙ БОГ ИЛИ БОЖЕСТВЕННАЯ СЛУЧАЙНОСТЬ? МАТЕМАТИКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Ведущий редактор М. С. Стригунова Художник В. А. Проку дин Технический редактор Т. Ю. Федорова Корректор М. Н. Панкова Компьютерная верстка: Е. Г. Ивлева
Подписано в печать 05.02.21. Формат 60x90/16.
Уел. печ. л. 22,00. Заказ Е-455.
Издательство «Лаборатория знаний»
125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3 Телефон: (499) 157-5272 e-mail: info@pilotLZ.ru, http://www.pilotLZ.ru
При участии ООО «Столица-Принт» e-mail: st.print@bk.ru
Отпечатано в типографии филиала АО «ТАТМЕДИА» «ПИК «Идел-Пресс».
420066, Россия, г. Казань, ул. Декабристов, 2. e-mail: idelpress@mail.ru


Для заметок


Для заметок


Для заметок


Для заметок


Для заметок


Для заметок