/
Автор: Пестов М.Д.
Теги: авиация летательные аппараты учебное пособие воздушный транспорт надежность
ISBN: 5-7035-1275-1
Год: 2002
Текст
московский
АВИАЦИОННЫЙ
инститыт
М.Д. ПЕСТОВ
БОЕВАЯ
ЭФФЕКТИВНОСТЬ
И НАДЕЖНОСТЬ ЛА:
МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ
МОСКВА
2002
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(государственный технический университет)
М.Д. ПЕСТОВ
БОЕВАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ:
МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ
Учебное пособие
для лабораторных и курсовых работ
Утверждено
на заседании редсовета
23 ноября 2001 г.
Москва
Издател ьство МАП
2002
Пестов М.Д. Боевая эффективность и надежность летательных
аппаратов: Методы расчетов: У чебное пособие для лабораторных
п курсовых работ. — М.: Изд-во МАИ, 2002. 100 с., ил.
Учебное пособие (четыре лабораторные работы) ориентировано на
изучение методов точечной и интервальной оценки параметров зако-
пое распределения точности, эффективности ЛА и надежности их эле-
ментов по статистическим данным, а также методов оценки характе-
ристик рассеивания снарядов при серийной и залповой стрельбе и ве-
роятности попадания в заданную область по известным характеристи-
кам рассеивания одного ЛА.
На примере типовой боевой операции авиационно-ракетного ком-
плекса изучаются методы комплексной оценки показателей боевой эф-
фективности ЛА и их комплексов. Изучаются методы расчета струк-
турной надежности технических систем с известными параметрами на-
1* м
дежности входящих в них элементов.
Для каждой лабораторной и курсовой работы даются теоретичес-
кие боснования применяемых методов расчета и расчетных формул.
Предназначено для студентов, изучающих курс эффективности и
надежности ЛА и их комплексов. Может быть полезным для специа-
листов. интересующихся рассматриваемыми вопросами.
Репензенты: кафедра ‘Аэродинамика, конструкция, прочность’'
МГТУ ГА (зав. каф. В.Г. Ципенко);
с/р техн, наук проф. А.Г. Решетин,
др техн, наук проф. Л.Л. Ташкеев
ISBN l-70»-127u-l
- Московский авиационный институт
(государственный технический университет), 2С -
Лабораторная работа 1. ОБРАБОТКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ПРОМАХА
Задание
1. Для заданного в табл. 1.2 варианта полной выборки ко-
ординат промаха, приведенных в табл. 1.1 для осей OY и OZz
а) построить статистический ряд для координат промаха по
заданной оси;
б) построить гистограмму f(y) или /(z) координат промаха
для заданной осп;
в) построить статистическую функцию распределения коор-
динат промаха или Г(с).
При построении гистограммы и статистической функции
распределения целесообразно (в данном случае) разбить весь ин-
тервал распределения статистических координат по соответст-
вующей оси примерно на 14—16 интервалов и считать,
что частота попадания случайной координаты
статистическая плотность распределения в интервале:
I I
статистическая функция распределения: Ft = £ г 6, = У р{
t= 1
(здесь и ниже: i — номер интервала, п. — число точек в интер-
вале, — общее число точек);
г) сгладить статистическую функцию распределения и гис-
тограмму на глаз.
2. Для заданного в табл. 1.3 варианта сокращенной выборки
рассчитать:
а) статистические средние (статистические математические
ожидания (МО)); т и гп, по формулам
3
7=1
(здесь и ниже у и г координаты /-и точки),
б) статистические дисперсии D , Р, и CKO , Ог
в» статистические ковариации (корреляционные моменты)
Киг или к2и :
Л'
г) коэффициенты корреляции:
(1-1')
д) написать формулу для совместной плотности распре де ле-
Л*
НИЯ координат промаха f(y,z) с учетом рассчитанных параметров
закона распределения.
3. Найти и построить главные оси рассеивания и 07,^
Д^1Я этого необходимо:
а) рассчитать (в радианах) оценку угла преобразования за
данных координат к главным осям
б)
(CKO)
рассчитать дисперсии
координат промаха в
А/0 = = Д; c°s2
и среднеквадратические отклонения
главных осях
а ~ Dz sin2 а + К sin 2а ;
го °z0 - Dy Sln « + Dz COS а - Куг sin 2а ;
в) построить “на глаз” эллипс практически достоверного
рассеивания, в заданных осях OYZ используя рассчитанные ве-
личины а , Оу0 , ог0 .
4. Рассчитать и построить:
а) построить “на глаз” статистическую линии регрессии у на
2 и а на у;
б) рассчитать линейные статистические регрессии у на
. и ~ на у — у) , построить их графически и сравнить с
построенными ина глаз линиями регрессии;
у(л) = т
(1-5)
г(у) = т -
4^
5. Статистические координаты промаха
Таблица 1.1
I Номер У Z Номер Y Z
4.5 -2,5 0 10 2,5 1.0 |
ей 4,0 -4,0 11 2,5 -0,5 |
3 3.5 2,0 12 2.5 -з,о |
4 3.0 0.0 ;1^> 2.0 6,0 |
5 3.0 4.0 * 14 2,0 3,5 |
б 3,0 4.0 15 2,0 2,0 |
t г 4 3,0 1,5 16 2,0 L5
8 3,0 -1.5 17 2,0 0,5 |
9 2,5 4,0 18 1,5 5,0 |
Окончание табл. 1.1
Номер У 1 z Номер 1 Y Z
Тб* 1.5 1 3.0 1 1 0,0 1,5
20 1.5 2.0 1 / 38 | 0,0 5,0
21 1,5 1,0 1 39 1 0,0 3,5
•J 22 1.5 1 0,0 1 40 1 0,0 3,0
23 1,5 -1.0 1 41 | 0.0 1,0
24 1.0 1 7,0 J V* 42 [ —0,5 э, о I
1,0 | 4.5 1 (jjj) | “0,5 5,0
26 1.0 3,5 1 44 1 -0,5 4,5
27 1,0 2,5 | 45 1 1 —0,5 2.0
28 1,0 0,5 | И/ 46 | -1,0 7.0
1.0 | -0.5 | 47 I -1,0 4,0
[ 30 но | -2,0 j 48 j -1,0 3,0
1 (31/ 0.5 1 8,0 | “1,5 6,5
Г 32 0,5 1 5,5 j 50 | -1,5 4,5
1 33 0,5 j 4,0 1 51 | -1,5 2,5
34 0,0 j 2,5 j 52 | -2,0 3,0
35 0,0 j 1,5 1 53 1 -2,0 0,5
| 36 0,0 0,5 ' 54 -2,0 0,5
Таблица 7.2
Варианты полной выборки
Вариант
задания
кроме
Точки
все
Номера исключаемых точек
Окончание табл. 1.2
Вариант
зада ния
Варианты полной выборки
Точки
Номера исключаемых точек
19 .
10
12
16, 21 . .
4, 8, 12, 16, 20 .
5, 10, 15, 20 .
2, 6, 11, 16, 21 .
16, 21 .
7
Таблица 1.3
Вариант
Варианты сокращенной выборки
Номера точек
2, 6. 10, 14, 18 . .
4, 8, 12, 16, 20 . .
1 •*’’ 1 ° 1 1. 5. 10, 15, 20 . . .
6 1 7 2, 6, 11, 16, 21 . . . 3, 7, 12, 17, 22 . . .
1 8 1 9 4, 8, 13, 18, 23 . . . 5, 9, 14, 19, 24 . . .
1 11 J 1 10 ! 2, 7, 13, 19, 25 5^ 5Z ^9 4 1—х — 1, 6, 12, 18, 24 . . .
1 12 I 3, 8, 14, 20, 26 . . .
1 13 1 4, 9, 15, 21, 27 . . . J
14
16
2, 8, 13, 19, 25 . .
17
18
19
20
24
2, 6, 10, 15, 20 . .
3, 7, 12, 16, 20 . .
1, 6, 11, 15, 19 . .
5, 9, 11, 16, 21 . .
Методические указания по выполнению
лабораторной работы
Лабораторная работа ориентирована на практическое освое-
ние студентами методов обработки результатов стрельб.
В первой части лабораторной работы на основании сравни-
тельно большого (около 40 точек) статистического материала,
называемого здесь полной выборкой, анализируется одномерный
закон распределения промаха по одной из осей рассеивания.
Грубо приближенно определяются его параметры.
Во второй части анализируется нормальный двухмерный
закон распределения промаха. Производится точечная оценка
его параметров по сравнительно малой, называемой здесь сокра-
щенной выборке, включающей около 10 точек.
Статистические координаты точек рассеивания (с точностью
до 0,5 м) представлены в табл. 1.1 по одной из осей в виде ста-
тистического ряда (упорядоченной совокупности), по другой —
в виде простой (неупорядоченной) статистической совокупности.
Для сокращения объема исходных данных индивидуальные за-
дания студентам формируются из части точек, указанных в
табл. 1.1 в соответствии с табл. 1.2 и 1.3. При обработке ста-
тистических данных полную и сокращенную выборки следует
считать результатами независимых стрельб, apriori подчиняю-
щихся нормальному закону распределения на основании пре-
дельных теорем теории вероятностей.
1. Для построения гистограммы (статистической плотности
вероятности) и статистической функции распределения по пол-
ной выборке исходный статистический материал следует пред-
ставить в виде статистического ряда, если он не упорядочен в
табл. 1.1.
При разбиении статистического ряда на разряды (интерва-
лы) целесообразно принять их одинаковыми и в данном случае,
кратными 1 2 (хотя это и не обязательно).
При подсчете числа точек, лежащих в некотором интервале,
к ним следует приплюсовать половину точек, попавших в гра-
ницу интервала, а другую половину добавить к точкам соседне-
го интервала. Таким образом, количество точек, лежащих в ин-
тервале, может быть нецелочисленным, а кратным 1 2.
Для построения гистограммы распределения промаха по за-
данной оси, над каждым интервалом разбиения строится прямо-
угольник с высотой, равной статистической плотности распреде-
ления на этом интервале. Площадь каждого такого прямоуголь
ника равна частоте попадания координат промаха в данный ин-
тервал, а площадь всей гистограммы, таким образом, равна 1.
Примерный вид гистограммы показан на рис. 1.1,<7.
Статистическая функция распределения строится в виде сту-
пенчатой прерывистой возрастающей функции. Скачки функции
на правой границе каждого интервала равны статистической
плотности на этом интервале. ** ровень ступенек на каясдом
интервале равен суммарной площади части гистограммы, ле-
жащей левее правой границы этого интервала. Иначе говоря,
уровень ступеньки равен суммарной частоте попадания коорди-
нат промаха во все интервалы, лежащие левее правой границы
рассматриваемого интервала. В частном случае, когда все ин-
тервалы одинаковы и равны 1, статистическая функция рас-
пределения может быть построена суммированием всех высот
прямоугольников гистограммы для всех интервалов, лежа-
щих левее правой границы рассматриваемого интервала, так
как в этом случае плотность распределения в каждом интервале
равна частоте попадания координат промаха в интервал. При-
мерный вид статистической функции распределения показан на
рис. 1.1,6.
Ступенчатые гистограмма и статистическая функция распре-
деления по сути своей являются случайными и приближенно
представляют действительные плотность вероятности и функцию
распределения случайной величины, в данном случае координа-
ты промаха. При увеличении числа точек и уменьшении длины
интервалов разбиения гистограмма и статистическая функция
распределения сходятся по вероятности (приближаются) к дей-
ствительным функциям распределения, являющимся гладкими
не случайными кривыми.
Для приближенного представления этих кривых на основа-
нии гистограммы и статистической функции распределения ис-
пользуются специальные математические методы выравнивания
(сглаживания) статистических функций. В настоящей лабора-
торной работе предлагается выполнить сглаживание статисти-
ческой функции распределения “ла глаз”, используя особепнос-
норма^гьного распределения, для которого гтлотиостг> нор-
мального распределения случайной величины, например у опре
деляется формулой
10
0.14
-3,50-3,00-2,50-2,00-1,50-1.00-0.50 0.00 0,50 1.00 1,50 2,00 2.50 3,00 3,50 4,00
11
fw) =
exp
У I v
.де m no ______ соответственно математическое ожидание (МО)
>’ среднеквадратическое отклонение (ОКО) случайной величины,
а функция распределения определяется выражением
На рис. 1.1,6 пунктиром изображена приближенная статис-
тическая функция распределения в виде непрерывной, кусочно-
гладкой, ломаной линии, которую и следует сглаживать.
При сглаживании нужно иметь в виду, что действительная
функция распределения в характерных точках координатной
оси имеет, на основании приведенных формул, значения, ука-
занные в табл. 1.4. Координаты характерных точек заданы в
относительно МО тп
Для построения выравнивающей кривой с учетом данных
табл. 1 .4 необходимо иметь хотя бы приближенное значение
г. . Как известно, практически достоверным интервалом раесе-
1 в или нормально распределенной случайной величины обычно
считают интервал 1 относительно ее математи’юского ожида-
Hi'я. Примем и первом приближении в качестве практически до-
стоверно/о интервала рассеивания координат промаха интервал
, Ил концах которого предполагаемая в соответствии с гисто-
первом
тервала
грубый
ОКО и
граммом плотность распределения будет близка к нулю. Тогда в
приближении СКО определим, разделив длину этого ин-
6, т е. П{, - . Это наиболее простой, но достаточно
способ оценки. Можно оценить приближенное значение
по другому характерному интервалу. Для этого следует
"на глаз” аппроксимировать приближенную статистическую функ-
цию распределения (ломаную пунктирную линию на рис. 1.1,6)
плавной кривой в некотором диапазоне ее изменения, например,
от 0,159 до 0,841. Аппроксимирующую кривую F(y) следует про-
вести так, чтобы в этом диапазоне F\my - Ay) = F(m + Ay). Приняв
в первом приближении в качестве математического ожидания
координаты промаха т значение у, при котором “на глаз” апп-
роксимирующая кривая будет равна 0,5. Измерив интервал I ,d
изменения F от 0,159 до 0,841, который в соответствии с табл.
1.4 должен быть равен 2с7 , найдем: а = —-
•-* к/
Для приближенной оценки о можно использовать и другие
характерные интервалы с учетом, например, табл. 1.4.
Далее можно построить всю выравнивающую (сглаживаю-
щую) кривую в практически достоверном интервале рассеива-
ния. Может оказаться, что сглаженная статистическая функция
F. будет в среднем смещена вправо или влево относительно ло-
маной, пунктирной, аппроксимируемой линии. Это говорит о
том, что приближенно выбранное значение т., неточно. В этом
случае выравнивающую кривую нужно сместить вправо или
влево так, чтобы она совпала в среднем с выравниваемой пунк-
тирной линией. Уточненную велит(ину т1: определим как значе-
ние координаты
кривая F' равна
z/, при котором смещенная выравнивающая
0,5. Если после такой коррекции наклон вы-
равнивающей кривой в среднем будет заметно отличаться от на-
клона ломаной аппроксимируемой линии, го следует скорректи-
ровать значение ст, . При этом следует учесть, что производная
действительной функции распределения при ее значении 0,5
(тангенс угла наклона к оси абсцисс в точке МО случайной ве-
личины) равна
0,398
Ола див, таким образом, статисти-
13
ческчю функцию распределения и одновременно уточнив значе-
ния и О, . можно сгладить гистограмму. При этом нужно
иметь в виду. что действительная плотность распределения в не-
которых характерных точках имеет значения, приведенные в
ТЙб 2. Во второй части лабораторной работы при анализе коор-
динат сокращенной выборки и оценки параметров закона их
распределения нужно иметь в виду, что плотность нормально-<
распределения системы двух случайных величин у и z в общем
случае выражается формулой
, _________________________1______________
/(!/, -) ~ Г~ ?2
2по аг V(1 - г1;г)
(у - п-,,)2 ~ ~ ~ m J2
°2 «г
Помимо МО и СКО каждой случайной величины параметром
этого закона является также коэффициент корреляции ryz . Эти
параметры являются неслучайными, детерминированными вели-
чинами. Оценки же их, полученные на основании обработки
статистических данных по случайной выборке, являются прин-
ципиально случайными и имеют свои законы распределения.
Поэтому, применяя некоторые формулы для вычисления этих
оценок, стремятся, чтобы оценки получались в определенном
смысле наилучшими. Формулы (1-1) и (1.1); (1.2) и (1.2') дают
состоятельные оценки (при увеличении числа статистических
точек сходящиеся по вероятности к оцениваемым величинам)
несмещенные (МО оценки, равно оцениваемому параметру), а
оценки МО случайных величин х и z являются еще и эффек-
тивными (с наименьшей дисперсией) оценками. Коэффициент
корреляции г , фигурирующий в выражении совместной плот-
kJ
ности распределения системы двух случайных величин, харак-
теризует линейную, вероятностную взаимосвязь этих величин.
3. Для системы двух взаимозависимых случайных величин
всегда можно найти такую систему координат, в которой они
становятся некоррелированными. Оси такой системы координат,
проходящие через центр рассеивания, называются главными.
Главные оси совпадают с осями симметрии эллипса рассеива-
ния- Дисперсии и среднеквадратическое отклонение (СКО) в
этих осях являются: одна наибольшей, а другая наименьшей по
сравнению с дисперсиями в любых других осях. Для перехода
от текущей системы координат к главным осям нужно перене-
сти начало текущей системы координат в центр рассеивания и
повернуть на некоторый угол. Формула (1.3) дает оценки этого
угла (точнее двух значений, различающихся на — (90 ). Поворот
4
производится по часовой стрелке для положительного значения
(X и наоборот. Формулы (1.4) справедливы для дисперсий в глав-
ных осях рассеивания OY^ ZQ .
Следует отметить, что значения параметров закона распре-
деления и особенно угла а оцениваются с достаточной точнос-
тью, когда статистика составляет не менее 40—50 точек. Поэто-
му расчеты, выполняемые во второй части лабораторной работы,
носят иллюстративный характер, а получаемые результаты в
значительной степени случайны.
Эллипсом рассеивания называют проекцию на плоскость
рассеивания кривой, которая образуется при пересечении функ-
ции плотности распределения системы двух нормально распре-
деленных случайных величин, например fiyz), и горизонтальной
плоскости, параллельной плоскости рассеивания. Во всех точках
эллипса плотность вероятности постоянна. Эллипсом практичес-
ки достоверного рассеивания можно считать эллипс, полуоси ко-
торого равны утроенным среднеквадратическим отклонениям по
главным осям рассеивания. Плотность вероятности на границе
такого эллипса равна 0,00-11 (табл. 1.4).
4. Случайные величины являются взаимозависимыми, если
закон распределения одной величины зависит от случайною
значения другой и наоборот. Вероятностная взаимозависимость
случайных величин обусловлена наличием в их составе общих
случайных составляющих. Связь коэффициента корреляции с
линейной вероятностной зависимостью координат у и z нагляд-
но видна в выражениях для условных плотностей распределе-
ния /:у г' и У Ь Действительно:
Из этого следует, что условные законы распределения вели-
чин у при некотором значении z и z при некотором значении
у являются нормальными с МО тПу/г > mz/y и ОКО <7^ z , <7, (/
соответственно, которые определяются выражениями:
(.У “ т,,) ;
Таким образом, условное МО величины у — т ,г является
линейной функцией величины 2, а МО — линейной функ-
цией величины у. Это говорит о корреляции между величинами
У и 2.
Величина коэффициента корреляции, входящего в эти выра-
жения, определяет степень линейной, вероятностной зависимос-
ти н жду случайными величинами у и г. При значениях коэф-
фициента корреляции, равных ±1, вероятностная зависимость
превращается в функциональную, неслучайную зависимость, так
условные КО <7(, и <7 /( становятся равными О. При его
жвчении, равном О, условные МО одной случайной величины
не зависят от значений другой случайной величины, и случай-
ные величины являются взаимно независимыми. Н этом случае
параметры условных и безусловных законов распределения со-
впадают.
Э я системы двух (и более) взаимозависимых случайных ве-
личин в<яко« приближенное представление зависимости одной
случай)1ой величины от другой (других) случайной величины на-
зывается р‘‘Г|и:ссией. Представление одной случайной величины
16
л воде ли
смей и
чайных величин. Условные МО т и
неилои функции другой называется линейной регпес
изображается прямой линией в системе координат слу-
являются ни чем
иным, Г.ак линейными регрессиями z на у и у на z (формулы
(I .«>)). Оги линии пересекаются в центре рассеивания системы
двух случайных величин и проходят, первая — через середины
хорд эллипса рассеивания, параллельных оси ОУ, вторая
через середины хорд эллипса, параллельных оси OZ. В частном
случае функциональной линейной зависимости между случайны
ми величинами линии регрессии совпадают между собой и
главной осью рассеивания.
Контрольные вопросы
Какой вероятностный смысл имеют гистограмма и статисти-
ческая функция распределения?
Как рассчитывается статистическая плотность распределе-
ния для некоторого значения случайной величины?
Какие оценки параметров распределения являются состоя-
тельными, несмещенными и эффективными?
Что такое корреляция между случайными величинами и
чем она обусловлена? Что такое эллипс рассеивания?
Какие оси координат рассеивания случайной двухмерной ве-
личины называются главными?
Что такое регрессия, в частности линейная?
Лабораторная работа 2. Р \(’Г1ЕТ ПАРАМЕТРОВ
ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ
ТОЧЕК ПОДРЫВА БЧ УРС С КОНТАКТНЫМИ
И ВЫСОТОМЕРНЫМИ ВЗРЫВАТЕЛЯМИ
ПРИ СЕРИЙНОЙ И ЗАЛПОВОЙ СТРЕЛЬБЕ
За tan и е
I . Рассчитать параметры закона распределения для коорди-
нат точек срабатывания БЧ кассетных субснарядов в земной
системе координат ().V,, УД , при серийной стрельбе с углом пи-
кирования О. Считаются заданными закон срабатывания взры-
вателя по высоте подрыва и характеристики рассеивания суб-
снарядов в скоростной системе координат ОХТУ/. Заданы также
17
характеристики корреляционных зависимостей между координа-
тами промаха субснарядов по каждой из координатных осей.
Пои выполненпи расчетов свести задачу к схеме двух групп
ошибок и рассчитать параметры распределения координат точек
срабатывания БЧ для фиктивного залпа субснарядов с двумя ва-
ри а игам и взрывате л я:
а) с контактным взрывателем»
б) с высотомерным взрывателем-
2. Дано:
. __ количество субснарядов в серии выстрелов,
9 __ угол пикирования субснарядов, град;
а __ СКО координат промаха субснарядов (при круговом за-
коне рассеивания), м;
т — математическое ожидание координат точек рассеива-
У
ния с^'бснарядов по оси О} , м;
rfi _ математическое ожидание координат точек рассеива-
ния субснарядов по оси OZ, м;
m у! _____ МО и срединное отклонение для высоты сраба-
/1 ’ Л
тывания высотомерного взрывателя по оси OYg , м;
- __ интервад времени между выстрелами при серийной
стрельбе, с;
r-.’.ti = r <t) exp(- at) • b -t- c cos (tot) — нормированная вза-
Ц £ L J
имная корреляционная функция координат промаха субснаря-
лов по осям ОУ и OZ, где первый сомножитель — коэффициент
корреляции разных субснарядов по каждой из осей при залпо-
вой стрельбе, а другие два приближенно в аналитическом виде
представляют нормированную автокорреляционную функцию ко-
ординат промаха одного и того же субснаряда в разные момен-
ты времени по каждой оси;
— доля групповой дисперсии в суммарной дисперсии
координат промаха разных субснарядов по каждой из осей рас-
'еивания в один и тот же момент времени.
3. Рассчитать:
а) МО и СКО закона распределения координат точек сраба-
тывания ЕЧ убенарядов с контактным взрывателем в земной
системе координат;
18
= mh
(2-1)
б) рассчитать и построить взаимную корреляционную функ-
цию rn(t) для одноименных координат промаха двух субснаря-
дов. В качестве расчетных точек целесообразно выбрать значе-
ния f, кратные т: т , 2т , 31 , (п - 1)л
О = '«W = ;
в) рассчитать матрицу коэффициентов корреляции между
одноименными координатами промаха для каждой пары субсна-
рядов из серии
(i < j < п) ;
г) построить матрицу коэффициентов корреляции между ко-
ординатами точек срабатывания БЧ субснарядов с контактным
взрывателем в земной системе координат:
д) рассчитать средние коэффициенты корреляции между
одноименными координатами промаха и одноименными коорди-
натами точек подрыва разных субснарядов с контактными взры-
вателями (коэффициенты корреляции для фиктивного залпа),
е) рассчитать МО и СКО закона распределения координат
точек срабатывания БЧ субснарядов с высотомерным взрывате-
лем в земной системе координат:
т,
sin О
(2.3)
19
(2.3)
h
h
ж) рассчитать коэффициент корреляции между координатой
ромаха р и координатой точки подрыва БЧ субснаряда с вы-
сотомерным взрывателем
- COS 0
з) рассчитать коэффициент корреляции между координата-
точек подрыва разных
субснарядов с высотомерным
взрывателем в фиктивном залпе,
(2-5)
и) рассчитать средний коэффициент корреляции между
одноименными координатами точек подрыва БЧ разных субсна-
рядов с высотомерными взрывателями для плоскости ОХ^ Z,, :
X .
L Варианты заданий (табл. 2.1).
Методические указания по выполнению
лабораторной работы
Лабораторная работа предназначена для изучения студента-
ми методов расчета характеристик рассеивания точек подрыва
с-нарядов с контактными или высотомерными взрывателями при
серийной и залповой стрельбе с пикирования. Задание на лабо-
раторную работу и исходные данные представлены в табл. 2.1.
При выполнении лабораторной работы следует исходить из
того, что характеристики рассеивания снарядов заданы в кар-
тинной плоскости OYZ поточной системы координат, проходя-
щей через центр наземной цели и перпендикулярной траекто-
рия пикирования снарядов. Оси OZ, земной и OZ поточной СИС-
тем координат совпадают и образованы пересечением плоскости
20
Таблица 2.1
1 П 0 1 а ] ?nz 5 I mh EJt (0 т a & 1
1 1 Й* 1 ° -30 3,0 3,0 , 0.0 0,800 3,5 0,5 2,00 0,040 1,5 0.50 1 0.50
1 2 1 ° -30 3.5 2,5 -1,0 V I 0,825 4,0 0,7 2,20 0,030 1.5 0,55 0.45 I
3 1 а -30 4,0 | 3,0 1,0 I 0,875 5,0 0,6 2,10 0,025 1.5 0,60 0,40
L 1 ** 1 э -30 4,5 | 2,5 | -1,5 J 0,850 6,0 1.0 2,10 0,040 1,5 0,65 0,35
1 ° ы 1 -зо 5,0 3,0 1,5 1 0,775 4,5 0,6 1,90 1 0,040 1,5 0.60 0,40 1
1 6 4 -30 3,5 2,0 1,0 0,800 4,0 0,8 1,50 0,050 2,0 0,50 0,50
1 7 4 -30 4,5 1 2,0 | -1’0 1 0,820 5,0 0,9 1,60 0,050 2,0 0,55 0,45
8 4 -30 5,0 2.5 2,0 0,840 | 4,5 0,4 1,70 0,040 2,0 0,45 0,55
1 9 4 -30 1 ** **- э,;> | 1,5 “2,0 0,850 | 4,0 0,6 1,80 0,050 2,0 0,65 0,35
1 10 4 -30 I 6,0 1 2,5 0,0 0,815 6,0 0,8 1,90 0,050 2,0 0,55 0,45 1
5 -30 5,0 3,0 1,0 0,860 4,0 0,5 2,10 0,030 1,5 0,50 0,50 |
12 5 -30 1 4,0 1 2,0 1 -1,о 0,830 5.0 6,7 2,00 0,025 1,5 0,60 1 0,40 1
13 5 -40 3,0 2,5 0,0 0,800 4,0 0,5 2.00 0,020 1.4 0,50 0,50 I
, - 14 О -40 1 2,0 1 1,5 1.0 0,850 5,0 0,5 2.20 0.025 1,4 0,55 °’45 1
№ И H mu ♦ D
15 о -40 2.5 2.0 -1.0 0,825
1 16 4 -40 1.5 1.0 o.o 0,860
1 17 4 -40 2.0 1.0 0.5 0.840
1 18 4 -40 2.5 2,0 1.0 0,880
1 19 4 -40 3.0 2.5 -1.0 0,820
j 20 4 -40 4.0 3,0 -1.5 0,840
| 21 D -40 3,0 2,5 -2.0 0,850
22 4 -40 3.5 2,5 1.0 0.820
1 23 4 -40 2,0 2,0 1.5 0.800
1 24 4 -40 2,5 1,5 -1,5 0.825
25 9^ □ -40 2.5 1.5 -1.0 0,850
26 1 - 4- -50 3.0 2.0 0,0 0,850
1 27 4 -50 2,8 3,0 -1.0 0.830
28 4 -50 3.2 2,5 -1,5 0,810
29 4 -50 2.5 2.8 2,0 0,860
Окончание гппбл. 2.1
mh I Eh । Cl) T a b 1
6.0 0,8 1,90 0,030 1.4 j 0,52 0,48
8,0 1,0 | 1,80 0,040 2.0 0,57 0,43
4.0 | 0,4 1,50 J 0,060 2,0 0,52 0,48
5,0 0.4 j 1.60 | 0,060 2,0 0,50 0,50
6,0 0,6 1,70 0,050 2,0 0,48 0,52
7,0 0,6 1.80 0,050 2.0 0,48 0,52
8,0 I 1’° । 1,90 , 0,040 1,5 0,46 0,54
6,0 1.0 2,00 0,030 1,5 0,45 0.55
5.0 0,6 [2,10 0,020 1,4 0,52 0,48
7,0 0,8 2,20 0,020 1,2 0.5 0,50 1
6.0 0.5 2,00 1 0,025 1,5 0,54 0,46
6,0 0,8 2.00 /* 0,040 1,5 0,5 * 0,50
7,0 0,9 1,90 0.040 1 * 1,5 0,55 0,45
8,0 I i,o 2,10 0.020 1,5 0.52 0,48
6.5 0,8 2,00 1 0,025 1.5 0,56 0,44
земли и картинной плоскости. Земная ось ОХ, перпендикуляр
па оси OZ^ и направлена в сторону пикиро-
вания снарядов. Оги О X Yf Z, образуют
А. А» Л»
правую систему координат. Схема размеще- F <
ния осей показана на рис. 2.1. в \\ Г.
гг 4 \ f
Для снарядов с контактным взрывать- —1 1
Хо С,-
.чем условно принимается, что координаты ’
точек подрыва лежат в плоскости земли. (В
действительности при контакте с, объемной
Нис. 2.1
целью они могут лежать выше уровня земли.) В этом случае
Параметры закона рассеивания точек подрыва снарядов опреде-
лятся соотношениями, приведенными в формулах (2.1), которые
справедливы при отсутствии корреляции между координатами
промаха субснарядов ио разным осям.
Первые две формулы следуют из очевидного геометрическо-
го соотношения между случайной координатой промаха I/ и слу-
чайной координатой х г точки пересечения траектории снаряда с
землей xf = -—7^-—- (Знак минус учитывает отрицательный
•’ sin 0
знак угла пикирования 0.) Из этого линейного, функционально-
го соотношения вытекает, что коэффициент корреляции между
величинами у и равен 1, и, как следствие >того, корр»' тяция
между координатами х\ч и хГ( точек подрыва разных снарядов
такая же, как и между координатами промаха но оси ОУ этих
же снарядов. Действительно, коэффициент корреляции между
центрированными координатами
х
дов можно представить так:
точек подрыва разных снаря-
[) ! siu“ Н
Ч !
23
где символ W обозначает линейную операцию вычисления мо-
мента от выражения из случайных чисел, заключенного в квад-
ратные скобки. Например,
dx r d .
gi
Корреляция между координатами zgi и аналогична кор-
реляции между координатами z- и z для каждой пары снаря-
дов, поскольку эти координаты эквивалентны.
В условиях серийной стрельбы, рассматриваемой в этой ла-
бораторной работе, корреляция между координатами промаха
разных субснарядов по одной и той же оси задана взаимной
нормированной корреляционной функцией. Эта корреляция обу-
словлена, во-первых, общими случайными возмущающими воз-
действиями на субснаряды, которые приводят к общей группо-
вой ошибке. Относительная величина дисперсии групповой
- -°гь
ошибки D = в один и тот же момент времени определяет
коэффициент корреляции г-(0) = г- = D =
IJ IJ 1 р
как при залповой
стрельбе.
Во-вторых, взаимная корреляция при серийной стрельбе
связана с автокорреляцией координат промаха субснаряда но
одной оси в разные моменты времени, которая обусловлена
инерционностью субснаряда и его системы наведения, приводя-
щей к ограничению скорости изменения текущей координаты
промаха субснаряда.
Ко:*ффициенты корреляции между одноименными координа-
тами промаха разных субснарядов равны величине взаимной
нормированной корреляционной функции при значениях /, рав-
ных интервалу времени между запуском соответствующих суб
снарядов в серии. Как уже говорилось, такие же значения
имеют и коэффициенты корреляции между одноименными коор
динатами точек подрыва еубенарядов.
При оценке эффективности серийной стрельбы обычно зада-
чу сводят к оценке эффективности фиктивного зал на, в котором
24
параметр,., рассеива ни я каждого субснаряда, такие же как .
при серийно,, стрельбе. Коэффициенты корреляции межда оио
именными координатами промаха разных субснарядов в <Ьик
тинном залпе принимаются одинаковыми, равными среднекв-, •'
ратическому значению из отличных от единицы коэффициенты,
корреляционной матрицы для серийной стрельбы и рассчитыш,.
ются по формуле (2.2).
При расчете параметров законов распределения координат
точек подрыва субснарядов по осям земной системы координат
следует иметь в виду следующее. Закон распределения высоты
подрыва субснарядов определяется законом распределения высо-
ты срабатывания взрывателя, параметры которого заданы в ис-
ходных данных. Закон распределения координат точек подрыва
субснарядов по оси OZ^ , как и в случае контактного взрывате-
ля, эквивалентен закону распределения промаха по совпадаю-
щей оси OZ. Закон же распределения проекции координат точек
подрыва субснарядов на ось ОХ,Г определяется не только зако-
ном рассеивания промаха по оси ОУ, как в случае контактного
взрывателя, но и законом распределения высоты срабатывания
высотомерного взрывателя. Это следует из того, что проекция
случайной координаты точки подрыва субснаряда на ось О X
связана с координатами промаха у и высоты срабатывания
взрывателя h линейным геометрическим соотношением:
sin О
Из сказанного вытекают расчетные формулы (2.3). Написан-
ное геометрическое соотношение показывает, что между случай-
ными координатами у и х , нет функциональной связи, так как
последняя зависит не только от первой, но и от независимой от
них координаты h.
Формула (2.4) для расчета коэффициента корреляции между
координатами ь и х, написана на основании следуюзцих соотно-
А»
шений:
п Г 0 0 11
° у
о о Л/ у х - . ~ ~ Z
Л-(ц х X ,1 g(yx ,r ,) L I яп() *gQJU
= ’ ylD
dsin2© tg2©
25
Преобразования, сделанные в этих равенствах, учитывают,
что. во-первых, вычисление корреляционных моментов и дис-
персий случайных величин есть линейная операция над центри-
рованными случайными величинами и, следовательно, величина
моментов не зависит от положения начала координат, а момент
от суммы равен сумме моментов; во-вторых, угол пикирования
меньше О; в-третьих,смешенный момент от произведения двух
независимых случайных величин (корреляционный момент
K(yh)) равен О.
То обстоятельство, что коэффициент корреляции между ко-
ординатами у и х для одного субснаряда с высотомерным взры-
О
вателем меньше единицы, приводит к тому, что коэффициенты
корреляции между координатами х и х разных субснарядов
оказываются меньше чем коэффициенты корреляции между ко-
ординатами промаха тех же субснарядов. Действительно,
У ~ <D~D~
cos
о
sin 0
о V]
М
В этих соотношениях все случайные величины считаются
центрированными, а координаты высот срабатывания высото-
мерных взрывателей разных субснарядов не коррелированы
между собой и с координатами промаха субснарядов.
Таким образом, при серийной стрельбе коэффициенты кор-
реляции г к для пар субснарядов, запускаемых с разными ин-
тервалами времени относительно друг друга, будут разными,
ибо для них будут различными корреляционные коэффициенты
У X
г, . При расчете среднего коэффициента корреляции г. для
фиктивного залпа в полученное выше соотношение вместо коэф-
1 У у
фицпентов г следует подставлять их осредненное значение г ,
как это записано в формуле (2.5). Из полученных выше формул
следует, что коэффициенты корреляции между проекциями коор-
динат точек подрыва разных субснарядов на ось ОХ отличаются
Г>
от коэффициентов корреляции между проекциями координат
точек подрыва тех же субснарядов на ось ОХ, . Этот вывод отно-
сится как к фиктивному залпу, так и к серийной стрельбе.
При оценке эффективности серийной и залповой стрельбы
обычно используются приближенные полуэмпирические форму-
лы. В этих формулах, для тех случаев когда средние коэффи-
циенты корреляции по разным осям различны, используются
осредненный по плоскости О X Z коэффициент корреляции
, рассчитываемый по формуле
Контрольные вопросы
Ч го такое автокорреляция и взаимная корреляция коорди-
нат промаха при серийной стрельбе, чем они обусловлены и как
могут быть описаны?
Что такое корреляционная матрица?
27
Какой смысл имеет и как осуществляется осреднение коэф-
фициентов корреляционной матрицы.
Почему при залповой стрельбе с наклонного пикирования
коэффициент корреляции гУр между координатами точек сраба-
тывания контактных взрывателей вдоль осп ОХ,, равен ко:.фф„-
циентт корреляции между координатами промаха одно-
именных снарядов по осн ОУ. а для снарядов с высотомерным
взрывателем отличается от последнего?
Лабораторная работа 3. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОС1И
ПОПАДАНИЯ (’НАРЯДОВ В ЗАДАННУЮ ОБЛАСТЬ
Задание
1. Выразить заданные в табл. 3.1 приведенные функции
Лапласа друг через друга с учетом представленных ниже обо-
:Начений:
ф',х->=ж J
о
di ;
erffx^ ^2>
dt .
О
Таблица 3.1
29
Окончание табл. 3.1
2. Найти значения заданных в табл. 3.2 приведенных функ-
ций Лапласа для указанных аргументов.
Таблица 3.2
()
Окончание табл. 3.2
I № Варианты заданий 1
1 13 £*(0,9) = ?, erf(- 0,8) = ?, Ф(0,7) = ?.
14 ег±’(0,69) = ?, Ф(1,1) = ?, FM(- 2,2) = ?.
15 £’(0,4) = ?, erf(2) — ?, Ф*(-1Д) = ?•
16 F7- 1,2) = ?. erf(- 1) = ?, <I43) = ?.
17 £*(з) = ?, erf( 1,5) = ?, Ф'(2,9) = ?.
18 (142,8) = ?, £*(-1,9)=?, erf(0,6) = ?.
19 <141,3) = ?, £*(- 1,5)= ?, erf(0,9) = ?.
20 erf(l,3) = ?, F*(- 1) = ?. Ф(2)= ?. J
21 ?(- 0,9) = ?, Ф(3.2) = ?, erf(0,9) = ?.
22 erf (0,6) = ?. F‘(~ 1,2) = ?, Ф(2,2) = ?.
23 Ф(3,1) = ?, F\- 1.4) = ?, erf(0.68) = ?.
24 F\- 0,8) = ?. erf(l,4) = ?, Ф*(1,3) = ?.
25 F*(-l.l)=?, Ф(2,6) = ?. erf(0.8) = ?.
26 F (1,2) = ?, erf(0,9) = ?, Ф(1,9) = ?.
вероятность попадания в площадь цели пря
габаритами а х 6 не менее т снарядов из
а также математическое ожида-
числа попавших
т
S. Определить
моусильной формы с
п при независимых выстрелах,
ние тс и средпеквадратическое отклонение о
СР ли снарядов. Параметры закона рассеивания коор-
попадания снарядов в плоскость цели ту , ?п. и
/<? , £,] заданы в табл.
гностп попадания одного снаряда в площадь
„ег.ользовять ПОДХОДЯЩУЮ аналитическую формулу и
нения, одну из таблиц приведенных функции Лап. ..
динат
Для приближенной
цели
Срав-
для
31
1 л 1 m тг % 1 V
1 1 I 2.0 3.0 1 -“1 5 -* J мм»
1 2 2.0 1.0 э 0 12
1 3 3.0 1 3.0 1 0 6
1 1.0 м 2 2 4 >1. — 1. 1
1 э 1 5.0 6.0 0 2 о 1 -
6 8.0 —1 9.0 2 0 6
1 _ 1 1 2.0 1 3,5 0 1 «ч—ев. 4
2.0 4.0 0 0 8 15 — —*
9 3.0 3.0 2,0 5 1 — 1 1 4
10 5.0 4.0 2 2 8
11 1 4.0 5.0 -1 -1 1
12 ! 3.0 4.0 0 0 6 4 ।
13 2,0 3.0 0 4.0
1 л 1 ** 2,0 3.0 0 1 1 4.5 1 L
« 1э 3.0 2.5 1 1 — А 1 1 1
Таблица 3.3
В' т и г 1* тх
4 2 4 5,0 15 5,0 0 5,0
16 Л 5,0 Ю 4,0 0 4,0
4 5 5.0 12 4 6.0 2 6,0 I
6 б 6.0 10 6.0 -2 4,0 1
2 3 6.0 12 5,0 5,0 1
2 4 6,0 16 4,0 3 6,0
1* э 2 3 4.0 10 4.0 0 5.0 1
3 4 4.0 • 10 2,0 -3 2,5 J
3 Л 9* □ 12 5.0 0 3,0 4,0 I
и 3 3 5.0 8 2.5 2 2.0 J
□ ** О 6.0 Л 15 3.0 ✓ 2 4,0
— 4 9^ О 6,0 15 5.0 -1 4,0 J
5,0 • 2 3 4,0 12 4.0 0 3,0 1
3.5 2 э 4,5 1 ✓ 8 3.0 0 2,0
4.0 | 3 ** э 1 w в 1 си 10 _ 4.0 4,0
I X. 1 11 f а 0 ти тг СУ Еи **
16 1 4.0 5,0 2 -1 8 5
Г 17 3.0 4,5 0 2 6,5 - - 1
Г18 L 2.0 4,0 -1 1 6 4
[ 19 3,0 4,0 0 2 7.0 - —
1 20 з.о 5,0 -1 8,0
I 21 | 4,0 3,0 1 0 ^1 6,0
I 22 2.0 1 | 4,0 0 6 4
23 4.0 5.0 2 7 *** э
24 2,0 3.0 0 2 о 3
25 5,0 3.0 2 -1 8,0 »
26 4 - - _ 4.0 2 7 ▼ □
Окончание табл. 3.3
т п 7* сг 772 х W
2 1 4 э,о и,— — 12 4.0 1 -2 3.0 1
5,0 2 3 6,0 15 3,0 1 3 5.0 1 1 0
3 4 5,0 12 1 2.0 1 4.0 j 1
5,0 4 а* э 4,0 10 1 3.0 0 4.0
5.0 2 4 5.0 10 5.0 1 2,5
4,0 3 - - J 4 - - 6,0 12 4.0 - -< к 0 4,0 1
3 Ж*’ э 4,0 11 4.0 -1 3.0 1
э 6,0 15 1 6.0 0 3,0 I
— 2 и* 5,0 15 4,0 г 9 4.0 [
5,0 2 4 4,0 12 3.0 -9 4.0 [
—— 1 9 ем 3 5,0 — — 15 4.0 о ! 3,0 1
4 Определить вероятность попадания точки подрыва БЧ
снаряда в цилиндрическую область с осью симметрии парал-
лельной траектории снаряда. Радиус цилиндра г, длина . Рас-
х.-тлл’Г'оппр с математическим ожиданием т = О
сеивание снаряда круговое с маслин*
и среднеквадратическим отклонением Ог •
Рассеивание координаты дальности срабатывания БЧ отно-
сительно центра области задано параметрами тх и Ел . Число-
вые значения параметров законов рассеивания приведены
табл. 3.3
Методические указания по выполнению
лабораторной работы
Лабораторная работа рассчитана на изучение студентами ме-
тодов определения вероятности попадания в цель при обстреле
ее снарядами с известными характеристиками рассеивания.
1. Вероятность попадания одномерной или многомерной слу-
чайной величины в заданную область определяется интегрирова-
ние?^ соответствующей плотности вероятности распределения
случайной величины по этой области. При стрельбе законы рас-
сеивания обычно, априорно, считаются нормальными. В этом
случае, как правило, интегралы, определяющие искомую веро-
ятность, не выражаются через элементарные функции, поэтому
применяются приближенные методы расчета, основанные на ис-
пользовании таблиц нормированных функций Лапласа различ-
ного вида. При оценке вероятности попадания в цель снарядов
с контактными взрывателями цель представляется в виде пря-
моугольника на картинной плоскости со сторонами, параллель-
ными главным осям эллипса рассеивания снарядов. Площадь
этого прямоугольника равна фактической площади цели. При
неконтактных взрывателях цель представляется в виде прямо-
угольного параллелепипеда со сторонами, параллельными глав-
ным осям эллипсоида рассеивания. Такое представление цели
позволяет определить вероятность попадания снаряда в цель
; ак произведение вероятностей попадания проекции координаты
точки подрыва снаряда на соответствующую ось в интервал, ха-
рактеризующий положение цели по этой оси. В общем виде ве-
роятность попадания случайной величины, например х, в иптер
на.1 <j i можно представить в одном из следующих видов:
34
Р(/р(х) = Р(а > х > Р) = J f(x) dx =
₽
Р « О
f(x) dx - _ f(x) dx = J /(x) dx + [ f(x) dx .
— oo
Составление таблиц непосредственно для представленных
интегралов и их использование крайне неудобно. Это связано с
тем, что численное значение этих интегралов определяется не
только значениями их аргументов а и [3, но величиной парамет-
ров закона распределения случайной величины (математическо-
го ожидания и среднеквадратического отклонения). Поэтому
для практического вычисления вероятности попадания случай-
ной величины в заданный интервал используются вышеприве-
денные соотношения второго и третьего вида, а сами интегралы,
входящие в эти соотношения, определяются с помощью таблиц
нормированных функций Лапласа. В приведенных выше интег-
ралах переменная интегрирования и границы интервала интег-
рирования задаются в размерном виде. В нормированных интег-
ралах переменная интегрирования и граница интервала интег-
рирования задаются в виде безразмерного отношения разности
между переменной и соответственно границей интервала интег-
рирования и МО случайной величины к некоторой мере рассеи-
вания этой случайной величины. Это уменьшает число парамет-
ров, от которых зависит численное значение интеграла до одно-
го — относительного размера интервала интегрирования. В
учебной и научно-технической литературе приводятся таблицы
нормированных функций Лапласа различного вида. Ооозначения
и смысл основных видов приведены в формулах (3.1). В лите-
они чисто ооозинчиются и нязывяются иняче.
Огметим, что в интегралах типа F*(x) , Ф (х) , Ф(х) аргумент
функции х=
ггь относительное расстояние от математи-
ческого ожидания случайной величины до границы интервала
интегрирования, измеренное в долях среднеквадратического от-
клонения.
35
л ex — Ш
Б интегралах F (х) , Ф (х) • Ф(х) в аргументе х = —в к а-
честве меры рассеивания случайной величины используется сре-
динное отклонение Ех -
Для функции ошибок efr(.v) в аргументе
а - /а д.
в каче-
стве меры рассеивания принята величина (Тд \2.
дают значения вероят-
ности попадания случайной величины х в интервал от минус
бесконечности до верхней границы а (заданной в размерном
Рис. 3.1
виде). Подчеркнем, что размерности ве-
личин а, 7п , б, или должны быть
Л «Л
одинаковыми. Геометрический смысл
этих интегралов показан (рис. 3.1).
Для этих интегралов справедливы сле-
дующие соотношения:
F'(- Xi = 1 - F'(x) ;
Г (- х) = 1 - ?(х) ;
Г (О) = F’(0) = 0,5 .
и Ф*
О - тпл
дают значения веро-
Интегралы
Рис. 3.2
ятностп попадания случайной величи-
ны в интервал от математического
ожидания до границы о. Геометричес-
кий смысл показан на рис. 3.2. Для
этих интегралов справедливы следую-
щие соотношения:
Ф‘(- х) = - Ф’Гх) ;
<!>’(— х) — — Ф (х) .
Интегралы
а - nr \
------- и
дают значения удвоен-
Ф (
ной ы-[К>ятно(тти попадания случайной величины в интервал от
и м;ического ожидания до границы (X. Для этих интегралов
сп ра ве/ь; и вы след ующие соотношсн и я:
Ф(- х) = - Ф(х) ;
Ф(— х) = - Ф(х) .
Интеграл типа erf
дает значение удвоенной вероят-
ности попадания случайной величины в интервал от математи-
ческого ожидания до границы а. Для этого интеграла справед-
ливо соотношение
erf(- х) = — erf(x) .
В расчетной практике иногда возникает необходимость опре-
делить значение одного нормированного интеграла Лапласа для
заданного аргумента по таблицам другого интеграла, например,
если нет подходящей таблицы. Пусть требуется определить зна-
чение интеграла F’(xn) с помощью таблиц функцией erf(x или
Ф’(х£) . Индексы у аргументов указанных функций показывают,
какая мера рассеивания случайной величины принята в этом интег-
а - тг
рале. Пусть л* =-----— , тогда абсолютная величина интервала,
значение вероятности попадания в который определяет интеграл
ДДхЛ , равна а - =х О . При использовании таблиц других
нормированных интегралов для оценки значения
О. - ,
-------- I их
аргументы
а - т.
должны соответствовать тому же интервалу, т.
г а - /пхч
и хпч^-= ----- Откуда следуют соотношения:
ции
а - тх = ха °х = ЛЕ ~ ло <2 и •
ги равенства позволяют выразить аргументы одной функ-
1ерез аргументы других функций, соответствующие одной
В частности, аргументы
>хнеи границе интервала.
if erf. соответствующие интервалу (X — тх • могут
Геперь, чтобы выразить значение функции Г через Ф* и
следует учесть, что вероятность, выражаемую интегралом F ,
37
можно представить как алгебраическую сумму двух вероятнос-
тей. Первая это вероятность попадания случайной величины в
интервал -оо 4-0, равная 0,5. Плюс (или минус, в зависимости
от знака п) вероятность попадания в интервал 0 - х^ , кол оря я
равная
значению Ф
——Д или половине
Р '2 ’
значения
Таким образом,
Г-(х0) = Ф-
^+0,5 = 0,5 erf f4] + 0,5.
р\2 J
Аналогично можно представить соотношения и между дру-
гими нормированными интегралами Лапласа.
2. Для оценки вероятности Ру попадания одного снаряда в
цель прямоугольной формы с координатами сторон а, [3 и у, 6
по главным координатным осям r)Y, OZ эллипса рассеивания
снарядов, с помощью таблиц нормированных функций Лапласа,
можно использовать одну из приведенных формул:
38
При оценке вероятности попадания в цель ровно т снаря-
дов из п Ргпп для независимых выстрелов можно использовать
формулы биномиального распределения:
Р = Ст Р"1 ] - Р,’
гпп п 1 J 11
Математическое ожидание и дисперсия
цель при п выстрелах т и Dr , а также
юте я формулами:
числа попаданий в
СКО m определя-
т
тсР = п[\ ’
3. При оценке вероятности попадания в цель снарядов с
контактными взрывателями в некоторых случаях можно ис-
пользовать аналитические формулы. Если цель имеет форму
круга с радиусом г, а закон рассеивания снарядов круговой с
нулевым математическим ожиданием относительно центра цели
и среднеквадра.тическим отклонением г>г , вероятность попада-
ния снаряда в цель PL можно рассчитать по формуле
Ио этой же формуле можно приближенно, с ошибкой не
более 3__5%, рассчитывать вероятность Р^ и в случае эллипти-
ческого рагсеивания снарядов с нулевым МО и СКО по главным
осям О и а , если выполняются условия 0,8 < 1,2. В этом
кругового эквивалентного (’КО рассчитывается
по формуле ст= .о( <*. -
Если цель имеет форму ь
ным осям ч и , а >
МО относительно центра цели
эллипса с полудиаметрами по глав-
ллипс рассеивания подобен форме цели с
нулевым
(соответственно <5
и СКО но главным осям
; , можно рассчитать по
формуле
39
По этой же формуле можно приближенно, с точностью до 3 —
j’o. рассчитывать вероятность попадания снаряда в эллипти-
ческую цель, если эллипс рассеивания снаряда не подобен эл-
липсу цели.
но выполняются условия:
и
главные оси эллипсов совпадают.
При произвольном нормальном законе рассеивания снарядов
с ненулевыми МО относительно центра цели, если цель произ-
вольной формы имеет максимальные размеры по главным осям
рассеивания снарядов, пе превышающие срединные отклонения
по соответствующим осям, то вероятность можно приближен-
но рассчитать по формуле f (niy , . В этой формуле
первый сомножитель в правой части есть плбщадь цели, второй
— значение плотности распределения координат промаха снаря-
да в центре цели. Формула основана на том, что если плотность
распределения двухмерной случайной по некоторой области ме-
няется линейно по каждой из осей, то вероятность попадания в
эту область равна плотности распределения в центре области,
умноженной на площадь этой области. При малых размерах
цели по сравнению с областью практически достоверного рассе-
ивания для нормального закона распределения это условие при-
ближенно выполняется. Для главных осей рассеивания формула
принимает вид
4. Для оценки вероятности попадания точки подрыва БЧ в
цилиндрическую область радиусом г и длиной Z с осью симмет-
рии, параллельной траектории снаряда, ее следует представить
в виде произведения вероятности попадания снаряда в круг ра-
диуса г на вероятность подрыва БЧ в интервале I .
Контрольные вопросы
Почему целесообразно табулировать нормированные интегра-
лы вероятности (функции Лапласа)?
Какой смысл имеют аргументы различных видов нормиро-
ванных функций Лапласа?
«
Чем могут отличаться друг от друга различные варианты
нормированных интегралов вероятности и каков их геометричес
кии СМЫСЛ? р
Как с помощью таблиц интегралов Лапласа можно оценить
вероятность попадания одномерной, двухмерной или трехмерной
случайной величины соответственно в линейную плоскую или
объемную область?
В каких случаях для этого можно использовать аналитичес-
кие формулы?
Лабораторная работа 4. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА
ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ
I. Интервальные оценки математического ожидания
и дисперсии непрерывно распределенной случайной
величины по опытным данным
1. Приближенный метод оценки. Определить приближенные
90% и 95% доверительные интервалы для рассчитанных в ла-
бораторной работе 1 статистических математических ожиданий
и дисперсий координат промаха по одной из осей для полной и
сокращенной выборок. Использовать нормированные функции
Лапласа.
2. Точный метод оценки. Определить точные 90%, 95% и
98% доверительные интервалы для параметров, указанных в
и. 1. Использовать таблицы распределений Стыодента и
3. Оценить практически достоверный (с доверительной веро-
ятностью 0,95) диапазон рассеивания координат промаха (т За)
по одной из главных осей для сокращенной выборки. При оцен-
ке учесть рассчитанные в п. 2 95% доверительные интервалы
для МО и С КО.
* См. Таблицы Вентцель Е С, Теория вероятностен. - М.: Физматгнз,
Корн Г., Кори Т Справочник по математике для научных рпботьиков.
1962;
— М.
Наука. 1977 и г. п.
41
Какие координаты промаха можно считать практически не-
совместимыми с данными к сокращенной выборке и исключить
из рассмотрения?
II. Интервальные оценки параметра
биномиального закона распределения случайной
дискретной величины
4. Точная интервальная оценка параметра биномиального
распределения случайной дискретной величины;
а) построить ряды распределения вероятностей появления
ровпо m (m = 0,1,2,....и) случайных событий в п независимых
опытах РГ . для двух биномиальных законов распределения с
параметрами и р2 ;
б) построить функцию F1(77i) вероятности появления не более
т (т = 0.1.2.. п) событий в п независимых опытах для бино-
миального закона распределения с параметром р^. Провести оги-
бающую, соответствующую вероятности появления менее m со-
бытий (т =0,1,2,..., /г) в п опытах F^m - 1) ;
в) определить вероятность cq появления не менее k событий
в п опытах для биномиального закона распределения с парамет-
ром рг ;
г) построить функцию F9(?n) вероятности появления не более
т (т = 0,1,2,..., п) событий в п независимых опытах для бино-
миального закона распределения с параметром р2 ;
д) определить вероятность появления не более k событий
в п опытах для закона распределения с параметром р2 ;
е) определить вероятность fy, выполнения условия pj < pk —
где Р), — частота появления ровно k событий в п опытах;
ж) определить точный 90%-доверительный интервал (pj , р2)
;п.я параметра биномиального распределения при статистической
частоте появления события в опыте pjt . Использовать грагршси ;
См. Ве*н7пель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Физматгиз, 1962; Янке Е.,
; Ф., Л»-ги Ф. Слеп.идльны€ функции. - М.: Наука, 1962.
42
ях на надежность в п
з) оценить 90%-ный доверительный интервал (его верхнюю
границу) вероятности отказа пиропатронов, если при испытани-
1 опытах они не отказали ни разу. Исполь-
зовать аналитическую формулу;
и) оценить минимальную 90%-доверительную вероятность
поражения цели управляемым реактивным снарядогл (УРС),
если при испытаниях все rig УРС цель поразили.
5. Приближенная интервальная оценка параметра биноми-
ального распределения случайной дискретной величины:
а) рассчитать приближенно 0%-доверительный интервал для
параметра биномиального закона распределения случайной дис-
° k
кратной величины, если статистическая частота ее равна р.= — •
h п ’
б) рассчитать приближенно {3%-доверительные интервалы
для параметра биномиального закона распределения той же слу-
чайной дискретной величины при той же статистической часто-
те р), , по при удвоенном и утроенном количестве опытов.
Исходные данные для лабораторной работы даны в табл. 4.1.
Таблица 1.1
Помер задания И Pl Р-2 k Л1 п9 «и р
1 4 0,1 0.9 2 10 95
2 4 0,15 0.85 3 8 6 98
3 4 0,15 0,85 1 11 7 99
4 4 0.2 0.8 2 10 6 90
5 4 0,05 0,95 2 12 5 90
6 4 0,1 0.9 3 10 6 99
7 4 0,12 0.88 1 9 7 95 1
8 4 0,08 0.92 2 8 э 99
9 0,1 0.9 4 9 6 95 J
10 9^ 0,15 0,85 3 11 5 90
43
Окончание табл. 4.1
Номер задания 77 Pl Р2 А’ П1 3
11 э 0.2 0,8 2 10 7 98 1
1 12 5 0.05 0.95 3 8 D 95 J
1 13 □ 0.1 0.9 3 12 6 99
1 14 0,05 0,95 4 10 5 98
1 5 0.12 0.88 2 9 6 90
1 16 6 0.1 0.9 3 8 95 1
1 17 6 0,15 0,85 4 10 5 98
1 18 6 0,08 0,92 3 1 9 5 90
1 19 6 0,05 0,95 2 12 7 99
1 20 6 0,1 0,9 3 11 8 98 1
21 4 0,1 0,9 1 8 D 98 J
22 4 0,15 0,85 2 10 6 90
23 0,12 0,88 3 12 5 99
24 4 0,05 0,95 2 9 э 98 1
25 4 0.05 0,95 1 1 И 7 95 1
Методические указания по выполнению
лабораторной работы
Лабораторная работа предполагает изучение и практическое
освоение студентами методов интервальной оценки параметров
законов распределения случайных непрерывных и дискретных
величин по статистическим данным.
I- Рассчитанные в первой лабораторной работе но специаль-
ным формулам точечные оценки для математического ожидания
и с редне квадратического отклонения координат точек рассеива-
ния в сокращенной выборке являются состоятельными и несме-
щениыми, а для МО еще и эффективными. Те же параметры
распределения, оцененные для полной выборки, таковыми не
являются, так как получены грубо приближенно на основании
иных, геометрических соображений. Параметры закона распреде-
ления случайной величины не случайны. Оценки же их, получае-
мые на основании ограниченного количества опытных значений
случайной величины, принципиально случайны и, следовательно,
имеют свои законы распределения со своими параметрами.
Так, оценка тп МО случайных координат промаха, рассчи-
танная в лабораторной работе 1 как среднее арифметрическое
наблюденных значений координат промаха, имеет в качестве
своего МО сам оцениваемый параметр, т. е.
п
п
пгп
___Ц _
---- — т
Дисперсия оценки
ту
п
riD
и
и
9
п
а СКО оценки
Оценка дисперсии координат промаха D »
бораторной работе 1 по специальной форм- ле.
МО сам оцениваемый параметр /J :
подученная в да-
имеет в качестве
45
п
.,т1, соотношения написаны с учетом следующих соображе-
- Постольку дисперсия случайной величины не зависит от
попожХя начала координат, принято, что оно совпадает с тощ
. * Тогда все значения случайных выборочных величии
ГявГяются независимыми, центрированными и, следовательно,
нее смешенные моменты от их произведения М |У, у,
равны
и дЮ как корреляционные моменты, а моменты от квадратов
'-Д случайных выборочных величин являются их одинаковыми
щХрсиямн. равными дисперсии самой случайной величины.
Относительно дисперсии оценки Dy следует сказать, что „на
-ависит от закона распределения случайной величины у. В част,
ности. ДЛЯ нормального закона распределения она равна
СКО
Как видно из вышеприведенного, дисперсия оцепо! п;
?летров закона распределения случайной величины с увеличе i
ем п уменьшаются и при стремлении п к 00 стремятся к ну по.
Это, в частности, указывает на сходимость по всроя’ < г
нои к оцениваемым параметрам. Относительно оценок, получен
ных в лабораторной работе 1 для полной выборки i •
можно сделать тот же вывод, так как с увеличением в стати< •
тические функции распределения сходятся по вероятное"
фактическим. При уменьшении числа статистических значен
случайной величины в выборке величина и вероятность заме г
ных отклонений оценок от оцениваемых неслучайных пара.е
ров возрастает, что делает точечные оценки менее достоверны
ми. В этом случае более полную информацию об оценивае.ль
параметрах можно получить с помощью метода так называемых
интервальных оценок. Суть этого метода состоит в том,что
совании точечных оценок определяется доверительный инт* р
Вентцель И.С» Теория вероятностей. — М.‘. Физматгиз, 1962.
вал, в котором с заданной доверительной вероятностью может
находиться оцениваемая величина. Подчеркнем, что речь идет о
субъективной доверительной вероятности [3 < 1, которую следует
выбирать с учетом того, что с вероятностью 1 - |3 оцениваемый
параметр может находиться и за пределами доверительного ин-
тервала.
Если бы закон распределения и его параметры для статис-
тической оценки некоторой величины были известны, то нахож-
дение доверительного интервала свелось бы к тривиальной зада-
че определения интервала, в который случайная величина с из-
вестным законом распределения попадает с доверительной веро-
ятностью. Затруднение состоит в том, что в общем случае закон
распределения случайной оценки некоторого параметра, напри-
неизвестен и зависит от закона распределения
самой случайной величины у и его неизвестных параметров
I
и Dt . Однако закон распределения оценки т как суммы п не-
зависимых одинаково распределенных случайных величин у , в
соответствии с центральной предельной теоремой, с увеличением
п приближается к нормальному. Уже при п > 10 его прибли-
женно можно считать нормальным. Для оценки D закон ее рас-
пределения уже при п 20 практически также .можно считать
нормальным , несмотря на то, что величины у — m.t , входя-
щие в нее, не являются независимыми, так как включают в
себя одну и ту же величину .
I. В тех случаях, когда закон распределения точечной оцен-
ки можно хотя бы приближенно считать нормальным, ipyoo
приближенную оценку [3-доверительного интервала для нее
можно определить так:
а) вместо неизвестных параметров закона распределения (для
оценки некоторого параметра) принимаются их точечные оценки,
б) выбирается по тем или иным соображениям доверитель
пая вероятность (3;
в) по таблице какой-либо нормированной функции Лапласа
определяется относительный доверительный интервал _ fp как
( м. сноску на с. 16.
47
ти l3. Этот интервал
,т <• а,,шктпш соответствующий вероятное-
аргумент нормированной фднкц! -
симметричен относительно начала коордц.
„ мркотооой меры рассеивания, врипя-
н и измеряется в долях некотором t ........~
той при нормировании интеграла Лапласа.
приведены некоторые соотношения для определения .
Ниже, для примера,
с номо-
щью различных таблиц:
[3 = 2Ф\^) = Ф(*рЕ) = erf (tpo <9 ’ •
Следует подчеркнуть, что численное значение аргумента, со-
ответствующего вероятности (3 для различных функций, будет
разным." Это обстоятельство подчеркивается дополнительным
подстрочным индексом, показывающим меру рассеивания, при-
нятую в соответствующем нормированном интеграле Лапласа,
г) рассчитывается симметричный доверительный инт< рвал
для соответствующего параметра относительно его ет
опенки.
Доверительный интервал 1р для параметра nilf :
где
о Е о \2
р -t
Е = р ',2 о = 0,675а .
Доверительный интервал для дисперсии Dt)
здесь fp можно определить, например, по одному из таких ра-
венств:
2D 0,675 VF Ь.. 2D,,
Efj = tn -у====£= = /о „ -г - У. tf //-
т- Но w /I _ ] ГРЕ Vn-1 <2 Vn “ Г '
2. \<>чнчя интервалыгая оценка неизвестных параметров за-
кона распределения случайной величины возможна в том слу-
чае, когда известно, что случайная величина распределена по
48
нормальному закону. Рассеивание при стрельбе обычно удовле-
творяет этому условию. И в этом случае законы распределения
точечных оценок параметров распределения, например, т и
неизвестны. Однако доказано, что случайная величина
7’ - — \
г^.~ l”’»/ тУ 1 РаспРеДелена по закону Стьюдента с п. — 1
степенями свободы. Подчеркнем, что Т зависит как от неизвест-
ного параметра , так и от рассчитанных по приведенным
выше формулам точечных оценок параметров т, и , а также
от количества п статистических значений случайной величины
?/, , использованных для получения этих оценок. Плотность рас-
пределения Sц _ |(f) величины Т по закону Стьюдента симметрич-
на относительно начала координат и зависит только от одного
параметра п. В учебной и научно-технической литературе, посвя-
щенной вопросам теории вероятностей и обработке статистичес-
ких данных, приводятся таблицы, в которых на основании рас-
пределения Стьюдента даны значения симметричного интервала
± , удовлетворяющего равенству 2 Sr, _ dt = р , в зависи-
0
мости от [3 и п - 1. По существу ± fn это наименьший интервал,
в который случайная величина Т попадает с вероятностью [3.
. (п-1)Д
Доказано также, что случайная величина I =- J--- имеет
у2-распределенпе с п - 1 степенями свободы. Плотность распре-
деления этой величины . HV) — положительная величина, не-
f -L
симметрична по отношению к МО и зависит только от одного
параметра п - 1 (числа степеней свободы). В технической лите-
ратуре приводятся таблицы, в которых даются значения чисел
удовлетворяющих
равенству
fe .(\}d\-Py в зависимости
п - Iх
См примечание на с. 46.
49
от вероятности Р и числа степеней свободы с - 1. Число Х есть
левая граница полубескопечного интервала, в который случай-
ная величина 1' попадает с вероятностью
С учетом сказанного выше 0-доверительный интервал для
параметра т определяется следующим образом.
а) по доверительной вероятности 0 и числу степеней свободы
п - I в таблице распределения Стьюдента находится 0-довери-
тельный полуинтервал fp для величины Т,
б) определяется 0-доверительный интервал /р для ту :
- ер; S + Е₽
причем £q и to должны удовлетворять следующим вероятное
р р
ним равенствам:
Откуда из сравнения последних выражений в первых и вто-
рых равенствах
Л*
Для дисперсии 0-доверительный интервал определяется
так:
в) определяется 0-доверительный интервал i для слу-
чайной величины V, исходя из следующего.
1исла /д > у2 должны удовлетворять очевидному условию:
50
_ l(v) в отли-
Однако этому условию может удовлетворять неограниченное
множество пар этих чисел. Для определенности необходимо
какое-то дополнительное условие. В силу положительности и не-
симметричности функции плотности вероятности k
чие, например, от распределения Стьюдента, условие симметрии
доверительного интервала относительно точечной оценки отпада-
ет. Естественно было бы найти минимально возможный интер-
вал. Но из-за неинтегрируемости функции kf _ j(v) , нахожде-
ние такого интервала затруднительно. Поэтому в качестве до-
полнительного принимается условие, что вероятность попада-
ния случайной величины V левее и правее него одинакова и
равна 0,5 (1 - Р). С учетом этого числа однозначно опре-
деляются следующими условиями:
2
(v) civ =
IT
kn _ j(v) dv
0
или
(v) dV -
соответствующие двум последним равен-
Значения Xi
ствам, находятся по таблицам распределения для вероятное-
- и
ч?и
*
п — 1 степеням свободы. Заметим,
что числа Xj являются правой, а Х? — левой границами [З-до-
верительного интервала для случайной величины V;
[3-доверительный интервал для параметра
написанных на основании вышеизло-
г) определяется
I) с учетом соотношении
с
женного:
51
Из этого вытекает, что
{3-доверптельньш интервал /R для
дисперсии D :
След-ет отметить, что в силу обратной симметрии величин
у~ и D левая граница Р-доверительного интервала для Парамет-
ра D соответствует числу /J , Т. е. правой границе р-довери-
тельного интервал для величины V и наоборот.
3. Обычно при обработке результатов опытов, например
стрельб, координаты промаха отдельных снарядов считаются не-
зависимыми, одинаково распределенными случайными величи-
на?.’?, которые появляются в независимых, повторяющихся опы-
та:’?. Однако в некоторых опытах повторяющиеся условия могут
случайным образом нарушаться, например, из-за разъюстировки
прицела и др. В таких опытах координаты промаха могут су-
щественно отклоняться от результатов штатно проведенных
опытов. Их надо было бы исключить из рассмотрения. Но если
факт нарушения условий проведения опытов не был обнаружен,
то эти координаты войдут в статистику и исказят результаты
анализа. В тех случаях, когда в статистическом материале име-
ются выпадающие точки” для того, чтобы приближенно оце-
иить, являются ли 37 и точки результатом нарушения штатных
условий проведения опыта или являются случайным результа-
том штатного опыта, можно исходить из следующего.
Теоретически областью рассеивания нормально распределен-
ЯоА случайной величины является интервал . Поэтому
юбое опытное значение этой величины теоретически является
вместимы.м со штатными условиями проведения опыта. Но ве-
роятиость больших отклоиоиий опытной величины ОТ центря
рассеивания тем меньше, чем больше отклонение. Приняв в ка-
честве практически достоверного интервала рассеивания случай-
ной величины ограниченный интервал, вероятность попадания,
за пределы которого практически равна нулю, например, интер-
вал + 3(5 относительно центра рассеивания, можно считать, что
все статистические точки за пределами этого интервала несо-
вместимы с результатами штатного опыта. В этом случае для
выбора практически достоверного интервала в качестве МО и
СКО закона распределения случайной величины приходится
использовать их точечные оценки. Однако следует иметь в
виду, что точечные оценки сами являются недостоверными.
Поэтому практически достоверный интервал, полученный на ос-
новании этих оценок, может не обеспечивать требуемую вероят-
ность попадания в него случайной величины. Более обоснован-
ную величину практически достоверного интервала рассеива-
ния можно получить на базе интервальных оценок для пара-
метров закона распределения случайной величины. Пусть для
некоторой выборки значений случайной величины у( получе-
ны [5-доверительный интервалы для МО zn,,min ; тут.ах и Для
СКО
утах
Тогда для практически достоверного интер-
вала рассеивания случайной величины с [3-доверительной веро-
ятностью можно принять равными:
нижнюю границу «/1ПП1 = “ 3оУтах ;
верхнюю границу f/iuax = /п,/тпх + Зс<дпах •
Таким образом, опытные величины yt , выходящие за пре-
делы интервала !/1пах) с ^-доверительной вероятностью,
можно считать несовместимыми с результатами независимых
опытов п исключить из рассмотрения.
11. Па практике часто приходится оценивать вероятность р
некоторого случайного события по опытным данным. Например,
оценивать вероятность поражения цели i PC по рез} льтатал
полигонных стрельб или вероятность срабатывания пиропатрона
по результатам стендовых испытаний. В этом случае в качестве
точечной оценки неизвестной вероятности /- принимается час-
гота события
независимых
смещенной и
р — — где k — число наблюденных событий
опытах. Эта оценка является состоятельной,
эффективной. Действительно, в каждом из а
йе-
не-
эЗ
В п
>нвпспмых опытов число наблюдаемых событии случайно и
м жёт принимать только два дискретных значения: 1 с ве-
роятностью р или О с вероятностью 1 р- ( роднее значение
.этого числа, его МО равно = 1р -г О (1 р) =Р» а дисперсия
= р( 1 4- тх)2 - (1 - Р)(О - тх)2 = р(1 + т г)2 = р(1 -р) .
В п опытах число наблюденных сооытий к случайно и равно
сумме всех чисел Хг- . Следовательно, статистическая частота со-
бытия равна среднему арифметическому независимых случай-
ных чисел Л с одинаковым законом распределения, т. е.
Таким образом, точечная оценка рк по закону боль-
пи чисел сходится по вероятности к оцениваемому параметру
и является состоятельной.
Мате.матическое ожидание частоты события
п
Следовательно, статистическая
щенной точечной оценкой.
Дисперсия оценки р,г равна
частота pft является несме-
п
п
пр (1 - р)
Р И ~ Р)
• Xi и соотношения написаны с учетом того, что дисперсия
суммы независимых случайных величин равна сумме их дисш*р-
сии, а дисперсия есть момент второго порядка от квадрата цент
рированной случайной величины. Доказано, что эта дисперсия
минимальна и оценка р является эффективной.
14 . Ь1ЯUIUOI3ЛО7К<'НН^>ГО ЯСНО xrnir» г».
иино, что п наблюденное число появ
лении события в п опытах слччяыил «
ал слу 1аино и может принимать любое
целочисленное значение от О го п \>аг. .
1 J п’ > яд распределения вгроят-
постен появления ровно т событий в и опытах определяется би-
номиальным законом, параметром которого является вероятность
появления события в опыте. Значит и частота события может
принимать случайные дискретные значения от 0 до 1 с шагом
- - , закон распределения которых такой же, как у числа k.
1аким ооразом, при точечной оценке вероятности некоторо-
го события по статистической частоте возникает вопрос о точ-
ности и надежности этой оценки. Частичный ответ на него
может оыть дан с помощью интервальной оценки неизвестной
вероятности. Разработаны как точные, так и приближенные ме-
тоды таких оценок.
4. Точные методы построения p-доверительного интервала
для вероятности некоторого события применимы для событий,
описываемых биномиальным распределением.
Для лучшего понимания метода точной интервальной оцен-
ки параметра биномиального распределения в настоящей лабо-
раторной работе вначале предлагается рассмотреть особенное ли
этого распределения на конкретных примерах:
а) ряд распределения Р.г,. вероятностей появления ровно w.
событий в п независи мых повторяющихся опытах для биноми-
ального закона с параметром, например, рассчитывается по
формуле
П П , Г'Т* ,Jn 1 „ 1
Ртп ~ “ ( п 1 Р1
(т - 0, 1, 2, П) .
Число сочетаний из п элементов по т в данном случае
можно определить из треугольника Паскаля
б) вероятность появления в п опытах не более А сооытий
для биномиального распределения с параметром описывается
ступенчато-прерывистой функцией:
т = О
н
гп = О
л — ГН
/
..., п) ,
« стон М.Д. Эффективность летательных аппаратов М • Изд во МАИ
верхняя огибающая которой при целочисленных значениях k
определяет эту вероятность.
Ни княя огибающая этот, функции, проходящая через нача
ю координат, вероятность появления менее А событий соответ-
ствует функции
в) вероятность «- появления в п опытах не менее А' собы-
тий при биномиальном распределении с параметром р. проти-
воположна вероятности Р,(Аг — 1) и равна
т = О
п - т
Вероятность aj можно интерпретировать и несколько иначе
Пусть в результате п независимых опытов с неизвестной веро
ятностью появления события в одном опыте р событие появи-
лось k раз, т. е. частота события оказалась равной pk = ~ . При
каком минимальном значении неизвестной вероятности
в Результате проведения п опытов статистическая ча<
моб вероятностью а
1 — О|? ,^ля определения этого
Тота события могла оказаться равной pk = ^- „ больше с т ребуе
мой вероятность,О а, оказаться меньше с вероятностью
1 <*!? Для определения этого значения
прения нужно подобрать его
7 r Удовлетворялось равенство
min
Иначе говоря, нужно разр.чпии
Plain -^данной вероятности (Х«
ЭТО ранояство
0'1 НОСИТРЛ11НО
He. IИ
выбрать
вероятность достаточно малой, чтобы счи
гать ее
практически
нулевой, то значение рт = р следует рас-
сматривать как практически минимальное (с вероятностью 1 - а
значение неизвестного параметра р биномиального распредели
ния. которое не противоречит статистической частоте р}, и удов
летворяет вероятностным условиям
1 Р - Pmin) ~ “1 ’ Р р> рпхЫ ’• = 1 - аг ;
1) рас1Ц)еделение вероятностей появления в и независимых
опытах не более k (Л = О, 1,2, п) событий (при биномиальном
распределении с параметром р?) задается ступепчато-прерыви-
стой функцией Fв соответствии с выражениями
k
{к - 0, 1, 2......п) ;
д) вероятность О'., появления в п независимых опытах не
более к событий определяется верхней огибающей этой функ-
ции:
Р2
т
п - т
Рассуждая так же, как в и. 4в, можно заключить, что ве-
роятность сс? определяет наибольшее значение р2= неиз~
вестного параметра биномиального распределения р, которое с
вероятностью 1 — по не противоречит полненной в опытах час-
тоте рг случайного события и удовлетворяет вероятностным ус-
ловиям
удовлетворяющая условиям
вероятность
к соответствии с пп. 4в и 4г
Таким образом, при статистической частоте события pk _ „ ,
которая является точечной оценкой неизвестного параметра би-
номиального распределения, его истинное значение находится в
диапазоне ; р2 с вероятностью pfr .
Геометрическая интерпретация вероятности р^, это интер-
вал по вертикали между нижней огибающей функции /^(/??) ц
верхней огибающей функции ПРИ т ~ к',
ж) определение точного В-доверительного интервала 7^ для
параметра биномиального закона распределения вероятности Гт
события по опытной частоте события Pjf по сути сводится к на-
хождению такого интервала = р^ ; р2' , чтобы вероятность на-
хождения в нем неизвестного параметра была равна р. Принци-
пиально таких интервалов может быть несколько в зависимости
от того, как распределить вероятности 0^ и «2 (вероятности по-
падания оцениваемого параметра левее и правее доверительного
интервала). Целесообразно выбрать вероятности (Xj и одина-
ковыми и равными Qj = = 0,5 (1 — Р) . Тогда границы интерва-
ла /р , как это следует из пп. 4в и 4д, должны удовлетворять
равенствам:
k
Z СП р2 ~2’
где k = п.
Определение значений n и ri
и fJ2 по этим равенствам всчч*ма
f рУ'-'JfЯ СЗВЯЗаНО (* 7TW глг»г»»тт гл
ходимостью решения алгебранчее
гих /равнении п^го порядка, не имркппму г
1 z 9 1 имеющих в общем случае ана
литических решении. Поэтомху ит.г,
У при практических расчетах пс-
5 8
пользуются специальные таблицы , в которых для различных
значений [3, п и р/( приводятся числа и р2 , удовлетворяющие
этим равенствам. Для 90%-доверительной вероятности можно
также воспользоваться специальным графиком , на котором на-
несены огибающие ступенчато-прерывистых функций, определя-
ющих границы 90/о доверительных интервалов для разных зна-
чений plt и п;
з) иногда в результате статистических испытаний частота
события оказывается равной нулю. В этом случае задача опре-
деления [3-доверительного интервала (точнее его верхней грани-
цы р2 , поскольку нижняя Р] , естественно, равна нулю) упро-
щается и может решаться с помощью аналитической формулы.
Дем больше неизвестная вероятность появления события в
опыте, тем меньше вероятность наблюдать в результате прове-
дения п опытов нулевую частоту события. Поэтому вероят-
ность р„ должна быть достаточно маленькой, но такой, чтобы
вероятность ненаблюдения случайного события ни в одном из
п опытов была бы практически невозможной или иначе, чтобы
вероятносл’ь появления хотя бы одного события была практичес-
ки достоверной, т. е. равна 3. Последнее условие можно запи-
сать
так:
В = 1 - 1 - р >' , откуда р., = 1 - ^"1 - Р ;
и) задача нахождения доверительного интервала для оценки
вероятности с.тучайного события в том слут1ае, когда в г оиьаднх
стати сти чес кая частота сооытия оказалась равной единице,
очень похожа на задачу, рассмотренную в п- 1з. В э ом случае
нужно определить шшь нижнюю границу р-доверительного
интервала, так как верхняя граница равна единице. Перейдя к
рассмотрению противоположного события, частота которого ес-
тественно равна нулю, найдем для него верхнюю границу З-до-
верительного интервала рг . Эта величина связана с р1 очевид-
* См. Дунин-Барковский И.В и Смирнов И.В. Теория вероятностен и мате-
Магическая статистика в технике. — Гостехиздат, 19о5.
* * См Вентнель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз 1963, а также
ранее названную книгу.
59
ным равенством р, = 1 - Pj В соответствии с п. 1ж запишем
Й f--- л/l R*
Р2 = 1 - М - р и. наконец, ру = М - Р -
Последнее равенство можно получить и на основании следу-
ющих рассуждений. При статистической частоте события, рав-
ной единице, нижняя граница |3-доверительного интервала
для оценки вероятности события должна выбираться так, чтобы
с вероятностью £ хотя бы в одном из п опытов событие не про-
изошло. Последнее противоположно тому, что событие наблюда-
лось в каждом из п опытов при вероятности появления события
в опыте р-^ . Этому условию соответствует равенство р — 1 р-^ ,
откуда следует р-^
^1-Р-
5. Приближенная оценка доверительного интервала для ве-
роятности случайного события по его частоте в п опытах осно-
вана на приближенном представлении биномиального закона
распределения через нормальный закон с МО и СКО, эквива-
лентными соответствующим параметрам биномиального закона.
Такая замена допустима, если параметр биномиального распре-
деления р удовлетворяет условиям пр >4 и п (1 — р) > 4. В этом
случае статистическую частоту pk можно считать распределен-
ной по нормальному закону с параметрами
М Pk
Предположим, что вероятность события р известна. Тогда
^-доверительный интервал = (р - £р ; р + для частоты Рд , в
который она попадет с вероятностью [5 в результате проведения
опытов, должен удовлетворять вероятностным условиям:
или
Поскольку принято, что частота события р. распределена
нормально, для вероятности [3 можно найти относительный (в
долях СКО) интервал tp по таблицам нормированных функций
Лапласа Ф (t^) или Ф(<р) так же, как и в. 1г, исходя из соотно-
60
шеиий |3 = 2Ф (ip) = Ф(7|5)
где t. — интервал
выражен-
ный в
тыо
долях о
—* Л «
Pk
следовательно,
и с вероятнос-
должны выполняться условия
или
Pk - Р ’
Преобразуем это неравенство к виду
Выше предполагалось, что вероятность р известна. Факти-
чески же она неизвестна, но известна из опыта частота pk ,
однако полученные неравенства справедливы с вероятностью
3 независимо от этого. Заменив в >том выражении знак нера-
венства равенством и, решая полученное квадратное уравнение
= О
относительно р,
корня, соответствующих нижней р^ и верх ей р2
получаем два
границе '3-до-
верительного интервала ; Р% Д
вероятности р:
п
п
Анализ этих формул показывает, что
чение Р[ возрастает, а р, уменьшается и,
с увеличением п зна-
как и следовало ожи-
61
JJ-доверительный интервал Ijj - (>1 • Pzj для
вероятности p
уменьшается.
V
Контрольные вопросы
соли-
В какцх стечаях целесообразно пспользонать интервальные
* К‘Ь1" - - ппгппрчрпения случайных величин'.’
оценки параметров законов распределения
Что такое доверительная вероятность и как с йен и с к >
местном экспериментальных точек связаны интервальные оцеп-
к и и почему?
Для каких законов распределения, рассмотренных выше. < у-
iiipctrvk>t точные методы интервальных оценок.
Какой смысл имеют доверительные интервалы ± , оиреде
ляемые по доверительной вероятности с помощью таблиц рас-
пределения Стьюдента или нормированных интегралов . 1апласа?
Какой смысл имеют числа определяемые по таблицам
у " рас пре деления ?
В каких случаях для биномиального распределения случай
нои величины точную интервальную оценку параметра закона
распределения можно получить по аналитической формуле?
КУРСОВАЯ РАБОТА 1 ПО КУРСУ
“ЭФФЕКТИВНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ ЛА”
(раздел “Боевая эффективность’ )
Содержание работы
Оценка
)ективности
атаки двух наземных целей
звеном
из трех штурмовых вертолетов, оснащенных управляемыми сна
рядами, при схеме стрельбы с ожиданием и переносом огня.
[ реп , < ! < я оиреде.лить: ряд распределения 7 ве]ЮЯТНоетеи по
ц
ражения ровно т целей (zn = 0,1,2) из Ац (А = 2), вероятност ь
орни 1-нии не менее 1 цели Р/п , , , вероятность поражения
’ Ц
ш-рвой и второй Ц< а также* средней3 число порая^н1
ми < цеж-й и среднеквадра,тичсское отклонение числа пора
жаемых целей СП1 .
02
Считаются заданными:
Условия стрельбы
Каждый вертолет атакует одну из целей серией из п управ-
ляемых снарядов только один раз. Атака целей осуществляется
вертолетами последовательно. Если первый вертолет не поража-
ет цель, то ее атакует второй и, при необходимости, третий вер
толст. После поражения первой цели, не атаковавшие ее верто-
леты. атакуют вторую цель. Снаряды пикируют на цель под
углом С в вертикальной плоскости.
Характеристики боевого снаряжения снарядов
УРС оснащены осколочно-фугасными БЧ (ОФБЧ) направлен-
ного действия, с преимущественным разлетом осколков в ниж-
ней полусфере. Вес БЧ (7БЧ , коэффициент наполнения взрывча-
тым веществом типа ТГ 10 60-(ХББ . Для ооеспечения большей пло
щади накрытия цели осколочным полем на УРС установлены вы-
сотомерные взрыватели е. математическим ожиданием (МО) гпув и
срединным отклонением Еу п высоты подрыва над землей.
Размеры и характеристики уязвимости целей
Обе цели одинаковых размеров имеют форму прямоуголь-
ного параллелепипеда со сторонами v , ЬД. . ( в зе.1
ме коорд
стрельбы.
у ел ови и п о дры па
Ч- (J V 1' / - Оси О У и О Y. лежат в плоскости
еовая "цель "состоит из одного отсека. Условная ве-
> поражения осколочным действием Ь1 У Ю. при
БЧ в области осколочного поражения, равна
состопг из
условны мп
цим
поражаемых отсеков.
пяти отсеков. Уязвимость от< сков
вероятностями поражения отсеков
секи этой цели входят в комбина-
Цоражение комбинации отсеков, ко
при одновременном поражении задап-
5 комбинацию, приводит к поражению
цели. Области оско.’
пости
асчетов в этой работе, в виде симм< i-
П1 „ептн! цели параллелепипеда на поверх-
(1.,.НО1.„,ч.льи. п, а Ц • > Уязвпм()сть о„..„х целей
земли со сторонами vt » »
63
характеризуется
поражаю-
фугасным действием БТ1 одинакова и
щим фугасным импульсом е/фп •
арактсристпики системы управления (СУ) Л Р(
Vправление У PC осуществляется полуавтоматической СУ.
Оператор, находящийся на борту вертолета, наводит перекрес-
тие прицела на цель. Прицеливание производится в картинной
плоскости OYZ. перпендикулярной траектории УРС и линии ви-
зирования цели. Привязка траектории УРС к линии визирова-
ния производится СУ автоматически. При этом СУ помимо ко-
манд управления снарядом вырабатывает постоянный сигнал,
обеспечивающий превышение траектории наведения УРС над
линией визирования цели на величину 1 пр по оси СП. Это пре
вышени€ вводится для того, чтобы случайные координ^
рыва БЧ снарядов в среднем находились над центром цели.
PJoc/хеднее д/словие обеспечивает наибольшую вероятное ь по]
дания точки взрыва БЧ в область поражения цели и, слсдова-
Т0.“£>но, приводит к большей вероятности поражения цели. Це-
лесообразное превышение У зависит от средней высоты сраба-
тывания высотомерного взрывателя угла пикирования
УРС на цель О. При выполнении курсовой работы его следует рас-
считать и использовать при оценке эффективности стрельбы УРС.
Рассеивание снарядов в картинной плоскости (JYZ обуслов-
лено ошибками прицеливания оператора, случайными порывами
ветра и т. п. Эти случайные ошибки являются общими для всех
УРС в серии и приводят к корреляции между координатами
промаха разных снарядов, запускаемых с одного вертолета. По-
мимо этих ошибок наведения УРС имеют место индивидуальные
ошибки, обусловленные особенностями каждого УРС в отдель-
ности, например ошибки работы бортовой СУ, ошибки, связан-
ные с аэродинамической песимметрией снаряда и эксцентриси-
тетом тяги двигателя и т. п.
В настоящей курсовой работе считается, что законы рассеи-
вания УРС при серийной стрельбе с каждого вертолета одина-
ковы. Суммарное рассеивание каждого УРС в картинной пл ос
г ос'ги отнс>сительно точки наведения определяется параметрами
норма гьного двухмерного закона распределения координач про
овое рассей ва ние)-
64
маха УРС: МО mtJ , тг и ('КО о = о2 - а (круг
Корреляционные зависимости между координатами промаха
по одной и той же оси для каждой пары снарядов из серии за-
даны корреляционной матрицей.
Исходные данные к курсовой работе
Корреляционная ма грица
Номер
УРС
В этой таблице г; и г- есть соответственно коэффициент
корреляции между координатами промаха i-го и /-го снаряда и
равный ему коэффициент корреляции между координатами про-
маха /’-го и z-го снаряда. В данной курсовой раооте с чи ае' я,
что корреляционные матрицы одинаковы для обеих осей рассе-
ивания в картинной плоскости OYZ. Если число > PC в < >рии
меньше 1, например 3, то в расчет принимается часть матрицы,
включающая первые 3 столоца и строки.
Варианты заданий (размерные величины
заданы в килограммах, метрах, градусах)
Вариант 1
65
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
-30 4
20
Номера </п икон в
пор/ inc )Р мых комби наци ях
фп
170
Вариант б
YB
Номера спсеков в
пор; > >ia u‘М bix ко мби на ц и ях
6«
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
вариант 9
67
Вариант 10
Вариант 12
68
Вариант 14
Вариант 15
0 п СБ Ч аВВ *^фп т YB eyb ту mz а а X сг
-30 4 А" О о 0,75 230 7 2 2 0 6 6 Зя з 3
1 Сг X* t г;2 G3 G5 Номера отсеков в 1 поражаемых комбинациях 1
1 18 10 15 0,1 0,3 явв__ 0.2 0,2 0,2 2 и 4, 2 и 5, 1 и 3 Я
Вариант 16
Вариант 1 7
о п (;БЧ аВВ 'Лрп mYB EYf> ту rn о а
-25 4 80 0,65 280 6 1,5 4 8 3.3 3,5
Av г> С, (г1 G у G3 G4 G5 Номера отсеков в пор;окаемых комоинациях
16 8 9,5 0.3 0.3 0,4 0,4 | 0,4 4 и 5, 2 и 3, 1 и 3 j
69
Вариант 18
Вариант 1!)
Т4пхтог>я отгпков В
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
КУРСОВОЙ РАБОТЫ 1 ПО КУРСУ
“ЭФФЕКТИВНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ ЛА”
(раздел “Боевая эффективность”)
Общие указания
Оценивая эффективность, рассматриваемой в настоящей ра-
боте боевой операции вероятность поражения наземной цели се-
рией УРС, следует рассчитывать как эффективность эквивалент-
ного, фиктивного залпа тех же УРС. Фиктивный залн характе-
ризуется таким же, как и при серийной стрельбе, суммарным
рассеивание м каждого УРС и одинаковым для всех пар снаря-
дов осредненным коэффициентом корреляции координат точек
рассеивания. Таким образом, при расчете вероятности пораже-
ния пели замена серийной стрельбы почти эквивалентным по
общему рассеиванию снарядов фиктивным залпом СВОДИТ задачу
к схеме стрельбы с двумя группами ошибок. Последнее обстоя-
<- ь< во существенно угцющаеч учет влияния корреляцпоН1И»1х
зависимостей между координатами промаха разных снарядов на
эффективность стрельбы и позволяет использовать для расчета
приближенные формулы.
11ри f тр< льое неы олькими снарядами по цели, в составе ко-
торой есть комбинации поражаемых осколкам БЧ отсеков,
может иметь место накопление ущерба.. Ото обстоятельство при-
водит к. взаимной зависимости между вероятностями пораже-
ния цели разными снарядами. Эту зависимость можно условно
назвать зависимостью между снарядами по поражению цели.
Суть ее состоит в том. что разные отсеки, входящие в комби-
нации, могут поражаться разными снарядами, что приведет к
поражению цели, хотя каждый в отдельности снаряд цель не
поражает. Накопление ущерба увеличивает эффективность се-
рийной или залповой стрельбы. Расчет вероятности поражения
второй цели, при атаке ее одним вертолетом, в рамках настоя-
щей практической работы,следует сделать с учетом накопления
ущерба, наносимого цели разными УРС из фиктивного залпа. При
атаке второй цели двумя вертолетами, также может иметь место
накопление ущерба за счет поражения комбинации отсеков снаря-
дами. запускаемыми с разных вертолетов. Учет накопления ущер-
ба, наносимого цели УРС, которые запускаются с разных носите-
лей, в рассматриваемых условиях чрезвычайно усложняет решае-
мую задачу и приводят к громоздким вычислениям. Исходя из
того, что настоящая курсовая работа носит учебный характер,
при оценке вероятности поражения второй цели вторым снаря-
\ом накоплением ущерба, наносимого цели снарядами р~> ь х
носителей, можно пренебречь. Такое допущение оправдано не
только упрощением расчетов, производимых на основе ipuo и-
жепных методов, но и следующими соображениями. Во nt р лх,
учет рассматриваемого накопления ущерба влияет только на эф-
фективность осколочного поражения цели, а оно не является оп
ределяющим, есть еще фугасное поражение. Во-вюрых, то ше
ния, вносимые в оценку вероятности поражения цели за счет
учс^та накопления ущерба, обычно не велики и уменьшаются
у вел ичениом числа снар«чдов, постреливающих цель. Наконец,
трЕ'тьих, принятое допуЩЕ'НШ? относится только к оценке в }
ности поражения второй цели снарядами третьи о всрто.
Атака второй цели третьим вертолетом происходит лишь в том
случае, если первый вертолет поразит первую цель, а второй не
поразит вторую цетль. Вероятность такою юпыитл
рассеивания координат
ром цели в ;--
чтобы МО координаты х
ошибок
линаты
,. ОН(< меньше, «м меньше ошибка в оценке вероат-
: ^ения вТО1»б пели из-e» ПРННЯТ.Н-О допугцевня.
Порядок .. методика выполнення расчетов
,„U„UV не несообразного превышения траек-
1. Вычислить величину целесоиц
и УРС над линией визирования цели ) пр •
стления следует выбирать такой, чтобы центр
tx личину пре подрыва БЧ находился над цент-
т.-лпгнт'инат Для этого необходимо,
;емной системе координаы
точки подрыва БЧ, при отсутствии
наведения УРС на цель, было равно нулю. Связь коор-
значениями координаты промаха ) (<
) относительно центра цели и случайной
р'
подрыва БЧ у, вытекает из геометрических
Для этого необходимо
учетом
координатой
сообр^ жжений
л со случайными
смешения 1’
высоты
У
пр
sin 0
отклонение УРС от точки наведения
Зтесь у — случайное
смешена относительно точки прицеливания на величину
Отсюда для математических ожиданий справедливо:
которая
пр
пр
тУВ
ответствии со сказанным выше
Приравнивая нулю математические ожидания ?пл и
получаем расчетную
т
21 П
9
1TL у j t
с уче-
2. Вычислить математическое
том фактических ошибок наведения и
ожидание координаты
вычисленною выше зиа-
. Ц да л ыт< йшс л будем обозначать это М<) ч» рез т л (1
г х иижеприы-денных форм/лах подстрочные индексы
Z, написанные без инд< са g, ОТНОСЯТСЯ К ОСЯМ *> • и
72
_ _ 11-1 р_L,72zL УЦ mYFf cos Q + т Шу. m
Hl.— , H----— ~ — —---------------!L ' ь h
SJ11 0 tg 0 sin О tg 0 ’ ~ sin 0 '
3. Вычислить CKO gx или вероятное отклонение Ex коорди
наты х точки подрыва БЧ:
г-»
4. Вычислить
радиус фугасного поражения
_-.'ОбЧ
Для ВВ типа ГГ 10/60 коэффициент Л, при взрыве у поверх-
ности земли, следует принять равным 58.
5. Определить размеры области фугасного поражения цели
и границы интервалов но координатным осям ОХ У„ Z , в ко-
Ь» с»
торые должны попасть проекции координаты точки подрыва
БЧ, для обеспечения фугасного поражения цели.
Областью фугасного поражения цели является прямоуголь-
ный параллелепипед на поверхности земли, верхняя и боковые
грани которого параллельны соответствующим граням цели, и
расположены на расстоянии от них. Отсюда
и т. д.
тикали является поверхностг
закопа
нормалиного
юго взрывателя
кой (конечной) вероятностью
земли, т. е. в зоне поражения цели,
нижнюю границу интервала срабат:
равной — <'.
вытекает из следующих < оооражении.
зоны поражения наземной цели но вер-
, земли, для заданного в исходных
распределения высоты подрывгх вы-
дествуег теоретическая вероятность
и. Фактически же с этой теоретичес-
подрыв произойдет на поверхности
73
6. Определить вероятность поражения цели фугасным .-дейст-
вием БЧ снаряда Рф БЧ - Эта вероятность, которая равна веро-
ятности подрыва БЧ в зоне фугасного поражения цели, вычис-
ляется как произведение вероятностей попадания координат
точки' подрыва БЧ снаряда Рфх , Рфу , в соответствующие
в соответствующие
интервалы, характеризующие размеры зоны фугасного пораже-
ния цели. Расчет этих вероятностей целесообразно проводить с
использованием таблиц нормированных функции Лапласа, ак,
например, при использовании таблицы приведенной функци!
Лапласа ф|х)
Вероятность попадания проекции координаты тот* и подр
ва БЧ в площадь фугасного поражения цели на поверхности
земли равна Рфх2 = Рфх Рф2 и, наконец, Рф БЧ = Рфх2 Рф,у
7. Оценить вероятность фугасного поражения цели фиктив-
ным залпом Рпф БЧ - Вероятность БЧ численно равна вероят-
ности подрыва хотя бы одного снаряда из п в области фугасного
поражения цели. Корреляция между координатами промаха раз-
ных снарядов в фиктивном залпе и наличие высотомерпого
взрывателя очень усложняют точное вычисление этой вероятнос-
ти. Вместе с тем, в настоящее время нет и приближенных ме-
тодов расчета, разработанных применительно к рассматриваемо-
му случаю. Поэтому в рамках настоящей работы можно исполь-
зовать приближенный метод расчета, разработанный для случая
залповой стрельбы снарядами с контактным взрывателем, скор-
ректировав его для рассматриваемой задачи.
При оценке эффективности залповой стрельбы контактными
«нарядами со средним коэффициентом корреляции между одно-
именными координатами промаха разных снарядов г(/ вероят-
ность попадания в цель хотя бы одного снаряда из п Рп рассчи-
тывается по формуле
74
ГДе - 1 f1 Р1 — вероятность попадания в цель хотя бы
одного снаряда при г ; = О (независимые по промаху выстрелы);
рп = Рпп = р1 — вероятность попадания в цель хотя бы
одного снаряда при г., = 1 (функционально зависимые по прома-
ху выстрелы). Эта вероятность численно равна вероятности по-
падания всех функционально зависимых снарядов в цель Рф
поскольку в этом случае в цель могут попасть только все сна-
ряды одновременно, либо ни один из них. Р'Г'_ в свою очередь
численно равна вероятности попадания в цель снаряда при
одном выстреле .Р^ , так как групповая ошибка для функцио-
нально зависимых по промаху снарядов равна индивидуальной
ошибке независимого снаряда.
Из приведенных соотношений видно, что вероятность Pf
есть средневзвешенное значение между вероятностью Р** с коэф-
фициентом веса "X 1 — rj и
веса 1 — — rt- .
вероятностью Р4^ с коэффициентом
По аналогии с контактными снарядами для УРС с высото-
мерными взрывателями вероятность Р; . можно также счи-
тать средневзвешенной величиной между вероятностью попада-
ния в область фугасного поражения цели точки подрыва Б 1
хотя бы одного из п независимых по промаху снарядов / ;/ф Б11 и
вероятностью попадания в область фугасного поражения цели
точки подрыва 1>Ч хотя бы одного из п функционально зависи-
мых ио промаху снарядов рД} р,ц • Д-’1Я расчета коэффици итог
веса нужно определить осредненно< значение коэффициента кор-
реляции между проекциями координат точек подрыва, раз
ных УРС по каждой из осей координатной плоскости ОХ^,
Для этого следует:
а) рассчитать средний коэффициент корреляции rZ;cp_//?cp
= между координатами промаха разных УРС по каждой
осей картинной плоскости OYZ. Осреднение произнес!и исход
из данных корреляционной матрицы. Средний 031 Ч J
корреляции чарямгрп» < ' •
промаха снарядов в фиктивном
снарядов относительно ДР5Г iPJra
иканию при серийной стрельбе.
ляцию между координатами
!ялпе, в котором рассеивание
примерно эквивалентно рассе-
Здесь в чистителе подкоренного выражения суммируются
квадраты всех отличных от единицы коэффициентов корреляци-
онной матрицы, расположенные выше единичной диагонали для
z снарядов в серии:
б) рассчитать коэффициент корреляции rJ^ между коорди-
натой : промаха УРС по оси ОУ и координатой .г, точки под-
рыва его БЧ по оси :
в, рассчитать средний коэффициент
ординатами точек подрыва разных
корреляции между ко
снарядов в фиктивном
зал не:
Г = !'
Ч^Р ЧСР
I j ра< с читать средний коэффициент корреляции /; между
одноименными координатами точек подрыва БЧ равных УРС па
плоскости ОХ , 7., :
Гср ’Ч/ср “ijcp
\/.ф БЧ ‘
Теперь
НО
рассчитан.
вероятность
Если принять для весовых коэффициентов та) и<*
же,
Ка! и
для - • и;.;/ снарядов, зависимости их от среднего ко:м|н|)п
к< ‘ г.: ; я )ИИ одноименных координат точен подрыва БЧ
76
разных УРС на
иметь вид
плоскости
OX, Z,
И АГ
ТО расчетная формула будет
где
pH — 1 _ О _ П " пф Г z J1 ~
РифЬЧ 1 РфБч) > Л/ф БЧ = Рфхг [1 - (1 ~ .
В последнем равенстве первый сомножитель справа - веро
ятность попадания проекций координат точек подрыва всех
функционально зависимых по промаху снарядов в площадь
цели на земле. Второй — вероятность подрыва хотя бы одного
независимого взрывателя на этих снарядах ниже верхней грани-
цы области фугасного поражения цели.
Приведенное соотношение является приближенным. Оно не
учитывает корреляции между случайной координатой высоты
подрыва взрывателя и вероятностью попадания координаты х
по осп OYif точки подрыва БЧ в область фугасного поражения
цели. Эта корреляция не велика при сравнительно малом рассе-
ивании высоты срабатывания взрывателя по сравнению с рассе-
иванием координаты .г(, . По существу это означает, что коорди-
наты х^, точек подрыва БЧ функционально зависимых по про-
маху УРС слабо зависят от высоты срабатывания взрывателя в
области фугасного поражения цели. Поэтому вероятность попа-
дания координат л\г в область поражения цели для разных
функционально зависимых по промаху снарядов, принимается
одинаковой. Что и отражает вышенаписанная формула.
8. Рассчптатт. вероятность подрыва БЧ снаряда в области ос-
колочного поражения цели Р , а также вероятность попадания
проекции на землю точки подрыва БЧ в площадь осколочного
поражения цели Р .
Эти вероятности вычислить как произведение вероятностей
попадания координат точки подрыва БЧ Рох , Ро1/ , Рог в соот-
ветствующие интервалы, характеризующие размеры области ос-
колочного поражения цели. Расчеты выполнить по формулам,
аналогичным г<‘М, которые призе (ены в п. 5.
„„-«лп-гк nr ко ’точного поражения первой
9. Рассчитать вероятность осколок х
цели одним УРС PoBtj :
Л>БЧ “ Р» (г1 •
10. Рассчитать вероятность осколочного поражения первой
цели фиктивным залпом п PC Рморц
При точном расчете этой вероятности возникают еще более
стожные проблемы по сравнению с расчетом вероятности фугас-
иого поражения. Поэтому следует применить сугубо приолижен-
ный метод расчета, базирующийся на приблизительной знало-
гии с методом оценки вероятности поражения цели нескольки-
ми контактными снарядами с одинаковыми коэффициентами
корреляции между координатами промаха. С учетом сказанного
вероятность можно оценить как средневзвешенное зна ie-
ние между вероятностью осколочного поражения це in i € 1
мыми по промаху снарядами и вероятностью осколочного
поражения цели функционально зависимыми по промаху снаря-
дами с весовыми коэффициентами k и 1 - /с:
Л^оБЧ “ ^^поБЧ + (1 ’ Р/юБЧ ’
где
В последнем соотношении первый сомножитель справа есть
вероятность попадания проекции на землю точек подрыва функ-
ционально зависимых по промаху снарядов в площадь осколоч-
ного поражения цели. Эта вероятность, как и при оценке фу-
гасного поражения, принята равной вероятности попадания про-
екции точки подрыва одного снаряда в площадь осколочного по-
ражения цели. Второй сомножитель в квадратных скобках есть
вероятность осколочного поражения цели фиктивным залпом
функционально зависимых по промаху снарядов, которое может
тцюизойти только в случае, если хотя бы один из независимых
in, высоте срабатывания взрывателей на этих снарядах подо-
рвется в области осколочного поражеиия и при этом поразит
цель. •)''(> соотношение является приближенным и для пего
справедливы все замечания,
вероятности в и. 7г.
сделанные по отношению подобной
Коэффициент веса, k, по аналогии со случаем стрельбы кон
тактными снарядами, определяется по специальной таблице* в
которой его величина зависит от среднего по плоскости OX,Z,
коэффициента корреляции между одноименными координатами
точек подрыва БЧ разных снарядов и числового комплекса ц .
Последний, в отличие ог случая стрельбы контактными снаря-
дами, следует вычислять по формуле
пР ~ Л? си -
о 1 оЬЧ
11. Рассчитать полную вероятность поражения первой цели
фиктивным залпом УРС с осколочно-фугасными БЧ и высото-
мерными взрывателями, Р^ч при отсутствии накопления ущер-
ба между фугасным и осколочным действием БЧ:
1ц
//БЧ
/ю Б71
12. Рассчитать вероятность осколочного поражения каждого
отсека второй цели фиктивным залпом РоБЧ
(i= 1, 2, ..., 5).
Поскольку размеры области осколочного поражения второй
цели такие же, как и у первой, вероятность подрыва БЧ одного
УРС в этой области такая же. т. е. равна Рг . Вычисление ос-
тальных параметров следует проводить по схеме, изложенной в
пп. 9 и 10.
Отличие состоит лишь в том, что для каждого отсека в рас-
чете используется свое значение условной вероятности пораже-
ния отсека осколками С, . В частности, так как по условиям за-
дачи эти вероятности для первой цели и первого отсека второй
цели равны, то и вероятности их осколочного поражения оди-
наковы, т. с. PoBij — ^лоБЧ •
13. Рассчитать вероятность осколочного поражения второй
Цели фиктивным залпом с учетом накопления ущерба Рлонч
См., например, Пестов М.Д. Эффективность летательных аппаратов. --
Издано МАИ, 199 1; Абчук В.А. и ДР Справочник по исследованию операции
М., Воениздат, 19’79
,₽ииЯ нети. состоящей из отдельных пора-
Вероятность пораже . аЖаеМых отсеков осколочным
жаемых отсеков и ком поражения хотя бы одного от-
действием БЧ равна »^™°одвой ком6„„пции поражаемых от-
дельного отсека или хотя вероятиость через противополож-
секов. Представляя пос. д отдельных отсеков, .....
ную вероятность непоражени ности непоражепия
ражаемых комбинат ’ й опять-таки через
отсеков и поражаемых комбипаци
ти их поражения, можно записать
р2п
^поБЧ
ни их ho-
ot дельных
вероятнос-
отсеков;
комбинаций
является простои, т. е.
входящие в
авиа
, входящих
где г, _ число отсеков, поражение каждого из которых нри-
о
водит к поражению цели;
Ро5Ч — вероятности поражения этих отсеков;
л — число поражаемых комбинаций
Pf — вероятности поражения этих
рассчитываются.
Если комбинация поражаемых отсеков
для ее поражения необходимо поразить все отсеки
комбинацию, то вероятность поражения этой комбинации р
произведению вероятностей поражения всех отсеков,
в комбинацию. Например, комбинация поражаемых отсеков К]
состоит из двух отсеков, вероятности поражения которых зал-
пом равны соответственно и » торДа
(О рЧ)
лоБЧ поБЧ
Кел и комоингЩия ггоражяемых отсеков является сложном т. о.
( е поря женил неооходимо поразить либо все отсеки, входя-
щие в комбинацию, либо часть из них, то, используя анализ
< хемы событий, сложное событие поражения этой комбинации
н .71 представить в виде суммы полной группы составляющих
‘го 0олее простых, несовместных событий. Тогда вероятность
поражения комбинации можно вычислить как сумму вероятнос-
1ей всех этих несовместных событий. Например, комбинация
иораж^МЫХ отсеков К2 состоит из Tj,eX оте.еков, вероятности
поражения которых залпом равны /j(o рй) ;,(/«) Пи„
7/оЬЧ ’ Ш»Б’1 ’ 1 7/оВЧ • Д *
<0
поражения комбинации отсеков достаточно поразить любые два
отсека из трех. Такая комбинация поражается лишь при одном
из следующих четырех несовместных событий: поражены все
три отсека или поражены любые два из трех отсеков при неп /-
ражении третьего. Условие непоражения третьего отсека при
поражении двух других делает события, состоящие в поражени ।
только двух из трех отсеков, несовместными с событием пора-
жения трех отсеков. Без этого условия события поражение двух
отсеков и поражение трех отсеков совместны, так как последнее
включает в себя первое. С учетом сделанных замечаний можно
написать
_ р(г) p<J) р(1<) , р!0 p(j) . p(k)
к2 “ 1 /гоБЧ Л лоБЧ 1 поБЧ ГпоБЧ Г«оБЧ 1 ” ГпоБЧ
оО) р(Л’) 1 _ рб) , р(0 p(k) । р(/)
/гоБЧ 1 «оБЧ J лоБЧ ^поБЧ 1 иоБЧ 1 ~ ЛюБЦ
14. Рассчитать вероятность осколочно-фугасного поражения
второй цели фиктивным залпом Р7бч , при условии независи-
мости осколочного и фугасного действия БЧ.
Поскольку уязвимость первой и второй цели фугасным дей-
ствием БЧ и размеры целей одинаковы, то и вероятности их
фугасного поражения фиктивным залпом одинаковы. Поэтому
2Ц
лБЧ
ровно т (т = 0. 1, 2) из
15. Вычислить для рассматриваемой боевой операции ряд
распределения вероятностей поражения
двух целей Рт9 .
f / L
Атака двух наземных целей звеном из трех пп p i *ых - р-
толетов, оснащенных управляемыми снарядами, при схеме
стрельбы с ожиданием и переносом огня может заверши ься
лишь одним из трех ш совместных событий, образ Iи их о
ную группу событий. Первое — непораженно ни одной ц ш,
второе — поражение ровно одной (первой) цели,
ражение обеих целей. Исчерпывающей верояпк» 1 i>ai‘ t
ристикой этих событий является ряд pat цред(. н i > m2
тия, связанные с атаками первой и вюрои целей, в мио
имозависпмыми. Зта зависимость заключаеюл в го д, и I
Цель может быть атакована только при условии пора. .,
Вой Цели, а атака второй Цели СВИДеТеЛЬС ГВУеТ
81
атаке первой. С казанная зависимость не позволяет использовать
для вычисления составляющих ряда распределения РГП2 форму-
лы биномиального распределения или производящую функцию,
которые применяются лишь для независимых событий. Поэтому
в настоящей курсовой работе следует использовать расчетные
формулы, вытекающие из анализа схемы событий.
Так, непоражение ни одной цели в рассматриваемой боевой
операции может произойти только в случае, если ни первый, ни
второй, ни третий вертолеты, атаковавшие первую цель, не по-
разят ее. Следовательно, так как атаки цели разными вертоле-
тами в смысле эффективности поражения цели независимы,
Поражение ровно одной (первой) цели происходит только
при одном из следующих событий. Первое событие — первый
вертолет поразил первую цель, а второй и третий вертолеты,
атаковавшие вторую цель, ее не поразили. Второе событие —
первый вертолет не поразил первую цель, второй поразил, а
третий, атаковавший вторую цель, ее не поразил. Третье собы-
тие — первый и второй вертолеты не поразили первую цель, но
ее поразил третий вертолет. Следовательно,
Поражение ровно двух целей возможно только при одном из
следующих событий. Первое событие — первый вертолет пора-
зил первую цель второй, атаковавший вторую цель, ее не пора-
зил, а третий вертолет поразил вторую цель. Второе событие —
первый вертолет не поразил первую цель, но ее поразил второй
вертолет, а третий вертолет поразил вторую цель.
I ретье событие первый вертолет поразил первую цель,
второй поразил вторую цель, а третий цели не атаковал. Откуда
82
Последнее равенство в этом соотношении следует из того,
что сумма вероятностей Р02 > ^12’ ^2 2 Равна единице, как
вероятность полной группы несовместных событий.
16. Вычислить полную вероятность поражения первой цели
и полную вероятность поражения второй цели W ,ц за всю
боевую операцию. При стрельбе с ожиданием и переносом огня
вероятность равна вероятности поражения не менее одной
цели Рт 1 9 и в рассматриваемой задаче равна
1ц “ Ли > 1,2 ~ ^1,2 + ^2,2 •
Эта формула учитывает, что поражение первой цели может
произойти как при условии непоражения второй цели (первое сла-
гаемое), так и при поражении второй цели (второе слагаемое).
Вероятность поражения второй цели равна
W - Р
к 2ц *2,2
17. Определить среднее число целей пгср , поражаемых в
рассматриваемой боевой операции.
Среднее число поражаемых целей (МО числа поражав
целей) вдожно определить по одной из привел* нч ях ниже форм л
+ W
т
т
= 1Р
и СКО в числа поражаемых
операции. В данной задаче дис-
Б/Г( можно рассчитать только ио формуле
18. Определить дисперсию D
целей в
Персию
т
ГН
т = 1
= О - гп
\ /
1 - т
тср '
к
7/
/71
КУРСОВАЯ РАБОТА 2 ПО КУРСУ
•ЭФФЕКТИВНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ ЛА”
(раздел “Надежность”)
Содержание работы
Определить вероятность безотказной работы за время 7’к
объекта (системы), основное соединение которого со< гонт из
шести блоков.
Вычисления выполнить для двух расчетных случаев.
1. Оценить схемную надежность объекта исходя из заданной
структуры блоков и характеристик надежности блоков или их
элементов, указанных в исходных данных:
а) рассчитать вероятность безотказной работы блоков Б1 и
Б6 по точечным оценкам параметров надежности элементов. Оп-
ределить среднее время безотказной работы блока Б1;
б) надежность блоков Б2 — Б5 рассчитать исходя из струк-
туры блоков и заданных параметров надежности блоков или
входящих в их состав элементов. Определить среднее время без-
отказной работы блоков Б4, Б5;
в) рассчитать схемную надежность объекта исходя из точеч-
ных оценок параметров надежности блоков Б1 и Б6;
г) оценить максимальную и минимальную вероятности без-
отказной работы блока Б1 исходя из точных |5-доверите л ьпых
интервальных оценок МО и СКО времени безотказной работы
блока;
д) оцепить npai тически максимальную и минимальную на-
дежности блока Б6 с учетом 90%-доверительной вероятности
безотказной работы элементов блока.
2. Оценить надежность объекта в предположении, что
cTji'/ктура блоков Б1-Б5 не известна, а надежности их описыва-
ются экспоненциальными законами распределения. Припять в
j ячестве параметров этих заколов среднее время их безотказной
раб<хгы, заданное в исходных данных или рассчитанное в n. I
,( 1*1 бло! ов Ы и Ьб принять минималыи.н' доверительные веро-
ятности их безот! азной работы рассчитанные в ин. I с и 1д.
84
Исходные данные
( груктурная схема надежности объект □
Эл1 Эл2
П-ГК
Блок БЗ
Блок Б2
Блок Б4
Блок Б5
Блок Бб
Надежность блока Б1 описывается нормальным законом рас-
пределен ИЯ.
Для блока Б1 известно Л'_ экспериментальных значений t
времени работы блока до отказа.
11адежность элементов блоков 1>2—Б5 описывают кс
циальными законами.
В блоке Б2 осуществлено нагруженное резервирован и. со
линейное нагруженное резервирование с > ctvi е-
В блоке 1*3 .
пью резервирования I -•
13 блоке Б4 ненагру кенное резервирование.
> резервирование со степенью pe.ief -
В блоке В5
вироваиия .
А
Б5 элементы независимы ио надежности
завиеимоеги по нагрузке!.
Блок Б6 состоит из двух одно
•'ов, дуолирукнциX ДРУ1’ ДРУ ’
•атно срабатывающих >ле-
татистинеская ,,а( roia 11Х
цементов блока Ъб описыва-
законами распределения.
БЗ заданы средние времена безотказной
гр.'ёлтываш'.я задана. Надежность
ется биномнальными
Для блоков В2 и
работы блоков T’cpg и
1тя блока Б4 задано ^процентное время безотказно,, работы
элементов Т
элемента Эл1 за
Б5 задана вероятность р(Т J безотказной работы
время Тк и интенсивность отказов < "
элемента
заданы статистические данные ио испытания
______________ число испытанных элементов;
элементов на надежность:
rj _ число успешных испытании.
Некоторые числовые параметры законов распределения
нов или входящих в
альных заданиях.
пх состав элементов заданы в пнди]
Индивидуальные задания
80
10
0,90
0,97
0,98
0,99
9,99
0,98
0,90
0,99
0,98
Эл2 л
Блик Ь
т Z и .7
Ьб
18/19
Варианты задании
Блок 4
0,98 0,99 0,98 1 0,98 | 0,97 0,97
1,6 1 1,7 2,1 1,9 1 1,6 1,7
1/3 1 2/3 2/2 2/3 1/3 । 2/3
10/10
9/9
15/16
16/16
Варна 1нты заданий 9 10 11 12 13 14 15 । 16
jБлок 1 р% 8 95 9 99 1 0 95 П 90 | 12 96 8 98 11 85 12 | 95 I
Блок 2 Л,,2 J 0 " Г> (бл) 1,5 2,3 1,7 1,9 1,2 1,4 2,3 1,8 I
Блок 3 т „ • 10 (бл) 1,5 1,4 2,1 1Д I 1,9 0,7 1,5 1)6 1
Блок 4 7'.. 10 " ’ (эл) 1 • V * 2,0 0,98 1,0 0,97 0,8 0,98 1,1 0,97 1,2 0.99 1,0 0,98 1,7 0.97 1-7 0,98 |
Эл1 р( Тк) 0,99 0,98 0,97 0,98 0,99 0,99 0,99 1 < 1 0,98
Блок 5 Эл 2 ?vQ 10 ‘ ’’ < J 1,60 2,0 1.5 1,1 1,7 0.9 1,67 I 1,8
п К 2 2 2 2 1/3 2 3 2 2 2 2 1 3 2 2
Блок 6 Эл1 71] V] Эл2 п, N,, и 5 /5 9 10 10 10 11 12 aw w < 7 9 10 6 6 16 17 15 15 1115 25/25 29 30 50 50 39 40 30/30 49/50
Объект — I 7'к 1,1 1.6 1,5 1,4 1,5 1,6 1,5 1,6 1,5
| Варианты задании 17 18 19 20 21 22 23 24 1
и 8 12 10 9 10 11 12 1
Блок 1 |5% 95 88 96 90 98 96 95 98
| Блок 2 т j • 10 ° (бл) 1.0 2,0 1,5 0.9 1.2 1,3 2,5 1.9
ср2
1 — г> ( Блок 3 т . io (йц) 1 ** 1,0 1,5 2,0 1.3 0,9 0.7 1,5 1,6
° 0 1.0 0,8 1,1 1,2 1.0 1,7 1.7
V 1 /‘10 (301)
Блок 1 У * У 0,98 0,97 0,98 0,97 0.99 0,98 0,97 0,98 I
Эл 1 Д7’, 1 л к 0,90 0,9 8 0,96 0.96 0,99 0,95 0.99 0,98 1
Блок 6 Эл2 Х 10 1.0 2,0 1,8 1.2 1.8 0,9 1.7 1 ч 1,8 9 •?
И 1 п N ) *2 W 1 3 2/3 2 2 2 2 L о —*
1 НЛ1 п. Л'. 8 8 11 11 9 9 8 8 16 16 25 25 50 50 60 60
[ Блок 6 1 | <)л2 п , Л ) 9 Ю 11 12 9 10 12 13 14 15 29 30 39 40 19 50
( ь> ьект /’ pi J 1.6 !,5 1 LI 1,5 !,6 1,5 1,6 1, •>
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К КУРСОВОЙ РАБОТЕ 2 ПО КУРСУ
• ЭФФЕКТИВНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ”
(раздел “Надежность")
Надежность или вероятность безотказной работы объекта,
основное соединение которого с точки зрения схемы надеж-
ности состоит из нескольких последовательно включенных
элементов (блоков), рассчитывается как произведение вероят-
ностей безотказной работы этих элементов. При этом предпо-
лагается. что вероятность безотказной работы каждого ie
та (закон ее распределения) при работоспособном состоянии
остальных элементов является величиной независимой. Это
допущение остается справедливым даже в том случае, когда
отказ некоторых элементов, входящих в основное соединение,
вызывает отказ других элементов, например отказ блока
электропитания, вызывает отказ потребителей электричества.
Дело в том, что отказ любого элемента основного соединения
вызывает отказ всего объекта независимо от того, откажут ли
при этом другие элементы.
1. Оценка схемной надежности объекта с учетом структуры
блоков:
а) расчет надежности блоков Б1 и Б6. При расчете надеж-
ности блока Б1 необходимо получить точечные оценки для
параметров закона распределения вероятности его безотказной
работы по статистическим значениям tOT ( (f — 1, 2, ... , N ) вре-
мен работы этих элементов до отказа в эксперименте.
Точечная оценка МО времени безотказной работы блока В1
определяется как среднее арифметическое наблюденных значе-
ний tQ :
N
3
оценка дисперсии и 01\,О времени безотка той
работы блея а Б1 по формулам
88
N
Вероятность Рг(Тк) безотказной работы блока Bl за заданное
время Тк оценивается с учетом следующих соотношений:
где t; m(t); c(t)
и р и б л и ж е н и а я
мени безотказной работы блока Б1
оценки МО и СКО.
плотность распределения вре-
, выраженная через точечные
Используя различные приведенные функции Лапласа, напи-
санные выше соотношения, можно пррдст -вить в виде
тк +
o(t)
При расчете надежности блока Б6 следует использовать то-
чечные оценки для параметров законов распределения надеж-
ностей элементов, которые входят в этот блок. В блоке и по ть-
зуются элементы однократного срабатывания, вероятность безот-
казной работы которых па интервале О - Гк не зависит от вре-
мени и определяется биномиальным распределением. Парамет
ром биномиального распределения является вероятное']ь безот-
казного срабатывания элемента. Точечной оценкой этой вероят-
ности яв.хяется частота безотказного срабатывания ыеменга в
экспериментах. Для безотказной работы блока Б6 нужно, что
бы безотказно работал хотя бы один из элементов. Так к<хк для
одного из элементов блока 66 задано, что он безотказно работал
во всех экспериментах и, следовательно, /д о л ка
роятноети ei'o безотказной работы равна едини t. Из То п . ,,
т°Кает, что и вероятность безотказной работь ка
89
также нужно принять равной единице вне зависимости
дежности 5., второго элемента. Деиствитель .
Блок Б2 по своей струк-
“ть его можно рас-
б) расчет надежности блоков Б2-Б5.
туре является резервной группой из трех элементов с нагружен-
ным резервированием кратностью 2 1. Надежность его можно рас-
считать на основании следующих соображении. С точки зрения
надежности блок Б2 может находиться только в одном из четы-
рех несовместных состояний. Первое все три элемента нахо-
дятся в работоспособном состоянии, второе — любые два э.че
мента из трех работоспосооны, третий отказал, третье в ра-
ботоспособном состоянии находится только один элемент, два
других отказали; и, наконец, четвертое — все элементы не ра-
ботоспособны. Если надежность элементов не зависит от нагруз-
ки, вероятность нахождения резервной группы в одном из воз-
можных состояний определяется
m3 = Р (1 “Z7)
во работоспособных элементов из трех. Безотказная работа
блока Б2 обеспечивается лишь первыми двумя состояниями рас
сматриваемой резервной группы. Таким образом, вероятносг; •
безотказной работы блока Pg можно представить формулой
биномиальным законом раецре-
(т = 0, 1, 2, 3), т — количест-
3 - т
гп = 2 т - 2
гд€, /> с вероятность безотказной работы одного элемента.
Для расчета вероятности Р2 по приведенной выше формуле
нужно знать интенсивность отказов элементов К , которая не зо-
на в исходных данных. Однако ее можно определить, исполь-
>уЯ «язъ^ежду заданным средним временем безоткнзной рабе
гы олока Б2 и функцией надежности блока:
ср2 ~
- 2л/
О
-2- е~ П t
31 '
- е~ '
а
2/
90
о
□
6 *с₽ •
Эти соотношения показывают, что среднее время безотказ-
ной работы резервной группы складывается из суммы средних
времен ее безотказной раооты в каждом из работоспособных со-
стояний. В данном конкретном случае равно сумме средне-
го времени одновременной работы всех трех элементов и ст в -
него времени работы только двух элементов из трех. Они равны
соответственно одной трети и половине среднего времени безот-
казной работы элемента tcp = — Таким образом, среднее время
/V
безотказной работы блока Б2 Т 2 меньше среднего времени
безотказной работы одного элемента. В этом нет ничего пара-
доксального. Дело в том, что в блоке Б2 резервируются два эле-
мента, среднее время безотказной совместной работы которых
равно половине среднего времени работы одного элемента. При-
менение одного резервирующего элемента повышает время без-
отказной работы резервной группы с половины до пяти шестых
среднего времени работы элемента.
Из этих соотношений следует, что интенсивность отказов
элемента X
Р ,(Т ) по приведенной выше формуле.
2/1 цепочки из двух последовательно
Надежность блока определяется тремя
Определив Л. можно рассчитать вероятность безотказной раоо-
ты блока Б2 за время 7
Блок БЗ с точки зрения надежности является резервной
группой, в которой реализуется линейное нагруженное резерви-
рование с кратностью
включенных элементов.
работоспособными состояниями резервной группы, в к орь х
безотказна хотя бы одна цепочка элементов. Вероя нос ъ э их
состояний, как и для блока В2, задается биномиальным распре-
каждой цепочки, элементы которой
законами распределения надеж-
можпо представить в следующем виде. • е ‘и
отказов каждой цепочки элементов. С учетом
делением. Надежность р
описываются экспоненциальными :
пости,
интенсивность
этого надежность Р.ЛТ ) блока БЗ равна
м It
91
Интенсивность отказов Лц
находится принципиально так же,
из соотношения
срЗ
Надежность Р4(ТК) блока Б4. в котором осуществлено нена-
гртженное резервирование с кратностью 1 1, можно с ц< вI
формуле
х\
где первое слагаемое есть вероятность безотказной работы ос-
новного эле.мента, второе — безотказность резервирующего эле-
мента при условии отказа основного элемента.
Интенсивность отказов X элементов блока Б4 можно рассчи-
тать по заданному в исходных данных у-процептному времени
безотказной работы элемента с вероятностью у:
->л .1.1
У = е г , откда 2V = — in — .
Среднее время безотказной работы блок Б4 вдвое больше
средаего времени безотказной работы элемента:
2
Т1
х ср4 *
Блок В5 является резервной группой с линейным нш'ружен-
:j-'’• рр-ерЕированием кратностью n/TV. В соответствии с исход-
ными данными рц(Тк) за время цепочки из двух последова-
гельно включенных элементов можно представить в виде
= Р1^к) е~ .
С/ учетом этого надежность блока Б5 по аналогии с блоком
БЗ ложно издразить формулой
92
п < N
fi + N — m
m
Среднее время безотказной работы блока Б5
х идика вэ можно опреде-
лить следующим образом. Так как элементы цепочки описыва-
ются экспоненциальными законами, то и закон распределения
вероятности безотказной работы всей цепочки является экспонен
циальным:
Р^Тк) = е
откуда интенсивность отказов цепочки эле
ментов
S читывая, что среднее время безотказной работы блока Б5,
так же, как и для блоков Б2 и БЗ, складывается из средних
наработок блока в различных работоспособных состояниях,
можно записать
в)
надежность объекта в
целом с учетом структуры блоков
6
Р(7'К) = П Р,(ТК);
i = 1
г) максимальная п минимальная ^-доверительная вероят-
ность безотказной работы блока Б1 рассчитывается на основа-
нии |3-доверительных интервальных оценок параметров за' она
распределения его надежности.
Точный ^-доверительный интервал для среднею времени
безотказной работы блока Б1 (Tlnun‘, Tjmax) с использованием
точечных оценок для параметров закона распре к гения его
Дежности рассчитывается так: по [3-доверите гьной ‘.t роятност
таблице распределения Стьюдента для ~ 1 1 гепени св " Д
Находится значение Л. :
1 tuin
min * ma)
ккадратпческо’.'о времени ое
следующим оорязом.
|3-до верительной
\ — 1 степени
вероятности в
соответствующие
вероятностям
интервала для средне к вадратичес-
по
Гранины доверительного
. го времени безотказной работы блока Б1 вычисляются
формулам
Г
min
г
max
П( t) = a(t)
j-доверительную вероятность безотказной рабо-
использованием одной из та-
в ка-
заков с параметра-
макси мальную
ты блока Б1 можно рассчитать с
б vn про ванных нормированных функций Л апл ас а, приняв
честве закона ее распределения нормальный
ШIE *
min
dt=l~
linax ’ min
(It —
Imax
1 max
min
min
] max
min
linax
безотказной работы
Б1 -ложно рассчитать, приняв в качестве параметров нор
миничалыг. ю [3-доверительную вероятность
11J \ f
min max
~ Ф
~ Ф
к
111111
G
max
Imin ’ ^max dt ~
Приведенные равенства предполагают, что выполняются ус
ловил
Imax ’
д) максимальная безотказность блока Б6 в соответствии с
разделом 1а равна единице.
Минимальная 90 'о-ная доверительная вероятность безотказ-
ной работы блока Б6 оценивается следующим образом. Для эле-
мента блока Б6, статистическая частота срабатывания которого
равна единице, нижняя граница Р-доверительного интервала
Pimm Для вероятности безотказного срабатывания элемента опре-
деляется условием, что в
экспериментах при вероятности
срабатывания элемент Р]ппп хотя бы один из них откажет с ве-
роятностью р. Это условие противоположно тому, что все эле-
менты в экспериментах безотказны. Из этого вы екае.
1 Б6, статистическая частота сраоаты-
нижняя и верхняя довери-
х) вероятности срабатывания эле-
по специальному графику , для задан-
статистическон частоте срабатывания
Для элемента 2
вания которого меньше единицы
тельные границы (p2inin ’
мента можно определить
иых в исходных данных
п,
Р — и числу экспериментов
„ л М • Физматгиз, 1962.
Теория вероятности и.
95
Минимальная вероятность безотказной работы блока Б6 оп-
ределяется выражением
2. Оценка надежности объекта при неизвестной структуре
блоков.
Х^ля экспоненциальных законов надежности блоков Б1 -Бб
при минимальном доверительном значении среднего времени
безотказной работы блока Б1 и при минимальной доверительной
вероятности безотказной работы блока Б6 надежность объекта
оценивается по формуле
6min *
1mm €
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Абчук ВЛ., Матвейчук В.Л., Томашевский ЛИ. Справоч-
ник по исследованию операций. — М.: Воениздат, 1979.
Вентцелъ Е.С. Теория вероятностей. — М.: Физматгиз
1962.
Дунин-Барковский И.В. и Смирнов И.В. Теория вероятностей
и математическая статистика в технике. — М.: Гостехиздат
1955.
Лорн Г. Корн 7. Справочник по математике для научных
работников. — М.: Наука, 1977.
Пестов М.Д. Эффективность летательных аппаратов. —
М.: МАИ, 1994.
Янке Е., Эмде Ф., Леги Ф. Специальные функции. — М.:
Наука, 1962.
СОДЕРЖАНИЕ
Лабораторная работа 1. Обработка статистических ко-
ординат промаха...................................
Лабораторная работа 2. Расчет параметров законов
распределения координат точек подрыва БЧ УРС с
контактными и высотомерными взрывателями при се-
рийной и залповой стрельбе............................... 1 *
Лабораторная работа 3. Оценка вероятности попада-
ния снарядов в заданную область.........................28
Лабораторная работа 4. Интервальная оценка парамет-
ров законов распределения случайной величины по
опытным данным . .......................................41
Курсовая работа 1 по курсу “Эффективность и надеж-
ность ЛА” (раздел “Боевая эффективность”)................62
Курсовая работа 2 по курсу “Эффективность и надеж-
ность ЛА” (раздел “Надежность”).......................84
Библиографический список
96
98
Тем. план 2002, поз. 10
Пестов Марк Дмитриевич
БОЕВАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ:
МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ
Редактор Р.Н. Фурсова
Техн, редактор и компьютерная верстка Т.С. Евгеньева
Сдано в набор 3.06.02. Подписано в печать 24.01.03.
Бум. офсетная. Формат 60 х 84 1 16. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 5,81. Уч.-изд. л. 6,25. Тираж 150.
Зак. 2340/1518. С. 6.
Издательство МАИ
МАИ , Волоколамское шоссе, 4, Москва, А-80, ГСП-3 125993
Типография Издательства МАИ
МАИ , Волоколамское шоссе, 1, Москва, А-80, ГСП-3 125993