Автор: Ананьев Ю.А.
Теги: оптика физика радиофизика квантовая электроника квантовая физика издательство наука резонаторы
ISBN: 5-02-014363-4
Год: 1990
Текст
ОПТИЧЕСКИЕ
РЕЗОНАТОРЫ
И ЛАЗЕРНЫЕ
ПУЧКИ
Ю.А. АНАНЬЕВ
ОПТИЧЕСКИЕ
РЕЗОНАТОРЫ
И ЛАЗЕРНЫЕ ПУЧКИ
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1990
ББК 22.34
А64
УДК 535
Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пуч-
пучки. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 264 с. —
ISBN 5-02-014363-4.
На основе кратко изложенных общих законов прохождения когерентных
световых пучков через оптические системы широкого класса рассмотрены
процессы формирования когерентного излучения в оптических резонаторах;
проанализированы факторы, определяющие пространственную структуру ла-
лазерного излучения; даны рекомендации по выбору типа и параметров резо-
резонаторов; приведены сведения о различных методах воздействия на характе-
характеристики излучения путем видоизменения резонаторов и внесения в них допол-
дополнительных элементов. Основное внимание уделено способам повышения
пространственной когерентности излучения и уменьшения его расходимости.
Для специалистов, занимающихся разработкой и применением лазеров
всех типов, а также теорией оптических систем и вопросами дифракции.
Может быть рекомендована студентам оптических специальностей.
' Табл. 2. Ил. 90. Библиогр. 211 назв.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук А.С Чиркин,
кандидат технических наук А.В. Белинский
Научное издание
Ананьев Юрий Алексеевич
ОПТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ И ЛАЗЕРНЫЕ ПУЧКИ
Заведующий редакцией НА. Носова. Редактор Л.П. Русакова
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы СВ. Геворкян, СМ. Воронина
Корректоры Н.П. Круглова, Т.В. Обод, Т.А. Печко
Набор осуществлен в издательстве на наборно-печатающих автоматах
ИБ №41027
Сдано в набор 11.09.89. Подписано к печати 16.02.90
Формат 60 X 90/16. Бумага Офсетная .Гарнитура Пресс-Роман
Печать офсетная. Усл.печл. 16,5. Усл.кр.-отт. 16,5 . Уч.-изд.л. 20,37
Тираж 3050 экз. Тип. зак. $45. Цена4 р. 40 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25
© Издательство "Наука".
Главная редакция физико-
математической литературы,
ISBN 5-02-014363-4 1990
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. ЗАКОНЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТОВЫХ ПУЧКОВ 7
§ 1.1. Основы теории многоэлементных оптических систем 8
Лучевая матрица (8). Простейшие оптические системы в дифрак-
дифракционном приближении A4). Сложные оптические системы с лин-
линзами и гауссовыми диафрагмами A9). Общий случай круговой
симметрии или простого астигматизма B2). Поляризационные ха-
характеристики когерентных световых пучков B5).
§ 1.2. Законы распространения важнейших типов световых пучков 26
Плоские и сферические волны. Понятие о фазовой скорости B6).
Гауссовы пучки B8). Эрмитовы и лагерровы пучки с действитель-
действительными параметрами C3). Эрмитовы и лагерровы пучки с комплекс-
комплексными параметрами. Внеосевые пучки C9).
§ 1.3. Угловая расходимость излучения 43
Общие положения D3). Идеальный излучатель D4). Неидеальные
излучатели с плоскими и сферическими эквифазными поверхнос-
поверхностями D9). Некоторые другие, виды излучателей. О когерентном
и некогерентном сложении E4). Простейшие методы уменьшения
расходимости и ее измерение E7).
Глава 2. ИДЕАЛЬНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ 60
§ 2.1. Общие сведения об открытых резонаторах 60
Начальные сведения. Немного истории F0). Интегральное уравне-
уравнение и спектр собственных колебаний произвольного пустого резо-
резонатора F2). Резонаторы с полупрозрачными зеркалами и однород-
однородной активной средой F7).
§ 2.2. Классификация открытых оптических резонаторов и условия их
эквивалентности. 70
Матрицы линейных резонаторов G0). Классификация линейных
резонаторов по свойствам их лучевых матриц G2). Условия экви-
эквивалентности резонаторов G6).
§ 2.3. Устойчивые резонаторы 81
Общее решение для резонаторов, имеющих волновые матрицы
полного обхода (81). Пустые устойчивые резонаторы с бесконеч-
бесконечными зеркалами (84). Устойчивые резонаторы с зеркалами конеч-
конечных размеров (88).
§ 2.4. Плоские резонаторы 92
Вспомогательная задача дифракции (93). Отражение от открыто-
открытого края волновода (99). Собственные колебания резонатора из
1* 3
плоских полосовых зеркал A02). Резонаторы из плоских прямо-
прямоугольных и круглых зеркал A05). Обозначения мод и поляризация
их излучения A08).
§ 2.5. Неустойчивые резонаторы 111
Краткая историческая справка A11). Геометрическое приближе-
приближение A12). Неустойчивые резонаторы с гауссовыми зеркалами A18).
Резонаторы с резким краем в дифракционном приближении A21).
Неустойчивые резонаторы с частично "сглаженным" краем A27).
Глава 3. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СВОЙСТВАХ РЕАЛЬНЫХ РЕЗО-
РЕЗОНАТОРОВ И О ПРОИСХОДЯЩИХ В НИХ ПРОЦЕССАХ 131
§ 3.1. Основные виды возмущений и "паразитных" эффектов 132
Условия применимости модели идеального резонатора для описания
реальных лазеров A32). Поверхности раздела A34). Резонаторы
с произвольно расположенными апертурными диафрагмами A37).
Самостоятельные и наведенные "паразитные" колебания A41).
§ 3.2. Крупномасштабные аберрации и светорассеяние 144
Смещения оси резонаторов при их разыостировках A44). Устой-
Устойчивые резонаторы с произвольными аберрациями. Теория возму-
возмущений A46). Плоские резонаторы с крупномасштабными аберра-
аберрациями A52). Крупномасштабные аберрации в неустойчивых резо-
резонаторах A59). Светорассеяние A64).
§ 3.3. Конкуренция мод при "разгорании" генерации и в ее стационарном
режиме • 168
Начальная стадия процесса установления колебаний в резонаторах
с малыми дифракционными потерями. Метод итераций A68). Уста-
Установление колебаний в неустойчивых резонаторах A71). Основные
представления о многомодовой генерации и причинах ее существо-
существования A74). Пространственная конкуренция мод с различными
аксиальными индексами A78). Конкуренция поперечных мод
A83).
§ 3.4. Эффективность преобразования энергии возбуждения в лазерных
резонаторах 188
"Локальный" подход к оценке эффективности A89). Общий баланс
энергии возбуждения и излучения генерации A92). Методика рас-
расчета эффективности лазеров с неустойчивыми резонаторами A95).
Глава 4. ПРИМЕНЕНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ СХЕМЫ РЕЗОНАТОРОВ 202
§ 4.1. Простейшие виды резонаторов 203
Лазеры непрерывного действия B03). Импульсные генераторы.
Особенности лазеров с неустойчивыми резонаторами B08).
§ 4.2. Методы угловой селекции-излучения 214
Попытки решения проблемы расходимости на базе резонаторов
с малыми дифракционными потерями B14). Резонаторы с угловы-
угловыми селекторами B17). Угловая селекция излучения лазеров с плос-
плоскими резонаторами путем уменьшения числа зон Френеля B21).
§ 4.3. Резонаторы лазеров с управляемыми спектрально-временными ха-
характеристиками излучения 225
Общие сведения B25). Генераторы с трехзеркальными неустойчи-
неустойчивыми резонаторами B28). Управление с помощью внешнего сигнала
B32).
§ 4.4. Некоторые специальные схемы резонаторов 236
Проблема "однонаправленности" генерации и кольцевые неустой-
неустойчивые резонаторы B36). Резонаторы с возвратными отражателями
B39). Резонаторы с вращением поля B44). Адаптивные резо-
резонаторы B49). Заключение. Резонаторы для лазеров с кольцевым
сечением среды B53).
Приложение. ПАРАКСИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ С АСТИГМАТИЧЕС-
АСТИГМАТИЧЕСКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ 255
Список литературы 259
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Проблема оптических резонаторов занимает центральное место в кван-
квантовой электронике. Любой лазер состоит из двух основных компонентов —
возбужденной среды и резонатора. Роль среды сводится к обеспечению
усиления света в определенном спектральном диапазоне; все специфи-
специфические свойства лазерного излучения — его когерентность, направлен-
направленность и т.п. — формируются резонатором. Именно успехи в области резо-
резонаторов лежат в основе достигнутого за недолгое время существования
квантовой электроники сужения диаграммы направленности и спектраль-
спектральной полосы излучения на несколько порядков по сравнению с первыми
образцами оптических генераторов.
Особенности поведения резонаторов оптического диапазона связаны
отчасти с тем, что размеры такого резонатора обычно во много раз пре-
превышают длину волны, и отчасти с тем, что лазерные резонаторы не явля-
являются "пустыми" - внутри них находится активная среда, что в корне
меняет механизм возбуждения колебаний. Сочетание этих обстоятельств
привело к тому, что теория оптических резонаторов выделилась во вполне
самостоятельную научную дисциплину. Знание основных ее положений
необходимо не только при разработке лазеров, но и при их использова-
использовании : изменение настройки резонатора или введение в него дополнительных
элементов являются наиболее удобными и эффективными, а часто и единст-
единственно возможными способами варьирования характеристик излучения
в самых широких пределах.
По установившейся традиции, которая была заложена в радиофизике
(теория оптических резонаторов поначалу заимствована из этой области
многие понятия и методы рассмотрения), в книгах по квантовой электро-
электронике и лазерной технике обычно излагаются лишь сведения об идеальных
пустых резонаторах. Так же обстоит дело и со специально посвященны-
посвященными теории резонаторов монографиями Л.А. Вайнштейна [80] и Е.Ф. Ищен-
ко [100]. Вместе с тем, эти сведения являются только отправным пунктом
анализа происходящих при непосредственном участии активной среды и
определяющих характеристики генерируемого излучения процессов нели-
нелинейного взаимодействия колебаний, видоизменения этих колебаний и т.д.
Предлагаемая читателю книга призвана восполнить пробел главным
образом в части вопросов, касающихся пространственных характеристик
5
лазерного излучения. В ней имеются не только материалы, относящиеся
к особенностям поведения заполненных усиливающей средой резонаторов,
принципам выбора типа и параметров резонатора по заданным свойствам
среды, но и все необходимые сведения о законах распространения коге-
когерентных световых пучков (гл. 1) и о пустых идеальных резонаторах (гл. 2).
Эта книга подводит итоги многолетних работ автора, которые с течением
времени становились все в большей степени направленными на системати-
систематизацию имеющихся в литературе разрозненных теоретических и экспери-
экспериментальных данных, выработку удобной терминологии, системы пред-
представлений и единых методов рассмотрения резонаторов различных типов.
Некоторые результаты этих работ были изложены в обзорах [8, 10, 14]
и монографии [16].
Считая лазеры оптическими приборами и полагая, что излишне спе-
специфическое описание их было бы нежелательным, автор в методическом
отношении полностью ориентировался на классическую оптику, избегая
использования чуждых ей понятий и "переводя" на язык оптики полез-
полезные сведения из теории СВЧ-резонаторов и волноводов. Традиционным
для оптики является и положенный в основу математического аппарата
метод эйконала [77], обобщенный на весьма широкий класс оптических
устройств (§ 1.1).
Сейчас можно констатировать, что время жарких дискуссий п свежих
идей в области оптических резонаторов в основном отошло в прошлое.
Построение теории резонаторов из оптических элементов с плоскими или
сферическими поверхностями практически закончено; продолжается
лишь анализ некоторых частных вопросов, не имеющих принципиального
значения. Поэтому мне показалось уместным подвести итоги развития
ряда направлений, снабдив соответствующие разделы книги краткими
историческими справками. Что же касается остального текста, то он содер-
содержит ссылки главным образом на те статьи, которые лучше всего подкреп-
подкрепляют высказываемые соображения и написаны с использованием близкой
системы понятий и обозначений.
Проблемы, рассмотренные в настоящей и предыдущей [16] моногра-
монографиях, в значительной мере совпадают. Взгляды на некоторые из них на-
настолько установились, что оказалось возможным перенести в настоящую
монографию некоторые материалы [16] (в особенности это касается
сведений о пустых идеальных резонаторах). Вместе с тем, даже те же самые
вопросы ныне по большей части изложены с иных позиций и получили новое
освещение, поэтому данные книги в основном ке дублируют, а дополня-
дополняют друг друга.
Я горячо признателен С.Г. Аникичеву, Н.И. Гришмановой и в особен-
особенности Н.А. Свенцицкой за создание необходимой творческой атмосферы
и полезные обсуждения. Мне помогла поддержка идеи выпуска данной
монографии со стороны Е.Б. Александрова, A.M. Бонч-Бруевича, П.В. За-
Зарубина; я благодарен также Г.Б. Альтшулеру, А.В. Белинскому, В.И. Крав-
Кравченко и А.С. Чиркину за критические замечания. Пользуюсь случаем
выразить глубокую признательность моей жене, Т.В. Гавриловой, за
постоянное участие и помощь в оформлении рукописи.
Ленинградский Политехнический институт
Центр лазерной технологии, 1989
6
ГЛАВА 1
ЗАКОНЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТОВЫХ ПУЧКОВ
Появление лазеров стимулировало развитие теории распространения
световых пучков. В классической оптике [77] были подробнее всего
изучены особенности формирования изображений при наличии аберра-
аберраций, связанных как с большой светосилой применяемых устройств, так
и со значительной шириной спектрального диапазона излучения. Для анали-
анализа процессов в лазерных резонаторах необходимо лишь знание законов
преобразования волновых фронтов когерентных пучков. Кроме того,
элементы резонатора обычно обладают небольшой оптической силой,
лазерные же пучки имеют узкий спектр, малую расходимость и умерен-
умеренные размеры сечения. Поэтому в лазерном резонаторе привычные для
классической оптики аберрации практически отсутствуют; в частности,
здесь обычно стерта грань между сферической и параболической форма-
формами поверхностей оптических элементов.
С другой стороны, лазерный резонатор является, в общем случае, слож-
сложной оптической системой. В ее состав входят по меньшей мере два зеркала,
имеюгдих чаще всего сферические поверхности. Между зеркалами находит-
находится активная среда, показатель преломления которой может сильно отли-
отличаться от единицы. Там же устанавливаются, в случае необходимости,
поляризаторы, затворы, пространственные фильтры и т.п. Таким образом,
уже на этапе рассмотрения идеальных резонаторов (зеркала правильно
отъюстированы, среда однородна) возникает специфическая задача анали-
анализа эволюции волновых фронтов хотя в безаберрационных, но зато много-
многоэлементных системах.
В классической оптике давно существует способ, позволяющий со-
составить интегральное преобразование произвольного распределения моно-
монохроматического поля на входе в оптическую систему в распределение на
выходе; он основан на использовании понятия о точечном эйконале. Пер-
Первым воспользовался этим способом применительно к теории резонаторов,
по-видимому, Коллинз [152]. В результате ему удалось установить весьма
общие свойства резонаторов, имеющих две взаимно перпендикулярные
осевые плоскости симметрии и относящихся, таким образом, к так назы-
называемым ортогональным оптическим системам (или системам с простым
астигматизмом).
Выработать практически удобные рекомендации по нахождению вида
эйконала многоэлементных оптических систем Коллинзу все же не уда-
удалось, да и сама полезность "эйконального" подхода тогда не казалась
очевидной. Отчасти поэтому дальнейшие изыскания пошли преимущест-
преимущественно в направлении, заданном классическими работами Когельника и
Ли [178, 179]. Использовавшийся в них аппарат лучевой матрицы позво-
позволил получить простую формулу (имеется в виду "закон ABCD", см. сле-
следующий параграф), описывающую поведение так называемых гауссовых
и им подобных световых пучков, которые чаще всего и рождаются в ла-
лазерах.
Поскольку выяснилось, что матричный формализм позволяет, в числе
прочего, записать в весьма простой форме выражение для точечного эйко-
эйконала, эти два способа оказались органически взаимосвязанными. Их синтез
приводит к полезнейшим интегральным соотношениям типа A.12). Систе-
Систематическое применение подобных соотношений позволило автору в его
предыдущей монографии [16] сформулировать целый ряд положений
теории оптических резонаторов в более общем виде, чем в соответствую-
соответствующих оригинальных статьях. Эти соотношения, являющиеся, в сущности,
обобщением принципа Гюйгенса — Френеля на случай оптических систем
весьма широкого класса, широко используются и в настоящей книге.
§ 1.1. Основы теории многоэлеменгных оптических систем
Лучевая матрица. Лучевая (или ABCD-) матрица в ее исходном опре-
определении имеет простой геометрический смысл: она связывает значения
поперечных координат х, у и наклонов otXi ay световых лучей на входе
и выходе оптической системы. Итак,
II Х2 у2 II II ^ * II | *1 У\
II &х2 &у2 II || С Z) || || OLxi OLy]
индекс 1 соответствует входной плоскости, 2 — выходной; обе плоскости
считаются расположенными в среде с показателем преломления п = 1
(рис. 1.1 д; система обозначений и правила знаков здесь и далее, отли-
отличаясь от принятых в геометрической оптике, являются стандартными для
матричной оптики и теории резонаторов). Будучи записана для какой-то
одной из двух координатных пар, формула A.1) приобретает вид
1*2 || ^ В II || ХХ ||
= г п ' ' AЛа)
<*х2 II С D \\ || ах1 ||
или х2 = Ахг + Bolxi, otx2 = Cx\ + Daxi. Отсюда видно, что A.1) осно-
основывается на предположениях о линейной зависимости выходных коорди-
координат от входных и о возможности независимого и единообразного рас-
рассмотрения траекторий луча по двум поперечным координатам. Можно
показать, что эти предположения в своей совокупности справедливы
только в параксиальном приближении (ах, ау < 1) для оптических
систем, состоящих из элементов с плоскими либо сферическими поверх-
поверхностями.
8
Рис. 1.1. К определению лучевой матрицы: а - ход луча в прямом направлении, б
в обратном; 1 - входная плоскость, 2 — выходная
Элементы лучевой матрицы однозначно связаны с такими классичес-
классическими характеристиками оптической системы, как фокусное расстояние
/ и положение главных плоскостей. В частности, С = — 1//.
Если выходная плоскость одной оптической системы совмещена со
входной и они обладают матрицами
I Сх
Аг
С2
В2
соответ-
ственно, то, последовательно проследив за изменениями координат лучей
и их наклонов, убеждаемся в том, что прохождению совокупности этих
систем отвечает матрица
«А2 В2 || \\Аг Вх || _ || А2А\ +B2Ct A2Bt
С2 D2 || II d Dx || || C2At +D2d dBi
Сочетанию трех систем соответствует матрица, равная произведению трех
исходных, и т.д.
Приведем таблицу лучевых матриц для нескольких оптических систем
(табл. 1.1). Первая из этих систем является просто участком пустого
пространства длиной /, вторая — слоем однородной среды толщиной / с
показателем преломления п = const; входная и выходная отсчетные плос-
плоскости расположены у плоских границ слоя в среде с показателем преломле-
преломления, равным единице. Третья матрица соответствует тонкой линзе, четвер-
четвертая — более сложному случаю слоя "линзоподобной" среды толщиной / с
показателем преломления п = п0 — Уж2г2, где г = у/х2 + у2 — удаление
от оси; расположение отсчетных плоскостей аналогично расположению
для слоя однородной среды.
Вид трех первых матриц вытекает из элементарных законов геометри-
геометрической оптики. Поясним это на примере второй системы. Применив теоре-
теорему синусов и учтя, что при малых углах sin a « а, получаем, что углы
наклона внутри слоя однородной среды меньше исходных в п раз и состав-
составляют, таким образом, axi/n и o.y\jn. Отсюда следует, что после прохожде-
прохождения по слою расстояния / линейные координаты луча становятся равны-
9
Таблица 1.1
Лучевые матрицы оптических систем
Номер Оптическая система
Лучевая Matрица
1
п
О 1
1
1
т
0
1
cos
1Y
2
1
п
-
R
1
/
п
п
-
п
1
/
R
1 -
I
J 1_ + J
1 -
h
to
МИХ2 = X\ + ocx\l/nt у2 = У\ + OLyxljn\ таким образом, в данном случае
Л=1, Я = //л и т.д.
Способ вывода четвертой матрицы не столь очевиден. В [96] для этого
используется следующий прием: толстый слой "линзоподобной" среды
мысленно расчленяется на N одинаковых тонких слоев. Действие каждо-
каждого из них на проходящий световой пучок эквивалентно в первом приближе-
приближении действию сочетания слоя той же толщины 1/N, состоящего из однород-
однородной среды с п = и<ъ и линзы, толщина которой мала по сравнению с 1/N,
а / = iV/ (n2l). Из последующих материалов данного параграфа мы увидим,
что именно такая линза вносит разность хода — Vin2r2l\Nb соответствую-
соответствующую второму члену в формуле для показателя преломления линзоподоб-
ной среды. Сочетание тонкого слоя и линзы описывается матрицей
II 1 ОII л II 1 U(n0N)
W-n2I/N 1|| НО 1
II 1 U(n0N)
II -n2l/N l-n2l2/(n0N2)
Произведение Этаких матриц при TV-*00 стремится к определенному преде-
пределу, который и представляет собой матрицу, приведенную в табл. 1.1.
Изложим еще один полезный прием в решении таких задач. Волновой
фронт когерентного пучка, следующего вдоль оси z в среде с показателем
преломления, слабо зависящим от х, за малое время At проходит малое
расстояние Az(x) = с At/n(x). Ввиду наличия зависимости Az от х учас-
участок фронта, заключенный между х и х + Ах, по истечении At оказывает-
Az(x) - Az(x + Ах) с At Ъп
ся повернутым на угол Аах = « — . На
Ах п Эх
этот же угол, очевидно, изменяется наклон проходящего через данный
участок фронта и перпендикулярного его поверхности луча. Поделив
Аах на пройденное расстояние Az, получаем уравнение параксиального
приближения для траектории луча в оптически неоднородной среде
dax 1 Ъп
—-=--— A-2)
dz n Эх
(если п завислт также и от у9 A.2) дополняется аналогичным уравне-
уравнением для ау).
В интересующем нас случае линзоподобной среды Эл/Эх = —п2х\ заменив
также ах на dx/dz и воспользовавшись тем, что Уж2г2 обычно носит ха-
d2x
рактер малой поправки к и0, приходим к уравнению вида —•— =
dz
п2
= х. Дальше совсем нетрудно рассчитать траекторию параксиаль-
параксиально
но го луча с произвольными х1э осх1 и тем самым определить элементы
искомой матрицы; приходим, естественно, к тому же результату, что и
путем перемножения бесконечного числа матриц.
11
Самые разнообразные системы с круговой симметрией (в част-
частности, приведенные в конце табл. 1.1) могут быть представлены в виде
сочетаний перечисленных выше четырех. Так, фигурирующий в пятой
графе толстый слой среды, одна из граничных поверхностей которого
является не плоской, а сферической с радиусом кривизны R, разбивает-
разбивается на плоский слой и прилегающий к указанной поверхности участок
малой длины; последний эквивалентен тонкой линзе с / =Я/(и - 1).
Таким образом, матрицы всех многоэлементных систем рассматривае-
рассматриваемого класса равны соответствующим произведениям. Определители всех
исходных матриц простейших систем равны единице; поскольку опреде-
определитель произведения равен произведению определителей, то для любой
оптической системы выполняется соотношение
AD-ВС = 1. A.3)
Используя A.3), нетрудно показать, что матрица, обратная матрице
и л /? и
(т.е. осуществляющая преобразование, обратное A.1)), имеет
II с и и
\\ D ~в II
вид . Если считать, что знаки углов наклона луча при измене-
II —С А II
нии его направления на прямо противоположное остаются теми же, то
данная матрица непосредственно является матрицей, описывающей про-
прохождение света через данную систему в обратном направлении. Такой
способ обозначений, однако, неудобен. Логичнее заменять знаки углов
наклона при следовании лазад на противоположные, как это показано
на рис. 1.1; мы так и будем поступать. Тогда матрица прохождения
II D B II
системы в обратном направлении приобретает вид
II о -Д II
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда имеются не
только сферические, но и цилиндрические поверхности раздела (или
иные источники астигматизма, которые мы обсудим немного позже).
Если все же существуют две общие плоскости симметрии (xz и yz на
рис. 1.2), то говорят о простом астигматизме. Рассмотрение подобных
систем становится особенно наглядным, если принять во внимание, что
тонкая линза со сферическими поверхностями представима в виде сум-
суммы двух рядом стоящих цилиндрических линз с тем же фокусным расстоя-
расстоянием, развернутых относительно друг друга на 90° (именно такую пару
составляют линзы /// и IV на рис. 1.2). Поэтому любую систему с прог
стым астигматизмом можно представить в виде сочетания участков среды
с цилиндрическими линзами, образующие поверхностей которых ориенти-
ориентированы вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений (осей х и у).
Нетрудно видеть, что проекции любого заданного луча на две плоскости
симметрии могут рассматриваться независимо друг от друга (отсюда ясно,
почему разделяются уравнения движения луча по двум поперечным коор-
координатам в осесимметричных системах). Каждая проекция претерпевает
излом ("преломляется") только на "своих" линзах, образующие которых
перпендикулярны ее плоскости. Так на рис. 1.2 проекции лучей на готос-
12
кость xz "преломляются" линзами / и IV, на плоскость yz — оставшими-
оставшимися (// и III).
Вывод очевиден: в случае систем с простым астигматизмом вместо
единой формулы A.1) должны использоваться две формулы типа A.1а)
для двух координатных пар (х, ах) и (у, осу), причем в каждой из них
фигурирует своя матрица -
I
Сх Dx |
. Данные матрицы
вычисляются по тем же рецептам, что и для систем с круговой симметрией,
Рис. 1.2. Пример оптической системы с простым астигматизмом (совокупность ци-
цилиндрических линз III и IV с одинаковыми фокусными расстояниями эквивалентна
сферической линзе)
с подстановкой фокусных расстояний (оптических сил) в соответствую-
соответствующих плоскостях.
Если хотя бы один астигматический элемент ориентирован неподходя-
неподходящим образом, общие плоскости симметрии исчезают, и проекции вне-
осевого луча перестают быть независимыми друг от друга. Тогда, естест-
естественно, приходится прибегать к более сложному математическому аппара-
аппарату (из-за эффекта многократного прохождения света по резонатору такая
необходимость порой возникает даже в отсутствие астигматических эле-
элементов, см. § 4.4). Указанный аппарат изложен в Приложении, основным
же предметом рассмотрения в книге будут системы с круговой симметрией
или с простым астигматизмом.
Дадим некоторые рекомендации по нахождению лучевых матриц в
тех случаях, когда реальная оптическая ось не является прямой линией.
Чтобы учесть наличие тонкой призмы, достаточно придать координатным
осям после нее новые направления, как показано на рис. 1.3д. Аналогич-
Аналогичным образом следует поступить и при смещенной в поперечном направле-
направлении тонкой линзе (рис. 1.35); угол отклонения оптической оси системы
составляет h/f, где h — смещение линзы, / — ее фокусное расстояние. Для
самой линзы, как обычно, используется матрица из третьей графы табл. 1.1.
Способ выбора координатных осей после отражения от наклонного
зеркала с нормалью в плоскости xz показан на рис. 1.3 в. При таком выборе
операция отражения от плоского зеркала описывается единичной матрицей
1 011 '
и при составлении матрицы системы может вообще не учиты-
учитываться. Если зеркало является не плоским, а сферическим с радиусом
кривизны R (будем всегда считать, что у вогнутых зеркал R > 0, у вы-
выпуклых R < 0), оно служит источником астигматизма и эквивалентно
13
Рис. 1.3. К выбору направлений координатных осей: а - тонкий клин, б — смещенная
линза, в - зеркало, г - толстый слой среды с непараллельными границами
двум цилиндрическим линзам с fx =(/? cos<?)/2, fy=R/2cosip (^ -
угол падения).
К астигматизму приводит также прохождение слоя среды с непарал-
непараллельными границами. Чаще всего такой слой представляет собой участок
призмы, используемой в качестве дисперсионного элемента (рис. 1.3г).
В этом случае ось обычно лежит в плоскости, перпендикулярной обеим
граням призмы и являющейся плоскостью рисунка (xz). Приведем зна-
значения элементов соответствующих матриц:
Ax = — =
COS <?2
yjn2 - sir
— sin2
nl COS<?i COS (^2
y{n2 — sin2^!) (n2 — sii
Cx = Cy = 0, Ay = Dy = 1, By = l/n (n — показатель преломления среды,
смысл обозначений <р i, <^2, / ясен из рис. 1.3).
Если поверхности слоя параллельны, то \рх = $2 = V, Ах = Dx = 1,
2?x = nl cos2 у/(п2 - sin2«p). Поскольку 5д, = 1/п, то при <? Ф 0 значения
5^ и 2?д, оказываются различными; таким образом, определенные проявле-
проявления астигматизма имеют место и в случае наклонного плоского слоя.
Простейшие оптические системы в дифракционном приближении. В бо-
более строгом дифракционном приближении мы будем пользоваться ска-
скалярной теорией дифракции, которая основывается на том, что различ-
различные поперечные компоненты электрического или магнитного полей счи-
считаются независимыми друг от друга и рассматриваются порознь. Это позво-
позволяет описывать распределение поля одной из таких компонент (или соче-
сочетания двух компонент, соответствующего круговой или эллиптической
поляризации) с помощью скалярной функции. Условия применимости
такой модели подробно обсуждаются в [77]. В рассматриваемых далее
ситуациях, когда и поперечные размеры световых пучков, и проходимые
14
ими расстояния во много раз (часто даже на несколько порядков) пре-
превышают длину волны X, эти условия заведомо выполняются.
Мы будем в основном иметь дело с монохроматическими волнами,
распространяющимися вдоль оси z, и характеризовать их двумерными
скалярными распределениями поля на отдельных отсчетных плоскостях
z = const (или, в специально оговоренных случаях, на сферических поверх-
поверхностях с центрами на оси z). С учетом зависимости от времени такие рас-
распределения имеют вид и(х, у, t) = exp(—ioot) • и(х, у), где и(х, у) —
величина, называемая комплексной амплитудой, которая является слабо
изменяющейся на расстояниях ~Х функцией поперечных координат. Дейст-
Действительная величина напряженности поля Re [и (х, у, t) ] нам не понадобит-
понадобится. Переход к интенсивности излучения / во всех случаях будет осущест-
осуществляться по формуле F(x, у, t) = | и(х, у, t)\2. Для монохроматического
поля 1(х, у, t) = I(x, у) = \и(х, у)\2; случай, когда присутствуют сразу
несколько монохроматических волн, будет рассмотрен в § 1.3.
В дальнейшем, анализируя случай строго монохроматических волн,
мы будем опускать множитель ехр(— icot) и манипулировать с чисто про-
пространственными распределениями комплексной амплитуды. Отметим,
что временной множитель часто записывают в виде ехр(/сог); при этом
изменяются направление отсчета фазы и знаки при i во всех формулах
для комплексных амплитуд (в частности, множитель ехрО'Лг^) в A.5)
заменяется на exp(~ikri2)). Когда временной множитель опущен, разли-
различия между этими двумя системами обозначений оказываются завуалиро-
завуалированными, что нередко приводит к недоразумениям. Так, в целом ряде
книг, (например, [100, 131]) фигурируют интегральные уравнения резо-
резонаторов из [164, 140], где использовалась система обозначений с ехр(/со?)>
в то время как вид решений для плоского резонатора заимствован у Вайн-
штейна, обозначения в работах которого совпадают с нашими.
Сделаем еще одно замечание общего характера. Когда в дальнейшем
будет заходить речь о результате прохождения волной того или иного
оптического элемента, то будет подразумеваться перемещение отсчетной
плоскости в пространстве, но не во времени. Вопреки распространенному
заблуждению, принцип Гюйгенса—Френеля и вытекающие из него фор-
формулы связывают между собой значения амплитуд и фаз стационарного
светового поля хотя и на разных участках пространства, но в один и тот
же момент времени. К этому вопросу мы еще вернемся в § 2.1; там же
будет обсуждена возможность использования всех формул настоящего
параграфа для описания не только стационарных, но и экспоненциально
затухающих или нарастающих во времени полей.
Итак, приступим к анализу. В рамках скалярной теории произволь-
произвольную оптическую систему можно характеризовать функцией отклика
(Грина) G(x2t Уг\ *ь У\)-> позволяющей рассчитывать по заданному
распределению поля м(хь У\) строго монохроматической волны на
входной плоскости распределение поля и(х2, у2) на выходной плос-
плоскости:
и(х2>у2) = ffG(x2,y2\xl,y1).u(xl,yl) dxxdyx\ A.4)
здесь Х\, >'ь *2, Уг ~ отсчитанные от оси системы координаты точек на
входной и выходной плоскостях.
15
Смысл функции отклика очевиден: она является множителем для учета
парциального вклада поля в окрестности точки (х\,у\) на входной плоско-
плоскости системы в напряженность поля в точке (х2, уг) на выходной плоско-
плоскости. Вид функции отклика в общем случае зависит не только от свойств
самой системы, но и от со. Для оптической системы, приведенной в первой
графе табл. 1.1, он хорошо известен. Действительно, эта система является
находящимся между двумя параллельными отсчетными плоскостями
участком пустого пространства. Стандартной формулировке принципа
Гюйгенса — Френеля соответствует функция отклика
1 + cos(/i,r12)
G(x2,y2\ xltух) = — exp(/fcr12), A.5)
2i\rl2
где /i — общая нормаль к отсчетным плоскостям, г12 — радиус-вектор,
соединяющий точки (хь у\) и (х2, у2). на этих плоскостях, к = со/с.
Когда поперечные размеры области, в которой поле заметно отличается
от нуля, много меньше расстояния между отсчетными плоскостями /,
можно в A.5) заменить cos (л, г12) на единицу, точное значение г12 =
= y/l2 + (х2 -*гJ + (у2 -У\J на приближенное гх2 ^1 + [(х2 -ххJ +
+ (У2 - yiJ]l2l, и, наконец, в знаменатель вместо тх2 подставить
просто /. В итоге получаем
expiikt) [ik „ Л
G(x2ty2'xuyx) = —-±-+ ехр|— [<х2 ~XlJ +(y2 -У1JЦ. A.6)
Чтобы перейти к функции отклика для участка однородной среды с пока-
показателем преломления л0, достаточно в A.6) заменить X на \/п0 и к на пок.
Хотя при выводе A.6) использовалось предположение об ограничен-
ограниченности поперечных размеров области, где существует поле, известно,
что иногда этой формулой можно пользоваться и тогда, когда указан-
указанное предположение заведомо не выполняется. Так, если поле зависит
только от одной из двух поперечных декартовых координат, подста-
подстановка A.6) в A.4) приводит к интегралу по другой координате вида
оо
/ ехр[ш{/ — t0J \dt с действительными t0 и а, который сразу сводится
— оо
к интегралу / exp(iat2)dt, сходящемуся и равному у/Пт/а, В результа-
— оо
те получаем аналоги формул A.4), A.6) для двумерной задачи:
u(x2) = fG(x2,x1)u(x1) dxl9 A.4a)
exp(fW) Г (х2 -ххJ 1
G(x2,Xl) = -5=^ exp ik -^-V-— . A.6a)
/ГкГ L 2/ I
Необходимость интегрирования в бесконечных пределах по обеим
координатам вызывает лишь незначительные затруднения: интеграл вида
/ / ехР[ia(x2 + у2)] dx dy с действительным а формально является
— оо — оо
несобственным. По причинам, объясняемым во многих руководствах по
16
Оптике (например, [77], § 8.2), на это обстоятельство можно не обращать
внимания, положив указанный интеграл равным in/a.
Вскоре нам придется встретиться с интегралом вида
f J exp{ia[(x-x0J +(y-yoJ]}dxdy
—оо —оо
е комплексными параметрами х0, у0, а. Если Im (a) > О, подынтегральная
функция содержит экспоненциально спадающий при больших х, у множи-
множитель, и поэтому интеграл заведомо является сходящимся. Разбив его на
произведение интегралов по отдельным координатам и вычислив их с по-
помощью стандартных приемов теории функций комплексного переменно-
переменного (замена контура интегрирования), в конечном итоге получаем формулу
/ / exp{ia[(x-x0J +(y-yoJ]}dxdy = i7r/ai A.7)
которой, как мы видим, можно пользоваться и при действительных Хо,
у0, а, и при комплексных; в последнем случае должно выполняться усло-
условие Ъп(а) > 0. Если Im (a) < О, интеграл расходится.
Вопросы, связанные с интегральными преобразованиями комплекс-
комплексной амплитуды на участках пустого пространства или однородной среды,
наконец исчерпались. В сложных оптических системах между такими
участками обычно располагаются элементы, прохождение которых со-
сопровождается не интегральными, а чисто алгебраическими преобразова-
преобразованиями либо распределения комплексной амплитуды по сечению пучка,
либо состояния поляризации излучения, либо и того, и другого. Типич-
Типичными и в то же время важнейшими элементами подобного рода являют-
являются тонкие линзы; включение их в рассмотрение позволяет описать все
те системы, для которых оказалось возможным ввести лучевые матрицы.
Тонкая линза со сферическими поверхностями является так называе-
мым квадратичным фазовым корректором. Дело в том, что прохождение
параксиального пучка через такую линзу, поверхности которой просвет-
просветлены, не сопровождается заметным изменением распределения интенсив-
интенсивности излучения (просто из-за малости дистанции). Меняется только фор-
форма волнового фронта, что эквивалентно умножению распределения комп-
комплексной амплитуды на чисто фазовый множитель, вид которого, как мы
увидим, вполне оправдывает данное выше название.
Чтобы рассчитать этот множитель, сначала выясним распределение
фазы у пучков, имеющих сферические волновые фронты с центрами кри-
кривизны на оси системы. Положительные радиусы кривизны р будем приписы-
приписывать расширяющимся пучкам с выпуклым фронтом, отрицательные -
сужающимся пучкам; при 1/р = 0 фронт является плоским и перпенди-
перпендикулярным оси системы.
Расстояние между сферическим фронтом и не слишком удаленной от
оси точкой с координатами х, у на отсчетной плоскости, касающейся
фронта на оси, составляет vp2 + х2 + у2 — р ^ (х2 + у2)/2 р. Отсюда сразу
следует, что распределение комплексной амплитуды при сферическом
фронте содержит в параксиальной области фазовый множитель
ехр[(/*/2р)(х2+/)].
2. Ю. А. Ананьев 17
Поскольку линза преобразует излучение точечного источника, находяще-
находящегося в ее фокусе (р = /), в пучок с плоским фронтом A/р = 0), ее про-
прохождение приводит, кроме добавления некоего общего фазового набега,
к домножению распределения комплексной амплитуды на ехр[— (ik/2f)X
X (х2 + j>2)]. Что касается общего фазового набега, то он, судя по лучу,
следующему вдоль оси, превышает набег на участке пустого пространст-
пространства той же протяженности на kh(n0 — 1), где к — постоянная распростране-
распространения в пустом пространстве, п0 — показатель преломления вещества линзы
и h — ее толщина на оси. Можно для простоты считать линзу локализован-
локализованной на плоскости и умножать распределение комплексной амплитуды
пересекающего эту плоскость пучка на "функцию пропускания" Т вида
х,у)], A.8)
где Дл (х, у) = h(n0 — 1) - (х2 + }'2)/2f — вносимая линзой дополнитель-
дополнительная разность хода, являющаяся квадратичной функцией удаления луча
от ее оси.
Теперь займемся амплитудными корректорами — диафрагмами. Соглас-
Согласно принципу Кирхгофа при расчете поля за обычной диафрагмой —
отверстием в экране - следует, считая плоскость экрана плоскостью
источника, проводить интегрирование только по площади отверстия. При
этом предполагается, что присутствие экрана не сказывается на распределе-
распределении поля в зоне отверстия (все это справедливо, когда размеры отверстия
значительно превышают X).
Нетрудно видеть, что в таком приближении прохождению волны через
обычную диафрагму соответствует операция умножения распределения
комплексной амплитуды в плоскости диафрагмы на вещественную функцию
пропускания Т, равную единице на площади отверстия и нулю вне его.
Существуют элементы, обладающие и другой формой Т(х, у). Среди них
особую роль в теории играют так называемые гауссовые диафрагмы. Под
идеальной гауссовой диафрагмой подразумевают не вносящий фазовых
возмущений оптический элемент, амплитудное пропускание которого опи-
описывается функцией Гаусса ехр[—(r/wJ] (рис. 1.4), где г = \jx2 + У2, w -
радиус диафрагмы, определяемый как расстояние до оси, на котором про-
пропускание спадает в е раз. Реальные оптические элементы практически
никогда не имеют в точности такие характеристики, однако их представле-
представление в виде гауссовых диафрагм часто оказывается вполне допустимым,
резко упрощая расчеты (с чем мы многократно будем сталкиваться в даль-
дальнейшем) .
Таким образом, при прохождении гауссовой диафрагмы, часто называе-
называемой по виду показателя экспоненты квадратичным амплитудным коррек-
корректором, распределение комплексной амплитуды домножается на Т(х, у) =
= ехр[—(х2 + y2)/w2]. Сравнив это выражение с A.8), видим, что гауссо-
гауссова диафрагма радиуса w формально может быть представлена как линза
с h - 0 и мнимым фокусным расстоянием /= ikw2/2. Сочетание рядом уста-
установленных тонкой обычной линзы с фокусным расстоянием fx и гауссо-
гауссовой диафрагмы с мнимым /2 уподобляется линзе, комплексное фокусное
расстояние / которой подсчитывается по тем же правилам, что и для двух
обычных линз: 1//= 1//х + 1//2.
18
Введение амплитудных корректоров заставляет нас ненадолго вернуть-
вернуться к геометрическому приближению. Лучи, с которыми приходится там
манипулировать, являются нормалями к волновому фронту; таким об-
образом, их направление связано исключительно с формой фронта, т.е. с рас-
распределением фазы излучения. Чисто амплитудные корректоры, по опреде-
определению, не меняют распределение фазы, и поэтому лучи на них преломления
не испытывают. Отсюда следует, что при составлении лучевой матрицы
геометрического приближения амплитудные корректоры, в отличие от
Рис. 1.4. Функция Гаусса exp(-r2/w2)
-2w -w О w 2ш г
фазовых, учитываться не должны. Кстати, это косвенно свидетельствует
о том, что, несмотря на внешнее сходство математического описания в
дифракционном приближении, фазовые корректоры в протяженных опти-
оптических системах обычно играют более принципиальную роль, чем ампли-
амплитудные.
Сложные оптические системы с линзами и гауссовыми диафрагмами.
Рассмотрим теперь оптические системы, включающие в себя все те элемен-
элементы, свойства которых в дифракционном приближении нам уже известны.
При этом мы не станем, как это нередко делается [138, 33], переходить
к дифференциальным уравнениям для комплексной амплитуды и анали-
анализировать их, а воспользуемся более наглядным подходом, развитым авто-
автором в [16, 17] и основанным на непосредственном использовании принци-
принципа Гюйгенса — Френеля. Начнем с того, что установим способ вычисления
функции отклика сложной оптической системы по известным функциям
отклика ее составных частей.
Пусть имеются две оптические системы с функциями отклика
G(*2, Уг\ *ъ.У1) и G(x3,y3; *г>Уг)> выход первой из которых совмещен
со входом второй; индексы 1, 2 и 3 здесь соответствуют входной плос-
плоскости первой системы, общей промежуточной плоскости и выходной
плоскости второй системы. Подставив и(х2, у2) = ffG(x2, у2\ *i> У\) X
X u(xl,yl)dx1dyl Bu(x3,y3) = ffG(x3,y3;x2,y2)u(x2,y2)dx2dy2 и из-
изменив порядок интегрирования, получаем
и(х3уу3)= ffG(x3,y3;xl,yl)u(xl,yl)dxldyly
где
G(x3,y3\ Xi>.yi) =
= IfG(x3,y3; x2,y2)G(x2,y2; xltyl)dx2dy2 A.9)
— искомая функция отклика сочетания двух систем. Очевидно, при боль-
большем числе составных частей должно осуществляться интегрирование ана-
аналогичного произведения по всем промежуточным плоскостям.
2* 19
Теперь установим вид функции отклика для тех ячеек, на которые
мы сможем разбивать произвольные оптические системы. Самая универ-
универсальная ячейка, требующая лишь однократного применения интеграль-
интегрального преобразования A.4) с уже известной нам функцией отклика участ-
участка пространства A.6), представляет собой такой участок длиной / с на-
находящимися в его начале и конце квадратичными корректорами. Каждый
корректор может содержать в общем случае и линзу, и гауссову диафраг-
диафрагму. Прохождение первого корректора сопровождается умножением вход-
входного распределения поля и(хх, ух) на ехр{1к[кг(п1 - 1) — {х\ +7?)/2/i]} X
X ехр[—(х\ + у\)Ы\]\ далее распределение подвергается указанно-
указанному интегральному преобразованию и в заключение помножается на
exp{ik[h2(n2 - 1) - (х\ + j>f)/2/2]} -ехр[-(*1 + y22)/w22] {hl9nl9fl9h2,
пг, Л ~~ толщины, показатели преломления и фокусные расстояния линз
входного и выходного корректоров, Wj и w2 — радиусы гауссовых диа-
диафрагм) . Объединив все эти множители с подынтегральным, находим функ-
функцию отклика ячейки; ввиду громоздкости выражения выписывать его
не будем.
Введем в рассмотрение также волновую матрицу ячейки, определив
ее как произведение матриц всех оптических элементов (начиная, как
вЬегда, со стороны выхода), в том числе гауссовых диафрагм. При этом
для участка пространства и для линз воспользуемся их лучевыми матри-
II l °
цами, для гауссовых диафрагм — матрицами вида _ , являю-
II /X/rrvv2 1
щегося результатом подстановки мнимого "фокусного расстояния" (см.
выше) в матрицу линзы. Ту же матрицу ячейки можно получить, заменив
в последней матрице табл. 1.1 Л и/2 на комплексные "фокусные расстоя-
расстояния" входного и выходного корректоров /1>2 = [(l//i,2) + 2l{ikw\ 2)]-
Сопоставление вида функции отклика и волновой матрицы ячейки
показывает, что первая может быть записана в форме
О(х2,у2; *!,>>!) = (/ЛЯ) ехр(Л/,12), (МО)
где
L12 =L0 +B2?Г1И(*1 +y\) + D(x22 +yl)-2(Xlx2 +УгУ2I (Ml)
Lo = / + /*i(/ii — 1) + h2(n2 — 1) — оптическая длина ячейки, измеренная
вдоль оси; A,BnD — элементы указанной матрицы.
Смысл этой и последующих подобных матриц, которые мы я впредь,
следуя [17], будем называть волновыми, требует некоторого пояснения.
В отличие от лучевых, при их составлении учитываются не только фазо-
фазовые, но и квадратичные амплитудные корректоры; в результате матрицы
оказываются комплексными. Единственным их назначением является
использование в соотношениях дифракционного приближения типа (МО),
A.11) и в вытекающих из них формулах. Хотя в литературе комплекс-
комплексные матрицы такого типа нередко называют лучевыми, к геометрической
оптике эти матрицы никакого отношения не имеют.
Положив 1/Д = hx = 0 (отсутствует входной корректор), либо 1//2 =
= h2 = 0 (отсутствует выходной корректор), либо и то и другое одно-
одновременно, видим, что формулы A.10), A.11) справедливы и для слоя пусто-
20
?© пространства, и для любых сочетаний этого слоя с корректорами произ-
произвольного состава. Можно убедиться в том, что A.10), A.11) остаются
в силе и при замене слоя пустого пространства на слой однородной сре-
среды. Таким образом, эти формулы носят весьма универсальный характер.
Докажем теперь их применимость и для любых комбинаций ячеек.
Применив A.9) к сочетанию двух ячеек с волновыми матрицами
Не' ^ и II с* я* II' получаем G(*3> Уз> Xl> yi) = -O^BM'1 х
Xtfexp[ft(Z,12 +L23)]dx2dy2,rneLl2(x1,y1;x2,y2)nL23(x2,y2',X3,y3)-
величины, получаемые при подстановке в A.11) параметров первой и вто-
второй ячеек соответственно.
Сумма Li2 + Ь2з может быть представлена в форме Li2 + Ь2г =
- Z13 + (B/2B1B2)[(x2 - xiJ + (у2 - у'2?Ъ где х\ = (В2х, + ВххъIВ\
Уг = (РгУ\ + В\Уъ)№\ L\з — величина, получаемая при подстановке в ту же
формулу A.11) измеренной вдоль оси суммарной оптической длины яче-
ячеек и элементов А, В, D волновой матрицы, равной произведению двух ис-
исходных и являющейся, таким образом, матрицей сочетания двух яче-
ячеек (считаем В Ф 0). В результате получаем G(x3, уъ\ хх, ух) =
* (X2BlB2y1exp(ikL13)J,me
/= ffexp{ikBBBlB2y1' [(х2 -х2J +(у2 -y2J]}dx2dy2.
Проверим, всегда ли выполняются условия, позволяющие для вычис-
вычисления / пользоваться формулой A.7). Если гауссовы диафрагмы отсутст-
отсутствуют, тогда волновые матрицы совпадают с лучевыми, и их элементы
действительны. Одновременно действительны и параметры х'2, у\\ при-
примечательно, что в этом случае не только они, но и?12,^2 3 и!13 имеют
простой смысл. В самом деле, нетрудно видеть, что в отсутствие диафрагм
h\2 является оптическим расстоянием от (х1? ух) до (х2, у2), L23 — от
С*2, У г) Д° (*з> Уз)- Далее, подсчитав с помощью формул A.1) углы
наклонов лучей по заданным их координатам на входе и выходе каждой
ячейки, можно убедиться в том, что лучи, следующие через точки (xi ,j>i),
(*2> У г) по первой ячейке и через (х2, у 2), (х3, у3) по второй, являются
Йродолжениями друг друга. Таким образом, величина Li39 равная дости-
достигаемому при х2 = х2 и у 2 = у г значению суммы Li2 + ?23» является опти-
оптическим расстоянием (эйконалом) между точками (х1,>'1)и (хз,^)» из"
Серенным вдоль следующего законам геометрической оптики луча.
Отметим, что в зависимости от знака отношения B/(BiB2) величина Z, 13
Оказывается либо минимальным, либо, напротив, максимальным зна-
значением суммы Ll2 + L23 при фиксированных х1з ух, хъ,уъ. Это обстоя-
обстоятельство соответствует вариационному принципу стационарного значе-
значения оптического расстояния ([77], § 3.3).
При наличии гауссовых диафрагм упомянутые параметры становятся
комплексными и теряют геометрический смысл; одновременно Z,13 пе-
перестает быть экстремальным значением L х 2 + L23. В этом случае оказывает-
оказывается справедливым неравенство lm[B/(BiB2)] > 0; таким образом, форму-
формула A.7) применима и здесь. С ее помощью убеждаемся в том, что для
сочетания двух ячеек пригодны те же формулы A.10), A11) при условии
подстановки в A.11) измеренной вдоль оси оптической длины и элемен-
21
тов волновой матрицы этого сочетания. Присоединив еще ячейку, полу-
получим, очевидно, аналогичный результат, и т.д.
Общий случай круговой симметрии или простого астигматизма. Обоб-
Обобщение A.10), A-11) на случай систем, содержащих любое число ячеек, по-
позволяет включить в рассмотрение также протяженные квадратичные кор-
корректоры. С одним из их видов мы знакомились в начале параграфа: это
участки "линзоподобной" среды с показателем преломления п = п0 —
— xhn2r2 = п0 - 1Ап2(х2 + у2). Там же был изложен подходящий способ
вывода лучевой матрицы такого участка путем его расчленения на ряд
тонких слоев, каждый из которых уподоблялся сочетанию слоя однород-
однородной среды и линзы, т.е. одному из вариантов наших ячеек. Таким обра-
образом, матрица в четвертой графе табл. 1.1 является предельным произве-
произведением матриц ячеек и может использоваться не только в геометрической,
но и в волновой оптике.
Дополнив ячейки, соответствующие отдельным тонким слоям "линзо-
"линзоподобной" среды, гауссовыми диафрагмами, приходим к волновой матри-
матрице протяженного участка среды, имеющей наряду с "линзоподобностью"
(или вместо нее) также и квадратично зависящее от г поглощение. Эта
матрица может быть получена путем замены в матрице из четвертой графы
параметров п0 и п2 на аналогичные параметры, относящиеся к комплекс-
комплексному показателю преломления п.
Последний вводится следующим образом. Амплитуда поля по прохож-
прохождении слоя малой толщины h с действительным показателем преломле-
преломления п и коэффициентом поглощения по интенсивности о см (чему соот-
соответствует амплитудный коэффициент поглощения а/2 см) оказывает-
оказывается умноженной на exp(iknh) • ехр(— ho/2). Приравняв это к exp(iknh),
получаем п ~п + ik'1 а/2 (если среда не поглощает, а усиливает, п -
= п — ik'1 fcyC/2, где кус — коэффициент усиления по интенсивности).
Представив коэффициент поглощения по аналогии с показателем пре-
преломления линзоподобной среды в виде а0 — 1Ао2г2, получаем п = п0 —
— 1Лп2г2, где п0 = п0 + Viik^ao, п2 = п2 +lAik~lo2. Эти значения по,п2 и
должны быть использованы вместо п0, п2. Поскольку модуль члена с а0
обычно очень мал по сравнению спо,в выражениях для матричных элемен-
элементов этот член можно опустить, учитывая его только при вычислении изме-
измеренной вдоль оси оптической длины Lo = ln0 (/ - длина участка), кото-
которая, таким образом, становится комплексной. Наличие мнимой части
в Lo приводит к тому, что результирующее распределение амплитуды
оказывается умноженным на ехр(—/ао/2) (или на больший единицы анало-
аналогичный множитель, соответствующий усилению).
Необходимо отметить, что в случае квадратично нарастающего по мере
удаления от оси усиления (или а2 < 0) интегралы по промежуточным
поверхностям типа / расходятся, и формулы A.10), A11) теряют силу.
В следующем параграфе будет, однако, показано, что составленные по из-
изложенным выше правилам волновые матрицы и в этой ситуации сохраня-
сохраняют определенный смысл.
Подведем некоторые итоги. Для оптических систем весьма широкого
класса, включающих самые разнообразные осесимметричные квадратич-
22
«ые корректоры (тонкие и протяженные, фазовые и амплитудные), пригод-
пригодно универсальное интегральное соотношение
и(х2,у2) = -
i
+ DBBr1(xl+yl)-B-1(xix2+yly2)])u(x1,y1)dx1dy1, A.12)
где Lo — измеренная вдоль оси оптическая длина системы, А, В и D —
элементы ее волновой матрицы. Если амплитудные корректоры отсутст-
отсутствуют, волновая матрица действительна; в этом случае величина, описывае-
описываемая выражением в квадратных скобках, является эйконалом - опти-
оптическим расстоянием между точками (х1? у\) и (х2,у2) на входной и вы-
выходной плоскостях, измеренным вдоль проходящего через эти точки луча.
При комплексной матрице эта величина перестает быть оптическим рас-
расстоянием и вообще теряет связь с лучевыми представлениями, определяя
лишь вид функции отклика; и все же ее удобно тогда называть комплекс-
комплексным эйконалом.
В дальнейшем анализе мы будем чаще всего исходить из соотношения
A.12), которое является, по' существу, обобщением принципа Гюйгенса -
Френеля. Приведем еще сведения о ряде важных случаев, требующих
определенной модификации изложенного выше подхода.
Существенное расширение класса объектов, для которых применим
метод волновых матриц, может быть осуществлено за счет оптических
систем с простым астигматизмом. Напомним, что такие системы отличают-
отличаются одинаковой ориентацией плоскостей симметрии всех источников астиг-
астигматизма. Последние могут быть и линзами с fx Ф fy, и диафрагмами с
пропусканием Т(х, у) = ехр(—х2 /wx) • ехр(—y2fw2), где wx Ф wy, и участ-
участками среды с п = п0 — 1А(п2хх2 + п2уу2), где п2х Ф п2у9 и, наконец,
теми элементами, которые изображены на рис. 1.3. Функция отклика
дяя системы с простым астигматизмом равна
Kx(x2,x1)Ky(y2,y1), A.13)
где
A.14)
v =x,y;
Av, Bv, Dv - элементы волновой матрицы, получаемой при использовании
параметров источников астигматизма вдоль соответствующей поперечной
координаты.
Заслуживают также внимания системы, у которых одно или оба зна-
значения Bv равны нулю; при этом, естественно, формулы A.14) непосредст-
непосредственно применить нельзя. Обычно это бывает, если амплитудные коррек-
корректоры либо отсутствуют вообще, либо имеются только на входе и выходе
системы в целом; тогда Av и Dv действительны. В этом случае искомые
формулы можно вывести, скажем, так: вначале, считая Bv Ф 0 и восполь-
воспользовавшись тождеством A vv2 + Dvv\ — 2vxv2 = (BvCv/Av)v2 +Av(vx — v2/Av)
(Cv — не использовавшийся нами ранее элемент той же матрицы), преоб-
23
разуем A.14) к виду
exp[ikCvv2
Теперь устремим Bv к нулю. Поскольку функция вида exp(ix2/e)/\/tn€
при е -> 0 является одним из возможных аналитических представлений
дельта-функции б (х), в конечном итоге имеем
^u(w2,Wi)= л/О^ехрКЛС^/г)^]'^^ -4^). A.14а)
Если Вх = Ву = 0, результирующее выражение для поля на выходе системы
имеет вид
A.15)
Входная и выходная плоскости здесь оптически сопряжены; входное рас-
распределение поля воспроизводится на выходной плоскости с изменением
масштаба по двум координатам (увеличением) в l/Dx = Ах и в Ау раз
(напомним, что в силу A.3) при В = О AD = 1), соответствующим изме-
изменением интенсивности и добавлением некоего экспоненциального множи-
множителя с квадратично зависящим от х2, у2 показателем. В отсутствие ампли-
амплитудных корректоров этот множитель является чисто фазовым; если на
входе и выходе имеются гауссовы диафрагмы, то он описывает также
уменьшение амплитуды за их счет.
Наконец, необходимо вспомнить об обычных диафрагмах — отверстиях
в экранах. Чтобы понять их роль, вернемся к выводу формулы A-9)
и будем полагать, что между состыковывавшимися тогда двумя опти-
оптическими системами имеется такая диафрагма. Нетрудно видеть, что
в этом случае интегрирование в A.9) должно проводиться не в бес-
бесконечных пределах, а только по площади отверстия. Отсюда следует
Gl(x3,y3;x1,y1) = G(x3,y3,xl,y1) - G'(x3,y3,x1,yl),meGl nG-
функции отклика при наличии экрана и без него,
fS
OS)
S — поверхность экрана (за вычетом отверстия).
Каких-либо приемлемых общих формул для G', а следовательно, и для
истинной функции отклика Gx при наличии даже единственной обычной
диафрагмы внутри системы не существует. Вместе с тем, если интересую-
интересующие нас пучки практически нацело "проваливаются" в отверстия диафрагм
и по существу не испытывают влияния последних, то для них, естественно,
можно пользоваться функцией отклика, рассчитанной без учета этих диа-
диафрагм. Следует только не забывать, что выполнение указанного условия
в каждом сомнительном случае подлежит тщательной проверке. Для пуч-
пучков, заметно рассеиваемых промежуточными экранами, пользоваться
волновой матрицей системы в целом нельзя.
В заключении сообщим, что наиболее универсальный вариант матрично-
матричного аппарата, пригодный для описания в геометрическом и дифракционном
24
Вриближениях систем, включающих любые астигматические корректоры,
границы раздела (при произвольных углах падения), дифракционные ре-
Йетки и т.п. с учетом возможных их разъюстировок, изложен в Приложе-
Приложении. Здесь фигурируют пятирядные матрицы, использовавшиеся в геомет-
геометрической оптике уже достаточно давно. Указанный Арно [138] способ их
Применения в дифракционном приближении был конкретизирован и об-
обобщен на более широкий класс оптических систем автором и А.Я. Бекшае-
*ым[33,35].
Поляризационные характеристики когерентных световых пучков. В ла-
лазерной технике чаще всего приходится иметь дело с пучками, состояние
поляризации которых на всем поперечном сечении одинаково. Обе плос-
кополяризованные компоненты, на которые можно разложить любой та-
такой пучок, имеют одно и то же (с точностью до постоянного множителя)
распределение комплексной амплитуды и, следовательно, одинаковым
Образом преобразуются в рассмотренных нами оптических системах. В ре-
результате соотношение между амплитудами этих компонент остается неиз-
неизменным, и на всем пути распространения сохраняется исходное состояние
поляризации.
Если система включает в себя элементы типа поляризатора, фазовой
пластинки, ячейки Фарадея и т.п., изменяющие* состояние поляризации
одновременно и одинаковым образом на всем сечении пучка, после про-
прохождения такого элемента поляризация становится иной, но опять-таки
одинаковой по всему сечению. Это новое состояние поляризации сохра-
сохраняется до следующего подобного элемента, и т.д.
Из сказанного должно быть ясно, что в таких случаях задачи о дифрак-
дифракционном преобразовании распределения комплексной амплитуды и об
изменении состояния поляризация по прохождении сложной оптической
системы могут рассматриваться независимо друг от друга. С методами
решения первой мы уже ознакомились; анализ поляризационных харак-
характеристик когерентных пучков удобнее всего производить методом Джонса.
Согласно этому методу, подробное изложение которого имеется, напри-
например, в [96], состояние поляризации описывается вектором, являющимся
набором комплексных амплитуд поля по двум взаимно перпендикуляр-
Ным направлениям: е =
. Если отношение ех/еу действительно, свет
поляризован линейно; при комплексной величине этого отношения поля-
поляризация является эллиптической.
Каждому оптическому элементу соответствует своя матрица V, описы-
описывающая преобразование вектора поляризации по прохождении этого эле-
элемента. Если свет последовательно проходит элементы с матрицами V\
и V2, окончательное состояние поляризации описывается вектором V2 Vx e,
и т.д.
Удобно пользоваться имеющими простой вид поляризационными матри-
матрицами Vo элементов, ориентированных вдоль координатных осей. Выделяю-
1 О
щий х -компоненту поляризатор описывается матрицей
пластинка -
e±iA О
О 1
О О
фазовая
(А - набегающая в пластинке разность фаз, знак
25
в показателе экспоненты зависит от того, которая из осей пластинки на-
направлена вдоль х). Матрицы VF) элементов, повернутых на произволь-
»cos0 sin0 II
—sin0 cos0 11
осуществляющей переход к системе отсчета, развернутой относительно сы-
сырой на этот же угол (данная матрица также описывает ячейку Фарадея
с поворотом плоскости поляризации на угол -0). Действительно, повер-
повернув систему отсчета, мы уже можем воспользоваться матрицей Vo; после
этого для перехода к исходной системе отсчета следует применить 5(—0).
Итак,К@) = 5(-0). Vo -5@).
В дальнейшем мы будем интересоваться поляризационными характерис-
характеристиками излучения лишь в немногих специально оговоренных случаях;
пример расчета с помощью метода Джонса будет приведен в § 3.1.
§ 1.2. Законы распространения важнейших типов световых пучков
Используем развитый математический аппарат для анализа поведения
некоторых видов световых пучков, играющих фундаментальную роль
в теоретической оптике. Сопоставляя их свойства и обсуждая результаты
когерентного сложения (суперпозиции), будем считать, что все участвую-
участвующие пучки не только монохроматичны, но и имеют одинаковые частоту
и состояние поляризации.
Плоские и сферические волны. Понятие о фазовой скорости. Сперва
рассмотрим когерентные пучки с плоскими либо сферическими волновыми
фронтами. Начнем с геометрического приближения; напомним, что ABCD-
матрицы в этом случае рассчитываются без учета амплитудных корректо-
корректоров и являются действительными.
Ясно, что сферическая волна, имеющая центр кривизны на оси, при
следовании через лишенную источников астигматизма систему рассматри-
рассматриваемого класса остается сферической же, причем центр ее кривизны пос-
после прохождения поверхностей раздела либо участков линзоподобной среды
изменяет свое положение, однако продолжает оставаться на оси. Чтобы
вывести закон преобразования радиуса кривизны, нужно принять во вни-
внимание, что, поскольку лучи являются нормалями к волновому фронту,
сферической волне с радиусом кривизны фронта р и центром на оси соот-
соответствует семейство лучей х/ах = р (ограничимся выписыванием формул
для одной из координатных пар). Таким образом, луч с входными линей-
линейной и угловой координатами хх, ах1 принадлежит к семейству волны с
Pi = *iA*xi- После прохождения системы этот луч преобретает координа-
координаты х2, аХ2 и входит в семейство лучей сферической волны с р2 = хг\ахг.
Поскольку
х2/ах2=(Ах1 +Baxl)l{Cxx +Daxl) =
^(Ахх/сы +В)/(Сх1/ах1 + Z>),
искомый закон имеет вид
р2 =(Арг +B)l(Cpi +D). A.16)
Немного более сложные выкладки показывают, что A.16) остается
в силе и тогда, когда центры кривизны сферических волн не лежат на оси.
26
рис. 1.5, К определению фазовой скорости супер-
суперпозиции двух плоских волн
Поперечные координаты центров волны на
входе х\, у! и на выходе х2, у г связаны
формулами
A.17)
/2
Очевидно, эти центры являются изображе-
изображениями друг друга; плоскости, где они на-
находятся, сопряжены; множитель \\{Срх + D) — не что иное, как
увеличение. Таким образом, формулы A.16), A.17) устанавливают, по-
помимо всего прочего, законы формирования изображений в параксиальном
приближении (необходимо только не забывать, что радиусы кривизны р
считаются положительными, когда центры кривизны находятся, относитель-
относительно хода лучей, до отсчетных плоскостей).
Теперь займемся плоскими волнами (р = °°). Естественно, они при
распространении могут оставаться таковыми только в пустом пространст-
пространстве либо в однородной среде. Интерес для нас будут представлять не только
отдельные волны, но и суперпозиции плоских волн, направления распрост-
распространения которых составляют с осью z один и тот же угол у?. При переме-
перемещении вдоль z на любое расстояние поперечные распределения полей таких
суперпозиций, общие свойства которых рассматривались в [23, 66], остают-
остаются неизменными. Таким образом, они как бы не испытывают дифракции
и будут в дальнейшем условно именоваться "недифрагирующими" (иногда
их называют неоднородными плоскими).
Поясним природу недифрагирующих структур на простейшем примере
двух волн, изображенных на рис. 1.5; направления их распространения ле-
лежат в плоскости рисунка. Проследим за фронтами этих волн, которые
в исходный момент времени пересекались в точке О на плоскости /. Через
промежуток времени At они пройдут каждый расстояние с • At и будут
пересекаться в точке О\ смещенной вдоль z на расстояние с • At/cosip.
Фазы наших волн в этот момент времени здесь будут теми же, какими
они были в точке О. То же самое можно сказать и о любой другой паре
точек, расположенных одна против другой на плоскости / и параллель-
параллельной ей плоскости //, проходящей через точку О'. По этой причине распреде-
распределение поля, которое имело место на плоскости /, через At воспроизводит-
воспроизводится в плоскости //. Если воспринимать суперпозицию волн как некую еди-
единую структуру, то видно, что она, оставаясь неизменной, перемещается
вдоль z со скоростью и = с /cosy?, превышающей с; эта скорость называет-
называется фазовой. Очевидно, мы пришли бы к тому же выводу, взяв не две,
а любое число плоских волн, нормали к фронтам которых лежат на боко-
боковой поверхности кругового конуса с осью симметрии z и углом раство-
раствора 2<р.
Небезынтересны и некоторые другие свойства суперпозиции двух плос-
плоских волн. Как известно, картина поперечного распределения суммарно-
27
го поля здесь представляет собой систему параллельных интерференцион-
интерференционных полос, расстояние между которыми составляет h = X/Bsin<p). Когда
кр мало, h = Х/Bу?)> a v = сA + <?2/2); выразив <р- через Л, получаем и =
= с[1 + \2/(Sh2)]. Таким образом, превышение v над скоростью света в ее
обычном определении оказывается обратно пропорциональным квадрату
характерного поперечного размера структуры h. Отметим, что такая вза-
взаимосвязь между фазовой скоростью и характерным поперечным размером
структуры является весьма универсальной (с чем мы вскоре столкнемся).
Теперь перейдем на более формальный язык. Для волны, направление
распространения которой лежит в плоскости xz и составляет угол а с
осью z, с учетом зависимости от времени имеем и <х> exp [i(kzz + кхх - cot)],
где kz = fccosa и кх = fcsina - проекции волнового вектора на оси z их.
У суммы наших двух волн при одинаковой их интенсивности
+ exp [i(kzcos<p - foe sin <p - cot)] =
= exp [i(kz cos <p — со t)] -2 cos(kx sin ф).
Из этого выражения следует, что вся объемная структура перемещает-
перемещается вдоль оси z со скоростью, определяемой условием kz cosip — cot = const
и действительно равной со/к cos <p = c/cosip. Участки любой плоскости z =
= const, на которых множитель cos (toe sin <р) сохраняет знак, представляют
собой поверхности постоянной фазы, называемые эквифазными. Однако
целиком плоскости z = const эквифазными поверхностями не являются,
ибо там, где изменяется знак cos (far sin <р), общая фаза скачком меняет-
меняется на тг. Поэтому сплошного волнового фронта в его обычном понимании
здесь не существует. Более того, поскольку направления скачков нельзя
считать заданными (ведь фаза известна с точностью до слагаемого, крат-
кратного 27г), в выборе даже ориентировочной формы фронта существует
произвол.
Можно показать, что если интенсивности складываемых волн хотя бы
немного различаются, тогда исчезают и участки плоскостей, на которых
фаза суммарного поля постоянна, и скачки фазы. С ними исчезает и про-
произвол в определении эквифазных поверхностей, которые в целом оказы-
оказываются направленными вдоль фронтов более интенсивной волньь испыты-
испытывая отклонения от них с периодом 2h.
Гауссовы пучки. Перейдем теперь к рассмотрению задач, требующих
применения аппарата волновой матрицы. В первую очередь изучим по-
поведение так называемых гауссовых пучков, имеющих сферические вол-
волновые фронты и распределение амплитуды, описываемое изображавшей-
изображавшейся на рис. 1.4 функцией Гаусса Е(г) = Ео exp [-(r/wJ]. Расстояние и>, на ко-
котором амплитуда спадает в е раз по сравнению с ее значением на оси Ео,
чаще всего называют радиусом пучка; мы будем именовать w параметром
ширины — это название труднее спутать с радиусом кривизны волнового
фронта и тому подобным. Кстати, поскольку интенсивность излучения
спадает вдвое на расстоянии и>\/Ь,51п2 от оси, полная ширина по уров-
уровню 0,5 интенсивности составляет w\/2\n2 « 1,2w; половина мощности
28
сосредоточена в круге того же диаметра, 0,8 мощности — в круге диамет-
диаметром w\/21n5 « l,8w.
Сферическому волновому фронту с радиусом кривизны р соответст-
соответствует фазовый множитель exp[(ik/2p)(x2 + у2)] (см. вывод формулы
A,8)), поэтому полное выражение для распределения комплексной ампли-
амплитуды гауссова пучка на отсчетной плоскости имеет вид
2+у2\ Г ft , 1 Г ft „ ,
jjB+2)J = Еоехр [— (х2 + д>2
где р — параметр, называемый комплексным радиусом кривизны и опре-
ft ik I 11 i\
деляемый соотношением —- = — — —— , или — = — + — .
2р 2р w Р Р
Г
Р Р
Г ft , 1
(х2 + jf) и
12р! J
Г ft ,
Подставив в A.12) и(хх, ух) = Еоехр (х2 + jf) и выполнив
12 J
интегрирование, получаем
1 Г * , , 1
ехр -тг-(*2 +^1), (Ы8)
р L2p J
ехр тг
А+В/рх L2p2
где
p2=(Apl^B)/(CPi^D). A.19)
Правая часть A.18) описывает гауссов пучок с комплексным радиусом
кривизны р2; правило преобразования комплексного радиуса кривизны
A.19) обычно называют законом ABCD. Приведем также вытекающий из
A.13) аналог A.18) для астигматических гауссовых пучков с распределе-
нием амплитуды вида ^оехрс —^—х + —~У ) » прошедших через
\2рх 2ру /
Шстему, в которой все вносящие астигматизм элементы ориентированы
вдоль тех же осей х и у:
V Pxl /
/
(
Ау + ^) ехр( З
^) ехр( хЗ
ру1 / \2рх2 2ру2
0хг> Ру2 вычисляются с помощью поочередной подстановки в A.19)
Рх\ и Pyi совместно с элементами соответствующей матрицы. В дальней-
дальнейшем выписывать отдельные формулы для астигматических пучков и систем
мы без надобности не будем.
Формулы A.18), A.19) можно вывести и не прибегая к A.12): нетруд-
нетрудно проверить их справедливость для простейших оптических элементов
(включая участки пространства или однородной среды), а затем уже с по-
помощью чисто алгебраических выкладок распространить их на любые соче-
29
тания этих элементов. Действительно, если гауссов пучок последовательно
проходит через системы с матрицами
II Аг В, || || А2 В2
II Сг Dx II II С2 D2
для каждой из которых справедлив закон ABCD, то после первой
Рг =
после второй
А2р2+В2
C2p2+D2
— { А2 ~ "t" D2 г/ I Cs2 ~ "^ LJ2 j
где A,B,C,D — элементы матрицы, равной произведению двух исходных.
Именно по этому пути пошел в свое время Когельник [178, 179], рас-
рассмотревший прохождение гауссовых пучков через сложные системы с квад-
квадратичными фазовыми корректорами. Уже в конце 60-х годов ряд авторов
(например, [146]) начали пользоваться теми же формулами A.18), A.19)
для оптических систем, содержащих также и амплитудные корректоры.
В силу изложенного выше формулами A.18), A.19) можно восполь-
воспользоваться даже в тех упоминавшихся случаях, когда присутствуют квадра-
квадратичные корректоры с нарастающим по мере роста г усилением, и пригод-
пригодные для произвольных пучков соотношения типа A.12) теряют силу.
Необходимо только проверять, не оказывается ли после такого элемен-
элемента Im(p ) > 0, что соответствует не спаду, а неограниченному росту ампли-
амплитуды при больших г. Если это случится, то не только A.12), но и A.18),
A.19) в данной конкретной ситуации неприменимы: моделью идеальных
квадратичных корректоров с нарастающим по мере удаления от оси уси-
усилением можно пользоваться только при заведомо ограниченном сечении
светового пучка.
Итак, гауссовы пучки обладают тем замечательным свойством, что
продолжают оставаться гауссовыми, т.е. обладать сферическими фронта-
фронтами и гауссовым распределением амплитуды, по прохождении самых раз-
разнообразных оптических систем, включающих, в частности, сколь угодно
протяженные участки пространства. Изменяются только ширины пучков
и радиусы кривизны волновых фронтов.
Закон, по которому происходят эти изменения, является, как мы ви-
видим, достаточно простым. Немного сложнее обстоит дело с подсчетом об-
общего фазового набега. Дело в том, что выделение в правой части A.18)
фазового хмножителя ехр{/[Аг/,0 — ъщ(А + В/рг)]} позволяет определить
искомый набег лишь с точностью до слагаемого, кратного 2п. Правда,
фазовая скорость гауссовых пучков по упоминавшимся нами причинам
всегда немного превышает с/п, поэтому общий фазовый набег в любом
случае оказывается меньше kL0 и может быть записан в виде kLQ — Ф —
30
— 2тгЛ, где Ф — лежащее в пределах между 0 и 2тг значение argD + /?/Pi),
Л — неотрицательное целое число.
Более тщательный анализ показывает, что для сравнительно простых
оптических систем, используемых в качестве резонаторов, Л чаще всего
равно нулю и практически никогда не превышает единицы. Для теории ре-
резонаторов этих сведений вполне достаточно. Тем, кому захочется опреде-
определить Л в случае сложной системы, включающей в себя не только фазовые,
но и амплитудные корректоры, можно посоветовать проследить за эволю-
эволюцией интересующего их пучка и последовательным накоплением "недоста-
"недостачи" фазового набега на протяжении всей системы.
Остановимся теперь на поведении гауссовых пучков в системах, не со-
содержащих амплитудные корректоры и имеющих, таким образом, в гео-
геометрическом и дифракционном приближениях одинаковые действитель-
действительные ЛЯС/Хматрицы. Сразу отметим, что в этом случае A.16) начинает по
виду совпадать с A.19) и оказывается предельным случаем A.19) прии>-*
->». Отсюда следует, что для неограниченных сферических волн с равно-
равномерно распределенной амплитудой формула A.16) справедлива не только
в геометрическом, но и в волновом приближениях.
Что касается гауссовых пучков конечной ширины, то при действитель-
действительных А, В, С, /Эиз (Ы9) вытекают следующие формулы, относящиеся не-
непосредственно к w и р:
о Л( В V /\В VI 1 1 Г w\ / В\]
LV Pi / \7ГН>? / J р2 В I W\ V Pi /J
A.20)
Используя опять-таки действительность всех входящих в A.20) парамет-
параметров, первую из формул можно преобразовать к виду w2 = W\ IA + B/pi \.
Это позволяет записать имеющийся в правой части A.18) множитель
(А + В/рг)~1 в виде ехр(—/Ф) • (wi/w2). Действительный множитель
и>1 /W2 здесь описывает изменение средней плотности излучения при изме-
изменении сечения пучка, несущего прежний суммарный поток энергии (при
наличии амплитудных корректоров поток энергии уже не сохраняется, и
взаимосвязь между Wj и w2 оказывается более сложной).
В отсутствие амплитудных корректоров уже можно дать рецепт опреде-
определения истинного значения общего фазового набега: следует проследить в
Геометрическом приближении за ходом какого-либо луча, пересекающего
Ось системы на ее входе (х i = у i = 0), подсчитать число последующих
его пересечений с осью на протяжении всей системы и разделить это чис-
число на 2; целая часть результата и составляет Л.
Особенно просто выглядят законы распространения гауссовых пучков
в пустом пространстве. Поскольку комплексные радиусы кривизны преоб-
преобразуются по тем же законам, что и радиусы кривизны сферических волн
в геометрическом приближении, то по прохождении гауссовым пучком
расстояния / комплексный радиус его кривизны возрастает на /. Исходя
из этого нетрудно убедиться в том, что на расстоянии /o=-Pi/[l +
+ (XPi/ttwx2J] от плоскости, где параметры пучка составляют wx и ри
величина р оказывается чисто мнимой, что соответствует плоскому вол-
31
w9
W(Z)
р(Ю
Рис. 1.6. Распространение гауссовых пучков в пустом пространстве
новому фронту A/р) = 0). В этом же месте параметр ширины пучка про-
проходит через минимум, составляя w0 = Wi/%/1 + 0nv2/XpiJ. По естествен-
естественным причинам принято говорить, что здесь находится "перетяжка", или
"горловина", пучка (рис. 1.6). Если рх < 0, то пучок в зоне исходной опор-
опорной плоскости еще сужается, и перетяжка расположена дальше по ходу
его следования (/0 > 0); при р2 > 0 она уже осталась позади (/о < 0).
Когда за начало отсчета взято место перетяжки, формулы, описывающие
эволюцию w и р по обе стороны от нее, становятся особенно удобными:
w2(z) = w§[l+(Xz/;rw§J], A.21)
p(z) = z[l+Grw2o/XzJ]. A.22)
Эти формулы иллюстрирует рис. 1.6; из соображений симметрии ясно,
что он в равной степени может быть отнесен к случаям, когда пучки рас-
распространяются слева направо и справа налево. Этот рисунок (как и многие
из последующих) сугубо условлен: для соответствия реальным ситуациям
его следовало бы во много раз растянуть в длину, а иногда еще и сжать в
поперечном направлении. Действительно, с помощью формулы A.21) нет-
нетрудно подсчитать, что при X = 0,7 мкм и w0 = 1 мм ширина пучка удваи-
удваивается на расстоянии порядка 8 м от перетяжки; при w0 =3 мм аналогичный
эффект достигается на расстоянии 70 м.
Изображенная на рисунке картина эволюции пучков легко может быть
понята исходя из того, что дифракция — отклонение от прямолинейности
распространения света — проявляется тем сильнее, чем меньше сечение пуч-
пучка. По этой причине кривизна окаймляющих пучки на рисунке линий мак-
максимальна у перетяжек, уменьшаясь по мере роста ширины пучков. Та же
причина приводит к тому, что у пучка с большой шириной перетяжки гра-
граничные линии в зоне последней обладают меньшей кривизной.
То обстоятельство, что гауссовы пучки подчиняются, казалось бы, не-
неким специфическим и касающимся только их правилам, порой внушает
ошибочное мнение о том, что некоторые привычные законы оптики могут
для таких пучков и не выполняться. Чаще всего берется под сомнение спо-
32
собность линзы проецировать распределение поля в произвольном сечении
гауссова пучка на сопряженную плоскость с увеличением, определяемым
обычным способом. Однак"о линза с примыкающими к ней с двух сторон
участками пространства длиной 1\ и /2 при выполнении условия 1//х +
+ 1/12 = 1//представляет собой оптическую систему с Z? = 0, А = 1/Z>=—l2lh
и обладает, как это следует из A.15), проецирующими свойствами не толь-
только в геометрическом, но и в дифракционном приближении. Естественно,
при этом необходимо, чтобы линза перекрывала всю ту часть сечения
пучка, где амплитуда заметно отличается от нуля.
Можно и непосредственной проверкой убедиться в том, что введение
гауссовых пучков не требует ревизии обычных представлений. Изложим
схему такой проверки; заодно поясним, как можно рассматривать эволю-
эволюцию гауссовых пучков, не прибегая к матрицам.
Пусть непосредственно перед линзой гауссов пучок имеет любые р0 и
w0, так что здесь 1/р0 = 1/р0 + *Х/(тгм>о). Вычтя из р0величину /^получа-
/^получаем значение рх в плоскости, расположенной на расстоянии 1\ до линзы;
зная Pi, находим ширину пучка wxв этой плоскости: w г = >/Х/[тг1тA/р1I.
Далее, при прохождении линзы из 1/р0 вычитается 1//, поэтому непосредст-
непосредственно за линзой 1/Ро = 1/Ро ~ 1// + /X/ (Уи>о). На расстоянии /2 за линзой
Рг = Ро + /2; найдя по известному р2 величину w2 и учтя условие l//i +
+ 1//2 = 1//, убеждаемся в том,что w2/wl = 12/1\.
Желающих найти самые детальные сведения о поведении разнообразных
гауссовых пучков (в том числе не затрагивавшихся нами астигматических
с несовпадающими плоскостями симметрии у фазового и амплитудного
распределений) адресуем к [92]. Перейдем к рассмотрению более широ-
широкого класса пучков, которые во многих отношениях ведут себя точно так
же, как гауссов; последний входит в этот класс как простейший частный
случай.
Эрмитовы и лагерровы пучки с действительными параметрами. Про-
Проведенное в классических работах по теории резонаторов начала 60-х годов
(§ 2.1) формальное решение интегрального уравнения пустого устойчивого
резонатора (§ 2.3) привело к обнаружению целого класса световых пуч-
пучков, форма распределения интенсивности которых остается одной и той
же на любом расстоянии от источника. Именно из таких пучков состоят
собственные колебания устойчивого резонатора из неограниченных зеркал;
когда зеркала становятся конечными, структура тех колебаний, которые
могут возбудиться при генерации лазера, подвергается лишь незначитель-
незначительной перестройке.
В отличие от введенных ранее "недифрагирующих" суперпозиций неог-
неограниченных плоских волн, указанные пучки обладают конечной шириной,
изменяющейся при их распространении; такие структуры мы будем услов-
условно именовать "самовоспроизводящимися".
Не придерживаясь исторической последовательности развития представ-
представлений, сперва изучим поведение данного класса пучков в различных опти-
оптических системах и только в последующих главах выясним, как эти пучки
"вписываются" в резонаторы.
Если искать решение интегрального уравнения устойчивого резонатора
в бесконечных пределах методом разделения переменных в виде
3. Ю.А. Ананьев 33
fx (x) 'fy(y) sm^° fr(r) ' f\p Ы (^ ~ азимутальный угол), приходим к сле-
следующим двум системам функций:
+.y2)] um(xyw)un(y\w\ A.23)
upi(r,v\P, w) =
= exp(ikr2/2p)upl(r; w) exp(± ilp\ A.24)
где индексы m, n, p, l принимают значения 0,1*2,3,...;
d>
наконец, Hj(z) = (- IO exp(z2/2) —rexp (- z2/2) - полиномы Эрмита,
dzJ
dp
Llp{z) = z~~7exp(z) —-- [zp+/exp(— z) \ — полиномы Лагерра, В соответ-
dzp
ствии с этим пучки семейства A.23) будут именоваться эрмитовыми,
A.24) — лагерровыми. Встречается и другая терминология; так, иногда
пучки обоих семейств называют гауссовыми.
Приведем конкретный вид полиномов для тех немногих случаев, когда
он совсем прост: H0(z) =1, Hx(z) = z, #2(z) = z2 - 1; Lq(z) = 1, b\{z) =
= / + 1 — z. В литературе иногда в выражениях типа A.23) аргументом поли-
полиномов Эрмита служит не 2v/w9 aVJu/w; это соответствует несколько ино-
dj
му определению полиномов Эрмита: Hj (z) = (- 1) 7ехр (z2) rexp (— z2).
dz1
Естественно, результирующие выражения остаются теми же (с точностью до
постоянного множителя).
Действительный параметр w определяет масштаб для распределений
поля по соответствующим координатам; с ним вместе действительны
и функции Uj(w, w) и upi{r; w). Другой действительный параметр, р, пред-
представляет собой радиус кривизны поверхности, на которой распределения
амплитуды имеют вид ит ип или ирХ ехр(± Иф).
Следует иметь в виду, что обычно лагерровыми называют пучки с рас-
распределениями на указанных поверхностях upl cos lip, сами же эти поверх-
поверхности, на которых все распределения оказываются действительными, оши-
ошибочно именуют эквифазными. Начало тому положила статья Бойда и Гордо-
Гордона [140], где не обращено внимания на то, что изменениям знака действи-
действительного множителя соответствуют скачки общей фазы на тг. Чтобы не пов-
повторять этой ошибки, мы будем называть данные поверхности опорными,
помня о том, что для одного из пучков — гауссова (т = п = 0 либо р =1 =
= 0) — они эквифазными все же являются.
Что же касается двух видов азимутального множителя (cos (/</?) и
ехр(± Иф))9 то оба они соответствуют самовоспроизводящимся структурам,
представимы один через другой (с учетом произвольности начала отсчета
34
Рис. 1.7. Вид функций Uj (и; w); а, б, в, г соответствуют / = 0,1, 2,12
у) и совершенно равноправны. Мы будем пользоваться и тем, и другим
множителем, при необходимости оговаривая его вид. Отметим, что часто
удобнее иметь дело с ехр(± пф): это избавляет не только от иллюзии "эк-
вифазности", но и от скачков общей фазы при изменении <р. В результате
образуется подобие общего волнового фронта, чем можно порой восполь-
воспользоваться для упрощения анализа [22].
Графики нескольких функций иДи; w), определяющих вид распределе-
распределения поля эрмитовых пучков по одной из поперечных декартовых коорди-
координат, приведены на рис. 1.7. Все функции, кроме первой (/ =0),являются
знакопеременными, имея по / нулей. Среднее расстояние между соседними
максимумами функций медленно уменьшается с ростом/. Ширина области,
в которой излучение имеет сравнимую с максимальной интенсивность, при
этом также медленно растет; на краях этой области и, резко спадает. Еще
отметим, что у функций высокого порядка размах колебаний амплитуды
мало изменяется по сечению пучка, медленно возрастая к его периферии.
Огибающая этих колебаний (штриховая кривая на рис. 1.7г) имеет своеоб-
своеобразную седловидную форму.
Характер двумерной структуры эрмитовых пучков на примере одного
из них (W41) поясняет рис. 1.8. Пучок состоит из отдельных "пятен", раз-
разделенных линиями, на которых амплитуда поля проходит через нуль и фаза
меняется на тг. Вертикальные штриховые прямые соответствуют нулям
функции ы4 (х; w), горизонтальная — единственному нулю функции
Свойства радиальных функций upl(r\ w) лагерровых пучков в самых
общих чертах примерно такие же, как иум/(и; w). В частности, функции
ир0 (П w) имеют по р корней, при / Ф 0 добавляется еще корень кратности
/ в точке г = 0; с ростом индексов р и / область значительной интенсив-
интенсивности перемещается в сторону больших г.
3* 35
Рис. 1.8. Структура эрмитова пучка с т - 4, п - 1. На сплошных замкнутых линиях
амплитуда составляет 0,2, 0,5 и 0,8 максимального значения, на штриховых равна
нулю
Весьма хорошее представление о структуре лагерровых пучков с азиму-
азимутальным множителем cos(/<?) дает рис. 1.9, идея которого заимствована из
книги [131]. Все три пучка в верхнем ряду имеют полные аналоги среди
эрмитовых. Левый ( р = / =0) совпадает с простейшим эрмитовым (т =
= п = 0) и представляет собой, как уже отмечалось, хорошо известный
нам гауссов пучок. Средний (р = 0,/ =1) имеет распределение амплитуды,
содержащее, помимо экспоненциального, множитель rcos<p. При переходе
к декартовым координатам этот множитель, если отсчитывать угол </? от
оси х, превращается в jc, от оси у - в у; этим двум вариантам соответ-
соответствуют функции и 10 и и01 эрмитова семейства. Таким образом, пучки
"о 1 (Г, Ч>\ Р, w), Mi о(*, У\ Р, w) и и0 х(х, у; р, w) с одинаковыми р и н> идентич-
идентичны, два последних переходят один в другой при повороте сечения на 90°
(если считать ось горизонтальной, то на рисунке изображен и 10 (jc, у; р, w)).
Аналогичным способом можно установить, что правому пучку в верхнем
ряду (р = 0, / = 2) соответствует эрмитов с т = п = 1 в декартовой системе %
координат с осями, направленными вдоль штриховых прямых. Распределе-
Распределения полей остальных лагерровых пучков к виду Fx (x) • F2 (у) не приво-
приводятся. Точно так же и все эрмитовы пучки, у которых хотя бы один из
индексов превышает единицу, не представимы в виде Fr{f) F^y).
Рассмотрим теперь законы распространения световых пучков этих двух
семейств через произвольные оптические системы, которые можно разбить
на участки пустого пространства или однородной среды, тонкие линзы
и слои "линзоподобной" среды. Напомним, что такие системы обладают
действительными волновыми матрицами (см. § 1.1).
36
Сперва преобразуем A.23), A.24) к немного более удобному виду.
Объединив экспоненциальные множители, имеющиеся в правых частях этих
формул (кроме ехр (± Нф)), с теми, которые содержатся в выражениях для
ит, иПу ир1, и введя, как это делалось для гауссова пучка, 1/р = 1/р +
+1X/ (ttw2 ), получаем
A.23a)
Подставив в A.12) u{xXtyi) =umn(xlf y1', Pi
вание , убеждаемся в справедливости равенства
A.24a)
и выполнив интегриро-
A.25)
где 2 = т + п; что же касается р, р и w, то для них остаются справедливы-
1=0 1=1 1=2
2 + 1
Рис. 1.9. Структура лагерровых пучков с азимутальным множителем cos/<p. Штрих-
пунктиром ограничен круг, внутри которого заключено 86,5% общего потока излу-
излучения; остальные обозначения те же, что и на рис. 1.8
37
ми те же "закон ABCD" A.19) и формулы A.20), что и для гауссова пуч-
пучка. Тем, кому понадобится иметь дело с астигматическими системами и
пучками, сообщим, что при использовании A.13) применительно к функ-
функции вида
2рх 2ру /J \wx / \w
A.236)
параметры pXi рх, wx и ру, ру, wy преобразуются по формулам A.19),
A.20) при подстановке в них элементов соответствующих двух матриц,
причем интегрирование по х ответственно за появление перед функцией
*2МпГ
распределения множителя —m + i/2 » по У ~ множителя
(Ах + BxlPx 1)
(wy2/wylf
— в отсутствие астигматизма их произведение и дает
(Ay + Bylpyl)n+l'2 '
множитель, стоящий в правой части A.25).
Полным аналогом A.25) с теми же законами преобразования р, р, w
оказывается формула для лагерровых пучков, только 2 принимает зна-
значение 2р + /. Поэтому все наши дальнейшие рассуждения, основывавшиеся
на формулах A.25), A.19), A.20), будут в равной степени относиться к
обоим семействам.
Главным выводом из приведенных выше соотношений является то,
что по прохождении любых оптических систем с действительными вол-
волновыми матрицами форма распределений интенсивностей у рассматривае-
рассматриваемых пучков сохраняется (почему мы и говорили о "самовоспроизводи-
"самовоспроизводимости" структуры). Сохраняется и вид распределения комплексной ампли-
амплитуды на опорных поверхностях, которые остаются сферическими. Изме-
Изменяются только радиусы кривизны р последних и, вместе с w, масштабы
распределений, причем у всех пучков одинаково — точно так же, как у
простейшего из них гауссова. Отсюда ясно, что, скажем, рис. 1.6 может
быть в равной степени отнесен к любым эрмитовым и лагерровым пуч-
пучкам с теми же р и w, только картина распределения, для которой w за-
задает масштаб, у каждого пучка своя.
Это означает, что любой характеристический размер поперечного сече-
сечения каждого пучка при распространении последнего изменяется пропор-
пропорционально w. На рис. 1.10 наряду с повторным изображением эволюции
гауссова пучка в пустом пространстве нанесены каустики пучка, который
при том же значении w у "перетяжки" имеет в плоскости рисунка распре-
распределение поля вида ит (х\ w) с т = 12. Как известно, в оптике каустически-
каустическими называют поверхности, ограничивающие область больших интенсив-
интенсивностей, при удалении от которой поле быстро становится исчезающе
малым. У эрмитовых пучков эта область имеет, очевидно, прямоугольное
сечение, лагерровых — круглое. Если вернуться к форме распределения
амплитуды данного конкретного вида (рис. 1.7г), то видно, что ширина
области больших интенсивностей здесь порядка 8vv.
Теперь займемся имеющимся в правой части A.25) множителем
(w2/w1)^(A + B/Pi)~^ + 1', который определяет закон изменения плот-
плотности излучения и "недостачи" фазы (по отношению к kL0) вдоль траек-
38
тории пучка. Вытекающая из A.20) и уже использовавшаяся однажды
формула А + В/pi = (иъ/м^ехр^'Ф), где Ф = arg(/l + ?/Pi) > 0» позво-
позволяет резко упростить его:
+1) (w,M) -exp[/(S + 1)Ф]. A.26)
Вьщеление чисто амплитудного множителя wxjw2 соответствует тому
очевидному факту, что средняя плотность излучения всех пучков при их
распространении изменяется пропорционально w~2. Из вида фазового
множителя следует, что величины "недостачи" фазы, а следовательно,
Рис. 1.10. Эволюция параметра шири-
ширины w у пучков вида A.23), A.24).
Штриховыми линиями нанесены опор-
опорные поверхности, штрихпунктиром -
каустическая поверхность пучка типа
A.23) с / = 12
и превышения фазовой скорости над скоростью света в стандартном опре-
определении у пучков с! =? 0 в (Е + 1) раз больше, чем у гауссова B = 0)
с такими же р и w. Хотя A.26) формально позволяет находить фазу лишь
с точностью до слагаемых, кратных 2тг, однако справедливость A.26)
для любого участка пути делает этот вывод вполне законным. Он сог-
согласуется с высказанным ранее тезисом о взаимосвязи между фазовой
скоростью и характерным размером поперечной структуры пучка: с рос-
ростом индексов пучков размеры отдельных "пятен", из которых они состоят,
становятся меньшими.
Весьма важно то, что фазовые скорости у пучков обоих семейств с оди-
одинаковыми 2 точно совпадают. Поскольку любая комбинация волн с рав-
равными фазовыми скоростями обладает, очевидно, той же фазовой ско-
скоростью, это наводит на мысль, что лагерровы пучки мсгут быть представ-
представлены в виде суперпозиций эрмитовых с теми же р, w, 2, и наоборот. Можно
показать, что это действительно так. Приведем конкретный пример. Если
отсчитывать $ от оси х и использовать лагерровы пучки с азимутальным
множителем cos /<^, то взаимосвязь их полей и ^ и эрмитовых и 'э' с 2 =
= 2 и одинаковыми р, w выглядит так: ui$ = — и№ + 2и№\ 14$ =
= - и® - 2и&>; «Й} = - (иДО + 4V)I2, 4V = {и® -«оФ)/4.
Именно здесь и таятся причины явного "родства" двух семейств.
Эрмитовы и лагерровы пучки с комплексными параметрами. Внеосе-
вые пучки. В последние годы интенсивно развивается теория резонаторов,
внутри которых имеются квадратичные амплитудные корректоры — га-
гауссовы диафрагмы, участки среды с "комплексной линзоподобностыо".
Собственные колебания таких резонаторов составляют пучки, обладающие
распределениями полей вида A.23), и A.24) с комплексными р и неудов-
неудовлетворяющими условию Re(l/w2) + (тг/Х) Im(l/p) > 0 (§ 23). Если,
невзирая на эту комплексность, по-прежнему ввести р = A/р + iX/nw2)' !,
то для этих распределений можно использовать A.23а), A.24а).
Вместе с р и w становятся комплексными и функции Uj(v\ w), upl(r\ w),
сами же р и w теряют тот смысл, который они имели раньше. Только те
39
немногие пучки, у которых выделенные в правых частях A.23а), A.24а)
полиномиальные множители состоят из единственного члена, продолжают
иметь действительные распределения на сферических опорных поверхнос-
поверхностях, кривизна которых составляет уже не 1/р, a Re A/р) = КеA/р) —
— (Х/тг) Im A/w2). К таким пучкам относятся эрмитовы с т, п < 1 и лагер-
ровы с азимутальным множителем cos /</> с любым / и р = 0.
У перечисленных пучков остается прежней и форма распределений
действительной амплитуды, только масштаб им задает не w, а параметр
Рис. 1.11. Распределение амплитуды эрмитова пучка с / = 12 после прохождения гаус-
гауссовой диафрагмы с w0 = 2w; a - центр диафрагмы на оси, б — смещен на 2w
[Re(l/w2) + (тг/Х) Im(l/p)] lf2. форма остальных распределений становит-
становится иной. В частности, при Im(w) Ф 0 у них исчезают многие нули: на дву-
двумерных распределениях эрмитовых пучков — все прямые, не проходящие
через начало координат (штриховые вертикали на рис. 1.8), лагерровых —
нули радиальных функций (штриховые круги на рис. 1.9), кроме имеюще-
имеющегося при / Ф О в точке г = 0.
Прохождение пучков с комплексными р и w через системы с любыми
волновыми матрицами (включая комплексные) продолжает описываться
формулами A.25), A.19), A-20), которые хотя и использовались нами
ранее только при действительных р и w, однако носят самый общий харак-
характер. Отсюда сразу следует вывод, что структура немногих перечисленных
выше пучков с действительными распределениями на сферических опор-
опорных поверхностях является "самовоспроизводящейся" в системах не толь-
только с действительными, но и с комплексными матрицами. Остальные пучки
таким свойством не обладают. Чтобы убедиться в этом, достаточно взгля-
взглянуть на рис. 1.11 а. На нем приведено распределение действительной ампли-
амплитуды эрмитова пучка с т = 12 после прохождения им гауссовой диафраг-
диафрагмы радиусом w0 = 2w (к 1/р при этом добавляется /Х/4тги>2);, до диафраг-
диафрагмы этот пучок имел действительные р, w, чему соответствует распределе-
распределение, изображенное на рис. 1.7г.
Из A.20) следует, что даже если на входе системы с комплексной матри-
матрицей параметры р и w были действительными, то на выходе они перестают
быть таковыми; если комплексными, то такими и остаются. Во всех слу-
случаях форма распределений интенсивностей пучков, не относящихся к
"самовоспроизводящимся", изменяется. Более того, если такие пучки уже
приобрели комплексные параметры, эта форма начинает изменяться вмес-
вместе с Imp и arg w даже в системах с действительными матрицами, в том чис-
числе и в пустом пространстве.
40
Отметим следующее. Пока мы имели дело с пучками, характеризуемыми
действительными р, w, их эволюция в системах без амплитудных корректо-
корректоров однозначно определялась "законом ABCD" A.19), который в этом случае
был эквивалентен двум формулам A.20). При комплексных параметрах
пучков применение одной лишь формулы A.19) становится недостаточным:
даже если с ее помощью и найти р2, остается неизвестным, как 1/р2 раз-
разбить на слагаемые 1/р2 и /Х/(тги>2) — ведь они теперь не равны Re(l/p2) и
ИтA/р2), а оба являются комплексными! Вместе с тем, из A.25) видно,
что для любых пучков (кроме имеющего 2=0) обязательно надо знать
не только р2, но и параметр w2, который фигурирует и в функции итП9 и
в множителе перед ней. Поэтому необходимо либо дополнять A.19) одной
из формул A.20), либо просто использовать вместо A.19) обе формулы
A.20) (в этом случае р можно вообще не вводить). По-видимому, первым
это четко отметил и вывел формулу для подсчета w2 (правда, рассмотрев
лишь эрмитовы пучки) Е.С. Коваленко [106].
Вернемся еще к равенству A.26), которое было справедливым при
действительных матрицах и параметрах пучков. Тогда из него вытека-
вытекало, в частности, что при сохранении формы распределений действитель-
действительной амплитуды изменению масштаба в w2/wi раз сопутствует изменение
плотности излучения в (wi/w2J раз; это соответствует закону сохране-
сохранения потока излучения. При комплексных параметрах и матрицах не оста-
остаются неизменными ни формы распределений, ни потоки излучения; не уди-
удивительно, что в этих условиях A.26), следом за формулой w2/wx =
= | А + B/pi |, теряет силу.
Зато основными формулами A.25), A.19), A.20) можно пользовать-
пользоваться даже в присутствии амплитудных корректоров с возрастающим по мере
удаления от оси усилением. Обоснование и оговорки здесь совершенно ана-
аналогичны тем, которые мы приводили по поводу возможности применения
в подобных ситуациях формул A.18), A.19) для гауссовых пучков.
В заключение знакомства с эрмитовыми и лагерровыми пучками кос-
коснемся случаев, когда они являются внеосевыми; к таким пучкам приво-
приводит, в частности, решение задачи о резонаторах с разъюстированными ко-
конечными зеркалами.
Если оптическая система содержит только фазовые корректоры, то
простое несовпадение оси пучка с осью симметрии системы еще не дает
оснований для специального рассмотрения. Дело в том, что в отсутствие
амплитудных корректоров выбор оптической оси системы достаточно
произволен. Можно принять ее совпадающей на входе системы с осью
интересующего нас пучка. Внутри системы она при эксцентричном про-
прохождении линз (или ячеек, на которые могут быть разбиты участки линзо-
подобной среды) будет претерпевать "изломы" наподобие изображен-
изображенного на рис. \3б. Нетрудно видеть, что ось пучка в точности последует за
ней, ведя себя как луч, подчиняющийся законам геометрической оптики.
Итак, траектория оси пучка в подобных случаях может быть установле-
установлена'непосредственно с помощью соотношений A.1), A.2). В "привязанной"
к этой оси системе координат пучок уже является осевым; если он отно-
относится к семействам A.23), A.24), эволюция его параметров описывается
формулами A.19), A.20).
41
Присутствие амплитудных корректоров резко усложняет ситуацию.
Поясним это на простейшем примере внеосевого гауссова пучка. Пусть,
Г (*-*iJ +У2 1 fJL
имея начальное распределение поля ехр ¦— (фазовый
L w? J
множитель за ненадобностью опущен, ось пучка имеет координаты хг, 0),
такой пучок проходит через имеющую центр на оси системы гауссову
диафрагму радиусом w0. После диафрагмы имеем
(х-хгJ +.
2
wg+w? У
V2
| •ехр !
х2 +у2
2
Г (х-
[
J
х2J
ехр
L
= ехр
где l/wl = 1/wo + 1/wj, x2 = JCiWo/(wo + w?). Таким образом, пучок ос-
остается гауссовым (даже не делаясь астигматичным), однако ширина его
уменьшается, а ось перемещается в точку (х2, 0), расположенную ближе
к оси.
Внутри протяженных амплитудных корректоров центр распределения
амплитуды внеосевого гауссова пучка, благодаря сходным эффектам,
испытывает боковой "дрейф", в результате которого направление движе-
движения этого центра оказывается не совпадающим с направлением нормали
к волновому фронту. Это подчас приводит к ситуациям, которые кажутся
парадоксальными. Так, если при прохождении границы раздела между
участком с "комплексной линзоподобностью" и однородной средой сле-
следить не за нормалями к волновому фронту (которые ведут себя "как
им положено"), а за осью пучка, определяемой как траектория его "цент-
"центра тяжести", можно обнаружить, что стандартный закон преломления (за-
(закон синусов) не соблюдается. Основы оптики подобные парадоксы не
подрывают.
Еще сложнее картина распространения внеосевых эрмитовых и лагер-
ровых пучков более высокого порядка. Останавливаться на ней мы не
будем; отметим только, что распределения полей начинают требовать
для своего описания весьма громоздких формул и перестают быть сим-
симметричными. Это поясняет рис. 1.115; на нем изображено распределение
амплитуды для случая, отличающегося от того, которому был посвящен
рис. 1.11л, только тем, что центр исходного пучка бьш смещен в сторону
от центра диафрагмы на 2vv.
Вплоть до настоящего времени расчет эволюции внеосевых пучков
в протяженных амплитудных корректорах нередко производят путем
составления и решения системы нескольких дифференциальных уравне-
уравнений, описывающих изменение параметров пучков вдоль их траектории.
Однако с помощью A.12) можно сразу получить конечные результаты;
соответствующие формулы для гауссовых пучков приведены в [19].
42
§ 1.3. Угловая расходимость излучения
Угловая расходимость излучения является важнейшим параметром ко-
когерентных источников. В [16] (§ 1.1) автор осуществил попытку система-
систематического изложения вопроса о зависимости этого параметра от характера
распределения ноля на выходе источника. Некоторые материалы [16] бу-
будут использованы и здесь.
Общие положения. Рассмотрим прохождение параксиального пучка с
произвольным начальным распределением поля u(xit 71) через участок
пустого пространства длиной /. Оно описывается интегральным соотно-
соотношением A.4) с функцией отклика A.6). Пусть / столь велико, что выпол-
выполняется неравенство
A.27)
где rmax = V(*i + ^i)max - радиус круга, внутри которого умещается
выходное сечение источника. Тогда членами с х] и у\ в показателе экспо-
экспоненты можно пренебречь. Вынеся, кроме того, не зависящие от лгь ух
множители из-под знака интеграла, получаем
и(х2шу2-91)= ехр {/*[/ + (х\ + у\I21}} X
-*(— *i +— У г) U^iJi) dxxdyx. A.28)
Х
/X/
Отношения х2/1 и у2/1 представляют собой углы наклонов луча, идущего
к точке наблюдения (х2, у г) из центра выходного сечения источника. Вве-
Введя jc2// = <хХ9 У г ft = ау и перейдя к интенсивности (плотности) излуче-
излучения / = | и |2, приходим к формулам
l , A-29)
Л
Из A.28), A.29) следует, что формы распределения интенсивности
на различных достаточно удаленных от источника (или, как принято гово-
говорить, находящихся в дальней зоне) плоскостях совпадают. Лишь масштаб
этих распределений растет пропорционально удалению от источника /,
плотность же изменяется одинаково — пропорционально I//2 — вдоль
всех лучей, исходящих из центра источника. Все это напоминает картину
распространения сферической волны, испускаемой точечным источником
и подчиняющейся законам геометрического приближения.
Фактически примерно так и есть. Анализ A.28) показывает, что вид
распределения фазы в дальней зоне почти полностью определяется выне-
вынесенным из-под знака интеграла множителем exp[(ik/2J) {x\ +у\)], которо-
которому соответствует сферическая волна с радиусом кривизны /. Ширина рас-
распределения интенсивности там оказывается столь большой, что величиной
rmax в сравнении с ней можно пренебречь, и источник действительно упо-
уподобляется точечному. Наконец, благодаря той же большой ширине рас-
распределения описываемая интегралом в A.28) комплексная амплитуда
на сферической отсчетной поверхности изменяется так медленно, что
43
дифракция в этих условиях уже не проявляется, и оказывается справедли-
справедливым геометрическое приближение.
Введенная в A.29) величина F(otX9 ау) есть не что иное, как приходя-
приходящийся на единицу телесного угла поток излучения. В классической фото-
фотометрии эта величина обычно называется силой света в данном направлении;
мы же, придерживаясь более распространенной в настоящее время терми-
терминологии, будем именовать функцию F(otx, oty) угловым распределением
интенсивности излучения (или распределением интенсивности в дальней
зоне) и только для F@, 0) сохраним название осевой силы света. Те же
обозначения будем использовать и для углового распределения излучения
немонохроматических источников, хотя здесь формулы A.28), A.29)
перестают быть применимыми.
Ширина распределения функции F (ах, ау) и есть угловая расходимость
светового пучка. Чаще всего, говоря о расходимости, имеют в виду так
называемую "расходимость по уровню 0,5 интенсивности"; это ширина
диапазона углов, в котором интенсивность составляет не менее 0,5 мак-
максимального значения. Однако реальные излучатели подчас имеют широ-
широкие "крылья" распределения, на которые приходится значительная часть
мощности. Поэтому величина расходимости по уровню 0,5 интенсивности,
т.е.,по существу, ширина центрального максимума распределения, не очень
показательна, если неизвестно, какая доля общей мощности содержится
в этом максимуме^ Большую практическую ценность часто имеет величина,
обычно именуемая расходимостью по уровню 0,5 (или 0,8) энергии; это
угловой диаметр круга в дальней зоне, который охватывает половину
(или 0,8) всего потока излучения.
Согласно A.28) угловое распределение амплитуды с точностью до стоя-
стоящего перед интегралом множителя является фурье-образом распределе-
распределения амплитуды по сечению источника, вычисленным для пространственных
частот рх = ах/\, ру = ау/\ (подробнее об этом см. в [94]). Знакомство
с основами двумерного фурье-анализа сразу позволяет сформулировать
следующие полезные утверждения: 1) если распределение поля по сече-
сечению излучателя u{xlt у%) представимо в форме ux(xi) • иу (yi),той вы-
выражение для углового распределения распадается на произведение двух
сомножителей: *
F(ax yay) = Fx(ax)~ Fy (a,); A.30)
2) если один из размеров излучателя увеличивается в К раз при сохранении
формы распределения, то расходимость излучения по этому направлению
уменьшается в К раз.
Теперь перейдем к рассмотрению некоторых важных случаев, с кото-
которыми нам придется сталкиваться в последующих разделах книги.
Идеальный излучатель. Идеальным, следуя [16], мы назовем излуча-
излучатель, комплексная амплитуда поля которого постоянна на выходном се-
сечении. В классической оптике таким излучателем могло служить толь-
только отверстие в непрозрачном экране, освещенное точечным источником
света, расположенным так» чтобы пучок в зоне отверстия был достаточно
равномерен по интенсивности и имел плоский волновой фронт. Поэтому
раньше было принято говорить не об излучателе той или иной формы, а о
дифракции на соответствующем отверстии. Теперь роль идеального излу-
44
Рис. 1.12. Телескоп Галилея
чателя часто играет полупрозрачный торец лазерного стержня или зеркало
резонатора.
Нетрудно видеть, что максимум углового распределения интенсивнос-
интенсивности для идеального излучателя всегда приходится на осевое направление.
Из A.29) сразу следует чрезвычайно простая формула для осевой силы
света:
F@,0) =
где w0 — амплитуда поля на выходном сечении излучателя, 5 — площадь
сечения (отверстия). Если принять во внимание, что величина \uo\2S
есть не что иное, как поток излучения через выходное сечение, или мощ-
мощность Р излучателя, то
A.31)
Таким образом, при заданной мощности идеального излучателя его осевая
сила света прямо пропорциональна площади выходного сечения и не зави-
зависит от формы этого сечения.
Для излучателей, обладающих одинаковыми мощностью и формой
выходного сечения, но различными поперечными размерами, пропорцио-
пропорциональность F@, 0) площади тривиальна и прямо вытекает из уже отмечав-
отмечавшегося уменьшения расходимости с возрастанием поперечных размеров.
Что же касается формы излучателя, то, хотя ее количественные характери-
характеристики в A.31) и не фигурируют, именно это соотношение позволило авто-
автору предложить в [15] критерий ее оценки исходя из тех требований, ко-
которые предъявляются к излучателю при его сочетании с внешней систе-
системой формирования излучения.
Дело в том, что во всех случаях, когда требуется получить максималь-
максимальное дальнодействие (светолокация, дальнометрия и т.п.), основным эле-
элементом системы формирования является телескоп, обращенный окуля-
окуляром к излучателю (рис. 1.12). Телескоп осуществляет увеличение по-
поперечных . размеров узконаправленного светового пучка в К = I/2//1I
раз, где /i и /2 ~ фокусные расстояния окуляра и объектива, К — крат-
кратность телескопа; если расходимость достаточно мала, а длина телескопа
Не слишком велика, форма распределения комплексной амплитуды при
этом претерпевает лишь небольшие изменения, которыми можно пре-
45
небречь. Расходимость излучения при такой процедуре, как указывалось,
уменьшается в К раз (более внимательное рассмотрение показывает,
что это правило продолжает точно соблюдаться и тогда, когда форма рас-
распределения амплитуды претерпевает на протяжении телескопа значитель-
значительные изменения). Осевая сила света возрастает соответственно в К2 раз;
в случае идеального излучателя она и после телескопа продолжает опре-
определяться соотношением A.31) (волновой фронт излучения с учетом сде-
сделанных оговорок остается плоским), только S теперь приобретает смысл
площади сечения пучка на выходе из телескопа.
-—" д
Рис. L13. Влияние формы идеального излучателя на осевую силу света при наличии
внешней системы формирования; д, б - идеальные излучатели одинаковой площади,
но разной формы; в, г — сечения световых пучков на выходе системы формирования;
д — к выбору системы формирования для излучателя неправильной формы
Если размеры объектива заданы и потери света на виньетирование не
допускаются, максимальная осевая сила света достигается при такой крат-
кратности телескопа, когда сечение светового пучка точно "вписывается"
в сечение объектива, обычно представляющее собой круг. Эта ситуация
пояснена на рис. 1.13, где в одинаковом масштабе изображены сечения
двух излучателей (а, б) и световых пучков на выходе телескопа (в, г).
Заметим, что представленные на рисунке формы излучателей вполне могут
соответствовать одному и тому же лазеру при использовании в нем раз-
различных схем резонатора. Ясно, что осевая сила света в подобных устройст-
устройствах не зависит от размеров идеального излучателя и может быть опре-
определена по формуле
2 A.32)
где So — площадь объектива телескопа, Р — по-прежнему мощность излуча-
излучателя (за вычетом потерь в телескопе), То — введенный в [15] коэффи-
коэффициент заполнения, который характеризует форму сечения излучателя
и равен отношению площади излучателя к площади описанного круга
(кстати, этот круг не что иное, как требуемое сечение окуляра теле-
телескопа). При сопоставлении идеальных излучателей равной мощности сле-
следует отдавать предпочтение имеющим большее 7о (в нашем случае -
излучателю, изображенному на рис. 1.135). Подчас ради повышения осевой
силы света имеет смысл поступиться частью мощности излучения, если
за счет этого удается существенно повысить 7о- Так, в случае, изображен-
изображенном на рис. 1.13d, целесообразно использовать не все сечение пучка, а его
часть, находящуюся внутри штрихового круга.
Совершенно аналогичные соображения могут быть высказаны и по
поводу излучателей, предназначенных для облучения малых мишеней
46
в условиях предельно высоких плотностей светового потока. Ту роль,
которая в предыдущем рассмотрении принадлежала объективу телеско-
телескопа, здесь играет объектив системы фокусировки.
Завершим рассмотрение идеальных излучателей тем, что приведем
данные о расходимости при простейших формах сечения - прямоуголь-
прямоугольнике, круге, кольце. В случае прямоугольника размерами 2аХ2Ь9 произве-
произведя в A.29) интегрирование в соответствующих пределах (-а < х <а,
-Ь < у < Ь)9 получим F(otX9 <*->,)/F@, 0) = [sin(kaax)!(kaotx)]2 X
X [sm(kbay)l(kbay)]2. Таким образом, в соответствии с A.30) выраже-
выражение для распределения интенсивности в дальней зоне здесь распадается
на произведение двух сомножителей. Каждый из них зависит только от
одной из угловых координат и представляет собой распределение для
источника в виде бесконечной полосы (щели) шириной h, равной 2а или 2Ь
соответственно; форма такого распределения приведена на рис. 1.14.
Рисунок в особых комментариях не нуждается; отметим только, что
ширина максимума по уровню 0,5 интенсивности составляет пример-
примерно 0,9 Х/Л.
При круглом выходном сечении излучателя распределение в дальней
зоне, естественно, осесимметрично и описывается формулой F(a)/F@) =
= 4[Jx(касс)/(каа)]2, где а. = у/а2х + о?у - угол между направлением наблю-
наблюдения и осевым, а — радиус круга, Jx — функция Бесселя. Форма распре-
распределения представлена на рис. 1.15 (кривая /). Угловые размеры дально-
польной картины, как всегда, обратно пропорциональны размерам излуча-
излучателя. Сама картина состоит из центрального светлого пятна, окруженно-
окруженного системой концентрических светлых колец (максимумы распределе-
распределения) с разделяющими их темными промежутками (минимумы). По мере
перехода к кольцам с большими радиусами интенсивность быстро умень-
уменьшается (чтобы воспроизвести, кроме центрального, еще два максимума,
пришлось увеличить масштаб на рисунке, начиная с а = Х/2я, в 10 раз).
В отличие от случая прямоугольника максимумы и минимумы уже не
эквидистантны; правда, по мере удаления от центра расстояние между
соседними кольцами асимптотически приближается к Х/2я. Угловой радиус
первого минимума составляет 1,22 X /2а; таким образом, центральное
пятно занимает область с угловой шириной 2,44 Х/2а. На эту область при-
приходится 84 % общей мощности круглого излучателя, на первое кольцо
(точнее, на область между первым и вторым минимумами) — 7 %, на вто-
второе - 3 %.
В случае излучателя в форме кольца с тем же внешним радиусом а
и внутренним еа имеем
F(a)/F@) = 4 [JX (kaa)/(kaa) - e2J1 {ekaa)l(ekaa)f /A-е2J.
графики распределений для двух таких излучателей, ширина кольца
йA — е) одного из которых вдвое превышает ширину кольца другого,
приведены на том же рис. 1.15 (кривая //, е = 0,6, и кривая ///, е = 0,8).
Для удобства сопоставления все кривые изображены в одном масштабе,
Мощности всех трех излучателей одинаковы; в качестве единичной приня-
принята осевая сила света первого (круглого) излучателя.
В соответствии с A,31) осевая сила света кольцевых излучателей умень-
уменьшается с занимаемой ими площадью и равна в принятых единицах 1-е2,
47
-J -2 -1
Л/2а
Рис. 1.14. Распределение интенсивности в дальней зоне для идеального излучателя
в виде бесконечной полосы
Рис. 1.15. Распределения интенсивностей в дальней зоне для идеальных излучателей
с выходным сечением в форме круга (/) и колец с отношениями внутренних диамет-
диаметров к наружным 0,6 (//) и 0,8 (III)
что составляет 0,64 для второго излучателя и 0,36 — для третьего. Таким
образом, высота центрального максимума существенно понижается; не-
несколько меньшей, чем у круглого излучателя, оказывается и ширина это-
этого максимума (можно показать, что она определяется средним расстоя-
расстоянием между различными участками излучающей поверхности, которое
для кольца больше, чем для круга). Поэтому приходящаяся на централь-
центральный максимум доля общей мощности резко падает, составляя для второ-
второго излучателя 37 %, для третьего — только 17 %. Интенсивность излучения
под большими углами к оси соответственно возрастает: у второго излуча-
излучателя на первые два кольца распределения в дальней зоне приходится 35
и 15 % общей мощности (вместо 7 и 3 % у первого излучателя), у третьего
излучателя — 20 и 18 %.
Интересно следующее: для этих трех излучателей угловая расходимость,
измеренная по уровню 0,5 интенсивности, составляет 1,03 X/ Bа),
0,87Х/Bд) и 0,79 X/Bа) соответственно; по уровню 0,5 энергии —
1,06Х/Bд), 2,9Х/Bд) и 5,25 X/ Bа) (в работе [97] показано, что эта
величина при произвольном е примерно равна Х/[2яA — е)]). Это лишний
раз показывает, что нельзя выносить суждение об угловом распределении
по единственному его характеризующему параметру.
В заключение анализа излучателей с плоским фронтом и равномерным
распределением интенсивности по выходному сечению остановимся на
том свойстве, которое позволяет называть их идеальными. Вернемся к фор-
формуле A.29); из нее следует, что осевая сила света произвольного моно-
монохроматического излучателя равна F@, 0) =
— ffu(pclf y\)dxxdyi
Введя общую мощность излучателя P = ff\ u(x\, y\)\2dx\dyi и площадь
48
выходного сечения 5, нетрудно представить эту формулу в виде F@,0) =
« (PS/\2)y = F0@,0) у, где-F0@,0) — осевая сила света идеального из-
излучателя с теми же Р и S,
I 2
У =
X
v Г1 ГГ1 , ч2 Г1 \и\2
х — //I w(*b.yi)l "Xi^vi = —о ; A.зз)
IS ' J | и \2
черта сверху означает усреднение по сечению.
Преобразуем выражение для у, введя и - w = Aw. Тогда
11/12 = мм* = (м" + Aw) (м~* + Aw*) =
= мм* +Aw Aw* + (w Aw* +w*Aw)
(значок *, как обычно, означает операцию комплексного сопряжения).
При усреднении | w |2 по сечению вклад от последнего выражения в скоб-
скобках ввиду Aw = Aw* = 0 равен нулю, и имеем \ц\2 = п w * + Aw Aw* =
= | п\2 + ! Aw |2. Итак, 7= | w |2/(| w |2 + ! Aw |2)-< 1. Равенство у едини-
единице достигается только в том случае, когда Aw = 0, w = const, т.е. тогда,
когда излучатель идеален.
Таким образом, из всех возможных излучателей, имеющих одинако-
одинаковые мощности и площади выходных сечений, наибольшей осевой силой
света обладают идеальные, что и оправдывает их название. Почему-то по-
порой считают, что для достижения максимальной осевой силы света (или
предельной плотности излучения на мишени) нужно формировать гауссо-
гауссово распределение интенсивности. Это не так; лучше всего заполнить все
выходное сечение излучателя пучком с плоским фронтом и равномерно
распределенной интенсивностью. Гауссовы пучки, с точки зрения угло-
угловой расходимости, имеют иные достоинства, связанные с тем, что их рас-
распределение в дальней зоне описьгоается той же функцией Гаусса, что и в
ближней. Она, в отличие от функций на рис. 1,14, 1.15, не имеет побочных
максимумов и очень быстро спадает при больших значениях аргумента.
При "вписывании" гауссовых пучков в апертуру не слишком малого
размера эти свойства в значительной степени сохраняются; иногда это
может пригодиться.
Знание того, что идеальные излучатели обладают предельно большой
осевой силой света, заставляет не доверять регулярно появляющимся
сообщениям об очередных способах обойти дифракционные ограничения,
налагаемые снизу на расходимость. На поверку всегда оказывается, что
Содержащаяся в таких сообщениях информация (см., например, [2, 158])
Либо ошибочна, либо чрезмерно оптимистично оценена их авто рами (ком-
(комментарии по поводу [2, 158] см. в [23, 34]).
Неидеальные излучатели с плоскими и сферическими эквифазными
поверхностями. В качестве одной из важных характеристик неидеаль-
Шях излучателей мы будем часто использовать определяемый A.33)
параметр у, который мы называем аберрационным фактором. Этот пара-
параметр был введен в [16]; хотя он подчас и совпадает с так называемым
фактором Штреля ([77], § 9.1), однако отличается от него тем, что ха-
4. Ю.А. Ананьев 49
рактеризует влияние не только фазовых, но и амплитудных аберраций
(отступлений от равномерности распределения интенсивности). Кроме
того, у относится не к максимальной, как фактор Штреля, а к осевой
силе света (направление, в котором сила света максимадьна, при наличии
аберраций может не совпадать с осевым).
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных видов неидеальных из-
излучателей. Наиболее похожи на идеальные те, у которых неравномерно
только распределение интенсивности в ближней зоне (рядом с излучате-
излучателем), фаза же постоянна - волновой фронт является плоским и перпен-
перпендикулярен оси z. Для них u(xit ух) = exp(zVo) * А (хь jy^rn.e </?0 =const,
А - уже не комплексная, а вещественная неотрицательная функция коор-
координат.
С помощью A.29) нетрудно убедиться в том, что в данном случае,
как и для идеальных излучателей, максимум распределения интенсив-
интенсивности в дальней зоне приходится на осевое направление. Аберрационный
фактор здесь равен у = (АJ/А2 < 1 и приобретает смысл доли площади
сечения, эффективно заполненной излучением. Если сечение, по которо-
которому производится усреднение при расчете 7» имеет круглую фирму, то
этот параметр становится полностью аналогичным введенному для идеаль-
идеальных излучателей параметру 7о- В частности, при условии замены 7о на 7
сохраняет свою справедливость формула A.32) для осевой силы света
после внешней системы формирования.
Важно то, что аберрационный фактор для излучателей с постоянной
на выходном сечении фазой становится существенно меньшим единицы
только при очень большой неравномерности распределения интенсивно-
интенсивности. Приведем следующий пример. Пусть выходное сечение излучателя
состоит из двух зон одинаковой площади, по одной из которых равно-
равномерно распределена доля к общего потока излучения, по другой — также
равномерно — остальной поток. Для такого излучателя A.33) приводит
к формуле 7 = 0,5 + y/ic(l — к); при к = 0,2 аберрационный фактор состав-
составляет 0,9, при к =0,1 он равен 0,8. Еще один пример. Пусть плотность из-
излучения с равной вероятностью принимает все значения от нулевого до
1 1
некоторого максимального. В этом случае 7 = [ fy/x'dx]2 [ fx dx]'1 =0,89.
о о
Из этих примеров со всей очевидностью следует, что неравномерность
распределения амплитуды поля сравнительно слабо сказывается на осе-
осевой силе света (а следовательно, и на расходимости излучения).
Намного большее влияние на распределение в дальней зоне оказывает
непостоянство фазы на выходном сечении. Наличие в фазовом распределе-
распределении линейных по Хх, у\ членов соответствует общему наклону волнового
фронта и вызывает смещение углового распределения как целого в ту
или другую сторону; это, очевидно, не требует специального рассмотре-
рассмотрения. К менее тривиальным последствиям приводит квадратичная зависи-
зависимость фазы от поперечных координат. Особенно важен случай, когда коэф-
коэффициенты при х\ и у\ одинаковы: это соответствует сферическим волно-
волновым фронтам, с которыми мы уже неоднократно сталкивались. На угло-
угловой расходимости пучков со сферическими фронтами мы главным образом
и остановимся.
50
Выясним сперва одну общую закономерность. При сферическом фронте
на выходе излучателя ы(хи У\) = А (хь ух) ехр[(/?/2р) {х\ + у])]; здесь
А (хь У\) — вещественная неотрицательная функция координат, р — радиус
кривизны волнового фронта. Напомним, что при р > 0 волновой фронт
имеет выпуклую форму (расширяющийся пучок), при р < 0 — вогнутую
(пучок вначале сужается). Подставив это выражение для и (хь У\)ъ A-29),
получаем
1
+ (А +у\)!2р\)А<?иУ1)
При одновременном изменении знаков р и а величина правой части этой
формулы сохраняется (интеграл становится комплексно сопряженным
по отношению к первоначальному значению, квадрат его модуля остает-
остается прежним). Это означает, что волны с вогнутым и выпуклым фронта-
фронтами одинаковой по абсолютному значению кривизны при совпадающих
распределениях действительной амплитуды имеют тождественные картины
распределений в дальней зоне, развернутые относительно друг друга
на 180°. Эту ситуацию поясняет рис. 1.16.
Нетрудно видеть, что таким свойством обладают не только сферические,
но и любые две волны с одинаковыми амплитудными и противоположны-
противоположными по знаку фазовыми распределениями. Комплексные амплитуды таких
волн связаны соотношением их <» м|, сами эти волны называют фазово-
сопряженными (или просто сопряженными). Чтобы уяснить характер
взаимосвязи между ними, достаточно проследить, как выглядели бы пучки
на рис. 1.16 до отсчетной плоскости Р, если бы подходили к ней издали
(штриховые линии), затем зеркально преобразовать картину распро-
распространения любой из двух волн относительно плоскости Р. Очевидно, она
Просто совпадет со второй, отличаясь от нее лишь направлением дви-
движения.
Более подробное рассмотрение ([16], § 5.3) действительно показыва-
показывает, что если две следующие в разные стороны волны комплексно соп-
сопряжены в какой-то одной плоскости, то
их волновые фронты и формы распределе-
распределений амплитуды полностью совпадают во
всем пустом пространстве. Поэюму не-
неудивительно и отмеченное выше свойст-
свойство угловых распределений излучения та-
таких волн: они находятся между собою в
том же соответствии, что и картины расп-
распределений на расположенных далеко слева
и справа сечениях одного из пучков, изо-
изображенных на рис. 1.16.
Рис. 1.16. К вопросу об угловых распределениях
излучения пучков с вогнутыми и выпуклыми
волновыми фронтами
51
Продолжим анализ поведения пучков со сферическими волновыми
фронтами. Вычисление угловой расходимости их излучения в принципе
требует трудоемких расчетов по приведенной выше формуле с использо-
использованием точных значения р и вида функции А (хь ух). Для приближенных
оценок удобно воспользоваться введенными автором в [16] понятиями
о "геометрической" и "дифракционной" компонентах расходимости. В
предельных случаях очень малых и очень больших радиусов кривизны
фронтов одна из этих компонент полностью превалирует над другой.
В случае малых р формулу для углового распределения удобно за-
записать в виде
i-tfexpj— [(*! -otxpJ +<>! -Oiypf]\A(xltyi)dx1dy1 A.34)
X 12p )
(не зависящей от х\9 у\ фазовый множитель опущен). Поскольку, как
уже указывалось при выводе формул A.14а), A.15), функция вида
1 Л
- х )
ехр I — jc J при 6 -* 0 является одним из аналитических пред-
V € /
ставлений дельта-функции 5 (х), экспоненциальный множитель под интегра-
интегралом можно заменить на ~р\д(х1 — ахр) 5(^i - otyp). В результате по-
получаем
F(<*x9CLy) = p2[A(CLxp9ayp)]2. A.35)
Таким образом, форма углового распределения здесь повторяет форму
распределения интенсивности по сечению пучка. Угловые координаты
равны линейным, деленным на р; это есть не что иное, как углы наклонов
соответствующих лучей, перпендикулярных волновому фронту. Ширина
углового распределения попросту равна углу между крайними лучами.
Отметим, что при р > 0 ситуация напоминает ту, с которой мы сталкива-
сталкивались в самом начале обсуждения формул (L28), A.29): пучок как бы
является дальней зоной расположенного до отсчетной плоскости на рас-
расстоянии рот нее источника малых размеров.
Расходимость в данном случае носит, очевидно, чисто геометрический
характер. Обозначив ее через аТ9 имеем ат = b/\ pi, где Ъ — эффективная
ширина источника.
В предельном случае очень больших р фронт, по существу, является
плоским; ат = 0, и расходимость целиком определяется дифракционны-
дифракционными эффектами, составляя примерно <хд = \jb.
Важно следующее. Нетрудно убедиться в том, что именно при выполне-
выполнении условия ат > ац число осцилляции экспоненциального множителя
в A.34) на размере источника велико, и оказывается возможным оцени-
оценивать угловое распределение по формуле A.35); с другой стороны, имен-
именно при таких р, когда ад > аг, члены с jc?, y\ становятся пренебрежимо
малыми, и для углового распределения можно пользоваться форму
лой A.29) с подстановкой и(хг, уг) - A{x\f >'i)* пренебрегая кривиз-
кривизной фронта.
Картина вполне ясна. Осталось только проследить ка важнейших при-
примерах конкретных распределений A(xlt yt), как по мере изменения р
две компоненты расходимости сменяют одна другую,
52
Проще всего поддается анализу случай рассмотренных в предыдущем
параграфе гауссовых пучков. Действительно, пренебрегая при больших
/ единицей в правой части A.21), сразу приходим к выводу, что угловой
параметр ширины гауссова распределения в дальней зоне для пучка с па-
w(/) X
раметром ширины в перетяжке w0 составляет hm = .
В самой перетяжке аг = 0 (фронт является плоским) и присутствует толь-
только дифракционная компонента расходимости, целиком определяемая
шириной пучка. Поэтому для пучка с произвольными w, p угловой пара-
параметр гауссова распределения в дальней зоне для дифракционной компо-
компоненты составляет X/(nw); очевидно, у геометрической компоненты ана-
аналогичный параметр равен w/\ p |.
Чтобы перейти к аг, ад, осталось только договориться о том, что же
мы будем называть шириной гауссова распределения. Удобно считать,
что она в \fn раз превышает параметр ширины; эта величина почти в
точности совпадает с диаметром круга, в котором заключено 80 % мощ-
мощности. При таком определении ширины приведенная выше сугубо ориенти-
ориентировочная формула для ад оказывается точной: ад = \/7гХ/(яи>) = X/b,
где Ъ = x/tFw. Формула для аг сохраняет свой вид при любом определе-
определении ширины, лишь бы оно было одинаковым для ближней и дальней зон.
В нашем случае с^ = \fnw/\ p I = b/\ p |.
Поскольку гауссов пучок с заданными р и w имеет параметр ширины
в перетяжке w0 = w/\/\ + [irw2 /(Ар)]2 (см. § 1.2), подлинная угловая
ширина его распределения в дальней зоне составляет Х/(х/тги>о) =
= v[A/(\/S:w)]2 + (л/тг w/pJ = \/с*д + <4- Таким образом, в случае
гауссовых пучков суммируются квадраты ширин дифракционной и гео-
геометрической компонент расходимости; в этих условиях, если одна из
ширин превосходит ширину другой компоненты хотя бы в два—три раза,
доследней уже фактически можно пренебречь.
Рассмотрим еще пример пучка с равномерным распределением интен-
интенсивности по прямоугольному сечению. В этом случае F(aX9 ay) распадает-
распадается на произведение двух однотипных сомножителей, каждый из которых
^Представляет собой угловое распределение излучения источника в виде
^бесконечной полосы с цилиндрической формой волнового фронта. На
рис. 1.17 приведены результаты численных расчетов распределения интен-
интенсивности в дальней зоне такого источника при разных соотношениях между
геометрической расходимостью Л/1 р t и дифракционной Xfh (h — ширина
Полосы). Плотность излучения в ближней зоне во всех случаях принята
одинаковой, в качестве единицы для измерения интенсивности в дальней
ао«е выбрана осевая сила света идеального "полосового" источника с
нлоским фронтом. Здесь формы геометрического и дифракционного рас-
распределений, в отличие от предыдущего случая, не совпадают, и результи-
результирующая картина оказывается много сложнее, чем для гауссова пучка.
Подчеркнем следующее. Как нетрудно убедиться, равенство аг = ад
Достигается тогда, когда стрелка прогиба волнового фронта на размере
течения источника составляет всего Х/8. При стрелке прогиба X геометрн-
53
Ifcc)
Рис. 1.17. Угловые распределения излучения источников с равномерно распределен-
распределенной амплитудой и сферическим волновым фронтом: 1 - "геометрическая" компо-
компонента расходимости отсутствует (плоский волновой фронт - та же кривая, что и на
рис. 1.14); 2 - h/\ р | = 2\/Л (стрелка прогиба волнового фронта \/4); 3 - h/\ р | =
= 4,5 \/h (стрелка прогиба 9Х/16); 4 - h/\ p \ = S\/h (стрелка прогиба X)
ческая расходимость уже в 8 раз превышает дифракционную и полностью
превалирует над ней (хотя распределение в дальней зоне еще достаточно
неравномерно). Как следует из сопоставления кривых 1 и 4 на рис. 1.17,
наличие такого прогиба только по одной из координат вызывает умень-
уменьшение осевой силы света по сравнению с идеальным источником более
чем в 11 раз; если аналогичный прогиб имеет место и по другому направ-
направлению, осевая сила света уменьшается еще во столько же раз! Это показы-
показывает, какое огромное влияние на распределение в дальней зоне могут
оказать даже, казалось бы, небольшие фазовые возмущения.
Некоторые другие виды излучателей. О когерентном и некогерентном
сложении. Сначала коснемся расходимости излучения эрмитовых и лагер-
ровых пучков с произвольными индексами (§ 1.2), ограничившись тем
наиболее важным случаем, когда их параметры р и w действительны. Среди
этих пучков тот единственный, который обладает настоящим сферическим
волновым фронтом — гауссов, — нами уже рассмотрен. Выражения для рас-
распределений комплексной амплитуды остальных пучков, помимо множи-
множителя exp[(zfc/2p) (x\ + у])], содержат еще и другие влияющие на общую
фазу множители, приводящие либо к скачкам фазы на я, либо к медлен-
медленному ее изменению. Мы и тут будем говорить о геометрической компонен-
компоненте расходимости (аг = Ь/\ р\) и дифракционной, которая имеет место
при р = °°, хотя такое разделение здесь носит более условный характер,
чем при подлинной сферической эквифазной поверхности.
Особых выкладок не потребуется: как было показано в § 1.2, формы
распределений интенсивности всех эрмитовых и лагерровых пучков с
действительными параметрами при распространении в пустом пространст-
54
ве сохраняются. Масштабы этих распределений задаются параметром w,
который изменяется вдоль траектории точно так же, как и у гауссова
пучка с теми же р и w. Отсюда сразу следует, что у любого конкретного
пучка и аг, и ад превышают аналогичные величины для гауссова пучка
во столько раз, во сколько ширина соответствующего конкретного рас-
распределения вида A.23) или A.24) превышает гауссову.
Введем безразмерные коэффициенты |3 = Ь/(\/тт w), где Ъ — ширины
распределений, описываемых функциями A.23), A.24) (если эти ширины
по двум направлениям не одинаковы, надо вводить для каждого направле-
направления свой коэффициент). Тогда аг = j3\/tFw/| р \ = Ь/| р i, ад = /ЗХ/(\/я w) =
= ($2\/b. Таким образом, связь между шириной пучка и <*г, остается преж-
прежней (что и неудивительно), в то время как дифракционная компонента
расходимости оказывается примерно в /З2 раз шире, чем у излучателя
с тем же размером сечения без скачков фазы на я.
Рассмотрим еще один тип источников, с которым нам придется сталки-
сталкиваться в дальнейшем. Речь идет об излучателях с прямоугольным сечением
размером 2ах X 2ау (—ах < х < ах, -~ау < у < ау) и распределением
комплексной амплитуды вида
"mnfrbJ'i; ах,ау) = ипг(х1; ах)ип{ух\ ау),
С08[(/+1OгиМ, / = 0,2,4,..., A-36)
[ С
и; av) = i
I si
sin[(/+1O^/2^], /=1,3,5,...,
v = x, у. Эти распределения весьма близки к распределениям полей
собственных колебаний плоского резонатора с прямоугольными зеркала-
зеркалами (§ 2.4). Функции Uj{v\ av) принимают нулевые значения на концах
промежутков (и = ±av) и имеют каждая по / нулей внутри промежут-
промежутков; таким образом, все они, кроме низшей (/ = 0), являются знако-
знакопеременными.
Вычислив /exp(-itoyu) • иДи; av) dv, находим множитель, описы-
-av
вающий форму углового распределения вдоль одной из поперечных коор-
координат: Fj(av) со [(sinM/fli + (-l)/(sin(92)/^2]2, в1ш2 = kav[av T
Т (/ + l)XIDav)]. Графики^Дау) для первых четырех функций приведе-
приведены на рис. 1.18 (сплошные кривые). Видно, что все функции, кроме пер-
первой (с / = 0), имеют по два главных максимума одинаковой высоты.
Поэтому полная картина распределения в дальней зоне при т, п Ф 0 состоит
в основном из четырех отдельных пятен.
Причины такой формы углового распределения достаточно ясны. Пред-
Представив в A.36) каждую тригонометрическую функцию в виде суммы
двух экспонент и приняв во внимание, что распределение поля вида
Cexp[ik(axx + otyy)] ca^a^l соответствует плоской волне с угла-
углами наклона по двум направлениям ах, ау9 легко установить, что мы имеем
Дело с суперпозицией четырех плоских волн. Они имеют углы наклона
<*х = ±(т + 1)Х/Dяд.), ау = ±{п + \)\1{Аау)\ поскольку у них значения
ах + <*? одинаковы, это есть не что иное, как ограниченная указанным
прямоугольником часть сечения одной из "недифрагирующих" структур,
описанных в § 1.2.
55
/, отн. ед.
-2 0 2
Л/2а
1,5
/, oth. ев.
1,5
I \i" \f I
1,отн.ед.
О
Л/2а
-2
Л/с. 7.75. Распределения в дальней зоне при когерентной (сплошные кривые) и неко-
некогерентной (штриховые) суперпозициях двух плоских волн
Очевидно, кавдой волне соответствует свое пятно в угловом распре-
распределении. Вместе с тем любая из них, взятая в отдельности, имеет форму
распределения интенсивности в дальней зоне, изображенную на рис. 1.14.
Сложение таких распределений с учетом направлений волн приводит к
функциям, изображенным на рис. 1.18 штриховыми линиями и заметно
отличающимся от Fj(av); в частности, у функции, соответствующей
случаю/ = 0, два максимума не сливаются, как у F0(av)9 в единый.
Это дает повод обсудить условия, при которых возможно сложение
интенсивностей одновременно присутствующих волн. Пусть эти волны
имеют распределения комплексной амплитуды их(х, у), Мг(Х у)> • • •
Если у них всех частота одна и та же, то зависимость суммарного поля
от координат и времени имеет вид
и(х, у, t) = [ux{xf у) + и2(х, у) + .. . ] ехр(-коГ).
Поскольку интенсивность равна /(х, yt t) = \и(х, у, г)|2, получаем
/(х, у, t) = /(х, у) = | их + и2 + . . . I2. Таким образом, здесь складывают-
складываются комплексные амплитуды; в подобных случаях говорят о когерентном
сложении (результатам которого для двух плоских волн и соответствуют
сплошные кривые на рис. 1.18).
56
Если частоты неодинаковы,
и(х, у, t) = иi ехр(-/со! Г)"+ и2ехр(-ко21) + ..., 1(х, у, t) =
= [ulexp(-icolt) + м2ехр(-ко2г) + .. . ] [mJ ехрОсо^) +
+ t/2 exp(/co2f) + . .. ] = Mjwf +м2м2 + .. . + ихи% exp[z(co2 -co^r] +
+ u2u* exp[/(co! -co2)*] + ...
Мгновенная интенсивность суммарного поля испытывает биения с разност-
разностными частотами. Ими можно в общем случае пренебречь лишь при усред-
усреднении по промежутку времени много большему, чем периоды биений;
тогда члены с перекрестными произведениями не дают вклада в общую
сумму, и </(х, у, t)) = | Mi |2 + ! иа I2 + • • (угловые скобки здесь означают
указанное усреднение).
Таким образом, возможность суммирования не амплитуд, а интенсивно-
стей появляется только тогда, когда волны имеют разные частоты и про-
производится усреднение мгновенной интенсивности по достаточно большому
промежутку времени. Такому сложению, называемому некогерентным,
соответствуют штриховые линии на рис. 1.18. Нетрудно убедиться в том,
что различия между штриховыми и сплошными кривыми велики только
в тех областях, где заметной интенсивностью обладают обе складывающие-
складывающиеся волны. Это и понятно, поскольку когерентное сложение отличается
от некогерентного именно учетом перекрестных членов, в которые входят
сомножителями амплитуды различных волн.
Простейшие методы уменьшения расходимости и ее измерение. При-
Приведенное выше рассмотрение угловой расходимости различных источни-
источников отнюдь не является исчерпывающим, однако должно облегчить по-
понимание того, как влияют на расходимость те или иные факторы, рас-
рассматриваемые в дальнейшем. Основной вывод, который пока можно
сделать, — для получения малой расходимости следует в первую очередь
стремиться к постоянству фазы излучения на выходном сечении источ-
источника. Неравномерность распределения амплитуды далеко не так страшна;
даже много частотность опасна только тогда, когда значительная доля
общей мощности приходится на компоненты или с большой расходи-
расходимостью, или с различающимися направлениями распространения. Отсюда
следует, что самые простые и в то же время достаточно радикальные ме-
методы уменьшения расходимости сводятся к применению тех или иных
фазовых корректоров — элементов, воздействующих на фазовое рас-
распределение.
Чаще всего используются квадратичные фазовые корректоры — тон-
тонкие линзы. Линза с фокусным расстоянием, равным радиусу кривизны
сферического волнового фронта, превращает последний в плоский и,
таким образом, позволяет начисто избавиться от той компоненты расходи-
расходимости, которую мы называли геометрической.
Для эрмитовых и лагерровых пучков с действительными распределе-
распределениями комплексной амплитуды на опорных поверхностях (у лагерровых
азимутальный множитель cos(/<p), см. § 1.2) существует сравнительно
простой способ сужения также и дифракционной компоненты расходи-
расходимости. Напомним, что у таких пучков с ненулевыми индексами распре-
распределение поля в ближней зоне состоит из отдельных пятен, на границах
57
между которыми фаза скачком изменяется на я. Скомпенсировав эти
скачки с помощью корректора, вносящего точно такие же разности фаз
между участками сечения пучка, соответствующими отдельным пятнам,
можно уменьшить ад примерно в 02 раз (обозначения те же, что были при
анализе расходимости данных пучков). Впервые этот прием был описан
М.С. Соскиным с сотрудниками [129]; в их экспериментах применялся
голографический корректор. Несколько лет спустя авторы [144] ис-
использовали с той же целью приводящий к намного меньшим потерям
мощности корректор в виде стационарной фазовой пластинки (слегка
профилированной пластинки из прозрачного материала).
Очевидно, этот способ может быть применен для уменьшения расходи-
расходимости не только эрмитовых и лагерровых пучков, но и пучков с распре-
распределением поля вида A.26). Необходимо только иметь в виду, что ста-
стационарный фазовый корректор позволяет ликвидировать фазовые скачки
лишь у какого-то одного из пучков семейства; расходимость излучения
значительной части остальных не только не убывает, но даже возрастает (за
счет появления новых линий, на которых происходят скачки фазы).
Перейдем теперь к вопросу об измерении угловой расходимости. При
выводе формул A.28), A29) мы видели, что переход к дальней зоне,
когда форма распределения интенсивности перестает зависеть от расстоя-
расстояния, связан с возможностью пренебрежения в фазовом множителе подын-
подынтегрального выражения членами, содержащими х\ и у\. В обычных усло-
условиях для этого необходимо выполнение неравенства A.27), что требует,
как правило, значительного удаления от источника излучения. Так, при
X = 0,5 мкм (зеленый свет) и диаметре источника 3 -г 5 см дальняя зона
полностью формируется только на расстоянии порядка нескольких кило-
километров. Однако нетрудно добиться полного отсутствия упомянутых членов
и в непосредственной близости от источника излучения — для этого доста-
достаточно воспользоваться обычной положительной линзой.
Напомним, что при прохождении пучком света линзы с фокус-
фокусным расстоянием / комплексная амплитуда поля умножается на
ехр[- (ik/2f) (jc? + y\)]. Добавление этого множителя в функцию откли-
отклика A.6) приводит к взаимному сокращению членов, содержащих х\ и у\,
если расстояние до плоскости наблюдения / равно /. Отсюда вытекает
простейший рецепт наблюдения распределения в дальней зоне, которо-
которому все и следуют: на выходе источника размещается линза или более слож-
сложная оптическая система с фокусным расстоянием / > 0. Картина в фо-
фокальной плоскости полностью подобна распределению в дальней зоне;
для перехода к угловому масштабу необходимо линейный масштаб раз-
разделить на /. Поскольку угловое распределение излучения остается в пустом
пространстве на любом удалении от источника одним и тем же, расстоя-
расстояние от источника до измерительной линзы не играет особой роли. Необ-
Необходимо только следить, чтобы линза всегда "перехватывала" весь свето-
световой пучок и чтобы плоскость наблюдения действительно была фокаль-
фокальной.
Последняя оговорка сделана потому, что порой экспериментаторы, не
затрудняя себя предварительным определением точного положения фо-
фокальной плоскости на рабочей длине волны, промеряют размер пятна
d на различных расстояниях / от линзы и затем приписывают пучку рас-
58
ходимость, равную минимальному значению отношения d/L Поясним,
что при этом может получиться, на простейшем примере гауссова пучка,
перетяжка которого совмещена с выходной плоскостью источника и имеет
там параметр ширины w0. Истинная расходимость такого пучка составля-
составляет \/(\fnw0); вблизи источника она носит чисто "дифракционную" при-
природу, по мере удаления от него дифракционная компонента расходимос-
расходимости ад = X/(y/nw) уменьшается, замещаясь геометрической компонентой
Пусть измерительная линза заметно удалена от источника, так что пара-
параметр ширины на линзе Wi существенно превышает w0 и дифракционная
компонента расходимости соответственно мала. Мысленно разобьем линзу
на две, одна из которых имеет фокусное расстояние, равное радиусу кри-
кривизны Pi волнового фронта непосредственно перед ней, у другой /' =
= A// — 1/pi)" >/. Первая из этих линз "выпрямляет" волновой фронт
и тем самым уничтожает геометрическую компоненту расходимости,
превращая пучок в гауссов с параметром ширины в перетяжке w\ и пол-
полной расходимостью A/O/irwi), существенно меньшей, чем у исходного
пучка. Вторая линза формирует в своей фокальной плоскости, т.е. на
расстоянии / = /', пятно, размер которого соответствует этой меньшей
расходимости. Нетрудно видеть, что отношение d/l достигнет своего мини-
минимального значения, равного Х/С^/тти^), именно здесь, а не в истинной
фокальной плоскости измерительной линзы (где оно составляет
Сходные закономерности имеют место и в общем случае: пучок с любым
начальным распределением поля, расширяясь на достаточном удалении
от источника конечных размеров, приобретает сферичность волнового
фронта — дифракционная компонента расходимости убьюает, геометри-
геометрическая растет. Компенсация сферичности частично или полностью уничто-
уничтожает геометрическую компоненту и уменьшает общую расходимость.
Добавим еще, что волновой фронт может иметь определенную сферич-
сферичность и непосредственно на выходе источника. В результате основанный
на поиске минимума отношения d/I прием измерений чаще всего приводит
к большим систематическим ошибкам.
С другой стороны, подобные измерения при четком знании положения
фокальной плоскости могут принести определенную пользу: найдя расстоя-
расстояние /'о, на котором отношение d\l проходит через минимум, мы тем самым
определяем оптическую силу оптимального квадратичного фазового кор-
корректора 1// — 1//0 и достигаемую при его использовании расходимость.
ГЛАВА 2
ИДЕАЛЬНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
Приступим теперь к рассмотрению наиболее важных источников высоко-
высококогерентного узко направленного излучения - лазеров. Как известно, их дей-
действие основано на способности некоторых сред в определенных условиях
усиливать проходящее через них световое излучение. Поэтому, безусловно,
роль свойств применяемой активной среды и способа ее возбуждения вели-
велика; однако пространственная и временная когерентность излучения решаю-
решающим образом зависит от свойств резонансной системы, в которую эта сре-
среда помещена. Особенно очевидной является определяющая роль резонатора
в процессах формирования узконаправленных пучков: пока его нет, сама
по себе активная среда способна, как правило, с равным успехом усиливать
проходящее через нее излучение, в каком бы направлении оно не распрост-
распространялось.
§ 2.1. Общие сведения об открытых резонаторах
Начальные сведения. Немного истории. Для существования самой воз-
возможности генерации требуется, чтобы резонатор имел сравнительно доброт-
добротные (медленно затухающие) собственные колебания, или моды, частоты
которых приходятся на полосу усиления активной среды. С другой стороны,
желательно, чтобы таких колебаний с примерно одинаковой добротностью
было не очень много — одновременное возбуждение слишком большого их
числа может привести к тому, что излучение станет практически некогерент-
некогерентным.
Резонаторы оптического диапазона представляют собой весьма специфи-
специфические резонансные системы, главным образом, благодаря тому, что их
собственные размеры обычно на несколько порядков превышают рабочую
длину волны. Это исключает возможность применения широко распростра-
распространенных в СВЧ-диапазоне закрытых резонаторов, представляющих собой
замкнутую полость с отражающими стенками: число высокодобротных ко-
колебаний на оптических частотах у них было бы непомерно велико. Поэтому
здесь используются открытые, не имеющие боковых стенок, резонаторы, в
простейшей своей модификации состоящие из двух установленных друг
против друга зеркал, между которыми и помещается активная среда. Сама
60
геометрия расположения зеркал приводит к выделению преимущественно-
преимущественного направления распространения излучения, что и должно резко уменьшить,
по сравнению с закрытыми, число добротных мод. Действительно, световые
пучки, следующие вдоль оси системы (общей нормали к зеркалам), пооче-
поочередно отражаются от зеркал и затухают явно медленнее других; наклонен-
наклоненные же пучки выходят из системы, притом тем быстрее, чем больший угол
с осью они составляют.
Именно подобные соображения в пользу применения открытого резона-
резонатора из двух плоскопараллельных зеркал были выдвинуты Шавловым и
Таунсом в 1958 г. [197]; чуть раньше предложили использовать такой резо-
резонатор для осуществления генерации в оптическом диапазоне Прохоров [127]
и Дике [156].
С другой стороны, сколько-нибудь достоверные сведения о подобных
устройствах в то время еще отсутствовали. Нельзя было даже с определен-
определенностью сказать, являются ли они в самом деле резонаторами, т.е. сущест-
существуют ли у них моды; ясно было только, что искать эти моды следует в виде
световых пучков, направленных вдоль оси. На установление факта сущест-
существования мод, а также выяснение того, каковы они у разных резонаторов,
какую роль в их формировании играет активная среда, возбуждаются ли
близкие по добротности моды порознь или одновременно и как все
это сказывается на характеристиках излучения генерации, ушли долгие годы.
Однако экспериментаторы, естественно, не были склонны дожидаться
разрешения всех этих сложных теоретических проблем: достаточно было
совета поместить возбужденную среду между двумя плоскими зеркалами.
В 1960 г. Мейман [184] разместил рубиновый стержень с плоскопараллель-
плоскопараллельными посеребряными торцами внутри спиральной импульсной лампы — и
первый в истории макет оптического генератора был готов. Быстро обнару-
обнаружив ряд эффектов, свидетельствовавших о наличии когерентного усиления
света люминисценции рубина, Мейман не сразу добился генерации; первым
ее удалось наблюдать воспроизведшим ту же конструкцию Коллинзу и др.
[151]. В следующем, 1961 г., функционировали лазеры уже на нескольких
типах активных сред - лавина сдвинулась с места.
В1961 г. была также опубликована выдающаяся работа Фокса и Ли [164],
положившая начало теории открытых резонаторов в ее современном виде.
В этой работе впервые была численно решена для нескольких частных при-
примеров задача о существовании и свойствах низших (т.е. наиболее доброт-
добротных) мод пустых резонаторов из плоских и вогнутых зеркал. Здесь же бы-
было введено понятие дифракционных потерь, которые являются долей обще-
общего потока излучения, рассеиваемой благодаря дифракции (или, в случае не
рассматривавшихся в [164] резонаторов из выпуклых зеркал, по иным
причинам) и проходящей мимо зеркал. Это понятие применительно к резо-
резонаторам оптического диапазона оказалось намного полезнее, чем понятие
добротности, и к настоящему времени почти полностью вытеснило послед-
последнее.
За работой [164] последовали статьи Бойда, Гордона, Когельника [140,
141], в которых было проведено более общее рассмотрение открытых ре-
резонаторов, составленных из двух сферических зеркал с произвольными ра-
радиусами кривизны, и дана классификация таких резонаторов по величине
дифракционных потерь. Выяснилось, что в определенном диапазоне геомет-
61
рических параметров резонатора (радиусов кривизны зеркал и расстояния
между ними) дифракционные потери весьма малы, но при выходе за преде-
пределы этого диапазона очень резко возрастают. В те годы казалось, что стабиль-
стабильная (устойчивая) генерация может быть достигнута лишь в резонаторах с
малыми дифракционными потерями, поэтому такие резонаторы были наз-
названы устойчивыми; характерным их примером, как будет видно в дальней-
дальнейшем, может служить система из двух слабовогнутых зеркал. По этой при-
причине резонаторы с большими потерями, к которым относятся, например,
системы из выпуклых зеркал, были названы неустойчивыми и на несколько
лет выпали из поля зрения исследователей.
Дальнейшим значительным шагом вперед явились уже цитированные на-
мкв §1.1 работы [152, 178, 179], в которых были разработаны общие ме-
методы анализа сложных устройств, состоящих из произвольного числа опти-
оптических элементов с плоскими и сферическими поверхностями. В результате
оказалось возможным свести многие сложные резонаторы к эквивалент-
эквивалентным двухзеркальным системам с такими же распределениями полей собст-
собственных колебаний на зеркалах и теми же потерями (§ 2.2).
Примерно к 1966 г. построение теории пустых резонаторов с малыми по-
потерями было в основном завершено. Весомый вклад в развитие этого на-
направления внесли работы советских ученых — Быкова, Власова, Таланова и
других. Среди них особое место занимает фундаментальный цикл исследова-
исследований Л. А. Вайнштейна, подытоженных в упоминавшейся в Предисловии моно-
монографии [80]. Опираясь на созданные им ранее совершенные методы анали-
анализа микроволновых устройств и воспользовавшись идеей о применимости
"волноводных" представлений для описания открытых резонаторов (см.
§ 2.4), Вайнштейн сумел получить простые аналитические выражения во
многих случаях, когда другие исследователи были вынуждены прибегать к
машинным расчетам.
Интегральное уравнение и спектр собственных колебаний произвольного
пустого резонатора. В основе теории открытых резонаторов, как и любых
резонаторных устройств, лежит понятие о собственных колебаниях — мо-
модах. Поэтому мы сперва познакомимся с тем, как эти моды можно рассчи-
рассчитать, что они в самом первом приближении собою представляют и как клас-
классифицируются.
Собственным колебанием резонатора называется такое распределение
поля, зависимость которого от времени в отсутствие внешних источников
описывается во всем объеме одним и тем же множителем ехр (—/cot),
где со — собственная круговая частота, являющаяся, в общем случае, комп-
комплексной: со = со' — /со"; со' и со" действительны. Для пустых резонаторов с
источниками потерь со" > 0 — колебания затухают во времени, однако
форма пространственного распределения поля остается неизменной.
Собственное колебание оптического резонатора практически всегда мо-
может быть представлено в виде совокупности нескольких световых пучков,
которые при отражении от зеркал либо границ раздела переходят друг в
друга, чем и обеспечивается воспроизводимость процесса во времени. Так,
моды простейших линейных резонаторов типа изображенного на рис. 2.1а
плоского резонатора, часто применяющегося и в настоящее время, состоят
из двух пространственно совмещенных пучков с противоположными на-
направлениями распространения. У кольцевых резонаторов принадлежащие
62
одной моде пучки, следующие в разных направлениях, пространственно
разделены (рис. 2Л6).
Представление мод в виде совокупностей световых пучков позволяет
применить для их описания математический аппарат, основанный на прин-
принципе Гюйгенса—Френеля и развитый в § 1.1. Небольшим затруднением
может показаться только то, что открытые резонаторы, благодаря неиз-
неизбежному выходу части излучения через боковые их границы, обладают
потерями, и следовательно, поля собственных колебаний в них затухают
Рис. 2.1. Простейшие виды резонаторов: а - плоский резонатор, б - кольцевой из
плоских зеркал
во времени; принцип же Гюйгенса- Френеля обычно применяется в случае
стационарных световых полей.
В действительности все формулы, выведенные в § 1.1, остаются в силе
и при комплексных со; нужно лишь использовать в них комплексную же
постоянную распространения, определяемую прежней формулой к = со/с,
или к = к' — ikf\ к' = сУ/с, к" = о/'/с. Поясним смысл этого на примере
формулы A.12), записав ее в виде
ъ(*г.Уг) = ^v{ikLQ)Pu{xAjyx)\ B.1)
А
где Р - оператор, включающий операции умножения на (iXB) ~ exp (ikAL)
и интегрирования; AL = [А(х] + у\) + D(xl + у\) -2(хгХ2 +yiy2)]/2B~
зависящая от поперечных координат добавка к оптической длине систе-
системы L о, измеренной вдоль оси.
Величины к" и AL обычно так малы, что их произведением заведомо
можно пренебречь; такИхМ образом, наличие мнимых добавок к к не изме-
изменяет результатов применения Р - функция Ри(х\, ух) остается прежней.
Но в exp (ikL0) пренебречь этими поправками уже нельзя, и к чисто фазо-
фазовому добавляется множитель exp (k"L0)> который, при прочих равных
условиях, нарастает по мере увеличения оптического расстояния /,0 от
плоскости источника.
Чтобы понять смысл этого множителя, надо принять во внимание, что,
как указывалось в § 1.1, все выведенные там соотношения связывают
между собой значения комплексной амплитуды на разных участках про-
пространства в один и тот же момент времени. Дальше от плоскости источни-
источника к этому моменту времени успел отойти свет, который был испущен
раньше, т.е. тогда, когда источник был интенсивнее. Именно это обстоятель-
обстоятельство и учитывается добавлением указанного вещественного множителя:
на прохождение оптического расстояния Lo требуется время 10/с, в
течение которого амплитуда источника успевает уменьшиться в
exp (co"L0/c) =exp (k"L0) раз.
63
Приступим теперь к рассмотрению собственных колебаний произволь-
произвольного пустого линейного резонатора с полностью отражающими зеркалами,
лишенного элементов, которые могли бы вызвать изменение состояния
поляризации проходящего через них пучка (способ учета присутствия таких
элементов будет изложен в конце § 2.4). Предположим, что в резонаторе
возбуждена одна из мод, т.е. поле во всем объеме изменяется с течением
времени <*> ехр (—/comf), где сот - собственная частота этой моды. Выбе-
Выберем внутри резонатора какую-либо отсчетную плоскость (плоскость 1 на
рис. 2.2); через нее, как и любую другую, проходят навстречу друг другу
два составляющих м^ду световых пучка.
Пусть тот из пучков, который на рис. 2.2а следует от левого зеркала к
правому, имеет на этой плоскости распределение комплексной амплитуды
ит (*i> У\); знания этого распределения, cjm и параметров всех элементов
резонатора, естественно, достаточно, чтобы восстановить полную картину
распределений обоих пучков по всей длине резонатора. Так, комплексная
амплитуда того же самого пучка на плоскости 2, расположенной правее
1, имеет распределение
* f dyx,
где G+(x2, Уг\ *\> У\) ~ функция отклика оптической системы, пред-
представляющей собой участок резонатора между плоскостями 1 и 2. Чтобы
найти на той же самой плоскости 2 распределение амплитуды и~т (х2, У г)
пучка, следующего в обратном направлении, нужно, очевидно, воспользо-
воспользоваться функцией отклика G~(x2, Уг\ *ь У\)> соответствующей последова-
последовательному прослеживанию за пучком от плоскости 1 до правого зеркала и
от последнего до плоскости 2 (или, что то же самое, функцией отклика
системы, изображенной на рис. 2.2б\ фокусное расстояние линзы, заме-
заменяющей правое зеркало с радиусом кривизны/?, равно R/2).
Наконец, воспользовавшись функцией отклика G(x\,y\\ xXt yx) систе-
системы на рис. 2.2в, которая соответствует полному обходу резонатора и имеет
измеренную вдоль оси оптическую длину, вдвое превышающую оптичес-
оптическое расстояние между зеркалами резонатора L 0, мы должны прийти к тому
же распределению, от которого отталкивались: ffG(x\ ,y\; Х\, У\)и^ (xlt
У\) dxxdyx = ufn (х'л, >'i); это и есть то самое интегральное уравнение ре-
резонатора, которое надо решить, чтобы найти собственные функции
wm(*b >>i) и частоты сот = скт. Если бы мы, составляя интегральное
уравнение, начинали обход не от плоскости L а от 2, решениями получен-
полученного при этом другого уравнения оказались бы функции itm (x2, у2) с
прежними собственными частотами сот. Доказать это математически не
так просто, с точки зрения же физики все совершенно очевидно: с какой
плоскости ни начинать обход, результатом должны явиться одни и те же,
заданные во всем объеме, собственные колебания.
Выделив, по примеру B.1), множитель ехр BikL0) и опустив лишние
обозначения, запишем "привязанное" к выбранной отсчетной плоскости
интегральное уравнение резонатора в виде
и = ехр BikL0) • РиУ B.2)
А
где Р — интегральный оператор, осуществляющий преобразование попе-
64
Рис, 2.2. Линейный резонатор (а) и эквивалентные его частичному (б) и полному
(в) обходам оптические системы
речного распределения комплексной амплитуды на обходе резонатора;
как и в случае B.1), результат воздействия этого оператора на любую
функцию распределения при малых вариациях к практически не меняется
(чего нельзя сказать о множителе exp BikL0)).
В принципе, чтобы добиться полной аналогии между системой на
рис. 2.2в и резонатором, следовало бы еще учесть скачки фазы при отра-
отражении от зеркал. Если зеркала металлические, скачок фазы составляет я;
Именно благодаря тому, что идущие навстречу друг другу пучки на зерка-
Шх оказываются в противофазе, здесь и находятся, как известно, крайние
**узлы" образующейся благодаря наложению этих пучков стоячей воды.
Поскольку при полном обходе резонатора имеют место два отражения
от зеркал, суммарный фазовый набег за их счет составляет 2тг и может
быть отброшен. Если концевые зеркала имеют многослойные диэлектри-
диэлектрические покрытия, скачки фаз уже не равны тт. В этом случае можно при
анализе считать резонатор состоящим не из диэлектрических, а из метал-
металлических зеркал, поверхности которых находятся там, где был располо-
расположен ближайший к диэлектрическому зеркалу узел поля. Это позволяет
йе учитывать скачки фаз на зеркалах и в дальнейшем.
Займемся теперь уравнением B.2). Анализ вытекающих из него след-
следствий упрощается, если принять во внимание, что полученные при решении
B.2) сведения понадобятся в конечном итоге для описания работы како-
fO-то конкретного типа лазера. Дело в том, что у подавляющего боль-
большинства лазеров ширина спектра генерации ДХ так мала, что выполняется,
1фитом с огромным "запасом", соотношение АХ < X. Учитывая также отме-
отмеченное выше свойство оператора РУ можно при его использовании считать к
фиксированным и равным 2тг/Х, где X — примерная длина волны генерации.
Таким образом, один из сомножителей в правой части B.2) — Ри — ока-
65
зывается зависящим только от поперечной структуры поля, второй —
только от точного значения к (или cj) .
Собственные функции уравнения BL2) должны быть, очевидно, также
собственными функциями оператора Р, вид которого зависит от типа и
параметров резонатора и пока уточняется не будет. Пусть Р имеет набор
собственных функций ит и соответствующих им собственных значений
0т = ехр (~i8'm - 5^), так что Рит = ехр (~id'm- д"п) - ит. Подставив
это в B.2), получаем ехр BikL0 - /5^ ~Ь"т) = 1, или 2ikmqL0 - ib'm-
~ й'т = i ' 2щ, где q — целое. Разложив это на два равенства для действи-
действительных величин, имеем 2k'mqL0 - Ь'т = 2щ, 2к'^Ь 0 - 5^ = 0, или
6т). B.3)
Обсудим смысл произведенных выкладок и полученных формул. Вели-
Величина 2k'mqL0 -Ь'т явно представляет собой полный фазовый набег на
обходе резонатора. Если бы наши пучки были направленными вдоль оси
неограниченными плоскими волнами, он составил бы просто 2к'тяЬ0-
Однако в резонаторах рождаются пучки конечного сечения с мало изменяю-
изменяющейся вдоль оси структурой; по причинам, которые обсуждались в § 1.2,
фазовая скорость таких пучков немного превышает с. Именно это и являет-
является причиной фазовой "недостачи", равной 5^ > 0.
При больших характерных поперечных размерах пучков фазовая ско-
скорость совсем близка к с, и поправки Ь'т малы. В этом случае собственные
частоты почти неотличимы от значений qncjL 0, образующих в шкале частот
эквидистантную "гребенку" с интервалом между соседними линиями
Асо = nc/LQ (или Ар = c/2L0). Этот интервал при обычных длинах резона-
резонатора так мал, что на полосу усиления среды, как правило, приходится мно-
много линий с разными q (рис. 2.3).
Таким образом, собственные частоты определяются, в основном, зна-
значением целочисленного параметра q, который называется аксиальным
индексом. Взаимосвязь между этим индексом и пространственной структу-
структурой моды весьма проста. Уже упоминалось о том, что в результате наложе-
наложения встречных когерентных пучков образуется стоячая волна. На каждом
ее периоде набегает разность фаз этих пучков, равная 2тг; отсюда следует,
что q « Lq/ (A/2) является числом периодов стоячей волны на длине резо-
резонатора.
Наконец, для выяснения смысла 6^, рассмотрим ситуацию, когда на
входной плоскости системы на рис. 2.2в задано не затухающее во времени,
а стационарное поле с распределением комплексной амплитуды ит. Поле
на выходной плоскости при этом по-прежнему описывается правой частью
B.2), но уже не с комплексным, а с действительным к. В результате мно-
множитель ехр (-6^) перестает компенсироваться множителем ехрBк'^Ь0)9
как это было при затухающих колебаниях в резонаторе, и интенсивность
оказывается умноженной на ехр (—25^). Таким образом, доля общего
потока, составляющая 1 — ехр (-25^), "теряется по дороге" - рассеи-
66
вается на диафрагмах, проходит мимо зеркал. Эта доля называется ди-
дифракционными потерями на полном обходе резонатора; при малых 8'т
она равна 26^,.
Теперь уместна небольшая историческая справка. Впервые интегральное
уравнение открытого резонатора вывели Фокс и Ли [164], однако они
допустили при этом две заметные неточности [21]. Используя принцип
Гюйгенса - Френеля в его стандартной формулировке, они ошибочно пола-
полагали, что этот принцип не связывает между собой мгновенные значения
Рис. 2.3. Полоса усиления активной среды
и резонансные частоты колебаний с раз-
различными аксиальными индексами q
комплексной амплитуды на разных участках светового пучка (§ 1.1), а
описывает процесс распространения волны во времени. Кроме того, Фокс
и Ли применительно к затухающим колебаниям употребляли формулы с
действительными к, годящиеся лишь для стационарного поля. В том, что
касается потерь, эти две ошибки компенсировали друг друга (и потому
остались незамеченными), однако фазовые условия из уравнения выпали,
и для их нахождения в [164] пришлось привлекать дополнительные сообра-
соображения, касающиеся фазовой скорости найденных волн.
Чтение в целом блестящей работы Фокса и Ли вызывает чувство восхи-
восхищения и сейчас; поэтому не удивительно, что авторы следующей этапной
работы - Бойд и Гордон [140] - заимствовали из [164] не только полез-
полезные соображения, но и неточности. Авторитет первооткрывателей был
столь неколебимым, что эти неточности повторяются почти во всех руко-
руководствах уже более 25 лет несмотря на то, что выведенные Вайнштейном
другим способом и использовавшиеся им интегральные уравнения двух-
зеркальных резонаторов имели совершенно корректную формулировку.
Правильные уравнения были приведены также в [78], однако громозд-
громоздкий способ вывода этих уравнений и ошибочное утверждение об их совпа-
совпадении с выведенными Фоксом и Ли привели к тому, что указанная статья
не имела особого резонанса.
Резонаторы с полупрозрачными зеркалами и однородной активной сре-
средой. Прежде чем приступить к изучению мод идеальных пустых резонато-
резонаторов, стоит заранее выяснить, могут ли сведения об этих модах когда-либо
пригодиться. Дело в том, что зеркала реальных резонаторов часто имеют
Достаточно большое пропускание (для вывода излучения наружу), и их
никак нельзя считать полностью отражающими; кроме того, внутри резо-
резонатора лазера всегда размещается усиливающая активная среда. Выясним,
следуя [8], какие это может иметь последствия.
Ограничимся анализом идеализированного случая, когда слой среды
толщиной / бесконечен и плоскопараллелен (рис. 2.4; резонатор здесь
67
для простоты изображен состоящим всего из двух зеркал). Будем счи-
считать, что коэффициент усиления излучения по интенсивности кус (см)
и показатель преломления вещества слоя п0 постоянны, причем последний
может отличаться от единицы (поверхности слоя в этом случае просветле-
просветлены) . Пусть также только одно из зеркал имеет коэффициент отражения,
равный единице; коэффициент отражения второго R' < 1.
Плоский слой однородной среды является одной из тех простейших
оптических систем, которые рассматривались в начале § 1.1. Тогда было
Рис. 2.4. Резонатор с активным слоем
установлено, что в выражениях для элементов волновой матрицы (а сле-
следовательно, и в зависящей от поперечных координат части эйконала, кото-
которая добавляется kZ0) при п0 Ф 1 толщина слоя заменяется на 1/п0. Это
означает, что поперечная структура поля по прохождении плоского слоя
среды преобразуется так же, как при прохождении расстояния 1/п0 в пус-
пустом пространстве. Величина общего фазового набега на слое определяется,
как всегда, его оптической толщиной /л0; наконец, наличие усиления, как
было указано в том же § 1.1, можно учесть домножением результирующей
амплитуды поля на ехр (кус1/2), оставив LQ вещественной.
Построим теперь пустой резонатор из полностью отражающих зеркал,
имеющий такие же по форме распределения полей на аналогичным обра-
образом расположенных сечениях. Сделаем это следующим образом: заменим
зеркало с R* < 1 на зеркало той же формы, но полносты^ отражающее;
удалим активный слой; наконец, уменьшим длину участка резонатора, на
котором слой был расположен, на /A — 1/и0) (в изображенном на рис. 2.4
случае надо просто установить зеркала на расстоянии// экв = L — / A — 1/п0)
друг от друга). Нетрудно видеть, что интегральное уравнение исходного
резонатора с активной средой будет отличаться от уравнения такого пусто-
пустого резонатора при аналогичном расположении отсчетных плоскостей толь-
только постоянным множителем в правой части:
и = \fW expBikL0 +1кус) -Ри. B.5)
Здесь L о — полная оптическая длина резонатора со средой (равная для слу-
А
чая рис. 2.4 L + 1(п0 — 1)), Р — интегральный оператор обхода пустого
резонатора, собственные значения которого будем обозначать по-прежнему
как/Зт =ехр (-i6'm-6"m).
Собственные функции уравнения B.5) резонатора с активной средой,
очевидно, остаются собственными функциями оператора Р. Отсюда следует
68
важный вывод: ни введение равномерно усиливающей среды, ни замена
полностью отражающего зеркала на полупрозрачное не влекут за собой
изменений поперечной структуры собственных колебаний.. Отметим, что,
хотя наши выкладки относились к простейшему случаю постоянного по
всему объему кус, этот основной вывод сохраняет силу и тогда, когда
коэффициент усиления (или, в присутствии поглощения, разность между
коэффициентами усиления и поглощения) медленно изменяется вдоль дли-
длины резонатора — лишь бы отсутствовали зависимости от поперечных коор-
координат! В формуле B.5) тогда вместо кус1 появляется / kyc(z) dz.
о
Что же касается спектра собственных частот, то он в присутствии актив-
активной среды заметно изменяется. С помощью тех же выкладок, что и в слу-
случае пустого резонатора, получаем следующие формулы:
B.6)
Первая из них, казалось бы, не отличается от B.3); однако здесь в оптичес-
оптическую длину резонатора входит слагаемым оптическая длина активного слоя
/и0, что несколько изменяет ситуацию. Дело в том, что показатель прелом-
преломления усиливающей среды в принципе зависит от положения линии внутри
полосы усиления, притом порой существенно; в результате интервалы
между соседними частотами могут заметно измениться и перестать быть
равными друг другу. На пространственную структуру поля эффекты такого
рода, как правило, не влияют и поэтому здесь рассматриваться не будут.
Более любопытна формула B.6). В соответствии с ней введение усили-
усиливающей среды оказывает огромное влияние на скорости затухания собст-
собственных колебаний. Это приводит к полному изменению картины резо-
резонансных свойств системы в целом.
Действительно, поле, изменяющееся во времени пропорционально
exp (-/со 7 - со'7), в принципе немонохроматично и имеет ширину спект-
спектра ~ со". Отсюда следует, что если для двух соседних резонансных частот
системы coj и со2 справедливо неравенство
I co'x-coil < (^i + coJ)/2, B.7)
их резонансные кривые перекрываются. Если активная среда в оптичес-
оптическом резонаторе отсутствует или не возбуждена, условие B.7) выполняет-
выполняется практически всегда, так как собственные частоты отдельных мод распо-
расположены сравнительно тесно, а вызывающие затухание потери обычно не так
уж малы (их основным источником чаще всего служат, кстати, не дифрак-
дифракционные эффекты, а неактивное поглощение в среде и вывод части излу-
излучения через полупрозрачное зеркало). Выполнение данного условия, в свою
очередь, означает, что при попытках использования такой системы в качест-
качестве пассивного фильтра ее резонансные свойства не проявлялись бы и гово-
говорить о существовании отдельных типов колебаний не имело бы особого
смысла.
69
Совсем иначе обстоит дело при наличии возбужденной активной среды.
Величины со" в соответствии с B.6) уменьшаются; по мере приближения
к порогу генерации некоторые из-них стремятся к нулю. В результате уже
при режиме регенеративного усиления резонансные свойства системы
могут проявиться в полной мере, несмотря на выполнение условия B.7) в
отсутствие возбуждения активной среды. Еще более резко выражены резо-
резонансные свойства системы во время стационарной генерации, когда одна
или несколько величин со" равны нулю (вообще говоря, за счет непрерыв-
непрерывной "подпитки" генерации спонтанным излучением они и здесь чуточку
отличны от нуля, однако этим почти всегда можно пренебречь).
Таким образом, в случае генерирующего лазера ситуация совершенно
не похожа на ту, которая имела бы место, если бы лазерный резонатор
использовался в качестве пассивного фильтра и возбуждался бы внешним
источником. Поэтому при описании работы лазера не стоит употреблять
такие связанные со скоростью затухания в пустом резонаторе понятия,
как добротность и резонансная ширина линии. Практика показывает, что
это только приводит ко всевозможным заблуждениям: возникают пред-
представления о том, что процесс генерации в лазерах с большими потерями
на проход носит "нерезонансный" характер. Поэтому мы пользоваться дан-
данными понятиями не будем.
Произведенный выше анализ не только показывает принципиальную воз-
возможность использования результатов теории пустых открытых резонато-
резонаторов, но и поможет сформулировать в следующей главе условия, при кото-
которых это можно делать. Они являются весьма жесткими; однако даже при
их невыполнении знание вида собственных колебаний соответствующего
идеального резонатора, как правило, приносит большую пользу, позволяя
производить оценочные расчеты, выяснять предельные возможности тех
или иных конкретных резонаторов и т.п. По набору собственных функций
идеального пустого резонатора часто также разлагают в ряд искомые рас-
распределения полей при рассмотрении роли несовершенств реальных резо-
резонаторов, анализе кинетики генерации. С такими примерами мы в дальней-
дальнейшем еще столкнемся.
§ 2.2. Классификация открытых оптических резонаторов
и условия их эквивалентности
Переходим к более конкретному рассмотрению особенностей разных
типов открытых резонаторов. Основным объектом нашего анализа будут,
как и прежде, линейные резонаторы, хотя результаты этого анализа легко
обобщаются и на случай кольцевых схем.
Матрицы линейных резонаторов. Рассмотрим идеальные линейные резо-
резонаторы, включающие только такие элементы, воздействие которых на
световые пучки может быть описано с помощью матричного аппарата
(§ 1.1). Помимо двух перпендикулярных оси зеркал, замыкающих резо-
резонатор (мы их будем называть концевыми), могут иметься также и про-
промежуточные, на которых ось претерпевает "изломы" (рис. 4.1, 4.8г, д).
Пытаясь применить к описанию таких резонаторов лучевые или вол-
волновые матрицы, мы прежде всего должны посчитаться с тем, что эти матри-
матрицы в их стандартном определении связывают между собой параметры свето-
70
Рис. 2.5. Резонатор со сферическими зеркалами (а) и эквивалентный ему резонатор
с плоскими зеркалами (б)
вых пучков на входной и- выходной поверхностях оптической системы,
которые считаются плоскими. Если начинать обход резонатора с какой-
либо расположенной внутри него отсчетной плоскости, как в предыдущем
параграфе, это не вызвало бы затруднений. Однако, скажем, волновыми
матрицами можно пользоваться только для систем, внутри которых нет
обычных диафрагм, поглощающих часть проходящего излучения. Посколь-
Поскольку в лазерных резонаторах, как правило, именно зеркала или расположен-
расположенные рядом с ними диафрагмы реально ограничивают сечение генерируемых
пучков, приходится именно зеркала и выбирать в качестве отсчетных поверх-
поверхностей. Зеркала же чаще всего бывают не плоскими, а сферическими.
Чтобы преодолеть это незначительное затруднение, достаточно предста-
представить каждое сферическое концевое зеркало с радиусом кривизны R
(у вогнутого зеркала R > О, у выпуклого R < 0) в виде эквивалентной
ему комбинации из плоского зеркала и установленной рядом с ним тон-
тонкой линзы с фокусным расстоянием / = R (рис. 2.5; фокусное расстояние
сферического зеркала, как известно, равно R/2, т.е. является вдвое мень-
меньшим, зато через линзу эквивалентной комбинации световой пучок прохо-
проходит при отражении от этой комбинации дважды). В результате такой заме-
замены получаем полностью эквивалентный резонатор с плоскими зеркалами.
Прохождение света между плоскими концевыми зеркалами уже мож-
можно описывать с помощью стандартной ABCD-мгирищЛу которую будем
считать матрицей и исходного резонатора. В качестве примера выпишем
элементы совпадающих между собой лучевой и волновой матриц для
важного случая пустого двухзеркального резонатора:
/ 11/ /
А — 1 П — I /^ 1 Г\ 1 .
А — 1 — у d — I, С — — — т , U — i — ,
П D D П П П
/v 1 1\ 1 **-2 -**-1*^2 **-2
B.8)
здесь Rx и R2 — радиусы кривизны левого и правого зеркал, / — расстоя-
расстояние между ними.
Если элементы введенной таким образом волновой матрицы произволь-
произвольного резонатора подставить в A.12), мы получим интегральное преобразо-
71
вание, связывающее распределения комплексной амплитуды непосредст-
непосредственно на поверхности концевых зеркал. В этом случае можно не задумы-
задумываться о том, с каким из изображенных на рис. 2.5 резонаторов мы имеем
дело: интегральное преобразование полей на зеркалах у них одно и то же.
Далее, при одинаковых распределениях полей на зеркалах у них совпадают
распределения и во всем объеме резонатора.
Немного сложнее только с излучением, выходящим из резонатора через
одно из концевых зеркал (или проходящим мимо него, как в неустойчи-
неустойчивых резонаторах, см. далее). Чтобы обеспечить тождественность распреде-
распределений полей и во внешнем пространстве, следует дополнить комбинацию,
заменяющую полупрозрачное зеркало (на рис. 2.5 - правое), еще одной
тонкой линзой, расположенной по другую сторону плоского зеркала экви-
эквивалентного резонатора (изображена штриховыми линиями). Если свет вы-
выходит через полупрозрачное зеркало без изменения направления лучей
или проходит мимо него, дополнительная линза должна иметь / = —R,
компенсируя внутреннюю линзу. В том случае, когда полупрозрачное сфе-
сферическое зеркало исходного резонатора само обладает определенной опти-
оптической силой 1//' по отношению к проходящему через него свету (что
имеет место, например, при плоской задней его поверхности), внешней
линзе эквивалентной системы должна приписываться оптическая сила
1/Г-1/Д.
Коснемся еще вопроса о матрице полного обхода. Если прохождение
резонатора слева направо описывается матрицей ABCD, то справа налево —
DBCA (§ 1.1). При отражении от перпендикулярного оси плоского зеркала
в принятых нами обозначениях (рис. 1.1) и линейные, и угловые коорди-
координаты лучей остаются прежними. Поэтому плоские концевые зеркала экви-
эквивалентного резонатора выполняют функции плоскостей, разделяющих
системы с A BCD- и DBCA -матрицами, и полный обход резонатора начиная
от одного из зеркал описывается прямо произведением этих матриц. Выпи-
Выпишем матрицу полного обхода начиная от правого зеркала (и кончая, естест-
естественно, им же):
II А В Ц | D В || || AD + ВС 2АВ II
II • = I. B.9)
И С D II И С А II II 2CD AD + ВС II
В дальнейшем при рассмотрении условий воспроизводимости структуры
светового пучка после обхода резонатора мы будем по возможности поль-
пользоваться именно матрицами B.9). Это удобно, ибо позволяет находить
распределение поля сразу вблизи правого зеркала, т.е., с учетом поправки
на вышеупомянутую дополнительную линзу, на выходном сечении генера-
генератора: по установившейся в литературе традиции будем всегда изображать
лазеры с выводом излучения в правую сторону. Кроме того, в неустойчи-
неустойчивых резонаторах именно выходное зеркало является, как правило, един-
единственным элементом, ограничивающим сечение генерируемого пучка. В
подобных ситуациях и составлять-то волновую матрицу полного обхода
можно только, начиная его с выходного зеркала (иначе столкнемся со
случаем промежуточной диафрагмы, см. § 1.1).
Классификация линейных резонаторов по свойствам их лучевых матриц.
Классификация оптических резонаторов основывается на конкретных
72
свойствах их собственных колебаний. Здесь имеются в виду характер рас-
распределений полей на зеркалах и, что самое главное, порядок величины свя-
связанных с геометрией резонатора потерь. В предыдущем параграфе было
показано, что выяснение этих обстоятельств сводится к поиску таких све-
световых пучков, поперечная структура которых при обходе резонатора
остается прежней. Фазовые условия, определяющие только значения соб-
собственных частот, в анализ можно не вводить.
Рис. 2.6. Взаимосвязь двух волн с воспроиз-
воспроизводящейся кривизной в неустойчивом резо-
резонаторе
I
7
7
Для выделения основных типов оптических резонаторов достаточно
рассмотрения указанной выше задачи в геометрическом приближении
(беспредметность неоднократно предпринимавшихся попыток уточнить
принципы классификации исходя из решений дифракционного приближе-
приближения с учетом гауссовых диафрагм показана в [40]). Отметим, что впервые
такое рассмотрение с использованием лучевых матриц было проведено в
работе Кана [177], по существу правильной, однако весьма схоластичной.
Решение геометрического приближения будем искать в виде сферичес-
сферических волн с центрами на оси резонатора. Закон преобразования радиусов
кривизны таких волн по их прохождении через произвольную оптическую
систему описывается формулой A.16). Подставив в нее элементы матрицы
B.9), составим уравнение воспроизведения кривизны 1/р волны после
полного обхода резонатора начиная от правого зеркала:
[(А» + ВС)р + 2ЛВ\ /BCDp +AD + ВС) = р. B.10)
Напомним, что если оптическая система даже и содержит амплитудные
корректоры, они не сказываются на ходе лучей и поэтому при составле-
составлении матрицы, предназначенной для чисто геометрических расчетов, не
учитываются; таким образом, А, В, СиО в B.10) действительны.
Уравнение B.10) имеет решения
Pif2=±y/ABjCD. B.11)
Даже "невооруженным глазом" видно, что свойства резонатора решающим
образом зависят от знака отношения AB/CD, который совпадает со знаком
произведения ABCD. Сперва рассмотрим случай, когда ABCD > 0. Тогда
B.10) имеет два действительных решения, различающихся знаками, но
совпадающих по абсолютной величине.
Взаимосвязь этих двух решений пояснена рис. 2.6, на котором изоб-
изображены фронты соответствующих волн непосредственно до (сплошные
73
линии) и после (штриховые) их отражения от правого зеркала эквива-
эквивалентного резонатора. Видно, что фронт одной волны совпадает с фрон-
фронтом другой при движении той в противоположном направлении. Посколь-
Поскольку лучи являются нормалями к волновым фронтам, их ход для наших
двух решений оказьюается прямо противоположным. Отсюда сразу сле-
следует, что если сечение одной волны при обходе ею резонатора возрастает,
то сечение другой во столько же раз убывает.
Действительно, проследив с помощью той же матрицы B.9) за преоб-
преобразованием координат любого луча, входящего в семейства лучей наших
двух волн (см. вывод формулы A.16)), убеждаемся в том, что попереч-
поперечные размеры областей, охватываемых этими волнами, изменяются в отно-
отношении ц1а =AD + ВС ±2\jABCDy причем /11Д2 = (AD + ВСJ - 4ABCD =
= (AD - ВСJ = 1 (см. A.3)). Большее по абсолютной величине значение
ц будем в дальнейшем назьшать увеличением резонатора и обозначать бук-
буквой М; очевидно, | М \ > 1.
Сечение волны с д = 1/М уменьшается при каждом последующем-обхо-
последующем-обходе резонатора и, каковы бы ни были начальные размеры этого сечения, в
конечном итоге стягивается в точку. Ясно, что на основе этой волны, не-
несмотря на формальную воспроизводимость кривизны ее фронта, само-
самосогласованное решение построить нельзя.
Сечение другой волны при каждом обходе резонатора расширяется в
|М1раз, однако это не может помешать существованию самосогласованно-
самосогласованного решения: поскольку зеркала имеют конечные размеры, "лишняя" часть
сечения пучка просто проходит мимо них и выходит наружу. Это, очевид-
очевидно, приводит к значительным потерям; в геометрическом приближении
они равны 1 - 1/М2. Из-за большой величины потерь резонаторы cABCD>
> 0 в силу упоминавшихся в § 2.1 соображений были названы неустойчи-
неустойчивыми. Более подробное рассмотрение этих резонаторов и лазеров на их
основе, из которого, кстати, следует, что геометрическое приближение
является в данном случае вполне уместным, изложено в § 2.5 и последу-
последующих главах.
В промежуточном случае ABCD = О имеется только одно ju, или +1 или
— 1; потери в геометрическом приближении отсутствуют. Характер реше-
решения зависит от того, какой из матричных элементов равен нулю. Если это
С, либо В, либо Си В, то, как следует из A.3), произведение AD, а с ним
и 11 равны единице. Это означает, что после обхода резонатора траектория
луча замыкается и луч снова следует по тому же пути. Остальные свой-
свойства этих резонаторов, однако, совершенно различны.
Резонаторы с С = О, В Ф О относятся к самым распространенным. В
этом случае из B.11) следует 1/р = 0 - волновой фронт плоский и сов-
совпадает с плоским же правым зеркалом эквивалентного резонатора, или,
как принято говорить, это зеркало является эквифазной поверхностью
данной волны; легко показать, что и левое — также. Поскольку распре-
распределения полей на зеркалах эквивалентного и исходного резонаторов сов-
совпадают, сферические зеркала последнего также оказываются эквифазны-
ми поверхностями: волновой фронт вблизи них имеет ту же кривизну,
что и сами зеркала. Каждый луч следует в прямом и обратном направ-
направлениях по одному и тому же пути, падая нормально на оба концевых зер-
зеркала. Матрицу с С = О, В Ф 0 имеют, в частности, слои пустого или запол-
74
Рис. 2.7. Различные типы оптических резонаторов с ABCD - 0: а — плоский резона-
резонатор (С = 0); б, в — концентрические резонаторы (С = 0); г - резонатор с В = 0, СФ 0;
д — резонатор с В = С = 0; е - резонатор с А = 0; ж — полуконцентрический резонатор с
D = 0; з — симметричный конфокальный резонатор {А = D = 0)
ненного однородной средой пространства (см. табл. 1.1), поэтому к дан-
данной категории относятся всем известный плоский резонатор (рис. 2.7а),
близкий к нему во многих отношениях концентрический (Rx + R2 = /,
рис. 2.75, в) и семейство более сложных резонаторов, им эквивалент-
эквивалентных (последние будут рассмотрены отдельно в § 4.2).
При В = 0, С Ф 0 из B.11) получаем р = 0; таким образом, центр кри-
кривизны волнового фронта находится прямо на выходном зеркале - излу-
излучение оказывается сфокусированным в точку на этом зеркале. Волна,
следующая в обратном направлении, фокусируется в точку на другом зер-
зеркале (рис. 2.7г). Это и понятно: входная и выходная плоскости оптичес-
оптической системы с5 = 0 сопряжены, система проецирует изображение одной из
них на другую (§ 1.1).
Еще любопытнее резонаторы с/? = С = 0;изB.11) следует, что значе-
значение р у них является неопределенным: в таких резонаторах воспроизво-
воспроизводятся любые волны, любой луч после обхода возвращается на прежнюю
траекторию (рис. 2.1 д). Это позволяет легко "навязывать" таким резо-
резонаторам любую форму распределений полей на зеркалах, поэтому они,
как и другие системы с В = 0, начинают понемногу применяться в разного
рода усилителях изображений [175, 88]. В конце параграфа мы еще немно-
немного коснемся свойств линейных резонаторов с В = 0, но сколько-нибудь
подробно рассматривать их не будем, так как в собственно генераторах
они сейчас практически не применяются.
У резонаторов с А = 0 или D = 0 значение ц равно -1, и луч после пол-
полного обхода резонатора переходит на другую сторону относительно его
75
оси, после второго обхода возвращается в первоначальное положение.
В пустых двухзеркальных резонаторах А = О при Rt = /, D = 0 при R2 =
= /; таким образом, на одном из зеркал находится центр кривизны дру-
другого. Эта же точка служит и центром кривизны сферической волны гео-
геометрического приближения; второе зеркало является эквифазной поверх-
поверхностью этой волны (рис. 2Ле, ж). Из подобных резонаторов изредка ис-
используются полуконцентрические, одно из зеркал которых является плос-
плоским (рис. 2.7ж); цели их применения будут разъяснены в § 4.1.
Наконец, особое место занимает симметричный конфокальный ре-
резонатор с А = D = О (R% = R2 = /, рис. 2.7з). В нем воспроизводятся вол-
волны с любой начальной кривизной; подробнее на его свойствах мы остано-
остановимся в следующем параграфе.
Все закономерности поведения резонаторов с ABCD = 0, выявленные
с помощью геометрического анализа, в определенной мере отображают
истинную картину распределения полей наиболее добротных мод. Так,
в полуконцентрическом резонаторе поле низшей моды действительно близ-
близко к сумме двух следующих в противоположных направлениях сфери-
сферических волн, для которых второе зеркало является эквифазной поверх-
поверхностью; на первом зеркале излучение сосредоточено в дифракционной
"точке" размером ~ Х//а2> где а2 - поперечный размер второго зеркала.
Следует только иметь в виду, что при ABCD = О достаточно малейших
отступлений от идеальной геометрии резонатора, чтобы распределение
поля резко изменилось, а геометрическое приближение совсем потеря-
потеряло силу (так, для разъюстированного плоского резонатора чисто гео-
геометрического решения уже нет). Подробнее на этом мы остановимся
в § 3.2.
Для обширного класса резонаторов с ABCD < 0 поиск самовоспроиз-
самовоспроизводящихся волн в геометрическом приближении заводит в тупик - урав-
уравнение B.10) вообще не имеет действительных решений. Анализ в дифрак-
дифракционном приближении (см. следующий параграф) показывает, что поле
низших мод таких резонаторов сосредоточено главным образом вблизи
оси системы и экспоненциально спадает по мере удаления от нее. Ясно,
что при достаточно больших зеркалах мимо них будет проходить ничтож-
ничтожная доля общего потока излучения, и дифракционные потери окажутся
чрезвычайно малы. Это и привело в свое время к названию "устойчивых"
резонаторов в противовес "неустойчивым" с ABCD > 0. Соображения,
приведшие к подобным названиям, не выдержали испытания временем,
однако эта терминология осталась общепринятой. Поскольку ABCD =
= AD (AD — 1), условие "устойчивости" (т.е. малости дифракционных по-
потерь) может быть записано в форме AD(AD — 1) < 0s или 0 < AD < 1.
У пустых двухзеркальных резонаторов А = 1 - I/Ri, D = 1 - l/R2 (см.
B.8)). В теории таких резонаторов, созданной ранее теории много эле-
элементных систем, для этих параметров были приняты обозначения 1 -
~ Wi,2 = gxt2. Таким образом, двухзеркальные резонаторы "устойчи-
"устойчивы" при 0 < gig2 < 1; именно в таком виде критерий "устойчивос-
"устойчивости" и фигурировал в уже упоминавшихся Da ботах Когельника и Лк, а так-
также многих последующих.
Условия эквивалентности резонаторов. Переходим теперь к рассмот-
рассмотрению резонаторов в более строгом дифракционном приближении. Дпя
76
нахождения распределений полей К потерь здесь часто требуются трудо-
трудоемкие численные расчеты. В связи <^ этим важна задача максимального
уменьшения числа подлежащих анализу вариантов. Эта задача в значитель-
значительной степени решается подбором эквивалентных резонаторов. Таким пу-
путем удается, в частности (как мы сейчас увидим), свести относящиеся
к весьма широкому классу многокомпонентные системы к простейшим
двухзеркальным. В этот класс входят обладающие действительными вол-
волновыми матрицами с неравным нулю В резонаторы, между зеркалами
которых отсутствуют апертурные диафрагмы или какие-нибудь иные ам-
амплитудные корректоры.
Приступая к анализу таких резонаторов, необходимо в- первую оче-
очередь учесть те соображения, которые высказывались в § 1.1 по пово-
поводу возможностей применения волновых матриц для систем, внутри ко-
которых имеются обычные диафрагмы. Из этих соображений сразу следу-
следует, что в общем случае, когда оба концевых зеркала имеют конечные
размеры и реально ограничивают сечения световых пучков, использо-
использовать выписанную в B.9) матрицу полного обхода уже нельзя. Поэто-
Поэтому, применяя A.12) к такому резонатору, будем считать, что индексы
1 и 2 относятся к левому и правому концевым зеркалам; В, А и D - как
всегда, элементы матрицы, описывающей проход через резонатор от ле-
левого к правому зеркалу. Чтобы получить соотношение, описывающее про-
проход от правого зеркала к левому, достаточно поменять местами индексы
1 и 2, а также А и D. Отметим, что при такой одновременной замене вид
подынтегральной экспоненты остается неизменным (если учесть, что ве-
величина в квадратных скобках в A.12) представляет собой оптическое рас-
расстояние между находящимися на противоположных концевых зеркалах
точками (*1, у\) и (х2,У2), причины этого становятся совершенно оче-
очевидны) .
Из параметров резонатора в указанные интегральные соотношения вхо-
входят только определяющие площади интегрирования поперечные размеры
зеркал и элементы волновой матрицы. Поэтому резонаторы, у которых этот
набор параметров совпадает, являются эквивалентными. Под эквивалент-
эквивалентностью обычно подразумевается тождественность законов преобразова-
преобразования распределений полей на концевых зеркал при обходе резонатора. Отсю-
Отсюда следует, в частности, что эквивалентные резонаторы имеют одинако-
одинаковые распределения полей собственных колебаний на зеркалах и равные
дифракционные потери. Внутри резонаторов распределения полей могут
и не совпадать - простейший вариант эквивалентности, приведенный на
рис. 2.5, в этом отношении не показателен. Могут различаться также и
спектры собственных частот: значения Lo у эквивалентных резонаторов
со в па дат ь не о бязаны.
Однако даже когда зеркала имеют вполне определенные очертания и
каждое из них, таким образом, может быть охарактеризовано единствен-
единственным поперечным размером а (круглое - радиусом круга, квадратное -
стороной квадрата и т.п.), общее число параметров резонатора пока ос-
остается слишком большим. Чтобы его уменьшить, введем, следом за про-
проделавшими аналогичную процедуру для двухзеркальных резонаторов
Гордоном и Когельником |172], безразмерные координаты Х12 ~х\л1а\,г'
Yl2 - У\ г\а\ 2* г^е ai и а2 ~ хаРа1<теристические размеры левого и право го
77
зеркал соответственно, и запишем в этих координатах функции распределе-
распределения поля: U(Xi9 Yi) = u(aiXiiaiYi). В результате A.12) приобретает вид
= — - ехр(Ш,0) / K(X2f Y2fXx, Yx)U(Xlt Yl)dSl. B.12)
Л
Сразу выпишем еще формулу для оператора Р, который, собственно
говоря, и описывает преобразование поперечного распределения комп-
комплексной амплитуды на полном обходе резонатора (см. B.1), B.2), B.5)).
Подставив в B.12) результирующее распределение амплитуды из анало-
аналогичного B.12) соотношения, описывающего проход от правого зеркала
к левому, и опустив множитель ехрB/ kL0), получаем выражение для
А
Р при обходе начиная от правого зеркала:
PU(X2tY2) =
= -N2 f K(X2,Y2,XX,YX) f K(X2,Y2,Xx,Yx)U(X2tY2)dS2dSx.
B.13)
В последних двух формулах К(Х2 ,Y2,XX,YX) = exp {i nN [Gx (X\ + Yj ) +
+ G2{X\ + Yt) -2(XXX2 + YXY2)]} , N = axa2/XB, Gx = (ax/a2)A9G2 =
= (a2l<*i)D> dSx = dXxdYXi dS2 = dX2dY2iSx и S2 - области единичных
размеров. Здесь остались уже только три безразмерных параметра, при
совпадении которых резонаторы эквивалентны: Gl9G2 и N.
Дальнейшее уменьшение числа вариантов, подлежащих рассмотретш,
возможно путем сопоставления резонаторов, наборы параметров экви-
эквивалентности которых различаются лишь знаками у N. Действительно,
если Gx и G2 оставить неизменными, а у N изменить знак, величина К
заменяется на комплексно сопряженную, а действительный множитель
перед интегралом остается неизменным. Легко видеть, что собственные
л
функции и значения оператора Р при этом также становятся комплексно
сопряженными по отношению к исходным:
Um(Gl,G2,-N) = UZi(Gx,G2,N), Cm (Gl9 G2,-N) = Fm (GlyG2,N)
(являющиеся аргументами у Um поперечные координаты опущены).
Отсюда следует, что при такой замене изменяются только знаки у фазо-
фазовых поправок 8|„и у распределений фазы полей собственных колебаний
на зеркалах, распределения же интенсивностей этих полей и дифракционные
потери остаются прежними.
Сопоставимы друг с другом также резонаторы, наборы параметров эк-
эквивалентности которых различаются только знаками Gx и G2 (эта за-
закономерность для частного случая двухзеркальных резонаторов была
подмечена Фрадкиным [133]). Если N оставить прежним, а изменить
одновременно знаки Gx и G2 и, кроме того, повернуть систему попереч-
поперечных координат на левом зеркале на 180°, что вызывает замену XXi Yx
на -Xi, -YXt то величина К вновь становится комплексно сопряженной
по отношению к исходной, и мы приходим к прежнему варианту соот-
78
ветствия собственных функций и значений:
Такую пару резонаторов составляют, например, симметричный концен-
концентрический и плоский двухзеркальные резонаторы с одинаковыми разме-
размерами зеркал и расстояниями между ними. Правда, если зеркала не обла-
обладают осевой симметрией, одно из зеркал эквивалентного резонатора долж-
должно быть развернуто вокруг оси относительно аналогичного зеркала исход-
исходного резонатора на 180° (иначе при повороте системы координат не сов-
совпадут площади интегрирования).
Наконец, сочетая две изложенные выше операции, получаем еще один
вариант соответствия с поворотом одного из зеркал:
Таким образом, мы научились сводить любые интересующие нас резо-
резонаторы к резонаторам с положительным N и с заранее выбранным знаком
G\ или G2. Что же касается резонаторов с положительным 7V (а, следо-
следовательно, и В), то они всегда могут быть приведены к наиболее подробно
рассмотренным в литературе двухзеркальным. Для этого необязательно
было даже вводить безразмерные координаты; прямо из B.8) вытекает
следующий простейший рецепт: достаточно, сохранив размеры зеркал,
установить их на расстоянии L - В друг от друга и придать им радиусы
кривизны Rx = Ы{\ - А) и R2 = Lj{\ - D). Кстати, воспользовавшись
тем смыслом, который здесь приобрел элемент лучевой матрицы В, мож-
можно переписать условие "устойчивости" в следующей примечательной фор-
форме: перейдя от неравенства 0 < AD < 1 к эквивалентному неравенству
-1 < ВС < 0, или 1/ВС < -1, и подставив сюда В = L и С = -1/F (см.
§ 1.1; F — фокусное расстояние оптической системы, заключенной меж-
между плоскими зеркалами эквивалентного резонатора на рис. 2.5), получим
F > I. При такой записи связь критерия "устойчивости" со свойствами
резонатора как оптической системы выглядит особенно наглядно.
Введение эквивалентного двухзеркального резонатора помогает так-
также уяснить смысл параметра N = aia2/(XB). Он связан со стандартными
представлениями о зонах Френеля ([77], § 8.2). Легко видеть, что N рав-
равно среднему геометрическому между числами зон Френеля на плоском
круге радиусом а2, установленном на месте правого зеркала, при наблю-
наблюдении из центра левого (a2/(\L) = а\\ (ХВ) ), и на плоском же круге ради-
радиусом аг, установленном на месте левого зеркала, при наблюдении из центра
правого (а\/}\В)~ По этой причине N обычно назьюают числом Френеля.
Теперь рассмотрим важный случай, когда одно из зеркал, которое
всегда будем считать левым, настолько велико, что заведомо перекры-
перекрывает весь рождающийся в резонаторе световой пучок. Тут уже можно вос-
воспользоваться непосредственно матрицей полного обхода B.9). После
введения на правом зеркале безразмерных координат получаем
PU(X2, Г2) = - Г е*р (i*N[G(Xl + У? + Х22 +Y22)-
i (s2)
-2(Х2Х2 +Y2Y2)]} U(X2,Y'2)dX2dY2; B.14)
79
здесь N = a\lBAB\), G = AD + ВС, все остальные обозначения сохраня-
сохраняют прежний смысл.
В данном случае остается только два параметра эквивалентности -
N и G. Кроме того, все резонаторы, у которых наборы этих параметров
отличаются только их знаками, оказьюаются сопоставимыми в уже зна-
знакомом смысле этого слова (хотя и с некоторыми оговорками).
При изменении знака N в B.14) становятся комплексно сопряжен-
сопряженными по отношению к исходным значениям и подынтегральная экспо-
экспонента, и множитель перед интегралом; таким образом,
Вот с изменением знака G дело обстоит немного сложнее. Для установ-
установления соответствия здесь, как и в некоторых ранее рассмотренных ва-
вариантах, возникает необходимость сменить знаки у Х*2у Y*2 либо у Х2,
Y2i т.е. повернуть на 180° одну из используемыхв B.14) координатных
систем. Однако теперь эти системы относятся не к разным зеркалам,
а к одному и тому же до и после обхода резонатора. Поэтому мы, заимст-
заимствуя собственные функции оператора с другим знаком G, можем добить-
добиться воспроизведения формы распределения поля после обхода резонато-
резонатора, однако лишь в перевернутой по отношению к исходной системе коор-
координат. Одновременное воспроизведение формы распределения и в исход-
исходной системе имеет место только тогда, когда функции используемого на-
набора обладают свойствами симметрии, т.е. делятся на симметричные
(Us{-Xf -Y) = US(X, У)) и антисимметричные (Ua(-X, -У) =
= -Ua{X, Y)). Непосредственной подстановкой таких функций в соот-
соответствующий оператор можно «• убедиться в справедливости следующих
формул:
Us,a(N, -G)=Us*a(N, G\ ($Sta(N, -G) = + p*Sta(N, G);
USfa(-N, -G)=USta(N, G), Ps§a(-N, -G) = + ps,a(N, G).
Сообщим еще некоторые полезные сведения о резонаторах данного
класса. Сравнение B.14) с B.12) показьюает, что полный обход резо-
резонатора с заведомо перекрывающим пучки одним из зеркал равноценен
проходу в одном из направлений по симметричному резонатору с G\ =
= G2 = G и тем же численным значением N (правда, вычисляемым при
этом, как мы видели, по несколько иной формуле). Чтобы построить
такой резонатор из двух зеркал поперечного размера а2 - а именно к
симметричным двухзеркальным системам относятся большинство имею-
имеющихся в литературе конкретных данных - следует установить эти зер-
зеркала на расстоянии L = a2/(NX) друг от друга, придав им радиусы кривиз-
кривизны/?! = R2 =Z/A -G).
Еще одно замечание касается неустойчивых резонаторов, выходное
зеркало которых, как правило, действительно является единственным
элементом, ограничивающим сечение генерируемых пучков. Поскольку,
как нетрудно убедиться, ц = G ± \/G2 - 1, большее по абсолютной вели-
величине значение ц - увеличение М - имеет тот же знак, что и параметр G,
и однозначно связано с ним по величине. Поэтому в качестве второго па-
80
Рис. 2.8. Построение резонатора, эквивалентного симметричному с внутренней диаф-
диафрагмой: а - исходный резонатор, б - эквивалентный
раметра эквивалентности вполне можно использовать не G, аМ*); при
такой замене все правила соответствия резонаторов, различающихся толь-
только знаками параметров эквивалентности, остаются*теми же.
В заключение осталось упомянуть о случаях, когда сечение световых
пучков в резонаторах ограничивается не столько зеркалами, сколько ка-
какими-нибудь расположенными не слишком близко к ним диафрагмами.
К данному разряду относится, например, изображенный на рис. 2.7 г ре-
резонатор с В = 0 — у него сечение пучка ограничивается главным образом
линзой; отметим, что такая ситуация имеет место практически для всего
класса резонаторов с В = 0. В подобных случаях целесообразно строить
интегральные соотношения, начиная обход не с одного из концевых зеркал,
а прямое элемента, ограничивающего сечение пучка.
Если исходный резонатор симметричен и содержит единственную апер-
турную дифрагму, можно построить симметричный же резонатор без про-
промежуточной диафрагмы, распределения полей на концевых зеркалах ко-
которого будут повторять распределение поля в плоскости диафрагмы исход-
исходного резонатора; способ построения поясняет рис. 2.8. Более сложные
резонаторы с внутренними диафрагмами, в том числе несимметричные или
содержащие более одной диафрагмы, к обычным двухзеркальным уже не сво-
сводятся. Некоторые сведения о свойствах таких резонаторов и рекомендации
по методам их анализа будут приведены в § 3.1.
§ 2.3. Устойчивые резонаторы
Общее решение для резонаторов, имеющих волновые матрицы полного
обхода. Рассмотрение конкретных видов резонаторов в дифракционном
приближении начнем с достаточно простого и вместе с тем общего случая
систем, полный обход которых может описываться волновой матрицей.
Такие системы могут состоять только из квадратичных фазовых и ампли-
амплитудных корректоров (§ 1.1). Применительно к зеркалам это означает,
что либо они имеют гауссово распределение коэффициента отражения, ли-
*) Сигмен в [200] использовал параметры М и Nc ~ MN.
6. Ю.А. Ананьев
81
бо их размеры заведомо превышают размеры сечений интересующих нас
пучков и могут считаться бесконечными.
Основные наши выкладки будут относиться к резонаторам, лишенным
источников астигматизма. Для них естественно искать решения в виде
пучков с распределениями амплитуды A.23), A.24): в § 1.2 было выяс-
выяснено, что такие пучки по прохождении неастигматической системы с любой
волновой матрицей продолжают описываться теми же формулами, только
их параметры w и р приобретают новые значения в соответствии с A.20).
Потребовав, чтобы эти новые значения совпадали с исходными, из A.20)
получаем условия воспроизведения структуры пучков после прохождения
ими оптической системы с АоВоСо/>0-матрицей: а0 + В0/р + (XBo/nw2J =
= 1,1/р = (Do — А о — Bo/p)/Bq. В результате приходим к формулам
1/р = (Do - Ao)/BBol \Bo/(ttw2) = ±у/Г^А^ТЪ0J/4; B.15)
из A.25) находим также собственные значения использовавшегося в
А '
предыдущем параграфе оператора полного обхода Р, которые соответст-
соответствуют функциям наборов A.23), A.24) с разными 2 :
2 тгмг /
Кратко коснемся резонаторов с простым астигматизмом. Из материа-
материалов § 1Л и 1.2 следует, что они должны характеризоваться двумя матрица-
матрицами - АохВохСох&ох и AoyBoyCoyDoy. Набор формул B.15) при этом
распадается на два, в которых фигурируют рх, wx, ру, wy; решения имеют
вид A.236); наконец, соотношение B.16) переходит в
2 7iw2x ) \ 2 Tiw2
B.16а)
Этого минимального объема сведений на деле достаточно, чтобы при необ-
необходимости можно было обобщить результаты всего последующего рас-
рассмотрения резонаторов, лишенных астигматизма, на случай простого астиг-
астигматизма. Отметим, что к системам с простым астигматизмом могут быть
отнесены часто используемые в теории двумерные резонаторы (резонаторы
из цилиндрических зеркал с параллельными образующими), у которых
амплитуда поля зависит только от одной из поперечных координат. Вмес-
Вместе с зависимостью от другой координаты выпадает и один из двух множи-
множителей в правой части B.16а).
Вернемся к BЛ5). Формально отсюда можно найти четыре разных зна-
значения w; однако, поскольку замена w на — w формы распределений полей
не меняет, действительно различаются только решения с разными w2. Та-
Таких решений два, однако нужно еще разобраться в вопросе об их коррект-
корректности: чтобы не было экспоненциального роста амплитуды по мере уда-
удаления от оси резонатора, необходимо выполнение условия Re(l/w2) +
+ (тг/ХIтA/р) > 0 (§ 1.2). Решение может считаться корректным толь-
только при справедливости этого неравенства для параметров пучков вдоль
82
всей длины резонатора. Для выяснения этого в общем случае необходам
конкретный анализ; знания одной лишь матрицы полного обхода тут не-
недостаточно. Однако можно показать, что в тех случаях, когда резонатор
содержит квадратичные амплитудные корректоры только в виде гаус-
гауссовых диафрагм или зеркал, а также участков с растущим по мере уда-
удаления от оси поглощением, корректное решение отсутствует лишь в исклю-
исключительных ситуациях [40]. Наличие участков с растущим к периферии
усилением делает отсутствие корректных решений весьма вероятным.
Формулы B.15), B.16) пригоды для любых резонаторов с А0В0СоА>-
матрицами полного обхода, в том числе и кольцевых (правда, там обычно
имеет место астигматизм, и набор формул B.15), как уже отмечалось,
распадается на два; еще сложнее обстоит дело при наличии так называе-
называемого вращения поля, см. § 4.4). Из B.15) следует, в частности, что ре-
решения с действительными р и w существуют только для тех кольцевых
резонаторов, элементы волновой матрицы обхода которых действитель-
действительны и удовлетворяют условию | Ло + Д> I < 2.
Перейдем теперь к рассмотрению интересующих нас, главным образом,
линейных резонаторов. Для них воспользуемся, как и в предыдущем па-
параграфе, ЛЖТЭ-матрицей прохода от левого зеркала к правому, которым
припишем индексы 1 и 2 соответственно. Матрица полного обхода начи-
начиная от правого зеркала имеет тогда вид B.9); подставив ее элементы в
B.15), B.16) и используя A.3), получаем
1/р2 =0, wl = ±(\/n)\/-AB/CD, B.17)
/3S =(AD + BC + 2i\AB/nwl)-{z + l\ B.18)
Поменяв местами А и D (см. в § 1.1 о матрице прохода в обратном
направлении), приходам к аналогичным B.17) формулам для парамет-
параметров пучков на левом зеркале:
1/Рх = 0, w\ =±(k/n)y/-DB/CA. B.17a)
Нетрудно также установить, что значения w\ и w\, относящиеся к одному
и тому же решению, связаны формулой
w\/wl=D/A. B.19)
При 1/р = 0 ограниченные сечения имеют пучки с Re(w2) > 0. Таким
образом, из двух значений w\, равно как и из двух значений w\, надле-
надлежит выбрать те, для которых справедливы неравенства
Re(w?)>0, Re(w!)>0. B.20)
В дальнейшем будем полагать, что корректное решение задачи в целом
существует, и такой выбор не противоречит формуле B.19).
Наконец, рассматривавшаяся в § 2.1 взаимосвязь между комплекс-
комплексными собственными частотами и собственными значениями /3 операто-
оператора Р позволяет получить следующие соотношения для частот:
g/s =(c/2L0){27rq + (L+ I) [arg (AD + ВС +
l B.21)
2i\AB/(irwl)\. B.22)
83
Здесь q - как и в § 2.1 - аксиальный индекс моды, равный числу перио-
периодов стоячей волны на длине резонатора; 2 для пучков типов A.23) и
A.24) принимает значения т + п и 2р + / соответственно, сами числа т,
л, р, / обретают смысл поперечных индексов мод; наконец, Л - чаще
всего равное нулю неотрицательное целое число, смысл и способы опреде-
определения которого пояснены в § 1.2.
Собственные колебания с разными сочетаниями поперечных индек-
индексов, но одинаковыми 2 полностью вырождены по частоте. У них совпада-
совпадают не только действительные частоты со' (что неудивительно, поскольку
как отмечалось в § 1.2, у пучков с равными р, w и X одинаковы фазо-
фазовые скорости), но и потери. Вырожденными являются, естественно, так-
также все колебания, отличающиеся просто ориентацией осей х, у либо нача-
началом отсчета азимутального угла. Полностью вырожденные моды можно
комбинировать друг с другом как угодно - любые их суперпозиции про-
продолжают оставаться собственными колебаниями системы с той же часто-
частотой. Этим обстоятельством мы вскоре воспользуемся при рассмотрении
возможных состояний поляризации излучения собственных колебаний.
Пустые устойчивые резонаторы с бесконечными зеркалами. Приме-
Применим результаты нашего анализа к случаю произвольного устойчивого резо-
резонатора, лишенного каких-либо диафрагм или иных апертурных корректо-
корректоров; поперечные размеры всех элементов резонатора, включая концевые
зеркала, будем считать неограниченно большими. Как мы знаем из § 2.2'
и 1.1, такой резонатор как в геометрическом, так и в дифракционном приб-
приближении описывается одной и той же действительной А#СО-матрицей
(по-прежнему будем считать ее соответствующей проходу слева направо),
элементы которой удовлетворяют неравенству ABCD < 0.
В этом случае | AD + ВС + HXAB/nwl | = \/{AD + ВС}2 - AABCD =
= AD - ВС = 1; собственные частоты действительны, загухание отсутству-
отсутствует. Действительными оказываются и wu w2; отсюда следует, что пара-
параметры распределений р, w остаются действительными на протяжении всей
длины резонатора. Таким образом, моды здесь состоят из знакомых нам
по § 1.2 эрмитовых и лагерровых пучков с действительными параметра-
параметрами, причем сферические опорные поверхности у всех пучков совпадают
(напомним, что для образующих низшую моду гауссовых пучков они яв-
являются эквифазными). Поскольку 1/рх = 1/р2 = 0, к числу этих поверх-
поверхностей относятся и концевые зеркала.
Поясним всю эту ситуацию на простейшем примере пустых двухзер-
кальных резонаторов. На рис. 2.9 уже в третий раз изображен закон эво-
эволюции действительного параметра (ширины) w в пустом пространстве..
Здесь же штриховыми линиями нанесены опорные поверхности, общие
для всех пучков; таких поверхностей бесчисленное множество. Установив
на место любых двух из них сферические зеркала с теми же радиусами
кривизны, мы получим пустой устойчивый резонатор, решениями для ко-
которого и будут являться все пучки обоих семейств. Связав с помощью
A.21), A.22) параметры резонатора и пучков,'можно получить следую-
следующее выражение для параметра ширины на правом зеркале:
- — V— = V
V
g2 \-gxjg2 я (R2-L)(Ri+Rt-L)
84
(gl2 = 1 - LlRii2> Ri и R2 - радаусы кривизны зеркал, L - расстояние
между ними). Поменяв местами gi, R\ и g2, R2, получаем аналогичное
выражение для w\. Обе эти формулы, естественно, оказываются частны-
частными случаями общих формул B.17), B.17а) и т.д.
Приведем более простое, чем B.21), выражение для являющихся дей-
действительными собственных частот двухзеркального резонатора: o;s =
с
= — [2тг<7 + 2B + l)arccosv^i^2]; знак корня берется тем же самым,
Рис. 2.9. К вопросу о собствен-
собственных колебаниях устойчивых ре-
резонаторов
что и знаки #i, gi (напомним, что условие "устойчивости" двухзеркаль-
ных резонаторов имеет вид 0 < gxg2 < 1), так что при положительных
g\y gi значение arccos лежит в пределах между нулем и тг/2, при отрица-
отрицательных - между тг/2 и тт.
С эквидистантностью частот мод, у которых разнятся только q или
только 2, связано следующее любопытное обстоятельство. Если g\ и
g2 таковы, то arccos \Jgxg2 = rrh/s, где h/s - несократимая дробь (И и s -
целые числа), то поле суперпозиции любых мод полностью воспроизво-
воспроизводятся после 5-кратного обхода резонатора: за это время у мод с разными
частотами набегают разности фаз, кратные 2 тт. Нередко исследователи
воспринимают подобные наборы как некие специфические "многопроход-
"многопроходные моды", не имеющие отношения к обычным (подробнее обо всем
этом см. [22]).
Возникающая путаница усугубляется тем, что у таких резонаторов име-
имеется дополнительное вырождение - совпадают частоты мод с индексами
2<ь <7<ь 20 + s, qQ - h\ 20 + 2s, q0 - 2h\ ... B0 и q0 - любые). Их су-
суперпозиции являются истинными модами, которые мы будем называть,
следом за [22], смешанными. Входящие в смешанные моды компонен-
компоненты с разными 2 имеют разные фазовые скорости (§ 1.2), поэтому фор-
форма суммарного распределения по сечению изменяется вдоль длины резо-
резонатора. В частности, у таких мод могут сильно различаться структуры пуч-
пучков, следующих навстречу друг другу.
Оставим пока в покое имеющиеся только у некоторых резонаторов
смешанные моды и проследим за тем, как изменяются размеры пятен
на зеркалах у обычных мод устойчивого резонатора при варьировании
его параметров. Проделаем это на примере пустого двухзеркального сим-
симметричного резонатора с Rx = R2 = R, который "устойчив" при R > L/2;
расстояние между зеркалами L будем считать фиксированным.
Для симметричного двухзеркального резонатора, имеющего g = 1 -
- L/R ф О, у? = —
1
-. При R>L резонатор бли-
тг 1 - g2 * * 2R -L
зок к плоскому; вместе с R велики и размеры сечений всех пучков на
85
зеркалах: w2 = (X/n)\/RLl2. По мере уменьшения R и приближения резо-
резонатора к конфокальному (R =L)w2 уменьшается, стремясь к XL/n.
Точно так же ведут себя размеры пучков, если R приближается к L
с другой стороны: при R ^>,L/2, т.е. когда резонатор "устойчив", но бли-
близок к концентрическому, w2 велико; по мере роста R и стремления его
к L величина w2 стремится к XL/n. Таким образом, размеры пучков у ре-
резонаторов с L/2 < R < L и с R > L проходят через одни и те же значения;
почему так может получиться, поясняет рис. 2 Л Од, б.
Рис. 2.10. Собственные колебания устойчивых резонаторов: а, б — резонаторы с оди-
одинаковыми размерами пятен на зеркалах, а - резонатор с/,/2 < R < L, б ~ резонатор
с R > L, в - конфокальный резонатор из бесконечных зеркал, г - он же с зеркала-
зеркалами конечного размера
Симметричный конфокальный резонатор, параметры которого лежат
на самой границе области "устойчивости" (gx = g2 = 0), представляет со-
собой особый случай. Величины отношений gi/g2 и g2/gi, фигурирующих
в общих формулах для w2, w\ двухзеркальных резонаторов, у него явля-
являются неопределенными (для других резонаторов, имеющих gtg2 = 0 или
1 и лежащих на границе области "устойчивости", эти формулы по очевид-
очевидным причинам вообще непригодны). Поэтому сечения пучков могут иметь
на одном из зеркал конфокального резонатора любые поперечные размеры.
Фиксированным оказывается только произведение параметров ширины
на левом и правом зеркалах: wxw2 = \L/ir (рис. 2.10в).
Указанный резонатор обладает наименьшей величиной произведения
wxw2 из всего класса устойчивых двухзеркальных резонаторов с задан-
XL 1 XL
ным L. Действительно, при 0 < g\g2 < 1 wxw2 > — .
Он примечателен еще и тем, что обладает смешанными модами, причем
поскольку здесь s принимает минимальное значение, равное 2, в смешан-
смешанную моду могут входить обычные с любыми р и всеми четными либо все-
всеми нечетными /. Это создает широкие возможности образования смешан-
смешанных мод с самыми разнообразными распределениями полей. Тут смешан-
смешанная мода может иметь, скажем, любое заранее заданное осесимметричное
распределение поля их (г) на одном из зеркал, ибо оно всегда представи-
оо
мо в виде суммы полей обычных мод uffi : их (г) = X ариыР (rl
86
поле йа втором зеркале при этом имеет распределение и2 (**) = 2 (— 1)р X
р = 0
X аРир0^ (r> w2)- В дальнейшем будет видно, что благодаря указанным
особенностям симметричный конфокальный резонатор обладает самыми
малыми дифракционными потерями среди всех возможных пустых двух-
зеркальных резонаторов с заданными поперечными размерами зеркал и
расстоянием между ними.
Развитый математический аппарат позволяет без особого труда про-
проследить за тем, как изменяются параметры пучков р, w, а с ними и рас-
распределения полей вдоль всей длины не только двухзеркальных, но и мно-
многоэлементных устойчивых резонаторов. Для максимального упрощения
этой процедуры в свое время были составлены специальные номограм-
номограммы; желающих ознакомиться с ними адресуем к [152, 178], сами же
перейдем к тому, что делается снаружи резонатора.
В случае устойчивых резонаторов излучение чаще всего выводится
через частично пропускающее выходное зеркало. Как было показано в
§ 2.1, поперечная структура собственных колебаний не зависит от того,
равен ли коэффициент отражения выходного зеркала единице или отли-
отличен от нее (лишь бы он на всей поверхности зеркала был одним и тем
же). Поэтому полупрозрачное выходное зеркало идеального лазера с
устойчивым резонатором из зеркал заведомо большого размера дает на-
начало пучкам вида A.23), A.24) с действительными w = w2 и радиусом
кривизны опорной поверхности р = R2.
Вопрос о величине и природе расходимости излучения таких пучков был
рассмотрен в § 1.3; там же указывалось, что одна из двух компонент
расходимости, геометрическая, может быть сведена на нет путем приме-
применения линзы с фокусным расстоянием, равным р. После линзы пучки
имеют уже плоскую опорную поверхность, и остается лишь та компонен-
компонента расходимости, которую мы называли дифракционной.
В связи с этим величина геометрической компоненты расходимости
на выходе устойчивых резонаторов не имеет принципиального значения:
установив сразу за выходным зеркалом линзу с / = R2, мы уничтожаем
эту компоненту сразу у всех пучков. В дальнейшем будем считать, что
эта простейшая мера по уменьшению расходимости принята и геометри-
геометрическая компонента отсутствует.
Что же касается дифракционной расходимости ад любого пучка типа
A.23), A.24), выходящего из устойчивого резонатора, то для нее мож-
можно получить весьма полезную формулу, если воспользоваться тем, что
отношение между угловым размером пятна в дальней зоне ад и угловым
параметром ширины X/ (ttw) равно отношению аналогичных величин в
ближней зоне: ад/ (Х/тги>2) = Ф/и>2, или
<*д = (Х/тг) Ф/wi = ^/-CD/АВФ, B.23)
где Ф - размер пятна соответствующего пучка в ближней зоне (на вы-
выходном зеркале). Для симметричного двухзеркального резонатора эта
формула приобретает вид ад = \Д - g2 Ф/L: отсюда следует, что по мере
удаления от плоского или концентрического резонатора и приближения
к конфокальному ситуация с угловой расходимостью, при заданных дли-
87
не резонатора и сечении пучка, ухудшается (за счет генерации на модах все
более высокого порядка). Данное обстоятельство в числе других способ-
способствовало тому, что симметричные конфокальные и близкие к ним резо-
резонаторы, будучи весьма популярными в начале 60-х годов, сейчас практи-
практически вышли из употребления. Причины их "заката" будут затронуты
также в § 3.3.
Устойчивые резонаторы с зеркалами конечных размеров. Проследим
за тем, что нового вносит учет конечных размеров зеркал, сначала на до-
допускающем аналитическое решение примере двухзеркального резона-
резонатора, левое и правое зеркала которого обладают амплитудными коэффи-
коэффициентами отражения exp (-г2 /а2 ) и exp (-г2, \a\) соответственно [19].
Чтобы получить эквивалентный резонатор с полностью отражающими
плоскими зеркалами, необходимо к линзам изображенного на рис. 2.5
эквивалентного резонатора добавить по гауссовой диафрагме с ампли-
амплитудным пропусканием ехр[-г2/Bа2)] и ехр[-гЦBа2)] (при обходе
резонатора свет проходит каждую диафрагму дважды). Заменив в форму-
формулах B.8) l/Rit2 на 1/Ri92 ~ /А/Bтгд22) (§ 1.1), имеем А = gi + iotlf
В = L, С = \gtg2 - 1 - оца2 + i(pttg2 +'a2?i)]/?, ?> = gi + *'a2, где^ь2 =
= 1 ~ L/Rii2, <*i,2 =\L/Bna2l 2). Подставив это в формулы B.17), B.17а),
B.19), получаем
/XL \2
=( — )
-gig2 +axa2 - i@Ltg2
B-24)
g2
Читатели, обладающие хорошими навыками в обращении с комплекс-
комплексными переменными и большим терпением, могут убедиться в том, что
выражение для | 0S | в данном случае может быть преобразовано к виду
B.25)
__ \Re(l/w\)-lK2a\) ]s + 1 f Re(lM)- l/Ba22)
LRe(lM)+l/Be!) J LRe(l/w22)+ 1/Bя22)
первый множитель в правой части B.25) представляет собой долю пото-
потока излучения соответствующего пучка, отражающуюся от левого гауссо-
гауссова зеркала, второй — от правого; 1 — I fe I2 — общие потери.
В дальнейшем будем считать, что "ширины" зеркал ai9 a2 так велики
(c*i, а2 малы) и произведение g\g2 настолько отличается от единицы, что
справедливо неравенство
Из B.24) следует, что при одновременном выполнении B.26а) и усло-
условий |g-1>2 I ><х1>2,или
а\ >XL/Bn\gl |), al>XL/Bn\g2 |), B,266)
значения н'2, w2 остаются примерно такими же, как и при бесконечных
зеркалах; правда, появление небольших мнимых составляющих приво-
приводит к тому, что зеркала перестают совпадать даже с поверхностями фрон-
фронтов у гауссовых пучков низшей моды. Что же касается потерь, то, как
88
следует из B.25), они растут с уменьшением размеров зеркал и при не-
несимметричном резонаторе определяются гаавным образом тем зеркалом,
ширина которого меньше превышает размер пятна на нем.
По мере приближения \gi \ и \g2\ к нулю ситуация изменяется: от-
отношение размеров пятна на зеркалах начинает существенно отличаться от
отношения при бесконечных зеркалах. Когда же резонатор становится
конфокальным с gi = g2 =0 (мы уже не называем его симметричным,
так как ширины зеркал могут быть разными), wx и w2 теряют мнимые
добавки, причем отношение Wi/w2 уже не является неопределенным, как
при бесконечных зеркалах, а равно отношению ширин зеркал a\\a2. В
результате оба зеркала дают одинаковый - и небольшой - вклад в вели-
величину потерь; суммарные потери оказьюаются меньшими, чем это следо-
следовало бы из B.25) в случае любого другого соотношения между разме-
размерами пятен на зеркалах при заданном их произведении. Если еще учесть,
что само произведение размеров пятен минимально именно у конфокаль-
конфокального резонатора, становится ясно, почему среди всех резонаторов с задан-
заданными ширинами зеркал и расстоянием между ними он обладает самыми
малыми потерями.
В завершение рассмотрения свойств резонаторов с гауссовыми зер-
зеркалами отметим, что моды, обладающие разными поперечными индекса-
индексами, но одинаковыми 2 и q, остаются, как и при бесконечных зеркалах, вы-
вырожденными, и их суперпозиции продолжают быть истинными модами.
Вот смешанные моды у соответствующих резонаторов исчезают: даже ес-
если действительные частоты у мод с разными 2 и q совпадают, то потери
заведомо различаются.
Преходим к наиболее важному случаю устойчивых резонаторов, состав-
составленных из полностью отражающих зеркал конечных размеров. Здесь пере-
перестают быть вырожденными также и моды, обладающие одинаковыми 2
и q с разными сочетаниями поперечных индексов. Исчезает и произвол в
выборе типа симметрии: при прямоугольных зеркалах решениями явля-
являются только функции вида Fi(x) -F2(y), при круглых -F(r)exp(± Цф).
Однако если ограничиться рассмотрением колебаний, ширины каустик
которых заметно уступают ширинам зеркал, остальные закономерности
оказьюаются качественно такими же5 как и при гауссовых зеркалах.
В частности, при выполнении условий B.26), в которых "ширины"
гауссовых распределений заменены на обычные, распределения полей
мало отличаются от распределений в случае бесконечных зеркал (прав-
(правда, как и в случае гауссовых зеркал, функции Fx (х) • F2(y) и F(r), от-
относящиеся к распределениям полей на зеркалах, остаются действитель-
действительными только у конфокального резонатора). Заметные отличия наблю-
наблюдаются, главным образом, в области тех "хвостов" распределений, ко-
которые оказываются за пределами поверхностей зеркал и предопределя-
предопределяют величину потерь [27].
Несмотря на эти отличия, тенденции изменения потерь при варьирова-
варьировании параметров резонатора и поперечных индексов мод остаются преж-
прежними. В частности, поскольку поле за пределами каустик весьма резко
спадает, по мере сближения размеров зеркал и каустик потери быстро
растут, оставаясь вместе с тем малыми по своей абсолютной величине. От-
Отсюда следует, что при прочих равных условиях моды более высокого поряд-
89
ка здесь, как и в случае гауссовых зеркал, имеют большие потери: они
обладают более широкими каустиками.
Если резонатор несимметричен, основной вклад в величину суммар-
суммарных потерь дает отражение от того зеркала, размеры которого более близ-
близки к размерам соответствующей каустики. Опять-таки и здесь конфо-
конфокальный резонатор с gi = g2 = 0 являет собой исключение: у него размеры
пятен, как и при гауссовых зеркалах, перераспределяются пропорцио-
пропорционально ширинам зеркал (см. рис. 2.Юг), в результате дифракционные
потери оказываются рекордно малыми (об экстремальных свойствах
конфокального резонатора см. также § 3.2).
Теперь рассмотрим ситуацию, когда специфика краевых эффектов
проявляется уже достаточно сильно. Чтобы осуществить "плавный пе-
переход" к этой ситуации, зафиксируем геометрию любого устойчивого
резонатора с зеркалами конечной ширины и будем постепенно переходить
к модам со все большими поперечными индексами. При этом каустика
рано или поздно должна подойти к краю одного или обоих зеркал. Начи-
Начиная с этого момента пренебрегать влиянием краевых эффектов на мо-
довую структуру никак нельзя; модель бесконечных или гауссовых зер-
зеркал становится неприменимой. Тем не менее, типы колебаний еще бо-
более высокого порядка все же существуют, причем расставлять их по по-
порядку можно, по прежнему основываясь на числе экстремумов распре-
распределений по соответствующим направлениям.
Чтобы понять характер изменений модовой структуры под влияни-
влиянием краевых эффектов, лучше всего проследить за поведением какого-
либо конкретного типа колебаний по мере приближения устойчивого
резонатора к плоскому. Этот анализ может быть выполнен методом Вайн-
штейна, сущность которого станет ясна из следующего параграфа; же-
желающих подробнее ознакомиться с математической стороной пробле-
проблемы мы отошлем к [124], сами же только обрисуем качественную карти
ну явлений. Сделаем это на примере полностью симметричного резонато-
резонатора, состоящего из зеркал с Ri = R2 > L и с однаковыми поперечными раз-
размерами. Данные размеры и расстояние между зеркалами L будем считать
фиксированными; начальную кривизну зеркал выберем такой большой,
чтобы ширина каустики интересующего нас типа колебаний значительно
уступала ширине зеркал (рис. 2.11а).
Теперь начнем медленно уменьшать кривизну зеркал. Приближение
резонатора к плоскому сопровождается, как мы уже знаем, увеличением
параметра ширины w; с ним растет и поперечное сечение пучка. Этот про-
процесс длится до тех пор, пока пучок не начинает заполнять зеркала уже
целиком (рис. 2.116). Дальнейшее уменьшение кривизны зеркал вызы-
вызывает уже иные последствия: сечение пучка остается почти неизменным,
только максимумы распределения амплитуды постепенно становятся эк-
эквидистантными, а их высоты выравниваются — осуществляется постепен-
постепенный переход к соответствующей моде плоского резонатора (рис. 2.11в),
который будет рассмотрен в следующем параграфе.
Такое поведение пучка имеет следующее наглядное толкование. При
заданной "самовоспроизводящейся" (типа A.23), A.24)) структуре
размеры сечения пучка в резонаторе с достаточно большими зеркалами
(рис. 2.11с) устанавливаются так, что достигается динамическое равно-
90
-a
рис. 2.11. Эволюция собственного
колебания при переходе от симмет-
симметричного устойчивого резонатора с по-
поперечным размером зеркал 2а к
плоскому: а — устойчивый резона-
резонатор, б — устойчивый резонатор с
меньшей кривизной зеркал, в —
плоский резонатор
-а
весие между процессами расши-
расширения пучка за счет дифракци-
дифракционной расходимости и его фо-
фокусировки при отражении от
вогнутых концевых зеркал. Ког-
Когда кривизна зеркал уменьшает-
уменьшается, их фокусирующее действие
ослабляется, и состояние равно-
равновесия сдвигается в сторону боль-
больших сечений, которым соот-
соответствует меньшая дифракцион-
дифракционная расходимость.
Так происходит вплоть до того момента, который изображен на
рис. 2.1 Ш. В дальнейшем, несмотря на продолжающееся ослабление фо-
фокусировки за счет кривизны зеркал, размеры сечения пучка перестают
расти, и дифракционная расходимость почти не изменяется. Этому мож-
можно дать единственное объяснение: добавляется какой-то новый фактор,
противодействующий расширению пучка. Таким фактором здесь явля-
является краевая дифракция. По мере последующего приближения резонатора к
плоскому поле на краю зеркал несколько возрастает, с ним растет и роль
краевой дифракции. Наконец, в плоском резонаторе краевая дифрак-
дифракция остается единственной причиной того, что пучок не "выбегает" из сис-
системы и имеет не такие уж большие потери. Придерживаясь терминоло-
терминологии Вайнштейна, можно сказать, что поле в плоском резонаторе фикси-
фиксируется не каустикой, как в устойчивых резонаторах, а краями зеркал
(см. § 2.4, а также [16], § 2.2).
Краевая дифракция все же "удерживает" поле менее эффективно,
чем каустика, поэтому дифракционные потери всех типов колебаний
при переходе от конфокального резонатора к плоскому (или концен-
концентрическому) монотонно растут. Наглядной иллюстрацией может послу-
послужить рис. 2.12, на котором приведены зависимости потерь двух низших
мод симметричного резонатора с круглыми зеркалами от числа Френе-
Френеля N-= a2 /(XL) Ba - диаметр зеркал) при различных значениях \g \, из-
изменяющихся от нуля (конфокальный резонатор) до единицы (плоский
или концентрический).
На этом мы рассмотрение пространственной структуры мод устойчи-
устойчивых резонаторов заканчиваем. Принятая классификация мод и ситуация
с поляризацией их излучения у устойчивых и плоских резонаторов одина-
одинаковы, что позволяет нам обсудить эти вопросы после рассмотрения
91
то
60
40
20
10
6
4
2
7
л*
11 ill
ml
VMS
\\Nf\
iflw
V
тШ
\Ш
rO
-a
б
5
Pffli
ч
100
60
40
0,2 0,40,67 2 4 6/0 20 4060 N
a
0,2
0,1
u\\\\
Ш
Ш
\
V
ht
S 1' I
\ >
3
4
}
\
\
0,2 OfiOfi 1 2 4 610 20 4060 N
6
Рис. 2.12. Зависимость потерь двух низших мод симметричного резонатора с круглы-
круглыми зеркалами от числа Френеля N при различных значениях I g \ (потери приведены
на прохождение резонатора в одном направлении) : а - ТЕМ00, б - ТЕМ0,
модовой структуры плоских резонаторов в следующем пара-
параграфе.
Сообщим еще только, что намного более подробные данные о свой-
свойствах пустых устойчивых резонаторов, в том числе величинах дифракцион-
дифракционных потерь, фазовых поправок за счет конечности зеркал и т.п., можно
найти в литературе по технике субмиллиметровых волн (например, [131]).
Это не случайно: резонаторы субмиллиметрового диапазона обычно воз-
возбуждаются элементарными диполями или через отверстие в одном из
зеркал; тогда добротность системы играет решающую роль, и на первое
место выходят резонаторы типа устойчивых. При заполнении резонатора
активной средой, как это делается в лазерных устройствах, исходная
добротность не столь уж важна (§ 2.1), и устойчивые разонаторы теряют
свою исключительность.
§ 2.4. Плоские резонаторы
Хотя история лазеров началась с использования плоского резонатора, его
теория оказалась весьма "крепким орешком". Особенно сложно дело* об-
обстояло с методами оценки дифракционных потерь. Правда, еще Шавлов и
Таунсв своей основополагающей работе [197] попытались выполнить такудо
оценку. По аналогии с известным приемом, позволяющим учесть влия-
влияние конечного размера зеркал интерферометра Фабри-Перо на его разре-
разрешающую способность [НО], они отождествляли время, затрачиваемое
наклонными световыми пучками до их выхода за пределы зеркал, со сред-
средним временем жизни фотонов в резонаторе. Благодаря своей наглядно-
наглядности такой упрощенный подход принес поначалу определенную пользу,
однако уже расчеты Фокса и Ли [164] показали полную его несостоя-
несостоятельность.
Впрочем, ничего удивительного в том не было: на базе представлений
о пучках, через какое-то конечное время полностью выходящих из систе-
92
мы, нельзя прийти к описанию процессов, затухающих во времени экспо-
экспоненциально. Окончательно ситуацию прояснили работы Вайнштейна: на-
наклонные пучки, подходя к краю резонатора, не выходят из него полностью,
а частично "отражаются", благодаря своеобразным дифракционным эффек-
эффектам, назад. Учет этого обстоятельства позволил Вайнштейну получить кор-
корректные аналитические решения для собственных колебаний не только
плоского, но и других видов пустых двухзеркальных резонаторов.
К сожалению, обобщающая монография Вайнштейна [80] изложена в
основном на языке теории волноводов и воспринимается специалистами
до лазерной технике с большим трудом. Отсутствие наглядных объясне-
объяснений эффекта "отражения" на языке оптики побудило автора попытаться
восполнить этот пробел. Результаты предпринятых с этой целью модель-
модельных численных экспериментов были приведены в монографии автора [16] ;
Поскольку ничего нового в этом направлении так и не было сделано, вос-
воспользуемся материалами [16], уточнив их и дополнив.
Вспомогательная задача дифракции. Чтобы понять роль дифракции
на краях зеркал в открытых резонаторах, рассмотрим вначале задачу
о дифракции плоской волны на периодической структуре из полубеско-
полубесконечных поглощающих экранов (рис. 2.13). Период структуры равен L\
направление распространения падающей на нее волны составляет малый
угол а с плоскостью Я, проходящей через края всех экранов.
Построим последовательно (начиная, естественно, сверху) распреде-
распределения полей на отсчетных плоскостях, перпендикулярных направлению
распространения нашей волны и проходящих через края экранов, как по-
показано на рисунке. Для этого воспользуемся формулами A.4а), A.6а)
для интересующего нас двумерного случая:
ехр(Ш)
и(х-)} Гехр
L 2/
Напомним, что здесь / — расстояние между плоскостями источника и на-
наблюдения, разность х2 — Х\ имеет смысл длины проекции радиуса-векто-
радиуса-вектора, соединяющего точки наблюдения и источника, на любую из этих пло-
плоскостей.
В рассматриваемой задаче поперечную координатух, как показано на ри-
рисунке, будем отсчитывать не от общей нормали к отсчетным поверхностям,
Рис. 2.1 S. Дифракция плоской волны на
периодической структуре экранов: 1 —
периодическая структура из поглощаю-
поглощающих экранов, 2 — исходная плоская
волна, 3 - отраженная волна, 4 - отсчет-
ные плоскости
93
а от края соответствующего экрана. Таким образом, начало отсчета при пе-
переходе к последующей плоскости сдвигается в поперечном направлении
на Lsina « aL, и х2 — Х\ должно быть заменено на х2 — Q.L — Х\. Рас-
Расстояние между отсчетными плоскостями составляет /= L cos a ^L — La2/2.
Малым поправочным членом La2/2 нельзя пренебречь только в фазовом
множителе ехр (Ш) (см. § 1.1). В конечном итоге получаем следующую
рекуррентную формулу, связывающую распределения полей на двух со-
соседних отсчетных плоскостях:
_ exp[ifcZ,(l-eJ/2I °f
i (x) ; J
ехр
ik
(x-x'~ aLJ
2L
um(x')dx'.
где s = aykL ;
Введя безразмерную координату г = \fkJLx и опустив общий фазовый
множитель ехр [ikL(l — a2)/2)], придем к окончательному виду рекур-
рекуррентной формулы для функции U(г) = и ( \Щкт) :
1 о
/ ехр [/(г - г' - 5J/2] <7m {r)dr\ B.27)
здесь и далее будем полагать числом экранов, на кото-
которых волна уже продифраги-
р овала.
Верхняя плоскость отсче-
отсчета является эквифазной по-
поверхностью исходной плос-
плоской волны; таким образом
Uo = const. В сочетании с
формулой B.27) это означа-
означает, что весь набор функций
^т (г) (а с ним и полная
картина дифракции на пери-
периодической структуре) од-
однозначно определяется ве-
величиной параметра s. Наибо-
Наиболее интересен случай, когда
углы наклона плоской вол-
волны а столь малы, что вы-
выполняется условие s <€ 1.
На рис. 2.14 приведены
результаты численных рас-
расчетов интенсивности излу-
излучения | Um (r) |2 на несколь-
нескольких отсчетных плоскостях
при s = 0,3 (численные расче-
Рис. 2Л 4. Результат последова-
последовательной дифракции плоской
волны на периодически распо-
расположенных экранах при s = 0,3
-10 -в
94
.ты на ЭВМ были выполнены по просьбе автора Л.В. Ковальчуком).
функция \Ux(t)\2 (рис. 2.14 а) имеет хорошо известный в опти-
оптике вид: она описывает картину дифракции плоской волны на полу-
полубесконечном экране (см., например, [77], рис. 8.37). Граница геометри-
геометрической тени находится в точке т = s = 0,3; хотя край второго экрана (г = 0)
находится левее этой точки, все же амплитуда поля, а с ней и интенсивность
излучения оказываются вблизи этого края меньшими, чем у исходной вол-
волны. Поэтому вблизи края следующего экрана интенсивность оказывает-
оказывается еще меньшей (рис. 2.146). С нею падает и энергия излучения, прихо-
приходящаяся на область г > 0 и поглощаемая в экране (площадь под кривой);
уже здесь она оказывается меньшей, чем это следовало бы из геометри-
геометрической оптики (площадь прямоугольника). По мере перехода к последую-
последующим экранам поглощаемая энергия продолжает уменьшаться и в конце
концов устанавливается на весьма низком уровне. Отсюда следует, что
благодаря дифракции периодическая структура экранов в основном не
поглощает, а рассеивает падающую на нее под малым углом волну.
Тем временем в области г < 0 развивается глубокая модуляция ин-
интенсивности; период модуляции постепенно растет, приближаясь к оп-
определенному пределу (рис. 2.14в, г, д; на последнем графике распреде-
распределение поля почти установилось: изменения при переходе к последующим
экранам уже невелики). Это свидетельствует о том, что в рассеянном
излучении формируется некая дискретная волна, интерференция кото-
которой с исходной и приводит к модуляции интенсивности; большая глу-
глубина модуляции свидетельствует о том, что амплитуда этой волны сопо-
сопоставима с амплитудой исходной.
Понять структуру рассеянного излучения помогает известное в теоре-
теоретической оптике свойство плоской (или сферической) волны, претер-
претерпевшей дифракиию на непрозрачном экране. Это свойство заключается
в том, что подобная волна может быть представлена в виде суммы волны,
которая, полностью отсутствуя в области геометрической тени, не иска-
искажена дифракцией в остальном пространстве, и волны, фиктивным ис-
источником которой служит край экрана (см., например, [77], § 8.9). Дей-
Действительно, в нашем примере после несложных преобразований могут
быть получены следующие выражения для поля wls возникшего в резуль-
результате дифракции на первом экране:
, ч ( "о - (ио/ч/^г )F [\Д/(*?) \x-aL\], х < aL,
?де Uq - амплитуда исходной плоской волны, F (а) = / exp (it2)dt
{а > 0) - интеграл Френеля, Для интеграла Френеля можно предложить
Шедующее приближенное выражение, дающее правильное представле-
представление о поведении t {а) во всем диапазоне изменения аргумента: F(a) &
m {i/[2(a + л/Т/я)]} exp (ja2). Подстановка этого выражения в послед-
формулы для их (х) показывает, что поле в области геометрической
имеет вид А (х) exp [ik(x - aLJ/BL)]9 где А(х) - сравнитель-
сравнительно медленно изменяющаяся функция координат. Сопоставление с вы-
ржениями для сферических волн из § 1.1 показывает, что данное соот-
95
ношение описывает цилиндрическую волну, расходящуюся от края пер-
первого экрана. Амплитуда этой волны А (х) убывает по мере удаления от
края геометрической тени; характер убывания ясен как из приведён-
приведённого выше выражения для интеграла Френеля, так и из верхнего графи-
графика на рис. 2.14. В области х < otL, кроме совершенно аналогичной ци-
цилиндрической волны, имеется также неискаженная плоская волна с на-
начальной амлитудой и0. Именно интерференция плоской волны с цилиндри-
цилиндрической и приводит к появлению характерной модуляции интенсивности,
глубина которой уменьшается по мере удаления от края тени вместе с
амплитудой цилиндрической волны.
Дифрагируя на втором экране, неискаженная плоская волна порожда-
порождает новую цилиндрическую, фиктивным источником которой является
край уже второго экрана. Кроме цилиндрической, результирующее по-
поле содержит по-прежнему неискаженную плоскую волну, дифракция ко-
которой на следующем экране приводит к появлению очередной цилиндри-
цилиндрической, и т.д. Цилиндрические волны, в свою очередь, подвергаются оп-
определенному перерассеянию на краях последующих экранов, однако ка-,
чественной картины явления это не меняет. В результате поле рассеян-
рассеянного благодаря дифракции в зону слева от Н излучения представляет
собой суперпозицию цилиндрических волн, источниками которых явля-
являются края всех экранов, а амплитуды убывают по мере отклонения на-
направления распространенения излучения от направления исходной плос-
плоской волны.
Благодаря интерференции многих цилиндрических волн, успевших
отойти достаточно далеко от места их зарождения, выделяется ряд ди-
дискретных направлений, в которых амплитуды этих волн складываются
(совершенно наподобие того, как это имеет место при освещении дифрак-
дифракционной решетки монохроматической плоской волной, см. [77], § 8.6).
Эту ситуацию поясняет рис. 2.15, на котором изображены два сосед-
соседних экрана, исходная плоская волна и рассеянная часть излучения, на-
направление распространения которой составляет с плоскостью Н угол 0.
Разность путей по траекториям А\В\СХ и А2В2С2 равна разности отрез-
отрезков ?>!#! и B2D2, T.e.,Z,cosa - Z,cos0 « LF2 - a2)/2 (a, 0 < 1). От-
Отсюда следует, что амплитуды волн, идущих от краев соседних экранов,
складываются при выполнении усло-
условия kLie2 - а2)/2 = 2тгл, или 02 =
= о? + 2n\/L, n — целое. Заметим,
что эти формулы могли быть полу-
получены непосредственно из известного
соотношения теории дифракционных
решеток sin ф — sin ф0 = n\/d, где ф и
ф0 — углы, которые составляют падаю-
падающая и отраженная волны с нормалью
к плоскости решетки, d — период решет-
решетки (в нашем случае его роль играет/,).
Рис. 2.15. К выводу значений углов рассея-
рассеяния на решетке экранов
I
96
В промежуточных направлениях происходит взаимное интерференци-
интерференционное "гашение"цилиндрических волн. Что же касается следующих под уг-
углами вп плоских волн, образующихся в результате интерференционно-
интерференционного сложения, то, поскольку интенсивность рассеянного света быстро убы-
убывает с ростом 0, в рассеянном излучении преобладает волна с наимень-
наименьшим вп. При s < 1 а2 < 2X/L, поэтому вп с п < О не существует, и ми-
минимальным вп обладает волна с п = 0, зеркально"отраженная" от плос-
плоскости Н (в0 = а). Ее присутствие и вызывает глубокую модуляцию интен-
интенсивности установившегося распределения поля с пространственным пе-
периодом X/ Bа) (в безразмерных координатах n/s). Остальные волны
имеют значительно меньшие амплитуды и приводят к небольшой мелко-
мелкомасштабной модуляции интенсивности рассеянного поля.
Подведем предварительные итоги рассмотрения нашей вспомогатель-
вспомогательной задачи. Если угол падения плоской волны на периодическую струк-
структуру из поглощающих экранов достаточно мал, то большая часть энер-
энергии излучения не поглощается, ал рассеивается благодаря дифракции. В
рассеянном излучении основную роль играет "отраженная" волна, на ко-
которую приходится значительная часть суммарной, интенсивности излуче-
излучения. Таким образом, амплитуда отраженной плоской волны сопостави-
сопоставима с амплитудой исходной падающей волны, приближаясь к ней по мере
уменьшения а.
Посмотрим еще, как могут сказаться на интенсивности рассеянных
волн нарушения закономерности расположения или несовершенства эк-
экранов! Непостоянство расстояний между соседними экранами в рассмот-
рассмотрение вводить не нужно: вскоре мы увидим, что эквидистантность экра-
экранов является автоматическим следствием нашего стремления модели-
моделировать вполне определенную ситуацию. Поэтому речь будет идти только
об отступлениях краев экранов от общей плоскости Н.
Перемещение какого-либо из экранов (который, как и остальные, по-
пока будем считать идеальным) в перпендикулярном Н направлении вы-
вызывает последствия двух сортов. Во-первых, изменяется интенсивность
света, падающего на края как последующих экранов, так и на его соб-
собственный (если, конечно, он не является первым сверху); это вызы-
вызывает соответствующие изменения интенсивностей рассеянных цилиндри-
цилиндрических волн. Во-вторых, вместе с положением края изменяется и фаза
рассеянного им света, причем неодинаково для разных направлений.
В отношении эффектов первого рода ограничимся проведением самых
грубых оценок. Из приближенной формулы для F(a) следует, что эта
функция спадает при увеличении а от 0 до 1 примерно в 2,5 раза. Поскольку
амплитуда цилиндрической волны, порождаемой краем одного экрана,
в зоне следующего экрана пропорциональна F [ \/л/ (XL) • | х - aL \ ]
аза при \х - olL \ -
является об-
областью практически полной тени; если сдвинуть экран в ту или другую
сторону на расстояние, превышающее Дь то или он сам, или последую-
последующий экран полностью заходит в неосвещенную зону и цилиндрической
волны не порождает.
Для подсчета величины фазовых рассогласований вернемся к рис. 2.15.
С его помощью нетрудно определить, что смещение экрана на величину
7. Ю.А. Ананьев 97
в зоне следующего экрана пропорциональна F [ \/л/ (XL) •
(см. выражение для Ui (х)), она спадает в те же 2,5 раза пр
= \JXLfn. Таким образом, область х > olL + \JXLpn = A i
Д вызывает изменение фазы следующего от его края под углом в к плос-
плоскости Я излучения на kA (sin a + sin в) »к А (а + 0). Для интересующей
нас в основном "отраженной" волны это изменение достигает тг (что вле-
влечет за собой интерференционное ее "гашение") при Д=Д0^Х/4о!.
Когда выполняется упоминавшееся выше условие малости углов s < 1,
или а < \A/B7rZ,j, to olL < \J\Lj Bтг), и А! « \J\Ljn, в то время как
До > X/[4y/XIBnL) ] = y/XLn/S . Таким образом, в этом случае эффек-
эффекты, связанные с перераспределением интенсивностеи цилиндрических волн
за счет изменения освещенностей краев экранов, проявляются при заве-
заведомо меньших неточностях расположения экранов, нижели эффекты фа-
фазового рассогласования.
В дальнейшем нам придется столкнуться также с ситуацией, когда
углы а, напротив, столь велики, что границы геометрической тени ока-
оказываются на значительном удалении от краев экранов, а величины До
всего на один — два порядка превышают X. "Отражение" от края при
этом хотя и оказывается весьма малым, но величина его продолжает
оставаться важным параметром; очевидно, среди причин, которые могут
вызвать дополнительное его снижение, на первое место выходят эффек-
эффекты фазового рассогласования.
Важно то, что фазовое рассогласование может проявляться не только
на этапе наложения цилиндрических волн, следующих от краев разных
экранов, но и непосредственно при их образовании. Речь идет о послед-
последствиях естественной шероховатости края, которая приводит к расфази-
ровке излучения, следующего от различных его участков. Нетрудно ви-
видеть, что величины расфазировок связаны с отступлениями края Д от
плоскости Н за счет шероховатостей точно так же, как изменения фаз
цилиндрических волн с величинами смещений экранов в целом; для "от-
"отраженной" волны Д</? = 2каА.
В следующем параграфе нам понадобятся результаты не только каче-
качественных, но и количественных оценок снижения интенсивности "отра-
"отраженной" волны за счет наличия шероховатостей. Чтобы провести их, бу-
будем считать, что при движении вдоль оси у, перпендикулярной плоско-
плоскости рис. 2.15, координата края Д (у) колеблется случайным образом во-
вокруг среднего значения с распределением плотности вероятности откло-
отклонений р (Д). Каждая точка края является источником "отраженной" вол-
волны, фаза которой сдвинута относительно среднего ее значения на 2каА.
Отсюда следует, что наличие шероховатостей приводит к домножению
амплитуды "отраженной" волны, по сравнению со случаем идеально очер-
очерченного края, на f ехрB1*аД)р(Д)?/ДЕ=х.
оо
Пусть распределение вероятности является гауссовым с параметром
ширины h: р(А) ~ exp (-A2/h2). Учитывая очевидное условие норми-
оо
ровки / р (Д) dA = 1, получаем
р{
Тогда
X = / ехр(-Д2/й2)ехр {2ikotA)dA = exp [ -(kahJ].
h\fn -°°
98
Если ввести дисперсию распределения Ф = / р(Д) Д2с7Д, то при гаус-
гауссовой его форме Ф = h2/2, и х = ехр [-2(АгаJФ].
Отражение от открытого края волновода. Теперь рассмотрим откры-
открытый с одной стороны бесконечный волновод, образованный двумя плоски-
плоскими полностью отражающими зеркалами, установленными на расстоянии
L друг от друга (рис. 2.16; Н — перпендикулярная поверхностям зеркал
Рис. 2.16. Распространяющаяся по направ-
направлению к открытому краю (плоскость Н)
плоского полубесконечного волновода
совокупность двух плоских волн ("волно-
водная волна")
w\\\n\\\\\\\\\\\\\\\\\4\\\\\\\\
1/2
rnrrnftrn
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\
^
плоскость, проходящая через их края, которые считаются идеально ров-
ровными и острыми). "Запустим" в этот волновод неограниченную плоскую
волну, фронт которой наклонен по отношению к стенкам волновода, как
показано на рисунке, на угол а. Попеременно отражаясь от стенок, эта
волна постепенно перемещается к открытому краю волновода (или,
как часто говорят, "набегает" на край).
Нетрудно видеть, что анализировавшаяся нами картина дифракции
на системе экранов представляет собой не что иное, как пространствен-
пространственную "развертку" процесса, происходящего в волноводе. Излучению, по-
поглощавшемуся в экранах, соответствует излучение, выходящее со сторо-
стороны открытого края волновода. Обсуждавшиеся эффекты приводят к то-
тому, что доля этого излучения при малых а оказывается незначительной,
и большая часть электромагнитной энергии "отражается" от открытого
края назад в волновод.
Именно явления подобного рода, происходящие у открытых краев
волноводов, лежат в основе того дифракционного механизма "удержа-
"удержания" поля внутри открытых резонаторов, о котором мы упоминали в пре-
предыдущем параграфе. С помощью волно водно го подхода к резонаторам
Вайнштейну удалось получить многие интересные результаты теории по-
последних; поэтому нам придется, не ограничиваясь поверхностными анало-
аналогиями, немного познакомиться со спецификой этого подхода.
В отличие от случая с системой экранов по волноводу распространя-
распространяется, в сущности, не одна, а одновременно две плоские волны, переходя-
переходящие при отражении от зеркальных стенок друг в друга. Суммарное поле
на зеркалах должно быть равно нулю; это налагает на частоту волн опреде-
определенное условие, которое отсутствовало в задаче с экранами. Действитель-
Действительно, поля этих волн пропорциональны exp [i(kzz + кхх)] и exp [i(—kzz +
+ к*х)], где kz = kcQsa, kx = A; sin а (как всегда, к = со/с; пока считаем
<о действительной). Нетрудно видеть, что суммарное поле может быть рав-
равным нулю одновременно на обоих зеркалах, лишь когда справедливо соот-
соотношение kzL = qn, где q — большое (порядка 2L/X) целое число; само
7*
99
/ cos \ q-nz
суммарное поле тогда имеет вид ехр (ikxx) • ( ) , где sin берет-
\ sin / L
Ся при четном q, cos - при нечетном.
Такая совокупность двух переходящих друг в друга при отражении
от стенок волн, частота и углы наклона которых связаны условием
(oj/c)cosa • L = qn, или ojA — а2/2) = qnc/L (полагаем а малым), на-
называется волноводной волной. Она распространяется по плоскому волно-
волноводу с идеально проводящими (отражающими) стенками на любые рас-
расстояния без затухания. Волны, для которых указанное условие не вы-
выполняется, по волноводу распространяться не могут (если запустить их
в волновод, они быстро распадаются на волноводные).
Итак, исходная волноводная волна с q - <7о > распространяясь слева
направо, подходит к открытому краю волновода; дифракция на откры-
открытом крае приводит к тому, что излучение почти не выходит наружу и на-
направляется в обратную сторону. Это рассеянное излучение распадается
на волны, которые, как нетрудно видеть, являются также волноводными
с углами наклона в, удовлетворяющими тому же условию с q =qo,qo — 2,
q0 - 4,... Волна с q = q0 подобна исходной и отличается от нее только
противоположным направлением распространения (справа нелево); она
называется отраженной, а отношение ее амплитуды на плоскости Н к ам-
амплитуде исходной волны — коэффициентом отражения от края; при ма-
малых а его модуль приближается к единице.
Волны с q Ф q0 называются трансформированными; в интересующем
нас случае очень малых а их амплитуды невелики, и мы в дальнейшем
особенно интересоваться трансформированными волнами не будем.
Сообщим только, что если края зеркал не находятся точно друг против
друга, идущие от них волны оказываются разной амплитуды, и переста-
перестает "гаситься" излучение, рассеянное под углами, соответствующими q =
= Qo - 1> Яо — 3,... В результате набор углов в дополняется до полного
набора угловых радиусов колец, которые имелись бы в дальней зоне при
освещении интерферометра Фабри — Перо с базой L светом с круговой
частотой oj.
С помощью аналитических методов, рассмотрение которых выходит
за рамки настоящей книги, Вайнштейн в [79] получил для коэффициен-
коэффициента дифракционного отражения волноводной волны от открытого края
/?о,о следующую формулу:
Ло,о = -ехр [-$A-0*1, B.28)
где ? = 0,824, s — введенный выше параметр, пропорциональный а. По
мере уменьшения s модуль Roo стремится к единице. Имеющийся в
правой части B.28) фазовый множитель соответствует скачку фазы, не
равному я. В результате отражение происходит как бы от металлическо-
металлического экрана, параллельного Я и расположенного немного правее.
Для построения типов колебаний плоского резонатора нам потребуют-
потребуются волноводные волны, амплитуда которых экспоненциально затухает
во времени (oj = со' — /со", gj" > 0). Поскольку поле на зеркалах в любом
случае должно быть равным нулю, kz остаются прежними, однако к и кх
100
становятся комплексными; с со они связаны соотношением
+ **• B-29)
С помощью B.29) можно показать, что если представить кх в виде кх -
— ik"Xi то при со" > 0 знаки кх и кх должны совпадать. Отсюда следует,
что амплитуда поля таких волн в любой фиксированный момент времени
нарастает вдоль направления их распространения (<»ехр (кхх)). С подоб-
подобного рода эффектами мы встречались в § 2.1, и их смысл можно уже
не объяснять.
При комплексных к формула B.28) сохраняет силу, только параметр
s определяется не одним наклоном входящих в волноводную волну пло-
плоских волн, но и скоростью затухания, будучи в общем случае равным
у/KL/Bit) кх. Этой формулой можно пользоваться при L > X, \s | ^1;
первое из этих неравенств выполняется в оптическом диапазоне всегда,
второе — когда скорость затухания и углы наклонов достаточно малы.
Правда, и при | s | ^ 1 точность B.28) остается удовлетворительной.
Выведем одно интересное следствие B.28). Пусть на открытый край
волновода, имеющий координату х = х0, падает слева и отражается от
него волноводная волна. Наличием трансформированных волн пренебре-
пренебрежем; что же касается отраженной, то зависимость ее амплитуды от z опи-
/ cos \ irqz
сывается тем же множителем ( ) , что и у исходной. Опуская
\ sin / L
этот множитель, имеем для амплитуды суммарного поля выражение и (х) =
= А ехр (j'A^jc) + В exp {—ikxx). На открытом крае отношение амлитуд
отраженной и исходной волн В ехр (-ikxx0)/[A exp (ikxx0)] рав-
равно ROOt откуда В = ^4Ло>оехр B/^^хо), и(х) = А {ехр (ikxx) +
+ До>оехр [ikxBx0 -х)]} .
Теперь нетрудно убедиться в том, что значение логарифмической про-
производной функции и (х) на открытом крае равно
d\nu(x)
dx
1 du
и(х0) dx
= ik
1 -R
0,0
x
1 +R
0,0
Используем, наконец, B.28); считая s малым и заменив соответствен-
соответственно ехр [-? A - i)s] на 1 — ? A - i)s, получаем
1-Яо,о _ 2 —€С1 — Qg 2
1+^о,о ~ «1 -0* ~ fO-0*
откуда следует искомая формула
dlnu(x)
dx
_ v/8tt/(XL)
B.30)
В ее правой части знцк (+) соответствует тому варианту, когда коорди-
координату х = х0 имеет не правый, а левый край волновода, и исходная волна
набегает на него справа.
Особая полезность формулы B.30) связана с тем, что величина кх в
Ней вообще не фигурирует. Это позволяет использовать B.30) в каче-
101
стве универсального граничного условия во всех тех случаях, когда по-
поле внутри волновода может быть представлено в виде суммы набегаю-
набегающей на край и отраженной от него волноводных волн.
Собственные колебания резонатора из плоских полосовых зеркал. Рас-
Рассмотрим теперь открытый с двух сторон отрезок волновода, представ-
представляющий собой полосовой резонатор с зеркалами шириной 2а (—а <х <а).
Будем искать его моды в виде суммы двух распространяющихся в про-
противоположных направлениях волноводных волн с одинаковыми часто-
частотами и q. Каждая из них при дифракционном отражении от соответствую-
соответствующего края порождает другую; уменьшение амплитуды за счет неполно-
неполного отражения компенсируется упомянутым выше ее нарастанием вдоль
направления распространения волны (точно так же, как при рассмотрении
в § 2.1 волн, следующих вдоль оси резонатора, компенсировалось сниже-
снижение амплитуды из-за дифракционных потерь).
Зависимость суммарного поля двух таких волноводных волн от х
имеет уже знакомый нам вид^ехр (ikxx) +5exp (-ikxx). На правом крае
А и В связаны соотношением 2?ехр (~-ikxa) =/?0,(ИехР (*кха), на левом -
соотношением Аехр (—ikxa) = R00Bexp (ikxa). Отсюда следует характе-
характеристическое уравнение /?о,оехР Dikxa) = 1, позволяющее найти набор соб-
собственных частот полосового резонатора. Подставив в него B.28) и выразив
s через кх, имеем
exp [4ikxa- 2?A - i)y/\L/BiT)kx
/kx
откуда
J2тг/,
1)тг
2тг<7 + . Отметим, что спектр собственных частот
8WA + J !
+ e)
где т = 0, 1, 2,.. ., e = ? A + i)/M9M= y/SirN^ х/8тг/ (XL) a\ N = a2 /(XL) —
знакомое по § 2.2 число Френеля. Чтобы выполнялось условие малости s,
целочисленный параметр т должен удовлетворять неравенству
тг(т + 1) <М.
Наконец, подстановка найденных значений кх в B.29) позволяет опре-
определить спектр собственных частот полосового резонатора: GJmq
- г тг(т+ IJ ч
2L L * SN(l + еУ
оказывается дискретным только благодаря тому, что распределение поля
должно удовлетворять соответствующим граничным условиям на проти-
противоположных краях резонатора; сам по себе дифракционный механизм
отражения от края не обладает тем резонансным характером, который ему
иногда приписывают (по этому поводу см. [20]).
Таким образом, волноводный подход позволил рассчитать все характе-
характеристики мод полосового плоского резонатора. Зная их, нетрудно перей-
перейти к привычному методу описания, когда речь идет не о волноводных вол-
волнах, распространяющихся в направлениях, перпендикулярных оси резона-
резонатора, а о световых пучках, следующих вдоль нее. Взаимосвязь между ком-
комплексной частотой колебаний и собственными значениями $т =
= ехр (—idrm — b'm) интегрального оператора Р, описывающего преобра-
102
1,0
I
i"
8 20
40
щ
К*
<
Is
\
ч
\
•2
1
\
ч
N
V,
V
\
0,5
х/а
Рис. 2.17. Низшие симметричная и антисимметричная собственные функции плоско-
плоского полосового резонатора: а - ио(х), 1 — N= 0,5, 2 — TV = 2,5, 3 - N = 6,25; б — ul(x),
7_7V=2, 2 - N =4, J-7V=10
зование поперечной структуры поля при полном прохождении резонато-
резонатора в обоих направлениях, была установлена в § 2.1. Применительно к дан-
данному случаю имеем
IJ 1 п2(т+1JМ(М+Ц)
С =
С = - Im
8ЛЧ1 + бJ
л(т + IJ
SN( 1 + бJ
B.31)
Считая М > 1, получаем 5fm « тг(т + 1J/(87V), 5^ « ? V^" (m+
+ 1J/(8Лг3/2). Отсюда следует, в частности, что дифракционные потери
излучения при полном обходе резонатора составляют 1 - ехр (—25^) »
^25^ « t\/irj2(m+ lJlDN3'2).
Собственные функции полосового плоского резонатора могут быть
записаны в форме
/cos\ 7T(m + l)x 0, 2, 4, . . . ,
мт (.х) = 1 • , w = B.32)
тК ' V sin/ 2*[1+*0+0/^] 1,3,5,...
Вид (/0 и Uj при нескольких разных числах Френеля TV приведен на
рис. 2.17 а, б. На рис. 2.17д штриховыми линиями нанесены также кривые,
103
полученные в работе [164] для одного из тех же вариантов резонатора
путем численного решения соответствующего интегрального уравнения.
Небольшие различия между точным (штриховая линия) и приближенным
решениями вызваны тем, что при выводе B.32), рассматривая процесс
дифракционного отражения волноводной волны от края резонатора, мы
учли только отраженную волну, а остальными компонентами рассеянно-
рассеянного излучения пренебрегли. При больших TV различия делаются и вовсе
несущественными.
(/ Рис. 2.18. К полугеометрическому способу описания собст-
собственных колебаний плоского резонатора
//////////////////////у
Чтобы получить представление о поведении собственных функций бо-
более высокого порядка, можно вернуться к рис. 2.11 в, на котором изобра-
изображена амплитуда н8. Следует, однако, иметь в виду, что подобные рисунки
в определенной мере условны. Действительно, из-за комплексности аргу-
аргумента истинное распределение не является чистой синусоидой: в "узлах"
распределения амплитуда поля несколько отлична от нуля (из-за неравен-
неравенства амплитуд двух интерферирующих волноводных волн), да и размах
колебаний чуточку изменяется п<3 сечению.
В заключение "разбавим" наш сухой анализ изложением не слишком
строгого, но зато весьма наглядного подхода, развитого автором и впер-
впервые использованного в [70]. Сущность этого подхода, названного полу-
полугеометрическим, заключается в том, что ход лучей внутри резонатора рас-
рассматривается чисто геометрически, а коэффициент "отражения" от края
берется из дифракционной теории.
Иллюстрацией может, послужить рис. 2.18. Интересующий нас луч
"стартует" от одного края резонатора (причем необязательно от края
зеркала, как на рисунке) и, следуя законам геометрической оптики,
через некоторое число г проходов по резонатору от одного зеркала до
другого и обратно доходит до противоположного края. В данном слу-
случае г связано с углом наклона луча а совершенно очевидным соотноше-
соотношением г - 2a/BaL) = a/(aL). Ha краю луч претерпевает "отражение" с
коэффициентом по интенсивности \R00\2 = exp(- 2%oc\fkL). Поскольку
один акт отражения приходится на г двойных проходов, потери, приходя-
приходящиеся на один проход в среднем, составляют 25" = -In \Ro o\2lr =
= 2а2 bJkL L\'a.
Осталось только подставить сюда углы наклона лучей, соответствующие
конкретным модам резонатора. Их можно выяснить, никуда не загляды-
заглядывая: достаточно вспомнить, что мода га-го порядка имеет на зеркале т + 1
максимумов распределения, являющихся результатом интерференции
плоских волн, которые и описываются нашими лучами. При малом угле
104
2а между фронтами воля ширина полосы интерференционной картины
составляет Х/Bа), что для моды т -го порядка должно быть равно
2а/(т + 1); отсюда а = (т + 1)Л/Dя). Используя это значение а, при-
приходим к уже знакомой формуле
н 1J/D7V3/2).
Полугеометрический подход позволяет дать весьма простую интер-
интерпретацию практически всем закономерностям поведения плоского резо-
резонатора. Так, наличие квадратичной зависимости потерь от (т + 1) оказы-
оказывается следствием того, что углы наклонов лучей пропорциональны
(т + 1): с ростом этих углов, с одной стороны, растет величина потерь
при отражении от края, с другой — уменьшается число проходов по ре-
резонатору, на которое эти потери приходятся. В дальнейшем мы видим,
что этот подход весьма полезен и в более сложных ситуациях (§ 3.2, 4.3).
Резонаторы из плоских прямоугольных и круглых зеркал. После нахож-
нахождения модовой структуры полосовых резонаторов перейти к случаю пря-
прямоугольных зеркал совсем несложно. Переменные в соответствующем
интегральном уравнении разделяются, поэтому, как в случае эрмитовых
пучков устойчивых резонаторов (§ 2.3), двумерные распределения ампли-
амплитуды могут быть представлены в виде произведений двух одномерных.
Собственные значения подчиняются тому же правилу. Итак, при размерах
зеркал 2аХ2Ь имеем
(cos\ (т + 1)тгх /cos\ (n + 1)тгу
sin /2а [1 + ? A + гI Мх ] V sin / 2b [I + ? A + i)/My] '
B.33)
где Мх = у/8тг!(\Ь)а, Му = \/8тт/(\Ь) Ъ, Ъ' и 5 " по-прежнему определяются
формулами B.31). Таким образом, в случае прямоугольных зеркал фазо-
фазовые поправки и потери равны сумме фазовых поправок и потерь двух
полосовых резонаторов, ширина зеркал каждого из которых равна одной
из сторон прямоугольника.
Чтобы лучше понять смысл найденного решения, обратимся к случаю
закрытого резонатора, полученного добавлением полностью отражающих
боковых стенок. Решение для последнего хорошо известно; поперечное
распределение поля здесь описывается той же формулой B.33), если по-
положить в ней ? = 0. Тогда B.33) начинает совпадать с формулой A.36),
описывающей состоящую из четырех плоских волн "недифрагирующую"
структуру (см. § 1.2, 1.3), "вписанную" в прямоугольник так, что на
его сторонах оказываются расположенными нули распределения. Таким
образом, мода закрытого резонатора может быть представлена в виде су-
суперпозиции двух недифрагирующих структур, движущихся в противопо-
противоположных направлениях и переходящих друг в друга при отражении от тор-
торцевых зеркал. То обстоятельство, что решение состоит именно из недиф-
105
рагирующих структур, имеет вполне очевидное объяснение: расположе-
расположение узлов поля вдоль всей длины резонатора должно оставаться одним
и тем же.
Теперь можно вернуться к открытому резонатору. Формула B.33)
и при \ Ф 0 описывает не дифрагирующую структуру, только здесь те четы-
четыре плоские волны, из которых она состоит, медленно затухают во времени.
Кроме того, зависящий от углов наклона плоских волн поперечный масш-
масштаб структуры выбран так, чтобы на сторонах прямоугольника не находи-
находились узлы поля, а выполнялось граничное условие B.30) (см. рис. 2.11в).
Перейдем к рассмотрению резонаторов из круглых зеркал. Здесь реше-
решения, очевидно, должны строиться на основе недифрагирующих структур с
круговой симметрией. Эти структуры обладают угловыми спектрами
РF, </?) = 5 (в — а) ехр (± //</?) (/ = 0, 1, 2,.. . , в и <р — полярный и азиму-
азимутальный углы) и, следовательно, являются суперпозициями плоских волн,
направления распространения которых заполняют всю боковую поверх-
поверхность кругового конуса с углом при вершине 2а. Таким угловым спект-
спектрам соответствуют суммарные поперечные распределения вида fx (r, </?) =
= Jг (krr) exp(± il<p) , Jг — функция Бесселя /-го порядка. Нетрудно убе-
(cos\
1
sin/
(cos\ Щ2
1 , как и сумма
i/ L
двух волноводных волн при рассмотрении полосового резонатора, дейст-
действительно является точным решением волнового уравнения внутри беско-
бесконечного волновода из установленных на расстоянии Z, друг от друга плоских
зеркал. Параметры со, q9 а, кг здесь связаны между собой теми же форму-
формулами, что и со, q, a, kx в случае полосовых зеркал.
На достаточном удалении от центра для функции J t (кг г) можно вос-
воспользоваться асимптотическим представлением Ханк ел я
Jt{krr) ^yj2/(nkrr)cos [krr-Bl + 1)тг/4]
~exp{z [krr-Bl + 1)тг/4]} +
+ exp{-i[krr-Bl
т.е. представить решение в виде суммы двух радиальных волн, пропор-
пропорциональных exp(ikrr) и exp(—ikrr). Отношение амплитуд этих волн вбли-
вблизи края зеркал, как и раньше, приравнивается коэффициенту дифракцион-
дифракционного отражения от края, причем считается, что величина коэффициента отра-
отражения зависит от кг так же, как она зависела от кх. Таким образом, пред-
предполагается, что кривизна края и цилиндричность волны не сказываются
на коэффициенте дифракционного отражения; с доводами в пользу этого
предположения, а также рядом других математических тонкостей, свя-
связанных с проблемой круглых зеркал, можно ознакомиться в [80].
Соответствующие выкладки приводят к дискретному набору кг =
= vptl[a(\ + е)], где 2а — диаметр зеркал, е имеет то же значение, что и
в B.30), Vpi~ (Р + 1)-й положительный корень уравнения Jt{v) = 0
(табл. 2.1). Отсюда вытекает ир}(г, кр) =/р/(г)ехр(± Ну) (ввиду вырож-
вырождения функций с множителями ехр (Иф) и ехр(—ilyf) полноправны также
106
Корни уравнения // О) = О
Та б л йца2.1
р ^ ^^
0
1
2
3
о
2,40
5,52
8,65
11,79
1
3,83
7,02
10,17
13,32
2
5,14
8,42
11,62
14,80
3
6,38
9,76
13,01
16,22
азимутальные множители cos Ар и sin/u?) fn1 (г) = J, \ — }
ИМ + {)
где
Графики радиальных функций foo(r) и fOi'(r) (а также характер их
отступлений от графиков для точных численных решений) столь сходны
с изображенными на рис. 2.17д, б (при условии замены там х/а на г/а),
что приводить их нет особого смысла.
Дифракционные потери при больших М равны 16?&>2 z М~3 =
= 0,105&>Д/\г-3'2. Их величина оказывается неожиданно малой; так, у
низшей моды резонатора длиной 1 м из круглых зеркал диаметром
1 см при X = 0,6 мкм потери лишь немного превышают 0,2%. Это сви-
свидетельствует о весьма высокой эффективности дифракционного механиз-
механизма "удержания поля" в плоских резонаторах с обычными зеркалами.
Для примера обратимся к случаю гауссовых зеркал, когда "отражение
от края" фактически отсутствует. С помощью приведенных в преды-
предыдущем параграфе общих формул можно установить, что потери низшей
моды резонатора из двух одинаковых плоских зеркал с амплитудным
коэффициентом отражения ехр(-г2/до) при больших N - all (XL) сос-
составляют примерно \fil\f~N. Отсюда следует, что для того, чтобы при
тех же длине резонатора и X, что и в приведенном примере, получить
те же потери @,2%), потребовались бы плоские гауссовы зеркала с
яо^60см! Для полноты картины сообщим, что если бы обычные
зеркала имели радиусы кривизны 1 м и резонатор был бы, таким обра-
образом, симметричным конфокальным, такие потери имели бы место при
диаметре зеркал 1,5 мм.
В заключение отметим важную особенность плоских резонаторов,
общую у всех рассмотренных их типов. При больших N (а, следователь-
следовательно, и М) относительная величина амплитуды поля на краях резонаторов
оказывается близкой к нулю (поскольку знаменатели всех дробей в
правых частях B.30), B.32), B.33), а также аналогичных выражений
107
для круглых зеркал мало отличаются от значений ширин и радиусов зер-
зеркал). Это означает, что свойства открытых плоских резонаторов с боль-
большими N сходны со свойствами закрытых резонаторов; в частности, имею-
имеющиеся в § 1.3 сведения об угловых характеристиках излучения с распре-
распределениями комплексной амплитуды в ближней зоне вида A.36) могут
быть непосредственно отнесены к модам резонаторов из полосовых или
прямоугольных зеркал.
Что касается резонаторов с круглыми зеркалами, то основная часть
мощности излучения моды с р = / = 0 сосредоточена в центральном керне
углового распределения шириной ~ Х/а. Остальные моды с азимутальными
множителями ехр(± /Лр) имеют угловые распределения в виде колец с
угловыми диаметрами ~ (Vpf/тг) (Х/а) шириной "~ \/Bд), при азимуталь-
азимутальных множителях cos /<p и sin /<p кольца распадаются на 2/ пятен каждое.
Обозначения мод и поляризация их излучения. Общий характер распо-
расположения пятен (максимумов двумерных распределений интенсивности
по сечению) у мод устойчивых и плоских (а также им эквивалентных)
резонаторов одинаков, одинакова и система обозначений этих мод. Как
правило, моды с поперечными индексами т, п и аксиальным q обозна-
обозначаются TEMwnG, что берет начало от английского термина Transversal
Electromagnetic Mode. Если речь идет только о поперечной структуре,
то индекс q опускается; так, ТЕМоо — низшая мода с наименьшей расхо-
расходимостью излучения и потерями.
Если зеркала имеют прямоугольную форму (что на деле бывает не
часто), два первых числа являются индексами собственных функций,
описывающих распределения по двум поперечным декартовым коор-
координатам. В случае круглых зеркал это радиальный и азимутальный
индексы; бывает, что их ставят не в том порядке, как в настоящей
книге, а начиная с азимутального. Случается также, что низшей функ-
функции приписывают индекс, равный не нулю, а единице; соответственно
изменяются значения индексов также и остальных функций.
Все эти способы нумерации мод применимы не всегда, поэтому мы
в общем случае часто приписывали модам (и впредь будем это делать)
единственный поперечный индекс га.
При- чтении литературы по лазерам следует еще иметь в виду, что в
первых работах по теории оптических резонаторов низшие колебания
типа ТЕМоод были названы, по аналогии с СВЧ-диапазоном, аксиальными,
остальные (с ненулевыми поперечными индексами) — поперечными. Впос-
Впоследствии при описании спектральных или угловых характеристик излуче-
излучения многомодовых генераторов терминам "аксиальные" и поперечные"
стали придавать несколько иной смысл. Подробнее на всем этом мы бста-
новимся в § 3.3, сейчас же отметим только, что когда говорят об угловой
структуре излучения, то поперечными обычно называют все моды, не вы-
выделяя ТЕМоо в особую категорию.
Кратко рассмотрим еще общий для всех видов резонаторов вопрос
о поляризационных характеристиках излучения собственных типов коле-
колебаний. В конце § 1.1 оговаривались условия, при которых задачи о преоб-
преобразовании поперечной структуры пучка и об изменении состояния поляри-
поляризации излучения могут рассматриваться порознь. В резонаторах эти усло-
условия обычно выполняются. Это позволяет рассчитывать собственные состоя
108
ния поляризации, составляя матрицу Джонса V для полного обхода резона-
резонатора и решая уравнение \хе - Ve, где е — двухкомпонентный поляризацион-
поляризационный вектор (§ 1.1). Результатом решения являются собственные поляри-
поляризационные векторы е( и соответствующие им собственные значения д =
Зная /X/, нетрудно найти поляризационные поправки к комплексным
собственным частотам. Действительно, уравнение, аналогичное B.2),
в котором учтены и поперечная структура поля, и состояние поляризации
излучения, имеет вид ие = expB/fcL0) PVue, причем оператор Р воздейст-
воздействует только на распределение м, а матрица V — только на вектор е. Под-
Подставив сюда произведение umet (ит - собственная функция оператора Р,
см. § 2.1), получаем expBikL0)Pmni = 1. В результате приходим к фор-
формулам, отличающимся от B.3), B.4) лишь тем, что в их правых частях
присутствуют дополнительные слагаемые
2Z/Q
}. и т?". соответст-
2Z
венно.
Если резонатор содержит поляризационно анизотропные элементы либо
осуществляет поворот поля (§ 4.4), поляризационное уравнение обычно
имеет два различных решения сц.Ф 1. В том случае, когда среди анизот-
анизотропных элементов есть такие, которые поглощают или выводят из резона-
резонатора хотя бы часть излучения одной из поляризаций, то, как правило, одно
или оба м по модулю меньше единицы. Если же дело ограничивается эле-
элементами, вносящими дополнительные разности фаз или осуществляющими
повороты плоскости поляризации, | и\ = 1 — поляризационные поправки
к потерям отсутствуют; с таким примером мы столкнемся в § 4.4.
а
_¦*_№
Рис. 2.19. Распределение поля по сечению
резонатора с прямоугольными зеркалами:
а - ТЕМ^', б - ТЕМ??', в - TEMlQ',
'">. д - ТЕм?\е- ТЕМ&
Рис. 2.20. Образование колебаний со слож-
сложной топологией ноля в резонаторе с
квадратными зеркалами (по [164])
tii
+
k +
—*-
—*¦
-*—
=
га
о
109
Рис. 2.21. Распределение поля по сечению резонатора с круглыми зеркалами: а —
ТЕМ^ ; б - ТЕМ^ ; в - ТЕМ^, и - cos *; г - ТЕМ^, и ~ sirup; д -
и ~ cos <р; е - ТЕМ^', м ~ sin <р; ж - ТЕМ^}, з -
Наконец, в отсутствие и анизотропных элементов, и поворота поля
матрица Джонса является единичной; при этом поляризационные состоя-
состояния любой моды могут быть какими угодно, /х=1. Проиллюстрируем это
на примере рассмотренных в настоящем параграфе плоских резонаторов,
для большей наглядности изображая колебания линейно поляризованны-
поляризованными; начнем со случая прямоугольных зеркал.
На рис. 2.19 схематично изображены распределения полей модТЕМ00,
ТЕМ! о и TEMoi по сечению резонатора с прямоугольными зеркалами;
на штриховых линиях поле равно нулю. В общем случае неравных сторон
прямоугольника частоты колебаний ТЕМ01иТЕМю различны; при квад-
квадратных зеркалах они совпадают — появляется дополнительное вырождение.
Путем суперпозиции таких вырожденных колебаний могут быть получены,
как показано на рис. 2.20, колебания с более сложной топологией поля.
Наконец, на заимствованном из монографии [80] рис. 2.23 представле-
представлены колебания ТЕМОо иТЕМ01 (второе из них с азимутальным множителем
вида cos <p или sin <p) резонатора с круглыми зеркалами. Суперпозиция
колебаний, изображенных на рис. 2.21 в—е, приводит к собственным коле-
колебаниям ТЕМ01 с радиальным (ж) и азимутальным (з) направлениями
поляризации.
110
§.2.5. Неустойчивые резонаторы
Краткая историческая справка. В 1965 г. была опубликована статья
Сигмена [198], положившая начало целому направлению квантовой элект-
электроники. В этой статье обсуждалась возможность практического применения
неустойчивых резонаторов с большими дифракционными потерями -
тех самых резонаторов, которые были начисто забракованы в основно-
полагающих работах начала 60-х годов.
К тому времени уже стало известно, что переход от устойчивых резона-
резонаторов к плоским сопровождается не только возрастанием объемов низших
мод, но и увеличением разностей дифракционных потерь; и то и другое
способствует достижению генерации на небольшом числе низших попереч-
поперечных мод (§ 3.3). Результаты немногочисленных расчетных работ (напри-
(например, [165]) свидетельствовали также о том, что при переходе через грани-
границу устойчивости и углублении в область неустойчивости потери низшей
моды продолжают расти; это позволяло надеяться, что потери других
мод растут еще быстрее, и селективные свойства резонатора улуч-
улучшаются.
Однако переход в область неустойчивости должен, казалось бы, сопро-
сопровождаться и весьма нежелательными явлениями, в первую очередь повы-
повышением порога генерации (за счет резкого роста потерь) и соответствую-
соответствующим снижением выходной мощности. Кроме того, численные расчеты
показали, что из-за роста амплитуды поля на краю резонатора и усиле-
усиления краевой дифракции распределение поля в резонаторах со слабо вы-
выпуклыми зеркалами намного более "изрезано", чем в плоских. Что проис-
происходит с распределением поля при увеличении кривизны выпуклых зеркал,
было неясно; по аналогии с плоским разъюстированным резонатором
(§ 3.2) казалось, что оно должно становиться совсем неблагоприятным.
Отнюдь не обнадеживали и результаты отдельных экспериментов, в кото-
которых осуществлялось варьирование параметров резонаторов вблизи
границы устойчивости.
На этом фоне резко выделялась статья Сигмена. В ней была показана
шаткость основных возражений против применения неустойчивых резо-
резонаторов с большими потерями. Главным моментом работы явилось
проведение их рассмотрения в геометрическом приближении. Оно при-
привело к уже известным нам по § 2.2 результатам: в неустойчивом ре-
резонаторе может быть найдена совокупность двух распространяющихся
в противоположных направлениях сферических волн, переходящих при
отражении от концевых зеркал друг в друга.
Геометрическое рассмотрение было подкреплено в [198] очень важным
соображением о том, что именно при больших потерях влияние краевой
дифракции может оказаться ослабленным и строгое решение будет мало
отличаться от геометрического. Дело в том, что хотя периферийная часть
светового пучка сильно возмущается дифракцией, благодаря значительно-
значительному расширению сечения пучка по прохождении резонатора она затем про-
проходит мимо зеркал, и распределение поля на них искажается мало. Как мы
вскоре увидим, ситуация в действительности оказалась не столь уж прос-
простой; условия, при которых краевая дифракция не играет особой роли и
генерация осуществляется на единственной поперечной моде, хорошо опи-
111
сываемой геометрическим приближением, были окончательно выяснены
только в 1971 г. [69].
Сигмен указал также, что в случае неустойчивых резонаторов с боль-
большими дифракционными потерями целесообразно реализовать дифракцион-
дифракционный вывод излучения, т.е. использовать ту часть пучка, которая проходит
мимо выходного зеркала, в качестве полезного сигнала (см. также § 4.1).
При этом можно заменить полупрозрачное выходное зеркало на полностью
отражащее, оставив, таким образом, суммарные потери и порог генерации
на том же уровне, что и в резонаторах с малыми дифракционными потеря-
потерями. Принятие этих мер должно помочь избавиться от того резкого падения
мощности излучения, которое прежде казалось неизбежным и действитель-
действительно наблюдалось в соответствующих экспериментах.
Все эти соображения еще нуждались во всесторонней проверке. Было
неясно даже, будут ли неустойчивые резонаторы с большими дифракцион-
дифракционными потерями действительно селективны; сам Сигмен высказывал опа-
опасения, что потери у низшей и последующих мод в подобных системах ока-
окажутся примерно одинаковыми. Наконец, решающий для проблемы угловой
расходимости вопрос о чувствительности распределения поля к влиянию
внутрирезонаторных аберраций (см. § 3.2). Сигменом вообще не затраги-
затрагивался и начал обсуждаться позднее [62, 180, 39]. Однако основную свою
миссию статья [198] выполнила — общий интерес к неустойчивым резо-
резонаторам был пробужден. Последующие работы Сигмена также явились
существенным вкладом в развитие всего этого направления; помимо
цитируемых в дальнейшем работ отметим содержательный обзор [199].
Спустя несколько лет после выхода [198] неустойчивые резонаторы на-
начали с успехом применяться практически во всех лазерах с большими
объемами активной среди, исключая случаи, когда последняя имела весьма
малый коэффициент усиления. При малых усилениях построенные по стан-
стандартной схеме неустойчивые резонаторы обладают крайне неблагоприят-
неблагоприятной формой выходного сечения, представляющего собой совсем узкое
кольцо (так, в работе [180] при диаметре кольца ~2 см его ширина сос-
составляла около 1 мм). В 1975 г. автор изыскал возможность успешного
применения неустойчивых резонаторов из стандартных сферических зер-
зеркал и здесь [12,15]; об этом будет рассказано в § 4.4.
Наконец, среди появившихся сейчас резонаторов из элементов с не сфе-
сферической поверхностью (см. конец § 4.4) наиболее перспективными
при больших объемах среды оказываются опять-таки резонаторы, создан-
созданные по образу и подобию неустойчивых. Все это привело, в частности, к
необыкновенному развитию мощных методов численных расчетов самых
разнообразных лазеров с неустойчивыми резонаторами включая сложней-
сложнейшие случаи, требующие построения трехмерных распределений полей в
дифракционном приближении ([193, 147, 203] и др.).
Геометрическое приближение. Приступая к анализу пустых неустойчи-
неустойчивых резонаторов, вначале воспользуемся простейшим оптико-геометри-
оптико-геометрическим приближением: применительно к резонаторам данного класса на
долю дифракционной теории часто остается, главным образом, уточнение
условий достижения одномодовой генерации.
Общий вид решения для произвольного линейного неустойчивого ре-
резонатора был найден в § 2.2. Там было показано, что если искать это ре-
112
шение в виде сферических волн с центрами кривизны на оси системы,
то оказывается, что формально воспроизводятся кривизны двух таких
волн. Координаты каждого луча, относящегося к одной из этих волн,
после обхода резонатора оказываются умноженными на М, к другой —
деленными на тот же параметр, который по абсолютной величине больше
единицы и называется увеличением резонатора. По причинам, которые мы
вскоре напомним, подлинным решением является лишь первая из этих
волн.
Далее будет видно также, что в случае неустойчивых резонаторов значи-
значительный интерес представляет не только вид единственного решения, но и
законы эволюции произвольных сферических волн с центрами кривизны
на оси системы. Выведем эти законы; чтобы результаты в равной мере
относились и к линейным, и к кольцевым резонаторам, будем пользоваться
матрицей полного обхода АоВоСоDo.
Эволюция кривизны волны с = 1/р описывается формулой A.16) . Выяс-
Выясним еще, что происходит с сечением области, охватываемой волной; для
этого проследим за судьбой какого-либо луча, относящегося к семейству
лучей этой волны. Его координаты хх и х2 до и после обхода резонатора
связаны соотношением A.1а): х2 = A0Xi + Воах1 = A0Xi + Boclxii где
Pi - исходная кривизна (напомним, что у лучей семейства волны с кри-
кривизной с наклоны ах = сх). Итак,
Хг/хг = Ао + Воси с2 = (Со + ZHCi)/D0 + BqCi). B.34)
В первую очередь найдем волны с воспроизводящейся после обхода
резонатора кривизной. Решив уравнение с2 = С\ = с, получаем
- AQ ±VC40 + A>J-4.signC40 + Do)]9
± \/{A
где sign (AQ + Do) = (Ao + Do)/\ Ao + Do\ - знак (Ао +/>о)- Две най"
денные волны будем называть расходящейся и сходящейся; их кривиз-
кривизны обозначены ср и сс. Первой из них соответствует значение др, пре-
превышающее по абсолютной величине единицу; это и есть коэффициент
увеличения резонаторам. Нетрудно убедиться в том, что цс = 1/Af.
Совокупность параметров ср, сс, М так же полно характеризует свойства
неустойчивого резонатора, как набор элементов лучевой матрицы, и одно-
однозначно связана с этим набором (напомним, что ввиду наличия условия
связи A.3) AD — ВС = 1 из четырех элементов матрицы независимыми
являются лишь три). Действительно, с помощью B.35) нетрудно выразить
элементы матрицы через указанные параметры. Умножив первое из уравне-
уравнений B.35) на Во и вычтя из второго, получаем М — Воср = 1/М - Восс =
= А09 откуда Во = (М - ЦМ)/(ср - сс), Ао = (ср/М - Мсс)/(ср - сс).
Далее, из первого уравнения B.35) следует срсс = D - 4A0D0)lDBl) =
~ -Со/Во, или Со = ~срссВо\ наконец, с помощью A.3) находим Do =
= {Мср-сс/МI(ср-сс).
8- Ю.А. Ананьев 113
Займемся теперь, наконец, волнами с произвольной кривизной, эволю-
эволюция которых описывается формулами B.34). Оказывается целесообраз-
целесообразным подставить в эти формулы найденные выражения для элементов лу-
лучевой матрицы, а также с12 = (ср - Qi.2cc)l(l ~~ п\,г)> где б =
= {с - срI(с - сс) — безразмерный параметр кривизны. Тогда B.34)
приобретают вид, в котором их удобно использовать как рекуррентные
соотношения для вычисления результатов многих последовательных
обходов резонатора: x2/xi = М{\ — G2J/O ~ Gi)? Q2 = Q\j№2. Выпи-
Выписав аналогичные формулы для последующих обходов резонатора и перем-
перемножив как левые, так и правые их части, получаем искомые выражения
Рис. 2.22, Прохождение сходящейся (сплошные линии) и близкой к ней (штриховые
линии) волн по оптической линии, эквивалентной телескопическому рачонаюру
для изменения размеров поперечного сечения и параметра кривизны волны
после N обходов:
б
лг+i
f2N
B.36)
Эти формулы для частного случая так называемого телескопического
резонатора были получены в [39] (там же была введена используемая
сейчас терминология). Из них следует, что при сх Ф сС9 ср параметр Q ко-
конечен и быстро уменьшается; по мере его уменьшения волна приближает-
приближается к расходящейся F = 0). Волны, близкие к сходящейся, имеют большие
начальные I <2i I- Пока | Q \ превышает | М\, сечение волны на последующем
обходе резонатора уменьшается; однако рано или поздно | Q \ становится
меньше | М\, и сечение начинает возрастать.
Иллюстрацией к сказанному может служить рис. 2.22, на котором изоб-
изображен ход лучей для сходящейся (сплошные линии) и близкой к ней
(штриховые) волн по оптической линии, эквивалентной упомянутому
телескопическому резонатору. Этот резонатор, состоящий из софокусных
вогнутого и выпуклого зеркал (рис. 3.8а), имеет коэффициент увеличе-
увеличения М = -/i//*2 > 1, где /\ и/2 - фокусные расстояния этих зеркал. Его
обширные практические применения связаны с тем, что здесь не показан-
показанная на рис, 2.22 расходящаяся волна, следуя к выпуклому зеркалу (т.е.
на участках линии с четными номерами), имеет плоский волновой фронт.
Сходящаяся волна, в свою очередь, обладает плоским фроьгом на участ-
участках с нечетными номерами.
114
Из рисунка и формул B.36) со всей очевидностью следует, что сходя-
сходящаяся волна, несмотря на формальную воспроизводимость ее кривизны,
не может лежать в основе установившегося распределения поля. Дело даже
не столько в том, что ее сечение, по предсказанию геометрического приб-
приближения, должно уменьшаться от прохода к проходу; более важным явля-
является то обстоятельство, что наличие у любого "параллельного" пучка ко-
конечной расходимости неминуемо вызывает расфокусировку сходящейся
волны и постепенный ее переход в устойчивую расходящуюся волну.
Действительно, пары линз, объединенных сверху скобками, представля-
представляют собой телескопы (рис. 1.12), ориентированные так, что по их прохожде-
прохождении угловая расходимость любого полностью "перехватываемого" пучка
возрастает в М раз. В результате при сколь угодно малой начальной вели-
величине расходимости на одном из нечетных участков линии она рано или
поздно возрастает настолько, что "сжатие" сечения пучка сменится его
расширением.
У сходящейся волны с плоским фронтом имеется лишь дифракционная
компонента расходимости, и для описания процесса превращения этой вол-
волны в расходящуюся необходимо прибегнуть к дифракционной теории.
Волны со сферическими фронтами имеют также и геометрическую ком-
компоненту расходимости, превалирующую над дифракционной уже при стрел-
стрелке прогиба фронта ~А/2 (§ 1.3), чему соответствует | с | = X/al, где а0 -
половина размера сечения пучка. Отсюда следует, что эволюция волн внут-
внутри телескопического резонатора удовлетворительно описывается геомет-
геометрическим приближением при \Ci\ ^A/floJ для произвольных резонаторов
условие применимости B.36) имеет вид | сх - сс\ ^ \/ai, или I <2i I <>
l
р
Хотя сходящиеся волны неминуемо распадаются, они играют большую
роль в теории неустойчивых резонаторов. Из того же рис. 2.22 ясно, что
если в резонаторе по каким-либо причинам, например вследствие краевых
эффектов, возникает близкая к сходящейся волна, то на протяжении нес-
нескольких первых обходов весь переносимый ею поток излучения целиком
остается внутри резонатора. За это время плотность потока излучения,
относящегося к основной расходящейся волне, успевает уменьшиться во
много раз. В результате относительная интенсивность попавшего в сходя-
сходящуюся волну света соответственно возрастает (отметим, что при наличии
возбужденной активной среды этот свет усиливается не только по относи-
относительной, но и по абсолютной интенсивности). По мере приближения к схо-
сходящейся волне этот выигрыш в интенсивности, а с ним и роль рассеянного
света становятся все более значительными.
Теперь займемся расходящейся волной. Для нее условия самовоспроиз-
самовоспроизведения выполняются полностью: как указывалось в § 2.2, при многократ-
многократном обходе ею резонатора сечение пучка не возрастает беспредельно, а оказы-
оказывается ограниченным из-за конечности зеркал или других элементов резо-
резонатора, играющих роль апертурных диафрагм. Часть излучения при этам
выходит из резонатора. Поток излучения, остающийся внутри системы,
уменьшается вместе с его плотностью после каждого обхода в М2 раз.
Интересно, что относительные потери, равные 1 — 1/М2, целиком опре-
определяются общей конфигурацией резонатора — расположением его элемен-
элементов и их оптической силой. От поперечных размеров элементов, точнее
** 115
Of
Рис. 2.23. Неустойчивый резонатор из двух плоских зеркал и отрицательной линзы
их соотношения, зависит лишь место выхода излучения из системы. Пояс-
Поясним это на примере изображенного на рис. 2.23 неустойчивого резонатора,
состоящего из двух плоских зеркал и помещенной между ними линзы с
/ < 0; заодно покажем, как можно рассчитывать подобные простейшие
системы, не прибегая к аппарату лучевой матрицы.
В результате падения на зеркало сферической волны рождается отра-
отраженная сферическая волна, центр кривизны которой находится в точке,
являющейся изображением центра кривизны падающей волны. Поэтому
две распространяющиеся в противоположных направлениях сферические
волны переходят после отражения от концевых зеркал, друг в друга при
условии, если центры их кривизны Ог и О2 являются изображениями
1 1
друг друга. В данном случае эти условия имеют вид + =
/,
-У
1
7
h
1
7
¦; примененные здесь обозначения ясны
из рисунка.
Решение системы приводит к формулам Х\ 2 = ± {(h — /) Vi?*> —
- f{h + h))l(h -/)} 1/2.У192 =*1,2(/2 " /)/(/i ~ /)• ПОСКОЛЬКУ
/ < 0, значения^!>2 ку12 действительны, что является признаком неустой-
неустойчивого резонатора. Первому решению (хну положительны) соответствует
ход лучей, показанный сплошными стрелками; это расходящаяся волна.
Второе решение — сходящаяся волна; ей соответствует прямо противо-
противоположный ход лучей (штриховые стрелки). В § 2.2 было показано, что
это является общим свойством линейных неустойчивых резонаторов.
У расходящейся волны, которая является искомым единственным реше-
решением, координата каждого луча на пути от зеркала 1 к зеркалу 2 изменяет-
изменяется в отношении
У\ - h
= M\ на обратном пути - в отношении
116
= M". После полного обхода резонатора координата
оказывается умноженной наМ'М" = М, где
Будем считать, что линза заведомо велика. Если при этом размеры пу и
а2 зеркал 1 и 2 удовлетворяют неравенству М'ах > а2 > axjM'\ излучение
выходит частично с обеих сторон: на зеркало 2 попадает доля сечения пуч-
пучка, равная a2l{Mfai), на зеркало 1 - равная ail(M"a2) (рис. 2.23а). Если
одно из зеркал перекрывает весь поток излучения, распространяющийся
в его сторону, излучение выходит только с противоположного конца резо-
резонатора (рис. 2.230).
Аналогичный анализ можно провести и в любом другом случае (для
много элементных резонаторов это удобнее делать с использованием луче-
лучевых матриц; решения в общем случае имеют вид B.35), у линейных резо-
резонаторов B.11)). Величины М' и М" положительны не всегда; они могут
оказаться отрицательными как вместе, так и поодиночке (в последнем
случае отрицательно и М). Тогда в неравенствах, определяющих место
выхода излучения из резонатора, следует брать, естественно, их абсолют-
абсолютные величины.
Осталось затронуть еще два небольших вопроса. Один из них касается
резонаторов, у которых зеркала являются не сферическими, а цилиндри-
цилиндрическими с параллельными образующими. Здесь сечение расходящейся
волны "растягивается" только по одному направлению, поэтому потери
в геометрическом приближении равны не 1— 1/М2, как при сферических
зеркалах, а 1—1/1 М | . Отметим, что резонаторы из цилиндрических зер-
зеркал, как и из полосовых, в дальнейшем будут называться двумерными.
Второй вопрос касается различных мод геометрического приближения.
До сих пор при оценках потерь молчаливо предполагалось, что расходя-
расходящаяся волна имеет равномерное по сечению распределение амплитуды.
В принципе это не обязательно так: можно найти в рамках геометрическо-
геометрического приближения и другие формы распределений, удовлетворяющие усло-
условиям самовоспроизводимости (кривизна фронта определяется этими
условиями однозначно и варьироваться не может).
Такой поиск был предпринят Сигменом и Арратуном [201]. Они соста-
составили следующее уравнение геометрического приближения для распределе-
распределения амплитуды и (г) на сферической эквифазной поверхности:
Pu(r)-(l/\M\)u(r/M) B.37)
(аналогичное уравнение в двумерном случае с образующими цилиндри-
цилиндрических поверхностей вдоль оси у имеет вид &к(х) = A/\/\М\ )ы(х/М)).
Смысл B.37) таков. Поскольку координата каждого луча при обходе
резонатора изменяется в М раз, источником поля в точке г является поле
в точке r/М. Множшель \/\М\ описывает уменьшение амплитуды за счет
расширения сечения пучка. Наконец, отказ от принципа Гюйгенса — Фре-
117
неля позволяет, в отличие от § 2.1, считать, что волна совершает обход
резонатора во времени и распределение амплитуды воспроизводится
лишь по форме, но не по абсолютной величине. Поэтому здесь в левой
части уравнения присутствует дополнительный множитель (собственное
значение), отсутствовавший в уравнениях дифракционного приближе-
приближения B.1).
Уравнение B.37) формально имеет решения вида и (г) ~ гт с собствен-
собственными значениями j3w = \М\~т~ lf где т - любое число. Сегмен и Арра-
тун, исходя из интуитивной посылки о необходимости ограниченности
самой функции и (г) и всех ее производных в точке г = О, пришли к вы-
выводу, что т может принимать значения 0, 1, 2, ... Однако такой вывод не
имел под собой особой почвы: известно, что геометрическим приближе-
приближением можно пользоваться только тогда, когда относительные изменения
и (г) на размере зон Френеля малы. Этому условию в точке г = 0 удовлет-
удовлетворяет только тривиальное решение и = const (т = 0). Поэтому в рамках
геометрического приближения вопрос о спектре неустойчивых резонато-
резонаторов не может быть решен. Указанное условие не выполняется также вбли-
вблизи краев зеркал даже при т = 0, что приводит к своеобразным эффектам,
с которыми мы вскоре познакомимся.
Неустойчивые резонаторы с гауссовыми зеркалами. Перейдем к рас-
рассмотрению пустых неустойчивых резонаторов в дифракционном приближе-
приближении. Анализировать случай неограниченных зеркал здесь не имеет никако-
никакого смысла (хотя это и было проделано в ряде работ конца 60-х годов):
в отличие от устойчивых, неустойчивые резонаторы из бесконечных зер-
зеркал не имеют решений в виде пучков конечного сечения. Поэтому сразу
займемся резонаторами из зеркал конечного размера.
Основным объектом анализа будет изображенный на рис. 2.24 сим-
симметричный резонатор из двух выпуклых зеркал. Прохождение по нему
в одном направлении эквивалентно полному обходу резонатора с одно-
односторонним выводом, получаемому заменой одного из выпуклых зеркал
на большое полностью отражающее плоское, размещенное в плоскости О.
Рис. 2.24. Симметричный неустойчивый резонатор из выпуклых зеркал
Отчасти по этой причине для симметричных неустойчивых резонаторов
с двусторонним выводом излучения принято указывать величины потерь
и коэффициенты увеличения не на полном обходе, а на прохождении в одну
сторону (т.е. М* = М" = М). При таком определении М = g + yfg* - 1,
g = l-L!R>\.
Начнем со случая гауссовых зеркал, когда коэффициент амплитудно-
амплитудного отражения имеет распределение вида ехр(—г2/#2). Тогда можно вос-
воспользоваться непосредственно формулами B.24), B.25): хотя они были
118
введены при рассмотрении устойчивых резонаторов, они носят самый
рбщий характер. Применительно к случаю gx = g2 = g, <*i = a2 =
= \ЫBпа2) имеем 1/w2 = ± (m/XL)\/g2 - 1 - a2 + 2f<*g. Считая зеркала
настолько большими, что выполняется неравенство 2ag <€ g2 — 1, по-
получаем
1
"w2" ~ " XL
Условию Re A/w2) >0 удовлетворяет значение 1/w2 с общим знаком (—).
Примечательно, что I Re(l/w2)/Im(l/w2)| ^ocg/(g2 - 1) < 1; таким об-
образом, если в случае устойчивых резонаторов из больших гауссовых зер-
зеркал значения 1/w2 были почти чисто действительными, то здесь они явля-
являются почти чисто мнимыми.
Подсчитаем теперь потери и распределения полей, считая для простоты,
что имеем дело с двумерным резонатором из цилиндрических зеркал.
Вернувшись к формулам A.23) и учитывая, что у линейных резонаторов
распределение комплексной амплитуды на зеркалах имеет 1 /р = 0 (см.
формулы B.17), B.17а)), видим, что двумерный резонатор обладает
собственными функциями вида ит(х) = #mBx/w)exp(-;c /w2). Что
касается собственных значений, то, учитывая замечание по поводу астиг-
астигматических пучков к формуле A.25) и приняв во внимание, что при под-
подсчете результатов прохода в одном из направлений в правой части B.25)
должен быть оставлен один из двух множителей, получаем
Анализ более общей, чем B.25), формулы B.18) показывает, что arg(j3w)
в данном случае мал, и знак модуля у i fim \ можно опустить. Итак.
R — АЛ-~(fi + l /2) /^ iq\
Теперь займемся распределениями полей; подставив в показатель экс-
экспоненты приближенное выражение для 1/w2, получаем
/2х\ /тх* г^—Х
\vrxpvir
,(х) =Нт{ )• ехр( тт- V^2 - ij • ехр( -
B.39)
Известно, что полиномы Hm{t) при четных т содержат члены только
с четными степенями Г, при нечетных - только с нечетными. Поэтому
лишь начиная с т = 2 к высшему члену полинома tm добавляется член
tm~~2y начиная cm = 4 - еще и с tm~4, и т.д. Если х ~ а. то \t \2 =
119
= Bx/\ w|J ~ 4a2n\/g2 - \/(\L) = 2\/g2 - I/a > 1; это означает, что
даже когда полином содержит, кроме высшего, и другие члены, его вели-
величина на большей части сечения резонатора практически полностью опре-
определяется высшим членом.
Таким образом, при т = 0 и 1 на всем зеркале, а при т> 2 — исключая
небольшую приосевую зону
Фазовый множитель ехр( \Jg — 1 J соответствует сферическому
\ XL /
(точнее, учитывая двумерность резонатора, цилиндрическому) волново-
волновому фронту с тем самым радиусом кривизны, который предсказывает гео-
геометрическое приближение. Что же касается оставшейся функции
М2 +Г
которая описьюает распределение амплитуды на эквифазной поверхно-
поверхности геометрического приближения, то, как мы сейчас покажем, она удов-
удовлетворяет уточненному уравнению типа B.37) того же геометрического
приближения.
Уточнение сводится к тому, что в правую часть уравнения добавляет-
добавляется множитель, соответствующий дополнительному ослаблению волны
за счет того, что зеркала не являются полностью отражающими. Здесь
надлежит вспомнить, что формулы B.24), B.25) относились, вообще
говоря, не к самому резонатору из гауссовых сферических зеркал, а к
эквивалентному ему резонатору из плоских полностью отражающих зер-
зеркал, рядом с каждым из которых имеется по линзе с / = R и по гауссовой
диафрагме с амплитудным пропусканием ехр[—г2/Bа2)] (в нашем слу-
случае ехр[-л:2/Bя2)]). Луч, приходящий в точку с координатой х на одном
зеркале из точки с координатой х/М на другом, пересекает обе эти диафраг-
диафрагмы, и амплитуда должна быть до множена на ехр[— (х/МJ / Bа2)] X
X ехр[-*2/.Bя2)] = ехр[-х2 A + 1/М2)/Bа2)]. В результате приходим
к уравнению вида
имеющему решения [8,69]
ит(х)=хти0(х),
Mr1/2-"\ B.41)
где у(х) = F(x)/F@). В нашем случае резонатора из гауссовых зеркал
<р(х) = ехр{-[х2/Bа2)] A + \jM2)} ; нетрудно убедиться, что и0 =
= ехр{- [х2/Bя2)](М2 + ЩМ2 - I))/
Можно подводить итоги. Первые две моды на всем сечении Неустойчи-
Неустойчивого резонатора из гауссовых зеркал большого размера, а последующие
120
на большей его части описываются функциями хти0(х), которые являют-
являются решениями оптико-геометрического уравнения B.40), близкого к урав-
уравнению Сигмена и Арратуна B.37). Показатели степени при х действитель-
действительно оказываются целочисленными, только это вытекает не из каких-либо
условий на оси резонатора (где геометрическое приближение перестает
быть справедливым), а из требования ограниченности ит(х) на бесконеч-
бесконечности (по поводу этой и других подробностей, касающихся неустойчивых
резонаторов с гауссовыми зеркалами, отсылаем к [69] ).
Самым интересным, пожалуй, все же является то, что в соотношениях
B.38), B.39) от формы распределения коэффициента отражения зеркал
зависит только общий для всех собственных функций множитель ио(х)
(величина 1/vv = yl/w2 в первом приближении определяется значением
ImQ/w2), которое от а не зависит). Примечательно также, что собствен-
собственные значения в соответствии с B,38) не зависят от размеров зеркал и у
мод с разными т различаются прямо-таки кардинально.
Многое дает основание ожидать, что и при другой форме распределе-
распределения коэффициента отражения зеркал должны иметь место сходные законо-
закономерности (казалось бы, может обновиться, в соответствии с B.41), толь-
только Wo). Тем более удивительными могут показаться результаты расчетов
неустойчивых резонаторов из обычных зеркал, к изложению которых
мы сейчас и переходим.
Резонаторы с резким краем в дифракционном приближении. Как указы-
указывалось в конце § 2.2, полный обход любого резонатора с односторонним
выводом (реально ограничивает сечение светового пучка только одно из
зеркал) равноценен проходу в одном из направлений по соответствующим
образом подобранному симметричному резонатору. Там же давались
рецепты установления соответствия между резонаторами, у которых пара-
параметры М и N отличаются лишь знаками. Поскольку потери и распределения
действительной амплитуды у них одинаковы, приведенные ниже результа-
результаты расчетов, формально относившихся к симметричному резонатору из
двух обычных выпуклых зеркал (рис. 2.24), в действительности носят
универсальный характер.
Пример резонатора с односторонним выводом, эквивалентного данно-
данному симметричному, мы приводили в начале рассмотрения неустойчивых
резонаторов с гауссовыми зеркалами; как и там, будем относить потери
и М к прохождению симметричного резонатора в одном из направлений.
Уже упоминалось о том, что Сигмен в своей первой статье о неустойчи-
неустойчивых резонаторах [198] высказал весьма интересное соображение по поводу
краевых эффектов в них. Он указал, что при больших потерях краевая
дифракция должна влиять, видимо, только на периферийную часть пучка,
сразу выходящую из резонатора. Отсюда следует, что ни распределение
поля на зеркалах (или, при одностороннем выводе, на выходном зерка-
зеркале), ни величина потерь не должны заметно зависеть от краевых эффектов;
аналогичный вывод о свойствах неустойчивых резонаторов с большими
потерями можно найти также у Вайнштейна ([80], задача № 8 к гл. 4).
После рассмотрения варианта с гауссовыми зеркалами тем более трудно
ожидать, что переход к обычным зеркалам может существенно сказаться
на спектре собственных значений.
121
Несмотря на все это, результаты точных машинных расчетов, проведен-
проведенных для двумерного резонатора Сигменом и Арратуном в [201] методом
итераций он пояснен в § 3.3), показали, что истинная картина свойств
неустойчивых резонаторов с полностью отражающими зеркалами конеч-
конечных размеров достаточно сложна. Было обнаружено, что распределение
поля моды с наименьшими потерями не слишком сильно, но все же замет-
заметно отличается от предсказаний геометрического приближения (рис. 2.25).
Более того, оказалось, что характер этого распределения и величина потерь
Рис. 2.25. Распределение ампли-
амплитуды мед с наименьшими поте-
потерями около точки вырождения в
резонаторе с резким краем при
М - 1,86, ТУэкв « 5: / - 7V3KB ?
сложным образом зависят от поперечных размеров зеркал, обнаруживая
при фиксированном М квазипериодическую зависимость от параметра
iV3KB = GV/2) {М — 1/М). Типичный вид рассчитанной в [201] зависимости
потерь от Л^экв приведен на рис. 2.26я (использованный вариант методи-
методики расчета позволял находить одновременно потери двух наиболее доброт-
добротных мод).
Работа Сигмена и Арратуна явилась существенным вкладом в теорию
неустойчивых резонаторов; в частности, именно здесь был введен играю-
играющий важную роль параметр А^экв* Однако физический смысл этого пара-
параметра остался неясным; кроме того, при интерпретации расчетных дан-
данных авторы [201] ошибочно посчитали, что нижняя "волнистая" линия
GHJ . . . соответствует одной моде низшего порядка, а V-образные ответ-
ответвления AGB, CHD, EJF, ... — другой симметричной моде. В действитель-
действительности, как было указано в [62] и подтверждено результатами позднейших
машинных расчетов [195, 202], кажущаяся периодичность изменения
потерь вызывается тем, что по мере роста N3KB симметричные типы коле-
колебаний, обладающие наивысшей добротностью, поочередно сменяют друг
друга. Эта смена происходит вблизи целочисленных значений Л^экв» ПРИ
которых моды оказываются двукратно вырожденными по потерям (но
не по частоте). Отметим, что на рис. 2.25 приведены конфигурации полей
именно двух соседних мод вблизи точки вырождения.
На рис. 2.266, в изображена более полная картина поведения собствен-
собственных колебаний двумерного резонатора и трехмерного резонатора с круглы-
круглыми сферическими зеркалами. Видно, что имеется, в конечном счете,
небольшое число мод (в двумерном резонаторе симметричных, в трехмер-
трехмерном - аксиально-симметричных), потери которых изменяются с Л^Экв
квазипериодическим образом, так что эти моды поочередно становятся
наиболее добротными. В трехмерном случае эти закономерности сохраня-
сохраняются и при больших А^экв» в то время как в двумерном, начиная с опре-
определенного значения Л^Экв> кривые перестают пересекаться - вырождение
122
60
1
I
¦§ 20
О
а
1
I
so
I
60
0.32
0,14
0,76
0,08
О
1 1 I
в
Ю 12
S
Рис. 2.26. Зависимость потерь и собственных значений от 7V3KB: a - потери в двумер-
двумерном резонаторе, М = 1,86 [201]; б - потери в двумерном резонаторе, М = 3,3 (пунк-
(пунктиром нанесены потери для низшей моды резонатора со сглаженным краем) [195];
в - собственные значения в трехмерном резонаторе со сферическими зеркалами,
М - 5, азимутальный индекс равен нулю (зависимость амплитуды от азимутального
Угла отсутствует) [202]
1ft
^t^^^^si^^
%0,6
о
% О
\п,10
0,2
0,2
ол
0,4
0,6
0,6
0,5
0,6
х а
1ft
7,0
Рис. 2.27. Распределение амплитуды и фазы
основной моды двумерного резонатора при
^экв = 30,Л/ = 2,38 [135]
Рис. 2.28. Образование рассеянных волн
при краевой дифракции
по потерям снимается. При еще больших значениях Л^экв отличия распре-
распределения поля низшей моды двумерного резонатора от идеальной волны
геометрического приближения становятся совсем малыми и носят слу-
случайный характер [39,135] (рис. 2.27).
Не вдаваясь в детальный анализ, можно сразу сделать вывод о том,
что краевые эффекты в неустойчивых резонаторах все же проявляются
(особенно сильно при круглых сферических зеркалах), хотя на выходное
зеркало падает лишь центральная и, казалось бы, почти не возмущенная
за счет дифракции часть пучка. Причины этого были объяснены в работах
[69,10] и заключаются в следующем.
Как было показано в предыдущем параграфе, в результате дифрак-
дифракции, кроме неискаженной отраженной от зеркала волны, появляется также
дополнительная волна, фиктивным источником которой служит край зер-
зеркала (рис. 2.28). Хотя амплитуда дополнительной волны резко убывает
с удалением от направления отраженной волны, какая-то часть излучения
124
рассеивается и под большими углами, в том числе в направлении, обратном
направлению падающей волны (отмечено штриховыми стрелками). Это
излучение дает начало сходящейся волне, со свойствами которой мы в
определенной степени уже знакомы.
Напомним особенность сходящейся волны, благодаря которой та может
приобрести особую значимость: в то время как интенсивность основной -
расходящейся — волны убывает по однократном прохождении резонатора
в \М\ (двумерный резонатор) или М2 (трехмерный) раз, излучение, от-
относящееся к сходящейся волне, на протяжении ряда обходов *) полностью
остается внутри резонатора. В результате сходящаяся волна, несмотря на
свою ничтожную интенсивность вблизи края системы, где она образуется,
по мере приближения к оси резонатора усиливается настолько, что оказы-
оказывает существенное влияние на структуру поля и величину потерь.
Именно соображения о важности роли образующейся за счет краевой
дифракции сходящейся волны позволили автору установить смысл пара-
параметра Л^экв [Ю]. На рис. 2.28 штриховой дугой, касающейся зеркала,
изображена эквифазная поверхность расходящейся волны, движущейся
по направлению к этому зеркалу. Эта же поверхность является эквифаз-
ной и для сходящейся волны, движущейся уже от зеркала. Поэтому из-
излучение волны, падающее на край зеркала и затем образующее сходящую-
сходящуюся волну, проходит между касающимися зеркала эквифазными поверх-
поверхностями этих волн суммарное расстояние 2е, которое, как нетрудно убе-
убедиться (подсчитав, исходя из геометрии резонатора, кривизны волн),
равно N3KBX. Таким образом, при изменении N3KB на единицу разность
фаз между расходящейся и порождаемой ею за счет краевой дифракции
сходящейся волнами изменяется на 2тг, что и приводит к квазипериодич-
квазипериодичности свойств неустойчивых резонаторов.
Параметр N3KB, определяемый формулой Л^экв = (N12) (М - 1/М)
не только для данного типа резонаторов, но и в общем случае, является,
наподобие М и N, алгебраической величиной. В ситуации, изображенной
на рис. 2.28, А^экв ^ 0; если волновой фронт касается сначала края, а не
центра выходного зеркала линейного резонатора, А^экв < 0- Заметим
также, что определять N3KB по расстоянию между эквифазными поверх-
поверхностями расходящейся и сходящейся волн вблизи элемента, ограничиваю-
ограничивающего сечение пучка в резонаторе, можно всегда, в то время как определе-
определение Л^ьсв* Данное на Рис- 2.28, в некоторых случаях теряет смысл. Это
имеет место в первую очередь в кольцевых резонаторах, а также в систе-
системах, у которых сечение пучка ограничено не выходным зеркалом, а раз-
размещенной на заметном удалении от него диафрагмой.
Поскольку в подавляющем большинстве практических применений
используются резонаторы с положительными М иЛ^экв» мы в последую-
последующих выкладках обозначения модулей у этих величин будем опускать.
Если характер распределения поля в резонаторах с резким краем при
умеренных А^экв удается установить сравнительно простым способом
[208], то более тщательное и полное рассмотрение свойств неустойчивых
резонаторов может быть проведено аналитическими методами Вайнштей-
*)Их число совпадает с подсчитанным в § 3.3 числом п0 обходов, на котором
формируется основная мода неустойчивого резонатора [13].
125
на наподобие того, как это было сделано в предыдущем параграфе для
случая плоского резонатора. И здесь учет интерференционных эффектов
приводит к тому, что рассеянное краевой дифракцией внутрь резонатора
излучение оказывается распределенным уже не по всем, а по ряду дискрет-
дискретных направлений, одно из которых соответствует "отраженной" от края
волне, остальные — "трансформированным" волнам.
Из сопоставления рис. 2.13 и 2.28 видно, что в случае неустойчивых
резонаторов при падении на край расходящейся волны отраженная от
него и есть сходящаяся. Как и в плоском резонаторе, она оказывается
выделенной по отношению к другим волнам, порожденным краевой диф-
дифракцией, однако играет уже не столь исключительную роль. Если в плоском
резонаторе отраженная волна была самой близкой по направлению распро-
распространения к исходной и поэтому обладала самой большой интенсивностью
среди рассеянных, то здесь имеются трансформированные, отклоненные
от исходной не только на большие, но и на меньшие углы. Следует еще
иметь в виду, что при больших в угловой спектр дискретных направле-
направлений вп вообще сгущается, поэтому ближайшие к отраженной трансфор-
трансформированные волны очень сходны с ней и почти столь же долго "блужда-
"блуждают" по резонатору.
Эти соображения свидетельствуют в пользу того, что в формировании
самовоспроизводящихся распределений поля может играть важную роль
не только отраженная, но и ближайшие к ней трансформированные волны.
Необходимость учета более чем одной рассеянной волны и сложность фор-
формул, описывающих распространение вол ново дных волн внутри резонато-
резонатора из выпуклых зеркал, чрезвычайно затрудняет расчеты по методу Вайн-
штейна; дело сводится, в конечном итоге, к решению на ЭВМ громозд-
громоздкой системы трансцендентных уравнений.
И все же подобные расчеты были проведены [85, 86]. Они показали,
что сложные закономерности типа изображенных на рис. 2.26 действитель-
действительно могут быть объяснены с помощью ввода в рассмотрение, кроме отражен-
отраженной, также одной-двух трансформированных волн. Результаты [85, 86]
и других работ, посвященных расчетам неустойчивых резонаторов ме-
методом Вайнштейна, совершенно не наглядны и трудно обозримы. К счастью,
в дальнейшем станет ясно, что разбираться во всех этих тонкостях и не
нужно. Ограничимся тем, что сугубо качественно поясним возможность
существования за счет краевых эффектов в неустойчивых резонаторах
сравнительно мало отличающихся друг от друга (еще раз адресуем к
рис. 2.25), но всех же различных мод.
Как уже упоминалось, эти моды вырождены по потерям, но не по часто-
частоте. В предыдущем параграфе нам довелось столкнуться с тем, что при за-
заданной геометрии волновода малые изменения частоты приводят к много
большим изменениям констант распространения кх или кг. В результате
при немного иной частоте рожденные на краю резонатора отраженная и
трансформированные волны подходят к оси, где они переходят в расходя-
расходящуюся волну, с заметно измененными фазами. Добавим еще, что при
малых отклонениях частоты от qnc/L начинает чуточку отличаться от
сферической также и основная расходящаяся волна. Поэтому нет ничего
удивительного в том, что, немного варьируя частоту около значения
qnc/L, можно найти несколько разных самовоспроизводящихся наборов
126
из интересующих нас нескольких волн (что и делается при использовании
метода Вайнштейна).
Настала, наконец, пора подвести итоги всему нашему рассмотрению.
Оно показало, что общая картина явлений в неустойчивых резонаторах
с резким краем формально похожа на ту, с которой мы столкнулись при
анализе плоских резонаторов. Напомним, что там решение тоже состоит
из волноводных волн, одна из которых следует к ближайшему открыто-
открытому краю, другая — от него. То, что в неустойчивых резонаторах заметную
роль играет не одна, а несколько близких друг к другу бегущих от края
волн, не столь уж важно.
Несмотря на это, различия между модовыми структурами резонаторов
с малыми и с большими дифракционными потерями оказываются огром-
огромными и носят принципиальный характер. Причины достаточно очевидны.
Ведь в том же плоском резонаторе коэффициент "отражения" от края
близок к единице, и две следующие навстречу друг другу волноводные
волны на всем сечении резонатора имеют почти равные амплитуды. В ре-
результате интерференции двух волн одинаковой интенсивности и образует-
образуется характерное знакопеременное распределение амплитуды по сечению.
То же самое имеет место и в устойчивых резонаторах, только там бегущая
от оси волнозодная волна "отражается" не от края зеркала, а от каусти-
каустики (благодаря постепенному изменению направления распространения
входящих в нее световых пучков при попеременном отражении от вогну-
вогнутых зеркал).
Что же касается неустойчивых резонаторов, то здесь бегущие к оси
резонатора волны, порожденные краем, имеют вблизи последнего ничтож-
ничтожную интенсивность и "набираются силы" только на подходе к оси. На боль-
большей части сечения резонатора они лишь слегка возмущают основную рас-
расходящуюся волну, главные же "события" разыгрываются у оси; именно
поэтому основные различия между распределениями полей вырожденных
мод наблюдаются в приосевой зоне (рис. 2.25).
Неустойчивые резонаторы с частично "сглаженным" краем. Рассмотре-
Рассмотрение свойств неустойчивых резонаторов из обычных зеркал конечного
размера показало нам, что наличие волн, рассеянных за счет краевой диф-
дифракции и попадающих назад в резонатор, вызывает нежелательные последст-
последствия: заметные отступления распределений полей от идеальных волн гео-
геометрического приближения, вырождение мод по потерям.
Правда, все это при более внимательном анализе оказывается не таким
уж страшным. Укажем, в частности, что одновременное возбуждение вы-
вырожденных мод даже не приводит к заметному возрастанию результирую-
результирующей расходимости выходного излучения: из неустойчивых резонаторов
обычно выводится только периферийная часть пучка, и угловые характери-
характеристики выходного излучения у вырожденных мод почти неразличимы.
Поэтому переоценивать последствия краевых эффектов не стоит; однако
иногда они могут затруднить достижение тех или иных целей (скажем,
реализацию режима одночастотной генерации).
Резонаторы с гауссовыми зеркалами обладают "идеально сглаженным"
краем: рассеянные волны там вообще не возникают, отсутствуют, как
мы видели, и связанные с последними неприятности. Вместе с тем, реали-
реализовать на практике гауссовы зеркала весьма трудно, а с необходимой для
127
мощных лазеров (где, главным образом, и используются неустойчивые
резонаторы) лучевой стойкостью зачастую просто невозможно. Поэтому
выяснение того, не может ли аналогичный эффект быть достигнут ct по-
помощью менее радикальных средств, представляет не только познаватель-
познавательный, но и большой практический интерес.
Чтобы дать ответ на поставленный вопрос, вернемся к рис. 2.28, на
котором изображен процесс образования сходящейся волны за счет отра-
отражения от края части падающего на него излучения основной расходящей-
расходящейся волны. Мы уже отмечали, что процесс дифракционного отражения от
края неустойчивого резонатора имеет важную особенность, которая и при-
приводит к ничтожно малой начальной интенсивности отраженной и ближай-
ближайших трансформированных волн. В отличие от ситуации, с которой мы
столкнулись при исследовании плоских резонаторов, здесь набегающая
на край волна имеет вблизи него сравнительно большой угол падения а,
определяемый геометрией системы. Нетрудно показать, что этот угол
связан с параметрами дифракционной теории соотношением а =^экв^-
Из предыдущего параграфа нам известно, что интенсивность отражен-
отраженной волны (а, следовательно, и ближайших к ней трансформированных
волн) резко падает, если отклонения края за счет его шероховатости от
идеальной границы достигают величины Ао/2 = Л/4а; для неустойчивых
резонаторов Ао = ^1 BN3KB\/a) = a/BN3KB). Поэтому можно ожидать,
что переход от модовой структуры, свойственной резонаторам с "резким
краем" (рис. 2.26), к более благоприятной структуре, похожей на
имеющую место при гауссовых зеркалах, происходит уже тогда, когда
размеры шероховатостей (или, как часто говорят, ширина "зоны сглажи-
сглаживания" края) достигают значений порядка Ао = a/ BN3KB),
Важность этого соображения, сформулированного в [69], становится
очевидной, если принять во внимание, что значение параметра А^кв реаль-
реальных резонаторов часто составляет от нескольких десятков до многих
тысяч (гл. 4). Этому соответствуют ничтожные значения необходимой
ширины "зоны сглаживания". Подобная "нечеткость" края нередко су-
существует уже в силу естественных причин; во всяком случае, при необ-
необходимости ее нетрудно обеспечить с помощью простейших мер, которых
мы коснемся в дальнейшем.
Правильность концепции [69] была подтверждена рядом последующих
работ. Показательны результаты численных расчетов, выполненных с по-
помощью стандартного итерационного метода (§ 3.3) в [135]. Расчеты от-
относились к случаю "двумерного" резонатора из цилиндрических зеркал.
Эффект "сглаживания" края достигался тем, что коэффициент отражения
зеркала задавался спадающим от единицы до нуля не скачком, а на про-
протяжении зоны конечной ширины. Нетрудно видеть, что эта ширина имеет
тот же смысл, что и глубина шероховатостей.
Чтобы установить точные законы эквивалентности между этими двумя
способами "сглаживания" края, обратимся к рис. 2.29. На нем изображен
фрагмент шероховатого края зеркала; величина отклонений А(у) отсчи-
тывается от оси у. Выделим узкую зону, находящуюся на расстоянии х
от этой оси. Из излучения, приходящегося на эту зону, попадает на зеркало
и дает вклад в амплитуду отраженной волны доля, равная отношению
суммарной длины заштрихованных участков зоны к общей ее длине. Это
128
отношение равно суммарной-вероятности fp(A)dA отклонений, превы-
X
шающих х.
Чтобы перейти к модели плавно спадающего амплитудного коэффи-
коэффициента отражения R', ему следут приписать, очевидно, значение, равное
оо
указанному отношению: R'(x) = f р(А) dA, откуда
р(А) = -
dR'(x)
dx
- dR'
X = -/ expBikax) dx.
—оо dx
В частности, гауссову закону распределения р(А) соответствует
t2
ехр(--) А,
\ 2 /
R<x) / ехр(
где d0 = у/Ф = h/y/2 (использованы те же обозначения, что и в предыду-
предыдущем параграфе).
Данные [135] относились, главным образом, к случаю, когда/?' спадает
внутри "зоны сглаживания" шириной Ао по линейному закону; это соот-
соответствует не случайным шероховатостям, а правильным зубцам одинако-
одинаковой глубины и приводит к меньшему ослаблению рассеянных волн. Не-
Несмотря на это, вырождение двух низших симметричных мод по потерям
действительно исчезло, а сами потери оказались весьма близки к пред-
предсказываемым формулой B.38). Распределения полей этих мод переста-
перестали походить друг на друга, причем низшая мода сделалась почти неотли-
неотличимой от сферической волны геометрического приближения с равномерно
распределенной интенсивностью, хотя N3KB составляло всего 4. Вторая
мода не в такой степени, но все-таки достаточно приблизилась к сфери-
сферической волне с и ^ х2.
Рис. 2.29. Увеличенный фрагмент шероховатого края зеркала
Заметим, что вообще при переходе к модам более высокого порядка
влияние сходящихся волн закономерно возрастает и для его устранения
нужна все большая степень сглаженности края. Это нетрудно понять, если
исходить из распределения поля в резонаторе с идеально сглаженным
краем и ввести частично сглаженный край как возмущение, приводящее
к образованию сходящейся волны. Исходное поле мод высокого поряд-
порядка, как показывает анализ формулы B.39), сравнительно велико на пери-
периферии резонатора и мало вблизи оси. Поэтому с повышением поперечно-
9. Ю. А. Ананьев 129
го индекса, с одной стороны, растет начальная интенсивность сходящейся
волны, с другой — увеличивается ее влияние на структуру поля в централь-
центральной части резонатора. В дальнейшем мы проблему высших мод затраги-
затрагивать уже не будем.
Итак, для снятия вырождения низших мод двумерных неустойчивых
резонаторов с малыми jV3kb достаточно ширины зоны сглаживания 2А0
даже при спадении R' по неблагоприятному линейному закону (напом-
(напомним, что при больших N3KB вырождение в двумерных резонаторах от-
отсутствует и без всякого сглаживания). Этот вьюод может быть непо-
непосредственно обобщен и на случай трехмерного резонатора со сферически-
сферическими прямоугольными зеркалами, так как для таких резонаторов, как мы
неоднократно видели, переменные легко разделяются.
В резонаторах с круглыми сферическими зеркалами краевые эффекты
проявляются значительно сильнее: здесь, в отличие от двумерных резона-
резонаторов с цилиндрическими зеркалами, простое увеличение Агэкв при
наличии резкого края не приводит к снятию вырождения низших мод (см.
рис. 2.26). Причины заключаются в том, что плотность сходящейся волны
по мере ее приближения к центру увеличивается при сферических зерка-
зеркалах более резко, чем при цилиндрических. В работах [86, 125] методом
Вайнштейна показано, что для снятия вырождения в резонаторах с круглы-
круглыми сферическими зеркалами необходимо уменьшение амплитуды сходя-
сходящейся волны, по сравнению со случаем резкого края, примерно в
е 1пBтг#экв)/1пМ раз.
При больших Л^экв спадание Rr в зоне шириной 2А0 по линейному
закону такого ослабления сходящейся волны не обеспечивает. Если, одна-
однако, прибегнуть к более естественному предположению о гауссовом рас-
распределении глубины шероховатостей, то оказывается, что требуемое ослаб-
ослабление достигается при среднеквадратичном значении d0 отклонений края
от идеальной линии
d0 =
Вычисления по этой формуле показывают, что при самых неблагоприят-
неблагоприятных параметрах встречающихся на практике резонаторов необходимое
d0 не превышает Ао.
Можно подводить итоги. Наличие шероховатостей края глубиной поряд-
порядка Ао обеспечивает снятие вырождения низшие мод неустойчивых резо-
резонаторов во всех случаях. Снятие вырождения по потерям сопровождает-
сопровождается тем, что распределение поля и потери низшей моды начинают с высокой
степенью точности описываться формулами оптико-геометрического при-
приближения.
Что из этого следует, мы увидим в гл. 3. Сейчас же осталось только
отметить, что небольшие шероховатости, "гася" сходящуюся волну, практи-
практически не влияют на величину краевого дифракционного рассеяния под
малыми углами; поэтому в выходящей из резонатора периферийной части
пучка проявления дифракции все же остаются.
ГЛАВА 3
ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
О СВОЙСТВАХ РЕАЛЬНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
И О ПРОИСХОДЯЩИХ В НИХ ПРОЦЕССАХ
Уже первые эксперименты с лазерами показали, что оптические резона-
резонаторы очень "чувствительны" к воздействию весьма разнообразных возму-
возмущений (об истории этих экспериментов и их содержании см. [16], § 2.3).
Это связано, в первую очередь, с тем, что размеры резонаторов здесь на-
намного превышают длину волны: достаточно небольшой неоднородности за-
заполняющей резонатор среды или отступлений от требуемой формы и гео-
геометрии расположения зеркал, чтобы вариации оптических расстояний стали
сравнимы с X. Далее будет видно, что такие вариации порой могут изме-
изменить распределение поля внутри резонатора до неузнаваемости.
Отметим, что возмущения некоторых типов практически неустранимы.
К ним относится, в частности, наличие неоднородностей активной среды:
уже сам процесс ее возбуждения всегда сопровождается рассеянием в ней
значительного количества энергии, которая расходуется на нагрев среды,
образование в ней ударных волн и т.д.
Все это заставляет нас внимательно ознакомиться с последствиями воз-
возмущений; соответствующему анализу посвящена первая половина насто-
настоящей главы. Далее мы кратко остановимся на механизме выделения мод
резонатора из "шумовой затравки" в начале процесса генерации. В заклю-
заключение будет немного подробнее рассмотрен важнейший вопрос теории резо-
резонаторов, заполненных активной средой. Этот вопрос касается факторов,
определяющих число и интенсивность мод, возбуждающихся во время гене-
генерации; он требует некоторых предварительных комментариев.
Дело в том, что характер возбуждения колебаний в резонаторе связан,
главным образом, с состоянием активной среды, которое, в свою очередь,
зависит не только от "внешних" по отношению к резонатору причин, но и
от результатов взаимодействия среды с тем самым полем генерируемого
излучения, которое формируется внутри резонатора. Поэтому любые по-
попытки корректного рассмотрения процессов возбуждения лазерных резона-
резонаторов приводят к необходимости искать самосогласованное решение для
всей системы "резонатор + активная среда", что относится уже к области
теории лазеров.
Таким образрм, границы между теорией реальных лазерных резонато-
резонаторов и теорией лазеров носят условный характер. Это требует уточнения
9* 131
круга вопросов, подлежащих рассмотрению: теория лазеров сейчас ста-
стала столь обширной научной дисциплиной, что сколько-нибудь основательнее
освещение всех ее аспектов в одной монографии немыслимо. Чтобы в
том убедиться, достаточно посмотреть, сколь скудны и порой не лишены
ошибок сведения о резонаторах даже в наиболее уважаемых руководствах
по квантовой электронике (так, Ярив в [136] по поводу "волнистых"
графиков потерь неустойчивых резонаторов ошибочно ссылается на фор-
формулы геометрического приближения; еще одна имеющаяся в [136] неточ-
неточность будет упомянута в § 3.3).
В настоящей монографии мы лишь весьма бегло коснемся лазеров со
сложной кинетикой генерации, основное же внимание уделим стационар-
стационарному режиму. Такой акцент не случаен: именно в стационарном режиме
характеристики выходного излучения наиболее тесно и непосредственно
связаны со свойствами применяемого резонатора, поэтому вопрос о пра-
правильном выборе параметров последнего имеет первостепенное значение.
Немаловажно также и то, что здесь придется совсем немного углубляться
в дебри теории лазеров: при стационарном режиме присутствие активной
среды может быть учтено введением всего двух-трех параметров, имеющих
достаточно простой смысл.
Переход к рассмотрению особенностей реальных лазерных резонаторов
заставляет нас тщательнее относиться к отбору подлежащих изложению све-
сведений: здесь особенно легко перейти ту границу, за которой все большая
детализация становится совершенно бесполезной.
Автор считает необходимым напомнить о существовании подобной гра-
границы, поскольку специалисты по лазерной технике слишком часто не отда-
отдают себе отчета в том, что отличает науку о лазерах от естественно-научных
дисциплин. В последних приходится иметь дело с объектами, существую-
существующими независимо от нас; поэтому поневоле приходится изучать их свой-
свойства, невзирая на то, соответствуют ли они нашим пожеланиям. Что же ка-
касается лазеров, то это — приборы, сделанные нашими руками для вполне
определенных целей. Если они ведут себя неподходящим образом, то, ка-
каким бы любопытным ни было их поведение, в большинстве случаев нужно,
выяснив, что было сделано нами плохо, пытаться эти приборы усовершен-
усовершенствовать. Вместо этого нередко затеваются многолетние попытки пос-
поставить все точки над "и" в вопросах, не представляющих особого практи-
практического интереса.
Результаты подобных исследований мы будем обходить стороной. Для
успешной деятельности в области создания и применения лазеров нужно хо-
хорошо представлять себе общую картину явлений в основных стандартных
ситуациях и уметь проводить хотя бы грубые оценки влияния тех или иных
факторов. Сообразно с этим и будет строиться наше изложение.
§ 3.1. Основные виды возмущений и "паразитных" эффектов
Условия применимости модели идеального резонатора для описания ре-
реальных лазеров. В конце § 2.1 были рассмотрены свойства резонатора с
полупрозрачным выходным зеркалом и активной средой. Анализ этого
примера позволяет сформулировать условия, выполнение которых необ-
необходимо для того, чтобы можно было применять результаты теории откры-
132
тых пустых резонаторов для описания структуры поля реальных лазеров
[8]. Действительно, посмотрим, какими предложениями, вольно или не-
невольно, нам тогда пришлось воспользоваться, чтобы оказалось возможным
построить пустой резонатор из полностью отражающих зеркал, обладаю-
обладающий такой же модовой структурой, как и у исходного резонатора со
средой.
В первую очередь, мы считали, что среда является полностью однород-
однородной. Нам не помешало бы также, если бы она была линзоподобной: и в
этом случае мы тоже смогли бы построить эквивалентный пустой резона-
резонатор, правда, более сложным способом (пришлось бы, помимо прочего,
придать дополнительную кривизну зеркалам). В общем случае прохожде-
прохождение светового пучка через неоднородную среду и вовсе не может быть упо-
уподоблено прохождению через линзы и участки пустого пространства -
подбор эквивалентного пустого резонатора чрезвычайно осложняется и
во многих случаях вообще становится невозможным. Последствия, к кото-
которым приводит неоднородность среды в резонаторах разных типов, будут
рассмотрены в следующем параграфе.
Далее, мы полагали, как и во всей гл. 1, что поверхности раздела, через
которые проходят рождающиеся в резонаторе пучки, являются просвет-
просветленными. Во всяком случае, влияние света, отраженного от таких поверх-
поверхностей (к которым относятся торцевые поверхности активного элемента),
должно быть исключено. Если в обычных оптических системах "френе-
левское" отражение приводит главным образом к уменьшению интен-
интенсивности прошедшего излучения, то в резонаторе пучки, берущие начало
на поверхностях раздела, налагаются на основной пучок, отраженный от
концевого зеркала. Это может вызвать последствия, пренебречь которыми
уже нельзя; вскоре мы на них немного остановимся, а пока приведем
простой численный пример, поясняющий важность эффектов подобного
рода.
Пусть с пучком, имеющим интенсивность 1<ь когерентно складывает-
складывается пучок с интенсивностью 0,04 I 0 (коэффициентом отражения по интен-
интенсивности, равным 4%, обладает граница между воздухом и обычным стек-
стеклом при нормальном падении). Суммарная интенсивность в максимуме об-
образующейся благодаря наложению пучков интерференционной картины
составляет ( V% + V0,04I0J = 1,44 10, в минимуме (\/Т0 -
—\/0,0410J = 0,64 10. Эти цифры особых комментариев не требуют.
То обстоятельство, что выходное зеркало резонатора со средой счита-
считалось не полностью отражающим, а полупрозрачным, не послужило помехой
при построении эквивалентного резонатора. Однако предполагать, что это
зеркало имеет на всей своей поверхности один и тот же коэффициент отра-
отражения R', нам все же пришлось.
Среди разных источников возмущений неравномерность распределения
коэффициента отражения выходного зеркала обычно играет самую ничтож-
ничтожную роль просто потому, что она мала. Зато намного более серьезные
неприятности подстерегают со стороны "открытых" боковых границ резо-
резонатора. Ведь при выводе уравнения B.5) использовалась модель бесконеч-
бесконечного однородного слоя. Для ее применимости в принципе нужно, чтобы
и показатель преломления, и инверсная населенность были постоянны
133
(или, на худой конец, квадратично зависели от поперечных координат) не
только непосредственно между зеркалами, но и во всей области, где поле
излучения обладает заметной интенсивностью. Влияние боковых поверхнос-
поверхностей активных элементов, стенок кювет, поверхностей электродов возбуж-
возбуждения разряда и тому подобного проявляться не должно.
В реальных лазерах последнее условие выполняется не слишком часто.
Более того,* нередко роль апертурных диафрагм, ограничивающих зону ге-
генерации, выполняют не зеркала, а боковые поверхности активного стержня
или стенки кюветы. Последствия, к которым это может привести, будут
рассмотрены в конце настоящего параграфа.
Наконец, для того чтобы распределение поля излучения лазера вообще
могло > описываться собственными решениями интегрального уравнения, не
содержащего зависимостей от времени, необходимо, чтобы условия генера-
% ции достаточно долго оставались неизменными. Это требование опять-таки
выполняется далеко не всегда. Так, еще в 60-х годах стало известно, что
при моноимпульсном режиме работы лазера пространственное распределе-
распределение коэффициента усиления и поля излучения меняется чрезвычайно быст-
быстро ( за время 1СГ9 -г 1СГ8 с). В подобной ситуации рассматривать прост-
пространственную структуру излучения вне связи с кинетикой генерации бес-
бессмысленно. Наиболее фундаментальные работы об этой связи для
случая плоского резонатора принадлежат Сучкову и Летохову [130,
117].
Режим работы многих типов лазеров нестационарен и в отсутствие мо-
модуляции добротности. Так, практически у всех твердотельных лазеров
генерация не длится все то время, пока превышен порог, а состоит из
отдельных хаотически распределенных во времени всплесков — "пич-
ков" длительностью ^ 10"* с со средним интервалом между ними
>, 10 с (такой режим называют "пичковым"). Детальное теоретическое
описание пространственно-временной структуры в подобных случаях прак-
практически невозможно, поэтому здесь чаще всего приходится довольство-
довольствоваться квазистационарным приближением, не учитывающим особеннос-
особенностей кинетики.
Поверхности раздела. Наличие непросветленных поверхностей раздела,
перпендикулярных оси резонатора или близких к тому, может сильно
сказаться как на поперечной структуре мод, так и на характере их спект-
спектра. Вначале остановимся на случаях, когда влияние на поперечную струк-
структуру отсутствует. Такое может случиться, очевидно, если волны, отра-
отраженные от поверхности раздела, в точности совпадают с волнами, прохо-
проходящими черех них.
Предварительным условием такого совпадения является сходство струк-
структуры у волн, следующих через невозмущенный разонатор в противопо-
противоположных направлениях. Это условие выполняется с удовлетворительной
точностью в резонаторах с малыми дифракционными потерями, а именно
устойчивых и лежащих на границе области "ycT0H4HB0CTH"- В случае ус-
устойчивых резонаторов поверхности разделов должны пролегать вдоль
общих для всего семейства пучков опорных поверхностей (рис. 2.9); при
плоских или эквивалентных им резонаторах — вдоль эквифазных по-
поверхностей плоских или сферических волн решения в геометрическом
приближении (рис. 3.1).
134
Поясним характер вызываемых наличием таких поверхностей изменений
спектра собственных колебаний на простейшем примере плоского резона-
резонатора, внутри которого имеется единственная непросветленная поверх-
поверхность Я, разделяющая участки длиной 1\ и /2 (рис. 3.1 д ), первый из кото-
которых заполнен средой с показателем преломления п, а второй пустой. Для
простоты будем считать все волны внутри резонатора плоскими и рас-
распространяющимися вдоль оси; применительно к спектру это означает
h
н
о
н
а
Рис. 3.1. Резонаторы с поверхностями раздела, пролегающими вдоль волновых фрон-
фронтов генерируемых пучков: а — плоский резонатор, б — концентрический резонатор
пренебрежение теми небольшими поправками к собственным частотам,
которые связаны с Ь'т (см. § 2.1).
Решая задачи подобного рода, удобно иметь дело не с истинной напря-
напряженностью поля внутри среды с показателем преломления п Ф 1, а с вели-
величиной, в \/лГраз большей. Тогда исчезают различия между коэффициентами
амплитудного пропускания волн, падающих на границу раздела с разных
сторон (коэффициенты отражения, естественно, не изменяются): квадрат
их обоих становится равным энергетическому коэффициенту пропускания.
При использовании такой системы обозначений указанная поверхность
раздела в рассматриваемом нами случае нормального падения имеет ампли-
амплитудные коэффициенты отражения ± R\ и пропускания >/fZ/?'12j где
R\ = (п — \I(п +1); знаки "+" и "—" у коэффициента отражения соот-
соответствуют случаям падения света на Я слева и справа ^(известно, что при
отражении от оптически более плотной среды происходит, как говорят в
оптике, "потеря полуволны" - фаза изменяется на тг).
Рассчитаем эффективный коэффициент отражения излучения, падаю-
падающего на Я слева, от совокупности поверхности Я и правого зеркала,
амплитудный коэффициент отражения которого будем считать равнымR2.
Обозначим амплитуды волн, падающих на Я слева и справа, Ах иА2, отхо-
отходящих от Я направо и налево — Аъ иА4 (рис. ЗЛа) \ АъъАъ связаны оче-
очевидным соотношением А^ = Аъ expBffc/2) * ^2 • Поскольку Аъ складывается
из амплитуд волны, проходящей через Н слева направо, и волны, отражен-
отраженной от Я справа, получаем Аъ =у/\ - (R[J Ах - R[A2 =лЛ -(^iJ^i -
- R[ R2 expBikl2) • А3, откуда выражаем Аъ, а затем и А2 через Аг. Нако-
Наконец, учтя А4 = R[Ai + V1 — (R[J A2, находим искомый коэффициент
отражения Rf0 =АЛ/Аг:
R, = R[ +/^expBfc/2) = i _ A -R[)[l -R'2expBikl2)]
° 1 +R[R2expBikl2) 1 +R[R2expBikl2)
В принципе, теперь следовало бы искать комплексные к из трансцендент-
135
ного уравнения expBiknlx) • R'0(k) = 1. Однако мы ограничимся качествен-
качественным анализом фазовых соотношений, пренебрегая малыми мнимыми
поправками к к.
Очевидно, Rf0 достигает максимальных по модулю значений, равных
(R[ + /?i)/(l + R'iR'2), когда к = со/с удовлетворяет условию ехрBШ2) =
= 1, или со = irq2c/l2, гДе Я.7. ~ целое. Поскольку при этом эффективный
коэффициент отражения R'o от комбинации поверхности раздела и право-
правого зеркала оказывается действительным, одновременно должно выполнять-
выполняться фазовое условие expBiknli) = 1, или со = 'nq\cl{nll), где qx - также
целое.
Таким образом, предельной добротностью (наименьшими потерями)
обладают колебания с частотами, удовлетворяющими сразу двум фазо-
фазовым условиям: v = qic/Bnli) = q2c/Bl2)' Эту ситуацию иллюстрирует
рис. 3.2, где приведен вид двух частотных "гребенок" (см. также рис. 2.3)
на небольшом участке спектра. Искомые частоты, отмеченные стрелками,
находятся там, где относящиеся к разным "гребенкам" линии совпадают.
Периодичность совпадения определяется величиной отношения nli/l2;
рис. 3.2 соответствует случаю, когда оно равно 6:5. При произвольных
/i, /2 точных совпадений может и не быть; при неточных совпадениях
qic/Bnl1) и q2c/Bl2) собственная частота резонатора в целом принимает
некое промежуточное значение, потери растут с величиной рассогласования.
Таким образом, наличие перпендикулярных оси поверхностей раздела
вызывает существенное "прорежение" спектра мод, обладающих минималь-
минимальными потерями. Приведенный пример не только позволяет сделать такой
вывод, но и вполне достаточно поясняет методику проведения подобного
рода расчетов. Подробности, касающиеся более сложных случаев (ска-
(скажем, когда выходное зеркало представляет собой стопу плоскопараллель-
плоскопараллельных пластин), можно найти в монографии [74], специально посвященной
вопросам спектральной перестройки и селекции лазерного излучения.
Перейдем теперь к рассмотрению случаев, когда поверхности раздела
сказываются на поперечном распределении полей и, следовательно, угловой
расходимости излучения. Чаще всего такими поверхностями являются
1
i
1
с
2nlr Ь
— 9г
Рис. 3.2. К вопросу о влиянии поверх-
поверхностей раздела на спектр высокодоб-
высокодобротных мод
торцевые поверхности активных элементов-интерферометров твердо-
твердотельных лазеров: для этих лазеров сейчас обычно используют резонаторы
из внешних (не связанных с активным элементом) зеркал; добиться вы-
высокой степени точности совпадения между осью внешнего резонатора
и нормалями к торцевым поверхностям элемента весьма сложно.
У твердотельных лазеров число Френеля (§ 2.2), как правило, не слиш-
слишком мало, и устойчивые резонаторы применяются для них сравнительно
редко (причины этого будут ясны из § 3.3, 4.1). При плоских резонаторах
наличие слабо наклоненных по отношению к оси поверхностей раздела при-
136
водит к появлению дополнительных пятен в угловом распределении (спе-
(специальные эксперименты по ^тому поводу описаны в [82]), которые соот-
соответствуют трансформированным волнам.
Напомним, что углы наклонов трансформированных волн составляют
дискретный набор значений, определяемых исключительно эффективной
длиной резонатора (см. § 2.4; возводимым в квадрат малым наклоном
порождающей рассеянное излучение основной волны в оценках можно
пренебречь). Поэтому, как ни странно, от степени наклона торцов зависит
только распределение интенсивности между отдельными пятнами в угло-
угловом распределении, но не их взаимное расположение (некоторые коммен-
комментарии будут также в посвященных светорассеянию материалах следующе-
следующего параграфа).
Чтобы избавиться от эффектов подобного рода, торцы либо просвет-
просветляют, либо наклоняют так сильно, чтобы отраженный от них свет уже
не "блуждал" по резонатору. Последняя мера является самой радикаль-
радикальной; однако при непросветленных наклонных торцах приходится счи-
считаться с тем, что за счет выхода отраженного от них света в сторону соот-
соответственно снижается мощность излучения, выводимого через полупроз-
полупрозрачное выходное зеркало.
В случае неустойчивых резонаторов с N3KB > 1 (§ 2.5) просветление
поверхностей раздела не помогает, если хоть одна из них совпадает с по-
поверхностью следующей в одном из направлений сферической волны гео-
геометрического приближения (напомним, что фронты волн, идущих навст-
навстречу друг другу, там не совпадают). Дело в том, что просветленные по-
поверхности каким-то остаточным отражением все же обладают (обычно
коэффициент отражения по интенсивности при просветлении составляет
0,2 -г 0,5 %); образующаяся за счет этого волна при указанном совпадении
является сходящейся.
При рассмотрении неустойчивых резонаторов в § 2.5 мы уже сталки-
сталкивались с тем, что даже чрезвычайно слабая сходящаяся волна, порожден-
порожденная краевой дифракцией, существенно сказывается на свойствах неустой-
неустойчивых резонаторов. Волны, образованные за счет остаточного отражения
от поверхностей раздела, неизмеримо интенсивнее и приводят, если они
являются сходящимися, прямо-таки к гибельным с точки зрения угловой
расходимости последствиям.
Мы еще коснемся этих последствий в § 4.1. Меры, полностью их ликви-
ликвидирующие, все те же самые - наклон поверхностей раздела. Нетрудно
видеть, что наклон избавляет от влияния этих поверхностей не только на
поперечную структуру поля, но и на спектр излучения. Это позволяет нам
не учитывать наличие поверхностей раздела при рассмотрении других
видов возмущений резонаторов.
Резонаторы с произвольно расположенными апертурными диафрагма-
диафрагмами. Обсудим явления, связанные с характером ограничения сечения гене-
генерируемых пучков в реальных лазерных резонаторах. Вначале будем по-
полагать, что эти ограничения осуществляются исключительно диафрагмами,
так что речь пойдет о размерах и расположении этих диафрагм, а в случае
неустойчивых резонаторов — еще и о состоянии их краев.
В первую очередь напомним, что практически все имеющиеся в литерату-
литературе конкретные данные численных расчетов потерь и распределений полей,
137
равно как и соответствующие приближенные формулы, относятся к слу-
случаям, когда единственными апертурными диафрагмами являются сами
концевые зеркала конечного размера. В действительности апертурные диа-
диафрагмы обычно не совмещены с концевыми зеркалами, а находятся на
некотором расстоянии от них.
Даже когда эти расстояния пренебрежимо малы, остается еще одно важ-
важное условие, без выполнения которого пользоваться имеющимися дан-
данными, вообще говоря, нельзя: резонатор должен быть хорошо отъюсти-
отъюстирован, центры апертурных диафрагм обязаны находиться точно на оси -
луче, перпендикулярном поверхностям обоих концевых зеркал.
Попытки полного рассмотрения всех вариантов размещения апертур-
апертурных диафрагм, встречающихся на практике, были бы совершенно бес-
беспредметными, поэтому ограничимся чисто качественным анализом.
В устойчивых резонаторах на апертурные диафрагмы попадает, как
правило, та периферийная часть пучков, где интенсивность весьма мала;
поэтому расположение и размеры диафрагм влияют в основном на поте-
потери, слабо сказываясь на распределениях полей. Последнее обстоятельство
позволяет проводить грубые оценки потерь с использованием известных
сведений об устойчивых резонаторах без промежуточных апертурных
диафрагм (§2.3).
Методика проведения таких оценок состоит в следующем. Сначала
нужно найти решение для резонатора неограниченного сечения и просле-
проследить за тем, как изменяется параметр ширины w вдоль всей его длины.
Это позволяет выделить диафрагму, отношение ширины которой к значе-
значению w в ее плоскости минимально. Будем считать, что другие диафрагмы
имеют заметно большие значения указанного отношения; тогда их при-
присутствие можно, в первом приближении, не учитывать.
Указанная диафрагма делит резонатор на два плеча. Взяв эти плечи
по отдельности и заменив в каждом из них эту диафрагму на зеркало
того же размера с кривизной, равной кривизне опорных поверхностей
у найденного решения, получаем два устойчивых резонатора, обход каж-
каждого из которых эквивалентен обходу соответствующего плеча исходного
резонатора. Определив потери этих двух резонаторов и сложив их, полу-
получаем приближенно потери исходного.
Этот прием, описанный в [89], недостаточно обоснован, однако пред-
предложить что-то более надежное и в то же время простое трудно. Отметим,
что.такой способ оценок совершенно корректен в двух крайних случаях —
когда апертурная диафрагма находится у одного из концевых зеркал
исходного резонатора или когда два вспомогательных резонатора эквива-
эквивалентны друг другу; это дает основания надеяться, что и в других ситуаци-
ситуациях ошибки не слишком велики.
Если центр апертурной диафрагмы или зеркала диаметром D смещен
в сторону от оси на расстояние А < D, обычно считают потери равными
полусумме потерь двух резонаторов с несмещенными диафрагмами (зер-
(зеркалами) диаметром D — 2 А у одного и D + 2 А у другого. Этот прием
является вполне естественным (ведь 0,5 D - А и 0,5 D + А представляет
собой минимальное и максимальное расстояния от оси до края эксцент-
эксцентрично расположенной диафрагмы исходного резонатора), однако приме-
применительно к круглым зеркалам он так же, как и предыдущий, не имеет
138
надежного обоснования. В работе [196] показано, что этот прием обеспе-
обеспечивает удовлетворительную точность, по крайней мере, в случае двумер-
двумерных резонаторов, когда D и D ± 2Д - не диаметры круглых, а ширины
полосовых диафрагм или зеркал.
Еще один способ приближенной оценки потерь устойчивых резонаторов,
основанный на применении теории возмущений, будет изложен в следую-
следующем параграфе. Укажем еще, что некоторые полезные сведения о свойст-
свойствах разъюстированных устойчивых резонаторов можно найти в [100],
§ 8.3, и перейдем к плоским резонаторам.
В случае плоских или им эквивалентных резонаторов поле, как следует
из материалов § 2.4, удерживается внутри резонатора благодаря эффекту
дифракционного "отражения" от краев апертурных диафрагм или зеркал.
Из-за этого последние в плоских резонаторах играют более важную роль,
чем в устойчивых, не только предопределяя величины потерь, но и задавая
масштабы для распределений полей низших мод.
Поначалу рассмотрим простейший резонатор из двух плоских зеркал
с произвольно расположенными апертурными диафрагмами, центры ко-
которых лежат на общей оси. Пусть диаметр одной из этих диафрагм по край-
крайней мере на 2\J\L/ti меньше диаметров остальных; тогда при анализе
низших мод только эту диафрагму и следует учитывать: остальные находят-
находятся в ее тени (§ 2.4)
Если единственная реально ограничивающая сечения световых пучков
диафрагма находится у одного из концевых зеркал, обход такого резона-
резонатора эквивалентен проходу в одном из направлений по симметрич-
симметричному резонатору двойной длины. Потери в этом случае составляют
0,5 • 0,105*й„DЛ • 2L/D2K'2 = l,2^n(XL/ZJK/2, где D = 2а - диаметр
диафрагмы, остальные обозначения те же, что ив § 2.4 для резонатора
из круглых зеркал.
Когда единственная диафрагма размещена посредине между зеркала-
зеркалами, резонатор становится эквивалентным симметричному резонатору
той же длины с зеркалами диаметра D (рис. 2.8), и потери оказываются
равными 0,105v2mnDX • L/D2K'2 = 0,84*4n(\L/D2K/2, уменьшаясь
в \[2 раз по сравнению со случаем крайнего расположения диафрагмы.
При промежуточных положениях диафрагмы промежуточными, очевидно,
являются и потери.
Посмотрим теперь, что произойдет, если добавить еще диафрагмы то-
того же размера. Из рис. 2.15 и его последующего анализа видно, что рас-
расстояние между экранами (диафрагмами) L сказывается на углах наклона
лишь трансформированных волн (п Ф 0). Что же касается отраженной
волны, то для нее фазовые условия выполняются автоматически независи-
независимо от величины L. Отсюда следует, что размещение таких дополнитель-
дополнительных диафрагм на любых участках длины резонатора всегда увеличивают,
вместе с числом рассеянных ими волн, коэффициент дифракционного
отражения, понижая селективность резонатора.
Когда размеры добавляемых диафрагм немного превышают размеры
уже имеющихся, ситуация меняется мало: в § 2.4 было показано, что
для нарушения фазовых условий отражения при характерных для низ-
низших мод плоского резонатора углах наклона а необходимы большие раз-
139
личия размеров диафрагм, чем для затенения их друг другом. Поэтому
и здесь коэффициент дифракционного отражения от края может лишь
возрасти.
Наконец, если центры диафрагм смещены относительно оси, в отраже-
отражении от края с разных сторон от оси могут быть повинны разные диафраг-
диафрагмы. Такой случай изображен на рис. 3.3; в отражении от верхнего края
здесь принимает участие только левое зеркало, от нижнего - правое.
Как бы там ни было, коэффициент отражения от данного участка края
Рис. 3.3. Плоский резонатор со смещенны-
смещенными зеркалами. Поле сосредоточено в облас-
области, ограниченной штриховыми линиями
оказывается минимальным, а вклад этого участка в результирующую ве-
величину потерь, соответственно, наибольшим тогда, когда это отражение
осуществляется краем единственной диафрагмы, расположенной у одно-
одного из концевых зеркал.
Можно показать, что аналогичные закономерности имеют место не толь-
только в случае заурядного плоского резонатора, но и для всего рассмотрен-
рассмотренного в § 4.2 класса резонаторов, эквивалентных плоскому. Если считать
размеры сечений пучков заданными (обычно при этом исходя из условия
заполнения излучением рабочего объема активной среды), то дифрак-
дифракционные потери,и селектирующие свойства максимальны тогда, когда
указанные размеры ограничиваются единственной диафрагмой, находя-
находящейся около одного из концевых зеркал.
В случае неустойчивых резонаторов, как правило, единственным эле-
элементом, предопределяющим сечение генерируемого пучка, является вы-
выходное зеркало или расположенная рядом с ним диафрагма (рис. 4.2).
Поэтому следует рассмотреть только эффекты, связанные с возможными
отклонениями центра этого элемента от оси и неидеальностью его края.
В § 2.5 было показано, что для устранения наиболее серьезных последст-
последствий краевых эффектов достаточно того, чтобы ширина зоны "сглажи-
"сглаживания" края До (глубина шероховатостей) составляла хотя бы a/BN3KB),
где а — полуширина апертурного элемента, iV3KB — так называемое экви-
эквивалентное число Френеля. На практике часто с большим "запасом" выпол-
выполняется неравенство #экв > 1 - именно такие неустойчивые резонаторы
обеспечивают наибольший выигрыш в степени направленности излучения
по сравнению с резонаторами других типов (§ 4.1). Величина Ао тогда
оказывается совсем небольшой. Так, параметрам твердотельных лазеров
с диаметром выходного сечения 45 мм, упоминающихся в гл. 4, соответ-
соответствует До ~ 0,1 мм; подобная "размытость" края, как правило, сущест-
существует и без принятия каких-либо специальных мер.
Даже если край является абсолютно резким и правильно очерченным,
поперечное смещение зеркала (диафрагмы) на ту же величину До при-
приводит к тому, что сходящиеся волны, берущие начало на разных участках
края, приходят к оси с существенно разными фазами и взаимно гасятся.
Аналогичные последствия вызывает асимметрия распределения внутри-
140
резонаторных аберраций, приводящая к отсутствию осевой симметрии
фронта подходящей к апертурному элементу волны.
Сказанного достаточно, чтобы сделать следующий важный вывод: специ-
специфические эффекты, имеющие место в идеальных неустойчивых резонато-
резонаторах с резким краем (вырождение низших мод по потерям и т.п.), в реаль-
реальных резонаторах с N3KB > 1, как правило, отсутствуют. Если все же воз-
возникает необходимость их подавления, это легко может быть сделано с по-
помощью таких мер, как нанесение фаски на край зеркала (о таком спосо-
способе снижения коэффициента отражения от края см. [80]) или, скажем,
применение зубчатой диафрагмы.
Если даже в падающей на выходное зеркало центральной части пучка
какие-то проявления краевой дифракции и остаются, при N3KB > 1 они за-
зависят от столь мелких нюансов в очертаниях зеркала, в распределении
аберраций и т.д., что пытаться предусмотреть все эти нюансы - занятие
бесполезное. Поэтому в дальнейших расчетах неустойчивых резонаторов
мы будем широко использовать геометрическое приближение, пренебре-
пренебрегая краевой дифракцией. Напомним только, что при небольшой ширине
зоны сглаживания характерная дифракционная структура (повторяющие
форму контура выходного зеркала полосы) в проходящей мимо зер-
зеркала периферийной части пучка все же остается.
Самостоятельные и наведенные "паразитные" колебания. Продолжим
рассмотрение всевозможных источников возмущений со стороны тех
самых боковых границ резонатора, которые в теории предполагаются
открытыми. Часто к этим границам прилегают вполне реальные объекты,
способные возвращать назад в резонатор значительную часть того излу-
излучения, которое пересекает условные боковые границы изнутри и в рамках
модели открытого резонатора считалось бы безвозвратно его покидаю-
покидающим. Имеются в виду боковые поверхности активных элементов твердо-
твердотельных лазеров, стенки кюветы с газовой средой, электроды системы
возбуждения электроразрядных лазеров и т.д.
Непреднамеренный возврат части излучения назад всегда оказывает
неблагоприятное воздействие на процесс генерации. Причин тому несколь-
несколько. В первую очередь, независимо от того, являются ли поверхности ука-
указанных объектов полированными (зеркальными) или матированными
(диффузно рассеивающими), их присутствие удлиняет средний путь, про-
проходимый по среде фотонами спонтанного излучения (люминесценции).
Излучение на рабочей длине волны при этом подвергается усилению, что
приводит к бесполезному расходованию возбужденных атомов. Данное
явление, называемое суперлюминесценцией (см. также § 3.4), играет
особо важную роль в режиме модулированной добротности на стадии
накопления инверсной населенности, часто являясь основным фактором,
лимитирующим накапливаемую энергию.
Если рассеивающие или отражающие поверхности выполняют функции
апертурных диафрагм, располагаясь вдоль каустик пучков, они ухудшают
не только энергетические, но и пространственные характеристики генери-
генерируемого излучения, снижая селективные способности резонатора. Особо
тяжелые последствия вызываются наличием зеркальных боковых поверх-
поверхностей с высоким коэффициентЬм отражения: здесь могут возбуждаться
пучки, претерпевающие на пути между зеркалами резонатора одно или
141
несколько отражений от этих поверхностей, даже тогда, когда они фор-
формально не являются апертурными диафрагмами (рис. 3.4д, б). Подобные
пучки действительно наблюдались на заре лазерной техники, когда боко-
боковые поверхности активных элементов твердотельных лазеров изготавли-
изготавливались полированными [83].
Полное внутреннее отражение от полированных боковых поверхностей
приводит также к существованию колебаний, излучение которых вообще
не покидает стержень (рис. 3.4в), поглощаясь, в конечном итоге, всегда
Рис. 3.4. "Паразитные" колебания в резонаторах с активными элементами, имеющи-
имеющими полированные боковые стенки; а - зеркалами резонатора являются торцы эле-
элемента с отражающими покрытиями; б - внешние зеркала; в - "кольцевые" коле-
колебания (вид вдоль оси цилиндрического элемента)
имеющими место источниками потерь (см. также § 3.4). Чтобы избежать
все эти издержки, порой сопряженные с многократным снижением по-
полезной мощности, боковые поверхности активных элементов матируют
(нередко частично) либо подвергают химическому травлению, стараясь,
помимо прочего, чтобы генерируемый пучок их все же не "задевал". Дан-
Данное обстоятельство избавляет нас от необходимости продолжать анализ.
Помимо колебаний типа изображенных на рис. 3.4, не связанных с мо-
модами основного резонатора, к паразитным могут быть причислены также
колебания с нежелательной структурой или поляризацией, на поддержа-
поддержание которых затрачивается часть излучения основного пучка, "отщепляе-
"отщепляемая" от него благодаря наличию светорассеяния, двулучепреломления
и т.п. Такие колебания оказываются особенно интенсивными в тех слу-
случаях, когда рассеянное излучение имеет возможность, отражаясь от зер-
зеркал резонатора, долго "блуждать" по нему, так что происходит наложение
полей излучения, рожденного за счет рассеяния на целом ряде последова-
последовательных обходов резонатора основным пучком.
Следует еще иметь в виду, что при наложении когерентных полей часто
находятся направления (волны), для которых выполняются соответствую-
соответствующие фазовые условия и происходит сложение амплитуд. Поскольку линей-
линейный рост амплитуды вызывает квадратичный рост интенсивности, мощ-
мощность рассеянного света в указанных направлениях резко растет с числом
проходов, на которых осуществляется "накопление" амплитуды. По этим
причинам выгодно удалять рассеянное излучение из резонатора как мож-
можно быстрее, пока амплитуда паразитных колебаний не успела достичь
значительной величины.
В качестве иллюстрации приведем легко поддающийся анализу и вмес-
вместе с тем наглядный пример воздействия факторов, вызывающих деполя-
деполяризацию света, на работу генератора поляризованного излучения [18].
Пусть имеется кольцевой резонатор с элементом (скажем, набором плас-
пластин, установленных под уголом Брюстера к оси), вносящим потери для
излучения одной из поляризаций. Внутри резонатора имеется также ячей-
142
ка Фарадея, поворачивающая плоскость поляризации на небольшой
угол а; очевидно, она препятствует получению плоскополяризованного
излучения*, порождая ту самую поляризационную компоненту, которую
мы стараемся подавить упомянутым элементом. Пространственную струк-
структуру излучения здесь можно не рассматривать, ограничившись решением
чисто поляризационной задачи.
С помощью сведений, имеющихся в § 1.1 и 2.4, нетрудно составить
уравнение для нахождения собственных поляризационных векторов е
и соответствующих им собственных значений ц:
I
10 у/Т
cos a — sin а
sin а cosa
Из него находим /i1>2 = ^cosa(l + \ff) ± Videos a • A + V^)]2 - \/Т
(здесь Т < 1 - коэффициент пропускания поляризатора по интенсивности
для излучения "побочной" поляризации; для "основной" полагаем его
равным единице).
Считая определяющий степень деполяризации угол а заданным,
посмотрим, как решение изменяется с Т. При 0 < Т < То, где То =
= [A — sina)/cosa]4 — корень уравнения [^cosa • A + %/Г)]2 — >/Т = 0,
имеются два действительных значения ju. Каждому из них соответствует
решение с плоской поляризацией, однако устойчивым является лишь то
из них, которое соответствует большему собственному значению Mi',
в дальнейшем только его и будем принимать во внимание. Когда То <
< Т < 1, собственных значений по-прежнему два, однако они комплексные
и имеют одинаковые модули (следовательно, им соответствуют одинако-
одинаковые поляризационные потери резонатора 1 — |/i|2); поляризация здесь
оказывается эллиптической.
Интересно следующее. При Т = 0, когда порождаемое ячейкой Фарадея
излучение "побочной" поляризации сразу полностью удаляется из резона-
резонатора, собственное значение /^ составляет cos а. По мере роста Гот 0 до То
содержание побочной компоненты вследствие упоминавшегося эффекта
накопления растет так стремительно, что, хотя из резонатора удаляется
все меньшая ее доля, собственное значение монотонно уменьшается до
значения cosa(l + \fTQ)l2 = A — sina)/cosa, потери соответственно возрас-
возрастают. В точке Т = То кривая потерь претерпевает излом: резкое их нарас-
нарастание сменяется почти линейным спадом. Наконец, при Т = 1 поляризация
становится круговой, потери падают до нуля (| ju | = 1). Это понятно: без
поляризатора нет и потерь.
Приведем численный пример. При а = 6° То составляет около 0,66.
Уменьшение Г от I до 0,66 вызвает рост потерь от 0 до 19%, при даль-
дальнейшем "запирании" резонатора для излучения побочной поляризации по-
потери падают, составляя при Т = 0 всего 1 %. Ситуация носит оттенок пара-
парадоксальности: установка одной пластины под углом Брюстера может
подавить генерацию, последующих - восстановить ее.
Сходные закономерности имеют место в резонаторах (причем не толь-
только кольцевых, но и линейных), содержащих фазовую двулучепреломляю-
143
щую пластину и поляризатор со слегка развернутыми осями (общие фор-
формулы для поляризационных характеристик резонаторов с этими элемен-
элементами были впервые выведены в [46]). Отметим, что мы уже не в первый
раз встречаемся со случаем, когда введение внутрь резонатора элемент^,
поглощающего часть излучения, не повышает, а снижает потери, а с ними
и порог генерации: совсем недавно мы столкнулись с тем, что добавление
апертурных диафрагм к уже существующим может привести к возраста-
возрастанию коэффициента отражения от края резонатора.
И все же деполяризация распределяет суммарную мощность только
между двумя поляризационными компонентами, что при вынесении по-
поляризатора из резонатора может привести не более чем к двукратному
проигрышу в мощности плоскополяризованного света. К намного более
тяжелым последствиям может привести светорассеяние: порой оно спо-
способно вовлечь в процесс генерации огромное число мод идеального резона-
резонатора с близкими порогами возбуждения, вызывая уменьшение осевой
силы света на несколько порядков. С подобными явлениями мы ознако-
ознакомимся в следующем параграфе.
§ 3.2. Крупномасштабные аберрации и светорассеяние
В настоящем параграфе будут кратко рассмотрены последствия нали-
наличия внутрирезонаторных аберраций, источниками которых являются неод-
неоднородность активной среды, разъюстировки и несовершенства элементов
резонатора.
Смещения оси резонаторов при их разъюстировках. Небольшие накло-
наклоны зеркал, поперечные перемещения внутрирезонаторных линз и т.п. часто
вызывают лишь некоторые изменения положения оси резонатора, которые
могут быть рассчитаны с помощью аппарата лучевых матриц. Рассмотрим
вначале линейный резонатор с ЛЯСО-матрицей прохода слева направо
(§ 2.2), правое зеркало которого повернуто на угол <р2 вокруг оси .у;
в результате при отражении от него к углам наклонов лучей ах добавляет-
добавляется 2$2 (считаем <р2 положительным, когда край зеркала с х > 0 перемеща-
перемещается в сторону внешнего пространства).
Преобразование координатной пары х, ах при проходе слева направо
описывается формулой A.2): х2 -Ахх + Bctxi, ocx2 = Cxt +Z>axl. Доба-
Добавив к ах2 угол 2if2 и использовав матрицу DBCA прохода справа налево
( § 1.1), находим координаты луча х[,ах1 после полного обхода разъюсти-
рованного резонатора:
х\ = Dx2 + В(ах2
+2BDaxl
olxi = Сх2 + А(ах2
BC)axl
Найдем положение оси, исходя из того, что она совпадает с траекторией
луча, перпендикулярного поверхностям концевых зеркал и попадающего
144
после обхода резонатора в исходную точку. Условие перпендикулярности
луча поверхности левого зеркала имеет вид ах1 = ах1 = О (напомним, что
при использовании матричного аппарата для линейных резонаторов мы
имеем дело с эквивалентными резонаторами, обладающими плоскими
концевыми зеркалами, как показано на рис. 2.5), условие прихода в ту же
точку х\ = xt. В результате, используя A.3), находимхх = —«^/С
Отсюда вытекает следующее. Если С = 0, то отъюстированный резона-
резонатор ($2 = 0) обладает бесконечным набором удовлетворяющих наше-
нашему определению осей (xt произвольно), в то время как у разъюстиро-
ванного (<р2 Ф 0) оси вообще нет. Если вспомнить, что к линейным резона-
резонаторам с С = 0 относится, в частности, распространенный резонатор из двух
плоских зеркал (§ 2.2), причины такого их поведения становятся вполне
очевидными.
При С Ф 0 отъюстированный резонатор имеет единственную ось схх = 0;
у разъюстированного координата точки пересечения оси с левым и правым
зеркалами равна соответственно —у2/С и Ахх = —А<р2/С. Поменяв местами
индексы 1, 2 и заменив А на Д получаем аналогичные формулы для того
случая, когда повернуто не правое, а левое зеркало. Наконец, если одно-
одновременно развернуты левое (на угол <Pi) и правое (на <р2) зеркала, ось
пересекает их в точках с координатами Ху = —(D$i + y<i)\C, х2 =
В простейшем случае двухзеркальных пустых резонаторов прибегать
к матричному аппарату вовсе необязательно. Когда оба зеркала являются
сферическими, ось всегда проходит через центры кривизны зеркал; малые
развороты зеркал вызывают смещения центров кривизны в поперечном
направлении, что влечет за собой соответствующее изменение положения
оси. Если одно из зеркал плоское, ось перпендикулярна его поверхности
и проходит через центр кривизны другого.
Рассмотрим также последствия разъюстировок кольцевых резонаторов,
обладающих в отъюстированном состоянии плоским осевым контуром
(резонаторам с "объемной" траекторией оси, через которую нельзя провес-
провести плоскость, будет посвящена часть § 4.4). Выберем непосредственно
перед тем зеркалом, последствия наклонов которого будут рассматривать-
рассматриваться, перпендикулярно оси съюстированного резонатора отсчетную плос-
плоскость с координатными осями х, у, причем ось х будем считать лежащей
в плоскости осевого контура. Степень разъюстировки зеркала охаракте-
охарактеризуем углами поворотов $х вокруг оси у и уу вокруг направления оси
резонатора z; тогда при отражении от зеркала к углам наклонов лучей
ах, ау добавляется &ах = 2<рх и Асе^ = фу соответственно.
Кольцевые резонаторы с плоским осевым контуром при наличии
хотя бы одного сферического зеркала обладают простым астигматизмом
(§ 1.1), поэтому здесь надлежит использовать, в общем случае, две матри-
матрицы полного обхода: AXBXCXDX и АуВу СуDy. Необходимо также раз-
различать случаи четного и нечетного числа зеркал. Если проследить за измене-
изменениями ориентации координатных осей при отражении от зеркал в соответ-
соответствии с правилом, поясненным на рис. 1.3в, то при четном числе зеркал
ориентация не только оси .у, но и л: после обхода резонатора оказывается
прежней (рис. 3.5д), в то время как при нечетном направление оси л: ме-
меняется на противоположное (рис. 3-56»).
10. Ю. А. Ананьев 145
В соответствии с изложенным выше условия того, что луч после обхода
резонатора возвращается в исходное положение, имеет вид
±[Ахх+Вх(ах+Аах)] =х, ±[Схх + Dx(ax + Да*)} = осх,
Ауу+Ву(ау + Аау)=у, Cyy+Dy(ocy + Аа>;) = ау
(знак "+" в левых частях первых двух равенств соответствует случаю
четного числа зеркал,"—" _ нечетного). Отсюда следует
х = -ВхАах1(Ах +DX + 2), ах =(±1 -Dx)Aax/(Ax + Dx + 2),
у = -Ву AoLy l(Ay +Dy-2\ ay = A - Dy)Aay j{Ay + Dy - 2).
Эти формулы позволяют выполнить соответствующий анализ для любо-
любого конкретного вида резонаторов с плоским осевым контуром. В частнос-
частности, пустые резонаторы из плоских зеркал имеют Ах = Dx = Ау = Dy = 1,
Вх - Ву = L, где L — общая длина осевого контура; видно, что при четном
числе зеркал ситуация сходна с имевшей место в случае линейных резона-
резонаторов с С = 0: когда резонатор отъюстирован,х ну произвольны, разъюсти-
рованный резонатор оси вообще не имеет. Что же касается резонаторов
с нечетным числом плоских зеркал, то по отношению к разъюстировкам
в одном из направлений они ведут себя точно так же, в другом - подобны
линейным с С Ф 0: ось продолжает существовать и при Аосх Ф 0, причем
координатах имеет единственное значение — L • Aolxj4.
Аналогичным образом могут быть рассмотрены последствия небольших
поперечных перемещений зеркал и т.п. Адресовать к имеющейся специаль-
специальной литературе в данном случае не будем: сколько авторов — столько под-
подходов и систем обозначений, подчас весьма сложных. Нередко оказывается
полезной и проверка правильности предлагаемых рецептов (так, хотя
в [100] вопросу о деформациях изначально плоского осевого контура
Рис. 3.5. К вопросу об ориентации координатных осей в кольцевых резонаторах с чет-
четным (а) и нечетным (б) числом зеркал (ось у перпендикулярна плоскости рисунка,
везде направлена в одну и ту же сторону и на рисунке не показана)
посвящен специальный раздел 8.4, различия между случаями четного и не-
нечетного числа зеркал оказались утерянными). Поэтому проще и надеж-
надежнее в необходимых конкретных случаях решать подобные задачи само-
самостоятельно.
Устойчивые резонаторы с произвольными аберрациями. Теория возму-
возмущений. Резонаторы с аберрациями произвольного вида, естественно, прихо-
приходится рассматривать с помощью более сложных методов анализа. Одним
из них. особенно эффективным в случае устойчивых резонаторов, являет-
146
ся разложение распределения поля резонатора с аберрациями в ряд по
собственным функциям идеального резонатора. С этого метода, часто
используемого также применительно к устройствам СВЧ-диапазона, мы
и начнем; другие важные приемы расчета модовой структуры будут изло-
изложены отчасти в этом же, отчасти в следующем параграфе. Рассмотрение
проведем на примере простейших двухзеркальных резонаторов; резуль-
результаты с помощью принципа эквивалентности (§ 2.2) могут быть обобщены
и на случаи многоэлементных систем.
Итак, будем искать решение уравнения (Ро + Р )и =@'и', соответствую-
соответствующего резонатору с аберрациями, в виде и = 2атит, гдеР0 ~~ интеграль-
ный оператор обхода исходного (невозмущенного) резонатора, Р — опе-
оператор возмущения (способы его определения мы обсудим позже), ит —
A A A A t
решения уравнения Рои = ]3w. Как ив § 2.1, операторы Ро, Ро + Р ответ-
ответственны за преобразование поперечной структуры поля; набегающий на
полном обходе резонатора общий фазовый множитель exp(ikLo) в них
не входит.
Пользоваться подобными разложениями в ряд можно и удобно глав-
главным образом тогда, когда функция ит образуют полную систему и орто-
нормированы: (ит, ип) = 6т„, 5 — символ Кронекера, (<р, ф) = f $Tp*dS —
скалярное произведение, интегрирование осуществляется по поверхности,
на которой функции заданы. В этом случае, подставив ряд для и' в урав-
уравнение возмущенного резонатора и поочередно умножая полученное ра-
равенство скалярно справа на различные ип (т.е. умножая на и* и выполняя
интегрирование) , получаем систему уравнений
в„@'-А.)= ? "тР'пт, C-1)
т
где Р'пт = / u*P'umdS — матричные элементы оператора возмущения.
Системы подобного рода решаются проще всего при малых возмуще-
возмущениях, когда моды возмущенного резонатора лишь немного отличаются
от мод исходного. Действительно, найдем с помощью системы C.1) соб-
собственную функцию и\ слабо возмущенного резонатора, близкую к
щ\ и\ = 2 а$иту а^ = 1, а$Ф г<\- Подставив это в C.1) и пренебре-
т
гая в правых частях уравнений слагаемыми а$ Р'пт с т Ф1, получаем
an^(Pi ~ ft?) = Р'т- Полагая, что при п Ф I можно заменить ($[ — @п на
ft -ft,, приходим к я*'* = P'niKPi - ft,)/, из уравнения с п = / находим
Pi -ft =Р'Ц. Итак,
Р'
«; = «,+ s —^— ит, /з; =д+р;,. (з.2)
т ф i ft - &т
Полученные формулы, составляющие первое приближение теории воз-
возмущений, в случае оптических резонаторов имеют данную им в [8] весьма
простую трактовку. Матричные элементы оператора возмущения с т Ф I
есть не что иное, как относительные амплитуды световых волн, рассеивае-
рассеиваемых за счет возмущения из одних типов колебаний в другие. Величины
а*т = Р mil (Pi —fim) — амплитуды наведенных в других модах (за счет рассе-
Ю* , 147
янного из моды с индексом / света) колебаний; естественно, что они
уменьшаются с ростом разности частот "вынуждающей силы" и свободных
колебаний, пропорциональной ]3/ — j3m. Наконец, Рц имеет смысл добав-
добавки за счет возмущения к амплитуде исходной волны после обхода ею ре-
резонатора.
В качестве примера использования C.2) решим практически важную
задачу по нахождению дифракционных потерь произвольного устойчивого
резонатора из зеркал конечного размера; для упрощения выкладок будем
считать его симметричным. В качестве невозмущенного возьмем резона-
резонатор из бесконечных зеркал той же кривизны, имеющий полные ортонор-
мированные наборы собственных функций вида A.23), A.24); ограни-
ограничение размеров зеркал и будет являться возмущением.
Распределение поля у светового пучка, составляющего моду симмет-
симметричного резонатора, воспроизводится после каждого прохода (описанные
в § 2.3 "смешанные" моды вырожденных резонаторов рассматривать не
А
будем), поэтому в качестве Ро здесь можно (и удобно) взять оператор
прохода в одном из направлений. Распределение поля пучка, отходящего
от зеркала возмущенного резонатора, на пути*к другому зеркалу под-
л
вергается воздействию оператора Ро, затем при отражении пучка от зер-
зеркала конечного размера домножается на функцию поперечных коорди-
координат Ну равную единице на поверхности зеркала S и нулю вне ее. Таким
образом, оператор возмущенного резонатора имеет вид
Р0+Р'=НР0. C.3)
Матричные элементы оператора возмущения равныР'тп = /u^(H — 1)Х
X PoundS, где интегрирование ведется по поверхности So зеркала исход-
Л
ного резонатора, т.е. в бесконечных пределах. Поскольку Роип = Рпип ,
имеем
Р'тп=Рп I (H-l)u^UndS.
C.4)
Подставляя C.4) в последнюю из формул C=2) и учитывая конкретный
вид Я, получаем # = 0/ ( 1 + / (Я - l)upndS ) = ft ( 1 _ / \щ\2 dS).
s0 so-s
Наконец, приняв во внимание, что у всех мод устойчивого резонатора
из неограниченных зеркал |/3| = 1, приходим к искомой формуле для
потерь 1- |/з;|2=2 / \uj\2dS.
so-s
Интеграл / | щ \2dS = — Р*ц представляет собой долю светового
потока пучка /-го собственного колебания исходного резонатора, приходя-
приходящуюся на периферийную часть пучка, которая проходит мимо зеркала
конечного размера. Общие потери, как мы видим, вдвое превышают эту
величину; это означает, что такая же доля оставшегося потока оказывает-
оказывается рассеянной в другие моды и поэтому тоже не участвует в механизме
воспроизведения данной.
В [27] на примере низшей моды двумерного резонатора (из цилиндри-
цилиндрических зеркал) было проведено сопоставление результатов вычислений
по изложенному выше способу с точными значениями потерь, рассчитанны-
148
ми методом итераций (см. § 33). Выяснилось, что в широком диапазоне
изменения параметра конфигурации @ <# ^0,9) при небольших размерах
зеркал, когда потери превышают 1 %, относительные погрешности срав-
сравнительно невелики, хотя порой и доходят до 35 %. Вот при больших зерка-
зеркалах, т.е. меньших возмущениях и потерях, относительные погрешности
резко растут, составляя многие десятки и даже сотни процентов: истинные
потери оказываются много меньше вычисленных с помощью теории возму-
возмущений. Это может показаться странным: обычно формулы типа C.2)
наиболее точны именно при малых возмущениях.
Причины заключаются в следующем. Как видно из вывода формул C.2),
они должны быть справедливы тогда, когда матричные элементы операто-
оператора возмущения меньше разностей собственных значений. Что же касается
устойчивых резонаторов из неограниченных зеркал, то вьиду отсутствия
потерь здесь существуют различающиеся собственные функции с одинако-
одинаковыми или почти равными р не только в трехмерном случае (см. в § 23 о
вырождении функций с одинаковыми 2), но и в двумерном. Действитель-
А
но, соответствующие собственные значения оператора обходаРо равны &т =
= ехр[— /Bт + 1) arccos Vlf ilf2 ] (см. гл. 2). Каким бы ни было значение
arccos \/gig2 j найдется такое целое число s, при котором s • arccos \/ifi?2
в точности или почти кратно тг; очевидно, собственные функции с индекса-
индексами mo,#2o+s, m0 + 2s, . . . будут иметь в точности или почти равные ]3
(см. также в § 23 о возможности образования смешанных мод). В ре-
результате сформулированное выше условие удовлетворено быть не может.
Не вдаваясь в детальные объяснения, сообщим, что именно существо-
существование вырождения и приводит к указанному росту относительных погреш-
погрешностей при малых возмущениях (больших размерах зеркал). Чтобы избе-
избежать этого, Виткин [87], а за ним и другие применяли вариант теории воз-
возмущений, рассчитанный на наличие вырождения; однако этот вариант очень
сложен. Можно еще, следуя Глоге [91], пытаться использовать полную
систему взаимно ортогональных функций конфокального резонатора
из конечных зеркал одинаковой кривизны: ввиду наличия потерь вырож-
вырождение там снято. Однако такой выбор базисной системы удобен только
для вышедших из употребления конфокальных или совсем близких к
ним резонаторов; в других случаях возмущение уже не будет малым.
Следуя [28], нетрудно показать, что иных имеющих конечные зерка-
зеркала открытых резонаторов, собственные функции которых также обра-
образовывали бы полный ортогональный набор, не существует. Действитель-
Действительно, разложим по ортонормированной системе функций ип симметрично-
симметричного конфокального резонатора, составленного из зеркал конечного размера,
следующую от одного из них к другому произвольную волну: ф = 2с„м„,
л п
энергия волны равна 2 | сп |2. На второе зеркало приходит волна Ро Z спип-
п • п
= И&пспип\ используя ортонормированность базисных функций, убежда-
п
емся в том, что ее энергия составляет2 |/3„ |2 ¦ \сп j2.Коэффициент пере-
п
дачи энергии равен 2 ! 0„ |2 | сп |2/ 2 | сп \2 < | j30 I2, где 0О - наибольшее
« п
149
по модулю из /3„, т.е. собственное значение для низшей моды. Максималь-
Максимальный коэффициент передачи, равный |0О|2, достигается только при ф =
= соио, т.е. в случае волны, относящейся к низшей моде резонатора. Ана-
Аналогичный результат получаем и при зеркалах неравного размера — после
введения безразмерных координат (§ 2.2) собственные распределения
полей на них у конфокального резонатора оказываются одинаковыми.
Таким образом, следующие навстречу друг другу волны, составляющие
низшую моду конфокального резонатора, обладают объясняющим рекорд-
рекордно низкие потери такого резонатора экстремальным свойством: они осу-
осуществляют оптимальную передачу энергии между двумя апертурами (этот
результат для частного случая апертур одинакового размера другим спо-
способом был получен еще в [80]). Нетрудно видеть, что данные волны не
могут составить моду какого-либо иного резонатора, зеркала которого
"вписаны" в те же апертуры. Поскольку, с другой стороны, мы пришли
к выводу об экстремальности указанных волн исходя только из полноты
и ортонормированности соответствующей системы функций, предположе-
предположение о существовании других резонаторов с подобными системами функций
противоречит этому выводу.
Можно еще пытаться воспользоваться тем обстоятельством, что рас-
распределения полей собственных колебаний на зеркалах произвольного ли-
линейного резонатора обладают следующим вытекающим из симметрии
ядра интегрального уравнения свойством: если /Зт Ф 0„, то / итип dS = 0.
Исходя из этого Глоге [91] и Вайнштейн [80] считали возможным приме-
применять разложения по собственным функциям линейных резонаторов любых
типов при условии, что распределения полей берутся непосредственно на
концевых зеркалах и вместо (<р, ф) используются "скалярные произведе-
произведения" (<р, ф) = / уф dS. Однако, как показано в [28], этот подход коррек-
корректен только тогда же, когда и обычный (приводя к тем же результатам) и
намного менее удобен, поскольку при обычном можно пользоваться любы-
любыми отсчетными поверхностями внутри не только линейных, но и кольцевых
резонаторов.
Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в опе-
операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти
трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резо-
резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сво-
сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде
суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с еди-
единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей
степени "связанные" между собой светорассеянием за счет возмущения
(соответствующие матричные элементы оператора возмущения относи-
относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате тако-
такого приближенного представления решений система C.1) из бесконечной
переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффи-
коэффициентов ат, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее
следует стандартная процедура: требование существования ненулевых ре-
решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится
р значений ]3. Каждому из них соответствует свой набор ат, определяющий
одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приб-
приближении.
150
Эта методика обеспечивает высокую точность расчета потерь и распре-
распределений полей низших мод устойчивых резонаторов с зеркалами конеч-
конечных размеров при учете всего нескольких членов разложения. Однако ча-
чаще всего достаточно лишь примерно оценить результат влияния тех или
иных факторов на распределение поля. Для таких оценок можно, не взи-
взирая ни на что, пользоваться формулами C.2), просто не учитывая сущест-
существования вырожденных мод с далеко отстоящими индексами. При этом от-
относительные погрешности оказываются существенными в основном на
предопределяющей величину потерь периферийной части распределения, в
то время как форма распределения в области большой интенсивности опре-
определяется с удовлетворительной точностью.
Из формул C.2) следует, что чувствительность к возмущениям у рас-
распределений полей устойчивых резонаторов из зеркал сравнительно неболь-
небольшой кривизны быстро убывает, при прочих равных условиях, по мере уве-
увеличения последней. Действительно, при этом величина arccos \fg\g2 воз-
возрастает; вместе с ней растут все разности собственных значений близких
по классификации мод. Поэтому распределения полей устойчивых резона-
резонаторов, заметно отличающихся от плоских (и концентрических), срав-
сравнительно мало подвержены влиянию внутрирезонаторных аберраций. К
этому добавим, что большая расходимость излучения лазеров с устой-
устойчивыми резонаторами значительного сечения обычно вызывается не влия-
влиянием аберраций, а возбуждением мед высокого порядка (см. следующий
параграф). Наконец, если еще принять во внимание, что играющие, как
правило, наибольшую роль волновые аберрации первого порядка (опти-
(оптический клин) и второго ("линзовость" среды) легко учитываются прямо
на этапе составления матрицы резонатора, то в дальнейший анализ дефор-
деформаций отдельных мод можно уже не вдаваться.
При переходе к трехмерному резонатору среди возможных последствий
малых возмущений на первое место выходит снятие существовавшего в
их отсутствие вырождения. Каждая группа ранее вырожденных мод рас-
распадается на подгруппы или отдельные моды, приближенно представимые в
виде суперпозиции исходных. Вид новых мод определяется не столько ве-
величиной возмущения, сколько типом присущей ему симметрии. Так, в
§ 2.3 мы уже сталкивались с тем, что если при бесконечных зеркалах и в
отсутствие аберраций моды с пучками вида A.23), A.24), имеющие одина-
одинаковые 2, были полностью вырождены и могли быть скомбинированы
друг с другом как угодно, то ограничение размеров зеркал снимает вы-
вырождение, причем в случае прямоугольных зеркал решения близки к
A.23), круглых - к A.24).
Если зеркала квадратны, то моды с поперечными индексами т, nun, m
остаются вырожденными. При круглых зеркалах частичное вырождение
также остается: одинаковыми комплексными частотами продолжают об-
обладать моды, различающиеся лишь видом азимутального множителя
(ехр(± Иф), cosfy, sin/tp). Дополнительные возмущения могут снять и это
вырождение. Так, если в резонатор ввести источники поглощения с ма-
малой плотностью порядка cos2/<p, то каждая такая группа расщепится на две
моды с азимутальными множителями, близкими к cosfy и sin/<?, причем
потери у первой из них оказываются большими, чем у второй. Если до-
добавить еще и равномерно возбужденную активную среду, то генерация
151
будет осуществляться в первую очередь именно на модах второго
типа.
Эти общие соображения имеют непосредственное отношение к реальной
действительности. У стандартных маломощных газовых лазеров с горизон-
горизонтальной кюветой деформации резонатора, вызванные конвекционными
потоками, вносимым окнами астигматизмом и т.п., обычно распределены
симметрично относительно вертикальной осевой плоскости и неравномерно
по азимуту. Поэтому здесь чаще наблюдаются картины, состоящие не из
колец, а из отдельных пятен (с общим распределением интенсивности,
пропорциональным cos2 /</?), правильно ориентированные относительно вер-
вертикали. В случае резонаторов с вращением поля (§ 4.4) "выживают",
напротив, моды с множителями ехр(± i /</?), частоты которых существенно
раздвигаются [56].
Плоские резонаторы с крупномасштабными аберрациями. Для расчета
полей в плоских резонаторах с небольшими крупномасштабными аберра-
аберрациями пригодна все та же теория возмущений. Дело в том, что, как было
показано в [57], по системе собственных функций um идеального плоско-
плоского резонатора могут быть разложены любые достаточно "гладкие" функ-
функции, которые удовлетворяют граничным условиям B30), сохраняющим
силу и в слабо возмущенных плоских резонаторах [80]. Благоприятным
является также тс, что фигурирующее в формулах § 2.4 для um отноше-
отношение %jM » 0,16/\//V^ как правило, является весьма малым, поэтому функ-
функции um, формально не обладая эрмитовой ортогональностью, близки к
взаимно ортогональным функциям закрытого резонатора (для которого
верны те же формулы с ?/М = 0). Кроме того, обычно, исходя из характера
возмущения, можно в формулах C.2) для и\ под знаком суммы выде-
выделить один-два превалирующих члена и пренебречь остальными; это позволя-
позволяет избежать неувязок, которые могли бы возникнуть при суммировании
бесконечного числа членов.
Рассчитывая коэффициенты разложения а^ , имеет смысл использо-
использовать не только собственные функции, но и разности собственных значе-
значений закрытого резонатора. Действительно, у открытых резонаторов эти
разности с точностью до членов относительной величины ?/М определяют-
определяются значениями фазовых поправок б', фазовые поправки, в отличие от диф-
дифракционных потерь, практически не зависят от случайных параллельных
сдвигов или неравенства величины зеркал, наличия промежуточных диаф-
диафрагм и т.п. (см. предыдущий параграф), примерно совпадая с поправками
для закрытого резонатора. Отсюда, кстати, следует, что характер изменения
распределения поля под воздействием внутрирезонаторных аберраций
мало зависит от случайных причин. Поэтому сведения, полученные с по-
помощью первого приближения теории возмущений, могут служить объек-
объективной характеристикой поля излучения реальных лазеров; расчет влия-
влияния возмущений на дифракционные потери требует намного более слож-
сложного анализа (см., например, [186]).
Расчеты полей облегчаются также тем, что оператор слабо возмущенно-
возмущенного плоского резонатора может быть представлен в аналогичной C.3)
форме Ро + Р1 = FP0, где F — зависящая от конкретного вида возмущения
функция поперечных координат. Это позволяет вычислять матричные эле-
152
менты оператора возмущения по сравнительно простой формуле, аналогич-
"ной C.4): Р'тп - J (F — l}u^undS (здесь учтено, что при небольших п
s
имеем Д„ я» 1).
К тому есть следующие основания. Низшие моды идеальных резона-
резонаторов с N> 1 в отсутствие возмущений состоят из волн, настолько близких
к плоским и так слабо наклоненных по отношению к оси (§ 2.4), что и
изменением их структуры и боковым "дрейфом" на расстояниях порядка
длины резонатора можно пренебречь. Нетрудно видеть, что сама теория
возмущений пригодна, лишь пока оптические неоднородности достаточно
малы для того, чтобы оставить эту качественную картину без особых из-
изменений. В таких условиях безразлично, на каком участке длины резонато-
резонатора расположены источники возмущений; можно считать, что все они сосре-
сосредоточены вблизи одного из зеркал, представляя собой некий единый фазо-
во-амплитудный корректор. Очевидно, F и является функцией "пропуска-
"пропускания" последнего.
Продемонстрируем удобство и эффективность оценок с помощью те-
теории возмущений на простом примере чисто фазовых аберраций в "дву-
"двумерном" резонаторе из полосовых зеркал шириной 2а. В этом случае
с л ' - Т(Ш
ит (х) >
(cos \ эт(
sin /
2а '¦•¦'» v SN
(см. § 2.1, 2.4); F(x) = exp[2/Wi(jc)] , где h{x) = L(x) - ДО), L(x) - опти-
оптическое расстояние между зеркалами, измеренное вдоль линии с поперечной
координатой х. Вариации оптической длины по сечению резонатора, с ко-
которыми придется иметь дело в рамках теории возмущений, намного мень-
меньше X, поэтому F(x) — 1 я» 2ikh (x); эти вариации могут быть вызваны как
разъюстировкой или искривлениями зеркал, так и наличием градиента по-
показателя преломления в поперечном направлении.
Наиболее распространенным источником малых волновых аберраций
первого порядка (оптический клин) является непараллельность зер-
зеркал. В этом случае F (х) — 1 = 2ikex, где е — угол между зеркалами. Пос-
Поскольку F — 1 является антисимметричной функцией х, не равны нулю толь-
только P'mi с четными \т — I \. Несложный анализ показывает, что с увеличе-
увеличением угла разъюстировки е центр тяжести распределения поля монотонно
смещается в сторону более удаленных друг от друга краев зеркал (проти-
(противоположный вывод в [80] основан на неточности в рассуждениях). В част-
частности, выражение для собственной функции низшей моды имеет вид
и'о ^ и0 + 4(бя/Х)Лгм1 ([57]; рис. 3.6а). В соответствии с этим выражением
основная мода оказывается заметно деформированной уже при крайне
малых углах разъюстировки. Когда е достигает значения X/ DaN) (что
соответствует разности оптических длин на противоположных краях резо-
резонатора X/2N), угловая расходимость излучения основной моды примерно
удваивается [120]; одновременно сама теория возмущений перестает
быть применимой для описания этой моды. Такая чувствительность к нич-
ничтожным аберрациям приводит к тому, что наблюдать мало искаженную
низшую моду плоского резонатора с большим N в опытах с лазерами не
удается практически никогда.
153
kU0 kli0 kU0
fx/a -1
/x/a -1
1x/a
аогиг
^7 x/a -1
7 x/a
Am
1 L^ _J 1 L
u'o
-/ 0 1x/a -1 0 1x/a -/ 0 7 x/a
a 6 в
Рис. 3.6. Влияние фазовых аберраций на распределение поля низшей моды плоского
резонатора; а - разъюстировка зеркал; б — слегка вогнутые зеркала; в - слегка вы-
выпуклые зеркала
По мере перехода к модам более высокого порядка деформации быст-
быстро падают (матричные элементы уменьшаются, а разности собственных
значений растут). Поэтому в обычном для случая плоского резонатора с
большим N режиме генерации на многих модах одновременно (см. сле-
следующий параграф) общая величина углового расхождения оказывается
значительно менее чувствительной к разъюстировкам, чем конфигурация
поля основной моды.
Рассмотрим еще поведение той же основной моды в присутствии волно-
волновых аберраций второго порядка (слабо вогнутые или выпуклые зеркала,
небольшая термическая линза и т.п.). Для полосового резонатора при абер-
аберрациях второго порядка F(х) - 1 = 2ikho(x/aJ, где h0 - разность рас-
расстояний на крае и в центре резонатора (рис. 3.66, в). ВеличинаF — 1 явля-
является симметричной функцией х, и0 = и0 — 0,6 (h0l\)Nu2 [57].
При Л о < 0 (зеркала вогнутые) резонатор становится устойчивым,
и поле низшей моды, естественно, концентрируется вблизи оси (я|0^ >
> 0, см. рис. 3.66), дифракционные потери падают. При стрелках проги-
прогиба | Л о I ^ Х/A0Лг) распределение поля основной моды уже близко к
предсказываемому теорией устойчивых резонаторов с бесконечными зер-
зеркалами (§2.3).
154
При h0 > О (выпуклые зеркала) распределение поля по сечению резона-
резонатора становится равномернее (рис. З.бв); дифракционные потери резко
возрастают.
Если оптическая длина изменяется по сечению резонатора хотя и плавно
(волновые аберрации низкого порядка), но в более широких пределах,
от теории возмущений приходится отказаться. Поясним основные законо-
закономерности с помощью полугеометрического подхода, к которому мы при-
прибегали при рассмотрении полосовых резонаторов в § 2.4. Как и тогда, бу-
будем следить за траекторией луча, попеременно отражающегося от зеркал
резонатора, который для простоты предполагается двумерным.
Рис. 3.1а относится к случаю разъюстированного резонатора с углом
между зеркалами €. Луч, наклоненный на угол а, при прохождении длины
резонатора L смещается вдоль оси х на Ах = ocL; при отражении от зеркала
наклон изменяется на Да = е. Таким образом, Да/Дх = б/(а/,); пренеб-
пренебрегая дискретностью "шагов" луча по зеркалу и переходя к дифференциа-
дифференциалам, имеем da/dx = e/(cxL); отсюда следует, что значения ах и а2 углов
наклона на концах отрезка (xlt x2) связаны с длиной отрезка соотноше-
соотношением а2 - а\ = Be/L) (х2 - хг).
Лучу, "дрейфующему" поперек резонатора, в дифракционном прибли-
приближении соответствует волноводная волна, которая по-прежнему состоит
из двух обычных волн (§ 2.4), только их перпендикулярные нашему
лучу на разных его "шагах" фронты теперь уже не плоские, а изогнутые
(см. рисунок). Поскольку угол между фронтом каждой волны и осью х
равен тому же а, проекция участка фронта между Х\ и х2 на ось z состав-
составляет
Х2 Х2 Г 2б
Az= / a(x)dx= f \/<*L+ —(x-xl)dx =
3/2
Применим выведенные формулы к ситуации, изображенной на
рис. 3.7а. Луч "стартует" в х = хх с осх =0, через какое-то число проходов
доходит до правого открытого края резонатора, частично "отражается"
от него и идет назад. Нетрудно видеть, что сечение х = хг является местом
поворота траектории луча; здесь находится каустика соответствующего
этой траектории колебания, излучение которого, таким образом, сосредо-
сосредоточено между хх и правым краем. Движению луча слева направо и обрат-
обратно соответствуют участки волновых фронтов шириной х2 — хг = Ь с оди-
одинаковыми Az; число полос интерференции, умещающихся внутри этой
полосы, составляет 2Az/X. Классифицируя моды, как всегда, по числу
максимумов (полос) на зеркале, получаем для поперечного индекса т
соотношение 2Az = (т + 1)Х.
При с*! = 0 и т = 0 (низшая мода) имеем 2 [L/Ce)] Beb/LK^2 = X,
b = y/9L\2/C2e). Положив € = \/DaN) = /Д2/Dд3), находим b = y/9j8a «
» а. Таким образом, при угле разъюстировки X/ DaN) низшая мода "опи-
"опирается" не на оба открытых края, а на один из них и каустику, заполняя
в
Рис. 3.7. К вопросу о виде колебаний в разных резонаторах: разъюстированный плос-
плоский (а), близкий к плоскому устойчивый (б) и неустойчивый (в) резонаторы,
резонатор с произвольными аберрациями (г)
около половины сечения резонатора; это полностью соответствует резуль-
результату, полученному ранее с помощью теории возмущений.
При больших € основная мода "прижимается" к краю в еще большей
мере; те же водны, которые заполняют все сечение резонатора, соответ-
соответствуют модам высокого порядка. Интересно следующее. Угол вблизи от-
открытого края для мод, имеющих каустику (рсг = 0), связан с числом г
двойных проходов между зеркалами на пути от каустики до края очевид-
очевидным соотношением а2 = 2ег (при каждом отражении от зеркала угол воз-
возрастает на е). Учитывая взаимосвязь между коэффициентом дифракцион-
дифракционного "отражения" от края и углом падения на него, получаем — In | Ro 0 |2 =
= 2 ?а2 \fkL - ?•€ \fkLr, откуда следует, что потери, равные — In | Ro 0 \2/г,
здесь составляют l%e\JkL и в использованном нами приближении не зави-
зависят от числа обходов г, а с ним и от индекса моды. Таким образом, потери
низших мод при разъюстировке плоского полосового резонатора сближают-
сближаются по своей относительной величине. Более точные расчеты показывают,
что графики зависимостей потерь разных мод от е даже пересекаются
(см. [16], рис. 2.21).
156
При произвольно деформированных зеркалах угол наклона луча а
dL'
после поочередного отражения от обоих зеркал изменяется на 2 +
dx
+ 2 = 2 , где L \х) и L"(x) — расстояния от плоскости z = 0 до
dx dx
зеркал резонатора, L (х) = // + L" — расстояние между зеркалами, изме-
измена dL 1
ренное по прямой х - const (рис. 3.7г). Таким образом, = 2 ,
^ dx dx 2aL
da I dL 2 ^ L{x2)
a = ^ oci ~~ ai ~ 2 In итд. Отсюда следует, в частности,
dx L dx L(xt)
что если в области, заполненной излучением какой-либо моды, лерепад
оптических длин составляет AL, то угловая расходимость излучения у рав-
равна по меньшей мере
Vo=y/2AL/L . C.5)
Совершенно аналогичная формула может быть получена для того слу-
случая, когда между идеально плоскими параллельными зеркалами находится
среда с показателем преломления п - п (х). Действительно, проследим за
траекторией луча, в своем движении поперек оси постепенно пересекаю-
пересекающего слои с разными показателями преломления. Изменения наклона
луча в этом случае связаны исключительно с преломлением на границах
между слоями и могут быть рассчитаны прямо по теореме синусов
sinGr/2 — a1)/sinGr/2 - а2) = п2/пг > где аг и а2 — значения а в слоях с по-
показателем преломления пх и п2 соответственно. Используя а^1и заменив^
sinGr/2 - а) на cosa « 1 - а2/2, получаем а\ — а\ - 2(п2/пг — 1). Таким
образом, на участке с перепадом показателя преломления An угловая
расходимость излучения внутри резонатора составляет не менее у0 =
= \/2Ап/п (у излучения, выходящего через полупрозрачное зеркало в сре-
среду с п = 1, расходимость благодаря тому же преломлению оказывается в
п раз большей).
Об универсальности этих формул убедительно говорит то обстоятельст-
обстоятельство, что они оказываются в равной мере пригодными для близких к плос-
плоским как устойчивых, так и неустойчивых резонаторов. Рассчитаем, напри-
например, с помощью C.5) угловую расходимость излучения моды с пятнами
диаметра Ф на зеркалах идеального симметричного устойчивого резона-
резонатора, имеющих радиусы кривизны R> L. Стрелка прогиба каждого зерка-
зеркала в области пятна составляет Ф2/(8Я), общая вариация длины AL «
» Ф21DR), ^о « Ф/л/ZJRZ. Поскольку углы наклонов лучей, следующих
от одного края резонатора к другому и обратно, здесь изменяются в пре-
пределах от 0 до <?о и от 0 д<э —$о соответственно (рис. 3.7б), полная рас-
расходимость <? = 2фо & 2Qj\/2RL . Нетрудно убедиться в том, что к тому же
приводит и строгая формула B.23) для "дифракционной" компоненты
расходимости (при R > L "геометрической" можно пренебречь).
Для близких к плоским неустойчивых резонаторов расходимость также
оказывается равной 2 у0 = 2\j2AL\L (рис. 3.7в), однако теперь эта фор-
формула описывает уже не дифракционную, а геометрическую компоненту.
Причины этого важного отличия двух классов резонаторов, о котором
157
мы уже говорили, становятся особенно очевидными при сопоставлении
рис. 3.76 и 3.7в. В первом случае на каждом участке резонатора имеются
две дрейфующие в поперечном направлении навстречу друг другу волны
одинаковой интенсивности. Попытка "выпрямить" фронт одной из них
при помощи плавно изменяющего фазу корректора еще больше искриви-
искривила бы фронт второй, поэтому здесь мы говорим о некомпенсируемой диф-
дифракционной расходимости. Во втором же случае волны, "разбегающиеся"
от оси в разные стороны, имеют общий сферический фронт, кривизна кото-
которого легко уничтожается подходящей линзой (рожденными за счет крае-
краевой дифракции слабыми волнами, идущими к оси, тут можно пренебречь).
При других видах L (х) картина колебаний может быть весьма сложной.
Так, у резонатора, изображенного на рис. 3.7г, существуют моды, "опираю-
"опирающиеся" слева как на открытый край, так и на каустики, расположенные
между этим краем и АА9, а также правее ВВ*; справа — на каустику меж-
между АА' и ВВ1 или на правый край. Еще многообразнее те ситуации, с ко-
которыми можно столкнуться при произвольно распределенных неоднород-
ностях в трехмерном случае.
Пора подводить итоги рассмотрения фазовых аберраций. Главным
является следующее. В плоских резонаторах из-за эффекта многократно-
многократного прохождения света через одну и ту же крупномасштабную оптическую
неоднородность результирующие искажения волнового фронта установив-
установившихся колебаний обычно значительно превышают искажения, приобретае-
приобретаемые на одном проходе. В особенности это касается случаев, когда аберрации
на одном проходе малы, а характерные поперечные размеры неоднороднос-
тей, напротив, велики. Действительно, изменение оптической длины AL
на характерном размере Ъ вызывает в конечном итоге, как мы видели,
отклонение направления излучения на не зависящий от Ъ угол y/2AL/L.
В то же время изменение направления на одном проходе (т.е. при исполь-
использовании того же активного элемента в усилительном режиме) составляет
AL/b; отношение этих двух величин равно sjlb2\{L AL). В результате
при больших Ъ и малых AL "чувствительность "плоского резонатора к
фазовым аберрациям оказывается чрезвычайно высокой.
. К этому всему добавляется и столь же большая чувствительность к ам-
амплитудным аберрациям, основным источником которых обычно является
неравномерность распределения инверсной населенности по сечению резо-
резонатора. Характер этого распределения, в свою очередь, определяется про-
процессами не только возбуждения активной среды, но и ее дезактивации при
взаимодействии с генерируемым излучением. Если при заданных амплитуд-
амплитудных аберрациях рассчитать модовую структуру не труднее, чем при фазо-
фазовых (некоторые сведения об этом имеются в [16], § 2.5), то найти согла-
согласованные между собой распределения полей генерации и инверсной насе-
населенности удается только в немногих простейших случаях *). Важнейший
из них — случай отсутствия фазовых аберраций; его мы коснемся в § 3.3.
Сообщим еще, что достаточно полная библиография по расчетам плоских
резонаторов с различными конкретными видами аберраций приведена в
*) Хотя в литературе есть немало посвященных этому вопросу работ, часть их
ошибочна (о типичном методическом просчете см. [29]).
158
[16]. Заслуживают особого упоминания статья [101], в которой была
впервые дана оценка угловой расходимости при аберрациях произволь-
произвольного вида с помощью немного более строгого, чем изложенный выше, но
лишенного наглядности способа, и основательная работа [104] по использо-
использованию в расчетах резонаторов ВКБ-приближения. Отметим еще, что наряду
с другими сведениями о роли различных видов аберраций полезный "лу-
"лучевой " анализ разъюстированного плоского резонатора содержала ра-
работа [111].
Крупномасштабные аберрации в неустойчивых резонаторах. В случае
неустойчивых резонаторов разлагать в ряды по собственным функциям
нельзя [28], и от теории возмущений приходится отказаться; зато гео-
геометрический подход может быть использован уже без каких-либо огово-
оговорок и в еще более простой модификации. Дело в том, что ход лучей, соот-
соответствующих низшим модам плоского резонатора, сильно меняется под
воздействием самых ничтожных фазовых аберраций (ср. рис. 2.18 и 3.7а).
В то же время на протяжении большей части сечения неустойчивого резо-
резонатора "шаги" луча по зеркалу столь велики ( удаление луча от оси на
каждом двойном проходе возрастает в М раз), что небольшие аберрации
на траекторию луча практически не влияют. Поэтому здесь можно считать
ход лучей совпадающим с ходом при идеально однородной среде, а вели-
величину набегающего за счет неоднородности искривления волнового фрон-
фронта — равной разности оптических путей по соответствующим траекториям.
Следуя [39], рассмотрим прохождение основной расходящейся волны
по оптической линии, эквивалентной изображенному на рис. 3.8а резона-
резонатору из софокусных вогнутого и выпуклого зеркал с активным элементом
из слабонеоднородной среды. Напомним, что мы уже имели дело с таким
резонатором при анализе поведения сходящихся волн в § 2.5 (см.
рис. 2.22), Его отличает то, что пучок, следующий по направлению к вы-
выпуклому зеркалу, в отсутствие аберраций имеет плоский волновой фр'онт;
коэффициент увеличения составляет М = - Д//2 > 1, где fx и/2 — фокус-
фокусные расстояния вогнутого и выпуклого зеркал соответственно.
Эквивалентная оптическая линия представлена на рис. 3.8в; как видно
из этого рисунка, излучение, заполняющее все сечение активного элемента,
перед этим на протяжении нескольких обходов резонатора "растекается"
из малого центрального участка сечения. Размеры этого участка убывают
при удалении от выходного сечения в геометрической прогрессии и быстро
делаются достаточно малыми, чтобы можно было пренебречь волновыми
аберрациями в пределах его сечения.
Отсюда следует, что в отличие от случая плоского резонатора накоп-
накопление аберраций происходит здесь только на протяжении нескольких
обходов. Число обходов, дающих заметный вклад в деформации фрон-
фронта установившейся волны, убывает с ростом кратности образованной
зеркалами телескопической системы (или, в общем случае, с модулем
кратности I МI). Если неоднородность среды сводится к наличию мед-
медленно меняющегося градиента показателя преломления, конечная вели-
величина аберраций установившегося фронта легко может быть найдена
простым суммированием.
Проделаем эту процедуру, найдя распределение поля и (г) на линии
пересечения какой-либо осевой плоскости и отсчетной поверхности, сов-
159
1
{-
>-
>
Рис. 3.8. К вопросу о влиянии аберраций в неустойчивых резонаторах: а, б — телеско-
телескопический резонатор и резонатор из софокусных вогнутых зеркал; в, г — оптические
линии, эквивалентные этим резотаторам
падающей с какой-либо эквифазнои поверхностью идеального резонатора.
Эту поверхность удобно расположить, как в § 3.2, вблизи выходного
зеркала; тогда и (г) прямо описывает форму выходящей из резонатора
волны на соответствующем участке сечения. В случае телескопического
резонатора отсчетная поверхность является плоской (нанесена на рис. 3.8
штриховой линией). Для удобства выкладок будем считать поперечную
координату г на выбранной осевой плоскости величиной алгебраической
и меняющей знак при переходе на другую сторону относительно оси.
В соответствии с принятым способом оценки
и{г) <х> ехр{ ik[ f n(s)ds — / n(s)ds]} ,
ABC... OOlO2...
где п — показатель преломления среды; интегрирование ведется по рас-
расстоянию вдоль соответствующего луча; таким образом, выражение в
квадратных скобках представляет собой набегающую за счет неоднород-
неоднородности среды разность оптических путей по лучу ABC. .., заканчиваю-
заканчивающемуся в точке А с поперечной координатой г, и по лучу ООХО2' - .,
проходящему по оси резонатора.
Введем разность хода на одном периоде эквивалентной схемы ЬЬ (г) =
= / n(s)ds - / n(s)ds и величину F(г) = exp[ik - 5L(r)] (при од-
ав оох
нородной среде ЬЬ(г) = О, F(г) = 1). Тогда, учитывая, что координаты
точек А, В, С, ... равны г, r/М, г/М2,... , можно записать формулу для
160
и (г) в виде
и(г) со exp{ik[SL(r) + 8L(r/M) + 8L(r/M2) + ...]} =
= F(r)F(r/M)F(r/M2)... C.6)
Величины 3L(r/MJ) с ростом/ быстро приближаются к нулю, a F(r/A/7') —
соответственно к единице. Вследствие этого произведение в правой части
C.6) при неограниченном возрастании числа членов стремится к опре-
определенному пределу, являющемуся искомым решением; оно по форме
совпадает с соответствующим основной моде (т = 0) решением B.41)
уравнения типа B.40). Это и неудивительно: уравнение B.40) основы-
основывалось на том, что источником поля в точке х является поле в точке х/М;
аналогичное предположение, по существу, использовалось и теперь.
Ясно, что введение комплексного показателя преломления при вы-
вычислении F(r) позволяет единообразно учесть не только фазовые, но
и амплитудные искажения, возникающие за счет неравномерного рас-
распределения коэффициента усиления. Кроме того, в величину F(r) могут
быть, как ив § 2.5, включены множители, описьюающие неравномер-
неравномерное распределение коэффициента отражения по поверхности зеркал и т.п.
Отметим еще, что все наше последующее рассмотрение будет по-преж-
по-прежнему относиться к основной моде неустойчивого резонатора. Вопрос об
имеющих большие потери модах высшего порядка более обсуждать не
будем: в следующем параграфе станет очевидным, что эти моды не мо-
могут участвовать в процессе генерации, и их анализ представляет лишь
чисто академический интерес.
Воспользуемся теперь изложенным выше методом для рассмотрения
часто встречающегося на практике случая, когда неоднородности рас-
распределены равномерно по всей длине резонатора и п может быть пред-
представлено в виде п(г) = щ + П\Г + п2г2 + ... Тогда
= L[nxr + П2Г2 + ... + (г - r/M) -1 f (пгг' + п2г'2 + ... )dr] =
г/М
- Г 1 М>+ г - 1 1 .
/= 1 Ч / + 1 (м - i)MJ J
В квадратных скобках последнего выражения единица соответствует той
половине периода эквивалентной схемы, которую пучок проходит, бу-
будучи параллельным, второй член — оставшейся половине (стадии расши-
расширения сечения).
Чтобы рассчитать сумму 3L (г) + 8L(r/M) + .. ., достаточно в послед-
последней формуле заменить г7 на г7 + (г/Л/O + ... = г7/A — 1/Л/7). Итак,
SL(r) + 3L(r/M) + ... = /,? af(M)nfr}\
7=1 ! C.7)
/+1 (М - l)MJ J 1 - 1/Л/7
Кроме телескопического, введем в рассмотрение также несимметрич-
11. Ю. А. Ананьев 161
"J
10
в
7 2 3 4 5 Af
Рис. 3.9. Зависимость olj от М: а — телескопический резонатор (рис. 3.8, а), б — не-
несимметричный конфокальный резонатор из вогаутых зеркал (рис. 3.8, б)
ный резонатор из двух софокусных вогнутых зеркал, изображенный на
рис. 3.86. У него коэффициент увеличения М = -f\\f% является отрица-
отрицательным (координата луча после обхода резонатора меняет знак). Эк-
Эквивалентная схема такого резонатора точно так же разбивается на уча-
участки, которые пучок проходит, будучи параллельным, и участки, на
которых координаты лучей изменяются в М раз (рис. 3.8г). Поэто-
Поэтому для данного резонатора все приведенные выше выкладки остаются
в силе; справедливы и формулы C.7) при условии подстановки
в них соответствующих отрицательных значений М.
Сопоставим найденные искажения волнового фронта с теми, которые
набегают при однократном прохождении параллельного пучка через дан-
оо
ную среду. Последнее равны L 2 w7r7; отсюда ясен смысл фигурирую-
щих в C.7) коэффициентов а;-: они показывают, во сколько раз данный
тип неоднородности проявляется сильнее в неустойчивых резонаторах,
чем в однопроходовых усилителях. Эти коэффициенты были введены
автором в [10]; за ними закрепилось данное гам же название аберра-
аберрационных.
Зависимость нескольких первых olj от увеличения М приведена на
рис. 3.9. Видно, что в случае телескопического резонатора (М> 1, рис. 3.9а)
все члены ряда C.7) монотонно уменьшаются. Сравнительно сильно про-
проявляется неоднородность типа оптического клина (/ = 1; волновые абер-
аберрации первого порядка): при значениях М = 2-^5, которые характерны
для многих типов лазеров (см. гл. 4), пучок на выходе из резонатора
отклоняется от своего первоначального направления на угол, превыша-
превышающий в 3,5—2 раза угол отклонения при однократном прохождении вве-
введенного клина. Влияние неоднородности типа линзы (/ = 2? волновые
аберрации второго порядка) в этом же диапазоне изменения М оказы-
оказывается большим, чем в случае однопроходового усилителя, только в
162
2—1,5 раза; волновые аберрации более высоких порядков проявляются
еще слабее.
Резонатор из софокусных вогнутых зеркал (М < —1, рис. 3.96) зна-
значительно менее чувствителен к наличию волновых аберраций нечетных
порядков, чем телескопический. При IМI > 3 направление пучка на
выходе этой системы оказывается даже более устойчивым по отноше-
отношению к введению клина, чем в усилительных устройствах (pti < 1). Не-
Нетрудно видеть, что причиной тому является "перевертывание" пучка
по прохождении периода эквивалентной схемы, в результате чего каж-
каждый внеосевой луч проходит попеременно зоны то с большим, то с мень-
меньшим показателем преломления (рис. З&г; с явлениями подобного рода
мы встретимся еще в § 4.4). Реакция на аберрацию четных порядков
при "перевертывании" пучка не изменяется и поэтому остается примерно
такой же, как в телескопическом резонаторе (небольшая разница воз-
возникает за счет той половины периода эквивалентной схемы, на которой
происходит расширение сечения пучка).
Поскольку в случае наиболее часто используемого телескопического
резонатора все аберрационные коэффициенты а;- монотонно убывают с рос-
ростом М, угловая расходимость излучения при этом, как правило, умень-
уменьшается. Правда, если ряд 2ау#1/г7 является знакопеременным, непро-
непропорциональное уменьшение его коэффициентов может, в принципе, при-
привести к тому, что описьюаемое этим рядом распределение станет менее
благоприятным. В [16] показано, что подобные примеры хотя и суще-
существуют, однако совершенно не типичны: в подавляющем большинстве
случаев полезно, чтобы аберрации суммировались на возможно меньшем
числе проходов через неоднородную среду.
Нетрудно рассчитать аберрационные коэффициенты и при любом дру-
другом расположении источников аберраций внутри резонатора, в частности
тогда, когда таким источником являются искривления зеркал. Так,
если вогнутое зеркало того же телескопического резонатора имеет от-
отступления формы поверхности от идеальной AL(r), то 6 Z,(r) = 2AL(r),
ol'j =2/A — 1/А/7"). Знание а) легко позволяет решать не только прямую,
но и обратную задачу о нахождении искривлений зеркала по заданному
значению требуемых деформаций волнового фронта /(г) (что может по-
понадобиться, скажем, для компенсации уже имеющихся деформаций, выз-
вызванных неоднородностью среды, см. § 4.4). Действительно, разложив
/(г) в ряд по rJ и разделив каждый его член на соответствующее а;', по-
получаем ряд, описывающий необходимую величину AL(r).
Уточним теперь условия применимости изложенного выше простей-
простейшего математического аппарата. Как уже указывалось, он основан на
предположении о том, что неоднородности среды или искривления зер-
зеркал благодаря своей малости не оказьюают существенного влияния на
ход лучей. Для этого нужно, чтобы на большей части сечения резонатора
дополнительный наклон А<р (г) луча за счет аберраций при его падении
на зеркало намного уступал углу падения у (г) для случая аналогичного
резонатора без аберраций. Поскольку луч является нормалью к волно-
d \ (г \ 1
вому фронту, Ау(г) = &L(r) + SLl—)+..., причем при вычис-
dr |_ \М/ J
11* 163
лении 5L(r) обход резонатора в обратном направлении должен осущест-
осуществляться от точки с координатой г на поверхности того зеркала, для кото-
которого такая проверка выполняется. Величина у равна г (М - 1/М)/DАВ)
для правого зеркала и г (М — 1/М)/ DDB) для левого (A, B,D — элементы
лучевой матрицы прохода от левого зеркала до правого, см § 2.2).
Если указанное условие не выполняется, форма волнового фронта мо-
может быть установлена с помощью того же способа, который использо-
использовался для плоских резонаторов со значительными аберрациями.
Светорассеяние. Обычно причиной светорассеяния является приобрете-
приобретение волной в результате прохождения через содержащую мелкомасштаб-
мелкомасштабные неоднородности среду (турбулентный газовый поток, кристалл с
микровключениями и т.п.) носящих случайный характер фазовых иска-
искажений ф (х, у). Подсчитаем долю а рассеянного света; начало отсчета фа-
фазы выберем так, что ф = 0 (усреднение производится по сечению), исход-
исходную волну будем для простоты считать плоской и следующей вдоль
оси.
Комплексная амплитуда волны с фазовыми искажениями составляет
Аъхр(гф), где А - const — амплитуда исходной волны. Поскольку из
A.33) следует, что осевая сила света изменяется за счет искажений в) =
= I Ф I2 < 1 раз, где Ф = exp(/i//), и доля излучения, приходящаяся на
ослабленную плоскую волну, равна, очевидно, у, то на рассеянный свет
остается о = 1 — 1 Ф 12. Если ф ^ 1, то sin ф ^ ф = 0, иФ« cos ф « 1 —
— D/2, где О=ф2— дисперсия распределения; таким образом, при ма-
малых фазовых искажениях о « 1 — A — D/2J ^D. В том распространен-
распространенном случае, когда вероятностное распределение фазовых отклонений
является гауссовым, не только при малых, но и при любых D оказыва-
оказывается справедливой простая формула у = ехр(—D), или о = 1 — exp (-D).
Методика аналогичного рассмотрения при статистике фазовых откло-
отклонений, отличной от гауссовой, и при исходных волнах с медленно меня-
меняющейся по сечению комплексной амплитудой изложена в [41]. Сооб-
Сообщим еще, что ширина индикатрисы рассеянного света определяется ха-
характерным поперечным масштабом фазовых искажений, во много раз
превышая обусловленную апертурными ограничениями дифракционную
расходимость.
Кратко рассмотрим роль светорассеяния в резонаторах разных типов.
На устойчивых можно особенно не останавливаться. Дело в том, что они
чаще всего используются при числах Френеля N порядка единицы: толь-
только тогда генерация осуществляется на одной или двух-трех низших мо-
модах (см. следующий параграф). В этом случае одно зеркало видно от
другого под углом, близким к дифракционному; поэтому рассеянный
свет, будучи отклоненным на гораздо большие углы, просто выходит из
резонатора, являясь источником дополнительных потерь мощности, но
не влияя на модовую структуру. Если же N велико, то генерация при
устойчивых резонаторах с интенсивно возбужденной средой осуществля-
осуществляется почти исключительно на модах высокого порядка (см. опять-таки
следующий параграф). Эти моды сами по себе обладают столь большой
дифракционной компонентой расходимости (§ 1.3), что светорассеяние
уже мало что может к ней добавить.
164
В плоских резонаторах с малым N светорассеяние, как и в случае
устойчивых резонаторов, является только источником дополнительных
потерь (в свое время это не казалось столь очевидным и было подверг-
подвергнуто специальной экспериментальной проверке в [60]). Зато если N ве-
велико, то светорассеяние даже при о < 1 может вызвать многократное
увеличение расходимости генерируемого излучения.
Высокая чувствительность широкоапертурных плоских резона-
резонаторов к светорассеянию может быть истолкована примерно в том же
ключе, что и чувствительность к малым крупномасштабным аберрациям.
Мы уже упоминали о том, что такие резонаторы имеют совсем малые,
по сравнению с устойчивыми, разности собственных значений, а с ними
и частот. В результате наличие даже слабой связи (за счет светорассеяния)
одновременно между множеством мод с близкими частотами приводит
к их объединению в комплексы с единой частотой. Такие комплексы,
порой действительно состоящие из огромного числа мод идеального ре-
резонатора со случайно распределенными амплитудами и фазами, и пред-
представляют собой моды резонатора со светорассеянием (экспериментально
их существование было показано автором и Седовым в [64]).
Структура мод и общий вид углового распределения существенно за-
зависят от соотношения между шириной индикатрисы светорассеяния 2в0
и угловым диаметром 2\JXjL первого из системы колец, которые обра-
образуются в дальней зоне, если использовать данный резонатор в качестве
интерферометра Фабри—Перо и освещать его светом с X = 2JL/q (q -це-
-целое). Если в0 < y/X/L, что имеет место лишь при малоугловом рассея-
рассеянии внутри коротких резонаторов, то излучение мод-комплексов сосре-
сосредоточивается в центральном пятне, угловой размер которого 20р может
быть оценен по формуле 20 р « ol^y/X/L [121]. В [58] было показано,
что в случае сложных резонаторов, эквивалентных плоскому, имеют
место аналогичные закономерности, только роль L берет на себя так назы-
называемая эквивалентная длина L3KB (о смысле этого понятия см. § 2.1 и 4.2).
Если 0О сопоставимо с y/XjL или, тем более, превышает эту величину,
то в угловом распределении помимо центрального пятна появляются
упомянутые кольца с угловыми диаметрами 2y/jXjL (у = 1, 2, 3,. ..);
на них может приходиться значительная доля общей мощности излучения
[60, 58]. Для полноты картины сообщим, что дополнительные пятна,
которые возникают в дальней зоне при наличии наклонных частично от-
отражающих поверхностей раздела (см. § 3.1), есть не что иное, как фраг-
фрагменты тех же самых колец.
Этим исчерпываются полезные сведения, которые можно сообщить
о свойствах плоских резонаторов со светорассеянием: корректной тео-
теории, пригодной для достаточно общего случая, не существует. Влияние
светорассеяния в неустойчивых резонаторах оказьюается не только на-
намного меньшим, но и легче поддающимся оценке. Следуя тезису, сфор-
сформулированному в начале главы, приведем лишь предложенный в [18]
наиболее простой и наглядный способ оценок, относящийся к представ-
представляющему основной интерес случаю о < 1. Анализ по-прежнему будем
производить на конкретном примере телескопического резонатора,
изображенного на рис. 3.8а.
12. Ю. А. Ананьев j$5
Как и при рассмотрении крупномасштабных аберраций, проследим
за эволюцией первоначально идеальной расходящейся волны на ряде по-
последовательных обходов резонатора. Однако если раньше мы суммиро-
суммировали аберрации, наблюдая за тем, что происходит в ближней зоне, то
теперь будем следить за распределением направленного к выходному
зеркалу излучения в дальней зоне. При этом сделаем важное упрощение,
поскольку рассеянное излучение состоит из огромного числа угловых
компонент со случайными фазами, будем суммировать их интенсивности,
Рис. 3.10. Угловое распределение излучения в неустойчивом резонаторе со светорас-
светорассеянием: а, б - после одного и после двух обходов идеальной вначале волны, геомет-
геометрическое приближение; в — установившееся распределение, дифракционное приближе-
приближение
4 не амплитуды. Заодно это означает, что мы не станем следить за вы-
выполнением фазовых условий самовоспроизведения поля в резонаторе
(что вполне допустимо, ибо благодаря присутствию огромного числа
волноводных волн дискретностью их спектра можно пренебречь).
Угловой спектр излучения является, в сущности, разложением по
плоским волнам. Та из них, которая следует вдоль оси, и есть самовос-
самовоспроизводящаяся после обхода телескопического резонатора "расхо-
"расходящаяся" волна. Поведение остальных, как и этой, так же хорошо опи-
описывается геометрическим приближением, в соответствии с которым
угол наклона 9 каждой после обхода уменьшается в М раз. Если резуль-
результирующая угловая расходимость 29 р удовлетворяет обычно выполняю-
выполняющемуся условию 0р < [D/BL)] (М — 1I (М + 1) (D - диаметр пучка),
то излучение любой компоненты перекрывает выходное зеркало цели-
целиком. Это означает, что при отражении от выходного зеркала приходя-
приходящаяся на каждую компоненту мощность излучения уменьшается в со-
соответствии с долей общей площади сечения, перекрываемой зеркалом,
в М2 раз. Поскольку интенсивности всех компонент на обходе резона-
резонатора уменьшаются одинаково, то при выяснении относительного рас-
распределения мощности можно от этого уменьшения (которое при работе
лазера компенсируется усилением) отвлечься.
После первого обхода резонатора в дальней зоне кроме центральной
точки, соответствующей исходной волне, появляется заполненная рас-
рассеянным светом область 1 углового диаметра 2в0 (рис. 3.10а). На эту
область приходится доля общего потока излучения, равная а, в цент-
центральной точке остается 1 — а.
Во время второго обхода излучение центральной компоненты частич-
частично вновь рассеивается, заполняя область i, и на центральную точку оста-
166
ется доля A — аJ. С излучением, рассеянным еще на первом обходе,
дело обстоит немного сложнее. Основная его часть не подвергается пов-
повторному рассеянию (напомним, что а < 1) и благодаря отмеченному
уменьшению углов наклона переходит в область 2 (рис. 3.106) углового
диаметра 2во/М. Повторно рассеивается совсем уже мало света, значи-
значительная часть которого попадает в область 1; светом, выходящим за ее
пределы, при М>, 2 можно пренебречь.
- После третьего обхода к двум наложенным друг на друга пятнам раз-
разных угловых диаметров добавляется еще третье диаметром 00/М2, доля
излучения, приходящаяся на центральную компоненту, снижается до A —
- аK и т.д.
Здесь пора вспомнить, что пока мы имели дело, в сущности, лишь с
наклонами фронтов парциальных плоских волн; с учетом же дифракции
расходимость каждой из них вовсе не является бесконечно малой и рав-
равна 20Д & X/D. По этой причине следить за процессом уменьшения угло-
угловых диаметров пятен имеет смысл лишь до тех пор, пока они не срав-
сравниваются с дифракционной шириной расходимости. На последующих
обходах реальная картина распределения уже не меняется, причем убыль
света из дифракционного керна за счет светорассеяния компенсируется
поступлением за счет "сжатия" пятен, образовавшихся на предыдущих
обходах. Условный вид установившегося распределения изображен на
рис. 3.10в.
Не акцентируя внимания на том, что набор угловых диаметров пятен
дискретен, получаем для числа т обходов, которые занимает процесс
установления, соотношение 0Д = во/Мт, или т = \п(в 019 ц)/In M; доля
излучения в дифракционном керне составляет, очевидно, 5диф = A —
- а)т, откуда
5диф * ехр[-а1п@о/0д)/1пД/]. C.8)
Более подробное обоснование этой формулы и обсуждение пределов
ее применимости можно найти в [18]. Общий случай произвольных ас
помощью лишенного наглядности и несколько менее надежного способа
был рассмотрен в [123].
Из C.8) следует, что даже при небольших а светорассеяние с широ-
широкой индикатрисой может сильно уменьшить осевую силу света. И все
же, конечно, ситуация здесь намного лучше, чем в случае широкоапер-
турных плоских резонаторов: как было видно из нашего анализа, пол-
полная угловая расходимость 20р при телескопическом резонаторе сМ^
>, 2 практически совпадает с шириной индикатрисы светорассеяния 2в0,
в то время как в широкоапертурных плоских резонаторах даже угол,
в котором заключена половина мощности, обычно значительно превы-
превышает 20 0.
Затронем еще вопрос о модах дифракционного приближения и по-
потерях. Можно ожидать, что светорассеяние на микронеоднородностях
наподобие дифракции на резком крае зеркала (§ 2.5) способно привести
к существованию целой группы мод с близкими значениями потерь. Од-
Однако можно также ожидать, что в неустойчивых резонаторах с большими
зеркалами вырожденные по потерям моды, как и в случае с краевой диф-
дифракцией, будут различаться лишь мелкими деталями распределения
12* 167
комплексной амплитуды и поэтому обладать примерно одинаковой уг-
угловой расходимостью. Поэтому результаты выполненных оценок носят
достаточно универсальный характер.
Что касается приближенной величины потерь, то она с той точностью,
с которой можно заменять суммированием амплитуд большого числа слу-
случайных волн суммированием их интенсив но стей, равна 1 — 1/М2 (ведь
на обходе резонатора интенсивность каждой угловой компоненты умень-
уменьшается в М2 раз). Таким образом, светорассеяние, в первом приближе-
приближении, не меняет потерь неустойчивого резонатора.
Противоречие между этими вьгоодом и результатами ряда работ, пред-
предсказывающих снижение (причем порой резкое) потерь неустойчивых
резонаторов при введении светорассеяния, является лишь кажущимся.
Дело в том, что поиск колебаний с минимальными потерями в присут-
присутствии значительных мелкомасштабных неоднородно стей внутри неус-
неустойчивых резонаторов обычно приводит к модам, излучение которых
сосредоточено в узкой зоне вблизи оси резонатора (см., например, о
локальных устойчивых резонаторах в [108]). Влияние, которое оказы-
оказывает наличие таких мод на процесс генерации, велико лишь вблизи ее
порога и при больших превышениях порога практически исчезает (см.
также об управлении внешним сигналом в § 4.3). Наше же рассмотре-
рассмотрение с самого начала относилось к модам, более или менее равномерно
заполняющим все сечение резонатора и определяющим поведение ла-
лазера при больших превышениях порога.
§ 3.3. Конкуренция мод при "разгорании" генерации
и в ее стационарном режиме
Остановимся на поведении лазеров в тех простейших случаях, когда
в наибольшей степени проявляются индивидуальные свойства исполь-
используемых резонаторов и в наименьшей — активной среды. Заодно будут
пояснены некоторые важные методы анализа самих резонаторов и тех
процессов, которые в них происходят во время генерации.
Начальная стадия процесса установления колебаний в резонаторах с
малыми дифракционными потерями. Метод итераций. Рассмотрим про-
процесс "разгорания" генерации из спонтанного "затравочного" излучения
при наличии внутри устойчивого или плоского резонатора возбужден-
возбужденной равномерно по объему усиливающей среды. Ограничимся начальной
стадией процесса, когда интенсивность усиленного излучения еще столь
мала, что не оказьюает существенного влияния на величину, а с ней и
на характер распределения коэффициента усиления.
В § 2.1 было установлено, что наличие равномерно распределенного
по объему усиления приводит к домножению амплитуды любого пара-
параксиального пучка по прохождении им резонатора на один и тот же не зави-
зависящий от структуры пучка дополнительный множитель, равный усиле-
усилению на всей длине среды. Не сказывается на структуре пучков и присут-
присутствие полупрозрачных зеркал с постоянным на всем сечении коэффи-
коэффициентом отражения. Поэтому если интересоваться только эволюцией
структуры одного или суперпозиции многих пучков, можно считать уси-
168
ление отсутствующим, а зеркала полностью отражающими; мы так и
будем делать.
Памятуя о том, что в действительности усиление все же имеет место,
можно еще упростить рассмотрение, считая, что "затравочное" излуче-
излучение поступает внутрь резонатора лишь в некий начальный момент вре-
времени t = 0:,вновь поступающее (за счет продолжающейся люминесценции
среды) по интенсивности уступает уже усиленному, и им можно пре-
пренебречь.
Что касается самой "затравки", то можно считать, что в случае плос-
плоских и устойчивых резонаторов значительного объема, обычно имеющих
большое число сравнительно добротных мод в зоне максимума спект-
спектрального контура линии усиления, спонтанное излучение приходится
примерно поровну на все эти моды. Поэтому суммарное поле с учетом за-
зависимости от времени представимо в виде и{х, у, t) = 2 Amqum (х, у) X
m, q
X ехр(—icomqt), где Amq — близкие друг к другу по модулю комплекс-
комплексные числа, представляющие собой амплитуды соответствующих мод в
начальный момент времени, ит — поперечные распределения полей мод
с поперечными индексами га (от аксиального индекса q эти распреде-
распределения не зависят, см § 2.1), comq — собственные частоты.
Используя для comq - <Jmq - ico'nq формулы B.3) и B.4), получаем
для распределения поля, и^ (х, у) = и(х, у, п • 2L0/c) в момент вре-
времени, отстоящий от начального на промежуток, в течение которого свет
обходит резонатор п раз (и - целое), выражение
м <">(*, у) =
т
где Ат = ZAmq, С и С ~ фигурирующие в B.3), B.4) фазовые и
я
амплитудные поправки (напомним, что 5^ связаны с дифракционными
потерями Am соотношением Ат = 1 — ехр(-25^) «25'^).
Из полученного выражения видно, что если вести наблюдение за полем
лишь в моменты времени, отстоящие друг от друга на время полного
обхода, то каждая группа мод с фиксированным т, но разными q ведет
себя как единое целое. Причина заключается в том, что за время обхода
между модами, составляющими такую группу, набегают разности фаз,
кратные 2тг. Указанное обстоятельство позволяет нам в дальнейшем на-
называть эти группы поперечными модами (отвлекаясь тем самым от суще-
существования аксиального индекса), а величиныAmexp(—in8'm)exp(—лб^) -
их амплитудами. Исходные амплитуды Ат, очевидно, имеют примерно
одинаковые модули.
Пронумеруем моды, как обычно, в порядке возрастания потерь на-
начиная с т = 0. Модуль отношения амплитуды первой моды к амплитуде
нулевой уменьшается в е раз за п0 = 1/F" — 5q) обходов, отношение
интенсивностей при этом уменьшется в е2 раз. Интенсивности осталь-
остальных мод спадают еще быстрее, причем поскольку потери возрастают с
т достаточно резко, суммарная интенсивность этих мод ненамного пре-
превышает интенсивность второй моды. Отсюда следует вывод, что п0 яв-
является числом обходов, на которых происходит выделение нулевой
169
моды: к моменту времени t0 - п0 • 2L0/c из всей "затравки" остается
только нулевая мода с небольшой добавкой первой и ничтожной при-
примесью остальных.
При характерных параметрах устойчивых и плоских резонаторов для
выделения основной моды требуется сравнительно много времени. Так,
у плоского резонатора длиной 50 см из круглых зеркал диаметром 8 мм
п0 оказьюается близким к 400, и t0 составляет более 10~6 с, что замет-
заметно превышает длительности "пичков" в режиме свободной генерации
(см. начало § 3.1) и импульсов в режиме модулированной добротности
(учет непрерывною поступления спонтанного излучения может лишь
увеличить t0). Это означает, что в указанных режимах такой резонатор
не может обеспечить генерации на одной основной моде.
Рассмотренную выше картину эволюции многочастотного поля внутри
резонатора можно моделировать путем возбуждения стационарного мо-
монохроматического поля в эквивалентной резонатору (§ 2.1) оптической
линии. Действительно, пусть на входной плоскости ячейки, которая яв-
является "разверткой" резонатора при его прохождении в обоих направ-
направлениях, задано распределение монохроматического поля и^ (х, у) =
= 2 Amiim(x, у), частота которого такова, что выполняется условие
т
2kL0 = 2тгд, где q — целое. Невыходе этой ячейки устанавливается рас-
распределение 2ЛшехрB^0) * Pum(xt у) = 2 АтРит(х, у), на выходе
т т
и-й ячейки, очевидно, uw {х, у) = ИАт(Р)пит(х, у); здесь Р — вве-
т
денный в § 2.1 оператор преобразования поперечной структуры поля
на обходе резонатора. Поскольку ит являются собственными функ-
функциями этого оператора с собственными значениями ехр(-/5'т - 5^),
получаем для и ^ в точности то же выражение, что и прежде.
Таким образом, при задании одинаковых исходных функций вида
2 Атит(х, у) распределение монохроматического поля на выходе и-й
т
ячейки линии в точности совпадает с распределением суммарной ампли-
амплитуды многочастотного поля внутри резонатора через промежуток вре-
времени п • ILq/c от начала процесса. Точно так же, как внутри резонатора
с течешем времени, в линии по мере удаления от ее входа идет процесс
выделения мод с наименьшими потерями. Этим можно воспользоваться
для их расчета.
Вид интегрального оператора Р для идеальных резонаторов хорошо
известен (гл. 2), а для реальных может быть установлен тем или иным
способом (§ 3.2). Вычислительная процедура заключается в поочеред-
поочередном вычислении результата воздействия Р сперва на произвольно вы-
выбранное исходное распределение и^°\ затем на функции, являющиеся
результатами предыдущих этапов расчетов: и^1^ = Ри^°\ и^ = Ри^1\
и т.д.
На какой-то стадии вычислений форма распределения поля начинает
раз от разу повторяться, причем отношение и^п + х* (х, у)/и^ (х, у) пе-
перестает зависеть не только от jc, у но и от п. Это служит сигналом о том,
что п уже в несколько раз превысило не известное заранее число п0, и
170
расчеты могут быть прекращены: осталась лишь одна мода с распреде-
распределением поля и ^ и собственным значением и ^п + * ^/и ^ .
С помощью "маленьких хитростей'* обычно удается рассчитать не
только низшую, но и несколько ближайших мод. Так, если в случае иде-
идеальных полосовых резонаторов взять симметричную начальную "затрав-
"затравку" (м^(— х) - ц(°)(х)), мы с самого начала имеем дело с суперпо-
суперпозицией только симметричных мод и придем, естественно, к низшей сим-
симметричной моде; антисимметричная "затравка" (w^°'(—jc) =— и^ (х))
приведет к низшей антисимметричной моде. Далее, применив, скажем,
симметричное м^°) и вычислив параметры низшей симметричной моды,
мы приобретаем возможность рассчитать ее вклад и вычесть его из всей
последовательности распределений и^°\ и^\ . . . , и^ . Остаток со-
содержит уже только другие симметричные моды; перед тем как он схо-
сходит на нет, в нем преобладает имеющая среди них наименьшие потери.
Это позволяет вычислить также и ее характеристики; правда, степень
преобладания над остальными здесь является уже не столь высокой
(из-за меньшего п), и точность расчетов снижается, что ограничивает
возможность многократного повторения подобного приема.
Описанный выше способ вычисления модовых характеристик явля-
является, в сущности, итерационным методом решения интегральных урав-
уравнений. Применительно к оптическим резонаторам он был впервые исполь-
использован Фоксом и Ли [164], оставаясь незаменимым во многих случаях
и по сию пору.
Установление колебаний в неустойчивых резонаторах. Как уже ука-
указывалось, разлагать произвольные поля в ряды по собственным функ-
функциям неустойчивых резонаторов с большими потерями нельзя [28].
Поэтому, анализируя эволюцию поля, порожденного случайной "затрав-
"затравкой", прибегнем к приему, который использовался в предыдущем па-
параграфе в связи с задачей о светорассеянии. Он сводится к разложению
по набору неких не связанных с модами резонатора волн, эволюция ко-
которых легко рассчитывается с помощью геометрического приближения.
Отметим, что исторически первым оказался иной, намного менее удоб-
удобный способ рассмотрения (по этому поводу см. [13] ,а также [16], §4.1),
который хотя и позволил оценить число обходов резонатора и0, доста-
достаточных для выделения основной моды, однако так и не был доведен до
завершенного вида.
Произведем такую оценку, следуя [13]. Пусть активная среда сече-
сечения 2а X 2а размещена внутри телескопического резонатора (рис. 3.11);
ее показатель преломления для простоты примем равным единице. Про-
Проследим, скажем, за судьбой "затравочного" излучателя, которое в на-
начальный момент времени испускается вблизи выпуклого зеркала в сто-
сторону вогнутого. В качестве отсчетной выберем расположенную у вы-
выпуклого зеркала сферическую эквифазную поверхность расходящей-
расходящейся волны, центр кривизны которой находится в общем фокусе
зеркал.
Комплексную амплитуду поля "затравки", считаемой для простоты
монохроматической, разложим на отсчетной поверхности в двумерный
ряд Фурье, каждому члену которого соответствует волна ограниченного
171
сечения:
и (х, у) = F (х/а) F (у/а) 2 A lm exp (inlx/a) exp (inmy/a),
где
1, I v\ < 1,
О, I v I > 1
/, m = О, ± 1, ±2,
Этот простой и наглядный прием, предложенный в [13], порой оказы-
оказывается намного эффективнее стандартного метода фурье-оптики, осно-
основанного на использовании не ряда, а интеграла Фурье, который является
разложением по набору неограниченных волн со сплошным спектром.
Дело в том, что законы распространения волн ограниченного сечения
нередко не слишком сложны или, как в рассматриваемом сейчас случае,
могут использоваться в приближенной формулировке, дискретность
же набора обеспечивает большое удобство рассмотрения (см., напри-
например, [24]).
В данном случае отдельным членам ряда соответствуют сферические
волны со случайно распределенными амплитудами Агт, среднее значе-
значение квадрата модуля которых может быть рассчитано исходя из мощ-
мощности спонтанного излучения, приходящегося на телесный угол [\/Bд)]2.
Центры кривизны этих волн лежат в фокальной плоскости и смещены
от общего фокуса зеркал по двум направлениям на расстояния /Х/2/Bя),
т\/2/Bд), где /2 — фокусное расстояние выпуклого зеркала. Центры
кривизны волн, чье излучение полностью перекрывает вогнутое зеркало,
заполняют зону размером 2а X" 2а (см. рис. 3.11); число таких волн,
следовательно, равно [Аа2/(Xf2)]2- Излучение волн, центры которых
I ^V^c^jt-
Рис. 3.11. Прохождение сферических волн по телескопическому резо-
резонатору: а — одна из "расходящихся" волн; б, в, - прохождение по эквивалентной
линии расходящихся волн с центрами кривизны внутри зоны шириной 2а (б) и вне
ее (в)
172
лежат рядом с этой зоной, также, как видно из рисунка, частично по-
попадает в створ резонатора, однако очень быстро полностью выходит за
его пределы. Поэтому за исключением самых ранних стадий процесса
установления в нем реально принимают участие [4я2/(\/2)]2 волн, т.е.
спонтанное излучение, приходящееся на телесный угол Bа/f2 J.
Проследим теперь за поведением волн; здесь это вполне можно де-
делать в рамках геометрического приближения. Очевидно, после первого
отражения от вогнутого зеркала внутри резонатора остается часть сече-
сечения каждой волны, равная 1/М2; сами же волны из сферических стано-
становятся плоскими с направлениями распространения, наклоненными по
отношению к оси на углы /\/BMz), тХ/BМа). Хотя функции, описы-
описывающие эти волны, уже не ортогональны внутри области определения,
но ввиду случайности исходных фаз общая мощность остается примерно
равной сумме мощностей, переносимых каждой волной, и, таким об-
образом, на этом этапе уменьшается в М2 раз. Учтя число волн, получаем,
что ширина всего диапазона углов, т.е. суммарная расходимость излу-
излучения, составляет 2a/(Mf2).
После каждого последующего обхода резонатора количество остаю-
остающегося внутри него излучения уменьшается опять-таки в М2 раз. Накло-
Наклоны всех пучков, а с ними и суммарный угол расходимости, уменьшаются
в М раз. Итак, после п обходов резонатора внутри него остается доля из-
излучения всех входящих в "затравку" волн, равная 1/М2", а суммарная
"геометрическая" расходимость составляет 2a/(Mnf2).
Далее, как в задаче о неустойчивых резонаторах со светорассеянием,
следует учесть, что мы имеем дело, по существу, с углами наклона фрон-
фронтов парциальных волн, каждая из которых ввиду ограниченности сечения
имеет конечную расходимость дифракционного происхождения. Поэтому
можно считать, что формирование пучка с дифракционной расходи-
расходимостью — основной моды — завершается тогда, когда "геометрическая"
расходимость уменьшается до значения XI Bа) (у разложения суммарного
поля в ряд Фурье остается фактически единственный член). Это происхо-
происходит через число обходов л0, определяемое соотношением 2a/(Mn°f2) =
= XI Bа), или Мп° = 4a2/(Xf2). К данному моменту внутри резонатора
остается доля первичного "затравочного" излучения, равная 1/М2п° =
= [ \Гг / Dя2 ) ]2 • Нетрудно видеть, что этой доле соответствует та интенсив-
интенсивность излучения, которая вначале приходилась в среднем на одну волну.
Выразив f2 через М и длину резонатора L, получаем п0 = In [4 (М -
- 1) a21 (XL)]/in M. Из этой формулы следует, что время формирования
дифракционно направленного пучка при фиксированных габаритах резо-
резонатора медленно и монотонно уменьшается с ростомМ. Интереснее, однако,
то, что п0 зависит не только от определяемых величиной М потерь резона-
резонатора, но и от параметра a21(\L), причем при a2/(XL) > 1 может оказать-
оказаться не слишком малым, даже если М существенно превышает единицу. Так,
для упоминающихся в § 4.1 лазеров на твердотельных элементах диамет-
диаметром 45 мм с неустойчивыми резонаторами, имеющими М = 2, п0 составляет
около 10.
. Отметим, что из модели, использовавшейся при анализе процесса уста-
установления колебаний в резонаторах с малыми дифракционными потерями
и основанной на разложении "затравки" по модам резонатора, в данных
173
условиях следовало бы, что основная мода выделяется буквально на
одном-двух обходах. Это лишний раз предостерегает от применения разло-
разложений в ряды по модам резонаторов с большими потерями.
Чтобы оценить п0, мы рассмотрели выше судьбу спонтанного излуче-
излучения, испущенного в определенный момент времени на одном из участков
длины резонатора. Для более полного описания процесса установления
колебаний следовало бы учесть и наличие других участков длины, и поступ-
поступление спонтанного излучения в последующие моменты времени, и его уси-
усиление по мере распространения.
Универсальная методика подобных расчетов была разработана автором
и Аникичевым в [26].
Основные представления о многомодовой генерации и причинах ее су-
существования. В начале параграфа мы уже имели дело с суперпозициями
мод, имеющих один и тот же поперечный, но разные аксиальные индексы.
Рассмотрим теперь повнимательней поведение такой суперпозиции во
времени, отвлекаясь от поперечной структуры и не принимая во внимание
затухания (или, если угодно, считая, что оно скомпенсировано усилением),
Полагая, что концевые зеркала имеют координаты z ~ 0 и z = L, а также
представив частоты волн с аксиальными индексами q ~ q0 + / (/ = О,
± 1, ±2, . . . ) в виде со0 + iirc/L , где со0 - частота моды с ц = qOi получаем
для суммарного поля выражение
(nct\ (q0
—if — J sin
L J
где Aj — амплитуды отдельных мод.
(q0 + j)nz if Г т (qQ + /)ttz
Заменив sin на—{-exp —i
L 2/ { [ L
.. (go + /) ™ ] \
+ exp г > , разделяем, как обычно, стоячую волну на две
L L> J J
бегущие в противоположных направлениях. Первому члену в фигурных
скобках соответствует волна, которая следует отг =1кг=0и переходит
там во вторую, приобретая при отражении от зеркала фазовый сдвиг эт.
Осуществим "развертку" этих двух волн, перенеся первую на промежу-
промежуток (-L, 0) с изменением направления распространения и уничтожением
упомянутого фазового сдвига. Нетрудно видеть, что для этого достаточно
у первого члена сменить общий знак и знак г, после чего этот член начи-
начинает по форме совпадать со вторым. Итак, искомая "развертка", представ-
представляющая собой единую волну, заданную на промежутке (-?, /,), описы-
описывается формулой
u ~~ exp [i(koz -
X 2 A, exp (-2njit/To) exp Bmfzj2L\
i
где Го = 2L/c - время обхода резонатора, /с0 = qon/L.
В полученном выражении множитель перед знаком суммы свидетель-
свидетельствует лишь о том, что мы имеем дело с излучением, имеющим "несу-
"несущую" частоту со0 и следующим вдоль оси z. Более примечательно выраже-
выражение под знаком суммы: из. него вытекает, что амплитуда поля во времени
174
изменяется периодично с периодом То, величины Ап представляют сооои
коэффициенты разложения этой функции в ряд Фурье. При t = 0 распре-
распределение поля вдоль оси z на промежутке от +L, до -L подобно распределе-
распределению при z = L на временном промежутке от t = 0 до t - То; это естествен-
естественно - в более поздние моменты времени к плоскости z = L подходит то
излучение, которое вначале находилось дальше от этой плоскости.
Таким образом, наложение мод с разными q приводит к неравномер-
неравномерности распределения интенсивности бегущих вдоль резонатора волн по его
длине и к соответствующей временной модуляции с периодом То в любом
фиксированном сечении (скажем, на выходном зеркале). Справедливо и
обратное утверждение: наличие временной модуляции выходного сигнала
с указанным периодом свидетельствует о неравномерности распределения
излучения по длине резонатора, что, в свою очередь, является признаком
одновременного присутствия ряда мод с разными аксиальными индексами.
Подобные явления иногда оказываются следствием очень быстро-
быстрого возбуждения среды при больших потерях резонатора [26]. Чаще их,
однако, вызывают специально, осуществляя внутрирезонаторную при-
принудительную модуляцию с частотой 1/Г0 либо просто помещая в резонатор
затвор из поглощающей нелинейной среды, пропускание которого растет
с интенсивностью проходящего света. Такой затвор "подчеркивает" любые
случайные флуктуации интенсивности; с его помощью можно добиться то-
того, что еще на стадии развития генерации излучение "стягивается" в сную-
снующий между зеркалами цуг с длиной <^ 2L , и временная развертка интенсив-
интенсивности превращается в набор следующих друг за другом с интервалом Го
"пичков" с длительностью Т ^ То. Число одновременно присутствующих
мод при этом составляет примерно То/Т; все они определенным образом
сфазирсваны друг по отношению к другу (иначе их наложение привело бы
лишь к наличию случайного "шума" во временной развертке), поэтому
данный эффект принято называть самосинхронизацией мод.
В случае неоднородного уширения спектральной полосы усиления спектр
генерируемого излучения может оказаться широким и в отсутствие само-
самосинхронизации. О неоднородном уширении говорят тогда, когда разные
возбужденные атомы усиливают на различных частотах и поэтому "ответ-
"ответственны" за разные участки полосы усиления. При этом, естественно,
наличие генерации на одном участке спектра не может воспрепятствовать
возникновению генерации и на других.
Иное дело при однородном уширении, когда каждый атом имеет одни
и те же форму и положение линии усиления (и люминесценции), совпадаю-
совпадающие с формой и положением результирующей линии всего ансамбля ато-
атомов. Казалось бы, в этом случае, если нет затворов и т.п., стационарная
генерация должна осуществляться на одной моде с самым низким порогом
возбуждения (частота наиболее близка к частоте максимума полосы уси-
усиления, дифракционные потери минимальны).
В пользу подобного предположения говорит следующее рассуждение.
При стационарном режиме число возбужденных атомов под "встречными"
воздействиями полей накачки и генерации должно устанавливаться таким,
чтобы для генерирующих мод усиление в точности равнялось бы поте-
потерям - иначе их мощность не поддерживалась бы на постоянном уровне.
Поскольку в случае однородного уширения форма спектрального рас-
175
ЛЛЛ1ЛАЛ
Рис. 3.12. Наведенная пространствен-
пространственная модуляция инверсной населеннос-
населенности как причина неустойчивости одно-
модового режима: а, в - распределен
ние интенсивности колебаний с разны-
разными аксиальными индексами по дли-
длине резонатора (изображено условно);
б — наведенная пространственная моду-
модуляция инверсной населенности при ге-
генерации на первой из этих мод, штри-
.ховой линией обозначен пороговой
уровень инверсной населенности при
равномерном ее распределении
пределения усиления не зависит от числа возбужденных атомов, то при
условии взаимной компенсации усиления и потерь для указанной моды
у всех остальных усиление всегда остается меньше потерь, и генерация
на них осуществляться не должна.
Такие представления нашли свое отражение не только в литературе
начала 60-х годов, но и на страницах иных вполне современных книг по
квантовой электронике (например, [136]). При выработке этих представ-
представлений не было учтено то, что под воздействием интенсивного пространст-
пространственно неоднородного поля единственной моды неравномерным становит-
становится и распределение усиления по объему, причем его форма оказывается
наименее благоприятной именно для этой моды. В результате при доста-
достаточно интенсивном возбуждении среды и в отсутствие одного из перечис-
перечисленных далее факторов, которые делают распределение усиления более
равномерным, одномодовый режим генерации теряет устойчивость (пер-
(первыми это показали Кузнецова и Раутиан [112]) - должны появиться и дру-
другие моды
Поясним природу подобных явлений, рассмотрев картину распределе-
распределений полей и инверсной населенности вдоль длины линейного резонатора с
неподвижной активной средой в стационарном режиме генерации; при этом
будем по-прежнему иметь дело с модами, различающимися лишь аксиаль-
аксиальными индексами.
Кривая на рис. 3.12д условно изображает распределение интенсивности
той моды, частота которой приходится на центр линии люминесценции и
порог возбуждения поэтому оказывается самым низким (в действитель-
действительности, конечно, на длине резонатора укладывается неизмеримо большее
число равных А/2 периодов модуляции, чем на рисунке).
Пусть интенсивность накачки распределена вдоль длины резонатора рав-
равномерно. Пока она совсем немного превышает пороговую и интенсив-
интенсивность генерации пренебрежимо мала, инверсная населенность распре-
распределена также практически равномерно и равна пороговой (штриховая
прямая на рис. 3.125). При заметном превышении порога ситуация изме-
изменяется: мощность генерации растет, вынужденные переходы начинают
играть все большую роль в балансе инверсной населенности (§ 3.4), и
176
распределение последней приобретает вид, представленный сплошной кри-
кривой на рис. 3.126. В "узлах" распределения поля скапливается большое
число возбужденных атомов, не принимающих участия в процессе генера-
генерации на данной моде. В результате усредненные по длине значения инверс-
инверсной населенности и коэффициента усиления оказываются заметно выше
пороговых.
Указанное обстоятельство, казалось бы, противоречит материалам
§ 2.1, в соответствии с которыми общее усиление каждого из двух со-
составляющих моду следующих навстречу друг другу когерентных пучков
должно определяться исключительно интегралом от коэффициента усиле-
усиления по длине / kyc(z) dz: ведь в этот интеграл входят и зоны вблизи
"узлов" поля, не принимающие реального участия в процессе усиления!
Противоречие снимается, если принять во внимание, что среда, к которой
относится рис. 3.126», образует подобие толстой голографической "ре-
"решетки", от которой происходит частичное отражение создавших эту ре-
решетку пучков. В данном варианте взаимодействия отраженные пучки
накладываются на проходящие, находясь с последними в противофазе и
ослабляя их. Благодаря этому эффективный показатель усиления и ока-
оказывается меньше его среднего значения.
Описанный выше процесс роста среднего значения коэффициента уси-
усиления по мере повышения интенсивности накачки рано или поздно при-
приводит к тому, что начинается генерация на соседних аксиальных модах.
Хотя их частоты уже не приходятся на центр линии, что уменьшает коэф-
коэффициент усиления, зато часть максимумов интенсивности попадает на
места скопления большого числа возбужденных атомов (см. рис. З.!2в; с
"голографических" позиций эффективное усиление возрастает из-за того,
что отраженные от соответствующих участков голограммы волны оказы-
оказываются в фазе с проходящими).
При еще большей накачке мощность генерации и на этих модах возрастет
настолько, что они, наподобие первой, создадут сами для себя неблаго-
неблагоприятное распределение инверсной населенности; в результате может
оказаться достигнутым порог генерации на последующих боковых часто-
частотах и т.д.
Таким образом, повышение интенсивности накачки и мощности ге-
генерации сопровождается ростом числа присутствующих в генерации мод.
Однако при этом усредненное за период То распределение суммарной
интенсивности, равное сумме интенсивностей отдельных мод, становится
все более равномерным. В результате число атомов, плохо "охваченных"
процессом генерации, быстро уменьшается; число мод растет все медлен-
медленнее и при неограниченно возрастающей накачке стремится к некоему,
не слишком большому, предельному значению.
Далее будет видно, что в случае резонаторов с малыми дифракцион-
дифракционными потерями (устойчивых или плоских) аналогичный механизм вызы-
вызывает одновременную генерацию мод с различными поперечными индек-
индексами.
Теперь основные причины, приводящие к многомодовой генерации,
можно считать исчерпанными. Эффекты, связанные с самосинхронизацией
мод и с неоднородным ущирснием д*шии рабочего перехода, приводят
главным образом к росту числа мод, различающихся аксиальными
177
индексами, и к соответствующему расширению спектра генерации. Эти
эффекты сравнительно хорошо освещены в книгах по квантовой электро-
электронике (например, [136]).
Рассмотренная последней пространственная конкуренция мод нередко
оказывает существенное (или даже решающее) влияние не только на
ширину спектра, но и на угловую расходимость излучения. Несмотря на
это, в тех же книгах пространственной конкуренции не уделено долж-
должного внимания. Более того, там можно найти не только сообщение о том,
что однородность уширения линии автоматически влечет за собой одно-
модовую генерацию [136], но и совершенно противоположные утвержде-
утверждения о столь же автоматическом выходе в генерацию всех мод, потери
которых уступают величине ненасыщенного усиления (усиления, которое
развивается при данной накачке в отсутствие генерации) [100]. Истина
лежит где-то посредине. Отметим еще, что по сравнению с первыми двумя
эффектами на характере пространственной конкуренции в большей мере
сказываются индивидуальные особенности резонатора; все это побуждает
нас остановиться на данном вопросе немного подробнее.
Пространственная конкуренция мод с различными аксиальными индек-
индексами. Продолжим рассмотрение ситуации, иллюстрированной рис. 3.12,
и выясним, насколько при переходе к боковым частотам должен падать
коэффициент усиления среды, чтобы генерация на этих частотах при задан-
заданном уровне накачки не могла возникнуть.
Чтобы не слишком углубляться в теорию лазеров, будем считать, что
модуляция добротности резонатора отсутствует, а накачка постоянна
во времени и распределена равномерно по объему среды. Ограничимся
наиболее важным случаем однородного уширения линии рабочего перехо-
перехода, когда пространственная конкуренция способна существенно повлиять
на ширину спектра генерации. Это позволяет отвлечься от особенностей
среды и применить для коэффициента усиления кус (см) весьма простую
формулу
*ус = *?с/(! + */). C.9)
где к°ус — недавно упоминавшийся нами ненасыщенный коэффициент уси-
усиления (или коэффициент усиления слабого сигнала), / — интенсивность
генерируемого излучения, а — так называемый коэффициент нелинейности
среды. Смысл этой формулы очевиден, на ее происхождении и пределах
применимости мы немного остановимся в § 3,4.
Сперва выведем условие стационарности интенсивности моды, частота
которой приходится на максимум спектральной зависимости усиления,
а распределение поля вдоль оси условно изображено на рис. 3.12а. Очевид-
Очевидно, стационарность имеет место тогда, когда уход фотонов из резонато-
резонатора по тем или иным каналам в точности компенсируется пополнением за
счет процессов вынужденного испускания:
или
1 jfc(lCOS0)
— / —^ ^— dy = о. C.10)
27Г О 1+ЛAСО80)
178
Здесь куС - ненасыщенный коэффициент усиления в центре линии, о =
= о0 + [in (I/ft') + 28"] /B1) - приходящиеся на единицу длины потери
(а0 - измеренные в см'1 потери на неактивное поглощение в среде, R' —
коэффициент отражения выходного зеркала, 26"-- дифракционные и
прочие возможные потери, L — длина резонатора;, А = od,I — средняя
интенсивность. Форма распределения интенсивности на периоде стоячей
волны при R' ~ 1 везде одинакова (поэтому усреднение по всей длине
заменено усреднением по указанному периоду) и описывается множителем
2 sin2 (<р/2) = 1 - cos ф.
Считая &уС и о заданными и вычислив интеграл в (ЗЛО), находим в
конечном итоге, что пропорциональная мощности выходного излучения
величина А равна т - х/4 Cy/Sm +1 + 1), где т ^ kyjo. Зная теперь
распределение инверсной населенности вдоль дайны, можно рассчитать
усредненное по длине значение коэффициента усиления и для других мод,
в частности, ближайшей боковой, распределение интенсивности которой
изображено на рис. 3.12в. Ранее уже отмечалось, что здесь максимумы
интенсивности приходятся как на минимумы, хак и на максимумы инверс-
инверсной населенности. В результате интегрирования соответствующего выраже-
выражения по всей длине резонатора убеждаемся в том, что 'действующее" зна-
значение коэффициента усиления на данной частоте к^с равно его среднему
значению
1 2Л \*?с , Хк°ус
2тг о 1 +А(\ - сон if) y/TTlA
где х < 1 - множитель, описывающий снижение коэффициента усиления за
счет "схода" с центра линии. Подставив сюда найденное значение А, полу-
получаем после преобразований
*ус = (X^Xv^^rTT+l). C.11)
Очевидно, генерация на боковых частотах не может возникнуть, если
А:^с < or, или х < 4/(\/8т + 1 + 1). Это условие практически никогда не
выполняется. Так, если коэффициент усиления слабого сигнала превышает
потери всего в 1,5 раза (для многих сред это означает полуторакратное
превышение порога генерации по интенсивности накачки, см. § 3.4), т =
= 1,5, и необходимо % < 0,87 Столь резкого падения коэффициента уси-
усиления при относительном изменении частоты Аи/и = X/BLO)S которое при
обычных оптических длинах резонатора Lq чрезвычайно мало, активные
среды отнюдь не обеспечивают.
Поэюму даже при однородном уширении линии для досшжения одно-
модовой генерации необходимо использовать спектральные селекторы —
устройства, обеспечивающие резкое изменение добротности резонатора
при небольших вариациях частоты (описание всевозможных их видов
дано в [74]). Положив х ~ 1» находим, что селектор, чтобы подавить ге-
генерацию на соседних боковых частотах, должен вносить на них дополни-
дополнительные Счселективны?0_РотеРи пРи полном обходе резонатора не менее
2L (к%с - a) =Lo(y/8m + 1 ~ 3)/2.
Посмотрим теперь, как видоизменится картина, если акгивная среда
будет занимать лишь часть длины резонатора I < L: при этом будем пола-
13* 179
гать, что отражение от границы раздела (или окна кюветы) если и сущест-
существует, то благодаря наклону границы (окна) селектирующего воздействия
на генерацию не оказьюает (§ 3.1). В этом случае определим о как потери,
приходящиеся на единицу длины активной среды; нетрудно видеть, что
тогда формула для определяющей глубину модуляции коэффициента уси-
усиления величины А остается прежней.
Когда среда прилегает к одному из зеркал и ее оптическая длина /0
составляет LQ/2y из соображений симметрии ясно, что результаты всех
предьщущих выкладок сохраняют силу при условии замены в результирую-
результирующей формуле для дополнительных потерь, вносимых селектором, L на /.
Если продолжать уменьшать /0, "прижимая" среду к зеркалу в еще боль-
большей мере, то степень рассогласования полей центральной и ближайшей
боковых мод внутри нее снижается, и значение куС/х уменьшается по
сравнению с предсказываемым формулой C.11), приближаясь к о. При
фиксированной /0 <L0/2 по мере перехода к последующим боковым
частотам рассогласование полей растет, и при отклонении аксиального
индекса от индекса генерирующей моды на | А^| ^ LolBlo) справедли-
справедливость C.11) восстанавливается.
Наименее благоприятна с точки зрения спектральной селекции ситуа-
ситуация, когда среда, занимая малую часть длины резонатора, удалена от обоих
его концевых зеркал. В этом случае находятся моды, все максимумы рас-
распределения интенсивности которых приходятся примерно на максимумы
инверсной населенности. Для них
1 2п Х&усA + cos Ф)
— J dy =
о 1 +.4A - cos</>)
1+24-1) = у
Если среда находится точно посредине резонатора, к числу таких мод
относятся ближайшие боковые. Для них можно считать, что х = 1; в ре-
результате получаем, что для обеспечения одномодовой генерации необходи-
необходимо применять селектор с дополнительными потерями на ближайших часто-
частотах порядка la (V 8m + 1 — 3).
Подробнее на этом останавливаться не будем; укажем только, что
случай произвольного расположения активной среды внутри линейного
резонатора рассмотрен в [90].
Перейдем к многомодовой генерации; здесь общепринятой является
модель, разработанная Тангом и Статцем в 1963-1964 гг. [210, 206].
В основе этой модели лежит предположение о том, что при одновременном
возбуждении нескольких мод разности их частот достаточно велики для
того, чтобы за период межмодовых биений инверсная населенность не
успевала заметно измениться. Это предположение, которое при конкурен-
конкуренции аксиальных мод оправдывается почти всегда, позволяет рассчитывать
инверсную населенность, суммируя не амплитуды полей отдельных мод,
а прямо их интенсивности.
С помощью этой модели Тангу и Статцу удалось найти стационарное рас-
распределение мощности излучения генерации между модами при интенсив-
180
ности накачки, немного превышающей пороговую. Это решение было рас-
распространено автором на случай больших превышений порога применитель-
применительно к конкуренции как аксиальных мод [64], так и поперечных мод плос-
плоского резонатора [7]. Немного позже автора Лившиц и Цикунов [119]
также рассмотрели задачу о конкуренции аксиальных мод при больших
превышениях порога. Они использовали несколько более грубое, чем в
[64], приближение, позволившее получить простые аналитические форму-
формулы; последуем их примеру.
Система уравнений, описывающая стационарную генерацию на ряде
аксиальных мод целиком заполненного активной средой линейного резо-
резонатора, имеет в рамках модели Танга — Статца вид
! fL XfkyC [I - cos {Iq^z/L)] ^ [ = q, / = 0, ±1,. . . , ±r,
L о 1 + 2 XkAk[l-™sBqknz/L)} (<a, |/|>r;
к
здесь qj = q0 + / — аксиальный индекс, частота моды с / = 0 приходится
на максимум коэффициента усиления; х/ = x(vj)\ величины Ак пропор-
пропорциональны интенсивностям мод с / = к. После рассмотрения одномодовой
генерации смысл этой системы уже должен быть ясен: для Ъг + 1 мод,
присутствующих в генерации, должно выполняться условие стационар-
стационарности, в то время как для остальных "действующий" коэффициент уси-
усиления должен быть меньше потерь.
Положив х,-А,- = А), используя{1 - [LA*k cos Bqknz/L)]l (I + ZA'k)}~1^
к к
« 1 + [Sv4jt cos BqknzlL)]lA + 2^4^) и выполнив интегрирование, при-
к к
к к
ходим к системе
1
1
< , />г.
1 + SА'к[ 2A + SA'k) J mxf ' ' 1 + 2А'к mXi
к к к-
Считая излучение сосредоточенным в зоне максимума усиления, имеем
X/ ^ 1 — Pf2; полагая также г > 1, получаем в результате решения системы
Aj со г2 — /2, г « 0,7 3VA - l/m)/p. Из выражения для Aj следует, что
спектральное распределение интенсивности имеет характерный "колоколо-
образный" вид. Число отдельных спектральных компонент определяется
главным образом параметром ]3, который при лоренцевой форме контура
линии усиления шириной Арл равен BДр/Д^лJ. Отсюда вытекает следую-
следующая формула для ширины спектра генерации Ауг « 2r Av:
C.12)
Таким образом, с увеличением длины резонатора, сопровождаемым
соответственным уменьшением Ду, хотя число мод и возрастает, однако
Дрг, в соответствии с C.12), уменьшается (~ Lq ^3). Поэтому при резона-
резонаторах достаточной длины AvT действительно оказьгоается малым по сравне-
сравнению с Avn даже при больших превышениях порога генерации т.
Обсудим теперь следующие из нашего рассмотрения выводы. В первую
очередь отметим, что при анализе пространственной конкуренции мод,
различающихся лишь аксиальными индексами, мы использовали, по су-
13. Ю.А. Ананьев jgj
ществу, только одну характерную особенность таких мод — наличие одно-
однозначной зависимости их частоты от аксиального индекса. Поэтому наш
анализ может быть отнесен и к тому случаю, когда различаются не толь-
только аксиальные, но и поперечные индексы присутствующих в генерации
мод; нужно только, чтобы поправки к частоте за счет наличия поперечной
структуры (§ 2.1) были малы по сравнению с '^аксиальным" интервалом
Ар = с/ BL0). При этом каждая величина Aj приобретает смысл суммарной
интенсивности группы мод с одинаковым аксиальным и разными попереч-
поперечными индексами. Такие группы, ведущие себя, с точки зрения спектра
излучения, наподобие отдельных мод с разными qy часто именуют просто
аксиальными модами; в расчетах им приписывают некое усредненное по
генерирующим модам значение дифракционных потерь.
"Поперечные" поправки к частоте невелики при генерации на неболь-
небольшом числе низших мод плоских или близких к ним резонаторов, т.е. при
умеренной расходимости излучения (см. § 1.2, 2.1 о взаимосвязи между
поперечной структурой и фазовой скоростью). Поэтому можно ожидать,
что спектры излучения лазеров с небольшой расходимостью, работающих
на средах с однородным уширением в квазистанионарном режиме, должны
удовлетворительно описываться изложенной выше теорией даже в при-
присутствии разных поперечных мод. Автором и Б.М. Седовым было в свое
время показано [64]. что это действительно так.
Основным следствием теории является все же то, что те факторы, кото-
которые уменьшают степень неравномерности распределения инверсии, уста
навливающегося под воздействием полей отдельных мод, устраняют саму
причину многомодозой генерации. Рассмотрим эти факторы. В первую
очередь отметим, что в резонаторах с полупрозрачным выходным зеркалом
потоки излучения, следующие в противоположных направлениях, неоди-
неодинаковы; это, в принципе, уменьшает глубину модуляции суммарной интен-
интенсивности. Однако нетрудно убеддться в том, что сильное снижение глуби-
глубины модуляции имеет место лишь неподалеку от выходного зеркала с коэф-
коэффициентом отражения R' < J. Поэтому данным фактором обычно можно
пренебречь.
Более серьезные последствия может вызвать "перемешивание'4 возбуж-
возбужденных атомов (молекул) по длине резонатора. Если эти атомы движутся
сами (или передают возбуждение другим атомам) с такой скоростью, что
расстояния ~ Х/2 преодолеваются за время, много меньшее времени релак-
релаксации возбужденного состояния, пространственная модуляция кус практи-
практически исчезает. Такая ситуация имеет место в подавляющем большинстве
газовых лазеров из-за наличия теплового движения атомов. В случае мно-
многих твердотельных лазеров аналогичный эффект может быть достигнут
путем перемещения активного элемента во время генерации вдоль оси
резонатора с легко реализуемой скоростью ("лазер бегущей среды" [1181).
Пространственная модуляция кус устранима также применением "одно-
"однонаправленного" кольцевого резонатора, когда приняты те или иные меры
для того, чтобы излучение генерации совершало обход кольца лишь
в одном из двух направлений ("'лазер бегущей волны" [211], см. также
начало § 4.4). 8 линейном резонаторе можно устранить интерференцию
идущих навстречу друг другу пучков, добившись того, чтобы они имели
взаимно перпендикулярные плоскости поляризации [160]. Все подобные
182
меры или непосредственно приводят к одномодовои генерации, или сильно
облегчают ее достижение.
Конкуренция поперечных мод. При рассмотрении распределения поля
по сечению резонатора и в дальней зоне можно отвлечься от распределе-
распределения вдоль длины и иметь дело с группами мод, имеющих одинаковые по-
поперечные индексы и разные аксиальные. Такие группы обычно именуются
поперечными модами (см. также начало параграфа).
Механизм конкуренции поперечных мод устойчивых и плоских резона-
резонаторов сходен с механизмом конкуренции аксиальных: и здесь основной
причиной многомодовой генерации является вызванная полями отдель-
отдельных генерирующих мод неравномерность распределения инверсной насе-
населенности (однако уже не вдоль длины, а по сечению). Роль фигурирую-
фигурирующей в теории конкуренции аксиальных мод "недостачи" коэффициента
усиления (по сравнению с его значением в центре линии), зависящей только
от аксиального индекса, теперь берут на себя связанные с поперечным
индексом дифракционные потери.
Если интенсивность накачки распределена по сечению резонатора равно-
равномерно, первой возбуждается мода с наименьшими дифракционными
потерями. Поскольку она обладает неравномерно распределенной по сече-
сечению интенсивностью, по мере увеличения мощности генерации все более
неравномерным становится и распределение инверсной населенности.
В результате средняя по сечению инверсная населенность растет, пока не
достигается порог возбуждения следующей моды, и т.д.
Вообще говоря, возникающая под воздействием полей отдельных гене-
генерирующих мод неравномерность распределения усиления по сечению вызы-
вызывает определенную ''деформацию" мод - изменение распределений полей и
значений дифракционных потерь. Однако при анализе конкуренции попе-
поперечных мод их деформацией обычно пренебрегают. Наиболее оправданным
это является в случае устойчивых резонаторов, обладающих сравнительно
малой чувствительностью по отношению к влиянию возмущений (§ 3.2).
С них и начнем более подробное рассмотрение.
Особый интерес представляет выяснение условий, при которых описан-
описанный выше механизм еще не нарушает стабильности режима генерации на
одной лишь низшей поперечной моде устойчивого резонатора, обладающей
наиболее благоприятным для многих практических применений распределе-
распределением поля. Общая качественная картина здесь стала ясной еще в 60-е годы.
Однако тогда стремление к единообразному описанию как одно-, так и
многомодовой генерации вынуждало либо предполагать, что среда сосре-
сосредоточена в узких слоях вблизи зеркал [166] (это кардиально упрощает
расчеты [207]), либо ограничиться малым диапазоном изменения пара-
параметров (чаще всего, как в [98], случаем небольшого превышения порога
генерации). Если же заняться исключительно выяснением условий устой-
устойчивости одномодового режима, можно обойтись без подобных упрощений.
Именно так и поступили мы с С.Г. Аникичевым в [30] (авторы других
аналогичных работ использовали менее подходящие формулы для коэф-
коэффициента усиления при глубоком насыщении). Предварительно пришлось
еще раз убедиться в том, что во всем разумном диапазоне варьирования
параметров можно пренебречь не только "деформациями" мод, но и изме-
изменениями потерь по сравнению со случаем пустого резонатора.
183
Следуя [30] и опуская всякие тонкости, рассмотрим состояние лазера
с равномерно возбужденной активной средой, имеющего устойчивый резо-
резонатор и генерирующий на одной лишь основной моде. Когда порог генера-
генерации превышен сравнительно немного, то "провал" в распределении коэф-
коэффициента усиления по сечению, возникающий под влиянием ноля генера-
генерации, имеет ту же форму, что и распределение интенсивности генерирующей
моды: кус = куС + Акус, Акус = —Au%Q, где кус и кус — как и прежде,
значения ненасыщенного и насыщенного коэффициента усиления, м00 =
/2 1 / х2+у2\
= V ехр ( — 1 — нормированная функция распределения поля
7Г W \ W /
низшей моды, w — ширина этого распределения, А > 0 — зависящий от
параметров среды и мощности генерации коэффициент пропорциональ-
пропорциональности.
Чтобы выяснить, к какому изменению АкЭф эффективного коэффи-
коэффициента усиления для низшей моды приводит наличие данного "провала",
надо усреднить Акус по сечению с весом, пропорциональным интенсив-
интенсивности излучения (как мы уже знаем из материалов, касающихся конку-
конкуренции аксиальных мод, данная процедура эквивалентна подсчету числа
актов вынужденного излучения; более глубокое ее обоснование дано в
[30]). Итак, А^Эф = - A //wjo dx dy - —A/(ttw2) (считая дифракционные
потери небольшими, интегрируем в бесконечных пределах).
Введем в рассмотрение также моду ТЕМ0 х с нормированным распреде-
/Г2 / х2+у2\
лением поля м01 = у >^ехр( — — ) . Она обладает и декарто-
7Г МГ \ W2 /
вой, и аксиальной симметриями (§ 1.2), являясь ближайшей к ТЕМ00
по величине потерь как при прямоугольных, так и при круглых зеркалах.
В [30] показано, что именно эта мода является основным "конкурен-
"конкурентом" низшей; остальные можно в расчет не принимать.
Изменение эффективного коэффициента усиления для TEMqi составля-
составляет Ак'эф = — Affulouli dxdy = — A/Bnw2). Таким образом, отношение
Д&эф/Д&эф на всех участках длины активной среды равно й; отсюда
следует, что общий "дефицит" усиления на всей длине / активной среды для
TEMqi вдвое уступает общему "дефициту" для ТЕМ00, величину которо-
которого обозначим В. Принимая во внимание наличие потерь на неактивное
поглощение в среде а0 и дифракционных потерь Доо, Д01, а также нера-
неравенство единице коэффициента отражения R' выходного зеркала, находим,
что потоки излучения, относящиеся к ТЕМ00 и TEMqi, пРи обходе резона-
резонатора умножаются на 7оо = Я'A - Aoo)expBfcJc/ - 2oQ! - В) и у01 ~
= Д'О - Aol)QxpBkyCl - 2oQl~Bl2) соответственно.
Найдя из условия стационарности мощности низшей моды Too = * знача
ние В и подставив его в формулу для у0 х, нетрудно получить
- Дэо)/A - До1)]*До1 -Доо. <3.13)
где &у°р = а0 + 1п{1/[Л'A - Доо)])/B0 — значение Аг?с, ахнвететвующее
порогу генерации на низшей моде, курс — граничное значение кус, при пре-
184
вышении которого 7oi становится большей единицы и режим одномодо-
вой генерации делается неустойчивым.
Формулой C.13) можно пользоваться при Д01 - АОо ^ 2o0l + \n(l/R').
Если это неравенство не выполняется, порог генерации TEMOi достигает-
достигается уже в условиях, когда форма "провала" в распределении усиления
благодаря сильному насыщению заметно отличается от формы распределе-
распределения интенсивности ТЕМ00 ("провал" становится не только глубже, но и
шире). Как показано в [30], при однородном уширении линии это может
быть учтено добавлением в правую часть C.13) слабо зависящего от кон-
конфигурации резонатора поправочного множителя, который вплоть до значе-
значений Д01 - Доо> равных 2fc"°p/, близок к ехр[(Д01 - A00)lBk™vl)] .
Из результатов всего рассмотрения следует важный вывод: возможнос-
возможности обеспечения одномодовой генерации связаны с разностями потерь низ-
низших мод, расширяясь с их ростом. Здесь уместно напомнить, что в нача-
начале 60-х годов, исходя из неудачного применительно к лазерным резонато-
резонаторам понятия о добротности (см. § 2.1), ошибочно считали важными не раз-
разности дифракционных потерь, а их отношения. Поэтому предпочтение
тогда отдавалось симметричным конфокальным резонаторам; однако в
действительности последние, обладая минимальными потерями (§ 2.3)
и потому минимальными их разностями, являются, с точки зрения построе-
построения одномодовых лазеров, одними из самых невыгодных.
Теперь обратимся к случаю широкоапертурных устойчивых резонато-
резонаторов, размеры поперечного сечения которых намного превышают ширину
гауссова распределения поля низшей моды. Потери мод невысокого поряд-
порядка таких резонаторов ничтожно малы. Поэтому в соответствии с C.13)
при постепенном повышении мощности накачки сразу за началом генерации
на низшей моде начинает возбуждаться ТЕМ01, а за ней и следующие моды
(если распределение накачки по сечению неравномерно, то генерация мо-
может и начаться не на низшей, а на какой-либо иной моде, для которой
данная форма распределения накачки оказывается наиболее благопри-
благоприятной) .
При интенсивной накачке излучение заполняет почти все доступное ему
сечение активной среды за счет возбуждения мод весьма высокого поряд-
порядка, у которых каустики хотя и подходят вплотную к границам этого се-
сечения, однако потери еще сравнительно невелики. При этом низшие моды,
излучение которых захватывает сравнительно небольшой объем среды,
практически полностью вытесняются из генерации. Приведем наглядное
тому объяснение, данное автором в [16].
Кривая 1 на рис. 3.13 условно изображает суммарное распределение
интенсивности захватывающей большой объем группы мод высокого по-
порядка, 2 - группы низших мод. Если бы плотности излучения у этих двух
групп были, как на рисунке, примерно одинаковы, то в результате их
суммарного воздействия распределение коэффициента усиления приня-
приняло бы вид кривой 3. Ясно, что среднее "действующее" значение коэффи-
коэффициента усиления для низших мод оказалось бы значительно меньшим,
чем для мод высокого порядка, что противоречит предположению об
одновременной стационарной их генерации. Отсюда следует, что излуче-
излучение низших мод может иметь лишь относительно небольшую плотность;
если же принять во внимание еще и размеры сечения, становится понят-
185
ным, что на низшие моды здесь может приходиться только ничтожная
доля суммарной мощности генерации.
Равномерному заполнению излучением всего сечения мешает, в конеч-
конечном итоге, лишь то, что из-за роста потерь с поперечными индексами число
присутствующих поперечных мод в любом случае остается ограниченным.
Ситуация здесь напоминает ту, с которой мы столкнулись при рассмот-
рассмотрении конкуренции аксиальных мод: число последних, а с ним и степень
Рис. 3.13. Конкуренция мод различного объема:
2, 1 — суммарные поля группы низших мод и
мод высокого порядка соответственно; 3 —
распределение коэффициента усиления по се-
сечению при одновременном возбуждении обеих
этих групп
равномерности распределения по длине лимитировались падением усиле-
усиления по мере удаления частоты от центра линии. Вот установлению круго-
круговой симметрии распределения при круглых зеркалах ничто не мешает:
переход от способных нарушить ее мод с азимутальными множителями
cos(Zvp) к модам с множителями ехр(±Пф) не связано ни с ростом потерь,
ни с уменьшением усиления. По этой причине в идеальных резонаторах
с круглыми зеркалами и равномерно по азимуту возбужденной средой
должна иметь место круговая симметрия общего распределения; обычно
наблюдаемая "пятнистость" картины является следствием всевозможных
возмущений [31].
Процесс конкуренции поперечных мод в идеальном плоском резонаторе
носит несколько иной характер. Основная причина отличий состоит в том,
что при любых размерах сечения плоского резонатора его низшие моды
отнюдь не уступают высшим по заполняемому их излучением объему сре-
среды (рис. 2.17). В результате даже в широкоапертурных плоских резона-
резонаторах и при интенсивной накачке среды моды высокого порядка оказы-
оказываются "неконкурентоспособными", и генерация осуществляется на неболь-
небольшом числе низших мод.
Поскольку на методике расчетов с использованием модели Танга—Стат-
ца можно уже не останавливаться, приведем лишь некоторые результа-
результаты выполненного автором в [7] анализа. В случае двумерного резонато-
резонатора с равномерно распределенной накачкой мощность Ат, приходящаяся
на отдельные поперечные моды, оказывается распределенной между ни-
ними по закону Ат = А - ВАт, где Ат - дифракционные потери, А и В >
> 0 — параметры, зависящие от свойств среды и резонатора, а также от ин-
интенсивности накачки. Наибольшая мощность приходится на низшую мо-
моду. Число мод К и, следовательно, ширина углового распределения по соот-
соответствующему направлению 0 ~ КХ/Bа) Bа - ширина полосовых зер-
зеркал) с ростом накачки весьма быстро (со\Д - &усР/&ус) приближаются
к предельным значениям. Когда число мод не слишком мало (К > 3), для
186
этих предельных значений справедливы формулы
C.14)
где L3KB — длина эквивалентного пустого резонатора. В простейшем слу-
случае активного элемента длиной / из среды с показателем преломления п0,
размещенного между находящимися на расстоянии L друг от друга зерка-
зеркалами, Ьэкв = L - 1A — 1/и0) (см- комментарии к рис. 2.4 в § 2.1; более
сложные варианты резонаторов, эквивалентных плоскому, будут рассмот-
рассмотрены в § 4.2).
Формула C.14) сохраняет силу и в трехмерном случае. Из нее видно,
что при увеличении сечения активных элементов снижение расходимости
излучения отдельных низших мод компенсируется ростом их числа, и об-
общая расходимость не убывает, все более отдаляясь от дифракционного
предела. Правильность такого вывода была подтверждена, в частности,
прямой экспериментальной проверкой в [60].
Детальнее знакомиться с изложенной в [7Г 16] теорией многомодовой
генерации в идеальных плоских резонаторах мы не будем. Сама лежащая
в основе этой теории модель Танга-Статца здесь в некоторой мере теряет
свою оправданность: разности частот у различающихся только поперечны-
поперечными индексами мод широкоапертурных плоских резонаторов недостаточно
велики для того, чтобы операция суммирования не амплитуд, а интенсив-
ностей отдельных мод оставалась вполне корректной. Наряду с другими
причинами это приводит к тому, что подлинно стационарный режим много-
многомодовой генерации при плоских резонаторах практически никогда не
наблюдается (см. также о "пичковом" режиме начало § 3.1). Далее, диф-
дифракционные потери у реальных плоских резонаторов,как отмечалось в § 3.1.
могут заметно отличаться от значений для идеального резонатора, исполь-
использовавшихся при выводе C.14). Наконец — и это самое важное, - ввиду
высокой чувствительности широкоапертурных плоских резонаторов
к аберрациям .(§ 3.2) угловая расходимость в подавляющем большинстве
случаев определяется именно последними. Используя материалы § 3.2,
нетрудно установить, что уже при вариациях длины резонатора поряд-
порядка Х/4 ширина диаграммы направленности излучения любой моды не усту-
уступает значению 0, рассчитанному по C.14).
Теории конкуренции поперечных мод в неидеальных плоских резонато-
резонаторах ввиду чрезмерной сложности задачи не существует. Нет аналогичной
теории и для неустойчивых резонаторов, однако по совсем иным причи-
причинам: механизм, вовлекающий в генерацию сразу несколько поперечных
мод, здесь начисто отсутствует — применение широкоапертурного неустой-
неустойчивого резонатора, как правило, надежно обеспечивает одномодовый
режим генерации.
Этот тезис имеет весьма простое обоснование [69]. В § 2.5 было пока-
показано, что низшие моды неустойчивых резонаторов со слегка "сглажен-
"сглаженными" краями зеркал удовлетворительно описываются оптико-геометри-
оптико-геометрическим приближением. Наиболее общее уравнение данного приближения
имеет вид B.40); отметим, что его можно использовать не только для сим-
187
метричных, как в § 2.5, но и для любых других резонаторов, если только
считать, что оно само и величина М относятся к полному обходу последних.
При наличии активной среды, полупрозрачного зеркала и источников
неактивных потерь в аберрационную функцию F(x) добавляются соот-
соответствующие множители, hF2@) = R'expBkycl — 2а0/), где кус — сред-
среднее значение коэффициента усиления на оси. Тогда с помощью B.41)
приходим к следующему условию стационарности генерации на основ-
основной моде:
Д'ехрBЛус/-2а0/)- \М\~1 = 1. C.15)
Отсюда сразу вытекает /Зт = \М\~т — все моды с т > 0 имеют 0 < 1
и одновременно с низшей возбудиться не могут.
Интересно, что форма распределения усиления по сечению не играла
в наших выкладках ни малейшей роли. Причину понять несложно: в неус-
неустойчивых резонаторах излучение "растекается" из центрального участка
сечения, поэтому генерация начинается тогда, когда именно на этом участ-
участке усиление достигает определенного значения. Отметим еще, что поле
излучения основной моды здесь распределено по сечению резонатора более
или менее равномерно - нет тех объемов среды, которые в случае устой-
устойчивых и плоских резонаторов не были заполнены излучением одномодо-
вой генерации, а потому содержали избыточное число возбужденных ато-
атомов и служили "зародышами" для возникновения генерации на других
модах.
Из всего изложенного ясно, что излучение лазеров с неустойчивыми
резонаторами может содержать моды с различающейся поперечной струк-
структурой только при наличии столь больших возмущений, что формулы
B.40), B.41) станут неприменимы даже для низших мод. Частным слу-
случаем таких возмущений может явиться, как мы видели в § 2.5, наличие
идеально резкого и точно очерченного края зеркал.
§ 3.4. Эффективность преобразования энергии возбуждения
в лазерных резонаторах
В настоящем параграфе мы коснемся взаимосвязи между свойствами
резонатора и энергетическими характеристиками лазерного излучения.
При разумном выборе геометрии активного объема и конфигурации резо-
резонатора излучение генерации должно заполнить практически весь объем
среды. Тогда останется, главным образом, правильно подобрать величину
потерь на излучение^ которыми называется, в случае плоских и устойчивых
резонаторов с полупрозрачным выходным зеркалом, коэффициент пропус-
пропускания последнего 1 - R'. При неустойчивых резонаторах из непрозрачных
зеркал аналогичную роль играет параметр 1 — 1/Af2, где М— коэффициент
увеличения резонатора.
По тем же причинам, что и в ряде других разделов, ограничимся рассмот-
рассмотрением режима генерации без модуляпии добротности в условиях постоян-
постоянной накачки. Отметим, что именно в этом случае правильный выбор пара-
параметров резонатора оказывается наиболее важным: при модуляции доброт-
добротности на первое место выходят тип и характеристики затвора, а также то,
какие меры приняты для борьбы с суперлюминесценцией (см. далее)
188
на стадии накопления инверсной населенности, и т.п. Основное внимание
уделим "классическому" варианту лазера с неподвижной и возбуждаемой
более или менее равномерно по всему объему активной средой.
"Локальный" подход к оценке эффективности. Вначале определим
предельно возможный съем энергии с единичного объема среды. Число
фотонов, рождающихся в указанном объеме за единицу времени благо-
благодаря резонансному взаимодействию лазерного излучения с активной сре-
средой, равно 1кусA), где / — плотность потока излучения, кус — коэффи-
коэффициент усиления, который в подобных оценках можно считать для всех
спектральных компонент генерируемого излучения одним и тем же.
При больших / произведение 1кусA), очевидно, стремится к пределу Рнак,
равному числу актов пополнения инверсной населенности за счет накачки.
Учтем еще происходящие в том же единичном объеме процессы нере-
нерезонансного ("неактивного") поглощения лазерного излучения ка приме-
примесях. Число этих процессов в единицу времени равно /а0, где о0 — коэф-
коэффициент "вредных" потерь (иногда играют заметную роль также потери
иного происхождения, например за счет остаточного поглощения в зерка-
зеркалах; однако в расчетах их можно, как правило, считать рассредоточенными
по всей длине и ввести соответствующую поправку в а0).
Вклад рассматриваемого единичного объема за единицу времени в об-
общий баланс числа фотонов во всем устройстве равен Ikyc(I) — IoQ. По-
Поскольку в случае идеального генератора, у которого "вредные" потери
отсутствуют (а0 = 0), a / настолько велико, что все пополнение возбуж-
возбужденных атомов целиком "перерабатывается" в лазерное излучение, этот
вклад был бы равен Рнак, эффективность преобразования энергии удоб-
удобно характеризовать отношением [1ку с (/) — 1а0 ] /Рнак = X.
Для подсчета X необходимо знание зависимости кус от /. В случае одно-
однородного уширения, когда все атомы на верхнем лазерном уровне прини-
принимают одинаковое участие в процессе усиления, найти ее несложно. Дейст-
Действительно, в стационарном режиме должно осуществляться равновесие
между процессами пополнения инверсной населенности и ее распада. Для
наиболее эффективных четырехуровневых сред с незаселенным нижним
уровнем рабочего перехода условие равновесия имеет простейший вид
Рнак = 1кус + Вкус/т, где В — коэффициент пропорциональности между ин-
инверсной населенностью и /сус, г - время спонтанного распада возбужден-
возбужденного состояния. Отсюда следует кус ~Рн^К1{1^В/т)- (т.Рнак//?)/A + 1т/В).
При / = 0 кус = тРНЛК/В = кус; введя также т/В = а, получаем уже зна-
знакомую формулу C.9) : кус(/) = кус/A + а/).
С учетом этих соотношений результирующая формула для X приобре-
приобретает вид
Oil OQ
ы <3 i6)
Определяемая этой формулой величина X достигает своего максимально-
максимального значения при а/ = \/кус/о0 - 1; это значение равно
C.17)
189
0,5
/ 2 3 5 10 20 30 50 100 200
Рис. 3.14. Зависимость эффективности
преобразования энергии в лазерной
среде от отношения ку°с/о0
График вытекающей из C.17)
зависимости ^тах 0Т ^ус/ао пРеД"
ставлен на рис. 3.14 (кривая /).
Если мощность накачки и плот-
плотность лазерного излучения распре-
распределены по объему активной сре-
среды не слишком неравномерно,
формула C.17) дает оценку
Хтах всего устройства в целом.
Отметим, что достижимая эффек-
эффективность преобразования энергии определяется только характеристи-
характеристиками возбужденной среды (а именно отношением кус/о0) и не за-
зависит даже от того, в генераторной или усилительной схеме эта среда ис-
используется. Необходимо только при любой схеме лазерного устройства
обеспечить оптимальную плотность генерируемого или усиливаемого из-
излучения.
Однако существует ряд причин, которые могут вызвать неравномер-
неравномерность распределения генерируемого излучения по объему активной среды
даже при совершенно равномерном ее возбуждении. Одной из них являет-
является само существование модовой структуры; оценим, к каким последстви-
последствиям может привести, скажем, то, что приняты меры для спектральной селек-
селекции излучения (§ 43) и генерация является оцночастотной. Тогда вдоль
линейного резонатора устанавливается стоячая волна с периодом Х/2. Если
распространяющиеся навстречу друг другу потоки излучения не слишком
разнятся по плотности (очевидно, это имеет место при близких к едини-
единице R'), то глубина модуляции интенсивности на периоде стоячей волны
. приближается к 100%. В этом случае необходимо произвести усреднение
ХA) по плотностям потока, лежащим в промежутке от 0 до 21, где / -
среднее значение плотности. Учтя, что ввиду линейности потерь за счет
неактивного поглощения 1о0 = aol, получим
а/A — cos<p)
1
)= — /
2тг о
— cos^)
--—olI =
= \ ~_
1
-а/
(множитель 1 - cos<p здесь, как и в предыдущем параграфе, описывает
зависимость интенсивности излучения от координаты на периоде стоячей
волны); максимум X достигается при
а/ =й[(*?с/°о)а/3-1],
[73].
190
Отметим, что, используя данные предыдущего параграфа, можно было бы
получить не только этот результат, но и рассчитать необходимую величи-
величину потерь на излучение, однако все это потребовало бы намного более
сложных выкладок.
График" зависимости XmgLX от куС/о0 для случая одночастоткой генера-
генерации представлен на рис. 3.14 (кривая //). Из рисунка видно, что эффек-
эффективность преобразования энергии при переходе от многомодовой к одно-
частотной генерации заметно падает, даже если спектральный селектор,
выделяющий одну частоту, является идеальным и не вносит на этой часто-
частоте никаких потерь.
К аналогичным последствиям может привести также наличие сущест-
существенной неравномерности распределения интенсивности по сечению резона-
резонатора (например в случае генерации на низшей поперечной моде устойчи-
устойчивого резонатора). Рассмотрение всех этих ситуаций завело бы нас слиш-
слишком далеко; поэтому в дальнейшем будем полагать, что распределение
интенсивности по сечению резонатора является по тем или иным причи-
причинам достаточно равномерным. Бпредь будем считать также, что спектраль-
спектральная селекция отсутствует и лазер генерирует на большом числе аксиаль-
аксиальных мод (что обычно в таких случаях и имеет место). Тогда можно пре-
пренебречь интерференцией следующих навстречу друг другу пучков и при-
приравнять / просто сумме плотностей этих пучков. Отсутствие голографи-
ческой "решетки" в среде стирает различия между средним и эффектив-
эффективным значениями показателя усиления (см. § 3.3), и условие стационар-
стационарности генерации приобретает простейший вид /?'ехр[2(&ус — аоI] = 1
(кус ~ среднее по длине / активного элемента значение kyCi дифракцион-
дифракционными потерями в данном рассмотрении можно пренебречь).
Даже после всех сделанных оговорок остается еще один источник не-
неравномерности распределения / в среде — само наличие усиления в ней.
Однако благодаря тому, что два усиливаемых потока следуют навстре-
навстречу друг другу, суммарное распределение интенсивности изменяется вдоль
длины, как правило, не слишком сильно. Это позволяет использовать вы-
выведенные нами простейшие формулы для оценки не только достижимой
эффективности преобразования, но и необходимого коэффициента отраже-
отражения R' выходного зеркала плоского резонатора. Действительно, из C.9)
следует, что при оптимальной плотности потока кус = \Ао ку~с • Потребо-
Потребовав, чтобы кус было равно именно этой величине, из условия стационар-
стационарности находям
1пA/л;пт) = 2ао/(>Дус/^о ~ О C.18)
(эта формула и C.17) были впервые получены нами и опубликованы
в [52]; специалистам по газовым лазерам в этой связи лучше знакома
чуть более поздняя работа Ригрода [194]).
Знание R' позволяет оценить степень неравномерности распреде-
распределения / по длине. Обозначим плотность потока, падающего на
выходное зеркало, /0; плотность отраженного потока равна R'l0.
Тогда плотность потока, падающего на полностью отражающее зер-
зеркало, равна R'loexp[(kyc — аоI] = /0\/#'. Отсюда следует, что отноше-
191
ние суммарных плотностей потоков вблизи выходного и полностью от-
отражающего зеркал равно A + R')/By/R^).
Нетрудно видеть, что суммарный поток принимает экстремальные
значения именно у концевых зеркал. Таким образом, максимальное /
больше минимального в A + R')/ByR') раз. Это отношение сильно пре-
превышает единицу лишь при очень малых Я'. Так, если Я' = 0,25,
то A + R')/B\/R*) = 1,25, и суммарный поток распределен еще весьма
равномерно. Следует также иметь в виду, что в соответствии с C.18)
значение R' оказывается малым, как правило, при больших куС/о0,
а в этом случае максимум зависимости X от I является весьма широким.
По этим причинам формулы C.18), C.17) оказываются справедливыми
в огромном диапазоне параметров лазера. Нами в [73] было показано,
что ими нельзя пользоваться только при столь больших "вредных" поте-
потерях на длине образца а0 /, что начинает выполняться неравенство
Стоящая в правой части неравенства величина представляет собой усред-
усредненное по длине значение X, которое достигалось бы в том случае, если бы
все пополнение инверсной населенности за счет накачки "перерабатыва-
"перерабатывалось" в направленные к выходному зеркалу фотоны генерации, часть кото-
которых терялась бы только за счет поглощения по дороге до зеркала.
Общий баланс энергии возбуждения и излучения генерации. Во многих
ситуациях оказывается более полезным несколько иной подход к оценке
эффективности, основанный на подсчете энергетического баланса внутри
генератора в целом. Он сводится к представлению общего выраже-
выражения для эффективности в виде произведения двух сомножителей: X =
= A — Pi )A - Рз)- Здесь рг - доля общего числа процессов дезактивации
верхнего лазерного уровня, приходящаяся на спонтанные переходы, ар2 —
доля общего числа рожденных за счет вынужденных переходов фотонов,
которые затем поглощаются внутри генератора источниками потерь.
Величина р2 в плоском резонаторе зависит практически только от о01
и R'. При ее вычислении можно в первом приближении считать, что каж-
каждый из следующих навстречу друг другу потоков экспоненциально на-
нарастает вдоль длины образца. Тогда поток /+, следующий от полностью
отражающего (z = 0) к выходному (z = /) зеркалу, и следующий в обрат-
обратном направлении поток /„ равны /+ = /0y/R^exp[±ln(l//?') -z/2/]
(/0 — по-прежнему значение /+ при z = /). Подсчитав полное число
приходящихся на единицу сечения резонатора поглощаемых фотонов
ao/[/+(z) + /_(z)] dz и учтя, что из резонатора выходит поток с плот-
о
ностью /0 A — R'), получаем
2ао1
р2 = . C.19)
2/ + 1A/Д')
192
По смыслу правая часть C.19) есть отношение "вредных'* потерь 2о01
к суммарным. Отсюда следует, кстати, что потерями на излучение пра-
правильнее называть не 1 - R\ как это обычно делают, aln(l/^') (приЯ' ъ 1
эти две величины практически совпадают).
Подсчет рх при многомодовой генерации (т.е. в отсутствие стоячей
волны) в четырехуровневой среде с однородно уширенной линией и не-
незаселенным нижним рабочим уровнем также несложен. Когда генерация
отсутствует, вся мощность возбуждения верхнего рабочего уровня рас-
расходуется на спонтанные переходы; коэффициент усиления при этом состав-
составляет куС. В присутствии генерации коэффициент усиления снижается до
некоторого значения кус < кус\ падение кус является следствием пропор-
пропорционального уменьшения населенности верхнего уровня, которое, в свою
очередь, сопровождается пропорциональным же снижением числа спонтан-
спонтанных переходов. Таким образом, на последние расходуется доля мощнос-
мощности возбуждения, равная кус/кус. Считая мощность накачки распределен-
распределенной равномерно по объему и проведя по нему усреднение, приходим к фор-
формуле
Pi = *ус/*?с- - C'2°)
Выразив с помощью условия стационарности величину кус через осталь-
остальные параметры, получаем/?! = [2a0/ + in(l//O]/BfcyC/).
Теперь найдем оптимальный коэффициент отражения ЯоПТ, при кото-
котором достигается максимум X = 1 + Р\Рг - Pi — Pi- Поскольку Р1Р2 -
= о0/кус = const, сумма рх + р2 минимальна (и, следовательно, X дости-
достигает максимума) при таком R', когда рх = рг. В результате несложных
выкладок приходим к уже знакомым формулам C18), C.17).
Уточнив, таким образом, смысл этих формул, обсудим теперь возмож-
возможности их модификации и применения в более сложных ситуациях. В пер-
первую очередь распространим их на случай сред с произвольной схемой
уровней, но по-прежнему однородно уширенной линией. Можно показать,
что тогда 1 - Pl = (кус - *ус)/(аРнвк) = [кус/(аРпак)] A - kyc/kyc).
Таким образом, в выражении для X появляется дополнительный множи-
множитель кус/(аРПпК), который для рассмотренного выше варианта среды
был равен единице, а в других случаях оказывается меньше нее. Отсюда
следует, что хотя при других схемах уровней R' и продолжает определять-
определяться формулой C.18), достижимая эффективность преобразования энергии
снижается по сравнению со значением, предсказываемым C.17), состав-
составляя [кус/((хРнпК)] A - \о0/кусJ. Чаще всего это снижение связано с на-
наличием атомов на нижнем уровне рабочего перехода: тогда некоторая часть
мощности накачки тратится ка выравнивание населенностей верхнего
и нижнего рабочих уровней, не вызывая еще появления усиления.
При неоднородном уширении насыщение усиления на частоте (или
частотах) генерации не приводит к пропорциональному уменьшению числа
возбужденных атомов, "ответственных" за усиление на других частотах.
Поэтому здесь число спонтанных переходов, а с ним и величина рх ока-
оказываются, при прочих равных условиях, большими, чем в случае однород-
однородного уширения.
193
К сходным последствиям может привести так называемая сунерлюми-
несценция, о которой говорят тогда, когда спонтанное излучение до свое-
своего выхода из активной среды успевает заметно усилиться, что вызывает
дополнительную дезактивацию возбужденных атомов. В результате число
процессов распада возбужденного состояния, не дающих вклада в генера-
генерацию, возрастает в)>1 раз. Параметр у зависит от свойств среды, геомет-
геометрии активной зоны, условиях на поверхностях, ее ограничивающих, и,
в первом приближении, от среднего по объему значения коэффициента
усиления, которое в стационарном режиме определяется величиной потерь.
Таким образом, если при неоднородно уширенной линии или в присут-
присутствии сильной суперлюминесценции выбрать R' в соответствии с C.18),
доля мощности генерации, теряемая за счет спонтанных переходов, ока-
оказывается больше доли мощности, теряемой за счет неактивного поглоще-
поглощения (напомним, что такой выбор R' обеспечивал равенство рг и р2 без
учета влияния указанных выше факторов, увеличивающих рг). В этом
случае целесообразно использовать резонатор с несколько большим R э
приблизив тем самым друг к другу рг и р2> что влечет за собой возрас-
возрастание X.
Посмотрим теперь, что изменится, если перейти от плоского к изобра-
изображенному на рис. 3.8а телескопическому резонатору, который чаще дру-
других неустойчивых используется в практических применениях (гл. 4). По-
Потери на излучение здесь равны 1 - R "/М2, где М - коэффициент увели-
увеличения, R" — коэффициент отражения выходного зеркала, который в слу-
случае подобных резонаторов чаще всего равен единице.
Нетрудно видеть, что усиление потока излучения при прохождении
резонатора в одном из направлений и весь характер изменения потоков
вдоль длины остаются теми же, что и в случае плоского резонатора с та-
такими же потерями. Разница состоит главным образом в том, что у плос-
плоского резонатора оба пучка, идущих навстречу друг другу, являются
параллельными, а у телескопического площадь сечения одного из пучков
изменяется вдоль длины. В результате распределение суммарной плот-
плотности излучения по объему оказывается несколько более неравномер-
неравномерным. Это приводит к снижению эффективности, однако незначительно-
незначительному; поэтому для телескопического резонатора можно пользоваться те-
теми же формулами, что и для плоского, заменив в них R! на R"/M2.
Методики расчетов, позволивших сделать такой вывод, мы вскоре кос-
коснемся; более подробные сведения на этот счет имеются в [71, 53], а так-
также в [16], § 4.1.
Устойчивые резонаторы при условии хорошего заполнения активной
среды излучением многомодовой генерации не отличаются, с точки зре-
зрения эффективности преобразования энергии, от плоских. В остальных
случаях расчеты лазеров с устойчивыми резонаторами существенно услож-
усложняются; относительно простая методика оценок эффективности для режи-
режима генерации на низшей поперечной моде изложена в [30].
Все эти сведения, вероятно, не стоило бы приводить, если бы они были
полезны лишь для описания только истинно стационарного режима гене-
генерации. Ведь в действительности подобный режим у ряда типов лазеров
(в том числе твердотельных) встречается чрезвычайно редко - даже если
194
модуляция добротности отсутствует, интенсивность генерации, как пра-
правило, испытывает пульсации во времени. Более того, одним из чаще все-
всего встречающихся является упоминавшийся в начале § 3.1 *'пичковый"
режим генерации, когда временна'я развертка интенсивности представляет
собой набор хаотически распределенных отдельных импульсов — "пич-
ков" излучения, в промежутках между которыми генерация вообще от-
отсутствует.
Однако нетрудно показать, что выведенные нами формулы применимы
и здесь ([16]. § 1.4). Помимо всего прочего, они могут использоваться
не только при непрерывном, но и при импульсном возбуждении актив-
активной среды, если длительность импульса намного превышает период уста-
установления в резонаторе стационарных колебаний (или средний промежу-
промежуток времени между "пичками"). Необходимо только при расчете выход-
выходной энергии отбросить начальный и конечный участки импульса накачки,
на которых генерация отсутствует (в начале — пока инверсная населен-
населенность еще не успела достичь порогового уровня, в конце — когда интенсив-
интенсивность накачки спускается ниже пороговой).
Методика расчета эффективности лазеров с неустойчивыми резонато-
резонаторами. Проблема эффективности особенно важна в случае лазеров на боль-
больших объемах активной среды — неоправданные энергетические потери
тогда, как правило, недопустимы. По причинам, которые должны быть
уже ясны внимательному читателю и будут затронуты также в § 4,1, для
таких лазеров чаще всего используются неустойчивые резонаторы. В связи
с этим методика расчета эффективности лазеров с неустойчивыми резона-
резонаторами заслуживает особого внимания; даже беглое ознакомление с нею
полезно еще тем, что подсказывает способы анализа и в других нетривиаль-
нетривиальных ситуациях, когда изложенные выше простейшие способы оценки эф-
эффективности оказываются неприменимыми.
Как и раньше, ограничимся рассмотрением стационарного режима гене-
генерации. В этом случае расчет эффективности лазера сводится к нахожде-
нахождению самосогласованной комбинации распределений коэффициента усиле-
усиления и поля генерации. Уравнения, описывающие зависимость распределе-
распределения коэффициента усиления от условий возбуждения и поля генерации,
зависят от особенностей среды и бывают, как мы скоро увидим, сильно
отличающимися от тех, которые использовались выше. Что же касается
распределения поля генерации, то при неустойчивых резонаторах для него
чаще всего оказывается достаточным использовать геометрическое при-
приближение. Действительно, причины, по которым в лазерах с большими
Л^экв можно пренебречь влиянием краевой дифракции и с уверенностью
считать, что генерация осуществляется на основной мод<% нами уже обсуж-
обсуждались (§ 2.5, 3.3). Не требует дифракционного приближения и учет круп-
крупномасштабных неоднородностей активной среды (§ 3.2). Более того,
вели среда не слишком неоднородна, можно принять и ход лучей таким же,
каким он был бы в идеальном резонаторе (см. там же). Отсюда вытека-
вытекает, что слабая оптическая неоднородность активной среды, как и краевая
дафракция, в энергетическом расчете может вообще не приниматься во
внимание.
С другой стороны, поскольку угловая расходимость излучения зависит
в первую очередь от распределения фазы на выходе генератора, а неравно-
195
мерность распределения интенсивности влияет на нее слабо, явления насы-
насыщения усиления должны мало сказываться на ее величине; этот вывод
следует из материалов § 1.3 и подтверждается результатами иногда пред-
предпринимаемых конкретных расчетов (например, [102]). Отсюда следует,
что задачи об энергетической эффективности и о ширине диаграммы на-
направленности могут решаться, в первом приближении, порознь.
Рис. 3.15. Потоки излучения в лазере с
телескопическим резонатором
f^^——
L
у»
С.
Будем вначале, как и выше, считать, что равномерно возбужденная сре-
среда, связь между коэффициентом усиления которой и суммарной плот-
плотностью излучения выражается формулой C.9), заполняет имеющий ци-
цилиндрическую форму объем между зеркалами телескопического резона-
резонатора (рис. 3.15). Полагая также, что явления интерференции между по-
потоками излучения, следующими в противоположных направлениях,
не проявляются, и введя плотность излучения в безразмерных едини-
единицах р = а/, перепишем C.9) в виде
*ус=*ус/О +А>+ + Р')> C-21)
где р+ ир~ — плотности потоков, следующих к выходному зеркалу и
в обратном направлении соответственно (рис. 3.15).
Нетрудно видеть, что внутри области /, которую заполняют потоки
обоих направлений, инверсная населенность и сама плотность потоков из-
изменяются лишь вдоль длины z @^z<L),ano сечению эти величины
постоянны. Тогда для / ир" в указанной области справедливы очевид-
очевидные соотношения
ехр{/
C.22)
zQ - z
где a0 - коэффициент неактивных потерь; множитель [zo/(zo - z)]2 опи-
описывает уменьшение плотности расходящейся сферической волны по мере
удаления от мнимого центра z0, совпадающего с общим фокусом зеркал.
Уравнения C.21) и C.22) необходимо решить совместно относитель-
относительно p+(z) и р (z) при учете граничных условий р+@) = р"@) и p*(L) =
= p~(L) (считаем R" = 1). Нахождение точного решения в аналитической
форме невозможно. Для приближенного решения удобно воспользоваться
тем обстоятельством, что согласно C.22)
= p@)zol(zo -z).
196
Поскольку сумма р+ + р с точностью до нескольких процентов равна
2\Р+ Р~ вплоть до значений р+ и р~, различающихся в два-три раза (боль-
(больших различий практически не бывает), соответствующей заменой уравне-
уравнение C.21) можно преобразовать так: кус = кус [1 + 2p@)zo/(zo — z)]'1.
Подставив это в C.22) и выполнив интегрирование, приходим к следующе-
следующему уравнению для определения р@) :
М [2р@)
М-\ '"ч~'~ 2р@)Л/+1 " kycL
где M = zqI(zq —L), как всегда, - увеличение резонатора.
Найдя р@), можно с помощью C.22) рассчитать распределение p*(z)
в области /. Когда удаленная от оси (г > а/М, 2а — диаметр активного
элемента) часть потока излучения пересекает границу между областями
и попадает в зону //, где р~ = 0, дальнейшее усиление потока легко рассчи-
рассчитывается по соответствующей формуле для усилительного режима [59],
являющейся прямым следствием уравнения переноса излучения dp*/dz =
4()]+ + ]
y
, /РвыхЧ
In )
V Р /
(к°ус - о0У + — In 1 - -
°о L (кус/о0)-1 -р J
где р - плотность потока на входе в область //; рвых — плотность потока
на выходе из резонатора в зависимости от расстояния /, проходимого
им в этой области (см. рис. 3.15). Очевидно, что величина /, а с ней и
Рвых возрастают с увеличением г.
С основным результатом выкладок, выполненных в [71, 53] по этой
методике, мы уже знакомы: эффективность лазера с телескопическим
резонатором немного уступает эффективности плоского с теми же потеря-
потерями на излучение (в данном случае — с R* = 1/М2). Поэтому перейдем к
рассмотрению более сложных ситуаций.
При произвольном распределении коэффициента усиления кус (х, у, z)
уравнения поля типа C.22) связывают между собой значения плотностей
уже только в точках, лежащих на одном луче, причем интеграл от кус - о0
должен вычисляться вдоль этого луча; так, первое из уравнений C.22)
приобретает вид
Z
P+(x,y,z) = p+(x,y, 0)exp{/[fcyc(x,>>, zf)-o0]dz'}.
о
второе ввиду громоздкости (лучи наклонны) выписывать не будем. Часто
от подобных уравнений переходят к эквивалентным им дифферен-
дифференциальным.
Еще большие метаморфозы могут произойти с уравнениями среды.
Все предыдущее рассмотрение относится лишь к тому (правда, распро-
распространенному) случаю, когда состояние активной среды в любом элемен-
элементарном ее объеме при заданных условиях накачки однозначно определяет-
определяется плотностью проходящего через этот объем излучения генерации. Это
имеет место, в частности, у большинства типов импульсных лазеров. Тогда
можно говорить не только о к.п.д. генератора в целом, но и об эффектив-
197
ности преобразования энергии в любой части его объема, что, как мы
видели, существенно облегчает понимание основных закономерностей
и упрощает количественные расчеты.
Пример совсем другого рода являют собой газодинамические и другие
непрерывные лазеры с движущейся средой. Понятие локальной эффектив-
эффективности здесь вообще не может существовать: среда, подчас возбужденная
заранее, пролетает через пучок генерируемого излучения, и число прореаги-
прореагировавших с пучком атомов может быть рассчитано только исходя из знания
распределения излучения в целом. Если среда движется поперек оси резо-
резонатора, невозможно также рассчитать заранее (как в приведенном выше
примере) плотность излучения на оси системы, поскольку инверсная на-
населенность на оси зависит не от этой плотности, а от всей предыстории до-
долетевшей сюда среды, в частности от плотности поля на всем пути ее следо-
следования. Сходные закономерности имеют место и при оптической накачке в
тех случаях, когда коэффициент ее поглощения в среде существенно зави-
зависит от плотности излучения генерации.
Для нахождения самосогласованного решения в подобных случаях
используются разные методы, наиболее простым и естественным из кото-
которых является итерационный. Простейшая итерационная процедура заклю-
заключается в следующем. Берется некоторое начальное распределение поля
(обычно равномерное); это распределение подставляется в уравнения
среды, последние решаются и находится пространственное распределение
коэффициента усиления. Далее рассчитывается новое распределение поля
как результат однократного прохождения исходного пучка через резона-
резонатор с активной средой. Вновь полученное распределение поля подставляет-
подставляется в уравнения среды и т.д.
Существуют разнообразные приемы, ускоряющие сходимость итерацион-
итерационной процедуры (некоторые сведения о них имеются в [67] ив [16], § 4.2).
а также позволяющие ее избежать. Не останавливаясь на них, коснемся лишь
вопроса о выборе модели среды и поясним общую качественную картину
работы лазера со средой, движущейся перпендикулярно оси двухзеркаль-
ного неустойчивого резонатора.
Исходные сведения об активной среде того или иного лазера нового
типа часто поступают от спектроскопистов, считающих "делом чести"
учесть такое число уровней и переходов, что получить ясное представле-
представление о работе лазера в целом становится немыслимым. Поэтому важнейшей
целью начального этапа расчетов является выделение двух-трех основных
процессов и тем самым сведение к минимуму числа описывающих среду
уравнений. В [16], § 4.2 приведен пример предложенной В.К. Конюхо-
Конюховым [109] и пригодной в широком диапазоне изменения параметров
газодинамических лазеров [4] модели, в которой таких уравнений все-
всего два.
В нашем качественном анализе обойдемся единственным уравнением,
считая, что среда возбуждена заранее и является однокомпонентной (ниж-
(нижний рабочий уровень не заселен). Итак,
ус _ Ус т,
dt т у
где kyc пропорционален числу возбужденных атомов, / — плотность излуче-
198
ния генерации, г - время релаксации среды в отсутствие вынужденных
переходов «(T.e. при / = 0), к — коэффициент пропорциональности. По ре-
рекомендации [53] при расчетах непрерывных лазеров с движущейся средой
имеет смысл сразу избавиться в уравнениях от времени:
--^-/, C.23)
ах h v
где v — скорость направленного вдоль оси х потока среды, h = tv — длина
пробега возбужденных атомов при / = 0.
Будем считать, что такая среда, равномерно возбужденная по сечению
потока, поступает в двумерный неустойчивый резонатор из цилиндрических
зеркал (рис. 3.16). Чтобы еще упростить описание полей генерации и усиле-
усиления, воспользуемся введенным автором и описанным в [62] приемом,
особенно оправданным при значениях М, близких к единице. Он основыва-
основывается на пренебрежении зависимостью / от продольной координаты z и на
переходе от уравнения геометрического приближения
I(Mx) = I(x)-±- exp(fkycdt)
М
(интеграл берется вдоль обходящего резонатор луча, поглощением в среде
и в зеркалах пренебрегаем) к дифференциальному. Это делается так:
преобразовав уравнение к виду 3n[I(Mx)/I(x)] ^ 2kyc(x) L — In Л/, где
L — ширина потока, а также учтя, что
dlnl
+ [1п(Мх)-1пх] =
dlnx
dlnl
dlnx
получаем
dlnl / 2L \
dlnx ~ \lnM/ y
или
y In Af
отсюда видно, что решение существует лишь тогда, когда при х = 0 пра-
правая часть C.24) обращается в нуль, т.е. выполняется условие стационар-
стационарности C.15).
Введя безразмерные переменные x/h = ?, 2kycL/\nM = К и #с/г//и = р,
переходим от C.23), C.24) к системе уравнений
din A: dlnp
с граничным условием А'(?о) ~ ^о> где ^0 = ~a/h9 a - ширина левой части
резонатора (рис. 3.16), Ко - значение К на входе в резонатор. Несмотря
199
X
Рис. S.I6. Неустойчивый резонатор в проточ-
проточном лазере
Рис. 3.17. Распределение усиления и плотности
излучения генерации по сечению неустойчиво-
неустойчивого резонатора проточного лазера при значениях
отношения 2LkyJ]nM на входе в резонатор,
равных 2,5 (/) и 5,2 (//)
и к
In/V
\л
л
1
J
\ V 6
у *
jt ¦* т Г^ "—'
-
-
-
-
"" 1
-0,5
ф 0,5 ~0,5
x/h
0,5
на все старания упростить задачу, эта система аналитического решения
не имеет. На рис. 3.17 приведены результаты соответствующих численных
расчетов для двух значений Ко; ширины левой и правой частей резонатора
выбраны одинаковыми (хотя в лазерах такого типа это совсем не обяза-
обязательно) и равными Л/2.
Вид изображенных на рисунке распределений имеет следующее объясне-
объяснение. В левой части (—?0 <? <0) поле излучения генерации обязано иметь
плотность, обеспечивающую спад величины К на протяжении этой части от
исходного значения Ко > 1 до единицы; очевидно, что больше Ко, тем боль-
большей должна оказаться и плотность р. Далее, в этой части резонатора вплоть
до самой ее границы К > 1, поэтому по мере удаления от оси плотности
излучения нарастает; в правой части имеют место обратные закономер-
закономерности.
Чтобы с помощью подобной модели оценить эффективность преобразо-
преобразования энергии возбуждения, лучше не уточнять, на каком именно участке
сечения резонатора излучение выводится из него наружу, а прибегнуть,
как мы делали это раньше, к подсчету доли процессов спонтанного рас-
распада. В левой части величина К, пропорциональная запасу энергии в среде,
уменьшается на Ко — 1; из этого снижения на долю процессов спонтанно-
о _ _
го распада приходится, как нетрудно видеть, fK(%) d% =K\%0\, me К -
среднее значение К в левой части. Отсюда следует, что процессы вынужден-
вынужденного излучения "ответственны" за снижение К на Ко — 1 — К\%0\,ив
излучение генерации "перерабатывается" доля исходного запаса энергии,
200
равная
Хп = 1-(К/Ко)\$о\-\/Ко =
= 1 - (kyjkyc) (а/И) - InM/Bk°ycL) C.25)
(kyC и kyc - исходное и среднее значения кус).
Для изображенных на рис. 3.17 вариантов распределений / и // величи-
величина Хп составляет 28 и 60 % соответственно. Аналогичные подсчеты для
правой половины резонатора показывают, что в ней к этим цифрам добав-
добавляются еще 6 и 5 %; таким образом, полная эффективность преобразова-
преобразования энергии в данном резонаторе при Ко = 2,5 равна 34 %, при Ко =5,2 —
уже 65 %. Видно, что высокий к.п.д. в подобных случаях достигается ценой
большой неравномерности распределения излучения по сечению, что имеет
ряд негативных последствий (о том, как их можно избежать, см. § 4.4).
Посмотрим теперь, как зависит эффективность от параметров резонато-
резонатора при заданных kycL и h. Если, зафиксировав а, уменьшать (приближать
к единице) М, то значение Ко, а с ним и эффективность преобразования
энергии в играющей решающую роль левой части возрастают. Это видно
не только из рассмотренного выше конкретного примера, но и непосредст-
непосредственно из B.5): последний член, равный доле энергии возбуждения,
сохранившейся в среде при подходе к оси, убывает пропорционально
\пМ; немного уменьшается по абсолютной величине и характеризующий
потери энергии за счет спонтанной релаксации второй член (значение кус
при х = — а остается прежним, а при х = 0 убывает пропорционально
\пМ, поэтому слегка убывает и кус).
К возрастанию эффективности преобразования в левой части резонатора
приводит также и уменьшение а при фиксированном М. В этом случае
последний член в C.25) остается неизменным; что же касается предыдуще-,
го, то, поскольку значения кус на концах промежутка сохраняются, кус
изменяется мало, и потери на спонтанную релаксацию уменьшаются при-
примерно пропорционально а.
В отличие от левой части, на входе в правую оказываются заданными
значения не только кус, но и плотности излучения генерации. В этих усло-
условиях увеличение ширины правой части, не изменяя распределения плотно-
плотности излучения левее, повышает эффективность преобразования, быстро
приближая ее к определенному пределу. Поскольку доля общей мощно-
мощности, приходящейся на всю правую часть, невелика, стремиться вплотную
приблизиться к этому пределу и прибегать к значениям ширины, большим
Л, нет никакого смысла.
Более подробный анализ с изложением ряда тонкостей, связанных
с использованием более сложных моделей среды, учетом поглощения
излучения в зеркалах и переходом от двух- к трехмерному резонатору
из сферических зеркал, изложен в [67] ив [16], § 4.2. Преследовавшуюся
же ныне цель - пояснить механизм взаимосвязи между параметрами
резонатора и энергетическими характеристиками лазерного излучения -
можно считать достигнутой.
14. Ю.А. Ананьев
ГЛАВА 4
ПРИМЕНЕНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ СХЕМЫ РЕЗОНАТОРОВ
В настоящее время имеется уже великое множество лазеров на самых
разнообразных средах и принципах их возбуждения; исхода из тех или
иных практических применений к излучению этих лазеров предъявляются
почти столь же разнообразные требования. Резонаторы для большинства
существующих лазеров подбирались методом "проб и ошибок", итоги
которого далеко не всегда поддаются разумному объяснению. Добавим
еще, что на выборе той или иной схемы могут решающим образом сказать-
сказаться не только принципиальные соображения, но также и состояние элемент-
элементной базы, отсутствие опыта в юстировке сложных оптических систем и т.п.
В связи со всем этим дать готовые рецепты "на все случаи жизни" пред-
представляется невозможным. Поставим перед собой более скромную задачу
разъяснить те соображения и обстоятельства, которые следует принимать
во внимание при создании резонаторов для важнейшего класса лазеров с
высоким к.п.д. и малой угловой расходимостью излучения. Если смысл
стремления к высокому к.п.д. не требует разъяснений, то проблема
угловой расходимости заслуживает некоторых дополнительных коммен-
комментариев.
Малая расходимость излучения не только непосредственно требуется
во многих практических применениях; ее достижение является необходи-
необходимым звеном самого рационального способа решения более общей задачи
получения высококогерентного излучения с заданными пространственны-
пространственными характеристиками. Этот способ состоит в построении генератора узко-
узконаправленного излучения, которое при необходимости подвергается по-
последующему (внерезонаторному) преобразованию в пучок с иной требуе-
требуемой пространственной структурой.
Дело в том, что среди всех возможных заранее заданных видов про-
пространственной структуры светового пучка проще всего получить гауссово
или равномерное распределение интенсивности при плоском или сфери-
сферическом волновом фронте, т.е. полностью решить проблему расходимости.
Одной из причин является то, что именно такие пучки рождаются в идеаль-
идеальных резонаторах с равномерно возбужденной активной средой (причем
добиться таких условий на деле ничуть не сложнее, чем реализовать, с
целью управления структурой излучения, заданные отклонения резонатора
202
от идеального, заданную неравномерность возбуждения и т.д.). Очень важ-
важно также, что излучение подобных пучков наиболее равномерно заполняет
протяженную активную среду. Это облегчает достижение одномодовой
генерации (§ 3.3) и создает возможность одновременного обеспечения
большого к.п.д. и высокой пространственной когерентности.
Только в неустойчивых резонаторах лазеров на больших объемах среды
условия столь благоприятствуют одномодовой генерации, что существуют
определенные возможности варьирования и формы сечения выходящего
из резонатора пучка, и, в небольших пределах, его фазового распределе-
распределения без ущерба для к.п.д. и когерентности. Этих возможностей мы коснем-
коснемся в § 4.1 и 4.4.
§ 4.1. Простейшие виды резонаторов
Если никакие специальные требования к спектральным и временным
характеристикам излучения не предъявляются, чаще всего используются
простейшие резонаторы из минимального числа зеркал. Это облегчает
достижение высокого к.п.д.: присутствие дополнительных элементов
(например, содержащихся в спектральных или угловых селекторах) почти
всегда приводит к росту потерь и снижению мощности; отметим, что
схемные "излишества" особенно противопоказаны при малых усилениях
среды.
В настоящем параграфе мы изложим основные соображения, касающие-
касающиеся выбора типа и параметров двухзеркального резонатора, а также коснем-
коснемся свойств соответствующих лазеров. Большая часть материалов будет
относиться к тому распространенному случаю, когда активный элемент
(или кювета со средой) имеет цилиндрическую форму с примерно одина-
одинаковыми размерами сечения по обоим направлениям. Приведен также необ-
необходимый минимум сведений о схемах, которые, несмотря на наличие не-
нескольких проходов светового пучка по активной среде, также вполне
могут быть отнесены к простейшим.
Лазеры непрерывного действия. Выбор типа резонатора во многом
предопределяется допустимой величиной дифракционных потерь, которая
связана с развиваемым в активной среде усилением. Хотя последнее зави-
зависит и от типа среды, и от характера ее возбуждения, однако есть некая
общая закономерность: непрерывные лазеры, как правило, обладают
много меньшим усилением, чем импульсные (что связано с более скром-
скромной удельной мощностью возбуждения). С точки зрения требований,
предъявляемых к резонатору, есть и еще одна важная особенность не-
непрерывных лазеров: в отличие от импульсных время установления коле-
колебаний (выделения отдельных мод, см. § 3.3) здесь не играет особой роли
и может быть, по резонаторным "меркам" (т.е. в сравнении со временем
обхода светом резонатора), огромным.
К числу важнейших исходных данных относятся также габаритные
размеры резонатора, которые можно считать для каждого конкретного
вида лазеров ориентировочно заданными. Действительно, хотя длина L ре-
резонатора и является "свободным параметром", обычно все же стремятся
к тому, чтобы она не слишком превышала длину активного элемента
(исключение составляют некоторые специфические лазеры на тонких слоях
14* 203
среды). Что же касается рабочего сечения зеркал, то его заведомо можно
полагать равным сечению активного элемента (кюветы со средой): для
достижения высокого к.п.д. необходимо, чтобы последнее хорошо за-
заполнялось излучением генерации.
Знание Z,, размера рабочего сечения 2 а и длины волны генерации X
позволяет определить число Френеля N = a2/(XL), являющееся важным
параметром теории резонаторов (см. § 2.2; если показатель преломле-
преломления среды отличен от единицы, вместо L везде должна использоваться
введенная в § 2.1 эквивалентная длина Ьэкв). По его значению можно
условно разделить резонаторы на малоапертурные с Л^^ 1, промежуточ-
промежуточные и широкоапертурные с 7V> 1 (эти термины были предложены автором
и, судя по [74], начинают приобретать "права гражданства").
В малоапертурных лазерах используются либо волноводные, либо
открытые устойчивые резонаторы (у других их типов дифракционные
потери оказываются чрезмерно большими; так, у низшей моды плоского
резонатора из круглых зеркал при N = 1 они составляют 20 % на проход,
см. рис. 2.12). Волноводными именуют резонаторы, у которых "удержа-
"удержание" излучения в зоне малого сечения осуществляется за счет отражения
от боковых стенок кюветы. Ввиду большой специфичности мы эти резона-
резонаторы рассматривать не будем; отметим только, что поскольку и число
отражений от боковых стенок на длине резонатора, и потери при каждом
отражении растут с углом наклона лучей, волноводные резонаторы по
своим селективным способностям похожи на открытые плоские.
Что же касается устойчивых резонаторов, то здесь, как правило, при-
применяется их вариант из плоского и вогнутого зеркал, представляющий
собой "половинку" симметричного резонатора двойной длины из двух
таких же вогнутых зеркал (поэтому такие резонаторы часто именуют
"полусферическими", "полуконфокальными" и т.п.). К плоскому зер-
зеркалу прибегают из-за простоты изготовления и удобства унификации эле-
элементов. Подбирая кривизну вогнутого зеркала, а с ней и величину дифрак-
дифракционных потерь, обычно удается добиться одномодовой генерации (кри-
(критерий см. в § 3.3). Для лучшего заполнения излучением объема кюветы
следует прибегать к значениям R > 2L9 получая при этом "половинку"
резонатора, изображенного на рис. 2.105.
Отметим, что нередко имеет смысл и использование зеркала с R>,L,
позволяющее построить "половинку" резонатора на рис. 2Л0а. Дело в том,
что R = L соответствует границе области "устойчивости", поэтому неболь-
небольшие изменения расстояния между зеркалами здесь приводят к значитель-
значительному одновременному варьированию дифракционных потерь и размеров
пятен основной и других поперечных мод. Это позволяет легко подобрать
эмпирически их оптимальное, с точки зрения выходных характеристик
лазера, сочетание; при этом оказывается автоматически учтенной "линзо-
вость" среды, если таковая имеется, и т.п. Данный прием, предложенный
в [126], может использоваться и в других случаях, в частности при им-
импульсном режиме; подробнее о нем см. [16], § 2.6.
При переходе к промежуточным значениям N небольшими дифракцион-
дифракционными потерями начинают обладать не только устойчивые, но и плоские
резонаторы, поэтому выбор типа резонатора оказывается зависящим от
характера и величины аберраций (малоапертурные лазеры с существенны-
204
ми аберрациями на рабочем сечении нежизнеспособны из-за больших потерь
при любом типе резонатора и потому нами не рассматривались).
Среди аберраций будем различать статические и динамические, относя
к первым, естественно, те, которые во время работы лазера остаются
практически неизменными и все же не могут быть уменьшены путем
подстройки резонатора (постоянную "линзовость" среды будем считать
скомпенсированной). Источником статических аберраций могут быть
установившиеся конвекционные потоки, дефекты изготовления опти-
оптических элементов, несовершенства кристаллических сред и т.д.
К динамическим (изменяющимся во времени) аберрациям приводят
вызывающие разъюстировку резонатора вибрации его элементов, флук-
флуктуации плотности жидкой или газовой среды при турбулентном ее тече-
течении и т.п. Обусловленные подобными причинами вариации оптической
длины резонатора на его рабочем сечении обычно растут с размерами этого
сечения и при промежуточных доказываются уже достаточными для того,
чтобы заметно повлиять на свойства наиболее "чувствительного" к абер-
аберрациям идеального плоского резонатора (напомним, что его низшая мода
искажается почти до неузнаваемости уже при углах разъюстировки
~\/DaN), т.е. при вариациях оптической длины резонатора AL ~ X/ BN),
см. §3.2).
У маломощных лазеров на газовых смесях низкого давления стацио-
стационарные аберрации практически отсутствуют. В этих условиях использо-
использование плоского резонатора привело бы, из-за наличия динамических
аберраций, к недопустимой для большинства практических применений
нестабильности процесса генерации. Поэтому здесь обычно применяются
устойчивые резонаторы, стрелка прогиба слегка вогнутых зеркал кото-
которых существенно превышает динамические волновые аберрации. Это резко
снижает чувствительность к динамическим аберрациям (резонатор как
бы "навязывает" полю определенную структуру несмотря на их наличие)
и обеспечивает стабильность режима.
Ввиду малости дифракционных потерь устойчивых резонаторов с N> 1
генерация в подобных случаях осуществляется чаще всего не на одной
низшей, а на небольшом числе мод невысокого порядка. Правда, ценой
снижения мощности нетрудно при необходимости достичь и одномодово-
го режима; для этого бывает достаточно путем небольшой разъюстировки
резонатора приблизить его ось к стенке кюветы, что примерно эквивалент-
эквивалентно диафрагмированию (§ 3.1,3.2).
В тех немногих случаях, когда развиваемое усиление на длине резона-
резонатора позволяет иметь потери на излучение, составляющие десятки про-
процентов, могут с успехом использоваться и обеспечивающие одномодовую
генерацию неустойчивые резонаторы (см., например, [180] ).
Если имеются стационарные^ аберрации, которые сопоставимы с X
(твердотельные лазеры), ситуация дринимает иной характер: динами-
динамические аберрации на фоне стационарных проявляются мало, и режим гене-
генерации достаточно стабилен уже и при плоском резонаторе. Прибегать к
устойчивым тогда если и имеет смысл, то только ради снижения потерь:
чтобы "навязать" структуру поля, характерную для устойчивых резона-
резонаторов, понадобилось бы, очевидно, использовать зеркала со стрелкой про-
прогиба, заметно превышающей величину стационарных волновых аберраций.
205
Это повлекло бы за собой существенное увеличение общей вариации дли-
длины AL, а с ней и расходимости излучения, причем за счет неустранимой
дифракционной ее компоненты (заполнить своим излучением все сечение
устойчивого резонатора с AL ~ X и N > 1 способны лишь моды высокого
порядка).
Переход от плоских резонаторов не к устойчивым, а к неустойчивым
с теми же AL вызывает аналогичное возрастание расходимости, однако
уже за счет легко устранимой геометрической компоненты (§ 3.2, 1.3).
Здесь опасность подстрегает с другой стороны: в случае небольших N за-
заметные AL достигаются при зеркалах такой кривизны, что потери состав-
составленных из них неустойчивых резонаторов вполне могут оказаться чрез-
чрезмерными. Так, у симметричного неустойчивого резонатора из выпуклых
зеркал с N = 5 при AL = X потери на проход в одном из направлений состав-
составляют уже порядка 70%. Таким образом, при заметных стационарных
аберрациях и скромных N придумать что-нибудь лучше резонатора из
плоских (или, для снижения потерь, из слегка вогнутых) зеркал трудно.
К широкоапертурным (N ^ 1) генераторам непрерывного действия
относятся главным образом мощные лазеры на потоке движущейся в
поперечном (по отношению к оси резонатора) направлении газовой среды.
Обычно с увеличением сечения активной зоны аберрации хотя и растут,
но не так быстро, как N Это благоприятствует применению неустойчивых
резонаторов: связанные с кривизной зеркал значения AL оказываются
достаточными для "навязывания" полю нужной структуры уже при не-
небольших кривизнах и, следовательно, умеренных потерях.
Поэтому в широкоапертурных лазерах с допустимой величиной по-
потерь порядка 20% и более уже вполне могут использоваться двухзер-
кальные неустойчивые резонаторы. Переход к неустойчивым резонато-
резонаторам усложняет выбор величины потерь на излучение. Ведь при выводе
излучения через полупрозрачное выходное зеркало, что типично для устой-
устойчивых и плоских резонаторов, варьирование коэффициента пропускания
зеркала (а с ним и потерь) вызывает лишь незначительные изменения
структуры генерируемого излучения за счет явлений насыщения усиления
(напомним, что модовая структура резонатора с фиксированным распре-
распределением усиления по сечению от коэффициента отражения зеркал не за-
зависит) . Отсюда следует, что данный коэффициент может выбираться исходя
только из изложенных в § 3.4 соображений, касающихся энергетических
характеристик. В случае же неустойчивых резонаторов с обычным для
них дифракционным выводом для варьирования потерь нужно изменять
конфигурацию резонатора, что оказывает на структуру поля влияние,
пренебречь которым уже нельзя.
Так, в § 3.4 было показано, что у лазеров с поступающей сбоку в не-
неустойчивый резонатор заранее возбужденной средой к.п.д. возрастает по
мере уменьшения М и приближения оси резонатора к месту входа в него
среды (т.е. уменьшения длины а левой части резонатора на рис. 3.16).
Однако снижение и М, и а приводит к возрастанию средней плотности
излучения (что далеко не всегда желательно) и к уменьшению W3KB,
что вызывает обострение краевых дифракционных эффектов (§ 2.5).
Сверх того, уменьшение М влечет за собой рост чувствительности к внутри-
резонаторным аберрациям (§ 3.2) и повышение степени общей неравно-
206
мерности распределения плотности излучения по сечению. Поэтому при-
приходится искать компромиссные решения.
Применение описанных в § 4.4 неустойчивых резонаторов с вращением
поля позволяет строить широкоапертурные лазеры с малой расходимостью
пои более низких потерях на излучение, доходящих до нескольких про-
процентов; однако значение N3KB (§ 2.2, 2.5) при этом не должно опускать-
опускаться до значений порядка единицы. Во всех же остальных случаях, когда и
эти условия оказываются невыполнимыми, остается либо смириться с
Рис. 4.1. Трехпроходовый телескопичес-
телескопический резонатор
более чем посредственными результатами, достигаемыми при использова-
использовании плоского резонатора (устойчивые резонаторы в подобных случаях
приводят к еще намного большей расходимости), либо попытаться ис-
использовать один из описанных в § 4.2 способов угловой селекции, либо
прибегнуть к многопроходовым схемам.
Типичный пример многопроходового резонатора представлен на
рис. 4.1. Такие схемы особенно удобны тогда, когда размеры рабочего
сечения по двум взаимно перпендикулярным направлениям различаются
в несколько раз, ибо позволяют, невзирая на это обстоятельство, иметь
дело с круглыми компактными зеркалами и пучками круглого (либо
близкого к квадратному) сечения. Наличие нескольких проходов по среде
приводит к соответствующему увеличению общего усиления на
длине резонатора, что облегчает применение неустойчивых ре-
резонаторов. Одновременно снижается число Френеля (особенно сильно
вдоль направления, лежащего в плоскости рисунка). Это резко уменьшает
чувствительность резонатора к рассеянному свету (за счет сокращения
числа проходов, требуемых для превращения сходящихся волн в расходя-
расходящиеся, см. § 2.5), что бывает полезно в тех случаях, когда часть излуче-
излучения лазера, отразившись от освещаемого объекта, попадает назад в резо-
резонатор. Нередко оказывается возможным применение также и устойчивых
резонаторов, которые при обычной двухзеркальной схеме из-за большо-
большого числа Френеля были бы явно нецелесообразны.
Немного остановимся на методике расчетов и особенностях распределе-
распределений полей в многопроходовых резонаторах с поперечным протоком среды.
В случае устойчивых резонаторов существование эффективного "пере-
"перемешивания" излучения по сечению (рис. 3.76) позволяет считать распре-
распределение плотности на нем равномерным, причем ось резонатора проходит
через центр симметрии этого сечения (то же самое, впрочем, относится и
к двухзеркальным схемам).
Если направление движения потока лежит в плоскости рис. 4.1, то рас-
распределение плотности излучения по сечению пучка можно считать более
или менее равномерным и в случае изображенного на рисунке неустойчи-
207
вого резонатора: пучок здесь более узок, чем был бы при двухзеркальной
схеме, и перепад усиления на его сечении сравнительно невелик. В силу
изложенных в начале § 3.4 соображений невелики и изменения суммы
потоков излучения встречных пучков вдоль всей "изломанной" оси. Отсю-
Отсюда следует, что при грубых оценках, закрывая глаза на существование
как переналожений пучков вблизи промежуточных зеркал, так и зон,
свободных от излучения, можно считать суммарную плотность распределен-
распределенной равномерно по всему объему резонатора. Это кардинально облегчает
подсчет эффективности: остается, главным образом, рассмотреть процесс
релаксации среды в постоянном поле и подобрать такое значение плотно-
плотности, при котором интегральное по длине резонатора усиление оказывает-
оказывается равным потерям.
Направление движения потока может быть и перпендикулярно плоскос-
плоскости рисунка. Это бьюает тогда, когда длина релаксации среды мала и опти-
оптимальный размер резонатора вдоль потока оказывается меньше его ширины.
При устойчивых резонаторах можно и здесь пользоваться грубым прибли-
приближением равномерного поля. Для неустойчивых же резонаторов пригодна
методика расчета типа изложенной в конце § 3.4: нужно только "распря-
"распрямить" ось резонатора, сведя его к двухзеркальному соответствующей
длины. Качественные результаты нам уже известны: высокий к.п.д. в дан-
данном случае хотя и может быть достигнут, но лишь ценой большой неравно-
неравномерности распределения плотности генерируемого излучения.
Многопроходовые схемы в принципе применимы и тогда, когда актив-
активная зона имеет сечение, близкое к квадратному или круглому. Однако
при этом нелегко и организовать сложную траекторию оси, и избежать
образования всевозможных "паразитных" каналов генерации (с этой
целью, в частности, непараллельны плоские зеркала на рис. 4.1). Поэтому
случаи использования подобных схем, состоящих, как на рис. 4.1, из от-
отдельных зеркал и обеспечивающих одинаковые размеры сечения пучка
по обоим направлениям, чрезвычайно редки.
Импульсные генераторы. Особенности лазеров с неустойчивыми резона-
резонаторами. При импульсном возбуждении активной среды устойчивые резо-
резонаторы используются лишь в весьма редко встречающихся малоапертурных
лазерах (N < 1) : процесс выделения отдельных мод устойчивых резонато-
резонаторов с N > I длится Слишком долго. Даже если длительность импульса
формально и превышает время установления колебаний, для удовлетвори-
удовлетворительной работы лазера это часто оказывается недостаточным. Дело в том,
что резонатор в течение импульса накачки за счет нагревания среды и дру-
других подобных процессов всегда подвергается определенной перестройке,
поэтому процесс установления как бы многократно начинается заново
(в "пичковом" режиме это проявляется воочию). Указанное обстоя-
обстоятельство существенно упрощает наш анализ: для подавляющего большинст-
большинства лазеров приходится выбирать только между плоскими и неустойчивыми
резонаторами.
Ввиду присущего импульсному режиму сравнительно большого усиле-
усиления неустойчивые резонаторы здесь нередко используются уже при про-
промежуточных значениях N. Правда, если допустимый коэффициент увели-
увеличения М оказывается близким к единице, дифракционный вывод излучения
в виде пучка с кольцеобразным сечением становится невыгодным с точки
208
зрения не только расходимости (из-за узости кольца, см. § 1.3), но и стабиль-
стабильности выходных характеристик (вследствие высокой чувствительности к
точности юстировки). Поэтому в подобных случаях обычно применяют резо-
резонаторы с очень малой "неустойчивостью" и перекрывающим все сечение
полупрозрачным выходным зеркалом. Для сохранения суммарных потерь
на приемлемом уровне при введении "неустойчивости" приходится нес-
несколько снижать коэффициент пропускания зеркала по сравнению со
случаем плоского резонатора, и к.п.д. оказывается немного меньшим.
Однако если среда высокооднородна, то выигрыш в пространственной
когерентности и расходимости (после компенсации геометрической компо-
компоненты, см. § 1.3 и 2.5) окупает эти издержки.
Когда допустимо М^ 2, имеет смысл применять дифракционный вывод.
Кроме обычных, может оказаться пригодной и порой выгодной также
описанная в § 4.2 схема линейного резонатора с пространственной фильтра-
фильтрацией излучения. Следует, однако, иметь в виду, что при промежуточных
N неустойчивые резонаторы обеспечивают лишь небольшой выигрыш в
расходимости по сравнению с плоскими, причем этот выигрыш быстро
сходит на нет по мере повышения степени неоднородности среды. Поэтому
если среда существенно неоднородна или угловая расходимость не имеет
первостепенного значения, простейшие плоские резонаторы остаются вне
конкуренции.
В подавляющем большинстве широкоапертурных импульсных лазеров
применяются неустойчивые резонаторы. Сферой применения плоских
остаются малопривлекательные лазеры на средах либо с аномально малыми
усилениями, либо с очень большими оптическими неоднородностями,
либо, наконец, с неодновременным возбуждением среды по всему сечению.
Не останавливаясь на этих специфических случаях, немного обсудим вопрос
о принципах построения и выборе параметров неустойчивых резонаторов.
Максимальный к.п.д. большинства широкоапертурных импульсных
лазеров достигается при потерях, составляющих десятки процентов. Тогда
целесообразен дифракционный вьюод излучения, при котором потери
однозначно связаны с коэффициентом увеличения М. Значение к.п.д. в рай-
районе своего максимума зависит от М слабо, и варьирование Мв известных
пределах не связано с существенным снижением выходной мощности.
Этим можно воспользоваться, чтобы при выборе Д как и в случае непре-
непрерывных лазеров, учесть еще соображения, связанные с расходимостью
излучения.
Для снижения расходимости целесообразно, как правило, использовать ре-
резонаторы с возможно большим М: при этом и уменьшается чувствительность
к аберрациям, и кольцо становится менее узким. Однако идти на значения М,
значительно превышающие 2, следует с осторожностью. В первую очередь,
из § 2.5, 3.3 следует, что одномодовая генерация с равномерным распреде-
распределением поля надежнее всего достигается при больших N3KB. Если попереч-
поперечные размеры активного элемента заданы, А^кв достигает максимума при
М ~ 2. Дальнейшее увеличение М, несмотря на некоторый рост кривизны
зеркал, вызывает падение N3KB вследствие быстрого уменьшения попереч-
поперечных размеров выходного зеркала.
Чрезмерно большие коэффициенты М могут оказаться невыгодными
также при наличии светорассеяния, особенно под углами, близкими к 180°
209
(обычно источниками такого светорассеяния служат всевозможные по-
поверхности раздела). Причину этого нетрудно понять, если учесть, что с рос-
ростом Мдоля излучения, отраженного от выходного зеркала и, таким обра-
образом, участвующего в "штатном" канале обратной связи, уменьшается, а
интенсивность света, примешивающегося к нему за счет рассеяния основ-
основного потока, почти не изменяются; таким образом, роль светорассеяния
возрастает.
Упомянув о светорассеянии, нельзя не отметить, что необходимо не толь-
только разумно выбрать конфигурацию резонатора, но и принять все возмож-
возможные меры, чтобы исключить образование сходящихся волн с заметной
начальной интенсивностью. В случае телескопического резонатора чисто
сходящаяся волна образуется, как нетрудно видеть, при частичном отраже-
отражении основной волны от плоских поверхностей раздела, перпендикулярных
оси резонатора; поэтому имеющиеся в лазере поверхности раздела (напри-
(например торцевые поверхности стержня) должны быть заметно наклонены.
Таковы самые общие соображения о выборе типа и характеристик ре-
резонаторов для импульсных лазеров. Этого, однако, далеко не всегда доста-
достаточно для принятия однозначного решения: последствия перехода от одного
вида резонатора к другому весьма разнообразны, и необходимо заранее
знать о них как можно больше.
Наиболее полные данные по этому поводу относятся к лазерам на нео-
неодимовом стекле; они были получены в ходе исследований, выполненных
под руководством автора в конце 60-х -начале 70-х годов [61-63, 39,
68, 46, 70, 65, 52, 5, 47-50]. Именно тогда были выработаны как изложен-
изложенные выше соображения, так и значительная часть развитых в § 2.5 представ-
представлений о свойствах неустойчивых резонаторов, а также впервые опробованы
и изучены почти все описанные далее разновидности их схем.
Материалы этих исследований не утратили своей актуальности, достиг-
достигнутые параметры ряда видов лазеров на неодимовом стекле не превзойде-
превзойдены и поныне. Кроме того, последствия перехода к неустойчивым резонато-
резонаторам у лазеров всех типов примерно одинаковы, поэтому полученные сведе-
сведения носят весьма универсальный характер; кратко изложим те из них,
которые относятся к случаю двухзеркальных резонаторов.
Впервые положительный эффект за счет перехода к неустойчивому
резонатору был достигнут в [61]: правда, из-за относительно малых разме-
размеров стержня этот эффект как при использовавшемся вначале полупроз-
полупрозрачном выходном зеркале, так и при дифракционном вью оде [62] был
незначительным. В большей части последующих экспериментов применялся
описанный в [37] высокоэффективный лазер на намного большем стержне
диаметром 45 мм и длиной 600 мм, послуживший прототипом для многих
генераторов, серийно выпускаемых вплоть до настоящего времени. Здесь
осевая сила света при замене плоского резонатора на неустойчивый (с
дифракционным выводом) повысилась уже в десятки раз. Угловая расхо-
расходимость излучения, измеренная по уровню половинной интенсивности,
уменьшилась от 6* 10~4 до 1- 10~4 рад, по уровню половинной энергии -
от 1,5 ^ 10~3 до 2» 10 рад [62]. Отметим, что эта ситуация является дос-
достаточно характерной: чем крупнее генератор} тем к большему эффекту
приводит использование в нем неустойчивого резонатора. Постигаемый
выигрыш в расходам©сти увеличивается также с повышением оптической
210
однородности активной среды; в этом отношении исследуемый лазер был
вполне удовлетворительным (в первую очередь благодаря выбору стекла
в соответствии с выработанными в [44] критериями для оценки его термо-
термооптических характеристик).
Впоследствии выходная энергия излучения генератора данного типа
была доведена до 4500 Дж, а при последовательной установке двух ак-
активных элементов в одном резонаторе с М =5 — до 8000 Дж [5]. Угловая
расходимость излучения составляла: по уровню 0,5 интенсивности
~2* 1СГ4 рад, по уровню 0,5 энергии — примерно 5» 1(Г4 рад.
2
Рис. 4.2. Способы вывода излучения из телескопического резонатора; 1 — просвет-
просветленная прозрачная пластинка, 2 - выводное зеркало с отверстием
Для реализации малой угловой расходимости торцы активного элемен-
элемента наклонялись на 2— 3° по отношению к оси резонатора, что позволяло
избавиться от порождаемых френелевским отражением сходящихся волн.
По тем же причинам вьюод излучения из резонатора осуществлялся одним
из двух способов, изображенных на рис. 4.2. Необходимость принятия
подобных мер была доказана демонстрационным опытом, заключавшимся
во внесении внутрь резонатора устанавливавшейся строго перпендикулярно
к его оси стеклянной пластинки с просветленными поверхностями, оста-
остаточное отражение от которых не превышало 0,3%. Этого было достаточно,
чтобы картина генерации разительно изменялась и угловая расходимость
возрастала в десятки раз, приближаясь к значению, характерному для плос-
плоского резонатора.
Механизм, приводящий к ухудшению направленности излучения в подоб-
подобных случаях, был изучен в [50,43]. Оказалось, что при введении в телеско-
телескопический резонатор частично отражающей плоской пластинки появляют-
появляются "паразитные" моды, которым соответствуют замкнутые траектории
лучей, причем на одно отражение от этой пластинки приходится много
проходов по активной среде. Поэтому "паразитные" моды даже при сов-
совсем мало отражающей пластинке имеют более низкие пороги возбужде-
возбуждения, чем основная мода двухзеркального резонатора. Поскольку этим мо-
модам, кроме того, присуща высокая неравномерность распределения поля,
возбуждаются сразу несколько из них со всеми вытекающими отсюда
печальными последствиями. И неудивительно: в § 2.5 мы сталкивались
с тем, что наличие даже ничтожно слабой сходящей волны, порожденной
краевой дифракцией, приводит к вырождению мод по потерям. Поэтому
предпринимаемые иногда попытки повлиять на режим генерации (в част-
частности, понизить его порог) путем установки в резонатор элементов, иници-
инициирующих сходящиеся волны, всегда влекут за собой рост расходимости
излучения [43].
211
Однако продолжим рассказ о свойствах лазеров с "нормальными"
неустойчивыми резонаторами, не имеющими источников сходящихся волн.
Малые повороты и перемещения зеркал в поперечном направлении вызы-
вызывают, в полном соответствии с предсказаниями геометрического прибли-
приближения, лишь небольшие изменения направления пучка. Форма углового
распределения существенно искажается только при столь больших разво-
разворотах зеркал, что ось вплотную подходит к боковой поверхности образ-
образца ([62]; аналогичные исследования для случая лазера на СО2 были вы-
выполнены немного позже в [180]).
Также в соответствии с геометрическим приближением перемещения
одного из зеркал в продольном направлении вызывают изменение кривиз-
кривизны выходящей из резонатора волны. В случае телескопического резо-
резонатора таким путем можно сфокусировать пучок на заданном расстоянии
d > L от лазера, увеличив длину резонатора по сравнению с длиной L
при конфокальном расположении тех же зеркал на величину порядка
(Af+1) L2 I [ (М-1) d] (фокусировка на расстоянииd ~L также возмож-
возможна, однако сопровождается падением выходной мощности за счет "конус-
"конусности" светового пучка внутри активного элемента). В конце 60-х —
начале 70-х годов нами на ВДНХ экспонировался лазер с выходной энер-
энергией в несколько сотен джоулей, излучение которого фокусировалось
подобным образом в пятно диаметром несколько миллиметров на дис-
дистанции 50 м.
Единственным заметным отличием временных характеристик излуче-
излучения лезеров на неодимовом стекле с неустойчивыми резонаторами от
характеристик работающих в "пичковом" режиме (гл. 3) аналогичных
лазеров с плоскими резонаторами явилось сокращение длительностей
"пичков" [62]; это является следствием более быстрого установления
колебаний (§ 3.3). Интегральные по времени спектральные характерис-
характеристики при устойчивых и плоских резонаторах оказались неразличимыми.
Это и неудивительно: спектральное распределение излучения является, по су-
существу, распределением интенсивности между модами с различными акси-
аксиальными индексами (§ 3.3). Во всей центральной зоне неустойчивого
резонатора (область / на рис. 3.15), играющей основную роль в механиз-
механизме генерации, имеют место те же интерференция двух встречных пучков
и образование стоячих волн, что и в плоском резонаторе. Поэтому меха-
механизм пространственной конкуренции аксиальных мод в резонаторах обоих
типов одинаков, несмотря на то, что в устойчивом резонаторе периферий-
периферийная часть активного элемента (область Яна том же рисунке) заполнена
излучением, распространяющимся только в одну сторону (см. также
в § 4.4 о проблеме спектральной селекции в кольцевых резонаторах).
Наиболее убедительным свидетельством правильности теоретических
представлений об уникальной способности неустойчивых резонаторов
обеспечивать генерацию на единственной поперечной моде при больших
числах Френеля явились результаты экспериментов, выполненных в [68].
В них использовался двумерный неустойчивый резонатор с М =2 из пол-
полностью отражающих зеркал, одно из которых было плоским, другие -
выпуклым цилиндрическим (рис. 4.3). Кривизна фронта выходящей из
резонатора волны компенсировалась дополнительной линзой. Активный
элемент представлял собой прямоугольный параллелепипед, проявления
212
Рис. 4.3. Схема лазера с прямоугольным активным
стержнем и двумерным неустойчивым резонато-
резонатором: а — симметричный, б — несимметричный вы-
вывод излучения (заштрихованные прямоугольники
справа изображают сечения выходного пучка)
оптической неоднородности среды и нерав-
неравномерности распределения накачки вдоль
большого размера сечения были сведены на
нет.
При использовании способа вывода из-
излучения" представленного на рис. 43а, значе-
значение А^экв составляло 1700. Интегральное
по времени импульса распределение излуче-
излучения вдоль направления, лежащего в плоско-
плоскости рисунка, практически полностью сов-
совпадало с картиной дифракции Фраунгофера на двух щелях. Контраст полос,
из которых эта картина состоит, был близок к единице, что свидетельствует
о высокой пространственной когерентности несмотря на значительность
расстояния между выходящими из резонатора двумя пучками (~120 мм).
Смещение оси резонатора к краю рабочего сечения позволило осущест-
осуществить вьюод излучения в виде единого пучка (рис. 4.36); величина N3KB
при этом возросла до 7000. Отступлений от результатов дифракции идеаль-
идеальной волны на выходной апертуре генератора не было замечено и здесь;
расходимость излучения, как это и должно было произойти, стала еще
меньшей и составила !• 10~5 рад. Отметим, что этот способ получения
более благоприятной формы выходной апертуры впоследствии начал ис-
использоваться также в резонаторах из сферических зеркал (например,
[191,42]).
После проведения этих экспериментов тезис о том, что неустойчивые
резонаторы с большими N3KB в идеальных условиях обеспечивают генера-
генерацию на основной моде с дифракционным углом расходимости излучения,
можно было считать доказанным. Надлежало еще проверить, оказьюаются
ли угловые характеристики предельно возможными для данных условий
и тогда, когда эти условия не столь хороши (имеется неоднородность сре-
среды и т.п.). С этой целью в [48] были экспериментально сопоставлены
свойства обычного лазера с телескопическим резонатором и многокаскад-
многокаскадной системы на аналогичных активных элементах. Подобные системы сос-
состоят из маломощного задающего генератора и каскадов усиления с телес-
телескопами между ними (для расширения сечения пучка с одновременным
уменьшением расходимости; см., например, [174], а также [16], § 2.6);
их построение на протяжении ряда лет считалось единственно возможным
способом решения проблемы расходимости излучения мощных лазеров.
Результаты экспериментов (более подробное изложение которых имеет-
имеется в [16], § 4.1) показали, что подмеченная еще в [8] аналогия между
многокаскадной системой и лазером с неустойчивым резонатором (при-
осевая зона которого выполняет функции задающего генератора, перифе-
периферийная — концевого усилителя) является весьма глубокой. Хотя расходи-
213
мость излучения на выходе многокаскадной состемы оказалась несколько
меньшей, однако после перекрытия центральной части сечения для прида-
придания выходной апертуре той же кольцевой формы, что и у лазера с неустой-
неустойчивым резонатором, сравнивается с расходимостью излучения последнего.
Это и неудивительно: на одном проходе по нескольким активным элемен-
элементам накапливаются примерно такие же аберрации, что и на нескольких
проходах по одному (см. также рис. 3.8). Что же касается энергетических
характеристик излучения, то выяснилось, что добиться высокой эффектив-
эффективности много проще на базе телескопического резонатора (из-за значитель-
значительно меньшего числа элементов в оптической схеме). Поэтому сферой при-
применения громоздких многокаскадных систем остаются главным об-
образом те случаи, когда схема единого генератора не позволяет получить
требуемые временные характеристики или нужную плотность выходного
излучения (прилегающая к выходному зеркалу область генератора испы-
испытывает повышенные лучевые нагрузки).
§ 4.2. Методы угловой селекции излучения
Вскоре после появления лазеров начали предприниматься попытки
уменьшить угловую расходимость их излучения (это, естественно, не отно-
относится к малоапертурным лазерам на высокооднородных средах, с самого
начала имевшим расходимость, близкую к дифракционному пределу).
Многие из них не повлияли на историю развития лазерной техники, однако
все же представляют определенный познавательный интерес; о них будет
рассказано в начале параграфа. Вслед за этим приводятся сведения о ме-
методах, с успехом использующихся в определенных ситуациях и поныне,
а также о методах, которые хотя пока и не нашли особых применений,
однако могут оказаться полезными.
Попытки решения проблемы расходимости на базе резонаторов с ма-
малыми дифракционными потерями. Начнем с упоминания о попытках так
видоизменить форму зеркал, чтобы одномодовый режим генерации дости-
достигался в большем диапазоне изменения параметров, чем при устойчивых
резонаторах из сферических зеркал (§ 3.3), а дифракционные потери
оставались бы столь же малыми.
Исследованные в нескольких работах [157, 205, 188] резонаторы,изоб-
резонаторы,изображенные на рис. 4.4а, б, составлены из двугранных отражателей, углы
между плоскими гранями которых составляют а либо it / 2-~<х ( а <1).
Резонаторы первого типа по картине процессов в плоскости рисунка близки
к устойчивым: поле здесь "удерживается" каустиками (см. рис. 3.16,
z). В резонаторе второго типа добавляется только "перевертывание" сече-
сечения пучка при отражениях; поэтому в отсутствие аберраций они эквива-
эквивалентны первым.
Можно убедиться в том, что поперечные размеры световых пучков,
соответствующих отдельным модам, а с ними и потери этих мод при конеч-
конечном сечении резонатора здесь нарастают с поперечным индексом быстрее,
чем в устойчивых резонаторах. Более быстрый рост потерь и есть желаемый
эффект; однако существует и "оборотная сторона медали": если сечение
резонатора не слишком мало, уменьшение объема низшей моды по срав-
сравнению с объемами остальных приводит к снижению ее "конкурентоспособ-
"конкурентоспособности" при значительных превышениях порога генерации (см. комментарии
к рис. 3.13).
214
90°-a
5 s г
Рис. 4.4. Примеры резонаторов с зеркалами видоизменной фирмы
Эта ситуация достаточно характерна: все подобные меры, улучшая
что-либо одно, ухудшают другое. Поэтому рекомендации разных групп ав-
авторов, ставящих во главу угла какой-либо один фактор, порой оказывают-
оказываются прямо противоположными. Иллюстрацией тому могут послужить
рис. 4.4 виг.
На первом из них схематически изображен резонатор, предложенный и
испытанный (на примере гелий-неонового лазера) в [3]. Здесь спектр
собственных значений разрежен наиболее радикально. Размеры центрально-
центрального участка левого отражателя —• "лунки" — подбираются так, чтобы они
были равны размерам пятна основной моды устойчивого резонатора,
образованного этим участком и правым зеркалом. Тогда потери этой мо-
моды невелики. Соответствующие другим модам более широкие пучки выхо-
выходят за пределы центрального участка и рассеиваются в периферийной
части резонатора, что приводит к значительному росту потерь.
Правда, на первый взгляд может показаться, что аналогичный эффект
достигается простым диафрагмированием или уменьшением зеркал устой-
устойчивого резонатора. Однако тогда, как мы видели в § 2.3, поле мод вы-
высокого порядка начинает удерживаться внутри резонатора краевой
дифракцией. В резонаторе же, изображенном на рисунке, дифракция на
краю "лунки" оказывается в значительной мере ослабленной благодаря
наличию окаймления (на возможность использования подобного приема
указывал в своей монографии еще Л.А, Вайнштейн [80]) -
Схема, изображенная на рис. 44 г, предложена в [182]. Надежды ее ав-
авторов были связаны с тем, что распределение интенсивности по сечению
у низшей моды здесь приближается к прямоугольному; это повышает
ее конкурентоспособность из-за более эффективного, чем у устойчивых
резонаторов, использования инверсной населенности. Сравнение рисун-
рисунков говорит само за себя,
Такие схемы иногда способны принести ограниченную пользу, однако
всем им присущ тот же недостаток, что и стандартным устойчивым резона-
резонаторам: в одномодовом режиме генерации удается использовать лишь не-
215
большой объем высокооднородной среды. Поэтому составить конкурен-
конкуренцию более простым в изготовлении и юстировке устойчивым резонаторам*
устройства с несферическими отражателями так и не смогли.
Не меньший интерес представляют попытки расширить сферу примене-
применения самих удобных во многих отношениях устойчивых резонаторов и
решить на их основе проблему расходимости излучения не только мало-,
но и широкоапертурных лазеров. Конечно, эффективно использовать в
устойчивом резонаторе большой объем среды и вместе с тем обойтись
без мод высокого порядка нельзя, однако при умеренном уровне возбуж-
возбуждения бывает так, что в генерации преобладает одна такая мода. Тогда мож-
можно воспользоваться описанным в конце § 1.3 способом уменьшения расхо-
расходимости, заключающимся в компенсации фазовых скачков между отдель-
отдельными "пятнами" распределения.
Еще более изящный способ использования излучения моды высокого
порядка был предложен внесшим большой вклад в теорию и практику
одночастотных лазеров Ю.В. Троицким. Он состоит в замене полупрозрач-
полупрозрачного выходного зеркала на полностью отражающее с единственным полу-
полупрозрачным участком, имеющим намного больший коэффициент пропус-
пропускания и приходящийся точно на одно из "пятен" [132]. Правда, при этом
снижается конкурентоспособность именно той моды, которую мы пытаем-
пытаемся использовать: меньшими потерями, по сравнению с ней, начинают обла-
обладать те моды, у которых на полупрозрачный участок приходится не макси-
максимум, а минимум интенсивности. Чтобы, несмотря на это, все же заставить
лазер генерировать на избранной моде, приходится вставлять в резонатор
маску, поглощающую или рассеивающую свет на участках сечения, соот-
соответствующих минимумам распределения ее интенсивности (вдоль пунктир-
пунктирных линий на рис. 1.8,1.9). Такая маска, почти не снижая добротности нуж-
нужной моды, повышает потери всех остальных; с ее помощью в принципе
можно добиться одномодовой генерации и при значительном усилении.
Много общего с этой имеет идея о замене одного из зеркал широкоапер-
турного плоского резонатора на плоскую же двумерную решетку. Хотя в
первых экспериментах [51] решетчатое зеркало рассматривалось просто
как элемент, способный в необходимых случаях заменить полупрозрач-
полупрозрачное зеркало, вскоре авторы [1] высказали надежду на то, что с его
помощью можно осуществить угловую селекцию. Для достижения этой це-
цели они предложили подбирать параметры решетки и длину резонатора
так, чтобы изображение решетки, формирующееся благодаря так называ-
называемому эффекту Тальбота, было совмещено с нею самой. Не вдаваясь в под-
подробности, сообщим, что такие резонаторы в дальнейшем послужили объек-
объектом большого цикла исследований.
Несмотря на внешнюю привлекательность этих идей (особенно первой),
обе они для построения мощных высокоэффективных лазеров не пригод-
пригодны. В первую очередь отметим принципиальные трудности с обеспечением
высокого к.п.д.: излучение распределено по сечению заведомо неравномер-
неравномерно, что всегда влечет за собой снижение эффективности; в обоих случаях
(по разным причинам) трудно или невозможно обеспечить оптимальную
величину потерь на излучение. Легко может завести в тупик проблема лу-
лучевой стойкости элементов резонатора. Однако наиболее важным момен-
моментом является то, что при высоких уровнях возбуждения среды всегда по-
216
являются аберрации, которые искажают модовую структуру и вызывают
ее рассогласование с изготовленными заранее масками или решетчатыми
зеркалами.
С подобными неприятностями сопряжены любые попытки построения
резонаторов, жестко "навязывающих" полю вполне определенную струк-
структуру, невзирая на имеющиеся или возникающие в ходе генерации неодно-
неоднородности среды (возможности, связанные с затрагиваемым в § 4.4 обра-
обращением волнового фронта, здесь не обсуждаются). Отметим, что именно
Рис. 4.5. Схемы лазеров с угловыми селекторами: 1 - активный элемент, 2 - плоское
зеркало, 3 — сферическое зеркало, 4 — диафрагма с отверстием, 5 - линза, 6 - эталон
Фабри-Перо, 7 - плоскопараллельная пластина
тем и хороши неустойчивые резонаторы, что, обеспечивая использование ак-
активной среды в режиме, близком к усилительному, они не мешают волно-
волновому фронту приобрести те минимальные искажения, от которых при име-
имеющихся неоднородностях можно избавиться лишь ценой потери части мощ-
мощности.
Резонаторы с угловыми селекторами. Перейдем теперь к другой группе
методов, основанных на размещении внутри резонатора дополнительных
элементов (устройств), называемых угловыми селекторами. Они являются
пространственными фильтрами, пропускание которых резко зависит от
направления распространения излучения. Среди широкоапертурных линей-
линейных резонаторов для установки таких фильтров пригодны, очевидно, лишь
плоские.
Исторически первым типом углового селектора, сообщения об опытах с
которым появились уже в 1962 г. [139, 204], явилась система из двух
софокусных линз и помещенной в их общем фокусе диафрагмы с малым
отверстием. Плоскому резонатору с подобным селектором (рис. 4.5 а)
идентичен концентрический резонатор с диафрагмой в центральной плос-
плоскости (рис. 4.5 б) [183, 174]. Принцип действия такого селектора очеви-
очевиден. Кстати, вместо диафрагмы может использоваться пассивный затвор:
просветляющийся раньше других участок его сечения в дальнейшем игра-
играет роль отверстия в диафрагме [209].
Действие селектора на основе эталона Фабри—Перо [153, 169] основано
на том, что пропускание эталона зависит не только от длины волны, но
и от направления распространения излучения. Поскольку при наклон-
наклонном падении пучка эта зависимость становится более резкой, эталон уста-
15. Ю.А. Ананьев 217
навливается под некоторым углом к оси резонатора (рис. 4.5 в). Для
осуществления угловой селекции по обоим направлениям необходимо
использование двух эталонов,
Пожалуй, наибольшую популярность имел способ селекции, основан-
основанный на использовании зависимости коэффициента отражения на границе
раздела двух сред от угла падения [154, 170]. Вблизи критического угла
полного внутреннего отражения указанная зависимость является особенно
резкой, поэтому именно такие углы падения и используются. Для усиления
селектирующего воздействия можно заставлять свет претерпевать много-
многократные отражения (рис. 4.5 г). В 60-х годах было предложено большое
число модификаций селекторов подобного рода, объединяемых общим наз-
названием селекторов на полном внутреннем отражении.
Почти все селекторы имеют форму полосы пропускания, близкую к
прямоугольной, и практически не влияют на характеристики тех мод,
угловая расходимость излучения которых не превышает ширины этой
полосы. Такие селекторы, очевидно, способны уменьшить значение расхо-
расходимости лишь до значения, равного ширине полосы пропускания. Исклю-
Исключение составляет эталон Фабри—Перо, вносящий потери, квадратично за-
зависящие от угла наклона в зоне максимума пропускания. Хотя эти потери
идя слабо наклоненных волн и невелики, однако легко могут оказаться
больше дифракционных потерь соответствующих мод широкоапергурного
резонатора. Поэтому с помощью данного селектора порой можно добиться
расходимости, меньшей, чем ширина его полосы, однако эта ситуация
отнюдь не является типичной.
Таким образом, практически всегда для достижения малой расходимос-
расходимости нужны селекторы со столь же малой шириной полосы пропускания. С
другой стороны, во избежание чрезмерных потерь мощности необходимо,
чтобы доля света, рассеиваемого при прохождении через неоднородную
среду на углы, превышающие ширину полосы, была невелика. Это и ог-
ограничивает ту наименьшую расходимость, которую можно сравнительно
безболезненно достичь.
Наиболее эффективными угловые селекторы могут оказаться тогда,
когда среда широкоапертурного лазера лишена макронеоднородностей
и обладает рассеянием на микронеоднородностях. Действительно, в
§ 3.2 мы сталкивались с тем, что даже если доля рассеянного на одном
проходе света о <1, светорассеяние способно привести к очень большой рас-
расходимости, в то время как с помощью селекторов здесь можно достичь
дифракционного предела почти без потерь мощности.
Существующие экспериментальные данные достаточно хорошо соответ-
соответствуют изложенным зыше соображениям. При использовании всех типов
селекторов действительно наблюдалось уменьшение расходимосги и повы-
повышение осевой силы света. Тем не менее, угловые селекторы широкого рас-
распространения так и не получили. Причиной тому являются как большие
требования к точности их изготовления и юстировки, так и ряд конкрет-
конкретных недостатков, присущих каждому типу селекторов.
Основным недостатком систем с диафрагмой (рис. 4,5 ау б) является
нежелательная концентрация излучения на небольшом участке сечения .
Уже в лазерах сравнительно малой мощности это приводит к разрушению
диафрагмы или электрическому пробою вблизи ее поверхности (см.. на*
218
пример, [174]). Угловая селекция с использованием эталонов Фабри-Пе-
ро чрезвычайно затрудняется благодаря наличию большого числа максиму-
максимумов пропускания, поэтому примеру авторов работ [153, 169], сумевших
осуществить ее в маломощных рубиновых лазерах, почти никто н? после-
последовал. Нашли некоторое применение в мощных импульсных лазерах лишь
селекторы на полном внутреннем отражении, однако и они в конечном
итоге сошли со сцены из-за чрезмерных требований к точности изготовле-
изготовления и юстировки, а также к степени очистки рабочих поверхностей.
Сообщив, что более подробные сведения о плоских резонаторах с угло-
угловыми селекторами и соответствующую библиографию можно найти в
[16], § 2.6, немного остановимся на смысле и возможностях угловой се-
селекции в неустойчивых резонаторах. Из предыдущих материалов должно
быть уже ясно, что и здесь угловая селекция может пригодиться, главным
образом, при наличии светорассеяния на большие углы, причем требова-
требования к селектору оказываются значительно более скромными, чем в случае
плоского резонатора. Причина заключается в существовании того механиз-
механизма, который пояснил рис. 3.10: неустойчивый резонатор на каждом его об-
обходе осуществляет "принудительное" уменьшение расходимости, поэтому
воздействие на "крылья" распределения в конечном итоге сказывается и
на его центральном керне.
Действительно, если ввести селектор с шириной полосы 2вс < 2 в0
(использованы обозначения § 3.2), рассеянный свет, не попадающий в эту
полосу, немедленно выводится из резонатора и никакого участия в процес-
процессе формирования генерируемого пучка не принимает. Это вызывает некото-
некоторое повышение потерь резонатора и порога генерации, однако при а < 1оно
незначительно. Положительный же эффект оказывается заметным: умень-
уменьшается и участвующая в процессе генерации доля рассеянного света (при-
(примерно в отношении (Ос/О0J), и число проходов, которые занима-
занимает процесс установления, так что формула C.8) переходит в
«ехр[-@с/0оJа1п@с/#д)/1пЛ/]. В результате удается приблизить
к единице с помощью селектора, ширина полосы пропускания которого хо-
хотя и меньше 6G, однако значительно превышает 0Д.
Из-за различия структур встречных пучков линейные широкоапертурные
неустойчивые резонаторы непригодны для размещения в них угловых се-
селекторов, поэтому здесь необходимо переходить к кольцевым схемам
типа предложенных нами в [62] и изображенных на рис, 4.6. Диафрагма
на рис. 4.6 а (а также, если в схеме рис, 4.6 б используется селектор типа
изображенного на рис. 4.5 я, то в равной мере и диафрагма, входящая в
его состав) не подвержена столь большим лучевым нагрузкам, как в схе-
схемах на рис. 4.5 а, б: при вс > вц дифракционный керн пучка с запасом
"проваливается" в отверстие, и диафрагме остается задержать лишь сла-
слабый рассеянный свет. С еще одним важным свойством кольцевых неустой-
неустойчивых резонаторов мы ознакомимся в § 4.4.
В заключение отметим, что угловой селектор не пропускает свет, рассе-
рассеянный на большие углы не только микронеоднородностями среды, но и за
счет краевой дифракции. Поэтому неустойчивые резонаторы с угловой се-
селекцией даже при резком крае зеркал ведут себя подобно резонаторам
без селектора с хорошо "сглаженным ' краем ( о краевых эффектах
см. § 2.5).
15* 219
I
г r a
Рис. 4.6. Кольцевые схемы неустойчивых резонаторов с угловой селекцией изучения:
1 — плоское зеркало, 2 - вогнутое зеркало, 3 - активный элемент, 4 - диафрагма с
отверстием, 5 — угловой селектор, 6 — телескоп
Рис. 4.7. Линейный неустойчивый резонатор с пространственной фильтрацией излу-
излучения
При небольших объемах среды нечто подобное может быть достигнуто
также применением линейной схемы неустойчивого резонатора, предложен-
предложенной в [171] и изображенной на рис. 4.7. Это есть не что иное, как резонатор
типа рис. 3.8 б с выводным зеркалом по типу рис. 4.2 б, установленным в
общей фокальной плоскости зеркал. Слева на него падает близкий к парал-
параллельному пучок света; часть его проходит сквозь отверстие к правому зер-
зеркалу и фокусируется им в плоскость того же отверстия, которое, таким об-
образом, "по совместительству" выполняет функции углового селектора.
В отличие от кольцевых схем указанное отверстие здесь не может быть
выбрано произвольно малым: диаметр его сечения 2а2 должен быть в
\М \ =/ i/f 2 Раз меньше диаметра 2at активного элемента (кюветы), значе-
значение же i M \ предопределяется допустимой для данного лазера величиной по-
потерь на излучение (§ 3.4), Именно поэтому ощутимый эффект селекции
достигается лишь при небольших поперечных размерах активного элемента
либо внушительных \М |.
Следуя [171], имеет смысл подбирать параметры данного резонатора
так, чтобы через отверстие справа налево проходил только центральный
максимум картины дифракции плоской волны, падающей на это же отвер-
отверстие слева. Поскольку угловая ширина данного максимума составляет
2,4Х/Bя2) (§ 1 -3), соответствующее условие имеет вид /2 • 2,4Х/Bя2)= 2я2,
или а\ = 0,6Л/2. Отсюда получаем, что "габаритное" число Френеля левого
плеча резонатора, где размещается активный элемент, должно составлять
Сферой применения этой схемы являются лазеры с умеренным числом
Френеля и одновременно значительным усилением в среде, которое делает
достижение одномодовой генерации с помощью устойчивых или плоских
резонаторов невозможным (§ 3.3). Насколько важно на практике опреде-
определенное "сглаживание" распределения интенсивности за счет селекции (неко-
(некоторые данные об этом приведены в [32]), пока неясно; однако и цена, ко-
которой достигается данный эффект, здесь ничтожна.
220
Угловая селекция излучения лазеров с плоскими резонаторами путем
уменьшения числа зон Френеля. Наиболее жизнеспособным способом уг-
угловой селекции является повышение селективных свойств плоского резо-
резонатора путем уменьшения числа Френеля N. Этого можно достичь нескольки-
несколькими способами, о которых мы сейчас и расскажем.
В принципе, для уменьшения N нужно либо сокращать сечение, либо уве-
увеличивать длину резонатора. Значительное уменьшение активного сечения
путем диафрагмирования резонатора, конечно, должно привести к соответ-
соответствующему падению выходной мощности и поэтому не может быть отнесе-
отнесено к разумным приемам селекции. Некоторое продвижение в этом направ-
направлении все же возможно. Так, если применить выходное зеркало с сечением,
немножко уступающим сечению активного элемента, последний благодаря
дифракционному расширению пучка все же будет целиком заполняться из-
излучением. Остается только использовать в качестве полезного сигнала кро-
кроме излучения, проходящего сквозь полупрозрачное выходное зеркало,
также и излучение, выходящее из генератора через узкую кольцевую
зону вокруг зеркала. Таким образом, можно несколько уменьшить ^пра-
^практически не поступившись выходной мощностью.
Некоторого повышения степени направленности и снижения чувствитель-
чувствительности к разъюстировкам можно добиться также путем применения выход-
выходного зеркала, коэффициент отражения которого плавно уменьшается от
центра к периферии. Однако проблему расходимости излучения при интен-
интенсивной накачке это отнюдь не решает, и мы упомянули о генераторах с
переменным по сечению отражением главным образом потому, что они яв-
являются ярким примером систем, у которых модовая структура сильно зави-
зависит от условий возбуждения. При равномерном распределении накачки и ма-
малом превышении порога конфигурация полей отдельных мод близка к кон-
конфигурации, предсказываемой теорией соответствующих пустых резонаторов
[84]. Если превышение порога велико, то в результате конкуренции попе-
поперечных мод распределение коэффициента усиления по сечению приближа-
приближается к распределению потерь, и структура отдельных мод становится сход-
сходной со структурой в лазерах с обычными зеркалами.
Намного более радикальное уменьшение N без сокращения рабочего
объема может быть достигнуто простым увеличением расстояния между
зеркалами. Этот метод угловой селекции является самым естественным и
вместе с тем весьма эффективным. К числу его преимуществ относится то,
что здесь, в отличие от случая применения угловых селекторов, растут не
только потери отдельных мод, но и фазовые поправки (§ 2.1, 2.4). След-
Следствием является сравнительно быстрое увеличение разностей собственных
значений оператора пустого резонатора, поэтому с ростом L не только
исчезают из процесса генеращш моды высокого порядка, но и уменьшаются
Вызванные неоднородностью среды деформации низших мод. Помимо про-
прочего, варьировать длину резонатора куда проще, чем вводить селектор и
"подгонять" к неоднородностям среды ширину полосы его пропускания.
Словом, неудивительно, что данный метод сужения диаграммы направлен-
направленности изучен наиболее систематично.
Самым важным результатом многочисленных исследований явилось
твердое установление того факта, что при варьировании L в весьма широ-
широких пределах (иногда в 103 раз [60]) угловая расходимость излучения
221
изменяется с высокой степенью точности пропорционально L 1/2 — ведь
недаром теоретические оценки на основе любых моделей, относящихся и
к деформациям мод, и к многомодовой генерации (§ 3.2, 3.3), приводят
именно к такой зависимости!
Характерно еще следующее. Если среда обладает сравнительно большой
оптической неоднородностью, увеличение длины резонатора сверх како-
какого-то предела сопровождается довольно быстрым уменьшением мощности
вплоть до полного прекращения генерации, хотя до дифракционной расхо-
расходимости может быть еще далеко. Это происходит, очевидно, тогда, когда
значительная часть излучения уже после однократного прохождения среды
из-за рассеяния на ее неоднородностях начинает выходить за пределы апер-
апертуры резонатора. В результате осевая сила света, поначалу возрастая с дли-
длиной резонатора, проходит через максимум, положение и высота которого
зависят от степени оптической неоднородности среды.
Впервые это обстоятельство было отмечено Свенцицкой и Хазовым в
[128]. Любопытно, что когда начинается резкое падение мощности генера-
генерации, угловая расходимость начинает уменьшаться с ростом даже быстрее,
чем L~ln [36]. Это объясняется тем, что генерация, за счет резкого воз-
возрастания порога, начинает локализоваться на отдельных участках сечения
с наименьшим градиентом показателя преломления [128, 36] - умень-
уменьшается "действующее" значение An (см. §3.2).
По мере повышения оптической однородности среды удается все больше
приблизиться к дифракционной расходимости без заметного проигрыша
в мощности (правда, при этом растут требования к необходимой точности
юстировки резонатора). Наконец, когда среда столь однородна, что
AL < Х/4, может быть достигнут дифракционный предел. Для этого рас-
расстояние между зеркалами должно быть настолько велико, чтобы N вплот-
вплотную приблизилось к единице. Именно в этом и заключается основной не-
недостаток метода селекции путем непосредственного увеличения L: для
Рис. 4.8. Резонаторы с большой эффективной длиной, а резонатор, описанный в
[187]; б - г - плоские резонаторы с размещенным внутри них телескопом; д
резонатор с телескопом и нерезонансной обратной связью: 1 - активный элемент,
2 - частично отражающая пластина, 3 - рассеиватель
222
лазеров видимого диапазона даже при диаметрах активных элементов
всего 5-г8 тмм необходимая длина резонатора составляет уже несколько
метров. Если учесть, что для сохранения того же N длина должна расти
пропорционально квадрату линейных размеров рабочего сечения, становит-
становится ясно, что в случае мощных лазеров решать задачу простым увеличением
расстояния между зеркалами совершенно неразумно. Следует также иметь
в виду, что при коротких импульсах генерации большая длина резонатора
вообще неприемлема, поскольку вместе с длиной возрастает время разви-
развития импульса.
Выход из указанного затруднения состоит в применении резонаторов,
имеющих небольшую реальную длину, но эквивалентных плоскому с ма-
малым N. На рис. 4,8 приведены несколько вариантов устройств подобного
рода. Первое из них использовалось для уменьшения расходимости еще в
1963 г., однако правильные представления о его свойствах тогда еще не
были выработаны. С помощью методов, изложенных в § 1.1, соответству-
соответствующий анализ производится без особого труда. Мы, однако, не станем рас-
рассчитывать лучевые матрицы этих резонаторов, а воспользуемся более
удобным приемом, который был в свое время выработан автором
низложен в [36].
Общим признаком всех резонаторов, эквивалентных плоскому (в том
числе изображенных на рисунке), является то, что в геометрическом
приближении все лучи, нормальные к поверхности одного из концевых зер-
зеркал, по прохождении резонатора надают нормально на поверхность второго
концевого зеркала и следуют обратно по тому же пути. Благодаря этому та-
такие резонаторы можно представить в виде совокупности участков. каждый
из которых ограничен парой параллельных плоскостей или концентричес-
концентрических сфер. Находящиеся между участками тонкие линзы вызывают лишь
соответствующие изменения кривизны волнового фронта, обеспечивая
совпадение распределений полей на разделенных этими линзами границах
участков. Границами крайних участков служат сами концевые зеркала.
Результат прохождения света по этим участкам в волновом приближе-
приближении может быть рассчитан с помощью того же аппарата волновых матриц
или прямо из принципа Гюйгенса-Френеля. При этом целесообразно за-
задавать распределения комплексной амплитуды непосредственно на поверх-
поверхностях, ограничивающих участки, и притом в безразмерных координатах
г/а, где а — половина расстояния между крайними лучами в геометри-
геометрическом приближении (изменяя, таким образом, масштаб при переходе
к участкам с другим сечением пучка). Тогда можно прийти к следующим
простым закономерностям [36].
По прохождении участка типа I (границы плоские) шириной 2а и дли-
длиной L комплексное распределение амплитуды преобразуется так же,
как при прохождении участка того же тина шириной 2а0 и длиной
ЬЭф = Lal/a2 (это и понятно - число ФренеляNy них одинаково; общий
фазовый множитель exp (ikL)в нашем рассмотрении особой роли не иг-
играет). Прохождение участка типа 11с шириной светового пучка в гео-
геометрическом приближении на входной и выходной поверхностях 2ах и 2а2
эквивалентно прохождению участка типа 1 шириной 2а0 и длиной
^эф = 1мЦ(а1а2): благодаря изменению сечения приобретается лишь
Дополнительный амплитудный множитель а} / а2 (см. также B.12)).
223
С помощью этой процедуры прохождение всех участков типов I и II сводит-
сводится к прохождению соответствующих расстояний по участкам типа I одной и
той же ширины 2а0. Поскольку прохождение нескольких таких участков, в
свою очередь, эквивалентно прохождению участка суммарной длины, опре-
определенные таким образом ?Эф ДОЯ всех участков типов I и II могут быть
просто сложены.
Прохождение участка типа III с входной и выходной ширинами 2а1
и 2а2 эквивалентно возвращению назад на расстояние ЬЭф = Lao/(ala2) на
участке типа I ; происходит также перевертьюание пучка и изменение
амплитуды в отношении aja2. Поэтому эффективные длины участков
типа III из общей суммы вычитаются (вызванный этим обстоятельством
рост угловой расходимости излучения при введении в схему участка ти-
типа III наблюдался экспериментально и был объяснен еще в [55]). Если
принять также во внимание чрезмерную концентрацию энергии в местах
перетяжек, становится очевидным, что наличие таких участков внутри
резонаторов, как правило, нежелательно.
Итак, изображенные на рис. 4.8а—г системы эквивалентны плоским ре-
резонаторам с легко рассчитьюаемой эффективной длиной (заметим, что если
подобный резонатор использовать в качестве интерферометра Фабри-Пе-
ро, угловое расстояние между кольцами в нем будет определяться той же
эффективной длиной). Для случая рис. АЯа Ьэф равна L2 + L i ао/а2, ДЛЯ
рис. 4.86 и 4.8e L3 + L2a0 \ а2 + Lxa\ \ а\. Ширина эквивалентного резо-
резонатора 2а0 во всех случаях выбрана равной ширине пучка на крайнем пра-
правом участке, где должна размешаться активная среда. Видно, что наличие
участков с малым сечением пучка приводит к резкому возрастанию эффек-
эффективной длины; значение параметра N соответственно уменьшается
(в самом выгодном с этой точки зрения случае рис. 4.8в оно составляет
[XL3 I a\ + X Z,2 / (#0^2) + X ? 1 / я?]1)- Если такой участок занимает
большую часть длины системы, эффективная длина резонатора оказывает-
оказывается больше реальной примерно в отношении с?0/ a2i что приводит к выигры-
выигрышу в расходимости в ао/а2 раз (заметим, что в случае рис. 4.86, в отноше-
отношение д0 / а2 равно кратности образованного линзами телескопа). В конеч-
конечном итоге этот выигрыш достигается благодаря концентрации всего свето-
светового потока на участках малого сечения, но все же повышение плотности
излучения здесь не столь велико, как в случае селекторов с диафрагмой
(рис. 4,5а, б). Кроме того, для ослабления действия этого нежелательного
эффекта можно воспользоваться тем обстоятельством, что поток излуче-
излучения, падающий на полностью отражающее зеркало плоского резонатора,
меньше потока, падающего на полупрозрачное выходное зеркало с коэф-
коэффициентом отражения R* ,*в (R9 )! 2 раз (§ 3.4). Таким образом, для
уменьшения потока излучения на участках с малым сечением достаточно
осуществить вывод энергии с противоположного (правого) конца резона-
резонатора, причем коэффициент отражения выходного зеркала R* должен
быть выбран возможно меньшим [36].
Мы уделили столько внимания методам угловой селекции в лазерах
с плоским резонатором отчасти потому, что бывают ситуации, когда без
плоского резонатора и не обойтись. Так, существуют импульсные лазеры,
у которых возбуждение происходит неодновременно на разных участках
224
сечения. В подобных случаях применение неустойчивых резонаторов, явля-
являющихся общепризнанным средством достижения малой расходимости,
невозможно — лазеры с неустойчивыми резонаторами удовлетворительно
работают лишь при условии одновременного и не слишком неравномерно-
неравномерного возбуждения всего рабочего объема. Плоские резонаторы с малым N
могут оказаться выгоднее неустойчивых также в случае присутствия замет-
заметного светорассеяния на большие углы — при о < 1 оно не препятствует
достижению предельно малой расходимости в плоских резонаторах с боль-
большими L или Ьэф, однако может заметно ухудшить параметры лазеров
с неустойчивыми резонаторами. Важной сферой применения плоских ре-
резонаторов большой эффективной длины являются также те случаи, когда
хотя среда и однородна, но дифракционный вывод излучения из неустой-
неустойчивых резонаторов по тем или иным причинам невыгоден либо неудобен.
В силу всех этих обстоятельств как схема, изображенная на рис. 4.8в,
так и полностью ей эквивалентная схема угловой селекции с зеркальным
телескопом (рис. 4.8г), предложенная одним из авторов [36] - О.Б. Да-
Даниловым - еще в конце 60-х годов, применяются и поныне. Небезынтересна
также разновидность подобных схем с нерезонансной обратной связью
[103] (рис. 4.8d), которую можно использовать при огромном усилении
в активной среде. Нерезонансная связь делает лазер практически не-
разъюстируемым и резко повышает стабильность его работы в условиях
изменяющихся во времени оптических неоднородностей.
§ 4.3. Резонаторы лазеров с управляемыми
спектрально-временными характеристиками излучения
Общие сведения. Для управления спектрально-в ременными характе-
характеристиками излучения чаще всего вводят в состав резонатора специальные
элементы (затворы, спектральные селекторы), реже используют "затра-
"затравочное" излучение от внешнего источника, которым обычно служит мало-
маломощный лазер. Свойства управляющих элементов и особенности поведения
соответствующих лазеров детально рассмотрены в целом ряде моногра-
монографий (например, [74]). Мы лишь кратко остановимся на способах разме-
размещения управляющих элементов и некоторых модификациях схем резона-
резонаторов, специально предназначенных для управляемых лазеров.
Как правило, требования к угловым и энергетическим характеристикам
излучения управляемых лазеров являются самыми стандартными. Кроме
того, подавляющая часть управляющих элементов лучше справляется со
своими функциями при малой расходимости излучения. Именно поэтому
изложенные в § 4.1 критерии выбора одного из основных типов резонато-
резонаторов в значительной степени сохраняют свою силу.
Для лазеров с небольшими поперечными размерами активных элементов
(кювет со средой) используются устойчивые или плоские резонаторы,
все сечение которых перекрывается управляющими элементами. Среди
последних по естественным причинам стремятся выбирать такие, которые
вносят наименьшие искажения в проходящие через них (или отражающиеся
от них) световые пучки и имеют пропускание (отражение), хотя и изменя-
изменяющееся с длиной волны или во времени, но одинаковое на всем сечении.
225
Рис. 4.9. Спектрально селективные резонаторы с дисперсионной призмой (а) и ди-
дифракционными решетками (б — топографическая решетка, в — нарезная в автокол-
автоколлимационном режиме): 1 — активный элемент, 2 - плоское зеркало, 3 - дисперсион-
дисперсионная призма, 4 - голографическая решетка, 5 — нарезная решетка, 6 — телескоп
Это позволяет применять к резонаторам те же методы анализа, что и
раньше.
В качестве примера рассмотрим изображенные на рис. 4.9 схемы
спектрально-селективных резонаторов с призмами и дифракционными ре-
решетками. Оговорим сразу одно обстоятельство, касающееся последних.
Как известно, при прохождении сквозь решетку или отражении от нее
плоская волна разбивается на несколько плоских же волн, которые сле-
следуют в существенно различающихся направлениях и соответствуют разным
порядкам дифракции (см. также начало § 2.4). Изготавливая решетку,
обычно принимают меры к тому, чтобы основная доля мощности прихо-
приходилась на одну из дифрагированных волн, которая и используется в цепи
обратной связи генератора. Только эти волны изображены на рисунке
и будут приниматься во внимание.
Призмы и решетки обладают угловой дисперсией — направление светово-
светового пучка после них зависит не только от исходного направления, но и от
длины волны. В результате резонатор при фиксированной его геометрии
оказывается отъюстированным только для излучения вполне определенной
частоты, на которой и осуществляется генерация (ход лучей на рис. 4.9а
изображен сплошными линиями). Для других частот резонатор разъюстиро-
ван (штриховые линии) и имеет большие потери, что и влечет за собой
эффект спектральной селекции. Изменяя геометрию резонатора, можно
осуществлять перестройку по частоте. Чтобы торцы элемента не образо-
226
вывали бы совместно с зеркалами "паразитные" интерферометры, выде-
выделяющие дискретный набор частот (рис. 3.2) и мешающие плавной перестрой-
перестройке, эти торцы, как показано на рисунке, наклоняют. Поскольку разрешаю-
разрешающая способность решетки растет с числом освещенных пучком штрихов,
сечение пучка нередко расширяют с помощью телескопа. Такой вариант
схемы показан на рис. 4.9в; решетка здесь установлена в автоколлимацион-
автоколлимационном положении (с прямо противоположными направлениями падающего
и "отраженного" пучков).
Все фигурирующие на рис. 4,9 оптические элементы, кроме решеток,
рассматривались нами в § 1.1. Что же касается плоских решеток, то в тех
случаях, когда плоскость падения перпендикулярна их штрихам (что обыч-
обычно и имеет место), осуществляемое ими преобразование поперечной струк-
структуры монохроматического пучка совсем несложно. Можно показать, что
оно сводится к "телескопированию" (как нередко называют одновремен-
одновременное изменение поперечного размера и расходимости с сохранением их
произведения), да и то лишь по одному направлению, лежащему в плоскос-
плоскости падения (т.е. в плоскости рис. 4.9). Если ввести системы-отсчета подоб-
подобно тому, как это было показано на рис. 1.3, элементы соответствую-
соответствующей матрицы оказываются равными Вх = С* = О, Ах = l/D* = cos^/costp,
где \р и ф — углы между нормалью к решетке и осью до и после решетки
(рис. 4.9 б). По направлению, перпендикулярному плоскости рисунка, ре-
решетки обладают единичными матрицами: Ву - Су = 0, Ау = Dy = 1.
Таким образом, для всех подобных схем оказывается возможным мат-
матричное описание. Однако нередко оно вовсе и необязательно. Дело в том,
что те же призмы и дифракционные решетки размещают почти всегда в ре-
резонаторах, эквивалентных плоскому (именно такие и изображены на
рис. 4.9): плоские резонаторы обладают более высокой, чем устойчивые,
чувствительностью по отношению к малым разъюстировкам, что обеспечи-
обеспечивает лучшую спектральную селективность. Анализировать же резонаторы,
эквивалентные плоским, удобнее всего с помощью изложенного в преды-
предыдущем параграфе метода эффективной длины.
Чтобы уже не возвращаться к матричному анализу, сообщим, что его
форма, приспособленная для учета наличия угловой дисперсии и пригод-
пригодная для рассмотрения самых сложных схем, приведена в [35] (см. также
Приложение).
Перейдем теперь к рассмотрению широкоапертурных управляемых ла-
лазеров с неустойчивыми резонаторами (единственной альтернативой кото-
которых являются громоздкие многокаскадные схемы). С точки зрения угло-
угловой расходимости излучения здесь все обстоит так же, как и у обычных
лазеров: уже первый моноимпульсный генератор с неустойчивым резо-
резонатором !63] при выходной энергии 20 Дж имел расходимость по уровню
0,5 интенсивности 2-10~5 рад. Благодаря быстрому установлению колеба-
колебаний (§3.3, 4.1) длительность моноимпульса заметно сокращается по срав-
сравнению со случаем плоских резонаторов. Наконец, именно при больших се-
сечениях активных элементов приобретает особую ценность то свойство
неустойчивых резонаторов, что в них могут использоваться управляющие
элементы умеренного сечения, перекрывающие только выходное зеркало;
чтобы не мешала оправа, их следует, очевидно, размещать в схеме типа
рис. 4.2 б между правым и выводным зеркалами. Это выгодно также
227
тем, что периферийная часть пучка, идущая "на выход" из генератора, уже
минует затвор и не претерпевает в нем дополнительного поглощения или
рассеяния; аналогия между неустойчивым резонатором и многокаскадной
схемой (§ 4.1) становится еще более полной.
Все эти достоинства неустойчивых резонаторов привели к тому, что уже
в самом начале 70-х годов с их помощью была достигнута пиковая яркость
излучения ~1017 Вт/(см2-ер) [81]. Есть, однако, и отрицательные момен-
моменты, касающиеся в первую очередь лазеров со спектральной селекцией из-
излучения. Дело в том, что введение небольшого оптического клина в неус-
неустойчивый резонатор вызывает не полную его разъюстировку, как в случае
плоского резонатора, а лишь изменение положения оптической оси. К тому
же приводит и малое изменение длины волны при наличии элементов с
угловой дисперсией; потери начинают возрастать только тогда, когда ось
доходит до края рабочего сечения. Поэтому неустойчивые резонаторы с
дисперсионными элементами имеют сравнительно широкую полосу пропус-
пропускания и могут использоваться в основном для выделения одной из изоли-
изолированных линий усиления активной среды (например, [150]). По аналогич-
аналогичным причинам при неустойчивых резонаторах теряют свою эффективность
методы модуляции добротности с помощью вращающихся призм и т.п.
Таким образом, в моноимпульсных лазерах с неустойчивыми резона-
резонаторами следует использовать преимущественно электрооптические или пас-
пассивные (с насыщающимся поглотителем) затворы; для спектральной
селекции годятся главным образом эталоны Фабри — Перо и интерференци-
интерференционно-поляризационные фильтры, по прохождении которых свет не меня-
меняет своего направления. Однако и здесь приходится считаться еще с тем,
что в любом линейном неустойчивом резонаторе по крайней мере в одном
из двух противоположных направлений распространяется не плоская, а
сферическая волна. В этих условиях введение того или иного фильтра не
будет приводить к модуляции интенсивности по сечению резонатора, только
если угловая ширина максимума пропускания фильтра превышает угол
раствора сферической волны. В результате на параметры фильтра, а с
ними и на достигаемую с его помощью минимальную ширину спектра
накладываются ограничения (соответствующие данные для случая эталона
Фабри - Перо имеются в [49] и [16], § 4.3).
С ростом сечения резонатора налагаемые на управляющие элементы ог-
ограничения становятся все более жесткими, да и требуемые размеры этих эле-
элементов перестают быть приемлемыми. Все это побудило нас в начале 70-х го-
годов продолжить поиск методов, облегчающих управление излучением широ-
коапертурных лазеров и не сопряженных, вместе с тем, с отказом от выгод-
выгодных во многих отношениях неустойчивых резонаторов.
Генераторы с трехзеркальными неустойчивыми резонаторами. Дальней-
Дальнейшее усовершенствование методов управления излучением лазеров с неус-
неустойчивыми резонаторами связано со сформулированной и эксперименталь-
экспериментально обоснованной в [39] идеей о достаточности воздействия лишь на неболь-
небольшой приосевой участок сечения генератора, из которого "растекается" из-
излучение (рис. 3.8). Чтобы реализовать эту идею, следует проделать отвер-
отверстие в центре одного из зеркал и установить за ним дополнительное зерка-
зеркало; в образовавшемся таким образом узком "аппендиксе" могут быть с
удобством размещены управляющие элементы совсем небольшого размера.
228
Этот трехзеркальный резонатор и эквивалентная ему схема без отверстия в
зеркале изображены на рис. 4.10.
Возможность эффективного управления излучением с помощью данного
приема ограничена тем, что лазер с неустойчивым резонатором способен ге-
генерировать и при полностью перекрытом центральным участке сечения (на-
(наподобие лазера с плоским слегка разъюстированным резонатором). Поэтому
если в "аппендиксе" находится, например, затвор и приосевой участок в дан-
данный момент "заперт", а порог генерации при этом повышается незначительно,
I 1 § №1 7i
Рис. 4.10. Схемы неустойчивых резонаторов с управлением излучением на централь-
центральном участке сечения
в остальном объеме будет развиваться самостоятельная генерация, уже ни-
ничем не управляемая. Отсюда ясно, какое важное практическое значение
имеет характер зависимости порога генерации от размеров перекрытого
участка сечения.
Для выяснения этой зависимости воспользуемся тем же полугеометри-
полугеометрическим подходом, ч^о и в § 2.4, 3.2 (рис. 2.18, 3.7 а). Согласно ему постро-
построим траекторию луча, который, следуя от края зеркала и попеременно отра-
отражаясь от обоих зеркал, приближается к оси резонатора, пока не падает
перпендикулярно на поверхность одного из зеркал вблизи края отверстия,
после чего возвращается назад по тому же пути. Эта ситуация изображена на
относящемся к случаю симметричного резонатора рис. 4.11.
С помощью формул B.36) нетрудно установить, что число проходов
луча п между зеркалами на пути его следования от края зеркала размером
2а до границы отверстия размером 2х0 удовлетворяет соотношению
хо/а = 2Мп/(М2п+ 1). В дальнейшем будем полагать, что отверстие невелико
и выполняется неравенство (хо/аJ = N$KB/N3KB < 1, где N3KB - параметр,
введенный в § 2.5, А^экв - значение этого параметра, которое имела быв
этой схеме ныне отсутствующая приосевая часть зеркала. Тогда
°
Далее следуем знакомому рецепту. После каждых 2п проходов луч попа-
попадает на край зеркала, где за счет дифракции "отражается" обратно с коэф-
коэффициентом отражения \ROTp (.Считая, что процесс затухания в резонаторе
происходит непрерывно и за время одного прохода амплитуда изменяется
по модулю в \у\ раз, получаем | у \2п = | R |, откуда
1п|71 = 1п|ЛОтр1-1пМ/1пD^экв/^э°кв). " D.1)
Эта формула при ^э°кв >; 0,3 практически совпадает с аналогичной фор-
формулой более строгого ВКБ-приближения, которая, в свою очередь, нахо-
находится в удовлетворительном согласии с результатами точных машинных
расчетов (со всеми деталями можно ознакомиться в [70] или [16], § 3.4).
Для параметра|ЯОтр iB случае идеально резкого края (§ 2.5) при выполне-
229
нии условий Л^экв > Л^экв» ^экв ^ 1 из соответствующих формул [80] сле-
следует соотношение |/?Отр1 ~ [2ттАгэкв(М — 1/М)]. Оно справедливо как в
двумерном (цилиндрические зеркала), так и в трехмерном случае; напом-
напомним, что с совпадением коэффициентов "отражения" от края полосовых и
круглых зеркал мы уже сталкивались в § 2.4.
Полученные результаты легко обобщаются на практически наиболее
важный случай несимметричных резонаторов. Из принципа эквивалент-
эквивалентности (§ 2.2) сразу следует, что потери на обходе несимметричного резо-
резонатора с отверстием в выходном зеркале в точности равны потерям на
Рис. 4.11. Ход лучей в неустойчивом резонаторе с отверстием связи
одном проходе по симметричному резонатору с теми жеУУэКВ, N°KB и М
Однако чаще отверстие связи находится на другом зеркале либо его функ-
функции выполняет установленное между зеркалами на оси системы малое
наклонное зеркало (или призма, как на рис. 4.106»), являющееся для
основного резонатора непрозрачным экраном. Тогда можно воспользо-
воспользоваться тем, что экраны, установленные на различных участках длины ре-
резонатора, но обладающие равными А^кв, "опираются" на одну и ту же
каустическую поверхность и поэтому должны примерно одинаково вли-
влиять на величину потерь. Отсюда следует, что формула D.1) непосредст-
непосредственно применима для расчета потерь на полном прохождении резонатора
с произвольно расположенным экраном или отверстием при условии ис-
использования значения Л1?кв, рассчитанного по сформулированным в § 2.5
правилам. В случае телескопического резонатора (рис. 4.10) Л^кв =
= xl!B\z), где z - расстояние от экрана (отверстия) до общего фокуса
зеркал.
Наиболее интересным является то, что весь "иол у геометрический"
подсчет потерь может быть в равной мере отнесен как к двумерным резо-
резонаторам из цилиндрических зеркал, так и к трехмерным из сферических
ввиду полной идентичности формул не только для | jRotp |, но и для п.
Это означает, что хотя потери у дву- и трехмерных резонаторов с одина-
одинаковыми М и N3KB без отверстий существенно разнятся, составляя около
1 - 1/Ми 1 - 1/М7 соответственно, при введении отверстий с N$KB ^0,3
они начинают совпадать. Отсюда следует весьма важный с точки зрения
задач управления излучением вывод: малые отверстия вызывают намного
больший рост потерь у двумерных резонаторов, чем у трехмерных.
230
Значительная разница в поведении дву- и трехмерных резонаторов
легко объяснима. Ведь в двумерном случае "отверстие" на деле представ-
представляет собой щель, делящую зеркало на две части. Уже при N^KB ~ 0,3 вза-
взаимосвязь между "половинками" резонатора для наиболее добротной мо-
моды полностью нарушается, и потери возрастают от исходного значения
A - 1/Af) до значений порядка A - 1/Л/2); в то же время у трехмерного
резонатора, как показывают соответствующие расчеты, наличие отверстия
с Л^кв ~ 0,3 почти неощутимо. Дальнейшее увеличение N%KB вызывает,
в соответствии с D.1), уже только медленный и одинаковый рост потерь
у резонаторов обоих типов. Читателям, не удовлетворенным этим разъяс-
разъяснением, советуем обратить внимание на то, что трехмерная задача, кото-
которая сводится путем разделения переменных к двумерным задачам с от-
отверстиями, относится к резонатору из сферических зеркал не с отверстия-
отверстиями, а с системами взаимно перпендикулярных щелей, делящих сечение
на четыре квадранта.
Правильность всей этой выработанной нами концепции была прове-
проверена и полностью подтвердилась на практике. В случае двумерных резона-
резонаторов порог генерации при введении малой щели действительно возраста-
возрастает очень резко. Так, экранирование участка шириной ~~ 3 мм повышало
пороговую интенсивность накачки изображенного на рис. 4.3а широко-
апертурного лазера примерно втрое. Поэтому управление характеристи-
характеристиками излучения лазеров с двумерными неустойчивыми резонаторами осу-
осуществляется без особого труда [70].
Совсем иначе ведут себя лазеры с отверстиями в сферических зерка-
зеркалах. Хотя потери, как правило, оказываются немного больше рассчитан-
рассчитанных по приведенным выше формулам (наличие естественной "сглажен-
"сглаженности" края несколько снижает !/?отр i, см. § 2.5), порог генерации рас-
растет с размером центрального круглого отверстия весьма медленно. Так,
у описанного в § 4.1 генератора с активным элементом из неодимового
стекла диаметром 45 мм и телескопическим резонатором с М = 2 нали-
наличие отверстия диаметром 4 мм в вогнутом зеркале вызывало повыше-
повышение пороговой интенсивности накачки всего в 1,3 раза, диаметром 8 мм —
примерно вдвое. К трехкратному повышению порога приводило лишь
отверстие с диаметром, составлявшим 20 мм и почти достигавшим диа-
диаметра выпуклого зеркала резонатора B2 мм).
Отсюда следует, что здесь возможности управления излучением ока-
оказываются более ограниченными, чем в случае двумерных резонаторов.
В частности, явно нельзя, размещая управляющие элементы только в
"аппендиксе", реализовать моноимпульсный или близкий к нему режим
генерации, требующий накопления большой инверсной населенности. Ес-
Если линия рабочего перехода уширена неоднородно, затрудняется и спект-
спектральная селекция излучения. Действительно, в контуре такой линии при
интенсивной одночастотной генерации возникает "провал", и коэффи-
коэффициент усиления на боковых частотах становится заметно большим, чем на
той частоте, на которой происходит генерация. Поэтому выделение одной
частоты с помощью селектора в "аппендиксе" не может предотвратить
самовозбуждения генерации на боковых частотах в остальном объеме.
И все же задача спектральной селекции в широкоапертурных неустой-
неустойчивых резонаторах со сферическими зеркалами нередко может быть ре-
231
шена даже в случае неоднородно уширенной линии. Согласно [49] следу-
следует попытаться установить один эталон, имеющий небольшую базу, непос-
непосредственно между основными зеркалами резонатора так, чтобы он пере-
перекрывал все рабочее сечение. Его задачей служит выделение полосы, шири-
ширина которой не превышает ширины "провала" в контуре линии. Если это-
этого удается добиться, не нарушая упоминавшихся ранее условий, касаю-
касающихся толщины эталона, его установка не влечет за собой изменения диаг-
диаграммы направленности излучения. Для дальнейшего сужения спектра уже
можно воспользоваться "аппендиксом".
Таким способом в [49] был реализован лазер на неодимовом стекле
с выходной энергией 400 Дж, угловой расходимостью по уровню 0,5 интен-
интенсивности 8 • 10~5 рад и шириной спектра 3 • 10~3 нм (без селекторов пос-
последняя составляла несколько нанометров, выходная энергия 500 Дж).
Примечательно, что селекторы в "аппендиксе" эффективно управляли
спектром генератора в целом несмотря на то, что в их присутствии порог
генерации центрального участка, взятого в отдельности, явно превышал
порог самовозбуждения основного резонатора при перекрытом "аппен-
"аппендиксе".
Дополнительные сведения о свойствах трехзеркальных неустойчивых
резонаторов и возможностях их применения имеются в [16], § 3.4 и 4.3.
К сожалению, ряд перспективных идей, относящихся к подобным схемам
и высказывавшихся нами еще в 70-е годы, пока не реализован. Судя по
всему, значительного повышения потерь неустойчивых резонаторов с от-
отверстиями можно достичь путем искусственного "сглаживания" края
выходного зеркала (с целью всемерного уменьшения |#отр|). При не-
необходимости роль "аппендикса" может быть существенно усилена разме-
размещением в нем дополнительного активного элемента малого сечения (по-
(попытки добиться аналогичного эффекта путем внутрирезонаторного ини-
инициирования стягивающейся в центр "сходящейся" волны приводят к
резкому росту расходимости излучения, см [50], а также § 4.1). Наконец,
в задачах управления спектром можно пытаться воспользоваться тем
обстоятельством, что между смешивающимися благодаря дифракции вол-
волнами, идущими из аппендикса и от прилегающей к отверстию части вог-
вогнутого зеркала, существует разность фаз, определяемая двойной длиной
аппендикса, благодаря чему у оси образуется отдаленное подобие отра-
отражательного интерферометра Фабри — Перо.
Управление с помощью внешнего сигнала. К числу важнейших мето-
методов получения нужных спектрально-временных характеристик генерации
относится введение в резонатор "затравочного" излучения от внешнего
источника, Этот метод нередко используется в случае моноимпульсных
лазеров с плоскими резонаторами для синхронизации или управления
спектром импульса, к началу развития которого и "впрыскивается" за-
затравка. Поскольку дифракционное "расплывание" пучков в плоских ре-
резонаторах происходит сравнительно медленно, для убыстрения процесса
установления затравку обычно вводят сразу по всему сечению.
Аналогичные возможности управления излучением лазеров с моду-
модулируемой добротностью имеются, очевидно, и при использовании неус-
неустойчивых резонаторов. Из-за наличия механизма, обеспечивающего быст-
быстрое расширение пучка, здесь можно ограничиться введением совсем не-
232
большой по мощности "затравки" в отверстие на оси. Ввиду специфич-
специфичности моноимпульсного режима мы, как и прежде, на нем останавливать-
останавливаться не будем и перейдем к генераторам без модуляции добротности.
Неустойчивые резонаторы с центральным отверстием связи оказыва-
оказываются весьма полезными и здесь. Как было указано нами в 1969 г. [72],
лазеры на их основе являются полными аналогами и могут заменять мно-
многокаскадные усилительные системы с промежуточными телескопами.
Необходимо лишь предотвратить их самовозбуждение в отсутствие внеш-
внешнего сигнала (или неуправляемую генерацию в его присутствии), что мо-
может быть достигнуто соответствующим выбором геометрии резонатора.
Этот вопрос нетривиален и заслуживает комментариев. Поскольку управ-
управляемые внешним сигналом лазеры с двумерными резонаторами практи-
практически никогда не встречаются, ограничимся рассмотрением случая сфери-
сферических круглых зеркал с круглым же отверстием связи.
Многое определяется тем, в каком режиме должен работать управ-
управляемый лазер. Если этот режим близок к стационарному, можно исполь-
использовать резонатор со сравнительно небольшими потерями, не стремясь
к тому, чтобы лазер не был способен самовозбудаться в отсутствие внеш-
внешнего сигнала. В случае "ждущего" режима работы с предварительным
накоплением значительной инверсной населенности потери должны
быть столь большими, чтобы самовозбуждение лазера не происходи-
происходило ни нри каких условиях. Тогда мы имеем дело, по существу, уже
не с генератором, управляемым внешним сигналом, а с "чистым" уси-
усилителем.
Конкретный анализ начнем с квази стационарно го режима, под кото-
которым будем подразумевать такой, когда накачка осуществляется непре-
непрерывно, а управляющий сигнал либо имеет постоянную интенсивность,
либо его мощность хотя и изменяется во времени, но без таких боль-
больших пауз, в течение которых могла бы накопиться значительная инверс-
инверсная населенность. Последний вариант имеет место, скажем, когда управ-
управляющий сигнал состоит из часто повторяющихся импульсов; в подоб-
подобных случаях под мощностью и плотностью излучения сигнала будем под-
подразумевать их усредненные по значительному промежутку времени ве-
величины.
Чтобы получить у работающего в квазистационарном режиме управ-
управляемого лазера ту же выходную мощность, что и у обычного, достаточ-
достаточно, очевидно, применить для него резонатор с тем же М и впустить в от-
отверстие связи излучение с той же ачотностью, которая развивается внут-
внутри стандартных генераторов без отверстия. Однако для более надежного
управления целесообразно или повысить плотность управляющего сиг-
сигнала (что приводит к падению усиления в центральной зоне), или замет-
заметно повысить Ж Тогда система при поданном внешнем сигнале оказывает-
оказывается существенно ниже порога самовозбуждения, и последнее уже совер-
совершенно исключено.
При больших усилениях в среде можно увеличивать М весьма значитель-
значительно, не вызывая катастрофического снижения выходной мощности. Дело
в том, что эффективность соответствующих лазеров уменьшается с рос-
ростом М не слишком быстро и в отсутствие управляющего сигнала, в его
же присутствии еще медленнее. Это и понятно: когда М столь велико,
16. Ю.А. Ананьев 233
что генерация в обычном лазере полностью прекращается, лазер с отверс-
отверстием связи работает как многопроходовый усилитель и при подаче внешне-
внешнего сигнала имеет конечную — и подчас соизмеримую с предельной — выход-
выходную мощность.
Коснемся еще вопроса о выборе размера отверстия связи. Потери резо-
резонаторов из сферических зеркал зависят от этого размера, как мы видели,
слабо, и всемерное уменьшение отверстия, почти не изменяя порога само-
самовозбуждения, явно позволяет снижать мощность управляющего излучения.
Поэтому выгодно использовать совсем небольшие отверстия; они не долж-
должны быть только так малы, чтобы ось резонатора за счет погрешностей юс-
юстировки, вибраций и т.п. могла выйти за их пределы.
Среди специфических свойств управляемых генераторов с малыми
отверстиями связи выделяется чрезвычайно слабая зависимость эффек-
эффективности от мощности управляющего сигнала. И это объяснить несложно:
известно, что относительные колебания мощности на выходе любого лазер-
лазерного усилителя, работающего в квазистационарном режиме, благодаря
насыщению усиления значительно меньше относительных колебаний мощ-
мощности на его входе. Здесь же, из-за наличия нескольких проходов излуче-
излучения по среде, данный эффект проявляется еще резче.
Отсюда, кстати, вытекает важное следствие, касающееся обычных ла-
лазеров с широкоапертурными неустойчивыми резонаторами. Бывает, что ка-
какое-либо возмущение на центральном участке сечения сильно снижает по-
потери пустого резонатора, а с ними и порог генерации соответствующего
лазера. Может показаться, что это должно приводить к существенному
повышению мощности генерации. Однако в действительности изменение
условий на небольшом приосевом участке может сильно повлиять на выход-
выходную мощность только в том случае, если лазер до этого был близок к по-
порогу генерации. При большом превышении порога выходные параметры
мало чувствительны к изменениям плотности излучения на небольшом
участке сечения независимо от того, вызваны ли эти изменения влиянием
местных возмущений или излучение туда подается, как в управляемом
лазере, от внешнего источника.
В заключение сообщим, что первый лазер с неустойчивым резонатором,
управляемый внешним сигналом, описан в [47]; в [54] имеются обшир-
обширные расчетные данные об энергетических характеристиках управляемых
генераторов и многопроходовых усилителей, к рассмотрению которых мы
сейчас и переходим.
Усилители с неустойчивыми резонаторами, обладающими столь боль-
большими потерями, что самовозбуждение и в "ждущем" режиме оказывается
невозможным, обычно строят, как и управляемые генераторы, на основе
телескопического резонатора; тогда они назьюаются телескопическими.
Возможные их варианты представлены на рис. 4.12. Такие усилители ис-
используются, как правило, в промежуточных каскадах мощных моноим-
моноимпульсных лазеров (на оконечные каскады часто предпочитают ставить прос-
простые о дно про ходовые усилители, имеющие, из-за отсутствия выходного
зеркала, а с ним и потока излучения, следующего в обратную сторону,
большую лучевую стойкость). Поэтому здесь важна не столько эффектив-
эффективность, сколько величина общего усиления слабого сигнала, которую
желательно иметь как можно более высокой.
234
Рис. 4.12. Телескопические усилители: а - многопроходовый, б - трехпроходовый,
в - двухпроходовый усилители; в последнем отверстие в зеркале заменено поглощаю-
поглощающим экраном
Усиление слабого сигнала в и-проходовом усилителе равно Кп, где К —
усиление на одном проходе активной среды. Поэтому при заданном К
необходимо стремиться к возможно большему п; это способствует дости-
достижению не только высокого усиления, но и удовлетворительной энергетичес-
энергетической эффективности устройства.
При небольших К может использоваться схема типа рис. 4.12 д с п > 5.
В этом случае диаметр отверстия по крайней мере в М раз уступает диа-
диаметру выпуклого зеркала, при п = 5 составляя 2а/М2 Bа - диаметр се-
сечения выходного пучка). С другой стороны, как мы уже знаем, точность
юстировки и уходы оси ограничивают размеры отверстия снизу; обозна-
обозначим предельно малый диаметр отверстия 2Ъ. Таким образом, на величи-
величину М оказывается наложенным ограничение 2а/М2 > Ь, или М < \Ja\b.
Поскольку в случае малых отверстий порог самовозбуждения достига-
достигается при К ъ>м, получаем, что подобные схемы применимы при К < у/а/Ь.
Если этом условие выполнено, то, использовав резонатор с М = К и диа-
диаметром отверстия 2Ь, получаем л = 1 + 21n (a/b)l\nK> 5 и добиваемся пре-
предельного усиления Кп =К (a/b) 2 [93].
При больших К могут использоваться трехпроходовые схемы
(рис. 4.12б), обеспечивающие общее усиление К3. Поскольку здесь
М = а/Ъ\ где 2Ъ' — диаметр усиливаемого пучка, то даже без учета
повышения порога за счет наличия отверстия самовозбуждение не
должно начинаться вплоть до К = alb'. Если еще принять во внимание,
что диаметр отверстия связи тут не уступает диаметру выпуклого зерка-
зеркала, а при необходимости может быть сделан немного больше него (це-
(ценой незначительного падения выходной мощности), допустимая величи-
величина К повышается за счет соответствующего роста порога самовозбужде-
самовозбуждения вплоть до значений порядка (a/bf)li5~2 [93]. Отсюда следует, что
критерий применимости трехпро ходовых схем имееет вид К ^ (а/bI'5.
Двухпроходовая схема, по существу, уже не содержит резонатора
(рис. 4.12в) и может применяться при сколь угодно высоких К. Чтобы
лучше "развязать" двухпроходовый усилитель с источником усиливае-
усиливаемого излучения, целесообразно сделать в вогнутом зеркале отверстие с
диаметром, равным или несколько большим диаметра входного пучка
16* 235
(отверстия аналогичного назначения, только уже не в вогнутом, а в вы-
выпуклом зеркале могут быть сделаны и в случае схем, изображенных
на рис. 4.12j, б).
Как показывают все эти оценки, если отношение а/b достаточно вели-
велико, то в широком диапазоне изменения усиления на одном проходе К
могут быть достигнуты чрезвычайно высокие значения общего усиле-
усиления слабого сигнала. Сошлемся и на эксперимент: в работе [93] были
предприняты косвенные измерения этого параметра в случае мощного
трехироходового усилителя на неодимовом стекле; они привели к зна-
значению 2 • 105.
Правда, уже после прохождения небольших первых "порций" усили-
усиливаемого излучения общее усиление резко снижается, но его величина ока-
оказывается немалой и в том случае, если ее измерять по отношению энергий
импульсов на выходе и на входе, составляя, как правило, в случае усили-
усилителей на неодимовом стекле 102 -г-103.
Дополнительные сведения и библиографию как по телескопическим
усилителям, так и по управляемым генераторам' с неустойчивыми резо-
резонаторами можно найти в [16], § 4.3.
§ 4.4. Некоторые специальные схемы резонаторов
Помимо уже рассмотренных нами резонаторов, существует еще ряд
их видов, применение которых в некоторых практически важных случа-
случаях вызывает уменьшение угловой расходимости или оказывает иное бла-
благоприятное воздействие на пространственные характеристики излучения
(снижает их чувствительность к точности юстировки и т.п.). Наиболее
важным и интересным в методическом плане из этих видов и посвящен
настоящий параграф.
Проблема "однонаправленности" генерации и кольцевые неустойчивые
резонаторы. В большинстве применений кольцевых резонаторов необхо-
необходимо (или по меньшей мере желательно), чтобы весь поток генерируе-
генерируемого излучения обходил кольцо только по одному из двух возможных
направлений. В первую очередь это избавляет от неприятностей, связан-
связанных с тем, что в противном случае сквозь полупрозрачное зеркало или пу-
путем дифракционного вывода из резонатора удается выпустить только сра-
сразу два пучка, между которыми делится общая мощность. Кроме того,
однонаправленный режим (или режим бегущей волны) полезен для дости-
достижения предельно узкого спектра генерации: модуляция интенсивности
вдоль оси резонатора, являющаяся у многих лазеров одной из важней-
важнейших причин многочастотной генерации, здесь отсутствует.
Для достижения режима бегущей волны в резонаторах с малыми диф-
дифракционными потерями обычно используют невзаимные фильтры, кото-
которые содержат, помимо поляризатора, ячейку Фарадея и двулучепреломля-
юпгую пластинку, осуществляющие повороты плоскости поляризации
на равные углы. Если для одного из направлений обхода эти углы вза-
взаимно вычитаются и поляризационные потери отсутствуют, то для друго-
другого они складываются, что и приводит к наличию дополнительных потерь,
предотвращающих возникновение генерации в этом направлении. Одно
время прибегали также к не содержащей невзаимного фильтра менее
236
стабильно работающей схеме с дополнительным зеркалом, производя-
производящим "перекачку" волны с одним направлением обхода в волну, следую-
следующую в противоположную сторону (см. [16], рис. 3.21 а).
Особенности неустойчивых резонаторов навели нас в свое время на
мысль, что арсенал средств для достижения режима бегущей волны мо-
может быть с их помощью дополнен. Дело в том, что при больших дифрак-
дифракционных потерях ход лучей становится существенно необратимым (о чем
свидетельствует хотя бы то, что генерация на одной сходящейся волне
существовать не может). Поэтому в отличие от случая резонаторов с ма-
малыми потерями в кольцевых неустойчивых резонаторах волны с противо-
противоположным направлением обхода заполняют объем резонатора совершен-
совершенно по-разному.
Обсуждение этой проблемы началось со статьи 1968 г. [62], где было
указано, что если в схемах, изображенных на рис. 4.6, и могут существо-
существовать моды с направлением обхода против часовой стрелки, то лишь такие,
которые имеют малое сечение. Причины очевидны: имеющая большое се-
сечение мода, ход лучей для которой изображен на рис. 4.6а штриховыми
стрелками, способна к самовоспроизведению лишь в отсутствие диафраг-
диафрагмы 4.
Вскоре проведенное нами же более детальное рассмотрение [38] про-
прояснило ситуацию. Указанные моды малого сечения здесь все же не только
существуют, но и имеют в точности такие же потери, как моды с направ-
направлением обхода по часовой стрелке. Эта закономерность носит универсаль-
универсальный характер и вытекает из того, что интегральные уравнения для разных
направлений обхода являются союзными (т.е. отличаются лишь тем, что
в формуле для ядра меняются местами начальные и конечные координаты)
и потому имеют одинаковые спектры собственных значений.
Помимо проведения соответствующего рассмотрения в дифракционом
приближении, в [38] была также дана простая геометрическая трактовка
найденных закономерностей (совершенно аналогичный геометрический
анализ был выполнен много позже в [192]); приведем ее.
Схеме рис. 4.6а соответствует оптическая линия на рис. 4.13. Плос-
Плоскость симметрии линзы с фокусным расстоянием / = R/2 соответствует
поверхности вогнутого зеркала с радиусом кривизны R (чтобы стало воз-
возможно пренебречь астигматизмом, возникающим при косом падении пуч-
пучка на сферическое зеркало, следует обеспечить малый угол падения, как
показано на рисунке, либо заменить вогнутое зеркало на плоское с установ-
Рис. 4.13. Оптическая линия, эквива-
эквивалентная резонатору на рис. 4.6 а,
а, б - ход лучей для волн с разными
направлениями обхода
237
ленной неподалеку положительной линзой). Отверстие диафрагмы сов-
совмещено с центром сферической волны, являющейся изображенным на
рис. 4.1 За решением в геометрическом приближении для обхода схемы
рис. 4.6а по часовой стрелке. Таким образом, плоскости диафрагм на
двух соседних участках оптической линии сопряжены относительно рас-
расположенной между ними линзы и находятся на расстояниях от нее /12 =
= (L/2) A + >/1 — 4f/L), где L - период линии (полная длина резонатора).
Отсюда видно, кстати, что если классифицировать кольцевые резонаторы
с диафрагмой по свойствам лучевой матрицы их полного обхода начиная
от плоскости диафрагмы, то наша схема относится к частному случаю Б -
= 0. Об опасности, подстерегающей при попытках упрощенного рассмот-
рассмотрения подобных схем в приближении гауссовых пучков, рассказано в
[40].
Ход лучей для решения с противоположным направлением обхода
представлен на рис. 4.136. Близкая к плоской волна, падающая на диаф-
диафрагму, после прохождения отверстия в результате дифракции несколько
расширяется и заполняет часть линзы. При не слишком малом отверстии
дифракционный угол и с ним область засветки линзы оказываются неболь-
небольшими, конечность размеров линзы практически не проявляется, и излу-
излучающее отверстие проецируется на плоскость другой диафрагмы с увели-
увеличением — 1г\1\ - М. В результате потери оказываются теми же, что и у ре-
решения на рис. 4.1 За.
Совершенно аналогична ситуация для резонаторов типа рис. 4.66. Рас-
Распределению излучения в плоскости диафрагмы здесь соответствует уг-
угловое распределение в селекторе. Подробнее все это рассмотрено в [38],
а также в [ 16], § 3.5.
Итак, в кольцевых неустойчивых резонаторах даже при угловой селек-
селекции излучения помимо волн с желательным направлением распростране-
распространения существуют также волны с противоположным направлением обхода
и теми же потерями. Излучение первых из них заполняет все сечение резо-
натора; потери в этом случае вызваны главным образом тем, что часть
пучка проходит мимо зеркала (ничтожные дифракционные "хвосты"
распределений задерживаются все же и диафрагмой или другим селек-
селектирующим элементом). Излучение волн с противоположным направле-
направлением обхода при разумном выборе параметров селектора интенсивно
лишь в области с небольшими поперечными размерами; здесь потери
обусловлены преимущественно тем, что часть излучения рассеивается на
селектирующем элементе, однако они остаются прежними. Подчеркнем,
что равенство собственных значений для этих двух родов волн выте-
вытекает из самих общих свойств интегральных уравнений и не может быть
нарушено даже при наличии неравномерно распределенной инверсной
населенности.
Ввиду равенства потерь и, следовательно, порогов генерации остается
пользоваться лишь различием объемов мод с разными направлениями об-
обхода. Как было указано автором в [10], можно добиться большого от-
отношения заполненных излучением объемов среды и, следовательно, сос-
сосредоточить почти всю мощность в одной из мод, не прибегая к угловой
селекции. Чтобы убедиться в эффективности такого простого средства,
как разумный выбор схемы резонатора и места расположения активного
238
элемента, достаточно взглянуть, как заполняют активный стержень на
рис. 4.6а изображенные сплошными и пунктирными линиями волны с раз-
разными направлениями обхода в отсутствие диафрагмы.
Действительно, уже к 1973 г. в кольцевом неустойчивом резонаторе
без угловой селекции было экспериментально достигнуто отношение
встречных потоков генерируемого излучения, равное 18 [168]. К сожа-
сожалению, решить упоминавшуюся нами вначале проблему получения узко-
узкого спектра генерации на этом пути не удается: ведь б неустойчивых резо-
резонаторах излучение растекается из играющего роль "задающего генерато-
генератора" центрального участка сечения (см. рис. 3.8), а там существуют обе вол-
волны. Таким образом, вентильные устройства могут оказаться необходи-
необходимыми и здесь.
Резонаторы с возвратными отражателями. Под возвратными будем под-
подразумевать 90-градусные дву- и трехгранные призмы полного внутреннего
отражения (последние обычно называются триппель-призмами), а также
двугранные и уголковые отражатели, составленные из зеркал, установлен-
установленных под углом 90° друг к другу. Двугранные отражатели и эквивалентные
им двугранные призмы с плоской передней поверхностью являются астигма-
астигматическими элементами, которые в одном из двух взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных направлений эквивалентны обычному плоскому зеркалу с лучевой мат-
10
рицей в принятых обозначениях (§1.1) / =
по другому же на-
0 1
правлению имеют матрицу —/. Уголковые отражатели и триппель-призмы
с плоской передней гранью имеют по обоим направлениям лучевые матри-
матрицы, равные -/, и придают падающей на них плоской волне направление,
прямо противоположное исходному.
Призменные отражатели используются преимущественно в импульсных
лазерах видимого и ближнего инфракрасного диапазонов. Смысл их приме-
применения поясняет рис. 4Л4а. Наличие соответствующим образом ориентиро-
ориентированного клина внутри такого резонатора не приводит ни к разъюстиров-
ке последнего, ни к изменению направления излучения, выходящего через
полупрозрачное плоское зеркало, — резонатор теряет чувствительность к
волновым аберрациям первого порядка. Нетрудно видеть, что благодаря
"перевороту" сечения пучка при отражении от призмы перестают ощущать-
ощущаться и другие волновые аберрации нечетных порядков; чувствительность
по отношению к симметрично распределенным источникам искажений
остается.
Отсутствие влияния клина на направление выходящего из резонатора
пучка здесь связано, по существу, с тем, что лучи геометрического решения
перпендикулярны поверхности выходного зеркала, которое тем самым
оказывается опорным элементом, задающим указанное направление.
В неустойчивых резонаторах подобный элемент отсутствует, и влияние
аберраций нечетных порядков при введении операции "переворота" сече-
сечения подавляется лишь частично.
Две основные схемы призменных неустойчивых резонаторов приведе-
приведены на рис. 4.146, в. Фигурирующие здесь призмы с неплоскими перед-
передними поверхностями равноценны комбинациям 90-градусных отража-
отражателей с линзами и заменяют зеркала обычного телескопического резона-
239
Рис. 4.14. Резонаторы с призменными отражателями: а - плоский резонатор, б, в
варианты телескопического резонатора
тора (рис. 3.8а). Аберрационные коэффициенты для этих схем могут быть
вычислены тем же способом, что и для схем рис. 3.8 в § 3.2; для случая
заполнения всей длины резонатора средой с поперечной неоднородностью
(как в § 3.2) соответствующие расчеты были проделаны автором в [11],
их результаты приведены также в [16], §3.5 (притом без имеющихся
в [11] опечаток). Сейчас мы ограничимся оценкой роли оптического кли-
клина, которая выполняется самым элементарным образом.
Будем исходить из того очевидного обстоятельства, что в присутствии
клина выходящий из телескопического резонатора пучок остается парал-
параллельным, а его направление задается направлением оси резонатора. Послед-
Последнюю, в свою очередь, можно определить как траекторию луча, который
после каждого отражения от зеркала или призмы возвращается назад по
тому же пути. Исходя из этого определения, нетрудно видеть, что ось
резонатора должна проходить через центры кривизны зеркал и вершины
призм, их которых этот резонатор состоит.
Если градиент показателя преломления в активном образце мал, можно
считать вызванный его наличием оптический клин тонким и расположен-
расположенным посредине элемента. Из рис. 4.146 видно, что в присутствии тонкого
клина, изменяющего направление проходящего через него пучка на ф,
угол наклона </> оси резонатора по сравнению с исходной ее ориентацией,
а с ним и угол наклона выходящего из резонатора пучка равны <р =
= Ф1\1A\ + h)> где 1Х и /2 — расстояния от клина до центров кривизны зер-
зеркал или вершин призм. Остается еще выразить радиусы кривизны зеркал
через расстояние между ними L и увеличение M\RX- 2ML/(M - 1), R2 =
= -2L/(M- 1).
Теперь уже нетрудно рассчитать отношение <р/ф для всех интересующих
нас случаев. При центрально расположенном стержне в резонаторе на
рис. 4.146 lx = L/2, /2 = L/2 - R2 = L/2 + 2L/(\M\ - 1), ф =
= 0,5 — 1/( \М\ + 1). В резонаторе из двух призм (рис. 4.14e) /t = /2 - L/2,
<р/ф = 0,5. Сравнение с изображенными на рис. 3.8а, б конфокальными ре-
резонаторами из обычных зеркал, для которых в аналогичных условиях
$1Ф = 1,5 + 2/(М - 1), оказывается в пользу призменных. Так, при \М\ = 2
отношение у/ф у резонаторов последних двух типов равно 3,5 и 0,83 соот-
соответственно, в то время как у схем на рис. 4.146, в оно составляет 0,17
240
и 0,5. Сразу отметим, что если заменить призмой не вогнутое зеркало,
как на рис. 4.145, а одно лишь выпуклое, это отношение оказывается
намного большим, поэтому данный тип резонатора не представляет особо-
особого интереса.
К числу важных достоинств призменных резонаторов относится также
малая чувствительность к разворотам их элементов. Действительно, наклон
зеркала с радиусом кривизны R на угол € вызывает поперечное переме-
перемещение центра его кривизны на расстояние eR. Можно показать, что та-
такой же разворот призмы относительно ее вершины вызывает поперечное
смещение опорной точки, через которую проходит ось резонатора, лишь
на величину порядка eh(\ — 1/л), где п - показатель преломления вещества
призмы, h — ее толщина вдоль направления оси резонатора. Обычно
h/R ~ 10~2, и требования к точности ориентации призм (в зависимости от
числа их граней по одному или обоим направлениям) оказываются на два-
три порядка ниже требований, предъявляемых в случае зеркал. Наконец,
в схеме рис. 4.145 благодаря большому расстоянию между опорными точ-
точками разворот выпуклого зеркала также вызывает значительно меньший
эффект, чем в обычном телескопическом резонаторе.
Все эти свойства призменных резонаторов столь привлекательны, что
широкому их применению могло помешать лишь существование серьез-
серьезных недостатков; таковые действительно имеются. Весьма неприятной
является поляризационная анизотропия, связанная с тем, что линейно
поляризованное излучение после отражения от любой поверхности при зна-
значительных углах падения приобретает различные фазовые набеги в зависи-
зависимости от того, лежит ли плоскость поляризации в плоскости падения или
перпендикулярна ей. Отсюда следует, в частности, что если исходная пло-
плоскость поляризации была ориентирована в каком-либо промежуточном
направлении, после отражения свет приобретает эллиптическую поля-
поляризацию.
В случае резонаторов, содержащих одну двугранную призму либо со-
составленных из двух таких призм с параллельными ребрами, поляризацион-
поляризационная анизотропия не приводит к особо неприятным последствиям. Нетрудно
видеть, что здесь линейно поляризованное излучение с плоскостью поля-
поляризации, параллельной или перпендикулярной ребрам отражателей, после
полного обхода резонатора сохраняет первоначальное состояние поляри-
поляризации. Отсюда следует, что собственные колебания подобных резонаторов
могут иметь одно из этих двух направлений плоскости поляризации. Вслед-
Вследствие разного набега фаз им соответствуют различные собственные часто-
частоты, поэтому решений с другими поляризационными состояниями, всегда
являющимися суперпозицией этих двух, не существует.
Хуже обстоит дело у резонаторов с триппель-призмами. Соответствую-
Соответствующий анализ [190] показывает, что даже в той благоприятной ситуации,
когда триппель-призма всего одна (или их две, но с одинаково ориенти-
ориентированными ребрами), апертура резонатора разбивается на три пары распо-
расположенных друг против друга 60-градусных секторов. Внутри каждой та-
такой пары устанавливается свое состояние поляризации, отличное от состоя-
состояний в других секторах. Это, равно как и наличие фасок конечной ширины
на ребрах призм, ослабляет связь между соседними парами секторов. По-
Поэтому в резонаторах с триппель-призмами одновременно с некоторым по-
241
вышением порога генерации (по сравнению с обычными системами) может
проявляться тенденция к самостоятельной генерации в отдельных об-
областях сечения, что уменьшает пространственную когерентность излучения.
Однако среди недостатков призменных элементов еще важнее то, что до-
добиться такой точности их изготовления, чтобы фронт плоской волны после
отражения от них не имел "изломов", весьма трудно, а подчас и невозмож-
невозможно. В особенности это касается триппель-призм; поэтому составленная из
них схема типа рис. 4.14в, предложенная в [122], может оказаться полез-
полезной главным образом тогда, когда точная юстировка элементов резонато-
резонатора затруднена, а активная среда не слишком однородна, так что особенно
высоких требований к пространственной когерентности излучения предъяв-
предъявлять все равно нельзя.
Если точная юстировка осуществима (по крайней мере в одной пло-
плоскости) и желательна повышенная лучевая стойкость элементов резонатора,
может использоваться система из двух двугранных призм (призмы обыч-
обычно обладают большей лучевой прочностью, чем зеркала). Наконец, когда
оптические неоднородности в значительной степени сводятся к переменно-
переменному во времени "клину" по одному из направлений (что бывает из-за вибра-
вибрации элементов резонатора), направление излучения может быть стабилизи-
стабилизировано применением схемы рис. 4.146 с двугранной призмой. Высокая эф-
эффективность этого способа, рекомендованного в [11], была проверена на
практике [65].
Другой важной задачей, которая может быть возложена на возвратные
отражатели, является выравнивание распределения интенсивности в присут-
присутствии значительной неравномерности распределения усиления. Отметим,
что клин и градиент коэффициента усиления отличаются, с точки зрения
математического их описания, лишь тем, что в одном случае линейно зави^
сящая от поперечной координаты поправка к величине показателя прелом-
преломления действительна, а в другом она является мнимой. Отсюда следует, что
присутствие возвратных отражателей выравнивает распределение интенсив-
интенсивности в той же степени, в какой стабилизирует направление излучения.
Указанная задача особенно актуальна в случае лазеров с поперечным про-
протоком активной среды (см. конец § 3.4),работающих, главным образом,
в далеком инфракрасном диапазоне, где прозрачные призмы полного внут-
внутреннего отражения едва ли осуществимы. Однако даже если число Френе-
Френеля велико и необходимы не плоские, а неустойчивые резонаторы, отсут-
отсутствие призм обычно не является непреодолимым препятствием для реали-
реализации соответствующих схем. Так, в случае однопроходовых резонаторов
требуемые значения коэффициента увеличения М обычно невелики, что
позволяет отказаться от конфокального варианта резонатора: удовлетво-
удовлетворительное заполнение рабочего сечения излучением генерации достигается и
в резонаторе из плоского и слегка выпуклого зеркал. Заменив плоское зер-
зеркало на составленный из двух плоских зеркал двугранный 90-градусный
отражатель, получаем искомое резонаторное устройство. Для выравнивания
интенсивности ребро отражателя должно быть ориентировано, очевидно,
перпендикулярно направлению потока среды.
Эта возможность была исследована экспериментально на примере про-
проточного СО2 -лазера в работе [55]. Если при использовании резонатора из
плоского и выпуклого зеркал наблюдался 10-кратный спад интенсивности
242
генерируемого пучка вниз по потоку, то после замены плоского зеркала на
двугранный отражатель различия в интенсивностях на основной части сече-
сечения упали до нескольких десятков процентов. Более подробное описание
этих экспериментов и перспективных схем резонаторов проточных лазе-
лазеров можно найти в [16], § 4.2.
Еще одна касающаяся лазеров на макроскопически неоднородных сре-
средах и связанная с возвратными отражателями идея высказывалась А.Ф. Суч-
Сучковым еще в 60-х годах и стала активно обсуждаться в последнее время
(например, [75]). Эта идея сводится к замене одного из зеркал широко-
апертурного плоского резонатора на множество установленных вплотную
друг к другу возвратных отражателей.
Смысл указанного приема становится понятным, если принять во внима-
внимание, что угловая расходимость излучения лазера с плоским резонатором
на неоднородной среде ограничена снизу значением yjAL/L (см. § 3.2,
AL - вариация оптической длины резонатора на его рабочем сечении) и
обычно ненамного его превышает. Заменяя зеркало плоского резонатора
на один большой возвратный отражатель, мы уже уменьшаем AL (за счет
симметризации) и тем самым снижаем расходимость, однако при больших
апертурах и неоднородной среде последняя продолжает во много раз превы-
превышать дифракционный предел.
Заменяя один возвратный отражатель на несколько отражателей мень-
меньшего размера, мы разбиваем всю апертуру на ряд "субапертур", каждой из
которых соответствует меньшая AL,. чем всей апертуре в целом; меньшей
должна стать и расходимость. Правда, между субапертурами существует
связь за счет рассеянного по разным причинам (в том числе и благодаря
дифракции) света; однако нет особых оснований полагать, что эта взаимо-
взаимосвязь будет оказывать систематическое и значительное влияние на величи-
величину общей расходимости, которую, таким образом, можно оценивать по
. расходимости на отдельных субапертурах.
При дальнейшем "дроблении" субапертур величина AL на каждой из
них продолжает уменьшаться, зато растет связанный с их поперечными раз-
размерами дифракционный предел расходимости. Оптимальным размером суб-
субапертур будет, очевидно, такой, при котором этот предел окажется пример-
примерно равным V' AL/L.
Несмотря на некоторые принципиальные и чисто технические сложности,
в [75] заменой обычного зеркала на набор возвратных отражателей уда-
удалось уменьшить угловую расходимость излучения лазера на неоднородной
среде в 10 раз.
В заключение сообщим, что, как указывалось в [24], возвратные отра-
отражатели могут оказаться полезными также и тогда, когда аберрации яв-
являются не крупно-, а мелкомасштабными, т.е. имеет место светорассеяние.
Речь идет в первую очередь о широкоапертурных плоских резонаторах с
угловой селекцией (рис. 4.5 и 4.8 а-г), которые при значительном свето-
светорассеянии в принципе выгоднее неустойчивых.
Сформированная угловым селектором плоская волна, пройдя через
содержащую источники светорассеяния среду, отражается от зеркала и про-
проходит через те же неоднородности повторно. Если расстояние между источ-
источниками светорассеяния и зеркалом / удовлетворяет соотношению
2/[(l/cos0o) — 1] « 161 <Х, где в0 — полуширина индикатрисы светорас-
243
сеяния, то на пути длиной 2/ фазовые соотношения между входящими в
волну угловыми компонентами не претерпевают заметных изменений и
ее структура остается прежней. В результате при повторном прохождении
через те же неоднородности фазовые искажения удваиваются, дисперсия
распределения учетверяется; с нею вместе растет примерно вчетверо и до-
доля рассеянного света (§ 3.2). Именно такая ситуация имела место, напри-
например, в экспериментальной работе [105].
Замена зеркала на возвратный отражатель уничтожает корреляцию
между структурой волны и расположением неоднородностей. При повтор-
повторном прохождении через них дисперсия фазового распределения уже не
учетверяется, а только удваивается, поэтому потери на светорассеяние ока-
оказываются вдвое меньшими, чем в первом случае. Все это, естественно, в
полной мере относится не только к резонаторам, но и к соответствующим
двухпроходовым усилителям.
Резонаторы с вращением поля. До сих пор мы встречались в основном с
резонаторами, после полного обхода которых сечение светового пучка
сохраняет свою первоначальную ориентацию либо.поворачивается на 180°
относительно оси системы. К первым из них относятся, например, линейные
плоские и телескопические резонаторы, ко вторым — конфокальные резо-
резонаторы из вогнутых зеркал (рис. ЗЯб и 4.7). Вместе с тем, существует це-
целый класс резонаторов, по обходе которых сечение поворачивается на угол,
отличный от 0 или 180°.
Чтобы добиться такого поворота сечения, достаточно в кольцевом че-
тырехзеркальном резонаторе, например, изображенном на рис. 2.1, вынести
одно из зеркал из плоскости рисунка и развернуть это зеркало и два сосед-
соседних так, чтобы световой пучок мог по-прежнему обходить резонатор.
После обхода такого кольцевого резонатора, ось которого представляет
собой замкнутую ломаную линию, не лежащую в одной плоскости, сечение
светового пучка оказывается повернутым вокруг оси резонатора на некий
угол 8 (впервые эту особенность подобных резонаторов подметил, по-ви-
по-видимому, Арно [137]).
Угол б в общем случае является сложнейшей функцией расположения
зеркал. Поэтому ограничимся тем, что проиллюстрируем возможность по-
поворота сечения на простейшем примере, когда четыре зеркала попарно
объединены в два двугранных 90-градусных отражателя со взаимно развер-
развернутыми относительно оси системы ребрами (рис. 4.15а). Подобный резо-
резонатор является, по существу, уже не кольцевым, а линейным (как мы ви-
видим, грань между призменными и кольцевыми резонаторами не столь уж
резка). При отражении от каждого двугранника сечение пучка зеркально
преобразуется относительно плоскости, проходящей через ребро двугранни-
двугранника и ось; в результате двух таких зеркальных преобразований сечение
оказывается повернутым на угол, вдвое превышающий угол между ребра-
ребрами отражателей (рис. 4.156).
Из этого примера видно, что, подбирая взаимное расположение зеркал,
можно добиться того, что б примет любое заранее заданное значение. Отме-
Отметим, что для любых кольцевых (или включающих возвратные отража-
отражатели) резонаторов с нечетным числом отражений на полном обходе дости-
достигается не поворот, но лишь зеркальное преобразование сечения. Примером
может послужить схема рис. 4.14а с двугранным отражателем (число
244
отражений на обходе резонатора здесь, с учетом обеих граней отражателя,
три).
Среди специфических свойств резонаторов с вращением поля сразу на-
назовем их поляризационную анизотропию (исключение составляют, главным
образом, резонаторы с б = 180°). Ее причиной является то, что даже когда
резонаторы состоят исключительно из зеркал, не вносящих разностей фаз
между поляризационными компонентами, после их обхода плоско поляри-
поляризованной волной плоскость поляризации оказывается повернутой, вместе
Рис. 4.15. Вращение поля в оптических резонаторах: а - простейший резонатор из
двух двугранных отражателей, б - эволюция сечения пучка A - исходное сечение,
2 — сечение после отражения от элемента с ребром по /, 3 - сечение после отражения
от элемента с ребром по II)
с сечением иучка, на угол 8. Поэтому поляризация здесь является, как пра-
правило, круговой или эллиптической (см. [56] и [16], § 3.6). Это нередко
по тем или иным причинам нежелательно; тогда для обеспечения нужного
состояния поляризации приходится идти на специальные меры (так, в
[95] поворот плоскости поляризации компенсировался с помощью дву-
лучепреломляющей пластинки). Однако во многих отношениях враще-
вращение поля оказывается столь полезным, что большая сложность подобных
схем по сравнению с обычными не может воспрепятствовать их приме-
применению.
Очевидным полезным следствием вращения поля является снижение
чувствительности к влиянию азимутальной неравномерности распределения
показателя преломления и коэффициента усиления. Это особенно сильно
проявляется при плоских зеркалах: если в обычном плоском резонаторе
лучи весьма медленно дрейфуют в поперечном направлении, что приводит
к накоплению аберраций (§ 3.2), то здесь лучи быстро "кружатся" вокруг
оси — происходит как бы размешивание неоднородностей по азимуту.
На практике это проявляется в резком повышении равномерности фазо-
во-амплитудного распределения в ближней зоне со всеми вытекающими
последствиями (например, [95, 115]),
В числе прочего снижается чувствительность и к эквивалентным введе-
введению клина разворотам зеркал. Так, кольцевые резонаторы из плоских
зеркал при 8 Ф 0 в отличие от обычных не только имеют вполне определен-
определенное положение оси (вокруг которой происходит вращение поля), но и об-
обладают свойством "неразъюстируемости": при малых наклонах зеркал ось
не исчезает вовсе, а лишь немного смешается.
245
Рис. 4.16. Резонатор с поворотом поля на 180°:
1 — зеркала, 2 ~ призма Дове (сверху изобра-
изображен вид на нее со стороны стрелки)
Покажем это, действуя так же, как в на-
начале § 3.2. "Привяжем" систему координат
к оси неразъюстированного резонатора с
длиной осевого контура L и углом по-
поворота поля 5, отсчетную плоскость по-
поместим непосредственно перед разъюсти-
руемым зеркалом, ось х будем считать
лежащей в плоскости падения. Тогда пово-
повороты (разъюстировки) зеркала на углы
фх вокруг оси у и <ру вокруг оси резо-
резонатора z добавляют к углам наклона осх, ау отраженных от зеркала лучей
2фх viify соответственно.
Воспользовавшись описанными в Приложении матрицами 4X4, записы-
записываем уравнение для определения координат х0, .Уо> а*о> &уо разъюстиро-
разъюстированного резонатора в виде
cos 5 —sin 5
sin 6
0
0
cos 5
0
0
0
0
cos 5
sin 5
0
0
-sin 5
cos 5
X
1 0 L 0
0 1 0 L
0 0 10
0 0 0 1
Уо
OLyQ
х0
Уо
правая матрица описывает прохождение пучком расстояния L, левая — по-
поворот системы координат на угол —5, необходимый для возвращения к
исходной ориентации. В результате решения этого уравнения находим х0 =
= -?<Р*/0 - cosS), у0 = -Lipyl[2A - cos5)], g^q = -<рх - ^ysin6/l2(l -
— cos5)], otyO = {pxsin8/(\ — cos6) — *pyl2. Отсюда видно, что минимальной
чувствительностью к разъюстировкам обладают системы с 5 = 180°, для
которых jc0 = —Lipx/2, Уо = —^<?у/4, ахо ~ —Фх* ауо = ~Фу/2- Такие си-
системы легко реализуются и находят практическое применение. На рис. 4.16
изображен наиболее популярный их вариант, описанный в [6]; здесь в одно
из плеч трехзеркального кольцевого резонатора вставлена призма Дове,
выводящая ось из пределов одной плоскости и добавляющая четвертое от-
отражение (от нижней грани).
Уменьшается чувствительность к разъюстировкам и неоднородностям
(исключая их осесимметричную составляющую) и в неустойчивых резо-
резонаторах; в частности, при б = 90° весьма эффективно подавляются прояв-
проявления астигматизма (соответствующие расчеты выполнены в [56] и ряде
последующих работ; см. также [16], § 3.6), Однако еще более важна
246
возможность решения еще одной задачи, возникающей при создании крупно-
крупногабаритных* лазеров на слабо усиливающих средах и имеющей большое
практическое значение. Речь идет о проблеме получения компактной формы
сечения выходящего из резонатора пучка. Дело в том, что в обычных
неустойчивых резонаторах с непрозрачными зеркалами и небольшим уве-
увеличением (которое предопределяется усилением) выходной пучок пред-
представляет собой узкое кольцо или другую аналогичную фигуру больших
габаритов и малой площади. Такая форма сечения невыгодна по целому
ряду причин, в том числе с точки зрения расходимости излучения; жела-
желательно добиться того, чтобы при прежней площади (для сохранения того же
значения потерь на излучение) его габариты максимально сократились.
В § 1.3 было показано, что при наличии внешней формирующей оптики
это выгодно даже в том случае, когда волновой фронт имеет идеально
плоскую форму: хотя осевая сила света на выходе лазера остается прежней,
на выходе системы формирования она растет (за счет увеличения кратности
телескопа при тех же размерах его объектива). Если же расходимость
имеет не столько дифракционное, сколько "геометрическое" происхожде-
происхождение (см. там же), то уже само по себе сокращение габаритов сечения вызы-
вызывает уменьшение угловой расходимости; при внешней оптике выгода
возрастает.
Как упоминалось в § 2.5, метод решения этой задачи был предложен
автором в 1975 г. [12]. Он целиком основывался на введении операции
поворота сечения, что и инициировало все последующие работы по неустой-
неустойчивым резонаторам с вращением поля. Здесь приходится исходить из того,
что в резонаторах, состоящих из стандартных оптических элементов со
сферическими или плоскими поверхностями, световой пучок в плоскости
выходного зеркала, полностью его перекрывая, имеет форму сечения,
геометрически подобную форме сечения самого выходного зеркала (с
масштабом подобного преобразования М). Таким образом, сечение выхо-
выходящего из резонатора пучка является результатом "вычитания" друг из
друга различающихся только размерами геометрически подобных фигур
(примером тому может послужить кольцо). Нетрудно показать, что это
сечение может иметь компактную форму, лишь когда указанные две фигу-
фигуры развернуты одна относительно другой.
Пример такой комбинации двух геометрически подобных фигур, общая
часть контура которых представляет собой логарифмическую спираль,
изображен на рис. 4.17я; меньшая из фигур, ABCDA, соответствует выход-
выходному зеркалу, большая, ECDAE, — сечению всего светового пучка в плос-
плоскости этого зеркала, разность —АВСЕА —сечению выходящего из резонато-
резонатора пучка. Ось резонатора проходит через центр спирали О, угол между
отрезками ОЕ и 614 равен углу поворота сечения на одном обходе резона-
резонатора 5, отношение их длин - увеличению резонатора М (на рисунке 5 = 30°,
М=1,06).
В действительности вовсе не нужно стараться вырезать выходное зерка-
зеркало по форме фигуры ABCDA. Лучше это зеркало сделать заведомо боль-
большим, вблизи же него установить внутри резонатора наклонную отражаю-
отражающую пластинку для вывода излучения. В обычных неустойчивых резона-
резонаторах, как мы видели, часто используется подобный прием; отражающая
пластина (выводное зеркало) при этом перекрывает все сечение резонато-
247
Рис. 4.17. Эволюция сечения пучка в призменном резонаторе с вращением поля и сек-
секторным выводом: а - пучок до секторной выводной пластины {ECDAE) и после нее
(ABCDA); пластина занимает сектор А'ВСЕ'; б - пучок после отражения от призмы
с ребром по DD'\ в — пучок после отражения от призмы с ребром по FE'
ра и имеет отверстие для пропускания центральной части пучка (рис. 4.26
и рис. 4.7). В случае резонатора с поворотом сечения проекция отражающей
пластины на плоскость, перпендикулярную оси резонатора, должна иметь
форму сектора А'ВСЕ'. Последовательно поворачивая и увеличивая АВОС,
нетрудно убедиться в том, что изображенная на рисунке форма сечения
пучка получается при этом автоматически.
Использование секторной отражающей пластины особенно удобно тем,
что выходящей из резонатора пучок оказывается жестко "привязанным"
к определенному участку сечения. Вызванные деформациями зеркал или
неоднородностью среды изменения коэффициента увеличения резонато-
резонатора М, небольшие смещения его оси и т.п. могут вызвать только сдвиг внеш-
внешней границы пучка АЕ. В то же время при обычном кольцевом выводе иМ,
близком к единице, достаточно малейших неоднородностей, чтобы кольцо
превратилось в серп либо распалось на отдельные пятна.
Поясним еще, как при подобном способе вывода излучения выглядит
эволюция сечения пучка в резонаторе типа изображенного на рис. 4.14в
и составленного из двух заведомо больших двугранных призм, разверну-
развернутых вокруг оси резонатора относительно друг друга. Рис. 4.17 будем счи-
считать видом вдоль оси этого резонатора, ребра левой и правой призм —
ориентированными вдоль EfF и D*D соответственно, выводную пластину с
проекцией А*ВСЕ* — находящейся непосредственно у правой (нарис.4.14в)
призмы. Перед этой пластиной сечение пучка, следующего к правой призме,
имеет форму ECDAE (рис. 4Л7а), после пластины — ABCDA. В результате
отражения от призмы с ребром по D'D сечение приобретает зеркально
преобразованную (при наблюдении с той же стороны) относительно D'D
форму, представленную на рис. 4.176. После отражения от левой призмы
сечение пучка вновь зеркально преобразуется (теперь уже относитель-
относительно E'F) и приобретает исходные форму и ориентировку (рис. 4.17в).
Небольшое уменьшение площади, являющееся следствием вычитания АВСЕ,
компенсируется "растягиванием" сечения в М раз на пути к левой призме.
248
Описанный выше вариант резонатора предназначен для лазеров с круг-
круглыми активными элементами: сечения пучков, распространяющихся на-
навстречу друг друга, на протяжении большей части длины имеют формы,
изображенные на рис. 4.116, в (с небольшими поправками, на происхожде-
происхождении которых останавливаться не будем, см. [16]), и в сумме составляют
почти идеальный круг. Как указывалось автором в [16J, варьируя 5 и кон-
конфигурацию отражающей пластины (или выходного зеркала), можно добить-
добиться и совсем иной формы сечений пучков, например прямоугольной. Такая
возможность, особенно ценная для проточных лазеров, поясняется рис. 4.18
(см. также [113]).
Все предыдущее описание неустойчивых резонаторов с вращением
поля основывалось на геометрическом приближении. Хотя для одного
частного случая дифракционная теория уже построена [ИЗ], однако осо-
особой необходимости в ее привлечении нет: сведения, полученные с помощью
оптико-геометрического приближения, при выполнении стандартного усло-
условия А^экв ^ 1 являются вполне надежными.
Адаптивные резонаторы. Необходимость разработки методов, позволяю-
позволяющих компенсировать возникающие в процессе генерации динамические
аберрации резонатора (§ 4.1), стала очевидной уже достаточно давно.
Результаты первых экспериментов, в которых растущая во время импульса
термическая "линза" в активном элементе компенсировалась термическим
же прогибом специального зеркала, были опубликованы в 1970 г. [45]. В
дальнейшем работы, естественно, пошли по пути создания более гибких и
менее инерционных устройств автоматической обратной связи. Количество
публикаций и разнообразие используемых методов сейчас столь велико,
ВСЕ
Рис. 4.18. Получение пучков прямоугольного сечения в резонаторах с поворотом поля
на 90°: ABCD - сечение пучка, отраженного от выходного зеркала; BEFA - оно же
после поворота вокруг О на б = 90° и увеличения линейных размеров в отношении
AB/AD=M
Рис. 4.19. Телескопический резонатор с зеркалом управляемой формы: 1 - обычные
концевые зеркала, 2 - управляемое зеркало, 3 - выводное зеркало
что мы будем вынуждены лишь очень кратко остановиться на основных
принципиально важных моментах этой проблемы.
Существует два основных способа автоподстройки: 1) использование
оптико-механической системы обратной связи с непрерывным контролем
структуры излучения и соответствующей корректировкой резонатора с
помощью введенного в его состав зеркала управляемой формы (гибкого
или много элементного); 2) введение в резонатор узла, который с по-
помощью тех или иных малоинерционных физических процессов осуществляет
операцию обращения волнового фронта (ОВФ).
17. Ю-А. Ананьев
249
Применение сложнейших оптико-механических систем может окупиться
главным образом в крупногабаритных мощных непрерывных лазерах,
большинство которых работает на смесях газов, включающих СО2. Здесь
царят неустойчивые резонаторы, которые лишь одни способны обеспечить
генерацию на единственной поперечной моде, заполняющей сколь угодно
большой объем среды (§ 2.5, 3.3,4.1).
Указанная способность сохраняется и при крупномасштабных аберра-
аберрациях, поэтому, если они незначительны, в приципе можно ставить гибкое
зеркало и вне резонатора, исправляя форму волнового фронта вышед-
вышедшего из лазера пучка. Значительные аберрации способны привести к су-
существенной неравномерности распределения интенсивности по сечению
и к ухудшению использования возбужденной среды. Этого внешней фазо-
фазовой коррекцией уже не исправишь, поэтому лучше всего осуществлять
ее прямо внутри резонатора.
Типичная схема телескопического резонатора с гибким зеркалом при-
приведена на рис. 4.19; управляемые зеркала обычно являются плоскими
(об их форме можно говорить вполне определенно, поскольку возмож-
возможные ее вариации на деле весьма незначительны) и размещаются, по очевид-
очевидным причинам, вблизи вогнутого зеркала. О методах получения исходной
информации, алгоритмах управления и т.д. мы рассказывать не станем,
адресуя к соответствующей литературе (например, [167, 176, 107]).
Перейдем к более распространенным системам с ОВФ. Операция ОВФ
заключается в придании волне прямо противоположного направления
распространения и, с точностью до постоянного множителя, комплексно
сопряженного распределения амплитуды. Это означает, что у исходной и
обращенной (сопряженной) волн совпадают эквифазные поверхности и
форма распределений интенсивности по сечению.
Огромная популярность ОВФ связана с тем, что эквифазные поверх-
поверхности такой пары волн оказываются совпадающими не только вблизи
узла, осуществляющего эту операцию, но и на любом удалении от него,
даже когда среда, в которой они распространяются, является оптически
неоднородной. Это позволяет компенсировать фазовые искажения в лазер-
лазерных средах; принцип компенсации поясняется рис. 4.20. Опорная световая
волна 1 с плоской (или иной требуемой) формой фронта подается в актив-
активный элемент 2 и проходит через него, усиливаясь и одновременно приобре-
приобретая фазовые искажения. В узле ОВФ 3 она преобразуется в обращенную
волну 4у которая, пройдя через тот же элемент в обратном направлении,
приобретает требуемую (в данном случае плоскую) форму фронта [9].
Если в качестве опорного пучка использовать, скажем, свет, рассеянный
каким-либо объектом, то усиленная обращенная Волна попадет на тот же
объект, причем оказываются скомпенсированными фазовые искажения
не только в лазерной среде и системе формирования, но и в атмосфере
(если, конечно, за время прохождения светом расстояния до узла ОВФ
и обратно неоднородности не успевают измениться).
Имеется немало причин, которые в той или иной степени нарушают
эту идиллическую картину. К их числу относятся погрешности функцио-
функционирования самого узла ОВФ, неравномерность распределения усиления
по сечению активного элемента (амплитудные аберрации, приводящие,
в конечном итоге, и к фазовым, при ОВФ не компенсируются), наличие
250
апертурных диафрагм; некоторые комментарии по этому поводу имеют-
имеются в [16] , § 5.3. И все же нередко ОВФ приводит к огромному выигрышу
в расходимости излучения (или в степени концентрации последнего на
заданном объекте).
При большинстве способов реализации обращения оно является следст-
следствием нелинейных процессов, требующих для своего протекания больших
плотностей излучения; скорость выделения энергии даже в малопоглощаю-
щих нелинейных средах оказывается столь высокой, что качественные
Рис. 4.20. Компенсация фазовых искажений методом ОВФ: 1 - исходная волна, 2 -
фазово-неоднородная среда, S — узел ОВФ, 4 - обращенная волна, 5 — зеркало
"ОВФ-зеркала" обычно способны существовать лишь весьма короткое
время. Поэтому основной областью применения ОВФ стали лазерные
устройства с очень малой длительностью импульса, чаще всего реагирую-
реагирующие, как в приведенном выше примере, на приход внешнего сигнала.
Даже тогда, когда эти устройства не являются чисто усилительными, а
имеют подобие резонатора с нелинейным "зеркалом", в образовании пос-
последнего нередко принимает участие пришедшая извне волна, которая и
подлежит обращению. Рассмотрение схем такого типа, которым сейчас
посвящена подавляющая часть публикаций по применению ОВФ в лазер-
лазерной технике, выходит за рамки настоящей книги. Ограничимся тем, что
обсудим условия генерирования узко направленного излучения в "настоя-
"настоящих" резонаторах с ОВФ без внешнего опорного пучка.
Следует отметить, что уже сама такая постановка вопроса в середине
70-х годов вызвала бы недоумение. Дело в том, что в начале 70-х годов
осознание реальной способности ОВФ компенсировать динамические не-
неоднородности активных сред [9] и в особенности открытие и изучение
явления ОВФ при вынужденном рассеянии Мандельштама — Бриллюэна в
известном блестящем цикле работ, идеологом которых был В.В. Рагуль-
ский, привели к гипертрофированной оценке возможностей этого метода.
Если в начале 60-х годов многим казалось, что достаточно построить лазер,
чтобы в силу самой когерентности излучателя достичь расходимости, рав-
равной дифракционному пределу (сколь бы малым при данных размерах
сечения он ни был), то теперь - что для автоматического достижения этой
цели недоставало лишь ОВФ.
В действительности все не так просто. Читатель мог уже неоднократно
убедиться в том, что проблема расходимости обретает особую актуальность
и одновременно становится труднорешаемой тогда, когда генерируемые
пучки имеют большие сечения. Если же к активному элементу и узлу ОВФ
на рис. 4.19 добавить зеркало 5 (форма его поверхности в случае варьиро-
варьирования ее в разумных пределах здесь не играет особой роли), то при боль-
большом числе Френеля у построенного таким образом резонатора результаты
17* 251
будут самыми плачевными. ОВФ способно уничтожить влияние неоднород-
нЧэстей, но не может сделать широкоапертурный резонатор селективным и
помочь выделить ту единственную волну, которую нам хочется иметь.
Этому тезису можно дать следующее качественное обоснование. В § 3.3
было показано, что среди множества возможных мод "выживают" в конеч-
конечном итоге те, которые имеют сравнительно небольшие потери. Отсюда
следует, что в процессе развития генерации "ОВФ-зеркало" обязано принять
форму, соответствующую резонатору с малыми потерями. Из материалов
§ 3.2, 3.3 читателю должно быть ясно, что любые широкоапертурные резо-
резонаторы такого типа не позволяют решить проблему расходимости даже
при идеально однородной среде (что отнюдь не хуже среды со скомпенси-
скомпенсированными неоднородностями). Поведение же лазеров с ОВФ-зеркалами
может отличаться от поведения лазеров с обычными высоко добротными
резонаторами на однородной среде, из-за большей "свободы поведения",
лишь в худшую сторону.
Учитывая все это, нетрудно видеть, что реализовать достоинства ОВФ
в широкоапертурных генераторах можно, лишь установив между активной
средой и обычным концевым зеркалом элементы, выделяющие волну
требуемой формы, — угловые селекторы (либо организовав "аппендиксы",
обеспечивающие большую эффективную длину, см. рис. 4.6). Именно так
и начали вскоре поступать в отдельных работах (например, [116]). Однако,
как мы видели, ситуацию с угловыми селекторами для мощных лазеров
трудно назвать благоприятной (из-за необходимости повышения плотности
излучения на каком-либо участке длины или других подобных причин).
Поэтому все успешные эксперименты с резонаторами, включающими ОВФ-
зеркала, пока производились только на небольших лазерах и носили сугубо
модельный характер.
В подавляющем большинстве этих экспериментов для реализации ОВФ
используется так называемое четырехволновое взаимодействие. За подроб-
подробностями отошлем к [76, 99], отметив, что вместо динамических аберраций
в активной среде обычных лазеров здесь основным источником неприятнос-
неприятностей становятся снижающие точность обращения процессы в нелинейной
среде узла ОВФ. По этой причине реализовать работающий в режиме свобод-
свободной генерации (без модуляции добротности) твердотельный импульсный
лазер с ОВФ-зеркалом пока удалось только М.С Соскину и др. [114] при
использовании предложенной нами в [66] схемы четырехволнового взаимо-
взаимодействия с автокомпенсацией макронеоднородностей в нелинейной среде.
Среди возможных вариантов узла ОВФ особое место занимает обой-
обойденный вниманием в [76, 99] фурье-фильтр для компенсации светорассея-
светорассеяния, являющийся обычной оптической системой, не содержащей нелиней-
нелинейную среду [134]. Рассматривая возвратные отражатели, мы указывали,
что при стндартных концевых элементах резонатора (зеркалах, возврат-
возвратных отражателях) после двукратного прохождения через среду с потерями
на светорассеяние о в плоской волне остается доля энергии, составляющая
в лучшем случае A — аJ. Данный фильтр позволяет повысить ее (в от-
отсутствие значительных макронеоднородностей) до величины порядка
A — о2O [24]; правда, этот эффект имеет место, только когда ширина
индикатрисы светорассеяния удовлетворяет весьма жестким ограниче-
ограничениям [105,24].
252
В заключение нашего краткого экскурса в область ОВФ упомянем
о возможности его использования в неустойчивых резонаторах, кото-
которые действительно способны обеспечить одномодовую генерацию с
предельно малой расходимостью в больших объемах среды. Напомним,
что фронты волн, распространяющихся по неустойчивому резонатору
в противоположных направлениях, не совпадают (рис. 2.6, 2.28). Поэтому
для реализации указанной возможности необходимо, чтобы узел ОВФ
придавал бы фазово-сопряженной волне еще и некую дополнительную
кривизну с, осуществляя вместо преобразования и -> и*, где и — распре-
распределение амплитуды исходной волны, операцию и -> w*exp [ikc(x2 + у2) 12].
Такая операция вполне реализуема; нетрудно установить, что требуемая
с равна 27V3KBXAz2, где N3KB - эквивалентное число Френеля на разме-
размере 2а заменяемого узлом ОВФ зеркала обычного резонатора.
Этот метод, однако, имеет принципиально неустранимый недостаток,
заключающийся в том, что из-за несовпадения хода лучей в прямом и об-
обратном направлениях компенсация фазовых неодно родное гей активной
среды перестает быть полной. Результаты соответствующего анализа, вы-
выполненного автором в [25], показывают, что перспективы применения
ОВФ для широкоапертурных генераторов и в таком варианте оказываются
отнюдь не блестящими.
Заключение. Резонаторы для лазеров с кольцевым сечением среды.
Изложенные в настоящей книге сведения о наиболее общих свойствах
резонаторов трех "фундаментальных" классов (типа устойчивых с удержа-
удержанием поля каустиками, типа плоских с удержанием поля за счет краевой
дифракции и типа неустойчивых с расширением сечения пучка на обходе
резонатора) носят весьма универсальный характер. Это позволяет пользо-
пользоваться ими не только в стандартных ситуациях, но и при решении принци-
принципиально новых задач лазерной техники.
Примером может послужить наиболее интересная и активно обсуждае-
обсуждаемая в последние годы проблема резонаторов для широкоапертурных лазе-
лазеров с кольцевым сечением активной среды. Она обрела актуальность с мо-
момента появления мощных ГДЛ с большим количеством сопел: переход от
параллельного расположения последних к круговому с радиальным истече-
истечением среды сулит немалые выгоды. Бегло просмотрим вместе с читателем
основные посвященные этой проблеме работы.
В статьях [148, 185] обсуждалась возможность размещения активной
среды за выходным зеркалом телескопического резонатора, где световой
пучок имеет кольцевое сечение. Для создания цепи обратной связи, вклю-
включающей участок со средой, после среды устанавливается плоское полупроз-
полупрозрачное зеркало, возвращающее часть излучения назад в виде сходящейся
волны. Из материалов § 4.1. 43 нам известно, что широкоапертурные
неустойчивые резонаторы с источниками сходящейся волны неудовлетво-
неудовлетворительны с точки зрения угловой расходимости излучения; поэтому данная
схема перспектив не имеет.
Легко прийги к аналогичному выводу и по поводу резонаторов из тори-
ческих зеркал [142, 145, 162]. В отличие от обычных неустойчивых ре-
резонаторов, имеющих единственную перпендикулярную обоим зеркалам ось,
от которой "растекается" во все стороны излучение, здесь таких осей мно-
множество. Поэтому такие резонаторы в значительной мере обладаю г неодно-
253
кратно обсуждавшимися нами дефектами, присущими широкоапертурным
плоским резонаторам (высокая чувствительность к разъюстировкам и
неоднородностям среды, тенденция к многомодовой генерации с нерегу-
нерегулярной кинетикой и т.п.).
Лишены этих дефектов и в принципе жинеспособны описанные в [185,
149] неустойчивые резонаторы типа HSURIA с аксиконными преобразо-
преобразователями сечения пучка. Хотя присутствие элементов с несферическими
поверхностями приводит к ряду существенных особенностей этих резона-
резонаторов, они все же в какой-то степени сохраняют основные черты обыч-
обычных неустойчивых; в частности, они могут эффективно управляться тем
или иным воздействием на центральный участок сечения [161] (см. § 4.3).
Правда, еще неясно, не "перетянут" ли такие их недостатки, как излиш-
излишняя концентрация излучения вблизи центра выпуклого зеркала, повышен-
повышенная чувствительность к определенного вида возмущениям и т.п., все
преимущества осесимметричного расположения сопел. Кроме того, наличие
аксиконных преобразователей в их "первозданном" виде вызывает пример-
примерно такие же неприятности с поляризацией излучения [163, 155], что и
в недавно обсуждавшемся варианте резонаторов с триппель-призмами
(рис. 4.14). Поэтому для достижения хороших результатов необходимо
как-то бороться с поляризационной анизотропией, что и делалось в [173].
Словом, даже переход к торическим, коническим и тому подобным
отражателям не приводит к особым неожиданностям. Это позволяет на-
надеяться, что материалы данной книги сохранят определенный смысл в ходе
и дальнейшего развития лазерной техники.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПАРАКСИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ
С АСТИГМАТИЧЕСКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Приведем без выводов и доказательств основные формулы матричной
теории астигматических систем, содержащих фазово-амплитудные коррек-
корректоры и элементы, осуществляющие проективные преобразования сечения
пучка (границы раздела при больших углах падения, дифракционные ре-
решетки и т.п.). При этом будем опираться на систему обозначений и резуль-
результаты [33,35].
В геометрическом приближении преобразование поперечных (х, у) и
угловых (ах, ау) координат параксиального луча на входе системы в коор-
координаты на выходе осуществляется действительными матрицами 5 X 5 по
формуле
x2
Уг
1
0
xxy
^yy
0
вх
в
ух
в*
D
ху
ху
D
ух
D
УУ
О
О
ay2
Ly2
1
У\
1
r2
Of2
1
=
A
л
с
0
в
Л
D
0
д2
с2
1
(строки и столбцы здесь расставлены иначе, чем в матрицах, используемых
лишь в чисто геометрических расчетах [100, 189]), или сокращенно
1
Индексы 1 и 2 соответствуют входной и выходной плоскостям, которые
считаются расположенными в среде с показателем преломления п = 1. При
необходимости рассмотрения траекторий лучей в среде спФ\ можно пола-
полагать, что эти плоскости находятся в "разрывах" среды, имея в виду, что
истинные углы наклона внутри среды равны ах/п, av/'n. Если система со-
содержит границы раздела, зеркала и т.п., ось z должна следовать траекто-
траектории луча по неразъюстированной системе, претерпевая вместе с ним пре-
преломление и отражение.
Введение в матрицу векторов а2 и с2 позволяет учесть разъюстировку
оптических элементов, при наличии которой луч, входящий в систему вдоль
255
оси (гi - at = 0), на выходе оказывается отклоненнным от оси, имея
г2 = а2 и а2 = с2. Если разъюстировки отсутствуют, можно везде 5-е стро-
строки и столбцы опустить, используя, таким образом, матрицы 4X4.
А А А А
Двухрядные матрицы А, В, С, D отдельных элементов и оптических сис-
систем от величин разъюстировок, которые всегда считаются малыми, не зави-
зависят. Эти матрицы связаны между собой так, что выполняется соотношение
!!
А В
А А
С D
0 0
а2
с2
1
-1
=
D
А
-С
0
Л
А
0
<*\
С\
1
где ах = Вс2 — Da2 и сг = Са2 - Ас2 — входные координаты луча, кото-
который на выходе совпадает с осью, т.е. имеет r2 = a2 = 0 (изогнутая черта
сверху означает транспонирование) . Отсюда следует, что матрица прохожде-
прохождения через оптическую систему в обратном направлении при том же правиле
знаков в обозначениях координат, что в § 1.1, имеет вид
D В ах
С
А -с
о о
1
Как всегда, результату последовательного прохождения нескольких
оптических элементов (систем) соответствует матрица, равная произве-
произведению матриц этих элементов (систем), причем данное произведение мож-
можно рассчитывать "поблочно".
Если все астигматические корректоры имеют плоскости симметрии,
ориентированные вдоль х и у, причем в местах "изломов" оси координат-
координатные системы преобразуются по правилам рис. 1.3, упомянутые двухрядные
матрицы диагональны. Так, матрица тонкой астигматической линзы с фо-
фокусными расстояниями вдоль х и у, равными fx nfy, имеет "блоки" 5 = 0,
С =
0 -1/Д
А=Ь - I (/ — двухрядная единичная матрица) . Тог-
да проекции любого луча на плоскости yz и xz могут рассматриваться неза-
независимо друг от друга. За поведение первой из них "ответственны" матрич-
матричные элементы с индексами хх и х, которые можно объединить в матрицу
0
Dxx
0
Я*2
сх2
1
осуществляющую преобразование векторов
1
взаимосвязь между поведением второй проекции и элементами с индексами
уу,у аналогична. Этот случай именуется простым астигматизмом; в отсутст-
отсутствие разъюстировок можно у трехрядных матриц и векторов опустить третьи
строки и столбцы, переходя к варианту теории, описанному в § 1.1 (у мат-
матричных элементов Ахх и т.д. один из индексов там за ненадобностью опущен).
Волновые матрицы дифракционного приближения удовлетворяют тем
же формулам и также рассчитываются путем перемножения матриц всех
256
входящих в систему элементов с учетом уже не только фазовых, но и амп-
амплитудных корректоров. Для функции отклика произвольной оптической
системы сDet В ФО справедлива формула
G(r2,ri)= [k/Bmy/Det В)] exp (ikL, 2 );
1 2 ~ ¦'-'О /2 IV 1 > " ^ ' 1 / "" V 2 •> DO Т2) — L \г \ , D ' 2 /J
+ (rl9B'la2) + (ль Д^) - ^(e!,^^) + I
где Lo - измеренная вдоль оси оптическая длина системы до разъюстиров-
ки; скалярные произведения вычисляются без комплексного сопряжения.
Если амплитудные корректоры отсутствуют, волновые матрицы совпа-
совпадают с лучевыми. Величина L 12 тогда действительна и представляет собой
эйконал - оптическое расстояние между точками гх и г2 на входной и вы-
выходной плоскостях, измеренное вдоль повинующегося законам геометри-
геометрической оптики луча.
Два последних члена в формуле для L х 2 являются свободными и появ-
появляются при разъюстировках за счет того, что луч, проходящий через точки
г! = 0 и г2 =0, перестает совпадать с осью. Параметр / вычисляется сумми-
суммированием по всем разъюстированным элементам (включая участки среды
c/ij Ф 0, см. далее):/ = 2 [Jm + й (^im,c2m) - ^(clm,tf2m)]. Здесь
m
векторы alm , сХт принадлежат обратной волновой матрице данного эле-
элемента, а2т и С2т — волновой матрице участка системы от общего входа
до входа в данный элемент; наконец, Jm является индивидуальным па-
параметром разъюстированного элемента, непредставимым через его волно-
волновую матрицу.
Если разъюстировки отсутствуют, четыре последних члена в формуле
для Ll2 исчезают, и она становится похожей на A.11). При этом, естест-
естественно, можно пользоваться матрицами 4 X 4. Когда вдобавок астигма-
астигматизм является простым, аппарат сводится к изложенному в § 1.1.
Теперь коснемся способов вычисления параметров отдельных элемен-
элементов. Матрица элемента (или набора элементов) с круговой симмет-
симметрией, характеризовавшегося в | 1.1 двухрядной A BCD- матрицей,
А АЛ А
имеет блоки А = А19 В = BI, . . . Любой астигматический элемент
с плоскостями симметрии, параллельными осям х и у, имеет матрицу с
^ А
диагональными двухрядными блоками А, В, . . . Знание последних
позволяет легко найти блоки для того же элемента (набора), повернутого
А А А
вокруг оси z на произвольный угол 0. Они равны F(—6)AFF),
cos0 sin0 II
- матрица поворота систе-
—sin0 cos0 11
мы координат вокруг оси z на угол 0.
Элементы диагональных блоков матрицы протяженного участка среды
с п = щ —Vi (n2)xxx2 — Ы(п2)ууу2 могут быть вычислены по формулам
табл. 1.1; так, Ахх = cos[/ v(n2)xx/no] и т.д. (/ — длина участка). В более
общем случае среды с и = п0 - (/ii, г) - %(г, й2г), где г - поперечная
257
координата, п2 - двухрядная симметричная матрица, А = D = cos(/P),
В= —P~l sin (/P),C=-«oPsin(/P),a2 =0i = [cos(/P) - /] ft?nx,c2 =
no
= __Cl = _/>-* Sin (/jp) nt, / = Й (8V /*i, / ^i + c2). Здесь /> - симметричная
л
матрица, являющаяся решением уравнения Р2 = (l//to)«2; матричные
функции вычисляются по формуле Сильвестера
/ sin \ л Р~\21 / sin \ P-Xi? /sin \
( ) (/р> = Т—Т" * ( )(/Xl) + Т"Г" • ( У
\ COS/ Л! - А2 \ COS/ Л2 - Л! \ COS/
л
в которой Х1>2 - собственные значения Р (структура этой формулы тако-
такова, что выбор ветви квадратного корня для Р не играет роли).
Локальные (лишенные длины) элементы относятся к классу систем с
В = 0. У таких систем А, Д а2 и a t действительны, D = A~l, функция откли-
отклика имеет вид ^
G{r2frx) = (Deti)/2 expi& i
1
+ lh (a2ic2) + /]} 6 (гг - A~l r2 + A~l a2).
Таким образом, здесь осуществляется проективное преобразование
сечения пучка с матрицей преобразования А и поперечным сдвигом я2,
а также описываемая экспоненциальным множителем фазово-амплитуд-
ная коррекция. С учетом того, что матрица АС обязана быть симметрич-
симметричной (см. далее), взаимосвязь между видом G и пятирядной матрицей
системы оказывается однозначной, что позволяет устанавливать вид
матриц локальных элементов по реально производимым ими преобра-
преобразованиям распределений комплексной амплитуды.
Фазово-амплитудные корректоры (линзы, гауссовы диафрагмы) име-
имеют матрицы с A =D = I9 а2 -а^ = 0. При "функции пропускания"
exp [iktyfax2 + V?,fay2 + faxy + 04х + fay + 06)]
ал
,/=06-
они имеют, очевидно, С =
0i 0з = ^ J 04
0з 02 II' С2 I 05
К локальным элементам, которые могут иметь я2, ах Ф 0, относятся
зеркала. Матрицы преобразования светового пучка дифракционными ре-
решетками (при учете какого-то одного порядка дифракции) и границами
раздела чаще всего имеют также A, D Ф I. Явный вид этих матриц в при-
присутствии всевозможных разъюстировок приведен в [35].
В заключение сообщим, что определители всех фигурировавших выше
пяти- и четырехрядных матриц равны единице, а входящие в них "блоки"
связаны соотношениями (из которых вытекает, в частности, вид приведен-
приведенной ранее обратной матрицы):
аа а'аа' 'а' ааа 'а' а 'а*' а'а' а
DA~BC = AD-CB = AD~BC= DA - СВ = /;
АС=СА, DB=BD, AB = BA, DC = CD,
все восемь произведений в последних четырех равенствах, а также матрицы
В'1 A, DB'1 ,АС~\ С Ь симметричны.
258
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
иАбаеков В.К., Беляев B.C. // ЖПС. - 1975. - Т. 23. - С. 1110.
2.Аблеков В.К., Колядин С.А., Фролов А.В. Высокоразрешающие оптические систе-
системы. - М.: хМашиностроение, 1985.
3„ Авербах B.C., Власов СИ. // РЭ. - 1969. - Т. 14. - С. 1709.
4„ Александров Б.С, Ананьев Ю.А., Лавров А.В. и др. // Квантовая электрон. -
1977.-Т. 4. -С. 1460.
5. Алексеев В.Н., Ананьев Ю.А., Дауэнгауэр Э.Ф. // ДАН СССР. - 1974. - Т. 214. -
С 535.
в.Альтшулер Г.Б.У Исянова Е.Д.У Карасев В.Б. и др. // Квантовая электрон. -
1977. -Т. 4,-С. 1517.
7. Ананьев Ю.А. // ЖТФ, - 1967. - Т. 37. - С. 139.
8. Ананьев Ю.А. // УФН. - 1971. - Т. 103. - С. 705.
Э.Ананьев Ю.А. Авт, свид.№ 414935 с приор, от 12.10.1971. // БИ. - 1974. -№35.-
С 171.
10„ Ананьев Ю.А. // "Квантовая электроника" / Под ред. Н.Г. Басова. - 1971. - №6. -
СЗ.
11. Ананьев Ю.А. // "Квантовая электроника" / Под ред. Н.Г. Басову. - 1973. -
№1 A3). -С. 105.
П.Ананьев Ю.А. Авт. свид. № 530606 с приор, от 4.04.1975. // БИ. - 1980. - № 48. -
С. 320.
П.Ананьев Ю.А. // Квантовая электрон. - 1975. - Т. 2. - С. 1138.
14. Ананьев Ю.А. // Тр. ГОИ. - 1975. - Т. 42, вып. 176. - С. 3.
15. Ананьев Ю.А. // Письма в ЖТФ. - 1978. - Т. 4. - С. 372.
16. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излуче-
излучения. - М.: Наука, 1979.
П.Ананьев Ю.А. //Оптика и спектроскопия. -- 1983. - Т. 54. - С. 765.
18. Ананьев Ю.А. // ЖТФ. - 1984. - Т. 54. - С 1968.
19. Ананьев Ю.А. // ДАН СССР. - 1984. - Т. 279. - С. 1087.
20. Ананьев Ю.А. // Оптика и спектроскопия. - 1985. - Т. 59. - С. 932.
21. Ананьев Ю.А. - См. [20]. - С. 1384.
22. Ананьев Ю.А. // Оптика и спектроскопия. - 1988. - Т„ 64. - С. 650.
23.Ананьев Ю.А. -См. [22]. -С. 1211.
24, Ананьев Ю.А. // Оптика и спектроскопия. - 1988. - Т. 65. - С. 415.
25. Ананьев Ю.А. - См. [24]. - С. 963.
26 Ананьев Ю.А., Аникичев СГ. // ЖТФ. - 1983. - Т. 53. - С. 1959.
21, Ананьев Ю.А., Аникичев СГ. // Оптика и спектроскопия, - 1985. - Т. 59. -
С. 1331.
28. Ананьев Ю.А., Аникичев СГ. // Оптика и спектроскопия. — 1986. - Т. 61. -
С 856.
29. Ананьев Ю.А., Аникичев СГ. // Оптика и спектроскопия. — 1987. — Т. 63. -
С. 1189.
30. Ананьев Ю.А., Аникичев СГ // Оптика и спектроскопия. - 1988. - Т. 64. -
С. 390.
31. Ананьев Ю.А., Аникичев СГ. Оптика и спектроскопия. - 1989. - Т. 67. - С 693.
32. Ананьев Ю.А., Аникичев СГ., Горланов А.В. // Оптика и спектроскопия. -
,1988. -Т. 64, -Со 957.
33. Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. // Оптика и спектроскопия. - 1986. - Т. 61. -
С. 1123.
34. Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. // Оптика и спектроскопия. - 1988. - Т. 64. -
С. 232.
35. Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. // Оптика и спектроскопия. - 1980. - Т. 66. -
С. 910 и 702.
36. Ананьев Ю.А., Белоусова И.М., Данилов О.Б. и др. // Квантовая электрон. -
1974.-Т. 1.-С. 2%.
31. Ананьев Ю.А., Бужинский И.М., Ванюков МЛ. и др. // Опт.-мех. пром-сть. -
1968. -№9. С. 26.
38. Ананьев Ю.А., Винокуров Г.Н. // ЖТФ. - 1969. - т. 39. - С. 1327.
259
39. Ананьев ЮЛ., Винокуров Г.Н., Ковалъчук Л.В. и др. // ЖЭТФ. - 1970. Т. 58. -
С. 786.
40. Ананьев Ю.А., Глущенко Ю.В. // Оптика и спектроскопия, - 1984. - Т. 57. -
С. 370.
41. Ананьев Ю.А., Головня Е.Г. // Оптика и спектроскопия. - 1985. - Т. 59. - С 381.
42. Ананьев Ю.А., Горячкин Д.А., Иртуганов В.М. и др. // Квантовая электрон. -
1978. -т. 5. - С. 138L
43. Ананьев Ю.А., Горячкин Д.А., Свенцицкая Н.А. и др. // Квантовая электрон. -
1979. -Т. 6.-С. 1773.
44. Ананьев Ю.А., Гришманова Н.И // ЖПС. - 1970. - Т. 12. ~ С 668.
45. Ананьев Ю.А., Гришманова Н.И. // ЖПС. - 1970. - Т. 12. - С. 1109.
46. Ананьев Ю.А., Гришманова Н.И, Дауэнгауэр Э.Ф. и др. // ЖПС. - 1970. - Т. 13. -
С. 227.
47. Ананьев Ю.А., Гришманова НИ, Ковалъчук Л.В. и др. // "Квантовая электрони-
электроника" / Под ред. Н.Г, Басова. - 1972. - № 2 (8). - С. 85.
48. Ананьев ЮЛ., Гришманова Н.И, Петрова ИМ. и др. // Квантовая электрон, -
1974.-Т. 1. -С. 1247.
49. Ананьев ЮЛ., Гришманова Н.И, Петрова ИМ. и др. // Квантовая электрон. —
1975. -Т. 2. - С. 738.
50. Ананьев Ю.А., Гришманова Н.И, Петрова ИМ. и др. // Квантовая электрон. -
1975. -Т.2. -С. 1952.
51. Ананьев ЮЛ., Гришманова Н.И, Свенцицкая НА. // ЖТФ. - 1973. - Т. 43. -
С. 1530.
52. Ананьев ЮЛ., Егорова В.Ф., Мак АЛ. и др. // ЖЭТФ. - 1963. - Т. 44. - С. 1884.
53. Ананьев ЮЛ., Ковальчук Л.В., Трусов В.П. и др. // Квантовая электрон. - 1974. -
Т. 1.-С. 1201.
54. Ананьев Ю.А., Ковальчук Л.В.t Шерстобитов В.Е. // Квантовая электрон. - 1976. -
Т. 3.-С. 1412.
55. Ананьев ЮЛ., Купренюк В.И, Сергеев В.В. и др. // Квантовая электрон. - 1977. —
Т. 4. - С. 1456.
56. Ананьев ЮЛ., Купренюк В.И, Шерстобитов В.Е. // Квантовая электрон. - 1979. —
Т. 6. -С. 1871.
57. Ананьев ЮЛ., Любимов В.В., Орлова ИБ. // ЖТФ. - 1969. - Т. 39. - С 1872.
58. Ананьев Ю.А., Любимов В.В., Седов Б.М. Ц ЖПС. - 1968. - Т. 8. - С. 955.
59. Ананьев Ю.А., Мак А.А., Седов Б.М. // ЖЭТФ. - 1965. - Т. 48, - С. 7.
60. Ананьев Ю.А., МакА.А., Седов Б.М. // ЖЭТФ. - 1967. - Т. 52. - С. 12.
61. Ананьев Ю.А., Свенцицкая НА., Шерстобите В.Е. // ДАН СССР. - 1968. -
Т. 79. -С. 1304.
62. Ананьев ЮЛ., Свенцицкая НА., Шерстобитов В.Е. // ЖЭТФ. - 1968. - Т. 55. -
С. 130.
63*Ананьев ЮЛ.,' Свенцицкая НА., Шерстобите В.Е. // ЖТФ. - 1969. - Т. 39. -
С. 1325.
64. Ананьев ЮЛ., Седов Б.М. // ЖЭТФ. - 1965. - Т. 48. - С 782.
65. Ананьев ЮЛ., Сиразетдинов B.C., Чернов В.Н. и др. // "Квантовая электрон" /
Под ред Н.Г. Басова. - 1973. - № 3 A5). - С. 115.
66. Ананьев ЮЛ., Соловьев В.Д. // Оптика и спектроскопия. - 1983. — Т. 54. —
С. 136.
61. Ананьев ЮЛ., Трусов В.П., Шерстбитв В.Е. // Квантовая электрон. - 1976. -
Т. 3. -С. 1715.
68' Ананьев ЮЛ., Чернов В.Н, Шерстобите В.Е. // "Квантовая электроника" /
Под ред. Н.Г. Басова. - 1971. - № 4. - С. 112.
69. Ананьев ЮЛ., Шерстбитв В.Е. // "Квантовая электроника" // Под ред. Н.Г. Ба-
Басова. -1971. -№3. -С. 82.
70. Ананьев ЮЛ., Шерстобите В.Е. // ЖТФ. - 1973. - Т. 43. С. 1013.
71. Ананьев ЮЛ., Шерстбитв В.Е., Шорохов ОЛ. // "Квантовая электроника" /
Под ред. Н.Г. Басова. - 1971. - № 1. - С. 91.
12. Ананьев ЮЛ., Шорохов ОЛ. Авт. свид. № 282542 с приор, от 19.03.1969// БИ. -
1970. -№30. -С. 86.
13. Ананьев ЮЛ., Шорохов ОЛ. // Опт.-мех. пром-сть. - 1977. - № 11. - С. 12.
260
74. Анохов СМ., Марусий Т.Я., Соскин М.С. Перестраиваемые лазеры. - М.: Радио и
связь, 1982.
75о Багдасаров З.Е., Вириник Я.З., Воротилов СП. и др. // Квантовая электрон. -
1981. -Т. 8. -С. 2397.
76. Бельдюгин ИМ., З&гьдович Б.Я., Золотарев М.В. и др. // Квантовая электрон. -
1985. -Т. 12. -С. 2394.
77о Борн М., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ. - М.: Наука, 1970.
1%оБулдырев B.C., Фрадкин Э.Е. // Оптика и спектроскопия. - 1964. - Т. 17. -
С. 583.
ТЭ.Вайнштейн Л.А. Дифракция и метод факторизации. — М.: Сов. радио, 1964.
ЪО.Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. - М.: Сов. радио,
1966.
ЪХ.Ванюков ММ., Горланов А.В., Любимов В.В, и др. Ц "Квантовая электроника" /
Под ред. Н.Г. Басова. - 1971. - № 4. - С. 117.
ЪЬВанюков ММ., ИсаенкоВМ,ЛуизоваЛА.идр. //ЖЭТФ. - 1965. - Т. 48. - С 3.
ЪЪ.Ванюкое ММ., Исаенко В.И., Серебряков В.А. // ЖЭТФ. - 1963. - Т. 44. -
С. 1493; 1964.-Т. 46.-С. 1182.
84. Вахитов Н.Г // РЭ. - 1965. - Т. 10. - С. 1676,
85. Винокуров ГЛ., Любимов В.В., Орлова И.Б. и др. - Тр. V Всесоюзн. симп. по диф-
дифракции и распространению волн. — Л.: Наука, 1971. - С. 72.
86. Винокуров ГЛ., Любимов В.В., Орлова И.Б. // Оптика и спектроскопия. - 1973.
-Т. 34. -С. 741.
87. Виткин Э.И. /I ЖПС. - 1967. - Т. 7. - С. 185.
88. Владимиров Ф.Л., Грозное М.А., Еременко А.С и др. // Квантовая электрон. -
1985. -Т. 12. -С. 2071.
89. Гализин А.А., Громов АЛ. // Оптика и спектроскопия. - 1986. - Т. 60. - С. 425.
90. Гершун В.В., Устюгов В.И. // Квантовая электрон. - 1974. - Т. 1. - С. 2608.
91. Глоге Д. // "Квазиоптика" / Пер. с англ. и нем. - М.: Мир, 1966. - С. 264, 280.
92. Гончаренко A.M. Гауссовы пучки света. - Минск: Наука и техника, 1977.
93. Горланов А.В., Калинина А.А., Любимов В.В. и др. // ЖПС - 1972. - Т. 17. -
С. 617.
94. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику:Пер. с англ. - М.: Мир, 1970.
95. Данилейко Ю.К., Лобачев В.А. //Квантовая электрон. - 1974. - Т. 1. - С. 668.
Эб.Джеррард А., Берч Дж.М. Введение в матричную оптику: Пер. с англ. — М.: Мир,
1978.
97. Завгороднева СИ., Купренюк В.И., Сергеев В.В. и др. // Квантовая электрон. -
1980. -Т. 7, -С. 142.
98. Зейгер СТ., Фрадкин Э.Е. // "Физика газовых лазеров". - Л.: Изд-во ЛГУ, 1969.
-С. 55
99. Зельдович Б.Я., Пилипецкий П.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фронта. —
М.: Наука, 1985.
100. Ищенко Е.Ф. Открытые оптические резонаторы. - М.: Сов. радио, 1980.
101. Калинин В.П., Любимов В.В., Орлова И.Б. // ЖПС - 1970. - Т. 12. - С 1019.
102. Карамзин ЮЛ., Конев Ю.Б. // Квантовая электрон. - 1975. - Т. 2. - С 256.
103. Кириллов Г.А., Кормер С.Б., Кочемасов ГГ. и др. // Квантовая электрон. - 1975.
- Т. 2. - С. 666.
104. Кирсанов Б.П., Леонтович A.M. // Тр. ФИАН СССР. - 1977. - Т. 98. - С. 141.
105. Климентьев СИ., Кононов В.В., Купренюк В.И. и др. // Квантовая электрон. -
1985. -Т.12. -С 2501.
106. Коваленко B.C. // Квантовая электрон. - 1976. - Т. 3. - С 433.
107. Ковальчук Л.В., Родионов А.Ю., Шерстобитов В.Е, // Квантовая электрон. - 1983.
-Т. 10. -С. 1564.
108. Ковальчук Л.В., Шерстобитов В.Е. // Квантовая электрон. - 1977. -
Т. 4.-С 2166.
109. Конюхов В.К. Оптический резонатор газодинамического лазера. - М.: Отчет
• ФИАН СССР, 1971; Препринт ФИАН СССР, 1976, № 141.
ПО. Королев ФА. Спектроскопия высокой разрешающей силы. - М. : Гостехиздат,
1953.
ИХ.Кравченко В.И., Соскин М.С. // "Квантовая электроника" (труды республиканс-
республиканского семинара). - Киев: Наук, думка, 1969. - Вып. 4. - С. 42.
261
112. Кузнецова Т.И.,Раутиак СГ. // ФТТ. - 1963. - Т. 5. - С. 2105.
113. Купренюк В.И., Семенов В.Е., Смирнова Л.Д. и др. // Квантовая электрон. - 1983.
-Т. 10. С. 2478.
114. Кучеров Ю.И.,Лесник СА., Соскин М.С. и др. // Укр. физ. журн. - 1984. -Т. 29.
-С. 1593.
115. Кытина И. Г., Нестеренко В.М. // Квантовая электрон, - 1974. - Т. 1. - С. 721.
116. Лесник С.А., Резников М.Г., Соскин М.С и др. // "Обращение волнового фронта
оптического излучения в нелинейных средах". - Горький, 1979. С. 146.
117. Летохов В.С, Сучков А.Ф. // Тр. ФИАН СССР. - 1968. - Т. 43. - С. 169.
118. Лившиц Б.Л. И УФИ. - 1969. -Т. 98. -С. 393.
119. Лившиц Б.Л., Цикунов В.Н. //ЖЭТФ. - 1965. -Т. 49. -С 1843.
120. Любимов В.В. Ц Оптика и спектроскопия. - 1966. - Т. 21. - С. 224.
121. Любимов В.В. И Оптика и спектроскопия. - 1968. - Т. 24. - С. 815.
122. Любимов В.В. Авт. свид. № 357875 с приор, от 31.08.1970. // БИ. - 1972. - № 34.
123. Любимов В.В. Ц Изв. АН СССР. Сер. физ. - 1982. - Т. 46. - С. 1970.
124. Любимов В.В., Орлова И.Б. // Оптика и спектроскопия. - 1970. - Т. 29. - С. 581.
125.Любимов В.В., Орлова И.Б. // Оптика и спектроскопия. - 1976. - Т. 41. -
С 288.
126. Микаэлян А.Л., Коровицын А.В., Наумова Л.В. // Письма в ЖЭТФ. - 1965. - Т. 2.
-С. 37.
127. Прохоров AM. Ц ЖЭТФ. - 1958. - Т. 34. -С. 1358.
128. Свенцицкая Н.А., Хазов Л.Д. // ЖПС. - 1966. - Т. 3. - С. 230.
129. Соскин М.С, Бондаренко М.Д., Гнатовский А.В. // Письма в ЖЭТФ. - 1971. -
Т. 14. -С. 27.
130. Сучков А.Ф. Ц Тр. ФИАН СССР. - 1968. - Т. 43. - С. 161.
13L "Техника субмиллиметровых волн" / Под ред. Р.А. Валитова. — М.: Сов. радио,
1969.
132. Троицкий Ю.В. Ц Квантовая электрон. - 1974. - Т. 1. - С. 124.
133. Фрадкин Э.Е. // Оптика и спектроскопия. - 1966. - Т. 20. - С. 316.
134. Шерстобитов В.Е. // Квантовая электрон. - 1985. - Т. 12. - С. 91.
135. Шерстобитов В.Е., Винокуров.ГЛ. // "Квантовая электроника" / Под ред. Н.Г. Ба-
Басова. - 1972. - № 3 (9). - С. 36.
136. Ярив А. Квантовая электроника: Пер. с англ. - М.: Сов. радио, 1980; Введение в
квантовую электронику: Пер. с англ. - М.: Высш. шк., 1983.
137. Arnaud J.A. // Appl. Optics. - 1969.* - V. 8. - P. 189.
138. Arnaud J.A. 11 Bell Syst. Techn. J. - 1970. - V. 49. - P. 2311 JOSA. - 1971. -
V. 61.-P. 751.
139. Baker J.A., Peters С V. 11 Appl. Optics. - 1962. - V. 1. - P. 674.
140. Boyd G.D., Gordon LP. 11 Bell Syst. Techn. J. - 1961. - V. 40. - P. 489.
141. Boyd G.D., Kogelnik H. // Bell Syst. Techn. J. - 1962. - V. 4L - P. 1347.
142. Casperson L.W. // JOSA. - 1973. - V. 63. - P. 25.
143. Casperson L.W. // JOSA. - 1976. -V. 66. - P. 1373.
144. Casperson L.W., Kincheloe N.K., Stafsudd O.M. // Opt. Commun. - 1977. - V. 21. -
P.I.
145. Casperson L.W.. ShekhaniM.S. 11 Appl. Optics. - 1975. - V. 14. - P. 2653.
146. Casperson L.W., Yariv A. // Appl. Phys. Lett. - 1968. - V. 12. - P. 355.
147. Chester A.N. // Appl. Optics. - 1973. - V. 12. - P. 2353.
148. Chodzko R.A., Mason S.B., Cross E.F. // Appl. Optics. - 1976. - V. 15. - P. 2137.
149. Chodzko R.A., Mason S.B., Turner E.В. e. a. // Appl. Optics. - 1980. - V. 19. - P. 778.
150. Chodzko R.A., Mirels H., Roehrs F. e. a. // IEEE J. of Quant. Electr. - 1973. -
V. QE-9.-P.523.
151. Collins R.J., Nelson D.F., Schawlow A.L. e. a. 11 Phys. Rev. Lett. - 1960. - V. 5. -
P. 303.
152. Collins S.A. H Appl. Optics. - 1964. - V. 3. - P. 1263.
153. Collins S.A., White G.R. // Appl. Optics. - 1963. - V. 2. - P. 448.
154. Daly R., Sims S.D. // Appl, Optics. - 1964. - V. 3. - P. 1063.
155. Dente G.C. // Appl. Optics. - 1979. - V. 18. - P. 2911.
156. Dicke R.H. 11 US Patent. ~ 1958. - V. 2. - 851, 652.
157. Di Francia T.G. // Appl. Optics. - 1965. - V. 4. - P. 1267.
158. Durnin J., Miceli J.J., Eberli J.H. // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V. 58. - P. 1499.
262
159. Evtuhov V., Neeland J.K. // IEEE J. of Quant. Electr. - 1965. - V. QE-1. - P. 7.
160. Evtuhov V., Siegman A.E. // Appl. Optics. - 1965. - V. 4. - P. 142.
161. Ferguson T.R. // Appl. Optics. - 1986. - V. 25. - P. 581.
162. Ferguson T.R., Smithers M.E. // Appl. Optics. - 1984. - V. 23. - P. 2122.
163. Fink D. И Appl. Optics. - 1979. - V. 18. - P. 581.
164. Fox A.G., Li T // Bell Syst. Techn. J. - 1961. - V. 40. - P. 453.
165. Fox A.G.. Li T. // Proc. IEEE. - 1963. - V. 51. - P. 80.
166. Fox A.G., Li T. H IEEE J. of Quant. Electr. - 1966. - V. QE-2. - P. 776.
167. Freeman R.H., Freiberg R.J., Garsia H.R. // Opt. Lett. - 1978. - V. 2. - P. 61.
168. Freiberg R.J., Chenausky P.P., Buczek C.J. // AppL Optics. - 1973. - V. 12. - P. 1140.
169. Gehrer G., Ross D. // Z. Naturforsch. - 1965. - Bci 20a. - P. 701.
170. Giordmaine J.A., Kaiser W. 11 J. Appl. Phys. - 1964. - V. 35. - P. 3446.
171. GobbiP.G., Reali G.C. //Opt. Commun. - 1986. - V. 57. - P, 355.
172. Gordon J.P., Kogelnik H. 11 Bell Syst. Techn. J. - 1964. - V. 43. - P. 2873.
173. Guha J.K., Martin J.L., Mickish RA. e. a. // Appl. Optics. - 1981. - V. 20. - P. 3089.
174. Hagen W.F. // J. Appl. Phys. - 1969. - V. 40. - P. 511.
175. Hardy W.A. // IBMJ, Res. and Develop. - 1965. - V. 1. - P. 31.
176. Harney R.C. 11 Appl. Optics. - 1978. - V. 17. - P. 1668.
177. Kahn W.K. // Appl. Optics. - 1966. - V. 5. - P, 407.
178. Kogelnik H. // Bell Syst. Techn. J. - 1965. - V. 44. - P. 455.
179. Kogelnik II, Li T. // Proc. IEEE. - 1966. - V. 54. - P. 1312; AppL Optics. - 1966. -
V. 5. -P. 1550.
180. Krupke W.E., Sooy W.R. // IEEE J. of Quant. Electr. - 1969. - V. QE-5. - P. 575.
181. La Tourette J.T., Jacobs S.F, Rabinowitz R. Appl. Optics. - 1964. - V. 3. - P. 981.
182. LaxM., Greninger C.E., Louisell W.H. e. a. 11 JOSA. - 1975. - V. 65. - P. 642.
183. Li Т. И Bell Syst. Techn. J. - 1963. - V. 42. - P. 2609.
184. Maiman Т.Н. // Nature. - 1960. - № 4736. ~ P. 493N
185.Mumola P.B., Robertson H.J., Steunberg G.N. e. a. // Appl. Optics.- 7978. - V. 17. -
P. 936.
186. Ogura //., Yoshida Y., Ikenoue J. 11 J. Phys. Soc. Japan. - 1965. - V. - 20. - P. 598.
187. OkayaA. // Proc. IEEE. - 1963. - V.51. - P. 1033.
188. Pasqueletti F, Ronchi L. 11 JOSA. - 1974. - V. 64. - P. 289.
189. Paxton A.K, Latham W.R. Ц AppL Optics. - 1986. - V. 25. - P. 2939.
190. Peck E.R. 11 JOSA. - 1962. -V. 52. - P. 253.
191.Phillips E.A., Reilly J.P., Northan D.B. // Appl. Optics. - 1976. - V. 15. - P. 2159.
192. Pozzo P.D., Polloni R.t Svelto O. e. a. // IEEE J. of Quant. Electr. - 1973. - V. QE-9. -
P. 1061.
193. Rensch D.B., Chester A.N. I! AppL Optics. - 1973. - V. 12. - P. 997.
194. Rigrod W. // J. Appl. Phys. - 1963. - V. 34. - P. 2602.
195. Sanderson R.L., Streifer И> // AppL Optics. - 1969. - V. 8. - P. 2129.
196. Sanderson R.L., Streifer W. // AppL Optics. - 1969. - V. 8. - P. 2241.
197. Schawlow A.L., Townes C.H. // Phys. Rev. - 1958. - V. 112. - P. 1940.
198. Siegman A.E. // Proc. IEEE. - 1965. - V. 53. - P. 277.
199. Siegman A.E. // Appl. Optics. - 1974. - V. 13. - P. 353.
200. Siegman A.E. // IEEE J. of Quant. Electr. - 1976. - V. QE-12. - P. 35.
201. Siegman A.E., Arrathoon R. 11 IEEE J. of Quant. Electr. - 1967. - V. QE-3. - P. 156.
202. Siegnam A.E., Miller H Y. // App. Optics. - 1970. - V. 9. - P. 2729.
203. Siegman A.E., Sziklas E.A. // Appl. Optics. - 1974. - V. 13. - P. 2775; 1975. -
V. 14. - P. 1874.
204. Skinner J. G., Geusik J.E. // JOSA. - 1962. - V. 52. - P. 1319.
205. Soncini G., Svelto O. // Appl. Phys. Lett. - 1967. - V. 11. - P. 261; IEEE J. of Quant.
Electr. - 1968. - V. QE-4. - P. 422.
206. Statz H, Tang C.L. // J. AppL Phys. - 1964. - V. 35. - P. 1377.
207. Statz H, Tang C.L. // J. AppL Phys. - 1965. - V. 36. - P. 1816.
208. Steier W.H., McAllister G.L. 11 IEEE J. of Quant. Electr. - 1975. - V. QE-11. - P. 725.
209. Stein A. // AppL Optics. - 1967. - V. 6. - P. 2193.
210. Tang C.L., Statz H., de Mars G.A. // J. AppL Phys. - 1963. - V. 34. - P. 2289.
211. Tang C.L., Statz H., de Mars G.A. e. a. // Phys. Rev. - 1964. - V. 136A. - P. 1.
263
NAUKA PUBLISHERS
MAIN EDITORIAL BOARD FOR PHYSICAL
AND MATHEMATICAL LITERATURE
15, Leninsky prospect, Moscow, W-71, 117071, USSR
OPTICAL RESONATORS AND LASER BEAMS
Yuri A. Anan'ev. D. Sc. (physics and mathematics)
1989, ISBN 5-02-014363-4
Readership: Specialists engaged in the development and applications of lasers but for all
those people who would like to update their knowledge of optics.
Principal Features of the Monograph: The principal difference of the monograph from
other books dealing with optical resonators lies in than information on ideal empty resona-
resonators makes up only a small part of its volume. The attention of the reader is focused primarly
on the specific features of real resonators originating from their imperfections, the presence
of an active medium, and the processes occurring in it.
All the latest and most essential results and trends in this area are represented in the
monograph. Considerable attention is paid to prectical applications of various resonators.
This has made it possible to formulate for the first time the main guidelines to be followed
in selecting the type and parameters of a resonator basing on the properties of the active
medium, the method of its excitation, the required laser operational mode, etc.
Attention is directed also to important problems related with behavior of coherent light
beams in optical systems, edge diffraction effects, and so on. This aspect, together with
the intelligibility of presentation make the monograph valuable not only for specialists
engaged in the development and applications of lasers but for all those people who would
like to update their knowledge of optics. It is significant that the preceding monograph
of Yu.A. Anan'ev was not only highly acclaimed by specialists (see, e.g., a review in Usp.
Fiz. Nauk. - V. 133. - P. 555) but was used as a textbook in many colleges in the USSR.
The total volume of the book is about 400—450 typescript pages.
Contents: Preface. Ch. 1. Laws of Light Propagation. Ch. 2. Ideal Resonators. Ch.> 3.
Basis Information on Real Resonators and Relevant Processes. Ch. 4. Applications and
Special—Purpose Resonator Arrangements. Appendix. Paraxial Theory of Systems with
Astigmatic Elements. Literature contains about 200 references.
The monograph contains 2 tables and 84 figures distributed uniformly throughout the
text. The subrubrication of the paragraphs in the list of contents is identified in the text
by headings, the numbersof the corresponding pages being specified in the list.
Information about the author: Anan'ev Yuri Alekseevich, D. Sci. (Phys. — Math.), member
of editorial board of Optika i Spektroskopiya (Engl. Transl.: Opt. Spektry, USSR), a journal
of the USSR Academy of Sciences, 1982 winner of USSR state prize, a world - leading
specialist in low beam divergence lasers. He has obtained a number of fundamental results
both in the area of optical resonators and in applications of dynamic holography to laser
engineering (including optical phase conjugation). Yu.A. Anan'ev is the author of the only
monograph in the world dealing with all the major aspects of development of low beam
divergence lasers (Yu.A. Anan'ev, Optical Resonators and the Laser Beam Divergence Problem
(In Russian), Moscow, Nauka, 1979). He has also published a number of reviews in Usp.
Fiz. Nauk (Engl. Transl.: Sov. Phys. - Usp.) and other journals. His scientific work has won
a high appraisal of such world - famous specialists as A.E. Siegman (USA), Yu.N. Denisjuk
(USSR) and others.