/
Автор: Конторович М.И.
Теги: электротехника радиотехника монография радиоэлектроника теория колебаний
Год: 1973
Текст
ИЕП1АММЫ1
МИНИ»
В Щ№
М. И. КОНТОРОВИЧ
НЕЛИНЕЙНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ
В РАДИОТЕХНИКЕ
(АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ)
МОСКВА «СОВЕТСКОЕ РАДИО» 197?
6Ф2
К65
УДК 621.372.061.3
Конторович М. И.
К65 Нелинейные колебания в радиотехнике (автоко-
лебательные системы) М., «Сов. радио», 1973.
320 с. с ил. •
Монография посвящена теории автоколебательных систем. Рас-
сматриваются автономные и неавтономные системы. Излагаются осно-
вы теории, связанной с процессами генерирования колебаний, деления
частоты, в частности параметрического возбуждения и усиления коле-
баний. Затрагиваются вопросы влияния шумов на фазу и спектр авто-
колебаний. При изучении устойчивости и режимов установления коле-
баний широко используется метод медленно меняющихся амплитуд.
Книга предназначена для широкого круга научных работников и инже-
неров, занимающихся теоретической радиотехникой. Она может быть
использована также в качестве учебного пособия аспирантами и сту-
дентами старших курсов вузов.
0341—062
К 046(01 )-73 9~73 6Ф2
0341—062
*046(01)-73
9—73
© Издательство «Советское радио», 1973 р.
Предисловие
Как видно из заглавия книги, автор стремился изло-
жить теорию колебаний в нелинейных электрических це-
пях. Следует, однако, сразу сказать, что изложение все-
го, что можно и следует понимать под соответствующим
термином, оказалось бы в рамках настоящей небольшой
монографии невозможным. Поэтому пришлось ограни-
чить предмет изложения лишь частью вопросов, подпа-
дающих под заглавие книги. Автору представилось целе-
сообразным выбрать в качестве такого подраздела тео-
рии колебаний в нелинейных цепях теорию автоколеба-
тельных систем, имеющих применение в радиотехнике.
Однако и эти системы столь многочисленны и многооб-
разны, что полное их рассмотрение оказалось бы чрез-
мерно громоздким, в особенности если стремиться сохра-
нить все основные выкладки и не заставлять читателя
принимать слишком многое на веру.
Перечень вопросов, которые трактуются в книге,
ясен из ее оглавления, но все же по этому поводу сле-
дует сказать несколько слов.
Теория автогенераторов (ламповых и транзисторных)
обычно трактуется в руководствах по общей радиотех-
нике, а также в специальных книгах по радиопередаю-
щим устройствам. Изложение теории этих систем,-приво-
димое в некоторых главах настоящей книги, отличается
методом, а иногда и предметом рассмотрения. В частно-
сти, уделяется большее внимание вопросам устойчивости
стационарных решений, а также некоторым математиче-
ским вопросам.
Изложение теории параметрических усилителей, в ча-
стности двухконтурных, приводится, как это представ-
ляется автору, в более систематической форме, чем это
обычно делается. В частности, дается вывод новых «энер-
гетических» соотношений, из которых соотношения Мен-
ли и Роу получаются как специальный случай.
При изучении устойчивости решений, а также режи-
мов установления колебаний в качестве основного мето-
да используется метод медленно меняющихся амплитуд
(метод ММА) или, как его часто называют, метод усред-
нения или асимптотический метод. В четвертой главе
3
дается Изложение этого метода, прйменйтельно к сй:
стемам с произвольным (конечным) числом степеней
свободы, с использованием некоторых приемов опера-
ционного исчисления, позволяющих во многих случаях
сократить алгебраические выкладки.
Как известно, метод ММА был впервые введен в ра-
диотехнику голландским физиком Ван-дер-Полем. Одна-
ко обоснование этот метод получил лишь позднее в ряде
работ советских и зарубежных ученых. По-видимому, од-
ной из первых (если не первой) работой, посвященной
этому вопросу, 'была статья академиков Л. И. Мандель-
штама и Н. Д. Папалекси \ где рассматривался случай
конечного интервала времени. Однако полное доказа-
тельство метода, применительно к системам с произволь-
ным (конечным) числом степеней свободы, для конечных
и бесконечных интервалов времени было дано академи-
ком Н. Н. Боголюбовым и изложено в известной моно-
графии, написанной им совместно с Ю. А. Митрополь-
ским.
В настоящей книге также уделено место обоснованию
метода ММА. Как по содержанию, так и по форме оно
отличается от проводившихся ранее и более удобно для
целей, которые преследуются настоящей книгой. Для то-
го чтобы не загружать основное изложение математиче-
скими доказательствами, в четвертой главе помимо об-
щего изложения метода лишь формулируются результа-
ты, вытекающие из доказательств, приведенных в специ-
альном приложении.
Полезно отметить одну трудность, с которой прихо-
дится сталкиваться при изложении теории электронных
автогенераторов. Как известно, первые и остающиеся до
настоящего времени классическими работы по теории
ламповых автогенераторов основаны на предположении,
что лампа имеет характеристику с «верхним загибом»,
что соответствовало действительности, когда применя-
лись лампы с вольфрамовыми катодами. Однако в настоя-
щее время ни лампы, ни тем более транзисторы не име-
ют таких характеристик, и, следовательно, подобные
предположения не находятся в соответствии с действи-
тельным положением вещей. Это обстоятельство нельзя
рассматривать как второстепенное, ибо с ним связаны
процессы ограничения амплитуды автоколебаний, а так-
же устойчивость стационарных решений. Приборы, не
1 Мандельштам Л. И. [2].
4
Имеющие характеристик с «верхним загибом», как пра-
вило, нуждаются в дополнительных устройствах, способ-
ствующих ограничению амплитуды автоколебаний, та-
ких, например, как цепи автоматического смещения, а при
отсутствии последних переходят в режим, где ограниче-
ние автоколебаний осуществляется за счет дополнитель-
ных факторов. Здесь может играть важную роль ток сет-
ки (базы), влияние напряжения анода (коллектора) на
протекающие через прибор токи и другие обстоятельст-
ва, которые делают непосредственный перенос выводов
«классической» теории на современные приборы невоз-
можным, и как следствие возникает потребность в неко-
торых изменениях и дополнениях. К сожалению, полный
учет упомянутых обстоятельств приводит к чрезмерному
усложнению теории и лишает ее необходимой наглядно-
сти. Однако в книге все же сделана попытка исключить
ссылки на наличие «верхнего загиба» в статической ха-
рактеристике приборов: он появляется лишь в «динами-
ческих» характеристиках за счет действия автоматиче-
ского смещения, токов сетки или влияния напряжения
анода на протекающий через прибор ток.
Цель, которая преследовалась при написании кни-
ги,— это дать представление о тех основных процессах
и физических явлениях, которые возникают в автоколе-
бательных системах упомянутого типа, и показать мето-
ды их аналитического исследования; получение расчет-
ных формул, обладающих точностью, достаточной для
целей проектирования, не входило в задачу автора.
Часто в книгах по нелинейной радиотехнике или дру-
гих книгах, трактующих процессы в нелинейных систе-
мах, подробно излагается так называемый метод фазо-
вой плоскости, а также метод Пуанкаре — метод нахож-
дения периодических решений дифференциальных урав-
нений. В настоящей монографии эти методы не рассма-
триваются, так как по ходу изложения необходимости
в их применении не возникает. Конечно, упомянутые ме-
тоды представляют самостоятельный интерес, и их рас-
смотрение в монографиях подобного типа вполне умест-
но. Однако учитывая ограниченный объем книги, автор
предпочел уделить имевшееся в его распоряжении место
изложению других материалов, более необходимых с точ-
ки зрения задач, которые он перед собой ставил.
Следует сказать несколько слов по поводу приводи-
мого списка литературы. Хорошо известно, что литера-
5
тура по теории нелинейных колебаний, и в частности По
автоколебательным системам, практически необозрима,
и приведенный в книге список не претендует на полноту.
В этот список в основном включены работы, которые бы-
ли непосредственно использованы при написании книги,
а также работы, которые по тем или иным причинам ка-
зались автору особенно нужными для предполагаемого
читателя. Здесь, конечно, нет никакой попытки разделить
работы на более или менее важные.
Список литературы составлен в алфавитном порядке
по фамилиям авторов. Ссылки на литературу даются пу-
тем указания фамилии автора в тексте книги или в под-
строчном примечании.
При ссылках на формулы приводится номер форму-
лы в круглых скобках, если эта формула принадлежит
данному параграфу; если формула принадлежит друго-
му параграфу, то дополнительно указывается номер па-
раграфа (номера параграфов проставлены внизу на
каждой странице).
Глава 1 написана при участии Б. А. Мартынова,
а глава 7 — В. А. Каратыгина. Глава 11 написана по
материалам работы, выполненной автором совместно
с А. А. Денисовым.
Некоторые главы рукописи были внимательно про-
смотрены В. И. Молотковым, сделавшим ряд ценных
замечаний. Ряд неточностей был исправлен Н. М. Ляпу-
новой, прочитавшей почти всю рукопись в ее первона-
чальном варианте.
Автор считает своим приятным долгом принести бла-
годарность всем упомянутым лицам.
Введение
В теории электромагнитных колебаний принято де-
лить электрические системы на линейные и нелинейные.
Линейными считают такие системы, поведение которых
можно описать линейными по отношению к искомым то-
кам и напряжениям дифференциальными уравнениями.
Эти системы, в свою очередь, делятся на системы
с постоянными и переменными параметрами. Как выте-
кает из самого наименования, к числу первых относятся
такие системы, у которых параметры (сопротивления,
емкости, само- и взаимоиндуктивности и др.) в течение
всего рассматриваемого промежутка времени не изме-
няются. Поведение этих систем, естественно, описывает-
ся линейными дифференциальными уравнениями с по-
стоянными коэффициентами.
Линейные системы с переменными параметрами — это
системы, содержащие элементы, параметры которых из-
меняются со временем, причем эти параметры являются
только функциями времени и не зависят от искомых то-
ков и напряжений. Поведение таких систем может быть
описано линейными по отношению к искомым величи-
нам уравнениями с переменными коэффициентами. Эти
системы часто называют параметрическими.
Нелинейными называются системы, поведение кото-
рых не может быть описано линейными (по отношению
к искомым величинам) уравнениями. Физически это
означает, что среди элементов, образующих систему, име-
ются такие, параметры которых зависят от искомых то-
ков и напряжений. Так, например, система, имеющая
сопротивления, индуктивности или емкости, которые за-
висят от протекающего через них тока или приложенного
к ним напряжения, является нелинейной. К группе нели-
нейных систем обычно относятся и системы, содержащие
электронные лампы или транзисторы
В дальнейшем мы будем в основном рассматривать
нелинейные системы, а также линейные с переменными
параметрами (параметрические системы). Термин «ли-
1 Если, конечно, нельзя считать, что работа происходит на ли-
нейном участке характеристики прибора.
нейные системы» в целях сокращения будем употреблять
в смысле линейные системы с постоянными параметра-
ми, если не будет сделано по этому поводу специальных
оговорок.
Среди нелинейных систем обычно выделяется класс
автоколебательных систем, представляющий наибольший
интерес для нас. К этому классу относят системы, способ-
ные создавать (генерировать) колебания при отсутствии
внешних переменных сил. Так, например, ламповый ге-
нератор, в схеме которого содержатся источники посто-
янного напряжения, является автоколебательной систе-
мой. Автоколебательную систему можно подвергнуть
действию внешних переменных сил. В соответствии
с этим употребляют термины «автономные автоколеба-
тельные системы» и «неавтономные». В первом случае
речь идет о системе, свободной от внешнего воздействия,
а во втором — о системе, подвергающейся воздействию
внешних переменных сил.
Под потенциально-автоколебательной понимается та-
кая система, которая обладает обратной связью и по
своей структуре может быть отнесена к числу автоколе-
бательных, но фактически не является ею лишь потому,
что недостаточна величина обратной связи.
Нелинейные системы — неотъемлемая часть большин-
ства радиотехнических устройств, и их изучение и иссле-
дование весьма важны. К этому выводу легко прийти,
если вспомнить, что линейные системы не могут осуще-
ствлять функции, связанные с преобразованием частоты.
Как известно, если к электрической системе, описывае-
мой линейными уравнениями с постоянными коэффици-
ентами, приложить синусоидальное напряжение, то в си-
стеме возникнут (после того, как затухнут собственные
колебания) токи и напряжения, имеющие форму сину-
соиды той же частоты, что и приложенная э. д. с., и ни-
каких составляющих другой частоты эти колебания со-
держать не будут.
Если внешняя сила имеет вид периодической функ-
ции, содержащей не одну гармонику, то в соответствии
с принципом наложения можно утверждать, что все токи
и напряжения, возникающие в системе в установившем-
ся режиме, содержат только те частоты, которые имеют-
ся в приложенной э. д. с.
Таким образом, никакие функции, связанные с пре-
образованием частоты, такие, например, как смещение
§
частот, модуляция и детектирование, не могут осущест-
вляться без применения нелинейных или параметриче-
ских систем. Следует отметить, что и генерирование ко-
лебаний, т. е. преобразование постоянного напряжения
в переменное, невозможно без помощи нелинейных или
параметрических систем.
Нелинейные уравнения, описывающие поведение не-
линейных систем, в отличие от линейных уравнений с по-
стоянными коэффициентами, как правило, в явном виде
решены 'быть не могут. Поэтому изучение нелинейных
систем путем нахождения общих решений дифференци-
альных уравнений в большинстве случаев здесь исклю-
чается. В связи с этим применяются различные приемы
исследования решений дифференциальных уравнений,
позволяющие хотя бы отчасти выяснить свойства рассма-
триваемой нелинейной системы. Эти приемы многочи-
сленны, и едва ли представляется возможным их все
здесь рассмотреть.
Во многих случаях удается получить приближенное
решение, описывающее более или менее широкий класс
задач. Иногда приходится идти по пути численного инте-
грирования уравнений или качественного их рассмотре-
ния.
В связи с указанными математическими трудностями
очень часто от общего рассмотрения задачи отказывают-
ся и ограничиваются лишь рассмотрением некоторых во-
просов, представляющих наибольший интерес.
На практике прежде всего обычно возникает вопрос
об устойчивости состояний равновесия системы. Приме-
нительно к электрической системе под состоянием равно-
весия понимается такое ее состояние, при котором все
искомые токи и напряжения не зависят от времени. Так,
например, усилительные устройства не должны сами (без
воздействия переменных внешних сил) создавать коле-
бания. Это значит, что такие устройства должны обла-
дать состоянием равновесия и притом устойчивым. С дру-
гой стороны, у лампового генератора высокой частоты
наличие устойчивого состояния равновесия обычно счи-
тается нежелательным.
Таким образом, первая задача, с которой обычно
сталкиваются при исследовании нелинейных систем,—
это задача разыскания состояний равновесия системы и
исследования их устойчивости. Эта задача проще, чем
интегрирование исходной системы уравнений.
9
Другая задача —это задача о периодических Двйжё*
ниях (колебаниях) системы. Здесь необходимо устано-
вить, возможны ли периодические решения уравнений, и
если они возможны, то исследовать их устойчивость.
Далее, естественно, возникает вопрос о нахождении
периодических решений. Эта задача также обычно слож-
на, но требует нахождения только частных решений
уравнений и поэтому проще задачи о разыскании общих
решений уравнений.
Полезно сделать несколько замечаний о терминах,
которыми будем в дальнейшем пользоваться. Часто бу-
дем применять термины, заимствованные из механики и
перенесенные в теорию электрических колебаний. Преж-
де всего отметим термин «состояние равновесия», смысл
которого был разъяснен выше.
Также часто применяют термин «число степеней сво-
боды» системы. Под этим термином применительно
к электрическим цепям понимается наименьшее число
разрывов в электрической цепи, необходимое для того,
чтобы стало невозможным какое-либо протекание токов
в рассматриваемой системе (подобно тому, как в меха-
нической системе минимальное число координат, которое
необходимо зафиксировать, чтобы сделать движение
невозможным, равно числу степеней свободы системы).
В заключение подчеркнем еще раз, что в настоящей
монографии автор стремился к нахождению соотноше-
ний, достаточно хорошо описывающих качественную
сторону явлений, а не к получению расчетных формул,
обладающих высокой точностью. В связи с этим подвер-
гаются изучению идеализированные схемы, свободные
от «второстепенных» параметров и элементов, не играю-
щих существенной роли при изучении данного явления.
Это, конечно, не является отличительной особенностью
настоящей книги, ибо так поступают всегда при теоре-
тическом рассмотрении физических задач, и речь может
идти лишь о большей или меньшей степени идеализации.
В книге систематически используется метод малого
параметра, в связи с чем часто употребляется термин
«малая величина». Этот термин понимается лишь в смыс-
ле порядка малости и в большинстве формул не требует-
ся, чтобы численное значение рассматриваемой величины
в конкретном случае было действительно мало.
Более подробные разъяснения по этому поводу даны
в приложении 2.
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ В СОСТОЯНИИ РАВНОВЕСИЯ,
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
1.1. Предварительные замечания
Как известно, на практике весьма часто применяются
ламповые и транзисторные генераторы, генерирующие
колебания, по форме весьма близкие к синусоидальным.
Эти генераторы имеют в своем составе нелинейный эле-
мент (лампу, транзистор), линейную схему, обладающую
резонансными свойствами, и цепь обратной связи. Па-
раметры линейной схемы обычно выбираются таким об-
разом, что, благодаря резонансным свойствам системы,
в режиме установившихся колебаний напряжения на
электродах нелинейного элемента (с двумя входами) ма-
ло отличаются от синусоидальных.
В соответствии с ранее сказанным начнем с рассмо-
трения состояний равновесия таких систем, а затем
в дальнейшем перейдем к изучению периодических ре-
жимов.
Для того чтобы пояснить сущность проблемы, сна-
чала рассмотрим частный, но хорошо известный при-
мер— ламповый генератор с трансформаторной обрат-
ной связью, а затем перейдем к более общей постановке
проблемы об устойчивости состояния равновесия элек-
трической системы; после этого вернемся к примерам —
двум схемам: транзисторному автогенератору и генера-
тору на туннельном диоде. Такое, на первый взгляд не
совсем последовательное изложение оправдано тем, что
позволяет легче уяснить сущность проблемы и делает
изучаемый материал более конкретным и близким к за-
дачам, которые будут встречаться дальше.
В дополнение отметим, что к вопросам устойчивости
мы вернемся в гл. 5 и 6.
§1.1. П
1.2. Генератор с трансформаторной обратной связью.
Устойчивость стационарных решений 1
Рассмотрим схему, изображенную на рис. 1.1; приня-
тые обозначения ясны из рисунка2 * * * * *. Для упрощения вы-
кладок будем рассматривать случай, когда ток сетки
пренебрежимо мал. Анодный ток предполагается одно-
значной и непрерывной функцией от напряжений ug и ыа:
ia=f(ug, и&). (1)
Поведение системы описывается следующими уравне-
ниями:
т d t । •
»a+L -dt+lr=E’
(2)
; _ i______„ г
*a l~ G dt'
J
Из этих соотношений легко исключить иа. Можно на-
писать
иа = -4- (и — Е\ — ir +
а М ' g g' in
и, следовательно, последнее из уравнений (2) приобре
тает вид
CL d(ug-Eg) сг (
Za I —T~j-------------»л (Пег
а М dt М v 8 87
1 В соответствии с принятой терминологией часто говорят об
устойчивых или неустойчивых состояниях равновесия системы, не-
' смотря на то, что неустойчивые «состояния» в действительности реа-
I лизоваться не могут. Поэтому часто применяют и другую терминоло-
' • гию, говоря об неустойчивых (устойчивых) решениях соответствую-
[ ших уравнений (см., например, Хейл, Коддингтон и Левинсон). Мы
I будем пользоваться преимущественно второй терминологией, но не
I станем отказываться и от первой, если это окажется почему-либо
I удобным, например по соображениям большей наглядности.
! 2 На рисунке стрелками указаны выбранные положительные на-
правления токов, напряжений и э. д. с. (£>0, a £g<0).
12 §1,2,
Получаем следующую систему уравнений:
Система (3). состоит из двух дифференциальных уравне-
ний первого порядка, разрешенных относительно произ-
водных.
Как известно, чтобы решение этих уравнений было
единственным, необходимо ввести соответствующие на-
чальные условия, например задать i и ug в момент /=0.
Перейдем теперь к вопросу о состояниях равновесия
и об устойчивости этих состояний. Для того чтобы рас-
сматриваемая электрическая система могла находиться
в состоянии равновесия, необходимо, чтобы уравнения
(3) имели не зависящие от времени решения (такие ре-
шения будем в дальнейшем называть стационарными) и,
следовательно, значения ug и I, соответствующие состоя-
нию равновесия, удовлетворяли уравнениям
— Е’,
е в’
i — f (Ее\ Е — ir)=0.
(4)
£ис. '1.1.
В зависимости от конкретного вида функции f(Ee;
Е—ir) второе уравнение (4) может иметь одно или не-
сколько решений или не иметь ни одного. Обычно функ-
ция f(Eg, х) — характеристика
анодного тока — при положи-
тельных х положительна и ра-
стет вместе с х. В этом случае :
уравнение (4) имеет по край-
ней мере одно решение. Дей-
ствительно, при i=0 левая
часть уравнения будет величи-
ной отрицательной, но с возра-
станием i первый член будет
неограниченно расти, а второй
уменьшаться, и, Следовательно, £ис. 1.1.
«1 .2* 13
всегда найдется такое положительное значение Z, при ко-
тором левая часть второго уравнения (4) станет равной
нулю.
Обратимся к вопросу об устойчивости найденного^
стационарного решения.
Как уже отмечалось, наличие у системы уравнений (3)
стационарных решений является необходимым условием
того, чтобы рассматриваемая электрическая система
могла находиться в состоянии равновесия. Однако это
условие не является достаточным для того, чтобы реше-
ния могли физически реализоваться: необходимо, чтобы
состояние системы, соответствующее этому стационарно-
му решению, было устойчивым по отношению к внешним
воздействиям, по крайней мере малым.
Для того чтобы установить, соответствует ли полу-
ченное стационарное решение устойчивому состоянию
равновесия, рассматривают малые отклонения от этого
состояния и ищут решение уравнений (3) в предполо-
жении, что значения искомых величин мало отличаются
от тех, которые они имели в стационарном со-
стоянии.
Об устойчивости или неустойчивости стационарного
решения судят по тому, как ведет себя это решение с те-
чением времени и как ойо зависит от величины началь-
ного возмущения. Оставляя пока в стороне точные опре-
деления и формулировки, рассмотрим это на примере.
Обозначим через io значение i, удовлетворяющее урав-
нению (4), и будем рассматривать малые (по крайней
мере для времен, близких к /=0) отклонения ug и i от
стационарных значений.
Положив теперь r = f0+Ai и wg+Eg+Awg, можем
уравнения i(3) переписать так:
(5)
Учитывая малость A«g и и отбрасывая величи-
ны, порядок малости которых выше первого, мо-
14 $1.2.
жем найисатЬ
dbug
~dT
причем производные дЦдиё и &fJduA берутся в точке ие—
=Eg, и&=Е—ior. Введя обозначения Sg=df/dug и Sa=
=дЦди&, приходим к следующей системе линейных урав-
нений с постоянными коэффициентами:
ddl _ ^ag
~dt-------М"
(6)
Исключая из этих уравнений Ai, получаем
г , м s I sa V4
dl2 ' L "Г CL C ) dt
Ait
j.^(l+Sar)=O.
Общее решение этого уравнения можем написать так:
Ang = e~at (Ae?i +
где
а— 1 J- М <? _1
а~L +cTSg-T
(7)
А и В — произвольные постоянные.
Если при t=Q величины A«g и Ai малы, то постоян-
ные Л и В также будут малыми (стремятся к нулю вме-
сте с A«g и Ai)- Если, кроме того а<0, то величина Aug
(также и Ai) будет оставаться малой при любых i^O и
даже с течением времени стремиться к нулю. Если же
а>0, то это обстоятельство не будет иметь места, и ка-
кими бы малыми ни выбирались начальные значения
Aiig и Ai, с течением времени они станут велики и выйдут
за пределы, которые мы считаем допустимыми в соот-
§1.2. 15
ветствии с условиями задачи f. первом случае состоя-
ние равновесия считается устойчивым, во втором — не-
устойчивым. Такой способ суждения об устойчивости со-
стояния равновесия (устойчивости стационарного реше-
ния) является естественным, ибо соответствующее ре-
шение при а>0, очевидно, физически реализовать
нельзя.
Каким бы малым ни было внешнее воздействие на
систему, последняя обязательно выйдет из состояния
равновесия. В первом же случае, при а<0, можно счи-
тать, что по крайней мере при малых начальных возму-
щениях система не уйдет из состояния равновесия.
Таким образом, мы приходим к выводу, что условия-
ми устойчивости или неустойчивости состояния равнове-
сия (необходимыми и достаточными, если исключить из
рассмотрения случай а = 0) будут соответственно усло-
вия а<0 и а>0.
Воспользовавшись уравнением (7), можно условие
неустойчивости состояния равновесия написать так:
М
\ .ig g /
или, учитывая, что 7И<0, получить
В частности, если рассматривать случай электронной
лампы, у которой анодный ток определяется управляю-
щим напряжением нэ=ие-|-1)ыа, и, следовательно,
?<“„ ») = /(«„+ О«.); = = -g- = S. = OS,
тогда
|M|>LD+r4-
Это — хорошо известное «условие самовозбуждения»
лампового генератора с трансформаторной обратной
связью.
1 Следует иметь в виду, что если 0 вещественна, то всегда
|а|>0. Случай 'а=0 следует исключить из рассмотрения как сомни-
тельный. Здесь нельзя ограничиться рассмотрением уравнений первого
приближения (6), полученным из точный уравнений (5) путем
отбрасывания величин, порядок малости которых больше первого.
16 §1.1.
В заключение интересно рассмотреть характер про-
цессов, протекающих в режиме малых колебаний.
1. Если а2<(l+S&r)/LC, то р будет мнимой величи-
ной и можно положить р=/со, где
В этом случае процесс имеет-колебательный харак-
тер, причем возможен случай затухающих колебаний
(а<0) и случай нарастающих колебаний (а>0). Если
а — малое число и величины Sa и г также малы, то кру-
говая частота колебаний с точностью до величины вто-
рого порядка малости определяется формулой со =
=Л/УЬС и, следовательно, не зависит ни от потерь
в контуре, ни от параметров лампы, т. е. определяется
лишь энергоемкими параметрами схемы (величинами
L и С).
2. Если а2> (1 +Sar)/LC, то процесс имеет апериоди-
ческий характер, причем ug может при больших t зату-
хать до нуля (а<0) или нарастать (а>0). В последнем
случае в процессе нарастания напряжение ug может до-
стигнуть таких значений, когда начнут сильно сказы-
ваться нелинейные свойства характеристики ламп, что
приведет к прекращению дальнейшего роста ие. Однако
если система не имеет другого состояния равновесия,
кроме ug=Eg, и это состояние неустойчиво, то в конечном
счете изменения приобретут колебательный характер. Но
в этом случае форма колебаний и их период (если они
окажутся периодическими) будут зависеть не только от
величин L и С контура, но также и от вида характери-
стики лампы, сопротивления контура и величины обрат-
ной связи.
Колебания, период которых существенно зависит не
только от энергоемких параметров схемы (например, от
характеристики нелинейнего элемента и т. д.), часто на-
зывают релаксационными колебаниями.
1.3. Устойчивость состояния равновесия для автономных
систем. Общее рассмотрение
Рассмотренный выше пример иллюстрирует методику
составления уравнений первого приближения и исследо-
вания при их помощи устойчивости состояния равнове-
сия изучаемой системы.
§1-1 2-12 17
Перейдем к более общему случаю и рассмотрим си-
стему, поведение которой описывается произвольным, но
конечным числом уравнений первого порядка, разрешен-
ных относительно производных. Пусть изучаемая систе-
ма уравнений имеет вид
qs=fs(qi, q%, .... qn)> s=l, 2, ..., n. (1)
В уравнения (1) время t не входит явно, так как
они описывают поведение автономной системы, т. е. си-
стемы, не подвергающейся воздействию внешних сил
(кроме, быть может, не зависящих от времени).
• Так как в состоянии равновесия все величины qs не
зависят от времени, мы можем написать следующую си-
стему уравнений:
......................<)=0; $=1, 2.........п, (2)
где q® — значения qSi соответствующие стационарному
состоянию.
Если система (2) решения не имеет, в рассматривае-
мой электрической системе состояния равновесия нет.
Если уравнение (2) имеет одно или несколько реше-
ний (каждому решению соответствует свой набор вели-
чин qQs), то электрическая система, описываемая этими
уравнениями имеет состояние равновесия.
Наличие решений системы уравнений (2) —необходи-
мое, но еще не достаточное условие для того, чтобы
в рассматриваемой физической системе эти состояния
равновесия могли реализоваться: требуется еще, чтобы
эти стационарные состояния (решения) были устойчивы.
Обозначим через qQ множество чисел q* , представ-
ляющих одно из решений уравнений (2): Будем считать,
что вблизи от „точки" q° функции fs непрерывны и имеют
непрерывные первые частные производные по всем пере-
менным qs. Положим = + и напишем
(3)
Учитывая, что малы, и отбрасывая величины, по-
рядок малости которых выше первого, можем написать
= i............£) + ъЛ + -+ъ-Ъ (4)
18 §1.3.
** Will I ||М || liriiiiiii wb
и в соответствии с (2) получим
(5)
причем все частные производные берутся в «точке»
<7=7(0).
Таким образом, мы пришли к системе дифференци-
альных уравнений (5) с постоянными коэффициентами.
Частное решение этой системы ищем в форме |«=
= , где и Л — постоянные.
Подставив это выражение в (5), находим
-4-Р-п 4^-= О, s=l, 2,...,п.
(6)
Рассматривая (6) как систему линейных однородных
уравнений относительно величин ць цг, .... Цп, приходим
к выводу, что эта система имеет решения, отличные от
тождественно равных нулю только тогда, когда опре-
делитель этой системы равен нулю, т. е.
'д<Ь dft dft dq2 dq2 ~Л- ’ ‘ dqn dft ’ ' dqn = 0. (7)
dfn dfn >
dq2 • • dqn
Это уравнение часто записывают в более компактной
матричной форме. Если обозначить через А матрицу
коэффициентов Au^dfjdqh, а через Е— единичную ма-
трицу, то система (7) приобретает вид det(/l—ХЕ)=0.
Это уравнение часто называют характеристическим
уравнением матрицы А, а удовлетворяющие ему п чисел
М, 1г, ..., — характеристическими корнями или числа-
ми матрицы А.
Ограничиваясь случаем, когда (7) имеет только про-
стые корни, можем написать частное решение системы (5)
§1.3, 2* 19
в форме 5s=p.sft£*, и, следовательно, общий интеграл
этой системы
(8)
Й=1
где все — постоянные числа.
Полезно отметить, что в (8) входят п2 коэффициентов
но из них только п произвольных, ибо для каждого
из уравнений (6) получается п—1 линейное соотноше-
ние, связывающее между собой числа Цгь т. е.
<9)
(число уравнений равно п, но в силу равенства нулю
определителя (7) одно из уравнений системы (9) являет-
ся следствием остальных).
Предположим теперь, что при t=0 нам заданы п на-
чальных значений |i = gi(0), ..., Jjn = |n(O). Тогда систе-
ма (8) дает п уравнений
* п
M0)=l>sft, (Ю)
. А=1
которые совместно с уравнениями (9) позволяют выра-
зить все коэффициенты |л«а через gs(0).
Вследствие линейности уравнений (9) и (10) каждая
из величин gsfe будет линейной функцией от МО), и, сле-
довательно, если последние выбираются достаточно ма-
лыми, любая из величин ц8а станет сколь угодно малой.
Рассмотрим теперь случай, когда все характеристи-
ческие числа Ха будут иметь отрицательные веществен-
ные части (но не равные нулю). Каждый член выраже-
ния (8) представляет собой затухающую функцию вре-
мени, а величина ||8| будет также стремиться к нулю
при t—>оо, причем 11s | нигде не превзойдет величины
п
S I Hsfe |. Отсюда вытекает, что всегда можно выбрать
6=1
такие малые | gs(0) |, что «возмущения» gs по абсолют-
ной величине будут как угодно малы при любых /^0.
В этом случае состояние равновесия является устой-
чивым»
20 §1.3.
Обратимся теперь к другому случаю, когда по край-
ней мере один из корней Кк имеет положительную (от-
личную от нуля) вещественную часть. Тогда хотя бы
один член в сумме (8) будет с течением времени неогра-
ниченно расти, gs станет большим и рассматриваемая
электрическая система уйдет из состояния* равновесия.
В этом случае состояние равновесия (стационарное ре-
шение) является неустойчивым.
Все вышесказанное основано на предположении, что
уравнения первого приближения, т. е. приближенные
уравнения (5), полученные из точных отбрасыванием
величин, порядок малости которых выше первого, позво-
ляют правильно судить об устойчивости состояния рав-
новесия системы.
Строгое обоснование этого предположения вытекает
из работ знаменитого русского математика А. М. Ляпу-
нова, в которых показано, что уравнения первого при-
ближения дают правильный ответ на вопрос об устойчи-
вости (или неустойчивости) состояния равновесия в рас-
смотренных выше случаях, т. е. когда все имеют
отрицательные вещественные части или когда по край-
ней мере одно из чисел Кк имеет положительную веще-
ственную часть. В тех случаях, когда среди чисел нет ни
одного с положительной вещественной частью, но есть
чисто мнимые или равные нулю, уравнения первого при-
ближения при решении вопроса об устойчивости стацио-
нарных решений применять нельзя.
Воспользовавшись наглядностью самого термина
«устойчивость», мы до сих пор обходились без точного
определения этого термина. В заключение настоящего
параграфа остановимся на этом вопросе более
подробно.
Возвращаясь к системе (1), рассмотрим равносиль-
ную ей систему уравнений (3). Очевидно, что состоянию
равновесия (?s = 0) соответствуют решения (3) при на-
чальных условиях gs(0)=0 при / = 0.
Предположим теперь, что в некоторой области изме-
нения переменных $8, определяемой условием 4“ +•••+
+ ^<Р2, где Р-некоторое положительное число, вы-
полняются условия существования решения системы (9).
Будем говорить, что положение равновесия устойчи-
во, если для любого /?<р существует такое что
любое движение, имеющее своими начальными значения-
§1.3.
21
ми Ь(0), удовлетворяющие условию
<h(0)-H (0)+...+s2n(0)<r’,
всегда остается внутри области
% (о+Bho+-X(o<*3-
Если положение равновесия устойчиво и, кроме того,
существует такое Ro<R, что при любых начальных зна-
чениях, удовлетворяющих условию
все £s(t) стремятся к нулю при неограниченном возра-
стании t, говорят, что положение равновесия устойчиво
асимптотически.
1.4. Об уравнениях, описывающих поведение
электрических систем
Выше мы рассмотрели устойчивость стационарных
решений уравнений (1) § 1.3, ничего, в сущности, не
предполагая относительно изучаемой физической систе-
мы, за исключением того, что ее поведение может быть
описано такими уравнениями. Сейчас будет уместно
остановиться более подробно на том, в какой мере все
изложенное можно отнести к электрическим системам,
которые нам придется далее рассматривать.
Прежде всего укажем, что будем всегда иметь в виду
электрическую цепь с сосредоточенными параметрами,
обладающую произвольным, но конечным числом степе-
ней свободы, которую можно разбить на определенное
число независимых контуров. Элементами этой цепи мо-
гут быть как обычные пассивные постоянные элементы,
так и активные элементы с соответствующими источни-
ками питания (в общем случае нелинейные и невзаим-
ные, например, транзисторы, лампы или другие анало-
гичные приборы). Далее считается, что каждому контуру
может быть приписан протекающий по нему ток (по от-
дельным элементам контура может протекать и несколь-
ко токов, принадлежащих разным контурам1).
1 Контурные токи являются независимыми, если они образуют
совокупность линейно независимых функций при наличии связей, на-
кладываемых на них первым законом Кирхгофа. Контуры, которым
соответствуют независимые токи, считаются независимыми. Макси-
мальное число независимых токов системы равно числу ее степеней
свободы.
22
51.4.
Перенумеровав контуры в каком-либо порядке, мы
можем присвоить току, протекающему в некотором кон-
туре, номер этого контура. Так, например, в 5-м контуре
течет ток is. Введем теперь в рассмотрение количество
электричества, перенесенного током is, начиная с неко-
торого момента времени to до текущего момента /, и
обозначим эту величину через q8. Таким образом,
t
^0
Далее будем считать, что напряжение, вызванное
в любом контуре протекающими в системе токами, может
зависеть лишь от совокупностей трех величин: всех q8, is
и (в простейшем случае это соответствует элемен-
там контуров типа емкостей, сопротивлений и индуктив-
ностей). Если действующие в контурах э. д. с. (постоян-
ные) равны Es, то уравнения цепи, написанные по методу
контурных токов, будут иметь вид (всего п контуров и
п уравнений)
Es=fs(qi, qz, • • •, qn\ ii, iz> • •. ini i'u i'2, • • •» i'n),
(1)
где fs — непрерывные функции от указанных перемен-
ных, 5=1, 2, ..., п.
Если эта система разрешима относительно производ-
ных от токов, то можно написать
(2)
Прибавив к этим уравнениям еще п уравнений
(3)
мы получим систему из 2га уравнений с 2га неизвестными
того же типа, что и уравнения (1) § 1.3, к которой мож-
но отнести все сказанное ранее.
Полезно обратить внимание на один специальный
случай, который, однако, часто встречается при рассмо-
трении электрических систем. Пусть в каком-либо кон-
туре, например n-м, элементы емкостного типа отсут-
§1.4. 23
бтвуют, тогда в уравнениях (1), а следовательно, и в (£)
величина qn не 'будет присутствовать. Здесь уже нельзя,
как правило, положить di$ldt=Q и dq$!dt 0 при всех
$=1, 2, ..., п, ибо система (1), состоящая из п уравне-
ний, будет содержать лишь п—1 неизвестную. Это со-
ответствует и физическим представлениям, ибо в конту-
ре, в котором отсутствуют емкости, ток в стационарном
состоянии постоянен, но не обязательно равен нулю.
В связи с этим в подобных случаях полагают dqsldt = §
при всех Тогда система (2) позволяет определить
qi, #>, •••, Qn-i и in = const.
Аналогично обстоит дело и в тех случаях, когда
в уравнениях отсутствует не один, а несколько «емкост-
ных» членов. Отметим еще случай, когда некоторый ток,
например in, не создает индуктивного воздействия ни
в одном из контуров цепи, в том числе и в собственном.
Тогда уравнения (1) не будут содержать величину i'n, и,
следовательно, их нельзя решить относительно этой ве-
личины. Суть дела, однако, от этого не меняется, ибо
можно представить себе следующую процедуру: решим
систему (1) относительно i'if Zz2, ..., Z'n-i и еще какой-
либо величины, входящей в (1), тогда вместо (2) по-
лучим
-^- = Ф5(^, (4)
/п = Фп('<71, ?2,qn, Ч, /2, ...» in-i), S=l, 2, ..., п— 1. (5)
Уравнения (4) в совокупности с (3) образуют систему
из (2п—1)-го дифференциального уравнения относитель-
но (2п—1)-й неизвестной, ибо in, входящий в (3), непо-
средственно выражается при помощи (5) через q8 и
остальные is-
Принятый здесь способ составления уравнений элек-
трической цепи по методу контурных токов отнюдь не
является единственным. Так, например, если прибегнуть
к методу узловых напряжений, то мы придем к системе
уравнений, в которую будут входить узловые напряже-
ния, производные и интегралы от них. Однако здесь оста-
ются в силе предыдущие рассуждения (или аналогичные
им). Возможны (и, как правило, применяются) и другие
способы составления уравнений, когда одновременно вхо-
дят и контурные токи, и узловые напряжения, а, быть мо-
жет, и другие вспомогательные переменные.
24 §1.4.
1.5. Транзисторный автогенератор с трансформаторной
обратной связью и автоматическим смещением
В качестве второго примера, иллюстрирующего метод
исследования устойчивости состояния равновесия элек-
трической системы, рассмотрим транзисторный автогене-
ратор с трансформаторной обратной связью и получим
условие самовозбуждения такого генератора.
По причинам, на которых мы сейчас останавливаться
не будем, по большей части такие генераторы имеют си-
стему автоматического смещения, а также устройство,
подающее на базу еще и независимое смещение. Схема,
которую мы будем рассматривать, изображена на
рис. 1.2.
Обозначения и выбранные положительные направле-
ния токов, напряжений
и э. д. с. Е и Еб видны
из рисунка,
Е>0, Еб>0.
Смещение
но создается
ком Е посредством по-
тенциометра, но при от-
сутствии токов базы
можно ввести взамен
постоянную э. д. с., как
причем
Eq обыч-
источни-
показано на рисунке.
В дальнейшем предпо- Рис> 1,2‘
лагается, что в рассма-
триваемых режимах инерционные свойства транзистора не
сказываются, и это дает основание считать ток коллекто-
ра однозначной функцией от напряжений на базе и кол-
лекторе. Для упрощения выкладок 'будем пренебрегать
током базы, что в первом приближении можно сделать
при условии |«б| С |«к|. которое считается всегда вы-
полненным.
Основные уравнения задачи напишутся так:
§1.5.
£ = иг z/fe -|- L -|- «г;
£б = цб -|- 2И ;
; _ «1 | rdu^
l\~ R, dt'
(1)
(2)
(3)
25
c4[l #+'•]<4>
4=f(«6. «к)- (5)
Воспользовавшись (2), можно из (1) и (4) получить
Е = м14-цк + /г4--^-(Еб — м,— иб); (6)
С ~ ы> ~ + (Еб -и,- u6) = iK - i. (7)
Мы нашли пять уравнений (2), (3), (5) — (7), содержа-
щих пять неизвестных: и0, Uk, uit i и /к, причем уравне-
ния (5) и (6) не содержат производных искомых вели-
чин. Таким образом, фактически мы пришли к системе
из трех дифференциальных уравнений с тремя неизвест-
ными, что находится в соответствии со схемой, обладаю-
щей лишь тремя энергоемкими параметрами.
В состоянии равновесия искомые величины должны
быть постоянны и, следовательно, удовлетворять уравне-
ниям:
Еб —— “б = 0;
0;
Е — w, — ик — ir = 0;
4 — 4 = 0;
/(«к. «б) = 4-
Отсюда сразу находим соотношения
Е — 4(Я» + 0~ “к — °; Еб — iK R9 — u6 = Q,
из которых вытекает, что
E—tig__Еб — ut
f + R» Rs
Следовательно, если обозначить Е6 — нб через и, то
и6=Е6 — и; ик = (цб — £б)г +£;
и = ^э/(иб> «к)
ИЛИ
w = R9f (е6 — и; Е — Г^~ и
(8)
(9)
26
Это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Если построить график, на котором в качестве абсциссы
откладывается и, а в качестве ординаты — правая часть
(9), то при и = 0 f будет иметь некоторое положительное
значение, равное току коллектора при uq = Eq и ик=Е.
При возрастании и правая часть (9) будет изменять-
ся так, что обратится в нуль при u = Eq (коллекторный
ток транзистора обращается в нуль при ZZ6 = O). Левая
часть (9) изобразится на том же графике прямой, про-
ходящей через начало координат под углом 45° к осям.
Таким образом, при построении на одном и том же гра-
фике и левой и правой частей (9) получим по крайней
мере одну точку пересечения, которая и даст значение
и = и°, соответствующее решению рассматриваемого урав-
нения.
Зная zz°, можно посредством соотношений (8) найти
стационарные значения всех остальных представляющих
интерес величин.
Перейдем теперь к исследованию устойчивости полу-
ченного стационарного решения. Обозначая стационарные
значения u6, ик, ui и i соответственно через z?, , iQ
и полагая иб = и° = Диб; wK = z?-|-AwK и т. д., можем
уравнения для приращений, которые считаются малыми,
написать в следующей форме:
. Д4/1 + Диб + Л4^-=О;
W Дм> + д“« ~ UT (5*ДЫк + 5бД«б);
1 - тг) Д«1 + Дик-4'Диб + гД1'=°5
~лг 'dt (Ди> 4"Дм<>) 4" 4- ^ыб) +
Ч—(5кДмк -J~ SgAug — Д i) = О,
причем здесь введены обозначения
din/дин^
где производные берутся при стационарных значениях
ик и «б-
§1.5. 27
будем теперь искать частное решение системы 6
форме Д«б = «б^<; Д«к = «к^1г/ и т- Д-
Тогда после подстановки и сокращения общего мно-
жителя еу< найдем:
Wj -j— Uq -|— у /И i = 0 j
( I 1 \ Л *$б SK Л Г\
\ *\э'-'Э ] Э э
ui jp иъ ~Ь ик 4“= 0;
l£±L ,7 I ( 4L +г . S6 \ - । S,1 7— п
м “>4д Л1 ‘ с ju6 + -q-uk — 1 — °-
Приравнивая нулю определитель системы, получаем
уравнение для у. Можем написать:
1 1 0
yAl
1 -Se.
Y + RaC3 c3 C8 0
_ L = 0.
1 — M M 1 r
\L + r , S6 SK _ 1
M Al ‘ C c C
Мы не будем выписывать полученное уравнение в раз-
вернутой форме и в общем виде, а ограничимся лишь тем
случаем, когда можно пренебречь влиянием изменений
коллекторного напряжения на ток коллектора. Полагая
SK=0, получаем
1 1 уМ
, 1 _S*_ .
y + RaC3 С3 ° = 0
4L + г fL + r S6 _ 1
ai м С С
28 §1.5.
Это кубическое уравнение относительно у имеет вид
Чтобы решить вопрос об устойчивости состояния рав-
новесия рассматриваемой системы, нужно установить,
имеют ли корни кубического уравнения (10) положитель-
ную вещественную часть. Для этого можно, конечно, вос-
пользоваться одним из существующих критериев, напри-
мер критерием Раусса — Гурвица. Однако мы поступим
несколько иначе, вычислив приближенно корни уравне-
ний (10). Для сокращения записи представим (10)
в форме
Y3+a2Y2+aiY+<to=0> (И)
где коэффициенты «о, щ и az имеют очевидный смысл.
В схемах рассматриваемого типа обычно Сэ велико.
Это дает основание для начала положить ао = О, тогда
наименьший (по модулю) корень (11) yi = 0. следователь-
но, можно считать, что наименьший корень уравнения
при достаточно больших Сэ сколь угодно близок к нулю.
Учитывая эти соображения, принебрегаем в выражении
(11) всеми членами, содержащими y в степенях более
высоких, чем первая, и напишем yi =—ао/а^ — (1 +
+ '5б7?э) /CgRg.
Для определения больших (по модулю) корней уг
и уз имеем соотношения (формулы Виета)
Yi+Y2+Y3=—а2', Yi(V2+?3) +угУз=Я1-
Отсюда вытекает, что
§1.5.
Уг + Y3 = “Яг—Yb‘ Y2Y3 = «1 + Yi (а2+Yth
29
й для определения у2 и уз получаем квадратное уравне-
ние
Т2^- (а2 +Yi)y + fli+yi(а2+yi) =0,
корни которого имеют вид
Тг,з === 2~ “
4- (^+'г-)2 ~ а> ~ +?>)•
Условия устойчивости состояния равновесия (вещест-
венная часть у2 и уз отрицательна), очевидно, запишутся
так:
«2+У1>'0; Л1 + yi (а2+У1) >0.
Подставляя сюда значения соответствующих величин, от-
брасывая все то, что имеет порядок малости выше пер-
вого и производя преобразования, получаем
(12)
(13)
Для того чтобы схема могла выполнять функции авто-
генератора, выбирается Л1<0, и тогда условие (12) при-
обретает вид | М | <гС/8б, а условие (13) выполняется
автоматически.
Таким образом, выражение (12) является единствен-
ным необходимым и достаточным условием устойчивости
состояния равновесия. Условие неустойчивости этого со-
стояния, которое называют условием самовозбуждения,
очевидно, будет выглядеть так: |М | >\rC/S^,
Все предыдущие результаты мы получили, основы-
ваясь на приближенном вычислении корня у, причем
предполагалось, что емкость Сэ достаточно велика. Одна-
ко вопрос о том, в какой мере полученные результаты
пригодны при реальных параметрах схемы, остается от-
крытым. В § 1.7 приводится метод, позволяющий произ-
вести оценку погрешности при приближенном вычислении
корней, и показывается, что полученные выше результа-
ты пригодны при реальных параметрах генераторов по-
добного типа (хотя, может быть, и не во всех случаях).
30 §1.5.
1.6. Генератор на туннельном диоде
Две простейшие схемы генераторов на туннельных
диодах изображены на рис. 1.3 (а — последовательное и
б — параллельное питание). На рис. 1.4 представлена ха-
рактеристика туннельного диода (зависимость тока 1Д от
приложенного напряжения). Рабочая точка, вблизи от
Рис. 1.3.
которой возникают колебания, расположена на спадаю-
щем участке характеристики (точка и0, io).
и0 и
Рис. 1.4.
1.6.1. Последовательное питание
Обратимся сначала к схеме 1.3,а. Как обычно, заме-
ним диод эквивалентной схемой, состоящей из парал-
лельно соединенных чисто активного элемента, обладаю-
щего указанной характеристи-
кой, и конденсатора, учитываю-
щего емкости самого диода и
его арматуры. Обозначим ток
через «активную часть» дио-
да 1Д, напряжение на диоде и
и упомянутую выше емкость
диода Сд; остальные обозна-
чения ясны из русунка. Для
составления уравнений задачи
воспользуемся приемом (^.ко-
торый основан на введении пре-
образованных по Лапласу
Функций1 и алгебраизации
1 Этот метод составления уравнений изложен в книге Конторо-
вича М И. [1].
’,6- 31
9 1
уравнений путем замены дифференцирования умноже-
нием на «оператор» р.
Найдем напряжение на диоде й, рассматривая его как
сумму напряжений1 й( и йг, вызванных соответственно
генератором тока 1Д и генератором напряжения Е.
Можем написать:
й____1 ___________PL + r
^£(С + Сд) + р(С + Сд)г+1 ’
й________________I____________•
г~ р2ЦС + Ся) + р(С + Ся)г+1 ’
й — й -1-й-----------E — (pL + г) ix___
и — и11~“г — p*L (С-f-Ся)-f-p(C-f-Ся) г-j-I ’
и, _ следовательно, [р2£(С+Сд) +р(С+Сд)г+ 1]й=2?—
—ia(pL+r) или, переходя к оригиналам, получаем диф-
ференциальное уравнение
[i. (С+С,) +(С+Сд), 4 +1 ]«=
=е-(£4+г)'*' (1)
Стационарное значение и = ио определится из (1), если
положить там все производные равными нулю. Тогда по-
лучим
1Д = - ; и — Е 1лг. (2)
Построим левую и правую части (2) как функции от
и. Полученные кривые пересекутся по крайней мере
в одной точке. Нас интересует случай, когда точка пере-
сечения лежит на спадающем участке характеристики
(точки и0, io на рис. 1.5).
Положим теперь и=ио4-Ди; »д=1'0+5Ди, где S— кру-
тизна характеристики в рассматриваемой точке, а Ди—
малое приращение. Тогда для Дм получаем следующее
дифференциальное уравнение:
L (С + Сд) + [г (С + Сд) + LS] ^ + (I + Sr) Ди = 0.
Характеристическое уравнение, соответствующее это-
му дифференциальному уравнению, имеет вид
цр + Ся) Y2 + [Г (С + Сд) + LS1T + (1 + Sr) = 0,
1 Черточка обозначает, что имеется в виду преобразованная по
Лапласу реличина,
32 ' §1.6,
и, следовательно,
S____
4- Сд
/1 / г । S \ ’ 1 — Sr
4 ^+(7 + 0,; ЦС + С,
Состояние равновесия будет устойчиво лишь
чае, когда выполняются неравенства
—+-^-
L ' C + Ct
Так как S<0 и обычно
в том слу-
io
а0 ч
Рис. 1.5.
устойчивости |5| <г(С+Сд)/£ и соответственно к усло-
вию самовозбуждения генератора |S| >г(С + Сд)/1.
1.6.2. Параллельное питание
Перейдем теперь к схеме с параллельным питанием,
также изображенной на рис. 1.3. Дополнительно отме-
тим, что Ri и Т?2 образуют делитель напряжения, Со—
блокировочная емкость, которая обычно велика.
Можем нарисовать следующую вспомогательную схе-
му (рис. 1.6) и ввести операторные импедансы, соответ-
ственно равные
^2 dQ
Z. = RX\ Z2 —-----^4—г,
+ рС0
(PL + r)-jc
^3 Л
pL + r
p2LC + рСг +\‘
1.6,2.
3—12
33
Как и раньше, напряжение на диоде и рассматрива-
ем как сумму напряжений и н2, вызванных генерато-
ром тока /д и генератором напряжения Е. Можем напи-
сать
где
Z'2 = Z,Z2/(Zt + Z2),
и после подстановки
7 । _____
з + z,+ z2
^1 ^Д / 77
Ч-рСд (^ + ^z\
J _____^1^2 4~ ^3 ~Ь ^2^3________
д Z, + Z2 + рСя (Z,Z2 + ZtZ3+ZsZ3)
Для u'2 находим
u2 = E
(Z> + рСя )
7с7 + z= + z3
'~~Е 2, + Z2 + pCM(Z,Z2 + Z,Z3 + Z2Z3)
ИЛИ
77_______ 77 | 77 _ (^1^2 + ZjZ^ + Z223)
U’“TU2— Z1 + Z2 + ^Cff(Z1Z2 + Z1Z3 + Z2Z3) ’
Если подставить в это выражение Zb Z2 и Z3, то опу-
ская громоздкие, но элементарные выкладки, можно на-
34 1.6.2.
писать
(лзР3+d2p2+dip + Ло) и = (й2р2+Ь^р + йо) Е—
— (d2p2+dip + do)
где
аз=£7?17?2(СдСо+СдС+ ССо);
п2 = L(C + Сд) + +</?1'/?2^(СдСо+СдС +ССо);
di = r(T?i + /?2) (Сд+С) +/?i/?2(Co + Сд);
do=l/?i+t/?2; b2=R2LC*,
bi — R2rC\ bo=R2;
d2 — RiR2L (Co+ C);
di — RiR2r (Co+C) + L (Ri+.R2) ;
do = Г (/?1+T?2) + /?1T?2.
Переходя от преобразованных функций к оригиналам,
получаем следующее дифференциальное уравнение:
/ d* . d2 d . \
( аз dt3 “Ь dt2 +а* dt + ) и
= ER2 _(d2^+dl± +da^ 1Л. (3)
Стационарное значение u — Uo определится из выра-
жения (3), если положить все производные равными ну-
лю. Тогда приходим к уравнению
(Ri+^2) u0=ER2—г (Ri + R2) 1д («о) RiRz
или
i (и \_ Р _______R*_________а» (^1 + fla) /дх
— r{Ri + R2)+RiRi r{Rl + Ri} + RtRt- W
Как и в предыдущем случае, построим на одном гра-
фике правую и левую части (4). Нас интересует случай,
когда по крайней мере одна точка пересечения лежит
на спадающем участке характеристики (точка «о, io на
рис. 1.5).
Положив ы=«о+Ды; i = io+Shu (обозначения те же,
что и в предыдущем параграфе), для Ды получаем сле-
дующее дифференциальное уравнение:
[«,^+(^ + ^5)^-+
+ (а. + d.S) -А + а0+dos] Д« = 0. (5)
1.6.2. 3« 35
Характеристическое уравнение, соответствующее этому
дифференциальному уравнению, следовательно, имеет
вид
у3 + агу2+щу +1ао=0, (6)
причем
a»=7-to>+4>S); а. («.+<*.•$);
а2 = ^-(Д2 + ^5).
Рассмотрим обычный случай, когда блокировочная
емкость Со велика. Коэффициент ао будет сколь угодно
мал, если блокировочная емкость достаточно велика. Это
дает основание предполагать, что наименьший по моду-
лю корень характеристического уравнения также мал, и
при определении величины этого корня можно прене-
бречь всеми членами уравнения, содержащими у в степе-
ни более высокой, чем первая. Тогда
У ао _________ я0 -|~ d0S (Ri + R2) (1 “Н Sr) + SR1R2
1 04 4“ dfS C0R1R2
Если Sr< 1, то
v — — ~h ^2 S
1 Cq^?j/?2
Два других корня у2 и у3 подобно тому,как это делалось
в предыдущей задаче, найдем из квадратного уравнения
у2+ (а2+У1)у+у1(«2Н-у1) =0 и, следовательно,
у_________а2 + Y1 _ , Г (g2 + Y1 \ 2 / । ч
у2,з 2 \ 2 J “ а1 Il
Условия устойчивости, очевидно, напишутся так: а2+
+ yi>0; а1+у1(а2+у1) >0.
Произведем теперь следующие преобразования:
— _r __l (^i + ^2) (С + Сд)_______г L R^ + R2
аз L R1R2 (СОСД + СОС-|~ССД) L * RiRzCq 9
d-2 _________С 4~ Со_____________ 1
СдС0 -f- СдС + С0С С
1.6.2.
Таким образом,
I у__________________r I _L ___
2“< L Т Н^2С0 “ С Со
^1+^2 _ Г । .
RiR2C0 ~ L С 9
а___ai ~Ь _____
1 • Л3
__RiR2 (Со+Сд)+г(7?1+/?2)(С+Сд)+5[(Со+С) R&r+L (Т?1+/?2)]
LR^RzCq (С + Сд)
= £(С + СД)(1 +Sr>
и при |S|rC 1 ai~l/LC.
В нашем случае S<0 и условие устойчивости
г
Т
_I£L
с+сд
о.
(7)
Учитывая, что все слагаемые, стоящие под знаком ради-
кала, за исключением аь малы, приходим к выводу, что (7)
является необходимым и достаточным условием устойчи-
вости. Следовательно, условие самовозбуждения | S | >
> (Сд+С)г/£.
1.7. О приближенном нахождении корней уравнений
и об оценке погрешности
Во многих задачах, связанных с исследованием устой-
чивости состояния равновесия, мы сталкиваемся с необ-
ходимостью находить корни алгебраических уравнений
высоких степеней, а иногда и трансцендентных уравне-
ний, точное решение которых в явной и конечной форме
невозможно или неудобно. Однако на основании некото-
рых соображений, связанных с физическими представле-
ниями, а иногда с оценкой отдельных членов, входящих
в уравнения, удается сравнительно легко найти прибли-
женное значение корня, а затем уточнить его, пользуясь
тем или иным приемом. Всегда в этих случаях возника-
ет вопрос о погрешности найденного решения и о пре-
делах пригодности полученных формул. Учитывая эти
обстоятельства, остановимся сейчас на одном методе на-
S1-7. 37
хождения корней уравнений и на оценке погрешности,
которая при этом может возникнуть.
Пусть дано уравнение
?=ф(г), (1)
где <D(Z) —функция от комплексной переменной Z, ана-
литическая в некоторой области S. В дальнейшем ищет-
ся корень уравнения (1), лежащий внутри S. Составим
теперь последовательность величин Zm, определяемых ре-
куррентным соотношением
—(D(Zm_i), (2)
где Zo — некоторая внутренняя точка области S, т =
= 1, 2, ...
Если эта последовательность сходится, то предельное
значение Zm, которое мы обозначим Z<x>, является корнем
(1). Составим теперь разность
Zm+i Zm=‘&'(Zm) —Ф (Zm—i) — Dm (Zm—Zm—i),
где п .__Ф(2т)-Ф(2т..) 7 7 ’ 1
Если величина максимальное значение, которое приобретает л_ Ф(Ы-Ф(Ы
при произвольных gi и лежащих внутри S, обозначить
через Т, то можно написать
Если теперь напишем последовательность неравенств
|Z2-Z1|<T|Z1-Zo|;
|Z3-Z2|<r|Z2-Zi|;
| Zn Zn—i | T| Zn—i Zn_2|,
а затем перемножим их, то найдем
|Zn-Zn_1|<T»-i|Z1-Z0|.
38
§1.7.
Теперь при любом целом s^O
| Zn Zn+S | = | Zn Zn+1 -pzn+1 Zn+2-J-... -|-
+Zn+S^ - Zn+S I < I - Zo I (Tn + Tn+1 +... +
Отсюда вытекает (согласно принципу сходимости Коши),
что при Т< 1 последовательность (2) сходится. Кроме
того, отсюда же следует и оценка для верхней границы
последовательности Zm—Zit а именно
Т
1-Г
(3)
Можно также дать и некоторую оценку погрешности п-го
приближения, а именно, устремляя s к бесконечности,
найдем
тп
^„-ZjCjZ.-ZJ^.
(4)
Очень часто уравнение задается в форме f(Z)=O.
Его можно привести различными способами к виду (1).
В зависимости от способа приведения и выбора началь-
ного значения Zo будут получаться различные рекуррент-
ные соотношения, которые будут сходящимися (но могут
и не быть таковыми) и приведут к тому или иному зна-
чению корня, если уравнение имеет их несколько.
Обратимся теперь к уравнению третьей степени, ко-
торое рассматривалось в связи с задачей об устойчиво-
сти состояния равновесия транзисторного автогенерато-
ра. Это уравнение было написано так:
у3+агу2+агу + ао=О,
причем коэффициентам его, если ввести обозначение
w=l/]/7.C, можно придать вид
В предыдущей формуле полагается n=l, a s+\=m.
Положим теперь у = у0-|-в, где
у____ао _____ 1 4~ S^Ra
‘°- О? CaRa ’
и кроме того введем еще безразмерный параметр
„____ Yо__1 ~Ь
<й <0С8/?в
Теперь мо кем написать
(То 4" 8)’ 4" (То 4" ®)2 + а1 (То 4“ 8) + ао =
=s’ 4~ (дз 4~ ЗУ») s2 4~ (ai 4~ ЗТо 4- 2<Мо)8 4~
4- Уо 4- азУо+aiYo 4- а<>=О-
Отсюда находим
8 = - r+3YL2aY - 0,2 + +
4-(^4-3y0)s24-8’L
Произведем еще следующие преобразования:
1. a,4-3Yo4-2«2Yo=a1-Yo(-Yo-2-£—
- 2S6»’Al) =»- [1 +x-L.+^L+„ (х^2^+
+ 2S6.Mj] =»’[!+„(»-
2. а, -» + «.7. + ^=»’ + +
+т. =
3. а2 4- Зу» = — ю 2х — — 5бо>Л1^.
Теперь уравнение приобретает вид
40
§1.7.
Относительную погрешность при определении корня
у0 можно выразить через е/со следующим образом:
6 J (О
i То
1 8
X (О
(7)
Если обозначить правую часть (6) через Ф, то при-
дем к уравнению вида (1) е/со = Ф(е/(о).
Воспользуемся описанным ранее итерационным про-
цессом и полученными оценками; в качестве нулевого при-
ближения примем ео=О. Ввиду того что в нашем случае
последовательность (2) состоит только из вещественных
чисел, примем в качестве области S интервал длиной I,
середина которого совпадает с точкой е=0.
Величину Т, нужную для дальнейшего, можно на ос-
новании теоремы о среднем оценить следующим образом:
„ , аГФ </Ф ,
Т< .. у. , где — наибольшее значение
d («/«) max d (*/®) max
б/Ф 1 г»
d внутри /. В нашем случае
/ е \ / г \ / е \2
2 w +56&>| м 1)+3 \.f)
1 + « ' (1 + 2$бЗэ)
и, следовательно,
Рассмотрим теперь для наглядности числовой пример
Пусть 5б=Ю ма)в; Ra=5000 ом; Сэ=0,05 мкф; С=
=0,01 мкф; <о=2л8О 000=5,02 • 105 Нсек; |Afl/L=0,05;
г=8 Ом.
Тогда
юСэ=5,02-105 - 5-10-8 ~0,025 1/ом;
S6R3 = 50; -2—= 0,008; к=51.0,008 = 0,4:
§1.7.
41
<йС ~ 5,0210' 0,01 — 200 сиг; — 0,04;
S6o> | M | = S6<oL = 10 • 10 -3 • 0,05 • 200 = 0,1;
5^ = 5б2И1.1^. = (10.10-3)30,05^ = 0,04;
Se|4f| _o | Al | <o£ _
R9Ca 6 L <»CaRa
= lO-lQ-’-0,05-200.0,008 = 8-10~4.
При s = 0 получим для следующего приближения
81 _ 0,4-0,04
<0 — 1 -I- 0,4 (0,4 — 0,04) 4- 8-10-« (1 + 100) —
0,016
1 4-0,144 4-0,08
= 0,013.
Выберем в качестве / интервал —0»015со = 4-0,015а», тогда
в пределах этого интервала
Т <0,015
2(0,8 4-0,1)4-3(0,015)
1 4-0,4(0,4 — 0,04)
<0,2.
Согласно (3) ни один член рассматриваемой последова-
тельности, каким бы большим не было т, не выйдет за
пределы
0,013 + 0,013^1 = 0,013<0,015,
т. е. вся последовательность будет лежать внутри I. Для
оценки величины е = е«, можем написать |в| = |е—ei+
4-ei|^ 18114-18—811 и согласно (3)
8
(О
—+ — -4^=™ = °’0133
со 1 со 1 — Т со (I — Т) 0,98 ’
и далее, воспользовавшись (7), получаем
8
77
8
СО
1 0,0133
х ** 0,4
= 0,033.
Таким образом, в нашем случае погрешность при опре-
делении корня уо не превосходит 3,5%.
§1.7.
2
УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В АВТОНОМНЫХ
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
<2.1. Предварительные замечания
Теперь перейдем к рассмотрению установившихся ре-
жимов в автоколебательных системах резонансного ти-
па !. В этом случае колебания представляют собой перио-
дический процесс или могут быть представлены в виде
суммы гармоник с некратными
(не находящимися в рацио-
нальном отношении) часто-
тами.
Группа схем, которые мы
будем рассматривать, может
быть в общем виде изображе-
на так, как это показано на
рис, 2.1.
В качестве нелинейного
элемента здесь может участ-
вовать трехэлектродная лампа (как это изображено для
определенности на рисунке), лампа с большим, чем три,
числом электродов или транзистор. Прямоугольником
изображена система, состоящая из постоянных элемен-
тов (индуктивностей, сопротивлений, емкостей). Далее
считается, что входящие в схему элементы обладают ма-
лыми потерями, и, следовательно, система близка к кон-
сервативной. Помимо указанных элементов «внутри пря-
моугольника» могут находиться источники постоянных
напряжений (анодный и сеточный), а также источники
переменных э. д. с., если рассматриваемая система неав-
тономна.
1 В соответствии с принятой в радиотехнике терминологией под
установившимся процессом или режимом мы понимаем колебатель-
ный периодический (или почти периодический) процесс. Во избежа-
ние возможных недоразумений еще раз отметим, что термин «стацио-
нарное решение», который был введен в предыдущей главе, относится
только к случаю, когда решение не зависит от времени.
§2.1. 43
Дифференциальные уравнения, описывающие поведе-
ние подобной системы, нелинейны, зачастую имеют высо-
кий порядок (если схема «прямоугольника» сложна), и
их точное интегрирование в общем случае невозможно.
В связи с этим, как уже упоминалось выше, часто при-
ходится изучать лишь некоторые режимы, в частности
установившиеся, представляющие наибольший интерес.
Эта задача обычно также рассматривается приближен-
ными методами, которые применяются лишь при извест-
ных ограничениях.
Подобно тому, как и при изучении состояния равно-
весия, здесь также возникает вопрос об устойчивости ре-
шения (режима). Существование периодического реше-
ния уравнений, описывающих поведение системы, являет-
ся необходимым, но не достаточным условием для того,
чтобы периодический режим мог действительно иметь
место.
Несмотря на то что разыскание установившегося ре-
жима в данной системе и исследование соответствующе-
го решения на устойчивость представляют единую зада-
чу, с целью упрощения изложения рассмотрим сначала
только вопросы, связанные с нахождением установив-
шихся колебаний в различных представляющих интерес
случаях, отложив исследование устойчивости этих режи-
мов на дальнейшее.
2.2. Средняя крутизна и ее свойства
При рассмотрении установившихся режимов в лампо-
вых, а иногда и транзисторных схемах оказывается по-
лезным введение средней крутизны. Особенно удобно
вводить среднюю крутизну в случае одночастотных ре-
жимов генератора, когда напряжения на сетке и аноде
лампы помимо постоянных составляющих содержат еще
только одну гармонику; этот случай мы здесь и будем
рассматривать.
Обозначив сеточное и анодное напряжение соответст-
венно через ug и и&, в соответствии со сказанным можем
написать
«g=^go+^g, cos к + ?>) = и& + »gP 1 (1)
«a=^ao + ^alCOS(®f + ^+^ao+’«ai. J
44 §2.2.
№1
Анодный ток лампы является однозначной функцией
от этих напряжений и запишется так:
»'a=lf(«g, «а). (2)
Величины Ugo и (7ао будем считать заданными (опре-
деляются источниками питания). Переменные составляю-
щие Ugi и ttai связаны друг с другом через параметры схе-
мы. Введем, как это обычно делают в теории переменно-
го тока, комплексные амплитуды Usi и C7ai, такие, что
===Т2*
Отношение
к
t>al
(3)
является коэффициентом передачи от анодных зажимов
к сеточным. Если ток сетки отсутствует, то К зависит
лишь от параметров линейной части схемы и не зависит
от свойств нелинейного элемента.
Из уравнения (3) вытекает, что Ugi= |i&| f/ai; <pi—ф2=
= arg К и (2) приобретает вид
4=f [t/g0+ueicos И+?>);
^а» + “|4г Ugt cos (wt + *
Теперь можем написать
4 = fi [ Uei cos (<of + ?i); -щ- Ugl cos (ш/ + <P2)J > (4)
где fi — известная функция от указанных в скобках аргу-
ментов.
Учитывая, что равенство (4) представляет собой пе- •
риодическую функцию от /, с периодом Т=2л/ю, можем
представить ia в виде ряда Фурье:
‘=-r£V'’ ₽>
«=—ОО
§2.2.
45
причем здесь комплексные амплитуды гармоник Л будут
зависеть лишь от величин t/gi, |К|, q>i и q>2 (если не счи-
тать постоянных напряжений).
В соответствии с данным Ю. Б. Кобзаревым опреде-
лением, под средней крутизной обычно понимают отно-
шение комплексной амплитуды первой гармоники анод-
ного тока к комплексной амплитуде сеточного напряже-
ния. Учитывая это и обозначая среднюю крутизну анод-
ного тока через Sa, напишем
5а = /а.А.. (6)
Средняя крутизна в общем случае является комплекс-
ной величиной, зависящей от тех же параметров, что
и Ль
Если ток сетки отличен от нуля, то аналогичным об-
разом можно ввести среднюю крутизну сеточного тока.
Считая ток сетки функцией от иё и иа, подобно преды-
дущему получим
‘в = f2 [Ugi COS Н ¥l); j_ Ugi cos (<о/ -I- <P2)J
и аналогично (5)
S=—00
Средняя крутизна тока сетки Sg = 4i А.
Здесь следует обратить внимание на то, что при нали-
чии тока сетки коэффициент К, строго говоря, зависит
от этого тока. Это обстоятельство, если его учитывать,
может вызвать существенные затруднения при вычисле-
нии К. Однако, как будет показано ниже, в генераторах
резонансного типа эта трудность практически отсутству-
ет, и мы сможем вычислять К без учета токов сетки.
2.2.1. Средняя крутизна в случае вещественного К
Весьма широкий класс схем генераторов резонансно-
го типа обладает тем свойством, что коэффициент пере-
дачи является числом вещественным или числом с очень
малой величиной мнимой части. В этом случае угол <р =
=<Р1—фа равен 0 или л и выражению (4) § 2.2 можно
46 2.2.1.
придать вид
4 = fi [^gi cos (cof + ?,); 4" Ugi cos И + ?»>] =
= ^« [Mgl’ T'M8l]=^^4f^’
Выберем новое начало отсчета времени и положим
<л^ + Ф1=т. Очевидно, что ia будет четной функцией т
(однозначная функция от четной функции — четная).
Следовательно, разложение ia в ряд Фурье (по аргумен-
ту т) будет содержать только косинусоидальные гармо-
ники. Отсюда непосредственно вытекает, что и первая
гармоника анодного тока будет в фазе или противофазе
с напряжением на сетке, а следовательно, комплексные
амплитуды 7ai и [)gi имеют либо одинаковые, либо отли-
чающиеся на л аргументы. Таким образом, средняя кру-
тизна Sa в случае вещественного коэффициента передачи
будет также величиной вещественной.
Аналогичное заключение можно сделать и в отноше-
нии величины Sg.
Из сказанного выше следует, что средние крутизны
Sa и Sg являются функциями, зависящими лишь от ам-
питуды сеточного напряжения l/gi и от величины К и не
зависящими от начальной фазы <pi, и одинаковы для раз-
личных схем «прямоугольников», имеющих одинако-
вые Л.
Теперь покажем, что средняя крутизна является ве-
личиной положительной. Предположим, что ft(ugi), опре-
деляемая соотношением (1), в интересующем нас интер-
вале значений wgl удовлетворяет условию
А(—(2)
В частности, это имеет место, если fi(ugi) — монотонно
растущая функция ugi.
Положив
00
«gl = «gi cos Т (t/gl > 0) И Ja = S h cos St,
s=Q
мо/кем написать
к к
Л = 4" J f 1 (ugi cos t) cos tdt = A J A cos t) cos -t dt.
—it 0
2.2.1. 47
Этот интеграл разобьем на два интеграла:
1С
2 тс
2 Г 2 Г
Л =— I fi (t/gl cos т) cos -t dt — I Mt/gi cos t) cos t dt.
0 *
2
Далее, полагая т = л —-t,, можем написать
к О
J fl (^g! cos t) cos X dt = j (_ t/gi cos Tj) cos ttdtlt
тс TC
T “
и, следовательно,
TC
T
Л = V (t/gi cost) - f, (- cost)] costrfx.
о
Согласно неравенству (2) подынтегральное выраже-
ние на всем пути интегрирования положительно, а следо-
вательно, и /1>0; отсюда вытекает, что средняя крутизна
Sa = /al/<7gl (3)
также является величиной положительной.
Аналогичные соображения относятся и к Sg.
Необходимо дополнительно отметить, что в большин-
стве случаев характеристики электронных ламп и тран-
зисторов удовлетворяют условию (2). Однако в некото-
рых случаях это условие может не удовлетворяться
(сильно перенапряженный режим, динатронный эффект
в лампах). В этик случаях Sa может приобретать и от-
рицательные значения.
Теперь остановимся на случае, когда К<0. Здесь
напряжение на аноде находится в противофазе с напря-
жением на сетке и, следовательно, росту ugi соответству-
ет уменьшение анодного напряжения.
В связи с этим функция fi(ugi) имеет вид, изображен-
ный на рис. 2.2.
Действительно, при возрастании ugi растет ток эмис-
сии, и пока ug<^ua, растет и ia; однако по мере убывания
анодного напряжения последнее делается близким к ug
и даже может стать меньше ug. В этом случае рост анод-
ного тока замедлится и кривая fi(«gij может начать за-
гибаться вниз.
48 2.2.1.
Отсюда легко прийти к заключению, что амплитуда
первой гармоники анодного тока Л при больших ампли-
тудах колебаний на сетке растет не пропорционально Ugi,
а медленнее и, следовательно, средняя крутизна анодно-
го тока, определяемая (3),
с увеличением амплитуды Ugi
будет стремиться к нулю, как S
это показано на рис. 2.3. /
Можно попутно сделать не- /
сколько замечаний по поводу
принятых терминов. Если кри- —
вая средней крутизны имеет 7^
одно наибольшее значение при ~~ '
Ugt = O, то говорят, что харак- Рис> 2,2‘
теристика электронного прибо-
ра мягкая (рис. 2.3). Если же монотонное убывание сред-
ней крутизны как функции Ugi не имеет места, как это,
например, показано на рис. 2.4, то соответствующую ха-
рактеристику называют жесткой Ч
Среднюю крутизну как функцию напряжения можно
представить и в аналитической форме. Для этой цели
функцию fi(Mgi), задаваемую обычно в виде графика или
таблицы, представляют приближенно (аппроксимируют)
при помощи какого-либо аналитического выражения и
уже после этого находят аналитическое выражение
ДЛЯ За-
1 В радиотехнике употребляется термин мягкое (жесткое) само-
возбуждение и в соответствии с этим следовало бы говорить: харак-
теристика, соответствующая мягкому (жесткому) самовозбуждению.
Поскольку, однако, эти термины будут встречаться в дальнейшем
неоднократно, мы их заменяем более краткими, следуя примеру, взя-
тому из механики, где характеристику, соответствующую мягкой
(Жесткой) пружине, называют мягкой (жесткой) характеристикой.
2.2.1. 4—12 49
Для многих исследований удобно характеристику
fi(ugi) представлять в виде полиномов той или иной сте-
пени (по возможности невысокой). В качестве примера
рассмотрим случай, когда оказывается возможным ап-
проксимировать ток лампы полиномом третьей степени;
в соответствии с этим положим
F. (^,)=«о + <WS* + «2«g!3 + (4)
В связи с тем, что при малых ugl как сама аппрок-
симируемая функция, так и ее производная положитель-
ны, ао и at должны быть величинами положительными.
Коэффициент аз должен быть отрицательным, если хо-
тим отразить верхний и нижний «загибы» характери-
стики.
Коэффициент аг может оказаться как положитель-
ным, так и отрицательным, в зависимости от вида ап-
проксимируемой характеристики.
Полагая теперь Mgi=i7gicos(o/, можем написать
4.)a=4^i(l+cos2arf);
(ugl)’ = (cos 3<ot 3 cos <of).
Подставляя эти выражения в (4) и выделяя первую
гармонику, получаем
и, следовательно с Л* . Оа TJ я /.=йЛе1+-га»^1 =^+4^.=^-4- i«.iulv <5>
50
2.2.1.
Как видно из (5), средняя крутизна Sa не зависит от
а2 и монотонно убывает при увеличении Ugi (рис. 2.5,а),
и, следовательно, посредством полинома третьей степени
можно аппроксимировать лишь мягкую характеристику.
Функция (5) может при больших ugi приобретать и
отрицательные значения; однако следует иметь в виду,
что полином третьей степени отражает действительную
характеристику лишь на ограниченном участке, как это,
например, иллюстрируется рис. 2.5,6 (участок 1—1).
Этому участку соответствуют лишь положительные зна-
чения Sa. Иногда для аппроксимации характеристики
лампы пользуются полиномом более высокой степени,
чем третья. Например, при полиноме пятой степени мо-
жем написать
f 1 (wg i) — ао + aiMgi + a2ug i + аз ug i + atugi + aswgi •
Учитывая, что (t/gI cost)* = ^- (10 cos -t -[- 5 cos 3т-f-
+ cos 5т), а также то, что четные степени cost не дают
никаких слагаемых в выражении первой гармоники, для
средней крутизны получаем следующее выражение:
Sa = a.+-r^gI+4'a»C/ir <6)
Этими примерами не исчерпываются возможные спо-
собы аппроксимации характеристк ламп. Следует упомя-
нуть, что в практических расчетах часто пользуются в ка-
честве аппроксимирующей функции ломаной линией
(рис. 2.6). Аналитически эта »
характеристика может быть ✓
записана так: /а равно / '
0 при’ив1<+«0, /
So (ugi - «о) ПРИ «gl > + «о- /
где So — крутизна «наклонно- /__________
го» участка характеристики. ч и0 ид.
Не приводя подробных вычис-
лений, укажем, что здесь в ка- Рис 2-6>
честве параметра вводится так
называемый угол отсечки Т, определяемый соотноше-
нием
cos Чг=ы0/Ugl, 0<W<n.
Тогда средняя крутизна может быть написана так:
^=2-~^п2Ф -So, (l/gI>A).
§2.2.1.
4*
51
2.3. Основное уравнение автогенераторов резонансного
типа
Обратимся теперь к общей схеме автогенератора, изо-
браженной на рис. 2.1, и будем вначале считать ток сет-
ки равным нулю. Далее предположим, что в системе
имеет место одночастотный режим, когда на электродах
лампы или транзисторе помимо постоянных составляю-
щих напряжения содержат только одну гармонику. Вели-
чина К предполагается вещественной.
Это допущение основано на следующих простых и
хорошо известных соображениях. Частота колебаний, ко-
торые генерируются системой резонансного типа, обычно
близка к собственной (резонансной) частоте линейной
системы, подключенной к электронному прибору, причем
возникает «резонанс токов», при котором входное сопро-
тивление на зажимах ab имеет резко выраженный мак-
симум (предполагается, что резонансная система облада-
ет высокой добротностью).
Если при этом еще допустить, что анодный ток хотя
и несинусоидален, но имеет не очень искаженную форму
(высшие гармоники имеют одинаковый порядок с основ-
ной или меньше последней), то легко прийти к выводу,
что высшие гармоники напряжения на контуре по отно-
шению к основной будут величинами малыми (порядка
затухания системы). Если колебательная система много-
частотная (имеет несколько резонансных частот), то не-
обходимо, чтобы ни одна из гармоник тока не была близ-
ка к какой-либо резонансной частоте системы (помимо,
конечно, основной).
Обращаясь теперь к рис. 2.1 можем для комплексных
амплитуд первой гармоники написать
ОаЪ=!ягаЪ- Оае’^к(]аЪ- (ц=-иаЪ- йя = ~иас.
Здесь Zab — комплексное сопротивление между зажимами
об; Оаь и Uac — соответственно напряжение между зажи-
мами ab и ас, отсчитанные от точки а к точкам b и с
(согласно с выбранным направлением анодного тока I&);
/( — коэффициент передачи от зажимов ab к зажимам ас.
Учитывая, что 1л = 8лие, из этих равенств легко по-
лучаем
или
SaKZab = -l. (1)
Это и есть уравнение установившихся колебаний; оно
позволяет сделать несколько выводов:
а) вследствие того что величины Л’ и Sa (согласно
сказанному раньше) вещественны, из (1) вытекает, что
колебания могут происходить лишь на частоте, для ко-
торой Zab=iRab вещественно (резонансной частоте);
б) учитывая, что входное сопротивление Zab=Rab по-
ложительно, приходим к выводу, что коэффициент пере-
дачи К должен быть отрицателен (на сетке и аноде на-
пряжения в противофазе);
в) так как рассматриваемая резонансная система об-
ладает высокой добротностью, величина Rab велика (по-
рядка добротности). Отсюда следует, что в режиме уста-
новившихся колебаний произведение 5а|Л| мало (поряд-
ка затухания).
Учитывая это обстоятельство в теории генераторов
резонансного типа обычно считают либо К, либо Sa ма-
лыми величинами.
Для уточнения отметим, что здесь и далее термин «ма-
лая» величина понимается в том смысле, который ему
придается в математике. Выбрав за основу некоторую
положительную величину ц, по отношению к которой ве-
дется сравнение («параметр малости»), считаем, что эта
величина может быть сколь угодно малой. Будем ‘гово-
рить, что величина 0 имеет порядок малости ц., если
можно найти такое положительное число М (не завися-
щее от ц), что при любых достаточно малых ц. имеет
место неравенство |i|J| <Af|i. Часто это записывается так:
₽=О(ц).
В предыдущих рассуждениях в качестве параметра
малости выбиралась величина затухания контура, обрат-
ная его добротности1.
1 Часто с параметром малости связывают неравенство
и считают, что там, где это условие не выполняется, методом
малого параметра пользоваться нельзя. При принятом здесь способе
введения параметра малости выполнение этого неравенства в кон-
кретной задаче не обязательно и термин «порядок малости» в при-
нятом здесь понимании характеризует не арифметическое значение
Данной величины при фиксированном ц, а в большей степени ско-
рость ее изменения при ц—*-0 (ц при этом не обязательно безраз-
мерная величина). Более подробно см. приложение 2.
§2.3. 53
Таким образом, утверждение «Sa|K| мало» означает
лишь то, что, выбирая последовательность контуров с уве-
личивающимися добротностями Q, мы должны будем по-
лучать соответственно уменьшающиеся значения Sa|K|.
Это можно записать так: Sa|/<|=O(d), где d — затуха-
ние контура.
По поводу уравнения (1) следует сделать еще одно
замечание. Это уравнение было бы точным соотношени-
ем, если бы под Sa подразумевалось точное значение от-
ношения las/Ugl-
Однако под Sa понимаем величину, найденную без
учета высших гармоник в напряжениях и wai. Учиты-
вая, что эти гармоники имеют порядок d по отношению
к основной, приходим к выводу, что погрешность при вы-
числении Sa будет иметь порядок d. Отсюда вытекает,
что уравнение (1) более точно можно было бы написать
так: 5a|K|Z+1 = 0 (d).
Таким образом, в уравнении (1) уже отброшены вели-
чины, порядок малости которых равен d, что необходимо
учитывать при вычислениях.
В частности, это уравнение нельзя применять там, где
необходимая точность вычислений не позволяет прене-
брегать величинами порядка d.
Комплексное уравнение (1) эквивалентно двум ве-
щественным уравнениям и позволяет найти частоту и
амплитуду установившихся колебаний.
Ниже рассматриваются примеры, иллюстрирующие
применение этого уравнения.
2.4. Рассмотрение некоторых схем. Примеры
Генератор с трансформаторной обратной связью. Рас-
смотрим схему, изображенную на рис. 2.7. Считая, что
током сетки можно пренебречь, напишем
_ (hL+r)^- _ .^ + г
оЬ~ . , , , 1 1—<o2 LC + iaCr ’
^L + r+-j^c
К=/соМ/ (/ш£ + г).
Учитывая малость г по отношению к «£, можем К.
считать вещественным, и воспользовавшись уравнением
(1) § 2,3, получим
ja>M „ .
1 — (JLC.+' jvCr °а— 1
54
§2.4
или
/wAfSa = <02LC—I—jtoCr.
Приравнивая порознь вещественную и мнимую части
уравнения, стоящие справа и слева, напишем <о = 1 / УLC;
Sa = ~Cr/M.
Первое соотношение определяет частоту колебаний;
из второго следует (так как Sa>0), что Л4<0. Таким об-
разом, Sa = Cr/|Af|.
Полученное значение Sa позволяет найти амплитуду
установившихся колебаний. Так, например, если Sa за-
дано графически как функции от Ugi, можно найти ам-
плитуду колебаний, как это показано на рис. 2.8, где
искомая амплитуда определяется точкой пересечения
кривой Sa(Ugi) и прямой 5а = Сг/|ЛГ|.
Если зависимость Sa от Ugi задана в аналитической
форме, то можно получить установившееся значение в ви-
де аналитического выражения. Так, например, в случае
кубической характеристики, в соответствии с выражени-
ем (5) п.2.2.1 находим
зТ^|
Генератор с емкостной обратной связью. Обратимся
теперь к схеме, изображенной на рис. 2.9. Здесь емкость
и индуктивность, подключенные непосредственно к сетке,
очень велики и играют лишь роль устройств, защищаю-
щих сетку от анодного напряжения. По отношению к то-
кам первой гармоники их влиянием можно пренебречь.
Индуктивность Lo также очень велика, ее реактивное
сопротивление по отношению к переменным составляю-
щим тока можно считать бесконечным.
§2.4. 55
Рис. 2.9.
Теперь можем написать
7 _(/wL + /5cr + r)/®cT
Лаь J J —
iaL +/йсГ+/йс7 +г
__ 1 — (й2ЬС\ + МС1Г_1
1 — (n2LC1 + + /соС1Г ^<0^2
к = 1________1 ________________1___
/wCi 1 1 — tiPLCi +
^L+hcT+r
и уравнение (1) § 2.3 приобретает вид
s0-----------!—£-------=-1
/соС2 (1 — co2LCi) + + jaC^r
ИЛИ
'^7=1-“!£С' + Й- + '"с.г-
Отсюда вытекает, что
»=/sa=<»acIc2r=(c1+ca)-£-
По полученному значению Sa можно найти амплитуду
установившихся колебаний так, как это было сказано
в предыдущем примере.
56 $2.4.
Генератор с контуром в цепи сетки. Рассмотрим те-
перь схему, изображенную на рис. 2.10. Можем написать
Zab — j($Lo + Zbid
где
Напряжение на зажимах ab, создаваемое током /Н1,
протекающим в анодной цепи, Oab = j&iZab, а напряже-
ние, создаваемое тем же током на зажимах ас,
Г*Г __ J jtoM 1 __ J jtoM
Uac — yai / ! \ ' /<оС ““/ai 1 — U>2LC + jtoCr ’
После преобразований найдем
д-__йас_________________ivM______________
l^ab №СМг + jw£0 (1 — w*LC + janCr)
Второй член выражения, стоящего в знаменателе,
вблизи от резонанса и при малых г мал по сравнению
с первым. Это дает основание считать в первом прибли-
жении К величиной вещественной и, воспользовавшись
формулой (1) § 2.2, получить
о /<оЛ1 __ .
а 1 — <&LC + jaCr
§2.4.
57
или
Saj (£>М=(D2L С— 1 — /0) С Г.
Отсюда следует, что LC; Sa =—CrfM. Считая
Л4<0, получаем 5а = Сг/|Л1|.
Откуда можно, как указывалось выше, определить
амплитуду установившихся колебаний.
Генератор с двумя контурами (система с двумя степе-
нями свободы). Рассмотрим теперь схему, изображенную
Рис. 2.11.
на рис. 2.11. Подобно предыдущему составим сначала
выражение для величин Zab и К.
Учитывая вносимое сопротивление (из второго конту-
ра в первый) и обозначая его через Z вш можем написать
Д'.
-|-г 1 4* ^вн ’
(/wij 4- Г1 4- ZBH) у z-.
7 __ '* 1 _ 4~ гJ 4“ ^вн
аЬ~ . т , . 7 , 1 — + +
ГДС ^вя — ^вн”НМвн;
вн = ~~2~. ~2~ Л'ВН = “77 2~ ;
г2 “Ь Х2 г2 “Ь *2
X. = соЛ------х2 = ^L2-----------
1 1 coCi * 2 2 (йС2
58 §2.4.
I
Будем рассматривать случай, когда колебания проис-
ходят на частоте, не близкой ни к одной из собственных
частот отдельных контуров (парциальных частот), и,
следовательно, величины Xi и х2 можно не считать малы-
ми. Тогда, как легко видеть, при малых п и г2 /?Вн также
будет мало и, следовательно, величину К можно в пер-
вом приближении считать вещественной.
Теперь основное уравнение генератора напишется так:
о ______________jtoM________________ 1
а 1 (г, + Явн) - Хзнсос, ~
или
Saj®A1 = w2LlC, — 1 +®С,хвв — /«£, (g + ^bh)-
Отсюда
- 1 + = 0; Sa=— С‘ (г> + *’> (1)
или, полагая М = — |Л1| (Л1<0), получаем
С ____(Г1 + Явн) /Л\
да | Л41 •
Первое уравнение (1) определяет возможную частоту
автоколебаний; его можно преобразовать так:
- 1) (г* + х22) - =- 0.
Так как х2 не является малой величиной, а Гг мало,
последней величиной можно пренебречь и, сократив все
выражение на Хг, написать (co2Z,iCi—1)%2—(оС1<о2Л12=0.
Введя обозначения о>;=1/£1С1; <Д; =1/Л2С2; =
= Af2/L1L2, этому уравнению мокно придать вид
ш4 (1 — Кд) — (о)2 +
или
т12(1-Ко2)-(1-^ + е = О,
где 5 = <»2 /®| 5 tj = «>s/coj .
§2,4 59
Отсюда непосредственно следует:
i.= 9н Lv[1+e+^(1+5)2~4s(1~K°)]::=
2 U — Ло/
= г<1 -'л~11 -В + / (1-£)’+«» «1;
2 (1 До)
'•= >,'• 'й1Ж-У(1+У-<|1-^,)1=
2 (1 — А0)
= ‘-лН1 +s /(l-SC + W, !
Это хорошо известные из теории двух связанных кон-
туров выражения для частот связи. Из полученных фор-
Рис. 2.12.
мул видно, что при всех положительных rji и rj2 вещест-
венны положительны. В частности,
при 5 = 0 ^=1/(1-К*); 1)2 = 0;
при 5=1 т!, = 1/(1 - К2); ъ=1/(1 +7Q.
Зависимость гц и г)2 от % иллюстрируется рис. 2.12
(график Вина).
60 §2.4.
Теперь обратимся к уравнению (2). Прежде всего от-
метим, что
^ВН 7" ^ВН»
и, учитывая (1), напишем
П Г 2 1
Лвн“"х2' (oG
Следовательно,
1
“11^1
2а1-|-2а.!
где
ai=ri/2Z,i; а2=Г2/2£г,
и, таким образом,
•>1 — 1
(4)
а ®2|Л4|
Это соотношение позволяет определить амплитуду
установившихся колебаний, если таковые существуют.
Очевидно, что формула (4) дает два значения Sa, соот-
ветствующие двум значениям т), определяемым уравне-
нием (3).
Зная величину £ для данной схемы, можно, например,
найти т|1, а затем посредством (4) соответствующее ему
значение Sa. Обратившись теперь к графику средней кру-
тизны (рис. 2.8), проведем прямую, параллельную оси
абсцисс, «на высоте», определяемой формулой (4). В слу-
чае мягкой характеристики (которую мы и будем иметь
в виду) возможны два случая:
1) Найденная по формуле (4), величина 5a<Sa(0),
где Sa(0) — значение Sa при t/gi = 0, наибольшее из зна-
чений средней крутизны, которое способна реализовать
§2.4. 61
лампа при данном К. В этом случае проведенная прямая
пересечет кривую средней крутизны, и тогда абсцисса
точки пересечения определит значение искомой амплиту-
ды установившихся колебаний.
2) Sa>Sa(0), и, следовательно, проведенная прямая
пройдет «выше» кривой средней крутизны и пересечения
не будет. В этом случае возможны только одно заключе-
ние— установившихся колебаний, соответствующих ф
(«быстрой» частоте связи), быть не может.
Аналогичное построение можно провести для того же
g, но при т] = Ц2 («медленной» частоте связи).
Для того чтобы придать большую наглядность полу-
ченным результатам и получить хотя бы качественное,
но более ясное представление о процессах, происходящих
в подобных схемах, постараемся полученные результаты
интерпретировать геометрически.
Прежде всего постараемся составить представление
о поведении Sa как функции от £. Рассмотрим сначала
величину
Ф(П1) = hi— i)/(ni—В)-
При ? = 0 к;.
1
1-к02
и, следовательно, Ф(т)1) = А'^ •
При 5—1 к), — 5 = -q, — I иФ (тг)г) = 1.
Теперь обратимся к первой из формул (1) и перепи-
шем ее так:
Считая 5 большим, мо/кем написать
/ (‘-.т)’+4К»Т = /1 + (««-2>4-4=
62
§2.4.
и, следовательно,
Таким образом,
Ф01.)
54-2^2—1
Ко^+0
и lim Ф0),)= 1/Ко •
£->оо
Проведя аналогичные выкладки, мо.кем получить для
случая 71 = т]2:
при 5 = 0 •q2=o и ф(т]2)=оо;
при 5=1 Т12 = 'П1 И Ф(Т|2)=1;
при 5= 00 T)2 = 0 и Ф(т|2) = 0.
Эти результаты приводят для величины /71>2 = <х1-|—
4-а2ФСП1,Л к данным, указанным в таблице.
£ F, 1 F>
0 1 1-*о 0 «1 «2^0 ор
1 1 1 — /Со 1 1 + к. а1 + а2 «1 + «2
оо 5 +Ко 1-Ко 1 я + «1
Теперь можем представить себе поведение функций
Л(£) и F2(g) и иллюстрировать его рис. 2.13. Обратимся
к формуле (4) и напишем ее в виде
®i IЛ11
2
^) =
Sa.
(5)
§2.4.
63
Найдя посредством приве-
денных выше формул или со-
ответствующих графиков ве-
личину F при данной величи-
не связи (значения М), оп-
ределим по формуле (5)
среднюю крутизну. Зная за-
висимость Sa от амплитуды
колебаний, можем найти по-
следнюю подобно тому, как
это делалось в предыдущих
примерах.
Если окажется, что тре-
буемая формулой (5) величина Sa больше Sa(0), то это
значение крутизны лампой реализовано быть не может
и установившихся колебаний не будет. Таким образом,
необходимым условием существования установившегося
колебательного режима является условие Sa<Sa(0).
Введем теперь величину Н — 0,5о? | М | Sa (0) и прове-
дем на рис. 2.14 на высоте Н прямую, параллельную оси
абсцисс, и рассмотрим следующие случаи.
1) И(крутизна мала или связь слабая). В этом
случае ни одна из кривых Л и Гг не будет пересечена
прямой F=H, и, следовательно, условия самовозбужде-
ния не будут выполнены ни для одной из частот связи,
и установившиеся колебания существовать не могут.
2) а, < //< В этом случае прямая пересечет
лишь кривую F2 (прямая Ht на рисунке).
64 §2.4.
.г ълёчжзы&ж лг-
Очевидно, что здесь не могут возникнуть колебания
с «быстрой» частотой связи (соответствующей Су-
ществование колебаний с «медленной» частотой
возможно лишь при значениях |, лежащих правее точки
bi.
3) а(-{~а2Л^< Н< а> + а2 (прямая Яй). В этом случае
возможны колебания с „быстрой“ частотой mi лишь
при 5, лежащих левее точки Ь2, и с частотой У'Пз mi “
правее bt.
4) a.l а2 < И < ai + (прямая Я3). Здесь условия
Л о
самовозбуждения выполняются для частоты при
5, лежащих левее точки Ь3, а для частоты 1/^7^ —при
лежащих правее Ь4.
Следует обратить внимание на область
(рис. 2.15), где условия самовозбуждения могут удов-
летворяться для любой из частот связи. Однако из этого
отнюдь не следует делать заключения, что оба колеба-
ния будут иметь место одновременно. В дальнейшем при
исследовании устойчивости установившихся колебаний
убедимся, что в случае мягкой характеристики двухча-
стотный режим является неустойчивым и, следовательно,
физически реализоваться не может. Кроме того, будет
также показано, что для колебания с «быстрой» часто-
той условие устойчивости выполняется для всех
где
Условие устойчивости для второго колебания будет
выполняться при SpCS и б}1’>В,. Таким образом, в дей-
ствительности граничными значениями g, соответствую-
щими возникновению колебаний, будут не точки gi и Ь
(границы области самовозбуждения), а ограничивающие
более узкий интервал точки 5, ° и 6*° (границы области
устойчивости).
Здесь мы встречаемся с хорошо известным в радио-
технике явлением затягивания. Если при достаточно
большой связи (случай 4) изменять величину £ в сторо-
ну ее возрастания (например, перестраивая второй кон-
тур), то мы «войдем» в область с частотой коле-
баний |Хт|Цл>1.
§ 2.4 5—12 65
Эта частота и амплитуда колебаний будут плавно
меняться вплоть до точки 5 = £2' > где произойдет скачок
частоты и амплитуды колебаний, связанный с переходом
с кривой Fi на кривую F2 (рис. 2.16).
При обратном изменении $ в сторону уменьшения попа-
дем в область с частотой причем скачок
произойдет не в точке 5 = $21)’ как эго имело место
раньше, а в точке 5=${1>.
В заключение заметим, что явление затягивания ие-
является неотъемлемым свойством любого двухконтур-
ного генератора. Так, например, затягивания нет в схеме,
изображенной на рис. 2.17, где обратная связь на сетку
Рис. 2.16.
Рис. 2.17.
подается со второго контура (который не присоединен
непосредственно к аноду). Мы не будем проводить де-
тальное исследование этой схемы (которое совершенно
аналогично предыдущему исследованию) и отметим
лишь, что здесь условие баланса фаз (нужный знак
у коэффициента К) может выполняться только для одной
из частот, или £12=Кц2о)1, причем перемена
знака у М или у Af0 (но не у обоих одновременно) при-
водит к тому, что условие самовозбуждения перестает
выполняться для той частоты, для которой оно выпол-
нялось раньше (меняется знак К), и делается возмож-
ным появление колебаний с другой частотой связи.
66 §2.4.
2.5. Автогенератор с учетом токов сетки
‘Of
Рис. 2.18.
анодной цепи; К и
Обратимся теперь к обобщенной схеме генератора,
рассмотренной ранее и изображенной на рис. 2.1, но
в отличие от предыдущего освободимся от допущения,
что ток сетки равен нулю. Прежде всего, воспользовав-
шись принципом суперпозиции,
можем написать два следую-
щих уравнения:
иоЬ = -Оя = IatZab + /g| Zoc/C;
ас — — — 1 a^ZabK fg[-\~Zacr
где Zab — входное сопротивле-
ние на зажимах ab при ра-
зомкнутой сеточной цепи;
Zac — входное сопротивление
на зажимах ас при разомкнутой
К' — коэффициенты передачи от ab к ас при разомкну-
той сеточной и от ас к db при разомкнутой анодной цепи.
Из теоремы взаимности вытекает, что ZacK' = ZabK и,
следовательно,
- С7а = Uab = /aiZab + 7glZacK' = Zab (/ai + A7gI). (1)
Найдем теперь связь между £7а и t7g в несколько
иной форме. Рассмотрим для этой цели схему, приведен-
ную на рис. 2.18, где к зажимам ab приложена внешняя
э. д. с., равная Uab, а к зажимам ас подведен ток /gi. Тог-
да согласно принципу суперпозиции
uae=i)abK+jglzK,
где ZK — входное сопротивление на зажимах ас при ус-
ловии, что за-кимы ab замкнуты накоротко. Учитывая,
что Uaa— — l7g; Uab=^ — Oa; jgl=SgUg, из этого равен-
ства получаем
Cg(l-f-SgZK) = AUa. (2)
Принимая во внимание, что /а1 — SaUg и igl = SgUg,
и воспользовавшись (1) и (2), находим
zab (5а + ASg)= - А=- А- (1 + SgZK)
§ 2.4 5* 67
или
Kzab(sa+Ksgy—(i+sgzK). (3)
Так как рассматриваемая схема имеет настроенные
на рабочую частоту контуры, замыкание накоротко за-
жимов ab обычно приводит к резкому уменьшению со-
противления на зажимах ас, и, следовательно, ZK не бу-
дет величиной большой, так что SgZK<€J.
В этом случае уравнение (3) приобретает вид
*Zad(Sa + tfSg) = -l (4)
и соотношение (2) дает-4^- = /(.
Таким образом, при вещественном К мы приходим
к схеме, у которой отношение комплексных амплитуд се-
точного и анодного напряжений будет вещественно и
в принятом приближении (с точностью до величин пер-
вого порядка малости) остается таким же, каким оно
было при отсутствии токов сетки.
Из (4) видно, что /С<0, и, следовательно,
|7<Rab(5a- |K|Sg) =1. (5)
Из этого соотношения можно сделать несколько вы-
водов.
Прежде всего следует отметить, что для определения
частоты автоколебаний получается уравнение Jm (Za&) =
-О, т. е. такое же, какое мы получали в случае отсутст-
вия токов сетки.
Отсюда вытекает, что в рассматриваемом приближе-
нии ток сетки на частоту автоколебаний влияния не ока-
зывает.
Ввиду того что член | К|Sg входит в (5) со знаком
минус, очевидно, что ток сетки оказывает тормозящее
действие и может служить причиной ограничения ампли-
туды колебаний. Если ввести величину S3 = Sa—
то (5) приобретает вид |K|ZabS3=l.
Построив графически S3 как функцию от Ug, можно
подобно тому, как это делалось в примерах предыдущего
параграфа, найти Ug, проведя на этом графике прямую,
параллельную оси абсцисс на «высоте»
$Э z== | /С | ь (^ab =z:= Rab “Н
68 §2.5.
-л.
Остановимся теперь на некоторых Дополнительных
соображениях, связанных с полученными выше форму-
лами.
Прежде всего отметим, что при вещественном и отри-
цательном К (случай, который все время имеется в ви-
ду) соотношение (3) может выполняться только при
условии
Sg<Sa/|K|. (6)
Отсюда видно, что при немалых К (нулевой порядок ма-
лости) Sg не может быть величиной менее высокого по-
рядка малости, чем Sa (в противном случае рассматри-
ваемый колебательный режим не может реализоваться).
Условие (6) обычно выполняется, ибо практически поч-
ти всегда Sg<Sa.
Соотношению (3) можно придать еще и другую фор-
му. Введем эквивалентное сопротивление Z9 на зажимах
ав, учитывающее влияние сеточного тока. Определив это
сопротивление как отношение комплексных амплитуд ос-
новных гармоник напряжения и тока на зажимах ав,
напишем на основании (1)
2Э = =-- Zab (1 + = Zab (1 + Л’Д).
Ai \ / \ */
Следовательно, (3) можно переписать еще так:
/<SaZ9= —(1+5gZK). (7)
Для того чтобы генератор создавал на аноде и на сетке
напряжения, по форме близкие к синусоидальным, необ-
ходимо (при несинусоидальном анодном токе), чтобы
I Z3| было большой величиной. Если ограничиться случа-
ем немалых К, то отсюда на основании (7) можно прий-
ти к выводу, что Sa будет величиной порядка малости d,
а следовательно, и величина Sg|ZK| также будет мала.
Выше мы сделали предположение, что величина К не
мала (в смысле порядка малости), а малой величиной
оказалась Sa. Это следует понимать в том смысле, что
рассматривается последовательность колебательных кон-
туров с возрастающими добротностями и соответствую-
щих им электронных ламп (или транзисторов), у ко-
торых ток эмиссии во всех точках характеристики изме-
няется обратно пропорционально добротности соответст-
вующего контура (характеристики остаются «подобны-
§2.5. 69
ми»). Такой подход не является единственно возможным
с точки зрения правильности обращения с малыми вели-
чинами. Можно, например, считать величину К малой
(убывающей пропорционально затуханию контура),
а характеристику лампы — неизменной (возможны, ко-
нечно, и другие варианты). Однако в последнем случае,
когда Sa и соответственно напряжение на сетке остаются
неизменными (имеют нулевой порядок малости), умень-
шению К соответствует увеличение переменной состав-
ляющей анодного напряжения, что при достаточно малых
К приводит к рассмотрению сильно перенапряженных и
неестественных для автогенераторов режимов.
В заключение отметим, что в предыдущих рассужде-
ниях мы исходили из требования, чтобы высшие гармо-
ники напряжений на анодных и сеточных зажимах были
по отношению к основной гармонике величинами поряд-
ка d, ибо построенная выше теория базируется на этом
предположении. Однако следует иметь в виду, что на
практике возможны случаи, когда это допущение не вы-
полняется. Крутизна характеристики тока сетки лампы
(или соответственно тока базы транзистора) может ока-
заться в установившемся режиме величиной не малой и
Sg|ZK| также не будет мало (особенно для транзистор-
ных генераторов). В этом случае сказанное выше, строго
говоря, теряет силу (в частности, вывод о том, что ча-
стота автогенератора не зависит от токов сетки), и здесь
требуется более высокая точность при выводе формул.
§2.5.
3
НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ В СОСТОЯНИИ
УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ
3.1. Общие соотношения в случае одночастотных '
колебаний
Как и раньше, мы будем рассматривать схему, изо-
браженную на рис. 2.1, с той лишь разницей, что теперь
система не будет считаться автономной.
Пусть внутри прямоугольника кроме постоянных
э. д. с. действует и переменная э. д. с. е=Ет cos(co/ + cp),
которой соответствует комплексная амплитуда
Ё=Ете’4.
Подобно предыдущему для упрощения рассуждений
будем считать, что токи сетки пренебрежимо малы, и не
будем в дальнейшем принимать их в расчет.
Как известно, автоколебательные системы, подобные
рассматриваемой, могут находиться в различных режи-
мах. Вначале рассмотрим наиболее простой из них — ре-
жим одночастотных колебаний, когда напряжения на
аноде и на сетке лампы по форме близки к синусоидаль-
ным и имеют период, равный периоду приложенной
э. д. с. е.
При составлении уравнений, описывающих поведение
системы в рассматриваемом режиме, воспользуемся
принципом суперпозиции. Тогда напряжения на зажимах
ab и ас можно рассматривать как вызванные двумя
источниками: э. д. с. е, находящейся внутри прямоуголь-
ника, и генератором тока ia. Обозначая комплексную ам-
плитуду /а через Л можем написать (остальные обозна-
чения сохраняются теми же, что и во второй главе) 1
U I Zab 1 ..
= = j (1)
1 Там, где это не может вызвать недоразумений, мы будем вме-
сто C/gl и (7аь писать б/g и б/а.
§3.1. 71
Здесь коэффициенты 2а и 2g зависят лишь от схемы
«прямоугольника” и представляют собой соответственно
отношения напряжений Ua и Ug к Ё при разомкнутой
анодной цепи. Из уравнений (1) можно получить
tfebK-tfoe = (Xg-/aa)£. (2)
С другой стороны, можно считать, что «прямоугольник»
находится под воздействием двух э. д. с.: Ё, заключенной
внутри прямоугольника, и ‘£7аь, приложенной к зажимам
ab (см. рис. 2.18). Тогда можем написать
Ua;=KUab + EXQ, (3)
где Ло — отношение напряжения Uac к Ё при замкнутых,
накоротко зажимах ab. Из (2) и (3) непосредственно вы-
текает, что
КА-а—Ag = Ao. (4)
Рассмотрим теперь случай, когда круговая частота
w близка к резонансной частоте1 «прямоугольника», бла-
годаря чему Ла и Ag— величины большие (порядка доб-
ротности контура), а Ао невелико2. Ограничиваясь рас-
смотрением систем, для которых это имеет место, получа-
ем с точностью до величин порядка затухания
Ag = /CAa- (5)
Теперь соотношения (1) запишутся так:
izaby,] (6)
t7a = Ад/? / Zab.
Таким образом, и здесь, несмотря на присутствие
внешней э. д. с., по-прежнему получаем
= (7)
1 Мы будем часто употреблять термин «частота» вместо более
длинного — «круговая частота», в тех случаях, когда это не может
вызвать недоразумений.
2 Это обстоятельство по большей части имеет место, но легко
указать случаи, когда Ag и Ха и при резонансе не будут велики.
Однако и в этом последнем случае приводимые ниже рассуждения
можно оставить в силе по мотивам, которые приводятся в § 3.3.
72 §3.1.
а следовательно, все высказанные в предыдущей главе
соображения по поводу средней крутизны и здесь оста-
ются в силе, и мы можем написать
4=s.^
Теперь второе уравнение системы (1) дает
t?B(l+SaKZeb)^%gE,
и, следовательно,
Эта формула позволяет исследовать одночастотный (как
иногда говорят — моногармонический) режим работы
автоколебательной системы.
В дополнение к сказанному полезно отметить, что
-формула (8) выведена в предположении, что и
однако, как уже отмечалось, ее возможности ши-
,ре этого случая. Действительно, если степень регенера-
ции высока, т. е. знаменатель (8) мал, то Us~^>Em.
Таким образом, в выражениях (1) члены Ла£ и lg£
значит* льно меньше слагаемых /Zab и iEZab. Следова-
тельно, справедливо (приближенно) соотношение (7) и,
как следствие, будет иметь силу (8).
Рассмотрим сначала случай, когда колебания не вы-
ходят за пределы прямолинейного участка характеристи-
ки лампы. Тогда Sa=S0 будет постоянной величиной (не
зависит OT't/g), а, следовательно, формула (8) дает окон-
чательное решение задачи. Поскольку здесь частота ко-
лебаний и параметры схемы известны, величины К, Ха
и Zab могут быть непосредственно вычислены, а следова-
тельно, может быть найдена комплексная амплитуда Us
(т. е. и амплитуда, и начальная фаза колебания на сет-
ке), после чего можно определить токи и напряжения
в любом участке схемы. В частности, первая гармоника
анодного тока определится так:
Обратимся теперь к случаю, когда зависит от Ug;
тогда из (8) следует:
1^1- (9У
в- |l+KZ.lS.(|Cg|)
Если теперь построить на графике левую и правую
части (9) как функции от |t/g|, то точка пересечения
этих линий дает искомое значение Ug (рис. 3.1). Графики
соответствуют вещественным Zab, Л<0.
Во многих случаях амплитуда возникающих колеба-
ний оказывается небольшой, и можно считать, что лампа
находится в таком режиме, что анодный ток подчиняется
хорошо известному уравнению ia=f(«3), где u3=ug+Dua.
Рис. 3.1.
и D — проницаемость лампы. В этом случае нет необхо-
димости вводить предположение о малости Ао и о выпол-
нении условия (7). Определив среднюю крутизну как от-
ношение SCp=//t/8, из (1) непосредственно найдем
(Zg + DZa) - ScpZob (К + D) I
я, следовательно,
(j — (Xg + DX.)£ .
э l+Sep(K + Z))Zeb
К этой формуле можно отнести все то, что было ска-
зано относительно (9).
74 §3.1.
3.1.1. Регенеративная схема
В качестве примера рассмотрим схему, изображенную
на рис. 3.2, отличающуюся от схемы генератора с конту-
ром в цепи сетки (рассмотрен-
ной во второй главе) лишь на-
личием переменной э. д. с. е.
Рис. 3.3.
Будем считать, что частота колебаний близка к резо-
нансной, т. е.
Дсо__ со — со0 ।
со со ’
где ю0=1/У"1С.
Величины Zab и К для рассматриваемой схемы были
уже найдены во второй главе и соответственно равны
Zab = jmL0
со2 Л!2
r + y ЙС-)
. со3Л42С + соД0 (1 — <л2ЬС + j(&Cr) t
1 ’
к________________м_____________
Л &МгС + L„ (1 — <o2LC + /йСг)'
Коэффициенты и 2а вычисляются так:
Я - 1____________1 = 1________•
е . / , 1 \ ja>C 1 — + /<оСг ’
1 \&L ~ йС"J + г
<^МС
1 — w2LC + jtaCr '
3.1.1,
75
Как легко видеть, здесь при резонансе со = соо выполняет-
ся условие (5) § 3.1.
Обращаясь к формуле (8) § 3.1, получаем
U —___________£____________________!___________—
g 1 — <a2LC + /соСг
1 + 5а ! —(о2£С+/(йСг
_________________ё________________(I)
— / м \
/<йС ( г 4- Sa -q j + (I — <o8LC)
Кстати сказать, что из этой формулы видно, что вве-
дение обратной связи (при Л1<0) эквивалентно умень-
шению сопротивления контура на величину, равную
Sa=|M|/C. Таким образом, мы встречаемся с хорошо
известным явлением регенерации (восстановление поте-
рянной в контуре энергии), которое можно трактовать
как внесение (благодаря введению обратной связи)
в контур отрицательного сопротивления. Если рассмо-
треть случай небольших амплитуд, когда Sa постоянно,
и построить резонансные кривые системы (рис. 3.3): а—
при отсутствии обратной связи и б — при наличии тако-
вой, то вторая кривая окажется «острее». Если амплиту-
да колебаний в рассматриваемой системе велика, то для
определения Ug необходимо обратиться к упомянутым
выше графическим построением.
Воспользовавшись (1), напишем
IM г ,с./ MMW у+(1 я = ( (2)
L ' ' J
Считая расстройку Д® = <о—соо малой величиной, поло-
жим 1—<о2£С=2Д(о/®о. Тогда из соотношения (2) полу-
чаем
Д<о 2\_ 1 Г Ет 2
«• ) * 4 0е
(3)
Задаваясь величиной Us, можно найти соответствую-
щее ей значение Sa и посредством (3) определить Д<о/®о-
Таким образом можно построить график зависимости
Д<о/<во от Ug или обратную функцию f7g=f(A«/®o)- Ме-
няя, кроме того, величину Ет, получим серию кривых,
цающих зависимость амплитуды установившихся колеба-
чий от относительной расстройки и от амплитуды воз-
76 3.1.1.
буждающей э. д. с. Ет. Для того чтобы представить себе
вид кривых [7g=/(A(o/(Bo), рассмотрим следующие случаи,
предполагая всегда, что характеристика лампы мягкая.
1. Условие самовозбуждения не выполняется, т. е.
Sa(0) |М| <Сг. Пусть Ug растет, начиная с очень малых
значений. Первый член, стоящий в квадратной скобке
(3), будет при этом монотонно убывать, а второй член,
стоящий в круглой скобке, будет расти, так как Sa мо-
нотонно убывает. Таким образом, при Ug—>0 правая
часть (3) обращается в +оо и по мере возрастания Ug
непрерывно и монотонно убывает (оставаясь всегда по-
ложительной) и при некотором Ug обращается в нуль.
Из этого следует, что обратная функция, т. е. Ug =
= f(A(o/coo), является однозначной, имеющей наибольшее
значение при Асо = 0 и стремящейся к нулю при неогра-
ниченном увеличении |Ао)|.
2. Условие самовозбуждения выполняется, т. е.
Sa(0) | Л11 >Сг. При очень малых Ug первый член в (3)
велик и все выражение, стоящее в квадратной скобке,
положительно. При увеличении Ug первый член, как и
прежде, убывает, но член, стоящий в круглой скобке,
сначала также убывает (в противоположность тому, что
имело место в первом случае). При достаточно малых
Ug величина |£m/[7g|2 убывает быстрее второго члена,
и, следовательно, сначала Аоз/юо уменьшается; однако
далее, в зависимости от величины Ет и других величин,
входящих в (3), монотонное убывание Дсо/соо может либо
продолжаться, либо на некотором участке ход кривой
изменится на обратный (вследствие того, что модуль
выражения, стоящего в круглой скобке, достаточно бы-
стро убывает).
При дальнейшем увеличении Ug величина Сг—|Л11 Sa
станет положительной и монотонно растущей, и мы вновь
получим монотонное убывание Дсо/соо при росте Ug. Из
сказанного видно, что при 5а(0) |7И| >Сг возможна не-
однозначная зависимость 't/g=f (Асо/соо) (вследствие не-
монотонности обратной функции), причем эта неодно-
значность может проявляться при относительно малых
Ет и должна исчезать, если Ет станет достаточно боль-
шим.
Этим соображениям можно придать более наглядную
графическую интерпретацию, если построить зависимость
Ug=f (Дсо/юо) при различных Ет. Соответствующие кри-
вые имеют вид, изображенный на рис. 3.4.
3.1.1. 77
Из этого рисунка видно, что при Em=Emi соответст-
вующая кривая представляет собой однозначную функ-
цию t/g(A<o/coo)« Это же обстоятельство имеет место и при
других Em>Emi (эти кривые носят тот же характер, что
и резонансные кривые обычного контура). Однако при
уменьшении Ет вид кривых меняется и появляются такие
значения Асо/соо, которым соответствует не одно, а три
значения t/g (например, на кривой Ет = Ет2 точки a, Ь,
с). На рисунке имеется кривая Ет3 (которую можно на-
звать сепаратрисой), обладающая двойной точкой. Если
Ет<Ет3, то вид кривых снова меняется, и они превра-
щаются в две изолированные ветви, расположенные
в различных частях плоскости, отделенные друг от
друга сепаратрисой. Здесь также одному значению Лео
могут соответствовать три значения Ug.
По поводу полученных результатов необходимо сде-
лать некоторые замечания.
Независимо от того, удовлетворяются условия само-
возбуждения или не удовлетворяются, уравнение (2)
всегда имеет по крайней мере одно решение, а может
быть, даже два или три. Из этого еще нельзя делать
вывод о том, что в рассматриваемом случае всегда возмо-
жен одночастотный режим. Для того чтобы он был воз-
можен, необходимо еще соблюдение условий устойчиво-
сти соответствующих решений. Впоследствии, при изуче-
78 3.1.1.
нйи устойчивости решений, мы вновь вернемся к реге-
неративной схеме. Однако, заглядывая несколько вперед,
отметим, что если условие самовозбуждения не выполня-
ется, то одночастотный режим оказывается устойчивым.
При больших -связях, когда выполняются условия само-
возбуждения (т. е. схема способна к самовозбуждению
при отсутствии внешнего воздействия, при Ет=0), одно-
частотный режим может оказаться либо устойчивым, ли-
бо неустойчивым. Если данному значению Дсо/соо соответ-
ствует не одно, а несколько значений (7g, то, очевидно,
могут реализоваться только те решения, для которых
условия устойчивости выполняются.
Если условия устойчивости не выполняются ни для
одного из решений, то, очевидно, одночастотный режим
колебаний невозможен и возникает двухчастотный или,
быть может, более сложный, многочастотный режим
(в общем случае — почти периодический).
При двухчастотном режиме и малой разности частот
наблюдаются биения. В связи с этим уместно упомянуть
о хорошо известном явлении захватывания, которое ча-
сто наблюдается в регенеративной схеме.
При достаточно малой расстройке одночастотные ре-
жимы оказываются устойчивыми и в том случае, когда
выполняются условия самовозбуждения. Поэтому, если
менять расстройку, начиная от нуля, то вначале можно
наблюдать одночастотный режим и биения отсутствуют.
Однако, начиная с некоторой расстройки, одночастотный
режим становится неустойчи-
вым и в некоторой узкой по-
лосе частот возникает много-
частотный режим, который
при дальнейшем увеличении
расстройки переходит в двух-
частотный; здесь уже возни-
кают биения, частота которых
пропорциональна Асо.
Эти явления хорошо иллю-
стрируются графиком (рис.
3.5), где по оси абсцисс
отложено Дсо/соо, а по оси
ординат частота биений Q. Тот интервал значений Асо,
в котором биения отсутствуют, называется полосой за-
хватывания (на рисунке |Асо| ^AcoJ. В небольшой обла-
сти, где биения уже наблюдаются, но частота их быстро
79
меняется при изменении Дсо (небольшой участок на ри-
сунке, непосредственно прилегающий к точке Д(о = Д(О1),
имеет место так называемое явление увлечения частоты
(т. е. частота автоколебаний еще не «захвачена» вынуж-
дающей силой, но уже «увлекается» ею).
Ширина полосы захватывания, как это вытекает из
предыдущего, может быть найдена путем исследования
устойчивости одночастотного режима; это исследование
будет проведено в дальнейшем, когда мы перейдем
к устойчивости периодических решений. Предварительно
можно отметить, что ширина полосы захватывания зави-
сит от амплитуды внешней силы и увеличивается с ростом
последней.
3.2. Случай двухчастотных колебаний
(бигармонический режим)
Среди многочисленных режимов, которые могут воз-
никнуть в неавтономной автоколебательной системе, сле-
дующим'по сложности (после одночастотного) является
двухчастотный режим. Этот режим характеризуется тем,
что на электродах лампы (транзистора) напряжения в ос-
новном могут быть представлены в виде суммы постоян-
ных составляющих и двух (на каждом электроде) сину-
соидальных колебаний с разными частотами. Помимо
этих составляющих напряжения на электродах содержат
колебания и других частот, но с амплитудами пренебре-
жимо малыми (в рассматриваемом приближении).
Прежде чем переходить к изучению двухчастотных
режимов по существу, целесообразно обобщить примени-
тельно к ним понятие средней крутизны лампы (транзи-
стора).
3.2.1. Средняя крутизна в случае двухчастотного режима
При переходе к обобщению понятия средней крутиз-
ны применительно к двухчастотному режиму нам придет-
ся ввести дополнительные предположения, подобные тем,
которые были высказаны в § 2.1.
При наличии двух колебаний с круговыми частотами
(01 и (02 напряжения на сетке и на аноде соответственно
имеют вид
«g = ^o + ^cos + <?,)+ Ug2 c°s(<o^ + ?2); )
«а = tfao + Uai COS (w.f -f- <|»,) -J- [7a2 COS (®2f + ф2), j
80 §3.2.
Причем здесь Ug0 й £/ао — посТбйниЫе Составляющие йаг
пряжений, остальные обозначения очевидны без поясне-
ний.
Рассмотрим функции двух независимых переменных/
и т: %g(t, т) и |а(4 т), определяемыесоотношениями
5g = Uso + Цц cos W + fi) + ug2 cos К* + ) (2)
5a = + Uai COS (<•>,/ + <h) + ил2 COS (0>2T +12). j
Очевидно, что £g(/, /)=ug(</); £a(t t)=ua(t). Пусть
характеристики лампы выражаются посредством непре-
рывной и однозначной функции двух переменных ia—
= /(«g, Ma).
Введем теперь функцию переменных i и т:
UtT)=H'Uga), (3)
причем и здесь £(/, /,)=1а(/).
При фиксированном т выражение (3) представляет
собой периодическую функцию от <t с периодом 2л/ан,
и, следовательно, можно написать
с. (4)
т=—оо
где Ст — коэффициенты, зависящие от т и удовлетворяю-
щие соотношению с_га=с*т; они являются периодически-
ми функциями от т с периодом 2л/о>2- Представляя ст(т)
в виде ряда Фурье, напишем
00
П=—СО
следовательно,
Ч^'')=4- J Втпе1^п^ . (5)
т=—оо /?=—оо
Если этот ряд сходится как двойной и сходятся суммы
по рядам и по столбцам, то все три суммы одинаковы и
изображают t,(t, т) при произвольных /, и т. Если теперь
ПОЛОЖИТЬ т=/, то получим
ia(o=4 S S втпв/‘-+^>'. (6)
т— — оо n——оо
Таким образом, ia(t) представлен в виде тригонометри-
ческого ряда. Круговые частоты отдельных слагаемых
равны 'Ок=яг<В1-|-га(02.
В сумме (6) могут найтись слагаемые с одинаковыми
частотами, которые мы можем объединить в один член,
представляющий колебание данной частоты. В частности,
так можно найти комплексную амплитуду колебания
с частотой о>1, которую мы обозначим через Л. Тогда
среднюю крутизну для колебания с частотой ан можно
определять как Si=Ii/Ugi.
Аналогично определяется и средняя крутизна для ко-
лебания с частотой о>2:
s2=/2/t>g2,
где /2 — комплексная амплитуда тока с частотой ш2.
Если ан и ©г не находятся в рациональном отношении,
то все 1ЙК различны и каждому возможному йк соответ-
ствует единственная пара значений т и п. В этом слу-
чае в (6) найдется только один член с круговой частотой
£2к=<01, которому будут соответствовать числа т= 1,
п = 0. Комплексная амплитуда этого колебания Вю/2.
Средняя крутизна для колебания с частотой ан опреде-
лится теперь так: S=Bio/2t/gi. Аналогично определится
и средняя крутизна для колебания с частотой <вг: 52=
= Boi/2Ug2-
В случае, когда он и <02 находятся в рациональном
отношении, в сумме (6) члены с частотой он могут встре-
титься не только при /и=1, n=0, но и при других зна-
чениях тип. Таким образом, здесь комплексная ампли-
туда колебания с частотой ан в общем случае не равна
Вю/2, а складывается из нескольких слагаемых, соответ-
ствующих различным парам значений тип.
3.2.2. Средняя крутизна в специальном случае
Обратимся теперь к случаю, аналогичному рассмо-
тренному в главе 2, когда переменные составляющие се-
точного и анодного напряжений пропорциональны друг
82 3.2.2.
другу. Тогда в формуле (1) п. 3.2.1 можно положить
Ugi=kUai, US2=kUa2, Ф=ф1 и <р2 = Ч»2л где k—вещественное
число. Введя обозначение
и = Ugi cos (он/+<pi) + £7g2 cos (0)2^-Ьфг), (О
получим
'a=f[^go+«: ^+-г]=А(«). (2)
т. е. t’a делается функцией только от одной переменной
и (не считая, конечно, постоянных составляющих и k).
Если частоты <oi и <»2 не находятся в рациональном
отношении, то можно показать, что средние крутизны
St и S2 вещественны и не зависят от аргументов <pi и фг
(являются функциями модулей Ugi и &&) Действитель-
но, при каждом фиксированном т, рассматривая ia как
однозначную функцию от t, можем повторить рассужде-
ния, приведенные в п. 2.2.1.
Отсюда следует, что слагаемое сх (т) e'm,t [в сумме (4)
п. 3.2.1] представляет собой колебание, совпадающее по
фазе с напряжением Ogie’Wlt, и, следовательно, сх (т;)
должно иметь вид сДт) =£7в1Л, где А — вещественная ве-
личина, не зависящая от фь
Коэффициент Bi0 в (5) п. 3.2.1 есть постоянная со-
ставляющая ci(t) при разложении последней в ряд Фурье
(по переменной т). Поскольку постоянная составляющая
вещественной функции — всегда вещественная величина
и притом не зависящая от начала отсчета времени (на-
чальной фазы), заключаем, что В10 имеет вид Ugtc, где
с — вещественное число, не зависящее ни от фь ни от фг-
Отсюда следует высказанное выше утверждение.
Рассмотрим теперь случай, когда функция fi(u) мо-
жет быть представлена полиномом третьей степени:
fi (и) = ao+aiu + a2u2+a3u3. (3)
При этом, как указывалось выше (п. 2.2.1), коэффициен-
ты этого полинома подчиняются обычно условиям ао>О;
01 >0; а3<0.
Подставив (1) в (3) и произведя соответствующие
алгебраические преобразования, которые мы здесь, опу-
скаем вследствие их громоздкости и очевидности, приве-
дем ia(i/) к виду (6) п. 3.2.1. Здесь тип могут приоб-
3.2.2 6* ад
ретать все возможные значения от —3 до +3, но так,
чтобы | т | +1 п| =СЗ. Коэффициенты Втп оказываются
равными *:
fio,o'=4«o + 2a2 +^2 1;
Ды = 2^2 ^а/-|—j-a, (^+ J;
Вь-2=4а3(\({>2Г;г
В1._1=2аа47>с7*а;
BI.o=2t7I[<z1 +Aaj(f/2 +2[71 22 ) ];
ВЬ1 = 2а2ад:
D __ 3 Г*Г г’г2 # (4)
^1»2 2 I 2 »
^2,0 ~ #2^1 »
В„. =4 ар\и-
^.а=^о\-
в„з=4(?2-
Остальные коэффициенты могут быть получены из
(4) посредством соотношений В_m>_n=В*т,п- Из этих
формул вытекает, что если ни одна из комбинационных
частот не равна ни соц ни <оа, то
+ +2^); g
(5)
$г=л,+4м^+2^).
1 Здесь для сокращения вместо (/с« и Uet пишем Ui и Ui.
84 3.2.2.
Учитывая, что ai>0 и аз<0, легко заключить, что St
и S2 будет монотонно уменьшаться, когда любая из вели-
чин Ui и U2 будет расти. Это иллюстрируется графиком,
приведенным на рис. 3.6.
Рис. 3.6.
3.3. Асинхронное воздействие внешней силы
на автоколебательную систему
Обратимся вновь к схеме, изображенной на рис. 2.1,
однако здесь, в отличие от рассмотренного ранее случая,
мы не будем считать, что частота вынуждающей силы
близка к резонансной частоте контура.
Когда частота внешней силы не близка к собственной
частоте автоколебательной системы, часто говорят об
асинхронном воздействии внешней силы на эту систему.
Как мы уже знаем из предыдущего, в рассматривае-
мой системе возможен одночастотный режим с частотой
вынуждающей силы. Однако вполне естественным будет
также допущение, что помимо колебаний с круговой ча-
стотой внешней силы со возникнуть еще и автоколебания,
частота которых отличается от со.
Теперь для каждого колебания можно написать урав-
нения, аналогичные (1) § 3.1. Присваивая индекс 1 «вы-
нужденным» колебаниям (т. е. имеющим круговую часто-
ту co = coi) и индекс 2 «собственным» колебаниям (т. е.
имеющим круговую частоту сог), для вынужденных коле-
баний получаем к
Чц == I i^tab
причем все величины Ziab, К, Л.а и берутся при значе-
ниях со=<01. После соответствующих выкладок придем
к формуле (8) § 3.1:
CJ (1)
ue« —1+S,^U4,’ v'
$з.з. as
где Si — средняя крутизна для колебания первой ча-
стоты.
Для второго колебания, поскольку внешних сил, дей-
ствующих с этой частотой, нет, получим (повторив рас-
суждения, проведенные при выводе основного уравнения
генератора в случае автоколебательной системы)
S2/<2Z2ab = -l, (2)
где S2— средняя крутизна для второго колебания, а ве-
личины Кг и Z2a& берутся при частоте, равной со2.
Из соотношений (1) и (2) можно сделать некоторые
выводы.
Если рассмотреть, как это делали мы до сих пор, схе-
мы, для которых Кг — величина вещественная, и учесть,
что в этом случае и 52 является вещественной величиной
(предполагается, что <oi и со2 не находятся в рациональ-
ном соотношении или, точнее, не дают комбинационных
частот, равных со2) и выполняется соотношение (2)
п. 3.2.2, то из (2) вытекает, что Z2ab должно быть вещест-
венным. Отсюда непосредственно находится частота ав-
токолебаний <х>2; она такая же, как при отсутствии вы-
нуждающей силы. Если 51 и 52 известны как функции от
t/gi и и^г, то система уравнений (1) и (2) позволяет най-
ти амплитуды вынужденных и собственных колебаний.
Чтобы придать некоторую наглядность полученному
результату, рассмотрим хотя и не общий, но практически
весьма частый случай, когда
Si|^|Zia&« 1. (3)
Действительно, поскольку частота <х>± не является ре-
зонансной для данной системы, Zlab не будет велико
(в смысле порядка величины). Величины 51 и 52 обычно
по порядку таковы, что лишь при резонансе 5|K\Zab~ 1,
и поэтому естественно предположить, что при нерезо-
нансной частоте выполняется условие (3). Тогда из (1)
непосредственно находим
= V (4)
и из (2) получаем
52=-l//<2Z2a6. (5)
Теперь уже при известном Ugi S2 является функцией
только от Ugi, и, воспользовавшись соответствующим
графиком или аналитическим выражением для 52, можно
найти амплитуду автоколебаний.
86 §3.3.
Как видно, возможность фактических вычислений за-
висит от того, в какой мере мы окажемся в состоянии
найти Sj и Sz как функций от Ugi и Ug2-
Однако здесь возникает следующее обстоятельство,
затрудняющее применение метода, использованного
в предыдущей главе при изучении автономных систем.
При одновременном существовании двух колебаний
отношения комплексных амплитуд анодного и сеточного
напряжений могут оказаться для обоих колебаний раз-
личными. Это возникает прежде всего в тех случаях, ког-
да введенный выше коэффициент передачи К зависит от
частоты. Кроме того, наличие в контурах рассматривае-
мой системы сторонних сил делает связь между анодным
и сеточным напряжением более сложной (неоднородная
линейная зависимость).
Это обстоятельство, строго говоря, приводит к тому,
что анодный (коллекторный) ток не представляется, по-
добно тому, как это имело место в предыдущих случаях,
в виде функции от одной переменной — напряжения на
сетке (базе). Хотя это принципиально не меняет дела, но
практически сильно осложняет выкладки и делает вычис-
ление Si и Зг затруднительным. Учитывая это обстоятель-
ство, а также то, что нашей задачей является установле-
ние лишь качественных зависимостей, а не разыскание
точных количественных решений, постараемся обойти эту
трудность, воспользовавшись следующими общими сооб-
ражениями.
Отметим частный случай, когда амплитуды обоих ко-
лебаний на аноде невелики. Здесь можно пренебречь
влиянием переменных напряжений на величину анодного
тока и, следовательно, освободиться от упомянутых труд-
ностей. Однако желательно не ограничиваться рассмо-
трением этого частного случая и несколько расширить
область изучения. Это тем более необходимо, что ограни-
чение амплитуды автоколебаний при отсутствии автома-
тического смещения в значительной мере определяется
реакцией анода, оказывающей большое влияние, когда
автоколебания делаются большими.
В силу того что частота вынуждающей силы в нашем
случае не является резонансной, напряжение этой часто-
ты на аноде невелико, и им можно в первом приближении
пренебречь. Допустим далее, что напряжение вынужден-
ных колебаний на сетке также не очень велико, так что
£^gi/| Аг| значительно меньше t/ao, и, следовательно, при
§3.3.
87
малой проницаемости лампы без большой ошибки"
к анодному напряжению можно прибавить величину
cos + фг). Теперь подобно предыдущему анод-
ный ток при двухчастотном установившемся режиме ока-
зывается функцией от одной переменной — мгновенного
значения переменной составляющей сеточного напряже-
ния, причем амплитуда автоколебаний может быть и не-
малой.
Таким образом, приведенные качественные соображе-
ния, не претендующие, конечно, на строгость, приводят
к заключению, что в упомянутых выше случаях, когда
напряжения вынужденных колебаний на аноде и сетке
лампы не очень велики (ограничены указанными выше
требованиями), можно в первОхМ приближении воспользо-
ваться соотношениями, приведенными в п. 3.2.2. Отсюда,
в частности, вытекает, что если можно аппроксимировать
динамическую характери-
стику лампы fi(u) полино-
мом третьей степени, то бу-
дут иметь силу и получен-
ные в п. 3.2.2 выражения
для Si и $2.
Теперь обратимся вновь
к формуле (5) и попытаем-
ся придать некоторую на-
глядность вытекающим из
Рис 37 нее следствиям.
ис ’ ’ На рис. 3.7 представлена1
зависимость 32 от Ug2 при'
различных Ugit причем J7gi(0) соответствует £7g± = 0. Ха-
рактеристики лампы считаются мягкими, и, следователь-
но, S2 монотонно убывает с увеличением t/gi или Ug2, при-
чем кривые нигде не пересекаются. Значение крутизны
32(0), соответствующее t/gi=t/g2=O, есть наибольшее
значение, которое можно получить от данной лампы. Про-
ведя прямую А параллельно оси абсцисс на высоте
1/(|/Сграь) и отыскав точку пересечения этой прямой
с кривой, для которой параметр t/gi определяется соотно-
шением (4), одновременно находим амплитуду устано-
вившихся колебаний J7g2. Из сказанного вытекает сле-
дующее.
1. Пусть прямая А проходит выше 32(0), что соот-
ветствует случаю, когда условие самовозбуждения при
Е=0 не выполняется. Тогда колебания с частотой со2
88
§3.3.
(автоколебания) возникнуть не могут (требуемая сред-
няя крутузна больше той, которую может дать лампа).
2. Пусть прямая А проходит ниже S2(0) и пересечение
этой прямой с кривыми S2 существует. Выбрав точку пе-
ресечения с этой кривой, для которой Ugi имеет задан-
ное значение, мы найдем на оси абсцисс искомую величи-
ну Ug2. Однако при увеличении амплитуды внешней силы
Е соответствующая кривая S2 будет проходить все ниже
и, как следствие, величина t/g2 будет уменьшаться. При I
достаточно большом значении Ет кривая S2 будет прохо- !
дить так низко, что пересечение станет невозможным и
колебания с частотой со2 прекратятся. I
Таким образом, воздействие внешней э. д. с. приводит &
здесь к уменьшению или даже полному подавлению авто- |
колебаний. Это явление называется гашением или туше- |
нием автоколебаний. |
В заключение необходимо отметить, что все сказанное |
относится только к мягким характеристикам. Если ха- |
рактеристика жесткая, то изображенные на рис. 3.7 кри- I
вые идут не монотонно и могут пересекаться. Здесь уже j
нет монотонного убывания амплитуды t/g2 при увеличе- ?
нии Ет. В частности, возможно появление автоколебаний i
даже в том случае, когда при отсутствии внешней силы 5
условие самовозбуждения не выполнялось. Это так назы- |
ваемое явление асинхронного возбуждения колебаний. I
Полезно отметить, что приведенные рассуждения ба- |
зировались на предположении, что -средняя крутизна S2 I
является вещественной величиной. Если S2 — комплекс- :
мая, то мы можем встретиться с режимами, существенно I
отличными от рассмотренных выше. В частности, здесь |
могут иметь место явления деления частоты, рассматри- *
ваемые в следующем параграфе. |
ё
3.4. Явление резонанса второго рода ;
Неавтономные автоколебательные системы могут быть ?
использованы для деления частоты. В основе действия *
делителей подобного типа лежит явление резонанса вто- *
рого рода (или в более общем смысле, Af-ro рода). Это
явление часто называют захватыванием на субгармонике ;
или автопараметрическим резонансом. *
Рассмотрим сначала схему, изображенную на рис. 3.1. j
Будем считать, что линейная часть схемы (прямоуголь- I
ник) имеет одну резонансную частоту ш близкую к по- J
§3.4. 89 :
ягоянижаал.мь.хягвгааанж. чг.
ловине частоты вынуждающей силы, т. е. о)о~о)/2. Пред-
положим далее, что в схеме может существовать двухча-
стотный режим. Рассмотрим именно этот режим (не
утверждается, что другие режимы невозможны, но они
здесь не рассматриваются).
Естественно предположить, что одно из колебаний
будет иметь частоту внешней силы coi = <x>, а другое —
частоту о)2, близкую к резонансной частоте контура <оо,
т. е. также близкую к со/2. Эти предположения приводят
непосредственно к выводу, что частота второго колеба-
ния о)2 точно равна о)/2. Для того чтобы в этом убедиться,
предположим сначала, что это не так, и будем считать,
что о)2= о)/2 + Ао), где Ао)малая величина.
Обращаясь к формуле (6) п. 3.2.1, видим, что в раз-
ложении анодного тока ia в тригонометрический ряд воз-
никают гармоники с частотами mo)i + no)2=2m(o)2—Асо) +
+ /го)2=,о)2(21т + /г)—2тАо). Выбирая т и п так, чтобы
2m + n=l, получаем последовательность частот, равных
fim = '0)2—2mAo).
Отсюда видно, что при малых Ао) в анодном токе воз-
никает ряд гармоник с частотами (/и пробегает целые
значения), близкими к резонансной частоте соо. Эти гар-
моники дадут на контуре и в цепи обратной связи напря-
жения соответствующих частот (поскольку эти частоты
лежат в полосе прозрачности контура). Таким образом,
предположив, что система находится в двухчастотном
режиме, приходим к выводу, что режим будет не двух-
частотный, т. е. к противоречию. Это противоречие отсут-
ствует в единственном случае, когда Ао) = 0, т. е. если
0)2='(0/2 И Qw = Ci)2.
Перейдем теперь к составлению уравнений задачи.
Подобно предыдущему для вынужденного колебания
(частота g)i=g)) можем* написать
Гт
Ugl 14-S.KiZub’ (О
а для второго колебания (частота а)2=о)/2)
ЗгК2^2ад = — 1. (2)
В отличие от того, что имело место в предыдущем па-
раграфе, где трактовались вопросы асинхронного воздей-
ствия, здесь среди комбинационных частот имеются ча-
стоты, совпадающие с частотой о)2. и поэтому S2 — вели-
99 §3.4.
чина комплексная: S2=Sr+/5j. В соответствии с этим
уравнение (2) приобретает вид
Sr= — Ref^-^—1; Sz = — Im ГтД— ]•
|_A2Z'2abJ |_A2Z'2abJ
(3)
Поскольку частота сог известна, то для данной схемы
непосредственно по формулам (3) вычисляются Sr и Si-
Рассмотрим теперь случай, когда характеристика лам-
пы может быть представлена в виде полинома третьей
степени. Тогда согласно определению средней крутизны
и формулам (4) п. 3.2.2 можем написать
S2 = 4- + 4 ЦЛ +^) «з+а2
2 2 и2 1 I 4 \ 2 । 1' 3 । 2 и2
(здесь и дальше для сокращения записи будем писать С7,
и О2 вместо Clg] и Ug2).
Полагая 0^=0^, U2=U2e^\ можем в последнем
выражении отделить вещественную часть от мнимой;
тогда
5r = a. + ~а3 (U22 + 2U2) + a2Ut cos (<?, - 2?г);
Sf = a2Ulsin(?l — 2<р3).
(4)
Эти уравнения можно решить относительно U2. Из пер-
вого соотношения получаем
=зт^гг +а*и* cos ~ 2^>J ~2t/! •
Учитывая второе соотношение, напишем
^г = 3|й3| ~ 5r ~ ^1 — 5^—2^ .
Подставляя сюда значения 5Г и Si, выраженные посред-
ством (3), находим
1
U2
2
4
З|л3|
Re
a2U2 — 2172.
2 1 1
(5
§3.4.
91
Формула (5) определяет амплитуду' колебания, а на-
чальная его фаза вычисляется по формуле
.«2^1 «2i/ftf2z2o6
sin (<р, — 2<р2)
(6)
наименьшим
стоящих под
Рис. 3.8.
Здесь знаку «плюс» в выражении (5) соответствует не-
равенство |epi—2ф2| ^л/2, а знаку «минус» n/2<|q>i—
—2<р2|^'я, причем эти неравенст-
ва относятся к
значениям углов,
знаком синуса, и всегда могут
быть увеличены на целое число
(положительное или отрицатель-
ное), умноженное на 2л.
Решения (5), соответствую-
щие знаку «минус» перед ра-
дикалом, обычно не могут быть
реализованы вследствие того, что
они либо дают отрицательные
значения (А, либо оказываются
неустойчивыми (это, в частности,
относится к рассматриваемой ниже схеме). Поэтому для
угла ф2 можем написать 2ф2=ф1+гр + 2^л, где k — целое
число, а гр — угол, лежащий в пределах —л/2<г|)<л/2 и
определяемый формулой (6).
Отсюда следует, что всегда возможны два значения
угла <р2, отличающиеся на я и соответствующие одинако-
т т Vi “4м” Ф Vi “4“ Ф ।
вым значениям и2, а именно: у2 = — 2 и <р2 = —-2~ it.
Применим полученные результаты к схеме, изобра-
женной на рис. 3.8. Здесь получаем:
Zg = 1; =^т> К2 = Т^Г+7’
/со2£ г_____t
Z2Ob 1— <i>lLC + ja2Cr '
д 2 __________jtojM_____________M______
2 ab~l-<£LC 4-i^Cr ~~ Cr+2i &<>
где 8ш = o)o — <o2 = ш0 — ш/2 и, следовательно,
1 Cr t . 23co
K2Z2ab ЛГ 1 'M?-
92
§3.4.
Подставляя эти значения в формуле (5) и учитывая,
что М<0, получаем
и2=^±-
* 3 |а, |
Сг
I М I
*2
т
2EZ.
(7)
Рассмотрим сначала случай «недовозбужденной»
стемы, т. е. допустим, что ai<Cr/|M|, и, кроме того,
ложим &(о = 0. Формула (7) в этом случае даст
£-+ 2Е2.
|М] 1 1 2 1 тJ т
г/2 4 /
и*~ 3|в,|(а'~
си-
по-
(8)
Если рассматривать U2, определяемое формулой (8),
функцию от Е.
и при Ет
что эта функция будет иметь максимум при Ет=|а2|/З|а3|.
Максимальное значение С/2> определяется соотношением
z7?2, _ 4 Сг , £ } 2 «1
' »'niax З|а3|^ IMNSla.l J 9 Зд2-
>• 'О
Правая часть этого выражения окажется положительной,
если
как
'т, то легко установить, что при Ет — 0
оо мы получим отрицательные значения U2 и
а,-
Сг
|А4|
а2
(9)
«з *
Таким образом, если не соблюдается условие ,(9) (ве.
лики потери, мала обратная связь, мала крутизна лам-
пы, at), то формула (7) всег-
да будет давать отрицатель-
ные значения Uh, т. е. рас-
сматриваемый режим (резо-
нанс второго рода) невоз-
можен.
Предположив теперь, что
условие (9) выполнено, сна-
чала будем изменять Ет в
пределах от 0 до оо, считая
б<о фиксированным и отлич-
ным от нуля. По крайней ме- »
ре, для некоторой области значений
чим кривые (Uh как функция от Ет), проходящие не
только в отрицательной, но и в положительной области
(рис. 3.9). Отсюда видно, что колебания с частотой «2=
§3.4. 93
мы полу-
—<о/2 возможны только в некоторой области значений
Ет, определяемой условием (см. рис. 3.9),
т. е., как говорят, Ет имеет «порог» и «потолок». Эта
область будет более широкой при малых | бсо | и более
узкой (или вовсе будет отсутствовать) при больших
| дсо |. Можно, впрочем, рассматривать U22 как функцию
от расстройства бсо при фиксированных значениях Ет.
Очевидно, что соответствующие кривые имеют максимум
при 6ко = 0 и в рассматриваемом случае недовозбужден-
ной системы непрерывно изменяются в сторону уменьше-
ния U22 при увеличении |6<о|, достигая в некоторых точ-
ках оси абсцисс (рис. 3.10).
Теперь обратимся к случаю, когда выполняется ус-
ловие самовозбуждения, т. е. имеет место соотношение
ai-(Cr/|M|) >0.
В этом случае поведение U22 при изменении Ет или 5ш
носит в основном тот же характер, что и при недовоз-
бужденной системе, но имеются и существенные разли-
чия, которые необходимо особо отметить.
Пусть сначала Ет изменяется от значения, равного
нулю, в сторону увеличения; если при этом |6<о| остает-
ся неизменной, отличной от нуля и не слишком боль-
шой, то радикал в формуле (7) приобретает сначала
мнимое значение и обратится в нуль при
Ет =21 био/а2М. юо |. (Ю)
Очевидно, что при всех Ет, меньших этого значения,
резонанса второго рода не будет, ибо величина U2 не
может быть комплексной. Однако при Ет, определяемых
соотношением (10), U22 приобретает согласно (6) значение
г;2 4 / Сг \ д / дю \2
2 “ з |а3| |Л41 ) а2 [Л4| со0 ]
94
§3.4.
и при |8<о| не слишком больших будет величиной положитель-
ной. При дальнейшем увеличении Ет (начиная с некоторого
значения) IJ22 станет уменьшаться, так как член 2Е2т в форму-
ле (7) будет расти быстрее, чем слагаемое, стоящее
в квадратной скобке. Сказанное иллюстрируется рис. 3.11.
Таким образом,. и здесь Ет имеет «порог» и «пото-
лок», но в отличие от случая недовозбужденной системы
функция t/22 = f(£'m) не является непрерывной.
Теперь рассмотрим зависимость U2 от 8ш при фикси-
рованном Ет. Положим сначала 18<о | равным нулю, а за-
тем будем увеличивать. Очевидно, что при этом U2
будет монотонно уменьшаться, оставаясь вещественным
и положительным (если, конечно, при б<в = 0 оно было
положительно) до тех пор, пока не станет справедливо
равенство (10). При дальнейшем увеличении |6<о| фор-
мула (7) будет давать комплексные значения, т. е. яв-
ление резонанса второго рода здесь •
возникнуть не может. "г 11
Для иллюстрации сказанного мож-
но привести график, изображенный на ] |
рис. 3.12. Как видно, рассматриваемая । I
здесь функция не будет непрерывной. —I--------
Остановимся теперь вкратце на так
называемом явлении резонанса N-ro Рис- 3,12>
рода, когда деление частоты про-
исходит в N раз, где М— целое положительное число.
Здесь физическая сущность явления остается той же, что
и в рассмотренном выше случае резонанса второго рода
(резонанс второго рода можно рассматривать как част-
ный случай резонанса N-ro рода, когда N=2), но коле-
бательный контур настраивается на частоту ча/М (или
близкую к ней) и в- разложении анодного тока в триго-
нометрический ряд используются такие члены, которые
могут давать комбинационную частоту <d/N.
Нужно отметить, что, как правило, увеличение коэф-
фициента деления сопряжено с трудностями и сопровож-
дается сужением полосы частот и амплитуд внешних
сил, в которых это деление может быть осуществлено.
Причиной этих затруднений является то обстоятельство,
что обычно при увеличении порядка комбинационной ча-
стоты, т. е. увеличении в формуле (6) п. 3.2.1 чисел |т\
и |га|, «амплитуды» |Втп| уменьшаются, и к характе-
§3.4.
95
ристике лампы (или другого нелинейного элемента схе-
мы) приходится предъявлять специальные требования
для того, чтобы эти амплитуды не были малы. Вследст-
вие этого на практике, когда необходимо осуществить
деление частоты в число раз, большее двух, применяют
делитель частоты, схематически изображенный на
рис. 3.13.
Этот делитель состоит из резонансной системы Р (на-
пример, колебательного контура), настроенной на делен-
ную частоту ы/N (или близкую к ней), умножителя У,
который умножает частоту колебаний, возникших в Р,
в N—1 раз. Напряжение, снятое с умножителя и имею-
щее частоту (со/А/) (Af—1), подается на сетку лампы сов-
Рис. 3.13.
местно с напряжением внеш-
ней э. д. с., имеющей частоту со.
Явления, возникающие в
этом делителе, аналогичны
рассмотренному выше явлению
резонанса второго рода.
Предположим сначала, что
в контуре возникли колеба-
ния с частотой со2, близкой
к co/Af; тогда на сетку лам-
пы будут подаваться колебания с частотами со и
(Af—1) со2, причем последняя может быть представлена
в виде (АГ— 1) (co/Af) + (N— 1) Асо, где Асо = со2—(co/Af)—
малая величина. Если ограничиться рассмотрением
двухчастотных режимов, то подобно предыдущему нуж-
но положить Дсо = 0. В этом случае рассмотрим в разло-
жении (6) п. 3.2.1 член, соответствующий значениям
т=\ и п = — 1; тогда возникающая комбинационная ча-
стота будет равна
(D --- (D
АГ
(О
7Г*
Таким образом, получаем в разложении za нужную
нам составляющую с частотой co/jV и с амплитудой Bif
Здесь уже, как видно из сказанного ранее, нет необходи-
мости прибегать к приборам, имеющим характеристики
сложного вида, и достаточно ограничиться простой ха-
рактеристикой, которая может быть аппроксимирована
полиномом третьей степени.
Все сказанное поясняет в общих чертах работы реге-
неративных делителей частоты, ибо все то, что было ска-
96 4 §3.4.
зано относительно резонанса второго рода, в основном
переносится и на этот случай. Нужно иметь в виду, что
при определении условий существования нужных коле-
баний, их устойчивости и амплитуды необходимо учиты-
вать также характеристики умножителя частоты, являю-
щегося одним из основных элементов схемы.
4
МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД
4.1. Предварительные замечания. Приведение
дифференциального уравнения к системе уравнений
первого порядка
Метод медленно меняющихся амплитуд (в дальней-
шем для краткости — метод ММА) получил широкое рас-
пространение в теории колебаний при изучении процес-
сов установления в колебательных системах, близких
к консервативным. Изложение метода ММА начнем
с дифференциального уравнения n-го порядка, имею-
щего вид
(Znt/(n) + a^1)+...+aoy=P-F(y,t/'>.- .У'”'*’; 0- 0)
Здесь ап — постоянные вещественные числа, F — огра-
ниченная (при любом фиксированном t) функция пере-
менных yf у'\у(п~^ в некоторой области изменения
этих переменных и удовлетворяющая некоторым допол-
нительным условиям, которые удобнее будет сформули-
ровать позднее.
Предположим, что уравнение
A(p)=anpn + ^n-ipn”1+ ...+ао=О (2)
имеет лишь простые корни, вещественная часть которых
равна нулю (чисто мнимые корни или корень, равный
нулю). Так как коэффициенты уравнения вещественны,
каждому мнимому корню должен соответствовать комп-
лексно-сопряженный, и, следовательно, таких корней мо-
жет быть лишь четное число. Отсюда вытекает, что
з случае чисто мнимых корней степень уравнения п
должна быть четным числом >и, как легко показать, не-
четные степени в уравнении (2) должны отсутствовать.
Если уравнение кроме мнимых корней имеет еще ко-
рень, равный нулю, то, очевидно, п будет числом нечет-
ным и все четные степени, включая нулевую, в уравне-
нии (2) будут отсутствовать,
98 §4.1.
Таким образом, воспользовавшись обычным операто-
ром дифференцирования D, уравнение (1) можно пред-
ставить в виде
L(D)i/ = pF(z/, 0.
где
L(D) =anDn + an-zDn~z+ ... +а0; ап^0,
при этом, если п — нечетное число, то ао=О.
Приведем теперь уравнение (1) к системе уравнений
первого порядка. Для этого произведем над уравнением
преобразование Лапласа и напишем
(йпрп + ап_2рп-2+ ...-\-ао)у = цР+Р(р), (3)
где у, F — преобразованные по Лапласу от соответст-
вующих функций; Р(р)—полином от р степени не бо-
лее высокой, чем п, с коэффициентами, зависящими от
начальных значений у и п—1 ее производных.
Соотношение (3) можно переписать так:
где L (р) = апрп + ап-грп~1 2+ ...+а0.
Пусть числа pk будут корнями уравнения (2), при-
чем нумерация корней произведена так, что р-ь=р*ь и
корню р = 0, если таковой имеется, присваивается номер
к=0, а если такого корня нет, то |/г=0 из нумерации
исключается Ч
Произведя теперь разложение на простейшие дроби
и положив n' = n!2 при п четном и п'= (п—1) /2 при п не-
четном, можем написать
1 _ 11 (Д-1)и
L(P) Р — Рк '
k=-n>
где (й-1)й — вычеты разлагаемой функции в точке р = рь,
и, кроме того, в силу вещественности коэффициентов
уравнения (2)
1 Здесь и далее звездочкой обозначается операция образования
комплексно-сопряженной величины
§4.1. 7* 99
Далее, учитывая, что Р(р) —полином, степень кото-
рого меньше п, получаем
f р (<>-.)»
lCp) р—Рк'
k~—nf
где (b- — вычеты в соответствующих точках.
{р)
Теперь уравнение (4) приобретает вид
?== V (P-F) («-,)),+(&-1)ь
Р-Рь
k——nf
Введем вспомогательные функции yk, удовлетворяю-
щие соотношениям
- + (&-1)ь
Ук~-----?=Л-----
Тогда очевидно, _
г/= L Ук-
k=—nf
Соотношение (5) перепишем так:
(р—Рк)ун= (a-t)kiiF+ P|=0, 1,2, (6)
Будем рассматривать ук как преобразованную функ-
цию от оригинала yk(t)- Тогда
Ук= \ук^)е-Р1<И= — -^-^ук(1) e-v'dt —
О о
оо
= -у Ук^ + ^e-^dt ,
О J
и, следовательно, (6) можно преобразовать к виду
оо
. #Н0)4~= +
о 4
+ («-1)^р(Ое‘р<Л-
о
100
§4.1.
Для того чтобы удовлетворить последнему соотно-
шению, достаточно (и необходимо) положить
/мм ==(«_,W7; (7)
!М(0) = (*-.)*•
Таким образом, мы пришли к системе уравнений и
начальных условий (7), эквивалентных исходному урав-
нению и начальным условиям для этого уравнения.
Учитывая, что все ph— мнимые числа, можно поло-
жить pk=j($k и уравнения (7) написать так:
-%- — КУк = ft (а. (8)
Остановимся теперь на одном свойстве коэффици-
ентов (а-1)л. Составим функцию
где s — целое положительное число, лежащее в пределах
0^s<n—1.
Рассмотрим интеграл от Ф(р), взятый по окружно-
сти С достаточно большого радиуса, такой, что все осо-
бенности Ф(р) лежат внутри этой окружности. Этот ин-
теграл, с одной стороны, будет равен сумме вычетов
Ф(р) в точках p = pk, т. е.
С k=:—n'
и, с другой стороны, — нулю, так как подынтегральная
функция при стремлении модуля р к бесконечности стре-
1
мится к нулю не медленнее, чемг-^т.
\р I
Отсюда
S (a-i)fc(/4)s = 0-
(9)
k— — п’
Умножив (8) на (/ш) s[0^s,<n—1] и просуммировав
по k от —пг до п' с учетом (9), находим
п' п'
2 04)s/m = J] (К)’+1/м. (10)
k-=~n' k=—n'
§4.1.
101
Полагая сначала s = 0, получаем
^Г= 2 (11)
k—— п*
Дифференцируя (11) по t, воспользовавшись уравнени-
ем (10) при s= 1, напишем
п' п'
= S 04)2yft. (12)
k=—nf k=—nf
Дифференцируя теперь (12) no t, полагая в (10) s = 2,
находим
д'
2= S04)8 ук~ (13)
k=—nf
Аналогично можем записать
д'
S= S «“«)’№ м
k=—nf
при положительных целых г, лежащих в пределах
0<г<п.
Учитывая теперь (14), можем заменить под знаком
F аргументы у, у', ..., у^п~^ через ук> в результате чего
получим функцию Fif зависящую от аргументов yi, уг, ..
уп\ t, т. е. Fi = Fi(f/i, z/2, Z/n-i; 0- Для упрощения
записи МОЖНО совокупность функций У1, У2, ..., Уп обо-
значить одной буквой у (т. е. ввести n-мерный вектор-
столбец с компонентами yi, уъ, уп) и написать Л =
/).
Уравнение (8) теперь приобретает вид
%—/Ч№ = н(а-1кЛ(1/. 0- О5)
Можно систему (15) записать в виде одного вектор-
ного соотношения:
^--Н = р-(а-1)Л(1/. 0. (16)
102 §4.1.
причем здесь под (a_i) подразумевается n-мерный век-
тор-столбец с компонентами а под со подразуме-
вается n-мерная диагональная матрица с элементами <о&.
Остановимся теперь на одном специальном случае,
представляющем для нас особый интерес. Допустим,
что функция F(y, у', ..., уп) может быть представлена
в виде
р = (*„ -Ь • • 44^0 (!/), (17)
где Fo — однозначная функция от у, имеющая огранич-
ные производные до n-й включительно. В этом случае
все предыдущие рассуждения можно повторить с не-
большими изменениями. Произведя преобразование по
Лапласу над уравнением (1), получим вместо (4)
,7 —„/<>(/>) F. + P(P)
У~ ЧР)
где Щр) =Ьпрп + Ьп-1рп~1+ ... +bQ и Р(р) полином от р
степени не более высокой, че^м п, коэффициенты кото-
рого зависят от начальных значений у, у', ..., уп~1\
Fo, dF^dt, ..., d(n“1)Fo/fl!/n“'i. Выделим из отношения
U(p)/L(p) целую часть и произведем разложение остав-
шейся части на простейшие дроби. Тогда
Введем теперь функции уо и yk посредством соотно-
шений
h F
Fo"’ Уп = (с_
un г Fh
Подобно предыдущему приходим к следующей системе
уравнений:
причем здесь F0 = F0(y) = F0(y0+yi + .. .+уп) ‘.
1 Изложенный здесь метод получения системы дифференциаль-
ных уравнений первого порядка был применен автором в (5]. Сход-
ный по идее метод (по отличный как в постановке задачи, так и
в способе изложения) имеется в pa6oie Л. В Постникова
§4 Л. ]03
4.2. Составление укороченных уравнений
Введем теперь новые переменные Дл (медленно ме-
няющиеся амплитуды) посредством соотношений
1 i(o t
ук=-^-Аке h , (1)
тогда уравнение (15) § 4.1 приобретет вид
Г2(Д, Д2,'„. , Д„; t), (2)
где Fi — функция, полученная из F после подстановки
в последнюю (1).
Введя n-мерный вектор А с компонентами At, Аг,
..., Ап, можем также написать
^=2|x(«-,)^”/V F„(A, t). (3)
Если воспользоваться определением экспоненциаль-
ной функции от матрицы, можно систему (3) записать
в виде одного векторного соотношения:
Таким образом, мы свели задачу к интегрированию
системы из п дифференциальных уравнений первого по-
рядка, разрешенных относительно производных. В об-
щем случае, конечно, не удается найти решение этой
системы в форме, пригодной для практического исполь-
зования, однако благодаря малости параметра р во мно-
гих случаях можно найти удовлетворительные прибли-
женные решения.
Прежде всего естественно возникает мысль о приме-
нении метода последовательных приближений (метода
возмущения). Во многих случаях это дает хорошие ре-
зультаты, но для большинства задач, с которыми нам
придется иметь дело, этот прием построения приближен-
ных решений совершенно непригоден. Сущность этого
метода сводится к следующему.
Учитывая малость параметра р, рассматриваем
сначала систему уравнений первого приби/кения dAkfdt=
= 0. Эта система имеет решением = const, причем
эти постоянные могут быть отождествлены с заданными -
104 §4,2.
начальными значениями величин Xfe = A(O). Предполо-
жим, что Л& = Л£1)4“М(к2), где |1Л^2 — малые по абсолют-
ной величине функции времени. Подставляя это выраже-
ние в (2) и удерживая лишь величины первого (по отно-
шению к р.—нулевого) порядка малости, получим для опре-
деления .4(ft2) следующую систему дифференциальных
уравнений:
Д<»....= 0. И)
где через цФь обозначена правая часть уравнения (2)
при подстановке в нее вместо неизвестных величин Ar
л(1)
известных Д .
R
Уравнения (4) интегрируются при начальных условиях
/l(h2) (0)= 0. Полагая затем ДЛ = + и
удерживая лишь величины порядка не более высокого,
чем р.2, можем найтиЗаналогичное уравнение для Д<2).
Таким образом, мы можем получить ряд, располо-
женный по возрастающим степеням ц. Ограничиваясь
каким-либо приближением (обычно первым или вторым,
т. е. удерживая лишь члены, порядок малости которых
не выше ц или р2), получаем приближенное решение
задачи. Однако легко убедиться, что полученное реше-
ние, по крайней мере во многих случаях, представляет
достаточно точный результат лишь при малых значениях
параметра ц и небольших (в смысле порядка малости)
значениях независимой переменной t и не годится при
больших t (в частности, когда по характеру задачи не-
обходимо рассматривать бесконечный интервал t).
В этом можно убедиться, обратившись к простому
примеру.
Пусть функция, стоящая в правой части (2), не за-
висит от t, и уравнения имеют вид
Д,..., Д„) = Ф(Д)
и 4')=Л|к(0)
Уравнения второго приближения можно написать так:
§4.2.
105
и, следовательно,
42) = ^ft(A(1)).
Как видно из этой формулы, Л(2) с течением времени
неограниченно растут, и, следовательно, > как бы
мало ни было ц, при достаточно большом t станут не-
малыми, т. е. мы вступим в противоречие с исходным
предположением, что в рассматриваемом приближении
величиной M(ft2) в правой части (2) можно пренебречь.
Обратим внимание на один специальный случай,
когда Фь(^) удовлетворяют соотношениям
С,
q
(5)
где С — положительное, не зависящее ни от р,, ни от t
число. Здесь уравнения
<М^/<Й=ФЛ(0
будут иметь решение
О
которое при любых t остается величиной ограниченной,
и, следовательно, М*2)(0 всегда мало при малых ц,
а значит, указанное выше противоречие в данном случае
отпадает.
Сказанное показывает, что метод последовательных
приближений, как правило, пригоден лишь в тех слу-
чаях, когда представляют интерес лишь небольшие ин-
тервалы времени, но все же, видимо, существуют такие
его модификации, когда его можно применить и для
больших интервалов t. Последнее обстоятельство для
нас особенно важно, ибо задачи, с которыми приходится
сталкиваться в теории колебаний, очень часто требуют
рассмотрения на больших (порядка 1/р) или даже на
бесконечных интервалах времени. В качестве примеров
можно привести все задачи, связанные с установлением
колебаний в автогенераторах, а также задачи, относя-
щиеся к области теории устойчивости колебаний.
106 §4.2.
Метод ММА применяется к уравнениям с малым па-
раметром и пригоден для рассмотрения подобных за-
дач. Этот метод введен в радиотехнику впервые Ван-
дер-Полем, который рассмотрел ряд задач, связанных
с установлением колебаний в ламповых генераторах
и других (не только радиотехнических) системах.
В дальнейшем этот метод получил дополнительное
применение и обоснование в работах академиков
Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова
и их учеников. Особо следует отметить работы академи-
ков Н. Н. Боголюбова, Н. М. Крылова, а также
Ю. А. Митропольского, посвященные дополнительному
развитию и обоснованию метода ММА (или, как он
часто называется, метода усреднения).
Сущность метода ММА с учетом сказанного выше
можно пояснить следующим образом.
Обратимся вновь к уравнениям (3) и будем сначала
рассматривать функцию F2(A, t) как функцию п+1 не-
зависимых переменных А2, ..., Ап и t. Допустим
теперь, что F2 как функция от t может быть представ-
лена в виде суммы двух членов: /72 = 77з+/74л причем
представляет собой конечную тригонометрическую сум-
му, состоящую из п членов, содержащих лишь слагае-
мые с частотами сой, т. е.
п’
л=4- 2
S-— л'
где Ms зависят явно лишь от Aif А2, ..., Ап.
представляет собой функцию от t без постоян-
ной составляющей в том смысле, что
J е F4 (/) dt
о
— ограниченная функция от t при любых и сой (при
интегрировании величины А2, ..., Ап считаются по-
стоянными). В частности, это будет иметь место, если Ft
представляет собой конечную сумму (а при известных
условиях и бесконечный ряд) вида
(Г)
§4.2.
107
где vr — числа, не равные ни одному из со/г (и не близ-
кие ни к одному из них), a Nr — коэффициенты, завися-
щие лишь от Ak, но не зависящие явно от t.
Теперь мы можем систему (3) переписать так:
AM-J) (6)
U S=—nf J
причем среди членов, входящих под знак суммы, отсут-
ствует один, соответствующий индексу s = k. Учитывая,
что согласно сделанному предположению среди нет
попарно равных (или даже близких), приходим к вы-
воду, что уравнения (6) можно записать в форме
dAk/dt = l>.(a_i)kMk-\-V.F^, (7)
где представляют собой функции, удовлетворяющие
условиям (5).
Систему укороченных уравнений для медленно ме-
няющихся амплитуд получают из (7) путем отбрасыва-
ния последнего члена и пишут
dAk/dt = [L(a-i)kMh. (8)
Эти уравнения и являются основными уравнениями
метода ММА.
Использование системы приближенных уравнений (8)
вместо точных (7) основано на предположении, что от-
брасывание членов (/) допустимо и не приводит к
большим погрешностям, в то время как член ц(а_1)ьЛ1ь
отбрасывать нельзя, несмотря на то, что он имеет тот
же порядок малости, что и отброшенный член. Сообра-
жения, которые позволяют сделать такое предположе-
ние, тесно связаны со сказанным выше и вкратце сво-
дятся к следующему.
Для простоты предположим сначала, что F^ (Сможет
быть представлена в виде
^’(А, t) = ak(A)bk(t),
(9)
где ак — функции, зависящие явно лишь otAj, А2, ..., Ап;
bk(t) зависят только от t и удовлетворяют условию (5);
108 §4.2.
причем обе эти функции ограничены в рассматриваемой
области изменения А и для всех /^0.
Теперь можем из (7) получить (интегрируя от 0 до/)
/ t
An(t) = Ak (0) р* (л _ i)& f Mkdt + р. J а^Ьк (/) dt.
о о
Последний член в правой части преобразуем так:
t t t
Sk = j ak (Л) Ьк (0 dt = j ak (A) pft (t) dxdt.
0 0 0
Полагая
t
<?k (0 (x) tft,
.можем написать
t
Sk = ak [A (/)] <pk (t) - j* ®ft (0 %- dt.
b
Учитывая, что
=S П7 T=* S l(“ -+ “. И) МО!.
s=l s=l
(10)
получаем
t
P- J akbkdt = ?Sk = y.ak [Л (0] <pft (0 —
0
t n
— J?ft Jj Йг i)s + a^s\ dt.
О S=1
Полагая, что производные dak/dAs ограничены, и
учитывая ограниченность <рл(О, получаем оценку
p|Sft| ^<p(P.+ p/Q], где Р и Q — положительные числа,
не зависящие от ц.
Отсюда видно, что при всех t^.LI\i, где L — некото-
рое положительное число, не зависящее от р, pS/{ будет
малой величиной порядка ц. Это позволяет высказать
предположение, что отбрасывание второго слагаемого
§4.2. 109
в правой части (7) приведет к малым погрешностям
(порядка р) для всех времен Аналогичные со-
ображения можно высказать для более общего случая,
что будет более подробно изложено в § 4.4.
Следует отметить, что в методе последовательных
приближений, в его первоначальной формулировке, та-
кая же малая погрешность обеспечивается лишь при
условии, что ц/ мало, т. е. для времен гораздо меньших,
чем при применении метода ММА.
В дополнение полезно сказать, что во многих зада-
чах, связанных с процессом установления колебаний,
длительность процесса зависит от величины ц и тем
больше, чем меньше р. Поэтому необходимо не огра-
ничиваться малыми р^, а рассматривать большие отрез-
ки времени. Метод последовательных приближений
в его первоначальной форме такой возможности не дает.
Сказанное выше по поводу метода ММА при над-
лежащих условиях может быть строго доказано. Ви-
димо, наиболее общая формулировка задачи и строгое
доказательство того, что решение уравнений первого
приближения в методе ММА (укороченных уравнений)
для времен порядка L/p могут быть сделаны сколь угод-
но близкими к решениям точных уравнений, если р
выбрать достаточно малым, имеется в книге Н. Н. Бого-
любова и Ю. А. Митропольского «Асимптотические ме-
тоды в теории нелинейных колебаний».
В некоторых специальных случаях (при наличии
устойчивых стационарных состояний) укороченные урав-
нения дают решения, мало отличающиеся от решения
точных уравнений на бесконечном интервале времени.
Доказательство этого положения, принадлежащее
Н. Н. Боголюбову, приведено в указанной выше моногра-
фии (см. также приложение 1).
4.2.1. Случай двух близких частот
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что
в правой части (7) § 4.2 первый член не содержит яв-
но t. Однако если среди частот соь будут близкие друг
к другу или среди частот vr найдется близкая к одной
из частот cofe (в том смысле, что соответствующая раз-
ность будет иметь порядок малости ц), то условие (5)
§ 4.2 не будет выполняться. В этом случае надлежит
соответствующие медленно осциллирующие члены
110 4.2.1
изъять из Л?(1) и отнести их к первому слагаемому MfL.
Вид уравнений (4) § 4.2 в этом случае остается преж-
ним, с той лишь разницей, что теперь Mk явно будет
зависеть не только от Л, но и от t. Однако легко видеть,
что предыдущие рассуждения останутся в силе и уко-
роченные уравнения по-прежнему сохранят вид (8)
§4.2.
4.3. Уравнения со свободным членом в правой части
Рассмотрим теперь уравнение, имеющее вид
L (у) = апу<п) + ап-2У(п-® +... + aQy =
= У',---, У^\ 0+Д0 (1)
и отличающееся от (1) § 4.1 только наличием f(t) в пра-
вой части. Эта функция в дальнейшем предполагается
периодической с периодом Т и может быть представ-
лена в виде ряда Фурье
оо
ОО
где со = 2л/7\
Покажем теперь, что уравнение (I) сводится к урав-
нению (1) § 4.1, и, следовательно, вся изложенная мето-
дика может быть к нему применена. Нам придется рас-
смотреть два случая.
4.3.1. Нерезонансный случай
В этом случае ни одна из разностей | со&—sco | не рав-
на нулю для любых <Dfe из числа определяемых уравне-
нием (4) § 4.1 и любых |s|=0, 1, ... Рассмотрим вспо-
могательное уравнение
(1)
Будем искать его периодическое решение с периодом Т.
Полагая
«.=4- £
$=—оо
4.3.1.
Ill
после подстановки в (1) получаем
4- JJ dsL(jsi»)eisa,‘ -4" J] cs^',
s——оо s=—оо
где под L(p) подразумевается апрп + ап-2Рп~2 + -. .4-а0.
Отсюда непосредственно находим
ds = Cs/L(j^s). (2)
Формула (2) однозначно определяет коэффициенты
ds, так как ее знаменатель нигде в нуль не обращается.
Теперь положим # = z/o + L тогда из (1) следует:
6Zn^ + tZn-2^n-2)+...+^=|lO(L I', •••> $П-^> О,
(3)
причем Ф — функция, образующаяся из F после под-
становки y = yo + Z- Полученное уравнение (3) имеет та-
кой вид, как и (1) § 4.1.
4.3.2. Резонансный случай
Здесь одна из комбинаций | <х>&—sco | равна нулю или
имеет порядок малости ц. Теперь уже (1) § 4.3 не имеет
периодического решения, так как один из коэффициен-
тов (2) п. 4.3.1 обращается в бесконечность (или велик)
В этом случае уравнение (1) § 4.3, вообще говоря, не
будет иметь решений, остающихся ограниченными при
стремлении ц к 0. Учитывая это обстоятельство, обычно
считают, что «резонансный» член в (1) § 4.3 сам имеет
малую амплитуду (порядка малости ц), что во многих
случаях вызывается требованием существа рассматри-
ваемой физической задачи.
Пусть, например, член с номером г является резо-
нансным. Тогда напишем
s=—оо 7
Относя теперь в уравнении (’1) § 4.3 резонансный член
к F, получаем
апу(п) + ап - 2у{п~2) +... +аоу =
= нр(у, у',...-, 0 + 4-Cre/r“']+f.(0.
112
4.3.2,
Таким образом, мы вновь пришли к уравнению ви-
да (1) §4.1, рассмотренному раньше.
Полезно отметить, что указанный здесь способ рас-
смотрения неоднородных уравнений не является един-
ственно возможным. Практически удобно поступать
иначе, как это будет видно из последующих глав.
4.4. Обобщение предыдущих результатов.
Получение второго приближения
В предыдущих параграфах рассматривалось уравне-
ние n-го порядка вида (1) § 4.1 и было показано, что
его можно -привести к системе п уравнений первого по-
рядка с малым параметром в правой части. В дальней-
шем будем эту систему называть стандартной. Далее
составлялась система укороченных уравнений, дающих
решение задачи в первом приближении. Теперь, уже
исходя из заданной стандартной системы, постараемся
более точно сформулировать условия, при которых мо-
гут быть получены решения первого приближения, и по-
кажем, как могут быть получены более точные решения.
Пусть имеется стандартная система вида
О + ФДЛ ОЬ О)
где —малый параметр и А, Фр Ф2 — я-мерные ком-
плекснозначные векторы-столбцы с компонентами, соот-
ветственно равными Ф^\ Ф^° и /г=1, 2,.... п.
Ищется непрерывное решение системы (1), обращаю-
щееся при t = tQ в заданную вектор-функцию Л(/о). Не
уменьшая общности рассуждений, можем в дальнейшем
положить /о = О.
Будем считать, что в рассматриваемом векторном
пространстве существует надлежащим образом опреде-
ленная n-мерная область D, содержащая Л(^о) в каче-
стве своей внутренней точки, в пределах которой функ-
ции Ф1 и Фг удовлетворяют следующим условиям при
всех t^t0:
1ФДД, ^)|<ЛГ; |Ф2(Л, 0|<Л1; (2)
Р дфМ (Л, о
J <ЭЛ(‘) at
<м,
8—12
(3)
из
где k=i, 2, п; М— некоторое положительное Число,
не зависящее от Л и от ц, или функция от ц, остающаяся
ограниченной при сколь угодно малых ц. При вычисле-
нии интегралов (3) А считается постоянным (интегри-
рование ведется лишь по явно входящему t). Прямые
скобки в этих формулах (и далее), отнесенные к век-
тору или матрице, означают норму, определяемую как
сумму модулей отдельных составляющих этих величин;
в случае скаляра — модуль заключенной в скобки ве-
личины. Далее предполагается, что Ф1 удовлетворяет
условию Липшица (ФДЛ+т],/)—ФДД, 01<*1п1. А
Л + при всех t^O и К — некоторая константа, не
зависящая от ц.
Область D может быть определена различным обра-
зом, например, так:
|Л(Ю(/)_Л^)(0)|</?^1, (4)
где — некоторые положительные числа (не зависят
ни от /, ни от pi).
Очевидно, что при таком определении термин «об-
ласть D» означает лишь множество величин А<Ю (или
векторов Л), удовлетворяющих (4). Если хотя бы для
одной из величин AW неравенство (4) превращается
в равенство, мы будем говорить, что вектор А лежит на
границе области D.
Условимся в дальнейшем множество функций, удов-
летворяющих условию (3), обозначать как Afo и писать,
например, так: Ф2еЛ1о.
В соответствии с тем, что говорилось в предыдущих
параграфах, естественно составить укороченные уравне-
ния, соответствующие системе (1), путем отбрасывания
в правой части слагаемых класса Мо, т. е. написать
dB/dt = ii01(Bf /), (5)
где вектор А заменен на В.
Основой для дальнейшего будет следующее утвер-
ждение, доказательство которого приводится в прило-
жении 1.
Пусть вектор В, удовлетворяющий (5) и заданным
начальным условиям при всех где L — неко-
торое положительное число, лежит в области В, такой,
1 Это значит, что каждое (0) не выходит в комплекс-
ной плоскости за пределы круга (включая точки окружности) радиу-
сом
114 §4.4.
что \B^(t)-B^{0)\<R^—^ й=1, 2, п, и А —не-
которое сколь угодно малое, но отличное от нуля поло-
жительное число (область D является «расширенной»
по отношению к Z>i). Тогда для вектора т]=Л— В, опре-
деляющего разность между решениями точных и укоро-
ченных уравнений при одинаковых начальных условиях,
имеет место следующая оценка по порядку величины:
|т)|<Сц, (6)
где С — некоторая константа, пропорциональная М, т. е.
оцененная по норме разность между решениями точных
и укороченных уравнений будет величиной порядка ма-
лости р.
Следует обратить внимание на то, что 2И, входящее
в (3), может зависеть от «размеров» выбранной обла-
сти D и, в частности, во многих случаях Л4<Л411В (t) —
-В (0)1 max, где Mi — абсолютная константа, не завися-
щая ни от р, ни от /, ни от «размеров» D\ |В(/)—
—В (0)|max — наибольшее значение, которого достигает
величина при всех рассматриваемых значениях / и B^D.
Тогда оценка приобретает вид
h| <Ср|Л-А (0) | max- (7)
При некоторых условиях оценка (7) оказывается значи-
тельно менее грубой, чем (6).
Следует обратить внимание на то, что сказанное от-
носится лишь к конечным интервалам времени /, хотя
и сколь угодно большим при достаточно малых р. Если
рассматривать фиксированное р и все 0^/<оо, то соот-
ветствующие теоремы будут формулироваться иначе и
требовать дополнительных условий. Сейчас мы на этом
останавливаться не будем и рассмотрим этот случай
в приложении 1.
Отметим теперь еще некоторые обстоятельства, от-
носящиеся к тому случаю, когда рассматривается конеч-
ный интервал t длиной А/p. Очевидно, что в этом случае
нет необходимости требовать, чтобы условия (2) и (3)
выполнялись при любых t, а лишь для тех, которые
лежат внутри этого интервала. Заметим, что условия (3)
обычно выполняются в тех случаях, когда Фг представ-
ляет собой, грубо говоря, функцию, осциллирующую
около среднего значения, равного нулю.
Однако этот случай не является единственным. Пусть,
например, имеется функция (векторная) F(A, t) такая,
§4.4. 8* 115
что на всем интервале 0^,/<L/|i она сама и все ее пер-
вые частные производные по компонентам А ограничены,
тогда
J (Л, 0 dt < f J I F |maxf < (XI F \maxL < fx/И,
О о
где |F|max — наибольшее значение нормы вектора F.
Аналогично получаем для этого случая и второе нера-
венство (3). Таким образом, при интервале
функции, ограниченные вместе со своими первыми част-
ными производными, умноженные на малый параметр р,
также принадлежат к классу Af0. Отсюда, в частности,
следует, что входящие в правую часть слагаемые, имею-
щие порядок малости ц2 (и при выполнении других ука-
занных условий), при составлении укороченных уравне-
ний также могут быть отброшены.
4.4.1. Построение уравнений второго приближения
Для получения уравнений второго приближения по-
ложим A = Ai + ptz, где А и а — векторы-столбцы а(0)=0.
Подставляя в (1) §4.4, получаем
|Л [Ф, (Л. + И + Ф2 (Л, + |Ш)].
Подчиним Л уравнению первого приближения, т. е.
положим
б/Л1/£// = рФ1(Л1)
и, следовательно,
^.=Ф, (Л, + !Ш) - Ф. (Л,) + Ф2 (Л, + И =
= !х^-а + Ф2(Л1) + |лФ,(Л„ |ш), (1)
UZ1
причем здесь
d®JdA — квадратная матрица НдФ^/дЛ^' ||л ft=I 2.
Ф3 (Л„ |Ш) = у- ^ф. (Л, + |*а) - Ф, (Л,) - н aj +
+ФДЛ.+И-ФДА)}- (2)
116
4.4.Ь
Введем теперь
t
ах = а — J Ф2(Л, t)dt,
о
тогда
dax I </<£>!
id=^\4Aa
Если при определении аг ограничиться величинами ну-
левого порядка малости, что при вычислении А дает
погрешность на всем интервале 0^/<L/p, меньшую,
чем Ср2, то последнее слагаемое в (3) можно упростить
следующим образом: величина, стоящая в (2) в квадрат-
ной скобке, имеет порядок р2 и? следовательно, даже
после деления на р согласно изложенному ранее при-
надлежит к классу Л4о. Кроме того, если Фг имеет огра-
ниченные частные производные по компонентам Л, по-
следнее слагаемое (2) можно представить в виде
Ф2(Л,+р.а)-Фг(/1.) = а _|_ (Л>
где ф — ограниченная функция при всех Л1 + ря, находя-
щихся в пределах D, и при рассматриваемых t. Тогда
согласно сказанному ранее рф принадлежит к классу Мь
Таким * образом, укороченное уравнение для а можно
написать так:
решение которого ищется при условии ai(0)=0.
Приведенные выше оценки, конечно, имеют силу
лишь при условии ограниченности всех частных произ-
водных от Ф1 и Ф2 до второго порядка включительно
в D и для всех рассматриваемых значений t. Таким
образом, можем написать
Л = Л, +
«1+ [ф2и.(о>
о J
4.4.1.
117
(здесь уже при интегрировании 4j(/) рассматривается
как функция от t, а не как постоянная). При этом по-
грешность не превосходит величину, имеющую порядок
малости р2.
Если оставить в стороне вопрос о вычислительных
трудностях, можно к. уравнению (1) вновь применить
аналогичную процедуру и получить более высокую сте-
пень точности, причем на основании сформулированной
выше основной теоремы можно будет утверждать, что
погрешность результата при аналогичных условиях бу-
дет величиной порядка малости р3. Отметим еще обстоя-
тельство, полезное для дальнейшего. Если рассматривать
конечные интервалы t, не зависящие от р, то величина а
определяется с ошибкой порядка р2, а не р, как это
предполагалось раньше. Действительно, члены, которые
мы отбросили в (3) при переходе к (4), имели вид
р2ф(/), где ф(/)—ограниченная в рассматриваемом ин-
тервале функция. Если где Т не зависит от р,
мы можем, не меняя результатов, относящихся к этому
интервалу, продолжить его до А/p и выбрать при этом
ф(0=0 при t>T. Тогда
L
н
o’
и, следовательно, величина М, входящая в неравенства
(3) § 4.1, будет иметь вид |л|’ф|тах7' и согласно (6)
|i]| ^,Ср, = С1Ц2, где Ci — константа, не зависящая от ц.
Заметим еще, что сама величина а в этом случае будет
иметь порядок малости ц.
4.5. О применении метода ММА к уравнениям
с медленно меняющимися коэффициентами
Линейные дифференциальные уравнения с медленно меняющими-
ся коэффициентами также могут быть приведены к системе уравне-
ний первого порядка с малым параметром в правой части, т. е. к си-
стеме, которую мы называли стандартной.
Пусть дано уравнение
у(п)+ап-\У(п~^+ ... +aoy=f(t), (1)
где коэффициенты as(t) являются медленными функциями от t
в том смысле, что все их производные нужного нам порядка являют-
ся малыми величинами.
118 §4.5.
Подобно тому, как это делалось раньше в Начале Настоящей
главы, умножим обе части рассматриваемого уравнения на е~Р1 и
проинтегрируем по t в пределах от 0 до оо. Можем написать
оо оо
§asy(a'e-p‘dt = — yt*-1) (0) as (0) — (а8е~р*) dt =
о о
d
= - y<s ’1) (0) ae (0) + y(8 - (0) ~dt (a’e ’ pV>t=o + x
00
r d2
+ y^'^dt2 (а*е~рЧ dt
о
и, продолжая по аналогии, найдем
00 s
= ^(’-4(0) ^4-(a,e-»>')«=. (-l)k +
0 S
oo
Г d8
+ (—0* (ase-pf) dt;
и, следовательно, после преобразования уравнение приобретает вид
оо п
dt+
О s=0
ns 00
+ 2 (ate-p<) (- 1)* = jf (/) e-p*dt.
S=zQA=l 0
Учитывая, что
d
— (be~p‘) = — e~p*Sp~— D) b,
где b — произвольная функция от /; D — оператор дифференцирова-
ния, можем написать
d2
— (be-p*) = -D[e-p*(P-D) b] = e-p^[p(p-D)^
— D(p — D)]b= e~Px (p‘>— D)2 b
и, продолжая, найдем
г d8
(be-p*) = e-p* (— 1)« (p — D)>b.
§4.5. П9
Теперь уравнение перепишется так:
J</ (/) <?-p'S (Р — D)‘a,dt— £ £ (Р — D)k~ '«sb=o =
О s=O s—OZ?=1
оо
= p (/) e~ Pl dt
о
или
jf/(O e-P‘Spsasd<= p (t) e-v*dt +^y (t) £ [p‘ —
0 s=0 0 0 L?=0
-(p-D)» ase-p»dt+ S £ [y(s-kHP-D)*-'aa]t=a. (2)
J s=Ofc=l
n
Введем обозначение P (p) asp* = (p — p^) (p—p2)---(p—Pn)>
где , pn — корни уравнения P (p) = 0 — являются функция-
ми от Л Положим теперь у — ух + у2 + ... + Уп и выполним следую-
щие преобразования:
00 оо
г Р — Pv t С У? Р d
j«, (ОР‘-’• <“- j -
о о
Г У.Р J ( У-.р \ .
е‘’""= +
d ( У„ Р \ f И,Р
+ J йг(^—F7 e-’*dt~
о ' ' о
У-, Р \ . f I 1 Р
^rL JR— р'у' \^e'p,dt +
00
Г dP
+J ^e~pt -di-'p-P;-dt-
0
120
§4.5.
Уравнение (2) теперь можно записать так:
00 п оо Г п
= e-v*dt + р„е-р< [р> — (р — D)‘]a,—
О v=l 0 s=0
п s
—df-pPp'- dt+ J] J] (yW(p-Dy'-’a,)t=<>. (3)
J s=O£-l
Учитывая, что выражение, стоящее в квадратной скобке в пра-
вой части последнего равенства, представляет собой полином от р,
степень которого меньше п, можем написать
s=0 fe=l
где — вычеты функции
s=0
Р(Р)
относительно точки р — рк.
Аналогично,
Р(Р)
Р— Pv
где (6_j)v и (/-i)v соответственно вычеты функций
1
Р(р) и
5 1
-s=Ofc=l J
относительно точки p=pv.
§4.5,
121
Теперь интегральное соотношение (3) можно переписать так:
Ре~ р*
Р-Р,
Ре~р* УЛ0)? I
Р — Ро /+ Р—Л (0)1
(4)
Этому функциональному уравнению можно удовлетворить, по-
ложив
п
dy„
~di~— P,y, = (b.t)J(t) +
у. (0) = (6_t)v
(в двойной сумме, входящей в (4), произведена перестановка поряд-
ка суммирования и переставлены местами индексы k и v]. Теперь
введем новые переменные посредством соотношений
t
(/>, (О dt
1 л 0
У, = ~2~ А,е
тогда
d4v
ИГ
Легко видеть из предыдущего, что коэффициенты при мед-
ленно меняющихся as будут малыми величинами. Поэтому при f (t) =
=0 мы сразу приходим к стандартной системе с малым параметром
в правой части; это же имеет место, если f(t) отлична от нуля, но
в рассматриваемом интервале t мала (пропорциональна малому па-
раметру). Если f(i) не мала, можно привести систему к стандартной
обычными подстановками, положив, например,
t
t — (О dt
(0 = Л, — 2 е 0
о
!22
§4.5.
4.5.1. Уравнения второго порядка
Полученные выше соотношения довольно громоздки, если их
рассматривать в общем случае Однако в наиболее часто встречаю-
щихся случаях, когда порядок исходного дифференциального урав-
нения невысок, эти формулы выглядят значительно проще. В каче-
стве примера рассмотрим дифференциальное уравнение второго по-
рядка
d2y dy
~dt*~ + ~dT + «<^ = °>
причем at и а0 — медленные функции от t. Найдем сначала ру из
уравнения
P=p2.j_fllp+67o = o<
Очевидно, что
и Р = (р — pi) (р — РъУ
Вычислим теперь для этого напишем
[Р2 ~{Р — Я)2] ^2 + [р ~ (Р — £>)] 01 —
____d (р — Pi)(p — Р2) _ dp2 da, _ dpi
dt p—pi dt ’ dt dt
(в нашем случае a2—\)> и, следовательно,
1 dpi
(^-1)1,1 = — рг — р2 dt
Аналогично,
4.5.1.
123
Таким образом, получаем следующие уравнения:
dy2 1 / dp2 dpx \
“dF“РгУг = , ---к/' ~5F + Уг~dF)
21/4F)-«.x
Дальнейшие преобразования очевидны.
7
ПРОЦЕССЫ УСТАНОВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ
5.1. Предварительные замечания
В предыдущих главах мы рассматривали установив-
шиеся колебания в автономных и неавтономных авто-
колебательных системах, однако вопросы, связанные
с процессами установления колебательных режимов,
а также с устойчивостью этих колебаний, в них не за-
трагивались.
Переходя к рассмотрению этих вопросов, мы должны
будем, как и прежде, ограничиваться приближенными
решениями, так как нелинейные дифференциальные
уравнения или линейные уравнения с переменными ко-
эффициентами, с которыми мы здесь сталкиваемся, как
правило, точно проинтегрированы быть не могут. Здесь
нам будет полезен метод медленно меняющихся ампли-
туд, изложенный в предыдущей главе.
В дальнейшем для определенности, подобно тому,
как это делалось в предыдущих главах, будут рассмат-
риваться схемы, содержащие в качестве нелинейного
элемента трехэлектродную электронную лампу. Однако
получаемые результаты будут иметь значение и в тех
случаях, когда в автоколебательных системах исполь-
зуются не трехэлектродные лампы, а какие-либо другие
приборы (лампы с числом электродов, большим трех,
транзистор), конечно, при условии, что остаются в силе
допущения, сделанные ранее при выводе и решении
уравнений.
В следующем параграфе мы остановимся на вопро-
сах установления колебаний, а в дальнейшем займемся
изучением устойчивости установившихся режимов.
5.2. Установление колебаний в ламповом генераторе
Обратимся к схеме лампового генератора с транс-
форматорной обратной связью, изображенной на рис. 5.1,
§5.2. . 125
и будем теперь изучать режим установления колебаний
в этой схеме
Подобно тому как это делалось в гл. 1, можем на- ।
__________________________ ____________ _________ t
Исключая из последних трех уравнений величину
находим
и — — М — (i С 1
us~ т dt G dt)’ I
"=£“(£4+'-)С-+с^).) <2)
Л)т=(74+<К <3>
Подставив (3) в первое уравнение (2), получим
“s+4[“«+c(£7r+0]“«“°
или окончательно
^+2а^+а>2« (4)
dt2 » dt 1 о g о dt
Причем здесь, как обычно,
®=1/ЛС, a = r/2L.
Подставляя во второе уравнение (2) величину dualdt
из (3), получаем уравнение
1 Задача об установлении колебаний в ламповом генераторе
(с учетом нелинейных свойств характеристики лампы) впервые была
рассмотрена Б. Ван-дер-Полем [1]
126 §5.2.
которое позволяет найти непосредственно величину иа,
если известны /а и иё. Мы воспользуемся (5) лишь
в дальнейшем, а сейчас обратимся к другой, хотя и при-
ближенной, но более простой связи между и ug.
Второе и третье соотношения системы (1) дают
„ . L
иа = £ -L- -j- и — tr,
a I М S ’
и так как сопротивление контура г мало, в первом при-
ближении имеем
и=Е-\--тти.
а 1 М s
Теперь
«а = А (ие; Е + ug) =f (ug),
т. е. анодный ток оказался функцией только одной пере-
менной — сеточного напряжения. Следовательно, урав-
нение (4) можно переписать в форме
u"s+=-2а [ug+f <ug) • (6)
Если 2а и /(ид)—малые величины одного порядка ма-
лости, получаем уравнение того же типа, как и рассмот-
ренное в четвертой главе с малым параметром р, = 2а.
К нему можно применить метод медленно меняющихся
амплитуд.
В соответствии с изложенной в предыдущей главе
методикой перепишем уравнение (6) в виде
(Р? + Ио) Mg= — 2арА
где
g g 1 2а
f(«g)
или
Учитывая, что
р _ 1 / 1 j 1 \
p2_|_w2 — 2 р — * р + 1ы0 /’
получаем
й = — а(----U——Д—
g р — /ю0 р + J(D0 )
Полагая далее, что
^=у.+уг; у^-y^-F- у2 = _—^р,
и переходя к оригиналам, получаем
, 1 (8)
Теперь в соответствии с методом ММА положим
У1 = 4-Л/Ч у2 = ^-А2е~^ . (9)
Так как сумма yi + y2=Ug— величина вещественная,
должно иметь место соотношение A2=Ai*, которое на-
ходится в согласии с тем фактом, что второе уравне-
ние (8) отличается от первого лишь знаком при члене,
содержащем мнимую единицу.
Если положить”^ =ре/0, где р и 9 — вещественные
числа, то можно написать
^ = p cos(o)o/ + '0); f(Ug) —f p cos(g)o^+0)]. (1'0)
Разлагая (10) в ряд Фурье (считая р и 0 постоян-
ными) и учитывая определение средней крутизны S(p),
можно написать
f (ug) =>pS (р) cos (%£ + 6) 4- гармоники =
=-^-pS (р) е* (<o°z+0) -|—~ pS (р) e~i (<о°*+0) -{-гармоники.
Тогда F можно получить в виде
f=4-p 1
н---S(P) е/(ш°т)+Ф(р, 6, 0- (11)
128
§5.2.
причем Ф(р, 0, t) при любых />0 удовлетворяет условию
t
^Ф(Р, 0, f)e~,K,fdt
<С,
где С — константа (при интегрировании р и 0 считаются
постоянными).
Подставляя теперь (9) в первое уравнение (8) и учи-
тывая (11), находим
- аА J1 + S (р) ]+2е-к< Ф.
Отбрасывая
уравнение
„осциллирующий* член 2е ^Ф, получаем
dA,
dt
WqA4
"2а
S(p) .
(12)
Это и есть искомое укороченное уравнение для Ai.
Для А2 можно составить аналогичное соотношение, ко-
торым мы, впрочем, можем не пользоваться в дальней-
шем, в силу того, что Ai*=A2.
Примечание. При разложении функции (10) в тригономе-
трический ряд мы считаем величины Ai и Аг фиксированными (по-
стоянными) и, рассматривая эту функцию как периодическую, по
существу, исходим из соображений, связанных с теорией рядов
Фурье.
Такой метод рассуждения может показаться противоречивым,
поскольку в действительности величины А[ и А2 являются функция-
ми времени t. Для того чтобы устранить могущие возникнуть сомне-
ния, достаточно учесть следующие соображения.
Пусть имеются две однозначные функции <pi(0 и ф2(0, причем
каждая из них зависит еще от параметра Д. Если в некоторой дву-
мерной области S значений t и А фг(0 =!Ф1(0> причем это равенство
имеет место при произвольных фиксированных А, принадлежащих S,
то, очевидно, что равенство сохранится и в том случае, когда ф1
и срг рассматриваются как функции двух переменных t и А,
В частности, поскольку последнее равенство имеет силу при лю-
бых Д, teS, оно сохраняется и при Д, зависящем от t
Преобразуем уравнение (12), положив А, = ре1е. Тогда
^S(p)
e".
Отсюда вытекает, что
^-=0
dt u-
§5.2,
2-S(P) ;
(13)
9-12 129
dt “
Уравнения (13) легко интегрируются, и в результате на-
ходим
р
О = 0о = const; t= — (
dp
“0^
РнР “+—2~ S (р)
где pH — начальное значение p.
Для вычисления последнего интеграла нужно знать
зависимости S(p). Поэтому мы в качестве примера рас-
смотрим, как это обычно делают, случай мягкой харак-
теристики лампы и положим
5=Д1-4|аз1ра
[формула (5) п. 2.2.1)]. Тогда
р
t =
[‘ ____________dp___________
,) Г <$М 3 '
Рн Р «1—2~+ “ —4-1«з|—2~ Ра
Введя обозначения
a + ai ——
и новую переменную Z = 1 /ра, можно записать
р’
/—__L f __.dZ
l— 2 J fZ-Y
2
Рн
и, потенциируя, получаем
1 1
~<1П л_
Рн Y
-7—Y
Рн
Решая это уравнение относительно ра, находим
Р2=---7-Б-^---
’ + ^-4
е~^
—г
130
Следовательно,
2», = plW= Г-----гтг-Ц----
1/ ’ +
и окончательно
X COS (ш0/ + 6).
Если условие самовозбуждения выполнено, то 714 <0 и
а<а/|/И|/2, а р и у положительны.
Полученные формулы позволяют сделать некоторые
выводы. Если рн — начальная амплитуда — мала, то ко-
лебания с течением времени нарастают, стремясь к ста-
ционарному значению рст = У ₽/у. В процессе установ-
ления частота автоколеба-
ний не изменяется (в приня-
том приближении).
Характер нарастания ко-
лебаний иллюстрируется на
рис. 5.2.
В заключение к сказанно-
му можно добавить некото-
рые соображения, не влияю-
щие на полученные резуль-
таты, но имеющие некоторое
теоретическое значение.
Рис. 5.2.
Пренебрежение сопротивлением г в предыдущих рассуждениях
делает их недостаточно строгими. В связи с этим полезно вывести
основное уравнение задачи, не делая этого пренебрежения.
Воспользовавшись уравнением (4), можем написать
/ \ О . . dt» f л d, X
\Jt + 2“ ) «g = - ®оЛ4 ----------^<о0-2а - 4а2 Jag,
и с учетом этого соотношения из (5) § 5.2 находим
L [ 4а2 2а d \
ил = Е — 2а£/а 4- [ 1 —о ~о~ Vzg . (И)
\ (Oq / 6
§5.2.
9*
131
Соотношение (3) можно рассматривать как уравнение, связывающее
ил с ug и u'g. Таким образом, можно считать (если уравнение (14)
разрешимо относительно иа), что нам дана зависимость иа =
=O(«g, u'g).
Следовательно,
= 'a(“g.«.) = '«l«g> ® («g. a'g)] = Ф («g. «'g).
и можно написать
dit _ ЭД , . ЭД „
dt dugug+ du'sug-
Теперь уравнение (6) приобретает вид
о>оЛ4 /
2а dug u's +
Здесь в правой части имеется член, зависящий
перенесем налево и напишем
( 1 + + “o“g = —2“
“"g + “otfg = -2a U’g +
U'g +
дф „ \
ди'е и g
от u"g, который
«оЛГ эд
~2о ди~ и g
мы
или
= — 2а
‘qM d^)u"g + "о (' + ®ом djg )“g —
/ «оЛ1 <?Ф V , . <?ф
2— -^K + wo^-^«g
и, наконец,
ц" 4- (OnU~
g1 wQ“g
2а
9 дф \
1+<Ф*
°>о/И б)ф
2а du’g иг
.2
(15)
Таким образом, мы пришли к дифференциальному уравнению
второго порядка, у которого правая часть мала и зависит лишь от
ug и u'g (u"g справа не содержится), т. е. к уравнению, которое мо-
жет рассматриваться методом ММА.
Полезно отметить, что если в (14) положить а=0, то это урав-
нение переходит в ранее полученное. Действительно, в этом случае
( L \
E+^Ug J,
и, следовательно,
dtyda’z = 0; (ty/dug = df/duQ
и
9 d /
M g +<o0«g = -2a rffl«g-)
“0^ \
2a ' /
132
§ 5.2.
5.2.1. Об устойчивости стационарного колебания
(стационарного решения) в одноконтурном ламповом
генераторе 1
Обратимся вновь к дифференциальным уравнениям (13) § 5.2,
описывающим установление колебаний в одноконтурном ламповом
генераторе. Для нахождения стационарных решений этих уравнений
нет необходимости находить их интеграл, достаточно положить в них
dp!di=§. Тогда непосредственно получаем Л1<0 и
S = -rC/M=rC/|M|, (1)
т. е. тот же результат, который мы нашли во второй главе.
Для того чтобы решить вопрос о том, может ли на самом деле
реализоваться амплитуда р, определяемая уравнением (1), необхо-
димо убедиться в том, что соответствующее решение устойчиво. Если
ограничиться лишь уравнениями (13) § 5.2, это исследование можно
произвести следующим образом. Пусть стационарное значение ампли-
туды равно ро. Допустим, что эта амплитуда получила некоторое ма-
лое приращение е, и положим р=ро + е. Поскольку е является функ-
цией от р, можем написать, удерживая лишь величины порядка е,
•S (ро + е) — •$ (ро) + е-
Следовательно, первое уравнение (13) § 5.2 даст
de , J dS 11
lit ~ (Ро + ®)|а+ 2 [5(?о)+ rfp ejj‘
Учитывая (1) и отбрасывая величины порядка е2 *, непосредственно
получаем
de _ <*2йМ dS <°0 |Af| dS
dt 2 Р’ dp е~ 2 Р° dp
Величина О.бр^Юц | 1 dS/dp, которую мы обозначаем через а, от
времени не зависит. Тогда можем написать е= Aeat, где А —произ-
вольная постоянная.
Отсюда видно, что при а<0
следовательно, р стремится к р0.
шение (колебание) будет
устойчиво по отношению к
амплитуде и при этом устойчи-
вость будет асимптотической
(так как е—^0).
Теперь обратимся к соот-
ношению d$ldt=§. Из него
вытекает, что аргумент 0 от
времени не зависит и может
иметь произвольное постоянное
значение. Следовательно, в ча-
стности, приращение 0, вы-
е с течением времени убывает и,
Это значит, что стационарное ре-
1 Здесь термин «стационарное решение» понимается в смысле
независимости «амплитуды» от времени.
5.2.1. 133
званное каким-либо внешним фактором (действовавшим в теченйё
некоторого конечного промежутка времени), не будет с течением вре-
мени ни нарастать, ни убывать. Это значит, что наше решение (ко-
лебание) устойчиво и по отношению к фазе, хотя эта устойчивость
не является асимптотической.
Таким образом, для того чтобы полученное решение было устой-
чиво и могло реализоваться, необходимо сделать а<0. Считая, ро
величиной положительной, приходим к выводу, что для этого должно
соблюдаться условие
dS!dp<$ при р = р0. (2)
Этот результат может быть иллюстрирован посредством рис. 5.3.
Пусть, например, уравнение (1) имеет два решения ра и рь, соот-
ветствующие двум точкам пересечения кривой S(p) и прямой, па-
раллельной оси абсцисс, проведенной на высоте гС/\М|.
Из изложенного вытекает, что колебание с амплитудой р=рь
будет устойчиво и может быть физически реализовано. Решение р=
= Ра устойчивым не является и, следовательно, реализовано быть
не может.
5.3. Регенеративная схема. Устойчивость
одночастотного режима
В третьей главе мы рассмотрели одночастотный ре-
жим регенеративной схемы и нашли стационарные ре-
шения соответствующих
уравнений. Однако вопрос
о том, могут ли быть эти
решения (колебания) в
действительности реали-
зованы, оставался, по су-
ществу, открытым, ибо
устойчивость решений не
была исследована. Здесь
мы постараемся воспол-
нить этот пробел.
Схема, подлежащая
Рис. 5.4.
рассмотрению, изображе-
на на рис. 5.4. Соответствующие обозначения ясны из
рисунка. Дифференциальные уравнения задачи могут
быть написаны так:
или, положив oj2=1/LC; a = r/2L, получим
5+21^+»Ч=»2[е-Л«41- И
dt2 • dt 1 о g «|_ dt J
Кроме того,
«.-£+Д,>+л«>=о
ИЛИ
,, — р I О*. мг d ив —р г _
иа — Е Lo dt iVJG dtz £ £0 dt
- MC R [e~M -2a ^8 _ю^ =
= E_(L0-^)^_^, + 2aMC$+4«, (3)
. Будем подобно тому, как это делалось раньше (гл. 3),
рассматривать случаи воздействия синусоидальной э.д. с.
e = Emcosa>t в предположении, что частота внешней си-
лы близка к частоте собственных колебаний,' т. е. отно-
сительная расстройка (6<о/соо) = (<о—«о)/«о есть величи-
на малая.
Амплитуда вынуждающей силы Ет. анодный ток ia
и параметр а считаются малыми в соответствии с сооб-
ражениями, которые высказывались в предыдущих
главах.
Учитывая все это, мы можем в формуле (3) прене-
бречь соответствующими членами и написать *
«a = E+-^«g. (4)
Таким образом, анодный ток iA, зависящий от сеточ-
ного и анодного напряжений, можно, учитывая (4), рас-
сматривать как функцию от сеточного напряжения ugi т. е.
4 = ft («g. «а) = f. (ug, Е + ~ ug ) = f (ue\ (5)
Теперь обратимся к уравнению (2) и перепишем его-так:
(e~Mw) -2a ~3t’ (6)
причем правая часть этого уравнения является малой
величиной, зависящей явно от t и от и%.
§ 5-3. 1?5
Удобно (6) написать в виде
е/2ае 2
_-_|_a)sUg = шЕт COS wt —
-2a 4 +«в)+(®а - %) «в-
(7)
Это уравнение отличается от (6) § 5.2 лишь дополни-
тельным членом в правой части <о^Ега cos <о/(<о2—®^)«g,
и к нему можно применить аналогичную методику для
составления укороченных уравнений. Не повторяя по-
дробно рассуждений, приведенных в § 5.2, можем поло-
жить L(p) =р2+<о2, ug=#i + t/2 и в результате написать
— Wi = _a^g + — f(Ug)
— 4 cos ml+(‘°2 ~ ugi-
(8)
Положив теперь yl — 0,5Aelu,t и повторив соответствую-
щие рассуждения, приведенные в § 5.2, получим
м
“о441, ч А
2а f (Ug) 2
1 + ^spi-'+-f.
где ф — функция, удовлетворяющая при любых t условию
^e~ia>tdt
о
<М
(9)
Таким образом, правая часть (8) представляется в
форме
f=-4('+
где Фг — функция, удовлетворяющая условию (9).
Согласно методу ММА можем укороченное уравне-
ние для комплексной амплитуды А написать так:
Учитывая Малость &со = о)—(Оо, можем приближенно по-
ложить й)о=<о, тогда
dAT=_A('a + ^S + j^\i^E^ (К))
III \ & / 4
Теперь пусть Л = ре'9, гдери 0 — вещественные функции
от t. Тогда
dt — dt ^'р dt) е ’
и, следовательно, (10) приобретает вид
do I . с/0 / » со2Л4 о । \ • Ет п—iB /1 1 \
л+^Л = -р(а + — 5+/Зш . (11)
Отделяя вещественную часть от мнимой, получаем
два уравнения:
4? J„_L <?А ®£»* ein fl-
P(a+ 2 S) 2 sin®’
,ft 4 „ J (12)
an j <ocm Л ' '
PdF=-P8(D—^cosO.
Отсюда можно получить стационарные решения, поло-
жив dpldt=Q, dfildt—Q.
Обозначив соответствующие значения р 'и 6 через ро
и 0о, можем на основании (12) написать
Г । <о2Л1 о , , 1
Ро + ~2~(Ро)J ~
р08а>=— ^COS0O.
Ч>Ет
2
sin0o;
(13)
Исключив 0о, получаем уравнение для определения
амплитуды колебаний:
4(i+^sy+(“)’]=J^£- <14>
которое совпадает с соответствующим уравнением, по-
лученным в третьей главе при рассмотрении регенера-
тивной схемы.
Если найти некоторое значение ро [уравнение (14)
может иметь не одно решение], то посредством (13) най-
дется соответствующее значение 0о (оно определится,
конечно, с точностью до целого числа, умноженного
на 2л).
§ 5.3. 137
Перейдем теперь к вопросу об устойчивости устано-
вившихся решений. В соответствии с общей методикой
положим р = р0 + £, 0 = 0о+л, гДе Л — вещественные
функции от t, которые по абсолютной величине можно
считать как угодно малыми, по крайней мере при до-
статочно малых t. Учитывая малость £ и л, можем в пер-
вом приближении написать
81п(0о + л) = sin 0о + л cos 0о;
соб(0о + л) =cos0o—л sin 0О;
S(po+£) =S(p0) +S'(po)£,
причем здесь S'(po) =dSjdp при р=ро.
На основании этих соотношений и равенств (13)
можно первому уравнению (12) придать вид
__ mEfti «.1 zq । -
df ' ~2 ^”2 № ) “|“ a J
и, учитывая, что (o£mcos0o = —2{kopo, написать его еще
так:
^f= - Ж8® - 5 (S + PoS') + а].
Произведя аналогичные преобразования со вторым
уравнением (12), найдем
fib) ft* - ( ।
Po'rfF = --63ш — 7)P /a-]- —sj.
Рассматривая случай Л4<0 и введя обозначение
х —(о2|Л1|/2а, можем полученной системе уравнений при-
дать вид
^=fo[x(S + peS')-l];- 7)Ро8ш;-
ГРо — *8ю + W («5 - 1).
(15)
Частное решение этих уравнений т)± будем искать
в форме
6, = ^; = (16)
где М, N и у — постоянные величины. Подставляя (16)
в (15) и сокращая общий множитель ё1*, получаем
М{у +«[1—х (S + poS') ]}—jVSopo=0;
2И6<»+^ро(у+а(1—xS)]=0.
138
§ 5.3.
Для того чтобы эти уравнения имели решения, от-
личные от тривиального, необходимо и достаточно, что-
бы определитель этой системы был равен нулю. Таким
образом,
Ро {у+а ,[1—х (S+poS') ]} [у + а (1—xS)]+po(6co)2=0
или
Т24-2а(1 — xS-----^-p0S^y +
+ а2 (1 - xS) [ 1 - х (S + PoS')] + (8®)2 = 0. (17)
Отсюда получаем два значения у:
Yi.2= ~ а (1 - - 4г Р»5') ~
•*_ а2 (1 - xS) [1 - х (S + p0S')] - (6<о)2’ (18)
и, следовательно, общий интеграл системы (15) имеет
вид
В=Л//‘,+Л4^т*<; + (19)
где Mlt Мг, Ni и Nz— константы, две из которых''про-
извольны.
Отсюда видно, что для устойчивости (асимптотиче-
ской) полученных ранее стационарных решений необхо-
димо и достаточно выполнить следующие два условия:
1 _ xS —p0S'> 0;
(20а)
<а2( 1-xS)[l-х (S + poS')]+ (бсо) 2>0. (206)
В дальнейшем рассмотрении ограничимся мягкой харак-
теристикой лампы, т. е. будем считать, что S(p) —моно-
тонно убывающая функция от р и, следовательно, наи-
большее ее значение соответствует р=0. Рассмотрим
теперь два случая:
1. xS(0)<l, т. е. условие самовозбуждения для рас-
сматриваемой системы не выполняется. Учитывая, что
х, S и ро — величины положительные, a 5'^.0, легко
приходим к заключению, что в этом случае условия (20)
всегда удовлетворяются,
§ 5.3. 139
Таким образом, приходим к почти очевидному вы-
воду, что если величина обратной связи недостаточна
для того, чтобы система могла самовозбуждаться (без
внешней силы), то режим одночастотных колебаний,
вызванных внешним воздействием, будет устойчивым.
2. xS(0) > 1, т. е. при отсутствии внешней силы си-
стема способна к самовозбуждению. Здесь условия (20)
выполняются уже не всегда, и, следовательно, режим
одночастотных колебаний не всегда возможен.
Обратимся сначала к неравенству (20а) и будем
рассматривать его левую часть как функцию от ро. Оче-
видно, что при ро=0 эта функция отрицательна, но при
увеличении ро отрицательный член —xS(po) убывает,
а член —yPoS'(po) всегда остается положительным (так
как S'<0). Отсюда -следует, что при малых ро условие
(20а) не удовлетворяется и что уравнение
l-xS(Pl)-^-poS'(P1)=:O (21)
имеет по крайней мере одно решение. Если ограничить-
ся случаем, когда (21) имеет только одно решение (так,
например, в случае кубической характеристики), то
можно утверждать, что условие (20а) выполняется при
всех po>pi-
Этот результат хорошо иллюстрируется на графике,
полученном в третьей главе при исследовании регенера-
тивной схемы и воспроизведенном на рис. 5.5. Все ре-
Рис. 5.5.
140
шения, для которых ро лежит
выше прямой ро=рь удов-
летворяют условию (20а),
а те, что лежат ниже этой
прямой, указанному усло-
вию не удовлетворяют.
$ 5.3.
Обратимся теперь к условию (206), которое, как
можно видеть, удовлетворяется во всех точках плоско-
сти бсо, ро, за исключением некоторой области, ограни-
ченной замкнутой кривой (овалом). Действительно, при
любых б© условие (206) удовлетворяется, если ро до-
статочно мало. В этом случае множитель 1—xS(p0)
отрицателен и одновременно отрицательно также и
1—x(S + poS')> а, следовательно, вся левая часть нера-
венства (206) положительна. Аналогичное положение
имеет место и при достаточно больших ро, ибо в этом
случае оба упомянутых множителя делаются положи-
тельными, и, следовательно, условие (206) также удов-
летворяется. Теперь отметим, что величина
«2(1 — xS (ро)] {1—х [S (р0) + poS' (ро) ]},
рассматриваемая как функция от ро, будет ограниченной
при любых О^,ро<°°, и, следовательно, найдется такое
(бац)2, что неравенство (206) будет удовлетворяться
При ЛЮбЫХ ро И (бю)2> (6(01) 2.
Из этих соображений и вытекает высказанное выше
утверждение, что совокупность точек, в которых нера-
венство (206) не удовлетворяется, образует ограничен-
ную область F, лежащую, очевидно, выше оси абсцисс,
симметрично относительно оси р0. Границу этой области
можно найти из уравнения
а2(1—xS) [1—x(S + p0S')]+ (6(о)2=О, (22)
рассматривая 6® как функцию от ро.
Этот результат иллюстрируется рис. 5.5, где кривая,
уравнение которой представляется формулой (22), на-
несена в виде овала, ограничивающего область F.
Таким образом, найденные раньше стационарные ре-
шения (значения р« при данном 6(о) будут устойчивы и
могут реализоваться, если они не попадают в заштрихо-
ванную на рисунке область (лежат не ниже прямой
po=pi и вне области F). В противном случае соответст-
вующее стационарное решение не будет устойчивым и
физически реализоваться не может.
6
УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ В ДВУХКОНТУРНОМ
ГЕНЕРАТОРЕ. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
6.1. Двухконтурный ламповый генератор. Исследование
устойчивости стационарных решений
Вернемся к двухконтурному ламповому генератору,
рассмотренному уже во второй главе, и исследуем те-
Рис. 6.1,
перь более подробно возможные режимы автоколеба-
ний и их устойчивость.
Обращаясь к рассматриваемой схеме (рис. 6.1) и
используя обозначения, приведенные на рисунке, соста-
вим дифференциальное уравнение задачи.
Рассматривая ta как генератор тока и применяя
преобразование Лапласа, можно написать
«g = -iaZ(p)/<(p), (1)
где
1
(pLi + ri + 2вц) дГ’
Z(p) =-----------
P^l + П + Ч"^вн
142 §6.1.
К(р)=
_____рМ
pLi + ri + ZBH
7 =
p*M
1 •
pL2 + r2 + pC^
После очевидных подстановок и алгебраических пре-
образований, которые мы здесь опускаем, получим
-К(р)2(р)=^Щ
где
Г/(р) = _^.р(р= + 1 2а2р + ш2);
V(p) = (pa + 2alP+<»^)(pa + 2a2p + <»^) -
_ДУ = (1-№)р4 + 2(а1 + аг)р’ +
+ (ш| + 4- 4а1аг) Р2 + 2 (ato>2 4- а2аф р mW.
Причем здесь введены обычные обозначения:
2 1 2 1 г г v ЛГ0
1 2 ь2С2 2^! 2L2
Уравнение (1) сложно теперь написать так:
(2)
Учитывая, что степень полинома V(p) равна четырем
и что число независимых начальных условий, которые
можно задать в рассматриваемой схеме, также равно
четырем, можно всюду р заменить оператором диффе-
ренцирования и считать, что полученное дифференциаль-
ное уравнение описывает поведение рассматриваемой
системы при произвольных начальных условиях *.
Прежде чем переходить к составлению укороченных
уравнений, сделаем некоторые предварительные заме-
чания.
Анодный ток i"a является функцией от двух перемен-
ных — сеточного и анодного напряжений. Однако здесь
мы откажемся от учета влияния анодного напряжения,
так как в этом случае придется иметь дело с двухчастот-
ным режимом, когда вычисление средней крутизны
с учетом анодного напряжения представляется затруд-
1 См. по этому поводу Конторович М. И. (1, стр. 57—63].
§6.1. 143
нительным Ч Поэтому ограничимся «классической» по-
становкой задачи, когда анодный ток считается функ-
цией лишь напряжения на сетке. Как указывалось
раньше, подобное предположение не находится в соот-
ветствии с характеристиками современных электронных
ламп, но некоторые общие качественные выводы, отно-
сящиеся к работе рассматриваемой системы, остаются,
видимо, в силе.
Воспользовавшись теперь (2) и перенеся малые
члены направо, можем дифференциальное уравнение за-
дачи написать так:
(1 — №) -ту/ (со2 4“ (О2) -Tff+а>2®2S =
v ' a/4 lvi* 2' dt2 • 1 2 g
М / d । о d I „A di* o z , 4
— \dt2~^^2 dt * dt 2(ai dt*
— 4a,a -7-f —2 (a co2 -]- a2co2) •
1 2 dt2 \ i 2 1 2 v dt
Члены 4atazd2Ug/dt2 и lazdijdt представляют собой ве-
личины второго порядка малости. Отбрасывая их и
вводя оператор дифференцирования D, уравнение зада-
чи представим так:
К* _ D* + (ю2 + <ф дз + oV] Wg =
= ~ +“ФDi* -2 <a« + D\ ~
- 2(a^ + a2®J)Z)«g> (3)
причем ia считается заданной функцией от wg.
Теперь перейдем к составлению укороченных уравне-
ний и для этого воспользуемся приемом, изложенным
в §4.1.
Возвратимся вновь к преобразованным функциям; на
основании (3) получим
_ _ М Р (Рг + «Ф Т
%— C.L. Цр)
о («1 + “г) Р* + (ai“2 + аг“|) Р -
~2 L(p) Ug’
где L (р) = (1 - №) р4 + (а>2 4- «ф р2 + a>W.
1 Можно и в этом случае учесть анодное напряжение, если счи-
тать, что ток анода зависит от управляющего напряжения. Однако
такое предположение в нашем случае недостаточно оправдано, и мы
его делать не будем.
144 §6.1.
TiwSW»' «э. vfliw
Уравнение L(p) — O имеет Четыре Чисто Мнимых корня,
которые можно написать в форме pt = jQt; p2 = jd2; ps =
= —j£l,; pl= — jd2, причем О? = 11,0?; d^=i]2(o^, а зна-
чения T)i и "Иг приведены во второй главе.
Обозначая, как и раньше, вычеты функции l/L(p)
в точке р=рк через (a-i)*, можем написать
Р(Р2+<^)_Л рь(р2к + <>?2)
L(P) ~2j (a-t)k;
(«1 + «2) Р* + (“1®2 + «2<of) р
Пр) “
Рк [(“1 + “г) Pk 4" “>Ш2 + a2w?] . .
=1------------
k=l
и, следовательно,
- _ -Мт Г|Л (Рй + ®2)(я-1)Л
Ue— LtCt la2j Р~Рк
k-\
о- ТЧ Рн [(а1 + аг) Pk + aiw2 + a2wf] . ч
-2и* Ъ--------------
fc=l
4
Полагая в соответствии с общей методикой = ук
и подчиняя ук уравнениям
Ук = ~ (Pfc + + 2я [(<Xj + a2) р2 -р
получаем следующие дифференциальные уравнения для ук:
jdhyk = — /Oft {a>2yW (у? — ) la +
+ 2 [— (a! + “2) + ал + a2®J] “g} (a- 1)л> (4)
где k = l, 2, 3, 4 и Os= — О,, £14= — O2.
§6.1. 10—12 145
Положив теперь y3 = -^-Ake'Shi , получаем
~ № 1^/И (<о* 2 - Q2 ) (a. ,)ft 1Л + 2 + аг®2 -
-(a, + «2)Q2 (a.,)ft]S А^‘ \e~lakt.
V —1 J
Учитывая, что za можно написать в форме
1 1Л Л с
L& — 2 Ак$к&
k=\
(здесь 51=5з—средняя крутизна для колебания с ча-
стотой iQi и S2—Si — то же для частоты Q2), и отбрасы-
вая члены «со средним» значением, равным нулю, в том
смысле, как этот термин был определен в четвертой гла-
ве, получаем укороченные уравнения
{т2М (®2 - Q2) Sft +
4" 2 1а1Ш2 4" агЮ1 — (а1 4- аг) 1} (а- i)fe-
Величина (a_t)k находится так:
1/1 \ — Um Ph
V -1М “““(1 -№) (Р~Pi) (Р-Pi) (Р- Pi) (Р-РА ’
в частности,
, , _ 1 __________1____________
^-ih— 1_К2 (A-p2)(A-ft)(A-A)~*
_ 1 1 _
1—№ j(Q't—Qt) (2i + 22)221
_ i____________1
1—№ 22Д21 — ’
/ \ _ / 1
i_K2 22, -2?) '
Теперь первые два уравнения приобретут вид
{®2Ж (®2 - О2) S, -
2 (1 —№) (2| — 2|) 11 2 *
- 2 [(a,
146
§ 6.1.
--------------------i- {®2М (<02 - Q2) s2 -
dt 2(1 — №)(2| —2>) * 2 2 2
- 2 [(а, + а2) Qj - а,«>2 - а2«\]}-
Если ввести обозначения:
(а, + а2) 2] — ai<o| — а2<02
*= (1-№) (2? -2f) ’
g __(»1 + «г)2г— “1®2 — а»®1.
2 (1-№) (2| —2,) ’
<Q[Af (<о| — 22)
2 [(а1 + “г) 22— а1®2— а2ш( ]
z __ <о2 —22)
2 [(®1 ^2— ®1^2 ^2®1 ]
то укороченные уравнения запишутся так:
dAJdt=- ЛД(1 -7Д); |
rfA/^=-A82(i-z2s2). J
Нужно отметить, что 61, 62, Zi и /г — вещественные и
при ЛКО положительные величины. К этому заключе-
нию легко прийти, если вспомнить, что быстрая частота
связи (например, Qi) больше «1 и а медленная ча-
стота связи Q2 меньше любой из частот <oi и сиг-
Средние крутизны Si и S2 будем также считать ве-
щественными и положительными, что непременно имеет
место, если частоты Qi и Пг не находятся в рациональ-
ном отношении.
Перейдем теперь к рассмотрению стационарных со-
стояний. Положив в уравнении (5) d]dt=Q, получим
л,(1 - ад=о; ।
A(i-z2s2)=o. J
(6)
Эти уравнения помимо тривиального решения Л1=Лг = 0
могут иметь еще следующие:
а) Л2 = 0; 1—5,^ = 0; -j
б) Л, = 0; 1—Z2S2₽=0; } (7)
в) 1-$,Д = 0; l-SaZ2 = 0. J
§6.1. 10* 147
Первые два решения соответствуют одночастотным ре-
жимам, рассмотренным во второй главе; последний, тре-
тий случай — двухчастотному режиму.
Дальше мы покажем, что при известных условиях
решение, соответствующее двухчастотному режиму, не-
устойчиво и, следовательно, реализоваться физически не
может. Кроме того, мы остановимся еще на устойчи-
вости одночастотных режимов.
6.1.1. Двухчастотный режим и его неустойчивость
При сделанных предположениях средние крутизны Si
И S2 будут функциями от амплитуд колебаний, т. е.
модулей Ai и Л2. Таким образом, уравнения (7в) § 6.1
определяют Si и S2 и, следовательно, дают возможность
найти неизвестные |Л1| и |Л2|.
Может случиться, что эта система не имее! вещест-
венных решений, и тогда, очевидно, вопрос об устойчи-
вости этих решений (двучастотных режимов) не возни-
кает. В тех же случаях, когда эти уравнения имеют ре-
шение, необходимо исследовать его устойчивость.
Обратимся к уравнениям (5) § 6.1 и положим в них
Л1 = р1е/01, Л2 = р2е/0Я, где рр р2, 0, и 02 — вещественные
величины. Тогда после стандартных операций, подобных
тем, которые выполнялись уже в предыдущей главе,
получаем
РЛЦ-ВД). ^-=0; I
(1)
-^-=-₽Л|1 - гд|, ^-=0.
Далее положим p^pj-f-^; р2 = р° + В2, где р, и р° —
соответствующие стационарные значения pi и рг, опреде-
ляемые уравнениями (7в) § 6.1, а & и &— малые (по
крайней мере в начальный момент) возмущения (веще-
ственные функции времени). Тогда можем написать
s,(p,. pJ=s,(p?+«.; Pi) + ^7S.+
и аналогично
s,(p„ P>S,(P;. P1")+^-S, + ^M. + O(Sj + l|).
148 6.1.1.
—nmiwiiirj TiTiretrrrr.- - = t - и
Ограничиваясь величинами первого порядка малости
и учитывая равенства
S,(p?, p°)z. = 1; s2(P?, P°)Z2=i,
получаем
dg, __s „о 1 ( dS, f, । dSt t
dt -°>pi S, dp, “Г dp2 **) ’
n0 1 fdS2 t . dS2 \ W
dt 2?2 s2 dp, 1 ' dp2 J‘
Частное решение этих уравнений ищем в виде
6,=^,?'; Ва = М3?/,
где Mi, М2 и % — постоянные числа.
Подставляя в (2) и сокращая общий множитель >
находим
Л ».Р?
\z —"sT
м
Si
dSt
д?г
»Р1 /
Л 8г?2
м2
о2 dpi
м^,
и отсюда (перемножая, сокращая общий множитель
AfpW2 и раскрывая скобки) получаем
^2 о (&lp? dSi । $2Р2 dS2 X ,
\ s, dp2 -г S, С>р2
. Р2 SdSj dS2 dSi dS2\ 0
SjSjj dp! dp2 d?2 J
Следовательно,
1 Л.Р1 dS, 1 M ^S2\
2 \ S, dP1 "г S2 dp2 y“
1 (Д1Р1 dS, . dS2 Y
4 у Si dpi S2 dp2 J
M2P1 P2 /dS, dS2 dS, dS2
S,St dp, dp, dp, dp,
6.LI.
149
Из этого выражения видно, что условиями устойчи-
вости [Re (%) <0] будут
S, др. + s2 д?2 <~0’
о о f dS^ dS2 dS1 dS2 \ . л /q^\
?2 \ dpi dp2 dp2 '
Рассмотрим сейчас случай мягкой характеристики
лампы, когда ее можно аппроксимировать полиномом
третьей степени, как это было сделано в третьей главе
при обобщении понятия средней крутизны на случай
двухчастотного режима. Сохраняя принятые там обо-
значения для коэффициентов, можем написать
} (4)
S2=at—-|-W(P2 + 2pi). J
Теперь получаем:
d*S. 3 I । л о dS2 3 I I л о
-^7= W 2p,; ^7= - T N 2p2;
dSj 3 । । A о dS2 3 । । j о
-^-=—4-W4p2; ^7=—tW4p>-
Обращаясь к неравенству (36), можем его левую часть
написать так:
|«3| [4 (р? р°)2—9 (р? р°2 г]=- к| (р? р2° г < о.
Отсюда следует, что при мягкой характеристике лампы
(поддающейся аппроксимации посредством полинома
третьей степени) условие (36) не удовлетворяется, и,
следовательно, в этом случае двухчастотный режим ра-
боты генератора не может быть физически реализован.
6.1.2. Устойчивость одночастотного режима.
Ширина полосы затягивания
Рассмотрим теперь случай, когда р^ = 0 и р®^=0. Как
и раньше,^полагаем р, = р°и р2 = р2 -|-g2 = g2. Обра-
щаясь к уравнениям установления (1) § 6.1, можем на-
ISO 6.1.2.
писать ’
dt ~~
^=-SAll_Z2S2(p’ + l1; у].
Ограничиваясь величинами первого порядка малости
(относительно и £2) и учитывая (7а) § 6.1, можно эти
уравнения написать так:
___Я 7 f t I
dt "°1Pi 1 i dp2
->=-8Л[1-ад(р?;
(1)
Второе уравнение интегрируется непосредственно. Полу-
чаем В8 = тИем, где М — произвольная постоянная, а Я=
= - 32[1 - Z2S2(pJ ; 0)].
Теперь первое уравнение системы (1) напишется так:
d^\ л о 7 dSj ь ___________& -0 7
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
3 „о d$i
X — в,^, д?‘
где У — произвольная постоянная и
Y = 8^2.
Из полученных выражений видно, что для устойчи-
вости необходимо, чтобы X и у были отрицательными
числами (случай Л=0 или у=0 из рассмотрения исклю-
чается). Тогда условия устойчивости можем написать
так (считая 61 и pi положительными):
д$.Ж<0;
l-Z2S2(p°; 0)>0.
В случае мягкой характеристики, допускающей ап-
проксимацию полиномом третьей степени, первое усло-
вие выполняется при любых pi и рг. Поэтому мы рас-
6.1.2. 151
(2)
смотрим боЛее подробно второе' условие и попытаемся
сделать из него некоторые выводы, представляющие для
нас интерес.
Предположим, прежде всего, что характеристика
лампы может быть аппроксимирована полиномом тре-
тьей степени. Тогда в соответствии с уравнениями (4)
п. 6.1.1 при любых pii>0
S2(pi; 0)<Si(pi; 0). (3)
При наличии колебания pi имеет место соотношение
; 0)= 1/^, (За)
а условие устойчивости этого колебания имеет вид
S2(p° ; 0) < 1/Z2. (4)
Из (3) и (За) следует S2(p° > 0)<l/Zi, а отсюда вы-
текает, что при всех £, где 1/Z2>l/Zi, условие (4) выпол-
няется.
Если учесть, что величины 1/Zt и 1/Z2 почти тожде-
ственны (с точностью до постоянного множителя) функ-
циям Ft и Ег, изображенным на рис. 2.15, то можно ска-
занное иллюстрировать посредством рис. 6.2. Очевидно,
что условие устойчивости для первого колебания выпол-
нится для всех |<io, ибо здесь 1/Z2> 1/Zi. В частности,
режимы, при которых условие самовозбуждения выпол-
няется только для первого колебания и не выполняется
для второго, соответствуют
именно этой области значе-
ний £ и, следовательно,
устойчивы.
Обратимся теперь к слу-
чаю, когда условие самовоз-
буждения выполняется одно-
временно для обоих колеба-
ний, т. е. режим генератора
таков, что может иметь ме-
сто явление затягивания.
Как только что было пока-
зано, условие устойчивости
(4) выполняется для всех но, очевидно, в силу
того, что (3) представляет собой строгое неравенство
(без знака равенства) (4) будет выполняться также и
для некоторого интервала значений g, лежащего пра-
152
6.1.2.
вее go. Однако этот интервал не простирается до значе-
ния | = |2- Действительно, эта точка является граничной
для условия возбуждения первого колебания (здесь
р=0), т. е. Si (О, 0) = 1/Zi. Однако это нельзя совместить
с неравенством (4), ибо Si(0, 0)=5г(0, 0) и, следова-
тельно' согласно (4) должно быть
что невозможно, так как при g=ig2, как видно из рис. 6.2,
имеет место не (5), а противоположное неравенство.
Таким образом, граница устойчивости }для пер-
вого колебания лежит где-то в интервале
Аналогичные рассуждения можно привести и относи-
тельно второго колебания (частоты Q2). Здесь, очевидно,
граница устойчивости б,1' будет лежать в пределах
*1 \ *1 \ ‘•О’
Из приведенных рассуждений, в частности, вытекает
высказанное ранее во второй главе утверждение, что
ширина полосы затягивания определяется не условиями
самовозбуждения, а условиями устойчивости, в том
смысле, что скачкообразное изменение режима генера-
тора происходит не там, где нарушаются условия само-
возбуждения на данной частоте, а там, где происходит
нарушение условия устойчивости этого колебания. Из
рисунка непосредственно видно, что действительный ин-
тервал значений £, соответствующих полосе затягивания,
лежит внутри интервала значений, границы которого
определяются нарушением условий самовозбуждения
для первой или второй частот связи (генерации).
6.2. Устойчивость движения. Основные понятия
и определения
В предыдущем изложении мы рассмотрели устойчи-
вость установившихся режимов в некоторых конкретных
случаях. При этом -само понятие устойчивости колеба-
тельного режима или, как часто говорят, движения
нигде точно не определялось и считались достаточными
некоторые общие пояснения, приводившиеся по ходу
изложения. Аналогичное положение имелось также и
в отношении методов исследования устойчивости, кото-
§ 153
рые применялись, хотя и с некоторыми пояснениями, но
без достаточных обоснований и оговорок.
В настоящем параграфе мы постараемся отчасти
восполнить этот пробел, приведя более точные форму-
лировки и пояснения, связанные с общими понятиями
и методами теории устойчивости движения.
До появления в 1892 г. знаменитой монографии
А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости дви-
жения» методы исследования устойчивости движения
не имели надлежащего обоснования, и только с момен-
та появления этой монографии задача об устойчивости
движения получила строгую постановку и строгие ме-
тоды решения. В настоящее время теория устойчивости
движения получила дальнейшее развитие и преврати-
лась в самостоятельную дисциплину, которой посвящено
большое количество фундаментальных трудов. Однако
и сейчас остаются в силе основные определения и ме-
тоды, которые были введены А. М. Ляпуновым.
В предыдущем изложении мы пользовались методом,
который часто называют методом линеаризации. Этот
метод был строго доказан А. М. Ляпуновым для широ-
кого класса задач, и были указаны границы его при-
менимости. Однако кроме этого метода существуют
и другие методы исследования устойчивости. В частно-
сти, является весьма эффективным второй, или прямой,
метод Ляпунова, которого мы до сих пор не касались.
Ниже мы остановимся вкратце и на этом методе.
6.2.1. Определение устойчивости движения
Пусть движение некоторой системы (в нашем случае
электрической) описывается совокупностью дифферен-
циальных уравнений первого порядка, которые имеют
вид
?s=fs(<7i, <72, <7п; 10 ($=1, 2, ..., n), (1)
где qs = dqsldt или в векторной форме
*)• (2)
Допустим теперь, что нас интересует решение этой
системы, соответствующее начальным условиям qs=q$>
при t—О. Если такое решение существует, то его обычно
называют невозмущенным движением. Однако для того,
чтобы это решение уравнений, т. е. невозмущенное дви-
жение, могло физически реализоваться, необходимо,
чтобы оно было устойчиво. Дело в том, что всякая фи-
154 6-2.1,
зическая система подвергается внешним воздействиям,
которые не учитываются при составлении дифферен-
циальных уравнений и выборе начальных условий.
В частности, вследствие тепловых шумов, изменений
температуры, воздействия внешних полей и т. д. токж
и заряды в рассматриваемой системе могут подвергать-
ся изменениям, которые в уравнениях задачи не были
учтены. Если эти воздействия велики, то, вообще
говоря, нет оснований ожидать, что система уравнений,
составленная без их учета, будет правильно описывать
изучаемые процессы. В тех же случаях, когда неучтен-
ные при составлении уравнений воздействия малы,
можно предполагать, что найденное решение уравнений
будет описывать поведение реальной системы без боль-
шой погрешности.
Однако подобное предположение оправдывается не
всегда. Возможны случаи, когда малое начальное от-
клонение с течением времени нарастает (даже если
причина, его вызвавшая, перестала действовать), и воз-
мущенное движение будет со временем значительно
отличаться от невозмущенного, даже если начальное
отклонение сколь угодно мало (но, конечно, не нуль).
Учитывая это обстоятельство, а также то, что малые
внешние воздействия на систему всегда присутствуют,
необходимо прежде всего исследовать, какой из упомя-
нутых выше случаев будет иметь место. Очевидно, что
в действительности могут быть реализованы лишь те
процессы, которые будут устойчивы по отношению к ма-
лым воздействиям.
Обращаясь теперь к уравнениям (1), дадим опреде-
ление устойчивости движения, описываемого этими
уравнениями, или, как часто говорят, устойчивости ре-
шения.
Пусть qs = qs(t) —некоторое частное решение уравне-
ний (1), соответствующее заданным начальным усло-
виям, которое мы назовем невозмущенным движением.
Тогда можем дать следующее определение.
Невозмущенное движение называется устойчивым по
отношению к величине q8, если для всякого положитель-
ного числа е, как бы мало оно ни было, найдется другое
положительное число ^(е), .такое, что для всех возму-
щенных движений qs=qs(t)t для которых в начальный
момент t = to выполняются неравенства
фДМ I <П,
6.2.1.
155
будут при всех />/о выполняться неравенства
к«(0-Ф«(01<е*.
Невозмущенное движение называется устойчивым
асимптотически, если все возмущенные движения, для
которых начальные возмущения достаточно малы, при
неограниченно возрастающем t асимптотически стремят-
ся к невозмущенному.
Невозмущенное движение называется неустойчивым,
если оно не является устойчивым.
Определенную таким образом устойчивость часто
называют устойчивостью в смысле Ляпунова.
Введем теперь в уравнение (1) новые переменные
Xs=^s(0—ч>«(0,
представляющие собой разность между возмущенным и
невозмущенным решением (1) и именуемые возмуще-
ниями.
Очевидно, что возмущения удовлетворяют уравнениям
+ х2 + тг,..„ хп + ?п; О-
fsC?!» ?2’ •••» 0==^s(’*'l> Х2> ...» Хп] t)
или в векторной форме
О — f(ф. t) = X(x, t). (3)
Из определения вектора Х(х, t) следует, что Х(0, t) =0.
Уравнение (3) удовлетворяется подстановкой х=0 при
любых 't и, следовательно, точка х=0 соответствует
состоянию равновесия для системы, описываемой век-
торным уравнением (3).
Таким образом, задача об исследовании устойчивости
движения (по отношению к величинам qs) свелась
к задаче об устойчивости состояния равновесия (по от-
ношению к возмущениям xs).
Определение устойчивости состояния равновесия бы-
ло дано в первой главе.
Помимо приведенного выше определения устойчиво-
сти движения возможны и другие определения, отра-
жающие иные требования к устойчивости системы. Так,
например, иногда говорят о структурной устойчивости,
1 Определение заимствовано из книги Малкина И. Г. [2].
156 6.2.1.
когда рассматриваются нс малые изменения в началь-
ных условиях, как это предполагалось выше, а малые
и длительно существующие изменения в параметрах
системы (малые изменения сопротивления, индуктив-
ностей и других параметров электрической схемы).
Системы, обладающие структурной устойчивостью,
часто называют грубыми.
В более общей постановке вопроса, когда рассмат-
риваются длительно действующие возмущающие фак-
торы (изменение параметров, внешних сил), говорят об
устойчивости при длительно действующих возмущениях
(возмущающих факторах).
В некоторых задачах представляет интерес так на-
зываемая орбитальная устойчивость движения. Здесь
обычно идет речь об устойчивости «орбиты» движуще-
гося тела, т. е. его траектории (при периодических дви-
жениях или близких к ним), в то время как устойчивость
по отношению к другим параметрам движения не рас-
сматривается.
Полезно обратить внимание на то, что мы до сих пор
всюду имели в виду устойчивость «в малом», когда
начальные возмущения считаются малыми. Однако на
практике представляют интерес и другие задачи, когда
начальные возмущения не малы. Эти задачи требуют
особого изучения, ибо «устойчивость в малом», конечно,
не гарантирует устойчивости «в большом».
6.3. Методы исследования устойчивости
Методы исследования устойчивости движения (ре-
шения дифференциальных уравнений) принято делить
на две группы. К первой относят обычно все методы,
требующие нахождения решения дифференциальных
уравнений (хотя бы приближенного и пригодного для
малой области изменения переменных), и, в частности,
сюда же относится метод линеаризации (уравнений
первого приближения), которым мы неоднократно уже
пользовались.
Вторая группа методов отличается тем, что здесь не
нужно находить решение изучаемых уравнений и урав-
нения движения используются лишь для построения
специальных функций координат и времени. Построен-
ные таким образом функции позволяют судить об устой-
чивости или неустойчивости рассматриваемых решений.
§ 6.3. 157
Вся эта группа методов носит название второго ИЛИ
прямого метода Ляпунова и широко используется на
практике.
Ниже мы рассмотрим более подробно, чем это дела-
лось в предыдущей главе, метод уравнений первого при-
ближения и остановимся вкратце на прямом методе
Ляпунова.
6.3.1. Метод линеаризации (уравнений первого
приближения)
Частный случай этого метода был ужё рассмотрен
нами в главе 1, когда изучалась устойчивость состояния
равновесия автономной системы. Сейчас мы остановим-
ся на более общем случае, когда изучается устойчивость
движения.
Обращаясь теперь к уравнениям (3) п. 6.2.1 для воз-
мущений и учитывая, что они имеют решение х=0,
устойчивость которого нам надлежит исследовать, на-
пишем
Х(х, t) =Х(0, t) 4-AV) (О, >t)x+y(xt /),
гдеХ(0, t)—вектор с компонентами Х1(0Д), X2(0, /), ...,
..., Xn(0, t) и у(х, I)—вектор функции, которая, как
это предполагается, стремится к нулю вместе с х, так
что ее норма |у(/)| удовлетворяет условию \у(х, 0|<
<Л1|х|2. Здесь М — постоянное положительное число,
не зависящее ни от х, ни от tf а Х^(х, t) представляет
собой квадратную матрицу с элементами
Х{". = дХ</дхк.
Предполагая, что величины х3 малы, и ограничиваясь
лишь величинами первого порядка малости, пренебре-
гают у(х, I) и получают векторное уравнение
dx/dt=XW(0, t)x (1)
или в развернутой форме
jxs/dz=x;yxI+x;;)x2+..+x>„. . (2)
Таким образом, мы пришли к системе линейных диф-
ференциальных уравнений относительно возмущений xs
подобно тому, как это имело место в главе 1 при иссле-
довании устойчивости состояния равновесия для авто-
номных систем. Однако, в отличие от автономной си-
стемы, здесь коэффициенты XSK(1)(0, t) будут не постоян-
58 6.3.1.
ними, а функциями времени. В частном случае, когда
изучается устойчивость периодического движения, эти
коэффициенты оказываются периодическими функциями
времени.
Исследование устойчивости движения, таким обра-
зом, сводят к исследованию устойчивости решения х=0
системы линейных уравнений (1) или, как иногда гово-
рят, устойчивости начала координат.
Как уже отмечалось раньше, замена нелинейных
уравнений (3) п. 6.2.1 линейными уравнениями (1) по-
зволяет получить правильный результат не всегда.
Однако во многих случаях такая замена возможна. Так,
например, если уравнения первого приближения для
возмущений xs не содержат явно независимой перемен-
ной t, асимптотическая устойчивость, установленная по-
средством этих уравнений, обеспечивает также асимпто-
тическую устойчивость соответствующих решений точ-
ных (нелинейных) уравнений.
В более общем случае, когда в уравнении первого
приближения it входит явно, вопрос о том, в какой мере
эти уравнения позволяют судить об устойчивости реше-
ния соответствующих нелинейных уравнений, решается
уже не так просто. Во многих случаях (даже если
в первом приближении система асимптотически устой-
чива) такого соответствия, вообще говоря, нет, но оно
может иметь место при соблюдении дополнительных
условий. Эти условия мы здесь формулировать не будем
и порекомендуем читателю обратиться к специальным
руководствам *.
В дополнение к сказанному отметим, что рассмот-
ренные в настоящей и предыдущей главе системы изу-
чались методом уравнений первого приближения и мо-
гут служить примером применения этой методики к за-
дачам, связанным с устойчивостью колебательных
режимов в электрических системах.
Однако, если говорить более точно, мы рассматри-
вали не уравнения исходной задачи, а, составив укоро-
ченные уравнения, изучали лишь устойчивость решений
последних. Подобная методика, конечно, требует обос-
нования 2.
1 См., например, Малкин И. Г. (2].
2 Это обоснование в конечном счете сводится к проблеме обосно-
вания метода ММА для бесконечных интервалов времени.
6,3,1, 159
6.3.2. Прямой метод Ляпунова
Теперь остановимся вкратце на другом методе иссле-
дования устойчивости движения, предложенном А. М. Ля-
пуновым и носящем название второго или прямого ме-
тода Ляпунова. Этим методом мы до сих пор нигде не
пользовались и в настоящем параграфе изложим его
лишь вкратце без доказательств. Отсюда не следует
делать заключения, что второй метод уступает по зна-
чению методу линеаризации: в действительности прямой
метод занимает в теории устойчивости очень большое
место и с течением времени начинает применяться все
чаще.
Прежде чем перейти к изложению прямого метода
Ляпунова, дадим несколько определений.
Пусть имеется вещественная функция V=V(Xi,X2, .
..., хп) вещественных переменных xi, х2, . * •, хп, непре-'
рывная вместе со своими частными производными в не-
которой области Q, содержащей начало координат и
определяемой равенствами |xs| <h, где h — положитель-
ное число.
1. Функция V называется знакоопределенной (опре-
деленно-положительной или определенно-отрицатель-
ной), если она при достаточно малом А может принимать
в Q значения только одного определенного знака и обра-
щается в нуль лишь при Х1 = Х2 = . . . = хп = 0.
2. Функция V называется знакопостоянной (положи-
тельной или отрицательной), если она в Q может при-
нимать значения только одного
знака, но может обращаться
>---------в нуль не только в начале коор-
динат.
у**''--------ч 3. Функция V называется зна-
\ <? / копеременной, если она не яв-
X. I/ ляется ни знакоопределенной, ни
Jx"’—знакопостоянной, и, следователь-
__________*г но, как бы мало ни было А, мо-
/ Ь может принимать в области Q
как положительные, так и отри-
Рис 63< цательные значения.
В случае двух независимых
переменных xi и х2 сказан-
ное легко иллюстрировать геометрически. Изобра-
женная на рис. 6.3 поверхность представляет определен-
но-положительную функцию. Эта поверхность имеет вид
IQQ 6,3.2.
«чаши», лежащей выше плоскости V=0 и касающейся
этой плоскости в начале координат. Определенно-отри-
цательная функция может быть представлена аналогич-
но, с той лишь разницей, что «чаша» будет лежать ниже
плоскости V = 0 и начало координат будет уже соответ*
ствовать не минимуму, а максимуму этой поверхности.
В случае знакопостоянной функции (но не знакоопре-
деленной) поверхность V=V(xif х2) будет иметь анало-
гичный вид, с той разницей, что эта поверхность может
соприкасаться с плоскостью V = 0 не только в начале
координат.
Если мы выберем на рассматриваемой поверхности
точку а, то ей будет соответствовать на плоскости У=0
некоторая точка b с координатами xj и л2° , и обратно,
т. е. точке Ь на плоскости соответствует точка а на
поверхности. При изменении координат х\ и х*2 обе точ-
ки будут перемещаться, причем при приближении точки Ь
к началу координат точка а «опускается вниз» и также
приближается к началу координат.
Аналогичное положение имеет место и в случае
большого числа измерений, хотя столь наглядная гео-
метрическая интерпретация здесь отсутствует.
Пусть теперь координаты xs подчиняются приведен-
ным выше уравнениям для возмущений
dxsldt=Xs(x{, х2, %п), (1)
причем X8(xi, х2, .... хп) не зависят явно от t и
Х,(0, 0, ..., 0)=-0.
Составим теперь полную производную V=dVjdt
с учетом уравнений (1). Можем написать
dV • , dV • , , dV •
V~~ dxt дхг хг + — + дхп Хп~
-W-X’ 4- X' 4- 4- dV X'
или в некоторой форме
V = X'gradV,
где X' — вектор-строка с компонентами Xs и grad V —
вектор-столбец с компонентами dVldxs.
6 .3.2 11—12 161
Величина V, очевидно, также является функцией от
координат XSf и если в области Q при V опреде-
ленно-положительной, то V называется функцией Ляпу-
нова.
Теперь приведем без доказательства теоремы Ляпу-
нова об устойчивости.
Теорема 1. Если в некоторой окрестности Q начала
координат существует функция Ляпунова V(x), то на-
чало координат устойчиво.
Теорема 2. (Об асимптотической устойчивости). Ес-
ли, кроме того, —V является определенно-положитель-
ной функцией в Q, то начало координат асимптотически
устойчиво.
Высказанные в этих теоремах утверждения хорошо
иллюстрируются в случае двух измерений рис. 6.3. Дей-
ствительно, если во всей рассматриваемой области Xi
и %2, содержащей начало координат, V^O, то точка а
при своем движении по поверхности никогда не будет
подниматься вверх (величина V не растет) и может
лишь опускаться вниз или оставаться на одном уровне.
Отсюда непосредственно вытекает, что координаты Xi
и х2 никогда не выйдут за пределы некоторой области,
поперечные размеры которой зависят от наибольшей
«высоты» точки а, и могут быть сколь угодно малыми,
если в начальный момент t = 0 и Xi и х2 достаточно малы.
Если V<0, то точка а будет с течением времени «опу-
скаться», приближаясь асимптотически к началу коорди-
нат, и, следовательно, обе величины Xi и х2 также будут
стремиться к нулю.
Помимо приведенных выше двух теорем об устойчи-
вости, Ляпунову принадлежат также теоремы, формули-
рующие условия неустойчивости движения. Формули-
ровка этих теорем приводится ниже.
Теорема 1. Пусть функция V(x) такова, что V(0)=0
и все частные производные первого порядка непрерывны
в окрестности начала координат Q. Если V — определен-
но-положительная функция, а сколь угодно близко от
начала координат имеются точки, в которых функция V
принимает положительные значения, то начало коорди-
нат неустойчиво.
Теорема 2. Если V(x) такая же, как и в первой
теореме о неустойчивости, a V(x)=XV+V*, где Х>0 и
162 6.3.2.
И*(х)—неотрицательная функция в Q, то начало коор-
динат неустойчиво.
Все приведенные выше теоремы непосредственно от-
носятся к случаям, когда уравнения для возмущений не
содержат явно независимой переменной I. Если же та-
кая зависимость имеет место, то делаются необходимы-
ми дополнительные определения и формулировки, кото-
рые мы и приведем ниже.
Пусть теперь дана система уравнений x=X(xt Z),
для которой справедлива теорема существования и един-
ственности решения при всех t^O в некоторой области Q
|xs| <h и, кроме того, Х(0, t)=0 при всех
Обозначая через U/(x) определенно-положительную
функцию в том смысле, как она была определена выше,
мы скажем, что более общая функция V(x, t) является
определенно-положительной, если выполняются следую-
щие условия:
a) V(x, t) определена и непрерывна вместе со всеми
своими частными производными первого порядка в об-
ласти Q при всех t^O.
б) V(0, t) =0 при всех t^O.
в) Существует такая определенно-положительная
функция W(x), что W(x)^2V(x, t) для всех х из й
и /^0.
Полная производная dVIdt в этом случае равна
V(x, 0 = 4r+X'gradV-
Если помимо условий а), б) ив) в области Q и при
всех />:0 удовлетворяется еще условие У^.О, то У на-
зывается функцией Ляпунова в области £2.
При таком определении функции Ляпунова первая
теорема об устойчивости, сформулированная выше,
остается в силе и для случая, когда X зависит явно от t.
Вторая теорема об устойчивости и теоремы о неустой-
чивости остаются в силе, но в несколько измененных
формулировках, которые мы здесь приводить не будем.
В заключение настоящего параграфа отметим, что
более подробно второй метод Ляпунова изложен в книге
И. Г. Малкина (2], а также в книге Ла-Салля иЛефшеца.
Из этих же книг заимствованы (с некоторыми измене-
ниями) приводимые в настоящей главе определения и
формулировки теорем.
6.3.2 11* 163
7
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. МУЛЬТИВИБРАТОР
7.1. Предварительные замечания
В предыдущих главах мы рассматривали системы,
способные генерировать колебания, близкие по форме
к синусоидальным, период которых определялся в основ-
ном лишь энергоемкими параметрами схемы (индуктив-
ностями, емкостями) и почти не зависел от изменения
таких факторов, как, например, величины сопротивле-
ний, входящих в состав колебательной системы; прило-
женных напряжений; параметров электронной лампы
(если, конечно, они меняются в некоторых допустимых
пределах).
Однако в радиотехнике часто встречаются автоколе-
бательные системы, создающие колебания, период кото-
рых определяется не только энергоемкими, но и дисси-
пативными элементами схемы (сопротивлениями), а так-
же другими факторами, не связанными непосредственно
с величиной энергоемких параметров. Подобные системы
часто называют релаксационными системами, а колеба-
ния, ими создаваемые, — релаксационными колебания-
ми. Эти колебания обычно имеют реЗко выраженную
несинусоидальную форму, но могут иметь место также
случаи, когда подобные системы генерируют колебания,
по форме близкие к синусоидальным.
Как уже указывалось в гл. 1, не существует точной
границы между релаксационными колебаниями и не-
релаксационными (как иногда их называют, томсонов-
скими), и разделение колебаний на эти две группы носит
лишь качественный характер. Так, например, одна и та
же схема в зависимости от величины входящих в нее
параметров может создавать либо томсоновские, либо
релаксационные колебания, что и было иллюстрировано
в первой главе на примере лампового генератора
с трансформаторной обратной связью. Однако имеются
схемы, обладающие ясно выраженными свойствами ре-
лаксационных систем. В частности, хорошо известные
генераторы развертки являются характерными предста-
64 §7.1.
вителями релаксационных систем. В качестве второго
примера можно привести мультивибратор, создающий
релаксационные колебания резко выраженной несину-
соидальной формы с очень широким спектром (отсюда
и название — мультивибратор).
Применяемые на практике релаксационные системы
весьма многочисленны. В настоящей главе мы рассмот-
рим лишь мультивибратор.
7.2. Мультивибратор
На рис. 7.1 изображена хорошо известная схема
мультивибратора Абрагама — Блоха. Необходимые обо-
значения приведены на рисунке.
В дальнейшем будем относить индекс 1 к левой лам-
пе и индекс 2 — к правой. Напряжения на сетке и на
аноде лампы, отсчитанные по
обозначаются соответственно
через иё и Напряжения на
левом и на правом конденса-
торах обозначим ис, и uCi-
Анодный и сеточный токи лам-
пы fa и ig считаются зави-
сящими лишь от сеточного на- <
пряжения.
Опустим обычные рассуж-
дения, имеющие целью по-
отношению к катоду,
Рис. 7.1.
казать, что мультивибратор представляет собой систему
с положительной обратной связью и что при достаточно
большой величине этой связи возможно возникновение
автоколебаний, и перейдем непосредственно к составле-
нию уравнений, позволяющих анализировать процессы
в рассматриваемой схеме. Эти уравнения, как легко
видеть, могут быть написаны в форме
fal — fa (^gl) J fa2 —fa(wg2)j fgl — ig (Ugi) ; fg2—fg(^g2),
§ 7.2. 165
где /а и ig представляются однозначными и непрерывны-
ми функциями от ug.
Из написанных соотношений следует, что рассматри-
ваемая система имеет состояние равновесия, которое,
конечно, может быть либо устойчивым, либо неустойчи-
вым. Полагая в уравнениях (1)
ducjdt = ducJdt = О,
получаем Ugi + rigi = 0; iZg2 + rig2 = 0.
Если считать, как это мы и будем делать в дальней-
шем, что ток сетки является монотонной неубывающей
функцией от Ug, то этим уравнениям может соответство-
вать единственное решение Ug\ = Ug2 = uQ. Если, в част-
ности, ig(0) =0, то и°=0.
Изучение устойчивости состояния равновесия этой
системы представляет некоторые трудности, связанные
с тем, что уравнения (1) могут иметь разрывные реше-
ния. Поэтому, в отличие от общей методики, когда
исследование автоколебательной системы начинают
с изучения устойчивости ее состояния равновесия, рас-
смотрим сначала колебательный процесс в мультивиб-
раторе и после этого вернемся к процессам, происходя-
щим вблизи от состояния равновесия.
Предположим, как это обычно делается, что входя-
щие в (1) величины ограничены. Напряжение на кон-
денсаторе является непрерывной функцией времени,
но Ugi и Ug2 могут изменяться скачками (если, конечно,
исходить из рассматриваемой схемы, в которой отсутст-
вуют «паразитные» индуктивности и емкости). Однако
мы начнем исследование, предполагая ugi и ug2 непре-
рывными и дифференцируемыми функциями времени.
Далее, если в некоторых точках непрерывные решения
окажутся невозможными, будем считать, что здесь
имеют место разрывы первого рода. Если в некоторой
области значений t окажутся одновременно возможны-
ми и непрерывные, и разрывные решения, мы должны
будем более подробно исследовать вопрос, рассмотрев
устойчивость этих решений по отношению к малым из-
менениям параметров (структурную устойчивость).
Исключим теперь из соотношений (1) величины ис^
и Введя обозначения SA = diJdug\ Sg = dig/dug, мо-
166 § 7-2-
жем написать
•$а («g j) wgi + г + R +5g («g2) j ttg2
Решая эти уравнения относительно производных ugI и
ug2, получаем
“в1 сд {( г "b’gz)^Sa(«g2)
'X = ~ СЛ"{ (“г (Е') ~
-(¥+ j [4+1+w*l }• .
где
А = R-S. («„)S. («й) - [ 1 + 4+Sg <«в1) я] х
Х[1 + -т-+\ *]•
Как это часто делают, представим характеристики
ламп ломаными линиями (обе лампы считаются одина-
ковыми), что и изображено на рис. 7.2.
Точкам излома характеристик анодного и сеточного
токов соответствуют значения us=—иа («о>О) и ug=0.
Аналитически это можно записать так:
при Mg> — и0,
при Ug< — и0;
при ug>0,
при ие < 0.
§ 7.2.
167
Здесь S° и S° — соответственно крутизна анодного и се-
точного токов в области ug^>Q.
Предположим теперь, что в начальный момент t=tQ
ugi>0 и ug2<—ио (первая лампа открыта, а вторая за-
перта) и, кроме того, соблюдается соотношение
RS> J/ (1 + 7-) ) <3>
Обращаясь к уравнениям (2), видим, что в данном
случае Sa(«g2) =0 и, следовательно, Д<0. Эти уравнения
теперь приобретают вид
c41 = (7-+S2)(i + -7-)“«.-
“"«= - (4+s«) +4- ('+4+4 *)v
(4)
Отсюда видно, что ugi<?0 и iig2>0, т. е. положительное
напряжение^! уменьшается, а отрицательное «^растет.
iaSak i Этот процесс будет продол-
S' а жаться, пока иё2 не достигнет
< ytg значения — (не дойдет до из-
S / лома анодной характеристики).
/ Легко убедиться, что даль-
—♦ нейшее изменение напряжений
-Un и ULq g. r
а не может быть непрерывным и
Рис. 7.2. Ugi и иё2 как функции времени
должны в этот момент испыты-
вать разрыв. Действительно, предположив, что Hgi и иё2
меняются непрерывно, мы можем допустить только три
возможности:
1. Ug2f изменяясь непрерывно, проходит через точку
иё2 = —ио и будет увеличиваться;
2. Ug2, меняясь непрерывно, достигает точки ug2 = — и0
и после этого начнет уменьшаться (меняться в обратном
направлении);
3. Ug2 достигает значения —щ и перестает меняться.
Любое из этих предположений находится в противо-
речии с уравнениями (2).
Если имеет место предположение 1, то Sa(ug2)=S° и,
следовательно, Д>0. Тогда из второго уравнения (2)
168 § 7.2.
вытекает, что ug2<<0, т* е- ug2 уменьшается, что нахо-
дится в противоречии с исходным предположением.
Если имеет силу предположение 2, то А<0 и iig2>0,
т. е. растет, что противоречит сделанному предполо-
жению.
Предположение 3 требует, чтобы izg2 = 0 при иё2 = —ио.
Величина Sa в точке ug2 = —строго говоря, не опреде-
лена (определена лишь «слева» и «справа» от этой точ-
ки), но ясно, что какие бы конечные значения мы Sa ни
приписали, правая часть второго уравнения (2) в нуль
обратиться не может, ибо числитель этого выражения
при иё1 и Ug2, имеющих разные знаки, в нуль не обра-
щается. Таким образом, и предположение 3 находится
в противоречии с вытекающими из него следствиями.
Последнее утверждение можно получить более стро-
го, если обратиться к уравнениям (1). Если ug2=const,
то первые два соотношения дают
uCi + /?Sa«gl = const;
= const’
откуда следует, что
»<, + «X, =0; Uc,+ (1 + йе, =0.
Воспользовавшись теперь остальными соотношениями
(1),получим
-^+c/?S;«gI = 0;
«. Г—+ —+s°/?'u.=o.
е1 I г 1 е I 1 I 1 г 1 s J б1
Исключая отсюда Hgl, находим
Из этого уравнения видно, что wgi также равно постоян-
ной. Однако этот результат противоречит исходным
уравнениям (1), ибо из них следует, что
dur 1
dt ““ Сг “о-
§ 7.2.
169
С другой стороны, при ПОСТОЯННЫХ Ugi И Ug2 из первого
уравнения (1) вытекает, что tict постоянно, т. е. ducddt-=
= 0. Таким образом, предположение, что Ug2=const про-
тиворечит исходным уравнениям (1).
Предыдущие рассуждения приводят к заключению,
что в точке Ug2=—«о непрерывное изменение ug2 невоз-
можно, и мы вынуждены считать, что здесь будет иметь
место скачкообразный процесс.
Однако необходимо иметь в виду, что скачок не мо-
жет происходить произвольно, ибо напряжения на кон-
денсаторах меняются непрерывно и, следовательно,
в процессе скачка изменяться не должны. Тогда, как
видно из уравнений (1), которые всегда имеют место
(в отличие от уравнений (2), теряющих силу там, где
Ugi и ug2 терпят разрыв непрерывности), должны соблю-
даться условия
Л(«gl; ug2)=4"Me2(1 + 4)+fe2“H«‘=const;
^2 (ugi > ug2) #- 1 -| — Ugi -f- <gj -j- 4 a== const.
В рассматриваемом случае скачок начинается при
ug2=—uq и при некотором положительном Ugi, которое
обозначим через u°gi. Поэтому
е, 4- (' + 4) “•+
“J=4 (‘+4) 4+«°л.
Теперь мы можем написать уравнения (5) в форме
«g2 (1 + 4)+* (fe2+»«)=5Л (и’,;- и0);
«gl (i+4)+* (4=- “•)•
Каждое из этих уравнений дает связь между ugi и Ugz;
совместное их решение позволяет выразить значения,
которые эти величины приобретут после скачка, через
«о и ugi°. Рассмотрим сначала первое уравнение (6).
При Ug2<0
«g2 (1+4)=R <“2i) - ** м - “<> 0+4) • <7)
170 § 7.2.
(5)
^4^
и аналогично при ug2>0
“b!(1+4+s^)=-“.(1+4)+
(8)
Соотношения (7) и (8) позволяют построить зависи-
мость «g2 от ugl. Соответствующая кривая проходит, оче-
видно, через точку ug2 =—«о, ugi=«gi°; на участке «g2<0
она определяется соотношением (7), а на участке
ug2>0 — соотношением (8). Эта кривая изображена на
рис. 7.3 и построена с учетом следующих дополнитель-
ных соображений.
На участке ugi^—и0
(Mgl) *'а (Wg J — 5а (ug| Uo) Sa (Ug| -|- Ив) —
Значение ugl=Ugl>, при котором ug2 обратится в нуль,
определяется из соотношений
1+-Г
1 + г
ugt —~ио ЗД Н “gi-
Учитывая неравенства + -у-^ и ugI>0, прихо-
дим к выводу, что и^^> — и0. При ug2>0 и на участке
—u0<«gl < Ug1/ искомая зависимость представляется
прямой, проходящей через точку ugi=ug}; ug2=0, с уг-
ловым коэффициентом
- *
1 + -7- + $8Я
$ 7.2.
171
"-STS
На участке wgi< —uQ и izg2>‘0 величина ug2 постоянна
и равна
Теперь перейдем к построению кривой, определяемой
вторым соотношением (6). Учитывая, как и раньше, что
в «начале» скачка ug2=—u$, wgl==ugl, получаем
4"ugi (1+'7_)"К1+<м =4-(1+4)“<i+sX.-
При ugl >> 0 это уравнение имеет вид
l(i+“„=1(1+Ч. -<9>
Если к тому же ag2< — и0, то ia2 = 0 и, значит,
и , =и°. = const,
gi gi
При Mg2 > — и0 соотношение (9) дает
_ .. tf« । I е° р\ Mg* ag*
“g2— r + so R ’
и, следовательно, мы получаем прямую, проходящую че-
рез точку agl; — u„, с угловым коэффициентом
1+-г+4*
и пересекающую ось ординат в точке
। f i । # i ро гЛ _/70)
Mg2— “oT^T r I Wg2 *
Если теперь ugl<<0, то имеет силу уравнение
1 (i+4) “gl=l(i + -г+sl) “2, - (^+“.)
172 § 7.2.
или
Mg2— S°/? О "I” r Wgl U° S°aR Ugi
t. e. правая часть последнего равенства представляет
собой прямую, проходящую через точку с угловым
коэффициентом
1
(+4)-
Учитывая все сказанное, мы можем легко построить
кривую F2 = const, которая изображена на рис. 7.3. Из
этого рисунка видно, что кривые Л = const и F2 = const
имеют только две общие точ-
ки а и Ь. Таким образом, скач-
кообразный процесс, имеющий
своим началом точку а, дол-
жен закончиться значениями
Ugi и wg2, соответствующими
точке Ь. В частности, из при-
веденного графика вытекает,
вис. 7.3.
что после скачка wgi<—ио и
wg2>0, т. е. первая лампа за-
перта, а вторая открыта.
Следует дополнительно указать, что высказанные
выше утверждения основаны на предположении, что
кривые Ft и F2 на участке —Wo<ugi<Wgi° не пересекают-
ся. Это во всяком случае выполняется, если
S°R 1 + “ + sg R
l+^-4-S®R > SaR
т. e. при условии
s; R >l+A+SO/?. (10)
Проследим дальнейший ход процесса, который будет
иметь место после скачка. Поскольку теперь ugi<—и0,
a Mg2>0 и Д<0, то согласно уравнениям (2) ugi будет
§ 7.2. 173
Рис. 7.4.
расти, wg2 уменьшаться. Когда
ugi достигает значения —ио,
a ug2 — некоторого значения
то произойдет скачкооб-
разное изменение этих вели-
чин, причем здесь можно по-
вторить почти без изменений
п р еды дущие р ассуждения,
приводящие к неизбежности
скачка. Далее вступают в силу
условия = const, ^2=const,
но уже с новыми значениями
констант. Соответствующие
кривые, построенные аналогич-
но предыдущему, изображены
на рис. 7.4 и приводят к заклю-
чению, что после скачка вновь
Wgi>0 и Ug2<—uQ. Дальней-
ший ход процесса уже нетруд-
но себе представить: ugi будет
уменьшаться, а иёг расти, пока
не достигнет значения —ио,
после чего вновь будет иметь
место скачок. В конечном счете
устанавливается периодиче-
ский процесс, характеризуе-
мый кривой, состоящей из от-
резков непрерывных кривых и
скачков первого рода.
Сказанное может быть иллюстрировано рис. 7.5, где
изображены кривые ugt и ug2 как функции времени t.
Перейдем теперь к рассмотрению установившихся периодических
колебаний. Если считать, что изображенные на приведенных рисун-
ках кривые соответствуют периодическому режиму, то должны иметь
силу следующие соотношения:
Wgi (ti—0) =—Uq\
^g2 Gi—0) — Wgi (/2—0)»
Wg2(^2—0) =— Uq
на интервале Sa(^g2)=0, и первое из уравнений (2)
приобретает вид
И81 = Сд(1+"г')( Г +,S8)agl’
174 § 7.2.
I
ГДё
д=-(,+4) 0+4 + 4*)’
и, следовательно,
“g1-- С г
'+S°er
i+-T + 'S°gR
«gi = —««gi!
«в1 = и8* (<. + 0)e-“<<-4
Теперь второе из уравнений (2) дает
-4[(4+4 )*s>g.-4(‘ +4+4*)]>
поэтому
1 /?S°(1+S»r)
“е2 + С (г + R) аег ~ / R „ \ ug”
т С(г + Я)Н +—+S£/H
или, введя обозначения
_ 1 • _ /?S°(1+S«r)
С ('•+/?) Y C(r+tf) (l+-y-+S®fl)
получим
«g2 + P«g! = Y“gi (<i + 0)e“ “ .
Частное решение этого уравнения ищем в виде Ве~1 ~
тогда
(_a + WB = Yttgl (^ + 0),
и, следовательно,
«g2=“g* +°) е~ ’+ De~0 <<_/,) •
где D — произвольная постоянная.
Воспользовавшись первым условием скачка в точке t=ti, можно
написать [см. соотношения (5)]
«g2 (/1 - 0) + -у-) +S° Rugt (/, - 0) + Z., (Z, - 0) R =
= S°Z? [«gl (Zx 4- 0) + «„] + «g2 (/, +0) (1 + -y-)
§ 7.2. 175
или с учетом того, что 7. (7, — 0) = О и «g2 (t, — 0) = ug, (t2 — 0),
получим
(i + -7-+Sg*) “g> (4-0) =
= S®7? [ugl (tt + 0) + и0] + + — J«g2 (7i + 0)- (11)
Второе условие напишется так:
«gi(7.-0) (1 +-7-)+/?Sa["g2 (71 - 0)+ «.] =
=(1 + -у-+5^) “g> <z> + °)
или, учитывая, что rzgl — 0) = — «0,
Я$аЧ> (<2 “ °) = (1 + -7" + Sg “g> <Z>+ °)“ fe -1 - -7")
(12)
К этим уравнениям можно прибавить еще следующие:
«gi(72-O) = «gl (71 + 0) е““ (13)
“g2 (7г — 0) = — и0 - ugi (7) 4- 0) е а {t‘ tl) + De ₽ ;
(14)
«g2 (7i + 0) = “s' (Zl + °) + D- (,5>
В эти пять уравнений входят пять неизвестных: wgi(Zi+O);
wgi(^2—0); ug2(^i + 0); D и /2—t\ = T!2. Из них можно обычными ме-
тодами исключить первые четыре неизвестных и получить трансцен-
дентное уравнение для периода колебаний Т. Для того чтобы не
делать выкладки чрезмерно громоздкими, мы, как обычно, рассмо-
трим случай, когда а велико и величиной tzgi(/2—0) можно пре-
небречь. Если это сделать, то сразу получаем
“gi (71 + 0) =«„
7?Sa-l--y-
i+4+sg* ’
176
§ 7.2.
wg2 (^i 4-0) =— j? [^o 4- ^gi (^i 4-0)] =*
SaR R(S°a+S°g) .
— "o p p ’
1+4- l+4" + Sg*
D = -«o^2.
Наконец, воспользовавшись (15), найдем
S°tf fl(S£+S°) у «5a-’+ r
1+4- i+v+sg/? “ 1+4-+^*
t. e.
e^T/2 = -- 1----
i+4-+*g*
После некоторых преобразований получим
S°sr
В — a = — г----------------„-----,
С (R+^^+R+Sf^rR)
у _ SoaR(\+S°gr)
₽— “ S^r
§ 7.2. '
12—12
177
и, следовательно,
AS» (Sa°+S°)/?r
l+“7“+5g^l r + R
Эта формула пригодна лишь при больших S*r и небольших R/r.
Если, как это обычно делают, пренебречь величинами порядка R/r
И 1/3° г, то для периода колебаний получаем известное соотношение
Г = 2С(/? + г) InS®/?.
7,3. Об устойчивости непрерывных решений уравнений,
описывающих процессы в мультивибраторе
В предыдущем параграфе мы изучали процессы
в мультивибраторе, пользуясь уравнениями (1) § 7.2, и
рассматривали, где это было возможно, их непрерывные
решения. Однако, как будет видно из дальнейшего, воз-
можны и другие решения, обладающие точками раз-
рыва там, где это раньше не предполагалось. Кроме
того, вблизи от точки ttgi = ttg2=0 существуют непрерыв-
ные решения системы (1) § 7.2, о которых мы до сих пор
ничего не говорили, и естественно возникает вопрос
о том, могут ли эти непрерывные решения в действи-
тельности реализоваться.
В соответствии со сказанным рассмотрим сначала
малые Ugi и иё2, причем положим wgi>0 и ug2<0. В этом
случае (2) § 7.2 можно написать так:
“«“-гт {4 (4+<) ('+4)
“^=-т4Н4+^К“8-
-4('+4+s?0b4
Д = я2($)’- (1 + -г) + -г+5^)-
178 f 7.3’
Пусть подобно предыдущему выполняется условие
(-Н4)(-Н4-+0
(2)
и, следовательно, Д>0.
Из (1) видно, что при сделанных предположениях
d«gi/d/>0 и dug^dt<Q, (3)
т. е. положительное напряжение растет, а отрицательное
уменьшается. Отсюда можно заключить, что соотноше-
ние (2) является достаточным условием неустойчивости
состояния равновесия изучаемой системы. •
Соотношения (3) показывают, что Ugz будет умень-
шаться (по абсолютной величине расти), a Mgi увеличи-
ваться. Так будет продолжаться до тех пор, пока ug2
не достигнет значения —uq. Рассуждая, подобно преды-
дущему, придем к выводу, что дальнейшее непрерывное
изменение невозможно и произойдет скачок, причем
согласно рис. 7.3 такой, что после скачка ugi станет
меньше —«о (первая лампа закроется), а и§2 сделается
положительным (вторая лампа будет открыта). Этот
процесс (если предположить, что он может реализо-
ваться) иллюстрируется пунктирными участками кривых
на рис. 7.5.
Можно, однако, заметить, что исходная система
уравнений (1) § 7.2 допускает помимо непрерывных
также и разрывные решения. Это легко понять, если
обратиться к соотношениям
E-uCt- RS°ut = u^RS, (ugl) + u0R [Sa (HgI) - S°J +
E~UC,~ = U82RS* (Mg2) + U°R lSa (ug2) - $3 +
+“«,[>+4+«s«M'
которые позволяют найти ugl и ug2 по известным uCi и
ис. Можно воспользоваться построениями, подобными
тем, которые были сделаны в предыдущем параграфе, и
найти значения ugl и tzg2, соответствующие заданным uCi
и ыс,-
Это построение, например, легко произвести, когда
§ 7.3. 12* 179
Е — ur — RS°ua = O, т. e. построить кривые, проходя-
С1,2 а
щие через начало координат, что иллюстрируется рис. 7.6.
Здесь кривая 1 представляет зависимость
- s;i+
+“41+‘7’+rs‘M=0,
а кривая 2—
(«в2)+«л is. (v) - s!i+
+“e.[‘+^+*s«M=0-
Как видно из рисунка, эти кривые пересекаются в
точках а, b и в начале координат. Если Е — /?S°u0 —
— ис=£0, то точка пересечения кривой 1 с осью абсцисс
переместится вправо или влево в зависимости от знака
этой величины, если Е — /?S°w0 — ис 0, то кривая 2
будет перемещаться вверх или вниз.
Однако если отклонения Е—RSQu0—uCi иЕ—uQ —иСл
от нуля невелики, то характер кривых не изменится и
число точек их взаимного пересечения останется преж-
ним.
Приведенные рассуждения показывают, что помимо
непрерывных решений система (1) § 7.2 допускает и
разрывные. Действительно, не вступая в противоречие
с уравнениями и с условием
непрерывности напряжений на
конденсаторах, мы можем счи-
тать, что r/gi и Wg2 изменились
скачком (например «переско-
чили» из начала координат
в точку а или ft).
Таким образом, использо-
ванные нами уравнения за-
дачи и условия непрерывности
зарядов конденсаторов оказы-
ваются недостаточными для
того, чтобы решить вопрос
о' том, как будет в действительно меняться ugi и ug2.
Для того чтобы решить этот вопрос, нужно допол-
180
§ 7.3
нительно потребовать, чтобы рассматриваемые процессы
были устойчивыми по отношению к малььм изменениям
параметров (упоминавшаяся в предыдущей главе струк-
турная устойчивость).
Во всякой реальной схеме присутствуют «паразитные»
параметры (например, индуктивности соединительных
проводов, межэлектродные емкости лампы и т. д.), ко-
торыми при составлении уравнений пренебрегают. В дан-
ном случае подобное пренебрежение оказывается не
всегда допустимым, ибо приводит к появлению решений,
которые в действительности реализоваться не могут.
Учитывая сказанное, рассмотрим схему мультивибра-
тора, отличающуюся от изображенной на рис. 7.1 лишь
тем, что параллельно участкам сетка — катод включены
малые «паразитные» емкости Сп.
Взамен соотношений (1) § 7.1 получим следующие
уравнения задачи:
Рассматривая случай, когда wgi>0; 0>ug2>—uQ (обе
лампы открыты, Zg2 = 0), можем уравнениям придать вид:
«C--T=£-“B. G+4+^)-
(Wg2 "Ь Wo) ttCa’
i+4) - s''« - “с j
r dUCt c dUg2 Ug2 .
b~di n dt ~ r ’
§ 7.3.
181
Обозначив решение невозмущенных уравнений (т. е. при
Сп=0) через u°t, и&, u°Ci, и°Са и положив
Mgl Mgl =^1» Mg2 Mg2 = ^2> “с. uct ~
“c,— uc. ~ **•
можем написать:
Это — система линейных уравнений с постоянными коэф-
фициентами и с заданной правой частью. Будем сначала
искать решение соответствующей однородной системы
в форме
е,== В2 = М2?';
= ^=М4еи,
где Mit М2, Mt, М4и Я—постоянные. После подстановки и
обычных преобразований находим:
Mt (/?С„Я+ 1 +4+So^+M1S0a/?+JW4 = O;
M^R + М2 (/?С„Я + 1 + -£-) +Ж, = 0;
Л12 (я,Ся+-^-) - 7И,СЯ = 0;
^Сп+4- + sg)-М.С2. = 0.
182 § 7.3.
Введя обозначение y = CnRX и приравнивая определи-
тель системы нулю, можем написать
А 0 D S°aR В Е 0 0 1 1 0 —х 0 0 —х —о,
где
Д=х+Н -2L-J-S0/?; В = г 1 g ’ Х+1+-Г’
£=%-(х+4)^-^(в-1);
Развертывая определитель, найдем
х2 [ДВ - (S^)21 + х [Д£ + BD] + DE =
= X2 [ЛВ - (Л?)2]+ х % [Д (В - 1) + В (Д - 1 )] +
+ ^У(Л-1)(В-1) = О. (5)
Это уравнение при достаточно малых Сп имеет по край-
ней мере один положительный корень, не обращающийся
в нуль при Сп—►О. Для того чтобы в этом убедиться,
рассмотрим вспомогательное уравнение
АВ - (5°Я)2 - 4- [ (1 + 4) (1 + 4+Sg°*) -
_(s;/?)2]=o, (6)
левая часть которого при достаточно больших % поло-
жительна, а при % = 0 приобретает значение
4- [(*+4) 0+4-+5^) - *
т. е. отрицательна при соблюдении условия (2). Отсюда
вытекает, что уравнение (6) имеет положительный ко-
рень, который обозначим через хо.
§ 7.3. 183
Левая часть (5) при достаточно больших % также
положительна, а при х = %о равна
4- *о [(i+4) 0+4+s^)-(s^)3]+
+х.%-И(В - 1)+В(Л- 1)1 + (%у И - 1)(в-1),
причем здесь А и В берутся при значении х=%о. Первое
слагаемое в этой сумме отрицательно, а другие два
положительны, но при достаточно малых Сп (меньше
некоторого СПо) вся сумма, очевидно, будет отрицатель-
ной. Отсюда следует, что при всех Сп<СПо уравнение (5)
имеет положительный корень Xi>%o.
Возвращаясь теперь к системе уравнений (4), мо-
жем написать общий интеграл в форме
| = ?о(ОС+Ф(О, (7)
где Ф(/)—матрица-столбец с компонентами Фь Ф2,
Фз, Ф4, представляющая частное решение системы (4);
С — произвольный постоянный вектор-столбец с компо-
нентами Сь С2, С3, С4, a go(/)—фундаментальная мат-
рица-решение, имеющая вид go(t) = h ||, для одно-
родной системы, соответствующей (4).
В частности, для gi справедливо следующее:
5, (0=М„е* + Af12ev + Afls?a< +
+ Л4иг< + Ф.-
Учитывая равенство Л1 = /1/Сп/?, приходим к выводу,
что правая часть (7) содержит слагаемые вида =
t__________
— Mixe г (/=1, 2, 3, 4), растущие при увеличении
t\ причем этот рост будет происходить тем быстрее, чем
меньше «паразитная» емкость Сп. Отсюда вытекает, что
g при уменьшении Сп отнюдь не будет стремиться к ну-
лю, поэтому решение «невозмущенной» системы урав-
нений (1) §7.2 неустойчиво и, как следствие, реализо-
ваться не может.
Все сказанное относится, конечно, лишь к рассмот-
ренному непрерывному решению, соответствующему
заданным начальным условиям (при открытых первой
и второй лампах). Если провести аналогичные выклад-
184 § 7.3.
ки для случая, когда одна из ламп заперта, а другая
открыта, получим характеристическое уравнение, ана-
логичное (5), но имеющее лишь отрицательные корни.
Положив, например, r/gi>0; иё2<—Uq и проведя соответ-
ствующие выкладки, получим
хМВ+х%[Л(В-1) + В(4-1)1 +
Это уравнение, как легко видеть, распадается на два
квадратных уравнения:
ХЛ+%(В-1) = 0; хв + %-(л-1) = о,
решив которые можно убедиться, что они никогда не
имеют корней с положительной вещественной частью.
Таким образом, непрерывные решения, полученные
для участков, где одна лампа открыта, а другая закры-
та, устойчивы и могут реализоваться.
§ 7.3.
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ
КОЛЕБАНИЙ
8.1. Предварительные замечания
В настоящей главе мы обратимся к рассмотрению
процессов, которые возникают при изменении парамет-
ров электрического контура, его емкости или индуктив-
ности. Как будет видно из дальнейшего, при этом могут
Рис. 8.1.
Рис. 8.2.
быть получены электрические колебания без воздейст-
вия внешних э. д. с. Для того, чтобы понять сущность
этого явления, обратимся сначала к следующему при-
меру, иллюстрирующему процесс параметрического воз-
буждения.
Пусть в электрическом контуре, изображенном на
рис. 8.1, под влиянием какого-либо толчка возникли
собственные колебания, которые обладают малым зату-
ханием (предполагается, что сопротивление г мало).
На рис. 8.2 изображена кривая изменения напряже-
ния на конденсаторе ис как функция от времени t.
Допустим сначала, что мы можем изменять емкость
конденсатора: уменьшать, раздвигая пластины, и увели-
чивать, сдвигая их. Предположим, кроме того, что эти
манипуляции можно производить с любой скоростью,
достаточно большой для того, чтобы время, приходя-
щееся на каждую из этих процедур, можно было счи-
тать пренебрежимо малым по сравнению с периодом
колебаний.
§ 8.1.
Пусть тейерь пластины конденсатора быстро раздай'
гаются в момент, когда ис имеет максимальное значе-
ние. Из-за инерционных свойств катушки ток в контуре
быстро возрасти не может, и уменьшение емкости про-
исходит практически при постоянном заряде.
Вследствие уменьшения емкости напряжение на кон-
денсаторе возрастает и, как следствие, увеличивается
энергия конденсатора.
Действительно, W — Си2с /2 = Q2/2C, где Q— 'заряд
конденсатора.
Отсюда видно, что при постоянном Q и уменьшении С
W растет. Таким образом, раздвижение пластин сопро-
вождается отдачей энергии от внешнего источника коле-
бательному контуру.
Аналогичное явление будет, очевидно, иметь место,
если мы раздвинем пластины не в, момент максиму-
ма ис9 а в момент его минимума.
Если теперь в моменты времени, соответствующие
отсутствию напряжения на емкости, пластины конденса-
тора сближать до исходного положения, то при этом
никакой энергии ни подводиться, ни отводиться не бу-
дет. Следовательно, можно получить «накачку» энергии,
периодически меняя емкость конденсатора, раздвигая
его пластины два раза за период в те моменты, когда
| ис | имеет максимум, и возвращая их в исходное поло-
жение (также два раза за период), когда ис = 0-
Из сказанного следует, что можно добиться компен-
сации потерь и получить незатухающие и даже возра-
стающие колебания в контуре, если изменять емкость
конденсатора в надлежащие моменты времени с доста-
точной амплитудой и -с частотой, превосходящей при-
мерно в 2 раза частоту собственных колебаний контура.
К аналогичным выводам можно прийти, рассматри-
вая контур с неизменной емкостью, но меняющейся ин-
дуктивностью.
Обращаясь вновь к рис. 8.1, предположим, что ин-
дуктивность L уменьшается (например, из катушки
быстро выводится стальной сердечник). Изменение L
будет сопровождаться изменением тока в контуре f, но
этот ток должен оставаться ограниченным, как бы быст-
ро ни изменялась L (бесконечным значениям i соответ-
ствует бесконечная энергия магнитного поля и бесконеч-
ная мощность потерь в сопротивлении).
§8.1. 187
Обозначая через Ф магнитный поток в катушке, мо-
жем написать
Если обозначить через ti и t2 соответственно момен-
ты времени начала и конца процесса изменения L,
можно написать
Ф(М-Ф(О + |а>+«с)^=°-
ii
В силу упомянутой уже ограниченности тока |/г+
+ ис)<М, где М — некоторая постоянная положитель-
ная величина, не зависящая ни от ti, ни от fa
Следовательно, получаем оценку Ф(^)—Ф(М^
^(^2—/1)Л4. Из этого соотношения вытекает, что при
быстром (практически мгновенном) изменении L маг-
нитный поток в катушке остается неизменным.
Энергия магнитного поля катушки самоиндукции
равна Ц7=/д2/2=Ф2/2£.
Таким образом, при неизменном (и отличном от
нуля) потоке Ф уменьшению индуктивности соответст-
вует увеличение W.
Предположим теперь, что в тот момент, когда |Г|
имеет наибольшее значение, L уменьшается (сердечник
выдвигается), а в моменты, когда г = 0, L возвращается
к исходному значению (сердечник вдвигается), тогда
в рассматриваемый контур периодически подается энер-
гия и колебания в контуре будут по амплитуде нара-
стать, если изменения индуктивности достаточно велики.
8.2. Контур с переменной емкостью. Рассмотрение
методом ММА
Приведенные выше соображения поясняют процесс
параметрического возбуждения колебаний, но недоста-
точны для того, чтобы получить необходимые количест-
венные соотношения.
Кроме того, очевидно, изменять параметры мгновен-
но невозможно, и в действительности емкости или ин-
дуктивности изменяются непрерывно.
Учитывая эти обстоятельства, мы рассмотрим более
подробно колебательный контур с изменяющейся ем-
188 § 8.2.
кг?: ”гг К
костью и постараемся получить условия, при которых
появление автоколебаний делается возможным (найти
условия «самовозбуждения» системы).
Будем считать, что емкость изменяется по закону
-^=^-(14-xcosQO. (•)
С. Од
где х — малое положительное число, которое можно на-
звать коэффициентом модуляции емкости.
Учитывая приведенные выше качественные сообра-
жения, предположим, что частота модуляции Q пример-
но в два раза выше частоты собственных колебаний
контура.
Дифференциальное уравнение задачи напишется так:
L^+ir + uc = 0. (2)
Обозначая через q заряд конденсатора и учитывая,
что uc=q)C, i=dqfdt, а также соотношение (1), уравне-
нию (2) можно придать вид
q -|- 2aq (1 -|-х cos Qf) q = 0. (3)
Здесь введены обозначения aL = r/2Ly (Oq = 1/Z,C0, при-
чем, как обычно, их считается малой величиной (контур
с высокой добротностью) и, как предполагалось, Q^2co0.
Полученное уравнение позволяет найти «условие
самовозбуждения» системы, но, конечно, недостаточно
для изучения установившихся режимов.
Ограничение амплитуды колебаний при параметри-
ческом возбуждении, как и в случае ламповых и тран-
зисторных автогенераторов, определяется нелинейными
свойствами входящих в схему элементов. Уравнение (3)
составлено без учета этих обстоятельств и, следователь-
но, не описывает процессы при установившихся авто-
колебаниях.
В соответствии с общей методикой, положив q = const,
получим из (3) 9 = 0 (состоянию равновесия соответст-
вует заряд на конденсаторе, равный нулю).
Для того чтобы найти условие самовозбуждения си-
стемы (ответить на вопрос, смогут или не смогут воз-
никнуть автоколебания), необходимо исследовать устой-
чивость состояния равновесия (решения q = 0). Восполь-
зуемся для этой цели методом медленно меняющихся
§ 8.2. 189
амплитуд (ММА); перепишем уравнение (3) в следую-
щей форме:
q -|- u>2 q = — 2a.q (аг — <о2 — а>2 х cos dt) q, (4)
где <о — некоторая положительная величина, которая
может быть выбрана произвольно при соблюдении усло-
вия, чтобы разность <о2—W была мала (предполагается,
что все малые величины, входящие в правую часть (4),
имеют одинаковый порядок малости).
В соответствии с методом ММА преобразуем (4)
к системе двух уравнений первого порядка. Подобно
предыдущему (см., например, гл. 4 и 5) напишем
(₽2 + “2) Q = (—2ар + <о2 — <о2) q —
— nq cos Qi
и, следовательно,
2ap 4- Wq — w2 _ w2x --------------------
,=:: p2 + <o2 9 p2 + w2 4 C0S
ИЛИ
_ 2/<«i> + <Oq—w2 —2/аю-|-Юд — w2 _
9 ~ 2/w (p — fa) 2 fa (p + fa) _ ?
Г 1 112 ---------rw
[ 2/w (p — fa) 2/w (p + fa) J 0 7
Положим теперь q = yt + yz, где г/i и у 2 удовлетворяют
соотношениям
, . . _ 2/aw+(w^ —W2) _ w2 ---
(р - /а>) =----------q-^qcos
—2 jaw + («л — w2) _ , On -
(p+ fa) y, =------------q + x<7 COS Qt.
Переходя к оригиналам, получаем
/ 2 2 \
dll / <«>n — <0 \
2
- -^-(f/i + f/г) COSQ^
190
§ 8.2.
^-+№2= - (а - ) G/. + «/2) +
+cos QZ-
Полагая, как обычно,
__ A fat А* —i<oi
У\ 2~ е ’ //2=“ &
первое уравнение приведем к виду
— (Ae,a,t+A*e~lat) X
«П —0)2 . °>п* Л
а -|----------—— cos CU
1 2/со 1 2/со
е~ы.
Если теперь учесть, что Q^2co, и выделить справа
лишь постоянные или «медленные» члены, а затем со-
ставить укороченное уравнение, отбросив «быстрые»
слагаемые, получим
[_ о 3 2
«+; Г"° +/*
1 J 2со 1 J 4со
Воспользовавись имеющимся произволом в выбо-
ре со, освободимся в последнем уравнении от явной за-
висимости от г, положив <о=—; тогда
Л(а + /8ш) + /-^-Д*. (5)
Причем здесь бсо = со—соо, и там, где это допустимо, по-
ложено <о = соо.
Учитывая, что А — комплексное число, напишем А =
= x+jy, где х иу вещественны. После подстановки в (5)
получим
-xdt~-=- (*++№+
ИЛ Л
§ 8.2.
Отделив в этом уравнении вещественную часть от мни-
мой и составив соответствующие равенства, находим
+ + (6)
' (7)
Как обычно, ищем частное решение этой системы в виде
x=Me'l(, y — Neu, где N, М и V —постоянные числа.
Подставляя в (6) и (7), напишем
М (v + а) = # ^5® + ;
N (v + а) = М
и, следовательно, для v получаем уравнение
откуда
Так как а>0, условие устойчивости (Revi,2<0) бу-
дет выглядеть так:
или
Следовательно, для того, чтобы параметрическое возбу-
ждение колебаний было возможно, необходимо сделать
коэффициент модуляции емкости х достаточно большим,
т; е. в соответствии с условием
х> 4
192
(9)
§ 8.2
8.3. Контур с переменной емкостью. Сведение задачи
к уравнению Матье
Основное уравнение задачи (3) § 8.2 было рассмот-
рено нами приближенно методом ММА. Это позволило
найти «условие самовозбуждения» (9) § 8.2 для случая,
когда частота «накачки» превосходит примерно в два
раза собственную частоту контура. Теперь мы рассмот-
рим то же дифференциальное уравнение, но восполь-
зуемся для этого теорией уравнения Матье.
8.3.1. Краткие сведения об уравнении Матье
и его решениях 1
Уравнение Матье, как известно, принадлежит к клас-
су дифференциальных уравнений с периодическими ко-
эффициентами и имеет вид
_^ + (а_|_1б&со82г)0==О, (1)
где а и b — вещественные постоянные величины.
Из общей теории уравнений с переменными коэффи-
циентами (теории Флоке) вытекает, что общий интеграл
уравнения Матье может быть представлен в форме
j=CA(HC2^’?(-t). (2)
Здесь Ci и С2 — производные постоянные; р — некоторое
число (в общем случае комплексное), зависящее от а
и Ь; <р(т)—некоторая функция, относительно которой
известно, что она периодическая по т и имеет период л
или 2л.
В общем случае у не является периодической функ-
цией от т, но при некоторых соотношениях между а и b
частные решения уравнения (1) могут быть периодиче-
скими функциями от т.
Особый интерес представляют решения уравнения
Матье, имеющие период л или 2л. Эти периодические
функции и называются функциями Матье, они обозна-
чаются Се и Se. Функции Се — это четные функции, т. е.
Се(—т)=Се(т), a Se— нечетные, т. е. Se(—т) =—5е(т).
Каждой из этих функций соответствует своя зависи-
1 См. сноску на стр. 205
8,3.1 13—12 |93
мостьб от а, причем имеется несколько функций b = Ь (а),
которым соответствуют различные функции Се и Se.
Функции Ь(а) обычно нумеруются в порядке возраста-
ния а, и соответствующий номер приписывается функ-
циям Матье; так, например, пишут Сеь Se\, Ce2i Se2
и т. д.
На рис. 8.3 изображены кривые, иллюстрирующие
зависимость b от а для различных функций Матье.
Каждая из этих кривых соответствует одной из функций
Матье, причем на графике отмечено, какой именно
функции данная кривая соответствует. Так, например,
кривые, исходящие из точки я = 1, Ь = 0, дают зависи-
мость b от а, обеспечивающую существование функций
Cei и Sei.
Теперь обратимся к
Матье, представляемому
Рис- 8.3.
Sez
5е2
2*68
Se3
общему интегралу уравнения
формулой (2). Очевидно, что
если Re(p)=#0, то выра-
жение (2) не может пред-
ставлять собой периоди-
ческую функцию, причем
одно из слагаемых при
возрастании т неограни-
ченно растет, а другое
стремится к нулю. Подоб-
ные решения (когда
Re(p) =#0) называются
неустойчивыми.
мнимая, то выражение (2)
а
Если ц — величина чисто
представляет собой функцию, ограниченную на всем
бесконечном интервале т, могущую быть, в частности,
периодической. Эти решения называют устойчивыми.
Поскольку ср(т) имеет период л или 2л, то у будет пе-
риодической функцией [с некоторым периодом, отличным
от периода ср(т)], если | ц | находится в рациональном
отношении с л; в противном случае у периода не имеет.
Очевидно, что и те значения ц, которые соответствуют
точкам (а, Ь), лежащим на кривых рис. 8.3. также чисто
мнимые.
Более подробные исследования показывают, что точ-
кам, лежащим в заштрихованной части плоскости a, bt
соответствуют вещественные ц (неустойчивые решения),
а остальным точкам (незаштрихованная часть плоско-
сти, включая граничные кривые) соответствуют чисто
мнимые ц, т. е. устойчивые решения.
194
8.3.1
8.3.2. Приведение уравнения задачи к уравнению Матьё
Обращаясь вновь к уравнению (3) § 8.2, введем но-
вую независимую переменную т = й//2 и положим q =
= уе~г\ где у — постоянная величина, значение которой
будет выбрано позднее. Прежде всего получаем
dq ___ Q dq . d2q __ 22 d2q
dt 2 dt ’ dt2 4 dt2 ’
отсюда
+ + -Hc°s2x)<7 = 0. (1)
Далее можем напирать
dq
dt
d^q_____f d2y _ 9/
dt* dt* dt
и, следовательно, уравнение (1) приобретает вид
-S-+ (4-2'' +[^С+«cos2,) +
+тг-т4 «=°-
Выберем теперь у равной 2a/Q, тогда
/2а 2 \
f ton — a* . ton \
44 +4 44—+-s-» “s 21) S=°-
Таким образом, мы пришли к уравнению Матье с коэф-
фициентами, соответственно равными
Очевидно, что при малых х величина b малая и при ма-
лых a
8.3.2
a^(2o)O/Q)2.
13*
(2)
195
Теперь перейдем к вопросу о параметрическом возбу-
ждении колебаний в рассматриваемой системе. На осно-
вании сказанного ранее общее решение нашего уравне-
ния можно написать в виде
q = ye-'' = С^“(т+И)> (т) + С2е^-^ (- т).
Решение окажется неустойчивым (в том смысле, что оно
будет «уходить» от нуля), если (и только в этом случае)
—y>Re(|ui) >у = 2а/й
или
|Re(p) | >2а/й. (3)
Если а мала, то, очевидно, (3) будет выполняться при
малых по абсолютному значению Re(p).
Мы не будем приводить здесь вычисления, которые
позволяют получить условия неустойчивости системы,
выраженные в виде количественных соотношений, и огра-
ничимся лишь некоторыми качественными соображе-
ниями.
Как уже указывалось, заштрихованным на рис. 8.3
областям соответствуют Re(p)=#0, и, следовательно,
неравенство (3) будет выполняться в пределах областей
несколько менее широких, чем упомянутые; на рис. 8.4
эти области ограничены пунктирными линиями и также
заштрихованы. Учитывая, что в нашем случае b выби-
рается малым (Ь^ или 62 — на рис. 8.4), приходим к вы-
воду, что неустойчивость состояния равновесия (само-
возбуждение) может иметь место лишь при значениях а,
близких к 1, 4, 9, ..., ибо только в этих случаях bi и Ь2
могут лежать в упомянутых выше заштрихованных об-
ластях (разным областям соответствуют разные Ь),
Теперь из соотношения (2) можно сделать заключение,
что появление автоколебаний имеет место лишь тогда,
когда частота «накачки»
близка к 2о)о, «о, 2со0/3, ...
Первый случай, когда
частота накачки близка к
удвоенной частоте автоко-
лебаний, был нами уже ис-
следован методом ММА, при
этом мы получили усло-
196 8.3.2.
вие самовозбуждения системы (9) § 8.2. Если восполь-
зоваться приближенными формулами для ц, которые
следуют из теории уравнений Матье, то это соотношение
можно получить, не обращаясь к методу ММА. Возмож-
ность второго случая, когда автоколебания возникают
при частоте накачки, примерно равной собственной ча-
стоте контура, из предыдущего рассмотрения метода
ММА не вытекала (это было связано с тем, что мы
ограничивались лишь величинами первого порядка ма-
лости). Более подробные исследования показывают, что
и в этом случае автоколебания возможны, и здесь также
может быть выведено условие самовозбуждения, ана-
логичное (9) § 8.2. Однако во втором случае величина
коэффициента модуляции емкости должна быть значи-
тельно больше, чем в первом, и полоса допустимых рас-
строек значительно уже. Нужно отметить, что получен-
ные результаты позволяют, строго говоря, судить лишь
об устойчивости или неустойчивости состояния равно-
весия системы.
Вопрос о том, какие колебания установятся в систе-
ме, выходит за рамки рассмотренной здесь линейной
теории и может быть изучен лишь с учетом факторов,
ограничивающих амплитуду автоколебаний и опреде-
ляющих их устойчивость.
8.4. Параметрическая система под воздействием
внешней силы. Одноконтурный параметрический
усилитель
Явление параметрического возбуждения колебаний
приводит непосредственно к идее параметрического уси-
лителя. Подобно тому, как в случае электронных ламп
(или транзисторов) воздействие
внешней силы на автоколебатель- -1 —I
ную систему при известных уело- - I . С 1
виях приводило к явлению реге-
нерации и, как следствие, к уси- у _____J
лению колебаний, в параметриче- -------------------
ских системах также может быть Рис- 8-5-
достигнут аналогичный эффект.
Параметрические усилители получили в последнее вре-
мя широкое применение для усиления колебаний (глав-
ным образом на СВЧ) благодаря их основному свой-
ству— малым внутренним шумам.
§8.4. 197
Отсутствие электронных ламп с их подогреваемыми
элементами, а также принципиальная возможность
обойтись элементами, обладающими весьма малыми
активными сопротивлениями, позволяет создать пара-
метрические усилители, имеющие значительно меньшие
внутренние шумы, чем ламповые или транзисторные
усилители.
Перейдем теперь к рассмотрению схемы, изображен-
ной на рис. 8.5, аналогичной схеме рис. 8.1 и отличаю-
щейся от последней тем, что здесь имеется дополни-
тельно э. д. с. е = Ет cos со/; предполагается, как и рань-
ше, что емкость С меняется по закону
(1 х cos Q/).
С Cq
Оставляя все обозначения прежними, получим -вместо
уравнения (3) § 8.2 следующее:
<7 —|—2а<7 —|—uJq (1 -\-kcosC11) q — cost»/ (1)
или
+ (2)
где
Е 2
F = cos arf — (о0 х<? cos Qt.
Для составления укороченных уравнений прежде всего
преобразуем (2) по Лапласу:
(р2+ со2) q = —2apq+F
или
—2а рд
q р2 + <4
Это выражение напишется еще так:
1 f 1 1 \ г?
’ 2/о0 р — /<о0 р + /со0 J
— а '---L----1-----U—q;
\ р — /<О0 1 р + /<о0 )
198 §8.4.
•< лЬл"
последнему уравнению можем удовлетворить, положив
q = yi + y2 и подчинив z/i и У2 соотношениям
(Р + >0) У г = -2^7 - “ (у г + У')-
Переходя теперь от преобразованных функций к ори-
гиналам, найдем
Т-'".«. = Т5ГР<3>
+ (4)
Учитывая, что уравнение (4) образуется из (3) пу-
тем замены‘z/i на у2 и j на —j, а также то, что началь-
ное значение q = q(O) должно быть вещественным, при-
ходим к выводу, что
//2=г/1*. (5)
Это дает нам возможность рассматривать в дальнейшем
лишь уравнение (3) в сочетании с (5), не обращаясь
больше к (4). Полагаем теперь
и соответственно
где о)1 — близкое к со, вещественное число, которое под-
лежит окончательному выбору в дальнейшем.
Теперь уравнение (3) может быть переписано так (пос-
ле сокращения множителя ):
Ет ±
-J- cos v»t —
2
+ A*e~,Wlt) cos Qi -a (Aehlt +
§8.4.
199
Учитывая теперь, что coi близко к со, a Q — к 2со, можем
написать
- -.-/4 | G, (6)
где G представляет собой совокупность быстро осцилли-
рующих членов. Отбрасывая G в (6), получим укорочен-
ное уравнение для комплексной амплитуды:
dA
dt
j- j (co, - Ш.) А = ’ Г-|=- е1^ -
_ |_аД.
(7)
Мы не будем рассматривать общее решение этого урав-
нения, а ограничимся лишь установившимся режимом.
Предположив сначала, что А является постоянным
(одночастотный режим), видим, что ни при каком вы-
боре coi уравнение (7) не удовлетворится, так как в пра-
вой части остаются члены, зависящие от t (за исключе-
нием случая, когда Q = 2coi). Поэтому, предполагая, что
может иметь место двухчастотный режим, попытаемся
удовлетворить (7) посредством подстановки A=Ai +
-}-A2eJ1t, где Аь Л2 и у — постоянные величины.
Учитывая, что должна иметь место составляющая
с частотой внешней силы, положим coi = (o. Тогда урав-
нение (7) дает
2 + / (Ш - <о0) (Л, + А2 е*‘) =Д- X
/w0
2
х 4 - 4- и* + е/<й~2шК - а (A-bVn/)
ИЛИ
[а + / (со - ш0)] At - Д------------+ [а 4- / (со - со0) /у] X
J(O0 Zb
2 1 4jw, ’ I 4/в>в 2
200 §8.4.
Положим теперь y = Q — 2а>, получим
<оох . * Ет
4j л 2 2/w.L
+1[а + / (® - %) + Л]А 4
<>»* д*' 1 el(s-2a>)t __q
Отсюда вытекают два уравнения, которые, если ввести
обозначение Лео = со—со0, выглядят так:
-/-^4*, + [« + /(л» + ПМ, = 0.
Учитывая, что в любом из этих уравнений замена всех
величин на комплексно-сопряженные не нарушает ра-
венства, можем написать следующую систему:
I л, +1« - j (Д. + т)) Л*,=0.
Решая эти уравнения, находим
Ет g — i (Да> + т)
(а + /До) [а — j (До + у)] —
8L
(а + /До) [а — j (До + у)]
и, следовательно,
х_______________________________________
8L / о0х \2
(а— /До) [а + / (До + у)] — ( —г— )
(10)
Таким образом, в рассматриваемой электрической си-
стеме устанавливаются два колебания, комплексные ам-
плитуды которых определяются выражениями (9) и (10),
имеющие соответственно частоты со (вынуждающей си-
лы) и co+y—Q—со.
§8.4. 201
Следует отметить, что обе частоты близки друг к дру-
гу. Это может вызвать затруднения при конструирова-
нии фильтров, предназначенных для выделения одного
из колебаний (обычно с частотой со).
8.4.1. Усиление колебаний
Усиление колебаний в рассматриваемой системе мож-
но характеризовать коэффициентом, представляющим
собой отношение мощности, выделяемой в нагрузке (со-
противлении г), к мощности, отдаваемой генератором
(сторонней э. д. с. е). Очевидно, что если этот коэффи-
циент больше единицы, то имеет место эффект усиления
колебаний4.
Обозначим мощность, выделяемую в нагрузке, через
а мощность, отдаваемую генератором, — через Рг; можем
написать |2r; PT = -^-EmRe (/,), где It —
комплексная амплитуда тока частоты <о, протекающего в
контуре. Тогда для коэффициента усиления по мощно-
сти, который мы определим как Л'=Рн//)г, имеем
Далее будут уместны следующие преобразования:
и, следовательно, К = ц/ур
Учитывая, что мгновенное значение тока в контуре i
связано с зарядом конденсатора посредством соотноше-
ния i = dqldt, можем написать для комплексной ампли-
туды тока /1 = /о)Л1 и для коэффициента усиления
rz Г(0
А — 1ш (1/ДО ‘
1 Мощность, отдаваемая генератором, предполагается положи-
тельной. Заметим еще, что в руководствах по параметрическим уси-
лителям коэффициент усиления определяется несколько иначе (за
основу принимается мощность, отдаваемая генератором в согласо-
ванную нагрузку). Для наших целей, однако, принятое здесь опре-
деление К более удобно.
202 8.4.1.
Воспользовавшись (9) § 8.4, получим
„ г & Em/2to0L
— ~Ё^. (. (« + /Д<о) [« - / (д<о + y)] - (м.у/4)2
ImV [а- 7(До> + т)]
aco 1
w0 D |(а+7Д<0) I a—j (A<o+y) |2 — («М./4) [а+/(Д(о-И)]
Ke I |a-/(Д® + Y) I2
Теперь выражение для коэффициента усиления по
мощности приобретает вид (если положить <о^<оо)
к____________<x* + (do + Y)2
a* + (d<o + Y)s-(<o.x/4r
О)
Если х < 4/(о0 ]/a2 -Н (А® -h Y)3> то, очевидно, Л’ положи-
тельно и больше единицы. Следовательно, здесь имеет
место эффект усиления по мощности. Если х велика,
то К делается отрицательным, что соответствует случаю,
когда «источник» э. д. с. не отдает мощность, а погло-
щает ее. Однако подобные режимы, как правило, не
реализуются по соображениям, изложенным ниже.
8.4.2. Устойчивость установившегося режима
Рассмотрим теперь устойчивость установившегося
режима и для этого обратимся вновь к уравнению (7)
§ 8.4. Ранее мы обозначали через А одновременно и
комплексную амплитуду для общего случая и ее част-
ное выражение для установившегося режима. Теперь
оставим прежнее обозначение лишь для общего случая,
а значение А для установившегося режима обозначим
через В.
В соответствии с методикой, применяемой при иссле-
довании устойчивости движения, положим
А =В + е,
(1)
где е — функция времени, причем при 7 = 0 |е| имеет
сколь угодно малое (но отличное от нуля) значение.
Учитывая, что В удовлетворяет' уравнению (7) § 8.4,
8.4.2. 203
а также то, что мы уже выбрали toi=<o, получаем для 8
дифференциальное уравнение
^- + (а + /Да») . = js V'2-2"»'. (2)
n 1 2
Положив теперь s=te , где, как и раньше, у = О —
— 2в», получим
т + (“+'А"+/т)г=<-Те* (3)
/-р /(в-ги-Тр
ибо множитель е слева и множитель е ' >
справа сокращаются.
Если ввести, как раньше, обоаначение
6<b=(Q/2)—<оо,
то уравнение (3) приобретет вид
-|- + (а + /8<о)е = /-^5. (4)
Сравнивая (4) с уравнением (5) § 8.2, видим, что оба
уравнения совпадают, и, следовательно, условие устой-
чивости (или неустойчивости) стационарного режима
будет таким же, как условие устойчивости состояния
равновесия1. Отсюда вытекает, что найденный нами ста-
ционарный режим имеет место лишь при условии
— l/‘a2-|-(8a))2 = —I/ a2+ (-ту- — *
со0 v 1 v 9 <о0 I/ \ 2 )
Если это условие не выполняется (х слишком велика),
в системе возникает не стационарный режим, а неогра-
ниченно возрастающие колебания2 и полученное выше
выражение (1) п. 8.4.1 теряет смысл.
1 Этот результат является прямым следствием линейности систе-
мы, и его можно было предсказать без проведенных выкладок, одна-
ко последние нам все же представляются полезными с методической
точки зрения.
2 В предположении, конечно, что отсутствуют ограничивающие
факторы, связанные с нелинейными свойствами системы, не учтен-
ными здесь.
204 8.4.2.
8.5. Дополнительные замечания
В дополнение к сказанному прежде всего отметим,
что рассмотренная выше схема одноконтурного парамет-
рического усилителя позволяет достаточно хорошо рас-
смотреть принципиальную сторону усиления колебаний
в параметрических системах. Однако при практическом
осуществлении параметрических усилителей приходится
сталкиваться с рядом технических проблем, решение ко-
торых иногда приобретает специфический характер.
Как уже отмечалось ранее, параметрические усили-
тели находят применение по большей части в области
СВЧ, и, как следствие, в этих системах в качестве коле-
бательных контуров используются объемные резона-
торы. Далее очевидно, что изменение емкости контура
на высоких частотах не может производиться механи-
ческими средствами. Поэтому в контур (или в объемный
резонатор) вводится полупроводниковый диод, постав-
ленный в такой режим (запертый диод), что ток через
него имеет емкостный характер. Если на такой диод
подавать внешнее переменное напряжение (напряжение
накачки), емкость этого диода будет изменяться с ча-
стотой подаваемого напряжения. Помимо всего этого
необходимы также дополнительные устройства для раз-
вязки отдельных цепей друг от друга (цепь накачки и
цепь усиления), а также фильтры, обеспечивающие вы-
деление нужных частот и подавление ненужных. Однако
рассмотрение этих элементов параметрического усили-
теля не входит в план настоящей книги и является
предметом специальных руководств.
Вопросы, связанные с уравнением Матье, выше были
изложены в весьма краткой форме. Для более полного
ознакомления с этими вопросами можно обратиться
к специальной литературе1.
В заключение отметим, что явление возбуждения ко-
лебаний в системах с переменными параметрами при-
влекало внимание уже давно. Однако параметрические
колебания в электрических системах с целью их исполь-
зования для создания автогенераторов высокой частоты
были изучены в основном школой советских физиков,
возглавлявшейся академиками Л. И. Мандельштамом
и Н. Д. Папалекси2.
1 Например, Мак-Лахлан Н. В., а также Уиттекер Е. Т. и Ват-
сон Г. Н.
2 См. Мандельштам Л. И. [2].
§8.5.
9
ДВУХКОНТУРНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
9.1. Предварительные замечания
В предыдущей главе мы рассмотрели явление пара-
метрического возбуждения колебаний в одиночном кон-
туре, а также связанный с ним процесс усиления в одно-
контурном параметрическом усилителе. Как было пока-
зано, в этом усилителе помимо колебаний основной ча-
стоты (равной частоте вынуждающей силы) возникают
и _ еще колебания с частотой, от-
—I личной от основной, но близкой
'"1 к последней. В связи с этим по-
сЛ являются некоторые осложнения,
S вызванные необходимостью выде-
*2 П лить из °бщего (двухчастотного)
У спектра лишь одно колебание
основной частоты. От этого недо-
। 1 статка свободен двухконтурный
—I параметрический усилитель, полу-
Рис. 9.1. чивший широкое распространение
на практике.
В двухконтурном усилителе также возникают два ко-
лебания, обладающие различными частотами, но они
разделены пространственно (каждое колебание локали-
зуется преимущественно в одном контуре), а также су-
щественно различаются по частоте.
В настоящей главе мы будем изучать лишь основные
процессы, протекающие в устройствах подобного типа, и
ограничимся принципиальной схемой двухконтурного па-
раметрического усилителя, необходимой для нашей цели.
Эта схема изображена на рисунке 9.1, где также приве-
дены соответствующие обозначения.
Электродвижущая сила е, действующая в первом кон-
туре, имеет вид
е=£гп cos (of . (1)
Накачка производится посредством изменения емко-
сти С& причем предполагается, что
C3=C0 + CcosQ/. (2)
206 §9.i.
Собственная частота первого контура <о1 — 1
близка к од,, а собственная частота второго контура
не близка к (а следовательно, и к а>).
Емкость С3 считается малой (малы Со и С); также
считаются малыми и сопротивления и г2 (контуры об-
ладают высокой добротностью, и емкость Сз создает лишь
слабую связь между ними).
Обозначим, как показано *на рисунке, напряжение на
переменном конденсаторе через и (отсчет ведется слева
направо). Воспользовавшись обычными методами, мож-
но получить уравнение задачи, имеющее вид1
[-£- (2а2 + D) (D2 + 2а.О + <»?)+ 7Т +
+ 2а2О + «о2 ) ] D (С3«) + (D2 + 2atD 4- ) (D2 + 2а2О +
— 2j.2D-j-o>2)e. (3)
Здесь D = d)dt — оператор дифференцирования; сц=
= /"1/2Л1; а2=Г2/2А2.
Если, как это обычно делают, оставить в (3) члены,
порядок малости которых не выше первого, и учесть, что
ой, а2 и Сз малы, можно написать
Ф2 + ^)Р2 + ^)« = Л, (4) -
где Fx имеет вид
Ft = ш2 (D2 + 2a2D + <»*)*-[ ТГ (^ + “1 ) +
+_J_ (D* _|_ )] D* (CtU) - 2 [a, (О2 + v22 ) 4-a, (£2+ “i )]DU.
Введем величину v>0, пока точно не определенную,
но близкую к 0)2, и произведем следующие преобразова-
ния:
(О2 + ш2) (£>2 + <о2 ) = (О2 + а>2 + «>2 - <о2) (D2 + v2 +
+ ш2 - v2) = (D2 + <о2) (D2 + v2) + (а>2 - <о2) (D2 + <о2) 4-
4-(а>2—V-) (£>2 + <о2).
1 Вывод уравнения см. Конторович М. И. [1].
9.1. ' 207
Теперь уравнение приобретает форму
(D1 + ®2 *) Р2 + v-) и = F. - [(«of - ш2) (D2 + ^ ) +
+ («>*_ Vs) (D2 4-®г)] и. (5)
В связи с тем что со близка к coi (система близка к резо-
нансу), мы сделаем дополнительное предположение, что
амплитуда Ет также мала, и тогда слагаемое вида еда I
в выражении для Ft также может быть отброшено. !
9.2. Составление укороченных уравнений |
!
Уравнение (5) § 9.1 преобразуем по Лапласу, что, ’
в сущности, ведет к замене оператора D комплексным ?
числом р и «оригиналов» их изображениями; получим j
(p24-a>2)(pa4-v2)B=<o2 |’^_(р24_<о2)_|_
Н-7Т +“Ь 1 - 2р К (р2+№2)+“з (р’+
4- )1 [(«f - (Б2) (р2+<»h 4-(«>2 - +<о2)]' й. (1)
В соответствии с методикой, изложенной в гл. 4, раз-
делим обе части (1) на (р2+«о2) (p2+v2) и разложим дро-
би, образовавшиеся в правой части уравнения, на про- !
стейшие. Тогда, ограничиваясь лишь величинами первого
порядка малости, можем написать <
5
<4 (р2+<4) <о2 __ л_Г 1 1 1-
(Р2 + <о2) (рг + v2) ® рг + <о2 2/ [ р — ]ы р + !<л | ’
(pt 4. <02} (рг _|_ к2) lai (Р 4“ “2 ) 4" а2 (Р2 4“ ®1 )1= '
— п Г “1 _1_ “2 I _ «1 /_1_____I 1 \ I
[ Р2 + 0)2 ~ + v2 j 2 р /соj ~
I а2 ( 1 | 1 'Х в
~\р — h "г" p + jv j ’
208 §9.2. i
(р2 + \2Нр2 + V2) [ С8 (р + т1 ) + с, + Ю2 )
_ ., [ 1 1 1 11 1
~Р I с2 • р2 + >2 Cj • р2 + со2 ] — Ct
I J___________у / 1 1 \ со
“Г С2 2/Сг + Л р + Ь> J VCi
у /_J_______________________________.
^^р —/со Р + 1<*)'
(«О - СО2) (р2 + <о|) + (<о| - V2) (р2 + СО2)
(p2 + co2)(p2 + v2)
= - j (со, - СО) '—1^ - ) - j (со2 -V) X
y/J___________L_A
\Р — Л Р + h J ‘
Из полученных разложений видно, что (1) можно
удовлетворить, положив
и = yi + yz+ уз+уь + Уз (2)
и подчинив стоящие в правой части (2) величины уравне-
ниям
^ = 7^Г e-atu-j (со, - со) й ;
р JW I Z.C. J I
(3)
У 2=-73777 [-^w-J-jJ-C^+ZK-v)»]; (4)
Р-Jy L J
’ р -г ~е - +i -2?г - / ь - “)• (5)
04 = 7^7? [- “з» + / j (®3 - V) Й j; (6)
У»~~ + “с?) С,м’
Соотношение (7) позволяет непосредственно выразить
У5 через г/i, уг, уз и yt. Действительно, переходя к оригина-
лам, получаем
Уз == ' Сг”) У2 Pt С*
§9.2. 14—12 209
ИЛЙ
Уъ=-(У1+Уг-\-У3 + У1)
(8)
Если теперь в уравнениях (3)—(6) перейти от изо-
бражений к оригиналам, подобно тому как это делалось
раньше, и учесть (8), то мы перейдем к системе из четы-
рех дифференциальных уравнений первого порядка с че-
тырьмя неизвестными, к которой непосредственно приме-
ним метод ММА. Два из этих четырех уравнений имеют
вид
i-Te~ [а1+/ -0>)]Х
Х^+уз+узЧ^+уз); (9)
—РУ2 = — |\ + / -2^7C»-/(v — ®2) ] (у, + у2 +
+ ^ + ^4 + ^5)» (10)
где уь выражается посредством (8).
Однако, как легко видеть, в этих уравнениях члены,
содержащие у$, имеют второй порядок малости и в соот-
ветствии с принятой нами методикой могут быть отбро-
шены. Далее заметим, что по соображениям, которые
уже неоднократно высказывались в предыдущих главах,
имеют место соотношения
Уз=У*1', Уь = У*2,
(П)
и, следовательно, можно дифференциальные уравнения
задачи написать так:
- М = - 4" {/"* +2 [“* + X
х ^-](у.+у2+у*1+у*г)}; (12)
- ivy2=- «2 + />2 +/v (у, 4- у2 + у*, + у*2).
(13)
Причем здесь 6ш1==<о —<о,; 5<o2 = v —<о2.
210
§9.2.
Теперь положим ух =^,ЬАхе^* и y2 = 0,5A2eJvt, и учи-
тывая, что е = Ет cos получим
4г=- е~"“ e,at+2e+ [а>+/*»+
+ >-&г]<л*еМ + ^ + л*^т/ +Л*2^'М) }' (14)
При составлении укороченных уравнений мы должны
справа оставить лишь „медленные" члены; очевидно, что
слагаемые, содержащие множители е , е‘ и
е/(’+<»)« (если v не близко к <о), можно отбросить. Кроме
того, напишем
£ ,Ш/^з + У а + + У* а) = 4 + 4 e'St +
=4 [с»л«+4a<?/<2+’~w)/ +4-л*^+/(а-’^”<+
+ д*^-*»* j „быстрые" слагав-
мые. (15)
В дальнейшем мы будем рассматривать два случая
(в соответствии с тем, что имеет место при практическом
применении двухконтурных параметрических усилите-
лей) :
1) частота накачки Q близка к (01 + со2
2) частота накачки iQ близка к | coi—со21; при этом
могут иметь место два варианта: co2>o)i и <o2<o)i.
Рассмотрим сначала случай, когда + Тогда
в выражении (15) будет только два медленных члена, а
именно: О,5СоД и 0,25C4*2e/(S2_<o“v)*. Воспользуемся имею-
щимся еще произволом в выборе v и положим v = Q—со;
при этом мы не нарушаем требование, чтобы v было
близко к о)2. Действительно, v^coi + co2—со^ш2.
Учитывая все сказанное и обратившись к (14), можем
написать первое укороченное уравнение в виде
= - i 4 Ет - (а, + /Ч) А - / 44 (с°л*+4 л*2)
§9.2. 14* 211
или
+ («, + /8», + /С. ) А, + -g- СЛ~. =
= (16)
Теперь обратимся к уравнению (13) и проделаем ана-
логичные преобразования. Прежде всего получим
~ЗГ~~е [аа + /8®2 + / "2СГ] X
X + А2ем + Vм).
„Медленные* слагаемые выделятся так:
e~htC, (у, +у2+y*t +у\) = ± [с0+4 (elQt ] Х
X [А^-^ + Л2 + A*ie~lla>+',)t -h A *se~2ht] = Д- С.Л +
С
+ -j- Л*! 4- „быстрые* слагаемые.
Второе укороченное уравнение теперь приобретает вид
4г + (11 + ;!ч + /.^).4! + ;-£-Л«,=0. (17)
Ограничимся сейчас рассмотрением установившегося
режима, когда комплексные амплитуды Ai и А2 постоян-
ны. Тогда уравнения (16) и (17) дают
М, + /4§- А*2=-!^-Ет;
РчА2 4- / -4^- ^*!=о,
где I*. = а, 4- / (s®. 4-
1*а = аа + /(Н + -§")•
212 §9.2.
ны на ком-
(18)
(19)
(20)
(21)
когда Q=
Меняя в последнем уравнении все велич
плексно-сопряженные, получаем систему
„.Л,+ )-$£-
/^4-^ = 0.
Решение этих уравнений имеет форму
д______________; Ет________(op-*g____
‘ ~ ' 2 * W1 Ш2С2
нр,*8”_ 16С,С2
Л __ ^Ет______<о2С/4С2
2—' 2 , <о,<о2С2 •
И i^s— 16CjC2
Теперь обратимся ко второму случаю,
^|(toi—<о2)|. Полагаем теперь v = w—£2 при <01>чх»2 или
v=<o + Q при <02>®1. Здесь независимо от того, какой
знак имеет разность ®i—юг, медленный член в выраже-
нии (15) имеет вид 0,5[CoAi+0,5CA2], и, следовательно,
вместо уравнения (16) получим (Д*2 заменяется Аг)
+ («, + /Ч + / у, + i g A = - i %в„. (22)
Аналогично в уравнении (17) A*i заменяем Ai и по-
лучаем второе уравнение
4> + («! + /Ч+/-§-)л. + /^гл,=о. (23)
Учитывая введенные выше обозначения, можем напи-
сать для стационарного режима
Hi А + / А ~ / ~2~ Е™'
/^^ + ms=o
и, следовательно,
(20
+ 16CiCij
~ ~ Ет tOtOhC8 '
НРч + 16С.С,
§9.2.
213
9.3. Усиление колебаний
Обратимся теперь к усилению колебаний. Можно, во-
первых, рассматривать случай, когда полезная нагрузка
включена в первый контур, и характеризовать усиление
отношением мощности, поглощаемой в этом контуре,
к полной мощности, отдаваемой источником э. д. с.; бу-
дем в этом случае условно говорить об усилении в пер-
вом контуре1.
Если предположить, что полезная нагрузка сосредото-
чена во втором контуре, то в этом случае можно харак-
теризовать усиление отношением мощности, поглощае-
мой вторым контуром, к полной мощности, отдаваемой
внешней э. д. с.; в подобной ситуации будем говорить
об усилении во втором контуре. Можно, впрочем, ввести
и третий коэффициент, определяемый как отношение пол-
ной мощности, выделенной и в первом и во втором конту-
ре, к мощности, отдаваемой внешним источником э. д. с.
е. В последнем случае можно условно говорить об общем
усилении в системе. Если первые два коэффициента обо-
значить соответственно через Ki и Кг, а последний — че-
рез К, то будет иметь место очевидное равенство /С=
= Ki + Лг-
Коэффициент К характеризует работу источника на-
качки: если К>1, то устройство, осуществляющее накач-
ку, отдает энергию в рассматриваемую систему (т. е.
эффект усиления по мощности имеет место); если же
К<1, то «накачка» играет роль не источника энергии,
а поглотителя, и, следовательно, эффект усиления отсут-
ствует. Дополнительно следует обратить внимание на то,
что из К<1 вытекает Ki<l и К3<1 (Ki и Кз обычно по-
ложительны), однако обратное заключение сделать а
нельзя.
9.3.1. Усиление в первом контуре
Обратимся теперь к схеме, изображенной на рисунке
9.2 и отличающейся от схемы 9.1 лишь тем, что вместо
конденсатора С3 здесь введена э. д. с. е3, причем e3=t7
(э. д. с. е3 равна напряжению на конденсаторе Сз, но на-
правлена в противоположную сторону). Очевидно, что
схемы рис. 9.1 и 9.2 эквивалентны друг другу в отноше-
нии процессов, протекающих в контурах.
1 Здесь уместно повторить подстрочное примечание к п. 8.4.1.
214 9.3.1.
Прежде чем переходить к вычислениям, отметим, что
в силу резонансных свойств рассматриваемой системы
в первом контуре протекает ток с частотой ю, а во вто-
ром — частотой V. Действительно, э. д. с. е, имеющая ча-
стоту со, может вызывать в любой части схемы колеба-
ния только с этой частотой. Э. д. с. е3, как видно из пре-
дыдущего, состоит из двух гармоник с комплексными
амплитудами Аг и Л2, соответствующими частотам со и
v=(02. По отношению к е3
оба контура включены
последовательно, причем
первый контур представ-
ляет собой большое сопро-
тивление для токов с ча-
стотой со и небольшое —
для токов с частотой -v.
Второй контур, бу-
дучи настроен на частоту
о)2, представляет боль-
шое сопротивление для
токов с частотой v и не-
Рис. 9.2.
большое — для токов с частотой ю). Таким образом, со-
ставляющая ез, имеющая частоту со, почти целиком при-
кладывается к зажимам 1—1, а имеющая частоту v—
к зажимам 2—2 (рис. 9.2). Отсюда следует высказанное
выше утверждение, что в первом контуре циркулируют
токи с частотой со (составляющая тока частоты v прене-
брежимо мала), а во втором контуре — с частотой v.
Обозначим комплексную амплитуду тока в индуктив-
ной ветви первого контура через Ц. Этот ток согласно
принципу наложения можно рассматривать как сумму
токов и /j2) , вызванных соответственно э. д. с. е3 при
отсутствии е и э. д. с. е при отсутствии е3. Для первой
составляющей можем написать (учитывая, что падение
напряжения ща зажимах 2—2 мало и что ri<^o)Li)
/Г^-А/ОА + ^^А/МА-
(1)
Для вычисления второй составляющей мы должны
рассмотреть схему, в которой действует е, а е3 отсутству-
ет (зажимы генератора е3 замкнуты накоротко). Легко
видеть, что полученная схема не будет резонансной по
отношению к э. д. с. е (параллельно к настроенному в ре-
зонанс первому контуру присоединяется дополнительная
9.3.1. 215
нагрузка), и, следовательно, ток Л(2> будет мал, так как
е по условию мала. Таким образом, мы можем прене-
бречь /1(2\ в формуле (1) опустить верхний индекс и на-
писать
(2)
Рассмотрим сначала случай, когда Q^coi + (O2.
Воспользовавшись формулами (2) и (20) § 9.2, мо-
жем вычислить мощность Pi, поглощаемую сопротивле-
нием гь (которое считается полезной нагрузкой).
Тогда
> _ 1 I г 12, _ Ъ I Р-*2 |а&>2
1— 2 1 I Г>— 8 М2£2 • ’
(3)
где введено обозначение a2 = wico2C2/16CtC2. Теперь вычис-
лим мощность Рг, отдаваемую э. д. с. е: Pr=0,5ReEra/i.
Воспользовавшись (2) и (20) § 9.2, получим
п Ет __ Ет Re [Р*2 (Р*1Ра — Да)] /д\
Т~~ 4£, a2 4Z-1 • 1нР*2—«212 ' ' ’
Найдем коэффициент усиления по мощности Ki, ко-
торый уже определен нами как Ki = PilPT. Согласно (3)
и (4)
к____________Мр*«12_______________°. IРг12
• — Re(p*2(p*,p2-a»)] '
Введя обозначения
га‘=8Ш>+^§-’ ™2 = Ч+^.
можем написать р, = а, -)- //п,; р2 = «2 + jm2 и, следова-
тельно,
Re [р*, 1112 Г - Л2|Л*2] = a, I is |2 - а2а2; (5)
ft а1 I Рг I2 _ ___________1_____
1 “1 | Рг I2 — “г«2 “г «2
«! ' (Р2)2
Из полученного выражения видно, что коэффициент
усиления по мощности в первом контуре всегда больше
единицы (если, конечно, он положителен), откуда сле-
дует, что усиление имеет место.
216 9.3.1
Теперь найдем коэффициент усиления по мощности
в первом контуре для случая, когда | cdi—(02b В свя-
зи с тем, что формула (24) § 9.2 получается из (20) § 9.2
путем замены а2 на —а2 и Ц2 на р*2, можем для рассма-
триваемого случая непосредственно написать выражение
для К, заменив в (5) а2 на —а2. Получаем
------—-2 6
, , 12. а2
1+ ‘ |нгр
Из этой формулы видно, что при Q= |(01—сог| вели-
чина Кл всегда меньше единицы, и, следовательно, в этом
случае эффект усиления в первом контуре иметь места
не будет.
9.3.2. Усиление во втором контуре
Предположим теперь, что полезная нагрузка включе-
на во второй контур. Обратимся сначала к случаю, ко-
гда 'Q^(Oi+co2. Обозначим ток во втором контуре через
/2; подобно предыдущему можем считать мощность, по-
глощаемую г2, равной
^2 = "J" R2 I Г2 = 2 (M2Lty I ^2 I
или, воспользовавшись (21) §9.2, найти
' р ______________________
2 8 ((o2l2)2 —я212’
Следовательно, усиление во втором контуре опреде-
ляется отношением К2=Р2/Рг и будет равно [Рг опреде-
ляется формулой (4) п. 9.3.1]
к _ Г2 4Z-, _
2 8(<оЛ)2 • 16С| ’ Re[p.*2(p.2p.*i-a2)] ""
_ <«>2 «2^2 /|\
«I ’ «1 | Р*2 |2 — «2Я2 ’ ' ’
Из полученной формулы видно, что можно всегда
выбрать а2 таким, чтобы К было больше единицы (ко-
эфициент модуляции емкости/достаточно велик) и даже
сделать К2 отрицательным. Если последний режим устой-
9.3.2. 217
чив, то источник э. д. с. выполняет функцию поглотителя
энергии, а не генератора.
Перейдем теперь к случаю, когда Q^|coi—со2|. Выра-
жение для коэффициента усиления получается подобно
предыдущему из формулы (1) путем замены в знамена-
теле а2 на —а2; таким образом,
^2 = — • г —* • (2)
2 «i | р.2 |2 + а272 ' 7
Из этой формулы непосредственно вытекает, что при
g)i>1g)2 Кг< 1, т. е. усиление во втором контуре места не
имеет.
Если о)2>о)ь то Кг может «быть больше единицы. На-
пример, при малом сопротивлении первого контура гь
а следовательно, и малом cti Л2=а)2/<щ> 1.
Отсюда видно, что в рассматриваемом сейчас случае
усиление во втором контуре может иметь место лишь
При 0)2>0)1.
9.3.3. Общее усиление
Вычислим теперь величину, которую мы в начале
§ 9.3 обозначили через К, характеризующую общее уси-
ление в системе. При Q^(di + co2 можем написать
(О2
а1 Р*2 I2 + - а2^2
к = 0)1 = 1 I ( 1 I “i \
а1 I Р*2 I2 — «2^2 “1 | Р-2 I2 — “2<г2 \ ®1 / ’
Таким образом, здесь всегда К>1 и эффект общего
усиления имеет место (случай Л\<0, Лг<0, как обычно,
из рассмотрения исключается). При П=|ол—<юг|
К = 1-------г~&-ц—Г( 1 -
а1 | Р*2 |2 + «2^ \ «1 J
В последнем случае усиление имеет место (/С> 1) лишь
При УСЛОВИИ 0)2/0)1> 1.
9.4. Эквивалентная схема двухконтурного
параметрического усилителя
Полученное выше выражение для напряжения на кон-
денсаторе переменной емкости позволяет построить экви-
валентную схему двухконтурного параметрического уси-
лителя. Эта схема состоит из одного контура с подклю-
2Щ §9-4-
"’<*/3 ’«С- m’XT «К”- х ’ j ’’•-л-мК®-
ценной к нему дополнительной нагрузкой (в общем
случае комплексной), учитывающей воздействие второго
контура и модулируемой емкости С3 на первый контур.
Эквивалентность здесь, конечно, соблюдается лишь в от-
ношении составляющих напряжений и токов в первом
контуре, меняющихся с частотой со. Можно, конечно, со-
ставить и другую схему, эквивалентную по отношению
к токам (или напряжениям) частоты v, протекающим во
втором контуре.
Обратимся теперь к рис. 9.2 и будем при этом рас-
сматривать первый контур как находящийся под воздей-
ствием двух генераторов: генератора напряжения е и
генератора тока /3. Воспользовавшись принципом супер-
позиции и учитывая, что зажимы 1-1 находятся под на-
пряжением е3 (имеются в виду лишь гармоники /3 и е3
с частотой со), можем написать
(/wLj + г,) .шС
* 1 |
3 . , < “Г . , 1
jaiCi 4-г, )d>Lt+ +r2
__ 1 з (/<^1 ~h ri) ~f~ *
jtoCt 1 — + /coCifi
Если к зажимам 1-1 вместо всей правой части схемы
подсоединить проводимость Y, равную отношению
—/зМь то в первом контуре никаких изменений не про-
изойдет. Разделив обе части (1) на Л2, найдем
'= [t—О'“Л+Г.)Г] т- +J5V7
или
У =. , * Г^- - 1 4- <a2LCs - /«оС/, 1.
/wZ-! +г,[Л1 1 1 1 < 1 ij
Ограничимся сначала случаем й^ои + сог; тогда, обра-
тившись к формулам (20) § 9.2, получим
_ 2 j Р-1Р-*2 —й2
Al ' p.*2w
§9.4.
219
причем, как и раньше, a* = o)i(O2£2/16CiC2. Далее можно
написать
1 — <o2L1C1foCSi — 2j(aCiLi
l!
2 \ co
П • (*) / I • £ \ о • CO f .CO f л \
= 2/ — (a, + j8<o,) = 2/— p., — -c -);
wf af v C1 /
Y__________%i P-iP-2 — <?*__________________w ' _ <o G \
ja>Li -|- r i ij-*2<o <0| 1 2 Ci у
i
Учитывая малость г и близость coi к со, получаем
“'^•-TTSV И
Из этой формулы непосредственно вытекает изображен-
ная на рис. 9.3 эквивалентная схема, где
охо2С2 _____ охо2С2р.2
8С2)х*2 — -8С21 м.212 •
(3)
Поскольку вещественная часть ц2 равна а2, т. е. поло-
жительна, очевидно, что Y имеет отрицательную вещест-
венную часть.
Теперь обратимся ко второму случаю, когда Q =
= |он—со2|. Здесь Ai определяется формулой (24) § 9.2,
которая отличается от (20) § 9.2 лишь заменой ц*2 на ц.2
и а2 на —а2. Отсюда следует, что эквивалентная схема
рис. 9.3 остается в силе и для
этого случая, но теперь Ti опре-
деляется выражением
Y ___
1 — 8С2 |.<Х2|2 •
В данном случае веществен-
ная часть проводимости Yi поло-
жительна.
Рис. 9.3.
(4)
220
§9.4.
$.5. Рассмотрение двухконтурногб параметрического
усилителя посредством соотношений Менли и Роу
Рис. 9.4.
В современной литературе, посвященной теории пара-
метрических усилителей, часто используются соотноше-
ния Менли и Роу. Эти соотношения позволяют получить
основные результаты, относящиеся к теории двухконтур-
ных усилителей, весьма быстро и просто (если, конечно,
соотношения Менли и Роу уже из-
вестны), не прибегая к более де-
тальному, но несколько громозд-
кому исследованию, проведенному
выше. Хотя этот, второй путь изуче-
ния параметрических усилителей
не приведет нас к результатам, от-
личным от полученных выше, мы
все же проведем здесь соответст-
вующие рассуждения.
Чтобы соблюсти последовательность изложения, вос-
пользуемся сначала соотношением Менли и Роу, не при-
водя их доказательства, и только в дальнейшем вернемся
к этим соотношениям и дадим их полный вывод.
Рассмотрим нелинейную емкость, изображенную на
рис. 9.4, находящуюся под воздействием некоторого на-
пряжения и (вызванного сторонней э. д. с. е = и).
Предположим, что и может быть представлено в ви-
де тригонометрического ряда с некратными гармони-
ками
“=4-£
k——00
где t/K — комплексные амплитуды гармоник, причем
U_K= U*K (t/*K — величина, комплексно-сопряженная
с t/K).
Предположим также, что круговые частоты QK могут
быть представлены в виде линейной комбинации из двух
базисных частот coi и т. е.
QK = /Ик(01 +
(2)
где тк и пк — целые числа (положительные, отрицатель-
ные или нули); кроме того, частоты coi и ю2 не находятся
в рациональном отношении (несоизмеримы), т. е. не су-
§9.5. 221
шествует таких целых т и п, не равных одновременно
нулю, чтобы правая часть (2) обратилась в нуль.
При этих предположениях каждому отвечает опре-
деленная упорядоченная пара чисел пк.
Имеет силу и обратное утверждение в том смысле,
что каждой паре целых чисел т, п отвечает определен-
ная частота Qm>n = ^<oi + ^o)2; если m = mK и n = nib то
£2тп = £2к. Учитывая это, можно равенство (1) написать
в форме
00 00
^ = 4- S Umnel(m“Mt, (3)
п—— оо т=—оо
причем Umn = UKf если т = тю п = пк и Umn = 0, когда
данной комбинации т, п не соответствует ни одно Qk
из (1).
Пусть теперь заряд конденсатора q связан с напря-
жением и посредством соотношения q = f(u)y где f — од-
нозначная и непрерывная функция. Тогда при некоторых
предположениях можно считать, что и сила тока, проте-
кающего через конденсатор, представима в форме
«=*=4£ S (4)
п=—оо т——оо
где 1тп— некоторые коэффициенты, имеющие смысл
комплексных амплитуд гармоник тока, которые могут
быть определены, как это указано в § 9.6.
В этом случае имеют место следующие соотношения:
и I*
и гпп1 тп _______
/WOj + Л(02
TJ 7*
и тп1 тп ________Q
ТПСЙ! + /2СО2
(5)
(6)
Эти равенства обычно и называют соотношениями Мен-
яй и Роу; часто, впрочем, их пишут и в несколько иной
форме, приведенной в § 9.6.
222 §9.5.
9.5.1. Применение соотношений Менли и Роу к теории
двухконтурного параметрического усилителя
При фактическом выполнении параметрических уси-
лителей вместо емкости, изменяющейся механически,
применяется нелинейный конденсатор С3 (рис. 9.5), к за-
жимам которого подается напряжение е3, изменяющееся
Рис. 9.5.
с частотой модуляции й по закону и3={73созйЛ Таким
образом, на конденсаторе
С3 имеется напряжение,
состоящее из трех гармо-
ник: напряжения накачки
u3=U cos £lt и, как видно
из предыдущего, еще
двух напряжений щ и и2
с частотами со и v.
Емкость конденсатора
определяется отношением
С3 = q/u = f(u)/u. Если
+ то в первом
приближении можно на-
писать C3=f(u3)/u3. Пред-
положим теперь, что мы аппроксимировали /(и3) в ин-
тервале ±U3 посредством полинома n-й степени (что,
как известно, можно сделать с любой степеньюточности,
если выбрать п достаточно большим); тогда
f («з) А “4“ • • •+ •
Учитывая, что /(0)=0 (при отсутствии напряжения и за
ряд равен нулю), полагаем «о=О- Таким образом,
С3 = а2и3 —[-... —|-
и, следовательно, емкость С3 оказалась изменяющейся
во времени по периодическому закону с частотой й.
В частном случае, если в рассматриваемых пределах из-
менения функция f(u3) достаточно хорошо представляет-
ся полиномом второй степени, то С3=а1 + а2^з cos й/, т. е.
меняется по тому закону, который мы приняли в самом
начале настоящей главы для С3, причем Co = ai и С =
= a2U3.
9.5. L * 223
Перейдем теперь к рассмотрению схемы параметри-
ческого усилителя, изображенной на рис. 9.5 и отличаю-
щейся от рис. 9.1 наличием цепи напряжения накачки и
разделительных устройств d, закрывающих путь токам
частотой со и v в цепь накачки и ограничивающих цирку-
ляцию тока с частотой Q цепью накачки.
Рассмотрим сначала случай, когда Q^coi + co2- Как
видно из предыдущего, к конденсатору С3 теперь будут
приложены напряжения с частотами ю, v и Q, причем
—со. Таким образом, напряжение и, приложенное
к конденсатору С3, можно представить в форме:
U = Ul-\-U2-}-U3-,
иг^±-(и2еь* -^U\e~hty,
О)
Обращаясь теперь к соотношению (5) § 9.5, замеча-
ем, что в данном случае числа (т, п) образуют следую-
щие упорядоченные пары: (1, 0); (—1, 0); (0, 1); (0,
— 1); (1, 1); (—1, —1) (частоты ® и v отождествляются
с <oi и сог), и, следовательно,
। U3l*3 । U*ifi । n /9ч
(О ‘ CO-f- V <0 ' CO-J- V * ' '
Обозначая через Pi, Ръ и Р3 соответственно мощности,
поглощаемые емкостью С3 на частотах со, v и co + v, мо-
жем (2) записать в форме
— + -^ = о. (3)
со со + v х
Аналогично, (6) § 9.5 дает
иг/*г , и3/*3 , u*sls и*3/3 п
------1-----Ч--------1— ----- - и
V СО + V V СО + V
или
--+-^ = 0- (4)
V 1 СО + V 4 '
Напряжение U2 (на конденсаторе С3) вследствие того,
что второй контур настроен в резонанс, почти полностью
224 9.5.1.
прикладывается к зажимам этого контура. Учитывая это
обстоятельство, а также то, что Ubc =—U2 (рис. 9.5), при-
ходим к выводу, что Р2 равно мощности, расходуемой во
втором контуре, но взятой с обратным знаком; следова-
тельно, Р2 всегда является величиной отрицательной.
Теперь из (4) получаем
р >о.
3 у л
(5)
Тогда соотношение (3) дает
(6)
По соображениям, которые уже были высказаны в от-
ношении Р2> величина Pi представляет собой мощность,
отдаваемую конденсатором С3 в первый контур, но взя-
тую с обратным знаком.
Из соотношения (5) видно, что из цепи накачки за-
имствуется энергия Р3>0, но только часть этой энергии
поступает во второй контур. Остальная часть, как видно
из (6), отдается первому контуру.
Рассмотрим теперь случай Q = (o—v^coi—о)2>0 и об-
ратимся вновь к соотношениям (5) и (6) § 9.5. Теперь
числа (т, п) образуют следующие упорядоченные пары:
(1, 0); (-1, 0); (0, 1); (0, —1); (1, —1); (-1, 1), а ча-
стотам он, <02 и (оз здесь соответствуют (о, v и Q. Тогда
соотношения (5) и (6) § 9.5 дают
Pi
со
Рз
СО — V
= 0;
Рз
W — V
о,
(7)
(8)
Р2
V
и, следовательно,
3
Л<0;
О)
/>,=-----— Р5>0.
1 СО — V 3
(10)
Отсюда видно, что генератор накачки не отдает, а полу-
чает энергию (конденсатор С3 на частоте накачки отдает
энергию), т. е. в рассматриваемом случае эффект усиле-
ния не имеет места.
9.5,1.
15—12 225
Обратимся теперь к последнему случаю, когда й =
= v—<о=<О2—®i>0. Здесь мы должны рассмотреть сле-
дующие упорядоченные пары чисел (т, п): (1, 0);
(—1, 0); (0, 1); (0, —1); (—1, 1); (1, —1), т. е. те же,
что и в предыдущем случае.
Следовательно, формулы (7) и (8) останутся в силе,
но вместо (9) и (10) получим
Ps=^LP2>0; = Р3>0.
Эти соотношения приводят к заключению, что генератор
накачки отдает энергию (Р3>0), но в первый контур эта
энергия не поступает, так как Pi>0 (конденсатор С3 на
частоте со поглощает, а не отдает энергию).
Резюмируя полученное выше, можем считать, что при
Q^coi + g)2 эффект усиления имеет место (из генератора
накачки энергия поступает в систему). При Q^|o)i—<х>г|
и <di>i(02 усиление не имеет места («генератор» накачки
поглощает энергию), а при о)2><Щ эффект усиления воз-
никает, но так, что энергия из генератора поступает
только во второй контур (усиление с одновременным
преобразованием частоты).
9.6. Вывод соотношений Менли и Роу и обобщенных
соотношений
В настоящем параграфе мы дадим вывод соотноше-
ний Менли и Роу, уже приведенных и использованных
в предыдущем параграфе. В отличие от общепринятой
методики, мы получим некоторые более общие уравне-
ния, из которых соотношения Менли и Роу получаются
как частный случай. Начнем, однако, с вспомогательных
соотношений.
Рассмотрим вещественную непрерывную функцию
переменных t их, которую можно представить в форме
,)=-!-£ £ Amne^t+n^, (1)
«=—ОО «2=—ОО
где Атп — постоянные числа (вообще говоря, комплекс-
ные).
Пусть, кроме того, дана однозначная непрерывная
функция от £
HG). (2)
226 §9.6.
Подставив (I) и (2), можем при фиксированном т
считать £ периодической функцией от t и, следовательно,
представить ее в виде ряда Фурье
С® = 4 £ Ст{^е^ .
гп=—сс
Учитывая теперь, что Ст (т) являются периодическими
функциями от т с периодом —, можем эти функции
(1)2
также представить в виде ряда Фурье и написать
V] Втпе“тш'*+п^,
т=—оо п——оо
где Втп — постоянные коэффициенты.
Отметим попутно, что вследствие вещественности
функций £ и £ имеют место соотношения1
д _д* . д —R*
^тп—™ —т~Пу итп—О -т_-п.
Составим теперь произведение
и проинтегрируем его в плоскости переменных t и т по
некоторой кривой L, начало и конец которой имеют со-
ответственно координаты Л, п и tz, причем
'С01/2= (0^1 + 2лГ, tt>2T2 = W2T2 + 2 ns, (3)
где г и s — целые числа или нули.
Как видно из структуры выражения (1), в начале и
в конце пути интегрирования значения £ будут одинако-
вы. При перемещении точки по кривой L переменная £
будет изменяться в некоторых пределах £1, £2 (£1<£г).
Таким образом,
Л] (4)
L
1 Как и раньше, звездочкой обозначаем операцию составления
комплексно-сопряженной величины.
§9.6. 15* 227
можно рассматривать как интеграл *
(5)
взятый по некоторому пути, представляющему собой со-
вокупность (сумму) отрезков интервала gi, |2, проходи-
мых в положительном и отрицательном направлении.
Так как согласно формуле (1) и условиям (3) начало и
конец пути интегрирования на L совпадают, очевидно
(при учете непрерывности рассматриваемых функций),
что каждый отрезок проходится одинаковое число раз
как в положительном, так и в отрицательном направле-
нии. Учитывая это обстоятельство, а также однознач-
ность /(g), приходим к выводу, что интеграл (5), а сле-
довательно, и (4) равен нулю.
Выберем теперь в качестве пути интегрирования пря-
мую, параллельную оси абсцисс (оси /), и составим
подынтегральное выражение (4). В этом случае
<Х> 00
Щ——0О n=—0Q
и, следовательно,
В n4fts^/l<n,+ft)a>1<+("+s)“aT1 =
£ Bmne>^t+n^X
m=—oo П——О0
kAksei{ka'f^ =
k=—OO S=—00
00 oo 00 oo
n s
m~—oo n——oo k~—oo S——oo
oo oo oo oo
(здесь положено & + m = p., $+n=v. Считая почленное
интегрирование ряда по t допустимым, находим
228 §9.6.
f
G
OO 00 OO O0
= 'T SSLS X
k=—OOS=—00 V——OO |Л=—00
z,+ ^r
X J е*ш‘‘(Н = О.
t\
Учитывая, что при любых ц, отличных от нуля, ин-
тегралы, стоящие под знаком суммы, равны нулю, полу-
чаем
00 [00 24^ °C
2 г-- v S 4В_,,._Л.=0.
V=—00 k~— O0*S=— 00
и отсюда непосредственно вытекают соотношения
S £ £ S кВ\^А„.=О
k——00 00 k——OO S=—00
при любом |v| =0, 1, 2, ...
После некоторых преобразований имеем
S 1 МА1В\.,_,-Л*.А,„.)=О. (6)
k=i— 00 00
Можно, конечно, аналогичным образом (выбрав путь
интегрирования параллельным оси ординат) получить
соотношение
£ S »(А.в^,.-л\а+„)=о (7)
s=l k=—00
при любом | р,| = 0, 1, 2, ...
9.6.1. Воздействие внешней силы на нелинейную
емкость
Пусть заряд конденсатора q связан с приложенным
напряжением и соотношением
<7=f(«), (О
9.6.1. 229
где f(u)—непрерывная и однозначная функция от и.
Будем считать, что и может быть представлено схо-
дящимся тригонометрическим рядом
U = -L Yi Ukeist'^ , (2)
k——oo
причем члены этого ряда расположены так, что при
и fe = —вследствие вещественности
и Uk = U*-k. Предположим, как это обычно делается
при выводе соотношений Менли и Роу, что круговые ча-
стоты имеют вид линейно*й комбинации из двух «ба-
зисных» частот coi и <02, т. е. Q\ = m(0i + /Z(02, где тип —
целые числа (положительные, отрицательные или нули).
Примем, как обычно, что q также выражается триго-
нометрическим рядом
(3)
k=—oo
где Qfc подчиняются тем же условиям, что Q'/i, и, в част-
ности, представимы в форме Ш = т(01 + п(02.
Силу тока, протекающего через конденсатор, можем
написать в следующей форме (считая почленное диффе-
ренцирование ряда (10), допустимым):
—ОО
где Ik = j£ikQk- Очевидно, что Uk, Qk>n Ik имеют соответ-
ственно смысл комплексных амплитуд гармоник напря-
жения, заряда и силы тока.
Рассмотрим сначала случай, когда числа <х>1 и
находятся в рациональном отношении, т. е. каковы
были целые, не равные одновременно нулю числа
имеет место соотношение
p/(dl + V(d2=#0.
В этом случае каждое значение (или Qfe)
значно определяет пару чисел тип, для которых
Ш(01 4" /2(02 = £2
230
(02 не
бы ни
р и V,
(4)
одно-
(5)
9.6.1.
Действительно, если 'бы имелись две пары таких чисел,
при которых тко1 + m2G)i4-/z2co2=Q\, то от-ч:
сюда следовало бы (mi—m2)coi+(ni—и2)со2 = 0, что про-,
тиворечит условию (4).
Таким образом, мы можем построить функцию двух
переменных i и т, представляемую рядом
г) = 4- £ £ Umne^'t+n^, (6)
п=— оо т~— оо
где Umn однозначно определяются через Uk посредством
равенств 1
ma)i + na)2= (7)
Составим теперь функцию
,;"(«=н«"’)=4 J £ Qo>,/««..<>, (8)
п=—оо т=—оо
причем это равенство получается как результат разложе-
ния в двойной ряд Фурье. Предположим теперь,
что является непрерывной функцией от т при лю-
бом t. Тогда, полагая в (6) x = t, находим, что и т) =
= «(/), и, следовательно, заключаем, что t) =f (и) =
= q(t). Таким образом, ряды (3) и (8) должны быть
тождественны, т. е.
pi.
Здесь числа тип определяются через число П/г уело- ч
вием (7). Опуская теперь верхний индекс, можно напи-
сать Ik = j^ikQk = j(m(di+n(d2)Qmn. Полезно отметить, что -
при выводе (9) существенное значение имело уело- .
вие (4). Действительно, в этом случае рассматриваемые
суммы в своем составе не имеют линейно зависимых сла-
гаемых (все частоты различны). Если бы это обстоя-
тельство не имело места, то нельзя было бы считать, что
из равенства функций <?(1)(Л t) и q(ty следует равенст-
во (9).
Теперь обратимся к полученным ранее соотноше-
ниям (6) п. 9.6.1 и (7) п. 9.6.1. Положив в них соответ-
1 Если некоторой паре чисел (/и, и) не отвечает ни одно из зна-
чений Q'/{, то соответствующий член в сумме (6), очевидно, равен
нулю.
9.6.1. 231
ственно Aks=Uks, BbS = QjiS и заменив индексы суммиро-
вания k и s на т и п, получаем
tnn^tn,n + v
т®! + (п + v) w2
и /*
т—р,п
(т — р.) <01 + и<о2
и* /
тп* т+^,п
(т + р.) <01 + /?(о2
(10)
= 0, (11)
где ц и v — произвольные целые числа.
В частном случае при |i=v = 0 выражения (10) и (11)
представляют собой хорошо известные соотношения Мен-
ли и Роу. При произвольных ц и v они дают новую се-
рию соотношений1.
Остановимся теперь на вопросе о том, сохраняют ли
силу полученные соотношения (в частности, соотноше-
ния Менли и Роу), когда «базисные» частоты coi и сог
находятся в рациональном отношении (соизмеримы).
Как легко видеть, исходные соотношения (6) п. 9.6.1 и
(7) п. 9.6.1 в этом случае сохраняются. Однако утверж-
дение, что каждому единственным образом ставятся
в соответствие два числа т и п, теперь уже силы не име-
ет. Здесь возможны такие значения что равенство
mcoi4-n(i)2='Q/i будет выполняться не для одной пары чи-
сел т и п, а для нескольких. Можно, правда, устранить
эту неоднозначность, выбрав при построении выраже-
ния (6) для и(1>(/, т) из нескольких возможных пар чи-
сел какую-либо одну (этот выбор может определяться
дополнительными соображениями, например простотой
вычислений), и, как и раньше, определить однозначно
коэффициенты Umn посредством равенств (7). Коэффи-
циенты Qmn(1), входящие в (8), теперь также определя-
ются однозначно, как коэффициенты т) в двойной
ряд Фурье. Сохранится также и равенство <7(1)(/, /) =
= q(t), но только теперь ряд
?и=4- £
ГП——00 П-— OO
1 См. Конторович М И [2].
232
9.6.1.
может содержать члены, имеющие одинаковые частоты
(линейно-зависимые члены), и, следовательно, нельзя де-
лать вывод о том, что
Q(l) =Qk.
Силу тока, протекающего через конденсатор, можно
записать в виде
оо оо
;=5-=i £ £ +'».) С •
оо «=—оо
Если ввести формально = j /г<о2) , то
останутся в силе уравнения (10) и (11) при условии за-
мены в них 1тп величинами . Однако в этом случае
величинам уже нельзя приписывать физический
смысл комплексных амплитуд соответствующих гармо-
ник тока, протекающего через конденсатор.
В заключение следует обратить внимание на один
частный, но практически важный случай, когда ряды (2)
и (6) конечны, а функция (1) представляет собой сте-
пенной полином. Очевидно, что в этом случае и ряд (8)
будем иметь конечное число членов.
Если числа coi и сог находятся в рациональном отно-
шении, то можно написать g)i/o)2 = /?i//?2> где и /?2 —
целые положительные и взаимно простые числа, причем,
не уменьшая общности рассуждений, можно считать, что
Выберем теперь в выражении для <?(/) член с круго-
вой частотой Qs, которому соответствуют целые числа
ms и ns, так что ms(oi + nsco2 = Qs. Допустим, что сущест-
вует вторая пара целых чисел М и N, при которых
Af(oi + A/w2=Qs. Отсюда вытекает, что (N—fis)= — (М—
—msjRtlRz-
Учитывая, что левая часть равенства — целое число
и дробь R1/R2 н’есократима, приходим к выводу, что
| М—ms \ ^R2.
Отсюда следует, что, если R2 достаточно велико, член
ряда с номером т = М в конечной сумме (8) будет от-
сутствовать, и эта сумма окажется содержащей лишь
линейно независимые члены. В этом случае соотноше-
9.6.1. 233
НИЯ (10) и (11) полностью сохраняют силу и тот смысл,
который они имели при нерациональном отношении чи-
сел СО 1 И (02 *.
Полученные выше соотношения и вытекающие из них
выводы, строго говоря, доказаны лишь при условии, что
произведенные выше операции над рядами (перемены
порядков суммирования, почленное интегрирование и
другие) являются законными. Доказательство закон-
ности этих операций (очевидно требующее наложения
некоторых ограничений на рассматриваемые ряды) не
было дано, что, конечно, отражается на строгости приве-
денных рассуждений. Однако следует обратить внимание
на то, что в тех случаях, когда рассматриваемая нели-
нейная функция представляет собой степенной полином,
а воздействующая на нелинейный элемент э. д. с. содер-
жит лишь конечное число гармоник (случай, который
практически чаще всего рассматривается), все приве-
денные в тексте ряды превращаются в конечные суммы,
а следовательно, в этом случае сделанная выше оговорка
становится ненужной.
10
АВТОГЕНЕРАТОР НА ОТРАЖАТЕЛЬНОМ КЛИСТРОНЕ
10.1. Предварительные замечания
Отражательный клистрон — прибор, предназначенный
для генерирования колебаний высокой частоты (преиму-
щественно в области сантиметровых волн), в котором,
в отличие от рассмотренных ранее приборов, использует-
ся явление инерции электронов. Постараемся, не входя
в технические подробности, рассмотреть принцип дейст-
вия этого прибора и изучить основные процессы, кото-
рые здесь происходят. Схемати-
чески устройство клистрона пред-
ставлено на рис. 10.1. 5
Катод К служит для создания
потока электронов. Анод А изготов-
лен из сетки, которая считается *
проницаемой для потока электро- 5
нов, но достаточно частой для того,
чтобы поле в пространстве анод —
катод было независящим от про-
цессов, происходящих в других ча-
стях прибора.
Тороидальный резонатор Р со-
стоит из металлического тора с круговой прорезью;
между ее краями натянуты густые металлические сет-
ки G—G, которые тоже считаются проницаемыми для
электронного пучка. Резонатор соединен с анодом, а по-
зади резонатора находится отражатель О, потенциал
которого отрицателен. В пространстве между Р и О ле-
тящие электроны испытывают, очевидно, тормозящее
действие электрического поля и, как будем в дальней-
шем предполагать, не достигнув отражателя, возвра-
щаться обратно в резонатор.
В стационарном состоянии, когда колебания отсут-
ствуют, можно представить себе путь электронов сле-
дующим образом. Вылетев из катода, электроны уско-
ряются в пространстве КА и приобретают скорость
зависящую в первую очередь от потенциала анода иа.
§10.1. 235
Пролетев через сетки резонатора, они попадают в про-
странство отражателя и, как уже указывалось, возвра-
щаются в резонатор.
В системе протекают лишь постоянные конвекцион-
ные токи и токи проводимости, а токи смещения отсут-
ствуют (переменных полей нет). Однако если допустить,
что на «обкладках» резонатора G появились синусо-
идальные колебания, то электроны, пролетающие через
резонатор в различные моменты времени, будут получать
различные приращения скорости (положительные или
отрицательные). В дальнейшем более быстрые электро-
ны при движении в пространстве торможения сначала
будут «догонять» более медленные, а затем в процессе
возвращения в резонатор отстанут от последних (путь
быстрых электронов длиннее пути медленных).
Таким образом, между пластинами резонатора соз-
дастся изменение плотности заряда, а следовательно,
появится переменный конвекционный ток, фаза которого
будет зависеть от времени пролета электронов через про-
странство торможения. При известных обстоятельствах,
которые выясняются дальше, возвращающийся электрон-
ный поток будет тормозиться в поле резонатора и отда-
вать ему энергию в количестве, достаточном для компен-
сации потерь в системе, и, как следствие, возникнет .са-
мовозбуждение.
10.2. Вывод основных уравнений
Прежде чем переходить к выводу основного уравне-
ния, описывающего поведение клистрона, остановимся
на некоторых процессах, возникающих при прохожде-
нии электронного потока через
сетку.
Рассмотрим сначала металличе-
скую поверхность с отверстием
(точнее, тело из идеального провод-
ника с отверстием), через которое
(отверстие) проходит полный ток i
(сумма конвекционного тока и то-
ка смещения). На «боковой поверх-
ности» отверстия при этом тоже
появляется ток ч, равный по вели-
чине, но обратный по направлению
§10.2.
236
току i. В этом легко убедиться, если обратиться
к рис. 10.2. Обойдя по контуру /, обозначенному пункти-
ром, можем написать
ре<я=-£-(<-0,
I
где Не — касательная к I составляющей магнитного по-
ля. Однако, поскольку контур расположен внутри иде-
ального проводника, Не=0, и, следовательно,
\ii = i.
(1)
Таким образом, ток, проникающий на нижнюю сторону
плоскости (в соответствии с рис. 10.2), равен полному то-
ку, проходящему через отверстие.
Рассмотрим теперь пластину, содержащую несколько
отверстий. Проведем внутри сплошной части пластины
контур, причем такой, чтобы он охватывал все отвер-
стия, и затянем его поверхностью F, непосредственно
расположенной под пластиной, как показано на рис. 10.3.
Повторяя предыдущее рассуждение, приходим к вы-
воду, что ток Zi, поступающий на нижнюю поверхность
пластины, равен потоку вектора
полного тока i через поверхность
F, т. е. 4 = i (нормаль п к F вы-
бирается, как показано на
рис. 10.3). Так как F может
быть выбрана сколь угодно близ-
ко к поверхности пластины, при-
ходим к выводу, что it равен пол-
ному току, попадающему на пла-
стину (металл и отверстия
снизу).
Теперь обратимся к выводу
основных соотношений, описы-
вающих процессы в резонаторе.
Направим ось х, как это показано на рис. 10.4, и вы-
берем положительные направления всех полей и токов
в соответствии с направлением оси х. Пусть на верхнюю
сетку падает полный ток, состоящий из конвекционного
тока £к и тока смещения iCM. В соответствии со ска-
занным ток Zl, поступающий в «тор» со стороны верхней
сетки, будет равен
lb — hi-
(2)
237
§10.2.
Аналогичное положение имеет место и в отношении ниж-
ней сетки, с той лишь разницей, что здесь ток II будет
«вытекать» из тора.
Постараемся теперь связать полный ток in с разно-
стью потенциалов на сетках резонатора. Можем напи-
сать
. . । s дЕ
»П —dt •
где s — площадь одной сетки. Учитывая, что полный ток
не зависит от координаты х и обозначив ширину проме-
жутка через h, напишем
h Л
hia=J i*dx -j- j Edx
О о
или
ср-!- Cdufdt, (3)
где iK ср — среднее по длине зазора значение конвекцион-
ного тока; и — разность потенциалов между сетками
(отсчитывается снизу вверх); С — емкость плоского кон-
денсатора, образованного сетками.
Если h достаточно мало и ток в зазоре практически
от х не зависит, можно вместо /Кср писать просто fK.
Составим теперь уравнение, которому подчиняется
напряжение и. Так как поперечные размеры сечения тора
не очень велики и «входящий» и «выходящий» токи оди-
наковы, его можно рассматривать как индуктивность L.
Кроме того, учитывая расход энергии в резонаторе, при-
пишем ему некоторое эквивалентное сопротивление г.
Тогда
(4)
Из (2) и (4) находим
“=-(£4+r)i«
и, воспользовавшись еще (3), получаем
г ~ d2u du г / d । X .
и~~LC~di* Cr~dt —
238 §10.2.
Л';
Считая, как обычно, iK малой величиной, а произве-
дение п’к величиной второго порядка малости, которую
можно отбросить, можем написать
d2u . о du । 2 1 di*
-sr + 2a ^+шоы==-^^Г’ (5)
где a = rl2L\ (Do=l/K LC.
Уравнение (5) будет описывать поведение нашей си-
стемы (позволит найти напряжение на конденсаторе),
если удастся связать конвекционный ток, протекающий
через резонатор, с напряжением и.
Прежде чем перейти к решению этой задачи, отме-
тим, что таким же уравнением описывается напряжение
на конденсаторе в схеме параллельного контура, питае-
мого генератором тока изображенной на рис. 10.5.
Отсюда следует, что резонатор клистрона может быть
заменен эквивалентным конту- ___________
ром, изображенным на рис. 10.5. I 1 ___
Полезно сделать замечание, I С
относящееся к формуле (3). Как А /Ч Е ssf
обычно, при рассмотрении кли- I Ч'
стройных генераторов мы счита- 4 I Ц __________.
ли каждую из сеток эквипотен- | | ~
циальной и определили ток сме-
щения как ток через конденсатор. Рис 10,5*
В действительности касательная
составляющая усредненного электрического поля на по-
верхности сетки отлична от нуля и зависит от токов,
протекающих по сетке, и напряженности поля в ее от-
верстиях. Как показывает опыт, в большинстве случаев
упомянутые факторы несущественны и не отражаются
на качественной стороне явлений. Однако подобное
утверждение не всегда имеет силу, в частности, в тех
случаях, когда во внешнем по отношению к резонатору
объеме возникают резонансные явления.
Теперь оговорим предположения, которые будут сде-
ланы дальше. Ширина промежутка h считается настоль-
ко малой, а скорость движения электронов настолько
большой, что можно временем их пролета через проме-
жуток пренебречь. Плотность заряда р в рассматривае-
мой области (резонатор и область торможения) невели-
ка, так что влияние поля этих зарядов на движение
электронов незначительно. Далее будем считать, что до-
полнительная скорость, прибретаемая электроном при
§10.2. 239
пролете резонатора, мала по сравнению с начальной ско-
ростью, которую он имеет при входе в резонатор.
Найдем теперь связь между временем вылета элек-
трона из резонатора т (в прямом направлении) и вре-
менем его возвращения t. Пусть начальная скорость
в момент т равна Vi. Уравнение движения электрона
в пространстве торможения имеет вид mv =—eEif где
tn — масса электрона; е — заряд электрона (абсолютное
значение); £i— тормозящее поле и v — мгновенное зна-
чение скорости электрона. Интегрируя это уравнение,
находим
v = x = -Ei — tA-c,
1 т 1 1
где х — координата летящего электрона и с — произ-
вольная постоянная. Так как при t = x имеет место ра-
венство x = vif можем написать
Х=— Е^Ц —
Интегрируя вторично, найдем при условии х=0 при
/=0
х= — Е ——УтгУ-—|-а (/ — х).
1 т 2 fix /
Момент прибытия электрона в начало координат (в ре-
зонатор) определится из условия
~в-4г ('—)+’.=°-
Если Vi есть функция от т, то это уравнение лучше за-
писать так:
(6)
Уравнение (6) определяет т через t и может иметь
одно или несколько решений. Если т окажется много-
значной функцией t, то существует несколько электро-
нов, вылетевших в разные моменты времени из резона-
тора, но вернувшихся в него одновременно. Этот случай
встречается на практике, но мы его здесь рассматривать
не будем, считая, что уравнение (6) определяет т через
t однозначно.
240 §10.2.
Теперь обратимся к другой задаче, которая нам
в дальнейшем понадобится. Постараемся связать силу
конвекционного тока, прошедшего через верхнюю сетку
резонатора, с напряжением на резонаторе. Так как
сгруппированные электроны, попадающие в резонатор
в момент вылетели из резонатора в момент т, очевид-
но, что сила конвекционного тока, вызванного электрона-
ми, возвращающимися в резонатор в момент t, должна
быть связана с напряжением на резонаторе в момент т.
Если в течение промежутка времени длительностью
Ат через сетку резонатора в область торможения выхо-
дили электроны со скоростью ^i(t) и объемной плотно-
стью заряда pi, очевидно, что полный заряд, который
при этом прошел через единицу поверхности сетки ре-
зонатора, равен pi^iAt. Пройдя через пространство тор-
можения и вернувшись вновь к верхней сетке резонато-
ра, он будет иметь объемную плотность р2 и скорость
электрона у2. Этот заряд будет проходить через сетку
в течение промежутка времени А/, и в силу того, что за-
ряд должен сохраняться, имет место равенство
Pi^iAt = —р2^2Д/
(скорости Vi и v2 имеют разные знаки) или
Дт
РА = -РЛдГ* (7)
Обратившись теперь к формуле (6), найдем произ-
водную dxfdt. Если электроны, вылетевшие раньше в мо-
мент т, не отстанут от электронов, вылетевших позже
в момент т + Ат, то при возвращении в резонатор элек-
троны, вылетевшие первыми, первыми и возвратятся,
а последние — последними; тогда \x=\tdx)dt, причем
dxfdt^Q, и мы можем написать
р2у2=—pith dxfdt,.
Если же «передние» электроны будут отставать, то
dxfdt\<Q, и при нашем определении А/ имеет место со-
отношение
Дг=--£-Д/.
at
Обе эти формулы можно записать в виде одной:
Ат/А/= Idx/dtil,
и, следовательно, формула (7) приобретает вид
р2^2 = — piVi | dr/rf/J.
§10.2.
16—12
241
Отсюда же вытекает и такая запись:
t2=— /11 rfr/rfZ |, (8)
где под i2 подразумевается конвекционный ток, обязан-
ный своим происхождением электронам, возвращающим-
ся из пространства торможения в момент t, и вылетев-
шим из резонатора в момент т, где они создавали ток
ii *.
Таким образом, мы получили связь между f2 и ч;
однако последний зависит от скоростей электронов,
покидающих резонатор, а эти скорости — от напряжения
на резонаторе и(т). Чтобы получить нужную нам зави-
симость, рассмотрим движение электрона, поступающе-
го в резонатор через нижнюю сетку со скоростью t>o.
Кинетическая энергия влетевшего электрона равна
/п^/2, а после вылета mv\ /2. Приращение энергии
должно быть равно работе сил поля за время пролета
через резонатор, т. е. величине —ие, где е — абсолютная
величина заряда электрона. Таким образом,
т / 2 2Ч
— (и1 — v0 ) = — ие
и, следовательно,
2 2eu eu ~ ° m 0 mvQ
Теперь, обратившись к (6), можем написать
, . 2т z ч I 2т 2и
/ = х4-^—О.(г) = х4-V.-----------в- (9)
1 Ехе 1X7 ‘ Ехе 0 vQEx х 7
ИЛИ
, ; . 2и
Г = т-|-Г-----
1 0
где tn=2mVblEte — время пролета невозмущенпого элек-
трона (когда на резонаторе нет напряжения).
Отсюда вытекает формула
. __ ii
1* — 2 du (t) ’
' dt.
1 Отметим, что ii<0.
242
§10.2.
и если, как это предполагается в дальнейшего
то
I —____________h_________
2 da •
1 “ и0Ег dz
Так как резонатор вносит относительно малые возму-
щения в скорости пролетающих через него электронов1,
можно в первом приближении считать и величиной по-
стоянной.
Теперь вернемся к уравнению (5) и, отождествив
к с й, получим2
d2u . Л du . 2 1 di2 d2z пГл
лг + 2»7г+“» |l0)
10.3. Устойчивость состояния равновесия.
Условия самовозбуждения
В состоянии равновесия ы = 0, что согласуется с урав-
нением (10) § 10.2, если положить в нем dfdt=Q.
Рассматривая малые возмущения вблизи от состоя-
ния равновесия, т. е. малые и, ограничимся лишь вели-
чинами первого порядка малости. Можем написать
d2z 2 d2« (t) ~ 2 d*u (t — Zo)
dt* dt* ~ v0Et dt* ’
и, следовательно, (10) § 10.2 приобретает вид
d*u ! du ( ___ ii 2 d2«(f —Q
dt* "T- Z dt "Г ®o ы — с и,,Е1 dt*
1 Явление группировки электронов за время их пролета через ре-
зонатор не успевает существенно проявиться.
2 Ток, выходящий из резонатора в пространство торможения, не
учитывается, так как он неизменен во времени (при сделанных допу-
щениях), и, следовательно,* его производная равна нулю.
§10.3. 16* 243
Для упрощения записи введем обозначение
х = ——^->0,
и тогда
d2u . d2u(t —10) . n da . 2 n
rfp- +*-- >dti +2« « = °-
Произведем над этим уравнением преобразование Лап-
ласа, полагая и(/)=0 при всех ^<0 и, кроме того,
ы(0+0)=и(0); ы'(0+0)=ы'(0).
Тогда можем написать*:
О
со
(-2? e’~'Ptdt^~ и’ (0) - ра(0) + p2i?;
о
f е--dt= f e-pa+'’’ <£ =
I Cl I 1 UC
6 ' 0
— g-pfo [_ u' (0) — pu (0) -f- ргй],
и, следовательно,
[p«(l+xe-^) + 2ap = ®;ia =
= 2ам (0) + [u' (0) + pu (0)](l + не~р*'),
t. e.
- _ 2aa (0) + [z/ (0) + /ЭД(0)](1 +
p2 (1 + xe~pt°) + 2ap +
Для того чтобы состояние равновесия было асимпто-
тически устойчиво, необходимо, чтобы и не имело осо-
бенностей в правой полуплоскости и на мнимой оси.
Следовательно, в этом случае знаменатель (1) не мо-
жет иметь корней с положительной вещественной частью.
1 Черта сверху указывает на то, что имеется в виду преобразо-
ванная по Лапласу величина.
244 §10.3.
Для того чтобы найти условие самовозбуждения, рас-
смотрим противоположный случай и предположим, что
имеется по крайней мере один корень с положительной
вещественной частью. Напишем теперь рассматриваемое
уравнение так:
р? 0)2 = — 2ар — хр2 е~р*°. (2)
Поскольку Re(p)>0 и а и х малы, можем в качестве
первого приближения для корня принять pi,2=±/o)O. По-
ложим сначала p = /coo + s, тогда
8 (2/4 4- е) = - 2а (/ш0 + е) — х (/<о0 4- е)2 (3)
Ограничиваясь величинами первого порядка малости,
получим
2/®0е = — 2а/ш0 -[- x<Dq
или
8 = — а — /% -J- ~ а — sin m<fo — I COS ®0/0.
(4)
Для того чтобы вещественная часть 8 была положи-
тельна, необходимо
—-^sin<o40>a. (5)
Отсюда видно, что самовозбуждение будет иметь место
при достаточно больших х и, кроме того, в ряде обла-
стей изменения переменной /0, причем таких, чтобы
sin Wo был отрицателен.
Если бы мы для начала положили р =—jcoo, то, по-
ступая аналогичным образом, получили бы значение е,
отличающееся от (4) лишь знаком у мнимой части, и,
следовательно, никаких новых условий помимо (5) это
не дало бы. Следует обратить внимание на то, что если
уравнение (2) имеет и другие корни, отличные от най-
денных, то их месторасположение на комплексной плос-
кости на предыдущих выводах не сказывается.
Для того чтобы придать приведенным рассуждениям
большую точность, нужно убедиться в том, что получен-
ное значение корня (4) близко к действительному. Для
этого напишем (3) в форме е=Ф(е), где
ф ла 2a (/X + е) + х (/соо + е)2 г“(Ь+®)*о
2/Ч + е
§10.3.
245
и рассмотрим круговую область в плоскости комплексной
переменной 8 с центром в точке
и радиусом r=2|8i|.
В силу того что в этой области Ф(е) —аналитическая
функция от 8 и по модулю сколь угодно мала при до-
статочно малых а и х, величина |d4>/de|max будет также
сколько угодно мала в любой точке области. Обращаясь
теперь к результатам, полученным в §1.7 приходим
к выводу, что уравнение (3), а следовательно, и (2)
имеет корень, отличающийся от найденного лишь на ве-
личину второго порядка малости по отношению к а и х.
Из сказанного вытекает, что (5) является достаточ-
ным условием самовозбуждения клистронного генерато-
ра (точнее, условием неустойчивости решения). Для того
чтобы установить его необходимость, нужно еще убе- J
диться в том, что при выполнении условия, противопо-
ложного (5), уравнение (2) не имеет корней, лежащих
в правой полуплоскости. Предположим сначала проти-
воположное и допустим, что имеется корень вещест-
венная часть которого положительна. Тогда имеем сле-
дующие оценки. Предположим сначала, что |pi|>coo-
Тогда согласно (2)
|P? + ®ol<^-|P>l2 + x|P.|s=(-^- + x) |Р1 + I
+ ®о~®ol<IPi+®ol(^+x) +®о I
и, таким образом,
Если предположить противное и допустить, что |pi|<<oo,
I Pi +®о |<2а |Pi |2 + 2а®о = 2ашо + *| Pi +
+ ®о -®о l<2a®o + x®o+%lpf +®ol
и, следовательно,
। 2 , 2 । 2 X + (2а/<й0)
|Р1 Ч ®0 1< ®о 1-х •
246
§10.3.
Отсюда видно, что любой корень (2), имеющий поло-
жительную вещественную часть, может лежать лишь
в окрестностях точек р = ±/о)о, причем радиусы этих
окрестностей будут величинами малыми, удовлетворяю-
щими условию г = 0 ([/ а2+х2). Однако любые корни,
лежащие вблизи от р=+/о)о, определяются форму-
лой (6), которая в рассматриваемом случае дает Re(e)<
<0. Аналогичное положение имеет место и для окрест-
ности точки р = —/со0. Отсюда вытекает, что предположе-
ние о существовании корней с положительной вещест-
венной частью в рассматриваемом случае приводит
к противоречию. Таким образом, при выполнении усло-
вия
(7)
противоположного (5), все корни уравнения (2) лежат
в левой полуплоскости, что позволяет сделать вывод
об устойчивости состояния равновесия1.
10.4. Режим установившихся колебаний
Рассмотрим теперь режим установившихся колеба-
ний и определим их амплитуду и частоту. Возвращаясь
к уравнению (10) § 10.2 будем искать его решение, близ-
кое по форме к синусоидальному. Положим поэтому
u(t)=A cosv/ + t|)(/),
где А и v — положительные постоянные, а ф— периоди-
ческая функция с периодом Т = 2л/т, но не содержащая
основной гармоники с частотой v и, кроме того, малая
(амплитуды ее гармоник малы по сравнению с А). Под-
ставляя u(t) в (10) § 10.2, получаем
(«)2 — v2) A cos vt — 2avA sin vt -j- 4~2a А ф =
1 Отсутствие корней знаменателя (особенностей уЛ преобразован-
ной функции) в правой полуплоскости и на мнимой оси является до-
статочным признаком устойчивости в случае электрической системы
с сосредоточенными параметрами. Сделанное выше заключение осно-
вано на допущении, что и здесь это имеет место.
§10.4.
247
Учитывая малость ф, можем подставить в правую часть
этого уравнения тлько главную часть и, т. е. положить
в этом случае u(t)=Xcosvt и разложить di2ldt в ряд
Фурье, выделив основную гармонику, а затем выбрать А,
v и ф так, чтобы уравнение (1) удовлетворялось. Прежде
чем переходить к дальнейшим выкладкам, введем неко-
торые обозначения. Преобразуем формулу (9) § 10.2,
введя вместо /0 безразмерную величину 0o = v/o. Тогда
vt = vt -|- 60 — cos vz = vt -|- 0о —* X cos VT,
где X— так называемый параметр группировки, равный
X=2Av/voEi>O.
Этому коэффициенту можно придать более удобную
форму, выразив и Е{ через потенциал анода иа и 0о.
Можем написать
а0 = / 2еи^т; 60 — v2tnvjеЕх.
Отсюда следует
<2>
Теперь перейдем к разложению правой части (1) в ряд
Фурье. Пусть i2 представляется рядом
00
1 VI г 1М
— 2 2j ’
k~— оо
где
Т/2
Ik— Т \ е dt dt'
т
2
Теперь можем написать
Т/2
71 Г J dt ai
—Т/2
ИЛИ
Т/2 Т/2
= COS ,z) dx
—Т/2 —Т/2
248
§10.4.
Полагая vz = l — тс/2, получаем
( __ к \ Зк/2
/, = _ 'Г 2) f
Ztz j
-u/2
2тс
= _j^e-i9^e“Xaia™c&.
о
На основании формулы
2 it
/><z)=ip/<zsin^)^’
о
где /i(Z)—бесселева функция первого рода и первого
порядка, можем написать
Л = -/2^-/9» 7,(Х).
Введем величину S (аналог средней крутизны), опре-
деляемую соотношением
Таким образом, в общем случае S является величиной
комплексной и имеет вещественное и положительное зна-
чение лишь при 0о= (2/г +1)л+йт/2, где п — целое число.
Наименьшее значение 0о, определяемое этой формулой,
равно Зл/2. Уравнение (1) приобретает теперь вид
(<Bg — v2 -|- 2/av) Ae^j-A- (% — v2 — 2jav)A*e -|-
+ 2(^+2“4 + "S>=-4^('.eM +
+ ) +высшие гармоники,
где А* и 7*i — комплексно сопряженные с Л и А вели-
чины. Этому уравнению можно удовлетворить, положив
% —v2+2/av==-/4"'T=/_r,s <4)
и определив ф из уравнения
</2Ф I о <7Ф I 2 ,
2a -j- >»0 ф = высшие гармоники.
§10.4.
249
Воспользовавшись (3) и отделив в (4) вещественную
часть от мнимой, получим два уравнения:
(0o-v2=-VS«’ (5) 2а= -1-Sr, (6)
где s,.=-Meos'n0o^; (7) S/=-^-eocos0/-^. (8)
Эти уравнения позволяют определить частоту и ампли-
туду колебаний. Разделив, например, (5) на (6), най-
дем
2осу
ctg0o.
(9)
Положим v = (oo+e, тогда в первом приближении
8 (2®0 + 8)=2а (<о0 -j- s) cig б0;
s г» а ctg 0О;
v = <»o + actg6((.
(10)
Из (6) получаем
Sr=2aC. (11)
Последнее уравнение позволяет определить амплитуду
колебаний; для этой цели можно воспользоваться таб-
лицами функции1
л, (Х)=2^Д.
Определив посредством (11) Sr, затем [из (7)]
' О2)
найдем по таблицам соответствующее значение X, а по
формуле (2) —и амплитуду колебаний А.
1 См., например, Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф.
250
§10.4.
Для большей наглядности проиллюстрируем сказан-
ное на графике. Функция Ai(X) имеет вид кривой, изо-
браженной на рис. 10.6. Если найти Ai(X) по формуле
(12) и провести, как показано на рис. 10.6, прямую, па-
раллельную оси X, то точка пересечения кривых дает
искомое значение Х = Х^
следовательно, и величи- Л(Х)^
ны А. Следует обратить
внимание на то, что форму-
лы (7) и (11) могут приве- \
сти к значениям Ai(X)>l, „„X
тогда решение уравнения не i\
может быть получено, ибо [
Ai(x) никогда не превосхо- *
дит единицу. Следователь-
но, в этом случае устано- рис. 10.6.
вившийся периодический ре-
жим невозможен. Исходя из этих соображений, восполь-
зовавшись (11) и (12), сразу приходим к выводу, что
для существования установившегося режима необходи-
мо соблюдение условия
—4аСиа/1 /110о sin 0о< 1.
Полезно отметить, что это условие совпадает с условием
неустойчивости состояния равновесия (условием самовоз-
буждения), полученным ранее. В этом можно убедиться,
воспользовавшись (5) § 10.3, подставив в него х, равное
х = —2i[/CvoEi = —iiQo/2CuK(dQ.
1 0.5. Устойчивость режима периодических колебаний
Для того чтобы полученные выше стационарные пе-
риодические решения могли реализоваться, необходимо,
чтобы они были устойчивы. Исследование устойчивости
полученных решений проведем, как и в предыдущих гла-
вах, методом медленно меняющихся амплитуд.
Напишем вновь уравнение (10) § 10.2, перенеся ма-
лые члены направо:
d2u .2 я dii 1 di*
_+(eoU = _2aw- ——.
Воспользовавшись методикой, описанной в четвертой гла-
ве, преобразуем это уравнение по Лапласу и напишем
§10.5.
251
или
“ = - . ^ 2 (2ай + -L lK \
Рг + ^о\ ' J
и далее
и ~ ( p — i^o Р + Ч )(а“ "^2С *к )’
Положим теперь й = у1-\-у2, где
У'= p—i^„ (ам + 2с"1к)»
= “ р + /<о0 (аИ* + 2С '
Рассмотрим первое уравнение, переписав его так:
(Р - /%) У.= — («« + 2^ ?к )’
или, переходя к оригиналам, найдем
dt (au -J-i'k)== ^a (yt -|- z/2) -j-iK].
Второе уравнение рассматривать не будем, так как по
соображениям, которые уже неоднократно приводились,
У2=у*1- Положим теперь yi=Aelw<>t, тогда
ем= — а(Де,ч< +А*е~™ ) - -1- iK.
Ток 1к является функцией от и(т), и мы должны в соот-
ветствии с методом ММА положить
L
Разложив гк(0 в ряд Фурье по t (т есть функция от
t) и считая при этом амплитуду А постоянной, выделим
слагаемое вида (основную гармонику в комплексной
форме). Однако эта процедура полностью совпадает
с той, которую мы уже выполнили, рассматривая стацио-
йарный режим клистронного генератора. Отсюда вытека-
ет, что
ZK = -4-
252 §10.5.
где S — сумма слагаемых з ^разложении, не содержащих
члены вида
Теперь укороченное уравнение можно написать так:
dA/dt = —aA + (SA/2C). (1)
Так как здесь А — комплексная величина (в предыду-
щем параграфе под А подразумевалась вещественная
амплитуда), положим А = ре>\ где р и 0 уже веществен-
ны и, кроме того, ps>0; тогда
i «р = - f [«- &+is*>. «
причем Sr и Si определяются формулами (7) и (8) пре-
дыдущего параграфа. Отделяя в (2) вещественную часть
от мнимой, получим два укороченных уравнения:
dpldt = — р[а— (Sr/2C)]; (3)
dtydt=Sil2C. (4)
Нужно отметить, что величины Sr и зависят лишь от
амплитуды колебания р (в обозначениях предыдущего
параграфа только оу Л) и не зависят от 0, и поэтому
уравнение (3) может рассматриваться независимо от (4).
Для стационарного режима dp/dt = Q, и, следова-
тельно, в полном согласии с результатами предыдущего
параграфа получаем
а—(5г/2С)=0. (5)
Если обозначить через ро стационарное значение ампли-
туды, то возмущенное ее значение будет р=ро+е, где
е — малая величина; тогда, удерживая лишь величины
первого порядка малости и учитывая (5), получаем для
е следующее дифференциальное уравнение:
+•)[» -1 (р.+«) ]=> тг«'
где dSddp берется при р = ро. Интеграл этого уравнения
имеет вид
s = Me2 d₽ ,
где М — произвольная постоянная.
§10.5.
253
Таким образом, подобно тому, как это имело место
в ламповом генераторе, устойчивыми будут лишь те ре-
жимы (решения), которые соответствуют спадающему
участку кривой средней крутизны.
Уравнение (4) дает линейное нарастание фазы, т. е.
указывает на то, что частота колебаний отличается от
соо и дает соответствующую поправку. По отношению
к фазе колебание оказывается устойчивым, но не асим-
птотически.
Так как sin 0о<-О, dSIdA и dAi(X)/dX имеют одинако-
вые знаки, и, следовательно, как видно из рис. 10.6, най-
денные установившиеся решения устойчивы, ибо они со-
ответствуют спадающему участку кривой.
В соответствии со сделанными в начале .главы пред-
положениями амплитуда колебаний А мала по сравне-
нию с анодным напряжением иа, и, следовательно, как
видно из (2), величина Х> с этой точки зрения не должна
быть большой и, по крайней мере, превосходить единицу.
Поэтому все сказанное выше относилось к не очень боль-
шим значениям X и не должно распространяться на боль-
шие значения этой переменной, в частности, на те, кото-
рые лежат правее точки пересечения кривой с осью X
(рис. 10.6), где Я>3,4.
§10.5.
II
ТРАНЗИСТОРНЫЙ АВТОГЕНЕРАТОР
С АВТОМАТИЧЕСКИМ СМЕЩЕНИЕМ
11.1. Предварительные замечания
В настоящей главе мы рассмотрим две схемы тран-
зисторных автогенераторов с контуром в цепи коллекто-
ра и с автоматическим смещением.
Термин «автоматическое смещение» в данном случае
будем понимать в том смысле, что наряду с источником
внешнего смещения в системе предусмотрены элементы,
создающие и автоматическое смещение.
Начнем рассмотрение со схемы с трансформаторной
обратной связью, изображенной на рис. 11.1, а в конце
главы обратимся к схеме с емкостной обратной связью.
L
Обозначения всех рассматриваемых величин, а также
выбранные положительные направления для токов и на-
пряжений ясны из рисунка *. Под Е подразумевается
э. д. с. источника питания.
Прежде чем переходить к анализу, остановимся на
некоторых особенностях транзисторных автогенераторов.
Отметим, что характеристика транзистора, если под
ней понимать зависимость коллекторного тока от напря-
жения на базе при постоянном напряжении на коллек-
1 Для определенности здесь имеется в виду р-п-р транзистор.
§11.1. 255
г-гт.—
торе, имеет вид, изображенный на рис. 11.21 2. Эта харак-
теристика при Мб = 0 проходит через начало координат
и обладает здесь малой крутизной (в отличие от лампы,
где при напряжении на сетке, равном нулю, ток эмиссии
в нуль не обращается). Поэтому, как правило, схемы
транзисторных автогенераторов содержат источник внеш-
него смещения для того, чтобы в начальный момент вре-
мени, когда колебания еще не возникли, «рабочая точка»
находилась в области большой крутизны. Это создает
благоприятные условия для самовозбуждения и делает
режим автогенератора «мягким».
Следует отметить еще, что характеристика транзисто-
ра представляет собой круто растущую кривую до тех
пор, пока напряжение ца базе не достигнет значений,
близких к величине напряжения на коллекторе. В по-
следнем же случае кривая коллекторного тока, как пока-
зано на рис. 11.2 пунктиром, резко падает и даже пере-
ходит в область отрицательных значений. Существенным
для нас обстоятельством является и то, что крутизна
характеристики транзистора, как правило, значительно
больше таковой у электронных ламп. Все эти особенно-
сти транзисторных характеристик приводят к тому, что
автогенераторы, собранные на транзисторах без автома-
тического смещения, легко переходят в режим несину-
соидальных колебаний. Это легко понять из следующих
соображений. Если в процессе колебаний напряжения на
коллекторе и на базе станут одинаковыми (точка щ на
рис. 11.2), то коллекторный ток резко уменьшится, что
приведет к появлению на контуре несинусоидальных на-
пряжений. Для того, чтобы это не имело места, нужно
ограничить амплитуду колебаний ослабив, например,
обратную связь.
Однако такой режим нестабилен в том смысле, что
небольшое уменьшение обратной связи приводит к срыву
колебаний. Если допустить сначала, что обратная связь
выбрана такой, что колебания синусоидальны (напряже-
ние на базе и коллекторе), то можно воспользоваться
понятием средней крутизны подобно тому, как это дела-
лось в случае лампового генератора. Но здесь при отсут-
ствии автосмещения получим жесткую характеристику,
и средняя крутизна будет иметь вид рис. 11.3.
1 Имеется в виду одна из характеристик семейства ih =
= 1к(иб, ик).
2 56 ’ §11.1
Отсюда видно, что при подъеме прямой ab, что соот-
ветствует уменьшению обратной связи, колебания будут
легко срываться, ибо, если эта прямая не пересечет кри-
вую средней крутизны, синусоидальные колебания в си-
стеме реализоваться .не могут. В связи с этим обстоя-
тельством транзисторные автогенераторы строятся
обычно с автоматическим смещением, благодаря кото-
рому рабочая точка в процессе нарастания колебаний
смещается в сторону отрицательных значений Мб1. Это
обстоятельство позволяет создать такой режим автогене-
ратора, когда амплитуда авто-
колебаний оказывается ограни-
ченной, а механизм этого огра-
ничения таков, что последнее
возможно и без воздействия
коллекторного напряжения на
величину коллекторного тока.
Следует обратить внима-
ние еще на одно обстоятель-
ство, имеющее для нас важное значение. Если благодаря
автоматическому смещению рабочая точка лежит вбли-
зи от нижнего изгиба характеристики и амплитуда коле-
баний невелика, то ток базы будет мал и мы сможем им
пренебречь2. Кроме того, метод ММА, которым мы
в дальнейшем воспользуемся, требует, чтобы крутизна
характеристики коллекторного тока не была слишком
велика. В рассматриваемом случае благодаря действии?
автоматического смещения мы будем находиться в об-
ласти малой крутизны, и, следовательно, возможность
применения метода ММА делается более достоверной.
После этих предварительных замечаний перейдем
к рассмотрению поставленной задачи.
11.2. Автогенератор с трансформаторной обратной
связью
Обратимся теперь к схеме, изображенной на рис. 11.1,
и напишем уравнения задачи в операторной форме:
н« +1 [Z pL + г ' (1) 1 2
1 Следует еще раз обратить внимание на то, что мы ведем
отсчет положительных напряжений от эмиттера к базе. Очевидно,
что при обратном направлении отсчета напряжение переменило бы
знак на обратный.
2 Предполагается, конечно, что а транзистора близка к единице.
§11.2. 17—12 257
где Ёб — напряжение на базе, снимаемое с потенциоме-
тра. Предполагая в дальнейшем рассматривать лишь та-
кие режимы, при которых напряжение на базе никогда
не достигает значений, близких к напряжению на коллек-
торе, мы пренебрегаем током базы. Через Z обозначено
операторное сопротивление контура
7 _ Р^ + г
1 + рС г + p*LC*
Перепишем уравнение (1) в виде
(1+рС^э) (р2ЛС + рСг+ 1) (йб—Ёб) =
= -Ц/?э(р2АС + рСг+1)+рМ(1+рСэ/?э)]. (2)
Положим, как обычно, co2=l/LC, a=r]2L и будем считать
сопротивление г, а следовательно, и а малыми величина-
ми. Как известно, емкость цепи автоматического смеще-
ния Сэ обычно делается большой с таким расчетом, что-
бы переменная часть напряжения на ней была мала, а со-
противление /?3 выбирается большим. Эти обстоятельст-
ва позволяют считать т = /?эСэ большим. Учитывая все это
и перенося малые слагаемые направо, можем уравнение
переписать так:
Р + “2)(Яб - £б) = - (^ + 2^ + - + 2ар2^(йб - Ё6) -
[с7 2ар *г) + ю Р(р j *
(iM и считаются малыми, т. е. пропорциональными
малому параметру, в качестве которого можно принять,
например, а). Допустим теперь, что величинами, имею-
щими второй порядок малости, можно пренебречь1, тогда
Р (р2 + “2)(s6 — Ёб) = — (Д б — Ёб) [ -J- (р2 + Ш2) 4- 2ap2 j —
-r^(p2+“2)+<«wl i
1 Допустимость этого вытекает из сказанного в гл. 4.
258 §11.2.
и отсюда
_ Яб= __L[2_ + »r1!ЛИ + .
+ (».-£.)2«)=- ±Г ’ +Ь^1-
р L ъ J
-—5-Г—Ц—I- -Л- W/Ut 4-2а (йб -£б)|.
2 I р — /со ‘ р + /со у1 1 v 0 D,J
В соответствии с уже принятой ранее методикой поло-
жим
Йб — £’б = ^1+^2'+*^3>
где
РУ1 = — [£;+-;- (у 1 + у г + ?.)]’
2 (р — /ш) у2 = — [о>2ЛП + 2а (yt + у2 + у3)];
2 (Р + /®) Уз = — I®2 м i + 2а (у, + у2 + у3)],
и, переходя от изображений к оригиналам, получаем:
dt Са [г R3^'^ #г + #з)р Ф)
— i^y-,= — ^1- а (у, + у2 + Уз); (4)
~d'f + /“’У 3 = - « - а (У1 + У 2 + Уз) • (5)
Складывая (3), (4) и (5) и учитывая, что
Im(yi+y2+y3) =0, (6)
приходим к выводу, что (z/2—Уз)—мнимая величина,
а вычитая (5) из (4)—что (уг + уз) вещественно и, сле-
довательно, у2 и уз—комплексно-сопряженные величины.
Отсюда уже в силу выражения (6) находим, что yt ве-
щественно. В связи с этим мы можем в дальнейшем рас-
сматривать вместо трех уравнений более простую си-
стему:
^= с7 [* (у* + f/г+у*г)]; (7)
/4/2 = - -«(Ух + Уг + У^), (8)
S11.2. 17» 259
=г ««ЙГТЙЛ W^WMSr 'ЛЕИх
причем
* = * (у i + У г + У*г)‘
Положим у2 = ~ Aefwt, тогда уравнения приобретут
вид
4^=-р‘'+“^+4-^'-'+
+4-Л*е-;ш^р-м. (10)
Составим теперь укороченные уравнения задачи. Для
этой цели, как уже неоднократно указывалось в преды-
дущих главах, мы должны отделить «медленные» члены
от «быстрых» и последние отбросить. Прежде всего на-
пишем
=/" + 4-£ Crf'"' , (И)
Г=—ОО
г^о
причем здесь имеется в виду разложение i в тригономе-
трический ряд, в котором Сг и 1° определяются как ко-
эффициенты Фурье при фиксированных yi и А. Таким
образом, Сг оказываются функциями от у\ и А и в ко-
нечном счете зависят от времени. Обращаясь к формуле
(9), видим, что первое укороченное уравнение запишется
так:
где /° — постоянная составляющая тока.
При преобразовании (10) к укороченной форме, сле-
дует в (11) удержать только слагаемое, соответствующее
r= 1; тогда
^- = -Л^54-а], (13)
причем здесь учтено соотношение С1=5Л, где S — сред-
няя крутизна.
260 §11.2.
Рассмотрим сейчас стационарные (не зависящие от
времени) решения системы (12) и (13). Тогда получаем
уравнения
/°+^ = 0;
(14)
Лр^4-а^=0. (15)
Из соотношения (15) вытекает, что либо Л = 0, либо
(О2Л45
2
а = 0 и /И <0.
(16)
Первое решение соответствует, очевидно, отсутствию ко-
лебаний, а второе — установившемуся колебательному
процессу.
Здесь следует отметить, что /° и $ являются функ-
циями двух независимых переменных г/i и |А|, и, преж-
де чем приступить к решению этой системы, нужно найти
вид этих функций. Для этой цели можно воспользоваться
реальной характеристикой транзистора (снятой экспери-
ментально) и, задавшись некоторым фиксированным
значением yi (постоянного смещения) и |Л|, найти по-
стоянную составляющую тока; аналогично можно посту-
пить и для определения Ci, а следовательно, и S. Проде-
лав эти вычисления для нескольких значений yt и |Л|,
получим интересующие нас зависимости.
Поскольку здесь будет рассматриваться лишь каче-
ственная сторона явлений, мы не будем производить упо-
мянутые выше громоздкие вычисления и воспользуемся
аналитическим выражением для характеристики транзи-
стора, которую обычно пишут в форме
= 1),
где io и у — константы, имеющие определенные значения
для каждого транзистора.
Полагая
иб ~ Еб = yt -j- A cos <о/, Л > 0,
находим
. r 7 С^ + ^б) 7Acos<t>f
t = ta[e 6е -1].
§11.2. 261
1
Воспользовавшись формулой
= £ [5m + (_S)-m]/m(Z)4-J0(Z)
и выбрав Z = — /уЛ. S = je,u,t, получим
т 4- (е'ш<+ е-М)
е = /0(-/уЛ) +
+ £ jm {ei™* + e-i^) jm (_ /уЛ) =
m=\
= /0 (у Л) + 2 J] Im (уЛ) cos /Ы,
где Jo, Jm — функции Бесселя; Io и Im — модифицирован-
ные цилиндрические функции.
Отсюда находим, что постоянная составляющая тока
/° и его первая гармоника Ci соответственно равны
Io = lAeUy'+^ /0(уЛ)—1];
С1 = 2/0/1(уЛ)вти+ев’ ,
и, следовательно,
S = ^- = 2ioe <ff,+£e)(17)
Л А
Уравнение (14) теперь напишется так:
/e[^<9,+£6)/o(M)-i]+-^=o
ИЛИ
1^А^-е~ив'+^ (18)
уАэ10 ]
Это уравнение при заданном /?э позволяет построить
зависимость A=A(yi) или обратную зависимость yi =
— у(А). Теперь можно, задавая последовательно значе-
262 §11.2.
Рис. 11г
Рис. 11.5.
ния Л>0 и определяя соответствующие им значения уъ
воспользоваться соотношением (17) и найти S как функ-
цию от А.
Полезно попутно отметить, что в данном случае кру-
тизна S рассматривается как функция одной переменной
A, входит уже не как вторая независимая переменная,
а как функция от А. Теперь мож-
но построить график зависимости
S от Л, причем в качестве пара-
метра будет входить /?э. Мы не
будем здесь приводить подроб-
ности вычислений, которые были
проделаны для /о=0,55-10-7 а,
у = 35 в-1 и при различных /?э.
Оказалось, что характер функ-
ции 5(Л) сильно зависит от вели-
чины сопротивления J?9. Так, на-
пример, при RQ=0 крутизна S
монотонно растет вместе с Л;
при достаточно больших /?9 эта
функция имеет монотонно убы-
вающий характер, и при проме-
жуточных значениях Rd эта функ-
ция сначала растет, а затем убы-
вает, достигая максимума при
значениях Л тем больших, чем
меньше /?9.
Таким образом, при малых /?9
кривая имеет жесткий характер
(аналогична кривой средней кру-
тизны лампы с жесткой харак-
теристикой) и при достаточно
больших Rq делается «мягкой»
зависимость средней крутизны от амплитуды, можем
легко найти амплитуду установившихся колебаний обыч-
ным построением. На графике 3(Л) (рис. 11.5) согласно
уравнению (16) проводим прямую, параллельную оси
абсцисс на уровне
я)
(рис. 11.4). Построив
л_____ 2а
° <й2 | М | *
В точках пересечения этой прямой с кривой 5(Л) полу-
чаем значения Л, соответствующие стационарным реше-
ниям задачи.
§11.2. 263
Вопрос о том, будут ли эти решения на самом деле
реализоваться, решается в зависимости от их устойчиво-
сти. Как видно из рис. 11.5, возможны случаи, когда
уравнения дают одно или два решения. Возможен, оче-
видно, и случай, когда стационарных решений нет (пря-
мая проходит «выше» кривой и не пересекает послед-
нюю).
11.3. Устойчивость полученных решений.
Прерывистая генерация
Перейдем к изучению устойчивости полученных реше-
ний и начнем с рассмотрения состояния равновесия си-
стемы (отсутствие колебаний). В этом случае мы долж-
ны положить Л = 0, a */i=#o
определить из соотношения
• ?о(уо, 0) + (уп/Кэ) =0.
При фактическом выполнении
вычислений можно, например,
воспользовавшись характери-
стикой транзистора, найти уо
посредством обычных построе-
ний (рис. 11.6) либо посредст-
вом вычислений при помо-
щи формулы (18) § 11.2.
Пусть теперь уо и А получают некоторые приращения,
так что //i = z/o + £, Д = 1].
Обращаясь к укороченным уравнениям (12) § 11.2 и
(13) § 11.2, можем написать
_________1 \ У* , ! ~ , Г 1 —
dt— С3 | ду, 5 > дА ]
_____1 Г / d/° I 1 \ 1
_ с3 [ «-t- дА ч];
_____„Г®2 |Af|
dt —11 [ 2
(1а)
(16)
причем здесь величины S, д!°!дА и dl°/dyt берутся в точ-
ке Д = 0, yt = yo-
Второе из полученных уравнений непосредственно по-
казывает, что | т| | будет убывающей функцией времени,
264 §11.3.
если выполняется условие
^l'S-a<0.
Учитывая, что dPldyi>Q), на основании (1а) приходим
к выводу, что при этом условии (по крайней мере при
больших t) |g| также будет убывать и, следовательно,
состояние равновесия оказывается устойчивым.
Таким образом, условие самовозбуждения имеет та-
кой же вид, как и в случае генератора с трансформатор-
ной обратной связью, по без автоматического смещения,
а именно:
$>2а/(о2|М|. (2)
Обратимся теперь к изучению устойчивости периоди-
ческих решений и подобно предыдущему положим yi =
= г/о+|; Л=До+'П> гДе Уо и А» удовлетворяют уравне-
ниям (14) § 11.2 и (15) § 11.2, причем Д=£0. Укорочен-
ные уравнения в первом приближении приобретают вид
1
rfg 1 Г/ а/° I 1 \ с_|_ д70 ]•
dt~~ с» [дФ/1 ~т" дА у
_<о2|Л1| я [ dS е f dS _1
dt ~ 2 ' дА Д] *
Ищем частное решение в форме ri = Ne'lt .
Тогда
Са дА V’
, <о21 М | dS 1 _ . ®21 М | dS
0 2 дА ]— Я<> 2 ду
Отсюда получаем для v квадратное уравнение
rv+lfl+^l[v_4^^L
[ С3 \R3^ ду, ;J [v 2 дА j —
_ а <о= | Л41 di» dS I
— 2 дА ду, Сп
ИЛИ
2 1 г 1 ( 1 I д/о \ л w21М I dS 1
. <о21 М I Г/ 1 I д!« \ dS дГ> dS 1 _ ,
Я° 2С9 |Д Ra "г ду, ) дА дА ду, J ~и-
§11.3. 265
Теперь непосредственно получим два условия устойчи-
вости периодических решений:
1 / 1 । d/о \ л о21 м । as
Сэ Яэ “г ду. ) А° 2 дА и’
/ 1 । d/° \ dS d/Q dS q
\₽э ’ дУ1 ) дА дА dyi
(3)
(4)
Неравенство (4) можно написать и в другой форме,
обладающей большей наглядностью. Рассматривая уо
как функцию от Ло и, следовательно, S как функцию
одной переменной Ло, можем написать
dS , \ dS . л
—~d^dy^ dA dA’
dS__dS । dS dyx
dA dA "I- dyx ' dA '
Но в соответствии с выражением (14) § 11.2
dyi _р I dl9 । 37° dyt \
dA ( dA dyt dA J
ИЛИ
dyt __ Rad/9/dA
dA ‘ l+R'dlo/dy/
Следовательно, (5) приобретет вид
/ 1 - 37° \ dS _________ dS dl9 i OS / 1 . dl9 \
VX ‘dyTj ~~~ 'd^'dA-TdA \K~i"dyr)’
а условие (4) напишется так:
Re dyx J dA
Величина dl^dyt положительна, ибо с увеличением по-
стоянной составляющей напряжения на базе постоянная
составляющая коллекторного тока растет, и, следова-
тельно, второе условие устойчивости имеет вид
dS/dA<0.
(6)
Неравенство (6) напоминает обычное условие устой-
чивости для одноконтурного лампового генератора
266 §11.3
след-
(7)
11.7).
неустойчивой в
от того, ви-
не выполняется
с трансформаторной обратной связью без автоматиче-
ского смещения, однако нужно обратить внимание на сле-
дующее.
При отсутствии автоматического смещения выраже-
ние (6) является необходимым и достаточным условием
устойчивости полученного решения, а в нашем случае это
условие является лишь необходимым (т. е. если оно не
выполняется, то решение неустойчиво). Для того чтобы
решение было устойчиво, необходимо также, чтобы удов-
летворялось неравенство (3).
Напомним еще раз, что в соотношении (6) подразу-
мевается полная производная от крутизны по А (т. е. не
при постоянном смещении, а с учетом автоматического
изменения последнего).
Обратимся теперь к рассмотрению возможных
ствий, вытекающих из полученных результатов.
1. Пусть прямая
S = 2a/o)2|M|
проходит «выше» кривой (прямая I на рис.
В этом случае генератор возбуждаться не будет.
2. Прямая, определяемая соотношением (7), прохо-
дит так, что она пересекает кривую средней крутизны
в двух точках (кривая II).
В этом случае точка а со-
ответствует неустойчивому ре-
шению.
Точка b может быть устой-
чивой или
зависимости
полняется или
условие (3). То же самое
можно сказать и о точке с,
если равенству (7) соответ-
ствует прямая III на рис. 11.7.
Условие (3), которое отсутствовало в случае одноконтур-
ного генератора без автоматического смещения, приво-
дит нас к следующему. Все величины, входящие в (3),
обычно положительны, в частности dl^dy^ и dS/dA. От-
сюда следует, что увеличение при неизменных осталь-
ных параметрах в конечном счете приведет к тому, что
условие (3) не будет выполняться.
Таким образом, оказывается возможной следующая,
на первый взгляд противоречивая, ситуация: состояние
равновесия неустойчиво, и, следовательно, равновесие
§П.З, 267
(отсутствие колебаний) иметь места не может; решения,
соответствующие колебательному режиму, неустойчивы
и, следовательно, также не могут реализоваться. Проти-
воречие разрешается, конечно, просто, а именно: в систе-
ме должны возникнуть колебания, ню, в отличие от сде-
ланного в начале предположения, эти колебания не бу-
дут иметь синусоидального характера. Здесь могут по-
явиться колебания, похожие па синусоидальные, но с пе-
ременной амплитудой, или прерывистые колебания, вооб-
ще говоря, несинусоидальной формы. Эти явления, имею-
щие место и в ламповых генераторах с автоматическим
смещением, часто называют автомодуляцией или преры-
вистой генерацией.
Возникающие здесь явления в общем случае довольно
сложны, но при больших Сэ поддаются качественному
объяснению. Предположим, например, что параметры
схемы таковы, что заряд (разряд) конденсатора про-
исходит медленно в том смысле, что за время нарастания
автоколебаний от некоторого начального значения ампли-
туды до полной ее величины постоянное напряжение на
Сэ не успеет существенно измениться.
Пусть в начальный момент, когда напряжение на Сэ
невелико, возникают автоколебания, которые быстро ра-
стут. Кривая средней крутизны в этом случае дол-
жна строиться при постоянном смещении и будет иметь
вид, изображенный на рис. 11.8. В силу свойств характе-
ристики транзистора эта кривая растет до тех пор, пока
не станет сказываться ограничивающее действие реак-
ции коллекторного напряжения. Далее кривая средней
крутизны начнет резко падать1.
Поскольку в данном случае постоянное смещение оста-
ется практически неизменным, как в одноконтурном ге-
нераторе без автоматического смещения, можем считать,
что точка а на рис. 11.8, найденная в соответствии с со-
отношением (7), устойчива. Следовательно, здесь возни-
кают колебания с большой амплитудой, ограниченной
в основном реакцией коллектора. В дальнейшем, однако,
конденсатор Сэ будет постепенно заряжаться, и кривая
1 Мы допускаем здесь некоторую непоследовательность в рас-
суждении, считая, что можно применять понятие средней крутизны
и при наличии реакции коллектора. Ранее уже было пояснено,
почему в общем случае этого делать не следует Однако при качест-
венных рассуждениях мы позволили себе это сделать, предполагая
дополнительно, что в «запрещенную» область мы заходим лишь не-
много и высшие гармоники выражены не сильно.
268 §11.3.
S(A)—деформироваться и «понижаться» (пунктирная
кривая на рис. 11.8).
Этот процесс может протекать до тех пор, пока пря-
мая S = So не перестанет пересекать кривую средней кру-
тизны, после чего автоколебания быстро затухнут. В даль-
нейшем произойдет сравнительно медленный процесс раз-
ряда емкости СЬ, так как напряжение на ней должно
уменьшаться, стремясь к той величине, которая соответ-
ствует состоянию равновесия, что, в свою очередь, влечет
за собой увеличение средней крутизны. Когда последняя
достигнет величины, достаточной для того, чтобы начало
выполняться условие самовозбуждения, весь процесс по-
вторится вновь.
Таким образом будут генерироваться прерывистые
колебания, схожие по форме с изображенными на
рис. 11.9. В заключение отметим, что появлению преры-
вистой генерации способствует не только увеличение ем-
кости Сэ, но и увеличение обратной связи. Однако следу-
Рис. 11.9.
ет иметь в виду, что при больших связях начинает играть
существенную роль реакция коллекторного напряжения,
и полученные выводы могут измениться.
В частности, величина dSfdA, которую мы считали
положительной, может обратиться в нуль или переменить
знак на обратный, в результате чего из полученных соот-
ношений будут вытекать другие следствия.
11.4. Автогенератор с емкостной обратной связью
В качестве второго примера рассмотрим транзистор-
ный автогенератор с емкостной обратной связью и обра-
тимся к соответствующей схеме, изображенной на
рис. 11.10. Здесь выбрана схема питания с двумя бата-
реями Ек и Еб для того, чтобы не обременять дальнейшее
изложение учетом не играющих принципиальной роли
§11.4. 269
i
Рис. 11.10.
вспомогательных потенциометров и конденсаторов, хотя
на практике предпочитают обходиться одной батареей.
Основные уравнения задачи в операторной форме1 напи-
шутся так:
__ 7________________________________I р ___ ZT
1 pL + r+[R^+pCM]‘ 1 + pC9R3 «б,
где
рС [pL + г + (Яэ/1 + рСэЯэ)]
Z = (1 >рС) + pL + r+ [/?,/(1 +рсэ7?э)] ’
или после преобразований
— pCR„ + (1 + pCM)№LC + pCr + 1) =иб-Е6
и, далее,
{р Д[С 4“ С*э (1 + p2LC + pCr) ] +
+ p2LC + pCr+ 1} (?7б—Д) = — Rai.
Если ввести емкость контура С' = ССЭ/(С + Сэ) и обозна-
чения g?= 1/ЛС'; и = г!2Ц то можно это выражение пере-
1 Это операторное соотношение написано не для нулевых на-
чальных условий, как это мы делали раньше, а в предположении,
что Ев включается при напряжениях на С3 и С, равных Eq. Это не
сказывается на дифференциальных уравнениях задачи, а следова-
тельно, и на окончательных результатах
270 §11.4.
j
$
j
писать так:
Р [ Р3 012 2аР ] (мб — ^б) +
+-§- (Р2 + 2ар + ту-0?) (»б - £б) = - RJ\
Р (Р* + (*б - Еб) = - ^+~cj [/?э? +
I ~г № Н" 2<хр -|- —«г) (йб — £б) J —2ар2 («б — Ее).
Дальнейшие вычисления будем производить, считай
1/<оСэ и С/Сэ малыми; тогда, ограничиваясь первыми по-
рядками малости, можем написать
Р(Р* + ®2)'(«б - Еб) =- Rg{c + Сэ) [ЯЭ1<»2 +
. + (Р2 + (°2) («б - £б)1 — 2«р2 (i?6 — Еб).
Действуя в соответствии с принятой ранее схемой,
получаем
- = _ 1 /т„ Г 1 1 1 ll
м« Еб^ R,(C + Ca) VКэ [ р 2(р-1<й) 2 (р+/<0) JТ
+^} - »ti+мМ'
Положим теперь
йб — Еб = у1^гу2-\- уа,
причем
РУ\ — ~ (У1 + ^2 + ^») J’»
(р- » у2=-4-сТс7~а^« + ^ + ^’);
(р+Я у3= + 4“ сТсэ-а^*+г/2+^
271
или
dt С4-С,[^“Ь Ra О/1 + У2+#s)p
~dt !шУг — 2(C+C9) — a (У1 4“ У2 4" Уз)'
57 4~ == 2 (c +cB)— a 4“ у 2+Уз)-
Сравнивая эти формулы с уравнениями (3) —(5)
§ 11.2, видим, что полученные ранее соотношения для
схемы с трансформаторной обратной связью останутся
в силе, если в них произвести следующие замены: C-j-C8;
<о2]Л1| на 1/(С+Сэ), и считать, конечно, т=\/LC'.
Условие самовозбуждения приобретет тогда вид S>
>2а(С+Сэ)-
Уравнения для стационарных (периодических) коле-
баний будут следующие:
Д[«-
S
2(С + СЭ)
и.условия устойчивости периодических решений напишут-
ся так:
Последнее неравенство при сделанных нами допуще-
ниях выполняется всегда, а следовательно, здесь нельзя
подобно тому, как это делалось в предыдущем случае,
прийти к выводу о необходимости режимов прерывистой
генерации. Однако оговорки, сделанные на стр. 269 по
поводу больших связей, и здесь останутся в силе.
В частности, могут возникнуть и прерывистые колеба-
ния, если связь достаточно велика и существенную роль
начинает играть переменная составляющая коллекторно-
го напряжения.
12
ЧАСТОТА АВТОКОЛЕБАНИЙ ВО ВТОРОМ
ПРИБЛИЖЕНИИ. ВЛИЯНИЕ ШУМОВ НА ФАЗУ
И ЧАСТОТУ КОЛЕБАНИЙ АВТОГЕНЕРАТОРА
12,1. Общие соотношения. Частота автоколебаний
во втором приближении
При решении многих задач современной радиотехни-
ки к стабильности частоты автоколебаний предъявляются
весьма высокие требования. В связи с этим возникает
интерес к вопросам, связанным с учетом факторов,
влияющих на частоту автоколебаний во втором прибли-
жении.
До сих пор, рассматривая различные схемы автогене-
раторов, мы получали частоту автоколебаний в первом
приближении, причем эта частота зависела лишь от
энергоемких параметров, входивших в состав колебатель-
ных контуров (индуктивностей и емкостей). Однако при
более точном рассмотрении можно установить, что часто-
та генерируемых колебаний зависит также и от других
величин, таких, например, как сопротивления контуров,
параметров активного элемента (транзистора, лампы
и т. д.), величин токов базы и др.
Вторая группа факторов, влияющая на спектр автоко-
лебаний, особенно существенная в области высоких ча-
стот (практически начиная с метровых волн), связана
с влиянием случайных флюктуаций, всегда имеющих ме-
сто в реальных схемах. Сюда можно отнести в первую
очередь дробовой эффект электронных ламп, шумы со-
противлений, входящих в состав схемы, случайных изме-
нений параметров колебательной системы, шумы в тран-
зисторах и многие другие причины. Не останавливаясь
на общих вопросах, рассмотрим в качестве примера схе-
му одноконтурного автогенератора и постараемся найти
частоту (или спектр) автоколебаний этого генератора
с учетом некоторых из упомянутых выше факторов.
В рамках настоящей главы мы, конечно, не сможем
рассмотреть вопросы о шумах в широком плане. Однако
§12.1. 18—12 273
мы попытаемся иллюстрировать применение метода ММА
для решения подобных задач. Обратимся к схеме, при-
веденной в пятой главе и вновь изображенной здесь на
рис. 12.1, но в отличие от предыдущего э. д. с. е предпо-
лагается теперь случайной функцией времени. Имея
в виду любую частную реализацию для е можем подоб-
но тому, как это делалось раньше, написать уравнения
задачи.
Напряжение на сетке ug в соответствии со сказанным
ранее в гл. 5 подчиняется уравнению (6) § 5.3:
^+»02 us = o>2Q (е - - 2а^-
dt* 1 0 в 0 \ dt J
Положим, как и раньше, us=yi+y2, где y2=y*i, a yi под-
чиняется уравнению
причем здесь ю0=1/|/£С
Относительно величины е (э. д. с. шума) можно сде-
лать различные предположения, и результат может су-
ществленно зависеть от
этих предположений. Мы будем
в дальнейшем считать, что е
является малой величиной и е
и а имеют одинаковый порядок
малости. Параметр малости
обозначим р и в дальнейшем,
там где это удобно, будем пи-
сать р вместо <х.
По поводу сказанного полез-
но привести некоторые допол-
нительные соображения.
Рассматривая малые шу-
мы, мы хотим чтобы шумовой
сигнал на сетке лампы был
мал по сравнению с напря-
жением основного колебания. Принимая порядок мало-
сти последнего равным нулю (основное напряжение не
мало и не велико при сколь угодно малых р), естествен-
но считать, что шумовой сигнал на сетке имеет порядок
р. Для этого и шумовая э. д. с. должна быть малой того
же порядка малости или, быть может, более высокого
(учитывая возможность резонансных явлений). Положив,
274
§12.1.
что е имеет порядок малости р мы вместе с тем учитыва-
ем при правильной трактовке результатов и вторую воз-
можность (могут лишь оказаться удержанными «лиш-
ние» слагаемые, не оказывающие влияния на результат
в пределах точности вычислений).
Ограничиваясь пока этими соображениями, отметим,
что к вопросу о порядке малости е мы еще вернемся
в настоящей главе.
Переходя к уравнению (1), согласно общей методике,
изложенной в четвертой главе, положим
Я,=^-Аеы
и после подстановки найдем1
= - (X | АеГ1 + 4*e“'w+
+—f Г ’ Аем 4-А-4*е-/шП + j — e\e4at,
1 р ' I 2 *2 J ‘ J р |
причем здесь а заменено на р и — на ю. Тепеэь на-
пишем
ОО к
k=—oo
где /ft — функции от Л и А*, причем такие, что при веще-
ственном A /ft также вещественны. Отсюда легко сделать
вывод, что в общем случае /ft = /° -(Л/| A |)ft, /° — веще-
ственное число. Введя обозначение Sft=/“ /1А получим
f(«8) = 4- S SkAheikat,
k——00
причем Sk является функцией только от |Л|. Таким об-
разом,
= - р, {
+4? S Sft(i(2)
k — — QQ
1 Для упрощения записи вместо g)q мы пишем дальше <й.
§12.1. 18* 275
Введем обозначения:
Л(Д, Л*)=-Л[1 + ^51(|А|)]; (3)
FS(A, Л», 0 =
V Sft (| А |)A»el wt 1; (4)
~r* I
& —— оо J
^(0 = -/^^'W. (5)
Г*
и тогда уравнение (2) приобретает вид
dA/dt^F^Fz+Fs).
Введем теперь еще величину В, являющуюся решением
уравнения dBldt=\kFi(B, В), и стационарное значение
этой величины В = В0, определяемое соотношением
Л(В0, Во)=О. (6)
Положим теперь Л = Во+ц? и, следовательно, на осно-
вании (2) можем написать
Ж/^=В.(В0 + ^; В0 + рХ*) + В2(В0+^; Во +
+ 1хС*; 0+в _^с + ^+^с +
+^С*]+^(В0> в»; 0+^ + ^
причем все производные берутся при Л=Л* = Во, a /ч—
«остаточная» функция, смысл которой очевиден, имею-
щая порядок малости ц2, если в рассматриваемой обла-
сти изменений £ и £* Л и Г2 со своими частными произ-
водными, вплоть до третьего порядка, ограничены.
Введем теперь еще функции ф1 и фг, подчиняющиеся
уравнениям
<»|.,/<й = В.(В0, Во; 0;
v=I* [ет <f.++яг <F-+f )]+р •• (7>
276
ф2(0) = 0 и условию Полагая и = С — ф, — ф2,
получаем уравнение
=^{57(^4-^)(« + Ф.) +
+^г (F. + Л) («* + ф*,) | +.F, (8)
Так как согласно сделанным предположениям FJn^M0,
можно в уравнении (8) отбросить Ft, совершив в опреде-
лении и ошибку порядка ц, а следовательно в определе-
нии А — порядка р.2 на всем интервале 0^/<L/g.
Кроме того, поскольку Ft не зависит от t, a ipieAfo и
при Д = В0 dFifdA =dFi/dA*, можно написать
= I1 [и (“ + “•) + И <“+«+& (“*+ <-•.)] (9)
Прежде чем переходить к разысканию решений уравне-
ний (7) и (9), введем некоторые обозначения и выпол-
ним предварительные вычисления, которые упростят
дальнейшие выкладки. Воспользовавшись (3), составим
дА~~
-Г1 + ^3,(|Л|)1-
I “k J
ц>Ш dS, д | Л |
2|л d | А | дА
Так как |4| =]/АА*, при А = В0 с учетом (6) получим
dFt
дА А—Во
^B0S',(B0) =
4|Л ° 1X0/
(10)
где введено обозначение dSJdB=S'i. Напишем далее
F,= S
&=—оо
где согласно (4) при всех целых k, кроме k = 1, — 1,
<о2Л4 с ль
mk = --2— SkAh,
wz, = O;
Кроме того
§12.1.
277
i
i
I
Теперь в соответствии с (7) можно положить
= (12)
k——OO
причем при k= \ mu/(k -— 1) = 0.
Теперь найдем
оо оо
^21 _ VI дтк __ yi п ej(k-\)<ot
|Д=-В0 Zj А=В0 Zj к ’
k——оо k——оо
где /г, =0,
(4 1 )•
Аналогично,
^U= S
k——оо
и при всех целых k, кроме k=\, — 1,
Ph = ^\ (13)
дА |д=во 4р. о ' '
И
Р,=0; +
Теперь мы можем составить произведение:
00 00
^2,1, _ 1 V » J(*-D«4 V т» J wt
дА — се 2j h L * —1 —
Л=—оо k^—оо
00 00
_______i_ V V pi 5~2)z
w Zj Zj S— 1
Л=—OO S=—00
Из этой суммы мы выделим постоянную часть (на зави-
сящую от /), которую обозначим jut; тогда
278 §12.1
Аналогично,
s=—оо fe=—оо
Выделяя и здесь постоянную часть, которую мы обозна-
чим /%2, получаем
______L V
k=—tx>
Обратимся теперь к уравнению (7), которое приобретет
сейчас вид dty2/dt =—щуСфг+^г) +А, так как dFz/dA*&
^Мо и дРг/дА*^Мо1. В общем случае F3 — комплексная
величина; положим F3=FR+jFi-, ty2=x + jy, тогда dxfdt=-
= —2y|ix+/:'R; dy!dt = Fi. Отсюда
х J F/mt dt-, y=j Fidt
d 0
и
ф2 = е~2^ J F^* dt-\-j^ Fidt.
о 0
(14)
Перейдем теперь к уравнению (9). Учитывая, что
dF2/dA^Mo, др2/дА*^М0 и что слагаемые, принадлежа-
щие Мо, можно отбросить, напишем duldt=\&—y(“ +
+ u*)+/(%i4-ix2)]- Положив теперь ы = х1 + /г/1 (xb г/i —
вещественные), получим уравнения
dxijdt=— 2y|iXi; dyddt — ц (xi + х2),
и, следовательно,
Xi = Me-^-, y. = ix[(3<I + %2)^ + A];
и = Ме~2м/ + [(х. + х2) 14- А], (15)
где М и N — произвольные вещественные константы.
Теперь можно написать выражение для А в следую-
1 Если шумы имеют порядок (ц2, то ip2 определяется с ошибкой
порядка ц на интервале длиною 1/.|х. Если шумы не столь малы, то
нужно рассматривать более короткий интервал.
§12.1. 279
щей форме:
Л = Во + (и + ф1 + Фг) = Во-/^5 .
k~—оо
+ flMe-2|X1'z + J>[l‘(’<.+.’<2)^ + ^ + ^2. (16)
Остановимся сначала на случае, когда «шумы» отсутст-
вуют, т. е. е, а следовательно, и хр2 равны нулю, и отме-
тим в первую очередь соображения, согласно которым
следует выбирать константы М и N. *
При установившемся процессе «амплитуда» колеба-
ний постоянна и в соответствующих выражениях не дол-
жны присутствовать нарастающие или затухающие сла-
гаемые. ;
Так как в течение промежутка времени, длительность I
которого имеет порядок 1 /р, слагаемое де-2*4* меняется
на величину порядка р (т. е. в пределах точности расче-
та),-следует из этих соображений положить в (16) Л4 = 0.
Таким образом,
А=В /1 + /^-[ц(х1 + н2)/ + ^]-
I J
] (й Zj 1*
k——oo
В пределах точности вычислений мы можем этому выра-
жению придать вид
а ~~R 11* f + W] .j jji i (Ь 11 tot
А=Воев* } 07)
£=.—•00
Величина N соображениями, вытекающими из стационар-
ности режима, не определяется и остается произвольной,
но ограниченной при сколь угодно малых р.
Из формулы (17) вытекает, что частота автоколеба-
ний равна
ф' = ш -(- (Х1 х2) = со
Второе слагаемое в (17) дает величину высших гармо-
ник. Здесь также следует заменить со на со'.
280 §12.1.
Если воспользоваться полученными ранее выражения-
ми для xi и Х2, можно написать Дсо в явном виде. Опу-
ская сейчас довольно громоздкие выкладки, которые при-
водятся дальше в п. 12.1.1, напишем окончательный ре-
зультат:
° н
12.1.1. Вспомогательные преобразования
Для того чтобы получить-формулу (18) предыдущего
параграфа, составим сумму
v _L_v — _ 1 V т*П-*+* -4- 1 V P*m*h
w 2j k—\ т со 7j
k=—cx> k^—<x>
Так как здесь предполагается А=В0 при любых k, кроме,
быть может, k=—1, 0, +1, числа т-h вещественны, и
m-k = mk; тогда можем написать
ОО
—оо Согласно определению (при k=^=l, — <й2Л1 Т т*~ где Т 2 = (-±-Ae''wt + ±А*е 'т 2 у» 2тс (О ’ т 2 _дт^ _ оЛМ С df_e Пк~ дА 2t>.T}dz т 2 2== ' -«-fe+2). •1)
§12.1.1
281
Кроме того,
и, следовательно,
т
аМ Г g-/(fe-i)g>< df
Z^BqT j sin со/ dt
_ T_
2
Аналогично,
т
_дтк_ыМ С g-/(*+!)«>« df
Рк~ дА* 2^В„Т J sin at dtat'
_________________т_
2
47 1 df < .
Учитывая, что ——--^ — четная функция от г, можем
sin со/ dt
также написать
т
_ аМ Г е'df
Пк — 2^В„Т J sin(0, dt йТ-
____________r_
2
Теперь
аМ_ г Ге-1<°<_еН
Рк-п.к+2=2^в0т J |ЛП5—е
-I-
2
Т
2
___ ; <*>М f df ___________________
— J 4te ai~
” 2
Т
2
___т_
2
282
12.1.1.
КЖ
й, следовательно,
тк (п „ ч _ 2й
n-k + t)— k_\
(Wh)a
Во '
С учетом того, что ЛЧ,- и ^-*+,г при k = 1 равны
г? 1 К — 1
нулю, можем написать
оо 2
^ + «2 = — —
k~ — 00
k^=\, -1,
и в установившемся режиме равно нулю. Таким образом,
00
. 4 VI k 2
X, -]- Х2_ 2j £2 _ 2 тк •
Отсюда уже непосредственно вытекает искомая формула
(18) предыдущего параграфа.
12.2. Влияние шума на колебания в автогенераторе
Полученные выше соотношения позволяют также рас-
смотреть вопрос о влиянии шумов на колебания в авто-
генераторе. Прежде чем переходить к вычислениям, от-
метим, что шумы, возникающие в автогенераторах, могут
иметь различное происхождение и различный характер.
Часто выделяют две группы шумов — быстрые и медлен-
ные. Не пытаясь дать точное определение этим терминам,
будем называть медленными шумами такие шумовые
функции, изменение коих за один период автоколебаний
(или иногда даже за время установления автоколебаний)
незначительно. Такие колебания, обычно вызываемые
изменением параметров системы или другими техниче-
скими причинами, мы здесь рассматривать не будем.
Быстрыми функциями в теории шумов обычно считают
такие функции, полная вариация которых за время одно-
го периода автоколебаний велика. В дальнейшем будем
§12.2. 283
интересоваться так называемым «белым» шумом, кото-
рый относится ко второй группе.
Основная цель настоящего раздела — иллюстрировать
применение метода ММА к задачам рассматриваемого
типа. Поэтому природа «шумящей» э. д. с. для нас несу-
щественна. Все же полезно сказать, что эта э. д. с. мо-
жет представлять собой тепловой шум сопротивления
контура или же являться эквивалентом других шумов,
присутствующих в устройствах рассматриваемого типа,
например дробового шума лампы или шумов, имеющих
место в транзисторах, если применен транзистор. Для
определенности будем в дальнейшем иметь в виду тепло-
вые шумы сопротивлений.
Обратимся теперь к формуле (1) § 12.1 и будем под е
понимать одну из реализаций «шума». В соответствии
со сказанным ранее предположим, что е представляет
собой малую величину, порядок малости которой равен
[1. (Смысл этого утверждения уточняется ниже.) При
дальнейших вычислениях воспользуемся моделью белого
шума, которая представляет собой совокупность сину-
соид с одинаковыми амплитудами С, круговыми частота-
ми юл и случайными фазами <р&, или
Се"‘^. (1)
&=—00
Эта сумма в обычном понимании не существует, и мы
должны прежде всего уточнить, в каком смысле следует
понимать соотношение (1) и то, что из него вытекает
в дальнейшем.
Пусть вся бесконечная ось частот—оо<со<оо разде-
лена на равные интервалы длиной Дсо, которые перенуме-
рованы целыми числами |Л| =0, 1,2..., начиная с неко-
торого интервала, которому присваивается А = 0 и часто-
та <Do= 0. Каждому интервалу ставится в соответствие
экспонента Се где С — вещественная (поло-
жительная) амплитуда, q>k — случайная фаза (для дан-
ной реализации определенная), причем круговая частота
G)/1 = ^ACO и = —ф/г.
Суммирование ведется сначала в некоторых доста-
точно больших, но конечных пределах—т. е.
иначе говоря, рассматривается конечная сумма, состоя-
щая из 2JV+1 слагаемых и представляющая со-бой коле-
284 §12.2.
бание с дискретным й ограниченным спектром —
^о)^А(о = й. Однако в дальнейшем в процессе после-
дующих вычислений там, где это возможно, совершаются
два предельных перехода: сначала Дю—>0 при неизмен-
ной полосе частот 2Q (соответственно увеличивается N),
а затем, если по ходу рассуждений это потребуется,
устремляется к бесконечности и Q. При всех этих пре-
дельных операциях величина /. считается конечной
(фиксированной), и если требуется где-либо в дальней-
шем рассматривать случай t\—>оо, то этот предельный
переход совершается в последнюю очередь. Бесконечные
пределы у знака суммы в (1) и в последующих соотно-
шениях ставятся условно и должны пониматься лишь
в указанном выше смысле.
Величина С непосредственно связана с плотностью
энергетического спектра мощности шума ц соотношением
С2=2т]Дю... (2)
Это вытекает из следующих соображений.
Выберем некоторый достаточно большой, но конечный
интервал времени —Т/2^/,^Т/2 и найдем величину
оо sin [£Дсо — у] —
&Дсо — v
k——оо
где v — вещественное число (перемена порядка суммиро-
вания и интегрирований допустима, так как пока еще
сумма рассматривается как конечная).
Составим теперь квадрат модуля |Р|2:
|Р|2 = (Р,
т т
sin (&Д<о — у) — sin (sAco — у) -g-
(&Д<й — v) (sДсо — у)
§12.2.
285
й найдем его усредненное по ансамблю значение, считая
все значения ерь равновероятными в интервале 0 и 2л и
равными нулю вне этого интервала; тогда энергетиче-
ский спектр (1) в соответствии с его определением будет
равен
Т
С2 °° sin2(&to — *)-£-
(&Дсо — у)2 ’
оо
ибо
О при
1 при k=s.
При достаточно малом Д<о можно написать
Т
„„ оо sin2 (£Д<о — v) -Q-
. . С2 Г ' 2 jx. Сг
•п (v) = -= I ------77-7-----------ak — 57—,
' я/ J (&Д<й— у)2 2Дсо
—оо
и, следовательно, С2=2т)Дсо.
Если иметь в виду тепловой шум, то величина q(v)
определяется хорошо известной формулой Найквиста.
Величина Д® может быть выбрана достаточно малой и,
во всяком случае, такой, чтобы в пределах полосы про-
пускания системы укладыва’лось большое число гармо-
ник. Отсюда следует, что Д® должно быть величиной
порядка малости р или более высокого.
Предполагается также, что коэффициенты С имеют
первый порядок малости, т. е. удовлетворяют соотношению
ССМр YД®, где М не зависит ни от р ни от Д®. Это
значит что при фиксированном числе слагаемых (фикси-
ровано Дю) э. д. с. е будет величиной порядка р.
Если До) достаточно мало, возможны, впрочем, и
сколь угодно большие мгновенные реализации, но веро-
ятность их появления ничтожно мала, и,.как правило,
сумма (1) имеет порядок малости р. Это вытекает, на-
пример, из следующих соображений. Если составить е2
и произвести усреднение по ансамблю, то результат бу-
дет иметь вид
N
<г>=-гЁсгг=?^с‘- (3)
286
§12.2.
Таким образом, С2 пропорционально при лю-
бом сколь угодно большом N, величина <е2> остается
ограниченной и пропорциональной ц. Из этого можно
заключить, что реализации, имеющие порядок малости
менее высокий, чем ц, встречаются настолько редко (ме-
ра их множества равна нулю), так что при усреднении
по ансамблю с их наличием можно не считаться.
Напишем теперь Г3, определяемую уравнением (5)
§ 12.1:
F3=-^^C^e/(ftW+^ =
&=—оо
k=—00
где
FR = ^-C J} sin [(^<0- <o) t + ?(J;
k~— OO
OO
Pi = — с V cos [(&Д® — to) t +
k——OO
В соответствии с формулой (14) § 12.1 получаем
ф2 = V /tf-214* f sin [(Ш — <•>) t -f- <pft] dt —
ZP* I J
oo ' Q
— j J cos [(/г Дсп — ш) t dt I.
о /
Вычисление интегралов дает
. __ шб? V I 2yix sin [(Meo — co) / + n] —
Ъ 2р. j (2yh)2 +
k——co
— (Med — co) cos [(Meo — co) t + _
R-> (Meo — co)2
__ . sin [(Meo— co)^ + ®h]—sin <ph _
Meo — co
_ -2|xy 2yp. sin 9b — (fea<0 — <o) c<r )
(2yp.)2 + (Wco — <o)2 j'
$12.2. 287
Обозначив вещественную и мнимую части -фг соответст-
венно р и q, формуле (16) § 12.1 можем придать вид
А = во + JW (х. + х2) t + р + р + jq -|- jN + Me~2vat, (4)
где
t
оо sin(felw —©)у
—+ <?*]• (5)
£=—ОО
Учитывая малость величины С, можно, не выходя за
пределы точности расчета (подобно тому, как это уже
делалось раньше), написать
Л = В. [ 1 + да? I _|_ да ЦД.] + „ (ф, + р+
±MeM) = Blje I * J + ^i+p+7We-1 2^), (6)
где .бчх> = р2 (xi + %г) /Во-
Если принять начальную фазу колебания равной ну-
лю (Во вещественно), то полная фаза в момент 4 будет
равна
(св + бсв)/|+ р (q+N/Bq)
и, следовательно, приращение фазы, создавамое шумами,
определяется формулой
0 = р<7/Во.
Воспользовавшись (5), получаем
t г t 1
°° sin (kДь>|— ®) — cos I (£Дсо — со) -у + I
® £Д<о — ®
k—— оо
Если интересоваться средним квадратичным значени-
ем отклонения фазы, вызванным шумами (среднее зна-
чение самого отклонения равно, очевидно, нулю), то
усредняя 02 по ансамблю, получаем (опуская несущест-
венные «вибрирующие» слагаемые)
t*
оо sin2 (&Дсо —Ъ) -у
(&Дсо — со)2
£=—00
1 Здесь отброшены слагаемые, не играющие существенной роли
при больших t.
288 §12.2.
со2С2
20*
(2-
и, заменяя сумму интегралом, находим
£
2
<е2>
оо
<о2С2 Г
2*2о J
sin2 (&Дсо —со)
(&Дсо — со)2
dk
или
62
<о2Сг ,
---о-- Kt
4SqAw
CO2Tj (<й)
(7)
z/,
где в соответствии с формулой Найквиста
n(a)) = (2/jt)KTJ?, (8)
причем К — постоянная Больцмана (1,38-10~23 дж!град)\
Т — абсолютная температура «шумящего» сопротивле-
ния R в омах; т|(о)) —плотность энергетического спектра
белого шума в вольтах.
Таким образом,
<0s> = (B2K7’/?Z/S^
12.3. О ширине спектральной линии автогенератора
Особый интерес представляет для практики вопрос
о ширине спектральной линии генерируемых колебаний.
Под воздействием шумов, которые, например, можно
рассматривать как совокупность хаотических «толчков»,
изменяется «амплитуда» и «фаза» автоколебаний. Ам-
плитудные изменения благодаря асимптотической устой-
чивости амплитуды стационарных автоколебаний оста-
ются при малых толчках всегда малыми (с течением вре-
мени не накапливаются), вследствие чего влияние шумов
на амплитуду колебаний невелико. По отношению к фазе
автогенератор не является системой асимптотически
устойчивой, вследствие чего имеет место «накопление»
ухода фазы. Это, в частности, выражается в том, что,
согласно результатам предыдущего параграфа, средний
квадрат ухода фазы пропорционален времени действия
шумящей э. д. с. (закон, имеющий место при уходе точки
в процессе случайного блуждания).
Уход фазы, как известно, может восприниматься как
изменения частоты генерируемых колебаний, причем са-
мо понятие частоты делается при непериодических про-
цессах до некоторой степени условным. Так, например,
§12.3. 19—12 289
если под частотой колебаний понимать среднеквадратич-
ный набег фазы за некоторое время t, отнесенный к это-
му времени, то частота будет изменяться в зависимости
от длительности времени измерения и при достаточно
больших t стремится к средней частоте, равной частоте
автоколебаний генератора, свободного от шумов. Можно,
конечно, говорить также о мгновенной частоте, понимая
под последней производную от фазы по времени. Эта ча-
стота окажется функцией времени (при каждой задан-
ной реализации шума) и будет пробегать все значения
в весьма широком, если не бесконечном, интервале. Мож-
но также судить о частоте, измеряя «расстояние» между
соседними максимумами или нулями; здесь также часто-
та окажется зависящей от времени измерения, а интер-
вал возможных частот — весьма широким.
Однако очевидно, что не все частоты (периоды) будут
при подобных измерениях встречаться одинаково часто,
и, следовательно, при определении полосы генерируемых
частот необходимо учитывать вероятность появления ко-
лебания с этой частотой, а также интенсивность соответ-
ствующего колебания.
В связи с этими обстоятельствами обычно при опреде-
лении полосы генерируемых частот исходят из понятия
энергетического спектра, учитывающего также и вероят-
ность появления данной гармоники и ее интенсивность.
С этим связано также и то обстоятельство, что при воз-
действии на линейную систему случайного процесса вы-
деляемая мощность характеризуется именно плотностью
энергетического спектра изучаемого процесса.
Однако на этом пути возникают затруднения, связан-
ные в первую очередь с тем, что при вычислении энерге-
тического спектра необходимо знать рассматриваемую
функцию в бесконечном интервале времени, простираю-
щемся в пределах от —оо до +оо. С другой стороны,
получаемые приближенные решения обычно пригодны,
хотя, может быть, и в больших, но конечных интервалах,
и поэтому не могут быть без дополнительных вычислений
или предположений использованы для вычисления энер-
гетического спектра колебания, продолжающегося не-
ограниченно долго.
Эту трудность можно попытаться обойти различными
способами. В частности, это будет достигнуто, если
удастся продолжить полученное приближенное решение
за пределы рассматриваемого интервала, воспользовав-
?90 §12.3,
шись теми или иными соображениями. Иногда во избе-
жание громозких вычислений отказываются от нахож-
дения энергетического спектра и определяют полосу гене-
рируемых колебаний каким-либо другим способом.
Мы не будем приводить здесь соответствующие вы-
кладки, которые обычно получаются довольно громозд-
кими, и обратимся прямо к результатам, которые позаим-
ствуем из литературных источников.
В наших обозначениях энергетический спектр мощ-
ности колебания автогенератора, находящегося под воз-
действием белого шума, определяется формулой (при ча-
стотах V, близких к и/— частоте «невозмущенного» гене-
ратора)
Э (v) = -----L-i-T-, (1)
4 ' 2тг (v — со')2 + X2 ' '
где х = (o2C2/8Bq Дш.
Если, как обычно, определить ширину спектра 25<о как
всю полосу частот вблизи от резонанса (v=(»')» в пределах
которой амплитуда колебаний падает по отношению к
максимуму не более чем в]/2 раз (т. е. Э(у) падает
в два раза), то из (1) непосредственно следует 28v=
= 2x = w2C2rc/4So Дсо, и так как с2 — 2т]Д(», то 25v =
= co2^/2Bq .
Учитывая (8) § 12.2, окончательно напишем
25v = (co2/B^/)^/?. ’ ' (2)
12.4. Дополнительные замечания
Остановимся сначала на результатах, полученных
в конце предыдущего параграфа. Как видно из формулы
(1) § 12.3, вблизи от резонанса спектральная плотность
Э(у) не является малой величиной. Поэтому пренебреже-
ние величинами, дающими поправки порядка р, можно
в известном смысле оправдать. Однако следует иметь
в виду, что за пределами максимума спектральной плот-
ности, определяемой (1) § 12.3, играют существенную
роль и другие неучтенные здесь слагаемые, имеющие по-
рядок малости р. В частности, имеется еще дискретный
спектр, соответствующий высшим гармоникам, которые
появляются благодаря нелинейности характеристики
§12.4. 19* 291
электронной лампы. Имеются также и другие малые сла-
гаемые, не учтенные при выводе предыдущих соотноше-
ний.
Как видно из формулы (2) § 12.3, относительная ши-
рина спектральной линии пропорциональна частоте (о.
Практически величина 6v/co зависит от схемы и конкрет-
ных параметров устройства1 и в области дециметровых
волн невелика и имеет порядок 10“7.
Следует отметить, что на практике нестабильность
автогенератора, связанная с техническими причинами
(изменение питающего напряжения, колебания темпера-
туры), дают значительно большие уходы частоты. Одна-
ко соотношение (2) § 12.3 имеет большое принципиаль-
ное значение, ибо оно указывает верхнюю границу ста-
бильности частоты, которую нельзя превзойти, если даже
устранить технические причины ухода частоты.
1 Более подробно см. Малахов А. Н., Гоноровский И. С.
§12.4.
Приложение 1
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ММА
Обратимся здесь к доказательству утверждений, высказанных
в § 4.4, т. е. к обоснованию метода ММА.
Пусть имеется система из п дифференциальных уравнений пер-
вого порядка, разрешенных относительно производных, которая мо-
жет быть записана в форме 1
d.4/a7 = p1[Ol(A,/)+Ф2(А, 0], (1)
где р.>0—малый паратетр и А, Ф1} Ф2—«-мерные комплекснозначные
векторы-столбцы с компонентами, соответственно A(ft), ф|*\ Ф^ и
&=1, 2, ..., «. Ищется непрерывное решение (1), обращающееся при
t=0 -в заданную вектор-функцию А(0).
Будем считать, что в рассматриваемом векторном пространстве
существует «-мерная область D (содержащая А(0) в качестве своей
внутренней точки), в которой функции Ф1 и Ф2 удовлетворяют усло-
виям:
а) [Ф^ и |Ф2| ограничены при всех /^0;
б)
t
J Ф^’ (Л, о dt
о
t
рФ£*> (Л, о
J дА~) dt
о
(2)
где М — некоторая постоянная, не зависящая ни от А, ни от g, или
функция от ц, остающаяся ограниченной при сколь угодно малых g.
При вычислении интегралов (2) вектор А считается постоянным;
в) Ф1(В, /) удовлетворяет условию Липшица
|Ф1(В, +Т). ОKKbil, (3)
где К — постоянная, не зависящая от t и от g.
Теперь напишем укороченные уравнения, которые образуются из
(1) путем отбрасывания последнего члена. Обозначив искомую ве-
личину через В, получаем
dB/dt^®! (В, /). (4)
Введем т]=А—В\ путем вычитания (4) и (1) находим
0+Ф2(В+т|, /)]. (5)
Если рассматривать уравнения (1) и (4) при одинаковых на-
чальных условиях, то при /=0
т]=0. (6)
1 Здесь и дальше прямые скобки, отнесенные к вектору или ма-
трице, означают норму, определенную как сумму модулей отдельных
составляющих этих величин; в случае скаляра — означают модуль
заключенной в скобки величины.
П.1 293
Проинтегрировав (5) в пределах от 0 до /, с учетом (6) па пи*
шем
t
7)(0 = р. J [Ф, (В + 7), t)]dt +
О
t
+ [Л J ф2 (в + 7], /) dt.
о
Теперь на основании (7) имеем
t
Н|<Н-J |ф, (£Г 4-nq, Q-Ф, (В, t)\dt +
о
t
J Ф2 (В + 7), t) dt .
о
+ [Л J Ф2 (В + 7), /) dt
О
и, следовательно, воспользовавшись (3)-, можем написать
t
hl<i*K j hl л + р-
О (
Введем обозначения
t
= ф(О =
о
t
У Ф2 (В + 7), о dt .
6
Тогда
dRldt<y,KR+№(t).
Умножая последнее неравенство на e~^kt и интегрируя его
лах от 0 до /, получаем
t
R (/) < y.e*ki j ф (/) dt,
О
(7)
(8)
преде-
в
что с учетом (8) приводит к соотношению
t
dR Г
hl = ~аг < ^Ke*kt J + (0 e~^tdt + (0- (9)
о
294 П.1
'^•1
Перейдем к оценке величин, входящих в правую часть (9). Мо-
жем написать
t
[Л (0, <] = 4г jф26) Г-4 (0. ’] rfx-
о
t
[Л (/), X]
J dt
О
и, следовательно,
т] dt —
Г Г дФ<? [Л (&)т]
-j “Ч ——
о о
т] dt
о о
Далее,
ЙФ<*> [Л ($, X)] _Л дФ^ dA(i)
di Zj
i=l
и в соответствии с условием (2)
ФкС-М +
t п
</Л(<)(^) гдф^' [Л (g), т]
dg J dAW
о
</Л(О
~dT
и с учетом (1)
фк<Л4 1 + (х J (|Ф,| + |Ф2|) dg .
о J
Вследствие ограниченности |Ф11 и |Ф2|, т. е. |Ф1| <’п/г; |Ф21 <
<т1ъ где т — положительное число, не зависящее or t, можем Ha-
П.I
895
Л-*--»
писать
п
Фк < М [1 + Ф = S Фь < пМ [1 +
fe=i
и, следовательно, согласно (9)
t
|vj| < (1 + + l^2nMKe^kt (1 + ^mt) e~^kt dt =
0
= |лпЛ! [0г+ *) pj. (10)
Полезно отметить, что входящие в (10) величины Я и /( либо
не зависят от р, либо являются функциями от Ц, ограниченными при
всех достаточно малых ц. Их выбор непосредственно связан с выбо-
ром области D, и, в частности, если D2=)Di, значения упомянутых
выше величин для D2 приходится выбирать большими, чем для Di.
Теперь обратимся к укороченным уравнениям (4) и предполо-
жим, что для рассматриваемого интервала времени O^pr<L, где
L — надлежащим образом выбранное положительное число (отлич-
ное от нуля и не зависящее от ц), все B^(t) удовлетворяют усло-
виям
|B<4(0-BW(0)|<BW ’ (Ч)
где — некоторые положительные числа (не зависят ни от t, ни
от ц), т. е. вектор В при всех указанных выше значениях t находит-
ся внутри области, определяемой условиями (11).
Выберем в качестве упомянутой выше области D «расширенную»
область (11), определяемую соотношениями
|BW(0- В(М (0)1 <£<*>+ Д, (12)
где Л — некоторое положительное число (т. с. в D выполняются все
наложенные на рассматриваемые функции условия при заданных М,
т и К).
Покажем теперь, что при достаточно малых р, величина В + т]
не будет выходить за пределы D.
Предположим сначала противоположное и допустим, чго вектор
В(/)+т](/) может выйги за «пределы области D. Так как точка В(0)
принадлежит D и в силу непрерывности искомых решений вектор В,
прежде чем выйти за пределы Dy должен достигнуть границы этой
области, т. е. в некоторый момент времени Ц (принадлежащий рас-
сматриваемому интервалу) будет выполняться (по крайней мере
при одном значении k) равенство
|В(») (/) + 7)(*' (0 - BW (0)1 = В<*> + д
и как следствие неравенство
296 П.1
и в силу (it)
1п(ЧМ1>А,
а, следовательно,
|п(01>Д. (13)
Однако при достаточно малых ц эго неравенство находится в проти-
воречии с (10), ибо согласно последнему
hOOIOnM [0г+1)*Ы,— Пг]’ (14>
и при достаточно малом ц правая часть (14) может быть сделана
меньшей Д.
Отсюда непосредственно заключаем, что величины 23<fe>(/)
при любых ц, меньших некоторого р,о> не выйдут за пределы D и,
следовательно, (10) сохраняет силу при всех рассматриваемых t.
Теперь £ia основании (10) легко приходим к выводу, что при р<|Хо
и -—величина |т]| будет удовлетворять соотношению
г*
|t](0l=0(g). (15)
Полезно отметить, что в приведенном доказательстве числа Вт мо-
гут зависеть от L, но не зависят от ц. С другой стороны, величина L
ограничивается требованием, чтобы функции £(*)(/) не достигали
границ некоторой заранее выбранной области £>, в которой выполня-
ются условия (2) и (3).
Возможен также случай, когда величина L не накладывает огра-
ничений на выбор области D.
Выбор L, конечно, скажется на количественной стороне оценки,
но не изменит общего вывода о том, что имеет место соотношение
(15).
Бесконечный промежуток времени. Пусть в укороченных уравне-
ниях (4) помимо указанных выше условий выполняются еще следую-
щие:
1. Правая часть уравнений Ф2(В) не зависит явно от /, но мо-
жет зависеть от аргумента рЛ
* 2. При заданных начальных условиях имёется единственное не-
прерывное решение этих уравнений B(t) и это решение при t—>-оо
обращается в независящую от времени матрицу-столбец BQ.
Для разности т]=Л—В будем иметь уравнение (5)t которое те-
перь перепишется так:
+Ф2+Ф3], (16)
где через М обозначена постоянная матрица с элементами Mki =
— дФ\^/дВЩ, причем производные берутся при значениях В = Во.
И, кроме того, введено обозначение
Фз = Ф1(В+'П)—Ф1(В)—Мт).
Пусть F—n-мерная фундаментальная матрица, удовлетворяю-
щая уравнению
dF!dt=\MF. (17)
ПЛ 297
Тогда рассматривая (16) как неоднородное уравнение с правой
частью Ц(Фг + Фз), можем написать1
t
1 (0 + |*F (О J F - * (г) [Ф2 (г) + Ф3 (т)] Л, (18)
G
где т)л(/)—вектор-функция, удовлетворяющая уравнению
dx\hldt = \xMx\h
и обращающаяся при i = ti в заданный вектор т)д (6).
Частное решение уравнения (17), как известно, можно искать
в форме
F (”> = е^С, (19)
где v — постоянное число, а С — постоянный вектор-столбец с ком-
понентами Ci, Сг, ..., Сп-
Непосредственная подстановка дает
уС = цМС. (20)
Система однородных уравнений (20) имеет нетривиальное реше-
ние только тогда, когда v удовлетворяет уравнению
det (|хЛ1—Еу) =0, (21)
где Е — единичная матрица.
Будем в дальнейшем рассматривать случай, когда уравнение
(21) имеет лишь простые корни, притом такие, что для каждого из
них
Re(v)<0. (22)
В этом случае каждому корню Vi (i=l, 2, ..., п) будет соот-
ветствовать своя матрица-столбец с постоянными элементами Сн,
Си, ...» Cni, для которых получаем систему уравнений (20). Эта си-
стема в развернутой форме имеет вид
Сц (Р»Мц — v) + С21р.Л412 + • • • + — 0;
Р*СиЛ421 + (р-Л121 — v) С2£ + ... + = 0;
+ ... + (М^лп ~ *) Cnt = 0.
Эта система при сделанных предположениях, как известно, всег-
да имеет решение и позволяет выразить п—1 коэффициент Chi через
один из них, например через Си, который можно принять равным,
например, единице.
Таким образом, мы можем построить фундаментальную матрицу F
в виде квадратной матрицы n-го порядка, столбцы которой образованы
векторами С1 chi, т. е. элементами F будут величины Fhi =
—е
1 См. Коддингтон Э. А. и Левинсон Н. «Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений»; стр. 87.
298 П.1
419
Целесообразно отметить, что из структуры характеристического
уравнения (21) видно, что корни vt- будут величинами, пропорцио-
нальными параметру ц, т. е.
Vi = gYi, (24)
где yt — числа, не зависящие от ц.
Если (24) подставить в (23), то величина ц из уравнений исклю-
чится, откуда можем заключить, что коэффициенты Cki от ц зависеть
не будут. •
Оценка величины правой части выражения (18). Обращаясь
к выражению (18), начнем со следующих преобразований:
( d Г
Г-‘(г)ф2[Л(г), = — J фв[Л (т),
f ЙФгИ(г), J]
j—*—
ti
и, следовательно, при любом
t t t |
Г f Г dF~'Fz)
j Г-’(г)Ф!Л = Р-*(0 I ф2 [Л (г), g] dZ - I d^' dz%
X jФа [А (г), d£- [ F-’ (z) j?Фг^т)’ . d^
Г1 tl ti
Составив
t
F(0 f F-1 (т)Ф2[Л (г), t] dz,
получаем теперь для отдельных слагаемых следующие оценки по
норме:
а. В соответствии с условиями (2) можем написать
t
S.=F (t)F-^(t) УФ2[Л (г),
|S,|<«Af. I
б. Для второго члена получаем
t т
5г = F (О | (Х) dz j Ф4 [Л, (г), g] rfg.
ПЛ 299
Так как det F ф 0, имеем тождество
dF~x(t)
dt
F-'U)
dF(t)
dt
и, учитывая (17), можем написать
dF ~ 4dt = i>.F~ 'MFF -1 = Ш,
и, следовательно,
t T
S2 = H. f F(t)F-'(z)M(t)dt f Ф2 [Л (г),
]£г[ Р»
|F(/)F-,(t)[|A4(t)
и согласно с условиями (2)
t
|S2| < pc |Л4|тх Mn J \F (t)F~* (t)| (25)
Матрица F (/) имеет элементами Fhi = обратная матрица
F-1(0> как нетрудно видеть, состоит из элементов v< ,
где bik вычисляются по известным правилам. Поэтому произведение
матриц F(/)F-1(t) =Чг(/, т) представляет собой матрицу с элемен-
тами
= ctJhKe*x + Ci2b2keVa + ••• + Ctnnnhe п (
Для такой матрицы можно (/>0, ReVi<0) указать такие положи-
тельные и независящие от р, числа о и К, что 1
1 (26)
Таким образом, для (25) получаем оценку
|S2| < |М|ЖЯ МпК (1 - С-|Х’ < Мо,
где Мо — независящая от р, константа.
в. Обратимся теперь к выражению
s5 = F (0 1 F-' (г) dt j---------------d$.
6 6
1 Так как см, а следовательно, и b^ не зависят от ц и опре-
делитель фундаментальной матрицы отличен от нуля.
300 п.1
Прежде всего отметим, что
дф2 [Л (г), $] = р dA^ = {Ф1 [Л (х) х] + Фг [А w
где Р— квадратная матрица с элементами Pik = дФ^/дА&).
dA
Теперь учитывая, что элементы матрицы не зависят от пе-
ременной по которой ведется интегрирование во внутреннем интег-
рале, можем написать
||F(/) F-1 WI |Фз И, т) + Ф2 (Л, т)|
Воспользовавшись условиями (2) и оценкой
предыдущему получаем
(26), аналогично
1 _ р-Р*3 (*-*»)
|Ss|<J»^(A т) + Ф2(Л, т)|тж---
где Mi — константа, не зависящая от ц.
Из приведенных оценок вытекает, что сумма |Si | + |S2| + |S3|
остается ограниченной при любом /^0 и любых сколь угодно ма-
лых g. Перейдем теперь к оценке другого члена, входящего в правую
часть (18).
Введем вектор ф{°) = Ф1 (В + (hq), где & — вещественная пере-
менная, Тогда можем написать
флв + ^-ф,(В) = ,(^>+<Ь1) (0-1) =
о
_/Ф,(В) С <ЛФ, р оф,
~ </& I d& (ft— О'*® — 2j дВ(*) 7>‘ —
0 Z=1
1
О ph ЭВМ + ^2 дВ(2)+,‘’ +
о
д I2
+ 'Лп дВ(п' J Ф’ “Ь d^-
Если ввести матрицу Q с элементами qhi = дф\^/дВ№, то это
равенство можно написать и так:
ф. (В + тО-Ф, (В)
12
Ф1 (В +
+ frq) dt,
П.1
301
Тогда
Ф3-Ф1 (B + tj) —Ф1 (В)-ЛЬ)^((?-ЛП7)-
1
~f (0-i)
6
Г П -|2
д
dBii}
L
Ф1 (В + Oyj) = (Q — Af) vj + U,
Теперь получаем следующую оценку:
t
t
|S4| = F (0 J F-• (г) Ф3 (X) dx < J |F (0 F- > (x)| |(Q -
t
-44)|h|dT+ f |F (ОГ-’WI 1^.
Учитывая, что \F (/) F~1 (t)| Ke 1X0 , накодим
t
Г IF (0 F- > (x)| IQ - Л4| M dx < F |Q - 44^
J r*v
1
t
. f|F(OF-’(t)||Q|yZx<-^-|U|Me,
J
ti
и, следовательно,
|SJ < [|Q - Л1\тх hi^ 4- |t/w,
где |Q—Af|mx, |т|{тх и | U|inx — наибольшие значения соответст-
вующих величин в рассматриваемой области и интервале времени от
0 до t.
Теперь введем условие ограниченности вторых частных производ-
ных, а именно будем считать, что
\д^Ф1/дВ^дВ^\<М2.
(27)
Теперь напишем
п п
V V ^2Ф!
Р Zj дв^двт™*
i=l k=l
п п
i=\ k=l
Таким образом,
1
|1/| |(&-1)Мг|7)|Мв<4-Мг|<х ,
Q
302
ПЛ
й для |S4| получаем оценку
|*$4| pQ ^|п.зс 4" 2 ^2 Mlwjc | I7)!mx-
Теперь оценим первый член, стоящий в правой части (18).
Функция т]л(/) должна подчиняться уравнению
d}]h/dt = ^M}]h
и при t=ti обращаться в заданною величину T](/i).
Очевидно, что этим требованиям удовлетворяет функция
iU(/)=F(/)^-i(/i)n(/i).
Как и раньше, в качестве фундаментальной матрицы F (/) можем
v t
выбрать матрицу с элементами Fhi (/) = с г Скг, причем положим
Сц~ 1. С учетом (26) приходим к выводу, что
Ьп(01<Л>-,х’</_Г|) 11 (Л)1-
Теперь можем написать основное неравенство, которое позволит
пам сделать необходимые заключения На основании (18), восполь-
зовавшись полученными оценками для любых Z^O, можем написать
111 < к 11 (Л)| е-^ + |S,| + |S2| + |S3| + |S„| = К h (G)l +
-|- |л [пЛ4 + 4f0 + -44,] + [|Q — Mlmx 111»,» + \UIm*] >
111 < К |i (G)| + V (IQ - M\mx +
+4“ llwl] ll^l + I* (/,iM + M° + ^1]. (2Я)
Теперь предположим, что решения укороченных уравнении огра-
ничены, т. е. таковы, что при любых 0^Z<oo
|В(М(/)-В(М(0)|<Вт
и кроме того существует «расширенная» область |B(ft)(Z)—В(/<>(0)|<
<ВШ+Л и (Вт и Д>0), в которой выполняются условия (2), (3),
(22) и (27).
Покажем теперь, что при достаточно малых ц величина |ц| не
выйдет за пределы «расширенной» области, в которой выполняются
все упомянутые выше условия.
Прежде чем переходить к результатам, относящимся к бесконеч-
ным интервалам времени, рассмотрим сначала интервал, определяе-
мый условием O^pZ<L, где L — положительное и пока произволь-
ное число, и положим, что при Z = 0 г](0)=0. Тогда в соответствии
с предыдущими результатами и предположениями можем утверждать
следующее:
П.1 303
а) В момент ti=Ll\k значение В (Л) Не будет зависеть от ц,
а величина т) (Zf) будет удовлетворять соотношению
|т)(М1<Н^ (29)
где N — величина, зависящая от L, но не зависящая от ц и от t
в отдельности.
б) Так как B = B(|tZ), матрица Q зависит лишь от произведения
Р/Z, а при —*оо стремится к М, можно всегда при любом положи-
тельном е выбрать такое L, что при любом
|Q-М|<е. (30)
Теперь рассмотрим бесконечный интервал времени
Учитывая (28) и (30) при надлежаще выбранном L, можем написать
Р* [KN -|- пМ + Мо + е |т]|тх -|-
+-£- мг hlL • (31)
Как уже было указано, для того, чтобы величина вышла за
пределы области D, необходимо, чтобы выполнялось условие |г||>А.
Таким образом, в силу непрерывности величина | т] | тх должна прой-
ти через все значения, лежащие в интервале О^^тх^А1. Это зна-
чит, в частности, что неравенство (31) должно иметь место при
|т)| тх — оА, где 0=Са^1.
Выберем сначала интервал е и L так, что еК/о=1/6.
Теперь при фиксированном L выберем такое ц, что
аД
р. + пМ + Мо + AfJ < -g-*
Тогда согласно (31)
аД аД К
аД< б +“§”+ 2а А •
К 1 -К
Если “27" Л42Д C-g-, то выбираем а = 1; если же -gy- ЛТ2Д >
1 К 1
т0 можем выбрать а так, что аД Л42 = -g-J и в обоих
1
случаях получаем Д^-^-Д, что, очевидно, невозможно.
Противоречивый результат приводит нас с неизбежностью к вы-
воду, что при достаточно малых ц величина В + т] не выйдет за пре-
делы области D и, как следует из предыдущего рассуждения, при
достаточно малых и IПI не может достигнуть величины А. Однако А
можно выбирать как угодно малой (в любой области, заключенной
в D, также удовлетворяются все условия, при которых имеет силу
неравенство (31)), и, следовательно при р—>-оо величина |т]|, взя-
тая в любой момент времени, принадлежащий интервалу Zi^/<oor
1 Отметим, что |i]|mx есть наибольшее значение |т)(0 1> взятое
в интервале времени от 0 до /, т. е. является функцией времени.
304 П.1..
также стремится к нулю. Если теперь учесть, что при фиксированном
L на интервале 0^g/^£ величина | ц | имеет порядок малости g,
приходим к выводу, что при сформулированных ранее условиях 11] |
(а следовательно, и каждая компонента т]) стремится к нулю вместе
с g, причем на всем бесконечном интервале времени O^Z^oo это
стремление равномерно относительно t.
Приложение 2
О ПОРЯДКЕ МАЛОСТИ
В связи с тем, что нам приходится производить приближенные
вычисления, отбрасывая (или прибавляя) в уравнениях малые сла-
гаемые, и при этом производить некоторые оценки по порядку мало-
сти, целесообразно остановиться на этом несколько подробнее.
Термин «порядок величины» часто употребляется в арифметиче-
ском смысле. Если, например, говорят, что первая величина больше
второй на один порядок, то обычно считают, что первая величина
примерно в десять раз превосходит вторую. Так, например, число
сто превосходит единицу на два порядка.
Термин «большая или малая величина» также часто употребляют
в арифметическом смысле, сравнивая одну величину с другой. Если
в качестве величины, с которой производится сравнение, выбрана
единица, то термин, «большая или малая величина» обозначает со-
ответственно, что эта величина велика или мала по сравнению с еди-
ницей. Здесь, конечно, надо еще условиться, во сколько раз рассма-
триваемая величина должна быть больше или меньше единицы, для
того, чтобы ее можно было назвать большой или малой.
Возможен, однако, другой способ деления величин на малые и
немалые, и при этом термин «порядок малости» понимается не
в арифметическом смысле. Если говорят, что одна величина является
малой первого порядка по отношению к другой, то это не значит,
что первая величина в десять раз меньше второй. Здесь выбирается
параметр малости g, с которым ведется сравнение и утверждение,
что р имеет порядок малости, g обозначает лишь то, что можно най-
ти такое положительное Л1, что при сколь угодно и достаточно ма-
лых g выполняется неравенство
P<Mg. (1)
Здесь, конечно, подразумевается, что р зависит от g и что неравен-
ство (1) имеет силу при всех достаточно малых g, меньших, напри-
мер, некоторого go- Т^ким образом, здесь величина g не фиксируется
и является переменной величиной в том смысле, что ей можно при-
давать любые положительные значения, меньшие g0. Величина g
(а как следствие и Р) обычно называется малой, но смысл этого
термина заключается лишь в том, что Р можно придавать такие ма-
лые значения, которые нам будет нужно, хотя в конкретной задаче
р имеет определенное числовое значение, которое может и не быть
малым. В физических задачах в качестве малой может фигурировать
величина, имеющая размерность, и поэтому ее числовое значение бу-
дет зависеть от выбора единиц измерения.
Теперь перейдем к вопросу о приближенном решении уравнений
различного вида, в том числе и дифференциальных. На практике
очень часто оказывается невозможным или крайне затруднительным
П.2. 20—12 305
Найти точное решение некогорого уравнения (или системы), йо если
отбросить малые члены, то решить такое «усеченное» уравнение уже
довольно легко. Обычно делают такие пренебрежения, используя
различные соображения, относящиеся непосредственно к данной за-
даче, и никаких рецептов, определяющих однозначно методику со-
ставления приближенных уравнений, не существует. Однако все ка-
кие-то общие принципы при построении приближенных решений вы-
сказать необходимо хотя бы для того, чтобы можно было в конечном
счете понять, в каком смысле и при каких обстоятельствах получен-
ные решения пригодны. Имея это в виду, необходимо процесс отбра-
сывания «малых» членов упорядочить по крайней мере так, чтобы
высказанные утверждения по поводу полученных решений не нахо-
дились в противоречии с проведенными операциями и сделанными
первоначально предположениями.
В качестве примера можно привести ошибку, иногда возникаю-
щую на практике: отбрасывается некоторая малая величина, а затем
величины такого же или более высокого порядка малости удержи-
ваются, а затем без дополнительного доказательства утверждаются,
что это повышает точность полученного результата. Для того чтобы
избежать подобных или иных логических направленностей и неточ-
ностей в процессе вычислений, и вводится малый параметр. Полезно
отметить, что этот параметр можно вводить явно, обозначив его
какой-либо буквой, но можно этого не делать, а просто приписать
«в уме» всем входящим в рассматриваемое соотношение величинам
соответствующие порядки малости (как это и делается в настоящей
книге).
Теперь остановимся на вопросе, какие величины следует считать
малыми и в каком смысле этот термин понимается. Как уже указы-
валось, в числовом выражении «малая» величина может и не быть
малой (меньшей единицы). Для того чтобы разобраться в этом, рас-
смотрим сначала сумму, состоящую из п+1 числовых слагаемых:
п
S = ^ak, (2)
&=о
расположенных так, что |а&+1|<|ал|.
В таких случаях часто сравнивают члены суммы с наибольшим
по модулю слагаемым Яо и говорят, что аа малы по отношению к я3,
если |я8/я0|<х, где х— некоторое положительное и меньшее едини-
цы условно выбранное число.
Этот способ разделения величин на малые и немалые, отражаю-
щий, в сущности, только арифметические соотношения, не является
единственным и даже не всегда целесообразен и правилен. Так, на-
пример, рассматривая физическую задачу, мы можем обнаружить,
что ak и aka численно различны, но пропорциональны одному и
тому же параметру, который считается малым, и эту зависимость
непременно следует иметь в виду при изучении подобных систем.
В этом случае, несмотря на различие числовых значений aki и
их следует считать величинами одного порядка малости. Во многих
случаях, например при решении уравнений, приходится оценивать
отдельные члены, входящие в эти уравнения, не по их численному
значению, а по тому влиянию, которое они оказывают на результат.
Если при отбрасывании некоторого члена, входящего в уравнение,
306 . П.2
ошибка не превосходит допустимую величину, то этот член можно
считать малым в указанном смысле.
Возможны и другие критерии оценки малости величины. Напри-
мер, при рассмотрении автоколебательных систем считают затуха-
ние контура малой величиной, если возникающие колебания при этом
значении (или меньшем) затухания окажутся достаточно близкими
к синусоидальным. Однако не всегда удается установить, будет или
не будет данная величина малой в указанном смысле (это может
выясниться лишь позднее, после проведения соответствующих прове-
рок). Поэтому в большинстве случаев предполагают, исходя из ка-
ких-либо соображений, что при достаточно малых значениях рассма-
триваемой величины решение уравнения обладает нужным свойством.
Здесь термин «малая величина» употребляется лишь в том смысле,
что эта величина может быть выбрана такой малой, как это тре-
буется, и ни о каком количественном сопоставлении этого члена урав-
нения с другими членами здесь речь не идет.
Перейдем теперь к уравнению (или системе уравнений) произ-
вольного вида, решение которого мы хотим найти. Искомую величину
обозначим со, а погрешность, возникающую при приближенном реше-
нии,— через до. Уравнение запишем в форме Р(ю, ц)=0, где Р —
известный оператор и ц — малый параметр. Пусть известно (или де-
лается такое допущение), что в рассматриваемой области значений
0^|х<1 решение ю=ю(ц) зависит от р непрерывно. Положив сна-
чала |х=0 и решив уравнение Р(ю, 0)=0, найдем в качестве решения
величину (Оо, отличающуюся от истинной на дю. Тогда может утверж-
дать, что найдется достаточно малое р,= р/, такое, что при всех
погрешность дю лежит в допустимых пределах. Хотя числен-
ное значение р/ пока неизвестно, но полученный результат уже дает
некоторую информацию о решении точного уравнения (существуют
такие малые ц, при которых ю отличается от найденной величины
ю0 достаточно мало).
Можно пойти и дальше и уточнить результат. Напишем Р(ю, р)—
—Р(ю, 0)4-Р(ю, 0) =0 или
1.
L г* J
Допустим теперь, что отношение
Q(<o, ц)=(Р(<о, 0)—Р(<о, ц)]/Н
имеет предел при р—>-оо. Тогда уравнение приобретет вид
Р(ю, 0)=pQ(co, 0)+о(р,),
где o(g)—обозначает совокупность величин, убывающих быстрее,
чем р. Если последнее слагаемое отбросить, то получится Р(ю, 0) —
р.<2(ю, 0)=0.
Это соотношение отличается от рассмотренного ранее уравнения
Р(ю, 0) =0 тем, что здесь удержаны слагаемые первого порядка ма-
лости. Решив это уравнение, получим результат с большей точностью,
чем в' первом случае. Это можно проиллюстрировать на примере,
когда оператор Р(ю, р) представляет собой полином относительно р
в том смысле, что
п
р(». ю = 2
Jk=O
П.2
20*
307
Тогда
п
Q(e>, |X) = -S
k=\
а, следовательно, приближенное уравнение в рассматриваемом случае
приобретает вид Ро(со) +pPi((o) =0. Таким образом, процедура со-
ставления приближенного уравнения свелась к отбрасыванию слагае-
мых, порядок малости которых выше первого.
Теперь остановимся на вопросе о том, какая погрешность возни-
кает при отбрасывании в уравнении малых величин. Для этого вос-
пользуемся тем же примером, когда оператор имеет форму полино-
ма от ц. Предположим, что исходное (точное) уравнение
п
Р(ш, H.) = S Н*Рн(®) = 0 (3)
Л=0
имеет решение при всех рассматриваемых ц. Предположим далее,
что Po(o))=Poi((d)+B, где Poi(cd) представляет собой линейный опе-
ратор (однородный), а В— величина, от ю не зависящая.
Допустим теперь, что оператор Род обратим; тогда обратный
оператор Ро-1 также будет линейным и соотношение
п
<0 = - S ^/>7' [Р* (<о)] - Pq' (В) (4)
равносильно исходному уравнению (3).
Если искомая величина такова, что все операции, входящие
в правую часть (4), имеют смысл (лежат в области определения
оператора Ро-1) и приводят к конечным значениям во всей области
рассматриваемых значений со, то можно утверждать, что при отбра-
сывании в уравнении величин, порядок малости которых равен цт,
мы получаем погрешность, имеющую тот же порядок малости.
Приведенное рассуждение содержит много оговорок и носит ха-
рактер наводящих соображений и не является строгим доказатель-
ством. Поэтому при фактическом проведении вычислений обычно сна-
чала руководствуются соображениями, подобными приведенным, и
находят приближенное решение. Однако полученный результат сле-
дует затем проверить либо путем проведения строгого доказатель-
ства (что делается довольно редко при рассмотрении физических за-
дач), либо полученные формулы подвергнуть экспериментальной
проверке. Из сказанного также видно, что пренебрежение даже одним
слагаемым, имеющим порядок малости цто, приводит к ошибке того
же порядка малости, и всякая попытка сохранит слагаемые, имею-
щие более высокий порядок (или другие слагаемые того же поряд-
ка), не приведет к повышению точности результата (точнее, не дает
оснований считать, что результат при этом будет иметь большую
точность).
Высказанные выше соображения приводят к некоторой системе
приближенного рассмотрения уравнений. Здесь мы как бы отказы-
ваемся от числовой оценки погрешности в искомом решении и удов-
летворяемся менее полной, но более доступной информацией — оцен-
308 П.2
кой по порядку малости (если параметр достаточно мал, то резуль-
тат имеет нужную точность).
Полезно попутно отметить одно обстоятельство, которое может
привести к недоразумениям. Допустим, что одна из рассматриваемых
величин х имеет порядок малости ц, а вторая у — порядок ц2. Из
этого отнюдь не следует, что вторая величина приблизительно равна
квадрату первой. Согласно принятой нами терминологии это обозна-
чает лишь то, что при уменьшении ц вторая величина, грубо говоря,
убывает быстрее первой, причем так, что если |х| уменьшается
в т раз, то |t/| уменьшается в /п2 раз.
При рассмотрении конкретных задач и в процессе выкладок и
вычислений сразу возникает вопрос о том, какие порядки малости
следует приписать входящим в уравнения величинам и как выбрать
параметр малости ц. Здесь нельзя дать единого правила и нужно
руководствоваться соображениями, вытекающими из существа за-
дачи. Иногда удобно исходить из арифметических соображений и
потребовать прежде всего, чтобы величины, имеющие в данной кон-
кретной задаче численно меньшие значения, имели и более высокий
порядок малости. При этом обычно требуют, чтобы малый параметр
был безразмерной величиной и не зависел от выбора единиц изме-
рения. Отметим, что, как видно из предыдущего, выбор величины р,
отнюдь не однозначен. Соотношение |х|<рМ можно переписать так:
|х|<рЛМ/&, где k—произвольное положительное число.
Очевидно, что неравенство сохранится, если теперь в качестве
нового параметра принять Ц1 = р& и в качестве новой константы —
величину Учитывая это, можно сразу условиться, что в ка-
честве ц выбирается некоторая величина, имеющая данное числовое
значение. Например, удобно для того, чтобы термин «порядок мало-
сти» примерно согласовался с арифметическим порядком величины,
принять в качестве малого параметра безразмерную величину, рав-
ную 0,1. В качестве примера рассмотрим вновь сумму
п
$ — X аъ-
6=0
Взяв за основу выбранное значение р. и наибольшее по модулю
число я0, подберем числа rh и Ск так, чтобы ак --[х hCKaQt причем
rk — положительны, a Ch по модулю близки к единице (числа г* же-
лательно брать целыми). Хотя, как указывалось, выбор величины р,
произволен, все же полезно руководствоваться некоторыми дополни-
тельными соображениями, например, такими, чтобы числа гк не были
слишком большими. Если, например, | (а^+1)/а^ | ^0,01, то удобнее
выбрать ц=0,01, чем 0,1.
Таким образом, рассматривая конкретное соотношение (напри-
мер, уравнение) и сделав некоторые предположения относительно
входящих в него величин, можно всем слагаемым, находящимся
в правой части (3), приписать соответствующий порядок малости и
после этого применить тот или иной прием приближенного решения
уравнения.
Как уже отмечалось раньше, такой «арифметический» способ
выбора порядка малости далеко не всегда пригоден. Так, например,
если какие-либо слагаемые по смыслу задачи должны находиться
в постоянном отношении, им приписывается одинаковый порядок ма-
лости, несмотря на то, что они сильно различаются в числовом отно-
П.2 309
шении. В этом случае приходится отказаться от требования, чтобы
все | Ck | были близки к единице.
Следует еще раз подчеркнуть, что приписывая тем или иным
способом некоторый порядок малости отдельным членам уравнения
в соответствии с их конкретными значениями в данной задаче,
в дальнейшем мы пользуемся параметром ц как величиной сколь
угодно малой и ведем рассуждения так, как будто р столь мало, как
это требуется для получения правильных решений, т. е. решаем,
в сущности, задачу для некоторого множества достаточно малых р.
Это, конечно, не гарантирует того, что задача с исходным значением
р будет в этом множестве содержаться, т. е. что полученные форму-
лы будут пригодны для данного конкретного случая. Поэтому по-
лученное приближенное решение подлежит проверке, которая может
носить аналитический характер (оценка погрешности) или экспери-
ментальный. Довольно часто, впрочем, когда при рассмотрении физи-
ческих задач хотят получить лишь качественный результат, удовле-
творяются общими соображениями о том, что решение пригодно при
достаточно малых р (не уточняя, каких), а затем судят о практи-
ческой пригодности полученного результата по сопоставлению с ре-
шенными ранее аналогичными задачами, прошедшими эксперимен-
тальную проверку или проверку практикой прикладных расчетов и
проектирования.
Отметим одну проверку, которая обычно легко производится и
позволяет исключить из рассмотрения заведомо негодные варианты.
Если полученное приближенное решение подставить в исходное точ-
ное уравнение, то можно установить, выполняются ли сделанные
вначале предположения (например, малы ли отброшенные члены).
Если результат оказывается логически противоречивым, то найденное
приближенное решение для данного случая непригодно. Если логиче-
ского противоречия нет (т. е. результат подстановки согласуется
с предположениями), то, к сожалению, утверждать, что полученное
решение правильно, строго говоря, нельзя, хотя это утверждение
и делается вполне правдоподобным.
Теперь отметим, что весьма часто параметру р не приписывают
конкретного числового значения и размерности. Этот параметр, стоя-
щий перед каким-либо выражением, обозначает лишь то, что все
это выражение (в совокупности с р) может быть выбрано достаточ-
но малым в соответствии с требованиями, вытекающими из характе-
ра задачи. Так, например, часто встречающаяся в теории колебаний
запись pf, где f—некоторая нелинейная функция, обозначает лишь
то, что рассматривается множество «подобных» друг другу функций,
имеющих абсолютное значение столь малым, как это требуется
в данной задаче.
Все это можно сформулировать и несколько иначе. Допустим,
что на искомое решение уравнения (точное или приближенное или
на то и другое одновременно) накладывается некоторое условие Д,
и при этом известно, что А выполняется при всех р^р0; тогда
любое и, удовлетворяющее последнему неравенству, можно назвать
малым. Здесь пока не идет речи о численной оценке «малости», и ве-
личина р может и не быть безразмерной. Однако по большей части
свойство А характеризуется числовыми показателями, и возникает
вопрос о количественных соотношениях, характеризующих «точность»
полученных результатов. В частности, речь может идти об отклоне-
нии полученных тем или иным способом приближенных решений от
точных. Здесь, правда, далеко не всегда удается получить количест-
310 П.2
бенЦую оценку и приходится ограничиваться оценкой по порядку ма-
лости. Остановимся несколько подробнее па принятой здесь терми-
нологии.
Возьмем в качестве примера уравнение вида (3) и найдем его
приближенное решение с погрешностью дю. Величина дю в общем
случае будет функцией от если при этом можно установить, что
выполняется неравенство |дю|^Мр’, где г — положительное число,
то в соответствии с принятым ранее определением порядка малости,
говорят, что дю имеет порядок малости г.
Поскольку численные значения величин Мир, при этом не ого-
ворены, из указанного неравенства прямой числовой оценки не по-
лучается, по характер убывания ошибки при уменьшении р очеви-
ден. Если ввести величину |дю|щ = Мцг, характеризующую верхнюю
границу ошибки, то выбрав два значения р = |и и р = р2 (р<р), мо-
жем написать
|дю2|т/|бЮ1|т= (Ц2/Ц1)2.
Таким образом, оценка по порядку малости характеризует не
абсолютное значение ошибки, а характер ее убывания при уменьше-
нии р,. Эта оценка не требует знания самой величины р и характе-
ризуется только ее относительным изменением.
Список литературы
Андронов А. А., Витт А. А., X а й к и н С. Э. Теория колебаний.
Физматгиз, 1959.
Андронов А. А. Собрание трудов. Изд-во АН СССР, 1956.
Блакьер О. Анализ нелинейных цепей. Изд-во «Мир», 1969.
Б лек у элл Л. А., Коцебу К. Л. Параметрические усилители на
полупроводниковых триодах. Изд-во «Мир», 1964.
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, 1955.
Булгаков Б. В. Колебания. Гостехиздат, 1954.
Ван-дер-Поль Б. [1] Нелинейная теория электрических колеба-
ний. Связьиздат, 1935 (2] A theory of the amplitude of free and
forsed triode Vibrator. Radio Review, 1920, v. 1.
Гвоздовер С. Д. Теория электронных приборов сверхвысоких
частот. Гостехиздат, 1956.
Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. Изд-во
«Советское радио», 1967.
Горелик Г. С. Колебания и волны. Гостехиздат, 1950.
Денисов А. А., Ко нтор ович М. И. Транзисторные автогене-
раторы с автоматическим смещением. Труды ЛПИ, № 327, 1972.
Др об о в С. А. Радиопередающие устройства. Оборонгиз, 1951.
Е в т я н о в С. И. [1] Теория самовозбуждающегося электронного ге-
нератора с учетом тока сетки. «Электросвязь», 1939, № 3. (2].
Переходные процессы в приемно-усилительных схемах. Связьиз-
дат 1948.
Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем. Госэнер-
гоиздат, 1962.
Капчинский И. М. Методы теории колебаний в радиотехнике.
Гостехиздат, 1954.
Кларк К. К. [1] Design of self — limiting transistor sine — wave
oscillators. IEEE transactions on circuit theory, 1966, March
vol. CT-13, № 1. (2] Transistor sine—wave oscillators—sqeuegging
an collector saturation IEEE Transactions on circuit theory, Dec.
1966, vol. CT-13, № 4.
Кобзарев Ю. Б. О нелинейном методе трактовки явлений в лам-
повом генераторе (почти синусоидальных колебаний). ЖТФ,
1935, № 5, стр. 216.
К о н т о р о в и ч М. И. [1] Операционное исчисление и процессы
в электрических цепях. Изд-во «Наука», 1964. [2] О соотноше-
ниях Менли и Роу и об одном их обобщении. «Радиотехника»,
1967, т. 22, № 8. [3] К обоснованию метода медленно меняющих-
ся амплитуд. Труды ЛПИ № 290. Изд-во «Энергия», 1968.
{4] Об укороченных уравнениях, описывающих поведение авто-
номных систем, встречающихся в радиотехнике. Труды ЛПИ
№ 290. Изд-во «Энергия», 1968. [5] Лекции по курсу «Теория
электромагнитных колебаний». Лекция 4. ЛПИ, 1966.
Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. Изд-во иностранной литературы, 1958.
Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную ме-
ханику. Изд-во АН УССР, 1934.
312
Л a - С а л ль Ж., Л еф шец С. Исследование устойчивости прямым
методом Ляпунова. Изд-во «Мир», 1964.
Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электро-
нике. Изд-во иностранной литературы, 1963.
Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Гостех-
издат, 1950.
Малахов А. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. Изд-во
«Наука», 1968.
Мак-Лахлан Н. В Теория и приложения функций Матье. Изд-во
, j иностранной литературы, 1953.
v М а л ки н И. Г. [1] Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.
Гостехиздат, 1956. [2] Теория устойчивости движения. Изд-во
J «Наука», 1966.
м М а н д е л ь шт а м Л. И. Полное собрание трудов. Изд-во АН СССР.
[1] Т. 1, 1947. [2] Т. 2, 1946. [3] Т. 4, 1955. i[4] Т. 5, 1950.
Меерович Л. А., Зеличенко Л. Г. Импульсная техника.
Изд-во «Советское^радио», 1953.
Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики.
Изд-во «Наука», 1969.
Петрунькин В Ю., Пахомов Л. Н. Ультракороткие волны.
Изд. ЛПИ им. М. И. Калинина, 1967.
Постников Л. В. «Известия вузов», Радиофизика, 1971, т. 14,
I ' № 11.
V Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными урав-
нениями. Гостехиздат, 1947.
\J Р ы т о в С. М. Введение в статистическую радиофизику. Изд-во
«Наука», 1966.
Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических
системах. Изд-во иностранной литературы, 1952.
Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. Гостехиздат, 1950.
J Тсодорчик К. Ф. Автоколебательные системы. Гостехиздат, 1952.
Уиттекер Е. Т., Ватсон Г. Н. Курс современного анализа. Гос-
/ техиздат, 1933.
v Фельдбаум А. А. Введение в теорию нелинейных колебаний.
Гостехиздат, 1948.
Ха яси Т. Нелинейные колебания в физических системах. Изд-во
I «Мир», 1968.
V X е й л Д. Колебания в нелинейных системах. Изд-во «Мир», 1966.
Янке Е., Э м д е Ф., Лсш Ф. Специальные функции. Изд-во «Нау-
ка», 1964.
Именной указатель
Андронов А. А. 107, 312
Блакьер О. 312
Блекуэлл Л. А. 312
Боголюбов Н. Н. 4, 107, ПО,
312, 311
Булгаков Б. В. 312
Ван-дер-Поль Б. 4, 107, 126, 312
Витт А. А. 312
Вагсоп Г. Н. 205, 313
Гвоздовер С. Д. 312
Гоноровский И. С. 292, 312
Горелик Г. С. 312
Денисов А. А. 6, 312
Дробов С. А. 312
Евтянов С. И. 312
Зеличенко Л. Г. 313
Каинингхэм В. 312
-Ж
Каратыгин В А. 6
Капчинский И. М. 312
Кларк К. К. 312
Кобзарев ГО. Б. 46, 312
Коддингтон Э. А. 12, 298, 312
Конторович М. И. 31, 103,
207, 232, 312
Коцебу К. Л. 312
Крылов Н. М. 107, 312
Ла-Салль Ж. 163, 313
Левинсон Н. 12, 298, 312
Лефшец С. 163, 313
Леш Ф. 250, 313
Люиселл У. 313
Ляпунов А. М. 21, 154, 160,
313
Мак-Лахлан Н. В. 205, 313
Малахов А. Н. 292, 313
Малкин Н. Г. 156, 159, 163, 313
Мандельштам Л. И. 4, 107,
205, 313
Мартынов Б. А. 6
Меерович Л. А. 312
Митропольский ГО. А. 4, 107,
110, 312
Моисеев Н. Н. 313
Папалскси Н. Д. 4, 107
Пахомов Л. Н. 313
Петрунькин В. Ю. 313
Постников Л. В. 103, 313
Пуанкаре А. 313 *
Рытов С. М. 313 I
Стокер Д. 313 |
Стрелков С. П. 313 $
Теодорчик К. Ф. 313
Уиттекер Е. Т. 205, 313
Фельдбаум А. А. 313 }
Хайкин С. Э. 312 *
Хаяси Т. 313 ~
Хейл Д. 12, 313
Эмде Ф. 250, 313 ?
Янке Е. 250, 313
Предметный указатель
Автоколебательная система 8
Автономные колебательные
системы 8
-------- в состоянии равнове-
сия 11—42
--------, основные уравнения
22—24
--------, приближенное на-
хождение корней уравне-
ний 37—42
--------, установившиеся про-
цессы 43—70
--------, устойчивость состоя-
ния равновесия 17—22
—-------, ... условие доста-
точное 20
--------, ... условие необхо-
димое 18
--------, устойчивость стацио-
нарных решений 11, 14—16
Автопараметрический резонанс
89
Асинхронное возбуждение ко-
лебаний 89
Биения 79
Быстрые шумы («белый
шум») 283
314
Вина график 60
Влияние шумов на частоту и
фазу автогенератора 273
Возмущения 156, 157
Гашение автоколебаний 89
Генератор на туннельном дио-
де 31
----------, параллельное пи-
тание 33—37
----------, ... условие само-
возбуждения 37
----------,... условие устой-
чивости 36, 37
— --------, последовательное
питание 31—33
----------, ... условие само-
возбуждения 33
----------, ... условие устойчи-
вости 33
Грубые системы 157
Деление частоты 89
Затягивание частоты 65, 66, 152
----, ширина полосы 150, 153
Захватывание частоты 79
----ца субгармонике 89
Зпакоопределепная функция
160
Знакопеременная функция 1G0
Знакопостоянная функция 160
Клистрон 235
—, вывод основных уравнений
236—243
—, параметр группировки 248,
251
—, режим установившихся ко-
лебаний 247—251
—, условия самовозбуждения
245, 246
—, устойчивость в режиме пе-
риодических колебании
251—254
—, устойчивость состояния рав-
новесия 243, 244
—, эквивалентная схема резо-
натора 239
Коэффициент передачи 45
•---отрицательный 53
Круговая частота 72
Ламповый генератор двухкон-
турный 58, 142
--------, основное уравнение
58—66
--------, неустойчивость двух-
частотного режима 148—150
--------, устойчивость одноча-
стотного режима 150—153
--------, устойчивость стацио-
нарных решений 142—158
--------, ширина полосы затя-
гивания 150, 153
Ламповый генератор однокон-
турный 12, 54
-------- с емкостной обратной
связью 55, 56
--------с контуром в цепи
сетки 57, 58
--------с трансформаторной
обратной связью 12—17, 54,
55
--------, ... условие самовоз-
буждения 16
.---—, ... установление ко-
лебаний 125
— ------. устойчивость со-
стояния равновесия 13
--------, ... устойчивость ста-
ционарного решения 14
--------, ... устойчивость ста-
ционарного колебания 133,
134
Линейные системы 7
Ляпунова прямой метод 160—
163
— теоремы об устойчивости
движения 162
— функция 162, 163
«Малая величина» 10, 53
Матье уравнение и его реше-
ние 193—197
Матье функции 193, 194
Медленные шумы 283
Меняй и Роу соотношения 222
----------, вывод 226
---------- для двухконтурно-
го параметрического усили-
теля 223
Метод последовательных при-
ближений (метод возмуще-
ния) 104—106, ПО
Методы исследования устойчи-
вости 157—163
-------, линеаризация уравне-
ний 1-го приближения 158,
159
-------, Ляпунова прямой ме-
тод 160—163
М/МА метод (медленно меняю-
щихся амплитуд метод) 3, 4
-----, обоснование 293
-----, основные уравнения 108
-----, приведение дифферен-
циального уравнения к си-
стеме уравнений 1-го поряд-
ка 98—103
-----, применение к контуру
с переменной емкостью
188—192
-----, применение к уравне-
ниям с медленно меняю-
щимися коэффициентами
(уравнения 2-го порядка) 123,
124
-----, уравнения 1-го прибли-
жения 104—111, 113
-----, уравнения 2-го прибли-
жения 116—118
-----, уравнения со свободным
членом в правой части
111—113
-----, ... нерезонансный слу-
чай 111, 112
-----, ... резонансный случай 112,
113
315
Многочастотный режим в реге-
неративной схеме 79
Мультивибратор 165—178
—, колебательный процесс 166
—, установившийся периодиче-
ский процесс 174
—, устойчивость непрерывных
решений уравнений 178—185
—, учет влияния паразитных
емкостей 181, 184
Мягкая ,(н жесткая) характе-
ристика транзистора 256,
263
-----электронной лампы 49
----------, аппроксимация 50,
51
----------, для генератора
с двумя контурами 61
Найквиста формула 289
Неавтономные колебательные
системы 8
--------, двухчастотный (би-
гармонический) режим 79—
97
--------, ... асинхронное воз-
действие внешней силы 85—
89
--------, ... резонанс 2-го ро-
да 89—97
--------, ... резонанс N-ro ро-
да 95—97
--------, ... средняя крутизна
80—85
--------, одночастотный (мо-
ногармонический) режим
71—80
—-------,... регенеративная схе-
ма 75—80
Невозмущенное движение 154
-----, неустойчивое 156
-----, устойчивое 155
Нелинейные системы 7
Неустойчивое состояние равно-
весия системы 12
Основное уравнение генерато-
ров резонансного типа 52—
54
----- автогенератора с учетом
токов сетки 67—70
-----генераторов с двумя кон-
турами 58—66
-------- с емкостной обратной
связью 55, 56
-------- с контуром в цепи
сетки 57, 58
316 •
-------с трансформаторной
связью 54, 55
Паразитные параметры 181
Параметрические системы 7
Параметрический контур с пере-
менной емкостью 188—197
-----, ... рассмотрение мето-
дом ММА 188—192
-----, ... сведение задачи
к уравнению Матье 193—
197
-----, ... условие самовозбуж-
дения 189
-----, ... условие устойчиво-
сти состояния равновесия
189, 192
Параметрический усилитель
двухконтурный 208—234
-------, воздействие внешней
силы на нелинейную емкость
229-234
-------, применение соотно-
шений Менли и Роу 223—226
-------составление укоро-
ченных уравнений 208—213
-------, усиление колебаний
в 1-ом контуре 214—217
-------, усиление колебаний
во 2-ом контуре 217, 218
-------, усиление общее 218
-------, эквивалентная схема
218-220
Параметрический усилитель
одноконтурный 194—205
-------, коэффициент усиле-
ния по мощности 202, 203
-------, устойчивость устано-
вившегося режима 203, 204
Параметр малости 53, 310
«Порядок малости» 284, 305
Потенциально-автоколебатель-
ная система 8
Процессы установления 125
Регенерация 76
Резонанс автопараметрический
89
— 2-го рода (деление час row)
89-97
— N-ro рода 95—97
— токов 52
Регенеративная схема 75, 80
-----, многочастотный режим
79
-----, устойчивость одночастот-
ного режима 134—141
Релаксационные колебания (см.
Мультивибратор) 164
Сепаратриса 78
Система с двумя степенями
свободы 58
Состояние равновесия 9, 10, 16,
156
Средняя крутизна анодного и
сеточного токов 46
-----в двухчастотном режиме
80 - 82
-----в случае веществен-
ного К 46—52
----- в специальном случае
82—85
-----, выраженная с помощью
угла отсечки 51
-----коллекторного тока тран-
зистора 256, 257, 263
----- отрицательная 48
Стандартная система уравне-
ний в методе ММА 98, 113
Стационарные решения 13, 43
-----, устойчивость 14—16
Структурная устойчивость 156,
157, 166, 181
Теоремы Ляпунова о(? устой-
чивости движения 162
-----о неустойчивости движе-
ния 162, 163
Томсоновские колебания 164
Транзисторный генератор с
автосмещением 25—30, 255—
272
----------с емкостной обрат-
ной связью 269—272
----------, ... условие само-
возбуждения 272
----------, ... условие устой-
чивости периодических ре-
шений 272
----------с трансформатор-
ной обратной связью 25—30
----------t прерывистая
генерация 268
----------} _ укороченные
уравнения 260, 264
-----------, ... условия само-
возбуждения 30, 265
-----------, ... условия устой-
чивости состояния равнове-
сия 30, 265
-----------, ... условия устой-
чивости периодических ре-
шений 266, 267
Увлечение частоты 80
Угол отсечки 51
Установившийся процесс 43
Устойчивость движения 153—
157
-----асимптотическая 162
•----, методы исследования
157—163
-----, общий случай 142
-----, определение 154—157
----- орбитальная 157
— — по Ляпунову 156
----- структурная 156, 157
— начала координат 159, 162
— положения равновесия 21,
22
Частота автоколебаний во 2-ом
приближении 273—292
Число степеней свободы систе-
мы 10
Ширина полосы затягивания
150, 153
— — захватывания 80
спектральной линии автогенера-
тора 289—292
Шумы, влияние на частоту и
фазу автогенератора 273—
292
Эквивалентная схема двухкон-
турного параметрического
усилителя 218—220
----- резонатора клистрона 239
Энергетический спектр мощно-
сти колебания автогенера-
тора под воздействием бело-
го шума 291
Оглавление
Предисловие ... ........................ 3
Введение .................................................... 7
Глава 1
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ В СОСТОЯНИИ РАВНОВЕСИЯ.
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
1.1. Предварительные замечания........................... 11
1.2. Генератор с трансформаторной обратной связью.
Устойчивость стационарных решений................12
1.3. Устойчивость состояния равновесия для автономных
систем. Общее рассмотрение.......................17
1.4. Об уравнениях, описывающих поведение электриче-
ских систем......................................22
1.5. Транзисторный автогенератор с трансформаторной
обратной связью и автоматическим смещением . . 25
1.6. Генератор на туннельном диоде ...... 31
1.7. О приближенном нахождении корней уравнений и
об оценке погрешности............................37
Глава 2
УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В АВТОНОМНЫХ
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
2.1. Предварительные замечания...................43
2.2. Средняя крутизна и ее свойства..............44
2.3. Основное уравнение автогенераторов резонансного типа 52
2.4. Рассмотрение некоторых схем. Примеры .... 54
2.5. Автогенератор с учетом токов сетки..........67
Глава 3
НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ В СОСТОЯНИИ
УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ
3.1. Общие соотношения в случае одмочастот-ных колеба-
ний .................................................71
3.2. Случай двухчастотных колебаний (бигармонический
режим)...............................................80
3.3. Асинхронное воздействие внешней силы на автоколе-
бательную систему....................................85
3.4. Явление резонанса второго рода......................89
Глава 4
МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД
4.1. Предварительные замечания. Приведение дифферен-
циального уравнения к системе уравнений первого
порядка..............................................98
4.2. Составление укороченных уравнений..................104
4.3. Уравнения со свободным членом в правой части . . 111
4.4. Обобщение предыдущих результатов. Получение вто-
рого приближения....................................112
4.5. О применении метода ММА к уравнениям с медленно
меняющимися коэффициентами..........................118
318
Глава 5
ПРОЦЕССЫ УСТАНОВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ
5.1. Предварительные замечания......................125
5.2. Установление колебаний в ламповом генераторе . . 125
5.3. Регенеративная схема. Устойчивость одночастотного
режима.............................................134
Глава 6
УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ В ДВУХКОНТУРНОМ ГЕНЕРАТОРЕ.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
6.1. Двухконтурный ламповый генератор. Исследование
устойчивости стационарных решений..................142
6.2. Устойчивость движения. Основные понятия и опреде-
ления .............................................153
6.3. Методы исследования устойчивости..............157
Глава 7
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. МУЛЬТИВИБРАТОР
7.1. Предварительные замечания.....................164
7.2. Мультивибратор................................165
7.3. Об устойчивости непрерывных решений уравнений,
описывающих процессы в мультивибраторе . . 178
Глава 8
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
8.1. Предварительные замечания......................186
8.2. Контур с переменной емкостью. Рассмотрение мето-
дом ММА............................................188
8.3. Контур с переменной емкостью. Сведения задачи
к уравнению Матье..................................193
8.4. Параметрическая система под воздействием внешней
силы. Одноконтурный параметрический усилитель . 197
8.5. Дополнительные замечания.......................205
Глава 9
ДВУХКОНТУРНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
9.1. Предварительные замечания.................... 206
9.2. Составление укороченных уравнений.............208
9.3. Усиление колебаний ...........................214
9.4. Эквивалентная схема двухконтурного параметриче-
ского усилителя....................................218
9.5. Рассмотрение двухконтурного параметрического уси-
лителя посредством соотношений Менли и Роу . . 221
9.6. Вывод соотношений Менли и Роу и обобщенных соот-
ношений ...........................................226
Глава 10
АВТОГЕНЕРАТОР НА ОТРАЖАТЕЛЬНОМ КЛИСТРОНЕ
10.1. Предварительные замечания.....................235
J0.2. Вывод основных уравнений......................236
319
10.3 Устойчивость состояния равновесия. Условия само-
возбуждения ......................................243
10.4. Режим установившихся колебаний..................247
10.5. Устойчивость режима периодических колебаний . . 251
Глава 11
ТРАНЗИСТОРНЫЙ АВТОГЕНЕРАТОР С АВТОМАТИЧЕСКИМ
СМЕЩЕНИЕМ
11.1. Предварительные замечания.............255
11.2. Автогенератор с трансформаторной обратной связью 257
11.3. Устойчивость полученных решений. Прерывистая ге-
нерация ...........................................264
11.4. Автогенератор с емкостной обратной связью . . . 269
Глава 12
ЧАСТОТА АВТОКОЛЕБАНИЙ ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ.
ВЛИЯНИЕ ШУМОВ НА ФАЗУ И ЧАСТОТУ КОЛЕБАНИЙ
АВТОГЕНЕРАТОРА
12.1. Общие соотношения. Частота автоколебаний во вто
ром приближении..............................273
12.2. Влияние шума на колебания в автогенераторе . . 283
12.3. О ширине спектральной линии автогенератора . . 289
12.4. Дополнительные замечания.....................291
Приложение 1. Обоснование метода ММА . . 293
Приложение 2. О порядке малости .... 305
Список литературы ..................................... 312
Именной указатель.......................................313
Предметный указатель....................................314
Михаил Иосифович Конторович
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РАДИОТЕХНИКЕ
(автоколебательные системы)
Редактор И. К. Ганин
Художественный редактор В. Т. Сидоренко
Обложка художника Б. К. Николаева
Технический редактор Г. 3. Кузнецова
Корректоры Л. И. Кирильченко, Г. М. Денисова
Сдано в набор 26/ХП 1972 г. Подписано в печать 16/IV 1973 г. Т-05290
Формат 84Х108/за Бумага типографская № 1
Объем 16,8 усл. п. л., 15,8 уч.-изд. л.
Тираж 9300 экз. Зак. 12. Цена 1 р. 15 к.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
1 р. 15 к.