ВИБРАЦИИ
В ТЕХНИКЕ
СПРАВОЧНИК
6
В U ТОМАХ
Редакционный совет
Председатель — В. Н. Челомей (главный редактор ичдания)
Члены: В. С. Авдуевский, (И. И. Артоболевский), И. И. Блехман,
А. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов, В. В. Бойцов, В. В. Болотин,
Н. В. Бутенин, И. И. Быховекий, Р. Ф. Ганиев, М. Д. Генкин,
Э. И. Григолюк (зам. председателя и главного редактора),
Ф. М. Диментберг, А. Е. Кобринекий, К- С. Колесников,
М. 3. Коловский, Э. Э. Лавендел, А. И. Лурье, Ю. А. Митропольский,
Я- Г. Пановко, К. М. Рагульскис, В. В. Румянцев, Л. И. Седов,
|С. В. Серенсен], К. В. Фролов (зам. главного редактора)
Москва «Машиностроение» 1979

КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
том
2
Под редакцией д-ра физ.-мат. наук
И. И. БЛЕХМАНА
Москва « Машиностроение » 1979

В41
ББК 34.41
УДК 62:534@31)
Авторы:
И. И. Блехман, Н. В. Бутенин, Р. Ф. Ганиев, В. И. Горюнов, А. А. Кобринский,
A.	Е. Кобринский, М. 3. Коловский, В. С. Метрикин, Ю. А. Митропольский,
Б. И. Мосеенков, Р. Ф. Нагаев, Ю. И. Неймарк, Я. Г. Пановко, А. М. Плотников,
B.	Н. Рубановский, В. В. Румянцев, А. М. Самойленко, С. Я. Степанов, К. В. Фро-
Фролов, К. Ш. Ходжаев
Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. /Ред. со-
В41 вет: В. Н. Челомей (пред.). —М.: Машиностроение,
1979 — Т. 2. Колебания нелинейных механических систем
/Под ред. И. И. Блехмана. 1979. 351 с, ил.
В пер.: 1 р. 80 к
На обороте тит. л. авт.: И. И. Блехман, И В Бутенин, Р. Ф. Ганиев и др.
Во втором томе даны общие сведения о нелинейных механических колеба-
колебательных системах, их классификация, приведены основы теории устойчивости.
Изложены математические методы анализа и рассмотрены основные модели
нелинейных колебательных систем Приведены результаты, относящиеся к спе-
специальным современным проблемам теории нелинейных колебаний
Справочник предназначен для инженерно-технических работников, занятых
проектированием, изготовлением и эксплуатацией современной техники
31301-603	ККК
в оТ^эподписное 2702000000	К
Издательство «Машиностроение», 1979 г,

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ;
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА
Глава I. Общие сведения о нелинейных механических системах (#. Г, Па-
новко, А. М. Плотников)		11
1.	Природа нелинейных сил и их характеристики		И
2.	Типы нелинейных механических систем, их фазовые диаграммы и
особенности нелинейных колебаний		20
3.	Понятия об устойчивости, грубости, чувствительности		32
Список литературы		41
Глава II. Математические методы анализа нелинейных колебательных
систем (параграфы 1, 2, 4, 9—15 —Ю. А. Мшпропольский, Б. И.
Мосеенков, А. М. Самойленко; параграфы 3, 6—8 — И И. Блех-
ман; параграф 5 — Ю И Неймарк)		42
1.	Случаи точной интегрируемости дифференциальных уравнений
движения и приводимые к ним 		42
2.	Графоаналитические методы		47
3.	Метод малого параметра 		51
4.	Асимптотические методы		65
5.	Метод точечных отображений		91
6.	Метод гармонического баланса		97
7.	Стробоскопический метод		101
8.	Метод прямой линеаризации		103
9.	Частотные методы.		103
10.	Качественные методы		106
11.	Методы, основанные на сведении к интегральным уравнениям	113
12.	Прямые вариационные методы		115
13.	Численные методы, использование ЭЦВМ		120
14.	Использование АВМ. Численно-аналитические методы		126
15.	Методы исследования нелинейных систем при случайных воз-
воздействиях 		129
Список литературы	, .	139

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ,
ИХ АНАЛИЗ И СВОЙСТВА
Глава III. Консервативные системы (Р. Ф. Нагаев)		141
1.	Общие сведения		141
2.	Консервативные системы с одной степенью свободы		141
3.	Классификация систем с одной степенью свободы		143
4.	Примеры систем с одной степенью свободы 		144
5.	Консервативные системы с несколькими степенями свободы ...	147
Список литературы		149
Глава IV. Диссипативные системы (Я- Г. Пановко)		150
1.	Общие сведения		150
2.	Определение огибающей (некоторые точные решения)		151
3.	Определение огибающей (приближенное решение)		152
4.	Определение параметров характеристики сопротивления по оги-
огибающей экспериментальной виброграммы 		153
5.	Затухающие колебания при действии сил смешанного типа ...	155
Список литературы		155
Г л а в а V. Системы с внешним возбуждением (М. 3. Коловский)		156
1.	Основные понятия и определения		156
2.	Вынужденные колебания в системах с одной степенью свободы	156
3.	Вынужденные колебания в системах с несколькими степенями сво-
свободы	 		165
4.	Параметрические колебания в системах с одной степенью свободы	168
Список литературы		170
Глава VI. Автоколебательные системы (Н. В. Бутенин, В. И. Горюнов,
В. С. Метрикин) 		171
1.	Общие сведения		171
2.	Простейшая автоколебательная система		171
3.	Автоколебания маятника Фроуда		172
4.	Автоколебания типа шимми		176
5.	Автоколебания самолета с автопилотом		181
6.	Автоколебания в динамической системе с ударными взаимодей-
взаимодействиями 		186
7.	Разрывные автоколебания		188
Список литературы		190
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Глава VII. Взаимодействие источника возбуждения с колебательной сис-
системой (К- В. Фролов, К- Ш. Ходжаев)		191
1.	Общая характеристика задач о взаимодействии источника воз-
возбуждения с колебательной системой		191
2.	Взаимодействие источника возбуждения с линейной одномассной
системой 		192
3	Взаимодействие источника возбуждения с нелинейными колеба-
колебательными системами		199
4	Раздельное формирование амплитуды и частоты колебаний в сис-
системах с двумя источниками энергии		202

ОГЛАВЛЕНИЕ	7
5.	Специальная форма уравнений движения и представление реше-
решения задачи через гармонические коэффициенты влияния .... 203
6.	Взаимодействие колебательной системы с электромагнитом. Пред-
Представление решения через коэффициенты влияния в случае неавто-
неавтономной системы	 206
7.	Полуэкспериментальный метод исследования взаимодействия
колебательных систем с источником энергии	 209
8.	Обобщенные вибрационные силы и коэффициент взаимодействия 210
9.	Краткий обзор исследований	 211
Список литературы	 213
Глава VIII. Синхронизация и захватывание (И. И. Блехман)	 214
1.	О явлениях синхронизации и захватывания 	 214
2.	Общая постановка задач и характеристика математического аппа-
аппарата теории синхронизации динамических объектов. Основные
определения	 215
3.	Синхронизация некоторых классов динамических объектов . . . 219
4.	Некоторые прикладные задачи о синхронизации механических
объектов	 227
5.	Захватывание и вибрационное поддержание вращения неуравно-
неуравновешенного ротора	 233
6.	Тенденция к синхронизации в системах с интегральным критерием 236
7.	Некоторые основные закономерности синхронизации и захваты-
захватывания 	 237
8.	Краткий библиографический обзор	 238
Список литературы	 239
Г л а в а IX. Действие вибрации на нелинейные механические системы
(механика медленных движений, виброперемещение, виброрео-
виброреология) (И. И. Блехман)	 240
1.	О некоторых явлениях, сопровождающих действие вибрации на
нелинейные механические системы, и общем подходе к их иссле-
исследованию 	 240
2.	Основное положение механики медленных движений при дейст-
действии вибрации на нелинейные системы. Метод прямого разделения
движений	 241
3.	Способы определения вибрационных сил	 243
4.	Действие вибрации на механизмы (маятники и роторы). Вибра-
Вибрационная связь	 244
5.	Действие вибрации на системы с трением. Вибрационное переме-
перемещение 	,	 253
6.	О виброреологии	 259
7.	Об эффективных (виброреологических) характеристиках тел . . . 260
Список литературы	 262
Глава X. Нелинейные колебания твердых тел в потенциальном поле сил
(Р. Ф. Ганиев)	 263
1.	Общие сведения		263
2.	Постановка задачи. Нелинейные уравнения движения		264
3.	О методе исследования нелинейных резонансных колебаний.
Пространственная неустойчивость движения твердых тел ....	267
4.	Периодические и почти-периодические режимы пространственных
колебаний твердых тел		272
5.	Механика пространственных колебаний гироскопических систем	275
6.	Некоторые другие приложения теории пространственной не-
неустойчивости и колебаний твердых тел		277
Список литературы	 280

8	ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XI. Колебания и устойчивость твердых тел с полостями, заполнен-
заполненными жидкостью (В. В. Румянцев, В. Н. Рубановский, С. Я- Сте-
Степанов) 		280
1.	Общие сведения		280
2.	Уравнения движения твердого тела с полостями, содержащими
жидкость		281
3.	Простейшие случаи движения твердого тела с полостью, цели-
целиком заполненной жидкостью		284
4.	Малые колебания идеальной жидкости в однородном поле сил
тяжести 		287
5.	Методы определения собственных колебаний жидкости		290
6.	Уравнения движения консервативной системы с жидкими звеньями	293
7.	Движение твердого тела с полостями, целиком заполненными
жидкостью большой вязкости 		295
8.	Устойчивость движения твердого тела с полостями, содержащими
жидкость, по отношению к конечному числу переменных . . .	298
9.	Устойчивость установившихся движений твердых тел с полостями,
содержащими жидкость		300
Список литературы		305
Глава XII. Виброударные системы (А. Е. Кобринский, А. А. Кобрин-
ский)		306
1.	Общие сведения		306
2.	Элементы классификации ВУС		307
3.	Одномассные ВУС		309
4.	Устойчивость периодических движений одномассных ВУС. . . .	315
5.	Двухмассные ВУС		316
6.	Увод		321
7.	Многомассные ВУС		322
8.	Косой удар		324
9.	Краткие библиографические сведения		330
Список литературы		330
Глава XIII. Колебания нелинейных электромеханических систем
(К. Ш. Ходжаев)		331
1.	Общие сведения		331
2.	Уравнения Лагранжа — Максвелла		332
3.	Пример: уравнения электромагнита с притягиваемым якорем	337
4.	О линеаризации уравнений электромеханических колебаний . . .	338
5.	Системы, подверженные действию постоянных ЭДС. Устойчи-
Устойчивость механического равновесия 		340
6.	Колебания систем с прерывателем		341
7.	Периодические колебания систем с малой электрической дисси-
диссипацией. Интегральный критерий устойчивости		341
8.	Колебания систем под действием электромагнита		343
9.	Медленные механические движения в электромеханических сис-
системах 		344
Список литературы		347
Предметный указатель 		348

ПРЕДИСЛОВИЕ
Второй том справочника посвящен изложению основных сведений о нелинейных
колебаниях механических систем.
Выделение этого материала в отдельный том обусловлено тем, что теория нели-
нелинейных колебаний в настоящее время является не только источником динамических
моделей объектов и явлений для многих областей науки и техники, но также во все
возрастающей степени становится рабочим инструментом инженера-исследователя,
расчетчика и проектировщика современных машин, приборов и сооружений. Именно
для таких специалистов и предназначен том. Вместе с первым томом он образует
теоретический фундамент для рассмотрения прикладных проблем, которым посвя-
посвящены следующие тома издания.
Том состоит из трех частей.
Первая часть содержит характеристику общих положений теории нелинейных
колебаний, обзор основных нелинейных явлений, а также изложение главных мате-
математических методов решения нелинейных задач о колебаниях — аналитических,
графо-аналитических, качественных и численных методов.
Во второй части рассмотрены основные классы моделей нелинейных колебатель-
колебательных систем, под которыми понимаются консервативные, диссипативные, автоколеба-
автоколебательные системы и системы с заданным внешним возбуждением. Приведены важ-
важнейшие результаты качественного и количественного исследования свойств указан-
указанных систем, перечислены возможные в них нелинейные эффекты. Изложение сопро-
сопровождается примерами, представляющими, помимо иллюстративного, также и само-
самостоятельный прикладной интерес.
Третья часть содержит материал, еще не нашедший отражения в общих курсах
теории нелинейных колебаний. Здесь представлены быстро развивающиеся разделы
теории, посвященные своеобразным нелинейным эффектам и системам; эти разделы
непосредственно связаны с техническими приложениями, рассматриваемыми в по-
последующих томах. В соответствии с ориентацией всего издания, о которой говори-
говорилось в предисловии к справочнику «Вибрации в технике», помещенном в первом томе,
при выборе материала третьей части учтены интересы не только специалистов по
борьбе с вредной вибрацией, но также исследователей и разработчиков устройств,
предназначенных для получения полезных эффектов в различных областях техники
и технологии.

10	ПРЕДИСЛОВИЕ
В содержании тома нашла естественное отражение та общепризнанная выдаю-
выдающаяся роль, которую сыграли отечественные ученые в становлении и развитии теории
нелинейных колебаний; вместе с тем, в томе отражены также важнейшие прикладные
достижения иностранных исследователей. Несмотря на наличие многочисленных
монографий, журнальных статей и научных докладов, содержащих фундамен-
фундаментальные результаты, создание теории нелинейных колебаний еще далеко до сво-
своего завершения. В этих условиях одна из главных трудностей при формировании
содержания тома состояла в отборе материала; другая трудность заключалась в со-
согласовании уровня и стиля изложения, принятого различными авторами. Преодоле-
Преодоление этих трудностей было значительно облегчено той большой работой по подготовке
отдельных разделов тома, которую взяли на себя академик АН УССР Ю. А. Мит-
ропольский (глава II) и чл -кор. АН Латв ССР Я. Г. Пановко (главы I, III—VI).
Немалая помощь оказана также рецензентами тома, сделавшими много полезных
замечаний.
Вместе с тем, несмотря на затраченные усилия, возможно, не удалось избежать
определенных промахов и недочетов. За их указание редакция и авторы будут при-
признательны читателям.
Редактор тома д-р физ.-мат. наук И, И. БЛЕХМАН

Часть первая
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ;
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА
Глава I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
1. ПРИРОДА НЕЛИНЕЙНЫХ СИЛ * И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Механическую систему называют нелинейной, если нелинейны соотношения,
описывающие процессы ее движения или статического деформирования, в частности,
если хотя бы одна из обобщенных сил нелинейно связана с обобщенными коорди-
координатами и (или) обобщенными скоростями. Хотя всякая реальная механическая си-
система в той или иной степени нелинейна, в ряде случаев влияние нелинейности пре-
пренебрежимо мало; тогда для описания таких систем можно пользоваться упрощен-
упрощенными линейными моделями и соответствующими им линейными теориями. Таковы,
например, основные статические и динамические модели, используемые в сопротивле-
сопротивлении материалов, строительной механике и теории упругости, а также некоторые
простейшие модели теорий вязкоу пру гости, аэроупругости, гидроупругости, магни-
тоупругости. О линейных динамических задачах см. в т. 1.
В простейших случаях нелинейность механической системы связана с нелиней-
нелинейными зависимостями позиционных сил от обобщенных координат (см. ниже) или сил
сопротивления (в частности, сил трения) от обобщенных скоростей (см. с. 14). Для
систем с одной степенью свободы такие зависимости, взятые с противоположными
знаками, называют силовыми характеристиками (например, характеристика пози-
позиционной силы, характеристика силы сопротивления и т.д.).
В более сложных системах в механической системе могут действовать силы сме-
смешанного типа (см. с. 17).
Нелинейные позиционные силы. Позиционными называют силы, зависящие
только от положения механической системы (ее обобщенных координат). В самом
общем случае позиционные силы можно разделить на консервативные и неконсерватив-
неконсервативные (см. т. 1). В системах с одной степенью свободы любая сила, зависящая только
от обобщенной координаты, является консервативной. Если в системе с одной сте-
степенью свободы приращение позиционной силы направлено противоположно откло-
отклонению системы от положения равновесия, то такую силу называют восстанавливаю-
восстанавливающей; при этом выполняется неравенство Fo (a) q > О, где q — отклонение системы от
положения равновесия; Fo {а) — ордината силовой характеристики (т. е. взятое
с обратным знаком приращение обобщенной позиционной силы). Если Fo (q) q <_ О,
то соответствующую позиционную силу называют отталкивающей.
Различают несколько типов позиционных сил.
I. Силы упругости, возникающие при деформировании твердых тел или изме-
изменении объема данного количества газа.
II. Силы тяжести.
* Здесь и далее слово сила понимается в широком смысле, как обобщенная сила (а част-
частности, такой силой может быть момент).

12
СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Таблица 1
Механическая система
График силовой характеристики
Груз, прижатый пружиной к плоско-
плоскости (/)*
Груз на рессоре с подрессорником (/)
f
0
<^
J
J
а.
1
У
Груз на конической пружине (/)
а у
Гибкая упругая балка (/)
\,
Упругий поршень в суживающемся
канале (/)
F = Ac \(f)> dx,
О
где с — коэффициент жесткости линей-
линейной пружины

нелинейные силы, их характеристики
13
Механическая система
График силовой характеристики
Груз, поддерживаемый i азом, заклю-
заключенным в замкнутом объеме (/)
1.
Маятник с неподвижной осью под-
подвеса (//)
М = mgl sin ф
Маятник с вращающейся осью под
веса (//)
I
т •
V	I
Д
А
Л1 = mg/ sin tp — т№1* sin ф cos ф
Жидкость в сообщающихся сосудах
an
Непрямостенное судно (понтон, по-
поплавок) при вертикальных отклонениях
от положения равновесия (///)

14
СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Ш по
пор
11
12
13
Механическая система
То же, при углових отклонениях от
положения равновесия (III)
Якорь в магнитном поле (IV)
offe
Шина А в магнитном поле, создавае-
создаваемом током, проходящим по неподвиж-
неподвижному проводнику В (IV)
ИР
График силовой характеристики
М
0
-К
-а\ 0
i
1
F-
0
А
|.
X
.	""
• Римские цифры указывают типы позиционных сил (см. на с. 11 и 14)
III.	Силы выталкивания, действующие на тела, частично погруженные в жид-
жидкость.
IV.	Силы притяжения в постоянном магнитном поле.
Производную dF0/dq называют квазиупругим коэффициентом, или, если Fo —
сила упругости, коэффициентом жесткости; в нелинейных системах этот коэффи-
коэффициент зависит от обобщенной координаты q. Если с возрастанием координаты он уве-
увеличивается при q > О (или уменьшается при <? < 0), то характеристику называют
жесткой; при этом q ¦ (d?F0/dq2) > 0. В противоположном случае q ¦ (cPF0ldq2) < 0,
и характеристику называют мягкой. Характеристики могут быть жесткими в одних
промежутках значений q и мягкими — в других. Если ^о (q) = —Fo (—q), то харак-
характеристику называют симметричной.
Типы механических систем с одной степенью свободы с нелинейными позицион-
позиционными силами и их силовые характеристики приведены в табл. 1. Через х, у или tp
обозначены обобщенные координаты (отклонения системы от положения равновесия),
через F или М — взятые с обратным знаком обобщенные силы. Во всех приведенных
случаях нелинейность позиционных сил проявляется лишь при больших отклоне-
отклонениях системы от положения равновесия; при малых отклонениях эти системы можно
считать линейными (пределы таких отклонений устанавливают дополнительным иссле-
исследованием, они зависят от характера изучаемого вопроса и требований точности).
Иногда нелинейность позиционных сил существенна при сколь угодно малых
отклонениях системы от положения равновесия; часто нелинейные свойства таких
систем особенно заметны именно при малых отклонениях (табл. 2).
Нелинейные силы сопротивления. Силами сопротивления (или просто сопроти-
сопротивлениями) называют силы, зависящие только от скоростей точек механической си-

нелинейные силы, их характеристики	15
Таблица 2
№ по
пор
1
2
3
Механическая система
Система с натягом (/)
Тяжелый полуцилиндр с продольной
канавкой (//)
Поршень, прижатый к
линдра внутренним давлен
Р
'¦{
X
днищу ци-
ием (/)
График силовой характеристики
V
0
По
0
(p-Pc)S \
1
к
0 *
р, ра — соответственно внутреннее и
атмосферное давления, S — площадь
сечения цилиндра
стемы, если их мощность при движении системы не равна тождественно нулю (в про-
противоположность этому мощность гироскопических сил, также зависящих от скоростей
точек механической системы, тождественно равна нулю при движении системы —
см. т. 1). Термин в основном применяется в случаях, когда силы направлены про-
противоположно скоростям, но иногда им условно пользуются и тогда, когда направле-
направление силы совпадает с направлением скорости.
К силам сопротивления относятся силы трения в подвижных соединениях ма-
машин и механизмов; силы конструкционного трения в «неподвижных» соединениях
(прессовых, заклепочных, болтовых и т. п.), связанные с микропроскальзываниями
в зонах контакта при нагружении системы; силы внутреннего трения в материале
элементов системы; силы сопротивления среды, возникающие при движении конструк-
конструкции в газе или жидкости (силы лобового сопротивления, моменты сил сопротивле-
сопротивления вращению крыльчаток и др.).
Чаще всего силы сопротивления описываются нелинейными функциями скоро-
скоростей, однако в практических расчетах эти функции иногда можно линеаризовать,
считая сопротивление линейно-вязким. Обычно основанием для линеаризации сил
сопротивления служит не столько слабая нелинейность истинных зависимостей
(в действительности она может быть сильной), сколько заведомо малое влияние сил
сопротивления на некоторые колебательные свойства и процессы. Так, в большинстве
случаев для расчета частот свободных колебаний достаточно использовать линеари-
линеаризованные характеристики сил трения, а иногда даже полностью пренебречь сопроти-
сопротивлениями. Силами трения часто можно пренебрегать и при вычислении амплитуд
вынужденных колебаний вдали от резонанса.
Линеаризация сил сопротивления и тем более пренебрежение ими допустимы не
всегда. Возможную нелинейность сил сопротивления следует учитывать при анализе
виброграмм свободных затухающих колебаний и при вычислении резонансных

16
СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Таблица 3
Тип сопротивления (трения) и силовая
характеристика
График силовой
характеристики
Степенное сопротивление
= b\q \n~l
Кулоново трение (см п. 1 при п = 0)
"i = *о , . ,-
Квадратичное сопротивление (см. п. 1 при п = 2)
Ft = Ь2 | q \ q
Линейное и кубическое сопротивление
a) F, = b,q + ba'qs
б) F, = bt'q — bB'q*
в) Ft= - bxq
Линейное и кулоново трение
a) Ft = *0 -г-?-
I |
б) F, = Ь„ -,4-
I
О

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИЛЫ, ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
17
№ по
пор
Тип сопротивления (трения) и силовая
характеристика
График силовой
характеристики
в) Ft = - b0
¦b,q
/
T
Сухое трение (совокупность случаев 2 и 4, в)
Ft = *„ ут-у- - b,i + bs'q*
\я\
Примечание Ь, Ьо, .. , Ь3 — положительные постоянные
амплитуд вынужденных колебаний; в особенности этот учет необходим при нахо-
нахождении стационарных режимов автоколебаний и конечных амплитуд колебаний при
параметрическом резонансе, а также при исследовании переходных процессов в ав-
автоколебательных системах. Если для системы с одной степенью свободы q — обобщен-
обобщенная скорость и Fx — взятая с обратным знаком обобщенная сила сопротивления,
то функция Fx = Fj (q) определяет характеристику сигы сопротивления.
Силы сопротивления, удовлетворяющие неравенству Ft (g) q > О, совершают
отрицательную работу и вызывают рассеивание (диссипацию) механической энергии;
такие силы сопротивления называют диссипативными. Если F1 (q) q < 0, то силы
сопротивления совершают положительную работу и вызывают приток механической
энергии в систему; такие силы называют силами отрицательного сопротивления
(отрицательного трения). Если сила сопротивления совершает отрицательную работу
в одних промежутках движения и положительную — в других, то система может
обладать автоколебательными свойствами.
Некоторые нелинейные характеристики сопротивления приведены в табл. 3.
При исследованиях гармонических колебаний, когда q = A sin (Ш + а), часто
можно пользоваться условной суммарной силовой характеристикой, представляя
сумму сил Fo (q) + Fx (q) в виде Fo (q) +- Fx (ifccoj/A1 — q), т. е. как функцию обоб-
обобщенной координаты q. В данном случае переход от двух аргументов q и 4 к одному
аргументу q возможен благодаря тому, что закон движения заранее задан; однако
после этого перехода зависимость суммарной силы от обобщенной координаты оказы-
оказывается неоднозначной в отличие от всегда однозначных характеристик позиционных
сил (см. габл. 1 и 2).
Для диссипативной системы с линейной восстанавливающей силой (рис. 1, а)
суммарная силовая характеристика показана на рис. 1,6; площадь, ограниченная
гистерезисной петлей, по величине равна работе силы сопротивления за один период
движения. При нелинейной восстанавливающей силе осевая (скелетная) линия ги-
гистерезисной петли — криволинейная (рис. 1, в). Если при заданной амплитуде изме-
изменяется частота колебаний, то осевая линия петли остается неизменной, но расстояния
между ветвями петли и ограниченная ими площадь, как правило, изменяются, при-
причем законы этих изменений зависят от характеристики сопротивления; исключениями
служат случаи кулонова трения, а также внутреннего трения в материале, когда
гистерезисная петля не меняется при изменениях частоты колебаний (рис. \,г).
Нелинейные силы смешанного типа. Силами смешанного типа называют силы,
зависящие от обобщенных координат и обобщенных скоростей, которые нельзя
представить в виде суммы слагаемых, зависящих только от обобщенных координат
или только от обобщенных скоростей. Для систем с одной степенью свободы харак-
характеристики сил смешанного типа представляют собой поверхности в пространстве q,
^, F (q, q) (F — взятая с обратным знаком обобщенная сила),

18
СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Иногда силы смешанного типа можно представить в виде произведения двух функ-
функций, одна из которых зависит только от обобщенных координат, а другая только от
обобщенных скоростей. Тогда для систем с одной степенью свободы силовой харак-
характеристикой является функция F — Fo (q) Fj (q). Такие силы условно называют си-
силами сопротивления с коэффициентами, зависящими от положения системы (пози-
(позиционное трение). В табл. 4 даны примеры систем, в которых возникают силы пози-
позиционного кулонова трения, и приведены соответствующие силовые характеристики.
Природа возникновения зависимости силы кулонова трения от координаты различна:
в системах 1—3 силы кулонова трения изменяются с изменением прижатия, которое
связано с координатой q;
в системе 4 прижатие неизменно, но трение начинает проявляться при доста-
достаточно большом значении силы F, т. е. после того, когда перемещение q достигнет
определенного значения. Система схематически отражает свойства упругопластиче-
ских конструкций;
Рис. 1
в системе 5 длина участка проскальзывания и общая сила трения пропорцио-
пропорциональны силе F, т. е. связаны с перемещением торцового сечения полосы;
в системе 6 предполагается, что силы внутреннего трения в материале не зависят
от частоты процесса циклического деформирования, но (в отличие от случая,
показанного на рис. 1,г) изменяются с изменением перемещения; такое предполо-
предположение приемлемо для многих конструкционных материалов (в частности, для
стали).
Другие примеры сил смешанною типа см. в табл. 5.
В автономных системах с импульсным возбуждением силы смешанного типа
представляют собой кратковременные воздействия ударною характера, причем удар
обычно допустимо считать мгновенным. В этих системах моменты приложения мгно-
мгновенных импульсов заранее не заданы, так как они зависят от движения системы
(импульсы прикладываются в моменты прохождения системой определенных состоя-
состояний, характеризуемых заданными значениями обобщенных координат и обобщенных
скоростей).
Величины импульсов могут зависеть от предударных значений скоростей, нов ряде
случаев они заданы; направление импульсов совпадает с направлением предударной
скорости, и при ударе происходит мгновенное увеличение механической энергии си-

нелинейные силы, их характеристики	19
Таблица 4
Система
График силовой характеристики
Пластинчатая рессора с кулоновым тре-
трением между листами
Диск, закрепленный на спиральной пру
жине При поворотах из-за закручивания
пружины он прижимается к шероховатым
поверхностям А или В
Упругий поршень, входящий в суживаю-
суживающийся канал с трением
f — коэффициент грения
Упругопластическая система
Упругая полоса, прижатая постоянным
давлением р к шероховатой поверхности
u 1 а п и \ р
a VfFT-1
¦*тах ~ 2fpEF '
где EF—жесткость поперечного сечения
полосы при растяжении
7/
¦-1
Стержень, материал которого обладает
внутренним трением
Простейшая форма описания ветвей
характеристики
F = <

20
СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Таблица 5
> по
пор
1
2
3
4
Тип модели
Модель Ван-дер-Поля
Усложненная модель Ван-дер-Поля
Модель позиционного вязкого трения
(знак коэффициента трения совпадает со
знаком разности q — а)
Модель позицнонною вязкого кулонова
трения (-шак силовой характеристики сов-
совпадает со знаком суммы txq -f- Ptf) При ку-
лоновом трении а = 0 и р > 0
Силовая характеристика
F = -i'q(l — qt)
F = - k'q A - q* +aq4)
F = b'q sign (q — a)
F = 6o sign (aq + fq)
Примечание а, Ь, Ьо, а, р, к — положительные постоянные
стемы Состояния такой системы, которые определяют моменты приложения им-
импульсов, описываются на фазовой плоскости кривыми /? (q, q) = 0, когда изобра-
изображающая точка достигает какой-либо ючки этой кривой, происходит удар. На рис. 2, а
показан пример фрагмента фазовой диаграммы для системы, если удары с импуль-
импульсами ±S происходят при q > 0, когда координата q достигает значения <7*, и при
q < 0, когда координаи q достигает значения —q%. Разрывы скорости составляют
Sla (о — инерционный коэффициент системы).
'А4
\
\
К*
ч» ч
Рис. 2
В системах с ограничителями направление импульсов, возникающих при ударах
об ограничитель, противоположно направлению предударной скорости, и при ударе
происходит мгновенное уменьшение механической энергии системы. Фазовая диа-
диаграмма на рис. 2, б соответствует некоторой системе с ограничителем. Удары проис-
происходят при q > 0, когда координата q достигает определенного значения qt.
2. ТИПЫ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ,
ИХ ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ И ОСОБЕННОСТИ
НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Типы нелинейных механических систем. Нелинейные механические системы
(как и линейные) разделяют на автономные и неавтономные по признаку отсутствия
или наличия воздействий, заданных в виде функций времени (силовою или кинема-
кинематического возбуждения),

ТИПЫ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В автономных системах действующие силы зависят только от состояния системы
(обобщенных координат и обобщенных скоростей), и в дифференциальные уравне-
уравнения движения время явно не входит. В дифференциальные уравнения движения
неавтономных систем время входит явно. Если для автономной нелинейной системы
с несколькими степенями свободы можно заранее указать с достаточной точностью
законы изменения во времена некоторых из обобщенных координат, то число диф-
дифференциальных уравнений движения соответственно уменьшается; в этих уравне-
уравнениях явно появляется время, и систему в целом можно рассматривать как неавто-
неавтономную. На этом основана постановка задачи о вынужденных колебаниях, когда
предполагают, что движение колебательной системы не оказывает обратного влия-
влияния на возбудитель колебаний, т. е. действие возбудителя представляет собой неко-
некоторую заданную функцию времени («идеальный возбудитель»). При учете обратного
влияния система обычно оказывается нелинейной и автономной, а число обобщенных
координат большим, чем в приближенном анализе, необходимость такого учета за-
зависит от свойств и параметров системы (см. гл. VII).
Понятие автономности не совпадает с понятием замкнутости (изолированности)
механической системы, которое соответствует условиям полного отсутствия внешних
воздействии. Автономная система момег быть незамкнутой (таковы, в частности,
все автоколебательные системы), а замкнутая система — неавтономной (при дейст-
действии парных внутренних сил, заданных в виде явных функций времени). Схемы таких
систем приведены в обл. 6.
Таблица 6
Тип системы и условная схема
Тип системы и условная схема
Автономная замкнутая
Неавтономная замкнутая
Автономная незамкнутая
Неавтономная незамкнутая
Автономные системы. Для автономных систем с одной степенью сво-
свободы дифференциальное уравнение движения имеет вид
Если функция F (q, q~) содержит линейную позиционную часть, то уравнение A)
обычно записывают в виде
aq-{-cq—F*(q, 4),	B)
где F* (q, q) — нелинейная часть обобщенной силы Если нелинейная часть обобщен-
обобщенной силы достаточно мала, то механическую систему называют квазилинейной и ча-
частоту ее колебаний определяют по формуле
¦Ус/а.
C)
Соотношение C) часто используют при анализе некоторых автоколебательных си-
систем и свободных затухающих колебаний систем с нелинейными силами сопротивле-
сопротивления.
Автономные системы могут быть консервативными и неконсерватиеными; в числе
последних выделяются диссипативные и автоколебательные.

22	СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Консервативными называют автономные системы, которые находятся под дейст-
действием только потенциальных сил (расширенное понятие о консервативных системах
приведено в гл. III). Дифференциальное уравнение движения консервативной си-
системы с одной степенью свободы имеет вид
aq + F0(q) = 0,	D)
где Fo (i?) — характеристика консервативной силы. Примеры консервативных нели-
нелинейных систем см. в табл. 1. Общие свойства и особенности колебательных явлений
в них рассмотрены в гл. III. Характерной практической задачей для кон-
консервативных систем является определение связи частоты свободных колебаний с их
амплитудой.
Диссипативными называют автономные системы, находящиеся под действием
диссипативных сил (а также обычно и восстанавливающих сил, придающих системе
колебательные свойства). Дифференциальное уравнение движения системы с одной
степенью свободы при наличии только диссипативных сил имеет вид
a? + fiW) = 0,	E)
где Ft (q) — характеристика силы сопротивления.
Если кроме диссипативных сил в системе действуют также и позиционные силы,
то дифференциальное уравнение движения принимает вид
aq + Fi(q) + F0(q) = 0.	F)
Диссипативная система нелинейна, если хотя бы одна из функций Fo и Ft нелинейно
связана со своим аргументом. Примеры описания диссипативных сил приведены
в табл. 3. Общие свойства колебательных явлений в соответствующих системах рас-
рассмотрены в гл. IV. Характерной практичгской задачей для таких систем явля-
является аналитическое построение огибающей кривой свободных затухающих колебаний.
Автоколебательными называют автономные системы, в которых могут происхо-
происходить периодические колебания, причем потери механической энергии непрерывно
пополняются притоком энергии из источника, не обладающего собственными колеба-
колебательными свойствами; поступление энергии из источника управляется самим движе-
движением системы, а период и размах колебаний не зависят (в широких диапазонах) от
начальных условий. Такие колебания называют установившимися (стационарными)
автоколебаниями, а процесс постепенного приближения к установившимся автоколе-
автоколебаниям, возникающий после произвольного начального возмущения системы, —
переходным процессом. Если дифференциальное уравнение движения системы можно
представить в виде B), то при относительной малости нелинейной части обобщенной
силы установившиеся автоколебания приближенно описываются зависимостью
q = Asm(<o0t — y),	G)
причем частота автоколебаний определяется выражением C). Такие автоколебания
называют квазилинейными. При сильной нелинейности системы установившиеся
автоколебания могут существенно отличаться от гармонических; такие колебания
называют релаксационными. В частности, автоколебательными являются системы
Релея и Ван-дер-Поля, движение которых описывается соответственно уравнениями
0;	(8)
O-	(9)
Другими примерами автоколебательных систем могут служить системы, для
которых силовые характеристики приведены в табл. 3 (пп. 4, в, 5, б и 6) и в табл. 5
(пп. 1 и 2). Общие свойства автоколебательных систем и особенности автоколебаний
приведены в гл. V. Характерные задачи для автоколебательных систем зак-
заключаются в определении частот и размахов установившихся автоколебаний, иссле-
исследовании устойчивости установившихся режимов, изучении переходных процессов
(нахождение темпа приближения движения к установившемуся режиму).
Неавтономные системы. Обобщенной вынуждающей силой называют
явно зависящую от времени часть обобщенной силы, которая не зависит от состояния

ТИПЫ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ	23
системы (обобщенных координат и обобщенных скоростей). Если вынуждающая сила
изменяется во времени по периодическому закону, то вызываемые ею установившиеся
(периодические) колебания называют вынужденными колебаниями; в более широком
смысле вынужденными колебаниями часто называют движение, вызванное любой
вынуждающей силой. В дифференциальные уравнения вынужденных колебаний время
входит явно в слагаемые, которые не содержат обобщенных координат и обобщенных
скоростей. Для системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение вы-
вынужденных колебаний имеет вид
aq-+F(q, q) = P(t),	A0)
где Р @ —вынуждающая сила. Об особенностях вынужденных колебаний см. на
с. 25, 28—31 и в гл. V.
Характерной практической задачей для таких систем является построение ам-
амплитудно-частотных характеристик; определение резонансных амплитуд и условий
срыва амплитуд, выявление супер- и субгармонических колебаний. Если в дифферен-
дифференциальных уравнениях движения неавтономной системы невозможно выделить функ-
функции времени в виде отдельных слагаемых и они входят в виде сомножителей при
функциях обобщенных координат и (или) обобщенных скоростей, то системы, описы-
описываемые этими уравнениями, называют системами с параметрическим возбуждением.
Движение нелинейной системы с одной степенью свободы при параметрическом воз-
возбуждении часто описывается дифференциальным уравнением
a? + M^i(<?)-r-M0M<7)=0,	(И)
в котором /о и /i — периодические функции времени. Анализ соответствующего A1)
линеаризованного уравнения
= Q	A2)
позволяет найти области значений параметров системы, в которых тривиальное
решение q = 0 неустойчиво; в этих областях после любого сколь угодно малого воз-
возмущения состояния равновесия системы возникает процесс нарастающих колебаний —
параметрический резонанс (см. т. 1). Для определения установившихся амплитуд ко-
колебаний при параметрическом резонансе необходимо учитывать нелинейность систе-
системы и исходить из уравнения A1).
Для систем с параметрическим возбуждением характерные задачи заключаются
в определении границ областей устойчивости и условий возникновения параметри-
параметрического резонанса (в линейной постановке с учетом линейного сопротивления); опре-
определении амплитуд установившихся параметрических колебаний в зоне параметриче-
параметрического резонанса (в нелинейной постановке).
Фазовые диаграммы автономных систем. Состояние автономной системы, опре-
определяемое обобщенными координатами qt и обобщенными скоростями <?г (t = 1,2,..., п;
п — число степеней свободы), можно представить изображающей точкой G в 2я-мер-
ном фазовом пространстве. Состояние автономной системы с одной степенью свободы
(п = 1) может быть представлено изображающей точкой G в системе координат q, q
(на фазовой плоскости). При этом процесс движения механической системы отобра-
отображается движением изображающей точки на фазовой плоскости; траекторию изобра-
изображающей точки называют фазовой траекторией, а совокупность фазовых траекторий,
соответствующих всевозможным начальным условиям, — фазовой диаграммой
(рис. 3, а). Если
4 = 1 (Я. Я)	A3)
— дифференциальное уравнение движения автономной системы, то дифференциаль-
дифференциальное уравнение фазовых траекторий имеет вид
dq _f(q, q)
dq ~~V~-
Состояниям равновесия q = 0 соответствует равенство
f(q, 0) = 0.	A5)

24
СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
ч
ч
Корни уравнения A5) определяют равновесные значения координаты q — qs. Точки
(<7s> 0) —особые точки дифференциального уравнения A4); все остальные точки фа-
фазовой плоскости называют регулярными. Че-
Через любую регулярную точку проходит толь-
только одна фазовая траектория. Если обобщен-
обобщенной координатой является угол, то вместо
фазовой плоскости удобно пользоваться фа-
фазовым цилиндром (рис, 3, б).
Состояния равновесия. Не-
Нелинейной системе может соответствовать не-
несколько состояний равновесия; их число рав-
равно числу действительных корней уравнения
A5). По структуре фазовых диаграмм вблизи
особой точки можно определить устойчивость
или неустойчивость соответствующего состоя-
состояния равновесия; физически реализуемыми яв-
являются только устойчивые состояния равно-
равновесия (см. п. 3). Для систем с одной степенью
свободы особые точки, соответствующие дискретным устойчивым и неустойчивым
положениям равновесия, всегда чередуются на фазовой плоскости. Основные типы
особых точек представлены в табл. 7, более подробно вопрос рассматривается в п.
7 гл. II.
Таблица 7
6
_	'
--•
S)
Рис. 3
Структура разовой диаграммы вблизи особой точки при равновесии
устойчивом
неустойчивом
Центр
Седло
Фокус
Фокус
Узел
Часть фазовой плоскости, в которой располагаются все фазовые траектории,
стремящиеся к данной устойчивой особой точке, называют областью притяжения
этой точки.

ТИПЫ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ	25
При изменении силовой характеристики может измениться тип особой точки
Например, соответствующий устойчивому состоянию равновесия консервативной
системы центр при введении в систему сколь угодно малого сопротивления превра-
превращается в устойчивый фокус, который при дальнейшем увеличении сопротивления
может перейти в устойчивый узел. Если в систему вводить отрицательное сопроти-
сопротивление, то центр переходит в неустойчивый фокус, который затем может превратиться
в неустойчивый узел.
Общие свойства фазовых траекторий:
1)	в верхней полуплоскости (q > 0) изображающая точка на любой фазовой тра-
траектории движется в направлении возрастания q, т. е. слева направо, а в нижней
полуплоскости (д < 0) — в направлении убывания q, т. е. справа налево;
2)	в регулярных точках оси q фазовые траектории пересекают эту ось под прямым
углом;
3)	в регулярных точках, не лежащих на оси q, фазовая траектория не можег иметь
касательной, параллельной оси q;
4)	если какая-либо непрерывная фазовая траектория последовательно пересекает
ось q в двух регулярных точках, то между этими точками находится по крайней мере
одна особая точка;
5)	в интервале времени, в котором непрерывная фазовая траектория не пересе-
пересекает ось q, она может пересечь любую прямую, параллельную оси q, не более одного
раза;
6)	периодическим режимам движения соответствуют замкнутые фазовые траек-
траектории.
В табл. 8 даны фазовые диаграммы для ряда типичных нелинейных систем.
Изолированные замкнутые фазовые траектории (т. е. такие замкнутые траектории,
в окрестности которых нет других замкнутых траекторий) называют предельными
циклами.
Предельный цикл называют устойчивым, если любая фазовая траектория, начи-
начинающаяся в достаточно малой окрестности этого цикла, неограниченно к нему при-
приближается (табл. 8, пп. 11, 15); соответствующее предельному циклу движение меха-
механической системы представляет собой установившиеся автоколебания. В противопо-
противоположном случае предельный цикл называется неустойчивым; движение механической
системы, соответствующее неустойчивому предельному циклу, физически нереали-
нереализуемо (табл. 8, п. 12).
Ту часть фазовой плоскости, в которой располагаются все фазовые траектории,
стремящиеся к данному предельному циклу, называют областью притяжения этого
цикла.
Неустойчивые предельные циклы разделяют фазовую плоскость на области при-
притяжения к особым точкам или устойчивым предельным циклам. Устойчивые и не-
неустойчивые предельные циклы чередуются на фазовой плоскости.
Изолированные фазовые траектории, проходящие через особую точку типа седло,
называют сепаратриссами. Движение механической системы, соответствующее дви-
движению изображающей точки по сепаратриссе, неустойчиво и физически нереали-
нереализуемо. Сепаратриссы разделяют фазовую плоскость на области начальных условий,
приводящих к движениям принципиально различных типов (см. гл. III).
Об аналитических и графоаналитических способах построения фазовых траекто-
траекторий на основе уравнения A4) см. в гл. П.
Особенности колебательных явлений в нелинейных механических системах.
В нелинейных системах, в частности механических, принцип суперпозиции не вы-
выполняется (в этом главное отличие свойств нелинейных систем от свойств линейных).
Например, результат (отклик) одновременного действия двух вынуждающих сил не
равен сумме результатов (откликов), вызываемых порознь каждой из них, а измене-
изменение масштаба возбуждения не приводит к пропорциональному изменению масштаба
отклика. Это свойство можно использовать в качестве критерия при эксперимен-
экспериментальной проверке линейности конкретной механической системы.
Наиболее существенные особенности нелинейных колебательных систем: воз-
возможность существования нескольких положений равновесия; неизохронность сво-
свободных колебаний, неоднозначность зависимости амплитуды вынужденных колебаний
от частоты гармонической вынуждающей силы; возникновение супер- и субгармони-

26
СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Таблица 8
Уравнение
Основные особенности
Фазовая диаграмма
Одно положение равнове-
равновесия (центр)
— сед3 = О
Три положения равновесия
(один центр и два седла)
q -
= О
Три положения равновесия
(одно седло и два центра)
— (i)fq — ОТ3 = О
Одно неустойчивое поло-
положение равновесия (седло)
q -f 2sq + wzq -f aq3 = 0
(e < (Do)
Одно положение равнове-
равновесия (устойчивый фокус)
(е < to»)
Три положения равновесия
(устойчивый фокус н два
седла)
2е<7
— a?3 = 0
(е> со»)
Три положения равнове-
равновесия (устойчивый узел и два
седла)
2е? — <в|<7 + од3 = О
(е < 2ш0)
Три положения равновесия
(два устойчивых фокуса и
седло)

типы нелинейных механических систем
27
№ по
пор.
Уравнение
Основные особенности
Фазовая диаграмма
q +FC (?) = 0;
F (q) = OJ<? при q < A;
Fq (q) > иМ при q = Л
Одно устойчивое положе-
положение равновесия (центр)
10
q + r0 sign q + 0J? = 0
Зона застоя, ширина кото-
которой 2ro/a>jj
<7 -М+б»?3 + 7
Одно положение равнове^
сия (неустойчивый фокус).
Один устойчивый предель-
предельный цикл. Мягкое возбужде-
возбуждение автоколебаний
q + Ь,д- bBq* + 7
Одно положение равнове-
равновесия (устойчивый фокус).
Один неустойчивый предель-
предельный цикл
13
—b,q+ b,q3 —
Одно положение равнове-
равновесия (неустойчивый фокус).
Два предельных цикла —
устойчивый и неустойчивый.
Мягкое возбуждение автоко-
автоколебаний
+btq —
Одно положение равнове-
равновесия (устойчивый фокус). Два
предельных цикла —неустой-
—неустойчивый и устойчивый. Жест-
Жесткое возбуждение автоколеба-
автоколебаний
15
q —Ml - 9г) <7 + <7 = О
(уравнение Ван-дер-Поля)
Одно положение равнове-
равновесия (неустойчивый фокус).
Один устойчивый предель-
предельный цикл. Мягкое возбужде-
возбуждение автоколебаний
Примечание, а, в, <в0, 'о. bt, .. , Ьь, Я. — положительные постоянные.

28
СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
ческих колебаний; возможность существования автоколебательных режимов, а также
явлений захватывания и затягивания.
Неизохронность свободных колебаний консерватив-
консервативных нелинейных систем. Частота сгободных колебаний нелинейных
систем обычно зависит от начальных условий, т. е. связана с размахами колебаний.
Это свойство называется неизохронностью. Для консервативной системы с симметрич-
симметричной силовой характеристикой точная зависимость угловой частоты свободных коле-
колебаний соо от полуразмаха А имеет вид
" "*	^ =-.	A6)
0>о =
У~2
А
f(q)dq
где / (q) — характеристика восстанавливающей силы, отнесенной к единице массы.
Такие зависимости приведены в табл. 9 (пп. 1 —6). В последних двух случаях (пп. 7, 8)
частота колебаний не зависит от их размаха (изохронные системы).
Неоднозначность зависимости амплитуды вынужден-
вынужденных колебаний от частоты гармонической вынуждаю-
Таблица 9
Характеристика
восстанавлива -
ющей силы
Зависимость
полуразмаха
от частоты
Характеристика
восстанавлива-
восстанавливающей силы
Зависимость
полуразмаха
от частоты
tga0
k-4/|
\ ! ,,2
-¦tga
О и,
Щ
-а
7
4-
О a ft д
\)\
О (Jo
и0

ТИПЫ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
29
щей силы. При действии гармонической вынуждающей силы в системе с нелиней-
нелинейной восстанавливающей силой существуют стационарные колебания с частотой,
равной частоте вынуждающей силы. Зависимость амплитуды первой гармоники вы-
вынужденных колебаний Ах от частоты гармонической вынуждающей силы со называют
амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а графическое изображение этой
зависимости — резонансной кривой. В нелинейных системах могут существовать такие
диапазоны частот, в которых зависимость Ах (со) неоднозначна. В табл. 10 приведены
резонансные кривые для типовых нелинейных систем, когда амплитуда гармониче-
гармонической вынуждающей силы постоянна, а в табл. 11 для случаев, когда амплитуда гар-
№
по
пор.
Характеристика
восстанавливающей
силы
Таблица
Амплитудно-частотная характеристика
при колебаниях
без сопротивления
с сопротивлением
10
пф
7
У,
0 q
Щ
0 q
tW
0 a q
f(q)
Г
'А.
0 a q
А
0 0H ы# ы
А
а
0 иа cj# со
0 ы* и0 со
0 и.
\\А'
Примечание. Амплитуда вынуждающей силы постоянна.
ионической вынуждающей силы пропорциональна квадрату частоты (инерционное
возбуждение колебаний). Штрихпунктирными линиями показаны скелетные кривые —
зависимости полуразмахов свободных колебаний от частоты (см. табл. 9), штрихо-
штриховыми линиями—ветви АЧХ, соответствующие неустойчивым (физически нереали-
нереализуемым) режимам движения. Во всех приведенных примерах указаны области ча-
стот, в которых возможны два устойчивых режима вынужденных колебаний с двумя

30	СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Таблица II
№
по
пор
Характеристика
восстанавливающей
силы
Амплитудно-частотная характеристика
при колебаниях
без сопротивления
с сопро тивлением
0 q
«Я)
0 q
Г
о a q
о ад
0 и0 щ и
0 СО/,
0 и0 cjx и
со0
А,
0 (j* а>о
0 и0
Примечание Амплитуда вынуждающей силы пропорциональна квад-
квадрату частоты
различными амплитудами (например, при частоте со^ из этой области возможны ко-
колебания с амплитудами А' и А") При увеличении сопротивления области неодно-
неоднозначности режимов уменьшаются и могут полностью исчезнуть. При медленном
изменении частоты возбуждения (таком, что при каждом ее значении успевает уста-
установиться режим стационарных вынужденных колебаний) могут происходить срывы
или скачки амплитуд колебаний (рис. 4 и 5).
На амплитудно-частотных характеристиках могут быть изолированные участки
(области D — см. табл. 10, п 2 и табл 11, пп. 1, 3, 4) Режимы вынужденных коле-
колебаний, соответствующие изолированным участкам АЧХ, не могут быть получены при
непрерывном изменении частоты возбуждения (см. рис. 5), для возбуждения коле-
колебаний большой амплитуды, соответствующих точкам изолированных участков АЧХ,
нужно достаточно сильное возмущение основного режима движения (толчок или
удар). Если в практических условиях такие возмущения не исключены, то следует
считаться с возможностью возникновения любого из названных режимов,

ТИПЫ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
31
Супер- и субгармонические колебания. При действии гар-
гармонической вынуждающей силы на систему с нелинейной восстанавливающей силой
кроме гармонических колебаний с частотой возбуждения со одновременно происходят
колебания с частотами то), кратными частоте возбуждения (от — целое число). Такие
шо
ш 0 ш0
Рис. 4
0} О	Ш0	Ш 0	Шд
Рис. 5
колебания называют супергармоническими. На рис 6, а, б приведены зависимости
амплитуд соответственно первой Лх и третьей А3 гармоник от частоты возбуждения
для системы с чисто кубической
характеристикой восстанавливаю- ,
щей силы, когда движение описы-
описывается дифференциальным уравне
нием
Fsmb)t. A7)
Кроме основных колебаний с
частотой возбуждения со и супер-
супергармонических колебаний, в систе-
системах с нелинейной восстанавливаю-
восстанавливающей силой при гармоническом воз-
возбуждении могут также одновре-
одновременно происходить субгармониче-
субгармонические колебания с частотами со/п
(п — целое число). Субгармониче-
Субгармонические колебания могут возникать
при относительно больших частотах возбуждения, причем их амплитуда может быть
большой и превосходить амплитуду первой гармоники. На рис. 7 показаны зави-
зависимости амплитуд /5, и Л,^3 от частоты возбуждения для системы, описываемой диф-
дифференциальным уравнением
со О
Рис. в
q -f 2eq + w*<7 + aq3 = F sin со/.
A8)
Наличие и интенсивность субгармонических колебаний зависят от параметров, опре-
определяющих силы сопротивления, так, для случая, когда движение описывается урав-
уравнением A8) при увеличении е амплитуды субгармонических колебаний уменьшаются,
и при некотором значении 8 эти колебания исчезают.
Супер- и субгармонические колебания являются частными случаями более об-
общего типа колебаний, называемых комбинационными, с угловыми частотами тш/п
(тип — целые числа).
Автоколебания (определение термина см. на с. 22). Различают мягкое и жест-
жесткое самовозбуждение автоколебаний. Если состояние равновесия неустойчиво и
соответствующая ему особая точка окружена предельным циклом (устойчивым), то
самовозбуждение называется мягким нарастающие колебания возникают после сколь
угодно малого начального возмущения состояния равновесия системы (см. табл. 8,
пп. 11, 13, 15). Если состояние равновесия устойчиво и соответствующая ему точка
окружена неустойчивым предельным циклом, который в свою очередь окружен

32
СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
i
\
устойчивым предельным циклом, то для возбуждения автоколебаний, соответствую-
соответствующих устойчивому предельному циклу, необходимо достаточно большое начальное
возмущение состояния равновесия, способное
uAVx,	«забросить» систему за неустойчивый преде-
предельный цикл (см. табл. 8, п. 14). Если на ав-
автоколебательную систему действует внешнее
возбуждение с частотой со, близкой к частоте
автоколебаний ы0, то в системе может уста-
установиться колебательный процесс с одной ча-
частотой со; это явление называется захватыва-
захватывало	Зыо ш нием автоколебательной системы.
Рис 7	Существование (или отсутствие) предель-
предельных циклов зависит от параметров силовой
характеристики нелинейной механической
системы. В частности, при непрерывном изменении одного из параметров (опреде-
(определяющего параметра) может произойти изменение типа особых точек, возникнове-
возникновение или исчезновение предельных циклов; значения параметра, при которых это
происходит, называют бифуркационными.
Иногда при постепенном переходе значения определяющего параметра через
бифуркационное амплитуда возникающего предельного цикла непрерывно возрастает
от нуля — мягкое зарождение предельного цикла, при этом устойчивая особая точка
становится неустойчивой (рис. 8, а; ьа
этом рисунке, как и на рис. 8, б, чер-
черные точки соответствуют устойчивым
режимам, а белые — неустойчивым).
В других случаях при бифурка-
бифуркационном значении параметра сразу
возникает предельный цикл с конеч-
конечной амплитудой — жесткое зарожде- О
ние предельного цикла.
На рис. 8, б при бифуркационном
значении параметра р — рх появляет-	Рис. 8
ся полуустойчивый предельный цикл,
а при больших значеьиях параметра существуют два предельных цикла — неустой-
неустойчивый и устойчивый. При другом бифуркационном значении параметра р = р2 не-
неустойчивый предельный цикл стягивается в особую точку, которая становится не-
неустойчивой. Если р ~> Р\, то амплитуда, соответствующая устойчивому предель-
предельному циклу, тем больше, чем больше значение р.
При непрерывном возрастании определяющего параметра происходит (при р = р2)
смена устойчивого стационарного режима, когда система из состояния равновесия
переходит в установившийся режим, соответствующий движению по устойчивому
предельному циклу. Если после достижения значения р > ръ начинается постепен-
постепенное уменьшение определяющего параметра, то автоколебания исчезают при р = рх
(а не при р = р2), после чего стационарным режимом является состояние равнове-
равновесия. Это явление называется затягиванием автоколебаний.
3. ПОНЯТИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ, ГРУБОСТИ, ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Проблемы устойчивости и чувствительности механических систем возникают
в связи с неизбежными отклонениями (возмущениями) начальных условий, парамет-
параметров внешнего возбуждения и параметров самой системы от их номинальных невозму-
невозмущенных значений. Обычно в реальных условиях ставят требование достаточной ма-
малости влияния таких отклонений на номинальные свойства системы и ее движение.
В зависимости от свойств системы ее невозмущенное (номинальное) состояние
может оказаться устойчивым или неустойчивым; последнее не может быть практи-
практически реализовано.
Одна из существенных особенностей нелинейных механических систем — воз-
возможная многозначность решений, т, е, формальная возможность существования не-

УСТОЙЧИВОСТЬ, ГРУБОСТЬ, ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ	33
скольких решений, описывающих состояние системы при заданных значениях ее
параметров. Не все эти состояния осуществимы, поскольку некоторые из них могут
быть неустойчивыми. Поэтому возникает проблема отбора действительно реализуе-
реализуемых (устойчивых) состояний системы.
Параметры механической системы практически никогда не бывают точно извест-
известными, а иногда могут случайным образом меняться с течением времени. Если общие
свойства системы мало изменяются при малом изменении параметров и эги измене-
изменения носят лишь количественный характер, то такую систему называют структурно
устойчивой (по терминологии, введенной А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным,
грубой). Если малое изменение какого-либо параметра приводит к качественному из-
изменению характера состояния системы, то ее называют структурно неустойчивой
(негрубой). Таким изменениям соответствуют принципиальные изменения (бифур-
(бифуркация) структуры фазового пространства — появление новых положений равнове-
равновесия (особых точек), предельных циклов и т. д. Значение параметра р = р0 назы-
называют бифуркационным, если существуют сколь угодно близкие к нему значения
параметра, при которых структура фазового пространства качественно отличается
от структуры при р = р0.
При изменении параметров грубой механической системы меняются количест-
количественные характеристики ее движения (например, размахи колебаний, частоты и т. д.);
оценка быстроты изменения этих характеристик составляет задачу определения
чувствительности системы к изменению параметров, которую решают с помощью
построения и исследования функции чувствительности. В простейшем случае под
функцией чувствительности понимают производную по параметру некоторой вели-
величины, характеризующей состояние системы. Для негрубых систем функция чувстви-
чувствительности может принимать бесконечные значения.
Определение устойчивости по Ляпунову и некоторые другие определения устой-
устойчивости. Состояние произвольной механической системы с я степенями свободы
определяется s = In переменными ylt у2, ... , ys (обобщенные координаты и скорости)
и описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого по-
порядка, которые могут быть разрешены относительно производных
4jj-=Y,{t,ybys,...,ys) (« = 1,2	s).	A9)
Переменные у{ называют фазовыми координатами.
Движение системы, исследуемое на устойчивость и отвечающее определенным
начальным условиям yi0 = у, (t0), называют невозмущенным. Невозмущенному дви-
движению соответствует определенное частное решение системы A9)
У,=П(() (У,о=-ПШ	B0)
Движение системы, соответствующее измененным начальным условиям yi0 =
= ft (to) + *<о> называют возмущённым, а величины xiQ — начальными возмущениями.
Переходя к новым переменным
**=г/|-Л(О.	B1)
уравнения A9) можно привести к виду
-^- = Xt(t, Xl, ...,xs)=Yt(t, Xl + h, ...,xs + fs)-Yi(t, h	fs). B2)
Уравнения B2) называют уравнениями возмущенного движения, а величины х, —
возмущениями. Для сокращения записи совокупность всех возмущений х, часто
обозначают одной буквой х, а совокупность всех функций А"; — буквой X, так что
уравнения B2) могут быть представлены в виде
2 п/р Блехмана, т 2

34	СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Обычно предполагают, что правые части этих уравнений удовлетворяют всем усло-
условиям существования и единственности решения в области
S
12^0=^0, ^xjs^H (tf = const>0).	B3)
< = i
Кроме того, согласно B2), выполняются условия
X(t, 0) = 0.	B4)
Для стационарных решений автономных систем, т. е. для решений вида y-t = const
дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
4f=x w-	B5)
Невозмущенное движение называют устойчивым по Ляпунову, если для всякого
положительного числа е, как бы мало оно ни было, можно найти такое число S (е),
S
что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих условию ^ х?0^6(е),
S
и при всех t > t0 будет выполняться неравенство ^ х? ¦<; е.
t = i
S
Если при выполнении условий устойчивости выполняется также условие ^ х\ -*¦ 0
при t -> оо, то невозмущенное движение называют асимптотически устойчивым.
Движение, устойчивое по Ляпунову, в фазовом пространстве можно представить
следующим образом: изображающая точка G, начав свое движение из точки Go, рас-
расположенной внутри или на поверхности сферы радиуса [^6, все время остается внутри
сферы радиуса |Ae, т. е. фазовая траектория, начинающаяся внутри сферической
области радиуса \^8, никогда не достигает сферы радиуса Yъ (рис. 9). Если движе-
ние асимптотически устойчиво, то любая траектория, начинающаяся в сферической
области радиуса (Л5, неограниченно стремится к началу координат, не выходя за
границу сферы радиуса \ е. Если движение неустойчиво, то внутри области радиуса
j/б всегда найдется такая точка Go, что фазовая траектория, начинающаяся в этой
точке, за конечное время достигнет сферы радиуса Уе.
В определении устойчивости по Ляпунову предполагается, что возмущенное дви-
движение происходит под действием тех же внешних сил, что и невозмущенное. Если
из-за недостаточности информации невозможно учесть все внешние силы, действую-
действующие на систему, то рассматривают задачу об устойчивости при постоянно действую-,
щ.чх (сопровождающих) возмущениях. В этом случае дифференциальные уравнения
возмущенного движения имеют вид
X(t
= X(t,x) + R(l, х)-	B6)
Невозмущенное движение, определяемое уравнениями B2), называется устойчи-
устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для любого положительного
числа с, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа
бх (е) и 62 (е), таких, что всякое решение уравнений B6), удовлетворяющее при t = t0
s	s
неравенству ^J x?0 < 6X (e), удовлетворяет при t > t0 неравенству ^ xj < e>
1=1	i=\
каковы бы ни были функции Ri, удовлетворяющие условиям | /?,- (t, x) I < Ьг (е).
Для наличия устойчивости по Ляпунову достаточно существование области на-
начальных отклонений (хотя бы сколь угодно малой), по отношению к которым невоз-
невозмущенное движение устойчиво,

УСТОЙЧИВОСТЬ. ГРУБОСТЬ, ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ	35
Устойчивости (асимптотической устойчивости) движения по отношению к началь-
начальным отклонениям, лежащим в конечной области, соответствует понятие об устой-
устойчивости в большом.
Асимптотической устойчивости движения по отношению к любым начальным
отклонениям соответствует понятие об асимптотической устойчивости в целом.
Областью притяжения асимптотически устойчивого режима называют часть фа-
фазового пространства, удовлетворяющую следующему условию: любая начавшаяся
в этой области фазовая траектория с течением времени приближается к началу коор-
координат, соответствующему исследуемому режиму. Областью притяжения асимптоти-
асимптотически устойчивого движения в целом является все фазовое пространство.
Нелинейные консервативные колебательные системы обычно не бывают асимпто-
асимптотически устойчивыми. Любое сколь угодно малое изменение начальных условий при-
приводит к изменению размаха и, следователь-
следовательно, периода колебаний такой системы (СМ. устойчивое	Асимптотически
с. 28 и гл. III), поэтому изображающая точ-
точка, соответствующая возмущенному движе-
движению, не можег оставаться в сколь угодно
малой окрестности изображающей точки не-
возмущениого движения. Однако фазовые
траектории возмущенного и невозмущенного
движений остаются близкими одна к другой.
Для движений такого вида вводится поня-
понятие орбитальной устойчивости.
Невозмущенное движение называется ор-
битально устойчивым, если для любого по-
положительного числа е, как бы мало оно ни
было, можно найти такое положительное чис-
число б (в), при котором любая фазовая траек-	Рис- в
тория, начинающаяся при (= t0 в б-окрест-
ности фазовой траектории невозмущенного движения, не выходит из в-окрестности
этой траектории при любом t > t0. Если, кроме того, фазовая траектория возму-
возмущенного движения при t -» оо асимптотически приближается к траектории невозму-
невозмущенного движения, то такое движение называют асимптотически орбитальпо устой-
устойчивым.
Асимптотически орбитально устойчивые движения могут существовать лишь
в неконсервативных нелинейных системах (например, в автоколебательных).
Ф>нкции Ляпунова. При исследовании устойчивости так называемым прямым
методом Ляпунова вводят в рассмотрение непрерывные и однозначные в области B3)
функции фазовых координат x-t и времени t, удовлетворяющие условию
V ((, 0) = 0.	B7)
Функция V (I, х) называется знакопостоянной, если при достаточно большом /„
и достаточно малом Н она может принимать в области B3) кроме нулевых значения
только одного знака. Если знакопостоянная функция V не зависит от t и при доста-
достаточно малом Н обращается в нуль только при нулевых значениях фазовых координат
в области B3), то такая функция называется знакоопределенной (положительно или
отрицательно определенной).
Функцию V, зависящую явно от t, называют положительно определенной, если
ч области B3) при достаточно большом t0 и достаточно малом Н она удовлетворяет
неравенству
V (/, х) 5s W (х),	B8)
где W (х) — не зависящая от t положительно определенная функция. В противо-
противоположном случае, когда функция V (t, x) удовлетворяет условию
V(t, x)sz — W(x),	B9)
ее называют отрицательно определенной.
2»

36
СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Можно доказать, что если V (х) знакоопределенна, то существует такое число
А > 0, при котором все поверхности V (х) = С являются замкнутыми вокруг точки О
при I С I < h. Если положи-
w(xi)-0	тельно определенная функ-
функция V явно зависит от t, то
поверхность уровня V (t,
к) = С трансформируется с
течением времени, однако
при соответствующем выбо-
выборе С все время остается
внутри замкнутой поверхно-
поверхности W (х) = С (рис. 10), где
W (х) — положительно опре-
определенная функция, не зави-
зависящая явно от t. Когда в об-
области B3) значения | V (t, x) I
не превосходят некоторого
конечного числа, функцию V
называют ограниченной. Го-
Говорят, что такая функция допускает бесконечно малый высший предел, если для лю-
любого положительного числа / можно найти другое положительное число Я, такое,
что при выполнении условий
Рис. 10
будет выполняться неравенство
V (t,
C0)
C1)
Иначе V допускает бесконечно малый высший предел, если она стремится к нулю
при ^] хЦ-»-0 равномерно по t. Этому условию удовлетворяет всякая непрерыв-
ная не зависящая от t функция К. Например, функции (xat + ... -\- xf) sin t и
sin2 [(#j + ... -+- xs) t] являются ограниченными, но лишь первая из них допу-
допускает бесконечно малый высший предел.
Общих критериев знакоопределенности и знакопеременное™ не существует.
Однако в задачах устойчивости часто встречаются квадратичные формы перемен-
переменных xlt x2, ... , xs, знакоопределенность или знакопеременность которых устанавли-
устанавливают с помощью критерия Сильвестра.
Для того чтобы квадратичная форма V (х) =
cijx'xi была положительно
И 1
определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры
матрицы ее коэффициентов были положительны
&i = Cu>0, Л2 =
си
>о	 д^=
сп...си
Необходимое и достаточное условие отрицательной определенности формы V (х)
записывают в виде неравенств А1 < 0, Д2 > 0, Д3 < 0, ... , т. е. знаки определите-
определителей Д( должны последовательно чередоваться, причем Л] должен быть отрица-
отрицательным.
При исследовании устойчивости прямым методом Ляпунова изучают поведение
функций V (t, x) [или V (х)] вдоль траекторий дифференциальных уравнений возму-
возмущенного движения B2). Для этого кроме самой функции V вводят в рассмотрение ее

УСТОЙЧИВОСТЬ, ГРУБОСТЬ, ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ	37
полную производную по времени, вычисленную в предположении, что аргументы xt
и их производные x-t удовлетворяют уравнениям B2) возмущенного движения *
dV 4 V dV x	m\
+ Z^r '-	C2)
Такие функции V (t, х) называют функциями Ляпунова. Если функция Ляпунова
явно не зависит от времени, то ее производная
Вводя в рассмотрение скорость и движения изображающей точки в фазовом про-
пространстве и вектор у V, соотношение C3) можно представить в виде скалярного про-
произведения
V=*u-\V.	C4)
Теоремы прямого (второго) метода Ляпунова. В теории устойчивости невозму-
невозмущенное движение принято называть установившимся, если соответствующие ему
дифференциальные уравнения возмущенного движения автономны [10]. В противо-
противоположном случае невозмущенное движение называют неустановившимся **. В иссле-
исследовании устойчивости движения автономных и неавтономных систем (установив-
(установившихся и неустановившихся движений) имеются некоторые различия,
Автономные системы. Теорема об устойчивости. Если для дифферен-
дифференциальных уравнений возмущенного движения B5) можно найти знакоопределенную
функцию V (х), производная которой V, составленная в силу этих уравнений яв-
является знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно
равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
Теорема об асимптотической устойчивости, Если при выполнении условий тео-
теоремы об устойчивости производная V является энакоопределенной, то невозмущенное
движение устойчиво асимптотически.
Первая теорема о неустойчивости. Если для дифференциальных уравнений воз-
возмущенного движения B5) возможно найти функцию V (х), которая обладала бы в силу
этих уравнений знакоопределеиной производной V и могла бы принимать в окрест-
окрестности нуля значения одного знака с V, то невозмущенное движение неустойчиво.
Вторая теорема о неустойчивости. Если для дифференциальных уравнений воз-
возмущенного движения B5) можно найти ограниченную функцию V, производная кото-
которой, составленная в силу этих уравнений, приводится к виду
где X — положительная постоянная, a W или тождественно равна нулю, или пред-
представляет собой некоторую знакопостоянную функцию, и если в последнем случае
найденная функция V не является знакопостоянной, знака противоположного с W,
го невозмущенное движение неустойчиво.
Теоремы Ляпунова об устойчивости и первая теорема о неустойчивости допускают
простую геометрическую интерпретацию. Если V и ее производная V — знакоопре-
деленные функции противоположных знаков (теорема об асимптотической устойчи-
устойчивости), то изображающая точка, движущаяся по фазовой траектории, пересекает
каждую из поверхностей V (х) = С снаружи внутрь (рис. 11, а), так как функция V
* Такую производную принято называть производной, вычисленной в салу уравнений
возмущенного движения.
** В современной теории колебаний под установившимися движениями часто подразуме-
подразумевают движения, характеризующиеся тем, чго некоторые существенные для данной задачи
количественные характеристики остаются неизменными.

38	СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
должна непременно убывать. В этом случае фазовые траектории должны неограни-
неограниченно приближаться к началу координат.
При выполнении условий теоремы Ляпунова об устойчивости изображающая
точка может двигаться по поверхности уровня V (х) = С (рис. 11,5), оставаясь
в заданной окрестности начала координат. Если выполняются условия первой тео-
теоремы о неустойчивости, то изображающая точка при своем движении может пересе-
пересекать поверхности V (х) — С изнутри наружу, удаляясь от начала координат (рис. 11,*).
Рис. 11
Неавтономные системы. В эгом случае функции Ляпунова так же, как и
правые части уравнений возмущенного движения B2), явно зависят от времени. Фор-
Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости не меняется, но в условия теорем об
асимптотической устойчивости и неустойчивости вводится дополнительное требо-
требование о существовании бесконечно малого высшего предела функции V (t, x).
Теоремы Ляпунова о неустойчивости движения обобщены Н. Г. Четаевым, дока-
доказавшим следующую теорему:
если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно
найти функцию V, ограниченную в области V > О, существующую при всяком t 5> t0
и для сколь угодно малых по абсолютной величине значений переменных x-t, произ-
производная которой V, составленная в силу этих уравнений, является положительно
определенной в области V > 0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Функция V, удовлетворяющая условиям сформулированной выше теоремы
Н. Г. Четаева, существует во всех случаях неустойчивости [7].
Теоремы об асимптотической устойчивости (в том числе об асимптотической устой-
устойчивости в большом и в целом) доказаны при менее жестких условиях. Оказывается,
что для асимптотической устойчивости можно требовать лишь знакопостоянства про-
производной V, если последняя обращается в нуль на множествах, не содержащих целых
траекторий исследуемой системы [2, 7].
Хотя общих методов отыскания функций Ляпунова для произвольных нелиней-
нелинейных систем не существует, в отдельных случаях могут оказаться полезными энерге-
энергетический способ; способ, основанный на использовании аналогии с соответствующей
линейной системой; метод деления переменных; построение функции Ляпунова,,
в виде связки первых интегралов и т. д. [3].	,
Исследование устойчивости по первому приближению. При исследовании устой-^
чивости по первому приближению правые части дифференциальных уравнений воз-!
S
мущенного движения разлагают в области ^ x'j sg H в ряды по целым степеням х,-:
dt
= piA+ ... +plsxs+Xf (j=l, 2, .... a),	C5)
где X* содержат xi в степени не ниже второй и удовлетворяют всем условиям сущест:
вовакия и единственности решений системы C5).
Уравнения первого приближения имеют вид
d*	••¦ +Р<Л ({=1. 2, .... s).	C6)
d/

УСТОЙЧИВОСТЬ, ГРУБОСТЬ, ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ	39
Если рассматриваются стационарные решения г//= const автономной системы, то
коэффициенты pik постоянны и функции X* не зависят явно от времени.
Характеристическим уравнением системы C6) называется уравнение *
Где o\fe	символ Кронекера F,-ft=l, если i = k и 6,-? = 0, если i=/=k).
Те'оремы Ляпунова об устойчивости автономных систем по первому приближению:
1.	Если вещественные части всех корней характеристического уравнения пер-
первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устой-
устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости Xf.
2.	Если среди корней характеристического уравнения найдется по меньшей
мере один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение не-
неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.
В критических случаях, когда вещественные части некоторых корней характери-
характеристического уравнения равны нулю, в то время как вещественные части остальных
корней отрицательны, об устойчивости невозмущенного движения нельзя судить
по уравнениям первого приближения — необходимо рассмотреть влияние нелиней-
нелинейных членов Xf.
Таким образом, для исследования устойчивости по первому приближению доста-
достаточно определять знаки вещественных частей корней характеристического уравне-
уравнения. Это можно сделать, не вычисляя корней, с помощью критерия Рауса—Гур-
вица (см. т. 1).
Для неавтономных систем (pik и Xf явно зависят от t) задача исследования устой-
устойчивости по первому приближению существенно усложняется. О свойствах решения
системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в этом случае судят
по характеристичным числам.
Характеристичным числом функции х {{] называют число, определяемое формулой
Х{х(*)}=- fim^ln[x(<)|.	C8)
Очевидно, что функция х (f) e(z+e)' при любом сколь угодно малом положительном е
будет неограниченной, а функция х (f) g'x—eX _ исчезающей.
Теоремы об устойчивости по первому приближению для неавтономных систем:
1,	Если система дифференциальных уравнений первого приближения правиль-
правильная ** и все ее характеристичные числа положительны, то невозмущенное движение
устойчиво.
2.	Если система дифференциальных уравнений первого приближения правиль-
правильная и среди ее характеристичных чисел имеется хотя бы одно отрицательное, то не-
невозмущенное движение неустойчиво.
При исследовании устойчивости периодических режимов движения правые части
дифференциальных уравнений возмущенного движения оказываются также периоди-
периодическими функциями времени
Xt(t+T, x) = Xl(t, x).	C9)
При этом периодическими функциями времени являются и коэффициенты дифферен-
дифференциальных уравнений первого приближения
Pik(t + T)=Pik(t)-	D0)
Вопрос об устойчивости периодических режимов движения можно рассмотреть
с помощью приведенных выше теорем. Однако часто для этого используют другие
* Здесь и ниже для определителя квадратной матрицы Л используется либо обозначе-
обозначение det А, либо обозначение j a.,, |, {i, k — 1, ..., s), где s — порядок определителя.
** Система дифференциальных уравнений C6) называется правильной, если для нее
существует равенство s + ц = 0. где s и Ц — характеристичные числа соответственно фуик-

40	СВЕДЕНИЯ О НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
соображения. Например, можно показать, что система уравнений C6) с периодиче-
периодическими коэффициентами имеет решение, обладающее следующим свойством:
Xi(t + T) = px,(t) (i=l, 2, .... s),	D1)
где р — корни характеристического уравнения
A(p) = det(A — pE)=O.	D2)
При этом матрица
Xu(T)...xls(T)
А= 	,	D3)
xsi(T)...xss(T)
где х^ (() — фундаментальная система решений уравнений C6), удовлетворяющая
единичной матрице начальных условий [х^ @) = б,-/,] Е — единичная матрица.
Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению рассматриваемых
систем:
1.	Если все корни характеристического уравнения D2) имеют модули меньшие
единицы, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически независимо от чле-
членов выше первого порядка Xf.
2.	Если среди корней характеристического уравнения D2) имеется хотя бы один,
модуль которого больше единицы, то невозмущенное движение неустойчиво незави-
независимо от Xf.
Смысл последних теорем легко установить из рассмотрения соотношений D1).
Построение характеристического уравнения D2) представляет трудную за-
задачу. Если для уравнений типа C6) с постоянными коэффициентами для составления
характеристического уравнения Д (Я) = 0 не нужно знать частные решения, то для
уравнений с периодическими коэффициентами это необходимо. Поэтому при построе-
построении характеристического уравнения А (р) = 0 используют те или иные методы при-
приближенного нахождения решений соответствующих дифференциальных уравнений.
Устойчивость состояния равновесия. Теорема об устойчивости состояния равно-
равновесия консервативных систем:
для устойчивости изолированного положения равновесия консервативной си-
системы с голономными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы,
потенциальная энергия системы П в этом положении принимала минимальное зна-
значение *.
При малых отклонениях qi рассматриваемой системы от положения равновесия
ее потенциальная энергия может быть представлена в виде
СЧЯ1Ч1 + -.	D4)
i=l/=1
где Сц — постоянные коэффициенты, определяемые формулами
(
(] ,	D5)
а точками обозначены слагаемые, содержащие qi в степенях выше второй.
Условия существования минимума функции П (q) в точке q = 0 совпадают с ус-
условиями положительной определенности квадратичной формы, имеющей матрицу
\\Cij\\.
Дифференциальные уравнения движения системы с одной степенью свободы около
положения равновесия (вблизи особых точек фазовой плоскости) могут быть записаны
• Доказательство достаточности дано Дирихле (теорема Лагранжа—Дирихле), а до-
доказательство необходимости — Н. Г. Четаевым (теорема Четаееа),

УСТОЙЧИВОСТЬ, ГРУБОСТЬ, ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ	41
в виде
dt
D6)
1, Хг).
lib
Характеристическое уравнение системы первого приближения имеет вид
X2 + pX + q = 0,	D7)
где р = — (Ь + с); q = — (ad — be).
Тип особой точки линеаризованной системы в зависимости от значений коэффи-
коэффициентов характеристического уравнения указан в табл 7 на стр. 24.
Характер фазовых диаграмм вблизи особых точек показан в табл. 7. В случае,
когда линеаризованная система уравнений первого приближения имеет особую точку
типа центр, у соответствующей нелинейной системы может быть либо центр, либо
фокус Необходимым и достаточным условием существования центра для нелинейной
системы является существование не зависящего от времени действительного голо-
голоморфного интеграла системы уравнений D6).
Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармониче-
гармоническом возбуждении механической системы с нелинейной характеристикой восстана-
восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных коле-
колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответ-
соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько
разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе
устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения
оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39); для системы с одной
степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению
типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье). Задача устойчивости перио-
периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений
этого уравнения (см. т. 1).
Пример. Вынужденные колебания в механической системе с нелинейной характеристи-
характеристикой типа Дуффинга описываются дифференциальным уравнением
Пусть q = / (f) представляет собой одно из решений этого уравнения, соответствую-
соответствующее установившимся вынужденным колебаниям. Уравнение первого приближения имеет вид
"к +(eo5+3a/»(O)*=0.	D9)
Если, в частности, для решения уравнения D8) приближенно записать
f (t) = A.smat (i = l, 2, 3),
то уравнение первого приближения D9) приводится к уравнению Матье
d2 х
г + F 4 Е СОП П) X = О,
Л	заА?
Устойчивость или неустойчивость исследуемого режима определяется соотношением пара-
параметров 6 и е и может быть рассмотрена с помощью диаграммы Айнса —Стретта (см. т. 1, с. 123)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М., Физматгиз, 1959.
916 с.
2.	Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., «Наука». 1967. 224 с.
3 Барбашин Е. А. Функции Ляпунова М., «Наука», 1970. 240 с.
4. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний. М., «Наука», 1974. 504 с.

42	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
5.	Булгаков Б. В., Колебания М , Гостехтеориздат, 1954. 891 с.
6.	Каудерер Г. Нелинейная механика. М., Изд иностр. лит., 1961. 778 с.
7.	Красовскнй Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., Физматгиз,
1959. 212 с.
8.	Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова М.,
«Мир», 1964. 16S с
9.	Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М. — Л., Гостехтеориздат,
1950. 471 с.
!0. Малнин И. Г. Теория устойчивости движения М., «Наука», 1968. 532 с.
11.	Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М., «Наука», 1976. 320 с.
12.	Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.., Изд,
иностр. лит , 1952 264 с.
13 Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М., «.Советское радио»,
1972. 240 с.
!!. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М., «Мир», 1968. 432 с.
15.	Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. М., «Мир», 1964. 480 с.
16.	Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М , «Наука», 1965. 208 с.
Глава II
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
t. СЛУЧАИ ТОЧНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И ПРИВОДИМЫЕ К НИМ
Точное интегрирование возможно для некоторых классов дифференциальных урав-
уравнений, главный из которых образуют линейные уравнения с постоянными коэффи-
коэффициентами (см. т. 1), а также для уравнений специальных типов. Тем не менее случаи
точной интегрируемости важны, поскольку они представляют собой своеобразную
базу при решении более сложных задач приближенными методами.
Ниже приведен краткий перечень основных общих случаев точной интегрируе-
интегрируемости; более полные сведения можно найти в известных справочниках [21, 30).
Рассмотрим случаи точной интегрируемости нелинейных дифференциальных
уравнений и приводимые к ним или же приводимые к интегрируемым линейным
дифференциальным уравнениям.
Остановимся вначале на случаях интегрируемости в квадратурах широкого класса
дифференциальных уравнений первого порядка, разрешимых относительно производ-
производной. Независимую переменную будем обозначать через х, а зависимую через у.
Уравнения с разделенными переменными. Общий вид
y^Q.	A)
Общий интеграл уравнения A)
]P(x)dx + $Q (y)dy=c.
Уравнения с разделяющимися переменными. Общий вид
Р (х) R (у) dx + S (x) Q(y)dy = 0.	B)
Уравнение B) умножением на р, (л:, у) = -^ „ можно привести к виду A)
К {у) i> (х)
и затем проинтегрировать.
Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными. Общий
вид
du
'J^ = <f{ax + by + c),	C)
где а, Ь, с — действительные числа.

ТОЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ	43
Заменой искомой функции г = ах + by -f- с уравнение вида C) можно привести
в новых переменных х, гк уравнению вида B), которое интегрируется в квадратурах.
Однородные уравнения. Уравнение общего вида
Р (х, y)dx + Q{x, y)di/ = O	D)
называется однородным, если при замене х на hx, у на hy (h — произвольный мно-
множитель) оно не изменится, Замена у = хг, где г — новая искомая функция, приводит
уравнение D) в новых переменных х, г к уравнению вида B), т. е. к уравнений! с раз-
разделяющимися переменными.
Обобщенные однородные уравнения. Уравнение вида D) называется обобщенным
однородным, если при замене х на hx, у на kay (h — произвольный множитель, а —
некоторое действительное число) оно не изменится,
Замена у = хаг приводит обобщенное однородное уравнение к уравнению с раз-
разделяющимися переменными вида B).
Уравнения, сводящиеся к однородным уравнениям. Общий вид
dy	[Ax + By + C\
где А, В, С, а, Ь, с — действительные числа.
А В
Если
b
0, замена ц =* Ах + By + С, | = ах -f- by + с приводит урав-
уравнение E) в переменных ц, 5 к однородным уравнениям вида D).
М В
Если
=¦ 0, замена г = ах + by приводит уравнение E), относящееся
\а b
к уравнениям вида C), к уравнению с разделяющимися переменными.
Линейные уравнения. Общий вид
%	F)
Уравнения типа F) интегрируются методом вариации произвольной постоянной
или методом И. Бернулли
Согласно методу вариации произвольной постоянной наряду с линейным неодно-
неоднородным уравнением F) рассматривается соответствующее линейное однородное урав-
уравнение
общее решение которого как уравнения с разделяющимися переменными имеет вид
z = Се~ I р М йх,
где С — произвольная постоянная Тогда общее решение исходного линейного не-
неоднородного уравнения F) по указанному методу разыскивается в виде
у=~С(х)е }	,
т. е. в виде общего решения соответствующего линейного однородного уравнения,
в котором произвольная постоянная заменена (варьирована) функцией С(х). По-
Последняя определяется из условия, что функция у разыскиваемого вида является
общим решением уравнения F), т. е. удовлетворяет этому уравнению и содержит произ-
произвольную постоянную. Поэтому, подставляя искомую функцию y = C(x)t> •*
в левую часть уравнения F), получаем уравнение с разделяющимися переменными
относительно неизвестной функции С (х):
dx

44	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Интегрируя последнее, находим
к, следовательно, общее решение у в целом уравнения F)
у=ё~ Ip Mdx (С + J Q (л) Л р <*> ^ dxj.	G)
Уравнения, сводящиеся к линейным:
уравнение Я- Бернулли
(8)
Умножив (8) на A — п) у~п и введя замену г = у1'11, получим в переменных х, г
линейное неоднородное уравнение
+ (l	()
{пфО.1),
т. е. уравнение вида F)
Уравнение в полных дифференциалах. Общий вид
М (х, y)dx + iV (х, у) dy=Q,
если функции М (х, у) и N (х, у) непрерывны вместе со своими частными производ-
производными в рассматриваемой области, где удовлетворяют тождественно условию
дМ (х, у) __ dN (х, у)
ду ~ дх
В этом случае
М (х, y)dx + N (х, у) dy = du (x, y)=^Ldx + ^ dy = 0,
откуда следует система уравнений относительно неизвестного интеграла и (х, у)
ди ,	ди
ж = М(х,у); Ty~N{x,y),
а также вид общего интеграла и (х, у) = С.
Уравнения, сводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Общий вид
Р(х, y)dx + Q(x, t/) dy = O	A0)
но
дР (х, у) ^ aQ (х, у)
ду ^ дх '
В ряде случаев можно отыскать интегрирующий множитель ц (х, у); уравнение A0)
после умножения на него принимает вид уравнения в полных дифференциалах [33]
ц (х, у)Р(х, у) dx + ц (х, у) Q (х, у) dy = 0.
Рассмотрим интегрируемые случаи дифференциальных уравнений первого по-
порядка, не разрешенных относительно производной.
Уравнения п-й степени. Общий вид
у'п + Аг{х, у)у'П~1 + А2(х, у)у'п~'1 + ... + Ап(х, у) = 0,	(И)
где Aj (х, у), (/ = 1	п) — непрерывные коэффициенты.
В ряде случаев эти уравнения можно проинтегрировать методом расщепления
Предполагая, что в некоторой области изменения (х, у) уравнение n-й степени (И)

ТОЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ	45
имеет я различных вещественных корней f, (х, у) (/ = 1, .... п), запишем его в виде
[y'-h(x, y)][y'-h(x> y)]~-[y'-fn(*> У)] = 0-
Отсюда следует, что у' = f, (х, у) (/= 1	я)
В результате получено п уравнений, разрешенных относительно у' Их интегри-
интегрирование предполагаем возможным.
Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнения Лагранжа в каноническом виде
У = <р(У')х + $(у').	A2)
В частном случае, когда <р (у') = у', уравнение A2) переходит в уравнение Клеро.
Уравнения Лагранжа всегда интегрируются в квадратурах. Действительно,
вводя параметр р = у', уравнение A2) запишем в параметрической форме
у'=р; y=y(P)x + i>(p).	A3)
Тогда, дифференцируя второе уравнение A3) по х (с учетом первого равенства),
получим
Умножив на -г- и разделив на [р — ср (р)], найдем
dp p —
Уравнение A4) линейно относительно х, и его общее решение
x=f(p, С)	A5)
находится с помошью двух квадратур [см. формулу G)].
Общее решение A5) и второе уравнение A3) образуют общий интеграл уравнения
Лангража в параметрической форме
К полученному общему интегралу следует присоединить решения вида
где pi — корни уравнения р — ф (р) = 0. Эти решения были потеряны при указан-
указанном выше делении уравнения на р — <р (р).
Рассмотрим случаи возможной интегрируемости нелинейных дифференциальных
уравнений второго порядка. Независимую переменную обозначим через /, а зави-
зависимую через у.
Уравнения второго порядка, не содержащие зависимой переменной в явном виде.
Общий вид
'(<¦?¦¦?)-••	<"»
п	аУ
Для понижения порядка введем замену г = ~тт, после чего получим
Если уравнение A7) интегрируется в квадратурах, то всегда можно завершить
интегрирование исходного уравнения A6).

46	МЕТОПЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной в явном
виде. Общий вид
\У- dt ' d
Введем замену
г (?/)== -^ ,	A9)
d2y dz dtj dz	.,„.
тогда 2' = -, - —j- = -j— г, и уравнение A8) в новых переменных запишем в виде
уравнения первого порядка
( *.| *)-«•	B0)
Предполагая, что полученное уравнение B0) интегрируется, и учитывая замечу
A9), можно проинтегрировать исходное уравнение A8).
Кусочно-линейные уравнения второго порядка. Во всем рассматриваемом диапа-
диапазоне изменения переменных уравнения нелинейны, однако ia отдельных участках
их можно считать линейными. Поэтому рассматриваемую нелинейную задачу можно
свести к согласованному решению нескольких линейных уравнений {методом при-
пасовывания получаемых решений) Такого вида уравнением, например, описывается
механический осциллятор с сухим трением [22]
hi
* + оА- = -,Х	B!)
(правая часть равна ±Л в зависимости от знака х).
Принимая следующие начальные условия х j/=0 = Л > —2-, х I /_п = 0, на от-
отдельных участках движения, соответствующих промежуткам времени (п — 1) я <
< Ш < пп (п = 1, 2, 3), получаем решения уравнения B1) в виде
Уравнения второго порядка, приводящие к эллиптическим функциям. Рассмот-
Рассмотрим автономные нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
mX + f(x) = 0,	B2)
т. е. уравнения второго порядка, не содержащие независимой переменной t в явном
виде.
Первое интегрирование может быть легко осуществлено.
Подстановка
. .	dv . dv
x = v(x). Жяя_х = _1,	B3)
приводит уравнение B2) к уравнению с разделяющимися переменными
2 С
Отсюда иг=	\ / (х) dx, + d или с учетом B3)

ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	47
Если f (х) есть полином некоторой степени, то первый интеграл B4) принимает
вид
dx\i у
¦¦ у^ апх .	(lo)
Второе интегрирование исходного уравнения B2), т. е. интегрирование уравне-
уравнения B5), осуществляется для 0 < р < 2 в элементарных функциях. Для 2 < р -^ 4
решение может быть найдено с помощью эллиптических функций.
Остановимся на использовании эллиптического интеграла первого рода, который в стан-
стандартной форме имеет вид
Ф
Ф
ft, <р) = \
flJ A — ft2 sin2
B6)
где k — mod и (О sg: k <C 1) и Ф = am и — параметры, называемые соответственно модулем
и амплитудой и Движение осциллятора с нелинейной пружиной описывается уравнением
(т, а, с — постояннме)
т -^j- + с A + а'х*) х = 0.
Если максимапьнос отклонение осциллятора обозначить через А и принять за начальные
условия л ^ _ о = Л,
грирования получим

=0, то в соответствии с вышеприведенной схемой инте-
инте\
J (I—
0
С учетом B6) решение B7) принимает вид
В этом случае текущее отклонение х можно выразить через эллиптический косинус от ин-
интеграла и, т. е.
лг= A cos ф = Л cos (am u) — Л en u.
2. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
При исследовании нелинейных колебаний в системах с одной степенью свободы
графоаналитические методы применяют как для общих качественных исследований
конкретных систем (путем построения соответствующих фазовых диаграмм, см.
п. 2 гл. I), так и для непосредственного интегрирования дифференциальных уравне-
уравнений второго порядка, описывающих нелинейные колебания. Графоаналитические
методы могут быть эффективными в случаях, когда не требуется высокой точности
решений дифференциальных уравнений низкого порядка. Точность этих методов
зависит от способа построения графиков решений и обычно возрастает при увеличе-
увеличении их масштаба.
Построение фазовых диаграмм колебаний. К графоаналитическим относят методы
построения фазовых диаграмм нелинейных автономных систем с одной степенью
свободы (см. гл. I); представление движения на фазовой плоскости оказывается,
однако, полезным и для некоторых частных типов неавтономных систем.

48
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Для автономной колебательной системы с одной степенью свободы, описываемой
уравнением
Jc-f &2x = f(x, х),
уравнение фазовых траекторий имеет вид
dx
у
B8)
B9)
В некоторых частных случаях дифференциальное уравнение B9) удается проинте-
проинтегрировать. Так, например, если / (х, у) = 0, то общий интеграл его (уравнение
семейства фазовых траекторий) имеет вид
у2
а2

<о2а2
(а = const).
На рис. 1 изображена соответствующая фазовая диаграмма колебаний системы,
представляющая собой семейство подобных эллипсов. Если функция / (х, у) не за-
зависит от у, то решение можно выразить с помощью квадратур. В общем случае для
интегрирования дифференциального уравнения фазовых траекторий B9) используют
в частности, методы, описанные ниже.
Метод изоклин. Рассмотрим этот метод применительно к уравнению фазовых
траекторий B9). В состояниях равновесия системы, описываемой уравнением B8),
dx	d4 dy .
скорость — = (/ = 0 и ускорение —^- = —2- = 0,поэтому в правой части уравнения
B9) получаем неопределенность -к-, т. е. состояниям равновесия системы будут соот-
соответствовать особые точки дифференциального уравнения фазовых троекторий B9),
в которых не определено направление касательной к фазовой траектории.
Обозначим правую часть уравнения B9) через ф (х, у) и перепишем его в виде
dy	_.
—:— = (f (X, у).	(OV)
Предполагаем, что функция ф (х, у) непрерывна и однозначна, за исключением от-
отдельных особых точек. Решение методом изоклин применимо ко всем значениям х
и у, за исключением значений, в точности соответст-
соответствующих особой точке. Все параметры, входящие в
функцию ф (х, у), должны быть заданы численно.
Этот графический метод основан на геометриче-
геометрической интерпретации дифференциального уравнения
первого порядка C0) и его решений, а также на поня-
понятии изоклины. Так как дифференциальное уравнение
C0) каждой точке (х, у) области, где однозначно оп-
определена функция ф (х, у), ставит в соответствие ка-
касательное направление к интегральной кривой, прохо-
проходящей через точку (х, у), то в целом уравнение C0) задает поле направлений, ка-
касательных к интегральным кривым, заполняющих указанную выше область. Про-
Проинтегрировать дифференциальное уравнение —это значит найти такие кривые, ка-
касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением поля в этой точке.
Изоклиной называется кривая, во всех точках которой поле имеет одно и то же на-
направление. Изоклины облегчают построение поля направлений. Действительно, из
определения изоклины вытекает способ составления уравнения изоклин: нужно
левую часть уравнения C0) приравнять некоторой постоянной величине k; тогда урав-
уравнение
<f(x, y)=k,	C1)
где k — параметр, будет уравнением семейства изоклин. При различных значениях
k получим разные изоклины.
Рис. I

ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
49
Проиллюстрируем метод изоклин на примере решения задачи Коши, состоящей
в решении уравнения C0) при заданных начальных значениях х0, у0. С геометриче-
геометрической точки зрения эта задача заключается в нахождении интегральной кривой (фа-
(фазовой траектории), проходящей через заданную точку (х0, у0).
Пусть ф (х0, уа) — К > 0. Зададим в уравнении C1) три значения k (kx > 0,
k2 = 0 и кя < 0), где k3 — фиксированное отрицательное число. Затем на фазовой
плоскости хОу построим три изоклины с проведенными через их точки направлени-
направлениями касательных (рис. 2).
График фазовой траектории начинаем вычерчивать из точки (х0, уй) так, чтобы
его наклон всюду равнялся наклону линейных отрезков на соответствующих изо-
изоклинах. Если изоклины нанесены часто, масштаб графиков большой и построение
аккуратное, то фазовая траектория получается со значительной степенью точности.
Дельта-метод. Этот метод подобно методу изоклин позволяет построить фазовые
траектории с помощью несложных однотипных графических построений.
к
у
Уо
i J
к,>0
Ч,
1 V
^ кг = 0 \ ,
\ + J
¦V +
Хп X, X
Рис. 2
Рис. 3
Для иллюстрации применения дельта-метода рассмотрим автономную систему,
описываемую уравнением B8). Соответствующее уравнение фазовых траекторий B9)
этой системы приводим к так называемым нормализованным координатам х, v.
Введем безразмерное время т = Ш и скорость в безразмерном времени v — -j~;
тогда в координатах х, v уравнение B9) принимает вид
C2)
C3)
C4)
Функцию д (х, v) на достаточно малых интервалах времени (и соответственно
при малых изменениях х и v) можно считать постоянной. Тогда в уравнении C4)
переменные разделяются, и его общий интеграл имеет вид
Обозначив
перепишем
уравнение C2)
dv
dx ~
fiK,
со
в виде
dv
dx
fix,
<ov)
2
б
cov) — со2*
CO2V
О(X, V)
(X, V)+X
V
= const).
C5)
Из соотношения C5) следует, что для малого интервала времени отрезок фазовой
траектории представляет собой дугу окружности с центром в точке (—б, 0). Постро-
Построение фазовой траектории представлено на рис. 3, где (х0 = х @), v0 = v @)) —
точка фазовой траектории (интегральной кривой) в начальный момент времени т @).
Подставив хо=х(О), v0 = v @) в выражение C3), вычислим величину б0 =

50
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
' ^ 0>	Ч±
со2
определяющую абсциссу центра окружности Лг0. Затем радиусом
NaM0 проводим малую дугу окружности в направлении часовой стрелки М0Ми ко-
которая является первым элементом фазовой траектории.
Координаты точки Мх (хх, vx) измеряем по чертежу, подставляем в формулу C3)
р	х (х
находим 61 = 6\ (хх, vx), т.
Рис. 4
вых траекторий B9) / (х, у) ¦.
оно запишется в виде
е. определяем положение нового центра окружности
yV, (—\, 0). С помощью этого центра строим
второй элемент фазовой траектории и т. д.
Следует отметить, что дельта-метод имеет
преимущество перед методом изоклин при ре-
решении задачи Коши на фазовой плоскости и по-1
строении соответствующей фазовой траектории.
В дельта-методе фазовую траекторию строят не-
непосредственно по заданным начальным значе-
значениям, а в методе изоклин для построения такой
траектории нужно изобразить в некоторой обла-
области фазовой плоскости поле направлений.
Метод Льенара. Графический метод Льена-
Льенара вытекает из дельта-метода для автономных
систем. Если нелинейный член дифференциаль-
дифференциального уравнения B8) зависит только от скоро-
скорости, т. е. / (х, х) = Фх (х), то в уравнении фазо-
Ф1 (у), и поэтому в нормализованных координатах
dv __ ф1 (cov) -
OJV
C6)
Полагая — 2 =<р (v), из уравнения C6) получаем аналог уравнения C4)
— = ф (у) + *
dx	v
C7)
Таким образом, метод Льенара —частный случай дельта-метода. Однако в этом
частном случае оказывается возможным некоторое вспомогательное построение,
удобное при практическом применении метода. Суть этого построения состоит в том,
что на фазовую плоскость xOv наносят вспомогательную кривую
x = -<p(v).	C8)
Далее, взяв для начала произвольную точку Мх (рис. 4), проводят через нее гори-
горизонтальную прямую до пересечения со вспомогательной кривой C8) и из полученной
точки Рх опускают перпендикуляр P\NX на ось Ох. Затем определяют тангенс угла а
между отрезком Л^Л^ и осью Ох.
Из рис. 4 следует, что tga —
— х-\- ф (v). Следовательно,
J* •
•* , по В1М1 = v, NXBX = х — х' = х—[— ф(\')] =
1
to (v) •
C9)
Сравнивая полученное выражение C9) с уравнением C7), устанавливаем, что направ-
направление касательной и интегральной кривой в точке Мх перпендикулярно отрезку
NiMx. Это направление показано стрелкой на рис. 4. Взяв на найденном направле-
направлении следующую достаточно близкую точку М2, повторяют построение и т. д. В резуль-
результате получают на плоскости xOv фазовую траекторию в виде ломаной МХМ2М3,...
При построении необходимо брать достаточно малые отрезки МХМ2, М2М3 и т. д.
Рассмотрим в качестве примера применение метода Льенара при изучении авто-
автоколебаний в системе, описываемой уравнением Ван-дер-Поля

МЕТОД МАЛОЮ ПАРАМЕТРА
51
Посредством замены х = ^ydt (см., например, [22]) это уравнение можно преобразо-
преобразовать в эквивалентное уравнение Рэлея при 8=1:
L-Lt
dt 3 \ dt
Последнее уравнение проще, так как содержит в скобках лишь производную от иско-
искомой функции и в нормализованных координатах приводится к уравнению вида C6)
(при и = 1).
Для таких систем характерным является то, что «сила сопротивления» — <р (V) в уравне-
уравнении C7) имеет тот же знак, что и V, при малых значениях v и противоположный знак — при
больших. Иначе говоря, эта сила стремится увеличить амплитуду колебаний, когда скорость
мала, и уменьшить ее, когда скорость велика. В результате движение системы стремится
к установившимся колебаниям.
Vs V3
Для уравнения Ван-дер-Поля — <p(v)=v	1 Вспомогательная кривая * = v
изображена на рис. 5 Несколько интегральных кривых с предельным циклом и штриховая
вспочоытельная кривая для уравнения Ван-дер-Поля изображены на рис. 6.
Рис.
Рис. 6
Они получены методом Льенара и позволяют судить о поведении всех интегральных
кривых. Например видно, что кривые, которые начинаются в окрестности начала координат,
спирально удаляются от него, а кривые, которые начинаются далеко от начала координат,
спирально приближаются к нему. Если провести построение интегральных кривых более
подробно, то можно убедиться, что они все стремятся навиться на одну замкнутую интеграль-
интегральную кривую, называемую предельным циклом. Этот факт указывает, что с возрастанием вре-
времени все движения системы стремятся к некоторому единственному периодическому дви-
движению. В этом и заключается наиболее характерная особенность автоколебаний.
3. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
Основные идеи метода. Случай неавтономной системы, близкой к произвольной
нелинейной. Математические основы метода малого параметра применительно к тео-
теории периодических решений дифференциальных уравнений были заложены в клас-
классических сочинениях А. Пуанкаре в конце XIX века [56]. Первостепенную роль при
использовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория пе-
периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же
период А. М. Ляпуновым [35].
Методы А. Пуанкаре и А. Ляпунова за последние три десятилетия получили даль-
дальнейшее развитие в работах многих исследователей; эти методы были с успехом ис-
использованы при решении ряда важных прикладных задач, они являются в настоящее
время одним из наиболее эффективных и универсальных в теории колебаний нели-
нелинейных систем.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
•••• л).
D0)

52	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
где Xs и Fs — аналитические функции переменных х1	хп в замкнутой области G,
которой принадлежат все рассматриваемые ниже решения уравнений, и непрерывные
Г-периодические функции переменной t (времени) в любой точке области G. Поло-
Положим, что Fs являются также аналитическими функциями * малого параметра ц ^0
при ц =g ц0, где Цо > 0. В большинстве прикладных задач перечисленные жесткие
требования относительно гладкости правых частей уравнений, существенно облег-
облегчающие исследование, являются достаточными; эти требования могут быть сущест-
существенно ослаблены. Система D0) неавтономна; предполагается, что правые части урав-
уравнений содержат время в явной форме.
Отыскание периодических решений системы
tl=.Xs(xu ...,х'„, t) (s=l	я),	D1)
получающейся из D0) при |Л = 0 и называемой порождающей системой, может ока-
оказаться более простым, чем нахождение периодических решений системы D0). Пред-
Предположим, что Т-периодические решения порождающей системы существуюти известны.
Возникает вопрос, можно ли «доверять» этим решениям в том смысле, что им одно-
однозначно соответствуют близкие периодические решения исходной системы, т. е. реше-
решения исходной системы, обращающиеся при |Л = 0 в решения порождающей системы.
Иногда возникает также необходимость найти решения исходной системы более
точно, т. е. с учетом членов, содержащих (х.
Принципиальное решение указанных задач дает теория А. Пуанкаре. Им было,
в частности, показано, что соответствие между решениями систем D0) и D1) имеет
место не всегда. В зависимости от характера правых частей уравнений D0) может
оказаться, что периодическому решению порождающей системы D1) не соответствует
периодическое решение исходной системы D0). С другой стороны, возможны случаи,
когда решению порождающей системы отвечает несколько и даже бесчисленное мно-
множество периодических решений исходной системы. Именно эти особые случаи пред-
представляют наибольший интерес для теории нелинейных колебаний.
При практическом использовании метода Пуанкаре периодическое решение си-
системы D0) разыскивают в виде рядов
xs(t) = хЧ, (t) + \ix'sl' (t) + iixT (t) + ...	D2)
с Т-периодическими коэффициентами по целым положительным степеням пара-
параметра ji, хотя в некоторых случаях разложения могут быть по дробным степеням (х.
Подставляя выражения D2) в уравнения D0) и разлагая их правые части по степе-
степеням }х, приравнивают выражения при одинаковых степенях ц из обеих частей ра-
равенств. Тогда получаются следующие системы уравнений для определения прибли-
приблий l) 42>
x'iv
жений x<sl), 42>
*S?) = i Psi (о х\я) + 4q) (*?,-. 4; *? ~ °, • • •. # ~ °, 0 D4)
(s=l, ..., n; q=1, 3, ...).
В уравнениях D3) и D4) введено обозначение
<45)
где скобки с индексом 0 означают, что производные вычисления для порождающего
решения х$ — х». Исходное приближение х* определяют из системы D1). Если из-
* Здесь не рассматривается случай так называемых сингулярных возмущений, когда
дифференциальные уравнения содержат малый параметр при производных х .
s

МЕТОЛ МАЛОГО ПАРАМЕТРА	53
вестно Т-периодическое решение х% (t) этой системы (порождающее решение), то для
нахождения функций xs", x '*' и т. д. могут быть последовательно использованы ре-
рекуррентные системы уравнении D3), D4). Каждая из этих систем представляет собой
систему линейных неоднородных уравнений с одинаковой однородной частью
2s=PsiV)zi + -" + Psn(t)Zn (*=!. ¦•¦.«).	D6)
коэффициенты которой являются Г-периодическими функциями времени вследствие
Г-периодичности решения x°s (t) и функций Xj.
Ответ на поставленные выше основные вопросы, таким образом, зависит от того
можно ли найти единственные Т-периодические решения xqs (t) уравнений D3), D4),
а также будут ли ряды D2) сходящимися, по крайней мере при достаточно малых ц.
Решение этих вопросов существенно зависит от характера системы уравнений D6)
которая играет первостепенную роль в дальнейшем и которую, следуя А. Пуанкаре,
назьшают уравнениями в вариациях для порождающей системы, составленными для
порождающего решения.
В теории линейных дифференциальных уравнений установлено, что если система
D6) не имеет Г-периодических решений, то Г-периодические решения уравнений D3)
и D4) непременно существуют и являются единственными. Исследование показывает,
что в этом простейшем случае периодическому решению x"s (t) порождающей системы
D1) отвечает (по крайней мере при достаточно малых ц) одно единственное аналити-
аналитическое решение D2) исходной системы D0), обращающееся при ц = 0 в решение
х» (t).
Значительно сложнее случай, когда система в вариациях D6) имеет Г-периоди-
Г-периодические решения; такой случай встречается, в частности, тогда, когда порождающая
система D1) допускает семейство Г-периодических решений
xl = xt{t, ax	a*) (s = l,...,fe),	D7)
зависящее от некоторого числа k =~i n произвольных параметров ах, ..., а#. Предпо-
Предполагается при этом, что параметры а7- входят в выражения D7) независимо, т. е. ранг
матрицы |) dxpda, || равен к. Тогда согласно теореме А. Пуанкаре [56] система в ва-
вариациях D6) непременно имеет k периодических (с периодом Г) решений *
дх°
г*'У)="Ш (я = Ь....л; / = !,...,*).	D8>
По крайней мере k периодических решений г*;- (t) имеет в рассматриваемом слу-
случае также система уравнений
i? + ft*Wzi + ... + ft»@2* = 0 (s=l, ...,л),	D9>
называемая сопряженной с системой D8). Предположим, что иных периодических
решений, независимых от указанных, системы D6) и D9) не имеют.
Согласно теореме И. Г. Малкина 138] в рассматриваемом случае Г-периодические
решения исходной системы вида D2) могут соответствовать лишь тем решениям се-
семейства D7) системы D1), для которых постоянные ах, ..., а^ удовлетворяют системе
уравнений
т п
Ps(«i	Vk) = \ 2] F,{x\, .... хк, t, O)zfs(t)dt = O (s=l	k). E0)
о i = \
Каждому простому решению at = af, ..., щ — af этих уравнений, т. е. решению,,
для которого **
дР* фО (s,/=.!,..., ft),	E1)
* Здесь и ниже первый индекс при обозначении решения указывает номер функции,
второй — номер решения.
** Напомним, что через ; я -| , (s, /= J	 ^обозначается определитель порядка q
с элементами а ..

54	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
при достаточно малых |л действительно отвечает единственное, аналитическое относи-
относительно ц, Т-периодическое решение исходной системы D0) вида D2).
Равенства E0) явтяются необходимыми и достаточными условиями существова-
существования Т-периодического решения уравнений D3).
Исследование устойчивости периодических решении, найденных методом малою
параметра Пуанкаре, имеет ряд особенностей. Согласно теории А. М. Ляпунова
[35J, решение вопроса об устойчивости зависит от характера решений системы
уравнений в вариациях для уравнений D0) и решения D2)
ys =
у, (s= 1, ...я),	E2)
которая представляет собой линейную однородную систему с Г-периодическими
коэффициентами (крутые скобки, в которые заключены производные, указывают
на го, что они вычислены для рассматриваемого решения). Уравнения E2) описывают
поведение малых отклонений движения от рассматриваемого периодического движе-
движения с течением времени. Если все решения системы E2) стремятся к нулю при t -> оо,
то рассматриваемое движение асимптотически устойчиво, наличию хотя бы одного
тчеограниченно нарастающего решения соответствует неустойчивость, а случай,
когда имеются нетривиальные периодические решения, требует дополнительного
исследования.
Одна из важных особенностей исследования характера решений системы в вари-
вариациях E2) связана с наличием в ней малого параметра. Если система, получающаяся
из E2) при |х = 0, т. е. система D6), имеет только затухающие при t -» оо решения,
то изучаемое движение асимптотически устойчиво и при достаточно малых ц. Если
система D6) имеет хотя бы одно неограниченно возрастающее при t -* оо решение,
то рассматриваемое движение при достаточно малых р. неустойчиво. Когда система
D6) имеет периодические решения, для ответа на вопрос об устойчивости движения
(даже при достаточно малых и,) необходимо рассмотреть члены уравнений E2), содер-
содержащие ]i.
Последний «критический» случай представляет наибольший интерес, ибо он со-
соответствует случаю, когда порождающая система имеет семейство Г-периодических
решений. Специальное исследование приводит к следующему результату, также при-
принадлежащему И. Г. Малкину [7, 38].
Пусть все решения системы D6), отличные от периодических решений D8) и от
их линейных комбинаций, при t -*¦ оо либо неограниченно убывают, либо неограни-
неограниченно приближаются к указанным периодическим решениям или их комбинациям.
Тогда Г-периодические решения сопряженной системы D9) всегда можно выбрать,
так, чтобы удовлетворялись соотношения *
;:; •»»
(б,у — символ Кронекера). При указанных условиях периодическое решение системы
D0), отвечающее определенному решению ах = aj, ..., a^ = a? уравнений E0),
является асимптотически устойчивым при достаточно малых значениях ц, если все
корни алгебраического уравнения fe-й степени
да,-6"'
= 0 (s, /= I, ...,?)	E4)
имеют отрицательные вещественные части. При наличии хотя бы одного корня с по-
положительной вещественной частью соответствующее решение неустойчиво, случай
пулевых или чисто мнимых корней требует, как правило, дополнительного исследо-
исследования.
¦ См сноску на с 53

МЕТОД МАЛОГО DAPAMFTPA	55
Автономные системы, близкие к произвольным нелинейным. Случай, когда пра-
правые части дифференциальных уравнений не зависят явным образом от времени t,
т. е. когда исходная система
xs==Xs(x1, .. , xn)-\-\iF% (хх, ..., хп, ц) (s=I, ..., п)	E5)
является автономной, имеет ряд существенных особенностей. Прежде всего, если
автономная система имеет некоторое периодическое решение xs (t), то она непре-
непременно имеет также и семейство периодических решений xs (t-\- а), зависящее от про-
произвольного параметра а [уравнения E5) не изменяются при замене t на t+ а]. По-
Поэтому будем предполагать, что порождающая система
x< = Xs(xi, ..., х°п) (s = \	п)	E6)
допускает семейство Г-ьериодических решений
зависящее, кроме постоянной а, которая всегда может быть добавлена к t, также
от некоторого числа k —¦ 1 sg n —¦ 1 произвольных параметров а1, ..., &k-\\ как и ра-
ранее, считаем, что эти параметры входят в выражения E7) независимо.
Другая особенность автономной системы состоит в том, что период искомых
решений не является заданным; > равнения E5) могут иметь решения любого и при-
притом заранее неизвестного периода Т„, который, вообще говоря, будет зависеть от
параметра ц и, может быть, также от параметров «lF ..., ak г; но мы будем предпола-
предполагать, что эта последняя зависимость отсутствует. Обозначим через Tt = Tt (ц) =
= Т [\ —5 (|х)] период искомого решения, понимая под Т период порождающего
решения (заранее неизвестный), а под б (jx) — неизвестную функцию ц, обращаю-
обращающуюся В нуль При [X = 0.
По упоминавшейся теореме А. Пуанкаре система уравнений D6) имеет в рассма-
рассматриваемом случае к периодических решений с периодом Т вида
^si @ ^^ Ъ— (/^^ ^» -••) &— О» 2sk{t}==1Xs'	E8)
dec,
получающихся дифференцированием решений E7) по аг, ..., а^ ± и по t.
Пусть система D6) не имеет периодических решений, отличных or решений E8)
и от их линейных комбинаций, а все прочие решения этой системы при t -> <x> либо
неограниченно убывают, либо неограниченно приближаются к указанным периоди-
периодическим решениям или их комбинациям. Тогда в точности к периодических решений
г* (t) (i = 1	к) будет допускать также и система D9), сопряженная с D6), причем
эти решения можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства E3).
При сформулированных условиях справедливо следующее утверждение [7, 38]
периодические решения с периодом 7\, (u) = Т [ 1 — б (ji)] исходной системы урав-
уравнений E5), обращающиеся при ц = 0в периодические (с периодом Т, не зависящим
от параметров а:, ..., a^-i) решения семейства E7) порождающей системы E6), могут
соответствовать лишь тем значениям параметров ах, ..., а^„х указанного семейства,
которые удовлетворяют уравнениям
Г я
Р(п	п, \ == [ \^ F/yfl	уо {\\ ?*" И\ dt	П /р	\	Ь	\\ /?\Ъ\
0 / = i
Определенному решению этих уравнений действительно соответствует при доста-
достаточно малых значениях ц единственное аналитическое относительно (л и устойчивое
периодическое решение основной системы с периодом 7^ (ц), обращающееся при
М* == 0 в порождающее, если все корни алгебраического уравнения степени к — I

56	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
имеют отрицательные вещественные части. Если уравнение F0) имеет хотя бы один
корень с положительной вещественной частью, то рассматриваемое решение неустой^
чиво; случай нулевых и чисто мнимых корней требует дополнительного исследования.
С точностью до членов порядка ц поправка к периоду решения определяется
формулой
О у = 1
О практическом использовании изложенных общих результатов и построении
•периодических решений в виде рядов по малому параметру. Использование изложен-
изложенных выше теорем позволяет получить условия существования и устойчивости пери-
периодических решений, а также полностью определить соответствующее порождающее
приближение. При решении многих прикладных задач этого оказывается вполне
достаточным. Поэтому рассмотрим вначале технические трудности, связанные с по-
построением функций Ps.
Прежде всего для составления этих функций необходимо найти функции г*у (t),
образующие k независимых периодических решений системы D9), сопряженной с си-
системой в вариациях D6). Для этого, вообще говоря, необходимо знать общее решение
системы в вариациях, т. е. системы линейных однородных уравнений с периодиче-
периодическими коэффициентами *. Но общих методов решения таких систем не существует.
Поэтому для доведения решения задачи до конца желательно вводить малый пара-
параметр так, чтобы было известно не только периодическое, но и общее решение порож-
порождающей системы. В этом случае систему из п независимых частных решений уравне-
уравнений в вариациях легко найти согласно теореме Пуанкаре путем дифференцирования
по параметрам. Достаточным является и знание решения порождающей системы,
зависящего ог и—1 параметров, так как при наличии (п—1)-го независимого част-
частного решения системы с периодическими коэффициентами еще одно решение можно
определить с помощью квадратур.
Принципиальных трудностей не возникает, если порождающая система представ-
представляет собой систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами (см. ниже)
или систему, которая приводится к таковой.
В ряде случаев функции г*, могут быть определены непосредственно по порож-
порождающему решению без предварительного нахождения общего решения уравнений
в вариациях D6). К таким случаям относятся следующие [38]:
а)	система в вариациях D6) является самосопряженной, т. е. выполняются соот-
соотношения р . = —р . Тогда функции г*- (t),удовлетворяющие равенствам E3), можно
искать в виде линейных комбинаций функций zSJ (t), определяемых непосредственно
по порождающему решению;
б)	исходная система уравнений D0) близка к канонической, т. е. может быть
представлена в форме
дИ	— дН F	—	/ —
^xi-rs s' ls dxs
где И = Н {xlt ..., x2t), Fq = Fq (xlt ..., x2h t, ц). Тогда система D9) имеет k перио-
периодических решений вида
ч* 	 'TS ~я-			s /„	 I	/. ;	 1	и\
* Между решениями систем D6), D9) существует связь \] z (/) z* (t) = const, позво-
пяк>щая найти общее решение сопряженной системы, если известно общее решение системы
<46), и наоборот.

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА	57
также определяемых непосредственно по порождающему решению; линейные комби-
комбинации этих решений могут быть использованы для построения функций г*.- (t), удо-
удовлетворяющих равенствам E3);
в) для порождающей системы известны первые интегралы Ф,- (x'[	хап, t) =
= const, число которых равно числу параметров к, входящих в порождающее реше-
решение, причем Ф{ являются Г-периодическими функциями t. При этом функции zlj (t)=
= дФ]1дх1 (s = 1, ..., п; j = 1, ..., к) образуют k периодических решений сопряжен-
сопряженной системы, которые также могут быть использованы для построения функций
После того как выражения для функции Ps получены, исследование сводится
к решению уравнений E0) или E9) и к обычной задаче Гурвица для алгебраических
уравнений E4) или F0).
Остановимся на вопросе о вычислении коэффициентов рядов D2), т. е. периоди-
периодических решений уравнений D3) и D4); рассмотрим вначале случай неавтономной
системы. Если параметры порождающего решения найдены из уравнений E0), то
Г-периодическое решение уравнений D3) непременно существует и имеет вид
где /И." — произвольные постоянные; zs/ — периодические решения уравнений в ва-
вариациях, определяемые согласно D8); xlu — периодическое частное решение урав-
уравнений D3).
Необходимые и достаточные условия существования Т-периодического решения
уравнений D4) получатся из уравнений E0), если заменить в них функции Fs на
Ф^. При q = 2 получим уравнения для определения постоянных М*", ..., М^К
Очевидно, если функции х^[\ ..., х^\ т. е. первые v приближений, уже вычислены
показались периодическими, то функции x(sv+!) будут иметь видл:^'+1) = M^1^ +
-i-M^^Zsk-i-x^^' гдел^+1'— периодическое частное решение уравнений D4) при
q = v + I; М^^1^ М'^1' — постоянные, которые определяются из условий типа
E0), обеспечивающих существование Г-периодического (v -j- 2)-го приближения.
Заметим, что система алгебраических уравнений для нахождения постоянных М^
является линейной, причем ее определитель совпадает с E1).
Таким образом, для фактического построения рядов D2) необходимо найти пери-
периодические решения систем неоднородных линейных уравнений с периодическими коэф-
коэффициентами, однородная часть которых совпадает с уравнениями в вариациях D6).
Для этого, вообще говоря, требуется знание общего решения указанных уравнений
в вариациях. Однако, поскольку в данном случае нас интересует не вычисление ос-
основных частей искомого решения, которые определяются порождающим приближе-
приближением, а поправочных членов, то можно воспользоваться каким-нибудь известным при-
приближенным методом нахождения периодических решений, не требующим интегриро-
интегрирования однородной системы D6).
Для автономной исходной системы заменой независимой переменной t =
= х [I — б (|л)] изучение периодических решений уравнений E5) с неизвестным пе-
периодом Tt (ц) = Т 11 —б (j.i)] сводится к изучению периодических решений с пе-
периодом Т. Этот случай имеет ту особенность, что наряду с постоянными /И*?' из усло-
условий периодичности соответствующего приближения одновременно находится поправка
к периоду искомого решения.
Квазилинейные системы. Системы уравнений, близкие к линейным системам
с постоянными коэффициентами, относятся к классу уравнений, для которых факти-
фактическое использование общих результатов и построение рядов D2) не встречает прин-
принципиальных затруднений; кроме того, такие системы часто встречаются в приложе-
приложениях. Неавтономная квазилинейная система имеет вид
xs — asixi+ ¦ +asA + fs(t) + iiFs(xi' .-,xn,t,n) (s=l, , n),
где as/ —постоянные; fit f4 —периодические функции t периода Т.

58	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ. СИСТЕМ
Однородная часть соответствующей порождающей системы совпадает с уравне-
уравнениями D6). Поэтому если характеристическое уравнение (см. сноску на с. 53)
1«5/-6«Ы=° («. /=1	«)	F1)
2npj
не имеет корней вида к0 = 0 и Л; = _t	j, где ру — целые числа, то Т-периодиче-
ские решения системы в вариациях отсутствуют, и при достаточно малых (х сущест-
существует единственное аналитическое решение исходной системы с периодом Т, обраща-
обращающееся при (I = 0 в единственное решение порождающей системы. Это решение
асимптотически устойчиво, если Re Xt < 0; оно может быть устойчивым и в случае,
когда некоторые или все Re X; = 0 (такие А-; иногда называют критическими), но тогда
вопрос об устойчивости требует дополнительного исследования, результат которого
зависит от характера функций [iFs. Данный случай называют нерезонансным.
В резонансном случае уравнение F!) имеет критические корни вида Хо ~ 0 и
kj= _L „ t, среди которых могут быть и кратные.
Каждому такому корню отвечает по крайней мере одно Г-периодическое решение
системы в вариациях (однородной части порождающей системы), причем для нулевого
2лр/
корня это решение имеет вид ц>3 = As, а для каждого корня \,- = ± i — вид
2яр,-	pj
sps = Bs cos —7=-t-\-Cs sin ~y~ /, где As, Bs и Cs — постоянные. Наибольшее воз-
возможное число таких независимых решений равно суммарной кратности k всех ука-
указанных критических корней; при этоу каждому критическому корню отвечает столько
Г-периодических решений, какова его кратность. Рассмотрим именно такой часто
¦встречающийся случай, который соответствует простым элементарным делителям
кратных корней (при более общих предположениях о характере корней уравнения
{61) вопрос рассмотрен в работах [7, 54]), причем обозначим соответствующие Г-пе-
риодические решения через (fsq (s = 1, ...,«; q = I, ..., k). Будем считать далее, что
все прочие корни уравнения F1) имеют отрицательные вещественные части, т. е.,
что все прочие независимые решения уравнений в вариациях при t-*¦ оо неограни-
неограниченно приближаются к нулю или к линейным комбинациям упомянутых периодиче-
периодических решений. В указанных условиях система, сопряженная с системой в вариа-
вариациях, также будет допускать k независимых Г-периодических решении \psg, причем
функции tysg будут того же вида, что и <psg.
Если теперь функции в исходных уравнениях удовлетворяют условиям E0), то
порождающая система допускает семейство Г-периодических решений
зависящее от k произвольных параметров etf, ..., alt (через <р^ (i)) обозначено частное
Г-периодическое решение порождающей системы.
Таким образом в рассматриваемом случае выполняются все условия, сформули-
сформулированные на стр. 54; для составления уравнений E0), E4) и построения рядов D2)
при этом потребуется лишь решение линейных дифференциальных уравнений с по-
постоянными коэффициентами.
Для автономной квазилинейной системы
(Xi	xn,\i)
(s=l, .... n)
периодические решения с периодом 7\. = Т [1 — б (ц)], близким к периоду Т =
= 2nq/x (q — целое положительное число; v ф 0 — любое вещественное число), мо-
могут соответствовать любой паре чисто мнимых корней К = ±iv характеристического
уравнения F1). Допустим, что это уравнение имеет такие корни, а также корни
вида Я„ = 0 и Kj = zhipjV, которые либо являются простыми, либо кратными, но с про-

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА	5&
стыми элементарными делителями при всех прочих корнях с отрицательными вещест-
вещественными частями. Тогда, как и выше, будут выполняться условия, обеспечивающие
справедливость результата, сформулированного для автономной системы общего
вида, в частности, — уравнений F9) и F0), на основе которых решается вопрос
о существовании и устойчивости периодических решений.
Квазилинейные системы с одной степенью свободы [38]. Уравнение второго по-
порядка
k* ft) F(, х, t, и),	F2)
где / (Q — периодическая с периодом Т = 2rr/(i) функция, которую можно предста-
представить в виде ряда Фурье
00
/@=2q-t
описывает колебания квазилинейной неавтономной системы с одной степенью сво-
свободы.
Если частота k существенно отлична от чисел ри>, то говорят, что колебания
происходят вдали от резонанса. В этом случае порождающая система допускает един-
единственное Т-периодическое решение
со
L
sinP ю'
p=-l
а уравнение в вариациях г -\- k2z = 0 не имеет Г-периодических решений. Поэтому,
согласно изложенному выше, исходное уравнение при достаточно малом р. допускает
единственное Т-периодическое решение, аналитическое по р, и обращающееся при
и. = 0 в хп (/); это решение можно найти в виде ряда D2). Условием асимптотиче-
асимптотической устойчивости рассматриваемого решения является неравенство
2я/и
3F (х0, д-р, t, 0) dt
дх%	^ '
на получении которого не будем останавливаться Заметим лишь, что в случае, ког-
когда F зависит от х линейно, это условие сводится к требованию положительности коэф-
коэффициента затухания (или его среднего за период Т значения).
Если k равно то или мало от него отличается, то говорят, что колебания проис-
происходят вблизи от резонанса. В этом случае полагают, что «расстройка» п — fe, а также
амплитуды ап и Ьп я-й гармоники функции / (t) имеют порядок малости (г. Относя со-
соответствующие слагаемые к функции \iF, уравнение колебаний записывают в форме.
x + (nu>)*x = f* (t) + nF* (х, х, t, u,).
Положив х1 = x, хг — x, это уравнение можно представить в виде системы первого
порядка
Соответствующая порождающая система допускает семейство Т-периодических
решении
х\ (t) = a-i sin runt -f- a2 cos лш/ -\- xfi (t);
x<i (t) = aima cos runt — o^nco sin tvat -j- x* (t)\
2
^I, рфп

•60
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
зависящее от двух произвольных параметров аг и а2. Система в вариациях zt = z2t
22 = —(пи)Угг1 допускает два независимых ^-периодических решения zn = sin ncot,
гп = пы cos nat, z12 = cos nat, z22 = —fico sin ncor, которые могут быть получены
дифференцированием функций х[ и х", по aj и а2; эти решения соответствуют двум
чисто мнимым корням характеристического уравнения F1): ^х == nt0' и К2 = —пш
Иных независимых Г-периодических решений система в вариациях в данном случае
не имеет. Решения сопряженной системы, удовлетворяющие условиям E3), имеют вид
1 = —cos nat;
=	sinnoit ¦
run
s —cos tmt;
Поэтому уравнения E0) в рассматриваемом случае записываются в форме
2я/ш
Рх (а,, а2) = — \ F (хп, х0, I, 0) cos neat dt = O;
u
u
2 л/ш
г, а2)
/
=	\
о
0, х0, /, 0) sin
= 0.
Каждому решению этих уравнений щ = af, a2 = a|, для которого корни уравнения
да.!
дР2
дР
з
oa2
[см. условие E1) и уравнение E4)], имеют отрицательные вещественные части, при
достаточно малых ц отвечает единственное аналитическое относительно ц асимпто-
асимптотически устойчивое решение исходного уравнения с периодом Т = 2я/ш, обращаю-
обращающееся при \i — 0 в порождающее решение х0 (t). Это решение можно искать в виде
ряда D2).
Помимо рассмотренного обычного (основного) резонанса в нелинейных системах
возможен так называемый резонанс п-го рода [381 — интенсивные субгармонические
колбания с периодом Тп = 2яя/со, возникающие в случаях, когда частота k близка
к <о/и, где п — целое число. Уравнение колебаний при этом может быть записано
в форме
("J	t,
где малое слагаемое, пропорциональное расстройке, как и выше, отнесено к функ-
функции F*. Порождающее уравнение допускает семейство Г-периодических решений
<d
at
а0
арс™pat+ bp sin
по-прежнему зависящее от двух произвольных параметров at и а2. Уравнения для
определения этих параметров теперь имеют вид
2пп/<а
Pt («!, a ) = - ( F (х0, "-о, t, 0) cos — / dt = 0;
ю J	ft
/
Pit(ai, аг)=	\ F (x0, x0, t, 0) sin Ш .' dt = 0,

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА	61
а уравнение, от характера корней которого зависит решение вопроса об устойчиво-
устойчивости решения, совпадает с приведенным выше.
Уравнение
х, ft)	F3)
описывает колебания автономной квазилинейной системы с одной степенью свободы.
Соответствующее порождающее уравнение ха -\- К1ха = 0 допускает семейство То =
= 2я/? — периодических решений ха = at sin kt, зависящее от произвольного па-
параметра О], а также от параметра а, который всегда можно ввести, заменив t на
t -f- а. Рассуждения и простые выкладки, аналогичные проведенным выше, приводят
к следующему уравнению для определения параметра а1 [см, уравнение E9)]:
2я//е
/
P1(ai)=\- i Fikocicoskt, «i sin A/, O)cosktdt = 0.	F4)
k I
Условием устойчивости периодического решения, соответствующего определен-
определенному корню О] = af последнего уравнения, согласно F0), будет неравенство
Выражение для поправки к периоду имеет вид
2jl/fe
^ \ F (feicos ^, ai sin kt, 0) sin ktdt.
о
Интегральный критерий устойчивости периодических решений. При определен-
определенных условиях результатам, приведенным выше, можно придать форму, удобную
как при решении конкретных задач, так и при изучении общих закономерностей [7].
Пусть функции Ps (alt ,,,, ak) вещественны и существует функция D = D («], ,,,, а^)
параметров порождающего решения, имеющая непрерывные частные производные
до второго порядка включительно, и такая, что
3D
^-=-Pi(a1, ..., ak) (s = l	k).	F5)
Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необ-
необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJdaj — dPt/das, (s, /= 1, ,,,, ft).
Из равенства F5) следует, что уравнения для определения порождающих параме-
параметров a = а* совпадают с условиями стационарности функции D; нетрудно показать
также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов
второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпа-
совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы
назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости пе-
периодических движений функция D играет тащю же роль, как и потенциальная
энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при су-
существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами из-
известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37]
Свойства потенциальной функции D сохраняются, если она удовлетворяет не ус-
условиям F5), а значительно менее жестким соотношениям
3D	3D
или
Ш-=-{Р^ЬЛ+ ..+Pkbsk),

62	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
где bsj — любые вещественные числа, такие, что матрице || bs/-1| соответствует поло-
положительная квадратичная форма.
Значение интегрального критерия определяется тем, что в ряде случаев потен-
потенциальная функция имеет определенный физический смысл. Например, в ряде за-
задач о синхронизации динамических систем (см. гл. VIII) она равна среднему
за период значению функции Лаграюка системы, взятой с противоположным зна-
знаком и вычисленной для порождающего решения [7]. Кроме того, в условиях спра-
справедливости интегрального критерия условия устойчивости могут быть записаны
в явной форме, ибо согласно критерию Сильвестра условия минимума функции D
сводятся к требованию положительности всех главных миноров матрицы
И <?2 Dldasdaj \\.
Об уровне строгости прикладных результатов, получаемых методами Пуанкаре.
Приведенные выше результаты устанавливают существование, единственность, ана-
аналитичность, а также устойчивость периодического решения лишь при достаточно
малых значениях ц; между тем в каждой прикладной задаче теории колебаний встре-
встречаются некоторые конечные значения ц. Сходимость рядов, а также устойчивость ре-
решений при этих конечных значениях параметра в подавляющем большинстве при-
прикладных исследований не изучают, так как, во-первых, это трудоемкий процесс,
во-вторых, соответствующие оценки часто оказываются неэффективными, ибо всегда
ориентированы на худший случай, Таким образом, строго установленные локаль-
гые результаты фактически используют нелокально. По этой причине, а также в связи
с тем, что обычно находят лишь один—три члена ряда, к соответствующим резуль-
результатам следует относиться как к полученным лишь на «рациональном уровне стро-
строгости», несмотря на полную строгость указанных выше теорем. Поэтому проверку
результатов с помощью физического или численного эксперимента не следует счи-
считать излишней B, 7, 8, 10].
О применимости метода малого параметра к системам, не содержащим физического
малого параметра. Метод малого параметра можно эффективно применять не только
для изучения систем, в которых физический малый параметр присутствует в явной
форме, но и в случаях, когда исходя из каких-либо соображений можно допустить,
что разыскиваемое движение мало отличается от движения некоторого определен-
определенного вида, например от гармонических колебаний, равномерного вращения и т. п.,
а также когда определенные совокупности членов в уравнениях малы вблизи рас-
рассматриваемых решений, несмотря на то, что каждый из этих членов в отдельности не
мал. Иными словами, успех использования метода определяется не столько наличием
в уравнениях явно входящего малого параметра, сколько близостью порождающего
и точного решений, т. е., как и во многих приближенных методах, успех зависит
от удачности выбора исходного приближения.
Можно предложить следующую схему искусственного введения малого параметра
[7, 8, 10]. Пусть из каких-либо физических соображений, анализа частных случаев
и т. п. можно предположить, что периодические решения заданной системы уравне-
уравнений х = X (х, г), записанной в векторной форме, близки к функциям некоторого оп-
определенного вида х° — х° (t, аг	а^), где а1; ..., а^, •— произвольные параметры.
Пусть х°= Х° (х°, t) — уравнение, которому удовлетворяют функции х°.Тогда, записав
исходную систему в виде х = А'о (х, t) + \iF (х, t), где \i-F (х, t) = X (х, t) — Ха (х, t),
можно считать выражение \iF (x, t) малым, поскольку, по предположению, решения
системы для х° близки к решениям исходной системы. Функции X и Ха должны быть
близки на искомых траекториях системы (см. п. 3 гл. VIII и пример на с. 63).
Изложенный способ не может претендовать на строгость; он представляет собой
типичное рациональное построение. Но практическое применение метода малого па-
параметра в целом также представляет собой лишь комплекс рациональных рассуж-
рассуждений и выкладок, поэтому и указанное рассуждение можно считать правомерным.
Отметим, что метод малого параметра представляет своеобразный признак пра-
правильности сделанного предположения о близости решений исходной и порождаю-
порождающей систем; уравнения типа E0) или E9) для определения параметров а,, ..., аА
обычно допускают простую физическую трактовку (например, представляют собой
некоторые энергетические соотношения).
Примеры 1. Простейшая автоколебательная система. Пусть в уравнении F3) F =
— х 11 —л2); такое уравнение называют уравнением Рэлея, оно описывает, в частности, ав-

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА	63
токолебания в механической системе с одной степенью свободы при малом сопротивлении,
зависящем от скорости. Уравнение F4) для определения параметра а, порождающего реше-
решения Хо =" ai s'n k' B Данном случае будет иметь вид
2л/к
P,(a,) = i ^ io(l-ig
О
Отсюда находим а, = г/кУз (второе нетривиальное решение at — — ykV3 несущест-
несущественно отличается от первого, так как изменение знака порождающего решения происходит
при замене kt на Ы + я. Условие устойчивости и = (dP\lda.i)i	——2л < О
' at = 2/* УЗ
всегда выполняется, т. е. автоколебания устойчивы.
2. Вырожденная квазилинейная неавтономная система с одной степенью свободы (вибра-
(вибрационное поддержание вращения физического маятника). Уравнение движения маятника, го-
горизонтальная ось которого совершает вертикальные колебания с частотой I» и амплитудой
Л, имеет вид
/ф -j-ktp + mgl sin ф = ml Am2 sin <p cos at,
где ф _ угол поворота маятника, отсчитываемый от вертикали; т, 1,1 — соответственно
масса, момент инерции и длина маятника; k — коэффициент вязкого сопротивления; g —
ускорение свободного падения.
Изучим условия, при которых приведенное уравнение допускает устойчивое решение
вида <р = at + ф (о>О; Ф (at + 2я) = ф (соО. отвечающее стационарному вращению маят-
маятника со средней угловой скоростью а. После перехода к переменной ф задача сводится к изу-
изучению Т = 2я/о> — периодических решений уравнения
ф + аф = nf (ф, ф, at),	FS)
где
a = — ц/ (ф, ф, ©0 = -j [— fee) — mgl sin (и< + ф) + mlAa- sin (а< -f- ф) cos (At],
причем малый параметр ц введен исходя из предположения о близости изучаемого движения
к равномерному вращению со скоростью со. Переходя к переменным xL = ф, xs = ф, запи-
запишем уравнение F6) в виде системы Jft = хг; хг = — ах„ + И/ (лсг, л:,, at), для которой порож-
порождающая система Jc" == xj; Xj == — ах% допускает семейство периодических решений xj —a,;
х% = 0, зависящее от одного произвольного параметра а, (постоянную можно рассматри-
рассматривать как периодическую функцию любого-периода). Система уравнений в вариациях zt =
= 22; г2 = — агг совпадает с порождающей системой; ее характеристическое уравнение имеет
5а»
корни К — 0; Х2 = —а < 0; согласно D8) она имеет периодическое решение га = -—t = J;
OCXi
22, = 0, а другое линейно-независимое решение является затухающим. Периодическим ре-
решением сопряженной системы, удовлетворяющим условию E3), является г* = ); г* —
= l/а. Поэтому уравнение E0) сводится к условию
2л/ш	2я/со
lxPi(a,)=— \ lif-(xl, xo, at)dt=j ^ [— km — mgl sin (ш( + a,) +
0	0
-f mlAa- sin (at -f a,) cos at] dt — ~ (— 2k + mlAa sin a) — 0.	F7)
При выполнении неравенства
mIA@>2fc	F8)
это уравнение имеет два решения а* =я—arcsin 	 ка" = arcsin—т~л— гтерпое
t	ml Am	l	mlAui'
из которых отвечает устойчивому, а второе неустойчивому движениям, по-
поскольку согласно уравнению E4) у,'1' = (dPt Ida,)]	= — (wii/to cos a < 0, а
К = (dPt | 6fat) | _ BJ = — (imZ/lco cosa'^i > 0. Условие вибрационного поддержания вра-
вращения маятника F8) получено иным способом Н.Н. Боголюбовыми затем обобщено различными
авторами на более сложные случаи (см. п. 5 гл. VIII). Заметим, что уравнение F7) предста-
представляет собой условие обращения в нуль среднего за период значения функции f (ф, ф, at,)
при ф = «,, т. е. вытекает непосредственно из условия существования 2я/а — периодиче-
периодического первого приближения к решению уравнения F6).

64	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
О работах по развитию метода Пуанкаре и обобщению изложенных результатов.
Начало широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых
годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Ан-
Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены пре-
преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные
явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс я-го рода, затягивание
и захватывание) носят универсальный характер. Существенное значение, имела
также работа Б. В. Булгакова A942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Зна-
Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина A944—
1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений
случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров ау-,
обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного па-
параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа E0) и E9) для периодических
и почти-периодических решений квазилинейных и сильно нелинейных систем урав-
уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме
того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам
А. М. Ляпунова; решение уравнений D1) в этом случае может представляться ря-
рядами по дробным степеням параметра \i. В работе Г. А. Мермана A952 г.) изучен
особый случай, когда уравнения типа E0) или E9) удовлетворяются тождественно,
так что определитель вида E1) обращается в нуль; показано, что в этом случае пара-
параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности сле-
следующих приближений.
Результаты перечисленных выше и других исследований обобщены И. Г. Малки-
Малкиным в монографии [38], которая и в настоящее время остается основным руковод-
руководством по методу Пуанкаре.
С. Н. Шимановым предложен метод вспомогательных систем для исследования
вопроса о существовании и выяснении аналитического вида периодических решений
пригодный в особых случаях [75] A955—1960 гг.). Рассмотрению вопросов существо-
существования и устойчивости периодических решений в случаях, когда уравнения E0) или
E9) имеют кратные корни, посвящен цикл работ А. П. Проскурякова, а также его
последователей — Г. В. Плотниковой и Ю. М. Копнина A960 г. и позднее); в случае
квазилинейных систем вычисления удается провести с большой полнотой в общей
форме. Эти работы суммированы в монографии [53].
Обобщение метода на случай разрывных периодических решений дано М.. 3, Ко-
ловским [26], а также Ю. И. Неймарком и Л. П. Шильниковым, результаты кото-
которых, а также контакты и сочетания метода Пуанкаре с методом точечных отображе-
отображений (см. п. 5 настоящей главы) рассмотрены в монографии [45]. В цикле работ
Ю. А. Рябова систематически изучены вопросы оценок областей сходимости рядов
по малому параметру, полученных при использовании метода Пуанкаре [60].
Вопрос об устойчивости периодических решений квазилинейной системы, порож-
порождающая система для которой допускает периодическое решение, зависящее от про-
произвольного числа параметров а,-, рассмотрен И. И. Блехманом A955—1957 гг.), при-
причем получены уравнения типа E4) и F0), В указанных работах допускается наличие
также и иных, чем D8) и E8), линейно независимых периодических решений уравне-
уравнений в вариациях D6), хотя и предполагаегся линейность элементарных делителей,
соответствующих кратным корням уравнения F1). В этих более сложных случаях
к условиям Re Xy < 0 для корней уравнений E4) и F0) следует присоединить неко-
некоторые дополнительные требования. Последнее относится также к случаям, когда ха-
характеристическое уравнение системы в вариациях имеет кратные корни с нелиней-
нелинейными элементарными делителями; с такими случаями приходится сталкиваться,
в частности, при изучении квазиконсервативных систем, когда период порождающего
решения зависит от параметров а,-. Соответствующие исследования принадлежат
С. Н. Шиманову A956 г.), М. Я- Кушулю A958 г.), Р. Ф .Нагаеву и К. Ш. Ходжа-
еву A965 г, и позднее). Для периодических и почти-периодических решений нели-
нелинейных систем уравнения типа E4) получены И. Г. Малкиным A956 г.), а для поч-
почти-периодических систем с запаздыванием —С. Н. Шимановым A960 г.).
В работах И. И. Блехмана и Б. П. Лаврова A960 г.) предложен и обоснован,
а в работах Р. Ф. Нагаева, К- Ш. Ходжаева, К. Г. Валеева и Р. Ф. Ганиева A935
и позднее) развит интегральный критерий устойчивости периодических и синхронных

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
65
движений; показано, что в ряде более сложных случаев этот критерий дает необ-
необходимые условия устойчивости ( см, также пп. 2 и 3 гл. VIII)
Обзоры упомянутых выше, а также других результатов данного цикла приведены
в книгах [7, 54]. Из дальнейших публикаций отметим работу Р. Ф.Нагаева [43],в ко-
которой обобщены результаты, относящиеся к квазиконсервативным системам. Этапы
развития метода Пуанкаре описаны в работах [8, 53]. Отметим также важные иссле-
исследования зарубежных авторов — С. Делиберто и Г. Хуффорда [77], Э. Коддингтона
и Н. Левинсона [24], В. Мак-Миллана [36], Дж. Стокера [67], Р.Фора [78], К- Фрид-
рихса [79], Дж. Хаага [80], Дж. Хейла [72], М. Розо [59], Дж. Коула [31] и А. Найфе
[44].
4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В этом пункте описан асимптотический метод нелинейной механики в том виде,
в котором он разработан в основном в трудах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова
[11, 12, 32]. Этот метод представляет собой одно из наиболее мощных средств со-
современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналити-
аналитические решения весьма сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содер-
содержащих малый параметр s. Эффективнее всего применение асимптотического метода
для построения приближенных решений нелинейных уравнений, которые при е= 0
вырождаются в линейные, описывающие гармонический колебательный процесс.
Такие дифференциальные уравнения играют существенную роль при изучении
нелинейных колебательных процессов. Действительно, представим, что исследуе-
исследуемая колебательная система настолько близка к линейной, что колебания в течение
одного периода имеют форму, достаточно близкую к гармонической. Однако если
рассматривать эти колебания на большом интервале времени по сравнению с перио-
периодом колебаний, то будет существенно проявляться влияние даже малых отклонений
системы от линейной, обусловленное наличием малых нелинейных членов в соот-
соответствующих дифференциальных уравнениях. Из-за нелинейности последних нару-
нарушается принцип суперпозиции построения их решения Например, в системе могут
присутствовать нелинейные источники и поглотители энергии, которые производят
и поглощают весьма малую энергию за один цикл колебаний, но при длительном
их действии производимый ими эффект может накапливаться и оказывать существен-
существенное влияние на протекание колебательного процесса (на его затухание, «раскачива-
«раскачивание» и устойчивость). Аналогично нелинейность квазиупругой силы будет при дли-
длительном воздействии оказывать влияние на фазу колебаний и т. п.
Наиболее доступными для исследования являются колебательные системы с ма-
малой нелинейностью. С математической точки зрения исследование систем с большой
нелинейностью — трудная проблема, требующая индивидуального подхода в каж-
каждом конкретном случае.
Большинство методов малого параметра (например, метод Пуанкаре, метод усред-
усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли при решении конкретных
задач механики и физики, а затем были развиты и обобщены. Впоследствии многие
из этих методов получили математическое обоснование; например асимптотические
методы нелинейной механики, а также метод усреднения обоснованы в работах
Н. М Крылова и Н. Н. Боголюбова [11, 32?.
Построение асимптотических решений в случае собственных колебаний, близ-
близких к линейным. Изложим метод построения асимптотических решений сперва
для случая колебаний, определяемых автономными дифференциальными уравнени-
уравнениями вида
% + **-«[*-%)'	F9)
где в — малый положительный параметр.
При отсутствии возмущений, т. е. при 8=0, колебания будут чисто гармониче-
гармоническими х— a cos я|з с постоянной амплитудой и «равномерно вращающимся» фазовым
углом: — = 0; -^ =со; 1р = ы' + 6 (амплитуда а и фазя 6 колебанья будут поекз-
янными во времень величинами, зависящими от начальных условий).
3 п/р. Блехмана, т. 2

66	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Наличие нелинейного возмущения (е Ф 0) приводит к появлению в решении
уравнения F9) высших гармоник, обусловливает зависимость мгновенной частоты
dtyldt от амплитуды и может вызвать систематическое увеличение или уменьшение
амплитуды колебаний в зависимости от притока или поглощения энергии возмущаю-
возмущающими силами.
Все эти эффекты возмущения исчезают в предельном случае (е = 0).
Учитывая все это, общее решение уравнения F9) ищем в виде
(а, -ф) + ез«3(а, i|>)+ ... -\-етит(а, if)+ •••> G0)
где Ui (a,ip), щ (а, г|)),...— периодические функции угла г[з с периодом 2я; a,i|) — функ-
функции времени, определяемые дифференциальными уравнениями:
G1)
')+ ¦••+emBm(a)+ ...
Lib
Итак, возникает задача подбора соответствующих выражений для функций
ы^а, гр); ы2 (а, гр); ...; Ах (а); Аг (а); ...; В1(а); В2(а), ... G2)
так, чтобы выражение G0), в которое вместо а и г|) подставлены функции времени,
определяемые уравнениями G1), оказалось бы решением исходного уравнения F9).
Как только эта задача будет решена и будут найдены явные выражения для
коэффициентов разложений, стоящих в правых частях G0), G1), вопрос об интегри-
интегрировании уравнения F9) сведется к более простому вопросу об интегрировании урав-
уравнений G1) с разделяющимися переменными.
Определение коэффициентов указанных разложений не вызывает принципиаль-
принципиальных затруднений, однако ввиду быстрого усложнения формул практически легко
могут быть найдены обычно лишь два-три первых члена. Поэтому применимость ме-
метода определяется не свойствами сходимости выписанных сумм разложения G0)
при т-*¦ оо, а их асимптотическими свойствами для данного небольшого фиксиро-
фиксированного т и 8 -> 0.
Таким образом, ставится задача о нахождении таких функций G2), чтобы вы-
выражение G0) при фиксированном от, в котором функции времени а, \р определя-
определяются уравнениями т-то приближения, удовлетворяло уравнению F9) с точностью
до величин порядка малости em+1.
Эта задача неоднозначная. Для однозначного построения функций G2) нужно
наложить еще некоторые дополнительные условия, например условие отсутствия пер-
первой гармоники в функциях и, (а, \р), ы2 (°> Ф). •••
После ряда выкладок можно выписать для уравнения F9) приближенные решения
в явном виде
Первое приближение. Решение уравнения F9) в первом приближе-
приближении х = о cos Tj), где а и г)) должны быть определены из уравнений первого прибли-
приближения
Здесь
Ai(a)= — ^— I / (a cos гр, —аи> sin гр) sin гр dip;
и
2л
Вх (а) = —=	 I / (а cos гр, — аш sin Ф) cos ipdip,
'	2яасо J v T	т/ т т
G4)
2л

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	67
Заметим, что исходя из G3), можем написать:
Да = а@—a@)~el7li,
А (ф — со/) = [ф @ — со/] —-ф @) ~ eiBit
где Лх и Bf — некоторые средние значения Ах (а) и Bt (а) на интервале @, t). Рас-
Рассматривая последние выражения, видим, что время t, в течение которого величины
а и хр	at смогут получить конечные приращения, должны быть порядка 1/е. С дру-
другой стороны уравнения G3) получаются после пренебрежения в уравнениях G1)
членами порядка малости е2, а такая ошибка в значениях первых производных —-,
_? за время t приводит к ошибке порядка е2/ в значениях самих функций а пф.
dt
Следовательно, в том интервале времени, в течение которого аи ф — Ш успеют
заметно отойти от своих начальных значений, погрешности в значениях амплитуды
и фазы колебаний будут величинами порядка е, и поэтому в этом интервале в первом
приближении можно положить х = a cos ф, так как погрешность как формулы х =
= a cos ф так и формулы х = a cos ф + ef/j (а, ф) будут величинами первого по-
порядка малости.
Дополнительное слагаемое zUi (а, \|з) вносит только качественное уточнение
в решение, т. е. малые высшие гармоники. Поэтому лишь в ряде случаев целесооб-
целесообразно рассматривать так называемое «улучшенное первое приближение» х =
= a cosij) + euj (а, ф), где а и \\, определяют из системы G3).
Второе приближение. Решение уравнения F9) во втором приближе-
приближении х = a cos ф + еиа (а, ф), где а и ф должны быть определены из уравнений вто-
второго приближения
g = еЛ! (а) + еМ2 (а); ^? = со + е^ (а) + eaS, (а).
Здесь Ах (а), Й! (а) определяют по G4),
2л
Ml(a, Ф) X
/х (асозф, —асо sin ф) + (Лх cosij.- — аВх sin ,[ -f со -~)х
\	"Ф/
X f'x' (a cos ф, — асо sin ф)] sin ф йф;	G5)
2я
S2 («)= -~ Ы- -1- Щ - ~L- [ [Ul (а,
v ' 2со \	a da j 2лач> J l 1К
и
X/jc (а соэф, —асо simp) + I A1 cos ф — аВх sin ф+со •
Х/л:'(а cos ф, —асо sin ф)] cos ф йф,
a
оо
и (а ^\=Sa(a)	L V gn(a)cosn\p-\- hn{a) sin,
1	со2 со2 h	п2	I
где
gn(a)—~ \ /(асозф, —асо sin ф) cos n
3*
1?
лл(а) = — 1 /(асозф, — асо 8ш

68
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим частные случаи автономных уравнений F9).
Консервативные системы, близкие к линейным. Рассмотрим свободные псевдо-
псевдогармонические колебания без затухания некоторой массы т, описываемые уравне-
<Рх
нием т -г» + Р (х) = 0, в котором зависимость Fs = р (х) между упругой силой и
перемещением является нелинейной. Предполагая, что эта нелинейность достаточно
малая, положим р (х) = kx + еФ (х). Тогда, рассматривая разложение в ряд Фурье
со
для функции Ф (a cos iji) = ^ Сп (a) cos /zip и воспользовавшись приведенными выше
л = 0
формулами, получаем gn (а) — Сп (a)/m; hn (а) = 0, откуда находим Ах (а) = 0;
В^а)	Сх (а). Таким образом, для первого приближения получаем
7j
х — a cos \f;
§-»•¦ f
После ряда выкладок для второго приближения находим
/
n3 —
Амплитуда a и во втором приближении не зависит от времени и сохраняет любое
свое начальное значение.
Фазовый угол 1|) «вращается» с постоянной скоростью, т. е. -ф = соп (а) + 6 F =
00
= const). Рассматривая разложение в ряд Фурьер (a cos>jj)=p0 (a)+ ^Рп (a)cos/nj>,
окончательно получаем следующие формулы для первого приближения
ma
для второго приближения
Рп (а) -
Pn (a)
п=2
da mfto

с
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	69
Пример. Рассмотрим уравнение свободных колебаний математического маятника мас-
масой т и длиной 1 без учета трения
е х _ угол отклонения маятника от положения равновесия.
В данном примере р (д;) = (git) sin x, следовательно,
где Jk (a) — функции Бесселя.
Согласно приведенным выше формулам находим для первого приближения
, № 27, (в,
xt = a cos ф, — I = —i-5—-
\ Оо /	а >
где »> = g//i
для второго приближения
1 п = 1
V
j Bл+ 1J—1
= 1
Автоколебательные системы. Рассмотрим автоколебательную систему, описы-
описываемую уравнением вида
которое также является частным случаем уравнения F9). Используя формулы G0)
G4) и G5), а также разложение в ряд Фурье функции
/ (а cosif) аш sin г|? = ^j <onFn (a) sin nip,
n = 0
получаем приближенные решения и амплитудно-фазовые уравнения для первого
приближения
х = a cos i|);
rfa _ е .	rff _	^
для второго приближения
со
•!/¦« (й) sin nHf
CD ^J	П2 —1
dty	e2 „j, . . dFf (a) e2 Vi re2F*2 (a)
—-~a	Ff (a)—t-5-^ — ^	 * — -¦
dt	8aco	ao 2coa2 ^i n2 — 1
n = i
Пример. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля

70	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Воспользовавшись уравнениями G6), получим для первого приближения
х = a cos 1|з;
?-т(-т); ?-¦
Интегрируя систему G7) и подставляя а и ij; в выражение для лг, находим для первого при-
приближения
где а0 — начальное значение амплитуды; 8 — произвольная постоянная.
Для второго приближения получаем
во3
х = a cos tf	j^- sin 3i|>;
Лг _ eo^ / a>
dt	\8 8 T 256,
Стационарные амплитуды и их устойчивость. Приближенное уравнение (в п-м
приближении), определяющее закон изменения во времени амплитуды главной
гармоники колебания
^=Ф(а),	G8)
где
Ф (а) = eAt (а) + еМ2 (a) -f- ... +е"Ап (а) (я == 1, 2, ...),	G9)
может быть проинтегрировано до конца. Однако, не интегрируя, можно исследовать
поведение решения о @ в зависимости от свойств Ф (а).
Допустим, что не существует положительной величины о*, для которой Ф (а) > 0
при а >а*. Это условие следует из чисто физических соображений. Согласно урав-
уравнению G8) амплитуда увеличивается, если Ф (а) > 0, и уменьшается, если Ф (а) <^ 0.
Неизменяющиеся стационарные значения а определяют из уравнения Ф (а) = 0
Допустим теперь, что а0 — простой корень этого уравнения. Рассмотрим бесконечно
близкие к а0 решения уравнения G8) а = а„ + 6а. Анализируя уравнение в вари-
вариациях
~=Ф'(ао)ба,
приходим к заключению, что значение а— а0 будет устойчивым стационарным, если
Ф' (°о) < 0, и неустойчивым, если Ф' (а0) > 0. При этом условие Ф' @) > 0 явля-
является условием самовозбуждения.
За исключением некоторых особых случаев, в том числе наличия у уравнения
Ф (а) = 0 кратных корней, результаты качественного исследования (устойчивости
стационарных решений, самовозбуждения колебаний и др.) могут быть получены при
рассмотрении уравнений первого приближения.
Эквивалентная линеаризация нелинейных колебательных систем. Уравнениям
первого приближения G3) можно дать физическую интерпретацию, допускающую
их построение без предварительного составления исходного точного дифференциаль-
дифференциального уравнения.
Запишем основное дифференциальное уравнение колебательной системы в виде
g	(?)	(80)
где т и k положительны,

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	71
Решение уравнения (80) в первом приближении
x — acosty,	(81)
где а и "ф (соответственно амплитуда и полная фаза) должны удовлетворять урав-
уравнениям
2я
da	e С
-гг = — -к—— \ f (a cos ib, —aw sin tb) sin ifdib;	(82l
dt	2nwm J ' v T	v
о
2я
злесь оз2(а) = со2	\ /(acosib, —aw sin ib) cos г|з dib; w2 = —. Введем в рас-
u
амплитуды
2л
(а) =	 \ f (a cos*, — aw sin ф) sin1
смотрение функции амплитуды
2л
(83)
fe,, (a) = k	\ / (a cos t|>, — aw sin ib) cos -ф d\J>.
Тогда уравнения первого приближения с точностью до величин порядка 0 (е2) можцо
записать в виде
da . , a fifib
где м? (а) -Ш..
Таким образом, рассматриваемое первое приближение (81) с точностью до вели-
величин порядка малости ег удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
m^ + K(a)~ + ke(a)x = 0.	(84)
Итак, в первом приближении колебания иссл "дуемой нелинейной колебательной
системы и некоторой линейной колебательной системы, обладающей коэффициентом
затухания Х,с (а) и коэффициентом упругости ke (а), эквивалентны (с точностью цо
величин порядка малости е2).
Обычно Хе (а) называют эквивалентным коэффициентом затухания, а ke (a) —
эквивалентным коэффициентом упругости, саму же линейную колебательную систему,
описываемую уравнением (84), — эквивалентной системой. Сравнивая уравнения
(84) и (80), видим, что уравнение (84) получается из (80) заменой нелинейного члена
F=tf{x, -^j линейным Fe=— \kiia) х-\-Хе (a)-? , где kx (a) = ke (a) — k.
Выражение б^ (a) = Xe a)/2m представляет собой декремент затухания колебаний
эквивалентной линейной системы, а <ле (a) = Vke (a)Jm— собственную частоту колеба-
колебаний этой системы,
Таким образом, уравнения первого приближения (82) можно формально образо-
образовать следующим образом. Линеаризуем рассматриваемую колебательную систему,
заменяя в основном уравнении (80) нелинейную силу F линейной Fe [значения
\ [а) и ?j (a) = ke (a) -+¦ k определяем ao формулам (83)], Для получения эквива-

72	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
лентной линейной системы с массой т, коэффициентом затухания Хе (а) и коэффици-
коэффициентом упругости ke (а) = k + kx (а) находим декремент затухания 6,, (а) и частоту
собственных колебаний и>е (а), отбрасывая величины второго порядка малости:
Ье (а) = Ке (а)/2т; сое (а) = ke {аут.	(85)
Применим известные для линейной колебательной системы формулы
da	. d\b
6 J	<86)
показывающие, что декремент колебаний есть логарифмическая производная ампли-
амплитуды, взятая с обратным знаком, и что частота со есть «угловая скорость» полной
фазы колебания. Если в уравнения (86) подставить значения б и со по формулам
(85) и (83), то полученные равенства совпадут с ранее выведенными уравнениями
первого приближения (82).
Изложенный формальный метод образования уравнений первого приближения
называется методом эквивалентной линеаризации,
Нелинейные колебательные смете яы с медленно меняющимися параметрами.
Рассмотрим нелинейную колебательную систему, у которой некоторые параметры
(масса, жесткость, коэффициент сопротивления и др.) медленно изменяются со вре-
временем (по отношению к естественной единице времени — периоду свободных колеба-
колебаний). Уравнение, описывающее такую систему, имеет вид
dt\_	dt\	I ' ' ~dt/
где 8 — малый положительный параметр; т = et — «медленное» время.
Приближенные решения уравнения (87) можно получить так же, как и уравне-
уравнения F9). Но для построения асимптотических рядов необходимо, чтобы коэффициенты
уравнения (87) т (х), k (x), а также fix, K,~rf\ имели достаточное число производных
по т для всех конечных значений т; кроме того, предполагаем, что для любых х на
интервале 0 ==: х sg L функции k (т) > О, т (х) > 0. При т = const уравнение (87)
переходит в автономное уравнение F9), подробно рассмотренное выше.
При х = st решение изменится, его следует искать в виде
(т, а, \|)) + е2ы2(т, a,
где а и if должны быть определены из системы уравнений
здесь 0)(x) = frk (x)/m (т)—«собственная» частота рассматриваемой колебательной
системы.
После ряда выкладок получаем решение и амплитудно-фазовые уравнения в
первом приближении
х = a cos \|з;
da . ,
^ = еИ, (т, а),
^	а),

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
73
где
2я
(88)
В
2я
1	f
(х, а)=	s	т-г—г^— \ /о (т, а, tb)cosibAb,
V ;	2пт (х) а (х) a J '	Y
о
fo(T, а, лр) = Кх, а cos if, — аса sin if);
во втором приближении
х = а cos
-^ = еЛд (т, а) + еМ3 (т, а);
т, а),
где Лх (т, а) и Вх (т, а) определяют по (88);
2я
2л/л (т)
ю (т) J ' v
о
Ф) sinifcdib,
Здесь
(т, а,
2лт (
) = /^(т, acosi|), — асо sin if>)
X MiCosif— aB1 sin i|> +
/^ (т, acos-ф, —
со (т) —/и(т)х
sin
dco (т)
со (t) dm (т)
dx

J'
2я
Пример. Рассмотрим колебания математического маятника постоянной массы при нали-
наличии малого затухания, пропорционального скорости, и медленном изменении длины. Диф-
Дифференциальное уравнение, описывающее такие колебания, имеет вид
ж [т1г (х) ж\+ 2п 4t[l (т> е]+mgl (т) sin е=0>

74	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
где в — угол отклонения маятника от вертикального положения, g — ускорение свобод
ного радения т — масса маятника, / = / (т) — медленно изменяющаяся длина, 2л — коэф
фнциент трения При небольших отклонениях можно заменить sin в на 6	— тогда
о *
где
ef (г, 6,
После ряда выкладок в первом приближении получим
6 = a cos ф
cla	па	ЗеГ (т)
~dt ~~ тЦх) 411х) а'
ш (т) а2
где и (т) = Vs.ll (t)
Интегрируя эту систему, находим
п с dt
т J / (т)
О	/
2п С dt
~ТГ 3 Нх)
16
О
где а0 = а @)
Во втором приближении
a3	da	( 3! (т)
192	dt	\
J я2
I тЧ1
16
в1'(х)п Ss'l (т) 5ю° (т) а< _ Зе=/'2 (т))
(t) + mf"(T) + 4/(х) + 2» 3	Ш'(х) I
Влияние внешних сил на нелинейные колебательные системы. Рассмотрим коле
бательную систему, находящуюся под воздействием внешних периодических сил, за
висящих явно от времени Рассмотрим систему с одной степенью свободы, описывае
мую дифференциальным уравнением
где е — малый положительный параметр; / !vt, x, ~) — функция, периодическая
по vt с периодом 2п, которую можно представить в виде
N
'(-¦*#)- 2 -*.(*
n = -N
Будем предполагать, что коэффициенты /„ [х, -jr ) в этой конечной сумме являются
dx
некоторыми полиномами аргументов х, —

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	75
Уравнение (89) можно считать уравнением колебаний некоторой механической
единичной массы с собственной частотой со, находящейся под воздействием
малого нелинейного возмущения e/lvt, x, —тг\, явно зависящего от времени
При отсутствии возмущения, т е при е = 0, получаем чисто гармонические ко-
колебания х = a cos (a>t + <р); —гг = — аа> sin (orf + cp), где а и ср — произвольные
постоянные
Если для определения функций щ, ы2 применять метод, изложенный выше
для построения решения уравнения F9), то в разложении функции ь/ l\t, х, — \
в ряд Фурье [после подстановки в нее х = a cos (at + ср), —' = — асо ып («rf + ср)]
появятся члены, содержащие sin (nv + m(o)t и cos (rev -f- /жо)(, где я и т — целые
числа Таким образом, в правых частях уравнений, определяющих «j, и2, > п0
явятся гармонические компоненты с комбинационными частотами вида (nv -\-mai)
Когда одна из таких комбинационных частот сделается близкой к собственной ча-
частоте со, то соответствующая гармоника возмущающей силы может оказать значи-
значительное влияние на характер колебаний, даже если в выражении приложенной воз-
возмущающей силы соответствующий коэффициент мал Чем меньше значение этого
коэффициента, тем меньше должна быть расстройка между собственной и внешней
частотами для того, чтобы это влияние было заметно Таким образом, в нелинейных
колебательных системах резонансные явления возникают не только при co~v,
как в обычных линейных системах, но и в случае, если одна из комбинационных
частот внешнего воздействия близка к собственной частоте системы, т е если nv +
+ mco « ш
Следовательно, в нелинейных системах резонанс может наступать при выпол-
выполнении условия С0 55И —V, где р и q—целые взаимно простые числа (обычно неболь-
небольшие)
Принята следующая классификация различных случаев резонанса1
1)	клавныйи, или основной резонанс, когда р= <?= 1, те v~co,
2)	резонанс на обертоне собственной частоты, или параметрический резонанс,
когда р=1,т е v«gw или ш ~vlq, резонанс этого типа возможен в линейных
системах с периодическими коэффициентами,
3)	резонанс на обертоне внешней частоты, когда q = 1, т е ш «pv
При построении асимптотических решений для уравнений (89) следует рассма-
рассматривать три случая нерезонансный, резонансный и общий случай, в котором иссле-
исследуется как резонансная зона, так и подходы к ней Под резонансной зоной подразу-
/ Р \
меваем окрестность точного резонанса lv=—wl , в которой уже проявляются резо-
резонансные явления — амплитуда колебаний возрастает
Нерезонансный случай Б^дем предполагать, что ни одна из комби-
комбинационных частот «v + ты не равна частоте м, т е nv + та Ф со При е = 0 ко-
колебания будут чисто гармонические х = a cos (ш^ + ср) с постоянными амплитудой
и фазой Влияние возмущающей силы выражается в том, что, во первых, в колебаниях
могут появиться как обертоны, так и гармоники комбинационных частот различного
порядка малости, и поэтому решение надо искать в виде
х = a cosi(> + еиг (а, if, v^)-j-e2u2 (а, г)?, v^)+ ,	(90)
где «j (а, if, vt), щ (а, ф, vt), .. —периодические функции по обеим угловым перемен-
переменным \[, и vi с периодом 2я Во-вторых, и амплитуда, и скорость вращения фазы не по-
постоянны и должны определяться из дифференциальных уравнений
~-а = еЛх (а) + еМ2 (а) + I
J.	(91)

76	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Правые части уравнений (91) не зависят от фазы, так как при отсутствии резонанса
фаза собственных колебаний не сгязана с фазой внешних сил, и, следовательно, по
следняя не оказывает влияния на амплитуду колебаний
Итак, задача построения асимптотических приближенных решений в нерезонан-
нерезонансном случае сводится к определению функции, стоящих в правых частях разложе
ния (90) и уравнений (91)
Вводя дополнительное условие — отсутствие резонансных членов в выражениях
для функции «1 (a, г|), vt), иг (a, % vt) , т е членов, знаменатели которых могут об-
обратиться в нуль, после ряда выкладок получим
1
йИ — (nv-\-t
п т
[л* + (т» - 1)г ^= 0]
2я2я
X \ \ fo (a, if, 9) е~( 1я9+щ1|)) rfg ^;	(92)
о о
2л 2я
о о
2я 2я
0 0
где /0 (a, i|>, б) = e/ (в, а cos ty, — а со sin г(з) Из формулы второго приближения
х=а cosrjj-feu]^ (а, ¦ф, v^),	(93)
где ut (а, ij), vO определяют по (92), следует, что влияние внешнего периодического
воздействия в нерезонансном случае сказывается только во втором приближении,
так как в решении появляются мялые гармоники с комбинационными частотами
Рассмотрим формулу (93) в случае стационарных колебаний, т е при а = const,
г|) = ш (a)t -(- О, О = const Тогда колеблющаяся величина х будет состоять из соб-
собственного колебания с частотой со (а), вынужденного колебания с частотой п\ и ком-
комбинационных колебаний с частотами nv ± mm
В частном случае, когда собственные колебания отсутствуют, т е когда а — 0,
формула (93) вырождается в следующую
со	2л
1 VI	elnVt
2 fc
VI
2
т е в колебательной системе имеются лишь одни вынужденные колебания с часто-
частотами внешнего возбуждения nv, которые называют гетеропериодическими колеба-
колебаниями
Если для рассматриваемой системы
1е (а) > 0,	(94)
где
2я 2л
Яе* (а) = -j-j— \ \ / (9. а cos i|\ — аы sin г|>) sin ф de dtp,
о о
то единственно возможным устойчивым стационарным режимом будет гетероперио-
дический

АСИМПТОТИЧГСКИЕ МЕТОДЫ	77
Условие затухания собственных колебаний (94) зависит от амплитуды внешней
периодической силы В случае, если внешнее возмущение, т е правая часть урав-
уравнения (89) не зависит явно от времени, получаем обычное условие самовозбуждения
Хе (а) < 0	(95)
или соответственно условие затухания
Яй(а)>0,
где
2я
%е (а) = —	 \ / @, a cos t|>, — асо sin г[) sin ф dty.
о
От структуры нелинейной функции/(б, х, —тт ) зависит, будут ли одновременно
выполняться условия (94) и (95) При одновременном выполнении этих условий оказы
вается, что система, являющаяся самовозбужденной при отсутствии внешнего пери-
периодического воздействия, геряет это свойство при его наличии В этом случае имеет
место тяк называемое нерезонансное или асинхронное гашение колебаний
Пример. Рассмотрим обобщенное уравнение Ван дер Поля
где е — некоторый малый положительный параметр
Заменой у — х + U sin vt, где U =	2, уравнение приводим к виду
В первом приближении получаем х = a cos (/ + О), где О = const, a — амплитуда
da ед /, a" U2 \
которую следует определять из уравнения -^- = — II	— —\
Уравнение первого приближения показывает, что при Uz < 2 система самовозбуждена
и существует устойчивое стационарное колебание с амплитудой а? = 4 — 2?/2 При Uz > 2
амплитуда а с возрастанием времени стремится к нулю и, следовательно, в системе происхо-
происходит асинхронное гашение
Во втором приближении получаем
16v(l+v) ° у" ' ¦" ' 16v(l-v)	" *' 32	v>
где 9 = vt, а и i)> следует определять из системы уравнений второго приближения
da	e
_j _ , __ . ________
16(9 — va) A —v2)	64;A—v2)
Во втором приближении наряду с вынужденными колебаниями с частотами v и 3v появились
компоненты с кратными частотами 3<а и с комбинационными частотами v ± 2а, 2v ± to, что
характерно только для нелинейных систем
В случае выполнения условия (94) в системе будет устойчив гетеропериодический ре-
режим тес течением времени установятся колебания, определяемые выражением
eUvD — U2) . , et/'v
Х"	C0S° +
Х" 4(l-v») C0S° + 4(l-9v2)
где 9 =. v/

78	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Резонансный случай. Предположим, что ш «= — v, где ряд — некото-
некоторые взаимно простые числа.
При исследовании резонанса достаточно ограничиться рассмотрением только са-
IР \2
мой резонансной области. Поэтому положим ш2 = I — v) + еА, где е& — расстройка.
Тогда исходное уравнение (89) запишем в виде
&Ч
IF'
Расстройку еЛ из-за ее малости отнесем к возмущающей силе Решение ищем в виде
ряда
х — a cos г|5 + ей, (a, vt, г|.') + е2м2 (a, vt, tp)~f-...,
где tt\ {a, vt, if>), и2 (о, vt, г|;) — периодические функции с периодом 2зт по обеим угло-
угловым переменным vt я ty; а н ty — некоторые неизвестные функции времени, которые
определяют из соответствующих дифференциальных уравнений. Для составления
Э1их уравнений введем в рассмотрение кроме угловой переменной t|) (полной фазы
колебаний) разность фаз
ft = ij3 — ?-yt.	(96)
Так как $ при резонансе может оказать существенное влияние на изменение
da dtp
амплитуды и частоты, то будем представлять производные—; и—т^-как функции не
только а, но и О. Поэтому, учитывая (96), для определения а и г|; составим следую-
следующую систему:
Таким образом, нам нужно определить периодические функции Ai (а, Щ, А2 (а, Щ,
..., В, (а, Щ, Во (а, Ь)	«х (о, О, — t\ ,u2(a, •&, — t\,..., с периодом 2я по ¦& и
\	Q / \	Ч )
v
— t. После ряда выкладок в первом приближении получим
!)	(97)
где а и ¦& должны быть определены из системы уравнений
2Л 2л
. У eiqo& f f /0 (а, 6, 1|з) <г'?ов' sin Tj) dd Л|>;
о	oJ (Г	(98)
da	eq
2я 2Я
= W_Z v_
^ S«* J J /. (a, S, t) ^»«*' cos t db %
a	0 0
здесь <У = 1р—-Ие, e = \t.
Общий случай. Рассмотрим теперь общий случай, когда требуется иссле-
исследовать поведение колебательной системы как вблизи резонансной области, так и на
подходах к ней из нерезонансной.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	79
В этом случае уже нельзя считать, что расстройка мала, и поэтому приближенное
решение следует искать непосредственно для уравнения (89). Кроме того, выражения
для мгновенной амплитуды и частоты будут зависеть от угла сдвига фаз.
Поэтому решение ищем в виде ряда
гих(а, \t, л[)) + е2и2(а> v^, лр)+ ....	(99)
где ф=—v/-f-#; а и & определяют из системы уравнений
da _
A°°)
причем разность ю— — v не обязательно мала.
Функции, стоящие в правых частях (99) и A00) находим по методике, приведен-
приведенной выше. После ряда выкладок в первом приближении получаем
37" = sAi (a, 0);
4t- = w—? v + eSi(a, fl1),	A01)
dt	q	'
где А\ (а, ¦&) и i?! (а, О) — частные периодические решения системы
2я 2я
'со _ JL v\ Ml _ 2ОШВ! = -^- У efa«* С С /0 (а, 6, л|з) е "?а*' cos ^ rf8 drf;
a	0 0
2Я 2Я
2я2 ^j J J
о oo
n
здесь tr' = г[з — — 6.
Анализ уравнений первого приближения. Рассмотрим
уравнения A01). Так как правые части этих уравнений зависят от а и от й, то проин-
проинтегрировать их в замкнутом виде в общем случае не удается
Качественный характер решений может быть исследован в общем случае с по-
помощью теории Пуанкаре. Согласно основным результатам этой теории можно утверж-
утверждать, что всякое решение уравнений A01) приближается с течением времени или
к постоянным a = a,, 0 — О, (i = 1, 2, ...), определяемым из уравнений
А1(а, Ф) = 0, ю — — v + eS1(a, d) = 0,	A02)
или к периодическим функциям.
Таким образом, получаем два основных типа стационарных колебаний' коле-
колебания, соответствующие постоянному решению, или, как говорят, «точке покоя»
Уравнений A01), и колебания, соответствующие периодическому решению.
Котебания, соответствующие постоянному решению, в первом приближении со-
совершаются с частотой — v, находящейся в простом рациональном соотношении с чгс-
q
тотой возбуждения v. Такой режим колебаний называют синхронным.

80	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Для решения вопроса об устойчивости стационарного синхронного режима, опре-
определяемого стационарными значениями о0, #0, необходимо образовать уравнения
в вариациях
из которых, после составления характеристического уравнения, находим условия
устойчивости
A03)
Колебания, соответствующие периодическому решению уравнений A01), в пер-
первом приближении совершаются с двумя основными частотами — с частотой со или
— v-f-Дш и частотой биений Лео, где Лш = 2зт/Г (Т — период данного периодичес-
периодического решения). Эти колебания называют асинхронными.
Воздействие гармонической силы на нелинейную систему. В качестве частного
случая колебательной системы, описываемой уравнением (89), рассмотрим колеба-
колебания нелинейного вибратора, находящегося под воздействием гармонической силы.
d^x	{ dx \
m-pj-+ fcc=e/ х,-jT-j+e.E sin v/.	A04)
Для этого уравнения (при р = 1, q = 1) согласно (97) и (98) в первом приближении
получаем
х — a cos (v/-t--e-),
где вив должны быть определены из системы уравнений
2я
da е Г ...,.,,	е?	.
/п (о, W) sin w aw	;—¦—— cos tr;
dt	2п<ат
2я
d^b	в С	вЕ
—С- = о) —v—	 \ fo(a, \|])cos*dib4	;—¦—r-'Sind.
dt	2лата ,)	Л1 т т ma(co + v)
о
Принимая во внимание обозначения (83), уравнения A05) можно записать в виде
-п = — бе (а) а	—¦—г cos -&;
где бе(а) = —е , ше(а) = Т/ е	эквивалентный декремент затухания
колебаний и эквивалентная частота нелинейных собственных колебаний, описы-
описываемых уравнением A04) при отсутствии внешнего возбуждения. Рассмотрим ста-
стационарный режим. Для этого следует приравнять нулю правые части системы A06):
— 8е (а) а	¦ - cos d = 0;
"-M-v + TZlm + vi*1*-0'

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	81
откуда, исключая фазу 0, находим следующую зависимость между амплитудой ста-
стационарных колебаний и частотой внешней силы:
\ (a)— v2J + 4v26^ (a)] = e2?2.	A08)
Полученные уравнения A07) и A08) совпадают с уравнениями, которые в класси-
классической линейной теории колебаний используют для определения амплитуды и фазы
вынужденных колебаний в линейной системе с массой т, коэффициентом жесткости
ke (а) и коэффициентом сопротивления Хе (а), находящейся под воздействием внешней
силы гЕ sin vt.
В результате проведенного анализа можно сформулировать методику (правило)
построения резонансных стационарных амплитуд в зависимости от частоты внешней
силы. Для нелинейной системы, находящейся под воздействием внешней гармони-
гармонической силы с частотой v, близкой к собственной частоте системы со, найдем зна-
значения амплитуды и фазы синхронного стационарного колебания. Для этого линеари-
линеаризуем данную колебательную систему в свободном состоянии (т. е. не принимая во вни-
внимание внешней силы гЕ sin vt) и определяем функции амплитуды — эквивалент-
эквивалентный декремент и эквивалентную частоту собственных колебаний. Подставив найден-
найденные значения в классические соотношения линейной теории колебаний, получим
уравнения для определения искомых амплитуды и фазы.
С помощью формулы A08) легко построить кривую зависимости амплитуды от
частоты, называемую резонансной кривой.
Запишем условие устойчивости для рассматриваемых стационарных синхронных
колебаний. Уравнения A06) можно представить в виде
~-	^
2да 4г = К И ~ v2lа + — s'n О,
at L e	J	tn
а уравнения стационарных синхронных режимов A07) в виде
R(a, ft) = 0;
Ф(а, 0) = О,
где R (а, О) и Ф (а, &) —соответственно правые части системы A09).
Воспользуемся условиями устойчивости A03), которые в рассматриваемом слу-
случае имеют вид
aR'a(a, Щ + ф'й(а, #)< 0;	(ПО)
R'a(a, «)Ф?(а, *)-Л;(а, ЩФ'а(а, в) >0.	A11)
При обычных законах трения условие (ПО) выполняется всегда. Условие A11)
можно значительно упростить и привести к виду
2v ~- = - 2va8e (a)—^- cos
da „	. .
-г- > 0, если ые (а) > v;
I
(П2)
dv
< 0, если сое (а) < v.
Полученные условия устойчивости A12) очень удобны при графическом построении
зависимости амплитуды от частоты. Воспользовавшись уравнением A08), построим
резонансную кривую (рис. 7)
a = F(v)	A13)
и кривую
a=F0(v),	A14)
определяемую уравнением точного резонанса оь (a) = v и называемую скелетной
кривой На ветви кривой, описываемой A13) и лежащей левее кривой, описываемой

82
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
A14), устойчивыми (т.е. соответствующими устойчивым амплитудам) будут те
участки, на которых а возрастает вместе с V, на ветви, лежащей правее кривой, опи-
описываемой A14), устойчивыми будут те участки, на которых а убывает с возрастанием
v. По приведенным кривым можно определить устойчивые стационарные амплитуды,
точки срыва и скачка, обусловливающие гистерезисные явления, характерные
только для нелинейных систем.
Пример. Пусть колебания осциллятора описываются уравнением
-Ж + 6 ~Tt + * + х3 = Е sm vi
Допустим, что в рассматриваемой системе коэффициент вязкого трения, а также ампли-
амплитуда внешней силы являются палыми, а характеристика восстанавливающей силы
достаточно близка к линейной Тогда bg (а) = 6, ч>е (а) = 1 — За2/8 После несложных
преобразовании находим аг{[A + Заг/8J — V2]2 + б2} = Е2, откуда v =
= у ffl! (а) +V(L2/a2) — 6г с помощью этой зависимости строим резонансную кривую
(рис 8), а также скелетную кривую, определяемую уравнением 1 -f- 3a2/8 = V (штриховая
линия на рис 8)
Устойчивым амплитудам будут соответствовать участки резонансной кривой МАВ
и DCN Точки В и D — точки срыва и скачка амплитуды
а-у Л>'
Рис. 7
Рис. 8
Кривые, приведенные на рис 8, позволяют полностью проанализировать характер ко-
колебаний в исследуемой системе при изменении частоты внешней силы При увеличении ча-
частоты внешней силы амплитуда вынужденных колебании возрастает по кривой МАВ В точ
ке В происходит срыв амтитуды — значение амплитуды скачком переходит в точку С и при
дальнейшем увеличении частоты внешней силы изменяется по кривой СЫ Если начать
уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний будет изменяться по кривой
NCD В точке D значение амплитуды перейдет к значению соответствующему точке А, и
дальше амплитуда будет изменяться по верхней ветви резонансной кривой AM (под изме
неннем частоты внешней силы подразумеваем очень медленное ее изменение, такое, что прак
тически в каждый момент систему можно рассматривать как стационарную)
Воздействие периодических сил на нелинейные системы с медленно изменяю-
изменяющимися параметрами.
Рассмотрим уравнение
l](^) (И5)
в котором 8 > 0 — малый параметр, т = zt — «медленное» время; F (х, 6, х, -тА —
функция, периодическая по S с периодом 2я, которую для упрощения выкладок
представим в виде
% 2 '-'
n= — N
здесь Fn[x, я.—зт) — некоторые полиномы х, dx^dt. Коэффициенты этих полиномов
зависят от т. Будем предполагать, что db jdt = v (т), т. е мгновенная частота внеш-
внешней периодической силы тоже медленно меняется со временем, кроме того, коэффи-

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	83
циентьют(т), k (т), Fn(x, х, ,—) и v (т) имеют достаточное число производных пот
для всех конечных значений т и для любых т на интервале Os^t^L m (т) и k (х)
строго положительны.
При этих условиях согласно идее асимптотических методов нелинейной меха-
механики A2, 39] приближенное решение уравнения A15) в самом общем виде, пригодное
для исследования как резонансной зоны, так и подходов к ней из нерезонансной,
ищем в виде асимптотического ряда
( a, S, -^-fl + fl)+ ...,	A16)
I	P	\	Р	а
где Ki т, а, О, В + Ф), .. — периодические функции углов В, - О-j-w с периодом
\	9 /	9
2я; р, Я — некоторые небольшие взаимно простые числа, выбор которых зависит
от того, какой резонанс собираемся исследовать; а, й — функции времени, опреде-
определяемые из системы дифференциальных уравнений
da
Y , п"л'*'°'	7)
' ' ' " 'т, а, Щ -f- 83S3 (т, а,
здесь ш (х) — V к (х)/т (т) — «собственная частота» системы
После ряда выкладок находим явные выражения для всех функций, стоящих
в правых частых ряда A16) и уравнений A17), например, для опредечения Лг (т, а, Щ
и Вх (т, а, ¦&) получаем систему уравнений
X
2
е>а<!(> Ii I F°(T' a'
a	0 0
т (х)	dx
2п 2л
Г ( Fo (т, a, 6,
7 е'и(/и \ \ /-„(т, а, 6, ф) е-'°«и' sin
О	0 0
где
^(т, fl, 8, ty) — F(x, б, a cos ij), — аш (т) simjj), d' = if>— — 8,
Ч	w
Частный случай уравнения A15) Уравнение, описывающее коле-
колебания нелинейного осциллятора, находящегося под воздействием внешней синусои-
синусоидальной силы с переменной амплитудой и частотой, имеет вид
т—щ- + kx=s[ [х, -тт-) + еЕ (т) sin 9,	A18)
где - = v (т); х = et, m, k — постоянные.
В первом приближении решение уравнения A18) для основного резонанса (р =
= 9=1)
A19)

84
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
где а и О, учитывая обозначения (83), должны быть определены из системы уравнений
da
—г
dt
— — о» (а) а
¦ cos §,
(г)
A20)
¦ sin д.
Здесь бе (а) и со,, (а) —соответственно эквивалентный декремент затухания колеба-
колебаний и эквивалентная частота нелинейной системы, описываемой уравнением F9).
Пример. Рассмотрим задачу о прохождении через основной резонанс нелинейного осцил-
осциллятора, находящегося под воздействием внешней синусоидальной силы с переменной часто-
частотой, колебания которого описываются уравнением
ъ 7
~~ E sm в'
где х — координата, определяющая положение системы, / — время, т — масса; Ь — коэф-
коэффициент сопротивления, F = сх + dx3 — нелинейная восстанавливающая упругая сила,
Е — амплитуда возмущающей силы, В — некоторая функция^ времени
Вводя безразмерные переменные Xi = 1/ — х, tt — |/ — * и обозначения 6 = 	;
• с	' т	Уте
?,= — 1/ —, согласно формулам (83) находим б (а) = -6/2, feg (а) =• 1 + Зо2/8,
ее
после чего, воспользовавшись A19) и A20), в первом приближении получаем
дг, = a cos (9 -'
где а и г> определяются из системы уравнений
Ж
A21)
sin #
Здесь
= -^?—некоторая функция времени, характеризующая изменение мгновенной
частоты внешней силы
Рассматривая систему A21) при различных законах изменения частоты внешней силы
V (х), можно изучить поведение кривых зависимости амплитуды колебаний от частоты внешней
силы при медленном ее изменении и прохождении через резонансное значение
Рассмотрим случай, когда мгновенная частота внешней силы зависит от вре-
времени линейно, т. е. v (т) = v0 + (k. Скорость прохождения через резонанс зависит
1,1
Рис. 10
от значений f5: чем больше по абсолютной величине р, тем скорее система проходит
через резонанс.
Численно интегрируя систему уравнений A21) при различных значениях р\
получаем ряд кривых прохождения через резонанс, которые приведены иа рис. 9—П.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
85
На этих же рисунках приведены стационарные кривые амплитуд (шображены жир-
жирными линиями), построенные по формуле A08) и содержащие соответственно точки
срыва и точки перехода амплитуд В, D и С, А, а также кривые амплитуд переход-
ного режима (нанесены тонкими линиями). Для кривых ML2T2 и NF2G2 (рис. 9)
принято р = ± 0,0025; прохождение резонансной зоны происходит за 26 циклов.
На рис. 10 приведены кривые h\LxTx и NFXG±, характеризующие довольно быст-
быстрое прохождение резонансной зоны. В этом случае принято Р = ± 0,001, что соот-
соответствует прохождению резонансной зоны приблизительно за 64 цикла. Как следует
из рис. 10, кривые прохождения через резонанс значительно отличаются от стацио-
стационарной кривой.
На рис. 11 приведены кривые M.LT и NFG, характеризующие очень медленное
прохождение через резонанс, а именно для кривой MLT р = 0,0001, для кривой
Л', F, G р4 = —0,0001, что соответствует прохождению резонансной зоны @,8 =g
sg — s?l,2) приблизительно за 640 циклов. Из рис. 11 следует, что кривая MLT
?0
очень близка к стационарной кривой на уча-
участке MB она почти совпадает с ней и начи-
начинает отходить только вблизи точки В. Мак-
Максимум кривой MLT наступает раньше и рас-
расположен чуть ниже, чем стационарной кри-
кривой. После первого максимума кривая MLT
тоже достаточно близка к стационарной, но
имеет несколько характерных максимумов
меньшей величины. При изменении частоты
в сторону уменьшения (р < 0) получаем
кривую NFG, которая также близка к ста-
стационарной.
Метод усреднения. Этот метод первона-
первоначально возник при решении задач небесной
механики. Основной прием метода усредне-
усреднения заключается в том, что правые части
сложных дифференциальных уравнений, описывающих колебания или вращения,
заменяли «сглаженными», усредненными функциями, не содержащими явно вре-
времени t и быстро изменяющихся параметров системы.
В теории нелинейных колебаний метод усреднения использовался в отдельных
случаях в неявном виде (например, М. В. Остроградским для решения уравнения
с кубической характеристикой и Ньютоном при нахождении формулы для периода
колебаний маятника).
Широкое применение метод усреднения получил после популяризации Л. И. Ман-
Мандельштамом и Н. Д. Папалекси метода Ван-дер-Поля. Создание строгой теории
метода усреднения принадлежит Н. Н. Боголюбову [11, 12], который показал, что
этот метод органически связан с существованием некоторой замены переменных,
позволяющей исключить время t из правых частей уравнений с произвольной сте-
степенью точности относительно малого параметра 8. При эгом Н. Н. Боголюбов, исходя
из физических соображений, указал, как строить не только систему первого прибли-
приближения, но и усредненные системы высших приближений, решения которых аппрокси-
аппроксимируют решения исходной (точной) системы с произвольной наперед заданной точ-
точностью.
Изложим мегод усреднения Н. Н. Боголюбова для уравнений в стандартной
форме (уравнения, правые части которых пропорциональны малому параметру е,
называют уравнениями в стандартной форме).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в векторной форме
Рис. II
= е* (*, х),
A22)
где е — малый положительный параметр; t — время; х — вектор л-мерного евкли-
евклидова пространства Е„, X (t, х) — ^еыХ0 (х).

86	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Метод усреднения Н. Н. Боголюбова [11, 12] заключается в том, что при опре-
определенных условиях, налагаемых на правую часть векторного уравнения A22), с по-
помощью замены
x^l + eFiQ, $ + S?Ft(t, g)+ ... + %mFm(t. 8)	A23)
приводят уравнение A22) к эквивалентному
Пренебрегая в уравнении A24) слагаемым em+:1i? (t, §), получаем усредненное
уравнение m-го приближения. Функции Ft (t, |), F2 (t,i,), ..., Fn (t, g), входящие
в правую часть A23), находят элементарно; функции Л"о (%), Рг A)	Рт (I) опре-
определяют в результате усреднения правой части уравнения A22) после подстановки
выражения A23).
В первом приближении решение уравнения A22) есть х = \, где \ находят из
усредненной системы
—^ = бХ0(|) = вМ {X(t, ?)},	A25)
dt	t
Здесь М — оператор усреднения по явно входящему времени t,
В первом улучшенном приближении
. Ю-	A26)
где \ определяют из A25), а знак ~ обозначает операцию интегрирования по явно
входящему времени.
Во втором приближении решение определяется выражением A26), но \ следует
находить из усредненной системы второго приближения
3. = еМ {X (t, |)} +е°-М Ux А.\ X (t, g)l.	A27)
Таким образом, уравнения A25) получают непосредственным усреднением правых
частей исходного точного уравнения, а уравнения второго приближения A27) —
подстановкой в точные уравнения A22) формулы улучшенного первого приближения
A26) и последующим усреднением по явно содержащемуся времени. При усреднении
переменную § считают постоянной и слагаемые высшего порядка отбрасывают.
Для эффективного построения приближенного решения необходимо предвари-
предварительно решить уравнения первого или второго приближения (усредненные уравне-
уравнения). Однако эти уравнения (так же, как и точные) являются дифференциальными,
что накладывает определенные ограничения на возможность применения изложен-
изложенного метода. В большинстве случаев усредненные уравнения, в особенности урав-
уравнения первого приближения, более простые и поддаются исследованию. Во многих
случаях, в которых общее решение не удается получить, можно найти важные част-
частные решения, например, соответствующие установившимся колебательным процес-
процессам. При п = 1 уравнения первою приближения A25) интегрируются в квадратурах;
при /1=2 для их исследования может быть использована известная теория Пуан-
Пуанкаре. При любом п, если Хо (|) обращается в нуль в некоторой точке § = |0, можем
рассматривать квазистатическое решение х = |0 уравнений первого приближения.
Для исследования устойчивости этого решения можно поступать обычным образом,
составив уравнения для малых отклонений (уравнения в вариациях)
Если все вещественные части корней характеристического уравнения
det 1 ¦ р — е-
= 0

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	87
отрицательны, то рассматриваемое квазистатическое решение устойчиво. Всякое
решение уравнений первого приближения, исходящее из начального значения, до-
достаточно близкого к |„, будет при t -» оо экспоненциально приближаться к квазиста-
квазистатическому. Если хотя бы для одного из корней характеристического уравнения веще-
вещественная часть положительна, то квазистатическое решение неустойчиво. Может
встретиться критический случай, когда все вещественные части равны нулю. Этот
случай иногда можно свести к одному из двух предыдущих с помощью рассмотрения
высших приближений.
Заметим, что метод усреднения получил дальнейшее развитие в работах Л. С. Понт-
рягина, А. Н. Тихонова, В. М. Волосова, Н. Д. Зубарева, Д. В. Аносова, Е. А. Гре-
беникова и др. (см. библиографию в [40]).
Пример. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля
Для приведения его к стандартному виду введем новые переменные а и 9 с помощью следую-
следующей замены. * = a cos (I + 9), -jr = — a sin (t + 9) Тогда уравнение Ван-Дер-Поля при-
приводим к системе
^-.{-f-(i-f)-f-co,8(/ + e, + 4co.4P + e,}i
A28)
-f sln4(/ + e)}.
Усредняя правые части системы A28) по явно содержащемуся времени, в первом прибли-
приближении получим а = Й1, 9 = 9Ь где а, и 9, должны быть определены из уравнений
первого приближения
¦". ее, / а\ \ dQl
dt
Улучшенное первое приближение
а = а1	— sin 2 (t -f 9,) + -^- sin 4 (/ + в,);
е / а. \	еа5
9 = 9, — -г- 1 1	г- ) cos 2 (г1 -|- 9,) + -^- cos 4 (^ -f 6t).
Маятник с вибрирующей осью. Рассмотрим маятник с вибрирую-
вибрирующей осью подвеса, представляющий собой твердое тело, которое может свободно вра-
вращаться в определенной вертикальной плоскости вокруг своей оси. Эта задача была
рассмотрена Н. Н. Боголюбовым и им было установлено влияние частоты вибрации
оси подвеса на устойчивость верхнего положения равновесия. Если ось подвеса совер-
совершает в вертикальном направлении синусоидальные колебания с малой амплитудой а
и высокой частотой <в так, что
I a _
где / — приведенная длина маятника, ю0 = Vgll — собственная частота колебаний,
то неустойчивое верхнее положение равновесия маятника может перейти в устой-
устойчивое.
Движение маятника описывается уравнением *
— + 2еа ^+ {?2е2 — е sin x} sin 6 = 0,	A29)
где а < 1, k < 1.
Подробные выкладки можно найти в монографин [12] на с 370 — 372.

88	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Для приведения этого уравнения к стандартному виду введем новые переменные щ
и Q с помощью формул
в = ср — е sin т sin ф;
с»
—— = eQ — 8 COS X Sin ф.
dx	T
Тогда для новых переменных получим систему
—г— = & { — sin2 i sin ф cos ф — k% sin ф -f- Я cos т cos ф —
— 2aQ + 2a cost sin ф}-)-е2...
и усредненные уравнения (в первом приближении)
—г— =>— е j-jj- sin ф cos ф-f-A2 si
Эти усредненные уравнения эквивалентны уравнению второго порядка
пф = 0,	A30)
которое является усредненным по отношению к уравнению A29) и представляет
собой уравнение колебаний системы, подобной маятнику с неподвижной точкой
подвеса, у которой восстанавливающая сила пропорциональна не sin ф, а
U2 + ~<rcos <Ps'n ф).
Усредненное уравнение A30) допускает квазистатическое решение ф = я, соот-
соответствующее верхнему положению равновесия маятника. Для исследования устой-
устойчивости этого положения составим уравнение в вариациях для малых отклонений
8ф = ф — я
Условие устойчивости имеет вид (во > 0): 1/2 — fe2 > 0 или
Таким образом, если частота вибрации оси маятника достаточно велика, т. е.
полученное неравенство удовлетворяется, то верхнее положение маятника становится
устойчивым.
Исследуя усредненные уравнения во втором приближении, Н. Н. Боголюбов4
установил еще ряд интересных явлений, например, получил условия, при которых
маятник равномерно вращается вокруг оси с угловой скоростью, равной а> [12].
Иными методами задачи о движении маятника с вибрирующей осью рассмотрены
в гл. VIII и IX.
Влияние сил высокой частоты на устойчивость упругих систем. Приведем резуль-
результат, полученный В. Н. Челомеем A956 г.) при рассмотрении влияния продольных
периодических сил высокой частоты на устойчивость упругой системы [74].
Для обширного класса упругих систем, находящихся под воздействием продоль-
продольных периодических сил вида
P(wO = Po+f И).

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	89
где
F (at) = 2j (am cos mv>t + bm sin mat),
тфО
дифференциальное уравнение колебаний в линейном приближении может быть за-
записано в виде
U (ш) + Р(Ы) L2H + -J- Ls И + p-Jr Ц (w) =0 .
Здесь L[ (I — 1, ..., 4) —линейные дифференциальные операторы, содержащие про-
производные по координатным переменным; w — перемещение; р — масса единицы
длины. Разыскивая решение этого уравнения в виде
где v — функция координат системы, получаем для функции времени ф (f) следую-
следующее приближенное дифференциальное уравнение с периодическим коэффициентом:
A31)
Здесь Q — частота собственных колебаний несжатой системы; Рк — критическая
статическая сила; п — коэффициент линейного демпфирования; а— 1 —PJPV.
Это уравнение определяет динамическую устойчивость системы.
Пусть выполняется условие (fi/coJ = 8-^1. Тогда, применяя к уравнению A31)
метод разделения движения на медленное и быстрое и используя прием усреднения
Н. Н. Боголюбова, В. Н. Челомей получил уравнение с постоянными коэффи-
коэффициентами
+
TP
Из анализа уравнения A32) следует, что исследуемая система в среднем совершает
затухающие колебания с повышенной собственной частотой, и, следовательно,
пульсации внешней силы как бы повышают жесткость системы; при Ро = Рк (в этом
случае а = 0) система остается устойчивой, если е Ф 0. При Ро > Рк система также
остается устойчивой, если выполняется условие
+ Ьт	Рп
i 1
тфй	к
Из раскрытой В. Н. Челомеем динамической аналогии между явлением в упругих
системах и рассмотренным Н. Н. Боголюбовым движением маятника с пульсирую-
пульсирующей осью подвеса [дифференциальное уравнение движения стержня, возбуждаемого
на конце продольной составляющей центробежной силы вращающейся массы A31)
в точности совпадает с уравнением малых колебаний маятника с пульсирующей осью
A29)] следует, что те же по природе динамические силы, которые заставляют маят-
маятник устойчиво стоять в перевернутом положении, превращают статически неустой-
неустойчивый стержень в динамически устойчивую систему. В. Н. Челомей установил прин-
принципиальную возможность повышения устойчивости упругих систем с помощью
вибраций — для повышения статической устойчивости упругой системы ей следует
сообщить малые, но достаточно быстрые продольные колебания.
Эти результаты распространены В. Н. Челомеем и на более сложный случай

90	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
исследования динамической устойчивости нелинейных упругих систем, когда диффе-
дифференциальное уравнение для ф имеет вид
где /i и /2 — нелинейные функции ф и -4т-; е — малый параметр [74].
В этом случае дифференциальное уравнение для медленных движений <р0
приобретает вид
Метод В. Н. Челомея сведения колебательных систем со многими степенями
свободы к системе с одной степенью свободы. Изложим сущность метода в соответ-
соответствии с математическим обоснованием и обозначениями, приведенными в работе
Н. Н. Боголюбова [13].
Пусть дана система дифференциальных уравнений, описывающая параметри-
параметрически возбуждаемую колебательную систему со многими (s) степенями свободы,
в которой Pfti(<P) = Pki + Ofti (ф) причем pki — симметричные постоянные,
соответствующие положительной квадратичной форме; о^ (ф) — периодические функ-
функции ф с периодом 2я, достаточно малые по абсолютной величине.
Требуется найти значения X, при которых система A33) имеет решение с периодом
S
2л. Путем введения новых переменных л^= ^У] (^а^,
где а;? — нетривиальные решения алгебраической системы
«!««=.|>y<V	034)
обладающие свойством ортогональности, систему A33) можно представить в виде
Кг(ц)хг.	A35)
г = \
Здесь ФАг(ф) = — ^ //; (ф) щ&ирц (ф) = eh,- (ф)
, / 1
е — малый положительный параметр, а со^ — собственные частоты системы при е =
— 0, предполагаемые различными.
Таким образом, вместо системы A33) можно рассматривать систему A35). Однако,
как показано В. Н. Челомеем в 1944 г. система A35) при решении изучаемой задачи
может быть заменена одним уравнением (щ — одна из частот шк)
x	(Ф) *,	A36)
с помощью следующего формального приема.
Образуем лангранжиан для системы A35) (штрихом обозначено дифференциро-
дифференцирование по ф):

МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ	91
s	s
1 V ,2 Я2
Предполагая, что все координаты системы совершают колебания с частотой
!, В. Н. Челомей заменяет qi на a.;i% и получает
или, принимая во внимание уравнения A34) и равенство ^ аа
<•= 1
Ф ()х?
Уравнение, соответствующее этому лангранжиану, и будет уравнением A36).
Физическое основание для указанной замены состоит в том, что колебания рас-
рассматриваемой системы во многих случаях являются преимущественно одночастот-
ными, причем их формы близки к соответствующим формам свободных колебаний
соответствующей линейной системы.
Как показано Н. Н. Боголюбовым в работе [131, рассмотрение уравнения A36)
вместо системы A35) и, следовательно, вместо системы A33) приводит к тому, что X
определяется с ошибкой не выше второго порядка малости. Аналогичные заключения
могут быть сделаны и в отношении точности вычисления цц. Изложенный метод редук-
редукции В. Н. Челомея получил широкое распространение в теории колебаний и с успе-
успехом применяется для решения сложных задач.
О методе прямого разделения движений. Идея разделения движений на «быст-
«быстрые» и «медленные» является одной из основных в асимптотических методах и методе
усреднения. В важном классе задач обобщенные координаты системы х в изучаемых
движениях могут быть представлены в виде суммы к = К -f- if> медленной К и быст-
быстрой -ф составляющих.
В этих случаях при определенных условиях удается перейти от исходных дифферен-
дифференциальных уравнений для переменных х к более простым уравнениям для наиболее
важных медленных составляющих X; в этих уравнениях наряду с «обычными» мед-
медленными силами фигурируют некоторые дополнительные силы, называемые вибра-
вибрационными силами. Примерами подобных уравнений являются уравнения A30),
полученные Н. Н. Боголюбовым, и уравнение A32), выведенное В. Н. Челомеем
посредством применения асимптотических методов. Подробно о методе см. гл. IX.
5. МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Метод точечных отображений возник одновременно с появлением качественной
теории дифференциальных уравнений в основополагающих работах А. Пуанкаре,
который использовал так называемые секущий отрезок (поверхность) и функцию
последования (см. ниже) при исследовании поведения фазовых траекторий на плос-
плоскости [55], при изучении разбиения на фазовые траектории тора [55], при рассмотре-
рассмотрении задач небесной механики [56] и в менее явном виде — в теории периодических
решений, которая после соединения с теорией устойчивости А. М. Ляпунова в рабо-
работах А. А. Андронова и А. А. Витта, стала широко известна как метод малого пара-
параметра (см. гл. II, п. 3).
В работах Д. Биркгофа метод секущей поверхности, состоящий в рассмотрении
фазовых траекторий с помощью точечного отображения, порождаемого ими на секу-
секущей поверхности, превратился в основной инструмент теоретического изучения дина-
динамических систем [6].

92
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В качестве поясняющего примера рассмотрим задачу о движении шара на горизонталь-
горизонтальном столе, борт которого образует произвольную замкнутую гладкую выпуклую кривую
(рис 12)	_
Пусть М и М — две произвольные последовательные точки соударения шара с бортом
Г, s и Г— расстояния вдоль кривой Г от некоторой ее точки до точек М и М, Ф и <р — уг-
углы, образуемые направлениями движения отскочившего шара с касательной к кривой Г в ме-
местах отскока (рис 12) Справедливы соотношения
(s, ф).
A37)
Совокупность значений s и ф образует внутренность кольца (рис 13), на внутренней окруж-
окружности которого ф = 0, на внешней ф = я Соотношения A37) можно рассматривать как то-
Рис. 12
Рис. 13
чечное отображение Т этого кольца в себя Это отображение сохраняет площадь, и к нему
можно применить «последнюю геометрическую теорему» Пуанкаре, что позволяет обнаружить
у отображения Т неподвижные точки (см ниже) соответствующие различным типам пери-
периодических движений шара [6]
Общее описание метода секущей поверхности. Рассмотрим фазовое пространство
системы. Выберем в нем какую-нибудь поверхность без контакта * 5 и введем на этой
поверхности некоторую систему координат уъ у2, ... ур. Если размерность фазового
пространства исследуемой системы п, то любая точка на поверхности S будет харак*
теризоваться не более чем п — 1 координатами, т. е. р =< п — 1. Зададим на поверх-
поверхности 5 некоторую точку М с координатами уг, у2, ... ур и рассмотрим фазовую траек-
траекторию, проходящую через эту точку в направлении увеличения времени t. Может слу-
случиться, что фазовая траектория больше не пересечет поверхность S. Тогда говорят,
что точка М не имеет последующей. Но может быть и так, что спустя некоторое к<>
нечное время фазовая траектория снова пересечет поверхность S в некоторой точке М
с координатамиди д2, • •¦ур. Точка М называется последующей для точки М- Преобра-
Преобразование, устанавливающее однозначное соответствие между всеми точками поверх-
ности S и их последующими, называется точечным отображением поверхности 5
в самое себя. Это преобразование записывается в виде
где Т — оператор точечного отображения.	_
Если какая-либо точка М отображается сама в себя, т. е. М = М, то такая точка
называется неподвижной. Очевидно, что неподвижным точкам соответствуют замкну-
замкнутые траектории, т. е. периодические решения системы. Замкнутые траектории соот-
соответствуют также и m-кратным неподвижным точкам, когда ТтМ — М, ТкМ ф М
при k < m. Знание точечного отображения позволяет найти предельные циклы сис-
системы как его неподвижные точки. Более того, оно позволяет судить об устойчивости
* Поверхностью без контакта называется гладкая поверхность в фазовом пространстве,
которая во всех своих точках пересекается фазовыми траекториями б^з касания. Секущая
поверхность — поверхность без контакта, удовлетворяющая некоторым дополнительным тре-
требованиям, на которых здесь не останавливаемся (см. [45]).

МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ	93
предельных циклов. Пусть периодическому движению соответствует m-кратная не-
неподвижная точка /И*. Рассмотрим некоторую точку Мо в окрестности точки М*
и воздействуем на нее оператором точечного отображения Тт. Тогда получим точку
до = ТтМ0. На точку Mt снова подействуем оператором Тт и получим точку /Иа
и т. Д- Если предельный цикл асимптотически устойчив, то
hm Мп= lim ТтпМ0= М*
п -*¦ оо	а —> со
и наоборот, если это требование выполняется для любой точки Мо, близкой к точке
д4*, то соответствующее ей периодическое движение устойчиво
В частности, для системы второго порядка поверхность без контакта представ-
представляет собой плоскую кривую, а положение точки на кривой без контакта можно харак-
характеризовать одной координатой, например, длиной некоторого отрезка кривой. Обо-
Обозначим эту координату через s. Координату последующей точки обозначим через s.
Очевидно что s будет функцией s, т. е. s — f (s). Пусть точка s* является неподвиж-
неподвижной точкой. Тогда эта точка устойчива, если
Is s = s"
В противном случае неподвижная точка неустойчива.
Ряд примеров применения метода точечных отображений к исследованию конкрет-
конкретных линейных колебательных систем приведен ниже, а также в гл. VI.
Развитие метода точечных отображений. При решении конкретных задач на
начальном этапе развития теории нелинейных колебаний метод точечных отобра-
отображений не использовали, а применяли аналитические методы и методы теории возму-
возмущений. Спустя некоторое время независимо от работ А. Пуанкаре и Д. Биркгофа
идея секущей поверхности и точечных отображений возникла вновь при решении
конкретных задач методом сшивания (припасовывания). В своем первоначальном
виде этот метод позволял находить периодические решения кусочно-линейных сис-
систем, но с его помощью исследовать устойчивость не удавалось. Результаты по иссле-
исследованию устойчивости вошли в первое издание монографии [2], где рассмотрены авто-
автоколебания простейших моделей маятниковых часов и лампового генератора с Z-
образной характеристикой зависимости анодного тока от напряжения на сетке.
В обоих случаях рассмотрение сводилось к исследованию точечного отображения
прямой в прямую.
Так, в случае, когда балансир в момент прохождения через равновесное положение
Ф = 0 со скоростью Ф > 0 получает дополнительный импульс некоторой постоянной вели,
чины р при ф ф 0 или <р = 0, но с ф < 0, его движение подчиняется уравнению вида
ф + 2бф + со2ф = 0,	A38)
а при ф = 0 и ф > О происходит мгновенный скачок скорости на некоторую величину р
Движение фазовой точки (ф, ф) согласно уравнению A38) изображается на плоскости фазо-
фазовых переменных скручивающимися к началу координат спиралями, изображенными на
рис 14 При ф = 0 и ф > 0 балансир получает подталкивающий импульо Это означает, что
фазовая точка приходящая на полуось ф = 0, ф > 0 скачком перемещается из точки
М- @, ф) в точку М* @, ф + р) (рис 14)
JlyCTb М~ @, ф) и М' @, ф') — две последовательные точки прихода фазовой точки
1Ф ф) на полуось ф = 0, ф > 0 Находим, что
\ /со* — б2 /
A39)
Соотношение A39) определяет отображение в себя секущей полупрямой Ф = 0, ф > 0. Это
отображение можно представить графически (рис 15) Точка пересечения графика с бис-
биссектрисой определяет неподвижную точку преобразования A39) ф = ф*. которой соответ-
соответствуют периодические колебания балансира, поскольку при этом значении ф точки М" и М~
совпадают, т. е. М" = М~ = М* @, ф*) Из графика следует, что всякая другая фазовая тра-
траектория асимптотически приближается к найденному периодическому движению Действи-

94
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
тельно, последовательные значения ф, соответствующие последовательным пересечениям фа-
фазовой точки с секущим лучом ф = 0, ф > 0, приближаются к точке <р* Построение типа пред-
представленного на рис
15 называют диаграммой Кенигса—Лемерея
Общетеоретические основы метода точечных отображений в теории нелинейных
колебаний были высказаны А. А. Андроновым в 1944 г. в докладе на сессии отделения
физико-математических наук АН СССР «Теория точечных преобразований Пуанкаре—
Брауера—Биркгофа и теория нелинейных колебаний».
V
Рис. 14
В результате метод сшивания решений, возникший для отыскания периодических
решений конкретных кусочно-линейных систем, соединился с методом секущей по-
поверхности А. Пуанкаре и обрел математическую базу в теории точечных отображений
и методе неподвижной точки. Особо следует отметить вовлечение в рассмотрение не-
неустойчивых седловых неподвижных точек и их сепаратрисных поверхностей, которое
существенно расширило возможности глобального исследования.
Все это вместе позволило решить ряд нелинейных задач теории автоматического
регулирования. Среди них задача Мизеса, задача о стабилизации самолета автопило-
автопилотом, задача Вышнеградского, задача о влиянии сухого трения на устойчивость непря-
непрямого регулирования и другие (см. [2, 45]). Характерным в решении этих задач было
совместное рассмотрение структур разбиения фазового пространства и пространства
параметров, использование соображений непрерывной зависимости движений от пара-
параметров и их бифуркаций.
Вместе с тем в основе решения этих задач, послужившего прототипом для много-
многочисленных последующих работ, лежала кусочно-линейная аппроксимация нелиней-
ностей, которая делала возможным получение аналитических выражений точечных
отображений в явном или параметрическом виде. Это обстоятельство вместе с недо-
недостаточностью разработки методов исследования точечных отображений определило
на этом этапе метод точечных отображений как метод изучения кусочно-линейных
систем небольшой размерности, выделяющийся среди других методов исследования
возможностями полного глобального исследования структуры фазового пространства
и ее зависимости от параметров.
В качестве пояснения сказанного изложим результаты исследования классических си-
систем прямого и непрямого регулирования с учетом сухого трения в чувствительном элементе.
Результатом решения задачи И А Вышнеградского о регуляторе прямого действия
с учетом сухого трения в чувствительном элементе явилось разбиение пространства параме-
параметров А а В этой системы на три области (рис 16). / — устойчивость в целом процесса регу-
регулирования, // — ограниченная устойчивость, 111 — неустойчивость Система непрямого ре-
регулирования с трением в чувствительном элементе и сервомотором переменной или постоян-
постоянной скорости описывается;
уравнением объекта
Т Jp = у. — Щ;
уравнениями чувствительного элемента с учетом сухого трения
6-п + Ф = -|- sign т| при ч^О:
К  при t) = 0;

МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
95
уравнением сервомотора переменном скорости
уравнением сервомотора постоянной скорости
/ TJ1 при о>сг0;
О при f о | < Оо',
rj1 при а < — а0;
уравнением золотника
При отсутствии жесткой обратной связи (в — г\) и наличии сервомотора переменной
скорости поведение системы зависит от одного существенного параметра А = Т /Т 6k, а при
наличии сервомотора постоянной скорости — от двух параметров <х — еГ Ь2/Т и (J =
= ао6Т /г2/Г В первом случае при Л < 3,04 система устойчива в целом, при А > 3,04
она автоколебательная Во втором случае при 1 — 2C < ехр (—а — 2Р) процесс регулиро-
регулирования устойчив в целом, при нарушении этого условия имеет место устойчивость в малом,
и в системе наряду с устойчивым режимом работы возможны автоколебания
Результаты исследования этой системы при наличии жесткой обратной связи и сервомо
тора переменной скорости представлены на рис 17 Плоскость существенных параметров
Л, u Bi разбита на области различных возможных вариантов поведения системы Для си-
системы с сервомотором постоянной скорости аналогичное разбиение плоскости параметров
Аг и Вг помимо областей устойчивости в целом, неустойчивости и автоколебаний включает
области с несколькими различными автоколебаниями
2,0
\
III \
1
II
\
0	1,0	2fi A
Рис. 18
Мягкий режим
+5 Si
Следующий эгап в развитии метода точечных отображений состоял в применении
его к новым типам систем, в перенесении на многомерные системы и использовании
для решений общих вопросов теории нелинейных колебаний. При этом метод секущей
поверхности отступил на второй план, и точечные отображения стали формой описа-
описания динамических систем, удобной как для конкретных численных исследований, так
и для изучения теоретических вопросов [45].
Метод точечных отображений был применен к релейным системам автоматичес-
автоматического регулирования, к исследованию нелинейных сервомеханизмов, систем цикличес-
циклической автоматики, экстремальным регуляторам, системам массового обслуживания
конфликтных потоков заявок и марковским системам, к исследованию процессов
вибропогружения и виброперемещения, виброударным системам и системам с удар-
ударными взаимодействиями, к исследованию часовых ходов, нелинейных демпферов,
Цифровых систем, систем с переменной структурой, к задачам фазовой автоподстройки
и синхронизации, к исследованию колебаний механических систем с конструкцион-
конструкционным демпфированием и люфтом, к гироскопическим системам, к нелинейным радио-
радиотехническим системам, к изучению колебаний вала в подшипнике и многим другим.
Более широкое использование метода точечных отображений привело к выделе-
выделению некоторою класса нелинейных динамических систем, к которым он может быть

МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЧИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
применен [45]. Движение системы этого класса описывается одной из N систем диффе-
дифференциальных уравнений вида
l, 2	П;; / = 1, 2, .... JV)
A40)
и переход от описания /-й системой к описанию s-й системой происходит при выпол-
выполнении одного из условий вида
l, ... , х\ , Л = о
= 1, 2
и еще некоторых неравенств
Q
, Л>0 (/=1, 2, ....
При переходе от описания движения системы /-й системой уравнений A40) к описа-
описанию s-й системой начальные значения новых переменных хч, ... xsn определяются по
конечным значениям старых переменных xi,
соотношений вида
х, = i
4, •')
х^ в момент перехода t с помощью
(t = l, 2, ....
Частными видами таких систем являются кусочно-линейные системы с переменной
структурой, системы с ударными взаимодействиями (см. 1л. XII) и др. Такие системы
обладают рядом особенностей, отличающих их от
систем, описываемых гладкими дифференциальными
уравнениями. В них возможны новые типы движе-
движений, так называемые скользящие движения (см.
гл. VI), новые типы состояний равновесия, перио-
периодических движений и их бифуркаций (см. гл. I, п.2).
Метод точечных отображений расширил пони-
понимание особенностей многомерных динамических
систем [45, 65].
Основные отличия многомерных систем прояв-
проявляются уже при переходе от двумерной системы к
трехмерной, от двумерной фазовой плоскости к
трехмерному фазовому пространству. Поведение
фазовых траекторий в трехмерном фазовом прост-
пространстве может быть запутанным и не поддающимся
непосредственному восприятию. Поэтому рассмот-
рассмотрение трехмерного фазового пространства во мно-
многих случаях следует сводить к двумерному точеч-
точечному отображению, геометрическое изображение
которого с помощью инвариантных кривых столь же наглядно, как и разбиение на
траектории фазовой плоскости. Эти геометрические картинки могут быть такими же,
как и в случае дифференциальных уравнений без предельных циклов, либо с суще-
существенными отличиями, которые вызываются пересечениями сепаратрисных кривых
седловых равновесий, образующими гомоклинические структуры [14, 45]. Эти отли-
отличия существенны, так как соответствуют совершенно разным типам поведения сис-
системы. При наличии гомоклинической структуры установившиеся движения системы
могут иметь стохастический характер. В частности, как некоторые аналогии периоди-
периодического движения появляются так называемые стохастические синхронизмы. Стохас-
Стохастический синхронизм — это автоколебание со стохастически меняющейся фазой.
Соответствующая ему «фазовая» картина изображена на рис. 18.
Таким образом в настоящее время с помощью теории нелинейных колебаний по-
помимо состояний равновесия и периодических движений исследуют стохастические
колебания, турбулентность и случайные волны.
Дискретное описание движений динамической системы с использованием точеч-
точечного отображения удобно применять при численных методах исследования с помощью
Рис. 18

МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА	97
современных дискретных вычислительных машин. Существуют программы автомати-
автоматизированного полного исследования преобразования прямой в прямую без аналити-
аналитического задания [70]. Некоторые из них применимы и к точечным преобразованиям
большой размерности. Использование вычислительных машин существенно расши-
расширяет возможности метода точечных отображений, как правило, требующего проведе-
проведения громоздких и трудоемких вычислений. Эго направление исследований представ-
представляется весьма перспективным поскольку возможности аналитического изучения
сколько-нибудь сложных динамических систем ограничены.
6. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Идея метода гармонического баланса принадлежит Н. М. Крылову и Н. Н. Бого-
Боголюбову [32]. Из дальнейших публикаций отметим работу Л. С. Гольдфарба [18],
в которой дана геометрическая интерпретация метода, книгу Е. П. Попова и
И. П. Пальтова [52], где этот метод получил обобщение и развитие, а также моногра-
монографии [28, 34, 48, 58], содержащие примеры применения метода и развитие его теории.
В настоящее время метод гармонического баланса является одним из широко рас-
распространенных приближенных приемов отыскания периодических режимов в нели-
нелинейных колебательных системах; он основан на том обстоятельстве, что, несмотря
на наличие нелинейностей, установившиеся колебания в системе при определенных
условиях оказываются близкими к гармоническим.
Пусть движение системы описывается уравнением
Jt + f(x, t) = F(t),	A41)
где / (х, х) — некоторая нелинейная функция; F (t) — периодическая функция
времени с периодом Т = 2я/со, представимая в виде ряда Фурье
Предположим, что уравнение A41) имеет периодическое решение периода Т, раз-
разлагающееся в равномерно сходящийся ряд Фурье
00
х @ —а0 + ^ (ап cos nvbt + bn sin nu>t).	A42)
Подставим выражение A42) в уравнение A41) и предположим, что функция Цх (t),
х (/)] также разлагается в ряд Фурье
00
/ [х (t), х (<)] = а0 + J] (а„ cos nat + Р„ sin mot),
где
2я/со
j f [x (t), Л (t)l dt;
и
2я/со
а„=а„(а0, аи blt ...)= ~ \ / [х (t), х (<)] cos nut dt;	A43)
2я/а>
Рл=Мао, <h. 6„ ...)=¦-?- j
и
(я = 1, 2...)
4 n/р. Блехмана, т. 2

98	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Тогда, приравнивая коэффициенты при cos пШ и sin runt в обоих частях получивше-
получившегося равенства, придем к следующей бесконечной системе уравнений для определи
ния коэффициентов ап и Ьп:
ап(а0, аъ Ьъ ...)—Л„;
= $n(a0, аъ Ьъ ...)-Вп (й=1, 2, ...)•
Решение системы A44) и, тем самым, точное нахождение решения A42) в подавляю-
подавляющем большинстве случаев представляет значительные трудности. Однако если допус-
допустить, что преобладающими в искомом решении являются постоянная составляющая
и первая гармоника, то приближенное решение можно искать в виде
х (t) = а0 + ах cos at + bi sin mt.	A45)
При этом вместо системы A44) получим следующие три уравнения для определе-
определения коэффициентов а0, аг и \:
а0 (а0, аъ 1^== Ао;
ага>2 = а.1 (а0, аи \) — At;
?1<в3 =р\ (а0, аъ bx)— Bv
Здесь функции а0, ах и р\ находятся согласно выражениям A43), в которые, однако,
вместо х (t) подставлено х (t) по A45). Эти выражения могут быть упрощены, если
положить, не нарушая общности, что решение A45) имеет вид
x(t) — a0 -\-a sin wt,	A46)
а неизвестный сдвиг фаз е между первой гармоникой вынуждающей силы F (t) и коле-
колебаниями х (t) учтен в выражении для этой силы, т. е. принято
F(t) = A0 + A sin (со/ —е).
Тогда для определения коэффициентов <х0, Oj и р\ получаются уравнения
2л
ао=ао (а0, а) = -^— I / (а0 -{-a sin т, аш cos т) dx;
2я
<Xi = «х E0, а) = — V / (ао~\-а sin т, аш cosт) cos%dx;	A47)
я ^
2л
Pi = Pi (ао. а) = — \ I (йо+a. sin т, аш cos т) sin т dx,
и
а уравнения для определения неизвестных а0, а и е принимают вид
ао («о. а) = Ао; а2 (а0, а) = — Л sin в',
Pi (ао> а) —со2а = Л cos e.
Исключив е из двух последних уравнений, получим соотношение
которое вместе с первым уравнением служит для нахождения а0 и а; после этого сдвиг
фаз е легко найти по формуле
шаа —Pj (й0, а)

МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА	99
Заметим, что метод гармонического баланса пригоден также и для изучения коле-
колебаний автономных систем, когда F (f) = 0 и, таким образом, А = 0. В этом случае
фазовый сдвиг е является произвольным, а из уравнений A47), помимо а0 и а, опре-
определяется также заранее неизвестное приближенное значение частоты искомого реше-
решения о.
Приближенные периодические решения типа A46) соответствуют вещественным
решениям системы A48). Необходимо подчеркнуть, что приближенность этих реше-
решений обусловлена не только пренебрежением высшими гармониками в выражении
A46), но также и приближенностью определения коэффициентов ~а0, а и е из уравне-
уравнений A48), при составлении которых не учтена зависимость величин а0, ах и р\ от всех
коэффициентов разложения A42) функции х (t).
Между тем, как показывает опыт применения метода, он во многих случаях дает
вполне удовлетворительные качественные, а зачастую и количественные результаты
и притом не только для систем, в которых функция / (х, х) близка к линейной, но
также и для существенно нелинейных систем, в частности для систем с сухим трением
и с ударами (см. п. 9 гл. XII); метод был с успехом использован и при изучении коле-
колебаний распределенных систем с нелинейной диссипацией [48]. Причина высокой эффек-
эффективности метода гармонического баланса состоит в фильтрующих свойствах соответ-
соответствующих систем, вследствие чего решение оказывается возможным аппроксимиро-
аппроксимировать в виде A46) несмотря на существенные нелинейности. Этот вопрос, а также во-
вопрос об оценке погрешности метода подробно рассмотрен в монографии [58].
Заметим, что метод гармонического баланса в случае малой нелинейности, когда
/ (х, х) = Ь?х + ef1 (х, х) (k — постоянная, е — малый параметр) приводит к тем же
результатам, что и метод эквивалентной линеаризации (см. п. 4), а также метод гар-
гармонической линеаризации [52]. Таким образом прослеживается прямая связь этого
метода с методом усреднения; подробно данный вопрос разобран в книгах [12, 40].
С другой стороны, можно проследить связь метода гармонического баланса с методом
Бубнова-Галеркина (см. п. 12), а также с методом малого параметра Пуанкаре (см.
п. 3); эти связи указаны в монографиях [34, 58].
Пример 1. Движение частицы по горизонтальной шероховатой плоскости, совершающей
продольные гармонические колебания. Уравнение относительного движения частицы по гори-
горизонтальной плоскости, совершающей прямолинейные гармонические колебания в той же пло-
плоскости с частотой ш1 и амплитудой А (рис. 19), может быть записано в форме
х" -f- q sign x' = sin (т — ё)>
где х — смещение частицы вдоль плоскости, отнесенное к амплитуде колебаний q = gf/AoJ,
причем g есть ускорение свободного падения. / — коэффициент сухого трения; штрихом обо-
обозначено дифференцирование по безразмерному времени т = @^.
В рассматриваемом случае Аа = О, А = 1, / {х, х') = q sign х' <о = 1, и поэтому по фор-
формулам A47) получаем
2я
~	1С	/~ \
cto = -5— \ <7 sign (a cos X) dx = 0;
0
2л	Л/2
5i = — \ о sign (a cos т) cos x dx = — \ cos x dx = —^-j
jt J	л J	л
0	и
2я
Bi = — \ q sign (а соч т) sin x dx — 0,
л J
0
и уравнения A48) дают 4q/n = —sin е, — а = cos e, откуда легко находим выражение для
амплитуды относительных колебаний частицы по плоскости
Полученная зависимость представлена на рис. 20 штриховой линией; сплошная кривая
соответствует значению относительного полуразмаха колебаний частицы, найденному в ре-
4*

100
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
зультате точного решения уравнения методом ггрилассовывания [9] Это решение получено
в предположении, что коэффициент трения покоя /, связан с коэффициентом трения скольже-
скольжения зависимостью / = 0,7ft; отметим, что приближенным решением зависимость движения
от коэффициента ft не улавливается. Как видно из рисунка, приближенное решение обнару-
а,а
S//7/7/7/7/7//////////77.
Рис. 19
0,3
0,6
0,2
\
"* Ч
V
\
\
\
О 0,1 0,2 0,J 0,4 0,5 Ofi 0,7 с/
Рис. 20
живает хорошее качественное и удовлетворительное количественное согласие с точным,
особенно в случае интенсивных вибраций плоскости, когда A(n^>g и частица движется по
плоскости попеременно вперед и назад без длительных остановок (см гл. I т. IV). Заметим,
что в рассмотренном примере приближенное решение оказалось удовлетворительным, несмо-
несмотря на отсутствие в системе фильтрующих свойств.
1,0
0,5
0 0,2 0,4 0,6 р
Рис. 21
О 0,2 0,4 0,6 0,S д
Рис. 22
Пример 2. Автоколебания маятника при наличии подталкивающей, силы постоянной
величины. Дифференциальное уравнение движения маятника, находящегося в среде с вяз-
вязким трением при наличии постоянной подталкивающей силы имеет вид
'х + 2hx + toj* = F sign*
(см п. 2 гл. VI, где разъяснены также принятые обозначения)
В данном случае система автономна, так что Ло •= А — 0 и f (х, х)
— F sign х. По формулам A47) находим
2lu
и уравнения (U8) дают
«о = 0; at = 2fta<o —— F; f., = cog a.
и = в», a =2F/jzfia>(,.
Точные значения частоты н полуразмаха автоколебаний, полученные в п. 2 гл. VI, есть
соответственно
,/	r-z	1 + ехр (—nhlat,) F
• • »	¦" 1-ехр(-
На рис. 21 и 22 представлены зависимости отношений (о/©, = со0/ю« = 1/У1 — р2 и
а 2 I — ехр (— np/Vl — р2)	.	,
— =	¦	!-j	——	характеризующих относительную близость приближенного
а ~пр 1 ¦+- ехр (— яр/У 1 — р2)
и точного решений, от параметра р = h/w0 Как видно, согласие получается вполне удов-
удовлетворительным, особенно при относительно малом вязком трении. В данном случае успех
применения методе может быть объяснен фильтрующими свойствами линейной части системы

СТРОБОСКОПИЧЕСКИЙ МЕТОД	101
7. СТРОБОСКОПИЧЕСКИЙ МЕТОД
Стробоскопический метод, предложенный Н. Минорским [81], основан на идеях,
бпизких как к идеям асимптотических методов и методов разделения движений, так
«метода точечных отображений [12]. Эти идеи состоят в следующем. Пусть изучается
колебательный процесс, близкий к периодическому процессу, имеющему некоторый,
быть может, заранее неизвестный период Т. Будем наблюдать этот процесс в фазо-
фазовом пространстве системы как бы в стробоскопическом освещении, т. е. в дискретные
моменты времени, отстоящие на промежутки времени Т. Если бы
процесс был строго периодичен, то изображающая (фазовая) точка
д{ (назовем ее стробоскопической точкой) казалась бы неподвиж-
неподвижной. Если же процесс, например, близок к асимптотически устой-
устойчивому периодическому, то мы увидим эту точку «медленно» пере-
перемещающейся по направлению к точке Mt, отвечающей строго перио-
периодическому процессу (рис. 23). Естественно ожидать, что если бы
удалось получить уравнения, описывающие траекторию не самого
изучаемого движения, а движения стробоскопической точки (стробо-
скопическае уравнения), то эти уравнения, во-первых, оказались бы
проще исходных и, во-вторых, позволили бы изучать характеристики движения, пред-
представляющие, как правило, основной интерес. Указанные стробоскопические урав-
уравнения действительно удается построить, по крайней мере в случаях, когда исходные
дифференциальные уравнения близки к точно интегрируемым, в частности — к лк-
нейным уравнениям с постоянными коэффициентами. Существенно, что при этом
вместо неавтономной системы с Г-периодическими правыми частями получается
автономная система.
Рассмотрим систему
х = Х(х, у, t, г), y = Y(x, у, I, в)
относительно которой будем предполагать, что она близка к линейной автономной,
причем малый параметр 8 > 0 характеризует степень этой близости, а X и Y есть
Г-периодические функции t. Тогда посредством введения новых переменных
г ty =
р =
эту систему часто удается преобразовать к виду
f, t); ф = —1+е§(р, f, r),
где / и g — периодические функции / с периодом Т. При 8=0 получаем движение
изображающей точки р = р0> "ф = — / +• i|H (р0, % — постоянные, определяемые
начальными условиями), отвечающее ее равномерному вращению по окружности
радиуса р„.
При е =f= 0, разыскивая решение в виде рядов по целым положительным степе-
степеням е, находим:
где
t
Pi(O = -f/(Po. 4W
t
о
Отсюда
р (Т')=рд-)-е7'К (Pd, фо), ^ (Т) = 1J'i) — T-$-bTL(pq,

102	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
причем
т
Ъ)=у- I /(Ро. %—*> 0 at,
и
т
Таким образом смещения стробоскопической точки за период Т
Если ввести элемент «стробоскопического времениу Лт = Г, то последним, в сущности,
конечно-разностным уравнениям будут отвечать следующие стробоскопические
дифференциальные уравнения
которые уже являются автономными Эти стробоскопические уравнения совпадают
с уравнениями, получаемыми методом у(.реднения, заметим также, что рассмотрение
точек, отстоящих на время Т, по существу означает изучение соответствующего точеч-
точечного отображения (см. пп 4 и 5).
Пример 1. Неавтономная система — уравнение Матье Произведя в уравнении Матье
х + (I + 8 cos 20 х = О
замену р = хг + хъ, ф = arctg х/х, приходим к уравнениям
р = — ер sin 2ф cos It, \j> = — 1 — е cos2 ф cos 2t.
Для этих уравнений
я
1 г
К (р, ф) = — — \ р sin 2 (ф — /) cos 2/ Л;
1
О
л
L (Р. Ф) =	\ cos2 (ф — 0 cos 2/ dt,
О
и соответствующие стробоскопические уравнения имеют вид
Пример 2. Автономная система — уравнение Ван дер Поля В случае уравнения
Ван-дер Поля
х -f- Е (х2 — 1) i + л: = О
путем той же замены приходим к системе
р = ер A — cos 2ф) — — ер2 A — 4 cos 4iJ>H
ф = — 1 + ~ е sin 2ф - 1 ер (sin 2ф + i sin 4фУ
стробоскопическими уравнениями для которой будут

ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ	ЮЗ
8. МЕТОД ПРЯМОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
Рассматриваемый весьма простои, но эффективный в ряде случаев метод, пред-
предложен Я. Г. Пановко в 1952 году [50]. Изложим этот метод применительно к урав-
уравнению
Jc+f(x) = O,
которое описывает свободные колебания консервативной системы с одной степенью
свободы, предположим при этом, что характеристика восстанавливающей силы
f (х) симметрична, т. е. f (х) — —/ (—х)
В основе метода лежит замена нелинейной характеристики / (х) линейным выра-
выражением ft (x) = р2х со специально подбираемым
коэффициентом р2. А именно, этот коэффициент	л.^» 2Х
выбирается из условия минимума интеграла
/(Р2)= ) W(x)-p*x]p(x)}*dx,		-a
выражающего меру взвешенного квадратичного ^»т*^ Рг*
отклонения реальной характеристики от линей-
линейной на интервале (—а, а), где а — полуразмах	Рис_ 24
колебаний (рис. 24). В простейшем случае, ког-
когда отклонения считаются в одинаковой мере важ-
важными независимо от значения координаты х, принимают р (х) = 1; если же жела-
желательно учесть, что более существенны отклонения при больших значениях х, то
можно принять, например, р (х) = х. В последнем случае из условия dl/d (р2) =» 0
находим
Параметр р2, очевидно, представляет собой квадрат частоты свободных коле-
колебаний.
Пусть, например, / (х) = р\х + ах3. Тогда
=/>J + ! a.cfi.
В частном случае р0 = 0, т. е. когда / (х) = ах1, находим р = 0,845а Va, что
весьма близко точному результату р = 0,847а (Лж.
Изложенный метод легко распространяется на случай несимметричной Характе
ристики / (х), он применим и при изучении колебаний с диссипацией, а также вынуж-
вынужденных колебаний [50].
9. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ
О частотных методах исследования устойчивости. Как вытекает из изложенного
в п. 3 гл. I, а также в т. 1 и в предыдущих пунктах настоящей главы, исследование
устойчивости нелинейных колебаний во многих случаях сводится к изучению харак-
характера решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
коэффициентами. Так обстоит дело, в частности, при рассмотрении вопроса об устойчи-
устойчивости стационарных движений автономных систем.
Указанная задача, в свою очередь, сводится к изучению знаков вещественных
частей корней некоторого алгебраическою уравнения, называемого характеристи-
характеристическим или частотным уравненi ем,

104	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Классический способ решения этой последней задачи состоит в использовании
известного критерия Рауса—Гурвица, однако во многих случаях для инженерных
расчетов оказываются более удобными частотные методы, поскольку используемая
при этом частотная характеристика инвариантна относительно неособенного линей-
линейного преобразования системы и легко опреде-
определяется экспериментально. Соответствующие кри-
Р( ) терии устойчивости, в частности наиболее из-
известные критерии Найквиста и Михайлова, из-
ложены в т. I справочника; там же рассмотрен
эффективный метод выделения областей устой-
устойчивости в пространстве параметров системы,
предложенный Ю. И. Неймарком и известный
под названием ?>-разбиения; более подробные
сведения можно найти в книге [45].
'	Существуют, однако, задачи, приводящие к
Рис- 23	исследованию характера решений существенно
нелинейной системы дифференциальных уравне-
уравнений возмущенного движения, причем интерес представляет поведение системы при
любых начальных возмущениях и при любом характере нелинейности, подчиненной
некоторым ограничениям. Устойчивость движения при этих условиях получила
название абсолютной устойчивости [37].
Некоторый практически важный класс задач об абсолютной устойчивости также
допускает эффективное решение посредством частотных методов;существенныерезуль-
таты здесь принадлежат В. М. Попову [5\].
Критерий В. М. Попова. Сформулируем задачу абсолютной устойчивости для
системы автоматического управления с одной нелинейностью [51]. Рассмотрим си-
систему
^ = Ax-b<?(v);	A49)
v=*c'x,	A50)
где* — n-мерный вектор; & и с — /г-мерные векторы; А — постоянная матрица
п X п; штрих обозначает переход к транспонированной величине; v — скалярная
величина; ср (v) — непрерывная функция (функция управления), определенная для
всех вещественных v и удовлетворяющая условию
Ф@) = 0-	A51)
Тогда согласно A51) система A49) — A50) имеет тривиальное решение х = 0.
Кроме того, при указанных условиях система A49)—A50) имеет по крайней мере одно
решение при любом начальном условии х @).
Будем искать условия, при которых все решения системы A49)—A50) ограничены
и тривиальное решение х = 0 устойчиво по Ляпунову при любой функции ф (v)
из указанного класса. Если эти условия выполняются, то тривиальное решение сис-
системы A49)—A50) абсолютно устойчиво для определенного семейства функций ф (v).
Когда тривиальное решение абсолютно устойчиво и, кроме того, все решения рас-
рассматриваемой системы удовлетворяют условию1Im x (t) = 0, тривиальное решение
асимптотически абсолютно устойчиво.
Задача абсолютной устойчивости имеет различные варианты в зависимости от
условий, наложенных на функцию ф (v). Часто используемое условие состоит в том,
чтобы график функции ф (v) был заключен в секторе (рис. 25), что имеет место при
выполнении неравенств
Ф1^а ^ ф (v) v sg ф^а,	A52)
где (fi и фа- две постоянные, причем ф» < фа-

ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ	105
Цз абсолютной устойчивости системы A49)—A50) при условии A52) сразу следует
ния бй
dx
Цз а	у	()() р у
устойчивость тривиального решения любой системы вида
где ф0 — любая постоянная, удовлетворяющая неравенствам <pt ^ <р0 ^ ф2.
Условие A52) можно обобщить, требуя, чтобы точка (v (f), р (t)) лежала для всех
I в / и 111 четвертях, т. е. выполнялось неравенство
p@v@=s0 при t>0.	A53)
Следует ожидать, что в случае кратковременного невыполнения условия A53)
и выполнения в остальные моменты времени устойчивость сохранится. Это позволяет
заменить условие A53) требованием, чтобы оно выполнялось лишь в среднем, а не
в любой момент t, что приводит к интегральному неравенству
t
р (т) v (т) dt Э= 0 при г>0.	A54)
Если при изучении семейства систем, определенного условием A52) или условием
ф (v) v > 0 при v Ф 0, возникло понятие абсолютной устойчивости, то рассмотре-
рассмотрение семейства систем, описанного условием A54), приводит к новому понятию устой-
устойчивости — гиперустойчивости.
В качестве естественного обобщения можно сформулировать понятие гиперустой-
гиперустойчивости для любой совокупности дифференциального уравнения и интегрального
соотношения, которые могут иметь более общую форму по сравнению, например,
с A54).
Рассмотрим системы типа A49)—A50), выделенные условием A52). Для этих сис-
систем можно привести ряд достаточных условий абсолютной устойчивости и асимпто-
асимптотически абсолютной устойчивости, использующих частотные характеристики.
В частности, системы типа A49)— A50) при выполнении A52) абсолютно устой-
устойчивы, если выполняются три условия.
А. Существует такое число ф0 из промежутка ф1 ^ ф0 sg ф2, при котором тривиаль-
тривиальное решение системы A49)—A50) асимптотически устойчиво для линейной функции
<Р М = <Pov.
Б. Существует такое вещественное число а0, при котором выполняется неравен-
неравенство
Re toy (ico)>sO	A55)
при любом вещественном ш, причем det (i(o? — А) ф 0, где у (tco) = с' (ш?
— Л)&.
В. Левая часть неравенства A55) не тождественна нулю, или (более общий слу-
случай) соответствующая характеристическая функция, определяемая соотношениями
%{%, ст) = -2-(а2ф1 — а3ф2)(Я+ст)у(ЯO(ст) + а1Х1(Я, о-) + (а2 — а3) ул (к, а);
Xi (Я,, а) = 1 + ^ («Pi + Ф«) (V М + У (°0) + Ф1Ф2? M У (о);
Я,2 (Л, а) = с'Ь +\с'А (ХЕ - А)~1Ь + ~ С'А (аЕ- А)~1 ь<
при аг = 1, а2 = max (а0, 0) и а8 = max (—а0, 0) не тождественна нулю.
Системы типа A49)—A50) при выполнении A52) асимптотически абсолютно устой-
устойчивы, если наряду с А, Б и В выполняется одно из приведенных ниже условий.

106	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1. Полином
Я1 (uo) = det (— ШЕ—A)det (iaE — А) % (— ко, гш)
не обращается в нуль ни при одном вещественном значении со.
2.	Полином щ (['со) обращается в нуль при со, (/ = 1, 2	k) и не обращается
в нуль ни при каком другом вещественном значении со. Но существует промежуток
0 «S t s? Т„ (То > 0), в котором система A49)—A50) при условии A52) не имеет реше-
решений вида
ft
*(/)= 2 Vй'• max (ию#о.	A56)
/ = 1	/=1, 2, ... , A
3.	Полином пг (ia>) обращается в нуль только при со=со1т^Оисо= —а>1. Но
не существует ни одного числа ср0 из промежутка ц>х s? <p0 s? cp2> при котором система
—jT- — Ax — щЬс'х имела бы решение вида A56).
4.	Выполняются вместо условий A52) строгие неравенства <pxv2 < ср (v)v < cp3v
при всех v Ф 0.
10. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ
Наиболее эффективно применение этих методов для динамических систем на плос-
плоскости; этому случаю соответствуют колебания автономных систем с одной степенью
свободы.
Особые точки. Колебания автономных механических систем с одной степенью
свободы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями вида
.* + /(*.*)•	A57)
Введя замену Z = v и исключив переменную t, уравнение A57) можно свести
к дифференциальному уравнению первого порядка
-? = 1&-Н1.	A58)
dx	v
Уравнение A58) определяет на фазовой плоскости xOv поле направлений касатель-
касательных к интегральным кривым. В тех точках фазовой плоскости, в которых числитель
и знаменатель правой части уравнения A58) одновременно обращаются в нуль, направ-
направление вектора поля не определено. В этих точках компоненты вектора поля направле-
направлений (-р-, -.г) равны нулю. Такие точки называют особыми точками дифференциаль-
\ Cll (XI I
кого уравнения A58). Для механических систем они имеют определенную физическую
интерпретацию, так как определяют состояния равновесия (скорость v равна нулю).
От характера особых точек зависит поведение интегральных кривых в их окрест-
окрестности .
Остановимся на изучении простейших особых точек или особых точек первого
порядка, когда через особую точку либо не проходит ни одной, либо проходит больше
чем одна интегральная кривая. При этом будем исходить из дифференциального урав-
уравнения более общего вида
dv _ Р (х, у)	__
li-'oWT)'	A59)
чем уравнение A58).
Под особой точкой (х0, v0) дифференциального уравнения A59) будем понимать
точку, для которой Р (х0> и0) = Q (xa, v0) = 0. А. Пуанкаре показал [55], что диффе-
дифференциальное уравнение
dv ах-\-Ьг1-{- Р% (х, и)
dx cx+dv + Q2(x, v)
A60)

КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОПЫ
107
котором функции Я2 и (?2 пРч * ~* 0 и у -» 0 стремятся к нулю как х2 + у2 и коэффи-
коэффициенты а, 6, t, d таковы, что определитель А = ad — be =/= 0, имеет в начале коорди-
нат (Х = v = 0) те же особенности, что и более простое (однородное) дифференциаль-
дифференциальное уравнение
dx cx+dv
При этом тип особой точки уравнений A60) и A61) определяется [за исключением слу-
случая, когда Ъ + с = 0, (Ь — сJ + 4ad < 0J через постоянные а, Ь, с и d
Приведем критерии для классификации особых точек уравнения A61). Эти крите-
критерии устанавливаются при изучении дифференциального уравнения A61), которое
с помощью неособого линейного преобразования
A62)
приводится к уравнению простейшего вида
dxx
При этом Хг и Х2 являются корнями характеристического уравнения %2 — (Ь +
с) h — (ad — be) = 0.
е)
Интегрирование уравнения A62) позволяет выяснить расположение интегральных
кривых в окрестности особой точки Xj = v1 = 0 (или х = v = 0), т. е. определить
тип особой точки. Судя по уравнению A62), на вид интегральных кривых, определяю-
определяющих тип особой точки, влияют корни X-l и Х2, которые зависят от коэффициентов а,
Ь, с, d уравнения A61). Подробное рассмотрение классификации особых точек изло-
изложено в работах [33, 67].
На рис. 26 приведены возможные типы особых точек для уравнения A61). При
Ч и Х2 вещественных одного знака (к} ф^) особая точка — узел (рис, 26, б), при
^i = ^2 получаем узловые точки, показанные на рис, 26, а, в,

108
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЁ. Н
При Хг и Я2 вещественных разных знаков будет седло (рис. 26, г), при кг и \г мни
мых — центр (рис. 26, д), при Я] и Яа комплексных — фокус (рис. 26, е).
В дальнейшем особую точку х = v = 0 будем называть устойчивой или неустой-
неустойчивой в зависимости от того, движется ли изображающая точка (х (t), v (t)) с возрас-
возрастанием t по фазовой траектории к началу координат х = v = 0 или от нею.
Очевидно, судя по уравнению A62), при вещественных Хг < 0 и /Ц < 0 узел
будет устойчивой особой точкой, а при Хх > 0 и Я2 > 0 — неустойчивой. При деталь-
детальном рассмотрении можно показать, что при комплексных кг и к2 фокус будет устой-
устойчивой особой точкой, если A.j + к2 < 0> и неустойчивой, если ^ + Х2 > 0 [67].
Результаты приведенного выше подробного рассмотрения, выраженные через
коэффициенты а, Ь, с, d дифференциального уравнения A61), сведены в таблицу.
Условия, налагаемые на коэффициенты
(Ь - сI + W > 0
F - сJ + 4ad =0
(Ь - сJ + 4arf < 0
ad - Ь<- < 0
ad — te > 0
b -\-сф 0
6 + с = 0
Особая
точка
Узел
Седло
Узел
Фокус
Центр
Условия устойчивости
Ь -\- с ¦< 0 — устойчивый
узел;
fc + с > 0 — неустойчивый
узел
Ь -f- с < 0 — устойчивый
узел,
Ь -f с > 0 — неустойчивый
узел
й -|- с < 0 — устойчивый
фокус,
b -j- О 0 неустойчивый
фокус
Критерии этой классификации справедливы и для более общего дифференциаль-
дифференциального уравнения A60) при указанных выше предположениях относительно правой
части за одним исключением [55]: условие Ь + с = 0 оказывается недостаточным
для того, чтобы в случае (Ь — сJ + Aad < 0 отличить центр от фокуса; для этой цели
в выражении для функций Р2 и Q2 должны быть рассмотрены члены более высокого
порядка.
Как показали последние исследования [71], между интегральными кривыми, опи-
описываемыми уравнениями A60) и A61), в окрестности особой точки х = v = 0 сущест-
существует более глубокая связь. Так, если предположить, что функции Рг и <?2 голоморфны
в окрестности точки х = v = 0 и она не является центром для уравнения A61), то
существует непрерывно дифференцируемая замена переменных
ft@,0)-aft<0'0>—«iiUo
приводящая уравнение A60) в окрестности этой точки к уравнению вида A61)
dx1
Важной характеристикой особой точки является ее индекс, введенный Пуанкаре.
Понятие индекса особой точки состоит в следующем. Возьмем некоторую простую
замкнутую кривую Г, которая не проходит через особые точки, а в области ограничен-
ограниченной этой кривой, имеется не более одной особой точки. В точках кривой Г рассмотрим
' dx dv"
вектор поля касательных [~гг, ~~jt)i определяемый дифференциальными уравнена

КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ
109
ями
A63)
Если обозначить через 6 угол, образуемый вектором поля с положительным направ-
направлением оси Ох, то вектор поля при каждом полном обходе контура Г против часовой
стрелки занимает свое прежнее положение, т. е. угол б изменяется на 2/я, где / —
целое положительное или отрицательное число, или нуль. Число / называют индек-
индексом особой точки. При полном обходе контура Г вектор поля делает при /= —1
один оборот по часовой стрелке, при / = 1 —• против часовой стрелки, а при / = О,
колеблется, но в результате остается в прежнем положении.
Исходя из данного определения, легко установить, какой индекс имеет каждая
из особых точек, изображенных на рис. 27. Узлы, центры и фокусы имеют индекс + 1,
седлообразные точки имеют индекс —1, а регулярные точки (т. е. не особые) —•
индекс 0.
Рис. 27
Индекс замкнутой кривой С, охватывающей некоторое конечное число особых то-
точек, определяют аналогично. Как легко показать [67], этот индекс равен алгебраиче-
алгебраической сумме индексов особых точек, находящихся внутри кривой С.
В ряде случаев это заключение может быть полезно для качественного исследова-
исследования. Например, пусть С — замкнутая интегральная кривая без кратных и особых
точек. Пусть, далее, при ее обходе против часовой стрелки вектор поля поворачивается
на угол 6 — 2я в положительном направлении. Следовательно, сумма индексов всех
особых точек внутри области, образованной любой замкнутой интегральной кривой,
не имеющей особых точек, равна +1. Поэтому внутри замкнутой интегральной кривой
Должна быть по крайней мере одна особая точка. Если же их несколько (более двух),
то число седлообразных точек (с индексом —1) должно быть на единицу меньше числа
всех остальных особых точек (с индексом +1).
Примеры исследования особых точек колебатель-
колебательных систем. Рассмотрим свободные нелинейные колебания без затухания, опи-
описываемые дифференциальным уравнением
:) = 0,	A64)

ПО	методы анализа нелинейных систем
которое на фазовой плоскости xOv можно представить в виде
UL^-Ш.	A65)
dx	v
Пусть / @)=0; тогда начало координат является особой точкой, Положим, что
для функции / (л;) справедливо разложение в ряд
Введем в рассмотрение потенциальную энергию
FW=J/(x)dx=|j-*»+-J-^ + ...	A66)
Интеграл полной энергии
1J
где -»	кинетическая энергия; п — полная энергия системы.
Особые точки, соответствующие положениям равновесия системы, могут иметь
место при значениях х, удовлетворяющих уравнению F' (х) = 0. Так как согласно
A64) и A65) ^- = ~aix+---i т0 [см. A60)] а = — %; Ь = 0; с = 0; А = 1. Следова-
Следовательно согласно таблице особая точка при а± < 0 будет седлом, а при ах > 0 — цент-
центром.
Как следует из выражения A66), седлообразные особые точки соответствуют
максимуму, а центры—минимуму потенциальной энергии F (х).
По функции F (х) можно судить о характере движений системы. Изобразим
(рис. 28) график этой функции и фазовые траектории в плоскости xOv для различных
значений h. Очевидно, что при переносе начала координат из точки х = 0 в точки
х = Xi (i — 1, ..., 4) оси абсцисс, уравнение A65) после подстановки %= х— xt
dv	ffe+xi)
переидет в уравнение -— = — i_i2_J—!ij и ранее сделанные заключения будут спра-
справедливы для окрестности точки | = 0 при каждом i. При значении h = Л1( соответ-
соответствующем наименьшему минимуму F (х) в точке х = xlt v = 0 будет состояние покоя.
Если h = hi + бЛ, где бЛ > 0, то кривая постоянной энергии будет замкнутой,
а особая точка {х\, 0) — центром. Когда при возрастании h достигается значение Л2>
получаем новое состояние покоя (х2,0) или особую точку —- центр. Если h2 < h < h3,
то будем получать замкнутые кривые энергии вокруг обеих особых точек типа центр,
которые соответствуют периодическим движениям системы.
При h = hs потенциальная энергия F (х) достигает максимума в точке х = х3.
Поэтому особая точка (х3, 0) будет седлом. Интегральная кривая, проходящая через
седлообразную точку, будет замкнутой и называется сепаратрисой. Абсциссы этой
кривой находятся между абсциссами точек Мг и М2 (ординаты точек равны h3).
При h = hi появляется новая особая точка —седло {xt, 0), проходящая через нее
сепаратриса образует слева замкнутую петлю, а справа разомкнутую. Между сепарат-
сепаратрисами (Л3 < h < Л4) существуют замкнутые интегральные кривые, охватывающие
три особые точки (два центра и седло), сумма индексов которых равна +1.
На рис. 28 видно, что сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на ряд областей,
заполненных траекториями различных типов.
Рассмотрим движение маятника в среде, сопротивление которой пропорционально ква-
квадрату скорости маятника в направлении, противоположном этой скорости. В этом случае
дифференциальное уравнение колебаний маятника
"х +сх\х \ + k sin л: = 0,	A67)
где х — угол отклонения маятника от нижнего положения равновесия.

КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ
111
фазовой плоскости xOv уравнение A67) принимает вид
dv _ — k sin х — cv \v\
dx~	v
A68)
Особые точки, соответствующие положениям равновесия, находятся на оси Ох в точ-
точках х = пп (п = 0, ±1, ±2, ..)
Для точки х — 0 представим уравнение A68) в виде -г- =	 '".
Согласно данным таблицы и замечанию, приведенным на стр 108, особая точка @, 0)
является либо центром, либо фокусом, что можно определить по членам более высокого
порядка
Однако при отсутствии затухания Ус = 0 в уравнении A68)J особая точка @, 0) явля-
является центром (рис. 29) При наличии затухания (с > 0) компоненты вектора поля в соответ-
соответствии с A68) принимают вид dx/dt = v, dv/dt = —k sin x •— cv \ v |. Из последних выражений
следует, что при с > 0 вектор поля
будет повернут по отношению к векто-
вектору поля при с ~ 0 в сторону внутрен-
внутренней области замкнутых интегральных
кривых. Таким образом, все интеграль-
интегральные кривые для с > 0 стремятся к
особой точке при возрастании t, т. е.
особая точка @, 0) — устойчивый фо-
фокус. Особая точка х = я, v = 0, (с
учетом высказанного замечания о пе-
Рис. 28
Рис. 29
реносе начала координат в особую точку) является седлом. Итак, особые точки х = пя,
в = 0 (п = 0, ±1, ±2, ) являются особыми точками типа устойчивого фокуса при четном
п и седлообразными точками при нечетном п.
Расположение интегральных кривых уравнения A68) показано на рис. 30. Предполо-
Предположим, что маятнику, находящемуся в положении х = 0, сообщен импульс, после чего он при-
приобретает угловую скорость v0 Если она невелика @ < ч0 < V,, см рис. 30), то маятник со-
совершает затухающие колебания около точки х — 0 оси Ох, не делая полного оборота вокруг
точки подвеса. Если эта скорость достаточно велика (i>0 > Vi), то маятник сделает один или
ррсколько оборотов, прежде чем начнет совершать затухающие колебания относительно ниж-
' его положения устойчивого равновесия. В фазовой плоскости xOv этим движениям соответ-
соответствуют (см рис. 30) спиральные кривые, проходящие через точку (О, v0), приближающиеся
к тому или иному фокусу (х = 2to, v = 0) в зависимости от величины v0. Таким образом,
можно указать интервал начальных скоростей маятника, при которых движение осущест-
осуществится с предварительно заданным числом оборотов
Критерии существования замкнутых траекторий на фазовой плоскости. Иссле-
Исследования особых точек системы уравнений A63) проясняют картину поведения траек-
траекторий на фазовой плоскости в их окрестности, однако не позволяют окончательно
изучить колебательные процессы, описываемые системой A63). Для системы A63)
наличие колебательного процесса связано с существованием замкнутой траектории
на фазовой плоскости. Пока не существуют общие теоретические методы, позволяю-
позволяющие установить существование замкнутых траекторий и определить место их располо-
расположения на фазовой плоскости. Общий геометрический принцип, с помощью которого
можно решить вопрос о существовании замкнутой траектории системы A63), а также
вопрос о существовании колебательного процесса в этой системе известен как прин-
принцип кольца и состоит в следующем. На фазовой плоскости выделяем несколько особых
точек, сумма индексов которых равна +1, и окружаем их двумя замкнутыми кривыми
так, чтобы в полученной кольцеобразной области К не было особых точек. На гра-
границе Г этой области наносим направления вектора скорости изображающей точки.
В кольцеобразной области К существует по крайней мере одна замкнутая траектория,

112
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
если вектор скорости направлен везде либо внутрь, либо наружу. Причем если вектор
скорости направлен внутрь (наружу) кольцеобразной области, то в ней заключена
устойчивая (неустойчивая) замкнутая
траектория. При практическом исполь-
использовании принципа кольца возникают
трудности, связанные с выбором коль-
кольцеобразных областей. Часто выделяют
замкнутые области К. с помощью си-
систем кривых F (х, у) = с. Изучая по-
j^^Ti \/	ведение вектора скорости изображаю-
К i Hill—?—'—»
щей точки на этих кривых, т. е. по-
поведение производной функции
dt dx
L
dy
Рис. 30
можно проверить применимость прин-
принципа кольца в области К,. Так, напри-
например, если за систему кривых взять си-
систему окружностей х2 + v2 = С2, то в
области К (г% «ё х2 -\- v2 ==? г\) сущест-
существует: 1) устойчивый предельный цикл (устойчивая замкнутая траектория) системы
A63), если выражение хР + vQ неотрицательно для хъ + и3 = г%, неположитель-
неположительно для х1 + v% = r\ и внутри К, нет особых точек системы A63); 2) неустойчивый
предельный цикл системы A63), если выраженге хР + vQ имеет знаки, обратные
указанным, и внутри К, нет особых точек системы.
Выбор сложных систем кривых F (х, у) = С приводит к более тонким признакам
наличия колебательных процессов в рассматриваемых системах. Приведем некоторые
из них для колебательной системы, описываемой уравнением второго порядка
x+f(x, x)'x+g(x) = 0	A69)
Для существования хотя бы одной замкнутой траектории, соответствующей коле-
колебательному режиму в системе, описываемой уравнением A691, достаточно выполне-
выполнения одной из приведенных ниже систем условий:
оо
A.	1) xg (х) > 0 при х Ф 0, j g(x)dx = co;
о
2) / @, 0) < 0 и существуют такие значения х1 > х0 > 0 и М, что / (х, х) ^0
при \х\ ^xo,f(x, х) >—М при | х I < xQ, ^ f (x, v) dx^ \QMx0 при произ-
Хо
вольно убывающей положительной функции v = v (x);
оо
Б. 1) xg {к) > 0 при х Ф 0, J g (x) dx = оэ;
2)	f(x, t)=2f(x);
X
3)	для достаточно малых I x | F (х) — f f (x) dx > 0 при х > 0 и F (х) < 0
при л< 0;	о
4)	существует число М и такие числа fe, &', что F (x) ^k, если х > М и
F (х)г?б', если л: < — М;
B.	1) g (д:) — нечетная функция, такая, что g (х) > 0 при х > 0;
2)	/ (х, Л) = / (х);
3)	F(x) = '\f(x)dx— нечетная функция, причем существует значение х0,
такое, что F (х) < 0 при 0< х < xonF (х) >0 и монотонно возрастает при х
4)

СВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ	ИЗ
11. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА СВЕДЕНИИ
К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
В ряде случаев решение того или иного дифференциального уравнения или сис-
системы дифференциальных уравнений целесообразно сводить к решению интегрального
уравнения или системы интегральных уравнений.
Примеры сведения к интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма. Известна
эквивалентность решения задачи Коши, описываемой дифференциальным уравне-
уравнением
с начальным условием х (t0) = х0 и решения интегрального уравнения
\(t, x)dt.
Легко показать, что линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго
порядка
с начальными условиями у L _ t = 1, -~
уравнению
=0 сводится к интегральному
(~'°)+{ш\ {g(r)l/(r)+f(r)}X
to
X sin (о (t — т) dx.
В общем случае системы уравнений с выделенной линейной частью
=P@*+/@+/iC х),
где Р (t) — квадратная матрица порядка п, х — n-мерный вектор, / (i) и /х (t, x) —
вектор-функции той же размерности, с начальными условиями х (^0) = д:0, эквивалент-
эквивалентное интегральное уравнение в векторной форме имеет вид
t
х V) = g (/) + \Х@ X-i (т)/х [т, х (т)] Ах.
В последнем уравнении
g(t) = X (О Х-* (t0) xo + $X (t) Х-1 (г) f (т) dx,
to
где X (t) — матрица фундаментальной системы решений соответствующей линейной
однородной системы уравнений
Все приведенные выше интегральные уравнения есть нелинейные уравнения типа
Вольтерра, и для их решения применимы обычные итерационные и численные методы.
Некоторые задачи, связанные с исследованием колебательных процессов, сводятся
к интегральным уравнениям Фредгольма, Например, вынужденные гармонические

114	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
колебания струны под действием внешней силы представляются соотно-
соотношением [25]
и (х, t) = u (x) sin cot,
где со —фиксированная частота; и{х) — амплитуда, определяемая из интегрального
уравнения Фредгольма второго рода
I
и (х) = рсо'2 \ G (х, I) и (I) dl+f(x),	A70)
б
Здесь р — плотность струны; / — длина струны;
То — натяжение струны; f(x) — известная функция, определяемая заданной внешней
распределенной силой (нагрузкой).
В случае свободных гармонических колебаний струны фиксированной частоты w
амплитуда и(х) будет определяться из уравнения вида A70) при f(x) = 0, т. е. из
однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Задача отыскания колебательных решений обыкновенных дифференциальных
уравнений часто может быть сведена к задаче отыскания решений определенного
вида интегральных уравнений типа Фредгольма. Общий прием сведения дифферен-
дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям типа Фредгольма основан на ис-
использовании функции Грина.
Функция Грина задачи о периодических решениях. Рассмотрим линейную неодно-
неоднородную систему дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
и периодическим возмущением
^=P(t)x+f(t),	A71)
где Pit) — квадратная Г-периодическая матрица порядка и; х — я-мерный вектор;
f (t) — периодическая векторная функция периода Т.
Когда среди характеристических показателей соответствующей линейной однород-
однородной системы нет показателей с нулевой вещественной частью, система A71) имеет
единственное периодическое решение х = x%(t) = x*(t -\- T). Это решение можно
представить в виде
*?(*)= \ O(t,x)f(x)dx.	A72)
— со
Матричная функция O(t, x), определяющая решение x$(t), при всех t =fcx удовлет-
удовлетворяет равенству
— = Р(()-О,
условию скачка
О (т + 0,т) — О (т—0,т)==?,
где Е — единичная матрица, и оценке
\O(t, x)\^Ke~aU~tl (— оо<(, т<+<х>),
где а и К — некоторые положительные постоянные.
Функцию Q(t, x), удовлетворяющую указанным выше условиям, называют функ-

ПРЯМЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОПЫ	115
цией Грина задачи о периодических решениях. Если имеется квазилинейная система
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
= р (t) *+/@ + еД(*, х, е),	A73)
где по сравнению с линейной системой A71) имеется дополнительное слагаемое
efi(t, х, е), причем 8 — малый положительный параметр,/]^, jc, в) —непрерывно
дифференцируемая векторная функция по х в некоторой области и непрерывная по
е при достаточно малых е, то последняя имеет периодическое решение х = xQ(t, e).
Это решение непрерывно зависит от g и удовлетворяет интегральному уравнению
-)- со
хй ((, е)=х% (t)+e J О (t, т)/х (т, х0, (т, в), s) dx	A74)
— со
всякий раз, когда линейная система уравнений A71) имеет функцию Грина задачи
о периодических решениях О (t, т).
Интегральное уравнение A74) можно решать методом последовательных прибли-
приближений, выбирая за начальное приближение функцию x*(t), определяемую соотноше-
соотношением A72). Для перехода от системы дифференциальных уравнений A73) к системе
интегральных уравнений A74) необходимо знать функцию Грина О (t, %). В частном
случае, когда матрица Р (t) = А постоянна, функция Грина имеет вид
ел +<< т) при
где
~, Н+ и S — матрицы, связанные с матрицей Д равенством
и такие, что вещественные части характеристических чисел для Н~ отрицательны, а
для Н+ положительны. Если все характеристические числа матрицы А обладают отри-
отрицательными вещественными частями, то функция Грина 6(t — т) имеет согласно A75)
следующий вид:
е	при t ^> т\
О	при t < т.
12. ПРЯМЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В математической физике методы приближенного решения дифференциальных
и интегральных уравнений, основанные на сведении задач к решению системы алге-
алгебраических уравнений, принято называть прямыми методами. Прямые методы широко
применяют непосредственно для построения приближенных решений задач, описы-
описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных
производных, а также вариационных задач, к которым сводятся соответствующие
задачи математической физики.
Основная идея прямых методов применительно к вариационным задачам о миними-
минимизации функционалов состоит в том, что вариационную задачу рассматривают как пре-
предельную для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных.
Действительно, функционал v[y(x)] можно рассматривать как функцию бесконеч-

116	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ного числа переменных. Это становится очевидным, если предположить, что допусти-
допустимые функции, минимизирующие функционал, могут быть разложены в ряды
2
п = О
(степенные, тригонометрические или какие-либо другие).
Таким образом, для задания функции у(х) в виде ряда достаточно задать значения
всех коэффициентов ап, и следовательно, значение функционала v[y(x)] в этом случае
будет определяться бесконечной последовательностью чисел: ад, %, аг	ап ..., г. е.
рассматриваемый функционал является функцией бесконечного числа переменных
В отличие от задачи на экстремум функций конечного числа переменных в вариа-
вариационной задаче необходимо исследовать на экстремум функции бесконечного числа
переменных. Поэтому вполне естественной является основная идея прямых методов:
рассматривать вариационные задачи как предельные для задач на экстремум функций
конечного числа переменных. Если при решении вариационных задач не совершать
предельного перехода, то получим их приближенное решение.
Обычно при постановке вариационных задач о минимизации функциалов зада-
задаются граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции. Напри-
Например, требуется найти минимум функционала
v[y(x)]=\F(x, y(x), y'(x))dx
при следующих краевых условиях: у(х0) = а, у{х^ = Ь.
В таком случае значение функционала v[y(x)] рассматривается на допустимых
в данной вариационной задаче кривых (или функциях у = у(х)). Их допустимость
обуславливается необходимостью удовлетворять заданным краевым условиям и опре-
определенным в зависимости от вида функционала свойствам гладкости. Выбор классов
допустимых функций и составляет сущность отдельных прямых методов в вариацион-
вариационных задачах.
Метод Ритца заключается в том, что значения некоторого функционала у[(/(х)]
рассматривают не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи,
а лишь на всевозможных линейных комбинациях г/я= *S\ ajWi (х) с постоянными
коэффициентами, составленных из п первых функций некоторой последовательности
линейно независимых функций
Wt(x). Wt(x)	 Wn(x),...	A76)
п
Функции уп= У] a№i (x) должны быть допустимыми в рассматриваемой задаче,
что и накладывает некоторые ограничения на выбор последовательности функций
A76), называемых координатными функциями. На таких линейных комбинациях
функционал v[y(x)] превращается в функцию ф(а1; а3, ..., ап) коэффициентов а1л а2 ...,
ап, которые выбирают так, чтобы функция Ф(а1? а2, ..., ап) достигала экстремумг.
Отсюда следует, что аг, а2	ап должны быть определены из системы уравнений
тг° (J'=1'2	п) •	A77)
Понятие о допустимости выбора некоторой последовательности функций вида A76)
в качестве координатных функций данной вариационной задачи обычно включает
требования удовлетворения этими функциями определенным краевым условиям,
линейной независимости функций на некотором интервале, а также определенным
свойствам гладкости.

ПРЯМЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ	П7
Важным требованием к системе координатных функций A76) является условие
полноты, заключающееся в том, что каждая допустимая функция у(х) приведенной
выше вариационной задачи, а также ее производная у'(х), входящая в функционал
и[(/(л)], может быть сколь угодно точно аппроксимирована линейной комбинацией
п
2 akWk (х) координатных функций при достаточно большом п. Это условие является
ft = 1
достаточным для построения методом Ритца минимизирующей последовательности
л
функций й, у%	уп	 где уп= ^ akWk(x), для которой значения функцко-
4 = 1
нала ffi/j), v[y2], ..., v[yn], ... сходятся к минимуму.
Вопрос о полноте последовательности координатных функций имеет принципиаль-
принципиальное значение, так как нарушение требования полноты может привести к большим
погрешностям в получаемых приближенных решениях вариационной задачи.
Если с помощью метода Ритца определяют минимум функционала, го приближен-
приближенное значение его находят с избытком, так как минимизирующие функции уи у2, ..., уп
составляют лишь часть класса допустимых функций. Следует заметить, что решение
системы уравнений A77) является сложной задачей. Эта задача существенно упро-
упрощается, если исследуется на экстремум квадратичный относительно неизвестной
функции и ее производных функционал и, так как в этом случае система уравнений
A77) линейна относительно ai (i = 1, ..., п). Условия сходимости минимизирующей
последовательности уг, у2 ..., у„, ..., построенной методом Ритца, к решению вариа-
вариационной задачи и оценка быстроты сходимости для конкретных, часто встречающихся
функционалов были установлены Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым [11].
Метод Бубнова — Галеркина также относится к прямым методам, он получил
широкое распространение н применяется для получения приближенных решений
линейных и нелинейных задач.
Изложим метод Бубнова—Галеркина применительно к линейной краевой задаче,
описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
У + р{х)У'+Е(х)у=}(х)	A78)
с однородными краевыми условиями у(х0) = у(х1) = 0.
Заметим, что неоднородные краевые условия, например у(х0) = у0 и у{х-^ — ylt
заменой переменных г=у—у0 — ——— (х—хд) легко сводятся к однородным.
Xi — Хй
Введем в рассмотрение дифференциальный оператор
L(y) = y* + p(x)y'+g(x)y
и запишем уравнение A78) в виде
L (у) = /(*)¦	A79)
Выбрав полную на отрезке [х0> %] системы непрерывных линейно независимых
функций
W,(%), W2(x), ..., Wn(x)		A80)
удовлетворяющих краевым условиям Wn (х0) = Wn (xj = 0 (п = 1,2, ...), прибли-
приближенное решение рассматриваемой краевой задачи будем искать в виде линейной
комбинации первых п функций системы A80)
й»=2] atW,(x).	A81)
« = 1
Подставляя уп в уравнение A79), выбираем коэффициенты а^ (i = 1, 2, ,.., п)
таким образом, чтобы функция
|]

! 18	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
бы ia ортогональна на отрезке [х0, xj каждой из функций Wt (x), т. е.
] aiWi(x))-f(x)\wi(x)dx = O (t=l,..,n).	A82)
i / J
Приближенное решение yn при п -» oo будет стремиться к
со
jj=_? fljW/W.	A83)
i = l
Если полученный ряд A83) сходится и допускает двукратное почленное дифферен-
дифференцирование, то функция L (у) — f(x) ортогональна на отрезке [х0, хг] каждой функции
Wj(x) системы A80), а так как система A80) полная, то L(y) — f(x) = 0, а это значит,
что у является решением уравнения A79) или A78). Очевидно, у удовлетворяет и
краевым условиям у (х0) = у (л^) = 0, так как все W; (х0) = Wj (%) = 0.
Определение всех коэффициентов а,- из линейной системы A82), а затем предельный
переход в A81) при я -> <х> редко осуществимы, поэтому обычно ограничиваются
лишь конечным (небольшим) числом п, при этом условие полноты координатных
функций отпадает.
При составлении уравнений в методе Бубнова—Галеркина никакие связи с вариа-
вариационными задачами вообще говоря не используются, поэтому этот метод является
универсальным. Он может быть применен к уравнениям в частных производных раз-
различных типов: эллиптическим, гиперболическим, параболическим. Однако для вариа-
вариационных задач метод Бубнова—Галеркина находится в тесном взаимоотношении с
методом Ритца, а в ряде случаев эквивалентен последнему в том смысле, что приводит
к тому же приближенному решению, но с помощью более простых выкладок.
Метод Бубнова—Галеркина для задач нелинейных колебаний можно представить
как прямой метод построения приближенного решения, удовлетворяющего соответ-
соответствующему дифференциальному уравнению «в среднем» за цикл колебаний [83].
Действительно, уравнения метода Бубнова—Галеркина вида A82) могут быть полу-
получены на основе принципа возможных перемещений [68]. Если считать независимую
переменную х временем, выражение A81) для уп принять за приближенное выражение
установившегося процесса вынужденных колебаний, в котором W( (x) — координат-
координатные функции времени, щ — параметры, обеспечивающие наилучшее приближение
для уп, а также положить хх = х0 + т, где т — период внешней возмущающей силы,
то уравнения A82) допускают простую механическую интерпретацию. Учитывая,
что возможные виртуальные перемещения, соответствующие координатным функ-
функциям, 6г/'' = baiWi(x), заключаем, что уравнения A82) для определения параметров
%, а2	ап выражают равенство нулю средних значений виртуальной работы за
цикл колебания.
В качестве примера рассмотрим систему с линейным демпфированием с нелинейными
восстанавливающими силами, описываемую дифференциальным уравнением
"х + 2& + р'(х + fix3) = q cos со/.	<184>
Рассматривая установившиеся вынужденные колебания с частотой 0), примем их в первом
приближении гармоническими
*Л = с cos (at + a) = a cos at -\-b sin со/,	A85)
где с1 = а2 + b2, tg а = —Ь/а.
Для определения двух параметров а а Ь запишем два уравнения вида A82)
где х = 2л/и.
X cos со/ dt = O;
X sin at dt = 0,

ПРЯМЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ	119
Подставляя A85) и выполняя интегрирование, получим систему уравнений относительно
амплитуды и фазы вынужденных колебаний
— w2cosa — 2Xwsina + p2 (l+xPc2j cosa — — = 0;
/ 3 \
w2sina — 2X(ocosa—p% A + -^-pc3J sina = 0.
Из последних двух уравнений находим
[- со! + р ( 1 ) ](?)
^4—г-	A86)
Таким образом, получены амплитудно-фазовые уравнения для приближенного реше-
решения A85) методом Бубнова —Галеркина Для каждого частного случая из системы A86) можно
вычислить амплитуду с и фазовый угол а.
При отсутствии трения (X = 0) из системы A86) находим а = 0 и а = я, т. е. вынуж-
вынужденные колебания либо совпадают по фазе с возмущающей силой, либо противоположны ей
Амплитуды этих колебаний определяются соответственно из уравнений
3
ргс -\- — рр2Сз _ -1- д _j_ сй)г
Методом Бубнова—Галеркина можно исследовать более общие уравнения нели-
нелинейных колебаний по сравнению с уравнением A84); в частности можно изучить
случай демпфирующих и восстанавливающих сил более общего вида [83].
Приведем в заключение схему метода Бубнова—Галеркина для отыскания
2я-периодических решений нелинейной системы [69]
^ = X(t,x),	A87)
где х и X — п-мерные векторы; X(t, х) —2я-периодическая по / вектор-функция.
В соответствии с указанной схемой 2я-периодическое приближение решения порядка
т разыскивают в виде тригонометрического полинома
п
хт — y + \ (av cos vt + bv sin \t),
V = 1
коэффициенты которого (ao,alt blt a2, bit .... an, bn) = а определяют из системы
уравнений
2я
2п
(a)=v&v	\ X(s, xm(s))co$vsds—0;
<5<,m) (a) = vav 4- ~ f X (s, xm (s)) sin vs ds = 0.
о
Если система A87) имеет изолированное 2я-периодическое решение x(t) и это решение
лежит в области непрерывной дифференцируемое™ функции X(t, x), то существуют

120	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
приближения Бубнова—Галеркина Xm(t) любого порядка т >т0 при условии, что
т0 достаточно велико. Для отклонения хт (t) — x (t) верна оценка
m),
где Q > 0, Сг > 0 — постоянные, не зависящие от п ^ т0,
L(/n+lf (m+2J J /m
При общих предположениях из приближения Бубнова—Галеркина любою по-
порядка m > пг0 следует сходимость приближений Бубнова—Галеркина к некоторой
функции х, являющейся 2я-периодическим решением системы A87), причем скорость
сходимости определяется неравенством \\х — хт II sg Са(т), где С > 0 — постоянная.
К прямым методам относят также метод наименьших квадратов и метод конечных
разностей: они универсальны и хорошо изложены в литературе [23, 41]. Достаточно
точным и широко распространенным прямым методом является метод Канторо-
Канторовича [76].
13. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЦВМ
гебательных процессов приходится решать как :
'-=f(t, х), х = (хг, х2, ..., х„) е= Я";	A88)
При исследовании колебательных процессов приходится решать как задачу Коши
dx
ЧГ
*('о) = *о. f=(h> f*	h)'	A89)
так и краевую задачу. Особенно часто требуется находить решение двухточечной
краевой задачи
^=f(t,x), x = (xlt х»	х„);	A90)
х@) = х(Т),
определяющее периодическое решение системы уравнений A90), в случае периодич-
периодичности функции f(t, x) по переменной t с периодом Т.
Для решения этих задач разработаны различные численные методы интегрирова-
интегрирования, которые благодаря использованию ЭЦВМ превратились в универсальные сред-
средства приближенного анализа колебаний. Развитие вычислительных средств привело
к модернизации ранее разработанных и созданию новых методов численного интегри-
интегрирования дифференциальных уравнений теории колебаний. Задача выбора наиболее
подходящего численного метода интегрирования связана со спецификой каждой
конкретной задачи. Удачно выбрав метод, можно значительно ускорить процесс
решения задачи, уменьшить требования к объему оперативной памяти, используемой
ЦВМ.
Численные методы решения задачи Коши. Наиболее широко применяют одно-
шаговые методы типа Рунге—Кутта, а также многошаговые явные и неявные раз-
разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так назы-
называемых «жестких» или сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравне-
уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Оче-
Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечи-
обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчи-
устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко
реализовать автоматический выбор шага дискретизации.
В задачах теории колебаний колебательный характер процесса обнаруживается
обычно при длительном наблюдении за ним. Это приводит к необходимости исследо-
исследования математической модели этого процесса на временном интервале большой длины.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЦВМ	121
Чтобы при расчете не устойчивых периодических движений не встретить осложнений
(таких, как быстрый рост ошибок с увеличением временного интервала, потерю устой-
устойчивости счета), целесообразно использовать сильно устойчивые вычислительные
схемы.
При численном решении задачи Коши A88) — A89) приближенное решение нахо-
находят в дискретные моменты времени
h = h-i + hk ^=1,2,3,...),	A91)
где hjf — определенный фиксированный переленный шаг интегрирования. Если на
всем промежутке изменения независимой переменной hk = Л = const, то говорят
о численном интегрировании с постоянным шагом.
Главное достоинство одношаговых методов численного интегрирования задачи
A88) — A89) заключается в том, что таблица приближенных решений хк в каждый
текущий момент времени t = tk вычисляется по значениям решения хк^ в одной
предыдущей точке t = ^_i и легко может быть осуществлен переход к счету с перемен-
переменным шагом интегрирования.
В теории численных методов интегрирования выработано несколько критериев
качественной оценки эффективности различных методов. Один из них состоит в срав-
сравнении локальной погрешности, т. е. в сравнении отклонений
(* = 1, 2, ...),
где jc(/*+i), Jt*+i — соответственно точное и вычисленное решения задачи Коши A88) —
A89) в точке t= tk+1.
Для каждого метода обычно оценивается порядок локальной погрешности отно-
относительно шага интегрирования h. Говорят, что численный метод интегрирования
имеет порядок s, если на всем временном интервале интегрирования 6к = 0(/г'+1), т. е.
6А гс: chs+1 с постоянной с, не зависящей от шага Л.
Метод Эйлера — простейший одношаговый метод решения задачи Коши
A88) —A89) —сводится к вычислительному процессу
xk+i = xk+hf{tk, Хк) (k = 0, 1, 2, ...).
Метод Эйлера — приближенный метод первого порядка.
Метод Эйлера — Коши с итерациями состоит в том, что прибли-
приближенное решение xk+1 = 4+\> и вычисляется по формулам
4% 1-**+*/('*¦**)¦
При этом число необходимых итераций т выбирают из соображений достаточной
малости разности д:^, — Д^Г/ • Обычно от=^4. Если за три-четыре итерации *Й\ и
•*й-Т'>не совпадают с заданной точностью решения задачи, то применяют метод Эйле-
Эйлера—Коши, уменьшив шаг интегрирования в 2 раза.
Метод Эйлера—Коши с итерациями является методом второго порядка.
Методы Рунге — Кутта — наиболее распространенные среди одношаго-
одношаговых методов численного интегрирования и строятся по формуле
, tk, хк).
в которой Ff выбирается по правой части системы A88) вполне определенным образом.
Метод Рунге — Кутта первого порядка точности совпа-
совпадает с методом Эйлера.
Метод Рунге — Кутта второго порядка точности за-
задается формулами
(* + *) (А = 0, 1,2, ...);

122	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
либо
D	|)	= 0, 1, 2, ...);
+
*i =/ С* • **); *» =f[tk+| h,
Метод Рунге — Кутта третьего порядка точности
определяется формулами
«ли = ** + ¦§¦ («1 + 4*, + *») № = 0,1,2, .);
=** + у B*i+3*2 + 4ftJ (ft = 0, 1, 2, ...);
Метод Рунге—Кутта четвертого порядка точности
реализуется по формулам
4	= 0, 1, 2, ...);
A92)
Обычно порядок точности схемы A92) достаточен для достижения нужной степени
точности решения задачи Коши A88) — A89). Это обусловливает широкое использо-
использование именно этой вычислительной схемы методов Рунге—Кутта.
Существуют методы Рунге—Кутта более высоких порядков. Однако повышение
порядка метода приводит к быстрому возрастанию вычислительных операции, не-
необходимых для их осуществления. Проводя вычисления по схемам высоких порядков
точности, всегда надо разумно сочетать выгоды от повышения порядка с потерями от
увеличения числа вычислений.
Приведенные выше схемы численного интегрирования систем дифференциальных
уравнений первого порядка просто распространить на системы дифференциальных
уравнений второго порядка
*f
при начальных условиях
*D)=*о, %ik) = x'v	A94)
Учитывая важность уравнений второго порядка при описании колебательных про-
процессов, приведем некоторые схемы их численного интегрирования,

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЦВМ	123
Метод Эйлера для систем уравнений второго поряд-
к а приводит к вычислительной схеме
xk, x'k) (fe=0, 1, 2, ...)•
Метод Рунге — Кутта четвертого порядка для систем
уравнений второго порядка может быть осуществлен по формулам
А2
(h + k2 + A3);
4+1 4 !(& = 0> U 2l
где
Разностные методы решения задачи Коши A88) — A89) чаще
всего используют сетку A91) с постоянным шагом Л.
Разностная схема р-ro порядка имеет вид
21
/=0	/=0
и определяет приближенное решение jrft(.p через р предыдущих значений x^+p_lt..., -f*-
В различных схемах разностных методов по-разному выбирают константы а;,
Р,. Разностную схему называют явной, когда Eр = 0, и неявной, когда Рр =f= 0.
Вычисления по явной разностной схеме проще, чем по неявной, однако получаемые
результаты менее точны.
Наиболее употребительные формулы явных разностных схем — экстраполяцион-
ные формулы Адамса, неявных —интерполяционные формулы Адамса, Милна.
Экстраполяционная формула Адамса второго по-
порядка имеет вид
*ft+1=*ft + y C4-4-0 № = 1.2...)
и дает локальную погрешность порядка 0(/г3) [x'k = f(tk, xk)].
Экстраполяционная формула Адамса четвертого по-
порядка определяет приближенное решение по схеме
E559;
— 94-з) ^ = 3- 4- 5> •••)	С95)
с локальной погрешностью порядка 0(Л5).
Интерполяционная формула Адамса первого поряд-
к а (формула трапеций) имеет вид
**+i = ** + y D + 4-и) (А-0. 1. 2. •••)
и дает локальную погрешность порядка 0(Л3).

124	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Интерполяционная формула Адамса третьего по-
порядка определяет приближенное решение по схеме
с локальной погрешностью порядка 0(ft5).
Интерполяционные формулы Адамса, как неявные разностные схемы, на каждом
шаге интегрирования требуют решения системы нелинейных алгебраических уравне-
уравнений. Эти уравнения приходится решать каким-нибудь итерационным методом, напри-
например методом простой итерации или методом Ньютона. Это требует включения в неяв-
неявные формулы численного интегрирования итерационных формул решения алгебраи-
алгебраических уравнений.
Так, использование в интерполяционной схеме Адамса 3-го порядка метода простой
итерации приводит к следующей вычислительной схеме:
-5лс?_1+4_2) (/=1, 2, ..., m).
где хЩ.] —начальное приближение, определяемое на основании явной схемы A95)
по формуле
При этом число т выбирают из условия совпадения значений х^х и JCf^1' с задан-
заданной степенью точности.
Метод Милна «предсказание — уточнение» для нахождения
значения х^+1 использует предсказывающую формулу
4/г
и уточняющую формулу
Локальная погрешность метода Милна имеет порядок 0(А5).
Приведенные разностные схемы интегрирования задачи A88) — A89) легко при-
применить для решения задачи Коши в случае систем дифференциальных уравнений вто-
второго порядка A93) — A94).
Метод Милна для систем уравнения второго порядка
использует предсказывающие формулы
4/г
*к-з+"з- B*fc -** -1 +2xk -2);	A96)
j(+)	097)
и уточняющую формулу
(/(W	e) + 4l+j),	098)
гдех? = f(tk,xk,x^). Если значения Jcfe'^.\ и л;^,, вычисленные соответственно по
формулам A96) и A98), сильно отличаются, то, заменяя jc^'j на х'к^, заново находят
по формуле A97) х*+а и повторяют уточнение.
Локальная погрешность схемы численного интегрирования A96) — (№8) порядка
0(h6)

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЦВМ	125
Как следует из вышеприведенных формул, для начала счета по разностной схеме
р-го порядка требуется знание решения в точках /,¦ = t0 + ih (i = О, 1,2	р — 1).
Значение решения в точке t=t0 задают условия Коши A89). Недостающие значения
решения вычисляют, как правило, по одному из одношаговых методов, причем их
точность должна быть по крайней мере в 5—10 раз большей, чем требуется для всего
решения.
Численные методы решения краевых задач. Метод сведения к задаче
Коши Краевые задачи могут быть сведены к задаче Коши, следовательно, для их
решения применимы все приведенные выше схемы численного интегрирования.
Двухточечная краевая задача для линейной системы дифференциальных урав-
уравнений
~ = A(t)x+f(t), x = (xv ..., хп)\	^щ
A (t) = {ay(()}, lj=\	n; /= <fi, .... fn)
с краевыми условиями Bx (t0) + Сх (Т) = d сводится к решению задачи Коши A99)
при начальных условиях
х (/0) = [Л + ВФ (T)]-i (d-Bx0 (Г)),
где Ф@ — нормированная фундаментальная матрица однородной системы уравнений
A99); xo(t) — частное решение системы A99), принимающее при t = t0 значение
0.	B00)
Для построения матрицы ф (Т) требуется решить на отрезке [0, Т] п задач Коши
где Е — единичная матрица, а для нахождения ха(Т) — решить задачу Коши A99),
B00).
Невырожденность матрицы A -f- ВФ (Т) является необходимым и достаточным
условием однозначной разрешимости исходной краевой задачи.
В нелинейном случае общего приема сведения краевой задачи
dft=f(t< X), x=(xv..., xn), f=(fv ...,/„);	B01)
g(x{t0), x(T))=0	B02)
к эквивалентной ей задаче Коши не существует.
Иногда приближенное решение задачи B01), B02) можно найти путем много-
многократного решения задач Коши, поступая следующим образом. Пусть x{t, х0) — реше-
решение системы B01), принимающее при t= 10 значение х0 Положим g(x0, х(Т, х0)) —
= G(x0). Вычислим решение x(t,xl) для заданных начальных значений jc]J(v = 1,2,...
..., N) и найдем значение функции О (ха) в точках jc^: О (jCq) = 6V (v = 1, 2, ..., JV).
По значениям 6V строим полином PN (xv), интерполирующий функцию О (х0)-
Значение х0 — JcJ, при котором PN (х"?) — 0, определяет начальное значение x(ta) =
= Х% задачи Коши B01), ведущей к решению краевой задачи B01), B02).
Разностные методы. Для численного решения краевых задач широко
применяют разностные методы, сводящие дифференциальное уравнение B01) к ко-
конечно-разностным уравнениям.
В методах с равномерным шагом поступают следующим образом Отрезок [t0, T]
разбивают точками t/, — t0 + kh (tm = T, k = 1,2	m) на m равных частей и вы-
вычисляют приближенное значение решения х^ краевой задачи B01), B02) в точке из

126	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
системы алгебраических уравнений
k=f(tk xk)\
g(x0, xm) = 0,
dx
где DhXk — одна из формул замены производной — в точке t=tk разностным соот-
соотношением; в качестве D^x^ можно взять выражения
= ^fl [— 2xk_s + 9xk_2 —
аппроксимирующие значения производной —-^~ соответственно с порядком 0(/г),
(), 0(А3)
При решении разностными методами краевой задачи для системы дифференциаль-
(Рх	, ,
ных уравнении второго порядка производную -щ в точке t = t^ аппроксимируют
разностным соотношением Dfcxk, за которое с точностью 0(/г2) можно взять, например,
выражение
= jp (xk+1 — 2xh + xk-i)-
14. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ABM. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Численные методы решения дифференциальных уравнений теории колебаний
являются мощным аппаратом исследования благодаря широким возможностям при-
применения для их реализации ЦВМ Для ряда дифференциальных уравнений удобно
при их решении использовать аналоговые вычислительные машины (АВМ) и гибрид-
гибридные вычислительные машины (ГВМ) [66],
Преимущество АВМ — большое быстродействие по сравнению с ЦВМ, что позво-
позволяет решать на них задачи с быстроизменяющимися во времени величинами в реаль-
реальном масштабе времени. Однако АВМ по сравнению с ЦВМ обладают меньшей точ-
точностью и малой универсальностью ГВМ в определенной степени лишены недостатков,
свойственных ЦВМ и АВМ, и обл ъчают их преимуществами. Наиболее распростра-
распространенные серийные АВМ (МН-7М, МН-10М, МН-14, МН-17М, МПТ-9, ЭМУ-10) пред-
предназначены для решения задачи Коши [47, 66].
В последнее время созданы приспособления к АВМ и специализированные анало-
аналоговые, аналогово-цифровые вычислительные машины, позволяющие решать краевые
задачи.
Краевые задачи можно решать на машинах типа «Итератор-1», «Аркус-1» [19, 57]
и на аналогово-цифровых комплексах типа ГВС-100.
На рис. 31 приведена одна из возможных структурных схем отыскания периоди-
периодического решения системы линейных дифференциальных уравнений вида
-^¦ = А(9*+/@> * = (*!, *г, ...,*„)	B03)
с периодическими периода 2я коэффициентами A(f) и / (f) с помощью «Итератора-1»
(А — матрица п X п, f — n-мерный вектор).
Первым шагом решения задачи является самонастройка Алгоритм самонастройки,
реализованный в «Итераторе-1», осуществляется путем решения на АВМ п задач

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ABM
127
Коши для системы уравнений B03), в результате чего определяются столбцы матрицы
О. Затем решается на АВМ задача Коши B03) при начальных значениях х@) — х§.
По полученной невязке 8° = || ,t°@) — лс°Bя) || в блоке уточнения начальных значений
(Ох^1 = g(e.k)) вносится поправка в вектор начальных значений и определяется
новый вектор начальных значений .rj. Этот цикл повторяется до тех пор (к = 1, 2,...
. ., N), пока невязка eN = \\ xN @) — xN Bл) || не станет меньше наперед заданной
величины.
Периодическую краевую задачу «Итератор-1» позволяет решать для линейной
системы с периодическими коэффициентами порядка не выше четырех (п ^ 4), а
«Аркус-1» — систему линейных и
нелинейных дифференциальных
уравнений того же порядка, содер-
содержащих в нелинейном случае не бо-
более 8 нелинейных функций. ГВС-100
допускает более высокие порядки
решаемых систем уравнений
Численно-аналитические методы
отыскания периодических решений.
Изложим два метода построения
периодических решений системы
дифференциальных уравнений
—J7 =J" (t, JC), X = \%\> ..., %п}>
\f(t)
••¦¦ fn).
B04)
xK(t)
t=Zf
Л"
АВМ
x=A(t)x.Jlt)
Г2Ю
х"@)-х'BЮ -е»
хо={
г"@),...
,х'@))
Gx$''= д(е")
е"
Рис. 31
правые части которых периодичны
по t с периодом Т. Эти методы дают
аналитическое представление пе-
периодического решения при исполь-
использовании численных схем определения некоторых его параметров (начальное значение
периодического решения, коэффициенты его гармонического разложения). Их на-
называют численно-аналитическими методами [61].
Метод последовательных периодических приближе-
приближений. Пусть требуется найти периодическое периода Т решение х = х° (t) системы
дифференциальных уравнений B04) Предположим, что это решение существует
и принимает при t = 0 значение д;°@) = х0 При построении искомого решения x°(t)
рассматриваемым методом приближения xm (t) к решению xP(t) определяются рекур-
рекуррентным соотношением
f(s,
—= \ f(x, *„,_!
ds (m = l, 2, ...). B05)
Каждое из приближений xm(t) представляет собой периодическую периода Г функцию,
и при достаточно общих предположениях относительно правой части системы B03)
последовательность приближений xm(t) равномерно сходится к периодическому реше-
решению x°(t):
Urn xm(t)=x°(t).	B06)
т—>со
Достаточные условия существования приближений B05) и справедливости ра-
равенства B06):
1) функция / (t, x) — периодическая, непрерывная, ограниченная постоянной
М и удовлетворяет по переменной х условию Липшица с постоянной К, т. е.
для всех t i
[0, оо], Xi
\f(t, x')-f(t,
¦ D;

128	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Т
2)	выполняется неравенство q = —К < 1;
Т
3)	точка х0 принадлежит области D вместе со своей -^ М-окрестностью.
Более того, условия 1—3 гарантируют существование приближений B05) и равно-
равномерную сходимость их к некоторой периодической периода Т функции jcot @ =
= lim xm (t).
Предельная функция xm (t) является периодическим решением системы уравнений
B04) тогда и только тогда, когда постоянная
Т
. . 1
равна нулю.
Задачу приближенного отыскания начального значения х0 периодического реше-
решения можно решать численным методом одновременно с вычислением функции xm (t)
путем определения корней х^ уравнения
Т
Л() 0 b()
При общих предположениях справедливо предельное соотношение л;0= lim л^т>,
тп —>оо
позволяющее решать одновременно задачи существования и приближенного
построения периодического решения системы уравнений B04) методом последователь-
последовательных периодических приближений.
В частности, для системы уравнений стандартного вида
x=*ef(t, х),
где /(/, jc)—функция, удовлетворяющая условию 1; е — малый положительный
параметр, периодическое решение xo(t, г) существует и определяется с точностью до
величин порядка е2 выражением
$/(s. xo)ds,
о
здесь х0 — корень уравнения
До (*о) = 0; До (дс0) = е у I / (s, x0) ds
с
такой, что
Заметим, что вычисления по схеме B05) сводятся к элементарным операциям,
когда функция / есть полином относительно переменной jc и тригонометрический
полином относительно t. Если исходная функция / имеет другой вид, то ее следует
предварительно аппроксимировать с достаточной степенью точности функцией ука-
указанного вида,
Метод тригонометрической коллокации удобен для реали»
зации на ЦВМ при отыскании периодического решения системы уравнений B04),

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯ	129
удовлетворяющей условию 1. Согласно этому методу периодическое периода Т реше-
решение ищется в виде тригонометрического полинома
tn
хт @ = «о + 2 <а; cos/ at + bisin; at)
/= i
неизвестные коэффициенты которого а,- = (ай, а/2, ..., а/„); ft/ = (bjvbj2	 bjn)
находятся из условия точного удовлетворения дифференциальному уравнению B04)
в выбранных точках tt = iT/N (i = 0, 1, ..., N — 1, N = 2т + 1).
Согласно методу для определения коэффициентов a/, bj получаем систему алгебраи-
алгебраических уравнений
xm(U)=f(U. xm(U)) (i = 0, 1, .... N-1).	B07)
Выбор в качестве узлов коллокации равноотстоящих точек /,- обеспечивает сходи-
сходимость метода тригонометрической коллокации.
При достаточно большом т система алгебраических уравнений B07) разрешима
и дает хорошее приближение к периодическому решению всякий раз, когда система
дифференциальных уравнений B04) имеет изолированное периодическое периода Т
решение и это решение обладает довольно общим характером устойчивости
На практике для решения системы уравнений B07) применяются приближенные
методы, в частности метод последовательных приближений (простой итерации),
метод Ньютона, различные варианты метода продолжения решения по параметру.
В работе [61] проведена формализация процесса получения и решения системы
алгебраических уравнений B07) методом тригонометрической коллокации. Получен-
Полученные с его помощью вычислительные схемы приспособлены также для вычисления
на ЦВМ приближенного периодического решения методом последовательных периоди-
периодических приближений, что значительно расширяет сферу применимости метода.
15. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Дифференциальные уравнения, в которых коэффициенты и свободные члены
являются случайными функциями, называют дифференциальными уравнениями со
случайными функциями. При исследовании дифференциальных уравнений со слу-
случайными функциями различают два случая.
В первом из них случайные функции достаточно гладкие и большинство вопросов,
связанных с исследованием свойств решения, можно решить классическими методами
теории обыкновенных дифференциальных уравнений, за исключением вопросов,
связанных с нахождением вероятностных характеристик решения (нахождение
конечномерных распределений решения, математического ожидания, дисперсии
и т. д )
Во втором случае уравнения содержат случайные функции типа белого шума.
Такие уравнения получаются в результате предельного перехода от уравнений,
описывающих системы, находящиеся под быстропеременными воздействиями. Ана-
Аналога таким уравнениям в классической теории не существует и для них разработана
специальная теория стохастических дифференциальных уравнений типа К- Пто [16].
Когда решения этих уравнений являются марковскими процессами, существуют
эффективные методы определения конечномерных распределений решения.
Прежде чем переходить к изложению методов исследования нелинейных систем
при случайных воздействиях приведем необходимые для этого теоретико-вероят-
теоретико-вероятностные понятия.
Случайные величины. Случайной величиной называют величину X, которая в за-
зависимости от случая принимает те или иные действительные значения. Случайная
величина задается своей функцией распределения F(x), i. e. неубывающей, непрерыв-
непрерывной слева функцией, для которой F(— оо) = 0, F(+<*')= 1. Разность F(x%) — F^)
5 n/р Влехмана, т, 2

130	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
дает вероятность того, что значения случайной величины X лежат в интервале [хх,
х2) Если существует представление
X
F(x)= J f(u)du,
— 00
то функцию f(x) называют плотностью распределения (дифференциальным законом
распределения) случайной величины X. Из представления следует, что почти всюду
со
F'(x) — f(x), f(x) 5= 0, \ f (x) dx = 1. Случайная величина, которая имеет плотность
распределения, называется непрерывной случайной величиной. Случайная величина,
которая принимает конечное или счетное чьсло значений xi, i — 1,2,... соответственно
/	да	\
с вероятностями р,, i = 1, 2, ... р,- 35 О, S] pi = 1 \ называется дискретной случайной
\	'
\
величиной Для дискретной случайной величину функция распределения ступенчата
(при значениях случайной величины *,-, ('= 1, 2, ... терпит соответственно скачки
величиной р{, ('= 1, 2, ...).
Математическое ожидание случайной величины X (среднее значе-
значение X) определяется соотношением
оо
МХ= $ xdp(x),
— со
где F(x) — функция распределения случайной величины X, причем интеграл пони-
понимается в смысле Стильтьеса. Для непрерывных и дискретных случайных величин
это соотношение имеет соответственно вид
МХ=\ xf(x)dx	^
— СО	! = 1
Дисперсия случайной величины X (среднеквадратичное отклонение значе-
значений случайной величины X относительно своего среднего значения MX)
со
DX = M[X—MX]*^= ]j (x — MXf-dF(x).
— со
Для непрерывных и дискретых случайных величин это соотношение имеет соответ-
соответственно вид
00	СО
DX= j (x — MX)*f(x)dx. DX=^(Xi~MXfpi.
— CO	1=1
Случайный векгор. Случайный вектор А" = (Х1, ..., Хп) представляет
собой конечное семейство случайных величин, называемых компонентами случайного
вектора. Он полностью задается совместной функцией распределения Fx , ..., х (х\,
.. , х.,) компонент. Совместная функция распределения компонент удовлетворяет
условиям согласованности:
2) PXl	Xjxi	Xn)=>FXa	X.n(Xil -¦ *ln),
где tj, i2, ..., in — любая перестановка индексов 1, 2, ..., n; F^t, ..., Xk (xlt..., xk)—
совместная функция распределения части компонент (Xi, ..., Х^), k <; п. Следова-
Следовательно, зная совместную функцию распределения случайного вектора, можно найти
совместную функцию распределения любой части компонент, Кроме того Д{,ж_„ X

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ	131
X ^b,-al-ts-bn-anFKl.. хп(аЬ---,а,:),гл,еАЬ/{_ак k= 1,2,..., п - разностный
оператор с шагом Ь^ — а^, взятый в точке а#, дает вероятность того, что значения слу-
случайного вектора X лежат в /г-мерном параллелепипеде (а,- =—; Xi < bi, i = 1, 2,..., я).
В случае, когда существует представление
п
рХ,,....Х(*1' ¦-' *») = S ¦•• 5 f(UV -• "n)dui--dun<
— со —со
„) называют совместной пл
(Хи ..., Х„). При этом почт
d"F у	у (хл, ..., х )
функцию /(*ь ... х„) называют совместной плотностью распределения компонент
случайного вектора (Хи ..., Х„). При этом почти везде имеет место равенство
со	со
if ... $ f(xi	хп) dxt...dxn = L
— со —со
Зная совместную плотность распределения компонент вектора (Xf, ..., Хп) можно
найти совместную плотность любой части компонент. Для этого нужно совместную
плотность распределения проинтегрировать по остальным переменным по всей об-
области их изменения. Например,
есть плотность распределения первой компоненты Xf, если f(X{, x2) — совместная
плотность распределения случайного вектора (Хг, Х2),
Независимость случайных величин. О1учайные величины Xf,
..., Хп называются независимыми, если
п	i — \
где Fx х (xi	*„)•—совместная функция распределения случайных величин
Xi, ..., Хп\ Fx (xi) — функция распределения случайной величины Х[.
Случайные процессы. Совокупность случайных величин, зависящих от одного
вещественного параметра t, есть случайный процесс, т. е. случайный процесс — это
случайная функция X(t) от независимого переменного t. Случайный процесс X(t)
считают полностью заданным, если для любых tx, ..., tn и любого п задана совместная
функция распределения Fх ц^ х ц ) (xi	хп) случайных величин Х(^),...,Х(^).
Эти совокупности функций распределения называются конечномерными распределе-
распределениями процесса X(t).
Конечномерные распределения дают исчерпывающую характеристику случайного
процесса. Однако, во многих случаях представляет интерес более сжатая характерис-
характеристика распределений. Например, для вычисления математического ожидания MX(t)
и дисперсии DX(t) от случайного процесса X(t) в момент времени t достаточно знать
одномерное распределение FХц\ (х) процесса в точке t, а для вычисления корреляцион-
корреляционной функции R(t, s) = M[X(f) — MX(t)\ [X(s) — MX(s)] процесса X(t) достаточно
знать двумерное распределение Fx ^^ x,s) (хъ Л'г)- В случае существова! ия одномерной
и двумерной плотности распределения процесса X(t), т е. в случае существования
функций
—	г	= / ity X), 	г	г	 =/ it, Xit S, Хп)

132	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция вычисляются по
формулам:
оо
MX(t)= | xj(t, x)dx;
— со
00
DX (t) = $ (x — MX (ОJ / (t, x) dx;
— со
00
R(t, s)= $ (xt — MX(t))(x2 — MX{s))f(t, xv s, x^)dxxdxv
— oo
Корреляционная функция R(t, s) процесса X(t) характеризует меру линейной зави-
зависимости значений процесса в точках t и s. Например, если R(t, s) = ±DX(t)DX(s),
то существуют неслучайные постоянные а и Ь, такие, что X(t) = aX(s) + b, При
t — s корреляционная функция дает дисперсию процесса, т е. R(t, t) = DX(t)
Определим наиболее распространенные классы случайных процессов
1 Стационарные процессы Процесс X(t) называется стационарным,
если MX(t) = const, а корреляционная функция R(t, s) = R(s — t) зависит только
от разности аргументов s — / Важным подклассом этих процессов являются процессы,
в которых и другие вероятностные характеристики не меняются при сдвиге времени
2. Процессы с независимыми приращениями Процесс X(t)
называется процессом с независимыми приращениями, если для любых t1 < t2 ^~ t3 <
<; /4 приращения X(t2) — X(^) и X(t4) — X(ts) являются независимыми случайными
величинами Для процесса с независимыми приращениями, зная распределения
приращения X(f) — X{s) для любых /, s, можно выписать конечномерные распределе-
распределения.
3 Нормальные процессы Процесс X(t) называется нормальным,
если для любых tx	tn и любого п совместное распределение случайных величин
A(/j), ..., X(tn) является нормальным распределением, т. е. совместная плотность
распределения имеет вид
HXl"	72^УШГ ^ 2
где m(=A'!X(<,V, А—положительно определенная матрица с элементами atJ —
= M[X(t{) — miWXitf) — m,]; \A I—определитель матрицы А, Ьц — элементы обрат-
обратной матрицы Л
4. Винеровские процессы Нормальный случайный процесс с не-
независимыми приращениями, для которого MX (С) = 0, D[X(t + h) — X(t)] = ] h I
называется винеровским процессом Такой процесс еще называют процессом броунов-
броуновского движения. Для винеровского процесса приращения X(t + h) — X(t) распре-
распределены по нормальному закону с плотностью
nx)=vmrexp\-Sri-
5. Белый ш у м. Стационарным белым шумом будем называть процесс X{t),
математическое ожидание которого равно 0, а корреляционная функция содержит
множителем б — функцию Дирака, т. е. тх = 0, RK(x) = <3й(т) Дисперсия белого
шума равна бесконечности Множитель G характеризует интенсивность белого шума.
Белый шум в чистом виде в природе не существует, так как для его реализации не-
необходима бесконечная мощность. Однако понятие белого шума удобно при построении
математической теории, и многие процессы в большей или меньшей степени прибли-
приближаются к нему. Спектральная плотность белого шума постоянна Белый шум является
обобщенной производной от винеровского процесса, поэтому значения Х@ в каждый
момент времени t не имеют непосредственного смысла.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИИ	133
6. Марковские процессы В основе понятия марковского процесса
X(t) лежит представление о системе, поведение которой в будущем полностью опре-
определяется состоянием системы в данный момент времени (т е не зависит от поведения
системы в прошлом). Они задаются переходными функциями распределения F(t, х,
s, у), определяющими вероятность того, что система, находящаяся в момент времени t
в состоянии х, окажется в момент времени s(s > t) в одном из состояний, принадлежа-
принадлежащих области (— оо, у) При фиксированных t, x, s переходная функция распределения
F(t, х, s, у) является функцией распределения по у и удовлетворяет уравнению
F (t, х, s, y) = \jF(u, г, s, y)dzF(t, x, и, г) (t<u<s),
где интеграл берется по всему пространству состояний процесса X(t) Это уравнение
носит название уравнения Чепмена—Колмогорова В случае, когда переходную функ-
функцию распределения можно представить в виде
у
F(t, х, s, y)= \ f(t, х, s, z)ds
функцию f(t, x, s, z) называют переходной плотностью марковского процесса. Уравне-
Уравнение Чепмена—Колмогорова для переходной плотности имеет вид
оо
f(t, и, s, у)— ] /(«, г, s, y)f(t,x, и, z)dz (t<u<s),
— со
кроме того, f(t, х, s, у) 5= 0 и j f(t,x,s,y) dy= 1.3ная функцию распределения началь-
— оо
ного состояния X(t0) марковского процесса X(i) и переходную функцию распределения
или переходную плотность, можно выписать конечномерные распределения процесса
X(t). По существу марковский процесс является вероятностным аналогом процессов
классической механики, в которых дальнейшее развитие процесса определяется
состоянием в настоящий момент и не зависит от способа, которым это состояние было
достигнуто Аналогичн© определяются многомерные марковские процессы.
Методы исследования колебаний. Проблемы исследования колебаний под дей-
действием случайных сил (проблемы случайных колебаний) довольно сложны и недоста-
недостаточно еще изучены Изложим ниже некоторые из наиболее разработанных и практи-
практически эффективных методов расчета случайных колебаний [62—64]
Метод уравнений Колмогорова — Фоккера — Планка.
Разработка эффективных методов определения статистических характеристик слу-
случайных процессов в нелинейных системах — актуальная проблема.
Будем рассматривать систему уравнений
Xl(t) = fi{X1, .... Х„)+ J] glm(X1	 Xm)im(t) (t = l	п), B08)
где fs(x}, ,,,, х„), gim (xlt ..., х„) — неслучайные функции; §;(/) — независимые слу-
случайные процессы типа белого шума, т. е. M%i(t) = О, М|,@1<(*+ %) = б(т), М|Д0 X
X ij(s) — 0 при i Ф /
Так как %t — случайный процесс, то уравнение B08) следует понимать как стохас-
стохастическое уравнение Ито в дифференциальной форме
dXi (/)=/, (X, @, ..., хп@) dt+ 2] gim № W. -.х„{t))dim@
m = l
или в интегральной форма
2 $
171 —1 /n

134	МЕТОДЫ АН 1Л1ПА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
здесь |<@ — независимые одномерные винеровские процессы, а второй из интегралов—
стохастический интеграл Ито. Решения X(t) = (X^i), .. , XJt)) таких уравнений
являются га-мерным марковским процессом и при дополнительных условиях на глад-
гладкость функций /;, g;m существует переходная плотность W(t, xt	х,,; s, yx	ут),
t < s, которая удовлетворяет уравнению Колмогорова по переменным х
п	я
SW VI	,dW I V^	&*W
~яГ+ AflW. •••' Х«'"д7Г+Т Л gim(xV ¦¦¦> xa)g!m(xU ¦••• хп) ях. ду
i = l	i, i, m — \
и уравнению Колмогорова—Фоккера—Планка по переменным у
п
/г
Zi
dxtdx'
Поскольку W переходная плотность, то
J J Г (<;«!, ... xn; s; yi, ..., yn)dyu ..., dyn=l.
— CO — OO
При исследовании случайных колебаний представляет особый интерес случай
таких систем, для которых W стремится со временем к стационарной совместной
плотности распределения вероятности, не зависящей от времени и начальных условий.
dW
В этом случае -^— = 0. Для решения уравнений Колмогорова—Фоккера—Планка
можно использовать общие методы теории дифференциальных уравнений в частных
производных параболического типа.
Рассмотрим, например, движение нелинейной колебательной системы с одной
степенью свободы, описываемое дифференциальным уравнением
где J3 — коэффициент линейного демпфирования; g(x) — нелинейнач восстанавли-
восстанавливающая сила; %(t) — процесс белого шума, имеющий интенсивность S.
Это уравнение следует понимать как систему стохастических уравнений Ито,
dXx (t) = ~ (pXt (t) + g(X @) dt+ V S d% (t),
где 1@ — винеровский процесс.
В.этом случае закон изменения стационарной совместной плотности распределения
X и Xописывается линейным дифференциальным уравнением в частных производных
вида
— х-д	1- =-г ($ZW)-\-g (x) -=-. +—-—^-=0.	B09)
Единственным решением уравнения B09) является выражение
( р Г	Т	]
W (х, х) = Ссхр>- [, \х- |-< \ f{y)dy },	B10)
14	0J	J

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ	135
в котором постоянная интегрирование С определяется из условия нормирования
со со
С С W (x, x) dx dx = I.
— со —со
После того, как получена совместная плотность вероятности B10), легко выч тлить
различные характеристики колебательного процесса X (t) системы. Например, сред-
среднее квадратическое значение
со со
— со — со
Метод возмущений. В колебательных системах нелинейность встре-
встречается обычно в упругих и демпфирующих элементах (см гл 1) Рассмотрим движение
системы с одной степенью свободы, описываемое дифференциальным уравнением
t(t),	B11)
где б — коэффициент линейного демпфирования; g(X) — нелинейная функция;
йH — постоянная; в — малый постоянный параметр; |(/) — случайный процесс.
Основная идея метода возмущений состоит в отыскании решения уравнения B11)
в виде ряда по степеням малого napaMeipa
X (/) = *„ @+eXi (t) + е*Л8 (/) + ....	B12)
Предполагая, что решение B12) удовлетворяет уравнению B11) тождественно по в и
поэтому коэффициент при каждой степени е должен обратиться в нуль, получаем
следующую систему линейных уравнений:
B13)
а = Xt @ g' [Xo (<)]
и т. д.
Решения уравнений B13) можно представить в виде
где // (т)=— 4= sm К«2-63 ^ (/ > 0).
I7 o^ — 6J '
Полученное решение B12) можно использовать для определения моментных характе-
характеристик движения нелинейной сиаемы B11):
MX (t) = MXQ (I) + еИХ, ()+*MX, (() + ...,
t)X(t) + e* +	( }
В большинстве случяег определяют только члены нулевого и первого приближения.
Практически математические ожидания в правых частях B14) вычисляются для
специальных классов случайных возмущений и некоторых нелинейных функций g(x).
Асимптотические методы Крылова — Боголюбова. Часто приходится иссле-
исследовать колебательные системы со слабыми нелинейностями и малыми случайными
возмущениями типа белого шума. Такие возмущенные системы обычно содержат

136	МЕТОПЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
малый параметр и при его нулевом значении являются линейными системами обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений (детерминированными системами). Это обстоя-
обстоятельство делает возможным использовать идеи асимптотических методов Крылова^
Боголюбова для их исследования.
Пусть колебательная система описывается стохастическим дифференциальным
уравнением вида:
+«« = «/, (X. §) + КГ/,(х. %)Ш	B15)
где 8 — малый положительный параметр; flt /2 — нелинейные функции; |(/) —
процесс белого шума.
Вследствие малости параметра е возможно применение асимптотического метода
Крылова—Боголюбова—Митропольского. Для этого в уравнении B15) произведем
замену
—~ = — а и sin
После обычных преобразований и применения формулы Ито * получим
cos У' — аш s'n ^M cos2 Ф	/i (a cos if, ¦— аш sin if) sin if—
B16)
гг = 2т f* (а cos У' аш s'n ^M cos Ф
	/2 (а cos if, — аш sin if) | (/) sin if;
da \
=^2/I (a cos ф, — a(osini|))sinij)cosi|3—
e	Ve
	fx (a cos if», —aco sin if) cos \|)—-—f2(acosxp, —aco sin \p) | (/) cos i|>.
Уравнения B16) аналогичны B08), поэтому решением этой системы будет двумер-
двумерный марковский процесс, т. е. системе уравнений B16) ставится в соответствие сле-
следующее уравнение Колмогорова—Фоккера—Планка:
B17)
где W — W(t0, а0, 60; /, о, 8) — плотность совместного распределения амплитуды
и фазы; Ка, Кв и Da, DaQ, Dq — соответственно коэффициенты переноса и диффу-
диффузии, определяемые по формулам
8	Р
¦^а = о—2~Га (а cosiJj, — aco sin я|з) cos2 if	^(acosif, —аса sin if) sin <|;;
Ле =	j-j /| (a cos if, — aco sin if) sin if cos if —
	h (« cos if, — аш sin if) cos if;	B18)
g
Da = —j /| (a cos if, — аш sin if) sin2 if;
6
Da6 ——-2fl (a cos "Ф- — aco sin Ф) sin ^ cos if;
-2—2
/1 (a cos if, — аш sin if) cos2if.
* Смысл формулы Ито заключается в следующем: если имеем стохастический дифферен*
пиал da = tpdt -j- xl>dl и положим и = / (а), то d« = (/' (а)^ + '/«/" (e)i)>J)<f/ + /* (a)i|76S.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ	137
g общем случае при нахождении аналитического решения уравнения B17) встре-
встречаются существенные затруднения. Некоторые из них можно преодолеть, используя
принцип усреднения.
Уравнение Колмогорова—Фоккера—Планка в нашем случае имеет вид
-jjr = RL(a, e, t)W .	B19)
Согласно принципу усреднения решение уравнения B19) при е -*- 0 можно приблизить
на сколь угодно большом конечном интервале времени решением уравнения
—~- = eL0 (а, 6) Wa,
где Lo — оператор, коэффициенты которого получены из коэффициентов оператора L
усреднением по времени. Поскольку коэффициенты B18) зависят от времени через
г|), то усреднение следует выполнить по т|з:
2я	2я
о	о
2я	2л
о	о
2я
Для анализа случайных колебаний нелинейных стохастических систем важную роль
играет стационарная плотность распределения амплитуды, получающаяся из совмест-
совместной плотности распределения амплитуды и фазы интегрированием по фазе 6. Стацио-
Стационарным точкам этой плотности соответствуют устойчивые или неустойчивые ампли-
амплитуды случайных колебаний в зависимости от достижения в этой точке соответственно
максимума или минимума. Так, например, если ft (х, —- =A —хг) —тт и /2 = a (a —
\ ш /	at
некоторое положительное число), то в системе совершаются устойчивые стационарные
случайные колебания с амплитудой
Метод статистической линеаризации. В теории нелинейных систем часто прихо-
приходится встречаться с дифференциальными уравнениями, содержащими нелинейные
функции, которые не линеаризуются обычными способами (например, разрывные
функции). Для приближенного определения вероятностных характеристик решений
дифференциальных уравнений можно применить метод статистической линеаризации.
Этот метод основан на замене нелинейных функций такими линейными, которые
в известном смысле статистически равноценны данным нелинейным функциям.
Пусть две случайные величины X и Y связаны функциональной зависимостью
Y = ф(Х).
Обозначим их математические ожидания и дисперсии соответственно через шх,
пу, Dx, Dy. Положим Z = komx + ftjX0 и подберем коэффициенты k0 и fex так, чтобы
случайные величины Y и Z имели одинаковые математические ожидания и дисперсии,
т. е.
ти = тг, Dy^Dz.	B20)
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины 2
mz = komx, Dz = k\Dx.	B21)

138	мгтоды анллизл нелинейных систем
Сравнивая B20) и 221), получаем следующие формулы для определения коэффициен-
коэффициентов k0 и kL:
' X
Если {(х) — плотность вероятности случайной величины ХA), то
оо
===
<p(x)?(x)dx; Dy=
— со
Коэффициент fej должен иметь тот же знак, что и производная функции <р. Статисти-
Статистическая линеаризация, сохраняющая математическое ожидание и дисперсию функции,
не всегда оказывается наивыгоднейшей. Лучшим оказывается применение критерия
минимума среднего квадрэтического отклонения M\Y —Z]2 = min. В этом случае
M[w(X)X]
	 п
СО
1 С
Ux J
Статистическая линеаризация функции по условию минимума среднего квадратичес-
кого отклонения дает то же значение k0, что и статистическая линеаризация по усло-
условию сохранения математического ожидания и дисперсии функции, но другое значе-
значение kx.
Связь метода гармонической линеаризации с мето-
методом статистической линеаризации. Если X(t) = asin(co/ + \J>),
где гр — случайная фаза, наилучшее линейное приближение есть
2л	2Л
1 Г i (¦
— y- \ ф (я и'п t) dt -\	I ф (a sin t) sin / dt sin
о	о
Правая часть представляет собой сумму двух первых слагаемых ряда Фурье функции
ф(а sin t). Метод статистической линеаризации в этом случае,-очевидно, дает такой же
результат, что и метод гармонической линеаризации в теории нелинейных колебаний.
Поэтому метод гармонической линеаризации можно рассматривать как метод наилуч-
наилучшего приближения в смысле минимума среднего квадратического отклонения (сред-
(среднее берется по времени за период).
Метод эквивалентной линеаризации можно считать обобщением асимптотичес-
асимптотического метода Крылова — Боголюбова, применяемого для исследования систем со
слабой нелинейностью, и метода статистической линеаризации.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы, описываемую уравнением X +
+ 2 6^+ g (X) = ? (/). Введем в обе части уравнения линейный член XX, тогда
где Я — параметр, подлежащий определению. Естественно выбрать такое значение
Я, при котором М[ХХ —g (X)]'i минимизируется, например
М[Х8(Х)]
мх* •
Если возмущение представляет собой белый шум с интенсивностью S, то MX2 =¦
= jrjT- и M[Xg(X)] = ~. Метод эквивалентной линеаризации применяют также
ZOA	2.0
для систем с иелинейностями, зависящими как от х, так и от х.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ	139
Метод эквивалентной линеаризации основан на замене всех существенно нелиней-
нелинейных элементов системы такими линейными, которые (в смысле минимума среднего
квадратического отклонения) статистически эквивалентны нелинейным элементам.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андронов А. А. Собрание трудов. М., Иэд-во АН СССР, 1956. 538 с.
2	Андронов А. А., Внтт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. Изд. 2-е, М., ФизматгиЗ,
1959. 915 с.
3	Бабушка И., Витачек Э., Прагер Н. Численные процессы решения дифференциальных
уравнений. М., «Мир», 1969, 368 с.
4. Бахвалов Н. С. Численные методы. В 2-х т. Т. I. M., «Наука», 1973. 631 с.
5 Берсзин И. С, Жидков Н. П. Методы вычислений. В 2-х т. Т. II. М., Физматгиз, 1962.
620 с.
6.	Биркгофф Дж. Д. Динамические системы. М., Гостехиздат, 19Я. 320 с.
7.	Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М., «Наука» 1971. 894 с.
8.	Блехман И. И. Метод малого параметра. — В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Общая
и прикладная механика, т. I. M., «Наука», 1968. с. 141 —150
9.	Блехман И. И., Джанелидзе Г. Ю. Вибрационное перемещение. М., «Наука», 1964. 410 с.
10.	Блехман И. И., Мышкис А. А., Пановко Я. Г. Прикладная математика: предмет, логика,
особенности подходов. Киев. «Наукова думка», 1976. 272 с.
11.	Боголюбов Н. Н. Избранные труды. В 3-х т. Т. I. Киев, «Наукова думка», 1969. 643 с.
12.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний. Изд. 4-е. М., «Наука», 1974. 504 с.
13.	Боголюбов Н. Н. Об одном методе В. Н. Челомея в теории колебаний. — В кн.: Избран-
Избранные проблемы прикладной механики. М., изд. ВИНИТИ, 1974, с. 143—153.
14.	Бугенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев П. А. Введение в теорию нелинейных колеба-
колебаний. М., «Наука», 1976. 256 с.
15.	Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Ч. 1. М. — Л., «Энергия»,
1965. 396 с.
16.	Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. В 3-х т. Т. I —III. M., «Наука»,
1971 — 1975.
17.	Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. Введение в теорию. М., «Наука»,
1973. 400 с.
18.	Гольдфарб Л. С. О некоторых нелинейностях в системах регулирования. —«Автоматика
и телемеханика», 1947, № 2, с. 63 — 71.
19.	Грездов Г. И. Теория и применение гибридных моделей. Киев, «Наукова думка», 1975.
276 с.
20.	Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. Изд. 2-е.
М., «Наука», 1964. 400 с.
21.	Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Физмат-
Физматгиз, 1961. 703 с.
22.	Каннингхем В. Введение в теорию нелинейных систем. М. — Л., Госэнергоиздат, 1962.
456 с.
23.	Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Изд 3-е.
М. — Л., Физматгиз, 1962. 708 с.
24.	Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пер. с англ. Изд. иностр. лит., 1958. 474 с.
25.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.
Изд. 3-е. М., «Наука», 1972. 496 с.
26.	Коловский М. 3. О применении метода малого параметра для определения разрывных
периодических решений. [Труды Международного симпозиума по нелинейным колеба-
колебаниям, т. IJ. Киев, изд АН УССР, с. 118 — 128.
27.	Коловский М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем. М. «Наука», 1966, 317 с.
28.	Коловский М. 3., Вульфсон И. И. Нелинейные задачи динамики машин. М., «Машино-
«Машиностроение», 1968, 282 с.
29.	Копиин Ю. М. Периодические колебания нелинейных неавтономных систем со многими
степенями свободы. — «Инженерный журнал. Механика твердого тела», т. 5, 1965.
с. 28 — 40.
30.	Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инжене-
инженеров. М , «Наука», 1973. 831 с.
31.	Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. Пер. с англ. М., «Мир», 1972,
274 с.
32.	Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную ус<анику. Киев, Изд. АН УССР,
1937. 363 с.
33.	Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Киев, «Вища школа», 1974, 472 с.
Авт.: Н. П. Еругин, И. 3. Штокало, П. С. Бондаренко и др.
34.	Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования.
М., Гостехиздат, 1951, 216 с.
35.	Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М. — Л., Гостехиздат, ¦ 1950.
287 с.
36 Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. Пер. с англ. М., изд. иностр. лнт. 1951.
37.	Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Изд. 2-е, М., «Наука», 1966, 530 с.
38.	Малкин И. Г. Некоторые задачи в теории нелинейных колебаний. М., Гостехиздат, 1956.
492 с.
39.	Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний.
М., «Наука», 1964. 432 с.

140	МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
40 Митропольский Ю. А, Метод усреднения в нелинейной механике. М., «Наукова думка»,
1971. 440 с.
41.	Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. Изд. 2-е, М., «Наука»,
1970. 512 с.
42.	Нагаев Р. Ф. О внутренней синхронизации почти одинаковых динамических объектов
под действием слабых линейных связей. — «Прикладная математика и механика», т. 28,
1964, № 2. с. 10—15.
43.	Нагаев Р. Ф. Случай порождающего семейства квазипериодических решений в теории
малого параметра. — «Прикладная математика и механика», т. 37, 1973, № 6. с. 25—35
44.	Найфе А. Методы возмущений. М., «Мир», 1976. 455 с.
45.	Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.,
«Наука», 1972. 471 с.
46.	Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений
Изд. 2-е. М. — Л , Гостехиздат, 1949. 551 с.
47.	Основные технические и эксплуатационные характеристики аналоговых вычислитель-
вычислительных машин. М., «Машиностроение», 1972. 300 с.
48.	Палыиов В. А. Колебания упруго-пластических тел. М., «Наука», 1976. 328 с.
49.	Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М., «Наука», 1971. 239 с.
50.	Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л., «Машиностроение»,
1976. 320 с.
51.	Попов В, М. Гиперустойчивость автоматических систем. М., «Наука», 1970. 454 с.
52.	Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автомати-
автоматических систем. М., Физматгиз, 1960. 792 с.
53.	Проскуряков А. П. Метод малого параметра Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. [Тру-
[Труды II Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике, вып. 2]. М., «Наука», 1965, с. 35—44.
54.	Прокуряков А. П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М., «Наука», 1977.
256 с.
55.	Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Классики есте-
естествознания. М. — Л., Гостехиздат, 1974. 392 с.
56.	Пуанкаре А. Избранные труды. В 3-х т. Т. 1—3. М., «Наука», 1971 — 1974.
57.	Пухов Г, Е., Грездов Г. И., Верлань А. Ф. Методы решения краевых задач на электрон-
электронных моделях. Киев, «Наукова думка», 1965. 144 с.
58.	Розенвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем. М., «Наука», 1969. 576 с.
59.	Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М., «Наука», 1971. 288 с.
60.	Рябов Ю. А. Об оценке области применимости метода малого параметра в задачах теории
нелинейных колебаний. 1Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям,
т. И]. Киев, изд. АН УССР, 1963. с. 62-70.
61.	Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периоди-
периодических решений. Киев, «Вища школа», 1976. 180 с.
62.	Светлицкий В, А. Случайные колебания механических систем. М., «Машиностроение»,
1976. 215 с.
63.	Свешников А. А. Прикладные методы теория случайных функций. Изд. 2-е. М., «Наука»,
1968 463 с.
64.	Случайные колебания. Под ред. С. Кренделл. Пер. с англ. под ред. А. А. Первозванекого
М., «гМир>, 1967. 356 с.
65.	Смейл С. Дифференцируемые динамические системы. —«УМН», т. 25, вып. 1, 1970,
с. ИЗ —185.
66.	Справочник по аналоговой вычислительной технике. Киев, «Техника», 1975. 431 с.
67.	Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. Изд. 2-е,
М., Изд. иностр. лит., 1953. 256 с.
68.	Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. Изд. 2-е. М., «Наука», 1967. 444 с.
69.	Урабе М. Метод Галеркина для нелинейных периодических систем. — «Механика»,
т. 97, 1966, № 3, с. 3-34.
70.	Фазовая синхронизация [Сборник статей]. Под ред. А А. Шахгильдяна, Л. И. Белюсти-
ной. М., «Связь», 1975. 244 с.
71.	Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Мир», 1970. 720 с.
72.	Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. Пер. с англ. М., «Мир», 1966. 230 с.
73.	Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. М., «Мир», 1964. 477 с.
74.	Челомей В. Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи
вибраций. —«ДАН СССР», 1956, т. ПО, № 3, с. 345 — 347.
75.	Шиманов С. Н. Об одном способе получения условий существования периодических ре-
решений нелинейных систем. —«Прикладная математика и механика», т. 19, 1955, № 2,
с. 206 — 211.
76.	Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., «Наука»,
1969, 424 с.
77.	Diliberto S. P., Hufford G. Perturbation theorems for non-linear ordinari differential equa-
equations. Contributionsto the theory of non-linear oscillations, III, Princeton, 1956.
78.	Faure R. Sur la sinchronisation des systemes oscillants. Solutions voisines de points sin-
guliers. C. r. Acad. Sci., 1958, 247, N 15.
79.	Friedrichs K. G. Fundamentals of Poincare's theory. Proc. Sympos. Non-linear Circuit
Analisis, 1953, 2.
80.	Haag J. Sur la synchronisation des systemes oscillants non-Iineaires. Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup., Paris, 1950, 67, p. 321 — 322.
81.	Minorsky N. Non-linear Oscillations. P. Van Nostrand Company, Ing., New York, 1962.
82.	Mfnorsky N. Theoretical aspects of non-linear oscillation. Ire transactions of the proffes-
sional group on circuit theory. Vo 1. CT-7, 1960, N 4, p. 368 — 381.
83.	Shock and Vibration, Handbook. Vol. i.

Часть вторая
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ
НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ,
ИХ АНАЛИЗ И СВОЙСТВА
Глава III
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Консервативными называют механические системы, движение которых характе-
характеризуется постоянством во времени полной энергии
A)
где Т и П — соответственно кинетическая и потенциальная энергии [3]. Иными
словами, уравнения движения таких систем допускают первый интеграл (интеграл
энергии)
H = h,	B)
где h — постоянная энергии, зависящая от начальных условий.
Ниже рассмотрен наиболее общий случай нелинейных консервативных систем
(о линейных консервативных системах см. в т. 1).
2. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Уравнение движения в форме Лагранжа при? = — a (q) q2, П = П (q) имеет вид
где q — обобщенная координата; а — инерционный коэффициент, зависящий от q.
Положения равновесия (q = 0) консервативной системы определяются из условия
экстремума потенциальной энергии dFJIdq = 0. Устойчивому равновесию соответ-
соответствует минимум (d2I7/dq2 > 0), а неустойчивому —максимум (сРП/dq2 < 0) потен-
потенциальной энергии. Уравнение C) можно всегда проинтегрировать в квадратурах.
В консервативной системе с одной степенью свободы возможны движения четырех
типов: дибрационные (колебательные), ротационные, убегающие и лимитационные.
Если уравнение
fl(q) = h	D)
имеет два последовательных простых (dFIIdq Ф 0) корня qt(h) и q^h), причем в интер-
интервале qi < q < q2 выполняется неравенство Fl(q) < h, то уравнение C) допускает
периодическое решение либрационного типа, период которого, вообще говоря, зави-
зависит ог постоянной энергии и равен

142	консервативные систрмы
Т — периодическое решение либрационного типа характеризуется тем, что всегда
j^f^ijjB его можно представить в виде ряда Фурье
|]	, / = j/^I,	F)
/=-со
где фаза колебаний
(Л)/	G)
а — произвольный фазовый сдвиг, ш = 2n/T(h) — угловая частота. Величину
полуразмаха колебаний
A(h) = ±(qt-qi)>0	(8)
можно считать соответствующей амплитуде колебаний. Произвольному решению
уравнения C) при фиксированном значении постоянной энергии h соответствует на
фазовой плоскости (р, q) * некоторая симметричная относительно оси q фазовая траек-
траектория, уравнение которой
g + Л-А	(9)
является одновременно интегралом энергии B). Фазовая траектория либрации замк-
замкнута и ограничивает на плоскости (р, q) площадь
5 = 2яУ(А),	A0)
где
$%)	(И)
0	д,
называется постоянной действия.
Постоянные энергии и действия взаимно однозначно и непрерывно связаны:
|;=ш>0.	A2)
Периодические движения ротационного типа существуют, если h > max /7,
a(q) = a(q -\- 2я), FI(q) = IJ(q -f 2я) и обобщенная координата q есть угол. Ротации
периодичны в том смысле, что q((f + 2я) == ^(ф) + 2лст, где ф — фаза вращения,
определяемая по формуле G); со — средняя угловая скорость; а = ±1 — указатель
направления вращения. Поэтому возможно разложение
со
<*? = Ф+ S и,(Л)е'Л>.	A3)
/ = — со
Период периодической ротации [4]
2Я
$|/i	A4)
о
Для движений ротационного типа также справедливо соотношение A2), причем
постоянная действия вводится согласно первому из выражений A1). Если отождест-
отождествить величины q и q + 2л и в связи с этим рассматривать не фазовую плоскость,
а фазовый цилиндр (q, p), то фазовые траектории периодических ротаций будут
также замкнутыми.
дТ
^-г = а<7— обобщенный импульс
dq ч

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ	143
Непериодические движения убегающего типа существуют, если потенциальная
энергия П ~> — оо при | q I ->м и характеризуется тем, что модули q и р при беспре-
беспредельном увеличении или беспредельном уменьшении времени (t ->± оо) также уве-
увеличиваются до бесконечности. Убегающие движения этого типа характерны для
случаев действия сил отталкивания. Убегающие движения иного типа, для которых
импульс р ограничен при любых t, возможны, если энергия П не периодична по
q и lirn П = const.
q —> оо
Движения особого, лимитационного типа существуют только при дискретных
значениях постоянной энергии h, совпадающих со значениями этой постоянной в точ-
точках q = qt положений неустойчивого равновесия:
Лимитационные движения характеризуются тем, что при беспредельном увеличе-
увеличении или уменьшении времени q -*qM и q -»0. Соответствующие им фазовые траекто-
траектории называют сепаратрисами. Для убегающих и лимитащюнных движений постоян-
постоянная действия A1) смысла не имеет.
Фазовая плоскость (q, p) симметрична относительно оси q и в наиболее общем
случае конечным или счетным числом сепаратрис делится на соответственно конечное
или счегное число областей, сплошь заполненных фазовыми траекториями либра-
ционного, ротационного или убегающего типов. Таким образом, сепаратрисы разде-
разделяют области движений существенно различных типов, например области периоди-
периодических либрации и ротаций.
3. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Периодические (либрационные или ротационные) движения консервативных систем
характеризуются видом зависимости постоянной энергии h от частоты и, определяю-
определяющей так называемую скелетную кривую h = /t(co). Скелетная кривая может быть задана
неявно или параметрически в виде
h = h(J); © = «(/).	A6)
В качестве параметра можно выбрать как действие J, так и любой другой пара-
параметр, связанный с ним и имеющий физический смысл,например,полуразмах («ампли-
(«амплитуду») вибраций А (8).
Консервативную систему называют изохронной, если частота не зависит от опре-
определяемой начальными условиями постоянной энергии h (и связанной с ней амплитудой
колебаний). Изохронные системы характеризуются пропорциональностью между
энергией и действием [см. A2)]:
й-=м/.	A7)
В частности, изохронными являются малые либрации вблизи положения устойчивого
равновесия, когда q, <? < 1.
Изохронизм присущ не только линейным консервативным системам. В принципе
/ 1П I	1*П	Л
всегда зависимость П (q) ( —;— = 0, ——• > ОI, заданная при положитель-
\ dcl '<7 = О	d<?2 Q = 0
ных q, может быть достроена в области q < 0 так, чтобы результирующие колеба
ния были изохронными. Пример нелинейного изохгошого объекта—осциллятор
с ломаной характеристикой, уравнение колебаний которого имеет вид
ag + (ci + c2 signg) <7 = 0 (c1>c2>0).	A8)
В общее решение уравнения A8) лнбрационного типа входит постоянная частота,
не зависящая от величины постоянной h,
A9)

144	КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
Как правило, консервативные нелинейные системы анизохронны, т. е. частота ш
изменяется с изменением энергии. Анизохронные объекты удобно классифицировать
в зависимости от типа скелетной кривой, основной характеристикой которой является
коэффициент крутизны
(P-h	da	,nn
Поскольку полуразмах колебаний А есть монотонно возрастающая функция энер-
dA
гии, то знак производной -у- совпадает со знаком коэффициента крутизны. Если в не-
дсо
котором диапазоне изменения постоянной энергии коэффициент крутизны скелетной
кривой положителен (отрицателен) и, следовательно, с ростом частоты энергия увели-
увеличивается (уменьшается), то в этом диапазоне рассматриваемый консервативный объект
называют жестко (мягко) анизохронным, а его скелетную кривую — жесткой (мягкой).
В различных диапазонах изменения энергии одна и та же консервативная система
может быть мягко или жестко анизохронной и даже изохронной.
Приближение фазовой траектории к сепаратрисам связано с постепенным умень-
уменьшением частоты периодического движения. Если такое приближение характеризуется
увеличением (уменьшением) энергии, то соответствующая окрестность сепаратрисы
есть область мягкого (жесткого) анизохронизма.
Переход через сепаратрису, связанный с прохождением частоты ш = со (Л) через
нуль, всегда характеризуется сменой типа анизохронизма, которая может произойти
и при других «не сепаратрисных» значениях постоянных энергии. В окрестностях
этих значений система ведет себя приблизительно как изохронная.
Изложенное выше справедливо для широкого класса консервативных систем
А	dA dll
с одной степенью свободы, для которых производные -т— и —	кусочно-непрерыв-
—	кусочно-непрерывные функции q, допускающие конечные разрывы первого рода. Кроме того, на концах
интервала допустимых значений q (если он конечен) эти производные могут обращаться
в беконечность. Описанные качественные особенности движения справедливы и для
консервативных виброударных систем (см. гл. XII), которые характеризуются тем,
что при достижении координатой некоторого вполне определенного значения обобщен-
обобщенная скорость q мгновенно меняет знак. Периодические движения таких систем можно
построить в результате интегрирования уравнения C) внутри интервалов непрерыв-
непрерывности с последующим сопряжением полученных решений при учете условий удара
и периодичности.
Для консервативных ударно-колебательных систем справедлив интеграл энергии
B), сохраняется смысл действия [первая часть формулы A1)], фазы G) и частоты
A2) движения. Вместе с тем существенно меняется формула для определения периода.
Для существования периодических либрации оказывается необязательным сущест-
существование экстремумов потенциальной энергии П.
4. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
1.	Идеальный ротор. Координата q есть угол, а = / — постоянный момент инерции
ротора относительно оси вращения, /7 = 0. Простейшее уравнение движения ротора Iq = 0
имеет общее ротационное решение жестко анизохронного типа
<7 = о-ф, h = ^f-: e = ~-	B1)
2.	Физический маятник. Уравнение движения неуравновешенного тела, вращающегося
около горизонтальной оси, имеет вид
Iq + mSl sin q = 0,	B2)
где /, т и / — соответственно момент инерции, масса и эксцентриситет маятника; g — уско-
ускорение свободного падения; q — координата, имеющая смысл угла поворота. Маятник имеет
два положения равновесия; устойчивое {q = 0) и неустойчивое (<? — я). Неустойчивому по-

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ	Н5
ложению равновесия соответствует значение постоянной энергии
ft = — qs + mgl A — cos q) = 2mgl.	B3)
Соответственно в диапазоне 0 < h < 2mgl существуют мягко анизохронные либрации, для
которых уравнение скелетной кривой и выражение для углового полуразмаха имеют вид
B4)
где полный эллиптический интеграл 1-го рода [5]
Л/2
К (&) = \ —		 @ ^ k < 1).	B5)
J Y\ — ft'sin» ф
При ft > 2mgl реализуются жестко анизохронные ротации, уравнение скелетной кри-
кривой которых
JLK-I[v^j.	B6)
При ft = 2mgl существует лимитационное движение.
3. Конический маятник — физический маятник во вращающейся с постоянной угловой
скоростью v системе координат. Уравнение движения конического маятника
l'q = (I — /i) V2 sin q cos q + mgl sin q — 0,	B7)
где /j — момент инерции маятника относительно центральной оси, проходящей через центр
вращения (/ > Л).
Если безразмерный параметр
и, следовательно, угловая скорость v относительно мала, существуют два положения равно-
равновесия маятника: устойчивое (д = 0), когда значение безразмерной постоянной энергии
и неустойчивое (q = л), когда h = hn =	. Соответственно при ft > hn существуют
жестко анизохронные ротации, для которых
1/2	{^[(	)!р»]-1/2. C0)
Наоборот, при ft0 < ft < hjt реализуются мягко анизохронные либрации, для которых
Эти либрации симметричны относительно положения устойчивого равновесия, а их угловой
полуразмах
Р = "max = arccos (p - ^2/0-	C2)
При увеличении угловой скорости V, когда 0 < р < I, точка q = 0 становится неустой-
неустойчивой, но появляются отличающиеся одно от другого знаком два устойчивых положения
равновесия
q — ± arccos р; Л = 0.	C1>
В появившемся энергетическом диапазоне 0 < ft < ft0 реализуется пара мягко анизо-
хронных асимметричных либрации, отличающихся одна от другой знаком величины q; урав-
уравнения скелетных кривых для этих движений совпадают с уравнением C0). Колебания проис-
происходят в пределах а ^ 1 q | =g P, где
а± = arccos (p -f У2ft).	C4)
При h0 < h < Ня и h > йя по-прежнему существуют симметричные либрации и жестко
анизохронные ротации, для которых справедливы соответственно соотношения C1) и C0)

146	КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕЧЫ
Но в окрестности точки h — h0 симметричные либрации становятся жестко анизохронными
Это означает что внутри диапазона ft0 < А < hn существует неособая точка смены типа ани
зохронизма
4 Осцилляторы с нелинейной восстанавливающей силой. Уравнение движения таких
осцилляторов имеет вид
m'q + F (?) = 0,	05)
где tn — постоянная масса осциллятора (а (?) = m), F — восстанавливающая сила нелиней-
нелинейной симметричной пружииы
F (?) = - F (- ?), ?F (?) > 0	C6)
Все движения в таких системах представляют собой периодические анизохронные либ-
либрации, характер которых полностью определяется видом функции F (?) Поэтому в случае
жесткого (мягкого) анизохронизма можно говорить об осцилляторе с жесткой (мягкой) ха-
характеристикой F = F (?) Ниже рассматривается несколько характерных частных случаев
А Сила F имеет вид ломаной с тремя прямолинейными участками, т е.
ct ?	при — I ^=|? ^; h
Oil + сг (? — 0 при ? > ',	C7)
— cj + сг (q -f- /) при ? < — I.
Уравнение скелетной кривой и выражение для полуразмаха периодических либрации
осциплятора имеют вид
- при 0 < Л < А„ = '„- ;
со =
	 _]	C8)
-г- у — I ircsm у ~ + I/ arctg I/ — G	1)	при A Js h0.
1 /~2Ч	. , ^, ,
У — при 0 < п ^ п0;
f с.
[ри h > Ао
Соотношения C8) можно истолковать как параметрическое задание зависимости ампли-
амплитуды колебаний от их частоты Бесконечному диапазону изменения энергии 0 < h < со
в данном случае соответствует конечный диапазон изменения частоты I/ — ^ <а < |/ —.
f tn	г tn
При этом в интервале 0 < А ^ ha осциллятор ведет себя как изохронный, линейный При
h > Ло осциллятор жестко анизохронныи, если с2 > си и мягко анизохронный, если сг < Ci
Б Сила F определяется параболической зависимостью s-й степени
F = p | д jS— I fl C > 0, s > 0).	C9)
Соотношения, аналогичные C8), в этом случае имеют вид
¦ ГГ 3 + s 1 s-'
142A+5I -у-.
D0)
где Г (с) — гамма функция [5] Диапазон изменения частоты рассматриваемого осциллятора
в отличие от предыдущего бесконечен @ < со < аз), причем, если s > 1, то его либрации
жестко анизохронны, а если s < 1 — мягко анизохронны
В Восстанавливающая сила изменяется по закону (осциллятор Дуффинга)
F = cq + 3?1 (с > 0).	D1)
При р > 0 все движения осциллятора — жестко анизохронные либрации Уравнение
скелетной кривой в параметрической форме
-i/7+pvPT к_, (у	р^_
e>-V „._	[У 2(С+Н2)/	D2)
Если Р < 0, то появляются две точки неустойчивого равновесия q# =+ |/ —^-р ко-
которым соответствует значение постоянной эяергни h — —?2/4?

СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ	147
В энергетическом диапазоне
0<Л<-|1 @<Л<]/Г|)	D3)
существуют мягко анизохронные либрации, для которых справедливы формулы D2) Более
удобна при этом следующая явная вещественная форма записи первого соотношения D2)
с*	с2
При Л= — —г и ft > — т]т (Р < 0> Движение осциллятора Ду() финга является соответственно
лимитационным и убегающим
Г Восстанавливающая сила нелинейных осцилляторов с зазором в общем случае
/F (q — /) при q > /,
f/=\0	при — / sj q </;	D5)
If (;; -f-0 при q < — /,
где 2/ — величина зазора, F (q) — удовлетворяющая условиям C6) восстанавливающая сила
осцилтягора без зазора Уравнение скелетной кривой осциллятора с зазором
«,.=	Я//<''>		D6,
где (o(ft) — скелетная кривая осциллятора Сез зазора
5. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Важный класс консервативных механических систем образуют системы, уравнения
движения которых интегрируются в квадратурах. Достаточно общие признаки интег-
интегрируемости (в квадратурах) уравнений движения голономных консервативных систем
со стационарными связями были сформулированы П. Штеккелем [4]. Интегрируемы-
Интегрируемыми *, однако, могут быть и другие системы
В немалых областях изменения начальных условий общее решение уравнений
движения интегрируемой консервативной системы с п степенями свободы при некото-
некоторых ограничениях на вид кинетической и потенциальной энергий представимо в виде
следующего fe-кратного (fcsg n) ряда Фурье:
(s=l, .... л),	D7)
где срг = и>г( -f ar (г = 1	 fe) — парциальные «быстровращающиеся» фазы,
alf ..., a/; — произвольные начальные фазы, ш,, ..., Шд.—парциальные частоты,
которые как и коэффициенты ряда D7), зависят, вообще говоря, от остальных In — k
постоянных интегрирования При фиксированных значениях этих по^оянных
(и произвольных alt ..., ак) соотношения D7) задают в 2л-мерном фазовом простран-
пространстве системы (qs, ps) гиперповерхность, топологически эквивалентную ft-мерному
Интегрируемыми системами будем называть системы, интегрируемые в чрчдратурах

148	КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
тору. Величины qs и ps согласно D7) являются в общем случае квазипериодическими
или условно-периодическими функциями времени. Поэтому говорят, что интегри-
интегрируемая (в квадратурах) система допускает общий квазипериодический интеграл,
а ее фазовое пространство сплошь заполнено торами квазипериодических решений.
Выбор быстрых фаз в решении D7), вообще говоря, неоднозначен. Однако их
общее число k строго определено, так как всегда тождественно относительно началь-
начальных условий должны выполняться неравенства
ЩЩ + п2щ + ... + nAcoft =И=0,	D8)
где nlt ..., nk — произвольные целые числа.
Среди 2га — k постоянных интегрирования, существенно отличных от фазовых
сдвигов,k постоянным можно придать смысл так называемых парциальных действий
Jj	 Jk, определяемых по формулам [2]
2л 2л п
l fe^--^-	D9)
0 5=1
Можно показать, что постоянная энергия h и парциальные частоты <%	 а>к
в наиболее общем случае зависят только от парциальных действий [2], причем всегда
Решение типа D7) называют либрационным по всем фазам. Наряду с ним возможны
и общие квазипериодические решения ротационного типа. Такие решения появляются,
если часть исходных координат имеет смысл углов, и от либрациокных решений
существенно не отличаются.
Если парциальные частоты постоянны и не зависят от начальных условий, то
рассматриваемую систему называют изохронной в отличие от прочих анизохронных
консервативных систем. Для изохронной системы согласно E0)
h = alJ1 + ... + @kJk	E1)
причем числа coj, ..., щ должны быть несоизмеримы [см. D8)] (или, как иногда гово-
говорят, взаимно сильно несоизмеримы; см. также п. 2 гл. VIII).
Линейная и поэтому изохронная консервативная механическая система со стацио-
стационарными связями, для которой
п	п
s, r=l	s, г = !
имеет следующий квазипериодический общий интеграл либрационного типа:
г=1
где юх	 со„ есть корни определителя однородной линейной системы
2 4r)(c,/-wX/) = ° («=1	п),	E4)

СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОЛЫ	149
а величины А^г\ ..., А^ составляют частное решение этой системы, соответствующее
корню и>г > 0 и удовлетворяющее условию нормировки
Предполагается, что частоты щ, ..., <»„ несоизмеримы [см. D8)], и поэтому k = п.
Анизохронные консервативные системы можно охарактеризовать видом fe-мерной
скелетной гиперповерхности: h = h{Ju ..., J/,), ws = a>s(Jlt ..., /^) (s = 1, ..., ft).
Введем матричный коэффициент крутизны [см. B0)]
<Э2Л
E6)
..., k
Интегрируемые консервативные системы удобно классифицировать по степени
их вырождения т, равной разности между числом степеней свободы и числом быстрых
фаз (т — п — k). Рассмотренная выше общая линейная система является невырож-
невырожденной (т — 0) вследствие несоизмеримости частот.
Если степень вырождения системы равна л — 1, то движение характеризуется
единственными фазой, частотой и постоянной действия. В этом случае, независимо
от общего числа степеней свободы системы п, энергия однозначно определяется
постоянной действия, причем со = dh/dJ. Соответственно можно говорить о скелетной
кривой A6) и скалярном коэффициенте крутизны B0).
Такой случай характерен для классической задачи Кеплера о движении матери-
материальной точки в ньютоновском поле центральных сил F = — f/R'2, где/ — постоянная;
R — расстояние от точки до центра [2]. Уравнение скелетной кривой периодических
движений в этой задаче имеет вид
™* f _ 1 «^=нгз @<и<со).	E7)
В задаче Кеплера принадлежность движения к периодической ротации по эллип-
эллиптической орбите определяется не его постоянной энергии или же связанным с ней
действием
^е*=|/^,	E8)
J со V со '	х >
а другой постоянной интегрирования, связанной с так называемым интегралом пло-
площадей.
Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой (п = 3) в известных
случаях их интегрируемости Эйлера и Лагранжа [3] допускают общий двухчастотный
интеграл, и поэтому степень вырождения в указанном выше смысле равна единице.
Характер возможных движений консервативных систем, неинтегрируемых в квад-
квадратурах, сложен и в настоящее время мало изучен. Однако в последнее время в рабо-
работах А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Мозера и других было показано, что боль-
большинство движений консервативной системы, близкой к интегрируемой в квадрату-
квадратурах, также имеет квазипериодический характер. Тем не менее в любой сколь угодно
малой окрестности таких движений существуют движения иной, гораздо более слож-
сложной природы подобно тому как в любой сколь угодно малой окрестности произволь-
произвольного иррационального числа имеется бесконечно много рациональных чисел.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М., «Наука», 1974. 431 с.
2.	Голдстейн Г. Классическая механика. М., Гостехиздат, 1957. 415 с.
3.	Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961. 824 с.
4.	Парс Л. А. Аналитическая динамика. М., «Наука», 1971. 636 с.
5.	Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. — Л. , ГИТТЛ,
1948. 400 с.

150
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
Глава IV
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Определение термина диссипатменая система см. в гл. I. О вынужденных коле-
колебаниях диссипативных систем см. в гл. V. Ниже приведены сведения, относящиеся
к свободным затухающим колебаниям диссипативных систем с одной степенью сво-
свободы, когда нелинейность обусловлена только силами соп-
сопротивления. Предполагаем, что силы сопротивления об-
обладают отрицательной мощностью, т. е. F-^q > 0, где
FL = Fj (q) — уравнение характеристики силы сопро-
сопротивления (/^ равно взятой с противоположным знаком
обобщенной силе сопротивления). В пп. 1—4 рассмотре-
рассмотрены случаи, когда силы сопротивления определяются толь-
только скоростями системы, а в п. 5 — случаи, когда силы
сопротивления зависят также от координат системы (по-
(позиционное трение, внутреннее трение).
При значительном сопротивлении, когда изменение
полуразмаха за один цикл колебаний соизмеримо с са-
самим полуразмахом, анализ движения удобно вести с по-
помощью фазовой диаграммы. Для графоаналитического построения фазовых диаграмм
особенно удобен метод Льенара (см. п. 2 гл. II), а также способ Шефера [1].
После построения фазовой траектории длительность i-го цикла колебаний опре-
определяется выражением
t
Рис. I
А,
-1/2
A)
4—1/2
в котором At_v А(_уг, А{—три последовательных полуразмаха, причем А{_г > О,
Приближенно
- + •
''max
B)
где I и* |и и**„ — наибольшие по абсолютной величине значения скорости в
m а х I	m эх
первой и второй половине рассматриваемого цикла.
При относительно малых силах сопротивления и медленном затухании колеба-
колебаний, когда изменение полуразмаха за один цикл колебаний АА мало по сравнению
с самим полуразмахом А, колебательный процесс можно приближенно описыеэть
выражением
q = A(t) cos (atot + a),	C)
в котором убывающая функция A (t) соответствует кривой, проходящей через точки
максимумов функции q = q (t) (эту кривую часто называют огибающей, хотя в ма-
математике данный термин понимается в ином смысле); шо = )^с/а —собственная ча-
частота консервативной системы; с — коэффициент жесткости; а — инерционный ко-
коэффициент.
Отношение двух последовательных положительных полуразмахов Ai^lAi назы-
называют декрементом колебаний, а логарифм этого отношения
о — In
At
D)
-^логарифмическим, декрементом. Как правило, логарифмический декремент зави-
зависит от полуразмахов и поэтому изменяется в пооцессе свободных затухающих коле-

НАХОЖДЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ
151
банин; исключением является только случай линейного сопротивления, когда урав-
уравнение огибающей — показательная функция.
По неизменности экспериментально полученных отношений Ai_JAt можно су-
судить, насколько действующие в системе силы сопротивления допустимо считать ли-
линейными *. Если отношения A^/Ai изменяются от цикла к циклу, то силы сопро-
сопротивления нельзя считать линейными. Дальнейшая обработка экспериментальных
результатов позволяет подобрать подходящее аналитическое выражение для силовой
характеристики, например в виде одночленной зависимости
или в виде полинома
F)
где Ь, b0, bx, b2, ... — постоянные (см. п. 4).
Иногда (в частности, при анализе вынужденных колебаний) удобно заменить не-
нелинейную характеристику сопротивления F\ (q) эквивалентной линейной b'\q. Коэф-
Коэффициент Ь\ зависит от полуразмахов колебаний и может быть определен из условия
энергетической эквивалентности
Ff	1 1
b'f = \ } Fi {Ащ sin ф) sin yp d\p\ I (пАщ)
Lo	J/
(значения bf для некоторых частных случаев приведены в табл. 1).
G)
Нелинейная характеристика сопротивления
Кулоново сопротивление
Ft=*b,-
ч
Квадратичное сопротивление
Ft= 6,1 q ! q
Степенное сопротивление
Таблица 1
Коэ;фициент эквивалентного линейного
сопротивления
/)
(значения /
86гАи»
*Г зя
» 46 (Ав>0)п~11 (п)
^ л
(п) см. в табл. 4)
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ (НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ)
При кулоповом сопротивлении, когда Fx = boql \ q j, последовательные полураз-
полуразмахи образуют арифметическую прогрессию; разности между последовательными
полуразмахами АА остаются неизменными в течение всего процесса колебаний.
Длительность одного цикла колебаний Т = 2я Уа/с, как и для соответствующей кон-
консервативной системы. Уравнение верхней огибающей (прямой, проходящей через
максимумы кривой колебаний)
* Обычно при анализе виброграмм, содержащих сотни циклов, контролируют отношу
полуразмахов через несколько E — 10) поллых циклов.

152
ДИССИПЛТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
Движение системы прекращается после того, как вследствие малости достигнутых
в процессе колебаний отклонений нарушается неравенство сА > Ьа.
При квадратичном сопротивлении, когда F1 = bt | q \ q, связь между любыми
двумя последовательными полуразмахами, например А{1 и A{_t/ или ^j_i/ и At
(см. рис. 1), определяется трансцендентным уравнением
в которомg = 2b2Ai^1/a, т) = 262 I А1__1/г |/а(или I = 2Ь2
й ф
(9)
62 I А1__1/г |/а(или I = 2Ь2 | А^,^ I /я, т) = 2Ь2А,/а)~
безразмерные полуразмахи колебаний; формально процесс колебаний продолжается
неограниченно долго. Численные результаты решения уравнения (9) см. в табл. 2,
где приведены также значения логарифмического декремента.
Таблица 2
со
10,0000
8,0000
6 0000
5,0000
4,0000
3,0000
ч
1,0000
0 9998
0 9989
0 9936
0,9849
0.9651
0,9207
б
со
2.8230
2,6029
2,3178
2,1417
1,9326
1,6774
1
2,0000
1,0000
0,5936
0,4240
0,330i
0,2701
0,2290
0,8214
0,5936
0,42 !0
0,3301
0,2704
0,2290
0,1986
б
1,3489
0 8577
0 5867
0,4499
0,3654
0,3090
0,2669
1
0.19S6
0,1753
0,1570
0,1420
0,1298
0,1194
0,1106
11
0,1753
0 1570
0 1-120
0 1298
0,1194
0,1106
0,1030
6
0,2351
0 2111
0,1907
01741
0,1605
0,1474
0,1372
1
0,1030
0,0964
0,0906
0,0854
0 0808
0 076Т
0,0730
0,0964
0 0906
0 0854
0,0808
0,0767
0,0730
0,0697
6
0.1285
0,1213
0,1142
0,1071
0,1018
0,0953
0,0896
При малых значениях | приближенное решение уравнения (9) имеет вид
г
Ч"~ о •
A0)
В процессе затухания колебаний продолжительность одного цикла постепенно
уменьшается и стремится к значению 2я/ш0. В табл. 3 даны значения продолжитель-
продолжительности одного цикла колебания Т в зависимости от значений соответствующих полу-
полуразмахов.
Таблица 3
\
10,0000
5,0000
2,0000
1,0000
п
1,000
0,985
0,821
0,594
Во Г
10,06
8,00
6,76
6,44
1
0,594
0,424
0,330
0
"Л
0,424
0,330
0,270
0
<ОоГ
6,36
6,32
6,30
2л
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ (ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ)
В случаях, когда можно пользоваться выражением C), огибающая кривой сво-
свободных затухающих колебаний приближенно описывается дифференциальным урав-
уравнением первого порядка (см. п. 4 гл. II)
dA «b^.%	(]])
в котором
dt
2л
2m
ф(А) = — | Fi (— Ащ sin t|>) sin ip dip
A2)
(при вычислении Ф (А) по A2) полуразмах А нужно считать постоянным).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО ВИБРОГРАММЕ 153
A3)
Если характеристика сопротивления имеет вид E), то
ф(Л) = — 46 (Лсоо)я / (я),
где со0 — собственная частота соответствующей консервативной системы:
л/2
A4)
Значения / (я) приведены в табл. 4.
я
0,0
0,5
1,0
1,5
/ (п)
1,000
0,875
0,785
0,718
п
2,0
2,5
3,0
4,0
/ (л)
0,667
0,624
0,589
0,533
п
5,0
6,0
7,0
/ (л)
0,492
0,457
0,430
Т а
п
8,0
9,0
10,0
блица 4
МЛ)
0,406
0,386
0,369
В этом случае уравнение огибающей имеет вид
Л = Л0 {1 +[26 (я —1) @J + 1 / (я) Ап-\ ф(яс)р-«.
В частности, при я = 0 (кулоново сопротивление)
и при я = 2 (квадратичное сопротивление)
А = Ао
A5)
A6)
A7)
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПО ОГИБАЮЩЕЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ВИБРОГРАММЫ
Характеристики сопротивления наиболее просто и надежно определяют в ре-
результате обработки экспериментально полученных виброграмм свободных затухаю-
затухающих колебаний. Любая данная виброграмма позволяет полностью определить только
приведенную характеристику сопротивления FJa. Для того чтобы определить саму
характеристику Flt нужно умножить приведенную характеристику на инерционный
коэффициент системы а или,что удобнее,на дробь с/со-; (равную инерционному коэф-
коэффициенту о), при этом коэффициент жесткости с находят из независимого статиче-
статического эксперимента (или из теоретического расчета), а угловую частоту <о0 — по экс-
экспериментальной виброграмме.
Обычно характеристику аппроксимируют выражением E), и неизвестными явля-
являются параметры nab. Если можно предполагать, что сопротивление включает в себя
также сухое трение, то характеристику аппроксимируют уравнением F) с удержа-
удержанием нескольких первых слагаемых (чаще всего достаточно удержать три слагаемых);
при этом неизвестными являются параметры 60, blt 62...
Если соо и Ао< Ах, ..., AN — экспериментально найденные значения угловой ча-
частоты колебаний и последовательных полуразмахов (измеренных через каждый пол-
полный цикл), то определение параметров п и 6, входящих в выражение E), ведут в сле-
следующем порядке [1]:
а)	вычисляют суммы X; = Л/_! + At и разности \ц — А^х — Л,- соседних полу-
полуразмахов;
б)	в системе осей К = lg х, У = lg у строят точки с координатами Х{ = lg X{,
Уi = lg Hi и через них проводят прямую (если нельзя провести прямую, вблизи ко-
которой с достаточной точностью расположены построенные точки, то выражение E)
в данно!М случае для описания характеристики сопротивления использовать нельзя);

154
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
в)	определяют значения параметров К а В, входящих в уравнение построенной
прямой
Y^KX-i-B;	A8)
г)	вычисляют параметр
b=_^L10* ИЛи 6==-^/!\"-210\	A9)
/ n)co?	/(ft) Wo/
где п= К, с — коэффициент жесткости системы, определяемый экспериментально
или теоретически; а—инерционный коэффициент; значения / (л) приведены в табл. 4.
Пример. По экспериментальной виброграмме свободных затухающих колебаьий най-
найдены длительность одного цикла колебании 7' = 0,15 с (практически неизменная в течение
всего процесса) и значения полуразмахов, приведенные в табл 5 Результаты вычисления
Таблица ^
Kt no
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Полуразмах
At
10,00
6,84
5,05
3,92
3,14
2,58
2,17
1,85
1,60
1,40
Сумма полу-
см
16,84
11,89
8,97
7,06
5,72
4,75
4,02
3,45
3,00
Сумма полу-
У'1 ~ Ai I i
3J6
1,79
1,13
0,78
0,56
0,41
0,32
0,25
0,20
Логарифм
суммы полу-
полуразмахов
1,226
1,076
0 953
0,848
0,757
0,677
0,604
0,538
0,477
разности
полуразмахов
0,500
0,25 i
0,033
—0,108
—0,252
-0,387
-0,495
—0,Ь02
—0,699
сумм и разностей полуразмахов и логарифмы этих значений также даны в табл 5. На рис 2
в системе осей X и У показаны точки с координатами X, и У. Как следует из рисунка они
хорошо ложатся на прямую, уравнение которой имеет
вид У = 1,60 X — 1,46. Следовательно, л=1,60, В=—1,46
Теперь по табл. 4 с помощью интерполяции находим
/ A,6) = 0,71 и по формуле A9) вычисляем
, ю-1,46 = 9,39 • 10-5с
0,71 • 41.91-6
_L\-0.4	146.
'0,71 V4X9/	10
Следовательно, Fs = 9,33 -10"' с j <j
=> 0,165а.
0>0 Q ИЛИ
а) вычисляют
сти t/i = /!/._! — A
б) находят вспомогательные величины
N	N
= 0,165 а \ q |0,o q.
Если экспериментально найдены значения уг-
угловой частоты и последовательные полуразмахи
(через один цикл колебаний), то определение пер-
первых трех параметров &„, 6,, Ь2, входящих в выра-
выражение F), ведут в следующем порядке [1]:
¦ I
N
2
У ;
N
-2
(=i
суммы Х[
i соседних
— V х3-
А(Л + Ai и разно-
разнополуразмахов;
B0)
где N — номер последнею полуразмаха;

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ	'55
в) составляют и решают относительно Yo. Yi и 72 систему уравнений
= С5;
г) вычисляют коэффициенты разложения F)
6о~Т' 6l-^' &2-2^-%-	B2)
5. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ СИЛ
СМЕШАННОГО ТИПА
В некоторых случаях диссипация энергии связана с действием сил смешанного
типа, зависящих не только от обобщенных скоростей, но и от обобщенных коорди-
координат (позиционное сопротивление; см. п. 1 гл. I). Если F (q, q) — характеристика та-
такого сопротивления, то в дифференциальное уравнение A1) нужно подставить
2я
ф(Л) = — \ F(^cosij>, — Л»0 sin f) sin Ф dip.	B3)
о
В частности, если диссипация энергии определяется внутренним трением в мате-
материале колеблющейся конструкции, го силовую характеристику (только внутреннего
трения) удобно принимать в виде [2]
ч * ^	B4;
При этом из B3)
Ф(А) = — ЬА'\	B5)
и дифференциальное уравнение A1) принимает вид
dA	Ьщ
dt	2nc '
Решение уравнения B6) при начальном условии 4 @) = Ао, если п Ф 1,
и если п = 1,
Л = Аф~ ba«f'2nc.	B8)
В последнем случае отношение двух любых последовательных полуразмахов оста-
остается неизменным в течение всего колебательною процесса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Каудерер Г. Нелинейная механика М., Изд. иностр лит., I960. 832 с.
2.	Пановко Я. Г. Внутреннее гренне при колебаниях упругих систем. М., Фнзматгиз,
I960. 240 с.

156	СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
Глава V
СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Силы, действующие на нелинейную систему, называют вынуждающими, если они
не зависят от движения системы и являются заданными функциями времени (см.
т. 1, гл. VI). Колебания системы, вызванные действием вынуждающих сил (или вы-
вынуждающих движений, приводящих к кинематическим возбуждениям), называют
вынужденными.
Вынуждающие силы являются одной из форм проявления внешнего возбужде-
возбуждения. Другой формой является изменение параметров системы; как и в случае линей-
линейных систем (см. т. 1, гл. VIII), такое возбуждение называют параметрическим, а воз-
возбуждаемые им колебания — параметрическими.
Представление о независимости внешнего возбуждения от движения системы,
к которой оно приложено, является идеализацией, типичной для перехода от реаль-
реальных систем к их физическим моделям. Эта идеализация приемлема в тех случаях,
когда источник возбуждения достаточно мощный, и обратным влиянием движущейся
системы на этот источник можно пренебречь. Случаи, когда указанная идеализация
недостаточна, рассматриваются в гл. VII.
Ниже рассмотрены некоторые специфические особенности вынужденных и пара-
параметрических колебаний нелинейных систем. Ряд явлений, сопровождающих действие
высокочастотных колебаний в нелинейных системах, изучается в гл. IX,
2. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
В табл. I приведены физические модели нелинейных систем с одной степенью
свободы, движение которых описывается дифференциальным уравнением
) = Q(t),	A)
в котором q — обобщенная координата; f (q), h (q, q), Q (t) — соответственно консер"
вативная, диссипативная и вынуждающая силы, отнесенные к инерционному коэф-
коэффициенту системы. Предполагаем, что / @) = 0, }' @) > 0. При этом q = 0 — устой-
устойчивое положение равновесия. Предполагаем также, что диссипагивная сила удовлет-
удовлетворяет условию
h(q, q)=-h(q, - q)	B)
и является малой по величине по сравнению с восстанавливающей силой (система
со слабой диссипацией).
Вынужденные колебания, близкие к гармоническим. Если Q (t) — гармониче-
гармоническая функция времени, т. е.
<2@ = Qi(w)coso/,	C)
то в системе, описываемой уравнением (!), после некоторого переходного процесса
устанавливаются периодические колебания периода Т = 2я/<» или периода, крат-
кратного Т. Колебания периода Т называют основными вынужденными колебаниями.
Обычно блаюдаря фильтрующим свойствам линейной части системы, описываемой
уравнением A), в основных колебаниях преобладают постоянная составляющая и
первая гармоника, а высшие :армоники имеют малые амплитуды. Это позволяет
искать приближенное периодическое решение периода Г в форме
q = ao-\-acos (ш/ + 0), q = — аш sin (to^ + 8).	D)
При сформулированных условиях метод гармонического баланса (см. гл. II)
приводит к следующим уравнениям для определения постоянной составляющей ко-

СИСТЕМЫ С ОпНОИ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
157
I

158	СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
леб^ннй а0, амплитуды первой гармоники о и сдвига 6 по фазе между колебаниями
и вынуждающей силой:
E)
F)
hi (a0, a) aco = Qt sin 6,	G)
где
2л	2Я
1 Г	l f
2л J	па J
о	о
2я
If,
Л! (а0, а) =	 I Л (а0 -f a cos i}>, аш sm ib) sin if cftb.	m\
JltfG) J
0
Если с помощью уравнения E) выразить <зп через а и подставить в выражение для flt
то из последнего можно определить приближенную зависимость квадрата частоты
свободных колебаний соответствующей консервативной системы от амплитуды пер-
первой гармоники
2л
А,2 (а) = — I / [а0 (а) + a cos 1|з]
cos "ф <з"ф.	A0)
График зависимости а (к), определяемой из A0), называют скелетной кривой.
При подстановке а, (а) в выражение для Лх получим зависимость эквивалентного коэф-
коэффициента сопротивления от амплитуды
2Я
л(а)=	 \ h [а0 (а) + a costj>, асо sin Щ sin if Л|>.	A1)
о
Из F) и G) находим
д= ,	^^ 	.	A2)
1/ГЛО/_.\	ОТО I „О / . \ . Л	*	*
График зависимости а (со) называют резонансной кривой.
При вязком (линейном) трении
h(q, q) = 2nssq< г (а) = 2л0 = const;	A3)
<2<М__.	A4)
В общем случае для определения формы резонансной кривой достаточно найти точки
пересечения скелетной кривой и линии, уравнение которой
A5)
Точки пересечения (рис. 1) определяют число ветвей резонансной кривой; абс-
абсциссы этих точек приблизительно равны частотам, на которых резонансные кривые
имеют вертикальные касательные, а ординаты — экстремальным значениям ампли-
амплитуд [7]. В табл. 2 приведены характерные формы резонансных кривых, соответствую-
соответствующие различным формам скелетных кривых и зависимостям Qx (со).
Анализ формы резонгчсгых кривых позволяет выявить особеннос1и основных
вынужденных колебаний в системах с вязким трением,

СИСТЕМЫ С ОДНО И СТЕП L ПЬЮ СВОБОДЫ
159
Таблица -
Особенности системы
Мягкая скелетная кривая, не
имеющая общих точек с кривой A5)
Мягкая скелетная кривая, имею-
имеющая две общие точки с кривой A5)
Жесткая скелетная кривая, имею-
имеющая одну общую точку с кри-
кривой A5)
Система с упругими упорами,
скелетная кривая имеет одну точку
пересечения с кривой A5)
Система с жесткими упорами,
скелетная кривая имеет одну общую
точку с кривой A5)
Нелинейная
характеристика
Г
л д
7
Мягкая скелетная кривая, имею-
имеющая одну общую точку с пря-
прямой A5)
Жесткая скелетная кривая, имею-
имеющая две общие точки с прямой A5)
Жесткая скелетная кривая, не
имеющая общих точек с прямой A5)
Система с упругими упорами, ске-
скелетная кривая имеет три общие
ючки с прямой A5)
г
Z,
тг?
т
(»)
i = const
Резонансная кривая
0
а
1)
	 jzzC Z
О

160
СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
Особенности системы
Система с жесткими упорами;
скелетная кривая имеет две общие
точки с прямой A5)
Нелинейная
характеристика
/
0\
И
Qt (ш)
SoCO2
N
2
Резонансная кривая
0
&
to
0
А
Обозначения- 1 — скелетная кривая; 2 — кривая, построенная по уравнению A5),
N — число точек пересечения.
1. При одной и той же вынуждающей силе в системе могут существовать периоди-
периодические колебания различных амплитуд. Например, в системе, резонансная кривая
которой имеет форму, покачанную на рис. 2, при @=0)! существуют три периодиче-
периодических режима с амплитудами колебаний alt a2 и аэ. Колебания с амплитудой а.г неустой-
неустойчивы и в действительности не реализуются (см. ниже). Установление в системе коле-
колебаний с амплитудой аг или а3 зависит от начальных условий, которые обычно не мо-
и)** и, и* и
Рис. 1
Рнс. 2
гут быть точно заданы. Поэтому приходится учитывать возможность установления
в системе любого из устойчивых режимов, а также возможность «перескока» с одного
режима на другой при действии каких-либо случайных возмущений (например, толч-
толчков или ударов). Исследование зависимости установившегося движения от началь-
начальных условий связано с определением областей притяжения для каждого из периоди-
периодических решений уравнения A). Более подробно об этом см. в гл. 1 и в работе [11].
2.	Колебания, имеющие большую амплитуду, принято называть резонансными.
При резонансных колебаниях максимальные значения q и / (q) существенно превос-
превосходят максимальные значения Q (t) и h (q, q). Иными словами, при резонансных коле-
колебаниях системы сумма q (t) + / [q (t)\ оказывается малой величиной (по сравнению
с максимальным значением каждого из слагаемых). Это позволяет говорить о близо-
близости резонансных колебаний нелинейной системы к свободным колебаниям соответ-
соответствующей консервативной системы, при которых q (t) + / \q (/)] = 0.
Таким образом, и в нелинейных системах резонансные колебания могут рассма-
рассматриваться как свободные колебания, поддерживаемые вынуждающей силой, которая
компенсирует действие диссипативных сил.
Близость резонансных колебаний к свободным выражается, в частности, в том,
что соответствующие им участки резонансных кривых располагаются вблизи от ске-
скелетных кривых системы.
3,	При медленном изменении частоты вынуждающей силы поведение нелиней-
нелинейной системы также обнаруживает ряд особенностей. Так, в системе, резонансная
кривая которой показана на рис, 2, при увеличении « изображающая точка, соот-

СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
161
ветствующая периодическим колебаниям, «движется» сначала по кривой А В. В точке
g происходит срыв колебаний (по линии ВС) на нижнюю ветвь резонансной кривой.
При уменьшении частоты от значений со = со* изображающая точка движется по кри-
кривой CD. На частоте со = со** происходит скачок амплитуды до значения, соответ-
соответствующего точке Е.
Если резонансная кривая имеет дополнительные изолированные ветви (рис. 3),
то становится возможным проход всего частотного диапазона по нижней ветви. Вы-
Выход на изолированную ветвь оказывается возможным (например, при со = со^ в ре-
результате случайного толчка или удара.
L)t О
Рис. 3
Рис. i
При сухом (кулоновом) трении
h(q, q) = l
.4V
зшсо'
A6)
Ha тех частотах, на которых Q (со) < 4/го/я, колебания, близкие к гармоническим,
не существуют. При этом либо система остается «запертой» сухим трением (а=0),
либо в ней возникают движения с остановками [4].
В случае внутреннего трения в материалах при исследовании движений, близких
к гармоническим,
A8)
где Р и |х—параметры материала, из которого изготовлен упругий элемент (см.
гл. IV). При этом
Q(">	A9)
у [А,2 (а) — со2Р + р^а2^-11
Характерная особенность резонансных кривых, построенных по уравнению A9), —
совпадение точек максимума амплитуд с точками пересечения резонансной и скелет-
скелетной кривых.
Условия устойчивости периодических режимов. Условия устойчивости реше-
решении D), полученные на основе метода гармонической линеаризации, имеют вид:
(a J - ы%\ \1? (а„) - со-; + 2а J
B0)
B1)
6 п/р Блехмана, т, 2

162	СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ ВОЗЁУЖДЕИИЁМ
где а^ и со^—соответственно амплитуда и частота исследуемого колебательною
процесса. Первое условие выполняется во всех рассмотренных выше случаях. Второе
условие позволяет выделить на плоскости (со, а) область неустойчивых решений.
Границы этой области (заштрихована на рис. 4) — геометрические места точек, в ко-
которых резонансные кривые имеют вертикальную касательную; в области, где сущест-
существуют три решения, одно из них неустойчиво.
Субгармонические колебания. Гармоническая вынуждающая сила может возбу-
возбудить в нелинейной системе периодические колебания с периодом в целое число раз
большим, чем Т = 2я/ш. Колебания с периодом sT называют субгармоническими
порядка s. Субгармонические колебания могут существовать в системе наряду
с основными вынужденными колебаниями. Области начальных условий, приводящих
к установлению в системе субгармонических режимов, обычно сравнительно узкие.
Об их определении см. в работе [11].
Условия существования субгармонических колеба-
колебаний. Пусть уравнение свободных колебаний
?+/(<?) = О	B2)
имеет периодическое решение с частотой Я = co/s
со
9= 2 "kcosklt.	B3)
В работе [6] доказано, что периодическое решение уравнения B2) может быть разло
жено в ряд Фурье, содержащий только косинусы кратных гармоник. Субгармониче-
Субгармонические колебания с частотой X существуют в системе, описываемой уравнением A),
при вынуждающей силе C), если
ns\us\Q1> \WC\,	B4)
где Wc — работа диссипативной силы за время, равное sT, при периодическом дви-
движении B3);
sT
l uk cos kit, —Я 2 kuksmkXt\% ]? kuk sin kUdt B5)
\	&=I	j k=\
Для вязкого трения [см. A3)]
При приближенных расчетах можно ограничиться учетом первой гармоники
Wc = —fp—•	B7)
Для сухого трения [см. A6)]
Wc = ihouv	B8)
Определение амплитуды субгармонических колеба-
колебаний. В первом приближении можно принять, что амплитуда субгармонических
колебаний (если выполнено условие существования) равна амплитуде иг первой гар-
гармоники решения B3), которую можно определить по скелетной кривой (при Я = co/s).
При таком приближении условия существования упрощаются и принимают вид'
при вязком трении
s% I us I Qi > 2/toft)uf;	B9)
при сухом трении
«о .. .
*s
C0)

СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ	163
при внутреннем трении [см. A8)]
с | ., I f) -	 f> ^,|Х —f— I	/Q1\
о | Ug | ц/^ ^> put	,	yol)
Если условие существования субгармонических колебаний выполнено, то сущест-
существует по крайней мере один устойчивый субгармонический режим.
Вынужденные колебания при периодической вынуждающей силе. Пусть Q (t) —
периодическая функция времени, содержащая высшие гармоники, т. е.
со
Влияние постоянной составляющей можно учесть, если отнести ее к восстанавливаю-
восстанавливающей силе и сместить положение равновесия системы Высшие гармоники вынуждаю-
вынуждающей силы обычно фильтруются системой и не влияют на устанавливающиеся в ней
колебания. Исключение составляют те случаи, в которых высшие гармоники могут
вызвать резонансные явления.
Если 1-я гармоника вынуждающей силы совпадает по частоте с т-и гармоникой
свободных колебаний B3), то в системе могут возникнуть резонансные колебания,
которые в этом случае называют резонансом порядка 1/т. Резонансы порядка Mm
совпадают с рассмотренными выше субгармоническими колебаниями, резонансы
порядка Ц\ называют супергармоническими.
Вынужденные колебания при полигармонической вынуждающей силе. Пусть
N
Q(f)=2 QkCos(a>kt-\-ak).	C3)
k = 1
Если отдельные гармоники этого процесса возбуждаются различными и независимыми
один от другого источниками, то частоты могут оказаться несоизмеримыми, а процесс
непериодическим.
Приближенное решение уравнения (I) ищем в виде
N
q = ao-\- Yj a^cos (ч>1^-\-ckif-\-bji)	C4)
При этом используем метод эквивалентной линеаризации нелинейных функций / (q)
и h (<7, q), связанный с введением в рассмотрение функций распределения детермини-
детерминированных процессов [7].
В случае вязкого трения уравнение A) принимает вид
N
q + 2ло<? +/(<?)= 2 Q* cos (w^ + aft)	C5)
ft = i
и затем линеаризуется. В полученном уравнении
N
коэффициенты линеаризации f0 и /j являются функциями моментных характеристик
решения C4), т. е. среднего значения а0, центрального момента второго порядка
I	C7)
и центрального момента четвертого порядка
N
6*

164
СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
где 2' не содержит слагаемых, соответствующих i = /. Зависимости коэффициентов
линеаризации от моментов решения
-г У (fl
C9)
D0)
D1)
Из C7) — D1) получаем систему уравнений для определения неизвестных парамет-
параметров а0, а, в:
2а V
где ст = К^	[j
Решение линеаризованного уравнения
а) -/ (а„- (/е а)],
Qk
/(«о-
2 jL (/г
D2)
D3)
\1'	QiQ/
D4
5
0
Для решения этой системы удобно использовать метод последовательных прибли-
приближений, выбирая предварительно значение е по
формуле
1 i I \
D5)
Пример. Найти приближенное полигармоническое
решение уравнения
(?'+0,le + <? + 0.l<!3 = cosVr2~( + 0,5coslA3 <+ cos2<.
Поскольку f (q) = q + 0,lg3 — нечетная функция q,
Ч то а„ = 0 По формуле D0) находим
1
/
г
V
V
\
V
\
2 3
Рис. 5
Задаемся предварительно значением et = 2 [согласно формуле D5I По формуле D3)
1	,	0,25
(a)
2 L (/i—2J+0,02 ^ (/,—3J + 0,03 (/,—4J + 0,04
Строим график зависимости a2 (q) (рис 5) и определяем его точки пересечения с прямой (а).
Получаем три решения: (о2), *= 0,78, (огJ = 2,88; (агK = 6,27; {flI = 1,156; (fjJ = 1,576;
(/,), = 2,254.
По формуле D4) уточняем значение е, соответствующее первому решению:
) _ 3 | 3
" 2 ^
0,78
,16-3
1
,16 — 4J + 0,04]
[A,16—2J+ 0,02] [A,16 — 4
\ =1,842
Строим прямую /t = 1 + 0,1842 и2 и уточняем решение (а2), = 0,77
Второе приближение достаточно близко к первому, поэтому можно ограничиться най-
найденным приближением.

СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ	165
Аналогично для третьего решения находим (е2K = 1,673 Строим прямую fi = I -f-
-4- 0,1673 аг и уточняем значение (<т2K = 7,36 Далее находим из D4) новое значение (еаK =
= 1,639, откуда из графика получаем (ОK = 7,48 Найденное приближение уже достаточно
близко к предыдущему
Количество приближенных полигармонических решений уравнения A), найден-
найденных указанным выше способом, может достичь 2N 4- 1, где N — число гармоник.
Из них N + 1 решений могут оказаться устойчивыми (одно нерезонансное решение,
соответствующее малым колебаниям системы, и N резонансных решений, в каждом
из которых одна из гармоник имеет большую амплитуду).
3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ
С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Пусть q (i?!, ¦¦¦,qn) —вектор обобщенных координат некоторой механической си-
системы, кинетическая энергия которой может быть представлена в виде
T = ^(Aqfq,	D6)
где А = {а,^}" — постоянная симметричная положительно определенная матрица.
В системе действуют консервативные силы, образующие вектор
где П (q) — потенциальная энергия системы, а также диссипативные силы, образую-
образующие вектор F (q, q), и внешние вынуждающие силы, вектор которых Q(t). Уравнение
движения системы
Aq+F(q, q) + F0(q)=>Q(t).	D8)
В табл. 3 приведены некоторые физические модели нелинейных системе несколь-
несколькими степенями свободы, движение которых описывается уравнением D8).
Если система, описываемая уравнением D8), обладает слабой диссипацией, т. е.
если обобщенные силы F при любом движении системы оказываются малыми (в сред-
среднем) по сравнению с консервативными силами,то в системе могут возбуждаться резо-
резонансные колебания. При гармонических вынуждающих силах
могут возникать основные резонансные колебания с периодом Т = 2я/<в и субгармо-
субгармонические резонансные порядка s, имеющие период st.
Исследование резонансных колебаний в системе, описываемой уравнением D8),
связано с определением свободных колебаний консервативной системы, движение
которой описывается уравнением
Aq + F0(q) = 0.	E0)
Если матрица С = {dFJdq) при q — 0 положительно определенная, a Fo @) = 0,
то q — 0 — положение устойчивого равновесия системы, в некоторой окрестности
которого она может совершать свободные колебания. При определенных условиях
уравнение E0) имеет периодические решения вида
оо
г=1
где <7'*> —вектор обобщенных координат в s-м решении; a[>s> и a^s) — я-мерные век-
векторы коэффициентов Фурье в этом решении; ts — произвольные постоянные. Реше-
Решение E1) отвечает нормальным колебаниям соответствующей линейной системы
0,	E2;

166
СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
С ^ 4- С д.
^ ос ¦
о?
L L	L	i
<? ¦» 2	?	?	<?
if II i	II	+	if
ее	о	о
о at e;
II II +
s s
I I
о +
4- +
O X
II
е- е- е- е-

СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
167
Зависимость амплитуд первых гармоник колебаний по какой-либо из обобщенных
координат от частот Xs определяют скелетные кривые системы E0). Примерная форма
скелетных кривых показана на рис. 6, на котором klt k2, ..., kn —собственные ча-
частоты линейной системы E2), определя-
определяемые из уравнения det (С — Ак2) = 0.
Основные и субгармонические резо-
резонансные колебания в системе, описывае-
описываемой уравнением D8), близки к свободным
колебаниям E1). Для того чтобы устано-
установить, существуют ли резонансные колеба-
колебания порядка т (т = 1 соответствует слу-
случаю основных колебаний) при гармониче-
гармоническом воздействии D9), необходимо:
а) определить периодические решения
уравнения E0), имеющие частоту %s =
= а/т, найти их разложения в ряд
Фурье вида E1), определив по крайней мере амплитуды первой и m-й гармоник
о
Рис. в
!4
б) вычислить работу сил сопротивления за период на этих периодических реше-
решениях по формуле
w с —
F {а[$
af cos rlst, - ? rarks sin rlst X
X
ra(rS>^s sin rls t dt.
E3)
При приближенном определении Wc можно пренебрегать высшими гармониками
в E1), полагая
2гоп
0)
Wc^— J F(ao + ajs) cos V- -af)lksstn'ksi)af'kssmXstdt;	E4)
о
в) определить работу вынуждающих сил за период на тех же периодических ре-
решениях
Wь — лта'^ (QocCoscot — aOs sin сот)	E5)
Субгармонические резонансные колебания могут возникнуть, если хотя бы для
одного из рассматриваемых решений уравнение относительно неизвестного параметра
имеет вещественные корни.
Если вынуждающие силы, действующие по каждой из обобщенных координат сия-
фазны, так что
Q(t) = Q0 cos at,	E6)
то условие существования субгармонических колебаний упрощается и сводится к сле-
следующему.
>.	E7)
Нерезонансные колебания в системе D8), вызванные гармонической силой D9),
обычно мало отличаются от вынужденных колебаний в линейной системе
QQc cos otf + QOs sin <al,	E8)
где В = (dFfdq)q_Q ^_0—матрица коэффициентов сопротивления при малых
колебаниях системы.
Способы решения уравнения E8) изложены в т, 1.

168
СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Параметрические колебания в линейных системах рассмотрены -в т. 1, гл. VII.
В табл 4 приведены некоторые физические модели нелинейных систем с одной сте-
степенью свободы и параметрическим возбуждением, уравнение движения для которых
приводится к виду
Таблица 4
Схема
Уравнение движения
ф + ¦
1 + — J sin Ф = 0
S) sin <р = О
х + -|- х + / (*) + h (х, х) = О
(для малых х)
= о
{для малых х)
Обозначения ОА = I, ОС = a; f (х) = Fo (x)/m; h (х, дг) = Ft (х, 'х)/т; р2 = J 1т.
q + h(q, 4
ИЛИ
(t)]
E9)
F0)
где G (t) — параметрическое возбуждение. В дальнейшем предполагаем, что это
возбуждение является периодической функцией времени и не содержит постоянной
компоненты Кроме того, считаем, что параметрическое возбуждение является сла-
слабым, так что G (t) <; 1.
Если это условие не выполняется, то изложенные ниже методы приближенного
исследования параметрических колебаний оказываются неприменимыми. При G @=
= 0 уравнения E9) и F0) совпадают с A), поэтому
q= 0)-
В уравнении F0) параметрически возбуждается только линейная часть восстанав-
восстанавливающей силы.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ	169
Уравнения E9) и F0) имеют решение q = 0, соответствующее положению равно-
равновесия системы Как и в линейных системах, параметрическое возбуждение может
вызвать неустойчивость этого положения равновесия и появление колебательного
процесса, называемого параметрическим резонансом. Однако, в отличие от линейных
систем, параметрические колебания нелинейной системы обычно оказываются огра-
ограниченными по амплитуде, в системе устанавливается некоторый периодический про-
процесс
Исследование параметрических колебаний в системах E9) и F0) сводится:
а)	к определению условий неустойчивости положения равновесия и возбужде-
возбуждения параметрического резонанса;
б)	к определению стационарных (периодических) решений уравнений движения.
Вопрос об устойчивости положения равновесия q — 0 решается исследованием
линеаризованного уравнения движения
Я ~\~ а~ • Я ~т~ W ~f~ ^ @] k^q = 0,	F1)
которое представляет собой уравнение Хилла. При этом предполагаем, что
dh'dq @, 0) = 0. Методы исследования устойчивости с помощью уравнения Хилла
рассмотрены в т. 1, гл. VII. В частности, там показано, что при изменении пара-
параметра k в уравнении F1) от 0 до оо зоны устойчивости нулевого решения чередуются
с зонами неустойчивости. Последние располагаются вблизи значений
& = f, w, |-ю, ...,	F2)
а их ширина зависит от общего уровня параметрического возбуждения и от ампли-
амплитуды гармоник в разложении возбуждения в ряд Фурье:
Пусть значение k в уравнении F1) соответствует первой зоне неустойчивости; тогда
приближенные периодические решения уравнений E9) и F0), соответствующие уста-
установившимся параметрическим колебаниям, следует искать в форме
(о
о = ап + я cos -к-1,	F4)
2	v '
причем параметры аа и а связаны между собой соотношением
2л
/о («о> а) = ~ \ /(a0 + acos^) Л|) = 0	F5)
или
2л
1 (•
fi2a0+n- \ и (ao + a cos i|>) di|)=0.	F6)
2я
Амплитуду а периодического решения уравнения E9) находят из уравнения
ОJ
(й)+т]"~4г2(а)
•» v"/	4_G2	"—'—~~'	(^
где X2 (а) — квадрат частоты свободных колебаний консервативной системы, опреде-
определяемый по формуле A0), а г (а) — эквивалентный коэффициент сопротивления
1см. A1)]; Gi — амплитуда первой гармоники параметрического возбуждения-

170	СИСТЕМЫ С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
При вязком трении
!(«)=-
4 —Gf
Если
F8)
F9)
то уравнение F8) не имеет вещественных решений. Это означает, что параметриче-
параметрическое возбуждение недостаточно для возбуждения параметрических колебании си-
системы и подавляется диссипативными силами.
Амплитуду периодического решения уравнения F0) определяют из уравнения
При вязком трении
Если
G1)
G2)
то параметрические колебания в системе не возбуждаются.
Если значение k в уравнении F1) лежит в 1-й зоне неустойчивости, то прибли-
приближенное периодическое решение следует искать в форме
cos у t.
G3)
Амплитуда а периодического решения уравнения E9) определяется из уравнения
РчР ± to 1/
Gi
4-Of
а амплитуда периодического решения уравнения F0) — из уравнения
G4)
G5)
Уравнения F7), G0), G4) и G5) имеют два решения (соответствующие знакам + и —
в этих уравнениях). Одно из этих решений является устойчивым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Боголюбов И. И., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний Изд , 2-е. М , Физматгиз, 1958 408 с.
2.	Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем, М , Гостехиздат, 1956 600 с.
3.	Вульфсон И. И., Коловский М. 3. Нелинейные задачи динамики машин. Л., «Машино-
«Машиностроение», 1968. 282 с
4.	Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания. Пер. с англ. М., Физматгиз, 1960 580 с
5.	Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем. Пер. с англ Л. — М., Госэнер-
гоиздат, 1962. 456 с.
6 Кац А. М. Вынужденные колебания нелинейных систем с одной степенью свободы, близ-
близких к консервативным. — «Прикладная математика и механика», т. XIX, вып. 1, 1955.
с. 13-32.

простейшая автоколебательная система	171
7.	Коловский М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем М , «Наука», 1966. 317 с.
8.	Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний М, «На>,ч'-> 1971. 240 с.
9 Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. Пер
с англ М., Изд иносгр лит 1933. 356 с
10.	Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ. Изд. 2-е. М., «Наука»,
1967 444 с.
11.	Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах. Пер. с англ. М., Изд. иностр
лит. 1957 204 с.
Глава VI
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Общие сведения об автоколебаниях и автоколебательных системах приведены
в п 2 гл 1 Для автоколебательной системы с одной степенью свободы характерно
наличие на фазовой плоскости одного или нескольких устойчивых предельных цик-
циклов Соответственно в автоколебательных системах могут существовать несколько
стационарных процессов с различными амплитудами. Установление конкретного
процесса зависит от того, в какой области притяжения находятся начальные ус-
условия.
Автоколебания могут быть по форме близки к гармоническим, но могут и сущест-
существенно отличаться от них Автоколебания, существенно отличающиеся от гармони-
гармонических, называют разрывными (релаксационными).
Ниже основные закономерности автоколебаний и типичные методы их исследова-
исследования рассмотрены на ряде характерных примеров.
2. ПРОСТЕЙШАЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА
Дифференциальное уравнение малых колебаний маятника, находящегося в среде
с вязким трением, на который действует постоянная сила, всегда направленная в сто-
сторону движения, имеет вид [5]
д+ 2hq + mtq = F Sign q,	(I)
где h < 0, F > 0, cojj — постоянные, причем считаем, что Ид > А2.
При q < 0 и начальных условиях t = 0, q = qx, q = 0 уравнение A) имеет реше-
решение
где Г=-
При t= Г
При q > 0 и начальных условиях t = 0, q = qit q = 0 решение уравнения A)
ht\! F\ nt , T . I F\ . яЛ , F
При t= T

172	АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
или в соответствии с выражением B)
C)
Для периодического движения должно быть q3 = qt — q0, и, следовательно,
\+e~hT F
D)
Для исследования устойчивости периодического движения можно воспользоваться
диаграммой Кенигса—Лемерея (см. п. 5 гл. II).
На плоскости переменных qlt q3 (рис. 1) построены прямая q3 = qt и прямая,
определяемая выражением C). Точка пересечения этих прямых определяет зна-
значение q0.
ft
Ч'г
«Г
*м
+

	_—_^
¦—! /^
/
Л
	j?A-—~*~~~^ V
/1 1 "
|П 1 !
II !
Ill I 1
III I 1
1 III 1
Ml I 1
MM 1 ^
Hi Чо Ь
Рис. 1
Рис. 2
Из рассмотрения диаграммы следует, что при начальных отклонениях q[ > qa
колебания затухают, а при q" <[ q0 нарастают И в том и другом случаях система при-
приходит к периодическим колебаниям с периодом IT и амплитудой, определяемой выра-
выражением D).
Картина фазовой плоскости q, q представлена на рис. 2.
3. АВТОКОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА ФРОУДА
На равномерно вращающийся с угловой скоростью Q вал насажена с некоторым
трением втулка с жестко прикрепленным к ней маятником (рис 3). Уравнение движе-
движения такого маятника при малых значениях ф имеет вид [17]
/ф + &ф + mglff = М,
где / — момент инерции маятника относительно оси вращения; Ъ — коэффициент
вязкого сопротивления; m — масса маятника; / — расстояние от оси вращения до
центра тяжести; М — момент сил сухого трения, возникающих между валом и муф-
муфтой
Момент сил трения М является функцией относительной угловой скорости ш =
= Q — <р, т е. М = М (Q — ф).
Примерный график функции М (со) показан на рис. 4. Функция М (со) может иметь
«падающие участки», на которых М' (со) <; 0.
Выберем Q так, чтобы при ф = 0 было М" (Q) = 0. Предполагая, что Q > I ф I,
разложим функцию М (Q — ф) в ряд по степеням ф и пока ограничимся первыми тре-
тремя членами разложения. Уравнение движения маятника примет вид
M'(Q)\dq
)
dq

АВТОКОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА ФРОУДА
173
где
М (Q)	-, fmgl	,
Если коэффициент вязкого трения мал, а момент сухого трения почти не отличается
от постоянного, можно считать, что безразмер-
безразмерные величины
Ь , I М' (Q) I . . со0 I М'" (Q) I
т-< 1; ' , ¦ < 1; —	, < 1,
Тогда
Q
= М[Я
dq
E)
где
-,	малый параметр, характеризую-
1щ
щий близость рассматриваемой системы к ли-
линейной консервативной,
dq\
M'(Q)
cog M'"
IT b
Рис.
M
Рис. 4
Если искать решение уравнения E) в виде q— p cos (т — Щ, где р и
меняющиеся функции, то уравнения первого приближения для определения р и
будут иметь вид (см. п. 4 гл. II, а также [3])
где
Ф(Р) = — 2^ \ ' (Р cos S, — р sin g) sin E, dg;
о
2я
Ч> (Р) =2^ \ / (Р cos |, — р sin E) cos g dg.
Вычислив интегралы, представим уравнения для р и ¦& в форме
F)
Состояния равновесия * для первого уравнения F) определяются корнями уравнения
= 0: Pl = 0, p2 = "|/_-J | .
Корень р2 существует, если аир имеют противоположные знаки. Устойчивость
или неустойчивость состояния равновесия определяется знаком производной
* Подчеркнем, что здесь речь идет не о состояниях равновесия рассматриваемой механи-
механической системы

174
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
при р, соответствующем состоянию равновесия. Возможные при этом случаи приве-
приведены в таблице.
Случай
1
2
3
4
а, Р
а<0
Р<0
а> 0
Р<0
а> 0
Р>0
а<0
Р>0
Ф' (Pt)
-|>о
-т>°
Ф' (Рг)
-
а>0
-
а<0
Характер состояния равновесия
при
Р = Pi
Неустойчивое
Устойчивое
Устойчивое
Неустойчивое
р = рг
-
Неустойчивое
-
У сто 14 и вое
В случае 1 колебания неограниченно возрастают; в случае 2 на фазовой плоско-
плоскости q,j- имеется неустойчивый предельный цикл: при р < р2 колебания затухают,
при р > р2 колебания неограниченно возрастают; в слу-
случае 3 колебания затухают; в случае 4 на фазовой плоскости
q, -— имеем устойчивый предельный цикл (рис. 5): ма-
маятник совершает автоколебания
При уменьшении а предельный цикл стягивается к нача-
началу координат плоскости q, -~, При а = 0 он сольется с не-
устойчивым состоянием равновесия в начале координат и
«передаст» ему свою устойчивость. Таким образом, если
Рис. 5	менять а от положительных значений до отрицательных, то
при переходе через нуль возникают автоколебания, ампли-
амплитуда которых, начиная от нуля, непрерывно увеличивается (при непрерывном уве-
увеличении | а |). Такой режим возникновения автоколебаний называют «мягким».
Неограниченное нарастание колебаний, формально обнаруженное в первых двух
случаях, практически невозможно Следовательно приближение, взятое при раз-
разложении функции М, является недостаточным, и требуется учет членов разложения
более высоких порядков. Можно показать, что при этом получается
где 7 = -i
(ПРИ условии, что	;
Рассмотрим случай р4 <; 0, у > 0, считая Р и у фиксированными. Одно состояние
равновесия уравнений первого приближения р = 0 существует всегда. Два других
определяются из уравнения
^ |7Р4 = 0 (р>0).	G)
Уравнение G) на плоскости а, р2 представляет параболу (рис. 6), пересекающую

АВТОКОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКА ФРОУДА
175
ось р2 в точках ах = 0, р2 = 0 и а2 = 0, р2 = —=- —. Вертикальная касатель-
о у
9 рз	3 6
лая к этой параболе проходит через точку с координатами &о = ttj > Ро = —к •
Области устойчивости определяются знаком производной
f YP
На плоскости а, р2 парабола
(8)
(на рис 6 показана штриховой линией) отделяет область устойчивости, где Ф' (р) <
< 0, от области неустойчивости, где Ф'(р)>0.
Для а > а0 существует только одно устойчивое состояние равновесия, соответ-
соответствующее затухающим колебаниям маятника При а0 > а > 0 состояний равновесия
уравнений первого приближения три: устойчивое р = О, неустойчивое, соответст-
соответствующее нижней части параболы, построенной по уравнению G), и устойчивое, соот-
п л.	dq
ветствующее верхней части параболы. На фазовой плоскости q, -j- это соответствует
cm
устойчивой особой точке, неустойчивому предельному циклу и устойчивому пре-
предельному циклу (рис 7), т е для всех начальных условий, лежащих внутри неустой-
неустойчивого цикла, колебания маятника затухающие При начальных условиях, лежащих
вне этого цикла, устанавливаются автоколебания.
у 200 у
Рис. в
Рис. 7
При а < 0 на фазовой плоскости состояние равновесия в начале координат неустой-
неустойчиво, а единственный предельный цикл устойчив; при любых начальных условиях
маятник совершает автоколебания. Характерно, что при а0 > а > 0 маятник может
находиться или в покое, или совершать автоколебания Это значит, что если маятник
находится в покое, то, сообщив ему определенный толчок, можно привести его в ре-
режим автоколебаний
При изменении а от положительных значений до отрицательных получаем, что
если при а > 0 маятник находится в покое, то при а = 0 возникнут автоколебания
конечной амплитуды При дальнейшем уменьшении а амплитуда автоколебаний бу-
будет постепенно увеличиваться. Такой режим возникновения автоколебаний назы-
называют «жестким»
При изменении а от отрицательных значений до положительных амплитуда
автоколебаний постепенно уменьшается, при а = а0 автоколебания с конечной ампли-
амплитудой прекратятся; и маятник придет к устойчивому состоянию равновесия
Из приведенного анализа следует, что возникновение и прекращение автоколеба
ний происходит при разных значениях параметра а. Это явление называется «затя
гиванием».

176
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
4. АВТОКОЛЕБАНИЯ ТИПА ШИММИ
На колесе основной (.тойки шасси (как и на передней стойке) при определенных
скоростях движения самолета на земле возникает самовозбуждение колебаний Эти
колебания, состоящие из поворотов колеса относительно вертикальной оси стойки
и боковых смещений, получили название шимми. Возможность поперечных сме-
смещений колеса появляется из-за наличия упругого пневматика и вследствие упруго-
упругости стойки [7, 11, 14],
Пусть самолет на земле совершает прямолинейное и равномерное движение При
этом стойка обладает упругостью в поперечном направлении и может поворачиваться
вокруг своей оси Для упрощения принимают стойку жесткой с упругой заделкой
цилиндра стойки на недеформируемом планере в точке 0 (рис 8) При этом цилиндр
может поворачиваться относительно осп Оу (рис. 9) Ориентирующая часть шасси,
имеющая два колеса, способна поворачиваться относительно оси цилиндра. Между
цилиндром и штоком амортизатора поставлены демпфер и пружина.
Рис. 9
Положение системы (без учета собственного вращения колес) определяют четыре
обобщенные координаты: q1 = \р — угол поворота стойкости относительно оси Оу;
q2 — 6 — угол поворота ориентирующейся части стойки относительно оси стойки,
а также параметры деформации пневматика; q3 = X — боковая деформация и qt =
= Ф — угловая деформация.
Режим стационарного движения для стойки с пневматикой будет осуществляться
при значениях обобщенных координат q, = q2 = q3 = 94 = 0 При исследовании ма-
малых отклонений от этого стационарного движения величины qlt q2, q3, qt считаем ма-
малыми Составляя выражения для кинетической и потенциальной энергий, а также вы-
вычисляя обобщенные силы, соответствующие нормальной реакции, которую принимаем
постоянной, получаем линеаризованные уравнения движения системы при малых от-
отклонениях от стационарного состояния в виде
t 'Л	^ .- Л	. 1 ~	I. _	Л.
tq2
~ ааЯъ = 0;
a<7i + 9з + Щ* = 0;
0,
где 1у, 1г, 1уг, I — моменты инерции; с@, с^ —¦ жесткости условного упругого эле-
элемента, учитывающего реальную упругость деталей стойки на кручение и изгиб;

АВТОКОЛЕБАНИЯ ТИПА ШИММИ
177
v — скорость движения; г — радиус необжатого пневматика; t — вынос колес; а, Ь—
соответственно боковая и крутильная жесткости двух пневматиков; k, h — коэффи-
коэффициенты демпфирования соответственно по углам q1 и q2', a> Р> 7 — кинематические
коэффициенты качения пневматика
Первые два уравнения системы (9) определяют малые колебания стойки, два по-
последних являются уравнениями неголономных связей
Исследование устойчивости автоколебаний системы (9) проведем для случая жест-
жесткой заделки цилиндра стойки (с^, = оо) Смещение колеса определяется лишь углом q%
поворота колес вокруг вертикальной оси стойки, а также деформацией пневматика
Характеристическое уравнение, определяющее устойчивость невозмущенного
движения, имеет вид
+ (hav
A0)
где Е = (ab + аф).
Применение критериев устойчивости Payca—Гурвица приводит при h = 0 к сле-
следующему соотношению, определяющему в пространстве параметров области сущест-
существования устойчивых движений:
-0. A1)
Из A1) следует, что без демпфирования по
углу q2 качение упругого колеса устойчиво при вы-
выполнении одного из неравенств
A2)
выделяющих в пространстве параметров системы
области устойчивости, вид которых в плоскости t, v2
приведен на рис 10.
Из A2) следует, что при скоростях
Рис. 10
изучаемая система устойчива для значений вы-
выноса t, удовлетворяющих неравенству — аЬ/аР <
< / < Р/а Если вынос t положительный и больше Р/а, то устойчивое движение
возможно лишь при скоростях v > укр, где
_
Заметим, что с ростом скорости движения v потребная жесткость стойки на кру-
кручение условного упругого элемента с^р увеличивается. Однако с увеличением v при
t < Р/а область существования устойчивого режима определяется неравенством
0 < сэ < с\р ~ (а* + аф) (/гРи3 — Й)/6Р, хотя при t > Р/а потребная величина
жесткости должна быть больше с?р.
Для изучения влияния h вводится новая переменная г = p/v и параметры т =
= Izv2, v = hv [14]. Тогда характеристическое уравнение A0) принимает вид
Подставляя в A3) г = /<в, получим уравнение уникурсальной кривой ?>-разби-
ения
E)
Ш
A4)

178
где
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
—а) р7 —2а6 + се (Р2 — 2а).
Определитель, от которого зависит штриховка уникурсальной кривой [13],
2 —2a) Q -fa2]
Вид кривой ?>-разбиения при различных значениях выноса t и положительных v,
т представлен на рис 11, где
Из приведенных рисунков следует, что при t = р/а для любых значений
v, т @, оо) автоколебания не возникают, а при ^ =^= р/а существуют области само-
самовозбуждения колебаний
При изменении параметров системы v, т переход через границу области устойчи-
устойчивости сопровождается уходом системы от состояния стационарного движения либо
монотонно, либо в виде колебаний [14]
Выше проведено исследование возникновения автоколебаний в динамической
системе, описываемой линейной системой дифференциальных уравнений Однако
f(jhft\</\<7
ЛЧ)
О п
а)
Пч)
О q
-й
Рис. 12
важно изучить явление самовозбуждения колебаний типа шимми в нелинейных си-
системах, описывающих, например, характеристику демпфера, сухое трение и т д Изу-
Изучение проведем на примере передних стоек с самоориентирующимся колесом для слу-
случая абсолютно жестких стоек, вилок и привода демпфера и при условии, что центр
контакта пневматика движется по прямой линии ф=-о-< Тогда система дифферен-

АВТОКОЛЕБАНИЯ ТИПА ШИММИ
циальных уравнений может быть записана в виде
179
A5)
4з — — Щ1 — 'ft — v -д- q3,
где <7i> ft — соответственно угол и скорость поворота вилки вокруг оси стойки, q3 =
= X, В — момент инерции Пусть демпфер имеет одну из трех характеристик, приве-
приведенных на рис 12
Наряду с системой A5) рассмотрим вспомогатель-
вспомогательную систему с линейной характеристикой демпфера
f (q2) = /ift Условием Рауса—Гурвица, обеспечиваю-
обеспечивающим устойчивость невозмущенного движения при поло-
положительных значениях параметров, является неравен-
неравенство
-Чго
A6)
Из этого неравенства следует, что при t > ftya нуле-
нулевое решение устойчиво, если h 2= 0, а при t < p/a
оно устойчиво, если h > /z0, где h0 — положительный
корень уравнения Р2 Ф) = 0 Причем можно указать
такое значение по==\
Чго Чг
что при
Рис. 13
h > Ао линейная система будет устойчива
Рассмотрим плоскость Ф (i72), g2 и предположим, что Ф (<?2) = / (ft) = k I ft ?2
На рис 13 показаны области устойчивости для характеристики / (ft) = k \ ft | ft.
Из рисунка следует, что при любом значении k невозмущенное движение q, = О
-Чи
Ф(Чг)
Чм Чг
-й
-й
6)
Рис 14
Рис. IS
неустойчиво, Можно указать значение q20, после превышения которого возмущения
по координате ft убывают В системе возникнут автоколебания с амплитудой по ft,
равной hjk Максимальное значение амплитуды hjk уменьшается с ростом k
Для характеристики демпфера / (ft) = /zft + k\ ft I ft (Рис 12, б) при h <^ h0
невозмущенное движение неустойчиво Амплитуда автоколебаний по координате ft
при этом определяется по формуле о2о = -^-?— ¦ При h > h0 система абсолютно устой-
к
чива [15]. На рис. 14 показаны области устойчивости для характеристики / (q2) —
= /ift + k I ft | ft.

180	АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Если характеристика демпфера
d sign q2 + hqa, q2 Ф 0;
го при ft < ft0 будет иметь место случай, изображенный на рис. 15. а. Из приведенного
рисунка видно, что можно указать максимально допустимое значение возмущения
I <?2i
	г
— ft
после превышения которого система неустойчива. При меньших
начальных отклонениях возмущения затухают и нулевое решение устойчиво. При
h ;> /i0 система устойчива (рис. 15, б).
О
В случае больших выносов t
-— любая из трех рассмотренных нелинейностей
расположена внутри заштрихованных областей, и поэтому в данном случае система
устойчива.
Для приближенного исследования рассматриваемых динамических систем, в част-
частности для определения амплитуды и частоты автоколебаний, можно применять
метод гармонического баланса, который дает правиль-
-д2	ные результаты в случаях, когда колебания в системе
¦"—1	близки к гармоническим [16]
—I—	Систему A5) перепишем в виде
ЛЭ-
Ь
Рис ie	Выделим в "системе A7) линейную и нелинейную части
и построим ее структурную схему (рис. 16) Допустим,
что система находится на границе устойчивости и в ней возникли незатухающие
колебания частоты со и амплитуды А на входе нелинейного элемента.
Тогда уравнения первого приближения согласно A7) имеют вид
где W (ico) — амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части
системы, определяемая соотношением
(ш) =
в ~ ю2 — у) + со2 (В2ш —
/ (Л) — эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента,
2л
/ (Л sin со!) sin
> (Л) = —j \ f (A sin ®t) cos <otd (coO-

АВТОКОЛЕБАНИЯ САМОЛЕТА С АВТОПИЛОТОМ	181
Используя соотношения A9), можно записать выражения J (А) для каждой из
трех характеристик (см рис 12) соответственно в виде
Из системы A8) следует, что уравнение, соответствующее свободным колебаниям
записывается в виде W (/со) J (А) - —1; используя это уравнение получаем соотно-
соотношения, определяющие соответственно частоту Q = со2 и амплитуду А колебаний
~- /?) а- о* ~v=o;
J	B0)
Из первого уравнения следует, что частоту автоколебаний можно определить че-
через параметры системы по формуле
B1)
а из второго — что при больших выносах t > Р/а не существует положительных зна-
значений А, и поэтому невозмущенное движение устойчиво При / <^ Р/а возможны ав-
автоколебания, амплитуда которых зависит от типа нелинейностей В частности, при
квадратичной характеристике демпфера амплитуда автоколебаний
Сравнивая значения амплитуд А, полученных методом гармонического баланса
[см B2)] и графоаналитическим методом, можно показать, что Л = —[</20|.
Для г-характеристики амплитуда автоколебаний
B3)
Из B3) при учете A6) следует, что при /< р/а для h^> ha невозмущенное движе-
движение устойчиво, а при выносах / > Р/а и /г <; Ло возникают автоколебания с ампли-
4
тудой Л. Сравнивая ее значение с ранее найденным, получим А=—| q21 J.
5. АВТОКОЛЕБАНИЯ САМОЛЕТА С АВТОПИЛОТОМ
Уравнения движения системы стабилизации курса нейтрального самолета с авто-
автопилотом с постоянной скоростью сервомотора руля направления в предположении
отсутствия зоны нечувствительности могут быть записаны в виде [1]
? = _г_1; и = —1; ф = М«, г) —В,	B4а)
если i|) > 0, или ip = 0, /,(«, г)> В, или л|э = 0 Z, (и, г) = В, м> Л + В;
и=1, ij) = Z.(tt, г) + В,	B46)

182	АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
'если if><0, или я|) = О, L (и, г) < — В, или гр == О, L (и, г) = —В, «< — (Л-f-B);
г = — г — L(u, z)B~1, u = — L(u, г) B~l, ip=O,	B4в)
еелиг|)=О, L (и, г) < В, или L («, г) = — В,
или г|) = О, L (м, г) = В, и
где г пропорционально ускорению угла рыскания самолета; и пропорционально
сумме скорости и ускорения угла рыскания; 1|з — аргумент сервомотора; /1, В — па-
параметры, характеризующие коэффициенты соответственно искусственного демпфиро-
демпфирования и обратной связи, L (и, г) = и + (Л — 1)г
Исследование автоколебаний, возможных в динамической системе B4), сводится
к изучению свойств точечного отображения (см. п. 5 гл. II) плоскости ф= Ов себя
в трехмерном фазовом пространстве, разбиение которого на траектории симметрично
относительно начала координат [12].
Фазовые траектории, лежащие для л|э т4 0 на цилиндрических поверхностях
г = се" — 1, всякий раз пересекая плоскость хр = 0, с течением времени могут по-
попасть на пластинку скользящих движений [уравнения B4в)] и затем либо в состоя-
состояние равновесия и = г = 0, которое при (Л + В)'1 > 4В является устойчивым узлом,
а при (Л + ВJ < 4В устойчивым фокусом, либо на край пластинки и снова в про-
пространство т|з *i 0.
На плоскости т|> = 0 введем три области а„ ((L («, г) > В) \? ((L (u, г) = В) Д
Д (« > А + В))), о-! ((L (и, г)< - В) V ((L (и г) = -В) Д (и < - (Л + В)))) и
g (-ф = 0/а0 + о"!). Пусть точка Мо (ц0, г0) е а0, а М1 (иъ гг) е О] у g. Обозначим
отображение точки Мо в /Их, осуществляемое по траекториям системы B4а), через Г+,
а отображение точки MoegB точку 0 @, 0) или в точку Мг (L (ць 2j) = —В, гх) s о,
осуществляемое по траекториям системы B4в), через S+.
Преобразование Т+ плоскости \J> = 0 в себя записывается в виде
«о = /(то го)+т/2 + с; г1 = A +г„) е~*- 1;
«1 = /(т, го)-т/2 + с; / (т, г„) = (Л - 1) A +г0) (е^- I) T"i,	B5)
где первое уравнение при фиксированных м0, г0 определяет время т движения изобра-
изображающей точки по траектории в подпространстве i|) > 0, а остальные два — коорди-
координаты Ui, Zj.
Формулы, определяющие преобразование S,, имеют вид
L(Ul, zJ^-B;
Ф] (т) + го(Л-В)-2Мно. ^ ф2 (т)j ехр (_ {Л + В) т/ад> B6)
где т — наименьший положительный корень уравнения
L (и., г0) ф1 (т) + *°(Л-?)-г/-К^ фг (т) + BeJT=о.	B7)
В уравнениях B6), B7) предполагается: если б; = 4В — (Л + ВJ > 0, то (pi =
= cos т, ф2 = sin т, если б? = (-4 -4- ВK — 4В > 0, то ф1 = ch х, <р2 = sh x.
При двукратно примененном отображении Т, переводящем область а в о2 е о,
точки а2 можно разделить на три класса: 1) допускающий неограниченное повторе-
повторение отображения, включающего S+; 2) не включающий отображения S+; 3) сводя-
сводящийся после конечного числа отображений к одному из предыдущих классов отобра-
отображений
Рассмотрим отображение второго класса. Неподвижная точка М'$ (и%, z%) точеч-
точечного отображения Г2 определяется из уравнений

АВТОКОЛЕБАНИЯ САМОЛЕТА С АВТОПИЛОТОМ	183
Условием существования неподвижной точки Mf на плоскости параметров системы
t С является область, определяемая неравенством
9 R
^С(С+1)-В.	B9)
Для исследования устойчивости неподвижной точки Mf точечного отображе-
отображения Т2 составляют характеристическое уравнение
Р2(г) = г2 + рг + (? = 0,	C0)
где
аб — аг	«6A—ах) aty
р=—^—+v; ?=—ц	-^\
в1=1/2-Р; ^=
Необходимым и достаточным условием существования асимптотически устойчи-
устойчивой неподвижной точки MJ является выполнение неравенств
>0; q — p+\>0; 1— <? >0,	C1)
первое из которых с учетом B5), C1) можно переписать в виде
2(Л-1)A+г*)A-у»-2т?у) ^ Q
h
Это условие не выполняется. Поэтому неподвижная точка, а следовательно, и соот-
соответствующий ей автоколебательный режим неустойчивы.
В рассматриваемой динамической системе без зоны нечувствительности един-
единственным устойчивым элементом является точка @, 0). Областью устойчивости в боль-
большом состояния равновесия будет при Л г» 0, В > 0, Л + В — 1 > 0 все фазовое
пространство. Если Л + В — 1 < 0, Л ~т= 0, В > 0 и выполняется условие B9),
то в фазовом пространстве существует неустойчивое периодическое движение, со-
состоящее из двух симметричных кусков траекторий, расположенных соответственно
в полупространствах г|з > 0 и г|) < 0 (неустойчивый предельный цикл).
Геометрическим местом точек фазового пространства, имеющих своими предель-
предельными точками при t-*¦ оо предельный цикл, будет незамкнутая поверхность, прохо-
проходящая через предельный цикл [3]. Она делит фазовое пространство на две части:
содержащую начало координат (внутреннюю) и не содержащую его (внешнюю).
Внутренняя часть заполнена траекториями, имеющими предельную точку — состо-
состояние равновесия; эта часть и является областью притяжения последнего Внешняя
часть заполнена траекториями, имеющими предельные точки в бесконечности. Это
означает, что если начальное отклонение от точки @, 0) таково, что изображающая
точка не вышла из границ внутренней области, то в системе установится равновесный
режим, если же начальное отклонение настолько велико, что изображающая точка
перешла во внешнюю область, то отклонение с течением времени будет неограниченно
возрастать. Если параметры системы связаны противоположным неравенству C1)
соотношением, то в фазовом пространстве также существует неустойчивое периодиче-
периодическое движение.
Когда в системе отсутствует обратная связь В = 0, на плоскости 1|з = 0 пла-
пластинка скользящих движений* стягивается в прямую L {и, г) = 0 и неподвижной точки
на ней не существует Если при этом демпфирование мало @ •=; А -%- 1), то отрезок
А (А — 1)~1 ~с г i Д A — Л)~1 прямой L (и, z) = 0 является устойчивым отрезком
покоя Если коэффициент обратной связи В отрицательный при В < 0, А-\- В — 1>0,
то в системе B4) существует периодический режим движения, который соответствует
устойчивым незатухающим колебаниям (автоколебаниям).
* Скользящие движения — это движения, соответствующие движению изображений
точки по «поверхности переключения» S- = 0 (см. п. 5 гл. П).

(84	АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Если рассматривать стабилизацию курса нейтрального самолета при наличии
симметричной зоны нечувствительности, то дифференциальные уравнения движения
могут быть записаны в виде [2]
? = —z—1; и = —1; $ = L(u,z) — B, если ф>фо> или ф = ф0, ,3„
L(u, г)>В, или \f = 'to. L(u, г) = В, и>(Л + В);
г = — 2 + 1; «=1; if- = L(u, г) + В, если |^|<— %, или -ф = — "Фо» ,QO,
(о/б)
L(u, г)< — В, или г|) = —1|)„, L(u, г) = —В, ы< —(Л+В).
г = —г; u = 0; i^Lfu, г), если li|>l<^o. или | г|>', = \|H,
L(u, г) sign-ф < 0, или ^]=\|H, L(u, г) = 0, 2 sign л|з <; 0;
i = — г — /. (и, г)В~1; u = — L (и, г) В; г|> = 0, если ) г|> I = -ф0,
(«, 2)signi|)<B, или jij) |==ф0. ?.(«> z)=Ssign\f,	(S2r)
или (яр ( = "»4?0, L (и, г) = 0, г sign ф ;> 0.
Фазовое пространство Ф системы плоскостями ф = ±ф0 разбивается на три под-
подпространства <!>! (гр >iiH), Ф2 (г{| < —%) и Ф3 (I Ч> 1 <W, разбиение которых на
траектории симметрично относительно начала координат. Отрезок и = г = 0, | г|) | sc
ь; г|H является отрезком состояния равновесия. На каждой плоскости ф = ± i)H
существует пластинка скользящих движений, определяемая соотношениями | ф | =
= Фп. 0 <^ L (и, г) sign ф <[ В. Изображающая точка, двигаясь в плоскости ф = ф0,
может попасть либо на ребро Г (L (и, г) = В, ц > А -\~ В), с которого уходит в под-
подпространство Фь либо на ребро Г (L (и, г) = 0, и <^ 0), с которого уходит в подпро-
подпространство Ф3-
Для построения точечных отображений разобьем плоскость г|) = ф0 на области
а0 ((L (и, г) > В) V ((/. («, г) = В) Л (« > Л + В))), а2 ((Z. (и, г)< 0) V
V ((L («, г) = 0) Л (и < 0))). Через g0 (gx) обозначим те области пластинки сколь-
скользящих движений, двигаясь по которым фазовые траектории переходят в точки ребра
Г (L), причем само ребро Г (L) не включается в ga (g^).
Пусть Мо (иа, га) (z ст0 и Mt (иг, 2i) С (gj-\/ &!). Тогда отображение 7"+ опреде-
определим как М1 = Т+Мо, где индекс отображения означает, что движение изображаю-
изображающей точки происходит в подпространстве Фх.
Рассмотрим симметричный периодический режим без участков скольжения, соот-
соответствующий возможному возникновению автоколебаний в системе. Точечное отобра-
отображение Т+ имеет вид B5). Отображение Т+ точки Mt {иъ г{) в Мг (и2, г2), принадлежа-
принадлежащей плоскости "ф = —"фо, осуществляемое по траекториям системы в подпростран-
подпространстве Ф3, записывается следующим образом:
22 = 2^; и1 = вт'[(А-1)(у1-1)г1-2^<)]; «2 = Ul; Т1 = е~91.	C3)
Уравнения, определяющие период Т рассматриваемого периодического движе-
движения Т = 2 (т0 + Sx), имеют вид
( '
где ц. = (Л + В — 1ЦЛ — I)"»; ft = 2 A — Л — В); h = 4 (ip0 — А + 1). При этом
I ("о, zp) г= В и L (mj, zx) sS 0.

АВТОКОЛЕБАНИЯ САМОЛЁТА С АВТОПИЛОТОМ	185
Устойчивость неподвижной точки М* (и'%, zj) определяется корнями zb 2 харак-
характеристического уравнения г2 + рг + <7 = О,
g	air.
- 1) A +г*) [1 -Ff + l) Yil Ю~*\
; 6 (l
/
Периодическое движение асимптотически устойчиво, если выполняются нера-
неравенства C1). Как и в случае отсутствия зоны нечувствительности (\|H = 0), первое
неравенство не выполняется, и, следовательно, неподвижная точка Л1* (и соответ-
соответствующее ей периодическое движение без участков скольжения) будет неустойчива.
Покажем, что в системе могут существовать автоколебания, включающие участки
скользящих движений. Действительно, преобразование Т? переводит ребро L в кри-
кривую у (ij) = —я|5о)> уравнение которой в параметрическом виде имеет вид
2%	2Ь	@=^6 <со).	C6)
1—0—е"9	(А— 1)[1+(в — 1)ее]
Преобразование S" на пластинке скользящих движений переводит точки кривой у
либо на конец отрезка покоя, либо на ребро L (симметричного L плоскости ф = —tJH)-
Первый случай имеет место при А > 1. Это означает, что отрезок
покоя устойчив при А ]> 1. При А < 1 каждая точка у преобразу-
преобразуется в ребро С, и затем преобразованием симметрии она возвраща-
возвращается на ребро L. Таким образом, рассматриваемое преобразование
края L в себя определяет функцию последования z1 = / (г0). Иссле-
Исследование последней показывает, что на диаграмме Кенигса—Леме-
рея либо нет точек пересечения гх = f (z0) с полупрямой гх = г0 >
> 0, либо есть одна точка пересечения. Условие перехода от од-
одного случая к другому даст условие появления из отрезка покоя
периодического движения Наличие устойчивой точки соответст-
соответствует существованию устойчивого периодического движения, состав-	Рис' |7
ленного из кусков фазовых траекторий, принадлежащих пластин-
пластинкам, и кусков траекторий между плоскостями ф = ± tya. Значения параметров
А и В, при которых возникают автоколебания, определяются из уравнений
|	J — 4В>0.
Область существования автоколебаний иа плоскости параметров А, В представ-
представлена на рис. 17.
Аналогично можно исследовать вопрос о возникновении автоколебаний, выходя-
выходящих за зону нечувствительности При этом отметим, что область существования авто-
автоколебательных режимов в пространстве параметров уменьшается.

(86
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
6. АВТОКОЛЕБАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
С УДАРНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ
Автоколебательное движение проводящей частицы в поле плоского конденсатора
описывается уравнениями [8]
dx
dt
¦-R
dx
It
@ < x < h)\
(x=0, A),
C7)
C8)
\ > g — no-
где ff — сила вязкого трения; g — ускорение свободного падения;
dx
— —доударная скорость;
— послеударная скорость; 0 гс R <g 1 — коэффициент восстановления.
стоянная электрическая сила, действующая на частицу;
dx_
dt
При А > 0 уравнения C7), C8) определяют движение изображающих точек в по-
полосе П+ двухслойного фазового пространства системы, а при А < 0 — в полосе
П_ [3]. На рис 18 показана фазовая траектория движения Г, начинающаяся в полосе
П+ при х <; 0. Непосредственно из вида траектории Г следует, что если при t = 0
А > 0, то фазовые траектории системы при возрастании t выходят из часги х < 0,
0 :< х <: h полосы Я+ и вновь в нее не возвра-
возвращаются. Аналогично можно показать, что фазо-
фазовые траектории, начинающиеся в полосе П_ при
х > 0, с течением времени выходят из части
этой полосы, располагающейся при х > 0.
Эти свойства фазовых траекторий системы
уравнений C7), C8) в полосах /7+ и /7_ позво-
позволяют перейти к изучению склеенного фазового
\\ \
Рис. 18
Рис. 19
пространства, представляющего собой однослойную полосу OsJi^A (рис. 19).
Часть х > 0 этой полосы совпадает с Я+ при х ^> 0 и с П при х < 0 На отрезке
?=0, 0<i;^4 осуществляется склейка указанных частей полос /7+ и /7_. Если
отказаться от рассмотрения фазовых движений, начинающихся с указанного от-
отрезка склейки, то автоколебательное движение изображающих точек в полосе
0 =S; х s? h склеенного фазового пространства описывается уравнениями
dt*
@
dx
dt
, dx
C9)
D0)
где A = I A [.

АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С УДАРАМИ	187
dx
юе обозначение у =
ных C9), D0),
Вводя обычное обозначение у = —, получаем систему уравнений, эквивалент-
^ @<*<А);	D2)
i/,. = -/??_	(* = 0, Л).	D3)
Согласно уравнению фазовых траекторий
% @<*<А)	D4)
в полосе 0 <; ж < h имеются две изоклины горизонтальных касательных у = f/i,
7/(й) = 4-г;	D5)
yftei) = -A-g.	D6)
Направление фазовых траекторий внутри и вне части полосы 0 < х < ft, огра-
ограниченной изоклинами горизонтальных касательных, показано на рис. 19. Из рассмо-
рассмотрения приведенных фазовых траекторий следует, что в системе могут существовать
только замкнутые траектории, охватывающие отрезок 0 < х < ft, </ = 0 и распола-
располагающиеся в ограниченной части полосы 0 < х --с ft.
В системе всегда существует только одна замкнутая траектория — устойчивый
разрывный предельный цикл Рассмотрим точечное отображение точек полупрямой
у > 0, х = 0 в себя, осуществляемое траекториями системы уравнений D1)—D3)
Пусть отображение начальной точки в конечную, т е точки а в точку а', осущест-
осуществляется по траектории abcda' (рис 19) Тогда отображение точки а в точку а' можно
представить в виде произведения промежуточных отображений, так что
Т аа'^7 abT ЬсТ ЫТ da'-	D7)
Точечные отображения ТЬс и Tda,, за исключением случая R = I, являются сжи-
сжимающими [см уравнение D1)] * С другой стороны, согласно уравнению D2) и тео-
теореме о конечном приращении [4] имеет место соотношение
где у и у' — ординаты двух любых точек, лежащих одновременно в верхней или ниж-
нижней части полосы 0 < х < h и имеющих одинаковую абсциссу Так как для вязкого
трения характерно соотношение -j- > 0, то из уравнения D8) следует, что с течением
времени фазовые траектории в верхней и нижней частях полосы 0 < х <; h только
сближаются Это означает, что при у ф 0 точечные отображения ТаЬ и Tc(f сжимающие.
Но тогда при R ф 1 и у ф 0 одновременно точечное отображение Таа, сжимаю-
сжимающее, и согласно теореме Брауэра [12] па полупрямой у > 0, к = 0 существует един-
единственная неподвижная точка точечного отображения Таа,. Это и доказывает, что
в системе всегда существует единственный разрывный предельный цикл (разрыв-
(разрывный — в силу гипотезы о мгновенном ударе частицы об электроды конденсатора).
* Отображение Т называют сжимающим в области G полного метрического или линей-
линейного нормированного пространства Е, если для любых точек х и у области О расстояние
р (л;, у) между преобразованными точками х = Тх и у = Ту меньше расстояния р {х, у)
между исходными точками х и у, т. е. р {Тх, Ту) < р {х, у).

188	АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Согласно уравнениям D1) — D3) ординаты уа и ус точек а и с предельного цикла
определяются уравнениями
к
\ y[-Vf{y)-g-A]-~ldy=h\	D9)
\	dy = h.	E0)
Ус
Период Т движения изображающей точки по предельному циклу состоит из двух по-
полупериодов %i и т2, причем
E1)
E2)
Соотношения D9)—E2) позволяют рценить количественно влияние сопротивления
среды и массы частицы на размер предельного цикла и длительность периода авто-
автоколебания.
7. РАЗРЫВНЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ
С физической точки зрения задача о разрывных (релаксационных) автоколеба-
автоколебаниях тесно связана с проблемой влияния малых («паразитных») параметров, не учиты-
учитываемых при построении приближенной модели процесса. С математической точки
зрения эта задача связана с теорией дифференциальных уравнений, содержащих
малый параметр при старшей производной [6, 9, 10, 18, 19].
Если движение системы описывается уравнениями
— — Р
dt	E3)
-? = Q(x, у),
где ji > О — малый параметр, то движения изображающих точек в фазовом простран-
пространстве могут быть разделены на быстрые и медленные Уравнения, удобные для изу-
изучения быстрых движений, получаются из E3) после перехода к «быстрому времени»
t
т=— и имеют вид
И-
Для качественного описания быстрых движений на фазовой плоскости х, у достаточно
представить поведение изоклины вертикальных касательных Р (х, у) = 0. Пусть
для конкретности рассуждений кривая Я (х, у) = 0 ведет себя так, как это представ-
представлено на рис. 20. В соответствии с E3), E4) траектории движения изображающих то-
точек, расположенные вне малой окрестности кривой Р (х, у) = 0, почти горизон-
горизонтальны [6, 181 Предельное положение таких траекторий при ц-э- 4-0 описывается си-
системой уравнений

РАЗРЫВНЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ	189
dd*=P(x,y) (</ = const),	E5)
получающейся из E4) при [i = 0. Согласно E3) изображающие точки движения на
быстрых траекториях имеют скорость порядка 1/ц и в пределе при (х -*¦ 0 совер-
совершают мгновенный скачок. Направление движения на этих траекториях в соответ-
соответствии с E5) определяется знаком функции Р (х, у). Если картина поведения изо-
изоклины вертикальных касательных такая же,
как на рис. 20, то изображающие точки движе-
движения, расположенные над кривой Р (х, у) — О,
совершают скачок вправо, и расположенные
под кривой — влево.
При малых ц медленные движения изоб-
изображающих точек возможны только в малой
окрестности кривой Р (х, у) = 0. Причем
устойчивыми по быстрым движениям частями
кривой Р (х, у) = 0 являются только те, на
которых Рх =е -д- •< 0. Поэтому если изо-
изоклина горизонтальных касательных пересе-
пересекается только с неустойчивыми по быстрым
движениям частями изоклины вертикальных	Рис 20
касательных, то движения изображающих
точек, охватывающие ограниченные участки кривой Р (х, у) = 0, могут быть
только вращательного типа Поскольку на плоскости х, у фазовые траектории
не пересекаются, то такие вращательные движения являются предельными
циклами [9]. Для того чтобы определить, сколько предельных циклов может быть на
плоскости х, у я какова их устойчивость, рассмотрим величину
где с — произвольный простой контур, близкий к контуру а, Ь, с, d (см. рис. 20).
Нетрудно убедиться [9], что так как основное время при движении изображающей
точки затрачивается на пребывание в окрестности участков кривой Р (х, ц) = 0
с Р'х <[ 0, то при [I -*¦ + сю имеем / < 0. Но это означает, что в системе E3) в случае
поведения изоклин, представленном на рис 20, существует единственный устойчи-
устойчивый предельный цикл, состоящий из участков медленных и быстрых движений. При
(х -> + 0 такой предельный цикл соответствует разрывным автоколебаниям.
Простейшим примером разрывных механических автоколебаний [10], иллюстри-
иллюстрирующим приведенные выше рассуждения, может служить тормозное устройство
(рис 21).
Обозначив через ф угол поворота тормозной колодки относительно нейтраль-
нейтрального положения пружин, / — момент инерции колодки, с — коэффициент упруго-
упругости системы, Q — угловую скорость вала, М (Q — ф) — функцию, выражающую
зависимость момента силы сухого трения от относительной скорости Q — фи имею-
имеющую падающие участки характеристики (рис. 22), получим следующее уравнение
движения устройства:
/ф = — af + M (Q— ф).	E7)
Запишем E7) в виде системы двух уравнений
ф = со; /ю =— сф + М (Q— ш).	E8)
Предположим теперь, что тормозная колодка имеет малый момент инерции, т. е. /
пропорционально малому параметру \i.
В этом случае, пользуясь приведенной методикой, нетрудно на фазовой плоско-
плоскости ф, ш представить качественно ход траекторий так, как это показано на рис. 23.

190
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Так как на кривом медленных движений, получающейся из E8) при / = 0, направ-
направление движения изображающих точек определяется уравнением ф = ш, то очевидно,
что на плоскости ср, со имеется единственный устойчивый разрывный предельный
цикл а, Ь, с, d, описывающий разрывное автоколебательное движение колодки. Уча-
Участок cd автоколебательного движения соответствует рав-
равномерному вращению колодки. При повороте колодки
возрастает момент сил упругости пружин. Когда мо-
момент упругой силы становится равным максималь-
максимальному моменту силы трения колодки о вал (в точке d
на рис. 23). происходит скачкообразное изменение ско-
скорости колодки при неизменном растяжении пружин и т. д.
М(О-и)
Ма
Q-u
Рис. 21
Рис. 22
Для получения количественного представления о периоде разрывных автоколеба-
автоколебаний колодки необходимо проинтегрировать уравнения E8) движения изображающих
точек на участках cd и ab медленных движений. Тогда получим
мо-м1
kQ
М (Q— со)
со
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Андронов А. А., Баутин Н. Н. Теория стабилизации курса нейтрального самолета при
помощи автопилота с постоянной скоростью сервомотора. I случай отсутствия зоны
нечувствительности. — «Известия АН СССР. Сер. ОТН», 1955, № 3, с. 3 — 32.
2.	Андронов А. А., Баутин Н. Н. Теория стабилизации курса нейтрального самолета при
помощи автопилота с постоянной скоростью сервомотора. II случай наличия зоны не-
нечувствительности. — «Известия АН СССР. Сер. ОТН», 1955, № 6, с. 4— 71.
3.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М., Физматгиз, 1959. 905 с.
4.	Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М., Физматгиз, 1962.
608 с.
5.	Бутенин Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний. Л., Судпромгиз, 1962. 195 с.
6.	Васильева А. Б. О дифференциальных уравнениях, содержащих малые параметры.
[Математический сборник, т. 31 G3I, 1952, с. 27 — 38.
7.	Гоздек В. С. Устойчивость качения сблокированных ориентирующихся колес шасси са-
самолета. — «Труды ЦАГИ», 1970, вып. 1196. 23 с.
8.	Горюнов В. И., Метрикин В. С. О влиянии нелинейного сопротивления среды и веса на
устойчивость и частоту автоколебаний проводящей сферической частицы в поле плоского
конденсатора. — «Известия вузов СССР.Сер. Приборостроение», т. ХП1, 1970, № 8, с. 5 — 9.
9.	Железцов Н. А. К теории разрывных колебаний в системах второго порядка. — «Изве-
«Известия вузов СССР. Сер. Радиофизика», т. 1, 1958, № I, с. 67 — 78.
10. Кайдановский Н. Л., Хайкин С. Э. Механические релаксационные колебания. — «ЖТФ»,
т. 3, 1933, вып. 1, с. 17 — 28.
П. Келдыш М. В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси. —«Труды ЦАГИ», 1945,
№ 564, 37 с.
12.	Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.,
«Наука», 1972. 471 с.
13.	Неймарк Ю. И. Устойчивость линеаризованных систем. ЛКВВИА, 1949. 139 с.
14.	Неймарк Ю. И., Фуфаев П. А. Динамика неголономных систем. М., «Наука», 1967. 519 с.
15.	Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. М., «Наука», 1970. 453 с.
16 Попов Е. П. Приближенное исследование автоколебаний и вынужденных колебаний
нелинейных систем —«Известия АН СССР, Сер. ОТН», 1954, №> 5, с. 11—22.
17.	Стрелков С. П. Маятник Фроуда. — «ЖТФ», т. Ш, 1933, вып. 4, с. 93 — 104.
18.	Тихонов А. М. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры
при производных. [Математический сборник, т. 31 G3I, 1952, с. 625 — 638.
19 Хайкин С. Э. О влиянии малых параметров на характер стационарных состояний дина-
динамической системы. — «ЖТФ», 1935, т. 5, с. 563—573,

Часть третья
СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ
НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Глава VII
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИСТОЧНИКА ВОЗБУЖДЕНИЯ
С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
ИСТОЧНИКА ВОЗБУЖДЕНИЯ С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
Задача о взаимодействии источника возбуждения с механической колебательной
системой состоит в определении движения устройства (источника возбуждения),
создающего переменные во времени механические силы, в определении этих сил
и вызываемых ими колебаний механической системы, связанной с источником воз-
возбуждения.
Если создаваемые источником возбуждения силы можно считать не зависящими
от возбуждаемых ими колебаний, то эта задача сводится к обычной задаче о вынужден-
вынужденных колебаниях, дополненной предварительным определением вынуждающих сил
(см. гл. V). Однако такое усечение задачи всегда приближенное и не всегда допустимое.
Действующие на колебательную систему силы могут быть только силами воздействия
на нее какой-то другой системы, которая должна обязательно испытывать некоторое
ответное воздействие. Представление о силах, не зависящих or возбуждаемых ими
колебаний и являющихся заданными функциями времени, основывается, таким обра-
образом, на пренебрежении «обратным» влиянием колеблющейся механической системы
на движение источника возбуждения. Задачи о вынужденных колебаниях представ-
представляют в этом смысле предельный случай задач о взаимодействии, именно тот, когда
такое пренебрежение заведомо возможно.
Задачи о взаимодействии источника возбуждения с колебательной системой (их
называют еще задачами о колебаниях систем с ограниченным возбуждением и зада-
задачами о возбуждении вибраций) выделились в настоящее время в специальный раздел
теории колебаний, который далеко еще не завершен. В него включают только нели-
нелинейные задачи, хотя некоторые типы взаимодействия описываются линейными уравне-
уравнениями. Значительное место в этом разделе отводится системам, в которых силы,
вызывающие колебания, создаются за счет электромагнитного (а не механического)
воздействия. В задачах этою класса чаще всего целесообразно исследовать автоном-
автономные уравнения движения. Однако в некоторых случаях задача может сводиться и к
неавтономным уравнениям.
Источники возбуждения колебаний и, следовательно, задачи настоящей теории
можно классифицировать по характеру физических процессов, вследствие которых
возникают силы, вызывающие колебания.
Выделяют следующие основные типы возбудителей:
1.	Электромеханический возбудитель — это неуравновешенный ротор или криво-
кривошип с пружиной, приводимый в движение электродвигателем. В этом слу.чае создаются
центробежные либо упругие силы, которые вызывают колебания упрут опертого
тела. Движущий момент двигателя обычно считается заданной функцией угловой
скорости. Дополнительно к ротору или кривошипу прикладываются моменты инер-
инерционных или упругих сил. В результате скорость вращения электродвигателя оказы-
оказывается зависящей от колебательной нагрузки. Таким образом, возбудитель взаимо-
взаимодействует с колебательной системой.
2.	Гидравлический и пневматический. Переменные во времени силы создаются
за счет изменяющегося во времени давления жидкости или газа, которое действует

192
ЬЗАИМОйЕЙСТВИЁ ВОЗБУДИТЕЛЯ С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
на поршень, связанный с колебательной системой. В результате при колебаниях про-
происходит динамическое взаимодействие гидравлического или пневматического привода
с колебательной системой.
3.	Электромагнитный. Силы, возбуждающие колебания, создаются за счет изме-
изменения во времени магнитного поля, действующего на ферромагнитное тело (см. рису-
рисунок). Взаимодействие определяется изменением индуктивности электрического кон-
контура с током, а также магнитного поля при колебаниях ферромагнитного тела.
4.	Электродинамический. В этом случае генерируются силы, действующие на
проводник с током, помещенный в магнитное поле. Эти силы переменны вследствие
изменения во времени тока и поля. При колебаниях проводника возникает добавочная
ЭДС индукции, которая влияет на ток в про
воднике и на величину механической силы.
Этот способ взаимодействия обычно можно
характеризовать линейными членами в урав-
уравнениях электромеханических колебаний.
5.	Электростатический. Генерирование
переменных сил происходит за счет притя-
притяжения или отталкивания заряженных пластин
конденсатора.Силы, действующие на пласти-
пластины, изменяются во времени вследствие из-
изменения заряда конденсатора. Динамика
взаимодействия определяется изменением ем-
емкости, заряда конденсатора и генерируемой
силы за счет колебаний проводников.
6.	Магнитострикционный, электростри-
щионный и пьезоеозбудитель. Принцип гене-
генерирования переменной силы основан на изме-
изменении размеров некоторых твердых тел, по-
помещенных в переменное магнитное или электрическое поле. Взаимодействие в этих
системах обусловливается появлением добавочного поля, зависящего от дефор-
деформаций тела.
Возбудители, относящиеся к одному из указанных типов, могут отличаться схе-
схемами, конструктивными особенностями и т. д. Поэтому они могу г описываться сущест-
существенно разными уравнениями движения. Кроме тою, каждый возбудитель может ис-
использоваться для возбуждения колебаний различных систем. Описанные выше техни-
технические задачи и составляют предмет теории колебаний систем с ограниченным воз-
возбуждением.
Динамические схемы рассматриваемых ниже колебательных систем, их характе-
характеристики и основные результаты исследования приведены в таблице.
У///////////////////////////////////,
2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИСТОЧНИКА ВОЗБУЖДЕНИЯ
С ЛИНЕЙНОЙ ОДНОМАССНОЙ СИСТЕМОЙ
В задачах о взаимодействии кроме уравнений колебаний необходимо рассматривать
уравнения, которые описывали бы динамику источника возбуждения. Если источ-
источником является электродвигатель, а колебательная система одномассная, то уравне-
уравнения движения можно представить в виде [21]
mx-{-kx-\-cx — Q (х, х,
р. Ф);
p, ф, X, X),
A)
где ф — угол поворота ротора; х — перемещение колеблющейся массы; / — момент
инерции вращающихся частей, приведенный к валу двигателя; L (ф, ф) — движущий
момент; Н (ф, ф) — момент сил сопротивления вращению. Второе уравнение описы-
описывает динамику источника возбуждения, т. е. вращение ротора электродвигателя.
Момент R (ф, ф, х, х) отражает действие колебательной системы на источник возбуж-
возбуждения, а правая часть первого уравнения описывает переменную силу, генерируемую
этим источником.

ЛИНЕЙНЫЕ ОДПОМАССНЫЕ СИСТЕМЫ	193
Из анализа уравнений A) следует, что если величина момента R (ср, ф, х, х) срав-
сравнима с движущим моментом источника L (ср, ф), то переход через резонанс может быть
затруднен. Кроме того, на околорезонансных частотах колебания системы оказы-
оказываются неустойчивыми. Эти обстоятельства следует учитывать при разработке и
создании технических систем.
Примером системы, описываемой уравнениями вида A), является система, изобра-
изображенная на рисунке п. 1 таблицы. Уравнения движения этой системы имеют вид [21]
/ср = L (ф) — Н (ср) + С]Г (x—r sin ср) cos ср,
где функция L (ф) описывает статическую характеристику электродвигателя.
В уравнения B) можно ввести малый параметр. Пусть Q^ — некоторое значение
угловой скорости вращения двигателя; тогда, если величина е = qA2//Q| является
достаточно малой, то е можно считать малым параметром. Величиной порядка 8
является также отношение М (Я„)//Й|, где М = L — Н. Это позволяет представить
второе уравнение B) в форме
ф" = е[^(ф') — #i(<p') + (S — sin <p) cos <p],	C)
х
где штрих означает дифференцирование по x = QJ\ ? = — ; Ц (ф') = L (Я„ф')/сг/-а;
/W) = w(o.<p')/v8.
Практический интерес представляют резонансные и нерезонансные колебания.
В резонансном случае колебания имеют частоту, близкую к частоте свободных колеба-
колебаний. При этом, если принять Qt = со, где со2 = с/т, с = ct + с0, то первое уравнение
B) может быть представлено в виде
r + 5 = efoslnq>-A?').	D)
здесь q = I/mr2; h = kaqlc^.
Предположение о резонансном характере колебаний означает, что величина ф'
близка к единице.
От уравнений C), D) введением новых переменных можно перейти к уравнениям
в стандартной форме, что в дальнейшем позволяет использовать, например, метод
Крылова—Боголюбова и определить параметры периодических движений. Можно
также анализировать уравнения, приведенные в таблице, рассматривая в них е как
малый параметр, а в окончательных выражениях положить 8=1. Ниже во многих
случаях без особых оговорок будет считаться, что е введено именно таким образом.
При е=0 уравнения описывают колебания осциллятора и вращение ротора
с постоянной угловой скоростью (ф = const). При малых 8 следует ожидать, что коле-
колебания будут близки к гармоническим, а угловая скорость ф — медленно изменяться
во времени. В первом приближении амплитуда стационарных колебаний а, частота
Q и сдвиг фазы ф определяются из соотношений
т 1^4со2 (со — ЙJ+
k
MO)-S(Q)-0;
которые были получены В. О. Кононенко методом Крылова—Боголюбова [21]. Урав-
Уравнение L (Я) — S (Я) = 0 является уравнением динамического равновесия моментов,
действующих на вал двигателя. Функция S (Я) характеризует момент сил сопротивле-
сопротивления вращению вала двигателя,
7 п/р. Блехмана, г. 2

194
взаимодействие возбудителя с колебательной системой
Динамическая
схема системы
Описание системы
Уравнения движения
При вращении двигателя Д
кривошип радиуса г деформи-
деформирует упругую связь си создавая
силу С\Г sin ф и момент схг X
Х^тфсоэф. Колебания воз-
возбуждаются двигателем Д с мо-
ментной характеристикой L (ф)
mx -J- (?! + с0) х =
= е (с,/- sin ф — кх)\
1 ф = Е [L (ф) - Н (ф) +
-|- сгг (х — г sin ф) cos ф]
Источник энергии — двига-
двигатель Д вращает ротор с момен-
моментом инерции /, на котором
укреплена неуравновешенная
масса на расстоянии г от оси
вращения. При вращении мас-
массы т возникает сила инерции,
ее вертикальная проекция воз-
возбуждает колебания системы
тх -f ex = e (rnrcp2 cos ф -f-
+ mrif sin ф — kx — fx3);
/ф = е М<р)- Н
-j- tnrx sin ф]
Упругий стержень АВ подвер-
подвергается действию периодической
силы ctr sin ф, которая реали-
реализуется благодаря вращению ро-
ротора с кривошипом. Изгибная
жесткость стержня испытывает
периодические изменения, кото-
которые при определенных условиях
являются причиной возникнове-
возникновения параметрических колебаний
= - Е (Ху sin ф -f h'y + Vl/S);
ф = ? [М (ф) — О2уг COS ф —
— Оз Sill 2ф — О4 COS ф]
Автоколебания в системе воз-
возникают вследствие действия
силы трения Т в месте контакта
массы m с лентой /, которая дви-
движется со скоростью v ~ пр. Лента
приводится в движение двигате-
двигателем Д с помощью шкива ра-
радиуса г
тх + сх = — ? \h'x - Т (i/)];
/ф = е[? (ф) - Я (ф) -
- гТ Ш)];
U = лф — х;
Т (U) = ko + klU +k2U2 + I/3U
и > о

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОМАССНЫЕ СИСТЕМЫ
195
Расчетные формулы (основные резонансные
соотношения)
Ампл и тудно- ч астотные
характеристики
Тип
колеба-
колебательной
системы
У
т I/ 4со2 (со -
т*
ctg Ч> =
S (П) =
2m (со — О) '
, 1 .
Линейная
L,S
Руу\
S (Q) =
п а)г>о
J4
Нелиней-
Нелинейная
а? = — Ггсо (V — со) + ^г— Yc\ - 4/е2о>2] ;
S (lv) = Я Bv) -f -j- fecoa2
Пара-
метриче-
4т
а2 =	хт	(ft ¦
5 (o) = /T (o) + -=- (ft,
гл
M.S
Автоколе-
Автоколебательная
7*

196
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЗБУДИТЕЛЯ С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
Динамическая
схема системы
Описание системы
Уравнения движения
Периодические	изменения
жесткое гей с^ (<р) = с^ + bj cos cp
(( = 1, 2	п) и действие силы
трения Т, возникающей в месте
контакта массы m с лентой,
генерируют два совместных ме-
механизма колебаний: параметри-
параметрических и автоколебаний. Пред-
Предполагается, что связь между
переменными жесткостями и
двигателем Д осуществляется
через некоторый передаточный
механизм
Для одномассной системы
tU\X\ -у- CiXx =
by Xi cosrp —
-Mi-
\x, |
ф = с U (ф) - Я» (ф)
-rT {U)];
Т ({/) = q (sign U -
= rqi - xt
Колебательная система взаимо-
взаимодействует с двумя источниками
энергии —двигателями Д, и Дг,
приводящими в движение золот-
золотниковое	распределительное
устройство / и ротор 2 пульса-
пульсатора. Жидкость нагнетается в
полости цилиндра и приводит
в движение колебательную си-
систему
ли + сх =
= р, [-кх + Р(ф, r>) sin f)];
Лф =е и,(ф)-Я, (ф, *)-
!- Pi (ф, Ф. 0> Ь, Ъ,х, х) со
1гй =е [L,(i) - Я2(ф, #)
+ Рг(<Р, Ч>, Ъ, Ь, 5) cosO
Линейный осциллятор мас-
массой ш и жесткостью с взаимо-
взаимодействует с источником возбужде-
возбуждения ограниченной мощности —
электродинамическим линейным
преобразователем и ламповым
генератором
>гА" = Я •'-« - $Х — р "
« (О = J AС + ?с) Л.
i (ы) = at« -Ь «2ы2;
Н (и) = алп + а4ы3
Двигатель Д, имеющий огра-
ограниченную мощность возбужде-
возбуждения, осуществляет вынужденные
колебания камертона с массой m
и жесткостью с непосредственно
или через магнитную муфту /.
Магнитная муфта и ходовое ко-
колесо 2 жестко укреплены на
одной оси
1 = е [Mi - Л,ч>, - М
дг -\- сх — е [N — hx\

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОМАССНЫЕ СИСТЕМЫ
197
Расчетные формулы (оснооные резонансные
cool ношения)
tg 2g = "
Л-] — H (u) Лх + В = 0;
4mlA1 (u — 2(Oi/")
Л, — йсо:
// (н) =- 4 из - U2 j_
 =
Амн л и ту дно- ч астотн ые
характеристики
Тип
колеба-
колебательной
системы
Автоколе
бательиая
с перемен
ными
пара-
параметрами
F (Ф, Й)
/(с - mil')' + *2
l (Ф, Q) + kQa2Plit (a)IF (Ф, В);
S2 = W, (Ф, Й)
Электро-
гидравли-
гидравлическая
+ м2
ш V P2 + 4 (со -
Л + 2ц (со - 6)
ц — 2Х (со — 0)
Автоколе-
Автоколебательная
[(©о -

198	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЗБУДИТЕЛЯ С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
Задача об устойчивости стационарных периодических движений приводится
к анализу алгебраических критериев Рауса—Гурвица. Необходимым условием устой-
устойчивости является неравенство
^[L(Q)-S(G)]<0,	F)
которое физически означает требование достаточной мощности двигателя.
В нерезонансном случае уравнение, аналогичное D), не содержит малого параметра
и характеристики стационарных колебаний определяются из соотношений
L(Q) — S(Q) = O; S(Q)=H(Q) + ~
которые получаются в результате применения метода Пуанкаре.
Условие устойчивости по-прежнему имеет вид F).
Для систем с малой вынуждающей силой амплитуды колебаний вдали от резонанса
малы, вследствие чего S (Я) да Н (Я) и вид выражения для амплитуды несущественен.
Поэтому нелинейные эффекты, сопровождающиеся даже немалым изменением частоты,
в системах с малым трением и малой вынуждающей силой можно изучить, имея только
резонансное решение.
Вследствие квадратичной зависимости функции S (Я) от амплитуды а график функ-
функции 5 (Я) имеет вид резонансной кривой, показанной на рисунке п. 1 таблицы. Иско-
Искомые значения частоты Q удобно определять графически (см. п. 1 таблицы) как точки
пересечения графиков функций L (Я) и S (Я). Это построение показывает, что реше-
решение задачи о стационарных колебаниях в общем случае неоднозначно. Эта неоднознач-
неоднозначность обусловлена ограниченностью мощности возбуждения, так как при идеальном
источнике (двигателе бесконечной мощности) кривая L (Я) превращается в прямую
Q = const.
Устойчивость колебаний также легко устанавливается геометрически по знакам
и величинам углов наклона касательных к кривым S (Я) и L (Q). На рисунке п. 1
таблицы точки bx, b3 соответствуют устойчивым режимам, а точка 62 — неустойчи-
неустойчивому.
При регулировании двигателя (постоянного тока) кривая на рисунке п. 1 таблицы
смещается вверх, если регулирование сопровождается увеличением мощности. В ряде
случаев при этом увеличивается и крутизна характеристики L (Я). Пусть характерис-
характеристика двигателя имеет вид, показанный на рисунке п. 1 таблицы. При пуске двигателя
его ротор разгоняется до угловой скорости, соответствующей стационарному режиму
(точка fej). Если теперь квазистационарно увеличивать мощность двигателя, то точка
&! по кривой S (Я) будет двигаться к точке Г так, как показано стрелкой на рисунке
п. 1 таблицы.
При достаточно остром резонансном пике увеличение частоты будет малозаметно,
но амплитуда колебаний будет существенно возрастать. Когда характеристика дви-
двигателя займет положение, показанное штриховой линией, резонансный режим будет
соответствовать границе устойчивости. При дальнейшем увеличении мощности про-
происходит «срыв колебаний»: двигатель начинает разгоняться до установления нового
стационарною режима с частотой, соответствующей точке пересечения характеристики
с участком Ь3 И. Дальнейшее увеличение мощности на этом участке приводит к замет-
заметному росту частоты.
Описанные механические эффекты — «застревание» двигателя на числе оборотов
вблизи резонансной частоты, возрастание амплитуды колебаний без заметного изме-
изменения частоты при увеличении мощности и быстрый переход («срыв») резонансной
частоты, сопровождающийся резким уменьшением амплитуды, в настоящее время
принято называть эффектом Зоммерфельда.
При квачистатическом увеличении мощности (прямом проходе через резонанс)
колебания с частотами в интервале между точками Т и Н (см. рисунок п. 1 таблицы)
не реализуемы. При уменьшении мощности (обратном прохождении через резонанс)

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	199
не реализуемы колебания с частотами, соответствующими участку RTP. Ширина
этих участков определяется крутизной характеристики источника энергии. При
достижении границы нереализуемого участка происходят срывы колебаний, которые
показаны стрелками. Наличие нереализуемых частотных диапазонов также пред-
представляет собой динамическое свойство рассматриваемой системы, обусловленное
взаимодействием. В случае идеального источника реализуемы колебания со всеми
частотами.
Система, в которой колебания возбуждаются силами инерции неуравновешенных
вращающихся масс (см. п. 2 таблицы), также является системой с ограниченным
возбуждением. Уравнения движения системы в резонансном случае записываются
в форме (обозначения см. в таблице) [7, 21]
ntiX -\-сх = г (тгЦ? cos ф + тщ sin <р—kx);
/ф = е [L (ф) — Н (<p)-\-mrx sin ф].
Малым параметром в технически интересных случаях является отношение массы
дебаланса к колеблющейся массе mlm1. Амплитуда, сдвиг фазы и частота стационар-
стационарных околорезонансных колебаний определяются соотношениями [21]
а = -
где	L(Q)-S(Q) = O,
k_
~2й
Нерезонансные стационарные колебания описываются теми же соотношениями
G), что и в предыдущей задаче, только в них следует заменить сгг на mrQ2. Условие
устойчивости в обоих случаях (резонансном и нерезонансном) имеет вид F). Динами-
Динамические свойства этой системы при проходах через резонанс качественно не отличаются
от описанных выше.
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИСТОЧНИКА ВОЗБУЖДЕНИЯ
С НЕЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ
Примером нелинейной колебательной системы с ограниченным возбуждением
является система, представленная на рисунке п. 2 таблицы, но с нелинейным упругим
элементом Упругий элемент характеризуется следующей зависимостью восстанавли-
восстанавливающей силы Р от перемещения:
Р (*)=«+/(*).	(9)
В резонансном случае функция / (х) мала по сравнению с сх. Уравнения движения
имеют вид (8), но с дополнительным членом — ef (x) в правой части первого уравне-
уравнения. В этом случае амплитуда, сдвиг фазы и частота стационарных резонансных коле-
колебаний определяются соотношениями
tgip =
т1 j/4co2 (Ше — QJ + ?2co2/mf '	2mx (coe — Q) '
где
2л
ше = ш -j——; G (а) = -к— I / (a cos &) cos d d®;
о
k
2Q <JJ aK

200 взаимодействие возбудителя с колебательной системой
Параметр а>е называют эффективной «собственной» частотой нелинейной системы.
Например, при / (х) = ухъ
Нерезонансный случай теперь соответствует колебательным системам с немалыми
характерными значениями сил трения —kx и нелинейно-упругих сил —f(x) по сравне-
сравнению с характерными значениями сил инерции и линейно-упругих сил. Стационарные
колебания в. нерезонансном случае обычно изучаются с помощью метода Пуанкаре
в сочетании с методом гармонического баланса или гармонической линеаризации,
которые применяются для определения порождающих решений. Получающиеся
решения дают ту же картину развития колебаний, что и в резонансном случае. Поэтому
для изучения нелинейных эффектов практически достаточно проводить анализ резо-
резонансного случая.
Частотам стационарных движений соответствуют абсциссы точек пересечения
графиков характеристики двигателя L (Й) и момента S (Q) сил сопротивления вра-
вращению ротора. Для определенности считаем, что f (х) = ух*. Возможны два варианта:
у > 0 («жесткая» упругая характеристика) И у < 0 («мягкая» характеристика). При
у > 0 резонансная кривая системы и графики L {Q), S (Я) имеют вид, показанный
на рисунке а п. 2 таблицы. Из рассмотрения графиков следует, что при квазистати-
квазистатическом увеличении мощности не реализуется участок TRH, а при уменьшении —
участок RTP. Срывы колебаний при прямом и обратном прохождении через резонанс
показаны стрелками.
При у < 0 получаются графики, представленные на рис. б п. 2 таблицы. При
прямом прохождении нереализуемым является участок TRH, при обратном RTP.
Как при у > 0, так и при 7 < 0 ширина нереализуемых участков определяется
свойствами (крутизной характеристики) источника энергии.
Предыдущие задачи, следуя классической терминологии теории колебаний, обычно
называют задачами о вынужденных колебаниях систем с неидеальным источником
энергии. Такая же преемственность терминологии используется при классификации
автоколебаний и параметрических колебаний при ограниченном возбуждении. При-
Примером параметрической системы с ограниченным возбуждением является система,
изображенная на рисунке п. 3 таблицы. Уравнения движения этой системы имеют
вид [21]
где
/= — s (\y siny+hy+yy);
Ф = е [М (ф) — а2у* cos <р — а3 sin 2 <р—ст4 cos <р],
2f,
р — масса единицы длины стержня; Е1Х — жесткость стержня на изгиб в направ-
направлении оси у; f0 — первоначальное поджатие пружины.
При выводе уравнений A2) предполагалось, что колебания стержня имеют вид
первой формы свободных изгибных колебаний.
Параметрические колебания основного резонанса соответствуют значениям час-
частоты ф, при которых 2ш/ф я; 1. В этой области амплитуда и частота стационарных

НЕЛИНГПНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	201
периодических режимов определяются из соотношений
4 [	1 г	~1
аг = ъ~ 2k>(v — to) + — Vcl— 4fe2to2 •
KL	,	A3)
L Bv) — S Bv) = 0; S Bv) = Я Bv) + ^- toa2; 2v = Я.
Резонансные кривые системы и графики функций М и S представлены на рисунке
п. 3 таблицы. Стрелками показаны изменение амплитуд, срывы и возникновение (при
переходе RP) колебаний при квазистатическом увеличении и уменьшении мощности
двигателя. При прямом прохождении через параметрический резонанс в случае
•у > 0 (рис. а) не реализуется правая ветвь TR резонансной кривой, а при обратном —
весь участок РТР. При у < 0 (рис. б) и крутых характеристиках двигателя точками
перехода являются Т и R.
Система, изображенная на рисунке п. 4 таблицы, — характерная механическая
автоколебательная система с ограниченным возбуждением. От известной фрикционной
автоколебательной системы она отличается тем, что скорость ленты v не является
заданной величиной, а выражается через угловую скорость ф вращения двигателя:
v = гф. В этой задаче известной является статическая характеристика двигателя
L (ф), а угловая скорость зависит от колебаний массы на ленте и подлежит опре-
определению.
Уравнения движения в этом случае имеют вид [21]
A4)
где U = яр — х; Т — сила сухого трения между телом и лентой. Предполагается,
что функция Т (U) нечетная и имеет вид, показанный на рисунке п. 4 таблицы, и
при U > 0
Т (U) = k{j-\-kiU-\-k%U*-{-k$Us.	A5)
Такая аппроксимация зависимости силы трения от скорости достаточна для описания
большинства технических систем, в которых возможны фрикционные автоколебания.
Амплитуда стационарных автоколебаний а и угловая скорость вращения двига-
двигателя Q определяются из соотношений, получающихся после применения к уравне-
уравнениям A4) одного из указанных в п. 2 методов нелинейной механики:
4т
A6)
Критерии устойчивости имеют вид
7 ш{L (Q)~H {Q)] f гк~тr
y ~ [L (Q)-H (O)] + rh- |- rk3aW+ ~ (A,+3fe,t;)»[ < 0.	A8)
Неравенства A7) — A8) могут быть выполнены только при ks > 0. Как видно из
первого соотношения A6), автоколебания возможны лишь тогда, когда скорость
ленты v соответствует убывающему участку функции Т (v) -f- hv. Аналогичное усло-
условие справедливо для автоколебательной системы с идеальным источником энергии.
Наиболее важным в задаче о взаимодействии является условие A8). Оно может
выполняться при больших значениях производной — [L(Q)—Н (Q)].
Таким образом, автоколебания могут оказаться неустойчивыми, если характерис-
характеристика источника энергии будет недостаточно крутой.

202	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЗБУДИТЕЛЯ С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
4. РАЗДЕЛЬНОЕ ФОРМИРОВАНИЕ АМПЛИТУДЫ И ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ
В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ
Динамическое воздействие неуравновешенного ротора (см. п. 2 таблицы) на колеба-
колебания массы т определяется инерционной силой тг (ф2 cos ср + f sin cp). При движе-
движениях системы обобщенная координата ф (t) определяет как частоту, так и амплитуду
инерционной силы, возбуждающей колебания. Иначе говоря, инерционный возбуди-
возбудитель одновременно формирует как частоту, так и амплитуду колебательного процесса.
Но существует класс технических систем, в которых частота и амплитуда колебаний
формируются различными источниками энергии. Возможность такого разделения
функций источников энергии в системах с ограниченным возбуждением определяется
структурой самого колебательного процесса, поскольку амплитуда и частота являются
независимыми параметрами и полностью определяют колебания.
Гидровозбудитель, изображенный на рисунке п. 6 таблицы, — пример системы
с раздельным формированием частоты и амплитуды.
Уравнения движения этого класса систем являются естественным обобщением
уравнений движения A), описывающих динамику систем с одним источником энергии,
и ии.еют следующий вид [11]:
тХ+сх=е [—kx + F (ф, Ь) sin Щ;
/1ф = е[^(ф)-//1(ф. #) + /МФ. ф. #> Ь, ё) cos •&];	A9)
/24' = e[L2^) — #2(ф, Ь) + Р2(ц>, ф, fl, Ь, d)cosO],
где ф, 0 — координаты, характеризующие движение соответственно амплитудного
и частотного источников энергии; физический смысл уравнений аналогичен смыслу
соответствующих уравнений в п. 2.
Уравнения A9) исследуют указанными в п. 2 методами нелинейной механики.
Стационарные периодические решения первого приближения можно представить
в виде
х = a sin (Qt — *(¦); <j = Ф; Q = Qt
(a, if>, Ф, Я = const).
Величины о, Ф, Q определяются из соотношений
Ц(Ф)-81{Фй а(Ф, Q) ) = 0; /_2 (Q)-S2 (Ф, Q)=0;
S! = //i (Ф, Q) + kQcfiPlt (a),'F (Ф, Q);	B J
Условия устойчивости стационарных движений имеют вид
^ [Ц (Я)-Я2 (Ф, Я)] < 0; ^ [Lx (Ф)-Нг (Ф, Я)] < 0;
д	<22)
itt. [^-1 (Ф) — Si (Ф, Я, а (Ф,
где производные вычисляются при значениях а, Ф, Q, найденных из B1).
Исследование стационарных колебаний в системе с двумя источниками энергии
сводится к анализу линий пересечения поверхностей S^cD, Q), 52(Ф, Q) с цилиндрами
Ьх(Ф), L2(Q). Это построение более сложно, чем для систем с одним источником, когда
вопрос сводится к рассмотрению пересечения кривых. Анализ соотношений приводит
к выявлению ряда новых механических эффектов.
Значения Ф при Q = const определяются точками пересечения линий ?].(Ф) и
Sj (Ф, Q, а (Ф, Я)), Q = const (см. п. 6 таблицы). Кривая Sll(ij соответствует функции
Sx (Ф, Q, а (Ф, Я)) при Q = со, где со = \ с/т — собственная частота колебательной
системы без учета трения. Кривая Slt г соответствует бифуркационному значению
частоты Я = Qu при котором происходит скачкообразный переход из точки 3 в точку

СПЕЦИАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ	203
7, как показано стрелками, а кривая Sb 2 — некоторому промежуточному значению
Q = Q2. Другой бифуркационный переход происходит по линии 5lt со из точки 5
в точку 1. Из анализа соотношений B2) следует, что колебания, соответствующие
точкам 2 к 6, являются устойчивыми, а колебания, соответствующие точке 4, — не-
неустойчивыми, однако в зависимости от мощности амплитудного источника картина
может изменяться. При этом меняется также форма амплитудно-частотной кривой
а (Ф, &)¦ В случае достаточной мощности амплитудного источника получается кривая,
сходная с амплитудно-частотной кривой линейной системы (штриховая линия на
рисунке п. 6 таблицы). При малой мощности наблюдается новая зависимость ампли-
амплитуды колебаний от частоты (сплошная линия на рисунке п. 6 таблицы). При прямом
проходе через резонанс реализуются участки МА, ВС, DN этой кривой, а при обрат-
обратном — участки ND, FG, AM. Участки кривой AG и СЕ соответствуют точкам типа 4
и являются неустойчивыми. Такая зависимость амплитуды от частоты схожа с ампли-
амплитудно-частотной кривой для нелинейной колебательной системы с двумя степенями
свободы, включающей упругие элементы как с жесткой, так и с мягкой характерис-
характеристиками.
5. СПЕЦИАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ЧЕРЕЗ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЛИЯНИЯ
Взаимодействие одного и того же источника энергии с разными колебательными
системами описывается различными уравнениями движения. Поэтому уравнения
движения при рассмотрении каждой новой колебательной системы нужно интегри-
интегрировать заново. Однако в ряде случаев задача упрощается, если использовать специаль-
специальную форму уравнений.
В источнике возбуждения независимо от того, с какой колебательной системой
он связан, можно выделить элементы, на которые непосредственно действуют созда-
создаваемые источником механические силы. Такие элементы должны быть механически
связаны («скреплены») с колебательной системой и в этом смысле составлять ее часть;
например, их масса в уравнениях движения колебательной системы учитывается
наряду с массой прочих входящих в нее тел. С другой стороны, элементы, восприни-
воспринимающие нагрузку, составляют неизменную часть источника возбуждения. Движение
элементов, воспринимающих усилия, влияет на процессы в возбудителе. Этим опре-
определяется обратное влияние колебательной системы на источник возбуждения. Если
движение указанных элементов известно, то процессы в источнике возбуждения могут
быть определены, причем для их определения не нужно знать движение остальных
элементов колебательной системы.
Например, элементом инерционного возбудителя, воспринимающим силу, является
вал ротора. Если колебания этого вала известны, то по уравнению можно вычислить
угловую скорость двигателя.
Поэтому удобно записывать уравнения движения источника возбуждения так,
чтобы в них входили не координаты колебательной системы, а переменные Ег, ..., 5ft,
имеющие смысл перемещений или углов поворота элементов, воспринимающих усилия.
Пусть v — вектор обобщенных координат, соответствующих колебательной системе,
q — вектор обобщенных координат возбудителя и | — вектор с компонентами |],
..., !/j. Кинетический потенциал системы (функция Лагранжа)
L = Li(q, q, |, ?) + М*>. -6) (L^T-П),	B3)
где Т, П—соответственно кинетическая и потенциальная энергии.
Для каждой заданной колебательной системы переменные ?ъ ..., %к могут быть
выражены через компоненты вектора V. Если колебательная система линейная, а ее
параметры постоянные, то 5; должны быть линейными функциями координат и, следо-
следовательно, могут быть представлены скалярными произведениями вида
lt = v]v, < = 1	к,	B4)
где vt — постоянные векторы; т>(. — транспонированный вектор, т, е. вектор-строка.

204	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЗБУДИТЕЛЯ С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
Векторы Vi можно определить лишь после того, как задана колебательная система;
кроме того, они зависят от способа введения обобщенных координат.
Уравнения Лангранжа 2-го рода для системы с кинетическим потенциалом, задан-
заданным соотношением B3), имеют вид
4^^ /?(<7, ?) + @;	B5)
dt dq dq
где /? описывает непотенциальные силы в источнике возбуждения; Е — заданные
немеханические воздействия (в случае немеханических процессов в возбудителе);
Qi = -l^ + |i {,_1	*,.	B7)
Из равенств B7) следует, что векторы vt описывают распределение сил, создавае-
создаваемых источником возбуждения, по колебательной системе, а коэффициенты Q/ перед
Vj определяют величину сил. При записи условия Vi = const предполагается, как
обычно в теории линейных упругих систем, что вынуждающие силы отнесены к неде-
формированной колебательной системе.
Вид уравнений B5), B7), записанных через ?,-, не зависит от вида колебательной
системы Это позволяет в ряде случаев получить результаты, справедливые для про-
произвольной линейной колебательной системы. С другой стороны, имея уравнения B5)
и соотношения B7) для каждой конкретной колебательной системы, можно составить
уравнения, записанные обычным образом, через обобщенные координаты Для этого
нужно найти vi, выразить |/ через v согласно B4), внести результат вычислений
в B5), B7) и выписать уравнения B6).
Например, для инерционного возбудителя уравнения B5), B6) составляются
следующим образом. Пусть колебательная система находится в положении статичес-
статического равновесия Введем неподвижную декартову систему Охуг так, чтобы оси Ох, Оу
лежали в плоскости вращения ротора, а начало О — на оси вращения; в остальном
ориентация осей безразлична. Тогда
7\= \ /i<P2+ \ m [(rcpcos(p + |2J + ('-'P мпф-^J],	B8)
где ф — угол между осью Ох и осью, проведенной через центр тяжести ротора и точку,
О; 5i. ?2 — перемещения точки О соответственно вдоль осей Ох и Оу; т — масса
ротора; г — эксцентриситет; 1г — момент инерции ротора (с учетом момента инерции
ротора электродвигателя). Перемещения точки О вдоль оси Ог и повороты вала (кроме
угла ф) в технических задачах можно не учитывать. Механический смысл величин
li, ?2 не зависит от вида колебательной системы, с которой связан неуравновешенный
ротор
Уравнение вращения ротора запишем в виде
/cp = L((f)— Н (ф) ->rmr( li sin <p—12 cos <p), / = /1 + mr2.	B9)
Силы, действующие на колебательную систему со стороны ротора,
Q, =	J = тг (ф2 cosffi + ф s'n ф).
dt %	к т	т	C0)
Q2 =	-т^ = т/-(ф2 sin ф —
dt d|2
где отброшены члены, содержащие 1^ |2, как не влияющие на решение первого
приближения.

СПЕЦИАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ	205
Векторы т>1, г>2 в случае инерционного возбудителя описывают нагрузки в виде
единичных сосредоточенных сил, направленных соответственно по осям ху и прило-
приложенных в точке 0.
Уравнения B6) и B9) вместе с соотношениями C0) описывают взаимодействие
инерционного возбудителя с линейной колебательной системой произвольного вида.
Для одномассной системы вектор v имеет одну компоненту х; vt — 1, |] = х, |2 = 0,
и указанные уравнения переходят в (8).
Основываясь на записи уравнений с помощь-о переменных |j	 \к,
в ряде случаев можно выразить решение нелинейной задачи о взаимодействии через
обобщенные характеристики колебательной системы — гармонические коэффициенты
влияния и фазовые сдвиги Это позволяет использовать полученное решение для
определения колебаний, возбуждаемых одним и тем же возбудителем в различных
колебательных системах. Для каждой конкретной колебательной системы нужно
только предварительно найти коэффициенты влияния и фазовые сдвиги из решения
линейной задачи о вынужденных колебаниях и внести их в решение нелинейной
задачи.
Рассмотрим представление решения через коэффициенты влияния на примере
задачи об инерционном возбудителе, В нерезонансном случае уравнения движения
с малым параметром, введенным, как в п. 2, имеют вид
Ф = у [/- (ф) — Я (ф) + mr (|i sin rp — % cos <p)J;
C1)
Mv -\-Bv+Cv = Q + 2
После введения нового аргумента ф и новой неизвестной функции Q = ф уравне-
уравнения C1) переходят в систему с одной медленной переменной Q и многими быстрыми
переменными — компонентами вектора V. Асимптотический метод интегрирования
таких систем разработан В М. Болотовым Существенный интерес представляет
определение закона изменения частоты в переходном процессе В первом приближе-
приближении частота Q по методу В. М. Волосова находится из решения уравнения
~ = i- [L (?2)-Я (Q) - у m?r*Q* (kn sin ^n+k22 sin f22)],	C2)
где kn, фц, &22> 'Фгг — функции частоты Q, имеющие следующий механический смысл.
Пусть ротор не вращается, а к колебательной системе в точке 0 вдоль оси Ох прило-
приложена гармоническая сила с частотой Q и единичной амплитудой. Амплитуда переме-
перемещения точки О в направлении оси Ох при установившихся вынужденных колебаниях
системы под действием этой силы равна величине ku, а угол сдвига фаз между колеба-
колебаниями точки О вдоль Ох и силой — углу г|)п. Аналогично определяются величины
fe>2, i|J2 при рассмотрении перемещений точки О по оси Оу под действием силы, направ-
направленной по этой же оси.
Иным способом уравнения типа C2) получены в гл IX.
В уравнении C2) переменные разделяются, и его решение Q(/) находится в квадра-
квадратурах. При периодических колебаниях (которые могут быть определены также мето-
методом Пуанкаре) частоту определяют из уравнения
L(Q) — S(Q)=0, S(Q) = tf (a>)+~mo-r*Q*(knsmtyn + k22smty2S). C3)
Можно принять, что угол поворота ротора, определяемый с точностью до произ-
произвольной фазы, ф = Qt. Тогда законы изменения во времени перемещений |t, |2 с точ-
точностью до величин высшего порядка малости будут вычисляться по формулам
sin (Qf-%2)];
2 = mrQ* [kncos(Qt—i|>i2)-r*22 sin (Q^ —fe)].

206 взаимодействие возбудителя с колебательной системой
где #12, Ф12 — коэффициент влияния и фазовый сдвиг, определяемые из рассмотрения
перемещений точки О вдоль Оу под действием силы, направленной по Ох. Справед-
Справедливы соотношения k12 = k2l, i)I2 = ф21. гДе ^2i> tyn определяются из рассмотрения
колебаний вдоль Ох при силе, действующей по оси Оу.
Условие устойчивости периодического режима имеет вид F), но S(Q) следует взять
ИЗ C3). При kn = &22 = 0, \\= X,
C5)
c_mQ2
и из C3), C4) получаются соотношения для одномассной колебательной системы,
приведенные в п. 2.
Чтобы исследовать взаимодействие инерционного возбудителя с какой-либо другой
колебательной системой, следует найти для нее величины fen, фи и т. д. как функции Q
и внести их в C2) •— C4) Эти величины можно определить и для колебательных систем
с распределенными параметрами, так что полученными выше соотношениями можно
пользоваться, когда возбуждаются вибрации балки, пластины, оболочки, строитель-
строительных конструкций и т. п.
6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ЭЛЕКТРОМАГНИТОМ.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЧЕРЕЗ КОЭФФИЦИЕНТЫ ВЛИЯНИЯ
В СЛУЧАЕ НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ
Электромагнит (см. рисунок) является примером возбудителя колебаний под-
подверженного заданным немеханическим воздействиям и описываемого неавтономными
уравнениями движения, Вследствие необходимости рассматривать электромагнитные
процессы в возбудителе и неавтономности уравнений движения теория систем с элек-
электромагнитами существенно отличается от изложенной выше теории систем с механи-
механическими возбудителями и должна быть отнесена к другому разделу теории систем
с ограниченным возбуждением, Однако решение задачи о колебаниях под воздействием
электромагнитов также можно представить через гармонические коэффициенты влия-
влияния.
Уравнения электромагнитного возбудителя записывают в виде B5), если под Lt
понимать энергию магнитного поля W, а обобщенные скорости q заменить на токи
ilt B в обмотках (см рисунок). При допустимых предположениях (см. гл. XIII)
W = -1- fa'i+^aJ	C6)
2 R+'
где zt, гг — числа витков обмоток; ??с — магнитное сопротивление сердечника и якоря;
S — площадь сечения сердечника; f% — магнитная проницаемость воздуха; h —
расстояние между якорем и сердечником в положении статического равновесия;
б! — изменение расстояния при колебаниях между якорем и сердечником, отсчиты-
отсчитываемое в сторону увеличения зазора.
Физический смысл величины ^ не зависит от того, с какой колебательной системой
связан электромагнит.
Вместо уравнений Лангранжа B5) в этом случае удобнее использовать уравнения
Рауса Для их составления следует ввести новую переменную — магнитный поток Ф,
проходящий через сечение сердечника,
C7)

взаимодействие колебательной системы с электромагнитом 207
Уравнения в форме Рауса, описывающие взаимодействие электромагнита с про-
произвольной линейной колебательной системой, имеют вид
C8)
где U — амплитуда напряжения сети; Ео — постоянная ЭДС, включенная в цепь
обмотки 2; Rlt R2 — активные сопротивления цепей / и 2\ Q± — сила, создаваемая
электромагнитом. Вектор Vy описывает нагрузку, состоящую из двух единичных
сил, одна из которых приложена к якорю электромагнита и направлена от сердеч-
сердечника, а другая приложена к сердечнику и направлена от якоря. Через 8 в уравнениях
C8) обозначен условно введенный малый параметр, соответствующий малым членам
безразмерных уравнений. По окончании вычислений следует положить 6=1. «Истин-
«Истинным» малым параметром задачи является отношение сопротивления Rt к индуктив-
индуктивному сопротивлению первой обмотки.
Так i1 в C8) следует считать функцией Ф, г2, ?j, определяемой соотношением C7).
Периодические решения системы C8) могут быть найдены методом Пуанкаре В пер-
первом приближении получаются выражения для законов изменения во времени искомых
переменных
Ф = аcosorf; « =
1 /	f/2 \ Irtll	f/2
q =	i_ («a + VV-5- + -=^~ cos Ы~п,9 с соэгюг1;	C9)
i- cos (cot — ifx) —
cos BUM1 —
+ .,
2zfto2
Величины къ tyt имеют следующий механический смысл. Пусть цепи электромаг-
электромагнита разомкнуты и токи и электромагнитные силы отсутствуют, а к якорю и сердеч-
сердечнику электромагнита вдоль линии действия электромагнитных сил приложены две
равные по величине и противоположные по направлению гармонические силы, ампли-
амплитуды которых равны единице, а частота — со Определим периодические колебания
под действием этих сил, найдем амплитуду изменения расстояния между сердечником
и якорем и сдвиг фаз между относительным перемещением и силами Найденные ам-
амплитуда п фазовый сдвиг равны соответственно k-i и 'ф1. Аналогичный смысл имеют
величины к2 и 4Ъ> только следует рассматривать колебания под действием единичных
сил частоты 2ы Величина k0 равна перемещению якоря относительно сердечника
при равновесии под действием двух статически приложенных к ним единичных сил.
Постоянная составляющая магнитного потока а определяется из уравнения
Р(а)г=а(а— Ь — ага*)—г = 0,	D0)
где
Каждому решению а = ar (их может быть одно или три) уравнения D0) соответ-
соответствует периодический режим Устойчивый режим возможен, если уравнение D0)
имеет три корня, при этом он соответствует наименьшему по модулю корню. Условием,
при выполнении которого существует устойчивый режим, является неравенство
(а-6)'/'>-||е||Лз^".	D2)

208	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЗБУДИТЕЛЯ С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
Поток Ф, ток (х и сила Qt через параметр а зависят от коэффициентов влиян.я
fe0, &! и фазового сдвига ifo. Это означает, что вследствие взаимодействия электромаг-
электромагнит нельзя рассматривать как источник заданных вынуждающих сил. Более тою,
взаимодействие не только существенно влияет на величину сил, но и вызывает нели-
нелинейные эффекты. К их числу относятся неустойчивость и связанные с ней срывы колеба-
колебаний (появление ударов якоря о сердечник) при изменении параметров и нереализуе-
нереализуемость примыкающего к резонансу участка амплитудно-частотной характеристики.
Теория систем с электромагнитными возбудителями включает еще ряд задач,
относящихся к рассмотрению других схем электромагнитов, изучению влияния магнит-
магнитной нелинейности, нелинейности в колебательной системе и т. д. Краткий обзор этой
теории и библиография приведены в гл. XIII.
Использование метода Пуанкаре и представление решения через коэффициенты
влияния возможно во всех тех задачах о взаимодействии, когда уравнения при каком-
либо выборе искомых переменных записывают в виде
,l,t, г);
2 Qi(x, t)vi + e...,
?=1
где х, v — неизвестные векторы; X, V — периодические функции времени (периода
2л/о>); | — вектор, определенный в п. 5. При этом должны быть известны 2зх/со —
периодические решения системы
Хо^Х(хо, t).	D4)
Наибольший интерес представляет случай, когда периодические решения не изоли-
изолированы, т. е. когда имеется их семейство ха = X0(t, ctj ,,,, ат), зависящее от одного
или нескольких произвольных параметров <хь ...,ат (как в задаче об электромагните,
где имеется один параметр а). В случае изолированного порождающего решения ма-
малые члены в D3), а следовательно, и взаимодействие дают лишь чисто количественные
малые (порядка е) поправки к порождающему решению, которые в технических расче-
расчетах обычно несущественны. Если же периодические решения не изолированы, то
малые члены eV, обусловленные взаимодействием, определяют значения параметров
порождающего решения. Это указывает на существенное влияние слабых взаимодей-
взаимодействий на динамические особенности системы.
Для исследования неизолированных периодических решений методом Пуанкаре
следует знать 2 я/ш — периодические решения^,..., ут линейной системы уравнений
вида
в которой производная вычисляется при х= Хй ((,<>Ч> ,,,,аш). Система D5) является
сопряженной относительно уравнений в вариациях, составленных для уравнений D4)
на решении ,v0 (t, о.ъ ..., а^).
Если периодические решения уравнений D4). D5) известны, то задача о взаимо-
взаимодействии может быть решена по следующей схеме. Внеся порождающее решение
Хо (t, «1, ..-, ат) в выражение для сил Qi и разлагая их в ряды Фурье, получим
cos [vat — fyv («i	am)\.	D6)
Последнее позволяет представить выражения для переменных gx	%k через коэф-
коэффициенты влияния и фазовые сдвиги в виде

ПОЛУЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЯ МЕГОЯ	209
Уравнения для определения параметров порождающего решения ctj, ..., am имеют
вид (см. гл. И, п. 3)
Pr(cu ... , ^m)^~ J yJvdt^O (/¦=!, ... , m),	D8)
о
где считается, что в выражение для V подставлено 8 = 0, х = х0 и ?у из D7).
Периодическое движение устойчиво, если корни Х1; ..., Хт уравнения
det
ЭР,
да,
drsX =0	D9)
удовлетворяют условию ReKr <[ 0, г = 1	т, и неустойчиво, если имеется хотя
бы один корень такой, что ReAr Зг 0.
Входящие в соотношение D7) коэффициенты влияния ky и фазовые сдвиги -ф,-,
определяют из равенств
vfvM = Щ> cos (W -$<*>),	E0)
в которых v^1 — 2л/(о — периодическое решение уравнения
Mv(^)+Bv^)+Cv^) = v/ cos vat.	E1)
Если AT и К не зависят от /, решение строят по схеме метода Пуанкаре примени-
применительно к автономным системам.
Полученным решением можно пользоваться также при анализе резонансных
колебаний, когда вынуждающие силы Q,- и силы трения Bv малы, а одна из собственных
частот колебательной системы близка к частоте ш или кратна ей (см. п. 2). Среди
величин kjj будут величины, имеющие порядок 1/8, которые следует оставить в D7),
Величины \i будут по-прежнему порядка единицы, так как при 1гУ) = 0 A/е) и Qiv =
= 0 (&) из D7) получается %] = 0 A). Условия устойчивости движений могут быть
различными в резонансном и нерезонансном случаях.
7. ПОЛУЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ
Представление решения задачи через коэффициенты влияния позволяет исполь-
использовать экспериментальную информацию при анализе колебаний. Этот прием основан
на том, что в уравнения типа C2) или D0) вносят не расчетные, а экспериментально
найденные значения коэффициентов влияния и фазовых сдвигов или их зависимостей
от частоты. После этого расчетным путем определяют движение источника возбужде-
возбуждения, генерируемые им силы и вибрации колебательной системы в месте установки
источника энергии. В этом случае можно рассчитать параметры источника энергии,
которые обеспечивают заданный режим колебаний. Именно так можно исследовать
динамику взаимодействия в колебательных системах, о которых априори известно,
что их допустимо представлять как линейные, и для которых экспериментально
определяются коэффициенты влияния и фазовые сдвиги.
Для определения коэффициентов влияния, фазовых сдвигов и линейных комби-
комбинаций вида ?usint|)u-f- ka sin 1(\>2 к колебательной системе необходимо приложить
нагрузки, распределенные так же, как нагрузки, создаваемые исследуемым возбуди-
возбудителем. При этом следует измерить приложенные нагрузки, амплитуды и фазы пере-
переменных ёх, ..., |^. Если же для изучаемой системы имеются соотношения типа D0),
то измерение сил можно заменить расчетом. Пусть возбудитель создает гармоническую
силу фиксированной частоты ш, а указанные соотношения содержат один параметр
порождающего решения а и одну переменную %v Закон изменения во времени пере-
переменной &! следующий:
li = Fki sin (<o<—th) = a sin (w' —W-	E2)

210 взаимодействие возбудителя с колебательной системой
По измеренным значениям амплитуды и фазы \х находят фазу %, а для определения
kx и а используют уравнения
P(klt a) = 0,	v '
где F, Р — известные функции ku a.
8. ОБОБЩЕННЫЕ ВИБРАЦИОННЫЕ СИЛЫ
И КОЭФФИЦИЕНТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Члены уравнений движения источника возбуждения, зависящие от переменных
Sii •••! ik> часто удобно представлять как добавки к уравнениям движения без учета
взаимодействия. Для этого следует записать уравнения B5) в виде
i^^ R{q.d)+E() + V,	E4)
dt dq dq
где
?„ — значение | в положении статического равновесия. Величины V можно рассматри-
рассматривать как обобщенные силы той же размерности, что и задаваемые силы Е. Их называют
полными обобщенными вибрационными силами. Это позволяет считать, что движение
источника энергии происходит так же, как при отсутствии взаимодействия, но под
действием сил Е + V-
Если рассматриваются периодические движения или движения, в которых коор-
координаты (или угловые скорости) возбудителя представляются как суперпозиция малых
быстрых осцилляции и медленных изменений, то для анализа удобно ввести следую-
следующие величины:
U+J
W= lim у V V (t) dt.	E5)
Т - со	t0
При анализе периодического движения Т — период, а знак предела следует опустить.
В случае инерционного вибратора в первом приближении получаем [см. C3)], что
неуравновешенный ротор вращается так же, как если бы он был установлен на не-
неподвижном основании, но к нему был приложен дополнительный момент
W =— у m"r2Q* (feu sin ipn -\-ki2, sin ij;22).	E6)
Величины W называют обобщенными вибрационными силами; в частности, вели-
величину E6) называют вибрационным моментом (см. гл. IX).
Целесообразность введения этих понятий определяется следующим. Пусть известны
границы изменения величин V или W. Движения источника энергии без учета взаимо-
взаимодействия обычно могут быть изучены сравнительно просто. Поэтому можно получить
оценки для координат, определяющих движения источника энергии и возбуждаемых
им колебаний при учете взаимодействия.
Для неавтономных источников энергии, возбуждающих колебания фиксированной
частоты (типа электромагнита, см п 6), полезно ввести величину, количественно
характеризующую взаимодействие. Предположим, что следует провести анализ первой
гармоники колебаний. Пусть имеется только одна переменная |t. Обозначим через
F амплитуду первой гармоники силы Qlt генерируемой источником возбуждения,
а через /% — ту же величину, но вычисленную без учета взаимодействия, т. е. при

КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ	211
V = 0. Величина ka = F/Ft — мера глубины взаимодействия, ее называют коэффи-
коэффициентом взаимодействия Задача о взаимодействии в таких случаях сводится к вы-
вычислению этого коэффициента и к анализу устойчивости.
Коэффициент взаимодействия можно использовать аналогично тому, как в при-
прикладной теории колебаний используется коэффициент динамичности. Например,
формула для амплитуды а = ka6c, где kd — коэффициент динамичности; бс — стати-
статическое перемещение под действием силы, равной амплитуде вынуждающей силы,
в задачах о взаимодействии имеет следующий аналог: а = kakdbz, где бс — перемеще-
перемещение под действием статической силы, равной Ft.
Если F является функцией коэффициентов влияния и фазовых сдвигов, т е.
F = F (ka, /jj, i|),, ...), то коэффициент взаимодействия можно вычислить по формуле
	F(k0, klt г|>1, ...)	,
а~~ F@, 0, ti. •••) "	(
Например, для электромагнита см. C9), D0)
а.хе
где аг (ka, klt tyx) — наименьший по модулю корень уравнения D0).
Однако во многих случаях взаимодействие приводит не только к изменению
величин сил и амплитуд, но и к качественным отличиям колебаний в системе от колеба-
колебаний, рассчитанных без учета взаимодействия. В частности, благодаря взаимодействию
при одних и тех же значениях параметров могут существовать несколько периодичес-
периодических режимов. Одни (или один) из этих режимов при уменьшении коэффициентов влия-
влияния ka, kl} ... -»- 0 переходят в режим, существующий при отсутствии взаимодействия,
другие же при этом исчезают, например, за счет того, что корни уравнений D8)
обращаются в бесконечность. Существование и свойства режимов второй группы
обычно не очевидны и могут быть установлены только после решения задачи о взаимо-
взаимодействии. В то же время эти режимы могут представлять практический интерес.
В этих случаях решение задачи о взаимодействии открывает возможности для созда-
создания новых вибрационных устройств или использования известных устройств для
новых целей Например, режимы с частотой сети в системах с электромагнитами,
питающимися только переменным током, возникают за счет взаимодействия (в сочета-
сочетании с нелинейностью в ферромагните или в колебательной системе). Эти режимы
представляют не меньший технический интерес, чем „тривиальные" режимы, имею-
имеющие удвоенную частоту.
9. КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ
Как новый раздел теории колебаний описанный круг задач был сформирован за послед-
последнее двадцатилетие. Однако первые работы в этом направлении относятся к началу нашего
столетия. В 1902 г. А. Зоммерфельдом [45] был описан опыт, в котором проявились особен-
особенности движения в системе (см. рисунок п. 1 таблицы), обусловленные взаимодействием Не-
Несколько лет спустя тот же опыт повторил и развил С. П. Тимошенко [31]. В этих опытах наб-
наблюдалось явление, названное впоследствии эффектом ЗоммерсЬельда (см. п. 2) Результаты
опытов не соответствовали предсказаниям линейной теории вынужденных колебаний, однако
объяснение обнаруженным эффектам в этих работах найдено не было.
Экспериментальное исследование указанных явлений было продолжено А К. Калищу-
ком [18] A939) и В С. Мартышкиным [24] A940). В. С. Мартышкин сделал правильный вывод:
поведение системы вблизи резонанса связано со свойствами источника энергии.
Постановка задачи о движении системы, изображенной на рисунке 2, п. 1 таблицы как
задачи о взаимодействии источника энергии с колебательной системой была предложена
И Рокаром [44] A949), однако решение задачи содержало неточности. Это существенно по-
повлияло на результаты исследования.
Теоретическое объяснение эффекта Зоммерфельда на основе решения задачи о взаимодей-
взаимодействии методом Пуанкаре было дано И. И. Блехманом [7] A953). Затем в книге Р. Мазетта
[42] A955) были исправлены и дополнены результаты И Рокара. Близкая к обсуждаемым
задача о динамике регулятора Буасса —Сарда изучена И. И. Блехманом и Г. Ю. Джане-
Джанелидзе [8] A955).
В серии работ В. О Конопенка й его последователей — К. В. Фролова, С. С. Кораблева
и др построена последовательная теория взаимодействия источника энергии с колебательной
системой, названная В. О. Кононенко теорией колебательных систем с ограниченным воз-
возбуждением. В рамках этой теории изучено взаимодействие исючпика энергии с линейными

212	В1ЛИМ0ДЕПСТВПЕ ВОЗБУДИТЕЛЯ С КОЛГВАТВЛЬНОП СИСТЕМОЙ
системами с одной и многими степенями свободы, параметрические и нелинейные колебатель-
колебательные системы.
Систематическое изложение результатов этого цикла исследований и обзор работ, выпол-
выполненных до 1964 г., содержатся в книге В. О. Кононенко [21]. При продолжении исследова-
исследований К. В. Фроловым и М. Ф. Диментбергом был изучен эффект Зоммерфельда в системе со
случайно изменяющимися параметрами [15] A966). Показано, в частности, что при случай-
случайном изменении собственной частоты возможен проход через резонанс без подвода энергии
к основному двигателю, а амплитуды колебаний в этом случае могут быть больше, чем в де-
детерминированной системе. Экспериментальные исследования подтвердили теоретические ре-
результаты, а также позволили сделать вывод, что случайные изменения параметров ведут
к срыву резонансных колебаний. Анализу переходных процессов в случае нелинейной коле-
колебательной системы посвящена работа Л. Пуста [27, 46].
Взаимодействие источника энергии с автоколебательной системой с сухим трением изу-
изучил В. Ф. Петров [26]. Он показал, что в рассматриваемой системе взаимодействие проявля-
проявляется, когда отношение частоты вибратора к собственной частоте системы близко к целому
числу. Были найдены области синхронизации автоколебаний; эти области расширяются при
увеличении частоты вибратора и не перекрываются ввиду ограниченности амплитуды воз-
возбуждающей силы.
Влияние параметров двигателя на устойчивость движения исследовал В. С. Живков
[16]. Прохождению колебательной системы с ограниченным возбуждением через резонанс
посвящены работы Г. И. Ашкинадзе и П. М. Заики [4, 17]. Особенности взаимодействия упру-
упругого стержня с возбудителем (см. рисунок п. 1 таблицы) рассмотрены В. О. Кононенко и
Т. С. Краснопольской [22].
Случай близости собственной частоты колебательной системы к удвоенной угловой ско-
скорости вибратора изучен О. П. Барзуковым [6]. Установлено, что зависимость амплитуды вто-
второй гармоники от расстройки аналогично резонансной кривой в задаче Дуффннга.
A.	А. Алифов и К. В. Фролов [), 2] изучали автоколебания в системах с постоянными
и переменными параметрами и ограниченной мощностью источника возбуждения. Было уста-
установлено, что с помощью демпфера сухого трения возможно устранение нежелательных коле-
колебаний в рассмотренных системах и что в автоколебательной системе с переменной жесткостью
необходимо рассматривать резонанс (синхронизацию) на равных частотах.
Анализу динамики машин виброударного действия при ограниченном возбуждении по-
посвящены работы В. И. Бабицкого, В. А. Боровкова и В. К. Асташева [3, 5]. Режимы синхро-
синхронизации в колебательной системе, находящейся под воздействием двух двигателей ограни-
ограниченной мощности, исследованы Л. В. Колпаковой [20]. Получено условие синхронизации.
Методика расчета коэффициента динамичности, который занисит от наклона характери-
характеристики источника энергии, разработана Д. А. Каминской [19]. Некоторые задачи теории
механических систем с переменными параметрами и с ограниченным возбуждением рассмо-
рассмотрены К. В. Фроловым [33].
B.	С. Соловьев [29] моделировал колебания маятника переменной длины, возбуждае-
возбуждаемого двигателем ограниченной мощности. Резонансные явления в инерционной разгрузоч-
разгрузочной машине с источником энергии исследовали Н. И. Морозов и X. Г. Усманов [25, 32].
Ряд работ зарубежных исследователей [39 — 41, 43, 46] посвящен также вопросам взаи-
взаимодействия колебательных систем с источниками энергии ограниченной мощности.
Ряд задач в рассматриваемой области сформулирован К. В. Фроловым в работе [34],
где указаны, в частности, особенности колебаний систем как с детерминированными, так и со
случайно изменяющимися параметрами.
Дальнейшим физическим и техническим обобщением задачи явилось исследование вза-
взаимодействия колебательной системы с двумя источниками энергии, выполняющими различные
функции (например, один источник формирует амплитуду вынуждающих сил, другой —
его частоту, см. п. 4). Этот класс задач сформулирован и развит в работах К. В. Фролова,
К. К. Глухарева [10—12].
Многие авторы рассматривали более специальные задачи, возникающие при примене-
применении обсуждаемой теории в технике. Так, В. П. Рубаник и Л. К. Старик изучали автоколеба-
автоколебания резца в случае источника энергии ограниченной мощности и установили связь устойчи-
устойчивости со свойствами источника [28]. Эта задача изучалась также с помощью аналоговой ма-
машины.
Система вибромашина — двигатель — нагрузка изучалась И. Ф. Гончаревичем [13].
Результаты исследования показали, что влияние нагрузки на изменение угловой скорости
менее заметно при большей мощности двигателя. Увеличение мощности двигателя улучшает
условия разгона машины и стабилизирует рабочую частоту при различных нагрузках. При
малой мощности двигателя возможен случай, когда машина не пройдет зону резонанса на
холостом ходу, в то же время наблюдается слабое проявление эффекта Зоммерфельда.
Динамика вибрационных питателей-грохотов с двигателем ограничеппоИ мощности рас-
рассмотрена в статье А. О. Спиваковского и др. [30], в которой описана структурная схема про-
прохождения через резонанс при разгоне и выбеге для моделирования на аналоговой машине.
С помощью моделирования Е. А. Логвиненко и В. А. Выперайленко исследовали [23] колеба-
колебания асимметричных кусочно-линейных систем с двигателем ограниченной мощности.
Системы с механическими возбудителями (см. рисунки п. 1 таблицы) без учета дополни-
дополнительных факторов автономны. Однако задачи о взаимодействии колебательной системы с ис-
источником энергии охватывают и неавтономные системы. Такие задачи возникают в случае
электромагнитных, электростатических и других возбудителей, которые включают в элек-
электрические цепи с заданным переменным напряжением. Исследование в этом случае во многом
отлично от предыдущего. В рамках задачи о взаимодействии развита теория систем с элек-
электромагнитными возбудителями (К. Ш. Ходжаев, [35, 36]). Наиболее общие результаты для
линейной колебательной системы изложены в статье [36], где, в частности, показано, что ам-
плитуДЬг сил, развиваемых электромагнитами, существенно зависят от параметров колеба-
колебательной системы. Это обусловливает различные нелинейные эффекты, например неустойчи-
неустойчивость колебаний. Предста тление решения задачи о взаимодействии через коэффициенты влия-

КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИИ	213
ния предложено в работе [37]. Сравнение резонансного и нерезонансного случаев проведено
в статье [38].
Применение теории взаимодействия колебательной системы и источника энергии нашло
отражение при исследовании динамики камертонных часов В И. Денисовым [14]. Он же
изучал автоколебания в камертонных часах.
Эффект ограниченного возбуждения в силовых установках, содержащих двигатели вну-
внутреннего сгорания, исследован В. Л Вейцом и А. Е. Кочура [9].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Алифов А. А. Об автоколебательной системе, взаимодействующей с источником энер-
энергии. — «Известия АН СССР. Сер. МТТ», 1977, № 1, с 36 — 42.
2.	Алифов А. А., Фролов К. В. Автопараметрические колебания в системе с сухим трением
и с ограниченным возбуждением. — «Известия АН СССР. Сер. МТТ», 1977, № 4, с. 68 — 78.
3.	Асташев В. К., Бабицкий В. И., Боровков В. А. Влияние массы корпуса на динамику
машин виброударного действия с ограниченным возбуждением — «Машиноведение».
1977, № 5, с. 30-34.
4.	Ашкинадзе Г. И. Об управляемом прохождении резонанса при ограниченном позбужде
нии. — «Прикладная механика», 1975, т. 11, вып. 4, с. 128—130.
5.	Бабицкий В. И., Боровков Б. А. Инерционное возбуждение виброударных режимов с уче
том ограниченной мощности привода. — «Машиноведение», 1977, № 2, с. 18 — 22.
6.	Барзуков О. П. Бигармонические колебания линейной системы, обусловленные враще
нием неуравновешенного ротора. — «Известия АН СССР. Сер. МТТ», 1974, № 4, с. 27 — 34
7.	Блехман И. И. Самосинхронизация вибраторов некоторых вибрационных машин. —
«Инженерный сборник», 1953, т. 16, с. 49 — 72.
8	Блехман И. И., Джанелидзе Г. Ю. Динамика регулятора Буасса — Сарду. — «Известия
АН СССР. ОТН. Сер. Механика и машиностроение», 1955, № 10, с. 48 — 59.
9	Вейц В. Л., Кочура А. Е. Эффект ограниченного возбуждения в силовых установках
с двигателями внутреннего сгорания. — «Вибротехника», 1973, 2 A9). Вильнюс,
с. 139 — 160.
10.	Глухарев К. К., Фролов К. В. К теории колебаний механических систем ограниченного
возбуждения. —«ДАН СССР», т. 199, 1971, № 2, с. 285 — 288.
11.	Глухарев К. К., Фролов К. В. Взаимодействие колебательной системы с двумя источни-
источниками энергии. — «Известия АН СССР. Сер. МТТ», 1971, № 4, с. 65 — 71.
12.	Глухарев К. К., Фролов К. В. Классификация и некоторые особенности колебательных
систем с ограниченным возбуждением. STROINCK.Y CASOP1S, т. ХХ11, 1971, с. 1.
VVDAVATEL'STVO SLOVENSKEJ AK.ADEMIE VIED, Bratislava, s. 25 — 38.
13.	Гончаревич И. Ф. Исследование вибрационных транспортирующих машин с ограничен-
ограниченным возбуждением. — В кн.: Нелинейные колебания и переходные процессы в маши
нах М., «Наука», 1972, с. 25 — 38
14.	Денисов В. И. Исследование автоколебаний в камертонных часах с магнитным ходом.
Проблемы хронометрии. — «Труды НИИЧаспрома», вып. 17, 1975, с. 55 — 59.
15.	Диментберг М. Ф., Фролов К. В. Эффект Зоммерфельда в системе со случайно изменяю
щейся собственной частотой. —«ДАН СССР», т. 171, 1966, № 6, с. 1293 — 1296.
16.	Живков В. С. Влияние электромагнитной инерции двигателя на устойчивость колеба-
колебаний механической системы с центробежным возбудителем. — «Машиноведение», 1971,
№ 4, с. 16 — 21.
17.	Заика П. М. О прохождении через основные резонансы пространственной вибрацион-
вибрационной машины с источником энергии ограниченной мощности. — «Прикладная механика»,
т. 7, 1971, вып 7, с. 86 — 90.
18.	Калнщук А. К. Элементарный способ изучения динамических свойств систем. — «ЖТФ»,
т. 9, 1939, вып. 8, с. 687—696.
19 Каминская Д. А. Расчет динамических усилий при вынужденных колебаниях машин-
машинного агрегата с ограниченной мощностью двигателя. — «Известия вузов Сер Машино-
Машиностроение», 1972, № 4, с. 66 — 70.
20. Колпакова Л. В. Синхронизация в колебательной системе с ограниченным возбужде-
возбуждением. — «Вестник Ленинградского ун-та», вып. 4, 1971, № 19, с. 97—103.
21	Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. М., «Наука»,
1964.
22	Кононенко В. О., Краснопольская Т. С. Динамическое взаимодействие колеблющегося
стержня с источником энергии. — В кн.: Избранные проблемы прикладной механики.
М., изд. ВИНИТИ, 1974, с. 431-438.
23.	Логвиненко Е. А., Выперайленко В. А. Моделирование асимметрически кусочно-линейных
систем, возбуждаемых двигателем ограниченной мощности. — В кн.: Нелинейная ме-
механика, вып. 1. Днепропетровск, 1975, с. 82 — 88.
24.	Мартышкин В. С. Установка для изучения динамических характеристик строительных
материалов. — В кн.: Динамические свойства строительных материалов. М., Стройиз-
дат, 1940. 160 с.
25.	Морозов Н. И. Экспериментальное исследование резонансных явлений инерционной
разгрузочной машины ЦНИИ МПС. — «Науч. труды ХИИТа», 1963, вып. 64, с. 42 — 56
26.	Петров В. Ф. К теории синхронизации механических автоколебаний при сухом трении.
В кн.: Нелинейные колебания и переходные процессы в машинах. М., «Наука», 1972,
с. 275-283.
27.	Пуст Л. Переход через область резонанса в колебательных механических системах с уче-
учетом влияния вибратора. (Труды международного симпозиума По нелинейным колеба-
ниям). Киев, 1963, с. 398—408.

214	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
28.	Рубаник В, П., Старик Л. К. Об устойчивости автоколебаний резца в случае неидеаль-
неидеального источника энергии. —«Вибротехника», 1971, 2A1), Вильнюс, с. 205 — 212.
29.	Соловьев В. С. Моделирование колебаний вращающегося маятника переменной длины
с учетом свойств источника энергии. — В кн.; Колебания и динамическая прочность эле-
элементов машин. М., «Наука», 1976, с 69 — 73.
30.	Спиваковский А. О., Гончаревич И. Ф., Вуколов Э. А. Исследование динамики вибра-
вибрационных питателей — грохотов с двигателем ограниченной мощности под нагрузкой. _
В кн.: Динамика машин. М., «Наука», 1969, с. 239 — 249.
31.	Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле. М., Гостехиздат, 1931. 344 с.
32 Усманов X. Г. Исследование динамики разгрузочной машины ЦНИИ МПС. — «Вестник
ЦНИИ МПС», 1962, № 4, с. 12 — 14.
33.	Фролов К. В. Параметрические задачи динамики машин. Rev. Roum. Sci. Techn. — Мее
Appl., Vol. 17, N 2, Bucarest, 1972, p. 265 — 290.
34.	Фролов К. В. Колебания машин с ограниченной мощностью источника энергии и пере-
переменными параметрами. — В кн.: Нелинейные колебания и переходные процессы в ма-
машинах. М., «Наука», 1972, с. 5—16.
35.	Ходжаев К. Ш. Колебания, возбуждаемые электромагнитами, в линейных механических
системах. —«Известия АН СССР. Сер. МТТ», 1968, № 5, с. 11—26.
36.	Ходжаев К. Ш. О влиянии нелинейности в ферромагнетике на колебания, возбуждаемые
электромагнитами. — «Известия АН СССР». Сер. МТТ», 1973, № 6, с. 36 — 46.
37.	Ходжаев К. Ш. О возбуждении вибраций. — «Инженерный журнал. Сер МТТ», 1968,
№ 2, с. 10-21.
38.	Ходжаев К. Ш. Резонансные и нерезонансные случаи в задаче о возбуждении механиче-
механических колебаний. — «ПММ», т. 32, вып. 1, 1968, с. 85 — 100.
39.	Jwatsubo Т., Kanki H., Kawai R. Vibrations through Critical Speeds of Asymmetric Rotor
with Limited Power. — «Trans Japan Soc. Mech. Engrs.», vol 40, 1974, N 335, p. 1908 —
1916.
40.	Kawai R., Jwatsubo Т., Kanki H. Vibrations through Critical Speeds of Asymmetric Rotor
with Limited Power. — «Trans Japan Soc. Mech. Engrs.», vol. 35, 1969,N 280, p. 2325 — 2334.
41.	Kotera T. Vibration of Flexible Rotor Driven by Limited Torque through its Critical
Speed. — «Bull of the JSME», vol. 17, 1974, N 108, p. 686 — 692.
42.	Mazet R. Mechanique vibratoire, Paris-Liege, Libr. politechn — Ch. Beranger, 1955. 368 s.
43.	Rajac T. J., Evan—Jwanowski R. M. Internaction of a motor with limited power with
dissipative (hysteretic) foundation. — «Developments in Theoret and Appl. Mech.», vol. 8,
1900, N 1.
44.	Rocard Y. Dynamique generale des vibrations, Paris, «Masson», 1949. 459 p.
45.	Sommerfeld A. VDI, 1904, N 18.
46.	Werner D. Zum Verhalten von Stfltzkonstruktionen bei Durchlaufresonanzen mit Beruck-
sichtigung der Riickkopplung. — Wissenschaftliche Zeitschrift der Techniscen Universitat
Dresden, Jahrgang 26, 1977, H. 1, s. 216 — 225.
Глава VIII
СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
1. О ЯВЛЕНИЯХ СИНХРОНИЗАЦИИ И ЗАХВАТЫВАНИЯ
Синхронизация и захватывание относятся к важнейшим нелинейным эффектам.
Явление синхронизации состоит в том, что несколько искусственно созданных или
природных объектов, совершающих при отсутствии взаимодействия колебательные
или вращательные движения с различными частотами (угловыми скоростями), при
наличии даже весьма слабых связей (взаимодействий) начинают двигаться с одинако-
одинаковыми или соизмеримыми частотами (угловыми скоростями), причем устанавливаются
определенные фазовые соотношения между колебаниями и вращениями.
В дальнейшем термин синхронизация (а также взаимная или внутренняя синхрони-
синхронизация) применяется для обозначения наиболее общего случая, когда определенные
частотные соотношения устанавливаются в результате взаимодействия объектов,
рассматриваемых как равноправные. В идеализированном случае, когда один из
объектов считается настолько мощным, что он навязывает свой ритм движения (пред-
(предполагаемый заранее заданным и неизменным) другим автоколебательным объектам,
говорят о явлении захватывания или о внешней синхронизации, причем первый термин
употребляют в случае одного синхронизируемого объекта (см. п. 2). Заметим, что
в научной литературе, говоря о синхронизации, часто имеют в виду именно захваты-
захватывание.
По-видимому, первое наблюдение эффекта синхронизации было сделано во второй по-
половине семнадцатого столетия X. Гюйгенсом [21], который заметил, что двое маятниковых
часов, ходивших по-разному, начали ходить точно в такт, когда их прикрепляли к легкой

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ, ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
215
балке вместо стены. Позднее, в конце XIX века, Рэлей обнаружил, что две органные трубы
с малой отстройкой и с расположенными рядом отверстиями звучат в унисон, причем иногда
трубы могут заставить почти полностью замолчать одна другую, т. е. происходит взаим-
взаимная синхронизация двух автоколебательных систем при установлении противофазных (или
близких к таковым) колебаний [35]. Аналогичное явление было обнаружено Рэлеем для двух
камертонов с электромагнитным возбуждением. Примерно в начале текущего столетия явле-
явления синхронизации были открыты в электрических цепях и в некоторых электромеханических
системах. С этими объектами до недавнего времени и были связаны основные технические
приложения явлений синхронизации.
Явление синхронизации начали широко использовать в механических устройствах
после обнаружения в СССР в 1947—1948 гг. явления самосинхронизации вращающихся не-
неуравновешенных роторов (механических дебалансных вибровозбудителей); через несколько лет
(в 1950 —1958 гг.) были опубликованы первые зарубежные патенты на соответствующие уст-
устройства. В настоящее время вибрационные машины с самосинхронизирующимися вибро-
вибровозбудителями широко применяют в промышленности [8—10].
Тенденцией вращающихся твердых тел к взаимной синхронизации могут быть объяс-
объяснены целочисленные соотношения, наблюдающиеся между угловыми скоростями вращений
и обращений небесных тел. Классическим примером такой закономерности является дви-
движение Луны, которая, как известно, всегда обращена к Земле одной стороной [5, 19, 36]
Эффекты синхронизации и захватывания наблюдаются и в поведении биологических
объектов.
Синхронизация представляет собой весьма общую закономерность поведения взаимно
связанных материальных объектов самой различной природы. Понимание этого факта способ-
способствовало развитию общей теории синхронизации динамических систем. Синхронизацию
можно рассматривать как одно из проявлений тенденции материальных форм к самоорга-
самоорганизации, т. е. к упорядоченности. Эта тенденция противоположна тенденции к «перемеши-
«перемешиванию», т. е. к беспорядку, также характерной для материальных форм и нашедшей обоб-
обобщенное отражение во втором начале термодинамики [10]. Важной и еще не решенной зада-
задачей является изучение общих условий, при которых та или другая из этих полярных тен-
тенденций является преобладающей.
2. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ХАРАКТЕРИСТИКА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ТЕОРИИ СИНХРОНИЗАЦИИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Задачи о синхронизации динамических объектов могут быть поставлены следую-
следующим образом [8, 10].
Рассмотрим некоторое число k динамических объектов, связанных в единую систему
(рис. 1). Пусть состояние s-ro объ-
объекта определяется /-^-мерным векто-
вектором x{s) = [x[s\ ..., х<-;Ц (s = 1,
s
..., k), компоненты которого явля-
являются координатами объекта в фазо-
фазовом пространстве системы. Состоя-
Состояние системы в целом определяется
как совокупностью векторов х^\
так и v-мерным вектором и = {ии
..., uv], характеризующим состоя-
состояние системы связи между объекта-
объектами. Таким образом, фазовое про-
пространство всей системы имеет I =	Рис' '
= /-, + ... + rk + v измерении.
Будем говорить, что система совершает синхронное движение, если ее фазовые
координаты изменяются по закону
*<4*</>..,4?]

р=1, ... , v),
k);
A)
где со — положительная постоянная;
целые числа;
— целые
положительные числа; jA?', vp — периодические функции соответственно с периодами
'' и 2я/тр по со/ (т. е. с общим периодом 2я по со/); числа \п^ |, ! Лр |, т(?'
можно, не нарушая общности, считать взаимно простыми. Если какое-либо

216	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
число rfp или Яр равно нулю, то соответствующую координату х'^ или и, будем
условно называть колебательной, а если ffip ф 0 или hv ф О, то вращательной. *
Иначе синхронными назовем такие движения системы, которым соответствуют колеба-
колебательные или равномерные в среднем движения по каждой из фазовых координат с
одинаковыми для всех координат или кратными частотами (средними угловыми или
линейными скоростями).
Если все числа п(р равны 0, +1 или —1, а все числа mjs) равны 1, то будем гово-
говорить о простых, а в противном случае о кратно-синхронных движениях. Соответственно
будем различать задачи о простой пократной синхронизации динамических обьектов
Величину w > 0 назовем синхронной скоростью (частотой)
Иногда говорят также о синхронизации на комбинационных частотах,
имея в виду случаи, когда средние частоты (угловые скорости) движений объектов
со* связаны линейными однородными соотношениями с целочисленными коэффициен-
коэффициентами (в небесной механике подобные соотношения называют резонансными; см также
п. 3 гл. X). С формальной точки зрения между случаями соизмеримости частот
(кратной синхронизацией) и наличием «резонансных» соотношений нет принципиаль-
принципиального различия Следует, однако, иметь в виду, что обычно прикладной интерес пред-
представляет изучение случаев, когда целые числа | п^р I, I Лр |, mf-p и тр, а также
упомянутые целочисленные коэффициенты, сравнительно невелики: большим значе-
значениям указанных величин отвечают малые области существования и устойчивости
соответствующих синхронных режимов, При учете этого обстоятельства различение
кратной синхронизации и синхронизации на комбинационных частотах может иметь
смысл. Например, случай со* = 100w, coj = 102со, со* = со естественно рассматри-
рассматривать как синхронизацию при наличии комбинационного («резонансного») соотноше-
соотношения со/ — со* = 2со3
Если система связанных объектов допускает хотя бы одно устойчивое синхронное
движение "•*, то будем говорить, что объекты обнаруживают тенденцию к синхрони-
синхронизации; если при определенных условиях движение системы при t-*¦ оо неограниченно
приближается к некоторому синхронному движению, то будем говорить, что объекты
при указанных условиях синхронизируются.
Во многих случаях поведение динамических объектов и систем связи между
ними удается адекватно описать с помощью дифференциальных уравнений, которые
согласно структурной схеме (см рис 1) могут быть записаны в следующем виде:
sl (x111	*<*', и, ц) ($ = 1, ... , k);
u = U(x™, ... , х«<\ и, (.1),	B)
где X^s\ F(s) и U — соответственно rs и v-мерные вектор-функции; (х >; 0 — неко-
некоторый параметр, называемый параметром связи Функции F^ и U, характеризую-
характеризующие связи между объектами, назовем функциями связей При [х = 0 объекты являются
несвязанными Относительно гладкости функций A'(i>, Fw и U делаются общие
предположения, обеспечивающие существование рассматриваемых ниже решений.
Прикладной интерес представляют задачи о синхронизации слабо связанных
объектов, когда параметр \х можно считать малым Это объясняется, с одной стороны,
тем, что синхронизацию технически наиболее просто и экономично осуществлять
посредством слабых связей, и, с другой стороны, тем, что при сильных связях между
объектами вопрос о синхронизации обычно становится тривиальным.
Основной задачей теории синхронизации является установление условий существо-
существования и устойчивости решений уравнений B), имеющих вид A), т е. решений, соот-
соответствующих синхронным движениям.
• Наличие вращательных координат характерно для механических систем; при этом
вращательной координате в реальной системе может соответствовать не только вращение
тела, но и любое равномерное в среднем движение (например, прямолинейное движение с по-
постоянной средней скоростью).
** В дальнейшем под устойчивостью понимается либо устойчивость по А М Ляпунову,
либо орбитальная устойчивость (см. п, 3 гл. 1 и [10, 24]).

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ, ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ	217
Помимо этой основной задачи часто представляет интерес также j ешенке следующих
задач.
а)	реальное вычисление синхронной скорости (частоты) и, а также решений (I), соответ-
соответствующих устойчивым синхронным движениям; при этом в ряде случаев можно ограничиться
определением средних за период 2л значений функций у(&' (т) и *>(т), т. е. величин
2л	2л
at5) = — V vE) (т) dv, a = — \ v (т) di, (t = (o/),	C)
2л J	2л J
О	О
а также максимальных отклонений I tp (т) — аУ' I „,„„ и I ч„(т) — а „ | _ „ от этих
/	у'шах	' р	p'max
средних значении,
б)	выбор системы связи, при котором обеспечивается существование и устойчивость
синхронного движения A) заданного вида, эту задачу можно назвать задачей синтеза, она
является в известной степени обратной по отношению к основной.
Ино1да представляет интерес решение задачи об определении в фазовом пространстве
системы таких областей начальных значений ее координат (областей захвата), для которых
с течением времени движение неограниченно приближается к определенному синхронному
Для возможности использования явлений синхронизации необходимо, чтобы время
установления синхронного режима было не слишком велико, а основные характерис-
характеристики синхронного движения обладали достаточной «стабильностью» по отношению
к разного рода возмущениям и погрешностям изготовления системы. Поэтому сущест-
существенное значение имеет оценка времени практического установления устойчивого
синхронного режима при заданных начальных условиях, оценка чувствительности
некоторых характеристик синхронного режима по отношению к изменениям пара-
параметров и системы связи, а также по отношению к постоянно действующим возму-
возмущениям.
Один из наиболее важных классов задач о синхронизации образуют задачи о син-
синхронизации автоколебательных объектов, т. е. объектов (как правило, однотипных),
каждый из которых, будучи изолированным от остальных ([х = 0), при определен-
определенных условиях может совершать движения типа A), характеризующиеся некоторой
частотой (угловой скоростью) a>s. Величину a>s называют парциальной частотой
(парциальной скоростью) объекта. Задача о синхронизации заключается в установле-
установлении условий, при которых после объединения всех объектов в единую систему послед-
последние смогут совершать движения того же типа, но с одинаковой частотой (скоростью)
со или же с частотами (скоростями) /г^со.
В зависимости от характера постановки задачи о синхронизации автоколебатель-
автоколебательных объектов или систем, содержащих таковые, следует различать задачу о внутрен-
внутренней (взаимной, автономной) синхронизации и задачу о внешней (неавтономной)
синхронизации.
В первом наиболее общем случае, к которому относится приведенная выше задача
о синхронизации, все синхронизируемые объекты рассматривают как равноправные
элементы единой автономной динамической системы; частота синхронного движения
со устанавливается в результате взаимодействия всех элементов системы. Правые
части уравнений B) не содержат в явной форме времени /, а значение синхронной
частоты со заранее неизвестно и подлежит определению в процессе решения задачи.
Во втором случае предполагают, что один из синхронизируемых автоколеба-
автоколебательных объектов является значительно более мощным по сравнению со всеми осталь-
остальными, и поэтому его движение считают не зависящим от характера движения прочих
элементов системы. Воздействие указанного объекта на остальные элементы системы
и тем самым частоту (или угловую скорость) синхронного движения предполагают
наперед заданными и неизменными. Исходная система B) превращается в неавтоном-
неавтономную, и ее порядок понижается.
Частным случаем задачи о внешней синхронизации является задача о захватыва-
захватывании, когда рассматривают синхронизацию под действием заданного внешнего перио-
периодического возмущения одного автоколебательного объекта.
В технике иногда различают самосинхронизацию и принудительную синхрониза-
синхронизацию. В первом случае имеют в виду, что синхронизация и требуемые соотношения
между фазами колебаний и вращений осуществляются естественным путем, т. е.
под действием уже имеющихся в системе связей. Например, синхронизация генера-
генераторов электрических или механических колебаний (вибровозбудителей) часто про-

218	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
исходит за счет свойств самой системы генераторы — нагрузка. Во втором случае
для получения эффекта синхронизации или требуемой физировки требуется введение
дополнительных связей.
Для некоторых приложений может оказаться целесообразным расширение приведенного
выше понятия о синхронизации, т. е. распространение его на движения более общего харак-
характера. Например, можно требовать, чтобы вид A) имели лишь выражения по крайней мере для
одной из координат каждого объекта ху>. Можно предполагать также, что функции ууи v
являются почти периодическими. Наконец, можно исходить из значительно более общего
определения синхронизации, понимая под таковой равенство некоторых функционалов от
координат объектов (например, совпадение моментов времени), когда эти координаты обра-
обращаются в нуль, достигают экстремальных значений и т п. Вместе с тем, как правило, ог-
ограничиваются изложенным выше мен^е общим определением синхронизации, когда за
указанные функционалы принимают частоты (или средние скорости) изменения координат.
Для ряда приложений представляет интерес задача о синхронизации в системах с распре-
распределенными параметрами. В этом случае в уравнениях типа B) содержатся уравнения в
частных производных.
Как правило, правые части уравнений B) таковы, что после подстановки вместо
*ys' и «р их выражений A), соответствующих синхронным движениям, эти правые
части становятся периодическими функциями безразмерного времени т = Ш с перио-
периодом 2я. В результате основная задача о синхронизации сводится к установлению
условий существования и устойчивости периодических решений нелинейных диффе-
дифференциальных уравнений, содержащих (в наиболее важном случае слабо связанных
объектов) малый параметр ц. Это обстоятельство позволяет использовать для реше-
решения задач о синхронизации эффективные методы малого параметра, изложенные
в гл. II, в частности, методы Пуанкаре и Ляпунова. Дальнейшее изложение сущест-
существенно опирается на материал п.3 гл. II.
Соответствующая уравнениям B) порождающая система
<;<s)) (s=l, ...,*);	D)
Uq — U I Xq , ... , Xq , yjjy	\o)
т. е. система, получающаяся из B) при (х = 0, распадается на k независимых подсис-
подсистем D), соответствующих движению изолированных объектов, и на уравнение E),
описывающее поведение системы связи. Если система D) — E) допускает синхронное
(в частности, периодическое) решение x(os) = j^s* (t), щ = ио@. то вследствие авто-
автономности каждой из подсистем D) эта система допускает также семейство синхронных
решений
*о5)=ФE) (' + "*)• (s=1- ••• • *>• ио = яо(^ аг ¦•• ¦ ак)>	F)
зависящее от k произвольных постоянных as, представляющих собой начальные фазы
движения объектов. Таким образом, в теории синхронизации приходится рассматри-
рассматривать специальный в теории малого параметра Пуанкаре случай, когда порождающая
система допускает семейство решений, зависящее по крайней мере от k произвольных
параметров. Как следует из результатов, приведенных в п. 3 гл. II, синхронные реше-
решения исходной системы B), обращающиеся при ji = 0 в синхронные решения F) по-
порождающей системы D) — E), могут соответствовать лишь тем значениям постоян-
постоянных as, которые удовлетворяют некоторой системе уравнений *
Ps(a-i, ... , а/;.) = 0 (s=l	k),	(!)
где функции Ps составляются по определенному правилу.
Вообще говоря, не всем решениям уравнений G) будут соответствовать устойчивые
синхронные движения. Согласно тем же результатам для достаточно широкого класса
систем основную роль в отборе устойчивых решений играет требование, чтобы для
определенного решения уравнений G) все корни (за исключением, быть может, одного
* В п. 3 гл. II говорится о периодических решениях соответствующих систем уравне-
уравнений, однако приводимые там результаты распространяются и на синхронные решения [10].

ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ	219
нулевого корня) алгебраического уравнения fe-й степени
= 0 (s=l	k),	(8)
- ''— бс/Х
За,-
где б5у — символ Кронекера, имели отрицательные вещественные части. Для многих
систем сформулированное требование является не только необходимым, но и доста-
достаточным условием устойчивости (при достаточно малых значениях \i).
Условия наличия вещественных решений уравнений G) относительно постоянных
alt ..., а* можно рассматривать как необходимые условия возможности синхрониза-
синхронизации объектов. При решении большинства задач о синхронизации может оказаться
вполне достаточным определение начальных фаз alf ..., а^ в возможных устойчивых
синхронных движениях объектов, т. е. полное определение устойчивых синхронных
движений лишь в порождающем приближении.
Таким образом, функции Ps и уравнения G) играют важную роль; назовем ука-
указанные функции порождающими функциями, а уравнения G) — основными уравне-
уравнениями задачи о синхронизации слабо связанных объектов.
Результатам исследования синхронизации слабо связанных объектов удается
придать более удобную форму, если справедлив так называемый интегральный кри-
критерий устойчивости (см. п. 3 гл. II, а также [7, 8, 10, 11, 17, 28—30, 32, 37]), т. е.
если существует потенциальная функция D (ax, ..., а/г), такая, что ее производные
по as равны —Ps или линейным комбинациям — Рх, ..., — Pk c положительной
квадратичной формой, составленной из соответствующих коэффициентов.
Устойчивым синхронным движениям в этих случаях соответствуют мини-
минимумы функции D, определяемые на основе анализа членов не выше второго порядка
в разложении функции вблизи стационарных точек (такие минимумы в п. 3 гл. II
названы грубыми).
Выше мы несколько упростили ситуацию. Из опущенных деталей отметим лишь,
что в автономном случае, т. е. в задаче о внутренней синхронизации, из уравнений
G) определяются не сами начальные фазы as, а лишь фазовые сдвиги as —ax, но
зато обычно находится также первое приближение <о0 к синхронной частоте; уравне-
уравнение (8) должно иметь лишь k—1 корень с отрицательной вещественной частью, так
как всегда присутствующий в этом случае нулевой корень не играет никакой роли.
Кроме того, число произвольных постоянных в порождающем решении F) может
быть большим, чем число объектов k, поскольку появление таких постоянных не
обязательно связано с возможностью произвольного выбора начала отсчета времени
в движении каждого из изолированных автономных объектов. В этих, а также других
более сложных случаях условия устойчивости, выражаемые с помощью уравнений
типа (8) или через интегральный критерий устойчивости, являются не достаточными,
а лишь необходимыми, но играющими все же основную роль при отборе устойчивых
синхронных движений.
В пп. 3 и 4 приведены выражения для порождающих функций Ps и потенциальной
функции D для некоторых основных изученных классов задач о синхронизации слабо
связанных объектов. Существенно, что трудности, связанные с получением соответ-
соответствующих явных выражений (см. п. 3), в таких задачах определяются не степенью
сложности системы в целом, а лишь степенью сложности отдельных изолированных
объектов и системы связи.
3. СИНХРОНИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Общий случай слабо связанных объектов [10, 29]. Задача о внешней синхрониза-
синхронизации. Пусть система описывается дифференциальными уравнениями типа B), но функ-
функции FIS> и ?/явно зависят от времени / и имеют период Т = 2л/ш по этому аргументу.
Пусть далее порождающая система имеет синхронное решение вида F), а уравнения
в вариациях, соответствующие уравнениям изолированных объектов D) и системы
связи E), допускают в точности k периодических (с периодом Т) решений
V 2iY = ir </=1- - ' rs' s> V=L - > *). (9)

220	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
получающихся согласно теореме А. Пуанкаре (см. стр. 53) путем последовательного
дифференцирования функций F) по ах, ..., а#. Пусть все прочие независимые ог (9)
решения системы в вариациях неограниченно убывают при / -> оо. Тогда основные
уравнения задачи имеют вид *
а условия устойчивости выражаются в виде требования отрицательности веществен-
вещественных частей корней уравнения (8). Через r\^ (t-\- <xs) в равенствах A0) обозначено
единственное Г-периодическое решение системы, сопряженной с системой в вариа-
вариациях изолированного s-ro объекта, т. е. объекта, описываемого уравнением D),
причем предполагается, что это решение удовлетворяет условию
где ф^' (t) — ранее введенное решение системы в вариациях, соответствующей изо-
изолированному s-му объекту [см. формулы (9)].
Задача о внутренней синхронизации. Пусть при тех же условиях, что и выше,
система является автономной, т. е. описывается уравнениями B), правые части кото-
которых явным образом не зависят от времени t. Тогда, если период порождающего реше-
решения Т = То заранее неизвестен и определяется из условия обращения в нуль первой
поправки 8 (fi) к периоду искомого решения, то одна из фаз as, например а^, может
быть положена равной нулю, а фазыах, ..., a^.j и период То определяются из той же
системы основных уравнений. Однако условие устойчивости рассматриваемого реше-
решения теперь состоит в требовании отрицательности лишь k—1-го корня х уравнения
(8). Один из корней указанного уравнения в данном случае непременно равен нулю;
его наличие не влияет на устойчивость. Случай известного периода порождающего
решения рассмотрен в работах [10, 29].
Квазилинейные объекты с одной степенью свободы (квазилинейные осцилляторы).
Уравнения движения рассматриваемой системы (в неавтономном случае) имеют вид
x, х, и, Ы, pi) (s=l, ... , к), A2)
U{ = Ui(x, X, U, Cut, |i) (( = 1, ... , V),
где x's> — обобщенные координаты объектов; «; — фазовые координаты системы
связи; as и со! — неотрицательные постоянные; fs, Fs и ?/,• предполагаются 2я/ш-
периодическими функциями t; под хаи понимается совокупность соответственно
всех переменных xis> и и,-.
К рассмотрению подобных систем, наиболее простых для исследования, приво-
приводятся многие задачи о синхронизации ламповых генераторов, механических и элек-
электромагнитных возбудителей колебаний и т. п.
Результат решения задачи существенно зависит от характера порождающей сис-
системы, а также от свойств системы уравнений в вариациях
*'=0 (s=l, .... k);
k	V
2 [Pa (о г<л+ш, m iij>] + 2 ru w zf ('=
/ = 1	f = 1
[л/=(
* Круглые скобки, в которые заключены обозначения функций, здесь и ниже указы-
указывают, что эти функции вычисляются для порождающего решения и при ц = 0. Скобки {>
означают усреднение заключенных в них функции но tal в пределах or 0 до 2я.

ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ	221
составленной для порождающей системы и порождающего синхронного решения.
Эта система состоит из k независимых линейных уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами и из системы v уравнений, поведение решений которых при t -» оо совпа-
совпадает с поведением решений более простой системы
*'< = Е rif(t)zf (t=l, .... v).	A4)
i ~ \
Если предполагать, что все решения этой системы неограниченно убывают при
t -> оо, то характер решения задачи о синхронизации будет определяться в основном
коэффициентами as и со| в уравнениях объектов.
Прикладной интерес представляют случаи, когда либо коэффициент as мал или
равен нулю, а коэффициент со| не мал (квазиконсервативный квазилинейный осцил-
осциллятор1), либо когда коэффициент а>\ равен нулю (обьект с почти равномерным враще-
вращением), причем соответствующий коэффициент as может быть как малым (квазиконсер-
(квазиконсервативная идеализация), так и не малым (неквазиконсервативная идеализация).
Соответствующие случаи в несколько конкретизированном виде рассмотрены ниже
в данном пункте, а также в п. 4. Общий случай изучен в книге [10].
В настоящее время имеется большое число работ, посвященных изучению захва-
захватывания и синхронизации квазилинейных квазиконсервативных осцилляторов
применительно к задачам радиоэлектроники. Первые из этих исследований, принад-
принадлежащие Эпплтону [39], Ван-дер-Полю [18], Л. И. Мандельштаму и Н. Д. Папалекси
[33], А. А. Андронову и А. А. Витту [1—3], А. Майеру [41], сыграли существенную
роль в развитии теории нелинейных колебаний.
Системы с почти равномерными вращательными движениями [7, 9, 10]. Во мно-
многих задачах о синхронизации механических систем обобщенные координаты могут
быть выбраны так, что часть из них ц>г, ..., ф/, являются вращательными и в синхрон-
синхронных движениях изменяются по закону, близкому к равномерному вращению, причем
связи между соответствующими степенями свободы можно считать слабыми; прочие
обобщенные координаты хи ..., xv являются колебательными. Иными словами, син-
синхронные движения указанных систем имеют вид
xr = xr(ai) (r=\, ... , v),	A5)
где as = ± 1; ns — взаимно простые целые положительные числа; as —- постоян-
постоянные; i[?s a xr — периодические функции t с периодом 2л/м, причем можно считать,
чго (\ps (u>t)) = 0. К рассматриваемым системам относятся, в частности, многие вибра-
вибрационные машины и установки, гибкие валы с неуравновешенными дисками, устрой-
устройства для динамической балансировки неуравновешенных роторов, а также электро-
электромеханические системы с параллельно работающими синхронными машинами, неко-
некоторые системы, изучаемые в небесной механике [10].
В соответствии с предположениями о характере изучаемого синхронного движе-
движения считаем, что по крайней мере в его окрестности уравнения Лангранжа рассмат-
рассматриваемых систем могут быть представлены в форме
жътг-ьгг=ъ +'lQr ('=1	v)<	A7)
где L — T — П — функция Лагранжа системы (Т, П — соответственно кине-
кинетическая и потенциальная энергии);
ф/+МФо-п(о)|+
/,, и ks — положительные постоянные; Qs и- Qr"'+ [iQr" — неконсервативные обоб-
обобщенные силы. Считаем, что функции L, Qs и Qr могут быть 2л/со-периодичсскимифунк-

222	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
циями времени t и что характер зависимости этих функций от <ps и от t таков, что
после подстановки A5) они становятся (или остаются) 2я/ш-периодическими
функциями /.
Соответствующая уравнениям A6), A7) порождающая система допускает для
вращательных координат систему решений
<p°s=os(ns(?>t-l-as) (s=l, ...,?),	A9)
зависящую от к произвольных параметров ах, ..., ак. Пусть
хг = х" (cot, аъ ... , а,,) (/- = 1, ...,v)	B0)
— соответствующее 2я/<в-периодическое решение порождающих уравнений, отве-
отвечающих уравнениям A7), которое предполагаем существующим и асимптотически
устойчивым при всех рассматриваемых значениях аъ ..., а^.
При указанных предположениях основные уравнения могут быть представлены
в форме
(s=l, .... k),	B1)
где
k
S=l
V
здесь L5 = Ls (ф5, ф5) есть функции Лагранжа изолированных объектов, причем
согласно A9) ((Ls)) = 0.
Уравнения B1) могут быть истолкованы как уравнения равновесия средних мо-
моментов или как уравнения баланса энергии, подводимой к s-му объекту и расходуемой
им. При этом производные dA/das = dA0/das по физическому смыслу представляют
собой средние моменты, которые часто не связаны с притоком или потерями энергии
в системе, а характеризуют лишь перераспределение энергии между объектами,
необходимое для синхронизации. Это так, если, например, функция Лагранжа
системы L не зависит явно от времени t, и поэтому замена u>t на Ш + а0 в решениях
A9) не должна изменять значения Л, т. е. Л (аг + П]О,а, ..., а/, + п/,а0) = Л (cxj,
k
.... ak), и поэтому 2 nsdA/das = Q. Но тогда, складывая уравнения B1), умноженные
s = l
на nsks, получаем равенство
k
Е М«=0-	B3)
5=1
которое является уравнением баланса энергии в системе (в порождающем приближе-
приближении) и в случае задачи о внешней синхронизации служит для определения исходного
приближения со0 к синхронной частоте (о.
Величина As, которую можно назвать избыточным моментом s-ro объекта, пред-
представляет собой средний момент неконсервативных сил, приведенных к координате
ф5; она является разностью между притоком и расходом энергии при синхронном
движении s-ro объекта, Эта разность и компенсируется моментом dAoldas.

ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ	223
В задаче о внутренней синхронизации автоколебательных объектов при
V //п,ЛдхУ\
координатам не вызывает диссипации энергии, уравнения
/, \ (Q'° ) "л"^""/ = 0' К0ГДа наличие неконсервативных сил по колебательным
представляют собой уравнения равновесия усредненных неконсервативных сил или
уравнения баланса энергии внутри несвязанных объектов. Обычно эти уравнения
служат для определения парциальных частот объектов со,, т. е. частот (средних уг-
угловых скоростей), которые имели бы объекты в изолированном состоянии (но, естест-
естественно, при учете собственных неконсервативных сил |aQs).
Одна из важнейших закономерностей явления взаимной синхронизации состоит
в том, что оно может наступить при существенном отличии частот nsa от парциальных
<os (см. п. 8).
Если существует функция В — В (at	ак), такая, что
шгА-	B5)
(назовем эту функцию потенциалом избыточных усредненных неконсервативных
сил *), то за потенциальную функцию может быть принято выражение
?>=— (Л + В).	B6)
Если функцию Лагранжа системы можно представить в форме
ft	k
s=l / = 1
h
r=\/=1
где arj, brj и dn — постоянные; fr, Fs и W -— функции перечисленных аргументов,
причем fr и Fs периодичны по <fs с периодом 2я и к тому же Q/" = 0 (г = 1, ..., v),
то справедливо соотношение
B8)
и потенциальную функцию можно записать в одной из двух форм
С1==ЛA)_Л<И)-В; О=-(
(A*=((L*))).	B9)
* Естественно, что функция В может существовать, несмотря на отсутствие потенциала
у сил Qr и Qs.

224	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
Заметим, что слагаемые Z,'1' и /,A1) в выражениях B7) представляют собой соот-
соответственно лагранжианы связей первого и второго рода (см. ниже). В задаче о внеш-
внешней синхронизации условия устойчивости синхронного движения, как и выше, сво-
сводятся к требованию отрицательности вещественных частей всех корней уравнения (8).
Слабо связанные квазиконсервативные объекты. Изложенное выше допускает
обобщение на случай слабо связанных консервативных объектов *. Состояние s-ro
объекта определяется вектор-столбцом обобщенных координат х^ = I x^s\ .,., х^ ],
где в отличие от предыдущего rs есть число степеней свободы s-ro объекта. Приме-
Применительно ко многим приложениям, преимущественно из области механики, целе-
целесообразно различать два рода связей (взаимодействий) между объектами, Связи
первого рода, состояние которых определяется вектор-столбцом обобщенных коор-
координат и = [«j, ..., ит\, можно трактовать как обусловленные наличием некоторого
«.несущего тела» или системы «несущих тел» с т существенными степенями свободы.
Объекты, связанные с указанными телами, приобретают некоторую дополнительную
подвижность, так что их суммарные кинетическая и потенциальная энергии пред-
представляются в виде
k	k
Г*= 2] TS + AT*; П*= 2 П4 + ДП*,	C0)
где
— «собственные», a AT* — AT* (x, X, а, и) и АП* = АЛ* (х, и) —добавочные
кинетическая и потенциальная энергии объектов, причем под х понимаем совокуп-
совокупность всех векторов x's>. Собственные кинетическую и потенциальную энергии свя-
связей первого рода обозначим соответственно через Т'¦*' = Т'1' (и, и) и ПA) = П''* (и).
Связи второго рода условно можно назвать несомыми. Они не приводят к увеличе-
увеличению подвижности объектов, но их наличие также может быть (хотя и не обязательно)
связано с увеличением числа степеней свободы взаимосвязанной системы, так что для
определения состояния системы необходимо кроме хив задать также вектор обобщен-
обобщенных координат v = [t>i, ..., vn]. Кинетическую и потенциальную энергию связей
второго рода обозначим соответственно через Т(П) = Г(П) (х, х, и, и, v, v) и П(П>=
= П(И> (х, a, v).
Разный физический смысл связей первого и второго рода может быть пояснен на
примерах задач о синхронизации орбитальных систем (см. п. 4).
В соответствии с предположением о слабости связей между объектами следует
считать, что после наложения связей общие кинетическая и потенциальная энергии
системы в целом изменяются незначительно, т. е. можно положить
C1)
где через 0 (ц) обозначены члены, имеющие порядок малого параметра ц. Предполагаем,
что обобщенные неконсервативные силы, соответствующие координатам объектов,
имеют порядок не ниже ц, причем составляющие QIS> этих сил порядка ц считаем зави-
зависящими только от координат и скоростей s-ro объекта, а также, быть может (в случае
задачи о внешней синхронизации), от времени t с периодом Т = 2л/оэ внешнего воз-
возмущения, т. е. Q(s) = Q'S1 (X-IS1, xls>, a>t). Обобщенные неконсервативные силы Q,, и
Q,,, соответствующие координатам системы связей, вообще говоря, могут быть не-
немалыми и зависеть от всех координат системы.
* Здесь в видоизмененной и несколько расширенной форме лриьедены результаты
боты Р. Ф. Нагаева [28]; см. также [10].

ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ	225
Порождающая система в рассматриваемом случае состоит из k отдельных консер-
консервативных автономных систем, описывающих движение изолированных объектов,
и из порождающих уравнений системы связей. Предполагаем, что каждая из указан-
указанных k систем допускает в некоторой области Gs пространства {xls>, xls>) решениевкда
Х%^х%Н%, е,НаИ,</Ч+^>(ф„ cs)l
y>s = b>s(cs)t + as (/=1	rs; s = l	k),	C2)
где as и cs — произвольные постоянные; yty и pty — периодические функции ij>s
с периодом 2зт; a|s* = ±1; <AS' равно нулю для колебательных и единице для враща-
вращательных координат. Постоянные as, как и ранее, представляют собой начальные фазы
движения объектов, а постоянные^ на траекториях, соответствующих решению C2),
взаимно и однозначно связаны с постоянной энергии hs (cs) — Ts (xf\ jcJs))+/7s (jc{,s)).
От постоянной cs, а значит, и от hs зависит и частота ws решения C2); эта частота из-
изменяется для решений C2), лежащих в области Qs, в некотором диапазоне *
COs < @$ < COs •	(оЗ)
Синхронные движения объектов с частотами ws = rtsco, кратными частоте возмущения
со, возможны при условии, что частоты <x>s = nsa лежат внутри этих диапазонов.
Предположим вначале, что каждому решению C2) при всех рассматриваемых
as и cs соответствует по крайней мере одно 2я/со-периодическое решение порождающих
уравнений системы связей
uo = ao((x>t; с1г .... ck; аь .... ak);
vo = vo(<>>t; cx	ck\ аг	ah),
зависящее от тех же 2 k постоянных с и а, что и решение C2), и являющееся асимп-
асимптотически устойчивым. Будем считать, что объекты существенно анизохронны внутри
областей Gs, т. е. что протяженности частотных диапазонов coj,2' — ш'^1, а также
производные das/dcs не малы. Объекты, изохронные в порождающем приближении
(квазилинейные квазиконсервативные), требуют особого изучения [17, 28]. Син-
Синхронизация простейших объектов этого типа рассмотрена в п. 4.
При сформулированных предположениях параметры q, ..., С;, определяются из
равенств
us(cs) = ns<i> (s=l	k),	C5)
а уравнения для определения начальных фаз а^ (основные уравнения) могут быть
записаны в виде
es(nsd))
где
C6)
причем &.L* = ДГ* — ДЯ*, L<-1) = r<J) — П{1) и ttn) = Г<И) — Я(П) есть функ-
функции Лагранжа соответствующих связей;
dh[cCa)]	C7)
da>s
* Величины ш не следует смешивать о введенными ранее парциальными частотами
объектов (я .
8 п/р. Блехмана, т. 2

226	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
— крутизна частотной характеристики объекта (при es > 0 говорят, что объекты
жестко анизохронные, при es > 0 — мягко анизохронныс и при es = 0 — изохронные);
+ Z \{Qv'r)d^/	C8)
— среднее за период значение неконсервативных обобщенных сил, приведенное
к s-му объекту, причем Q}u>' и Q'»' есть не содержащие ц составляющие обобщенных
сил, соответствующие координатам и и и.
Относительно физического смысла уравнений C6) и отдельных слагаемых
в них справедливо все сказанное по поводу уравнений B1). В частности, при dUdt = О
справедливо уравнение баланса энергии B3), а при равенстве нулю двух последних
слагаемых в формуле C8) — соотношения B4) для определения парциальных частот
объектов (flj. Если существует потенциал усредненных неконсервативных сил В =
= В (аъ ..-,ак), т. е. функция, удовлетворяющая равенствам B5), а также если
характер анизохронизма всех объектов одинаков, т. е.
sign ^х = ... =signe^ = 0,	C9)
то за потенциальную функцию можно принять выражение
О=-(Л0 + б)а,	D0)
которое представляет собой обобщение выражения B6), поскольку объекты с почти
равномерными вращениями являются жестко анизохронными (а = 1).
Если уравнения несущих связей в порождающем приближении представляют собой
систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,
а неконсервативные обобщенные силы, соответствующие координатам системы связи,
малы (Q'»1 = 0 и Q^1 ~ 0), то справедливо соотношение Ло = Л(И) — ЛA), и выра-
выражение C6) можно представить в форме
B)a.	D1)
Согласно D0) и D1) характер экстремума функции Ло -j- В или Л'1' — Л'"' — В,
соответствующего устойчивым движениям, меняется в зависимости от характера
анизохронизма объектов, а действие связей первого и второго рода в известном смысле
противоположно В отличие от систем с почти равномерными вращениями условия
устойчивости, выражаемые с помощью уравнения (8) или условия минимума функ-
функции D, в данном случае являются лишь необходимыми; кроме того, для устойчивости
корни уравнения (8) должны быть вещественными и отрицательными. Дополнитель-
Дополнительные соотношения, дающие систему необходимых и достаточных условий, можно полу-
получить на основе результатов работы [31]. В частном случае квазиконсервативных
объектов с одной степенью свободы при наличии связей, не вносящих в систему но-
новых степеней свободы, указанные дополнительные условия устойчивости сводятся
к неравенствам [30]
(	/
(J^jy	^	(я,©) < 0,	D2)
s=l	/
которые должны выполняться для каждой системы постоянных Ms, определяемых
из линейной однородной системы уравнений
/=>» '

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА 411
227
при каждом из ^значений корней х уравнения (8); через ps обозначен обобщенный им-
импульс объекта. Поскольку в рассматриваемом случае величины As= ((Q(s!) \^
не зависят от alt ..., а#, то уравнения D3) могут быть записаны также в форме
к
s (ns<u)dasda/
6s/x
l=0 (s=l, ....
J
D4)
В случае, когда dQs/dps < 0 и характер анизохронизма всех объектов одинаков
[см. C9)], дополнительные условия D2) непременно выполняются и указанные выше
необходимые условия являются также и достаточными. Для квазиконсервативных
объектов с линейными несущими связями дополнительные устойчивости получены
в работе [32].
В более общем случае неизохронных квазиконсервативных объектов, когда по-
порождающее решение зависит не только от фаз аь ..., аь,, но квазик и от других произ-
произвольных параметров, можно воспользоваться результатами работы [311. Из анализа
этих результатов вытекает, что приведенные выше условия устойчивости сохраняют
роль необходимых в сравнительно широком классе случаев. Решение ряда конкрет-
конкретных задач о синхронизации показывает, что указанные условия играют основную
роль в отборе устойчивых фазировок объектов.
4. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
О СИНХРОНИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Рассмотрим две важные группы конкретных задач о синхронизации объектов
механической природы.
Синхронизация орбитальных систем. Под орбитальной в общем случае будем понимать
систему, состоящую из ft + 1 взаимодействующих твердых или деформируемых тел, в кото-
которой центры масс или другие характерные точки С,, ..., С^ тел В,	 В. могут совершать дви-
движения по замкнутым траекториям относительно некоторого тела Во, называемого несущим
или центральным (рис. 2), За центральное тело, как правило, можно принять любое из тел
системы, однако обычно в качестве такового выбира-
выбирают вполне определенное, отличающееся от остальных
каким-нибудь характерным признаком (например,
имеющее значительно большую массу). На каждое из
тел помимо сил взаимодействия могут действовать
заданные как консервативные, так и неконсерватив-
неконсервативные силы. С изучением различных частных случаев
орбитальных систем приходится сталкиваться в тео-
теории вибрационных устройств и в небесной механике.
Основная задача о синхронизации орбитальных
систем состоит в исследовании движений, при кото-
которых характерные точки тел Ви ..., В^ движутся по
замкнутым траекториям относительно несущего те-
тела Во с одинаковыми или соизмеримыми периодами,
совершая синхронные движения также и по всем
или некоторым другим обобщенным координатам.
Можно выделить два типа орбитальных систем:
свободные и несвободные (каркасные). В свободных
орбитальных системах движение характерных точек
не подчинено каким-либо кинематическим связям;
именно такие системы встречаются, например, в не-
небесной механике. В несвободных системах несущее
тело обычно идеализируется в виде одного или не-
нескольких твердых тел, упруго связанных между собой и с неподвижным основанием. Харак-
Характерные точки тел Bi	 В. при этом могут перемещаться по фиксированным замкнутым
траекториям внутри твердых тел, образующих несущее тело. Подобные системы играют
существенную роль в вибрационной технике (они соответствуют, в частности, динамиче-
динамической схеме вибрационной машины с несколькими механическими вибровозбудителями
— см. т. 4).
Подавляющее большинство задач о синхронизации орбитальных систем можно рассма-
рассматривать как задачи о синхронизации слабо связанных квазиконсервативных объектов или
объектов с почти равномерными вращениями (см. п. 3). Синхронизирующимися объектами
при этом являются тела В	, Bft, несущей связью — тело Во, с которым взаимодействуют
тела В,	 В^, а несомые связи определяются взаимодействиями тел В,, .... В^. В небесно-
механических задачах, например, взаимодействие тел Во, ,.. В^ характеризуется законом
всемирного тяготения.
8*
Рис. 2

228
СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
В случае свободной орбитальной системы, а также когда тела Ви .,., В^ имеют несколько
степеней свободы относительно тела Во, условия устойчивости синхронных движений, вы-
выражающиеся с помощью уравнений (8) или интегрального критерия устойчивости, явля-
являются лишь необходимыми, хотя и играют, как правило, основную роль. В случае несвобод-
несвободной системы и когда тела Вх	В. имеют одну степень свободы относительно тела Во, эти
условия обычно являются также и достаточными.
Рассмотрим в качестве примера несвободную плоскую орбитальную систему (рис. 3),
состоящую из свободного несущего твердого тела В„ массы М и двух одинаковых неуравно-
неуравновешенных роторов Bi и Вг массы т,
общая ось вращения которых О0 про-
проходит через центр тяжести тела Во
[28] Несомая связь между роторами
осуществляется через массу т0, поме-
помещенную в вершине С шарнирно-стерж-
невого ромба O0BtCB2; предполагается,
что точки В, и Вг совпадают с центра-
центрами тяжести роторов. На роторы дейст-
действуют вращающие моменты двигателей
асинхронного типа L (ф ) и моменты
сил сопротивления R (ф ) (s = 1,2),
которые предполагаются идентичными
для обоих роторов. Положение рото-
роторов определяется углами поворота <pt
и ф2, отсчитываемыми от фиксирован-
фиксированного в теле Во направления О„и по
ходу часовой стрелки Пусть отноше-
отношения Д! = т/М и д2 = т„/т малы,
что обеспечивает слабость связей меж-
между роторами.
Уравнения движения роторов как
изолированных консервативных объек-
объектов имеют вид •/-Фсо = " (s = 1,2),
где У —моменты инерции роторов от-
относительно их оси вращения О0 По-
Порождающее решение, соответствующее
синхронному вращению роторов в оди-
одинаковых направлениях с одинаковой
угловой скоростью со (рассматриваем случай простой синхронизации, когда nt = пг = 1),
имеет вид
где а, и а( - начальные фазы вращения роторов, которые, как и скорость со, заранее неиз-
неизвестны (изучаем внутреннюю синхронизацию). Неконсервативные обобщенные силы Q's> =
= L (ср ) — R (cf>s) (s = 1,2), силы Qy0) = q'jJ" = 0. Поэтому из уравнения баланса энер-
энергии B3) при учете C8) получаем:
(С'11) = (<?'2')= L (со) - R (со) = 0.	D6)
Из уравнения D6) определяется значение синхронной скорости со = со„, равной парциаль-
парциальным угловым скоростям роторов. Поскольку из D5), C8) и B5) следует, что Л, = Аг = 0
и В = const, то выражение для потенциальной функции D согласно D1) может быть представ-
представлено в форме
При этом учтено, что роторы являются жестко анизохронными объектами, так как
А = —¦ JS«>1, es(ls>s)~Js > 0; чт0 ФУнки-ия D определена с точностью до величины, не
зависящей от «i и а2, а также что несущая связь квазилинейна
Кинетические энергии систем связей первого и второго рода, подсчитанные для порож-
порождающего приближения D5), не зависят от времени t и соответственно равны
Рис. 3
2
1
D7)
= Hime2co2 [1 + cos (at — a2)];
= ц2тв2сй2 [1 -f- cos (a, — a2)],
— амплитуда колебаний тела В„ под
где е — эксцентриситет роторов; А = -77- cos
М	^
действием центробежных сил, развиваемых роторами при их вращении согласно D5);
R = 2tcos ' —- •- расстояние от центра тяжести массы т0 до оси вращения роторов О„.

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
229
Потенциальные энергии связей равны нулю, поэтому
0) и аналогично Л*11' = (Г'11)), так что
-(ПО))
D = ( Г(И)) - (
(д, - цО A - cos a)
D8)
(а — а.1 — а2).
Из условия стационарности функции D следует, что возможными являются синфазное (<х =
= а'11 = 0) и противофазное (а = а'21 = я) синхронные вращения роторов При отсутствии
несомой связи (ц2 = 0) устойчиво противофазное вращение, т. е. вращение, при котором
кинетическая энергия несущего тела 7"A) минимальна (в данном случае равна нулю) При
отсутствии несущей связи (A, = 0) устойчив синфазный режим вращения, которому соответ-
соответствует максимум кинетической энергии массы т0 При наличии связей обоих родов харак-
характер устойчивого синхронного вращения зависит от разности ц2 — Д1, т. е. от того, какая
связь преобладает Заключение об устойчивости соответствующих движений сделано с учетом
того, что дополнительное условие устойчивости D2) в рассматриваемом случае всегда вы-
выполняется в силу неравенства
^ IdL (<p) dR (со) \
\ da	da /m==
со = соо
характерного для рассматриваемых систем. На устойчивость синхронных движений не вли-
влияет также и нейтральная устойчивость несущего тела В„ по координатам х, у и ср, определя-
определяющим его плоское движение Заметим, что в реальных системах рассмотренного типа (см.
т. 4) тело Во связывается с неподвижным основанием системой демпфирующих элементов,
при учете которых несущая система оказывается асимптотически устойчивой; рассмотре-
рассмотрение подобной системы потребовало бы несколько более сложных вычислений, хотя результат
в случае «достаточно мягких» упругих элементов остался бы прежним.
Рис. 4
Синхронизация квазилинейных осцилляторов типа маятниковых часов 110, 12, 22, 25].
Рассмотрим задачу о взаимной синхронизации некоторого числа k маятниковых часов, вися-
висящих на упруго опертой жесткой платформе, которая может совершать плоско-параллельное
движение перпендикулярно осям маятников О (рис. 4). Пусть хОу — система неподвижных
прямоугольных осей координат, с которой в положении статического равновесия системы
совпадают оси uO,v, жестко связанные с платформой. Начало подвижных координат Ot будем
считать выбранным в так называемом центре тяжести вспомогательного тела, т. е. плат-
платформы, к которой присоединены массы всех маятников, сосредоточенные на их осях О . Счи-
Считаем ось Ох наклоненной к горизонту под некоторым углом %„; система упругих опор, связы-
связывающая платформу с неподвижным основанием, предполагается симметричной по отношению
к осям хОу в том смысле, что выражение для потенциальной энергии деформации опор, отсчи-
отсчитываемой из положения статического равновесия, имеет вид
7 (у*
D9)
где х и у — координаты центра тяжести вспомогательного тела в неподвижных осях; ср —
угол поворота платформы, отсчитываемый между осями Ох и О^и по ходу часовой стрелки,
сх' су и ст ~ соответствующие жесткости.
Положения маятников характеризуются углами ср (s = 1, ,,., к), которые отсчитываютса

230	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
от вертикали по ходу часовой стрелки, и, так же как и координаты платформы х, у и (р, счи-
считаются малыми.
Уравнения движения системы могут быть записаны в виде
'Л + т/'Л = ms ls f * cos Xo ~ ^ sin x° +
+ *Л5 sin fe + °s)] + Ls(b' vs) -Rs(i>s< Vs)
cos Xo'
где т и / — соответственно масса и момент инерции s-ro маятника относительно оси о •
/ — расстояние от оси маятника до его центра тяжести; г , б — полярные координаты
оси маятника (за полярную ось принята ось О^и, связанная с платформой): g — ускорение
свободного падения; L , R — соответственно движущий моменг и момент сил сопротив-
сопротивления; М, I — соответственно масса и момент инерции вспомогательного тела; k , k и k —
коэффициенты вяэкого сопротивления.
Уравнения E0) можно представить в следующей безразмерной форме;
Фв + 4>s =МФ5 (<Ps, <PS, *"> F> ф") (s = 1, .... k);
x' + X,«5= V ^V -^п*У,	E1)
7 = 1 ' '
k
V
ft
ф" -f ЛфФ = У »№'ср/ - 2д«
/ = ! '
т = a>*t; х = х/А; у — у/А;
^ — т
ф") = х^ф4
/Л	,. т I r
^-slnx., Р<Ф»= У J sin @д + Хо).
Величина д рассматривается как малый параметр; штрихом обозначено дифференциро-
дифференцирование по безразмерному времени т = со*/, а «избыточный момент» L — R принят в виде
Ls Ws, b) ~ Rs К, Ф^) = "s(l - vsVl) 4>'sIsa>*,	<53»
что соответствует идеализации часов в виде простейших автоколебательных объектов —•
осцилляторов Ван-дер-Поля Через А обозначена произвольная величина, имеющая размер-
размерность длины; при анализе порядков величин удобно считать, что А имеет порядок амплитуды

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
231
колебаний платформы Через 5 = (mJsg/IJ '2 обозначены частоты малых свободных ко-
ко<л' A — xs) 'Де <¦>* — одно из чисел и или
лебаний маятников, причем положено
среднее от чисел u>g
Рассмотрим нерезонансный случай, когда величины Кх, К и \ отличаются от целых
чисел и от нуля.
Уравнения для определения параметров о^, ..., а ^ порождающего решения
9=1
«У
имеют вид
где
Ps* =-
= p
«2ft
(s = I	ft),
ms (l-vs\ as
<S5>
р(Ф)
He нарушая общности, постоянные a можно считать попарно комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженными, т. е. положить
При этом, поскольку рассматриваем задачу о внутренней синхронизации, можно при-
приь
a>0- % = °-	E8)
С учетом соотношений E7), E8) из fc-ro уравнения E5) получаем р| = —
для определения 2*—1 комплексных постоянных а.
I
Я—1'
Поэтому Р
а. = а ... , лг^_^ == a^_jl а = о^2к = аА' котоРые согласно E7) можно заменить 2k— 1
вещественными постоянными Pj, ... , р^; г^, ... , Фь_,, достаточно рассмотреть 2ft—1 уравне-
уравнений, полученных приравниванием нулю вещественных и мнимых частей в левых частях пер-
первых ft уравнений E5) Последнее уравнение ImP^ = aim (P\ + ^jft). как выполняющееся
тождественно в силу установленного выше равенства Я^/г ~ ft' исключается.
Для возможности синхронных колебаний рассматриваемого типа необходимо, чтобы
полученные 2ft—1 уравнений допускали решения, вещественные относительно т|> и положи-
положительные относительно р . Основные условия устойчивости синхронных движений, соответ-
соответствующих каждому такому решению, состоят в требовании отрицательности вещественных
частей корней и алгебраического уравнения Bft—1)-й степени
дР.
0 (ь,
2ft-1).
E9)

232	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
Дополнительные условия устойчивости сводятся к неравенствам
(/ = 1, 2, 3);	F0)
n*w, «3= «*Ц! X,* = ^, ?vj = ^, A! = Хф).
Предполагается, что X* отличны от целых чисел с половиной.
Заметим, что изложенные результаты в данном случае также могут быть сформулиро-
сформулированы с помощью интегрального критерия устойчивости [10, 28J
Пусть параметры всех часов с точностью до величин более высокого порядка, чем ц, оди-
наковы. Тогда а, = а; Х{ = %; ^ = v; р<*> = р<*>; р<«> = рМ; д\х) = дМ; „W=<^>
(i = 1, .... ft), и после введения обозначений
и перехода от неизвестных as к р и ф основные уравнения E5) запишутся согласно E6)—
E8) в форме
= 0 (s = l	It) F1)
Рассмотрим два случая осесимметричного расположения осей маятников на платформе:
I) оси равномерно размещены по окружности, центр которой совпадает с центром тяжести
вспомогательного тела; 2) оси расположены на одной прямой, проходящей через центр тяже-
тяжести вспомогательного тела, симметрично относительно этого центра. В обоих случаях выпол-
выполняются условия
k	k
V г, sin б,. = У л cos 6, = 0,	F2)
/Si ' 7 jtl 1 '
и уравнения F1) допускают решение вида
Pj = ... = р^ = v~'/2; ф = ... = 1|). = 0,	F3)
соответствующее колебаниям всех маятников с одинаковыми амплитудами и фазами; при
этом амплитуды оказываются равными их значениям для несвязанных маятников. Однако
уравнения F1) при условиях F2) могут иметь, вообще говоря, и иные решения Рассмотрим
более подробно случай двух маятников Тогда уравнения F1) допускают два решения
Pj = Рг = V—'/2; г|1, = 0, г|J = 0;
F4)
отвечающие соответственно синфазным и противофазным движениям маятников.
Составив уравнение E9), найдем, что его корни
л [- а ± V а" - (В21 - Bl2)a]
',/=1,2)
одинаковы для обоих решений F4) и имеют отрицательные вещественные части, если только
а > 0, что обычно и предполагается. Для решений F4) дополнительные условия F0) тоже
сводятся к тривиальным условиям п* > 0, riy > 0 и п* > а.

ЗАХВАТЫВАНИЕ И ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ	233
Таким образом, в рассматриваемом случае устойчивы, независимо от соотношения между
частотой колебаний маятников и частотами свободных колебаний платформы, как синфазное,
так и противофазное движения маятников. Этот результат сохраняется и при изменении числа
степеней свободы платформы, когда одна или две из величин кх, % и к неограниченно воз-
возрастают Совершенно иная ситуация имеет место в случае вращающихся роторов, для кото-
которых характер синхронного движения существенно зависит от частот свободных колебаний
несущей системы (см. т. 4).
б. ЗАХВАТЫВАНИЕ И ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ
НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА
Вибрация оси вращения неуравновешенного ротора с некоторой частотой со может при-
привести к тому, что ротор будет стационарно вращаться с той же или в целое число раз мень-
меньшей частотой, несмотря на то, что при отсутствии вибрации ротор вращался с другой часто-
частотой @0. Иными словами, имеет место эффект захватывания вращения ротора вибрацией его
оси Более того, вибрация может вызвать и устойчиво поддерживать вращение ротора с ча-
частотой со или а/п (п — целое число), если при отсутствии вибрации ротор вообще не вращался.
Последнее явление называется вибрационным поддержанием вращения неуравновешенного ро-
ротора [6, 10, 13, 40]; оно используется, например, в ряде вибрационных машин и устройств
(см. т. 4).
Уравнение движения неуравновешенного ротора, горизонтально расположенная ось
которого совершает гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направле-
направлениях по закону*
х = Н sin at, у = G cos (at + О)	F5)
(где Н, G — амплитуды; со — частота колебаний; # — угол, характеризующий сдвиг фаз
между составляющими колебаний), имеет вид (см. рисунок в п. 2. таблицы на с. 245)
/ф — mge cos ф = — теи2 [H sin at sin Ф + G cos (at + 0) cos ф] -f L (cp) — R (cp)> F6)
здесь ф — угол поворота ротора, отсчитываемый по ходу часовой стрелки; т, / и 8 — соот-
соответственно масса, момент инерции и эксцентриситет ротора; g — ускорение свободного па-
падения; L (ср) — момент, передаваемый от электродвигателя (так называемая статическая ха-
характеристика); R (Ф) — момент сил сопротивления.
Рассматривая вращение ротора с угловой скоростью, близкой к ф„ = ста, где о" = ±1,
положим
L (ф) 45 L (асо) — k* (ер — аи); R (<р) =« R (аи) + ft» (ср — аи)	F7)
и представим уравнение F6) в форме
/Ф + k (ф — аи) = цФ (ф, at),	F8)
где
k = k* + k"; цФ (Ф. иО = mge cos ф —
— meco2 [H sin at sin ф -f- G cos (at -f #) cos ф)-{-? (сад) — R (aa).	F9)
Обычно k > 0, так как k* = — (dL/dcp)-	> 0, k° = (dR/dq>)-	> 0; кроме того,
Ф = исо	Ф = осо
будем предполагать, что R (аи) = CR (со), R (и) > 0.
Таким образом, зачада сводится к исследованию внешней синхронизации (захватывания)
объекта с почти равномерным вращением (см. п. 3). Основное уравнение B1), служащее для
определения параметра порождающего решения
Фо = a (at + a),	G0)
может быть представлено в виде 110]
Р (а) э= ца <(Ф)> =з OL (аи) — R (и) — W (а) = 0,	G1)
а условие устойчивости сводится к неравенству
dP
da
dW (a)
da
< 0,	G2)
где а* — решения уравнения G1).
Величина W п уравнении G1) представляет собой так называемый вибрационный момент
(см. гл. IX), определяющий своеобразие поведения ротора с вибрирующей осью; этот момент
выражается формулой
W = тгАсо2 cos (а— х).	G3)
* Частный случай задачи, соответствующий Я = 0, О = А, & = 0, R = —kip, L = 0,
рассмотрен в п. 3, гл. II.

234	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
где
А = ~ V"G2 + Я2 + 20GH cos -9 = -i (а + а*
У 2 ОЯ 1 cos ¦& I
V	G2 + Я2 — /(G2 + Я2J — 4GZH' cos2 О
G4)
	Yi Gil | cos ft I
V	G"- + Я2 + V (G» + Я2J — 4G2#2 cos2 О
CT» = a sign (cos 0) = ± 1; Л cos % = -^- (Я -f- CG cos 0);
Л sin x =-тг <JG sin O.
Величины a и 6 представляют собой соответственно большую и малую оси эллиптической
траектории колебаний, определяемой равенствами F6); значениям cos в > 0 соответствует
движение оси ротора по эллипсу в направлении хода часовой стрелки, а значениям cos Г> < 0 —
против часовой стрелки. Поэтому о* = о'sign (cos О) = 1, если рассматривается вращение
ротора в направлении, совпадающем с направлением движения оси ротора по эллиптической
траектории F5), и о* ¦= — 1 при несовпадениях указанных направлений. Величину А назовем
эффективной амплитудой колебаний оси ротора. В соответствии с равенствами G4) эффектив-
эффективная амплитуда равна полусумме полуосей эллипса, если рассматривается вращение ротора
в направлении движения его оси по эллиптической траектории (о* — 1), и равна полуразности
полуосей при вращении в обратном направлении (а* = —1).
При прямолинейных колебаниях оси а = 0, 6 = Н и эффективная амплитуда равна поло-
половине амплитуды колебаний оси ротора. При колебаниях оси ротора по окружности радиуса
Го = a = Ь эффективная амплитуда А = г„, если рассматривается вращение ротора в том же
направлении, что и движение оси по окружности* Если указанные направления противо-
противоположны, то эффективная амплитуда, а следовательно, и вибрационный момент W равны
нулю.
Рассмотрим случай, когда двигатель отсутствует или выклю-
выключен (L = 0). В этом случае уравнение G1) при учете равенства G3) может быть представлено
в форме
Р (а) = — R (со) — тгАе>г cos (а — %) = 0,	G5)
а условие устойчивости в виде
sin (a — х)<0.	G6)
При выполнении неравенства
R < теЛсо2	G7)
уравнение G5) допускает два существенно различных решения
«1 = X + 6, а2 = эс — в
первому из которых согласно G6) соответствует устойчивое, а второму неустойчивое вращение
ротора со средней угловой скоростью со.
Условие существования G7) основного режима вибрационного поддержания вращения
неуравновешенного ротора имеет простой физический смысл: момент сил сопротивления
вращению ротора не должен превышать некоторого предельного значения RmaK (<o), равного
максимальному значению W (о>) вибрационного момента W (и), или, что то же самое, мощ-
мощность, необходимая для преодоления момента сопротивления R (со), не должна превышать
некоторого предельного значения JVmax, т. е.
N (со) = R (со) со < Л'тах (со) = теЛсо3.	G9)
Отметим, что указанная мощность может реально достигать довольно больших значений.
Например, для ротора со статическим моментом те = 1000 кг см при эффективной ампли-
амплитуде Л = 0,25 см и частоте колебаний со = лп/30 = яЗООО/30 = 314"/с получаем N „ —
= 10 -0,0025 -3143 ~ 8 -105 Н -м -с-1 « 800 кВт.
Следует иметь в виду, что приведенные выше условия еще не гарантирую! возникновения
рассмотренного стационарного режима вращения ротора при произвольных начальных усло-
условиях: этот режим может возбуждаться жестко LlO, 26].
Из неравенств G7) и G9) следует, что условие поддержании вращения ротора в направле-
направлении движения его оси по эллиптической траектории является более «мягким», чем соответ-
соответствующее условие для случая, когда указанные направления противоположны (в первом слу-
случае эффективная амплитуда Л больше, чем во втором) При колебаниях оси по окружности
в определенном направлении вращение ротора в противоположном направлении вообще

ЗАХВАТЫВАНИЕ И ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ	235
невозможно (Л = 0). Исключение составляет случай прямолинейных колебаний оси, когда
оба направления вращения равноправны.
Рассмотрим случай включенного двигателя (L фО). При выполнении
соотношения
| оХ (аи) — R (со) I < теЛсо»	(80)
уравнение G1) допускает два существенно различных решения, из которых одно устойчиво,
а другое неустойчиво.
Обозначим через
Z» (а, со) = aL (осо) — R (со)	(81)
избыточный момент на валу ротора, т. е. разность между моментом сил сопротивления и
моментом, развиваемым двигателем, а через W (со) = т?А со2 наибольшее возможное значение
вибрационного момента. Тогда соотношения G1) и (80) могут быть представлены в форме
Р (а) ~ Z" (о, со) — # (со) cos (a — х>;	(82)
I Z» (о\ со) |< W (со).	(83)
Смысл условия (83) заключается в следующем: для существования изучаемого режима
избыточный момент не должен превышать по абсолютной величине наибольшего возможного
значения вибрационного момента.
Рассмотрим подробнее неравенство (83). Предположим сначала, что ось ротора не колеб-
колеблется. Тогда в соответствии с уравнением движения F6) угловая скорость вращения ротора
в установившемся режиме определится из условия равенства вращающего момента и момента
сил сопротивления
L (ф0) = R (фо)-	(84)
Введем парциальную угловую скорость вращения ротора со*, отличающуюся от ср0 тем,
что отсчитывается она в направлении вращения ротора, а не по ходу часовой стрелки. Тогда
со* = Оф0.	(85)
Колебания оси ротора в принципе могут вызвать вращение в направлении, противополож-
противоположном тому, в котором его стремится вращать двигатель. В этом случае, соответствующем работе
двигателя в генераторном режиме, может оказаться, что О"ср0 = со* < 0, т. е. что парциальная
скорость отрицательна. (Заметим, что парциальная скорость со* по своему смыслу вполне
соответствует частоте автоколебаний системы.)
Пусть со* > 0, тогда согласно (84) и (85) справедливо соотношение
gL (осо*) = R (со*).	(86)
Отсюда следует, что если парциальная угловая скорость положительна и частота колеба-
колебаний оси ротора со совпадает с со*, то усчовие (80) или (83) непременно выполняется. Иными
словами, если при отсутствии колебаний оси ротора последний вращался в установившемся
режиме с угловой скоростью ф0 = стсо*, то при наличии колебаний с частотой со = со* этот
ротор также сможет вращаться с той же угловой скоростью. Рассматриваемый режим, однако,
будет существовать и в случае, когда частота колебаний со не совпадает с парциальной ско-
скоростью со*, но не сильно от нее отличается, так что вибрационный момент может скомпенси-
скомпенсировать избыточный момент Z0(o, со). Следовательно, будет существовать интервал изменения
частоты колебаний со
— Д, < со — со* < Дг,	(87)
внутри которого вращение ротора захватывается частотой внешнего возмущения; ширину
этого интервала Д — Д) + Д2 называют полосой захватывания.
Полоса захватывания для рассматриваемой системы может быть достаточно широкой
(в частности, когда парциальная угловая скорость со* равна нулю).
Помимо интервала (87), содержащего частоту о)*, могут быть и иные области изменения
частоты со, в которых существует рассматриваемый режим вращения ротора. Эти области
можно оппеделить построением графиков функций cL(aco), /?(co), Z°(cr, со) и теЛ со2 [10].
Полагая вблизи ш = со"
Z» (ст, со) = — kz (со — со*); W (со) = W (со*) + k w (со — со*),	(88)
где
_ d [aL (стсо) — R (со)]
^	da
находим
т = (и.- - -w „,, = г,ч„ = 2теЛсо* > 0, (89)
(90)
Из формул (90) следует отсутствие порога захватывания (такого значения эффективной
амплитуды колебаний, при котором полоса захватывания пропадает). Для случая обычной
автоколебательной системы этот факт быч установлен А. А. Андроновым и А. А. Виттом [1].

236
СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
Колебания оси ротора с частотой со могут также поддерживать его стационарное вращение
по закону
я»ф„ = ol-^-t+a) (я = 2, 3, ...),
(91)
т. е. со средней угловой скоростью в целое число раз меньшей, чем со. Основное уравнение
в случае п = 2 имеет вид [10, 34, 38]
где вибрационный момент
sin {2a-
(92)
(93)
существенно зависит от ускорения свободного падения g и не зависит от частоты колебаний.
Из условия наличия у уравнения (93) вещественных решений а следуют условия существова-
существования рассматриваемых режимов; условие устойчивости по-прежнему дается неравенством
G2).
В данном случае существуют два устойчивых режима вращения ротора, отличающихся
значениями фазы а; область захватывания обычно значительно уже, чем в случае ф0 *< со.
Захватывание вращения неуравновешенного ротора с эксцентрично присоединенным
маятником, т. е. по существу двойного физического маятника, рассмотрено в работе [16].
Выше частота вибрации ш полагалась заданной и неизменной, т. е. считалось, что вибра-
вибрация задается «весьма мощным» объектом. Сопоставление приведенного решения с решением
аналогичной задачи о взаимной синхронизации выполнено в работе L10].
6. ТЕНДЕНЦИЯ К СИНХРОНИЗАЦИИ В СИСТЕМАХ
С ИНТЕГРАЛЬНЫМ КРИТЕРИЕМ
В системах, для которых справедлив интегральный критерий устойчивости синхрон-
синхронных движений, наблюдается тенденция объектов к синхронизации, по крайней, мере,
если избыточные силы Asne слишком велики по сравнению с силами CA0/3aj,)maXj
характеризующими возможности системы связи перераспределять энергию между
отдельными объектами (см. п. 3). Это следует из того, что при As = 0 можно положить
В 0	D	Л	"
(	)
В = 0 и принять D = —0ЛО; отсюда
-дб-Ло+В
jT аг-a,
с учетом Г-периодичности и „гладкости"
функции Ло по всем начальным фазам
щ, ¦¦¦, а// будет следовать, что функция D
непременно * имеет минимум при опре-
определенных значениях as (или as — a^.).
Наличие в выражении для функции D
потенциала В, соответствующего не слиш-
слишком большим по сравнению с (ЗЛо/da )тах
силам А , не может изменить указанного
положения. Таким образом, при упомя-
упомянутых условиях система непременно бу-
будет иметь хотя бы одно устойчивое в ма-
малом синхронное движение **. С другой
стороны, присутствие достаточно больших
избыточных сил As может подавить тен-
Рис. 5
денцию объектов к синхронизации.
Сказанное проиллюстрировано рис. 5,
который соответствует случаю простой вза-
взаимной синхронизации двух объектов, причем Ло = AJ sin (a2 —ах); В = А (а2 — И]),
где А = const, что отвечает самосинхронизации механических вибровозбудителей
(см. т. 4). Из рисунка следует, что функция D имеет минимумы при В — В111 =
= А11' (а2 — cti), но не имеет минимумов при В = B'sl = А'2' (аг—а{), где
Л21> Л'1'.
* При соответствующих достаточно общих предположениях.
** Имеется в виду случай, когда интегральный критерий выражает необходимые и до-
достаточные условия наличия устойчивого синхронного движения. В более сложных случаях
можно говорить лишь о выполнении необходимых условий существования и устойчивости
(см пп. 2, 3).

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ СИНХРОНИЗАЦИИ	237
Требование ограниченности избыточных обобщенных сил As является более «мяг-
«мягким», чем требование малости отдельных составляющих этих сил. Заметим, что в слу-
случае, когда неконсервативные силы, соответствующие координатам системы связи,
малы, т. е. Q^> = 0 и Q^1 = 0, величины As обращаются в нуль при равенстве пар-
парциальных частот объектов cos (см. пп. 3, 4). Таким образом, при указанных условиях
объекты с близкими парциальными частотами обнаруживают тенденцию к синхро-
синхронизации (см. п. 2).
Поскольку интегральный критерий устойчивости справедлив для достаточно
широкого класса систем, то изложенное еще раз свидетельствует о том, что тенденция
к синхронизации является общим свойством динамических объектов самой различной
физической природы.
7. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
СИНХРОНИЗАЦИИ И ЗАХВАТЫВАНИЯ
К числу основных общих закономерностей синхронизации и захватывания можно
отнести следующие.
1.	Отсутствие порога синхронизации. Синхронизация может возникнуть при
сколь угодно слабых связях между объектами, если только достаточно мало отличие
соответствующих одноименных параметров объектов. Аналогичным образом захваты-
захватывание возможно при сколь угодно слабом внешнем воздействии. В своеобразной
форме эта закономерность проявляется и при наличии флуктуации параметров объек-
объектов и системы связи [23].
2.	Зависимость синхронизации от парциальных частот объектов. Эффект втя-
втягивания в синхронизм объекта без внутреннего источника энергии. Наиболее сущест-
существенно возможность или невозможность взаимной синхронизации автоколебательных
объектов зависит от значений их парциальных частот (угловых скоростей) as. Если,
например, все парциальные частоты достаточно близки или одинаковы, то простая
взаимная синхронизация объектов, как правило, возможна независимо от значений
прочих параметров объектов и системы связи. Вместе с тем даже при слабых взаимных
связях тенденция объектов к синхронизации может быть настолько сильна, что син-
синхронизируются объекты с существенно различными частотами. Более того, в ряде
случаев в синхронизм могут втягиваться объекты, имеющие нулевые парциальные
частоты, т. е. лишенные собственного источника энергии и поэтому при отсутствии
взаимодействия вообще не генерирующие колебаний.
3.	Установление определенных соотношений между начальными фазами движения
объектов. Во многих случаях возможно не одно, а несколько устойчивых (в малом)
синхронных движений, отличающихся фазами движения объектов. Синхронный
режим характеризуется определенным набором значений начальных фаз движения
объектов. Часто при фиксированных параметрах системы возможно не одно, а не-
несколько устойчивых (в малом) синхронных движений, отличающихся конкретными
значениями начальных фаз; могут существовать и другие (не синхронные) устойчивые
в малом движения. В таких случаях характер реально устанавливающегося дви-
движения определяется начальными условиями. В некоторых системах, однако, имеется
лишь единственный устойчивый (в большом) синхронный режим, устанавливающийся
при любых начальных условиях, В первом наиболее общем случае говорят о жестком
возбуждении синхронного режима или о несамоустанавливающемся синхронном режи-
режиме, а во втором — о мягко возбуждаемом или самоустанавливающемся режиме.
4.	Экстремальное свойство синхронных движений и тенденция к синхронизации.
В ряде случаев устойчивые синхронные движения выделяются из всех прочих воз-
возможных движений системы взаимосвязанных объектов тем, что им отвечает минимум
некоторой функции D (потенциальной функции). Эта функция часто имеет определен-
определенный физический смысл, представляя собой сумму или разность усредненных за период
лангранжианов элементов системы связи и так называемого потенциала избыточных
сил.
В системах, для которых справедлив интегральный критерий устойчивости, тен-
тенденция к синхронизации проявляется при достаточно широких предположениях
(см. п. 6).

238	СИНХРОНИЗАЦИЯ И ЗАХВАТЫВАНИЕ
5.	Зависимость синхронных движений от характера системы связи. Характер
и число устойчивых синхронных движений системы могут существенно зависеть от
числа степеней свободы и свойств системы связи. Последнее характерно для объектов
с вращательными движениями. Вместе с тем известны объекты с колебательными
движениями (например, маятниковые часы), синхронные движения которых почти
не зависит от характера системы связи.
6.	«Парадокс неработающих связей» («аффект Гюйгенса» *). При взаимной син-
синхронизации одинаковых объектов (например, механических вибровозбудителей,
маятниковых часов и др.) существуют устойчивые синхронные движения, при которых
движение в системе связи отсутствует. Система связи «включается» лишь при случай-
случайном возмущении синхронного движения объектов или при изменении их параметров.
7.	«Эффект усреднения частоты». Синхронная частота (угловая скорость) со при
простой синхронизации автоколебательных объектов часто не больше чем наиболь-
наибольшая и не меньше чем наименьшая из парциальных частот (угловых скоростей) со,
отдельных объектов:
Inf [Щ, ..., СО/;] s? О) =? Slip [Щ, ... , Шь].
Во многих случаях, особенно при близких значениях a>s, синхронная частота ш близка
к «средневзвешенному» значению парциальных частот, т. е. ш « 6ja)j -f- ... -f- б^ш^,
{Ьг + ... + bk = 1), где Ь\ > 0, ..., Ьк > 0 — некоторые функции параметров сис-
системы. Отсюда следует, что среднее квадратическое отклонение величины со при слу-
случайных отклонениях as может быть значительно меньше среднего квадратического
отклонения самих as. Этот эффект используется, например, при создании точных
генераторов частоты.
8. КРАТКИЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Отметим некоторые основные работы по синхронизации механических объектов и по
общей теории синхронизации динамических систем, не касаясь многочисленных исследований
в области теории параллельной работы электрических машин, а также синхронизации и за-
захватывания в радиоэлектронных устройствах, хотя некоторые из указанных исследований
оказали существенное влияние на развитие вопросов, рассмотренных в настоящем справоч-
справочнике (ссылки на эти работы были даны в тексте, см. п. 3).
Одной из задач синхронизации, возникающей в теории часов, посвящена работа Ы. В. Бу-
тенииа [14]. Задача Гюйгенса о самосинхронизации двух маятниковых часов изучалась
Н. Минорским [25]; общий случай любого числа часов в более полной постановке рассмотрен
в работах И. И. Блехмана, Ю, И. Марченко и А. И. Лурье [10, 12, 22]. В последней работе
предложен также эффективный вариационный метод решения задач о синхронизации.
Большой цикл исследований посвящен проблеме синхронизации вращающихся неуравно-
неуравновешенных роторов (механических вибровозбудителей). Обзор и изложение основных результа-
результатов этих исследований, принадлежащих преимущественно советским исследователям, приве-
приведены в т. 4.
Итог исследований, посвященных теории автоколебательных систем при наличии слу-
случайных воздействий, подведен в монографии А. Н. Малахова [23], где рассмотрен также ряд
задач о синхронизации и захватывании.
Задача о вибрационном поддержании вращения неуравновешенного ротора рассмотрена
Н. Н. Боголюбовым [13], а затем в более общей постановке И. И. Блехманом [10]. Из даль-
дальнейших публикаций отметим, в частности, работы О. Я. Шехтер [38], К. М. Рагульскиса
134], Т.К. Кауги [40], А. А. Митулиса [26], И. И. Быховского [16], Э. А. Аграновской, 3. С. Ба-
Баталовой, Л. Д. Акуленко, В. М. Волосова, Н. Н. Моисеева, Б. И. Моргунова и Ф. Л. Черно-
усько (см. [273), Обзор работ по данному вопросу приведен в книге [10].
Указания на общность явлений синхронизации в природе и технике, общая постановка
задачи о синхронизации, а также изложение и обзор основных результатов, полученных до
1970 г., приведены в книге И. И. Блехмана [10]. Развитию общей теории синхронизации по-
посвящены работы И.И. Блехмана [7, 8], Р. Ф. Нагаева [28 — 30], К. Ш. Ходжаева [37], Р. ф. На-
Нагаева и К. Ш. Ходжаева [32], К. Г. Валеева и Р. Ф. Ганиева [17], А. И. Лурье [22], О. П. Бар-
зукова [4], А. С. Гуртовника и Ю. И. Неймарка [20], Н. В. Бутенина, Ю. И. Неймарка
и Н. А. Фуфаева [15]. В этих работах, в частности, дано развитие интегрального критерия
устойчивости синхронных движений, предложенного И. И. Блехманом и Б. П. Лавровым [11].
К указанному циклу работ, нашедших частичное отражение в данной главе, непосред-
непосредственно примыкают некоторые исследования по развитию методов малого параметра в теории
периодических решений дифференциальных уравнений Обзор этих работ приведен
в гл. II.
Повышенный интерес вызывает проблема синхронизации («резонансных соотношений»)
при движении небесных тел. Важные результаты в этой области, в частности обоснование
закономерностей движения Луны, сформулированных Кассини, принадлежат В. В. Белец-
Белецкому (см обзор в книге [5]); описание других интересных исследовании и оригинальные ре-
результаты приведены в работах [19, 36].
* Термины, заключенные в кавычки, употребляются здесь впервые.

КРАТКИЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОБЗОР	239
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Андронов А. А., Витт А. А. К математической теории захватывания. — «ЖПФ», 1930.
т. 7, вып. 4.
2.	Андронов А. А., Витт А. А. Об устойчивости по Ляпунову. — «ЖЭТФ», 1933, т. 3,
вып. 5.
3.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М., Физматгиз, 1959. 91Б с.
4.	Барзуков О. П. Кратная синхронизация в системе слабосвязанных объектов с одной
степенью свободы. — «ПММ», 1972, т. 36, № 2, с. 225—238.
5.	Белецкий В. В. Очерки о движении небесных тел. Изд. 2-е. М., «Наука», 1977. 432 е.
6.	Блехман И. И. Вращение неуравновешенного ротора, обусловленное гармоническими
колебаниями его оси. — «Известия АН СССР. Сер ОТН», 1954, № 8, с. 79 — 94.
7.	Блехман И. И. Интегральный критерий устойчивости периодических движений неко-
некоторых нелинейных систем и его приложения. [Труды Международного симпозиума по
нелинейным колебаниям, т. II]. Киев, Изд-во АН УССР, 1963, с. 84 — 97,
8.	Блехман И. И. Проблема синхронизации динамических систем. — «ЛММ», 1964, т. 28,
вып. 2, с. 193 — 215.
9.	Блехман И. И. Самосинхронизация вибраторов некоторых вибрационных машин. Инж
сборник, 1953, т. 16, с. 49 — 72.
10. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М., «Наука», 1971. 896 с.
11 Блехман И. И., Лавров Б. П. Об одном интегральном признаке устойчивости движения. —
«ПММ», 1960, т. 24, № 5, с. 938 — 941.
12.	Блехман И. И., Марченко Ю. И. Синхронизация квазилинейных осцилляторов, связан-
связанных посредством сложной колебательной системы. — «МТТ», 1973, № 6, с. 30 — 36.
13.	Боголюбов Н. Н. Теория возмущений в нелинейной механике [Сб. трудов Ин-та строитель-
строительной механики АН СССР], 1950, № 14, с. 9 — 34.
14.	Бутенин Н. В. Об одной задаче Кельвина, относящейся к теории часов. — «ЖЭТФ»,
1940, т. 10, вып. 11.
15.	Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний.
М., «Наука», 1976. 384 с.
16.	Быховский И. И. Вибрационное поддержание вращения двойного маятника. — В кн.:
Вибрационные машины производственного назначения, ч. I. M., MJXHTTI им. Ф. Э. Дзер-
Дзержинского, 1971, с, 51—53,
17.	Валеев К- Г., Ганиев Р. Ф. Исследование колебаний нелинейных систем. — «ПММ»,
1969, т. 33, вып. 3, с. 413 — 430.
18.	Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. М., Связьиздат, 1935.
19.	Голдрайх П. Объяснение частой встречаемости соизмеримых средних движений в Солнеч-
Солнечной системе. — В кн.: Приливы и резонансы в Солнечной системе. М., «Мир», 1975,
с. 217 — 247.
20.	Гуртовник А. С, Неймарк Ю. И. О синхронизации динамических систем. — «ПММ»,
1974, т. 38, № 5, с. 800 — 809.
21.	Гюйгенс X. Три мемуара по механике. Пер. с лат. М., Изд-во АН СССР, 1951. 379 с.
22.	Лурье А. И. Некоторые задачи самосинхронизации. [Труды V Междунар. конф. по не-
нелинейным колебаниям, т. 31. Киев, изд. Ин-та математики АН УССР, 1970. с. 440 — 455.
23.	Малахов А. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М., «Наука», 1968. 660 с.
24.	Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М. — Л., Гостехиздат, 1952. 432 с.
25.	Минорский Н. О синхронизации. [Труды Междунар симпозиума по нелинейным коле-
колебаниям, т. 11. Киев, Изд-во АН УССР, 1961, с. 351 — 366.
26.	Митулис А. А. Характер стационарного движения математического маятника с вибри-
вибрирующей точкой подвеса в зависимости от выбора начальных условий. [Труды по теории
и применению явления синхронизации в машинах и устройствах]. Вильнюс, «Минтис»,
1966, с. 131 — 135.
27.	Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М., «Наука», 1969 380 с.
28.	Нагаев Р. Ф. Общая задача о синхронизации в почти консервативной системе. — «ПММ»,
1965, т. 29, вып. 5, с. 801—809.
29.	Нагаев Р. Ф. О внутренней синхронизации почти одинаковых динамических объектов
под действием слабых линейных связей. — «ПММ», 1964, т. 28, вып. 2, с. 216 — 220.
30.	Нагаев Р. Ф. Синхронизация в системе существенно нелинейных объектов с одной сте-
степенью свободы. — «ПММ», 1965, т. 29, вып. 2, с. 203 — 217.
31.	Нагаев Р. Ф. Случай порождающего семейства квазипериодических решений в теории
малого параметра. — «ПММ», 1973, т. 37, № 6, с. 990 — 998.
32.	Нагаев Р. Ф., Ходжаев К. Ш. Синхронные движения в системе объектов с несущими свя-
связями. — «ПММ», 1967, т. 31, вып. 2, с. 631—642.
33.	Новые исследования нелинейных колебаний. — В кн.: Полное собр трудов акад.
Л. И. Мандельштама. Т. III. M., Изд-во АН СССР, 1950, 300 с. Авт.: Л И Мандельштам,
Н. Д. Папалекси, А. А. Андронов и др.
34.	Рагульскис К. С. Механизмы на вибрирующем основании (вопросы динамики и устой-
устойчивости). Каунас, Изд. Ин-та энергетики и электротехники АН ЛитССР, 1963. 232 с.
35.	Стретт Дж. (лорд Рэлей). Теория звука, т. II Пер. с англ. М., Гостехиздат, 1944. 476 с.
36.	Хентов А. А. Синхронизация спутников. — В кн.: Динамика систем (Межвузовский
сборник). Горький, 1974, вып 4, с. 51 — 102.
37.	Ходжаев К. Ш. Интегральный критерий устойчивости для систем с квазициклическими
координатами и энергетические соотношения при колебаниях проводников с токами. —
«ПММ», 1969, т. 33, вып. 1, с. 85—100.
38.	Шехтер О. Я. Об одном примере субгармонических колебаний. (Труды совещания по
применению вибраций при устройстве оснований сооружений и бурения в строительных
целях). Л., Изд. НТО строительной индустрии СССР, 1959. 10 с.

240	действие вибрации на нелинейные системы
39. Appleton Е. V. The automatic synchronization of triode oscillator. Proc. Cambridge Philos.
Soc. (Math, and Phys. Sei.), 1922, vol. 21.
40	Coughey T. K. Hula-hoop: on example of heteroparametric excitation. — Amer J Phys.,
1960, vol. 28, N 2.
41	Mayer A. On'the theory of coupled vibrations on two self — excited generators. — «Technical
physics of tfie USSR», 1935, vol. 11, N 6.
Глава IX
ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ
МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (МЕХАНИКА
МЕДЛЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ, ВИБРОПЕРЕМЕЩЕНИЕ,
ВИБРОРЕОЛОГИЯ)
1. О НЕКОТОРЫХ ЯВЛЕНИЯХ, СОПРОВОЖДАЮЩИХ ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ
НА НЕЛИНЕЙНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ,
И ОБЩЕМ ПОДХОДЕ К ИХ ИССЛЕДОВАНИЮ
При действии вибрации на нелинейные механические системы возникают своеоб-
своеобразные явления, которые не свойственны линейным системам. С одной стороны, такие
явления нужно учитывать, так как они приводят к нежелательным побочным эффек-
эффектам, а иногда и к катастрофическим последствиям. С другой стороны, эти явления
можно использовать для получения полезных эффектов в различных областях техники
и технологии.
К числу таких явлений относятся:
1)	эффект вибрационного перемещения (вибрационная транспортировка отдельных
тел и сыпучих материалов по вибрирующим поверхностям, самоотвинчивание гаек
при вибрации, разделение частиц материала по плотности, размерам и некоторым
другим параметрам под действием колебаний, вибрационное погружение свай и
шпунта, возникновение медленных течений в жидкостях, газах и сыпучих телах
под действием вибрации, вибрационное замедление или ускорение истечения жидкос-
жидкостей из вибрирующих сосудов, особенности полета и плавания живых существ) *;
2)	изменение под влиянием вибрации реологических свойств тел по отношению к
медленным воздействиям, (уменьшение эффективных коэффициентов сухого трения при
вибрации, кажущееся превращение сил сухого трения в силы вязкого трения, в част-
частности эффект псевдоожижения сыпучих сред, изменение «эффективной вязкости»
жидкости при ее турбулентном течении, изменение характеристик ползучести бетон-
бетонных смесей при вибрировании);
3)	резкое изменение поведения твердых или упругих тел и систем тел, в частности
механизмов, под действием вибрации (исчезновение прежних и появление новых поло-
положений равновесия и видов движений, смена характера положений равновесия, изме-
изменение частот малых свободных колебаний вблизи положений устойчивого равновесия).
Перечисленные эффекты обнаруживаются уже в поведении простейшей системы —
маятника с вибрирующей точкой подвеса: при определенных условиях верхнее неус-
неустойчивое при отсутствии вибрации положение равновесия такого маятника может
стать устойчивым, а нижнее устойчивое — неустойчивым; при других условиях виб-
вибрации могут вызвать стационарное вращение маятника. К более сложным эффектам
относится явление самосинхронизации неуравновешенных роторов вибровозбудите-
вибровозбудителей на едином вибрирующем основании, когда средние угловые скорости роторов
выравниваются, т. е. роторы оказываются как бы связанными «вибрационной связью».
Те же эффекты предопределяют своеобразие поведения колебательных систем с воз-
возбудителями ограниченной мощности (см. гл. VII).
* Термин «вибрационное перемещение», или «виброперемещение» употребляется здесь,
таким образом, в совершенно ином смысле, чем в группе терминов «виброперемещение», «виб-
«виброскорость», «виброускорение» (см., например, т. 1).

МЕТОЛ. ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ	241
Рассмотренные явления не исчерпывают всего многообразия нелинейных эффек-
эффектов, наблюдаемых при действии (или при автономном возникновении) вибрации в не-
нелинейных системах; например, они не охватывают многочисленных проявлений ре-
резонанса (см. гл. V). Однако эти эффекты несомненно имеют принципиальное и при-
прикладное значение.
Для всех перечисленных процессов и явлений характерно, что возникающее
в системе под действием вибрации движение х = X + ip представляет собой наложе-
наложение «быстрых» высокочастотных колебаний ty на «медленное» эволюционное движение
X. При этом основной интерес, как правило, представляет именно медленное движе-
движение.
Ниже изложен единый подход к объяснению и математическому описанию указан-
указанной группы явлений [4]. Этот подход основан на переходе от уравнений движения для
суммарной составляющей движения х, записываемых в соответствии с обычными
законами механики, непосредственно к уравнениям для медленной составляющей X.
Оказывается, чго эти (обычно более простые) уравнения для А' получаются добавле-
добавлением ко всем медленным силам, действующим на систему, некоторых дополнительных
медленных сил, вычисляемых по определенному правилу и называемых вибрацион-
вибрационными обобщенными силами. Иными словами, в данном случае справедливо поло-
положение, аналогичное известной теореме динамики относительного движения.
На основе указанного подхода все перечисленные выше своеобразные эффекты
можно объяснить действием вибрационных сил.
Заметим, что ниже, когда будем описывать изменение реологических свойств тел или
изменение закономерностей поведения систем под действием вибрации, то всегда будем иметь
в виду свойства и закономерности по отношению к медленным составляющим движения X
и медленным силовым воздействиям; «истинные» свойства тел и закономерности движений,
т. е. относящиеся к суммарному движению х, остаются прежними. Следует иметь в виду, что
практический интерес обычно представляют именно медленные процессы, характеризуемые
составляющей X.
2. ОСНОВНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ МЕХАНИКИ МЕДЛЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ
ПРИ ДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ.
МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ
Предполагаем, что уравнения движения системы можно представить в виде
mx = F(x, х, Ц-\-Ф(х, х, t, at),	A)
где х — обобщенная координата *; т — масса; t, (ot = т — соответственно «медлен-
«медленное» и «быстрое» время (со > 0 — «большой» параметр); F, Ф — соответственно
«медленная» и «быстрая» силы, имеющие по т период 2я. Относительно гладкости
функций F и Ф делаем обычные предположения, обеспечивающие существование
рассматриваемых решений.
Основная предпосылка для применения излагаемого подхода состоит в том, что
изучаемое «установившееся по быстрому времени т» движение системы имеет вид
x = X(t) + 1p(t, at),	B)
где X, ty — соответственно медленная и быетрая составляющие. Предполагаем, что
функция г|з есть 2п-периодическая по т = Ы, причем для определенности положим **
<-ф(*. т»=0,	C)
т. е. считаем равным нулю среднее значение быстрой составляющей по быстрому вре-
времени при «замороженном» медленном.
* Обобщение на случай системы с любым числом степеней свободы не представляет
затруднений.
2я
*• Через {...) = — \ .. dx здесь и ниже обозначен оператор усреднения по быстрому
О
времени т = at, которое может входить в осредненное выражение как явно, так и через
посредство функции ф.

242	действие вибрации на нелинейные системы
От исходного уравнения A) можно перейти (см. [4]) к следующей системе двух ин-
тегро-дифференциальных уравнений для функций X итр:
m'X = F(X, X, t) + (F1(X, X, if, if, ф + (ф(Х+у, X + i|), t, т)>; D)
m$=F1(X, X, 4, ф, *)-<MX> X, 4, i|), *)> +
+ O(*-fij>, X + if, Л T)-@(X+iX + if, Л т)>,	E)
где через
FiiX, X, if, i|), t)=.F(X+4, X + i|), t)-F(X, X, t)	F)
обозначена быстро изменяющаяся функция, обращающаяся в нуль при ф = 0,1J) = 0.
Система D) — E) эквивалентна исходному уравнению (I) независимо от темпа
изменения функций X и if, по крайней мере в том смысле, что если найдено какое-
нибудь решение этой системы X и i|), то выражение л: = X + i|) будет решением ураз-
нения A); это устанавливается сложением уравнений D), E) при учете F).
Если известно решениеty (X, X, t, т) уравнения E), то, подставив его в D), получим
mX = F(X, X, t) — W(X, X, t),	G)
где
W(X, X, 0 = -<Ф(Х + 1|>, Х + ф, t, т)>-<^(Х, X, ф, i|), /)>.	(8)
Уравнение G) есть уравнение для определения медленной составляющей X,
в котором наряду с обычной медленной силой F присутствует некоторая дополнитель-
дополнительная медленная сила W, называемая вибрационной силой Это уравнение и представ-
представляет собой основное уравнение механики медленных движений [аналогичное уравне-
уравнению механики относительного движения (термин предложен Г. Ю. Степановым)].
Вибрационная сила W является результатом усреднения по быстрому времени
«собственно быстрой силы» Ф и силы Flt которая выделяется из медленной силы F
на траектории движения системы. В соответствии с этим можно различать собственно
вибрационную силу Wls> — — (Ф) и индуцированную вибрационную силу Wli) =
= -</ч>.
Для получения точного решения система D) — E) не проще исходного уравнения
A). Однако при учете основного предположения о характере функций X и ij) указан-
указанную систему можно решать приближенно следующим образом. Вначале решаем урав-
уравнение E), причем величины X, X и t, изменение которых за период быстрого движения
2я/ш относительно мало, в процессе решения считаем постоянными («замороженны-
(«замороженными*). Предположим, что эго уравнение действительно допускает при постоянных X,
X и t из рассматриваемой области изменения этих величин быстро устанавливающееся
асимптотически устойчивое 2л-периодическое по т = Ш решение, удовлетворяющее
условию C). Обычно указанное предположение, которое может быть смягчено, выпол-
выполняется; заметим, что уравнение E) таково, что необходимое условие существования
указанного решения выполняется автоматически. Подставив найденное решение
k> (X, X, t, Ш) в правую часть уравнения D), придем к уравнению типа G) для мед-
медленной составляющей X, которое теперь будет приближенным.
Описанный прием применялся в работах Н. Н. Боголюбова [11], П. Л. Капицы [19] и
В. Н. Челомея [34].
Поскольку функция "ф входит в выражение для W под знаком интеграла, то можно огра-
ограничиться ее приближенным определением из уравнения E), например в виде суммы неболь-
небольшого числа гармоник или небольшого числа членов ряда по степеням малого параметра.
Поэтому изложенный подход естественно сочетается с асимптотическими методами и методами
Пуанкаре —Ляпунова (см. п. 3 гл. II). Часто можно считать, что -ф мало по сравнению с X
(X мало по сравнению с т|> вследствие исходного предположения). Наконец, во многих слу-
случаях допустимо учитывать лишь линейные члены в разложении функции Ft по степеням i|i
и ф, положив согласно F)
(S)*(S)

СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВИБРАЦИОННЫХ СИЛ	243
где производные вычисляются при ф = 0 и ф = 0. Тогда согласно C) имеется лишь собст-
собственно вибрационная сила W = W(s> = — (Ф), а индуцированная вибрационная сила отсут~
огвует. Таким образом, индуцированная составляющая имеется лишь в случае нелинейности
медленной силы F по х и х. С другой стороны, при отсутствии в исходном уравнении (I) быстрой
силы ф вибрационная сила может быть отличной от нуля за счет своей индуцированной
составляющей, что характерно для случая автоколебании в системах с медленными силами.
В связи с этим заметим, что быстрые движения в нелинейной системе могут возникнуть и при
отсутствии быстрых сил Ф. Специфика этого «автономного по быстрому времени» (или, при
отсутствии зависимости F от t, автономного также и в обычном смысле) случая состоит в том,
что период быстрого движения Г = 2п/<о заранее неизвестен и должен быть найден в процессе
решения задачи. В данном случае имеется лишь индуцированная составляющая вибрационной
силы УуAК причем уравнение E) непременно допускает тривиальное решение ф ^ 0, которому
соответствует нулевое значение W^K Таким образом, для автономной (по крайней мере по
быстрому времени at) системы интерес представляют именно те случаи, когда уравнение E)
допускает нетривиальные асимптотически устойчивые решения автоколебательного типа.
Разделение сил на быстрые и медленные несколько условно в том смысле, что ошибки
не произойдет, если некоторые или все медленные силы отнести к быстрым. Именно так и сле-
следует поступать в сомнительных случаях.
Заметим также, что, составив уравнение G), следует произвести проверку справедли-
справедливости исходного допущения о разделимости движений, ибо движения, описываемые этим
уравнением, могут оказаться быстрыми, несмотря на то, что движения, описываемые тем же
уравнением при W = 0, были медленными.
В случае многомерных систем, в которых движения по ряду обобщенных координа!
являются быстрыми, размерность системы G) для медленных составляющих X оказывается
ниже, чем размерность исходной системы A).
В изложенной выше общей форме данный подход к решению задач теории нелинейных
колебаний был предложен И. И. Блехманом [4]: этот подход является обобщением и развитие.'*
приема, использованного П. Л. Капицей в статье [19], где введено также понятие вибрацион-
вибрационного момента. В дальнейшем прием П. Л. Капицы был использован С. С. Духиным при реше-
решении задачи о дрейфе частицы в стоячей звуковой волне [15] и успешно применен К. М. Рагуль-
скисом для изучения динамики механизмов на вибрирующем основании [32]. Понятие о вибра-
вибрационных силах использовалось в работах [3, 5, 6, 12, 20] для интерпретации результатов
поведения различных систем под действием вибрации. Отдельные элементы изложенного под-
подхода встречались в работах, предшествовавших появлению статьи П. Л. Капицы [19]: в
исследованиях по нелинейной акустике, радиоэлектронике, и также в предложенном позднее
методе исследования нелинейных управляемых систем — методе гармонической линеариза-
линеаризации [22, 23, 31].
3. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВИБРАЦИОННЫХ СИЛ
Можно указать три способа нахождения выражений для вибрационных сил
W (X, X, t), необходимых при составлении уравнений медленного движения G).
1.	С помощью выделения составляющих X и г|з из известного точного или прибли-
приближенного аналитического решения исходной системы уравнений A) и вычисления ин-
интеграла (8). Найденные выражения для W в этом наиболее простом случае могут быть
полезны, во-первых, для использования при приближенном решении более сложных
задач, чем исходная, и, во-вторых, для лучшей интерпретации полученных результа-
результатов. Можно также решать систему уравнений D)—E) или непосредственно
исходную систему A) на ЭВМ, затем вычислять интеграл (8) и аппроксимировать
с учетом теории подобия и размерностей соответствующую функцию W (X, X, t)
подходящим аналитическим выражением (последнюю операцию часто удобно выпол-
выполнять также с применением ЭВМ).
2.	С помощью использования изложенного в п. 2 метода прямого разделения
движений.
3.	Подбором подходящего аналитического выражения с использованием экспе-
экспериментальных и теоретических данных. Подобный подход применяют в сложных
случаях, когда решение (а иногда даже и составление *) уравнений E) или A) за-
затруднительно. Примером такого подхода являются так называемые полуэмпирические
теории турбулентности [26] (см. также п. 6); он используется и при изучении действия
вибрации на тела типа бетонных смесей [2, 27].
* Такие случаи не исключаются, так как «макроуравнение» G), описывающее лишь мед-
медленные движения, требует для своего составления гораздо меньшего объема информации,
чем «микроуравнение» A) или соответствующая ему система D) — E), описывающая любые
(в пределах справедливости исходных гипотез) движения.

244	ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ ИЛ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
4. ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА МЕХАНИЗМЫ (МАЯТНИКИ И РОТОРЫ).
ВИБРАЦИОННАЯ СВЯЗЬ
В этом пункте рассмотрен ряд задач о действии вибрации на механизмы, содер-
содержащие маятники и вращающиеся роторы. Основная особенность изучаемых систем
состоит в гом, что вибрации основания, на котором установлены механизмы, являются
как бы каналом передачи мощности (вращающегося момента); «пропускная способ-
способность» этого канала при прочих равных условиях растет с увеличением частоты и
амплитуды вибрации. Наличие указанной вибрационной связи приводит к ряду
гвоеобразных нелинейных эффектов (см. ниже), которые могут быть истолкованы
как результат появления вибрационных моментов в соответствующих уравнениях
медленного движения. Наиболее отчетливо вибрационные связи (взаимодействия)
проявляются в задаче о самосинхронизации механических вибровозбудителей (см.
ниже), где они приводят к взаимной согласованности средних угловых скоростей
роторов.
Заметим, что эффекты вибрационной связи наблюдаются не только в механизмах.
Примером подобного явления в гидромеханике является обнаруженное и объяснен-
объясненное отцом и сыном Бьёркнесами взаимное притяжение или отталкивание двух пуль-
пульсирующих шаров, находящихся в жидкости [24].
Колебания маятника с вертикально вибрирующей осью. Задача о колебаниях
физического маятника, ось которого совершает вертикальные колебания с частотой
со и амплитудой А, может быть хорошим примером использования изложенного выше
подхода [4, 19, 32]; иным путем эта задача рассмотрена Н. Н. Боголюбовым [11], а за-
затем и другими авторами (см. также п. 4 гл. II, стр. 87—88).
Схема и уравнение движения маятника представлены в п. 1 таблицы, где т, / и / —
соответственно масса, момент инерции и расстояние от оси до центра тяжести маят-
маятника; k — коэффициент вязкого трения; g — ускорение свободного падения; ср —
угол поворота, отсчитываемый от вертикального направления. К медленным в данном
случае можно-отнести момент силы вязкого сопротивления Ц> и момент силы тяжести
tngl sin ф, к быстрым — момент силы инерции ml An? sin Ы. Предполагая, что закон
движения маятника имеет вид
где а — основная медленная, а хр — малая быстрая 2я-периодическая по (at состав-
составляющие, выпишем систему уравнений D) — E) для рассматриваемой задачи
la + ka -f- tngl sin a = — W (a);
[W (a) = — mlAvfl (sin at sin (a + ty)) + mgl (sin (a-ft) —sin a)];	A1)
1$ + Щ = — mgl [sin (a+ty) — (sin (a -г-"ф)>] +
-f-mMco2 [sin at sin (a + ij?) — (sin ait sm (a
Переходя к определению периодического решения второго уравнения A1), лине-
линеаризируем предварительно его правую часть по \р и после упрощений с учетом ра-
равенства C) приведем к безразмерной форме
-г- + №$ cos а = (.1 [sin т (sina-f-i|) cos a) —cos a (if sin т)] A2)
Согласно основному предположению скорость изменения функции ty значительно
превышает скорость изменения а. Последнее приводит в соответствии с первым урав-
уравнением A1) к требованию, чтобы частота со была в достаточной степени больше час-
частоты свободных колебаний маятника р = (mglll)xli, т. е. к требованию малости
величины Я2 = р2/ш2 по сравнению с единицей *. Считая величины [г и а малыми,
* В действительности в указанном условии должна быть не частота р, а частота свобод-
свободных колебаний маятника с учетом вибрационного момента W. Последнее, однако, приводит
к требованию fx2 +-х-д2) < 1, которое при сделанных предположениях также выполняется
(см ниже).

МАЯТНИКИ И РОТОРЫ. ВИБРАЦИОННАЯ СВЯЗЬ
245
я
га к
«ч
X Я
ЗКо
я медленн.
выражены
ационных i
моментов
о.»
>>
К
а*
h К
:сма
жен
м
актер
емых
О, (Я
я и
X
я
я
я дви
:темы
а "
w g
<а
Р.
>>
исание
Л) О
о я
1°
ге
Р.
X
к
ге
а
о
D
Я 3
зз г
X И
§1
««
о. а
о и
п а
о
в
II
1!
a
С!
55
ад
-ь
'8
:8
1
л
и
W
я
маятн
=х
я
CJ
ИЗИЧ'
О
)
*[
с
с/
?
S
i
§
3
8
||
8-
II
э-
с:
*<л
зд
?¦
+
"л
+
IS-
ш io
та и- f-
соверш
-армони
а с час
о cj a
^ 2 ^
|3|
6-1 i
л р. к
U 0J ^
ода
\
р-
s
о
[ угл
3
с
са
ая
о ^
а я
и х
я
К Е-
р.а
С д
ия)
as
re
о
(коле
с
м
Sin <х>.
3
Е
|]
о S-*
Э
СМ
с
1
1
[
1
1
i
3bj)
1
S
A
!8
i
I
о;
1
енный
1
я
[еура
Ж
ё
*
о <
S ~
II
fp
Я ^^
Оу С
о re ^
-^
о
-1 -
от
»
+
+ 1
UJ
+ 3 +1 gg
¦ч-* •¦ )} Р.
3 Ь II о
е-
II
О
О
S
1
i* х
logo
'Й ^
н °
S и л
о о о
;
+ +
s f ^
% % т
"Э ^ к-|
S 8 +
1 to
II +
1 §
я 5 и
S,|™ з
Л ЯЗ QJ
о ш Ч *<
<и с д
о §*а
иск
на-
ении
и
ге
с
и
о
я
р.
с
II
#
3
О
О
Э
3;
^s
У
7
гака
as"s
О з * Я
t- S3 G 0J
Ом Kf
р.|х«
и- и а
[ вращени:
лением д
•раектории
гри несо:
к д с w
К га
ч та с-
re s '
Р. О Ц
с и о II
ю «в
~* ^ СО
с -
оо .Ф_
1 (см.
гл.
так
)
авлений
этих напр

246
действие вибрации на нелинейные системы
t
я
ffl
tf
X
3
X
медлен
ее
внен*
ГС
К
Я
ч
Ж
о
л ражен
энных
•а
ffl
к
сг
:ний,
ибра
а*
я
а
рассмат
и
S
движен*
ft
X
к
S
м
авнения де
а
я
U
р
0
К
СО
в*
к
нам]
вае!
7!
систем!
сие
-я
темь
sS
о
с
о
с
хема
О
§
1
S
§ X
1 .
^ 3
3 v
1 1
I "
•j 'з
II ^
•3
3*
3
Ii
я о
я а
я
iu w
ч 2
§i
о
и
у
S
о
R
о
^ T s
u
1
¦
ейся
a
изменяю:
ii «
+
i
и
ft
о
DO
II
Si
о я
3 4
0) О
/
af
u ?
V
СО*
4
	^
ленр
> ^
1тель
¦б vc
С
S!
3
тип
||
3
о н
я и
&
+
:з
X
та v
о ^
1
/с
у
я
S
а
о.
1СТО-
3*
I
S
CJ
1
упр;
. п. 4 гл
{ *
i
II
о
3
+
+
!3
3
g
v^
)
Г
\
h
1
^3
1
II
•3
>
СО
<
3^
&
Of
1
II
«
С
-чай ^
1*>
а
астный с.
У
/
(
\
[
X
01
о
н
ад
_i_
; (и sin ф Н
S
Bs
О СГ
и
|§
с
о С
с
1. 3
II
3
*
^ II
Г й
'е-
II S
¦« в
!
я i'
s У
щ О
Ii
= 5 а
О О s
О Й о
А
ft
j :
If
к 1
ь
' 1
1
3
О
II
+
+
в4
+
"i
О
II
&
id
3
I I'
Ж ~"
5*
i
3
+ "«"
II
:&
to
«a"
f J^
\ ^
\^
I
3
3
II
to
+
w
1
К О
Я
о -
с
<и ее
U х
К к
и си
Ч
О О
а
я
Л
X о.
о
кое
+ 1
^ t
и
горов
+1 <=¦
II X
>-," о
О щ
°" а)
А Щ
3 g
(вр;
II
*-з
II +
О I п
(д К щ
та ^ о
&2.?-
и не
рото
и ви
S В
lie
g л s-
щ S 5
II
VI
D j
J 3
3
1з
ft
о
go
С ГО
о
ителями
ГЛ. II 7
V
\ *
J$
\
д
б5*
^—^
s
f
- о
^&
11
зменяюш
° я
к -о
si
О
^ll
II
м
1
»/
7
/
1
|
г,
Я
0
X
X
3
1
и
N
ч
1
тел
к
солебани
сгемы)
D.2
Я с"

МАЯТНИКИ И РОТОРЫ. ВИБРАЦИОННАЯ СВЯЗЬ
247
5
Ста
га аз
X
он
, О "
II
S .a
13
2 5	~ ~ -
к?	3 3 3
g-g	3 8 8
о	а -о и
§я	М I
si»	imi ii
н о. о
аз?
с» и
га к
ь
, OJ о И О -О Я
я a
? s
SSjH—
N U^Lj
о?
::	И

248
ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
я к
«ч
Я к
CQ С 3
ii
p та
II
I ^
I
3
о
ioS:
I Is в.?
; к а. с ai
CO
tf
я
t-
час
к
5
к
си
к
к
s
f-
o
p
с
8
ИЯ,
?
a
CQ
к о
су t.
H
2
о
a-
rt К со
с
° ¦—' cU
^ ж н
й\о ca
S3
S S

МАЯТНИКИ И РОТОРЫ. ВИБРАЦИОННАЯ СВЯЗЬ
249
« «
и §g
3 к и
я я .. а
[ения медлен
ий, выражен
ибрационных
и моменто
SgB
я в
О."
Характер рассматри-
рассматриваемых движений
к
я
Щ
ИЗ
1
са
Я
а
исание
о *
8.
«
X
к а
S S
Я О*
§5
u
• S
0,0)
О X
С U
О
а
1 1
ft. -)- " •'Э о
"^ ^ о" ~ ™- ^ N
11 '^ ^ ^ ^
¦¦х ^ и ).
S ^ II
х = х @ 4- * (г. шО
(медленное движение, со-
сопровождающееся быстры-
быстрыми колебаниями)
—-
1 ft.
S 1
II -
s s
1
1
ма, что и
в п. 7, но
от коор-
п. 5 гл.
С я я 3
е си
влен]
зави
х (
о н
ffl Чй Л ^
с о ее—*
+J-1
г—
Г
S
1'
4JJ' ^.
; М
1 ;'
s ^ Г"
•ч 1 Е
^ 1
^ 1
ii a ^
> ? о >§
1 1II ;|
о.
Р = Р + Р~,
где U -и Р — медленные,
i а ы' и р' — быстрые
(пульсационные) соста-
составляющие соответственно
скорости и давления
(турбулентное течение
жидкости)
вяз-
жид-
твии
аз 5 "^
a +°siS«
a taggj
4- f >s В &|
a
«II 3%°
о ra« Si
ill
шеть (см.
также [4,
Is
a 5
11.

250	ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ HA НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
положим а = ixflj, к2 = fxXf и будем разыскивать периодическое решение уравнения
A2) в виде ряда по степеням |х. Ограничиваясь членами, содержащими ц в степени не
выше первой, при учете условия C) нандем
ij? =— fi sm a sin mi — — (mlAjI) sin a sin wt.
Теперь по первой формуле A1) после линеаризации по i|) получаем выражение для
вибрационного момента
W (а) = — mAl(o2 cos a (ty sin т) = (jUi^t sjn 2a.	A3)
Тогда уравнение медленного движения принимает вид
loi + ka + mgl sin а + ^~^- sin 2а =0.	A4)
Из A4) следует, что нижнее положение равновесия маятника (а = а0 = 0) при сде-
сделанных предположениях всегда устойчиво, а верхнее положение равновесия (а =
= ах= я), неустойчивое при отсутствии вибрации, становится устойчивым при на-
наличии вибрации, если справедливо неравенство
mAHbfifigl > 1.
При выполнении последнего условия у маятника появляются еще два положения
равновесия
a2i з = _? arccos (—21g/mA-lufi)y
которых не было при отсутствии вибрации, однако эти положения равновесия неус-
неустойчивы.
Из уравнения A4) следует также, что при наличии вибрации частота свободных
колебаний маятника вблизи нижнего положения равновесия
11/2
J
больше частоты р = (mgl/I)ll> при отсутствии вибрации. Иными словами, маятнико-
маятниковые часы на вибрирующем основании будут спешить,
В. Н. Челомей обратил внимание на то обстоятельство, что, подобно случаю с ма-
маятником, вибрации могут повысить устойчивость по отношению к постоянным или
медленно изменяющимся силам (так называемую статическую устойчивость) многих
упругих систем с параметрическим возбуждением [34]. Было установлено, что стати-
статическая устойчивость может быть достигнута даже тогда, когда статические нагрузки,
действующие на вибрирующую систему, превосходят критические эйлеровы силы.
Эти исследования были продолжены С. В. Челомеем [35].
Неуравновешенный ротор на вибрирующем основании. Задача о захватывании
вращения неуравновешенного ротора, приводимого от двигателя асинхронного типа,
с помощью методов Пуанкаре — Ляпунова была рассмотрена для частного случая
в п. 3 гл. II, а для более общего — в п. 5 гл. VIII; краткие библиографические сведе-
сведения приведены в п. 8 гл. VIII. Схема системы и уравнение движения даны в п. 2 таб-
таблицы. При решении задачи методом прямого разделения движений к медленным сле-
следует отнести движущий момент L (ф), момент сил сопротивления R (ф) и момент
силы тяжести ing е cos <р, а к быстрым момент сил инерции ягесо2 [Я sin со/ sin q> +
-f G cos (@t-{- 0) cos q>]. Выражение для вибрационного момента, совпадающее с по-
полученным в п. 5 гл. VIII методом Пуанкаре, может быть найдено с помощью вычисле-
вычислений, подобных проведенным выше для маятника; в данном случае эти вычисления
даже проще вследствие того, что в исходном приближении можно принять г|з (at) == 0.
Соответствующее выражение для W и уравнение медленного движения приведены
в п. 2 таблицы. Все результаты анализа, подробно изложенные в п. 5 гл. VIII, полу-
получаются из приведенного уравнения, однако оно позволяет изучать также и медленные
процессы установления режимов захватывания и вибрационного поддержания вра-
вращения неуравновешенного ротора,

МАЯТНИКИ И РОТОРЫ ВИБРАЦИОННАЯ СВЯЗЬ	251
Взаимодействие колебательных систем с источником возбуждения ограниченной
мощности. Систематическое рассмотрение данной проблемы на основе использова-
использования асимптотических методов, а также соответствующие библиографические сведения
приведены в гл. VII. При изучении вопроса с помощью изложенного выше подхода
будем исходить из схемы системы и уравнений движения, представленных в п. 3
таблицы. Первое из уравнений является уравнением движения ротора; обозначения
параметров, характеризующих ротор и действующие на него моменты, то же, что
в п. 2 таблицы. Через М (ф, н) обозначен момент сил, действующих на ротор вслед-
вследствие колебаний тела, на котором он установлен*. Второе уравнение описывает дви-
движение колебательной части системы, предполагаемой линейной (и есть вектор ее
обобщенных координат). Колебательная часть системы может, в частности, состоять
из некоторого числа твердых тел В1( ..., Вп, связанных одно с другим, а также с не-
неподвижным основанием системой линейных упругих и демпфирующих элементов.
Через М, С и К обозначены матрицы соответственно инерционных, квазиупругих
коэффициентов и коэффициентов демпфирования, а через F (ер) — вектор обоб-
обобщенных возмущающих сил, действующих на колебательную систему при вращении
ротора-возбудигеля.
Предполагаем движение системы представимым в виде
ф = ш@ + 1|>(/, at); u = u(t, at),
где ш (t) — медленно изменяющаяся угловая скорость ротора; г|5, и — быстро изме-
изменяющиеся функции, 2я-периодическне по быстрому времени т = at. К медленным
относятся моменты L и R; все прочие силы и моменты можно отнести к быстрым.
Уравнение медленного движения в данном случае первого порядка, хотя исходная
система имеет порядок 2 (k -{- 1), где k — число степеней свободы колебательной
части системы. Таким образом, метод прямою разделения движений позволил сни-
снизить размерность на 2k -f- 1 единиц; последнее объясняется тем, что колебательные
координаты системы не содержат медленных составляющих.
Вибрационный момент W равен среднему за период 2я/со значению момента М,
вычисленному в предположении, что вращение ротора происходит с постоянной угло-
угловой скоростью, а колебательная часть системы соьершает установившиеся колебания
под действием возмущающих сил, развиваемых ротором.
Наличием вибрационного момента W (со) в уравнении для со (t) и объясняются
своеобразные нелинейные эффекты, характерные для рассматриваемой системы (см.
гл. VII). Отметим, что момент W (со) обычно резко возрастает при значениях со, лежа-
лежащих вблизи частот свободных колебаний системы. Эго следует, например, из конкрет-
конкретной фор мул п для W (со), соответствующей случаю, когда колебательная часть системы
имеет всего одну степень свободы (см. п. 4 таблицы).
Самосинхронизация механических вибровозбудителей. Задача о самосинхрони-
самосинхронизации механических вибровозбудителей (вибраторов), представляющих собой неурав-
неуравновешенные роторы, приводимые от двигателей асинхронного типа, подробно рас-
рассматривается в т. 4. Эту задачу также можно эффективно решить с помощью изло-
изложенного подхода, что впервые предложил К. М. Рагульскис [32], который, однако,
не использовал понятие о вибрационных моментах; ниже приведены результаты
в виде, полученном в работе [4].
Схема системы и общая форма уравнений движения представлены в п. 5 таблицы;
отличие от системы, показанной в п. 3, состоит в том, что число k неуравновешенных
роторов произвольно; таким образом, задачу п. 3 можно рассматривать как вырож-
вырожденный частный случай задачи о самосинхронизации, соответствующий k= 1. Обо-
Обозначения в уравнениях движения те же, что в п. 3.
Рассмотрим движения вида (случай простой синхронизации, когда средние угло-
угловые скорости роторов одинаковы)
t, at)] (s=l	k);
u = u(t, со/),
* Отметим некоторое различие в обозначениях, принятых в настоящей главе и в гл. VII,

252	ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
где as = ±1;ос5 — медленная, ai^s и и —быстрые 2я-периодические по at составляю-
составляющие. Величину синхронной скорости со, заранее неизвестной, можно в данном слу-
случае считать постоянной, полагая, что медленные изменения угловых скоростей ф^
учитываются производными as. Будем считать, что as <; со. Разделение сил на быст-
быстрые и медленные аналогично разделению в задаче п. 3 таблицы.
Уравнения D), E) запишем в с}орме
Isasas = Ls [as (со + а*)] — Rs [as
+ (Ls [cs (<a + а* + 4>s)] — Ls [as (со + as)]) —
-(Rs [as (co + cis + 4)]- Rs [<ss (ш + аД|>-
^), «]> (s = l, ...,*);	A5)
= ¦¦ (s=l. ••¦ . k);
k
^ Fs[as(wi-\-ai + ^s)].	A6)
Имеются основания (на изложении которых здесь не останавливаемся), чтобы при
решении уравнений A), описывающих медленные движения, в первом приближении
принять \ps = i|)s = 0. Тогда, учитывая, что as < со, и линеаризуя выражения для
моментов Ls и Rs согласно формулам F7) п. 5 гл. VIII, придем к выражениям для виб-
вибрационных моментов Ws и к уравнениям медленного движения, представленным в п. 5
таблицы. Заметим, что выражения для \VS получаются в результате усреднения момен-
моментов Ms в уравнениях движения роторов, вычисленных в предположении, что роторы
вращаются равномерно по закону cps = Ф° = о5 (со/ + ccs), где as = const, а тела
В1( ..., Вп совершают установившиеся колебания под действием вынуждающих сил,
развиваемых роторами.
Размерность системы уравнений медленных движений в данном случае на 2п
единиц меньше размерности исходной системы (п — число степеней свободы колеба-
колебательной части системы).
Найденные выражения для вибрационных моментов Ws в точности совпадают
с полученными более сложным путем с помощью метода Пуанкаре (см. т. 4). Следова-
Следовательно, совпадут и все другие результаты. Вместе с тем полученные уравнения
медленных движений описывают также движения в окрестности установившихся син-
синхронных режимов ах = const. Заметим, что наличие моментов Ws в указанных урав-
уравнениях позволяет просто объяснить закономерности самосинхронизации неуравно-
неуравновешенных роторов (см. гл. VIII и т. 4). Поскольку каждый из моментов Ws зависит
от всех переменных aL, ...,as, то посредсшомэтихмоменгови устанавливается вибра-
вибрационная связь между возбудителями, приводящая к их самосинхронизации.
Увод оси гироскопа под действием вибрации. Как показано А. Ю. Ишлинским,
вибрация основания гироскопа может при наличии упругой податливости элементов
подвеса и некоторых других неидеальностей привести к весьма нежелательному от-
отклонению его оси от фиксируемого направления [17]. Воспроизведем выкладки
А. Ю. Ишлинского как пример возможности весьма простого подхода к вычислению
вибрационного момента. Пусть хуг — прямоугольная система координат, связанная
с внешним кольцом / подвеса гироскопа (см. рис. а в п. 6 таблицы), причем ось г
направлена по оси кольца, ось х — по оси поворота кожуха 2; вибрация основания
такова, что при абсолютной жесткости подвеса его геометрический центр совершает
прямолинейные гармонические колебания с частотой со. Тогда возникает сила инерции
в переносном движении, проекции которой на оси координат Рх = тсш% cos со?,
Ру = mbis? cos (at, Pz = тсы2 cos co^, где т — масса ротора гироскопа; а, Ь и с —
амплитуды составляющих вибрации по осям координат. Вследствие упругой податли-
податливости конструкции сила Pz вызывает колебания центра тяжести ротора вдоль гео-
геометрической оси кожуха у по закону
Ц^ра^цг bcosat (p=/cym),	A7)

СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ. ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ	253
представляющему собой решение дифференциального уравнения
тх\ + сох\ = тбсо2 cos a>t,
Где с0 —жесткость (силы сопротивления колебаниям не учитываются). При переме-
перемещении центра тяжести ротора по закону A7) возникает момент от составляющей силы
инерции Рг (см. рис. б в п. 6 таблицы), ось которого направлена по оси х,
ОL
Мх = цРг = тЬс р2_(|K cos2 at.
Среднее за период 2л/со значение этого момента
Поэтому, как известно из теории гироскопов, возникнет прецессия гироскопа вокруг
вертикальной оси со средней угловой скоростью
_ Wx _ mbc со*
®г~ Н ~ 2Н р2 — со2'
где Н — собственный кинетический момент гироскопа. Из последней формулы сле-
следует, что при р > со направление прецессии противоположно тому, которое имеет
место при р < со; этот результат соответствует экспериментальным данным.
А. Ю. Ишлинским и его последователями изучен также ряд других эффектов,
связанных с действием вибрации на гироскопические устройства [18], в том числе
эффекты, которые могут быть отнесены к явлениям вибрационного перемещения
(см. п, 5).
5. ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ.
ВИБРАЦИОННОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
В этом пункте рассмотрены основные явления и закономерности, наблюдаемые
при действии вибрации на нелинейные диссипативные системы. К числу таких явле-
явлений относится вибрационное перемещение, под которым понимается возникновение
«направленного в среднем» изменения (в частности, движения) за счет «ненаправлен-
«ненаправленных в среднем» (колебательных) воздействий * [8]. В системах с сухим трением без
позиционных сил, имеющих континуум положений равновесия, вибрационное пере-
перемещение обычно проявляется в возникновении движения с постоянной или медленно
изменяющейся средней скоростью V (t). В системах с позиционными силами незави-
независимо от характера диссипативных сил вибрационное перемещение часто сводится
к так называемому уводу — смещению положений равновесия. При этом для систем
с сухим трением характерно исчезновение континуума и появление одного или не-
нескольких дискретных положений квазиравновесия; последнее связано с другим важ-
важным явлением — с кажущимся превращением сухого трения в вязкое.
Система с вязким или сухим трением без позиционной силы (простейшая модель
процесса виброперемещения). Некоторые важные закономерности действия вибрации
на диссипативные механические системы можно выяснить при рассмотрении систе-
системы с одной степенью свободы, описываемой дифференциальным уравнением, которое
приведено в п. 7 таблицы. В этом уравнении величины т и т1 имеют смысл масс,
I = ? (at) — заданная 2я-периодическая функция at; Т — некоторая постоянная
сила; F (х)—сила сопротивления, зависящая от скорости. Указанное уравнение
описывает, например, относительное движение тела массы m по плоскости, совершаю-
совершающей периодические колебания по закону | = | (со/) при действии постоянной силы Т
и силы сопротивления F (х); в этом случае гп1 — т. То же уравнение при mlt вообще
говоря, отличном от т, описывает движение тела, находящегося на неподвижной
плоскости, но подверженного действию заданной периодической силы т? (Ш) и
сил Т и F (х). К изучению этого уравнения сводятся и многие другие «одномерные?
* См. сноску на стр. 240.

254	ДГИСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
задачи теории вибрационного перемещения — задачи о вибрационном разделении
сыпучих смесей [8, 10], о вибропогружении свай [2, 8], о движении вибрационных
экипажей [8], о движении частиц в колеблющейся жидкости [12, 37].
Полагая скорость движения тела представимой в виде зс = V (t) + г]> (/, (о/),
где V — медленная, а ф — быстрая 2я-периодическая по att составляющие, относя
силу Т к медленным, а силу инерции т? и силу трения F (х) к быстрым силам и учи-
учитывая, что (|> = 0, придем к следующим уравнениям типа D), E):
(V)=*(F(V+¦$)};	A8)
A9)
Таким образом, в данном случае вибрационная сила равна среднему за период
2я/со значению силы трения.
Рассмотрим сначала случай вязкого трения, когда F (х) = k I х \п~1х,
где k > 0, п 3* 1- Предположим, что сила | F I мала по сравнению с силами инерции
I /ггф I и I тх| |, и пренебрежем ею при решении уравнения A9). Тогда в первом при-
приближении периодическим решением уравнения A9), удовлетворяющим условию C),
будет -ф = —q%, где q = mjm. В случае необходимости это решение можно уточнить,
используя метод малого параметра (см. п. 3 гл. II).
Выражение для вибрационной силы [см. A8)] можно представить в форме
W(V) = (F(V- <$> = W @) + Г! (V);
W @) = (F (- 4)> = - V <| 11" !>;	B0)
И7! (V) = (F (V - ?|)> - (F (- 4)>.
где Wx@) = 0. Тогда первое уравнение A8) примет вид
mV = T — W@)—Wi(V).	B1)
При линейном трении, когда п — 1 и F (х) = kx, имеем W @) = 0, Wl (V) — kV,
т. е., как и следовало ожидать, медленное движение не зависит от характера вибрации.
При п = 3 (кубическое сопротивление) W @) =— kq3 Ф), W1 (V) = k (V3 +
+ 3q*V (|2)),т.е. вибрация приводит к появлению постоянной силы W @) и дополни-
дополнительного линейного сопротивления 3q2k (|;JV. При бигармоническом возмущении
I = A sin Ш + В sin BШ + б) имеем ф) = -^- со2 (Л2 + В2), <?3> = ~А2В(оя cos6,
и поэтому W @) = — у kq3A2Bas cos б, Гх (V0 = * [У3 + -| V<72 (Аг+ В2) со2].
Рассмотрим случай сухого трения [4, 81. Положим
JF	пРи,>0;
I — F_ при л: < 0;
F+SsF^S?—F_ при i = 0,
т. е. допустим, что сопротивления движению в положительном и отрицательном
направлениях, вообще говоря, неодинаковы (рис. 1, а).
В данном случае нетрудно получить точное решение как исходного дифферен-
дифференциального уравнения, так и уравнения A9), причем выражение для W может быть
представлено в форме
W(V) = F+F+ - 6_Р_)/2я,	B3)
где через В + и 8.обозначены суммарные продолжительности промежутков безразмер
ною времени х = а>1 в каждом периоде, в течение которых соответственно x—V-\-
+ 1}!>0 и х — У+г|)<0 (см. рис. 2, на котором для упрощения представлен
случай, когда имеется всего по одному такому промежутку; предполагается также,

системы с тррнием вибрационное перемещение
255
что остановки тела конечной продолжительности отсутствуют, так что 6 + + 8_ = 2л).
Поскольку ф —снраниченная периодическая функция u>t, принимающая как поло-
положительные, так и отрицательные значения, то существуют такие значения V = V* > О
и V -= V* < 0, чго W (V) = F+при V > V% и Г (V) = — Г. при V < — V*. Если
сопротивления движению в положительном и отрицательном направлениях неоди-
неодинаковы (см. рис. 1), то величина б + возрастает, а величина 6_ убывает при увеличении
V (при более сложной зависимости г|- от (at это может быть и не так). Поэтому в ука-
указанном случае согласно B3) W (V) есть неубывающая функция V вида
при V Э= V%\
XV) при — Vi<V-
-F_	при V s^ — Vt,
B4)
где W1 (V) — возрастающая функция V, причем, как и выше, W1 @) = 0. Примерный
график функции W (V) изображен на рис. 1, б; в общем случае он не проходит через
начало координат, т. е. W @) Ф 0.
Fd)
F,
W(V)
-V*
-F.
yVi
-F.
а)	6)
Рис. 1
Рис. 2
Анализ соотношений A8), B0) — B4) показывает, что одним из главных результа-
результатов действия вибрации на рассматриваемую систему является появление медленной
составляющей скорости V (t), т. е. возникновение эффекта вибрационного переме-
перемещения, необходимое условие этого эффекта — наличие ненулевого корня V = Vo
у уравнения
T — W @) — W1(V) = 0,	B5)
получающегося из A8) или B1) при V = 0.
Рассмотрим это условие подробнее. При вязком трении представляет интерес
случай, когда постоянная сила отсутствует (Т = 0). Тогда из B5) вследствие равенства
tt7! @) = 0 вытекает, что условием возникновения вибрационного перемещения яв-
является отличие ог нуля составляющей вибрационной силы W @). Для этого, в свою
очередь, согласно B0) необходимо, чтобы закон изменения вибрационного воздей-
воздействия /пх| (at) был «несимметричен», т. е. чтобы не выполнялось соотношение
Простейший пример несимметричного в указанном условном смысле закона воздей-
воздействия приведен на рис. 3, а, а симметричного — на рис. 3, б. Симметричным является,
в частности, простое гармоническое колебание. Другой возможной причиной вибра-
вибрационного перемещения может быть неодинаковость силы сопротивления F при движе-
движении тела в положительном (х > 0) и отрицательном (х < 0) направлениях.
В случае сухого трения возникновение вибрационного перемещения может быть
обусловлено тремя факторами.
1. Совместным действием постоянной силы Т и вибрации. Имеется в виду случай,
когда, с одной стороны, сила Г при отсутствии вибрации не приводит к возникновению

256
ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
вибрационного перемещения вследствие выполнения условия — F_ < Т < F+, a
с другой — наличие вибрации при Т = 0 [например, вследствие выполнения равенства
B6)] также не приводит к вибрационному перемещению. В этом случае вибрационное
перемещение обусловлено вибрационным «сглаживанием» характеристики сухого
трения — разрывная характеристика (см. рис. 1, а) преобразуется (по отношению
к медленным силам) в непрерывную * (см. рис. 1, б), что и приводит к движению сис-
системы с некоторой отличной от нуля скоростью V. Иногда говорят также об эффекте
кажущегося превращения сухого трения в вязкое. С иной точки зрения это же явление
может быть истолковано как результат снижения (или даже обращения в нуль) эф-
эффективных коэффициентов трения при вибрации (см. п. 7),
6)
Рис. 3
2.	Неодинаковостью силы сопротивления при движении тела в положительном
и отрицательном направлениях. Пусть F+ Ф F-, сила Т отсутствует и закон вибра-
вибрационного воздействия симметричен, т. е. справедливо равенство B6). Тогда при
V = 0 имеем б + =6_=я, и поэтому согласно B3) W —-^ (F+ — FS) Ф 0, что должно
в данном случае привести к вибрационному перемещению.
3.	Несимметрией закона вибрационного воздействия. Пусть при Т = О, F+ =
= F_ = F и V = 0 промежутки б + и Э _ неодинаковы, что может иметь место лишь
вследствие несимметрии закона вибрационного воздействия. При этом согласно B3)
Ц7 @) = F F + — 6_)/2л =/= 0 и Vo =h 0, т. е. возникает вибрационное перемещение.
Заметим, что вибрационное перемещение может возникнуть и при совместном
действии трех перечисленных факторов.
Более сложные модели виброперемещения. В качестве примеров более сложных моделей
процессов виброперемещения рассмотрим системы соответственно с двумя и тремя степенями
свободы, схемы которых и уравнения движения приведены в пп 8 и 9 таблицы. Первая система
(п. 8) представляет собой гело, рассматриваемое в виде материальной точки, которое движется
по шероховатой наклонной плоскости, совершающей гармонические колебания в двух взаимно
перпендикулярных направлениях [4, 8]. Приняты следующие обозначения: m — масса тела;
g — ускорение свободного падения; а — угол наклона плоскости к горизонту; Г и Q — соот-
соответственно продольная и поперечная постоянные силы, действующие на тело; F — сила сухого
трения; N — нормальная реакция; А и В — амплитуды продольной и поперечной составляю-
составляющих колебаний плоскости; е — сдвиг фаз; со — частота колебаний; f и /, - соответственно
коэффициенты трения скольжения и покоя; R и К — соответственно коэффициенты восстанов-
восстановления и мгновенного трения при соударении тела с плоскостью;
яр' (coo, R) 2-Я'
¦j sin г;
при Д = 0;	B7)
v
2я„'<ш0, Я)=
		_0_
' gcosa + i?'	от '
Через ф и i/i в данном случае обозначены быстро изменяющиеся функции, которые могут
иметь по at период ink, где k = 1, 2 ... Приведенное в п. 8 таблицы приближенное выражение
* Эффект вибрационного сглаживания нелинейностей хорошо известен также в радиофи.
знке и теории автоматического управления (см., например, [23, 29, 31]).

Системы с трением, вибрационное перемещение	25?
для вибрационной силы W{V) относится лишь к режимам движения с достаточно интенсивным
подбрасыванием [8]; о способе его получения см на с 259.
В п. 9 таблицы представлена система с тремя степенями свободы: тяжелая частица поме-
помещена в среду, которая совершает горизонтальные круговые поступательные колебания
с частотой (о и радиусом траектории г и, 81. Сила сопротивления относительному смещению
частицы в любом горизонтальном направлении F/,1', а в вертикальном направлении F^11;
соответствующие силы сопротивления движению F^ и F^, причем F^1' > F^, F^~^ /^(вообще
говоря, ffj" -ф р'щ и F. :? F ). Масса частицы с учетом присоединенной массы среды обо-
обозначена через ти а масса среды в объеме, равном объему частицы, через т0; Д = Р/Ро —
отношение средних плотностей частицы и среды; g — ускорение свободного падения: и.
v и v — проекции относительной скорости частицы в среде. Уравнения движения частицы,
составленные при обычных упрощающих предположениях, а также условия, обеспечивающие
возможность рассматриваемого вида движения, приведены в п. 9 таблицы. Медленной силой
является лишь вес частицы в среде т0 (Д — 1) g; прочие силы считаются быстрыми.
Особенность системы состоит в том, что движение частицы в горизонтальной плоскости
является быстрым, а в вертикальном направлении — медленным. Поэтому медленное движе-
движение в данном случае, как и в пп. 7 и 8 таблицы, описывается одним уравнением первого по-
порядка. Общий вид уравнений медленного движения для всех трех изученных задач теории
вибрационного перемещения также одинаков. Уравнениями быстрого движения в задаче
п. 9 таблицы являются первые два исходных уравнения движения системы; эти уравнения
допускают точное решение 17], однако приведенное выражение для вибрационной силы W{V )
приближенное, полученное в результате пренебрежения силами сопротивления в уравнениях
быстрого движения. Из анализа этого выражения следует, что в результате действия вибрации
сила сопротивления типа сухого трения трансформировалась в силу нелинейно-вязкого
сопротивления (см. п. 7). Если при отсутствии вибрации характерно, что частица может
находиться в равновесии в любой точке среды, т. е. обладает континуумом положений равно-
равновесия, то при достаточно интенсивной вибрации она непременно погружается (или всплывает).
Результаты решения ряда задач теории вибрационного перемещения подробно изложены
в т. 4. Рассмотренные здесь модели имеют преимущественно иллюстративный характер.
Вместе с тем и эти модели позволяют объяснить и описать такие процессы, как вибрационная
транспортировка, вибропогружение свай [2, 8], вибрационное разделение сыпучих смесей
(сегрегация) [7, 8, 10].
Своеобразные эффекты вибрационного перемещения возникают при колебаниях сосудов
с «чистой» жидкостью или с жидкостью, содержащей твердые частицы или газовые пузырьки.
К таким явлениям относятся, например, возникновение медленных течений жидкости под
действием колебаний, вибрационное запирание отверстий в сосудах, сосредоточение частиц
или пузырьков в зависимости от конкретных условий в узлах или пучностях стоячих волн,
образующихся в жидкости *, и т. п. Многие из этих эффектов рассмотрены в т. 4 и в книге
112] К ним относится и уже упоминавшееся (см. п. 4) явление взаимного прятяжения или
отталкивания двух пульсирующих в жидкости шаров.
Особый класс задач вибрационного перемещения составляют задачи о полете и плавании
живых существ (см., например, [21, 24, 30]); эти задачи также допускают эффективное исполь-
использование изложенного выше подхода
Системы с позиционной силой (вибрационный увод). Характерная особенность
всех рассмотренных выше систем состояла в том, что при отсутствии вибрации и при
не слишком больших значениях постоянной силы Т любая точка области возможных
значений координат была положением равновесия системы. Наличие вибрации при
этом неизменно приводило к исчезновению положений равновесия и изменению одной
или нескольких координат с медленно изменяющейся или постоянной скоростью
V (f). Рассмотрим систему, отличающуюся от изученных выше тем, что медленная
; сила4Г зависит от координаты х, т. е. является позиционной силой (см. п. 10 таблицы).
Предполагаем, что сила Т (х) такова, что движения, описываемые уравнением
mX=T(X) — WF(X) — WT(X),	B8)
действительно являются медленными (см. ниже). Заметим, что вибрационная сила
WF (X) в уравнении B8) соответствует силе W (V) в соответствующем уравнении
п. 7 таблицы, а сила WT{X) связана с наличием силы Т(х).
Когда силы Т (х) и F (х) малы по сравнению с т^, в первом приближении можно
считать ф=—	-?.
Рассмотрим случай вязкого трения, когда F @) = 0, Пусть уравне-
уравнение
		7(*) = 0	B9)
* К подобным явлениям откосится также образование тонкодисперсным порошком так
называемых фигур Хладни на поверхностях колеблющихся упругих тел (см., например,
133J)
9 п/р Блехмана, т. 2

258	ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
имеет изолированный корень х = о, которому при отсутствии вибрации соответствует
изолированное положение устойчивого равновесия системы х = а. При наличии
вибрации положения квазиравновесия (т. е. положения равновесия по медленной
составляющей), если они существуют, будут определяться из уравнения
T(X)-WF{0)-WT(X) = 0,	C0)
отличного от B9). Пусть это уравнение имеет корень К = Ь, обращающийся в X = а
при Wp н> 0 и WT (X) -> 0. Если все коэффициенты уравнения
Ъ Oi C1)
k = o l\dX/x=b
описывающего движение вблизи положения квазиравновесия X = Ь, положительны,
т, е,
ldWF\	ldWT\	(dT\
Н >°	>0	C2)
\ dX /jf = o	\ dX !x = b
то это положение квазиравновесия будет асимптотически устойчивым. В таких слу-
случаях говорят о вибрационном смещении положения равновесия или о вибрационном
уводе. Этот эффект вызывает ошибку в показаниях стрелок приборов, установленных
на вибрирующем основании [16].
Из соотношений C2) следует, что вибрации могут вызвать также изменение частот
свободных колебаний системы вблизи положения равновесия и даже смену характера
его устойчивости. Обе эти закономерности были выявлены на конкретном примере
маятника с вибрирующей осью, который также относится к системам изучаемого типа
(см. с. 250).
Заметим, что условие медленности движений, описываемых уравнением C1),
сводится к требованию, чтобы частота со была значительно больше частот свободных
колебаний, описываемых этим уравнением.
Рассмотрим случай сухого трения, когда сила F (i) определяется соот-
соотношениями B2), Пусть по-прежнему уравнение B9) имеет изолированный корень
х = а Тогда при отсутствии вибрации исходная система будет имегь бесконечное
множество положений равновесия, лежащих в промежутке, определяемом неравен-
неравенством —F < Т (х) < Ft и содержащем точку х — а; этот промежуток часто называют
зоной нечувствительности или зоной застоя. При наличии достаточно интенсивной
вибрации будет иметь место эффект превращения (по отноигеншо к медленным силам)
сухого трения в нелинейно-вязкое, причем возможные (уже дискретные) положения
равновесия и их устойчивость по-прежнему будут определяться соотношениями C0)
и C2). Из анализа указанных соотношений следует, что иногда рекомендуемый спо-
способ устранения зоны нечувствительности прибора наложением вибрации может при-
привести к большей погрешности, чем величина этой зоны, вследствие попутно возника-
возникающего увода. Причины появления этого увода аналогичны перечисленным выше при-
причинам возникновения вибрационного перемещения в случае сухого трения Более
того, как и при вязком трении, вследствие вибрации положение равновесия может
стать неустойчивым
Поведение тела, помещенного в сосуд с вогнутым днищем (рис. 4) иллюстрир>ет
перечисленные закономерности. При отсутствии вибрации в случае вязкого трения
тело занимает крайнее нижнее положение равновесия, а в случае сухого трения
это тело может находиться в равновесии в любом положении, для которого угол
наклона касательной к горизонту а меньше угла трения Pi(pnc. 4, а). При интенсив-
интенсивной симметричной вибрации и отсутствии других факторов, создающих асимметрию,
тело будет находиться в квазиравновесии вблизи крайнего нижнего положения
(рис. 4, б). При наличии факторов асимметрии положение квазиравновесия окажется
смещенным по отношению к крайнему нижнему положению, т. е. произойдет увод
(рис. 4, в).

О ВИБРОРЕОПОГИИ	259
Заметим, что приведенные результаты даюг качественное объяснение таким внешне
парадоксальным эффектам, как «всплывание» при вибрации тяжелых крупных частиц
в среде из легких мелких [10], а также установление неодинаковых уровней сыпучей
среды в сообщающихся вибрирующих сосудах [25] (см. г 4).
а)
Рис. 4
О некоторых экспериментальных и теоретических способах определения вибрационной
силы я задачах о вибрационном перемещении. Во многих случаях вибрационная сила или
момент moiут быть найдены в результате несложного эксперимента Так, в случае движения
груза по вибрирующей шероховатой плоскости можно поместить между движущимся с задан-
заданной постоянной скоростью V упором и грузом достаточно мягкую пружину (рис 5) Когда
с течением времени скорость медленного дви-
движения груза примет установившееся значение
V, среднее усилие в пружине Т будет равно ви-	у
брационной силе W(V). В частности, при непо-		•»—
движном упоре это усилие будет равно W@)	VJly) I	I Т	П ц
Теоретическое определение W(V), как пра- \ ^АААЛАА г—*— у
вило, можно выполнить, если известно решение v » « v V V| j	<f
задачи об определении скорости вибрацион- 	•-	'	u	^—
ного перемещения (см [8], а также гл I т 4).	——————————————^
Пусть, например, известно выражение для	"
средней скорости движения тела по наклонной
вибрирующей плоскости (см рисунок п. 8 таб-	С- "
лицы) Тогда, заменяя в этом выражении вели-
величину тя, sin а на — W, получим искомое соотношение между величинами W и V, определяю-
определяющее зависимость W{V) Конкретное приближенное выражение для силы W(V), приведенное
в л, 8 таблицы, получено именно таким путем 14}
Общие закономерности действия вибрации на системы с трением. В общей схема-
схематической форме результат действия вибрации на рассмотренные системы может
быть представлен следующим образом [3, 4].
Для систем с сухим трением."
силы типа сухого трения \ вибрация = медленные вибрационные силы типа
вязкого трения [силы типа W\ (V)] + дополнительные медленные вибрационные
силы [силы типа W @)] + случайная или детерминированная вибрация.
Для нелинейных систем с вязким трением (сосуды с чистой
жидкостью или с жидкостью, содержащей твердые частицы):
силы вязкого трения + вибрация = медленные силы вязкого трения + дополни-
дополнительные медленные вибрационные силы и соответствующие им потоки -f- случайные
или детерминированные относительные колебания твердых частиц в жидкости
Последние слагаемые в правых частях приведенных символических формул
указывают на то, что результирующие колебания даже при детерминированном
воздействии часто носят случайный характер вследствие статистического характера
микросвойств тел или элементов, из которых состоят эти тела.
6. О ВИБРОРЕОЛОГИИ
Для последних лег харакгерно интенсивное накопление фактов и результатов,
относящичея к действию вибрации на различные сложные среды — неоднородные
твердые гела, сыпучие гела, бетонные смеси, полимерные материалы, суспензии,
пульпы и др. [1, 25, 27, 28, 36]. При этом наибольший интерес для техники и техноло-
технологии представляют случаи, когда под воздействием вибрации поведение сис/емы
резко изменяется. П, А. Ребиндер предложил называть соответствующий своеобраз-
9*

260	ДЕЙСТВИЕ ВИБРАЦИИ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
ный раздел механики виброреологией. В работе [4] виброреология определена как
область механики, в которой изучается изменение под влиянием вибрации реологи-
реологических свойств тел по отношению к медленным силам Исходя из этого определения,
соответствующие уравнения медленного движения типа G) (см. последнюю графу
таблицы) можно назвать виброреологическими уравнениями-
В виброреологии рассматривают реологические свойства тел именно по отношению
к медленным воздействиям, в то время как «истинные» физические свойства остаются
неизменными; характерной чертой виброреологических констант (модулей упругости,
коэффициентов трения, вязкости и т п.) является их существенная зависимость
от характера вибрации (см п. 7). Иногда в таких случаях целесообразно говорить о
кажущемся изменении физических или механических свойств под действием вибраций,
хотя следует иметь в виду, что именно эти кажущиеся свойства представляют практи-
практический интерес. По-видимому, исторически первыми виброреологическими уравне-
уравнениями являются уравнения Рейнольдса в теории турбулентности [26]. Эти уравнения
приведены в п. 11 таблицы, где и — вектор скорости жидкости; р — давление; р —
плотность, A — коэффициент вязкости; V — оператор 7Р' + 7р/ + 7)~ *• ^' J' *~
орты координатных осей). Уравнения Рейнольдса легко получаются из общих урав-
уравнений гидромеханики вязкой жидкости как уравнения медленных движений G),
причем роль вибрационных объемных сил играют турбулентные напряжения; ука-
указанные уравнения описывают движение как бы иной, «более вязкой», по сравнению
с исходной, жидкости. Решение уравнений быстрых движений в данном случае пред-
представляет огромные трудности, в связи с чем, как указывалось в п. 3, замыкающие
зависимости w = w @, Р), т. е. виброреологические соотношения, часто задают в виде
полуэмпирических формул.
Заметим, что виброреологические эффекты не обязательно имеют чисто механичес-
механический характер; они могут быть связаны также и с тепловыми явлениями, химическими
превращениями и т. п. Ярким примером является эффект виброползучести полимеров,
изученный в работе [28].
7. ОБ ЭФФЕКТИВНЫХ (ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИХ)
ХАРАКТЕРИСТИКАХ ТЕЛ
Эффективные коэффициенты сухого трения при вибрации. Кажущееся изменение коэф
фициента сухого трения при действии вибрации представляет собой простейшее проявление
виброреологических закономерностей, допускающих исследование элементарными мето
дами [8].
Рассмотрим, например, тело, которое прижато к шероховатой плоскости некоторой си-
силой N и на которое действует сила S, направленная вдоль плоскости (рис. 6). Пусть на тело
действует также продольная гармоническая сила Ф = Фо sin at, тогда для того, чтобы тело
начало двигаться вдоль плоскости, необходима не сила S = So = fi-iV (как при отсутствии
силы Ф), а лишь сила S'—) = ftN — Фв Поэтому наблюдателю, «не видящему» быстрой
силы Ф, будет казаться, что коэффициент сухого трения по отношению к медленной силе S
уменьшился, приняв значение
(=) - S(*=)' / ф„ \
==f\')	C3)
Аналогично при действии силы Ф перпендикулярно плоскости
Если сила Ф параллельна плоскости в направлена перпендикулярно силе S, то
Когда сила Ф отсутствует, но плоскость совершает гармонические колебания в соответ-
соответствующих направлениях, величину Фо в формулах C3) — C5) следует заменить величиной
шА (о2, где m — масса тела, А — амплитуда вибрации Естественно, что эти формулы имеют
смысл до тех пор, пока эффективные коэффициенты трения р?', г^г' и р ' ' положительны;
большим значениям Фо соответствуют нулевые значения указанных коэффициентов.
Более сложный результат получается, если на горизонтальной вибрирующей шерохова-
шероховатой плоскости находится двухмассная колебательная система (рис 7), в которой внутренне»

ОБ ЭФФЕКТИВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ТЕЛ
261
тело массы т2 связано с основным телом массы mt пружиной жесткости с и демпфирующим
элементом с коэффициентом сопротивления h, внутреннее тело может перемещаться относи-
относительно основного тела вдоль некоторого фиксированного направления, образующего угол V
с его основанием [9J. В этом случае вследствие конструктивной асимметрии системы при
V = лп/2 (п = 0, 1, 2) условия начала скольжения основного тела вперед при увеличении
силы 5 не совпадают с условиями начала скольжения назад Поэтому следует различать эф-
эффективные коэффициенты при скольжении вперед (/j+) и назад (/j-). На рис. 8 изображены
<P=0osinut3
1
A smut
Рис. в
Рис. 7
графики зависимости относительных эффективных коэффициентов трения от отношения час-
частоты колебаний плоскости со к частоте свободных колебаний внутреннего тела при неподвиж-
неподвижном основном теле k = Vcjmt\ графики на рис. 8, а соответствуют продольным, а на рис 8, б —
поперечным колебаниям плоскости с одинаковыми амплитудами А = 0,544 см; графики
построены при значениях параметров к = 30 с, V = arc tg /, = 30°, т^/т, = 0,5, ft/?m2co =
= 0,1. Штриховыми линиями изображены кривые, соответствующие значению К = k/со -> со,
т е случаю, когда система превращается в абсолютно твердое тело; при этом, естественно,
f .1 =f\z) и f[jj — f\"~ ^3 анализа рис 8 следует, что характер рассматриваемых эффектов
резонансный: отличие коэффициента р~у от П _ и fj+' °т/1_
также от значений
>
(Щ
Ж
0,5
1,0
и 0
Рис. 8
(f i 4.) j^»» и 'П — 'ji-voo существенно проявляется в зоне 0,6 k < а> < 1,7 ft. Из ана.
лиза рис. 8 также следует, что в зависимости от значения и деформируемость системы мо-
может привести как к уменьшению, так и к увеличению эффективных коэффициентов трения.
При этом если в определенных диапазонах изменения частоты f-rv > f'r_ (нли ^ji. >/._)
то в других диапазонах могут выполняться противоположные неравенства. Это свидетельст-
свидетельствует о том, что путем изменения частоты колебаний со при фиксированных значениях прочих
параметров можно добиться изменения направления движения системы по плоскости (если
f(~) — 0
rZj
> 0, то система при отсутствии силы S движется по плоскости вперед, а
если /;_= 0 и 1\л}> "> т0 назаД) Этот вывод подтверждается экспериментами. Наконец,
из рассмотрения графиков следует, что при а, больших некоторого значения, эффективные
коэффициенты обращаются в нуль
Эффективные коэффициенты вязкости и плотности. К понятию об эффективном коэф
фициенте вязкости можно прийти в результате анализа задачи о движении тяжелой частицы
в колеблющейся среде с сопротивлением типа сухого трения (см. п 9 таблицы). При вибрации
сухое трение трансформируется (в отношении медленных движений) в неливебно-вязкое.

262
действие вибрации на нелинейные системы
причем частица, которая при отсутствии вибрации либо покоилась, либо падала (всплывала)
ускоренно, теперь падает (всплывает) с постоянной средней скоростью [7, 8]
V s =
Г
C6)
определяемой из уравнения то(Д — l)g = U/( VJ. Обозначения в формуле C6) указаны нас. 257.
Первое из выражений C6) соответствует точному решению задачи, а второе — полученному
при использовании приближенной формулы для W(VZ), приведенной в п. 9 таблицы; эта
формула пригодна при Fh «s то(д — \)г<а?. Если (подобно тому, как это часто делается
при анализе экспериментальных данных) сопоставить значение Vг по C6) с выражением для
?
р
1,15
1,08
1,00
5= 0,05
1/
А
If
/
(f
/
5
j20
10
20 hO
Рис. 9
60 й
скорости
обычной
сферической частицы в
малых числах Рейнольдса
свободного падения
вязкой жидкости при
V'^ = шо(Д — l)g/3nu,d (И — коэффициент вязкости жид-
жидкости, d — диаметр частицы), то придем к следующему
значению эффективного (кажущегося) коэффициента вязкости
(коэффициента вибровязкости [7, 8]);
Г, mB(A-l)-|._|_^_Y
Зл dRo)
Ъпйга
C7)
Эффективные плотность и вязкость среды иногда целе-
целесообразно вводить при изучении как линейных, так и нели-
нелинейных колебаний тел в двухфазной среде, состоящей из
твердых частиц, взвешенных в вязкой жидкости, а также
при рассмотрении колебаний сосудов с указанной взвесью
[13, 14]. Приведем в качестве примера формулу для опреде-
определения эффективной плотности р*:
p*/P = l + s(A-l) I —
Д=-
2a )+ 4
Д—1
Л (a)
•-О+7Г- . OS)
ffl?\l/2
2ц) •
81
lba4
причем р — плотность жидкости; р, — плотность частиц; г0 — их радиус; s — объемная
концентрация твердых частиц, предполагаемая относительно малой; A — коэффициент вяз-
вязкости жидкости; и — частота колебаний Графики зависимости величины р*/рот параметров
Дна при s -= 0,05 представлены на рис. 9. Эффективная плотность р* всегда меньше средней
плотности смеси рт = pll -f s(A — 1)], которой на рис. 9 соответствует прямая линия, отно-
относящаяся к предельному случаю а = 0. Это объясняется тем, что более плотные твердые час-
частицы совершают абсолютные колебания, меньшие по амплитуде, чем колебания самой
жидкости. Напротив, эффективная вязкость оказывается всегда большей, чем вязкость чистой'
жидкости, вследствие относительных колебаний частиц в жидкости.
Приведенные примеры показывают, что рассмотренные виброреологические характерис-
характеристики нельзя отождествлять с истинными физическими характеристиками тел, ибо они сущест-
существенно зависят от параметров вибрации, а часто и от способа определения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Альберт И. У., Савинов О. А. О реологических моделях вибрируемой бетонной смеси.
Л , «Известия Всесоюз. научно-исслед. ин-та гидротехника», 1974, т. 105, с. 136—146.
2 Баркан Д. Д. Виброметод в строительстве. М., Госстройиздат, 1959, 315 с.
3.	Блехман И. И. Действие вибраций на механические системы. — «Вибротехника», Виль-
Вильнюс, «Минтис», 1973, № 3 B0), с. 369 — 374.
4.	Блехман И. И. Метод прямого разделения движений в задачах о действии вибрации на
нелинейные механические системы. — «Известия АН СССР. Сер Механика твердого
тела», 1976, Кя 6, с. 13 — 27.
5.	Блехман И. И. О самосинхронизации механических вибраторов. — «Известия АН СССР.
Сер. ОТН», 1968, № 6, с. 54 — 67.
6.	Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М., «Наука», 1971, 894 с.
7.	Блехман И. И., Гортинский В. В., Птушкина Г. Е. Движение частицы в колеблющейся
среде при наличии сопротивления типа сухого грения (К теории вибрационного разделе-
разделения сыпучих смесей). —«Известия АН СССР. Сер. ОТН», 1963, И> 4, в. 31 — 41.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ	263
8.	Влехман И. И., Джанелидзе Г. Ю. Вибрационное перемещение. М., «Наука», 1964. 412 с.
9.	Блехман И. И., Моласян С. А. Об эффективных коэффициентах трения при взаимодейст-
взаимодействии упругого тела с вибрирующей плоскостью. — «Известия АН СССР. Сер. МТТ»,
1970, № 4, с. 4-10.
10.	Блехман И. И., Хайнман В. Я. О теории вибрационного разделения сыпучих смесей. —
«Известия АН СССР. Сер. Механика», 1965, № 5, с. 22—30.
11.	Боголюбов Н. Н. Теория возмущений в нелинейной механике. [Сборник трудов Инсти-
Института строительной механики АН УССР], 1950, № 14, с. 9 — 34.
12.	Ганиев Р. Ф., Украинский Л. Е. Динамика частиц при воздействии вибраций. Киев,
«Наукова думка», 1975 168 с.
13.	Гранат Н. Л. Потери энергии при колебаниях шара в двухфазной смеси (вибровязкость и
виброплотиость смеси). — «Известия АН СССР. Сер. Механика», 1965, № 1, с. 34—41,
14.	Гранат Н. Л. Установившиеся колебания сосудов с двухфазной смесью. — «Известия
АН СССР. Сер Механика и машиностроение», 1964, № 5, с. 61—64.
15.	Духин С. С. Теория дрейфа аэрозольной частицы в стоячей звуковой волне. — «Коллоид-
«Коллоидный журнал», т. 22, 1960, № 1, с. 128 — 130.
16.	Иориш Ю. И. Односторонний увод и вращение стрелок измерительных приборов, возни-
возникающие при вибрации. —«Приборостроение», 1956, X» 4, с. 15 — 32.
17.	Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М., изд. АН СССР, 19СЗ. 482 с.
18.	Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М., «Наука»,
1976. 670 с.
19 Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. —
«ЖЭТФ», 1951, т. 25, с. 588 — 597.
20.	Кобринский А. Е. Механизмы с упругими связями. М., «Наука», 1964. 392 с.
21.	Кокшайский Н. В. Очерк биологической аэро- и гидродинамики (Полет и плавание
животных) М., «Наука», 1974. 182 с.
22.	Коловский М. 3. О влиянии высокочастотных возмущений на резонансные колебания
в нелинейной системе. — «Труды Ленинградского политехнического ин-та», № 226,
М. — Л., Машгиз, 1963, с. 7 — 17.
23.	Коловский М, 3., Перевозванскнй А. А. О линеаризации по функции распределения в за-
задачах теории нелинейных колебаний М., «Машиностроение», 1962.
24.	Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.
М., «Наука», 1973. 416 с.
25.	Липовский М. И. Об одном виде вибрационного перемещения сыпучей среды. — «Изве-
«Известия АН СССР. Сер. МТТ», 1969, Jv's 3, с. 3—9.
26.	Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1973. 848 с.
27.	Малмейстер А. К. Упругость и неупругость бетона. Рига, Изд. АН ЛатвССР, 1957. 315 с.
28.	О виброползучести полимерных материалов. — «Журнал прикладной механики и техн.
физики», 1965, № 5. Авт.: Г. И Баренблатт, Ю. И Козырев, Н. И. Малкин. Д Я. Павлов,
С. А. Шестериков
29.	Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М.,
Физматгиз, 1962 352 с.
30.	Петрова И. М. Гидробионика в судостроении. Изд Центрального НИИ информации и
технико-экономич. исследований (ЦНИИТЭИС), 1970. 271 с.
31.	Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автомати-
автоматических систем. М., Физматгиз, 1960 792 с.
32	Рагульскис К. М, Механизмы на вибрирующем основании Каунас изд Ин-та энергетики
и электротехники АН ЛитССР, 1963, 232 с.
33	Стретт Дж. (лорд Рэлей). Теория звука, т. 1 Пер с англ М, Гостехиздат, 1944.
499 с.
34. Челомей В. Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи
вибраций. -«ДАН СССР», т НО, 1956, № 3, с. 345-347.
35	Челомей С. В. Нелинейные колебания с параметрическим возбуждением. — «Известия
АН СССР. Сер МТТ», 1977, № 3, с 39 — 46
36	Членов В. А., Михайлов Н. В. Сушка сыпучих материалов в виброкипящем слое. М.,
Стройиздат, 1967, 224 с
37	Westervelt P. J. The theory of steady forces caused by sond waves. — *J. Acoust. Soc.
Amer.x, 1951, vol 23, N 3.
Глава X
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Теория нелинейных колебаний твердых тел, находящихся в потенциальном поле
сил, является интенсивно развивающимся разделом современной механики. Ниже
кратко изложены некоторые основные результаты, полученные в последние годы
в этой области, причем главное внимание уделено анализу резонансных явлений

264	НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
при колебаниях твердых тел (систем твердых тел), обусловленных нелинейной
связанностью обобщенных координат, характеризующих движение этих тел (си-
(систем тел).
Твердое тело, находящееся в потенциальном поле сил, давно служит в качестве
динамической модели или расчетной схемы при изучении динамики самых разнооб-
разнообразных объектов техники (спутников, гироскопических систем, систем виброзащиты,
управления и т. д.). На начальном этапе многие задачи о колебаниях тел рассматри-
рассматривались на базе хорошо разработанного аппарата теории линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако представления линейной
теории о колебаниях твердых тел не всегда могут соответствовать действительности,
поскольку колебания твердых тел в пространстве описываются системой дифферен-
дифференциальных уравнений, которые содержат различные нелинейные связи между обобщен-
обобщенными координатами системы, отражающие действие сил различной природы, например
инерционных, потенциальных, диссипативных и т. д. Наличие таких нелинейных
связей при выполнении определенных условий создает предпосылки для радикального
перераспределения энергии колебаний между обобщенными координатами механи-
механической системы. В этом случае динамическое поведение твердых тел может резко отли-
отличаться от того, которое ожидается согласно известным линейным представлениям,
т. е. колебания тел могут иметь совершенно разные качественные и количественные
закономерности в зависимости от того, имеется ли существенное перераспреде-
перераспределение энергии или нет. Оказывается, что для указанного перераспределения
необходимо наличие в системе определенных нелинейных резонансных условий
[3, 4, 14].
Рассмотрению различных свойств такого рода резонансных явлений при нелиней-
нелинейных колебаниях твердого тела и систем твердых тел в различных случаях посвящены
многие исследования, принадлежащие в основном советским авторам [2—14]. В рабо-
работах [3, 14] даны некоторые обобщенные представления о свойствах пространственных
колебаний твердого тела. Исследование нелинейных резонансных явлений в системах
твердых тел, имеющих вращающиеся и колеблющиеся части, выполнено в работах
[2, 5, 7, 10 и др.]. В [5, 8, 9, 11] рассмотрены прикладные задачи, посвященные изу-
изучению резонансных пространственных движений спутников, виброзащитных и гиро-
гироскопических систем.
Широкий класс задач по исследованию резонансных явлений при колебаниях
твердых тел и систем твердых тел рассмотрен в монографии [4], там же приведена
обширная библиография работ по указанной проблеме.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим колебания твердого тела, находящегося в потенциальном поле сил
(гравитационном поле Земли, поле упругих сил и т. д.). Положение твердого тела при
его колебаниях относительно положения равновесия будем определять шестью обоб-
обобщенными координатами |, г\, ?, 8 , г|>, ф, первые три из которых являются координатами
центра масс тела, а остальные — углами Эйлера, выбранными по одному из известных
способов. В рассматриваемой задаче будем считать, что перемещения ?, т|, ? и углы
6 /ф, ф не малые, но такие, что в уравнениях движения твердых тел с приемлемой точ-
точностью могут быть сохранены только члены не выше третьего порядка относительно
координат и их производных.
Учитывая принятую точность, силовую функцию U = U (?, 11, ?, 6, \|), ф), харак-
характеризующую потенциальное поле, приближенно определим формулой
U-=U0(l, т], ?, б, i|), <p) + ?Mi, т], I, б, г|>, ф) + ?/2(?, х\, ?, ,б, г|), <р), A)
где Uo (...), U\ (...), иг (...) — соответственно функции второй, третьей и четвертой
степеней относительно обобщенных координат |, ц, ?, б, if, ф.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
265
Тогда уравнения колебательного движения твердого тела независимо от характера
потенциального поля и других действующих внешних сил примут вид
g, .... ф, |, .... ф) +
ф) = Я,1(/);
1- .... ф. |. -. Ф) +
Ф,
B)
. ••¦. <р. t •¦-. ф) + V4(s	Ф> i ....
где М — масса тела; Л, В, С — моменты инерции тела относительно его главных
центральных осей; Z7,-, Vj, Wi (i = 1, 2, .... 6) ¦— функции первой, второй и третьей
степени относительно обобщенных координат и их производных, выражающие соот-
соответственно линейные, нелинейные силы и
моменты, обусловленные силами инерции и
силовой функцией U{...) потенциального
поля; Н U), M (/) — внешние возмущения,
являющиеся заданными функциями времени.
Такую же структуру имеют уравнения
колебательного движения твердого тела, на-
находящегося в потенциальном поле упругих
сил.
Для исследования пространственной не-
неустойчивости и колебаний рассмотрим толь-
только обобщенную динамическую модель, пред-
представляющую собой твердое тело, прикреплен-
прикрепленное с помощью упругих опор к неподвиж-
неподвижному основанию. Опорами тела являются
упругие пружины с коэффициентами жест-
костей k[, имеющие длины /-, (i = 1,2,...,»),
точки крепления пружины к телу и к ос-
основанию считаем идеальными шарнирами.
На твердое тело при его колебаниях дейст-
действуют реакции упругих пружин, силы со-
сопротивления движению тела, внешние возмущающие силы и моменты, зависящие
от времени t.
Для вывода уравнений колебаний тела вблизи положения статического равнове-
равновесия воспользуемся неподвижной 0%ч$, и подвижной Оххуг (связанной с телом) систе-
системами координат (рис. 1). При этом в положении равновесия предполагаем совпадаю-
совпадающими точки О и О}, а также оси 0%, Or), 01, соответственно с осями 0tx, 0xj/, 0±г. Углы
Эйлера в, г]> и ф выберем по способу А. Н. Крылова.
Уравнения колебательного движения тела, составленные в неподвижной системе
Рис.

266	НРЛИНРПНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
координат 0|г,? с учетом величин до третьего порядка малости относительно обобщев-
ных координат и их производных, имеют вид [4]:
^3(S ) с	Ф (Е, п, е, е, ^ Ф) = яЕ
аие + (Л - В) ^Ф + (-4 - В + С) rjxp + Сфг|Ч- (В - С) if>2S
(А —В) Сф2 —2 (Л — В) ёфф — -g- А'ёг|J — (Л —	{
1(?. П. S. в. t- Ф) +
4(i. 1]. С в, t, Ф) = м0@;
:Л + «set + (Л — В) ёф + (^ — 5 — С) фё — СфО + (А — В) \|-<р2 +
;+1/6(|, т), ?, е, 'Ф, ф)+г5(|, т], ?, е, у, <p) = M$(ty, C)
+ (В — С) i|M — Я^| — (Л — В) ффф — (Л — В + С) г}> чрф — (Л — В) т[J
ё — в—С)ееф+(Л — в)оф—^
J	- м &
Нелинейные функции V{ (...), ^г (•••) определяются равенствами
		D)
4- • • • 4- а6
где о,-/ — постоянные коэффициенты, которые определяются упругой системой;
Hi, ..., Я„ — коэффициенты, характеризующие сопротивление относительному дви-
движению тела [4].
В силу принятых ранее предположений нелинейные члены уравнений C) можно
считать малыми по сравнению с линейными членами. Полагая также малыми силы
сопротивления движению и вводя малый параметр (i (ji >0), уравнения C) предста-
представим в квазинормальной форме
?+*.?!=¦-MtfiG. г,, е, в, ф, Ф, g) + tfi(O;
-\хФА1, п. ?. е, Ф, ф
-иФзA. Л- Ь- 9, г|), Ф
9, г|з, ф. л. t. ё. if>. ф. ii. t". 9.
9, f, Ф, I. t 9, гр, ф, 1, t, 0,
0, i|), Ф, |, л. ё, ф, ф, I, л". 8,

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ	267
где
*—Г1 5—в~' Лв~
MQ (t)	Mw (t)
^w@J^
8, ф, «p,
l, г), ?, 9, t, ф, |, T), 6, i|), <p, |, t],
. s с
A '	A
Величины ст,у (i = 1, 2	6; / = 1,2, ..., 83) являются коэффициентами при нели-
нелинейных составляющих упругих сил и выражаются через линейные комбинации коэф-
коэффициентов жесткости упругих элементов ks (s = 1, ..., q) в зависимости от схемы рас-
расположения упругих элементов в системе.
Последующий анализ колебаний твердого тела, описываемых уравнениями E),
предполагает рассмотрение двух основных задач, каждая из которых может иметь
самостоятельное значение. Первая задача состоит в определении условий возникно-
возникновения так называемых пространственных нелинейных колебаний твердого тела [4].
Это такие связанные колебания изучаемой системы, которые возникают в условиях
резонансов благодаря наличию нелинейных связей между обобщенными координа-
координатами данной системы В ряде случаев решение этой задачи сводится к исследованию
устойчивости некоторых резонансных вынужденных периодических или почти пе-
периодических режимов колебаний тел Вторая задача — это исследование резонансных
характеристик пространственных колебаний твердого гела В математическом отно-
отношении вторая задача более трудна и сводится к построению указанных периодических
или почти-периодических решений, а также к изучению их устойчивости в областях
неустойчивости равновесных состояний, или некоторых вынужденных режимов ко-
колебаний изучаемых систем.
3. О МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
О методе исследования пространственных колебаний; внутренние и внешние
резонансы. Математические особенности исследования нелинейных пространствен-
пространственных колебаний обусловлены наличием многократных резонансов. Трудности, встре-
встречающиеся как при исследовании устойчивости, так и при приближенном построении
резонансных периодических (почти-периодических) решений, общеизвестны [4, 15].
Укажем на некоторые подходы, общие для излагаемого круга задач о нелинейных
колебаниях тел [4].

268	НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Предположим, что система по координатам xs (s = 1, 2, ..., 6), где хх — ?, х2 — г\,
х3= 'С,, х4 — б, хъ = ф, хв = ф, находится под воздействием почти-периодических
внешних сил
п
Ns=^l fsp cos a,pt-{-fsp sin mpt (s=l, 2, ..., 6),
p = i
причем Шр — произвольные числа, несоизмеримые между собой. Тогда резонансные
соотношения для рассматриваемого случая примут вид
т\\ + т<\ +... + т«\ + я</ Ц + • ¦ • + п</>«р = О
(/ = 1, 2	/•; гй=6).
Предполагая отсутствие основного резонанса по координате xs от непосредствен-
непосредственно действующей по отношению к ней силы Ns, движение в направлении коордмгаты
ks представим в виде
я
xs = Cse s +Dse s + _. ^ qsp\e p +e P)+Tqsp[e P -e P); F)
ie>J — ico „Л
2 2j 'COp'7'sp ^	pJ
P = i
(s=l, ..., r, r+\, ..., 6; v/.+1 = V+i, •••. v6 = Xe),
'sp	*	Isp
где <fcp = T!	rl ?^=T1	Г-
As — <Bp	As — 0)p
Рассматривая выражения F) как формулы замены переменных xs, xs новыми пере-
переменными Cs, Ds, приведем систему E) к стандартной форме
2ivs^f- = n<Ds(...)eiVs' (s=l,2, .../6).
Приближенное решение полученных уравнений строим методом усреднения (см
п. 4 гл. II), полагая [4, 15]
Cs = cl + tCl(t, Cl О?)+и» + -.; Ds = D?+iiDf{t, Ct
где С*, О* — главные значения, определяемые из уравнений
dCs	M1 v /„*	„* #	*¦>.
здесь
X
s
= lim | f Ф5(СГ, ... , Ct D?	Dt t)e~lVrt;
0
= lim i f Ф,(СТ	C6*, Df	Dj, OA'.
(-+CO ' J

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ	269
Описанным способом можно без существенных изменений построить решения
квазилинейной системы E) и при приближенном соблюдении выписанных выше ре-
резонансных условий. В этом случае в рассмотрение необходимо ввести «расстройки
частот» [ X/ — Х°/ |, где X) — величины, точно удовлетворяющие указанным резонанс-
резонансным условиям.
Характер изменения функций Cs, Ds, в частности Cf, Ds, определит поведение
огибающих главных частей колебательного движения. Таким образом, можно уста-
установить возможные резонансы и исследовать устойчивость вынужденных колебатель-
колебательных движений системы.
Рассмотрим колебания твердого тела в случае, когда возмущающая периодическая
сила приложена в направлении координаты ср, т е. положим Л^ (t) = N2 (t) = ... =
= Ns (t); Ne @ = /„ sin (at. Тогда, анализируя известными приемами систему E),
нетрудно установить, что резонансные режимы колебаний в ней возможны при сле-
следующих соотношениях между частотами:
/	У	/	У	"	./"I
^А/ A fa -"-^ СО, л/ ~у~ Л/j ^а *^00, А/ Л/г -"•••-' ^uJj	?	у\ \jj
Хг -j- А# -\- А,, ^а WJ А,г — А? — A.j zsz Co; A,r -J- Л-fe — Лу :=^ СО*, j
(/, *, л=1, ..., 6; ]фкфг).
В формировании первых шести типов резонансов ((8) и (9)) определяющая роль
принадлежит нелинейным членам второго порядка, а остальных типов резонансов
(A0), A1)) — нелинейным членам третьего порядка относительно обобщенных коор-
координат и их производных. Резонансы типа (8), A0), обусловленные выполнением
некоторых соотношений между собственными частотами системы (X;, Xk) и частотами
внешних возмущений сил, назовем внешними резонансами. Резонансы типа (9),
A1), которые обусловлены лишь выполнением некоторых соотношений между соб-
собственными частотами системы (XJt Xh, Хг), назовем внутренними резонансами. Рас-
Рассмотрим некоторые характерные типы резонансов.
Резонансы га-го рода. Одночастотные резонансы. Пусть удовлетворяется резо-
резонансное соотношение вида 2Xj «со (/= 1, 2, ..., 6) для одной из частот, например
Jl4-Jl$ = u,e4; Я2 = —,	A2)
где е4 — расстройка частот, выражающая приближенность выполнения резонансного
соотношения.
Тогда уравнения для огибающих, полученные с использованием принципа усред-
усреднения применительно к системе E), примут вид [4]:
для резонансных координат
. dDz Гп /	1 .
(СО	= Ц D4 С084 — тг '
at	| \	z
для нерезонансных координат
J?jL- -^-НьСь- IPjL-^l1 hlDh (k-l 2 3 561

270	BEIMHFHlIbir КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕП
Имея в виду решение задачи о пространственной устойчивости, в уравнениях
A3), A4) сохраняем лишь линейные члены относительно переменных С,, Dt (j = 1, 2,
•> 6)
Из уравнений A4) следует, что решение С} = Dj = 0 (/= 1, 2, .. , 6) условно
устойчиво относительно переменных С^, Dj,, поскольку Л& > 0 (А = 1, 2, 3, 5, 6)
Условия устойчивости этого решения по отношению к переменным С4, D4 получим,
исходя из уравнений A3):
h4 > 0; ~ h\ > ~ \-4 qu — (coe4J .	A5)
При определенных соотношениях между параметрами системы второе из нера-
неравенств A5) может не выполняться; тогда возникнут колебания в направлении коор-
координаты 6 с частотой -д-. Резонансные пространственные колебания тела имеют вид
— Ш	— "о •
( 2 /г"°
Кратные резонансы. Рассмотрим резонансное соотношение
^>==1 +M.we4; Я20 = -^- + И«85	A7)
Анализируя уравнения огибающих, записанные для этого случая, находим условия
пространственной устойчивости вынужденного режима колебаний тела
Последние получены для частного случая qu = qib = О.причем <7i4
= — 4 ?ew2Bf + 6 —1—4со-2а427). ?55 = ?еО;52?> <7м = —-4 ?о«3 A —& —26 ic—
—4w-2o526)
Если i74r,^4=S0, то условия A8) выполняются, т. е. неравенства <74г> 9о4 ^ 0
определяют область устойчивости в пространстве параметров исследуемой системы
независимо от коэффициентов трения Л4. ^ и расстроек е4, е8. Эти неравенства
можно назвать достаточными условиями устойчивости в пространстве параме-
параметров Теоретический и практический интерес представляет определение условий
устойчивости, когда нелинейные члены в уравнениях движения обусловлены
только инерционными сьойствами тела @42в = ст427 = ov^e = оМ7 = 0). Такие случаи
имеют место, например, если 1вердое тело находится в сравнительно слабом поле
потенциальных сил (потенциальная энергия системы мала по сравнению с ее кине-
кинетической энергией). Тогда условия устойчивости характеризуются неравенством
Bс + й —1)A— Ь'1 — 26-!c)sS0,	A9)
на основании которого построена область устойчивости D на рис. 2, о.
По физическому смыслу моментов инерции имеем 1 + 6>е, 1 + с>6, 6+с>1.
Поэтому рассмотрим только часть плоскости с и b (ограниченную штриховыми ли-
линиями), в которой выполняются эти неравенства (рис. 2, а). Как видим, резонансные
колебания в направлении координат в и if не могут возбуждаться независимо от
остальных параметров системы. Формулы, аналогичные A8), A9), можно получить

МСТОД ИССЛЕЛОВи/ИЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ НГУСТОИЧИВОСТЬ
271
и дтя других случаев двукратных резонансов. Так, если учитывать нелинейности лишь
инерцронных свойств тела, то достаточными условиями устойчивости в пространстве
параметров будут
B0)
Первое неравенство определяет область устойчивости, которую получаем при изу-
изучении возможностей возбуждения резонансных колебаний в направлении коорди-
координат б и 1|з (для случая действия внешней периодической силы в направлении ко-
координаты ф). Второе неравенство относится к случаю действия внешней силы в
направлении координаты 6, третье — в направлении i|) Соответствующие области
устойчивости в пространстве параметров показаны на рис. 2, б, в. Первое и второе
а)
Рис. 2
неравенства при b = 1 в областях, соответствующих физическому смыслу моментов
инерции, всегда удовлетворяются (на рис. 2 и 3 эти области ограничены штрихо-
штриховыми лишями). Ег-ли Ь— с= 1, то удовлетворяются все неравенства, т. е для
сферы невозможно возбуждение пространственных колебаний ча счет инерционных
членов в уравнениях движения.
Таким образом, симметрия относительно упругих, геометрических и инерцион-
инерционных свойств твердого тела делает систему более устойчивой.
Комбинационные речонансы. Рассмотрим речонансы вида %j + Х^ ^ о (/, k =
= 1, 2, ..., 6, / ф к), в частности Я,4 + ^--,1=^ ш. Условия устойчивости представим
в виде
где 74> Ъ — параметры, зависящие от инерционных и упругих характеристик си-
системы.
Из B1) следует, что неравномерное распределение демпфирования по коорди-
координатам может дестабилизировать систему.
Области устойчивости D в пространстве инерционных параметров определяются
неравенством
[— A —6) Я, + «о] [A—6) (со — X,) + fw] >0,
согласно которому построена область устойчивости на рис. 3, а.
B2)

272
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Для резонанса Х; — Яд, = ш, в частности Я4 — Я5 = со, области устойчивости
в пространстве инерционных параметров имеют вид
[(\-Ь) Я6 + «о] [A-6) (Я6 + со) + ссо] =sO.	B3)
Соответствующая область устойчивости D показана на рис. 3, б.
Анализ других случаев резонансов я-го рода (п = 2, -jj-, ^~, 1 ) комбинационных
V	I б I
внешних резонансов Я,-± Яд, = со, Я, ± ЯЛ =- ?со и внутреннего резонанса X, = Яд,
позволяет заключить, что при выполнении определенных условий возможно воз-
возбуждение нелинейных резонансных колебаний твердого тела.
Резонансы типа Я, = ЗЯд,, X/ = 2Яд,, Я,-± Яд, = Я,., Xj± 2Xk = со, 2Яу± Яд, = со,
Xr±Xit± Xj = со (/, k, r = Г, 2, ..., 6; / Ф k Ф г) можно назвать устойчивыми
резонансами, поскольку они не приводят к пространственной неустойчивости.
4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Для изучения закономерностей нелинейных колебаний твердого тела в областях
пространственной неустойчивости рассмотрим некоторые сравнительно простые
случаи периодических и почти-периодических движений твердого тела.
I. Пусть внешние силы имеют значения #j = Нп = Mq = М^ = Му = О,
со2
ffj = F cos со^, причем Я^ =-д--г-!1<й81- Тогда двенадцать уравнений для огибаю-
огибающих в первом приближении будут уравнениями типа
dCi	ц Г /	1	I . \ 1
~Ж ' 7са [ : \ШР'1+ 2 аш<? """ 2 ' lCd) + 2 lCrill<7+ ^ iCTi28 +
+Сх BC2D2o139 + 2C3DsoUi+2C4D4oH9 + 2C5D6cr154+2CeDe0169)l; B4)
dt ш 1
BC2D2a139 + 2C3D30144+2C4D4ct149+2C6D5a154 + 2C6D6a159) I.
Последние десять уравнений относительно С2, D2> ••¦. Q.
интегралы вида
или р*.=
попарно допускают
B5)
где С
p,e
—6Л •
p,e

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ
273
Принимая во внимание формулы B5), для определения переменных Ci, D1 полу-
получаем
B6)
Эти уравнения при р\ = 0 допускают интеграл
B7)
причем М = р sin 6t; N = р cos 6X; p = 2 р^
Если ах = 0, то соотношения B7) представляют собой семейство линий Кассини,
в частности при С = 0 — лемнискату Бернулли (рис. 4, а). При этом JVx = — Л/2 =
di \ rfi У
При ах = Yi будем иметь картину, представленную на рис. 4, б.
_ ,	ах + у, — a. + у.
В общем случае при выполнении неравенства	>	", интеграль-
dx	dx
ные кривые принимают форму, показанную на рис. 4, в, где Л^ = — iVj =
Более сложные периодические движения будет совершать тело в случае кратных
резонансов. Движение тела при этом может оказаться трехмерным или четырех-
четырехмерным в зависимости от выполнения резонансных соотношений [4].
II. Рассмотрим комбинационный резонанс вида Х4+ Х5 ж со. Вводя расстройки
|ie4 = %i — X'l, [,te5 = k6 — %l и соотношение со = %\ -j- %%, получаем следую-
следующие уравнения для огибающих, характеризующие колебания тела в направлении
координат ) Htf:
B8)
XS^t = ji [(сс4 —ф
§¦ = - |i [(о, + /p.) C5 + ^ D4 + x6C4D4C5
5- ф5) DB- ^ C4 + x5C4O4D5 +

274
где
нелинейные колебания твердых тел
а4 —2A.Je4— (Ь — 1) Х\ -g- + <т462 ^ ; р4 = Л4Я
1
74=2 ^l-e-6)^. -<
С учетом замены переменных С, = р7е ''; D, = р/- /' (/ = 4,5); г = 64 + б5 на-
находим стационарные значения амплитуд и фаз этих колебаний
« = ***
Pl = "
6В = - -#г [«г,
-
где fea=— д-; Q, C2 —гроизвольные постоянные.
C0)

ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	275
Из формулы B9) следует, что соотношения между амплитудами колебаний р4,
р5 в направлении координат б и г|> зависят от параметров 74. Vs. K> Ц,< ^ ^а-
Изменение степени распределения трения по координатам влияет на соотношения
амплитуд колебаний р4, Ра. Например, при VjY4 = ^"Ve имеем p| = -j-- Pi- Чем
Л4
больше сопротивление по координате т|), тем меньше амплитуда колебаний в направ-
направлении этой координаты, однако при этом увеличивается амплитуда колебаний в
направлении координаты б , т. е. наблюдается обратно пропорциональная зависимость
между величинами р4, р5 и hb hb. Следовательно, происходит перераспределение
энергии колебаний по координатам б и if в зависимости от степени перераспреде-
перераспределения по ним сил сопротивлений движению тела. Резонансные кривые, построенные
согласно B9), в зависимости от сочетания параметров системы показаны на рис. 5.
Устойчивые режимы стационарных колебаний соответствуют жирным линиям.
Таким образом, твердое тело совершает трехмерные почти-периодические резо
нансные пространственные колебания.
Экспериментальные исследования [4] качественно и количественно подтверждают
закономерности возбуждения стационарных почти-периодических колебаний, изу-
изученных теоретически.
5. МЕХАНИКА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Важными прикладными задачами, в которых широко используются представ-
представления о специфических свойствах нелинейных колебаний твердых тел, являются
задачи динамики гироскопических приборов и устройств [4—7]. Изложим кратко
некоторые наиболее характерные аспекты одной из таких задач, ограничиваясь рас-
рассмотрением устойчивости и нелинейных колебаний тяжелою симметричного гиро-
гироскопа в кардановом подвесе с горизонтальной осью вращения наружного кольца [4].
Основание гироскопа подвержено угловой и поступательной вибрации вида сог =•
= а3 Q3 cos ^V> К? = ai^i sin ^V-
Уравнения малых колебаний рамок гироскопа около нулевою положения равно-
равновесия (а = р = 0) можно представить в виде
где
ф2 = — #2а _Q2aVz + Р2
// = я. / -ИМ*. р=Л
' Di' '"" D{ ' ' Dt
m3 — масса ротора; Д —сдвиг центра инерции ротора относительно точки подвеса;
/1,, Bj Cj (j — 1, 2, 3) —¦ моменты инерции соответственно наружных р^мок, кожуха
и ротора гироскопа; (х > 0 — малый параметр; /?х, R2 — коэффициенты моментов

276	НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
сил вязкого трения в подшипниках осей карданового подвеса; Н — кинетический
момент ротора.
О поведении гироскопа при выполнении резонансных соотношений вида
2%i « Q/;, %\ ± Х2 « filft и т. п. (г = 1, 2; k = 1, 3) будем судить, исходя из анализа
свойств приближенного решения системы C1), полученного методом усреднения.
Здесь X], Я2(Х2 > Х{) — прецессионная и нутационная частоты колебаний гироскопа,
причем
Условия устойчивости нулевого решения системы C1) при субгармонических
резонансах 2Я2 — Qk = 2}i6 имеют вид [5, 7]
au>0, flg8>0, ат + цЧ,*>Ь1	C2)
а при комбинационных резонансах \[ + \% = Й^ (fe = 1, 3), Ях — XJ = це, Х2 —
— к'2 = (Х8 —
C3)
О,
где
4 \ а,, + а,» /'
«12/
+^
au = ^1A,1—Й2Я2 <С 0; ala = ^1A.2 —Й2Я,1 < 0;
Я2Хг М-1!
Яг — /.2 ^i^t
Если ограничиться частным случаем, когда
Я2 > m3g& V DXD2; e = 0; R1==R2 = R,	C4)
условия возникновения резонансных колебаний гироскопа для наиболее типичных
случаев резонансов примут форму для резонанса 2Я2 = Qt
\D1-D2[>R(D1 + D2) УЩО2\	C5)
для резонанса 2Х2 = Q3
asH(A1 + 2C2 + B2 — A2)>R(Di + D2);	C6)
для резонанса Хх + А2 = Й!

НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ	277
для резонанса %х + ^2 =
C8)
Условия а1г > 0, а22 > 0 выполняются всегда при Ri > 0. Если остальные
неравенства из условий C2), C3) не выполняются, то возникают резонансные ко-
колебания рамок карданового подвеса гироскопа.
Амплитудно-частотные характеристики резонансных колебаний гироскопа бу-
будут иметь вид, аналогичный показанному на рис. 5.
При выполнении соотношений C4) зависимости амплитуд стационарных резо-
резонансных колебаний (прецессионных г", нутационных г?) от параметров системы
будут следующими:
для резонанса 2к2 = Ц
для резонанса S
г«==0, ;
для резонанса 1
г»2 Dl
-' И (А
для резонанса Д
2'
¦i ~f~ ^2
m3gJS
Ii + C2)
О^т3§
all
3
Yl\Ya
Щ(Р
у
ip!+pJT}
l(D1 + D2 — 2Pb)
i2-^2A3 — 3C2 —
Ь2Л3-ЗС2-Л1
a\m3h 1
a\ (A1-j-Ci)i
gM)tVD1Di(Dl
/~DlD2 + PiD1D2
i '
j
+ D2) '
) Hf
R2
4*
D0)
D1)
/42^
Амплитуды прецессионных колебаний в последних двух случаях резонансов
V D2 •
Отметим, что качественные закономерности нелинейных резонансных колебаний
гироскопа в кардановом подвесе на вибрирующем основании имеют аналогичный
характер для многороторных гироскопических систем и позволяют осуществлять
рациональный выбор конструктивных параметров гироскопических приборов и
устройств с целью повышения их виброустойчивости [4, 7].
в. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И КОЛЕБАНИЙ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Среди других прикладных задач, в которых используются представления о меха-
механизмах пространственной неустойчивости и пространственных колебаниях твердых
тел, отметим задачи виброизоляции технических объектов [8, 9,1, задачи динамики
космических аппаратов [1, 4, 11], задачи определения динамической точности изме-
измерительных систем, функционирующих в условиях вибрационных воздействий, и др.

278	НСЛИИСПНЫС КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Каждая из этих задач имеет свои особенности, связанные прежде всего со специфи-
спецификой составления уравнений движения соответствующих объектов или физических
подобных им моделей, а также с различными причинами, обусловливающими про-
пространственную неустойчивость движения.
Для иллюстрации рассмотрим задачу, связанную с анализом пространственной
устойчивости колебаний амортизированного объекта, представляющего собой твер-
твердое тело, подвешенное на симметрично расположенных упругих амортизаторах
(пружинах) [4, 8]. Уравнения движения такого объекта по форме будут совпадать с
уравнениями C). Выражения для функций V;, W; приведены в работе [8], где рас-
рассматривался случай, когда внешняя периодическая сила Нг = Л^ sin со/ приложена
к центру массы тела и при его колебаниях сохраняла неизменные направления
(вдоль оси Ог).
Если пренебречь в динамических уравнениях тела нелинейными членами, то
эти уравнения будут иметь следующее частное решение:
D)
I = q3 sin cat, g3 = /3 (X* - ш"-)~1-
Тело будет совершать таким образом колебания лишь в направлении оси О?;
остальные пять координат сохраняют исходные нулевые значения.
Учет нелинейных соотношений в общем случае обусловливает возможность по-
появления колебаний тела в направлении всех его шести координат при том же воз-
возбуждении силой Hz в направлении оси Ог, поскольку Z, содержится во всех шести
со2
уравнениях движения данного тела. В частности, при соотношениях вида XJ=—+
+ [шв,- (/ = 1, 2, ..., 6) вынужденные колебания D4) становятся неустойчивыми,
если не выполняются условия
йх>0 и ft?>^(g?1-4ffl%f).	D5)
В этом случае возникнут нелинейные колебания в направлении координаты % с ча-
частотой со/2.
При Я| =-j--f-}i(u82, если не выполняются неравенства
fta>0, Ai>^-(gi2-4u>2ei),	D6)
волшкнут нелинейные колебания внаправлении координатыцс частотой -=-, Косвен-
ное возбуждение колебаний будег наблюдаться также и по координате ц> в случае
а| = со2/4 + jxto8G. В то же время нелинейные колебания в направлении координат
б у -ф при kt = <в/2 иЯ6= ш/2 возникнуть не могут, поскольку при h4 > 0, й„ > О
неравенства D5) всегда выполняются.
Аналогичный анализ, выполненный для резонансных соотношений вида %} =
= 2со (/ = 1, 2, ..., 6), приводит к выводу, что в условиях таких резонансов нели-
нелинейные колебания не могут возбудиться, решение D4) остается устойчивым.
При кратных резонансах типа Х} = Хк = со/2 (/, к = 1, 2	6) неустойчивость
вынужденных колебаний D4) для рассматриваемой системы возможна лишь в сле-
следующих двух случаях соотношений частот:
1) для координат | и г|з
2) для координат т) и 8
и Я1 = ^-

НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
279
Аналогичным образом можно определить условия возбуждения пространствен-
пространственных колебаний объекта в случае других, в частности, комбинационных резонансов.
Эти условия могут быть использованы при выборе параметров проектируемых си-
систем виброизоляции с целью устранения связанных колебаний описанного вида.
В заключение приведем наиболее характерные случаи резонансных соотношений,
для которых в типичных системах виброизоляции целесообразно изучать нелиней-
нелинейные пространственные колебания и устойчивость твердого тела.
Таблица )
№ по
пор
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Косвенно возбуждаемые координаты и необходимые резонансные соотношенгя
между
частотами X (/ -
поступательном
\ (Xi)
Xi = @/2
Xt = @/2
>., = И/2
Xl = И/2
Л (?.2)
Х2 = н/2
\2 = и/2
Xi +"
?i2 = и '2
Х2±А
?.2 = и/2
= 1, 2, 3, 4, 5, Ь) и и при движении тела
угловом
0 (?„4)
* (К.)
Х5 = (о/2
Ф(Х.)
Х„ = @/2
Х5 = и
Хх = @/2
4 = И
Х\ ^^ и'2
Л5 = и/2
В табл. 1 представлены указанные соотношения для виброзащитной системы,
динамической моделью которой является твердое тело, установленное с помощью
симметрично расположенных упругих пружин на вибрирующем вдоль вертикальной
оси (% основании, причем закон движения основания ? — q sin at. В каждой строке
этой таблицы указаны координаты, которые возбуждаются благодаря наличию
соответствующего резонансного соотношения (здесь они названы косвенно возбужда-
возбуждаемыми координатами). Для всех девяти случаев непосредственно возбуждаемая
координата есть ?, а ее частота равна ш. Например, запись в третьей строке таблицы
следует понимать следующим образом: в направлении координаты ? приложена не-
непосредственно возмущающая периодическая сила с частотой со, и при этом возможно
возбуждение резонансных колебаний тела в направлении координат | и т) в области
кратного резонанса Хг = со/2 и Я2 = со/2.
Таблица 2
№ по
пор
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Косвенно возбуждаемые координаты и необходимые резонансные соотношения
между частотами X, (/ = 1, 2, 3, 4, 5) и
поступательном
|(Х,)
X, = (о
?*1 — 0)
?., = И/2
Х2 ¦= и
^г = @
Ха = И/2
Л.1 + X, = и
X, = а/2
Я2 = и/2
о при движении тела
угловом
X, = 2(,
?.3 — 2@
>.3 — 2@
X, + X, = и или ? 2 + ?.
@4 =
« 2 или ш4 L о\
6(Х4)
X, = о)/2
в =^ И
Хл = и/2 | Xt = @/2
= и

280	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
В табл. 2 представлены аналогичные результаты, полученные для случая, когда
динамической моделью является твердое тело, содержащее вращающийся ротор.
Ротор помещен внутри тела и может вращаться с постоянной угловой скоростью р
вокруг вертикальной оси О^г (Ог — центр масс тела), причем ось вращения Ojz
совпадает с главной центральной осью инерции тела. Кроме того, тело крепится с
помощью упругих пружин к основанию, которое может совершать угловые колебания
вокруг неподвижной вертикальной оси по закону ср„ = ц sin at (для всех случаев
непосредственно возбуждаемая координата есть ф, ее частота равна со).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М-,
«Наука», 1965. 416 с.
2.	Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. О нелинейных колебаниях твердого тела, несущего вра-
вращающийся ротор. — «Известия АН СССР. Сер. Механика», 1965, № 5.
3.	Ганиев Р. Ф. Резонансные явления при нелинейных колебаниях твердых тел. — «При-
«Прикладная механика», 1972, Кя 12. с. 45 — 70.
4.	Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. М., «Наука», 1976.
5 Ганиев Р. Ф., Лютый А. И. Об устойчивости гироскопа на вибрирующем основании в ус-
условиях резоиансов. —«Прикладная механика», 1972, № 11, с. 43 — 50.
6.	Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. О нелинейных резонансах при пространственных коле-
колебаниях твердого тела. — «Известия АН СССР. Сер. Механика твердого тела», 1967
№ 4, с. 32 — 34.
7.	Ганиев Р. Ф., Лютый А. И. Об устойчивости гироскопа с синхронным приводом — «При-
«Прикладная механика», 1976, № 1, с. 82 — 89
8.	Ганиев Р. Ф., Фролов К. В. Об одной типичной задаче виброамортизации в нелинейной
постановке. — «Известия АН СССР. Сер. Машиностроение», 1965, № 4.
9.	Ганиев Р. Ф., Фролов К. В. К задаче виброамортизации приборов и машин в нелинейной
постановке. — В кн.: Колебания и устойчивость машин, приборов и элементов cncieM
управления. М., Изд-во АН СССР, 1968. 222 с.
10.	Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Нелинейные колебания твердого тела, несущего вращаю-
вращающийся ротор. — «Известия АН СССР. Сер. Машиноведение», 1968, № 3.
11.	Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Нелинейные пространственные колебания искусственного
спутника Земли относительно центра масс — «Известия АН СССР. Сер. Механика
твердого тела», 1968, К° 3. с. 3—11.
12.	Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. О взаимосвязи поступательного и вращательного колеба-
колебательных движений твердого тела в ньютоновском поле сил. — «Известия АН СССР, Сер.
Механика твердого тела», 1971, № 4.
13.	Кононенко В. О. О колебаниях твердого тела около центра масс. — «Известия АН СССР.
Сер. ОТН, механика и машиностроение», 1963, № 4, с. 23 — 30.
14.	Кононенко В. О. Пространственные нелинейные колебания твердых тел — «Приклад-
«Прикладная механика», 1969, № 2, с. 13 — 27.
15.	Малкин И- Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний М., Гостехиздат, 1956. 491 .
Глава XI
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ЖИДКОСТЬЮ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Влияние жидкости, частично или полностью заполняющей некоторые полости
твердых тел, входящих в механическую систему, на устойчивость и колебания этой
системы необходимо учитывать, когда масса жидкости составляет значительную
часть массы всей системы.
Теория устойчивости и колебаний таких систем весьма сложна, и в ней имеется
ряд не до конца разрешенных вопросов. В данной главе приведены постановка за-
задачи, различные формы уравнений движения, их первые интегралы, рассмотрены
простейшие случаи движения. Указаны вошедшие в инженерную практику алго-
алгоритмы расчета малых колебаний системы. Даны основные определения устойчивости
движения систем твердых тел с полостями, частично или целиком заполненными
жидкостью, соответствующие теоремы прямого метода Ляпунова, рассмотрены
примеры.
В главе изложены только самые основные теоретические вопросы. Обширная
библиография по теории движения тел с жидким наполнением имеется в работах
[11-13, 35].

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ	281
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ,
СОДЕРЖАЩИМИ ЖИДКОСТЬ
Уравнения движения свободного твердого тела, имеющего замкнутую полость
произвольной формы, целиком или частично заполненную однородной несжимаемой
идеальной или вязкой жидкостью плотности р. С телом жестко свяжем прямоуголь-
прямоугольную декартову систему координат Оххх2х3. Обозначим через т область простран-
пространства х^Хз, занятую жидкостью в данный момент времени, через 5' — границу
области т, а через а — поверхность стенок полости. Если жидкость полностью за-
заполняет полость, то S' совпадает с а, тфи частичном наполнении поверхность S'
состоит из свободной поверхности жидкости S и части стх поверхности а, с которой
жидкость соприкасается в данный момент времени, т. е. S' = S -f- а1( а = at-\- 02,
где а2 — часть поверхности 0, не соприкасающаяся в данный момент с жидкостью;
остальная часть полости или заполнена воздухом, ограниченным поверхностью
S + о2, давление которого р0 считаем постоянным, а его массой пренебрегаем, или
представляет собой вакуум с давлением р0 = 0. Замкнутую линию пересечения по-
поверхностей S и о обозначим через s.
Тело и жидкость в его полости можно рассматривать как одну механическую
систему и изучать ее движение по отношению к инерциальной системе координат
и x1x2xi.
Кинетическая энергия системы
1	1
AfSfMfXJf
\ u
+ ю-р Wrxu)dT+—p С u*dx,	A)
т
где М = М1 + /И2; гс = М-ЦЫм + /И2гс2); Э = Э<" + в'2» , здесь М, Mt, M2\
в, 6 A>, в B» и тс, гс1, гс2 — соответственно массы, тензоры инерции для точки О и
векторы-радиусы относительно точки О центров масс системы, тела и жидкости;
v0, со, и — векторы скорости точки О, угловой скорости тела и скорости частицы
жидкости при ее движении по отношению к твердому телу; г — вектор-радиус
относительно точки О частицы жидкости с координатами xlt x2, х3.
Векторы количества движения Q и момента G относительно точки О количеств
движения системы определяются формулами [13]
Q=2Jmvvv==gradVor, G = 21 rvXmvv = gradft)T,	B)
V	V
где mv, rv, vv — соответственно масса, вектор-радиус относительно точки О и ско-
скорость материальной точки Pv системы; суммирование происходит по всем точкам
Pv системы.
Уравнения движения, записанные в системе координат Oxlx2xs, имеют вид [13]
^	K;	C)
dG
-^- + ахО + \оХй = Ц	D)
dv	1
-tt-|-@Xv=F	gradp + vAv;	E)
div v = 0,	F)
где К, L — соответственно главный вектор и главный момент относительно точки О
всех приложенный к системе активных сил; F — вектор массовой силы, отнесенной к
единице массы жидкости; р — гидродинамическое давление; v = ц/р — кинема-
кинематический коэффициент вязкости; (х — коэффициент вязкости (для идеальной

282	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
жидкости v = (х = 0); Д — оператор Лапласа; v = v,-)-aXr|ii — вектор
абсолютной скорости частицы жидкости.
К уравнениям E), F) следует добавить граничные условия
и = 0 на oi;	G)
д~ + ^)]п на S;	(8)
|+u.grad/=0 на S;	(9)
cosi3' = (a2 — oei)/a на s,	A0)
где п — орт внешней нормали к поверхности S; р„ — вектор напряжения жидкости
для площадок, касательных к поверхности S; Rx и R2 —главные радиусы кривиз-
кривизны поверхности S, определяемой уравнением f(xlt ж2, х3, t) = 0, а, аг, а2 — коэффи-
коэффициенты поверхностного натяжения на границах жидкость — воздух, тело —
жидкость и тело — воздух; 0 — краевой угол в точках контура s, равный углу между
ортами tii и п2 внешних нормалей к контуру s поверхностей S и а5, расположенными в
касательных плоскостях к этим поверхностям.
В случае идеальной жидкости v = 0, и граничные условия G) и (8) заменяются
условиями
«„ = u-n = 0 на Oil	A1)
^- + -^) на S,	A2)
где ип — проекция вектора относительной скорости жидкости на нормаль к поверх-
поверхности ах.
Если поверхностным натяжением можно пренебречь, тоа,^, а2 будем полагать
равными нулю; при этом условие A0) выпадает, а условия (8) и A2) принимают
соответственно вид
Рп = —РоП на S;	A3)
р — Ро на S.	A4)
Если жидкость целиком заполняет полость, то имеем лишь одно граничное условие
G) или A1). В этом случае за начало подвижных осей удобно принять центр инерции
системы, тогда уравнения движения C) и D) принимают более простой вид
A5)
Активные силы, действующие на систему, в общем случае могут зависеть не
только от положений и скоростей точек системы и времени, но и от некоторых па-
параметров. В этом случае к уравнениям движения надо добавить также кинемати-
кинематические уравнения для названных параметров и рассматривать совместно получен-
полученную полную систему уравнений.
Уравнения движения C) — F) представляют собой совместную систему обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Реше-
Решения этой системы уравнений будут содержать произвольные функции и произвольные
постоянные, которые определяются из граничных и начальных условий. Начальные
условия состоят обычно в том, что задаются положение, скорости v0, <o твердого тела,
форма свободной поверхности S и поле скоростей жидкости v(r) в начальный момент
t= к.
Уравнения движения несвободного тела. Уравнения движения твердого тела
с жидкостью, стесненного голономными идеальными связями, можно представить
также в форме уравнений Лагранжа.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ	283
Положение системы будем определять лагранжевыми координатами тела <?,(/ =
= 1, ..., п sg 6) и декартовыми координатами x-t (i = 1, 2, 3) частиц жидкости.
Векторы v,uci можно представить в виде линейных функций обобщенных скоростей
qj с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат qj. Подставив эти вы-
выражения в формулу A), получим
T^T^q/, qf, /) + pJro(^, щ, щ, Xt, t) dx,
x
где 7\ и Та — кинетическая энергия тела и плотность кинетической энергии
жидкости.
Обозначим через Qj обобщенные силы, соответствующие координатам qy, тогда
уравнения Лагранжа движения твердого тела с жидкостью в его полости запишутся
в виде [13]
d дТ дТ
Q е1.)	A6>
<W 5U;	dXj	' p OX;
К этим уравнениям следует добавить уравнение несжимаемости F), а также
граничные и начальные условия, Уравнения A7) лишь по форме отличаются от гидро-
гидродинамических уравнений Навье —Стокса E).
Интегралы уравнений движения. Предположим, что на твердое тело наложены
голономные стационарные связи, а активные силы, приложенные к системе, являются
потенциальными, не зависящими явно от времени. Потенциальную энергию системы
можно представить в виде
n = n1(g,) + p^n2((j;, X()dT+n3,
т
n3 = aS+a1o1 + a2ff2,
где IIj — потенциальная энергия активных сил, приложенных к твердому телу;
П2 — потенциальная энергия действующих на жидкость массовых сил, отнесенная
к единице массы жидкости; П3 — потенциальная энергия сил поверхностного на-
натяжения. Используя теорему о кинетической энергии системы, приходим к уравне-
уравнению 113]
) = — ц \ ? dx;
dt
Ешт у U(^\\(^+p\2}^,	A8)
i-J L \ 0*1 / \ ОХ3	бХ-, I J
A,2, 3)
где знак суммирования с символом A, 2, 3) означает, что два других слагаемых
получаются из написанного круговой перестановкой индексов 1, 2, 3. Равенство
Е = 0 возможно лишь в случае движения жидкости как твердого тела.
Если жидкость идеальная [д. = 0, то из уравнения A8) получаем интеграл
энергии
Т-\~ n = /; = const.	A9)
Из теоремы о моменте количеств движения следует, что если наложенные связи
допускают вращение твердого тела вокруг неподвижной оси, а активные силы не
дают относительно нее момента, то проекция момента количеств движения системы
па'эту ось остается постоянной. Принимая указанную ось за ось х'А системы О'х[х'^х\,
а в качестве qn — угол поворота тела вокруг оси х'ъ, получаем интеграл площадей
в виде
дт —
Q' п
где G0/ — момент количеств движения системы для точки О'; К — орт оси х'.

284	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
Рассмотрим систему координат О'у^х^ вращающуюся вокруг оси х'ъ с некоторой
угловой скоростью со. Обозначим через Г„ С, я » соответственно кинетическую
энергию, момент количеств движения относительно оси х'3 и скорость жидкости
при движении системы относительно осей О'у^х^. Тогда интегралы A9) и B0) примут
вид [13]
+ Л
где J — момент инерции системы относительно оси х'3. Угловая скорость со вращения
осей координат О'уху^с'ь может быть задана произвольно. При исследовании ста-
стационарных движений системы величину со условимся выбирать таким образом, чтобы
в любой момент времени имело место равенство G* = 0 или, что то же, Jco = k;
тогда интеграл энергии можно представить в виде
Г*+Ц-+П=Л.	B1)
Уравнения стационарных движений. Пусть связи допускают вращение тела
вокруг оси х3 и активные силы не дают момента относительно этой оси, тогда си-
система может совершать равномерное вращение вокруг оси х3 с угловой скоростью
со0 как одно твердое тело. Такие движения называют стационарными или устано-
установившимися.
Рассмотрим измененную потенциальную энергию системы
^=|у+П,	B2)
где k0 — значение постоянной площадей k при равномерном вращении системы.
Выражение для W зависит от формы жидкости и тех координат тела qx ..., qn,1, от
которых зависят У и П.
Для установившегося движения системы W имеет экстремальное (стационарное)
значение, для которого [13]
6№ = 0.	B3)
Условие B3) приводит к уравнениям
Z—H&+-&" <»'	->
для координат qj твердого тела в установившемся движении системы, а также
к уравнениям для давления в жидкости, из которых следует условие
для определения свободной поверхности жидкости 50 в этом движении при ча-
частичном заполнении полости; значение постоянной с определяется количеством
жидкости в полости.
В случае, когда среди звеньев системы содержатся упругие тела, к уравнениям
C) — F) или A6), A7) необходимо добавить соответствующие уравнения теории
упругости для упругих звеньев системы, а также граничные и начальные условия.
Тогда в интегралах энергии A9), B1) появятся добавочные члены, обусловленные
упругой деформацией элементов системы. При этом соотношение B3) служит для
определения стационарных движений [26].
3. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЬЮ,
ЦЕЛИКОМ ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Рассмотрим идеальную однородную несжимаемую жидкость и предположим,
что массовые силы потенциальные. Тогда при безвихревом движении жидкости
(v= gradtp) в произвольной^полости или однородном вихревом движении жидкости
в эллипсоидальной полости" система тело — жидкость оказывается динамически

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ	285
эквивалентной механической системе с конечным числом степеней свободы. В обоих
случаях указанные свойства движения жидкости сохраняются во всё время движе-
движения при любых перемещениях тела. В частности, движение жидкости будет потен-
потенциальным, если оно началось из состояния покоя, а в случае эллипсоидальной по-
полости движение будет однородным вихревым, если оно началось из вращения
жидкости как одного твердого тела.
В этих случаях задачи об устойчивости и колебаниях твердого тела с жидкостью
естественно ставить как задачи об устойчивости по Ляпунову и колебаниях для
систем с конечным числом степеней свободы. Постановка и решение задачи устой-
устойчивости при безвихревом движении дана в работе [31], а при однородном вихревом
движении — в работе [27].
Безвихревое движение жидкости. Потенциал скоростей абсолютного движения
жидкости можно представить в виде [3, 13]
3	k-\
Ф(хц х2, х3, t)= 2[г\)Л + а>Л(*1. х2, ха)]+ 2 y.sfts(xu x2, х3), B6)
i = 1	s = I
где xs — заданные величины главных циркуляции жидкости в fe-связной полости
тела; "ф;, &s — гармонические функции в области т, удовлетворяющие на стенках
полости граничным условиям *
^к = х,п3-х3п2 A, 2, 3);
.	B7)
где п — орт внешней нормали к поверхности а с составляющими лг, п2, п3 вдоль
осей хх, х2, х3. При мысленном введении перегородок а'11, ..., а'*', делающих
полость односвязной, функция ®s убывает на единицу при переходе через s-ю пере-
перегородку als> в направлении s-ro главного контура и изменяется непрерывно при
переходе через все остальные перегородки. Если при / = t0 жидкость неподвижна,
то все к$ = 0. Функции г|з;, ®s зависят только от геометрии полости и не зависят от
движения твердого тела.
Кинетическая энергия жидкости
!=4pi
1 YV. .» .1
s,r=l
где постоянный симметричный тензор Э* определяется компонентами
^ 1
Ж)" (W-I. 2.3,.
а постоянная
-~-da{r> tr, s—l,
представляет собой поток вектора grad O^ через r-ю перегородку а".
Суммарный момент количеств движения тела и жидкости
5 = 1
* Здесь и далее символ A, 2, 3) указывает на то, что соотношения, подобные уравнению
дополняются равенствами, полученными ьужлической перестановкой индексов.

286	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
где R — вектор, постоянный в системе координат Оххх*х3 и не зависящий от распо-
расположения точки О, для которой он определяется.
Примем за начало осей координат Охххгхъ центр масс системы, а оси Х{ направим
по главным осям эллипсоида
r-F'i>+S*)-r==l.	B8)
Уравнения движения вокруг центра масс в форме второго из уравнений A5)
принимают вид [3]
^	Rta3 = Li;	B9)
Л = 0;> +9* A, 2, 3).
Такой же вид имеют уравнения движения системы вокруг неподвижной точки.
Уравнения B9) можно рассматривать как уравнения движения некоторого тела
с ротором, имеющим постоянный момент количеств относительного движения R.
В случае xs = О вектор R отсутствует и уравнения B9) совпадают с уравнениями
движения преобразованного твердого тела, получающегося из исходной системы
заменой жидкости на эквивалентное твердое тело с такой же массой, тем же центром
тяжести и с эллипсоидом инерции г • 8* ¦ г = 1 относительно точки О. Твердое
тело с присоединенным к нему эквивалентным телом Н. Е. Жуковский назвал
преобразованным телом [3].
Однородное вихревое движение жидкости в эллипсоидальной полости. Пусть
полость имеет форму эллипсоида
Однородное вихревое движение описывается формулами [13]
*! = -^ + 02*8-8»*» С 2, 3);
i, x2, x3, t)=
.
Функции Qi(t) (i = 1, 2, 3) определяются из уравнений Гельмгольца вихревого дви-
движения жидкости [13]. Для рассматриваемого случая эти уравнения имеют вид
Проекции на оси ц (i = 1, 2, 3) вектора G'2' момента количеств движения
жидкости
G1a) = 6uw1 + ./;Qj A, 2, 3),
где
11 5 al-
Уравнения движения вокруг центра масс в форме второго из уравнений A5)
принимают вид
Их нужно рассматривать совместно с уравнениями C0).

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ	287
4. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ СИЛ ТЯЖЕСТИ
Исследование колебаний жидкости со свободной поверхностью в подвижном или
неподвижном сосуде на основе нелинейных уравнений C) — A0) представляет слож-
сложную задачу математической физики. Основная сложность, состоящая в том, что
граничные условия (8), (9) задаются на неизвестной изменяющейся свободной по-
поверхности жидкости, отсутствует в линейной теории, в которой граничные условия
задаются на известной невозмущенной свободной поверхности жидкости. Матема-
Математические методы линейной теории достаточно хорошо разработаны, согласуются с
экспериментом и вошли в инженерную практику.
Однако некоторые экспериментальные факты невозможно объяснить в рамках
линейной теории (например, зависимость частот колебаний от амплитуды, ограни-
ограниченность амплитуды в резонансном режиме, возникновение своеобразного вращения
свободной поверхности жидкости в некоторых диапазонах частот возмущающей
силы и др. [11, 35]).
Существуют приближенные нелинейные методы, относящиеся к цилиндрическим
полостям или близким к ним, когда уравнение свободной поверхности можно пред-
представить в явном виде г= ?(х, у, t) с неизменной областью определения [12, 15].
Эти методы можно обобщить на полости более сложной формы введением криволи-
криволинейных координат [7]. Указанные методы имеют только качественное согласова-
согласование с экспериментом и пока не нашли широкого применения в инженерной прак-
практике.
Разложение скорости жидкости на составляющие. При изучении малых колебаний
идеальной жидкости можно ограничиться рассмотрением только потенциальных те-
течений, так как в линейном приближении вихревые составляющие не влияют на
свободные колебания и распределение давления в жидкости [13]. При таких пред-
предположениях скорость частиц жидкости можно представить в виде
v*,	C1)
где ф — потенциал скоростей движения жидкости в неподвижном сосуде; v* — ско-
скорость жидкости, целиком заполняющей полость, получающуюся при введении жестко
связанной с телом крышки, совпадающей с невозмущенной свободной поверхностью
жидкости; скорость v* полностью определяется потенциалами Стокса—Жуков-
Стокса—Жуковского (см. п. 3).
Возможны и другие способы разделения скорости жидкости на составляющие
В работе [11] для определения v* вводится «плавающая крышка»,'сохраняющая
горизонтальное положение в любом отклоненном положении тела.
Свободные колебания жидкости в неподвижном сосуде. Рассмотрим подробнее
вспомогательную краевую задачу для определения колебании жидкости в неподвиж-
неподвижном сосуде и методы ее решения. Для некоторых простых полостей эта задача ре-
решается методом разделения переменных Фурье. В общем случае ее можно решить
на ЭВМ интегральным методом Ритца или другими методами с использованием анали-
аналитических решений для простейших полостей [1].
В линейном приближении значительно упрощаются граничные условия для
жидкости; их можно задавать на известной невозмущенной свободной поверхности
жидкости и смоченной поверхности полости. Согласно E), F), (9), A1) и A4) функция
ф должна быть гармонической в области т, занятой жидкостью в положении равно-
равновесия, и должна удовлетворять граничным условиям
(Эф
-=.— = 0 на о\;
дП	C2)
дф dt Зф
а* аЬ -^+^=ОпРиг=0

288
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЯЧИВОаь ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
где г = t,(x, у, t) — уравнение свободной поверхности жидкости в системе коор-
координат, жестко связанной с полостью так, что плоскость г = 0 совпадает с невозму-
невозмущенной свободной поверхностью жидкости So (рис. 1).
Исключая из последних двух условий в C2) функцию ?, получаем
После нахождения функции ф форма волны определяется выражением
±i2_
g dt
C3)
C4)
Введем оператор Неймана Я [12, 13]
. Q)f{P)dP,
So, $ fdS = O\ функцию ф@)
который ставит в соответствие функции / (Р) IP
(Q е т), гармоническую в области т и удовлетворяющую условиям d(p/dn = 0, если
Р <= аи и ду/дп = /, если Р е= So. Здесь Я(Р, Q) — функ-
функция Грина задачи Неймана для области т
Используя очевидное соотношение <f(Q)
—-
= Я ~, последнее условие в C2) представим в виде
интегро-дифференциального уравнения для определения
функции С
Свободными (или собственными, или главными) колеба-
колебаниями жидкости называют такие потенциальные течения,
потенциал скоростей которых имеет вид ф@, t) —
= ©(Q)cos v.t. Число у, называют собственной частотой
колебания.
На основании C4) форма поверхности волны свободного колебания определя-
определяется уравнением
Рис. 1
= ^(x, y)smxt, ф = — ф (*, у, 0).
C6)
Функция Ф — гармоническая в области т и удовлетворяет граничным условиям
дФ
= и на а,, ^г— = аф при г = и
пи
C7)
-3—= 0 на alt ^r—
on	дп
При подстановке C6) в C5) получим уравнение для определения функции г|з
^~=ХН%	C8)
Таким образом, функции i|), определяющие форму свободной поверхности жид-
жидкости, являются собственными функциями линейного оператора Я. На основании
общих теорем функционального анализа легко установить следующие свойства
этих функций [13]:
1) при движении жидкости около положения равновесия в сосуде ираниченных
размеров существуют собственные колебания, т. е. решения вида ?л = "<\>п(х,у) sin v.nt;

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
289
2)	собственные числа кп — положительные, имеют конечную кратность и образуют
неограниченно возрастающую последовательность х„ ->оо;
3)	собственные функции г|>„ оператора И, которые описывают главные формы
свободных колебаний жидкости, таковы, чго последовательность функций
1, лрх, "ф2, 	tyn, ... полна и ортогональна;
4)	собственные числа хя и собственные функции г|зи могут быть определены ме-
методом Ритца.
Для установления характера движения жидкости рассмотрим простейший при-
пример плоских колебаний (в плоскости Оуг) жидкости в канале прямоугольного се-
сечения (рис. 2). Частные решения ищем в виде <р(у, z, t) = f(t)Y(y)Z(z). После разде-
разделения переменных в уравнении Лапласа Дф = 0 и учета граничных условий C2)
получим
фл (У> г> t) = ccos—j—y ch пл, (z-\-h)/l cosxj;
nng
C9)
8
I
где с — постоянная; п — любое натуральное число.
Таким образом, в прямоугольном канале могут возникать стоячие колебания
жидкости, описываемые формулами C9). Таких форм колебаний бесчисленное мно-
множество, так как каждому натуральному числу соответ-
соответствует своя форма колебаний. В каждом главном ко-
колебании при фиксированном у точка поверхности
волны совершает периодические 'колебания с часто-
2fe	1 "
той кп. В узлах при у= —„	I (k = I, ..., я) ам-
амРис. 2
Рис. 3
плитуда равна нулю. При фиксированном t волна имеет форму косинусоиды. В МО-
менты tv=	 (v = 0, 1, ...) свободная поверхность жидкости горизонтальна.
На рис. 2 изображена одноузловая форма главных колебаний, на рис. 3, а —•
двухузловая и на рис. 3, б — трехузловая.
Обратим внимание на зависимость частоты кл от параметра hll (относительной
глубины), которая приведена в таблице (через и* обозначена величина v.n yt/ng).
В работе [12], откуда заимствована эта таблица, приведены также таблица соб-
собственных частот, их зависимости от параметров для ряда других форм полостей и об-
обширная библиография.
Величина собственной частоты заметно изменяется с глубиной только для очень
мелких полостей и только для первых собственных частот, когда длина волны не
очень мала. Для сосудов более или менее значительной глубины и для частоты
у.п с достаточной степенью точности справедлива приближенная формула к2п ss
anng/l. Заметим, что для собственных частот колебаний жидкости в сосуде,
глубина которого в 2 раза меньше ширины зеркала свободной поверхности, послед-
последняя формула дает погрешность не более 4%.
Ю п/р Блехмана, т. 2

290
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
h/1
0,1
0,2
0.5
07
0,9
1,0
к*
0.55
0 75
0 96
0 99
1,00
1,06
1,32
1,41,
х*
1.61
1 70
1,73
1,84
2 00
и?
2 14
2 23
2 40
2,45
Уравнения движения частиц жидкости, лежащих на определенной глубине,
можно получить дифференцированием потенциала скоростей по у и г.
dy I dw \	,
dt \ dy Jy=y0, z = z0
dz I dw\	.
= a2 cos nj.
n
at
где
tin . tin , . ,,-,,,
at——c -.— sm —j-Hoch tin (z0 + h)jl;
tin tin . ,,,,,,
a2 = c —7- cos—j- (/osh пя (zo-f-rt)/(.
Частицы жидкости совершают прямолинейные колебания около своего началь-
начального положения (у0, г0) с частотой х„ и амплитудой Vа{ + а\. Амплитуды убывают
с глубиной по экспоненциальному закону и тем быстрее, чем больше частоты ко-
колебаний. На рис. 4 отрезками прямых изображены
траектории частиц, лежащих на глубине г — го-
Частицы жидкости, лежащие на одной вертикали
, ^	•_! I	c Узлами> движутся по горизонтальным прямым.
0-\—I л. "' -я ! гт	Главные колебания можно разделить на два
типа: четные и нечетные. Для первого типа коле-
колебаний свободная поверхность представляет собой
волну, симметричную относительно прямой у = 1/2.
Это волны четных индексов. Они не смещают
центр тяжести жидкости в горизонтальном направ-
направлении. Можно показать, что никакими горизон-
горизонтальными перемещениями сосуда нельзя вызвать
Рис 4	на поверхности жидкости, которая в нем налита,
волн этого типа. В свою очередь, подобные волны,
возникшие вследствие каких-либо причин на поверхности жидкости, налитой в
сосуд, не могут оказать никакого влияния на характер движения такого сосуда в
горизонтальном направлении. Волны нечетных индексов смещают центр тяжести с
вертикальной прямой, и связанное с ними движение жидкости влияет на движение
сосуда.
5. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ
Метод Фурье разделения переменных применяют главным образом для цилиндри-
цилиндрических полостей произвольного профиля с вертикальной образующей и плоским
горизонтальным дном (г =» —А). В этом случае потенциал скоростей ищут в виде
ф (х, у, z) = Z (г)х(х, у)-
Подставляя это выражение в исходные дифференциальные уравнения и граничные
рч
1 I4
¦
j
I
t
i
lf
1
1
\
«^
1
j
1
I*
/\ 1
j 1
i j
!
I -L >
1
I и
! y
i
i
i
i
i
4-

COECTBFHHhlE КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ	291
условия, после разделения переменных получим следующие краевые задачи для
функций Z и %:
D0)
= 0,	D1)
где s — контур профиля цилиндрической полости; р—постоянная.
Задача D1) имеет нетривиальные решения лишь для определенных значений
E = р*л (собственных значений), при этом соответствующие собственные функции
%п ортогональны на So. Если контур s совпадает с одной из координатных линий
какой-либо криволинейной изотермической системы координат, то в D1) перемен-
переменные х и у также разделяются и задача о свободных колебаниях сводится к решению
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Решение задачи D0) имеет вид
Zn (?) == —ZT— iq—Т\— » ™п =:= Рп ^ (Рп^О»
рп sn (р^д)
если принять условие нормировки {dZldz)z^— 1
Методом Фурье получены решения задачи о колебаниях жидкости в сосудах
в форме параллелепипеда, кругового цилиндра, цилиндра с кольцевым дном, ци-
цилиндра с некоторым числом сплошных и несплошных перегородок и др. [11, 12].
Метод Ритца. Задача о свободных колебаниях жидкости в неподвижном сосуде
может быть сведена к вариационной задаче 6L = 0 для функционала [12, 13]
Для решения этой задачи используют метод Ритца, который в стандартном виде
сводится к следующему: вводят полную ортонормированную систему «координат-
«координатных» функций {%„} и решение задачи ищут в виде отрезка ряда с постоянными коэф-
коэффициентами
N
п= 1
где ап определяют из уравнений
N
"' = '	D4)
a«m = amn = J VxnVym dx; рят = ртп= f yntm dS.
Нетривиальные решения системы D4) существуют для значений К, удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнению частот
|a«m-^«mlf=0.	D5)
Так как матрицы ||anm|| и Iipnm|| симметричные, то корни Хп (п = 1, ..., N) уравнения
D5) — действительные, при этом х^ = kng. Решение уравнения D5) требует приме-
применения ЭВМ.
Основная трудность, с которой сталкиваются при практической реализации
метода Ритца, состоит в выборе координатных функций. При этом следует иметь
в виду следующее:
а) значение Я,, соответствующее низшей частоте, «мало чувствительно» к вы
бору функций Хп,
10*

292	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
б) можно не требовать, чтобы функции %„ строго удовлетворяли всем граничным
условиям; минимизирующая последовательность в этом случае также будет сходиться
к точному решению.
Таким образом, систему координатных функций {%п} можно выбирать довольно
грубо Достаточно только обеспечить полноту этой системы. В качестве функций %п це-
целесообразно выбирать собственные функции задачи о колебании жидкости в некото-
некотором сосуде, охватывающем заданный, но имеющем более простую форму. Например,
если жидкость колеблется внутри конического бака, то в качестве координатных
функций можно взять собственные функции задачи о колебании жидкости в цилиндри-
цилиндрическом сосуде, поперечное сечение которого равно наибольшему из оснований
конуса.
Для оценки собственных частот колебаний жидкости используют следующее
свойство если два сосуда имеют одинаковую площадь свободной поверхности и
один сосуд объемлет другой, то соответствующие собственные частоты будут больше
у того сосуда, объем которою больше [12].
Приближенный способ расчета собственных колебаний. Для определения соб-
собственных колебаний жидкости в области т, близкой к области т *, для которой из-
известна система собственных функций Ф* и собственных чисел X*, целесообразно
применять метод теории возмущений [12, П]. Этот метод позволяет для широкого
класса полостей получить в явном виде приближенное решение с любой степенью
точности.
Принимая в качестве координатных функций %п функции Ф*, коэффициенты
уравнений D4) представим в виде
$ *Фтйт, Дт = т —т*;
Ф;Ф?<Ю+ ] OfoZdS, AS0 = 50-S*.	D6)
Принимая условие нормировки ^ Ф%2 dS = i, получаем ^ (V0*J rfx = X*.
с*	т*
•->о
Так как области Дт и AS0 малы, то формулы D6) можно преобразовать к виду
где блот — символ Кронекера (бят = 1, если п = т, и Ьпт = 0, если п Ф т);
8 — малый параметр.
Система уравнений D4) примет вид
N
k = \
(' = 1	N).
Решение системы D7) разыскиваем в виде рядов
;=0	;=0
Для корня Хп, близкого к X*, получим
и т. д.
Примеры, показывающие эффективность изложенного метода, приведены в мо-
монографии [12].

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ	293
Определение потенциалов Стокса — Жуковского. Функции i|), (i = 1, 2, 3) в форму-
формуле B6) можно определить теми же методами Фурье, Ритца и методом возмущений.
При использовании метода Ритца минимизируют функционалы
х	Ь
Н1=хгп3—х3пг A, 2, 3).
Отыскание функции г|); проводится с помощью метода Ритца в стандартном виде
так, как показано в п. 5. Заметим, что в отчичие от задачи определения свободных
колебаний здесь получится неоднородная система уравнений.
6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
с жидкими звеньями
Формулы B6), B7) и C1) можно обобщить на произвольные системы с п степенями
свободы (без учета жидкости), среди звеньев которых имеется тело, содержащее
идеальную жидкость В этом случае скорость жидкости можно представить в виде
Тогда кинетическая энергия системы
п
t, 1=1
где
/я," — матрица коэффициентов квадратичной формы, представляющей собой кине-
кинетическую энергию системы без жидкости, р f V<p*V<P? dx — присоединенные массы
т
жидкости.
С точностью до квадратичных членов потенциальная энергия системы U3J
'-I s°	s,
где П'01—потенциальная энергия системы, когда свободная поверхность жид
кости заменена крышкой, П 2 — потенцисшьная энергия жидкости в неподвижном
сосуде, /, —функции, определяемые только геометрией полости
На основании принципа Гамильтона уравнения движения системы можно по
лучить, приравнивая нулю вариацию функционала [13]
1= ^ (Т — ЩШ.
о
Для упрощения записи уравнений перейдем от переменных qj к каноническим
переменным Y/ с помощью известного линейного преобразования, одновременно

294	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
п
приводящего формы П"" и 7"""= - Л т^ц-Д) к диагональному виду
1=1	t-=l
где ii/ — собственные частоты системы в том случае, когда свободная поверхность
жидкости накрыта крышкой.
В новых переменных получаем
п
= T(OI-|- / Yip \ уФУФ?* d%-\- -г- р \ (уфJ <
п
-г ^ / j /b г 2 re j
E0)
где ф** и v — линейно выражаются через ф* и /„
Исключая <р, используя формулу Грина и кинематическое соотношение, пред-
представим Т в форме
/ — 1 So
С помощью принципа Гамильтона получим уравнения колебаний системы в виде
[13]
У/ + 9 \<pf%tdS + iislYl+ fv/JrfS = O, /=1	я;
So	50
E1)
В работе f 131 рассмотрен ряд конкретных задач, решение которых сводится
к изучению системы E1).
В прикладных задачах иногда целесообразно заменить систему интегро-диф-
ференциальных уравнений E1) бесконечной системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. Для этого достаточно положить в E1)
да
с- 21 '«<ох«(*. у).
п. —I
где {%„} — полная на So ортонормированная система функций. Если в качестве
{Хп} выбрать систему собственных функций оператора Н, то бесконечная система
уравнений, соответствующая системе E1), примет вид [13]
zj riAn + tfY/+ 2] пВ/,=.О, / = 1	п;
E2)
9	?Jl	O, k=*\, 2

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ЖИДКОСТЬЮ БОЛЬШОЙ ВЯЗКОСТИ	295
где
АИ = Р \ ФОС/ dS; В и = J vifj dS;
S»	So
a/ — собственные частоты колебания жидкости в сосуде.
Уравнения малых колебаний системы можно получить и относительно функции qp,
исключая из E0) ? с помощью кинематического соотношения фг =• t,t после диф-
дифференцирования no t последнего условия в C2). Это приводит к искусственному
повышению порядка системы. Д. Е. Охоцимский [17] предложил вместо потенциала
скоростей использовать потенциал смещений, определяемый равенством Qt — ф.
Тогда уравнения запишутся так:
Y/ + P Ur<^«dS + n)y,+ \vjQzdS = 0, / = 1	п;
s0	s0
Р I] <pt*	_?
Эти уравнения также могут быть сведены к бесконечной системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, если функцию Q разложить в ряд Фурье,
При введении «плавающей крышки» аналогичная система уравнений приведена
в работе [9], где указаны также значения коэффициентов уравнений для некоторых
форм полостей.
Из общих теорем функционального анализа вытекают следующие свойства рас-
рассматриваемой задачи [6, 13].
Если консервативная система состоит из конечного числа звеньев и содержит
конечное число полостей, частично заполненных идеальной жидкостью, и если в
положении равновесия системы потенциальная энергия системы имеет минимум,
то при движении этой системы около положения равновесия существуют главные
колебания
У) Х "	1	«
а частоты этих колебаний являются дейстьительными числами и ип -> оо при
п-»оо. Это означает, что положение равновесия устойчиво; система главных ко-
колебаний полна, и любое свободное движение системы можно представить как супер-
суперпозицию главных колебаний; главные колебания и частоты могут быть найдены
методом Ритца.
Здесь считается, что положение равновесия устойчиво, если любое главное ко-
колебание ограничено. Таким образом, утверждения, что система главных колебаний
полна и любое свободное движение системы можно представить как суперпозицию
главных колебаний, являются аналогом теоремы Лагранжа. Если же в положении
равновесия системы потенциальная энергия не есть минимум, то среди чисел xjj
есть по крайней мере одно отрицательное или равное нулю [6].
7. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ,
ЦЕЛИКОМ ЗАПОЛНЕННЫМИ ЖИДКОСТЬЮ БОЛЬШОЙ ВЯЗКОСТИ
Алгоритм построения асимптотического разложения решения. Рассмотрим за-
задачу о движении твердого теЛа с полостью, целиком запелненней вязкой жидкостью,
относительно центра масс в потенциальном поле сил.
Движение системы описывается уравнениями E), F), A5) с граничным G) и
начальными условиями, которые представим в виде (принимая за единицы длины и

296	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
времени характерные линейный размер области т и время в движении тела относитель-
относительно центра масс)
$>	]	0, divH = 0;
E3)
«lo = 0; и(г, О) = «о(г); e)@) = <a<>.
Эти уравнения будем рассматривать в предположении, что вязкость жидкости
v велика. Тогда, как показано в работах [4, 30], для построения асимптотического
(по малому параметру е= 1/v) решения этих уравнений на интервале времени
[0, t,], имеющем величину порядка tt= 1/v, можно применить теорию систем
дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных [2].
Построим сначала формальное решение системы E3) в виде степенных рядов
по малому параметру 8 = 1/v
о'" (г, t, е) = |] е»«й' (г, t); ,ч« (г, *, в)- |j в»?-}1 (r, t);
E4)
СО
<в<1> (t, e) = 2] e"*»n' W"
п = 0
Подставляя E4) в E3) и приравнивая члены при одинаковых степенях е, для
определения u^1', q'^> получим квазистационарные краевые задачи, содержащие вре-
время t в качестве параметра. Эти функции зависят от геометрии полости и не зависят от
движения тела. После определения uj,", q'^] для нахождения <о^> составим диф-
дифференциальные уравнения с начальными условиями, задаваемыми специальным
образом [4].
Построим далее формальное решение системы E3), предварительно перейдя
в ней к «быстрому» времени ¦& = vt, в виде разложений
со	со
иB) (г, ¦&, е)= 2 е,пи<*> (г, ¦&); q™ (г, ¦&, е)= 2 e" Я'п (г> ®У>	E5)
<o»(G. e)= f] в»©»(Ф).
«=о
Краевые задачи для функций u^s), ^a> получаются нестационарные. Начальные
условия для функций ujj21, q'*', (a<2> зададим следующим образом:
и;21 (г, 0) = и°(г); «*(Л 0) = 0;
а»2@) = о)°;	cB'nJ'(O) = O (и > 0).
Разложим теперь все коэффициенты рядов E4) по степеням t
оо	со	со
«;/' (г. 0- S /ft "nft <r); С (f- ') = 2 tk № (f): w;>' (o = 2! '*»й. E6)
Подставим Efi) в E4), сделаем замену Ь = v/ в получившихся формальных раз-
разложениях и перегруппируем члены этих разложений так, чтобы получились ряды
по степеням е, коэффициенты которых при п-й степени е обозначим соответственно

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ЖИДКОСТЬЮ БОЛЬШОЙ ВЯЗКОСТИ	297
через и;31 (г, ¦&), дл"(г, Ъ), соп3) (Ф); тогда
Из (г, ft, е) = 2 е"^1 (г, 0);
п=0
со
ев'31 @, е) = 2] еЛй)«' С*)-
п=о
Составим, наконец, следующие выражения:
-(«)'„";
-(?)^;	F8)
где ( Iп (( = 1, 2, 3) означает частичные суммы рядов E4), E5) и E7) до степени д
по параметру е.
Выражения E8) являются частичными суммами асимптотических разложений
решения задачи E3). Для достаточно малых значений 8 = 1/v на произвольном
конечном отрезке времени [0, <„] справедливы следующие оценки отклонений ча-
частичных сумм асимптотических разложений от точного решения u (r, t, e),q(r, t, 8),
m(t, б) задачи E3):
||и (г, /, е)-(и)яЦ<ае»+1;
\q(r.t,e)-(q)n\<0E»4;	E9)
\a{t, е) —(ю)„|
где а — постоянная, независящая от t и е; \\ \\ — норма в 12(т). Функции с верхним
индексом 2 быстро затухают со временем, и их влияние существенно только в погра-
пограничном слое (по времени) [О, Р] где Р = —бе In e, a b — достаточно большая, но
фиксированная при е -> 0 постоянная. Вне пограничного слоя на отрезке \t°, f]
в E9) вместо (и)„, (q)n, (ш)л можно взять (u)n', (q)n', (и)п1 [41.
Таким образом, решение задачи E3) разбивается на две части, которые можно
выполнять независимо. Первая, гидродинамическая часть задачи, сводится к ре-
решению некоторых стандартных краевых задач, зависящих от формы полости и не
зависящих от движения тела, и затем к вычислению коэффициентов, характери-
характеризующих влияние жидкости на движение тела. Вторая, динамическая часть задачи,
сводится к решению уравнений движения тела и не требует решения уравнений с
частными производными. В значительной степени ход решения подобен тому, который
имеет место для идеальной жидкости.
Построение асимптотики решения задачи E3) с точностью до членов порядка е2.
Для определения нулевого приближения к решению задачи E3) вне интервала
времени [О, Р] имеем уравнения
= 0, «[,"=0;
X и") dr.

298	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
Обозначим через о>0" (/) — й(/) решение этого уравнения и выпишем систему
для определения первого приближения
Аи!11 — V<7"' — Й X r = 0; div«i1!=0;
dot'11	till111
Э • -^- + Я X S ¦ о»;11 -S • О X Ц" + ^- + QX О<" =0;
Gi" = p$ (г X а',11) Л; и'," |а=0;	F0)
р f (г X и[1> (г, 0)) dx +
+ J [«<•' х (в.«»'»'+o?1)-«»i11 @) s .<> @)]
б
Значения u)j2'(©)> G|,21 (ft) находят из уравнений
1
J
ой 5 . оо>'о	Ли'2'4-\7л121 = 0-	diva'21—О
и},211„ « 0; а[,21 (г, 0) = и° (г); (в,?1 @) = со".
Решение задачи F0) приведено в работе [30], где показано, что
здесь Р — симметричный тензор, зависящий лишь от области т. С учетом послед-
последнего соотношения для функции mJ" окончательно получаем
' -со',1' — 8 ?2 X ю',11— p[P.Q + Q X P-fi] = O;	F1)
да
_0—a • coj,11 @) x \ [о'2' ($)—&>?>" @)] <
о
Сумма ft)j"@ + v©',11^) представляет собой первые два члена разложения
маклореновского типа решения системы E3) вне пограничного слоя [0, t°].
При движении системы по инерции (L(/) ss= 0) качественный анализ поведения
решений уравнений F1) приведен в работе [30], где на основе изложенного метода
исследован также ряд других задач динамики тела с жидкостью в случае как полного,
так и частичного заполнения полости.
8. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ,
содержащими жидкость,
ПО ОТНОШЕНИЮ К КОНЕЧНОМУ ЧИСЛУ ПЕРЕМЕННЫХ
Когда идеальная или вязкая жидкость частично или целиком заполняет полость
гела, а о характере движения жидкости никаких гипотез не делается (кроме естест-
естественных предположений о непрерывности и сплошности движения жидкости), задача
об устойчивветн движения представляет большие трудности.
Однакв и в 9тих случаях можно свести задачу об устойчивости движения твер-
твердого тела с жидкостью к задаче об устойчивости по отношению к конечному числу
переменных.

устойчивость по конечному числу переменных	299
В зависимости от характера задачи можно ввести в рассмотрение величины вида
(s= 1, ..., m),
интегральным образом характеризующие движение жидкости в полости. Здесь Ф5 —
некоторые вещественные непрерывные ограниченные функции координат xi и проек-
проекций Vi скоростей частии жидкости. За величины ps можно принять, например, проек-
проекции количества движения и момента количеств движения жидкости и т. п. При вве-
введении таких величин задачу об устойчивости движения твердого тела с жидкостью
можно ставить как задачу устойчивости по отношению к переменным q;, q~j, характе-
характеризующим движение твердого тела, и к величинам"р5, интегральным образом характе-
характеризующим движение жидкости. При таком подходе для решения задачи устойчи-
устойчивости можно использовать методы, разработанные для систем с конечным числом
степеней свободы, в особенности метод функций Ляпунова [32].
Пример [13]. Пусть твердое тело с полостью, целиком заполненной жидкостью, дви-
движется вокруг неподвижной точки О в поле сил с силовой функцией Щу3) Для простоты пред-
предположим, что для точки О главные оси инерции тела и жидкости совпадают. Обозначим через
A j, В^ С^ (i = 1, 2, 3) моменты инерции относительно осей х, соответственно твердого тела,
жидкости и всей системы Уравнения движения D) — F) с граничным условием G) допус-
допускают частное решение
а, = (ог = 0; (Оз = и = const; Vi = Vi — 0; у3 = 1;
F2)
G'i' = G'i' = 0, G'/ = S3ffl: «i = и, = и, — 0,
описывающее равномерное вращение вокруг оси *3. совмещенной с осью х', системы как одного
з
твердого тела. Здесь у. A = 1, 2, 3) — проекции на оси х. орта оси х'.
Исследуем устойчивость движения 162) по отношению к величинам ш., V/, G/2'
Г 2	'
р | ы>1 {х,, х3, дг3, t)dx, где функции wi определяются равенствами
A, 2, 3).
Уравнения движения допускают энергетическое соотношение вида A8)
3
3Г'a'i"' + Р \w) dx\ — U
< = 1 \	'
и первые интегралы
3
V2 = И (л«и,- + °? bi =const' v% = vi + vl + Уз ¦¦
{=1
В окрестности невозмущенного движения F2) функция
V = 2V, — 2o)Vi + [С3со2 + idU/dys)Vs = i] V3 + -j- >.V2it
при выполнении условия
(С, - С,) ш2 + (dC//dvOVj =, > о	(С, > С,)	F3)
является положительно определенной по отношению к о)^, V;, <3(f' ее производная по времени
согласно уравнениям возмущенного движения dV/dt = 2dV,/dt ^ 0 Следовательно, при
условии F3) функция V удовлетворяет всем условиям теоремы об устойчивости по части
переменных, что и доказывает устойчивость невозмущенного движения F2) твердого тела
с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, по отношению к указанным выше вели-
величинам.
Отметим, что изложенным методом в работе [5] решена задача об устойчивости
относительного равновесия на круговой орбите свободного твердого тела с полостью,
целиком заполненной вязкой жидкостью, притягиваемого неподвижным центром

300	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
по закону Ньютона, а в работе [20] — аналогичная задача для случая двух не-
неподвижных притягивающих центров. Этот метод был использован также в работах
{21, 24] при исследовании устойчивости установившихся движений для некоторых
других задач динамики твердого тела с полостью, целиком заполненной вязкой
жидкостью.
9. УСТОЙЧИВОСТЬ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
с полостями, содержащими жидкость
Изложим иной подход к задаче об устойчивости стационарных движений и,
в частности, равновесий твердых тел с полостями, частично или целиком заполнен-
заполненными идеальными или вязкими жидкостями, опирающийся на определение устойчи-
устойчивости и идеи, развитые Ляпуновым в теории устойчивости фигур равновесия вра-
вращающейся жидкости [8]. Установившимся движениям соответствуют стационарные
значения потенциальной энергии П или W. Задача об устойчивости установившихся
движений сводится к исследованию характера экстремума потенциальной энергии
II или W. Устойчивому движению соответствует минимум потенциальной энергии.
Условия устойчивости (неустойчивости) установившихся движений в ряде важных
случаев можно получить как достаточные условия определенной положительности
(знакопеременности вместе с некоторыми дополнительными условиями) второй
вариации потенциальной энергии ё2П или б2 IF.
Изложенную постановку задачи об устойчивости стационарных движений можно
применять также для систем, содержащих упругие звенья. Постановка и метод
решения задачи об устойчивости стационарных движений (равновесий) упругого
тела с полостью, содержащей жидкость, даны в работе [26]. Приложения этой тео-
теории для ряда механических систем с упругими и жидкими элементами можно найти
в работах [14, 16, 22, 23].
Определение устойчивости [13]. Рассмотрим некоторое установившееся движе-
движение системы, соответствующее стационарному значению измененной потенциальной
энергии W [см. B2)] при заданном значении постоянной площадей /е0. Без умень-
уменьшения общности допустим, что корпи уравнений B4) q} = 0 (/= 1, ..., п — 1);
при этом жидкость имеет форму /0 относительного равновесия, ограниченную сво-
свободной поверхностью So, определяемой уравнением B5), и стенками ах полости.
С формой fa равновесия жидкости будем сравнивать ее форму f в какой-либо мо-
момент возмущенного движения.
Рассмотрим какую-нибудь точку Р поверхности 5 и наиболее близкую к ней
точку Ро поверхности So. Для некоторого положения точки Р на S расстояние РРд
сделается самым большим из всех возможных для данного момента времени. Этот
максимум / расстояния РР0 Ляпунов назвал удалением возмущенной поверхности
жидкости от невозмущенной [8]. Кроме того, Ляпунов ввел в рассмотрение также
уклонение у формы / от формы f0, принимая за последнее объем части формы f, на-
находящийся вне формы f0. При учете сил поверхностного натяжения помимо ука-
указанных величин введем в рассмотрение величину Д разности площадей S и So сво-
свободной поверхности жидкости в возмущенном и невозмущенном движениях [ 13,
25]; величину Д назовем наклонением.
Определение [13]. Если при всяком произвольно задаваемом положительном
числе L, как бы мало оно ни было, может быть выбрано такое положительное число
%, что при всяких начальных значениях координат qj0 и скоростей q}a тела, удаления
/о, наклонения До, уклонения уо и относительных скоростей жидкости w0, удов-
удовлетворяющих условиям
|<7;о!=?=Я; (<7/о|«=Я; \k\^k
K|s=V, ! До ! =s= X; Vo3=e/O
и при всяком t :> t0 или по крайней мере до тех пор, пока
V > el,	F5)
выполняются неравенства
\qj\<L; \4j\<L\ \1\<Ц |Д|<1/, r<f><L,	F6)

УСТОЙЧИВОСТЬ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ	301
то невозмущенное движение твердого тела с жидкостью устойчиво, в противном
случае —• неустойчиво.
Величину si, где е > 0 — фиксированное число, можно рассматривать как воз-
возможное уклонение жидкости [8]. Условие F5) связано с данным Ляпуновым опре-
определением устойчивости формы равновесия жидкости как такой формы, для которой
после сообщения жидкости достаточно малых возмущений форма жидкости оста-
остается сколь угодно мало отличающейся от формы равновесия, по крайней мере до
тех пор, пока на поверхности жидкости не образуются сколь угодно тонкие нитеоб-
нитеобразные или листообразные выступы. Аналогичное явление имеет место и для двух-
и трехмерного упругого континуума [34]. Это непроверяемое условие приходится
вводить, ибо в противном случае из интеграла энергии B1) невозможно вывести
заключение об устойчивости [8].
Отметим, что характеристики отклонения возмущенной формы от невозмущенной
можно вводить по-разному, принимая за таковые другие величины, например L2 —
нормы относительных смещений звеньев с распределенными параметрами.
Задача минимума [13, 19]. На основе известных теорем об устойчивости стацио-
стационарных движений твердого тела с жидкостью [13, 25] задача об устойчивости невоз-
невозмущенного движения, определяемого уравнениями B4), B5), приводится к задаче
минимума измененной потенциальной энергии W системы, для решения которой
разработаны эффективные методы [13, 18, 19].
В обычных случаях вопрос о характере экстремума функционала W решается
исследованием его второй вариации 621У, вид которой зависит не только от самого
функционала W, но и от выбора функций, характеризующих отклонение возму-
возмущенной формы сплошной среды от невозмущенной и удовлетворяющих определенным
условиям. Если b2W определенно положительна, то W имеет минимум; если же
o2W может принимать отрицательные значения, то W не имеет минимума. И лишь
в особых случаях, когда 62W неотрицательна, характер экстремума функционала
W определяется членами выше второго порядка.
Рассмотрим в окрестности невозмущенного движения системы, для которого
qj = 0 (/ = 1, ..., п — 1), область
\qj\sSkH, / = 1	л-1,	F7)
где Я > 0 — достаточно малая постоянная величина. Можно показать [13, 19],
что если при данных фиксированных <jy из области F7) свободная поверхность жид-
жидкости определяется уравнением (в случае пренебрежения поверхностным натяже-
натяжением)
§i(<2 + O + tM<. xl *;) = const,	F8)
то W имеет минимум. Для невозмущенного движения системы уравнение F8) прини-
принимает вид B5) при а = 0.
При любой данной совокупности значений qj из области F7) твердому телу с
жидкостью в его полости поставим в соответствие некоторое преобразованное твер-
твердое тело [13, 19], состоящее из данного твердого тела и затвердевшей жидкости со
свободной поверхностью F8). Тогда для преобразованного твердого тела W имеет
минимум по сравнению со всеми возможными для жидкости достаточно близкими
к F8) свободными поверхностями. С учетом этого обстоятельства задача о минимуме
W при qj = 0 сводится к задаче о минимуме функции конечного числа переменных
q/ (/ = 1, ..., п — 1). Эта функция представляет собой выражение W для преобра-
преобразованных твердых тел.
Найдем изменение W для преобразованного твердого тела при переходе от по-
положения, соответствующего невозмущенному движению системы при q} = 0, к
возмущенному положению в области F7). Этот переход можно осуществить в два
этапа [13, 19]: 1) смещением в возмущенное положение всей системы как одного
твердого тела; 2) деформированием формы f0 жидкости в форму f со свободной по-
поверхностью F8). При этом приращения величин W и J имеют вид
,	F9)

302	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
где А1 и Д2 — приращения, соответствующие указанным двум этапам перехода си-
системы из невозмущенного положения в возмущенное.
С точностью до членов выше первого порядка малости
G0)
и с точностью до членов выше второго порядка малости
П—Х
. „„ 1 V
^[	]	G1)
Дт
где нулевой индекс означает, что соответствующая величина вычисляется для не-
невозмущенного положения системы, Дт = f — /„.
Для вычисления A2W введем систему координат х, у, г, жестко связанную с телом;
ось г в невозмущенном положении системы совпадает с осью х'ъ. Подынтеграль-
Подынтегральную функцию в выражении для A2W, преобразованную к переменным х, у, г,
обозначим через Ф(х, у, г, qj). Уравнение свободной поверхности F8) затвердевшей
жидкости в переменных х, у, z имеет вид
Ф(дс, у, г, 0) = j(x2+y*)-t-U2(x, У, г)=с.	G2)
Предположим, что уравнение G2) можно разрешить однозначно относительно
одной из переменных х, у, г, пусть относительно г; для этого достаточно, чтобы
на поверхности G2) дФ/дг ф 0. Обозначим через 0 проекцию на плоскость х, у сво-
свободной поверхности жидкости G2), ограниченной стенками полости.
Уравнение поверхности F8) в переменных х, у, г, принимает вид
4>i(*> У, г, q;) = c + Ac,	G3)
где постоянная Ас определяется из условия равенства объемов жидкости со свобод-
свободными поверхностями G2) и G3). Это условие в первом приближении приводит к
уравнению
d% = J J dx dy ^dz = j J [щ^ (Цх-Mo) dx dy = 0,	G4)
At	Q	z'o	Q
где z0 и zi — значения г соответственно для поверхностей G2) и G3), а вместо г вве-
введена переменная [18] [г = Ф(х, у, z, qj) — с, при этом с точностью до малых первого
порядка
п — 1
у, z0, qj) — c= 2, \^-jo^
/=1 f "	G5)
так как в первом приближении функции Ф(х, у, г, qj) и Ф^*, у, z, qj) отличаются лишь
на слагаемое coVj1 (х2 + у*) AJ,

устойчивость установившихся движении	303
Далее, с точностью до членов первого порядка малости имеем
(|ii-m>)d*<ty.	G6)
Дт
Уравнения G4) и G6) с учетом G5) позволяют определить A2J и Лс как функции ду.
Таким образом, находим
= - у Р J" f Й)о (ц! - М!) dxdy+~ aV0- > [(Л,/J + 2ДХУ Да7]. G7)
С*
По формуле F9) с учетом G0), G1), G6), G7) и G5) A IF можно представить в виде
квадратичной формы переменных qt. Условия определенной положительности по-
последней будут достаточными условиями минимума W для твердого тела с полостью,
содержащей жидкость, в поле внешних сил с потенциальной энергией П.
При учете поверхностного натяжения задача о минимуме функционала W ста-
становится более сложной, однако и здесь при определенных условиях ее удается иногда
свести к задаче о минимуме для функции конечного числа переменных [28, 29]. В этом
случае
j), [и, ч]= ^uvdS,
So
где L—линейный оператор; Ф (qj, X;)—функция вида ^	+ я17л1>
Фу — функции координатных параметров |, ц поверхности So; F (qj) — квадратич-
квадратичная форма переменных qlt ..., G7-1- Функция / должна удовлетворять условиям
5
5
(Л n)dS = 0; ¦?- = Vil "a s,	G8)
где пип! — орты нормали к поверхности So и внешней нормали к контуру s поверх-
поверхности So; р, — функция точки контура s. Явный вид оператора L и функций Ф/,
F, (i приведен в работах [25, 29].
Для определенной положительности ?>2W необходимо, чтобы оператор L был
определенно положительным. Пусть это условие выполнено. Рассмотрим первые
два члена второй вариации 62W, считая их квадратичным функционалом по / с па-
параметрами qj. Этот функционал имеет минимум, который реализуется функцией
'i(<7/' xi)y являющейся решением уравнения LI + Ф = с = const с граничным усло-
условием ич G8), при этом значение постоянной определяется из условия изопери-
метричности G8). Функция 1Х будет линейной функцией qj, так как таковой является
функция Ф, а искомый минимум, равный {(L^ + 2Ф), lt] = [llt Ф], будет квадратич-
квадратичной формой от qj. Тогда 62W распадается на две части [28, 29], т. е.
6*W = [/.(/-lt), (t-k)] + V (q,); V (qj) = [lv Ф] +F (qj),
и для ее определенной положительности достаточно потребовать определенной
положительности оператора L и квадратичной формы V(qj).
Пример. Устойчивость вращения вокруг неподвижной точки тяжелого твердого тела
с полостью, содержащей жидкость [13]. Для рассматриваемой механической системы без
учета сил поверхностного натяжения жидкости потенциальная энергия и момент инерции
относительно вертикали х', проходящей через неподвижную точку О тела, определяются
формулами
И = ««Е« •/= 2! O'iV?-2.'MVa)>
< = 1	A,2,3)
где ? — ускорение свободного падения, х^ и J^. J„ (I, j = 1, 2, 3; 1ф /') — Соответственно
координаты центра тяжести и моменты инерции и произведения инерции тела с жидкостью
в осях координат Ох,хгх3.
Уравнения яида B4) допускают решение

304	КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ С ЖИДКОСТЬЮ
если при произвольной постоянной величине о = koj^ выполняются условия xd = *с2 — 0.
Если жидкость частично заполняет полость, то ее свободная поверхность B5) имеет форму
параболоида
Т (х 1 + Х1) - йХз = °-	(80)
Рассмотрим сначала случай, когда полость целиком заполнена жидкостью. Тогда условия
минимума W приводятся к неравенству
U» — Jd «s— Mgxc3>0(Jl> Jt)	(81)
и имеют точно такой же вид, как и для тела с затвердевшей жидкостью,
Перейдем теперь к случаю неполного заполнения полости жидкостью. Оси х, совместим
с главными осями инерции твердого тела для точки О. Прежде всего рассмотрим случай со = 0,
соответствующий равновесию системы. Свободной поверхностью жидкости в положении равно-
равновесия является часть Q плоскости х3 = х\, ограниченная стенками полости. Условия минимума
П сводятся к неравенству [13]
Л^з + /f p < 0 (}\>1%),	(82)
где /* и /* — моменты инерции площадки Q для осей, параллельных осям х, и хг и прохо-
проходящих через центр инерции площадки Q.
Сопоставление условия (82) с условием л?3 < 0 устойчивости равновесия тела с затвердев-
затвердевшей жидкостью, свободная поверхность которой совпадает с плоскостью х3 = xl, показывает,
что наличие в полости тела жидкости со свободной поверхностью оказывает на устойчивость
равновесия системы дестабилизирующее влияние.
Теперь рассмотрим случай со ^ 0. Для простоты примем, что область Q представляет
собой кольцо, ограниченное окружностями с центрами на оси х3 и радиусами Rt и R2 (.Ri >
> Ri ^ 0). Условия минимума W в этом случае сводятся к неравенству
01— J°i) й>г — Mgx°3 — a>0 (Ji>Jl)>
<83)
Сопоставление условия (83) с условием (У — У°)ю2 — Mgxc3 > 0 типа (81) устойчивости
равномерного вертикального вращения твердого тела с жидкостью в его полости в случае,
когда жидкость накрыта недеформируемой параболической крышкой, задаваемой уравнением
(80), показывает, что наличие свободной поверхности жидкости оказывает дестабилизирующее
влияние и на устойчивость стационарного вращения системы.
Поверхность параболоида (80) при большой угловой скорости и мало отличается от поверх-
поверхности кругового цилиндра г2 — *з -\-х% = Ьг н в пределе при ад —*¦ оэ совпадает с последней.
Рассмотрим этот предельный случай, имеющий место для невесомой жидкости. Предположим,
что цилиндр г = Ь пересекается со стенками полости по окружностям с центрами на оси ха
в точках с координатами х3 = h dz d. Условия минимума W в этом случае сводятся к нера-
неравенству [13]
J°t— -х- Ярб2 d C/i2 + tf2) со2— Mgx°ci>0 (J°$> Jl)-	(84)
Рассмотрим теперь эту же задачу при учете сил поверхностного натяжения жидкости
[29]. Будем считать, что поверхность стенок полости а является поверхностью вращения
с профилем, задаваемым уравнением х3 = ty(r), r ="|/" x'j + дс|. Пусть х3 = /(г) — уравнение
свободной поверхности So жидкости в невозмущенном движении, определяемой из уравнения
B5) с граничным условием A0). Достаточные условия определенной положительности б2 W
имеют вид
(Jl-Jl)&-Msxc3 + npv>0 (J\>JI);
(85)
*<0 {Ff~№iar)t
где R — радиус окружности, по которой поверхность So пересекается с поверхностью стенок
полости; v — постоянная, представляющая собой минимум квадратичного функционала,
+ 2 (S + <fl2/) ru\ r dr — -^

устойчивость установившихся движения	305
Для цилиндрической полости г — R имеем |л = 0. При отсутствии поверхностного натя-
R
жения а = 0 получаем vg = J (g + maf)! г' ах, и первое из условий (85) совпадает с (81).
0
При равновесии тела с жидкостью ш = 0 первое из условий (85) принимает вид а =
= npv — Mgxc3 > 0. При расчете параметров такого физического маятника нужно стараться
выбирать их так чтобы величина а была достаточно большой, так как чем больше а, тем в боль-
большем диапазоне могут изменяться физические и конструктивные величины без нарушения
устойчивости.
Пусть параметры a, <xlt аг таковы, что свободной поверхностью 50 жидкости является
часть плоскости х3 = х°. В этом случае
pg
где Л(и) и /2(«) — модифицированные функции Бесселя.
Отсюда следует, что с ростом а величина v растет, если nR > 1. Если же i/R < ц <
< ц,* = kl[ {%R)/h(kR), то с ростом а величина v уменьшается до тех пор, пока р. не превысит
критического значения д,. При ц > ц„ свободная поверхность жидкости становится неустой-
неустойчивой [29].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. [Сборник
статей]. М., ВЦ АН СССР, 1962. 247 с.
2.	Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно поз-
мущенных уравнений. М., «Наука», 1973. 272 с.
3.	Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной
капельной жидкостью. Собр. соч., т. I, M., Гостехиздат, 1948, с. 31 — 152.
4.	Кобрин А. И. К задаче о движении тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью,
относительно центра масс в потенциальном поле массовых сил. — «ПММ», 1969, т. 33,
вып. 3, с. 431—440.
5.	Колесников Н. Н. Об устойчивости свободного твердого тела с полостью, заполненной
несжимаемой вязкой жидкостью. — «ПММ», 1962, т. 26, вып. 4, с. 606 — 612.
6.	Крейн С. Г., Моисеев Н. Н. О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со сво-
свободной поверхностью. — «ПАШ», 1957, т. XXI, вып. 2, с. 169—174.
7.	Луковский И. А. Нелинейные колебания жидкости в сосудах сложной геометрической
формы. Киев, «Наукова думка», 1975. 135 с.
8.	Ляпунов А. М. Задача минимума в одном вопросе об устойчивости фигур равновесия вра-
вращающейся жидкости. Собр. соч. Т. III. M., Изд-во АН СССР, 1959, с. 237 — 360.
9.	Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях. Киев,
«Наукова думка», 1969, 250 с. Авт.: С. Ф. Фещенко, И. А. Луковский, Б. И. Рабинозич,
Л. В. Докучаев.
10 Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., Гостехиздат, 1957.
476 с.
11.	Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполнен-
заполненными жидкостью. М., «Машиностроение», 1968. 532 с.
12.	Моисеев Н. Н., Петров А. А. Численные методы расчета собственных частот колебаний
ограниченного объема жидкости, М., ВЦ АН СССР, 1966. 269 с.
13.	Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость.
М., «Наука», 1965. 439 с.
14.	Морозов В. М., Рубановский В. Н. Некоторые задачи об устойчивости стационарных дви-
движений твердого тела с деформируемыми элементами. — «Научные труды Ин-та меха-
механики МГУ», 1973, № 22. с. 109 — 161.
15.	Нариманов Г. С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью; учет немалости
движения последней. — «ПММ», 1957, т. XXI, вып. 4, с. 513 — 524.
16.	О бифуркации и устойчивости установившихся движений сложных механических систем. —
«ПММ», 1973, т. 37, вып. 3, с. 387 — 399. Авт.: В. М. Морозов, В. Н. Рубановский,
В. В. Румянцев, В. А. Самсонов.
17.	Охоцимский Д. Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидко-
жидкостью. — «ПММ», 1956, т. XX, вып. 1, с. 3 — 9.
18.	Пожарицкий Г. К. Задача минимума в задаче об устойчивости равновесия твердого тела
с частичным жидким наполнением. — «ПММ», 1962, т. 26, вып. 4, с. 593 — 605.
19.	Пожарицкий Г. К., Румянцев В. В. Задача минимума в вопросе об устойчивости движения
твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. —«ПММ», 1963, т. 27, вып. 1, с. 16 — 26.
20.	Рубановский В. Н. Об устойчивости движения свободного твердого тела с полостью, пол-
полностью заполненной вязкой жидкостью, в силовом поле двух неподвижных притягиваю-
притягивающих центров. — «ПММ», 1968, т. 32, вып. 2, с. 291—297.
21.	Рубановский В. Н. Об устойчивости движения тела в жидкости. — «ПММ», 1967, т. 31,
вып. 1, с. 134 — 297.
22.	Рубановский В. Н. Об устойчивости некоторых движений твердого тела с упругими стерж-
стержнями и жидкостью. — «ПММ», 1972, т. 36, вып. 1, с. 43—59.

306	ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
23.	Рубановский В. Н. Устойчивость стационарных вращений тяжелого твердого тела с двумя
упругими стержнями. — «ПММ», 1976, т. 40, вып. 1, с. 55 — 64.
24.	Рубановский В. Н., Степанов С. Я. О теореме Рауса и методе Четаева построения функ-
функции Ляпунова из интегралов уравнений движения. — «ПММ», 1969, т. 33, вып. 5
с. 904 — 912.
25.	Румянцев В. В. К теории движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. —
«ПММ», 1966, т. 30, вып. 1, с. 51—66.
26.	Румянцев В. В. О движении и устойчивости упругого тела с полостью, содержащей жид-
жидкость. — «ПММ», 1969, т. 33, вып. 6, с. 946 — 957.
27.	Румянцев В. В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью,
наполненной жидкостью. — «ПММ», 1957, т. XXI, вып. 6, с. 740 — 748.
28.	Самсонов В. А. О задаче минимума функционала при исследовании устойчивости дви-
движения тела с жидким наполнением. — «ПММ», 1967, т. 31, вып. 3, с. &23 — 520.
29.	Самсонов В. А. О некоторых задачах минимума в теории устойчивости движения тела
с жидкостью. — В кн.: Введение в динамику тела с жидкостью в условиях невесомости
М., ВЦ АН СССР, 1968, с. 250 — 268.
40. Черноусько Ф. Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость.
М., ВЦ АН СССР, 1969. 230 с.
31.	Четаев Н. Г. Об устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого
наполнена идеальной жидкостью. —«ПММ», 1957, т. XXI, вып. 2, с. 157—168.
32.	Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М., «Наука», 1965. 207 с.
33.	Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М., Изд-во
АН СССР, 1962, с. 432 — 444.
34.	Shield R. Т., Green A. E. On certain methods in the stability theory of continuous systems. —
«Archs. Ration, mech. Analysis», 1964, vol. 12, pp. 354—360.
35.	The dunamic behavior of liquids in moving containers. NASA. Ed. by Abramson H. N.
1966, SP-106.
Глава XII
ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Виброударной называют систему, совершающую колебательное движение, в про-
процессе которого между ее отдельными звеньями происходят соударения.
Для многих типов машин (например, для всевозможных молотов, виброотбойных
инструментов, машин для виброударных испытаний и т. п.) виброударные движения
являются единственно возможными по условиям технологического процесса. Ши-
Широко применяют методы виброгашения и виброизоляции, основанные на использо-
использовании эффекта соударений. Демпферы ударного действия просты по конструкции,
надежны и эффективны в работе, особенно, если нужно погасить высокочастотные
колебания.
Для ряда технологических процессов виброударные режимы при некоторых
условиях оказываются более эффективными, чем чисто вибрационные. З^го относится к
строительным машинам, виброинструментам, транспортным устройствам, вибра-
вибрационным просеивающим машинам (грохотам), к литейным машинам, вибропло-
виброплощадкам для уплотнения бетонной смеси и др.
Виброударным воздействиям часто подвергаются приборы, механизмы, пере-
передачи и устройства точной механики, работающие в сложных динамических условиях.
Возникающие при этом динамические явления приходится рассматривать как не-
неприятный, но неизбежный побочный эффект, сопутствующий нормальной работе
устройства.
Соударения в кинематических парах приводят к возникновению динамических
ошибок, к увеличению динамических нагрузок на звенья, снижают долговечность
и надежность механизма, меняют его диссипативные свойства. Условия возникнове-
возникновения и устранения подобных режимов, вопросы их динамики и устойчивости приобре-
приобретают все более важное значение. Решение указанных вопросов сводится к исследо-
исследованию виброударных систем (ВУС) той или иной структуры.
Существенной структурной особенностью любой ВУС является наличие одной
или нескольких ударных пар. Ударной парой называют совокупность двух звеньев
системы, движущихся с соударениями, происходящими при определенных взаимных
расположениях этих звеньев.

ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССИФИКАЦИИ ВУС
307
Эффект ударных взаимодействий в ВУС оценивают коэффициентом R восстанов-
восстановления скорости при ударе. При этом как правило, считают, что времена соударений
исчезающе малы по сравнению с периодом движения системы, а значение R не за-
зависит от скорости удара.
Величины скоростей соударяющихся звеньев до и после их соударения связаны
теоремой импульсов
m1ul + m2u2==m1v1-{-miV2,	A)
где
m,, m.2 — массы звеньев; и1( и2 и yj, u3 — их скорости соответственно до и после
соударения.
Если для одного из звеньев (например, второго) т2 — оо, то его скорость щ
остается при соударении неизменной и для описания удара используют уравнение B),
которое в этом случае принимает вид
t>i = —Rul-\-(\ -J-i?) щ.	C)
Звено бесконечной массы, движущееся по заданному закону, называют удар-
ударником. Если такое звено закреплено неподвижно (ограничитель), то используют C)
при и2 = 0.
Ударные взаимодействия приводят к тому, что ВУС оказываются существенно
нелинейными, поэтому возникает необходимость рассматривать их динамические
модели, различающиеся не только числом степеней свободы, но и числом, а также
структурой и геометрией ударных пар.
2. ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССИФИКАЦИИ ВУС
Два звена могут образовывать разное число ударных пар в зависимости от того,
какими частями или поверхностями они соударяются.
Звенья |И1т 1, имеющие конструкцию, показанную на рис. 1, а, при опре-
определенной структуре системы в целом и определенных условиях ее нагружения могут
образовывать любые комбинации из четырех
ударных пар /, 2, 3, 4.
В других случаях два звена входят только
в две (рис. 1,6) или в одну (рис. 1,в) ударные
пары.
Под одномерными понимают такие ВУС,
звенья которых могут совершать только колли-
неарные движения. Любые два звена одномер-
одномерной системы образуют не более двух ударных
пар. Все многообразие ударных пар в одномер-
одномерных системах сводится к парам, показанным на
рис. 1, б и в. Допущение о том, что реальные
ВУС достаточно точно описываются одномерными схемами, представляет важную
предпосылку, которую необходимо учитывать при формировании их динамических
моделей.
На рис. 2 представлено несколько моделей ВУС: одномассные (а и б) и двух-
массные (в и г). Существенным признаком, определяющим свойства и особенности
ВУС, является число входящих в ее состав ударных пар. В моделях на рис. 2, а и в
по одной ударной паре, в моделях на рис. 2, б и г — по две.
При наличии упругих связей элементы ударной пары могут быть установлены
с некоторым начальным зазором; при этом положение статического равновесия
обычно определяется независимо для каждой из частей системы. В системе можег
быть задан начальный натяг, и тогда положение ее статического равновесия опре-
определяется общим действием всех наложенных на нее упругих связей. В моделях на
рис. 2, а, в могут быть как зазоры, так и натяги.
Наличия двусторонних ограничений относительной подвижности звеньев в кон-
конструкциях реальных машин и устройств еще недостаточно для возникновения дву-
Рис. I

308
ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
сторонних соударений. В зависимости от начальной установки, от величин зазоров
или натягов, соотношения масс звеньев и жесткостей упругих связей, а также в за-
зависимости от характера возбуждения режим движения системы может сильно изме-
изменяться. Например, при наличии двустороннего ограничения он может быть симмет-
Pit)
Рис. 2
ричным, несимметричным, а также может сопровождаться односторонними соуда-
соударениями.
При составлении расчетных моделей эти обстоятельства необходимо учитывать
для того, чтобы получить правильную динамическую картину движения.
Перейти от одного режима к другому, например от режима симметричного к ре-
режиму с односторонними соударениями, можно, изменяя зазоры или относительное
Рис. 3
расположение звеньев системы. Возможность таким сравнительно простым путем
управлять режимом движения непосредственно в процессе работы представляет
существенное достоинство ВУС.
Одну-две ударные пары могут включать системы, содержащие более двух масс.
Для них характерна та особенность, что в интервалах между соударениями их от-
отдельные части сохраняют сложную структуру. Пример такой многомассной системы,
два звена которой сочленены с зазором, представлен на рис. 3. Все сказанное ранее
ЕНБ-И
ж)
Рис. 4
о симметрии и асимметрии ударных взаимодействий, о возможностях регулирования
режимов движения здесь остается в силе.
Структурное многообразие одномерных ВУС, включающих более двух звеньев,
движущихся с соударениями, чрезвычайно велико. Системы, представленные на
рис. 1, б и в, включающие два звена, исчерпывают все возможные структуры. Три
звена могут образовать уже семь структур с различными комбинациями звеньев
в ударных парах (рис. 4, а—ж). С дальнейшим увеличением числа звеньев число
возможных структур, которые эти звенья могут образовывать, резко возрастает.

ОДНОМАССНЫЕ ВУС
309
Структурную организацию ВУС удобно изображать графом, вершины которого
соответствуют звеньям системы; две вершины соединяют ребрами, число которых
равно числу ударных пар. На рис. 4 справа приведены графы одномерных трехмас-
сных структур, показанных слева на этом же рисунке.
Звенья трехзвенных структур могут входить в одну, две, три или четыре удар-
ударные пары. При этом существенное значение имеет 1еометрия ударных связей. Это
иллюстрируют одинаковые структуры на рис. 4, в и е, одна из которых (рис. 4, в)
содержит четыре, а другая пять ударных пар в зависимости от соотношений между
величинами зазоров, образованных звеньями /—2, 2—3 и /—3. Если величина за-
зазора в паре звеньев ij равна 25,-;, то структура на рис. 4, в соответствует случаю,
когда S12 + S23 < S13, а структура на рис. 4, е — случаю, когда S12 -f- S23 > S13.
Только в одной из трехзвенных структур (рис. 4, ж) каждое из трех звеньев
входит в две ударные пары с двумя остальными так, что система в целом насчитывает
шесть ударных пар — максимальное число для одномерных систем.
На рис. 5 представлена структура (см. рис. 4, ж) с указанием величин зазоров
между звеньями. Из геометрических соотношений вытекают условия того, чтобы
ударные взаимодействия могли
происходить в каждой из пар:
О < S12 < А/2, 0 < S13 < Л/2,
О < 523 < AI2,	А = 512 +
+ S13 -\- S23. Если какое-либо
из этих условий не выполняется, ул щ ул/\ щ ул	а>
то соответствующие ударные "^ **• '"^ КЛ к1
пары являются фиктивными,
ударные взаимодействия в них
не реализуются и структура
Рис. 5
системы отлична от представ-
представленной на рис. 4, ж.
ВУС, в состав которой вхо-
входит та или иная из трехзвен-
трехзвенных структур, может иметь
все три звена подвижными и быть трехмассной. Однако это не обязательно.
Одно из звеньев может быть закреплено неподвижно (представлять собой неподвиж-
неподвижный ограничитель) либо двигаться по определенному закону (быть ударником). При
этом число ударных пар можег остаться неизменным, однако порядок системы пони-
понизится, она станет двухмассной. Закрепление еще одного звена сводит систему к одно-
массной с одной или двумя ударными парами. Структура на рис. 4, а включает ми-
минимальное число ударных пар. Такую структуру можно наращивать, присоединяя
к ней звено за звеном и получая многомассные системы с каким угодно числом удар-
ударных пар (рис. 6, а). Подобные структуры можно назвать цепными: каждое из их
звеньев за исключением двух крайних входит в одну ударную пару с предшествую-
предшествующим и в одну с последующим звеньями.
Структура, приведенная на рис. 4, г, представляет собой как бы замкнутое
кольцо, каждый ее элемент входит в две ударные пары. Такую систему также можно
наращивать, не меняя ее структуру, а только включая в нее звенья, каждое из кото-
которых будет входить в ударные пары с предыдущим и последующим звеньями (рис. 6, б).
Классифицировать ВУС по признакам, связанным с числом ударных пар и их
структурой, можно подробнее, используя графы и изучая геометрические условия,
накладываемые ударными связями.
3. ОДНОМАССНЫЕ ВУС
Расчет периодических движений многих машин виброударного действия, напри-
например машин для испытаний изделий на ударные сотрясения, технологического обо-
оборудования, используемого в литейном производстве (для выбивки опок), вибрацион-
вибрационных станков для объемной обработки, вибротранспортных устройств и др. приводит
к рассмотрению динамической модели (рис. 7, а), воспроизводящей движение тяже-
тяжелого шарика, ударяющегося о вибрирующую платформу (ударник), которая дви-
движется по гармоническому закону X (t) = a sin (&>t + ф) [21]. Ось х направлена

310
ВИБРОУДЛРНЫС СИСТЕМЫ
вверх. За начало отсчета времени выбирается момент соударения, происходящего
в точке с координатой xz = a sin (р.
При определенных параметрах системы шарик, оторвавшись от платформы,
движется некоторое время под действием силы тяжести, а затем ударяется о плат-
платформу. В зависимости от условий соуда-
соударений он может вновь отскочить от плат-
платформы (R > 0) либо продолжать двигаться
вместе с ней до момента следующего от-
отрыва (R = 0). Если спустя некоторое
время координаты соударений, а также
скорости шарика в моменты соударений
примут стационарные значения, то движе-
движение системы будет иметь периодический
характер.
Дополним модель силой сухого трения
±Р @ < Р < mq), приложенной к шари-
шарику (звену т), и будем рассматривать ре-
режимы его непрерывного подбрасывания при
R > 0 (рис. 7, б). Закон движения на интервале между соударениями в безраз-
безразмерной форме имеет вид
1
* (' ± Р)	D)
Рис. 7
= x sin
г = - х,
8
G(О2	Р
Знаки «плюс» перед р и в индексах постоянных интегрирования соответствуют
интервалу движения звена т с положительной скоростью (вверх), знаки «минус» —
интер ia.'iy движения с отрицательной скоростью (вниз).
Для отыскания периодических режимов движения в теории ВУС используется
метод припасовьюания *, при котором связывают координаты и скорости соударяю-
соударяющихся звеньев системы на границах интервала их безударною движения. Условия
периодичности
Z = z = zc, Z = K cos ф, i = v при T = -f-O;
Z	Z	& — u при т = 2л/— 0,
где и, v — скорости звена т соответственно до и после соударения; I — коэффициент
кратности режима (отношение периода движения к периоду колебаний ударника).
Значения и и у связаны со скоростью и cos <p ударника в момент соударения уравне-
уравнением удара C). Для отыскания периодического режима используют кроме C)—E)
условие
г = Н, 2 = 0 при T = Tt.	F)
Точка т == Tj разделяет два этапа интервала безударного движения, на которых
справедливы различные законы D), отличающиеся направлением силы сухого трения.
Из D)—F) находятся величины, определяющие периодическое движение звена т:
т=р;	G)
(nldf,	(8)
где
Из C) и G) получается уравнение для определения возможных фаз соударения
7p--RYT=p~
cos<p =
2n
l+R
(9)
* Метод припасовывания для расчета периодических режимов движения ВУС был впер-
впервые использован в работе [34].

ОДНОМАССНЫЕ ВУС	311
а также выражение для безразмерного ударного импульса
зависящее только от величин / и р.
Из (9) вытекает условие существования периодических режимов
"min"
Неравенство A0) получено с использованием условий E) и F), описывающих
состояние ВУС лишь в определенные моменты времени. Однако A0) может не обеспе-
обеспечивать выполнения во всем интервале 0 < т < 2л/ условия отсутствия дополнитель-
дополнительных соударений г (т) > 7. (т), при нарушении которого периодический режим рас-
рассматриваемого типа невозможен.
Анализ условий отсутствия дополнительных соударений необходим при построе-
построении областей существования ВУС и может быть проведен после определения зако-
законов движения всех ее звеньев. Как правило, точки соответствующих границ областей
существования находят численно или графически. Поэтому в дальнейшем, приводя
результаты аналша периодических движений ВУС, не будем останавливаться на
условиях отсутствия дополнительных соударений, имея в виду, что проверка этих
условий может быть выполнена в каждом конкретном случае по известным парамет-
параметрам периодического режима.
Фазовое уравнение (9) определяет для любой совокупности параметров, удов-
удовлетворяющей A0), два значения фазы ф и, значит, два режима кратности /. Этим свой-
свойством нелинейных систем — наличием нескольких периодических решений при за-
заданных значениях параметров — обладают все ВУС.
Известно, что при фиксированных значениях частоты вынуждающей силы и
параметров линейной колебательной системы для периодического движения харак-
характерно единственное, вполне определенное значение фазового сдвига перемещения по
отношению к силе.
В ВУС, линейных в промежутках между соударениями, при гармоническом воз-
возбуждении вместо единственного значения фазы определяются два ее значения и соот-
соответственно вместо единственного периодического режима получаются два различных
режима при одних и тех же параметрах системы.
Кроме того, в рассматриваемых ВУС возможны режимы различных кратностей
по два для каждого значения кратности. Каждому из кратных режимов соответствует
свое значение фазового угла.
Общий вид фазового уравнения ВУС, линейных в промежутках между соударе-
соударениями, при гармоническом возбуждении
Wi sin ф + щJ cos ф = w3,	A1)
где а',, щ, w3 —- функции параметров системы и возбуждения, остается неизменным
для одномассных и двухмассных ВУС с различным числом ударных пар, а также
для многомассных ВУС.
Специфической в каждом случае является структура коэффициентов фазового
уравнения, зависящая от конструкции системы, значений ее собственных парамет-
параметров, амплитуды и частоты возбуждения, а также от кратности периодического ре-
режима.
Учитывая сказанное, движения ВУС, в отличие от линейных, целесообразно опи-
описывать не фазовыми и амплитудными, а фазовыми и импульсными характеристиками.
Пусть ударник на рис. 7, а неподвижен (а = 0) и р = 0, R = 1 (система консер-
консервативна). При этих условиях звено т, двигаясь под действием собственного веса,
будет периодически соударяться с ударником. Такие движения в теории ВУС назы-
называются свободными виброударными колебаниями. Ни в одной физической системе эти
колебания поддерживаться не могут, однако такая идеализация часто оказывается
полезной при анализе вынужденных колебаний ВУС, содержащих упругие связи.
Описанный выше метод расчета периодических движений ВУС применим к раз-
различным динамическим моделям одномассных систем.

312	ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
Для расчета периодического движения несимметричной одномассной ВУС, общий
интеграл уравнения движения которой в интервале между соударениями известен,
необходимо определить две постоянные интегрирования С, и Са и фазу соударения гр.
Если звено т соударяется с неподвижным ограничителем, расположенным в на-
начале координат, то эти величины находят из трех условий периодичности
*@) = *Bя//сй) = 0, х@) = — RxBnl[a>).	A2)
Если звено т взаимодействует с ударником, движущимся по закону X (t), то
вместо A2) используют условия
A3)
Уравнения A2) и A3) для линейной в интервалах между соударениями системы
линейны относительно Сх и С2. Если к звену т приложена гармоническая внешняя
сила (или ударник движется гармонически), то, исключив Q и С2, приходят к фазо-
фазовому уравнению A1), из которого определяют соответствующие значения фазы ср
соударения.
В симметричных одномассных ВУС простейшим периодическим режимом является
режим с двумя соударениями звена т за период, который включает два интервала
с различными законами движения. Под симметрией возбуждения понимают выполне-
выполнение в любой момент времени i соотношения
<o)*=-P(t)	A4)
для периодической силы Р (/), приложенной к звену т, или равенства
X(t-\-n/m) = -X(t)	A5)
для закона движения ударника (гармоническое возбуждение симметрично). Усло-
Условия A4) или A5) обеспечивают возможность существования симметричных режимов
движения звена т (I — нечетное)
*(/ + л//со) = -л:(9.	A6)
Это условие позволяет при отыскании симметричного двухударного режима ограни-
ограничиться рассмотрением только одного из интервалов движения звена т. Соответст-
Соответствующие постоянные интегрирования и фазу удара определяют из уравнений, кото-
которые непосредственно следуют из A2) или A3) и условия симметрии A6):
для систем с неподвижным ограничителем
х @) = — х (я//ш) = — S, х @) = Rx (я//ш);	A7)
для систем с ударником
х @) = — х (nil(а) = X @) — S;
где S — зазор; t = 0 — момент соударения с левым ограничителем; начало коорди-
координат совпадает с осью симметрии системы.
В табл. 1 представлены модели одномассных ВУС, включающих системы симмет-
симметричные и несимметричные, с упругими связями и без них, с различным числом удар-
ударных пар. Некоторые из этих моделей обладают диссипативными свойствами в форме
линейного трения (—сх). Для каждой из этих моделей в таблице приведено диффе-
дифференциальное уравнение движения звена т в интервалах между его соударениями.
Виброударные режимы с одним соударением за период движения в каждой ударной
паре полностью описываются коэффициентами фазового уравнения, определяющими
фазу ф соударения, и величиной ударного импульса /, сообщаемого в процессе удара
звену т. Кроме этого, в табл. 1 приведены коэффициенты характеристического
уравнения, определяющего условия устойчивости (см. п. 4). Все данные, приведен-
приведенные в табл. 1, а также в табл, 2 и 3 (см, ниже), взяты из работы 120].

ОДНОМАССНЫЕ ВУС
313
his
- з
3 "
о о
X
о;
]
е-
+
е-
е-
ъс
к —
Т а
^ I 1
е- »
- X
Of о;
i
э
ад
I
I	!Л
Я о.
о S
II
S
V
х II
s"
S
¦Й 6
a. I
ч =>
н 1
+ о,
- »
:x 0.
S 4-
t3

314
ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
х 1
I JL
X
О-а
8 2.
3
Е2
v о
I I
с ©¦
I
9-
о; аг
+
a;
I _|<N
aj <n
I +
- s-
X
X
8
ar a;
+ I
е-
о
&
о
0. •« Of
3 +
S -
X о?
- X
"I
i I
*" 1
"E
1-
3
-
u
a;
—
eo
I
Э
s
CO
? +
a; <o
c^ a;
I +
р. п
+ +
I .5
5 з
Е о.

устойчивость периодических движении	315
4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ОДНОМАССНЫХ ВУС
При анализе устойчивости периодических режимов ВУС в движение вносят
малые возмещения и исследуют характер изменения этих возмущений, т.е. под
устойчивостью понимают устойчивость в малом. Проиллюстрируем метод анализа
устойчивости одномассных ВУС на примере динамической модели, приведенной
на рис. 7, а.
Возмущенное движение звена т на интервале между соударениями определяют
двумя безразмерными величинами возмущений: Дт — момента соударения и До —
начальной скорости после соударения [положение звена m при соударении задается
координатой ударника х. sin (ср + Дт)]. Закон возмущенного движения звена т
вверх имеет вид
г==— -^ A + о) (т — AxJ + (v + Av)(x—Лт) + х sin (ф + Дт).	A9)
Соотношение A9) позволяет найти возмущение АН положения звена т в момент
х1 ¦+- Дт!, когда его скорость обращается в нуль (в этот момент изменяется напра-
направление силы сухого трения). Дифференцируя A9) по т и приравнивая скорость воз-
возмущенного движения при т = тх + Ахг нулю, находим
-уA+РНт + Ат1-Дт) + и + Ди = °-	B0)
Максимальное значение г (хх + Дт-^ = Н + АИ для возмущенного движения
определяется из условия dz/dx = 0; с точностью до величин первого порядка малости
относительно Дт и Av
АН = [v — A + р) Tt] (ДТ1 — Дт) + у. cos фДт + т:Ду.	B1)
Из B0) и B1), используя G), (8), определяем
ДТ] = Дт + До/( 1 +р),
Закон возмущенного движения звена т вниз имеет вид
i	(\p)(x
(\-p)(xAxif + H-\-AH.	B2)
Возмущение Дгт момента следующего соударения можно найти, линеаризуя	уело
вне zBnl — т, + AjT) = Z Bя/ + ф + Д^):
)-1 Av.	B3)
Возмущение Аи скорости звена т перед соударением определяем, дифференцируя B2;
при т = 2nl — Tj + Axt, откуда
ды = _ A —р) (I
Теперь возмущение Axv скорости после этого соударения находится из уравнения
удара C)
— p) — (l+/?)axsin<p](l +P) Да B4)
Соотношения B3) и B4) определяют преобразование возмущений за цикл возму-
возмущенного движения, в течение которого происходит одно соударение. Периодическое
движение устойчиво, если при увеличении числа циклов возмущения стремятся
к нулю. Для этого корни р\, Р2 характеристического уравнения матрицы, элементы
которой совпадают с коэффициентами при Дт, Av в B3) B4),
аоР2 + агр + а2 = О,	B5)
где

316
ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
должны удовлетворять условиям
Условия B6) для корней уравнения B5) согласно теореме Шура эквивалентны нера
венствам
B6)
гра-
B7)
Первое неравенство всегда выполняется, если ВУС неконсервативна (р > 0 или
R < 1). Второе неравенство определяет область
устойчивых значений фазы ф для режимов не-
непрерывного подбрасывания
О < и sin ф ¦< •
B8)
Из B8) следует, что: 1) из двух режимов,
определяемых для каждой кратности / фазовым
уравнением (9), устойчив только один; 2) при
одних и тех же значениях параметров системы и
возбуждения могут быть устойчивы режимы
различных кратностей; выход ВУС на тот или
иной из устойчивых режимов определяется на-
начальными условиями движения.
Используя (9), получим из B8) условие су-
существования и устойчивости режимов в прост-
пространстве параметров
in+4|l±^±?iLz^lJ2.
Рис. 8
На рис. 8 в качестве примера показаны области устойчивости периодических ре-
режимов движения кратности / = 1 в плоскости параметров р, х при различных зна-
значениях R.
Результаты анализа устойчивости периодических движений одномассных ВУС
приведены в табл. 1, где указаны коэффициенты аг и а2 характеристического урав-
уравнения (всюду а0 = 1). Условия B7) позволяют определить значения ф, соответст-
соответствующие устойчивым режимам, а фазовые уравнения — найти области устойчивости
в пространстве параметров.
5. ДВУХМАССНЫЕ ВУС
Метод расчета периодических режимов движения двухмассных ВУС, как и одно-
одномассных, основан на использовании условий периодичности, описывающих состоя-
состояние системы в начале и конце некоторого заранее выбранного интервала времени,
длительность которого равна периоду движения.
Однако если для одномассных ВУС положение зве-
звена т при соударении известно (для систем с непо-
неподвижным ограничителем) или определяется момен-
моментом соударения (для систем с ударником), то для
двухмассных ВУС в общем случае положение
соударяющихся звеньев может быть найдено толь-
только после полного описания периодического ре-
режима.
Рассмотрим расчет одноударного периодичес-
периодического режима на примере двухмассной модели (рис. 9), к звену тх которой прило-
приложена гармоническая сила Р sin (mi + ф) [12].
Начало координат совпадает с положением статического равновесия звена т1
(при отсутствии звена т2), а момент t= О —с моментом соударения. При R > О
на интервалах между соударениями движение звеньев т1 и т2 описывается уравнД
Р sin (ot *#>)
Рис. 9

ДВУХМАССНЫЕ ВУС	317
ПИЯМИ
mA + h4«= P sin (cat + ф);
m2x2 + k2(x2 + S) = 0,
где ф — фазовый сдвиг внешней силы; S — зазор (координата положения статиче-
статического равновесия звена т2 при отсутствии т1 равна — S). Уравнения B9) в безраз-
безразмерной форме имеют вид
Si + йЧ = й sin (т + Ф); h + И (г2+о) = 0;
Решения этих уравнений
2i = й (й -1 Г1 sin (т + ф) + Ci sin (Ьт + 4>i);
sin (Гт + ^)
должны удовлетворять следующим условиям периодичности:
г1 = га, г1 = о1, г2 = г'а при т=0;
гх!=г2, ii==M1, i2 = «2 при т=2п/.
Скорости и;, и,- связаны уравнениями удара A) и B). Эти два уравнения в совокуп-
совокупности с тремя условиями
г1@) = г2@) = г1Bя0 = ггBл0	C3)
позволяют определить содержащиеся в C1) пять неизвестных величин: ф, Cj, C2,
i^, i|J. Непосредственно из условий г; @) = г; Bnl) следует
ty-nfa+iya-fc),	C4)
где Sj—некоторые целые числа. Условие положительности импульса, передавае-
передаваемого при соударении звеном т2 звену mx, приводит к соотношениям
Cfa cos фх 5= 0 5= С2?;2 cos i|j2.	C5)
Отсюда, в предположении, что Сх > 0, С2 > 0, целые числа slt s2 находятся из не-
неравенств
s1<lt1<s1 + \; s2-l<^2<s2.	C6)
Подставляя в A) и B) выражения для скоростей щ, и,-, из C1) получаем систему
двух линейных относительно Clt C2 уравнений, откуда
1 ^
L5
^f I— R 1 +ц
Используя C1) и C7), определяем скорости
cosy;
Эти величины и ударный импульс / = тх (их — «!) в системе являются линейными
функциями cos ф. Для определения фазы ф используем первое условие C3)( которое

318
ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
с учетом C1), C4) и C7) приводится к фазовому уравнению (И), где
L- ctg л/С, + ¦?- ctg я/Са ]; ws=ст -^
C9)
Область существования решений этого уравнения в пространстве параметров задается
неравенством
которое ограничивает возможные значения зазора. Для каждого 0, удовлетворяю-
удовлетворяющего D0), имеются два решения фазового уравнения
В отличие от одномассной ВУС без упругих связей, рассмотренной в п. 3, здесь
кроме D0) необходимо учитывать условия C5). Из C5) и C7) следует, что для реше-
решений D1) должно быть
(l-&)cos<p5sO.	D2)
Несложный анализ показыв?ет, что: 1) при — A + шр1^ < w3 < —1 оба реше-
решения D1) удовлетворяют условиям существования D0) и D2), если wt A —?i) < 0,
и не удовлетворяют им, если w2 A —Si) > 0; 2) при I ws I < 1 знаки величин cos ф,
и cos ф2 различны и существует единственный периодический (кратности /) закон
движения; 3) при 1 < w3 < A -1- wjI'2 имеем два периодических решения, если
W2 A — ?i) > 0, и ни одного, еслч а>2 A — ?j.) < 0.
б 05
•з -
PlIC. II
На рис. 10 показаны области существования одноударных режимов, построен-
построенные по условиям D0) и D2) Различной штриховкой выделены области существования
одного режима (/) и двух режимов. Штрихпунктирными линиями пока«ны верти-
вертикальные асимптоты границ. Выше штриховой кривой расположена область «затяги-
«затягивания» виброударных режимов, где наряду с виброударными возможны гармониче-
гармонические колебания звена т1 при неподвижном тг. На рис. 11 (ftj = k2; \x — 2; R = 0,5;
1=1) показаны импульсные характеристики системы в безразмерных величинах
(/х = Ikl/Pm2(o, формула для / приведена в табл. 2). Штриховая линия соответст-
соответствует огибающей семейства импульсных характеристик при различных а.
Для анализа устойчивости двухмассных ВУС, как и одномассных, необходимо
рассмотреть возмущенное движение системы в окрестности периодического режима.
Для двухмассных систем возмущенное движение определяется четырьмя независи-

ДВУХМАССНЫЕ ВУС
319
-
-
з -
1
3
*_Р	ЬЛ
I
X
е-
о
х о;
S I
Z
В ;
аг й
if
_ ^
+
|
X
X У
с - 5
S и К
+
1 +
X
Н "
+ 5 ^
II
ч
+
+ ^
з """
+
3,
R
я
1
Я
о о

320
ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
X
0,1-ее
в-
о
е-
о
+
1 I У1
- "Г в
«о а
? g
К
II +
* ?
+
г s
$ э
S !ч
I I
+ I
Is? '>?
s I
14 ti?
? S

УВОД
321
мыми величинами возмущений. Соответственно степень характеристического уравне-
уравнения равна четырем, что в общем случае делает затруднительным аналитическое изу-
изучение областей устойчивости. При численном решении задача сводится к вычислению
коэффициентов этого уравнения и проверке условий | Р; | < 1
по неравенствам Шура.
Используя изложенную выше методику, можно найти
законы периодического движения для различных двухмас-
сных ВУС. Основные результаты такого расчета (формулы
для коэффициентов фазового уравнения и ударного импуль-
импульса) приведены в табл. 2. Для симметричных ВУС формулы
в табл. 2 соответствуют режиму, когда движения звеньев
удовлетворяют условиям симметрии
*, (/ 4- л//со) = - Х{ (t) (< = 1, 2),	D3)
а в каждой из двух ударных пар происходит одно соударе-
соударение за период. Исключением является последняя из приве-
приведенных в табл. 2 моделей, для которой всегда хл (t) ^ х2 (t),
поэтому условия D3) невыполнимы. Для такой системы
условие симметрии имеет вид
xl(t+iil/<?>) = -x2(t),	D4)
т. е. движения звеньев взаимно симметричны. Из D4) следует необходимость двух
соударений звеньев т за период. Эти соударения происходят через интервалы вре-
времени t = ni/co. Поэтому при простейшем симметричном режиме происходит четыре
соударения за период. Кинематическая картина такого движения представлена на
рис. 12 [X = asm (Ш + ср)]. На этом рисунке стрелками обозначены величины
скоростей звеньев
1+3R	, 1-Я	1+Д/З
Рис. 12
6. УВОД
Для ряда систем (особенно точной механики и приборостроения) существенное
значение имеет определение их динамической точности. При этом приобретает важ-
важность расчет «увода» колебательной системы. Так называют нелинейный эффект,
проявляющийся, в частности, в том, что под действием гармонической внешней силы
звенья ВУС колеблются не около положений их статиче-
I	т ^	ского равновесия, а относительно некоторых смещенных
*^ /1"-\Д,ЛЛ F положений, которые называют положениями динамиче-
Л S &J~?VrV~W~ ского равновесия (см. также гл. IX). Эффект увода в на-
¦" ^^	шем случае обусловлен несимметрией действующих на
звенья ВУС ударных импульсов. Ниже, используя из-
изложенные выше способы отыскания перкодических режи-
режимов ВУС, получим количественные характеристики этого
эффекта. Если х (i) —закон периодического движения звена ВУС @ ^ t ^s; T), то
положение динамического равновесия ххаи и увод б этого звена определяют по
формулам
т
Рис. 13
*ДИН	 гг>
D5)
где хсг — положение статического равновесия.
Рассмотрим сначала одномассную линейную систему без трения (рис. 13), к кото-
которой в определенной точке (х = —S) прокладываются мгновенные ударные импуль-
импульсы /. Уравнение движения звена m и закон его движения на интервале между мо-
моментами приложения ударных импульсов имеют вид (со'2 = k/m)
mx-\-kx~=0; x = С sin (couI-J- p),	D6)
1 ] njp. Блелшана, т. 2

322	ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
Для периодического (с периодом Т = 2я/ш) движения из условия х @) = х Bя/ш)
находим [см. C4)] ty = лA/2 — С0о/ш), откуда
хдин = Ссо (лсоо) cos ф	D7)
Постоянная С связана с величиной ударного импульса / соотношением
1 = т(х{0) — х Bл/со)) = 2mCcoo cos \|>	D8)
Поэтому окончательно находим
*д™ = /»/2я/г.	D9)
В рассматриваемом случае хст = 0 и 8 = хтн. Согласно D9) увод одномассной
системы зависит (при фиксированных / и ю) только от ее жесткости k и совпадает
по направлению с ударным импульсом.
В одномассной ВУС на рис. 2, а к звену т приложена периодическая сила Р (t-\- ср),
а ударные импульсы обусловлены периодическими соударениями с ограничителем.
Уравнение движения звена т и закон движения на интервале между соударениями
имеют вид
sin (оу + ф),	E0)
где х0 (t)—вынужденная составляющая закона движения. Если для Р (t + ф)
выполняется условие
то из
(t) (/+2/); ха (t)r=
2я/со
xo(t)dt=O
вытекает, что для рассматриваемой ВУС остаются справедливы соотношения D7),
D8) и, следовательно, D9). Для режима кратности I соотношение D9) принимает вид
E1)
Зависимости величины / от параметров системы и возбуждения приведены в табл. 1.
Равенство E1) можно применять и для расчета положений динамического равно-
равновесия пеньев двухмассных ВУС, представленных на рис. 2, в и 9, поскольку законы
движения этих звеньев имеют вид, аналогичный E0). Так как ударные импульсы,
приложенные к звеньям, равны по величине и противоположны по направлению, то
/й)	_	/СО
*2ДИН	я№7-	( '
Положение статического равновесия двухмассной системы (в случае натяга) нахо-
находится между нулевыми точками упругих связей и делит отрезок между этими точ-
точками на части, обратно пропорциональные жесткостям связей; поэтому и уводы 6lt
б2 звеньев от положения статического равновесия удовлетворяют условию
S1/62 = -*1/A2.	E3)
Таким образом, оказывается, что как статические смещения звеньев ВУС при нали-
наличии упругих связей, так и их динамические смещения (уводы) в виброударном ре-
режиме обратно пропорциональны жесткостям упругих связей и не зависят от масс
звеньев.
7. МНОГОМАССНЫЕ ВУС
Многомассным ВУС с несколькими ударными парами свойственно разнообразие
структур и возможных периодических режимов движения. Аналитические методы
динамического уаечета разработаны лишь для структур, показанных на рис, 6,

МНОГОМАССНЫЕ ВУС	323
Простейшими периодическими режимами движения таких систем являются так назы-
называемые правильные [29], когда в каждой ударной паре происходит только одно со-
соударение за период.
Для многомассных ВУС непосредственное применение условий периодичности
приводит к системам уравнений высокой размерности относительно неизвестных
постоянных интегрирования. Поэтому для расчета правильных движений исполь-
используют другую методику, заключающуюся в том, что условия периодичности записы-
записывают отдельно для каждого из звеньев и связывают эти условия для соседних звеньев,
используя уравнения их соударения. По-
Последовательно переходя от одного звена к
другому в направлении, противоположном
направлению передачи ударного импульса
от источника возбуждения, определяют в ре-
результате рекуррентного процесса неизвестные
скорости звеньев до и после соударений.
На рис. 14 показана многомассная ВУС,
которая представляет «цепочку» звеньев,
движущихся с постоянными скоростями в интервалах между соударениями. Приняты
обозначения' S — зазор в системе, равный расстоянию от среднего положения удар-
ударника до не: одвижного ограничителя: /И; — масса ;-го звена; Ri — коэффициент
восстановления скорости в j-й ударной паре; «,, D,- —скорости г-го звена соответст-
соответственно до и после соударения в (-й ударной паре; it — время безударного движения
('-го звена после этого соударения; h{ — расстояние между точками последовательных
соударений г-го звена; ф — фаза соударения в первой паре. Ударник движется гар-
гармонически по закону X (t) = asm (Ш + ф), период движения системы Т — 2я//оо.
Так как все звенья системы на интервалах между соударениями движутся с постоян-
постоянными скоростями, то hi = v,ti = —и, (Т — <,•). Отсюда определяются величины Ц
и h, как функции щ и vf.
VI —Щ	Vi — Щ
Из уравнения удара первой пары при t = 0 следует
E4)
Для отыскания величин скоростей используют уравнения A) и B), в которых при-
применительно к соударению в ?-й паре заменяют индекс / на i — 1, а индекс 2 на /.
Преобразуя A) и B) так, чтобы выразить щ_и t)/_i через и„ Vj, получают рекуррент-
рекуррентные соотношения, позволяющие определять величины скоростей, последовательно
переходя от t-го звена к предыдущему (i — 1)-му.
Если ударный импульс, передаваемый от (t — 1)-го звена к t'-му
/ = т;(у,-«г),	E6)
то согласно A) его значение одинаково для всех звеньев цепочки. Из E6) следуют
два рекуррентных соотношения
"<1"'+)/>	б
С учетом условия соударения п-то звена с ограничителем un~-~Rn+ivn из E7) после
преобразований получаем
Ui—Cj.1; vi — dii,	E8)
11*

324	ВИБРОУДАРИЫЕ СИСТЕМЫ
где
1 1 "vil / 1	1 \\-R,
г	I	 у I	|	) 	?.
С'~ 2mi~r 2 Li W/-i m,)\+R,
Скорости щ, vi звеньев и расстояния А; между точками соударений пропорцио-
пропорциональны /, а длительности t, интервалов безударного движения зависят только от
параметров ту, Rj. Для определения неизвестных фазы ф и ударного импульса /
используют E5) и уравнение
S=a sin (р+hi+hi + ...+hn,	E9)
которое в силу E4), E5), E8) преобразуется к фазовому уравнению A1), где
wi = 1; w2 = - 2nl A + Rt) ( 21 mfitdi (сЛ + dj-i;	F0)
V=i	/
ws = S/a.
Особенностью анализа динамики многомассных ВУС является наличие наряду
с учитывающимися ранее (в п. 5) условиями существования также и дополнительных
условий, которые называют структурными. Структурные условия вытекают из оче-
очевидных ограничений tt > 0 и для рассматриваемой ВУС имеют вид (i = 1, ... , п)
Эти условия связывают только параметры т., R;, описывающие структуру цепочки.
Для цепочки однородных звеньев («,- = т, Ri — R) из F!) следует условие
п<A— R) 1,	F2)
О1раничивающее максимальное число звеньев, для которого может существовать пра-
правильный периодический режим.
Аналогично могут быть получены характеристики правильных режимов для
других многомассных ВУС. В табл. 3 приведены формулы для вычисления коэффи-
коэффициентов фазового уравнения и величин ударного импульса, соответствующие наиболее
простому случаю однородных систем (m; = m, Ri— R). Для таких ВУС структур-
структурные условия существования сводятся к ограничению максимального числа звеньев п
(см. табл. 3).
Для симметричной системы в табл. 3 приведены расчетные данные симметричных
режимов, удовлетворяющих условиям
хм (t + nl/ti>) = -xM @; х, (< + я//ш) = —хя_й1 ((),	F3)
аналогичным D3) и D4).
Здесь правильные режимы существуют лишь при нечетных значениях п. При чет-
четных п в (я/2 + 1)-й ударной паре происходит два соударения за период, кинематиче-
кинематическая картина движения двух центральных звеньев цепочки совпадает с представлен-
представленной на рис. 12. Характер движения остальных звеньев в обоих случаях одинаков.
Соответственно, при нечетных значениях п необходимо использовать величины пх
и г1у а при четных значениях п — величины п2 и гг-
8. КОСОЙ УДАР
Уравнения A) и B) записаны в предположении, что удар звеньев является пря-
прямым и центральным, так что их скорости при ударе изменяются только по величине.
Однако динамический анализ ВУС часто не > дается ограничить изучением одномер-
одномерной модели, поскольку взаимодействия звеньев ВУС мсмут сопровождаться не цент-

КОСОЙ УДАР
325
+
U|S
+
в-
8
3
а.
- о:
I
V/
V/
II а.
+
о;
l
к
в/
и
Et
ас
I
lv/ it
,V/ is
V/ +

326
ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
S V
X
s'
s
+
о
°.,
a.
1
„
1
=0 К
i
8
-Iе
I
X
V/
S
I	V/ I l
II	I ч 5
S " S +
'e V/
V/ 2 з
+ с

КОСОЙ УДАР
327
ральными, а косыми ударами [24, 26]. Рассмотрение таких режимов, помимо исполь-
использования коэффициента R восстановления нормальной к поверхностям контакта зве-
звеньев составляющей скорости удара, требует дополнительных предположений, по-
позволяющих оценить изменение тангенциальной составляющей этой скорости. При
расчетах двумерных ВУС с учетом косых ударов применяют две гипотезы, которые
условно называют гипотезами вязкого и сухого трения при
косом ударе.
Рассмотрим материальную точку т, падающую под
углом а на неподвижную плоскость (на рис. 15 показаны
доударная и и послеударная и скорости точки т). Согласно
обеим гипотезам нормальные составляющие иу, vy скорости
до и после удара связаны соотношением
F4)
Vy = — Ruy,
а тангенциальные составляющие их,
вязкого трения связаны зависимостью
vx согласно гипотезе
F5)
Рис. 15
где X — коэффициент мгновенного трения при ударе.
Уравнение F5), как и F4), устанавливает линейную
связь между доударными и послеударными компонентами
скоростей. Согласно F5) тангенциальная составляющая удар-
ударного импульса —тХих не зависит от величины его нормальной
составляющей и определяется коэффициентом X, зависящим от свойств и состояния
соударяющихся поверхностей, а также относительной скоростью скольжения, по-
подобно тому как сила сопротивления при вязком трении пропорциональна скорости
движения тела.
Вторая гипотеза строится на предположении, что тангенциальная составляю-
составляющая ударного импульса пропорциональна его нормальной составляющей. Коэффи-
Коэффициент пропорциональности равен коэффициенту f сухого трения, т. е.
vx-u^±f(vy-Uy).	F6)
Знак «-)-» или «—» выбирается противоположным знаку их с учетом того, что
ударные взаимодействия всегда приводят к уменьшению относительной скорости
движения соударяющихся тел. Уравнение F6) связывает нормальную и тангенциаль-
тангенциальную составляющие ударного импульса подобно тому, как законом сухого трения
(законом Кулона) связаны сила нормального давления и сила трения. В основе
второй гипотезы лежит предпосылка о том, что соударяющиеся поверхности взаимо-
взаимодействуют по закону сухого грения и что это взаимодействие (оцениваемое коэффи-
коэффициентом /) остается одним и тем же как при немгновенных, так и при мгновенных
силах.
Соотношение F6) применимо, если оно дает значение, совпадающее по знаку
ев,. Иначе следует принять
о< = 0,	F7)
считая, что отскок происходит по нормали к поверхности. Послеударные скорости
при гипотезах вязкого и сухого трения различны. Координаты векторов и и V можно
записать так (см. рис. 15):
и v =' и | sin а; ич = — \и\ cos а;
vx= v J sin
vy--
1 у | cos
В предположении гипотезы вязкого трения
, „ 1 —
R
tga.
F8)
В случае удара абсолютно упругих (R = 1) и абсолютно гладких (X = 0) тел
угол падения равен углу отражения (Р = а). По F8) на рис. 16, а для ряда значе-
значений X при R = 0,5 построены зависимости величины угла отражения от угла падения.

328
ВИБРОУДАРНЫЕ СИСТЕМЫ
В предположении гипотезы сухого трения
F9)
При малых углах падения, для которых
tga<f(l+R),
по F9) получаются отрицательные значения tg Р, и согласно F7) следует принять
tg р = 0, считая, что отскок происходит по нормали к поверхности. Зависимости
Р = Р (ее) при различных значениях / представлены на рис. 16, б (R = 0,5).
1,0-
//ж
v //m
La,z
.0,3
-0,5
0,5	1,0
S)
Рис. 16
Для полной определенности движения точки после косого удара необходимо кроме
величины угла отражения знать еще и величину послеударной скорости. Незави-
Независимо от того, какая из двух гипотез косого удара принята,
\u\R
cos a.
cos р
G0)
и различие в величинах I v | по обеим гипотезам полностью обусловлено различием
углов отражения при одинаковом угле падения. На рис. 17, о, б представлены зави-
зависимости | v |/| и I от угла падения а соответственно для гипотез вязкого и сухого
трения при косом ударе (R = 0,5).

КОСОЙ УДАР	329
Движение материальной точки зависит от принятой гипотезы не только при
единичном косом ударе. Если ее бросить под некоторым углом к горизонтальной
плоскости и проследить за движением, обусловленным силой тяжести и сопровож-
сопровождающимся рядом косых ударов, то применение гипотезы вязкого трения приводит
к тому, что горизонтальная составляющая скорости асимптотически (с ростом числа
ударов) убывает, стремясь к нулю, независимо от начального угла падения. Гипотеза
сухого трения приводит к другому результату. В зависимости от начального угла
падения горизонтальная составляющая скорости либо обращается в нуль после не-
некоторого конечного числа ударов, либо убывает, стремясь к некоторой отличной
от нуля величине.
Картина косого удара существенно зависит от принятой гипотезы удара и от
физических констант — коэффициентов восстановления скорости, мгновенного тре-
трения, сухого трения, знание которых необходимо для применения той или иной гипо-
гипотезы. Определение этих констант требует экспериментальных исследований; известно,
что они зависят от материалов, из которых изготовлены элементы ударной пары,
от формы этих элементов, от состояния поверхностей и от ряда других факторор,
влияние которых до сих пор достаточно не
изучено.
Значения коэффициентов мгновенного трения
в справочниках обычно не приводятся. Эти об-
обстоятельства существенно затрудняют расчеты
ВУС, работающих в условиях косых соуда-
соударений.
Проиллюстрируем применение уравнений
косого удара F4) — F7) для расчета режимов
движения двумерных ВУС на примере тяжелой	/се
материальной точки массы т, ударяющейся о ви-
вибрирующую плоскость, наклоненную под уг-	Рис. 18
лом а к горизонту (на рис. 18 показаны основ-
основные обозначения и выбранная система координат). Эта динамическая модель ле-
лежит в основе расчета ряда процессов виброперемещения (см. гл. IX, а также
[И, 18, 27]).
Согласно уравнению F4), определяющему изменение нормальной составляющей
скорости при ударе, закон у (t) движения точки от вдоль оси у не зависит от ее пере-
перемещений вдоль оси х. Поэтому при Y (t) = a sin (u>t -f- ср), где ср — фаза соударения,
закон у (t) для одноударного периодического режима (Т — 2я//<в) определяется
соотношениями, приведенными в п. 1 табл. 1, где параметр g необходимо принять
равным проекции g cos а ускорения свободного падения на ось у. Величина / в табл. 1
представляет собой нормальную составляющую
Iy = inlmgd)'1 cos a	G1)
ударного импульса. Закон х (i) движения точки m не периодический, поэтому усло-
условия периодичности записывают для скоростей
&@) = vx\ x(T) = ux = vx-gT sina.	G2)
Приняв гипотезу вязкого трения при ударе и записав уравнение F5) для тангенциаль-
тангенциальных составляющих относительных скоростей
vx-X@) = 0-X)lux-X@)],	G3)
получаем из G2) и G3):
la; их = X @) —I gT sin a;	G4)
"ср = j (vx + их) = X @) -^ ^ sin a,	G5)
где vcp — средняя скорость виброперемещения точки. Согласно G4) транспортиро-
транспортирование точки вверх по наклонной плоскости возможно при любом угле наклона а,
если скорость X @) в момент удара достаточно велика,

330	ВИБРОУДЛРНЫЕ СИСТЕМЫ
Независимо от того, какую гипотезу удара используют,	из G1) и G2) следует
Ix = 2nlmga>'1 sin a; lxlly = tg а.	G6)
Если принять гипотезу сухого трения при ударе, то при
a<arctg/	G7)
тангенциальная составляющая относительной скорости точки после удара опреде-
определяется условием
*	0.	G8)
Из сопоставления G3) и G8) следует, что формулы G4) и G5) справедливы и для гипо-
гипотезы сухого трения при ударе, если положить X = 1. При а, не удовлетворяющих G7),
периодический виброударный режим в предположении гипотезы сухого трения не-
невозможен.
9. КРАТКИЕ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Изложенный в предыдущих пунктах материал дает представление о методах рас-
расчета простых (одноударных и симметричных двухударных) режимов одномассных и
симметричных двухмассных ВУС и правильных режимов одномерных многомассных
ВУС [10, 20].
За последние годы получили развитие точные методы анализа динамики двумер-
двумерных ВУС различной структуры [2, 11, 17, 18, 20, 27].
Выполнены исследования многоударных режимов [40, 41], а также бесконечно-
ударных [30, 35], которые называют скользящими или режимами с квазипластиче-
квазипластическим ударом.
Получены результаты, связанные с оптимальным управлением ВУС [5, 15], син-
синтезом оптимальных устройств виброударного действия [3, 22, 23] и анализом стоха-
стохастических режимов движения ВУС [6, 13, 16, 28, 36, 38].
Такое расширение круга проблем, разрабатываемых в теории ВУС, обусловлено
большим разнообразием прикладных задач и стало возможным благодаря интенсив-
интенсивной разработке применяемых методов исследования. Наряду с дальнейшим развити-
развитием точных аналитических методов припасовывания [20] и точечных отображений [10]
(см. также п. 5 гл. II), большое внимание уделяется приближенным методам расчета
ВУС [1, 7—9, 14]. Во многих случ ях ВУС изучаются методами аналогового [13,
25, 31, 32, 38, 39, 41] и натурного [19, 20, 40] моделирования.
Дополнительные библиографические сведения можно найти в работах [10, 11,
19, 20, 22, 31].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Асташев В. К., Бабицкий В. И. Внброударное взаимодействие вязкоупругих стержней. —
«Машиноведение», 1974, № 5, с. 3 — 9.
2.	Асташев В. К-, Бабицкий В. И., Дольник Е. С. Об одном способе возбуждения колеба-
колебаний. — «Известия АН СССР. Сер Механика твердого тела», 1972, № 1, с. 45 — 49.
3 Ашавскчй А. М. Синтез оптимальных виброударных механизмов. [Научные труды вузов
ЛитССР). — «Вибротехника», 1973, 3B0), с. 139—143.
4.	Бабицкий В. И. Теория виброударных систем. М., «Наука», 1978, 352 с.
5.	Бабицкий В. И., Кобринский А. Е. Периодические движения двухмассовой колебательной
системы в полости.—В кн.: Теория машин и механизмов, вып. 103—104. М.,„Наука", 1964, с.
56-70.
6.	Бабицкий В. И., Коловский М. 3. Колебания линейной системы с ограничителями при
случайных нагрузках. — «МТТ», 1967, № 3, с. 147—15!.
7.	Бабицкий В. И., Коловский М. 3. К теории виброударных систем. — «Машиноведение»,
1970, № !, с. 25 — 30.
8.	Брунштейн Р. Е., Кобринский А. Е. Периодические движения системы, содержащей ша-
шарик в полости.---„Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение", 1959, Кч 1, с. 10-21.
9.	Брунштейн Р. Е., Кобринский А. Е., Об усгойчизосги периодических движений вибро-
виброударных систем. — „Изпестия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение", 1960, №5, с.
131 — 140.
10.	Беспалова Л. В., Неймарк Ю. И., Фейгин М. И. Динамические системы с ударными взаи-
взаимодействиями и теория нелинейных колебаний. — «МТТ», 1966, № 1, с. 151 —159.
11.	Блехман И. И., Джанелидзе Г. И. Вибрационное перемещение. М , «Наука», 1964. 412 с.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ	331
12 Брунштейн Р. Е., Кобрииский А. Е. К исследованию динамики и устойчивости вибро-
виброударных систем. [Труды Института машиноведения Семинар по теории машин и меха-
механизмов]. 1961, вып. 83. с. 46 — 54.
13.	Диментберг М. Ф., Меняйлов А. И. Некоторые стохастические задачи динамики вибро-
виброударных систем. — «Известия АН СССР. Сер. Механика твердого тела», 1976, № 4,
с. 63-70.
14.	Журавлев В. Ф., Привалов Е. А. Исследование методом усреднения вынужденных коле-
колебаний гироскопа с ударным поглотителем. — «Известия АН СССР. Сер. Механика твер
дого тела», 1976, № 3, с. 18 — 22.
15.	Израилович М. Я. Построение оптимального периодического движения одномассовоп
виброударной системы при ограничениях на амплитуду и импульс возбуждающей силы. —
«Машиноведение», 1972, № 1, с. 42 — 45.
16.	Кобринский А. А. Вынужденное движение зиброударной системы со случайным коэф
фициентом восстановления. — «Машиноведение», 1969, № 4, с. 7 —12.
17.	Кобринский А. А. К динамике вибродвигателя. — «Известия АН СССР. Сер. Механика
твердого тела», 1976, № 2. с. 42 — 47.
18.	Кобринский А. А., Кобринский А. Е. Одноударные периодические движения двумерной
частицы на вибрирующей плоскости. —«Машиноведение», 1972, № 5, с. 3 — 10.
19.	Кобринский А. Е. Механизмы с упругими связями. Динамика и устойчивость. М., «Наука»,
1964, 390 с.
20.	Кобринский А. Е., Кобринский А. А. Виброударные системы. М., «Наука», 1973. 591 с
21.	Кобринский А. Е., Шляхтин А. В., Ямщикова М. Н. К теории машин виброударного
действия [Труды ИМАШ Семинар по теории машин и механизмов], 1960, вып. 79, с
27 — 43.
22.	Лавендел Э. Э. Синтез оптимальных вибромашин. Рига, «Зинатне», 1970.
23.	Лавендел 3. Э., Виба Я. А. Особенности оптимального синтеза виброударных систем
[Научные труды вузов ЛитССР]. — «Вибротехника», 1973, 3 B0), с. 47 — 54.
24.	Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. В 2-х т. Т. 2. М., изд
иностр. лит., 1951. 555 с.
25.	Ленский А. Н., Лобода В. /И. Моделирование контактных взаимодействий тел в вибро-
виброударных системах. — В кн.: Механика машин, вып. 33 —34. М., «Наука», 1972, с. 129—144
26.	Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. В 2-х ч. Ч. II. Гостехиз-
дат, 1958, 580 с.
27.	Малкин Д. Д. Косой удар и основные закономерности виброперемещения. — В кн.:
Механика машин, вып. 33 — 34. М., «Наука», 1972, с. 145—162.
28.	Метрлкин В. С. К теории виброударникл со случайно изменяющимися параметрами. —
«Известия вузов. Сер. Радиофизика», т. 13, 1970, № 4, с. 585 — 592.
29.	Нагаез Р. Ф. Правильные импульсные движения в одномерной системе — «ПММ», т. 31,
1967, № 2, с 242 — 254.
30 Нагаев Р. Ф. Общая задача о квазипла^тическом ударе. — «Известия АН СССР. Сер
Механика твердого тела», 1971, № 3, с. 94 — 103.
31.	Пановко Я. Г. Введение в теорию механического удара. М., „Наука", 1977. 224 с.
32.	Рагульскене В. Л. Виброударные системы. Вильнюс, «Минтис», 1974. 320 с.
33.	Рагульскис К. М., Виткус И. И., Рагульскене В. Л. Самосинхронизация механических
систем. Вильнюс, «Минтис», 1965. 186 с.
34.	Русаков И. Г., Харкевич А. А. Вынужденные колебания системы, ударяющейся об огра-
ограничитель. — «ЖТФ», т. XII, 1942, вып. 11 — 12.
35.	Федосенко Ю. С, Фейгин М. И. К теории скользящего режима в динамических системах
с соударениями. — «ПММ», т. 36, 1972, вып. 5, с. 840 — 850
36.	Эглайс В. О. Исследование виброударчой системы со случайным коэффициентом восста-
восстановления. — В кн.: Вопросы динамики и прочности, вып. 21, РИИГА. 1971.
37.	Masri S. F. Forced Vibration of a Class of Non-Linear Two-Degree-of-Freedom Oscillators. —
«Int. Journal of Non-Linear Mechanics», vol. 7, 1972. 663—674.
38	Masri S. F., Ibrahim A. M. Stochastic excitation of a simple system with impact damper. —
«Earthquake engineering and structural dynamics», vol. I, 1973. 337 — 346.
39	Peterka F. Laws of impact motion of mechanical systems with one degree of freedom. P. I —II
Acta Technica CSAV, 1974, N 5 — 6.
40.	Veluswami M. A., Crossley F. R. E. Multiple Impacts of a Ball Between Two Plates. P. I:
Some Experimental Observations. — «Transactions of ASME», vol. 97, ser B, 1975, N 3.
41.	Veluswami M. A., Crossley F. R. E., Horvay G. Multiple Impacts of a Ball Between Two
Plates. P. II: Mathematical Modelling. — «Transactions of ASME», vol. 97, ser. B, 1975,
N 3.
Глава XIII
КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Технические электромеханические системы описываются уравнениями, имею
щимн структуру уравнений механики; они называются уравнениями Лагранжа—
Макевсла. Эти уравнения приводятся в п. 1 настоящей главы. Пример на составле-

332	КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ние уравнений приведен в п. 2; другой пример см. т. 1, с. 54. В ряде случаев,
например при рассмотрении преобразования электрического сигнала в механиче-
механический, уравнения Лагранжа—Максвелла можно линеаризовать. Получающиеся ли-
линейные уравнения приведены в п. 3. Последующие разделы главы посвящены описа-
описанию достаточно общих случаев, когда динамика электромеханических систем может
быть изучена с помощью методов нелинейной механики. В шт. 4—5 указаны свойства
систем, подверженных действию постоянных ЭДС. Относящаяся к этому теория
систем с прерывателем сыграла значительную роль в развитии теории нелинейных
колебаний и позволила исследовать динамику многочисленных технических устройств:
магнитный камертон, различные вибровозбудители и т.д. Ряд технических прило-
приложений, в частности, к расчету электромагнитных вибровозбудителей переменного
тока имеет случай, когда сторонние ЭДС периодические, а активные сопротивления
электрических цепей малы по сравнению с индуктивными. Процедура исследования
таких систем методом Пуанкаре описана в п. 6, приложение результатов к задаче
о колебаниях под действием электромагнита изложено в п. 7. Другой случай, когда
уравнения Лагранжа—Максвелла содержат малый параметр, составляют системы
с высокой частотой питания и большой механической инерционностью. Этот случай,
рассмотренный в п. 8, охватывает, в частности, устройства для ориентирования дета-
деталей переменным во времени магнитным полем.
2. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА—МАКСВЕЛЛА
Электромеханическими называют системы, в которых механические и электро-
электромагнитные процессы существенным образом связаны между собой. В механике харак-
характеристиками состояния являются обобщенные координаты и скорости (или импульсы).
Для электромеханических систем они составляют первую группу характеристик,
вторая включает величины, описывающие электромагнитные процессы.
Электромагнитное поле считается известным, если в каждой точке пространства
известны два вектора: магнитной индукции В и напряженности электрического поля Е.
Эти векторы (или величины, которые могут быть через них вырал ены) и являются
характеристиками состояния в электродинамике. Однако при рассмотрении техниче-
технических электромеханических устройств можно ограничиться случаем, когда бесконеч-
бесконечное множество величин В и Е выражается через конечное число других величин,
входящих в уравнения электромеханических колебаний формально аналогично обоб-
обобщенным координатам и скоростям в механике. Для этого должны выполняться усло-
условия, называемые условиями квазистационарности и состоящие в том, что можно не
учитывать электромагнитные волны. Кроме того, поперечные размеры проводников
должны быть малы по сравнению с их длиной (такие проводники и токи в них назы-
называют линейными); исключение могут составлять проводники — обкладки конденса-
конденсаторов. Сформулированным условиям удовлетворяют почти все технические электро-
электромеханические устройства.
Линейные проводники, соединенные между собой и, быть может, с обкладками
конденсаторов и источниками сторонних электродвижущих сил, образуют электри-
электрическую цепь. Пусть имеется / разветвленных ,цепей, связанных индуктивно, т. е.
проводники одной цепи электрически не соединены с проводниками другой, но все
цепи находятся в общем магнитном поле (поэтому электромагнитные процессы в це-
цепях зависимы). Каждая цепь содержит участки (ветви), состоящие из неразветвлен-
ного проводника и, быть можег, источника ЭДС и последовательно соединенных кон-
конденсаторов. Через любое сечение линейного проводника ветви течег один и тот же
ток. Ветви располагаются между точками (узлами), где сходится не менее трех ветвей.
Предполагается, что при механическом движении цепи топологически не изменяются,
т. е. первоначально соединенные проводники не разъединяются, а разъединенные —
не соединяются.
Этому условию не удовлетворяют системы с прерывателями, коллекторами и т. п.
Некоторые из таких систем можно изучать с помощью приведенных в п. 5 уравнений.
В общем случае уравнения более сложны (см. [10], гл. VII, пп. 9—10).
Пусть ?s — число ветвей, ys — число узлов s-й цепи. Пусть в каждой ветви вы-
выбрано (произвольным образом) положительное направление тока. Обозначим через

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА - МАКСВЕЛЛА	333
i] (j = 1, ... , N, где N — гх+ ... 4 zi) гоки в ветвях (нумерация ветвей также про-
произвольна). По первому закону Кирхгофа токи if связаны соотношениями
Л'
где Y/ft = 0- если Ля ветвь не подходит к узлу с номером k; y/fe = ±1, если ветвь
подходит к узлу, причем один знак берется для ветвей, в которых положительное
направление тока выбрано к узлу, другой — для ветвей с направлением тока от узла.
Для s-й цепи имеется ys — I независимых уравнений, а для всей совокупности цепей
ух + ... + yi —I уравнений A).
Среди токов it,... , iN можно выбрать т токов, [от = (zt —yt) + ... + (г/ — yi) + /]
так, что остальные N — m токов выразятся из A) через выбранные линейными соот-
соотношениями . При этом в 5-й цепи можно выразить ys — 1 токов через г^ — ys + 1
выбранных токов. Число m — наименьшее число токов, обладающих указанным
свойством. Изменяя нумерацию, обозначим выбранные токи через /1( ... , im.
Разветвленные цепи системы можно представить в виде совокупности (наложе-
(наложения) m замкнутых неразветвленных контуров так, чтобы токи в контурах были
ij, ... , im. При этом выбранные ветви будут входить только в один контур, а осталь-
остальные могут входить в два и более. Токи в таких ветвях будут алгебраическими сум-
суммами токов в контурах, в которые входит ветвь. Следовательно, соотношения, свя-
связывающие остальные токи с выбранными контурными, имеют вид
«'/= 2 М/ (/ = м + 1, .... N),	B)
г =1
где (З.у = 0, если /-я ветвь не входит в r-и контур; Р^> = 1, если ветвь входит в кон-
контур и положительное направление гока в ней совпадает с положительным направле-
направлением тока i/, f5,> = —!, если эти направления противоположны.
В результате рассмотрение совокупности разветвленных цепей свелось к рас-
рассмотрению m замкнутых неразветвленных контуров.
Выбор токов t\	im неоднозначен, но и не произволен. Чтобы найти под-
подходящие токи, нужно провести в схеме цепи по ее ветвям ломаную линию, прохо-
проходящую через все узлы и не образующую ни одного замкнутою контура. Токи в вет-
ветвях, не вошедших в ломаную, можно принять за (х, ... , im. Добавив к ломаной от-
речок, проходящий через ветвь с током ir, получим один замкнутый контур. Это и
будет контур с током 1Г в разбиении цепи на неразветвленные контуры. Разным спосо-
способам проведения ломаной соответствует разный выбор токов ilt ... , im и разные
разбиения цепи.
Если среди цепей имеются неразветвленные контуры, то токи в них непосред-
непосредственно включаются в совокупность i\, ... , im.
Токи /х, ... , im порождают в окружающем пространстве магнитное поле. Вектор В
в любой точке пространства с достаточной точностью можно считать функцией коор-
динатэтой точки и токов ilt ... , im. Исключение составляет просгранствовнутри самих
проводников, где индукция зависит от распределения тока по поперечному сечению
проводника, но обычно этим обстоятельством можно пренебречь. Пусть простран-
пространство заполнено магнитолинейной )федой, в которой В —линейная функция токов;
практически такой средой можно считать любое вещество, кроме стали и некоторых
сплавов в достаточно сильных полях. Тогда индукция в точке пространства с коор-
координатами х, (/, г
m
В(х, у, г, «!, .... im)= ^ вг(*> У> 2)'V-	C)
г = \
Электрическое поле рассматривается только в пространстве (узких зазорах)
между обкладками конденсаторов, причем вектор Е — лилейная функция заряда
конденсатора gj, т. е,
Е(х, у, z, g/) = g/Ei(x, у, г).	D)

334	КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Заряд g/ связан с током i/ ветви, в которую включен конденсатор, соотноше-
соотношением ij = if.
Величину
W=i- f }-B*dxdydz,	E)
где интеграл берется по всему пространству, называют энергией магнитного поля;
[г — характеристика среды, в которой создано поле; она является функцией коор-
координат и называется магнитной проницаемостью. Согласно C)
т	т
1	1 Т1
— г s	У — 2 ? rslrls-	\ )
Г, S = 1	Г, S = 1
Величины Lrs = Lsr при г = s называют коэффициентами самоиндукции и при
г ф s — коэффициентами взаимной индукции контуров.
Часто учитывают только магнитное поле, сосредоточенное в областях вблизи
некоторых участков ветвей (катушки индуктивности, трансформаторы и т. п.). При
этом энергия поля задается как функция токов ветвей
N
L'jkifa, L'ik^Lki-	G)
/, k = l
Подставляя в G) выражения B) для токов ветвей if, j = m + 1, ... , N, можно
выразить коэффициенты индукции контуров через заданные коэффициенты индук-
индукции L'ik:
N	N
Lrs = Lrs+ 2 P,,P*,i/ft+ 21 Р/Л'« + Р/^/-	(8)
j, ft — m-{- 1
Часть величин L'k может равняться нулю.
Величину
N
=y У \
1 1
eE^dxdydz,	(9)
где интегралы берутся по пространству между обкладками конденсаторов, называют
анергией электрического поля; е — характеристика среды, называемая диэлектриче-
диэлектрической постоянной. Согласно D)
где Су — емкости конденсаторов. Предположим для упрощения записи, что в ка-
каждой ветви не более одного конденсатора. Для ветвей без конденсатора следует счи-
считать 1/С/ = 0.
Из B) после интегрирования находим связь между зарядами
,		N),	A1)
Г = \
гАе gro> ?/о — начальные значения зарядов конденсаторов. Это позволяет сохранить
в выражении для V только заряды в первых ветвях, т. е.
r, s— 1	r = 1

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАПЖА - МАКСВЕЛЛА	335
Величины 1/CVs называют инверсными емкостями при г = s и взаимными инверс-
инверсными емкостями при г Ф s. Они определяются соотношениями
л/
Т*— = ~г—= ^~ ^« + / 7^ P//-P/S-
/ = m+l	A3,
f 1 при r = S;
1 0 при г Ф s.
Величины br и Vo зависят от начальных зарядов:
Л/ Г	т
/ = ,п + 1
1
7 (
/ = m + 1 ' \	/-,5=1	/• = ]
Цепи характеризуются также активными сопротивлениями ветвей R,. Важен
случай, когда R,- = const. В этом случае вводится величина
/ =1
называемая электрической диссипативной функцией. Она связана с мощностью Р,
затрачиваемой на джоулево тепло, соотношением Р = 24?. С помощью B) функцию W
можно представить через контурные токи:
fft
/-, s = 1	/ = т+ 1
Пусть ?' —сторонняя ЭДС в /-й ветви. Алгебраическая сумма сторонних ЭДС
в лм контуре выражается через величины Е' соотношением
N
Для описания механического движения должны быть введены обобщенные коорди-
координаты; они обозначаются через qx, ... , qn. При движении может меняться распределе-
распределение в пространстве магнитной проницаемости, а также расположение линейных
проводников и пластин конденсаторов. Это приводит к тому, что коэффициенты
индукции Lrs и инверсные емкости \ICrs оказываются функциями qlt ... , qn. В ре-
результате энергия магнитного поля будет функцией контурных токов i1, ... , im и
обобщенных координат, а энергия электрического поля —функцией зарядов^, ... ,gm
и координат.
Уравнения, описывающие взаимосвязанные электромагнитные и механические
процессы в электромеханических системах и называемые уравнениями Лагранжа—
Максвелла, имеют вид
-г: -^-.	Ь -f=	Ь -=;— = Е. (г==\, ...,т);
<Н Л, ^ dtr ^ dgr A	;'
d дТ d(T + W) д(П + У)	{

336	КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
где
п
1 у
кинетическая энергия; П (qlt ... , qn) — потенциальная энергия; Q^ — Q^ (qlt ... , qn,
qx, ... , qn) — непотенциальные обобщенные силы. Предполагается, что связи в си-
системе стационарные и голономные. О выводе уравнений A7) см. в работах [7, 9, 10].
Система A7) содержит т-\- п уравнений второю порядка относительно т-\- п
неизвестных функций g, (t), ... , gm (t), q1 {t), ... , а„ (t). Все уравнения A7) имеют
структуру уравнений механики, т. е. если принять формально gx, ... , gm, qt, ... , qn
за обобщенные координаты системы с кинетическим потенциалом La = Т + W — (П-f-
+ V), то A7) можно записать как уравнения Лагранжа второго рода этой системы.
При этом первым m координатам соответствуют обобщенные силы Ег—o^?ldir,
а остальным — силы Qk. Токи ir = gr имеют смысл обобщенных скоростей, W фор-
формально можно отнести к кинетической, а V — к потенциальной энергиям. Величины
s= 1
называемые магнитными потоками или потоками индукции (в электротехнике —
потокосцеплениями), аналогичны обобщенным импульсам; Фг есть поток вектора
индукции В через любую поверхность, натянутую на r-й контур. Переписав урав-
уравнения движения в виде
dt dqk dqh dqk v/' dqk dqk	y '
можно интерпретировать два последних члена в правой части как обобщенные силы,
обусловленные механическим воздействием магнитного и электрического полей.
Такие силы называют пондеромоторными.
В технике важную роль играет случай, когда токи проводимости замкнуты и все
1/Су = 0. В этом случае заряды не входят в A7) и аналогичны квазициклическим
координатам в механических системах. Выразив из A8) токи через потоки и под-
подставив их в выражение для W, можно записать уравнения, аналогичные уравнениям
Рауса в механике:
т
ф'+ Z Rr>-d&-=Er (г=1> ¦¦¦>т)'
s = l	S	B0)
д дТ дТ dXl	9W
Здесь W = W (Ф1г ... , Фт, 9i	qn), а токи выражены через потоки соотношением
т
х	Фт> qi' ¦¦¦'9n)== 21г&Фп B1)
{'=ж~w
аналогичным известному соотношению между скоростями и импульсами в механике;
Lr\ — компоненты матрицы, обратной матрице || Lrs II.
Уравнения вида A7) или B0) можно записать для систем, включающих массив-
массивные 'ооъемнне трехмерные) проводники. «Электрическая» группа будет содержать
при этм счетное множество уравнений (т= °о) [10, гл. VII].
В случае магнито- или элсктронелш.ейных сред индукция В или напряженность
электрического поля Е не пропорциональна соответственно токам или зарядам
Представляет интерес рассмотрение ферромагнетиков с насыщением и гистерезисом.

УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТА
337
В электродинамике наряду с В вводят вектор Н — напряженность магнитного поля;
в магнитолинейных средах Н = В/ц. Для технических ферромагнетиков и
обычно встречающихся значений частоты изменения поля можно считать,
что В и Н направлены по одной прямой. Зависимость В — В (Я), где
В, Н — проекции В, Н на параллельную им ориентированную ось, должна быть
известной. Пусть эта зависимость однозначна (гистерезис не учитывается). В этом
случае используется функция
W (ft	im, qt	qn) = J $ В (Я) dH dx dy dz,	B2)
для ее определения нужно знать Я в каждой точке пространства как функцию токов
и обобщенных координат. Уравнения A7) сохраняются, е~ли W взять согласно B2V
при этом же условии сохраняются и соотношения Фг — dW/dir.
Обратные соотношения имеют вид
i _ №
'/¦-
дФг'
где
Прежний вид имеют и уравнения Рауса B0), но функция W должна быть заме
пена W по B4).
Для исследования систем с гистерезисом нужно заранее знать направления из-
изменения токов, т. е. знаки ir, так как эти знаки определяют характер нама1 ничивания
и связи потоков с токами.
Уравнения A7), B0), вообще говоря, нелинейные. Далее рассмотрим случаи,
когда их можно линеаризовать или исследовать с помощью методов нелинейной
механики.
3. ПРИМЕР: УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТА
С ПРИТЯГИВАЕМЫМ ЯКОРЕМ
Ряд вибрационных устройств можно схематизировать в виде системы, представленной
на рис 1 Зазор h -\- х обычно мал по сравнению с размерами а, Ь (рис 2), что позволяет
считать поле в зазорах однородным Поле рассеяния (вне сердечника, якоря и зазоров) мол.но
не учитывать, а поля в сердечнике и якоре достаточно учесть введением их магнитного сопго<
X !
Рис. 2
тивления R . Энергия поля в стали будет W = l/zR Фг, где Ф — магнитный поток через
сечение сердечника Индукция в зазоре В = Ф/5, где 5 — ab — площадь сечения Энергия
поля в зазорах, вычисляемая согласно E), будет пропорциональна обьему зазоров. Окон-
Окончательно для всей энергии поля получаем выражение
2	B5)
1Де м.о — магнитная проницаемость воздуха..

338	КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Поток Ф, через контур тока tt равен г,Ф, где г, — число витков. Поэтому соотношение,
связывающее поток с током, будет
• - dw (ф'' *>
Механический кинетический потенциал
L = T-H*=±mi'-±e#.	B7)
где т — масса якоря; с — жесткость пружины Из B5), B6), B7) получаем уравнения
Рауса
-L,\ п	..	' bf,	B8)
где Е — ЭДС в цепи обмотки, Ri — активное сопротивление цепи
Выразив из B6) поток через ток и внеся его в B5), нетрудно записать выражение для
U7(i'i, х) и составить уравнения Лагранжа — Максвелла.
Для электромагнитов с существенной нелинейностью проще составлять уравнения
Рауса. Для этого достаточно найти связь между потоком и током, используя закон полного
гока
где / — длина силовой линии в стали; Н , Но —¦ напряженности поля соответственно в стали
и в зазорах. Из B9) находим
Первое уравнение Рауса будет
с«е(-&)+^*.Н-
Второе уравнение совпадает со вторым в B8)
4. О ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
При анализе ряда технических устройств (телефонов, электрических преобразо-
преобразователей сигналов и т. д.) уравнения электромеханических колебаний можно линеа-
линеаризовать. Рассмотрим общий случай, когда линеаризация возможна. Пусть Ег =
= Ecr-\- Evr(t), г— \, ... , т, Ecr= const, а переменная ЭДС Evr мала по срав-
сравнению с Есг. Пусть силы Qk складываются из сил вязкого трения, постоянной и
малой переменной частей:
п
Qk = - 2 bn4,+Qck+Qvk(t) (* = i	п).	C2)
/=1
Пусть токи проводимости замкнутые. При этом токи и обобщенные координаты
можно искать в виде суммы постоянной и малой переменной частей ir = icr -j- ivr (t),
¦7/- - Яск "f* Qvk (О И удерживать при вычислениях немалые члены и члены первого
порядка. Постоянные компоненты токов определяются из уравнений
т
2 Rrsics = Ecr (г=1	т).	C3)
S =1
Для определения немалых компонент координат получается задача о механическом
равновесии под действием сил QL/t и постоянных компонент пондеромоторных сил:
MMn^bi (*=!..... п),	C4)
= П (qL%	qca), W (i, q) - W (h, ... , im, q%	qn).

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ
339
Переменные компоненты токов и координат находятся из линейных уравнений,
получающихся из A7) и F):
2 [L-rs
s = i
m
lvs+ 2 lak> (Qc) gv!
2 Sn<iv, = EVr (/-=1. ••.. т)\
/ = I
=l	л),
C5)
где
-2-
C6)
Icrics-
Г, 5=1
Две группы уравнений C5) связаны посредством членов с коэффициентами 5ry, 5S^.
Поскольку ivs аналогичны обобщенным скоростям, то эти члены аналогичны гиро-
гироскопическим силам в механике.
Более частный, но интересный случай,
когда получаются линейные уравнения, со-
составляют электродинамические приборы,
стенды и т. д. В этих устройствах провод-
проводник с током движется в поле, созданном дру-
другим током, причем последний обычно можно
считать заданным и постоянным; от переме-
перемещений зависит только коэффициент взаимной
индукции контуров этих двух токов. Пусть
проводник АС движется перпендикулярно
полю, созданному заданным током (рис. 3),
и при движении проводника поток через
площадку ACDE не изменяется. Тогда при перемещении проводника приращение
потока Ф] будет равно потоку вектора В через площадку АА'С'С. Следовательно,
Ф1 = ?11(4- (Ф0 + 1Ви)	C7)
где / — длина отрезка АС; Фо — поток вектора В через ACDE0 Ф, и В пропорцио-
пропорциональны заданному току г2, так что второй член в правой части C7) есть иначе запи-
записанная величина L12i2. Записав по C7) и A8) выражение для энергии поля
Рис. 3
к +
C8)
и предполагая систему механически линейной, можно составить уравнения Лаг-
ранжа—Максвелла:
Выражения для пондеромоторной силы lBi\ и ЭДС движения — 1Ви соответст-
соответствуют известным правилам «левой и правой руки».
Требование, чтобы система описывалась линейными уравнениями, предъявляется
к устройствам для преобразования электрического сигнала в механический или мэ-
ханического в электрический. Но для силовых устройств (электрических машин,
вибраторов и т. д.) это требование обычно не обязательно. Поэтому их динамику
следует изучать с помощью методов нелинейной механики.

340	КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
5. СИСТЕМЫ, ПОДВЕРЖЕННЫЕ ДЕЙСТВИЮ ПОСТОЯННЫХ ЭДС.
УСТОЙЧИВОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
Ряд технических устройств (некоторые измерительные приборы, контакторы,
исполнительные механизмы и т. д.) представляют собой системы, к которым прикла-
прикладываются постоянные сторонние ЭДС. Непотенциальными обобщенными силами в
этих случаях являются только силы трения Для таких систем можно дать класси-
классификацию всех возможных движений.
Пусть непотенциальные силы диссипативные, т. е.
п
53 Qk4k^o,	D0)
* = i
п равенство в D0) достигается только при всех q^ = 0. Пусть токи проводимости
замкнутые. Тогда возможны только движения следующих типов: 1) стационарные
ir = const, qtt = const, r = 1, ... , m, k = 1, ... , n, 2) стремящиеся к стационарным
при / -> оо; 3) движения, в которых хогя бы одна из переменных ir, q/t, q/, теорети-
теоретически стремится к бесконечности при t -» оо. Фактически при движениях последнего
типа система выходит на границу области, где справедливы исходные уравнения A7)
или B0).
Таким образом, при Er = const, Rrs = const и условиях D0) невозможны неза-
незатухающие ограниченные механические движения. В системах, периодических по
одной из координат q/,, невозможны вращения, когда эта координата q^ -^ оо, а
остальные переменные ограничены. Аналогичные выводы справедливы для систем с кон-
конденсаторами и систем с сопротивлениями, зависящими от токов Rj = Rj (г;) при
условии, что функции Rf (i;) — возрастающие. Отсюда, в частности, вытекает тео-
теорема о нереализуемости бесколлекторного двигателя постоянного тока.
В технике представляют интерес стационарные движения. Токи в этом случае
определяют расчетом цепей постоянного тока, они не зависят от механических ко-
координат. Для определения последних получается задача о механическом равнове-
равновесии под действием пондеромоторных сил
Возможен случай, когда механическая система является системой с распределен-
распределенными параметрами. К такому случаю относятся задачи о деформировании упругих
тел магнитным полем. Эти задачи могут быть нелинейными, даже если упругие пере-
перемещения малы и справедливы уравнения линейной теории упругости. Нелинейность
при этом обусловливается зависимостью пондеромоторных сил от перемещений.
К указанному классу относятся два типа задач- о равновесии ферромагнитных тел,
расположенных на расстояниях, сравнимых с малыми упругими перемещениями,
и о равновесии близко расположенных проводящих стержней с токами. Постановка
этих задач и некоторые результаты их исследования приведены в работе [16]. Мате-
Математически аналогичная задача о равновесии электростатически заряженных капель
рассмотрена в работе [18].
Механическое равновесие в задаче о стационарных движениях определяется
независимо от определения токов, которые входят в D1) просто как параметры. Но
при исследовании устойчивости следует учитывать, что при движении системы токи
и координаты должны определяться совместно (так как рассматриваем не устойчивость
равновесия под действием сил, зависящих от параметров, а устойчивость стационар-
стационарного движения). Тем не менее оказывается, что для устойчивости такого движения
необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво механическое равновесие при не-
варьируемых токах, т. е. токи можно считать параметрами и при исследовании
устойчивости (доказательство см. в работе [17]). Этот вывод упрощает исследование
устойчивости и позволяет судить о ней по изменению решений при изменении токов.
В механике известна аналогичная теорема об устойчивости стационарных дви-
движений систем с циклическими координатами (теорема Рауса). В электромеханике
ond относится к системам со сверхпроводящими контурами (все R, = 0). Для систем

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ	341
с конечным сопротивлением отличие ог теоремы Рауса состоит в том, что неварьируе-
мыми считаются токи (аналог квазициклических скоростей), а не циклические им-
импульсы (магнитные потоки). Условия устойчивости по геореме Рауса (для сверхпро-
сверхпроводящих систем) шире, чем для систем с конечным сопротивлением [17].
6. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ПРЕРЫВАТЕЛЕМ
Часто используемым способом получения установившихся колебаний под дейст-
действием постоянных ЭДС является введение в цепи прерывателя. На этом принципе
основаны звонок, электромагнитный камертон, некоторые вибраторы и т. д.
Пусть в цепь электродинамического устройства, описываемого уравнениями C9),
введен контакт, положение которого зависит от перемещения и. При а < а контакт
замкнут, при и > а — разомкнут (размыкание в таком случае сопровождается искрой,
но этим часто можно пренебречь). Обычно в C9) можно пренебречь и ЭДС движе-
движения — 1Ви. Тогда при Q = О
m'ii-\-bu +си =-——-( 1— ехр (	гМ Ч > " < а;
mu-j-bu-{-cu=0, u>a,	D2)
где ^отсчитывается от момента замыкания цепи, выражение для j'j найдено из первого
уравнения C9).
Кусочно-линейное уравнение D2) можно исследовать методом припасовывания
[6]. М. А. Леонтович таким путем доказал приведенные ниже положения.
1.	При достаточно малом коэффициенте трения и «не слишком» малой индуктив-
индуктивности существует периодический режим с частотой, близкой к частоте свободных
механических колебаний при отсутствии трения Ycltn- Время между переключе-
переключениями близко к полупериоду. Механические колебания мало отличаются от гармо-
гармонических, причем с точностью до величин, малых при малом коэффициенте Ь, ампли-
амплитуда «! первой гармоники разложения и (t) в ряд Фурье не зависит от координаты
переключения а и определяется по формуле
РA+ехр(-ря))	Ни 1/"т
27I + P5) ' Р~~^ У Т- D3)
Амплитуды остальных гармоник порядка Ь.
2.	При уменьшении индуктивности Ln и фиксированных остальных параметрах
периодические колебания в зависимости or величины а становятся либо вообще не-
невозможными, либо их амплитуда и период стремятся к нулю.
3.	Описаняе динамики системы без учета индуктивности невозможно.
Последний очень важный вывод о-носится и к другим системам с прерывателем.
Качественно влияние индуктивности эквивалентно запаздыванию в уравнении дви-
движения [11].
Более сложные задачи об ударных колебаниях в системе с прерывателем изучены
Н. А. Фуфаевым [12] с помощью метода точечных отображений. Он, в частности,
разбил пространство параметров на области, где существуют движения различных
типов. Системы с другой схемой включения прерывателя исследовал Ю. А. Львович
[8] тем же методом. Некоторые другие кусочно-непрерывные электромеханические
системы рассмотрены Л. А. Комразом [5].
7. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
С МАЛОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДИССИПАЦИЕЙ.
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Динамику ряда технических устройств, в частности вибрационных машин с эле-
электромагнитными вибраторами, можно исследовать, основываясь на том, что актив-
активные сопротивления их электрических цепей м?лы по сравнению с индуктивными.
Наиболее интересен случай, когда цепи подключены к достаточно мощной сети,
напряжение в которой можно считать заданной периодической функцией времени,

342
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
и требуется определить периодические электромеханические колебания, имеющие
частоту сети. В этом случае может быть использован метод Пуанкаре.
Для систем с замкнутыми токами проводимости следует исходить из уравнений
Рауса B0). В них можно ввести безразмерные переменные т. = at, ц>г = соФ^/С,,,,
где U % — характерное значение напряжения. Тогда в первых т уравнениях перед
вторым членом в левой части появится множитель е = R^/aL^,, где R^, L* — соот-
соответственно характерные значения сопротивления и индуктивности. Величина е
является малым параметром, поэтому периодические решения можно искать в виде
рядов по степеням 8. Если в полученных решениях вернуться к исходным размерным
переменным, то результат совпадет с тем, который получится при использовании
непосредственно уравнений B0), как показано ниже. Это позволяет не вводить малый
параметр е явно, что удобнее.
Напряжения между точками сети, к которым подключены цепи, можно рассмат-
рассматривать как сторонние ЭДС. Тогда функции Ег в B0) будут известными 2я/со-периоди-
ческими (со — частота сети) функциями времени. Возможно, что Ег имеют постоян-
постоянные составляющие, т. е. Er = Ur (t) + Ucr, где Ucr = const, a Ur не имеют посто-
постоянных составляющих:
2л/и
Ur(t)dt = O.	D4)
zm
2л J
Постоянные составляющие (ir) токов имеют порядок Ucr/R*- Случай, когда (/г)
на порядок относительно е больше переменных составляющих токов, в технике обычно
не допускается. Поэтому Ucr должны быть малы и наряду с Rrs относиться к вели-
величинам порядка е.
Периодические колебания определяются по следующей схеме. После отбрасы-
отбрасывания малых членов из B0) выделяется подсистема
фг = иг (г = 1, ..., т),	D5)
из которой находятся магнитные потоки в порождающем приближении
(г=1	т),	D6)
где Vr = Ur, (Vr) = 0; ar — пока произвольные постоянные.
Используя D6), можно найти пондеромоторные силы (—dWldqi{) как функции
времени, механических координат и постоянных ctj, ... , ат. После этого для опре-
определения qlt ... , qn в порождающем приближении из второй группы уравнений B0)
получается система, описывающая механические колебания, возбуждаемые найден-
найденными 2я/@-периодическими пондеромоторными силами. Пусть определены ее 2jr/co-ne-
риодические решения qu (t, alt ... , ат). Вместе с D6) они составят семейство порож-
порождающих решений, зависящих от т параметров аг, ... , ат. Из всех решений этого
семейства к искомым решениям системы B0) бу^ут близки лишь решения с некото-
некоторыми конкретными значениями о^, ... , ат. 1а.<ие значения являются корнями си-
системы уравнений
т	т	-I,™
Рг(аъ ..., ат)= 2 RrsVs)-Ucr= 2 К«<аф->-1/Сг = 0 D7)
S=1	!=1	*
(/•=1, .... т).
Число периодических режимов равно числу вещественных решений уравнений D7).
Для составления уравнений D7) нужно вычислить в порождающем приближении
токи как функцииalt ... ,ат. При этом нужно исходить из выражений is (Фх, ... , Фт,
с/!	qn) согласно B1) и внести в них Фг и q^, найденные в порождающем прибли-
приближении.
Уравнения D7) эквивалентны системе
P,(«i. .... am) = {lr)-lcr = 0	D8)
г— \,...,т,
которая получается, если разрешить D7) относительно (ir).

КОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТА	343
Выражения Фг (t, ar) и qu (t, alt ... , ат) при значениях а,, ... , ат, удовлетворяю-
удовлетворяющих D7) или D8), дают первые члены в разложениях искомых переменных по сте-
степеням е.
Для устойчивости электромеханических колебаний необходимо, чтобы было
устойчиво механическое движение, описываемое функциями qtt (t, oc1( ... , ат) при
значениях alt ... , ат, удовлетворяющих D8). Пусть это условие выполнено. Тогда
режим устойчив, если при соответствующих ему значенияхalt ... ,ат корни Хг	Хт
уравнения
dtldP/d + Mi=*O	D9)
удовлетворяют условию Re Xr < 0, и неустойчив, если вещественная часть хотя бы
одного корня положительна; ers в D9) —символ Кронекера.
Интересен случай, когда обобщенные силы потенциальные, т. е. все Q/, = 0.
При этом возникают еще так называемые «дополнительные» условия устойчивости,
но в технических задачах они обычно слабее указанных выше, В рассматриваемом
случае
Рг==ж; (г=1	т)г	E0)
где Л К, ... , ат) = (W) - (Т) + (П> - Wc;
m
I]	E!)
— энергия токов подмагничивания; средние значения в выражении для Л подсчи-
тываются по порождающему решению. Следовательно, значения alt ... , а„г, соот-
соответствующие устойчивым режимам, сообщают функции Л минимум и, наоборот,
значения, при которых Л имеет минимум, соответствуют устойчивым режимам.
Последнее утверждение называют интегральным критерием устойчивости; его
доказательство см. в работе [14]. В частных случаях критерий справедлив и при на-
наличии механических диссипативных сил [14]. Он облегчает определение alt ... , am,
так как позволяет использовать известные способы нахождения минимума. Впервые
критерий такого типа был доказан И. И. Блехманом для иных систем [1].
8. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТА
По описанной выше схеме можно также определить колебания в некоторых систе-
системах, содержащих цепи как с малым, так и с немалым сопротивлением. Пусть электро-
электромагнит (см. рис. 1) имеет еще одну обмотку, к зажимам которой подключена любая
цепь с немалым активным сопротивлением или с немалой индуктивностью, выпря-
выпрямителем и т. д. Вместо B6), например, по закону полного тока получается соотно-
соотношение
[^±^].	E2)
где i2 —ток во второй обмотке, г2 —ее число витков. При синусоидальном напря-
напряжении сети Ег— U sin at и из B8) находим выражения для потока Фх = аг — U/a X
X cos at и уравнение для определения механических колебаний в порождающем при-
приближении
Его 2я/ш-периодическое решение имеет вид
E3)
"о= v 5
с '	с—тсо2

344	КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Ток i2 B порождающем приближении находится независимо от механических
колебаний из расчета периодического режима в цепи, которая подключена ко второй
обмотке. При этом следует считать, что к зажимам обмотки приложена ЭДС
—Uz2/z1 sin Ш.
Малый член в первом уравнении B8), равный Ruix, можно выразить через Ф1 —
= ггФ и i2 из E2). После этого по условию (%) = 0 получаем уравнение относительно
СС] или а = о^/гц:
Р(а)=а(а — Ь —
Величина е = z2 (г2) может быть отлична от нуля вследствие наличия выпрями-
выпрямителя в цепи второй обмотки. Условие устойчивости имеет вид dP/da — а — Ь —
— За^а2 > 0; устойчивые колебания возможны, если (а — бK/" > 3/2 [ ic 1УЗа1У
при этом устойчивый режим единственный.
Так как пондеромоторные силы зависят посредством о^ от механических пара-
параметров [см. E3)], то электромагниты нельзя считать источниками заданных возму-
возмущающих сил. Это объясняется связью между механическими и электрическими коле-
колебаниями.
Можно изучить колебания и в системах с несколькими электромагнитами, а также
в случае многих механических степеней свободы [15]. О расчете электромагнитных
вибровозбудителей см. в т. 4. При существенной магнитной нелинейности (насыще-
(насыщении стали) задача решается аналогично, только усредняются соотношения типа C0).
В этом случае возможны механические колебания с частотой сети под действием
электромагнитов, имеющих только одну обмотку, подключенную непосредственно
к сети (см. также т. 4). В магнитно-линейном случае для таких магнитов
'с = 0. устойчивым режимам соответствует ах — 0 и колебания имеют частоту 2<и
1см. E4)]. Тот же эффект — механические колебания частоты со при питании только
переменным током — можно получить при ударах якоря о преграду [2].
Для электромагнитов типа изображенною на рис. 1 пондеромоторные силы в E3)
не зависят от перемещения х. Но в других системах эти силы будут функциями коор-
координат, и уравнения, аналогичные E3), оказываются нелинейными. В ряде случаев
для определения их периодических решений можно использовать методы гармони-
гармонического баланса, гармонической линеаризации и т. п.
9. МЕДЛЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
В ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
При высокой частоте сети илч большой механической инерционности амплитуды
механических колебаний, имеющие частоту сети или кратную ей, будут малыми.
Но механическое движение в этом случае не обязательно сводится только к малым
вибрациям, а может содержать накладывающуюся на них медленную составляющую
большого «размаха». Такие движения представляют интерес для теории магнитных
подвесов и подшипников, ориентирования деталей переменным во времени ма1нит-
ным полем и т. д.
Величину гг — \F\la>2 [A] [q], где [F], [A], [q], со — соответственно характерные
значения переменных составляющих пондеромоторных сил, инерционных коэффи-
коэффициентов, координат и частоты, можно принять за квадрат малого параметра. Если
перейти к безразмерным переменным, то получим систему, содержащую е явно. Но
удобнее рассматривать исходные размерные уравнения, подставив условно множи-
множитель 8 перед членами, которым соответствуют малые члены безразмерных уравнений,
а в окончательных выражениях положить в = 1. Уравнения движения удобнее запи-
записывать в форме Гамильтона. При замкнутых токах проводимости получается
система

МЕДЛЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ	345
т
= е 2 аи] (?!, ..., qn)p, (& = 1	ft);
n -1	m
#ь = в[—^~ / -^—P/Pz—?r / ~^—Ф^Ф»^^*!:	E6)
/. (= 1	r, s= 1
m
где р* — обобщенные импульсы; a^J — компоненты матрицы, обратной |] ak, ]|. Рас-
Рассматриваемые движения возможны, если обобщенные механические силы порядка 8
или выше. Поэтому обобщенные силы (потенциальные и непотенциальные вместе)
обозначены через sN^. Малыми должны быть также начальные значения импульсов.
Функции Ег @ предполагаются периодическими или квазипериодическими, т. е
представляющимися конечной суммой гармоник с несоизмеримыми частотами.
Наличие в E6) малого параметра позволяет составить уравнения, описывающие
только медленное изменение механических координат, что упрощает задачу. При
этом можно использовать метод В. М. Волосова, согласно которому искомые пере-
перемещения ищутся в виде асимптотических рядов
Л. Ф. 0 + е2 •-.;	E7)
|, 11. ф, 0+е2-..
так, чтобы новые медленные переменные |, т) удовлетворяли уравнениям, не содержа-
содержащим быстрых переменных ф. В E7) |, ii, ф означают всю совокупность переменных
|х	In и т. д. Можно также использовать метод, разработанный Н. А. Реймерсом
и К. Ш. Ходжаевым. Согласно этому методу быстрые переменные выражаются через
новые медленные и время:
.;	E8)
Вычисления по второму методу несколько проще, но в отличие от общего метода
В. М. Волосова он рригоден только для квазилинейных систем, к числу которых
относится E6). Оба метода приводят к уравнениям медленных движений
п
ik=e 2j a*' Ei> ••• > in )Ц/ (k==l	«);
\ I, 1= I	r, s = l
здесь фог, i()fcs — периодические или квазипериодические решения уравнений
т
г, z = l

346	КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
При решении уравнений F0) считается ? = const. Средние значения определяются
соотношениями вида
ta+T
{<PorWs)= lim -r- \ 4>or (t) fas @dt-	(Щ
T ->oo ' J
U
Обобщенные силы e/Vj. в E9) должны быть записаны как функции ?, т).
Интерес представляет случай движения твердого проводящего тела в заданном
внешнем магнитном поле. При этом Ег = —(MrJ), г = 1, ..., оо; J — ток в кон-
контуре, создающем внешнее поле; Mr (q) — коэффициент взаимной индукции между
г-ж условным контуром в теле и контуром заданного тока [10]; Lrs не зависит от обоб-
обобщенных координат. Уравнения E9) принимают вид
где W — энергия поля токов Фуко, вычисленная в порождающем приближении:
m
г=т 2 Lii(f^^	F3)
Г, S = 1
a D — формальная (так как она может описывать и «раскачивающие» силы) диссипа-
тивная функция:
1L 2,	п
Это означает, что в первом приближении средние силы, действующие на тело со
стороны поля, имеют потенциал, которым является среднее значение энергии поля
токов Фуко. Во втором приближении добавляются силы, имеющие диссипативную
функцию (доказательство см. в работе [3]).
В наиболее важном случае, когда e/V^ суть суммы потенциальных и диссипатив-
ных сил, члены О (в2) в E9) или F2) следует учитывать только при условии, что дис-
сипативная «часть» в еЛ^ порядка е2. При этом члены второго порядка в E9) или
F2) нужны для исследования характера движений.
Пример. Вращение жесткого контура в однородном поле. Пусть контур может вра-
вращаться только относительно оси, перпендикулярной В. Тогда Mi = G cos i9\ где О — угол
между нормалью к плоскости контура и положительным направлением 8. При J — Ja cos at
уравнение медленного вращения, получающееся из E9), имеет вид
где / — момент инерции; L, R — соответственно индуктивность и сопротивление контура.
Пусть JV — 0 и R > coL. Тогда устойчивы положения равновесия ? = ±я/2.
В теории электрических машин предположение о малости соответствует пред-
предположению о том, что момент инерции ротора достаточно велик. Динамика синх-
синхронной машины в этом случае исследована в работе [13].
Разделение быстрых и медленных процессов возможно также в случае, когда
две катушки индуктивности установлены, например, на общем сердечнике так, что
их витки пронизываются «почти» одним и тем же потоком. Тогда «электрические»
уравнения могут быгь приведены к виду

МЕДЛЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ	347
г,Ф + g
(bo)
г2Ф+e (оЛ12гг + bL^h)'+Rah = E2,
где члены, содержащие малый параметр е, описывают потоки рассеяния.
Если умножить второе уравнение на г1/г2 и вычесть его из первого, то получим
уравнение с множителем 8 при производных. К получившейся системе можно при-
применить указанные выше асимптотические методы. Для электрических машин таким
путем получаются [4] уравнения медленных нестационарных процессов, более про-
простые, чем исходные уравнения Парка — Горева.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М., «Наука», 1971. 894 с.
2.	Вегюков М. М., Ходжаев К. Ш. Возбуждение ударных колебаний электромагнитами. —
«Известия АН СССР. Сер МТТ», 1976, ЛГ« 4, с. 71—78.
3.	Ветюков М. М., Ходжаев К. Ш. Уравнения медленных движений систем с квазицикли-
квазициклическими координатами и электромеханических систем. Горький, изд. Горьковского ун-та,
1976, вып. 8, с. 92—106.
4.	Ветюкоа М. М., Ходжаев К. Ш Уравнения длительных нестационарных режимов син-
синхронного генератора. — «Электричество», 1978, № 11, с. 54—58.
5.	Комраз Л. А. Динамическая модель спускового регулятора с магнитно-электрическим
приводом. — «МГТ», 1967, № 4, с. 40 — 52.
6.	Леонтович М. А. К теории электромагнитного прерывателя. — «Журнал русского физико-
химического общества», ч. физическая, 1927, т. 59, вып. 3 — 4, с. 261—268.
7.	Лурье А. И., Ходжаев К. Ш. Уравнения Лагранжа—Максвелла в курсе теоретической
механики. — В кн.: Сборник научно-методических статей по теоретической механике,
вып. 6. М., «Высшая школа», 1976. с. 72 — 81.
8.	Львович Ю. А, К теории электромагнитного прерывателя. — «Вестник Ленинградского
ун-та. Сер. математика, механика, астрономия», 1967, вып. 1, № 1; вып. 3, № 13; вып. 4,
№ 14.
9 Лъвовнч Ю. А. Основы теории электромеханических систем Л., изд. Ленинградского
ун-та, 1973. 196 с.
10. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем М., «Наука», 1967. 519 с.
11	Теодорчик К. Ф. Автоколебательные системы. М., Гостехиздат, 1948. 244 с.
12	Фуфаев Н. А. К reopffff электромагнитного прерывателя. — «Автоматика и телемеха-
телемеханика» 1953, т. 24, № 5, с. 570 — 587.
13.	Фуфаев Н. А., Чеснокоза Ф. А. Исследование динамики синхронной машины асимпто-
асимптотическими методами. — «ЛММ», 1974, т. 38, вып. 4, с. 636 — 643.
14.	Ходжаев К. Ш. Интегральный критерий устойчивости для систем с квазициклическими
координатами и энергетические соотношения при колебаниях проводников с токами. —
«ПММ», 1969, т 33, вып. 1, с. 85 — 100.
15 Ходжаев К. Ш. Колебания, возбуждаемые электромагнитами в линейных механических
системах —«МТТ», 1968, вып. 5, с. 11 — 26.
1Ь Ходжаев К. Ш. Нелинейные задачи о деформировании упругих тел магнитным полем. —
«ПММ», 1970, т. 34, вып. 4, с. 653 — 671.
17.	Ходжаев К. Ш. Об устойчивости стационарных движений систем с квазициклическими
координатами и механического равновесия под действием магнитного поля. — «ПММ»
1973, т. 37, выл. 3, с. 400 — 403.
18.	Ackerberg R. С. On a nonlinear differential equation of electrohydrodynamics. — cProc
Roy. Soc.» A, 1969, vol. 312, N 1508, p. 129—140.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания — Исследование, законо-
закономерности 69 — 70,171 —190 —Определение 22
—	в системе с ударами 185, 18G
—	самолета с автопилотом 181 —185
—	типа шимми 17В —181
—	тормозного устройства 180—181
Асинхронное (нерезонансное) гашение ко-
колебаний 77
Бифуркационное значение параметра 32, 33
В
Вибрационная связь (взаимодейсввне) 244
Вибрационная сила, обобщенная, вибра-
вибрационный момент — См соответственно
Сила вибрационная, обобщенная и Момент
вибрационный
Вибрационное перемещение — Определе-
Определение 253 — Примеры 240 — Простейшая
модель 253 — 256 — Сложны? модели 25Ь —
257
Вибрационное поддержание вращения 63,
233-236
Вибрационное сглаживание разрывных ха-
характеристик 256
Вибрационное смещение (увод) 257 — 259
Вибровозбудители (возбудители колеба-
колебаний) — Понятие 191
—	гидравлические 191 —192
—	магнитострикцнонные 192
—	пневматические 191 — 192
—	пьезовозбудители 192
—	электродинамические 192
—	электромагнитные 192
—	электромеханические 191
—	электростатические 192
—	электрострикционные 192
Вибровязкость — Коэффициент 262
Виброреология — Определение 260
Возбуждение колебаний жесткое 31
—	мягкое 31
Вынужденные колебания — См. также
Системы с внешним возбуждением — Опре-
Определение 156
Г
Гиперустойчивость 105
Гилоюзы сухого и вязкого грени» при ко-
косом ударе 327
Гистерезисная петля 17—19
Гомоклиническая структура 96
Грубость системы 33
Грубый минимум 61, 219
Движения (решения) кратно-синхронные
216
—	либрационные (колебательные) 141
—	лимитационные 141
почти периодические (квазипериодические)
148, 272, 275
—	простые синхронные 216
—	ротационные 141
—	синхронные 215
—	скользящие 183—188
—	стационарные (установившиеся) твер-
твердых тел с жидкостью 284
—	убегающие 141
Декремент колебаний — Определение 150
—	логарифмический 150
Дельта-метод 49
Диаграмма Кенигса —Лемерея 94, 172
—	фазовая 23 — 27, 47 — 51
Диссипативная функция электрическая 335
Емкости инверсные взаимные 335
Затягивание автоколебаний 32, 175
Захватывание автоколебаний — Определе-
Определение 32, 217 — Основные закономерности
237 — 238
Захватывание при вращении неуравнове-
неуравновешенного ротора 233 — 236
Зона нечувствительности (застоя) 258
И
Изоклина — Определение 48
Изохронность колебаний 28, 144
Интеграл анергии 141
Интегральный крщерий устойчивости пе-
периодических и синхронных дви&рний (экст-
(экстремальное свойство) 61, 219, 223, 226,
236-237. 341
Ито формула 136

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
349
Кинетический потенциал (см. Функция
Лагранжа)
Колебания — Виды см. под их названиями,
например Вынужденные колебания
—	близкие к гармоническим 156 —162
—	вблизи резонанса 59
—	вдали от резонанса 59
—	жидкости свободные (собственные, глав-
главные) 288 — Четные 290 — Нечетные 290
—	твердого тела, косвенно возбуждаемые
279
Комбинационные колебания 31, 75, 7G
Координата вращательная (ротационная)
141, 216
—	колебательная (либрационная) 141, 216
Коэффициент взаимной индукции 334
—	взаимодействия 210
—	влияния, гармонический 203 — 206
инерционный 141, 156
—	квазиупругий (коэффициент жесткости)
14
—	крутизны, матричный 149
—	самоиндукции 334
Кривая резонансная 29, 158
Критерии существования замкнутых траек-
траекторий на фазовой плоскости 111 — 112
Критерий Попова 104
—	Рауса—Гурвица 39
—	Сильвестра положительной определен-
определенности квадратичной формы 36
Кронекера символ 39
Крутизна частотной характеристики 226
At
Маятник конический 145
—	с вибрирующей осью 87 — 88, 244, 250
—	физический 144
—	Фроуда 172-175
Метод Бубнова — Галеркина 117 — 120
—	вариации произвольной постоянной 43
—	гармонического баланса 97 — 100
—	дельта (дельта-метод) 49
—	изоклин 48
—	Льенара 51
—	малого параметра (Пуанкаре и Ляпу-
Ляпунова) 51 —65
—	последовательных приближений 127
—	припассовьзвания 310
—	прямого разделения движений 91, 241 —
243
—	прямой линеаризации 103
—	Ритца 116, 291, 293
—	Рунге— Кутта 121 — 122
—	секущей поверхности 92
—	статистической линеаризации 137 —138
—	стробоскопической (Н. Минорского)
101—102
—	точечных отображений 91—97
—	тригонометрической коллокации 128 —
129
—	уравнений Колмогорова — Фоккера—
Планке 133—135
—	усреднения 85 — 88
—	Эйлера 121, 123
—	Эйлера — Коши 121
—	эквивалентной линеаризации 70 — 72
133—139
Методы асимптотические Крылова — Бого-
Боголюбова— Митропольского 65—91
—	графоаналитические 47—51
—	исследования нелинейных систем при
случайных воздействиях 129—139
—	качественные 106 — 112
—	Ляпунова 33 — 40, 51—65
•- прямые вариационные 115 —120
—	решения уравнений с использованием
ЭЦВМ и АВМ 120—129
-—сведения к интегральным уравнениям
—	частотные 103—106
—	численные 120—126
Момент вибрационный 210 233
—	избыточный 222, 230, 235
Н
Наклонение при возмущенном движении
жидкости в сосудах 400
Неизохронность (анизохроиность, анизо-
хронизм) колебаний 28, 144
О
Объекты консервативные жестко анизо-
хронные 226
—	изохронные 825
—	мягко анизохронные 226
Объекты слабо связанные 216
Область притяжения положения равно-
равновесия 24
—	устойчивого решения 160
Огибающая кривой колебательного процесса
150
Особые точки дифференциального уравне-
уравнения — Индекс 108 — Определение 24,
106 — Типы 24, 107 — 109
Осциллятор Ван-дер-Поля 230
—	Дуффинга 147
—	квазилинейный 220
—	с нелинейной восстанавливающей силой
146
П
Параметр паразитный 188
—	связи 216 — Понятие 156
Параметрические колебания — Исследова-
Исследование нелинейной системы с одной степенью
свободы 168 — 170
Парциальная частота — См Частота пар-
парциальная
—	ротора, приводимого от асинхронного
двигателя 235
Поверхность без контакта — Определение
92
—	секущая 92
Полоса захватывания 235
Порог захватывания 235
—	синхронизации 237
Порождающая система 52
Порождающее решение 53
Потенциал избыточных усредненных не-
неконсервативных сил 233
—	смещений 295
Потенциальная функция 61, 223, 226, 228,
236 — 237
Потенциалы Стокса —Жуковского — Ис-
Использование 287, 293 — Определение 28
Почти периодические (квазипериодические)
колебания — Определение 148
—	твердых тел, пространственные 272 —
275
Превращение (кажущееся) сухого трения
в вязкое 253, 256
Предельные циклы — Определение 25 —
Построение и исследование 183, 187 — 189
Принцип кольца 111
Пространственная неустойчивость движе-
движения твердых тел 267 — 272
Расстройка 59
Режим асинхронный 79
Режим синхронный — Определение 79

350
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
—	несамоустанавливающийся (жестко воз
буждающийся) 237, 174
—	самоустанавливающийся (мягко воз
буждающийся) 237
Регулярные точки дифференциального урав-
уравнения — Определение 24
—	Резонанс внешний 267—269
—	внутренний 267—269
—	главный (основной) 75
—	комбинационный 271
—	кратный 270
Резонанс на оСертоне внешнем частоты
(параметрический) 75
—	собственной частоты 75
—	порядка l/tv 1ЬЗ
—	л-го рода 60
Решения уравнений — Типы см Движения
Ротор идеальный 144
—	неуравновешенный 250 — 252
Самосинхронизация — Определение 217
—	механических вибровозбудителей 251 —
252
Связи второго рода (несомые) 244
—	первого рода (несущие)
Сепаратрисса 25, 144
Силы вибрационные обобщенные — Исполь-
Использование понятия 210, 241, 244 — 260 —
Определение 241—242 — Способы вычис-
вычисления 243
—	индуцированные
—	нелинейные — Природа, типы, харак-
характеристики 11—20
Силы восстанавливающие 11
—	вынуждающие 22, 23, 156
—	гироскопические 15
—	диссипативные 17
—	непотенциальные 11
—	отрицательного сопротивления 17
—	отталкивающие 11
—	позиционные 11 — 15
—	пондеромоторные 334
—	потенциальные 11
—	смешанного типа 17 — 20
—	сопротивления 14 — 17
Синхронизация — Определение понятий,
постановка задач 214 — 218 — Основные за-
закономерности 237 — 238 — Характеристика
математического аппарата теории 218 — 219
—	внешняя (неавтономная) 214, 217
—	внутренняя (взаимная, автономная)
214, 217
—	квазиконсервативных объектов 224 — 227
—	квазилинейных осцилляторов 220 — 221
—	кратная 216
—	маятниковых часов 229 — 233
—	на комбинационных частотах 216
—	орбитальных систем 227 — 229
—	принудительная 217
—	простая 216
—	систем с почти равномерными вра
щательными движениями 221—224
—	слабо связанных объектов — Особен-
Особенности (теории) 218 — 219 — Результаты ис
следования 219 — 230
Синхронизирующиеся объекты 216
Синхронная частота (угловая скорость) —
См Частота синхронная
Системы автоколебательные — Исследо
вание отдельных типов, свойства 171 —-
190 — Определение 22
—	автономные — Исследование, законо-
закономерности колебаний 307 — 333 — Класси-
Классификация 307 — 309 — Определение 306
—	гироскопические — Пространственные
колебания 275
—	грубые (структурно-устойчивые) — Оп-
Определение 33
—	диссипативные — Исследование, зако
номерности колебаний 150 — 155 — Опре-
Определение 22
—	изохронные 28, 144
—	интегрируемые — Определение 147
—	квазиконсервативные 68 — 72, 224 — 227
—	квазилинейные 59 — 61, 65, 68 — 72
220 — 221
—	консервативные — Классификация, Ис-
Исследование, закономерности колебаний 28
141 — 149 — Определение 22, 141
—	неавтономные — Определение 20, общая
характеристика 22 — 23
—	негрубые (структурно-неустойчивые) —
Определение 33
—	неизохронные (анизохронные) 28, 144
—	нелинейные — Математические методы
анализа 42 — 140 — Общие сведения, клас-
классификация 11—32 — Определение 11 —
Основные модели 141 — 190
—	орбитальные — Определение,	типы
227 — Синхронизация 227 — 229
—	с внешним возбуждением — Исследо-
Исследование, закономерности колебаний 156 —
171 — Определение, классификация 156
—	с медленно меняющимися параметрами
72-74
—	с ограничителями 20
—	структурно-неустойчивые и структурно-
ус'тойчивые (см Системы негрубые и гру-
грубые)
—	электромеханические 331—347
Случайная величина — Независимость не-
нескольких величин 131 — Определение
129 — Характеристики 129—130
Случайный вектор — Определение 131 —
Характеристики 131 — 132
Случайный процесс — Виды 132 — 133 —
Определение 131 — Характеристики 132
Стробоскопическая точка 101
Стохастический синхронизм 96
Субгармонические колебания 31, 160, 163
Супергармонические колебания 31, 163
Тело несущее (центральное) 224, 227
—	преобразованное 286
Тенденция к синхронизации — Определе-
Определение 216
—	в системах с ннте!ральным критерием
236 — 237
Теорема об устойчивости состояния равно-
равновесия консервативной системы (теорема
Лагранжа — Дирихле) 40
—	Рауса об устойчивости стационарных
движении систем с циклическими коорди-
координатами 340
Теорема Ляпунова об устойчивости и не-
неустойчивости 37
—	об устойчивости по первому приближе-
приближению 39, 40
Точечное отображение — Неподвижная
точка — Оператор 92 — Определение 92
Трение — Виды, типы характеристик 14 —
19
—	внутреннее 161
—	вязкое 254
—	сухое (кулоново) 16, 161, 254
Увод вибрационный 253, 257 — 259
—	в системах с соударениями 321—322
—	оси гироскопа 252

предметный указатель
351
Удаление при возмущенном движении жид
кости в сосуда < 400
Удар косой 324 — 327
Ударная пара 306
Ударник 307
Уклонение при возмущенном движении
жидкости в сосудах
Уравнения дифференциальные Ван-дер
Поля 50, 77, 87 102
—	в вариациях 53
—	виброреопогические 260
—	в полных дифференциалах 44
—	в стандартной форме 85
—	второго порядка, приводящие к эллип-
эллиптическим функциям 46
—	задач о синхронизации слабосвязанных
объектов — Общий вид 216
—	квазилинейные 9 — 61, 65, 68 — 72,
220 — 221
—	Клеро 45
—	Колмогорова — Фоккера — Планка 134
—	кусочно-линейные 46, 96
—	Лагранжа 45
—	Лагранжа 2 го рода 204
—	Лагранжа—Максвелла 331—332
—	линейные 43
—	однородные 43
—	однородные обобщенные 43
—	Парка —Горева 347
—	порождающие 52
—	Рэлея 51, 62
—	сопряженные к уравнениям в ваци-
ациях 53 54
—	с разделяющими переменными 42
—	стробоскопические 101
—	Я Ъернулли 44
Уравнения интегрмьные Вольтерра 113
—	Фредгольма 113—114
Уравнения основные задачи о синхрони-
синхронизации слабо связанных объектов 219
—	м ханики медленных движений при
дей твии вибрации на нелинеЙЕШе системы
242
Ур внения фазовые в задачах о колебаниях
виброударных систем 311
Условия квазистационарности в теории
электромеханических систем 332
Устойчивость движения — Общие понятия
32 —33
—	абсолютная 104
—	асимптотическая 32
—	в большом 35
—	в целом 35
—	орбитальная 33
—	по Ляпунову — Определение 33
—	при постоянно действующих возмуще-
возмущениях 32
—	распределенных систем по отношению
к кон*чному числу переменных 285 298 —
300
—	установившихся движении твердых тел
с жидкостью — Определение 300—301
Ф
Фазовая диаграмма — См Диаграмма фа
оовая
Фазовая плоскость 23
Фазовые траектории — Определение 23 —
Свойства 25
Форма квадратичная 36
Функции координатные 116
—	порождающие 219
—	связей 216
Функция Грина задачи о периодических
решениях 114, 115
—	Лагранжа (кинетический потенциал) 203
—	Ляпунова 35 — 37
Характеристика амплитудно-частотная
(АЧХ) — Определение 29
Характеристики силовые — Определение
Характеристическое уравнение 39
Частота комбинационная 75, 76
—	(угловая скорость) синхронная 216
—	(угловая скорость) парциальная 217,
235
Число характеристическое 39
Чувствительность системы — Понятие 33
Ш
Шимми — См Автоколебания
Э
Эквивалентная линеаризация нелинейной
системы 71
Эквивалентная (эффективная) частота сво-
свободных колебаний 81, 200
Эквивалентный декремент колебаний 81
Эквивалентный коэффициент затухания 7|
—	упругости 71
Экстремальное свойство устойчивых лерио
дических и синхронных движений — См
Интегра гьныи критерий устойчивости пе
риодических и синхронных движении
Энергия магнитного поля 334
Эффект Зоммерфельда 198
Эффективная амплитуда колебаний оси
неуравновешенного ротора 234
—	вязкость при движении частицы в ко
леблющейся среде с сопротивлением типа
сухого трения 262
—	плотность двухфазных систем при коле
баниях 262
Эффективные коэффициенты сухого i рения
при вибрации 260 — 261