ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ВЫСШИХ И СРЕДНИХ
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
•МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
•МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
С. Т. ЗАВАЛ О
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
АЛГЕБРА
ПРОСВЕЩЕНИЕ * 1964

ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫСШИХ И СРЕДНИХ
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Московский государственный заочный педагогический институт
С. Т. ЗАВАЛО
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
АЛГЕБРА
ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТОВ
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1964

ОТ АВТОРА
В основу этой книги положен курс лекций
по элементарной алгебре, читавшийся мною на
протяжении ряда лет в Черкасском
государственном педагогическом институте.
Первая глава книги — вступительная. В ней
сжато изложены сведения о некоторых
математических понятиях, с которыми читателю
придется встретиться в последующих главах. В главах
II—X изложен учебный материал по
элементарной алгебре, предусмотренный программой
специального курса элементарной математики для
студентов-математиков педагогических
институтов.
Книга рассчитана на студентов-математиков
педагогических институтов. Она может быть
также пособием для учителей математики
средней школы.
С. Зав ало

Глава J
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
§ 1. Понятие множества
Определить какое-либо понятие — это значит описать
его с помощью более простых понятий. Но если мы какое-
либо понятие А определяем с помощью более простого
понятия В, а понятие В в свою очередь определяем с помощью
еще более простого понятия С и т. д., то в конце кондов
придем к такому понятию, которое уже нельзя определить с
помощью более простых. Одним из таких неопределяемых
математических понятий является понятие множества.
Понятие множества — одно из основных в математике. С ним
приходится встречаться во всех ееразделах. Так,уже в
арифметике мы встречаемся с множеством натуральных чисел,
множеством простых чисел. В геометрии приходится
говорить о множестве вершин данного многоугольника,
множестве точек пересечения заданных кривых; в алгебре — о
множестве многочленов, множестве корней данного
уравнения и т. п.
Иногда вместо термина множество употребляют
такие равнозначащие термины, как совокупность, класс,
объединение и др. (совокупность точек окружности, класс
целых чисел, объединение многочленов данной степени).
Объекты, составляющие данное множество, называются
элементами этого множества. Так, каждое натуральное
число есть элемент множества всех натуральных чисел,
каждый многочлен есть элемент множества всех многочленов
и т. п. Если а есть элемент множества М, то символически
это записывают так: а ? М. Для того чтобы указать, что
множество М состоит из элементов а, Ь, с, d, ..., пишут:
М ={а, 6, с, d, ...}.
Множество, состоящее из конечного числа элементов,
называется конечным. Такими, например, являются множе-
3

ство вершин данного многоугольника, множество его
диагоналей, сторон, множество сочетаний из 10 элементов по 7.
Множество, имеющее неограниченное количество элементов,
называется бесконечным. Бесконечными, например,
являются множества всех натуральных чисел, всех простых чисел,
всех четных чисел и т. п.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют
пустым.
Если каждый элемент множества Л является также
элементом множества В, то множество Л называют
подмножеством множества В и символически записывают это так:
АСВ или Bzd_A
(словами: «Л содержится в В»). Если, например, А —
множество всех простых чисел, а В — множество всех
натуральных чисел, то Л — подмножество множества В. К
подмножествам множества В относят и самое множество В. Пустое
множество, по определению, считают подмножеством
всякого множества.
Всякое непустое подмножество А множества В,
отличное от В, называют собственным подмножеством
множества В. В этом случае пишут:
Лс:В.
Подмножество В и пустое подмножество множества В
называют несобственными подмножествами множества В.
Множество М ={а, Ъ, с, d, ...} называется
упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое
отношение а-^b (читают: «а предшествует 6»), имеющее
следующие свойства:
1) для всяких двух элементов а и Ь имеет место одно и
только одно из соотношений: а = 6, а^ Ь, Ь -$ а;
2) для всяких трех элементов а, Ъ и с из соотношений
a-<j b и Ъ -^ с вытекает соотношение а~^с.
Пустое множество считается упорядоченным.
Примечание. Под равенством элементов мы
всегда понимаем их тождественность, совпадение. Запись а =
= 6, означает, что буквами а и b обозначен один и тот же
элемент множества М.
Отношение между элементами, имеющее свойства 1 и 2,
называют отношением порядка.
Если а предшествует Ь, то говорят также, что b следует
за а, и записывают b ^- а.
4

Из определения упорядоченного множества вытекает,
что соотношение а^- Ъ имеет следующие свойства:
1) для всяких двух элементов а и b имеет место одно и
только одно из соотношений: а = Ь, а^ 6, Ь>- а;
2) для всяких трех элементов а, Ь и с из соотношений
ab~ b и b К с вытекает соотношение а^~ с.
В определении упорядоченного множества в качестве
основного соотношения можно принять соотношение а^- b
и затем посредством его определить соотношение а-^Ь,
условившись считать а-^b тогда, когда b К а.
Элемент а упорядоченного множества называют
предшествующим элементу 6, а элемент b — последующим, если
аЧЬ; элемент, для которого не существует
предшествующего элемента, называют первым элементом, а элемент,
для которого нет последующего, — последним.
Элементы а и b называются соседними, если не существует
такого элемента с, что а Н с -$ 6, или 6 -*> с -^ а.
Примеры.
1. Множество натуральных чисел будет упорядоченным, если
считать, что меньшее число предшествует большему. Тогда
множество записывают так:
1, 2, 3, ...
В этом упорядоченном множестве есть первый элемент и нет
последнего.
2. Множество натуральных чисел можно упорядочить и иным
образом. Будем считать натуральное число т предшествующим
натуральному числу п, если т больше п. Получим упорядоченное
множество
... л, (п — 1) 3, 2, 1.
В нем есть последний элемент и нет первого.
3. Множество, состоящее из элементов а, Ь и с, можно
упорядочить следующими различными способами:
а-^Ь —$ с; а—$с-$ Ь; Ъ -^ а -^ с; Ь —> с -$ а; с—$а-~$ Ь;
с -^ b -3 а.
Очевидно, что всякое множество, имеющее не менее
двух элементов, можно упорядочить несколькими
различными способами и, таким образом, образовать из него
различные упорядоченные множества.
Если упорядоченное множество задается записью его
элементов, то эту запись всегда делают так. чтобы
предшествующий элемент а находился левее от последующего
элемента b (см. примеры 1 и 2).
5

§ 2, Понятия кольца и поля
В элементарной алгебре рассматривают различные
конкретные множества, например: множество целых
рациональных, действительных и комплексных чисел,
множество многочленов, дробно-рациональных функций
и т. п. Над элементами этих множеств приходится
выполнять операции, которые принято называть
алгебраическими. Напомним общее определение алгебраической
операции.
Пусть М — некоторое множество. Говорят, что в мно-
оюестве М определена алгебраическая операция, если указан
закон, в силу которого всяким двум (различным или
одинаковым) элементам а и Ь этого множества, взятым в
определенном порядке, ставится в соответствие вполне
определенный третий элемент с этого же множества.
В определении алгебраической операции, как видим,
содержатся требования однозначности операции и ее
выполнимости для всяких двух элементов множества. В этом
определении содержится также указание на порядок, в котором
берутся элементы множества М при выполнении над ними
операции. Это означает, что парам элементов a, b и Ь, а
могут быть поставлены в соответствие различные
элементы множества М, т. е. алгебраическая операция,
определенная в множестве М, может быть
некоммутативной.
Алгебраическую операцию, определенную вмножестве М,
можно назвать сложением, тогда с называют суммой
элементов а и Ъ и символически записывают с = а + Ь\ ее
можно назвать умножением, тогда с называют
произведением элементов а и Ъ и записывают: с = ab. Возможно, что
для этой операции будет введено новое название и новая
символическая запись.
Операции вычитания и деления, которые выполняются
во многих множествах, рассматриваемых в элементарной
алгебре, также называют алгебраическими. Их не следует,
однако, считать новыми независимыми действиями, так
как они могут быть определены соответственно через
операции сложения и умножения. Действительно, мы говорим,
что в множестве М (в котором определена операция
сложения) выполняется операция вычитания, если для
всякой пары элементов a, b множества М существует в этом
множестве единственный элемент d такой, что b + d = a.
6

Элемент d называют разностью элементов а и Ъ и
записывают: d = а — Ь. Аналогично мы говорим, что в множестве
М (в котором определена операция умножения) выполняется
операция деления, если для всяких двух элементов а
и Ъ множества М существует в этом множестве
единственный элемент q такой, что bq = а. Элемент q называют
частным элементов а и Ъ и обозначают а = — или а = а : Ь.
4 ь ч
Итак, операции вычитания и деления определяются
соответственно посредством операций сложения и умножения.
О выполнимости операции вычитания или операции деления
в множестве М может идти речь только тогда, когда в
множестве М определена соответственно операция сложения
или умножения.
Операции вычитания и деления называют обратными
операциями соответственно для операций сложения и
умножения.
Возведение в целую степень и извлечение корня —
алгебраические операции, которые также могут быть
определены через введенные ранее. Действительно, возведение
числа а в целую положительную степень п сводится к
умножению:
п раз
ап = а . а. . .а,
а возведение числа а в целую отрицательную степень —л
сводится к делению 1 на ап:
операция извлечения корня степени п из чисел в свою
очередь определяется как обратная операции возведения в
степень.
Среди множеств, рассматриваемых в элементарной
алгебре, есть такие, в которых операции сложения и
умножения определены, но обратные им операции — вычитание и
деление — не всегда выполняются. Таким, например,
является множество натуральных чисел. Есть также
множества, как, например, множество всех целых чисел
(положительных и отрицательных), в которых определена операция
сложения и выполняется обратная ей операция — операция
вычитания, а также такие, как, например, множество
отличных от нуля рациональных чисел, в которых определена
7

операция умножения и выполняется обратная ей операция—
операция деления.
Непустое множество К называется кольцом, если в нем
определены операции сложения и умножения, причем эти
операции удовлетворяют следующим условиям:
1) операция сложения коммутативна, пи е. для любых
элементов а и b из множества К
а + b = b + a;
2) операция сложения ассоциативна, т. е. для любых
элементов a, b и с из множества К
(а + Ь)+с = а + (6 + с);
3) для операции сложения в множестве К выполняется
обратная операция — вычитание;
4) операция умножения ассоциативна, т. е. для любых
элементов а, Ь и с множества К
{ab) с = а (Ьс)\
5) операции сложения и умножения связаны
дистрибутивным законом, т. е. для любых элементов а, Ь и с множества К
(а + Ь) с = ас + be, с (а + Ь) =са + cb.
Примечание. Если операция умножения также
коммутативна, т. е. если ab = Ьа для всяких элементов а
и Ь, то кольцо называется коммутативным. В курсе
элементарной алгебры рассматриваются лишь коммутативные
кольца.
Примерами колец являются: множество целых чисел,
множество четных чисел, множество рациональных чисел,
множество многочленов и др.
В курсе высшей алгебры доказывается, что во всяком
кольце существует единственный элемент 0 такой, что сумма
всякого элемента а кольца и 0 равна а, т. е. а + 0 = а.
Элемент 0 называют нулем данного кольца.
Для всякого элемента а кольца существует в кольце
элемент —а такой, что а + (—а) = 0. Элемент —а называют
противоположным элементу а.
Коммутативное кольцо, содержащее по крайней мере
один отличный от нуля элемент, в котором выполняется
операция деления, кроме деления на нуль, называется полем.
8

Примерами полей являются: множество рациональных
чисел, множество действительных чисел, множество
комплексных чисел, множество дробно-рациональных
функций и др.
В курсе высшей алгебры также доказывают, что во
всяком поле существует единственный элемент 1 {единица
поля) такой, что для всякого элемента а данного поля
имеем
а • 1 == а.
Для всякого элемента а данного поля существует в поле
единственный обратный элемент а""1, удовлетворяющий
условию
а • аГ = 1.
Во всяком поле произведение двух элементов равно нулю
тогда и только тогда, когда по крайней мере один из
сомножителей равен нулю.
§ 3. Упорядоченные поля
Важную роль в математике играют так называемые
упорядоченные поля. В каждом из этих полей установлено
отношение порядка, целесообразно связанное с
алгебраическими операциями, определенными в поле. Упорядоченное
поле можно определить следующим образом:
Поле Р называется упорядоченным, если для его элементов
установлено отношение а < Ъ («а меньше 6»), имеющее
следующие свойства:
1) для всяких элементов аи b поля Р имеет место одно и
только одно из соотношений: а = 6, а < b, b < а;
2) если а < Ь и Ь < с, то а < с\
3) если а < Ь,то а + с < Ъ + с для всякого с из поля Р;
4) если а < Ь и с > 0, то ас < be.
Свойства 3) и 4) связывают отношение порядка с
операциями, определенными в поле. Свойство 3) называют
законом монотонности сложения, а свойство 4) — законом
монотонности умножения.
Если а < ft, то говорят, что Ъ больше а, и записывают
b > a.
Определенное таким образом отношение а > b в
упорядоченном поле Р имеет следующие свойства:
9

1. Для всяких элементов а и Ъ поля Р имеет место одно
и только одно из соотношений: а = Ь, а > b, b > а.
Справедливость этого утверждения вытекает
непосредственно из требования 1) определения упорядоченного
поля.
2. Если а > 6 и 6 > с, то а > с.
Действительно, из а > 6 и 6 > с вытекает, что с < & и
6 < а. Поэтому в силу требования 2) определения
упорядоченного поля с < а и, следовательно, а > с.
3. Если а > 6, то а + с>& + с для всякого с из
поля Р.
Действительно, если а > &, то 6 < а. Поэтому в
силу требования 3) определения упорядоченного поля
Ъ + с < а + с для всякого с из поля Р и, следовательно,
а + с > Ъ + с.
4. Если а > 6 и с > 0, то ас > be.
Действительно, из а > b вытекает, что b < а.
Поэтому в силу требования 4) определения упорядоченного
поля be <. ас и, следовательно, ас > fee.
В основу определения упорядоченного поля можно
положить также отношение а > b и определить
упорядоченное поле следующим образом:
Поле Р называется упорядоченным, если для его
элементов установлено отношение а>Ь («а больше 6»),
удовлетворяющее перечисленным выше требованиям 1—4.
Исходя из такого определения упорядоченного поля Р,
можно в этом поле определить отношение а < Ь,
условившись считать а меньшим b тогда, когда b > a.
Читатель самостоятельно может доказать, что так
определенное отношение а < b удовлетворяет всем четырем
требованиям первого определения упорядоченного поля. Из
изложенного выше вытекает, что поле Р, упорядоченное по
первому определению, будет упорядоченным в смысле
второго и, наоборот, поле, упорядоченное по второму
определению, будет упорядоченным и в смысле первого. На этом
основании эти два определения упорядоченного поля
называют равносильными*.
Элемент а упорядоченного поля Р называют
положительным, если он больше нуля; его называют
отрицательным, если он меньше нуля.
* Существуют и другие определения упорядоченного поля,
равносильные определениям, приведенным выше.
10

Теорема. Элемент а упорядоченного поля Р тогда и
только тогда больше элемента Ь этого поля, когда а — Ь > 0.
Действительно, если а — Ъ > 0, то (а — Ь) + Ь > 0 +
+ Ь, т. е. а > 6. Наоборот, если а > 6, то а + (— Ь) >
> 6 + (— 6), т. е. а — Ъ > 0.
Из определения упорядоченного поля вытекают, как
мы увидим в главе VIII, все основные свойства неравенств,
известные читателю еще из школьного курса математики.
Иначе говоря, на свойствах, о которых идет речь в
определении упорядоченного поля, базируется доказательство
основных свойств неравенств. Поэтому теорию неравенств
можно построить лишь в упорядоченных полях. Среди
числовых полей упорядоченными являются поле
рациональных и поле действительных чисел. Легко проверить,
что определенные естественным образом в этих полях
понятия «меньше», «больше» удовлетворяют соответственно
требованиям первого и второго определений
упорядоченного поля.
Поле комплексных чисел не может быть упорядочено.
Докажем это*. Из определения упорядоченного поля
вытекают следующие следствия:
а) Если а < 6 и с < d, то а + с < Ь + d.
Действительно, в силу свойства 3) а + с < Ь + с
и Ъ + с < Ъ + d.
Следовательно, в силу свойства 2) а + с < Ь + d.
б) В упорядоченном поле элементы а и —а не могут
быть оба положительными или оба отрицательными.
Действительно, если предположить, что а < 0 и
—а < 0, то в силу следствия а) а + (—а) < 0. Если же
предположить, что 0 < а и 0 < —а, то в силу того же
следствия 0 < а + (—а). Но а + (—а) = 0. Таким образом,
каждое из предположений приводит нас к противоречию.
в) Если а>0и 6 > 0, то и ай > 0.
Действительно, в силу свойства 4) 0 . Ь < а • 6, т. е.
ab> 0.
г) Если а Ф 0, то а2 > 0. Действительно, если а > 0,
то в силу предыдущего следствия а2 = а . а > 0. Если же
а < 0, то в силу следствия б) —а > 0 и, следовательно,
а2 = (—а) . (—а) > 0.
д) Сумма квадратов любых отличных от 0 элементов
упорядоченного поля Р положительна.
* Доказательство заимствовано кз книги: А, Г. К у р о ш,
Курс высшей алгебры, ГТТИ, 1955в
И

Действительно, если каждый из элементов а, 6, с, . . . ,d
отличен от нуля, то в силу предыдущего следствия а2 > О,
b'z > 0, с2 > 0, . .. , д? > 0. Тогда в силу следствия
а) а2 + Ь2 + с2 + . . . + d2 > 0.
Из следствия д) вытекает, что поле комплексных
чисел не может быть упорядоченным. Действительно, в этом
поле есть числа i и 1, сумма квадратов которых равна 0:
(i)2 -f Г2 =0, чего в силу свойства д) в
упорядоченном поле не может быть.
§ 4. Понятие функции и аналитического выражения
Предположим, что нам даны множества М и N,
состоящие из некоторых элементов.
Если каждому элементу х множества М поставлен в
соответствие некоторый вполне определенный элемент у
множества Л/, то говорят, что на множестве М задана
функция f (х)> и записывают это так:
У = f (*).
Здесь у обозначает тот элемент множества N, который
соответствует элементу х множества М.
Символ х, обозначающий любой элемент множества М,
называется аргументом функции / (х).
Элементы множества М называют значениями
аргумента хч а соответствующие им элементы множества N —
значениями функции / (х). Множество УИ называется областью
определения функции или множеством допустимых
значений аргумента. Множество соответствующих значений
функции у = f (х) называется множеством значений
функции.
Если каждой группе п элементов ( хА, х2, . . . , хп),
принадлежащей некоторому множеству М таких групп,
поставлен в соответствие некоторый вполне определенный
элемент у множества /V, то говорят, что задана функция
/ (*i, х2, . . . , хп) от п переменных, и записывают это так:
у = / (х19 х2, . . . , хп).
В этом случае хг, х2, . . . , хп называют аргументами,
а множество М — областью определения функции или
множеством допустимых систем значений аргументов.
Если областью определения функции у = / (х) и
множеством ее значений являются некоторые множества чи-
12

сел, то функцию называют числовой функцией числового
аргумента. Аналогично функцию у = / (х1э х2, . . . , хп)у
областью определения которой является некоторое
множество систем чисел {кг, k2l . . . , kn) и множеством
значений которой является некоторое множество чисел,
называют числовой функцией числовых аргументов.
Как известно, числовые функции числовых
аргументов задаются различными способами: табличным,
графическим, посредством формул и др. Чаще всего они
задаются с помощью формул или, как принято говорить, с
помощью аналитических выражений.
Под формулой или аналитическим выражением,
задающим функцию f (xlt x2t . . . , хп), в современной
математике подразумевают запись тех вычислительных
операций, которые надо выполнить в определенной
последовательности над постоянными числами и численными
значениями аргументов х1У х2, . . . , хпУ чтобы получить
соответствующее численное значение функции / (хг, х2, . . . ,*„).
К вычислительным (или аналитическим) операциям
относят операции сложения, умножения, вычитания, деления
и операцию перехода к пределу, т. е. нахождения по
заданной последовательности чисел а17 а2, . . . , а„, ее
предела lim апУ если он существует.
Примерами аналитических выражений являются:
<* + «>'-(*- »2-2abx;
(*+*)3
hmhc ... + (—1)л и др.
n-ooL 3! 5! ' 7! IV' (2л+1)! J F
Функции, которые можно задать с помощью
аналитических выражений, называются аналитически изоб-
разимыми.
Не следует отождествлять понятия функции и
аналитического выражения. Всякое аналитическое выражение
задает некоторую функцию, но не всякая функция
является аналитически изобразимой.
Так как всякое аналитическое выражение задает
некоторую функцию, то для записи аналитических
выражений употребляют те же символы, что и для записи
функций. Если аргументам, входящим в аналитическое
выражение F {xv х2, . . . , хп)у дать определенные численные
13

значения, например, хг = k^9 х2 = ?2, . . . , хп = kn, и
затем выполнить все указанные в этом выражении
действия, то получится определенное число, которое
обозначают символом F (^, k2, . . . , kn) и называют значением
этого выражения при значениях аргументов хг = kv х2—
= &2, . . . , хп = ?л. При рассмотрении аналитического
выражения или функции, заданной с помощью
аналитического выражения, указывается, какие именно системы
числовых значений аргументов являются допустимыми.
В некоторых случаях из смысла аналитического
выражения бывает понятно, какие значения аргумента или
системы значений аргументов следует считать допустимыми.
Например, длина окружности С задается формулой С =
= 2 nR, где R— радиус окружности. В аналитическом
выражении 2 nR радиус R — аргумент. Очевидно, что
допустимыми значениями аргумента R следует в этом
случае считать положительные действительные числа.
Если дано аналитическое выражение от нескольких
аргументов хг, х2, . . . , хп и не указано, какие системы
значений аргументов являются допустимыми, то допустимой
считается всякая система значений хх = k±, х2 = k2, . . . ,
хп = kn, при которых выполнимы все математические
действия, указанные в рассматриваемом выражении.
Например, для той же функции С = 2nR, если нет
указаний на геометрический смысл аргумента R,
допустимыми следует считать все значения R из рассматриваемого
числового поля, поскольку для них всегда выполнима
операция умножения на число 2 я. Для выражения до-
%1 — <^2
пустимой будет всякая система значений хг = 1г, х2 = /2,
удовлетворяющая условию 1г ф /2.
Два аналитических выражения от данных аргументов
{а также функции, заданные этими выралсениями)
называются тождественно равными или тождественными, если
их значения равны при любой допустимой системе значений
аргументов.
Таким образом, если F {хг, х2,..., хп) и Ф{хг х2, ..., хп)—
тождественные выражения, то при всех допустимых
системах значений аргументов имеет место равенство
г (х1у х2, .. . , хп) = Ф (х1,х2, . . . , хп).
Это равенство называется тождеством.
14

Для обозначения тождества иногда применяют
символ =2. Примерами тождеств являются равенства
а (х + У)2 = ах* + %ахУ + аУ2>
Ух2 = л; при х > О,
#2 у2
— = х — у при а: -[- У Ф 0.
Заметим, что понятие тождественности двух
выражений относительно; оно зависит от множества
допустимых систем значений аргументов. Два выражения
могут быть тождественны на одном множестве допустимых
систем значений аргументов и не быть тождественными
на другом, более широком множестве их.
Так, выражения V х2 и х тождественны на множестве
неотрицательных действительных чисел и не
тождественны на множестве всех действительных чисел, так как
Ух2 = х при х > 0
и
Ух2 =—х при х<0.
Замену аналитического выражения другим,
тождественным ему выражением называют тождественным
преобразованием данного выражения.
При решении задач часто приходится записывать ту
или иную задачу с помощью определенных соотношений
между некоторыми аналитическими выражениями.
Такую запись задачи называют аналитической.
§ 5. Элементарные функции и их классификация
Как известно, в элементарной математике изучаются
следующие действия: сложение, вычитание, умножение,
деление, возведение в произвольную степень, извлечение
корня, логарифмирование и отыскание значений
тригонометрических и обратных тригонометрических функций
(синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса,
косеканса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса,
арккотангенса, арксеканса, арккосеканса). Эти действия
называют элементарными. Элементарные действия делятся на
15

алгебраические и элементарные трансцендентные.
Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую
степень и извлечение корня называются алгебраическими
действиями. Возведение в иррациональную степень,
логарифмирование и нахождение значений
тригонометрических и обратных тригонометрических функций
называются элементарными трансцендентными действиями.
Элементарные действия могут выполняться, в зависимости
от обстоятельств, в той или иной наперед заданной
последовательности над данными числами и буквами —
аргументами, т. е. над буквами, которые могут принимать
различные численные значения. Всюду дальше, где будет
идти речь об элементарных действиях, будем считать, что
они выполняются конечное число раз.
С помощью элементарных действий задаются так
называемые элементарные функции. Определение
элементарной функции можно формулировать следующим
образом.
Функция называется элементарной, если ее значения
могут быть получены из значений аргументов и постоянных
чисел посредством выполнения конечного числа
элементарных действий.
Известные читателю из школьного курса математики
элементарные функции
у = хт (т — целое число);
у = У^с *;
у = а*(а>0, аФ 1);
у = х* (а — иррациональное число);
y = loga* (a>0, аф 1);
у = sin х\
у = arc sin x
называют основными элементарными функциями.
Очевидно, что все другие элементарные функции можно
получить из постоянных чисел и основных элементарных
функций с помощью определенного числа элементарных
действий.
* Как известно, операции возведения в целую степень и
извлечения корня можно представить в виде частных случаев одной
и той же операции — возведения в рациональную степень.
JG

Запись тех элементарных действий, которые
необходимо выполнить над постоянными числами и значениями
аргументов, чтобы получить соответствующее значение
элементарной функции, будем называть элементарным
аналитическим выражением *.
Для элементарных аналитических выражений
принята следующая классификация.
Выражение, составленное из аргументов и чисел
(обозначенных цифрами или буквами) с помощью лишь
алгебраических действий, называют алгебраическим.
Выражение, составленное из аргументов и чисел с
помощью элементарных действий, в числе которых есть
элементарные трансцендентные действия над аргументами,
называется элементарным трансцендентным. Так,
например, выражения a:2-J-у2-}-lg2 .Vx-\-ay,ax ~~~ y -f~ Зху —
х у
алгебраические, а выражения ———, ^
элементарные трансцендентные.
Алгебраическое выражение называется рациональным,
если оно не содержит действия извлечения корня из
аргументов**.
Алгебраическое выражение, содержащее действие
извлечение корня из аргумента***, называется
иррациональным.
Рациональное выражение, не содержащее действия
деления на выражения, в состав которых входят аргументы,
называется целым рациональным выражением или
многочленом.
* Необходимо заметить, что элементарное аналитическое
выражение, как оно определено здесь, может не быть аналитическим
выражением в смысле, определенном на стр. 13, поскольку, например,
формула у = sin x не содержит записи вычислительных операций,
которые следует выполнить над х, чтобы получить соответствующее
значение у. Однако, как показывается в теории функций
действительного переменного (см., например: Н. Н. Лузин. Теория
функций действительного переменного. Общая часть. М., Учпедгиз,
1948), всякая элементарная функция аналитически изобразима;
это означает, что элементарное аналитическое выражение может
быть записано как аналитическое выражение (см. стр. 13).
** Или возведения в степень, показатель которой есть
рациональная дробь (см. примечание на стр. 16),
*** См. предыдущее примечание.
17

Рациональное выражение называется дробным, если
оно содержит действие деления на выражения, в состав
которых входят аргументы.
. ах2 4- by2 -4- cz2
Выражения ах2 + by2 -\-cz2—V2 xyz и — /7 Ь
А^Ъхуг— рациональные. Первое—целое рациональное,
второе — дробное. Выражения а V х+ у -\- Ъхуг и ах2 —
— b Vy~-\- 2z — иррациональные.
Элементарные функции делятся на алгебраические и
элементарные трансцендентные. Элементарные функции,
которые могут быть заданы с помощью алгебраических
выражений, называют алгебраическими. Элементарные
функции, не являющиеся алгебраическими, называют
элементарными трансцендентными.
Иначе говоря, элементарная трансцендентная функция—
это функция, которая задается с помощью элементарного
трансцендентного выражения и не может быть задана с
помощью алгебраического выражения.
Алгебраические функции в свою очередь делятся на
рациональные и иррациональные.
Алгебраические функции, которые могут быть заданы
с помощью рациональных выражений, называют
рациональными. Алгебраические функции, не являющиеся
рациональными, называют иррациональными. Следовательно,
иррациональная функция — функция, которая задается с
помощью иррационального выражения и не может быть
задана с помощью рационального выражения. Рациональная
функция называется целой рациональной или многочленом,
если она задается с помощью целого рационального
выражения; она называется дробной, если задается с
помощью дробного выражения и не может быть задана с
помощью целого рационального выражения.
§ 6. Метод математической индукции
В различных разделах современной математики
широко используется метод доказательства, который
называется методом математической индукции. Обычно
доказательство этим методом проводится так. Если надо
доказать, что некоторое утверждение Т справедливо для
всякого натурального числа т, то доказывают справе дли-
18

вость утверждения Т для 1 и затем, предположив, что оно
справедливо для произвольно выбранного натурального
числа п, доказывают справедливость его и для числа
п + 1. После этого считают утверждение Т справедливым
для всякого натурального числа т. То, что при
выполнении указанных условий утверждение Г действительно
справедливо для всякого натурального числа т, вытекает из
аксиомы индукции*, которую иначе еще называют
принципом математической индукции: вся-
кое множество натуральных чисел, содержащее 1, которое
вместе со всяким его числом п содержит следующее число
п + 1, совпадает с множеством всех натуральных чисел.
Действительно, пусть М — множество тех
натуральных чисел, для каждого из которых справедливо
утверждение Т. Тогда 1 содержится в М, так как для 1
утверждение Т справедливо. Кроме того, из предположения, что
п содержится в М, вытекает, что ип+ 1 содержится в М,
ибо если утверждение Т справедливо для числа п, то оно
в силу доказательства справедливо и для числа п + 1.
Поэтому в силу принципа математической индукции в М
содержатся все натуральные числа, и, следовательно,
утверждение Т справедливо для всякого натурального
числа т.
* В 1891 г. итальянский математик Пеано сформулировал пять
аксиом, характеризующих основные свойства натуральных чисел.
Аксиома индукции является пятой аксиомой Пеано.

Глава II
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ
§ 1. Понятие уравнения. Решения уравнения
Решение многих задач теоретического и
практического характера сводится к решению различных уравнений.
Поэтому вопросу решения уравнений в курсе
элементарной алгебры уделяется особенно большое внимание.
Изучение этого вопроса мы начнем с определения основных
понятий и доказательства некоторых теорем, на которые нам
придется ссылаться при изучении уравнений различных
классов и их систем.
Аналитическую запись задачи об отыскании значений
аргументов, при которых значения двух данных функций
равны, называют уравнением, а аргументы этих
функций — неизвестными.
Если в уравнение входит одно, два, три, . . . , п
неизвестных, то его называют уравнением соответственно с
одним, двумя, тремя, . . . , п неизвестными. Условимся
неизвестные обозначать буквой х с индексами: хг, х2г
xs, . . . , хп. Уравнение с п неизвестными в общем виде
будем записывать так:
I (xlt х2, • • • ) хп) = ф \х±, х2, ...» хп). \1)
Функцию f(xv х2, . . . , хп) будем называть левой
частью уравнения, а "функцию ф (xlt х2> .. . , хп)— правой
частью.
Заметим, что от некоторых из аргументов xv х2У . . . , хп
функция / (xlt х2, . . . , хп) или ф (хг, х2, . . . , хп)
может не зависеть, т. е. некоторые из неизвестных в левую
или правую часть уравнения могут не входить. Больше
того, одна из этих функций, например у(х1У х2, ... , хп)?
20

Может быть даже постоянным числом тогда уравнение (1)
будет иметь вид:
В частности, если с = О, то имеем уравнение
/ \Х\> Х2, • • • » Хп) = "•
Будем считать, что числа, входящие в уравнение (1)
(в частности, значения букв — параметров), а также
значения, которые могут принимать неизвестные хг, х2, . . . , хпл
принадлежат некоторому числовому полю Р, и в
этом случае будем говорить, что уравнение (1)
рассматривается над числовым полем Р или в
числовом поле Р. В элементарной математике уравнения
рассматриваются чаще всего над полем действительных
или над полем комплексных чисел, значительно реже —
над полем рациональных чисел; иногда уравнения
рассматриваются также над кольцом целых чисел.
Пусть kv k2, . . . , kn — числа из поля Р. Если при
хх = kv х2 = k2, . . . , хп = kn левая и правая части
уравнения (1) имеют смысл, то система значений неизвестных
хх = k19 х2 = k2y .. . , хп = kn называется допустимой
системой значений неизвестных уравнения (1) в поле Р.
Множество всех допустимых систем значений
неизвестных уравнения (1) в поле Р называется областью
определения этого уравнения в поле Р.
Очевидно, что областью определения уравнения
/ (х1, х2У . . . , хп) = ф (х19 х2, . . . , хп)
является общая часть областей определения функций
f(xv х2, . . . , хп) и ф(*1э х2, . . . , хп). В случае
уравнения с одним неизвестным понятие допустимой системы
значений заменяется соответственно понятием допустимого
значения неизвестного.
Пример. Областью определения уравнения -^- ~ =
V + *г2
= х\—х2 в поле действительных чисел является множество всех
пар действительных чисел, отличных от пары (0, 0). В поле
комплексных чисел областью определения этого уравнения является
множество всех пар комплексных чисел, удовлетворяю*,
щих условию хг ф -J2 1*2-
Система значений неизвестных хЛ, x2J . . . , х„, при
которых значение левой части уравнения (1) равно значению
2\

правой его части, называется решением этого
уравнения.
Решение уравнения с п неизвестными записывают в
виде последовательности п чисел, являющихся значениями
неизвестных: (kv k2i . . . , kn) или в виде совокупности
равенств* х-% •— *^i> х2 —¦ ^2» • • • > ™п — ^п*
Пример. х\-\~ х\ = 2ххх2 — уравнение с двумя неизвестными.
Система значений Xi = 0, х2 = 0 является его решением, ибо при
Xi = х2 = 0 значения левой и правой частей уравнения равны.
Система же значений хг = 1, х2 = 3 не является решением этого
уравнения, ибо при Xi = 1, *2 = 3
*2 + #|=10, a 2*i*2 ^ 6\
Если система значений неизвестных хг = къ х2 = k2,
... , хп = kn является решением уравнения (1), то
принято говорить, что система чисел kv k2i . . . , kn
удовлетворяет уравнению (1); если же система чисел klt k2t ..., kn
не является решением уравнения (1), то говорят, что она
этому уравнению не удовлетворяет.
Уравнение может не иметь ни одного решения. О
таком уравнении говорят, что оно не имеет решений.
Таким, например, является уравнение х1 + х2 + х3 =
«= хх + х2 + аг3—f-5, ибо, какие бы значения ни
принимали неизвестные, значение его левой части не будет
равно значению правой части. Если же уравнение имеет
решения, то их может быть одно, несколько или даже
бесконечное множество.
Так, уравнение Зх = 9 имеет лишь одно решение: х = 3;
уравнение х2 = 4 имеет два решения: * = 2 и л: = — 2; уравнение
2хх = 3*2 имеет бесконечное множество решений, его решением
2
будет всякая пара значений неизвестных: хх = с, х2 = -q- с, где с —
произвольное число.
Если решением уравнения является всякая
допустимая система значений неизвестных, то говорят, что
уравнение удовлетворяется тождественно. Так, уравнение
(хг + х2)2 = х\ + 2 хг х2 + х% удовлетворяется
тождественно во всяком числовом поле.
Решить уравнение означает установить,
имеет ли оно решения, и если имеет, то найти их.
Заметим, что множество решений данного уравнения
зависит от числового поля, над которым оно
рассматривается. Так, если уравнение х2 = 2 рассматривать над по-
22

лем рациональных чисел, то оно вовсе не имеет решений;
если же рассматривать его над полем действительных
чисел, то оно имеет два решения: х = V~29 х =—V~2.
Уравнение х\+ х\ = 0 в поле действительных чисел
имеет лишь одно решение: х1 = х2 = 0, а в поле
комплексных чисел оно имеет бесконечное множество решений:
его решением будет всякая пара чисел {k, ik)9 где k—
произвольное комплексное число.
§ 2. Классификация уравнений,
изучаемых в элементарной математике
В предыдущем параграфе было дано общее определение
уравнения. Понятие уравнения по этому определению
довольно широкое. Можно привести много примеров
уравнений, однако не все они изучаются в элементарной
математике. В элементарной математике изучаются лишь
такие уравнения, в которых левая и правая части
являются элементарными функциями, иначе говоря, левая и
правая части которых являются выражениями,
образованными из чисел и из известных и неизвестных величин,
обозначенных буквами, путем выполнения над ними
элементарных операций конечное число раз.
Уравнения, изучаемые в элементарной математике, по
характеру операций, выполняемых над неизвестными,
делятся на целые алгебраические, дробно-алгебраические,
иррациональные алгебраические и трансцендентные.
Уравнение
/ \Х±, Х2, . . . , Хп) = ф (Xit Х29 • • • >хп/ V*)
называется целым алгебраическим, если / (xv х2, .. . , хп)
и ф (хг, х2, . . . , хп) — многочлены. Оно называется
дробно-алгебраическим, если / (х19 х2, ..., хп) и ф (х19 х29 ..., хп)
являются рациональными функциями, причем по крайней
мере одна из них — функция дробно-рациональная.
Уравнение (1) называется иррациональным
алгебраическим, если f (хг, х2, . . . , хп) и ф (хг, х29 . . , хп)
являются элементарными алгебраическими функциями и по
крайней мере одна из них — функция иррациональная.
Уравнение (1) называется трансцендентным, если
f (#i, *2> • • • > хп) и Ф (*i» х2> • • • » хп) являются
элементарными функциями, причем по крайней мере одна из них —
функция трансцендентная.
23

Для уравнений, у которых правая часть равна нулю,
т. е. для уравнений вида F (*lf х2, . . . , хп) = 0,
формулировка приведенных выше определений соответственным
образом упрощается.
Так, например, уравнение
Г (#!, ЛГ2, • . . , Хп) = U
называется целым алгебраическим, если его левая часть
F (д^, х2, . . . , хп) есть многочлен, в частности, оно
называется целым алгебраическим уравнением степени я,
если F {х1, х2> . . . , хп) есть многочлен степени п.
Примеры.
1. Уравнение
Xt —~ZXiX2 ~j~ Хп ^= с,Х\Х<1 ¦—— Х2
есть целое алгебраическое уравнение с двумя неизвестными.
2. Уравнение
Зх — 2 ^
есть дробно-алгебраическое уравнение с одним неизвестным.
3. Уравнение
/ПН*-
есть иррациональное алгебраическое уравнение с двумя
неизвестными.
4. Уравнение
2х + 2~* = 5
есть трансцендентное уравнение с одним неизвестным.
Ради сокращения в современной математике целые
алгебраические уравнения называют алгебраическими,
дробно-алгебраические — дробно-рациональными,
иррациональные алгебраические — иррациональными. Этой
терминологии мы и будем придерживаться в дальнейшем.
§ 3. Равносильность уравнений
Предположим, что нам заданы два уравнения с
одними и теми же неизвестными а*^ xv . • . , хп:
24

f(xv x2, ... , xn) = (f(xv x2t . . . , xn) (1)
и
/4*1, x2, . . . , xn) = ФС*!, л:2, . . . , л?я). (2)
Будем рассматривать их над одним и тем же числовым
полем. Уравнение (2) будем называть следствием уравнения (1)
или выводимым из уравнения (1), если каждое решение
уравнения (1) является решением уравнения (2).
Итак, если уравнение (2) является следствием
уравнения (1), то ему удовлетворяют все решения уравнения (1),
кроме того, оно может иметь решения, которые не
удовлетворяют уравнению (1). Эти последние принято
называть посторонними решениями для уравнения (1).
Так, уравнение
(3* — 10)2 = (2*)а (3)
является следствием уравнения
3* — Ю = 2х, (4)
а также уравнения
3* — Ю = — 2х. (5)
Его решение х = 2 — постороннее для уравнения (4), а решение
х = 10 — постороннее для уравнения (5).
Если уравнение (2) является следствием уравнения (1) и,
наоборот, уравнение (1) является следствием уравнения (2),
то уравнения (1) и (2) называются равносильными* над
числовым полем, над которым они рассматриваются.
Иначе говоря, два уравнения называются равносильны-
ми над числовым полем, над которым они
рассматриваются, если всякое решение каждого из этих уравнений
является также и решением другого.
Если уравнения (1) и (2) не имеют решений, то они
также считаются равносильными.
Понятие равносильности уравнений—относитель-
н о е , ибо заданные два уравнения могут быть
равносильными, если их рассматривать над одним числовым полем,
и не быть равносильными, если их рассматривать над
другим числовым полем.
Например, уравнения х2 = 4 и х4 = 16 равносильны над полем
действительных чисел, ибо в этом поле каждое из них имеет два ре-
* Иногда вместо термина равносильные употребляют
термин эквивалентные.
25

шения: * = 2 и л: = — 2. Над полем комплексных чисел эти
уравнения не равносильны — первое из них имеет два решения: л- = 2,
х = — 2, а второе — четыре решения: х — 2, х = — 2, х = 2/,
х = — 2/.
Очевидно, что два уравнения, равносильные одному
и тому же третьему уравнению, равносильны между
собой.
Докажем теперь две теоремы о равносильности
уравнений. На них обычно основываются преобразования,
которые приходится выполнять при решении уравнений.
Теорема 1. Если к обеим частям уравнения
I \%ii %2> • • • » Хп) == Ф \XV %2> • • • у Хп) (в)
прибавить функцию а (х1У х2, ... , х„), имеющую смысл
при всех допустимых системах значений неизвестных,
то получим новое уравнение
I \Xi, Х2, • • • > %п) i ^ v^l» -^2» • • • » %п) ~
=<p(*lf х29 . . . , x„)+a(xlf х2, . . . , хп), (7)
равносильное первоначальному.
Доказательство. Предположим, что av а2, . . . , ап
— любое решение уравнения (6). Тогда
f(av а2, . . . , ап) = Ф(ах, а2, .. . , ал). (8)
Кроме того, а^, а2, ... , ап)—некоторое число, ибо
av а2, ... , ап — допустимая система значений неизвестных,
а по условию теоремы а (х19 х2, ... , хп) имеет смысл (т. е.
равно некоторому определенному числу) при всякой
допустимой системе значений неизвестных. К обеим частям
численного равенства (8) прибавим одно и то же число
а (#i» #2> • • • » ап)> получим равенство
/К, я2> • • • i ап) +а(av а2» • • • » ал) =
= 9(0!, а2, . . . , а») +а (alt a2t . . . , а„). (9)
Равенство (9) означает, что система чисел а±> а2, . . . , ап
является решением уравнения (7).
Таким образом, мы доказали, что каждое решение
уравнения (6) является решением и уравнения (7). Докажем
теперь, что и, наоборот, каждое решение (7) является
решением уравнения (6).
26

Пусть система чисел bl9 Ь29 . .. , Ьп есть некоторое
решение уравнения (7). Это означает, что
f(bl9 b2, ... 9*bn) +a(6lf 62, ... , bn) =
«=Ф(61э &2, ... , &n)+afe *at ... t 6л). (10)
При этих условиях a(bl9 b29 . .. , bn) имеет смысл.
Вычитая из обеих частей равенства (10) одно и то же
число a (bl9 b2> .. . , bn)9 получим равенство
f (bv b29 .. . , bn) = ф (blt b29 . . . , bn),
которое означает, что система чисел bl9 b29 . .. , bn
является решением уравнения (6).
Условие теоремы об определенности функции
a (х1, х2, . . . , хп) при всякой допустимой системе значений
неизвестных существенно. Если а(д^, х29 ..., хп) имеет
смысл не при всех допустимых системах значений
неизвестных, то уравнения (6) и (7) могут не быть
равносильными. Это, в частности, будет иметь место тогда, когда
система чисел #!, а2, . . . , ап является решением уравнения (6),
но а (а^, а2, . . . , ап) не имеет смысла. Например,
уравнения х (х — 1) =0 и х (х — 1) + log х = log x не
равносильны. Действительно, решение х =0 первого
уравнения не удовлетворяет второму уравнению, ибо при х = 0
функция log х не имеет смысла.
Из доказанной теоремы вытекает правило
перенесения слагаемых из одной части уравнения в другую.
Если некоторое слагаемое данного уравнения мы
перенесем из одной части в другую, изменив знак этого слагаемого
на противоположный, то получим уравнение, равносильное
данному.
Действительно, уравнения
f{xl9 х2, . .. , хп) -\- р (х19 х2> . . . , хп) = ф^, х29 ..., хп) (11)
и
— $(х19 х29 . . . , хп) (12)
равносильны, ибо уравнение (12) получается посредством
прибавления выражения — (3 (х19 х2, . . . , хп) к обеим
частям уравнения (11).
Кратко правило перенесения слагаемых формулируют
так;
27

Всякое слагаемое можно перенести из одной части
уравнения в другую, изменив при этом его знак на
противоположный.
Следствием этого правила является следующее
утверждение:
Всякое уравнение
I V^i> Х2, • • • > Хп) = Ф v^l» *^2» • • • » %п) '*"/
можно заменить равносильным ему уравнением вида
г (xl9 х2, . • . , хп) = и.
Действительно, если в уравнении (13) мы перенесем
член ф (х19 х2, . . . , хп) в левую часть, то получим
уравнение
/ (Л^, X2i . . . , Хп) ф (Х19 Х2, • • • i #/7) = "•
Иногда это утверждение кратко формулируют так:
Всякое уравнение
I V^lt %2> • • • t Хп) == Ф \*^1> *^2» • • • » Хп)
можно записать в виде
t \Х±, Х2, • • . , Хп) = U.
Теорема 2. Если обе части уравнения
f(xv х2, . . . , хп) = ф(дг1э *2, • • • » *я) (14)
умножить на функцию а (хх, х2, . . . , хп), имеющую смысл
и отличную от нуля при всех допустимых системах
значений неизвестных, то получим новое уравнение
ее (х^, х2, . . . , хп) ух^, х2, . . . , хп) =
==а(-^1> *2> • • • э Хп) ф (Xlf Х2, . . . , Хп), (15)
равносильное данному уравнению.
Доказательство. Пусть система чисел
а^, а2, . . . , ап — произвольное решение уравнения (14).
Это значит, что
f(al9 а2, . . . , ап) =ф(а1э а2, . . . , ая). (16)
Так как а±ь а^, . . . , ал — допустимая система значений
неизвестных, то, по условию теоремы, а (а1э а2, . . . , ап) —
отличное от нуля число.
28

Умножим обе части равенства (16) на число
а (а^, а2, . . . , ап). Тогда будем иметь равенство
«К, а2, . . . , ап) f (аг, с^, . . . , ап) =
= а (а1? а2, . . . , ап) ф (а1э а2, . . . , ал),
а это и означает, что система чисел а^, а2, . . . , ая
удовлетворяет уравнению (15). Следовательно, мы доказали, что
всякое решение уравнения (14) является решением и
уравнения (15).
Докажем теперь, что и, наоборот, всякое решение
уравнения (15) является решением уравнения (14).
Предположим, что система чисел bl9 Ь2, . . . , Ьп
удовлетворяет уравнению (15). Тогда
а(Ь1? 62, . . . , bn)f (&!, 62, . . . , Ьп) =
= а(61э Ь2, . . . , &я)ф(61э 62, . . . , 6П). (17)
Так как bv 62, . . . , Ьп — допустимая система
значений неизвестных, то, по условию теоремы, а (Ь19 62, ... ,Ьп)
— отличное от нуля число, а следовательно, и
какое-то число.
a(&i, Ь2, ..., Ьп)
Умножив обе части равенства (17) на число ,
a(bltb2, ...,Ьп)
получим равенство f(blt b2, . . . , bn) = <p(&i, b2, . . . , 6„),
которое и означает, что система чисел Ь19 62, ... , Ьп
является решением уравнения (14).
Если условия теоремы, касающиеся функции
a (xlt х2, . . . , хп)у не выполняются, например,
a(xv х2, . . . , хп) при некоторых допустимых системах
значений неизвестных равна нулю, то в общем случае уравнения
(14) и (15) неравносильны. Действительно, всякая
допустимая система значений неизвестных, при которой множитель
а (х1У х2, . . . , хп) равен нулю, будет решением уравнения
(15), но она может не удовлетворять уравнению (14).
Так, например, уравнения Ъх — 3 = Ах и (х — 5) (Ъх — 3) =
= (х — 5) Ах неравносильны. Второе из этих уравнений
получается умножением первого на множитель х — 5, который равен нулю
при х = 5. Как видим, х = 5 является решением второго
уравнения, но не является решением первого.
Если множитель а (я,, дс2, . . . , хп) не имеет смысла при
некоторых допустимых системах значений неизвестных,
то уравнения (14) и (15) также могут не быть равносиль-
29

ными. В частности, это возможно тогда, когда система
чисел %, аа, . . . , ап является решением уравнения (14), но
a (Oi, а2, . . . , ап) не имеет смысла.
Например, уравнения Ъх — 2 = 2х и (3* — 2) = 2х
X —— Z JC — Z
неравносильны.
Действительно, х = 2 является решением первого уравнения,
но не удовлетворяет второму уравнению, ибо множитель при
х = 2 не имеет смысла.
Из теоремы 2 непосредственно вытекает справедливость
утверждения:
Если обе части уравнения умножить на произвольное,
отличное от нуля число, то получим уравнение,
равносильное данному.
Это утверждение кратко формулируют так:
Обе части уравнения можно умножить на произвольное
отличное от нуля число.
§ 4. Преобразование уравнений при их решении
При решении уравнений чаще всего приходится
заданное уравнение преобразовывать и заменять
последовательно другими уравнениями, равносильными данному, но
более простыми. Этот процесс замены продолжают до тех
пор, пока не получат уравнение, решения которого
известны. Эти известные решения и будут решениями
заданного уравнения.
Иногда данное уравнение заменяют выводимым
уравнением, которое, как отмечалось раньше, может иметь
решения, посторонние для данного уравнения. В этом
случае необходимо путем подстановки в данное уравнение
найденных решений проверить, какие из них
удовлетворяют данному уравнению и какие являются для него
посторонними.
Так, например, при решении уравнения
— ]/Т+6 = *
его заменяют следствием
(-ГЗГ-Гб)2 = ^,
30

которое записывается так:
Решениями этого уравнения являются: х = 3, х = — 2, первое
из которых — постороннее для заданного уравнения.
Заметим, наконец, что при преобразовании уравнения
в процессе решения может измениться область его
определения, что в свою очередь может привести к потере
решений или к появлению посторонних решений. Сужение
области определения уравнения может привести к потере
решений, а расширение ее — к появлению посторонних
решений.
Например, рассмотрим над полем действительных чисел
уравнение lg х2 = 2. Решая это уравнение, мы получаем х2 = 100,
отсюда д: = i 10. Если же в левой части заданного уравнения
выполнить преобразование lg х2 = 21g x, то уравнение запишется
так: 21g х = 2, отсюда lg х = 1, а х = 10.
Областью определения уравнения lg x2 = 2 является
множество всех действительных чисел, отличных от нуля, а областью
определения уравнения lg х = 1 — множество всех положительных
действительных чисел. Следовательно, при преобразовании уравнения
область определения его сузилась. Это и привело к потере решения
х = — 10.
Рассмотрим теперь уравнение
1 (,_з) + -Ц-(*-1) + ** = 6, (1)
х — 2V ' ' * —2
Преобразуем его левую часть следующим образом:
1 ; (*-3) + ^ (*-!) + *¦=-!-[(*-2)-1] +
х—2 х—2 х—2
1 [(* —2) + 1] + *2 =1 L_ + i + _J_-|-*2 = 2 + jta
х-2 х-2
Тогда данное уравнение запишется так: 2 + х2 = б, откуда
х2 = 4. (2)
Уравнение (2) имеет решения х = 2, х = — 2, первое из них
для уравнения (1) — постороннее. Постороннее решение появилось
потому, что при преобразовании уравнения область определения
его расширилась. Действительно, областью определения
уравнения (1) является множество всех действительных чисел, кроме
числа 2, а уравнения (2) — множество всех действительных чисел.
Таким образом, преобразования уравнения в
процессе его решения могут привести как к потере решений, так
и к появлению посторонних решений. Если наличие по-
31

сторонних решений установить легко (для этого надо лишь
испробовать найденные решения путем подстановки их в
заданное уравнение), то потерю решений никакой общей
теорией предусмотреть нельзя. Для того чтобы установить
потерю решений, надо в каждом конкретном случае
специально исследовать, не приводит ли какое-либо из
выполненных в процессе решения преобразований к потере
решений.
Рассмотрим некоторые преобразования, которые
часто применяются в практике решения уравнений.
Пусть задано уравнение
г (х1} х29 ..., хп) = и.
Заменим в нем неизвестные xv х2, ... , хп новыми
неизвестными уц Уг> • • • »Уя» связанными с xv х2% ... , хп
соотношениями
*i = ?i (Ух. Уг. ••• .Уя).
^ = &(У1.У2э .-• >Уя).
*я = #Я (Ур У2. ••• -Уя).
где g1 (ylf y2, ... ,уя),г8(У1.У2. ••• .Уя).-- .йГя(У1.У2. — .Уя)
— функции, удовлетворяющие следующему условию; для
всякой допустимой системы значений хх , х2, ... ,хп
неизвестных хъ х29 ... ,хп найдется такая допустимая
система значений у[ , у2, ... ,уЛ неизвестных yv у2, ... , ул,
что
х\ = Si (yi. У2, ... , у'п), *2 = g2 (yi. У2, f. • • , Уя), ...
... ,Xn = gn(y'uy2, ... ,Уп). (5)
Тогда получим уравнение
Р \&i (У1. Уг. • • • . Уя). ?2 (У1. Уа. • • . . Уя). • • • »
•. • fti (Ух У» • • •» Уя)1 = 0. (6)
Если у\ , Уз, ... , у° — любое решение уравнения (6),
т. е. если
г"г/0 0 0ч /0 0 0\
^[^О»! . У2 У„Ь?2(У, - Уа. ••• .У«)
?П(У1.У2 У°«)1=0, (7)
32

то система чисел
о „ , о о о \
*i = Si (У1 . У2 Уп).
*2 = & (У^ > Уг Уп )•
О /00 0 ч
*« = %(У1 >у2> ... .уя)
будет решением уравнения (3).
Действительно, из равенств (7) и (8) вытекает
равенство
F(x°{i xl ... ,*°)=0,
а это означает, что система чисел
О /00 0\0 /00 п
*i =gi(yi> У2> ••• >У„). *2 = й(У| >У2 УпЬ ••• .
о _ , о о о
хп=8п(Ух > У2> -.. >У„)
является решением уравнения (3),
Наоборот, если хх , д:2, ... , хп — произвольное
решение уравнения (3), т. е. если
F(x% x°2i ... ,л;°)=0, (9)
то найдется такое решение у\, у\, ... , у°п уравнения (6),
что
О _ / О G 0Ч
*i =fifi(yi» У2> ••• .У„).
0^/00 0 ч
*2 = ft (У1 » У2 > • • • > Уп )•
(Ю)
О /00 0 ч
Хп=8п(Уц У2> • •• .Уй)-
Действительно, по условию (5) для системы значений
*i i *2» • • • »хп неизвестных х1% х29 ... , хп найдется такая
допустимая система значений у°{ , у\, ... , у° неизвестных
Ун Уг> • • • » Ул> Для которой будут выполняться равенства
(10).
33

Кроме того, из равенств (9) и (10) вытекает, что
Fl8i(y°i,yl. ••• >У°п)> 8Лу\,у\, ••• ,У°а), •••
.•.,ёп(У%У°2 У»)] = 0,
т. е. система значений у°, у°2, ... , у° является решением
уравнения (6).
Следовательно, если мы найдем все решения
вспомогательного уравнения (6) и затем по очереди подставим
каждое из них в равенства (4) вместо неизвестных у19 у2, ..., уп ,
то получим все решения уравнения (3).
Переход от заданного уравнения
Г (Л^, АГ2, . . . , Хп) = U
к вспомогательному уравнению
F Iffi (У1* Уч Уп)> §2 (Уи У2> «. . Уп)> .- . 8п (Уи Уъ .« t Уп)]=°
называют преобразованием уравнения с помощью замены
неизвестных или подстановки.
Это преобразование особенно часто применяется при
решении уравнений с одним неизвестным.
Заметим, что всюду дальше, где говорится о замене
неизвестных в уравнении, новые и старые неизвестные
всегда будут связаны между собой соотношениями вида (4),
которые обязательно будут удовлетворять условию (5).
Поэтому мы не будем каждый раз проверять,
выполняется ли условие (5).
Пример. Решить уравнение
я* + 2*3 — х2 — 2х + 1 — 5 (х2 + х — 1) + 4 = 0.
Это уравнение можно записать так:
*4 + х2 + 1 + 2х* — 2х2 — 2х — 5 (х2 + х — 1) + 4 = 0,
или
(*а + х — I)2 — 5 (х2 + х — 1 ) + 4 = 0.
Положив х2 + х — 1 = t, получим уравнение
Р - ЪЬ + 4 = 0,
решениями которого являются h = 4, fa = 1- Подставив эти
решения вместо ? в соотношение х2 + х — 1 = t, получаем уравнения
*2 _|_ х _ 1 = 4, х2 + а; — 1 = 1;
34

из которых находим решения заданного уравнения:
-1+/2Г —1 —ТЛ5Т
*i = 2Г—; *2 = 2Г—; х*= ; х*= ~~
Иногда в процессе решения уравнения его заменяют
несколькими уравнениями. В частности, такая замена
широко практикуется при решении алгебраических
уравнений с одним неизвестным.
Замена одного уравнения несколькими основывается
на следующей теореме:
Если левая часть уравнения
F(xvx2, ... ,*я) = 0 (11)
разлагается на множители
г (xv х21 ... , хп) =
= ГХ (Xl9 Х2, . . . , Хп) Г2 \Х1> Х2> • • • 9 хп) • • • Гт \XV Х2> • • • > Хп)>
то для отыскания всех решений этого уравнения
достаточно найти решения каждого из уравнений:
* 1 v^l» Х2> • • • » Хп) == ^» * 2 \Х1> Х2> • • • » Хп) == ^> • • • >
Fm(xl>x2> ••• >*л) = ° (12)
и отобрать среди них те, которые принадлежат
множеству допустимых систем значений неизвестных хг, х2, ...,хп
заданного уравнения.
Действительно, уравнение F (xv х2, ... , хп) = 0 можно
записать так:
*l\xlt^2* ••• ' Хп) " * 2 \^1» ^2» ••• » Хп) ••• *т\Х1>Х2> ••• уХп)=="»
Но произведение равно нулю тогда и только тогда,
когда по крайней мере один из его сомножителей равен нулю.
Поэтому всякое решение уравнения (11) будет решением
по крайней мере одного из уравнений (12), и, наоборот,
всякое решение любого из уравнений (12), принадлежащее
к области определения функции F (х19 х2, . . . , хп), будет
решением и уравнения (11).
Пример. Решить уравнение
(х — 2) (х2- 1) =0.
v (jc—2)a
35

Приравняв нулю каждый из сомножителей левой части
уравнения, будем иметь:
х — 2 » 0, откуда х =* 2;
х2 — 1 =з 0, откуда * = 1 и х = — 1;
=0 — решений нет.
(*-2)«
Решениями заданного уравнения являются х = 1 и д: = — 1.
Решение * = 2 уравнения д; — 2 = 0 не принадлежит множеству
допустимых значений неизвестного, ибо при х = 2 левая часть
заданного уравнения не имеет смысла, и поэтому его надо отбросить.
В этой главе все определения, теоремы и рассуждения
умышленно изложены в общем виде для уравнений с п
неизвестными, чтобы иметь возможность использовать их
как при изучении уравнений с одним неизвестным, т. е.
когда п = 1, так и при изучении систем уравнений с
несколькими неизвестными.

Глава III
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
§ 1. Алгебраические уравнения /г-й степени
с одним неизвестным
Изучение методов решения уравнений начнем
рассмотрением способов решения алгебраических уравнений с
одним неизвестным. Записывать эти уравнения будем в виде
F (х) = 0.
Как уже отмечалось выше, уравнение
а0х" + агх"~1 + а2хп~2 + ... + ап_гх+ап = 0, (1)
левой частью которого является многочлен п-й степени от
х, называется алгебраическим уравнением п-й степени с
одним неизвестным. Числа а0, а^, . . . , ап называют
коэффициентами уравнения, причем а0 называют старшим
коэффициентом, а ап — свободным членом.
Будем считать, что коэффициенты а0, а19 . . . , ап
принадлежат некоторому фиксированному числовому полю Р.
Старший коэффициент а0 должен быть отличным от нуля,
ибо при а0 = 0 уравнение (1) было бы уравнением степени
меньшей, чем п. В соответствии с общим определением
решения уравнения всякое значение неизвестного х, при
котором левая часть уравнения (1) равна нулю, называют
решением или корнем этого уравнения.
Из курса высшей алгебры известно, что всякое
алгебраическое уравнение /г-й степени с одним неизвестным, с
любыми числовыми коэффициентами имеет в поле
комплексных чисел п решений.
37

Вполне закономерно возникает вопрос: как решить
уравнение посредством выполнения над его коэффициентами
тех или иных операций? Если уравнение решается
посредством выполнения над его коэффициентами конечного
числа алгебраических операций, то говорят, что это
уравнение решается алгебраически. Иначе говоря,
решить уравнение алгебраически означает выразить его
корни через коэффициенты с помощью конечного числа операций
сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в
целую степень и извлечения корня.
Алгебраическое решение уравнений называют также
решением уравнения в радикалах.
Из курса высшей алгебры известно, что
алгебраические уравнения степени не выше четвертой решаются в
радикалах. Алгебраические же уравнения степени п > 5
в общем случае в радикалах не решаются: не существует
формул, которые выражали бы с помощью радикалов
корни уравнения данной степени п ^ 5 через его
коэффициенты, обозначенные буквами. Известно также, что
существуют уравнения любой степени п>5ис численными
коэффициентами, которые не решаются в радикалах.
Главной целью этой главы является изучение
элементарных способов алгебраического решения отдельных
типов алгебраических уравнений с комплексными (в
частности, действительными) коэффициентами в поле
комплексных чисел.
При решении алгебраических уравнений нам иногда
придется использовать некоторые положения теории
многочленов от одного переменного, которые изучаются в
курсе высшей алгебры. Напомним их.
Возьмем многочлен / (х) = а0хп + а1хп—1+ ... +ап^1х-\-
+ ап степени п с произвольными числовыми
коэффициентами и линейный двучлен х — с, свободным членом
которого является произвольное число с. Если мы разделим
многочлен / (а:) на двучлен х — с, то получим какое-то
частное q {х) и остаток г (х). Так как делитель х — с есть
многочлен первой степени, то частное q (х) = Ь0хп~1+ Ь1хп-г +
+ . . . + Ьп-2х + Ьп-г должно быть многочленом
степени п — 1, а остаток г (х) — постоянным числом,
поэтому будем обозначать его через г.
Таким образом,
/(*) = (*— c)q(x) + r.
38

или
а0хп + а1хп-1-\-а2хп-2+ ... +ая-1*+ая=»
= {х-с)(Ь0х"-1+Ь1х"-*-\-Ь2х*-* + ... + Ь„^х+Ь№-1)+г.
Отсюда
а0л:л -f а^-1 + а2*л-2 -f ... + <Vi * + ап = Мл +
+ (61-^o)^"1 + (&2-^i)^"2+ .-• +
+ (6„-1 — cbn-2) x + (r — c bn^)y
причем это равенство справедливо при любом х> т. е.
тождественно. Два многочлена от переменного х
тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их
коэффициенты при одинаковых степенях я*. Поэтому из нашего
равенства вытекает
я0 = &о> Oi=6i—с60, а2=Ь2—сЬг, ... , ak=bk—cb^l9 ...
an-i = bn-i — cbn-2> an = r — c bn-i>
а отсюда
Ь0 = а0, Ь± =сЬ0-\-а±1 Ь2 = сЬ± + а2У ... , Ьк = сЬ^г +
+ ак, ... , Vi = cbn-2 + ап-!, г = сб^ + ап.
При заданных f (х) и х — с эти соотношения
позволяют определить коэффициенты частного q (x) и остаток г:
для вычисления коэффициента bk надо предшествующий
коэффициент &?_! умножить на свободный член с и к
полученному произведению прибавить соответствующий
коэффициент ak\ остаток вычисляется по этому же правилу.
Вычисления размещают в виде следующей схемы
а0
Ьо=Яо
01
&!=» Cb0-\-
+ 01
«2
b2= cbi+
+ а2
. . .
. . .
ak
bk=
an-i
bn-i^
= cbn-2+
+ «Я-1
Я/Z
Эту схему называют схежой Горнера, а изложенный
метод отыскания частного q {х) и остатка г — методом
Горнера.
Пример. Разделить / (х) = 2хъ — *4 — З*3 + * — 3 на
* + 3. Составляем таблицу
* Справедливость этого утверждения будет доказана в главе
VI (§ 4).
39

а0=2
U0 = 2
«i= — 1
= (-3)х
X2-l =
= — 7
а2= —3
62 =
= (-3)х
Х(-7)-
— 3 = 18
а3 = 0 а4 = 1
Ь3 =
= (-3)х
Х18+0=
= — 54
*4 =
= (-3) X
Х(—54)+
-1-1 = 163
а5= — 3
'=(-3)х
X 163-
— 3= 1
= — 492
Таким образом, искомым частным будет q (х) = 2*4 — 7xs -f
-f 18а:2 — 54* + 163, а остаток г = — 492.
Теорема. Остаток от деления многочлена f (x) на
линейный двучлен х — с равен значению f (х) при х = с.
Действительно, пусть
/ (х) =(x — c)q (х) + г.
Заменив в этом равенстве переменное х числом с,
будем иметь
/ (с) =(c-c)q (с) + г.
Отсюда
г =f(c).
Этим теорема доказана.
Если значение многочлена / (х) при х = с равно нулю,
т. е. / (с) = 0, то число с называется корнем многочлена
f(x).
Следствие. Для того чтобы многочлен f (x)
делился на линейный двучлен х — с, необходимо и достаточно,
чтобы число с было корнем этого многочлена.
Действительно, если число с является корнем
многочлена / {х), т. е. / (с) = 0, то в равенстве / (х) = (л; — c)q {x) +
+ г остаток г=0, так как г=/(с), и,
следовательно, / (х) делится на х — с. Наоборот, если / (х)
делится на л: — с, то остаток г = 0, а поэтому и /(с) = 0.
Следовательно, число с является корнем многочлена / (х).
Заметим, что раз / {с) равно остатку г от деления
многочлена f (x) на х — с, то для быстрого вычисления
значения многочлена / (х) при х = с используют изложенный
выше метод Горнера, т. е. вместо непосредственного
вычисления / (с) находят методом Горнера остаток г.
Может случиться, что многочлен / (л:) делится не
только на двучлен х — с, но также и на некоторую целую сте-
40

пень этого двучлена. Если, например, многочлен / (х)
делится на (л: — с)* , но уже не делится на (л: — с)а+!,то
говорят, что число с является корнем многочлена / (л:)
кратности а.
Рассмотренные положения касаются многочленов от
одного переменного. Вполне понятно, что они могут быть
применены ко всякому алгебраическому уравнению f(x)=0
(точнее, к его левой части), поскольку его левая часть есть
многочлен.
§ 2. Корни квадратного трехчлена
Алгебраическое уравнение второй степени с одним
неизвестным называют квадратным уравнением. В общем
случае квадратное уравнение имеет вид
ах2 + Ьх + с = 0. (1)
Задачу решения уравнения (1) целесообразно заменить
более общей задачей исследования многочлена ах2 + Ьх + с,
являющегося левой частью этого уравнения. Многочлен
ах2 + Ьх + с, (2)
где а^О, называют квадратным трехчленом; а называют
старшим коэффициентом, Ь — средним коэффициентом
пс — свободным членом квадратного трехчлена.
Значения аргумента х, при которых значение
квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с равно нулю, называют
корнями квадратного трехчлена. Иначе говоря, корнями
трехчлена ах2 + Ьх + с называют решения квадратного
уравнения
ах2 + Ьх + с = 0.
Следовательно, задача решения квадратного
уравнения (1) равносильна задаче нахождения корней
квадратного трехчлена (2).
Корни квадратного трехчлена с комплексными
коэффициентами в поле комплектных чисел. Рассмотрим
квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с с произвольными
комплексными коэффициентами, считая, что множеством
допустимых значений аргумента х является поле комплексных
чисел.
Найдем прежде всего корни квадратного трехчлена.
Для этого, воспользовавшись тем, что а ф 0, выполним
тождественное преобразование
41

-(^s*+?-5+f)«[(^s*+?)-
V4a2 a/J |Д ' 2o/ 4a2 J
Таким образом,
«¦+*+«-.[(*+±)"~с=?Ч.
Это преобразование квадратного трехчлена называют ew-
делением полного квадрата.
Так как а Ф 0, то трехчлен ах2 -{- 6* -|- с тогда и
только тогда будет равен нулю, когда
62-4ac=0, (3)
i'+i)
4a2
и, следовательно, корнями трехчлена будут такие
значения х, при которых имеет место равенство (3), а значит,
и равенство
v 2 ь2 — Аас
(*+?)'
4а2
Из последнего равенства получаем:
а отсюда
_ ZLb±Vb2 — Aac
— 4ас
2а
Следовательно, корнями квадратного трехчлена ах2 +
+ Ьх + с, а значит, и корнями квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с = 0 будут значения х, определяемые
формулой
хшж -b±yw=m^ (4)
Заметим, что в этой формуле под выражением
V Ь2 — Аас можно понимать одно какое-либо значение
квадратного корня, а постановка перед ним знаков ± дает
оба его значения.
42

Корни квадратного трехчлена будем обозначать х1
и х2 и, исходя из формулы (4), будем считать, что
*1 - Ya '' * Ч- Ya ' W
Пример Найдем корни квадратного трехчлена 2х2 — Ых +
+ 5. По формулам (4) и (5) имеем:
3* + 1Л(302 — 4.2-Т 3/ +11
* 2-2 - 4 •
5 .
*! = — *; х2=— /.
2
Выражение А = б2 — 4ас называют дискриминантом
квадратного трехчлена (уравнения).
Так как коэффициенты а, 6, с — числа комплексные, то
и дискриминант А трехчлена будет, вообще говоря, и числом
комплексным (в отдельных случаях он может быть
действительным числом).
Возможны два случая:
X) А = О,
2) А Ф О*.
Если дискриминант А =0, то, как видно из формулы
(4), трехчлен имеет два равных корня: х1 = х2 = —
Если же дискриминант А Ф 0, то трехчлен имеет два
различных корня. Действительно, в этом случае
х1— 2а \ х2— 2а
Как видим, Ху и х2 — различные.
Наоборот, если трехчлен имеет двукратный корень, то
его дискриминант А =0, так как если бы А ф 0, то в
силу доказанного выше трехчлен имел бы два различных
корня; если трехчлен имеет два различных корня, то
дискриминант А Ф 0, ибо если бы А = 0, то в силу уже
доказанного трехчлен имел бы двукратный корень.
Следовательно, мы доказали теорему.
Квадратный трехчлен с любыми комплексными
коэффициентами имеет в поле комплексных чисел или двукрат-
* Если дискриминант — отличное от нуля комплексное число,
то мы не можем сказать, что он больше или меньше нуля, ибо для
комплексных чисел понятия «больше», «меньше» не определены.
43

ный корень, или два различных корня. Для того чтобы
трехчлен имел двукратный корень, необходимо и
достаточно, чтобы его дискриминант А был равен нулю; для
того чтобы он имел два различных корня, необходимо и
достаточно, чтобы его дискриминант А был отличным от
нуля.
Примеры.
1. Трехчлен 2ix2 + 4х — 21 имеет двукратный корень: х\ =
= хг = i\ дискриминант этого трехчлена Ь2 — 4ас = 0.
2. Трехчлен Зле2 — 9ix — 6 имеет два различных корня: xi = t,
Х2 = 2i; его дискриминант Ь2 — 4ас = — 9.
Корни квадратного трехчлена с действительными
коэффициентами в поле комплексных чисел. В том случае,
когда коэффициенты а, Ь, с квадратного трехчлена ах2 +
+ Ьх + с являются действительными числами, его
дискриминант А = Ь2 — 4ас также будет действительным числом,
при этом он может равняться нулю, быть большим нуля и
меньшим нуля.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1. Ь2 — 4ас > 0. Положим Ъ2 — Аас = h2, где h > 0;
тогда
_ — Ь ± Vh2 _ —Ь-h _ —Ь + h
Х— 2а ' *1"~ 2а ' *2~ 2a
Таким образом, в этом случае трехчлен имеет два
различных действительных корня: хх при а>0 является
меньшим, a x2 — большим корнем.
2. Ь2 — 4ас = 0. Корнями трехчлена будут:
_ —Ь — УЬ2 — 4ас __ Ь _—Ь+ Уь2 — 4ас__ Ь .
*1 "" 2а "" 2а' *2 ~~ 2а 2а;
оба корня действительные и равны между собой. Иначе
говоря, трехчлен имеет двукратный действительный корень.
3. Ь2 — Аас < 0. Тогда Ь2 — Аас = (Аас — Ь2) (—1) =
= h2 (—1), где h > 0. Корнями трехчлена будут:
__ —Ь — УЬ* — 4ас __ —Ь — У1г2{—\) = —Ь — ИУ^Т^
Xl~~ 2а ~~ 2а ~~ 2а
~" 2а ~ 2а 2а'
__ — Ь -f Уъ2 — Аас —b + yh2(-l) _ — b + hi _
*2~ 2а "" 2а 2а
b_\h_ .
~~ 2а '2а'*
44

Таким образом, в этом случае корни трехчлена
комплексные сопряженные.
Наоборот, если корни квадратного трехчлена с
действительными коэффициентами действительные различные, то его
дискриминант больше нуля, так как если бы дискриминант
был равным 0 или меньшим 0, то в силу доказанного корни
трехчлена были бы действительными равными или
комплексными сопряженными. Если квадратный трехчлен с
действительными коэффициентами имеет двукратный
действительный корень, то его дискриминант равен 0, ибо в
противном случае трехчлен имел бы различные корни. Если корни
трехчлена с действительными коэффициентами
комплексные сопряженные, то его дискриминант меньше 0; в
противном случае трехчлен имел бы действительные корни.
Таким образом, мы доказали теорему:
Для того чтобы корни квадратного трехчлена с
действительными коэффициентами бьии действительные
различные, действительные равные, комплексные
сопряженные, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант
Ь2 — 4ас соответственно был большим нуля, равным нулю,
меньшим нуля.
Примеры:
1. Трехчлен Ъх2 — 4х — 4, дискриминант которого Ь2 — Аас =¦
= 64 > 0, имеет два действительных различных корня:
*i = ——; *2 = 2.
о
2. Трехчлен 4*2 — 12* + 9, дискриминант которого Ъ2 — 4ас =
= 0, имеет два действительных равных корня:
3
*1 = *2 = ~.
3. Трехчлен х2 + 6х + 13, дискриминант которого Ь2 — 4ас **
= — 16 < 0, имеет два комплексных сопряженных корня:
xi = — 3 — 2г, *2 = — 3 + 2L
Зависимость между коэффициентами и корнями
квадратного трехчлена. Корни ху и х2 квадратного трехчлена
ах2 + Ьх + с выражаются через его коэффициенты
посредством выведенной выше формулы
— Ь± Vb2 - 4ас
2а
Однако часто при решении различных задач надо уметь
выразить коэффициенты квадратного трехчлена через его
45

корни. Найдем формулы, выражающие коэффициенты
трехчлена через его корни. Для этого сложим корни ^ и х2, а
затем перемножим их.
В результате получим:
Х± ~-\- Х2
Хо —
— ь-
— ь-
-у ь2-
2а
-Vb2-
-Аас .
— Аас
— b + Vb2 — 4ac ___ _Ь_
2а ~~ а
— Ь+Уьь — Ьас _ с
2а 2а а
Отсюда
— = —(*i + *2)> Ь = — а(х± + х2)9
а
с __ __
~~ — Хл • и^о> С ~~ CLJCiJCq»
а
Итак, средний коэффициент квадратного трехчлена равен
произведению старшего коэффициента на сумму его корней,
взятую с противоположным знаком; свободный член
квадратного трехчлена равен произведению старшего
коэффициента на произведение корней.
Выведенные формулы называются формулами Виета.
Они позволяют, в частности, найти квадратный трехчлен,
старший коэффициент которого равен заданному числу а
и корнями которого являются заданные числа хг и х2.
Пример. Найти квадратный трехчлен, который имеет корни
хг = 2 — УЗ, х2 = 2 + 1^3, старший коэффициент которого а = 3.
По формулам Виета
Ь = — а (х± + х2) = — 12, с = а . хх • х2 = 3.
Искомым трехчленом будет
Зх2 — 12* + 3.
Разложение квадратного трехчлена на множители над
полем комплексных чисел. Возьмем произвольный
квадратный трехчлен
ах2 + Ъх + с (а ф 0),
заданный над полем комплексных чисел.
В поле комплексных чисел этот трехчлен имеет два
различных иди равных корня хг и х2. По формулам Виета
Ъ , I v с
— \Х1 ~Т~ Х2/> — Х1 Х2-
а а
46

Заменив в трехчлене коэффициенты Ь и с их выражениями
через корни, получим:
ах2 -f- bx -f- с = а*2 — а (л^ + *2) a: -f- ахг х2 =
= а [х2 — (хг -\-х2)х-\- х1 х2] = а [(х2 — хгх) — (х2х—х±х2)] =
= а [х (х — хх) — х2(х — xj] = а (х — хг) (х — х2).
Следовательно,
ах2 + Ьх + с = а (х — хх) (х — х2).
Таким образом, мы доказали, что квадратный трехчлен
ах2+ Ьх + с с произвольными комплексными
коэффициентами разлагается над полем комплексных чисел в
произведение трех множителей, один из которых является
старшим коэффициентом трехчлена, а два других —
разностями между х и корнями трехчлена.
П р и м е р. Разложить на множители трехчлен 4х2— 12* + 13.
Корнями этого трехчлена являются:
3 — 2/ __ 3 + 2/
Х1~—Г~; *2 2~f
и, следовательно,
4*-12*+I3=4(*-^W*-?±a\
= (2х — 3 + 2/) (2х — 3 — 20.
Над полем действительных чисел этот трехчлен в
произведение линейных множителей не разлагается, поскольку он не имеет
действительных корней.
Заметим, что коэффициенты, корни, дискриминант
квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с — это коэффициенты,
корни, дискриминант квадратного уравнения ах2 + bx + с = 0.
Поэтому все доказанные в этом параграфе утверждения,
касающиеся квадратного трехчлена, будут справедливыми
и для квадратного уравнения. Иначе говоря, каждое
утверждение о квадратном трехчлене мы можем считать
утверждением о соответствующем квадратном уравнении, или его
левой части.
§ 3. Исследование квадратного трехчлена
над полем действительных чисел
Корни квадратного трехчлена. Рассмотрим теперь
квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с с произвольными
действительными коэффициентами, считая, что множеством
47

допустимых значении аргумента х является поле
действительных чисел.
Из теоремы о корнях квадратного трехчлена с
действительными коэффициентами в поле комплексных чисел
вытекает, что в поле действительных чисел трехчлен ах2 +
+ Ьх + с с действительными коэффициентами может иметь
два различных, два равных корня или совсем не иметь
корней (т. е. будет иметь комплексные сопряженные корни),
причем для этого необходимо и достаточно, чтобы
дискриминант Ь2 — 4ас трехчлена был соответственно большим,
равным или меньшим нуля.
Заметим, что при рассмотрении квадратного трехчлена
ах2 + Ьх + с над полем действительных чисел формула
для корней
— b + Vb2 — Aac
х = =-^
2а
применяется лишь при условии, что Ь2—4ас > 0, причем под
У Ь2 — Аас подразумевают арифметическое значение корня.
Так как мы условились обозначать через хг корень квад-
« — b — Vb2— 4ac
ратного трехчлена, равный - , а через х2 —
ч — Ь + Vb2 —4ас
корень, равный — , то над полем
действительных чисел для квадратного трехчлена, имеющего
действительные различные корни, хг будет меньшим, а х2 —
большим корнем (при а > 0; при а < 0 будет наоборот).
Наибольшие и наименьшие значения квадратного
трехчлена. Квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с — функция
переменного х. При изменении значений х значения трехчлена
также изменяются. Вполне естественно возникает вопрос:
при каких значениях х трехчлен будет иметь наибольшее
или наименьшее значения*? Ответ на этот вопрос дает
следующая теорема.
Теорема. Квадратный трехчлен ах2-\-Ъх-\-с с
действительными коэффициентами при х = принимает
2а
b2 — 4ac ^ n
экстремальное значение, равное ; приа>0это
4а
* Наибольшее и наименьшее значения функции называют ее
экстремальными значениями,
48

значение трехчлена минимальное, а при а <
0—максимальное.
Доказательство. Запишем трехчлен в виде
ах2 Аг Ьх + с = а \х А А .
1 ! \ ~ 2а] ~ 4а
4дс б2
Слагаемое постоянное число. Если а > 0, то
4а
/ 1 6 \2 Ь
слагаемое а ur -J положительно при х =? и равно
\ 2а / 2а
нулю при х = . Следовательно, при х = слага-
Ь \а
емое а (я-| ) , а значит, и квадратный трехчлен будут
иметь наименьшее значение. Если же а<0, то а (х-) ]
будет отрицательным при х Ф и равным нулю при
2а
Ь Ь [ , 6\2
х = т. е. при я = — __ слагаемое а [х А будет
2а v 2а \ ' 2а) J
иметь наибольшее значение, а значит, и квадратный трех-
р.
член при л: = будет иметь наибольшее значение. Таким
2а
образом, квадратный трехчлен при х = имеет экстре-
2а
мальное (наибольшее или наименьшее) значение. Оно
Ь2 — Аас
равно .
Рис. 1.
Рис. 2.
49

Примеры.
1. Трехчлен —х2 — Зл: -j при х = = 3 принимает
минимальное значение, равное —4 (рис. 1).
1 о и
2. Трехчлен —— х2 + Ъх при х = =3 принимает мак-
2 2 2а
симальное значение, равное 3 (рис. 2).
Знак квадратного трехчлена. Знак квадратного
трехчлена определяется следующей теоремой.
Теорема. Квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с с
действительными коэффициентами, имеющий комплексные
сопряженные корни, при всех действительных значениях х
сохраняет знак старшего коэффициента а. Трехчлен,
имеющий двукратный корень, при всех действительных
значениях х, отличных от корня, сохраняет знак старшего
коэффициента. Трехчлен, корни которого действительны и
различны, при всех действительных значениях х, меньших,
чем меньший, и больших, чем больший из корней, сохраняет
знак старшего коэффициента а, а при значениях х,
заключенных между корнями, имеет знак, противоположный
знаку коэффициента а.
В самом деле, если квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с
с действительными коэффициентами имеет комплексные
сопряженные корни х± = а + pi и хг = а — |М, где аир —
действительные числа, то
ах2 + Ьх + с = а (х — хг) (х — х2) =
= а (х — а — pi) (х — а + РО = а [(х — а)2 + р2 ].
Отсюда видно, что при всяком действительном
значении х знак трехчлена совпадает со знаком коэффициента а,
так как выражение в квадратных скобках как сумма
квадратов действительных чисел будет всегда числом
положительным.
Если корни трехчлена действительные и равные, т. е.
хг =х2, то
ах2 + Ьх + с = а (х — хг) (х — х2) = а (х — xj2.
Множитель (х — хг)2 при всяком действительном
значении х, отличном от хг, является числом положительным.
Поэтому квадратный трехчлен при всех действительных
значениях х, отличных от xv будет сохранять знак
коэффициента а.
50

Если, наконец, корни хг и х2 квадратного трехчлена
действительны и различны, то примем, что хх < х2. Тогда
ах'
+ Ьх + с =а(х — хг) (х — х2).
При всяком действительном значении х, меньшем хг,
а значит, и х2, оба множителя х — хг и х — х2 будут
числами отрицательными, а их произведение—числом
положительным, и поэтому трехчлен будет сохранять знак
коэффициента а. При всяком действительном значении х,
большем х2У а значит, и х1У оба множителя х — х± и х — х2
будут числами положительными, следовательно, и их
произведение будет числом положительным. Поэтому трехчлен
будет сохранять знак коэффициента а. При всяком
действительном значении х, большем х1 и меньшем х2,
множитель х — хг будет числом положительным, а х — х2 —
числом отрицательным; произведение (х — xj (х — х2)
будет числом отрицательным, и поэтому знак трехчлена
будет противоположен знаку коэффициента а.
Примеры:
1. Трехчлен х2 + 2х + 2 имеет корни xi = — 1 + i, х* =
= — 1 — L
При всяком действительном значении х трехчлен сохраняет
знак старшего коэффициента, т. е. является числом положительным
(рис. 3).
2. Трехчлен — х2 + 2х — 1 имеет двукратный корень хх =
= х2 = 1; при всяком действительном значении х, отличном от 1,
он сохраняет знак старшего коэффициента, т. е. является числом
отрицательным (рис. 4)-
У!
+ 4 . 5-
4 4 41
4 4 Л 4-
4 4 4%
+ + + \ ?-
4 4 4 4 \
¦ 4 4 + Л 2J
4 4 + 4 4\ У
4 + + 4 4 + ***^+].
44 44J-+44 +
У>0
-3 -2 -7 0
Ч-
[
йк,' 4
1+4
L 4 +
/+ + +
/ + + +
/* + + 4
4 4 4 *
+ + + +
+ + + 4
+ + + 4
/ Y
3
~~Т
У\
-2 -1 0
:"/
3
2
¦1
-7
-2
-з
J 3 4
X У* 0.1
V::
Л
Рис. 3.
Рис. 4.
51

3. Трехчлен х2 — х — 2 имеет корни хг = — 1, дг2 = 2; при
всяком действительном *, для которого х < хх или л: > л:2, трехчлен
сохраняет знак старшего коэффициента, т. е. является числом
положительным, а при хг < х < х2 он имеет знак, противоположный
знаку старшего коэффициента, т. е.
является числом отрицательным
(рис. 5).
Результаты исследований
квадратного трехчлена над полем
действительных чисел будут
использованы нами при изучении неравенств
второй степени с одним
неизвестным (см. главу VIII).
§ 4. Двучленные уравнения
* * \
+ + + у
-3 -2 -Г
3
2
1
i-0
X
-р
i
х2
<ш^У
i * *
=2/1*/?
42 3 и\
Рис, 5.
Двучленным уравнением п-й
степени называется уравнение
вида
(1)
ахп -f b = 0,
где п — натуральное число и а Ф О*.
Разделив обе части уравнения (1) на отличное от 0
число а и обозначив = <7, мы получим уравнение
а
*" —<7=0f (2)
равносильное уравнению (1).
Рассмотрим теперь уравнение (2). Его решениями будут
значения х = -\Tq".
Следовательно, решение уравнения хп — q = О сводится
к извлечению корня степени п из числа q.
Если q Ф 0, то y^q имеет п различных комплексных
значений и, следовательно, уравнение (2) имеет в поле
комплексных чисел п различных решений. Если же q = 0, то
уравнение (2) имеет я-кратное решение х = 0.
Действительно, в этом случае уравнение (2) имеет вид хп = 0. Его
можно записать так: х • х • х ... х=0. Приравняв нулю
каждый из п сомножителей левой части уравнения, получим п
уравнений х =0, л; = 0, ..., х = 0, решение каждого из
которых будет решением уравнения хп = 0.
* Уравнение ахт + Ъхп = 0 также двучленное. Если т > п, то
его можно записать так' хп (ахт~п + Ь) = 0 и его решение
сведется к решению уравнений хп => 0 и ахт"п + 6 = 0.
52

Следовательно, решение х =0 повторяется п раз и,
значит, оно является л-кратным решением уравнения (2).
Заметим, что когда известно одно из значений |/q,
то решение уравнения (2) сводится к решению уравнения
уп — 1 = 0.
Действительно, пусть х0 — одно из значений -/'q.
Заменив в уравнении (2) неизвестное х новым неизвестным у,
связанным с х равенством
х = х0у,
получим уравнение
xnQy»-q = 0.
Отсюда, разделив обе части уравнения на х" = q Ф 0,
получаем:
ул — 1=0. (3)
Решениями уравнения (3) являются значения корня л-й
степени из 1. Найдя эти значения и умножив каждое из
них на х0, получим все п решений уравнения (2). В
частности, если свободный член q уравнения (2) является
отличным от нуля действительным числом, а а
—арифметический корень я-й степени из абсолютной величины | q \
свободного члена уравнения, то уравнение (2) можно
записать так:
хп — ап = 0, если q > 0, (4)
или ^ w
хп -}- ап = 0, если q < 0. (5)
Положим х = ш/ и заменим в каждом из последних
уравнений неизвестное х новым неизвестным у, получим
уравнения:
а"у2 — а* = 0, (6)
а'у1 + аЛ = 0- (7)
Отсюда, разделив обе части уравнений на ап Ф 0,
будем иметь уравнения
у-1=0, (8)
у"+1=0. (9)
Следовательно, чтобы решить уравнение хп — 9=0,
в котором свободный член q — отличное от нуля
действительное число, надо найти все решения уравнения уп — 1 =
= 0, если q > 0, или уравнения уп + 1 =0, если q < 0,
53

и каждое из этих решений умножить на арифметическое
значение корня /г-й степени из абсолютной величины | q |
свободного члена этого двучленного уравнения.
Перейдем теперь к решению уравнений
уп—\ =0, уп+\ =0.
Элементарными способами эти уравнения решаются лишь
при некоторых частных значениях показателя п. Мы
рассмотрим случаи п = 2, 3, 4, 5, 6, 8.
1. п = 2. Имеем уравнения
1, у2 = U
Их можно записать в виде произведений
(y-i)(y2+y + i) = o,
(y+i)(y2-y + i) = o.
Таким образом, решение первого из заданных
уравнений сводится к решению уравнений у—1=0 и у2+у+1=0,
а второго — к решению уравнений у-{-1=0 и у2—у-[-1=0.
Решив последние, находим для уравнения у3—1=0:
У1=1. У2 = ^—. Уз = 2
а для уравнения у3 + I = 0:
ух = —1, у2 = , у3=—^ .
у2—1 =
Решениями первого из
=0, у2+1 =0.
них являются
решениями второго ух = —г, у2 = t.
2. п = 3. Имеем уравнения
у3—1 =
0, уЗ + 1=о
Ух =
3. /г = 4. Имеем уравнения
у4_1=0, у4+1=0.
Уравнение у4 — 1=0 запишем так:
(y2-i)(y2 + i) = o.
Следовательно, решение уравнения у4 — 1 =0 сводится
к решению уравнений у2 — 1=0 и у2 + 1 = 0. Решив их,
находим решения уравнения у4— 1 =0:
Ух = It У2 = — 1> Уз = U у4 = — i.
54

Для того чтобы решить уравнение у* -f-1 = 0,
дополним левую часть его до полного квадрата, прибавляя к
ней и вычитая из нее 2у2. Получим:
У4 + 2у2 + 1 — 2у2 = 0,
или
(у2+1)2-(К2^)2 = 0,
или, наконец,
(y2 + yj/^+l)(y2-y]^ + l) = 0.
Отсюда вытекает, что решение уравнения у4 -|- 1 = О
сводится _к решению уравнений у2-|-уК2 -J- 1=0 и
у2 — у/2"+1=0.
Решив их, находим:
1^2"/ 1 i -ч
У* = "2" (—1+0-
4. я = 5. Имеем уравнения
у5 — 1 = 0, у*+1=0.
Левую часть уравнения tf> — 1=0 можно представить
в виде
(y-i)(y*+y8+y4-y + i) = o.
Отсюда видно, что решение уравнения уь — 1 = 0
сводится к решению уравнений
У-1 = 0, (10)
У* + У" + УЧ-У + 1=0. (11)
Решением уравнения (10) является уг =1.
Рассмотрим теперь уравнение у4 + уъ + у2 + у +
+ 1=0. Множеством допустимых значений неизвестного
является поле комплексных чисел. Исключим из этого
множества число нуль, т. е. будем считать допустимыми для
у произвольные, отличные от нуля, комплексные значения.
При зтом не произойдет потери решений: легко проверить,
что значение у =0 не является решением уравнения (11).
Выражение — имеет смысл и отлично от нуля при всех до-
55

пустимых значениях неизвестного у, и поэтому в силу
второй теоремы о равносильности уравнений, умножив обе
части уравнения (11) на — » мы получим
равносильное ему уравнение
У2 + У+1+у+^ = 0. (12)
Уравнению (12) равносильно уравнение
(у2 + 2 + 1) + (у + ^)-1=0,
которое мы запишем так:
("+7)"+(»+7)-1-а
Положив У Л—— г> приведем это уравнение к виду
г2 +z—l=0. (13)
Решениями последнего уравнения являются
-1-1Л5 , _ -1+V5
Подставив в равенство (13) вместо z найденные
значения zx и г2, получим уравнения
, + ±_=Ц13, (14)
Так как у не может быть равным нулю, то уравнения
(14) и (15) равносильны соответственно уравнениям
У2 +1 = о-^ У> У2 + 1 = ir— У,
а следовательно, и уравнениям
55

Решив последние два уравнения, будем иметь:
— l—j/T , . 1Ло —2"lT5
У2,з = т-1 ± i
4 ~ 4
-1+У5 . . Кю+2У5
У4,5= ±1-
4 — 4
Таким образом, решениями уравнения уь — 1 =0
являются:
, _1_ут . }Ло —21Г5*
Ух=1, У2 = ^ * ^ .
— \—У~ь , . 1Ло — 2"j/T
Уз = ; Г t
У4
2 ' 4
— 1+УЧГ . 1Ло + 2 У"5
Уб =
4 4
Уравнение г/6 + 1 = 0 легко сводится к уже
рассмотренному уравнению уъ — 1 =0. Действительно, заменив
в уравнении уъ + 1 =0 неизвестное у через г =—#,
получим (—г)5 + 1=0, или г5 — 1 =0.
Отсюда делаем вывод, что решениями уравнения уъ +
+ 1=0 являются решения уравнения уъ — 1 =0,
взятые с противоположными знаками.
Заметим, что эти рассуждения справедливы для всех
двучленных уравнений у11 — 1=0 и ул -|- 1 = 0, в которых
показатель п — нечетное число.
5. п = 6. Имеем уравнения
у6—1 =0, ув + 1 =0.
Уравнение у6 — 1 =0 можно записать так:
(У3-1)(У3+1) = 0,
и, следовательно, решение его сводится к решению
уравнений
уз_1=о и у3+1=0.
Корни этих уравнений нам уже известны.
Уравнение у6 + 1 = 0 можно записать в виде
57

(y2+i)(y4-y2 + i) = o,
и, значит, решение его сводится к решению уравнений
У2+1=0,
У4 — У2 + 1 =0.
Для первого из них, как известно, уг = ?, у2 = — и
Чтобы решить уравнение у4 — у2 + 1 =0, заменим в нем
неизвестное у новым неизвестным z, связанным с у
соотношением z = у2\ тогда получим уравнение
г2 — z + 1 =0.
Его решениями являются:
z1 — 2 , Z2 — 2
Подставив в равенство у2 = z вместо z его значения
zx и z2, получим:
__ 1-<уТ 2 _ i + tVT
У — 2 * У "" 2
Отсюда
УЗ,4 = ± У —^-, У5,6 = ± "J/ -^/-,
или
Итак, уравнение у* +1 =0 имеет корни
yi = '. Уг = —'» Уз = y (J^~— 0.
у*«-j(V3--'). у5 = }(Кз+0, ye=-i(j/3 + 0.
6. /г = 8. Имеем уравнения
/ — 1=0, у8 + 1 = 0.
Первое из этих уравнений можно записать так:
(У4-1)(У4+1) = 0,
58

и, следовательно, корнями его будут известные уже нам
корни (и только они) уравнений
у4—1 =0, у4+1 =0.
Уравнение у8 +1 =0 можно записать в виде
(У4+1)2—2у*=0, или (y4 + K2>+l)(y4 — ]/Ty2+l)=0,
поэтому нужно рассматривать уравнения
у4 + 1/*2"у2 + 1 =0, у4 — К2~у2 +1 = 0.
Положив в этих уравнениях у2 = 2, получим
г2 + /2~2 + 1 =0, z2— VTz+1 = 0.
Первое из них имеет решения?
2! = -^ (1+0, «а "^(1—0;
решениями второго являются:
23=^(1+0. 24 = ^f(l-0-
Подставляя в равенство у2 = z вместо z его значения
zlf z2, z3,z4, получаем уравнения
у2 = -*у-<1+0. у'= -^(1-0.
/=^(1+0. у'-^а-о.
решив которые найдем корни уравнения у8 + 1 = 0:
уы = ± {(/2^7? - * yT+Ff),
у** = ± {(V2=7T +tУЩУТ),
у5)в = ± {(VWTT+*•yl^TF),
Подобным образом можно решить уравнения г//г — 1=0,
у» + 1 =0 и при некоторых других значениях
показателя /г.
59

Пример. Решить уравнение *4 + 64 = 0.
Чтобы найти корни этого уравнения, достаточно
арифметическое значение у64, т. е. 2 V 2, умножить на каждый из корней
уравнения у* + 1 = 0. Следовательно, корнями уравнения
я4 + 64 = 0 являются:
xi = 2 (1 - i), *2 = 2 (1 + 0. *s = - 2 (1 + 0, Ч =
« — 2 (1 — 0.
§ 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся
к квадратным
Трехчленным называется уравнение вида
ахР + Ьх^ + схг = 09 (1)
где р, q,r — целые неотрицательные числа, а коэффициенты
а, Ъ, с — числа, отличные от нуля.
Будем считать, что р > <7 > г, и запишем уравнение
(1) в виде
хг {ахР~г + ЬЯ-* + с) = 0.
Обозначив р — г = т, q — г = л, будем иметь
xr(axm-\-bxn + c) = 0.
Отсюда видно, что уравнение (1) имеет г решений,
равных нулю, и, кроме того, его решениями являются решения
(и только они) уравнения
axm-\-bxn + c = 0. (2)
Следовательно, решение трехчленного уравнения (1)
сводится к решению трехчленного уравнения (2).
Трехчленные уравнения вида (2) решаются
элементарными способами лишь в некоторых отдельных случаях.
В частности, если в этом уравнении т = 2п, т. е. если
оно имеет вид
ах2п -J- Ьхп + с = 0, (3)
то подстановкой хп = у оно приводится к квадратному
уравнению
ay2-\-by-\-c = 0.
Отсюда
— Ь — Vb2 — Аас __ — Ь + Vb2 — Аас
60

Подставив в равенство хп = у вместо у его значения
ух и у2, получаем двучленные уравнения п-й степени:
хп = -ъ-У?Г=^ ^ хП = — fr + i^gr=T45b ^ (4)
2а 2а
Решив, если возможно, эти двучленные уравнения, мы
найдем все решения трехчленного уравнения (3)*.
Трехчленное уравнение ах2п-\-Ьхп-\-с = 0, у которого п = 2
и которое, следовательно, имеет вид
ax± + bx2 + c = 0, (5)
называется биквадратным (дважды квадратным)
уравнением. Решения биквадратного уравнения (5) находятся из
уравнений (4), в которых, надо положить, п = 2, т. е. по
формуле
х=± Л[-Ь±УТ^?_# (6)
V 2а
Исследуем решения биквадратного уравнения с
действительными коэффициентами. Не теряя общности, будем
считать, что старший коэффициент а > О**.
Случай 1. Ь2 — 4ас < 0. Из формулы (6) видно,
что в этом случае все четыре решения биквадратного
уравнения мнимые.
Случай 2. Ь2 — 4ас = 0. Решения биквадратного
уравнения попарно равны. Все они мнимые, если b > 0,
и действительные, если Ъ < 0.
Случай 3. Ь2 — Аас > 0. Все решения биквадратного
уравнения действительные, если — Ь ± Vb2 — Аас < 0, и
мнимые, если — b ± Vb2 — 4ас < 0. Если же — b +
+ Vb2 — Aac > 0, а —b — Vb2 — 4ас< 0, то два решения
уравнения действительные, а два — мнимые.
* В элементарной алгебре изучаются лишь такие трехчленные
уравнения, которые приводятся к квадратным, и в большинстве
учебников трехчленными называются именно уравнения вида
ах2П +Ьхп + с = 0.
** Если а < 0, то вместо уравнения а*4 + Ьх2 + с = 0 можно
рассматривать равносильное ему уравнение —ах* — Ьх2 — с = 0,
старший коэффициент которого —а положителен
61

Пример. Решить уравнение
36л* _ 13*4 +i = o.
Положив я4 = у, имеем
36г/2 — 13г/ Н- 1 = 0.
Отсюда
1 1
Подставив в равенство я4 = у вместо у его значения ух и у2,
получаем двучленные уравнения
*4 — — = 0, *4 — — = 0.
4 9
Решениями этих уравнений являются решения уравнения у4— 1=0,
умноженные соответственно на арифметическое значение *i / _L ,
VT \ГТ УЗ"
равное —^— , и арифметическое значение [/ -д-, равное -^—.
Следовательно,
___ УТ УГ У 2~. У 2~ .
#1 — 9 ' ^2 ¦"" 9 » %3 =а о *' #4 ==3 о~ *
_ уг уг _ уз". __ уз".
#5 ~"~ о » Xq ==а о~" » -^7 — о~~ *> Xg •— о '•
§ 6. Симметрические уравнения
Уравнение вида
axn + bxn-1 + cxn~2 + ... + 6X2-\-bx-\-a = 0, (1)
в котором коэффициенты членов, равноудаленных от
начала и конца, равны, называется симметрически ж*.
Симметрическое уравнение имеет следующее свойство:
если отличное от нуля число а является его решением, то
обратное ему число — также будет его решением.
а
Действительно, если
аап -f- ba11"1 -f can~2 -f... -f со? -J- ba -f- a = 0, то и
"(±Г+»иГ+«(тГ+"+'Ш,+»в+
с + ba + са2 + . . . + сап~2 + Ьа"-1 + аап п
-J- а = —! ! ! ! ! = 0.
* Часто говорят также симметричным, или возвратным.
62

Будем считать, что в уравнении (1) коэффициент а Ф О*.
Тогда х = 0 не будет решением этого уравнения, так как
при х = 0 левая часть его равняется а. Поэтму, не теряя
корней уравнения (1), исключим из множества допустимых
значений неизвестного число 0. Будем считать допустимым
для х произвольные, отличные от нуля комплексные
значения.
Симметрическое уравнение (1) может быть как четной,
так и нечетной степени.
Рассмотрим сначала симметрическое уравнение четной
степени. Пусть п = 2k. Тогда уравнение (1) запишется так:
ax2k + bx2*-1 + cx2k~2 +... + lxk+1 + fx* + Ix*-1 -f-
+... + cx2 + bx -fa = 0. (2)
Умножив обе части уравнения (2) на выражение —, опре-
хк
деленное и отличное от нуля при всех допустимых
значениях х, и сгруппировав попарно его члены,
равноудаленные от начала и от конца, получим равносильное ему
уравнение
+ ...+ /(* + 7)+f = 0- (3)
Введем новое неизвестное у, связанное с неизвестным х
соотношением
. 1
* = *+!•
Тогда
* Если в уравнении (1) а = 0, но Ь Ф 0, то она будет иметь
вид: bxn~l + схп~2 + . .. + сх2 + Ъх = 0. Тогда его можно записать
так: х (Ьхп~2 + схп~3 + . . . + сх + Ь) = 0, и решение уравнения (1),
таким образом, сведется к решению симметрического уравнения
Ьхп~2 + схп~д + • • • + сх + ^ = 0» в котором старший коэффициент
63

+*^г+?-(*'+?)+*(хМ+^) +
~ 1.2 I ^ лг*-« /~
Отсюда находим, что
* + ± = y, *2+-\- = у»-2, r"+J- = y»-3y
И Т. Д.
Воспользовавшись этими соотношениями, заменим в
уравнении (3) неизвестное х новым неизвестным у\ тогда
получим уравнение степени k от неизвестного у следующего
вида;
aiyk-i _|_ ^ум +... + а^гу + а* = 0.
Полученное уравнение имеет степень в два раза меньшую,
нежели первоначальное. Отыскав, если возможно, решения
этого уравнения yl9 y2, ...yyk и подставив их поочередно
вместо у в равенство х-\ = у, получим k уравнений
относительно неизвестного х:
Так как л: не может равняться нулю, то, умножив обе
части каждого из уравнений х-\ =yi(i=li 2, ..., k)
на х и перенеся в каждом из них все члены в левую
часть, получим соответственно равносильные им
квадратные уравнения
x2 — yix-\-\ = 0 (i = 1.2,...,ft). (4)
Решив уравнения (4), найдем все 2k решений
симметрического уравнения (2).
Рассмотрим теперь симметрическое уравнение нечетной
степени. Пусть в уравнении (1) показатель п =2k+ 1.
Тогда оно запишется так:
ах2**1 + bx2k + сх2к~г +... + lxk+l -j- lxk +...
...-\-cx24-bx-\-a = 0. (5)
64

Сгруппировав попарно члены уравнения,
равноудаленные от начала и от конца, и вынеся за скобки общие
множители, будем иметь:
a(x^1+l) + bx(x^1 + l)+cx*{x*k-*+l) + .. .
... + /^(jc+1) = 0. (6)
Так как
X2m+l _|_ I = (д,_|_ 1) (*««_ X2m-1 + х2т-2 _ # # . _ * 4~ 1),
то, поделив левую часть уравнения (6) на (л: 4* 1), получим
частное следующего вида:
ax2k — ax2k~l + ax2k~2 — ... -f ax2 — ax + a + fo;2*-1 —
— 6jc2*-2 + ... — fa8+ 6*4-<***-* + ...+ C*2 4»
+ /**.
После приведения подобных членов это частное будет
выражением, в котором коэффициенты членов, равноудаленных
от начала и от конца, равны, т. е. будет иметь вид:
ax2k + fc^2*-1 + Clx2k'2 +... + сгх2 + М + ^
Следовательно, уравнение (6) можно записать так:
(x+l)(ax2k + b1x2k-l + c1x2k-2 + ... + c1x2 + b1x-\'a) = 0.
(7)
Отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет решение х =
= — 1 и что для определения всех других его решений
достаточно решить симметрическое уравнение
ax2k + bxx2k-i + qx2*-2 +... + схх2 + Ьхх + а = 0.
Таким образом, решение симметрического уравнения
нечетной степени сводится к решению симметрического
уравнения четной степени.
Рассмотренные нами симметрические уравнения
иногда называют симметрическими уравнениями первого рода.
Уравнение вила:
ax2k + bx2k^ + cx2k~2 4-... + dxk+l + ex* — d*k~l + • • • +
4-(— l)*-1 foc-M— l)*a = 0 (8)
называется симметрическим уравнением второго рода.
Решаются такие уравнения тем же методом, что и симметри-
65

ческие уравнения четной степени первого рода, но новое
неизвестное у связывают с неизвестным х соотношением
1
у = * .
X
Пример. Решить уравнение
xi _|_ 2*6 — б** — 13*4 __ 13*з _ 5*2 + 2* + 1 = 0.
Одно решение этого уравнения известно: х\ = — 1. Разделив
левую часть уравнения на * + 1 и приравняв найденное частное
нулю, получаем для определения всех других решений
симметрическое уравнение
хь + хь _ е*4 — 7х3 — б*2 + * + 1 = 0.
Разделим обе части этого уравнения на *3 и сгруппируем
попарно члены, равноудаленные от начала и от конца. Тогда будем иметь
уравнение
Произведя в нем подстановку у = х -) , найдем
*
У8 + Уа — 9у — 9 = 0,
или
(У + 1) (У2 — 9) = 0.
Отсюда
у1=3 —1, у2 = 3, Уз = — 3.
Для определения * имеем уравнения
х2 + х + 1 ¦= 0, х2 — 3* + 1 = 0, х2 + Зх + 1 = 0,
решив которые, находим:
_ — 1 ± i УГ _ Ъ±УТ — з±Т/Т
*2,3~" 2 ' *4.5~~ g ' ^6.7 = 2 '
§ 7. Алгебраическое уравнение /г-й степени
с рациональными коэффициентами
Общих алгебраических методов решения
алгебраических уравнений степени п > 4, как мы знаем, не
существует. Поэтому нахождение для таких уравнений даже
отдельных решений — задача, вообще говоря, довольно трудная.
Однако рациональные корни алгебраических уравнений с
рациональными коэффициентами находятся довольно
просто, без больших вычислений.
66

Приступая к изучению метода нахождения этих
решений, заметим прежде всего, что всякое алгебраическое
уравнение
а0хп + а^"-1 + ... + ап_гх + ап = 0 (1)
с рациональными коэффициентами можно заменить
равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами.
Действительно, если коэффициенты уравнения (1)
рациональные, но не все целые, то, умножив обе части
уравнения на k — общее кратное знаменателей его
коэффициентов, — получим равносильное ему уравнение
aQkxn -\- alkxn"1 + • • • + <V-i&* + ank = 0 (2)
с целыми коэффициентами.
Отсюда вытекает, что задача нахождения рациональных
корней уравнения (1) с рациональными коэффициентами
сводится к задаче определения рациональных корней
уравнения (2) с целыми коэффициентами. Поэтому мы
ограничимся рассмотрением лишь уравнений с целыми
коэффициентами.
Изучим сначала вопрос о целых корнях уравнения с
целыми коэффициентами.
Теорема. Если целое число а является решением
уравнения
а0хп -|- а^х71-1 + а2хп~2 +... + ап_гх + ап = 0 (3)
с целыми коэффициентами, то свободный член ап этого
уравнения делится на а.
Доказательство. Действительно, если целое
число а является решением уравнения (3), то
а0ап -|- ахап-г -f- a2an~2 -[-...+ ап_ха -\- ап = 0.
Отсюда
ап = а (— а0 а"-1 — агап~2 —... — ап„г).
Так как а и коэффициенты а0, av a2t ...,ап — целые
числа, то и частное — а0ап"г — а1ап"2 — ... — ап_г от деления
ап на а есть целое число, а это и означает, что ап
делится на а.
Эта теорема означает, что делимость свободного члена
ап уравнения с целыми коэффициентами на целое число a
является необходимым условием того, чтобы а было
решением этого уравнения. Следовательно, если уравнение с
67

целыми коэффициентами имеет целые решения, то их нужно
искать среди делителей свободного члена этого уравнения.
Надо испытать все делители свободного члена, как
положительные, так и отрицательные*. Если ни один из них не
удовлетворяет уравнению, то оно не имеет целых корней.
Если свободный член уравнения имеет большое число
делителей, то проверка всех их может оказаться довольно
громоздкой. Следующее замечание позволяет сократить
число проверок.
Пусть / (х) — многочлен, стоящий в левой части
уравнения (3), т. е.
/ (х) = а0хп + axxn-i +... + ап^х + ап.
Так как 1 и —1 всегда являются делителями свободного
члена, то прежде всего вычислим / (1) и Д— 1). Если целое
число а является корнем уравнения (3), т. е. / (а) = 0, то
f (х) = (х - а) ф0х«~* + Ьгх*-* +. .. + 6,-2*+ &n-i),
q(x)
где 60, 6lf 62,..., &„__! (как это видно из схемы деления
многочлена на двучлен) — суть целые числа, и поэтому
частные
fCL-,(i) и *?!> — ,(_ 1)
1 —а 1 +а
должны быть целыми числами.
Таким образом, из отличных от 1 и—1 делителей
свободного члена испытанию подлежат лишь те, для каждо-
го из которых оба частных -L1-L и ——- являются це-
^ 1—а 1+а
лыми числами.
Этим замечанием пользуются для отбора делителей,
подлежащих испытанию, как правило, тогда, когда числа
/ (1) и / (—1) отличны от нуля. Если же хотя бы одно из
них, например / (1), равно нулю, то левая часть уравнения
(3), т. е. многочлен f (лг), делится на х — 1 и его можно
записать так: (х — 1) . q (х) = О, где q (x) — многочлен с
целыми коэффициентами. Найдя все целые решения урав-
* При испытании делителя а свободного члена значение
левой части уравнении (¦ е многочлена) при х = а лучше вычислять,
используя меч од Гор пера.
68

нения q (x) =0 и присоединив к ним решение х = 1,
будем иметь все целые решения уравнения (3).
Пример. Найти целые корни уравнения
хз _ Х2 _ 5* + 6 = 0.
Имеем: / (1) = 1, / (—1)= 9. Значит, 1 и —1 не удовлетворяют
уравнению. Делителями свободного члена являются числа ^1,
^2, ±3, ±6\ Оба частные
ДИ = _±- п^-1)^ 9
1 —а 1 —а 1 +а 1 +а
будут целыми числами лишь для делителя а = 2. Следовательно,
испытанию подлежит лишь делитель 2. Непосредственной
проверкой устанавливаем, что х = 2 является корнем заданного
уравнения.
Рассмотрим теперь вопрос о дробных корнях.
Теорема. Если уравнение
хп + а^"-1 + а2хп~2 -[-... + ап^х + ап = 0 (4)
с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого
равен единице, имеет рациональный корень, то этот корень
является целым числом.
Доказательство. Предположим, что
уравнение (4) имеет корнем несократимую дробь —. Тогда имеет
Я
место равенство
Умножив обе части этого равенства на qn"1i будем
иметь:
- + Wn-1 + **Рп-2Я + • • • + Ял-iW1-2 + ajr*= 0.
Отсюда
р- = — а^*"1 — а2рЛ-2^ — ... — an^pqn"2 — fl^1-1.
Такое равенство невозможно, так как правая его часть
есть число целое, а левая — несократимая дробь.
Следовательно, предположение, что уравнение (4)
имеет корнем несократимую дробь — , приводит к противоречию
Я
и, значит, оно неверное.
69

Из этой теоремы вытекает, что уравнение с целыми
коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице,
не имеющее целых решений, не имеет и дробных решений.
Предположим теперь, что нам надо найти рациональные
корни уравнения
а0хп + а^"1 +... + a„-i* + ап = 0 (5)
с целыми коэффициентами. Умножим обе части этого
уравнения на а^"1, получим равносильное ему уравнение
а- х- + a1a»-i *"-* +... + а^а"-* х + апа^ = 0. (6)
Заменив в уравнении (6) неизвестное х новым
неизвестным у, связанным с х соотношением у = а0ху будем иметь
уравнение с целыми коэффициентами и старшим
коэффициентом, равным единице:
уп + air-i +... + а^а"-* у + апа^ = 0. (7)
Все рациональные корни этого уравнения, если они
существуют, будут целыми числами. Следовательно, искать
их надо среди делителей свободного члена апап~1.
Найдя все целые корни уравнения (7) и подставив их
поочередно вместо у в соотношение х =—, найдем все
«о
рациональные корни уравнения (5).
Пример. Найти рациональные корни уравнения
2*4 — З*8 — 10а:2 + 2х + 3 = 0. (8)
Умножив обе части уравнения на 23 и положив у = 2х9 будем
иметь:
у* _ 3t/3 - 20*/2 + 8у + 24 = 0. (9)
Найдем целые корни уравнения (9). Имеем: / (1) = 10, / (—1) =
= 0. Следовательно, у = — 1 является корнем уравнения (9),
и поэтому оно запишется так:
(У + 1) (У3 - 4*/2 - 16г/ + 24) = 0.
Найдем целые корни уравнения
У3-4у2- 16у + 24 = 0.
ш 1 }
Имеем: q (1) = 5, q (—1) = 35; делителями свободного члена
являются числа: ±1; ±2\ ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24.
70

Частные
±Qle JL и *Ы2- JL
1—a I —a 1 +a 1 +a
оба будут целыми числами лишь для делителя 6. Следовательно,
испытать надо лишь делитель a = 6. Испытание показывает, что
1/2=6 является корнем уравнения (10).
Итак, уравнение (9) имеет целые корни:
У1--1. У2 = 6.
Рациональными корнями уравнения (8) будут:
1 2 2 * 2 2
Таким образом, мы всегда можем найти рациональные
корни алгебраического уравнения с рациональными
коэффициентами.
Найдя рациональные корни av a2, ,.., ak уравнения
f(x) = 0 степени п, мы записываем его в виде
(х — aj(x — a2) . . .(* — ak)p(x) = 0.
Для нахождения остальных корней уравнения f(x) = 0
остается решить уравнение р(х) = 0 степени п — k.
Так, например, уравнение (8), имеющее рациональные корни
Xl => f *2 a 3, запишется так:
Для того чтобы найти два других его корня, нужно решить
квадратное уравнение
х* + х — 1 = 0.
§ 8. Частные приемы решения уравнений высших степеней
Мы ознакомились с методами решения алгебраических
уравнений некоторых типов. Безусловно, множество всех
алгебраических уравнений не исчерпывается уравнениями
этих типов. Есть много уравнений, не принадлежащих ни
к одному из рассмотренных типов. Некоторые из них можно
решить, применяя различные приемы, основанные на
использовании индивидуальных свойств уравнений. Эти
приемы нельзя предусмотреть общей теорией. Рассмотрим лишь
некоторые из них на примерах.
Наиболее употребительными приемами являются
различные искусственные замены неизвестных, а также разло-
71

жение левой части уравнения на множители. Как уже
известно, если левая часть уравнения F (х) =0 представляется
в виде произведения множителей
F{x) =^ {х) F2(x) ... Fk (x),
отличных от постоянных чисел, то решение
уравнения F (х) = 0 сведется к решению уравнений F, (х) = 0,
F2 (х) = 0, ..., Fk (x) = 0, степень каждого из которых
ниже, чем степень первоначального уравнения.
Примеры.
1. Решить уравнение: х3 4- 4х2 4- 6* -Ь 3 = 0.
Разложим левую часть уравнения в произведение множителей:
Xs + Ах2 + 6* + 3 = (х'л + За:2 + Зх + 1) + (х2 + 2х +¦ 1) +
+ (х + 1) = (х + I)3 + (* + I)2 + (х + 1) = (дг + 1) К* + I)2 +
+ (л: + 1) + 1] = (х + 1) (х2 + 2>х + 3).
Заданное уравнение запишется так:
(х + 1) (х2 + Зх 4- 3) = 0,
и, следовательно, решение его сведется к решению уравнений
* + 1 = 0, х2 + Ъх + 3 = 0, откуда
3 . 1/Т 3 , 1/У
2. Решить уравнение: х4 — 8л: -f- 63 = 0.
Заметив, что 63 — 82 — 1, запишем уравнение так:
X4 _|_ 82 _ 8jc _ ! = 0
Прибавив и вычтя из его левой части 16л:2, будем иметь
(х4 + 16л:2 + 82) — (16л:2 + 8л: + 1) = 0, или
(х2 + 8)2 - {Ах + I)2 = 0.
Следовательно, заданное уравнение можно записать в виде
[(х2 + 8)+ (Ах + 1)| К*2 + 8) - (4* + I)] = 0,
и поэтому решение его сводится к решению уравнений
л:2 -+- Ах + 9 = 0, х2 — Ах + 7 = 0.
Отсюда
3. Решить уравнение
1 — *3 = 1 — х
1 — а3 ~~ 1 — а
, где аф 1.
72

Умножив обе части уравнения на 1 — а3, получим
равносильное ему уравнение
(1 - *3) - (1 4- а + а2) (1 - х) = О,
которое можно записать так:
(1 - х) |(1 + х + х2) — (1 + а + а2)] = 0.
Отсюда вытекает, что решение заданного уравнения сводится
к решению уравнений
1 — х = 0, (1 + х + х2) — (1 + а + а2) = 0,
т. е. уравнений
1 — х = 0 и х2 + х — (а2 + а) = 0.
Очевидно, что второе из них имеет корень х = а и потому
левая часть его делится на х—а. Частное от деления левой части х2 +
-f- х — {а 2 + а) этого уравнения на х — а равно х + а + 1.
Следовательно, это уравнение можно записать так:
(х — а) (х + а + 1) = 0,
и, значит, решение его сведется к решению уравнений
jc - о = 0, Jt + о + 1 = 0.
Таким образом, решение заданного уравнения сводится к
решению уравнений
1 — х = 0, а: — а = 0, *+а+1=0.
"Отсюда
*t = 1, х2 = а, *3 = — а — 1.
4. Решить уравнение
(X2 — jc + I)4 — ЮХ2 (X2 — X + I)2 + 9JC4 = 0.
Разделив обе части уравнения на х4, получим:
(*'-;+' Г-ю( х*-хх + 1 )2+9=о.
Заметим, что при этом преобразовании множество допустимых
значений неизвестного х сузилось: х = 0 не будет уже допустимым
значением. Но корней уравнения при этом мы не потеряем, ибо
х =¦ 0 не удовлегворяег заданному уравнению.
х2 — х 4- 1
Положив = У, получим биквадратное уравнение
х
у4_ 10у2_|_9 = 0,
решение которого дает
Уь2=±1, Уз.4=:ЬЗ.
х2 х 4- 1
Подставив в равенство -L—= у значения уь уа, у3, у4,
73

получим уравнения
*2 — * + 1 , *2 — * + 1 t д:3 — Jt -Ь 1 Q *2 — * + 1 о
* * * х
Отсюда находим корни заданного уравнения:
Xi *= *2 = 1, *3 = ?, ^4 ===—I*
хъ=*2-\Гг$ *e = 2+/3, *7а=*8с=--1.
б. Решить уравнение
(х + а) (х + За) (х + 5а) (х + 7а) = Ь.
Перемножив в левой части уравнения х + а и х + 7а, а также
л: + За и х + 5а, будем иметь:
(х2 + 8а* + 7а2) (х2 + 8а* + 15а2) = Ь.
Положив х2 + 8а* = г, получим квадратное уравнение
(2 -Ь 7а2) (г + 15а2) = 6.
Найдя отсюда гх и г2 и подставив их вместо г в равенство х2 +
+ 8а* = 2, получим для определения * два квадратных уравнения:
х2 + 8ах = гх и х2 + 8а* = г2.
Другой способ решения этого же уравнения получим, положив
* + 4а = у. Тогда
х+ а = у — За, * + За = г/ — а, * + 5а = */ + а, * + 7а =
= У + За,
и заданное уравнение примет вид:
(у — За) (у — а) (г/ + За) = Ь,
т. е. г
(У2 - а2) (у2 - 9а2) = Ь.
Раскрыв скобки, приходим к биквадратному уравнению
относительно у.
6. Решить уравнение
(* + а)4 + (* -J- Ь)4 = о.
Положив 2* + а + Ь = 2у> получим уравнение
(у+—) + (у-—)-.
которое после упрощений запишется так:
2У<+12 (^f-b)2y' + 2 (^-6)4-С = 0.
Из этого биквадратного уравнения определяем ylt y2, у3, у±.
Решения заданного уравнения найдем из уравнений
2* + а + Ь = 2yt (i = 1, 2, 3, 4).
74

7. Решить уравнение
a0x2k + ax*2*-1 + a2x2k~2 + ... + ak_2xk+2 + ак_гхк+1 +
-|- akxk + ak^dxk^ + ak^2d2xk~2 + ... + axdk~^x + a^dk = 0.
Для решения этого уравнения его преобразовывают так же,
как и симметрическое уравнение четной степени первого рода, а
затем применяют подстановку
, d
У = * + —.
X
§ 9. Дробно-рациональные уравнения
Как уже известно (см. § 2 предыдущей главы),
уравнение вида
«1 (*) = Я2 М, (1)
где Rx (x) и R2 (x) — рациональные функции, по крайней
мере одна из которых дробно-рациональная, называется
дробно-рациональным уравнением с одним неизвестным.
Для решения уравнения (1) перенесем R2 (x) в левую
часть, выполним необходимые тождественные
преобразования и запишем заданное уравнение в виде
%$ = 0, (2)
где Р (х) и Q (х) — многочлены от х*.
Уравнение (2) является следствием уравнения (1).
Действительно, если х = с есть решение уравнения (1),
то Rx (с) = R2 (с). Выполним над этим равенством все те
преобразования, которые мы выполняли над уравнением
Р (с)
Rx (х) = R2 {х). Получим равенство —^ = 0, а это и
означает, что с есть решение уравнения (2).
Однако уравнение (2) не обязательно равносильно
уравнению (1). При преобразовании уравнения (1) множество
допустимых значений неизвестного х может измениться,
причем оно не может сузиться**, но может расшириться,
Р(х)
* Если известны общие делители Р (х) и Q (х), то дробь -
Q(x)
целесообразно сократить на эти делители.
** При преобразовании уравнения (1) множество допустимых
значений неизвестного сузиться не может, ибо в знаменателе дроби
не появится никаких новых множителей, кроме тех, которые уже
встречаются в знаменателях членов уравнения Rx (х) = R2 (x).
75

и тогда уравнение (2) будет иметь решения, посторонние
для уравнения (1). Это случится тогда, когда в процессе
преобразования уравнения (1) некоторые дробные
выражения взаимно уничтожаются или производится сокращение
алгебраических дробей на множители, в которые входит
неизвестное х.
Например, выполняя в уравнении
х* — 2 + —^— =23+—— (3)
х — 5 х — 5
указанные преобразования, получим
х* — 2 + — 23 — =0
х — 5 х — 5
и дальше
х2 — 25 = 0. (4)
Уравнение (4) не равносильно уравнению (3). Действительно,
оно имеет корни хх = — 5, х2 = 5. Второй из них является посто-
2
ронним для уравнения (3), ибо при х = 5 выражение не име-
х — 5
ет смысла. Произошло это потому, что при преобразовании
уравнения (3) взаимно уничтожились слагаемые
2 2
(5)
Преобразуя
получим
и дальше
Сократив
или
и -
*-5
другое уравнение
1 7х - 27 __
* —3 а:2-9 ~
1 7* — 27
х — 3 х* — 9
6л:- 18
*2-9
л бх- 18
дробь на л: —
*2-9
* + з
х-Ъ
х — Ь
l+rrv
-1 1-0
*+з
1 =0.
- 3, будем иметь
= 0,
0.
76
(6)

Уравнение (6) имеет корень х = 3, который не удовлетворяет
уравнению (5), потому что левая часть его теряет смысл при х = 3.
Следовательно, уравнение (6) не равносильно уравнению (5).
Произошло это потому, что в процессе преобразования заданного
уравнения мы сокращали алгебраическую дробь на х — 3.
Таким образом, уравнение (2) является следствием
уравнения (1), но не обязательно равносильно ему; отсюда
вытекает, что решения уравнения (1) следует искать среди
решений уравнения (2). Решениями же уравнения (2) могут быть
лишь те значения х, при которых Р (х) равняется нулю,
т. е. лишь решения уравнения Р (х) — О, и, значит,
решения уравнения (1) надо искать среди решений уравнения
Р (х) = 0.
Следовательно, для решения уравнения (1) достаточно
определить все корни уравнения Р (х) = 0 и затем путем
непосредственной подстановки их в уравнение (1) выяснить,
какие из них являются корнями заданного уравнения (1).
Изложенные нами рассуждения можно коротко
сформулировать в виде следующего правила для решения дробно-
рациональных уравнений.
Для решения дробно-рациональных уравнений
Яг (X) = R2 (X)
с одним неизвестным нужно:
1) перенести все члены его в левую часть;
2) выполнить необходимые тождественные
преобразования и записать заданное уравнение в виде
где Р {х) и Q (х) — многочлены от х\
3) решить уравнение Р (х) = 0;
4) путем подстановки решений уравнения Р (х) = 0
в первоначальное уравнение /?, (х) = R2 (x) определить,
какие из них удовлетворяют заданному уравнению.
Пример. Решить уравнение
! + ! —±- + -±-.
(х+\)(х + 2) (х + 2) (х + 3) * + 1 х + 3
Перенеся все члены в левую часть и приведя их к общему
знаменателю, получим:
— 8х2 — 28* — 24
(* + l)(* + 2M*-r-3)
= 0.
77

Приравняв числитель левой части нулю, будем иметь
уравнение
—8л;2 — 28* — 24 = О,
или
2л:2 + 7х + 6 = 0.
Отсюда
Хл =— Z - ЛГо ^— — •
2
Первое из этих решений является посторонним для заданного
уравнения, а второе удовлетворяет ему.
Заметим, что в школьной практике часто при решении
дробно-рациональных уравнений обе части заданного
уравнения умножают на общий знаменатель всех
алгебраических дробей, входящих в левую и правую части уравнения,
а затем решают полученное таким образом уравнение.
Очевидно, что полученное алгебраическое уравнение
является следствием заданного уравнения, но не равносильно ему.
Поэтому, найдя решения этого алгебраического
уравнения, надо подстановкой их в заданное уравнение определить,
какие из них будут решениями заданного уравнения.

Глава IV
ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ
§ 1. Основные задачи теории соединений
Теория соединений, или, как ее еще называют, комби-
наторика, — это раздел элементарной алгебры, в котором
изучаются некоторые операции над конечными
множествами и решаются задачи, связанные с этими операциями.
Основными из этих операций и задач являются следующие:
1. Упорядочение конечного множества. Эта операция
приводит к понятию перестановки из п элементов и к
задаче определения числа всех возможных перестановок из п
элементов.
2. Образование подмножеств данного конечного
множества, что приводит к понятию сочетания из п элементов по
k элементов и к задаче определения числа всех возможных
таких сочетаний.
3. Образование упорядоченных подмножеств данного
конечного множества, что приводит к понятию
размещения из п элементов по k элементов и к задаче определения
числа всех возможных таких размещений.
Основные проблемы теории соединений возникли и
были решены в XVI—XVIII вв. в связи с формированием
алгебры многочленов и теории вероятностей. Сейчас
комбинаторика широко применяется во многих математических
дисциплинах.
§ 2. Перестановки
Предположим, что нам дано множество М, состоящее
из п различных элементов а, 6, с, d, ..., &, /любой природы.
Упорядочим это множество, занумеровав его элементы.
79

Первый элемент множества обозначим символом а^
второй — а2, п-й — ап. Булем иметь конечную
последовательность бц, а2, ..., ап, которую называют перестановкой из
п элементов.
Итак, перестановкой из п элементов называют всякую
конечную последовательность, которая получается при
некотором упорядочении данного множества, состоящего из
п элементов. Иначе говоря, перестановкой из п элементов
называют всякое расположение данных элементов ь
некотором определенном порядке.
Если множество имеет несколько элементов, то его
можно упорядочить различными способами и, следовательно,
из данных п элементов можно образовать несколько
различных перестановок.
Так, из букв а и b можно образовать Зяв перестановки:
а, Ъ и Ь% а, а из букв а, Ь и с— шесть перестановок: а, ?>, с\
а, с, Ь\ 6, а, с\ Ь. с. а; с, а, Ь\ с, Ь, а.
Число всевозможных перестановок из п элементов
обозначают символом Рп.
Теорема. Число различных перестановок из п элементов
равно произведению последовательных натуральных чисел
от 1 до п включительно, т. е. Рп = п\.
Доказательство. Воспользуемся метолом
математической индукции. При л= 1 теорема верна,
поскольку для одного элемента возможна лишь одна перестановка.
Предположим, что она верна для (п— 1) элементов, т. е.
что Рп^ = (п — 1)1, и докажем, что тогда теорема верна
и для л элементов.
Чтобы определить число перестановок из п элементов
a, 6, с, ..., ft, /, подсчитаем сначала число перестановок из
п элементов, начинающихся каждым из этих элементов.
Если перед каждой из Р„_, перестановок из (п — 1)
элементов 6, с, ,..., ft, / мы поставим элемент а, то получим все
различные перестановки из п элементов а, Ъ, с, ..., ft, U
начинающиеся элементом а; их будет /*„_,. Аналогичным
способом находим, что каждое из чисел всех различных
перестановок из п элементов, начинающихся каждым из
элементов Ьу с, ..., ft, /, равно Р„_,.
Очевидно, что все эти различные перестановки,
начинающиеся каждым из элементов а, 6, с, ..., ft, /, исчерпывают
множество всех различных перестановок из элементов а,
b, с, ..., ft, /и поэтому Рп = пР^.
Так как, по предположению, Р„_х = (п— 1)1, то Рп =
60

= пРг„г = п(п — 1)! = п\ и, следовательно, в силу
принципа математической индукции теорема верна для всякого
натурального числа п.
Пример. Сколько пятизначных чисел можно записать
посредством цифр I, 2. 3, 4, 5, если ни одна из цифр в записи числа не
повторяется дважды^
Искомое число равно числу псех возможных перестановок из
пяти элементов, т. е. Рь = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.
§ 3. Сочетания
Пусть дано множество Л4, состоящее из п различных
элементов любой природы.
Всякое подмножество множества Мч содержащее k
элементов (k =0, 1, 2, ..., /г), называется сочетанием из
данных п элементов по k элементов.
Из определения понятия сочетания вытекает, что два
различных сочетания из данных п элементов по k элементов
отличаются составом элементов, входящих в них, т. е.
отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.
Пример. Из множества цифр 1, 2, 3, 4 можно образовать
следующие сочетания по два элемента: 1, 2; 1, 3; 1.4, 2, 3; 2, 4; 3, 4.
Число различных сочетаний из п элементов по k
обозначают символом Ck •
п
Известно, что всякое множество имеет два
несобственных подмножества. Одним из этих подмножеств является
само множество. Это подмножество является единственным
сочетанием из п элементов по п. Поэтому С"п = 1.
Вторым несобственным подмножеством является пустое
подмножество, не имеющее элементов. Поэтому считаем,
что С°п = 1.
Принято также считать, что CJJ = 1.
Очевидно, что С1п = п.
Теорема 1. Число всех сочетаний из п элементов по k
элементов, где 1 < k < я, равно произведению k
последовательных натуральных чисел, из которых наибольшим
является п, деленному на произведение первых k натуральных
чисел:
рЪ _ п{п— 1) ... (п— k+ 1)
81

Доказательство. Так как в наших
рассуждениях индивидуальные свойства элементов, из которых
образуются сочетания, не существенны, то будем считать, что
заданными п элементами являются п первых чисел
натурального ряда: 1, 2, 3, ..., п.
Предположим, что из этих п элементов образованы все
различные сочетания по (т — 1) элементов, где 1 < m < /г.
Если к каждому из этих сочетаний присоединить поочередно
(по одному) каждый из (п — т + 1) элементов, не
вошедших в него, то получим всевозможные сочетания из п
элементов по т, причем каждое из возможных сочетаний будет
повторяться т раз.
Действительно, общий вид сочетания из п элементов
1, 2, 3, ..., п по т элементов следующий:
h> h> • • • > *m
(каждое из is является одним из чисел 1, 2, 3, ..., п),
причем ни одно из этих чисел не повторяется дважды. При
описанном процессе образования сочетаний по т элементов
сочетание il9 i2, ..., im мы получили т раз:
впервые, когда к сочетанию i2, i3, ..., im присоединим iv
во второй раз, когда к сочетанию tlf t2, ..., im
присоединим i2
в m-й раз, когда к сочетанию ti, t3, •••» ^-i
присоединим im.
Таким образом, каждое из С™""1 сочетаний по (т — 1)
элементов дает (п — т + 1) сочетаний по т элементов,
и, следовательно, мы получим всего (п — т + 1) . С™"*1
сочетаний по т элементов. Но так как каждое из возможных
сочетаний по т элементов будет повторяться т раз, то
всех различных сочетаний по т элементов будем иметь
п — т + 1 пт—1
• ^»«
т п
Следовательно,
рт П — т -f- 1 рт-1
л— т п •
Эта формула верна при всяком т (1 < т < п). Поэтому,
подставляя вместо т последовательно k9 k — 1, k — 2, ...,
..., 3, 2, получим соотношения:
82

Qk = n—k-\- 1 „k—1
рЛ—2 __ /г — /г + 3 Qk—г
п и о п
„__2
п 3 л
я 2 я
Перемножив соответственно левые и правые части этих
равенств, получим:
С2С3. . . Ck~lCk=
_ /1—1 ^ я —2 /г —& + 2 ^ /г — fe-f- I rlC2Cz r>b—\
2 # 3 " # /г —1 # k п п п- - п •
Поделив обе части этого равенства на произведение
С%Р\... С*""1 и приняв во внимание, что С\ == я, будем
иметь:
4 1.2-3...* " (1)
Этим теорема доказана.
Формулу для Ckn можно записать иначе. Умножив
числитель и знаменатель дроби, стоящей в правой части
формулы (1), на произведение 1 . 2 • 3... (п — &)» получим:
С* = Ь2,„(д-й)(я-Н1)...Д = п\
п 1 .2.3 ...к- 1 .2 ... (/г — /г) /г!(я —?)l' W
ИЛИ
С* = ^—. (3)
П PkPn-k K '
Заметим, что формула (2) справедлива и для С°.
Действительно, принято считать, что 01 = 1, и поэтому
п ом
83

Пример. Найти число диагоналей выпуклого
десятиугольника.
Решение. Вершины десятиугольника образуют множество
10 точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной
прямой. Соединяя каждую пару этих точек отрезком прямой, получим
ю 1.2
отрезков, 10 из которых являются сторонами многоугольника,
а другие 35 — его диагоналями.
Теорема 2. Число сочетаний из п элементов по k
элементов равно числу сочетаний из п элементов по (п — k)
элементов, т. е.
Ck = Сп~~\
п п •
Действительно, если из данных п элементов выберем
какие-либо k элементов, то они образуют некоторое
сочетание из п элементов по k элементов. Остальные п — k
элементов образуют сочетание из п элементов по п — k
элементов.
Таким образом, каждому сочетанию из п элементов по
k элементов соответствует одно и только одно сочетание
из п элементов по (п — k) элементов, и наоборот. Поэто-
мУ с: =c-k.
Эту теорему можно доказать иначе: по формуле (3)
?k Pn-k Pn~k ^л— (л—A) rn-k rk
и, следовательно, Ckn =C"~ .
Соотношение Ckn =С"~* позволяет ускорить вычисление
числа сочетаний из п элементов по k элементов, при &> — п.
Например:
С" -<*-1^-4950.
'100 ^ 100
1 . 2
Теорема 3. Число сочетаний из п элементов по k
элементов равно числу сочетаний из (п — /) элементов по k
элементов, сложенному с числом сочетаний из (п — 1)
элементов по {k — /) элементов:
Ck f>k I /¦>& 1
п = cn_i-j- сл_1.
84

Доказательство. Разделим все сочетания из п
элементов а\, а2, . . . , ая_1, ап по k элементов на две
группы. К первой группе отнесем все сочетания из п
элементов по k элементов, в которые не входит ап. Это
будут сочетания из (п— 1) элементов av а29 ... , ап^ по k
элементов, и число их будет Cn_v Ко второй группе
отнесем сочетания из п элементов по k элементов, в
которые входит ап. Сочетания второй группы можно получить,
образовав из (п—1) элементов а^ а^, . . . , ап-1 все
сочетания по (k— 1) элементов и присоединив к каждому
из них ап. Поэтому число сочетаний во второй группе
равно С*~|. Отсюда вытекает, что
Теорему (3) можно доказать еще и так: по формуле (2)
rk 4- (n~ ])! rk-] ^ (п - 1)! __
п~1 /Щ/i — k—\)\ ' n~l (k—\)\ 1(/г—1)—(/г-lj!
(k — l)I(/i —Л)Г*
Отсюда
(П_ J)! (n — k)-\-{n- 1)16 (n- \)\{n -k+ k)
k\(n-k)\ k\(n — k)\
__ (n — 1)! n __ n\ __ ~k
k\(n — /г)! ~~ k\(n — k)\ n '
§ 4. Размещения
Возьмем любое множество /И, состоящее из я
различных элементов.
Всякое упорядоченное подмножество, содержащее k
элементов данного множества, называют размещением из п
элементов по k элементов. Из этого определения вытекает,
что два различных размещения из данных п элементов по k
элементов отличаются одно от другого или составом
элементов, входящих в них, или порядком их
расположения.
85

Пример. Из трех цифр 1, 2, 3 можно образовать следующие
размещения по два элемента:
1, 2; 2, 1; 1, 3; 3, 1; 2, 3; 3, 2.
Число различных размещений из п элементов по k
элементов обозначается символом Ак -
п
Теорема. Число различных размещений из п элементов
по k элементов равно произведению k последовательных на-
туральных чисел, из которых наибольшим является п:
А\ = п{п— 1)(л — 2)... (л— А+1),
или
рЪ = п\ Рп
(*-Л)1 Pn-k
Доказательство. Число сочетаний из п
элементов по k элементов равно С* . Из каждого такого
сочетания образуем Pk перестановок. Получим всего PkCkn
перестановок. Эти перестановки будут различными
размещениями из п элементов по k элементов. Действительно,
размещения, полученные из одного сочетания, будут
отличаться одно от другого порядком расположения своих
элементов, а полученные из двух различных сочетаний —
составом своих элементов. Так как размещениями,
полученными таким способом, исчерпывается множество всех
различных размещений из п элементов по k элементов, то
К
пи
— р ,Ck — 1.2-3 k- n(AZ~1)(/z~2) • ¦ • ("—H-l)
*' п ' ¦'• ' 1.2-3 ... k
= п(п—1){п—2) ... (/г—/г+1),
Akn =PkCk= Pk ?*— = Jjl- .
n R п я р р р
Этим теорема доказана.
В частности, при k=n всякое размещение из п элементов
по k элементов будет перестановкой из п элементов. Апп
будет равно числу перестановок из п элементов, т. е. п\.
Пример. Сколько различных трехзначных чисел можно
записать посредством цифр 1. 2, 3, 4, 5, если ни одна из цифр в записи
числа не повторяется дважды?
86

Решение. Искомое число равно А\ = 5 • 4 • 3 =60,
В перестановках, сочетаниях и размещениях,
рассмотрение которых мы закончили, элементы, входящие в них,
не повторяются, и поэтому их называют соответственно
перестановками, сочетаниями, размещениями без повторений.
В практике решения задач иногда встречаются
перестановки, сочетания и размещения, в которых элементы
повторяются, и поэтому они называются соответственно
перестановками, сочетаниями, размещениями с повторениями.
§ 5. Перестановки с повторениями
Предположим, что нам задано множество М, в котором
элемент а повторяется а раз, элемент Ь — (3 раз, с — у
раз и т. д., элемент I повторяется К раз. Пусть а + р +
+ у + ... + X = т. Упорядочив множество М, получим
перестановку из т элементов, в которой элементы а, Ь,
с, ..., / будут повторяться соответственно а, р, у, ..., X раз.
Эта перестановка называется перестановкой с
повторениями.
Итак, перестановкой с повторениями из элементов
а, 6, с, ..., /, в которой элементы а, 6, с, ..., / повторяются
соответственно а, |3, у, ..., К раз, называется всякое
расположение в некотором определенном порядке элементов
множества М, состоящего из а элементов а, Р элементов 6,
Y элементов с и т. д., X элементов /*.
Если мы образуем все ml перестановок с повторениями
из заданных т элементов, то, очевидно, некоторые из них
будут повторяться.
Число различных перестановок с повторениями из
данных элементов будем обозначать символом Nm.
Теорема. Число различных перестановок с повторениями
из элементов а, 6, с, ..., /, в которых элементы а, 6, с, ..., /
повторяются соответственно а, р, у, ..., % раз, равно
(СН-Р+У+ »•- +К)\
а! pi y! ... Я!
Доказательство. Обозначим а элементов а
множества М символами а19 а2, ..,, аа, Р элементов Ь —
символами bv b2, ..., 63 , y элементов с — символами с19 с2, ..., с
* Число m = a+P + Y+ ... + А, называют порядком
перестановки с повторениями.
87

и т. д., X элементов / — символами /х,/2, ..., 1\. Из т
элементов б^, а2, ... ,аа; bvb2, ... , b^; с1э с2, ... , с , ...
... > /ц /2» • • • »^х множества /И образуем всевозможные
перестановки. Их будет ml.
Разобьем теперь все эти перестановки на классы
следующим образом: к одному классу отнесем те и только те
перестановки, которые отличаются одна от другой лишь
расположением элементов а1э а2, ..., аа , а все другие элементы
стоят у них на одних и тех же местах. Иначе говоря, к
одному классу отнесем все те перестановки, которые можно
получить из одной путем перестановки в ней элементов а1$
а2, ..., а0 между собой. Очевидно, что в каждом классе
будет столько перестановок, сколько всего перестановок
можно образовать из элементов ах, а2> ..., аа , т. е. а!. Во всех
т\ перестановках вместо а^ а2 а, поставим теперь а.
Тогда все а! перестановок одного класса не будут ничем
отличаться одна от другой. Следовательно, среди всех ml
перестановок, образованных из элементов
CL, ut • • • у и, ??!, 02, ... , Dp , С it С2, ... »^v> ••• » *i> *2» • • •
а элементов
... , /х различных будет —.
Повторив изложенные выше рассуждения для этих — раз-
а!
ных перестановок и для элементов Ъл% 62, ..., Ь§ , входящих
в них, мы установим,что среди перестановок,
образованных из элементов
CL, 0>9 ... , CL9 Of О, ... , Ot C^, c2, ... , С у *i> *2> • • • » ^Х
а элементов 0 элементов
различных будет — .
а! р!
Рассуждая аналогично и дальше, мы установим, что
число различных перестановок, образованных из элементов
а, а, ... ,а, Ь, 6, ... ,6, с, с, . . , с, /,/, ... ,/,
а элементов 0 элементов ^ элементов X элементов
т\
paBH°aip.Y.-X|-
Следовательно,
# = ml ^(g+p+Y+ ... +Я,)1
т а\ р! у1 . . . U ol pi у! . .. М
88

Пример. Сколько семизначных чисел можно записать с
помощью цифр 2, 3, 5 при условии, что цифра 2 повторяется в
каждом из чисел 3 раза, а цифры 3 и 5 — по два раза?
Решение. Искомое число очевидно, является числом
различных перестановок с повторениями из цифр 2, 3, 5, в которых
цифра 2 повторяется три раза, а цифра 3 и 5 — по два раза.
Потому оно равно
71 = 1 .2- 3 ¦ 4-5-6-7 ж 2
3! 2! 2! 1-2-3.1-2-1.2 ^
§ 6. Сочетания с повторениями
Предположим, что нам дано п различных элементов
а, 6, с, ..., /. Составим всевозможные множества,
содержащие по k элементов, каждый из которых является одним из
данных элементов а, Ь, с, ..., /. Если k > 1, то в некоторых
из этих множеств некоторые из элементов могут повторяться
несколько (конечно, не больше, чем k) раз. Составленные
нами множества называются сочетаниями с повторениями
из данных п элементов по k элементов.
Итак, сочетанием с повторениями из данных п
различных элементов по k элементов называют всякое множество
М, содержащее k элементов, каждый из которых является
одним из заданных п элементов.
Сочетания с повторениями из п данных элементов по k
элементов называют также сочетанием с повторениями k
порядка, составленным из данных п элементов.
Примеры.
1. Из элементов а, Ь можно образовать следующие сочетания с
повторениями по 3 элемента:
а, а, а; а, а. Ь\ а, 6, Ь\ Ь, 6, Ъ.
2. Из элементов а, 6, с можно образовать следующие сочетания
с повторениями по два элемента:
а. а\ a, b\ a, c\ b, Ь\Ь , с; с, с.
Различные сочетания с повторениями из данных п
элементов по k элементов, как и сочетания без повторений,
отличаются одно от другого составом элементов,
входящих в них.
Число различных сочетаний с повторениями из п
элементов по k элементов обозначают символом Г* .
п
Теорема. Число различных сочетаний с повторениями
из п элементов по k элементов определяется по формуле
89

n k\(n— 1)! "H-*-* #
Доказательство. Так как порядок размещения
элементов в сочетании не существен, то всякое сочетание
с повторениями из п элементов а, 6, с, ..., / по k элементов,
в котором элементы а, 6, с,..., / повторяются
соответственно а, р, у, ..., ^ раз (где а + р + ... + К = &), будем
записывать следующим образом:
a, fl> ... , a, fr, 6> ... ,6» g, с, ... ,c, ... /»Л ... ,/. (1)
а раз (3 раз Y Раз ^ Раз
Запишем теперь подряд (n — 1) раз цифру 0. Затем
перед первым нулем запишем столько единиц, сколько раз
элемент а повторяется в комбинации (1), т. е. а единиц,
между первым и вторым нулями запишем столько единиц,
сколько раз элемент Ь повторяется в комбинации (1), т. е. (5
единиц, и т. д., наконец, после последнего нуля запишем %
единиц.
Если какой-либо элемент не входит в сочетание (1),
то на соответствующем месте (между нулями, перед первым
или после последнего нуля) единицы не пишутся. Так
получим символ
1,1, ... Л, 0, 1,1, ..., 1, 0, 1,1, ... , 1, ...0,1, 1...-,1.(2)
а раз 3 раз 7 Раз ^ Раз
Если в сочетание (1) какой-либо из элементов а, 6, с, ..., I
не входит, то в символе (2) нуль будет стоять по крайней
мере два раза подряд.
Будем считать символ (2) соответствующим сочетанию (1).
Таким образом, всякому сочетанию с повторениями из п
элементов а, 6, с, ..., / ставится в соответствие некоторый
вполне определенный символ вида (2), в котором цифра 1
встречается k раз, а цифра 0 встречается (п — 1) раз.
Каждый такой символ является перестановкой с повторениями
из элементов 0 и 1, в которой 0 повторяется (п— 1) раз и 1
повторяется k раз.
Следовательно, всякому сочетанию с повторениями из
элементов а, 6, с, ..., / по k элементов соответствует
некоторая вполне определенная перестановка из элементов 0
и 1, в которой 0 повторяется (п—I) раз и 1 повторяется k раз.
Наоборот, всякой перестановке с повторениями из
элементов 0 и 1, в которой 0 повторяется (п — 1) раз и 1 пов-
90

торяется k раз, соответствует одно, вполне определенное
сочетание с повторениями из п элементов а, Ь, с, ..., / по k
элементов, а именно: сочетание, в котором каждый из
элементов a, Ь, с, ..., I повторяется столько раз, сколько
единиц стоит на соответствующих местах в перестановке*.
Следовательно, установленное нами соответствие между
сочетаниями и перестановками с повторениями — взаимно
однозначное. Поэтому число различных сочетаний с
повторениями из п элементов по к элементов равно числу
различных перестановок с повторениями из элементов 0, 1,
в каждой из которых 0 повторяется (п — 1) раз, а 1
повторяется k раз, т. е.
п (п—\)Ш n+k~l *
Пример. Сколькими различными способами можно разделить
20 тетрадей между тремя учениками?
Решение. Если один из учеников получит а тетрадей,
второй— р тетрадей и третий f — тетрадей, то данное распределение
можно записать в виде следующего сочетания с повторениями:
1,1, ... Л, 2,2,2, ... ,2, 3,3,3, ... ,3
а раз ? раз 7 раз
и а + Р + у = 20, следовательно, число возможных
распределений равно числу различных сочетаний с повторениями из 3
элементов по 20, т. е. равно
d+zu-i 2012, 201-1.2
§ 7. Размещения с повторениями
Пусть даны п различных элементов а, 6, с, ..., /.
Образуем всевозможные упорядоченные множества, содержащие
по k элементов, каждый из которых является одним из
данных п элементов. При k > 1 в некоторых из этих множеств
отдельные элементы будут повторяться несколько раз
(конечно, не больше, чем k раз).
Все образованные нами множества называются
размещениями с повторениями из данных п элементов по k элементов.
Итак, размещением с повторениями из данных п элементов
по k элементов называется всякое упорядоченное множество
*Элемент а повторяется столько раз, сколько единиц стоит
в перестановке перед первым нулем, Ь — столько раз, сколько
единиц стоит между первым и вторым нулями, и т. д.
91

М, содержащее k элементов, каждый из которых является
одним из данных п элементов. Размещения с повторениями
из п элементов по k называют также размещениями с
повторениями из п элементов k-vo порядка.
Ниже выписаны различные возможные размещения с
повторениями из двух элементов а, Ъ по 3 элемента:
а, а, а; а, а, Ь\ а, Ь, а; Ь, а, а;
а, 6, b\ b, а, b\ b, b, а\ 6, Ь, Ь.
Различные размещения с повторениями из данных п
элементов по k элементов, как и размещения без повторений,
отличаются одно от другого или самими элементами,
входящими в них, или порядком их расположения.
Число различных размещений с повторениями из п
элементов по k элементов обозначают символом а*.
Теорема. Число различных размещений с повторениями
из п элементов по k равно пк.
Доказательство. Так как при доказательстве
теоремы индивидуальные свойства заданных п элементов,
из которых образуются размещения с повторениями, не
играют никакой роли, то будем считать, что заданными п
элементами являются первые п чисел натурального ряда
1, 2.у о, ... , П.
При k = 1 теорема верна, потому что заданные п
элементов образуют п различных размещений по одному
элементу. Предположим, что теорема верна для размещений
с повторениями из п элементов по (k—1) элементов, т. е.
что число таких размещений равно nk~l, и докажем, что
тогда она справедлива и для. размещений с повторениями
из п элементов по к элементов. Для этого возьмем любое
размещение с повторениями из заданных п элементов по
(?—1) элементов iv *2> .... 'Л_: (каждое из is является одним
из чисел 1,2, ... п) Допишем к этому размещению
элемент ik, который может равняться любому из чисел
1,2, ... ,/г, получим размещение с повторениями из п
элементов по k элементов: iu i2, ... , 1^_1э ik.
Следовательно, указанным способом из каждого размещения с
повторениями из п элементов по (k—1) получаем п
различных размещений по k элементов. Причем из двух
различных размещений (k— i) порядка получим различные
размещения fe-ro порядка. Действительно, в двух различных
размещениях (k—1) го порядка: il9i29 ... ,^x, и jl9/2, ...
92

... , /*_! по крайней мере для одного значения т
(т = 1,2, ... , k—1) lm Ф \т9 а поэтому всякие два
размещения ilt i29 ... , ib-l9 ik и jxj29 ... ,/*_!, jk также будут
различными.
Отсюда вытекает, что из nk~x размещений (k—1)-го
порядка мы получим nk~l • п== nk различных размещений
&-го порядка. Так как всякое размещение с повторениями
k-vo порядка il9 i29 ... , i^v ik можно получить из
размещения (&— 1)-го порядка il9i29 ... 9i^l9 приписав к нему
элемент ik9 то среди полученных нами пк размещений k-vo
порядка есть все размещения с повторениями из п
элементов по k элементов и, значит, число их равно nk.
Следовательно, теорема верна при k = 1, и из
предположения, что она верна для размещений (k — 1)-го порядка,
вытекает ее справедливость и для размещения &-го порядка.
Значит, в силу принципа математической индукции она
верна для всякого натурального числа п.
Пример. Сколько трехзначных чисел можно записать с
помощью девяти цифр 1, 2, 3, ..., 8, 9, если цифры в записи числа
могут повторяться?
Решение. Искомое число равно числу размещений с
повторениями из девяти элементов по три, т. е. 93 = 729.
Из определений перестановки и размещения с
повторениями вытекает, что всякое размещение с повторениями,
в котором элементы а, 6, с, ..., / повторяются
соответственно а, р, у» •••» ^ Раз» является перестановкой с повторениями
из элементов а, 6, с, ..., / порядка т = а + р -f- у + ...
+ К в которой элементы а, 6, с, ..., / повторяются
соответственно а, р, у* • ••, ^ раз, и, наоборот, всякая перестановка
с повторениями из п элементов а, Ь% с, ..., / порядка т =
= а + Р -4- у -Ъ ••• + ^ будет размещением с повторениями
из п элементов по т элементов, в котором каждый из
элементов а, Ь, с, ..., / повторяется столько же раз, сколько и
в перестановке. Поэтому понятие перестановки с
повторениями можно определить еще так: перестановкой с
повторениями из элементов а, 6, с, ..., /, элементы которой
повторяются соответственно а, Р, у, ..., X раз, называется всякое
размещение с повторениями в котором элемент а
повторяется а раз, Ь — Р раз, с — y Р03* •••> I — ^ Р03*

Глава V
БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ
ТЕОРЕМА
§ 1. Бином Ньютона
Выражение х + а, как и вообще всякий двучлен,
называется биномом. Формулы сокращенного умножения
позволяют сразу возвести бином х + а во вторую и третью
степень:
(х-\-а)2 = х2 + 2ах-\- а2,
(х -f af = x3 + Зал:2 + За2* + Л
Выведем формулу для возведения бинома х+а в
произвольную целую положительную степень я. Для этого
рассмотрим сначала произведение п биномов, имеющих один и
тот же первый и различные вторые члены
Qn = (x + aJ(x + <h) ••• (* + a*-i)(* + a„).
Имеем:
при п= 2
Q2 = (x + a1)(x + a2) = x2 + (a1 + a2)x + a1a2;
при /г = 3
(23 = (д:-1-а1)(л: + а2)(* + аз) = *3 + (а1 + а2 + а2)х2 +
+ (а1а2 + а1а3 + а2а8)х-{-а1а2а8\
при я = 4
Q4=(*-Hi) (*+а2) (*+я3) (*+я4)=*4+(^+я2+Яз+Я4) *3+
+ (Да а2 + <*i a3 + Oi а4 + ^2 ^з + а2 «4 + «з а4) *2 +
+ (ai а2 аз + ai аг а4 + ai аз а* + а2 аз аь) х-\-аха2 а3 а4.
94

Произведения Q2, Q3 и Q4 составлены по одному и тому
же закону. В каждом из них слагаемые размещены по
убывающим степеням х. Показатель степени при х в первом
слагаемом равен числу перемножаемых биномов, а в
последующих слагаемых он понижается каждый раз на единицу.
В последнее слагаемое х входит в нулевой степени (т. е.
совсем не входит).
Первое слагаемое имеет коэффициент 1, второе — сумму
всех вторых членов перемножаемых биномов, третье—сумму
всех произведений вторых членов биномов, взятых по два,
четвертое — сумму всех произведений вторых членов,
взятых по три. Последнее слагаемое является произведением
всех вторых членов биномов.
Докажем, что этот закон справедлив и для произведения
п биномов, т. е. что
U + 0i)(* + 02) ... (x + an) = x» + Slnx«-*+S2nx*-*+...
...+Sl-lx + Snn, (1)
где
S^ = 0i + 02 + ... +<*п>
S* = 0x0^3 + 010204+ ... +0*-20*-i0/z,
Snn l = (ha2 ... а^+^а., ... 0„-2a„ + ... +a2a3 ... an9
Sn = aia2 ••• an-
Предположим, что формула (1) имеет место при п = k,
где k — какое-либо натуральное число, т. е.
{x + ajix + aj ... (* + a*) =
= x*+S\x^ + Slxk->+ ...+ Sk-*x+Skk,
и докажем, что тогда она верна и при n=k-\-l, т. е.
{x + aj {x + a2) ... (x + ak) (x + aft+1) =
= **+1 +Slk+l xk + S*+1 /-1 + ... + Skk+l x + S?|.
Действительно,
(x + aj (x + a2) ... (x + ak) (x + ak+J =
= (/ + S' г*+?кх>*+ ... +^,*+5j)(*+e^)-
95

Но
?2 i „ ol
S,+^S =5
так как S2k есть сумма всех произведений членов
а^, а2, ... , ak, aft+1, взятых по два, в которые не входит член
ak+1, а afe+l S^ есть сумма всех произведений этих членов,
взятых по два, в каждый из которых входит
сомножителем ak+1. Далее,
К+%+1 sr1 = 5Г+1 (« = з,4 а),
потому что S™ есть сумма всех произведений членов
ах, а2, ... , afe, aft+1, взятых по т, в которые не входит ak+v
a a S™~1 есть сумма всех произведений этих членов,
взятых по т, в каждый из которых входит
сомножителем ak+v Наконец,
ak+i^k = aia2 • • • akak+i = «5/5+1 •
Таким образом,
(* + Oi)(* + Oa) .-• (* + ам) =
~ xk+i^s^x + Sft+1-г"1-{- ... + 5Л+1* + 5Л+1.
Выше было замечено, что формула (1) верна при
/г= 1, 2, 3. Из предположения, что она верна при п = /г,
вытекает ее справедливость при /г = Л-}- 1. Следовательно,
она верна для всякого натурального числа п.
Предположим теперь, что ах = а2 = ... = ал = а.
В этом случае
S^ = ах + Да + ... + a* = a + 0 + • • • + a = /2a=c!l a»
S« = <Ч fls+aA^- • • • + a*-i aa = a* +*2 + • • • + а2=СУ>
S*n =a1a2a3 + a1a2a4+ ... -fa«-2an-ia„ =
96

5* = ^^ ... ^-{-а^ ... a„_1aft+1+ ... -f-
+ a„.k+1an.k ... a„ = a* + a*-f ... +а? = СкпаЬ*.
Формула (1) запишется тогда так:
(л: + а)" = хп + С\ ах"-1 -j- С2п а2 хп~* -f
+ С* а3 а;"-3 +... + Cn~l a"-1 x + а". (2)
Формула (2) является одной из основных в математике
и называется биномом Ньютона**.
Подставив в формулу (2) вместо Схп,С\, ... ,Сп~х их
значения, запишем ее так:
(л; + а)п = хп + пах"-1 + п(п~1} а2 а;"-1 +
п(га_1)(п_2) аз^-з , ...
1 31 '
_+Я(п-1)(Я-2)...(/^+1)а>^+ _ +пал-1х+ая.
(3)
Многочлен, стоящий в правой части формулы (2), а
значит, и формулы (3), называется разложением бинома.
* ak повторяется слагаемым в S столько раз, сколько можно
составить различных сочетаний из п элементов по k, и поэтому
Sk = & ak.
п п
** Формула (2), в которой, естественно, предполагается, что
п — натуральное число, была известна и до Ньютона, например
Блезу Паскалю (1623—1662), как об этом легко догадаться из § 3
настоящей главы. Наименование «бином Ньютона» связано с тем,
что Ньютон (1643—1727) распространил ее на случай произвольных
показателей степени (рациональных или иррациональных,
положительных или отрицательных). Для всех /г, кроме натуральных,
разложение является бесконечным рядом, первые и общий
члены которого имеют вид, приведенный в формуле (3). Читатель
должен быть знаком с этим разложением из курса математического
анализа.
97

Пример:
(х +а)б = л* + с\ ах*+с\ а2 х* + С* а* х2 + с\ а* х + а* =
= л:6 + 5а*4 + 10а2 х3 + 10а3*2 + Ъа*х + а5.
§ 2. Биномиальные коэффициенты и их основные
свойства
Коэффициентом первого члена разложения бинома
является 1 (или С°), второго — Схп , третьего — С2п% ...
... , (k -\- 1) члена — С* , ... , последнего (п-{-1) члена—
С^ = 1. Эти коэффициенты называются биномиальными.
Ниже излагаются основные свойства биномиальных
коэффициентов:
1. Коэффициенты членов, равноудаленных от начала и
от конца разложения бинома, равны между собой.
Действительно, в формуле (2) коэффициентом (? + 1)
члена разложения является Сп > а коэффициентом члена,
занимающего (&-J-1) место от конца разложения, т. е.
(п—k-\-l) члена, является Cn~k. Но мы знаем, что
С* = Cn~k .
п п
2. Коэффициент (k -\- 1) члена разложения бинома
равен произведению коэффициента k-го члена на показатель
степени х в этом члене, деленному на k.
Действительно, коэффициентом &-го члена является
Cfe~~\ показатель степени х в этом члене равен (п—k-\-\)
а коэффициентом (й + 1) члена является Ckn .
ck-\ = ft(n-l) . .. (n-k+2) .
п 1 . 2 ... (?—1) '
с* =п(п-\) .. . (/г-Н-2) (n-k+l)
п 1.2-3... (?—1)6
^fe Ck~l (n—k+\)
Отсюда С* = " \ .
3. Сумма всех биномиальных коэффицшнтов равна 2Л.
В самом деле, положив в формуле (2) *=a=l, получим
эа

т. е.
1+^ + С2„+ ... + С* + ... +СГ1+1 = 2".
4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на
четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов,
стоящих на нечетных местах.
Действительно, положив в формуле (2) х = 1, а = — 1,
будем иметь:
(i-i)n=i-ci+ci -ci+... +(-D«.
Отсюда
i + сЦ+<?+... -ci + ci + cj+...
§ 3. Треугольник Паскаля
Как известно из § 3 предыдущей главы (см. стр. 84),
Это соотношение дает возможность по известным
биномиальным коэффициентам
(х + а)1 = 1 . х + 1 . а
вычислить, выполняя лишь операцию сложения,
биномиальные коэффициенты для (х + а)п при всяком целом
положительном п. Вычисленные таким способом коэффициенты
располагают в виде таблицы, которую называют
треугольником Паскаля* или арифметическим треугольником:
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 1
1 2 1
1 3 3
1 4 6
1 6 llj
1 7 21
1 8 28
Коэффициенты
1
4 I
10 5 1
20 15 6 1
35 |ЗГ^Т| 7
56 70 |56| 28
1
8 1
* См. примечание на стр. 96,
99

Боковые стороны треугольника Паскаля образуются
единицами, а каждое число, стоящее в середине его, как это
вытекает из соотношения (1), равно сумме двух чисел: числау
стоящего над ним, и числа, предшествующего последнему
(см. фигуры в таблице).
§ 4. Полиномиальная теорема
Бином Ньютона
(х + а)л = хп + Cln ax^ + Cla* x"~2 + С1 а* х"~* + • • •
... +c?a*x*-*+ ... + С?~1ал-1* + аЛ
можно записать так:
(х + аГ = %Скпа*х*-*. (1)
Условимся считать, что 0! = 1! = 1, и подставим в
формулу (1) вместо С*п его значение —- . Тогда получим:
п
(х + а)п = V —^ ak xn~\ (2)
41 ^ k\ (n—k)\
или
(х + аГ= ? ^Га*^ (3)
/с-К—п
где суммирование распространяется на всевозможные
системы целых неотрицательных значений k и /,
удовлетворяющих условию k + I —п. Обобщением формулы (3), т. е.
формулы Ньютона, является формула возведения в п-ю
степень суммы х\ + х2 + ... + хтУ к выводу которой мы
переходим.
Теорема*, Возведение в п-ю степень суммы х\ + х2 +
+ ... + хт дает:
2п! уЧй« хат
axlag! ... am! * ш
с^+а*-}- ... +аот=п
* Эту теорему называют полиномиальной.
100

т.е.
(*! + *+.•• + *«)" =
S
ах! а2! ... ат\
а1_)_а2+ ... +ат=л
*Г*? •••*«*.
где суммирование распространяется на всевозможные
системы целых неотрицательных значений аи а2, ..., атУ
удовлетворяющих условию ах + а2 + ... + ат = п.
Доказательство. Степень суммы хх + х2 +
+ ... + хт есть произведение п сомножителей:
Х1~ТХ2~Т~ • • • "Г Xnv>
х1 "Г *2 "Г • • • "Т ^/я»
*1 I *2 I • • • I *да-
Чтобы найти это произведение, надо каждое слагаемое
первого множителя умножить на каждое слагаемое второго
множителя, каждое из полученных произведений умножить
на каждое слагаемое третьего множителя и т. д., и затем все
полученные таким образом произведения сложить. Если
из первого множителя мы возьмем слагаемое xhJ из второго —
х1г, ..., из м-го — xiny где каждый из индексов i\, i2. ..., 1п
может быть равным любому из чисел 1, 2, ..., /п, то
получим член произведения:
Л/_ *W_ ••• Jvi
Очевидно, что каждому члену xtl <х^ ... xt
соответствует размещение с повторениями xily х^ ... , xt из т
элементов х19 х2, ..., хт по п элементов и, наоборот, каждому
такому размещению соответствует один член xtl xf ... xin.
Отсюда вытекает, что число всех членов xt xt ... xin
равно числу различных размещений с повторениями из т
элементов по п элементов, т. е. тп. Но не все эти тп
членов различные. Члены, в каждом из которых хг
повторяется аг раз, х2 — а2 раз, ..., хт — ат раз (ai+a2+ ...
••• +a/7i = n)> являются подобными. Каждый такой член,
очевидно, соответствует перестановке с повторениями
ХЬ хъ> • • • * хы П0РяДка п = ai + a2 + • • • + ап> в которой
101

элементы хг, х29 ... , хт повторяются соответственно
аи а2» • • • »ат Раз' и> наоборот, каждая такая перестановка
соответствует лишь одному из этих подобных членов.
Следовательно, число всех этих подобных членов равно
числу различных перестановок с повторениями порядка
п = ai + a2+ • • • +а/л> в которых xltx2t ..., хт
повторяются соотЕетственно а1ш а2, ... , ат раз, т. е. ,
а,!а2! ... aj
Следовательно, всякий член *"'*?¦ ... х%п9 где аа-{-а24*
+ ... + ат = /п, входит в разложение (^+^2+ • • •+*т)л
с коэффициентом '¦ . Отсюда вытекает, что
ах\ а21 ... ат\
(*i + *2 + •.. + *«)"==
* сцЮ.1 ...aml *l 2 "e - '
<*1+а2+ ••• +^тг=лП
где суммирование распространяется на всевозможгые
системы целых неотрицательных значений а1э а2, ..., аш,
удовлетворяющих условию
ai + «2+ .-• +ат = п-
Этим теорема доказана.
Коэффициенты '• , с которыми члены
** ^ a,! a,! ...am\' l
х*л ха2г ... ха? входят в разложение (х}-\-х2-{-...-\-хт)п,
называют полиномиальными коэффициентами.
Пример. Возвести в третью степень сумму
*1 + *2 + *3 + *А-
(*1 + *2 + *3 + *4р = *1 Л Хо Н х\ +
3! О! О! 01 х 0131010! 2 0! 01 31 01 3
31 з.З! 2 , 3! 2
¦ х. -\ х. х2 -\ х. х3 +
01010131 4 2! ПОЮ! 1 210! ПО!
31 2 . 3! 2 , 3! 2 ,
х\ х* + „,п хо *з + -^Г^Г^ТТ: *о *4 +
21010! П 1 0! 21 11 01 2 012101 11 2
31 2 . 3! 2 . 3! 2 ,
01012111 3 1121010! 2 11012101
3! 2 , 31 2,3! 2 ,
11 01 01 21 4 01 И 21 01- 3 01 11 01 21 4
102

3! 2,3! ,3!
° 4 ' 11111! П1 a It 11П1 II
01 0! 1! 21 4 1! 11 1! 0! 11 1! 01 11
31 , 31
H *1 *3 «*4 H *2 *3 *4 ==
11 01 11 11 01 11 11 II
«= x\ + ** + дгд + x\ + 3 ( x\ x2 + x\ xz + x\ x< + x\ xz +x\xA +
+ ^з A'4 + XX x\ + *! ** + ДГХ ДГ4 + *2 ЛГд + X2 X^ + *g Д* J -f
+ б (ДГ1 ДГ2 *3 + *1 *2 *4 + *1 *3 *4 + *2 *3 *4>-
§ 5. Вычисление сумм степеней первых п чисел
натурального ряда
В заключение этой главы вычислим, применяя бином
Ньютона, сумму т-х степеней первых п натуральных чисел:
Sm = \m + 2m + 3m+ ... +(п—\)т + пт.
Запишем по формуле бинома Ньютона следующие
равенства:
(1 + 1Г+1 = Iя*-1 + с]^х lm + C2m+1 Г"1 + .. • +
(2 + 1Г+1 = 2"+1 + с1+1 2- + С^+1 2-1 + ... +
+ С+12+1,
(3 + i)w+l = з™+1 +с^+1 з" + с^+1 з-1-1 + ... +
+<?+1з + 1,
+ С+1 (n-i)-1 + ... +c;+l(/i-i) + if
(Л+1Г+1 = nm+1 4<+l n- + C+1 л—4 ... +
+ С4..П+1.
Сложив соответственно левые и правые части этих
равенств и уничтожив одинаковые числа в левой и правой
частях полученного равенства, будем иметь:
ЮЗ

(«+ l)m+1 = Clm+l (1« +2" + • • • + nm) +C2m+l (l-^
+ 2№-1+ ... +nm-X)+ ... +C+1(l+2+ ... +n) +
+ n+l.
Обозначив
l* + 2* + 3*+ ... +nk = Sk (? = 1,2, ... ,m),
запишем предыдущее равенство в виде
(1)
Это соотношение позволяет вычислить Sm, если известны
предшествующие суммы Sl9 S2, ... , Smr.1. Так, положив
в нем т = 1, получаем:
откуда
(n+ir- = C;Sx+n+l,
s = (Л+1)»-(я+1) = "("+0* /2ч
Cj 2 •
При п = 2, имеем:
= 3JS2 + 351 + n+l = 3S2 + 3"(n+1) + я+1,
откуда
s = и(я+1)(2я + 1) ^ (3)
6
Положив п = 3, получаем:
Отсюда
s = (п + 1Г - 6 S2 - 4 Sx - (/г + 1) =
3 4
в (я + 1 )4 - (/г + 1) - п (/г+1)(2/г + 1) - 2/г (л+1) = pi(n+l)1»
* Как известно, сумма первых п чисел натурального ряда
может быть получена суммированием арифметической прогрессии.
Рекомендуем читателю самостоятельно убедиться в совпадении
получающегося там результата с формулой (2).
104

Следовательно,
S.-[!b±Z]. (4)
Сравнив формулы (4) и (2), заметим, что S3 = SX2, т. е.
сумма кубов п первых чисел натурального ряда равна
квадрату их суммы.
Подставляя в соотношение (1) вместо т числа 4, б, 6,
7, ..., найдем выражение для S4, S5, S6, S2, ... .
Пример. Вычислить сумму 13 + 23 + З3 + 43 + 53.
Подставив в формуле S3—\ —-——— вместо п число 5,
получим:
225.
s,= (^)' = ,, = :
Следовательно,
13+ 23+ 33+ 43+ 53 = 225.
Как было замечено выше,
225 = 152 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2,
т. е.
I3 + 23 + З3 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2.

Глава VI
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Многочлен от нескольких переменных
и его каноническая форма
Многочлены от одного и нескольких переменных
детально изучаются в курсе высшей алгебры. В этой главе мы
рассмотрим лишь некоторые вопросы теории многочленов с
числовыми коэффициентами от нескольких переменных,
которые в курсе высшей алгебры не освещаются, но с
которыми, однако, должен быть знаком каждый учитель
математики.
Пусть Р—произвольное числовое поле, а хг, х2, ...,xn
— некоторые независимые переменные, принимающие
любые значения из поля Р.
Всякое произведение вида
А г*' Y^2 Y Я
Л\Л*. Лг л • • • п '
где А — некоторое число из поля Р и kv k2, ... t kn —
некоторые целые неотрщ1тельные числа, называется од-
ничленом от переменных хг, х2, ..., хп над полем Р.
Числовой множитель А называют коэффициентом
одночлена.
Если коэффициент А одночлена Ах*'х\г ... х*правен
нулю, то одночлен при любых численных значениях
переменных х19 х2, ..., хп равен нулю, т. е. тождественно
равен нулю; его называют нуль-одночленом и обозначают
символом 0. Если же коэффициент А отличен от нуля, то
одночлен называют отличным от нуль-одночлена или
кратко отличным от нуля.
106

Показатель степени ks, с которым переменное xs (s =
= 1, 2, ..., п) входит в отличный от нуля одночлен
Ax*lxk2 ... х*п, назыьают степенью одночлена
относительно переменного xs. Сумму kx-\-k2-\- ... -\-kn всех
показателей степеней, с которыми переменные хХУ х2, ..., хп
входят в этот одночлен, называют степенью одночлена
относительно совокупности переменных хг, х2, ..., хп.
Так, например, Ъх\ х2 *3 х4 есть одночлен четвертой степени
относительно хх и десятой степени относительно совокупности
переменных хъ хъ хг, jc4.
Нуль-одночлену не приписывают никакой степени.
Два отличные от нуля одночлена от переменных
Ах*1 х\* ... х*п и Bxs; x\* ... хп$п
называются подобными, если каждое из переменных х19
х2, ..., хп входит в оба одночлена в одной и той же
степени, т е. если kt = su k2 = s2, ..., kn = sn. Иначе
говоря, отличные от нуля одночлены от одних и тех же
переменных называются подобными, если они отличаются
один от другого лишь своими коэффициентами.
Так, например, одночлены 5х^ лфс3*4 и ^х1 х\хъ х\—подобные.
Сумма
"J~l Л2 * • • лп \ ^2^1 Л2 * * * n \ • • •
• • • "T~ **s*\ *2 * * * *n
нескольких подобных одночленов от переменных *,, х2ч ...,
хп над числовым полем Р может быть заменена
тождественным ей одночленом
Hit4t ••• "гAs)хххх2 ... хпп,
в который каждое из переменных хг, х2, ..., хп входит в
той же степени, что и в слагаемые, и коэффициент которого
равен сумме коэффициентов слагаемых.
Действительно, так как коэффициенты А1$ Л2, ..., As
принадлежат числовому полю Р, а операции сложения и
умножения чисел поля Р связаны дистрибутивным
законом,
107

то
/i^X^ и^2 • • • Х)г —р- гх^Хл Х(^ • • • X —j— • • •
• • • Т" ^s^\l Х2 • • • Хп S ~ \ 1 "Г ^2 "Г • • •
• • • "Г As) х\ Х2 * ' * *л
при любых значениях переменных xv х2, .... хп
принадлежащих полю Р.
Например:
lOjcf 4 jc| х\ хь + 13^ *? х\ х\ хъ — 7*? х\ х\ х\ хь +
-f- 2х^ х<? х^ Хц Хь = 18Xj д^2 *з ха *б#
Так как операция умножения в числовом поле Р
коммутативна и ассоциативна, то произведение
A xkn ykl* rkin A rkzi rk** YhtLn Ay ks\ у ks2
1 1 2 • • • ™n. 2 1 2 • • • ЛЛ ... *:i5^vi Л2
нескольких одночленов от переменных х1, х2, ...,
числовым полем Р тождественно одночлену
АХА2 ... А^Ч"+*21+ '' • +к* л*1**"* ''' *** • • • X
X ... х *1л+А?2л+ • * * +ksn (2)
коэффициент которого равен произведению
коэффициентов одночленов-сомножителей, а каждое из переменных
х1% х2, ..., хп входит в одночлен-произведение в степени,
равной сумме показателей степеней этого переменного во всех
одночленах-сомножителях. Следовательно, произведение
нескольких одночленов вида (1) всегда можно заменить
тождественным ему одночленом вида (2).
Так, например,
2ххХоХз • Ъх\ х\ - 5*!*! • 4х% xl ' 2*i ' Ъх\ ' 4xl e 2880*? х\ *з.
Выражение, которое получается из переменных х1,
х2, ..., хп и чисел поля Р посредством операций сложения
и умножения, называется многочленом от переменных
хг, х2, .. , хп над полем Р*.
Хп
у ksn
(1)
над
* Функцию, задаваемую с помощью такого выражения, также
называют многочленом от переменных xlt x2, ..., хп.
108

Так, например,
/(*ii #2» хз> xi) = ^х\ х2 хах4 4"
+ \ А*% (3*§ + 2x1) + № (Зх? ^ 5х, + 3*4)
есть многочлен от переменных *lf х2» *3, *4 над полем
действительных чисел.
Иногда один и тот же многочлен f(xly х2, . . . , хп)
можно рассматривать над различными числовыми
полями. Так, если коэффициентами многочлена
/ (*i,*2» ... , хп) являются рациональные числа, а переменные
х19 х2> . . . , хп принимают лишь рациональные значения, то
этот многочлен считается заданным над полем
рациональных чисел. Но так как рациональные числа содержатся
в поле действительных, а также и в поле комплексных
чисел, то этот многочлен можно рассматривать над полем
действительных или комплексных чисел, считая, что
независимые переменные принимают любые действительные
или комплексные значения. Так, например, многочлен
/ (*i> *2> х3) = —х\хъ + 5 х2 xs можно рассматривать над по-
лем рациональных, действительных или комплексных
чисел. Так как в результате умножения и сложения чисел
поля Р мы получаем числа этого же поля Р, то значения
многочлена при любых численных значениях независимых
переменных х1У х2, . . . , хп принадлежат тому же
числовому полю, над которым рассматривается многочлен.
В соответствии с определением тождественности двух
аналитических выражений два многочлена от одних и тех
же переменных х19 . . . , хп называются тождественными
(или тождественно равными), если при любых численных
значениях этих переменных значения многочленов равны.
Замена многочлена тождественным ему многочленом
называется тождественным преобразованием данного
многочлена. Числа, входящие в многочлены от переменных хг,
х2, . . . , хп, заданные над числовым полем Р, и значения
переменных хг, х2У . . . , хп, которые они принимают,
принадлежат к числовому полю Р. Поэтому тождественные
преобразования многочленов, заданных над числовым полем Р,
выполняются на основании законов операций над
числами поля Р и правил, вытекающих из этих законов, т. е. на
основе коммутативного и ассоциативного законов сложе-
109

ния и умножения и дистрибутивного закона умножения
относительного сложения, а также правил действий над
числами, вытекающих из этих законов.
По определению всякий многочлен от переменных
хг, #2, . . . , хп над числовым полем Р образуется из чисел
поля Р и независимых переменных х,, х2> . . . , хп
посредством операций сложения и умножения. Раскрыв в
многочлене скобки, если они имеются, и выполнив умножение
одночленов, мы получим тождественную заданному
многочлену сумму вида
1Л\ л2 * ' • п » ™2Х\ х2 ' * * п I • • •
-U А У.к^Х *«2 X k$n
• • • \^ s"^\ **2 * * • п '
где Alf Л2, ..., Ап — некоторые числа из поля Р, а
&ш &12» • • •» ^л — некоторые целые неотрицательные числа.
Следовательно, всякий многочлен f (xv х2, ..., хп) от
переменных xv х2, ..., хп над числовым полем Р Может
быть записан в виде суммы одночленов от xv x2, ..., хп
над полем Р:
I v^l> %2> • • • э %п) ==^1/*'1 -^2 ' ' * ^п "Т"
+ А2х\»х\" ... *>+ ... +Asx^x2k*> ... хяЧ
Поэтому иногда дают следующее определение
многочлена:
Многочленом от переменных xlt х2, . . . , хп над
числовым полем Р называется функция f (х1, х2, . . . , хп), кото-
рая может быть представлена в виде суммы нескольких
одночленов от переменных х^, х2, . . . , хп над полем Р:
I \^1* «^2» • • • э Х-п) == ™-1%\ %2 • • • Хп -р
-J- А2хх *х2 ... хп -J- •.. -|- AsXx х2 s ... хп s . (1)
Если среди одночленов А{х\1ххк2* ... xknln (i = 1, 2,..., s),
входящих в многочлен (1), есть подобные, то сгруппируем
их, переставив в случае необходимости слагаемые, и
заменим каждую группу подобных одночленов тождественным
ей одночленом, т. е. приведем подобные члены.
После приведения подобных членов коэффициенты
некоторых одночленов-слагаемых могут быть равными
нулю, т. е. некоторые из сла!аемых могут быть нуль-одно-
110

членами. Такие слагаемые мы исключим. В результате
всего этого многочлен запишется в виде суммы не подобных
попарно одночленов, тождественно равной заданному
многочлену. Если же после приведения подобных членов все
слагаемые многочлена будут нуль-одночленами, то
многочлен будет тождественно равным нулю. Такой многочлен
называется ну ль-многочленом и обозначается символом 0.
Запись многочлена в виде суммы не подобных попарно
одночленов или в виде нуль-многочлена называется
канонической формой или каноническим представлением
многочлена*. Например, запись
/ (*i> х2) = х\ -f- 2хгх2 -f- x\ является канонической формой
многочлена f (х1У х2) = (хг -{- х2)2.
Из изложенного выше вытекает, что всякий многочлен от
нескольких переменных может быть записан в канонической
форме. Всякий одночлен от переменных х1, х2> . . . , хп
является частным случаем многочлена, а именно
многочленом, в канонической форме которого есть лишь одно
слагаемое.
Всюду дальше мы будем рассматривать лишь
многочлены, заданные в канонической форме.
Пусть
/ 1-^1» -^2» • • • > %п) = "1^1 ^2 " ' * ^п ~i
+ V?"**- ... *„**» + ... +Atf*xfr ... *„*« (2)
произвольный многочлен от переменных хх, х2, . . . , хп
над числовым полем Р, заданный в канонической форме.
Одночлены-слагаемые этого многочлена называются его
членами, а их коэффициенты Л1э Л2, . . . , As —
коэффициентами многочлена f (л^, х2, . . . , хп).
Наивысший показатель степени, с которым переменное
х{ (i = 1, 2, . . . , п) входит в члены многочлена (2),
называется степенью этого многочлена относительно
переменного хг Эта степень может быть равна 0; это означает, что,
хотя / (хг, х2, . . . , хп) и считается многочленом от п
переменных х1, х2, . . . , хп, в действительности же
переменное хх в его запись не входит.
Наивысшая из степеней членов многочлена (2)
относительно совокупности переменных х1> х2, . . . , хп называет-
* Канонический — принятый за образец.
Ш

ся степенью этого многочлена относительно совокупности
переменных, входящих в него.
Так, например,
Kxi» х2> хз) = &х\ *2 *з ~Ь "Г х\х*хг + "7Г *1*2*з -J- V *> *2*з
Z о
есть многочлен шестой степени относительно совокупности
переменных х±, х2, х3.
В частности, многочленами нулевой степени будут лишь
отличные от нуля числа поля Р. С другой стороны, как и
в случае одночленов от нескольких переменных,
нуль-многочлен является единственным многочленом от п
переменных, степень которого не определена.
Понятно, что в общем случае многочлен f(x1, % . . . , хп)
может иметь несколько членов наивысшей степени, и
поэтому нельзя говорить о старшем (по степени) члене
многочлена от нескольких переменных, как это делается в
случае многочленов от одной переменной. Очевидно, что членом
многочлена /n-й степени от п переменных х1%х29 . . . , хп,
заданного в канонической форме, может быть всякий
одночлен вида А х\х **-,...,* *л, где ^ + k2 + . . . +kn < т.
Возникает вопрос: каково же число всевозможных членов
в каноническом представлении многочлена m-й степени от
п переменных (в общем виде)?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, докажем
сначала теорему о числе членов так называемого
однородного многочлена.
§ 2. Однородный многочлен от п переменных
и число его членов
Заданный в канонической форме многочлен
f(х1У х2, ... xn) = A1x]ux2t ... хп п-J-
+ А2х\ ¦ xk- ... х^п + ... + M*Sl*24 • • • * *sn> С1)
все члены которого имеют одну и ту же степень т
относительно совокупности переменных, называется однородным
многочленом степени т.
Так,
Р/ . с з , 1 2 43_i_^ 2 1з
/ l*i> х2> кг) — 0х\ тт^1хз ^х2 \ "Т х2хг J хг
112

есть однородный многочлен третьей степени. Всякий
одночлен также считается однородным многочленом. Членом
однородного многочлена степени т от п переменных может
быть всякий одночлен вида Ax\xxk2z ... х*п степени т.
Теорема. Однородный многочлен степени т (т > 0)
от п переменных х19 х29 ..., хп в общем виде имеет
ст __ (т + п—1)1
т+п~1 ml (л—1)1
членов.
Действительно, однородный многочлен степени т от
переменных х19 х2, . . . , хП9 заданный в общем виде, есть
сумма членов вида
/Л.Х* лл . . . X f
где А означает какое-то число, а ^ feg, . . . , kn — целые
неотрицательные числа, удовлетворяющие условию
К + К + К = т'
Следовательно, каждому члену
Ах*1 х% ••• *пп (?i + ?2+ .-• +К = т)
однородного многочлена соответствует вполне
определенное сочетание с повторениями из п элементов xlf х29 ... 9 хп
по т9 а именно сочетание, в котором х19 х29 ..., хп
повторяются соответственно kl9 k29 ... 9 kn раз. Очевидно, что
и, наоборот, каждому сочетанию с повторениями из п
элементов х19 х29 ..., хп по т элементов, в котором х19 х29 ...
..., хп повторяются соответственно sl9 s29 ..., sn раз
(si 4" s2 + • • • + sn = m)> будет соответствовать член
однородного многочлена вида
RYSl YSi V Sn
LJA/, И/л . . . Л .
Отсюда вытекает, что в общем случае однородный
многочлен степени т от переменных х19 х2, . . . , хп имеет
столько различных членов, сколько возможно сочетаний с
повторениями из п элементов по т элементов:
г"1 = (т + п~~ *){
ш+л-1 ~~ щ| (Л _ 1) j '
113

Примеры.
1. Однородный многочлен второй степени от двух переменных
имеет
(2+2-1)! 3! Q
*—! '— = = 3 члена.
2! 11 211!
2. Однородный многочлен третьей степени от трех переменных
имеет
(3 + 3-1)! 5! 1П
i—! '—. =з = 10 членов.
3! 2! 3! 2!
§ 3. Число членов в каноническом представлении
многочлена от п переменных
Теорема. Каноническое представление многочлена пг-й
степени от п переменных в общем виде имеет
членов.
Доказательство.
/ C^l» «^2» «
-ГЛ2*1 Х2 ••
. . . , Хп)
• *>* +
{m-f- n) 1
т\ п\
Пусть
A Y^11 yklt
... +Л^*п
k
X 1П
k
X s2
+
*> (1)
есть каноническое представление многочлена т-и степени от
переменных х19 х2, ..., хп в общем виде. Рассмотрим
теперь каждый член этого канонического представления. Если
член Afxfilx?i2 ... x*in имеет степень т, то перепишем
его без изменений; если же данный член имеет степень
k < m, то присоединим к нему множитель tm~k и запишем
его так:
Л,**"**'2 ... x^V**.
Вследствие этого каждый член канонического
представления (1) заменяется членом однородного многочлена
степени т от (п + 1) переменных х1У х2> . . . , хп, t. Причем
так будут получены все члены однородного многочлена
степени т от переменных хг, я2, . . . , хп, t, потому что
каждый член однородного многочлена
Ах?х$ ... х*" * «я+цвх-|-вя4- ... +sn + sn+l = m)
114

можно получить из члена многочлена (1)
л1Л/, 'У • • • п *
Таким образом, из канонического представления (1) мы
получаем однородный многочлен степени т от (п + 1)
переменных х1% х2, . . . , хп, t в общем виде, который имеет
столько же членов, сколько их есть в многочлене (1).
Отсюда вытекает, что число членов многочлена (1)
равно числу членов однородного многочлена степени т от
(п + 1) переменных в общем виде, т. е.
ш+л *~~ т\ п\
Пример. Каноническое представление многочлена третьей
степени от трех переменных в общем виде имеет
(3 + 3) ! 6! оп
-—¦—— = = 20 членов.
3! 3! 3! 3!
§ 4. Тождественность двух многочленов
В первом параграфе этой главы мы определили
понятие тождественности двух многочленов. Тождественное
равенство многочленов F (х19 х2, ..., хп) и Ф (хг. х2> ..., хп)
будем записывать так:
Г (Xj, Х2% . . . ,Хп) = \V (Xi, Х2, . . . , Хп) .
Естественно поставить вопрос: при каких условиях
заданные в канонической форме многочлены
F (х1, х2 х„) иФ (*,, х2, . . . , хп)
будут тождественны? Ответ на этот вопрос дает следующая
теорема:
Для того чтобы заданные в канонической форме
многочлены F fa, х2, . . . , хп) и Ф {хх, х2, . . . , хп) были
тождественными, необходимо и достаточно, чтобы были равны
коэффициенты их членов, содержащие переменные х1ч х29 ... , хп
в одинаковых степенях, т. е. подобных членов.
* Иногда тождественное равенство многочленов F(X\, х2, . . ., хп)
и Ф (хи x2t . . ., хп), в отличие от равенства многочленов лишь
при некоторых значениях переменных, записывают так:
F(xlf х2, . . . , хп) =s Ф (*ь x2t .... хп).
Однако в теории многочленов под равенством многочленов
всегда понимают тождественное равенство и употребляют
поэтому вместо знака s знак =.
115

Доказательство. Достаточность условия
очевидна. Действительно, если
г (Х^, Х2> • • • > Хп) == "1*^1 "^2 * ' ' ^п "Т"
+ Л2**"**» ...*>+...+ V *s' *2**2 ... *>, (1)
Ф (#!, #2, • • • > *л) == ^i«^i"^2" * # ' Хп П \
+ В2хк»х\» ... х**» + .9.+Bjc^x^ ... ХЦ» (2)
и
A± = BV А2 = В2, AS = BS,
то мы имеем один и тот же (а не два различных) многочлен.
Поэтому значения этих многочленов при произвольных
числовых значениях х19 х2, . . . , хп равны между собой.
Докажем теперь необходимость условия. Сначала
докажем необходимость условия для многочленов от одного
переменного.
Пусть
^(*i) = a0< + a1x,T1+ ... +ал,
Ф (х,) = с0х? + Clx[n-1 +...+са
и
Если пф т, например п > /п, то прибавим к многочлену
Ф(*х) члены bQxnx , bxxn~x, ..., Ьп^т^1х^\ считая
коэффициенты b0, 6lf ..., bn^m+1 равными нулю и положив
bn-m=c09 bn^m+1=cl9 ..., bn=cmt запишем эти многочлены
так:
F (хг) = aQxnx + a^""1 + ... + ап^хг + ал,
Ф (*i) = Ь0< + ^Г* + ... + &Л-Л + 6Й.
Докажем теперь, что
а0 = 60» 01 = ^i> • • • > an-i = ^n-i> ая = fy*« (3)
При п = 1 это действительно так. В самом деле, если
многочлен Р{хг) = а0х1-\-а1 тождественно равен
многочлену Ф(*х) = Vi + ^d т. е.
116

то, положив xx = 0, получим равенство аг = b^ и,
следовательно, а0хг = UqATj.
Отсюда, положив jcx = 1, получим равенство а0 = 60.
Таким образом, в этом случае
а0 = bQi ах = 6Х.
Предположим теперь, что равенства (3) имеют место при
п = s — 1, и докажем, что тогда они будут иметь место и
при п = s.
Пусть
а0х] + а^Г1 + • • • + fls-Л 4- as =
= 60< 4- Ьхх*-1 4- ¦ • • + Wi 4 6Г (4)
Так как равенство (4) имеет место при любых
численных значениях дсг, то оно будет иметь место и при Xj = у
и х1 = 2 у, где у означает произвольное число, т. е. имеют
место тождества
аоУ* + а1У*~1+ ••• +a^i>» + ^ =
= &о/ + М*-1 + • • + Vtf + ^ (5)
2*а0у* + 2*-^- + • • • + 2а^1У + а, =
= 2%f + 2*-^/-' + ... + 2Ь^у + 6,. (6)
Умножив обе части тождества (5) на 2* и вычтя из него
(по частям) тождество (6), получим:
2*-1 (2 - 1) а1У*-1 + 2*~* (22 — 1) а2у*-а + ...
... +2(2^-1)а^.1у + (2'-1)а,=
= 2*"1 (2 — 1) fe^"1 + 2*-2 (22 - 1) b2f~2 -\- ...
... +2(2^-1) б^у + (2*-1)^
Отсюда в силу предположения о наличии равенств (3)
при п = s — 1 вытекает, что
2*-i (2 — 1) аг = 2*-1 (2 — 1) Ьг;
2*~* (2* - 1) а, =. 2*-* (2* - 1) 6„ .... 2 (2*-» - 1) art =
= 2 (2- - 1) 6rt, (2* - 1) as = (2* - 1) b„
а следовательно,
ах = bv aa = ?>2> • • •» a*-i = 6«-i> °* = bs-
117

Но тогда из тождества (4) вытекает тождество
CLqX^ = UqX^ .
Положив в этом тождестве хх = 1, получим равенство
aQ = bQ.
Таким образом,
а0 = Ь0У ах = Ьх% . . . , CIm-I = &m-l» ат = Ьт.
Так как равенства (3) имеют место при п = 1 и из
предположения, что они имеют место при п = s — 1, вытекает
наличие их и при п = s, то в силу принципа
математической индукции они имеют место при любом
натуральном п. Этим необходимость условия для многочленов от
одного переменного доказана.
Докажем теперь необходимость условия для
многочленов от п переменных. Опять применим метод
математической индукции. Предположим, что условие теоремы
необходимо для многочленов от (п — 1) переменных, и
докажем, что тогда оно необходимо и для многочленов от п
переменных. Пусть
г \Х±, Х2, • • • > Хп) = /ii-?j Х<? • • • Хп -р
J-2"r*21 г*22 Yk*n 4- ±1И/|И'2 ykln
\^-Г12л\ л2 ••* п *^ ••• \^ I \ 2 *•" п '
UJ \Х^ Х2> • • • > -Kfj) == ^i-^i -^2 • * * ^п 1
+ "5 yS2i ^,ж у S2n I I Б у sm\ sm2 Y Sfnn
D2XX X2 . • • Xn -J- • . . -J~ OmX { X2 . . . Xa
И
Г \Xif X2, • • • • n^J = м-* ^л^, Л2, • • • , Xn),
Рассмотрим член А^лx2r2 ... x*rnt r=l, 2, ..., /
многочлена F (xl9 x2, ..., xn). Если в многочлене
Ф(*i> *2> • • •» *л) нет члена, подобного Arxlkrlx*r2 ... **гл ,
то прибавим к нему член В^,*г1л:?*г2 ... x*rnt считая Вг
равным нулю. Точно так же прибавим (в случае
необходимости) к многочлену F (xlt *2, ,. , хп) все другие члены
с коэффициентами, равными нулю, которых в нем
недостает. Тогда каждому члену одного из заданных многочленов
будет соответствовать подобный член другого многочлена
118

(эти члены мы будем называть соответствующими) и
многочлены запишутся так:
г \Хи Х29 • ¦ • > Хп) = ^i-Kj Х2 . . . %п -р
-\-А2ххг*х2гг... хп п -j- ... -|- Asxl s x2 s ... xn snj
Ф (Xl9 Х2, . . .,_ ЛГЛ) = ВгХ^ Х2* ... #л -р
+ Вгх\»хк» ... *> + ... + ?,**.%*»» ... *>.
Расположим эти многочлены по убывающим степеням
одного из переменных, например хг. Для того чтобы
записать многочлен F (лг1э х2, ..., л:п) по убывающим
степеням х1У сгруппируем все его члены, в которые хх входит
в наивысшей степени (пусть это будет m-я степень), и
вынесем х™ за скобки, затем сгруппируем все члены, в
которые входит х™~ , и вынесем за скобки х™~~ и т. д.
Выражения, которые останутся в скобках, будут
многочленами от (п—1) переменных; их мы обозначим
соответственно символами
/О \*^2> • • • » *л/» /1 v^2» • • • »**77/> • • • э In \Х2> • • • > Хп).
Аналогично поступим и с Ф (х19 х2, ..., хп).
Тогда
Г (Х^, Х2, . • • , Хп) = /q (-?2» -^3» • • • > «^я/ Х\ ~Г
"Г/1 V-^2» *3> • • • » *л) *^1 ~Г • • •
• • • "| /тг-1 \^2» *^3» • • • > «^п/ *^1 Г /т \Х2> *^3» • • • > ^л/>
VU (Х1э «?2, • • • у Хл) = ф0 (Х2, -^з» • • • » *^л/ *^1 1~
2> *3> • • • >
• • • "Г Ф/я-1 \*2> *3» • • • » *л) xl i Фт v*2» • • • > хп)'
Коэффициентами многочленов ft (х21 х3, ..., хп) и
Ф/(^2» хз> •••» *л)(* =0i 1» • ••• т)> как это видно из
изложенного выше, являются коэффициенты
соответствующих членов (т. е. коэффициенты подобных членов)
многочленов F (х19 х2, ..., хп) и Ф (х19 х2, ..., хп).
119

По условию
/О v*2> Х3, • • • » Хп) Х\ I /1 (^2» Х3, • • • > -^я) -^1 ~Г • • •
••• 1" //л—1 (-^2» *^3» •••» *л) *1 \1т \^2> -^3» •••> -^я/ ==
= ф0 (ЛГ2, АГ3, • • • » #n) ATj -[- ф! \Х2у АГ3, . . • , Хп) Х^ -\- . . .
• • • Т" Фяг-1 (*2» *3> • • • > *я) *1 "Г Фях (*2> -^3» • • • » *я)# (')
Зафиксируем произвольно значения переменных х2,
х3, . . . , хп. Тогда тождество (7) можно рассматривать
как тождество двух многочленов от одного переменного х19
и поэтому в силу вышеизложенного соответственные
коэффициенты этих многочленов будут равны, т. е.
/О («^2» *3> • • • 9 Хп) == Фо v^2> ^3> • • • > Хп),
/1\<2* Х$9 • • «э •*я/==Ф1 \"*2> **3> • • •» **я/» • • •» //7iv*2» "^3> • • •» Хц):==-
= Фт (*2> *8> • • • » *«)•
Так как значения переменных х2> х3, ..., хп можно
выбрать произвольно, то эти равенства являются
тождествами. Поэтому в силу предположения, что условие
теоремы для многочленов от (п—1) переменных необходимо,
коэффициенты подобных членов многочленов ft(x2, х3, ..., хп)
и ф, (х2, х3, ... 9 хп) равны. Но коэффициентами подобных
членов многочленов fl (x2f х3, ... ,хп) и ф, (х2, лг3, ..., хп),
как это отмечалось выше, являются коэффициенты
соответственных (т. е. подобных) членов многочленов
Г \Х^9 X2i • • • } Хп) И VI/ [Xif Х2у • . • , Хп)9
и поэтому
Лх = Blf А2 = В2, • • •» As = ?з5.
Как было показано выше, равенство коэффициентов
является необходимым условием тождественного равенства
многочленов от одного переменного. Сейчас мы показали,
что если это условие необходимо для многочленов от (п — 1)
переменных, то оно необходимо также и для многочленов
п переменных. Поэтому в силу принципа математической
индукции равенство коэффициентов необходимо для
тождественного равенства многочленов от любого числа
переменных.
Из теоремы о тождественности двух многочленов
вытекают следующие следствия:
120

1. Всякий многочлен от нескольких переменных может
быть записан в канонической форме (с точностью до
порядка размещения членов) единственным способом.
Действительно, если
/ yX^j Х2у • • • ) Хп) = /\]Х y %2 • . . Хп —J—
+ А2х1»х\" ... ***• + ... -f 4**S'4S' ••' xnsn>
+ B2x[» ... x^ + ... +Brx^x2lr> ... xnl«
две записи многочлена f (xl9 x2f ..., xn) в канонической
форме, то
Arf»4" ... *„*»» +Л,**»**- ...*„**" + ...
... + Atf*xf* ... *„*«» = В^»4" • • • *„'1л + • • •
• • • "Т" ^гХ\ • ' • Хп
В силу теоремы о тождественности двух многочленов
коэффициенты подобных членов левой и правой частей
этого тождества будут равны, и, следовательно, две записи
многочлена в канонической форме состоят из одних и тех
же членов и могут отличаться одна от другой только
порядком размещения членов.
2. Если заданный в канонической форме многочлен от
нескольких переменных тождественно равен нулю, то все его
коэффициенты равны нулю.
Действительно, тождественно равный нулю многочлен
F (х1У х2, . . . , хп) тождествен нуль-многочлену, все
коэффициенты которого равны нулю. Поэтому в силу теоремы
о тождественности двух многочленов все коэффициенты
многочлена F (хг, х2, . . . , хп) равны нулю.
§ 5. Тождественные преобразования многочленов.
Тождество Лагранжа
При решении различных задач довольно часто
приходится выполнять тождественные преобразования
многочленов, т. е. заменять данный многочлен тождественным
ему многочленом. Тождественные преобразования много-
121

членов, заданных над числовым полем, выполняются, как
это отмечалось в § 1 этой главы, на основании
коммутативного и ассоциативного законов сложения и умножения чисел
и дистрибутивного закона умножения относительно
сложения, а также правил действий над числами,
вытекающих из этих законов. Рассмотрим, например, следующее
тождественное преобразование многочлена от п переменных:
(*М-*1+ ••• +^)(ai"ha2+ ••• +я«)—(ОА + ОЛ+ •••
... +an*n)2 = a2*2 + a2*!+ ••• +а2\х1 +
••• +а2пх1—а\х\—а\х\ — ••• —*1*1—
... — 2а2а„х2хп — ... — 2an^anxn^xn =
= [а\х\ — 2а1а2х1х2 + а2,*?) -\- (а2лг2 — 2а1а3*л + fl3*i) ~Ь
+ ...+(a?*2 — 2аА*Л + <*?) +
+ (а\х\ — 2ci2a3x2x3 -f a2a:2) + ... + (a\x\ — 2a2anx2xn +
+ a2x2) + ... + (a2^^2—га^а^.^ + a*x\_x) =
= (ал — a2xxf + (аЛ — а3хг)2 -f ... -f (fllхя — ад)2 -f
+ (a2*3 — а3л:2)2+(а2л:4—a4^2)24- • • • + (а2*я — V2)2 + .. •
••* "Г \an-lxn anxn-l) •
Следовательно,
[х\ + х\+ ... -f*2)(a2-f a2 + ... + а2)-
— (ал + а2х2 + • • • + я А)2 = (я А — a2*i)2 +
+ (аЛ — °3^i)2 + - • • + (АЛ — fln*i)2 + (АЛ — Яз*2)2 +
+ (ЗД- «Л)2+ ... +(?«-V2)2 + "«
• • • "Г V^r7—1-^л anxn—l) •
Это тождество называется тождеством Лагранжа.
Сокращенно его записывают так:
П П / П \2
S А 2а!— ?ал = S (ал—ал)2-
f=l /-1 \/-1 / \<k<l<a
122

Из тождества Лагранжа вытекает, что при
действительных cij и xt равенство
/-1 /-2 \*-1 /
имеет место тогда и только тогда, когда каждое из
неотрицательных слагаемых (akxl— dfXk)2 правой части
тождества превращается в нуль, т. е. когда акхь — atxk = 0 и,
значит,
й=2, где \<k<l<n.
ak aL
Таким образом, при действительных xt и af равенство
(х* + х*+... +д*)(а? + *5+... + а*)-
= (агхг + а2х2 -f ... + апхп)2
имеет место тогда и только тогда, когда
Х\ ?2 __ ^П
— • . . — •
ах а2 ап
Если хотя бы одно из чисел alf a21 . . . , ап равно нулю,
то такая запись условия теряет смысл. В этом случае его
следует записывать в виде
х,= ka% (i = 1, 2, . . . , л),
где k — некоторое число. Такая форма записи условия
имеет смысл независимо от обращения чисел а1У ... а„,
в нуль.
§ 6. Применение метода неопределенных коэффициентов
при выполнении алгебраических действий
над многочленами
В ряде случаев при алгебраических преобразованиях
мы встречаемся со следующей ситуацией: вид результата
может быть указан до выполнения преобразований.
Например, при перемножении двух квадратных трехчленов
мы заранее знаем, что произведением их является
многочлен четвертой степени, неизвестными остаются лишь его
коэффициенты. Точно так же при делении многочлена пя-
123

той степени на бином х — а в частном непременно
получится многочлен четвертой степени, а в остатке —
постоянное число, которое может, в частности, оказаться
равным нулю.
Во всех таких случаях результат преобразований
может быть записан в заранее известном виде с наперед
неизвестными — неопределенными — коэффициентами,
которые можно обозначить какими-либо буквами.
Аналитическое выражение, имеющее в своем составе
неопределенные коэффициенты, называют выражением с
неопределенными коэффициентами.
Если из каких-либо соображений удается найти
числовые значения неопределенных коэффициентов, то тем
самым будет найден искомый результат алгебраического
преобразования. Такой способ нахождения результата
алгебраических действий — путем записи его в виде выражения
с неопределенными коэффициентами с последующим их
нахождением — называют методом неопределенных
коэффициентов. Для его применения необходимо заранее знать,
в каком виде может быть представлен результат данного
действия.
Часто неопределенные коэффициенты алгебраическо-
ко выражения определяют исходя из того, что при
заданных значениях переменных, входящих в алгебраическое
выражение, оно принимает определенные значения. В этом
случае в выражение вместо переменных подставляют их
определенные значения и результаты, получаемые при
этом, приравнивают соответствующим числам. Таким
образом получают систему уравнений, в которой
неизвестными будут неопределенные коэффициенты. Если
система уравнений совместна и имеет единственное решение,
то для неопределенных коэффициентов находят
определенные числовые значения, решая полученную систему.
Если система совместна, но имеет бесчисленное множество
значений, то часть коэффициентов остается
неопределенными, а другие выражаются через них. Если же система
уравнений несовместна, то найти значения
неопределенных коэффициентов невозможно.
Метод неопределенных коэффициентов широко
применяется при выполнении алгебраических действий над
многочленами, и, в частности при тождественных
преобразованиях многочленов. При этом уравнения для нахождения
неопределенных коэффициентов многочлена получают, при-
124

равнивая соответствующие коэффициенты данного
многочлена и тождественного ему преобразованного многочлена
с неопределенными коэффициентами, поскольку эти
коэффициенты должны быть равны, или приравнивая
значения данного и преобразованного многочленов при
некоторых значениях переменных, входящих в них.
Примеры.
1. Записать в канонической форме произведение
(*_2)(*-3)(* + 4)<*+5).
Решение. Произведение есть многочлен четвертой степени.
Положим,
(х — 2) (х — 3) (х + 4) (х + 5) = оо*4 + агх* + а2х* + а3х + а4.
Так как коэффициент старшего члена произведения равен 1, а
свободный член его равен 120, то Oq = 1, а4= 120 и, значит,
(х — 2) (х — 3) (х + 4) (х + 5) == х* + Я!*3 + а2х2 + а.^х + 120.
Для определения alf a2 и <23 положим
* = 2, х = 3, *=—4.
Тогда получим:
8aj + 4а2 + 2а3 + 136 = 0,
27aj + 9а2 + За8 + 201 = 0,
—64^ + 16о2 — 4а3 + 376= 0,
т. е.
4я, + 2а2 + а8 =— 68,
9ах + За2 + я3 ==— 67,
16^ —402 + ^3=+94.
Отсюда
0i = 4, Ог =•— 19, а8 ="" 46.
Следовательно,
(л: — 2) (х — 3) (х -f 4) (х + 5) = х* + 4х3 — 19л:2 — 46* + 120.
2. Найти частное q(x) и остаток г(х) от деления *б—2х3 — 16*а+
+ 9а: — 1 на Xs — 3*2 + 2* — 1.
Решение. Так как старший коэффициент частного q(x) равен
1, то пусть q(x) = х2 + Ьх + о, а остаток r(x) = ai*2 + bxx -f- ^.
Тогда
д*_2;с3 —16*2 + 9х — 1 *={х* — 3х2 + 2х— \)(х2 + &* + с) +
+ а1х2-|-61д: + с1,
или
хъ _, 2х3 — 16х2 + 9а: — 1 «= х* + (& — 3)*4 + (о — 36 + 2)*3 +
+ (2Ь — Зс + ах — 1) х2 + (2с + Ьг — fc) * — с + сх.
125

Отсюда
6 — 3 = 0, с — 36 + 2=— 2, 26 — Зс + а! — 1 =— 16,
2с + 6х —6 = 9, —0 + 0!=—I,
и, значит,
6 = 3, с =5, fl!=—б, 6Х = 2, сх = 4.
Следовательно,
q(x) = х2 + 3* + 5, г(х) =— б*2 + 2х + 4.
3. Найти многочлен /(*, у) первой степени от переменных х и
у, который при х = 0, у=1 равен 1, при * = 1, у = 1 равен 3,
при х =— 1, у = 2 равен 2.
Решение. Пусть /(*, у) = ал: + 6у + с.
Для определения а, 6 и с положим
д: = 0, у = 1; х=\, у = 1; * =— 1, у = 2.
Тогда получим:
6 + с = 1, а+6 + с = 3, —а+26 + с = 2,
откуда
а = 2, 6 = 3, с =—2.
Таким образом,
/(*, ^) = 2д: + Зу-2.

Глава VII
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ
НЕИЗВЕСТНЫМИ
§ 1. Понятие системы уравнений
Естественным обобщением понятия уравнения
является понятие системы нескольких уравнений с несколькими
неизвестными.
Системой уравнений называют совокупность нескольких
уравнений, для которых надо найти системы значений
неизвестных, каждая из которых удовлетворяет всем этим
уравнениям.
Систему т уравнений с п неизвестными х1У х2, . . ., хп
в общем виде записывают так:
/lv^H *^2» • • • » *^я/ == Ф1 \%1* *^2> • • ' » *^п/»
/2\*^1» *^2» • • • » %п) = Ф2 v^l> *^2» • • • » Хп)9
fm\Xl> Х2> • • • *Хп) — Фт(-^1» Х2> • • • » Хп)'
Функции Ъ(хг, х2, . . . , хп), . . . , ?„(*!, х2, . . . , хп)
называют левыми частями, a
ф]Л-*а» %2> • • • f *^я/» • • • » Ф/77\^1» *^2» • • • » ^я/
правыми частями уравнений системы.
Как и в случае одного уравнения с несколькими
неизвестными, в некоторые из уравнений или в левые, или в
правые их части некоторые неизвестные могут не входить.
Число уравнений системы может быть большим,
равным или меньшим, чем число неизвестных, входящих в ее
уравнение.
Общую часть областей определения уравнений,
входящих в состав системы, называют областью о п р е-
127

деления системы уравнений. Систему значений
неизвестных хх = k19 х2 = k2, . . . , хп = kn называют
допустимой системой значений неизвестных системы уравнений,
если она содержится в области определения этой системы.
Иначе говоря, система значений неизвестных хх = k1$
х2 = k2, . . . , хп = kn называется допустимой системой
значений неизвестных системы уравнений, если при хг =
= kv х2 = k2, . . . , хп = kn все левые и правые части
уравнений системы имеют смысл.
Система значений неизвестных хг, х2, . . . , хп> при ко-
торых левая часть каждого уравнения заданной системы
равна правой его части, называется решением этой
системы уравнений.
Как и в случае одного уравнения с п неизвестными,
решение системы нескольких уравнений с неизвестными х19
х2, . . . , хп записывают в виде последовательности п чисел,
являющихся значениями неизвестных:
или в виде совокупности равенств:
Х± = /2^, Х2 == к2, • • • у Хп = кп.
Система уравнений может иметь одно, несколько и
даже бесчисленное множество решений или совсем не иметь
их.
Система уравнений, имеющая по крайней мере одно
решение, называется совместной; система же, не имеющая
ни одного решения, называется несовместной или
противоречивой.
Совместная система уравнений называется
определенной, если она имеет конечное число решений, и
неопределенной, если множество ее решений бесконечно.
Решить систему уравнений — это значит исследовать,
совместна она или нет, и если совместна, то найти все ее
решения. При решении системы уравнений все ее
уравнения рассматриваются над одним и тем же числовым полем.
Примеры.
1. Система уравнений
хг + 2*2 = 4,
Х\ *2 == ?
совместна и имеет единственное решение: хх = 0, х2 = 2.
128

2. Система уравнений
х2 +х\ =41,
х2 —*2 = 9
совместна и имеет несколько решений.
Действительно, решая эту систему методом, известным
читателю из школьного курса алгебры, найдем такие ее решения:
*i = 5, х2 = 4;
*i=5, *2=—4;
Х\ = — 5, *2 =— 4;
*! = — 5, *2 = 4.
3. Система уравнений
*? +3*2 — 3*8 = 4,
х\ + 2*2 = 2
совместна и имеет бесчисленное множество решений. Действительно,
вычтя по частям второе уравнение из первого, найдем х2 — 3*3 = 2,
откуда *2 = 2 + 3*з- Подставив значение х2 во второе уравнение,
получим *!2 +6*з +4 = 2, так что
*! = Y— 2 - 6*3.
Следовательно, эта система имеет бесчисленное множество
решений. Они задаются формулами
*х = ]/"— 2 — 6*з,
*2 = 2 + 0*3,
в которых *3 может принимать любое значение.
4. Система уравнений
*?+*2+*2=10,
х\—х\ + 2хгХз = 12,
*?+*^+*2=15
несовместна. Действительно, левые части первого и третьего
уравнений одинаковы, а правые — различны; поэтому не существует
системы чисел, которая одновременно удовлетворяла бы первому
и третьему уравнениям.
§ 2. Равносильность систем уравнений
Две системы уравнений с одними и теми же
неизвестными:
Jl\Xlf Х2, . • • ? Хп) = <Pi(*i> Х2, • • . , Хп)
12\Х1У Х2, . . . , Хп) = ty2(Xly Х2, . . . , Хп),
fm\xV *2» • • • > Хп) — Фот\^1> Х2, ... , #л)
129

и
Ylv^l > *2» • • • > Хп) == Sl\^l* %2* • • • » ^л)»
$2(xv х2, . . . , хп) = g2{xv х2, . . . , хя), (2)
YtV^l» ^2» • • • » Хп) — ?l\Xl> «^2» • • • > Хп)>
рассматриваемые над одним и тем же числовым полем Р,
называются равносильными над этим полем, если каждое
решение любой из этих систем уравнений является
решением и другой из них.
Две несовместные системы уравнений также считаются
равносильными.
Две равносильные системы уравнений могут состоять
из одинакового и различного количества уравнений. В
частности, система уравнений может быть равносильна
одному уравнению.
Примеры.
1. Система уравнений
«1*1 +hx\ + сг + dx = dlt
9 9 (3)
а2х{ -\-Ъ2х\ + с2 + (k = d2t
где di и d2— любые числа, равносильна системе
a1x\+b1x\ + cl=- О,
а2х\ +Ьгх\ + с2 = О
над всяким числовым полем.
Действительно, всякое решение хг = klt х2 = Ь^ системы (3)
является решением системы (4), и, наоборот, всякое решение хг =
*= /ь Х2 = h системы (4) является решением и системы (3).
2. Над полем действительных чисел система уравнений
хг-х2 = 0 (5)
равносильна уравнению
*2+*! = 0, (6)
так как в этом поле единственным решением как системы (5), так
и уравнения (6) является система значений неизвестных *i=0, x2= 0.
Как и понятие равносильности уравнений, понятие
равносильности систем уравнений является относитель-
130

н ы м: две системы уравнений могут быть равносильными
над одним числовым полем и неравносильными над другим.
Так, например, системы уравнений
*1 + *2 = О,
хх-х2 = 0 (7)
и
^ -|- а:| = О,
4+4 = о (8)
над полем действительных чисел равносильны, поскольку в этом поле
обе они имеют единственное решение: хх = 0, х2 = 0.
Над полем комплексных чисел эти системы не равносильны:
система (7) имеет в поле комплексных чисел единственное решение
Xi = 0, *2 = 0, а система (8) — три решения:
Xi=0, #2=0,
#i=l» x2=i,
*!=1, х2=»— /.
Очевидно, что две системы уравнений, равносильные
одной и той же третьей системе, равносильны между собой.
Наиболее распространенным приемом решения систем
уравнений является переход от данной системы уравнений
к новой, равносильной данной, но более простой.
Рассмотрим некоторые способы получения новых
систем уравнений, равносильных заданной. Предположим,
что нам даны две системы уравнений:
tl\Xl> X2i • • • > Хп) == Ф1 \Х1> Х2> • • • » Хп)>
12\Х1> Х2* • • • » Хп) ~ Ф2 \Х1> Х2> • • • > Хп)'
И
lm\xv х2> • • • > хп) — Ф/hv^i» х2* • • • » хп),>
f/, (XH Х2> • • • > Хп) — Ф*, (Х1> Х2> • • • » Хп)>
fiu \XV Х2> • • • » Хп) === Ф^2 v^l> Х2> • • • > -^й)»
/ tk \Xl> Х2> • • • > *л) == Ф*? \*1» *2> • • • f *я)«
Если каждое уравнение второй системы входит в первую,
то вторую систему называют подсистемой первой системы.
131

Теорема I. Если в системе уравнений
/i(Xl» х2, . . . , хп) = (|\ (xlt х2, . . . , хп),
/ 2\^1» ^2» ' • • » ^Л/ == Ф2 \*^1> ^2' • • • » Хп),
(9)
ts\xv Х2, . • • » *п) == ф$ («*а> -^2» • • « I *л/>
Тт\Х1> Х2> • • • t *л) — Фя-Л-^1» *2> • • • » *я)
любую ее подсистему заменим равносильной ей системой
уравнений, то получим систему уравнений, равносильную
заданной.
Кратко эту теорему можно формулировать так:
В системе уравнений можно заменить любую ее
подсистему равносильной ей системой уравнений.
Предположим, что в системе (9) подсистема,
состоящая из некоторых s ее уравнений, заменена равносильной
ей системой
Ylv^l» Х2, • • • » Хп) = Si \%1* X2, . . . , Xn),
•ф2(*1> x2, . . . t xn) = gn(xv x2i . . . , xn), (10)
Yfcv^l» X2f . . . , Xn) — §k\Xi> X2, ... , Xn),
Так как нумерацию уравнений системы мы можем
изменять, то всякие 5 уравнений системы мы можем
занумеровать числами 1, 2, . . . , s. Поэтому можем считать, не
теряя общности рассуждений, что системой (10) заменена
подсистема, состоящая из первых s уравнений системы (9).
Итак, будем считать, что системой (10) заменена
подсистема
Tl\Xit Х2, . . . , Хп) = ф! (Xlt Х2, . . . , Хп),
/2(Л.» Х2у . . . , Хп) = ф2 \Xi, Х2, . . . , Хп),
(И)
/Д*1> Х2, . . . , Хп) = ф5 (Хг, Х2> . . . , Хп).
В результате такой замены получим систему уравнений
\[)j (Xl9 Х2, . . . , Хп) = gx \Хг, Х2, . . . i Хп),
1|)2 (Х19 Х2, . . . , Хп) = g2 {Х1У Х2, . . . , Хп),
132

Ys \X1> X2> • • • > **7i) — Ss \XV X2> • • * » *л)
fs+l\XV X2> • • • » *л) = Ф^+l V*l» *2» • • • » «*я/
/s+2v^l> -^2> • • • » -^я) = Ф^+2 V^l> *2> • • • » *^я) (*^)
lm\xl> x2i • • • > -^я) — ф/л \xi> x2> ••• > *л)>
состоящую из системы (10) и подсистемы
/5+1 \XV Х2> • • • » -*7z) = Ф$+1 (*1> *2» • • • » -^л)»
S+2\XV Х2> • • • > *Я/ = Ф.У+2 (**1> *2> • • • » ^Я/»
(13)
1т \х1> х2> • • • *. хп) = Фт 0*1» х2> • • • » *я)'
Системы уравнений (9) и (12) равносильны.
Действительно, всякое решение системы (9), будучи решением
каждого из уравнений этой системы, является решением и
подсистем (11) и (13), а следовательно, и системы (10),
равносильной подсистеме (11). Будучи решением системы (10)
и подсистемы (13), это решение является решением и
системы (12). Наоборот, всякое решение системы уравнений (12)
является решением системы (10) и подсистемы (13), а
значит, и подсистемы (11), равносильной системе (10).
Будучи решением подсистем (11) и (13), оно является
решением и системы (9).
Из этой теоремы вытекает непосредственно следующее
следствие:
Если в системе уравнений заменим любое ее уравнение
равносильным ему уравнением, то получим систему
уравнений, равносильную первоначальной.
Так как каждое уравнение
// \Х1> Х2> • • • 9 Хп) == Ф/ \Х1> Х2' • • • э Хп) Vе == *» ^» • • • » ™Ч
системы
/1 \Xlt х2> • • • » Хп) ~ 9l0*l> X2> • • • » Хп)у
f2(xl9 x2i . . . , хя) = <р2(хг, х2, . . . , лгя), (14)
/т 0*1» x2i • • • > *^я) — Фт 0*1» *2> • • • t -*я)
можно заменить равносильным ему уравнением
/ / \х1> Х2у • • • > Хп) Ф/ 0*1» Х2> • • • » -О == ^>
т. е. уравнением вида F (*x, х2, .. . , хп) = 0, то и систему
/
133

уравнений (14) всегда можно заменить равносильной ей
системой уравнений вида
* 1 V^l» Х2* • • • » Хп) == ^»
F2 (xv х2, . . . , х„) = 0, (15)
**т\х1> Х2* • • • > *л) — ^.
Всюду дальше в общих рассуждениях мы будем
рассматривать лишь системы уравнений именно такого вида.
Теорема 2. Если к одному из уравнений системы
*1 \Х1* Х2> • • • » Хп) == ^>
F2(xlt х2, . . . t xn) = 0, (16)
Гт \Х1* Х2> • • • » хп) — ^.
умноженному на множитель f (х1У х2, . . . , хп), имеющий
смъхл и не обращающийся в нуль при всех допустимых
системах значений неизвестных, прибавим некоторые
другие ее уравнения, умноженные на любые множители
f(xx, х2,... , хп), определенные при всех допустимых системах
значений неизвестных, а остальные уравнения оставим без
изменений, то получим систему уравнений, равносильную
заданной.
Доказательство. Предположим, что
последнее уравнение системы (16) умножено на определенный и
отличный от нуля при всех допустимых системах значений
неизвестных множитель / (х1У х2, . . . , хп) и затем к нему
прибавлены первые s уравнений системы, умноженные
соответственно на множители срх (х1У х2, ... , хп),
Ф2 (хъ, х2, . . . , хп), . . . , ф5 (х±, х2, . . . , хп), которые
определены при всех допустимых системах значений
неизвестных. Докажем, что система
* 1 v^i» Х2, . . . , Хп) = и,
Fs (xi> хъ • • • > *п) =°. (I7)
* s+l \XV X2' • • • » Хп) == ">
* nv-l \Х1> Х2* • • • » *л) — ^,
134

t\xl* Х2* • • • » хп)^т\ХЪ Х2> • • • » хп) Г"
"Г Ф1 \Х1> Х2> • • • » **7z) *1 (XV Х2> • • • » Хп) "Г • • •
..• + Ф,(*1» *2> • • • . xn)Fs(xv хъ • • . > *«) = 0
равносильна системе (16)*.
Пусть *t = kv х2 = fe2, ... , хп = kn есть некоторое
решение системы (16), т. е.
Л (*l, й2, . . . , AJ = 0,
^ (*i, А», . . . , К) = 0,
*5+1 V4L» ^2» • • • ' ^л) = ^,
* ira-l(^l> ^2» • • » » ^л) == ^,
*т №.» ^2» • • • » ^л) == ^»
Тогда также
ф1 (#1» &2, • • • » ^л/ *1 \^1» ^2» • • • » ^л) == ^»
ф2 (/?!, &2, ...» кп) Г2 V^i» &2> • « • > ^л/ == ^»
ф$(^1> ^2» • • • i ^п) * s ("О.» ^2» • • • » ^л) ==: "»
/ (&1> #2» • ¦ • » ^л) Гm\fcl> &2> • • * » ^л) == "
и, значит,
Л (*i, Аа> . . . , ^ = 0,
f(*i. **. • • • A)Fm(K К • • • . *л) +
I Tl V^l» ^2» • • • » ^Л/-^1\^1» ^2» • • • > ^л) ~Т" • • •
. ..+фЛ*1> *2. • •• . K)FS(K К ••• t ^л) = °-
Следовательно, л^ = &1э я2 = &2, . . . , хп = fe„ есть
решение системы (17). Таким образом, всякое решение
системы (16) является решением и системы (17).
* При таком предположении мы не теряем общности
рассуждений, так как всегда можно изменить нумерацию уравнений системы
таким образом, чтобы уравнения, которые прибавляются, имели
порядковые номера 1, 2, ..., s, а уравнение, к которому они
прибавляются, имело порядковый номер т.
135

Наоборот, всякое решение
%1 == ^1> %2 == Ч2> • • • > *п == п
системы (17) является решением и системы (16).
Действительно, из равенств
* 1 v^l» ^2» • • • » 'л/ = ^>
^ &, /, In) = О,
Fi+1 (llt l2, ... , ln) = О,
Гm—rJ'l* ^2» • • • » *л) — ^»
/ (*1> *2> • • • » *л) **m V*l» *2» • • • » *л) "Г
+ 9i(/i, /2, • - • , ln)Fl(ll> k> • • • » ln) + - • •
• • -+ФЛ*1> Aj> • • • » ln)Fs(ll> k> » • • • Л) = О
вытекает справедливость равенства Fm (llt /2, .. . , /п) = О,
так как f (l19 /2, ... , 1п) ф 0, а значит, и справедливость
равенств ^ (/х, /2, . . . , 1п) = О,
t, » о •••¦•••••
/>, (/1( /„..., /и) = о,
^m-l('l> *2> • • • > 'л) = ^»
* т \'v ^2» • • • » 'л) = ^»
последнее и означает, что л^ = /х, х2 = /2, . . . , *п = /
является решением системы (16). Этим теорема доказана.
Если множитель / (х1У х2, . . . , хп) при некоторых
допустимых системах значений неизвестных обращается в
нуль, то система (17), как видно из доказанной теоремы,
будет следствием системы (16), но не обязательно
равносильной ей. В частности, это может случиться тогда,
когда множитель / (Xjl, х2, . . . , хп) обращается в нуль при
значениях хг, х2, . . . , хп, равных некоторым из решений
системы (17).
Теорема 3. Если уравнение
*? = Ф v^l» *2» • • • > Xk~l> Xk+V • • • э Хп) (**)
равносильно уравнению
Ft(xv х2, . . . , хп) = 0 (19)
136

системы
* \ \х\ч Х2* • • • » -^л) — ^»
Г" 2 \Х\9 Х2, . . . , #„) = U,
* / (Л» *^2» • • • > Хп) == ^»
(20)
^/72 \Х1> Х2> • • • » *л) == ^>
то система (20) равносильна системе
Г l [Xi, Х2, ... , Л^_ 1, ф(^1, Х2> ... , *&—i» -^&+1'
xk+1* • • • » *nJ = ^,
» ^лУ»-
* i—1 1*^1» *^2> • • • » -^А—1> Ф \XL> «^2» • • • » Xk—1* Xk+l> • • • » ^л)
Xk+V ' • * » *л1 == ^»
* /+11*^1» *2> ••• > -^?—1> ф(^1> *2> ••• * Xk—1> Xk+1> ••• » *^л/>
xft+1 . . . , хп\ = 0, (21)
*т\Х1> Х2> ••• i -*-&—1> Ф(*1> *2> ••• » *&—1» ^fc+l» ••• > *л)>
-^/г+1» • • • » *л! == ^,
*& = Ф v^l» *2> • • • > *я—1» */г+1' • • • ' хп)*
Доказательство. Всякое решение системы (20)
является решением системы (21). Действительно, если 1Х>
/2, . . . . , 1п есть решение системы (20), то
Fi Vv /...•-. k) = 0,
***-1 ('l> *2» •
^i Ci. '2. •
M+l (*1> *2> •
Л» Ci /2, •
..,/„) = о,
... g = 0,
..,/„) = 0,
..,/„) = 0,
137

Ik — Ф C'l» ^2» • • • > '&-l> ^/г+1» • • • » 'л)>
так как уравнение (18) равносильно уравнению (19). По'
этому
*u'l> ^2> ••• у 'k-V Ф ('l» *2> ••• » *Л-1» 'k+l> ••• > *л)»
*Л+1» • • • » U = ^1 Cl» ^2» • • • » ^А» • • • » ^я) = Оэ
^t-lt'l» ^2» * ' • » ^A-l» Ф (^1> *2» • • • i lfs-V ^?+1» • • • > ^я)»
/ft+1, ... , /л] = Г;__! (/1э /2, . . . , lkt . . . , ln) = О,
«М+1 1*1» ^2» ' * ' » 'ft-l> Ф ('l» '2» • • • » 'k-V 'k+V • • • » 'л)>
f/H-1» • • • » ^d = */+l Vl> ^2» • • • > U> • • • » 'л) = 0,
Г m\lv ^2» ••• > *&-l» Ф 4*1» ^2» ••• t *k-V 4fc+l» ••• » *л)>
'fc+l> • • • » 'я! == *m (ч.» '2» • • • > '?> *я) = ^>
«, следовательно, /1э /2, . . . , ln удовлетворяют всем
уравнениям системы (21).
Наоборот, всякое решение системы (21) является
решением и системы (20). Действительно, если система чисел
/х, l2i . . . , 1п удовлетворяет всем уравнениям системы (21),
то
h = Ф Vv 'г» • • • i ^k-v tk+i> • • • ^я)
**г (*1» *2> • • • » '?> • • • » *я) == ^>
ибо уравнение (19) равносильно уравнению (18).
Поэтому
*Ч (*1> *2» • • • > '&» • • • » 'л) — *1 1*1» Н> • • • » *?-1»
ф (/ц *2> • • • > ^ft-1» 'й+1» • • • > ^я)> 'а+1» • • • » ^л1 = 0,
*\- (*i» 'г> • • • > чь» • • • » *я) -~ ^>
**m ('l» ^2» • • • » *?> • • • 1 *л) — г т 1*1» *2» • • • > ^?-1»
Ф Vl» ^2» • • • > 'k-V lk+V • • • » ^л)> 'fc+l> • • • у ln\ = 0»
и, следовательно, /1? /г ,. . . , 1п есть решение системы (20).
138

§ 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся
следствием данной системы уравнений
Уравнение
F (xlt x2i . . . , хп) =0 (1)
называется следствием системы уравнений
г1 (xlt x2i ... » хп) = и,
F2 (xlt х2, ... , хп) = 0, (2)
гк (xL, х2, ... , хп) — О,
если всякое решение системы (2) является решением
уравнения (1).
Аналогично система уравнений
Фх (xv x2t ... , хп) = 0,
Ф2(*1> х» ... , лд = 0, (3)
Ф3 (xlt x2f ... , хп) = О
называется следствием системы уравнений (2)ч если всякое
решение системы (2) является решением системы (3).
Следовательно, всякому уравнению и всякой системе
уравнений, являющейся следствием данной
системы уравнений, удовлетворяют все решения данной
системы. Но как уравнение, так и система уравнений,
являющаяся следствием данной системы, может иметь
также решения, которые не удовлетворяют данной системе
уравнений. Эти решения называют посторонними для
первоначальной системы уравнений.
Примеры.
1. Уравнение
(а± х\ + bl х\ + сО - (а2х* + Ъ2х\ + с2) = 0 (4)
является следствием системы уравнений
а\х\ + bxx\ + Ci =0,
о**? + Ь2х\ + с2 =0. <5)
Действительно, если пара чисел k\t k% удовлетворяет каждому
из уравнений системы (5), то она удовлетворяет и уравнению (4).
13Э

Следовательно, всякое решение системы (5) является решением и
уравнения (4).
2. Система уравнений
Хл -р 2>Х\Х2 -J- Хп = ZO,
х\ — 2Xlx2 + д;| == 49 (6)
является следствием системы
Х1 + Х2 = 5»
*i —*2 = 7» (7)
а также системы
#i + х2 =— 5,
*i — *2 ==— 7. (8)
Действительно, всякое решение хг = ku х2 = k2 системы (7) и
всякое решение хг = /1э х2 = /2 системы (8) являются решениями
системы (6).
Очевидно, что всякое решение системы (6), являющееся
решением системы (8), будет посторонним для системы (7) и, наоборот,
всякое решение системы (6), являющееся решением системы (7),
будет посторонним для системы (8).
Система уравнений (3), очевидно, тогда и только тогда
будет следствием системы уравнений (2), когда каждое
уравнение системы (3) будет следствием системы (2).
Очевидно также, что две системы уравнений будут
равносильными тогда и только тогда, когда каждая из этих
систем будет следствием другой из них.
Теорема. Если в системе уравнений
F2 (xv х2, ... , хп) = 0, (9)
* т \*1> -^2» • • • » ^п) — ^
одно из уравнений является следствием подсистемы,
образованной всеми другими уравнениями системы, то эта
подсистема равносильна заданной системе уравнений.
Доказательство. Предположим, что
уравнение
Г i (Х1у Х2, • • • » Хп) = "
системы (9) является следствием подсистемы
*1 \Хц Х2, . . . , Хп) = U,
* i—1 v^l» *^2» • • • » Хп) — U,
140

** l+l \xl> x2> • • • » xn) — ^>
(10)
* m \xl> x2> • • • > xn) — "•
Докажем, что подсистема (10) равносильна системе (9).
Действительно, уравнение
г l (Xlt Х2> . . . , Хп) = U,
будучи следствием подсистемы (10), удовлетворяется
любым решением этой подсистемы, и, следовательно, всякое
решение подсистемы (10) удовлетворяет каждому
уравнению системы (9), т. е. является решением системы (9).
Наоборот, всякое решение системы (9) удовлетворяет
каждому из уравнений этой системы, а значит, удовлетворяет
каждому уравнению и подсистемы (10), т. е. является
решением подсистемы (10). Этим теорема доказана.
Если какое-либо уравнение системы является
следствием подсистемы, состоящей из всех других уравнений
системы, то говорят, что это уравнение является следствием
других уравнений системы. Доказанную теорему кратко
формулируют так:
Если какое-либо из уравнений системы является
следствием других ее уравнений, то его можно отбросить.
Из этой теоремы непосредственно вытекает такое
следствие:
Всякое уравнение системы, которое удовлетворяется
тождественно, можно отбросить.
Действительно, уравнение системы, которое
удовлетворяется тождественно, можно считать следствием других
уравнений системы и, значит, в силу доказанной выше
теоремы его можно отбросить.
§ 4. Основные элементарные методы решения
систем уравнений
Задача решения систем уравнений, вообще говоря,
довольно трудна и далеко не всегда поддается средствам
элементарной алгебры. Чаще всего при решении системы
уравнений заданную систему заменяют, если это возможно,
равносильной ей, но более простой. Процесс замены
продолжают до тех пор, пока не удается получить систему,
которая уже легко решается. При этом всегда начинают с рас-
141

смотрения отдельных уравнений системы, пытаясь
заменить их более простыми.
Основными элементарными методами решения систем
уравнений являются метод алгебраического
сложения и метод подстановки. Рассмотрим
каждый из этих методов.
Метод алгебраического сложения основывается на
теореме 2 (§ 2 этой главы).
При решении системы уравнений этим методом
некоторые из ее уравнений умножают на специально
подобранные множители, которые определены при всех допустимых
системах значений неизвестных, и затем по частям
прибавляют их к одному из других уравнений системы, которое
в случае необходимости также умножают на специально
подобранный множитель, определенный и отличный
от нуля при всех допустимых системах значений
неизвестных.
В результате этого одно из уравнений системы
заменяется новым уравнением. Множители при этом
подбираются так, чтобы это новое уравнение было более простым по
сравнению с замененным уравнением. В частности,
иногда уравнение, к которому прибавляются другие уравнения,
ни на какой множитель не умножают, т. е. специальный
множитель для этого уравнения равен 1.
Чаще всего (но не всегда!) множители подбирают так,
чтобы в новом уравнении уменьшилось количество
неизвестных. Операцию «сложения» повторяют, применяя ее
к различным уравнениям системы, до тех пор, пока не
получат систему, которая уже легко решается (например,
содержит лишь одно неизвестное). Полученная таким
образом система уравнений равносильна заданной системе, ибо
при каждом очередном выполнении операции «сложения»
получают систему уравнений, равносильную, по теореме 2,
§ 2, предшествующей, а следовательно, и заданной
системе. Поэтому для решения заданной системы достаточно
решить полученную систему.
Пример. Решить систему уравнений
x2l + x1x2 + 4xl — 2*=0,
х\ +4*!*! — 2хг + х2 => 0.
Решение. Умножим первое уравнение системы на —хг
и затем по частям прибавим его ко второму уравнению. Получим
систему
J 42

х\ + xYx2 + \х\ — 2 = О,
—х\ х2 + х2 = 0. (2>
Рассматривая второе уравнение этой системы
-*,(*?-1)=0,
приходим к выводу, что решениями его будут те и только те системы-
значений неизвестных, которые превращают в нуль или множитель *г
левой части уравнения, или множитель х\ — 1.
Следовательно, решениями второго уравнения системы (2}
будут системы значений неизвестных
Х\ = k\, ^2 = 0; Xi = 1, х2 = k2\ Х\ =— 1, х2 = /2
(где ftlf &2» ^2 — произвольные числа) и только они.
Подставляя эти системы значений в первое уравнение системы,,
найдем, чему равны /elf k2, l2t и таким образом определим все
решения системы (1). Так, положив в первом уравнении х\ = ki, X2 = 0*
будем иметь
^-2 = 0.
Отсюда k =^ V~2 и, значит,
Xi = — уТ, х2 = 0
суть решения системы уравнений.
Положив, *i = 1, jc2 = k2, будем иметь
44 + k2 — 1 = 0.
Решив это уравнение, найдем еще два решения заданной
системы:
_-1+УТ7 .
*1 — * , *2 »
О
8
Наконец, положив в первом уравнении хг = — 1, х2 = /2*
найдем еще два решения:
1 1+УГ7 .
#1 =— 1 , Х2— ,
о
х __ i х- J-v^
О
на

Иногда при решении системы уравнений методом
алгебраического сложения некоторые из уравнений, к
которым прибавляются другие уравнения, умножают на
множители, обращающиеся в нуль при некоторых допустимых
системах значений неизвестных. Тогда, как указывалось
в § 2 этой главы, система уравнений, которая получается
в результате применения метода алгебраического
сложения, будет следствием заданной системы, но не
обязательно равносильной ей. Поэтому в этом случае для решения
заданной системы уравнений находят все решения
системы, полученной как следствие из заданной системы, и
затем путем подстановки их в заданную систему определяют,
какие из них являются решениями заданной системы.
Пример. Решить систему уравнений
х\ + х1х2 + х1 = 0,
(хг + х2) хг + (*i + х2) х2 + хх — 1 = 0. (3)
Решение. Умножим первое уравнение на (хх + х2), а
¦второе — на —хг и затем первое и второе уравнения сложим.
Получим систему
(*i + х2) хг + (*! +- х2) х2 + х1 — \ =0. (4)
Рассматривая первое уравнение этой системы
*l(*2+l) = 0,
мы видим, что его решениями будут системы значений
хг = 0, х2 = k2\ Xi = ki, х2 =— 1
(где ki и k2 — произвольные числа) и только они. Подставив эти
системы значений во второе уравнение системы (4), найдем, чему
равны ki и къ и определим все решения системы (4). При хг = 0,
х2 =— 1 имеем ^—1 = 0 и, значит, k2=±i. При ^1 = ^1, *2=
=— 1 имеем (ki — 1) ki = 0. Отсюда kx = 0, k2=* — 1.
Следовательно, система (4) имеет следующие три решения:
хг = 0, х2 = 1; ^ = 0, х2 =—1; ^ = 1, х2 = — 1.
Подставляя эти решения в систему (3), убеждаемся, что только
первые два из них удовлетворяют системе (3). Следовательно,
система (3) имеет два решения:
*i = 0, *2=1; *! = (), х2=* —-1.
Метод подстановки основывается на
теореме 3 (§2 этой главы). При решении системы уравнений
144

**! \Хц x2, • • • » xn) — ™>
(5)
*1Я—1V*1> *2> • • • » Xn) = ^>
*Я! V*l» X2> • • • > */i) = 0.
методом подстановки решают одно из ее уравнений,
например последнее, относительно одного из неизвестных,
например xv и записывают его в виде
Ч = Ф (Х2> Х2> • • • » **)> (6)
т. е. уравнение /^ (л^, л:2, ... , хп) = 0 заменяют
равносильным ему уравнением #,_ = ср (л:2, л:3, . .. , хп).
Найденное выражение для хх подставляют во все
другие уравнения системы. В результате этого получают
систему
«*1 L ф \^2» • • • > Хп), Х2, • • • > Хп] = U,
Fmr-1 I Ф (*2> • • • , **). *2> • • • » *д] = °> (7)
в которой число уравнений и число неизвестных на
единицу меньше, чем в первоначально заданной.
Систему уравнений (7) с (п — 1) неизвестными решают
и затем для каждого ее решения х2 = &2, х3 = 1%, ....
. . . , х3 = &3, . . . , хп = km подставляя это решение в
формулу (6), определяют соответствующее значение kx
исключенного неизвестного хг.
Найденные таким образом системы значений
неизвестных х19 х2, . . . , хп являются решениями заданной
системы уравнений, и никаких других решений система (5) не
имеет.
Действительно, если х2 = k2, х3 = k3, . . . , хп = kn
есть решение системы (7) и kx = ер (k2t k3, ... kn), то
система значений хг = kl9 х2 = k2, ... , хп = kn является
решением системы
* 1 1ф\^2> • • • j Хп), Х2У . . . , Хп\ = U,
г2 1ф\-^2> • • • 9 Хп), Х2, • • • » Хп\ = U,
(8)
* ОТ—1hPv*2> • • • » -*7Z/» -^2» « • • ' *7lJ = ^»
#1 = ф («^2» *^3» • • • t ^Я/>
145

и, наоборот, если kv k2, ... , kn есть решение системы
(8), то k2f ka, .. . , kn есть решение системы (7) и kx =
= Ф (&2, k3, ... , kn). Следовательно, найденные системы
значений неизвестных являются решениями системы (8) и
ими исчерпываются все ее решения. Но так как
*1 = ф (*2> Х8> • • • > Хп) (9)
и
Гт \хц Х2* • • • » хп) == ^
есть равносильные уравнения, то, по теореме 3 (§ 2 этой
главы), заданная система уравнений (5) равносильна
системе (8) и, следовательно, имеет то же множество решений,
что и система (8). Следовательно, найденные нами
системы значений неизвестных и только они являются
решениями заданной системы уравнений.
Если какое-либо уравнение системы (7) может быть
записано в виде xk =ф (*2, *3, . . . , хкЛч xk+l, . . . , хп), то
для решения ее также можно применить метод
подстановки. Это еще уменьшит на единицу число уравнений и число
неизвестных. Процесс исключения неизвестных методом
подстановки продолжают и дальше, если это возможно и в
этом есть необходимость, до тех пор, пока не получат
систему, решения которой известны или легко определяются.
Если же в результате описанного процесса получают
несовместную систему или уравнение, не имеющее решений,
то и заданная система уравнений несовместна.
Пример. Решить систему уравнений
х\ +х\ +х\ = 54,
Xl — 2x9+ *з=-1, (10)
3*! — Ъх.2 + 2л:3 = 2.
Решение. Разрешив второе уравнение системы
относительно *i, получим
*!=-1 + 2*2-*3. (11)
Найденное выражение для х\ подставим в первое и третье
уравнения системы. Получим систему
(— 1 + 2*2 — *3)2 + х\ +х| = 54, ^
Х2 — Х3 === 5.
Разрешив второе уравнение этой системы относительно *з,
получим
*з = —5+*а. (13)
Подставим это выражение для *3 в первое уравнение системы
(12). Будем иметь:
(- 1 + 2*2 + 5 - х^-\-х\ + (- 5 + *2)2 = 54.
146

Отсюда
3*2 — 2л;2— 13 = 0
и, следовательно,
* ___ 1+2 УТР * __ 1 —2 У^ТО
Хп — , Хп #
2 3 2 3
Для определения соответствующих значений х3 подставим
значения х2 и х"2 в формулу (13) и получим
— 14 + 2 |/Т0 —14—2 >По
II П П
Подставив системы значении *2» хъ и *2» *з в формулу (11),
определим соответствующие значения хх\
, __ 13+2 /ТО „ __ 13-2/15
*!- з ' **" 3
Следовательно, заданная система уравнений (10) имеет два
решения:
, __ 13+ 2/ТО , __ 1 +2 "/ТО , _ —14+ 2 "/ТО
*1- з ' *2~ 3 ' *3~ 3
,_ 13 —2"/ТО „ __ 1-2/ТО „ __ — 14 — 2 КТО
Х\ Л * А^9 Л 1 Хо Л •
1 3 2 з 3 3
Заметим, что механическое применение метода
подстановки для решения систем уравнений иногда может
привести к потере решений заданной системы.
Действительно, в процессе решения системы уравнений методом
подстановки приходится уравнения вида
F(xv x2, ... , хп) = 0 (14)
разрешать относительно одного из неизвестных xk и
заменять их уравнениями вида
%k == Ф \^1* ^2» • • • > %R-1> ^&+1> • • • > **7Z/* (*")
Область определения уравнения (15) может оказаться
уже, чем область определения уравнения (14), т. е.
некоторые из допустимых систем значений неизвестных
уравнений (14) могут не быть допустимыми для уравнения (15).
Это возможно в тех случаях, когда хг = 1г, х2 = /2, . . .
. . , хп = 1п является допустимой системой значений
неизвестных для уравнения (14), но ф (1г, /2, . . . , /Л_г, /ft+1, . ..
. . , ln) не имеет смысла. Тогда может случиться, что
некоторые из решений уравнений (14; не будут удовлетво-
147

рять уравнению (15) и поэтому в результате замены
уравнения (14) уравнением (15) может получиться система
уравнений, которую некоторые из решений предшествующей
ей, а значит, и заданной системы не будут удовлетворять.
Это и приведет к потере решений заданной системы
уравнений.
Так, например, если, решая систему уравнений
4
*i(*2 + l) + *a —5 = 0
*i (*2 ~ 1) — 2*2 + 5*2 — 3 = 0, (16)
методом подстановки, из первого ее уравнения неизвестное *i
выразим через *а и затем найденное выражение
*i'
2х\ - Ъх2 + 3
подставим во второе уравнение, то получим
(х2 + 1) (2*| - 5*2 + 3) + (*а - 5) (х2 - 1)
х2 — 1
Отсюда
(*i - 1) К*2 + О (2*2 - 3) + (х2 - 5)]
*7=1 я0'
2(*2-1)(**-4)
*2— 1
и, следовательно,
х2 =± 2.
Подставив значение х2 в соотношение
*i = -
2*2 — 5*2 -}- 3
*2— 1
определяем соответственно значения неизвестного хц
*'i = 1» *\ =— 7
и, таким образом, находим два решения системы (16):
' I II П
*j = l, *2 = 2 И *! =—7, *2 =—2.
Если же из второго уравнения неизвестное хх выразим через
неизвестное *2 и найденное выражение
__ — *2 + 5
148

подставим в первое ее уравнение, то будем иметь
^х2 + Ъ)(Х2-1) 5 з = 0,
откуда
(*2-1)(-*2 + 5)~(*2--1)(2л:2--3)(*2+1) __ п
х2 + 1
-2(*2-1)(*|-4)
— =0.
*2+1
Решениями этого уравнения являются
*2 = 1, ^2 == ^» х3 === *.
Подставив эти значения х2 в соотношение
— *2 + 5
*1= 7Т~ »
определим значения хг"\
*| = 2, х\ = 1, a:'j" =— 7
и, таким образом, находим три решения системы (16):
х1 = 21 х2 — 1; ^1 = 1, х2 = 2 и х{=— 7, *2 =—2.
Следовательно, применяя для исключения из системы (16) не-
2*1 — 5*2+3
известного *х подстановку *х = , мы потеряли решение
х2 — 1
хх = 2, jc2= !• Произошло это потому, что уравнение *i (*2—1)—
2а:|— 5л:2+ 3
— 2*| + 5*2 — 3 = 0 было заменено уравнением хг =
которому решение хх =2, *2 = 1 не удовлетворяет. Применяя же
— *2 + 5
для исключения неизвестного х% подстановку Xi= , мы за-
*2+1
менили уравнение
Xi(x2 + \) + x2-b = Q (17)
равносильным ему уравнением
— *2 + 5
X!-——. (18)
*2+1
Действительно, всякое решение уравнения (18) является
решением уравнения (17). Наоборот, всякое решение уравнения (17)
является решением также и уравнения (18), ибо уравнению (18)
могли бы не удовлетворять лишь те решения уравнения (17),
которые имеют вид (/?!, —1), но уравнение (17) таких решений не имеет.
Поэтому таким путем были найдены все решения системы (16).
149

При решении систем уравнений элементарными
способами нередко приходится комбинировать методы
алгебраического сложения, подстановки, введения новых
неизвестных (замену неизвестных), а также применять
различные частные приемы, используя специфические
особенности заданной системы. Различных частных приемов
решения систем уравнений настолько много, что их
невозможно предусмотреть никакой общей теорией. При
применении этих частных приемов в каждом конкретном случае
возникает следующий вопрос: все ли найденные нами
решения удовлетворяют заданной системе уравнений и не
потеряли ли мы каких-либо из ее решений? Каждый раз
этот вопрос должен быть специально исследован.
Наличие посторонних решений выявляют путем подстановки
всех найденных решений в заданную систему. Для
выяснения же вопроса о том, не потеряны ли некоторые
решения системы, надо внимательно рассмотреть все
преобразования, которые выполнялись в процессе решений
заданной системы, и исследовать, не приводят ли некоторые из
них к потере решений. С примерами таких исслелований
мы ознакомимся при рассмотрении некоторых систем
уравнений.
§ 5. Решение нелинейных систем алгебраических
уравнений элементарными методами
Как известно, многочлен F (х1У х2, . . . , хп) можно
характеризовать как степенью относительно совокупности
переменных хг, х2У . . . , так и степенью относительно
каждого из переменных xL. Точно так. же можно
характеризовать и уравнение
F(xv x29 ... , хп) = 0. (1)
Уравнение (1) называется алгебраическкм
уравнением степени т, если его левая часть F (х1У х2, . . . , хп) есть
многочлен степени т относительно совокупности
неизвестных х19 х2, . . . , хп. Оно называется уравнением
степени s относительно неизвестного х19
если F (хи х2, . . . , хп) является многочленом от х19 х2, . .
. . , хп степени s относительно xt.
Так, например, 2х\х2х\ — Ъх] х\ х\ + Зх1х2х3 — 8 = 0
есть уравнение седьмой степени относительно
совокупности

ти всех неизвестных и третьей степени относительно
неизвестного х1я
Система уравнений
F2 (*i. Ч> • • • » *п) = °» (2)
' m \Х1> Х2> • • • » *я) — ^
называется алгебраической, если все ее уравнения
алгебраические.
Систему алгебраических уравнений чаще всего
характеризуют наибольшей из степеней уравнений, входящих в
нее; иногда же ее характеризуют суммой степеней всех
уравнений относительно совокупности неизвестных х1э х2, . . ,,хп
или относительно какого-либо неизвестного.
В частности, система уравнений, состоящая из
алгебраических уравнений первой степени, т. е. линейных
уравнений, называется системой линейных уравнений.
Система же алгебраических уравнений, в составе которой
имеется по крайней мере одно уравнение степени не ниже
второй, называется нелинейной системой алгебраических
уравнений.
Так, например,
*i + 2*2 — V3x3 = О,
*? — 2х^2 + 3ix3 = О,
*i + *2 -Ь 4 = °
является нелинейной системой алгебраических уравнений.
Нелинейные системы алгебраических уравнений в
общем виде изучаются в курсе высшей алгебры, в разделе,
который называется теорией исключения. Там
устанавливается общий метод последовательного исключения
неизвестных из системы уравнений с помощью результантов,
вследствие чего решение заданной нелинейной системы
алгебраических уравнений сводится к решению
алгебраического уравнения с одним неизвестным*. Однако
применение этого метода на практике оказывается довольно
громоздким и к тому же не всегда позволяет решить ал-
* В теории исключения также доказывается, что
определенная система, состоящая из s уравнений степеней т± т2, ..., ms
с любыми числовыми коэффициентами, имеет в поле комплексных
чисел не более тхт2 ... ms решений.
151

гебраически заданную систему уравнений, так как не
всякое уравнение с одним неизвестным степени п > 4
решается в радикалах.
Мы познакомимся с одним элементарным методом
решения нелинейных систем алгебраических уравнений,
довольно часто приводящим к цели.
Рассмотрим сначала систему т уравнений с п
неизвестными специального вида, а именно систему
* 1 (#1» #2» • • • 9 Хп) = U,
Г2 (#ii Х2, ... , Хп) = U, (о)
в которой все уравнения, кроме первого, являются
уравнениями нулевой степени относительно неизвестного х1У
т. е. хг не входит в них. Докажем, что решение системы (3)
сводится к решению системы (т — 1) уравнений с (п — 1)
неизвестными
*2 v^2> -^З» • • • » %п) == ^»
* 3 (-^2» ^З» • • • > Хц) == ^> (V
*¦ т \ <s» *^3» • • • » **я/ — ^
и нескольких уравнений с одним неизвестным вида
Л(*1. Ря. Ре. ... . Ря) = 0, (5)
где Р2, Р3, ... Рл — некоторые постоянные числа.
Предположим, что х2 = k2, х3 = k3, . . . , хп = kn есть
решение системы уравнений (4). Подставим эти значения
неизвестных в первое уравнение системы (3). Получится
уравнение с одним неизвестным
F± (xv k2, k3i ... , kn) = 0. (6)
Если Fx (xv k2, k3, ... , kn) есть многочлен степени
s ф 0 относительно хъ то уравнение (6) имеет в поле
комплексных чисел s решений: 119 /2, ... , ls. Каждое из
этих решений /. (/= 1, 2, ,.. , s) вместе с числами k2,
k3, ... , kn образует решение (li9 k2, k3, ... , kn)
системы уравнений (3). Следовательно, в этом случае решение
(k2, k3, 6.. , kn) системы (4) дополняется до решения си-
152

стемы (3) последовательным присоединением к нему
решений уравнения (6).
Если многочлен F± (xlf k2i k3, . . . , kn) от хх
тождественно равен нулю, то неизвестному хх можно придать
произвольное значение / и (Z, k2, &3, . . . , kn) будет решением
системы (3). Если же F (я1э &2, &3, . . . , kn) есть отличное
от нуля постоянное число, то уравнение (6) решений не
имеет и, следовательно, решение (&2, k3, . . . , kn) системы (4)
не может быть дополнено до решения системы (3).
Таким образом, если уравнениеFx (хг, k2, ks,. . . , kn) = О
имеет решения, то, присоединяя каждое из них к
решению (&2, &3, . . . , kn) системы (4), мы будем дополнять
его до решения системы (3).
С другой стороны, всякое решение (Zx, Z2, . . . , ln)
системы (3) порождает решение (/2, /3, . . . , /„) системы (4).
Действительно, если хх = /х, х2 — /2, . . . , хп — 1п
есть решение системы (3), то система значений
неизвестных х2 = /2, х3 = /3, . . . , хп = 1п удовлетворяет всем ее
уравнениям, в которые не входит х19 т. е. всем уравнениям
системы (4).
Из изложенного выше вытекает, что для нахождения
всех решений системы (3) достаточно найти все решения
системы (4) и те из них, для которых это возможно,
дополнить описанным выше способом до решения системы (3).
Если же система (4) окажется несовместной, то и система (3)
несовместна. Таким образом, решение системы (3)
действительно сводится к решению системы (4) и нескольких*
уравнений с одним неизвестным вида
F1(xv p2f Р3,..., Р„) = 0.
Так как всякое уравнение системы можно записать
первым, а всякое неизвестное можно обозначить хг, то нами
доказана справедливость следующего утверждения:
Если в системе т алгебраических уравнений с п
неизвестными все ее уравнения, кроме одного, не зависят от
неизвестного xit то решение этой системы сводится к решению
системы (т — 1) алгебраических уравнений с (п — 1)
неизвестными и нескольких алгебраических уравнений с одним
неизвестным.
* Каждое решение k2, kSt ..., kn системы (4) приводит к новому
уравнению вида (5), т. е. таких уравнений будет столько, сколько
решений имеет система (4).
153

Предположим теперь, что задана система
алгебраических уравнений
rl (xlt х2> • •. » хп) = и,
* 2 \Х1> Х2> • • • » ^л) == "»
**/я 0*1» *^2> • • • » *л) — ^«
Будем характеризовать эту систему суммой степеней всех
ее уравнений относительно неизвестного хх. Если все
уравнения системы, кроме одного, нулевой степени
относительно х19 то в силу изложенного выше решение системы (7)
сводится к решению системы (т — 1) алгебраических
уравнений с (п — 1) неизвестными и нескольких
алгебраических уравнений с одним неизвестным.
Пусть в системе (7) имеется по крайней мере два
уравнения, степени которых относительно jc, больше нуля. Не
теряя общности рассуждений, будем считать, что этими
уравнениями являются первые два уравнения системы.
Предположим, что степень первого из них относительно хг
равна ky а второго—/, причем / ^ k. Выделим в этих
уравнениях члены с наибольшими степенями хх и
запишем систему (7) так:
Vl (^2> ^3» • • • » %п) Х \ 1~ *М \^1> *^2> • • • Хп) = ^>
V2 \*^2» *^3> • • • > Хп) Х\ ~Т" ^2 v^l» ^2» • • • » Хп) :==: U,
*3 \XV Х2> • • • » Хп) == "» V )
* т V^l» Х2> • • • » хп) — ^#
В этой записи Qu Q2— многочлены от х2, хЯ1 ... , хю
a Rv R2— многочлены от х19 х2, ... , хп> причем степень
R\ (*i> х21 ... , хп) относительно хх меньше, чем k, а
степень /?2(*lf х2У ... , хп) относительно хх меньше, чем /.
Рассмотрим теперь две новые системы:
Vl \-^2> *3> • • • > *п) = ^>
Rl (*1, *2> • • • Хп) = 0» (8)
Цс2Ч^2> • • • » Хп) X] -р /\2 V^l» -^2» • • • » *^Л/ = **»
* 3 v^l» ^2» • • • » Хп) == ^>
* /И (*!> Х2> • • • » *л) — О
154

и
Vl \Х29 • • • > Хп) X) ~Т~ "1 \xv x2> • • • э хп) == "• (")
4l\*2» *^3» • • • > -^лЛч:2\*2 *3» • • • Хп) X\~J~^\2\^l' *2> • • • > ^п)\ == "»
*3 И'!» *2» • • • э *^п) === *Л
* /я v^l» *2> • • • » **-п) — U.
Система (8) получается из системы (7) заменой первого
ее уравнения двумя уравнениями:
Vl \%2> *3> • • • 9 *П/ == "9
*М V^l» «^2» • • • > Хп) = U,
Система (9) получается заменой в системе (7') второго
уравнения уравнением
ViV-^2» *з> • • • » -^лЛУгч-^г» ^з> • • ¦ > *^n/^i~i *\2\^i» -^2» • • • »**^I/I=:::^ы'•
Всякое решение системы (8), очевидно, будет
решением и системы (7'), а всякое решение (/lf /2, ... 1п) системы
(7') такое, что Ql (R2, /?3, ... , Rn) = 0 является решением
системы (8).
Всякое решение системы (7') является также решением
системы (9). С другой стороны, всякое решение хх = klt
х2 = k2, ... , хп = kn системы (9) такое, что Ql (k2, k3,
... , kn) Ф 0 будет решением и системы (7'). Если же для
решения (lv /2, ... ,/л) системы (9) имеем
Qi (/«. /» • • • , In) = О,
то оно будет решением системы (7") тогда и только тогда,
когда оно удовлетворяет и системе (8).
Отсюда вытекает, что множество решений системы (7)
совпадает с множеством решений системы (9), каждое из
которых или не обращает в нуль многочлен Ql (х2, х3,..., хп)
или удовлетворяет всем уравнениям системы (8).
Следовательно, для того чтобы найти все решения
системы (7), достаточно найти все решения системы (9) и
отобрать из них те, которые или не обращают в нуль
многочлен (?! (л;2, хЗУ . . . , хп), или удовлетворяют всем
уравнениям системы (8). Если система (9) несовместна, то и
система (7) несовместна. Если же система (9) неопределенная,
то ее решения будут задаваться в общем виде. Для отбора
среди них решений заданной системы возможно придется
решать системы уравнений, получающиеся из системы (8)
в результате подстановки в нее решений системы (9), за-
155

данных в общем виде. Для решения этих систем в случае
необходимости можно снова применить преобразования,
которые мы применяли к упомянутой системе.
Таким образом, решение заданной системы сводится к
решению системы (9) и, возможно, еще некоторых систем,
получающихся из системы (8), но безусловно более
простых. Система (9), вследствие теоремы 2 § 2 этой главы,
равносильна системе
Qi (х2> х* -•> хп) *? + #i (хъ х2> • • • > хп) = О,
Vi \^2> %з> • • • > Хп) 1Уг (-*"2> *з> • • ' > *п) ¦*] "Т~
-\- R2 (xlt х2, ... , хп)\ -\-
+ (— l)Qi(*s» x3, ... , хп)х1Гк^{х2, ... , xn)xki-\-
+ #i(*i хп)] = 0,
*3 \Х1> Х2> • • • > Xtl) = ^»
Гт \Х1> Х2> • • • > хп) == V*
т. е. системе Qx (х2, х3, ... , хп) х\ -\- Rx (xv x2, ..., хп) = О,
4.1 \Х2> Х3> • • • » Хп) ^\2 \Х1* Х2> • • • » Хп)
4.2 \Х2> Х3> • • • » Хп) *М \Х1* Х2> • • • » Хп) Х \ = *Л
Л* (*i> А:а, ... , дгя) = 0, (10)
степень которой относительно хх меньше, чем степень
системы (9), а следовательно, и системы (7).
Таким образом, решение заданной системы уравнений
(7) свелось к решению новой системы (10), степень которой
относительно хг меньше, чем степень первоначальной
системы. К системе (10) можно применить то же
преобразование. Так будем продолжать до тех пор, пока, наконец, не
получится система, в которой лишь одно уравнение
может иметь отличную от нуля степень относительно х1.
Решение такой системы, как мы доказали выше, сводится к
решению системы с меньшим количеством уравнений и
неизвестных и нескольких уравнений с одним неизвестным.
Для системы с меньшим числом уравнений и
неизвестных опять выполняем те же преобразования. Так
продолжаем до тех пор, пока не придем к системе двух уравнений
с двумя неизвестными, одно из которых является алгебра-
166

ическим уравнением с одним неизвестным. Решив это
уравнение, мы найдем значения одного неизвестного.
Подставив эти значения во второе уравнение системы, найдем
соответствующие значения второго неизвестного и т. д. Для
определения значений каждого последующего
неизвестного придется решать алгебраическое уравнение с одним
неизвестным.
Итак, мы доказали, что решение любой нелинейной
системы алгебраических уравнений средствами элементарной
алгебры можно свести к решению нескольких
алгебраических уравнений с одним неизвестным.
Пример. Решить систему уравнений
х\ — 3*!*2 + 2л| +4*2 — 4 = 0,
х\ — 3*! — х\ — 2*2 + 5 = 0.
Для решения этой системы применяем метод, рассмотренный
выше. Будем понижать степень системы относительно хг. Для этого
сначала из первого уравнения вычтем второе и обе части
полученного уравнения разделим на 3. Получим систему
(1—*2)*1 + *2 + 2*2 —3 = 0,
х\ — 3*! — х\ — 2л:2 + 5 = 0,
равносильную заданной системе. В соответствии с изложенным выше
составим две новые системы:
1 — jc2 = 0,
*2 + 2*2-3 = 0, (И)
х\ — Ъхх—х\ — 2*2 + 5 = 0
и
(1 — *2) *i + х\ + 2*2 — 3 = 0,
(1 — х2) (— 3*! — *2 - 2*2 + 5) - (х\ + 2*2 - 3) *! = 0. (12)
Перемножив во втором уравнении системы (12) множители и
приведя подобные члены, запишем систему (12) так:
(1 _ Х2) Xl + х\ + 2х2 - 3 = 0,
(*2 —*г)*1 + А + х1 — 7*2 + 5 = 0.
К системе (12') применим опять то же преобразование, т. е.
составим две новые системы:
1 - *2 = 0,
*| + 2*2-3 = 0, (13)
(*а -дф *!+*! + х\ - 7*2 + 5 = 0
157

и
(1 _ Х2) Xl + х\ + 2х2 - 3 = О,
(1 — х2)(х\ + х\ — 7х2 + 5)-(*а —дф(х| + 2*а — 3)= 0. '
Второе уравнение системы (14) — уравнение с одним
неизвестным. Решая его, находим последовательно
(1 — х2) (х\ + х\ — 7х2 + 5) — (х2 — х\) ( 4 + 2*2 — 3) = 0.
(1— х2) [х\+х\ — 7*2 + 5 — *2 (4 + 2^ — 3)1 = 0,
(1—*8)(-*I —4^8 + 5) =0,
(1 - *2) [(1 - х\) + (4 - 4*2)] = 0,
(l-*2)(l-*2)(5+*2) = 0,
так что второе уравнение системы (14) имеет решения:
Дкп — * » Хп —" * » Хп —-—О»
При х2 = 1 левая часть первого уравнения системы (14)
тождественно равна нулю и поэтому неизвестному х} можно придать
произвольное значение k. При подстановке же в первое уравнение
системы (14) значения хъ — — 5 имеем
6^ + 12 = 0,
откуда
х± = — 2.
Таким образом, система (14) имеет решения (&, 1) и (—2, —5),
где k — произвольное число. Так как решение (—2, —5) не
обращает в нуль многочлен (1 — *г), то оно является решением системы (12)
и заданной системы уравнений. Решение (&, 1) обращает в нуль
многочлен (1 — *г), а также удовлетворяет всем уравнениям системы (13)
и поэтому тоже является решением системы (12).
Так как решение (&, 1) системы (12) обращает в нуль многочлен
(1 —Х2), то оно будет решением заданной системы уравнений тогда
и только тогда, когда будет удовлетворять всем уравнениям
системы (И). Подставив значения jcx = k, x2 = 1 в уравнения системы
(11), получим
#2 _ з/г + 2 = 0.
Отсюда k\ = 2% &г = 1. Таким образом находим еще два решения
заданной системы уравнений: (2, 1). (1, 1). Следовательно, заданная
система уравнений имеет три решения:
(-2, -5); (2, 1); (1, 1).
Рассмотренный нами метод решения нелинейных
систем алгебраических уравнений хотя и элементарный, но
так же, как и метод исключения неизвестных с помощью
результантов, довольно громоздкий. Кроме того, решение
заданной системы уравнений этим методом часто приводит
158

к алгебраическим уравнениям с одним неизвестным,
которые не решаются в радикалах.
Во многих случаях заданную нелинейную систему
алгебраических уравнений удается решить, комбинируя
известные элементарные методы решения уравнений и
систем уравнений — метод алгебраического сложения,
подстановки, введения новых неизвестных (замену
неизвестных) — и применяя различные частные приемы. Но для
этого каждый раз приходится использовать специфические
особенности заданной системы уравнений.
Рассмотрим некоторые такие примеры.
1. Решение системы двух уравнений с двумя
неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой.
Обший вид системы двух уравнений с двумя
неизвестными, из которых одно — второй степени, а другое —
первой
ах\ -\- Ьххх2 -f- сх\ -\- dxx -}- ех2 -{- f = О,
тх1 -(- пх2 -(- р = 0.
Такая система легко решается способом подстановки.
Для этого из второго уравнения системы одно из
неизвестных выражают через другое, например х2 через хг, и
затем найденное выражение подставляют в первое
уравнение. В результате получают уравнение с одним
неизвестным, вообще говоря, квадратное. Решив это уравнение,
находят значение неизвестного xv Подставив найденное
значение хх в соотношение х2 = —тХх р , находят соот-
п
ветствующие значения неизвестного х2.
Пример. Решить систему уравнений
Ъх] — Ъххх2 + х\ — 7*! + 5*2 + 4 = 0,
6*1 — х2 — 4 = 0.
Решим второе уравнение относительно х2:
х2 = 6*1 — 4.
Подставив найденное значение х2 в первое уравнение, получим:
— 7*J + 7*! = 0.
Отсюда
Соответствующие значения неизвестного х2:
Хп =!— 4, Xn = tf
159

Следовательно, система имеет два решения:
a:j = 0, х2 =—4;Arj=l, x2a2,
2. Решение системы двух уравнений второй степени с
двумя неизвестными, которые не имеют членов первой
степени. Система двух уравнений второй степени с двумя
неизвестными, которые не имеют членов первой степени,
в общем виде записывается так:
a^x\ + 6Л*2 + схх\ + Л = О,
агх\ + ь2х±х2 + с2х\ + /2 = 0. ;
Если f1 и f2 отличны от нуля, то умножим первое
уравнение на /2, а второе — на /х и затем из второго уравнения
вычтем по частям первое уравнение. Получим систему
0^2 + *1*Л + схх\ + f± = 0, (16)
Шг — <*Л) *? + ФЛх — bj2) хгх2 + (cjx — cxf2) x\ = О,
равносильную заданной. Предположим, что во втором
уравнении коэффициент при х\ отличен от нуля. Тогда никакая
система чисел (&, 0), где k — произвольное число, не
может быть решением системы (16). Действительно, если &=?0,
то (&, 0) не может быть решением второго уравнения
системы (16). С другой стороны, (0, 0) не может быть решением
первого уравнения системы (16), так как }г Ф 0. Исключим
из множества допустимых систем значений неизвестных все
системы (&, 0), что не приведет к потере решений системы
(16). Разделим теперь обе части второго уравнения на х\ .
Получим систему, равносильную системе (16):
a&l + Kxxx2 + cxx\ + fx = 0, (17)
(flJi- «Л) (-) 2+ №Л - *Л) -1 + (c2h - Clf2) = о.
Решив второе уравнение системы (17) относительно—,
н
мы найдем отношение —, что позволит выразить х1 через
х2. Найденные выражения для х1 подставим в первое
уравнение системы (17) и получим неполные квадратные
уравнения для jc2, которые легко решаются. Из этих уравнений
найдем значения неизвестного х2. Подставив найденные
значения х2 в выражение хх через х2, найдем соответствующие
160

значения неизвестного xv Если же во втором уравнении
системы (16) коэффициент при х* равен нулю, то это
вспомогательное уравнение имеет вид {bjx — bj2) x1x2 +
+ fe/i — ^1/2) xl = 0. Для его решения достаточно х2
вынести за скобки и затем каждый из сомножителей
приравнять нулю.
Если в системе (15) какой-либо из коэффициентов /lf
/2, например /2, равен нулю, то второе ее уравнение не
имеет членов нулевой степени. Система (15) в этом случае
имеет такой вид, как и система (16), а поэтому она решается
так же, как и система (16).
Пример. Решить систему уравнений
х\ — 2х1х2 + 3*2 — 9 = 0,
х\ — 4х1х2 + 5л| — 5 = 0.
Из второго уравнения, умноженного на 9, вычтем первое,
умноженное на 5. Получим систему
х\ — 2*1Л:2 + 3*| — 9 = 0,
4*J — 26*х*2 + 30*^ =. 0.
Отсюда
х\— 2*!*2 + 3*| — 9 = 0,
2 (fiV 13^ + 15 = 0.
\*2/ *2
Из второго уравнения этой системы находим:
?± = — -1 = 5
*2 2 *2
3
и, следовательно, *х = ¦—¦ *2, *i= 5*2. Подставив эти выражения в
первое уравнение последней системы и решив его, находим
значения неизвестного *2:
*2 = 2, *2 = — 2, *2 = "Г— » х2 =— ""Г- •
Соответствующие значения неизвестного *х равняются:
•_ * - 5^" /v_ 5 VT
*j = О, *j —— О, *j — , *j —— •
161

Следовательно, заданная система имеет следующие решения:
i i а я т Ь у 2i щ У &
^j=3, х2в 2; x\s=z—3, х2 =—2; хх = - , х2 = ~~т~~
lv_ 5J^2_ IV V2_
*1 - f *9 ~
2 ' ~* 2
3. Решение системы двух уравнений второй степени с
двумя неизвестными в общем виде. Обший вид системы
двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
а^х\ + Ьгхгх2 + схх\ + йгхг + егх2 + /i = О,
а2Д;2 + Ml*2 + С2*2 + rf2*l + *2*2 + h = °- * '
Предположим, что в обоих уравнениях коэффициенты
при квадратах неизвестных, т. е. а,, а2, с, и с2 отличны от
нуля. Для решения заданной системы из первого ее
уравнения, умноженного на с2, вычтем второе уравнение,
умноженное на сг. Получим систему
(ЯА — а2сх) х\ + (б^а — Vi) ^лгд + Mi — ^2) ^ +
+ (с2ег — схе2) х2 + с2\ — cj2 = О, (19)
аъх\ + Ь2ххх2 + с2х\ -f- d^ + е2х2 + U = °.
равносильную заданной. Обозначив коэффициенты первого
уравнения соответственно буквами /, /л, n, p и ^, запишем
эту систему так:
/X? + ГПХХХ2 + 1*1 + Р*2 + Я = °>
а2^ -{- Ь2хгх2 -f- с2д;2 -f d2xi + ^2*2 + /2 = °- * '
Из первого уравнения системы (20) находим:
х2= '^ 1^4 . (21)
Подставив это значение неизвестного х2 во второе
уравнение системы (20), получим уравнение
Ъг*\ (1х\ + пхг+ q) с2 (1х\ + пхх + q)2
тхх + р (тх1 + р)2
аА _.. , , 1 ,_„ , ,t. Ь4л—
f- /'/.jr. 1 -+- //I
W2 = o,
e2 (/xf-f n*i + ?)
m*! -f-p
которое после приведения всех его членов к общему
знаменателю в общем случае будет иметь вид
162

axt+bxb + cjf + dXi+r =Q
(mxi + p)2
Решив последнее, найдем, вообще говоря, четыре
значения неизвестного хг. Подставив эти значения вместо х1
в соотношение (21), определим соответствующие значения
неизвестного х2. Следовательно, в общем случае заданная
система уравнений имеет четыре решения.
Заметим, что область определения уравнения (21) уже,
чем область определения первого уравнения системы, ибо
для уравнения (21) системы значений неизвестных, для
которых тхх + р = 0, т. е. хг = —— , не являются допусти-
т
мыми. Поэтому уравнение (21) может оказаться
неравносильным первому уравнению системы (20), вследствие чего,
решая заданную систему изложенным выше способом, мы
можем потерять некоторые ее решения. Именно будут
потеряны (если они существуют) решения; для которых
х =—-?
1
т
Если, решая систему двух уравнений второй степени с
двумя неизвестными изложенным выше способом, мы найдем
четыре решения системы, то, значит, никаких решений мы
не потеряли, так как такая система не может иметь больше
четырех решений*. Если же мы найдем меньше, чем четыре
решения, то надо исследовать, не имеет ли данная система
решений, для которых хх = — —. Для этого значение
т
хг = — — подставим в первое уравнение системы (20).
т
Тогда в этом уравнении коэффициент при х2 превратится
в нуль. Если при этом сумма других членов уравнения не
превращается в нуль, то система (20), а следовательно,
и заданная система решений, для которых хг = — — , не
т
имеют. Если же значение х, = —— тождественно удовлет-
т
воряет первому уравнению системы (20), то подставим его
во второе уравнение этой системы. Получится, вообще
говоря, квадратное уравнение, решив которое найдем
соответствующие значения х2.
* См. примечание на стр. 151.
163

Решая систему (18), мы предполагали, что
коэффициенты Oj, a2, сг> с2 отличны от нуля. Если же по крайней мере
один из них равен нулю, то решение системы упрощается.
Действительно, если, например, сг = 0, то заданная
система имеет вид системы (19) и, следовательно, ее можно
решать так, как решалась система (19).
Пример. Решить систему уравнений
2* J — 5*!*2+ 2х\ + 3*i — 3*2 + 1 = О,
х\ + 3*i*2+ 2*| + *! — *2 — 6 =» 0.
Из первого уравнения вычтем второе; получим систему
х\ — 8*i*2 + 2*! — 2*2 + 7 = 0,
х\ + 3*!*2 + 2*| + *х — *2 — б =0,
(22)
(23)
равносильную заданной. Из первого уравнения этой системы
находим
*2 =
*? + 2*х+7
8*i + 2
Подставив найденное для *2 выражение во второе уравнение
системы (23) и выполнив соответствующие преобразования,
получим:
Ъх\ + 5* \ — 5*2 — 5*!+2
(4*i + I)2 ^
или
(**-!) (3*?+ 5*х-2)
= 0.
j =з1, *j——1, *j 4, *j =
(4^+1)*
Решениями этого уравнения являются:
J.
3 *
Соответствующие значения неизвестного *2:
' 1 " , '* J_ /у 5.
*2 =« 1, *2 — а » *2 о * *2 ~~ 3 *
Итак, заданная система имеет четыре решения:
*1 = 1, *2=i; *j =— 1, *2 =— 1» х^ =— ^, <*2 ==— "о" *
Так как заданная система не может иметь более четырех
решений, то найденными исчерпываются все ее решения.
164

4. Решение системы двух однородных уравнений с
двумя неизвестными. Уравнение
Г \Х±9 Х2, • • • > Xfi) = "
называется однородным, если его левая часть
F (х19 х2, ..., хп) есть однородный многочлен*.
Всякое однородное уравнение с п неизвестными х19
х2, ..., хп имеет нулевое решение
Х-1 — X о — • • . — Л?.« — w.
Если однородное уравнение имеет ненулевое решение
хх = felf *2 = k2, ... , лгл = &„, то оно имеет бесконечное
множество ненулевых решений хг — kxt, х2 = k2t, ... ,
*л = &/Л гДе ' — произвольное число. Действительно, если
F (*lf *2, ... , хп) = 2 А**^... хапп ,
то при произвольном t
F (txv tx2, ... , txn)= 2 A(txJ*> (tx2)*>... (txn)*n =
= ts 2 Лл^х*' • • • ^ = tsf (xv x2> • • • > **)•
Поэтому если
г (к±, k2, ... , kn) = о,
то и
г (Kit, K2tt ... , &тг) = * * v^i> ^2» • • • » &п) = *¦'•
Рассмотрим систему двух однородных уравнений с
двумя неизвестными:
F(xl9 x2) = 0, (24)
F(xl9 x2) = 0. К^}
Если члены многочленов Fx (х1У х2) и F2 {xl9 х2) имеют
общий множитель х19 то запишем систему так:
Ц1 ф1 (*i> х2) = О,
*f« Ф2 (xv x2) = о,
где sL и s2 — наименьшие показатели, с которыми л^
входит соответственно в члены многочлена F± (xl9 х2) и
многочлена F2 (xl9 x2).
* Определение однородного многочлена см. на стр. 112.
165

В этом случае система (24) имеет бесконечное множество
решений вида хх = О, х2 = &, где k — произвольное число.
Всякому отличному от нуля числу k соответствует
ненулевое решение (0, k) заданной системы.
Все другие ненулевые решения системы (если они
существуют) должны иметь вид х, = /г,, х2 = /г2, где кх —
отличное от нуля число. Поэтому для их нахождения будем
считать допустимыми системами значений неизвестных лишь
пары чисел (/1э /2), у которых первое число 1Х — отличное
от нуля. Такое сужение области определения заданной
системы уравнений не может привести к потере ненулевых
решений вида хх = ft,, х2 = fc2 (где ft, ф 0). Разделим
теперь уравнения системы соответственно на х^ и х\* .
Получим систему однородных уравнений
Фх {х1У х2) = 0, f2cv
Ф2(хх, *2) = 0, W
которая над суженной областью определения равносильна
системе (24).
Предположим, что степень Ф^д^, х2) равна ти а
степень Ф2 (лг1э х2) — т2. Положив в системе (25) х2 = txv
будем иметь систему
хТ>Ф{ (1,0 = 0,
^фх(1, о = о. (2Ь)
Для нахождения всех ненулевых решений вида хх = къ
х2 = k2 (kx Ф 0) системы (25) надо найти все ненулевые
решения вида хх = kx> t = tx (kx Ф 0) системы (26).
Система же (26) имеет решение вида хх = klf t =tx (kx ф 0)
тогда и только тогда, когда система
<ML 0 = 0, /27)
Ф2(1, 0 = 0 (Z >
совместна. При этом всякое ненулевое решение хх = ftx,
t = tx (kx Ф 0) системы (26) порождается решением t = tx
системы (27), и, наоборот, всякое решение t = tQ системы
(27) порождает бесконечное множество ненулевых
решении хх = ft0, t = t0 (ft0 — произвольное отличное от нуля
число) системы (26). Действительно, если хх = kx, t = tx
есть решение системы (26), то Фх (1, tx) = Ф2(1, tx) = 0,
т. е. tx есть решение системы (27). Наоборот, если /0 есть
решение системы (27), то хх = ft0, t = /0, где ft0—произ-
166

вольное отличное от нуля число, будет ненулевым
решением системы (26). Следовательно, если t = tlt t = t2i ... ,
t = ts есть множество всех решений системы (27), то
множеством систем значений неизвестных хг и t
Х-^ — fV, fr fj, J?j ГЬ, I "==- fro* • • • » X\ *v, t == f,j
где ft — произвольное отличное от нуля число,
исчерпывается множество всех ненулевых решений системы (26),
в которых значение неизвестного хг отлично от нуля;
тогда множеством систем значений неизвестных хх и х2
Х\ fV, Хп — tj/v, Х-у —" *V, Лп —' 1пК) • • » , Л1 — Л,, Лп "X
исчерпывается множество всех ненулевых решений
системы (25), в которых значения неизвестногохг отличны от нуля.
Все рассуждения проведены нами в предположении,
что члены многочленов F, (я,, х2) и F2 (а:,, х2) имеют общий
множитель хх. В том случае, когда общим множителем
этих многочленов будет не хр а х2, все рассуждения
повторяются дословно, только везде вместо хх следует брать х2
и наоборот.
Заметим, что преобразовывать уравнения системы (24)
посредством замены неизвестного х2 = /*,, если члены этих
уравнений имеют общий множитель хг, нельзя; это приведет
к потере решений хх = 0, х2 = k (k ф 0). Поэтому мы и
выделяем эти решения с самого начала.
Пример. Решить систему уравнений
6** + Ъх\ х2 + Злг? х\ + х\ х\ = 0,
2х\ — х\х2— xvx\ =0.
Запишем эту систему так!
А$А + Ьх\хг + Ъххх\ + xl) = 0,
хх {2х\ — хххг — дф = 0.
Следовательно, система имеет решения хх = 0, х2 = &, где k —
произвольное число. Разделим первое уравнение на >ср а второе —
на jci. Получим систему
6j^ + Ъх\х2 + Ъххх\ -1-4 = 0,
2х\ — х}х2 — х\ = 0.
Положив x2 = txlt будем иметь
4(6 + 5* + З/2 + '3) = 0,
Xj(2 — t — f2) = 0.
167

Решим теперь систему уравнений
6 + 5/ + 3*« + *» = 0,
2 — t — t2 = 0. <zy'
Второе уравнение этой системы можно записать так:
(1 —0 (2 + 0 = О,
и, значит, оно имеет решения tx = — 2, ?2 = 1- Из этих решений
первому уравнению системы (29) удовлетворяет лишь решение tx =
= — 2. Следовательно, система (29) имеет решение t\ = — 2, и,
значит, система (28) имеет бесконечное множество решений вида
#i == &ii х2 = — 2&х, где &! — произвольное число.
5. Решение системы двух уравнений с двумя
неизвестными, одно из которых однородное, а второе не
однородное. Рассмотрим систему уравнений
^i (xi> х2) = 0, Ш^
F2(xu x2) = 0, (6У))
первое уравнение которой однородное, а второе
неоднородное. Найдем прежде всего решения системы (если таковые
существуют), для которых х1 = 0. Для этого в уравнениях
системы (30) положим ^ = 0и затем будем искать общие
решения уравнений Fx (0, х2) и F2 (0, х2). Всякому общему
решению х2 = k2 этих уравнений будет соответствовать
решение х1 = 0, х2 = k2 системы (30).
Для нахождения других решений системы (30) решим
первое ее уравнение при дополнительном условии хх ф 0.
Для этого положим в нем х2 = tx±\ получится уравнение
x?^i(U 0 = 0,
где т1 — степень первого уравнения системы (30). Для
нахождения решений первого уравнения, для которых х^0,
надо решить уравнение
ML 0 = 0.
Если tl9 t2, ..., tk — решения этого уравнения, то х2 =
= tfa (i = 1, 2, ..., k) тождественно удовлетворяет
первому уравнению заданной системы. Подставив х2 = tfa
(i = 1, 2, ..., k) во второе уравнение системы (30), будем
иметь уравнение с одним неизвестным хх:
F2 (х19 /л) = 0.
Каждому решению xY = kx этого уравнения
соответствует решение х1 = k^ x2 = ttkx заданной системы
уравнений.
168

П р и м е р. Решить систему уравнений
*1 + 2iX^X2 — ^1-^2 — ^^2 == »
х\ — хгх2 — xl + 2>хг + 7*2 + 3 = 0.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что система не
имеет решений, для которых хх = 0. Действительно, если в уравнениях
системы положим Xi = 0, то получим несовместную систему
— 24 = 0,
— х\ + 7*2 + 3 = 0
и, следовательно, никакая пара чисел (0, k) не может быть решением
заданной системы уравнений.
Решим теперь первое уравнение системы при дополнительном
условии х1 Ф 0. Положив х2 = txlt получим
x*(\+2t — t* — 2/3) = 0.
Уравнение 1 + 2* — t2 — 2t3 = 0 можно записать:
(1—**) (1 + 20=0.
Оно имеет решения:
/i = 1, t2 =— 1, t3 =— -г •
Этим решениям соответствуют следующие значения неизвестного
хы
_ 1
Х2 =3 Xi, Х2 —— *i» Х2— Х\щ
Подставив х2 = хх во второе уравнение заданной системы,
получим уравнение
х\ — 10*! — 3 = 0,
решениями которого являются хх = 5 — 2 У7~, *J = 5 + 2 У 77
Отсюда вытекает, что заданная система имеет решения:
(5 — 2^7", 5-2/7), (5 + 2У7", 5+2У7).
Аналогично, подставив во второе уравнение х2 =—*х и х2 ==»
1
=а хъ найдем еще четыре решения заданной системы:
1—/У59 _ 1 — i У59 \
5 ' ~ 10 / '
П + j у59 _ 1 + / У59\
\ 5 '~ 10 ) '
6. Решение системы двух уравнений с двумя
неизвестными, левые части которых однородные многочлены,
169
(1, -1), (3, -3),

а правые — отличные от нуля числа. Предположим, что
нам задана система уравнений
Г 2 («^li *2/ = ^2»
(31)
где F^{xx, х2) и F2 (хл, х2) —однородные многочлены
соответственно степени т1 и т2, а а, и а2 — отличные от нуля
числа. Если тх = т2, то из первого уравнения,
умноженного на а2, вычтем второе уравнение, умноженное на аг
Получим систему
a2F1 (хи х2) — axF2 (х1У х2) = 0, /32\
^2(*i> х2) — а2 = 09
равносильную заданной. В этой системе одно уравнение
однородное, а второе — неоднородное. Поэтому ее можно
решать методом, рассмотренным выше. Если жед^ ф т2, то,
положив в уравнениях системы ^=0, находим прежде
всего ее решения (если таковые существуют), для которых
хх = 0. Затем будем находить решения, для которых х}=?=0.
Для этого найдем наименьшее общее кратное п
обеих степеней и возведем обе части первого уравнения в
Получим систему
(33)
которая является следствием заданной системы.
ЛеЕые части уравнений этой системы есть многочлены
одной и той же степени п. Умножим первое уравнение на
п п
a2m2» a второе — на ахт* и затем из первого уравнения
вычтем второе. Получим однородное уравнение степени п
п п п п
а™> \Fx(xlt х2)Г<- а^ [F2{xv х2)Г>= 0, (34)
которое является следствием системы (33), а значит, и за-
данной системы уравнений. С помощью подстановки х2 =
= txx найдем решения этого уравнения, для которых jc^O.
Пусть эти решения задаются формулами
*2 = 'Л(< = 1, 2, ... , s). (35)
степень
п
»
щ
а
второго —
IFAxi,
[F2 (xv
в степень —
л
п
*2)Г=
/я2
п
п
a2"S
170

Так как уравнение (34) является следствием заданной
системы уравнений, то решения заданной системы следует
искать среди решений этого уравнения. Иначе говоря,
решения системы (31) задаются соотношениям (35) при
определенных значениях неизвестного хх. Для нахождения этих
значений хх возьмем то из уравнений системы, степень
которого ниже, и подставим в него значения x2=tixl
(г=1, 2, ..., 5). Получится уравнение с одним неизвестным
хг. Если оно не удовлетворяется тождественно, то, решив
его, найдем значения неизвестного хл% при которых
соотношениями х2 = ttxx задаются решения выбранного нами
уравнения. Путем подстановки этих решений во второе
уравнение проверяем, какие из них удовлетворяют второму
уравнению и, следовательно, являются решениями
заданной системы.
Если при подстановке в выбранное нами уравнение
значения х2 = ttxx получим уравнение, которое
удовлетворяется тождественно, тогда х2 = ttxx подставим во второе
уравнение и, решив его, найдем нужные значения
неизвестного хг. Если же при подстановке х2 = /,.*, и во второе
уравнение системы получим уравнение, удовлетворяющееся
тождественно, то любая пара чисел kXJ k2 = tjz^ будет
решением заданной системы уравнений.
Пример. Решить в поле действительных чисел систему
уравнений
*\ + *1*2 + *2 = 7, (Г{С.\
А + *?*2 + *\4 + ХЛ + 4 = 31 • }
Система, очевидно, не имеет решений, для которых хг = 0.
Булем искать решения, для которых хх Ф 0. Возведем обе части
первого уравнения в квадрат. Получим систему
х\ + 2х\ х2+ Ъх\ х\ + 2ххх\ + х\ = 49,
4 + х\х2 + х\ х\ + ххх\ + х\ = 31.
Умножим первое уравнение на 31, а второе — на 49 и затем из
второго уравнения вычтем первое. Получим однородное уравнение
\Ъх\ — 13лфс2 — Ux] х\ — 13*^ + 18^ = 0.
Найдем решения этого уравнения, для которых хх Ф 0. Для
этого положим в нем х2 = txx и, получив
*{(18/* — 13/3 — 44/2 — 13/ + 18) = 0,
решим уравнение
18/4 - 13/3 - 44/а — 13/ +18 = 0. (37)
171

Это симметрическое уравнение имеет два действительных и
два комплексных корня. Так как комплексные корни уравнения
(37) приводят к комплексным решениям и системы (36), а нам надо
найти лишь действительные решения системы, то комплексных
корней уравнения (37) мы рассматривать не будем.
Действительными корнями уравнения (37) являются tx = —• и
Этим корням соответствуют соотношения *2= — хг и х2 = 2*1#
Подставив х2 = -т'Х1 в первое уравнение системы (36), будем
иметь A:f = 4, откуда х[ = 2, хх =—2. Соответствующие значения
неизвестного хг равняются х2 = 1, х2 =—1. Аналогично,
подставив х2 = 2х1 в первое уравнение системы, найдем х^ = 1, *{^=—1.
Соответствующими значениями неизвестного х2 являются х2 = 2,
*? 2.
Таким образом, первое уравнение системы (36) имеет в поле
действительных чисел следующие решения:
#1 = 2, #2=1; ДС| =—2, х2 =—1;
Х\ '"— 1, Х2 —— dt\ Х\ ^я—~1 f Xn cs—— ?9
Непосредственной проверкой путем подстановки убеждаемся,
что все эти решения удовлетворяют и второму уравнению системы.
Следовательно, заданная система уравнений имеет в поле
действительных чисел полученные четыре решения.
7. Решение нелинейной системы алгебраических
уравнений, в состав которой входят линейные уравнения.
Предположим, что нам задана система алгебраических
уравнений
г1 (х1У х2, . • • , хп) = U,
* 2 v^l> *^2> • • • * ^п) = ^>
(38)
гs (х1У х2, ... , хп) = и,
®1 v^l» *^2> • • • 9 ^п) == ^>
^*m v*l> *^2» • • • » ^л/ — ^»
в которой первые s уравнений линейные, а все последующие
нелинейные, т. е. степени выше первой.
172

Рассмотрим отдельно систему линейных уравнений,
образованную первыми 5 уравнениями заданной системы
* 1 (*1> Х%у • • • * Хп) == ^»
* 2 \*1> *2> • • • » *Л/ == ^»
(39)
* S \*1» *2> • • • » *Л/ == *
Решим эту систему линейных уравнений. Для этого,
применяя метод алгебраического сложения, будем
последовательно исключать неизвестные из системы (39).
Возможны следующие три случая.
1. Исключая последовательно неизвестные, мы получим
несовместную систему. Так как она равносильна системе (39),
то и система (39) несовместна.
2. Исключая последовательно неизвестные, получим
систему
ад+ад + •.. +<ЬлХп = ьи
#22*2 I #23*3 Т~ • • • I а2ПХП == ^2>
(40)
ап-ъ л-1*я-1 "I ап-Ъ пхп== fyi-1»
#л> nxnz= ®ю
где ап Ф 0, (Ц2 Ф 0, ... , a„_b „_!=? 0, a„,„ =? 0. Из
последнего уравнения мы находим вполне определенно значение
неизвестного хп.
Подставляя это значение в предпоследнее уравнение,
найдем однозначно определенное значение неизвестного хп_г.
Продолжая этот процесс и дальше, мы найдем однозначно
определенные значения всех неизвестных хг = /1? х2 = 12,
..., хп = /л, которые удовлетворяют всем уравнениям
системы (40). Следовательно, в этом случае система (40),
а значит, и равносильная ей система (39) имеют
единственное решениех1 = 11, х2 = 12, ..., хп = 1п.
3. Исключая последовательно неизвестные, получим
систему
#11*1 + #12*2 + #13*3 + . . . + #1л*л = Ь19
#22*2 \ #23*3 ~Г~ • • • "Т #2Л*Л = ^2»
(41)
аЬ-Ъ k-l xk-\ ~Г #fr-l> fc *fe "Г • • • "Г #fc-l, л *л ^ ^fe-l>
#А» Л xk + #А» А+1 *Л+1 ~f~ • • • "Н #?> л *л ^ ^*>
173

где Оц Ф 0, а22 фО, а33 ф 0, ... , ал, ft =? 0.
Будем считать xk+l9 xk+2l ... , л:я
«свободными»неизвестными и выразим из последнего уравнения неизвестное xk
через «свободные» неизвестные. Получим xk = bky *+i*ft+i +
+ ^*, k+2 xk+2 + • • • + Ьь, п хп- Подставив это выражение во
все другие уравнения системы (41) и решив предшествующее
уравнение относительно х^19 получим
Xk-1 = Vk-Ъ k+l Xk+1 "Т~ Ufr-Ъ k+2 Xk+2 ~Т~ • • • "Г ^ft-li П Хп-
Продолжая этот процесс и дальше, мы запишем все
неизвестные х19 х2, ... , xk в виде линейных функций от
«свободных» неизвестных, т. е.
Х1 = ^Ъ k+l Xk+1 ~Т~ "ъ k+2 Xk+2 "Г • • • "Г ^1» Я *^Я>
Х2 = ^2» k+l Xk+1 \ ^2> k+2 Xk+2 Г • • • "Г ^2» П ХП>
(42)
Xk-1 == ^k-Ъ k+l Xk+l ~Т~ "Ь-Ъ k+2 Xk+2 ~Г • • ' I ^ft-lt Л ХП>
Xk = fyfc» *+1 Xk+l ~Г #fe, ?+2 Xfc+2 "Г • • • ~Г ^*» Л *л-
Система (42) получена из системы (41) применением метода
подстановки, и поэтому она равносильна системе (41), а
следовательно, и системе (39).
Придав «свободным» неизвестным определенные
числовые значения lk+l, /fe+2, ... , ln и вычислив по формулам
(42) соответствуютие значения /1э /2, ... . lk неизвестных
х19 х2, ... , xk, мы найдем решение л^ = 11У х2 = /2, ... ,
... , хп = 1п системы (41), а значит, и системы (39). Так
как число различных способов, которыми можно выбрать
значения «свободных» неизвестных, бесконечное, то система
(39) в этом случае имеет бесконечное множество решений.
Эти решения задаются формулами (42).
Если система (39) несовместна, то и система уравнений
(38) несовместна. Если система (39) имеет единственное
решение х1 = /1э х2 = /2, ..., хп = 1п, то путем подстановки
его в каждое из нелинейных уравнений заданной системы,
т. е. в каждое из уравнений
Ф, (xlf х2, ..., хп) = 0,
Ф2 (х19 х2, ..., хп) = 0, (43)
Ф/тг (*т Х2> • • > Хп) = °>
проверяем, удовлетворяет ли оно этим уравнениям, или
174

нет. Если решение х1 = /1э х2 = /2, ..., хп = /л
удовлетворяет всем уравнениям (43), то оно является единственным
решением заданной системы. Если же хотя бы одному из
уравнений (43) оно не удовлетворяет, то заданная система
несовместна.
Если система (39) имеет бесконечное множество решений,
то они задаются формулами (42). В этом случае в системе
уравнений (38) заменим подсистему (39) равносильной ей
системой (42). Получим систему уравнений
Х1 == &Ъ*+Л+1 "~Г b\yk+2Xk+2 "Т • • • Т" ОъпХП>
Х2 = ^2>*+Л+1 4~ fyj»Ar+2*ft+2 ~Ь • • • "Г ^2уПХП9 (^4)
Xk — ^?>?+Л+1 ~Г ^bk+2Xk+2 "Г • • • "Г Uk>nXtV
®1 (Хг, Х2, . . . , Хп) = О,
U/2 (Х1э Д^2> • • • » Хп) == ^»
^m (*A?+1» xk+2> • • • » *л) ~~ ™»
равносильную заданной системе. Применяя метод
подстановки для решения системы (44). подставим выражения для
Xj, х2, ..., лА в последние m ее уравнений. Получим систему т
уравнений с (п — k) неизвестными:
Ф, (*i, *2> ..., хп) = 0, (45)
^2 (Xk+V Xk+2> • • • » *л) ^ ^»
Фот (*л+и ^+2» • • •» *я) = 0.
Найдя решения xk+1 = /?[,, xk+2 = /?|2, ..., лгя = /(я°
системы (45), подставим каждое из них в первые k
уравнений системы (44) и найдем соответствующие значения
/(/\ 1{2*\ ..., I)*1 неизвестных xlt х2, ..., xk. Каждая
система значений
У - /U) Г - /(П У - /(° Г - /(?) * - /U)
будет решением заданной системы уравнений.
175

Пример. Решить систему уравнений
*1 — *2 + 3*з = 2, (46)
А + *\ + 4= 14-
Решим сначала систему двух линейных уравнений
*i + 2*2 + 5*3 = — 9,
*i — #2 -f- 3*3 = 2.
Для этого из второго уравнения этой системы вычтем первое.
Получим систему
*1 + 2*2 + 5*3 = — 9, (47)
— 3*2 — 2*3= 11.
Из второго уравнения системы (47) находим
,2 = _iL±^L. (48)
Подставив это выражение в первое уравнение системы (47) и решив
его относительно *i, найдем
,1 = _.l+il?l. (49)
Подставим выражения хх и *2 в третье уравнение системы (46).
Получим уравнение
67*2 + 77*3+10 = 0.
Решив его, находим
'_ 1 "_ 10
Хо 1 * *0 •
3 3 67
Соответствующие значения *t и *2 определяются подстановкой
значений *3 и х"ъ в соотношения (48) и (49). Таким образом
находим
> _ > _ ш 75 . _ 239
*i — Z, *о — —О , * 1— , *о — •
1 2 1 б7 2 б?
Итак, заданная система имеет два решения:
' 0 о '_ 1 • _ 75 239 10
*j —Z, *2 —— J, *3—i;*j — —--, *2 —— —, *3 = — -_.
8. Решение нелинейной системы алгебраических
уравнений, левая часть одного из которых представляется в
виде произведения. Предположим, что дана система
уравнений
176

* l \х\% «*2> * • • >xn) — ^>
* 2 v*l» *^2> • • • >Xn) = ^>
^m v*l» *2> • • • *Xn) = ^>
(50)
причем левая часть одного из них, например первого,
разлагается в произведение нескольких множителей, т. е.
« 1 v^i» *^2» • • •» ¦^n/=s
1=3 /]Л*1> *2» • • •> *л/ * /2 \**Ч» Х2> • ' •> Хп)* • • Is \Xl> Х2> • • • » *л)*
В этом случае систему можно записать так:
/lv^l» ^2» • • •» Хп)т12\Х1* Х2> • • •> Хп) • . • /5 (<?1э Д^2> • • •> Хп) = ^*
Г ^ \X\i <^2> • • • > Хп) == *Л
(51)
*/я \^1> Х2* • • • > *^л/ == **•
Множество решений системы (51), а следовательно, и
системы (50) совпадает с множеством всех решений систем
/1 (*1> *2» • • • » -^л) — ^»
'2 v^l» *^2> • • • > *^л/ == ^»
**m \XV *2> • • • » **л) == ^»
/2 V^l» -^2» " • • » Хп) — "»
* 2 v^l» **2> • • • » -*л/ == ^»
Г т \Х\* *2» • • • > *л) — ™,
(52)
/^ (*1» Х2> • • • > *л) — ^,
* 2 v^l» **2> • • • > ^Л/ == ^»
* /Л (*1> *2> • • • » Хп) == ^.
Действительно, если кг = /г, *2 = /2, ..., хп = /п есть
решение системы (51), то оно удовлетворяет всем
уравнениям этой системы, в частности и первому ее уравнению,
и, значит, обращает в нуль хотя бы один из множителей
/1 v^l» Х2> • • • » ХП/ /2 \Х1* Х2> • • • f Хп)> • • • » Is \Х1* Х2* • • • > Хп)>
например f*(*lf х2, ..., хп), где 1 < k < s. Отсюда вытекает,
что это решение удовлетворяет всем уравнениям системы
177

Ik \X1* X2> • • • » Xn) — ^,
Г1 (Xi, X2y ¦ . . , Xn) = U,
гт (Хц x2, ..., xn) = U.
Следовательно, всякое решение системы (51) является
решением по крайней мере одной из систем (52). Наоборот,
всякое решение любой из систем (52) удовлетворяет всем
уравнениям системы (51). Таким образом, для нахождения
всех решений системы (50) достаточно найти все решения
системы (52).
Пример. Решить систему уравнений
А + *Л + *! + 1 ==0»
(1 — х2) хг + х\— х2 = 0.
Эту систему можно записать в виде
А + *1*2 + *2+ 1 = 0'
(1 — *2)(*1 — *2> = О-
Поэтому для ее решения достаточно найти все решения систем
А + *!**+А +1 = °» А + *i*2 + -^i + i = o,
и
1 — х2 = 0, хг — х2 = 0.
Решениями первой из этих систем являются
(=Ци2,..). (=Ц^и)
и решениями второй —
(GL, иг,). (_Vf,-l^,).
Мы рассмотрели пути решения некоторых линейных
систем алгебраических уравнений, записанных в общем виде.
Следует указать, что не всегда эти пути приводят к решению
заданной нелинейной системы алгебраических уравнений.
Объясняется это тем, что применением рассмотренных
приемов решение заданной системы уравнений сводится к
решению одного или нескольких алгебраических уравнений
с одним неизвестным, степени не ниже второй, которые,
как известно, не всегда решаются в радикалах.
178

В ряде случаев удается найти решение системы
уравнений с помощью специальных искусственных приемов,
использующих какие-либо ее особенности. Такие приемы носят
частный характер и не поддаются теоретическим
обобщениям. Рассмотрим некоторые примеры систем такого рода
и приемы их решения.
9. Решить систему уравнений
Xi -J- Х2 = ру
ХгХ2 = Q.
Решение. Вследствие формул Виета значения
неизвестных х± и х2, удовлетворяющие уравнениям
системы, являются корнями zx и z2 квадратного уравнения
г2 — pz -f- q = 0.
Следовательно, заданная система имеет два решения:
10. Решить систему уравнений
Xi Х2 = Р,
х±х2 = q.
Решение. Положив здесь х2 = — х2, получим
предыдущую систему
1.
Решить
Xi±x2 = р,
%l%2 = Чт
систему уравнений
X* | Лп — С1у
12 —
Решение. Прибавим к первому уравнению системы
второе, умноженное сначала на 2, а затем на —2. Получим
систему
(хг+х2)* = а-\-2Ь,
{хг — х2)2 = а — 26,
равносильную заданной.
179

Отсюда находим:
хг — х2 = ± Va — 26.
Возможны четыре комбинации знаков, а именно:
О ь + ь^УТх + Ы, 2) Xl+x2^V^+2b9
хг — х2 = Va — 26; xx — х2 = — Va — 26;
3) x1 + x2=—Va~+2b> 4)Xl-\-x2 = —Va + 2b,
xi — x2 = V a — 26; *! —x2 = — Ka — 26.
Решив эти четыре системы линейных уравнений, найдем
четыре решения заданной системы.
12. Решить систему уравнений
ххх2 = q, (53)
где п — натуральное число.
Решение. Если q = О, то или хх = 0, или х2 = 0.
Подставляя поочередно эти значения в первое
уравнение и решая его, найдем решения системы. Предположим,
что q Ф 0. Возведем обе части второго уравнения в п-ю
степень. Получим систему
xi x\ = q\ (54)
Система (54), очевидно, является следствием заданной
системы, но неравносильна ей. Действительно, система (54)
является следствием всякой системы
хгх2 = е?, (55)
где е есть любой корень n-й степени из 1, и поэтому ее
решениями будут не только решения системы (53), а и всякой
системы (55).
Если гг и г2 являются корнями квадратного уравнения
z2 — pz-\-qn = 0, то можно положить х\ = г19 х\ = г2>
или
Х\ = 22, #2 != ^1*
180

Отсюда
или
В поле комплексных чисел корень я-й степени из
всякого отличного от нуля числа имеет п значений.
Следовательно, хх = yzv x2 = i/"z2; хх — y~z2, x2 = -\Ггх
имеют по п значений. Возможны п2 комбинаций значений
хг = j/zlf х2 = yrz2 и п2 комбинаций значений х1 = у^Т2,
хп = У~ГХ. Каждая из этих комбинаций является решением
системы (54). Таким образом, в поле комплексных чисел
система (54) имеет 2п2 решений.
Так как система (54) неравносильна системе (53), то не
каждое решение системы (54)является решением системы (53).
Решение х1 = к1У х2 = /^ системы (54) тогда и только тогда
будет решением системы (53), когда оно удовлетворяет
уравнению ххх2 = q, т. е. когда kxk2 = q. Следовательно,
для нахождения решений заданной системы уравнений надо
среди всех возможных 2/г2 комбинаций значений хг и х2
выбрать те, которые удовлетворяют условию ххх2 = q.
Однако в практике решения таких систем уравнений
поступают иначе. Найдя все значения неизвестного хх,
подставляют их поочередно в соотношение ххх2 = (/ и
определяют соответствующие значения неизвестного х2.
Найденные таким способом пары значений неизвестных хг, х2 и
являются решениями заданной системы уравнений. В самом
деле, если хх = kx есть одно из значений ^~ТХ и x2=k2 =
= ~, то knx=z1 и kxk2 = q. Отсюда вытекает, что
К К — 9Л> ziK e Яп и> значит, k\ = — = 22, ибо zxz2=
zi
Следовательно, U[ +&" =zi+22=P и kxk2=q, а это и
означает, что хх = kv к2 = fe2 является решением заданной
системы уравнений. Аналогичные рассуждения проводятся и в
том случае, когда хг = kx является одним из значений
-/"г2. Так как неизвестное хх имеет 2/г значений и для
каждого из них определено соответствующее значение не-
181

известного х2, то в поле комплексных чисел заданная
система уравнений имеет 2я решений.
Пример. Решим этим способом систему уравнений
х* + х$ = 97,
хгх2 = 6.
Возведя обе части второго уравнения в четвертую степень,
получаем:
У*+ 4 = 97,
*|*|=1296.
Вспомогательным квадратным уравнением является уравнение
Z2 __ 97Z + 1296 = 0.
Корни его гг = 16, z2 = 81. Следовательно, хг = \/~\6, х2 = у^вТ ,
или *! =^/Ш, х2 = ^/Тб. Отсюда находим значения неизвестного
хг:
х\ = 2, x\l=2i, х™ = -2, ^ = -2/, ,v = 3,
^ = 3t, *™ = -з, *уш = -з/.
Подставив поочередно эти значения хг в уравнение *jj(2 = 6,
находим соответствующие значения неизвестного х2:
Хп == «J, Xn == ~~~~ dl> "^о === — ' *2 == » ^2 == »
Итак, заданная система уравнения имеет следующие
решения:
(2, 3); (2*. -30; (-2, -3); (-2*. 3i); (3, 2); (3/, -20;
(—3, —2); (—3i, 20.
13. Решить систему уравнений
х\ + х\ = а>
*1+*2 = 6. (56)
Решение. Так как х^ -|~ х\ = (*i+*2)3—Зх^ (#i+x2),
то заданную систему можно записать в виде
(*i + *2)3 — 3*i*2 (*i + х2) = а,
*1 + Х2 = Ь>
или
*i + х2 = ь>
ЪЬхххг = Ь* — а.
182

Если b ф О, то имеем систему
Xi -р Х2 = U,
_ б3 — а
*Л~ ъь '
которую мы уже рассмотрели.
Если же Ь = 0, то систему (56) решают методом
подстановки.
14. Решить систему уравнений
Хл | Лп C*j
Х1 + *2 = 6- (57)
Решение. Так как х* -[- х4, = (х*-\- х\у— 2х\х\ =
= K*i + хгТ — 2л:1х2]2 — 2х*х1, то заданную систему
запишем так:
1С*1 + *2)2 — 2*1*2]2 — 2*i 4 = а>
л^ | Хо ~~~ С/#
Отсюда
(Ь2 — 2хгх2)2 — 2х\х\ = а,
Х1 + *2 = 6,
или
2 (*хх2)2 — 4Ь2*,л:2 -f (64 — а) = О,
^+^ = 6. (58)
Введем новое неизвестное / = ххх2. Тогда первое
уравнение системы (58) запишется:
2/2 _ 4ft2/ + bt _ a = 0
Если дискриминант этого квадратного уравнения 8(64 +
+ а) Ф 0, то оно имеет два решения: / = if, и / = /2. В этом
случае для решения системы (58) достаточно решить две
системы уравнений:
Х1 + Х2 = Ь> Х1 + Х2 = Ь>
И
•^1*^2 == ^1 Х^Х2 — *2,
каждая из которых дает два решения. Если же дискриминант
8 (б4 + а) = 0, то уравнение имеет двойной корень / =
= Ь2 и для определения jq и х2 надо решить систему
Х1 + Х2 = 6>
Л^ = б2.
183

16. Решить систему
ах[ -f Ьх\ = plt
Х-±Х2 == Я*
Решение. Если q = О, то второе уравнение системы
имеет решения (kl9 0) и (0, k2), где &х и k2—
произвольные числа. Подставив каждое из этих решений в первое
уравнение системы, получим уравнения aknx = р и bk^=pt
решив которые найдем значения kx и k2, а значит, и
решения заданной системы. Если же q ф 0, то второе
уравнение, а вместе с ним и заданная система не имеют
решений, для которых хг = 0. В этом случае решим второе
уравнение системы относительно х2 и найденное
выражение х2 = — подставим в первое уравнение. Получим трех-
членное уравнение
ах ]п — рх" + bqn = 0,
которое в обшем случае имеет 2/2 решений. Найдя
решения этого уравнения и подставив их поочередно в
соотношение х2 = —, найдем соответствующие значения неизве-
стного х2. Следовательно, в общем случае заданная
система имеет 2п решений.
16. Решить систему уравнений
Х-± Х-±Х2 -J- Х2 = 4.
Решение. Так как
X* -~~~ X, Хп j Хп — X. J~" Z>X-iX2 | Хп ~"~~~ Z>X-^X2 ~~— л. An —-
== (*1 "Т" -^2/ 2>Х1Х2 V^iX2) ,
то запишем систему так:
(*i + *г)2 — 2*i*2 — (*i*2)2 ="= 19>
(-^1 ~Г *2/ ^1-^2 == ^#
Введем теперь новые неизвестные уг и у2, связанные с
неизвестными х1 и *2 соотношениями
х± -р яа == Ун ^i«*2 = Уа«
184

Получим систему
У?-2у,-у22=19,
Уг — Уа = 4.
Решив ее способом подстановки, находим уг = -~,
У* = т» 0ТКУАа
, _ 9
xi "г х2 — у»
_ 1
Составляем вспомогательное квадратное уравнение
22 —~z + i=0.
2 ' 2
Отсюда __
_ 9-^73 _ 9 + ]/~73
г1 — 4 ' 2 "" 4
Следорательно,
. _9-?73_ ^_9 + /73. » 9 + /73 ._ 9-1/73
*1 — 4 ' 2 "" 4 ' ] ~~~ 4 2 4
есть решения заданной системы уравнений.
§ 6. Графическое решение нелинейных систем
алгебраических уравнений с двумя неизвестными
В предыдущем параграфе мы ознакомились с некоторыми
способами алгебраического решения нелинейных систем
алгебраических уравнений. Но, как уже отмечалось выше,
средствами элементарной алгебры может быть решена не
каждая такая система, и даже в тех случаях, когда
заданная система уравнений решается элементарными
алгебраическими методами, такой путь нахождения решений не
всегда оправдывает себя на практике. Это, в частности,
может быть тогда, когда решения системы уравнений с
числовыми коэффициентами записываются с помощью
радикалов в виде довольно сложных выражений и для
практического применения приходится находить приближенные
значения этих выражений. Эти обстоятельства вынуждают искать
другие способы решения нелинейных систем ал!ебраиче-
185

ских уравнений, которые позволяют непосредственно
находить хотя бы приближенные решения системы. Одним
из таких способов является графический способ решения
систем уравнений.
Предположим, что задана нелинейная система лв\х
алгебраических уравнений с действительными коэффициентами
с двумя неизвестными х и у
Л(*. у) = о>
F2(x, у) = 0. (1)
Возьмем прямоугольную систему координат. Как
известно, каждое из этих уравнений задает в выбранной си-,
стеме координат некоторую кривую. Построим на одном
и том же рисунке кривые, соответствующие уравнениям
системы (1). Если пара действительных чисел (а, Ь) является
решением заданной системы, то /-, (а, Ь) = 0 и F2 (а, Ь) =
= 0 и, значит, точка с координатами (а. Ь) должна лежать
на обеих кривых, т е. должна быть точкой пересечения этих
кривых. Наоборот, координаты (а, Ь) любой точки
пересечения построенных кривых удовлетворяют обоим
уравнениям системы, т. е. образуют решение заданной системы.
Следовательно, для того чтобы графически определить
действительные решения системы (1), надо построить кривые,
заданные уравнениями системы, и найти точки
пересечения этих кривых. Координаты каждой точки пересечения
образуют решение системы (1).
В общем едучае построение кривой, заданной
уравнением F U, у) = 0, связано со значительными трудностями.
Для определения значений у. соответствующих заданному
значению х = а, приходится решать уравнение F (а, у) =
= 0, а это не всегда легко сделать. Построение кривой
значительно упрощается в том случае, когда уравнение
F(x% y)=0 можно решить относительно одного из
неизвестных или если оба неизвестных могут быть заданы как
функции одной и той же вспомогательной переменной.
При графическом решении заданной системы уравнений
сначала строят кривые в малом масштабе. Это позволяет
грубо приближенно определить решение системы. Затем
части кривых, прилегающие к точкам пересечения, строят
в большом масштабе и определяют решения с большей
степенью точности.
Графические методы решения систем уравнений
позволяют найти, как правило, грубо приближенные решения.
186

Но если нужна большая точность, то найденные решения
уточняют, применяя для этого различные численные методы
решения систем уравнений.
Пример. Решить графически систему уравнений
*2 + у2 — 16 = 0,
2х2 — 2х — у — 4 = 0.
Запишем эту систему так:
х2 + У2= 16,
у = 2*2 — 2х — 4.
Первое уравнение является
уравнением окружности с центром в точке (0. 0)
и радиусом, равным 4. Второе уравнение —
уравнение параболы.
/
-3,6
-3,8-
-W
•4,2-
-4,4-
1,0 1,2 С
1
J^
у
/
А
Рис. 8.
Рис. 9.
187

Построив окружность и параболу (рис. 6), видим, что они
пересекаются в четырех точках, координаты которых приближенно
равняются
(—1,6; 3,7); (0; -4); (1,1; — 3,8); (2,4; Я,2).
Следовательно, заданная система уравнений имеет четыре
решения.
*!* —1,6, Ух «3,7; *2«0, у2«-4; дг,*1,1, у8«-3,8;
*4«2,4, у4«3,2.
Непосредственная проверка показывает, что второе решение
точное, а три других приближенные. Для уточнения
приближенных решений составляем в окрестностях точек пересечения кривых
более подробную таблицу значений
X
у = 2*2 — 2* — 4
-1,4
2,72
-1,5
3,50
— 1,6
4,32
— 1,7
5,18
0,9
— 4,18
1,0
-4,0
X
у = 2*2 — 2х — 4
1,1
— 3,78
1,2
— 3,52
2,3
1,78
2,4
2,72
2,5
3,50
2,6
4,32
и строим части кривых (рис. 7—9), прилегающие к точкам
пересечения, в значительно увеличенном масштабе. С помощью
построенных рисунков определяем:
*х»1,52, ух«3,70; *3»1,06, у3«—3,86; *4л2,45,
у4*3,18.

Глава VIII
НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Основные свойства неравенств
Неравенства наряду с уравнениями играют
существенную роль во всех разделах современной математики.
Многие так называемые «классические» неравенства постоянно
используются в различных исследованиях. Нередко также
результаты исследований записывают в форме неравенств.
Неравенством называют соотношение между двумя
числами (величинами), указывающее, какое из них больше и
какое меньше. Для обозначения неравенства употребляют
знак > или <, направленный острием к меньшему числу.
Так, если число (величина) а больше числа (величины) Ь%
то это записывают так: а > Ь (читают: «а больше Ь») или
Ъ < а (читают: <ab меньше а»). Иначе говоря,
неравенствами называют соотношения вида
а > 6, а < Ь.
Если число а не меньше, чем число 6, то это записывают
так: а ^ Ь или b < а. Соотношения вида а >- Ь, а < Ъ
называют нестрогими неравенствами.
Если известно, что числа а и Ь не равны, но неизвестно,
какое из них больше, а какое меньше, то это записывают
так: а Ф Ъ. Такое соотношение также называют
неравенством. Для обозначения неравенств часто употребляют
знаки V и Д*. Знак V может заменять любой из символов >,
* Знаки V и Л обычно используются только в общих
теоремах о неравенствах, для сокращения формулировок и доказательств.
В математической логике и некоторых других областях
математики эти знаки употребляются как символы логических операций.
Именно знак V означает логическую сумму (дизъюнкцию)
высказываний, а знак Л — логическое произведение (конъюнкцию).
189

<> ^> <> тогда знаком Д обозначают символ
противоположного смысла, т. е. соответственно <,>,<,!>.
Два неравенства, в которых левые части больше, чем их
правые части, или левые части меньше, чем правые части,
называют неравенствами одинакового смысла. Неравенства,
в одном из которых левая часть больше правой, а в другом
левая часть меньше, чем правая, называют неравенствами
различного или противоположного смысла. Так, например,
неравенства 5 > 2 и —2 > —7 являются неравенствами
одинакового смысла, а неравенства 3 > 1 и —15 < —5 —
различного смысла.
Теорию неравенств, как уже отмечалось в § 3 главы 1,
можно построить только в упорядоченном поле. Среди
числовых полей такими, как известно, являются поля
рациональных и действительных чисел. Именно в этих полях мы
и будем рассматривать неравенства.
Определенные в полях рациональных и действительных
чисел понятия «меньше», «больше» удовлетворяют
соответственно требованиям первого и второго определений
упорядоченного поля (см. § 3 главы 1). Всюду в дальнейшем
мы будем ссылаться на второе определение упорядоченного
поля.
Числа, большие нуля, называются положительными,
а числа, меньшие нуля, — отрицательными. Как известно,
число а больше, чем число b (а число Ь меньше, чем число а),
тогда и только тогда, когда разность а — Ь есть
положительное число.
Напомним основные свойства неравенств.
1. Если а > Ь и Ь > с, то а > с.
Это свойство называется свойством транзитивности
неравенств. Оно непосредственно вытекает из второго
определения упорядоченного поля.
2. Если а > Ь, тоа + с>Ь + с для всякого числа с,
т. е. неравенство не нарушится, если к обеим его частям
прибавить одно и то же число.
Это свойство также непосредственно вытекает из
второго определения упорядоченного поля.
Следствие. Всякое слагаемое можно перенести из
одной части неравенства в другую, изменив при этом его
знак на противоположный.
Действительно, если
а + b > с,
190

то, прибавив к обеим частям неравенства — 6, получим:
а > с — й,
а значит, слагаемое Ь перенесено из левой части неравенства
в правую с противоположным знаком.
3. Если а > Ъ и с > d, то а + с > Ъ + d, т. е. при
почленном сложении двух неравенств одинакового смысла
получим неравенство того же смысла.
Доказательство. Из неравенства а > b
вытекает неравенство а + с > Ь + с, а из неравенства с > d —
неравенство b + с > Ь + d. Отсюда в силу транзитивности
неравенств получаем:
а + с > b + d,
что и требовалось доказать.
4. ?сла а >6, mo ас > 6с при с > 0 и ас <6с /гра с < О,
т. б. /гра умножении обеих частей неравенства на один
и тот же положительный множитель неравенство не
нарушается, а при умножении на отрицательный множитель
превращается в неравенство противоположного смысла.
Доказательство. Если а > b и с > 0, то
справедливость неравенства ас > be вытекает непосредственно
из второго определения упорядоченного поля.
Если жеа> 6 и с < 0, то 0 > с и а — & > 0. Поэтому
в силу только что доказанного 0 • (а — Ь) > с (а — Ь),
т. е. О > ас — be. Отсюда вытекает, что be > ас и,
следовательно, ас > be.
Из доказанного свойства, в частности, вытекает: если
а > Ь, то —а < —6, т. е. при изменении знаков обеих
частей неравенства на противоположные знак неравенства
изменяется на противоположный.
5. Если а > b и с < d, то а — с > 6 — d, т. е. ес/ш аз
данного неравенства вычесть почленно неравенство
противоположного ему смысла, то получим неравенство
одинакового смысла с данным.
Доказательство. Действительно, так как
с > d, то —с > —d и, следовательно,
а + (—с) > b + (—d), т. е. а — с > 6 — d.
6. ?Ъш а, Ь, с, d — положительные числа и а > 6, с> d,
mo ас> fed, т. е. /гра почленном перемножении двух неравенств
одинакового смысла с положительными членами получаем
неравенство того же смысла.
Доказательство. Так как b > 0 и с > 0, то
из неравенства а > b вытекает неравенство ас > be, a
191

из неравенства с > d — неравенство be > bd. Отсюда в
силу транзитивности следует неравенство ас > be.
7. Если а > b > 0, то яри всяком натуральном п
имеем ап > Ьп, т. е. неравенство с положительными членами
не нарушится, если обе его части возвести в степень с одним
и тем же натуральным показателем.
Доказательство. При п — 1 неравенство ап> Ьп
справедливо по условию. Предположим, что оно верно при
n = k, где k — произвольно выбранное натуральное число,
т. е. что а*>6*. Умножим неравенство а*>6* почленно
на неравенство а > 6, получим
aA+i > bk+i9
т. е. утверждение справедливо и при п = k + 1.
Следовательно, в силу принципа математической индукции оно
справедливо для всякого натурального п.
8. Если числа а и b одного знака и а >6, то — < —.
а ь
Доказательство. Пусть а и b — числа одного
знака. Тогда а6>0. Действительно, если а>0 и 6>0, то
а . 6 > 0 . 6, т е. аб > 0. Если же а < 0 и 6 < 0, то из
свойства 4 Еытекает 0 • b < а • 6, т. е. снова аб > 0. Так
как, кроме того, а—Ь>0, то-1^- > 0, ибо если бы -^— бы-
ab ah
ло равным нулю или меньшим нуля, то и число (а — Ь)
должно было бы быть соответственно равным нулю или
меньшим нуля. Следовательно,
1_1_2=ь>0.
Ь a ab
а это и означает, что
-г>—, или -<—•
о а а Ъ
9. Если а, 6, ?, d — положительные числа и а > 6,
c<d, mo
Доказательство. Действительно, из неравенства
с < d вытекает неравенство — > — . Перемножив почлен-
0 d
192

но неравенства а> Ь и — > —, получим неравенство
с d
10. Если а>6>0, то при всяком натуральном п
имеет место неравенство -)/~а > уТГ*.
Действительно, если бы имело место неравенство -\/~а <.
<)/7Г, то по свойству 7 выполнялось бы неравенство
а < 6, что противоречит условию. Точно так же не может
иметь места и равенство }Га = |/1Г, ибо тогда было бы
а = Ь.
Свойства 1—10 доказаны для строгих неравенств. Легко
доказать, что все они справедливы и длянестрогихнеравенств.
§ 2. Тождественные неравенства
При решении различных задач наряду с неравенствами,
в обе части которых входят лишь постоянные величины,
встречаются также неравенства, в которые входят
переменные величины.
Неравенство, в которое входит п переменных величин
xlt x2, ..., хп , в общем виде записывают следующим образом:
Г (Х1? АГ2, • • • » Хп) VФ (Xi,X29 • • • 9 *п/> (*)
где под F {хх. х2, ..., хп) и Ф (*,, х2, ..., хп) подразумевают
некоторые функции, а под знаком V — один из символов
>, <, ^>, <• Функцию F Uj, x2, ..., хп) называют левой,
а Ф (Xj, x2, ..., хп) — правой частью неравенства. В
соответствии с тем, в каком поле — рациональных или
действительных чисел — рассматривается неравенство,
всякую систему рациональных или действительных значений
переменных я,, х2 ..., хп, при которых левая и правая части
неравенства имеют смысл, называют допустимой системой
значений переменных. Неравенство, в которое входят
переменные величины, может быть верным для одних
допустимых систем значений переменных и неверным для других.
Так, например, неравенство х1 + х2 > 2 верно при х1 = 1,
х2 = 2 и неверно при х1 = 0, х2 = 1.
* Имеются в виду арифметические значения корней.
Определение арифметических значений дано на стр. 237.
193

Если неравенство (1) имеет место при всех допустимых
системах значений переменных х19 х2, ..., хп, то говорят,
что оно выполняется тождественно, и его называют
тождественным неравенством.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые
тождественные неравенства, которые применяются при решении
многих задач.
1.Неравенство Кош и. При любых
действительных значениях xt и yt (i = 1, 2, ..., п) выполняется неравен-
ство
(*1У1 + *2У2+ ••• -\-ХпУп?<{х\Л-х\Л- ... +
или, сокращенно,
f п \2 п п
V = l / i = \ / = 1
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
значения х1 и yt пропорциональны, т. е. когда xt = kyt
(i = 1, 2, ..., п).
Доказательство. Положив в тождестве Лагран-
жа (см. стр. 122) at = yi (i = 1, 2, ..., п), будем иметь:
(** + *§+ ••• +^)(У? + У|+ ••• +У5)-(^1 +
+ *2Уг + • • • + *пУп? = (ХЦГ* — У2*2)2 + (*1Уз—УЛ)2+ • • •
••• +(*п-1Уя — У„-Л)2- (2)
Так как при любых действительных значениях xt и ^
правая часть этого тождества, будучи суммой квадратов
действительных чисел, неотрицательна, то
И + 4+... **)(y? + y§+...+yi)-
— (-К1У1+-К2У2 + ••• +^ПУЯ)2>0
и, следовательно,
(*? + *!+ ••• +^)(у? + у22+-.- +уЛ)>(^У1 +
+ *2У2 + ••• +^лУл)2.
Равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда
каждое слагаемое правой части тождества (2) равно нулю,
т. е. когда
хгу2 = УхХ21 х^у3 = УЛ» • • •» хп—1Уп == Уп—1хп'
194

Но если эти равенства выполняются, то — = — = ...
У1 У2
... =^(=А) и, следовательно, ^=^(^' = 1, 2, ..., /г).
Ул
2. Для любых положительных чисел аг и а2
выполняется неравенство — + — > 2, причем равенство имеет
место тогда и только тогда, когда аг = а2.
Доказательство. Для любых действительных
чисел ах и а2 справедливо неравенство (аг — а2)2 > 0, а
следовательно, и неравенство а\-\-а\ > 2а1а2, причем
равенство имеет место тогда и только тогда, когда аг = а2.
Если ах и а2—числа положительные, то, разделив обе
части этого неравенства на ага2, получим
Этим справедливость неравенства доказана.
Следствие. Положив в доказанном неравенстве а2 == 1,
получим я^-1— > 2, причем равенство будет тогда и толь-
ко тогда, когда аг = а2 = 1.
3. Если произведение двух положительных чисел аг и
а2 равно 1, то их сумма не меньше 2, т. е. если 0^ = 1,
то а1-(-а2>2. Равенство будет иметь место тогда и
только тогда, когда я^ = а2= 1.
Д оказ ател ьство. Если ага2 = 1, то а2 = — и,
следовательно, аг -f- а2 — аг -|— ^-2.
Равенство имеет место только тогда, когда аг = а2 = 1.
4. ?с;ш произведение п положительных чисел
%, а2, ..., а„ равяо 1, то их сумма не меньше п, т. е.
^1 + ^2+ • • • + ап > п- Равенство имеет место только
тогда, когда аг = а2 = ... = ал.
Доказательство. При /г = 2 утверждение
справедливо. Предположим, что оно справедливо для п = & ^
> 2, и докажем,что тогда оно справедливо и для п = k +
+ 1. Иначе говоря, предположив, что для любых
положительных чисел Oj, a2, ..., а^, удовлетворяющих условию
av a2 ... ak = 1, выполняется неравенство
ai + a2+ ••• + Д* >^э
195

докажем, что
если а/>0 (f = 1. 2, ..., &+1) и aia2 ••• аЛ+1 = 1.
Действительно, если а^ ... akak+1 = 1, то возможны
два различных случая.
1. Все числа at равны между собой, т. е. aj=a2= ...
... =0Л=аЛ+1 = 1. В этом случае ах+а2 + • • • +ал+^+1==
= /е+1.
2. Не все числа а, равны между собой. В этом случае
среди чисел alf a2, ..., <W, найдутся как большие, так
и меньшие единицы, ибо если бы среди них не было больших,
чем 1, то их произведение было бы меньше, чем 1, а если бы
не было меньших, чем 1, то произведение было бы больше,
чем 1. Следовательно, по крайней мере одно из этих чисел
больше, чем 1, и по крайней мере одно меньше, чем 1. Ради
удобства рассуждений предположим, что ах > 1, а afr+1 < 1.
По условию ага2 ... Qkik+] = 1. Отоода, положив bx = CL^oknf
получаем Ь}а2а3 ... ak — 1. Так как произведение k
положительных чисел Ьи а2а3 ... ak равно 1, то, по
предположению, их сумма не меньше, чем /г, т. е.
bi + а2 +аз + • • • + ak > Ь*
Отсюда
(&i + a2 + a3-b ... +fl*)+*i-H**+i—bi>k+ax+aM—bt=
«(ft + lj + a.-f a^-fii-1,
«i + «2+ ... +ak + а*+1>(Л+1)+а*+1—flifl*fi-h»i—1 =
= (/^ + l) + (a1-l)(l-a,+1).
Ho Oi> 1 и afe+1 < 1. Поэтому
(fe + l) + (a1-l)(l-a,+1)>fe+l,
и, следовательно,
Итак, наше утверждение справедливо при л = 2, и из
предположения, что оно справедливо для п = &>2, вытекает
его справедливость и для п = k -f- 1. Тогда в силу принципа
математической индукции оно справедливо для всякого
натурального числа я.
Большую роль в математике играют неравенства,
связывающие между собой различные средние значе-
196

н и я. К рассмотрению таких неравенств мы сейчас и
переходим.
Пусть даны п чисел о,, а2 ап. Средним этой группы
чисел называют любое число, заключенное между
наименьшим и наибольшим из них. Различные средние нахолят
широкое применение в физике при обработке результатов
опыта, в математической статистике, приближенных
вычислениях и т. д.
Наиболее употребляемыми из срегних являются
среднее арифметическое, среднее
геометрическое, среднее гармоническое и
среднее квадратичное.
а) Средним арифметическим действительных чисел alt
а2, ..., ап называют число
п — gi + °2 + • •« + ап
п
Пример. Средним арифметическим чисел 5; —3, 0,5; б и
1,5 является
5 + (-3) + 0,5+6+1,5
а = = z.
5
Среднее арифметическое чисел а,, а2, ..., ап содержится
между наименьшим (min а) и наибольшим (max а) из них
min а < —* т 2~г J_iL < max a.
п
Действительно, обозначив rain a = /n, max а = М,
будем иметь
т < ах < М,
m < а2 < М,
m < an < М.
Сложив почленно эти неравенства и разделив затем на п9
получим
т < °i + aa+••¦+<** < м.
Равенство имеет место только тогда, когда ах = а2 ==»
— — =* а*
б) Средним геометрическим положительных чисел
а^, а2 ..., ап называют число g, равное корню п-к степени
из их произведения
197

g = yaia2 ... an.
Пример. Среднее геометрическое чисел 8, 1, 4, -— равно
Lt
4А Г~
1 4/ТБ-
¦/
8. 1 .4. ± = {Лб = 2.
Среднее геометрическое положительных чисел аг, a2i
..., ап содержится между наименьшим и наибольшим из
них, т. е.
min а <-/ ага2 ... ап < max a.
Действительно, если т = min а и М = max а, то
т ^ ах < М,
m < а2 < М,
• •••*«
m < ап < М.
Перемножая почленно эти неравенства и извлекая затем
из каждого члена неравенства корень /г-й степени, получаем
т < ¦/ а^з ... ап < М.
Равенство имеет место только тогда, когда aj = а2 =
в) Средним гармоническим действительных чисел
ах,а2, ..., ап называют число
1+1+.. .+1
ах а2 ап
Пример. Средним гармоническим чисел 3, 4, 6 является
*- I = ^i-2 = 4.
1 + 1 + 1 9
3 4 6
Среднее гармоническое положительных чисел
а1У а2, ..., ап содержится между наименьшим и наибольшим
из них, т. е.
min а < < max a.
1 + 1+...+1
ах а2 ап
* Мы ограничиваемся рассмотрением положительных чисел
для упрощения доказательства, хотя высказанное утверждение
справедливо при любых действительных alf а2, . . . , ап.
198

Действительно, среднее арифметическое
положительных чисел
1 JL JL
» 5 • • • »
. 1 1
содержится между mm — и max —, т. е.
а а
1 ^ а1 а2 аП ^ 1
min — < — - < max —.
an a
т .11 11
Так как min — = и max —= , то
a max a a min a
1 + 1+... + 1 ,
^ ^v .
max a n mm а
Отсюда
min а < < max a.
i+i+... +1
г) Средним квадратичным действительных чисел
Oj, а2,..., ал называют число
-/
qf + q|+ ... +a* .
Пример. Средним квадратичным чисел 1, —5, 7,5
является
q = |/ 1 + 25 + 49 + 25 в 5
Среднее квадратичное действительных чисел av а2,..., ап
является средним их абсолютных величин |aj, |a2l,..., \an\9
т. е.
min
|a|<nj/rj[jii+___±^ <max|a|.
Действительно, так как | а, |2 = | a* | (i = 1, 2, ..., и),
min|a2| = (min|a|)2, max f а2 ( = (max I a [)2 переднее
арифметическое чисел | ax |2, | a2|2, ..., \an\2 содержится
между наименьшим и наибольшим из них, т. е.
min |ap < Kl, + I««l,+ --- +l^l2 <maxja|s,
л
199

то
(min \а |)а < ' 2 :LjL < (max|а \)\
п
Отсюда
l/^(min | а |)2 < т/а\ + а1+^>- +< <|/(тах[а^>
и, следовательно
min
\а\ < у А + 4+п---+*п <тах|л|.
б. Среднее геометрическое положительных чисел а^,
аа, ..., ая не больше их среднего арифметического
frV, ... а„< «» + ««+ •••+««.
Равенство имеет место только тогда, когда а1=а2= ...
... =а„.
Доказательство. Возьмем п положительных чисел
—, —, ...,—, где g = V а1ча2, ..., ап. Произведение их
g g g
равно 1. Действительно, — . — ... —=—— 2-=§- =1.
g g g gn gn
В силу утверждения 4), — -\-— -}- ... + — > я, причем ра-
g g g
венство имеет место только тогда, когда — = — = ... =
g g
= ^, т. е. когда аг = а2 = ... = ал. Отсюда g <
<a1+fl8+...+gg_ ^ е ^ ... an<^+fl2+--- +°";
равенство имеет место только при условии, что
а1 = а2 = ... = ая.
6. Среднее гармоническое положительных чисел а^,
а2, ..., ап не больше их среднего геометрического
п п
-- - р < / аха2 ... ап.
- + -+ ... +-
Равенство имеет место только при условии, что а± = а2 =
200

ап
Доказательство. Среднее геометрическое
положительных чисел —, —, •.., — не больше, чем их сред-
01 °* °п 11 1
г -Ч--+...
, "Al 1 1 Qi Q2
нее арифметическое, т. е. 1/ — — ... — <
Равенство имеет место только тогда, когда ах = ах =
... = а„. Отсюда
______ ^. __. _
11 1 * . 1 . _1_ *
г aia2 Ал в! я3 «л
т. е.
i+1+... + i
fli а2 <*л
< V %а2
Равенство имеет место только при а^ = а2 = ... = ап.
7. Среднее арифметическое положительных чисел а^
#2» ••••» ап не больше их среднего квадратичного
аг + о2 + ... + ая - /" а? + а| + ... + а^
-,/fl? + fl|+ ¦¦
п
Равенство имеет место только тогда, когда а1=а2— ..
... =ап.
Доказательство. Для любых положительных аь и
aj справедливо (at — а7)2 > 0, а значит, и а2 + а? > 2а^ау.
Равенство имеет место только тогда, когда аь = ау.. Отсюда
вытекает, что
2 (а? + а*) > а? + 2^, + а* = (а, + а/.
Таким образом, для любых положительных at и ау
20,0, < а] + а^,
(а/+а/)»<2(а* + а«),
причем равенства имеют место только тогда, когда at =
Докажем теперь, что для всяких положительных аи
а2, ..., ап выполняется соотношелие
(^+0,+ ... +an)*<n(a\-{-al+ ... +а>),
причем равенство имеет место только тогда, когда аг =»
= а2 = ... = Дя. Действигельно, при /г = 2 утверждение
201

верно. Предположим, что оно верно для п — k > 2, т, е.
что
(Oi + a2+ ... + akf^k{a\ + a\ + ... + af).
Тогда
l(ai + a2+ ... +a») + ajm]» = (a1 + a,+ ... + a*)2 +
+ a|+1 + 2aft+](a1+a2+ ... +a*)<fe(af + a|+ ...
... + a\) + a|+14- 2ахоА+1 + 2a2aft+1 -f ... + 2аЛ+1 <
<k(a\+a\+ ... + e») + a*+I + (a?+a2+1) +
+ K+4+0+ ••• +(«i+ «¦*+.) -(*+l)(a? +
+ а»+... +аЦ-а|+1).
Отсюда
(ai+a2+ ... +aik + flJk+1)«<(fe+l)(a?+ai+ ...
... +a|+1),
причем равенство имеет место только тогда, когда а^ =
= а2 = ... = afe+1. Таким образом, из предположения, что
утверждение верно для п = k, вытекает его справедливость
и для п = & + 1. Следовательно, в силу принципа
математической индукции оно верно для всякого натурального
числа п. Таким образом,
К + а2+ ... + ап)*<п{а\+а\ + ... + а*),
причем равенство имеет место только при условии, что с^ =
= а2 = ... = ап. Извлекая квадратный корень из обеих
частей последнего неравенства и разделив их на /г, получим
<*i + Q2 + .. ¦ + Qn
f a\ + a\+...+al
причем равенство имеет место только тогда, когда а^ =
= а2 = ... = ап.
Таким образом, мы доказали, что для всяких
положительных чисел а^, а2, ..., ап выполняются неравенства
п пг аг + а2 + ... + ап
<уа1а2...ап^ - ^
1
«1
+
1
—
"г
+ ..
¦- +
1
—
"л
[ а? + 4 + •
< 1 / "1 Т "9 "Г • • • + ап (
202

Равенства имеют место только тогда, когда ах = а2 =
= ... = ап.
В ряде случаев бывает целесообразно рассматривать
более общую степенную среднюю, которая для п
положительных чисел а1э а2, ..., ап при любом действительном а
определяется равенством
т. = .< + а* + -+<
Ясно, что рассмотренные раньше средние являются
частными случаями степенной средней*. Например,
арифметическая средняя получается при а = 1, средняя квадратичная
при а = 2, средняя гармоническая — при а = — 1.
Доказанные неравенства между различными средними
оказываются частными случаями общего неравенства между
степенными средними: для п положительных чисел а19 а2,
..., ап при aL < а2 справедливо неравенство
та < m .
«1 а2
8. Неравенство Бернулли. Если г —
рациональное число, большее единицы, то при любом
положительном значении х выполняется неравенство
(1 + хУ > 1 + гх.
Доказательство. Пусть г = —, где р и q —
г
натуральные числа, причем р > q.
Среднее геометрическое р положительных чисел
q раз р раз
(1 -\-гх), (1 -\-гх), ... , (1 -\-гх), 1, 1, ... , 1 меньше, чем
их среднее арифметическое, т. е.
Отсюда
т. е.
7(1+™)*<1 + — = 1-
Р
1+Г*<(1 +*)*,
(1+хГ>1+г*.
* Кроме средней геометрической. Однако оказывается, что
при стремлении а к нулю степенная средняя та стремится к
средней геометрической, которую поэтому называют степенной
средней нулевой степени и обозначают т0. Для нее также
справедливо приведенное общее неравенство для степенных средних.
203

9. Для любых п действительных чисел а19 а2, ..., ап
выполняется неравенство
|^ + ^ + --. + ^1<КЖ^1 + ---ЧЧ^Р-
Иногда это утверждение формулируют так:
Абсолютная величина суммы не превосходит суммы
абсолютных величин слагаемых.
Доказательство. Пусть аи а2, ..., ап суть числа
с одним и тем же знаком. Тогда, как это вытекает из правила
сложения таких чисел, абсолютная величина суммы равна
сумме абсолютных величин слагаемых. Следовательно,
в этом случае имеет место равенство
К+ a2 + -.. + anl = |ail + |a2l+... + I ап\.
Если же среди слагаемых а,, а2, ..., ап есть и положительные
и отрицательные числа, то для вычисления абсолютной
величины суммы достаточно сложить отдельно абсолютные
величины положительных и абсолютные величины
отрицательных слагаемых и затем из большей суммы вычесть
меньшую. Для вычисления же суммы абсолютных величин
всех слагаемых достаточно к сумме абсолютных величин
положительных слагаемых прибавить сумму абсолютных
величин отрицательных слагаемых. Отсюда вытекает, что
в этом случае будет иметь место неравенство
К + Я2 + -.. +ап |< \ах 1 + 10,1 +... + \ап\.
10. Для всяких действительных чисел а^, a2i ..., ап
выполняется неравенство
1/а? + а|+... + а»<|а1Ц-К| + ... + К|.
Доказательство. Если а, = а^ = ... = ап = 0, то
имеем равенство V а\ + а\ + ... + а\ = | ах | +1 а21[ +... +
+1 ап |. Если же по крайней мере одно из чисел а^, а2,
... , ап отлично от нуля, то V а\ + а\ +... + а\ > О,
Vа\ + а\ + ... + а\ > Vа2{ = | at | и, следовательно,
|gfl < 1 (где г = 1, 2, ... . п).
* Утверждение это справедливо и для произвольных
комплексных чисел.
204

Поэтому в этом случае имеем:
v 01+4+...+ 4
i«i
/ а\ + 4+...+а2п У a\ + n\+...+al
L KJ! К| KI
• +
П
+ |я2| i«»i +... +к! К|
<|flil + |flsl+.-.+K|.
Примечание. При п = 2 и я = 3 доказанному
^неравенству можно дать геометрическое истолкование.
Действительно, при п = 2 будем считать, что I а1 | и | g21 — дли-
ны катетов прямоугольного треугольника, тогда J^af + af —
длина гипотенузы этого треугольника. Неравенство
V а\ + а\ < | fli I+I °21 выражает очевидный
геометрический факт, что длина гипотенузы меньше, чем сумма длин
катетов. Аналогично при п = 3 неравенство Vctf-\- a\-\- а\ <
< | uj | +1 a21 +1 о, | выражает тот факт, что длина
диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на
отрезках \аг\, \а2\ и |Од|, меньше суммы длин его ребер.
П. Для всякого натурального п выполняется
неравенство
1+Т+Ь2 + Г^ + -'- + 1.2.3...п<3-
Доказательство. При п = 1 и п = 2 неравенство
очевидно. Так как при всяком натуральном k > 2
выполняется неравенство — < т^, то при п > 2 имеем:
1+Т + П2+Г^з + Г^Г^ + '" + 1.2.з...п<1+1 +
+ 7+? + ^ + "* + ^=1= 1_1 Г = 3-^<3-
1~ 2
205

Следовательно,
1 + - + — + —- 1-...Ч - <3.
1 1 1 Ь2 1 Ь2.3 г ' 1.2-3...л
12. Для всякого натурального п выполняется
неравенство
- + -+- + •..+~<2.
I2 ' 22 ' З2 п2
Доказательство. Так как при любом натуральном
k > 2 выполняется неравенство
1 1 =_1 _1_
k*k (Л—1)Л Л— 1 k9
то
1+- + - + ... + -<1 +
22 З2 п2
+('-l)+(l-l)+-+(^-iH-l<2-
§ 3. Применение неравенств для определения
наибольших и наименьших значений
Общий метод определения наибольших и наименьших
значений функций рассматривается в дифференциальном
исчислении. В этом параграфе мы ознакомимся с
элементарными способами решения некоторых задач на нахождение
наибольших и наименьших значений, которые основываются
на использовании рассмотренных в предыдущем параграфе
неравенств.
Теорема 1. Произведение х™1 х™\ .. х™ , где
xlf х2, ..., хп—любые положительные числа, сумма которых
равна данному числу S, a mv m2, ... , тп — произвольные
положительные рациональные числа, имеет наибольшее
значение тогда, когда
х1 __ ^2_ _ __ ^гг
Доказательство. 1. Предположим, что
т19 т2, ... , тп — натуральные числа. Рассмотрим
(пгг + т2 + • • • + тп) = Р положительных чисел
тЛ раз тг раз тп раз
?l ?l ^1 ^1 ?l i2 ^JL ^JL Xn
mx mL mL m2 tnt тг тп mn mn
206

Их среднее геометрическое не больше, чем среднее
арифметическое,
^1+^+...+^
V \щ) \"h )...\mn)
п
<
Х\ Х2 Хл
tnx — 4~ mt> — -Ь • •. + ?пп —
< т\ " Щ Щ±_
^ Щ + т2 + ... + тп
Отсюда
m mXirt т. ттп
<*<¦. ..*"»< Щ Ш* •¦¦т"П om,+m,+...+ .
" (m1+m.i+...+mn)m'+m*+-+'nn
(1)
Так как правая часть этого неравенства есть постоянное
число, не зависящее от значений xt, то левая ее часть
х™^х™г ---х™п будет иметь наибольшее значение тогда, когда
неравенство превратится в равенство. Последнее возможно
лишь при равенстве
Xi __ Х2 ___ __ *л_ __ Хг + Х2 + • " + хп __ ^
щ щ '" шЛ Ш1 + /тг2+...+ /пл ?т."
2. Пусть т1 = — , т2 = — ,... , тя = — суть дроб-
?1 ?2 <7л
*>п
ные числа.
угп* упг..
Тогда
?i ?2
уГПп уЯ\ уЯг
— ^/~ 7"
в х«п = у лгуi^i л*А ... */" "
где N — наименьшее общее кратное знаменателей qu q2, ...
... , qn, a dv d29 ... , dn — соответствующие
дополнительные множители.
Произведение х™*х™* ... х™п будет наибольшим тогда,
когда будет наибольшим подкоренное выражение х?id* x%*d*...
... х?п dn . Подкоренное же выражение при постоянной
сумме *i + *2 + • • • + *л в силУ Доказанного выше будет
наибольшим тогда, когда
Х1 Х2 ХП
Р& Рг&г Рп^п
207

Разделив знаменатели этого соотношения на N,
получим — = — = ... = — , что и требовалось доказать.
Следствие. Произведение
Р ==¦ Xi • Х2 • • • • • Хп
положительных чисел с постоянной суммой хх + х2 + ... +
+ хп = 5 будет наибольшим тогда, когда хх = х2 = ...
... = хп.
Сформулированное следствие непосредственно вытекает
из теоремы 1, если положить там тх = т2 = ... = тп = L
Теорема 2. Сумма
•S = *1 + *2 "Ь • • • 4~ *Л
положительных чисел с постоянным произведением
степеней х™Л х™'г ... х™п = Р (где mlt m2, ... , тя —
произвольные положительные рациональные числа) принимает
наименьшее значение тогда, когда — = — = ...= ^-.
Доказательство. Неравенство (1) запишем так:
Так как правая часть последнего неравенства является
постоянным числом, то левая ее часть S будет иметь
наименьшее значение тогда, когда неравенство превратится в
равенство, т. е. тогда, когда —¦ = — = ... = — . Следова-
тельно, в случае, когда ml9 m2, ... , тп натуральные
числа, теорема 2 доказана.
Если тх = — , т2 = — , ..., тп = — — дробные числа
<7i Я* Яп
и Хгххч2 ... хп = Я, где Р — постоянное число, то хг Ях
x9Qt ... x*n = PNt где N — наименьшее общее кратное
знаменателей ql9 q2> ... qni также является постоянным
числом. В силу доказанного сумма «S = jcx -|- Jta -J- • • • + *л бу-
208

дет иметь наименьшее значение тогда, когда -^- = -^- =
NpY Np2
-^, т. е. когда^ = ^- = ... = ^
<7i Я2
Яп
Применяя теоремы 1 и 2, можно решить много
интересных задач на нахождение наибольших или наименьших
значений. Задачи на нахождение наибольшего значения Р
при данном S и наименьшею значения S при данном Р
называют взаимными. Для обеих этих задач решение
дается условиями -1 = — = ... = ^-.
Рассмотрим несколько примеров применения
доказанных теорем.
1. Среди всех прямоугольников, имеющих данный
периметр 2р, найти тот, площадь которого S наибольшая.
Решение. Пусть х и у — длины сторон
прямоугольника. Тогда х-\-у = р и S = ху. Мы знаем, что при
данной сумме х-\-у произведение ху имеет наибольшее
значение тсгда> когда х = у = — , т. е. когда
прямоугольник является квадратом.
Взаимная задача формулируется следующим образом:
среди всех прямоугольников, имеющих данную площадь S,
найти тот, периметр которого 2р наименьший. Ответ
тот же: квадрат.
2. Прочность балки с прямоугольным сечением прямо
пропорциональна ее ширине и квадрату высоты. При
каких размерах сечения балка, вырезанная из круглой колоды
диаметра d, будет иметь наибольшую прочность?
Решение. Прочность балки вычисляется по формуле
Т = kxy2, где k — постоянная величина, х — ширина й
у — высота сечения балки. По условию х2 + у2 = Л
Функция Т = kxy1 будет иметь наибольшее значение тогда,
когда произведение ху2 будет иметь наибольшее значение.
Таким образом, для решения задачи надо найти значения
хну, при которых произведение ху2 будет иметь
наибольшее значение.
Так как постоянной здесь является сумма х2 + у2,
то для того, чтобы воспользоваться теоремой 2. необходимо
представить интересующее нас произведение в виде произ-
209

ведения степеней х2 и у2. С этой целью заметим, что величина
Т будет иметь наибольшее значение одновременно с Г2,
т. е. с произведением (ху2)2, которое можно представить в
виде (х2) (у2)'1. Вследствие равенства х2 + у2 = d2 из
теоремы 2 выводим, что произведение х2 (у2)2 будет иметь
наибольшее значение при
1 _ 2 _ 3 *
Отсюда
3 ' у 3
3. Даны две параллельные прямые и точка С между ними.
Построить прямоугольный треугольник ABC с прямым
углом С и вершинами А и В на заданных
параллельных прямых, площадь которого
была бы наименьшей.
Решение. Через точку С (рис. 10)
проводим перпендикуляр к
параллельным прямым. Предположим, что СМ = а,
NC = 6, NA = х. Треугольники ANC
и СМВ подобные. Поэтому
АС _св
Рис 10. х а '
Отсюда
АС2:х = АС СВ: а,
X
Так как АС? - Ь2 + х\ а АС . СВ = 2S, то
25 = а (—+х). Отсюда вытекает, что площадь5 будет иметь
наименьшее значение тогда, когда наименьшее значение бу-
дет иметь сумма — + х.
X
ил
Произведение — х равно данному числу б2, поэтому сум-
х
ь2 , ь2
ма —\-х имеет наименьшее значение при — = х, т. е. при
х = Ь. Но если ЛМ = Ь, то MS = а. Треугольник ABC
построить теперь довольно просто.
4. Найти кратчайший отрезок, который делит
равносторонний треугольник с стороной а на две равновеликие
части.
210

Решение. Предположим, что
искомым отрезком является отрезок DE
(рис. 11). Пусть DE = d, AD = x и
АЕ = у.
$авс = — a2 sin — , SAED=z — а2 sin —.
С другой стороны, SAED = — д-у sin — .
Z о
~ 1 . я 1 9 . я
Следовательно, — ху sin — = — a2 sin —,
2 у 3 4 з
и, значит, ху = — а2, у = —. По теореме косинусов
d2=A:24-y2—2xycos— , отсюда d2 = х2 + -^ — —. Нам надо
найти наименьшее значение d. Но d будет наименьшим
тогда, когда наименьшим будет d2. В свою очередь d2
будет наименьшим тогда, когда х2 -| будет иметь наи-
Ах2
меньшее значение. Таким образом, решение задачи
сводится к нахождению наименьшего значения суммы двух
слагаемых х2 и —, произведение которых равно данному
4х2
числу — . Как известно, сумма эта имеет наименьшее зна-
4
чение при х2 = —, т. е. при х = . При этом у= ——
и d = —*— .
2
Таким образом, искомый отрезок равен стороне
квадрата, вписанного в окружность, построенную на стороне
треугольника как на диаметре.
5. Среди прямоугольных параллелепипедов с данной
полной поверхностью найти тот, который имеет наибольший
объем.
Решение. Пусть х, у, z — длины ребер искомого
параллелепипеда, V — его объем, aS — полная поверхность.
с
Так как значение S дано, то можно считать заданным и —.
Таким образом, ху 4- xz + уг = данное число.
Надо найти наибольшее значение V = xyz. Очевидно, что V
будет наибольшим тогда, когда наибольшим будет V* =
211

= х2у2г2 = ху . xz . yz. Так как ху + xz + yz =
данное число, то произведение ху . xz • yz будет наиболь*
шим при ху = xz = уг, т. е. при х = у = г. Таким образом,
искомым параллелепипедом является куб. Взаимная
задача формулируется так:
Среди прямоугольных параллелепипедов с данным
объемом найти параллелепипед, имеющий наименьшую полную
поверхность. Этим параллелепипедом также является куб.
6. В данный шар вписать конус наибольшего объема.
Решение. Пусть R — радиус шара, х и у —
соответственно радиус основания и высота вписанного
конуса, а V — его объем (рис. 12).
Рис. 13.
Из рисунка видно, что А В является средним
пропорциональным между AD и АС. Следовательно, АВ2 = AD . ЛС,
или х2 = у (2/? — у). Далее, V = ¦— л, r2h = — лх2у, от-
О о
куда К = — у2 (2/? — у). Объем V, очевидно, будет иметь
наибольшее значение тогда, когда наибольшее значение
будет иметь произведение у2 {2R — у).
Так как сумма у -f- (2/? — у) = 2/? — данное число, то
произведение у2 (2/? — у) имеет наибольшее значение при
1 = 2/? — у, т. е. при у = | /?.
7. В треугольнике ABC найти точку О, сумма
квадратов расстояний которой от сторон треугольника
наименьшая.
Решение. Обозначим стороны треугольника (рис. 13)
212
Рис. 12,

буквами а% 6, с, а расстояния искомой точки О от этих
сторон — соответственно буквами х, у и г. Тогда будем иметь:
ах + by + cz = 2S,
где S—площадь данного треугольника. Сумма квадратов
расстояний точки О от сторон треугольника будет равна
х* + у2 + г2.
В силу неравенства Коши
(*2 _|_у2 _|_г>)(а2 _|_ 62 _[_ с*)>ах -f by + С2,
т. е.
** * а2 + 62 + с2
Правая часть неравенства есть постоянное число. Поэтому
левая часть неравенства будет иметь наименьшее значение
тогда, когда неравенство превратится в равенство, что
имеет место при — = — = — . Из этих соотношений и из
v а Ь с
уравнения ах -f- by + cz = 2S находим:
__ 2aS __ 2bS __ 2cS
X ~~ a2 + b* + с2 ' У "" a2 4- b2 + c2 ' "" a2 + Ь2 + с2 #
§ 4. Решение неравенств
Предположим, что нам дано неравенство
где F (*1э л:2, ... , хп) и Ф (*lt х2, ... , л:л) — функции от
переменных xv х2> ... , хп, а V означает один из
символов >, <, >, <. Как и в случае уравнений, переменные
xlt х2, ... , хп будем называть неизвестными, а
неравенство (1) — неравенством с п неизвестными. Мы знаем, что
неравенство (1) может быть верным при одних системах
значений неизвестных и неверным при других системах их
значений.
Всякая допустимая система значении неизвестных xl = kl,
х2= k2l ... , хп = kn, при которых неравенство (1) верно,
называется решением этого неравенства. Иначе, говоря,
допустимую систему знлчений неизвестных, *, = &,, дс2 = /г2,...
... , xn = kn называют решением неравенства (1), если
г («!, я2, ... , кп) V Ф l&i» #2, • • • > ^ш*
213

Как и в случае уравнений, решение неравенства с
неизвестными х1< х2, ..., хп будем записывать в виде
последовательности чисел (&т, fe2, ..., kn), являющихся значениями
неизвестных, или в виде совокупности равенств х\ = kit
х2 = k2, ..., хп = &л Если система чисел (А1э fej, ..., fen)
является решением неравенства (1), то говорят, что она
удовлетворяет неравенству (1). Если же (ki, къ, ..., kn) не
является решением неравенства (1), то говорят, что эта
система чисел неравенству (1) не удовлетворяет.
Пример. хг -+- 2 х2 — 3 х3 < 3 хг — х2 + 2 х3 есть
неравенство с тремя неизвестными. Система значений неизвестных
хх = 10, х2 = 5, #3 = 5 удовлетворяет этому неравенству, а
система значений *x = —10, х2 = 5, *3 = 1 ему не удовлетворяет.
Решить неравенство означает найти множество всех
его решений.
Совокупность неравенств
Ч V-^l» *2> • • • 9 Хп) V Ф] (^1> Х2, • • • » *л)>
Г2 (-^i> %2> • • • 9 Хп) V ^2 \Х1> Х2> • • • 9 Хп)> (^)
** /л v*l» *^2> • • • * "*Я/ v 2 \*^1> **2» • • • > **Я/>
для которых надо найти общие решения, называют
системой неравенств.
Система чисел, удовлетворяющая каждому из
неравенств, входящих в данную систему, называется
решением этой системы неравенств. Решить систему неравенств
означает найти множество всех ее решений.
Из определения решения системы неравенств вытекает,
что множество всех решений системы неравенств является
общей частью множеств решений каждого из неравенств,
входящих в нее. Если все решения неравенства
f(xlt х29 ... , хп) V ф(*1э х2> ... , хп) (3)
удовлетворяют неравенству
F(xv х2, ... , хп) V Ф (xlt x2, ... , хп), (4)
то говорят, что неравенство (4) является следствием
неравенства (3). Аналогично систему неравенств
г1 (%v x2i .. • , хп) V Ф^ (xlf х2, ... , хп),
F2 (xi> х*9 ... > хп) V ф2 (х1У х2, ... , хп), (5)
* s v*l> Х2, . . . , Хп) V ®s \Xv X2t .... Хп),
214

называют следствием системы
fa (xv х2, ... , *я) V ф2 (х19 х2, ... , хп), (6)
//я (*1» *2> • • • » *я) V ф/я (*1> *2> • • • » *л)>
если всякое решение системы (6) является решением
системы (5).
Два неравенства (две системы неравенств) называются
равносильными, если каждое (каждая) из них является
следствием другого (другой). Иначе говоря, два неравенства (две
системы неравенств) называются равносильными, если
всякое решение каждого (каждой) из них является решением и
другого (другой).
Обычно в процессе решения неравенств и их систем, как
и при решении уравнений, заданные неравенства
приходится заменять другими, равносильными заданным, но более
простыми. Такая замена чаще всего основывается на
следующих теоремах о равносильности неравенств.
Теорема 1. Если к обеим частям неравенства
F (xv х29 ... , хп) V Ф (xl9 х29 ... 9 хп) (7)
прибавить функциюо)(хр х29 ..., хп), имеющую смысл при
всех допустимых системах значений неизвестных, то
получим неравенство
г (х19 х29 . •. , хп) -р со (xv х2, ... , хп) V
V Ф (xl9 x2t ... хп) + о) (х *„). (8)
равносильное заданному.
Доказательство. Действительно, если система
чисел (kl9 k29 ..., kn) является решением неравенства (7), то
Г (kl9 k2> . . . , kn) V Ф (&1> &2» • • • » К/1/ф
Отсюда
F(kl9 k29 ... , kn)-Jr(u(kl9 k29 ... , kn)\J
\/0(kl9k2t ... 9 A„)+©(*lf k29 ... , kn)9
и, значит, система чисел (kl9 k29 ... , kn) является также
решением и неравенства (8). Наоборот, если (kl9 k29 ... 9 kn)
есть решение неравенства (8), то
^(&i, k29 ... , Ал)+©(&!, k29 ... , kn) V
V*(*u k29 ... , Ag+©(?lf ?2, ... , 6J
215

и, следовательно,
F (&!, k2t ,.. , kj V Ф (*i, &2» • • • э ^л)»
а это означает, что fa, &j, ..., &Л) является решением
неравенства (7).
Таким образом, каждое решение любого из неравенств (7)
и (8) является решением и другого из них.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из
одной части неравенства в другую с противоположным
знаком.
Теорема 2. Если функция а> (*,, х2, ..., хп) при всех
допустимых системах значений неизвестных положительна,
то неравенства
Г (#1э Х2, • • • » *л) V Ф (*1, *2> • • • э *„) (9)
и
СО (?х, ДГ2, . • • » #п) Г (^i, Х2, • . • , #п) V
Vcofo, a:2, ... , х„) Ф(х19 х2, ... t xn) (10)
равносильны.
Доказательство. Действительно, если система
значений неизвестных хг = kv х2 = k2, ... , хп = kn есть
решение нераьенства (9), т. е.
Г \&19 К2, ... » /ьл) V Ф (#li ^2» • • • ^Л/>
то вследствие со (ftlf k2, ... , &я) > 0
СО («j_, /г2» • • • 9 &п) * \^1> ^2> • • • » ^Л/ V
V (o(kl9 k2, ... kn) Ф{к19 k2, ... , kn)
и, следовательно, (&ь fe2, ... , kn) есть также решение и
неравенства (10). Наоборот, если (kv k2, ... , kn) есть
решение неравенства (10), т. е.
СО (/2г, /22> • • • i Кц) * 1^1» #2» • • • » ^п) V
V со(?х, k2, ... , kn) Ф(^, А2, ••• » kn)>
то, так как о (k19 k2, ... , &л) > 0,
Г («J, /с2, • • • у /2П) V Ф (^1» «2> ' • • » ^л)>
и поэтому (felf k2y ... , ?я) есть решение системы (9).
Итак, каждое решение любого из неравенств (9) и (10)
является решением и другого из них.
216

Теорема 3. Если функция ©(я,, х29..., хп)
отрицательна при всех допустимых системах неизвестных, то
неравенства
F(xl9 х29 ... , хп) V Ф(*1, х2> ••• i хп) (И)
и
СО (Хц Х29 • • • 9 Хп) г (Xi, Х29 • • • > -?п) /\
Дсо^, *а, ... , хп) Ф(х19 х2, ... , л:л) (12)
равносильны.
Доказательство. Если (^, fej, ..., &Л) есть
решение неравенства (11)
F {kl9 k29 ... , kn) V Ф (*i, ?2> • • • э kn)>
то в силу со (kl9 k2, ... , ^J < 0 имеем
СО («j_, #2, • . • э ^л/ * \^1> ^2» • • • » &п) /\
Дсо(&1, ?2, ... , &л) Ф(?1э k29 ... , &л)
и, значит, (kl$ k2, ... , kn) есть решение неравенства (12).
Наоборот, если (kl9 k29 ... , kn) есть решение
неравенства (12)
СО (&х, &2, ... , Кп) Г («lf &2, ... , ^л/Л
Дсо (&!, /22, ... , /г„) Ф (к19 к29 ... , к„)9
то, ввиду < 0 получаем:
to(ki, k2t ... t kn)
—- - —- со \kl9 к29 ... , кп) г (kl9 k29 ... kn) V
0) (Alt ?2» . . • . kn)
V—77 7 ГТ®(^1» ^2> ••• » ^л) Ф(^1» ^2» ••• » ^л)>
co(«i, /г2 ял)
т. е.
F(kl9 k29 ... , ?л) V Ф(&1, й2» ••• » kn)9
и поэтому (&,, й2, ... , kn) шляется решением также и
неравенства (11).
Следовательно, каждое решение любого из неравенств
(11) и (12) является решением и другого из них.
Теорема 4. Если в системе неравенств
* 1 \^V *2» • • ' > Хп) V ^1 \-^1> «^2> • • • • *^л/»
*** v^i» «^2» • • • » Хп) V Ф$ (-^i» х2% ... , д;^},
217

^*+i(*if *2. ••• . *JV*rtfe. **...• -««)• (13)
' 1Я (*1> X2> ' • • > *Л/ V Ф/П (*1» *2> • • • > Xn)
любое ее неравенство заменим равносильным ему
неравенством, то получим систему неравенств, равносильную
первоначальной.
Доказательство. Предположим, что в системе
(13) неравенство
гs (Хи х2, ... , хп) V Ф5 \хи х2> • • • > хп)
заменено равносильным ему неравенством
/ (Х19 Х2, . . . > Хп) V ф (-^и *2> • • • > Хп)*
Полученная в результате этой замены система неравенств
1 1 ЧЛ1>
*V-i (xi>
/ (*1.
^5+1 (XV
?т (Xl>
Л2> •
Х2, .
Х2, i
Х2у ,
х2, .
• • > Лп) V ^i v*i>
• • . *„) V Ф^! (XV
.. , хп) V ф (xlt
• • , хп) V Фт (*1,
• • . хп) V Фт (*i,
Л2» • • •
•^2» • • •
Л?2, • . .
х2, . •«
x2i * • •
> ^nh
» хп)>
* ХП/>
> хп)>
, х„)
(14)
равносильна системе (13).
Действительно, системы (13) и (14) отличаются одна от
другой лишь s-м неравенством. Так как s-e неравенства
этих систем равносильны и, следовательно, имеют одни и
те же решения, то всякое решение х1 = kx, x2 = k2i ...
..., хп = kn каждой из систем (13) и (14) будет решением и
другой из них.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает
следствие:
Если в системе неравенств некоторые из них заменить
равносильными, то получится новая система неравенств,
равносильная первоначальной.
§ 5. Решение алгебраических неравенств
с одним неизвестным первой и второй степени
Неравенство
F(xu х2, ... , хп) V Ф(*1, х2> ••• . *п)> (1)
где F (xlt х2 ... , хп) и Ф (х19 л:2, ... , хп) — многочлены
218

от переменных xv х2, ... , xni называют алгебраическим*.
Если F(xlt х2, ... , хп) и Ф (xv x2, ... , хп) есть
многочлены соответственно степени т и s относительно
переменных хх, х2, ..., хпУ причем т^> s% то неравенство (1)
называют неравенством степени теп неизвестными.
Неравенство первой степени с одним
неизвестным в общем виде записывают так:
ахх + Ь± V V + К (2)
Коэффициенты ах, а2, Ьх, Ь2 неравенства (2) суть постоянные
действительные числа; некоторые из них могут быть
равными нулю.
Для решения неравенства (2) перенесем его слагаемое
а2х в левую, а слагаемое Ьх в правую часть. Получим
неравенство вида
ах V Ь. (3)
Предположим, что в неравенстве (3) знак V обозначает
символ >. Тогда будем иметь:
ах > Ь. (4)
Если а > 0, то делением обеих частей неравенства (4) на а
получим:
*>±,
а
и, следовательно, решением неравенства (4) является лю-
бое действительное число, большее, чем —. Множество
а
всех решений представляет собой бесконечный интервал
(|, ~W. Н).
Рис. 14.
* Заметим, что аналогично классификации уравнений можно
было бы говорить о рациональных, дробно-рациональных,
иррациональных алгебраических и трансцендентных неравенствах.
Мы ограничимся рассмотрением лишь алгебраических неравенств.
219

Если а<0, то, разделив обе части неравенства (4) на
а и заменив знак неравенства на противоположный, получим:
а
Следовательно, в этом случае решением неравенства (4)
является любое действительное число, меньшее, чем — .
а
Множество всех решений есть бесконечный интервал
(-оо, А ) (рИС. 15).
а
При а = О и Ь < О неравенство (4) удовлетворяется
произвольным действительным значением х, т. е.
тождественно, при а = 0 и й^О оно решений не имеет.
Рис. 15.
В случае, когда в неравенстве (3) знак V обозначает
один из символов <, ^, •<, рассуждения проводятся
аналогично.
Пример. Решить неравенство
5 — 3* х - 7
—+4>—-Л
Решение. Умножив обе части неравенства на б, получим:
15 — 9jc -»- 24 > 2jc — 14 — 6х,
или
39 — 9* >— 14 — Ах.
Отсюда
53
— Бх >— 53 и х < —-.
5
Неравенство второй степени с одним не-
известны мв общем виде записывается так;
ахх2 + Ьхх + сг V а2х2 + Ь2х + с2.
После перенесения всех его членов в левую часть оно
будет иметь вид
ах2 + Ьх + c\J0, (5)
где знак V обозначает один из символов >,<»>,<. Так
220

Рис. 16.
как решение неравенств ах2 + Ьх + с > 0 и ах2 + Ьх +
+ с < О сводится к решению неравенств ах2 + Ьх + с >0,
ах2 + Ьх + с < 0 и уравнения ах2 + Ьх + с = О, то
мы ограничимся рассмотрением неравенств ах2 + Ьх +
+ с > 0 и ах2 + &* + с < 0.
Кроме того, будем считать, что старший коэффициент а
есть число положительное.
Этого всегда можно достичь,
умножив обе части
неравенства, в котором старший
коэффициент а отрицательный, на
— 1 и изменив знак
неравенства на противоположный.
Известно, что квадратный
трехчлен ах2 + Ьх + с с
действительными
коэффициентами имеет корни
действительные различные, если Д > 0*,
действительные равные, если
Д = 0, и комплексные
сопряженные, если Д < 0.
В § 3 главы 111 нами
доказана теорема: квадратный
трехчлен ах2 4- Ьх + с с действительными коэффициентами,
корни которого комплексные сопряженные, при всех
действительных значениях х сохраняет знак старшего
коэффициента а. Трехчлен, имеющий двукратный корень,
сохраняет знак старшего коэффициента а при всех
действительных значениях ху отличных от корня . Трехчлен, корни
2а
которого действительные различные, при всех
действительных значениях х, меньших меньшего и больших большего
из корней, сохраняют знак старшего коэффициента a, a
при значениях *, содержащихся между корнями, имеет знак,
противоположный знаку коэффициента а.
Отсюда вытекает, что неравенство ах2 + Ьх + с > 0,
где а > 0, выполняется:
а) при Д < 0 тождественно (рис. 16);
б) при Д = 0 в интервалах: [—©о, j и (¦
(рис. 17);
* Буквой А (дельта) обозначают дискриминанте = Ь2 — 4 ас.
2а
)
221

в) при Д>0 в интервалах:(—со, хг) и (л:2, оо), тяех1
меньший, а х2 — больший корень трехчлена ах2 + Ьх + с
(рис 18).
Неравенство ах2 + Ьх + с < 0, где а > 0:
а) при А < 0 не выполняется ни при каком значении х
(рис. 16);
б) при Л = 0 также не выполняется ни при каком
значении х (рис. 17)-
Рис. 17.
Рис. 18.
в) при Д > 0 выполняется в интервале (я1э х2) (рис. 18).
Примеры. 1. Решить неравенство
2 лг2 -Ь 3 л: — 2>0.
Решение.
д = ь2 — 4 ос = 9 + 16 = 25 > 0.
—3 Н- У"25 _ I
*lt2 — "
хх —— 2, х2 — 0 «
4 ' "* ' " 2
Следовательно, неравенство выполняется в интервалах (—оо, —2)
И (f оо).
2. Решить неравенство
—3 х2 + 5 * — 4 > 0.
Решение. В заданном неравенстве старший
коэффициент отрицательный. Умножив обе части этого неравенства на —1
и заменив знак неравенства на противоположный, получим
неравенство
3 *2 — 5 х + 4 < 0,
в котором старший коэффициент положительный. Находим:
д = ь2 — 4 ас = 25 — 48 = —23 < 0.
Следовательно, заданное неравенство решений не имеет.
222

§ 6. Решение систем алгебраических неравенств
первой степени с двумя неизвестными
Неравенство первой степени с двумя неизвестными в общем
виде записывается так:
алх + Ъху + сл V а2х + Ь2у + с2,
где V обозначает один из символов >, <, >, >. После
перенесенля всех членов этого неравенства в левую часть
получаем неравенство вида
ах + by + с V О,
Рассмотрим неравенство
ах + 6у + с > 0.
Решив это неравенство относительно #, получим при
Ь> 0
6 6
а при Ь < 0
^ а с
или, положив
? = —- / =—-
* &'1 ь'
y>kx + l (1)
при Ь > 0 и
y<fex + / (2) рис. 19.
при 6 < 0.
Выражение у = kx + I является уравнением прямой.
Эта прямая делит координатную плоскость на две
полуплоскости: полуплоскость (I), размещенную выше прямой,
и полуплоскость (II), размещенную ниже прямой (рис. 19).
Легко убедиться, что координаты любой точки {хг, уг)
полуплоскости (I) связаны соотношением у1 > kxx + /,
а координаты любой точки (х2, у2) полуплоскости (II) —
соотношением у2 < kx2 + L Следовательно, неравенству
(1) удовлетворяют координаты любой точки полуплоскости
(I), а неравенству (2) — координаты любой точки
полуплоскости (II). Наоборот, каждая точка, координаты которой
223

удовлетворяют неравенству (1), принадлежит
полуплоскости (I). Если же координаты точки удовлетворяют
неравенству (2), то она принадлежит полуплоскости (II).
Отсюда вытекает, что совокупность всех решений
неравенства (1) изображается геометрически множеством точек
полуплоскости (I), а неравенства (2) — множеством точек
полуплоскости (II). В этом случае говорят, что неравенство
(1) выполняется во всех точках полуплоскости (I), а
неравенство (2) — во всех точках полуплоскости (II). Так
как неравенство (1) выполняется во всех точках
полуплоскости (I) и только в них, а неравенство (2) — во всех точках
полуплоскости (II) и только в них, то говорят, что
неравенство (1) определяет полуплоскость (I), а неравенство (2) —
полуплоскость (II).
При рассмотрении неравенства ах + by + с < 0
рассуждения проводятся аналогично.
Решение неравенств ах + by + с !> О и ах + by + с ^ О
сводится к решению неравенств ах+ by + с > 0, ах +
+ by + с < 0 и уравнения ах + by + с = 0.
Пример. Решить неравенство
* — 2у+4>0.
Решение. Решив заданное неравенство относительно у,
получим равносильное ему неравенство
у< —х + 2.
Совокупность всех решений заданного неравенства
геометрически изображается множеством точек полуплоскости,
расположенной ниже прямой у = —• х + 2 (рис. 20).
Систетла неравенств
первой степени с двумя
неизвестными после перенесения
всех членов каждого
неравенства в левую его часть
записывается так:
Рис. 20.
^+Ь1у + с1 V 0,
а2х + Ьгу + с2 V 0,
v+^y + ^v о.
224

Для определенности будем считать, что в каждом из
неравенств знак V обозначает символ >*, и рассмотрим
систему неравенств
ахх -\- Ьгу + сг > О,
а2х + Ъ2у + с2 > 0, (3)
as* + bsy+cs>0.
Совокупность решений каждого из неравенств этой
системы изображается множеством точек некоторой
полуплоскости. Следовательно, совокупность всех решений системы
(3) изображается множеством точек общей части этих
полуплоскостей. Общая часть этих полуплоскостей может быть
многоугольником, бесконечной областью, ограниченной
некоторой незамкнутой ломаной линией, полосой,
содержащейся между двумя параллельными, или пустым множеством.
Последний случай имеет место тогда, когда полуплоскости,
точками которых изображаются решения неравенств
системы (3), не имеют общей части. В этом случае система (3)
не имеет решений, т. е. она несовместна.
Рассмотрим систему двух неравенств первой степени
с двумя неизвестными:
а2х + Ь2у + с2>0. (4)
Прямые а^х -f- &,y -f- сг = 0 и а2х -\- Ь2у 4~ сг — О могут
пересекаться или быть параллельными. Рассмотрим каждый
из этих случаев в отдельности.
1. Прямые агх -\- Ь±у-\-сг = 0 и а2х-J- b2y-f-с2 = О
пересекаются.
Предположим, что, решив неравенства системы (4)
относительно у, мы получили систему неравенств
противоположного смысла:
y>V + 'i, (5)
у <k2x + l2.
Так как прямые ахг + Ьгу + сг = 0 и с^х -f- b2y -{- c2 = О
пересекаются, то kx =h k2.
* Вместо знака > во всех или в некоторых неравенствах
можно взять знак <. На характер наших рассуждений это не влияет.
225

Очевидно, что неравенства (5) выполняются
одновременно тогда и только тогда, когда k^x + lx < у < k2x + /2.
Отсюда вытекает, что в состав решений системы неравенств
(5) входят те и только те значения неизвестного х% которые
удовлетворяют неравенству
К*Л-к <k2x-\-l2
или
(&1 &2/ % "^ к 4L"
Отсюда находим, что х< 2~ 1 при k±> k2 и л; >
> т—т1 при &!<?2.
«1— я2
Таким образом, решениями системы неравенств (5)
будут те и только те системы значений неизвестных хну,
которые удовлетворяют неравенствам
_оо<;с<^!,
kiX + l1<y<k2x + l2 при kx>k2
и
k\X + lx < У < &2* + h ПРИ ^1 < ^2-
Совокупность соотношений, задающих множество всех
решений данной системы неравенств, называют общим
решением этой системы.
Следовательно, система неравенств (5) имеет следующее
общее решение:
«1—«2
Кх-\-к<У<Кх-\-к при Ах>&2
^<дс<в0-
&i* + к < У < *г* + к при &! < k2.
Геометрически множество всех решений системы (5)
изображается совокупностью точек, лежащих выше прямой
уг = kxx 4- /i, но ниже прямой у2 = k^x + /2, т. е.
совокупностью точек, лежащих внутри некоторого угла (рис. 21).
226

Следовательно, система неравенств (5) определяет на
плоскости внутреннюю область некоторого угла.
Предположим теперь, что, решив неравенства системы (4)
относительно у, мы получили систему неравенств
одинакового смысла, например
y<kxx+ll9
y<k2x-\-l2. (6)
В этом случае неравенства (6) выполняются одновременно
тогда и только тогда, когда при любом данном значении
Рис. 21.
неизвестного х значение неизвестного у меньше меньшего
из двух чисел kYx + lx и k2x + /2.
Пусть ?t > k2. Тогда
К*-f- /2 < k2x-f-/2 при х < 2~ *
ki— k2
и
k2x -|- /2 < kxx + к при х > 2"~ *.
Отсюда вытекает, что решениями системы (6) являются те
и только те системы значений неизвестных х и у, которые
удовлетворяют неравенствам
227

y<M+'l При X< -* -*
И
y<V+/2 ПРИ x> T—r-
Эти неравенства и являются общим решением системы (6).
Система неравенств (6) определяет множество точек
плоскости, лежащих ниже от каждой из прямых у = kxx + ^
и у = k2x + /2 (рис. 22).
Рис. 22.
2. Прямые а1х+61у-}-с = 0 и а2х-\-Ь2у-\-с2 = О
параллельны.
При решении неравенств системы (4) относительно у
можем получить следующие системы неравенств:
а) у > kx + /lf б) у < &* + *i, в) у > kx + /1Э г) у<&Н-/1
y>kx-\-l2; y<kx-\-l2\ y<fex + /a; y>kx-\-l2
Рассмотрим каждый из этих случаев. Для определенности
будем считать, что /, > /2.
а) В этом случае общее решение системы неравенств
задается неравенством
у>Л* + /1#
228

Система неравенств определяет множество точек
полуплоскости, расположенной выше прямой у = kx + lx (рис. 23).
б) Общее решение системы неравенств задается
неравенством
У < kx + *2-
Система неравенств определяет множество точек
полуплоскости, расположенной ниже прямой у = kx + 12
(рис. 24).
Рис. 23.
в) Система решений не имеет. Неравенство у > kx +
+ /, определяет множество точек полуплоскости,
расположенной выше прямой у = kx 4- /,, а неравенство
у < kx 4- /2 —множество точек полуплоскости,
расположенной ниже прямой у = fee + /2. Общих точек эти
полуплоскости не имеют (рис. 25).
г) Общее решение системы неравенств задается
неравенствами
kx + /2 < у < kx + /р
Система неравенств определяет полосу—множество
точек плоскости, лежащих выше прямой у = kx 4- /2
и ниже прямой у = &х 4- /1в При /х = /а система неравенств
решений не имеет (рис. 26).
229

Рис. 24.
Рис. 25.
Примеры. 1. Решить систему неравенств
7х — 4у — 5 > О,
2х + Зу — 8 > О.
230

Рис. 26.
Решение. Решив каждое из неравенств системы
относительно у, получим
7*-5
Отсюда
У<
У >
— 2л:+ 8
— 2лг + 8
<У <
7х — 5
— 2х + 8 7х — 5 47
<—-—, х>— .
3 4 29
Следовательно, общим решением заданной системы является;
47 1х — 5 8 - 2х
х>™> —:—>у> •
29 4 3
Система неравенств определяет множество точек плоскости,
лежащих выше прямой у = ~ х и ниже прямой у = * ~"~ .
3 4
(рис. 27) справа от точки их пересечения.
2. Решить систему неравенств
2х + у - 4 > О,
Зл: — 2у — 5 < 0.
231

Решение* Решив каждое из неравенств системы
относительно у, получим:
у>-2* + 4,
3 5
у > — х .
2 2
Отсюда видно, что при любом данном значении х значение у долж-
3 5
но быть большим большего из чисел — 2* + 4 и — х ;
2 Ъ.
Рис. 27,
Рис. 28.
3 5 л , л 13
— х > — 2* + 4 при х > -— .
2 2 7
Следовательно, общим решением системы неравенств являются:
у > 4 — 2х при х < —,
^ 3*-5 13
у > при х > —.
2 7
Система нерявенств задает множество точек плоскости, лежащих
3 5
выше каждой из прямых у = —2л: + 4иу= — х (рис. 28).
? 2*
232

3. Решить систему неравенств
2х + 2у + 5 < О,
х + у — 3 >0.
Решение. Решив каждое из неравенств системы относительно
у, получим:
5
у >-а: + 3,
Так как при любом данном значении неизвестного х число —х+3
5
больше числа —х — —, то никакое значение у не может быть
одновременно меньшим, чем —х — —, и большим, чем —х + о.
Поэтому заданная система неравенств решений не имеет.
4. Решить систему неравенств
—3* — Зу + 5<0,
—х -Ь у — 3 < 0.
Решение. Решив каждое из неравенств относительно у,
получим:
, 5
y>*+J>
У<* + 3.
Общее решение данной системы задается неравенствами
х Н— < у < х + 3.
3
Заданная система неравенств определяет множество точек плоско-
5
сти, лежащих выше прямой у = х + —, но ниже прямой у = х+3
о
(рис. 29).
В процессе решения системы двух неравенств первой
степени с двумя неизвестными мы решали заданные
неравенства относительно неизвестного у. С таким же успехом
можно бы то бы решать заданные неравенства относительно
неизвестного х и провести все те же рассуждения.
Рассмотренный способ решения систем двух неравенств первой степени
с двумя неизвестными нельзя применять тогда, когда одно
из неравенств не содержит х, а второе не содержит у. В этом
случае, решив каждое из заданных неравенств относительно
неизвестного, входящего в него, получим следующую
систему неравенств
х V я, у V Ь.
233

Если, например, в обоих этих неравенствах V обозначает
символ >, то имеем:
х > а, у > Ъ.
Первое неравенство определяет множество точек
полуплоскости, расположенной справа от прямой х = a, a
второе — множество точек полуплоскости, расположенной
выше от прямой у = Ь. Система этих неравенств определяет
внутреннюю область прямого угла а < л; < оо , & < у< оо
(рис. 30).
Ь±
Рис. 29.
Рис. 30.
§ 7. Применение неравенств для задания
числовых и точечных множеств
Неравенства и системы неравенств широко применяются
для аналитического задания числовых и точечных множеств.
Так. например, числовой интервал (а, Ь) задается с помощью
системы неравенств с одним неизвестным х > а, х < Ь9
которую принято записывать так:
а < х < Ь.
Числовой сегмент (или отрезок) [а, Ь] задается с помощью
системы неравенств а < х < 6. Некоторые точечные
множества на плоскости задаются с помощью неравенств и
систем неравенств с двумя неизвестными.
Из предыдущего параграфа известно, что множество
точек полуплоскости, расположенной выше прямой у =
= kx + /, задается неравенством у > kx + /, а множество
точек полуплоскости, расположенной ниже этой прямой, —
234

неравенством у < kx + /.
Множество точек, лежащих
между параллельными прямыми
у = kx + / и у = kx + lA (/>/i),
задается системой неравенств
fee + /, < у < for + / (рис. 31).
Множество внутренних
точек угла АлСВг (рис. 32)
задается системой неравенств
y>klx + ll9
y<k2x-\- /2.
Множество внутренних
точек угла А2СВ2 (рис. 32)
задается системой неравенств
у < kxxx + к>
у> ?2*-На-
Рис. 31.
ш
^г5"
у|
^* !
^Г
С
\>>^С^/
Ъу?
У/Ч-
щ
'/// /
Я
Рис. 32.
Множество внутренних точек вертикальных углов А1СВ1
и А2СВ2 задается совокупностью систем неравенств
у > kxx-i-ll9 у < кгх + 119
y<k2x-\-l2 у > ?2* -f /2.
235

Множество внутренних точек фигуры, изображенной
на рис. 33, можно задать неравенствами
а < х < bt fx(x) <y < /2 (х).
Ц
Рис. 33.
*-5?(у/
Рис. 34.
РЧАА
Неравенствами
с < у < d, ср, (у) < х < ф2 (у)
задается множество внутренних точек фигуры,
изображенной на рис. 34.

Глава IX
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Корни с натуральными показателями
в поле действительных чисел
Прежде чем рассматривать вопрос о решении
иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят
иррациональные уравнения, напомним некоторые
положения о корнях, известные читателю из курса алгебры средней
школы.
Корнем п-й степени (п-натуральное число) из числа а
называется такое число х, п-я степень которого равна а.
Следовательно, если х есть корень п-й степени из
числа а, то хп = а. Корень п-й степени из числа а обозначают
V1T, натуральное число п называют показателем корня,
а — подкоренным числом. Если показатель корня п равен 2,
то его принято опускать. Выражение !/ а иначе еше
называют радикалом гс-й степени. Радикалом n-й степени
также называют и символ !/" . Действие нахождения корня
называют извлечением корня.
Из курса высшей алгебры известно, что корень п-й
степени из любого отличного от нуля числа а имеет в поле
комплексных чисел п различных значений. В этом параграфе мы
ограничимся рассмотрением корней в поле действительных
чисел.
Неотрицательное значение корня п-й степени из
неотрицательного числа а будем называть арифметическим
значением корня, или арифметичевким корнем. Иначе говоря,
237

неотрицательное число х, п-я степень которого равна а,
будем называть арифметическим корнем n-й
степени из числа а. Как известно из курса математического
анализа, арифметический корень любой степени п из всякого
неотрицательного числа а существует, и притом только
один.
Если а!>0, то в поле действительных чисел символ
?/"а обозначает арифметический корень n-ik степени из
числа а. Поэтому при решении над полем действительных
чисел уравнений вида х2п = а следует писать х= ±^/1Г,
2п/
а не х = у а .
Аналогично при а < О и нечетном п арифметическим
корнем п-н степени из числа а называют отрицательное
действительное число, п-я степень которого равна а.
Теорема L Если а и Ь неотрицательные числа, то
из соотношений а/г>йгг, ап = bn, an<Jbn вытекают
соответственно соотношения а > Ь, а = Ь, а < Ь.
Доказательство. Так как любое неотрицательное
число имеет только один арифметический корень л-степе-
ни, то из ап = Ьп вытекает, что \Гап = ?/ Ьп, т. е. а = Ь.
Если аЛ>61 или ап<6\ то, по свойству 10 неравенств
(см. § 1 главы VIII), которое остается верным и для
неотрицательных чисел, соответственно и ?/"ал > У~Ьп или
т/"а" < у/~~Ьп, т. е. а > Ъ или а < Ь.
Из доказанной теоремы ЕЫтекает, что при
неотрицательных а и Ь для доказательства равенства а = Ь или
нераг енств а > Ъ или а < Ь достаточно доказать спр авед-
ливость соответственно равенства ап = Ьп или неравенств
ап > Ъп или а* < Ьп.
Теооема 2. Значение корня из неотрицательного числа
не изменится, если показатель корня умножить на любое
натуральное число k> а подкоренное число возвести в ту
же степень k, m. e.
y?=fr&. (1)
Доказательство. Для доказательства теоремы
достаточно в силу доказанного выше показать, что(|/ а) =
= 1уа>*)а • А это действительно так, ибо
238

Доказанная теорема означает, что значение корня не
изменится, если показатель корня и показатель степени
подкоренного выражения разделить на любой их общий
делитель.
Из нее вытекает также следствие:
Корни различных степеней можно заменить
соответственно равными корнями с одним и тем же
показателем. Действительно, если у а\, у #2,.. #э -у as —
заданные корни, п — общее кратное показателей этих корней и
п = пхк1У п = n2k2,..., п = nsks, то в силу теоремы 2
У^ = У^,уа, = у^ пуй6 = уж.
Замену данных корней равными им корнями с одним и тем
же показателем иногда называют приведением
корней к общему показателю.
Отсюда и из теоремы 1 вытекает следующее правило: для
того чтобы установить, какие из неотрицательных чисел
¦у А и у В больше, достаточно привести эти корни к
общему показателю и затем сравнить подкоренные числа.
12 8 _
Пример. Установить, какое из чисел)/" 17 и У 7 является ббль-
шим.
Решение. Приведя эти корни к общему показателю,
будем иметь
ХУП = 2\ПТ\ ]ГГ= 2УТ*. Так как 73 > 17*, то и 8/Т> 1^.
Теорема 3. Корень из произведения нескольких
неотрицательных сомножителей равен произведению корней той
же степени из каждого из сомножителей, т. е.
у ага2...as = у а^ уа2... у as.
Доказательство. Действительно,
(\Гаха2... as)n = аха2...as
и
Г/5 Уч • • • Vasf = {V^Y ("/*)" ... (Vas)n =
= a1a2... a,
239

Следовательно,
( Va^ .. .as)n = §Га\ ^а2... ^)л.
и поэтому
Уала^... as = У^ у^... у^ (2)
Читая равенство (2) справа налево, получим правило
умножения корней:
Чтобы перемножить несколько корней одной и той жесте-
пени из неотрицательных чисел, достаточно перемножить
подкоренные выражения и из произведения извлечь корень той
же степени.
Теорема 4. Корень из частного от деления неотрица-
те \ьного числа а на положительное число Ь равен частному
от деления корней той же степени из делимого и делителя:
f Л/
а у/ а
Доказательство. Действительно,
У 7
Следовательно,
и поэтому
V ь уг
(3)
Если прочесть равенство (3) справа налево, то получим
правило деления корней:
Чтобы разделить корни одной и той же степени из двих
положительных чисел, достаточно разделить их
подкоренные выражения и из частного извлечь корень той же степени.
Теоремаб* Чтобы возвести корень из неотрицательного
числа в степень, надо возвести в эту степень подкоренное
число:
Г/7)* - V*
240

Доказательство. Действительно,
[(^ГП"-(^Г-[(У^Г]*-^ и {V*T = a\
Следовательно, [fya)" ]п = (у^)л,
и поэтому
Соотношение Уак = (-\fa )k показывает, что для
извлечения корня я-й степени из k-и степени числа а, достаточно
возвести в k-ю степень корень п-и степени из а.
Теорема 6. При извлечении корня из корня можно пере-
множить показатели корней, не меняя подкоренного чикла:
VW- 7a.
Доказательство. Действительно,
<yWT-WW)"\"=« Л7аТ-а.
Следовательно, (|/"^т)Л = ("у^о")"*,
и поэтому Y\/4 = nfa.
Заметим, что доказанные нами теоремы верны без
дополнительных оговорок лишь для арифметических корней.
Для неарифметических же корней теоремы, аналогичные
доказанным, верны не во всех случаях. Ниже мы убедимся
в этом.
Так как четная степень всякого действительного числа
есть число неотрицательное, то действие извлечения корня
четной степени из отрицательных чисел в поле
действительных чисел неосуществимо и, следовательно, при а < О
2k/ о
символ у а в поле действительных чисел смысла не имеет.
Корень четной степени из любого положительного числа
в поле действительных чисел имеет два значения. Этими
значениями являются арифметическое значение и число,
ему противоположное.
Теорема7. Корень нечетной степени 2&+1 из любого
действительного числа а имеет в поле действительных чисел
только одно значение.
241

В самом деле, если а!>0, то никакое отрицательное
число не может быть корнем степени 2& +1 из числа а,
так как всякая нечетная степень отрицательного числа
есть число отрицательное. Неотрицательное же
(арифметическое) значение корня степени 2& +1 из
неотрицательного числа а, как нам известно, существует только одно.
Следовательно, при а !> О корень степени 2k -f-1 из
числа а имеет в поле действительных чисел только одно
значение. Если же а<0, то корень степени 2k-\-\ из
числа а имеет в поле действительных чисел также только
одно значение, а именно: — у \а\. Действительно,
/ 2*-И/-| п2*+1 2/е+у- -
[ — у Iа I ) = — J а | = а, и, значит, — у \ а | есть
корень степени 2k-\-\ из числа а. Никакое же
отрицательное число Ь9 отличное от — -\/~\ а | , не может быть
корнем степени 2k-\-\ из числа а, ибо если бы b2k+l = а.
то [ b [2*+1 = | а | и, следовательно, существовали бы два
различных арифметических корня |/"|я| и 1^1 степени
2k -\-\ из положительного числа |а|, чего быть не может.
Точно так же не может быть корнем степени 2k -f-1 из
отрицательного числа а и никакое неотрицательное число,
так как всякая степень неотрицательного числа является
числом неотрицательным.
Теорема 5. Если а и b отрицательные числа, то
из соотношений а2М > &2ft+1f a2k+l = b2k+\ a2k+1 < b2k+l
(k — любое натуральное число) вытекают
соответственно соотношения а> Ь,а = Ь, а <Ь.
Доказательство. Действительно, если а**+1>
>b2k+\ то — |а|2*+1> —|6|2*+1. Отсюда | a \2k+l < | Ь |2*+1,
и, следовательно, по теореме 1, |я|<|&|- Поэтому
— |а|> —16|, т. е. а>Ь
Если а2*+1 = b2k+\ то — |a\2k+1 = — \b\2k+\ |a\2k+l =*
= [6|2ft+1 и, следовательно, по теореме 1, |а|=|6|.
Отсюда — |я| =—|6|э т. е. а = Ь.
Если же a2k+1 <b2k+1 то — | a|2*+1< — | b\2k+l. Отсюда
I я \2k+l > | 6 |2*+\ и следовательно | а | > | 61. Поэтому
— | а | < — 16 |, т. е. a < b.
Если одно из чисел а и b отрицательное, а второе
неотрицательное, то очевидно, что из соотношений a2fe+1 >
> b2k+l, a2Af+1 < 62*+1 вытекает справедливость
соответственно соотношений а > b, a < 6.
242

Следовательно, для любых двух действительных чисел
а и Ъ из соотношений а2**1 > b2fc+\ а2М = 62*+1, a2*+1 <
< b2k+l вытекает справедливость соответственно
соотношений а > Ь, а = Ь, а < Ь.
Отсюда в свою очередь следует, что для корней нечетной
степени из любых действительных чисел остается в силе
правило установления равенств и неравенств путем
возведения их в степень, показатель которой равен показателю
корней, и поэтому остаются в силе доказательства теорем
3, 4, 5 для всякого нечетного п при произвольных
действительных подкоренных числах. Следовательно, для корней
нечетной степени при всяких действительных подкоренных
числах справедливы теоремы 3, 4, 5.
При нечетном п и а < 0 доказательства теорем 2 и 6
остаются в силе только тогда, когда показатель k также
есть нечетное число. Для нечетного же п и четного
k при а < 0 теоремы 2 и 6 не имеют места, ибо
У~а < 0, а пУак = пу\ a \k > 0, и поэтому у^а Ф nj/rakt a
пГъ~р= nkr—
символы у у а и у а в поле действительных чисел не
имеют смысла.
Так как для нечетных п и k теорема 2 остается в силе
также и при а < 0, то правило приведения корней с
нечетными показателями из произвольных действительных чисел
к общему показателю остается в силе тогда, когда общим
показателем корней является нечетное число.
Для четного п и а < 0 теоремы 2—6 не имеют места.
В этом легко убедиться. Например, в силу теоремы 2
Y^ = 2, однако уЧ— 2)* = УТб = 2^—2,
так что теорема 2 в этом случае не имеет места. Вообще
при четном п = 2k и отрицательном а
%2*= 2^р==|а|==_ at
т. е. теорема 2 для четного п и а <, 0 не выполняется.
§ 2. Тождественные преобразования иррациональных
выражений в поле действительных чисел
В процессе решения иррациональных уравнений и
систем, в состав которых входят иррациональные уравнения,
часто приходится выполнять тождественные преобразования
243

иррациональных выражений. Рассмотрим основные из
них. При этом будем считать, что буквы, стоящие под
радикалами, обозначают неотрицательные числа, а
радикалы — арифметические корни.
1. Вынесение множителей за знак радикала.
Предположим, что в радикале у х™1х2 * • • • x?s У показатели
т19 /п2, ..., ms больше, чем п. Разделив с остатком
числа mv m2, ..., ms на /г, получим:
где г19 г2, ..., rs — неотрицательные числа, меньшие, чем
п. Тогда будем иметь
уГх^Х? . . . Х^у = f x^+rlxnQ^r2 ^ ^ ^ хпя& + rsy =
— у Ж\ X1 л„ Д»о • • • X X у —
—~ 1/ Л| Лл • • • X л< Лп • » • и? у —*
= ^1 ^2 * * * *s S У Xi X2 * * * Xs У*
Следовательно,
¦)/ ХТХТ ... <5У = *Г*22 ••• *?*Y*\** ••• Vs У.
2. Введение множителей под знак радикала. Иногда
бывает целесообразно множители, стоящие перед
радикалом, ввести под знак радикала: для этого надо эти
множители возвести в степень, показатель которой равен
показателю корня, и затем записать их под знаком радикала.
Действительно,
Ах 42 - 4s f7 = V^V^F • • • T^Vl =
5= у X-. X<? «• • X у •
Следовательно,
Ах 4* • • • <s VI = VXT*7' ••• <*s У-
3. Уничтожение иррациональности в знаменателе или
в числителе. Если в знаменатель дробного выражения входят
радикалы, то, умножив его числитель и знаменатель на вы-
244

ражение, сопряженное* знаменателю, получим дробь,
знаменатель которой не содержит радикалов. Такое
преобразование дробного выражения называют уничтожением up-
рациональности в знаменателе.
Аналогично можно преобразовать дробь, числитель
которой содержит радикалы, к виду, в котором радикалы в
числителе отсутствуют. Такое преобразование достигается
умножением числителя и знаменателя дроби на выражение,
сопряженное числителю, и носит название уничтожения
иррациональности в числителе. Приемы уничтожения
иррациональности в знаменателе и в числителе совершенно
одинаковы и сводятся, в конечном счете, к нахождению
соответствующих сопряженных выражений. Поэтому можно
ограничиться рассмотрением только одной из этих задач,
например, задачи уничтожения иррациональности в
знаменателе.
Мы рассмотрим лишь некоторые частные случаи
уничтожения иррациональности в знаменателе, которые чаще
всего встречаются в практике решения задач.
а) Дробное выражение имеет вид
А
Vy\xyli... у1; *
В этом случае выражением, сопряженным знаменателю,
является:
f уГ'1уГ* ...уГ1'.
В самом деле,
А _
*У уГ1'уГ*' •• - упГЬг
~/yi'yfr---y,'' /yrsr-...уГ-
_*У уГ^уГ2 --.уГ/г
Ух У 2 • •. У г
* Отличные от нуля выражения Q и R, в состав которых
входят радикалы, называют сопряженными друг другу, если
произведение их Q R не содержит радикалов.
245

б) Дробное выражение имеет вид
А
У Ч —ухг
Выражением, сопряженным знаменателю, является:
Действительно,
А ^
*1 Х2
в) Дробное выражение имеет вид
А
В этом случае выражением, сопряженным знаменателю,
является:
Y^-V^^л-Т^Ч-... +
В самом деле,
А __
2л > . 2л у-—
246
XI—Х2

г) Дробное выражение имеет вид
А
Выражением, сопряженным знаменателю, является:
Действительно,
Л
, ру?- -у ?=^+...+"»у?)
(*^+* у^ («-у ,f_-y ,f- ,а+... +-у 4п)"
*1 + *2
д) Дробное выражение имеет вид
А
F1(x)+F2(x) V х '
где Fr (х) и F2 (x) — некоторые многочлены от х.
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на
выражение Ft (х) — F2 (x) V х , получим:
А = A\Fy(x)- F2(x) VT] ^
Fi (х) + F2 (x) V~*~ [Fx (x) + F2 (x) Y~i ) \Fxix)-F% (x) V~*~\ **
_ A\FxXx)-F2ix)Y~x~\
F] (x) - F\ (x) x
Следовательно, выражением, сопряженным знаменателю,
будет в этом случае
F1(x)-F,(x)VT .
4. Приведение подобных радикалов. Два радикала
называются подобными, если они имеют одинаковую степень
247

и если их можно записать в виде произведений одного и
того же радикала на рациональные выражения. Так,
например, радикалы У&х и V18* подобны, ибо V8x =
=2J/2jc, 1/18х= 3^2*.
В силу закона дистрибутивности
аг У^ + а2?7+...+а3У'х=:(а1-\-а2-\- ... -\-as)yTx.
Это преобразование называют приведением
подобных радикалов.
5. Умножение радикалов с различными показателями.
По теореме 2 (§ 1 этой главы),
у хгу х2 ... у xs = Y х\ У х2 ... У xs —
=r^F
где т — общее кратное показателей nv n2, ..., n5, a
fe,_, k2, ..., ks — соответствующие дополнительные
множители (т = пхкъ т = n2k2i ..., m = л^&5).
Следовательно, для того чтобы перемножить несколько
корней различных степеней из неотрицательных чисел,
надо сначала привести эти корни к общему показателю и
затем перемножить их подкоренные выражения.
6. Деление радикалов с различными показателями. В
силу теорем 2 и 4 (§ 1 этой главы),
avr. ?ГЪ V 4*'
пг/— тГ
V ч у
где т — общее кратное показателей пх, я2, а ^, k2 —
соответствующие дополнительные множители (т = п^, т =
= n2k2).
Таким образом, чтобы разделить корни различных
степеней из двух неотрицательных чисел хх, х2 (х2Ф 0), надо
сначала привести их к общему показателю и затем
разделить. Если х\х не делится на а^2, то в случае необходимости
можно уничтожить иррациональность в знаменателе.
7. Преобразование «сложных» квадратных радикалов.
В некоторых случаях бывает целесообразно «сложные»
квадратные радикалы вида уА+ у'В или j/ A— -\/~В заменить
соответственно суммой или разностью двух радикалов.
248

Положим
V a + Vb +Va — V~b = x. (l)
Отсюда х2 = 2Л -J- 2 }Лл2 — В и, следовательно,
х = К 2Л + 2 К Л2 — В. (2)
Из соотношений (1) и (2) получим
! —?
(3)
Положив аналогично
предыдущему найдем, что
Va + v'b -Va-VjB = 2 у-
1^л2
(4)
Складывая и вычитая по частям соотношения (3) и (4),
получаем формулы
VJZvb - у *+*?=* - у *-*?=*.
в которых предполагается Л > О, В > 0 и Л2 > В. Эти
формулы называют формулами преобразования «сложных»
квадратных радикалов. Их применение особенно удобно
тогда, когда Л2 — В есть точный квадрат.
Пример. Упростить выражение У 9 + 4 Y 2 •
Решение.
/
ъ-уы-ъ2яшуъ+уТшшгу~г+\.
249

§ 3. Решение иррациональных уравнений и систем,
в состав которых входят иррациональные уравнения,
в поле действительных чисел
Как уже известно (глава II, § 2), уравнение
называется иррациональным, если F (х1э х2, ..., хп) есть
иррациональная функция от неизвестных.
При решении иррациональных уравнений и систем, в
состав которых входят иррациональные уравнения, в поле
действительных чисел допустимыми системами значений
неизвестных считают те и только те системы действительных
значений, при которых значения подкоренных выражений
всех корней четной степени неотрицательны; под значениями
корней четной степени подразумевают их арифметические
значения, а под значениями корней нечетной степени —
действительные значения этих корней. Рассмотрим
алгебраические способы решения иррациональных уравнений.
1. Освобождение иррационального уравнения от
радикалов путем возведения обеих его частей в одну и ту же
степень. При решении иррационального уравнения этим
способом, как правило, выделяют последовательно по
одному радикалу (т. е. оставляют в одной части выбранный
радикал, а все другие члены уравнения переносят в другую
его часть) и затем обе части уравнения возводят в
степень, показатель которой равен показателю выделенного
радикала*. Выделяют каждый раз обычно наиболее
сложный радикал. Так продолжают до тех пор, пока совсем не
освободятся от радикалов. В результате этого получают
алгебраическое уравнение, которое является
следствием заданного иррационального. Затем решают
полученное алгебраическое уравнение.
В некоторых случаях (см. ниже пример 4), для того,
чтобы быстрее освободиться от радикалов, целесообразно
отделить не один, а сразу два радикала.
При решении иррациональных уравнений этим
способом область определения уравнения может расшириться,
так как при некоторых системах значений неизвестных
* Иногда обе части уравнения возводят в степень, показатель
которой равен наименьшему общему кратному показателей
корней, входящих в уравнение.
250

некоторые радикалы, входящие в заданное уравнение,
могут в поле действительных чисел не иметь смысла, но
эти системы значений неизвестных могут быть
допустимыми для полученного алгебраического уравнения.
Расширение же области определения уравнения, как известно,
может привести к появлению посторонних решений,
которые не будут принадлежать области определения
заданного уравнения (см. пример 2, ниже).
Кроме того, возведение обеих частей уравнения в
четную степень может привести также к появлению
посторонних решений, которые принадлежат области
определения заданного уравнения. Появление этих
посторонних решений будет вызываться не расширением области
определения данного уравнения, а причинами иного
характера (см. пример 3, ниже).
Поэтому, найдя решения алгебраического уравнения,
полученного из заданного иррационального уравнения,
обязательно надо путем подстановки каждого из них в
заданное уравнение проверить, какие из них ему
удовлетворяют и какие являются для него посторонними.
Примеры. 1. Решить уравнение
УТ+Ъ + YW^x = 7.
Решение. Выделим радикал У22 — х, т. е. оставим его
в левой части уравнения, а радикал Ух + 3 перенесем в правую
часть. Будем иметь:
1^22^ = 7 — УТ+~3.
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим:
22 — * = 49 — 14 /7+3 + х + 3,
или после упрощений:
— 2лг = — 14 У 7+1 + 30.
Сократив на 2 и снова отделив радикал, будем иметь:
7уТ+1 = *+15.
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим:
49 (х + 3) =*2 + 30* + 225.
Отсюда
хъ _ 19 х + 78 « 0.
Решениями этого уравнения являются хх = 6, х2 *= 13.
Подстановкой в заданное уравнение убеждаемся, что каждое из этих
решений удовлетворяет ему.
251

2. Решить уравнение
VT + Vx — У*Г=Т = 1.
Решение. Перенеся Y* в правую часть уравнения
будем иметь:
Ух—ут^х~= 1—ут.
Возводим обе части этого уравнения в квадрат:
х — У Г=1 =1—2 У Т+ х.
Отсюда
— уТ=* = 1 — 2УТ.
Возведя обе части полученного уравнения в квадрат,
получаем:
1— *=1—4J/T+4*
или после упрощений:
4 Y 7= 5*.
Отсюда
16* = 25*2, 25дг2 — 16а- = 0.
Решениями этого уравнения являются:
•*i = 0, *2 = —•
25
Второе из этих решений удовлетворяет заданному уравнению, а
первое — для него постороннее.
Появление постороннего решения х\ = 0 вызывается
расширением области определения уравнения. Действительно, в область
определения заданного уравнения число 0 не входит, а в область
определения уравнения 25л:2 — 16* = 0 оно входит. Значение х\ = 0
не может быть решением заданного уравнения, потому что оно не
принадлежит к его области определения.
3. Решить уравнение
V2x~+~3 = — x.
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, будем
иметь:
2 х + 3 = х2,
или
х2 — 2 х — 3 = 0.
Решениями этого уравнения являются х\ = —1, х2 = 3.
Первое из этих решений удовлетворяет заданному уравнению,
а второе — для него постороннее.
Появление постороннего решения хч = 3 вызывается не
расширением области определения заданного уравнения, а тем, что
уравнение 2 х -J- 3 = х2 не равносильно первоначальному, а лишь
252

выводимо из него. Оно является следствием не только
заданного уравнения, но также и уравнения ]^2 х + 3 = х.
Решение х2 = 3 удовлетворяет уравнению]/^ х + 3 = х.
Решение же х\ = —1 для этого уравнения является посторонним.
4. Решить уравнение
Vb + /7= 4 —1^5-/7.
Решение. Перенесем радикалы в одну часты
Vb + V7 + Vb —1/"7= 4.
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим!
5 + YT+ 2 V(5 + 1^7) (5 - V7) + 5 - 1^7 = 16,
или после упрощений:
]Л25 —* = 3.
Отсюда
25 — х = 9, * = 16.
Проверка показывает, что х = 16 удовлетворяет заданному
уравнению.
2. Сведение иррационального уравнения к смешанной
рациональной системе путем введения новых неизвестных.
Совокупность одного или нескольких уравнений вида
F (х19 х2У ..., хп) = О
и одного или нескольких неравенств вида
Ф(*1 *2> .... *JV0
называют смешанной системой, если ставится требование
установить, какие системы значений неизвестных хг, х2,
. . . , хп удовлетворяют одновременно всем этим
уравнениям и неравенствам. Система значений
неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям и неравенствам
смешанной системы, называется решением смешанной
системы. Решить смешанную систему — это значит
установить, имеет ли она решения, или нет, и если имеет, то
найти все их.
Теорема. Всякое иррациональное уравнение
Г 2k ,>
Г [Xl9 Х%, . • • » Xs\ у V! (Х1у Х2, . . . , Xs) ,
2k . 2kn
У Q2 (XV X2> • » *s)> • • • > V Q (XV X2> • • • » *s) '»
V "l (*1> *2> • • • » *s)> V ^2 \Xl> X2> • • • * Xs)> • • • »
^m+V 1
V #«(*!• *2> •••> ^)J = °э (1)
253

зов Qi (Хь x2> •. •, xs)9 Q2 \*1> х2> • • • > xs)> • • • >
Qn \xl> x2> • • •» xs)>
Al \Xit X2, • • • > #у)> A2 v-^i» -^2» • • • f ^5)» • • • >
Rm v*l' *2> • • • » Xs)
рациональные функции от неизвестных х19 х21 . . . , xg, a
/* L«^l> X2t • • • > *^,s> r Vl v*i> ^2» • • • > *s/> • • • t
V Wli X2> • • • > Xs)\ —
рациональная функция от неизвестных xv х2, ..., xs и
2kxr— 2fc2/—- 2/m-bI
радикалов у Qlf у Q2t ..., у Am, можно заменить
смешанной рациональной системой.
Доказательство. Действительно, предположив,
что
Щ
У/ = YQi(Xi, х2, •••> **) ('=1. 2, ..., п)
и
2// +1
2/ = V#y(*i, *2> •••> **) 0' = 1» 2, . . . , Ш),
введем вспомогательные неизвестные ylf у2, . . . , ул, %,
*2» • • • » zm- Получим систему уравнений
Гг (Х17 Х2, . . . , Xs, yv y2, . . . , уп, 2Х, 22, . . . , Zm) = О,
У1 == Vi (*i> *2» • • • t *s)>
У2 2 = Ч2 (*1> *2> • • • 1 *$)•
ylkn = Qn(Xi, x2, ..., *,), (2)
2j = Aj (A^, ^2> • • • t X8)f
22 = Kg \X^ X2, . . . , Лу,
zmm — /<ш {xlt x2, ..., л:5).
254

Так как в уравнении (1) при любой допустимой
системе значений неизвестных радикал четной степени
обозначает арифметическое значение корня, а нечетной степени —
единственное действительное значение корня, то
вспомогательные неизвестные уь и Zj могут принимать только
действительные значения и, кроме того, уь > О
(1 = 1,2, ... , п).
Присоединим неравенства yt > 0 к системе (2).
Получим смешанную рациональную систему
гх (xv х2, ..., х5, yv у2. ..., уп, zv г2, ..., zm) = О,
У\ == XI (*1> *2> • • • > Xs)*
yfn = Qn(*i> ч х,)> (3)
Zj = Aj (Xlf XZi . . . , Xs),
%2 === ^2 v^l» X2> • • • » **\s)»
yi>o,
y.>o,
y*>o.
Докажем теперь, что решение иррационального
уравнения (1) сводится к решению смешанной рациональной
системы (3).
Действительно, если х\, х?2, , . . , хР есть решение
уравнения (1), то
2*1/
«m+l/
.... «?- 7«.K *S *°)
есть решение смешанной системы (3).
255

Наоборот, если система действительных чисел яр хР2>
..., *°> У°\> У% •••» У% 2?' 4 •••> 2m является
решением смешанной системы (3), то
Гг yXv Хер , , . , Х&> Ур у2, ..., уд, 2р Z2, •.., 2mJ = О,
(4)
(у?)2*1 =<?,(*?, *° *°) ('=1. 2 п),
О*»)"/+• = /?,$, 4> •••> *°). (/ = 1.2..... «).
у°>0.
Кроме того, так как у° > 0 и у° 2*г = Q, (лс°, *°» ..., *?),
то у^ является арифметическим значением корня степени 2kt
из ^,(4, *°, .... х°)> т. е.
2?.
У?= }Л<ЗД> 4 .... *2Ь (' = 1. 2, ..., п). (5)
Аналогично действительное число 2? является
единственным действительным значением Корня степени 2/y-f-l
из Hj (Яр х2, • • • > *^SJ» т. ^*
^^y^T^j (/ = 1, 2, .... т), (6)
Из соотношений (4), (5) и (6) вытекает, что
f[*v 4 *°; У<М*?. 4 *2),...,
2у<Зп(4 *° х*)> a,^i(4 4 •••> *2). -..
2'т+/ /?„(4 х» *°) = О
и, следовательно, система чисел *J, я°, • . • , #° является
решением уравнения (1).
Из сказанного вытекает, что для решения уравнения (1)
достаточно найти все решения смешанной системы (3).
Системы значений неизвестных х1У х2, . . . , xsi входящие
в состав найденных решений системы (3), будут
решениями уравнения (1), причем ими исчерпываются все решения
уравнения (1). Если окажется, что смешанная система (3)
несовместна, то и уравнение (1) не имеет решений. В
рассмотренном случае в состав иррационального уравнения
256

входили лишь простые радикалы. Если левая часть
иррационального уравнения содержит радикалы,
подкоренные выражения которых в свою очередь содержат
радикалы, но операция извлечения корня выполняется
конечное число раз, то путем последовательного введения
вспомогательных неизвестных решение такого уравнения
также сводится к решению смешанной рациональной системы.
Примеры. 1. Решить уравнение:
Ух + 1 = ух - 3.
Решение. Предположив, что
У1 = У7+1 и у2 = 1ЛГ=Гз,
составляем смешанную рациональную систему
У1 = У2,
У? = * + 1,
У22 = *-3, (7)
у2>0
Подставив во второе уравнение у2 вместо yi, получим систему,
равносильную системе (7):
У1 = У2,
у! = *+1,
У22 = *-3, (8)
у2>0.
Из второго уравнения системы (8) вычтем по частям третье
уравнение, что дает уравнение с целыми коэффициентами:
У2-У2-4=°- <9)
Непосредственная проверка показывает, что делитель 2
свободного члена удовлетворяет уравнению, т. е. уравнение (9) имеет
решение у2 = 2, Поэтому уравнение (9) можно записать так:
(У2~2)(у2 + у2 + 2)=0,
и, следовательно,
у22 + у2 + 2 = 0. (10)
Решениями уравнения (10) являются ~~ ~*~1 " и——~~ 1 *—.
Следовательно, уравнение (9) в поле действительных чисел имеет
только одно решение у2 = 2. Это решение удовлетворяет
неравенству у2 > 0.
257

Подставив значение у2 = 2 в уравнения ух = у2 и уа = лг—3,
находим значения * и ух, а именно:
* *= 7» У1 — 2.
Таким образом, смешанная рациональная система (7) имее?
единственное решение х = 7, ух = 2, уа = 2. Отсюда вытекает,
что заданное иррациональное уравнение имеет в поле
действительных чисел также единственное решение х «= 7.
2. Решить уравнение
У7=2 — "^6*—11 + }/7+3 = 0.
Решение. Положив
У1 = УТ=*2, у2=з-Кб7^ТГ, уз -УТ+1.
составим смешанную рациональную систему
Ух — У2 + У» = 0,
yj-дг-г,
у| —вдг —П.
у|-* + з. (И)
Ух > 0, у2 > 0, у8 > 0.
Решив первое уравнение относительно у2 и подставив
найденное значение у2 в третье уравнение, получим смешанную систему,
равносильную системе (11):
(12)
¦П.
Ух > 0, у2 > 0, уз > 0.
Подставив из второго и четвертого уравнений значения уя, и уа3 в
третье уравнение (12), пояучим систему, равносильную системе
(12):
Уа = У1 + Уз.
У1=*-2,
У1Уз = 2*-6, (13)
у! = * + з,
У1 > 0, у2 > 0, у8 > 0.
Возведя обе части третьего уравнения системы (13) в квадрат,
получим систему, которая является следствием системы (13):
258
у\
У» =¦ У! + У,.
y?=-Jf-2,
! + 2у1У„+У§=-6*
у| = * + з,

Из трех
или после ;
Отсюда
У2~;
У?-
yfyf-to»
у\-
У1>0,
У1 + У81
*-2,
— 24а- + 36,
* + з,
У2 > 0, уд
>о.
последних уравнений этой системы получаем;
(* - 2) (х + 3) =
/прощений:
3 х' — 25 .
7
= 4 *а — 24 л;
х + 42 = 0.
, *2 — 6.
+ 36,
(14)
7
Очевидно, что лп = -~ не может быть решением заданного
о
7 4
уравнения, так как 2« •—•— 6 = —— < 0 и никакая система
о о
7
значений yi в &i > 0, у3 = kz > 0, *х = ~ не может удовлетво-
о
рять третьему уравнению системы (13); х2 = 6 заданному
уравнению удовлетворяет. Следовательно, заданное иррациональное
уравнение имеет в поле действительных чисел единственное
решение х = 6.
Иногда при решении иррационального уравнения
целесообразно способ введения новых неизвестных
комбинировать со способом возведения обеих частей уравнения
в степень.
Пример. Решить уравнение
2У*2 — 3* + 11 — 1Лг2 — 3* + 3 =5. (15)
Решение. Предположив, что у = У"*2— 3 х + 11,
будем иметь:
*2_з*+ 11 =уа.
Отсюда
х2 — 3 х + 3 «= уа— 8.
Уравнение (15) заменим смешанной системой
у2 = jra — 3*+ 11,
гу-у^пг^б,
У > 0. (16)
259

Отделив во втором уравнении системы (16) радикал j^y2—8
и возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
4уа — 20у + 25 = у2 — 8,
или после упрощений:
Зу2 — 20у + 33 = 0.
Отсюда yi= 3, у2= —-. Оба эти решения удовлетворяют урав-
о
нению 2у — ]/"у2 — 8 = 5 и неравенству у > 0. Подставив
значения ух и у2 в первое уравнение системы (16), получим следующие
два уравнения:
*2 _ Зд- + 2 .
9
Отсюда
Я1 = 2, Л?2 == 1» *3 =я
Следовательно, смешанная система (16) имеет четыре решения:
*i = 2, Ух = 3; *2=1, у2 = 3;
2 11 11 11
,, —?. у,--, ,4-т. у4 = -
и, значит уравнение (15) также имеет четыре решения, а именно:
0 1 2 11
О о
Искусственные приемы. В практике решения
иррациональных уравнений иногда с успехом применяют
отдельные, так называемые искусственные приемы. Рассмотрим
некоторые из них на примерах.
а) Решить уравнение
VZx2 + 5x + 8 — Угх* + 5х+1 = 1. (17)
Решение. Умножим обе части уравнения на
множитель V Зх2 + Ъх -\- 8 -\- V3x2 -\- 5х -\-1 , сопряженный с
левой его частью. Будем иметь:
Зх2 + 5х-И — Зх2 — Ъх— 1 =
= УЗх2-\-Ьх + Ъ + Кз*2 + 5*+1,
260
'О,
•0.
2 11
™» *4 = "Г"•
3 3

или после преобразований:
VZx2 + 5x-\-8 +|/"3jc2 + 5a:+1 =7. (18)
Сложив по частям уравнения (17) и (18), получим:
2 К3^2 + 5;с + 8= 8, или /3*2 + 5% + 8 = 4.
Отсюда
3*2 + 5л; —8 = 0,
Оба решения удовлетворяют заданному уравнению, в
чем легко убедиться путем подстановки их в уравнение.
б) Решить уравнение
УЪх2 — lx — 30 — V2x2 — 7x — 5 =*—5. (19)
Решение. Возьмем тождество
(3 х2 — 7 х — 30) — (2 х2 — 7 х — 5) = х2 — 25
и запишем его так:
[УЗх2 — 7х — 30-|-1/"2;с2 — 7х — 5) (КЗ*2 — 7*— 30 —
— V2x2 — 7x—5) = х2 — 25. (20)
Равенство (20) выполняется при любых значениях л\ в
частности и при значениях #, удовлетворяющих уравнению (19).
Поэтому если мы в левой части тождества (20) заменим
второй его множитель -j/3 х2 — 7 х — 30 — /2х2- 7х—5,
являющийся левой частью уравнения (19), выражением
х — 5, то получим уравнение
[УЪх2 — 7х— ЗО + ^х2 — 7х— Ъ){х— 5) = *2 — 25, (21)
которому будут удовлетворять все решения уравнения (19).
Уравнение (21) является, таким образом, следствием
уравнения (19), и, следовательно, решения уравнения (19)
следует искать среди решений уравнения (21).
Уравнение (21) запишем так:
[УЪх2 — 7х— 30 + У2х2 — 7х — Ь ) (х — 5) — (х2 — 25)=0.
261

Отсюда видно, что уравнение (21) распадается на два
уравнения:
х — 5 = 0 (22)
и
VZx2 — 7х — ЗО + ^х2 — 7х — 5 =x + 5. (23)
Из изложенного выше вытекает, что решения
уравнения (19) надо искать среди решений уравнения (22) и
решений уравнения (23). Решением уравнения (22)
является хх — 5. Это решение удовлетворяет и заданному
уравнению (19). Для нахождения других решений уравнения
(19) сложим по частям уравнения (19) и (23). Получим
уравнение
2 \ГЪх2 — 7х— 30 = 2х, (24)
которому будут удовлетворять все решения уравнения (19),
отличные от решения х = 5.
Отсюда
Зх2 — 7х — 30 = х2,
2х2 — 7х — 30 = 0,
_ fi __ 5
Х2 — О, ^з — Г*
Решение х2 = 6 уравнению (19) удовлетворяет, а решение
х = — не удовлетворяет.
Итак, уравнение (19) имеет следующие два решения:
Х^ =1 of Х2 == О*
в) Решить уравнение
х2 — bx + Vx2 — 5х+10 = — 4. (25)
К обеим частям уравнения (25) прибавим по 10 и в
уравнении
х2 — Бх+Ю + К*2 — 5х+10 =6
положим ]Лк2 — 5х + 10 = у. Получим у2 + у = 6, где у !>0.
Решениями уравнения у2 + у — 6=0 являются ух=—3,
у2 = 2, но условию у^0 удовлетворяет лишь решение у2=2.
262

Подставив это решение в соотношение V х* — 5* -J- 10 = у,
получим:
Vx3 — 5*+10 = 2.
Отсюда
х* — 5^+10 = 4,
ха —5* + 6 = 0,
Л^ — J-if Лп —— От
Путем непосредственной проверки убеждаемся, что
х1 = 2 и х2 = 3 удовлетворяют уравнению (25).
Следовательно, заданное уравнение имеет два решения.
г) Решить уравнение
Для решения
пропорцию
YT+x + Va-
У a + x — V~a~-
- *
-*
этого уравнения
2Уа+1
2 ]ЛГ=Г*
: !L±
а —
Л"'
образуем
X
X
(26)
производную
После сокращения будем иметь:
VZ±?=l±i (27)
У*а —^ а-дг
Положив " g~*~* = *, получим * = t2.
Va — x
Отсюда tx = 0, /2 = 1.
Подставив эти значения t в соотношение -^-=/2и
решив полученные уравнения, находим:
%1 = Я> *2 = 0-
Непосредственная проверка показывает, что х1 = — а
является решением уравнения (27) и уравнения (26); х2 = 0
является решением уравнения (27), но не удовлетворяет
уравнению (26), т. е. является для него посторонним.
Легко также убедиться, что уравнение (26) имеет решение
х = а, которое не удовлетворяет уравнению (27).
Следовательно, при решении уравнения (26) изложенным выше
263

способом мы получили постороннее решение х = О и
потеряли решение х = а. Произошло это потому, что
преобразование уравнения (26) привело к изменению его
области определения.
Анализ рассмотренных нами примеров показывает,
что в каждом конкретном случае раньше, чем приступить
к решению заданного иррационального уравнения,
целесообразно внимательно изучить его структуру, а затем
уже составлять план решения, используя специфические
особенности заданного уравнения.
4. Решение систем, в состав которых входят
иррациональные уравнения. При решении любой системы, имеющей
в своем составе иррациональные уравнения, всегда
преобразуют рассмотренными способами ее иррациональные
уравнения и, таким образом, заменяют заданную систему
системой рациональных уравнений или смешанной
рациональной системой, которая является ее следствием. Затем
решают полученную систему. В случае необходимости
путем непосредственной проверки выясняют, какие из
найденных решений являются решениями заданной системы
уравнений.
Пример, Решить систему уравнений
Уъ —1/*3*2 + у^" — у = О,
х + Y У^ТЗ — 3 = 0. (28)
Решение. Отделив радикалы, запишем систему так:
Vb — Уъ^+у^ = 4, (29)
УУМГз = 3 — х.
Возведя обе части первого уравнения в квадрат, будем иметь:
3 — ]АЗ*2 + у4 = уа.
Отсюда
1Лк2 + у4 = 3 — у2, (30)
и, следовательно, 3 — у2 > 0, у2 < 3. Обе части уравнения (30)
также возведем в квадрат, получим:
З*2 + у4 =, 9 — 6у2 + у*.
Отсюда
*2 + 2уа — 3 = 0. (31)
264

Аналогично из второго уравнения системы (29) найдем:
х2 — 6 х — у2 + б = 0. (32)
К уравнению (31) прибавим по частям уравнение (32),
умноженное на 2, будем иметь:
3 х2 — 12 х + 9 = 0.
Отсюда
*2 _ 4 х + 3 = 0,
х\ =1, х2 = 3.
Из соотношения хг + 2 у2 = 3 находим, что при х = 1 у2 = 1
и, следовательно, у = ~\f\ = 1, так как при решении
иррациональных уравнений в поле действительных чисел под корнем четной
степени из неотрицательного числа мы подразумеваем
арифметический корень.
При х = 3 получаем у2 = — 3; действительных
значений у не имеет. Отсюда вытекает, что лишь система
значений х = 1, у = 1 может быть решением системы (28);
непосредственная проверка показывает, что она
удовлетворяет уравнениям системы (28).
Итак, заданная система уравнений в поле
действительных чисел имеет только одно решение:
х = 1, # = 1.

Глава X
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Теоретические основы решения показательных
и логарифмических уравнений
Уравнение F (я1э х2, . . . , хп) = 0 называют
элементарным трансцендентным или просто трансцендентным,
если левая часть его F (хг, х2, . . . , хп) есть элементарная
трансцендентная функция.
Трансцендентное уравнение может иметь одно,
несколько и даже бесчисленное множество решений, оно также
может не иметь ни одного решения. Общих элементарных
методов решения трансцендентных уравнений не
существует. Больше того, элементарными средствами можно решить
трансцендентные уравнения лишь в сравнительно редких
случаях.
В элементарной алгебре рассматривают
трансцендентные уравнения лишь отдельных видов: так называемые
показательные и логарифмические
уравнения и уравнения, приводящиеся к показательным
и логарифмическим*. Уравнение / (*1э х2, . . . , хп) =
=ф(х1? х2, . . . , хп) будем называть показательным, если
/ (я,, х21 . . . , хп) и ф (х19 х2, . . . , хп) являются
показательными или элементарными алгебраическими от
показательных функций. Это уравнение мы будем называть
логарифмическим, если
/ (*!, ха» • • • . хп) и Ф (*i. *2 хп)
* Кроме них, в элементарной математике (в курсе
тригонометрии) рассматриваются тригонометрические
уравнения, которые также являются элементарными трансцендентными
уравнениями.
266

есть логарифмические или элементарные
алгебраические от логарифмических функции. Иначе говоря,
под показательными уравнениями мы будем подразумевать
уравнения, в которые неизвестные входят только в показа»
телях степеней, а под логарифмическими — уравнения, в
которые неизвестные входят только под знаком логарифма.
Так, например, уравнение 212*"*1 — 4е*"1 + 84*"1 —
— Ш3*""1 = 1280 — показательное, а уравнение 3 lg x =
= lg логарифмическое. Уравнение же 2х = Ах
и
мы не будем считать показательным; аналогично уравне?
ние lg х = 2 х не будем считать логарифмическим.
Так как в поле действительных чисел степени
отрицательных чисел с иррациональными показателями и с
некоторыми рациональными показателями не определены,
то показательная функция у = ах над полем
действительных чисел рассматривается только при а > 0, а
логарифмическая функция рассматривается лишь при
положительном, отличном от 1 основании. Поэтому всюду дальше
основание логарифмов будем считать положительным
числом, отличным от 1; показательные и логарифмические
уравнения будем рассматривать только те, в которые
показательные и логарифмические функции входят с
положительным основанием, отличным от 1. Кроме того, так
как отрицательные числа и нуль в поле действительных
чисел не имеют логарифмов, то допустимыми значениями
(системами значений) неизвестных, входящих в
логарифмические уравнения, будем считать такие их значения
(системы), при которых выражения, стоящие под знаком
логарифма, положительны.
В практике решения показательных и
логарифмических уравнений приходится выполнять различные
преобразования, которые основываются на некоторых
тождествах. Рассмотрим основные из них.
1. В области положительных действительных чисел
имеет место тождество
loga (*Л ... хп) = \oga х1 + bga х2 + ... + loga хп. (1)
Действительно, для всякого ^>0 (* = 1. 2, ..., п), по
определению логарифма, xt = a{oga x К Отсюда
ххх2 ... хп = а10** *» alos° х> ... а[0ё«х" =
267

—— и •
С другой стороны, при любых положительных значениях
xt{i = 1,2 п)
ад$ ••• хп = <*Xoga(XlXz''* *л)-
Следовательно,
loga (at^2 . . . *л ) __ a\oga Xi+loga х2+ . , . +loga *„ ^
и, значит,
bg^ (*л • • • **) = lo&* *i + 1°?а Ч + • • • + logfl ^i.
ибо при данном основании а значения показательной
функции могут быть равными только тогда, когда показатели
степеней, в которые возводится основание, равны.
2. В области положительных действительных чисел
имеет место тождество
loga^=log^1-log^2. (2)
В самом деле, для всякого хг > 0 и х2 > 0, по
определению логарифма, хг = aloga Xi и х2 = aXoga x\ Отсюда
С другой стороны,
Следовательно,
= а
Й-в""*
X°ga хй __ \oga Xi-loga xt
и, значит,
bga~ = loga*x — log„*2.
3. В области положительных действительных чисел
имеет место тождество
loga**=?loga*. (3)
Так как для всякого х > 0, по определению логарифма,
х = а1о§а *, то
x* = akX0SaX.
268

l°8a *k —nMoga x
С другой стороны,
Следовательно,
и, значит,
4. В области положительных действительных чисел
имеет место тождество
X°gbX^\^tbXogaX' (4)
Действительно, для всякого х > 0, по определению
логарифма,
x = blos*>x.
Отсюда
log^=loga610^.
Но в силу предыдущего равенства
logablost>x = log,* log, 6.
Отсюда
loga*=log6A;loga&,
так что
log^=^,og^-
Положив в этом тождестве х = а, получим:
logao
Множитель называют модулем перехода от лога-
рифмов с основанием а к логарифмам с основанием Ь.
Так как нуль и отрицательные числа в поле
действительных чисел не имеют логарифмов, то при значениях
неизвестных, меньших или равных 0, равенства (1) — (4) не
выполняются.
5. При всяком положительном а в поле действительных
чисел имеет место тождество
logcax = x\ogca. (5)
269

В самом деле, по определению логарифма, а =- с °Sc"-
Поэтому при любом действительном х имеет место
равенство
С другой стороны,
a* = c{0Sc а*.
Следовательно,
с{огс а* = сх {о*с а
Откуда
\ogcax = x\ogca.
При решении показательных и логарифмических
уравнений алгебраическим способом заданное уравнение
приходится заменять уравнением, равносильным ему или
выводимым из него, пути решения которого известны.
Докажем некоторые теоремы, на которых чаще всего
основывается такая замена.
Теорема /. Если a, b и с суть отличные от 1
положительные числа, то уравнение
af (*i. ** хп ) = ?Ф (*i. ** *п ) (6)
равносильно уравнению
f{xx, *2> •••* *л) log*я = Ф(*i> *2> •-.» xn)\ogcb. (7)
Доказательство. Если система значений
неизвестных х1 = kv х2 = k2f ..., хп = kn является решением
уравнения (6), то
оМ**-*- *я>>0, б***1'*' *п)>0
и
Но из равенства двух положительных чисел вытекает и
равенство их логарифмов. Поэтому
log,a't*1' *a • *rt) = 1о&6ф(*1§ *а *Л >,
и, значит,
П*1, fe2> .... К) log,а = ф(kv fe2, ..., AJlog^ft.
Следовательно, система значений х1 = ^, *2 = ?2,
..., х„= &л удовлетворяет уравнению (7). Таким образом,
270

всякое решение уравнения (6) является решением
уравнения (7),
Наоборот, всякое решение уравнения (7) удовлетворяет
уравнению (6). Действительно, если х1 = ^, х2 = 1^.. .
•. . , хп= 1п есть решение уравнения (7), т. е.
f(lv U> •••> ^)logca = 9(/lt ^2» ..., /Л) log^6,
то
cf ('t. <* **) l°Ve ^ф (/It *e ln)l0*i*t
так как при данном основании с и равных показателях
степени значения показательной функции равны. Из
последнего равенства вытекает, что
( cXogo a)f V1' l* ln ] = ( cXogob )ф (/lt lt l"\
т. e.
a'('i-'. /л) = Ь<р(^*/ '«),
и, значит, *x = /lf xt = /2, ..., xn = ln есть решение
уравнения (6).
Частным случаем доказанной теоремы является
утверждение:
если а — отличное от 1 положительное число, то
уравнение
af (**• *« хп) = а* (*f *• хп)
равносильно уравнению
I (*1> *2$ • • • » *л) = ф (*1>*2> • • • > -*7l)'
Этот частный случай вытекает из теоремы 1 при а = Ъ = с.
Примечание. Теорема 1 верна и тогда, когда
а = Ь = 1, с ф 1. В этом случае уравнения (6) и (7) будут
удовлетворяться тождественно. При а = 1 утверждение,
являющееся частным случаем теоремы 1, неверно.
Теорема 2. Если а — отличное от 1 положительное
число, то уравнение
l0gj(*l» *2» ••• » *л) = 1о2аф(*1> х2> ••• » *п) (8)
равносильно смешанной системе
* (xlf xit ... , хп) « ф (д:х, х8, •,. , хп),
f(xlt х2> ... , *л)>0. (9)
271

Доказательство. Всякое решение х1 = ^,
х2 = k2, . . . , хп = kn уравнения (8) является решением
и системы (9). Действительно, если
logaf(&l> К ••• > kn) = loSa Ф (kl> k2> ••• » */*)»
TO
/ V#i> ^2> • • • » Кп) s* v9
a\oga f(kx, kv ... , kn )_=a\°2a Ф(*1» *i *л )
откуда
Следовательно, система чисел kl9 k2, ... , kn является
решением смешанной системы (9). Наоборот, если
некоторая система значений неизвестных хх = /х, х2 = /2, ...
..., хп = /л является решением смешанной системы (9), т. е.
если / (1г, /2, ... , 1п) = ф (/х, /2, ... , /л),
f(/i, /8э ... t W>of
то
logefCi. A*> •.. > '«) = Ioge9('if /»••.. 'я),
так как при положительном, отличном от 1, основании а
логарифмы равных положительных чисел равны.
Следовательно, всякое решение смешанной системы (9)
удовлетворяет уравнению (8). Этим теорема доказана.
Так как смешанная система (9) равносильна
смешанной системе
/ {.«^1» Х2, •••» Хп) == Ф \Хц %2> • • • > ^Л/>
у(х19 х2, ... , *я)>0, (10)
то из доказанной теоремы вытекает, что уравнение (8)
равносильно и смешанной системе (10).
Теорема 3. Если а — отличное от 1 положительное
число, то уравнение
logjita, *2> ••• » *л) + logJ2(*i> **> ••• . *«) + .-• +
+ logJ,(*l> ^2. ••- » *«) = 10ga<Pl(*l. X* --• , *n) +
+ l°g«ф2 (*i> *» • • •. **) + ••- + log* <P«(*i» **•••• *») I1!)
равносильно смешанной системе
/1 v^i» *2> • • • > *^я) /2 \-^1> Х2, ...» Л^л) •••Is \Xii X2f . . . , #л) =
= фх (л^, л;2, ... , л:л) ф2 (xlf х2У ... , хп) ... фт(^х, х2, ... , хп),
fi \Xv х2У ... , хп) > 0 (г = 1, 2, ... , s), Ц2)
Ф/(*1, *2> ... > ^я)>° (/ = If 2, ... , т). к '
272

Доказательство, Всякое решение уравнения
(11) является решением системы (12). Действительно, если
система значений неизвестных *, = &,, х2 = /^, . . . , *Л=
= kn является решением уравнения (11), то
ft (kltk2l . . . , kn) > 0 (t = 1, 2, . . . , s),
%{kl9k2l ... , ka)>0 (/ = 1, 2, ... , m)
и
•°gfl fl (fel> ^2> • • • > &л) + l°gfl f2 (*1> k2> • • • > *«)+••¦+
+ loSfl/*(*!» k* ••• > *я) = l°Sa Ф1 (*1> *2» •• kn) +
+ 10ga<P2(?l» *2> ••• > kn) + • • • + 1о2я Фя (&1> *2> ••• э &я)-
Отсюда
lOgel/l (kl> k4> - . *n) V^l. fe2» — .*«)--. ^(*1 К ... *и)1 =
= logfl l<h (*1» ^2> • • • . kn) Ф2 (^l. ^2» - • • > *я)
• • • Ф/л \^1> ^2> • • • » ^я/1»
ибо при
/ / («1, &2, • • • > ^л) ^ ^ (^ == ^» ^» • • • > S),
ф/А1э fe2, ... , kn)>0 (/= 1, 2, ... , m),
lOga fl (kl> K> • • • . kn) + logfl k (*1» *2> • • • » *я) + . • . +
-H°gaM*l» fe2> ••• » *я) =
c= l°gfl L/l(^l» ^2» * • • > ^я) 2\^l> ^2» • • • » *n) • • • 's(^l> ^2» • • • » ^n)\
l°gfl <Pi (&i» *з. • • - , *я) "h . • • + l°g<^,n(*i» *2. ... . ^я) =
= 'Ogfl l9l(*l. fe2> ••• > *я)-.-Чя,(*1- *2» ••• » *я)1-
Поэтому
fll0ga [fl(*„ ft*, ... . kn )f2(k, k2 kn ) ... fs (ky k2, ... , kn )J =
= а1о?а [ч>^*' *2 kn) 4>*&i» ^2» ••• ' *я ) ••• Фт(*1' kv ••• • */i )]
T. e.
/l(#l» &2> • • • » ^Я/ '2 \^1» ^2> • • • » "7t) • • • /s V^l ^2» • • • ^Я/ =s
= ф1(«1, «2> • • • * &п) Ф2 V^l» ^2' • • • » #я) • • • ф|я(^1» ^2> • • &п).
Следовательно, система значений хл = kx, x2 = k2, ...
.. . , хп = kn является решением системы (12). Наоборот,
всякое решение смешанной системы (12) удовлетворяет
уравнению (11). Действительно, если система чисел ll9 /2, ...
. .. , 1п есть решение системы (12), то
273

/l (*i> *2» • • • » *n) 12 \П» *2> • • • t *n) • • • Is (*1> *2> • • • > ^л) =ж
e Ф1 ('l> '2> • • • » 'л) Ф2 ('l* 'я. • • • , /Я) • • • 9OT(/i, 's» • « • • ln)
fiVi, /8, ... , /я)>0 (* = 1, 2, ... , s),
<P/(/i. /2> ••• > U>0 0 = 1. 2, ... , m).
Отсюда
l°gfl Ifl ('l> l2> • • • » 'я) /2 Clt ^2» " • • » ^я) • • • fs Ul> l2> • • • » ^)1 =
= 1°gal9l(/l» *2> • • • > 'я) Фг(^1> ^2» • • • » In) • • • 9m(*l» ^2» • • • э /Jit
и, значит,
lOgafl^l» '2, ... > 'я) + l°g J2 (/x, '2. ••• » W + -..+
+ l0ga/*('l. '2t ••• > 'я) e lO&i 4>l Cl. /2. •-. » 'n) +
+ logfl Ф2 Cl» '2» • • • » /«)+... + l0ga фт (/i, /2» • • - • 'я).
а это и означает, что система чисел /1э /2, . . . , 1п
удовлетворяет уравнению (11).
Теорема 4. Если а — отличное от 1 положительное
число, то уравнение
l°ga/(*l> Х2> ••• > *я) — toga Ф (*1. *2> ... • *.)*
= togflgUi» *2> ... » *я) (13)
равносильно смешанной системе
/(*1,*«, -'^)sg(Xl> *2, ... , *„), (14)
ф(*Ь *2» ••• » *Я>
/ \XV *2> • • • > *я) ^ "»
ф(*1. *2> ... , *я)>0.
Доказательство. Если система чисел kv
k2, . . . , kn является решением уравнения (13), то
f(k19 k2, ... , &я)>0, y(kl9 ?2, ••• » ^л)>°э
и
togft/(^, k2, ... , Ая) — logaф(Alt &2, ... , kn)=*
= toga g (klt k2, ... , kn).
Отсюда вытекает, что
logj^'^ ••• ' k"\ = \ogag(K A,, ... U
ф(«Ъ «2. ••• f ««)
Поэтому
al0?a ф (*t. ft, *я ) _ alogrfl *(*t, A. ftn )
т. e.
/(felt &2> ••» » fen) __ Q-/A ? ?\
ф(*1. *а> ... t *n)
274

и, значит, система чисел ^, ^, . . . , kn является
решением смешанной системы (14).
Наоборот, если система чисел 119 129 . . . , 1п является
решением системы (14), т. е.
/(*!, *2,
Т\ — 8 (*1> *2» • • • » ^л)»
ф(*1. *2» ••• . 1п)
то
iog/m(/;') l,,) = iogag(/1, /, /я).
ф(<1, '2» ••• » Ы)
Отсюда
= logeg(/i, /2, ... , /„),
и, значит, система чисел /1э /2, . . . э 1п является
решением уравнения (13).
§ 2. Решение показательных уравнений
с одним неизвестным
Общего метода решения показательных уравнений не
существует. Однако среди показательных уравнений
можно выделить несколько групп, уравнения каждой из
которых решаются одним и тем же приемом.
Первая группа. Простейшие показательные
уравнения. Простейшим показательным уравнением
называется уравнение вида
а* = 6, (1)
где а — отличное от 1 положительное число.
При Ъ < 0 уравнение (1) решений не имеет, так как
при действительных значениях х степень ах не может быть
отрицательным числом или равняться нулю. При Ь > О
уравнение (1) имеет единственное решение:
х = loga6.
Так, например, уравнение 8* = 2 имеет единственное решение
*=log82 =—.
Вторая группа. Показательные уравнения
вида
а™х)=Ь9 (2)
275

где а — отличное от 1 положительное число, а ф (л;) —
элементарная алгебраическая функция.
Введением нового неизвестного и = ф (х) уравнение (2)
непосредственно сводится к простейшему
показательному уравнению аи = Ь, которое имеет решение только
тогда, когда Ъ > 0.
Если b > 0, то и = loga& и, значит,
<p(*) = loge6.
Решив это уравнение, найдем решения уравнения (2).
Замечание. Если числа а и b в уравнениях (1)
и (2) можно записать в виде степеней какого-либо
одного и того же отличного от 1 положительного числа с, т. е.
если а = ст, b = с'\ то уравнения (1) и (2) можно решить
не применяя логарифмов. Действительно, тогда
уравнения (1) и (2) можно записать так:
стх = сп^
Решение этих уравнений, по теореме 1*, сводится к
решению уравнений
тх = /г,
/Пф (X) = П.
Пример. Решить уравнение
^—2х—Ъ=. JL
25'
Решение. Запишем это уравнение так:
5*2-2*-5= 5-2.
Отсюда
*2 — 2х — 5 =—2,
хх =— 1, х2 = 3.
Третья группа. Показательные уравнения
вида
апх) = ь*х)9 (3)
где а и b — отличные от 1 положительные числа, а / (х) и
Ф {х) — элементарные алгебраические функции.
* Здесь и в последующих ссылках этой главы имеются в виду
теоремы 1—4 (§ 1, глава X).
276

По теореме 1, уравнение (3) равносильно уравнению
f(x)\ogca = y(x)\ogcb. (4)
Решение уравнения (3) сводится, таким образом, к
решению уравнения (4).
Если а и Ь есть степени какого-либо числа с, т. е. если
а = с?, b = cq, то уравнение (3) можно записать так:
и решение его сведется к решению равносильного ему
уравнения
Р f (х) = q Ф (х).
Примеры. 1. Решить уравнение
х—\
Решение. Запишем заданное уравнение так:
2 2 = 23<*2-!>.
Отсюда
2^=^ = 3(л:2 — 1), Зд:2 — * —2 = 0,
А
2. Решить уравнение
1 1
4*-3 =3 -22*-1.
Решение. Запишем это уравнение так:
\_ j
22,+ 22,_1=3*+ 2+3Д:~2.
Отсюда
1 1
22*~1 (2 + 1) = 3*"" 2(3 + 1), 22*-1 . 3 = 3*"" 2- 4,
j
92*-1 о*"" 2
4 3 '
2х—Ъ
22*-3 = 3 2 .
2х—Ъ
По теореме 1, уравнение 22*~3 = 3 2 равносильно уравнению
277

2х 3
(2* — 3)lg2e —— Ig3, а следовательно, и уравнению
(2jc—3) (lg 2 — — lg 3) — 0. Так как lg 2 — — lg3 + 0, то 2х-3-0
и, значит,
3
з
Таким образом, * = "Г есть решение заданного уравнения.
Четвертая группа, Показательные
уравнения вида
F [ф (х) ] = 0,
где ф (х) — какая-либо показательная функция, a F (и) —
элементарная алгебраическая функция. Положив в
уравнении (5) ф (х) = и, получим уравнение
F (и) = 0.
Если tx, /2, . . . , ts — действительные решения
уравнения (6), то для нахождения решений уравнения (5)
остается решить уравнения
Ф (х) = tt (i = 1, 2, ... , 5).
Примеры. Решить уравнение
о — 3^+2 — 1 в и'
Решение. Так как 3*+3 = З3 . 3* и 3*+2 «= За . 3*, то
заданное уравнение можно записать так:
2
33 . з* — — 1 «= 0.
32-3*
Обе части этого уравнения умножим на отличный от нуля
множитель За • 3Л, получим уравнение
Зб . 3" — За • 3* — 2 е= 0.
Положив 3* = *, получаем квадратное уравнение
35*2 _ з2/ — 2 = 0.
Отсюда
'1==~~27' ^^9-
2 о, *
Уравнение 3*«_ -- решении не имеет, уравнение 3*«с — имеет
единственное решение х =»—2. Следовательно, заданное уравнение
имеет решение * «— 2.
278

2. Решить уравнение
1 1 J
9 *+6 *=4 * .
Решение. Областью определения заданного уравнения
является множество отличных от нуля действительных чисел. Раз-
делим обе части заданного уравнения на выражение 4*, которое не
обращается в нуль. Получим уравнение
равносильное заданномус
Пусть)—- ] х = t. Тогда / — ] * = t2, и предыдущее уравнение
запишется так:
Отсюда
__ 1 _ Yb — 1+1^5"
'i = 7Г • **=
2 2
Уравнение | -— | * =— -XJl— решений не имеет.
\2 ) i 5
Уравнение [ — ) *= J-——— имеет решение:
(*)"-
,1
lg
/5-1
2
Следовательно, заданное уравнение имеет решение:
3
* 2
§ 3. Решение логарифмических уравнений
с одним неизвестным
Как и для показательных уравнений, общего метода
решения логарифмических уравнений не существует. Но
и среди логарифмических уравнений можно выделить
несколько групп их, уравнения каждой из которых
решаются одним и тем же методом.
279

Первая группа. Простейшие
логарифмические уравнения, т. е. уравнения вида
logax = b, (1)
где а — отличное от 1 положительное число. При любом
действительном Ъ уравнение (1) имеет единственное
решение:
х = аь.
Так, например, уравнение lg*=2 имеет единственное решение;
Вторая группа. Логарифмические уравнения
вида
logJ(*) = &. (2)
где а — отличное от 1 положительное число, г f {х) —
элементарная алгебраическая функция.
Введением нового неизвестного t = f (x) уравнение (2)
непосредственно сводится к простейшему
логарифмическому уравнению
logj = Ь.
Отсюда
t = a\
и, значит,
Решив это уравнение, найдем решения уравнения (2).
Пример. Решить уравнение
log3 (х2 - 7 х + 21) = 2. (3)
Решение. Решение заданного уравнения сводится к
решению уравнения
Х2 _ 7 х + 21 = З2.
Решив его, находим:
х± = 3, х2 = 4.
Третья группа. Логарифмические уравнения
вида
logJ(*) = log,cp(*), (5)
где а — отличное от 1 положительное число, / (х) и ф (х) —
элементарные алгебраические функции. В силу теоремы 2
уравнение (5) равносильно каждой из смешанных систем
/ (х) = ф (х),
/ W > О
280

/ (х) = ф (х),
ф М > 0.
Поэтому для решения уравнения (5) достаточно найти
все решения уравнения
/ (х) = Ф (х) (6)
и затем среди них отобрать те, которые удовлетворяют
неравенству f (л:)>0 или неравенству ф (х)> 0. Отобранными
решениями исчерпываются все решения уравнения (5).
Если же уравнение (6) решений не имеет, то не имеет их
и уравнение (5).
Пример. Решить уравнение
51g* = 31g -|. (7)
3*4-* (If.
Решение. Так как 51g;c = lg*5, a
х
то заданное уравнение равносильно уравнению
lg*5=lg(f )3, (8)
которое в силу теоремы 2 равносильно смешанной системе
Решив уравнение
-(f)'-
находим
Х1 = Х2 === Х3 = "» *4—— л » *5= Т~ •
4 4
/ х \3 У2
Неравенству I *~~ I > 0 удовлетворяет лишь хъ = . Следова-
V2
тельно, уравнение (7) имеет только одно решение: х= .
28!

Четвертая группа. Логарифмические
уравнения вида
log J2 (*) +log J2 (*) + ... +log J^*)=»
= l0ga Ф1 (*) + 1°ёа Ф2 W + • • • + lOg* <Pm (*). (9)
где а — отличное от 1 положительное число, а /, (х)
(i = 1, 2, . . . , s), фД*) (/ = 1, 2, . . . , т) — элементарные
алгебраические функции, причем некоторые из них могут
равняться постоянным числам.
В силу теоремы 3, уравнение (9) равносильно
смешанной системе
fl (*) /2 (*)••• fs (*) = Ф1 W Ф2 W • • • Фт (*)>
М*)>0 (i= 1, 2, ... , s),
ФУ (*)>0 (/ = 1, 2, ... , m).
Следовательно, для решения уравнения (9) достаточно
найти все решения уравнения
f 1 (*) /2 (*) • • • /5 (*) = Ф1 (*) Ф2 W • • • Фт (*) (1 °)
и затем среди них выбрать те, которые удовлетворяют
неравенствам
М*)>0 (* = 1,2, ... , s), фу (*)>0 (/= 1, 2, ... , т).
Если же уравнение (10) решений не имеет, то не имеет
их и уравнение (9).
Замечание. К четвертой группе можно отнести
также уравнения вида
log. h (x) + log, f2 (x) +... + log, fs (x) = b. (11)
Действительно, если в уравнении (9) положим ф3 (х) =
= аьу а ф2 (х) = ф3 (х) = . . . = ут (х) = 1, то получим
уравнение (11). Следовательно, для того чтобы решить
уравнение (11), надо в нем вместо Ь подставить \ogaab и
затем решить его тем же способом, что и уравнение (9).
Примеры. 1. Решить уравнение
lg 2х + lg (х + 3) = lg 2 + lg (6* - 2).
Решение. Заданное уравнение равносильно смешанной
системе
2 х (х + 3) = 2 (6 х — 2),
2х > 0,
х + 3 > 0,
2 (6 х - 2) > 0,
282

которая в свою очередь равносильна системе
х (х + 3) = 6 х — 2,
3* > 1.
Решив уравнение х (х + 3) = 6 х — 2, находим:
х, = 1, х2=2,
Оба эти решения удовлетворяют неравенству 3 х > 1, и,
следовательно, оба они являются решениями заданного уравнения.
2. Решить уравнение
lg (2 х2 + 21 х + 9) — lg (2 х + 1) = 1.
Решение. Запишем заданное уравнение так:
lg (2 х2 + 21 х + 9) = lg 10 + lg (2x + 1).
Это уравнение равносильно смешанной системе
2 ха + 21 * + 9 = 10 (2 х + 1),
2 х + 1 > 0.
Решениями уравнения 2 х2 + 21 х + 9 = 10 (2 х + 1) являются:
XI = —1, Х2= "Г*
Неравенству 2х + 1 > 0 удовлетворяет только решение х2 = "Г ,
1
следовательно, заданное уравнение имеет одно решение х = ~ .
Пятая группа. Логарифмические уравнения
вида
F [?(*)] = 0, (12)
где g {х) — функция логарифмическая, a F (и) —
элементарная алгебраическая Для решений уравнения (12)
введем новое неизвестное / = g (x). Тогда уравнение
запишется так:
F (0 = 0. (13)
Если tl% t2, . . . , tm — действительные решения
уравнения (13), то для нахождения решений уравнения (12)
надо решить уравнения
g{x) = tt (i = 1, 2, . . . , т).
Примеры. 1. Решить уравнение
lgx3(lgx-5) + 18 = 0.
Решение. Так как lg х3 = 3 lg x, то заданное
уравнение равносильно уравнению
31gx(lgx — 5) + 18 = 0.
283

Положив в этом уравнении \gx=t, получим:
3 t (t — 5) + 18 = 0.
Отсюда
t* _ 5 t + 6 = 0,
h = 2, t2 = 3.
Решив уравнения lg x = 2 и lg * = 3, находим решения
заданного уравнения:
xi = 100, х2 = 1000.
2. Решить уравнение
log* 3 log3* 3 = logg* 3.
Решение. Областью определения уравнения является мно-
, * 1
жество положительных действительных чисел, отличных от 1, —, — .
3 9
Так как
log*3 = , \og3x3 = - -- и log0*3 = -—— ,
logs* !og3 3* log39*
то заданное уравнение можно записать так:
1 1 1_
log3* log33* "" log39* #
Отсюда
log3 9x = log3 x • !og3 3* (2 + log3 *) = logs * 0 + Iog3 *),
log§* = 2, \ogzx=±V^
* — зУ^ v — l
Xi — О , X2 =
2^
§ 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся
к показательным и логарифмическим уравнениям
Кроме показательных и логарифмических уравнений,
в элементарной алгебре рассматриваются также
трансцендентные уравнения, которые не принадлежат ни к
показательным, ни к логарифмическим, но по методам
решений близки к показательным и логарифмическим и, как
правило, сводятся к ним. Решим некоторые из них.
Примеры. 1. Решить уравнение
х^^(У7)х. (1)
Решение. Областью определения этого уравнения
является множество положительных действительных чисел. Так как в
284

области определения *V* >0 и (У"х)х > 0, то в силу теоремы 2
уравнение (1) равносильно уравнению
Ig*1'7- lg (V*lx- (2)
Выполнив тождественные преобразования в левой и правой
частях уравнения (2), получим равносильное ему уравнение
Yx\gx= —x\gx. (3)
Отсюда
[у*-\ *)ig* = o.
и, значит, решение уравнения (3) сводится к решению таких двух
уравнений:
V* — ¦— х = 0 и lg х = 0. (4)
Решив эти уравнения, находим:
*i = 0, х2 = 4, *3= 1.
Заданному уравнению удовлетворяют только решения х2 = 4,
*3 = 1. Решение *i = 0 для него постороннее. Оно появилось
потому, что при переходе от уравнения (3) к уравнению (4) область
определения уравнения ~\fx —-—х = 0 расширилась: она
пополнилась нулем.
2. Решить уравнение
х1**-1 = 1000*. (5)
Решение. Областью определения уравнения является
множество положительных действительных чисел. В этой области
х]&х~~г>0 и 1000 х > 0. Поэтому в силу теоремы 2 уравнение (5)
равносильно уравнению
lg*1**-1 = ig 1000a:,
которое превращается в равносильное ему уравнение
(lg*-l)lg* = 3 + lg*.
Отсюда
(lg*)2 — 21g* — 3 = 0*.
Положив lg * = t, имеем:
t2 — 2t — 3 = 0, *!=—!, /2 = 3.
* Рекомендуем читателю избегать записи вида lg2 * вместо
(lg *)a, потому что в некоторых (хотя и очень редких) случаях
символом lg2 * пользуются для сокращенного обозначения
повторного логарифма, т. е. функции lg lg *. Такой способ сокращения
имеет некоторые оправдания.
285

Из уравнений tg *=— 1, lg x =» 3 находим: хг «¦ — , ха в Ю00.
Следовательно, уравнение (5) имеет два решения:
*1=Ш' *2=100°-
3. Решить уравнение
lg (6 . 5* + 25 • 20*) = х + lg 25. (6)
Решение. Заменив х через lg 10*, запишем заданное
уравнение так:
lg (6 . 5* + 25 . 20*) = lg (25 . 10*). (7)
Так как б • 5* + 25 • 20* > 0, то в силу теоремы 2 уравнение (7)
равносильно уравнению
6 . 5* + 25 • 20* = 25 • 10*. (8)
Обе части уравнения (8) разделим на отличное от 0 выражение
5*. Получим уравнение
6 + 25 • 4* = 25 • 2*. (9)
равносильное уравнению (8).
Положив 2* = U имеем:
6 + 25 t* = 25 t.
Отсюда
Из уравнение
находим
h ~ 5 * 2 ~ 5 *
2 3
2* = ? и2' = 7
lg 2 — lg 5 lg а ^ lg S
, *а=
lg2 ' "' Ig2
4. Решить уравнение
х (1 - lg 5) = lg(2* + x - 1). (10)
Решение.
1 — lg 5 = lg 10 — lg 5 = lg — = lg 2.
о
Поэтому уравнение (10) можно записать так:
lg2* = ig(2* + * — 1). (11)
Так как 2* > 0, то в силу теоремы 2 уравнение (11)
равносильно уравнению
2* = 2* + х — 1,
решением которого является х = I.
Следовательно, заданное уравнение имеет решение х =» I.
286

§ 5. Решение некоторых трансцендентных систем
уравнений
Систему уравнений, в состав которой входит по
крайней мере одно трансцендентное уравнение, будем
называть трансцендентной. Класс трансцендентных систем
уравнений довольно широк. Можно привести чрезвычайно
много примеров таких систем. Однако средствами
элементарной алгебры их решается сравнительно мало.
Мы рассмотрим лишь некоторые трансцендентные
системы. Трансцендентными уравнениями, входящими в них,
будут показательные или логарифмические уравнения,
а также уравнения, которые сводятся к показательным
или логарифмическим.
Решение этих систем основывается на тех же теоремах,
что и решение показательных и логарифмических
уравнений. Для того чтобы найти удачный способ решения
каждой заданной системы, следует использовать ее
специфические особенности.
Примеры. 1. Решить систему
0х' Ьх* = о
(афЬ% с>0) (1)
хг + x2 = d
Решение. Так как аХх Ьх* > 0, то, по теореме 2, уравнение
ах* Ьх% = в равносильно уравнению lg (а*1 ЬХг) = \go и,
следовательно, заданная система равносильна системе
lg(a*'^) = lgc,
*, + *2 = d. (2)
Но так как имеет место тождество lg (a*1 bXz) = Xi\ga+x2\gbt
то система (2) равносильна системе
*ilga-j-x2lgb = lg0, rt)
*i + x2 = d. {*>
Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя
неизвестными, находим:
lgc —dlgfr d lg a — lg о
lga — \gb 2 lga — lg 6
Примечание. Если с < О, то система (1) несовместна,
ибо при действительных значениях х\ и х2 выражение ах\ Ьхг не
может ни равняться нулю, ни быть меньшим нуля.
2*7

Если с > О и а = Ь, то система (1) будет иметь вид
а*а ах* = с,
*1 + Х2 = <*•
Отсюда
«1 + *2 = d,
и, следовательно, при с = ad заданная система будет иметь
бесчисленное множестве решений, а при с Ф ad она несовместна.
2. Решить систему
аХх -|- в*я == 6,
(4)
а*1-М2 =с (Ь >0, с>0).
Решение. Предположив, что ах\ = tlt ах* = t2, запишем
заданную систему так:
V,-o. (5>
Значениями fc и t2t удовлетворяющими уравнениям системы
(5), являются корни квадратного уравнения
za _ Ъг + о = 0. (6)
Следовательно, система (5) имеет два решения:
Ь—Уь2— Ac b + Vb2—4o
'1= 2 .г,- 2
Ь+ |Лба—4с 6— ТЛ&2— 4с
'1== 2 ^2С= 2
Если Ь2 — 4 с < 0, то система (5) действительных решений
не имеет и, следовательно, заданная система уравнений решений
также не имеет.
Ъ
Если Ь2 — Аас = 0, то tt = t2 = -— > 0. Система (4) имеет ре-
Ь Ь
шение: хл = logfl — , х2 = loga -— Если Ъ2 — 4с > 0, то, так как
Ь > 0 с > 0, оба корня уравнения (6) будут положительными. В
этом случае система (4) имеет два решения:
Ь+ УЬ2— 4с 6— у Ь2—4с
*1 - loga , х2 = loga
Ъ— \Г Ь2—4е Ь+ \ГЪ2— 4с
*i = 1о§а о » *2 = ]oga
288

3. Решить систему
о** =ЬХ* (а > О, Ь > О, а Ф 1, Ъ Ф 1). (7)
Решение. Областью определения этой системы является
множество всех возможных пар положительных действительных
чисел. Есл и о > 1, а I) < 1 или, наоборот, о. < 1, а Ь > 1, то
второе уравнение заданной системы не может иметь решений и,
следовательно, в этом случае система несовместна. Предположим,
что а > 1, b > 1. Так как Хххз > 0 и ахл > 0, то, по теореме 2,
первое уравнение системы (7) равносильно уразнению
а второе — уравнению
lga*i =3 lg bx*.
Следовательно, заданная система равносильна системе
lg*f*«=lg*24 (8)
Система (8) в свою очередь равносильна системе
*2 lg *i = *i lg *2, /оч
*ilga = *2lgb. W
Решив второе уравнение системы (9) относительно *2 и
подставив его значение в первое уравнение, получим после упрощений
и деления обеих частей на хх > 0 уравнение
lg a lg *i — lg Ь lg х2 = 0, (10)
равносильное первому уравнению системы (9). Заменив в системе
(9) первое уравнение равносильным ему уравнением (10), получим
систему
lg a lg хх — lg Ь lg х2 = О,
хх lga = х2 lg b, (И)
равносильную системе (9).
Но так как lg а > 0 и lg b > 0, то, по теореме 2, второе
уравнение системы (11) равносильно уравнению
lg (xi lg a) = lg (x2 lg 6),
которое в свою очередь равносильно уравнению
lg xi + lg lg a = lg *2 4- lg lg b.
Поэтому система (11) равносильна системе
lg a lg xi — lg b lg x2 = 0,
lg *1 — lg *a = lg lg Ь — lg lg a. (12)
289

Если lg b — Ig а Ф О, то из системы (12) находим:
lg b (lg lg b — lg lg a) lg a (lg lg b — lg lg g)
lg b — lg о lg fc — lg a
Отсюда
i lg* ,Jgb , IgQ Igb
lg^ei7rr^Igir^,gX2ei^^,g]^'
или
lg b \g a
, /Ig&\l**-l*e /lg&\lg*-lga
и, следовательно,
lg b lg a
f\gb \ \gb -Iga ^ /lg6 \ lgb -Iga
1 Vlga/ ' 2~4ga/
Если lg b — lg a = 0, то Iga = lg b и, следовательно, a = b.
Система (12) в этом случае сводится к уравнению
lg xi = lg х2.
Отсюда вытекает, что система (12), а значит, и равносильная ей
система (7) имеют бесконечное множество решений
х\ = k, х2 = fc,
где k — произвольное положительное число.
Предположим теперь, что а < 1, b < 1 Заменив второе
уравнение системы (7) равносильным ему уравнением
/ 1 \*i / 1 \*.
1—1 = I -— I , получим систему, равносильную заданной,
у которой аг=* — > 1, 61=-—>1. Такую систему мы уже ре-
а о
шали.
4. Решить систему
Решение. Областью определения заданной системы
является множество всевозможных пар положительных
действительных чисел. Заданная система равносильна системе
lgXi-lgb-.lgx.lgo. ll*j
Из второго уравнения этой системы находим:
lg*i ^ \gx2
lg о lg 6 *
290

Будем считать, что каждое из этих отношений равно у. Тогда
lg хх я у lg a = lg a?, lg х2 = у lg Ь = lg &У.
Отсюда
Х1=оУ, х2=ЬУ.
Подставив эти значения в первое уравнение системы (14), получим
(а.аУ)1*а~(&. ЬУ){*Ь.
Откуда
lg о (lg а + у lg а) = lg Ь (lg Ь + у lg 6).
При афЪ и аф Ь~г это уравнение имеет решение у «=— 1. Из
уравнений
lg a lg 6
находим решение заданной системы:
J_ 1
При а = b заданная система имеет вид:
и, следовательно, имеет бесконечное множество решений. Они
даются формулами
Х\ = &, Хг = k,
где Л — произвольное положительное число.
При а = Ь"1 решения системы даются формулами
Хг =а k, Х2 = ,
где Л — произвольное положительное число.
5. Решить систему
lg*i + lg*2 = lA
Ах] - 9*| = 3590.
Решение. Запишем первое уравнение этой системы так:
lg д, + lg х2 = !g КТООО.
По теореме 3, оно равносильно смешанной системе
х}х2= 1Л000.
хг > 0, х2> 0.
Поэтому заданная система равносильна смешанной системе
хгх2 = Kiooo.
Ьх\ - 9x1 = 359°.
*i >0, *а>0,
29!

Смешанная система имеет решение #i = 30, х2= —-—. Следова-
о
тельно, заданная система имеет единственное решение:
*i=30, x2= ~Y7«
§ 6. Графические способы решения трансцендентных
уравнений и систем
Как известно, решить трансцендентное уравнение
путем выполнения элементарных действий над известными
числами (коэффициентами, параметрами и др.) удается в
сравнительно редких случаях. Но для потребностей
практики часто бывает необходимо найти хотя бы
приближенное значение корней заданного трансцендентного
уравнения. Если не требуется большая точность, это с
успехом можно сделать, применяя графические методы
решения уравнений.
Пусть задано уравнение
fW=o. (1)
Для того чтобы определить графически приближенное
значение действительных корней этого уравнения,
построим график функции у = F(x) и найдем абсциссы х1У х2, ..., xs
точек пересечения этого графика с осью Ох. Эти
абсциссы будут корнями заданного уравнения, причем
ими исчерпываются все его действительные решения.
Действительно, F (xL) = yt = О (i = 1, 2, . . . , s), и поэтому
xt является решением заданного уравнения. С другой
стороны, если F (хт) = О, то хт является абсциссой точки
пересечения (хтУ 0) графика функции у = F (х) с осью Ох.
График функции у = F (х) строят, используя
свойства этой функции и таблицу ее значений. В том случае,
когда функция у = F (х) возрастает очень быстро,
целесообразно уравнение F (х) = 0 заменить равносильным ему
уравнением т F (х) = 0, где т — постоянное
положительное, меньшее, чем 1, число, и затем строить график
функции у = т F (х). Число т надо выбрать так, чтобы
удобнее было строить график функции у = т F (х). Если
график функции у = F (х) построить трудно, то иногда
бывает целесообразно уравнение (1) записать в виде
/W=9W (2)
292

и затем на одном чертеже построить графики функций
у = f (х) и у = ф (х). Корнями уравнения (2) будут
абсциссы х^ x2i . . . , хт точек пересечения этих графиков,
причем ими исчерпываются все его действительные
решения. Действительно, если (хг, ух), (х:2, у2), . . . , (хт% у J
точки пересечения графиков функций у = / (х) и у = ф (х),
то yk = / (xk) и yk = ф (xk) (k = 1, 2, . . . , m). Отсюда
f (**) =Ф (*k) (k =1, 2, . . . , m) и, следовательно,
абсциссы точек пересечения х1У х2, . . . , хт являются
корнями уравнения (2). Наоборот, если / (л;,) =ф(^), то хь
является абсциссой точки пересечения (xl9 yt) графиков
функций у = / (х) и у = ф (х). Этот прием применяют
также тогда, когда приходится решать несколько
однотипных уравнений, для которых функция / (х) одна и та же,
а функции ф (х) хотя и отличаются одна от другой, но
графики их строятся легко. В этом случае, построив график
функции у = f (л:), строят на этом же чертеже графики
функций у=ф(х), соответствующие заданным
уравнениям, и, таким образом, графически решают заданные
уравнения.
Например, для графического решения
трансцендентных уравнений вида
2* + ах + & = 0 (3)
запишем уравнение (3) так:
2х = — ах — Ъ.
Построив кривую у = 2х, строим на этом же рисунке для
каждого заданного уравнения прямую у = —ах — Ь и
затем определяем приближенные значения корней
заданного уравнения.
На рис. 35 показано решение этим методом уравнений:
1) 2х = х + 2,5, л:^—2,3, х2^2,2;
2) 2* = 4 — 2х, х^1.
Непосредственная проверка показывает, что х = 1 есть
точное решение уравнения 2х =4 — 2 х.
Графическое решение трансцендентных систем
уравнений основывается на тех же принципах, что и решение
трансцендентных уравнений. Если задана
трансцендентная система
F(x9 y) = 0, (4ч
Ф(х9 у) = 0, К }
293

то, чтобы найти действительные решения этой системы,
достаточно определить координаты точек пересечения
кривых, которые задаются этими уравнениями.
Действительно, так как точки пересечения (д^, ух), (х2, у2), ..., U„,y„)
кривых принадлежат обеим кривым, то их
координаты удовлетворяют обоим уравнениям. Наоборот, если
пара чисел (хт, ут) удовлетворяет обоим уравнениям, то
точка (хт, ут) принадлежит
обеим кривым и,
следовательно, является точкой
пересечения этих кривых.
Построение кривых,
заданных уравнениями
системы (4), как известно,
упрощается, если
уравнения этой системы можно
разрешить относительно
одного из неизвестных или
если оба неизвестные
можно записать как функции
одной и той же
переменной.
Так как построение
графиков, а также
измерение отрезков могут быть
выполнены лишь
приближенно, то графические методы решения уравнений и их
систем дают, как правило, грубо приближенные
значения решений.
Графический метод решения уравнений и систем
применяют как вспомогательный способ при приближенном
их решении. Он позволяет определять число решений
уравнения или системы, находить те промежутки, в
которых содержатся искомые решения, и определять
приближенные значения этих решений. В случае надобности
результаты, полученные при графическом решении,
проверяются и уточняются с помощью численных методов.
Рассмотрим некоторые примеры графического решения
трансцендентных уравнений и систем.
Примеры. 1. Решить графически уравнение
2* = 2 + х — **.
Решение. Строим на одном рисунке графики функций
Рис. 35.
294

у = 2х и у = 2 + х — х1. Построенные кривые (рис. 36)
пересекаются в точках, координаты которых приближенно равняются
(—0,8; 0,6) и (1; 2). Непосредственной проверкой убеждаемся, что
Х\ = 1 есть точное решение заданного уравнения, а х2 » —0,8 —
приближенное.
2. Решить графически уравнение
2х-1 — (лга — 1)—0.
Решение. Для графического решения этого уравнения
запишем его так:
2*-i = лг» — 1
и затем построим графики функций
y = 2*-i и у = *2 — 1
Рис. 36.
(рис. 37). В границах чертежа эти графики пересекаются в двух
точках, имеющих абсциссы jcx « — 1,1, х2 ^ 1,6. Так как при * = 6
Щ
1.6
12
1.0\
6,0 6,26,4 6,6 6,8 7,0
Рис 38.
Рис 39.
295

имеем неравенство 2х"1 < х2 — 1, а при х = 7 — неравенство
2х"1 > х2 — 1, то построенные нами кривые пересекаются еще в
одной— третьей точке. Следовательно, заданное уравнение имеет еще
и третье решение, которое содержится в интервале (6, 7). Для
определения третьего решения заменим заданное уравнение равносиль-
1 _ 1
ным ему уравнением -2* i=--(jt2— 1) и построим на отрезке
[6, 7] графики функций у = — 2*"1 и у = j^(*2 — !)•
Составив на отрезке [6, 7] таблицу значений функций
32'
2х"1 = 2х"
*у-к{хШ~1)
1 х
| 2*~б
"Г (*2 - *)
1 32 v '
6
1
1,09
6,2
1,148
1,17
6,4
1,319
1,25
6,6
1,517
1,33
6,8
1,74
1,41
7
2
1,50
и построив их графики (рис. 38), находим, что хг « 6,2.
3. Решить графически уравнение
log2 х = х — 2.
Рис. 40.
296

Решение. Построив графики функций у = log2 x и у =
= х — 2 (рис. 39), находим, что
xi « 0,3, х2 » 4.
4. Решить графически системы уравнений
1) Х2 + у2 = 4, у = 2 log* x;
2) ** + у2 = 9> у = 2 log2 х.
Решение. Для решения этих систем строим график
функции у = 2 log2 х (рис. 40) и затем на этом же рисунке строим
окружности, которые задаются уравнениями х2 + у2 = 4 и х2 +
+ у2 = 9. Координаты точек пересечения каждой из этих
окружностей с логарифмической кривой у = 2 log2 x и являются
решениями соответствующей системы уравнений. Первая система имеет
решения хг « 0,5, yt « —1,9; х2 « 1,6, у2 «1,3, а вторая
система — *! « 0,3, ух » 2,9; *2 « 2,1, у2 « 2,2.
Мы ограничились рассмотрением лишь простых
примеров. Графическое решение более сложных
трансцендентных уравнений и систем принципиально ничем не
отличается от решения рассмотренных нами примеров.
Осложнения, которые при этом могут возникнуть, будут
связаны лишь с построением кривых, изображающих заданные
трансцендентные уравнения.

ЛИТЕРАТУРА
Александров П. С. и Колмогоров А. Н.,
Алгебра, ч. I. M.. 1939.
Александров П. С, Введение в теорию групп, M.t
1951.
Барсуков А Н, Алгебра, ч. I, M., 1956.
Барсуков А. Н., Уравнения первой степени в средней
школе, М., 1948.
Барсуков А. Н., Алгебра, ч. II, М., 1957.
Б р а д и с В. М., Истомина Н. С, Маркуше-
в и ч -А. И., Алгебра ч. II, М., 1957.
Виленкин Н Я., Уравнение, БСЭ, т. 44, изд. 2, 1956.
Глаголев А Н., Элементарная алгебра, ч. I, M., 1907.
Гончаров В. Л., Начальная алгебра, М., 1955.
Граве Д А., Начала алгебры, II, 1915.
Г и б ш И. А., Уравнения первой степени в средней школе,
М., 1956.
Г и б ш И. А., Иррациональные уравнения в средней
школе, М., 1954.
Г и б ш И А. (ред.), Из опыта работы учителей математики
(алгебра, тригонометрия). М., Изд-во АПН РСФСР 1959.
Давыдов А., Начальная алгебра, М. 1887
Иванченко М. М., Алгебра, «Радянська школа», 1935.
Киселев А. П., Алгебра, ч. 1, М., 1961.
Киселев А. П., Алгебра, ч. 2, М., 1961.
сКомбинаторика», БСЭ, т. 22, изд. 2, 1953.
К о р о в к и н П. П., Неравенства, М., ГТТИ, 1952.
К р е ч м а р В. А., Задачник по алгебре, М.— Л., 1937.
К у р о ш А. Г., Шмидт О. Ю., Алгебра, БСЭ, т. 2,
изд. 2, 1950.
К у р о ш А. Р., Курс высшей алгебры, М., ГТТИ, 1955.
Лебеди нцев К Ф., Основы алгебры, Пг.—Киев, 1915.
Лебединцев К. Ф., Руководство алгебры, ч. I, М.—Л.,
1927.
Л я п и н Е. С, Курс высшей алгебры, ч. I, M., 1955.
Левенстерн Л. А., Систематический сборник решений
задач по математике, Алгебра, Спб., 1900.
Маракуев Н Н. Элементарная алгебра, т. 1, 2, М., 1903.
Маркушевич А И., Стечкин С. Б.,
Неравенства, БСЭ, т. 29, изд. 2, 1954.
298

Моденов П. С, Сборник задач по специальному курсу
элементарной математики, «Советская наука», 1957.
Натансон И. П., Простейшие задачи на максимум и
минимум, М., ГТТИ, 1951.
Натансон И. П., Функция. БСЭ. т. 45, изд. 2, 1956.
Невяжский Г. Л., Неравенства, М., Учпедгиз, 1947.
Новоселов С. И., Специальный курс элементарной
алгебры, М., Учпедгиз, 1952.
Новоселов С. И., Алгебра и элементарные функции,
М., Учпедгиз, 1952.
Николаева Н. Н., Уравнения первой степени с одним
неизвестным, М„ Изд-во АПН РСФСР, 1955.
Никульцев П., Алгебра и собрание алгебраических
задач, М., 1908.
Окунев Л. Я., Высшая алгебра, М., Учпедгиз, 1949.
Погорелов А. И., Сборник задач по алгебре, М.,
Учпедгиз, 1949.
С у ш к е вич А. К., Основы высшей алгебры, М.—Л., 1937.
Фаддеев А. К. и Соминский И. С, Алгебра, ч. 1,
М., Учпедгиз, 1951.
Фаддеев А. К. и Соминский И. С, Алгебра, ч. 2,
М., Учпедгиз, 1951.
Фридман В. Г., Концентрический учебник алгебры,
Л., 1924
Чайковский М. А., Квадратн! р1вняння. «Радянсь-
ка школа», 1959
«Энциклопедия элементарной математики», кн. 1,
Арифметика, М., ГТТИ. 1951.
«Энциклопедия элементарной математики», кн. 2, Алгебра,
М.. ГТТИ, 1951.
«Энциклопедия элементарной математики», кн. 3, Функции и
пределы, М., ГТТИ, 1952.

СОДЕРЖАНИЕ
От автора 2
Глава I. Предварительные замечания
§ 1. Понятие множества 3
§ 2. Понятия кольца и поля 6
§ 3. Упорядоченные поля 9
§ 4. Понятие функции и аналитического выражения . . 12
§ 5. Элементарные функции и их классификация . . 15
§ 6. Метод математической индукции 18
Глава II. Общие сведения об уравнениях
§ 1. Понятие уравнения. Решения уравнения .... 20
§' 2. Классификация уравнений, изучаемых в
элементарной математике 23
§ 3. Равносильность уравнений 24
§ 4. Преобразование уравнений при их решении ... 30
Глава III.Элементарные методы решения алгебраических
и дробно-рациональных уравнений с одним
неизвестным
§ 1. Алгебраические уравнения я-й степени с одним
неизвестным 37
§ 2. Корни квадратного трехчлена 41
§ 3. Исследование квадратного трехчлена над полем
действительных чисел 47
§ 4. Двухчленные уравнения 52
§ 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к
квадратным 60
§ 6. Симметрические уравнения 62
§ 7. Алгебраическое уравнение я-й степени с
рациональными коэффициентами 66
§ 8. Частные приемы решения уравнений высших степеней 71
§ 9. Дробно-рациональные уравнения 75
Глава IV. Теория соединений
§ 1. Основные задачи теории соединений 79
§ 2. Перестановки —
§ 3. Сочетания 81
§ 4. Размещения 85
§ 5. Перестановки с повторениями 87
300

§ 6. Сочетания с повторениями 89
§ 7. Размещения с повторениями 91
Глава V. Бином Ньютона и полиномиальная теорема
§ 1. Бином Ньютона 94
§ 2. Биномиальные коэффициенты и их основные
свойства 93
§ 3. Треугольник Паскаля 99
§ 4. Полиномиальная теорема 100
§ 5. Вычисление сумм степеней первых п чисел
натурального ряда 103
Глава VI. Многочлены от нескольких переменных
§ 1. Многочлен от нескольких переменных и его
каноническая форма 106
§ 2. Однородный многочлен от п переменных и число
его членов • . . 112
§ 3. Число членов в каноническом представлении
многочлена от п переменных 114
§ 4. Тождественность двух многочленов 115
§ 5. Тождественные преобразования многочленов.
Тождество Лагранжа 121
§ 6. Применение метода неопределенных коэффициентов
при выполнении алгебраических действий над многочленами. 123
Глава VII. Системы уравнений с несколькими
неизвестными
§ 1. Понятие системы уравнений 127
§ 2. Равносильность систем уравнений 129
§ 3. Уравнения и сис!емы уравнений, являющиеся
следствием данной системы уравнений 139
§ 4. Основные элементарные методы решения систем
уравнений 141
§ 5. Решение нелинейных систем алгебраических
уравнений элементарными методами 150
§ 6. Графическое решение нелинейных систем
алгебраических уравнений с двумя неизвестными 185
Глава VIII. Неравенства
§ 1. Основные свойства неравенств ......... 189
§ 2. Тождественные неравенства 193
§ 3. Применение неравенств для определения
наибольших и наименьших значений 206
§ 4. Решение неравенств 213
§ 5. Решение алгебраических неравенств с одним
неизвестным первой и второй степени 218
§ 6. Решение систем алгебраических неравенств первой
степени с двумя неизвестными 223
§ 7 Применение неравенств для задания числовых и
точечных множеств 234
301

Глава IX. Иррациональные уравнения над полем
действительных чисел
§ 1. Корни с натуральными показателями в поле
действительных чисел 237
§ 2. Тождественные преобразования иррациональных
выражений в поле действительных чисел 243
§ 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в
состав которых входят иррациональные уравнения, в поле
действительных чисел 250
Глава X. Показательные и логарифмические уравнения
в поле действительных чисел
§ 1. Теоретические основы решения показательных и
логарифмических уравнений 266
§ 2. Решение показательных уравнений с одним
неизвестным 275
§ 3. Решение логарифмических уравнений с одним
неизвестный 279
§ 4. Решение трансцендентных уравнений,
приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям. 284
§ 5. Решение некоторых трансцендентных систем
уравнений 287
§ 6. Графические способы решения трансцендентных
уравнений и систем ^ 292
Литература ч . . . 298

Сергей Трофимовы Завало
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРД
Редакторы Р. С. Гутер и Н. И. НШ
Технический редактор М. С. Дранникова
Корректор Т. Н. Смирнова
¦ * *
?данф в набоа 14/V-1964 ?. Подписало
иечат* 13/ХЫВ64 г. W%W8l/32. Печ.
f9(15,96). Уч.-изд. л. 12,64. Тираж 25000 экз.
• * *
Издательство «Просвещение»
Государственного комитета Совета Министров РСФСР
по печати. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Саратовский полиграфический комбинат
Росглавполиграфпрома Государстве иного
комитета Совета Министров РСФСР по
печати, г, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Заказ 90.
Цена 38 коп.