Упруго-пластическая задача - Черепанов Г.П., Аннин Б.Д.

Автор: Черепанов Г.П. Аннин Б.Д.
Теги: свойства и структура молекулярных систем физика механика механика деформируемых тел физика твердого тела
Год: 1983
Похожие
Оптимизация форм упругих тел
Модели и критерии механики разрушения
Нелинейное деформирование тел
Механика хрупкого разрушения
Текст
                    АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ
им. М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА
Б. Д. АННИН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
УПРУГО-ПЛА СТИЧЕСКАЯ
ЗАДА ЧА
Ответственный редактор
чл.-корр. АН СССР Е. И. Шемякин
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
Новосибирск • 1983

УДК 539.214
Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пласти-
ческая задача.— Новосибирск: Наука, 1983.
Монография посвящена неодномерным упруго-пластическим
задачам. Рассмотрены сдвиг, кручение, плоская: деформация,
плоское напряженное состояние, пространственная задача и
смежные вопросы. Даны наиболее важные аналитические реше-
ния и приведена сводка некоторых численных результатов.
Книга предназначена для научных работников, специализи-
рующихся по механике деформируемого твердого тела, и инже-
неров, имеющих дело с расчетами на прочность.
Ил. 127. Табл. 14. Библиогр. 255.
А 1703040000 —827 <ла OQ © Издательство «Наука», 1983 г.
042@2)-83

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Введение " 5
§ 1. Упруго-пластическая среда 6
§ 2. Основные уравнения теории упругости . . . . • . . 8
§ 3. Ассоциированный закон пластического течения ... . . 11
§ 4. Принцип Хаара — Кармана 16
§ 5. О методах решения упруго-пластических задач .... 18
Глава II. Сложный сдвиг '. . ' , 20
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор —'
§ 2. Задача Треффтца 23
§ 3. Полоса конечной ширины с угловым вырезом произвольного
раствора 25
§ 4. Щель в полуплоскости . - 29
. § 5. Периодическая система щелей •. 33
§ 6. Полуплоскость, ослабленная вырезом с закруглением (вы-
точка с закруглением^ ' 36
§ 7. Контактная задача ' . 40
§ 8. Линеаризация при произвольном законе упрочнения . . . 42
§ 9. Задача Нейбера 47
Глава III. Кручение 59
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор —-
§ 2. Кручение - стержня овального сечения , 63
§ 3. Решение Соколовского . " 71
§ 4. Алгоритм численного решения для овального сечения. При-
меры . . . ¦ '73
§ 5. Интегральное представление Галина^ 77
§ 6. Сингулярное интегральное уравнение 80
§ 7. Метод Галина для полигонального сечения ...... 83
§ 8. Начальное развитие пластических зон для прямоугольного
¦ сечения. . 89
§ 9. Решения с пластическими линиями разрыва ..... 92
§ 10. Численные результаты 99
Глава IV. Плоская деформация . 108
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор " —-.
§' 2. Методы решения краевой задачи '111
§ 3. Задача Галина ..*... 122
§ 4. Некоторые обобщения задачи Галина 127
§ 5. Периодическая задача 133
§ 6. Метод малого параметра 136
§ 7. Решения с пластическими линиями разрыва 140

§ 8. Щель 147
§ 9. Некоторые численные результаты ......... 149
-§ 10. Контактная задача (численное решение) 154
§ 11. Равнопрочное отверстие 157
§ 12. Равнопрочная выработка в горном массиве 166
Глава V. Плоское напряженное состояние 175
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор '. —
§ 2. Пластинка с круговым отверстием 177
§ 3. Пластинка, ослабленная бесконечным рядом одинаковых
\ круговых отверстий 188
§ 4. "Решение с пластическими линиями разрыва 192
§ 5. Щель 199
§ 6. Численные результаты 200
Глава VI. Пространственные задачи 202
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор —
§ 2. Сферическая полость 203
§ 3. Решение с пластическими линиями разрыва 210
§ 4. Численные результаты. Метод конечных разностей . . . 211
Приложение I. Один метод решения задач с неизвестной границей 219
Приложение II. Нелинейная задача Рймана 222
Литература 227

Глава I
ВВЕДЕНИЕ
Все твердые тела способны при деформации проявлять упру-
гие, пластические и вязкие свойства.. Последние характеризуют из-
меняющиеся во времени деформации тела при неизменных нагруз-
ках. В зависимости от температуры, уровня нагрузок, времени и ско-
рости нагружения эти свойства проявляются в различной степени.
При температурах, далеких от температуры плавления, вязкими
свойствами большинства конструкционных материалов обычно мож-
но пренебречь.
Пластичность — свойство твердых тел приобретать остаточные
деформации, не изменяющиеся при постоянных нагрузках. При до-
статочно высоком уровне нагрузок все твердые тела способны при-
обретать такие остаточные деформации.
Математическая теория пластичности, зародившаяся свыше ста
лет тому назад в трудах Сен-Венана и Леви, в настоящее время
«тала разветвленной наукой, обслуживающей весьма разнообразные
юбласти человеческой практики. Из всего обилия работ, посвящен-
ных этой дисциплине, отметим лишь некоторые источники [5—12J,
14, 17—.31], дающие достаточное представление о теоретических а
прикладных результатах в этой области. Наиболее сложным и на#-
медее изученным разделом математической теории пластичности яв-
ляется неодномерная упруго-пластическая задача, к которой приво--
дят многие вопросы расчета напряжений и деформаций в окрестно-
сти разного рода выточек, отверстий, углов, щелей и т. п. Слож-
ность этой задачи состоит в том, что форма и размеры пластической1
области не известны заранее и их нужно определить в ходе ре-
шения. 4;
В этой главе приводятся основные уравнения теории упругости
и теории пластичности, необходимые для решения неодномерных уп-
руго-пластических задач, рассматриваемых в следующих главах. Не-
которое внимание уделяется также общим свойствам приведенной
системы уравнений.
¦5

§ 1..УПРУГ0-ПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА
Заменяя реальное твердое тело сплошной средой, примем ряд
дополнительных предположений, характеризующих ее упруго-пла-
стическое поведение.
Пусть хи хг, х3 — прямоугольная декартова система координат.
Компоненты тензоров напряжений, деформаций и вектора смещений
обозначим соответственно'<т«, ««, ut, i, / = 1, 2, 3.
Рассмотрим элементарный объем dxidxzdxs, нагруженный по поверх-
ности напряжениями о«, i, / = 1, 2, 3, как некоторый «черный ящик»,
на вход которого подаются напряжения о„, а на выходе снимаются
деформации е„ 1). Будем считать, что состояние упруго-пластической
среды в каждой ее точке описывается величинами о„-, ъг} и темпера-
турой Т. При этом бесконечно малые приращения выходных
величин den могут быть записаны через соответствующие при-
ращения damn и йТ в следующем виде 2):
~ A.1.1)
или dai5 = A*jmndemn + c*,dT.
Здесь коэффициенты Aijmn и С« могут зависеть только от мгновенных
значений напряжений, деформаций, температуры, от истории дефор-
мирования и от направления вектора приращения (do«, dT) в про-
странстве (Cij, T). История деформирования определяется кривой
(или путем), в пространстве (о«, е«, Г). Так как ъц = ел и о„ = о#
(моментные напряжения предполагаются отсутствуюшдми), то тен-
зор Су должен быть симметричным, а тензор Ацтп должен быть сим-
метричным по первым двум индексам и последним двум индексам.
При этом,|было предположено следующее:
а) упруго-пластическое тело однородно (вследствие этого коэф-
фициенты Aiimn и Ctj не зависят явно от координат Xi, хг, хг точки
в теле);
б) реологические свойства системы рассматриваемого элементар-
ного объема не изменяются со временем, поэтому коэффициенты
Aijmn и Су не зависят явно от времени t;
в) влияние производных по хи хг, х3 любого порядка от пара-
метров е«, Оц и Г на определяющие уравнения A.1.1) пренебрежимо
мало.
Эти упрощающие допущения вполне приемлемы для широкого
класса реальных случаев.
Представляет интерес изучение характера реакции системы на
внешние возмущения. Заметим, что роль реакции нашей системы
(элементарного объема) играют деформации е„, а роль внешних воз-
мущений — нагрузка оу и температура Т "на поверхности элементар-
¦' Деформации твердого тела всюду в книге считаются малыми.
2) По повторяющимся индексам производится суммирование. .

ного объема. В рассматриваемом элементарном- объеме из упруго-
пластического материала реакция на мгновенное внешнее возмущё-.
ние появляется мгновенно и в дальнейшем, вообще говоря, остается
неизменной, если ое и Т не,изменяются. Следовательно^ упруго-пла-
стическое тело относится к наследственным системам с мгновенной
реакцией.
Предположим, что внешнее возмущение исчезает с течением
времени. Полную реакцию произвольной системы на исчезнувшее
внешнее возмущение можно представить в виде суммы обратимой
реакции гец (которая также исчезает) и необратимой, или остаточ-
ной, реакции-efj (которая характеризует «память» системы об ис-
чезнувшем внешнем возмущении). Следовательно,
_еи = е1, + в&. A.1.2)
Таким образом, поведение анизотропного упруго-пластического
тела вполне описывают 6 независимых функционалов Aiimn и
С функционалов С«. При выполнении условия взаимности число не-
зависимых функционалов Aijmn уменьшается до 18. Можно показать,
что в случае изотропного упруго-пластического тела коэффициенты
Aijmn содержат только два независимых функционала, а тензор С«
становится шаровым с одинаковыми диагональными элементами^, е.
имеет только один независимый функционал. В принципе, эти функ-
ционалы можно определить экспериментально, однако практически
это невозможно вследствие большого числа переменных и вытекаю-
щего отсюда огромного объема экспериментальных работ. Поэтому
практически метод «черного ящика» можно применять лишь к си-
стемам с одним входом и одним выходом. Пусть, например, упруго-
пластическое тело подвергнуто растяжению силой Р (вход), в ре-
зультате чего в некоторых двух характерных точках тела возникает
взаимное перемещение и (выход). Единственный функционал, опи-
сывающий поведение этой системы (т^ е. эволюцию и в зависимости
от изменения Р), определяется эмпирически из серии опытов по на-
гружению — разгрузке при различных значениях Р.
Наиболее рациональный метод исследования, т. е. определения
неизвестных функционалов в A.1.1), состоит в построении эвристи-
ческой общей модели (теории), которая должна описывать имеющий-
ся набор эмпирических данных для различных простейших систем
(полученных методом «черного ящика»).
Предположим, например, что процесс изотермический, а тело
изотропно (при этом пренебрегается анизотропией, обычно возника-
ющей в той или другой степени. при пластической деформации);
В этом случае в общих соотношениях A.1.1) остается только два
функционала / и g, а сами соотношения в декартовой системе коор-
дипат можно записать так:
йги = /dau - gd @22 + 033),
Л .<"•*
32

1
Символ //\ указывает на круговую замену индексов. Дальней-
Зч-2
шие допущения приводят к еще большим упрощениям определяю-
щих уравнений A.1.3). Например, предположим еще, что объемная
деформация упруга, т. е.
d(elt + е22 + е3з) = й(о„ + о22 + o33)Jh, A.1.4)
где Ь — некоторая постоянная материала. Складывая первые три со-
отношения A.1.3), получаем
g = (/_u-i)/2. A.1.5)
Таким образом, неопределенным остается функционал /, кото-
рый в общем изотропном случае может зависеть только от инвариан-
тов тензоров напряжений и деформаций и от пути деформирования.
В том случае, когда / зависит лишь от одного инварианта (напри-
мер, от второго инварианта девиатора напряжений), функционал /
можно определить непосредственно методом «черного ящика» из се-
рии опытов по одноосному растяжению — сжатию стержня.
В следующих двух параграфах излагаются наиболее распростра-
ненные варианты современной теории упруго-пластических сред; по-
строению этой теории основано на использовании термодинамиче-
ских законов и принципов.
§ 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В дальнейшем тело будем считать изотропным, а процесс —
изотермическим. В этом случае второе слагаемое в правой части
A.1.1) исчезает, а коэффициенты Aiimn содержат только два незави-
симых функционала.
Упругим называют тело с полностью обратимой реакцией; для
этого, очевидно, необходимо, чтобы деформации были однозначными
функциями напряжений, а соотношения A.1.1) были интегрируемы.
1. Линейно-упругое тело. Пусть в некоторой области простран-
ства напряжений коэффициенты Aijmn суть постоянные. Такое тело
называется линейно-упругим, а соответствующая область в простран-
стве напряжений — упругой областью. Интегрируя A.1.3), получаю-
щиеся соотношения для линейно-упругого изотропного тела можно
записать так:
Eii=iKi~v(a22+a33)] + e;,, A.2.1)
Для определения постоянных 'Е (модуля Юнга) и v (коэффициента
Пуассона) достаточно одного опыта по растяжению стержня прямо-
угольного сечения с измерением продольного и поперечного удлине-
8

ний. Величины е^- представляют собой, вообще говоря, функции
координат, характеризующде «память» системы о ее прошлом (перед
тем как система вошла в рассматриваемую упругую область). В даль-
нейшем для простоты предысторией системы пренебрегается, так что
все величины 8°j считаются равными нулю.
В этом случае из A.2.1) следуют равенства
*и=щ- A-2.2)
Здееь
П - 1 <п 4- а 4- а \
U ~ 2?(<Т" + °22 + °33>
2G [
— а22а33 , A.2.3)
G — ?/2A + v) — модуль сдвига.'
Для любой сплошной среды должны выполняться следующие
соотношения:
а) уравнения равновесия
(квазистатический процесс в отсутствие внешних массовых сил);
б) формулы Коши
(малые деформации). Здесь (и2, и2, «з) — вектор смешения. Отсчет
смещений и деформаций ведется от начального, ненапряженного со-
стояния тела. Остаточные напряжения и деформации,также должны
удовлетворять соотношениям A.2.4) и A.2.5).
Система уравнений A.2.11, A.2.4) и A.2.5) замкнута. Большин-
ство твердых тел, встречающихся в природе, удовлетворяют этим
уравнениям при достаточно малых,нагрузках.
Исключая вектор перемещения из соотношений A.2.5), получим
6 уравнений совместимости Сен-Венана
«
23 о 12 Q

Подставляя в уравнения A.2.6) выражения деформаций через нап-
ряжения A.2.2)„ найдем
д2 I аи \ <? I ни \ . й2 [ &0
3<-2
Уравнения A.2.4) и A.2.7) вместе с граничными условиями в
напряжениях (первая основная задача) определяют напряжения од-
нозначно.
2. Нелинейно-упругое тело. Состояние упругого тела вполне опи-
сывается деформациями. Согласно первому и второму законам тер-
модинамики, для обратимых систем существует упругий потенциал3)
dU = ЕфФ A.2.8)
такой, что4)
dU
Следовательно, ' ЪИ=1?Г~- A.2.9)
Если функция и(оц) известна из опыта или задается заранее
из физических соображений, то уравнения- A.2.4), A.2.5) и A.2.9)
образуют замкнутую систему уравнений для нелинейно-упругого те-
ла. В данном случае коэффициенты -Aiimn в общих уравнениях A.1.1)
представляют собой однозначные функций напряжений. Если функ-
ция и{оц) образует квадратичную форму, то тело будет линейно-уп-
ругим, и наоборот. Справедливости ради следует отметить, что в ос-
тальных случаях только из опыта функцию шести переменных опре-
делить практически невозможно, поэтому всегда приходится прибе-'
гать к-некоторым допущениям, оправдываемым апостериори.
Для изотропного тела (ч:то также является всегда некоторой
идеализацией) потенциал U зависит лишь от трех переменных, в ка-
честве которых можно взять любые три независимые инварианта
тензора | напряжений. Наиболее распространенный простейший вари-
ант нелинейной теории упругости основан на следующем дополни-
тельном предположении: потенциал U зависит лишь от второго ин-
варианта / девиатора напряжений s« = о„ — сгб«, где
3<т
- <т2?J + (<т22 - "иJ + <*ii - аззJ + 3 (ah +
+ <&)] A-2.10)
3> Для рассматриваемого изотермического процесса этот потенциал пред-
ставляет собой энергию Гиббса.
4> Здесь следует считать независимыми все Oti-
10

(бу — символ Кронеккера). В этом случае соотношения между нап-
ряжениями и деформациями согласно A.2.9) примут вид
_аи ' 1 A.2.11)
812 ~ al 12-
В данном случае в14 + е22 + е33 = 0, т. е. тело несжимаемо. Функцию
U(I) легко определить из одного эксперимента по растяжению —
сжатию стержня.
Как показывают опыты, уравнения A.2.11) удовлетворительно
описывают пластические деформации многих металлов, если внеш-
ние нагрузки изменяются пропорционально, одному и тому же пара-
метру. В опыте с пропорциональным нагружением поведение упруго-
пластического тела с точки , зрения наблюдателя, фиксирующего
лишь напряжения и деформации, всегда совпадает с поведением
некоторого воображаемого нелинейно-упругого тела. Различие мож-
но заметить, лишь проводя дополнительные наблюдения (измерение
выделяемого при деформации тепла, рентгеноструктурный анализ,
анализ шлифов и т. п.). Это замечание справедливо также для лю-
бого .фиксированного пути нагружения (а не только пропорциональ-
ного). \
Приведем вариант соотношений между напряжениями и дефор-
мациями нелинейно-упругого тела, объемная деформация которого
е = 8jj64/3 линейно зависит от среднего напряжения о:
Eii = Ш 6i* + 2 Si} Ylj) A.2.12)
Г = 7, Г2 = 2(е« - е6„)(«^Г- 6ч), Т > О, Г > 0.
Здесь функция Т = Т(Г) определяется из опыта на чистый
сдвиг, К — модуль объемного сжатия. Эти соотношения называются
деформационной теорией пластичности при нагружении.
§ 3. АССОЦИИРОВАННЫЙ ЗАКОН •
. ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
Приведем основные уравнения теории идеального упруго-пла-
стического тела, определяемого следующим описанием,
В шестимерном пространстве напряжений о« существует фикси-
рованная поверхность (называемая условием пластичности или по-
верхностью текучести)
/(Оц, Огг, OS3, Ol2, О,з, О23) — к = 0, A.3.1)
(/с — некоторая постоянная материала). Эта поверхность разделяет
все пространство напряжений на две области, причем только одна из
них (упругая область Do) может быть достигнута напряженным со-
стоянием в" любой рассматриваемой точке среды..Тело предполага-
ется однородным и изотропным; поэтому функция f(oij) не зависит
11

х выбора системы координат, кроме того, она одна и та же для всех
очек среды. Следовательно, функция /(о«), по существу, может за-
исеть только от любых трех независимых инвариантов тензора нап-
яжений.
Когда напряженное состояние находится в области Д,, тело ве-
ет себя как упругое; если же напряженное состояние находится
а поверхности текучести, то, вообще говоря, появляется также (не-
братимая) пластическая деформация. Состояния вне- области недо-
гижимы. Условие нагружения в пластическом состоянии означает
вижение изображающей точки в пространстве напряжений вдоль
оверхности текучести. Из физических соображений поверхность
жучести должна быть выпуклой и содержать начало координат.
Закон сохранения энергии для рассматриваемого элементарного
5ъема упруго-пластической среды можно записать в следующей
орме:
& = dAe + dAp,
efj и 6ij — упругая и пластическая компоненты деформации
(ответственно, А" и Ар — соответствующие обратимая и необрати-
»я составляющие полной работы. Величина А" является функцией
•стояния, соответствующей изотермическому термодинамическому
юцессу (энергия Гельмгольца), величина Ар представляет собой
сссипацию энергии. Предполагается, что Ар зависит только от е$
не зависит от гец', А", наоборот, зависит лишь от b'j и не зависит
ъ*}. Вследствие этого предположения
Так как между г\з и а^ имеет место взаимно однозначное соот-
тствие, то из первого соотношения A.3.3), получается следующая
висимость (ср. с A.2.2)):
е'а=-^-т, и(ац) = а^-А*, A.3.4)
ii
в U — упругий потенциал (энергия Гиббса).
В наиболее распространенном и важном случае изотропной ли-
йной упругости соотношения A.3.4) совпадают с уравнениями
.2.2) с соответствующей заменой е ^ на щ$.
Примем следующее допущение (принцип максимума ъ))'.прира-
тие необратимой работы dAv максимально относительно напря-
•ний о«, допускаемых условием пластичности.
Условие аналитического экстремума на основании A.3.3) и
3.1) можно записать в форме
X — неопределенный множитель Лагранжа.
. 5> Этот принцип называют также • принципом Мизеса по имени открыв-
го его немецкого ученого.

Из формул A.3.5) вытекает ассоциированный закон пластич-
ности
&ij = Я л—, A.3.6)
который позволяет определить приращения пластических компонен-
тов деформации при помощи условия пластичности через одну но-
вую неизвестную величину А, подлежащую определению.
Ассоциированный закон пластичности A.3.6) можно сформули-
ровать так: вектор приращения пластической деформации перпенди-
кулярен к поверхности текучести в рассматриваемой точке простран-
ства напряжений.
Уравнения A.2.4), A.2.5), A.3.1), "A.3.4), A.3.6) составляют зам-
кнутую систему уравнений, описывающую напряжения и деформа-
ции в пластических зонах идеального упруго-пластического тела.
Уравнения A.З.6.). справедливы только для гладких частей по-
верхности текучести. В особых точках поверхности текучести прин-
цип максимума позволяет получить ассоциированный закон пластич-
ности тем же методом Лагранжа в следующей форме:
на ребре, представляемом как линия пересечения двух гладких
поверхностей
/.(о«) - ft, = 0, /2(о«) - ft, = 6, A.3.7)
будет
+ *»& A-3'8)
(Ai и А2 — две новые неизвестные величины);
в угловой точке, представляющей собой точку пересечения трех
гладких поверхностей
. Л(ов) - ft. = 0, /,(о«) - ft. - 0, /3(о«) - ft, = 0, A.3.9)
будет
я* 8f df
ь-^+Лг1 A.3.10)
(Ai, A2, As — три новые неизвестные величины).
Таким образом, для особых точек поверхности текучести также
получается замкнутая система уравнений.,
Наиболее употребительны следующие два условия пластич-
ности:
условие Треска — Сен-Венана
= V8 max {| ax — а21, | аг — а31, | о*3 — о± |} = к, A.3.11)
где Tmax — максимальное касательное напряжение, Oi, o2, os — глав-
ные напряжения;
условие Губера_— Мизеса
I = (о, - о2J + (о, - о3J + (о, - о,).2 == 6к\ A.3.12)
Эти условия удовлетворительно описывают появление пластических
деформаций сдвиговой природы в металлах и полимерах.
13

В сыпучих телах и горных породах возникновение ^пластических
(формаций лучше описывается условием Шлейхера J- Мора
(о. - о2J + (<т2 - о,J +,(Оз - о,J = g4o% A.3.13)
е gia)^ некоторая функция среднего напряжения. Например,
о) = У6&A — е@-°°Уй); Оо, к — положительные постоянные Ш.
При решении конкретных задач целесообразно каждый раз ис-
•льзовать общую систему полученных уравнений, естественно,
учетом свойств симметрии, присущих данной задаче. В случае
'верхности текучести с особыми линиями (например, условия
.3.11)) возможно -существование пластических зон разного рода
различными определяющими уравнениями. Для аналитической по-
рхности текучести запись общих уравнений проще; приведем, на-
имер, общую систему определяющих уравнений в пластической об-
сти в случае условия Губера — Мизеса A.3.12). Эта система полу-
ется при помощи уравнений A.3.4), .A.3.6), A.3.1) и A.3.2) в сле-
ющем виде: '
A.3.14)
de = Е-1 A — 2v) do;
О, если StfSij = 2т? и s
зсь xs — предел текучести при чистом сдвиге, v — коэффициент
ассона, G = Е ¦ 2~'A + v), E — модуль Юнга.
Уравнения A.3.14) были предложены Рейссом в 1930 г., а для
)ской задачи — Прандтлем в 1924 г. Поэтому они называются
шненнями Прандтля — Рейсса.
К общим уравнениям следует присоединить еще граничные ус-
кия. Приведем наиболее типичные варианты краевых задач.
1-я основная задача — на границе тела задаются одно .нормаль-
! и два касательных напряжения*
2-я основная задача — на границе тела задается вектор сме-
ния.
Контактная задача — на одной части границы задаются нагруз-
как в 1-й основной задаче, а на остальной части границы вада-
я нормальная к границе компонента вектора смещения и два ус-
ия сухого трения, связывающие касательные нагрузки с нор-
[ьным напряжением на площадке контакта (в частности, когда
нием пренебрегаем, касательные нагрузки равны нулю).
Следует отметить, что возможны и другие варианты корректных
евых задач.
На поверхности внутри тела, разделяющей упругую и пластиче-
ю зоны, а также, возможно, на поверхности раздела различных

пластических '^он все компоненты тензора напряжении и деформа-
ций предполагается непрерывными. При решении конкретных задач
эти условия непрерывности выступают как Граничные вследствие то-
го, что система дифференциальных уравнении задачи в каждой из
этих зон будет различной.
Принципиально важен вопрос о предполагаемой степени глад-
кости искомого решения. Дело в том, что при достижении пластиче-
ского состояния вначале в одной точке дальнейшее развитие пласти-
ческих деформаций может происходить или непрерывно с образова-
нием трехмерных зон, или же с образованием линий разрыва; воз-
можно также развитие пластических деформаций цедиком вдоль
некоторых поверхностей разрыва. Аналогичная проблема возникает
в трансзвуковой аэродинамике при решении вопроса о возникнове-
нии скачка в местной сверхзвуковой зоне. Сколько-нибудь однознач1
ного ответа на этот вопрос в настоящее время не имеется, поэтому
при выборе подходящей структуры решения следует руководство-
ваться опытными данными. Далее, в этой книге точные искомые
решения предполагаются непрерывными в напряжениях, деформаци-
ях и смещениях всюду в упругой и пластической зонах. Решения
с пластическими линиями разрыва, которые также приведены в не-
скольких случаях, являются приближенными.
Единственность непрерывного решения упруго-пластической за-
дачи была доказана Меланом еще в 1939 г. (см. [12]), а вопросы
существования решения частично изучены в [3, 12]. В связи с этим
следует отметить, что использование неассоциированного закона в
некоторых случаях может привести к некорректным задачам. Пред-
ставляет большой интерес опытное изучение возможных отклонений
от ассоциированного закона пластичности в связи с выяснением гра-
ниц применения принципа максимума, широко распространенного
в современной термодинамике, но, несомненно, гораздо менее обще-
- го, чем первый и второй законы термодинамики. В настоящее время
этот вопрос остается открытым.
Интегральным обобщением принципа максимума Мизеса явля-
ется принцип выбора, сформулированный впервые в работе [35].
В том случае, когда" объем пластической области не равен нулю,
принцип выбора приводит к ассоциированному закону пластичности
точно так же, как принцип максимума. В случае же линий скольже-
ния, когда объем пластической зоны равен нулю, он приводит к но- •
вым результатам и, в частности, позволяет решить проблему неедин-
ственности в теории пластичности, возникающую вследствие различ-
ной топологической структуры возможных решений (напомним, что
доказательство Меланом единственности решения упруго-пластиче-
ской задачи годится лишь в том случае, когда объем, занимаемый
пластической зоной, не равен нулю). Принцип выбора утверждает:
скорость диссипации энергии всего тела в целом максимальна [35].
За деталями читатель отсылается к монографии [36].
Несмотря на то, что инкрементальная теория пластичности, так
или иначе приводящая к ассоциированному закону, является наи-
более общей и обоснованной, различные деформационные теории,
15

эквивалентные нелинейной теории упругости, также / имеют право
на существование, так как позволяют достаточно хорошо описывать
определенные классы нагружений. определенных типов материалов.
Один из таких подходов излагается в следующем параграфе.
§ 4. ПРИНЦИП ХААРА — КАРМАНА
Рассмотрим тело V, ограниченное достаточно гладкой поверх-
ностью S. Пусть на части поверхности Su заданы смещения
щ = щ, i = 4,2,3, A.4.1)
а на части поверхности ST заданы внешние усилия •
T\, i = 1,2,3. A.4.2)
Здесь щ , Тг — заданные функции точек поверхностей Su и ST соот-
ветственно, (.Tii, пг, п3) — вектор внешней нормали к поверхности
ST, ST = S\SU. Пусть переход тела в пластическое состояние опреде-
ляется условием пластичности
/(о„) = к, A.4.3)
где к — постоянная; следовательно, упругая область определена в
пространстве напряжений неравенством
/(о„) < к. A.4.4)
Таким образом, в любой точке тела V выполняется условие
/(о«) ^ к. A.4.5)
Будем предполагать, что функция /(о«) непрерывна и выпукла
относительно оу, так что в шестимерном пространстве напряжений
(Он» о22, Озз, Oi2, o2s, Ois) множество, определяемое неравенством
A.4.5), является замкнутым и выпуклым.
Принцип Хаара — Кармана постулирует, что в упруго-пластиче-
ком состоянии тела V напряжения таковы, что минимизируют функ-
ционал
Э (о) = J U (a) dV — J ai}niUjdS, A.4.6)
У ¦ Ви
среди напряженных состояний, удовлетворяющих условиям A.4.2),
A.4.5) и уравнениям равновесия A.2.4), т. е. среди статических до-
пустимых полей напряжений. Здесь V(a) определено равенством
A.2.3). При этом множители Лагранжа уравнений равновесия A.2.4).
принимаются за компоненты вектора перемещения.
Заметим, что в случае выполнения во всех точках тела неравен-
ства A.4.4), т. е. когда все тело деформируется упруго, принцип
Хаара — Кармана — это принцип Кастильяно в линейной теории
упругости.
16

Пусть в яеле существуют точки, в которых выполняется равен-
ство A.4.3). Предположим, что они образуют область, V*. Пусть
Vе = V\VP, В области Vе справедливо неравенство A.4.4). Для полу-
чения необходимых условий минимума функционала- в области V
следует учитывать дополнительное условие A.2.4), а в области V
еще и условие A.4.3).
Рассмотрим два важных случая.
1°. Пусть- в качестве условия пластичности взято условие пла-
стичности Мизеса A.3.12), которое запишем в виде
№п - о22J +(<Хп - <т33J +(<т22 - <т33J] + <& + <& + <
Здесь т. — предел текучести при чистом сдвиге. Пусть щ, щ, щ —
множители Лагранжа уравнений равновесия A.2.4), а <р — условия
A.4.7). В области Vе имеем <р = 0. В области Vp необходимое усло-
вие минимума функционала Э(о) при дополнительных условиях
A.2.4) и A.4.7) приводит к равенствам
Здесь v — коэффициент Пуассона. Равенства A.4.7) и A.4.8) назы-
вают соотношениями Генки. Из условия минимума Э(о) следует так-
же справедливость условий A.4.1) на Su.
2°. Пусть в качестве условия пластичности взято условие плас-
тичности Треска A.3.11), которое запишем в виде
Ттах (о) = max Oiftfij = т„ A.4.9)
«! = 1,Й + PS + PS = I, «.fc + a2p2-f a3p3 = О,
т„ — предел текучести при чистом сдвиге. Покажем вначале, что
множество пространства напряжений R", определяемое неравенством
ттах(о) < т8, будет выпуклое. Пусть ттм(о') < ts, ттах(о") < т.. Нера-
венство
w(to'+(l-t)o")<T.
для любых t е [0, 1] следует из того, что
[ta'ij + A — t) a'ij]^.tmaxaija^j + A — t) таах'а^/afij ^ %,.
a,P > a,p
Минимизация функционала A.4.6) при условиях A.4.2), A.2.4) и
Ттах <т. приводит к соотношениям Хаара — Кармана, которые име-
ют разный аналитический вид в зависимости от того, одна или две
2 Б. Д. Аинин, Г. П. Черепанов 17

явности главных напряжений в A.3.11) достигают /значения ts.
1усть, например, в некоторой области тела /
|о,-о31 =2т„. lot - о2| < 2т„ 1а2-а51<2т.. A.4.10)
¦
!"акое состояние называется полупластическим. Р этом случае из
гсловия экстремума следует, что главные оси тензоров напряжений
[ деформации совпадают и имеют место следующие соотношения:
<*! + <т2 + о3 = г—^ (El + ег + е3), A.4.11)
Здесь 8i, e2, «s — главные деформации.
Равенство A.4.11) означает упругое изменение объема, а ра-
1енство A.4.12) — упругую связь по второму главному направлению.
Равенства A.4.10)—A.4.12) позволяют определить главные напряже-
гая через главные деформации. При этом зависимость между тензо-
ром напряжений и тензором деформаций будет квадратичной.
Пусть в некотором объеме тела
|о1-о31=2т8, \at-a2\ =2ts, Icb-Osl <2ts. A.4.13)
Это состояние называется состоянием полной пластичности.
Из условия экстремума Э(о). следует:
о-! + а2 + а3 = j-l^ (El + е2 + е3). A.4.14)
Равенства A.4.13), A.4.14) позволяют определить главные напряже-
ния в случае полной пластичности.
В последнее время теория Хаара — Кармана получила дальней-
шее развитие в работах С. А. Христиановича и Е. И. Шемякина, от-
метивших в статье [31] ее важность и перспективность.
§ 5. О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Методы, применяемые при решении упруго-пластических за- .
дач, условно можно разбить на две группы6), аналитические и ва-
риационно-разностные.
Аналитические приемы, используемые при решении упруго-пла-
стических 'задач, опираются в основном на методы теории функций-
комплексного переменного [131 и метод малого параметра [7].
Из. вариационно-разностных методов наибольшее применение
к решению упруго-пластических задач в последнее время находит
метод конечных элементов [31, который мы сейчас кратко изложим.
Метод конечных элементов возник в строительной механике для
решения статических задач. Особенность метода состоит в том, что
«) В дальнейшем мы не будем касаться экспериментальных методов (ме-
тод покрытий, травления, измерения микротвердости и т.-п.).
18

\
удается построить дискретную расчетную схему непосредственно на
основе вариа!ргонных принципов, не формулируя задачу в виде
системы дифференциальных уравнений -и граничных условий. Для
этого область, занятая телом, разбивается на конечные элементы про-
извольной структуры, устанавливаются зависимости между действу-
ющими в узлах каждого элемента силами и вызванными ими пере-
мещениями и выписываются уравнения равновесия каждого элемен-
та. Построенное по методу конечных элементов решение можно ин-
терпретировать и как приближенное решение соответствующих ме-
ханической задаче дифференциальных уравнений и граничных ус-
ловий,, и как решение методом Ритца — Галеркина задачи миними-
зации функционала энергии этой задачи.
В дальнейшем будем рассматривать метод конечных элементов
как вариант метода Ритца — Галеркина со специальным выбором ко-
ординатных функций, которые определяются таким образом, чтобы
окончательная система линейных алгебраических уравнений была
разреженной (содержала большое число нулей). Рассмотрим приме-
нение метода к решению односторонней вариационной задачи, част-
ным случаем которой является упруго-пластическая задача на осно-.
ве принципа Хаара — Кармана.
Пусть требуется минимизировать функционал
Пи) = »/2(<ш, и) - (/, ц) - A.5.1)
на замкнутом и выпуклом подмножестве
A.5.2)
Здесь #(Q) — гильбертово пространство функций, определенных в об-
ласти трехмерного (двумерного) пространства Q, скобки означают
скалярное произведение; а — линейный, положительно определенный
оператор; (аи, и) 5* с(и, ц), с > 0; Ha(Q) — функциональное про-
странство, полученное замыканием Н(Ш по норме |и1 = (аи, иI/2,
/ЖЙ)
Будем предполагать, что граница области Q — многогранник
(многоугольник в плоском случаеO'. Разобьем -область Q на п ко-
нечных элементов с кусочно-линейной границей. Обычно это тетра-
эдры, прямоугольные параллелепипеды (треугольники, прямоуголь-
ники). Построим конечномерную аппроксимацию Н^ = {ип} про-
странства Ha(Q). На каждом элементе полагаем и„ равной некоторо-
му полиному. В некоторых точках, их называют узлами, задаются
значения полиномов, их-прри8водных. Эти последние называются
узловыми параметрами. Условия склейки лолиномов в узлах, распо-
ложен-ных на общих частях границ элементов, вытекают иэ требова-
ния, чтобы и„ е #O(Q). Далее, каждая из функций ип представляется
в виде п
«n = S сьфь, A.5.3)
7> Если это не имеет место, следует построить отображение Q на область
Q*, ограниченную многогранной поверхностью.
2* 19

где N — число независимых узловых параметров, а координатные
•функции ф* определяются таким образом, чтобы значение одного не-
зависимого узлового параметра было равно 1, а остальных нулю.
Приближенное решение задачи A.5.1), A.5.2) ищется в виде A.5.3),
где коэффициенты ск определяются из условий минимума функций
N переменных
N N N
ф,), eh
на множестве
( N
tic^ c2, ..., cN):un = 2
I k=i
Матрица Hay'l называется матрицей Грамма или матрицей жесткости.
Для более детального знакомства с методом конечных элемен-
тов и его приложениями читатель отсылается к [4, 14, 37]. Отме-
тим, в частности, интересную книгу Е. М. Морозова, Г. П. Никиш-
кова [14], большая часть которой посвящена численным эксперимен-
там по эволюции пластических зон в окрестности трещин и щелей.
Наличие этой книги позволяет нам в дальнейшем ограничиться лцшь
весьма кратким изложением указанных вопросов в той мере, в какой
они недостаточно освещены в упомянутой монографии.
Глава II
СЛОЖНЫЙ СДВИГ
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКИЙ ОБЗОР
Простейшим сложно-напряженным состоянием является слож-
ный сдвиг, который называют также продольным сдвигом, чистым
сдвигом и антиплоской деформацией. Под сложным сдвигом пони-
мается "напряженное состояние в цилиндрическом теле бесконечно
большой высоты, возникающее под действием нагрузок, направлен-.
ных по образующим цилиндра и постоянных вдоль образующих. Та-
кое напряженное состояние возникает также при кручении, когда
исследуемая область мала по сравнению с характерным размером
скручиваемого контура.
Пусть декартовы координаты х и у лежат в плоскости, соеди-
няющей вырез, а ось z направлена па нормали к плоскости хОу. При
сложном сдвиге перемещения происходят только в направлении z,
т. е. поля смещений и напряжений в рассматриваемом случае тако-
вы, что
и = v = 0, w = wix, у),
4 B.1.1)
ах = ау = аг = txj, = О,
rxz = XXZU, у), XVz = т„г(:г, у).
20

Уравнения равновесия в этом случае особенно просты, они сво-
дятся к одному уравнению [13]
^4-^2 = 0 B.1,2)
дх ду
• d*w , d2w n .
в напряжениях или —=- -\ ? = U в перемещениях (в упругой
дх ду
области).
Из B.1.2) и закона Гука Тза= G—, ryz = G—(G — модуль сдви-
га) следует, что в упругой области напряжения и смещения можно
выразить через одну аналитическую фунцию /Ы комплексного пе-
ременного z = х + iyl)
В пластической области в случае идеальной пластичности по-
мимо уравнения равновесия B.1.2) имеют место соотношения [1, 30]
w = Re /(z), т« + i-ty, = Gf'(z). B.1.3)
i
и
¦ %%z ~f- tj)z = к2 — условие текучести,
Tfz ТГ — %xz IT = ^ — уравнение Генки.
Здесь fe = ts по условию Мизеса, к = 2ts/V3 по условию Треска —
Сен-Венана, т. — предел текучести при чистом сдвиге.
Напряжения определяются независимо от поля смещений, если
на границе пластической области заданы нагрузки. Представим на-
пряжения через модуль вектора касательного напряжения и угол 6
линии скольжения к оси х в виде
%xz = — к sin в, xyz = к cos 6. ,B.1.5)
Здесь функция Q(x, у) удовлетворяет уравнению равновесия
B.1.6)
Характеристики уравнения B.1.6) представляют собой семейство
прямых j/ = a;tg6 + C, 6 = const, совпадающих с линиями скольже-
ния и ортогональных вектору (тет, %Vz) в каждой точке.
На основании соотношения Генки B.1.4) вдоль линии скольже-
ния имеет место также условие w = const гК Таким образом, поле
напряжений в пластической области полностью определяется формой
границы пластической области и граничной нагрузкой.
На границе упругой и пластической областей принимаем непре-
рывность напряжений и смещений.
'> Применение одной и той же буквы z для обозначения декартовой ко-
ординаты и комплексного переменного, очевидно, не может привести к пу-
танице.
2> Согласно более строгому ассоциированному закону пластичности все
выводы, основанные на уравнении Генки, сохраняются с заменой w на ско-
рость Ф..
21

Для упрочняющегося материала зависимость между напряже-
ниями и деформациями описывается функцией т = т(^), связываю-
щей модуль напряжения т и модуль деформации Y- Здесь т и f оп-
ределяются следующими выражениями:
t2 = tL + -4z,-v2 = ¦& + ¦&,
dw dw* --—*~ ~- B.1.7)
. . ?* = •?, т* = -^-- -¦ -
Впервые задачи о сложном сдвиге рассмотрел Треффтц в
1922 г. Им дано рещение задачи о сложном сдвиге для идеального •
упруго-пластического тела в случае профиля уголкового сечения с
прямым углом раствора, а также аналогичной задачи для внеш-
ности кругового отверстия [29, 30]. При этом были использованы
плоскость годографа и методы теории функций комплексного пере-
менного, аналогичные методам плоской гидродинамики идеальной
несжимаемой жидкости. Впоследствии Я. Халт и Ф. Мак-Клинток
[4, 14, 15], М. Коскинен [23].и Райе [25, 26] этим же методом по-
лучили решение для полуплоскости с угловым вырезом. В работе
[26] также получено решение для полосы конечной ширины, ослаб-
ленной угловым вырезом. Ф. Филд [22], Ф. Эрдоган [21J, Б. В. Кос-
торов и Л. В. Никитин [3] рассмотрели задачи о сложном сдвиге
для тел с трещинами; предполагалось, что пластическая зона скон-
центрирована в бесконечном узком слое на продолжении трещины.
Г. П. Черепанов [16] дал метод решения в квадратурах задач
о сложном сдвиге идеального упруго-пластического тела для любого
контура, образованного отрезками прямых и кривых линий, в том
случае, когда отрезки прямых свободны от напряжений, а отрезки
кривых дуг, произвольно нагруженные, целиком охвачены пластиче-
ской зоной. Решение этих задач существенно основано на решении
одной нелинейной краевой задачи [17]. Любопытно, что решение уп-
ругой задачи для тел соответствующей формы не выражается в квад-
ратурах, так что принципиально упруго-пластическая задача оказы-
вается проще чисто упругой. В работе [18] дан метод нахожде-
ния замкнутого решения аналогичного класса контактных упруго-
пластических задач о сложном сдвиге. Этим методом в работах
Л. И. Сухих [12], а также в [16, 18] были найдены точные решения
для следующих конфигураций тела:
а) одна трещина, выходящая на границу полуплоскости;
б) жесткий штамп, действующий на свободной границе полупло-
скости;
в) выточка с закругленным дном;
г) периодическая система трещин, выходящих на границу полу-
плоскости.
Пластические зоны, возникающие в полуплоскости с вырезом,
образованным двумя прямолинейными, вообще говоря непараллель-
ными, отрезками, сопряженными дугой, подробно исследовались
в работе [9]. -
Г. Нейбер [51 и В. В. Соколовский [111 рассмотрели некоторые
задачи для упрочняющегося тела в условиях сложного сдвига при
22

специально подобранных аналитических зависимостях между на-
пряжениями и деформациями, аппроксимирующих реальные диаг-
раммы. Заметим, что в случае упрочнения уравнения задачи для слож-
ного сдвига аналогичны уравнениям плоского течения сжимаемой
идеальной жидкости, а применяемый прием аналогичен методу Чап-
лыгина. В работах [5, 11], а также в статье В. Л. Добровольского.
L2J, зтим методом получены точные решения для некоторых форм
выточек в полуплоскости и полосе. В. Пенс рассмотрел сдвиг при-
зматического тела с симметричными острыми надрезами при кусоч-
но-линейном законе «напряжение — деформация» [24]. Райе [27]
методом годографа исчерпывающе исследовал задачу для полупло-
скости с угловым вырезом при произвольном законе упрочнения.
В работе И. Туба [28] обсуждалась теория возмущений упруго-плас-
тических деформаций при сложном сдвиге. В качестве примера рас-
смотрена задача для плоскости с круговым отверстием. Качествен-
ные особенности задачи о сложном сдвиге рассмотрены в [10, 20].
§ 2. ЗАДАЧА ТРЕФФТЦА
ч -
Рассмотрим упруго-пластическую задачу для области с круго-
вой дугой, частично охваченной пластической зоной. Следует отме-
тить, что задача становится гораздо сложнее для произвольного кон-
тура, если только часть его закрыта пластической областью. В этом
случае можно указать лишь гораздо более узкий класс задач, точ-
ное решение которых удается найти. В качестве примера таких за-
дач рассмотрим плоскость с вырезом в виде двух секторов одного
и того же круга радиуса г0, симметричного относительно осей х и у
(рис. 2.1). В начале координат приложены по разные стороны разре-
за сосредоточенные противоположно направленные силы Р; на бес-
конечности действует напряжение т„2 = Тсо. Пластические области
развиваются на дугах окружности. Вообще говоря, пластическая зо-
на образуется также около начала координат, .но если нас интересу-
ет развитие пластических областей, находящихся на дуге окружно-
сти, то влияние пластических областей, находящихся около начала
координат, можно учесть в рамках теории упругости введением со-
Рис. 2.1.
1
?
•7
Рис. 2.2.
23

средоточенной силы при условии, что эта область мала по сравнению
с радиусом окружности.
Рассмотрим правую полуплоскость Re z > 0; на границе упру-
"гой области на основании формул
w = Re /(z), x» + ixvz — Gfiz),
/'(z) = (k/G)e~iB
имеют место граничные условия
Im lzf'{z)] = 0 при х = 0 и при 6 == ± 60, г < гв,
¦ Re izf'(z)] = 0 при /•=/•„, |е|<е„, B.2.1)
ik
zf (z) = pv | z | на неизвестной границе;
/' (г) = — (i/G) Too + О (z~2) при z-*- oo,
,, . . 2P 1 , Л... n B.2.2)
Перейдем на параметрическую плоскость комплексного пере-
менного ? = 1 — irj:
Е=*/'Ы, *-ю(Е). B.2.3)
При помощи конформного преобразования B.2.3) правая полу-
плоскость Re z > 0 на. основании B.2.1) переходит в область, изоб-
раженную на рис. 2.2. -Для определения аналитической функции <о(Е;)
в этой области получаем краевую задачу типа A1.14) (см. Приложе-
ние II):
i 9P
Re[(tge0 + 0©] = 0 при Ti = 0, 0<111<
^С(я-26О)'
I to I = r0 при 1 = 0, т] < (k/G)r0, B.2.4)
|«| = ?- т] при | = О, т] >• (A/G) г0,
(о(^) = G??/tco + 0(^-1) при ? -> оо,
в Приведем окончательные формулы для простейшего случая
кругового выреза на границе полуплоскости, когда Р = 0, 26в = я.
Контур" границы между упругой и пластической областями, запи-
санный в полярных координатах z — ге1в, имеет вид
Здесь R — расстояние точки пересечения пластической зовы с осью
х от начала координат, определяемое соотношением
24

о-In-т^ = — arcsin-^A + ln-^| + arcsin — In arcsin-~ —
г к н \ я I к. R
l ( r \8 i ( r \6
— Tg( arcs*n "^) —qoo(arcS^n"R') — ••"
где i?n — числа Бернулли.
§ 3. ПОЛОСА КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
С УГЛОВЫМ ВЫРЕЗОМ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАСТВОРА
Рассмотрим упруго-пластическую задачу для полосы конеч-
ной ширины, ослабленной угловым вырезом 2а. Материал полосы
считается идеальным упруго-пластическим с пределом текучести к
при простом сдвиге. На бесконечности приложены напряжения ххг =
= 0, хуг=*х„ (рис. 2.3). Граница полосы и контур углового выреза
свободны от нагрузок.
При помощи соотношения
(x-iy)/i=f'(t) B.3.1)
удобно перейти от физической плоскости к плоскости напряжений.
Здесь
Б = 1 + Щ = -i(xxz + ixvz)/k, B.3.2)
fit,) — аналитическая функция, для всех значений Б. соответствую-
щих напряжениям в упругой области, т. е. для I?l < 1.
На плоскости ? упругая область отобразится во внутренность
единичного кругового сектора с разрезом (см. рис. 2.4, где а =
= х„/к, б = xjk). В плоскости напряжений известна вся граница,
за исключением точки, определяющей величину напряжения б на
свободной поверхности, противоположной вырезу.
Из условия непрерывности напряжений по физическим коорди-
натам около точки L следует, что безразмерное напряжение б долж-
но быть определено из условия ограниченности /46).
Граничные условия для функции <p(g, rj) = Re [/(?)] в плос-
кости напряжений примут следующий вид (задача Дирихле): <р =
= 0 на ВС, FE и CDE,
фA, 0) - -1, 0 < 1 < а, «р = -ра + СР - 1I, а ^ 1 *? б, B.3.3)
где р = Ъ/1.
Для решения этой задачи с помощью функции fi(?) отобразим
круговой сектор единичного радиуса с разрезом в плоскости ?
в полукруг единичного радиуса в плоскости Q = ш + ih (рис. 2.5).
Очевидно,
*ПЧ1/2. B.3.4)
25

в
Здесь
Рис.- 2.4r
n — 2п/(п — 2a).
B.3:5)
Введем в рассмотрение функцию ф1(ю, Я)=
= ф(?, т)) так, чтобы <pi(to, Я) = Re (/(?//,
когда ? .выражено через fi. После пере-
счета граничных условий на плоскости Q
1 w для функции ф,((о, Я) получаем следую-
щую краевую задачу:
ф1((о, Я) = 0 на CUE, Ы>, га, \?.o.v;
Ф,(ш, Я) =ч>1((о, 0) = ф(?, 0) на BLF.
Эта задача легко решается с помощью суперпозиции двух функций
g(Q) и g(l/fi), где
= 1 Г
т J
<Pj (ю, 0) Л»
B.3.7)
Итак, ф1(ш, Я) =
П°ЭТ0МУ
есть решение задачи B.3.3).
Запишем последнее равенство в развернутом виде:
( = JL Г ф1(со, (
- iF B.3.8;
1осле выполнения промежуточных выкладок окончательно для
функции /(^) найдем

J \ й2 @ »4 i) - [1 + Q4 ffi] «2 (I) + Q2 @ ' B*9)
Здесь
Обозначая <р'(?, 0) = #ф(?, 0)/<??, для производной функции
) = (ж — ii/)/Z имеем следующий результат:
4
0
а2 @  (I) - [1 + а4 @1 «о2 (!).+ Q2 @'
Соотношение B.3.11) может быть получено сначала интегриро-
ванием B.3.9) по частям и затем дифференцированием.
Для нахождения условия ограниченности /'(б) заметим, что
fi.'F) бесконечна, поэтому для выполнения требуемого условия не-
обходимо, равенство нулю коэффициента при й'(?) "в B.3.11), когда
(^) й(б) = 0, откуда для определения б получаем уравнение
с
J-
о
Учитывая соотношения B.3.3), B.3.10) и полагая t = |/б, окон-
чательно найдем
— 8"<"
B3ЛЗ)
Решение для полуплоскости с угловым вырезом получается из
предыдущих формул,-в которых считается a = 6. Условие ограни-
ченности B.3.13) в этом случае не требуется.
Для упруго-пластической границы имеет место равенство
x-iy-R{.B)erM.
Тогда, учитывая соотношение B.3.1), контур раздела упругой и
пластической-зон можно определить следующим образом:
S'fie"). B.3.14)
Соотношение B.3.14) удобно записать через функцию трШ), опре-
деляемую равенством й(е'в) = е'*(в);
27

sin [* F)] f ftt,O)»a<BV(B+ilg . B.3.15)
Ш
Используя предыдущие выражения B.3.3), B.3.10) и делая под-
становку t = ?/6, для упруго-пластической границы получим
— 6/1
, = Г A - 6"f") /
1 J l-26ntn
(l - e"i») Vd - tn) (l - 62n«")
B.3.16I
о
i
/2 = I п п 2n 2^ dt,
а/6
для —(я/2 - а)< 6 < я/2 — а.
. Приведем формулу для расстояния точки пересечения упруго-
пластической границы с осью Ох от начала координат, получаемую*
из B.3.16) при 6 = 0:
г- 1 1 ,
л fil+«/2 I С Л/ (л f^fi — №ntn} С V (l iw)(l fi^^i^Y
.—21 = • I 1 1 — dt •— В I Gtr»
l я i_6" J l-6n*n HJ i-bntn
t-0 a/6
B.3.17)
Распределение деформаций в пластической области и раскры-
тие выреза в ее конце 2w0 имеют вид
Tte = J-?| *ЭД, ь=* 0, B.3.18),
^^!^1пК^^+^^1+^б^A + б")х
Г1 f1 ~\
у^\ \ — й I —¦ I
0 о/б J
B.3.19),
Рассмотрим два предельных случая. При низком уровне пара-
метра нагружения а ~ xdk размеры пластической области малы по-
сравнению с другими размерами. Решение для этого случая полу-
чается по предыдущим формулам, в которых надо положить равны-
ми нулю члены порядка а, б по сравнению с единицей. Формулы
для определения бия* имеют вид
1
fi f _Jt_ У я Г A/п)
J Vi *" п Г[B + п)'/2п] ' ^•1
а/6 " * *
28

oo
где Г (х) = j rx~xe-Tdr — гамма-функция,
B.3.21).
В случае полуплоскости б = а уравнение B.3.21) принимает вид
*_ _
t
Г1B+п)/2«]
Другой предельный случай . получается, когда $ — rL/k = 1.
Пластическая область в этом случае полностью охватывает всю
ширину полосы. Для соблюдения равновесия необходимо выполне-
ние равенства
Решение в этом случае получается аналогично:
1
~ЙГ J Г"* ('' °> [,ТГЁ= + ?ГЗрг] dt>
где ф(?, 0)=>—t при 0<*<1 —1/р, ф(?, 0) = —(р — 1)A — t) прит
1 - 1/0 < t < 1;
tndt
l-i/P -ii-i/P
J j
/P
- J ,-2.-c'^ + .
/P
Г tndt
о
i-1/P
W "" я
о
§ 4. ЩЕЛЬ В ПОЛУПЛОСКОСТИ
Рассмотрим упруго-пластическую задачу для полуплоскости
с трещиной длиной I, выходящей на границу полуплоскости
(рис. 2.6). Поверхность трещины и граница полуплоскости свобод-
ны от нагрузок, на бесконечности действует напряжение сдвига
"г»* => Тео. В качестве параметрической плоскости удобно выбрать
плоскость напряжений
Б = (G/k)f(z). ¦ B.4.1)
На плоскости ? упругая область отобразится в единичный полу-
круг с разрезом длины а = Хсо/к (рис. 2.7). Из-за симметрии карти-
2»

-w*-
e e
Рис. 2.6.
ны в плоскости z относительна оси х будем рассматривать в даль-
нейшем только половину области.
Для определения аналитической функции
z = (o'(?) B.4.2)
имеем следующую краевую задачу:
B.4.3)
, ЕА,
я/2-е, t
1шв>(Б)-0,
arg(o(?)=jt/2-9,
ю@)=0,
Здесь Q(x, у) = const — линии скольжения, выходящие из конца
щели.
Граничное условие на СЕ удобно записать в другом виде. На
границе упругой и пластической областей выполняется условие не-
прерывности напряжений
/'Ы = -Ш/Ое-". B.4.4)
Равенство B.4.4) получается следующим образом. Если предста-
вить себе конец трещины (точку О) как предел некоторого выпук-
лого овала, стягивающегося в эту точку, то становится ясным, что
линии скольжения должны представлять собой радиальные прямые
(«веер»), т. е. в пластической области напряжения равны тяг + ?т,,2 =
=<kieie. Учитывая зависимости B.4.1) и B.4.4), запишем условие на
СЕ в виде
Re [?(o(?)] = 0. B.4.5)
Продолжим аналитически функцию «>(?) в нижний полукруг че-
рез диаметр круга плоскости ? при помощи соотношения
. ' <о(Б) ="©(?). BА6)
Из-за симметрии картины относительно вертикали на рис. 2.8 дана
лишь одна половина. Граничное условие B.4.5) ' на участке Е'СЕ
можно записать так:
=0 (Б-1/5).
B.4.7)
30

в}
ь/а -i -ш
fl/ Е' а' О
la I I/a ioo '
-t—(—I—I—f—
B A E A.
Рис. 2.9.
Введем вспомогательную функцию
Рис. 2.8.
B.4.8)
Для функции ф(?) на дуге окружности Е'СЕ выполняется условие
Ф+(?) — <р~(^) = 0, дающее возможность аналитического продолже-
ния функции со(?) через дугу окружности на полуплоскость
(рис. 2.9).
Краевая задача для определения аналитической функции
на полуплоскости Re ? > 0 примет вид
B.4.9)
Ф+ {щ) + ф- {щ) = - 2l/rf, ц е А&, BiA
Ф+ {щ) - ф- (itj) = 0, че АХЕА, A'E'Al
ф@) = 0,
Таким образом, определение функции ф(?) свелось к линейной за-
даче Римана «р+<гт]) — G(ir])(p-(ir)) + g(.ir]T для полуплоскости с раз-
рывными коэффициентами G(ir\) и g(ir\). Пусть
Здесь Х(^) = i/g2 + O(l/g3) при ? -»- °°. Общее решение неоднород-
ной задачи B.4.9) для определения функции ф(?) на полуплоскости
Re ?; > 0 ищем в виде
7
g(t)dt
x+ (i)(*_
B.4.11)
Подставляя значения коэффициентов g^ir]) на отдельных участках
мнимой оси из задачи B.4.9) и значения X(ir\) из выражения
B.4.10), найдем решение для всех ?, кроме ? = 0, в следующем виде:
J v2412.
Интеграл в формуле B.4.12) можно представить через эл-
липтические интегралы первого, второго и третьего рода. Опуская
- 31

промежуточные громоздкие выкладки ввиду их несложности, при-
ведем решение для <р(?) в полуплоскости Re%>О
+ jr) {п (¦?; - f, a') --Lп(-2-; -aV, «•)}]}. B.4.13)
Выражение B.4.13) громоздко и неэффективно для численных
расчетов. Более эффективным является асимптотическое разложе-
ние функции ф(?) по безразмерному параметру а — Тсо/к, который
считается малым. Тогда полные эллиптические интегралы могут
быть вычислены путем разложения подынтегральной функции в ряд
по а и почленного интегрирования этого ряда.
Приведем отрезок асимптотического ряда для функции z —
= ©(?), отображающей область в физической плоскости на полови-
ну круга в плоскости напряжений ?:
- i2AM)
Здесь Vl + z2 = z + 0(z~1) при z->¦<», разложение B.4.14) справед-
ливо для всех ?, кроме % = 0, при малых с = т«,/к (практически до
значений с ~ 0,9 при не слишком малых или больших ?).
В предельном случае т<» = к формула B.4.13) дает
z=-I\шттт+тarctg Е ~ агс^т]- {2ЛЛЪ)
Здесь принято arctg 0 = 0.
Найдем границу пластической области. Так как при этом ? =
=*е1ф, то в формуле B.4.14) достаточно использовать члены до пя-
того порядка. На основании B.4.14) и B.4.15) получаем уравнение
контура пластической области в следующем виде:
при т«, «S 0,8/г
х_ а A — cos. 2ф) Г. а2
2 0S24>+ г , , B.4.16)
у_ = asin2<p \\ — ?
l' 2Kcos2<p + (l + a4)/«2 •¦ ^
32

при То» = к
( JT
-СО8 ф
±b . С05.ф
2 1
. . .
1 — sin ф
B.4.17)
Отметим простую формулу для расстояния ж* точки пересече-*
ния контура пластической зоны с осью х от начала координат, по-
лучаемую из B.4.16) при ф=*я/2:
xjl = с*[1 + 3V2 + О (а*)]. B.4.18)
На рис. 2.10 изображена граница пластической и упругой об-
ластей, рассчитанная по формулам B.4.16) и B.4.17), при значени-
ях параметра нагружения а = тте/й;,
равных 0,2; 0,5; 0,8; 1,0.
Рассмотрим предельный случай.
При низком уровне параметра с =
= г „/к размеры пластической зоны
малы по сравнению с длиной щели.
Решение в этом случае получается
по предыдущим формулам, в которых
надо положить равными нулю чле-
ны порядка выше с2 по сравнению с
единицей. В этом случае упруго-пла-
стическая граница представляет со-
бой окружность с диаметром d = la2.
Рис. 2.10 показывает тенденцию
перехода от круглых пластических Рис. 2.10.
зон при наличии пластических деформаций в малой области к вы-
тянутым зонам при большой области пластичности.
§ 5. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЩЕЛЕЙ
Рассмотрим упруго-пластическую задачу для полуплоскости
с периодической системой щелей длины I, выходящих на» границу
полуплоскости (рис. 2.11). Поверхность трещины и граница полу-
плоскости свободны от напряжений, на бесконечности действует
напряжение сдвига т„г='Т„. Из-за периодичности задачи в физи-
ческой плоскости достаточно рассмотреть область одной трещины
DABCEMFGD. На достаточно большом расстоянии от щели дейст-
вует напряжение т„, которое, оставаясь параллельным вдоль участ-
ков DA и DG, уменьшается до значения Tj на границе полуплоско-
сти. В качестве параметрической плоскости ? используем плоскость
годографа
?(*) - (Glk)f(z). B.5.1)
3 Б. Д. Анвкв, Г. П. Черепанов 33

Рис. 2.11.
Неизвестному контуру упругой области в физической плос-
кости взаимно однозначно соответствует известный контур в плос-
кости напряжений (рис. 2.12). Здесь а = т^/к, с = xjk, причем
к > г» > Ti.
Для определения аналитической функции
имеем следующую краевую задачу:
B.5.2)
B.5.3)
-ел* се.
*)@)
Краевая задача B.5.3) решается, как и в § 4 при помощи дву-
кратного аналитического продолжения через диаметр полукруга и
дугу окружности. Решение имеет вид для всех ?. кроме % = О,
+ -7Г
Yd+ея(i-aV) + у (g2+
B.5.4)
Найдем границу пластической области. Для этого в уравнении
B.5.4) положим % = е\ Разделяя для z(ei<f) действительные и мни-
34

мыё части, получаем уравнение контура пластической зоны в виде
Ф1С Ь ' '
± ±
I ~~ я BcoS2<p+a4«-2)
+ с A +2 cos 2Ф — 1/с2 + о2 + 1/сг) F (я/2; с2) +
сг + I/a2 +2 cos 2ф) [Re П(я/2; — А**; с2) -
* sin 2Ф Г ' А(<р, с, а) + В (<р, с, а)
- —^—jarctg fi(^ ^ e) +D((р ^ в)
' с, а) - В (<р, с, а)
« я
+ с A +2 cos 2ф + с2 + 1/с2 — 1/с2) F (я/2; с2)
+ (а2 + 1/с8+ 2 cos 2Ф) [Re П (я/2; — Л>*; с2)
Здесь
Я/2
2,,2i<t>. r2^ f . (l ~f~ c^;os 2ф sin и,
— c4sin2a
1тП(я/2; —к * , ^ , , r .=,
у (l+2c2 cos 2ф sin2 a+c4 sin4 a) К 1 — с4 sin2a
А (ф, с, a) = У1 — c2c2 ]/ }^2 cos 2ф+ с2 -f- c~8 — c~x — c cos 2ф,
В (ф, с, с) = Уаг — с21/ 1^2 cos 2ф+ с2 + с~2 — с — с~х cos 2ф,
С (ф, с, с) = 1/4 — о2с?|/"|/ cos 2ф+ с2 + с~2 + с -f с cos 2ф,
D (Ф, с, с) = /а2 — сйУ У2 cos 2ф +с2 4- с"\+ с + с cos 2ф.
Приведем формулу для расстояния х# точки пересечения кон-
тура пластической области с осью х от начала координат, получен-
ную из B.5.5) при значении угла «р = я/2: '
** 4 (с-1
Бели положить о = с, то получим решение для одной щели.
3* . 35

§ 6. ПОЛУПЛОСКОСТЬ, ОСЛАБЛЕННАЯ ВЫРЕЗОМ
С ЗАКРУГЛЕНИЕМ
(выточка с закруглением)
Рассмотрим упруго-пластическую задачу для полуплоскости,
ослабленной вырезом, образованным двумя непараллельными прямо-
линейными отрезками, сопряженными дугой окружности раствора
2а. Материал полуплоскости считается идеальным упруго-пласти-
ческим с пределом текучести при сдвиге, равным к. Граница полу-
плоскости и контур выреза свободны от нагрузок, на бесконечности
приложены напряжения %cZ = 0; xvz = т«, (рис. 2.13).
Как показано на рис. 2.13, считаем, что пластическая зона,
начинаясь из прямолинейных концов, полностью охватывает сопря-
гающую их дугу окружности.
При помощи соотношений
x-iy= /'(?), t = I + Щ = -Нъ* + ix^/k = те'6, B.6.1)
перейдем, от физической плоскости к плоскости напряжений
(рис. 2.14). Здесь /'(?) аналитическая функция для всех значений
?, соответствующих напряжениям упругой области, т. е. |?| < f;
6 — угол между вектором безразмерного касательного напряжения
и осью х.
На плоскости ? упругая область отобразится во внутренность
единичного кругового сектора с разрезом длины a — xdk, при этом
контуру раздела упругой и пластической зон соответствует дуга
единичной окружности (см. рис. 2.14). Это обстоятельство позволяет
путем введения аналитической функции F0?) =* ?/'(?) = « + iv по-
лучить уравнение упруго-пластической границы в виде
. B.6.2)
Для аналитической функции F(?) получаем следующие гранич-
ные условия:
-V2cos6 Ф>в>а) на FL,
= — V2ctgasine (a>6> —a) на DEF,
Рис. 2.14.
36

= V2cose (-cc>e>-P) на CD, B.6.3)
Re F (?) = V2x sin p на ML, CS,
ReF(?)=-Zr на MN, AB,
F(xJk) = ~,
Формула B.6.2), определяющая координаты упруго-пластиче-
ской границы, позволяет ограничиться нахождением действитель-
ной части ы(?) функции F(?) на дуге единичного круга, так как
у(?) там задана соотношением B.6.3).
Искомое решение удобно представить в виде .суммы решений
задач. Требуется определить действительные части соответствую-
щих функций на дуге окружности:
для функции FjOg)
Vi =+V2"cos6, p>|e|>«,
!>! = — VjjCtgasine, a>|6|, B.6.4)
ut = 0 на ML, ВС, MN, AB;
для функции F2(?)
у2 = 0 на CEL,
и2 = V2x sin P на ML, ВС, B.6.5)
ы2 = 0 на MN, AB;
для функции Fs(?)
v3 ^ 0 на C?L;
«s^0 на ML, SC; B.6.6)
ws=-t на МЛ', ЛВ.
На основании принципа суперпозиции полное решение запишется
так:
С помощью преобразования ?2(?) отобразим круговой сектор
единичного радиуса с разрезом в плоскости напряжений ? в полу-
круг единичного радиуса в плоскости Й. Очевидно,
Здесь и = я/р. После пересчета граничных условий для функции
Fi I? (ЙI = ^"Г (Q) получаем краевую задачу:
yi ('Ф) = yi 18 (Ф)]на полуокружности,
и,эО на диаметре.
Здесь ф —полярный угол в плоскости Й, lQ(eie) =е'"*(в)]. Краевые
37

задачи B.6.5) и B.6.6) сведутся к следующей. На диаметре задана
действительная часть аналитической функции, а на полуокруж-
ности единичного круга равна нулю мнимая часть этой функции.
Эта краевая задача для функции .F|(?) легко решается при помощи
аналитического продолжения через диаметр и применения формулы
Гильберта
п'г w
Ml№) =*?«!* Г *Vbg)SiPP9 da, B.6.8)
1VY' я J cos 2ip — cos 2a x '
о
Учитывая B.6.4) и выражая. ij> и о через углы б и <р в плоскости,
найдем
[ал/2
ctga f »ln^«(T)dr
о
( 2v I
-f- ' \ cos——Cu\y)dy I,
аЯ/2 I
-\-
o)(Y) \ B.6.9)
vr; cos2X-cos2v
Ь ==.4a"/(l - а"J, Я, — nfl/2, f — /мр/2.
Полученные краевые задачи для функций F2(Q и F3(t,) легко
решаются при помощи аналитического продолжения через полу-
окружность и решения задачи Дирихле для полуплоскости
J
„, (в) = si°
(°" ¦n") (I h в"ч"Т d
с = jtVl-
( __ ЬивпЮ С A Jf) П," - Г)A - a"|") „E B.6.11)
3 w c J 1-2!"соЗИе+|2п
Следуя работе [91,'установим некоторые качественные особен-
ности упруго-пластической границы. Обозначим через Ж©) длину
отрезка характеристики между сопрягаемой дугой выреза и данной
точкой Pix, у). С помощью i?(8) удобно характеризовать располо-
жение упруго-пластической границы. Из условия полного охвата
сопрягаемой дуги имеем Ж8) ^ 0. Поскольку пластическая область
не может заходить за перпендикуляры к концам прямолинейных
сторон выреза L и С [16], то Ж±р) = 0. Для расстояния ДF) мож-
но написать
38 .

— Ro
на DEF,
Можно показать, что при 8 = ±a упруго-пластическая граница
касается нормали к краям дуги: dR/dQ = ±°°. Значит, область пла-
стических деформаций имеет характерные «уши» (см. рис. 2.15—
2.18). Отсюда следует вывод, что в случае плавного сопряжения
дуги окружности с прямолинейными сторонами выреза (а = 0, точ-
ки L и F, С и D совпадают) не может существовать пластической
области, начинающейся в точках сопряжения и полностью охваты-
вающей сопрягаемую дугу выреза.
При выполнении неравенства 0 < а < [J, т; е. в- общем случае,
оказывается, что у достаточно длинного выреза область пластиче-
ских деформаций будет полностью охватывать сопрягаемую дугу.
Можно также показать, что при a ->• 0 имеет место соотношение
и @) = V*lna + O(l) +О (Z).
Следовательно, для выреза любой фиксированной длины при а -*• 0
упруго-пластическая граница заходит внутрь выреза.
Для выреза конкретной формы можно указать длину Z0(a,{J,a),
при которой граница пластической области касается сопрягаемой
дуги выреза. С увеличением I размеры области пластических де-
формаций растут, и при I > 1„ пластическая зона будет полностью
охватывать «опрягаемую дугу выреза.
На рис. 2.15 показаны упруго-пластические границы для раз-
личных длин выреза при значениях § = 60°, а = 0,3, «==10°; 1в =
= 7,66. Кривые 1—4 соответствуют значениям Z = 7,66; 10; 12; 15.
На рис. 2.16 приведены упруго-пластические границы для пря-
мого выреза Р = 90° при значениях с = 0,5; /0 = 2. Прямой вырез
сопряжен дугами 1—4различного раствора a =10° A,55), 30° @,83), •
60° A,14), 80° B,48). Здесь в скоб-
ках приведено значение характерной
длины 1о.
У
\
0,5
О
1
I
1
V
2
V
^*—
3
0,5
\
Рис. 2.15.
Рис. 2.16.

Рис. 2.18.
Для дуги с а = 80е (кривая 4)
найденное решение не имеет смыс-
ла, так как I < 10 и контур пластиче-
ской области заходит внутрь выреза.
Аналогично можно показать, что с
увеличением* [} размер -пластической
области растет. На рис. 2,17 показа-
ны упруго-пластические границы
Рис. 2.17. для различных значений § при а=0,5
для выреза с 1 = 2, а = 30е. 'Кри-
вые 1—3 соответствуют значениям [} = 45е, 60е, 90е.
На рис. 2.18 приведены контуры пластических зон, возникаю-
щих около выреза с Р = 120° (прямолинейные стенки выреза на-
клонены внутрь) при с = 0,8, f=0,6. Кривые 1—3 соответствуют
сопрягаемым дугам с растворами а = 10° @,142), 30е @,165),
60° @,465). Соответствующие этим дугам упруго-пластические гра-
ницы обозначены так же.
§ 7. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
В предыдущих параграфах данной главы были рассмотрены
упруго-пластические задачи в условиях сложного сдвига в том
случае, когда на границе тела заданы нагрузки, так что в пласти-
ческой области задачи были статически определимыми.
Рассмотрим статически неопределимую упруго-пластическую
эадачу. Пусть два цилиндрических тела, одно из которых абсолют-
но жерткое, находятся в соприкосновении, так что на площадке кон-
такта имеют место условия сцепления, а в упругом теле — слож-
ный сдвиг. Считаем, что материал тела подчиняется диаграмме
Прандтля. Пусть на некотором участке гладкого контура тела заг
дано условие сцепления со штампом
w = const,
B.7.1)
а остальная граница тела свободна от нагрузки.
Изучим начальное развитие пластических зон в окрестности
концов площадки контакта. При этом, очевидно, упруго-пластиче-
ское тело можно считать верхней полуплоскостью Im z > 0, на од-
40

пой части поверхности которой Re z < 0 задано постоянное смеще-
ние w = const, а остальная граница Rez>0 свободна от нагрузки
(z = х + iy — комплексная плоскость). На бесконечности напряже-
ния равны нулю. Можно показать, что решения поставленной за-
дачи, непрерывного всюду в пластической области, включая грани-
цу, в смещениях и напряжениях не существует [18].
Построим решение рассматриваемой задачи, непрерывное всюду
в области в смещениях и напряжениях, а на границе имеющее
особую точку z = 0, в которой смещение и напряжение терпят раз-
рыв. Характеристики в пластической области считаем радиальными
прямыми; при этом граничное условие B.7.1) в пластической об-
ласти будет удовлетворено.
При использовании соотношения B.1.3) искомая упруго-пласти-
ческая задача сведется к следующей краевой задаче теории анали-
тических функций:
Re/'(z) = 0 при Re z< 0,
Im f'iz) = О при Re z > 0,
|/'(z)| =*k/G, arg[/'(z) + z]=it/2 на L, B.7.2)
f'iz) =P/G1h + О(Ы при z -> °°.
Условие на бесконечности означает, что распределение смещений
и напряжений в бесконечно удаленной точке (т. е. на расстояниях,
больших по сравнению с характерным линейным размером пласти-
ческой области, но малых по сравнению с характерным линейным
размером тела) определяется из решения упругой задачи для штам-.
па длины Z, к которому приложена сила Р. (Здесь L — неизвестная
граница раздела упругой и пластической зон.)
Целесообразно в качестве параметрической плоскости ввести
плоскость годографа ?:
I = (G/fc)/'(z). B.7.3)
Плоскости годографа ? упругой области соответствует четверть еди-
ничного круга, расположенного в четвертом квадранте плоскости ?.
На основании B.7.2) на плоскости ? получаем краевую задачу
Imz(?J = 0 при Im? = 0 и Re? = 0,
?2z(?)=-i(I) при "ltl-1, B.7.4)
при % -* 0.
Используя аналитическое продолжение через контур единич-
ного круга, находим решение задачи:
-1). ' B.7.5)
Отсюда /'(z) = hP/GtP* + lk*z.
Контур раздела упругой и пластической зон представляет со-
бой окружность
(*/*)* + (**+ 1J = 1. B.7.6)
{У* = (WIP*) у, х* = {IMP*) х).
41

Можно обобщить решение этой задачи для произвольного по-
лигонального контура тела и любого числа штампов.
Аналогичное непрерывное решение с особыми точками в кон-
цах площадки контакта можно построить для тела, контур которого
является вогнутым в сторону тела. Иная картина наблюдается для
тела, контур которого выпуклый. Действительно, из формулы B.7.1)
и представлений § 1 следует, что на контуре раздела упругой и
пластической областей L должна равняться нулю касательная со-
ставляющая вектора напряжений, т. е. линии скольжения должны
быть касательными к контуру L. Невозможно построить гладкий
контур, опирающийся на выпуклую дугу границы тела, обладаю-
щий указанным свойством и удовлетворяющий условию ItzJ^fc
всюду на границе тела- (rzn — граничная нагрузка), для любого ко-
нечного числа особых точек на границе тела. По-видимому, реше-
ние в пластической зоне всегда разрывно в этом случае. Этот ре-
зультат созвучен • результату А. А. Никольского и Г. И. Таганова
в аэродинамике околозвуковых течений, согласно которому задача
потенциального обтекания профиля с местной сверхзвуковой зоной
является некорректно поставленной [81.
§ 8. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ '
ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ЗАКОНЕ УПРОЧНЕНИЯ
1. Рассмотрим задачу о сложном сдвиге, используя соотноше-
ния деформационной теории A.2.12) при произвольном законе
упрочнения
7-7ЧГ), dT/dT>0, dT/dT<T/T. B.8.1)
Из B.8.1) следует существование однозначной зависимости Г от Т,
которую.запишем в виде
r = F(D/G, B.8.2)
где G — модуль сдвига. Учитывая уравнение B.2.1) и равенства
A.2.12), имеем соотношения
xjx = Tfcz/Tf; xjx = tyjf,
B.8.3)
Ixz — dw/дх; ivl — dw/dy;
т = (*+*)¦* **=(* + *)*•
Здесь if = ip(a;, у) — функция напряжений.
2. Используя соотношение B.8.2), исключим дифференцирова-
нием функцию w(x, у) из^равенств B.8.3). В результате исключе-
ния получим уравнение для функции напряжений
т д
Линеаризуем это уравнение, применив преобразование Лежандра3'
3> Преобразование Лежандра — частной случай касательного преобразо-
вания (см. приложение I).
'42

к функции —трОс, у), х, е. введем новые независимые переменные
?, т] и новую неизвестную функцию Ф = Ф(|, т]). по формулам
6 = -!?¦, П = -|^ Ф = хБ + уч + *. B-8.5)
Считая, что якобиан преобразования
Д(Е. ч) _ aN> g2t 7 ^ Y_A
я (*» у) sxa a/ v «хду; — **-
не равен нулю, и используя выражение для вторых производных
функции ф(ж, у)
|a J
получим линейное уравнение, которому удовлетворяет функция
ФA )
B.8;6)
B.8.7)
F'(t) - dFWdr.
При этом имеют место формулы обратного преобразования
В полярной системе координат г, б плоскости |, т] уравнение B.8.6)
примет вид
Условия F > 0 и F'(.t)>0 обеспечивают эллиптичность этого
уравнения.
Формулы обратного преобразования B!8.7) можно записать так:
^^ — т^+Ф. B.8.9)
Функция w = w(x, 6) определяется из совместной в силу B.8.8)
системы
dw
dw F (t)
1 Й2Ф
дФ
F(T)
J_-^O_ -5Ф_1 Fa(x) Щ
г эе? it dx J ~~ GxF' (x). di '..
B.8.10)
43

Из равенств ххг = — т syi 6, xyz=x cos 0 следует,
что 6 = to — я/2, где V) — угол, образованный
вектором (хХ1, хуг) с осью х (рис. 2.19).
у^си " (. Полагая в уравнении B.8.6)
Фт(т, в) = Zm(x) exp ШтШ,
^ ( B.8.11)
5* j iz = —It и» = 0, ±1, ±2, ...,
Рис 2.19. найдем, что функция Zn{x) удовлетворяет урав-
нению
()
т = 0, ±1, ±2, ....
Зная решение этого уравнения, можно строить классы частных
решений уравнения B.8.6) вида
2 %т (т) (ат cos ттйе + Ьт sin /геЯе), B.8.13)
т
где От, Ьт — произвольные постоянные.
Рассмотрим некоторые примеры,
а) Пусть
F (т) = т A - tVtI)(v2-i)/2, т < min (т*, xjv), B.8.14)
где т„., v — постоянные. Функция
Уравнение B.8.8) в этом случае совпадает с уравнением газовой
динамики для политропного газа [6]. При этом
va = (х + 1)/(х - 1), т* = 2cl [I + Ml (х - 1)/2]/(х - 1),
где % — показатель политропы, сто — скорость звука для бесконечно
удаленной точки газового потока, М«, — число Маха в той же точке.
Уравнение B.8.12) имеет вид
^IL- X-m- (т2. - )
B.8.16)
Решение этого уравнения можно записать так:
Zm (т) = хШгН(а, В, Ц, т2/т«), B.8.17)
44

\
Здесь функция #(а, ф, ц,, t) удовлетворяет гипергеометрическому
уравнению Гаусса '.
~l)^S- + i^ + p-l)t-n]^§- + a^H^O. B.8.18)
Частным решением этого уравнения является гипергеометрическая
функция
X(а,р>, *) = 1 + 2 ?!±Eri?l±?rL f.
б) Совершая предельный переход v -*¦ 0 в равенстве B.8.14),
получим
F (т) = т т < т.. B.8.19)
Kiw'
Эта зависимость, предложенная В. В. Соколовским [11], имеет ряд
замечательных свойств, позволяющих строить решение задач о
сложном сдвиге, если известны соответствующие решения для ли-
нейного случая Fix) = т.
Частные решения для зависимости B.8.19) вида B.8.11), стро-
ятся с помощью функции Zm(t), определяемой равенством B.8.17)
с v = 0.
в) Случай общей степенной зависимости
Т - А Г", FM = GA-l/nrl/n, g(x) = n, 0 < п < 1. B.8.20)
В этом случае уравнение B.8.12) примет вид
Это уравнение Эйлера. Его общее решение таково:
р = A - и-')/2 + УA + n-'O4 + K2m2/n, B.8.21)
д) Комбинация линейной и общей степенной зависимости
B.8.22)
где <?, s — положительные постоянные. В этом случае уравнение
B.8.12) имеет вид
решение этого уравнения таково: . ,
, p, ц, -dx-1), B.8.23)
45

где функция Жа, |J, ц, t) удовлетворяет уравнению B.8.18).
3. Используя соотношение B.8.1), исключим дифференцирова-
нием функцию ty(x, у) из равенств B.8.4). В результате исключе-
ния получим уравнение для функции w(x, у):
Линеаризуем его, применив преобразование Лежандра к функции
w(x, у), т. е. введем новые независимые переменные "к» = dw/dx,
fyz — dw/dy и новую неизвестную функцию W 4/i( )
? - i*. B.8.25)
ду \ • /.
Предположим, что якобиан преобразования B.8.25)
^ /йаи>\а
D(x,y) дх* 5j,a \дхду)
отличен от нуля. Обозначим через 1, со полярные координаты в
плоскости fxz, ivz. Поступая так же, как в п. 2, получаем линейное
уравнение, которому удовлетворяет функция 4я — *?G, to):
Это уравнение иным методом получено в работе [27].
Имеют место формулы обратного преобразования
B.8.27)
Функция tf» = if(*Y, (о) определяется из совместной в силу уравнения
B.8.26) системы •
Т( [ 1 йУ 1 av]__
V L т Y т J V B>8.28)
52Т , д~^ -•»---
Из равенств ^« ~ Т cos ю» Ywz = If sin со следует, что со —это угол,
46

который образует вектор {^хг, чу1) с осью х. Учитывая коллинеар-
ность векторов (tm, tjJ и ("](«, ъ*\ заключаем, что 6 = ю — я/2, где
6 — полярный угол в плоскости |, т), введенный в п. 2.
Полагая в уравнении B.8.26) 4я = Qm{f) exp (±ШК<л), найдем,
что fim(^) удовлетворяет уравнению
= 0. B.8.29)
В следующем параграфе мы дадим применение полученных
здесь результатов.
§ 9. ЗАДАЧА. НЕЙБЕРА
Рассмотрим задачу о распределении напряжений при сложном
сдвиге тела с вырезом различной формы прн произвольном законе
упрочнения.
1. Решение для острых вырезов. Возьмем решение уравнения
B.8.8) вида
Ф(т, в) = Zm(t) cos (KmQ).
Функция Zm(x) удовлетворяет уравнению B.8.12). Из B.8.9) и
B.8.10) находим
х == Z'm (т) cos 6 cos (kmQ) -f- Zm (т) т" sin в sin {%mQ)km,
у = Z'm (т) sin 8 cos (KmQ) — Zm (т) т" cos 6 sin {KmffjKm,
$ = (— rZ^ (t) + Zm (t)) cos Хтв,
)z] sin
Положим Я/га = я/(я —р), тогда if==0 на прямых y==tg(p/2) и
у — — ж ctg (^/2). Формулы B.9.1) описывают напряженное состоя-
ние при сложном сдвиге призматического тела с вырезом с углом [}.
При этом на положительной полуоси х имеем 9 = 0, х = dZm(.x)/dx.
Из последнего соотношения определяется зависимость т от х (эпю-
ра напряжений).
Приведем некоторые частные решения, полученные в замкну-
той форме:
а) для закона Гука: Zm{x) —Ах~%т, А — постоянная; на рис. 2.20
показана эпюра напряжений для Km = 3/2 ([J = я/3);
б) для соотношения B.8.19):
ZfT\ д I ffl nah~%
т\ъ) — j I" "*"
a = Ь, n* = 2~\-\ h = (l + /l - (t/t#J)/Bt);
47

на рис. B.21) ягриведены линии на-
пряжений ф =/const и эпюра напря-
жений для случая А/га = 3/2;
в) общий случай F = F(t) и [J == О
(Л/га = 1):
" на рис. B.22) приведены линии на-
пряжении и эпюра напряжения для
F = т + dxs, d = 4,4 • 104, s = 10.
2. Метод Соколовского. Запишем
соотношение B.8.19) в виде
"~- - B.9.2)
Рис. 2.20.
Здесь п, наряду с к, постоянная материала. Положим z = х + iy,
ю = ф + и]>, % = | + щ, ф = kw, сводим рассматриваемую задачу к
уравнению [111:
dz = dl - (%J fZ^J dl, t exp (- Ю) - %. B.9,3)
Здесь t определяется при помощи равенств
B.9.4)
причем nt ^ к.
Уравнения B.9.3) и B.9.4) позволяют получить решение задач
'о концентрации напряжений при сложном сдвиге для нелинейного
закона B.9.2), когда решение этой
же задачи при линейном законе из-
вестно.
Рис. 2.22.

Приведем решений, для некоторых форм выточек в полуплоско-
сти и полосе [2, 11]. ^
а) Полуплоскость с выточкой в виде полуэллип-
с а. Рассмотрим полуплоскость, ослабленную вырезом в виде полу-
эллипса с полуосями а и Ъ. На бесконечности заданы напряжения
Соответствующий комплексный потенциал, дающий решение при
законе Гука, имеет вид
о = ^ (# - a VW^), c* = a*- ЪК B.9.5)
Подставляя B.9.5) в B.9.3) и интегрируя, найдем .
п*°°
z =
2 2
2аь ]Л?2-с2 - Фс Arcth У с]. B.9.6)
- При интегрировании произвольная постоянная опущена.
Уравнение B.9.3) с учетом B.9.5) запишется так:
B.9.7)
Для удобства введем новую комплексную величину Я = a +J$.
Разделяя1 действительные и мнимые части в соотношениях
B.9.5)—B.9.7), найдем
, '- L ~|>Ъ B-9'8)
т в — 6 \ cha/*"
B.9.9)
*" ЦЪ — a ch a cos р)Н Ф sh2 a sin2 p],
B.9.10)
б) Полуплоскость с двумя овальными выточка-
ми. На бесконечности заданы напряжения j/ = 0, тм = 0, xyz = ra>.
Начало координат выбрано в середине линии центров выточек
(рис. 2.23). Решение имеет вид
Б. Д. Анвин, Г. П. Черепанов - 49

+ ^ + А-Ь^И, B.9-И)
+ 4pa («1p1 + a2p2Jb
P (Pi + 0i)J- B-9.12)
Здесь а0 и Po — геометрические параметры выточки.
Из соотношения B.9.11) легко получить'решение для полуплос-
кости, ослабленной отверстием. Для этого необходимо в B.9.11) за-
менить а на га. Приведем численный пример, заимствованный из
[2], для n/ft = 0,2, to» = 1,0, Оо = 2,12, р-„ = 1,12. В этом случае глу-
бина выточки равна 1,02, наименьшее расстояние между выточками
составляет два диаметра. На рис. 2.23 показано распределение на-
пряжений вдоль контура, а также линии постоянной депланации
и линии напряжений.
в) Полоса с двумя симметричными выточками
.(рис. 2.24). Соответствующий комплексный потенциал, дающий ре-
шение при законе Гука, имеет вид
). B.9.13)
Для нелинейного закона B.9.2) решение записывается так:
2 2 Р о2
^[ + PB + aA)? *"
К =• а + ф = cth ao?,
R sin2VL
а = к о
2 (ch2a0g — cos2acT)) ' 2 (ch2a0| — cos2 aj
? {[1 + «opc A - a2 -f P2)]2 + 4a02p2a2p2],
Для получения решения задачи для полуплоскости с периоди-
чески повторяющимися выточками необходимо в B.9.13) и B.9.14)
заменить а на га. На рис. 2.25 показаны распределения напряжений
вдоль контура, а также линии постоянной депланации и линии на-
пряжений. Численный расчет проведен для полосы с двумя выточ-
ками для п/к = 0,2, to» = 1,0, ao = O,82, (j0 = 1.40 [2]. Ширина поло-
сы равнялась 4, а глубина выточки 1.
50~

-4
2.x
3. Решение Раиса. Рассмотрим задачу сложного сдвига для по-
луплоскости с углом 2а и глубиной I. На бесконечности заданы
напряжения ххг = 0, хуг ~ х„ (рис. 2.26). Предполагаем, что в на-
чальной стадии деформирования материал является линейным,
а в области упрочнения зависимость т = т(^) является общей.
В плоскости деформаций упругая область отобразится на внут-
ренность кругового сектора с разрезом (рис. 2.27). При этом гра-
ничные условия примут вид
^„А-Ц! ==_/ на АВ и DE, B.9.15)
— -О
е=я/2-а
66 1е=
=0
я/2+а
на ВС,
на CD.
B.9.16)
Функция 4я удовлетворяет в упругой области уравнению Лапласа
AW =0, а в пластической области — уравнению B.8.26).
а) Решение в упругой области ('{<'{,). С помощью
преобразования
(^^J ()V B.9.17)
4*
51

QS*.
Рис. 2.26.
Рис. 227.
отобразим сектор с разрезом (рис. 2.27) в полукруг с разрезом в
плоскости % (рис. 2.28). Разрез занимает отрезок 0^|=s?s оси %.
Здесь Я и s определены соотношениями
• Я = я/(я-2о), 8 = (т»/т»)я=(т»/т8)я. B.9.18)
Функцию W можно рассматривать как мнимую часть некоторой
аналитической функции *F = Im {/(?))
Имеет место соотношение
B.9.19)
Учитывая соотношение B.9.19), находим, что граничные условия
B.9.15) и B.9.16) переходят в условие
-тг-\ =0 на оси
а граничное условие на разрезе B.9.15) — в условие
B.9.20)
B.9.21)
Сделаем аналитическое продолжение для функции /(?) в область
\ < 0. УчИ1Ъ1вая равенство 284/дц =
= /'(?) +7'^), на основании граничных
условий на верхнем берегу разреза и
его аналитического продолжения по-
лучим
l B.9.22)
Здесь [F(g)]+ и [F(|)]~ суть значения
f(^) при стремлении ? к оси | свер-
ху и снизу соответственно.
Для нижнего берега разреза будем
иметь
52

\ <s. B.9.23)
Из соотношений B.9.22) и B.9.23) следует, что fit,) — /'(?) анали-
тична во внутренности единичного круга I ? I ^ 1, включая точки
вдоль разреза.
Так как
¦§!-№, 0) = /'№)-/'№>,. 1>Ш>«,
то ввиду аналитичности функция /'(?) — /'(?) будет равна нулю
всюду в единичном круге. Учитывая последнее заключение, соотно-
шения B.9.22) и B.9.23) могут быть приведены к виду
<8. B.9.24)
Таким образом, определение функции /'(?) свелось к задаче
Римана. Можно показать, что решение задачи B.9.24) имеет вид
BА25)
Здесь g(^) аналитична всюду внутри круга |?| < 1 и ее разложение
в ряд Тейлора содержит только четные степени.
Полагая J = (ц/$)~к, соотношение B.9.19) перепишем следую-
щим образом:
B.9.26)
б) Решение в пластической области (^ > Т«). Ре-
шение уравнения B.8.26) будем искать методом разделения пере-
менных:
Y = S ^ft/ft (Y) sin BЛ - 1) *е. B.9.27)
ft=i
Подставляя Ч? в B.8.26), для Д('у) получаем уравнение
^¦й«|) + ААA»-а^ЛМ-0 B.9.28)
при условиях:
= *. /*(«») = 0. BД29)
Для физических координат на упруго-пластической границе
можно записать
53

в) Соединение решений. Оба получ^ных решения долж-
ны совпадать на упруго-пластической границе i = yt. Из условия
совпадения найдем неизвестную функцию /gi.%) и постоянные Dh.
Обозначим через о = eiM значение ? на у = у,. В соотношении
B.9.26) положим ? = о и приравняем выражению B.9.30). Таким
образом, требуемое условие непрерывности решения будет иметь
вид
f (о) = ± y&V^j^ggfr + ? A - Л-Г 2 *Х
X {[Bft -1) К + ysfh (у.)] а2^-4 + [Bft -.1) К - y.f'k (Y.)] aft}.
B.9.31)
Правая часть B.9.31) может быть разложена в ряд по четным
степеням о, содержащим отрицательные и положительные степени,
в то время как левая часть содержит лишь положительные степени
О2. Следовательно, положив равными нулю коэффициенты при
а~2, <г~\ ..., о~2\ получим бесконечную систему линейных уравне-
ний для определения Dk. После нахождения Dk и подстановки их
в B.9.31), а также замены о на ?, найдем g(?). Зная Dh и функцию
g(?), легко определить физические координаты точек, деформируе-
мых в упругой и пластической областях.
Поскольку решение системы уравнений для Dk в замкнутом
виде затруднительно, то целесообразно применять разложения по
малому параметру.
Приведем решение уравнения B.9.31) с точностью порядка s12
[2.71:
+ V, [{В, + VА) С, + ВйС\] ? + V16 [{В, + */Л) СцСг + В0С*] «8
+ % [(В* + VA + 3/еВ0) С3 +¦ V. (#! + 2В0) Ct +
№ + V(8 [(В,
+ ЗД) ад+ад]
1 „ (*+1)Д
jCt^ + Чш [(В, + ЗД,) С, + V^^I •»}, B.9.32)
54

Z>fe,= 0, Л = 7, 8, 9,...;
B-9'33)
-гамма-функция); B.9.34)
ос
g (Q = - 4 Y.b&+W/X 2 Gi«) »2i. B.9.35)
i
3 3-Х 13-1 \
(S) = S ^g+i.jCg+ife29 + S I 2 Pi-i^i+p+i-i,iCj+p+i-i I ?2P.
g=o p=o \p=o • /
A = 1, 2, ..., /ra+ 1,
Z)k = 0, Л = /га + 2, /ra + 3,
В -JL В - * В
В
---f Pp~ 4P-1 (p-2)!p! '
Сравнивая формулы B.9.32) с уравнениями B.9.36), можно
найти dhii, затем па соотношениям B.9.35) определить функ-
пию #(?).
Рассмотрим предельный случай. При низком уровне параметра
нагружения s — (тс/тЛ"' размеры пластической зоны пренебрежимо
малы по сравнению с глубиной выреза I. В этом случае, пренебре-
гая всеми членами порядка s2 по сравнению с единицей, найдем
= 0, ft-2,
8 0
АЮ '
, 3, 4, ...,
—A(vTsin^e.
i
B.9.37)
B.9.38)
55

По формулам B.9.13) определим физические координаты в
пластической области
"ку IB«A+Я)/я ГЛ/ (y) , 1
х = —-——-, 1 —;— cos 6 cos лб + /i (т) sin 6 sin лб ,
у =
B.9.39)
Если положить а = 0, получим трещины длины Z. В этом случае
X — 1. Из уравнений B.9.28) и B.9.29) функция определяется с по-
мощью одной квадратуры и имеет вид
-1 оо
С du С du
ys у
B.9.40)
В этом нетрудно убедиться путем подстановки. Подставим B.9.40)
в B.9.39) и, замечая, что согласно B.9.34) Во = 1, найдем
B.9.41)
Г °° 1
тГ-ттт- Ue.
L I и» (") J
Таблица II.1
% 1%
ас s
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
N=0
ЛГ=0,1
TV =0,3
TV =0,5
-DJVJ
0,0408
1,1740
0,4414
0,9735
0,0004
0,0070
0,0398
0,1553
0
0,0006
0,0071
0,0489
0
0,0001
0,0016
0,0186
0
0
0,0004
0,0078
0,0370
0,1557
0,3851
0,8059
0,0004
0,0057
0,0318
0,1182
0
0,0004
0,0055
0,0363
0
0
0,0012
0,0139
0
0
0,0003
0,0058
0,0311
0,1286
0,3072
0,6022
0,0003
0,0046
0,0249
0,0869
0
0,0004
0,0044
0,0270
0
0
0,0010
0,0105
0
0
0,0002
0,0046
0,0268
0,1096
0,2556
0,4810
0,0002
0,0040 -
0,0212
0,0709
0
0,0003
0,0037
0,0223
0
0
0,0008
0,0088
0
0
0,0002
0,0039
О
о
0,0001
0,0028
0,2
О
0,0001
0,0022
О
О
0,0001
0,0019
О
О
0,0001
0,0017
56

Величину Km = t«,VjtZ = rssl/nl в механике разрушения [27,28]
принято называть коэффициентом интенсивности напряжений. Вы-
ражение B.9.41)'можно ререписать так:
sine-
B.9.42)
Формулы B.9.13) с учетом выражения B.9.42) позволяют опре-
делить физические координаты, соответствующие деформациям в
пластической зоне:
х =
V T
* s sin 26.
B.9.43)
Граница упругих и пластических деформаций в случае трещины
представляет собой окружность с центрок
и радиусом R (ys) =
Таблица И.2
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,0248
0,1297
0,3670
0,8804
0,0220
0,1141
0,3157
0,7160
0,0184
0,0942
0,2535
0,5405
0,0160
0,0814
0,2151
0,4423
as
0^0221
0,1156
0,0001
0,0021
0,0175
0,0862
0,0001
0,0018
0,0139
0,0645
0
0,0015
0,0121
0,0537
0
0,0001
0,0028
0,0311
0
0,0001
0,0021
0,0227
0
0
0,0004
0,0103
0
0.
0,0003
0,0075
TV = 0,3
0
0,0001
0,0017
0,0171
iV = 0,
0
0,0001
0,0015
0,0143
0
0
0,0003
0,0057
5
0
0
0,0002
0,0048
0
0
0,0001
0,0037
0
0
0,0001
0,0027
0
0
0
0,0021
0
0
0
0,0018
-w
0
0
0
0,0012
0
0
0
0,0009
0
0
0
0,0008
0
0
0
0,0007
57

В заключение настоящего параграфа приведем численные ре-
зультаты [271. Для материала, упрочняющегося по степенному за-
кону т('у) — ts^/'iJ", решение уравнений B.9.28) и B.9.29) для
fh(j) имеет вид
где
Bk - №N)l/2 - A - Л0/2. B.9.44)
В этом случае с помощью соотношений B.9.32)—B.9.35) можно
численно определить постоянные Dk для различных значений угла
выреза и показателя упрочнения.
В табл. II.1—П.З приведены результаты счета соответственно
а) для трещины, а = О, б) для 45°-го F-образного выреза (а = 22,5°),
в) для 90°-го F-образного выреза (а = 45°). С помощью интерполи-
рования величин, приведенных в таблицах, можно определить зна-
тения Dh для широкого класса задач.
На рис. 2.29, 2.30 показаны границы пластической зоны для
;лабо упрочняющегося GV = 0,1) и для сильно упрочняющегося
[TV = 0,3) материалов соответственно для двух значений нагруже-
Т а блица Н.З
T /T
oo' s
0,2
0,4
0,6
0,8
N= 0
0,0089
0,0721
0,2571
0,7216
0
0,0004
0,0072
0,0656
0
0
0,0004
0,0129
,0009
о
о
о
0,0002
0,2
0,4
0,6
0,8
0,0077
0,0618
0,2168
0,5769
0
0,0003
0,0056
0,0483
0
0
0,0003
0,0093
0
0
0
0,0023
0
0
0
0,0006
в
О
о
0,0002
0,2
0,4
0,6
0,8
JV=0,3
0,0064
0,0511
0,1766
0,4471
0
0,0003
0,0046
0,0374
0
0
0,0003
0,0072
0
0
0
0,0018
0
0
0
0,0005
О
О
О
0,0001
0,2
0,4
0,6
0,8
JV=0,5
0,0056
0,0449
0,1534
0,3378
0
0,0002
0,0041
0,0320
0
0
0,0003
. 0,0062
0
0
0
0,0015
0
0
0
0,0004
о
о
о
. 0,0001

© ©
1,5-
0 0.50 1.00 1.50 0,5-
1 1, I I 1—4
Puc. 2.30.
ния Тоо = 0,6т„ и г», = 0,8т8. Рис. 2.29, 2.30 показывают тенденцию
перехода от круглых пластических зон при наличии пластических
деформаций в малой области к вытянутым зонам при большой об-
ласти пластичйости.
Глйеа III
КРУЧЕНИЕ
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКИЙ ОБЗОР
Рассмотрим упруго-пластйческое кручение цилиндрических
или призматических стержней. Примем систему декартовых коор-
динат xyz, направив ось z по оси стержня. Следуя обычной теории
кручения призматических стержней [9], будем считать, что все по-
перечные сечения испытывают жесткий поворот в своей плоскости
59

и искривляются в направлении оси z. В принятых предположениях
компоненты смещения будут
u = —azy, v — azx, ip = W(x, у, z), C.1.1)
где а — угол кручения на единицу длины стержня, a W(x, у-, z) —
неизвестная функция, характеризующая депланацию поперечного
сечения.
Поля деформаций и напряжений таковы, что
?>х ^^ 6j/ == "?z == &ху ==ь '-'j
dW 1 1 Г dW
ох = о» = о* = тзд = 0, C.1.2)
Тю = Т«(Ж, у), Хуг = ТУ2(Ж, J^).
1
Уравнения равновесия в рассматриваемом случае сводятся к одно-
му дифференциальному уравнению
J^l + i^l = 0. C.1.3)
дх ду
При этом в упругой области имеет место условие совместности,
которое приводит к выражению
' _^i__2! = _2Ga. C.1.4)
ду дх - v '
В пластичной области имеют место условие пластичности [32]
•& + х%г = tJ C.1.5)
и ассоциированный закон пластического течения:
Tj/Л^ a^I —тХ2|-^ J-сеж =0. C.1.6)
\ дх ) \ dy )
Здесь ts = os/V3 по условию Мизеса, ts = os/2 по условию Треска —
Сен-Венана, ов — предел текучести при растяжении.
Введем функцию напряжений *F так, чтобы
_
%уг—
Для определения *F в упругой области будем иметь дифференци-
льное уравнение кручения:
#4 дг4 2Ga (Ц, ?
Из условия пластичности для функции напряжений в пластической
эбласти получим дифференциальное уравнение
\™Y+(J!1\ =1. C.1.8)
ю

Считаем, что при переходе через границу между упругой и пласти-
ческой зонами все компоненты напряжений и смещение остаются
непрерывными.
Так как боковая поверхность скручиваемого стержня свободна
от напряжений, контур является одной из линий напряжений и
вектор касательного напряжения направлен по касательной к линии
напряжений
Крутящий момент Мо может быть выражен в виде
Мо = J J (xryz - уххг) dxdy = 2тJ J Ч<Ыу. C.1.10)
F F
Здесь интегрирование распространяется на всю площадь поперечно-
го сечения F.
Для упруго-пластического кручения призматических стержней
существует аналогия, установленная А. Надаи (см. [17] к гл. I).
Суть ее состоит в следующем. Строится поверхность, соответствую-
щая функции напряжений *Р в пластической области. К этой поверх-
ности прижимается мембрана, загруженная равномерно распреде-
ленным давлением. Функция, которая соответствует форме, прини-
маемой мембраной, удовлетворяет тому же дифференциальному
уравнению, что и функция напряжений Ч? в упругой области.
Участки прилегания мембраны к поверхности будут соответствовать
пластическим областям. Остальная часть будет соответствовать уп-
ругой области.
Задача упруго-пластического кручения имеет ряд вариацион-
ных формулировок.
В силу принципа Хаара — Кармана функция напряжений опре-
деляется из следующей вариационной задачи [30]. Минимизировать
F
на множестве функций
Здесь Hi {F) — пространство Соболева, т. е. множество функций,
которые вместе со своими первыми производными интегрируемы с
квадратом и на границе Г области F обращаются в ноль.
Эквивалентная формулировка этой задачи такова. Минимизиро-
вать КЧ?) на множестве
где и = utix, у) — расстояние точки (ж, у) до кривой Г. Нахождение
решений этих вариационных задач эквивалентно решению соответ-
61

ствующего вариационного неравенства (см. книгу Г. Дюво,
Ж.-Л. Лионса [3] к гл. I).
Укажем другую вариационную формулировку задачи упруго-
пластического кручения [4].
Требуется найти минимум интеграла с переменной областью
интегрирования DaF
причем \Р = иг(х, у) на границе L области D. Искомая кривая L
предполагается кусочно-гладкой, а определенная в D + L функция W
интегрируемой с квадратом, так же как и ее первые производные.
В задачах кручения были предложены полуобратные методы:
задавались заранее некоторые характеристики искомого решения,
по которым восстанавливались само решение и соответствующая
форма границы тела (В. В. Соколовский [24], Л. А. Галин [13]). •
Как видно из предыдущей главы, упруго-пластическая задача
для сложного сдвига исследуется достаточно полно аналитическими
средствами. В более сложной задаче кручения, когда пластическая
зона становится сравнимой с размером поперечного сечения стерж-
ня, результатов значительно меньше. Здесь следует прежде всего ';
упомянуть точное решение В. В. Соколовского для стержня оваль- j
ной формы, близкой к эллипсу [24]. Это решение получено полу- ¦¦»
обратным методом в 1942 г. Другим полуобратным методом Л. А.Та- -]
лин [13] решил несколько упруго-пластических задач для стержней <
с сечением, близким к полигональному (в частности, близким к )
прямоугольному сечению). Л. А. Галин также привел задачу кру- :
чения стержня полигонального сечения к решению дифференциаль- ]
ного уравнения класса Фукса [12], что позволило ему найти эффек-
тивное решение некоторых задач (например, для квадратного |
сечения). \1
Л. М. Качанов вариационным методом получил решение для i
стержня квадратного сечения [16]. Р. Саусвелл и Н. Такаси релак- 4
сационными методами решали упруго-пластические задачи для {
уголкового, квадратного и треугольного профилей [36], а также для |
круглого стержня с шестью полукруглыми выточками [38]. Другие |
типы профилей тем же способом рассмотрели Д. Кристоферсон [25], |
Ф. Шо [35], X. Окубо [33]. 1
Е. Дэвис и И. Туба методом упругих решений численно иссле- I
цовали [26] кручение сплошного и полого валов с внешними и |
внутренними выточками при весьма произвольного вида однознач-
аой диаграмме напряжение — деформация. Указанный метод рас-
;мотрен также Г. В. Амосовым [81.
Н. В. Баничук, В. М. Петров, Ф. Л. Черноусько методом ло-
кальных вариаций решили упруго-пластическую задачу в случае
квадратного сечения, а также для одного многоугольника частного -j
шда [11]. Указанный метод применялся также для решения упру- }
ю-пластических задач в работах [10, 15]. J
12 i

П. И. Перлин дал решение для стержня овальной формы при
частичном охвате пластической зоной упругого ядра [21].
Б. Д. Аннин и В. М. Садовский получили методом прямых при-
ближеное решение для прямоугольного сечения, когда пластиче-
ские зоны развиваются лишь вблизи одной пары сторон [71.
Б. Д. Аннин II] свел задачу о кручении стержня овального
сечения к краевой задаче для уравнения Монжа — Ампера, что по-
зволило построить эффективный численный алгоритм ее решения.
Кручение стержней многосвязного сечения рассмотрено Е. Лан-
шон в [30].
Вопрос о существовании решения упруго-пластической задачи
кручения призматических стержней обсуждался Л. А. Галиным
[14], Б. Д. Анниным [1, 2] и другими авторами [17, 20, 27, 30,
39, 40].
§ 2. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ОВАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
1. Пусть поперечное сбчение F скручиваемого стержня пред-
ставляет овал Г (рис. 3.1), который будем задавать в следующем
параметрическом виде:
^) (P)sinP, C.2.1)
Здесь р — угол наклона к оси х касательной к Г, я/2 «? fi < V2Jt,
М($) — опорная функция Г (расстояние от начала координат O^F
до касательной к Г, как функция f}).
М($) — периодическая с периодом 2я У'
функция, которую мы будем предпо-
лагать достаточно гладкой (по крайней
мере дважды непрерывно дифференци-
руемой) и такой, что ее радиус кри-
визны
Рис
удовлетворяет условию
0 <
1п < R «S Дтах < °°. C.2.2)
Здесь i?min, Дм* — минимальное и максимальное значение радиуса
кривизны Г. Не уменьшая общности, будем считать, что в точке
пересечения Г положительной полуосью х угол fi = я/2. Приведем
выражение М($) для ряда контуров,
а) Кривые Л яме:
(x/p)zm + (y/qJm=l,
где т — делоё положительное число,
»> + (g COS p)WBm-t)](*m-l)/Bm)#
63

В частности, для эллипса (т = 1)
If sin2 ? + ?2 cos2 р. C.2.3):-;
б) Овал Соколовского:
х = [Ь + c(cos 2р + 2)] sin fl,
C.2.4)
у .= -[6 + c(cos 2р - 2)] cos р, !
Д/(р) = Ь - с cos 2р. %
Здесь постоянные Ъ, с удовлетворяют условию i?mm = Ь — Зс >0;.:
в) Контур Г4 с опорной функцией Л/4(§) параллелен контуру Г'^
с опорной функцией М($). Тогда }
Здесь d — расстояние между Г4 и Г.
г) Контур Г задан параметрически (t — параметр):
,y
В этом случае
Л/ф) f(t) sin р - g(t) cos р,
где ? определяется через р из уравнения
д) Контур Г задан в полярных координатах г, ф -плоско-
сти х, у:
г==г(ф).
Опорная функция определяется в виде @ =§ б < 2п)
М (-J- + б) = max [r (Ф) cos (ф- 6)]. C.2.5)
Здесь максимум берется по ф в промежутке 0 — я/2 < ф < 6 + я/2.
2. Предположим, что при кручении стержня с поперечным се-
чением F + Г имеется упругое ядро — односвязная область D с
границей L, целиком лежащая внутри F (рис. 3.1). Обозначим
через В двусвязную область, ограниченную Г и L, В = F — (D + L).
В этой области материал находится в пластическом состоянии.
Математически задача упруго-пластического кручения, именуе-
мая ниже задачей А, ставится так [2].
Задача А. Дана односвязная область F, ограниченная овалом
Г. Найти односвязную область D, принадлежащую вместе с ее гра-
ницей L области F, и с точностью до постоянной функцию \Р(ж, у),
определенную и непрерывную в F + F, имеющую в F + F непре-
рывпые производные первого порядка -г—» -=—> имеющую в и ко-
нечные производные второго порядка, по следующим условиям:
64
—y + ^-T = -—; Mr- + Иг- <4 в области Д C.2.6)

grad W = пг на контуре Г. C.2.8)
Здесь пг — единичный вектор внутренней нормали к контуру Г;
а = rJ2Ga. Условие C.2.8) следует из C.1.9), оно может быть
заменено на условие обращения в ноль функции Ч*" на Г
уIг = 0. C.2.9)
Величина а играет роль параметра. Если а < xs/GRmsLT, то в пред-
положении упругого деформирбвания во всех точках стержня вы-
полняется условие
()
Если же
а > Ts/G#mln, C.2.10)
то в предположении упругого деформирования всего стержня не-
обходимо существуют точки стержня, для которых
Б. Д. Анниным [1, 2J показано, что при соблюдении условия
C.2.10) существует единственное решение задачи А. Доказательство
этой теоремы дает и конструктивный путь построения решения
задачи упруго-пластического кручения для овала Г, который мы
сейчас и изложим. _
3. Решая уравнение C.2.7) с условием C.2.9) методом Коши,
получим
х = Щр cos р + [М ф) — и] sin р,
у = ^ЩГ sin Р-[М(Р)~ "I COSP- C-2-11)
иг № ¦ с ЙТ „
* = м; -г— = — sm р, -г— = cos p,
' дх . г ду г
Здесь параметр р меняется в пределах я/2 ^ Р < Б/2л. Установим
геометрический смысл параметра и и пределы его изменения. Если
в первых двух формулах C.2.11) р зафиксировать, а параметр и
менять от 0 до °°, то получим уравнение внутренней нормали к Г
в точке Р (рис. 3.1) с единичным вектором пг. Поэтому в C.2.11)
для фиксированного fi параметр и изменяется от 0, соответствую-
щего точке Р кривой Г, до некоторого значения N($), соответ-
ствующего точке Q кривой L, полученной пересечением ее указан-
ной нормалью. При этом в качестве точки Q будем принимать, бли-
жайшую к Р точку пересечения этой нормалью кривой L.
Зависимость и = Ш$), я/2 =Si р < 6/2л, определяет в плоскости па-
раметров f}, и уравнение искомой кривой L. Таким образом, мы
предполагаем, что кривая L допускает параметрическое представле-
ние вида
5 Б. Д. Аннин, Г, П. Черепанов 65

C 2 12)
Уь - Vl (P) = ^r sin P - [M (ft) - ЛГ (P)] cos p,
я/2<Р<5/2я,
с искомой периодической с периодом 2я функцией Mfi).
Поскольку якобиан
J
будем предполагать в дальнейшем, что Мр) < Жр). * , <
Отметим еще одну-геометрическую интерпретацию параметра и. '"
Пусть точка q = (ж, у) е QP (рис. 3.1) и пусть и = \дР\ < i?mln. Так .
как круг радиуса Дшп» капающийся изнутри кривой Г "в точке Р, .
целиком принадлежит области F, ограниченной Г, то для
0Д
j \qP*\,
где точка Р* пробегает Г. Это значит, что в точке q
V (я, у) = ит (х, у) = mm V(x - x*f + (у - у*)\ C.2.13)
Здесь минимум берется по всем Р* е Г.
4. Из полученного выше параметрического представления
C.2.1-1) имеем в области B + L + T, т. е. дляя/2<р<Б/8я,0 «s wsg
/V() следующие равенства:
^ ^ C.2.14)
Эти равенства позволяют хтроить точные решения задачи уп-
руго-пластического кручения. Выбрав - произвольное решение урав-
нения Пуассона C.2.6)
у = W(x, у), C.2.17)
определим кривую L в плоскости ху следующим уравнением:
Пусть эта кривая ограничивает односвязную область D. На кри-
вой L введем параметризацию
Ъ ^ Т
66

и определим из C.2.14) и C.2.15) функции ,p =
Исключая из этих равенств \, находим М = Л/(р).
Если эта функция определена для я/2 <[ р* <! 5/2я, периодиче-
ская с периодом 2зт, не зависит от а и
то ее можно принять за опорную функцию некоторого овала Г,
уравнение которого будет определяться равенствами C.2.1). Функ-
ция напряжений в области D определяется равенством C.2.17),
а в области F — D, где F — выпуклая область,- ограниченная Г,
равенством C.2.11). Мы получаем, таким образом, точное решение
задачи упрупмшастического кручения для стержня с поперечным
сечением F + Т.
Этот обратный метод в несколько иной форме* предложен
В. В. Соколовским [24], им же рассмотрен и приводимый пример.
Пример. Пусть
? = - xV2A - уЧ2В - V4 (А + В) + Ь, C.2.18)
где постоянные А, В определяются из уравнений 1/А + 1/В = 1/а;
А — В = 4с. -Здесь Ъ, с — произвольные положительные постоянные,
причем Ь — Зс>0. Кривая Г—эллипс х2/Аг + у2/В2 — 1, который
параметризуем обычным образом: х = A cos y, У ~ В sin \. Далее,
находим §(•{) = ч + я/2, &{•{) = Ъ + с cos 2f. Отсюда следует: Щ$) =
= Ъ — с cos 2$~. Эта опорная функция определяет овал Соколовско-
го C.2.4).
Возможна некоторая модификация обратного метода, состоя-
щая в том, что вначале определяем ¦ , из равенства C.2.16)
и продифференцированного по \ равенства C.2.15)
Затем квадратурой находим зависимость в от Y-
5. Вследствие справедливости на L равенств C.2.14) и C.2.15),
для функции \Р(ж, у) в области D + L имеем задачу ъ неизвест-
ной границей, на которой задано два условия. Применяя преобра-
зование Лежандра, сведем эту задачу к краевой задаче в изве-
стной области.
Считая (х, у)щВ + L, введем новые независимые переменные
|, т] и новую неизвестную функцию Ф = Ф(|, rj) по формулам
C.2.19)
ф = -И?-*'?~ + 1Р- C-2-20)
5* 67

При этом
,Й2Ф
at . о ч> а V Л
„ 2 ^ "ZT2' ^ 2 ^ -8 »
да:
g2y ?2ф
= Г^ф о2ф (д2Ф\2]~г
LeE* "en* ^йг" J *
^мс- 5.2. Формулами C.2.19) осуществляется
взаимно однозначное отображение
S области D + L плоскости (х, у) на круг К+ + С: ?z + rf ^ 1 плоско-
сти (?, ti)_ (рис. 3-2). Непрерывная в К+ + С функция Ф(?, г\) удов-
летворяет в круге К+ уравнению Монжа — Ампера
и неравенствам
C.2.22)
На окружности С : р = 1 выполняется условие
C.2.23)
Здесь р, в — полярные координаты в плоскости (?, г\). Если
четырежды непрерывно дифференцируемая на [я/2, 5/2я] функция,
что мы будем в дальнейшем предполагать, то краевая задача
C.2.21)—C.2.23) для функции Ф разрешима, и притом единствен-
ным образом. Функция Ф(?, г\) дважды непрерывно дифференци-
руема в К+ + С.
Если считать функцию Ф известной, то формулами
вФF,Ч) „_ вФ(Е,т1) C>2.24)
х = —
дЦ
осуществляется взаимно однозначное отображение круга К+ + С
плоскости (?, г\) на некоторую область D + L плоскости (ж, у).
Уравнение границы L области D получается из равенств C.2.22),
если в них положить р = 1 и6 = |} — л/2, т. е. считать
= cos 0 = sin p,
) = sin 0 = — cos
я/2 < Р < Ч2п.
др
Таким образом, уравнение кривой L определяется параметри-
чески в виде
C.2.25)
68
я/2<Р<5/2я.

Здесь .аф^'е) _ нормальная производная на окружности С. Урав-
нение кривой C.2.25) можно представить также в форме C.2.12)
со следующим значением Mfi):
N ф) = М (Р) - аФA'/р-я/2)- C.2.26>
Ери этом для любого я/2 < р < 5/2я справедлива оценка
#«ш„ - 1а^ Жр) ^ Щ) ~ а. C.2.27)
Отсюда и из неравенства C.2.10) следует, что Mfi) > 0 для любого
я/2 < Р< 5/2п. Функция напряжений Ч*(х, у) в области D + L и
ее первые производные равны
^ C.2.28>
Следовательно, касательные напряжения в упругой области, т. е.
в D + L, равны
т*2 = —гд], т^ = т.|. . C.2.29»
В эти формулы следует подставить значения % и tj, выраженные
через а: и у из уравнений C.2.24).
Переходим к определению депланации W = W(x, у), (х, у) е
ef+Г. Условимся обозначать депланацию в упругой области
D + L через W", а в пластической области L + В + Г — через JFP.
На упруго-пластической границе L
Интегрируя уравнение C.1.2), получим для (ж, y)
We{x,y)= j (^ + ay)dx + ?f-ax)dy + W0. C.2.30)
Здесь Гхг, т„2 следует рассматривать как функции х, у, определяе-
мые из C.2.24) и C.2.29); постоянная Wo — значение депланации
в некоторой точке Р„ = (ж0, у0) е D, которая при всех а принадле-
жит области D. Такие точки существуют. Если взять, например,
Рв в центре кривизны кривой Г, в которой реализуется Rmm, то в
силу C.2.27) для всех значении а точка Ро будет, принадлежать
области D. В дальнейшем будем считать, что Рв совпадает с на-
чалом координат. Считая известной W", будем определять Wp(x, у).
В области В справедливы формулы C.2.11), причем
я, C.2.31)
где Mfi) определяется из C.2.26), а касательные напряжения
равцы
т„ = ts cos f}, Туг = х. sin p. C.2.32)

Принимая § и и за новые независимые переменные (см. C.2.11),)
и считая W* = W^Ofi, и), получим из C.1.6), C.2.32)
,и) , ДМ(р) _ п
Ти +а dp ~u' C.2.33)
(P), я/2<р<5/2я.
Интегрируя C.2.33) при условии
где W"(a;i,(p), yL(p))— значение депланации C.2.20) в точке L,
соответствующей данному р, находим
УГ> {и, Р) = We (xL (P), yL (P)) - а ^ („ _ N (р)}. C.2.34)
Учитывая равенства C.2.29) и C.2.32), определяем' по формуле
C.1.10) крутящий момент относительно начала координат
5Я/2
Я/2
!Я 1
Г
о о
^ Таким образом, напряжения, депланация и крутящий момент
при кручении стержня овального сечения с опорной функцией
ilf(p) для углов закручивания, удовлетворяющих неравенству
C.2.10), полностью определяются через функцию ФС1, г\) — реше-
ние в круге К+ + С уравнения C.2.21) с условиями C.2.22), C.2.23).
Заметим в заключение, что если положить
O(g,Ti)=c)(g,Ti) + V2fl(g2 + ri2)-1/2a, C.2.36)
то функция to = (о(?, г)) удовлетворяет в круге К+ : ?2 + г\2 < 1 урав-
нению Монжа — Ампера простейшего вида.
и неравенствам
^V>0,^>0, C.2.38)
На окружности С : %г + rf == 1 выполняется условие
(о|с = М(е + я/2). C.2.39)
70 .

§ 3. РЕШЕНИЕ СОКОЛОВСКОГО
'i. Пусть поперечное сечение — овал, уравнение которого имеет,
вид C.2.4). Опорная функция для этого овала равна
М(Р) = & —ccos2p, я/2<р<5/2я, C.3.1)
причем постоянные Ъ, с удовлетворяют условию
с > 0, Rmn = Ъ - Зс> 0.
Решением уравнения C.2.21) с условиями C.2.22) и СЗ.2.23), оче-
видно, будет квадратичный полином
Ф (I, п) = Aim -J- Вч?12 - V4 {A + В) + Ъ, C.3.2) '
причем
Л = а + 2с+(а2 + 4с2I/2, В = а - 2с + (а2 + 4с2I/2, а = т,/BСа).
Из формулы C.2.25) находим уравнение упруго-пластической
границы
, уьф) = — Bcosfi, я/2<р<5/гя. C.3.3)
Кривая tL — эллипс с нолуосями Л Та Б, причем при «-»¦<», т. е.
а -*- 0, он вырождается в отрезок —4с ^ а: ^ 4с оси д;. Значение
Mf}), определяемое из формул C.2.26),. равно
М§) = Ь - о - Га2 + 4с2 + с cos 2p. C.3.4)
Связь между |, т] и ж, у, выражаемая формулами C.2.24), имеет вид
х = А%, у = Вг\. C.3.5)
Функция W = y?(x, у), (ж, y)eD + L, найденная из C.2.28), совпа-
дает с функцией W(x, у), определенной формулой C.2.18).
Касательные напряжения в упругой области в силу C.2.29)
и C.3.5) равны
/B /A C.3.6)
Депланация в упругой области, вычисленная по C.2.30) и C.3.6),
равна
W'iz, у) = -аA - 2аА~1)ху + Wo.
В частности, на Ь для данного §, учитывая C.3.3), имеем
m2$ + We. C.3.7)
Принимая во внимание C.3.4) и C.3.7), определяем депланацию.
в пластической области равенством C.2.34).
Наконец, находим крутящий момент из C.2.35):
Мо = %nrs (Ь3 — Уфе2 + 4с3) - s/3nxsc3 [1 4- «3/4cs —
— A - а2/2с2) A + а2/4с2I/2]. C.3.8)
71

2ft-
0,05 0,10 0,15
Условие C.2.10), обеспечивающее су-
ществование упругой области, целиком
окруженной пластической зоной, дает
следующее ограничение на угол закру-
^ . чивания а:
' a>rs/G(b-3c).
¦ •¦» ' ' —<*. Это достаточное условие, оно может
р oq S быть уточнено в рассматриваемом при-
мере. Неравенство А < Ъ + с, обеспечи-
вающее расположение эллипса L внутри овала, дает следующее
ограничение на а:
На рис. 3.3 представлены зависимости между Мо и а, вычисленные
по C.3.8) для значений с/b = 0,05; 0,10.; 0,15 [24].
2. Построенное решение может быть использовано также как
приближенное решение упруго-пластической задачи для контуров,
близких к овалу Соколовского".
Пусть овал Г имеет только четыре точки экстремальности кри-
визны, вытянут вдоль оси х и симметричен относительно осей х, у,
т. е. его опорная функция Д/(В) удовлетворяет условию
МШ/2 - 6) = ЛГ(я/2 - 6) = МЫ/2 + 6), 0 ^ 6 < 2л.
Предположим, далее, что Д/(В) четырежды непрерывно дифферен-
цируема. Разлагая ее в ряд Фурье на интервале [it/2, 5/2Jt], получим
2JI 2Я
( ) (з.з.Э)
а /(В) — остаток. Обозначим /тщ, /max мив
значения функции /(В) на [it/2, 5/2Jt] и
минимальное и максимальное
предположим, что
с>0, 6-ЗО0. C.3.10)
Пусть по-прежнему Ф(?, tj) означает решение уравнения C.2.21)
с условиями C.2.22) и C.2.23). Составим разность
¦б(Б,л) = Ф(Б.л)-Ф*(Б.л)-
Здесь Ф-j. (g, tj) определяется равенством C.3.2) с учетом C.3.9).
Функция 6(g, tj) удовлетворяет в К+ однородному линейному урав-
нению второго порядка эллиптического типа, поэтому на основа-
нии свойств максимума и минимума имеем для всех (?, tj) е К+ + С
неравенство
Ф* (Б, П) + /min < Ф (Б, Л) < Ф* (Б, Л) + /max.
Если минимальное значение модуля функции Ф* (?, tj) в К+ + С,
равное h = \Ъ — (A +jB)/4I, много больше d, равного наибольшему
12

ИЗ ЧИСеЛ l/mlnl, l/maxl,
ет ожидать близость реше-
ния упруго-пластической за-
дачи для овала Г и овала
Соколовского. Для строгого
доказательства этого утверж-
дения необходимо показать
малость разности
t
Ыр
dp
dlh
l
1
0
0
0,8
0,90
0,11
0,00
0,6
0,81
0,20
0,02
Таб
0,5
0,77
'0,25
0,04
лица
0,4
0,73
0,29
0,09
111.1
0,2
0,67
0,38-
0,39
A,6)
dp dp |'
определяющей близость упруго-пластических границ.
Пример. Овал Г — эллипс с полуосями р и q, для которого
опорная функция равна
В табл. III.1 в зависимости от t = qlp даны значения Ъ1р, с/р,
где Ъ, с вычисляются по формулам C.3.9), и dlh при a = T8/(G/?m,~n),
' т. е. при а/р = f/2. Из таблицы видно, что даже при t = 0,5 выпол-
няется условие C.3.10) и разность |Ф^-Ф^.|/Ф# не более 4%.
Заметим также, что для t < 0,5 можно считать
c = (p-q)!2.
§ 4. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ДЛЯ ОВАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ. ПРИМЕРЫ
1. Основываясь на работах [5, 6], изложим алгоритм числен-
ного решения краевой задачи C.2.21)—C.2.23) отыскания функ-
ции Ф(?, tj) в круге К+ + С, которая полностью определяет напря-
жение,, депланацию и крутящий момент овала с опорной функ-
цией Af(p).
Уравнение C.2.21) может быть записано в виде
ДФ = 2а + Паг + (ДФJ - 4/Ф.
Здесь Д — лапласиан, / — якобиан,
C.4.1)
При такой записи уравнения C.2.21) условие C.2.22) выполняется
автоматически. Для решения уравнения C.4.1) с условием C.2.23)
строится следующий итерационный процесс. Задается произвольное
начальное приближение Ф° = Ф°(р, 6). Считая известным п-е при-
ближение Ф" = Ф"(р, 6), строим (п+1)-е приближение Фп+1 =
_ ф"*1^ Э), (р, 6) ^ К+ + С, как решение следующей задачи:
дф«+1 = г C.4.2)
f в 2а + Dа2 + (ДФП<J - 4/ФпI/г,
C.4.3)
73

Здесь Д и / — разностные аппроксимации лапласиана. и якобиана.
Процесс заканчивается, если
max | Фп+1 — Ф" | < е,
к++с
где е — некоторое фиксированное достаточно малое число.
2. Для численной реализации этого алгоритма необходим эф-
фективный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассо-
яа в круге. В работе [5] уравнение Пуассона на прямоугольной
сетке решалось попеременно треугольным методом, а для аппрок-
симации якобиана использовалась аппроксимация Аракавы. Был
рассмотрен случай эллипса с полуосями 4 и 2, для которого опор-
яая функция равна
= A6 sin2 p + 4 cos2 pI/2
si #min = 1. Условие C.2.10) дало ограничение: а < 0,5. Окружность
радиуса 1 с центром в точ*ке A,5; 1,5) была помещена в квадрат
<с координатами @, 0), @, 3), C, 0), C, 3). Квадрат был покрыт
сеткой 40 X 40, т. е. шаг равен 0,075. Значение е было равно 10~2.
Итерационный процесс решения- задачи Дирихле для уравнения
Пуассона заканчивался, если между двумя последовательными при-
ближениями максимальная разность в сеточной области, аппрокси-
мирующей круг, была меньше 10~*. Был рассмотрен ряд значений
параметра а, в частности 0,45; 0,10; 0,025. Машинное время для
просчета одного варианта составляло
примерно 6 мин работы БЭСМ-6. На
рис. 3.4 показаны четверть эллипса и
положения, упруго-пластической грани-
цы для а = 0,45 (кривая 1) и а = 0,10
(кривая 2). Для а = 0,025 упругая об-
ласть практически совпала с отрезком
оси х, соединяющим центры кривизн
точек эллипса, расположенных на оси х.
Для сравнения рассмотрим овал Соко-
ловского с параметрами Ъ = 0,38; с = 1
Чем. табл. III.1). Значения А, В для упруго-пластических границ,
определенных формулами C.3.3), равны
А '=4,5, В = 0,40 для а = 0,45,
А =4,1, В = 0,10 для а = 0,10.
Видно, что решение Соколовского дает в рассматриваемом случае
^удовлетворительную аппроксимацию вблизи оси х и удовлетво-
рительную вблизи оси у.
3. В работе [6] задача Дирихле для уравнения Пуассона ре-
шалась на полярной сетке
k = 0, I, ..., к*;
/-0,1, ...,/•;
74

Здесь к*, I* — целые, причем I* четное. При фиксированном п
рассматривались следующие сеточные функции:
ф*. «- фп+1.(рл, ад, /»., - г(р», в,), ш,=м(е,+я/2).
Разностная схема второго порядка точности для определения Ф*,|
при известных /й, (, тх имела вид
(fc + 1)(ФЛ+1,, - Фм) + ШС,,, - ФЛ,,) + ~
+ (А + 0,5)-1б-2(ФЛ, ,+1 + 2ФЛ,, + Ф„,,_,) = (к + 0,5)Л2/*. „ C.4.4*
Of. i - Фо., + 2б-2(Ф0. |+1 - 2Ф„,, + Фо.,_,) = 2-'Л*/.. I.
ФкЧ^Щ; /с = 1,2,...,/с*—1; I = 0,1,.. .,7* — 1.
Далее вводились следующие векторы в 2*-мерном евклидовом про-
странстве:
/ft = (/ft,oi /ft.li- • •» fk,l*-l)i
/n = (mo,m1,...,mi._1); A = 0,1,..., A*;
-* fA, cos/ 6, cos 2/6,..., cos j (I* — 1) 6) для j = 0,1,..., 1*12,
6} = (@, sin/8, sin 2/fi,..., sin j {I* — 1) 6) для ; = 1*12 +1,..., I*—1.
Векторы ФЛ, fh, m разлагались по ортогональному базису е0,«],.¦.
фй= 2) aj.ftCj; /ft= 2j Pi.h^j; "»= 2j
j=o ¦ 3=o j=o
Коэффициенты разложения ajjS векторов ФЛ определялись из еле»
дующей системы, полученной из C.4.4):
(к + 1) (о,, Л+1, - о?, „) + Наи k-i — ctj, k) +
(А + О.бЭ-'б-Чшз /6 - Do,. * = ik + 0,5)h*fa „ C.4.5)
aj,. - ctj, о) + 462(cos /6 - «a,. • = 2~^^ 0,
При фиксированном / система C.4.5) решалась методом прогонки.
Был .рассмотрен пример: контур Г имеет в полярных координатах
г, ф плоскости (а:, у) уравнение
г2 — Яг* cos s(f> = 1 — Я.
Здесь s ^ 3 — целое, Я — параметр. При подходящем выборе пара-
метра Я контур Г выпуклый и является хорошим приближением,
для правильного s-угольника.
Заметим, что функция напряжений при чисто упругом круче-
нии этого стержня равна (см. 3.2.6)
? = — [- 2-*га + 2~1kr*cos sq> + 2"» A — Я)].
• о
75

с,в-
O,6-
O,4-
O,2-
0-
-0,2-
-0,4-
-0,6-
-0,8-
-1,0
-0,8 -0,6 -0,4 -0,2
—r
0
—l—
0,2
—I—
0,4
O,8 1,0 X
Рис. З.5.
Расчеты проводились для двух случаев: s = 3, к = 0,36 и s = 4,
\, = 0,185. Опорная функция вычислялась по формуле C.2.5). Было
дринято к* = 20, I* = 120. Время счета на БЭСМ-6 для каждого
злучая примерно 8 мин.
На рис. 3.5 представлен контур Г с параметрами s = 3 и К =
= 0,36, близкий к правильному треугольнику, и положение упруго-
шастической границы для а = 0,250 (кривая 1), для а = 0,167
[кривая 2), для а = 0,125 (кривая 3), для 0=^0,100 (кривая 4).
В табл. III.2 даны значения M0/rs, вычисленные по формуле
3.2.35). Зависимость M0/ra от xx,G/rs изображена на рис. 3.6. Пре-
дельное M0/xs и а, при которых в упругом стержне впервые дости-
¦ается условие текучести, равны 0,683 и 0,494 соответственно. На
Таблица 111.2 Таблица Ш.З
сС/т,
'о/т,
6
3,5
1,066
4
1,072
5
1,079
6 aGlxt
1,082 .,MJt,
2
1,500
3
1,533
4
1,553
5
1,562

0,5\
О
1,5Л
Рис. 3.6.
Рис. 3.8.
-\—i—i—i i i—i—i—i—r
-0,8 -0,4 0 0,4 0,8 x
Рис. З.7.
рис. 3.7 представлен, контур Г с па-
раметрами s = 4 и К = 0,185, близкий
к квадрату, и положение упруго-пла-
стической границы для а = 0,143 (кри-
. вая 1), для а = 0,125 (кривая 2), для
а = 0,100 (кривая 3), для а = 0,083 (кривая 4). В табл. Ш.З цаны
значения MJxs. Зависимость Ж0/т» от aGfrs изображена на рис. 3.8.
Предельные значения момента и параметра а равны 1,102 и 0,537
соответственно. ,
§ 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАЛИНА
В этом параграфе мы изложим другой путь решения задачи
А для стержня овального сечения, использующий методы теории
функций комплексного переменного.
Формулами C.2.19), как уже отмечалось, осуществляется вза-
имно однозначное и непрерывное отображение неизвестной обла-
сти D + L плоскости (х, у) на единичный круг К+ + С плоскости
(?, tj) (рис. 3.2). При этом отображении между L й С устанавли-
вается взаимно однозначное и непрерывное соответствие. Обозна-
чим через s длину дуги L, а через S — длину всей кривой L. При
этом начало отсчета длины дуги выберем в точке В е L, соответ-
ствующей при отображении C.2.19) точке кривой С с координа-
тами р = 1, 6 = 0. Соответствие между L и С порождает гомеомор-
фное отображение ДО, S] на [0, 2л]:
6 = /(s), OsS s ^ S, /@) = 0, f(S) = 2л. C.5.1)
Пусть функция
+u>i(O, i2 1, ¦ C.5.2)
отображает конформно единичный круг К^ -f- Сх: | ? | ^ 1 плоскости
комплексного переменного ? на неизвестную область D + L, и пусть
77

т — полярный угол в плоскости ? (рис. 3.2). Выберем параметры
конформного отображения так, чтобы точка ? = 0 соответствовала
некоторой точке А = (хА, уА)е?), а точка окружности С, с коор-
динатами |?1 = 1, т = 0 соответствовала точке B.^L, выбранной за
начало отсчета длины дуги s. При этом отображении между кри-
выми L и С, устанавливается взаимно однозначное и непрерывное
соответствие, которое порождает гомеоморфное отображение Е0, 2я]
на [0, S):
$ = Мт), 0 < т < 2л, НО) = 0, Ы2л) = S. C.5.3)
Таким образом, между точками единичной окружности С плоскости
(|, т)) и точками единичной окружности Сг плоскости ? устанавли-
вается взаимно однозначное соответствие, которое порождает, го-
меоморфное отображение [0, 2л] на [0, 2л]:
. е = /(й(тГ) = #(т), 0<т^2л, g@)=0, #Bл)=2л. C.5.4)
Введем в Ki + Ct аналитическую функцию комплексного пере-
менного ?:
Условия Кощи—Римана выполняются в силу C.2.6). Вследствие
равенств C.2.14), C.5.2) и C.5.4) на окружности Ci'.\, — eu вы-
полняются условия
Применяя формулу Шварца, найдем
2Л
°а„ • C.5.6)
о
Здесь постоянная с равна
, , ,,> д*(хл'УА) , *а
с с + 1с = Т + -
= ~Й J e-^y^ldt + tea.
'Уа) , У а)
+ Т/'
а черта означает взятие сопряженного значения. Полагая в первой
формуле C.5.6) % = е'°, получим параметрическое задание кон-
тура L:
cos g (т) + ^ ] sin g{a) ctg ^pda I + Cla,
l (t) = о sin g (t) — Jj ] cosgr(a) ctg^^tfer +cz
L Ь J
C.5.8)
78

Действительные постоянные ct, c2 определяются через координаты
произвольной точки А е D и значение функции W в этой точке.
При преобразовании, определяемом формулами C.2.19), точка А
переходит в некоторую точку Е = (|Е, Це) е К+. Очевидно, можно
считать, что Е — произвольная точка круга К+. Из формул C.2.19),
C.2.24), C.2.36), C.5.7) следует:
где функция ю(|, tj) определяется из C.2.37)—C.2.39).
" Если контур Г симметричен ~ относительно осей х ж у, то
М(я/2 - 6) = МЫ/2 + в) = МЗл/2 - 6), 0 ^ 6 < 2я. " Поэтому для
всех точек (g, т))е#+ + С имеют место соотношения ©(—g, tj) =
= ©(^, tj) = o)(|, —т]). Следовательно, в точке |=г=т) = О имеют ме-
сто равенства
вы (о, о) __ аср (о, 0) _п
в| • ~ йЧ -и-
Полагая |Е = 0, т]Е = 0, будем иметь
Ci = cj = O, C.5.9)
При этом точка А — прообраз точки Е = @, 0) при преобразова-
нии C.2.19). Формулы C.5.6)*и C.5.8) дают параметрическое пред-
ставление кривой L и функции Ч?(х, у), (х, y)^D + L, через одну
функцию действительного переменного g(r), 0 ^ т < 2я. Это пред-
ставление при С! = с2 = 0 впервые-получено Л. А. Галиным в ра-
боте [14J. Указанный выше геометрический смысл функции g(x)
дан в работе [3].
Иногда бывает удобным представление функции wt{t,) и шл(?)
через интегралы типа Коши. Такое представление, получаемое из
C.5.6) заменой ядра Шварца на ядро Коши, имеет вид (t = e")
C
C.5.11)
79

Здесь Tfm, Cm — постоянные, среди которых могут быть равные, при-
чем 0< l^fml < 1, lo"ml > 1. Целые п, nt, n2 будем считать связан-
ными соотношением п.+ п2 — п± = 1, которое обеспечивает выполне-
ние условия
Д
Таким образом, при изменении т от 0 до 2я функция g(x) изменя-
ется также от 0 до 2л. Разлагая произведение Бляшке C.5.11) на
простые дроби относительно t, будем; иметь
* *
ЧУ М) C-5Л2)
Здесь P(t), Qm(t), Rm(t) — многочлены относительно t. Подставляя
C.5.12) в первую формулу C.5.10), находим
u>! @ = 2аР (?) + 2а'
т=1
Подставляя сопряженное ёначёние C.5.12) во вторую формулу
C.5.10), получим • • *
Щ (О = (- 2ai) V Qm I --^-] + d2 + ТЩ.
§ 6. СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Подставляя C.5.5) и C.5.8) в C.2.16), получим сингулярное
нелинейное интегральное уравнение для функций g(r):
2Л
а Г г , v , ,, , ff-i , dM(g(т) + я/2)
\ cos^ (a)-^(THctg da = ^
о
+о[— сг + sing(т) + с2cosg{r)], 0<т<2л. C.6.1)
Это уравнение получено в работе Б. Д. Аннина [1] для случая
с± = с2 = 0 (см. также [3D. Если же подставить C.5.5) и C.5.8)
в C.2.15) и учесть справедливое на L равенство Т = N($),
то ролучим
N (g W + л/2) = М {g (т) -г я/2) —а —ас,, cos g (т) — ас2 sin g (т) —
С

Рассмотрим случаи, для которых удается решить уравнение C.6.1).
1°. Г — окружность радиуса Ro. Выбрав начало координат си-
стемы ху в ее центре, будем иметь следующее выражение для
опорной функции: М($) — Ro. Считая ct = с2 = 0, из C.6.1) находим
2°. Овал Г симметричен относительно осей х и у и близок к
окружности радиуса Ro. Пусть его опорная функция равна
C:6.3)
jP
3=1
Здесь pj — постоянные, е — малый параметр, такой что
е max m ф) •< 1,
/Э</
max
Будем рассматривать такие е и такой интервал изменения пара-
метра а, чтобы в этом интервале можно было считать е < a/R0.
Полагая с, = с2 = 0, ищем решение уравнения C.6.1) в виде
0^т<2л,
C.6.4)
Cos ^т + Тз sin /т)>
Функция h(x) предполагается удовлетворяющей условию Гелъдера.
Удерживая члены первого порядка малости относительно е, бу-
дем иметь
cos g(.r) = cos т — eh(r) sin т,
sin g(x) = sin т •+ eft(x) cos x, C.6.5)
Яо dg dx
... — 2npn sin 2nx).
Подставляя C.6.4) в C.6.1) и используя равенства
2Я
я— I cosiMT-ctg^^da = — sinnx, n = 0,1, ...,
о
2Я
L Г • a ?nJ/fo- sn n-1 2
!я J 2 '
2n
о
Б, Д. Анннн, Г. П. Черепанов
81

голучим
h{T) = -±dm« +
2npnsin2nx). C.6.6)
Подставляя C.6.6), C.6.5) в C.5.8), находим уравнение L. Таким
)бразом, для близкого к окружности контура Г, параметрическое
сравнение которого имеет вид (см. C.2.1) и C.6.3))
хт (Р) = Яо [sin р + е (т (р) sin Р + ^- cos p)],
Vr (Р) = Яо [cos р + е (- т (р) cos р + ~^- sin p)],
равнение упруго-пластической границы определяется следующим
)бразом: -
Сь(т) = 2а cos т + el—2^! cos Зт + 4/?2 cos 5т +._..+ 2прп cos (га + 1)т1/?0,
Уь'(т) = 2а sin т + et—2pt sin Зт + 4р2 sin 5т + ...
'... + 2прпsin (га + 1)тШ0, 0<т<2я.
Этсюда, в частности, находим, пренебрегая членами порядка е2,
[xl + у1I/2= 2а + е/?0"(— Pi cos 2т + 2р2 cos 4т + ... +гар„ cos 2гат).
Подставляя C.6.5), C.6.6) в C.5.5), определяем в К1
функции Wiit,) и и>2(?,):
Следовательно, функция напряжений в упругой области полностью
шределена. функция напряжений в пластической области опреде-
иется формулами C.2.11), если известна функция iV == iV(^), onpe-
(еляющая предел изменения параметра и. Эта функция параметри-
гески находится из C.6.2) и C.6.4) в виде
N = Мт) = /?о + вто(т + л/2Ш0 — Ж?,(т)[соз т — еМт) sin т] —
3°. Овал Г, симметричен относительно осей х и у и близок к
ашметричному относительно тех же осей овалу Г, для которого
[звестно решение уравнения C.6.1). Пусть опорная функция овала
Г, равна
Д/()
•де Л/(р) — опорная функция овала Г, е — малый параметр, т(р) —
[важды непрерывно дифференцируемая и периодическая с перио-
12

дом 2it функция. Обозначим черев g(x) решение уравнения C.6.1)
для Г. Ищем решение того же уравнения для Г, в виде
#.(т) = #(т) + гМт)', g@) = 0, gBn) = 2л,
Л(О) = hBn) = 0, 0 < т < 2я.
Функция Л(т) предполагается удовлетворяющей условию Гельдера.
Удерживая члены первого порядка малости относительно 6, будем:
иметь
cos ge(x) = cos gix) — еМт) sin g(r),
sin gt(r) = sin gix) + еМт) cos gix), - (ЗД7)
n/2) . dzM, 1
+1F J"
Подставляя C.6.7) в C.6.1), получим следующее линейное интег-
ральное уравнение Фредгольма второго рода .относительно функ-
ции hit): ¦ .. ¦
2Я
- h (т) Р (т) + ± J Q (а, т) h (a) do = R (т), C.6.8)
о
2Я
11 ¦ ' a dg*
I—g(tI _а-т
v\-> ч— sin (а — т)/2 2 '
д /тч =_1_ dm (g (т) + я/2)
Если предположить существование конечной производной
в [0, 2я1, то
Для получения приближенного решения уравнения C.6.8) можно
использовать эффективные численные методы.
§ 7. МЕТОД ГАЛИНА
ДЛЯ ПОЛИГОНАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
I. Рассмотрим упруго-пластическое кручение стержня выпукло-
го полигонального сечения Qn, ограниченного n-уголышком Г„:
Лo^i...Av-iAv...Ап (рис. 3.9), где целое пЗг3 и Ап совпадает с
Ал. Поверхность пластических напряжений Wp == WP(x, у) является'
поверхностью с постоянным углом ската 45°, которая проходит че-
рез контур Г„. Она состоит из плоскостей, разделенных ребрами.
6* ¦ . ¦ 83

V-2
*¦/ fit 0
Рис. З.9.
Найдем эту поверхность. Пусть нормальное уравнение стороны
многоугольника AV-±AV будет
thx + bvy — pv = 0, v == 1, 2, .. .• га,
C.7.1)
Uv = COS0v, 6v = Sin0v,
где 6V — угол, который образует с осью х внешняя нормаль к сто-
роне Av-iA4. Тогда уравнение плоскости, образующей поверхность
ЧгР(ж, у) и проходящей через vlv-i-^v, в силу C.1.8) и C.7.1) име-
ет вид
Ч9 = -(а,х + Ъху-рч). C.7.2)
Найдем уравнение проекции ребра поверхности Wp, проходящей-
через точку А^-^. Уравнение поверхности Ч?р, проходящей через
сторону Av-2Av-i, имеет, вид C.7.2) с индексом v — 1. Поэтому урав-
нение проекции ребра, проходящего через точку Av-U будет
(о, — av-i)x + FV — bv-i)y — (py — pv-i) == 0. C.7.3)
Напряжения в пластической области, соответствующей сторо-
не A4-iA4, будут равны
C.7.4)
Напряжения тхг и хух в упругой зоне можно выразить через одну1
гармоническую функцию ф, пропорциональную депланации W
(см. C.1.2)):
= Ga[w + 4
На участках AV-XBV и CVAV (рис. 3.9) границы упругой зоны
совпадают с внешним контуром призматического стержня. На этих
участках имеем
Т« COS (пх) + Ту, COS (пу) = О,
• cos (пх) = cos в», cos (пу) = sin ву.
Учитывая выражения C.7.5), получим условие
=0. C.7.6)
84

Вследствие непрерывности напряжений тм и. ту, на границе
между упругой и пластической зонами на границах упругого ядра,
которые граничат с областями пластической деформации, соответ-
ствующими стороне многоугольника о индексом v, будем иметь
ххг = — тА, rVI = r,av. C.7.7)
Рассмотрим две аналитические функции
и>! = z* ±= х + iy = ut + Wi,
C.7.8)
Будем рассматривать их как функции параметрического комплексно-
го переменного ?. Функция z* = wt(t,) производит конформное
отображение полуплоскости на упругую область; Ai-lt Bv, Cv, Av
соответствуют некоторые точки av-i, pv, Ъ и а» действительной оси
(рис. 3.9). При этом Ао соответствует точка ? = °°. Граничные усло-
вия для определения u>i(?) и и>2(?) на действительной оси Im t, =¦ О
будут следующими: на участках Ov-^v и ^аУ
ауи2 — byv2 + Ьхщ — avv\ = 0, ,
C.7.9)
a4ut+by,Vi = pv;
на .участке ^v^v
X X
Vi — и2 = -g^ bv, — v2 + wx -= g^ av. C.7.10)
Бспи предполагать, что пластические области будут появляться
на каждой из сторон многоугольника, то общее количество точек
на действительной оси будет Зга. Если же число пластических об-
ластей р меньше и, то число точек на действительной оси будет
га + 2р. Следовательно, при нахождении решения надо заранее пред-
полагать число пластических? областей. Для определения положе-
ния точек «v-i, Pv, Yv и av будем использовать условия [12], кото-
рые следуют из C,7.3), C.7.4):
\{av — av_i) щ + (bv — bv-i) ^i — CPv — Pv-i)]c=«v_l= 0,
— av) щ + (bVf i — bv) vx — (pv_i — pv)lE=av = 0,/
До сих пор мы предполагали, что часть контура упругой зоны
совпадает с внешней границей. Экспериментальные данные под-
тверждают это предположение. В работе [12] показано, что это
предположение действительно имеет место.
Введем функции [12]
^ @ =^^ = ^i+^i.
85

Для определения введенных функций используем условия C.7.9)
и C.7.10). После дифференцирования по х имеем на участках
Ov_i0v И- fvOCv
i + bvVl - 0,
на участке 6VYV
17,-^ = 0, -F,+ #,=().
Поскольку а» + ibv — exp (i6v), окончательно граничные условия для
определения функций W^) и WAt,) можно записать в таком виде:
на участках Ov-ijlv и fvOCv
Im [-exp ШИ7, + i exp (iGvW = 0,
Im \i exp (-i9v) W,l = 0, ¦ j?
на участке {Jvfv - r
Давая индексу v значения от 1 до п, получаем условия на всей
действительной оси. ' """
Поставленная задача может быть приведена к отысканию ре-
шения дифференциального уравнения класса Фукса, линейной ком-
бинацией линейно независимых интегралов которого являются вве-
денные функции
Дифференциальное уравнение класса Фукса имеет вид
C.7.11)
Точки hk обозначают v '
точки lh соответствуют положению вершин разрезов на годографе
отношения WJW-i; штрих обозначает дифференцирование по ?;
через @зп+г-з обозначен некоторый полином степени Зга + г — 3, со-
держащий Зга + г— 3 постоянных, подлежащих определению.
Постоянные Pi, p2 определяются через hk, lh и постоянные поли-
нома @Sn+r_3.
После определения W±(t,) и W2(t,) функции Wiit,) и w2(t,) лег-
ко находятся. Функция u>i(?) определяет форму упругой зоны.
2. Изложим приближенное решение Л. А. Галина для выпукло- .
го полигонального сечения. Оно получено в предположении, что
участки -4v-il?v и CyAv (рис. 3.9) малы, так что ими можно пре-
86

небречь, и на всей действительной оси плоскости ? имеет место
условие C.7.10). Введем функции
iu>i(?), wSV = iu>2(?) + w?,(?). C.7.12)
- -5Г 2
Для их определения имеем следующую задачу. Действительная ось
плоскости ? разбивается точками аи <%, ..., an-i, подлежащими)
определению, на интервалы (—«>, oci), (cd, а2), ..., (а„-1, «>). На ин-
тервалах («v-i, coy), v = 2, 3, ..., п — 1, выполняются условия
/.п C.7.1о)
которые следуют йэ равенств C.7.10). На интервалах -(—«>, а*) и
((Хпт-i, °°) выполняются условия C.7.13) при v = 1 и v = n соответ-
ственно. Используя формулу Шварца для полуплоскости, на-
ходим
"з @ - ± 2 iySrn.- ¦&)ln («v-i - о+ж+ь,
7 - ' C.7.14)"
V=2
Здесь Ci, c2 — произвольные действительные постоянные. Из выра-
жений C.7.14), и C.7.12) находим функцию
и>.(?) = (ш4(?)-»и>з(?))/2, C.7.15)
отображающую верхнюю, полуплоскость на некоторую область Q,
ограниченную Г. Поскольку мч(?) неограниченна, область Q беско-
нечна, так что ее граница имеет асимптоты. Отображающая функ-
ция зависит от п +1 постоянных at, a2, ..., On-i, cu ca, определя-
емых из следующих дополнительных условий геометрического и ме-
ханического характера. Естественно требовать, чтобы асимптоты
кривой Г совпадали с проекциями на плоскость ху ребер поверх-
ности Wp = ЧгР(ж, у), выходящих из вершин многоугольника Г„.
Если контур Г„ симметричен относительно осей ж и у, то в точке
г = у — О напряжения равны нулю.
После того, как все постоянные найдены, функции u>3(?), ^(J;)
и область Q, ограниченная кривой Г, полностью определены.
Принимаем за упруго-пластическую границу часть границы Г,
лежащую внутри области Й„. Значения напряжений в упругой об-
ласти Й„ П Q определяем через функцию
а в пластической — через функцию Wpix, у). При этом необходимо,
чтобы отношение mes (Qn П Q)/(mes Qn) было достаточно мало. По-
лученное решение не будет удовлетворять граничному условию.
C.7.6) на сторонах Г„ вблизи вершин многоугольника. В работе [12]
указан прием, позволяющий удовлетворить условию C.7.6) на кон-
туре со скругленными углами, который близок к контуру Г„. •
87

Заметим, что более удобным для определения постоянных ока-
зывается отображение упругого ядра не на полуплоскость, а на
внутренность единичного круга плоскости комплексного перемен-
ного ©. Для этого следует положить
^ tov), C.7.16)
v = 1, 2, ..., n - 1.
Здесь Oi < сг <... < о„_1 — постоянные, которые будут искомыми
вместо <Xi, а.г, ..., an_t. Подставив C.7.16) в C.7.14), найдем
71
,„ /..\ V!1 l-fy—1) ^(v)^ l^. E/v—i *° i л*
C-7.17)
f«i.ii 1\л\ , С.,_-| СО *
Здесь сх,с2 — постоянные.
Теперь по формуле C.7.15) находим функцию и>1 —
отображающую внутренность круга на область Q. Точки единичной
окружности 1, 8ц ..., En-i соответствуют точкам — оо, alt ofe, •. •
..., «„-I действительной оси плоскости ?.
Рассмотрим примеры.
а) Г„ — правильный многоугольник, вписанный в окружность
радиуса R. Расположим начало координат ху в центре многоуголь-
ника, а ось х направим перпендикулярно стороне. Угол между осью
х и нормалью к стороне с индексом v равен 0V = 2я(г —
v = 1, 2, ..., в. Значения т^ и т^ таковы:
(v) '''в . 2я (v — 1) (v) в 2я / м v
Ga . п v Ga n v '
Постоянные ov выбираем в силу симметрии в виде
а постоянные с* и с*
выбираем так, чтобы w3@) — и>4@) «= 0.
На рис. 3.10 показано продвиг
жение пластической зоны при уве-
личении угла закручивания, для
правильного треугольника (га = 3),
полученное в работе [131.
Рис. 3.10.
Рис. 3.11.
88

б) Г„ — прямоугольник со сторонами а < Ъ. Расположим нача-
ло кбординат ху в центре прямоугольника и направим ось х пер-
пендикулярно стороне длины а. Тогда 9V = я/2 (v — 1)> v = 1, 2, 3, 4;
Pi=p3 = ct,/2, рг = рк — Ъ/2. В силу симметрии выбираем d = и,
02 —зт, о3 = я + х, где параметр х подлежит определению. Посто-
янные сх и с* выбираем так, чтобы uv@) = и>4@) = 0. Таким обра-
зом, имеем
-In
Следовательно, отображающая функция равна
Из условия совпадения проекции гребней с асимптотами определяем
значение x = 2arctg[(b — a)nGa/2t,]. На рис. 3.11 показано про-
движение пластической зоны при увеличении угла закручивания,
полученное в работе [131.
§ 8. НАЧАЛЬНОЕ РАЗВИТИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗОН
ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Изложим, следуя работе Б. Д. Аннина и В. М. Садовского [7],
приближенное решение задачи кручения стержня прямоугольного
сечения D со сторонами а< Ь, когда пластические зоны развива-
ются лишь вблизи одной пары сторон* (рис. 3.12).
Пусть а* и а,* — значения угла закручивания, при которых
достигается условие пластичности C.1.5) в точках (±а/2,0) и в точ-
ках (±Ь/2,0) соответственно. Известно [91, что а* = т„B<7ат1)~|,
причем безразмерный параметр т] меняется
от 0,339 до 0,500, когда отношение сторон
Ъ/а меняется от 1 до бесконечности. Для
<2*<<х<<х* упруго-пластическая граница со-
стоит (рис. 3.12) из двух симметричных от-
носительно оси Ох кривых Г+ и Г~, распо-
ложенных симметрично относительно оси
Оу. При этом всякая прямая, параллельная
оси Ох, пересекает каждую из кривых Г+
и Г~ не более чем в одной точке. '
Обозначим через В открытую область,
определяемую как разность прямоугольни-
ка D и областей, ограниченных Г+ и х = а/2,
Г~ и х~—а/2. На рис. 3.12 область В
заштрихована. Обозначим через Q разность рис. 3.12.
89
У.
\
\
п
0
/
1
У-
1
\
\
ч
ас

областей D и В. Пусть Lt и L2 — общие части границ D и В.
В рассматриваемом случае задача упруго-пластического кручения
состоит в отыскании кривых' Г+, Г~ и функции W = W (ж, у),
определенной и непрерывно дифференцируемой в B + Lt + L2 +
+ Г+ + Г~ и имеющей вторые производные в В, по следующим
условиям:
9
дх ду в В, C.8.1)
©'+(?)
<•
При этом момент равен
2 J J (-J- — ж sign л;) d^y. C.8.3)
Заметим, что в C.8.2) вместо условия dW/dy = 0 на Г+ и Г" ис-
пользовано условие W = а/2 Тж.
Будем решать задачу C.8.1), C.8.2) методом' прямых.' Опреде-
лим гармоническую в В функцию и = и(х, у) в виде
и(х, у) = W(x, у) + Mj/2 - Ь74). " C.8.4)
В силу симметрии задачи
и(ж, у) = и(—х, у)=и(х, —у).
Пусть целое п нечетно и
yh = -Ъ/2 + kh, к = 1, 2, ...,.«, :
Л = Ып + I)-1,
Абсциссы точек пересечения лучей y = yh (ж > 0) с L, обозначим
через жЛ.
В силу уравнения Лапласа, которому удовлетворяет функция
%(я> У\ для определения uh(x) имеем систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений >
5 d2Mft I \d\+1 d4
Решая ее, найдем v
uh (x) = 2J (- if ^ ch (psa;) sin fce8, * C.8.5)
Ю

- k = l, 2, .... n,
С, = const, p5-12A + cos6,)A-2E - cos в.), в. = nsin +1)-1.
Для определения лостоянных Ch и ж* из C.8.2) и C.8.4) получим
систему уравнений
) а*, C.8.6)
= - 1, если а*< а/2, • "C.8.7)
и условие dUb}*k^ > — 1 для 0<ж<жь<_я/2. C.8.8)
Решение уравнений C.8.6) и C.8.7) ищем-методом последователь-
ных приближений. Ниже верхний индекс i = 0, lt ... означает но-
мер итерации. Принимаем ж°•= а/2, к = 1, 2, ..., п. Пусть величи-
ны х\ известны. Подставим их в. C.8.5), C.8.6) и, решая задачу
линейных уравнений, находим С\. Затем определяем х^1, исполь-
зуя C.8.7). Процесс заканчивается, если
max | x{+1 — х{ | < ае при i = I,
где е — заданное достаточно малое число. Полагаем х^ = ж* ., С% =
= .С{ и по формулам C.8.4), C.8.5) находим приближенное зна-
чение функций Ч? в В.
Расчеты на БЭСМ-6 проводились в следующем порядке. Зада-
валось значение Я = 1,- и на первом шаге итерационного процесса
находилось Я* по формуле
при к.= {п + 1)/2. C.8.9)
Затем для Я, = Я# + 16, I = 0,1,..., р — 1, по изложенному алгорит-
му вычислялись приближенные значения xh и Mv. Чцсленное ин-
тегрирование по переменной х в C.8.3) выполнялось по методу
Симпсона, решение системы линейных уравнений — при помощи
метода Гаусса, отыскание корней трансцендентного уравнения C.8.7)
производились методом хорд. Если корень уравнения не существо-
вал для 0<ж<а/2, то принималось xh = al2. Числу 8 придавалось
определенное значение и р находилось из условия, чтобы величина
ТСк) — 1 имела перемену знака на отрезке с концами А,* + (р — 1) 8
и Я# + р8. Здесь Т(К) — разностная аппроксимация производной в
точке @, —Ь/2), найденная в силу формулы C.8.4) по известным
значениям Kf@), и2@), ..., ит@) с порядком тп < п. Наконец, ме-
тодом хорд отыскивалось Я,* из уравнения Til) = 1 и соответствую-
щее ему Мч*.
Приведем ряд результатов для с = 1, 1^6^ 5, m == 6, h = 0,005,
е = 10~5. Время счета одного описанного выше варианта на БЭСМ-6
при этих параметрах составляет не более 5 мин. Численно получены
91

Puc. 3.13.
Рис. 3.14. -
Q/0-
0,05-
1,1
Puc. 3.16.
1,3 Л-
соотношения между Ъ и величинами Я„. и Я* (рис. 3.13), М т (кри-
вая 1) и il/v* (кривая 2) (рис. 3.14, о) и /* (рис. 3.15). Здесь и ни-
же f = a/2 — xK при к = (п+1)/2, звездочки указывают, что значе-
ния величин взяты при Я = Я,* и Я* соответственно. График
Mv=MV(k) для 6 = 2 и 6 = 5 представлен на рис. C.14,6). При
анализе зависимости / = /(Я) для достаточно больших 6 (на
рис. 3.16 6 = 5) с высокой степенью точности можно пользоваться
аналитическим решением Соколовского для случая 6 = «>, имею-
щим вид
на —
— хк и
Здесь
— "кз? + а/2 — DЯ)" на — а/2 < ж < а/2.
i = -Ы + а/2 для -а/2<х*? а/2; жЛ = BЯ).
§ 9. РЕШЕНИЯ
С ПЛАСТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ РАЗРЫВА
Пластическая деформация тел сопровождается развитием ли-
ний скольжения. При незначительном градиенте напряжений ли-
нии скольжения могут равномерно распределяться по всему объему
92

тела. Такая закономерность имеет место при развитой пластической
деформации для упрочняющегося материала. Для материалов, об-
ладающих четко выраженной площадкой текучести (для металлов
типа мягкой стали, склонных к запаздыванию текучести), а также
при наличия неоднородного поля напряжений с большим градиен-
том появляются изолированные линии скольжения, занимающие не-
значительный объем тела по сравнению с упругой частью. Следо-
вательно, изучение пластических деформаций на первых стадиях
их развития может быть сведено к разрывным задачам линейной
теории упругости. Этот факт впервые был отмечен и изучен1
М. Я. Леоновыми его сотрудниками [18, 19].
1.' Элементарные разрывные деформации. Деформация тела
описывается единственным не равным нулю смещением w(x, у).
В плоскости z = 0 смещения w(x, у) считаем всюду непрерывными,
за исключением простых гладких линий L. На линии L пусть вы-
полняется условие
w+(t) - w-Ш = 6Ы, s = sU). C.9.1)
Здесь w+(t) и игШ означают значения w при стремлении к точке
t контура L слева и справа соответственно, bis) — функция дуги s
контура L, удовлетворяющая вместе со своей производной g(s) ез
= 6"(«) условию Гельдера.
Предполагая, что линия разрыва L состоит из отрезков, распо-
ложенных вдоль оси у, и вспоминая, что функция w(x, у) удовлет-
воряет уравнению Лапласа, по граничному условию C.9.1) найдем1
/ \ „ 1 Oil , <- , . /o n o\
w{x,y) = Re[5=1 -rzrrh t = is,Z = x+iy. C.9.2)
Для напряжений rxz = Gj? и ryz = Gj- с учетом C.9.2) и
условия 6(s) = 0 на концах линии разрыва L получим соотношение
G Г g{s) dt /о п о\
Гхг — Щг =Ш) Sf±j. C.9.3)
L
Пусть концы ah, bh линии L имеют координаты
ак = ЦтН — h), bh = i(mH + h), m = 0, ±1, ±2, ..., ±2и,
а функция g(s) удовлетворяет условию
gBmH + о) = -gBmH - о) = glBm + l)H - al = .
C.9.4)
= -g[Bm + l)#+o]=g(o), -h^c^h.
При принятых предположениях соотношение C.9.3) после выпол-
нения предельного перехода п -*¦ «>, суммирования и интегрирования
можно записать так:
л
. я [? — i (Н + оI1 , ч ,
^ . 2Ш jg(°) do =
93

п.
~2Н J
g (a) da
sin [я (i-ia)/(iH)}-
C.9.5)
2. Пластический сдвиг при кручении стержня прямоугольного
сечения. Рассмотрим пластические линяй скольжения при кру-
чении стержня с поперечным сечением в виде прямоугольника. Ли-
нии скольжения возникнут по нормали к контуру в точках, распо-
ложенных посредине длинных сторон поперечного сечения.. Пред-
полагая глубину линий скольжения h малой по сравнению с дли-
вой I поперечного сечения, можно рассматривать поперечное сечет
ние как бесконечную полосу (рис. 3.1.7).
Решение ищем в виде суммы
w(x, у) = w°(x, у) + ww(x, у),
; - C.9.6)
1
Хуг .
Здесь и>° (х, у), т'г, TyZ — депланация и касательные напряжения,
определенные без учета пластической деформации, a wli4x, у), т«,
tyl депланация и напряжения, вызванные пластической . де-
формацией.
Очевидно, имеет место равенство
, у), C.9.7)
икуда для 2и7A)(—0, у) = б(#) получаем бШ — у) = -^
Функция g(y) = б'(?/) удовлетворяет условию
g(H-y) = g(y). C.9.8)
Запряжения, вызванные пластической деформацией, при выполне-
ши условия C.9.в)' определяются соотношением C.9.5). Для удов-
ютворевия граничных условий на боковой поверхности полосы
r»z(a;, 0) *= xvz(x, Н) = 0 функцию g(a) сле-
цует считать нечетной. На линиях скольже- _
аия считается, что касательные напряже-
аия направлены противоположно' сдвигу и
эавны по величине постоянной (нижний
Рис. 3.18.

предел текучести), т. е. имеет место равенство
... (тс при O^j/^й,
?2. (О, у) + tfi> @, у) <= {_ т прц в >%^ у < И C,9.9)
Удобно перейти к новым переменным
C.9.10)
Тогда формула C.9.5) примет вид
Л - Л1Л! ' C.9.11)
где
По формуле C.9.11) найдем ^(О.^и подставим в равенство
C.9.9). В результате получим интегральное уравнение для опреде-
ления функции g* (S)
^ J^^ C-9.13)
Здесь
!["(g^-Tcl C.9.14)
Кроме того, для функции /,(|) из C.9.13) следует: /i(—1) А(§)
Можно показать, что в классе всюду ограниченных функций (напря-
жений) решение уравнения C.9.13) имеет, вид
При этом должно выполняться условие разрешимости
Г JiBU=, = 0; C.9.16)
которое определяет глубину линии скольжения h.
Если функция g* (|) известна, то по формуле C.9.11) можно
найти напряжения т^1/ в т^- Приведем соотношение, непосредствен-
95

но связывающее напряжения t^V и т$ через функции Д(|> [18];
В старых переменных % и с формулы C.9.15)—C.9.17) при-
мут вид г
• н
, > __ 1 Vcos 2яу/Я — cos 2nhlH С (cos яс/ff) / (с) da
8\У)—И cognyiH J ycos2ло-/Я—cos2nh/H¦ sinn{y —
.—ft
C.9.18)
J/ (o) da л
Vcos 2яо7Я — cos 2nh/H
X
l) _ . (i) _ Vcos 2я?/(»Я) — cos 2nh/H ,
i lTyz — m cos пУ(Ш)
h
cos ло/Hf (a) da
f
Vcos 2яо7Я— cos 2лА/Я sin я (t — ia)/(iH)
—fi
Здесь
/ (<0 = ? [tSz @, c) - rc], C.9.21)
3. Случай полупространства. Пусть глубина линии скольжения
h мала по сравнению с размерами поперечного сечения. Стержень
можно рассматривать как-полупространство (рис. 3.18).
Выполнив предельный переход Н-+<х> в формулах .C.9.18)—
C.9.21), найдем
C.9.
В рассматриваемом случае напряжение т2г@, j/) при 0 «S у
с достаточной точностью можно представить в виде
& @, у) = атт - Ьг/. " C.9.25)
96

Здесь а и 6—.некоторые постоянные, зависящие от величины кру-
тящего момента и формы поперечного сечения, тт — верхний пре-
дел текучести.
Используя выражения C.9.25), для функции f{y) согласно -
C.9.21) найдем
C.9.26)
Х\(<хтт- тс) + by] при - h < у < 0.
Учитывая в соотношениях C.9.22)—C.9.24) равенства C.9.26) и вы-
числяя интегралы, окончательно получаем
C.9.27)
C.^.28)
«т„ — т„
- ftff ~ - (от, - те) j\ -
C-9.29)
В формуле C.9.29) под логарифмом подразумевается аналити-
ческая в плоскости. ? = а; + iy с разрезом по отрезку (—ih, ih)
ветвь, принимающая на оси х действительные значения. Заметим,
что формулы для напряжений и глубины' пластической линии
скольжения выражаются в замкнутом виде через элементарные
функция и в том случае, когда т?г @, у) при 0 «S у «S h аппрокси-
мируется полиномом любой степени.
Найдем депланацию wll)(x, у). Так как g(y) = 6A)(#) и б(й) = 0,
то для функции 6(у) получаем
C.9.30)
Вычисляя интеграл C.9.30) с учетом C.9.27), будем иметь
^F . C.9.31)
Учитывая соотношение C.9.31), для ww{x, у) по формуле C.9.2)
окончательно найдем
=24ёRe {^г ln
2h
- 44 C-9-32)
4. Пластический сдвиг при кручении призматического стержня
с мелким полуцилиндрическим пазом на поверхности. Рассмотрим
кручение стержня с продольным пазом на поверхности. Считаем
радиус паза малым по сравнению с поперечными размерами стерж-
ня и контур поперечного сечения в окрестности паза прямолиней-
ным (рис. 3,19).
Б. Д. Аннжн, Г. П. Черепанов
9?

9
ifi-
0,5-
0,5-
0/h
II I I I "I
1fi 1,Z 1,4
Рис. 3.20.
Приведем окончательные результаты [191:
rW
C.9.34)
Условие, разрешимости задачи, определяющее глубину пластиче-
ской линии скольжения, имеет вид
shf (s) ds
= 0, к = 0,1. _.
C.9.35)
Контур L состоит из двух симметричных относительно оси Ох
отрезков (—п, —т) и (т, и), где п = а + h, т — аг/(а + h), функция
f(y) определяется по формуле C.9.21) на участке a^yfZa + h, на
остальной части контура L функция /(о) ^ определяется соотно-
шениями
В рассматриваемом случае для напряжения т"г @, у), исполь-
зуя решение для профиля Вебера [191, имеем соотношение*
C.9.36)
ой^ 1, о'^ у <s a + h. *
Найдя функцию /(у) согласно C.9.21), подставив ее в условие
C.9.35) и выполнив интегрирование, получим для глубины пласти-
ческой линии скольжения h соотношение
2дЧр—1 )F(fc, <р) - 2Е(Л, <р) + рШк, я/2) = 0. C.9.37)

Здесь р = ахт/хс, q = a/{a + h); F, E — эллиптические интегралы
первого и второго рода, а к = A — q2I'2 и <p = arctg?. На рис. 3.20
приведен график зависимости величин ряд.
§ 10. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1. Стержень квадратного поперечного сечения. Рассмотрим-
задачу упруго-пластического кручения стержня квадратного попе-
речного сечения со стороной 2а [16] вариационным методом. Зави-
симость т = т(у) предполагается состоящей из двух линейных
участков:
_lGy при V< 0,0025,
Т 1A940 + 24-103v) кг/см2 при v> 0,0025. Лалил>
Модуль сдвига G == 8 • 105 кг/см2. Зависимость C.10.1) описывает,
например, поведение никелевей стали.
Функция напряжений разыскивалась в виде
\jr(ft) __ pW.y _l c^W C 10 2)
Здесь с^ и 4ft)— постоянные, определяемые итерационным про-
цессом, к — номер итерации;
C.10.3)
б табл. III.4 приведены значения коэффициентов cift), c^.
Вычисления были проведены для аа~ 0,015 (а — угол кручения
на единицу длины стержня). Упруго-пластическая граница найде-
на по условию т = т. ¦= 2000 кг/см2 и показана на рис. 3.21.
2. Стержень треугольного поперечного сечения. На рис. 3.22
кривыми 1—3 изображены упруго-пластические границы для сле-
дующих стадий кручения: а = 1,333а#; 2а^.; 4а*. Здесь а* пред-
ставляет угол кручения на единицу длины стержня, соответствую-
щий возникновению пластических деформаций. Материал стержня
идеальный упруго-пластический. Решение получено релаксацион-
ным методом [36]. На рис. 3.23 приведена зависимость безразмер-
ного крутящего момента от безразмерного угла кручения.
к
0
1
2
3
4 •
4fe).io-5
0,070125
0,018023
0,017872
0,017728
0,017554
. 4">.ю-5
0,014217
—0,003382
—0,003765
—0,003802
-0,003641
h
5
6
7
8
9
Таблица III .4
с<*>.10-Б
0,017551
0,017543 ¦
0,017461
0,017469
0,017400
4">.ю-5
—0,003740
—0,003889
-0,003757
—0,003663
—0,003693
7*

"Л
У
0
J
¦.
X
Рис: 3.21.
Рис. 3.22.
87S 12251400
0,50-
3. Стержень коробчатого прямоугольного
поперечного сечения. Распределение напря-
жений и упруго-пластическая граница пока-
заны на рис. 3.24 (изображена 1/8 часть
сечения) при значении а = 1,85а.,., где
а*—угол кручения на единицу длины стерж-
Рис.3.23. ня, при котором впервые возникают пласти-
ческие деформации во входящих углах сече-
ния. Материал стержня считается идеальным упруго-пластическим.
Решение получено методом релаксации [35, 36].
4. Стержень квадратного поперечного сечения. На рис. 3.25. по-
казаны области пластических деформаций при кручении стержня
квадратного поперечного сечения. Материал стержня идеальный
упруго-пластический. Решение получено методом релаксации [23].
Кривая 1 соответствует крутящему моменту 1,25М*, кривая 2 —
крутящему моменту 1,5Л/ *. Здесь М# — максимальный упругий
момент кручения, соответствующий возникновению пластических
деформаций в центральной точке стороны поперечного сечения. -
Точное значение М*, найденное С. П. Тимошенко разложением
в ряды (см. [13] к гл. II), равно
Ml = 0,1406Ga*a4. C.10.4)
'Здеь a^. —г угол кручения, соответствующий возникновению пласти-
ческих деформаций, а ~ сторона квадрата (см. также § 8 этой
главы). . .

<*/*#
Рис. 3.25.
Рис. 3.26.
2,00
f,SU-
1,00-
¦0,50-
z 4 e <*/<*.#
Pue. 3.28.
В работе [23l получено
Рис. 3.27.
i*.. C.10.5)
Зависимость крутящего момента
от угла кручения а/а* изобра-
жена на рис. 3.2^ [23, 28, 343.
5. Круглый стержень, ослабленный шестью полукруглыми вы-
точками. Материал стержня считается идеальным упруго-пласти-
ческим. Решение получено методом релаксации [38].
На рис. 3.27 кривые 1—3 изображают упруго-пластическую
границу для следующих стадий кручения: а = 1,448а4; 2,173а*;
4,345а*.
Зависимость безразмерного крутящего момента от безразмер-
ного угла кручения показана на рис. 3.28.
101

¦i
2,0
2,0
2,0
Про»
и
1,96 + iO,36
1,96'+Й),36
1,96 + ?0,36
мкуточныетоЧ!
It
о|б Ц- ?1*25
• -„
к-1.
I.
0,3 + ?1,42
0,296
0,256"
0,244
¦ . *
-¦
-0,005
—0,013
0,01
f а блиц* ШМ
а.
-i-0,0006
0,607
g
*v ¦
0,675
0,61
0,555
6. Овал Соколовского. Приближенное решение упруго-пласти-
ческой задачи кручения стержня, имеющего сечение в виде овала*
Соколовского C*2.4), при частичном .охвате пластической зоной'
.упругого ядра имеет вид'[21]: " . ~
F'(z) = iatz + i
(F(z) — комплексная функция кручения). ~ ;
В табл. III.5 приведены- значения коэффициентов ал, а», аь. s
Впервые пластические деформации возникают при а* —«
7. Цилиндрические валы е внешними и внутренними гипербол
лическими выточками. ¦'-¦¦ . _ . '-
а) Сплошной вал. Расчеты были проделаны для трех-
различных выточек со следующей геометрией [26]: ""
i>o = l,20; a/p^GfiO; ^ = Д,63; . ^
-17О=1,5О; с/р=199; ^===5,9; i
• Vt^ 1$э; в/р = 2311; Кт = 18,9,
где и" v, w — криволинейные координаты, связанные с х, у, z фор-*
мулами х— sh ttcos v, у — cb и sin v cos w, z *= ch и sin v sin w; v0 —?
'координата поверхности, свободной от выточек, а — радиус вала]:
"У основания выточки, р — радиус, выточки у ее основания; Кт—5
"упругий коэффициент концентрации напряжений. Во всех вычис-:
лениях было принято т, = 1050 кг/см8; G — 1,05 ¦ 10е кг/см*. В рас*"
четах были охвачены несколько величин для глубины распростра-
нения пластической'области Ыа в для пластического модуля сдви-
- ,га -С».
. . Некоторые результаты вычислений приведены в табл. III.6,
напряжение в 'упруго-пластическом валу без выточек, %t — напряжен
ние.в уцрутрм 'валу без выточек, f* и Ч* СООдТввтственно дефор-:^
малин. .• - ¦¦ -- ; . .'[:[¦ ; -¦ t . у
На рис. 3.29 показаны, пластические зоны в сплошном ы
с выточкой при различных.значениях 6/а и Gp/G, при этом Г
вые 1, 3 соответствуют случаю (?'"/G=0^6; кривые 2, 4, X
\4

, ¦
1омер
•лучая
i
2
3
4
5
6
7
8
9
.10
11
12
13 -
14
ft
16
17
18
19
1,63
1,63
1,63
1,63
1,63
1,63
1,63
5,9
5,9
5,9 ,
5,9
5,9
5,9
18,9
18,9
18,9 •
18,9
18,9
18,9
0,200
0,200
0,033
0,033
0,033
0,033
0,000
0,200
0,200
0,033
0,033
0,033
0,033
0,200
0,200
0,033
0,033
0,033
0,033
Ь/о
«,50
0,75
0,50
0,75
0,85
0,95
0,75
0,50
0,75
o,so
0,75
0,85
0,95
0,50
0,75
0,50
0,75
0,85
0,95
гшах
2 340
1 770
1-540
1300
1200
Ч 120
1.050
9900
6300
4450
3 220
2440
1 910
32 800
20 600
14 100
9650
67 500
4820
—'.
max
0,0086
0,0049
0,0146
0,0083
0,0053
0,0031
0,0148
0,0512
0,0307
0,1009
0,0645
. 0,0415
0,0259
.0,1825
0,1127
0,3855
0,2547
0,1685
0,1117
• ¦:
KV
№
1,38
1,22
l'l9
1,11
1,05
1,00
4,63
4,49
347
2,90
2,15
1,79
14,65
14,20
9,73
8,66
.6,22
4,52
Таблиц^
к?
1,83
2,25
2,18
3,92
2#8
. 237*
6,91
7Д7"
10,36.
8,93
25,00
22,40.
19,88
23,41
34,25
30,31
88,76
88,37
85,13
1,21
1,22
0,96
1,01
1,02
1,21
0,83
.4,07
3,82
2,55.
2,35
2,02
2,43
12,97
12,08
7,88
6,92
5,51
,11
<
4,60
3,62
9,71
6,83
4,77
3,48
12,33
223
61,0
49,7
зад
35,0
75,8
69,4
226,8
192,6
145,6
149,4:
пучш G/ 0,033. В качестве зависимости между напряжением
\ деформациен было принято соотвошевяе
Two— ,-g--
(а.ю.7)
)тметвм, чтсгиекоторые из приведенных результатов соответству-
ет нереальным,, слишком большим, значениям максимальных ва-
тряжевий и деформаций.- '
б) Полый вал. Вычисления были проведены для шести
случаев? - ' ' ¦
Wo = 1,2; р„ = 1,5; wo = 1^5; 1^-J13S
vt
1,55;
-1,55.
!цесь we, Vi — значения v на внеш-
ней и внутренней поверхностях ва-
ла. Глубина распространения' пла-
стической зовы равна 1,44 см.
Результаты вычислений приво-
дятся в табд. III.7, при этом К=
= 1050 кг/с^г Я=250 мм, С-
= 1,05 • 10е кг/4»|\ &/G - 0Х
Здесь также некоторые данные
соответствуют нереальным, слиш-
ком большим значениям напряжений
и деформаций. .
о o,is
РИе. 8.29.
103

г Выточка
Внешняя
Внутренняя
в/р
6,6
199
2311
6,6
199
2311
2,14
9,40
31
2,14
9,40
31
тшах '
2060
8800.
29 500
155Q
6 550
21800
Т а б л ид а
шах
0,0067
0,0450
0,163
0,0038
0,0323
0,120
1,99
7,34
24
1,33
5,25
17,2
Ш.7
<
6,82
39,6
140
3,47
27,3
99
На рис. 3.30 и 3.31 показаны упруго-пластические границы
для внешней и внутренней выточек при а/р = 6,6. В последнем
случае могут развиваться две пластические области, как это видно
на рис. 3.31.
8. Стержни прямоугольного и многоугольного поперечного
сечевня,. Приведем результаты по упруго-пластическому кру-
чению, полученные методом локальных вариаций [16, 17]. Рас-
четы были проведены для стержней прямоугольного попереч-
ного сечения и многоугольников частного вида. Во всех расчетах \
материал тела считался идеальным упруго-пластическим с преде-*
лом текучести т, при простом сдвиге. Вычисления проводились для
стержней прямоугольного поперечного сечения со сторонами а—1,-
Ъ = п, где Л=?1; 1,5; 2; 3; 5, при следующих значениях безразмер-'
ного угла кручения: а = 20/3; 10; 20; 40. . с
На рис. 3.32 и 3.33* для прямоугольников с отношением сторон
п = 1; 1,5; 3 для значений угла кручения а = 20/3; 10; 20, кривы-/
ми 1, 2, 3 изображены упруго-пластические границы, которые про-:
нумерованы в том порядке, в каком указаны значения угла кру-*
чения а.
На рис. 3.34 приведена зависимость безразмерного крутящего
момента в от утла кручения а для квадратного поперечного
сечения, тп* — предельный момент.
В табл. III.8 даны значения безразмерного крутящего момента
для прямоугольных областей с отношением сторон п — 1; 1,5; 2; 3;
0,4 \ U'0,8
Рис. 3.30.
Рис. 331.

n
1
1.5
a»
2,9629
2,3585
2,1505
2,0305
2,0020
0,1040
0,1155
0,1230
0,1335-
0,1455
a=20/3
Q.1558
0,2778
0,3989
0,6403
1,1188
0,1620
0,2855
0,4096
0,6548
1,1375
a=20
0,1660. '
0,2897 -
0,4136
0,6606
1,1508
Таблиц г
*
№=40
0,1662
0,2904
0,4150
0,6627
1,1560
¦a=80
0,1662
0,2904
0,4150
0,6630
0,1560
i Ш.8
0,1667
0,2917
0,4166
0,6667
1,1667
;, полученные при различных значениях угла кручения а. Здесь
f, = 2Gaa/rt, т=Ж/2т«с3, а* —безразмерный угол кручения,,соот-
ветствующий возникновению пластических деформаций, т* ¦— без-
размерный крутящий момент, при котором впервые появляются
шастиреские деформации, а = °о соответствует чисто пластическо-
iy кручению. ч _
На рис. 3.35—3.39 для значений угла кручения а = 20/3; 10;
-Ю изображены кривыми 1, 2, 3 соответствующие упруго-пластиче-
кие границы.
На рис. 3.40_приведена зависимость крутящего момента т от
тла кручения ос для многоугольников частного вида, указанных
ia рис. 3.35—3.39; кривые 1—5 соответствуют ряс. 3.35—^3.39.
Для этих областей имеем а* = т# = 0, так как во внутренних
тловых точках при сколь угодно малых углах кручения возникают
неограниченные напряжения.
Зависимость т(а), вообще говоря, не имеет линейного участ-
•". Практически зависимость крутящего момента ©г угля кручения
-г малых а оказывается линейной, поскольку зовы пластических
"грмаций пренебрежимо малы и
~™»ствующий вклад, этих обла-
тоутяшнй момент мал.
Рис. 3.32.
Put. 3.S3.

Рис. 3.34.
Рис. 3.35.
Рис. 3.36.
Рис. 3.37.
Рис. 3.38.
Рис. 3.39.

°foiy
• 9. Составные стержни. Рассмотрим
призматический стержень квадратного
сечения
Z) = A + Z?2, Dl = @,4 sS x *S 1,
Di = {0=?Sx =^0,4, 0^y<l).
Материал стержня является упруго-од-
нородным: Gi = G& = G, с кусочно-по-
стоянным поперечным распределени-
ем пластических свойств: т«2/т,1 = 0,65.
Здесь xsi — пределы текучести, соответствующие подобластям Di,
i = 1, 2.
Расчеты проводились для следующих значений безразмерного
угла кручения: а = 2,4; 4; 10; 25. Здесь а = 2Ga/%si, т = М/2х81.
Чисто упругие деформации имеют место до достижения каса-
тельными напряжениями меньшего из пределов текучести т — ts2.
Из упругого решения можно найти предельное значение угла
кручения а* = 1,927 и крутящего момента т% = 0,0676.- Соответст-
ю
Рис.3Ш.
4
У5
20
ос
а
Рис. 3.41.
венно величина угла кручения и крутящего момента, при которых
впервые возникают пластические деформации в области с большим
пределом текучести т, = Tsi, равны а, = 2,963, т'щ^~= 0,104.
Итак, при угле кручения а в пределах а* < а ¦< а? пластиче-
ские деформации возникают лишь в материале с меньшим преде-
лом текучести, а при а» < а пластические зоны будут в обоих ма-
териалах.
Таблица Ш.9
а
1,927 (а*)
2,5
4
т
0,0676 (га,)
0,0876
0,1145
D
р
0
0,07
0,20
10
25
с»
т
0,1358
0,1387
0,1390
D
Р
0,58
0,83
1,00
107

На рис. 3.41 приведены результаты для значений а = 2,4; 4;
10; 25, полученные методом локальных вариаций.
В табл. III.9 приводятся значения крутящего момента, соот-
ветствующие различным величинам угла кручения а, и площадь
Dp пластических областей в сечении стержня.
Глава IV
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКИЙ ОБЗОР
При плоской деформации поле напряжений и смещений тако-
во, что
и — и(х, у), v = v(x, у), и> = 0,
ах = ах(х, у), Су = су(х, у), т*„ = тзд(а;, у), D.1.1)
о. = v(ox + o,),0<v^ 1/2, т„ = хУг = 0.
Компоненты тензора напряжений плоско-деформированного состоя-
ния при отсутствии объемных сил удовлетворяют двум уравнениям
равновесия
%. + *5L = 0, *Я + ?5i = 0. D.1.2)':
дх ду дх ду \ /
В упругой области имеем следующие соотношения: "^ЙмаЛ;
закон Гука . - ' ¦ -
4( 2 - v(l + v)oy],
D.1.3)
условие совместности деформаций, которое в напряжениях приво-
дит к выражению
Д(о*+о„) = 0, D.1.4)
связь между смещениями и деформациями
_ ди _ dv_ _ 1 / ди ду
В пластической области имеем следующие соотношения:
условие пластичности
f(ax, о„, тху) - к = 0, D.1.6)
ассоциированный закон пластического течения A.3.6) ,
108

соотношения кинематической связи смещений с деформациями
е , р ди е , р dv
= ех + е* = -^, е„ = е„ + е„-= ~^
е . р 1 / дм , di> \
= гху + еху = у ^ ~Ь -^J-
Упругие деформации в пластической области связаны с напря-
жениями законом Гука.
Если на границе тела заданы нагрузки, то имеется полная си-
стема уравнений для определения напряжений в пластической
области независимо от деформаций, т. е. задача статически
определима.
Считаем, что на границе упругой и пластической областей на-
пряжения и смещения непрерывны.
В упругой области имеют место формулы Колосова — Мусхе-
лишвили
у ,
D.1.9)
ои-ох + 2ixxy =
2G (и -f iv) = жр* (z) — zip. (z) — ty* (z),
(z)ldz = q>[ (z) = Ф (z), tlC (z) = Y (z), z = ^ + iy.
Здесь и=3 —4v для плоской деформации и v. = C — v)/(l + v) для
плоского напряженного состояния, G = E2-i(l + v)~1.
Основные успехи в решении плоских упруго-пластических за-
дач достигнуты в задачах с полностью неизвестной: упруго-пласти-
ческой границей. В этом случае соответствующая математическая
задача сводится к краевой задаче для бигармонического-уравнения
в области, граница, которой неизвестна и определяется в процес-
се решения из дополнительного краевого условия. Учитывая фор-
. мулы D.1.9) и отображая взаимно однозначно и конформно об-
ласть с неизвестной границей на каноническую, эту задачу сводят
к краевой задаче теории функций комплексного переменного. Ме-
тоды решения некоторого класса таких задач даны Л. А. Галиным,
Г. П. Черепановым, Б. Д. Анниным.
В 1946 г. Л. А. Галин дал точное решение задачи о распре-
делении напряжений в окрестности кругового отверстия плоско-
деформированного тела, к контуру которого приложены постоян-
ные нормальные усилия, а напряжения на бесконечности постоян-
ны [12]. Решение удалось найти благодаря бигармоничности функ-
ции напряжений в пластической области. Смещения в пластиче-
ской области для этой задачи были определены методом малого
параметра Д. Д. Ивлевым [17]. Точное решение системы уравне-
ний для смещений в пластической зоне для задачи Галина полу-
чено Н. И. Остросаблиным [45]. Метод Галина для аналогичных
задач был применен А. И. Кузнецовым [24] в случае специальной
неоднородности, Б. Д. Анниным [4] в случае экспоненциального
109

условия пластичности, хорошо аппроксимирующего предельное со-
стояние горных пород.
В работе [66] Г. П. Черепанов нашел класс точных решений
плоской упруго-пластической задачи, определяемый следующими
требованиями: а) контур тела является многоугольником,' все углы
которого кратны я/2; б) касательная нагрузка на всем контуре
равна нулю; в) часть границы многоугольника нагружена постоян-
ными нормальными напряжениями и целиком охвачена пластиче-
ской зоной; г) на оставшейся части границы, лежащей в упругой
"области, задано кусочно-линейное нормальное смещение. Д. Д. Ив-
лев методом малого параметра решил несколько плоских упруго-
пластических задач для идеально пластического тела, при этом
форма отверстия считалась эллиптической, но близкой к окруж-
ности, а напряженное состояние на бесконечности — близким к все-
стороннему сжатию [18, 19]. Л. В. Ершову и Д. Д. Ивлеву ана-
логичным способом удалось решить упруго-пластическую задачу
для эллиптической трубы под давлением [16]. А. С. Космодамиан-
ский [21] и В. М. Мирсалимов [31] рассмотрели упруго-пластиче-
ские задачи с бесконечным рядом одинаковых круговых отверстий.
Б. Д. Анниа [6], Н. И. Остросаблин [43, 44] дали приближенное .
решение упруго-пластической задачи для плоскости, ослабленной
конечным числом круговых отверстий. Л. М. Куршин и И. Д. Суз-
дальницкий 125] решили упруго-пластическую задачу для плоско-
сти, ослабленной двоякопериодической системой круговых от-
верстий.
П. И. Перлин при помощи своего численного метода решил ряд
задач для отверстий в форме окружности и различных эллипсов;
при этом были рассмотрены также случаи частичного охвата от-
верстия пластической зоной и случай двусвязной области, занимае-
мой телом [50—52]. Тот же метод был применен В. С. Сажиным
при решении упруго-пластической задачи для, отверстия, близкого
к квадрату; предполагалось, что на бесконечности имеет место все-
стороннее сжатие, а пластическая область охватывает все отвер-
стие [59, 60]. В. С. Сажин рассмотрел также другие интересные
задачи применительно к проблеме проявления горного давления
вблизи выработок различной формы [61, 62].
Черепановым IV П. в работе [33] к гл. I указан способ алгеб-
раизации упруго^пластической задачи в случае полного охвата пла-
гтической зоной со статически определимым состоянием произволь-
ного отверстия. Р. Ноттрот и Р. Тимман [85] и Р. Ноттрот [84]
применили этот способ для численного решения некоторых конк-
ретных задач такого типа.
В случае полного охвата пластической зоной отверстия
В. Д. Анниным [5] получено интегродифференциальное уравнение
щя граничных- значений функции, отображающей конформно уп-
>угую область на внешность единичного круга, и найдено условие
национальности отображающей функции.
Численные методы еще мало применяются в плоской упруго-
шастической задаче. Кроме упомянутых выше работ П. И. Перли-
10

на, Р. Ноттрота и Р. Тиммана можно еще привести несколько опуб-
ликованных работ с использованием численных методов.
Р. Саусвелл и Д. Аллен рассмотрели полосу с симметричными
полукругами и угловыми выточками [881. Е. И. Теплицкий решил
плоскую задачу о давлении жесткого штампа на упруго-пластиче-
ское полупространство [63]. Н. Б. Баничук методом локальных ва-
риаций получил решение задачи о штампе, внедряем_6м в идеально
упруго-пластическое тело [7]. В работах [82, 89] также рассмат-
ривалась задача о давлении жесткого штампа в идеальную упруго-
пластическую среду. Решение в [89] получено релаксационным
методом, а в [82] применялся метод, конечных элементов. В рабо-
тах [23, 83] были численно решены упруго-пластические задачи
для щели. В. Л. Фомин [64],' В. М. Мирсалимов [30] рассмотрели
упруго-пластическую задачу с учетом стационарного температур-
ного поля для плоскости с круговым отверстием, когда в пластиче-
ской зоне бигармоническое напряженное состояние, а на бесконеч-
ности действуют постоянные напряжения.
Учету анизотропии и неоднородности материала в плоской уп-
руго-пластической задаче посвящены- работы [1, 2, 20]. Вопрос
о существовании решения плоских упруго-пластических задач рас-
смотрен В. Н. Монаховым [40].
§ 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Пусть на неизвестном замкнутом контуре L в плоскости ком-
плексного переменного z — x + iy заданы вторые производные би-
гармонической функции, являющиеся известными функциями коор-
динат х и у. Требуется определить границу L и бигармоническую
функцию. К такой математической постановке сводится упруго-
пластическая задача для тела, находящегося в условиях плоской
деформации или плоского напряженного состояния, в том случае,
когда .пластическая зона -целиком охватывает контур тела, так как
напряжения в пластической области, как правило, определяются
непосредственно по граничным нагрузкам. К аналогичной матема-
тической задаче приводятся некоторые задачи выпучивания плас-
тин и разрушения материалов. В случае, когда заданные гранич-
ные функции являются -соответствующими вторыми производными
бигармонической функции, задача может быть решена методом
Л. А. Галина [12].
Рассмотрим методы решения некоторого класса указанных за-
дач, в котором граничные функции могут и не удовлетворять пос-
леднему условию [5, 67].
1. Постановка задачи. Пусть плоскость с отверстием, ограни-
ченным -достаточно гладким контуром *у, находится под действием
касательных и нормальных усилий, приложенных к контуру у. На
бесконечности действуют напряжения, являющиеся полиномиаль-
ными функциями декартовых координат х и у. Выберем начало
координат внутри отверстия. Считаем все отверстие целиком охва-
111

чеввым пластической зоной. Предположим, что напряжения'в плас-
тической области определяются только формой контура отверстия
и граничной нагрузкой и не зависят от напряженного состояния
в упругой области. В упругой области компоненты тензора напря-
жений оа, с„, Тзд определяются по формулам Колосова — Мусхелиш-
вили D.1.9) через функции ФЫ и 44z). Здесь ФЫ и 44z) — ана-
литические функции переменного z = x + iy, которые в бесконечно
удаленной точке ведут себя следующим образом:
ФЫ = Ф0Ы + Oiz-1), W(z) = Y.W + Oiz-1),
D.2.1)
*Р0Ы = e0 + etz +... + enzn.
где d, di — известные постоянные.
Используя непрерывность напряжений на неизвестном конту-
ре L, разделяющем упругую и пластическую области, и формулы
Колосова — Мусхелишвили D.1.9), получаем следующую граничную
задачу для внешности контура:
ФЫ + ФЫ = Их, у) на L,
D.2.2)
гФ'Ы + ЧЧг^/и, у) на Ъ.
Здесь функции Ых, у) и f(x, у) определены и непрерывно диффе-
ренцируемы в бесконечной области, ограниченной ¦у. Эти функции
известны из решения соответствующей задачи теории пластичности
(первая из них действительна, вторая — комплексна).
Таким образом, требуется найти контур L и функции ФЫ и
ЧЧг) на основании краевых условий D.2.1) и D.2.2).
Совершенно аналогично ставится внутренняя плоская упруго-
пластическая задача, когда упругая область занимает внутренность
контура (при этом потребность в условии D.2.1), естественно, от-
падает). Везде в дальнейшем для краткости будем рассматривать
только внешнюю упруго-пластическую задачу.
При решении упруго-пластических задач примем обычные
предположения [12]:
1) каждая характеристика, исходящая из контура ¦у, пересе-
кает неизвестный контур L в одной точке;
2) при нагружении контуры раздела упругой и пластической
зон последовательно охватывают друг друга.
2. Метод функциональных уравнений [67]. Перейдем на пара-
метрическую плоскость комплексного переменного ? при помощи
преобразования z = <o(?). Аналитическая функция ait,) конформно
отображает внешность К" единичного круга плоскости ? на внеш-
ность неизвестного контура L в плоскости z с соответствием бес-
конечно удаленных точек <о(°°) = °°; она должна быть определена
в процессе решения задачи. Положим
112

F [со @, со (О] = /[!(© @ + со @), ^. (со © - to (?))], D.2.3)
я[ш(о,5«)] = hJ1 (оо + iolT)), А.(ио_5Ю)j.
В принятых обозначениях из граничного условия D.2.2) полу-
чаем на плоскости ? следующую краевую задачу для определения
трех аналитических функций <р(?), if(?) и со(?):
на С:|?|-=1,
D.2.4)
Штрих означает дифференцирование по ?. В бесконечно удаленной
точке на основании D.2.1) функции <р(?)| ф(?) и со(?) ведут себя
следующим образом:
iV + 0^-l)=0(tr), e)(t) = OCt),
D.2.5)
(t) + O(t^) = O(t").
Рассмотрим второе краевое условие D.2.4). Оно представляет
некоторое конечное уравнение относительно ю(?).
Предложение* 1. Пусть второе краевое условие D.2.4) раз-
решимо, относительно
шE)«=Г[ш(С), ф@, q>*(C)/ce*CC>] D.2.6)
и функция
(О Г[(О (?) '(С)/'(О1 D.2.7)
является аналитической во внешности единичного круга |?| > 1, за
исключением, быть может, конечного числа изолированных особых
точек однозначного характера. Тогда краевая задача D.2.4) реша-
ется в замкнутом виде.
Действительно, пусть при l?l -¦¦ °° функции ю(?) и /(?) имеют
вид
21Г
ft=0
D.2.8)
Здесь Хо(?) — функция, аналитическая в плоскости ?, за исключе-
нием особых точек функции %{.%,), в которых она имеет особенности,
совпадающне с особенностями функции %(?); считаем, что функция
ЭСо(?) известна с точностью, быть может, до неопределенных посто-
янных. Решение краевой задачи D.2.6), очевидно, запишется
в форме _ _
D.2.9)
с/? + ВД) + Х,(?>.
8 Б. Д. Аиижн, Г, П. Черепанов ИЗ

Здесь.Рт(?) — полином \-& степени-с неопределенными пока коэф-
фициентами. После этого функция ф(?) находится из решения за-
дачи Дирихле D.2.4). ¦ Неизвестные постоянные определяются из
конечных уравнений, полученных разложением найденных функций
<р(?), я|)(?) и ю(?) в окрестности особых точек функции %(?,) и на
бесконечности, и использованием равенства D.2.7).
В указанном только что предположении условие аналитично-
сти функции х(?) во внешности единичного круга является апосте-
риорным. Укажем прием, который удобно использовать при прак-
тическом применении упомянутого предложения. Рассмотрим функ-
циональное уравнение (|?| > 1)
j [(|] D.2.10)
Функция шA/?), очевидно, аналитична внутри единичного круга
}?| < 1, за исключением начала координат, в котором она имеет.
полюс первого порядка.
Предложение 2. Пусть функция ю(?) является аналити-
ческой во всей плоскости ?, за исключением бесконечно удаленной
точки, в которой она имеет полюс первого порядка, и, может быть,
конечного числа изолированных точек однозначного характера, рас-
положенных внутри. единичного круга |?| < 1. Тогда второе крае-
вое условие D.2.4) допускает аналитическое продолжение во внеш-
ность единичного круга I ? I < 1 при помощи' функционального урав-
нения D.2.10).-
Действительно, в названных предположениях функция ю(?) мо-
жет быть записана в форме D.2.9). В частности, как это показано
в рассматриваемых ниже примерах, функция ХоС?) может быть
тождественно равной нулю. Тогда, очевидно,
D.2.11)
и левая часть функционального уравнения D.2.10) является анали-
тической во внешности единичного круга функцией, за исключени-
ем бесконечно удаленной точки и, быть может, конечного числа
особых точек однозначного характера. Правая часть функциональ-
ного уравнения D.2.10) — функция F[(o(?;), юA/?;)] — также долж-
на быть аналитической во внешности единичного круга, за исклю-
чением бесконечно удаленной точки и, быть может, конечного
числа особых точек, особенности в которых совпадают с соответ-
ствующими особенностями левой части. При этом второе' краевое
условие D.2.4) будет, очевидно, удовлетворено.
Таким образом, необходимым признаком того, что функция
<о(?) имеет вид D.2.9), является аналитичность правой части функ-
ционального уравнения D.2.10) во внешности единичного круга за
исключением конечного числа особых точек однозначного харак-
тера. Этот признак будет и достаточным, если особенности-правой
и левой частей функционального уравнения D.2*10) можно выби-
рать так, чтобы они совпадали. Указанный признак позволяет
иногда весьма просто находить замкнутые решения краевой задачи.
«14 ¦ . ,

D.2.10) и в том случае, когда неизвестно, аналитична ли функция
Лсо(?), .<оA/?I при |?|>1. Для этого следует формально_под-
ставить выражения D.2.9) и D.2.11) для функций <о(?) и <оA/?)
в функциональное уравнение D.2.10), потребовать аналитичности
функции jF[<o(?), <йA/?)] почти всюду в |?| >1 и приравнять осо-
бенности левой и правой частей функционального уравнения
D.2.10).
Бели некоторым выбором неопределенных коэффициентов и
функций этим условиям можно удовлетворять, то существование
решения D.2.9) установлено.
Высказанные соображения справедливы не только для второго
краевого условия D.2.4), но и для краевого условия более общего
вида.
Пусть на контуре единичного круга l?l = l задано граничное
условие вида
g[(o(&), ш(О, о,(О, ..., 0,FI=0. D.2.12)
Здесь ю(?) — функция, аналитическая во внешности единичного
круга, за исключением, быть мржет, бесконечно удаленной точки,
в которой она может иметь полюс; a,@i ..., а„(?;) — некоторые
функции (часть или дайке все аД?) могут быть неизвестными зара-
нее); g — некоторая заданная функция своих переменных. Рассмот-^
рим функциональное уравнение
g[<o(?),-шA/О, а,(О, ..., 0.@1-=0. D.2.13)
Выясним, в какой мере и при каких условиях функциональное
уравнение D.2.13) может заменить исходное граничное условие
D.2.12). Имеет место следующая теорема [68].
Теорема 1. Пусть коэффициенты задачи аД?) и функция
<»(?;) представляют собой функции, аналитические в полной плос-
кости t, за исключением конечного числа изолированных особых
точек, а #(<о, щ аи ..., а^) — аналитическая функция всех своих
аргументов, за исключением конечного числа изолированных осо-
бых точек.. Тогда: 1) функциональное уравнение D.2.13) справед-
ливо в расширенной плоскости ?; 2) всякое решение функциональ-
ного уравнения D.2.13) в указанном классе функций удовлетворяет
граничному условию D.2.12) и наоборот.
Теорему нетрудно доказать, используя аналитическое продол-
жение и теорему единственности аналитических функций. Нетруд-
но обобщить ее также для класса функций, естественная граница
которых отлична от выколотых точек и является некоторой об-
ластью. Аналогичная теорема справедлива для системы граничных
условий и нескольких искомых функций.
Для решения функционального уравнения естественно разло-
жить все аналитические функции в ряды в окрестности некоторой
точки и" свести задачу к решению получающейся бесконечной си-
стемы уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В ряде
8* 115

случаев бесконечная система вырождается в конечную, и тогда
шение исходной задачи удается получить в замкнутом виде. ¦. ;
Некоторые конкретные примеры решения различных функцио-,
нальных уравнений типа D.2.12) приведены ниже в этой главе,
а также в гл. V. ¦&
3. Пнтегродифференциальное уравнение для граничных значе-
ний отображающей функции [5]. л
а) Изложим другой путь решения краевой задачи D.2.4). Бу-
дем считать, что в D.2.1) *
• dft==^, = 0, Л = 0, 1, ..., т, -
D2.14*
1 = 0, 1, ..., п. |
Это предположение не уменьшает общности. В случае его невы:
лолнения следует рассмотреть функции " 4
для которых уже выполняется условие D.2.14). При этом для он*
ределения функций Ф*(г) и Чг*(г) будем иметь задачу типа D.2.2
¦с несколько измененными функциями h(x, у) и fix, у). Если гда»
ный вектор усилий, приложенных к L, равен нулю, то с учето
D.2.14) в окрестности бесконечно удаленной точки плоскости \
имеют место представления ?
аЛ3 + ..., 1
D.2.1&
(о(^) = с% + с„ + сЛ1 + сЛ* + ..., с>0. ж
Применяя формулу Шварца для внешности круга, из первого у':
ловия D.2.4) находим
с ¦?
t, s R-, х s С, т = exp (ffi), 0 < 6 < 2п. ¦¦> i
Здесь и в дальнейшем при интегрировании контур С обходится т*
что область Кг: \%\ > 1 остается справа. ^
По теореме о 'среднем для гармонической функции Re
имеем
116 *\

В силу D.2.15) коэффициент при ?-1 в разложении <р(?) в" окрест-
ности точки ? = °о равен нулю, поэтому
f H (со (т), с7(т)) йт = 0. D.2.18)
с
Из D.2.16) находим
= -г ехр (-
|i (т) = А (со (т), (о (т))«' (т) - -г-М (о (ту, о (т)) ©' (т),
+"©Тй)/2, (©(т) -"©Тт))/Bй]
Переходя к пределу ^теС, получим
D-2'19)
В силу D.2.15) коэффициенты при ?-*, ^~2 в разложении ф'(?) в
окрестности % — °о равны нулю, поэтому
J р (t) <ft = 0, - Г р (f) л** = 0. D.2.20)
с с
Переходя во втором равенстве D.2.20) к сопряженному значению
и учитывая, что выражение nU)dt действительно, получим
f Ш at = 0. D.2.21)
с
Перепишем второе условие. D.2.4) в виде
), ©(т))©'(т). D.2.22)
Функция i|)(?)g)'(?) аналитическая в К", следовательно,
Функция ©(?) аналитическая в К~, за исключением точки t, = °°,
в которой она имеет полюс первого порядка с главной частью
с% + с0. Поэтому для любых теС выполняется условие
f Hi! dt = ntofr) - 2сшт. D.2.24)
с
117'

Подставляя D.2.22) в D.2.23) с учетом D.2.19), D.2.24) и приме-
няя формулу Пуанкаре — Бертрана, получим сингулярное интегро-
дифференциальное уравнение для граничных значений отобража-
ющей функции
D.2.25)
F+ (т) -1F(со(т), 5(i))со' (т) + 4*
4* $
с
t, т е= С, t = exp Uo), 0 < о =? 2п.
В работе Н. И. Остросйблина [47] для отображающей функции
со(?) получено функциональное уравнение, эквивалентное уравне-
нию D.2.25), в виде •
ШТ) 7=1
с
+ 5 ({) ^f^flf»^ = 0, | Ц < 1. . D.2.26) ,
с
Если в этом уравнении перейти к пределу при ?-*-теС, то полу- i
чим уравнение D.2.25). Уравнение D.2.26) иногда оказывается бо- .$
лее удобным для определения функции со(?). j
Пусть со* (t) — решение уравнения D.2.25) при условиях '¦¦
D.2.17), D.2.18), D.2.20), D.2.24) и пусть функция i
с
где с0 — постоянная, отображает взаимно однозначно и конформно
К~ на некоторую бесконечную область D с границей L, охватыва-
ющей кривую--/. Тогда, используя D.2.15), D.2.16), D.2.22), опре-
деляем аналитические в К~ фуцкции <р(Р и (?)
К
] *
J
с
С ш« (о фу
с
которые вместе с со* (?) и дают решение задачи D.2.4I'. Если кря-
') При этом предполагается, что коэффициент при g~' в разложения
ij>(?) в окрестности точки ? = оо равен нулю.
118

вая L симметрична относительно осей х и у, то можно положить
с0 - 0.
Иногда удается найти точное решение уравнения D.2.25).
Пусть, например,
Жи(т), Ж)) .= М1п Ыт)Ж)) + 1] - 2d0,
^ ^ е0, D.2.28)
d0 — do, е„ = ёо.
Это .имеет место в задаче Галина, подробно рассматриваемой ниже.
В этом случае
и интегральное уравнение D.2.25) имеет вид
/> /• 4 С
J —т
С
На основании равенств типа D.2.24), справедливых для функций
<!)'(?)?2 — с?2 и ^2о)'(^)/ю(^) — ?, равных нулю на бесконечности; из
D.2.29) следует . • •
с). D.2.30)
Здесь постоянная с0 равна нулю. Из D.2.17У определяется посто-
янная с.
' • ¦ с = /?ехр(бУ/с-1/2). .D.2.31)
Таким образом,
()
а функция ф(^) и я|з(?) определяются из равенстЁ D.2.27).
б) Рассмотрим случай рациональной отображающей функции.
Пусть существует такое решение краевой задачи D.2.4), что ш(?)
имеет вид
() ()/AV, D.2.32)
где PAV =Ро + р& + ...+ Prf, Pr^O, Q.LV = qo+q& + ... + fl.f,
д6 Ф 0,— взаимно простые полиномы относительно ?, причем г < s
и нули полинома (?,(?) расположены внутри единичной окружно-
сти — области К+. Найдем необходимые условия представимости
to(?) в виде D.2.32). Подставляя D.2.32) в D.2.25), будем иметь
Ci/jx), 1т1 = 1, D.2.33)
где Гст(?) — полином степени m г? s — 1, коэффициенты которого за-
висят от Со, с и коэффициентов полиномов РЛ%), @«(?).. Равенство
D.2.33) означает, что
о' (т) F (о (т), ^(т")) = N; (тГ+ Гт (г) т/Шл, D.2.34)
где JVJ (т)— граничное значение ..на С аналитической в К~ функ-
119

ции iV*(g), обращающейся на бесконечности в ноль. Иэ D.2.34)
следует необходимое условие рациональности ш(?):
5 т), D.2.35)
где N~(r), T~(r) — граничные значения на С аналитических в К~
функций, N(°°) = const, T(.oo) = const.
Если предположить, что ш(?) аналитична в К~ + С, т. е. L —
аналитическая кривая, то условие D.2.35) будет и достаточным
условием рациональности <о(?). В этом случае в К~ + С будет
иметь место функциональное уравнение
'(У - П%)\ + mi) - Mt) = 0. D.2.36)
Необходимое условие рациональности D.2.35) будет, в частности,
выполнено, если функция напряжений в пластической области
удовлетворяет бигармоническому уравнению. Это эквивалентно то-
му, что имеет решение следующая переопределенная система:
^^ ^ -^=0, D.2.37)
ду ' х '
^ = 0, -^ + ^=0, D.2.37) j
ду дх ' ду ' х ' I
D.2.38) \
О, D.2.39) j
дх2. ^ ду2
где /* = 0 — условие пластичности.
Поскольку напряжения в пластической области удовлетворяют
уравнениям равновесия и условию пластичности, то при рассмот-
рении конкретных решений в проверке нуждается лишь последнее
уравнение D.2.39). Рассмотрим примеры (см. [1] к гл. I).
1°. В случае условия пластичности —
1/. * xu |
система D.2.37)—D.2.39) имеет только решение вида :
0« = o-A;cos2G*, av = a + к cos 26^, тзд = Л sin 28*, ;
e* = -arctg[(j/-6)/(a; — a)] + m, '-,
где а, Ь, тп, п — произвольные постоянные. Это решение использу-
ется ниже. '
2°. Рассмотрим осесимметричное решение в пластической 80-
не вблизи кругового отверстия радиуса R при выполнении экспо-
невциального условия текучести
/* = (a,, - oxf + 4-4 - 4Л2 [1 - ехр (- ао/к + (ох + оу)/2к)? = 0,
где Со. А; — постоянные. Оно имеет вид
Ов = Ов - ЗЛ - 2Л In (dr/Д) + AflViPeV, D.2.40)
120

Здесь г, 0 — полярные координаты, г > R, 0 =? 0 < 2п, d — корень
уравнения-
-р/к + aj к = 1 + 21n d + е~Ч~г, d>e~\
е —основание натуральных логарифмов, р — постоянная. Как не-
трудно видеть, выражение
Ох + о» = ат + Ов = 2ов - 2к — 4fc In idr/Ю
удовлетворяет уравнению Лапласа. Поэтому напряжения, опреде-
ленные равенствами D.2.40), удовлетворяют уранению D.2.39) и,
следовательно, выполняется необходимое условие рациональности
D.2.35).
3°. Рассмотрим задачу о пластическом состоянии в пластинке
с отверстием, ограниченным гладким выпуклым контуром Г
(рис. 3.1), на котором нормальное и касательное напряжение равны
нулю. Будем считать справедливым условие пластичности Треска — .
Сен-Венана
/* = (°V ~ °xY + telv - 4 (<т8 -1 ах + а„ |/2J = 0, <уг„ > х%ю D.2.41)
где ст. — предел текучести при чистом растяжении. Зададим урав-
нение Г в виде C.2.1) и введем ортогональную систему координат
К, р, связанную, с х, у формулами
У = ЩР- sin Р - (М ф) + %) cos p,
я/2 =S р <5я/2; 0<Х <°°.
Здесь Д/.(р) — опорная функция контура Г, К — расстояние точки
( ) Г
р р
(а:, у) по нормали к Г.
Решая уравнения равновесия D.2.37) и условие пластичности
D.2.41), записанные в координатах К, Р, и учитывая отсутствие
внешних напряжений на Г, находим
D.2.42)
оР = о», т« = 0, р@) = Л/(§) + tfMty/dp.
Здесь р(>р) — радиус кривизны Г как функция §; о\, Ор, т»,» — ком-
поненты тензора напряжений в системе К, р. Подставляя выра-
женив
ax + ay = ox + ct = а.[2 - р(р)ДрСр) + Я,)]
в уравнение Лапласа, записанное в системе X, {3, убеждаемся, что
оно выполнимо лишь при pdp) = 0.
Таким образом, функция напряжений в пластической области
в рассматриваемом случае не будет бигармонической, однако необ-
ходимое условие рациональности может быть выполнено.
Пусть, например, Г —окружность радиуса R, тогда Р = в,+ <р/2,
p(p)=i?, R + K = r, где г, 0 —полярная система координат. Из
D.2.42) следует
о, = 0.A — RJr), Oe = о., т,е = 0.
121

В этом случае
Ж(о(т),
- е„.
Если со(т) — ст•+ dT + с»т, Ci==4c3c, то F((o(t), о(т)] будет |
граничным значением на С аналитической в К~ функции, обраща- |
ющейся в постоянную на бесконечности. В области К~ имеет место
функциональное уравнение D.2.36). Полное решение этой упруго-
пластической задачи дано в гл. V.
§ 3. ЗАДАЧА ГАЛИНА
Пусть бесконечное тело, находящееся в условиях плоской де-
формации, с круговым отверстием радиуса R растягивается на бе<>
конечности постоянными напряжениями
Ох =
i — От, , Та-
. _ ^ , = 0. D.3.1)
К контуру отверстия приложены постоянные внешние напряжения
ov = p, тге = т. D.3.2)
При растяжении тела в окрестности отверстия имеет место концент-
рация напряжений. При достаточно большой величине напряжений
°х°» °jT возникают пластические обла-
сти. Примем, что пластическая зона
целиком охватывает круговое отверстие
(рис. 4.1). В этом случае напряжения
в пластической области определяются
непосредственно по граничным услови-
ям, уравнениям равновесия и условию
пластичности.
Напряжения в пластической обла-
сти при условии пластичности Треска —
Сен-Венана выражаются формулами
[39]
о, = eM21n Wr*-A + 1/7TA) -
- пнищ
Рис. 4.1.
еШ1п ХУТ^А +
+ г-2Ут*-А2] + Вк,
.xRVk,
D.3.3)
В = р/к - е!2 In (УД2 + А + УД2 - А) - Д-2УД4 - АЧ. .
Здесь г, в — полярные координаты, к — константа пластичности,
в-±1.
На основании соотношений D.1.9) и формул D.3.3) граничные
условия на неизвестном контуре L, разделяющем упругую и пласти-
ческую области, представим так:
4Re Ф(г) — 4в /сIn (Уг2 — А + Уг2 + А) + 2Вк на L,
122

(z) +.W (г) = №- Vr* - А* + iA -L\ ё~т на L,
при
Решение краевой задачи. Перейдем на параметрическую
плоскость комплексного переменного % при помощи преобразования
z = <о(?). Аналитическая функция ш(?) конформно отображает
внешность единичного круга плоскости ? на внешность неизвестно-
го контура плоскости г с соответствием бесконечно удаленных точек
<о(°о) =з оо; она должна быть определена в процессе решения задачи.
Положим .
В принятых обозначениях из граничного условия на L получаем
на плоскости ? следующую краевую задачу для определения трех.
аналитических функций q>(?), 1?(?) и ш(?):
Ф @ + Ф~Щ = Вк + 2гк In [
D,3.4)
при 1^1 -*- °°
Рассмотрим в расширенной плоскости ^ функциональное урав-
нение
Ищем решение функционального уравнения D.3.5) в виде
D.3.6)
Здесь PV(V — полином v-й степени с неопределенными пока коэф-
фициентами. Подставляя выражение D.3.6) в функциональное урав-
нение <4.3.5) и раскладывая все функции в ряд в окрестности бес-
конечно удаленной точки, нетрудно, заметить, что v = 1, так что ес-
ли функция <о(?) имеет вид D.3.6), то она необходимо равна
i/t- D.3.7)
Здесь с, су — неопределенные постоянные (из условий симмет-
рии следует, что они действительны). Постоянные с и с4 следует
123

выбирать так, чтобы правая часть функционального уравнения
D.3.5) была аналитической функцией во внешности единичного кру-
га. Для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно потребовать,
чтобы корни уравнения
"(? + Л)Ч/1 + &)*-А*-0 D3.8)
или попарно совпадали, или были все расположены внутри единич-.
ного круга |?| < 1.
Анализ уравнения 'D.3.8) показывает, что оно имеет попарно
совпадающие корни тогда и только тогда, когда .4 = 0. Решая при
А = 0 задачу Дирихле D.3.4) для функции ф(?) и используя усло-
вия на бесконечности, получаем -
с = R ехр [(а~ + <т~ - 2р)/4е/с - 1/2 J.
Это классическое решение Л. А. Галина [12] Б. Д. Аннивым в ра-
боте [1] в гл. I доказана единственность этого решения в гёльде-
ровских классах функций q>(?), ip(?), «>(?).
Граница между упругой и пластической областью будет эл-
липсом
где р = (а~ - о%)/2ке, е - ± 1.
В частном случае, когда о"~ = а%, границей между упругой и пла-
стической областью будет круг радиуса
с - Л ехр ((сх~ - р - ек)/2ек). D.3.И)
Напряжения и смещения в упругой области определяются по фор-
мулам D.1.9), а напряжения в пластической области — по форму-
лам D.3.3).
Можно показать, что при А Ф 0 всегда существует корень урав-
нения (D.3.8), расположенный вне единичного круга, так что в этом
случае условию аналитичности правой части функционального урав-
нения D.3.5) нельзя удовлетворить функцией ю(?) вида D.3.7).
Рассмотрим пределы применения полученного решения. Реше-
ние, задачи справедливо только для путей нагружения, при кото-
рых контуры раздела упругой и пластической областей последова-
тельно охватывают один другой или, по крайней мере, соприкаса-
ются иа некоторых участках. Припишем величинам в предыдущий
момент нагружения индекс 1, в последующий — индекс 2. Тогда
с,A + р1)>с1A + р1), cU-fc^cU-p,). D.3.12)
124

Неравенства D.3.12) и соотношения для сир определяют искомые
пределы изменения усилий о?\ а", р. Существенно, чтобы пласти-
ческая область охватывала окружность г = R. Для этого необходи-
мо,, чтобы было выполнено условие
Для справедливости полученного решения необходимо, чтобы
любая точка в пластической области могла быть соединена с кон-
туром отверстия двумя линиями скольжения, целиком расположен-
ными внутри пластической зоны. Это будет иметь место при выпол-
нении неравенства [12]2)
|р|< 0,171. D.3.14)
При определении смещений в пластической области воспользу-
емся ассоциированным законом пластического течения D.1.7) я
условием, пластичности Треска — Сен-Венана A.3.11). В рассматри-
ваемом случае
d$ = %, <feg = — X, dy% = 0. D.3,15).
Для отыскания смещений в пластической области получим систе-
му уравнений
е, + вв=О, 7гв = 0, D3.16)
или в компонентах вектора смещений в полярной системе координат
дит , "г , 1 дЧ _ п
"F1" г +г йв ~U'
дг г ~Т" г дв
Можно показать, что система уравнений D.3.17) гиперболиче-
ского типа. Уравнения D.3.17) могут быть решены численно. Эта
система уравнений была решена Д. Д. Ивлевым [17] методом ма-
лого параметра, позволяющим получить для смещений приближен-
ные аналитические выражения
7
. + P3 f4 cos 2G - 2 f 4 - 4) cos 6в] + ..., D.3.18)
Lp \p p / J
= 2pfp+4)sin 2e+2P2 (—V + 4-)sin4e +
2> В работе Н. И. Остросаблина [45] указано, что |0| < V2— \.
125

+ [cos ( /35 In p) - -||- sin ( /35 In p)j cos 6el + ...,
D.3.19)
^i = 20 ]2 cos ( /3 In p) - ^ sin ( /3 In p)J sin2G| +
- Э3 [f 2 cos ( /3 In p) + 2 /3sin( /3 In p)] sin 26
+
Здесь индекс е относится к упругой области, а индекс р — к пласти-
ческой области, р — г/с.
'Приведенные приближения показывают, что при двуосйом рас-
тяжепии контур отверстия увеличивается, приобретая нейоторую
вытянутость в направлении большей из действующих сил.
Другое приближенное решение для смещений получено в рабо^-
те Ф. М. Эрлихмана [74].
Точные формулы для смещений в пластической зоне для задачи
Галина с учетом сжимаемости материала на основе теории Хаара —
Кармана получены Н. И. Остросаблиным [45]:
(х
j
+./ol^(e)][g'(e) + /(e)-^(e)-^]}de, D.3.20)
)] + i\{g (e) /,* [^ (e)] •
. [in ?j®. - (e - e0) ?Щ + h [Me)l [/' №)-
здесь штрих означает производную по 6, х = 3 — 4v,
р = г/Re, с = ехр [- V, A + р/к -. (с? + <С
рF) ==A —«
126

= (i-P2)/p(e)-V2P(e),
g (в)-= Р F) [arctg [^gg] + -Jbf sin 2в].
у) — функция Бесселя нулевого порядка
1 d/
X "Ж"' a ®*' ^2 0ПРеДеляются из уравнений
Приведенные формулы определяют смещения.в точке р0, 60, если
пластическая зона полностью охватывает отверстие и характеристи-
ки пересекают границу L в одной точке, т. е. если выполнены нера-
венства —
|р1<Г2"-1. D.3.21)
Решение" системы D.3.17), удовлетворяющее условиям непрерыв-
ности смещений на упруго-пластической границе L, получается
из приведенных формул при v = 1/2.
Область параметров D.3.21), при которых существует решение
D.3.20), показана на рис. 4.2 (заштрихована).
Заметим в заключение, что задача Галина имеет интересную
механическую аналогию с задачей об изгибе пластины [13]. Эта
аналогия приводит к ряду вариационных постановок, эквивалентных
вариационному неравенству3'.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ ГАЛИНА
Рассмотренная в предыдущем параграфе задача об упруго-
пластическом деформировании плоскости с круговым отверстием
постоянными усилиями на бесконечности обобщалась в разных на-
правлениях — рассматривались другие условия пластичности, поли-
номиальные условия на бесконечности и системы отверстий. В этом
параграфе приводятся некоторые из таких обобщений.
1. Пусть бесконечное тело с круговым отверстием радиуса Я,
находящееся в условиях плоской деформации, подвергается на бес-
конечности постоянным напряжениям D.3.1), а к контуру отвер-
стия приложены постоянные напряжения D.3.2), причем т = 0
3> См.: [4, 20, 27] к гл. III.
Ш

-Z
Рис. 4.2.
Рис. 4.3.
(рис. 4.1). Пусть в возникшей вокруг отверстия пластической зон©
выполняется экспоненциальное условие пластичности
- ехр (-¦?- +
введенное Б. Д. Лнниным в работе [4]. Здесь к, о0 — положитель*?
ные постоянные, имеющие размерность напряжения. Уравнением
предельной кривой на плоскости Мора о„т„ для условия D.4.1) име-
ет вид
о„ — о0 = kiln sin t + A — sin t) sin Й,
|т.1 =>Ш-sini)cost, Q<t<nJ2.
На рис. 4.3 изображена эта кривая при /с=70,4 кг/см2, ао=3,2 кг/см2
и экспериментальные предельные точки для угля. Предполагая
—оо < р < (То, рассмотрим два возможных случая.
1°. Во всей пластической области ог — ов 3* О [4J. Используя
D.1.2), D.4.1), D.3.1) и D.3.2), найдем, что напряжения в пластИ'
ческой области определяются равенствами {4.2.40). Сумма <тг + 0*
удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно, выполнено необ-
ходимое условие рациональности отображающей функции (см. § 2):
Приведем окончательный результат. Отображающая функция име*
ет вид
с —
.D.4.2)
Упруго-пластическая граница — эллипс
'«¦о-1 + »2Ь~2 = 1, а = сA - р), Ь = сA +
Напряжения в упругой области равны
•г .
'.is
а у — ах -f 2ir = >
2/с
[J
— т +
= о? + оГ + 4* Re [in A/2 + |/1/4 + РА)],
128

Условие того, чтобы окружность r = R лежала внутри эллипса, на-
кладывает следующее ограничение на напряжения ст~, а^°, р:
Кроме того,
2<т0.
Наконец, еще одно ограничение на параметры -задачи о?\ о^, р
следует из того, что любая точка в пластической области должна
быть соединена с контуром отверстия двумя характеристиками си-
стемы D.1.2) D.4.1), целиком расположенными внутри пластической
зоны.
2° Во всей пластической области <гг — ое < 0 [46]. Используя
D.1.2), D.4.1), D.3.1) и D.3.2), найдем выражение напряжений в
пластической области:
•Or = о. + к In [1 + QR2r~2 -1/A +¦ QR2r~2J - 1 +
+ QR2r-2J - 1, тгв-=0,
<тв ¦= 2а„ + 2кIn [A + QR2r2J - 1] - ov; <? ^ d-»(l - d)V2.
Здесь постоянная d — корень уравнения
Краевая задача D.2.4) для определения функций ф(?), ^(g), ait,)
имеет вид (R — 1, к = 1)
в
Если принять
(
р, D.4.3)
?/2
D.4.4)
Лв D.4.5)
и считать постоянные с, сь с3 связанными соотношением (см. [1]
к гл. I)
(с? - 4сс3) (с - с3J -2сс3(? = О,
то правая часть равенства D.4.4) будет граничным значением на
С : | g | = 1 аналитической в К~ : I ? I > 1 функции, обращающейся в
постоянную на бесконечности. Следовательно, выполнено необходи-
мое условие рациональности отображающей функции (см. § 2). Под-
9 Б. Д. Лпнин, Г, П, Черепапоп 129

1*
ставляя D.4.5) в D.4.3) и D.4.4), находим искомые функции в вида \
t2a ch gC ?\
^ D.4.6)-;
,
Здесь
H 27
Решение D.4.6) имеет смысл, когда 1о)EI^Л при l?l = 1 «;
функция w'(?) не имеет нулей для l?l ^ 1. Эти условия будут вы-~
полнены, если г
(l-«2)Shg ^уЩ, 0<l-2l«|chg-3a2.
1 - 2 \а | ch g + a2
Уравнение упруго-пластической границы L в параметрической
форме следующее:
A — a ) sh q
D.4,7)
_ 2аch q) sin t — aa sin 3tJ,
Заметим в заключение, что использование других условий те-
кучести, рассмотренных в работах [24, 41, 42, 551 приводит также
к рациональным отображающим функциям вида D.4.2), D.4.5)
2. Пусть бесконечное тело с круговым отверстием радиуса R — 1-
нагружено постоянным усилием D.3.2) с т = 0, и пусть на беско-
нечности напряжения определяются полиномиальными потенциала-.
ми Колосова — Мусхелишвили
<D0(z) = d0 + diZ + ... dnzn,
W0(z) = e0 + e& +... + emz™, \
где de, du ..., dn, e0, et, ..., em — заданные постоянные. Предполо-.;
жим, что в возникшей вокруг отверстия пластической зоне выпол-;;
няется условие пластичности Губера — Мизеса ;
(о, - охJ + 4^= 4А:2. ' D.4.8)
Решение в пластической области имеет вид D.3.3) с т = 0.
Рассмотрим функции (см. § 2)
Ф*Ы = Ф(г) - ФоЫ, W*(z) = Y(z) - 4F.U). D.4.9V
1зо ';

Краевая задача D.2.4) определения функций
щ) = чг*(<»(?)), й(?) вида D.2.5) такова (|?| = 1):
Ф (О +Ш) = Р + «Л In (о (О
- 2
(О - 2
(О, е = ± 1,
D.4.10)
В силу D.2.15) при |?| -*¦ °р имеем
«j (О =<i} + 44 +¦•¦+
D.4.11)
Коэффициенты Aq, A^ ... определяются по известным соотноше-
ниям [48] через с, си с2, ....
Пусть s = max(n— 1, т). Поделим обе части равенства D.4.11)
па ?s. Легко видеть, что выполняется условие рациональности ото-
бражающей функции D.2.35). Поэтому решение краевой задачи
D.4.10), D.4.11) можно искать в виде D.2Г32) из функционального
уравнения D.2.36). Это, однако, удобно проводить для конкретных
значений п, т ([12, 29, 56—58, 65] и [2] к гл. I). Заметим, что
в рассматриваемом случае функция w(?) определяется явно из ин-
тегро-дифференциального уравнения D.2.25). ~~^"
3. • Рассмотрим упруго-пластическое распределение напряжений
в плоскости, ослабленной двумя круговыми отверстиями [6].
Пусть бесконечное тело с двумя круговыми отверстиями оди-
накового радиуса R = 1 находящимися на расстоянии 2а (рис. 4.4),
подвергается на бесконечности постоянным напряжениям D.3.1),
а к Контуру каждого отверстия приложены постоянные напряжения
D.3.2), причем т = 0. Предположим, что в возникших вокруг отвер-
стий пластических зонах выполняется условие пластичности 44.4.8).
Рис 4.4.
9*
131

Решение в каждой пластической зоне имеет вид D.3.3) при т = О,
где г, в-1 полярные координаты с полюсом в точке О{, г—1, 2.
Обозначим: L±, L2 — компоненты упруго-пластической границы;
D~ — бесконечная двусвяЗная область, ограниченная Lt и L2;
Щ— бесконечная односвязная область, ограниченная L{, i = 1, 2.
В двусвязной области D~, ограниченной искомыми кривыми Lt и
L2, материал находится в упругом сбстоянии. Потенциалы Колосо-
ва— Мусхелишвили Ф(г), ЧЧг), определяющие это состояние, бу-
дут аналитическими функциями z в области D~. Учитывая силовую
и геометрическую симметрию относительно осей х и у, потенциалы
можно представить в виде
ФЫ = а0 + Ф,Ы + Ф2Ы, W(z) = р„ + W,(z) + ^2(г),
оо
Фх (z) = 2 ak {z - а)-\ Ф2 (z) = Фх (- z),
^i W = 2 Р, (^ - «Г\ ?2 (z) = ?х (- z), D.4.12)
fti
ImaA —ImpA = 0, к —0, 1,...,
) при |fj->oo.
Кривая L2 получается отражением Li относительно оси у; кривые
Z/i и Ьг симметричны относительно оси х.
Положим d ¦= max {{x — аJ + у*} 12. Допустим, что d/a<l, и"
будем решать задачу приближенно, считая, что выполняются соотно-
шения:
Ф2 (z) =2 Л, (z - a)m, ?2 (z) = 2 ^m (z - а)т на Lt,
<ЭД= 2 ^ (- 1)" (* + «Г, -Y, (z) = 2 «т (- 1)т (^ + «)т на Lv
D.4.13)
Здесь п считается фиксированным. Пусть функция
z-a = w(^) = eg + со + сД + c2/g2 +..., с > 0, D.4.14)
отображает конформно внешность единичного круга К~: |?|>1 на
Dr. Положим
132

^4m [со
7П=0
@) - Ро + т^- + 2 в™ ^ @Г- W.4.15)
т=о
Аналитические в ЛГ~ и равные нулю на бесконечности функции
() удовлетворяют на окружности С: |?| = 1 условиям
In (ю(С)©(Ё)) + е& - [/(«>(&)) + /Ш/2,
D.4.16)
Краевая задача D.4.16) решается аналогично краевой задаче D.4.10),
D.4.11). Найденные функции ф(?), *|)(?), со(?) будут зависеть от не-
известных постоянных Ат, Вт, т = 0, 1, ..., и. Нелинейная систе-
ма из 2(п+1) уравнений для их определения следуег~из равенств
D.4.13).
Решение этой системы можно искать методом малого параметра.
Считая Со = 0 и принимая за малый параметр е# = 1/2а, приведем
окончательные выражения g)(?) для случая п = 2 [43, 44] с точ-
ностью г* (б = sign^j):
z-a = ю(Б) = сЪ + 1Л + УН ~ So), lt.l < 1,
с •= ехр (-Л72 + Ао), h = -cBJAu
¦JV = - V2 ((a" + a;)//c) -
Ao = - e-NM*l, At = 2e~NMel, A2 = 0,
о = e~N A + M/2) el, Bl = - 2e~N (l + j м) е3», 52 = 0.
§ 5. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
1. Однопериодическая задача. Рассмотрим упруго-пластическую
задачу для бесконечной плоскости ху, ослабленной бесконечным ря-
дом одинаковых круговых отверстий радиуса А, < 1, центры которых
находятся в точках
т = 0, ±1, ±2, ..., <»о = 2.
К контурам отверстий Гт приложено такое нормальное давление
Р < 0, что возникшие пластические зоны полностью охватывают от-
133

верстия, но не сливаются между собой. Считаем, что в пластиче-
ском состоянии выполняется условие пластичности Треска — Сен-
Венана. На бесконечности напряжения предполагаются равными
нулю.
В силу геометрической- и силовой симметрии упруго-пластиче-
ские границы Lm конгруэнтны. Обозначим через D\ внешность кон-
туров Lm. Граничные условия на неизвестном контуре Lo имеют вид
ReG)(z) = a+p)/2 + kln(\z\/M, гФ'Ы + 44z) = kz/z, z = x + iy.
D.5.1)
Перейдем на параметрическую плоскость комплексного переменно-
го ? при помощи преобразования z = w(?). Функция ?1=G)~4z) осу-
ществляет конформное отображение области Dz на область D^ в
плоскости- ?, являющуюся внешностью круговых отверстий 1т ра-
диуса ц с центрами в точках Рт.
Пусть
Тогда краевая задача D.5.1) на параметрической плоскости ?
для определения трех аналитических функций <р(?), *ф(?), <»(?) за-
пишется в виде
на 10. D.5.2)
Ищем решение этой краевой задачи в виде [36]
Ф (9 = «о + Zd a2fti+2 B^ + 1)! '
M(?\ -14- У A ^ V ;(D
ftl==0 (^i + 1)-
где
D.5.4)
Штрих у суммы означает, что при суммировании исключается слу-
чай 171 = 0. Из условий симметрии следует
Ьпо^+а = lm PafcjL+a = lm Afcx+a = 0, ^ = 0л 1, ...,
134

Рис. 4.5.
Из условий равенства нулю главного вектора сил; действующих на
дугу, соединяющую две конгруэнтные точки в Z)c, следует ао==
= л2р2Ц2/24. Разлагая функции <р(?), ij5(?), w(?) в ряд Лорана в ок-
рестности точки ? — 0, подставляя их в D.5.2) и сравнивая коэффи-
циенты при Re? г и Im? 1, ki = 0, +1, ..., получим бесконечную
систему нелинейных алгебраических уравнений относительно коэф-
фициентов рядов Лорана.
В первом приближении уравнение упруго-пластической грани-
цы в плоскости ху имеет вид в полярной системе
В частности, для случая К = 0,3; р/к = 2,\2 найдено [36] ц = 0,7;
d = 1,013, di = 0,326. Упруго-пластическая граница показана на
рис. 4.5, а.
2. Двоякопериодическая задача. Рассмотрим упруго-пластичес-
кую задачу для бесконечной плоскости ху, ослабленной треугольной
сеткой круговых отверстий одинакового радиуса К < 1, центры ко-
торых находятся в точках
Ртп — mai! + па2, о)! = 2, а2 = 2 exp (in/3), m, п = 0, ±1,
К контурам отверстий Г„„ придожено такое нормальное давление
р < 0, что возникшие пластические зоны полностью охватывают от-
верстия, но не сливаются между собой. Считаем, что в пластичес-
ком состоянии выполняется условие Треска — Сен-Венана. В силу
геометрической и силовой симметрии упруго-пластические границы
конгруэнтны. Граничные условия на неизвестном контуре L0B име-
ют вид D.5.1). Обозначим через D\ внешность контуров Гтп. Пе-
рейдем на параметрическую плоскость комплексного переменного 5
прп помощи преобразования z = o)(?). Функция ?'= o)~4z) осущест-
вляет конформное отображение области D\ на область Z>| в плос-
135

кости ?, являющуюся внешностью круговых отверстий 1тп радиу-
са ц с центрами в точках Ртп. Краевая задача на параметрической
плоскости ? дляч определения трех функций ¦(pit,) = Ф(со(?)), т]>(?) =
ь= Ч1" (©(?)), co(?) запишется в виде уравнений D.5.2), справедливых
на Zoo.
Решение в параметрической плоскости Е; ищем в виде [251
ф (?) = аО + 2 a2ftx+2 —
- Ro Zi !ШГЩZi xЩЩ
D.5.5)
B^+1)!
s'
Здесь $*.(?) — эллиптическая функция Вейерштрасса, (К?) — специ-
альная мероморфная функция:
*<Е> = 4 + 2' Г«=7-г.- 7^1'
Ь пг,п [Vb mn^ ^mn J
2,Г p ' p pi' D-5-6)
I "*" of mn rrm I
mn |^lb mn) fmn /"mnJ
m, n = 0, ±1, ±2,... .
Штрих у суммы означает, что исключается случай т '= и = 0-<
Из условия равенства нулю главного вектора сил, действующих на
ДУГУ> соединяющую две конгруэнтные точки в D\ следует, что
«о = 3~1/2зтр2М-г; Ро = ~1/Зла2ц2/6. Условия симметрии приводят к ра-
венствам «eftj+г = Peft1T2 = ¦^eft1+2=0. Разлагая функции <рE), ч$>(?),
(о(^) в ряды Лорана в окрестности точки ?|==0, подставляя их в
D.5.2) и сравнивая коэффициенты при Re? х и Im? x,/c1if=O, ±1,...,
получим бесконечную систему нелинейных алгебраических уравне-
ний относительно коэффициентов рядов Лорана.
В первом приближении упруго-пластическая граница в плоско-
ети ху имеет вид в полярной системе г— yi(d + dt cos68I/2. В частно-
сти, для случая Я = 0,3; р/к — 2,24 найдено [25]: |Г=0,7; d = 0,998;
di = 0,090. Упруго-пластическая граница показана на рис. 4.5,' б.
§ 6. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
Весьма полезен при решении упруго-пластических задач метод
малого параметра, позволяющий находить решение, близкое к уже
известному точному; возмущению можно подвергать как форму те-
ла, так и граничные условия. Этот метод и основанные на нем ре-
136

зультаты в применении к плоским и пространственным упруго-пла-
стическим задачам достаточно полно изложены в книге Д. Д. Ив-
лева и Л. В. Ершова [7] к гл. I.
Рассмотрим отличное от схемы Ивлева ¦— Ершова применение
метода малого параметра к задаче о всестороннем растяжении уси-
лием р°° > 0 плоскости ху, ослабленной .отверстием — односвязной
областью, ограниченной выпуклой кривой f > имеющей непрерывную
кривизну и близкую к окружности. На границе отверстия нормаль-
ное напряжение равно р < 0, а касательное — нулю.
Уравнение f имеет вид C.2.1), причем
М ф) = R A + е т ф)), я/2 < р < 5/-2зт,
оо
т ф) = 2 Ъп cos (np i- an), • D.6.1)
7i=2
где е — малый параметр, е < 1, ап, Ъп — постоянные, т(р)— перио-
дическая с периодом 2зг и непрерывная функция, тЫ/2) = тEя/2).
Радиус кривизны этого контура, равный
D.6.2)
мало отличается от постоянной "R, контур i близок к окружности.
Например, для эллипса с полуосями Ш1 + е) и i?(l — e) будет
Д/(р) =i?(l + е cos2p). Считаем, что пластическая зона целиком ох-
ватывает отверстие. Компоненты тензора напряжений в пластиче-
ской области определяются равенствами 4)
о* = к + р + 2к% + к cos 2X,
ay = k + p + 2kx-kcos2K, D.6.3)
txy =k sin 2K,
где параметры %, % выражаются через х, у из уравнений
— X (х Д) sin К Н- Y (х Д) cos К = х
D.6.4)
М = Хв + еХ„ У(х, М = Yc + еУ„
С1 = — R 2j ribn sin (iVx — in) cos (nX
D.6.5)
' ^J nbn cos (-A'x) sin f
71=2
/„ = arcsin A/tt), N = (n2 — 1I/2.
Это точное решение уравнений теории пластичности. Будем ис-
кать функции x^j У\ Мх, у), удовлетворяющие системе D.6.4),
в виде
D.6.6)
4> См. монографию В. В. Соколовского [27] к гл. I.
137

Пусть г, 8 — полярные координаты в плоскости х, у; из D.6.4) сле-
дует
г2 = X2 + F2, X cos (Я - 8) + У sin (Я - 8) = 0. D.6.7)
Отсюда с учетом D.6.5) и D.6.6) находим
Ко<= In (r/R), V= 6 + я/2, •;
¦>- оо
ТУ г^
Xi = Xi (Г> е) = — 2j пЪп sin ^о — /n) cos (пК0 + а„),
D.6.8) !
^1 = ^1 (г, 6) = - 2j nfcn cos (%) sin (»^o -r «n). :
"=2 . \
Таким образом, в пластической зоне выполняются соотношения ',
р) + 4к In (г/Л) + 4ЛеХ1 (г, в) + О (е2),
< - о% + 2iily = 2к ехр (- 20г) A - 2&%г (г, 8) + О (ег). D.6.9)
Отображая конформно внешность единичного круга Кг : |?| > 1 па
упругую область посредством функции - '¦'•
получим для потенциалов Колосова — Мусхелишвили и функции .¦?
©(?) краевую задачу" ;
^ = к + р + 2к In MR) + 2ke%l(r, в), j
re)) D-640)";
r2 = ©to, (o/(o = exp (— 2i6), I
ПРИ Igl -^-oo . -i
(O 2 + ОB) (?) O(t2)
1
Для e = 0 имеет место осесимметричное решение: %
соо @ = Д*?, ф0 @ = Р°°/2, .ij) @ = Щ\ R* = R exp UP°°-P - k)f2k). \
D.6.11) :
Предположим, что при е^0 упруго-пластическая граница близка к. \
кругу радиуса R* и ее уравнение имеет вид
г= ,( + (е)),
D.6.12) -'¦
где а0, аь ри а2, Рг-« — искомые постоянные. Ищем приближенное
решение краевой задачи D.6.10) в виде

<P.(?) - 0(t-*), +,(?) = (HZ,-1) при. ICI -*¦ oo.
•D.6.13)
Пусть р, т — полярные координаты в плоскости ?. Справедливы
соотношенияS):
), 0<т<2я, .
где А(т) = ^J б (s) ctg^-— = — ссх sin т + р\ cos т — aasin2r +
D.6.15)
2Я
Из D.6.12) и D.6.13) следует:
In г = In R* + eS F) + О (e2) = In Я* + еб (т) + О (е2),
D.6.16)
exp (-2*8) = exp (-2rr)(l - 2ieA(x)).
Подставляя D.6.13) в D.6.10) с учетом D.6.15), D.6.16), полу-
чим с точностью до. 82 краевую задачу
Ф1 @ + ф7(Г) = 2к (Xl (Я*, т) + 6 (т)), D.6.17)
IR* Ф1 + S4i = - 2^ (V(«*, x) + А (т)).
Действительная часть аналитической в К" функции
равна нулю на окружности С, поэтому для всех .1 ? I
где Л — действительная постоянная.- Отсюда и из D.6.15) получаем
уравнение для 6(т)
2П
о
Условие разрешимости этого уравнения имеет видв)
2П
МД*,т)Л + -4 = 0. D.6.19)
5> См. книгу М. А. Лаврентьева, Б. В. Шабата [13] к гл. I..
6> См. монографию Д. Ф. Гахова [14].
139

Как видно из равенств D.6.8), свободный член в разложении
функции K^lR^jt) в ряд Фурье равен нулю, поэтому А =0. Исполь-
уя формулу обращения Гильберта, из D.6.18) находим
де Б — произвольная постоянная.
Так как q>,(°°)=0, то из первого уравнения D.6.17) следует
2Л
о
оэтому и В = 0. Окончательно выражение для 6(8) имеет вид
оо
в (е) = — jr 2 nbn
* 2
оо
cos (Мп (д*/л))cos ("е + т
2
•ункции <pi(S) и ipi(?) определяются так:
частности, для эллипса с полуосями i?(l + е), /?A — е)
в (в) = ^ cos ( /31п (Л./Л)) cos 26.
¦о совпадает с резулвтатом, приведенным в книге Д. Д. Ивлева,
Л. В. Ершова [5] к гл. I.
§ 7. РЕШЕНИЯ
С ПЛАСТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ РАЗРЫВА
1. Постановка задачи. Пусть однородное изотропное тело из
еально упруго-пластического материала содержит трещины нор-
льного разрыва, удовлетворяющие условию локальной симметрии,
юдположим, кроме того, что выполняется условие
L>d>p. D.7.1)
всь L — характерный линейный размер тела, d — характерный
шер пластической области, р — радиус кривизны конца трещины,
повие D.7.1) выполняется, например, для многих металлических
гетрукций в широком диапазоне их размеров, температур, скоро-
й деформирования и имеющих место начальных трещин (см. [81
ш. II). При этом имеет смысл понятие коэффициента интенсив-
ен напряжений, а задачу о тонкой структуре конца трещин [70]
е. о распределении напряжений и деформаций на расстояниях
конца трещины, удовлетворяющих условию L » г » р) можно ста-
¦ь следующим образом. Рассмотрим окрестность конца трещины,

которая мала по сравнению с характерным линейным размером те-
ла, но больше сравнительно с характерным размером пластической
области. Тогда трещина на плоскости ху представится полубеско-
нечным разрезом вдоль у = 0, —°°<х<0, свободным от внешних
нагрузок. При этом в окрестности начала координат имеется пла-
стическая область, подлежащая определению, а в бесконечно уда-,
ленной точке известна асимптотика
lim iayl/2nx) = Kt D.7.2)
при у— 0, х -* °°. Здесь jRTt — коэффициент интенсивности напря-
жений.
Предположим, что пластические деформации локализованы
вдоль некоторых линий скольжения, выходящих из вершины тре-
щины. Из опыта хорошо известна общая тенденция к формирова-
нию пластических областей в начале процесса нагружения в виде
узких полос скольжения. В особенности это характерно для мало-'
углеродистых сталей, склонных к запаздыванию текучести. Линии
скольжения, очевидно, могут быть только прямыми. Действительно,
в указанной постановке задача автомодельна, роль времени в ней
играет параметр KJ{2nGz), а соответствующие автомодельные без-
размерные переменные таковы:
_ 2 _ 2nyG2
7 Ч\
.1.0)
«т - w
-*
Здесь и — вектор смещения, т„ т- предел текучести на сдвиг. В даль-
нейшем для простоты звездочку будем опускать.
Экспериментальные данные по плоской деформации свидетель-
ствуют в пользу того, что начальные пластические деформации в
окрестности конца щели локализуются вдоль узких полос под углом
45° к направлению трещины [80, 83]. Для тонких пластин экспери-
ментальные результаты более разноречивы [22, 54, 76, 79].
На основании изложенного представляет интерес постановка и
решение следующей задачи плоской теории упругости [281:
ау = Тзд = 0 при у = 0, — °° < х < 0,
ау = 2т, Тзд = 0 при у = 0, 0 < х < а,
D.7.4)
тге = т, [ое] = 0, [ие] = 0 при у = ±х, 0 < х < Ь/1/2,
lim (тг,У2яа:) = 1 при у = 0, ж—>- «>.
Здесь г, 8 — полярные координаты, квадратная скобка означает ска-
чок величины при переходе через линию разрыва, а и Ъ — безраз-
мерные параметры, подлежащие определению (рис. 4.6).
141

В частности, случай а = 0 отвечает
плоской деформации, а при 6 = 0 получа-
ется известная постановка Дагдейла. Во
второй и третьей строках записаны обыч-
ные условия на поверхности разрыва тан-
генциального смещения в идеально упру-
го-пластическом теле. Случай а Ф 0 физи-
чески реализуется только в тонких пла-
стинах (шейка) и соответствует плоскости
скольжения под углом 45е к плоскости
пластины [81].
2. Решение краевой задачи. Вначале
получим точное решение следующей пло-
ской задачи теории упругости:
_ D.7.5)
с, 0<x<b/l!2,
Рис. 4.6.
оу=Тзд=^0 при i/ = 0, — °°
ау1= 2т, Тзд = 0 при у = 0, 0 < х < а,
Ое — гХть = 0, [иг + шв] = /(г) при у —
Km (oyl/2nz) ¦= 1 при у = 0, х -> °°.
Условимся обходить пластическую линию в направлении от А
к А' (рис. 4.6); при этом скачок величины X равен [Х1=Х+ — Х~.
Будем использовать соотношения Колосова — Мусхелишвили
ох + ау = Ое + ог =-4Re<l>(z) (z — x + iy),
Оу-ох + 2iixy = e-2i6(oe -Or + 2iTre) = 2[z$'(z) + ?(*)],
D.7.6)
2(u + iv) = 2e'e(u, + ше) =
При помощи представлений D.7.6) граничную задачу D.7.5) можн»
записать в виде
при-1/
Ф(г) + Ф(г) + zO'(z) + 44z) = 2т при у = О, О < х < а,
= 0,
- гф'(г) - i|7(z)] = 2/(г)е±'л/4 при г/ = ±ж, 0 < х < 6/V2,
D.7.7)
lim {У2лгФШ = 1/2, ii
= 1/4 при z -*• °°. I
Верхние знаки соответствуют разрезу ОА', а нижние — АО (рис. 4.6). 'я
Введя вспомогательную аналитическую функцию %
142 1

граничную задачу D.7.7) можно свести к следующей краевой задаче
теории аналитических функций: ¦
ФЫ + ФЫ + fi(z) = 0 при у = 0, -оо < х < О,
ФЫ + ФЫ +'Q(z) = 2т при у = 0, 0 < х < а, D.7.9)
g,(f), [Q(z)l = g2(t) при i/ = ±z, 0 < x < 6/V2,
¦ lim {У2зтгФЫ> = 1/2, lim {V2nzfi(z)> = 0 при z -> °°. D.7.10)
Здесь
gl(t) = 2/'(r)/(x + 1), t = ге±Л17\
*2 @ = ^Г\ [Tf (Г) ± 2//' (Г) ± ri/'"' (Г)}.
Верхние знаки соответствуют разрезу ОА\ а нижние—АО
(рис. 4.6). Будем искать решение краевой задачи D.7.9) в форме
Здесь контур L образован отрезками АО и ОЛ', проходимыми от
А к А' (рис. 4.6), с, и с2 — пока произвольные постоянные, смысл
которых будет ясен из последующего изложения. Функции Ф0(г) и
Q0(z) аналитичны всюду вне разреза у = 0, х<а. При помощи
D.7.11) краевая задача D.7.9) сводится к следующей:
Ф„Ы + Ф0(г) + Q0(z) = F(a:) при у = 0, -~ < х < 0,
0(г) + Ф0Ы + Q0(z) = 2т + Лж) при ^ = 0, 0 < а: < с,
D.7Л2)
Так как напряжения в идеально-упруго-пластическом теле ог-
раничены, решение задачи D.7.12) следует искать в классе всюду
ограниченных функций. Теперь заметим, что в силу условий сим-
метрии относительно оси х функция Fix) действительна, поэтому
на основании D.7.12) на всей действительной оси будет ImJ30 = 0.
Следовательно, учитывая еще условие на бесконечности, получаем
fi.(*)—0.
Решение задачи Дирихле для функции Ф0(г) запишется так:
Здесь l/z — а считается положительным при у = 0, х >а, корень под
интегралом представляет собой значение функции Vz — а на верх-
143

нем берегу разреза у = 0, 'х < а. Согласно условию на бесконечно-
сти должно выполняться соотношение
\ С F (х) их лт -|/Г
; \ -\/ —= 1. D.7.14)
nt J ух— а ' л v '
—оо -
Постоянные ci и с2 найдем из условия отсутствия сосредоточеп-
ных сил в конце пластической линии при z = &е±1Я/* и задании скач-
ка вектора смещения при обходе этой же точки. Необходимость по-
следнего дополнительного условия является следствием дифферен-
цирования скачка смещения при преобразовании граничного усло-
вия С4.7.7) в D.7.9). Упомянутые условия имеют вид
= О,
Здесь Л — контур обхода точек z = 6е±1Я/4 (рис. 4.6). После выпол-
нения соответствующих элементарных выкладок находим
D.7.15)
2л
Итак, формулы D.7.10) — D.7.15) дают полное решение для
пластической линии (дислокации) произвольной мощности.
3. Приближенное решение краевой задачи для плоской дефор-
мации. Потребуем из физических соображений, чтобы функция /(г)
удовлетворяла условиям
lim /(r) = lim f'(r) = 0 при г-*-Ъ.
При этом решение D.7.11) с учетом D.7.13) и D.7.15) будет иметь
форму
-a Г F(x)dx
г J Yx~^l(x~z)
D.7.16)
где
Используя формулу перестановки Пуанкаре — Бертрана [10],
выражение для функции Ф(г) и соотношение D.7.14) выразим через
однократное интегрирование
144

D.7.18)
В дальнейшем будем рассматривать случай й = 0, который от-
вечает плоской деформации.
Решение краевой задачи для пластической линии произвольной
мощности в случае плоско-деформированного состояния будет иметь
вид
Условие разрешимости D.7.14) краевой задачи с учетом D.7.10>
таково:
" —г- D.7.20>
si
Функцию /(г) будем искать в виде
D.7.21>
Здесь А и Ь подлежат определению. Для этого, помимо условия:
D.7.20), будем использовать приближенное соотношение
= тй. D.7.22)
Используя D.7.19), D.7.10), D.7.21) и выполняя необходимые^
выкладки, в рассматриваемом случае будем иметь для функций:
Ф(г) и fi(z) выражения
D.7.23)-
Б. Д. Аннин, Г. П. Черепанов 145*

л- 2—20 1
+ i/2zln "— ЗЬ>.
z~zo )
Здесь z0 = Ье~!Л/4. После интегрирования D.7.20) можно записать так:.
ЫЪ3'2 = яA + x)/2(sin л/8 + cos л/8). D.7.24)
Соотношения D.7.23), D.7.6) и D.7.8) определяют ФЫ, ^(z). Удов-
летворяя условию D.7.22), будем иметь
т = 7,524Ь/яA + х). D.7.25)
Окончательно из D.7.24) и D.7.25) найдем
Ь = 0,502т-2, А = 0,81A + х)т3. • D.7.26)
Используя D.7.6), D.7.8) и D.7.26), найдем раскрытие в конце
трещины
б = 0,308A + х)т-'. D.7.27)
Перейдя к размерным единицам, для размера пластической зоны бу-
дем иметь выражение Ь= 1,004 К\1па\. Для материала с коэффи-
циентом Пуассона v = 0,3 соотношение D.7.27) в размерных едини-
цах дает б = 2,25 K\/mysE. Напомним, что протяженность пласти-
ческой зоны и раскрытие в конце трещины для плоско-напряжен-
ного состояния составляют соответственно d = nKif8os, б = Kj/Ea3'
Сравнение полученных результатов для плоской деформации с.
плоско-напряженным состоянием показывает, что значение протя-
женности пластической зоны Ь составляет 81% значения при пло.-'
ском напряженном состояний, а раскрытие в конце трещины Ь со-,
ставляет 72% значения при плоском напряженном состоянии. При-'<
веденные значения близки к результатам работы [861, полученным',
американским ученым Райсом совершенно иным путем.
Приближенный анализ выполнен в [86] с помощью метода,
который обходит подробное решение краевых задач. Подход заклю-:
чается в введении криволинейного интеграла, не зависящего от пути: •;
е i
Здесь W = J вцAе,^ — энергия деформации, Г — кривая, окружаю-!
о ij
щая кончик выреза (трещины), Т — вектор напряжения, определен-^
ный по отношению внешней нормали вдоль кривой Г, Tf = 0"«n,-,1
ds — элемент длины дуги вдоль Г. i
¦Ч
&
146 :,

§ 8. ЩЕЛЬ
Большой практический интерес представляет определение на-
пряжений и деформаций вблизи конца трещины нормального раз-
рыва в наиболее типичном для нее состоянии плоской деформации.
Пусть тело, находящееся в условиях плоской деформации, содержит
произвольную трещину нормального разрыва. Материал тела будем.
считать идеально упруго-пластическим с модулем Юнга Е и преде-
лом текучести на сдвиг т„ при простом сдвиге и удовлетворяющим
условию пластичности Губера — Мизеса. Рассмотрим окрестность,
конца трещины, малую сравнительно с характерным линейным раз-
мером тела, но большую сравнительно с характерным линейнымг
размером пластической области. На плоскости ху трещина предста-
вится полубесконечным разрезом вдоль, действительной оси х, сво-
бодной от внешних нагрузок. Задача сводится к определению де-
формаций и напряжений в области D, состоящей из упругой D± и
пластической D2 частей. Граница L раздела упругой и пластиче-
ской областей подлежит определению. Предполагаем, что на упру-
го-пластической границе непрерывны смещения, компоненты дефор-
маций и напряжений.
1. Считая справедливыми соотношения деформационной теории
A.2.12) с условием T = xs, будем использовать принцип минимума
полной энергии, согласно которому действительные перемещения:
и, v реализуют минимум функционала
2 i/"o/ 2 i 2
V3 (el + 4
Г = j V3 (el + 4 - ^
r
2A
Контур раздела упругой и пластической областей определяется из?
условия Г = Го = xJG.
Для численного решения упруго-пластической задачи применя-
ется метод конечных элементов с разбивкой области на прямоуголь-
ные равнобедренные треугольники и метод локальных вариаций [72].
В качестве области D выделяется в плоскости ху квадрат с
разрезом вдоль действительной оси со стороной 2а и с центром в
начале координат (рнс. 4.7). Размеры квадрата, очевидно, должны
быть такими, что возможна замена бесконечной области конечной
и компоненты смещений и напряжений в конце трещины незначи-
тельно зависят от граничных условий, задаваемых теперь на сторо-
нах квадрата.
В пределах каждого элемента пригашается, что смещения и и
v меняются линейно.
10* 147Г

Рис. 4.7.
О 0,25
Рис. 4.8.
В узловых точках на границе квадрата зададим смещения, за-
имствованные из решения задачи о растяжении на бесконечностг
упругой плоскости с полубесконечным разрезом [8] к гл. II:
и =
Численное решение этой упруго-пластической задачи при значении
коэффициента Пуассона v = 0,46 показало, что аппроксимирующее
уравнение контура L, разделяющего упругую и пластическую зоны
имеет вид [23]
D.8.2
Пластическая область показана на рис. 4.8 в безразмерных коорди
натах
8а| 8а|
где Кг — коэффициент интенсивности напряжений.
Область пластических деформаций представляет собой внутрен
ность эллипса с центром в конце трещины. Как видно, пластическиь
деформации в этом случае сосредоточены вдоль сравнительно узко-
го слоя, выходящего из конца трещины, перпендикулярного к ее
поверхности.
2. Упруго-пластическая задача для конца трещины нормально-
го разрыва в условиях плоской деформации для идеального упруго-
пластического материала, удовлетворяющего условию пластичности
Губера — Мизеса, по теории течения была изучена Райсом с сотруд-
никами [83]. '
148

us-
0,10-
' '
2J3
ffi L , r_^ ar.
0 0,05 0,10 0,15 0,20
Рис. 4.10.
Для численного расчета на ЭВМ'
был применен метод конечных эле-
ментов с разбивкой области на эле-
менты, получающиеся пересечением
концентрических кругов (г = const) и
лучей F = const). Коэффициент Пу-
ассона принят равным 0,3. Получен-
ные результаты для упруго-пласти-
ческой границы и напряжение на
1родолжении трещины приведены на рис. 4.9 и 4.10 соответственно.
Напряжение можно приближенно аппроксимировать соотноше-
гаем
0,05
Рис. 4$.
О, W
,1 -0,18
а?
D.8.3)
= —г- X
Контур L, разделяющий упругую и пластическую области, в
¦езразмерных координатах х% и у% имеет приблизительно форму
ллипса с большой осью длины 0,170, малой осью длины 0,100 и с
тентром в точке х% я* —0,02, у* я* 0,07, причем большая ось накло-
1ена к оси х# под утлом 70" и контур L пересекает ось х% в точке
"* ж 0,040. Раскрытие трещины в ее конце оказывается равным
-Ч = 0,42bK\/Eos.
§ 9. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1. Полоса, ослабленная полукруговыни вырезами. Упруго-пла-
тическая задача при растяжении полосы с полукруговыми выре-
=ами была решена Р. Саусвеллом и Р. Алленом релаксационным
-гетодом [88]. При этом материал считался идеальным упруго-пла-
тическим с пределом текучести т, при простом сдвиге и удовлет-
воряющим условию пластичности Губера — Мизеса. Расчеты были
таоведены для полосы, ширина которой равна четырем радиусам
юлукругового выреза. Постепенное развитие пластических зон
149

Рис. 4.12.
*
>
1
тг
\
\
4-
¦
1
<-
ч>~-, ¦
>->
Рис. 4.13.
Рис. 4.14.
изображено на рис. 4.11. Цифрами на упруго-пластических грани-,
цах обозначено среднее напряжение в долях 2те. ,
2. Полоса, ослабленная угловыми вырезами. Расчеты проводи-»
лись релаксационным методом для полосы с угловым вырезо»-
раствора 90" и глубины, равной одной четвертой ширины полосы^
[88]. Материал полосы считался идеальным упруго-пластичесгаш"
с пределом текучести т, при простом сдвиге и подчиняющимся*
условию пластичности Губера — Мизеса. Развитие пластических^
областей показано на рис. 4.12. Цифрами на упруго-пластических?'
границах обозначено среднее напряжение, отнесенное к 2ts. |
3. Плоскость, ослабленная эллиптическим отверстием. Упруго^
пластическая граница для плоскости, ослабленной эллипсом с ося-j;
ми2аи 2Ь, представлена на рис. 4.13 и 4.14 [84]. На бесконечности|
приложены напряжения о™ = 2,5 ts, о"Ц° = 3ts. Д
Контур отверстия свободен от нагрузок. Материал идеальный?
упруго-пластический с пределом текучести х, при простом .сдвиге,*
4. Плоскость с квадратным отверстием. Приближенное решени<|
упруго-пластической задачи для бесконечной плоскости с квадрат^
ным отверстием, к контуру которого приложены внешние усили^
о"« = р, Xtn = 0, когда на бесконечности действуют напряжений
о™= о-~, ' полученное методом П. И. Перлйна, имеет следующий!
вид [59, 60]. . Т
150 :*

В упругой области
у — ах+ 2irxy =
ij>* E),
D.9.5)
<р* (о = «о + «i/
«о = 1,09т,'+ 0,5р, а, = -0,43т»,
«2 = -0,19т8, о," = 0,03т.,
Ь. = 1,21т., Ь, = -1,4т„ b3 = -0,
Упруго-пластическая граница L проходит через точки ?i = l; ?г =
= l,10ein/4; Е, = 1,15в-'"я/9 и g4 = 0,98е'я/зв. Этому контуру соответ-
ствуют следующие напряжения на бесконечности:
o^ = a^ = 2,18xs + p. D.9.6)
В пластической области
D.9.7)
— ах + 2ixxy = —
Здесь у. — безразмерная переменная, <р -^ угол, составляемый глав-
ным нормальным напряжением ot с осью Ох.
На рис. 4.15 показаны значения х и <р в характерных областях
сетки характеристик: х = 0, ф = л/2 в A ABC, x = 0, <р/2 = я/2 + 6,
в круговом секторе BCJV F — угол наклона рассматриваемой прямо-
линейной характеристики к характеристике ВС), к = я/4, ф = Зя/4
в квадрате BDFN.
5. Решение упруго-пластической задачи для двухсвязной обла-
сти, когда внутренний контур Ьг образован двумя параллельными
прямыми длины d, сопряженными между собой дугами полуокруж-
У1_1
Рис. 4.16.'
151

ностей радиуса г, а внешний контур Lt представляет окружность
радиуса Ri (рис. 4.16), имеет следующий вид [52]. За контур,
.до которого проводилось аналитическое продолжение, при-
нимался эллипс ш(?) = с(? + т(/?). Вычисления были проведены при
следующих значениях безразмерных параметров: dlr = 0,8, RJr = k,
alr = 2,2, c/r'=2, f = 0,1 и при наличии двух промежуточных точек
lt = l,8ri, Z2= l,54r + il,26r, где а — расстояние от начала коорди-
нат до точки пересечения упруго-пластической границы с осью Ох.
Ниже а, — предел текучести при растяжении.
Нормальное усилие на внутреннем контуре оказалось равным
р = 0,855as. Для бесконечной плоскости, ослабленной таким же
отверстием Ьг, под действием нормального усилия р = 0,855а« на
Lz и растягивающих усилий на бесконечности при условии прохож-
дения упруго-пластической границы через точки 1,8г и 2;2г напря-
жения на бесконечности оказались равными
с* = — 0,065 as, a~ = 0,165 as.
6. Задача о штампе, внедряемом в упруго-пластическое тело.
а) Рассмотрим задачу о сжатии прямоугольного бруска двумя
жесткими штампами. Верхний из штампов давит на участок у = 1,
Ы^0,5, а нижний штамп перекрывает всю боковую поверхность
у = 0. Предполагается отсутствие трения на поверхностях контак-
та. Численное решение рассматриваемой задачи методом локальных
вариаций позволило получить следующие результаты [7] (при этом
использовалась теория течения Прандтля — Рейсса с условием
пластичности Губера — Мизеса).
Момент возникновения пластических деформаций в области,
прилежащей к углу штампа, оказался равным ?* = 1,197; на
рис. 4.17 показаны упруго-пластические границы с номерами п =
= 5, 10, 20, 25, 42 для моментов времени tn ь= t% -f nAt, At = 0,02. *
С возрастанием п области пластических деформаций, соответ- -•
ствующие этим номерам, все больше распространяются в глубь тела.
Суммарная сила давления на верхний штамп Р = PJlxs приведена
на рис. 4.18 в зависимости от сближения штампов t (.1 — характер-
ный линейный размер тела, т„ — предел текучести при простом
сдвиге). Там же на рис. 4.18 кривой 1 изображено суммарное дав-
ление на штамп при сжатии прямоугольного бруска двумя жестки-
ми штампами, пересекающими всю боковую поверхность у = 0, у = 1.
Штриховой линией приведено точное решение.
б) Приведем результаты численного решения задачи о вдавли-
вании в полосу конечной ширины двух плоских штампов. Материал
полосы считается идеальным упруго-пластическим, удовлетворяю-,
щим условию пластичности Губера — Мизеса. Расчеты проводились
релаксационным методом [89].
Пример 1. Ell = 1,14 BН — толщина полосы, 21 — ширина
штампа). На рис. 4.19 показан постепенный рост пластической об-
ласти. Цифры на границах упруго-пластических зон обозначают
приложенную нагрузку на штамп, отнесенную к пределу текуче-
152

p
¦4-
з-
1-
Puc. 4.17.
1 U t* 2
Рис. 4.18.
P/6S
I
Рис. 4.20.
—r-
3
j
V
\
( с
\V
\v-
¦f,J60
1,200
/,250
1,275
f,2S0
. Рис. 4.19.
сти т„. Впервые пластические деформа-
ции появляются, когда приложенная
нагрузка Р = т„.
Пример 2. Н/1 = 2,5. В этом
случае область пластических деформа-
ций возникает на некотором удалении
от горизонтальной оси симметрии по-
лосы. На рис. 4.20 изображено постепенное развитие пластиче-
ской области в зависимости от приложенной нагрузки. Впервые
пластическое течение возникает при Р/та = 1,163 в точке, заклю-
ченной в интервале 0,358 < у/Н < 0,395. При достижении нагруз-
кой величины Р/х, —1,290 пластическая зона распространяется до
срединной плоскости полосы, касаясь ее в точке пересечения двух
осей симметрии.
153

§ lfi. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
(численное решение)
Рассмотрим упруго-пластическую задачу при вдавливании
жесткого штампа в полосу конечных размеров. Материал полосы
упруго-пластический с упрочнением, удовлетворяющий условию
пластичности Губера — Мизеса и обобщенной теории течения
Прандтля — Рейсса, учитывающей упрочнение.
Применим экстремальный принцип теории пластического те-
чения, согласно которому действительные скорости смещений и ско-
рости деформаций реализуют минимум функционала
ф = -L j(aTe)dV- f (utf)dS. D.10.1)
Здесь о — вектор скорости напряжений, е — вектор скорости де-
формаций, U — вектор скорости, F — вектор скорости заданного |
поверхностного усилия, верхний-индекс Т обозначает транспозицию. |
Для численного решения контактной задачи применяем ме- .;
тод конечных элементов. Для вывода уравнения конечного элемен- j
та область V разбивается на ряд конечных элементов, в пределах i
которых допускается, что компоненты смещения изменяются с из- j
менением положения таким образом, что смещения любой точки 1
внутри элемента определяются смещениями узловых точек на гра- 1
нице этого элемента и обеспечивается непрерывность смещения от |
элемента к элементу при произвольном выборе.узловых смещений. ' -j
Тогда функционал Ф можно аппроксимировать функцией скоростей .»
щ узловых точек: 3
= ^Ф \Uh), к=1,...,и, D.1LL2) л
v m j
где п — 1, 2, ... обозначает узлы, i4TO) — значения векторов скоро- i
сти в узлах m-го элемента, М — число конечных элементов. -4
Соотношение между скоростями внутри m-го элемента и ско- |
ростями узловых точек этого элемента аппроксимируется выра- |
жением 1
1)и1Г. D Л 0.3)
Здесь IN](m) — матрица распределения для /га-го элемента. Вектор -
скорости деформаций е(т) т-го элемента выражаем через скорости
узловых точек этого элемента в виде
154

Скорости напряжений и деформаций связаны по закону Гуна
в упругой области и по т>бобщенному уравнению Прандтля — Рейсса
в процессе нагружения в пластической зоне:
= 2G
D.10.5)
Здесь Sij — девиатор напряжений, Q — 730о[1 + #73], Н' —^соответ-
ствует наклону эффективной кривой напряжения и пластической
деформации, выраженной через оо = Hi \ deSj, crj = -j-
В матричной форме для m-го элемента будем иметь
сг =
D.10.6)
Матрица [Z)](m) является симметричной.
Подставив соотношения D.10.3), D.10.4) и D.10.6) в функцио-
нал D.10.1), получим
- f (
D.10.7)
или, если ввести матрицу жесткости и матрицу скоростей усилий
в элементе, соотношение D.10.7) примет вид
D.10.8)
Матрица жесткости и матрица скоростей усилий всей системы,
состоящей из М конечных элементов, получается суммированием
матриц элементов.
Область тела разбивалась на четырехсторонние элементы, каж-
дый из которых состоял из четырех треугольных элементов
(рис. 4.21). В пределах треугольного элемента принималось линей-
ное распределение скоростей.
Приведем результаты, полученные описанным выше численным
процессом [82]. Жесткий штамп ши-
риной 21 вдавливался в полосу шири- ь
ной 2L и высотой h. Расчеты проводи-
лись для Е => 1,0 • 106 psi; v = 0,38; Н' =
= 2 • 104 psi с начальным пределом те-
кучести os = 1,3 • 104 psi. Эти значения
описывают поведение . алюминия
1100—0.
На рис. 4.22, а кривые 1—4 изо-
бражают зависимость среднего давле-
ния штампа в зависимости от смеще- о х
ния штампа при h/l = 0,6; 1,0; 1,7; 2,5 рис 4.21.
155

10
h/l
Рис. 4.22.
без трения. Все вычис-
ления проводились для
L/l=2,7. Вначале давле-
ние возрастало линейно,
а затем происходил бы-
стрый изгиб кривой с
малой скоростью возра-
стания давления. Изгибы кривых зависимости смещения от давле-
ния являются пределами текучести материала. Сравнение этих
пределов текучести с пределами, по-
лученными по теории линий сколь-
жения для идеального жестко-пла-
стического тела, приводиться на рис.
4.22, б.
Представляет интерес исследова-
ние влияния трения на поверхности
контакта. Расчеты проводились при
h/l = 0,6; 2,5, допуская полное при-
липание по поверхности контакта.
Оказалось,. что для h/l = 2,5 кривая
зависимости смещения от нагрузки
о ^ оро4 о,оов ofiiz орю 0,020
" W/l.
Рис. 4.23.
¦U/l,0007Z
¦o,oqo73
0,00098
h/i-o,e
¦w/l'0,00076 0,00079
Рис. 4.24.
v/l=0,00102 0,00159
Рис. 4.25.
156

BL.
W/1 = 0,00119 0,00121
О, 00152
W/1=0,00168
0,00207
0,00256.
W/1 = 0,002в6 0,00312
0,00404
Рис. 4.26.
0,00262
0,00408
О, 02160
при полном прилипании тождественна кривой гладкого штампа.
Однако для h/l = 0,6 учет трения приводит к значительному увели-
чению давления по сравнению с гладким штампом (рис. 4.23).
Постепенное развитие пластических деформаций при h/l = 0,6 в
зависимости' от смещения штампа на рис. 4.24, 4,25 сравниваются
для гладких и шероховатых штампов. На рис. 4.26 показаны пла-
стические зоны при h/l = 1,0; 1,7; 2,7 на различных стадиях вдав-
ливания гладкого штампа. Для всех - случаев, изображенных на
рис. 4.26, пластическое течение появилось в двух местах — одно
в углу штампа, а другое — в центральном основании полосы.
§ И. РАВНОПРОЧНОЕ ОТВЕРСТИЕ
1. Постановка задачи о равнопрочных упругих телах. Пусть
упругое тело находится в стационарных условиях нагружения. При
этом на некоторых участках границы тела, вообще говоря, имеется
значительная концентрация напряжений, вследствие чего разруше-
ние тела или необратимые деформации обычно происходят сначала
на границе. Вследствие этого повышенная концентрация на-
пряжений является крайне нежелательной в машиностроении. По-
этому представляет интерес найти такой контур тела (или, если
это невозможно по конструктивным соображениям, часть контура
тела), который не имеет каких-либо предпочтительных для хруп-
кого разрушения или пластической деформации участков. Такой
контур будем называть «равнопрочным».
157

Пусть материал тела является хрупким, а разрушение (трещи-
на) начинается в точках контура. Естественно допустить, что тре-
щина возникает в некоторой точке границы, как только напряжение
о, в этой точке достигает некоторого критического значения, рав-
ного о* (' и п — направления касательной и нормали к контуру
тела). Вообще говоря, величина сг^ зависит от размеров начального
дефекта на границе тела и формы границы. В первом приближении
этого можно не учитывать и считать о* постоянной вдоль искомого
контура L (или его участка). Итак, на «равнопрочном» контуре
хрупкого тела L должно выполняться дополнительное граничное
условие
Gt = G^ = const на L D.11.1)
Пусть теперь материал тела является упруго-пластическим, а
пластическая деформация впервые появляется на контуре тела.
Допустим также, что условие пластичности материала тела имеет
вид
/(о„ о„ т,„)=0, D.11.2)
где / — заданная функция. Потребуем, чтобы пластическая область
в момент зарождения охватывала сразу весь контур тела, не про-
дикая вглубь. Очевидно, такое тело является наиболее прочным в
смысле равномерного распределения концентрации напряжений
по всем точкам контура.
Заданные на границе нагрузки о„ = р, rtn = т считаем постоян-
ными; тогда из' условия пластичности D.11.2) следует, что напря-
экение at постоянно всюду на искомой границе тела. Таким образом,
мы снова приходим к граничному условию D.11.1). В частности,
считая, что материал тела" следует диаграмме Прандтля в пласти-
ческой области, будем иметь условие
=2k. D.11.3)
Здесь к — константа материала.
Так как величина левой части D.11.3) является инвариантом
относительно поворота осей координат в данной точке тела, то из
формул D.11.3) с учетом заданных^на границе нагрузок находим, ;
что во всех точках неизвестного контура L справедливо соотношение ;
о* = Р± 2 /F—т2 = ff* = const. D.11.4) *
Знак «+» или «—» перед радикалом выбирается из физических %
соображений. I
К аналогичному граничному условию мы придем, если потре- |
буем просто отсутствия концентрации напряжений на контуре, т. е.
постоянства напряжения at. Однако в этом случае постоянная о*
в граничном условии D.11.1) не задается, а определяется в процессе
решения.
2. Пусть цилиндрическое тело с поперечным сечением F, пред-
ставляющим собой двусвязную область с гладкой границей Г! U Г2 Д
(рис. 4.27, а), находится в условиях плоской деформации под дей- 1
158

Рис. 4.27.
ствием самоуравновешенной системы внешних нормальных и каса-
тельных усилий, приложенных к Г, и Г2. Конечную область, огра-
ниченную ГЛ обозначим через F,, j = 1, 2, и будем предполагать,
что начало координат системы ху принадлежит области Ft. Напря-
женное состояние, возникшее в теле и характеризуемое тензором
0°> о?, т"„, предполагается известным. Обозначим через <D0(z), Ч'оСг)
потенциалы Колосова — Мусхелишвили этого напряженного состо-
яния
+ a°v = 4 Re Фо (z), г = х + iy,
о» - о»
21x5. =
D.11.5)
Сделаем в теле цилиндрическое отверстие с поперечным сече-
нием D+ (рис. 4.27, б}, представляющим конечную односвязную об-
ласть с границей L, причем F2 =» D+ => F,. Будем искать такой кон-
тур L, чтобы на L выполнялись условия
D.11.6)
Здесь п — нормаль, t — касательная к L, on, at, Tnt — компоненты
тензора напряжений в системе п, t, ориентированной так же, как
и система х, у; pis), g(s), r(s) — непрерывные функции длины дуги
s контура L. Предполагается, что' система внешних напряжений
p(s), rCs), 0 ^ s ^ S, где S — длина L, является самоуравновешенной.
В частности, можно считать, что
q(s) == о* = const D.11.7)
или что q(s) определяется из уравнения D.11.2):
/(рЫ, q(s), r(s)) = O. .D.11.8)
Обозначим через G двусвязную область, ограниченную L и Г2
(рис. 4.27, б). Напряженное состояние в теле с поперечным сечени-
15»

ем G, характеризуемое тензором о?, сг*, т?у, представим в виде
<& = <& + ох, ol = ol + oy, г1у = х% + хху. D.11.9)
Здесь сх, <т„, Хху — дополнительные напряжения, вызванные созда-
нием нового отверстия. В силу D.11.9) для потенциалов Колосова —
Мусхелишвили будем иметь представление
?,(*) = ?„(*) + ?(z), zeL + G + T2. D.11.10),
Предполагая, что расстояние от любой точки контура L до Тг
много больше диаметра области D+, будем искать дополнительные
напряжения приближенно, заменяя двухсвязную область G бесконеч-
ной областью D~, ограниченной L. Таким образом, требуется найти
контур LczF, ограничивающий бесконечную область D~ и авали-,
тические в D~ функции Ф{г) и ЧЧг) такие, что на L выполняются
условия
Re Ф (z) = V4 (р (s) + q (s)) - Re Фо (z),
Z"S + ^(*) = - m (s) fz - z^ - Wo (z), D.11.11) ~
m (s) = V2 (g (s)-p(s) + 2ir (s)),
и при |z| -»- °°
Ф(г) = O(z-2), Y (z) = O(z-2). D.11.12)
Здесь Ф0(г), 4f0(z) — заданные функции, определенные в области
F. В частности, область F± может вырождаться в точку, которая
может быть устранимой особой точкой для функций Ф0(г), Ч^г);
вместо параметра s могут быть другие геометрические параметры,
например, г = (ж2 + #2I/2, кр = arctg (у/х).
Ограничимся рассмотрением простейшего случая задачи D.11.11),
D.11.12), считая, что
p(s)=po, дЫ = д», Ks) = 0, D.11.13)
Ф0(г) =a + alz, W0(z) = b + b,z,
где po, go, «I — действительные постоянные, a, b, b± — комплексные
постоянные. То, что постоянная at действительна, не уменьшает
общности, так как этого всегда можно добиться за счет поворота
исходной системы координат х, у.
Отобразим взаимно однозначно и конформно область Кг + С:
: l?l 3s 1 комплексного переменного % на область D" + L посредством
функции
() + + c1?-! + c2?-2 + ..., c>0. D.11.14)
Положим
ФЫ?))^Ф(?), ЧЧюф) «?!>(?). D.11.15)
При |?| -*- оо в силу D.11.12) и D.11.14) имеем
Ф(Е)=О(Е-1), <p(V = O(V2). D.11.16)
160

Для точек контура t e С выполняются соотношения
D.11.17)
dz = со' (t) dt = — о' (?) ?2 <ft.
Поэтому граничное условие D.11.11) на С примет вид
Re Ф (V) ^ V4 (л, + д0) - Re (a + Й1со (*)), D.11.18)
**W &$¦+ Ф (*) =- wo^f ~ «140 - * - V> @. D.И.19)
^ь = Vs (g-o ~ д>).
И.ч условия.D.11.18) находим (^еЯ" + С)
q>(?) = -{«,[»(?) - eg - с„] + а.сД). D.Ц.20)
При этом в силу D.11.16) должны выполняться соотношения
Х4 (р0 + ?о) —(й + й г atc0 + ахЬ0) = 0,
«1 (С! + С) = 0.
Исключая из граничного условия D.11.19) с помощью D.11.20)
функцию ф(?), будем иметь на С (а, Ф 0)
bMt))a'(t). D.11.22)
Введем функциго_
-и»»®'(О С8. 1?|>1. ,. .._
+ M (l/D]« (I/O, IСI < 1. DЛ1-23)
Из D.11.22) следует, что на С справедливо равенство
fl-(t) = fl+(t). D.11.24)
Особыми точками функции Q(?,) в расширенной плоскости ? будут
точки ? = 0 и ? = °°^ В точке % = 0 функция fi(g) имеет полюс
с главной частью — biC%~1; в точке ? = °о функция О(?) также
имеет полюс с главной частью.
a.dcV + со?2 + (с, + с)? + с„ + с2] - mo(ct,2 - с,).
На основании обобщенной теоремы Ж. Лиувилля для всех ? ^
= б + я,с[с^ + el2 + (ci + cM + с» + с2] - т„(с^2 - с,) - с2Б,Г'.
D.11.25)
Теперь из D.11.23) следует для %^К~ + С
*(?) = -Ше-^/йЧЕ) - Ъ - ЬМ%). D.11.26)
Из условия D.11.16)
6 + aic(c(, + c'2) + moc + c(fe + biCo) = 0, ai(c1 + c)=0. .D.11.27)
И Б. Д. Анннн, Г. П. Черепанов 161

Функция (й(?) определяется из дифференциального уравнения"
+ со + с2]-то(с12-с1)-Е1сЧГ. D.11.28)
Решение уравнения D.11.28) можно искать в виде D.11.14) или
в виде
о(^) = с? ехр ЫЛ + м2/?2 + иЛ3 + ...).
Это приводит к системе нелинейных уравнений относительно с,
Со, С,, ... ИЛИ С, Щ, иг, Щ ...
В частности, если а, = 0, то из D.11.21) и D.11.18) следует
о(?) — ct, + сЛ + А> + с2/?2. Если а=^=0, то из равенства D.11.21)
следует
с1 + с = О. D.11.29)
Так как площадь конечной области, ограниченной L, неотрица-
тельна, то
. я с^ — 2j щс
Учитывая условие D.11.29), будем иметь с2 = с3 = с4... == 0, с, = —с.
А это означает, что L — прямолинейный отрезок.
Если тоЫ = const, рассмотренный выше подход применим и в
случае, когда Ф0(г) и W0(z) имеют вид
т mi
о \z) — Zi ahz . ^о \z) — Zj V ¦
h=—n h——nl
Подробное исследование для п = тг, = 0 несколько иным мето-
дом дано Н. И. Остросаблиным в работе [48].
3. Указанное требование равнопрочности D.11.1) может ока-
заться иногда конструктивно неприемлимым. Поэтому решим зада-
чу для более слабого условия, а именно, предполагая, что на иско-
мом контуре отверстия L должно выполняться граничное условие
<st = o + 4sin2a. D.11.30)
Здесь о = const, •у = const, а — угол между осями х и п. Таким об-
разом, требуется найти контур L и потенциалы Колосова — Мусхе-
лишвили Ф(г) и ^(z) по условию D.11.30) и'условиям
Сп = р, т«п = 0 на L, * D.11.31)
При \z\ ->- оо
Во внешности единичного круга параметрической плоскости
имеем краевую задачу
4 Re Ф @ = р + а - У lW®j? jf^ при | С | = 1,
о-р-№Цй=&ШГ, D.11.32)"
.«'@ ' _ . ....
162

при |?| ->°°
' в> @ = О (?), Ф (О = V4 (о* + <т~) + О (Г2
Для решения нелинейной краевой задачи D.11.32). применим-
метод функциональных уравнений. Запишем краевую задачу D.11.32)
в виде системы двух функциональных уравнений, справедливых
во всей плоскости ?,
О + « ft) ~ , + « - W@l,(,/e, [V (й - р
Функцию со(?) ищем в виде полинома
to (t) = ct + сгГг + с3Г3 + • • • + с2п+1Г2"~1. D.11.34)
Постоянные си с3, ..., с2и+1 из условий симметрии действительны.
Определим число п, сравнивая порядки величин в правой и левой
частях второго функционального уравнения D.11.33) при ? -*• °°.
Получаем п = 0. Таким образом, со(?) равна
<й(?) = с? + с,/?. D.11.35)
Из первого функционального уравнения D.11.33), используя
D.11.35), можно найти )
причем должно выполняться условие
lL=.l(oS> + o$e-p-«r)-l. D.11.37)
Функция -ф(^) определяется вторым уравнением D.11.33):
2tV@
Из условия на бесконечности следует, что
4. Рассмотрим задачу об отыскании «равнопрочного» контура
для плоскости, ослабленной двумя одинаковыми отверстиями. Пусть
И* 163

Центры отверстий расположены на оси х и находятся на расстоя-
нии 21 друг от друга. Начало координат выберем в точке, равно-
удаленной от центров отверстий. К контурам отвер"стий приложены
постоянные внешние усилия
о» — Р, Ъп = О,
а на бесконечности имеет место однородное напряженное состояние
Ох = О?, Оу = Оу", Гху = 0.
В качестве условия равнопрочности возьмем условие равномерного
распределения напряжений по контуру отверстия
ot = о*.
На основании граничных условий и соотношений D.1.9) запи-
шем граничную задачу для определения функций Ф(г) и 4)
и неизвестного контура L
D.11.38)
2 [(i- z) Ф' (z) + ф* (z)] = (ст. - p) e-2i0t - o~ + a~ на i.
Перейдем на параметрическую плоскость t, с помощью преоб-
разования
At L === л
Здесь R и cft — неизвестные параметры, характеризующие размер '
и форму искомых отверстий. Представим функции Ф(г) и ^(z)
в виде
оо
D.11.39) ;
оо
: Ф* (z) = "фх (S) + % (I)
Мы ограничились членами, содержащими малый параметр е = R/21 -
в степени ^4. Здесь
Ао = (е2 + 2с,б4)а2 — esa3 + е4а4, :
D.11.40)
А, = —2ё3а2 + Зе4а3, А 2 = Зе4а2.
Постоянные JB0, fit, Z?2 определяются по формулам D.11.40), если.'
в них ah заменить на Ьк.
Решая задачу Дирихле D.11.38) и удовлетворяя условиям на
бесконечности, находим
Ф1 @ = ги (о* + р - <С - О = о.
164

Второе краевое условие из D.11.38) принимает вид
(о* - РIЛ1) = 2?V (9 {V, « - о~) + ^ (?) + Во + 51(о (?) +
+ Я2[со(?)]2}. D.11.41)
Для решения нелинейной краевой задачи D.11.41) применим
метод функциональных уравнений. Рассмотрим функциональное
уравнение, справедливое во всей плоскости ?,
(о. - PW A/?) = 2CW (Б) {Vs(o- - о") + fc @ +
+ В0 + В,<*а) + В2[<»а)]2}- ' D.11.42)
Подставляя выражение для «(?) в функциональное уравнение
D.11.42) и раскладывая все функции в ряд в окрестности бесконеч-
но удаленной точки, нетрудно заметить, что к = 3, так что to(?)
имеет вид . щ
D.11.43)
Функция \])i(?) определяется из функционального уравнения
D.11.42)
Ъ (I) = (о* - Р) ^|- - 4 « - о?) - Бо - ^со @ - В2
D.11.44)
Удовлетворяя условиям на бесконечности, получим для опре-
деления постоянных ch, b2, bs, Ь4 систему нелинейных алгебраиче-
ских уравнений
Ь2 - сг [Ч2 (о" - а?) + Во] - с2Вг {с\ + с3) В2 = о*- р, D.11.45)
Ъ3 - 2с2 [V, (о" - о~) + Во] - {с\ 4- 2с3) ^ - 4Clc2B2 = О,
^i + 2c2(o; - p) = 0, B2 + 3c3(O4! - p) = 0, cft = 0,
Алгебраическая система уравнений легко решается методом малого
параметра:
с, = с10 + с,2е2 + сие*, с2 = —с,2е3, с3 = с,2е\ с,4 = с,ос,2 + 7с,0с12,
1 К-
) _ 2 _ ,
' 12 ~ 10 '
_ 1
10 ~ Т а* —р
+ fe22e2 + fe24e4, fc4 = b40 + fe42e2 + Ь44е4,.
Va C12 (СТ^° — O~),
D.11.46)
165

Ь24 =(с14/2)(о-Г- а") + с10 (Ь
22 + 6clofe2O)
Приведем окончательное решение задачи [71] в случае, когда
условие «равнопрочности» имеет вид D.11.30)
У (°Г - "D - Ъ^, D.11.47)
Мы ограничились членами, содержащими е в степени ^ 2.
§ 12. РАВНОПРОЧНАЯ ВЫРАБОТКА
В ГОРНОМ МАССИВЕ
В горном деле представляет значительный интерес задача об
отыскании равнопрочной выработки в тяжелом массиве. Рассмот-
рим эту задачу в предположении, что горная порода является одно-
родным и изотропным упругим телом, а выработка расположена
достаточно далеко от поверхности земли.
1. Пусть в тяжелом упругом полупространстве у<Н требует- ,
ся провести равнопрочный туннель, являющийся цилиндром с осью,
параллельной поверхности пространства. К неизвестной пока :
поверхности, туннеля приложено постоянное нормальное давление С
' — р (р > 0) и равная нулю касательная нагрузка. Кроме того, вдали Л
от отверстия все упругое полупространство сдеформировано напря- '
жениями
°-ж = о", а~ = а~ ,тед = 0. ¦ D.12.1) :
Задача является плоской. Очевидно, декартовы координаты х и у =
можно выбрать совпадающими р осями симметрии искомого контура !
отверстия L. Поверхность полупространства у = Н подвержена пос-
166

тоянной нормальной нагрузке оу — оу и равной нулю касательной.
. Запишем три граничных условия на неизвестном контуре вы-
работки в виде
оп = — р, rtn = 0, о, = а* -:- уу, D.12.2)
а* = const, у = const
(t и п— направления касательной и нормали к контуру). Последнее
условие D.12.2) представляет собой условие равнопрочности отвер-
стия. В общем случае при у = 0 решения задачи не существует
(см. § 11, п. 2), т. е. не существует отверстия с ненулевой пло-
щадью, которое не обладало бы концентрацией напряжений. В этом
случае естественно допустить лишь такую концентрацию напряже-
ний, которая определяется формулами D.12.2) с f^O. Считаем
отверстие расположенным достаточно далеко от поверхности
полупространства, при этом граничные условия на контуре
отверстия будем удовлетворять точно, а условия на границе полу-
пространства — приближенно, асимптотически. Как показывает срав-
нение с решениями задач для отверстия вблизи границы тела, для
этого практически достаточно, чтобы глубина Н > 2L0, где Lo — ха-.
рактерный линейный размер отверстия.
Для напряжений о», а„ и т*,, легко получить следующие основ-
ные представления:
ох + ау = 2 [Ф (z) + Щ$] + 2iAPg_v) B -1 - 2Hi), D.12.3)
оу - ох + 2irxy = 2 [7Ф' (z) + ?(z)] + Щ^ (z -I- 2Hi).
Здесь р — плотность тела, g—"ускорение силы тяжести, Ф(г)
и ЧЧг) — потенциалы Колосова — Мусхелишвили (при Ф(г)=0,
ЧЧг) = 0 формулы D.12. 3) дают напряжения в тяжелом полупро-
странстве у < Н со свободной поверхностью).
На основании D.12.1)—D.12.3) сформулируем граничную за-
дачу для определения функций Ф(г) и контура
2 [Ф (z) + O(z)] + 2.APf_v) (z-z- 2Hi) = o*-p + yy, D.12.4)
[zw \z) -{- T (z)\ -f- "jjttj r- (z — z — Ltii) = e (p -j- o",j. -j- "yi/).
При |z| -*- oo
Здесь а — угол между осями п ш х.
Перейдем на параметрическую плоскость ? при помощи преоб-
разования z = (о(?),
' и^~. D.12.5)
167

Аналитическая функция со(?) задает конформное отображение
внешности единичного круга плокости ? на внешность" контура L
плоскости z; она должна быть определена из решения задачи.
Постоянную с без ограничения обйщости можно считать положи-
тельной.
На основании равенства
; •"•-•§?§¦ с=р'л <412-6)
и условий D.12.4) для определения трех аналитических функций
ф(?) — Ф[ю(?)], яр(?) = ЧТ(о(?)] и ю(?) получаем нелинейную крае-
вую задачу -^
2 [Ф @ + Щ)] + 2. {*_ у) [о @ - с^) - 2Hi] = о* - р +
?^)], . D.12.7)
при
@ -
¦ Ф @ = V4 (с" + оу) + О (Г1), «> @ = сС + О (Г1), Ф @ =
Решение краевой задачи. Функция i^~(?), равная
F- (D - 2Ф (В + 2| AР!_ v) со @ - jj- со @, D.12.8)
аналитична вне единичного круга, за исключением бесконечно уда-
ленной точки, где она. имеет полюс нервого порядка, а функция
F+(%), равпая
D.12.9)
аналитична внутри единичного круга, за исключением точки ? = О,
в которой она имеет полюс первого порядка. На основании первого ¦?
краевого условия D.12.7) функции F+l^,) и F~(t,) являются анали- ''
тическим продолжением одна другой через едипичпую окружность:
*¦+(?) ~F'(t) при 1^1 = 1. D.12.10) ;*
По теореме Ж. Лиувилля единая аналитическая функция равна
Ь.? + 6./Е + ь* DJ2.il) :;
где Ьо, Ь,, Ъ2 — неопределенные пока постоднные. Разлагая функции '"
F~(t,) в окрестности бесконечно удаленной точки, а функцию F+(t,) ¦«
в окрестности нуля, и сравнивая с D.12.11), находим 4
168

причем должно выполняться условие
v). D.12.13)
В задаче с заданной а# условие D.12.13), представляет собой
условие разрешимости исходной задачи. На основании формул
D.12.8), D.12.11), D.12.12) получаем
ф @ = т К + О + -s- (т^г -т) [с (с -ь {)" -т'®} DЛ2Л4)
Используя соотношение D.12.14), второе краевое условие D.12.7)
можно записать в виде
. D.12.15)
Рассмотрим функциональное уравнение
DЛ2-1в>
Ищем решение функционального уравнения D.12.16) в виде
D.12.17)
Здесь Pv — полином v степени с неопределенными пока коэффици-
ентами. Подставляя D.12.17) в функцыональпое уравнение D.12.16)
и раскладывая все функции в ряд в окрестности бесконечно уда-
лепной точки, нетрудно заметить, что v = 1, так что если функция
ю(?) имеет вид D.12.17), то она пеобходимо равна
Б. D.12.18)
Из условия симметрии следует, что постоянные с и Ci действи-
тельны. Из функционального уравнения D.12.16), используя фор-
мулу D.12.18), находим функцию
D.12.19)
169

При 1?| -*¦ оо функция if(g), как видно, ведет себя следующим об-
разом:
D-12.20)
Удовлетворяя условиям на бесконечности D.12.7), получаем
¦VV-P^T^T^0' D42.21)
pgff(l-2v) , с t
2(i-v) +аГ<Р + а»)дТ^ ~р*)-
Отсюда находим
_ pg A - 2v) [2р + <ff + <ff _ pgff/(l - у)] 11_ 2у ж
(l-v)(o~-a~)-Pg#(l-2v) ' Cj-Cl-v'Y-
D.12.22)
Для того чтобы функция ю(Е;) D.12.18) была аналитической
всюду во впешности едипичного круга, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось неравенство
1с./с1<1. D.12.23)
Формулы D.12.14), D.12.18), D.12.19), D.12.22) и D.12.13) дают
полное решение поставленной задачи. Контуры искомого отверстия
оказываются, семейством подобных эллипсов.
Особенно простой вид принимают формулы, дающие решение
при ох =оу = р = 0,т. е. когда стенки отверстия и граница полу-
пространства свободны от нагрузок. Приводим это решение:
У i_v'u*~ i __ v - c ^ я •
2. Пусть тяжелое упругое полупространство у<Н ослаблено -
одпопериодической системой туннелей, представляющих собой ци-
линдры с осью, параллельной поверхности полупространства. Рас- ..1
смотрим задачу об отыскании формы туннелей, обеспечивающих
максимальную прочность [35, 38].
Пусть центры отверстий расположены на оси х и находятся на *
расстоянии I друг от друга. Отверстие L, в центре которого поме- ь
щено начало координат, назовем основным. На неизвестном контуре f
выработки имеет место граничное условие D.12.2). Кроме того, f
170 '¦

вдали от отверстия все упругое полупространство сдеформировано
напряжениями D.12.1), а поверхность полупространства у = Н под-
вержена постоянной нормальной нагрузке оу = о?° и равной нулю
касательной.. Напряжения определяются по формулам
ох + оу = а~ + а" + 4 Re Ф (z) -f 2-AP!_v) (z - z - 2HI),
oy-ox + 2гтед = a~ - o~ + 2 [(i - z) Ф'(г) -f- Y* (z)] -f
<4-12-25>
Перейдем на параметрическую плоскость ? с помощью преоб-
разования
z - nZ = В (t + 2 cftrN = Лю ©. DЛ2.26)
Ограничившись членами, содержащими малый параметр е = Я/1 в
степени ^2, представим функции Ф(г) и Ч?* (z) в виде
0=2«лГ"ч-Л + Лсо@,
"-1 го D.12.27)
ft=i
Здесь
а2г, , . з а1Е , DЛ2.28)
Краевая задача на параметрической плоскости ? для определе-
ния аналитических • функций ф(?), ф(?) и ю(^) запишется в виде
2[Ф @ + Ш)] + 2i(igjv) [со (9 -^1) - 2Hi] =
-J [©@ - «(91 - (о? + <С)-44> - 2Л [со @ + с^)] при | С| = 1,
D.12.29)
- (а~ - о") - 2Б0 - 25,0) @ - 2А М?) - о (?)] + ^L X
J [«(О - ю (Q]} при | С | = 1. D.12.30)
Решение краевой задачи. Функция F~(.t,), равпая
@ = 2Ф @ +' [infer - а + 2Л1] Ю @' DЛ2'31)
171

аналитична вне единичного круга, за исключением бесконечно уда-
ленной точки, где она имеет полюс с главной частью
п&г-З+ ***]*• <4Л2-32>
а функция F+(?), равная
- ?¦5 (т) ~ (а~ + ^ ~4Л ~2 А^ (|) DЛ2-33)
аналитична внутри единичного круга, за исключением точки ? = 0,
в которой она имеет полюс с главной частью
На основании краевого условия D.12.29) функции F+(?) и F~{?,)
являются аналитическим продолжением одна другой через единич-
ную окружность:
F4V=F-(t) при IEI-1. D.12.35)
По теореме Ж. Лиувилля единая аналитическая функция
равна
D.12.36)
причем должно выполняться условие
о#-р-о?-о™ + pgHt{i -v)-4Л0 =,0. D.12.37)
На основании формул D.12.31) и D.12.36) получаем
¦ ._ D.12.38)
Учитывая условия на бесконечности, находим
«^^(-г^-^и-^-Асн^, DЛ2-39) I
а2 = 0.
Используя соотношение D.12.38), краевое условие D.12.30) запи- |
шем в виде
при 1 ?1 = 1. D.12.40)
172

Рассмотрим фупкцибнальпое уравнение
5A/р-ш(рГ1/ pg \r. j_
ш'(Е) Bt^ 1 — v — ?J[l—p-
- 2Я0 - 2^со © +J-» {р + а, + ? [со © - S ({)]}. D.12.41)
Подставляя выражение D.12.26) для со(Е;) в функциональное урав-
нение D.12.41) и раскладывая все функции в ряд в окрестности
бесконечно удаленной точки, нетрудно заметить, "что к = 1, так что
если со(?) имеет D.12.26), то она необходимо равна
/? D.42.42)
Из условий симметрии следует, что постоянная ct действительна.
Используя D.12.42), из функционального уравнения D.12.41) най-
дем ф(?).
Удовлетворяя условиям на бесконечности, получаем
26, = - 2ДЛ - -X Cl (Cl - 1) + ^ A _ с\) A
, i)<^)
Система нелинейных алгебраических уравнений D.12.43), а так-
же уравнения D.12.37) и D.12.39) служат для определения постоян-
ных о*, if> Ci, ai, 6i, a2 и Ь2. Алгебраическая система уравнений
легко решается методом малого параметра:
С1 ~ С10 ~Ь С12е » С10 =: "^ ~- 1 v >
A - 2v) [ 2р + a^ + оу - pgff/A - у)]
pg
2 ' ' •
(c l) f + a2; a2 = 0.
173

-?B4,-1-4,), D.12.44)
+ у «ю (сю + см) + Yi {r=-v - у) ci2 (ею - 1).
Ь2о = у (P + <**) A j
Контуры искомого отверстия, обеспечивающего' максимальную
прочность, в первом приближении оказываются семейством подоб-
ных эллипсов D.12.42).
Если в разложении D.12.27) учесть члены, содержащие е более
высоких степеней, то линии раздела будут не эллипсами, а линия-
ми, близкими к эллипсам. В частности, можно показать, что если
ограничиться членами, содержащими ё в степени ^4, то контурами
искомого отверстия будут
и(?) = ? + с,/Б + сЛ3- D.12.45)
Приведем формулы, дающие решение прио"?°= сг?°= р = 0, т. е.
когда стенки отверстия и граница полупространства свободны от
нагрузок:
ф(Б) = '
•V = Т^; а* = - f^ ci =
1 — 2v; с12 = -j- v (v — 1); ах = 0; а2 = 0; bv = b10 + Ь12е2,
D.12.46)
E - 18v + 26v2 -
3. Рассмотрим задачу об отыскании контура равнопрочной вы-
работки в тяжелом упругом полупространстве у<Н, ослабленном
двумя одинаковыми туннелями, представляющими собой цилиндры
с осью, параллельной поверхности полупространства. Пусть центры
отверстий расположены на оси х и находятся на расстоянии 21 друг
от друга. Начало координат* выберем в точке, равноудаленной от
174 ,

центров отверстий. Граничные условия такие же, как ив предыду-
щем пункте. Решение этой задачи определяется формулами D.12.27),
D.12.38)-D.12.39), D.12.41)-D.12.43), при этом
z — ? = /?(о(?), Ао = — ЯцБ + агъг, Ai = aiE2,
Во = -й.е + Ь2ё2, 5, = Ь,е2, e=R/2l.
Ввиду громоздкости выражений для постоянных о%, у, cif ci, bi
и Ь2 они не приводятся.
Можно показать, что если учесть в разложении члены, содер-
жащие е в степени ^4, то контурами искомого отверстия будут
Глава V
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКИЙ ОБЗОР
Плоское напряженное состояние приближенно имеет место в
тонкой пластинке, нагруженной только в своей плоскости. Так как
толщина пластинки мала по сравнению с поперечными размерами
и основания пластины свободны от нагрузок, то компоненты тензора
напряжений о2, xxz, ryz малы по сравнению с остальными напряже-
ниями ох, Оу, Тху, которые мало изменяются по толщине. В дальней-
шем напряжения ах, ау, тад можно заменить их средними значения-
ми по толщине, а напряжения аг, тяг, т^ положить равными нулю. •
Толщина пластины в этом случае не имеет значения, поэтому в
дальнейшем она принимается равной единице.
Компоненты напряжений плоского напряженного состояния при
отсутствии объемных сил удовлетворяют двум дифференциальным
уравнениям равновесия
дх ду
В упругой области имеют место следующие соотношения:
закон Гуна
?у=Е~1(о„ — хах), E.1.2)
условие совместности деформаций, которое в напряжениях име-
ет вид
+ о»)«=0; • E.1.3)
175

свяаь между смещениями и деформациями
^* = дх' ^ ~ ду1 *¦"- ~"
Приведем теперь соотношения, имеющие место в пластической
области: . " " • >
условие пластичности, . , -- _ i
E.1.5^
ассоциированный закон пластического течения
- dp~kMr d р — JlJU. d р — * д/.
E.l4
кинематические соотношения
Приращения упругих деформаций в пластической области свяэ
с напряжениями законом Гуна.
Как уже отмечалось в гл. IV, плоская задача теории идеальнс
пластичности является статически определимой, если граничные ус
ловия заданы в напряжениях. ' ,
В 1963 г. Г. П. Черепанов дал точное решение задачи о
пределении напряжений в бкрестности кругового отверстия плоско-?
"напряженного тела, к контуру которого приложены постоянный^
нормальные усилия, а поле напряжений на бесконечности однород- :
но [23; 24]. Предполагалось, что материал удовлетворяет условик»;?
пластичности Треска — Сен-Вёнана. Решение было найдено методом*
функциональных уравнений (см. гл. IV, § 2). , " i
! Интересно отметить, что. в рассматриваемом случае упруго-пла- ^
стическая задача, вообще говоря, обладает всей гаммой типов урав-if
нений: в области, непосредственно прилегающей к контулру тела^'-
определяющая , система уравнений гиперболического типа (два 4
семейства характеристик являются логарифмическими спиралями); ::
затем идет область, в которой, определяющие уравнения имеют ^
параболический тип (единственное семейство характеристик обра- '*
зоваяо радиальными прямыми); во, внешней, упругой области опре-
деляющие уравнения эллиптического типа (бигармоническое уравне-
ние). Указанная задача приближенно изучалась ранее А. П. Соко- .
ловым [19], Б. В. Заславским [9], И. И. Фаербергером [211,
П. И. Перлиным [171; Д. Д. Ивлевы» [193 к гл. IV.
В работе [22] рассмотрена упруго-пластическая задача для тон-
кой пластины с бесконечным рядом одинаковых круговых отверс-
тий. При помощи -метода упругих, решений Д. А. Ильюшина
В. М. Панферов .рассмотрел задачу с .эллиптическим отверсти-
ем 06]. : . " . ,
- "?

В конечно-разностной интерпретации метод А. А. Йлыгапииа
был успешно применен Ю. Г. Коротких для численного решения
нелинейно-упругих задач [11, 121. Численные методы еще сравни-
тельно Мало применялись в упруго-пластической задаче дли плоско-
го напряженного состояния. Кроме работ П. И. Перлина A7],
Ю. И. Солодилова [201, И. А. Биргера [1, 2] можно привести еще
только несколько опубликованных работ с использованием числен-
ных методов.
Саусвелл и Аллен рассмотрели полосу с двумя симметричными
полукруглыми и угловыми выточками [30]. В работе [13] дано
численное решение некоторых упруго-пластических задач для тон-
ких пластинок с прямолинейными разрезами. В [10] рассматрива-
лась упруго-пластическая задача для бесконечной пластинки с кру-
говым отверстием, находящейся под действием одноосного растя-
жения, в случае степенного упрочнения материала.
В случае плоско-напряженного состояния (пластин) имеется
класс решений упруго-пластической задачи, представляющей осо-
бенно большой интерес для механики разрушения [27]. Во многих
задачах плоского напряженного состояния пластические деформа-
ции сконцентрированы вдоль линий («шейка»); решение таких задач
находится методами теории упругости. Впервые решение такого
типа для одной щели в пластинке, растягиваемой на бесконечности
по направлению, перпендикулярному линии разреза, было указано
Д. Дагдейлом [29], который подтвердил также экспериментально
эхо решение. Почти одновременно аналогичные решения были весь-
ма полно изучены М. Я. Леоновым и его коллегами П. М. Витвиц-
ким,-С. Я. Яремой в цикле работ [3—7, 15].
За рубежом предположение о концентрации пластических де-
формаций вдоль отрезка на продолжении трещины получило назва-
ние «гипотезы Дагдейла». Последняя обсуждалась также в статье
Гудьера а Филда [28]. В этой постановке Л. А. Галин и Г. П. Че-
репанов получили решение контактной упруго-пластической задачи
в условиях плосконапряженного состояния как для жёсткого штам-
па, так и для случая контакта двух упруго-пластических тел [81.
§ 2. ПЛАСТИНКА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
1. Пусть бесконечная пластинка, находящаяся в плоском на-
пряженном состоянии, имеет круговое отверстие радиуса R с цент-
ром в -начале координат. К контуру отверстия приложена постоян-
ная нормальная нагрузка о> = /> и равная нулю касательная Тгв = 0.
В бесконечно удаленной точке имеет место однородное напряжен*
ное состояние . '
<ь —<?;<>» «qTi^y— О- E.2.1)
Считаем, что под действием заданной системы внешних усилий
пластическая область охватывает все круговое отверстие. В качестве
12 в. Д. Лвшга, Г. Л. Черепанов 177

условия пластичности в пластической области возьмем условие
пластичности Треска — Сен-Венава. Предположим, что в пластиче- •;
ской области имеет место неравенство а6^ог>0. Тогда харакхе-•?
ристики в пластической области будут радиальными прямыми, а на-
пряжения равны
о, = о, + (р - о.Ш/r, ов = о„ Тгв = 0 E.2.2) -
(о, — предел текучести при растяжении).
Для выполнения неравенства ов^5ог>0 нагрузка р, очевидно,
должна удовлетворять условию 0 < р < а,. В упругой области имеют
место основные представления Колосова — Мусхелишвшга
E.2.3) •;
ов - о, + 2itre = 2e2i4zO'(z) + W(z)]. f
Используя. E.2.2) и E.2.3), граничные условия на неизвестном :^
контуре L, разделяющем упругую и пластическую области, пред- §
ставим так: i
^i) на L, E.2.4) |
При \z\ -*¦ оо
Перейдем на параметрическую плоскость комплексного nepe-.t
менного t, при помощи преобразования z = ?o(?). Аналитическая¦%
функция ?о(?) конформно отображает внешность единичного круга;*
плоскости % на внешность неизвестного контура L плоскости z с 4
соответствием бесконечно удаленных точек а(°°) = «>. Она должна 9
быть определена в процессе решения задачи. Полагая '¦§•
в силу E.2.4) получаем на плоскости ? следующую краевую задачу $
для определения трех аналитических функций <р(^), г|з(?) и а(%): :|
E-2-5)
при |S| = i. i
На основании E.2.4) функции <р(^) и ¦§{?) па бесконечности j
ведут себя следующим образом: j
1J) @ = 1/2 (аГ - а^) + О (Г2), E-2.6)
178

Рассмотрим функциональное уравнение
0 ;|>1. E.2.7)
*> (О \ZI 24.@ К «(О «A/0
Ищем решение функционального уравнения в виде (см. гл. IV, § 2)
E.2.8)
где JPv — полином степени v с неопределенными пока коэффициен-
тами. Подставляя E.2.8) в E.2.7) и раскладывая все функции в ряд
в окрестности бесконечно удаленной точки, нетрудно заметить, что
v = 3, а значит, если функция ю(?) имеет вид E.2.8), то она необ-
ходимо равна
4в(С) = с% + еЛ.+ сЛ* + сЛ3. E-2.9)
Из условий симметрии постоянная с2 равна нулю, а остальные по-
стоянные действительны. Покажем, что их можно выбрать таким
образом, чтобы правая часть функционального уравнения E.2.7)
была аналитической во внешности единичного круга. Функция о>(?)
имеет, очевидно, четыре нуля, расположенных внутри единичного
круга 1?1 < 1, а у функции л>A/?) все четыре нуля расположены
вне единичного круга. Для того чтобы правая часть функциональ-
ного уравнения E.2.7) была аналитической во внешности единич-
ного круга, необходимо и достаточно потребовать попарного совпа-
дения нулей функции о>A/?;). Так как функция
.5 A/Q = 1/С (с + cj» + с3Р), E.2.10)
то для попарного совпадения нулей достаточно потребовать равен-
ства нулю дискриминанта биквадратного уравнения
с\ = 4сс3. ' E.2.11)
Используя условие E.2.11), функции ©(?;) и ©(Jj) можно записать
в виде
фj) E.2.12)
Из функционального уравнения E.2.7)
Найдем функцию ф(^). Первое краевое условие E.2.5), исполь-
зуя формулы E.2.12), удобно записать так:
' '
12* 179

Функция F+(t,), равная
) 2*Vbir-a')-r?—, E.2.15)
аналитична всюду внутри единичного круга |?| < 1, а функция
F~(W, равная
F- @ =
аналитична всюду вне единичного круга |?| > 1.
Краевое условие E.2.14) можно представить в виде
F-(?) при 1?1 = 1. E.2.17)
Следовательно, функции F+(?) и F~(?) являются аналитическим
продолжением друг друга через единичную окружность. По теореме
Ж. Лиувилля они равны тождественно одной и той же постоянной.
Отсюда, а также из условия на бесконечности E.2.6), для <р(?) лег-
ко получить
причем между тремя неизвестными пока коэффициентами должна
существовать следующая связь:
Из формулы E.2.18) находим
^-'cH^+°к~*)>при кк~. E-2-2°)
Используя условия на бесконечности E.2.6) и E.2.20), по формуле
E.2.13) получим еще одно соотношение между коэффициентами
с, d, с,:
Итак, функции ф(^), ty(Q и <а(?) определяются по формулам
E.2.12), E.2.13) и E.2.18), а коэффициенты находятся из решения
трех конечных уравнений E.2.11), E.2.19) и E.2.21). Легко прове-
рить, что при- этом все граничные условия и условия на бесконеч-
ности удовлетворены.
180

Решение системы уравнений E.2.11), E.2.19) и E.2.21) можно
представить в виде
С ~ а(а2-4)' Cl ~ а («2 - 4)' (&-
где а является действительным корнем кубического уравнения
а3 + 4а-ЬР = 0, Р = 8(а~-а~)/(а,-р). E.2.23)
Так как дискриминант D = —4* — 27{}2 кубического уравнения
E.2.23) всегда отрицателен, то уравнение E.2.23) всегда имеет один
действительный и два сопряженных комплексных корня.
Окончательно исходные функции юE), 'ф(?) и г|з(?) согласно
формулам E.2.12), E.2.13), E.2.18) и E.2.22) примут вид
Ф (С) = о. -1 (о" + <) - И(У^С'. E-2-24)
2.. Исследуем полученное решение E.2.24). Уравнение контура
L, разделяющего упругую и пластическую области, представим в
параметрическом виде
x4t) =4A + a) cos t + a2 cos 3t,
j/*(t)=4(l-a)sint-a2sin3t, E.2.25)
О < t «? 2я
= a(a2 - 4)*(f), %*(f) = a(a2 -
Параметры задачи a и a должны удовлетворить некоторым не-
равенствам, вытекающим из условия полного охвата кругового от-
верстия пластической зоной и условия однолистности функции ю(?).
Эти неравенства определяют границы существования решения
E.2.24). Для определенности считаем
Кроме того, должно выполняться очевидное неравенство
Отсюда a < 0, ? < 0, а > 0. Для того чтобы пластическая зона охва-
тывала все отверстие, необходимо, чтобы имело место неравенство
Ш < o(i), следовательно, параметры должны удовлетворять еще од-
.ному неравенству
a<2(l + a)/(l-a). E.2.26)
181

Собирая все неравенства вместе, получаем
0>а>-1, 2A + а)/A-а)>а>0; E.2.27)
2>а>0.
Производная выражения E.2.24) для ю(?) будет
Ч E.2.28)
а, {а —
Для конформности отображения, производимого аналитической
функцией ю(?), необходимо, чтобы всюду во внешности единичного
круга ее производная была отлична от нуля. В противном случае
на контуре L, разделяющем упругую и пластическую области, по- .
является петля неоднозначности, которая не имеет физического \
смысла. Для выполнения условия однолистности параметр а со- ¦¦-
гласно E.2.28) должен удовлетворять неравенству ;
О ^а ^ 2/3. E.2.29) ;
Окончательные границы существования решения E.2.24) определя-
ются неравенствами
2A + а)/A-а)^а^0, *0«?а*?2/3; E.2.30)-i
-К а < -1/2. . .^
Как видно, решение E.2.24) существует лишь до появления^
точки возврата на контуре раздела упругой и пластической областей.^
3. Решение краевой задачи E.2.24) искалось в классе функ-i
ций, ограниченных всюду в упругой области, включая неизвестную 4
границу. Можно построить другое решение этой задачи, неограни- ,к
ченное в некоторых точках упругой области (почти всюду ограни- f
ченное). Действительно, пусть решение функционального уравне- Г
ния E.2.7) выражается по-прежнему формулами E.2.12) и E.2.13).,
Для определенности считаем о?° ^ а?° ^ 0. Ищем решение краевой,!
задачи Дирихле E.2.5) для функции ф(?) в классе функций, имею-.,
щих полюсы в точках ? = ±1. Так как сосредоточенная сила в со-*
ответствующих точках неизвестного контура физической плоскости z *
отсутствует, то в точках ? = ±1 должно выполняться при этом
условие
ю'(±1)=0. E.2.31)"
за
Условие E.2.31) означает, что неизвестный заранее контур раздела
упругой и пластической областей всегда имеет точки возврата в. »
точках, соответствующих ? = ±1. При этом напряжения в упругой!
области в окрестности точки возврата имеют особенность типа 1/Vs. 1
•Математическое допущение о неограниченности напряжения в ок-1
рестности точки возврата физически объясняется наличием местных;
статических неопределимых пластических зон в окрестности точки-
возврата, и в этом смысле второе решение является приближенным.
Учитывая формулу E.2.12), из условия E.2.31) получим j
2c = 3ct. E.2.32)^
182 ~

Легко показать, что решение задачи Дирихле E.2.14) в ука-
занном классе функций, не удовлетворяющее пока условию на бес-
конечности, имеет вид
32с
где А — действительная постоянная. Здесь были использованы со-
отношения E.2.11) и E.2,32).
Для определения постоянных с и А служат два условия на бес-
конечности E.2.6). Используя соотношение E.2.6), а также форму-
лы E.2.33), E.2.13), E.2.11) и E.2.33), получаем .
GJt(os-p) ,
,1 . 37 со 17 с*> 5
А=Ы°* ~640* ~Г60
Функции ю(?) и_г|>(?) можно записать^ виде
ф(Р/1\
Запишем уравнение контура, разделяющего упругую и пластиче-
скую области, в параметрическом виде
x(t) = l/3cE cos t + 1/3 cos 3t),
yU) = l/3c(sinf-l/3sint), E.2.36)
0 «S t ^ 2я.
Как видно, контур раздела упругой и пластической областей
при значениях параметров нагружения остается подобным контуру
решения E.2.24) для критического значения параметра а, равного
2/3, при превышении которого решение E.2.24) теряет физический
смысл. Функция o>(f;) является однолистной при всех значениях
параметров нагружения всюду во внешности единичного круга.
Решение E.2.33)—E.2.35) существует при всех значениях па-
раметров нагружения, удовлетворяющих условию полного охвата
кругового отверстия
4с >9Я E.2.37)
.4. Рассмотрим вопрос о существовании и единственности ре-
шения исходной упруго-пластической задачи. Найдем сначала обла-
сти существования решения E.2.24) и решения E.2.33)—E.2.35).
Эти решения зависят от трех параметров нагружения р* = р/о»,
ах = а™/о„ а2 = o™/os, которые образуют трехмерное пространство
параметров нагружения. В целях простоты и наглядности положим
р* = 0, так что областью изменения двух параметров нагружения
183

W
Ofi-
04 и о2 будет треугольник с вершинами
{О, О), @, 1) и A, 1) плоскости
(вследствие неравенства
Области существования решений
изображены на рис. 5.1. Горизонталь-
ными штрихами покрыта область су-
ществования решения E.2.33)—E.2.35),
а вертикальными — область существо-
__, ^ вания решения E.2.24). Прямая АВНЕ
О Ofi to задает параметры нагружения, прико-
<5, торых контур раздела упругой и гепа-
рд S1 стической зон решения ' E.2.33)—
E.2.35) касается кругового отверстия;
ее уравнение на основании E.2.37) имеет вид
21o2-33ot + 4 = 0. E.2.38)
Прямая AGF имеет уравнение. о2 — ot = 0. Кривая GBCD задает па-
раметры нагружения, при которых контур, разделяющий упругую
и пластическую зоны, согласно решению E.2.24) касается кругово-
го отверстия; уравнение кривой на основании E.2.30), E.2.22) и
E.2.23) имеет вид
Прямая CHF задает параметры нагружения, при которых на кон-
туре раздела упругой и пластической зон в решении E.2.24) появ-
ляется точка возврата; ее уравнение на основании E.2.30), E.2.22)
и E.2.23) записывается в виде
37о2 - 17at - 20 =- 0. E.2.40)
Как видно из рис. 5.1, в областях I, III и IV решение единст-
венно, а в области II имеется два решения. Можно показать, что
при априорном 'предположении о единственности решения функцио-
нального уравнения в классе почти всюду ограниченных функций
однолистных решений исходной краевой задачи E.2.4), отличных
от решения. E.2.24) и от решения E.2.33)—E.2.35), больше не су-
ществует. Действительно, единственность решения E.2.24) в клас-
се всюду ограниченных функций следует из единственности реше-
ния задачи Дирихле E.2.5) для функции ф(?). Единственность ре-
шения E.2.33)—E.2.35) в классе неограниченных функций явля-
ется следствием того, что (a'CQ может обращаться в ноль лишь
в точках % = ±1 единичного круга (при а">о-™>0).
5. Везде ранее в настоящем параграфе предполагалось, что
нагрузка р удовлетворяет неравенству 0 < р ^ о„. Пусть теперь на-
грузка р изменяется в пределах 0 3* р 3* — os. Тогда из условия пла-
стичности Треска — Сен-Венана следует, что напряженное состоя-
184
J

ние в пластической области описывается формулами, найденными
впервые В. В. Соколовским:
при R < г s? R ехр (— р/а,)
о» = р + а« + о. In ir/R), oe — or = о,;
E.2.41)
при г > R ехр (—jj/oj,
о,)/г, ов = о„ тгв==0.
Очевидно, все полученные ранее решения упруго-пластической
задачи будут справедливыми лишь при условии, что контур раздела
упругой и пластической зон целиком охватывает круг радиуса
Йехр (— р/а,). Для этого везде в решениях достаточно формально
заменить р на нуль, a R — на Дехр(— p/as). Интересно отметить,
что в рассматриваемом случае упруго-пластическая задача облада-
ет всей гаммой типов уравнений: в области R^r<Rexp(~р/а„)
определяющая система уравнений гиперболического типа '(два се-
мейства характеристик являются логарифмическими спиралями);
в области, заключенной между кругом радиуса R ехр (— p/as) и.гра-
нипей упругой и пластической зон, определяющие уравнения пара-
болического типа (единственное семейство характеристик образо-
вано радиальными прямыми); в упругой области определяющие
уравнения эллиптического типа.
6. Для определения смещений в пластической области восполь*
зуемся ассоциированным законом пластического течения E.1.7).
В рассматриваемом случае будем иметь
*!? = 0,- deg = a,, derpe = 0, E.2.42)
и так как деформации малы, то можно перейти к составляющим
скорости V, и Ve:
dvr • i di>e ( vT
Er = ~8f-> 6e = "Г Ж "T" T' lr. ,пч
E.2.43)
7гв г йв + йг г
(точка означает дифференцирование по времени).
Для скоростей vr и и» в пластической области будем иметь
уравнения
Интегрируя первое уравнение, получим
Рг=--/(в)._ E.2.45)
С учетом E.2.45) второе уравнение E.2.44) запишется так:
- /' F) + r it ~ ve = 0, E.2.46)
185

Положим р = In г. Тогда уравнение E.2.46) примет вид
Интегрируя последнее уравнение, находим
vB = - /чв)
E.2.47)
E.2.48)
Формулы E.2.45) и E.2.48) определяют скорости vr и ve, при
этом функции vr и уе на найденной выше границе раздела упругой
и пластической областей должны равняться соответствующим упру-
гим скоростям точек границы, известным из решения упруго-пла-
стической задачи.
Смещения в упругой области равны (р, =
t"Bt*+
«XJ : ( '
faD-.1)С"
Х
E.2.49)
Для определения функций /(в) и С(в) необходимо продиффе-
ренцировать по времени выражение E.2.49) для упругих смещений
при ? = 1/?, соответствующих L (а, а, р, а? и а~ — вообще гово-
ря, .некоторые функции времени), и приравнять упругие скорости
t? и v% к скоростям уг и v».
Не приводя чрезвычайно громоздких выражений, в результате
найдем
E.2.50)
где г = го(в) есть уравнение контура L.
7. При растяжении пластинки вдоль одной из осей координат
область пластических деформаций'может не охватить целиком кру-
гового отверстия. Как уже отмечалось, точного решения упруго-
пластической задачи при частичном охвате .кругового отверстия пла-
стической зоны неизвестно, поэтому, приведем приближенное реше-
186
'#

Рис. 5.3.
е>(*г/си')
ние, основанное на теория упруго-пластического изгиба кривого
бруса ?211. . "
Пусть тонкая пластинка толщиной h с круговым отверстием,
контур которой свободен от внешних усилий, растягивается вдоль
оси ординат усилиями о?° —q>osh. Здесь ф — безразмерный параметр,
О «? ф «? 1 (Е — модуль Юнга, Е9 — модуль упрочнения).
При Я = 0,33 появляются пластические деформации. Для пла-
стинки из материала D-16 ТС с отношением ширины пластинки Ъ
к диаметру кругового отверстия 2Й,
равным п =' b/2R =7 и п = 6, на
рис. 5.2 и 5.3 соответственно показа-
ны изменения упруго-Пластической
границы в зависимости от величи-
ны внешней нагрузки (к — Ер/Е=:
= 0,0167). Диаграмма растяжения ма-
териала пластинки, которая в расче-
тах была заменена двумя прямоли-
нейными участками ОА и АВ, пока-
0 1 з 5 7 9 зана на Рис- *>.4 (Л = 0,0167). Как
t(v.) видно из рис. 5.2 и 5.3, с увеличени-
ем нагрузки о~от 0,ЗЗоаЛ до 0,65о„й
4000
2000
\
1
в
п-7
К'0,016/ Л=6
Рис. 5.5.
187

пластические деформации быстро распространяются вдоль контура
кругового отверстия.
При дальнейшем увеличении внешней нагрузки (с~ > 0, )
область пластических деформаций растет в направлении ширины
пластинки, уменьшаясь возле самого отверстия. На рис. 5.5 и 5.6
изображены зпюры нормальных напряжений по ширине ослаблен-
ного сечения. С ростом внешней нагрузки происходит выравнивание
напряжения вдоль ширины сечения, приводящее к уменьшению
концентрации напряжений. Этот метод был продолжен О. Г. Рыба-
киной [18] в случае больших пластических деформаций с учетом
истинного закона упрочнения.
§ 3. ПЛАСТИНКА,
ОСЛАБЛЕННАЯ БЕСКОНЕЧНЫМ РЯДОМ
v ОДИНАКОВЫХ КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ
Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся в плоском на-
пряженном состоянии, с бесконечным числом одинаковых круговых
отверстий, центры которых расположены на оси х и находятся на
расстоянии I друг от друга. Радиусы отверстий, к контурам кото-
рых приложены нормальные усилия р, примем равными R. На бес-
конечности имеет место однородное напряженное состояние
ах == сг~, оу= а~, т^ - 0. E.3.1)
Пусть под действием заданных, усилий пластические зоны пол-
ностью охватывают отверстия, но не сливаются. Требуется опреде-
лить линии раздела упругой и пластической зон, а также напря-
женное состояние пластины.
Круговое отверстие, в центре которого помещено начало коор-
динат, назовем основным, а границу между упругой и пластической
областями около этого отверстия обозначим через L. В силу геомет-
рической и силовой симметрии форма линий раздела областей око-
ло каждого отверстия будет такой же, как и возле основного отвер-
стия. Так как напряжения в пластической области определяются
лишь формой контура отверстия и граничной нагрузкой и не зави-
сят от напряженного состояния в упругой области, то в каждой
пластической области они будут такими же, как и в случае с одним
отверстием E.2.2).
В упругой области напряженное состояние определяется двумя
аналитическими функциями Ф(г) и \P(z). Функция ФЫ, связан-
ная непосредственно с напряжениями,"будет периодической в на-
правлении оси х. Введем периодическую функцию
Справедливы соотношения
°у-°х+ 2^ = а~ - а" + 2 [(* _ z) Ф' (z) + ?* (z)].
188

На основании E.2.2) и E.3-2) граничные условия на неизвест-
ном контуре L, разделяющем упругую и пластическую области,
запишем в виде
4 Re Ф (z) = 2<rs + Д(РГ°8) - (о? + о~),
„, . E.3.3)
(«¦ - г) Ф' (Z) + W* (z) = Щ^± в-«е _ _j_ (аГ _ а~).
Аналитические функции Ф(г) и ^(z) можно представить так:
E-3'4)
2
со «,
Здесь знак ' означает отсутствие в суммах членов с номером
п = 0, а переменная Z, связана с z соотношением
z - nl - ©(^) —eg + Pv(l/P, E'.3.5)
где Pv(^) — полином v-й степени с неопределенными пока коэффи-
циентами.
Первые суммы <р(?) и г]э(?) являются аналитическими вне кон-
тура L, а вторые суммы <pi(?) и фЛ?) аналитические внутри L,
причем они зависят от малого параметра е = R/1". Разлагая их в
ряд по степеням этого параметра и сохраняя члены, содержащие,
например, е2, получим
л2 л2
Ч>1 @ = "з" аг«282 — -g" fliC2e2« (С),
E.3.6)
^ @ = i- 62A2 - ^- V282to @.
Используя E.3.3), E.3.4) и E.3.6), получаем краевую задачу
на плоскости для определения аналитических функций <р(?), г]э(?)
и (о(?) в таком виде:,
при |?| = 1
4 Re Ф (?) = 2os + R (р - as)/\ to Q | - (а» + О + % rf<h<*z* [to (?) +
+ Mtl] - 4/3я2а2С2еа, E.3.7)
при |?j = i
- to
¦> Более удачным малым параметром является s, = d/l, где d — наиболь-
шее расстояние точек пластической, области от начала координат. Переход
к этому параметру производится заменой с = ке\, d = KR, где величина к
определяется или задается наибольшей величиной допустимых для данного
метода нагрузок после построения формального аналитического решения.
189

Для решения^ нелинейной краевой задачи E.3.7) запишем ее
в виде системы двух функциональных уравнений, справедливых во
всей плоскости ?,
2Ф @
+ А лЧА2 [«(О + »A/?)] 1- я2а2с2е2,
з A/?) - to (О] + —¦ V2e2« @ - -^ 62c2e2. E.3.8)
Будем искать функцию ю(?) в виде
/?2 + с,/?3. <5.3.9)
При зтом из условий симметрии следует, что постоянная с2 равна
нулю, а остальные постоянные действительны. В § 2 было показа-
нв, что необходимо и достаточно выполнение равенства
с\ = 4сс3 E.3.10)
для того, чтобы правая часть функционального уравнения была
аналитической во внешности единичного круга. _
С учетом условия E.3.10) функции со(^) и (оA/Е;) можно за-
писать в виде '
=%[*+($• E-ЗЛ1)
Найдем функцию <р(?). Первое функциональное уравнение за- i
пишем в виде ' * >
i*
4
3 ;
E.3.12) *
Здесь учтены формулы E.3.11).
Функция- F+(%), равная
E.3ДЗ)
190

аналитична всюду внутри единичного круга |?1 < 1, а функция
/"-(?), равная
E.3.14)
аналитична всюду вне единичного круга |?| > 1. На основании пер-
вого краевого условия E.3.12) функции F+(?) и /""(?) являются
аналитическим продолжением друг друга через единичный круг:
F+(?>= *"-(?> при ICI-1. -
По теореме Ж. Лйувилля единичная аналитическая функция
равна нулю. Отсюда для функции <р(?) получим
4' <5-3-15>
Учитывая условия на бесконечности, имеем
4 >**V = 0, E.3.16).
4 а1. E.3.17)
«2 - Р
2(с,-г)
Из соотношения E.3.17) следует, что
а. = 0. E.3.19)
На основании E.3.15) находим
Из второго функционального уравнения определим функцию
* / „»ч я2 яа „ „
191

Учитывая условие на бесконечности, получим еще три соотношения
7' ^^-<*-«-Т*Vtf - С E.3.2!)
6» = 0, E.3.22)
¦ Таким образом, функции <р(?), г|>(?) и со(?) определяются по
формулам E.3.11), E.3.15) и E.3.20). Постоянные с, сл, с„ Ог, 62,
входящие в предыдущие формулы, находятся из системы пяти ко-
нечных уравнений E.3.10), E.3.16), E.3.18), E.3.21) и E.3.23).
Нетрудно убедиться, что при этом все граничные условия и усло-
вия на бесконечности удовлетворены.
Если в разложении-1E.3.4) учесть члены, содержащие ев чет-
вертой и более высоких степенях, то контурами раздела будут не
линии E.3.11), а линии, близкие к E.8.11). Очевидно, что эти чле-
ны при малом е малы и не смогут значительно изменить получен-
ные линии раздела.
Ранее в работе [9] была сделана попытка получить решение
рассматриваемой задачи (при а, = р = 0 на контуре отверстия)
способом аппроксимации функции напряжений в пластической об-
ласти бигармонической функцией. Заметим, что решение рассмот-.
ренной задачи искалось в классе функций (напряжений), ограни-
ченных всюду в упругой области, включая неизвестную границу .:
раздела упругой и пластической областей. На основании § 2 гл. V
следует ожидать, что существуют другие решения рассмотренной
задачи в классе тгеограниченных функций, при этом Неизвестный *
контур раздела упругой и пластической областей должен иметь ":
точку возврата в соответствующей точке неограниченных функций.
•1
§ 4. РЕШЕНИЕ " -i
С ПЛАСТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ РАЗРЫВА . 5
1. Рассмотрим тонкую пластинку со сквозной трещиной дли- \|
ной 2Г нормального разрыва, подвергающуюся воздействию растя-
гивающих усилий. Материал пластины предполагаем идеальным
упруго-пластическим и удовлетворяющим условию пластичности
Треска — Сен-Венана. Берега трещины свободны от нагрузок. На-
чало декартовых координат ху возьмем в середине трещины, ось
х направим вдоль трещины.
Из опыта хорошо известна общая тенденция к формированию
пластических областей на первых стадиях их развития в виде уз-
ких полос скольжения, занимающих незначительный объем тела по
сравнению с его упругой частью. Такое развитие пластических де-
формаций особенно характерно для материалов, обладающих четко
выраженной площадкой текучести (для металлов типа мягкой ста-
ли, склонных к запаздыванию текучести). Пластические области
192

вблизи концов трещины будут представлять отрезки длины d вдоль
линии трещины на ее продолжении [4, 29]. Толщина зоны равна
нулю. Физически в тонких плайинках она может реализоваться
в виде плоскости скольжения, направленной под углом 45° к пло-
скости пластины.
Таким образом, благодаря локализации пластических деформа-
ций рассматриваемая упруго-пластическая задача может быть све-
дена к следующей граничной задаче плоской теории упругости:
тзд = 0 при у = 0,
а„ = 0 при i/ = 0, Ы <1,
о„ = а, при у = О, I < \х\ < 1+ d, E.4.1)
v = 0 при у = 0 \x\>l + d,
Gy =*= o?° при z-> oo.
При помощи представлений Колосова — Мусхелишвили и вспо-
могательной аналитической функции Q(z) = z<fr'(z) + \P(z) гранич-
ную задачу можно записать в следующем виде:
при у — О, —Кх<1
при у = 0, K\x\<
Ф(г) + Ф(г) + Q(z) = as; E.4.2)
при 2 -> °° .
ФB) = а~/4,О(г) = а~/2.
Решение краевой задачи E.4.2) имеет вид
°° In
2ni
1п
4 2ni l + z 2ni ydBi + d)((i + ^_^)lz +
E.4.3)
fi(z) = Оу>2, d/l=sec{no™/2os)—l.
Здесь корень 1/A + d2) ~ z2 считается положительным на верхнем бе-
регу разреза ¦(— I — d, l + d) вдоль оси х, а
лам
Напряжения и смещения в пластине определяются по форму-
ах + а„ = 4 Re Ф (z), оу - ах + 2Нху = а~ - ЫуФ' (z),
Полученное решение E.4.3) упруго-пластической задачи спра-
ведливо, когда вне отрезков Z< \x\ ^l + d оси х материал находится
в упругом состоянии. Однако когда максимальные касательные на-
пряжения на площадках, перпендикулярных к плоскости пластинки,
13 Б. Д. Аннин, Г. П. Черепанов 193

достигают предела текучести о„/2, появляются новые линии сколь-
жения (см. гл./IV, § 7). Нагрузку, при которой возникают боковые
полосы пластичности, найдем из равенства
Тщах = V, | Оу — Ох + 2Нху | = Чрв.
Окончательно будем иметь
— 2/я = 0,603as. E.4.5)
Как видно, решение упруго-пластических задач в указанной
постановке (постановке Дагдейла) существенно упрощается, так-
как сводится к отысканию разрывных решений в рамках теории
упругости. *
Приведенные выше рассуждения совершенно аналогично могут
быть использованы в общем случае произвольного числа трещин,
расположенных вдоль одной прямой в бесконечной пластине, если
к берегам трещины приложены лишь нормальные нагрузки, так что
и в этом случае пластические области в решении соответствующей
упруго-пластической задачи (при условие Треска — Сен-Венана)
могут представлять собой отрезки на продолжении трещин. Решение
строится методом Н. И. Мусхелишвили; линейные размеры зон оп-
ределяются из условий разрешимости краевой задачи в классе ог-
раниченных функций (напряжений). Нужно следить, однако, за
тем, чтобы в упругой области выполнялось еще условие Id — o2l <
< о, для главных напряжений. При некоторых значениях парамет-
ров нагружения оно начинает нарушаться, тогда вблизи концов
трещин возникают вторичные пластические области, скольжение в
которых происходит по плоскостям, нормальным к плоскости пла-
стины.
П. М. Витвицким [6] была рассмотрена упруго-пластическая
задача для пластины с двумя равными щелями и с двумя полубес-
конечными разрезами. Приведем результаты работы [61.
2. Пластинка с двумя равными щелями (рис. 5.7)
_ <_. {546)
zO'(.z) + ? (z).
Длина полос пластичности определяется уравнениями
- с2) cos2 -^- = а? + Ъ*—2с*-2 /(а2- с2) (Ь2 - с2) sin
(к) + -^-j П (- ф^, *J1 =. E.4.7)
194

til- f ! !
-a-c
Ь d x
I i'l I I lf .
Рис. 5.7.
где через К, П обозначены полные эллиптические интегралы пер-
вого и третьего родов соответственно, к = (d2 — c2I/2/d.
Если внутренние полосы пластичности соединяются, то будем
иметь
Ф (z}-= О (z) — V2a~ = — Ч
E.4.8)
E.4.9)
Из первого уравнения E.4.7) находим
У
Второе уравнение E.4.7) позволяет определить нагрузку а™, при
которой происходит соединение внутренних полос скольжения:
= ch [-L
arch (sec
— 2-r-sm-
-jl. E.4.10)
3. Пластийка с двумя полубесконечными разрезами (рис. 5.8)
E.4.11)
Длина полос пластичности определяется из соотношения
с = а У\-рЧЬа*а\. E.4.12)
4. Пластинка с периодической системой прямолинейных сквоа-
ных разрезов длиной 21, расположенных вдоль действительной оси
х. Пусть центры разрезов находятся в точках х = ± 2nl, где п —
целое число. Берега разрезов свободны от нагрузки, пластина под-
вергается на бесконечности действию однородного растягивающего
напряжения ov = o?V о» = 0, хт = 0 при z -»¦ <».
13» 195

При помощи преобразования
t = sin (nz/2L) E.4.13)
перейдем от плоскости z к параметрической плоскости комплексно-
го переменного ?. Тогда внешность периодической системы разре-
за физической плоскости z переходит на бесконечнолистную рима-
нову поверхность ? с разрезом
[(-sin Ы/2?), sin (nl/2L)]. E.4.14)
Используя соотношения Колосова — Мусхелишвили D.1.9) и
результаты, полученные для одиночной трещины в неограниченной
плоскости E.4.3), а также преобразование E.4.13), решение рас-
сматриваемой задачи можно записать в виде [71.
<С °v , f (sin a — D ( /sin2 а, — sin2 а X
* 2
* 2ni Ь \ <sin а + D ( /sin2 ах - sin2 а
X
} E 4 15)
X /sin2 ах — ?2) — ? sin а + sin2ax j
Здесь а = лZ/2L, <ж, =n(Z + d)/2L, In /^ = In I/^I + i arg F, - л < arg F <
< л. Функция Vsinz czi — Sz считается положительной на верхнем
берегу разреза [— sm(.nl/2L), sin (л//21/)]. Длина пластической об-
ласти d связана с длиной 21 трещины и действующей нагрузкой о~
соотношением
sin a/sin ax = cos p, p = no™/2os. E.4.16)
Напряжения и смещения в пластине определяются по формулам
E.4.4) п E.4.15).
Нетрудно убедиться, что главные напряжения, соответствую-
щие решению E.4.15), удовлетворяют, условию Треска — Сен-Венана
Р»° ^ °i,2 ^ °s» причем знак равенства имеет место лишь при у —О,
Kx-Ln<l + d, -l-d<x-Ln<-l.
5. Контактная упруго-пластическая задача для пластин. Пусть
два прямых цилиндра одинаковой длины соосно соприкасаются сво-
ими боковыми поверхностями, так что площадка контакта представ-
ляет собой часть цилиндрической поверхности, ограниченную тор-
цами цилиндров и некоторыми из их образующих (рис. 5.9). Торцы
цилиндров считаются свободными от нагрузок, а размер контактной
площадки поперек образующих, как обыч-
но, предполагается малым сравнительное
характерным радиусом кривизны боко-
вой поверхности. При указанных условиях
деформируемые тела в окрестности пло-
щадки контакта будут находиться в плос-
ком напряженном состоянии, а гранич-
ные условия в этой окрестности могут быть
Рис 5.9. снесены на плоскость у = 0. Материал
196

тела удовлетворяет условию пластичности Треска — Сен-Венана.
Трением на контактной площадке пренебрегаем.
В декартовой системе координат ху деформируемые тела можно
рассматривать' как полуплоскости у > 0 и у < 0 соответственно.
В дальнейшем все величины, относящиеся к нижней и верхней по-
луплоскостям, будем обозначать индексами 1 и 2 соответственно.
Покажем, что в рассматриваемой задаче пластические области
представляют собой линии нулевой толщины, расположенные на оси
х, длина которых определяется в процессе решения. Пусть упругая
полуплоскость подвергается воздействию нормальных нагрузок о„ =
= р(х), р(х) «? 0, и равных нулю касательных т*,, = 0, а напряжения
на бесконечности исчезают; тогда главные напряжения d и о2 в
каждой точке полуплоскости будут удовлетворять условиям 0^
^ Oi, г ^ Ртах, где ртах — наибольшее значение граничной нагрузки
р(.х), причем знак равенства может достигаться только на границе
полуплоскости. Из этого положения, а также из условия' пластич-
ности, которое, очевидно, в данном случае может быть записано в
виде loli2l < os, где о. — предел текучести на сжатие, вытекает, что
решение с пластической линией на границе полуплоскости таково,
что представляет собой точное решение соответствующей упруго-
пластической задачи при условии р{х) ^ о„, — °° < х < °°.
В рассматриваемой контактной задаче пластическая линия бу-
дет реализовываться всегда на контактной площадке в более пла-
стичном теле (т. е. с меньшим os) вблизи наибольшей концентрации
контактного давления» При этом на торцах цилиндра в месте рас-
положения пластической линии останутся характерные возвышения
. материала из-за его выдавливания вследствие пластического тече-
ния. Ограничимся случаем простого нагружения и нулевых началь-
ных напряжений. Напряжения о*, о„, т^, и смещения и, v определя-
ются через потенциалы Колосова — Мусхелишвили:
= 2[ФД2) + <ВД], / = 1, 2,
x = C-v)/(l-v).
Функции ФДг) и Ф2Ы аналитичны во всей плоскости z за ис-
ключением разреза вдоль оси х, где расположена площадка контак-
та, и удовлетворяют условиям
Ф.Ы = - ФДг), Щг) = - Ф2B), Ф2Ы == - ФДг). E.4.18)
Граничные условия рассматриваемой задачи таковы:
- . при у = 0 ay = aa на L
при 0 = 0 5-5 = ^) на М- .E-4Л9)
Здесь L — пластическая линия, М — остальная площадка контакта;
/(ж) =/гЫ —/i(x), где y=*ft(x) и у — /2Ы — уравнения боковых
поверхностей цилиндров до деформации.
197

При помощи соотношений E.4.17) и E.4.18) приходим к сле-
дующей краевой задаче теории аналитических функций:
ф - _ ф+ = а на L,
- Ф+ + Ф" = Kif (х) на; М,
> A
где Я = 4G,G2/[G2(>c + 1) + G,(x + 1I.
Краевая задача E.4.20) легко решается в квадратурах для
любого числа отрезков L и М вдоль действительной оси (при помо-
щи приема, использованного, например, в [25]). Решение этой за-
дачи ищется' в классе всюду ограниченных функций; линейные
размеры пластических линий, а также контактной площадки.в слу-
чае гладких поверхностей определяются из условий разрешимости
и условий на бесконечности. Расположение и число пластических
линий легко находить из физических соображений.
Приведем решения для двух частных случаев, представляю-
щих наибольший интерес.
а) Прямоугольный жесткий штамп (рис. 5.^0)
Здесь -лри z-*¦<*> будет Vz2 —аг = 2 + 0B~*). Размер пластической
зоны определяется формулой
E.4.22)
б) Два круговых цилиндра радиусов Rt и йг (рис. 5.11)
A 2) Uz —
- EA23)
Здесь при \z\ -*¦ оо корень перед интегралом ведет себя как z% а ко-
рень под интегралом считается величиной положительной.
-е -а О а- е
Puc. 5.10.
Рис. 5.11.
198

Параметры ami, определяющие размер контактной площадки
и пластической зоны, находятся из системы уравнений
E.4.24)
Здесь К и Е — полные эллиптические интегралы.
Жирными линиями на рис. 5.10 и 5.11 выделены пластические
зоны. Физический смысл решения становится совершенно очевид-
ным, если рассмотреть равновесие "и у Sj
деформирование бесконечно малого ¦ i -i i
элемента тела вблизи пластической
линии (рис. 5.12). При достижении
тттт
т*
пластического состояния в этом эле-
менте происходит выдавливание ма-
териала в направлении нормали
к плоскости ху вследствие пласти- ^uc-S12-
ческого течения. Поэтому если ско-
рость изменения внешних нагрузок мала сравнительно с характер-
ной скоростью течения (не определяемой в рамках теории .идеально
пластического тела), то пластическая область никогда не сможет
распространяться на конечную площадь. В реальных материалах
пластическая линия будет иметь конечную толщину вследствие
упрочнения.
§ 5. ЩЕЛЬ
Пусть тонкая пластина с произвольной трещиной нормаль-
ного разрыва подвергается действию растягивающих усилий. Ма-
териал пластины будем считать идеальным упруго-пластическим
с модулем Юнга Е и пределом текучести т„ при простом сдвиге
и подчиняющимся условию пластичности Губера — Мизеса.
Рассмотрим окрестность конца трещины, малую сравнительно
с характерным линейным размером пластины, но большую сравни-
тельно с характерным линейным размером пластической области.
На плоскости х у трещина представится полубесконечным разрезом
вдоль действительной оси х, свободным от внешних нагрузок. ^
Задача сводится к определению деформаций и напряжений в
области, состоящей из упругой и пластической частей. Граница раз-
дела упругой и пластической областей подлежит определению. Бу-
дем считать, что на упруго-пластической границе непрерывны сме-
щения, деформации и напряжения. Считая справедливыми соотно-
шения деформационной теории A.2.12) « условием Г = т„, будем
использовать принцип минимума полной энергии. Действительной
форме равновесия соответствуют перемещения и, v, дающие мини-
мум функционала
199

=±e\\ Y*dxdy
f j (т*г - IF/
E.5.1)
Контур раздела упругой Dt и пластической D2 областей определя-
ется из условия Г = Зтг/Е.
В узловых точках на границе области D — Dt + Dt задавались
смещения, заимствованные из решения задачи о растяжении на
бесконечности упругой плоскости с
полубесконечным разрезом. Для чи-
еденного решения вариационной за-
дачи применялся метод конечных
элементов в сочетании с методом ло-
кальных вариаций. При этом область
разбивалась на прямоугольные тре-
угольники. В качестве D был выде-
лен квадрат с центром в начале ко- .
ординат и с разрезом вдоль действи-
тельной оси (рис. 4.7).
Численное решение этой упру-
го-пластической задачи [13] доказало, что уравнение контура, раз-
деляющего упругую и пластическую области, можно записать в
полярных координатах приближенно в виде
г = [о,25 (я - в) - 0,15 sin Щ -^. E.5.2)
Здесь о, — предел текучести на растяжение. Соответствующая уп-
руго-пластическая граница изображена на рис. 5.13 в безразмерных
координатах
Рис. 5.13.
nK\
8я
Как видно, она довольно близка к приближенному решению Д. Даг-
дейла [29]. Согласно гипотезе Дагдейла пластические деформации
сосредоточены на продолжении трещины вдоль узкого слоя нулевой
толщины (см. § 4).
§ 6. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1. Пластинка с эллиптическим отверстием.
а) Пусть на бесконечности приложены напряжения о™ и о™.
Считаем, что пластическая -область целиком охватывает отверстие.
В работе [20] эта задача решалась методом Перлиня. Уравнение
эллипса принято в форме хг + 4j/z — 4 = 0. Предполагалось выполне-
ние условия пластичности Треска — Сен-Венана. Были получены
следующие результаты.
200

Если упруго-пластическая гра-
ница проходит через точки А = 3,
1?=*—1,5», то отображающая
функция найдена в виде
Таблица VЛ
Напря-
жения
А=3
1
3
1,25
0,794 as
0,594 а3
А=з
В=—1,5
0,808
0,600 св
А=3
0,854 а,
0,626
В табл. V.1 даны положения ха- «>
рактерных точек А и В упруго- v
пластической границы и соответ-——••—
ствующие им значения о?° и о". Видно, что изменение положения
точки В в основном влияет на изменение напряжения о". Нетруд-
но убедиться, что изменение положения точки А- приводит в основ-
ном к изменению напряжения о~^.
б) Рассмотрим бесконечную плоскость с эллиптическим отвер-
стием, растягиваемую на бесконечности взаимно перпендикуляр-
ными усилиями dJPt и dJP^ направленными под углом 60 к главным
центральным оеям эллипса (d2 — некоторый параметр).
Приведем результаты, полученные методом малого параметра,
[19] к гл. IV. Уравнение эллиптического отверстия представим
в виде
р = а + еа^совге — е2—^- A — cos 40) +
Здесь а = /?/г° (/? —радиус исходного, кругового отверстия; г° —
размерный радиус пластической зоны нулевого приближения), dt —
параметр, е = (Pt — Pz)/2. Если контур отверстия свободен от внеш-
них усилий, уравнение границы пластической зоны Ls имеет вид
pg = 1 + е* [Ad2 cos 2 F — 60) +
cos
cos 29] + е** (d? № — 8а*) —
a cos 20O
4- 16d|cos4e0)]cos4e + [18 djdjx am 2Q + 16d2sin4eo]]sin48+
Здесь е* = e/a.
При d, = 0, 6o = 0, d2 = 1 получаем решение для двуосного рас-
тяжения тонкой пластинки с круговым отверстием, при dt = 1 —
решение для равномерного растяжения тонкой пластинки с эллип-
тическим отверстием. В последнем случае граница пластической
области имеет вид
= 1 + Зеcos 26 + е2 Ц| - 8а2) - ^ - 8а - -|-а2) cos 4б] +... .
2. Пластинка с круговым отверстием. Рассмотрим упруго-пла-
стическую задачу для тонкой пластины с круговым отверстием еди-
ничного радиуса при частичном охвате отверстия пластической
201

«I
0,279
0,268.
0,105
0,085
—0,05
—0,01
a.
0,014
0,105
0,079
Таблица V.2
d,
0,220
0,306
dt
0,01
—0,082
d.
0,035
областью. Приближенное решение рассматриваемой задачи для иде-
альной пластичности было получено П. И. Перлиным [171:
о?-о? = 2*0.
За контур, до которого проводилось аналитическое продрлжение,
принимался эллипс м(?) = с(? —с^). Коэффициенты с и. ct опре-
делялись из условия, что эллипс проходит через точки А = 0,74 +
+ гО,65 и В = 1,5. В табл. V.2 дапы коэффициенты a0, a?, a4, аъ,
da, d\, dk, de.
Глава VI
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКИЙ ОБЗОР
Общим случаем является трехмерное напряженное и дефор-
мированное состояние, в котором при решении упруго-пластических
задач идеальной пластичности используются уравнения равновесия
A.2.2), кинематическая'связь смещений с деформациями A.2.3),
условие пластичности A.3.1) и соотношения
den = de\j + Я,тр-. F.1.1)
Приращения упругих деформаций de\-3 вычисляются по закону Гука
A.2.1). В пластических областях выполняются уравнения F.1.1);
в упругих зонах Л = 0 и уравнения F.1.1) переходят в закон Гука.
Если на границе тела заданы нагрузки, то имеется полная система
уравнений для определения напряжений в пластической области
независимо от деформаций, т. е. задача статически определима.
202

Считаем, что на упруго-пластической границе напряжения и сме-
щения непрерывны.
Частным случаем общего трехмерно'го напряженного и дефор-
мированного состояния является сферическое и осесимметричное
состояние. Метод малого лараметра оказался полезным и в .некото-
рых пространственных задачах: с его помощью Л. В. Ершов [111
и Т. Л. Семыкина [181 решили интересные задачи для полостей,
близких к сферическим, и при напряженном состоянии на беско-
нечности, слабо отличающимся от всестороннего сжатия. Были рас-
смотрены также некоторые осесимметричные задачи [8—10].
М. Я. Леонов и В. В. Панасюк [151 рассматривали дискообраз-
ную трещину с пластической зоной на ее краю,-которая предпола-
галась бесконечно тонкой. Отметим также работу Т. Ю. Кери-
мова [14].
Полученные в упомянутых выше работах результаты, по су-
ществу, и исчерпывают аналитические решения трехмерных упру-
го-пластических задач.- Следует заметить, что невелико и число ана-
литических решений пространственных задач идеальной пластич-
ности, которые могут служить элементами или быть предельными
в решении соответствующих упруге-пластических задач, как это
имело место в плоском случае и задаче кручения. Отметим точные
решения пространственных задач идеальной пластичности, получен-
ные Р. Хиллом (см. [29] к гл. I), В. Прагером [17], Ж. Панарелли
и П. Ходжем [161, Д. Д. Ивлевым (см. [5] к гл. I), M. А. Задояном
[12], Б. Д. Анниным [2, 31, С. И. Сенашовым [19].
Численные методы еще мало применялись к трехмерной упру-
го-пластической задаче. Здесь следует отметить работу Д. Айреса
[201, в которой применялся метод конечных разностей для анализа
напряженно-деформированного состояния около щели. Ряд упруго-
пластических задач для конечных тонкостенных тел вращения ре-
шены численно Ю. М. Волчковым и А. В. Павловым [7], Ю. М. Волч-
ковым и С. Н. Коробейниковым [5, 6], Н. Г. Бураго и В. Н. Ку-
куджановым [4]. Содержание § 2 этой главы основано на работах
Л. В. Ершова [11], Т. Д. Семыкино^ [18], § 3 —на работе
М. Я.-Леонова и В. В. Панасюка [15], § 4 — на работах Д. Айреса
[20], Ю. М. Волчкова и С. Н. Коробейникова [6J.
§ 2. СФЕРИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ
1. Пусть тело имеет внешнюю и внутреннюю границы, мало
отличающиеся от сферы. Предполагаем, что граница пластической
зоны целиком охватывает поверхность внутренней полости.
Для решения упруго-пластической задачи приведем основные
уравнения:
уравнения равновесия
203

условия пластичности Треска — Сен-Венана
е
$ , F.2.2)
граничные условия
F.2.3)
а также условия непрерывности решений на упруго-пластической
границе. Здесь, как и в гл. I, символ 0 означает, что остальные
ч
соотношения получаются круговой перестановкой индексов;
I, пг, п — направляющие косинусы нормали в системе р, в, ф.
Решение ищем в виде
6
<*р = Op + effp, тре = Тре + ет^е Р-«-ф» F.2.4)
полагая, что малый параметр е характеризует отклонение границы
тела "от сферы, а также граничные условия. Подставляя F.2.4) в
F.2.2), найдем условия пластичности для обоих приближений:
(а°р - а" + | к) (а« - а" +1 *) - # = 0
(ор°-а° +| Л)(^-о1) + (а»-о° + | к)(о1-о1)-2x^=0.
F.2.6)
За нулевое приближение возьмем напряжения для полой сферы
внутреннего радиуса а и внешнего Ъ.
На внутреннем и внешнем контурах сферы действуют равно-
мерные давления р и pi соответственно,
о°рр = - АкЪхр--р,а°вр = а°р = ~Ак In Е- -2к-р,
t°f = т«р = х^ = 0, F.2.7)
1\ п _М _ое т№ п.
204

Здесь р == [So — упруго-пластическая граница. Учитывая F.2.7) и
F.2.6), находим ОрР = Ogp = aj,p = а1р, te? = 0. Это позволяет уравне-
ния равновесия записать следующим образом:
3 ц, _ Q
р и
Введем функцию Е/(р, 6, <р) так, чтобы выполнялись равенства
Тогда два последних уравнения F.2.8) будут тождественно удов-
летворяться.
Из первого уравнения F.2.8) найдем функцию
°° 3
U (р, 6, ф) ±= 2 2 Сц (р8/2+?ь + Z?iP3/2-x) (cos щ + Еа sin »ф) X
3=0 г=0
X ^ (cos 6), К = /•/* + /G + 1), F.2.9)
где Ci3, Вц, Eij — постоянные, определяемые граничными условиями,
Р}г (х) — присоединенный полином Лежандра. Для линеаризации
граничных условий перенесем граничные условия на сферическую
поверхность. Для этого представим границу тела в виде
р = р0 — epiF, ф), р0 = const.
Принимая для направляющих косинусов в первом приближении
при р = р„
§ ± Р F.2.10)
и учитывая F.2.4J, F.2.9) и F.2.3), найдем для первого прибли-
жения граничные условия при р = Ро:
^=^р-р- F-2Л
_Pl.
^ 205

Подставляя F.2.7) в F.2.11), получим граничные условия для на-
пряжений в пластической области при р = а:
F.2.12)
"* = a sin в ~ёф"
Граничные условия F.2.12) позволяют найти значения произволь-
ных постоянных
а-3/2 цг-У.
~23l '
F.2.13)
Здесь а0, Ьу — коэффициенты разложения рДв, ф) в ряд по с<]
рическим функциям:
глл
ац = fi--Г Г рх @, ф) Pjy (cos в) cos i ф sin в dQdq>,
о о
hi = 777. f Г Pi (в. Ф) ^1° (cos в) siai Ф sin
о о
ДГ _ , (/-И)! '
yvii - B/+ 1) (/_{)! ' г [1 при i>0.
Представим упруго-пластическую границу в виде
р8 = Ро + ер,(в, ф), р0 = const. F.2.14)
Из условия совпадения решений для упругой и пластической зон
на упруго-пластической границе будем иметь
, [се]=О, [тре]=О,
F.2.15)
=0 на р = р8.
Здесь IX] означает скачок X при переходе через упруго-пластиче-
скую границу. Для линеаризации условий F.2.15) необходимо их
снести на поверхность р==Ро. Опуская промежуточные выкладки,
окончательно условия F.2,15) запишем в виде
F-2Л6)
Первые три условия F.2.16) с граничными условиями на внешней
сфере р0 = Ь позволяют найти упругое решение. Последнее условие
F.2.16) позволяет определить рДв, ф).
206

Заметим, что использование непрерывности напряжения <0Ф на
р„ для определения упруго-пластической границы приводит, вообще
говоря, к иному результату. Отсюда напрашивается вывод, что в
линеаризованных пространственных упруго-пластических задачах
требование непрерывности всех напряжений на упруго-пластической
границе может повлечь переопределенность задачи.
2. Приведем решение упруго-пластической задачи для простран-
ства со сферической полостью радиуса р0. На бесконечности при-
ложены усилия
F.2.17)
Тад = ХХг == Туг == I'-
За нулевое приближение принимаем напряжения в случае
с~ = о~ = оГ = о00. 6.2.18)
Представим внешние усилия в виде
сГ = с°° + во*", е = (а" - а~) + (о? - а~). F.2.19)
В пластической области
o№ = oy = (^ = tig = t^ = tK = 0. F.2.20)
В упругой области
Ср ~ з ^~ + ^
+ [аГ^2 (cos 6Л + а^°°Р2 (cos 62) + о*" P2(cos 63)],
аее = ai°° (-|- cos2 в cos2 <р - ~ Ц- cos 2Хг + 4" Д [^2 (cos 6J -
I 9 Р р
p
»5
I loo 1 P« 2 Pn
— cos2 вх cos 2XJ> + Oy jcos2 в sin2 ф + -^—- -—j- [P2 (cos 62) +
+ cos2 e2 cos 2X2
|Ц-
-5- sin2 ф + -г- —s- о—т t^*2 (cos 61) — cos2 ex cos 2Я,]} -f
+ oj00 jcos2ф + -А- Ь- — I !lfP2 (cose2) - cos2 62cos2Я2]| + '
I p p I
F.2.21).
207

le loo Г 4 PS 1
те» = ®х° sin Я, cos A., I sin2 Q, -f- -5—5- cos2 вА I +
L 3 P J
+ o^°° I -j- sin 2ф cos 6 3- —§- — 2 -§- P2 (cos 62) I sin 2Л2|,
тре = I 1 + -q—s- г—r 1 (о"ж°° cos2 ф -f- ai°° sin2 ф — aj°°) sin в cos в,
\ 6 p & p /
t^, = f 1 + 4-4 ~ 4""?) (~ a*°°sinФ + аГ cos в) sin в cos Ф-
V 6 p A 9 I
Здесь P2(cos в) — полином Лежандра второго порядка,
„ . _ , cos 0 cos<p
cos 6i = sin 8 cos ф, cos Ar = r-g—-,
cos 6г = sin в sin ф, cos K2 == —c s. sfln ,
Для упруго-пластической границы имеем
Pi = ж {a*°° ["гcos2 е cos2 ф ~ 4- <cos 2Я^ + 4 cos2 6i> +
+ ^- Р2 (cos Oi)] + 4°° [cos2 6 sin2 ф + -g §- cos2 62 cos 2Я2 -
-~P2 (cos 62)] + оГ -§- [cos2 ex - 2P2 (cos 6)]}. F.2.22)
Если Pi@, ф) определить из условия непрерывности напряжения оФ,
то получим
в=ж {с*°° [4-sin2 ч5+4 - -тр* <cos е^>+4cos2 6i cos 2Ki\+
+ cj~ [cos2 Ф + -| 1- ^2 (cos 62) -f \ cos2 62 cos 2Я2] +
+ a'°° [4 ~ 4"Pa (C0S 6) ~ 4 cos2 6]}- F-2.23)
На рис. 6.1 показаны прямоугольные проекции упруго-пласти-
ческой границы. Через а, Ь, с обозначены отрезки, отсекаемые
упруго-пластической границей по линии действия усилий с", cj?°,
г •
3. Рассмотрим упруго-пластическое напряженное состояние для
пространства со сферической полостью р0, когда на контуре сферы
действует равномерное давление р. На бесконечности приложены
постоянные усилиясгр = ср°, oz = а™ (рис. 6.2).
208

/ г
1 //"
1 If
1 щ
\ у*
\ v
4
z
¦v.
г)
У
\
\
\
-Po+A,'6
p
x/
V
У
1
1 J*
/
Решение ищем в виде
оц = <% + <** F.2-24)
'в В качестве условия пластичности
принимаем условие Треска —Сен-
Рис 6.1. Венана
(ар _ аеJ + 4тре = 4, оф = V2 (ар + се) + 1. F.2.25)
За нулевое приближение принимаем напряжения при а" = а» г
«? . ^д /. 1 \ ОС ¦ 4/ ft^ (Л I 1/ Г|3\ т*®* О
0 —• G_ —I— /оРд I X о" I? ^6 === (?0 ~Г" 'зРо \ "Т" *2г /* *рв *^> //> о ОЙ^
аоР = _ р + 4 in (р/а), а°вр =» - р + 2 [1 + 2 In (р/а)], т$ = О,
где д0 = V, (ар + аГ), р = г/6, а = а/Ь, р0 =• ^>. « - Радиус сфе-
рической полости, Ь — радиус некоторой сферы, окружающей по-
лость, г% — радиус границы пластической зоны.
В первом приближении имеем следующее решение [Ш:
в пластической области
в упругой области
= 0,
F.2.27)
о« = 4/^'f!_5(ро/р)8+ 4(В0/рN]Р2(cosв)-Vrf' [1—(ро/рK]^o(cosв),
oi8 = - V3?' [I + V, F0/рN] ^2 (cos в) + V3g' [1 - V2 (рУрK +
•+4/s(p0/p)8]P0(cose), F-2.28)
2 'hil 5 ГР»У 8
Здесь P0(cos в) — полином Лежандра нулевого порядка, q'
Упруго-пластическая граница имеет вид
р. = Ро + РД0),
Pi = Vs460?' [»/2P0 (cos в) - 40 Р2 (cos в)].
14 Б. Д. Аянин, Г. П. Черепанов
209

§ 3. РЕШЕНИЕ
С ПЛАСТИЧЕСКИМИ ЛИНИЯМИ РАЗРЫВА
Рассмотрим однородное упруго-пластическое тело с дискооб-
разной щелью вдоль z = 0, х2 + уг<а2. Щель будет представлять
собой сплющенный эллипсоид вращения с осью Oz, а плоскость
щели совпадает с плоскостью хОу (рис. 6.3). На бесконечности
приложены растягивающие напряжения oz — а". Как уже отме-
чалось (см. § 4 гл. III, § 7 гл. IV, § 4 гл. V), развитие пласти-
ческих деформаций на начальных стадиях сопровождается появле-
„-оо ' нием линий скольжений, занимающих
f* незначительный объем тела по сравне-
нию с упругой частью.
till т
Рис. 6.3.
Рис. 6.4.
Для рассматриваемой упруго-пластической задачи область пла-
стических деформаций будет иметь вид кольца а =SI г «? R (рис. 6.4)
вокруг контура начальной дискообразной щели г = а. Здесь г —
полярный радиус точек тела, расположенных в плоскости щели;
радиус R, разделяющий упругие и пластические деформации, дол-
жен быть определен в процессе решения упруго-пластической
задачи.
Запишем граничные условия рассматриваемой задачи. В пло-
скости z = 0
{О при г <! а,
^ ^т> F-3.1)
os при а </•</?, v '
на бесконечности
oz (г, оо) = at. F.3.2)
Напомним, что напряжения о-г{х, у, 0), возникающие в про-
странственном теле с дискообразной щелью, определяются по фор-
муле [15] •
210

Здесь з? + у* 5* аг, %2 + rf < a2, q(x, у) — нормальное давление, при-
ложенное к берегам трещины.
Если нормальное давление, приложенное,к берегам щели, юсе-
спмметрично, то формулу F.3.3) можно упростить:
а
az (г, р, 0) = ]^-? J /.Г
где г5*а, О«?0«?2я.
В рассматриваемом случае для напряжений az(r, 0) лри
имеем " -
в
аж(г, 0) = -^4==Т f 2 2~/ g(P)<?P + <С F.3.5)
|а? при г ^ а,
Здесь q(r) = I . „ F.3.6)
(oz — as при a<ir^.R.
Выполняя интегрирование в F.3.5) с учетом F.3.6), получим
<?. F.3.7)
Радиус Д упруго-пластической границы. определяется из ус-
ловия ограниченности напряжений, которое приводит в рассмат-
риваемом случае к соотношению
o?R - as /fl2-a2 = 0. F.3.8)
Отсюда R = a/|/"l - (o?/osf.
В заключение этого параграфа приведем соотношение, опреде-
ляющее смещения w{f, 0) [151:
j /a1-»* sin» a «fa, r<i?. F.3.9)
arcsina/Д
Здесь ф = я/2 при 0 < г < й, q> = arcsin (а/г) при a < г < /?. С по-
мощью формулы F.3.9) найдем раскрытие в конце трещины
(при г = а): .
2w(a, 0) = 8{1-/] aos (l - -^-). F.3.10)
§ 4 ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
1. Современное развитие вычислительных методов позволяет
решать на ЭВМ пространственные задачи на основе полной систе-
мы трехмерных уравнений.
14* 211

Рис. 6.5.
-8/iZl\
X
3
ii
г
4
1
f
1
+
I
I
У
\
4
1
i
+
1
e/18
1
T
I
9/2-
«//2
Следуя работе [20], рассмотрим одну из возможных схем ре-
шения пространственной задачи на основе уравнений Прандтля,—
Рейсса:
Да13- =
?/2 A + v);
F.4.1)
при / =
при
о =
Здесь А обозначает приращение по параметру нагружения. Считая
параметр нагружения фиксированным и подставляя F.4.1) в урав-
нения равновесия, записанные также в приращениях
.: ¦ •
f—O.U-1,.2,3,
получим систему трех уравнений в частных производных относи-
тельно неизвестных компонент приращений вектора смещения
(AUi, Дм2, Дм3). Для решения этих уравнений применялся метод
конечных разностей. Система конечноразностных уравнений реша-
лась релаксационным методом.
212

8/6-
Ъ/2 х,
Рис. 6.6.
/
- ^
\
7
4 1
3
6
5
/
4 /
Ъ/6
Ъ/3
Приведем полученные в работе
результаты.
1°. Пластическая зона в конце
сквозной щели. Пусть толстая пли-
та, имеющая прямоугольную сквоз-
ную щель длины fe/З, растягивается
напряжением а4, нормальным к ще-
ли. Схема образца показана на-
рис. 6.5. На этом же рисунке пока-
заны три последовательные сетки, на
которые разбивалась 1/4 часть сим-
метричной плиты. Параметр релак-
сации был выбран равным 1,4. Чис-
ленное решение этой упруго-пласти-
ческой задачи при Е =! 2,06 • 10" н/
/м2; о« = 1,38-109 н/м2, <v = 0,3 при-
ведено на рис. 6.6—6.8. Постепенное
развитие пластической зоны, нор-
мальной к щели, в центре плиты х3 =»
= 0 и на грани х3 = &/12 приведено
соответственно на рис. 6.6 и 6.7. Развитие фронта пластических де-
формаций впереди щели в плоскости "щели показано на рис. 6.8.
Как видно из рис. 6.8, пластические ' деформации имеют тенден-
цию при увеличении нагрузки распространяться сквозь всю
толщину плиты и становиться больше у центральной линии, чем
у граней.
2°. Полуэллиптическая щель. Толстая плита имеет полуэллип-
тическую щель с большой полуосью, равной fc/6, и меньшей — fe/12
(рис. 6.9). Плита подвергается однородному растяжению напряже-
ниями, нормальными к щели. На рис. 6.9 показаны три последова-
тельные сетки, на которые разбивалась четверть пластины. Пара-
метр релаксации был выбран равным 1,4. Результаты численного
решения при тех же значениях параметров Е, oS) v приводятся
213
Рис. 6.8.

на рис. 6.10, 6.11. Постепенное развитие пластической зоны в пло-
скости, перпендикулярной щели xs = 0, и в плоскости ж, = 0 при-
ведено соответственно на рис. 6.10, 6.11.
.2. Рассмотрим тонкостенное тело вращения — оболочку по-
стоянной толщины h (рис. 6.12), подверженную осесимметричной
нагрузке. В срединной поверхности оболочки введем криволиней-
ную систему координат: s — длина дуги меридиана (первое направ-
ление), ф —угол между произвольным осевым сечением и фикси-
рованным (второе направление); O^s^L; 0^ф^2л.
Положим ? = s/L и зададим уравнение срединной поверхности
оболочки в виде г = г(|), 0 =S ? ^ 1, где г — расстояние точек сре-
динной поверхности от оси вращения, отнесенное к характерному
размеру, например L. Пусть os — предел текучести при одноосном
растяжении; nt, т{ (.1 = 1, 2), д — безразмерные усилия, изгибаю-
щие моменты и перерезывающая сила (рис. 6.13). При этом в ка-
честве характерного момента выберем о8Л74, а для перерезываю-
щих сил и усилий характерной величиной выберем osh.
Пусть Pi, p2 обозначают составляющие внешней нагрузки по
направлению 1 и нормали, отнесенные к fe2as, где Ъ = h/L; и — пере-
Ешщение точек- срединной поверхности в направлении 1, отнесен-
ное к L, w — перемещение в направлении нормали к срединной
поверхности, отнесенное к h; вц е2 — деформации срединной по-
верхности в направлениях 1, 2; %и %2 — изменения главных кривизн
Ri, R2, отнесенные к 4/Л; Ф — угол поворота нормали вокруг на-
нравления 2.
Уравнения осесимметричного упруго-пластического деформиро-
вания оболочки с малы- i
«от деформациями и уме- ' Хз
ренными углами по-
ворота на основе тео-
рии Сандерса и гипоте-
зы Кирхгофа — Лява
•
в
И::::
e/Z
214

x2
в/6-
/
/
//
A
w
e
в/С
Рис. 6.10.
Рис. 6.12.
Рис. 6.13.
тмеют вид
F.4.2)
& = К, i, / = 1, 2, ..., 6,
A°lhxh + &lhyh = С? при I = О,
A)b.xh + B}hyh = С] при | =4,
I, к = 1, 2, 3.
1цесь точка означает производную по параметру нагружения; z =
= (nt, q, ти и, w, Ф) — вектор неизвестных; х = (пи q, m,), у =
= (м, и, Ф), 'д = д-и,Ф; e = {-bpt, —Ър, О, О, О, 0) —заданный
лектор; ^4°, В", А\ В1 — известные матрицы граничных условий
3X3; (Cj, С%, С*), \С\, С\, С\) —известные векторы, / — еди-
ничная матрица 6X6; Я—матрица 6X6, элементы которой за-
висят от вектора z и от z (в силу физической нелинейности).
Элементы матрицы Н равны - ,
= г* A —
— ajb, hiz = —
215

г*.
h26 = —
h16 = — br\bjtk + bp, hu = — (a2 + аф^/Ь,
— a2b2/b, hM = — a2rjKlb, h2& — — a\b3lb,
4, h32 = - 4/b, A31 = — (^A
+ 4njb), ha = - BJg, hi2 = 0, hi3 = BJg, F.4.3)
44 = r*cjg, ha — at + a^cjg, hi6 — Ф + c2r
h51 = h52 =^58 = A55 = 0, A54 = —ajb2, h5t —
, ht2 = 0, he3 = -bBJbg,
Здесь
_ _\_dr_ h_ _ h
! * c± = B12B33 — ВгзВ13, c2 = ВцВ33 — B3iBl3,
4 -a C3 = ПцП23 — lf13nl2f Ck = />ii/?34 — #13^*14»
;.¦„ Oi — UJ33D12 — Dl3D23)lg, 0z = UJ,,/J23 — J313lil2)/g,
b3 = B22 + BBl2B13B23 — Bf2B33 — BlsBijj/g,
04 = O2t -t- ^12?J13/J3t -t- Е13П23В1к — 1312ЛцЛ33 — tSntS23D3k)/g,
b5 = Ш14Д,з - B13B3i)/g, bt = (?„?„ - Bl3BJ/g,
o7 = z^44 -f- ^?»13?>14/j34 — а1Уаы — 3Bu)lg.
При этом матрица В = И2?ЧИ, i, j = 1, 2, 3, 4, определяет связь между
скоростями усилий, моментов и скоростями деформаций, изменений
кривизн
BUB12B13B
14
24
34
В\ лВалВчжВж
е2
F.4.4)
В работе [6] элементы матрицы В определялись по двум вариантам.
В первом варианте элементы матрицы В определялись на ос"-
нове теории Прандтля — Рейсса при плоском напряженном состоя^
нии. Во втором варианте использовались соотношения Г. В. Ивано-
ва [13], связывающие непосредственно скорости усилий, моментов
со скоростями деформаций и изменений кривизн. При этом пред-
полагалось, что нормальное сечение оболочки полностью находится
либо в пластическом, либо в упругом состоянии.
216

Приведем результаты, полученные I | j
в [61, когда элементы матрицы В опре-
делялись по первому варианту, что
позволило проследить развитие пла-
стических зон по толщине оболочки.
Рассматривалась оболочка, состоящая
из цилиндрического и конического
участков, под действием внешнего Т Т 1
гидростатического давления (рис. 6.14). Рис
Расчеты проводились для оболочек со
следующими параметрами R/h = 100; Lv/Lh = 1; L/R =¦ 0,2; Е/а. —
= 250; v = 0,3. Угол в варьировался в пределах 90°=S6<130*.
Здесь R — радиус срединной поверхности цилиндрического участка;
Ly, Lh — длины меридианов цилиндрического и конического участ-
ков, 0 — угол между осью вращения и нормалью к срединной по-
верхности конического, участка. За параметр нагружения взято без-
размерное осевое смещение и0 левого торца оболочки (осевое сме-
щение, отнесенное к L).
Ставились следующие краевые условия ¦
щ = b2Rp/Bh), w = Ф = 0 при
p=Z,0B7
и — w = ф = 0
.6-110°
Рис. 6.15.
217

ч
\
Эти 'условия означают, что левый
торец оболочки перемещается в осе-
вом направлении под действием уси-
лия Пц а правый неподвижен. В точ-
ках разрыва нормали срединной по-
верхности ставились условия сопря-
жения [51."
При численном решении произ-
водные по меридиональной коорди-
нате аппроксимировались централь-
ными разностями второго порядка
точности; система линейных алгебра-
ических уравнений решалась мето-
дом матричной прогонки. Соответст-
вующая задача Коши по параметру
нагружения решалась методом пре-
диктор — корректор. Предельная на-,
грузка определялась как максимум на кривой: внешняя сила —
осевое смещение (/)~ы0).
На рис. 6.15 для оболочек с 6 = 110° и 120° показан характер
развития зон пластических деформаций. При р = 3,634 появляется
тэкже небольшая пластическая зона на цилиндрическом участке.
На рис. 6.16 представлены кривые р ~ щ для различных значений
угла 0. При этом крестиком показано значение давления, когда впер-
яые появляются зоны пластических деформаций; кружочки обозна-
чают предельные (максимальные) нагрузки.
'С
Рис. 6.16.

ПРИЛОЖЕНИЕ!
ОДИН МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
С НЕИЗВЕСТНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Рассмотрим следующую задачу с неизвестной границей, кото-
рую будем называть задачей 11}.
Задача I. В плоскости ху ищется односвязная область G,
ограниченная простой жордановой кривой Г, и непрерывно диф-
ференцируемая в G + Г функция z(x, у) по следующим условиям:
а) в области G функция z(x, у) дважды непрерывно дифферен-
цируема и удовлетворяет" уравнению
F{x, у, z,p, g, r,s, 0 = 0, P=|j, q = l%> О-1)
dx2' * 'дхду' f~ by2'
Здесь функция F определена и дважды непрерывно дифференцируе-
ма во всем пространстве Л8": xyzpqrst;
б) на контуре Г, который считается возможным представить в
виде (I —. некоторый параметр)
Ык) - x(k)Y + ly(l2) - yd,)]2 > 0, -
h, h s [0, /*), /
функция z(x, у) удовлетворяет условиям
Х(х, у, z, р, q) = ф(/), Y(x, у, z, p, q)
Z(x, у, z, p, q) = /Ш.
Здесь функции Z, Y, Z предполагаются независимыми, определен-
ными и непрерывными во всем пространстве Rb: xyzpq, а фуцкции
x(l), y(l), (p(l), §(l), f(l) считаются непрерывными и периодическими
с периодом /*, причем
*(/•),'/@) = /а*).
¦> См. книгу Б. Д. Аннина [1] к гл. I. "¦ *f ' :
2*9

Замечание. К задаче I сводится, например, следующая за-
дача °. В плоскости ху задана односвязная область g, ограничен-
ная достаточно гладкой кривой f. Требуется найти односвязную
область G ^ g, ограниченную жордановой кривой Г, и непрерывно
дифференцируемую в g + f функцию z(x, у), причем в области G
функция z(x, у) дважды непрерывно дифференцируема и удовлет-
воряет уравнению A.1), а в области g— (G +Г) — уравнению пер-
вого порядка Q(.x, у, z, р, q) = 0; на 7 функция z(x, у) обращается
в заданную непрерывную функцию дуги « контура ^:
z|T = «(«). A.2)
•/¦
Действительно, решая методом Коши задачу для уравнения
Q = 0 при условии A.2) и исключая затем из найденных значений
х, у, z, р, q параметр вдоль характеристик, придем, вообще говоря,
для определения области G и функции z(x, у), (х, у)еСк задаче I,
при этом в качестве параметра / будет длина дуги а контура f.
Введем следующие обозначения:
d _ д д д ¦ д D д д
Щ = !х~ + р II + г Щ + s 1^' ~dl= "to + р ~дГ>
If^li + qЩ + s~Щ> + ~д^' ~dJ==W+9dz'
== _?? ?В_ _ дВ_Ш_ ' _dA^_DB_ _ дВ_ РА
dp dx dp дх ' dq ду dq ду '
_dA dB dA dB
~dx~"d~i dy~'~dx~'
Здесь A = A(x, y, z, p, q), B — B(x, y, z, p, q) — произвольные не-
прерывные дифференцируемые функции своих аргументов.
Теорема. Пусть функции Х(х, у, z, p, q), Y(x, у, z, p, q),
,Z(x, у, z, p, q) непрерывно дифференцируемы в R5: xyzpq и удов-
летворяют соотношениям
[XY] = [XZ] = [YZ1, A.3)
пусть для любых 1„ lz s [0, Z*] имеет место неравенство
MW-'<pWi)J1 + MW-*Wt)l1>0. A.4)
Если3) J(XY) Ф 0 в G, то задача I может быть сведена к краевой.
Доказательство. В силу условий A.3) существует [1/2]
одно и только одно контактное4) преобразование пространства xyz:
х1 = Х(х, у, z, р, q), yt = Y(x, у, z, p, q),
A.5)
zl=Z{x, у, z, p, q), pt =P{x, y, z, p, q), g, = Q(x, y, z, j>, q),
2) Частный случай этой задачи рассмотрен в гл. III.
3> Условие I(X, Y) ф 0 в G может быть выполнено или в силу уравне-
ния (И), иди э силу каких-либо других условий.
*> Преобразование A.5) называется контактным или касательным, если
тождественен© выполняется соотношение dZ—PdX—QdY = p{dz—pdx—qdy),
причем p.jjf? 0.
220

це функции Р и Q находятся из следующей совместной системы:
IXQ1 = [YP1 = IPQ] - О, [PZ] = рР, [QZ] = р?,
A.6)
Предположим, что решение задачи I такое, что J(XY) Ф 0 в G,
существует. Тогда [2] в силу A.4) формулами A.5) осуществляет-
ся 5) гомеоморфное отображение G + Г на область D + L, где L —
граница D — определяется уравнением
у, = ^Ш, 0 =S I < I*. A.7)
Пусть z, = z,(a;,, i/,); (ж„ gj e D + L — образ поверхности z(x, у),
(х, у) е G + Г, при преобразовании A.5), A.6). Тогда
5z dz
9y\
где Д, jS, T, I(XY) — линейные функции относительно г, s, t,
(rs — f) с коэффициентами, зависящими от х, у, z, p, q. Поверх-
ность zl==zl{xl, j/,), (ж,, yjefl + t, находится, таким образом, по
следующим условиям:
Fi(xu уlt z,, р„ д4, г„ s,, U) == 0 в Д A.9)
г, = /(«, 0 ^ Z < г*, на L, A.10)
где кривая Z*. определяется уравнением A.7), а уравнение A.9) по-
лучается из уравнения A.1) с учетом A.8). Заметим теперь, что
краевую задачу A.9), A.10), A.7) для определения функции z, =
= z,(a;,, yt), (ж„ j,)eJ5 + i, можно поставить, не зная явного вида
функции z = z{x, у) решения задачи I. Если задача A.9), A.10)
имеет решение, то, совершая контактное преобразование, обратное
к контактному преобразованию, определяемому формулами A.5),
A.6), придем, вообще говоря, к решению задачи I.
Замечание. Доказанная теорема "может быть легко обоб-
щена на случай п > 2 независимых переменных, если воспользо-
ваться свойствами контактного преобразования п измерений [41.
5) Доказанная в [2] теорема гласит. Пусть Ф — дифференцируемое отоб-
ражение конечной области G n-мерного эвклидова пространства в себя и яко-
биан этого отображения не меняет знак в G, причем множество, где якобиан
обращается в нуль, имеет лебегову меру ноль. Пусть отображение Ф отобра-
жает границу Г области G взаимно однозначно на границу L некоторой об-
ласти ?>. Тогда отображение Ф есть взаимно однозначное отображение G + Г
на D + L. .
221

ПРИЛОЖЕНИЕ II
НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА РИМАНА
1. Пусть требуется определить однозначную кусочно-аналити-
ческую функцию <J>(z), граничные значения которой на контуре"
удовлетворяют усдовию
Здесь /(Ф+, Ф~) — заданная непрерывная функция двух перемен-
ных, знаки плюс и минус соответствуют левому и правому берегам
разреза вдоль! контура.
Краевую задачу (II.1). для нелинейной функции /(Ф+, Ф~)
назовем нелинейной краевой задачей Римана. Поставим себе целью
отыскать все нелинейные краевые задачи Римана, сводимые к ли-
нейной краевой задаче Римана и, таким образом, разрешимые в
замкнутом виде. Точнее говоря, требуется найти такую операцию,
чтобы "
(II.2)
Здесь g+(z) и g~{z) — аналитические функции, имеющие лишь лога-
рифмические особые точки и изолированные особые точки однознач-
ного характера, причем в случае контура L, разбивающего всю пло-
скость z на внутреннюю и внешнюю' области, функции g+ и g~
могут быть различными, а в случае разомкнутого.контура L g+(z)«
«" g~(z), ai(t), аЛЛ) и o»U) — непрерывные почти всюду функции,
удовлетворяющие условию Гельдера на интервалах непрерывности.
Нетрудно проверить, что для произвольной функции /(Ф+, Ф~)
функции F(/), удовлетворяющей условию (Н.2), не, существует.
Класс функций /(Ф+, Ф~), для которых существует F(f), определя-
ется при помощи следующей вспомогательной леммы.
Лемма 1. Функциональное уравнение
Fiflx, у)} = alg4x) + ъгЦу) + а3
разрешимо тогда и только тогда, когда функция fix, у) может быть
представлена в виде
/(ж, у) = <р[а,?+Ы + Ozg-iy) + atl,
где <p{z) имеет обратную функцию q>~*{z). При этом-.
' Ш ¦= ф-'U).
222

Доказательство леммы очевидно.
Непосредственным следствием леммы является следующая тео-
рема, отвечающая на поставленный вначале вопрос. .
Теорема. Нелинейная краевая задача Римана (II.1) сводится
к линейной краевой задаче Римана Ы таким образом решается в
замкнутом виде) тогда и только тогда, когда функция /(Ф+, Ф~)
нелинейной краевой задачи Римана может быть представлена в виде
ДФ-U), Ф-Ш] =ф{й1(*)?+[Ф+Ш1 +ааШ?-[ф-Ш] +а,(М,
Ш.З)
где <p(z) имеет обратную функцию ц>~Чг)., a g+, g~, а„ а2 и as удов-
летворяют вышеупомянутым условиям.
Нелинейная краевая задача Тимана (II.1) при- этом, очевидно,
решается применением операции <р~', введением новой кусочно-
аналитпческой функции
(?+[Ф+(*)] при гей+,
(Z)~W"[CD"(z)] при геГ,
и последующим решением полученной линейной краевой задачи
Римана для Wiz) в классе аналитических функций, имеющих лога-
рифмические особые точки и изолированные особые точки одно-
значного характера.
Используя формулу (II.3), нетрудно указать большое число
примеров нелинейных краевых задач Римана, разрешимых в замк-
нутом виде. Более подробно рассмотрим одну простейшую краевую
задачу такого типа, имеющую практические приложения [3] (см.
гл. II).
2. Пусть требуется определить однозначную кусочно-аналити-
ческую функцию Ф(г), граничные значения которой на контуре L
удовлетворяют условию
Ш = р* на L. (II.4)
Очевидно, что функции <p(z), gHz), at(z) и aJLz), участвующие в
представлении A1.3), имеют при этом вид
() = ег, g+(z) = g'(z) = lnz,
Для простоты функцию p(f) считаем удовлетворяющей условию
Гёльдера всюду на контуре^ и не обращающейся в нуль.
Предположим сначала, что простой гладкий контур L разделяет
внутреннюю область D+ и внешнюю область D~. Пусть функция
Ф+(г) имеет в D+ m нулей в точках z = ui, а Ф~(г) в D~ соответ-
ственно к нулей в точках z = %t (тп — к = к, где n = In&$(.t) =
=?= larg flCf)] 1ь/Bл) — индекс функции $(t)). Для определенности
считаем, что начало координат лежит в области D+. Тогда решение
задачи (П.4) определяется с точностью до произвольной постоян-
ной С формулами
Ф+ (г) = С П (* - Ш) П (z - К)'1 е^**,
1=1 i=l .
223

O-(z) = -i- * П (* - Hi)'1 П (z - К) е-г-(*>, (И.5)
-i- * П
L
Если на Ф+(г) и Ф~(г) не накладывать дополнительных тре-
бований, касающихся числа и расположения нулей, то краевая
задача (II.4) будет иметь бесконечное число решений, определяе-
мых формулами (П.5) при произвольных числах h, щ т, к таких,
что ц,еD+, Кг€=D~, m— к = к. В этом состоит наиболее существен-
ное качественное отличие краевой задачи (П.4) от линейной крае-
вой задачи Римана.
Предположим теперь, что разомкнутый гладкий контур L со-
стоит из п дуг с концами а» и Ьк. Можно показать, что решение
краевой задачи (П.4) или имеет в концах разрезов ак и Ьк неинтег-
рируемую показательную особенность, или ограничено, так что из
требования интегрируемости решения в концах разрезов ак и ЪК
следует его ограниченность в окрестности этих концов. Пусть ана-
литическое решение задачи (П.4) имеет т нулей в точках z = v«.
Предположим для определенности, что точка z = 0 принадлежит
контуру L. Тогда можно показать, что решение задачи (П.4) опре-
деляется формулами:
r
J. X+(t)(t-z)
причем должны выполняться п — 1 условий
[
ft = 0, 1, 2, ..., n-2. A1.7)
Здесь Xn (z) = П (* - «iI/2 (z ~ biI/2.
Используя формулу, описывающую поведение интеграла типа
Коши в окрестности точки контура, в которой его плотность имеет
логарифмическую особенность, легко найти, что решение (Н.6) ог-
раничено в окрестности точки z = 0.
Таким образом, и в случае разомкнутого контура для полной
определенности задачи, вообще говоря, необходимо задавать число
и расположение нулей искомого решения; в противном случае, если
такого задания нет, число решений бесконечно и решения опреде-
ляются формулами (Н.6) и (П.7) при произвольных т и v. При
задании числа нулей т решение определяется с точностью до т
произвольных постоянных.
Случай коэффициента J1U), обращающегося в нуль или имею-
щего конечное число разрывов первого рода, исследуется анало-
24

гично линейной краевой задаче Римана. Так, например, в точках
разрыва первого рода коэффицента pit) решение задачи (II.4)
имеет степенную особенность.
. 3. Пусть требуется определить аналитическую в верхней полу-
плоскости Im z > 0 функцию to(z) по нелинейному краевому усло-
вию на действительной оси
/LtoQ), (оТШ = О на L,
(II.8)
Re 1Ш)~ ib(t))a(t)] = 0 на М.
Здесь a(t), bit) — непрерывные почти всюду функции, удовлетво-
ряющие условию Гёльдера на интервалах непрерывности и в бес-
конечно удаленной точке (.a + ib?*0); L = Lt + Ьг +...+ LP, Lk —
отрезок — о° < ah^t ^bh< °o; M — множество точек действительной
оси, лежащих вне L; /(to, to) — произвольная функция. Решение
граничной задачи A1.8) ищем в классе интегрируемых. всюду в
верхней полуплоскости, включая границу, функций. Для произволь-
ной области граничная задача такого типа принципиально сводит-
ся к поставленной при помощи конформного отображения.
В том случае, когда функция двух переменных fix, у) может
быть представлена в форме
fix, 2/) =-а +/„(я, у),
(И.9)
UCkx, Ку)=и&Шх, у),
fzix, у) = ф[а,?Ы + thg(y) + а3],
где <p(z), g(z), а„ а2 и а3 удовлетворяют условиям п. 1, граничная
задача (II.8) может быть решена в замкнутом виде.
Укажем прием решения , задачи A1.8) при условиях (П.9);
прием основан на сведении ее к нелинейной краевой задаче Ри-
мана, рассмотренной в предыдущих пунктах.
Определение. Каноническим решением нелинейной крае-
вой задачи (Н.8) будем называть кусочно-аналитическую функцию
X(z), являющуюся каноническим решением задачи Римана
X4t) = G(t)X-(t), A1.10)
м
на L,
причем вблизи точек разрыва коэффициента a + ib и в точках ак
и Ьк класс X(z) совпадает с заданным классом функции o(z).
Определенное таким образом каноническое решение задачи
(II.8) запишется в форме
()
1 fjnfiWrt.
v > 2л1 J t — z
15 Б. Д. Аниин, Г. П. Черепанов 225

Здесь х = Би* — индекс задачи Римана A1.10),- определяемый обыч-
ным образом.
Введем аналитическую во всей плоскости z, кроме, может быть,
действительной оси, функцию Ф(г),
при Imz>0,
npi Imz<0. <IU2>
Учитывая соотношения (П.0), краевое условие (И.8) при помощи
формул A1.12) и A1.10) можно записать в виде
пна L,
ф+(*)=ф-») на Л/.
Итак, задача (И.8) свелась к нелинейной краевой задаче Ри-
мана, рассмотренной в предыдущих пунктах.
Приведем два простейших примера нелинейных граничных за-
дач теории аналитических функций, имеющих практические при-
ложения в теории упругости и гидромеханике [1, 2] и принадле-
жащих к указанному классу.
Пусть требуется определить аналитическую в верхней полупло-
скости Imz>0 функцию to(z) по нелинейному граничному усло-
вию на действительной оси
A1:14)
или же по граничному условию
argw(t) =a(t), tezL,
A1.15)
Функции ф, Д, g, fli, o2, as, а, участвующие в представлении
(II.9), имеют при этом соответственно вид
<p(z) = е\ g{z) — In z,
/i(z) = z2, a = ait), at == a2 = 1, as = 0
и- . .
ф(г) = z, g(z) = In z, /,(z) = 1,
a "=-ct(t), at = —V2i, й2 = 14*> ffls = 0.
Соответствующие нелинейные задачи Римана на основании об-
щей формулы A1.13) примут вид
Ф+(«ф-и)=а@/Х2Ш, (et, A1.16)
Краевая задача Римана A1.16) уже изучена выше, а краевая
аадача A1.17) является хорошо изученной линейной краевой зада-
чей Римана. - j
226

ЛИТЕРАТУРА
ОБЩИЕ РУКОВОДСТВА И ЛИТЕРАТУРА
К ГЛАВЕ I
1. Аннин Б. Д. Двумерные упруго-пластические задачи.—Новосибирск: изд.
Новосиб. ун-та, 1968. 120.с.
2. Аннин Б. Д. Экспериментальное исследование пластических свойств мате-
риалов при сложном нагружении.— В кв.: Механика твердого тела. Вар-
шава: ПАН, 1978, С.-347—352.
3. Дюво Г., Лионе Ж.—Л. Неравенства в механике и физике.—М.: Наука,
• 1980. 383- с.
4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир, 1975. 541 с.
5. Имев Д. Д. Теория идеальной пластичности.— М.: Наука, 1966. 231 с.
6. Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела.—
М.: Наука, 1971. 231 с
7. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упруго-пластиче-
ского тела.— М.: Наука, 1978. 208 с.
8. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. I. Упруго-пластические деформации.—*
М.—Л.: ОГИЗ, 1948. 367 с.
9. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории.— М.:
Изд-во АН СССР* 1963. 271 с.
10. Качалов Л. М. Основы теории пластичности.— М.: Наука, 1969. 420. с.
11. Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности.— М.: Изд-во МГУ,
1979. 208 с.
12. Койтер В. Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред.—М.: Изд-
во иностр. лит., 1961. 79 с.„ ' ¦
13. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций,комплексного пе-
ременного.— М.: Физматгиз, 1958. 678 с. .
14. Морозов Е. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике раз-
рушения.— М.: Наука, 1980. 250 с.
15. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории
упругости.—М,: Наука. 1966. 707 с.
16. Мусхалишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.: Наука,
1968. 511 с.
17. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1.—М.—Л.: Изд-во
иностр. лит., 1954. 647 с.
18. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2,—М.: Мир, 1969.
863 с.
19. Новожилов В. В. Теория упругости.— Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
20. Прагер В., Ходж Ф. Г. Теория идеально пластических тел.—М.: Изд-во
иностр. лит., 1956. 398 с. ' "
21. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций.— М.: Наука, 1966. 752 с.
22. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела.— М.: Наука, 1979.
744 с. . '
23. Саван F. Н. Распределение напряжений около отверстий,—Киев: Наукова
думка, 1968. 888 с
15* 227

24. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды.— М.: Физматгиз, 1962.
284 с.
25. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I, II.—М.: Наука, 1973. 536 с.
' 584 с.
26. Соколовский В. В. Теория пластичности.— М.— Л.: Гостехиздат, 1950. 396 с.
27. Теория пластичности. Сборник статей.— М.: Изд-во иностр. лит., 1948. 452 с.
28. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математическая теория'неупругой сплошной
среды.— М.: Физматгиз, 1962. 432 с. .
29. Хилл Р. Математическая теория пластичности.— М.: Гостехиздат, 1956.
407 с.
30. Христианович С. А. Механика сплошной среды.— М.: Наука, 1981. 483 с.
31. Христианович С. А., Шемякин Е. И. К теории идеальной пластичности.—
Инж. журн.: Механика твердого тела, 1967, № 4, с. 86—97.
32. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения.— М.: Наука, 1974. 640 с.
33. Черепанов Г. П. Некоторые задачи теории упругости и пластичности с не-
известной границей.— В кн.: Приложение теории функций в механике
сплошной среды. Т. I. M.: Наука, 1965, с. 135—150.
34. Черепанов Г. П., Ершов Л. В. Механика разрушения.— М.: Машиностроение,
1977. 224 с. "
35. Черепанов Г. П. О проблеме неединственности в теории пластичности.—
Докл. АН СССР, 1974, т. 218, № 4, с. 1124.
36. Cherepanov G. P. Mechanics of Brittle Fracture.—New York: McGraw Hill,
1979.— 950 p.
37. ?ienkiewicz O. C, Cheung Y. K. The Finite Element Method in Structural
and Continuum Mechanics.—New York: McGraw Hill, 1967.—420 p.
К ГЛАВЕ II
1. Гоффман О., Закс Г. Введение в теорию пластичности для 'инженеров.—
М.: Госиздат, маш. йит., 1957. 279 с.
2. Добровольский В. Л. Решение некоторых задач теории упругости о.концент-
рации напряжений.— Ин№. журн., 1963, т. 3, вып. 4, с. 732—736.
3. Костров Б. В., Никитин Л. В. Трещина продольного сдвига с бесконечно
узкой пластической зоной.— Прикл. математика и механика, 1967, т. 32,
вып. 2, с. 334—336.
4. Мак-Клинток Ф. Неустойчивость пластического разрушения при сдвиге.—
Механика. Сб. переводов и обзоров иностр. периодич. лит., 1959, № 6,
с. 119—134.
5. Нсйбер Г. Теория концентрации напряжений в призматических стержнях,
работающих в условиях сдвига, для любого нелинейного закона, связыва-
ющего напряжения и деформации.— Механика. Сб. переводов и обзоров
иностр. периодич. лит., 1961, № 4, с. 116—130.
6. Некрасов А. И. О плоснопараллелыюм движении газа при дозвуковых ско-
ростях.—Прикл. математика и механика, 1944, т. 8, вып. 2, с. 249—266.
7. Никольский А. А., Таганов Г. И. Движение газа в местной сверхзвуковой
зоне л некоторые условия разрушения потенциального течения.— Прикл.
математика и механика, 1946, т. 10, вып. 4, с. 481—502.
8. Прикладные вопросы вязкости разрушения. Сб. переводов. М.: Мир, 1968.
552 с.
9. Сегалов А. Е. О форме пластических зон, возникающих при антиплоской
деформации полупространства, ослабленного вырезом конечной ширины.—
Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1970, № 5, с. 139—145.
10. Слепян Л. И. Механика трещин.— Л.: Судостроение, 1981. 296 с.
11. Соколовский В. В. Концентрация касательных напряжений ори нелиней-
ном законе деформаций.—Инж. журн., 1962, т. 2, вып. 2, с. 332—337.
12. Сухих Л. И. Упруго-пластическое кручение стержня с продольной выточ-
кой.—Прикл. механика, 1968, т. 4, вып. 5, с. 123—129.
13. Тимошенко С. П., ГудьерД. Теория упругости.—М.: Наука, 1979. 560 с.
14. Хальт Я. Экспериментальное изучение распространения усталостной тре-
щины при кручении.— Механика. Сб. переводов и обзоров иностр. пери-
одич. лит., 1959, № 6, с. 8t—110.
228

15. Хальт Я., Мак-Клинток Ф. Упруго-пластическое распределение напряже-
ний .и деформаций вокруг острой выточки при повторном сдвиге.— Ме-
ханика. Сб. переводов и обзоров иностр. периодич. лит., 1959, № 6,
с. 111—117.
16. Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача в условиях антиплоской де-
формации.— Прикл. математика и механика, 1962, т. 26, вып. 4, с. 697—
708.
17. Черепанов Г. П. Об одной нелинейной граничной задаче теории аналити-
ческих функций, встречающихся в некоторых упруго-пластических зада-
чах.—Докл. АН СССР, 1962, т. 147, JV» 3, с. 566—568.
18. Черепанов Г. П. К решению статически неопределимых упруго-пластиче-
ских задач в условиях сложного сдвига.— Ишк. журн., 1965, № 6, с. 1126—
1127.
19. Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача.— Изв. АН CCQP. Механика
твердого тела, 1969, № 2, с. 82—91.
20. Шемякин Е. И. Напряженно-деформированное состояние в вершине раз-
реза при антиплоской деформации горных пород.— Физико-технические
проблемы разработки полезных ископаемых, 1973, № 1, с. 3—8.
Cl. Erdogan F. Elastic-plastic anti-plane problems for bonded dissimilar media
containing cracks and cavities.— Intern. J. Solids and Structures, 1966, v. 2,
N 3, p. 447—465.
22. Field F. A. Yielding in a cracked plate under longitudinal shear.—Trans.
ASME, ser. E, 1963, v. 30, N 4. (Пер.: Прикл. механика. Тр. Амер. о-ва
инж.-механиков. М.: Мир, 1963, сер. Е, т. 30, № 4, с. 162—163.)
23. Koskinen M. F. Elastic-plastic deformation of a single grooved flat plate
under longitudinal shear.—Trans. ASME, ser. D. J." Basic Engng, 1963, v. 85,
N 4. (Пер.: Техническая механика. Тр. Амер. о-ва инж.-механиков. М.:
Мир, 1963, сер. Д, т. 85, с. 127—137.)
24. Рапс V. Theory of elastic-plastic stress state for shear-strained prismatical
bodies with symmetrical sharp notches.— Acta technica, 1965, y. 10, N 3.
25. Rice J. R. Plastic yielding near a crack tip.— Proc. 1st Intern!. Conf. on
Fracture. Sendai, Japan, 1965.
26. Rice J. R. Contained plastic deformation near ccacks and notches under
longitudial shear.— Intern. J. Fracture Mech., 1966, vol. 2, N 2.
27. Rice J. R. Stresses due to a sharp notch in a work-hardening elastic-plastic
material loaded by longitudinal shear.— Trans. ASME, ser. E, J. Appl.
Mech., 1967, v. 34, N 2. (Пер.: Прикл. -механика. Тр. Амер. о-ва инж.-ме-
хаников. М.: Мир, 1967, сер. Е, т.: 34, № 2, 1с. 32—46.)
Е8. Tuba I. S. A perturbation theory of antiplane elastic-plastic deformations.—
Intern, i. Non-Linear Mech., 1969, v. 4, N 1, p. 51—60.
29. Trefftz E. Uber die Wirkung einer Abrundung auf die Torsionspanmmgen
in der inneren Eekeeines Winkeleisens.— Z. angew. Math, und Mech., 1922,
Bd 2, H. 4.
30. Trefftz E. Uber die Spannungsverteilung in tordierten Staben bei teilwei-
ser Uberschreitung der Fliessgrenze.— Z. angew. Math, und Mech., 1925,
Bd 5, H. 1, S. 64—73.
К ГЛАВЕ III
1. Аннин Б. Д. Унруго-жесткопластическое кручение цилиндрического стерж-
. ня овального сечения.—Докл. АН СССР, 1963, т. 149, № 5, с. 1043—1046.
2. Аннин Б. Д. Существование и единственность решения задачи упруго-пла-
стического кручения цилиндрического стержня овального сечения.—
Прикл. математика и механика, 1965, т. 29, с. 779—887.
3. 'Аннин Б. Д.' Одно свойство решения уравнения ^^уу — z%y == 1. — Докл.
АН СССР, 1966, т. 168, № 3, с. 499—501.
4. Аннин Б. Д. Вариационные постановки упруго-пластических задач.— Дина-
мика сплошной среды/Ип-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск,
1979, вып. 39, с. 10—22.
229

5. Аннин Б. Д., Ильин В. П., Лебедев С. В. Численное решение задачи упруго-
пластического кручения.— В кн.: Труды конференции по численным мето-
дам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1969,
с. 37—40.
6. Аннин Б. Д., Садовский В.' М. О численном решении задачи упруго-пласти-
ческого кручения цилиндрического стержня овального сечения.— Динамика
сплошной среды/Ии-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1978,
вып. 37, с. 18—26.
7. Аииин Б. Д., Садовский В. М. Упруго-пластическое кручение стержня пряг
моугольного сечеиия.— Механика твердого тела, 1981, № 5, с. 182—185.
8. Амосов Г. Я. О кручении призматических стержней при упруго-пластиче-
ских деформациях.— Вестиик МГУ. Серия 1. Математика, механика, 1966,
№ 1, с. 98—106.
9. Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел.—М.: Физматгиз,
1969. 686 с.
10. Баннчук Н. В. Расчет упруго-пластического кручения стержней методом
локальных вариаций.— Инж. журн.: Механика твердого тела, 1967, № 1,
с. 145—148.
11. Баничук Н. В., Петров В. М., Черноусысо Ф. Л. Численное решение варна-
пионных и краевых задач методом локальных вариапий.— Журн. вычислит,
математики и мат. физики, 1966, т. 6, № 6, с. 947—961.
12! Галин Л. А. Упруго-пластическое- кручение призматических стержней по-
лигонального сечения.— Прикл. математика и механика, 1944, т. 8, вып. 4,
с. 307—322.
13. Галин Л. А. Упруго-пластическое кручение призматических стержней.—
Прикл. математика и механика, 1949, т. 13, вцп. 3, с. 285—296.
14. Галин Л. А. О существовании решения упруго-пластической задачи кру-
чения призматических стержней.— Прикл. математика и механика, 1949,
т. 13, вып. 6, с. 650—654. /
15. Дембская А., Медуховский А. Упруго-цластическое кручение составных
стержней.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969, № 6, с. 114—118.
16. Качанов Л. М. Пример решения вариационным методом задачи упруго-
пластического кручения.—В кн.: Исследования по упругости и пластич-
ности. Т. 1. Л.: Изд-во ЛГУ, 1961, с. 151—161.
17. Кошелев А. И. Существование обобщенного решения упруго-пластйческой
задачи кручения.—Докл. АН СССР, 1954, т. 99, № 3, с. 357—360.
18. Леонов М. Я., Швайко Н. Ю. О разрывных деформациях твердого тела.—
Прикл. механика и техн..физика, 196$, № 2, с. 96-^-103.
19. Леонов М. Я., Швайко Н. Ю. Упруго-пластическая деформация при кру-
чении стержня с мелким полуцилиндрическим пазом на поверхности.—
В кн.: Вопросы механики реального твердого тела. Киев: Изд-во АН УССР,
1962, вып. 1, с. 5—12.
20. Михлин С. Г. О приближенном решении односторонних вариационных за-
дач.— Изв. вузов. Математика, 1980, № 2, с. 45—58.
21. Перлин П, И. Упруго-пластическое кручение стержней овального попереч-
ного сечения.— Инж. сб., 1961, т. 31, с: 202—205.
22. Розе С. Н. О сходимости метода Л. М. Качанова.— Вестн. Ленингр. ун-та.
Сер. математика, механика, астрономия, 1961, № 19, вып. 4, с. 170—174.
23. Сальвадора М. Дж. Численные методы в технике.— М.: Йзд-во иностр. лит.,
1954. 247 с. .
24. Соколовский В. В. Об одной задаче упруго-пластического кручения.— Прикл.
математика и механика, 1942, т. 6, вып. 2—3, с. 241—246.
25. Christopherson D. G. A theoretical investigation ol plastic torsion in an
I-beam.— J. Appl. Mech., 1940, v. 7, p. A 1—4.
26. Davis E. A., Tuba I. S. Elastic-plastic solutions for notched shafts in tort
sion.— Trans. ASME, ser. E. J. Appl. Mech., 1966, v. 88, N 1.— (Пер.:
Прикл. механика. Тр. Амер. о-ва инж.-мехйников. М.: Мир, 1966, сер. Е,
- т. 88, № 1, с. 64—71.) ¦
27. Friedman A. Free boundaries in elastic-plastic problems.— Z. angew. Math,
und Mech., 1981, Bd 61, H. 4, S. 2—8.
230

28. Heracovich С. Т., Hodge P. G., Jr. Elastic-plastic torsion of hollow bars
by quadratic programming.— Intern. J. Mech. Sci., 1969, v. 11, N 1,
P. 53-63.
29. Hodge P. G., Jr., Herakovich С. Т., Stout R. B. On numerical comparisons
in elastic-plastic torsion.—Trans. ASME, ser. E, J. Appl. Mech., 1968, v. 35,
N 3. (Пер.: Прикл. механика. Тр. Амер. о-ва инж.-механиков. М.: Мир,
1968, Л« 3, с. 23—29.)
30. Lanchon H. Torsion elastoplatiqlie d'un arbre cylindrique de section sim-
plement ou multiplement connexe.—These a l'universite Paris VI, 1972.
169 p.
31. Mises R. Three remarks on the theory of the ideal plastic body.— Reissner
Anniversary Volyme. Ann. Aibot, Michigan: 1949, p. 415—419.
32. Nadai A. Der Begin des Fliessvorganges in einem tordirten Stab.— Z. an-
gev. Math, und Mech., 1923, Bd 3, H. 6, S. 442—454.'
33. Okudo H. The approximative decision of problem to torsion of a shaf with
ring groove.—The Reports Inst. High Speed Mech., 1953, рЧ 3.
34. Onta T. Fundamental research on (he elasto-plastic torsion of bar.— Bull.
Fac. Eng. Miyazaki Univ., 1970, v. 17, N 12, p, 41—52.
35. Shaw F. S. The torsion of solid and hollow prism in the elastic and plas-
tic range by relaxation methods.— Australian council for aeronautics. Rep.
АСА —11, 1944.
36. Southwell R. V. Relaxation methods in theoretical physics, v. 1, 2. Oxford
University Press, 1946; 1956.—248 p.; p. 249—522.
37. Stout Ray В., Hodge P. G., Jr. Elastic-plastic torsion of hollow cylinders.—
Intern. J. Mech. Sci., 1970, y. 12, N 1. -
38. Takaci N. On elastic-plastic torsion of a shaft with six semi — circular
longitudinal grooves. Trans. Japan Soc. Mech. Engrs. 1963, v. 29, N 197.
39. Ting T. W. Elastic-plastic torsion of a square bar.—Trans: Amer. Math.
Soc, 1966, v. 123, N 2, с 369—401.
40. Ting T. W. Elastic-plastic torsion.—Archive for Ration Mech. and Analy-
sis, 1967, v. 25, N 5, p. 342-366.
К ГЛАВЕ IV
1. Айталиев Ш. М., Ескалиев М. Е., Масанов Ж. К. Об упруго-пластическом
распределении напряжений и перемещений в бесконечном анизотропном
теле с круглым отверстием.— Прикл. проблемы прочности и пластичности,
1981, вып. 18. Статика и динамика деформируемых систем, с. 129—136.—
(Всесоюзн.межвуз. сб., Горький).
2. Алимжанов М. Т. Упруго-пластическая задача, учитывающая неоднород-
ность механических свойств .материала.— Докл. АН СССР, 1978, т. 242,
№ б, с. 1281—1284.
3. Аннин Б. Д. Замечания к работе В. Л. Добровольского «О применении комп-
лексных переменных к плоской пластической деформации».— Прикл. мате-
матика и механика, 1965, вып. 2, с. 400.
4. Аннин Б. Д. Одна плоская упруго-пластическая задача при экспоненциаль-
ном условии текучести.— Инне, журн.:" Механика твердого тела, 1966, № 3,
с. 122—123. '
5. Аннин Б. Д. Упруго-пластическое распределение напряжений в плоскости
с отверстиями.— Докл. АН СССР, 1969, т. 184, № 2, с. 315—317.
6. Аннин Б. Д. Упруго-пластическое распределение напряжений в плоскости,
ослабленной двумя круговыми отверстиями.— В кн.: Динамика сплошной
среды. Новосибирск: Наука, 1969, вып. 1, с. 234—241;
7. Баничук Н. В. Расчет нагружения упруго-пластического тела.— Изв.- АН
СССР. Механика твердого тела, 1969, № 1, с. 128—135.
"8. Баничук Н. В. Оптимизация форм упругих тел.—М.: Наука, 1980. 256 с.
9. Ватутин С. А., Похилько В. А. Области существования и устойчивости ре-
шений упруго-пластических задач для выработок круговой формы.— Физ.-
' техн. проблемы разработки полезных ископаемых, 1972, № 3, о. 10—16.
231

10. Бнцадае Л. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго по-
рядка.—М.: Наука, 1966. 203 с.
11. Ворович И. И., Космодамианский А. С. Упругое равновесие изотропной
пластинки, ослабленной бесконечным рядом одинаковых криволинейных
отверстий.— Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, механика и машинострое-
ние, 1959, № 4, с. 69—76.
12. Галин Л. А. Плоская упруго-пластическая задача.— Прикл. математика и
механика, 1946, т. 10, вып. 3, с. 367—386.
13. Галин Л. А. Аналогия для плоской упруго-пластической задачи.— Прикл.
математика и механика, 1948, т. 12, вып. 6, с. 757—760. •
¦ 14. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.— М.: Физматгиз, 1963. 639 с.
15. Григолюк Э. И., Фильштннский Л.. А. Перфорированные пластины и обо-
лочки.— М.: Наука, 1970. 556 с.
16. Ершов Л. В., Ивлсв Д. Д. Упруго-пластическое состояние эллиптической
трубы, находящейся под действием внутреннего давления.— Изв. АН СССР.
Отд-ние техн. наук, 1957, № 9, с» 130—134.
17. Имев Д. Д. Об определении перемещений в задаче Л. А. Галина.— Прикл.
математика и механика, 1957, т. 21, вып. 5, с. 716—717.
18. Ивлев Д. Д. Приближенное решение упруго-пластических задач теории
идеальной пластичности методом малого параметра.— Докл. АН СССР, 1957,
т. 113, № 2, с. 294-296.
19. Ивлев Д. Д. Приближенное решение методом малого параметра плоских
упруго-пластических задач теории идеальной пластичности.— Вестник Моск.
ун-та. Серия математика, механика, 1957, № 5, с. 17—26. ¦ "
20. Карийский С. Ю., Масанов Ж. К. Определение зои предельного состояния
около круговой выработки в анизотропном массиве.— Изв. АН КазССР.
Сер. физ.-мат., 1975, № 3, с. 42—48.
21. Космодамианский А. С. Упруго-пластическая задача для изотропного мас-
сива, ослабленного бесконечным рядом одинаковых круговых выработок.—
Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, механика и машиностроение, 1961, № 4,
с. 187—188.
22. Кошелев П. Ф., Ужик Г. В. Исследование пластической деформации в ме-
стах концентрации нанряжений методом травления.— Изв. АН СССР. Ме-
ханика и машиностроение, 1959, № 1, с. 111—118.
23. Кудрявцев Б. А., Партон В. 3., Песков Ю. А., Черепанов Г. П. О локальной
пластической Зоне вблизи конца щели (плоская деформация).— Изв. АН
СССР. Механика твердого тела, 1970, № 5, с. 132—138.
24. Кузнецов А. И. Плоская деформация неоднородных пластических тел.—
Вестник Ленингр. ун-та. Серия математика, механика, астрономия, 1958,
№ 13, вып. 3, с. 112—131.
25. Куршин Л. М., Суздальницкнй И. Д. Упруго-пластическая задача для плос-
кости, ослабленной двоякопериодической системой круглых отверстии.—
Прикл! математика и механика, 1968, т. 32, вып. 3^ с. 463—467.
26. Леонов М. Я. Основы механики упругого тела. Вып. 1.— Фрунзе: Изд-во АН
КиргССР, 1963. 328 с.
27. Леонов М. Я., Витвицкий П. М., Ярема С. Я. Полосы пластичности при рас-
тяжении пластин с трещиновидным концентратом.— Докл. АН СССР, 1963,
т. 148, № 3, с. 541—544.
28. Мирсалнмов В. М. О структуре пластических деформаций в вершине тре-
щины.— Изв. АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук, 1970, № 6, с. 24—29.
29. Мирсалимов В. М. О бигармонических решениях задач для упруго-пласти-
ческих тел при наличии неоднородности напряженного поля.— Изв. АН
АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук, 1972, № з, с. 34—38.
30. Мирсалимов В. М. Решение упруго-пластических задач для плоскости с
круговым отверстием при наличии неравномерного температурного поля.—
Докл.. АН АзССР, 1973, т. 29, № 10, с. 7—11.
31. Мирсалимов В. М. О решениях упруго-пластических задач для плоскости
с однопериодической системой круговых отверстий.— Докл. АН АзССР, 1973,
т. 29, № 5, с. 11—15. :
32. Мирсалимов В. И, Некоторые двоякопериодические упруго-пластические
232

задачи в условиях плоской деформации.— Изв. АН СССР. Механика твер-
дого тела, 1975, № 6, с. 75—81.
33. Мирсалимов В. М. Решение некоторых периодических упруго-пластических
задач.— Журн. прикл. механики и техн. физики, 1975, № 6, с. 115—121.
34. Мирсалимов В. М. Решение некоторых плоских упруго-пластических за-
дач.— В кн.: Механика деформируемых твердых тел. Баку, 1975, с. 118—
130. . ' • '
35. Мирсалимов В. М. Об одной упруго-пластической задаче -для массива, ос-
лабленного двумя одинаковыми круговыми выработками.— Физ.-техн. про-
блемы разработки полезных ископаемых, 1975, № 5, с. 142—146.
36. Мирсалимов В. М. Некоторые упруго-пластические задачи для плоскости,
ослабленной периодической системой круглых отверстий.— Прикл. мате-
матика и механика, 1976, т. 40, вып. 1, с. 152—158.
37. Мирсалимов В. М. Некоторые упруго-пластические задачи для плоскости
ослабленной двоякопериодической системой круглых отверстий.— Журн.
прикл. механики и техн. физики, 1974, № 4, с. 133—138.
38. Мирсалимов В. М. Равнопрочная выработка в горном массиве.— Физ.-техн.
проблемы разработки полезных ископаемых, 1979, № 4, с. 24—29.
39. Михлин С. Г. Математическая теория пластичности.— В кн.: Христиано-
вич С. А., Михлин С. Г., Девисон Б. Б. Некоторые новые вопросы меха-
ники сплошной среды. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1938, с. 155—216.
40. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптиче-
ских систем уравнений.— Новосибирск: Наука, 1977. 424 с.
41. Олыиак В., Рыхлсвский Я., Урбановский В. Теория пластичности неодно-
родных тел.— М.: Мир, 1964. 156 с.
42. Остросаблин Н. И. Об одной упруго-пластической задаче.— Физико-техии-
ческие проблемы разработки полезных ископаемых, 1969, № 4, с. 118—121.
43. Остросаблин Н. И. Упруго-пластическая задача для плоскости с двумя
одинаковыми круговыми отверстпямп.— Динамика сплошной среды/Ин-т
гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1970, вып. 4, с. 114—118.
44. Остросаблин Н. И. Упруго-пластическое распределение напряжений в пло-
скости,. ослабленной конечным числом круговых отверстий.— Прикл. меха-
ника, 1973, т. 9, № 10, с. 124—128.
45. Остросаблин. Н. И. Определение смещений в задаче Л. А. Галина.— Дина-
мика сплошпой среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск,
1973, вып. 14, с. 67—70.
46. Остросаблин Н. И. Упруго-пластическое распределение напряжений около
круговой выработки при экспоненциальном условии текучести.— Горное
давление в капитальных и подготовительных выработках/Ин-т горного де-
ла СО АН СССР, Новосибирск, 1973, «с. 32—39.
47. Остросаблин Н. И. Об упруго-пластической задаче для плоскости с отвер-
стием.— Динамика сплошной среды/Ии-т гидродинамики СО АН СССР, Но-
восибирск, 1977, вып. 28, с. 81—88.
48. Остроеаблин Н. И. Равнопрочное отверстие в пластинке при неоднородном
напряженном состоянии.— Журн. прикл. механики и техн. физики, 1981,
№ 2, с. 155—163.
49. Парасюк О. С. Упруго-пластическая задача с небигармоническим пластиче-
ским состоянием.— Докл. АН СССР, 1948, т. 63, № 4, с. 367—370.
50. Перлин П. И. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг от-
верстий.— В кн.: Исследования по механике и прикладной математике. М.:
¦ Оборонгиз, I960, с. 30—40.— (Тр. Моск. физ.-техн. ин-та, вып. 5).
51. Перлин П. И. Приближенный метод решения упруго-пластических задач.—
Инж. сб.. 1960, т. 28, с. 145—150.
52. Перлин П. И. Решение плоских упруго-пластических задач для двухсвяз- .
ных областей.— Инж. журн., 1961, т. 1, вып. 4, с. 68—76.
53. Протодьяконов М. М. Обобщенное уравнение огибающих к предельным кру-
гам напряжений Мора.— В кн.: Исследование физико-механических свойств
горных пород применительно к задачам управления горным давлением.
М.: Изд-во АН qCCP, «962, с. 27—38.
54 Работнов Ю. Н., Станкевич О. Ф. Экспериментальное выявление пластиче-
ских зон на моделях из титанового сплава.— Изв. АН СССР. Механика, 1965,
' № 2, с. 108-109.
233

55. Рева Т. Л. О бигармонических решениях задач для упруго-пластических
тел.— Прикл. механика, 1971, т. 7, вып. 4, с. J30—133.
56. Рева Т. Л. О применении рациональных функций для решения упруго-пла-
стических задач.— Прикл. механика, 1974, т. 10, вып.. 11, с. 119—124.
57. Савш Г. М., Парасюк О. С. Влив нер|вном1рио напруженного поля на пла-
стичну зону навколо отвору.—Доповда АН УРСР, 1948, JV° 3, с. 41—50.
58. Савш Г. М., Парасюк О. С. Пластичш зони довколя кругового отворув пло-
скому HepiBHOMipHo напруженному пол1.— Науков1 записки Льв1вского дер-
жавного университету. Сер. физ-мат., 1949, т. 12, выц. 3, с. 5—20.
59. Сажин В. С. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг от-
верстия, близкого кквадрату.— Инж. журн., 1964, т. 4, вып. 2, с. 364—368.
60. Сажин В. С. Упруго-пластическая задача для бесконечной плоскости с квад-
ратным отверстием.—Прикл. механика, 1965, т. 1, № 11, с. 134—137.
61. Сажин В. С. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг вы-
работок квадратной, овальной и сводчатой форм.— В кн.: Основания, фун-
даменты и подземные сооружения. М., Стройиздат, 1967, с. 84—91.
62. Сажин В. С. Определение области неупругих деформаций с учетом изме-
нения сцепления породы.— Физико-технические проблемы разработки по-
лезных ископаемых', 1967, № 6, с. 93—95.
63. Тсплицький Е. Плоска задача reopii пружносп гранично! р1вновачи про
контакт штампа з твпростором що деформируеться.— Прикл. мехашка,
1957, т. 3, вып. 3.
64. Фомин В. Л. Упруго-пластическое равновесие плоскости с круговым вы-
резом при наличии стационарного температурного поля.— Учен. зап. Ле-
. нингр. ун-та. Механика, 1960, № 280, вып. 35, с. 132—135.
65. Хома L Ю. Пластичш зонй йля кругового отвору в плоскому нер1вном1рно
напруженному шип при врахуванМ нормальных i дотичних зусиль.— Прикл»
мехашка, 1963, т. 9, вып. 2, с. 167—173.
66. Черепанов Г. Ц. Об одном классе точных решений плоской упруго-пласти-
ческой задачи.— Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, механика и машино-
строение, 1963, № 3, с. 95—103-
67. Черепанов Г. П. Об одном методе решения упруго-пластических задач.—
Прикл. математика и механика, 1963, т. 27, вып. 3, с. 428—435.
68. Черепанов Г. П. Краевые задачи с аналитическими коэффициентами.—
Докл. АН СССР, 1965, т. 161, № 2, с. 312—314.
69. Черепанов Г. П. О квазихрупком разрушении.— Прикл. математика и ме-
ханика, 1968, т. 32, вып. 6, с. 1034—1042.
70. Черепанов Г. П. Обратные задачи плоской теории упругости.— Прикл. ма-
тематика и механика, 1974, т. 38, вып. 6, с. 963—974.
71. Черепанов Г. П. Одна обратная задача теории упругости.— Инж. журн. .
Механика твердого тела, 1966, № 3, с. 119—130.
72. Черноусько Ф. Л. Метод локальных вариаций для численного решения ва-
риационных задач.— Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1965,
т. 5, № 4, с. 749—754.
73. Шапиро Г. С. Упруго-пластическое равновесие клина и разрывные реше-
ния в теории идеальной пластичности.— Прикл. математика и" механика,
1952, т. 16, вып. 1, с. 101—106. -
74. Эрлихман Ф. М. Определение перемещений в задаче Л. А. Галина.—Ди-
намика сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск.
1970, вып. 4, с. 131—134.
75. Anlt R. Т., Spretnak J. W. Initial yielding and fracture in notched -molyb-
denum.— Intern. J. Mech. Scl, 1965, v. 7, N 2, p. 87—102.
76. Dugdale D. S. Yielding of steel sheets containing slits.—J. Mech Phvs.
Solids, 1960, v. 8, № G, p. 100—104.
77. Forman R. G. Experimental program to determine effect of crack buckling
and specimen dimensions on fracture toughness of thin sheet materials —
Aerospace Res. Lab. Rep., N AFFDL — TR — 65—146, Wright — Patterson.
Air Force Base, 1966.
78. Gerberich W. W. Plastic strainsand energy density in cracked plates.
J. Experimental Techniques and Results Experimental Mech., 1964,
p. 335—344.
234

79. Hahn G. Т., Rosenfield A. R. Local yielding and extension of a crack un-
der plane stress.—Acta Metallurg, 1965, y. 14, № 3, p. 293—306.
80. Hahn G. Т., Rosenfield A. R. Experimental determination of plastic const-
raint ahead of a sharp crack under'plane straia conditions.— Ship Struc-
ture Committee Report, SSC — 180, 1966.
81. Hill R. On discontinuous plastic states with special reference to a localized
neckling in thin sheets.—J. Mech. and Phys. Solids, 1952, v. 1, № 1.
82. Lee С. Н., Kobayashi Sh. Elasto-plastic analysis of plane-strain and axi-
symmetric- flat punch indentation by .the finite — element method.— Intern.
J. Mech. Sci.. 1970. V.-12. № 4, p. 349—370.
83. Levy N., Marea] P. V., Ostergren W. J., and Rice J. R. Small scale yiel-
ding near a crack in plane strain a finite element analysis. Div.. Eng.,
Brown Univ. Tech. Report MGL40—002—080/1.
84. Nottrot R. On the numerical solution of the plane elastoplastic problem.—
J. Engng Math., 1967, v. 1, № 2.
85. Nottrot R^ Timman R. General method of solving the plane elasto-plastic
problem.— J. Engng Math., 1967, V. 1, № 1.
86. Rice J. R. A path independent integral and the approximate analysis, of
strain concentration by notches and cracks.—J. Appl. Mech., Trans. ASME,
v. 35, ser. E, 1968, N 2, p. 379—386. - -
87. Rosenfield A. R., Dai P. K., Hahn G. T. Crack entension and propagation
under plane stress. Proc. 1st Intern. Conf. on Fracture, Sendai, Japan,
88. Southwell R., de Allen D. N. Relaxation methods applied to engineering
problems. IV.—Philos. Trans. Roy. Soc. London, ser. A, 1950, v. C42.
89. Wesner J. W., Jr. Weinstein. Computerized relaxation applied to the.plane-
strain indenter.—J. Appl. Mech., Trans. ASME, ser. D, 1969, v. 91, № 4.
К ГЛАВЕ V
1. Биргер И. И. Метод дополнительных деформаций в задачах теории пластич-
ности.— Изв. ДН СССР. Отд-ние техн. паук, механика и машиностроение,
1963, № 1, с. 47—56. ¦ .
2. Биргер И. И. Методы упругих решений в теории пластического течения.—
Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, механика и машиностроение, 1964, № 2,
с. 116—118.
3. Витвицкий П. М., Леонов М. Я. Про руйнувания пластинки "з щшияою.—
Прикл. механика, 1961, т. 7, вып. 5, с. 516—520.
4. Витвицкий П. М„ Леонов М. Я. Полосы скольжения при неоднородной де-
формации пластинки.—В кн.: Вопросы механики- реального твердого те-
ла. Киев, Изд-во АН УССР, И962, вып. 1, с. 13—28.
5. Витвицкий. П. М., Леонов М. Я. Растяжение за пределом упругости пла-
стинки с' круговым отверстием.— Журн. прикл. механики и техн. физики,
1962, № 1, с. 109—117.
6. Витвицкий П. М. Полосы скольжения при растяжении тонких пластин с
прямолинейными разрезами.—В кн.: Концентрация напряжений. Киев,
Наукова думка, 1965, вып. 1, с. 78—85.
7. Витвицкий П. М. Про розвиток пластических деформацш бит шнщв пцли-
ни в тонкш пластппт.— Доповвд АН УССР, 1969, N1 4, с. 316-^-320.
8. Галин Л. А, Черепанов Г. П. Контактная упруго-пластическая задача для
пластин.— Докл. АН СССР, 1967, т. 177, № 1 с. 56—58.
9. Заславский Б. В. Пластические области вблизи кругового отверстия при
двуосном растяжении тонкой пластинки.—г Тр. Моск. авиационного ин-та,
1956, вып. 69, с. 11—38.
10. Керимов Р. Ю. Исследование упруго-пластического напряженного состоя-
ния и пластических зои пластинки с круговым отверстием при растяже-
нии.— Изв. АН АзССР. Сер.' физико-техн. и математических наук, 1972,
№7, с. 130-134.
• • - 235

11. Коротких Ю. Г. Решение плоское задачи для физических нелинейных ма-
териалов методом конечных разностей.— Прикл. механика, 1966, вып. 3,
с. 50—57.
12. Коротких Ю. Г. К решению на ЭЦВМ нелинейной плоской задачи теории
упругости и задач теории пластичности для сжимаемого упрочняющегося
материала.— В кн.: Строительная механика и теория упругости. Горький,
1967.— (Тр. Горьковск. инж.-строит. нн-та, вып. 50).
13. Кудрявцев Б. А., Партон В. 3., Песков Ю. А., Черепанов Г. П. О локальной
пластической зоне вблизи щели.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела,
1970, № 1, с. 61—64.
14. Кудрявцев Б. А., Партон В. 3., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача
для плоскости с прямолинейными щелями.— Изв. АН СССР. Механика
твердого тела, 1969, № 3, с. 174—176.
15. Леонов М. Я., Витвицкий П. М., Ярема С. Я. Полосы пластичности растя-
жения пластин с трещиновидным концентратором.— Докл. АН СССР, 1963,
т. 148, № 3, с. 541—544.
16. Панферов В. М. Концентрация напряжений при упруго-пластических де-
формациях.— Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, 1954, № 4, с. 47—66.
17. Перлин П. И. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг от-
верстий.— В кн.: Исследования по механике и прикладной математике. М.,
1960, с. 30—40.— (Тр. Моск. физико-техн. иц-та, вып. 5).
18. Рыбакина О, Г. Растяжение полосы с отверстиями при больших пластиче-
ских деформациях.— Изв. АН СССР, механика и машиностроение, 1963,
№ 4, с. 144—146.
19. Соколов А. П. Об упруго-пластическом состоянии пластинки.— Докл. АН
СССР, 1948, т. 60, № 1, с. 33—36.
20. Солодилов Ю. И. Упруго-пластическое распределение папряжений в пла*
стине с овальным отверстием.— Инж. журн., 1961, т. 1, вып. 4, с. 170—172.
21. Фаерберг И. И. Растяжение пластинки с круговым отверстием за преде-
лом упругости.— Труды ЦАГИ, 1947, № 615, с. 1—13.
22. Хома И. Ю. Концентрация напряжений в тонкой пластинке, ослабленной
бесконечным числом круговых отверстий, при упруго-пластических дефор-
мациях.— Труды IV Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин, 1962.
Ереван, 1964, с. 959—964..
23. Черепанов Г. П. Об одном метод§ решения упруго-пластических задач.—
Прикл. математика и механика, 1963, т. 27, вып. 3, с. 428—435.
24. Черепанов Г. П. К решению некоторых задач теории упругости и пластич-
ности с неизвестной границей.— Прикл. математика и механика, 1964, т. 28,
вып.-1, с. 141—144..
25. Черепанов Г. П. Задача Римаяа — Гильберта для внешности разрезов
вдоль прямой или вдоль окружности.— Докл. АН СССР, 1964, т. 156, № 2,
с. 275-277.
26. Черепанов Г. П. Краевые задачи с аналитическими коэффициентами.—
Докл. АН СССР, 1965, т. 161, № 2, с. 312—314.
27. Черепанов Г. П. О квазихрупком разрушении.— Прикл. математика и ме-
ханика, 1968, т. 33, вып. 6, с. 1034—1042.
28. Goodier J. N., Field F. A. Plastic energy dissipation in crab.— In: Fracture
of Solids, N. Y., InterscL, 1963.
29. Dugdale D. S. Yielding of steel sheets containing slits.— J. Mech. Phys.
Solids, 1960, vol. 8, № 2.
30. Southwell R., Allen D. N.- de G. Relaxation methods applied to engineering
problems.— Philoc. Trans! Roy. Soc., London, ser. A, 1950, v. 242, № 850.
К ГЛАВЕ VI ...
1. Александров А. Я., Соловьев Ю. М. Пространственные задачи теории уп-
ругости. Применение методов теории функций комплексного переменного.—
М.: Наука, 1978. 462 с.
236

2. Аннин Б. Д. Современные модели пластических тел.— Новосибирск: изд.
Новосиб. ун-та, 1975.
3. Линии Б. Д. Групповые свойства и точные решения уравнений пластично-
сти Мизеса н Треска.— В кн.: Теоретична и прилежна механика. Труды
IV конгресс. Книга 1. София, БАН, 1981, с. 644—649.
4. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Численный метод решения геометриче-
ски нелинейных осесимметрических задач для упруго-пластических оболо-
чек вращения.— Строительная механика и расчет сооружений, 1976, № 5,
с. 44—49.
5. Волчков Ю. М., Коробейников С. Н. Численное решение упруго-пластиче-
ских задач теории оболочек.— В кш: Материлы V Всесоюзной конференции
по численным методам решения задач теории унругости и пластичности.
Ч. II. Новосибирск: изд. Ин-та теорет. и прикл. механики СО АН СССР,
1978, с. 40-47.
6. Волчнов Ю. М., Коробейников С. Н. Оценка предельной нагрузки упруго-
пластических оболочек вращения.— Журн. прикл. механики- и техн. фи-
зики, 1981, № 4, с. 146—150.
7. Волчков Ю. М., Павлов А. В. Упруго-пластическое деформирование цилин-
дрической оболочки с поперечными ребрами под действием, гидростатиче-
ского давления.— В кн.: Материалы к VII Всесоюзной конференции по
теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1969, с. 148-^152.
8. Вульман С. А. О решении осесимметричных упруго-пластических задач ме-
тодом малого параметра.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1969,
№ 3, с. 166—169.
9. Вульман С. А. Приближенное решение упруго-пластической задачи для
полых тел, поверхность которых близка с сферической.— Изв. АН СССР.
Механика твердого тела, 1971, № 1, с. 119—122."
10. Вульман А. С. Решение осесимметричных упруго-пластических задач для
тел из сжимаемого материала.— Прикл. механика, 1971, т. 7, вып. 7, с. 91—
94.
11. Ершов Л. В. Упруго-пластическое состояние вблизи сферической полости.—
Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, механика и машиностроение, 1960, № 6,
с. 155—156.
12. Задоян М. А. Об одном частном решении уравнений- идеальной пластично-
сти.— Докл. АН СССР, И964, т. 156, № 1, ю. 38-49.
13. Иванов Г. В. Упргуо-пластическое течение ободочек при условии текуче-
сти Мизеса.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969, № 3, с. 85—90.
14. Кер1мов Р. Ю. Росподш напружень в ок<ш сферичшй порожнинн при
пружно-пластичных деформациях.— Допов1д1 АН УРСР, CepiH А. <Кз.-мат.
та техн. науки, 1976, № 7, с. 624—628.
15. Леонов М. Я., Панасюк В. В. Розвиток тр1щини, яка в плат мае форму
круга.— Докл. АН УССР, 1961, № 2, с. 165—168.
16. Панарелли Ж., Ходж П. Жестко-пластический анализ напряженного состо-
иния круглой трубы, находящейся под действием давления, осевой силы
и крутящего момента.— Прикл. механика. Тр. Амер. о-ва инж.-мех., сер.
Е, т. 30, № 4 с. 8.
17. Прагер В. Трехмерное пластическое течение при однородном напряженном
состоянии.— Механика. Сб. переводов н обзоров иностр. лит., 1958, № 3,
с. 23—27.
18. Семыкина Т. Д. О трехосном растяжении упруго-пластического простран-
ства, ослабленного сферической полостью.— Изв. АН СССР. Отд-ние техн.
наук, механика и машиностроение, 1963, № 1, с. 173—177. "
19. Сенатов С. И. Инвариантные пространственные решения уравнений иде-
альной пластичности.— Журн. прикл. механики и техн. фиаики, 1980, № 3,
с. 159—163.
20. "Ayres D. J. A numerical procedure for calculating stress and deformation
near a slit in a three — dimensional elastic ¦ plastic solid.— Eng. Fract.,
1970, y. 2, N Q, p. 143—156.
21. Francis P. H. On the extent of plastic yielding surrounding a surface "in-
clusion" under remote tension Int.— J. mech. Sci., Pergamon Press, 1971,
v. 13, p. 461—469.
237

К ПРИЛОЖЕНИЮ I
Аннин Б. Д. Об одной задаче с неизвестной границей для уравнения Пуас-
сона в пространстве.— В кн.: Уравнения в частных производных и задачи
со свободной границей. Киев: Наукова дуйка, 1983, с. 12—15.
Кудрявцев Л. Д. О дифференцируемых отображениях.— Докл. АН СССР,
1955, т. 104, № 1, с. 9—14. __
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.— М.:
Наука, 1978. 399 с.
Lie S. Drei Kapitel aus dem unvollendeten zweite Bande der Geometrie der
Beriihrungstransformationen.— Math. Ann., 1907. Bd 59, H. 1, 2.
К ПРИЛОЖЕНИЮ II
Аржанов Г. В. О нелинейной краевой задаче типа задачи Рнмана.— Сиб.
мат. журн., 1961, т. 2, № 4, с. 481—504. .
Соловьев П. В. Об одной граничной задаче в теории аналитических функ-
ций.—Докл. АН СССР, 1941, т. 33, № 3, с. 190—192.
Черепанов Г. П. Об одной нелинейной граничной задаче теории аналити-
ческих функций, встречающейся в некоторых упруго-пластических зада-
чах.— Докл. АН СССР, 1962, т. 147, № 3, с. 566—568.
Черепанов Г. П. Обратная упруго-пластическая задача в условиях анти-
плоской деформации.— Прикл. математика и механика, 1962, т. 26, вып. 6,
с, 1145—1147.

Борис Дмитриевич Лннин,
Геннадий Петрович Черепанов
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Ответственвый редактор Евгений Иванович Шемякин
Утверждено к печати Институтом гидродинамики •
СО АН СССР
Редактор издательства В. Н. Дятлов
Художественный редактор Т. Ф. Калинина
Художник Н. А. Пискун
Технический редактор Л. П. Мипеееа
' Корректоры И. А. Литвинова, В. К. Чичеяьнип
ИБ№ 23364
Сдано в набор 21.09.82. Подписано к печати 27.06.83. МЫ 05028. Формат бОХЭОУм.
Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Бумага типографская Mi 3. Усл. печ. л. 15.
Усл. нр.-отт. 15. Уч.-ивд. л. 19. Заказ J4 345. Тираж 1950 экз. Цена 3 р. 20 к.
Издательство «Наука», Сибирское отделение. 630099,
Новосибирск, 99, Советская. 18.
4-я типография издательства «Наука». 630077,
Новосибирск, 77, Станиславского, 25.