А.ПуАНКАРБ
НЕБЕСНОЙ
МЕХАНИКЕ

А. ПУАНКАРЕ
ЛЕКЦИИ
ПО НЕБЕСНОЙ
МЕХАНИКЕ
перевод с французского
Е. А. ГРЕБЕНИКОВА
Под редакцией
проф. Г. И. ДУБОШИИА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 196 5

531
П88
УДК 521.1

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 5
Том I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Предисловие автора 9
Глава I. Принципы динамики 11
Глава II. Задача трех тел 29
Глава III. Эллиптическое движение 60
Глава IV. Основы метода Лагранжа 83
Глава V. Применение метода Лагранжа 105
Глава VI. Различные преобразования разложений .... 121
Глава VII. Ограниченная задача 139
Глава VIII. Элементарная теория вековых возмущений . . . 171
Глава IX. Полная теория вековых возмущений 201
Глава X. Общий случай задачи трех тел 228
Глава XI. Теорема Пуассона 250
Глава XII. Симметрия разложений. Периодические решения 264
Глава XIII. Основы метода Делопе 289
Том II
РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ.
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
Глава XIV. Проблема возмущающей функции 313
Глава XV. Применение функций Бесселя 323
Глава XVI. Общие свойства возмущающей функции .... 340
Глава XVII. Коэффициенты Лапласа , . 353
Глава XVIII. Многочлены Тиссерана 367
Глава XIX. Операторы Ньюкомба 385

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XX. Сходимость рядов 397
Глава XXI. Рекуррентные соотношения и дифференциальные
уравнения 413
Глава XXII. Вычисление коэффициентов 431
Глава XXIII. Члены высшего порядка 446
Глава XXIV. Общие соображения по теории Луны 454
Глава XXV. Вариация 475
Глава XXVI. Движение узла 490
Глава XXVII. Движение перигея 504
Глава XXVIII. Члены высшего порядка 520
Глава XXIX. Второй метод 536
Глава XXX. Действие планет 552
Глава XXXI. Вековые ускорения 567

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
В течение первого десятилетия 20-го века в Париже были из-
даны «Лекции по небесной механике», читанные в Сорбонне зна-
менитым французским математиком А. Пуанкаре. Как можно ви-
деть из предисловия автора к I тому сочинения, эта книга не дубли-
рует ни ранее вышедшую обширную монографию А. Пуанкаре
«Новые методы небесной механики», ни «Трактат по небесной ме-
ханике» известного астронома Тиссерана, вышедший в конце
19-го века.
«Лекции по небесной механике» являются учебником, по кото-
рому можно начинать изучение этой части астрономии, не имея
другой подготовки, кроме элементарных сведений из общей меха-
ники и высшей математики. Но этот учебник, принадлежащий перу
гениального ученого, представляет собой сочинение, в котором
с достаточной математической строгостью и предельной ясностью
оригинально изложены идеи основных методов небесной механики.
Первый том книги Пуанкаре, вышедший в 1905 г. под назва-
нием «Общая теория планетных возмущений», разделен на 13 глав.
Первая глава является вводной и посвящена рассмотрению метода
Гамильтона — Якоби, на котором построено все последующее
изложение. В главе II выводятся дифференциальные уравнения
движения общей и ограниченной задач трех тел и их классические
интегралы. Глава III посвящена оригинальному изложению теории
невозмущенного кеплеровского движения с полным выводом всех
необходимых формул. Главы IV, V и VI содержат обоснование
и подробное изложение метода изменения произвольных постоян-
ных Лагранжа с приложением к теории возмущенного движения
планет солнечной системы.
В главе VII рассматривается применение метода Лагранжа
к круговой ограниченной задаче трех тел.
Главы VIII и IX посвящены теории вековых возмущений.
В главе X разбирается общий случай задачи трех тел, а в гла-
ве XI—теорема Пуассона о неизменяемости больших полуосей орбит
во втором приближении. Наконец, две последние главы содержат
изложение метода Делоне, с успехом применяемого в настоящее
время к задачам о движении искусственных спутников Земли.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ РАДАКТОРА
Таким образом, первый том содержит детальное изложение
общих принципов применения метода последовательных прибли-
жений к интегрированию дифференциальных уравнений, опреде-
ляющих возмущенные оскулирующие элементы орбит планет.
Второй том учебника Пуанкаре разделен на две части. Часть I
«Разложение возмущающей функции» вышла в свет в 1907 г. и со-
держит рассмотрение всех необходимых вопросов, относящихся
к этому важному разделу теории возмущений. Сюда входят и ос-
новы теории функций Бесселя и теория коэффициентов Лапласа
и операторов Ньюкомба. Здесь автор уделяет много внимания
вопросам сходимости разложений и трактует эти вопросы с пол-
ной математической строгостью.
Часть II второго тома вышла в 1909 г. под названием «Теория
движения Луны», которую Пуанкаре разделяет на два отдела, от-
нося к первому движение Луны под действием притяжений Земли
и Солнца, а ко второму — изучение влияний притяжений планет
и влияние сжатия Земли. Изложение построено на работах Хилла,
Делоне и Брауна, и хотя здесь также не затрагиваются вопросы
о сходимости рядов, но вся теория переработана и представлена
в виде единого целого.
Третий том сочинения Пуанкаре, вышедший в 1910 г., содержит
«Теорию приливов», которая теперь не входит в небесную меха-
нику и представляет собой изложение решения некоторых задач
гидродинамики.
В настоящее, советское издание перевода книги Пуанкаре
включены только два первых тома, которые объединены в один.
Перевод сделан весьма тщательно и воспроизводит полностью
труд знаменитого ученого почти без всяких изменений. Мы позво-
лили себе только изменить в некоторых местах обозначения (на-
пример, обозначения для частных производных) и сделали не-
сколько несущественных сокращений.
Советский читатель получит еще одну книгу по небесной меха-
нике, книгу, представляющую большую научную ценность и обла-
дающую многими замечательными качествами.
Несомненно, что издание перевода труда А. Пуанкаре прине-
сет большую пользу студентам, аспирантам и всем интересующим-
ся небесной механикой, которая в наш век космической эры при-
обрела новое значение и стала необходимым звеном в длинной
цепи наук, посвященных изучению, развитию и использованию
методов освоения космического пространства.
Проф. Г. Н. Дубошин

Том I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ПЛАНЕТНЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга не должна выполнять те же обязанности, что и дру-
гое мое сочинение «Les Methodes nouvelles de la Mecanique ce-
leste» или сочинение Тиссерана «Traite de Mecanique celeste».
6 «Новых методах» мы чаще всего исходили из геометрической
точки зрения и исследовали аналитическую строгость; например,
мы посвятили вопросу сходимости рядов большие усилия и много-
численные страницы; здесь, наоборот, мы оставили этот вопрос
целиком в стороне, и читатель, который пожелает это изучить,
должен обратиться к моему сочинению «Les Methodes nouvelles
de la Mecanique celeste».
С другой стороны, в «Новых методах» мы рассматривали при-
ближения, намного более далекие, чем этого требует практика;
мы могли, таким образом, подчеркнуть обстоятельства совсем не-
предвиденные, аналитическое значение которых весьма велико,
но которые не представляют никакого интереса для астронома-
практика и не приобретут его до того дня, когда точность наблю-
дений будет намного выше, чем сегодня, или когда пожелают срав-
нить наблюдения, рассматриваемые на протяжении веков.
Наоборот, мы рассматривали прежние результаты как извест-
ные, так что мы могли бы настаивать на связи между новыми ме-
тодами и прежними результатами.
Поэтому «Новые методы» недоступны для начинающего и до-
ступны только читателю, уже знакомому с небесной механикой.
Здесь, наоборот, мы ограничиваемся воспроизведением лек-
ций, прочитанных нами студентам Сорбонны, и ставим проблемы
сначала, предполагая только известными основы анализа и меха-
ники, а также законы Кеплера и Ньютона. Мы заимствуем у но-
вых методов только существенные результаты, те, которые под-
даются непосредственному применению, стараясь привязать их

10 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
возможно больше к классическому методу вариации произвольных
постоянных.
С другой стороны, Тиссеран постоянно занимался воспроизве-
дением, так точно, как он мог, идей основателей небесной меха-
ники. Действительно, его книга дает нам все целиком в сжатой
форме. Мы не делали заново то, что сделал он, и сделал хорошо.
Мы имеем на это право; путь, по которому следовали наши
предшественники, не всегда был прямым; в подобных случаях мы
шли кратчайшим путем; мы лишались также всего, что получали
по пути и которое часто представляло большой интерес. Но мы
не сожалеем об этом, так как все это сделал для нас Тиссеран.
Таким образом, эта новая книга не освобождает от чтения
прежних упомянутых книг и в дальнейшем мы будем часто на
них ссылаться.

ГЛАВА I
ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ
Здесь будет идти речь не об экспериментальных основах и не
о философских принципах механики, а лишь о некоторых аналити-
ческих преобразованиях, знакомство с которыми необходимо всем,
желающим изучать динамику, и которые составляют основное со-
держание прекрасного сочинения Якоби «Лекции по динамике»*).
1. Канонические уравнения. Пусть
Уи Уг* • • ч Уп
обозначают 2» переменных величин, образующих две группы,
и цусть F есть некоторая функция этих 2га переменных. Рассмотрим
дифференциальные уравнения вида
dxt_ dF dVt_ dF ...
It ~ dyt ' dt dxt ' " >
которые будем называть каноническими уравнениями.
Интегрируя полностью эти уравнения, выразим неизвестные х
и у как функции времени t и 2п произвольных постоянных
сц, а2, ..., а»,.
Заметим, между прочим, что функциональный определитель
функций х и у по постоянным а не может равняться тождественно
нулю.
6 самом деле, если бы это было так, то между переменными х,
у и t существовало бы соотношение, не зависящее от а. А тогда
переменным хну нельзя было бы придать произвольные началь-
ные значения при t = t0.
Легко видеть, кроме того, что мы имеем в силу уравнений A)
dF _ -ст Г dF dxt dF dyt\_n
"dT-Zj^dir dt ~г~ду~;' dt J~v'
откуда
F = const,
*) Якоби К., Лекции по динамике. Перев. с нем. О. А. Полосухи-
ной под ред. Н. С. Котлякова, ОНТИ, 1936. (Прим. ред.)

12 ТОМ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
что дает один из интегралов уравнений A). Этот интеграл может
быть назван интегралом живых сил, так как в случае уравнений
динамики он выражает, как увидим ниже, сохранение энергии.
2. Канонические уравнения A) могут быть записаны в другой,
эквивалентной форме.
Допустим, что все переменные выражены в виде функций вре-
мени t и постоянных а. Тогда имеем тождественно
~dt\2jxdak) дак V Zix dt J " Ь dt dah 2l dt
где aft— одна из постоянных интегрирования. С другой стороны,
очевидно, что
_dF__sr\dF_ ду_ ъд?_ дх_ -о,
дак ~ 2л ду ' dak + Zl дх ' дак ' ^ '
В силу уравнений A) правые части B) и C) равны, а следова-
тельно, будем иметь
дР (А,
Так как индекс к принимает значения 1, 2, ..., 2л, то мы будем
иметь 2п таких уравнений. Наоборот, если имеют место уравне-
ния D), то правые части B) и C) равны и мы можем написать
dx dF\ ду sy С dV i &f
~Ж~~ду~)^^~2л V. dt "г дх
Эти Ъг уравнений линейны относительно 2п неизвестных
dx__dF_ f dy dF\
dt dy ' ^ dt ¦+" dx ) '
и определитель системы этих 2га линейных уравнений, который
есть не что иное, как функциональный определитель хну отно-
сительно а, не может тождественно равняться нулю. Следователь-
но, система имеет только нулевое решение, откуда вытекает, что
канонические уравнения A) удовлетворяются. Таким образом,
из уравнений A) можно получить уравнения D) и, наоборот, из
уравнений D) можно вывести уравнения A). Следовательно, си-
стемы уравнений A) и D) эквивалентны.
3. Канонические преобразования. Пусть
У[, y'v ..., Уп
являются функциями In прежних переменных хну. Мы мо-
жем сделать замену переменных, принимая за новые перемен-
ные х' и у'.

ГЛ. I. ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ 13
Допустим, что соотношения, связывающие новые и старые пе-
ременные, таковы, что выражение
ость точный дифференциал. Покажем, что в этом случае преобра-
зование переменных не изменяет каноническую форму уравнений
A), которые примут вид
^i__dF_ dv\_ dF_ .,,.
dt ~ dy'i ' dt ~ dx\ ' \ >
Действительно, мы имеем
x
dak 2ix dak ~ dak >
2, dy' ъ dy _dS
x It 2jx dt ~1F'
откуда выводим тождество
dt \2лх dahj dah
Так как из уравнений A) можно вывести уравнения D), то в силу
тождества E) мы будем иметь следующие уравнения:
гду'Л д (v x'dy> Л dF w\
которые отличаются от уравнений D) только тем, что вместо преж-
них переменных х и у в них входят новые переменные х' и у'.
Мы видели, что из уравнений D) можно вывести уравнения A).
Точно так же из уравнений D') можно вывести уравнения A').
Таким образом, уравнения (Г) являются следствием уравнений
A), что и требовалось доказать.
4. Примеры. Рассмотрим, например, преобразование
4 = Уь y'i=—Xt-
В этом случае
т. е. полный дифференциал. Отсюда следует, что в результате
этого преобразования уравнения A) переходят в уравнения A'),
что, впрочем, можно проверить и непосредственно.
5. Предположим теперь, что переменные х' связаны с пере-
менными х линейными соотношениями и переменные у' связаны
с у с помощью других линейных соотношений. Предположим,

14 ТОМ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
кроме того, что имеет место тождество
2*У = 2*у- F)
Ясно, что дифференциалы dy' связаны с дифференциалами dy
теми же линейными соотношениями, что и у' с у. Следовательно,
в тождестве F) мы можем заменить у и у' на dy и dy', откуда сле-
дует, что
2
т. е. является полным дифференциалом, а поэтому указанное пре-
образование не изменяет каноническую форму уравнений.
6. Если положим
то будем иметь
xdy = 2Q cos8 to do + dQ cos to sin о),
и, следовательно,
xdy — е da =• о cos 2to dw -f- -?- sin 2to = d t -S- sin 2© i
есть полный дифференциал. Следовательно, если мы положим
xi = x'i, yi = y'i при i>i,
то разность 2 ж' ^У' ~ 2 ж ^У будет полным дифференциалом
и каноническая форма уравнений сохраняется.
7. Уравнения Гамильтона. Уравнения динамики могут быть
легко приведены к канонической форме.
Рассмотрим систему, состоящую из -=- материальных точек.
подверженных силам, зависящим только от их координат. В соот-
ветствии с принципом сохранения энергии эти силы должны
допускать силовую функцию.
Обозначим координаты первой материальной точки через х,,
х2, х3; координаты второй — через ж4, ж5, х6; ... ; координаты
Г-^-^-й — через хп-2, #71-и хп- Мы будем обозначать также массу
первой материальной точки через nil— /«2= т3; массу второй —
через т4 — ть = тв; ... ; массу последней — через тя_2= /и„.., ¦
= тпп-
В этих обозначениях кинетическая энергия Т системы выра-
жается формулой

ГЛ. 1. ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ 15
Обозначим потенциальную энергию системы через V, которая
будет зависеть только от координат, и полную энергию системы —
через F, так что
Тогда уравнения движения можно написать в виде
dU
Положим
_т dxt
так что, например, ylt y2, Уз представляют собой три компоненты
количества движения первой материальной точки. Тогда будем
иметь
2 -^— тп-i
dxt _Vi _дТ
dt тп-t dyt
С другой стороны, уравнения G) могут быть написаны следую-
щим образом:
dVi _ dU
Так как Т не зависит от х, a U не зависит от у, то будем иметь
и, следовательно,
dxt_dF dyt _ dF_
~dT~dyl' ~dT~ ' дщ'
т. е. уравнения движения имеют каноническую форму.
8. Возьмем теперь какую-нибудь систему криволинейных коор-
динат и будем определять положение системы материальных точек
не прямоугольными координатами xt, x2, ... , хп, а некоторыми
функциями
Яи Чъ • • • > Яп
этих п прямоугольных координат. Наоборот, п прямоугольных
координат х будут функциями п новых координат q. Тогда функ-
ция U, которая зависит только от х, будет зависеть только от ве-
личин q. Пусть
x, = (pi(q1, q2, .... qn).

16 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Дифференцируя, находим
или, обозначая для сокращения производные -^ и -~ через х\
« Як,
Мы видим, что х' являются линейными функциями производ-
ных q , причем коэффициенты -S*- зависят только от q.
Отсюда следует, что Т = ¦=- 2 тпх% будет однородным много-
членом второй степени относительно q', коэффициенты которого
.зависят от q. Поэтому если положим
дТ
то в силу теоремы об однородных функциях будем иметь
Заметим, кроме того, что если Т выразить в зависимости от х
формулой Т = у 2 иьк'2) то будем иметь также
Установив это, придадим переменным q приращения dq ,
рассматривая при этом переменные q как постоянные. Тогда
неременные х не изменятся, так как они зависят только от вели-
чин q, но производные х' получат приращения dx' и дифферен-
цирование уравнений (9) дает
Кроме того, мы будем иметь
*r-2?**f-2sF**'.
откуда
^^ A1)
Сравнение равенств (8) и A0) показывает нам, что между
величинами dx' и dq' имеют место те же соотношения,

ГЛ. I. ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ 17
что и между dx и dq. Следовательно, в тождестве (И) мы можем
заменить dx' и dq' на dx и dq, что дает
Таким образом,
есть полный дифференциал.
Следовательно, если взять за новые переменные q и р, то кано-
ническая форма уравнений не изменится и мы будем иметь
dqt__dF_ dpi__ dF_
dt ~ dpt' dt ~ dqt '
Итак, мы получили уравнения Гамильтона для произвольноп
системы координат.
9. Системы со связями. Нетрудно распространить этот резуль-
тат и на систему со связями. Предположим, что на нашу систему,
состоящую из -г? материальных точек, наложено а связей, так что
прямоугольные координаты х могут быть выражены в функции
п — а = Р независимых переменных
Чч Чг, ••-, ?з-
Пусть
суть выражения п прямоугольных координат в фупкцип этих
переменных. Введем а вспомогательных перемепных
(I ПОЛОЖИМ
*i = 4i (?H ?2. • • • t 9р. <7Р+И • • •» Яп),
где грг суть какие угодно функции, приводящиеся к фг при
?р+1 = ?р+2 = • • • = Чп = 0. A5)
Если за независимые переменные взять величины
Яи 42' •••»9л,
то уравнения A5) будут уравнениями связей.
Мы видим, что система со связями может быть рассматриваема
как система без связей при условии, что к ней приложены некото-
рые дополнительные силы, так называемые силы связи, значение
2 А. Пуанкаре

18 ТОМ 1. ОВ1ЦАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВСКШУЩКНИИ
которых легко понять. Предположим, например, что две точки
системы всегда остаются на постоянном расстоянии а. Тогда все
будет происходить так, как если бы эти две точки притягивались,
когда их расстояние делается больше а, и отталкивались, когда
расстояние делается меньше а; это притяжение (или отталкива-
ние) делается чрезвычайно большим, когда расстояние между точ-
ками равно а «¦ е (или а — с), если е — не сколь угодно мало.
Аналогичную интерпретацию можно придать всем силам связен.
Пусть теперь W — потенциальная энергия, обусловленная
силами связи так, что работа этих сил выражается величиной
— dW. Мы можем тогда рассматривать нашу систему как свобод-
ную, прибавляя к потенциальной энергии U обычных сил вели-
чину W, т. е. изменяя F на F + W. Тогда уравнения A2) запи-
шутся в виде
Ё?1 L± ^?i-J.
dt ~ dpi ' dt ~~ dq;
Но работа сил связи равна нулю при всяких перемещениях,
совместимых со связями. Следовательно, функция W не изменяется,
когда переменные A3) изменяются, а переменные A4) постоянно
остаются равными нулю.
Поэтому будем иметь
С другой стороны, W зависит только от q и не зависит от р, так
что у—= 0. Следовательно,
1, 2, ..., Р, мы будем иметь
что у—= 0. Следовательно, давая индексу г только значения
d<!i_dF_ dpt _ bF
dt ~^ dpi ' dt ~~ lq~i'
Таким образом, мы снова пришли к уравнениям Гамильтонл.
10. Метод Якоби. Вернемся снова к каноническим уравне-
ниям A). С этими уравнениями тесно связано некоторое уравне-
ние в частных производных, открытое Якоби, которое мы сейчас
получим.
Пусть S — неизвестная функция. Заменим в функции F(xh у-,)
dS
переменные yt частными производными -— и приравняем эту
функцию некоторой постоянной. Таким образом, мы получаем
уравнение
ь ~)
const, (ПИ

ГЛ. I. ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ 19
которое и называется уравнением Якоби. Мы покажем, что инте-
грирование уравнений A) приводится к решению уравнения
Якоби.
В самом деле, предположим, что найдено частное решение
уравнения A6), зависящее от га произвольных постоянных
Ри Рг. •• •, Рп-
Постоянная, находящаяся в правой части уравнения A6),
будет функцией этих га постоянных, так что мы будем иметь
Функция S зависит одновременно от переменных i и от по-
стоянных интегрирования р. Варьируя одновременно х и р, мы
будем иметь
Положим
dS dS
Тогда между 4га величинами х, у, р, у имеем 2га соотношений
A8). Следовательно, 2га из этих величин могут рассматриваться
как функции 2га других. Например, р и у можно рассматривать
как функции х я у. Это позволяет сделать замену переменных
и вместо прежних переменных х и у взять новые переменные р и \.
Так как в силу A8)
то выражение
есть полный дифференциал.
Следовательно, замена переменных является
канонической, и уравнения A) приведутся к виду
dyt _ dF_ dp i dF
"rfT~dp7' It %'
или, ввиду тождества A7), к следующим уравнениям:
at ~арг' dt •
Уравнения A9) интегрируются непосредственно. Сначала
находим
р; = const.

•20 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
При постоянных Р функция <р(р1( р2, ... ,Рп) и ее производные
Д- также будут иметь постоянные значения. А тогда интегриро-
вание первых уравнении A9) дает
где <0j суть п новых постоянных интегрирования.
Таким образом, уравнения A9), а следовательно, и система
A) полностью проинтегрированы.
11. Возьмем опять уравнения
dt ~ ду ' dt ~ The ' ^
исходя из которых мы можем написать уравнение Якобп:
Выполним каноническую замену переменных. Пусть q н р —
новые переменные, так что
— полный дифференциал, и вместо уравнении A) будем иметь
dqt__OF_ dpi__ _0F_ ,,,.
dt ~ dpi ' dt ~ dqt ' ^ ;
Обозначим через F (q; p) результат замены в функции /' (х, у)
переменных хпу их значениями в функции от q и р. Мы поставили
между q и р точку с запятой во избежание недоразумения, чтобы
не казалось, что F(q,p) есть результат замены х на q и у нар в
функции F.
Применим к уравнениям A') метод Якоби. Для этого заменим
п OS'
в /' переменные pt частными производными ^— и приравняем
функцию F постоянной, что дает уравнение
СОШ*. A6')
Являются ли функции /S", которые удовлетворяют уравнению A6'),
теми же самыми функциями S, которые удовлетворяют уравне-
нию A6)? Вообще говоря, нет.
Действительно, мы можем заменить уравнение A6) равенствами
^(хи yi) = const, dS=

ГЛ. I. ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ 21
и уравнение A6') равенствами
F (qt; Pi) = const, dS' = 2 P dq-
Уравнение F (q; p) = const заведомо является следствием урав-
нения F (х, у) = const. Но, с другой стороны,
откуда
Правая часть, вообще говоря, не равна нулю.
Существует, однако, случай, когда S '= S. Это — случай урав-
нений Гамильтона и замены переменных, изложенной в § 8.
Действительно, в § 8 мы нашли, что
откуда
Другими словами, в случае уравнений Гамиль-
тона, если в уравнении A6) заменить х их выражениями в функ-
dS
ции от q и частные производные -з соответствующими выраже"
3S -
ниями в функции от q и от частных производных -тг-, то преобра-
зованное уравнение будет иметь вид
что есть не что иное, как уравнение A6'), в котором S' заме-
нена на S.
12. Случай, когда время входит явно. Предположим* что функ-
ция F зависит не только от х и у, но также и от времени t, и рас-
смотрим опять уравнения A). Эти уравнения не до-
пускают более интеграла живых сил
F = const.
Тем не менее случай, когда время входит явно в функцию F,
легко привести к случаю, который мы до сих пор рассматривали.
Действительно, введем две вспомогательные переменные, и
И V, И ПОЛОЖИМ

22 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
где F(xt, yu и) есть функция F, в которой время t заменено на и
Рассмотрим теперь канонические уравнения
dx__dF^_ dy_ д]Г_
~dt~~ ду ' dt ~~ дх '
du__dl^_ dv_ _dF_
dt ~ dv ' dt ~ ди * ^
Третье из уравнений B0) дает нам
dt -1'
откуда и = t. Первые два уравнения совпадают с уравнениями (l)t
так как, если положить и = t, имеем
0F^_dF_ dF' _ dF
ду ~ ду ' дх ~~ дх '
Что касается четвертого уравнения, то оно определяет перемвЕ-
ную v, которую можно определить также с помощью интеграла
живых сил уравнений B0):
F (xt, ус, и) + v = const.
Допустим теперь, что производится замена переменных и но-
вые переменные х' и у' являются функциями старых переменных
х, у и времени t.
1) Если разность
есть полный дифференциал, то выражение
также является точным дифференциалом. Таким образом, уравне-
ния B0) сохраняют каноническую форму, если вместо прежних
переменных xt, yt, и и v ввести новые переменные х\, у\, и и v.
Уравнения A), которые являются первыми уравнениями си-
стемы B0), также, следовательно, сохраняют каноническую форму.
2) Пусть выражение
становится точным дифференциалом, ког-
да t рассматривается как постоянная.
Рассматривая t как переменную, мы будем иметь
где dS — некоторый точный дифференциал, a W — функция х,
у и t или, если угодно, х', у' и t.

ГЛ. I. ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ 23
Заменяя t через и, имеем
Тогда, полагая
v' = v+W,
мы видим, что
есть полный дифференциал.
Итак, если вместо xt, yt, и и v взять новые переменные х\, у\,
а и у', то уравнения B0) сохраняют каноническую форму.
Но в новых переменных мы будем иметь
'—W
№^ _d(F—W) 8F' _д(F—W)
дх' ~ дх' ' ду' ~ ду' '
Первые два уравнения B0) напишутся в виде
dx' _d(F—W) d^_ д(F—W)
dt ~ ду' ' dt ~ dx'
Отсюда видно, что уравнения A) имеют также каноническую
форму с той лишь разницей, что функция F заменена функцией
F -W.
3) Пусть переменные х' и у' зависят только от переменных
х и у и не зависят от t, и пусть выражение
является точным дифференциалом.
Мы приходим к первому случаю. Уравнения A) сохраняют
каноническую форму с той же характеристической функцией F.
Посмотрим, какой результат получается, если применить
к уравнениям B0) метод Якоби. Полагая
dS dS
и приравнивая функцию F' постоянной, мы найдем
Заменяя и на t, будем иметь

24 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Такова форма уравнения Якоби в случае, который нас инте-
ресует.
13. Скобки Якоби. Вернемся к случаю, когда характеристиче-
ская функция F не зависит явно от времени t. Пусть Fx и F2 —
некоторые функции переменных х{ и г/(.
Мы будем обозначать символом (Fu F2) следующее выражение:
(* и * г) =
которое называется скобками Якоби.
В силу уравнений A) имеем тождественно
dt ~2i\dxi dt "•" dyt dt J~~Zl{dxi dyt dVi dxt J*
Последнее равенство показывает, что для того, чтобы F,= const
было интегралом уравнений A), необходимо и достаточно, чтобы
скобки Якоби (Flt F) равнялись нулю.
Если А, В и С суть три произвольные функции, то справедли-
во легко проверяемое тождество
((Л, В), С) + ((В, С), А) + ((С, А), В) = 0.
Допустим теперь, что /\= const и F2= const суть два инте-
грала уравнений A). Тогда (Fit F2)= const — третий интеграл.
Это утверждение известно под названием теоремы Пуассона.
Действительно, имеем тождество
((Л Л), F2) + ((Ft, F2), F) + ((F2, F), Ft) =0.
Первое и третье слагаемые равны нулю, так как (F, Ft) —
= — (Fi, F) и (F2, F) равны нулю в силу того, что Ft= const
и F2= const являются интегралами уравнений. Поэтому получаем,
что среднее слагаемое тоже равно нулю:
откуда следует, что (F±, F2) = const также есть интеграл.
14. Скобки Лагранжа. Предположим, что уравнения A) про-
интегрированы и переменные х% и yt выражены в виде функций
времени t и 2га постоянных интегрирования ak.
Обозначим символом [aft, ak] выражение
Выражение [ah, a&] называется скобками Лагранжа, и его
не следует смешивать со скобками Якоби.

ГЛ. I. ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ 25
В § 2 мы видели, что уравнения A) влекут за собой следующие:
dt V & dah) да.к\2лх dt )~ dah
которые можно написать в виде
Точно так же будем иметь
Дифференцируем B1) по ал, B2) по аА и вычтем из первого
результата второй. Тогда правые части уничтожатся и мы получим
dt [. dah\.A* dah у dak \ Zj л dah
или
A. f"V ^JfL J^-__?i- -^L^il _ <* [«ft. ад] _ 0
dt L ^ V dah ' dak dah ' dah J J ~ A ~v'
Это значит, что [a/t, ak] есть постоянная, не зависящая от вре
мени и могущая зависеть только от постоянных интеграции.
15. Заметим теперь, что имеют место тождества
д [ад, ад] , д [ah, a/] , d[aj, ah]
daj H д^~^ Щ~=
[ал, aft] = 0, [aft, aft] = — [aft, aft],
являющиеся непосредственными следствиями определения ско-
бок Лагранжа.
Покажем справедливость первого из этих тождеств. Мы имеем,,
очевидно,
Дифференцируя первое из этих соотношений по а}, второе по aft.
третье — по ak и складывая, мы убедимся, что в правой части
все слагаемые попарно уничтожаются, что и доказывает первое
из тождеств B3).
Остальные два тождества очевидны.

26 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩКНИЙ
16. Рассмотрим снова уравнение B1) и напишем его в виде
(
dt
где функция Q определяется формулой
Ясно, что функция Q, определяемая своей частной производ-
ной по времени, определяется с точностью до произвольной функ-
ции от постоянных а.
В результате интегрирования получим
¦V ду а®
где Ah— функции постоянных а, не зависящие от вре-
мени t.
С другой стороны, мы имеем
Sdy _ dQ р
и так как
*=2 ?
*= 2
то, имея в виду, что Ак не зависит от времени, по-
лучим
^xdy = dQ+^Akdak-Fdt. B4)
Отсюда выводим
Так как A k и A h суть функции только от а, не зависящие от t,
то такими же являются их частные производные и, следовательно,
скобки [а.ь, ak]. Таким образом, мы опять пришли к теореме § 14.
17. Возьмем в качестве постоянных интегрирования началь-
ные значения х\, у\ переменных xt и у, при t = 0. В этом случае
уравнение B4) принимает особенно простую форму.
Положим в равенстве B4) t = 0. Тогда dt = 0, xt —x\, yt =yh
ii = Qo. Величины Ah не зависят от времени, а поэтому не изме-
нятся, и мы получим

ГЛ. I. ПРИНЦИПЫ ДИНАМИКИ 27
Мычитая это равенство из B4), найдем
%xdy = d(Q-Q0)+'%afidi1*—Fdt. B5)
18. В случае уравнений Гамильтона (в обозначениях § 7)
имеем
F = T+U,
где U не зависит от переменных у и Т является однородной функ-
цией второй степени относительно у. Следовательно, имеем
дТ i V „ д?
С другой стороны, имеем
и,
и,
следовательно,
наконец,
dQ
dt
_ d(
dQ
dt ~
dt +'
<*B*y)
dt
-T. B6)
19. В частном случае задачи трех тел потенциальная энергия
U является однородной функцией степени (— 1) относительно х,
и Т остается однородной функцией второй степени относительно
у и не зависит от х.
Теорема об однородных функциях нам дает
dU vi _ dF nm VI .. 9Т vi .. dF
откуда
or* V^ dF n vi _ dF /07\
В этом случае легко составить функцию Q. Действительно,
находим
At-t 2лх дх ' Tt Ь У ду Zj х дх '
откуда

28 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Так как F постоянна в силу интеграла живых сил, то это урав-
нение интегрируется непосредственно, и мы находим
Q = bFt — 2 ху+const.
Постоянную в правой части можно заменить некоторой произволь-
ной функцией от постоянных интегрирования.
Положим теперь
Тогда находим, что
Далее будем иметь
dJ_ d C^y ду\
dt ~ dt \АЖ да J
_ C^
dt ~ dt \АЖ да J^ dadt '
или
dJ a«(o+23*y)
dt ~~ dadt
и наконец,
dJ о dF
dt ~° да '
В силу интеграла живых сил F является постоянной, т. е.
можно считать, что она является функцией In постоянных инте-
грирования а. Отсюда следует, что частные производные-^—также
постоянны.
Итак, -д- постоянны.
да
Из предыдущего равенства вытекает, что 3 является
линейной функцией времени.
Полученный результат тесно связан с теорией интегральных
инвариантов. Подробно этот вопрос освещен в т. III книги «Le
Methodes nouvelles de la Mecanique celeste» автора.
s

ГЛАВА II
ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
20. Обозначения. Рассмотрим три тела*), А, В, С, взаимно
притягивающие друг друга по закону Ньютона. Примем обозна-
чения § 7, т. е. обозначим через хи х2, х3 прямоугольные коорди-
наты тела А, через xk, хъ, хв — такие же координаты тела В,
и наконец, через ж7, х6, х9— такие же координаты тела С. Что
касается их масс, то будем обозначать массу тела А безразлично
через ти т2 или т3, массу тела В — через т4, т5 или тв и массу
тела С — через т-,, т9 или т9, так что будем иметь
7W4 = Шъ = /We,
ТП-j = ТП$ = ТПд.
Положим
•"— l dt '
Таким образом, компоненты количества движения тела А
«уть у и у2п уз', тела В — ук, уь и ув; тела С — уп, у6 и уд.
Полная кинетическая энергия системы определится тогда фор-
мулой
2 ^J \ dt J 2 ^- т
Потенциальная энергия будет равна
~Ш АС В~С~ ' ('
при условии, что основные единицы выбраны так, что постоянная
тяготения равна единице.
В выражении для функции U знаменатели АВ, АС, ВС пред-
ставляют расстояния АВ, АС, ВС.
Полная энергия системы будет
*) Под «телами» здесь подразумеваются материальные точки.
(Прим. ред.)

30 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
и канонические уравнения движения напишутся в виде (см. § 7)
&xi__dF_ ЪЦ___Л?_ /о\
dt ~ dyi ' dt — dxi ' K '
В дальнейшем оси координат будем обычно называть осью xt, осью
х2 и осью х3 соответственно.
21. Интегралы задачи. Канонические уравнения B), являю-
щиеся уравнениями движения в задаче трех тел, допускают не-
сколько простых первых интегралов.
Прежде всего, мы имеем интеграл живых сих
F = const.
Заметим далее, что функция U зависит только от взаимных
расстояний трех тел, А, В, С; следовательно, она не зависит от
выбора осей координат. Поэтому функция U не изменится, если
системе трех тел сообщить общее поступательное или вращатель-
ное движение.
Сообщим всей системе бесконечно малое перемещение е в на-
правлении оси xt. Тогда координаты «lt ж4, хп примут значения
Xj-j-e, ж4 + е, #7 + 8, а другие координаты х, очевидно, не изме-
нятся.
Так как приращение функции U равно нулю, то мы будем иметь
аи , аи аи 0 (~
Здесь введем обозначение, которое будет весьма полезным
в последующем. Именно, мы будем писать, например,
= <р (xt) + <р (ж4) + <р (ж7),
= ф
У2) = ф («1,
т. е. знак 2з> который может быть назван «суммой через три»,
имеет следующее значение. Он представляет сумму трех членов,
первый из которых написан явно, второй член выводится из пер-
вого увеличением всех индексов на три единицы, третий член —
увеличением на шесть единиц. Если угодно, можно сказать также,
что второй член образован из координат точки В и третий — из
координат точки С, так же как первый образован из соответствую-
щих координат точки А.
В случае, когда рассматривается задача не трех, а п тел.
можно, очевидно, пользоваться таким же обозначением, но под
символом 2п надо подразумевать тогда сумму не трех, а п членов.
Когда же будем употреблять знак 2 без индекса 3, то суммиро-

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 3J
вание должно быть распространено на все возможные значения
индексов.
С этим обозначением уравнение C) запишется в виде
или, так как Т не зависит от х,
vi dF л
•—'з дх\
откуда
что после интегрирования дает
2з^1 = const. D)
Левую часть уравнения D) можно записать следующим образом:
dx.
а это есть проекция на ось xt количества движения центра инерции
системы с полной массой /Wi+ /w4+ тга7, сосредоточенной в одной
точке. Аналогично находим
2зУг = const, 2з Уз = const. D')
Уравнения D) и D') показывают, что проекции количества
движения центра инерции системы на оси координат являются
постоянными. Так как выражение 23#i является производной
от ^3ЩХ1, то, интегрируя равенства D) и D'), найдем, что
суть линейные функции времени. Отсюда вытекает, что движение
центра инерции системы прямолинейно и равномерно.
Мы не ограничим общность, если предположим, что центр
инерции системы неподвижен. Действительно, мы знаем, что за-
коны движения остаются такими же, независимо от того, относим
ли мы движущуюся систему к неподвижным осям или к осям,
обладающим прямолинейным и равномерным движением.
Поэтому выберем подвижные оси параллельными неподвиж-
ным осям с началом координат в центре инерции; движение осей
будет равномерным и прямолинейным, так что законы движения
не изменятся; для наблюдателя, связанного с подвижной системой,
центр инерции будет казаться, кроме того, неподвижным.
22. Интегралы площадей. Сообщим теперь системе трех тел
бесконечно малое вращение г вокруг оси х±.

32 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Координаты хи ж4, х1 не изменятся, в то время как коорди-
наты х2, хъ, хв превратятся в
х2 — х3г, хъ — хег, ха — х9г,
а координаты х3, хв, х9 в
х3 + х2г, хй+ж5е, х9+х%г.
Так как функция U не должна измениться, то мы будем иметь
или, так как Т не зависит от координат х,
В силу уравнений B) имеем
2. (**-**)-•.
или
так как имеет место тождество
Следовательно, интегрируя, будем иметь
2 з (жз^2 - Х2Уз) = const, E)
и точно так же найдем
Из (ОД1 — xty2) = const, 23 (*№ ~ хаУд = const. E')
Соотношения E) и E') известны под названием интегралов
площадей.
Очевидно, что все, что мы сказали о движении центра инерции
или об интегралах площадей, применимо без всяких изменений
к случаю любого числа тел.
Рассмотрим вектор с компонентами
Согласно равенствам E) и E') этот вектор является постоян-
ным по величине и по направлению. Он называется вектором пло-
щадей. Плоскость, перпендикулярная к вектору площадей, на-
зывается неизменной плоскостью.

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 33
Если неизменную плоскость взять в качестве координатной
плоскости Xix2l то вектор площадей имеет компоненты
О, 0, ?з (од —од).
23. Замена переменных. Задача трех тел имеет девять степе-
ней свободы, т. е. мы имеем восемнадцать переменных х и у. Мож-
но воспользоваться свойством центра инерции для уменьшения
числа степеней свободы и, следовательно, числа переменных, со-
храняя притом каноническую форму уравнений движения. Во-
просы замены переменных составляют предмет этого параграфа.
Обозначим наши новые переменные через
хи у\\ t = l, 2, ..., 9.
Допустим сначала, что х[, x't, х\ являются линейными функ-
циями переменных xt, ж4, х7; х'г, х'ь, х\ суть линейные функции от
х2, я5, Z8» и х3, х'л, х9 — линейные функции от х3, хв, х9.
Допустим, кроме того, что линейные соотношения, которые
связывают величины х[, x't, x\ с Xi, xir x7, такие же, как те, кото-
рые связывают x't, х'ъ, х'9 с хг, хъ, х8, а также х3, х'л, х'9 с х3, хй, х9.
Другими словами, если координаты х' рассматривать как коор-
динаты трех фиктивных тел, то между координатами этих фиктив-
ных тел и трех действительных тел мы будем иметь линейные соот-
ношения, не зависящие от выбора осей.
То же самое предположим и относительно у'. Предположим,
что у[, у\, у, суть линейные функции от уи ук, уу, y't, у'ь, y's — ли-
нейные функции от у2, у5, у9; у'а, y't, y'9 — линейные функции от
J/з. Ув, Уя-
Допустим, что эти линейные соотношения одинаковы.
Предположим, наконец, что эти линейные соотношения тако-
вы, что мы имеем тождественно
По нашему предположению, у'г, у'ъ, у'ш связаны с у2, у&, у8
такими же соотношениями, как у[, y't, y\ с уи у4, ут. Поэтому
в тождестве F) можно заменить величины уи г/4, ут, у[, у'4, у\
на у2, Уь, Ув, У'г, У'ь, У», что дает
Точно так же, так как х'г, х'ь, х'а связаны с х2, х5, х% теми же соот-
ношениями, как и х[, х\, х'7 с хи ж4, х7, будем иметь
•Ч Л. Пуанкаре

34 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
или, более общим образом,
где индекс i может принимать любое из трех значений 1, 2, 3, так
же как и индекс к.
В частности, будем иметь
откуда
и точно так же
Таким образом, указанная нами замена
переменных не меняет форму интегралов
площадей.
С другой стороны, имеем
Складывая эти равенства, получим
2^=2^. G)
где знак 2 без индекса 3 указывает, как было замечено раньше,
что суммирование распространяется на все значения индекса i.
Если воспользоваться результатами § 5, то равенство G)
означает, что сделанное преобразование переменных является
каноническим преобразованием. Поэтому каноническая форма
уравнений B) не нарушается, и в новых переменных уравнения
движения задачи трех тел имеют вид
dx\dF Щ dF (Я
dt ~ dyi ' dt ~ dxt ' \°>
24. Исключение центра инерции. Рассмотрим, какую пользу
можно извлечь из этого преобразования переменных. Допустим,
что линейные соотношения, выражающие зависимость между но-
выми и прежними переменными, выбраны таким образом, что мы
имеем
и, с другой стороны, предположим, что новые координаты х[ и х\
зависят только от разностей аг4 — х1 и аг4 — х-,.

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 35
Тогда у\ с точностью до постоянного множителя есть количе-
ство движения центра инерции, а так как мы видели, что всегда
можно предположить центр инерции неподвижным, то мы будем
иметь
и точно так же
^по-
следовательно, мы должны иметь
dt ~ дх\ ~и'
что показывает, что F не зависит от х\.
Действительно, это должно иметь место, если линейные соот-
ношения между новыми и старыми переменными таковы, что коор-
динаты х\ и х\ зависят лишь от разностей xt — х1 и z4 — х7.
В этом случае кинетическая энергия системы Т, которая за-
висит только от переменных у и не зависит от координат х, будет
зависеть в результате преобразования лишь от переменных у',
но не от х'. U, которая зависит лишь от разностей xt — а;7, ж4 — ж7,
х2 — х%, хь — хв, х3 — Хд, хй — Хд, будет зависеть только от пере-
менных х[, х'г, х', х\, х'ь, х'в, но не будет зависеть от новых коорди-
нат х\, x't, х9. Следовательно, характеристическая функция F =
= Т + U не будет зависеть от координат х\, x's, x't.
Впрочем, легко видеть, что наши две гипотезы не являются
независимыми друг от друга и что если у'7 пропорциональна сумме
У1 + У4 + У7, то переменные х[ и х\ зависят только от xt — хч
и xk — x7. В самом деле, вернемся к равенству F), которое в раз-
вернутом виде можно написать следующим образом:
«i^i + xkyk 4 xiy-j = х[у[ + x'4y't + х\у\.
Придадим координатам хи х±, х7 равные значения; тогда пер-
вый член станет пропорциональным ух-\- у4+ у7, т. е. у\\ в пра-
вой части тождества коэффициенты при у\ и у\ должны, следова-
тельно, быть нулями; отсюда вытекает, что координаты х[ и x't
обращаются в нуль одновременно с величинами xt — хч и xk — ж7,
что доказывает, что х\ и х\ связаны с этими разностями линейны-
ми соотношениями.
Итак, предположим, что у'7 пропорциональна yi + yk -f- у-,
и координаты х[ и х\ зависят лишь от разностей хг — х1 и ж4 — х-,.
Тогда F не зависит от х',, х'$, х'9 и мы имеем
Поэтому в дальнейшем нужно беспокоиться только о двенад-
цати переменных: х[, х'„ х'3, х\, х'ь, x't; y[, у'г, у'а, у\, у'ъ, у\. При
этом число степеней свободы приводится к шести.
3*

36 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
25. Исключение узлов. Рассмотрим фиктивную планету, имею-
щую координаты х[, х2, x'g и компоненты количества движения
Плоскость мгновенной орбиты этой фиктивной планеты, т. е.
плоскость, проходящая через начало координат, планету и ее
скорость, параллельна двум векторам с компонентами х[, x't, x'3
и у'г, у'г, y's. Она будет, следовательно, перпендикулярна к вектору
V с компонентами
Рассмотрим теперь вторую фиктивную планету с координатами
x\i Ж5' х» и с компонентами количества движения y't, у'ь, у'ь. Плос-
кость мгновенной орбиты этой фиктивной планеты перпендику-
лярна к вектору V с компонентами
С другой стороны, вектор площадей, компоненты которого
суть
2а (*&-*&). 2а (*& — *!#)• ГзК^-ЗД)'
перпендикулярен к неизменной плоскости.
Но суммы 2з содержат теперь только по два члена; третий член
обращается в нуль, так как у'7, у'а, у'й равны нулю.
Следовательно, каждая компонента вектора площадей есть
сумма соответствующих компонент векторов V и V. Отсюда сле-
дует, что вектор площадей является геометрической суммой двух
векторов V и V. Таким образом, эти три вектора лежат в одной
плоскости.
Следовательно, три плоскости, соответственно перпендикуляр-
ные к этим трем векторам, т. е. плоскости двух мгновенных орбит
и неизменная плоскость, параллельны одной и той же прямой.
Следовательно, линия пересечения плоскостей двух мгновенных
орбит всегда остается параллельной неизменной плоскости.
Это свойство обычно называется исключением узлов, потому
что нет надобности рассматривать отдельно долготу узла первой
и второй орбит если отнести долготы к неизменной плоскости.
Это свойство не выполняется, если фиктивные планеты опре-
делены не изучаемым преобразованием координат, а иначе: если,
например, взять, как обычно делают, фиктивные планеты, коор-
динаты и скорости которых относительно неподвижных осей были
бы такие же, как и координаты и скорости истинных планет отно-
сительно неизменных осей, связанных с Солнцем.

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 37
26. Первый пример. Мы можем взять, например,
х'х — Xi—х7, х'4 = .г4—x-i, х\ — ж7,
Легко проверить, что:
1. Равенство F) удовлетворяется.
2. у\ равна сумме уу-\- yk + ут-
3. х'х и х\ зависят лишь от разностей xt — x7 и xk — x-t.
Таким образом, указанная замена переменных удовлетворяет
сформулированным свойствам: каноническая форма уравнений
движения не нарушается; форма интегралов площадей также не
нарушается; переменные х'7, x'g, х'„ не входят явным образом
в уравнения движения; переменные у\, у'а, у'ь тождественно равны
нулю; число степеней свободы системы равно шести.
Что касается наших фиктивных планет, то легко найти их
смысл. Первая из них имеет координаты точки А в ее отно-
сительном движении относительно точки С,
но она будет иметь то же количество движения, что и точка А в
неподвижной системе координат. То же са-
мое и для второй фиктивной планеты.
27. Фиктивные планеты. Неудобство предыдущего решения
легко видеть, хотя этому не следует придавать большого значения.
Величины у'х, y'z, y'3 не пропорциональны производным
dx'x dx!2 dx'3
1Г ' "dt ' ~W "
Рассмотрим первую фиктивную планету. В момент t мы при-
дадим ей некоторые координаты х[, х2, x's и некоторые количества
движения у'х, y't, у'а. В момент t -\- dt мы присвоим ей координаты
х[ + dx[, х'а -г dx2, x'z + dx3. Но скорость, которую она должна
иметь, чтобы за время dt перейти из первого положения во второе,
не будет равна той, коюрая выводится из приданного количества
движения.
Важность этого замечания будет лучше понята в главе IV,
когда будет рассматриваться определение оскулирующих орбит.
Но сейчас укажем другое решение, лишенное отмеченного не-
удобства.
Для этого нужно, чтобы было
где т\ суть постоянные коэффициенты, причем m'x = m'a — m'3;
Оставим без изменения все другие наши предположения. Тогда
т[= т'3= т'я представляет массу первой фиктивной планеты;

38 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
т\= т'ъ= /Wg— масса второй фиктивной планеты; величины у[,
У^> У% и У\1 Уь-> У» являются компонентами количества движения
первой и второй фиктивных планет соответственно. Равным об-
разом мы можем рассматривать тп'.= тп'й= m't, x7, x'g, x'a, у'7, у'в,
y't как массу, координаты и компоненты количества движения
третьей фиктивной планеты.
Так как мы оставили в силе все другие предположения, в част-
ности, то, которое выражается равенством F), то будем иметь
¦ст , , dx\ хл dx\
¦., dx[ dx'n dx'i dx< dxi dxi
Между производными -^-, ~-, -^ и -^ , ~ , -^ имеют место
те же линейные соотношения, как и между координатами х[, х\,
х7 и хи ж4, х7. Поэтому в предыдущем тождестве можно заменить
dx\
производные -тг самими величинами х\, что дает
С другой стороны, согласно нашим допущениям координаты
#2' хьу xli Х2> х5, х8 связаны такими же линейными соотношения-
ми, как и переменные х[, х'4, х7, хи х4, х1. Поэтому можно написать
и точно так же
< (х')г =
Далее, так как между х[, x't, x7, xt, ж4, ж7 существуют те же
линейные соотношения, как и между их производными, то мы
будем иметь
2, /¦ dx: v -«о f dxi ^г
и точно так же
Складывая эти три равенства, найдем
dx'i\2
причем в этом случае индекс i принимает все возможные значения.

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 39
Последнее равенство выражает то обстоятельство, что живая
сила трех фиктивных тел равна живой силе трех истинных тел.
Следовательно, имеем
1 -jZm 'v at ) -t2jht-
Таким образом, кинетическая энергия системы Т как функция
величин тп' и производных координат х' или, что то же самое,
как функция тп' и у', имеет тот же вид, что и зависимость кинети-
ческой энергии от масс m и производных координат х (или от масс
m и величин у).
28. Равенства (9), (9') и (9") допускают весьма простую гео-
метрическую интерпретацию.
Пусть Z — некоторая ось, проходящая через начало коорди-
нат, Р и Р'— две перпендикулярные плоскости, проходящие через
ось Z; пусть также а, р, у — направляющие косинусы плоскости
Р, а а', р', у'— плоскости Р'.
Расстояние точки А до плоскости Р равно
ее расстояние до плоскости Р' будет
Тогда квадрат ее расстояния до оси Z будет равен
(а*, + ря2 + yx3f + (о'*, + р'*2 + у'х3)*
и момент инерции системы трех тел относительно оси Z равен
J = 2
Точно так же момент инерции системы трех фиктивных тел отно-
сительно оси Z выражается равенством
Возводя в квадрат выражения, стоящие в скобках, найдем,
что / есть многочлен второй степени относительно направляющих
косинусов а, Р, у, а', р', у'. То же самое можно сказать и относи-
тельно /'.
Коэффициент при а2 и а'2 в выражении для J равен
з \
а в выражении для /'
Коэффициент при 2сф, равный коэффициенту при 2а'р', в выра-
жении для / равен 2з ^i^\X2, а в выражении для У равен 2з f^[x[x't.

40 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Резюмируя, делаем вывод, что каждый коэффициент много-
члена ./ в силу равенств (9), (9 ) и (9") равен соответствующему коэф-
фициенту многочлена /'. Отсюда вытекает, что многочлены J и /'
тождественно равны.
Итак, момент инерции системы трех фиктивных тел относи-
тельно любой оси, проходящей через начало координат, равен
моменту инерции системы трех реальных тел относительно той
же оси.
29. Остается определить линейные соотношения, связывающие
переменные х[, х\, х7 и хи xk, x1 так, чтобы выполнялось усло-
вие (9).
Задача, очевидно, допускает бесконечное число решений. Вот
наиболее простое, обычно применяемое решение (рис. 1).
Рис. 1.
Пусть отрезок О Л' равен и параллелен отрезку С А. Две массы
/»! и nv, помещаются в точках А и С соответственно. Пусть точка D
является центром инерции этих двух масс. Эти две массы можно
заменить массой т\= /»i+ Щ, помещенной в точке D, и массой
т[, определенной равенством
помещенной в точке А'.
Действительно, если обозначим через х[, xi,x't координаты точ-
ки А', через х\, х'ь, х'Л— координаты точки D, то очевидно, что
х[, х'а, х'я и х7, х'8, x't будут линейными функциями координат точек
А и С', с другой стороны, мы имеем между х[, Xi и х1 то же линей-
ное соотношение, что и между х'г,х2пх8 или между x'3,x3vlx9, a
между х\, Xi и X] будем иметь то же линейное соотношение, что и
между x's, x2 и х8 или между x't, x3 и х9.
В самом деле,
x'1 = xi—x1, х'г = х2—хъ, х'ь = хз—хв,

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 41
Осталось показать, что равенство (9) выполняется, или
m'jx'^ + mjx'^^mixl + mjx^, A0)
что означает то же самое, так как мы рассматривали тело В, и по-
этому можно написать
m't = mi, х'4 = х\, х'ъ = хь, x't = x6.
Но равенство A0) может быть написано в виде
Из предыдущего тождества следует равенство коэффициентов
Эти три соотношения дают соответственно
' = т т\ _пц(тЬ—тх) _ пцт-,
1 ' т\ т'ч m'f '
. _ mlm1
,„'_„, w? _ш1(т'ч—щ) _ т1т1
till "~~ ''*¦ 7 "™^ ~ — , — ;— ¦
1 я»7 те, т7
т. е. приводят к одному и тому же значению для т'7, причем,
кроме того,
1 те7 _пц-\-т-11 . 1
1 . 1
Таким образом, равенство A0) доказано.
30. Мы только что видели, что две массы т} и /п7, расположен-
ные в точках А и С, можно заменить массами
помещенными в D(D — центр инерции точек А и С) и в А'.
Итак, мы заменили наши три истинные массы ти m4, ntj,
расположенные в точках А, В, С, тремя фиктивными массами т\,
m4, mt+ щ, расположенными в точках А', В, D.
Применим второй раз это преобразование, действуя с массами,
сосредоточенными в В и D, так же, как мы поступали с массами
А и С.
Проведем отрезок ОВ', равный и параллельный отрезку
BD, и поместим в то.чке В' фиктивную массу m't, определенную
формулой
1 1_ . 1
m't m-i rn\-\-m-j

42 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
Пусть G — центр инерции масс, сосредоточенных в В и D; очевид-
но, что G — также центр инерции всех реальных масс А, В и С.
Поместим в точке G фиктивную массу
т\ =
Таким образом, мы заменим две массы В и D двумя новыми
массами В' и G.
В итоге мы постепенно заменили три действительные массы
ти т4, щ, расположенные в точках А, В, С, тремя фиктивными
массами т^, mk, //н+ /»7, сосредоточенными в точках А', В, D,
и, далее, тремя фиктивными массами т[, т'4, т., расположенными
it точках А', В', G.
Итак, мы определили такое преобразование переменных, кото-
рое обладает всеми свойствами, перечисленными в предыдущих
параграфах.
Так как центр инерции системы, по предположению, неподви-
жен, то третье фиктивное тело, расположенное в G, должно рас-
сматриваться как неподвижное. Нам остается тогда только рас-
смотреть движение двух фиктивных планет А' и В', так что число
степеней свободы сводится к шести.
Уравнения движения сохраняют каноническую форму: инте-
гралы площадей также сохраняют свою форму. Выражение кине-
тической энергии в функции фиктивных масс и скоростей такое
же, как и в функции действительных масс и скоростей. Наоборот,
в выражении для потенциальной энергии U надо сохранить дей-
ствительные массы и расстояния между ними. Но мы раньше заме-
тили, что U зависит только от разностей координат ху— ж7,
дг4— х-,, ... ; следовательно, функция U зависит только от коорди-
нат х[, ... , х'9 двух первых фиктивных тел А' и В' и не зависит
от координат третьего фиктивного тела G (впрочем, мы предполо-
жили, что координаты G равны нулю).
31. Результат, которого мы добились, можно выразить сле-
дующим образом. Движение планеты А отнесено к подвижным осям,
проходящим через центральное тело С, а движение второй пла-
неты В относится к точке D (центру инерции масс А и С).
Этот результат можно, очевидно, обобщить. Пусть имеется
центральное тело Сип планет Pi, P2, ... , Рп; будем рассматри-
вать движение планеты Pi в системе координат с началом в точке С;
движение планеты Pz— в системе координат с осями, параллель-
ными осям первой системы координат, и с началом в центре инер-
ции масс С и Р±] движение планеты Р3— в системе координат с на-
чалом в центре инерции масс С, Pt и Р2 и т. д. Этот метод может
быть применен к любому количеству планет*).
*) В литературе по небесной механике такие координаты обычно назы-
ваются координатами Якоби. (Прим. перев.)

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 43
Очевидно, что в задаче трех тел вместо того, чтобы рассматри-
вать движение планеты А относительно С и планеты В относи-
тельно центра инерции А и С, можно, наоборот, рассматривать
движение планеты В относительно С, а движение А — относи-
тельно центра инерции масс В и С.
В дальнейшем, как правило, будем всегда предполагать, что
используется преобразование переменных, изложенное в § 30,
а не то, которое было изложено в § 26. Положим в дальнейшем,
что
U=~ С/=
BD
откуда
и=иг+и2+и3.
32. Случай, когда одна из масс равна нулю. Рассмотрим слу-
чай, когда одна из масс настолько мала, что ее притяжением мож-
но пренебречь. Это имеет место, например, когда изучаются возму-
щения малой планеты Юпитером. Движение малой планеты пре-
терпевает значительные возмущения со стороны Юпитера, но
движение Юпитера не возмущается притяжением малой планеты.
Другой такой случай будем иметь в теории Луны. Масса Луны
настолько мала, что можно было допустить, что относительное
движение Солнца относительно центра инерции Земля — Луна
не изменяется притяжением Луны.
Итак, допустим, что масса /»4, например, может быть рассма-
триваема как бесконечно малая первого порядка. Тогда с точ-
ностью до бесконечно малых величин второго порядка будем иметь
, m4(mi + m7) m
Ш. = ; ; = /И*.
4 пц + пц + щ *
Следовательно, т'4— также бесконечно малая величина перво-
го порядка и таковы же величины у'., у',, у. и ^, Щ-, Щ- •
Положим
T = Ti + T2,
так что Тг и Т2— соответственно кинетические энергии первой
и второй фиктивных планет. Положим также
u=ui+u2+u3,
U Г
АГ> иг + из= АВ ВС

44 TOM J. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Мы видим, что Tt и Ui конечны, тогда как Т2 и U2+ U3 суть
малые первого порядка. Мы можем теперь положить
Канонические уравнения могут быть записаны в виде
d*\ дФ0 дф1 *У\ дФ0 дФ1
Для первой фиктивной планеты, т. е. для (=1,2 или 3, имеем
-тт-г = 0, так как Т2 зависит только от у\, у[, y't; произведение
дФ1 дФ0 dv\ ,,
ть~дзГ весьма мало> тогда как -^ и -^ конечны. Мы можем, следо-
вательно, пренебречь членами с Фь так что наши уравнения на-
пишутся в виде
**1 _дФ0 Лу\ _ дФ0
Так как функция Фо зависит только от переменных х[, x't,
х'в, у[, у2, у'3, то система уравнений A2) является полной канони-
ческой системой с тремя степенями свободы. Эта система опреде-
ляет движение первой фиктивной планеты, или, что то же самое,
относительное движение планеты А относительно Солнца С. Это
движение таково, как если бы масса mk не существовала, т. е.
оно является кеплеровским.
Рассмотрим теперь движение второй фиктивной планеты, т. е.
относительное движение планеты В относительно центра инер-
ции системы двух тел А и С. Для этого вернемся к системе уравне-
ний A1) и придадим индексу i значения 4, 5, 6. Так как Фо не за-
висит от х\, х'ъ, х'й, у'4, у'ь, у'л, то мы будем иметь
Так как движение фиктивной планеты можно считать извест-
ным, то величины х[, х2, х'а, у[, у'2, у* будут известными функциями
времени. Подставляя в функцию Ф\ и в ее частные производные
их значения, мы получаем для определения движения второй
фиктивной планеты систему канонических уравнений с тремя
степенями свободы. Но характеристическая функция Ф1 будет
зависеть не только от неизвестных x't, х'ь, x't, y'v у'ь, у\, но также
и от времени. Следовательно, будем иметь случай, который рас-
сматривался в § 12.
Мы можем написать уравнения A3) таким образом, чтобы луч-
ше выявлялся порядок малости различных членов.

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 45
Действительно, положим
или, так как т\= т'ь= m't и m'i= mt с точностью до малых вто-
рого порядка,
\ (i = 4, 5, 6).
Так как у' суть величины первого порядка, то у" будут иметь
конечные значения. Тогда
ф. = 1 (ип 4- ы"г 4- и"г)—— - -^
^l — 2 \У* ^ Уь ^ У» I АВ СВ '
и уравнения A3) запишутся в виде
d*i _ дФ1 Щ _ дФ1 .
чг--щ' чг—щ- (т>
Здесь неизвестные х' и у* конечны и все члены функции Ф4
представляются в конечной форме. Масса ш4 не входит более
в эти уравнения.
33. Раньше мы относили движение малой планеты В к центру
инерции А и С, а движение планеты А к центру С. Мы смогли бы
поступить и наоборот и отнести малую планету к Солнцу, а боль-
шую — к центру инерции системы Солнце — малая планета. Для
этого, сохраняя все выводы, мы только должны допустить, что
бесконечно малой величиной является масса mi тела А.
Движение малой планеты А тогда будет отнесено к Солнцу С,
а движение планеты В — к центру инерции D тел А и С. Но так
как масса планеты А равна нулю, центр инерции D совпадает
с С, а это означает, что движение большой планеты также отно-
сится к Солнцу.
Тогда с точностью до малых первого порядка будем иметь
и с точностью до малых второго порядка
,= mim7
1 wij + m7 *
Сохраним для функций Tu Tz, Ux, U2 и U3 обозначения пре-
дыдущего параграфа.
Здесь Г2 и U2 конечны, а Т\ и #i+ U3 — величины первого
порядка. Положим
^=фо+т1ф1, Ф0=772-Ь^2, mp^Ti + Ui + Ua.
В конечном итоге мы снова придем к уравнениям A1), с той
лишь разницей, что масса т4 заменена массой т^

46 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Если мы изучим сначала движение планеты В, то можем
пренебречь функцией Ф( и получим систему канонических уравне-
ний A2), которая показывает, что движение планеты В является
кеплеровским.
Если мы желаем изучить движение малой планеты А, необхо-
димо придать индексу i значения 1, 2, 3; соответствующие частные
производные функции Фо равны нулю, и мы получаем канониче-
ские уравнения
X' д® dV' дФ (iV\
Полагая, как и в предыдущем параграфе,
9'i = m'iy"i = miyi (i = 1,2,3),
мы будем иметь
и снова придем к уравнениям A4).
34. Мы видели в § 12, что когда характеристическая функция
F зависит явно от времени, интеграл живых сил перестает суще-
ствовать. В уравнениях A4) § 32 и 33 характеристическая функ-
ция Я>1 зависит не только от переменных х' и /, но и от времени,
поэтому интеграл живых сил Ф4 = const не имеет места.
То же самое можно сказать и об интегралах площадей. Что же
происходит с интегралом живых сил и с интегралами площадей,
которые имеют место в общем случае, когда одну из масс мы за-
ставляем стремиться к нулю? Они не перестают существовать, но
в пределе оказываются соотношениями только между координа-
тами и проекциями скорости большой планеты и не содержат
координаты и проекции скорости малой планеты. Следовательно,
они теряют интерес, когда дело касается изучения движения ма-
лой планеты.
Взамен этому мы видели в § 12, что можно сделать такую за-
мену переменных в уравнениях A4), чтобы их каноническая фор-
ма сохранилась.
35. Ограниченная задача. Впоследствии мы часто будем рас-
сматривать этот весьма важный частный случай задачи трех тел.
Допустим, что одна из масс равна нулю, а движение большой
планеты происходит по кеплеровской орбите вокруг Солнца. Бо-
лее того, допустим, что эксцентриситет этой кеплеровской орбиты
равен нулю, так что орбита большой планеты является круговой.
Тогда большая планета и Солнце движутся по концентрическим
круговым орбитам, центр которых совпадает с их центром инерции,
и эти круговые орбиты расположены в одной плоскости.

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 47
Наконец, предположим, что начальное положение и начальная
скорость малой планеты лежат в этой же плоскости, так что малая
планета всегда будет оставаться в этой плоскости.
Описанный частный случай задачи трех тел называется огра-
ниченной задачей *), Для исследования можно пользоваться ме-
тодами, изложенными в § 32 или 33. В обоих случаях движение
большой планеты отнесено к Солнцу, но движение малой планеты
отнесено либо к Солнцу, либо к центру инерции Солнца и большой
планеты.
В § 34 мы видели, что для малой планеты интеграл живых сил
и интегралы площадей теряют смысл. Но в случае ограниченной
задачи трех тел существует комбинация этих интегралов, пред-
ставляющая интеграл уравнений A4), называемая интегралом
Якоби. Это будет показано ниже.
36. Возмущающая функция. Мы имеем
=
j, m.i(mi-{-m-j) т^пщ
Us~ BD ВС АВ~ •
Допустим, что тело С — это Солнце, а тела А, В — планеты.
Из этого следует, что массы т( и и( очень малы по сравнению
с т-,, и их можно рассматривать как величины первого порядка.
Центр инерции D будет находиться вблизи точки С, так как он
делит расстояние АС на отрезки, пропорциональные массам пг,
и щ. Расстояние CD можно также рассматривать как величину
первого порядка малости и то же самое можно сказать о разностях
При этих условиях функция Ui+ U2— также первого порядка,
так как все ее слагаемые имеют в качестве множителей массы пг,
или /и 4. Функция
С ! *
является величиной второго порядка малости, так как первое сла-
гаемое содержит множитель второго порядка малости mf/n4,
а второе слагаемое mt(~gK—"вс) является также величиной
второго порядка.
С другой стороны, величины т\ и т'4— первого порядка
dx't
и то же самое можно сказать о величинах у\=т\ —г- , так как для
dt
*) Под «ограниченной задачей» автор понимает плоскую ограниченную
круговую задачу трех тел. (Прим. перев.)

48 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 массы пц — бесконечно малые, а у'7, у'й, у'„
равны нулю.
У?
То же можно сказать о —— и о
где обозначения Ti и Tz имеют тот же смысл, что и в § 32.
Мы можем, следовательно, положить
где
F0 =
Тогда Fo есть величина первого порядка, а \iFi- второго,
и если параметр ц означает некоторый весьма малый числовой
коэффициент порядка mt или /п4, то Ft имеет тот же порядок, что
и Fo. Благодаря введению параметра ц относительная величина
двух членов Fo и \iFt делается очевидной.
Выражение \iFt называется возмущающей функцией.
37. Рассмотрим сначала функцию Fo. Имеем
г Ш J"
Первая скобка зависит только от переменных х[, х'2, х'в, у[,
у'г, у3, а вторая лишь от переменных x'v х'ъ, x't, y't, у'ь, y't. Если
в первом приближении пренебречь очень малым членом \iFt, то
F приведется к Fo, и мы будем иметь
где F'o и F"o означают первое и второе слагаемые формулы A5),
так что канонические уравнения задачи примут вид
В уравнения A6) входят только координаты и компоненты ско-
рости первой фиктивной планеты, в то время как в уравнения A6')
входят координаты и компоненты скорости второй фиктивной пла-
неты, следовательно, уравнения A6) и A6') являются независимы-
ми. Отсюда следует, что движения фиктивных планет опреде-
ляются независимо и могут рассматриваться отдельно.
Если сначала будем рассматривать уравнения A6), то
Р'=^_/и'2_1-И'2 ' "'2^ mim?
0 2т\ y{fl ' У

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 49
Из этого вытекает, что движение первой фиктивной планеты
совпадает с движением массы т[, притягиваемой неподвижной
массой
Это движение будет эллиптическим, происходящим согласно
законам Кеплера *).
Переходя к системе A6'), имеем
Из предыдущего равенства следует, что движение второй
фиктивной массы совпадает с движением тела с массой
, _
"'л
4
. : ¦
то1+т4+т7
притягиваемого неподвижной массой "ч (mi;m'1> = /wt + /w4 + ^7 •
ш4
Следовательно, движение второй фиктивной массы также
является кеплеровским.
Так как член \iFi, которым мы пренебрегали, весьма мал по
сравнению с Fo, то следует ожидать, что ошибка, обусловленная
этим упрощением, не должна быть большой. Истинные орбиты
будут мало отличаться от кеплеровских эллипсов, а возмущения,
которые будут наложены на эти эллиптические орбиты, весьма
малы.
38. Рассмотрим теперь возмущающую функцию \iFif которую
можно представить в следующем виде:
Первый член в правой части называется главной частью возму-
щающей функции. Остальные два члена составляют дополни-
тельную часть возмущающей функции. Главная часть имеет вид
Интересно рассмотреть, как можно перейти от выражения глав-
ной части возмущающей функции к выражению для дополнитель-
ной части возмущающей функции \iFt.
*) Имея в виду движения планет вокруг Солнца, Пуанкаре везде рас-
сматривает только эллиптическое кеплеровское движение. (Прим. ред.)
4 А. Пуанкаре

50 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Допустим сначала, что
намного меньше, чем
В этом случае выражение
можно разложить в ряд по возрастающим степеням величин xv
х'2, х'а. В самом деле, мы имеем
(А'В'У = (BDf + (ACf - 2AC-BD cos у
и, следовательно,
-^r = [BD — 4Ce*v]~2. да) _ АСе-Щ~* , A7)
где у — угол между направлениями BD и АС, или между 05'
и ОА'.
Каждый из двух множителей второй части A7) может быть раз-
АС
ложен в ряд по степеням -^ всякий раз, когда эта величина меньше
единицы. Следовательно, левая часть также может быть
разложена в ряд и мы можем написать
1 _ 41 п АСп
А'В' - Zl^n BDn+i '
где Рп— некоторая функция угла у.
АС11
Сверх того, легко видеть, что общий член разложения Рп
можно представить в виде частного двух целых многочленов от-
носительно х[, х'г, х'а, x'v х'ь, х'л. К этому вопросу мы вернемся
в одной из последующих глав, где детально рассмотрим разложе-
ние возмущающей функции.
Раз это так, то первый член нашего разложения, который соот-
ветствует значению п = 0, есть не что иное, как jtft , так что
главная часть возмущающей функции будет равна
— /Wt/Wi 2 Рп BDn+1 , A8)
где п принимает все целые положительные значения 1, 2, ...
Теперь полная возмущающая функция может быть написана в виде

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 51
и мы будем иметь
В А* = (x't - ax[f + (x't - axtf + (x't - аха)\
ВС* = (x't - paQ* -f (*;- рад* + (x't - рад»,
где
так как непосредственно видно, что проекции вектора DA на оси
координат равны ах[, ах'2, ах'3, а проекции вектора DC равны
Мы видим, что выражения для В А и ВС отличаются от А'В'
только тем, что вместо величин x't, x'2, х'3 в них входят ах[, ах'г,
WTFW R"J* ft"J*' fti*'
* 11*11 И P*^i f Н 2 * Г 3 *
Поэтому будем иметь
1 vi пп АСп 1 vi „.и АСп
п) Рп
где п принимает значения 0, 1, 2, ...
Таким образом, можно написать
1 (^4С)"
Но од Равна первому члену разложения Ро v ' , а, с другой
стороны,
Wja" + /w7pn = (;w, + m7) (apn — p<xn).
Следовательно, имеем
При п = 0 ар" - ра"= а - р = 1, Рп ^-а = ^, поэтому
соответствующий член уничтожается с членом ^д • Для п — 1
apn — рап = 0и соответствующий член разложения равен нулю.
Следовательно, мы можем написать
= - /п4 (иц + ш7) 2 («Рп - Pa
(где п принимает значения 2, 3, 4, •••) или
Ц/Ч - —7И4
(знак «плюс» нужно взять в том случае, если п четное, а знак
«минус», если п — нечетное).
4*

52 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Итак, когда главная часть возмущающей функции разложена
в ряд, имеющий форму A8), и когда желательно получить в том
же виде разложение дополнительной части возмущающей функции,
то достаточно умножить каждый член разложения A8) на подхо-
дящий постоянный множитель. Этот множитель
с точностью до величин порядка тл равен 1 для п = 2, 3, 4, ...
и нулю, если п = 1.
Таким образом, с точностью до величин порядка mjm4, т. е.
до третьего порядка, возмущающая функция \iF± будет равна сво-
ей главной части без первого члена разложения A8).
Главная часть равна
Й (и=1. 2, ...), A9)
а дополнительная часть с точностью до членов третьего порядка
равна
Выражение A9), представляющее совокупность членов первой сте-
пени в разложении
по степеням х[, х'2, x's, можно преобразовать к другому виду. Дей-
ствительно, пренебрегая квадратами величин х[, х'а, x's, мы найдем
» = m,mh [BD* - 2 (*; *; + х'% х'ш + х'3 *;)]"*
A'B
или
во-г
Отсюда следует, что приближенное выражение для дополни-
тельной части возмущающей функции имеет вид
39. Такой же результат можно получить более быстрым путем.
Пусть
1 1 \ . г 1 1\
) Лтм ^)

ГЛ. И. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 53
есть дополнительная часть возмущающей функции. Так как -jrp —
— -ТЩ—величина порядка ти то первое слагаемое — порядка
ь, т. е. третьего порядка. Рассмотрим второе слагаемое
/1 1
тьт\вг>-вс
Мы нашли, что
Разложим величину-™ по степеням Р, что возможно, так как
при весьма малом Р $АС = DC всегда меньше BD. Мы найдем
Всеми членами, начиная с третьего, можно пренебречь, так как
они умножаются на т^щ, т. е. все они имеют порядок выше
третьего. Таким образом, для дополнительной части возмущаю-
щей функции с тем же приближением остается
т> АС ПЦ п АС
Пренебрегая еще произведением т^\, будем иметь
n AC m,mi , , ,.
m^Pi ш - -J^* (x± xt + xt хъ -f xs xt).
Итак, утверждение доказано. Изложенный прием может быть при-
менен и в том случае, когда АС больше BD, между тем как в пре-
дыдущем параграфе мы предполагали, что АС меньше BD.
40. Рассмотрим, в частности, случай, когда одна из масс рав-
на нулю. Сначала, как и в § 33, допустим, что ml= 0. Тогда
движение обеих планет отнесено к Солнцу, так как точки D и С
совпадают. Мы имеем тогда
и можем пренебречь членами порядка гп\. Это значит, что в воз-
мущающей функции пренебрегаем членами порядка mkm\. Мы
видим, что с указанной точностью дополнительная часть возмущаю-
щей функции приводится к выражению
Но центр инерции D находится очень близко от точкп С, и с точ-
ностью до величин порядка m, BD может быть заменено на ВС,
а А'В' на АВ.

54 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
Пренебрегая т\, мы будем иметь, следовательно,
milni пч(Щ+
АС Ш
milni пч(Щ+пщ) , ( 1 _ 1 \
i
В последних двух членах BD с той же точностью можно заменить
на ВС. Отсюда, пренебрегая в выражении для Фо величиной по-
рядка ти а в выражении для Ф,— величиной порядка т\, получим
ВС
Напомним, что в обозначениях § 33 мы имели
41. Если допустить, как ив § 32, что /»4 = 0, то движение
большой планеты будет отнесено к Солнцу, а движение малой
планеты — к центру инерции большой планеты и Солнца. Тогда
найдем
Тг mi + m1 , _ ( 1 1 \ /1 1 \
В правой части этого равенства третье слагаемое соответствует
главной части возмущающей функции, а последние два слагае-
мых представляют дополнительную часть возмущающей функции.
Дальнейшее упрощение невозможно.
42. Случай Луны. Случай теории Луны требует специального
рассмотрения. Допустим, что тело А представляет Луну, тело В—
Солнце и тело С — Землю. При этих условиях очевидно, что рас-
стояние АС значительно меньше расстояния BD.
Положим тогда
Мы сохраним для Тх и Т2 обозначения § 32, так что
Сравним порядок величин слагаемых. U3 является возмущающей
функцией. Принимая во внимание, что величина АС намного

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 55
меньше BD, мы можем написать, как в § 38,
В силу малости 4 С первый член
W|mj + m7WJ p АС2
намного больше других. Так как масса т^ значительно меньше
массы 1Щ, то предыдущее выражение имеет такой же порядок,
как
АС*
Наоборот, Uz— величина порядка mj?j? , и U^— порядка
Остались нерассмотренными функции Tt и Т2. Мы знаем, что
в ксплеровском движении, если эксцентриситет равен нулю, кине-
тическая энергия постоянна и равна половине абсолютного значе-
ния потенциальной энергии.
Но гелиоцентрическая орбита Земли и геоцентрическая орбита
Луны очень близки к кеплеровым эллипсам с малыми эксцентри-
ситетами. Из этого следует, что Т^ приблизительно равна —=*
и Т2 приблизительно равна —^ .
Итак, мы можем разложить функцию F на три части:
1) T2 + U2— величина порядка ^^ ;
2) Ту + Uy— величина порядка
3) U3—величина порядка
Мы имеем приближенно
66ИШ,
Следовательно, отношение
U
—порядка — ( -бт; )
— порядка ^i nn ) или
150 " Т2+ U2 —F-rt— „^^BDJ "**" 12000000 '
Мы видим, что третья часть возмущающей функции значительно
меньше второй части и пренебрежимо мала в сравнении с первой
частью. Следовательно, мы можем положить

56 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
где Фо= T2 + U2, тпгФ1= T1 + Ui + U3. Для определения пере-
менных а?4> хь> х'й МЫ имеем канонические уравнения
dxi_d?__d
it ~ду\~ду
dt ~~ дх~[~ Щ тьЩ
A-4,5,6).
Заметим, что Ф4 не зависит от переменных y't, у'ь, y't, которые вхо-
дят только в Т2; функции 7\ и 1/г не зависят от переменных х\,
х'ь, х'в, от которых зависит только функция U3. Поэтому предыду-
щие уравнения примут вид
dt ~ ду\ ' dt ~ дх\ дх\ '
и если пренебречь в уравнениях функцией U3, окончательно по-
лучим
dt дх[ "
Движение Солнца относительно центра инерции Земля —
Луна определяется уравнениями, в которых функция F заменена
функцией Фо, т. е. массы Земли и Луны сосредоточены в их общем
центре инерции. Следовательно, движение Солнца яв-
ляется кеплеровским. (Разумеется, при условии,
что рассматриваются только взаимные действия Солнца, Земли
и Луны и пренебрегается притяжением других планет.)
Для определения координат х[, х'2, х'в мы воспользуемся кано-
ническими уравнениями при i = 1, 2, 3. В силу того, что функ-
ция Фо не зависит от переменных х\, х'г, х'в, у[, у'а, у'в, эти уравне-
ния упростятся, и мы получим
dx\ дф dy\ дф
Функция Ф4 зависит, так же как и в § 33 и 40, не только от не-
известных х[, x'a, x's, y't, y'a, y's, но и от времени t. В самом деле, она
зависит от координат x't, x't, x't, которые можно рассматривать как
известные функции времени, определяемые уравнениями B0).
Функция m^i состоит сама из двух частей, Т^ + их и U3.
Вторая часть, как мы видели раньше, намного меньше первой
части, поэтому она играет роль возмущающей функции. Но ма-
лость этой возмущающей функции не обусловлена теми же обстоя-
тельствами, как в случае возмущений планет.

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 57
Роль возмущающей массы играет масса Солнца, которую нель-
зя считать малой величиной, наоборот, она очень велика, Но
отношение, которое нужно рассматривать —
Ш4 f АС Л*
rro,\BDj *
АС
весьма мало, так как отношение -^~ малб.
аи
АС
Малость ^ влечет за собой еще одно следствие, а именно, вид-
на выгода разложения возмущающей функции в форме A8), как
было сделано в § 38.
Сделаем еще одно замечание: в § 30 и 40 мы говорили, что ког-
да масса mt бесконечно мала, можно рассматривать движение
тел А и В относительно С, так как центр инерции D совпадал
с точкой С. Здесь же масса т1 настолько мала, что ее влиянием
на движение Солнца относительно центра инерции D можно пре-
небречь, как это было и в § 33 и 40, но она не настолько мала по
сравнению с щ, чтобы считать, что точки С и D совпадают.
43. Случай замены § 26. Все, что было сказано выше, пред-
полагает, что использовано преобразование § 30, которое мы
и будем обычно применять. Посмотрим, что изменится, если мы
возьмем другое преобразование переменных, например, преобра-
зование, рассматривавшееся в § 26.
В § 26 мы положили
Таким образом, мы определили такую замену переменных, кото-
рая не нарушает ни каноническую форму уравнений движения,
ни форму интегралов площадей. Но противоположно тому, что
дает преобразование переменных, приведенное в § 30, здесь выра-
жение кинетической энергии в функции переменных у' не имеет
такой же формы, как в функции у. Действительно, с учетом усло-
вия у'7 = 0 имеем
гщ ' т4 "^ то7 wi 1Щ '
что может быть написано в виде
V? | у? |
mi TO4
где положено
i
/П4 + /П7

58 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Следовательно, мы будем иметь
где
В конечном итоге для F будем иметь
н эту функцию F можно рассматривать как сумму четырех частей:
1) Ti—m^p , что определяет кеплеровское движение, которое
весьма мало отличается от движения планеты А относительно С;
2) Тг—^^ определяет кеплеровское движение, которое весь-
ма мало отличается от движения точки В относительно С;
3) —~jtjh является главной частью возмущаю-
щей функции и имеет выражение
4) Т3 представляет дополнительную часть воз-
мущающей функции.
44. Обычный метод. Астрономы пользуются еще одним пре-
образованием. Положим
Таким образом, планеты А и В обе относятся к Солнцу С. Сверх
того, положим
dx't
Легко видеть, что тогда уравнения движения будут иметь вид
B1)
<Ц Bf dv'i dF' . , 9 q
~Ж = Щ' ~Ш = ~~Щ {i = l, г, 6),
xl др» dy\

ГЛ. II. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 59
где
Г ~2j2mt АС ВС
t АС ВС + ВС»
=Z'2^7~" а5~~вс
Мы видим, что уравнения B1) не являются ка-
ноническими, так как в правых частях первых уравнений
входит функция F', а в правых частях вторых уравнений — функ-
ция F".
Функции F' и F" можно рассматривать в виде суммы четырех
частей.
1. Часть
^ АС АС
определяет движение по кеплеровскому эллипсу, которое мало
отличается от гелиоцентрического движения планеты.
2 Часть
определяет движение по кеплеровскому эллипсу, которое мало
отличается от гелиоцентрического движения планеты В.
3. Главная часть возмущающей функции равна
АВ~ '
4. Дополнительная часть в возмущающей функции F' равна
а в функции F" равна
Уравнения B1) получаются очень просто, и этот вывод можно
найти в главе III т. 1 «Небесной механики» Тиссерана*).
Это преобразование координат имеет большие неудобства.
Нарушается не только каноническая форма уравнений движения,
но и форма интегралов площадей. Поэтому мы ими здесь не будем
пользоваться.
*) В нашей специальной литературе уравнения B1) обычно называют-
ся «уравнениями движения в гелиоцентрических координатах». Подроб-
ное рассмотрение этих уравнений можло найти в книге Г. Н. Дубо-
шипа «Небесная механика», Физматгпз, 1963 г., п М. Ф. Субботина
«Курс небесной механики», т. II, Гостехиздат, 1947 г. (Прим. перев.)

ГЛАВА III
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
45. Задача двух тел. Рассмотрим два тела, А и С, первое —
движущееся с массой т, а второе — неподвижное, с массой М,
и изучим движение первого под действием ньютонианского при-
тяжения, вызываемого неподвижным телом.
Поместим начало координат в точке С и обозначим прямоуголь-
ные координаты тела А через xit x2, х3 и компоненты его количе-
ства движения через уи у2, у3.
Движение тела А определяется каноническими уравнениями
dxi dF d\n dF ...
~dt~~dy~t' ~df~~dxl' {'
где
jj m-M
AC~ *
46. Предположим теперь, что оба тела, А и С, с массами mt
и гщ, движутся, взаимно притягивая друг друга, по закону Нью-
тона. Как и в главе II, обозначим координаты тела А через xit
хг, х3, координаты тела С — через х7, х8, х9, компоненты коли-
чества движения — символом у с соответствующим нижним ин-
дексом. Воспользуемся преобразованием переменных § 29, т. е.
положим
так что х\, x's, x'B суть координаты центра инерции D двух тел,
А и С, а х[, х'г, х'а являются проекциями вектора С А на оси коор-
динат.
Мы знаем, что без ограничения общности можно считать центр
инерции неподвижным, т. е. считать, что
х'7 = х'в = х'а = 0.

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 61
Таким образом, число степеней свободы системы уменьшается
на три единицы.
При этих условиях уравнения движения сохраняют канониче-
скую форму и имеют вид
dxi_dF_ dyi_ _dF_ ,.,,
dt~dyl' dt~ teJ« ^>
где
AC
B')
Сравнивая уравнения A') и формулы B') с уравнениями A)
и формулами B), мы видим, что движение тела А относительно
тела С таково же, что и движение движущейся массы т'х =
притягиваемой неподвижной массой ^?-7 = иг1 + 'И7.
т1
Мы увидим вскоре, что движущаяся масса, притягиваемая не-
подвижной массой, описывает эллипс, в одном из фокусов которого
находится неподвижная масса. Следовательно, траектория точки Л
в своем движении относительно точки С также является эллип-
сом, в одном из фокусов которого находится С.
Так как отношения отрезков AD, DC и АС постоянны и центр
инерции, по предположению, неподвижен, то точки Л и С в своем
абсолютном движении описывают подобные эллипсы, для которых
точка D является общим фокусом.
47. Применение метода Якоби. Учитывая последний вывод,
остается исследовать движение тела, притягиваемого неподвиж-
ным центром. Эта задача может быть решена многими способами,
но с точки зрения последующих приложений необходимо, чтобы
мы решили ее с помощью одного частного метода, а именно метода
Якоби, изложенного в § 10.
Так как
то уравнение Якоби напишется в виде
Форма уравнения Якоби меняется, если перейти к новым коор-
динатам, например, к прямоугольным или вообще к произволь-
ным. Это следует из анализа, сделанного в § 11.

62 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Уравнение C) можно получить в результате замены перемен-
ных Гамильтона § 8 и замены pt частными производными -^—
в новом выражении для F.
Если сначала воспользоваться новыми прямоугольными коор-
динатами х[, х'г, x's, будем иметь (если начало координат остается
в точке С)
Производная функции Т по переменным -^- будет равна
, dxi
и мы получим
тик что уравнение Якоби в новых координатах запишется в виде
тМ
: = COnSt.
Отсюда следует, что форма уравнения Якоби не меняется при
переходе от одной прямоугольной системы координат к другой,
тоже прямоугольной системе. Таким образом, функция S удовле-
творяет некоторому уравнению в частных производных, вид ко-
торого не зависит от выбора осей, лишь бы только начало коорди-
нат осталось в точке С.
Перейдем теперь к сферическим координатам по формулам
х2 = г sin ? sin <p,
Если воспользоваться выражейием для скорости в полярных коор-
динатах, то имеем
Частные производные функции Т по переменным -j;' dt ' 7п
соответственно равны

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 63
так что будем иметь
и
2iw L "т~ г2 "*" г2 sin2 ? J г
Поэтому преобразованное уравнение Якоби принимает вид
G?J]-^=const- D)
Как видно, форма уравнения D) также не зависит от выбора
осей координат.
48. Теперь нужно найти интеграл уравнения D), зависящий
от трех произвольных постоянных. Обозначая константу правой
части через —ктг"» будем искать функцию S в виде
где Si зависит только от г, a G есть некоторая постоянная.
Таким образом, будем иметь
dr dr ' д? ' дц>
и уравнение D) примет вид
1 г/WiV i G21 m-^
г - 2Z.»
откуда
A?i_ /~ЬпЩ G2
rfr ~ К г ^2
L2
5isr: i К ——w—тг dr- E)
49. Найденное решение не является полным, так как оно за-
висит только от двух произвольных постоянных L и G. Но его
легко обобщить. Мы видели, в самом деле, что форма уравнения D)
не зависит от выбора осей координат. Но ? есть угол между век-
тором АС и осью х3. Поэтому мы получим новое решение, полагая
где буква ? обозначает теперь угол, образуемый вектором АС
с произвольной прямой А, проходящей через начало.
Эта прямая А может быть выбрана за ось х3 и вид уравнения D)
не изменится.

64 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Полученное новое решение содержит теперь четыре произволь-
ные постоянные, так как две произвольные постоянные нужны для
определения направления прямой А, проходящей через начало.
Одна из этих постоянных является лишней, а поэтому мы рас-
положим прямую А в плоскости XiX2 и обозначим угол между
прямой А и осью z, через 6. Тогда мы будем иметь три постоянные,
L, G, Э.
50. Остается применить правило § 10. Положим
dS dS , dS dS л
¦Тогда I, g, 6 являются постоянными или линейными функциями
времени; L, G, Э — постоянные. Далее, будем иметь
dt~dL' dt~ дС dt ~~ dQ '
где i|) обозначает правую часть уравнения D), т. е.
Поэтому будем иметь
dl
Tt-lT' dt-"' df-Vm
Следовательно, I есть линейная функция времени, a g и в— по-
стоянные. Мы положим, кроме того,
<п_
51. Какой смысл имеют все эти формулы? Радикал
V ~~г г* Z>~
должен быть всегда действительным, поэтому радиус-вектор г
может изменяться только в некоторых пределах. Наибольшее зна-
чение г называется афелийным расстоянием, а его наименьшее
значение — перигелийным расстоянием. Их среднее арифметиче-
ское называется средним расстоянием и обозначается через а.
Тогда афелийное и перигелийное расстояния будем обозначать
соответственно через
аA + е), а A-е).
Мы получим этот максимум и минимум, приравнивая радикал
нулю, что дает уравнение
m*M2r2 — 2mzML2r + GZL2 = 0.

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 65
Так как сумма решений уравнения должна быть равна 2а, то бу-
дем иметь т2Ма — L2, откуда
Произведение корней должно быть равно а2A — е2), поэтому
имеем
и, сверх того, найдем
dl _ _
dt~n- L*
Поскольку до сих пор мы не выбирали нижний предел для ин-
теграла E), функция Si определена с точностью до произвольной
постоянной. Выберем нижний предел равным перигелийному рас-
стоянию аA — е), так что будем иметь
5 S[dr, F)
a A-е)
где S[ означает наш радикал.
52. Формулы кеплеровского движения. Рассмотрим уравнение
OS a.
Сначала заметим, что St не зависит от 6, т. е. от ориентации
прямой А. Следовательно, будем иметь
Рассмотрим сферу единичного радиуса с центром в начале коор-
динат; пусть ось Xi пересекает сферу в точке А, а плоскость XiX2
пересекает ее по большому кругу ABC. Прямая Д, лежащая
в плоскости XiXz, пересекает сферу в точке В. Радиус-вектор, иду-
щий от начала к движущейся массе, пересечет сферу в точке D.
Плоскость, проходящая через прямую А и радиус-вектор, пе-
ресекает сферу по большому кругу BD, который образует с боль-
шим кругом ВС угол i. Дуга А В измеряет угол 6, а дуга BD —
угол ?. Допустим, что угол Э получил приращение dQ; прямая А,
оставаясь в плоскости xtx2, будет пересекать теперь сферу в точ-
ке В', бесконечно близкой к точке Б, и мы будем иметь
5 А. Пуанкаре

66 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
а следовательно, ВВ'= dQ. Построим малую дугу В'Р, перпенди-
кулярную к большому кругу BD. Мы знаем, что с точностью до
малых второго порядка дуги B'D и PD равны между собой. Следо-
вательно, будем иметь
В малом треугольнике ВРВ'
имеем ВР = ВВ'cos i, а сле-
довательно,
Наконец,
Рис. 2. 0 = Gcosi.
Так как 0 и G суть величины
постоянные, то отсюда следует, что угол i тоже постоянен.
Таким образом, плоскость BD проходит через неподвижную
прямую А, расположенную в плоскости х,х2, и наклонность i
этой плоскости к плоскости х1хг постоянна. Отсюда следует,
что плоскость BD неподвижна. Таким образом, радиус-вектор
планеты все время остается в неподвижной плоскости, а следова-
тельно, орбита движущейся массы есть плос-
кая кривая.
Тогда угол Э представляет собой долготу узла плоскости орби-
ты, угол i — ее наклонность.
53. Перейдем к уравнению
dS_.
и.-1-
Так как член Gt, не зависит от L, то будем иметь
и мы можем вычислить правую часть равенства, дифференцируя
интеграл E) под знаком интеграла. Таким образом найдем
m*MZ dr
причем пределы интегрирования те же, что и в формуле F).
Мы должны вычислить интеграл, зависящий от квадратного
радикала. Это интегрирование может быть выполнено с помощью
круговых функций, для чего целесообразно положить
r = a(l — ecosu).
Так как cos и изменяется в пределах от — 1 до +1, г будет
меняться между значениями а A — ё) и а A + ё). Перигелийное

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 67
расстояние достигается при этом тогда, когда переменная и при-
нимает значения, кратные 2л, а афелийное расстояние, когда и
принимает значения нечетной кратности я. Введенный нами
вспомогательный угол и называется эксцентрической аномалией.
Мы будем иметь
S;V = - Gz + 2m2Mr -
Правая часть этого соотношения является многочленом второй
степени относительно cos u и обращается в нуль для афелийных
и перигелийных расстояний, т. е. когда и принимает значения,
кратные я.
Следовательно, этот многочлен пропорционален sin2 и.
Чтобы определить коэффициент пропорциональности, поло-
жим cos и = + оо, придавая, таким образом, переменной и мнимое
значение. При этих условиях будем иметь с большой точностью
г = —ае cos и, sin2 и = —cos2 и,
г» = - т*ЛР ^ cos2 и = -
Таким образом, для всех значений г будем иметь
5;2г* = т?Мае2 sin8 и = L2e2 sin2 и,
откуда
rdr
,_f m*MZ rdr _ ?
~ J L* ' е sin и ~ J a%e sin и '
Но
r = a(l — ecosu), dr = ae sin udu,
и мы получаем
I— \ (l — ecosu)du.
Нижний предел интегрирования, так же как и в формуле F), дол-
жен соответствовать перигелийному расстоянию, т. е. и = 0.
Выполняя интегрирование, найдем
l = u — esinu. G)
Это — уравнение Кеплера.
Уравнение Кеплера дает возможность выражать радиус-вектор
в виде функции времени. Действительно, радиус-вектор г зависит
от ц, а уравнение Кеплера выражает зависимость эксцентри-
ческой аномалии и от I, которая является линейной функцией
времени.
5*

68 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Оно показывает также, что афелийное и перигелийное рас-
стояния действительно достигаются. До сих пор мы знали только,
что г не может выходить из этих пределов.
Действительно уравнение G) показывает, что эксцентрическая
аномалия и может принимать все возможные действительные зна-
чения п, в частности, значения, которые соответствуют перигелип-
ному и афелийному расстояниям. В самом деле, каждому дейст-
вительному значению и соответствует некоторое действительное
значение I и, следовательно, некоторое действительное значе-
ние времени, так как I является линейной функцией времени.
Угол I называется средней аномалией. В самом деле, / изме-
няется пропорционально времени и становится равной эксцентри-
ческой аномалии всякий раз, когда sin и равен нулю, т. е. всякий
раз, когда планета находится в перигелии или в афелии.
54. Перейдем теперь к уравнению
as
которое может быть записано в виде
Дифференцированием под знаком интеграла мы получим
х —Gdr
dG
Интеграл опять может быть вычислен в круговых функциях,
но так как здесь переменной является —, то мы положим
\__ 1 + е cos v
Т~ в A-е2) '
так что когда cos v изменяется от — 1 до + 1, г изменяется от
а A +е) до а A — е).
Квадрат функции S[ есть многочлен второй степени относи-
тельно — и, следовательно, относительно cos v. S[ обращается
в нуль, когда г равен а A — е) или а A -\-е), т. е. когда v принимает
значения, кратные л. Следовательно, S\ пропорциональна sin2 v.
Чтобы определить множитель пропорциональности, положим
cos v = -\- оо, что дает
1 _ е cos v _ п&Ме cos v
Т~ аA—е«) "" Р '
. , , р„ С2 т*Мге* cos2 v
sin2 v=— cos2 v, ^!=— -^-=» ф .

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 69
Таким образом для всех значений v имеем
G2
Но
,. /геШ^е2 sin2 v c, тгМе sin v
, / 1 \ _ —е sin vdv _ —mWesmvdv S'tdv
\Tj~ e(l—e2) ~" G2 "" G
II
dS
S—i*-
Интеграл должен иметь такой же нижний предел, как и инте-
грал F), т. е. v = 0. Следовательно, будем иметь
откуда окончательно получим
Вернемся к рис. 2 и возьмем на неподвижном большом круге
BD дугу BE, равную g. Так как g постоянна, точка Е будет не-
подвижной, так же как и вектор ОЕ, соединяющий ее с началом
координат. Тогда v равна дуге ED, т. е. углу между неподвижным,
радиусом-вектором ОЕ и радиусом-вектором OD. Таким образом,
rut» будут полярными координатами планеты в цлоскости OBD,
если прямая ОЕ есть полярная ось и точка О — полюс. Следова-
тельно, уравнение
!1—» (8)
есть уравнение орбиты в полярных координатах. Но это уравне-
ние эллипса, отнесенного к одному из своих фокусов.
Следовательно, орбита является эллип-
тической. Переменная v называется истинной аномалией.
Истинная аномалия v принимает в перигелии значения, кратные
2л, а в афелии значения нечетной кратности л. В перигелии при
v = 0 планета находится на прямой ОЕ и ее долгота в орбите
равна Q + g.
Постоянный угол Э + g называется долготой перигелия.
55. Из уравнения (8) выводим
ercosv = a(l—е2)—г = аA—е2)—а A-еcos и),
откуда
г cos v = a (cos и—е)

70 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
И
г sinv = аУ 1—&sinu.
Прямоугольные координаты имеют следующие значения:
1) если 0 предполагается равным нулю, то
SjnsrcosJ;, ;r2 = rsin?cosi, аг3 = г sin ? sin i;
2) если 0 произвольно, то
Xi = r (cos ? cos 0—sin ? sin 0 cos i),
#2 = г (sin ? cos 0 + cos ? sin 0 cos i), I (8')
a:3 = rsin?sini.
Далее,
"; = r cos v cos g—r sin v sin g,
• <¦ ... } (o )
r sin ? = r cos i; sin g + r ship cos g. J
Заменяя здесь г cos v и г sin v их значениями, находим
«i = a(cosw—е) (cos g cos 6—sin g sin 6 cos i)— ^
—a sin и У1—e2 (sin g cos 6+cos g sin 0 cosi),
x2 = a (cos u—e) (cos g sin 0 + sin g cos 0 cos i) +
+a sin и Y'l—e8 (—sin g sin 6 + cos g cos 0 cos i),
x3 = a (cos u—e) sin g sin i + a sin " V"l — e* cosgsini.
(9)
56. Мы положили
dS dS , dS dS a
и, следовательно,
dS=^ydx + ldL + gdG—0d0,
откуда следует, что
2 а; dy— ldL—g dG—0 d6
•является полным дифференциалом. Введем теперь новые пере-
менные, полагая
l—G=Qit g—e=e2
и
LZ + Gg + 00 = L?, + Q,(o1 + e2©2. (Ю)
откуда
<o1 = —g—Q, ©2=—0.

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 71
Из последних формул видно, что ©t есть долгота перигелия,
— ©2— долгота узла. Переменная X называется средней долготой.
Прежние переменные L, G, 6; I, g, 6 связаны с новыми пере-
менными L, Qi, q2; X, ©4, ©2 линейными соотношениями, и тожде-
ство A0) показывает, что замена переменных является канониче-
ской в соответствии с условиями § 5. Поэтому
idL + gdG+QdB—XdL—2 ©do,
есть полный дифференциал, так же как и
^y—XdL—
или как
2 у dx—LdX— 2 е d<a.
57. Положим теперь
Замена переменных остается канонической в силу § 6. Следова-
тельно, выражение
есть полный дифференциал и то же самое можно утверждать
о выражениях
58. В большинстве приложений эксцентриситет е и наклон-
ность i очень малы. Поэтому
Од = L—G = т УМ- Va{i — уТ=в»)
есть величина порядка квадрата эксцентриситета, а
ii = V%ii cos <0ц % = V%Qi sin ©i
— величины порядка эксцентриситета. Поэтому мы будем назы-
вать эти две величины эксцентрическими переменными.
Величина
—cosi)
имеет порядок квадрата наклонности, а поэтому переменные
12 = V^2q,2 cos ©г, т]2 = l/2p,2 sin ©2
имеют порядок наклонности. Поэтому мы будем называть эти две
величины облическими переменными.

72 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Кроме того, мы имеем
?+(%)
откуда
— 2
4-sin(o2.
Введенные нами переменные определяют форму, размеры
и ориентацию эллиптической орбиты, а также положение планеты
на орбите. Мы должны различать:
1) систему элементов а, е, i, I, g -j- 6, 6, наиболее часто исполь-
зуемую астрономами. Они называются эллиптическими элемен-
тами;
2) систему L, G, 0, I, g, Э;
3) систему L, Qi, q2i ^ fi»ii e>2;
4) систему Z,, |,, |2. ^. "Hi, Лг-
Последние системы, как было показано в § 56 и 57, являются
каноническими, поэтому называются системами канонических эле-
ментов *).
59. В предыдущем параграфе мы нашли выражения для пря-
моугольных или полярных координат планеты как функций эл-
липтических или канонических элементов. Остается определить
переменные у%, т. е. определить составляющие скорости в функ-
ции тех же элементов. Для этого воспользуемся равенствами
dS
или, возвращаясь к полярным координатам § 47, равенствами
dr dS ,d? dS » . ,^dro dS ....
Кроме того, без ограничения общности мы можем предположить,
как и в § 48, что ? есть угол между радиусом-вектором и осью х3
и что, следовательно, плоскость орбиты проходит через ось т3.
*) Обычно система 2) называется системой элементов Делоне. Системы
3) и 4), как правило, называют первой и второй системой канонических
элементов Пуанкаре. (Прим. перев.)

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 73
Тогда будем иметь
Первое из уравнений (И) дает
dr c,
откуда
al — nat —
L3Si
Мы снова пришли к уравнению, которое было выведено в § 53.
60. Третье из уравнений A1) просто дает -^" = 0, что озна-
чает, что скорость планеты всегда лежит в плоскости орбиты.
Наконец, второе из уравнений A1) дает
Но тпг-^ является проекцией количества движения на перпен-
дикуляр к радиусу-вектору. Таким образом, левая часть есть
не что иное, как момент количества движения, так что G пред-
ставляет величину вектора площадей.
Так как этот вектор необходимо перпендикулярен к плоскости
орбиты, то его компоненты будут равны
G sin i sin Э, — G sin icos 6, Gcosi = 0.
61. Рассмотрим теперь вычисление величин yt. Мы могли бы
взять для этого уравнения
dS
но удобнее воспользоваться следующими:
когда координаты х выражены в функции переменных I, g, 6,
L, G, 6, или уравнениями
когда х представлены в функции A,, L, q, о или к, L, |, ц. Само
дх Эх
собой разумеется, что -щ- или ^г обозначают частные производ-
ные по I или по К.

74 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
62. В равной степени можно воспользоваться и интегралами
площадей
—х3у2 = G sin i sin 6,
1—Х\Уа = G sin i cos 0,
I — «2^1 = »-
Эти уравнения недостаточны для определения переменных у,
так как они не независимы, но к ним можно присоединить интеграл
живых сил
тМ
г ~ 2L* *
63. Может представить интерес приведение уравнений (9)
к другой форме. Для этого введем две вспомогательные величины,
X и У, полагая
X = a (cos и—е) cos / + a sin и У1—е2 sin / = г cos (i?—I),
Y — —a (cos и—e) sin I + a sin и Yi —e2 cos I — r sin (v — I).
Легко видеть, что правые части уравнений (9) будут линейными
и однородными функциями от X и У. Остается найти коэффи-
циенты при X и У.
Напомним, каким образом были получены уравнения (9). Мы
воспользовались уравнениями (8') и (8"), учитывая, что ? =
= v -\-g. Кроме того, мы заменили в уравнениях (8') г cos у
и г sin v их выражениями (8"). Но, очевидно, ? = (v — I) -f
+ (g +0> так что уравнения (9) принимают вид
Xi = X [cos (g+1) cos 6 — sin {g +1) sin 0 cos i]—
— У [sin (g +1) cos 6 + cos (g +1) sin 0 cos i],
x2 = X [cos (g + J) sin 0 + sin (g +1) cos 0 cos i] +
+ У [ — sin (g +1) sin 0 + cos(g +1) cos 6 cos i],
x3 = X sin (g +1) sin i' + У cos (g +1) sin i
или
—У Г cos2-i-sin Я, + sin* у sin (Я,—20) J ,
x2 = X [ cos2 у sin A, - sin2 у sin (A, - 20) ] +
+ У [ cos» -j- cos A, - sin2 -i- cos (A,- 20)] ,
x3 = X sin i sin (A, - 0) + У sin i cos (A — 0).
A2)

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
75
64. Сводка формул. Мы полагаем полезным привести здесь свод-
ку формул, связывающих переменные х и у с каноническими эле-
ментами L, к, е, (о, ?, т]. В эти формулы входят массы т, М и раз-
личные вспомогательные величины а, е, i, и, г, v, I, X, Y.
Имеем:
Q2=={L—ed)(l—cost),
cos ©d 1]! = V^2q4 sin щ,
l = u— esinu,
r cos v = a (cos w — e),
r sin у = a j/l — e2 sin u,
X = rcos(v — l), Y = rsin(v — l).
xt = X Г cos? у cos A, + sin2 у cos (A, + 2<o2) J —
—Y [ cos8-j sin Я, + sin2 у sin (Я, + 2^) ] ,
a;2=x[cosaysinA,—sin2-| 008^ +2<»2)] +
+ У [ cos* у cos A,—sin2 у cos (Я, + 2<o2) ] ,
ж3=X sin г sin (A, + <o2) + F sin i cos (A, + <o2).
—хзУ2 = —(-^—ei) sin г sin <»2,
—SiJ/3 = — (¦t'—ei) sin t cos<»2,
= L — ej — Q2,
G)
65. Форма разложения. Для более удобного применения выве-
денных формул нужно разложить координаты xt, хг, х3 в ряды,
зависящие от канонических элементов. Какова форма этих раз-
ложений?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, мы разобьем задачу
на две части. Сначала рассмотрим разложения вспомогательных

76 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
величин X и Y, после чего рассмотрим разложения коэффициен-
тов при X и Y в уравнениях A2').
Заметим прежде всего, что переменная Од разложима по сте-
пеням е2 и коэффициенты разложения зависят от L. Первый член
разложения содержит е2, следовательно, величина ' gl также
разложима по степеням е2 и то же самое можно сказать о - .
Y-4l
Y4li
Из уравнения, связывающего Qt с ег, можно вывести разложе-
ние е2 в ряд по степеням рд. В § 58 мы нашли
Отсюда вытекает, что величину также можно разло-
V2.QI
жить по степеням рд. Но
е _е cos щ _ е sin 0)j
Из этого следует, что е cos щ и е sin o^ разложимы по степе-
ням |j и тI( что следует также из формул § 58. Коэффициенты всех
этих разложений зависят от L.
66. Покажем теперь, что величины и— I, cos (и—I) и sin (и—I)
можно разложить по степеням е cos I и е sin /.
Для этого рассмотрим уравнение Кеплера
I =и—esinu, G)
которое можно написать в виде
(и—I)—esin /cos(и—I)—еcosZsin (и—1) = 0.
Левая часть последнего равенства разложима по степеням
(и — I), e sin /, e cos l. При каком условии можно разложить
(и — I) по степеням е sin I и е cos Z? Согласно теореме о неявных
функциях это условие заключается в том, что частная производ-
ная левой части по (и — I) должна быть отличной от нуля при
е cos I = 0 и е sin 1 = 0. Это условие выполнено, так как эта
производная равна единице. Следовательно, (и — I) может быть
разложена по степеням е cos l и е sin l, и то же самое можно утвер-
ждать и о е cos (и — I) и е sin (и — I), которые в свою очередь разло-
жимы в ряды по степеням (и — I).
Это очевидно также для
е2 cos (и -f I) = e* cos 21 cos (u—l)—e2 sin 21 sin (и—I),

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 77
так как
е2 cos 21 = (е cos ZJ—(е sin If, е2 sin 21 = 2 (е cos Z) (e sin Z).
Отсюда следует, что е2 cos (u + Z) тоже можно разложить в ряд
по степеням е cos Z и esinZ. Аналогично разлагается в ряди выра-
жение е2 sin (и -(- Z).
67. Далее заметим, что мы имеем
-ecosZ,
Мы видели, что . (u—Z) и е2 . (u + Z) разложимы по степеням
ecos Z, esinZ. To же справедливо и для
так как эти две функции разложимы по степеням е2= (е cos ZJ-f-
+ (е sin ZJ.
X Y
Из этого следует, что — и — разложимы по степеням е cos I,
е sin I, а следовательно, и по степеням е cos щ, е sin Oj, так как
е cos Z = е cos ©i cos Я,—е sin ©j sin Я,,
e sin Z = e sin ©j cos Я, -f- e cos ©j sin X,
или по степеням
так как ecos©t и esin©t разлагаются по степеням |t и i\t.
Окончательно получаем, что X я Y разложимы по степеням
|j и т)]. Коэффициенты этих разложений зависят от L и X.
68. Перейдем теперь к коэффициентам при X и Y в уравне-
ниях A2'), которые имеют вид
¦ 2 J_ COS л i • 2 J. cos
пли
Эти коэффициенты разлагаются по степеням
sin4-cos©2' sin 4-sin©2- A3)

78 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Это очевидно для sin2 -j, который есть сумма квадратов величин A3),
и для cos2y=l—sin2y, cosy= j/l—sin2y.
Это ясно также для выражений sin2 4-cos 2<o 2, sin2 4- sin 2<о2,
из которых первое равно разности квадратов величин A3), а вто-
рое — удвоенному произведению их.
Точно так же это справедливо для
sin2 у cos (А, + 2<о2) = sin2 4- cos 2<o2 cos Я,—sin2 у sin 2©2 sin А.,
для
sin2 isin (A, + 2<o2), sin i °°* (^ = 2 cos y sin i- ^ <o2,
а также для
sin г cos (Я, + ©г), sin г sin
Отсюда следует, что коэффициенты при X и Y разложимы по
степеням двух величин A3).
Но мы имеем
|2 = 2 У L—0! sin 4- cos <o2,
тJ = 2 У L—Qjsin 4- sin <o2.
Следовательно, наши коэффициенты разлагаются по степеням
величин
J2 12
Но
разложима по степеням |4 и %.
Таким образом, коэффициенты при X и Y в уравнениях A2')
разложимы по степеням |t, г]!, |2> Чг-
69. Итак, координаты ^ разложимы по сте-
пеням ?,, т]!, |2, тJ- Коэффициенты этих разложений зависят
от L и К.
Небесполезно добавить, что выражения для х% являются пери-
одическими функциями переменной К, т. е. они не меняются,
если А, заменить на Я, -f- 2я.

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 79
Разложения для г/; имеют тот же вид. Для того чтобы убе-
диться в этом, достаточно обратиться к формулам
Таким образом, переменные xt и г/г могут быть разложены
в ряды следующего вида:
24cosQ?0A. + AJn, (a)
где р0— целое число; А и h — постоянные, зависящие только от
L; Ш — целый одночлен относительно ? и т).
Полагая затем |г = 1/2qj cos ац, х\( = V^Qt sin щ, мы придадим
разложению (а) вид
cos (p0b + Pi<Oi+p#>2 + h), (P)
где В и h зависят только от L; р принимает целые положительные
или отрицательные значения; 2 q— четные неотрицательные чис-
ла, причем 2qi имеет такую же четность, как pi, и притом
Мы хотим показать, что разложение (а) можно представить
в форме (Р). Достаточно показать это для любого члена разло-
жения. Это непосредственно очевидно, если одночлен Ш при-
водится к единице, так как тогда член разложения будет равен
A cos (p0X + К).
Таким образом, будет достаточно показать, что если некоторая
функция представляется разложением формы (Р), то это также
справедливо и для произведения функции на |; или на т];, сле-
довательно, применяя индуктивный метод, можно будет пока-
зать, что произведение указанной функции на произвольный одно-
член Ш можно выразить в виде разложения (9).
Итак, пусть
Я = 2 BqpQl* cos (р0Я, + До! + ргщ -f- h).
Мы утверждаем, что можно в форме (Р) представить и разло-
жения
) cos an, Hr\i=H Yl^t sin щ=Н Y2qt cos (©; — -? J
и вообще выражения вида

80 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Действительно, имеем
у= 2 вОЦгЯ1г Voi [cos(ро% + Pid>i + р2е>2 + <Di + А + Л') +
-f COS (PqI + р±Щ -f Р2Щ — (Oj -гh — ll')\.
Но это выражение имеет форму (Р); в самом деле, если положить
для определенности i = 1, то мы видим, что 2q2 и р2 не изме-
няются, а вместо 2qt будем иметь 2^1+1, вместо pt в одном
члене будем иметь pt-\- 1, а в другом р4— 1.
Но если
2gi = A(mod2)*), 2gl>\p1\,
то будем иметь, очевидно,
что и доказывает высказанную теорему.
70. Симметрия. Если эллиптической орбите и планете придать
общее вращение на угол е вокруг оси х3 (как если бы планета и ее
брбита образовывали одно твердое тело), то элементы I, g, 6, L,
G, 0 изменятся на I, g, 6 -f e, L, G, 0. Элементы L, q1? q2, %, Щ,
ю2 изменятся на L, Qt, q2, К + е, щ — е, ю2— е, а координаты a;lt
а:2, х3 примут значения xt cos е— а:2 sin e, Xi sin e-(- a:2cos e, x3.
Итак, если в разложениях координат х заменить переменные |
и т| их выражениями в функции q и со, то мы получим ряды, рас-
положенные по синусам и косинусам кратных К, @i, co2.
Будем иметь, следовательно,
= 2 А COS
где ро, р^ и р2— целые числа, а А и А суть функции от Z,, Qt и q2.
Положим
«! = 2 -4 COS (ро^ + А»1 "Г" Р2»2 + А),
A4)
COS (р<Д -f Pl»l + /?2«J + А").
Если А,, ©!, ю2 заменить на Я, + е, щ— е, ю2— е, то аргумент
косинуса увеличится на (р0 — Pi— Рг) е и xt, x2, х3 должны пре-
вратиться в
— a;2sine, xt sin e + x2 cos e, a:3.
*) Числа а и Ь называются сравнимыми по mod m, если при их деле-
нии на т получается один и тот же остаток. (Прим. перев.)

ГЛ. III. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 81
Отсюда заключаем, что:
1) в разложениях xt и х2 р0 — pt—р2= 1, а в разложении
для х3 ро — Pi— P2= 0;
2)А=А', Л'=А-у.
71. Рассмотрим опять фигуру, образованную планетой и ее
эллиптической орбитой, и заменим ее симметричной фигурой отно-
сительно ПЛОСКОСТИ ХуХ3.
Это приводит к изменению L, G, 0, I, g, 6 на L, G, 0, — I, —g,
—6, или L, Qi, q2, К, ©1, ©2 па L, q,, q2, —Я,, — со,, —со2, или»
наконец, X], х2, Хз на a?i, —х%, Хз.
Таким образом, когда углы К, со,, со2 изменяют знак, коорди-
ната х2 изменяет знак, в то время как координаты Zjii x3 не изме-
няются.
Это означает, что в разложениях A4) мы должны иметь
Л = А'=О, A' = -i,
так что эти разложения будут иметь вид
Xt = ^A COS
= 2 -^ sin
COS
A4')
72. Рассмотрим опять ту же фигуру и заменим ее симметрич-
ной фигурой относительно плоскости х^хг. Это приводит к за-
мене облических переменных ?2 и Лг на~ 1г» — Лг. или к замене
со2 на ©2 + я. При этих условиях ?j и ?2 не должны измениться,
в то время как х3 должно изменить знак. Отсюда следует, что
р2— четное число в разложениях xi и х2 A4) и A4') и нечетное
в разложении для х3.
Сопоставляя эти результаты с результатами, полученными
в § 70, мы видим, что р0 — pi п pQ +Pi всегда являются нечет-
ными числами.
73. Однородность. Когда е, i, I, g, 9 остаются постоянными,
а большая полуось а изменяется на а A + е), координаты хи х2,
х3 станут равными ж, A + е), х2 A -f- e), х3A 4- е)-
При этих условиях выражения ¦?= , —%=, 5?_-
* mj/M m YM
получат множителем величину )/1 --)- е.
Отсюда следует, что координаты xt являются однородными
функциями второй степени относительно величин
т /М ' т VM
6 А. Пуанкаре

82 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
ИЛИ
YM '
т YM т УМ т
Посмотрим, что отсюда можно заключить о форме разложений A4').
Коэффициенты А и А", которые входят в эти разложения,
представляют собой суммы членов следующего вида:
А или 4" = 2^
где 2(/t— целое число такой же четности, как pt, п не меньше чем
\pt\, a 2qz— целое число такой же четности, как pz, и не меньше
чем \р21, и где В суть числовые коэффициенты.
Мы будем иметь, кроме того,
у2 = 2 Cm2MZr~1"gi"92Q?»Q(J2 cos (p0K + р^ + ргщ),
Уз = -Х Ст*МЬ~'-«t-««eV*siQ(Рок + Pi»i + ,Р2«>2),
где С и С"— числовые константы, равные Вр0; 2qt должно быть
целымчислом такой же четности, как plt и не меньше чем р^. Дей-
ствительно, таково условие того, что
q?i cos (a«>i + h),
где h не зависит от Qj и (Oj, можно разложить по степеням
од cos (о, = gb |/2oisin(o1=Ti1.

ГЛАВА IV
ОСНОВЫ МЕТОДА ЛАГРАНЖА
74. Спекулирующие орбиты. Вернемся к рис. 1 и предположе-
ниям § 30, т. е. рассмотрим движение двух фиктивных планет, А'
и В'. Мы видели в § 37 и 38, что можно положить F = F0 + \iFti
где \iFi значительно меньше, чем Fo, и что если F заменить на
Fo, то фиктивная планета А' будет двигаться так, как если бы
она притягивалась неподвижной массой mt-\- m7, помещенной
в начале координат, а фиктивная планета В'— так, как если бы
она притягивалась неподвижной массой m{-\-rrii-i-m-,, также
помещенной в начале. Из этого следует, что впервом при-
ближении движение этих двух фиктивных планет подчи-
няется законам Кеплера.
Предположим, что в момент t силы, действующие *) на фиктив-
ную планету А', внезапно исчезают, заменяясь единственной
силой притяжения неподвижной массы mt -\- тга7, расположенной
в начале. Тогда, начиная с момента t, планета А' будет двигаться
по эллиптической орбите, которая называется оскулирующей орби-
той планеты А'. Или, если угодно, рассмотрим новую фиктив-
ную планету А", имеющую ту же массу, что и планета А', т. е.
т[, и которая в момент t имеет те же координаты и ту же скорость
как по величине, так и по направлению, что и Л'. Пусть она при-
тягивается только неподвижной массой mi-\-m1, помещенной
в начале так, что ее движение происходит в соответствии с зако-
нами Кеплера. 6 момент t планета А" имеет те же координаты,
что и А', т. е. х[, х'2> х3, и те же компоненты количества движения
y'v Уг> Уъ- Но в другой момент, отличный от момента t, планета
А" не будет иметь те же координаты и компоненты количества
движения, как А'. Эллиптическая орбита А" является тогда
оскулирующей орбитой планеты А'.
Эти два определения приводят, очевидно, к одному и тому же,
так как новая планета А" будет совпадать с планетой А', если
*) Может быть, этот язык не корректен, так как на фиктивную пла-
нету не могут действовать реальные силы. Может быть, следовало бы
говорить: фиктивные силы, которые кажутся действующими; впрочем, это
не так существенно, так как никакой неясности можно не опасаться.
6*

84 ТОМ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
силы, действующие па последнюю, внезапно заменятся притя-
жением центральной массы mv-~ Щ-
В момент t', отличный от t , А" не будет более совпадать с А'.
Мы должны, следовательно, вообразить новую фиктивную пла-
нету, А", которая будет двигаться в соответствии с законами
Кеплера и которая в м о м е н т t' имеет те же координаты н ту же
скорость, что н А'. Эллиптическая орбита планеты А" будет
о с к у л и р у ю щ е й орбитой планеты А' в мо-
мент /', не совпадающей с эллиптической орбитой А", т. е.
с оскулнрующей орбитой А' в момент t. Следовательно, оскули-
рующая орбита изменяется со временем.
Однако если F заменить на Fo, планета А' будет двигаться
согласно законам Кеплера; совпадая в некоторый момент с Л",
она всегда будет совпадать с Л", следовательно, А" и А" совпа-
дают, и оскулирующая орбита будет неизменной.
В действительности F не равна Fo, но разность между ними,
которую мы обозначили через \iFt, весьма мала. Из этого следует,
что оскулирующая орбита изменяется, но
ее изменение происходит медленно.
Аналогично мы определпм оскулирующую орбиту В': это —
эллиптическая орбита новой фиктивной планеты В", которая
имеет ту же массу, что и В', т. е. т\, и которая будет иметь
в момент t те же координаты, что и В', т. е. x't, х'ь, x't, ту же ско-
рость по величине и направлению и, следовательно, те же компо-
ненты количества движения, т. е. у'4, у\, y't. Планета В" движется
по законам Кеплера под действием притяжения центральной мас-
сы 7и1-)-т4 -+- тга7. Таким образом, нам остается повторить все то,
что мы сказали об оскулирующих орбитах А'.
В главе III было показано, что форма, размеры п ориентация
эллиптической орбиты, а также положение планеты на орбите
могут быть определены шестью элементами, являющимися эллип-
тическими, элементами или каноническими элементами (§ 58).
Шесть элементов, которые определяют эллиптическую орбиту А"
(т. е. оскулирующую орбиту А') и положение А" на орбите
(т. е. положение планеты А' на своей оскулирующеи орбите),
будем называть оскулирующими элементами планеты А'. В кеп-
леровском движении только один из элементов зависит от вре-
мени (это средняя долгота X, если применяют одну из двух послед-
них систем, определенных в § 58, пли средняя аномалия Z, если
применяется одна пз двух первых), и этот элемент изменяется,
кроме того, пропорционально времени. Остальные пять элементов
постоянны.
Что касается оскулпрующих элементов, то они все будут изме-
няться со временем, но изменение одного из них будет почти про-
порциональным времени; изменения других пяти будут весьма

ГЛ. IV. ОСНОВЫ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 85
медленными. Действительно, мы увидим, что оскулирующая орби-
та изменяется, но что она изменяется весьма медленно.
Аналогично определяются оскулирующне элементы планеты В'.
75. Случай обычного метода. В § 44 мы определили такую
замену переменных, которой астрономы пользуются чаще всего.
Хотя мы не будем ее употреблять, представляет интерес рассмот-
реть ее и определить оскулирующие орбиты, к которым она при-
водит.
Две планеты, А п В, отнесены к солнцу С, так что, проведя ОА',
равным и параллельным С А, и ОВ', равным и параллельным СВ,
мы ввели две фиктивные планеты А' и В' с массами mj и тга4 соот-
ветственно.
Здесь опять можно вообразить новую фиктивную планету А",
имеющую в момент t те же координаты и скорость, что и планета
А', и движущуюся по эллипсу под действием притяжения цен-
тральной массы mj -j- тга7, и другую фиктивную планету, В", имею-
щую в момент t те же координаты и скорость, что п В', и описы-
вающую эллипс под действием притяжения центральной массы
тп4 Л-тп1 (именно m4-j-/n7, так как, если пренебречь возмущаю-
щей функцией, определенной в § 44, то движение В' будет совпа-
дать с движением массы, притягиваемой неподвижной массой
m4-f'«7)- Таким образом, эллиптическая орбита планеты А"
или такая же В" является оскулирующей орбитой планеты А'
или В'. Больше ничего не придется менять в том, что было ска-
зано в предыдущем параграфе.
76. Случай преобразования § 26. Предположим теперь, что
рассматривается замена переменных § 30.
Фиктивные планеты А' и В' имеют массы
и мы получим их положения, проведя векторы ОА' и ОВ', рав-
ными и параллельнылш векторам С А и СВ. Они имеют координаты
х[, х'2, х'3; x't, xt, х'в. Но переменные у[, у'г, у3; у\, у'ь, у\ не будут
пропорциональными производным от х', и поэтому они не пред-
ставляют компоненты количества движения этих фиктивных пла-
нет. Они будут представлять, как мы знаем, составляющие абсо-
лютного количества движения двух действительных планет.
Вот как нужно определить в этом случае оскулирующпе орби-
ты. Вообразим новую фиктивную планету А", имеющую ту же
массу — —- , как и А ; пусть в момент t она пмеет координаты
х[, х'2, х3 и компоненты количества движения у[, у'2, у'3; пусть,
наконец, она движется согласно законам Кеплера под действием
притяжения центральной массы wij -j- m7.

86 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Мы видим, что в момент времени t планета А" имеет те же коор-
динаты, что и планета Л', но не имеет тех же компонент количества
движения, следовательно, не имеет той же скорости.
Планета А" движется по эллиптической орбите, которая будет
оскулирующей орбитой планеты А'.
Точно так же можно ввести фиктивную планету В" п оскулн-
рующую орбиту планеты В'. Отметим только, что планета В" будет
двигаться под действием притяжения центральной массы »i4-j-'w7.
77. Сравнение оскулирующих орбит. Вместо того чтобы гово-
рить об оскулирующих орбитах А' илн В', обыкновенно говорят
об оскулирующих орбитах А или В, т. е. об оскулирующих орби-
тах реальных планет. Такой оборот речи может быть
принят без всяких затруднений, но когда будем говорить об оску-
лирующей орбите А, то нужно подразумевать, что речь идет
о такой же орбите, соответствующей фиктивной планете А'.
Тем не менее, нужно обратить внимание на одну деталь. Мы
видели, что существует несколько способов определения оскули-
рующих орбит и, следовательно, оскулирующих элементов. Суще-
ствуют еще и другие способы. В § 74 вместо того, чтобы отнести А
к С и В к центру инерции А и С, мы могли бы отнести В к С и А
к центру инерции В и С.
Более того, мы могли бы приписать центральным массам дру-
гие значения. Действительно, разделение F на две части, Fo
и \iFt, остается произвольным в достаточно широком отношении.
Мы могли бы отнять какую-либо функцию от Fo и прибавить ее же
к \iFu лишь бы она имела тот же порядок малости, как и возму-
щающая функция. Например, можно было бы заменить в Fo член
BD
членом
~BD
так как их разность^^ —порядка \iFi- Тогда центральную мас-
су, определяющую движение планеты В", выгодно брать равной
( A)
у
не значению * ,—- = mi-\- m^-m-t, а значению , . Ясно,
W?4 m
W4 mA
что можно выбрать и другие значения.
Разумеется, эти различные определения приводят к оскули-
рующпм элементам, которые вовсе не являются тождественными.
Но различия между ними весьма незначительны; они — порядка
возмущающих масс.
Рассмотрим сначала случай § 74 или 75. Тогда в момент t пла-
нета А" имеет не только те же координаты, что и А', но и ту же

ГЛ. IV. ОСНОВЫ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 87
скорость. Следовательно, оскулирующая орбита касается истин-
ной орбиты, и в момент времени t-\- е, если е — малая величина,
отклонение А' от А" имеет порядок е2.
Наоборот, в случае § 76 планета А" имеет в момент t те же
координаты, что и А', но она не имеет тон же скорости. Следова-
тельно, оскулирующая орбита пересекает истинную орбиту под
очень малым углом, но не касается ее. Поэтому отклонение А'
от А" в момент t-\-e имеет порядок е. В этом заключается несом-
ненное неудобство, которое не следует преувеличивать, так как мы
увидим, что различия суть величины порядка возмущающих масс.
78. Замена переменных. Мы видели в главе III, и в частности
в § 64, как выражаются координаты и компоненты количества
движения массы, движущейся по эллиптической орбите под дей-
ствием притяжения неподвижной центральной массы, через обе
массы m и М и шесть канонических элементов
L, X, gj, ©lf q2, ©2.
Эти формулы мы можем применить теперь к фиктивной планете
А". Координаты движущейся массы, обозначенные в § 64 через
Яц х2, х3, здесь равны х[, х'2, x's. Аналогично вместо компонент
количества движения yt, у„ уа будем иметь у[, у'2, у'а. Вместо при-
тягиваемой и притягивающей масс т и М здесь будем иметь т[
и /«j -f m-i. Шесть канонических элементов обозначим через
Li, %y, Qi, ©1, Q2, G>2.
To же сделаем для фиктивной планеты В". Вместо координат
#i> #2» ?з § 64 будем иметь здесь координаты х\, x't, x9', составляю-
щие количества движения будут у\, y't, y't; движущаяся и непо-
движная массы будут m't и m1 + m4 + w*7- А шесть канонических
элементов обозначим через
^2) ^2> Р.З) ®з, Qi, ©4-
Таким образом, между величинами
я!, x'v x%, y[, y't, у'ш,
т[, mi + m^ L{, lu qu щ, q2, ©,
и
xt, хь, xt, yt, уь, yt,
Щ, 'W1 + m4-|-m7, L2, A,2, q3, ©3, q4, co4
будем иметь те же соотношения, которые мы имели между
*и *2, Хз, Уи Уь Уз
и
т, М, L, %, qu ©i, q2, co2

88 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
в § 64 и вообще в главе III. Но мы видели в § 56, что
2 х dy — X dL — 23 (о dQ
есть точный дифференциал. Применяя этот результат к планете
А" или к планете В", получим
'2x'dy'-kldLl — 2io>dQ, A)
где величинам х' и у' нужно придать индексы 1, 2, 3 и величинам
© и q — индексы 1, 2, есть точный дифференциал, так же как и
2lx'dy'-X2dL2-JZ<iidQ, B)
где величинам х' и у' нужно придать индексы 4, 5, 6 и величинам
(о и q — индексы 3, 4.
Складывая A) и B), мы видим, что
C)
есть точный дифференциал. В выражении C) индексы принимают
все возможные значения, т. е. индексы х' и у' принимают зна-
чения 1, 2, 3, 4, 5, 6; индексы X и L — значения 1, 2 и индексы ю
и q — значения 1, 2, 3, 4.
Отсюда следует, что если мы возьмем за новые
переменные X, L, ю, q, to преобразование
переменных является каноническим и урав-
нения движения сохраняют каноническую форму:
dF dLi dF
dhj _ OF dLi _ dF i
IT" dLt ' ~dT ~~ ~Щ~ ' I
d<uj _ dF dQj dF f
D)
rffi), arl J- аи I W
dt ' dQt ' rfi d(Oi ' j
79. Положим теперь
Ь =
Выражение
является точным дифференциалом.
Если, следовательно, мы возьмем за новые переменные L, к,
|, г), то преобразование переменных будет опять каноническим
и уравнения движения примут вид
d%t _ dF dLi_ _ _ dF "|
dt ~ dLi ' ~df~ dki ' i
dt ~ dli ' dt ~ dr\t ' )

ГЛ. IV. ОСНОВЫ МЕТОДА ЛАГРАНЖЛ 89
80. Обычный метод. Сказанное применимо как в случае пре-
образования § 30, так и в случае § 26. Если применяется обычный
метод, то уравнения не будут каноническими, как мы это видели
в § 44, где мы пришли к уравнениям B0).
Но предположим, что рассматриваются первые шесть урав-
нений системы B0), т. е. те, где индекс i принимает значения 1, 2, 3,
и в которых переменные х\, х'ъ, х'е, y't, у'ь, у'в заменены их зпаче-
ниямп в функции времени. Тогда эти шесть уравнений будут кано-
ническими, но ее характеристическая функция будет зависеть
не только от переменных х\, х'г, х'3, у[, у'2, у'3, но и от времени Л
Тем не менее, согласно § 12 можно сделать каноническую заме-
ну переменных. В частности, так как выражение A) § 78 есть точ-
ный дифференциал, то можно преобразовать эти шесть уравнений,
беря за новые переменные L,, ky, q,, щ, q2, ©2. и ПРИ этом урав-
нения остаются каноническими. Мы получим, таким образом,
шесть уравнений того же вида, как и уравнения D) § 78, но где /'
заменена на F' и где индекс i принимает только значение 1 для
переменных L и X и значения 1,2 — для переменных quo.
Поступим также с шестью последними уравнениями B0) § 44.
Заменим в них xi, х'2, х3, у[, у'г, у'3 их значениями в функции
времени. Тогда эти шесть уравнений будут каноническими с харак-
теристической функцией F", зависящей не только от переменных
x't, х'л, x't, y't, у'ъ, yt, но и от времени. Так как выражение B)
из § 78 является точным дифференциалом, то эти уравнения оста-
нутся каноническими, если перейти к новым переменным Lz,
^2. Р.з, «>з> Qt> w4.
Мы получим, таким образом, шесть уравнений того же вида,
что и уравнения D) § 78, но где F заменена на F" и индекс i при-
нимает только значение 2 для переменных L пКи значения 3, 4—
для переменных q и со.
Итак, мы найдем двенадцать уравнений такого же вида, как
и уравнения D), с тем отличием, что в первых шести из них F
должна быть заменена на F', а в последних шести — на F".
То же самое справедливо и для уравнений E) предыдущего
параграфа.
81. Применение эллиптических элементов. В § 58 мы опре-
делили четыре системы элементов, а именно, одну систему эллип-
тических элементов и три системы канонических элементов.
В § 78 за оскулирующие элементы мы взяли элементы третьей
системы, т. е. q и ю; в § 79 мы рассмотрели элементы четвертой
системы. Равным образом мы могли бы взять вторую систему, так
как она также канонична.
Но астрономы часто употребляют также первую систему,
т. е. эллиптические элементы, которые не являются канонически-
ми. Что изменится в результате?

90 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В силу соотношений между каноническими и эллиптическими
элементами производные по t от эллиптических элементов выра-
жаются линейно через производные по t от канонических эле-
ментов, п коэффициенты в этих линейных формулах являются
известными функциями эллиптических элементов. В силу урав-
нений D) каждая из производных канонических элементов по t
равна с точностью до знака одной из частных производных функ-
ций F по одному из канонических элементов. В свою очередь
частные производные функции F по каноническим элементам
выражаются линейно через частные производные функции F по
эллиптическим элементам, и коэффициенты этих линейных соотно-
шений являются известными функциями эллиптических элементов.
Таким образом, производные по t от эллиптических элементов
выразятся линейно через частные производные функции F по эллип-
тическим элементам с коэффициентами, которые являются извест-
ными функциями эллиптических элементов. Такова форма диф-
ференциальных уравнений, которым удовлетворяют эллиптиче-
ские элементы; эти уравнения гораздо сложнее, чем уравнения D),
которым удовлетворяют элементы.
С помощью скобок Лагранжа, определенных в § 14, можно
получить уравнения для эллиптических элементов более прямым
путем.
Пусть дана система канонических уравнений
йщ_д?_ dyt __ dF
dt ~~dy~i ' dt ~дх\ '
Рассмотрим возможные приращения bxt и byt переменных xt
и yt, и пусть bF есть соответствующее приращение функции F.
Умножая наши уравнения на byt и —bxt и складывая, найдем
2 (dxt byi—dyt bxt) = bF ¦ dt. F)
Предположим, что х и у являются функциями 2га новых пере-
менных
Cti, <Х2, . . . , ttzn't
тогда
Заменяя в равенстве F) dxt, bxt этими значениями и dyt, byt
аналогичными выражениями и полагая
Ги. abi_V ( dxt dyi дхг dyt \
Юл, а*]-^Л^ dak S^ Лхлу '
мы получим
2 [«ft,»*] {dahbak—dakbah) = bF-dt,

ГЛ. IV. ОСНОВЫ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 91
где суммирование распространяется на все комбинации индексов h
и /с, причем комбинации h, к и ft, h не должны рассматриваться
как различные. Но [ah, аА]= —[а^, otft], [а,,, а/,] = 0, и мы можем
также написать
2 [aft, <xft] dah ¦ 6<xft = 6F ¦ dt,
где суммирование должно быть распространено на все размещения
индексов h и к, причем на этот раз два размещения h, к и A*, h
должны рассматриваться как различные.
Если мы заменим 6F на ^ ~f~ &ah и отождествим два выра-
жения, то получим
Применим эту формулу к интересующему нас случаю, обозна-
чая переменные х\ и у{ буквами х\ и у\. Проинтегрируем сначала
уравнения, в которых F заменена на Fo. Тогда они приведутся
к уравнениям кеплеровского движения и позволят нам выразить
наши неизвестные в функции шести эллиптических элементов
А" и шести эллиптических элементов В". Допустим, что эти
двенадцать эллиптических элементов взяты в качестве новых
переменных, которые мы обозначили аи а2, ..., а2п.
Тогда формула G) дает нам дифференциальные уравнения,
которым должны удовлетворять новые переменные. Коэффициенты
ah, ak являются известными функциями эллиптических элемен-
тов. Но эти коэффнциенты есть не что иное (по отношению к кано-
ническим уравнениям кеплеровского движения) как скобки Ла-
гранжа из § 14. Действительно, среди эллиптических элементов
имеются два элемента, пропорциональные времени: это — средние
аномалии.
Пусть
l 2
— эти два элемента, т. е. средние аномалии двух фиктивных планет.
Тогда е, и е2 будут постоянными в кеплеровском движении.
Все остальные элементы в кеплеровском движении постоянны.
Рассмотрим одну из скобок [ал, ад]. Если Л и ft не равны 1
пли 2, приходим сразу же к определению скобок Лагранжа, так
как ah и ak постоянны. Предположим теперь, например, в сс;,, ак,
что h не равно ни 1, ни 2. Тогда будем иметь
и, следовательно,
[ал, a,] = [aft,e,].

92 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Но поскольку 6i постоянна, мы снова приходим к определении)
скобок Лагранжа.
Остается рассмотреть скобку [oj, ct2]. Эта скобка равна нулю,
и то же будет вообще для [ад, aftl, если ал и а* суть два элемента,
не принадлежащие одной и той же фиктивной планете. Действи-
тельно,
Но если i = 1, 2, 3, то частные производные по <х2 равны нулю;
если же i = 4, 5, 6, то равны нулю частные производные по а4.
Из этого следует, что все члены в правой части равны нулю. Утвер-
ждение доказано.
Таким образом, все коэффициенты являются скобками Ла-
гранжа, и, как следует из § 14, они являются функциями постоян-
ных кеплеровского движения, т. е. элементов а, отличных от сред-
них аномалий и двух постоянных е.
Легко доказать, на чем мы не останавливаемся, что эти коэф-
фициенты не зависят от постоянных е.
Уравнения G) по сравнению с уравнениями D) имеют намного
более сложный вид, и в дальнейшем мы их применять не будем*).
82. Вычисление функции Fo. Вернемся снова к каноническим
элементам и к преобразованию § 30. В § 78 и 79 мы вывели урав-
нения D) и E). Осталось выразить F через оскулирующие эле-
менты.
Начнем с Fo. В § 37 мы нашли
те4 (mi -j- mi)
Ш
Ш '
С другой стороны, в § 64 мы нашли следующую формулу:
(8)
Применим эту формулу к фиктивной планете А". Для этого нужно
заменить уи yz, у3 на у[, у'2, у'3, mis. M — ж& m[vi mt+ m-n r па АС,
L на Li, так что первый член левой части формулы (8) приведется
к Ti и формула примет вид
,.,
1~
_
~~ Щ
где положено
М i = тп'^п^т
*) См. Tisserand, т. I, гл. X, где па стр. 187 приведены уравнения
для эллиптических элементов в окончательном виде.

ГЛ. IV. ОСНОВЫ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 93
Применим ту же формулу (8) к В". Для этого нужно заменить
Уи Уг, Уз на y't, у'ь, у'в, т и М на т\ и m,+ то4+ Щ, г на BD,
L на Lz, так что первый член (8) приведется к Т% и формула при-
мет вид
l% BD ~ 2Ц ~ 2L\
где положено
М2 = т\т\
Складывая, получим
r° ~ 2L\ 2L\ ~ 2L\ 2L\ ' к '
Аналогичные выкладки проводятся в случае преобразований
§ 26 или 44. Только массы будут иметь другие значения.
Для преобразования § 26 следовало бы положить
для А"
Таким образом, мы получили бы
\\% m\rwj (пц-\-щ) 1
0= Щ тк+т1 Щ
Для обычного метода § 44 следовало бы взять
т = ти М = mi-\-m1 для А"
и
т = тп4, М = тга4 + "*7 для В",
и мы получили бы
Во всех случаях мы получили, что функция Fo зависит
только от переменных L.
83. Вычисление ц/^. Найдем теперь разложение возмущающей
функции \iFt. В случае преобразования § 30 эта функция зависит
только от координат х'. Эти координаты в силу § 69 разлагаются
в ряды по степеням | и т). Будет ли разложение функции \iFt
иметь тот же вид?
Для того чтобы эта функция \jlFi была разложима в ряд по
степеням | и т|, достаточно, чтобы она была голоморфной отно-
сительно х' при | = 0 и т| =0.

94 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Пусть, в самом деле,
\iFt = ff(x[, x't x't) = ff(x'i).
Обозначим значения х\ при ? = 0 и т| = О через х\" и положим
Тогда x'i° представят первые члены разложений координат х\
по степеням т| и ?, а Ьх[ представят совокупности всех остальных
членов.
Так как функция ф (х\) = <р (x'i°-\-bxi) голоморфна при х\ = х?,
то она может быть разложена по степеням bx'i, а так как 6х[ разло-
жима по степеням 1 и т], то и ф (з&) = \ilFi обладает тем же свой-
ством, что и требовалось доказать.
Но
перестает быть голоморфной только при BD = О, АВ = 0 или
ВС = 0, т. е. при х\= х'ь= х\= 0, или при
#4 х'ь х^ m^
a?i я?2 я?з ^ 1 -f~ "^7
или при
x'i х'ъ х'я
С другой стороны, полагая |= 0 и т| =0, мы имеем
х'х = К\L\ cos %i, x^
x'4 = K2Ll cos Xz, x'b=
где
К = 1 К 1
1 т'^т^щ' 2 т\т^{т^
KiW. К2— значения множителя -^щ для двух планет A" nB"j .
Но эти значения х' удовлетворяют условиям неголоморфности
только при
или
или
а в приложениях эти условия совсем не выполняются.

ГЛ. IV. ОСНОВЫ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 95
Таким образом, возмущающая функция разложима по сте-
пеням | и г\. Коэффициенты разложения зависят от L и % и, оче-
видно, должны быть периодическими функциями средних дол-
гот %. Следовательно, они могут быть разложены в тригонометри-
ческие ряды по синусам и косинусам кратных % и, следовательно,
мы можем написать
f^i = S A cos (к i*i + *»*» + h) ¦ Ш,
где ki и kz— целые числа, А и h зависят только от L, и где ЯП-
целый одночлен относительно ? и т|.
Рассуждая, как и в § 69, мы увидим, что это разложение может
быть всегда представлено в виде
fi/ч = 2 MlQ22Qq33Q2*cos (SMi + 2pm + h). A0)
В последней формуле А и h зависят лишь от L; кир суть целые
положительные или отрицательные числа, 2qi— целые поло-
жительные, причем 2<7; имеет такую же четность, как pt, и
Заметим, кстати, что Q имеет порядок квадрата эксцентриси-
тетов и наклонностей, и поэтому общий член разложения имеет
порядок
относительно эксцентриситетов и наклонностей.
Мы ограничимся здесь этими краткими замечаниями, но в даль-
нейшем мы вернемся к этому вопросу, когда подробно будем рас-
сматривать разложение возмущающей функции.
84. Случай обычного метода. Все, что было сказано о возму-
щающей функции, применимо в отдельности и к главной части,
и к дополнительной части этой функции, так как каждая из них
выражается через голоморфные функции переменных х'. Это
остается верным, если пользоваться преобразованием § 30 или
обычным методом § 44.
Но в последнем случае дополнительная часть возмущающей
функции имеет особенно простую форму, как, впрочем, и в част-
ном случае, рассмотренном в § 40.
Эта дополнительная часть равна, действительно,
для одной из планет и
для другой.

96 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Положим
Разложение ijj выводится чрезвычайно просто из разложений х'.
Заметим теперь, что в случае движения точки, притягиваемой
неподвижной центральной массой М, мы имеем дифференциаль-
ные уравнения
dti
откуда
Mxt
r» =
или, наконец,
L*
Если мы желаем применить этот результат к планете А", то
нужно заменить xlt xz, х3 на х[, x't, х'а, г на АС, % и L на %i и Lt,
т и М на То! и То!+ то7, откуда
Zj
Мы получим также
Z| TJt'f V-4' Ot "''
если заметим, что, применяя формулу к 5", нужно положить
г = jBC, так как в обычном методе планета В отнесена к Солнцу С.
Учитывая, что х[, х'а, х'ь не зависят от к2, а х\, х'ь, х'в от Яь мы
будем иметь
что дает нам искомые выражения для дополнительных частей воз-
мущающей функции.
85. Случай преобразования § 26. Для этого случая, как мы
видели в § 43, дополнительная часть возмущающей функции равна
Та = "^

ГЛ. IV. ОСНОВЫ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 97
а используя формулы § 69 и применяя их к планетам А" и В",
мы найдем
86. Симметрия. Формулу A0) можно существенно упростить
по соображениям симметрии. Прежде всего заметим, что возму-
щающая функция не должна измениться, если фигуру, образован-
ную двумя оскулирующими орбитами, фиктивными планетами
А', В' и истинными телами А, В, С заменить фигурой, симмет-
ричной относительно плоскости xtx3. Но это сводится, как мы виде-
ли в § 71, к замене знаков всех углов К и ю. Разложение A0) не
должно измениться при изменении всех этих знаков. Следователь-
но, оно содержит только косинусы, откуда следует, что h = 0.
Этот результат можно получить еще иначе, представляя раз-
ложение в форме
2 A cos (fc^j + к2К2 + h) ЭЛ.
В этой форме постоянная h должна быть равна нулю или —х- ,
в зависимости от того, является ли одночлен Ш четным или нечет-
ным относительно г).
87. Возмущающая функция не изменится также, если упомя-
нутую фигуру повернуть на произвольный угол е вокруг оси х3.
При этом, как мы видели в § 70, все долготы изменяются на е,
т. е. А, заменяется на А, + е, ю на ю — е.
При этих условиях разложение A0) не изменится, откуда сле-
дует, что целые числа к и р должны удовлетворять условию
88. Возмущающая функция не изменится также, если ту же
фигуру заменить симметричной фигурой по отношению к плоско-
сти xtx2. Но так же, как мы видели в § 72, это приводит к изме-
нению знаков облических переменных ?2» Лг. &4» Л 4- Следо-
вательно, разложение F по степеням | и ц содержит только члены
четной степени относительно этих облических переменных.
Этот поворот приводит также к замене ю2 и ю4 на ю2+ п и
©4+ л, и так как при этом разложение A0) не должно измениться,
то /?2+ Pi есть всегда число четное.
89. Однородность. Функция F является однородной функцией
(—1)-й степени относительно больших полуосей и, следовательно,
однородной (— 2)-й степени относительно L и q. Из этого следует,
что в разложении A0) коэффициент А есть однородная функция
степени —2—I.q относительно L.
90. Интегралы площадей. Посмотрим, как напишутся инте-
гралы площадей в новых переменных. Мы видели в § 23, что эти
" А. Пуанкаре

98
ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
интегралы сохраняют ту же форму, когда от переменных хну
переходят к переменным х' и у' таким образом, что каждая ком-
понента вектора площадей является суммой соответствующих
компонент вектора площадей первой фиктивной планеты А' и век-
тора площадей второй фиктивной планеты В'. С другой стороны,
вектор площадей в момент t одинаков для планет А' и А", так
как в этот момент они имеют те же координаты, те же массы и ту же
скорость. То же будет и для планет В' и В".
Но в § 60 мы видели, что три компоненты вектора площадей
планеты, движущейся по законам Кеплера, имеют следующие
выражения:
G sin i sin 8 = — тJ у L — Qi — -у- ,
— G sin i cos 6 = —12 у L — Qt — -y- ,
A1)
Мы видим, что в два первых из этих равенств входят и ?,
и т), и q. Но всегда легко перейти отсюда к выражению, содержа-
щему q и ш, либо к выражению в функции от | и ц.
Применим эти формулы к двум планетам А" и В", движущим-
ся по эллиптическим орбитам. Мы увидим, что компоненты век-
тора площадей будут
для планеты А" и
для планеты В", так что интегралы площадей напишутся в виде
— Лг у Li — Qi — -у-— .Гц у 1ъ — Оз — -y = const,
A2)
i-Qi-T"-6* 1A2-03—f- =
const,
2] ¦? — S Q = const.
Последнее из равенств A2) можно легко получить следующим
образом.
В § 87 мы видели, что в разложении A0) возмущающей функции
\iFi имеем 2А = 2р. Следовательно,
да>

ГЛ IV. ОСНОВЫ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 99
и так как F отличается от \xFx только членом Fo, который не зави-
сит от Я и (о, то
у dF _ у dF
Zi дк ~ 2* да, '
или, в силу уравнений D),
2dL >л dQ _n
dt ~ Zi dt ~U>
или, наконец,
2 L — 2 Q = const.
91. Покажем, что уравнения A2) упрощаются, если за пло-
скость xtx2 взять неизменную плоскость. Действительно, правые
части первых двух равенств A2) будут равны нулю, и тогда из них
выведем
или
- Qi --f") =
Уравнение со2= (о4 выражает свойство, отмеченное в § 25,
под названием исключение узлов.
92. Все, что мы говорили до сих пор, распространяется без
всяких затруднений и на случай задачи многих тел. В частности,
это относится к результатам § 90. Но результаты § 91, так же как
и результаты § 25, не будут верными в случае, когда мы имеем
более трех тел.
93. Последовательные приближения. Так как F = Fo + [iFt
и ^о зависит только от L, то уравнения D) § 78 могут быть напи-
саны следующим образом:
D')
dL
dt
d\
ЧГ
а уравнения E)
dL
dt
dQ
dt
dFi
~ ~^~дГ'
_ dFi
~ P di\ '
dr\
If
dk
dt
§ 79 напишутся в
dFi
P ~dT~'
_ dFi
1* da '
dm
It
dl
dt
dFi
dF0 . dFi
~ dL '^ dL
виде
dFi
" = 'i ~d~Q~ '
dF0 , e^i
~ dL ' •* dL
E')
r- )
Для упрощения записи мы опустили индекс i.

100 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИП
Пользуясь малостью параметра ц, можно проинтегрировать
уравнения D') или E') последовательными приближениями.
В первом приближении положим ц. = 0, так что переменные
L, q, ©, |, ц будут постоянными и Я — линейной функцией времени.
Далее, в правых частях трех первых уравнений D') или E')
заменим неизвестные функции L, Я, q, © (или L, q, ?, r\) их значе-
ниями, найденными в первом приближении.
Тогда эти уравнения дают простыми квадратурами новые при-
ближенные значения L, q, © (или L, \, ц). Далее, в правой части
четвертого уравнения D') или E') заменяем L, q, © (или L, ?, г\)
найденными новыми значениями и Я заменяем значением первого
приближения. Затем квадратурой находим новое приближенное
значение Я. Таким образом получаем второе приближение.
Затем в правых частях трех первых уравнений D') или E')
заменяем неизвестные функции их значениями, найденными во
втором приближении, и находим квадратурами новые прибли-
женные значения для L, q и © (или для L, | и ц), которые подста-
вляем в правую часть четвертого уравнения, где, сверх того,
заменяем Я его значением из второго приближения.
В результате имеем третье приближение. Таким же образом
поступаем и далее. В ге-м приближении рассматриваем сначала
три первых уравнения, в правых частях которых заменяем неиз-
вестные их значениями из (га — 1)-го приближения. Вычисляем
квадратурами значения га-го приближения всех неизвестных,
за исключением Я.
Затем берем четвертое уравнение. В правой части заменяем
все неизвестные (за исключением Я) их значениями, полученными
в ге-м приближении, а Я заменяем его значением из (ге — 1)-го
приближения. Наконец, квадратурами получаем значения ге-го
приближения и для Я. Мы видим, что каждое приближение полу-
чается простыми квадратурами.
94. Теперь нужно оценить полученные приближения. Будем
искать разложения неизвестных функций по степеням ц., опреде-
ляя притом, сколько точных членов содержат эти разложения
в каждом приближении.
Для этого будем опираться на следующие леммы:
1. Если две функции разложимы по степеням ц, то их произве-
дение также разложимо по степеням ц., и если заменить функции
разложениями, в которых верны только первые члены, так что
первый неверный член содержит ц.", то и в разложении произве-
дения тоже первые члены будут верными, так что первый невер-
ный член содержит цп.
2. Этот результат непосредственно распространяется на любой
целый многочлен. Пусть Р является целым многочленом отно-
сительно х, у, z; если х, у, z разложимы по степеням ц, то много-

ГЛ. IV. ОСНОВЫ МЕТОДА ЛЛГРАНЖА 101
член Р также обладает этим свойством. При этом, если х, у, z заме-
нить их приближенными разложениями, где первые ошибочные
члены содержат ц.п, то первые члены разложения Р будут верными,
так что первый неверный член содержит \ап.
3. Рассмотрим теперь какую-нибудь функцию / (х, у, z). Пусть
хо< Уо> zo — значения х, у, z при ц = 0, т. е. первые члены в раз-
ложениях х, у, z по степеням ц.. Мы утверждаем, что предыдущее
предложение будет верным, если функция / (х, у, z) голоморфна
относительно х, у, z при х = х0, у — Уо, z = z0.
Действител ьно, поло жим
х = х0 -j- бх, у = у0 + by, z = z0 + bz.
Функция / (х, у, z), будучи голоморфной, разложима по сте-
пеням bx, by, bz. Поэтому можно написать
где /0 содержит совокупность членов, степень которых относитель-
но bx, by, 6z меньше ге, и /4 является совокупностью членов, сте-
пень которых не меньше ге; тогда /0 есть многочлен, к которому при-
менима предыдущая лемма.
Предположим теперь, что bx, by, bz заменяются или их точ-
ными разложениями по степеням ц, или разложениями, в кото-
рых верны только первые члены, так что первый ошибочный член
содержит \лп. В обоих случаях функции /, /о и/л будут разложимы
по степеням \i. Более того, так как bx, by, bz делятся на ц и так
как /j содержит только члены степени не меньше чем ге относи-
тельно bx, by, bz, то эта функция Д будет делиться на цп.
Теперь можно утверждать, что в двух разложениях, и в точ-
ном и в приближенном, члены, степень которых меньше п (т. е.
члены с ц.*, где i < re), будут одинаковы. Это верно для функции
/о, которая есть многочлен, к которому применима лемма. Это так-
же верно для /j, которая делится на ц.п и которая, следовательно,
не содержит члены, степень которых меньше ге относительно [г.
Следовательно, это верно также для /.
Таким образом, в приближенном разложении / первый оши-
бочный член содержит \in или, как мы будем говорить более крат-
ко, ошибка есть величина порядка \ип.
95. Применим эти леммы к занимающему нас вопросу. Это
возможно, так как Fo и Flt так же как и их производные, суть
голоморфные функции неизвестных L, Я, о, со (или L, X, ?, г|).
Заметим сначала, что в каждом приближении мы будем нахо-
дить для наших неизвестных выражения, разложимые по степе-
ням [г. В самом деле, если это верно в (ге — 1)-м приближении,
то когда мы подставим в правые части уравнений D') эти при-
ближенные значения, разложимые по степеням \л, тогда после

102 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
подстановки получим выражения, также разложимые по степе-
ням \х, а так как новые приближенные значения неизвестных полу-
чаются квадратурами из этих правых частей, то они также будут
обладать этим свойством.
Если в приближенных разложениях неизвестных первый оши-
бочный член содержит ц." и если, мы подставим эти приближен-
ные разложения в Fu то в силу леммы первые члены разложения Ft
будут верными и первый ошибочный член будет содержать ц.п.
Для \iFi первый неверный член будет содержать цп+1, и если F[
есть какая-нибудь частная производная от Ft, то ошибка в ц./1,
будет также порядка \in+1.
Для Fo или для какой-нибудь частной производной от Fo допу-
щенная погрешность будет порядка ц".
В первом приближении допускаемая погрешность неизвест-
ных имеет порядок \л.
Перейдем ко второму приближению. Подставим эти первые
приближенные значения в правые части первых трех уравнений
D') или E'), которые имеют вид \iF[. Допущенная погрешность
этих правых частей будет порядка \л2, и такова же будет ошибка
новых приближенных значений L, д, со (или L, |, г|).
Подставим эти новые приближенные значения в правую часть
четвертого уравнения и заменим одновременно Я их значениями
из первого приближения. В одних мы делаем погрешность поряд-
ка (i*f в других — погрешность порядка \i. Допущенная погреш-
ность в р-дт- будет, следовательно, порядка цЛ Что касается
погрешности в -~j-, то она тоже будет порядка ц2, так как -у^-
зависит только от ? и погрешность в L — порядка \а2. Итак,
погрешность правой части нашего уравнения и, следовательно,
новых приближенных значений X будет также порядка [дЛ
Таким же образом докажем, что в третьем приближении погреш-
ность правых частей трех первых уравнений есть величина поряд-
ка ц.3; ошибка новых приближенных значений L, д, <о имеет поря-
док [г8; наконец, ошибка в [х,-^-, —^- и, следовательно, в правой
части четвертого уравнения и в новых приближенных значениях
Я также порядка \л3.
Резюмируя, можно сказать, что после re-го приближения по-
грешность, допущенная в наших неизвестных, будет порядка цп.
96. В методе приближений § 93 мы подставляли в правые части
наших уравнений вместо неизвестных разложения, полученные
определенным образом. Но способ получения не имеет существен-
ного значения. Допустим, что в правые части первых трех урав-
нений D') мы подставили вместо неизвестных другие разложения,
лишь бы первый ошибочный член имел порядок ц™. Анализ § 95

ГЛ. IV. ОСНОВЫ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 103
немедленно показывает, что эти уравнения дадут нам приближен-
ные разложения для L, д, со, в которых первый ошибочный член
будет порядка \in+1.
Возьмем затем четвертое уравнение D'). В правой части заме-
ним L, q, (о этими новыми разложениями, а вместо Я подставим
прежние разложения, погрешность которых порядка jin. Поль-
зуясь анализом § 95, мы сразу увидим, что уравнение дает для Я
новые приближенные разложения, где первый ошибочный член
будет порядка \in+1.
В процессе наших приближений мы можем, как, впрочем, нам
указывает и здравый смысл, отбросить ошибочные члены разло-
жений и сохранить только точные члены.
В ге-м приближении мы подставляем в правые части наши при-
ближенные разложения и получаем для правых частей разложе-
ния, которые мы можем оборвать на членах со множителем ц",
так как все следующие члены неверны.
В правой части четвертого уравнения мы имеем два слагаемых
~- и М--дГ~' ^° ВТ0Р0М слагаемом достаточно заменить неиз-
вестные их прежними разложениями, которые являются точными
до членов порядка цп~2 включительно. Погрешность, допущенная
в разложении ^-^т"» будет опять порядка \in. Но в слагаемом
-~ следует заменить L (только L, так как ~^- зависит только
от L) новыми разложениями, точными до членов порядка ц"
включительно, полученными с помощью первых трех уравнений.
97. Целесообразно сделать уточнения. Рассмотрим, например,
уравнения E'). Допустим, что мы рассматриваем частное реше-
ние этих уравнений, в которых при t = 0 переменные Lt, kt,
li, r)t принимают начальные значения L\, X\, l\, т/\\, и предполо-
жим, что мы желаем разложить это решение по степеням р.
В первом приближении мы будем иметь
Li = L\, 6, = Й, ть=т)?, Xi=nit + K, A3)
где ni— постоянные, которые в соответствии с формулами эллип-
тического движения равны
где положено, как и в § 82,
М i — т[3 (nii + m7)8 = т[т1т*,
М2 = m

104
ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В п-м приближении будем иметь
A4)
dF0
dt
-^-dt.
A5)
В интегралах, фигурирующих в правых частях формул A4),
неизвестные должны быть заменены значениями, полученными
в (п — 1)-м приближении. То же самое относится ко второму инте-
гралу в формуле A5), тогда как в первом интеграле, где подынте-
гральная функция зависит только от L, мы должны заменить
переменные L их значениями, полученными из уравнений A4).

ГЛАВА V
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАГРАНЖА
98. В конце предыдущей главы мы видели, что наши уравне-
ния могут быть проинтегрированы последовательными прибли-
жениями и эти приближения осуществляются простыми квадра-
турами. Все квадратуры, к которым приводит применение этого
метода, имеют вид
\ Atm cos (vt + k)dt,
где го — целое положительное число или нуль, a A, v и h — по-
стоянные.
Прежде всего, для го = 0 имеем
A)
и, кроме того,
(¦ eiv*
J iv
Если продифференцируем последнее равенство го раз по v
и разделим на ?"', то получим
f .«m j«* j.< *meiv* , ml tm~1ewt , . ml tm~aeiv* ,
\ t eiv cW = • У i • V-
J iv ' (m—1)! vS ' (to—2)! v» '
откуда, умножая на Aelh и выделяя действительную часть, имеем
sin vv*T'»/^m+i* B)
Общий член разложения имеет вид
\т ) • • • \т Р"г ) sin \ т ,
где следует взять
-f sin, +cos, —sin, —cos

106 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНКТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
при
р = 0, 1, 2, 3 (mod 4).
Следует подчеркнуть наличие v в знаменателе. Следовательно,
предыдущие формулы становятся бессмысленными в случае,
когда v = 0. Тогда они должны быть заменены следующими:
[ A dt = At, [ At1* dt = -4-j *"'+1. C)
99. Применим эти результаты к иптересующей нас проблеме,
т. е. к интегрированию уравнений E') § 93. В § 83 мы видели,
что функции ix.Fi и F могут быть разложены по степеням | и ц
и по косинусам и синусам кратных Я. То же самое справедливо
и для частных производных от F по L, Я, | и т). Таким образом,
правые части уравнений E) разложимы в ряды вида
2\А cos (АЛ + к2Х2 + h) Ш, D)
где А и h — постоянные, зависящие только от L, к суть целые
числа и Ш — целый одночлен относительно I и г). При этом соглас-
но § 86 постоянная h равна нулю или —^-.
В первом приближении мы имеем
Если, применяя правила § 93 и 97, мы подставим эти значения
в правые части трех первых уравнений E'), то эти правые части
примут вид
2 В cos (vt
где В и h'— постоянные и
v =
Мы можем тогда интегрировать наши уравнения с помощью
формул A) и C) и найдем для неизвестных Lit ?; и г), новые раз-
ложения, члены которых содержат или sin (vt + h') или t.
Переходим к уравнению A5) § 97:
i = M+j
В производной -qJ- мы опять должны подставить вместо неиз-
вестных их приближенные значения L\, |", т|*, nit + Я*; таким
образом, получим для Яг члены с t в результате применения фор-
мулы C) и члены с sin (vt + h') в результате применения форму-
лы A).

ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 107
В производной -*Л- следует согласно правилу § 97 заменить
Li новыми разложениями, которые мы только что нашли. Пусть
будут этими новыми разложениями. Величины bLt разложимы
по степеням |х, но так как при этом
. dF, ,
а в функции -д?- неизвестные заменены их приближенными значе-
ниями, не зависящими от |х, то легко видеть, что разложение 6L,-
сводится к единственному члену, а именно к члену с |х.
При Li = L\ -jr?- приводится к nt. Кроме того, для Lt = L\-\-bL%
частная производная -^- может быть разложена по степеням
bLi в форме
В этом разложении мы можем пренебречь членами второй
и более высокой степени, так как они порядка \i2 и выше, и если
мы заметим, с другой стороны, что из выражения для Fo (см. § 82)
следует
_ dnt
~
"' dL\ ~ dL\
то можем написать
dFо . dm
-dLT=zni+M
откуда
Величину -тт|- можно вынести из-под знака интеграла, так
как она постоянна. Действительно, последовательные производ-
ные функции Fo после замены Lt на L\ приводятся к постоянным.
Мы видели, что bLi содержит члены с sin (vt + h') и может
содержать члены, пропорциональные t. Мы скоро увидим, что
члены, пропорциональные t, появляются только тогда, когда

108 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
отношение средних движений — соизмеримо*). Это свойство из-
вестно под названием неизменности больших осей.
Это нам дает в \ Ыц dt и, следовательно, в Я* члены с cos (vt -{¦ h)
и члены, пропорциональные t. Возможно также наличие членов,
пропорциональных t2 [в результате применения формулы C)],
но это только в том случае, когда ЬЬг содержит члены, пропор-
циональные t, т. е. в том случае, если отношение средних движе-
ний соизмеримо.
Таким образом, имеем второе приближение, которое по при-
чине малости возмущающих масс достаточно для практических
нужд в большинстве приложений.
100. Тем не менее, продолжим приближения далее и посмот-
рим, каков общий вид членов наших разложений.
Мы утверждаем, что все члены разложений имеют вид
Atm cos (vt + h), E)
где т — целое неотрицательное число, А и h — постоянны и
v = k{ni + к2п2,
причем к — целые положительные или отрицательные числа.
Заметим сначала, что произведение двух выражении вида E)
является суммой членов того же вида, и, следовательно, много-
член, целый относительно нескольких величин вида E), также
представляется в виде суммы членов того же вида.
Вообще, пусть / есть функция, разложимая по степеням х, у, z.
Если х, у, z разложимы в ряды, члены которых имеют форму
E), то и сама функция / разложима в ряд, члены которого имеют
вид E).
Действительно, если в разложении функции / по степеням х, у,
z мы заменим х, у, z их разложениями, то в результате замены
получим ряд, каждый член которого будет произведением выра-
жений вида E).
Из § 98 мы видим затем, что, интегрируя по t выражение вида
E), мы также получим сумму членов того же вида, так как полез-
но заметить, что
sin (vt -{-h) = cos f vt -|- h —4J- J .
Установив это, рассмотрим частные производные от /\ и Fo,.
*) Говоря, что отношение — соизмеримо, Пуанкаре имеет в виду,
что оно рационально, т. е. что соизмеримы щ к п2. (Прим. ред.)

ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАГРАНЖЛ 109
которые входят в правые части наших уравнений. Положим
Частные производные от Fi и Fo могут быть разложены по сте-
пеням ЬЬ, ЬХ, 6?, 6т| в виде
где Ш—целый одночлен относительно ЬЬ, 6?, Ьч\, бЯ.Что касает-
ся коэффициентов В, то они согласно формуле Тейлора являются
частными производными высших порядков от Fi и Fo, в которых
L, \, ц, К должны быть заменены их приближенными значениями
Ц, Ш, л?, ntt + Я?.
Частные производные любого порядка Ft и Fo могут быть пред-
ставлены, как и сами эти функции, в виде D) из § 99, т. е. в форме
2 Л cos (А^Я, + к2Кг + Л) 9».
Если заменить здесь неизвестные их приближенными значе-
ниями, то эти выражения привсдутся к сумме членов вида E),
так как А и Ш приводятся к постоянным и AiXt+ А2Я2-Ь h к vt -}- h',
где
Таким образом, коэффициенты В являются суммами членов вида E).
Покажем, что 6L,-, б|г, 6т|г, 6Я* в любом приближении содер-
жат только члены вида E).
Действительно, допустим, что это справедливо для re-го при-
ближения, и докажем, что это будет также верно для (п + 1)-го.
В самом деле, рассмотрим сначала первые три уравнения E')
из § 93. Их правые части имеют вид 2ВШ', где в одночленах Ш'
следует заменить ЬЬ, ... их значениями из п-го приближения.
По предположению, эти значения представляются суммами вида E).
Следовательно, одночлен Ш' также есть сумма членов вида E),
и так как выражения для коэффициентов В имеют тот же вид, то
253UI' также будет суммой членов того же вида.
Итак, правые части уравнений имеют вид суммы членов ви-
да E). Интегрируя по t, мы видим, что новые значения ЬЬ(,
bx\i, S|j, т. е. их значения в (п + 1)-м приближении, будут иметь
тот же вид.
Наконец, рассмотрим четвертое уравнение E') из § 93. В его
правой части следует заменить bbt, 6?,-, бг|г их значениями из
(га + 1)-го приближения и вместо bXi подставить его значение
из га-го приближения. Все эти значения представляются суммами
членов вида E).
Как и выше, заключим, что правая часть есть сумма членов
вида E) и что результат интегрирования, дающий новое значение

110 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
для 6Яь т. е. его значение в (п + 1)-м приближении, также являет-
ся суммой членов вида E), что и требовалось доказать.
101. Малые делители. Мы видели в § 98, что в результате инте-
грирований коэффициент v появляется в знаменателе. Из этого
следует, что если v = 0, формулы A) и B) теряют смысл и в этом
случае мы должны использовать формулы C). Но
v = кущ + k2th.
Следовательно, v может обращаться в нуль, если отношение —
«2
соизмеримо или если к\ = к2 = 0.
Вероятность того, что отношение — в точности соизмеримо,
П2
бесконечно мала. Мы можем, следовательно, всегда допускать,
что это отношение несоизмеримо и что, следовательно, v может
обратиться в нуль только, когда kt и к2 одновременно равны нулю.
Но отношение средних движений, не будучи в точности соизме-
римым, может быть почти соизмеримым. В этом случае
v не будет обращаться в нуль, но может быть весьма малым. Если
же v делается весьма малым, то члены, содержащие v или сте-
пени v в знаменателе, будут очень большими.
Тогда говорят, что эти члены являются весьма большими вслед-
ствие наличия малых делителей.
Можно показать, что каждому значению — соответствует бес-
П2
конечное множество малых делителей. Действительно, допустим,
что мы обратили — в непрерывную дробь, и пусть ——одна
 «2
из ее подходящих дробей. Выражение а^п^— а{п2, где а — целые
числа, весьма мало, так что каждой подходящей дроби соот-
ветствует малый делитель. Следовательно, мы имеем их бесконеч-
ное множество.
Но на практике приходится рассматривать только первые члены
разложений, т. е. члены, которым соответствуют относительно
небольшие значения целых чисел kt и kz.
Следовательно, только первые подходящие дроби будут играть
роль; большей частью, если отношение — не очень близко к про-
стой соизмеримости, т. е. к отношению двух небольших целых
чисел, выражение а2п1— сцгео не будет весьма малым, так как
подобные выражения будут тем меньше, чем выше порядок соот-
ветствующих подходящих дробей. В этом случае малые делители
не доставят нам беспокойства.
Если, наоборот, отношение — очень близко к простой соизме-
п2
римости, т. е. к отношению целых положительных чисел, то выра-

ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 111
жение aznt— atn2, соответствующее одной из первых дробей,
будет весьма мало. Но тогда имеет место следующее обстоятель-
ство. Пусть -|г—следующая подходящая дробь. Мы утверждаем,
Р2
что целые числа р\ и ($2 будут очень большими, так что малый
делитель p*2rai — Pire2 не будет находиться среди первых
членов разложения, которые обычно сохраняют.
Действительно, пусть ——подходящая дробь, предшествую-
щая — . Из теории непрерывных дробей известно, что мы будем
а2
иметь
где а — соответствующее неполное частное. Если положим
»!.
то а — целая часть х, так что разность х — а заключена между
нулем и единицей. Тогда будем иметь
_ У1И2—Y2»i
Согласно предположению знаменатель а2щ— ацъг весьма мал.
Следовательно, х, а значит, и а будут весьма большими, так же
как и Pj и Р2> что и требовалось доказать.
Таким образом, нам не придется беспокоиться ни о дроби -?Ц
ни, тем более, о следующих подходящих дробях. Следовательно,
на практике придется принимать во внимание не больше одного
малого делителя.
Если вместо трех тел мы имеем большее число, например, четы-
ре (три планеты и Солнце), то будем иметь
v = &!«! + к2п2 + кзп3.
В этом случае условие несоизмеримости отношения — должно
быть заменено следующим: между тремя средними движениями щ.
пг, «з не существует линейного соотношения с целыми коэффи-
циентами*).
102. Форма разложений. Рассмотрим теперь наши неизвест-
ные как функции от начальных значений ?? и г)? величин ?г и г^.
Покажем, что все неизвестные могут быть разложены в ряды по
возрастающим степеням ?" и г$.
*) То есть не должно существовать соотношения вида ktn1-\-k2n2-\-
=0> где все к—целые. (Прим. перев.)

112 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯ
Действительно, в первом приближении это имеет место, так
как в этом случае просто |г= |?, ц,= ц1, a L, и Яг не зависят от
?" и у\1- Поэтому достаточно показать, что если сказанное верно
в га-м приближении, то оно будет верно также в (га + 1)-м прибли-
жении. Рассмотрим сначала первые три уравнения системы E')
из § 93, правые части которых имеют форму
2 втг.
Раньше было показано, что коэффициенты В сами имеют форму
2 A cos {kiki + к2К2 + к)Ш,
где L^ ?2, r\h Я; нужно заменить их приближенными значениями
L%, I", г)?, Hit + Я?. Тогда Ш, который является целым одночленом
относительно ?г и t]t, сделается целым одночленом также относи-
тельно !", г]?, и так как другие множители не зависят от ??, ц'1,
то мы видим, что все коэффициенты В разложимы по степеням
6?, Л?-
Что касается W, то он является целым одночленом относи-
тельно bL, б?, 6г), 6Я, где эти выражения должны быть заменены
их значениями из га-го приближения. Но, по предположению, эти
величины разложимы по степеням !?, т]?, откуда следует, что Ш'
также обладает этим свойством, так же как и рассматриваемые
правые части 253UI'.
Если мы проинтегрируем, то увидим, что в (га + 1)-м прибли-
жепии величины L, ?,, ц разложимы по степеням ?? и цЧ. Анало-
гично можно показать, что (га + 1)-е приближение переменной
Я,- тоже представляется рядом по степеням ?* и г)?.
Итак, наши разложения будут иметь вид
%tL°Amotm cos (vt + h), F)
где Шо— целый одночлен относительно |{ и т){ и где А и h — по-
стоянные, зависящие только от L\ и Я". Так как наши выражения
разложимы по степеням \а, то мы будем иметь в качестве множи-
теля степень параметра |л, что и написано явно. Положим
Ы = УЖ сов©?, л? = УЩ sin©?,
где q? и ©?—начальные значения переменных Qt и ©г-. Рассуждая
как в § 69, мы увидим, что наше разложение может быть пред-
ставлено также в форме
2 |Л4еОв1е092еО<,зд094 COS (V* + 2 Pl^i + Л), G)
где А и h зависят только от Li и Я' и где целые числа р и 2q удов-
летворяют условиям
2qi == pt (mod 2), 2qt > pt.

ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 113
103. Гелиоцентрические координаты. В § 64 мы видели, что
координаты Xi, x2, х3 массы, притягиваемой неподвижным цен-
тром, могут быть выражены в виде функций канонических эле-
ментов. Эти формулы могут быть применены к фиктивным плане-
там А" и В". Мы увидим, таким образом, что
#j, аг2» ха, х^, xt, xt
разлагаются по степеням | и г) и, кроме того, они суть функ-
ции Ь и Я, голоморфные при
Следовательно, если положим
то координаты х' будут разложимы по степеням \, х\, ЬЬ, Ь%.
Добавим, что коэффициенты разложения имеют вид С cos (\t-\-h),
где С и h — постоянные, зависящие от Ь\ и Я*. Таким образом,
разложения имеют форму F). Так как величины |, ц, ЬЬ, ЬХ
сами разложимы в ряды вида F), то это будет справедливо также
и для координат х'.
Рассуждая как в § 69, мы увидим, что х' также могут быть
разложены в форме G).
Таким образом, координаты х' могут быть разложены или
в форме F) или в форме G), и то же справедливо для гелиоцентри-
ческих координат планет х\ — х7, х2— х8, х3— х9, ж4— х-,, хь— х8,
Хъ— Х9, которые являются линейными функциями от х'.
104. Классификация членов. Таким образом, общий член раз-
ложений, как элементов, так и координат, имеет вид
?" cos {vt + h).
Это выражение может служить для классификации членов.
Прежде всего мы будем различать периодические члены, чисто веко-
вые члены, смешанные вековые члены.
Периодические члены это те, которые не содержат множителя
t'n, в котором время t находится вне знаков тригонометрических
функций.
Чисто вековые члены — те, которые содержат только множи-
тель tm и не содержат тригонометрический множитель
cos(v? + h).
Смешанные вековые члены содержат одновременно и множи-
тель tm, и тригонометрический множитель.
Далее будем различать члены с точки зрения порядка, степени,
ранга и класса.
8 а. Пуанкаре

114 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Порядком члена разложения назовем показатель а степени
параметра ц. Это определение оправдывается малостью параме-
тра \л, так что члены будут тем меньше, чем больше их порядок.
Степенью члена разложения назовем степень одночлена Шо-
Это определение оправдывается малостью эксцентриситетов и на-
клонностей. Так как ?? и т]" имеют порядок эксцентриситетов и на-
клонностей, то члены разложения будут тем меньше, чем выше их
степень.
Рангом члена разложения назовем
а—т,
т. е. разность показателя а параметра ц и показателя га времени t.
Легко видеть, что член, у которого разность а — т мала, может
иметь большое значение, даже если а велико. Действительно,
если а и га оба велики, то член, сначала весьма малый, будет расти
вместе со временем.
Что касается класса, то он зависит от наличия малых дели-
телей в знаменателе. Малые делители, как мы видели, появляются
в результате последовательных интегрирований.
Пусть га' — показатель малого делителя, находящегося в зна-
менателе, или сумма показателей малых делителей, если малых
делителей больше одного. В § 101 мы видели, что последний слу-
чай встречается очень редко.
Тогда класс члена, по определению, есть
т т'
а~ 2 ~ 2 '
105. Неизменность больших осей. Вернемся к уравнению
о
и допустим, что мы хотим построить второе приближение.
тт - №i
Для этого нужно заменить в производноп-^-неизвестные их
значениями из первого приближения. Но разложение Ft имеет вид
Fi = 2 ЛШ cos (АД, + fcjfcj -1- h),
где h равна нулю или — -у , и мы найдем
4*± = - 2 Amkt sin (AAj + к2К2 + h).
В это выражение нужно подставить вместо неизвестных
Lt, ?j, г)г, Я; их значения из первого, приближения,
LI Ш, цЧ, Х,

ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 115
что дает
=-2
где
v = klnl-\-k2n2, h'= klV1
AQ— значение А при Lt = L\, Шо— значение Ш при %t = ??
и Т]* = Л?-
После интегрирования получим
Li-=L\—n2^o^o-^-fcos(v< + A')—cos A']. (8)
Заметим, что в формуле (8) фигурируют только периодические
члены, но нет вековых членов. Действительно, вековой член, про-
порциональный t, мог бы появиться в случае, когда v было бы
нулем, т. е. в случае, когда формула A) стала бы неприменимой
и мы должны были бы обратиться к формуле C). Но мы предпо-
ложили, что отношение средних движений—несоизмеримо. Тогда
v может равняться нулю только при одновременном равенстве
нулю fo и к2- Но тогда kt суть нули и соответствующий член
исчезает.
Таким образом, если сохранить во втором приближении часть
членов, достаточных для практики, то разложения Lt и, следова-
тельно, разложения больших осей, которые пропорциональны Ц,
не будут содержать вековых членов. Следовательно, большие оси
будут совершать только малые колебания около их средних
значений.
В этом заключается теорема Лагранжа о неизменяемости боль-
ших осей, чрезвычайно важная с точки зрения устойчивости сол-
нечной системы.
В § 99 мы видели, что во втором приближении разложение Я,
может содержать члены, пропорциональные t2, только если раз-
ложение Lt содержит члены, пропорциональные t. Следовательно,
если отношение средних движений несоизмеримо, то членов с t2
нет, что и было уже отмечено в § 99.
106. Теорема о ранге. Можно опасаться, что для некоторых
членов будем иметь т > а, т. е. что ранг этих членов будет отри-
цательным. Докажем поэтому следующие важные теоремы.
1) Разложения ?,-, r\t, dkt, Lt не содержат членов отрицатель-
ного ранга. Мы пишем 6Я{, а не kt, так как в %i мы имеем член ntt
отрицательного ранга.
2) Эти разложения не содержат смешанных членов нулевого
ранга. Ранг смешанных членов всегда больше или равен единице.
3) Разложение Ь% не содержит членов нулевого ранга.
8*

116
ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Эти теоремы верны во втором приближении. Действительно,
во втором приближении разложения содержат только тригономет-
рические члены или члены, пропорциональные t, а смешанных
членов нет. Члены, пропорциональные t, имеют множителем щ
т. е. их ранг равен нулю. Далее, в силу теоремы Лагранжа о неиз-
меняемости больших осей, в разложении Lt нет членов, пропор-
циональных t.
Докажем теперь, что если теоремы верны в га-м приближении,
то они будут также верны в (га + 1)-м приближении.
Действительно, вернемся к уравнениям E') или A4) и A5)
§ 97. В частности, уравнение A5) имеет вид
' дро л ... Г «Л
6L,
¦А + |1
dLt
dt.
Представим разложение функции Fo по степеням 6Lt в форме
где Ф представляет совокупность членов, степень которых отно-
сительно 6Lj и 6?2 больше двух. Ясно, что /"?, щ, ге2, Cj* суть
постоянные, зависящие только от L\. Можно заметить даже, что
Ci2 = C2i = О, в силу того, что Fo есть сумма функции от L\ и функ-
ции от L2, но это обстоятельство не будет играть в доказательстве
никакой роли.
Итак, мы будем иметь
= щ -г
ih
л. дф г,
h + щ = щ
Тогда наши уравнения примут следующий вид:
( t
(9)
В правых частях этих уравнений неизвестные нужно заменить
их значениями из га-го приближения. Таким образом, мы получим
значения величины 6Lj, 6?*, бт)г, bXt в (га + 1)-м приближении.

ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 117
Так как мы ничего не изменили в трех первых уравнениях, то
о bbt, б|ь бт); больше добавить нечего, но необходимо более подроб-
но рассмотреть Ь%г. Если заменим неизвестные их значениями
из re-го приближения, где погрешность имеет порядок ц.", то
мы допустим в производных от Ft погрешность порядка цп и, сле-
довательно, в [х, \ -^ dt и ц \ dt \ :rr-i- dt— погрешность порядка
Hn+1. Остается рассмотреть член \ jT~dt.
о
Производная ~- содержит члены не ниже второго порядка
относительно ЬЬ. Заметим, что ЬЬ делятся на ц.
В самом деле, пусть х, у, z — три функции, разложения которых
по степеням \i делятся на \а. Пусть х', у', z'— приближенные раз-
ложения х, у, z, в которых первые ошибочные члены имеют поря-
док \лп, так что разности х — х', у — у', z — z' имеют порядок \лп.
Покажем, что разности ху — х'у', xyz — x'y'z' будут делиться
на цп+1, т. е. если в произведениях ху, xyz заменить х, у, z их
приближенными разложениями х', у', z', то допущенная погреш-
ность будет порядка цп+1.
Действительно, имеем
ху-х'у' = х{у — у') + у'(х- х'),
По предположению, разности х — х' и у — у' делятся на цп,
тогда как х и у' делятся на \а. Теорема, очевидно, распростра-
няется и на произведение любого числа множителей.
Итак, если в целом относительно ЬЬ одночлене, лишь бы его
степень была не ниже второй, мы заменим ЬЬ их значениями из
п-го приближения, то допущенная погрешность члена будет
порядка |in+1. Так как частные производные ^т— содержат ЬЬ
в степени не ниже второй, то допускаемая погрешность члена
ЭФ ¦..
dL,dt
и
будет порядка цп+1.
Установив это, заметим, что произведение двух членов поло-
жительного ранга будет суммой членов положительного ранга
и что произведение двух членов положительного или нулевого ранга
будет суммой членов положительного или нулевого ранга. Поэтому
если в функции, которая разложена по степеням ЬЬ, 6?, 6г), 6Я,
заменить последние разложениями, содержащими только члены

118 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
положительного ранга (или неотрицательного), то получим
разложение, содержащее только члены положительного (или
неотрицательного) ранга. Если, следовательно, заменить ЬЬ,
6?, Ьх\, Ьк их значениями из га-го приближения, которые, по
предположению, не содержат членов отрицательного ранга, то
получим для частных производных разложения, содержащие
только члены положительного или нулевого ранга.
Интегрирование по t может уменьшить ранг на единицу, так
как применение формулы C) может ввести t множителем. Но зато,
умножая на ц, мы увеличиваем ранг на единицу. Отсюда следует,
что такие выражения, как
будут содержать лишь члены положительного или нулевого ранга.
Более того, покажем, что они не могут содержать смешанные члены
нулевого ранга. В самом деле, члены нулевого ранга в выражении
A0) соответствуют членам отрицательного ранга в интеграле
Но так как —-1 содержит только члены положительного или нуле-
вого ранга, то интеграл мог бы их содержать только в силу при-
менения формулы C); но применение этой формулы может ввести
только чисто вековые члены.
В итоге, мы можем прежде всего заключить, что в (га + 1)-м
приближении bLi, b\i, 6r); содержат только члены положительного
или нулевого ранга и не содержат смешанных членов нулевого
ранга. Покажем теперь, что
не может содержать члены нулевого ранга.
Согласно § 100 будем иметь
где Ш'— целый одночлен относительно ЬЬ, Ь\, бт], 6Я, и послед-
ние величины следует заменить их значениями из га-го прибли-
жения.
Что касается коэффициента В, то он является одной из част-
ных производных от -дт-*-, в которой неизвестные нужно заменить

ГЛ. V. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАГРАНЖА 119
их значениями из первого приближения
Эта частная производная от г~, будучи также частной про-
изводной от Fu согласно § 100 будет иметь форму
2 A cos (AjX, + М-2 + А) ЯК.
Но kt не может быть нулем, так как члены, в которых kt будет
нулем, исчезнут при дифференцировании по Я;, и, следовательно,
не могут существовать ни ъ-~А, ни в ее производных.
Если же мы заменим неизвестные их приближенными зна-
чениями, то получим, как и в § 100, что Affl. приводится к постоян-
ной С и ktki + k2kz + h к vt+ h'. Следовательно, будем иметь
В= 2 С cos (yt + h'),
где v = Aj/ij + kzn2, и так как kt одновременно не равны нулю,
то v не может равняться нулю.
Рассмотрим, может ли ЯК' содержать члены нулевого ранга.
Одночлен ЯК' есть произведение некоторого числа множителей 6L,
б|, бг|, 6Я, и мы получим члены нулевого ранга в ЯК', заменяя
каждый из множителей его членами нулевого ранга. Если, дей-
ствительно, мы возьмем в одном из множителей член положитель-
ного ранга, то так как он должен умножаться на другие члены из
двух множителей, ранг которых или положителен или нуль, то
в произведении получим обязательно член положительного ранга.
Но в каждом множителе члены нулевого ранга суть чисто веко-
вые члены. Более того, произведение нескольких чисто вековых
членов также будет, очевидно, чисто вековым членом. Таким обра-
зом, в произведении ЯК' все члены нулевого ранга будут чисто
вековыми.
Так как все члены В содержат тригонометрический множитель
cos (W + h'), где v Ф 0, то все члены нулевого ранга в ВШ' будут
периодическими или смешанными. То же самое будет иметь место
и относительно членов нулевого ранга в 2.5ЯК' или в ^ .
Для интегрирования периодического и смешанного члена нужно
применять формулу A) или B), что не уменьшает ранг. Следо-
вательно, в
будут входить только члены нулевого или положительного ранга.
Умножая на |х, мы увеличим ранг на единицу.

120 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Итак, в 6Li будут содержаться лишь члены, ранги которых
не меньше единицы, что и требовалось доказать.
Полученный результат можно рассматривать как некоторое
обобщение теоремы о неизменности больших осей.
Перейдем теперь к 6Л.,- и к четвертому уравнению (9). В пра-
вой части этого уравнения имеются три слагаемых, которые мы
и рассмотрим последовательно. Начнем с третьего, которое имеет
такую же форму, как и правые части первых трех уравнений (9).
Так же как и для этих трех первых уравнений, мы видим, что это
слагаемое не может дать ни членов отрицательного ранга, ни сме-
шанных членов нулевого ранга.
Переходим ко второму слагаемому
Прежде всего заметим, что—- содержит только члены не
ниже второй степени относительно ЬЬ. Разложения ЬЬ содержат
только члены, ранги которых не меньше единицы, поэтому произ-
ведение двух множителей ЬЬ может содержать только члены, ранги
которых не меньше двух. При интегрировании ранг может умень-
шиться на единицу и останется не меньше единицы. Следовательно,
здесь нет членов отрицательного ранга и смешанных членов нуле-
вого ранга. Рассмотрим первое слагаемое:
¦•2М *$«&*•
Мы видели, что все члены нулевого ранга в^-^ являются либо.
периодическими, либо смешанными. Двойное интегрирование
не изменит их ранга, так как приходится при этом применять фор-
мулы A) и B). Ранги этих членов останутся равными нулю и после
умножения на ц станут равными единице. Ранги других членов
будут не меньше единицы. Если это периодические или смешан-
ные члены, то двойное интегрирование не изменит их ранг и после
умножения на ц ранг будет не меньше 2. Если это чисто вековые
члены, то двойное интегрирование уменьшит ранг на две единицы,
а умножение на ц — увеличит на единицу, так что окончательно
этот ранг будет не меньше нуля. Таким образом, никогда не по-
явятся члены отрицательного ранга и смешанные члены нулевого
ранга.
Итак, значение bkt в (га + 1)-м приближении не содержит
ни членов отрицательного ранга, ни смешанных членов нулевого
ранга, что и требовалось доказать.

ГЛАВА VI
РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
РАЗЛОЖЕНИЙ
107. Некоторые леммы. В дальнейшем мы будем опираться
на ряд лемм, которые на первый взгляд кажутся почти очевидны-
ми, но относительно которых необходимо дать некоторые разъяс-
нения, так как мы ими часто будем пользоваться.
Пусть
является суммой тригонометрических членов. Допустим сначала,
что число членов конечно.
Тогда, если <р (t) равна нулю для всех значений t, все коэффи-
циенты А и В суть нули.
Заранее, конечно, предполагаем, что подобные члены объеди-
нены (т. е. члены с одинаковыми множителями cos vt и sin vt)
в одно слагаемое.
В самом деле, пусть A' cos v't — одно из слагаемых правой
части. Тогда будем иметь
t
sin2v'* . -ст A rsin(v+v')< ,
—+ Sir[ v+V +
,sin(v-v')n д sInMv+V) SinMv-V)f
"+" v—V' J^Zi f L V+V' "^ V—V' J '
причем, разумеется, первая сумма объединяет все члены, за ис-
ключением члена, для которого v = v'.
Заставим теперь t неограниченно возрастать. Первый член
остается постоянным, а все другие стремятся к нулю, так как t
находится в знаменателе, а тригонометрические функции, находя-
щиеся в числителе, останутся конечными. Следовательно,
ф
1 ? А'
lim -— \ <р (t) cos v't dt = -д- и если <р (t) = 0, то будем иметь А' = 0.
t-+at ' J '
Итак, все коэффициенты А равны нулю; покажем также, что
все В тоже равны нулю.

122 ТОМ Г. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Допустим, что
v =
причем Tii и п2 — несоизмеримы между собой, a kt и к2 — целые
числа.
Введем две независимые переменные, и\ и w2, и положим
f(wu w2) = ^Acos(kiWt + k2w2)-\- 2 В sin (klwl + k2w2).
При Wi= ntt и w2 = n2t h\Wi+ k2w2 приведется к vt и / (wu w2)
к <р (t). Поэтому будем иметь
/(re,*, re2*) = <p(<).
Если, как и выше, предположим, что <р (t) равна нулю для всех
значений t, то коэффициенты А и В все будут равны нулю и, сле-
довательно, f (wi, w2) будет тождественно равна нулю.
Равным образом можно заключить, что если / (wi, w2) есть
какая-либо функция рассматриваемого вида и если / (ге^, n2t) = О,
то / (ы>1, w2) тождественно равна нулю. Но здесь необходимо пред-
положить, что nt и п2 несоизмеримы между собой, иначе два раз-
личных члена в / (wi, w2) могут дать в / (n{t, n2t) два члена, содер-
жащие один и тот же множитель cos vt, и они могут взаимно унич-
тожиться.
Мы предположили вначале, что число членов конечно. Легко
распространить этот результат и на сходящийся ряд, лишь бы
сходимость была абсолютной и равномерной. Но обладают ли ряды
небесной механики подобной сходимостью? Вообще, нет, так как
они сходятся только в том случае, когда их члены сгруппированы
и расположены определенным образом. Поэтому необходимо глу-
боко рассмотреть вопросы о сходимости, но в этом сочинении
мы оставляем эти вопросы в стороне.
Здесь мы рассмотрим этот вопрос с другой стороны. Предпо-
ложим, что <р {t) получена в результате последовательных прибли-
жений и что в каждом приближении число членов конечно, но
растет при переходе от одного приближения к следующему и,
таким образом, неограниченно возрастает.
Пусть (ft(t), фг(О, • • •> фп(*)> • • • — полученные последователь-
но приближенные значения для <р (t). Допустим, что q>i@, фгС)» • • •
. . ., фп(?)>... равны нулю для всех значений времени t, так что
в каждом приближении ф (t) тождественно равна нулю. Тогда
ясно, что все коэффициенты функций q>i(t), q>2(t), . . ., (fn(t),. . .
будут равны нулю, следовательно, и все коэффициенты ф (t)
также равны нулю. Итак, лемма имеет место в любом приближении.
Вот при каких условиях мы будем применять эту лемму к нашим
рядам: хотя в действительности разложение функции nFt со дер-

ГЛ. VI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗЛОЖЕНИИ 123
жит бесконечное множество членов, очевидно, что на практике
берут только конечное число членов, так что разложения, кото-
рые будем отсюда выводить, содержат также конечное число чле-
нов. Чем больше будем брать членов в nFt, тем больше их будет
и в других разложениях и тем точнее будут значения, которые
мы получим для канонических элементов и координат. Достаточ-
но, чтобы наша лемма была применима в каждом приближении.
6 этом и заключается обстоятельство, позволяющее применять
наши леммы к рядам небесной механики. Итак, мы можем приме-
нять эти леммы, так как всегда можем предположить, что в функ-
ции nFt сохранено только конечное число членов.
Пусть теперь
Ф (<) = 2 Atm cos v< + 2 Btm sin "it
— некоторая совокупность членов. Предположим, что целый
показатель т не превосходит некоторого значения.
Покажем опять, что если <р (t) равна нулю, каково бы ни было t,
то и все члены будут равны нулю. В самом деле, пусть р — наи-
больший из показателей т. Тогда все члены с tp равны нулю,
так как если A'fcoav't есть один из этих членов, то при t—* оо,
как легко видеть, имеем
i
Следовательно, А' равно нулю, если <р (<)= 0. Итак, членов,
содержащих tp, нет. Так как теперь наибольшее возможное зна-
чение показателя есть р — 1, то аналогичным образом покажем,
что нет члена с Р'1 и т. д.
Пусть
V = &!«! + kZnz,
И ПОЛОЖИМ
/ (т, и\, wz) = 2 Ахт cos (ftjU't -f kzwz) + 2 Bxm sin (*,«.', + kzwz),
так что
fit, nxt
Если функция <р (t) равна нулю для любого значения t, то все ее
коэффициенты будут равны нулю и f (т, wlt wz) будет равна нулю,
каковы бы ни были т и w.
Пусть теперь
Ф 0*. 0 = 2 4ц°< cos vt + 2 B\iatmsin vt.
Допустим, что показатель т не превосходит а, т. е. что в раз-
ложении нет членов отрицательного ранга. Будем предполагать,

124 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
кроме того, что <р (ц, t) содержит бесконечное число членов, но
одну и ту же степень ц содержат только некоторые члены. Таким
образом, коэффициент при ца состоит из конечного числа членов.
Положим также
/(ц, т, wu w2) =
= 2 А\)Рхт cos (fcjit?! + k2w2) + 2 #ц°тт sin (Mi + k2w2).
Если q> {ц, t) равна нулю, каковы бы ни были р и t, то
коэффициент при ц° должен быть нулем при любом t. В этом коэф-
фициенте показатель т ограничен, так как он не может превосхо-
дить числа а. Следовательно, мы можем применить предыдущее
рассуждение и сделать вывод, что функция / (ц, т, wt, w2) равна
нулю, каковы бы ни были ц, т, и\, ю2. Мы можем также сказать,
что функция / (ц, т, ы>1, w2) тождественно равна нулю, если
лишь бы — было несоизмеримо.
«2
108. Преобразование разложений. В § 102 мы нашли для кано-
нических элементов разложения следующей формы:
2m*Atm cos
где
т < a, v = &!«! + к2п2.
Рассмотрим какой-нибудь из канонических элементов, например,
Lt, и пусть
Lt = 23 n*Atm cos (vt + К) Мо,
и, далее, пусть
1Л = 2 И.°4тт cos (&!»! + k2w2 + h)M0 A1)
ость функция трех переменных, т, irlf w2. Ясно, что если положить
x = t, wl = nlt, w2 = n2t,
то A;iu?4+ k2w2 приведется к vt и L* к Lj. Поэтому будем иметь
Таким же образом определим ?*, т]*, 6Я? и именно 6А|, а не А|,
вследствие наличия члена с nit, который входит в Xt\ действитель-
но, мы должны положить А| = wt+ Я.? + 6Я?, а не Л* = га<т+Я? + 6А|.
Кроме того, мы видим, что

ГЛ. VI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ 125
приводится к —j-p- для х =ч t, u?i= га4<, w2= n2t. Ясно, что про-
изводные от U, т]*, Я* обладают тем же свойством.
Обозначим через F* то, во что обращается F, когда Lt, kt, lt,
t\i заменим на Ц, X?, 1*,1\*. Если тогда в частной производной
-эд5- заменить Ц, Я?, |J, ti* на Lj, kt, lt, r\t, то эта производная
приведется к -~— .
Если в -др- мы заменим переменные L*, ... разложениями A1),
dF*
то получим для -57V разложение того же вида:
Ц
Если теперь в разложении (И') заменить т, wu w2 на t, ntt,
n*t, то это все равно, что заменить L*, ... на Lt, . . .;
dF* dF -
поэтому частная производная -^- приведется к -^— , и мы будем
иметь
Рассмотрим уравнение
Левая часть этого уравнения разложима в ряд вида
2 ц°4тт cos (kiWi + k2w2 + h) Шо,
аи
так как таким же образом разложимы Ц, их производные и -т^- .
При т = t, Wi= nit, w2= n2t левая часть равенства A2) при-
водится к
dLt , dF
dt + d%i '
что равно нулю в силу уравнения E) из § 79.
Следовательно, в силу лемм § 107 она будет тождественно
равна нулю, каковы бы ни были т, wt, w2.

126 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Таким же образом докажем справедливость равенств
Ох i z Щ
¦w ^ п» ^г + 21»Г ~ Ж=
Если теперь положим
где с, е4 и е2 суть какие-либо постоянные, то будем иметь еще
и уравнение A2) примет вид
* dF*
а если учесть, что звездочки здесь можно опустить,
dLj _ dF
dt ~ dXi '
Таким же образом уравнения A2') нам дадут
dli_=_dF_ dkL_j)F_ dr\j _ dF
dt дщ ' dt ~ ЭЦ ' dt ~ d%i '
но это есть уравнения E) из § 79.
Следовательно, если разложения A1) удовлетворяют уравне-
ниям движения, т. е. уравнениям E) из § 79, при х = t, «^ = ntt,
w2= n2t, то они будут также удовлетворять уравнениям E)
из § 79 при т = t-\-с, Wy = nlt-\-s,i, w2 = n2t-\-Z2i каковы бы ни
были значения постоянных сиг.
Имели ли мы право применять лемму так, как это делали?
Верно, что разложение функции F содержит бесконечное число
членов, но на практике мы всегда берем только конечное число
членов. Чем ббльшую точность желаем получить, тем большее
число членов нужно сохранить, но их число всегда будет конечно.
Поэтому мы можем рассуждать так, как если бы разложение F
содержало лишь конечное число членов. Мы получим тогда для
переменных L*, . . . разложения в форме A1), но в этих разложе-
ниях коэффициент при ца содержит только конечное число чле-
нов, что является условием, при котором к функции F может быть
применена лемма § 107 (см. далее •§ 130).

ГЛ. VI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ 127
109. Впрочем, уравнения A2) и A2') можно получить без
помощи лемм § 107. Покажем, что для неизвестных
LX, IX, itf, М-и>,
можно найти разложения формы A1), удовлетворяющие урав-
нениям A2) и A2') и приводящиеся к L\, |?, т]?, А? при т = wt =
= w2 = 0.
Действительно, в первом приближении, пренебрегая возму-
щающей функцией fiFt и приводя поэтому F к Fo, мы будем иметь
Предположим теперь, что мы получили для наших неизвест-
ных значения в га-м приближении, где погрешность имеет поря-
док цп. Как мы получим значения элементов с погрешностью
порядка цп+1?
В производных функции F* в уравнении A2), так же как
в первом и в третьем уравнениях A2'), заменим неизвестные вели-
чины их значениями из га-го приближения. После этой замены эти
производные от F* могут быть разложены в виде A1) так, что,
например, уравнение A2) запишется следующим образом:
д1Л dL? dL?
+? +
Л dL? dL?
+" ? +  Вхт cos
откуда легко выведем значение L*; мы найдем
Ц = Ь\+ЪС A4)
Каждому члену в правой части A3) соответствует в формуле
A4) член, который мы для сокращения обозначили через С и кото-
рый имеет следующее значение:
1) члену Вхт в A3) будет соответствовать в формуле A4) член
г_ -Вт1"*1
2) члену
В cos (kiWi + k2w2 + h)
будет соответствовать
r r у sin
3) члену
Bx cos (AjU'j + k2w2 + h)
будет соответствовать
sin (k

128 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
4) вообще, пусть Ст— член в формуле A4), который соответст-
вует члену
Bxw cos (kiWi + k2w2 + h),
-так что
и что Ст= О при х = и>1= wz= 0.
Тогда будем иметь рекуррентную формулу
_Вхтsin (Ml+ *«»«+*) т dCm-i ,,*,
Действительно, если положим для сокращения
то будем иметь
Дифференцируя по h последнее равенство, получим
д ( **-« > = _ Bt^-i sin ф.
Но
Д (Вхт sin <р) = vBxm cos <p + тВх™-1 sin ф,
и поэтому
Остается показать, что выражение
.Вт simp . m ^Ста_1
v "¦" v dh
обращается в нуль для т = Wj= w2= 0. Но первое слагаемое
обращается в нуль, так как оно содержит т множителем; с другой
стороны, Cm-i обращается в нуль по определению и притом для
любого h. Поэтому производная —Тг1 , а значит, и второе сла-
гаемое обращаются в нуль. Следовательно, формула A5) доказана
и она дает возможность вычислить величину Ст так, как выше
было вычислено Со. Эта формула может заменить формулу B)
из § 98.
Таким образом, мы можем вычислять L*, пользуясь уравнением
A2) [аналогично можно рассмотреть первое и последнее уравне-

ГЛ. VI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ 129
ния A2')]. Как и в § 95, можно показать, что погрешность новых-
значений переменных Ц, ?*, г\* в (га -j- 1)-м приближении будет
порядка цн+1.
Рассмотрим теперь второе уравнение A2'). Заменим в произ-
водной функции F* переменные L*, ?*, т]* их значениями из
(га + 1)-го приближения, которые уже найдены, и переменную
X* — ее значением из га-го приближения. Далее, уравнение для
X* рассматривается так же, как и уравнение A3). Как и в § 95,
мы увидим, что полученное таким образом значение X* имеет
погрешность порядка цп+1.
Таким образом, последовательными приближениями мы полу-
чим для наших неизвестных такие разложения, которые будут
вида (И), будут удовлетворять уравнениям A2) и A2') и приво-
диться к Ц, !", т]{, Kt при т = wt= w2= 0.
Заменим в этих разложениях т, wt, w2 на t, щ1, n2t. Тогда
будем иметь разложения, удовлетворяющие уравнениям E)
из § 79. При t = 0 (или, что то же, при т = wt= w2= 0) эти раз-
ложения приводятся к LI, ??, т]°, XI, поэтому они тождественны
тем, которые мы нашли в § 100.
Итак, мы видим, что если в разложениях § 100 vt заменить на
kiwl-\- k2w2, когда время стоит под знаком косинуса, и заменить t
на т, когда t стоит вне знака косинуса, то получим разложения вида
A1), удовлетворяющие уравнениям A2) и A2'), что и требовалось
доказать.
Итак, мы можем получить результаты § 108 без применения
лемм § 107. Мы хотели, однако, указать на первый метод не только
потому, что эти леммы в дальнейшем еще понадобятся, но глав-
ным образом потому, что так лучше видно, как прийти к резуль-
татам § 108.
НО. Сравнение разложений. 6 § 102 мы получили разложения
в форме
2 \iaAmotm cos (vt + h),
которые содержат 12 постоянных интегрирования, а именно:
две L", Две Я?, четыре |? и четыре т]?.
В § 108 и 109 мы получили другие разложения в форме
2 цаАШохт cos {kyWi + k2w2 + h),
где нужно положить т = t-j- с, wt= ntt-\- Bt; с, ej и е2— постоян-
ные интегрирования.
Эти новые разложения содержат на три постоянные интегри-
рования больше, чэм предыдущие. Так как наши дифференциаль-
ные уравнения образуют систему двенадцатого порядка, то три
из этих пятнадцати постоянных выражаются через остальные
9 А. Пуанкаре

130 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
двенадцать. В дальнейшем увидим, какую выгоду можно получить
из этого замечания.
Следовательно, мы можем без ограничения общности допу-
стить, что с = 0. Необходимо заметить, что если мы пользуемся
разложением A1), то постоянные L\, ??, tj? не имеют уже того же
смысла, что в первоначальном разложении.
Действительно, при t = 0 Lt, lt, x\t, Xt не приводятся к Ц,
8. л!, в, + М.
Это достигается только, если предположить с = 8j= e2= 0,
так как тогда мы вернулись бы к первоначальному разложению.
Но разности между Ы и начальным значением Li, например,
будут порядка ц.
Рассуждая, как и в § 69, мы увидим, что от разложения A1)
можно перейти к другой форме,
A6)
где имеем, кроме того,
2g, = pi (mod 2), 2g,>|p,|.
Мы увидим, впрочем, как и в § 103, что гелиоцентрические
координаты также могут быть разложены либо в форме A1),
либо в форме A6).
111. Симметрия. Предположим, что мы сравниваем две систе-
мы трех тел А, В, С и At, Bt, Cif причем тела обеих систем имеют
соответственно одинаковые массы. Пусть в начальный момент
треугольники ABC и A^Bfii симметричны относительно плоско-
сти XiX3. Пусть также начальные скорости точек At, Bu Ct равны
по величине и противоположны по направлению трем векторам t
симметричным (относительно той же плоскости) трем векторам,
представляющим начальные скорости точек А. В, С.
При этих условиях ясно, что положение треугольника ABC
в момент t будет симметрично положению треугольника AlBiCi
в момент —t.
Чтобы перейти от положения системы ABC в момент t к поло-
жению системы AiBiCi в момент —t, достаточно заменить
ж;, x't, x't, Lt, h, h, Ль Q«» Щ A7)
на
х[,—х'л, х'в, Lt, —Кг, lh —r\h Qi, —со,. A8)
Следовательно, если мы заменим
li л?, а, л?, о», «*. *

ГЛ. VI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ 131
на
Ц, -W, Ц —л!, о?, -©?, -*,
то величины A7) должны перейти в величины A8).
Положим в разложениях A6) с = et= е2= Х1= —X" =0
и заменим в них t на —t, ш? на —<о? и, следовательно, т на —т,
wt на — Wi.
Изменим в заключение знак т и знаки w и со0. При этом вели-
чины A6) или не должны измениться или должны изменить знак.
Отсюда следует, что их разложения будут содержать только коси-
нусы или только синусы, т. е. постоянная h всегда либо равна 0,
либо y . Она будет равна 0, если тчетно, —^-.если т нечетно
в разложениях для x'v x't, Lt, |ь —?-,если т четно, и 0, если т
нечетно в разложениях для х'г, Kt, г\г.
Если вместо формы A6) мы пользуемся формой A1), постоян-
ная к опять будет равна 0, или — -у. Она будет равна первому
или второму значению в зависимости от того, какая из неизвест-
ных A7) разлагается в зависимости от четности или нечетности
показателя степени т и показателей х$ в одночлене Шо (см. § 86).
Заметим, что предыдущий результат предполагает, что XI
суть нули. Это предположение можно сделать без ограничения
общности, так как с тремя новыми постоянными с, гх, е2 мы имеем
еще одну лишнюю постоянную, даже если
112. Повернем теперь всю систему на угол е вокруг оси х3.
Наши формулы, как не зависящие от выбора осей, должны сохра-
ниться. Но это приводит к замене Кг, Л? на Л^+ е, Х?+ е и ©? на
©?— е. При этих условиях переменные Lt, x'B (и x'j не изменятся,
a Kt изменится на Я| + е; х\ и х\ изменятся на х\ cos г — х'л sin e
и ^sin е + х'х cos 8; х* и х'ь претерпевают аналогичное пре-
образование; |2 и v\t изменятся на |j cose —|— tiг sin e и
—It sin e + T]jCose.
При этих условиях вот каким представляется естественное
обобщение теорем § 70 и 87: допустим, что мы разложили, напри-
мер, L* в форме A6); казалось бы, что мы должны иметь
Но в этой форме теорема неверна.
113. Мы можем преобразовать наши разложения следующим
образом. Прежде всего, в разложениях A6) фигурируют две
постоянные А и к, зависящие не только от L°, но и от Х°. Очевидно,
9*

132 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
что наши неизвестные суть периодические функции от Я.?, так же
как и A cos h и A sin h. Когда изменяются Я°, т. е. начальные
значения долгот Я,г, на величины, кратные 2л, то наши неизвест-
ные ЬЬ*, б|*, бт]*, бк* не должны измениться. Следовательно, A cos h
и A sin k могут быть разложены по синусам и косинусам кратных
Я.?, так что разложения A6) примут форму
2 |Л10 (Q?)'i (Ql)"* W*(Q4Lnm cos B ktw, + 2 AriX?+ 2рг@?+ Ao),
A6')
где Ло и h0 не зависят уже от L\. Добавим, что согласно § 111 h0
есть числовая постоянная, кратная л/2.
Нет никаких оснований, чтобы было kt= k\. Но мы видим,
что будем иметь
в разложениях ЬЬ\, 6Я* и
в разложениях d|f, бт|*. В самом деле, если мы заменим началь-
ные значения Л? и ш? на Я?+ е и ©?— е, то увидим, что L* не изме-
нится,- Л* изменится на Я.* + е, а |* и т]* на |* cos 8+ т]г sin e
и —|*sin e-|- т]* cos 8.
В разложениях A6') мы взяли за произвольные постоянные
начальные значения наших неизвестных Ы, Л?, \\ и т]". Но возмо-
жен и другой выбор.
Допустим, что в разложениях A6') отброшены все члены,
которые зависят от т или от w, и сохранены лишь постоянные
члены. Пусть Ц означает то, что осталось от разложения L*.
Тогда L\ есть не что иное, как интеграл
2л 2л
1
о
при т = 0, так что Ь\ будет средним значением L* при т = 0.
Аналогично определяются величины Ц и г)\. Что касается Я|, то это
также есть то, что останется в разложении Я* после такого же
отбрасывания, так что
2л 2л
при т = 0.
Мы видим, что L\, Я,$, й, 1)\ суть функции прежних постоян-
ных Ц, Я.?, |?, r\i и параметра ц. Они могут быть разложены по

ГЛ. VI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ 133
степеням ц, и при ц = О имеем
Разности Ы— Ц, Х\— Я", Ц— |°, т)}— т)? могут быть разло-
жены по степеням |? и г)? и являются периодическими относитель-
но Я". Это непосредственно вытекает из формы разложений A1),
A6) и A6').
Пусть, следовательно,
Ц = Ц + 2 |*в--10IL cos B к'М + 2 Pi«>4 4- Ао), A9)
где через По обозначено для сокращения произведение
Разложение A9) выводится, как мы говорили, из разложения
A6') отбрасыванием в нем всех членов, зависящих от w или т.
Мы могли бы также написать
A9')
используя разложения (И).
Конечно, мы можем написать и другие уравнения вида A9')
для определения XJ, Ц, г\\.
Из уравнений A9') мы можем, наоборот, выразить ??, Я°,
I", r\i в зависимости от L\, K\, Ц, г\\. Тогда 1?Д", |", т]? будут раз-
ложимы по степеням (г н при (г = 0 приведутся соответственно
к Ц, Я.}, |ь tjI, Более того, разности Ц— L\, Я." — Х\, |? — 1\,
т)?— т)! могут быть разложены по степеням |1 и г\\ и являются перио-
дическими относительно Я}. Следовательно, можно написать
hl), B0)
где A i vi ^ зависят только от L\ и где Ч№1[— целый одночлен отно-
сительно |i и т)$. Аналогичные разложения будем иметь для Я",
I?, Л?.
Вернемся теперь к разложениям A1) и заменим в них L\,
Я?, |?, т|? их значениями B0). Ясно, что ЫЛ, 6Я*, б|*, бт]* будут
разложимы по степеням ц, т, |ь тI и являются периодическими
относительно w и Х\. Поэтому будем иметь
LX = Ы + 2 li^iSWif11 cos B *,»! + 2 КК + ht), B1)
где Ах и &t зависят только от L\ и где 9JJi— целый одночлен отно-
сительно |{ и т)}. Для переменных Я*, |*, ц* будем иметь разло-
жения такого же вида, с той разницей, что в разложении Я? часть,
не зависящая от р,, будет Wi-\- Я{, а не просто ЯЬ
Если мы положим
|| = 1/2q1cos ш\, г\\ = у 2q\ sin ©|,

134 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
то разложение B1), согласно § 69, примет форму
LX = L\ + 2 ЦвЛ (Я\)"г (q\)9* (q\L* (qJ)«. x
где между целыми числами р и 2д будем иметь всегда те же соот-
ношения.
Разложения B1) различаются, следовательно, от разложений
B2) только тем, что за постоянные интегрирования взяты не
начальные значения переменных, а их средние значения.
114. Как можно непосредственно прийти к разложениям B1)?
Для этого достаточно взять уравнения A2) и A2'), так же как
и выводящиеся из них уравнения A3), и проводить интегрирова-
ние (§ 109), носодной разницей. Вместо того чтобы брать
у~, р sin(/tiw1-|-^2u>24~^)—sin/г
мы будем брать
п г, sin
и будем сохранять при этом рекуррентное соотношение A5).
Таким образом, мы удовлетворим нашим уравнениям, но более
не будем иметь ни Со= 0, Ст= 0, ни, следовательно,
Li = L\, Б,-й, тъ-т]}, Яг = М
при
Т = It?! = W2 = 0.
Значит, мы не удовлетворим начальным условиям, принятым
в § 109.
Зато мы видим, что аргументы синуса и косинуса в Со, Ст, . . .
будут такими же, как и в правых частях наших уравнений, тогда
как при процедуре § 109 мы вводим при каждом интегрировании
новые аргументы, поскольку мы вводим члены с sin h, где h может
зависеть от со?.
Впрочем, среднее значение Со и средние значения Ст были
равны нулю.
Вернемся еще к каноническим уравнениям E) из § 79. Из них
мы выводим, например,
и для получения значения 6Lt в га-м приближении следует заме-
нить неизвестные в правой части их значениями из (п — 1)-го
приближения. Тогда различные члены выражения, стоящего под

ГЛ. VI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ 135
знаком интеграла, принимают форму
Atm cos (vt+h),
а мы видели в § 98, что неопределенный интеграл от этого выра-
жения состоит из (т + 1)-го члена вида
»™
К этому неопределенному интегралу нужно добавить постоян-
ную интегрирования. До сих пор мы выбирали эту постоянную
таким образом, чтобы ЬЬг обращалась в нуль вместе с t, т. е. мы
интегрировали всегда в пределах от нуля до t. Таким обра-
зом мы и пришли к разложениям A1).
Если, наоборот, мы полагаем всегда эту постоянную равной
нулю, то теперь при t = 0 будет обращаться в нуль среднее
значение 6Lt, и мы придем к разложениям B1). В первом
приближении мы будем брать
Lt = L\, Ki = wt -+- K\, It = l\, r\i = T]J,
Ясно, что q\ и со? , определенные так, как это сделано выше,
отнюдь не представляют средние значения о? и со*.
115. Прежде чем идти далее, заметим, что если бы мы взяли
другие постоянные интегрирования (которые мы обозначим на
мгновение через L\, XJ, |Ь ц1), связанные с начальными значения-
ми L\, А°, |?, т]? соотношениями вида A9), A9') или B0), то все
сказанное до сих пор имело бы место, и мы пришли бы опять к раз-
ложениям вида B1) или B2).
Можно было бы, например, сделать этот выбор таким образом,
чтобы рД и ©J представляли средние значения Qj и сог, но это не
представляет интереса для дальнейшего.
116. Разложения B1) и B2), построенные в § 113, обладают
некоторыми частными свойствами, заслуживающими внимания.
Наши уравнения A2) и A2') не изменятся при замене wt на wt-\- ег
(мы, кроме того, знаем, что наши разложения удовлетворяют также
уравнениям движения, если положить т = t, wt= n^-j- e( или
т = t, wf= ntt).
Когда в разложениях B1) wt заменена на wt + ег, эти разло-
жения не перестанут удовлетворять уравнениям A2) и A2').
Но каковы будут при этом средние значения L\, \\, r\\, XJ? Первые
три не изменятся, последнее сделается равным ij-j- ег.
Следовательно, наши разложения не изменятся, если одно-
временно заменить wt на Wi-\- st и К\ на К\— 8j. Отсюда следует,
что wt и К\ входят только в комбинации wt +Ц, т. е. что
*, = #.

136 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Предположим теперь, как и в начале § 112, что вся система
получает вращение на угол е вокруг оси х3. Тогда Lt, L\, q\ не
изменятся, А* и К\ изменятся в Kt-\- е, \\+ е, (й\ в ©}— е и |г
и x\t— в |г cos e -\- v\t sin е и —14 sin е -j- *\t cos е.
Формулы должны будут иметь место, так как они не зависят
от выбора осей. Поэтому можно заключить, что когда в разложе-
ниях B2) мы заменим Х\ на Aj -f- e и в то же время со} на со! — е, то
неизвестные
изменятся на
Lt, A.j + e, ?j cose + T]jsine, —|г sine + T]j cose.
Если мы вспомним сказанное в § 70 и 87, то увидим, что это
означает, что
в разложениях L и Л, и
в разложениях | и т] (кроме того, мы всегда можем предположить,
что в этом равенстве последняя часть равна -|Л> так как если бы
она была равна —1, то достаточно было бы изменить знак аргу-
мента косинуса, от чего значение косинуса не меняется).
Таким образом, предыдущие результаты можно было бы полу-
чить другим способом. В § 114 мы виделп, как можно построить
разложения B2) непосредственно последовательными приближе-
ниями. Тогда можно было бы получить наши результаты по индук-
ции, проверяя тем, что если они верны в (и — 1)-м приближении,
то будут также верны в га-м.
117. Выше мы говорили, что на практике не рассматривают
члены, в которых малый делитель v = ^щ + А2га2 соответствует
очень большим целым At и к2. Благодаря этому обстоятельству
мы могли сказать в § 101, что на практике никогда нет необходи-
мости рассматривать несколько малых делителей.
Теперь мы можем полностью оправдать это утверждение. Это
лучше всего будет видно из разложения B2). Действительно,
в этом разложении имеем
Если \ki\ и \кг\ велики, a v есть малый делитель, то
весьма малб.

ГЛ. VI. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ 137
Так как на практике отношение-^-не будет близко к единице,
то J2A:] также будет весьма большой — так же как и | 2р |.
Но степень рассматриваемого члена равна
Как видно, показатель степени этого члена будет очень больишм,.
и поэтому член является пренебрежимо малым.
Вернемся теперь к разложению A6). Мы должны прийти
к этому разложению, исходя из разложения B2), подставляя
в него вместо L\, Ai, ?}, х\\ их значения A9). Но значения A9)-
разлагаются по целым положительным степеням q°, которые яв-
ляются величинами второй степени. Значит, в разложениях A9)
мы будем иметь члены нулевой степени и члены положительной
степени.
Мы придем, таким образом, к разложению A6), каждый член
которого получается из какого-нибудь члена разложения B1).
Обращая внимание на способ, которым он получен, мы увидим,
что его степень не меньше степени соответствующего члена в раз-
ложении B1). Но общий член A6)
ц«С; cos B kw + 2 к'Кг+ 2 Р©1 + До)
получается из члена разложения B1), содержащего 2 kw. Следо-
вательно, его степень не меньше | 2 &|» хотя здесь не имеем
118. Если треугольник ABC заменим другим треугольником,,
симметричным относительно плоскости х&г, то уравнения движе-
ния не перестанут удовлетворяться, что является следствием
симметрии функции F, доказанной в § 88.
Но это приводится к замене облических переменных |2< Лг»-
|4» 114 на —12» — Чг* — \ь —"П4» или также к замене ш2 и <о4 на
©2 + я и ш4 + я.
Следовательно, если
to -о to ~,о
ёг> Ла» fir Л*
заменим на
to -о to -о
или, что то же, wj и ©J на ©jj -f- я и wj-)- я, то облические пере-
менные |2< vJ> 14i 114 изменят знаки, а остальные переменные не
изменятся.
Если, следовательно, разложения элементов или координат
представлены в форме A1), то одночлен 5ДО0 будет четной степени
относительно |J, r)|j, Ц, г\1 в разложениях L, X» |17. ци |3, т]з,-

138 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
x'v x't, x't, х\ и нечетной степени в разложениях |2, Лг» \ь Л 4» х'а, x't.
Если же представить разложения в форме A6), то увидим также,
что Рг + Pi будет четным в первом случае и нечетным во втором.
Это будет верно, кроме того, если применим результат § 109
или 113.
119. Однородность. Рассуждая, как ив § 73 и 89, мы увидим,
что
Lt, Qt суть однородные функции степени 1,
h> "П* » » * * у»
Х^ 9 № № 1р ?л,
A.j, cof » » » » 0
относительно L\ и q? или также относительно ??, (??)*, (])
120. Выводы. В этой главе мы преобразовали наши разложе-
ния таким образом, что наши неизвестные представляются в виде
функций трех переменных т, wt и w2. Эти функции разложимы
по степеням т и по косинусам и синусам кратных w.
Они удовлетворяют уравнениям движения, если положить
каковы бы ни были значения произвольных постоянных с, 8j и е2.
Кроме трех переменных т, и\ и w2, наши функции зависят
от двенадцати постоянных интегрирования, а форма разложений
зависит от того, как выбраны эти постоянные. Если взять началь-
ные значения Ы, U, I?. Л? переменных Lj,A,j, ii,T]j прит = wx =
= w2= 0, то разложения принимают вид A1). Если взять на-
чальные значения L\, Я?, о?, со? переменных Lt, К,, q{, соь то раз-
ложения будут иметь вид A6). Это те разложения, к которым при-
водит применение процедуры § 109.
Но можно сделать и другой выбор. Если, как и в § ИЗ, можно
выбрать за постоянные интегрирования не начальные значения
неизвестных, но их средние значения, то мы придем к разложе-
ниям B2), обладающим замечательными свойствами.

ГЛАВА VII
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА
121. Ограниченная задача. В § 35 мы рассматривали один
частный случай. Мы предположили, что имеются три тела — Солн-
це, большая планета и малая планета — и что масса последней
настолько мала, что можно пренебречь возмущениями, которые
она вызывает в движении большой планеты. При этих условиях
большая планета описывает кеплеровский эллипс. Мы предпо-
ложили, кроме того, что эксцентриситет этого эллипса равен
нулю, так что орбита большой планеты является круговой и что
малая планета в начальный момент находится в плоскости этой
орбиты и ее начальная скорость также лежит в плоскости этой
орбиты. Из этого, очевидно, следует, что малая планета всегда
будет оставаться в плоскости орбиты большой планеты.
Тогда преобразование § 30 можно применить двумя различ-
ными способами.
1. Можно, как и в § 32, принять тга4= 0, что равносильно допу-
щению, как мы раньше видели, что большая планета отнесена
к Солнцу, а малая к центру масс большой планеты и Солнца.
2. Можно, как и в § 33, принять mi= 0, что означает, что
обе планеты отнесены к Солнцу.
В первом случае будем иметь
F =
где ф^Г,^
Во втором случае будем иметь
где
Tt и Тг сохраняют те же значения.

140 ТОМ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
И в том, и в другом случае движение большой планеты про-
исходит согласно законам Кеплера; движение малой планеты
определяется каноническими уравнениями A3) или A3') из гла-
вы II, которые имеют вид
в первом случае, и
dx\ 0Ф| dy't
т
ЧГЧ>уТ dTm4>? (' = 1-2,3) B)
во втором случае.
В первом случае с точностью до бесконечно малых высшего
порядка имеем
т*= т*= т*= т4
и полагаем
y'i — m'iyl = тку\ (i = 4, 5, 6).
Во втором случае имеем
и полагаем
y'i = тф = ЩУ1 (» = 1. 2, 3).
Таким образом, мы приходим к уравнениям A4) главы IV.
которые записываются в виде
^_± _ ^ ч
dt ~ ду\ ' dt ~ дх\ ' ^°;
где нужно брать ъ = 4, 5, 6 в первом случае и i = 1, 2, 3 во втором.
Заметим, что Ф( зависит не только от неизвестных х' и у'
(или х" и г/"), но еще и от времени, так как она зависит от коор-
динат большой планеты, которые являются известными функция-
ми времеии.
122. Установив это, поступаем так же, как и в § 78, и выразим:
х' и у' в виде функций от канонических элементов:
Хь Lt (г = 1, 2),
Qi, щ (* = 1, 2, 3, 4).
Так как
2»' dy' — Yi'kdL -2<»<*е
является точным дифференциалом, то эта замена переменных будет
канонической.
Таким образом, мы снова выведем уравнения D) из § 78.
Воспользуемся для определенности предположением § 33, т. е.

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА
допустим, что /Mj весьма мала и что
Так как движение большой планеты является кеплеровским, то
ее канонические элементы L2, бз. Р.4» <°з. to 4 остаются постоян-
ными, а %2 будет изменяться пропорционально времени.
Что касается элементов малой планеты Ьи Qit q2, со,, и>2, Xt,
то они определяются уравнениями D) из § 78, но если учесть,
что Фо не зависит от этих элементов, то эти уравнения приводятся
к следующим:
\
Впрочем, эти уравнения могли бы быть получены и преобра-
зованием уравнений B). Действительно, выражение
2 x'i dy\ — Xt dLt — 2 ю dQ,
которое является выражением A) из § 78, есть точный дифферен-
циал. Таким образом, мы выполнили замену канонических пере-
менных; согласно § 12 эта замена не нарушает каноническую
форму уравнений, хотя Ф, зависит явно от времени.
Уравнения D) записаны в такой форме, которая иногда может
казаться неудачной, так как и левая, и правая их части имеют
порядок mi и, следовательно, бесконечно малы. Тогда мы положим
Li^mjZ,;, Qi = miQi (j = l, 2),
так что V и о/ являются конечными и наши уравнения примут
вид
dLj _ dOj dXj _ дфх
dt дщ ' dt dq{
Уравнения E) могут быть также выведены из уравнений C).
В самом деле,
есть точный дифференциал, так что можно взять за переменные
L[, Al7 Qu Wj, и каноническая форма уравнений не нарушится.
Мы видим, впрочем, что если рассматривать фиктивную пла-
нету, имеющую ту же траекторию, что и планета А" из § 74,

142 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
но имеющую массу не т^ (т. е. т1, ибо mi= m[ с точностью до бес-
конечно малых высшего порядка), а 1, то координаты этой пла-
неты будут х[, x't, x'3, компоненты ее количества движения у[, y"t>
у, и ее канонические элементы L[, Xu pj, (ot.
123. Согласно § 33 мы имеем
В § 82 мы нашли
Поэтому будем иметь
где
так как тх= щ.
Что касается функции
то в § 40 мы видели, что в интересующем нас случае она прини-
мает частный вид. Но, как было сказано в § 41, подобные упро-
щения невозможны, если принять предположение, выдвинутое
в § 32. Впрочем, мы им не воспользуемся, а ограничимся тем,
что напомним форму возмущающей функции \iFi и, следовательно,
<1>! из главы IV.
Мы будем иметь
^-2^w;i+*""V4i?«eb4?«cosB*iX,+2^0. F)
где А зависит только от L\ и L2.
В формуле A0) из § 83 мы заменили q4 и q2 на т^[ и mtQ't,
далее разделили на ти чем и объясняется наличие множителя
д^1+««-1. Кроме того, положим h = 0 в силу теоремы из § 81.
Напомним также, что в силу теоремы из § 87
и что
2qt = pt (mod 2), 2qt > \ pt \.
Мы предположили далее, что орбита большой планеты есть окруж-
ность, т. е. что
0.3 = 0,

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 143
и что наклонности равны нулю, т. е.
02 = 0.4 = 0.
Все члены в правой части равенства F), следовательно, равны
нулю, кроме тех, для которых
02=03=04 = 0
и для которых, следовательно,
P2 = P3 = Pl = 0.
Таким образом, полагая
получаем
% ^ q["i cos (А:
или
ф1 Й^ + 11 2 Bq'^cos(&Л + к2Х2+ рм), G)
где В зависит лишь от L[ и L2. Можно сказать даже, что В зависит
только от L[, так как L2 есть абсолютная постоянная, являющаяся
одной из данных задачи.
Имеем также
Что касается Х2, то мы можем считать ее равной n2t, выбирая
за начало времени тот момент, когда долгота большой планеты
равна нулю. С другой стороны, п2 есть абсолютная постоянная,
являющаяся одной из данных задачи.
Полагая тогда
мы приведем уравнения движения к виду
dLj дГ_ dX^_dF^
Л - «i ' it - dLi '
it ~ да[ ' dt
Эти уравнения имеют каноническую форму только на этот
раз, так как в силу соотношения (8)

144 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
наша функция F' зависит только от четырех неизвестных, L[, q[,
"k'x, ш[, и не зависит более явным образом от времени.
124. Интеграл Якоби. В § 34 мы видели, что в случаях,
рассмотренных в § 32 и 33, интегралы живых сил и площадей
теряют смысл, и это потому, что функция Фг зависит явно от
времени.
Здесь наша функция F' не зависит явно от времени, поэтому
уравнения (9) допускают интеграл
/" = const,
который известен под названием интеграла Якоби.
125. Замечание. Важно сделать одно замечание, касающееся^.
Мы имеем
dF'o _ М{
Не существует никакого линейного соотношения с постоянными
коэффициентами, ни тем более с целыми коэффициентами между
-pY и «2> так как первая из этих величин зависит от L'v а вторая
величина постоянна. Следовательно, между двумя частными про-
изводными функции F'o не существует линейного соотношения.
Далее мы убедимся в важности этого замечания.
126. Обобщение. Пусть, вообще, F является функцией 2п
переменных
*-"ii *-4i • • • i Ln,
«i» А>2» • • •» An.
Рассмотрим канонические уравнения
Допустим, что
где |х — очень малая постоянная. Допустим, что Fo зависит только
от Lt, и притом таким образом, что не существует никакого ли-
нейного соотношения с целыми коэффициентами между частными
производными -gj? .
Что касается функции Fl7 то она является периодической
относительно Xt, разложимой по синусам и косинусам, кратных
А(, с коэффициентами, зависящими от Lt.

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 145
Уравнения (9) являются частным случаем уравнений A0),
если считать, что F'o и F[ играют роль функций Fo и Ft, L\ и q[
играют роль L, и L2, а 5^ и <&[— роль Х{ и Л,2. В самом деле, F'a
зависит только от L[ и q[ в силу § 122, и между ее частными про-
изводными не существует никакого линейного соотношения с це-
лыми коэффициентами. С другой стороны, F[ является периодиче-
ской функцией Х[ и ©j.
Заметим теперь, что все выводы, сделанные в главах V и VI,
могут быть применены к уравнениям A0). В этих главах мы зани-
мались лишь задачей трех тел, но результаты могут быть непо-
средственно распространены и на случай произвольного числа
тел, а затем и на более общие проблемы динамики.
Каковы, в самом деле, те предположения, которые играли ос-
новную роль в доказательствах?
1. Прежде всего то, что Fo зависит только от L. Уравнения
A0) удовлетворяют этому предположению. Мы не пользовались
частной формой для функции Fo, и, например, мы обозначили
частные производные второго порядка от Fo через Cih, не исполь-
зуя упрощения, вытекающие из того, что С12= 0 (см. § 106).
2. Далее мы считали, что отношение — несоизмеримо. В слу-

чае, когда имеется более двух переменных L, это условие должно
быть заменено следующим: между пг (т. е. между значениями част-
ных производных функции Fo no L при Lt =L\) не существует ника-
кого линейного соотношения с целыми коэффициентами. Но мы
предположили выше, что в случае уравнений A0) не существует
никакого линейного соотношения между частными производными
Fo, которое бы тождественно выполнялось. Поэтому всегда можно
допустить, что Li выбираются таким образом, что между п, не су-
ществует никакого подобного линейного соотношения.
3. Fi является периодической относительно Xt. Это условие
для уравнений A0) также выполняется.
4. И, наконец, то, что F{ может быть разложена по степеням |
и п. В случае уравнений A0) функция Fx не зависит ни от каких
переменных, аналогичных | и г|. Условие, следовательно, можно
считать выполненным, только разложение Ft по степеням ? н л
сводится к одному члену нулевой степени.
Таким образом, все условия выполнены, поэтому все резуль-
таты глав V и VI могут быть применены к уравнениям A0).
127. Итак, мы можем удовлетворить уравнениям A0), полагая
A1)
где L1 п А? — постоянные, представляющие начальпые значения
Lt п ki, rii — постоянная, равная значению -^Д при Lt= L",
10 А. Пуанкаре

146 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
и, наконец, bLt и 6А,{ суть ряды вида
2 naAtm cos (vt+h),
где А и h — постоянные, зависящие только от L\ и Х°,
причем kt— целые числа.
Добавим, что ЬЬ и 6А, содержат ц множителем и, с другой сто-
роны, обращаются в нуль при t — 0.
Это есть формула F) из § 102 с топ разницей, что она не
содержит одночлен Ш, так как мы не имеем здесь переменных,
аналогичных | и ц. Но, более того, мы можем составить разложе-
ния, зависящие от (га -\- 1) переменных
Т, М?!, И>2, •-., Wn,
заменяя в разложениях ЬЬг и bXt букву t на т, когда она не вхо-
дит под знак косинуса, и W на 2 ^twi — П°Д знаком косинуса.
С другой стороны, в первом члене правой части второго уравнения
A1) мы заменим ntt на wt.
Если, следовательно, мы имеем
dLi = S paAtm cos (vt + h),
dkt = 2 n°A'tm cos (vt + h'),
то наши новые разложения примут вид
L, = L? f 2 |Л**т cos B *,»! + *), 1 2
Xi = kt + wi + ^iiaA'xmcos(^kiwi + h'). \
Если в этих новых разложениях положим
то опять придем к разложениям A1) и, следовательно, удовлетво-
рим уравнениям A0).
Но в главе VI мы видели, что если в этих разложениях A2)
положить
то уравнения A0) также будут удовлетворены, каковы бы ни были
значения (га -J- 1) произвольных постоянных с и в;.
128. Все другие выводы, сделанные в главе V, здесь также
сохраняются. Например, мы не будем иметь членов отрицатель-
ного ранга; мы не имеем смешанных членов нулевого ранга и в раз-
ложениях для Li не имеем членов нулевого ранга. Во втором
приближении, т- е. если мы пренебрегаем членами с ц2, в разло-

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 147
жениях Lt не будет вековых членов, что представляет обобщение
теоремы о неизменности больших осей. Заметим, что здесь она
применима к га переменным из 2га, тогда как в задаче трех тел эта
же теорема имеет место только для двух переменных из 12. Это
вытекает из того, что в уравнениях A0) функция Fo зависит от п
переменных L (они входят, можно сказать, независимым обра-
зом, так как между частными производными Fo не существует
никакого линейного соотношения). И, наоборот, в проблеме трех
тел функция Fo зависит только от двух переменных из 12.
129. Попытаемся теперь изменить паш метод таким образом,
чтобы можно было освободиться от веко-
вых членов.
Для этого воспользуемся теоремой из § 16.
Формула B4) этого параграфа имеет вид
2 х dy = dQ + S Ak dak—F dt.
Здесь функция Q определяется уравнением
dt
ak — постоянные интегрирования, a Ak—функции этих по-
стоянных.
Указанная формула применялась к уравнениям A) главы I,
но от этих уравнений можно перейти к нашим уравнениям A0),
заменяя х, у, F на L, X, — F.
Тогда формула принимает вид
%LdX = dQ + '2Akdak+Fdt, A3)
причем
dQ S) г dF
Заменим L и X разложениями A2). Ясно, что после такой замены
представится разложением того же вида, т. е. разложением по сте-
пеням т и по синусам и косинусам кратных w.
Определим затем Q уравнением
dQ dQ v dQ v T dF „
Это уравнение имеет ту же форму, что и уравнение A3) предыду-
щей главы. Поступая аналогичным образом, получим для Q
разложение по степеням т и по синусам и косинусам кратных w.
10»

148 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Уравнение A5) не определяет полностью Q, но мы можем в фор-
муле A3) взять для Q любое решение уравнения A5). Мы выбе-
рем такое решение, которое разлагается по степеням т и триго-
нометрических функций w.
Мы знаем, что уравнения A0) удовлетворяются, если поло-
жить
Таким образом, мы будем иметь (Зге -f 1) постоянных интегри-
рования, а именно, Ь\, XI, е2 и с. Эти постоянные не являются
различными, и нам достаточно сохранить 2га из них, а следо-
вательно, мы можем (га + 1) из них взять равными нулю. Мы
положим
X? = с = 0.
При этих условиях L, X, Q будут постоянными функциями т,
со°, L\. Таким образом, как мы видим, функция Q, так же как
и Li и Xt — wt, разложима по степеням т и тригонометрическим
функциям от w. Выражение
будет, следовательно, иметь вид
Hdx + 2 Wt dwt + 2 Ct dLl,
где Н, Wi и Ct будут функциями L", w, т, разложимыми по сте-
пеням т и по косинусам и синусам кратных w.
Если положим
откуда
dx = dt, dwt = i
то L и А. будут удовлетворять уравнениям A0) и, следовательно,
соотношению A3). Далее, находим
2 LdX—dQ = [Н+ 2 Wtrii) dt+ 2 Wt с
где имеем
и так как nk зависят только от L\, то имеем
Постоянные интегрирования, которые играют роль ak в форму-
ле A3), здесь суть L\ и е,-.

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 149
Следовательно, согласно теореме § 16, величины Wi й С°,
т. е. коэффициенты при de4 и dL\, которые играют роль dak, будут
постоянными, не зависящими от времени, а только от постоянных
интегрирования. Более того,
также не будет зависеть от времени в силу интеграла живых сил.
Но Wt разложимы по степеням ц, т и по синусам и косину-
сам кратных w. Следовательно, они имеют вид функции
к которой применима последняя лемма из § 107. Но для
T = f, wh = nht
наша функция
Wf = /(|i, Т, Wh)
должна сводиться к постоянной /0, зависящей только от постоян-
ных интегрирования е2 и Ы. Или, лучше сказать, что она будет
зависеть только от L\, так как мы положили wk = itkt, т. е. пред-
положили, что вк = 0.
Итак, будем иметь
f(H,t,nht) — f0 = 0,
где /0 зависит только от L\.
В силу леммы § 107, для всех значений т и w мы должны
будем иметь
откуда следует, что Wi зависят только от L?.
Рассмотрим теперь коэффициенты Ct и выражения
При х = t, wt= ntt это выражение приводится к
т. е. к С%, и будет зависеть, как мы видели, только от L\. Приме-
няя то же рассуждение, мы увидим, что для всех значений гею
мы имеем
и что С? зависит только от L\.
То же самое можно сказать и относительно F, которая также
не зависит от времени.

150 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Вернемся к тождеству
%LdX—du = Hdx + '2Widwt + 12cidL0i A6)
и положим в нем т = wt = 0. Для т = wt = 0 имеем А.г = А.?
и, следовательно, Я, = 0, так как мы предположили, что к\ равны
нулю. Q приводится к Qo и Ct обращаются в С? (величина, кото-
рая, как мы видели, зависит только от Д). Кроме того, будем иметь
dx = dw = d% =-¦ 0.
Тогда наше тождество принимает вид
-dQ0 = 2c?dZ,i- A6')
Вычитая A6') из A6), получим
и если положить т = 0, откуда следует dx = 0, то
^LdX — %Wdw = d(Q — Qo). A7)
Вернемся к разложениям A2), примем А,? = 0 и, кроме того,
положим т = 0. Тогда их можно рассматривать как уравне-
ния, определяющие 2га величин L; и А,; в функции 2га перемен-
ных LI и wt.
С другой стороны, п величин Wt, как мы видели, являются
функциями п величин Л°, и наоборот; заменим L\ их значениями
в функции от Wt.
Таким образом, разложения A2) при XI =
= т = 0 можно рассматривать как опреде-
ляющие L и ). в зависимости от W и w.
Отсюда следует, что W и w можно взять за новые переменные.
Соотношение A7) показывает, что эта замена переменных будет
канонической, и, следовательно, она не нарушит канонической
формы уравнений A0), которые приведутся к
dW___dF_ !h?__j№_ Моч
dl ~~ dw ' dt ~ dW ' \ >
Но мы видели, что F зависит только от L%, поэтому если заменить
L\ их значениями, зависящими от Wi, то F будет зависеть только
от переменных W* и не будет зависеть от и>г.
Поэтому будем иметь -j- = 0; следовательно,
W = const.
Из этого следует, что функция F и ее производные -=—, которые
зависят только от W, также будут постоянными.

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 151
Полагая тогда
dF . .
~япГ — П{= «Hist,
будем иметь
dt
или
где w\ — новые постоянные интегрирования.
Величины L\, зависящие лишь от W, также будут постоянными.
Следовательно, мы удовлетворим нашим уравнениям, если поло-
жим в разложениях A2)
Ц= О, т = 0, L\— const, wi = n\t + w\ •
Отметим, что щ — постоянные, зависящие от Ц, но они от-
личны от nt. Самым интересным является то, что, так как мы
приняли т = 0, все вековые члены исчезли*).
130. Лемма § 107 может быть применена к функции / (|г, т, w)
при одном условии. Эта функция может содержать бесконечное
число членов, но коэффициент при ца может содержать их только
в конечном числе.
Выполняется ли это условие в интересующем нас случае?
Оно выполняется, если взять в функции F только конечное
число членов. В самом деле, имеем уравнения
A9)
аналогичные уравнениям (9) главы V (§ 106). Буквы Ф и
имеют тот же смысл, что и в § 106. Не следует только путать
Ctk с Сг из § 129, к которым они не имеют никакого отношения.
Предположим, что мы доказали, что в га-м приближении, т. е.
«ели пренебречь членами порядка |хп и высшего порядка, наши
bLt и bXi приводятся к конечному числу членов. Тогда это будет
верно также в (и + 1)-м приближении.
*) Предыдущий анализ приводит к теоремам, которые были доказаны
другим путем в Methodes nouvelles de la Mecanique celeste, т. II, § 125,
158, а также в Bulletin astronomique, т. XIV, стр. 242, проблема В.

152 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Чтобы получить значения в (га + 1)-м приближении, мы
должны заменить в правых частях уравнений A9) bbt и bXt их
значениями в га-м приближении. Мы знаем, что -^Д может быть
разложена по степеням ЬЬ, ЬХ в форме
2 ВШ', B0)
где Ш' — целый одночлен относительно ЬЬ и ЬХ. Мы можем отбро-
сить в разложении все члены степени (га +1) и выше (относитель-
но ЬЬ и ЬХ). Действительно, так как ЬЬ и ЬХ содержат ц множите-
лем, эти члены будут порядка |хп, и мы имеем право их отбросить.
Итак, разложение B0) будет состоять из конечного числа чле-
нов. Что касается коэффициента В, то он равен с точностью до
числового множителя одной из частных производных высшего
порядка от Fi, в которой неизвестные заменены их значениями из
первого приближения, и так как мы берем для F\ только конеч-
ное число членов, то и В также будет состоять из конечного числа
слагаемых. Это имеет место и для
dFi дф_ dFj_
_ j_
dLt ' dLt '
Таким образом, правые части уравнений A9) содержат только
конечное число членов, поэтому ЬЬ и ЬХ также будут содержать
конечное число членов, что и требовалось доказать.
Одновременно видно, что частные производные функции F
также удовлетворяют этому условию.
Следовательно, то же самое можно сказать и о величинах
tit- \\ Т дХ 6Q
' ZJ dwt dwt
г уг\ т дХ 6Q
Таким образом, если пренебречь всеми членами, имеющими
[in множителем, то все эти величины содержат лишь конечное число
членов, как бы ни был велик целый показатель га.
Это обстоятельство позволяет применять лемму § 107.
131. Величины Wi и п\ могут быть разложены по степеням ц.
Это очевидно для
так как L, X и Q разложимы по степеням ц. Действительно, так
как L и X разложимы по степеням ц, то это же верно для F и -~- ,

ГЛ VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 153-
которые являются функциями L и А. и в которых L и А, могут быть
заменены их разложениями по степеням ц. Наконец, то же самое
справедливо и для
Легко видеть, каков первый член разложения. В самом деле,
если положим ц = 0, то найдем
откуда
С другой стороны,
и
откуда
?-<•
и
Wt = L\.
Таким образом, первый член разложения равен L\. Мы отме-
тили, что F есть постоянная, зависящая только от L\. Так как
Ц суть функции от W{ и наоборот, то F можно рассматривать
как функцию Wt. Тогда между частными производными F па
W и частными производными по Ц будем иметь следующее соот-
ношение:
dF dWt
dL%
или, вспоминая определение щ,
2, dWt dF
dL% •
Таким образом, мы имеем линейные уравнения, которые опре-
делят п\ через Ц и ц.. Так как F и Wt и, следовательно, частные
dF dw>
производные -^у- и -тут- разложимы по степеням и и так как, с дру-
Л ft.
гой стороны, определитель наших линейных уравнений равен.

154 ТОМ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
единице при ц = 0 (т. е. при Wt = Ц), то величины п\ также
будут разложимы по степеням |х.
Легко найти первый член разложения. В самом деле, при ц = О
W L1 F F п
и наши линейные уравнения приведутся к равенству
п'н = пк.
Следовательно, первый член в разложении щ равен nt.
132. Сравнение разложений. Вернемся к разложениям A2),
полагая в них, как и выше, Х° = 0:
U = Ц + 2 |Л*тт cos B кш + /г),
h = w i + 2 РаА V" cos B kw + h').
Мы видели, что, принимая здесь т = t и wt = гег?, получаем
одно частное решение уравнений A0). Другое частное решение
получим, полагая т = 0 и wt = »«f.
Эти частные решения должны быть тождественными, так как
и в том, и в другом при t = 0 начальные значения неизвестных
Li и Я.; суть Ц и 0.
Итак, если разложим эти два решения по степеням ц, то оба
разложения должны быть тождественными.
Для первого решения находим
h = nit + ZiiaA'tmcos(vt + h'), I
где
v = 2 Mi-
Разложение является окончательным, так как гц и, следова-
тельно, v не зависят от |х.
Для второго решения находим
U = Ц + 21»°^ cos (v't + Л),
Я,, = nit + 2 |ia^' cos (v't + h'),
где
и в которых сохранены только члены, где показатель т равен
нулю. Но разложение не является окончательным, так как п\
л v' зависят еще от \х.

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 155
Пусть, следовательно,
суть разложения п\ и v' по степеням \х. Нужно теперь заменить
п\ и v' этими разложениями и разложить cos (v't -f- h') тоже по
степеням |х. Разлагая сначала по степеням v' — v, мы находим
cos (v't + h') = 2 -^j- (v'—v)m<m cos Сvt + h' +^) •
Далее, (v' — v)m может быть разложена по степеням ц в ряды
следующего вида:
где Яр — постоянные, зависящие от \<h> и, следовательно, от
L\. Из этого следует, что
cos (v't + Л') = ^ Ч*Не*т cos (v* + Л' + ?рЛ
и, следовательно,
L, = LI + 2 ца+МЯр< cos ( vt + A + JJL V
h = n,t + 2 irf* + ^ ^+^'ЯР<т cos (vt + h' + -^) •
Разложения B1) и B2) должны быть тождест-
венными. Рассмотрим сначала чисто вековые члены. Это те
члены, для которых v = 0, т > 0. Но v может равняться нулю
только в том случае, когда
&1 = #2 = • • • = "^n ^ 
так как мы предположили, что между nt не существует никакого
линейного соотношения с целыми коэффициентами.
Но тогда также будем иметь
v' = 0, v'-v = 0,
и разложение cos (v't + h') сводится к одному постоянному
члену, не имеющему t множителем.
Таким образом, в разложениях B1) и B2)
для Lt нет чисто вековых членов.
В разложениях Xi множители cos (v't + h') не могут дать веко-
вых членов, поэтому все чисто вековые члены возникают из раз-
ложения n'it и имеют вид цап[аН.
Следовательно, в разложениях B1) или
B2) для Xt нет других чисто вековых чле-
нов, кроме членов, пропорциональных t.

156 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Сравним теперь в разложениях B1) и B2) совокупности членов
2 [iaAtm cos (vt+h) B3)
и
2 |хв+М?Äà cos (vt + k + -??.) , B4)
соответствующие одному и тому же значению v. Эти две совокуп-
ности членов должны быть тождественными.
Напишем разложение B3) в виде
2 Bmtm cos vt + 2 Cmtm sin vt, B3')
где
Вт = 2.paA cos Л, Cm = — 2 M^ sin n-
Здесь суммирование распространяется на все члены разложе-
ния B3), которые соответствуют данным значениям величины v
и целого т.
Аналогично напишем разложение B4) в форме
2 Dmtm cos vt + %Emtm sin v<» B4')
где
Em = - 2 |х«+МЯр sin (A + ^) •
В последних равенствах суммирование распространяется на все
члены B4), которые соответствуют данным значениям v и целого т.
Так как разложения B3') и B4') должны быть тождественными,
то будем иметь
Вт = Dm, Ст = Ет-
Но разложения B4) и B4') происходят из разложения членов
с cos v't и sin v't по степеням v' — v и, следовательно, по степе-
ням ц.
Этими членами являются
Do cos v't + Ео sin v't =B0 cos v't + Co sin v't.
Итак, совокупность периодических или смешанных вековых чле-
нов разложения B1), имеющих множителем cos vt и sin vt, m. e.
совокупность членов B3), может быть легко просуммирована. Для
суммы имеем
Во cos v't +C0 sin v't.
Более того, мы видим, что:
если в разложении, получающемся в результате непосредствен-
ного применения метода Лагранжа, т. е. в разложении B1).

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 157
известны периодические и чисто вековые члены, то можно сразу
же получить смешанные вековые члены.
В самом деле, совокупность периодических членов равна
2 Во cos vt -+- 2 С 0 sin vt.
В разложении для А; мы не имеем других чисто вековых членов,
кроме члена nit.
Смешанные вековые члены появляются в результате разло-
жения
2 Во cos v't + 2 Со sin v't.
Зная периодические члены, находим Во и Со; зная чисто веко-
вые члены, находим щ и, следовательно, v. Таким образом,
приходим к доказательству некоторых свойств разложений B1),
т. е. разложений, полученных методом Лагранжа. Эти свойства
являются намного более простыми по сравнению со свойствами
общего случая задачи трех тел. Эта относительная простота легко
объясняется отсутствием переменных, аналогичных | и ц, так что
Fo зависит от га переменных из 2ге.
133. Обобщение. Изложенный метод можно видоизменить раз-
личным образом. Сначала, вместо того чтобы положить А" = О,
придадим А? произвольные значения, которые в даль-
нейшем будем рассматривать как навсегда
данные. В этом случае рассуждение может быть проведено без
изменений. Например, когда положили бы т = w-, = 0, то нашли
бы А,- = %% и опять имели бы dx = dw = dk = 0.
Поэтому если мы возьмем разложения A2) и, не полагая в
них А? = 0, положим т = 0, Wi = n\t т сог, то удовлетворим
опять уравнениям A0). Найденное таким образом решение содер-
жит Зга произвольных постоянных L\, а", ю,, которые, конечно,
не могут быть различными.
В разложениях A2) величины A, h, А', К зависят от L\ и
А", и ясно, что
A cos Л, Л sin Л, Л'сов/г', A'sink'
являются периодическими функциями от А°. Поэтому будем иметь
ь,=ы+2 и-ят»' cos B ktwt+2 т+л0). , B5)
В разложениях B5), аналогичных разложениям A6') из пре-
дыдущей главы, к' — суть целые числа, а В, h0, В' и h'o зависят
только от Li.
Нет никаких оснований для того, чтобы здесь было ki = к\.

158 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Из способа получения разложений B5) следует, что Lt и
А.г приводятся к Ц и Я." при т = wh = 0.
Таким образом, разложения B5) совпадают с разложениями,
полученными в § 109.
Мы удовлетворим уравнениям A0), полагая
X = t-\-C, Wi
или
Т—0, Wi =
Вместо того чтобы брать за произвольные постоянные началь-
ные значения переменных Ц и Я.°, мы могли бы взять другие про-
извольные постоянные. Таким образом, мы могли бы придать
нашим разложениям другую форму. Достаточно будет заменить
в равенствах B5) прежние постоянные Ц и Я? функциями от 2га
новых постоянных L\ и Я|.
Пусть, следовательно,
Ь\, Ц), 1
I ( '
где ф| и ij)j — функции ц., Ц, Я], которые можно выбрать произ-
вольным образом. Наложим только следующие условия:
1) функции <р,- и tyi должны разлагаться по степеням ц;
2) при [I = 0 мы должны иметь L? = L\, Я." = X};
3) величины Ц и X? — к\ должны быть периодическими
функциями от Х\.
Заменим в разложениях B5) L\ и Ц значениями B6). Полу-
чим новые разложения, которые мы обозначим через B7).
Какова форма этих разложений?
1) При |х = 0 они приводятся к
Lt=L\, K=v>i + 4. B7>
2) Разности Lt — L\, Xt — шг — Х| разложимы по степеням
|х и т и являются периодическими функциями от wh и К\.
Другими словами, разложения B7) будут такой же формы, как
и разложения B5), с той лишь разницей, что здесь L\ и к] будут
играть ту же роль, что L\ и Я? в разложениях B5) *).
Но при т = w = 0 Lt и Xt не будут равны L\ и к\. Мы получим
еще одно решение уравнений A0), полагая в разложениях B7)
или т = t + с, wt = nit + ег, или т = 0, wt = n'tt + (Oj, так
как разложения B7) получаются из разложений B5) заменой Ь\
и Я? их значениями B6).
*) Формулы B7) Пуанкаре не выписывает, так как они подобны фор-
мулам B5). (Прим. перев.)

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 159'
Среди всех разложений вида B7) то, в котором п\ = пи
заслуживает нашего внимания, но мы остановимся особенно на
том разложении, которое получается методом § 113. Тогда L\ и Я-J
представляют собой то, что мы назвали в предыдущей главе
средними значениями L% и Я.г.
Мы изложили подробно этот метод, чтобы больше к нему не
возвращаться. Между тем имеется одно различие.
Здесь мы не имеем ничего аналогичного величинам q;, со,-,
q°, со" из § 112, так как в уравнениях A0) нет ни одной перемен-
ной, аналогичной | и г\.
Таким образом, получим разложения
к),
где В, h0, В', h'o зависят только от Ц. Так как все результаты,
полученные в главах VI и VII, применимы к разложениям B8),
то мы выведем, следовательно, решение уравнений A0), полагая
в B8) т = t + с, wi = ntt + &i или т = 0, wt = n\t + <ог.
Отличие разложений B8) от других разложений B7) заклю-
чается в том, что, как мы видели в § 116, коэффициент kt при w-t
всегда равен коэффициенту при Ц. Отсюда следует, что постоян-
ные Я{ и 6j (если положить т = t, Wi = ntf + е*) всегда входят
в комбинации е* + Я{. Аналогично, если положить т = 0, Wi =
= nit + (Oj, то постоянные А,} и coj будут входить всегда в комби-
нации (ог + №•
Между постоянными разложений B5), т. е. if и У, и постоян-
ными разложений B8), т. е. Ц и Я}, существуют некоторые соот-
ношения, а именно соотношения B6).
Каким образом их составить? Для этого в равенствах B8)
нужно заменить Li, kt, w, х через L\, Я,", 0 и 0.
Соотношения, которые мы получим таким образом, совпадают
с соотношениями B0) из § 113. Допустим, с другой стороны, что
в разложениях B8) положено т = t и Wt = nit. Мы получим неко-
торые разложения, которые будут удовлетворять уравнениям A0).
Могли ли мы прийти к этому непосредственно? В этом легко убе-
диться.
Допустим, что мы желали интегрировать уравнения A0) после-
довательными приближениями, беря в первом приближении
Остается показать, как вычисляются значения в га-м прибли-
жении, если считать их известными в (га — 1)-м приближении.

160 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Сначала рассмотрим уравнение
J Г ЯГ
aLf Or
dt dXi
В правой части заменим переменные их значениями в (п—1)-м
приближении. В результате замены правая часть принимает форму
2 Btm cos (vt + h),
которую нужно проинтегрировать по t, чтобы получить значения
в ге-м приближении.
В § 99 мы видели, что неопределенный интеграл
\Btm cos (vt + h)dt
содержит член с tm cos (vt + h), член с t'1 sin (vt + h), член
с tm~2 cos (vt + h), . . ., член с t c.os (vt + h) и, наконец, член
.
К неопределенному интегралу нужно добавить произвольную
постоянную. До сих пор выбирали произвольную постоянную
таким образом, чтобы bLt обращались в нуль при t = 0, т. е. мы
брали
о
Именно таким путем мы получили разложения A2) и B5).
Для получения разложений B8) мы не можем поступать таким
же образом, а должны придать произвольной
постоянной значение, равное нулю.
Далее, чтобы получить значение переменной Kt в га-м прибли-
жении, рассмотрим уравнение
-dJ-Щ-
В правой его части нужно заменить А,; их значениями в
(п — 1)-м приближении, которое уже найдено. Тогда уравне-
ние C0) будет иметь тот же вид, что и уравнение B9), и с ним
можно поступить таким же образом.
Разложения, полученные таким образом, совпадут с разложе-
ниями B8), так как анализ, который мы провели, в принципе
тождествен анализу из § 114.
134. Частный случай ограниченной задачи. То, что мы гово-
рили до сих пор, применимо к общему случаю уравнений A0).
То, о чем мы будем говорить теперь, применимо только к ограничен-
ной задаче, которую сначала мы и имели в виду.

ГЛ. Vir. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 161
В § 126 мы видели, что от уравнений (9) ограниченной задачи
мы переходим к уравнениям A0), полагая
F' = F, L'1 = Li1 к[ = Кц Qt = Z<2, ©1 = Я,2-
Следовательно, все уже полученные результаты применимы
и к ограниченной задаче, но здесь мы можем получить и больше.
Функция F разложима по степеням величин
Y-Qicos Щ = 1^21/2 cos Я,2, V^2qi sin &[ = yiL2 sin K2,
которые мы обозначили для сокращения через | и п. Коэффициенты
разложения будут зависеть, кроме того, от Ll и^.
Так как выражение
| di) — q[ da)[ = I di) — L2 dk2
является точным дифференциалом, то уравнения A0) останутся
каноническими, если перейти к переменным L4,Xlt |, ч\, и напишут-
ся в виде
d?i dF_ dXx_dF_ \
dt ~ дКГ dt -dLt'
rf|_ _dF dr\_d?
dt~ dr\' dt ~ d% '
Правые части уравнений C1) разложимы по степеням | и х\.
Но вот что мы имеем здесь нового.
Если, как и в предыдущей главе, мы положим
д . д
и будем искать разложения наших неизвестных Lu %u ?, х\ в
функции от т и w в форме B5), B7) или B8), то увидим, что эти
разложения удовлетворяют уравнениям
л г 9F д, dF
dF
C2)
Если учтем, что Fo = F'o n равно
то увидим, что наши уравнения напишутся следующим образом:
1 1 i \ ЛЧ.^
art дя ^tiuy
11 А. Пуанкаре

162 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Остается выбрать постоянные интегрирования. Здесь мы не
будем брать за постоянные интегрирования ни начальные значе-
ния неизвестных, как в разложениях B5), ни средние их значе-
ния, как в разложениях B8), а выберем в качестве постоянных сле-
дующие величины:
1. Среднее значение Lt (для т = 0, разумеется), которое обо-
значим через L\.
2. Среднее значение Kt, которое положим равным нулю.
3. Среднее значение величины
I cos w2 + Г) sin w2,
которое будем обозначать через Е по причине его аналогии с эксцен-
триситетом.
4. Среднее значение выражения
!sini02 — Т) COS Z02»
которое будем полагать равным нулю.
Покажем тогда, что наши неизвестные
будут разложимы по степеням величин
2? cos w2, E sin w2.
В первом приближении имеем
Lt = LJ, Я,1 = г»1, | = 2?cosm>2, i\ = Esmw2,
и, следовательно, в первом приближении сказанное выполняется.
Допустим, что оно выполнено в (га — 1)-м приближении. Тогда
оно будет также выполнено в n-м. Рассмотрим сначала первое
уравнение C3), правая часть которого имеет вид
где В с точностью до числового множителя суть частные произ-
водные от F, в которых неизвестные заменены их значениями
из первого приближения; следовательно, они разложимы по степе-
ням Е cos юг и Е sin w2. W суть одночлены, целые относи-
тельно ЬЬи 6Я.1, Ь\, бт), которые нужно заменить их значениями
из (га — 1)-го приближения. Согласно предположению эти вели-
чины разложимы по степеням Е cos w2 и Е sin w2, поэтому вся
правая часть уравнения также разложима по степеням Е cos wz
и Е sin w2-
Итак, наше уравнение имеет форму уравнения A3) из главы VI.
В § 109 и 114 мы видели, как можно интегрировать уравнение
такого вида. Мы указали два способа, как это сделать: или беря
г р sin (kiwi + k2W2+h)—sin h

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 163
или полагая
0
Здесь следует применить второй способ и добавить затем по-
стоянную L\, так как мы хотим, чтобы среднее значение Li было
равно L\. Легко видеть, что, действуя таким образом, мы сделали
переменную Z,t разложимой по степеням Е cos w2 и Е sin w2.
Так могло бы и не быть при применении первого метода, который
мог бы ввести члены с Е, Еа, Е6, . . .
Переходим ко второму уравнению C3). В его правой части
нужно заменить L± его значениями из «-го приближения, а дру-
гие переменные — их значениями из (га — 1)-го приближения.
Тогда это уравнение принимает такую же форму, как и предыду-
щее, и с ним поступим таким же образом.
Рассмотрим, наконец, два последних уравнения C3). В их пра-
вых частях заменим неизвестные значениями из (га — 1)-го при-
ближения. Как и выше, можно убедиться, что эти правые части
разложимы по степеням Е cos м>2 и Е sin w-,., так что наши уравне-
ния примут вид
cos {кш + кш + h), |
Ат] — га2| = 2 [^ЕЧА'х™ cos (kiwi + k2w2 + h'), J
где A, A', h, h' зависят только от L\ и где q — целое число такой
же четности, что и 42, и не меньше | к2\.
Как могут быть проинтегрированы эти два уравнения? Сна-
чала отбросим в правых частях члены, в которых &j = 0, kz =
= ±1, и сохраним только совокупность остальных членов. Тогда
уравнения C4) будут иметь следующую форму:
А| + п21] = 2 Bip cos Ф + 2 стр sir» ф +
-f 2 Ьтт cos ф + 2 стт sin <p,
At)—га2? = 2 В'тр cos <р + 2 c'tv sin Ф +
+ 2 Ь'хт cos ф + 2 с'хт sin ф.
Здесь ф обозначает kiWi + k2w2 и р — наибольшее из значений
показателя т. Коэффициенты В и С — суть суммы 2 Ца-^ cos ^»
2 PaA sin h, распространенные на члены с cos ф или sin ф, где
показатель т равен р; коэффициенты b и с суть аналогичные
суммы, распространенные на члены, где показатель т равен т <С р.
Подобную структуру имеют и коэффициенты В', С, Ь', с'. Далее
положим
11*
C5)

164 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
где
?'= 2i. —V2^_nt—тРcosф~н2 \2— тРS'J1 Ф*
, VI —Вп,—C'v „ , vi B'v—Спо „ .
¦П = 2j V2_n2 Т COS ф + 2j V2_wj T S ф
V =
Тогда уравнения C5) принимают вид
Д|" + «гЛ" = — -^г + 2 ^т Hcos Ф + S ст " s*n Ф'
At)"—га2?"= —"^ + 2 ^'ттсо8ф+ 2 с'ттэтф.
C6)
Уравнения C6) имеют такую же форму, что и уравнения C5),
только наибольший показатель при т равен р — 1 вместо р. Про-
должая последовательно этот процесс, мы полностью проинтегри-
руем уравнения C5).
Заметим также, что если правые части уравнений C5) разло-
жимы по степеням Е cos w2, E sin w2, то это же верно для |',
для tj' и, следовательно, для правых частей уравнений C6).
Таким образом, доказанным можно считать, что ? и т] разло-
жимы в ряды такого же вида, если предыдущие формулы не те-
ряют смысл в случае v2 = п\, т. е. когда А4 = 0, к2 = ± 1.
Именно по этой причине мы отделили члены, в которых kt = О,
кг = ± 1, откуда ф = ± м>2- Остается изучить влияние этих
отброшенных членов.
Вернемся снова к уравнениям C5) и положим в правых частях
Ф = w2. Можно также опустить в правых частях знак 2> так
как мы имеем теперь только члены одного сорта, а именно, с w2.
Положим на этот раз
где
tp+1 cos и;2 + Ц=^ь тр+1 sin м;2,
sin w2,
p+1 cos г»2.
C7)

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 165
Тогда наши уравнения примут вид
7F + 2 fcTmcoSJi-2+ 2CT'"sinu'2,
а . C8)
и мы видим, что в правых частях показатель при т не может пре-
восходить р — 1. Таким образом, мы осуществим последовательно
полное интегрирование уравнений.
Заметим, что можно действовать подобным образом, если
правые части уравнений C5) разложимы по степеням Е cos w2,
Е sin w2. To же верно для ?', |", ч\',ч\" и, следовательно, справед-
ливо для правых частей уравнений C8).
Поэтому переменные ? и т\, которые получаются таким методом,
также представляются аналогичными разложениями.
В конце концов приходим к случаю р = 0, в котором просто
имеем
Если в формулах C7) положить р = 0, то получим коэффициен-
ты при cos w2 и sin w2 в |* и х\*, где через ?* и tj* обозначены выра-
жения для ? и tj, полученные изложенным способом. Мы видим
также, что средние значения величин ?* cos w2 + t\* sin w2 и
|* sin w2 — ч\* cos w2 равны нулю.
Так как мы хотим, чтобы эти средние значения были равны Е
и 0, а для этого нужно добавить к |* и tj* соответственно Е cos w2
и Е sin w2, то от этого они не перестанут удовлетворять уравне-
ниям C5) и также не перестанут быть разложимыми по степеням
Е cos w2t\E sin w2. Наоборот, если мы задаем начальные значе-
ния |о, т]0 переменных |, г|, то мы должны были бы добавить к |*
и т)* соответственно члены G cos w2 + H sin w2 и G sin w2 —
— H cos w2, где io — G, i\0 + H должны были бы быть значе-
ниями |* И Т\* При Т = Wi = W2 = 0.
При этих условиях G cos w2 -f- H sin w2 и G sin w2 — H cos w2
не будут разлагаться по степеням Е cos w2, E sin w2t и то же
самое относится к величинам
i = I* + G ccs w2 + H sin w2,
r\ = i\* -\-Gsin w2—H cos w2.
135. Предыдущий анализ можно представить в другой форме.
Положим

66 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Функция F будет разлагаться по степеням X и У, и наши уравне-
ния примут вид
АХ - Ш2Х = 2щ g-1 , AY itf 2 Ц? )
так как выражение
есть точный дифференциал.
Последние два уравнения C9) могут быть написаны в виде
<39')
Докажем, что Lif Я-i, Х, У могут быть разложены по степеням
Е cos юг, Е sin ш2, или, что то же, по степеням
Ее*"*, Ee~iu*.
Это верно в первом приближении. Далее допустим, что это верно
в (га — 1)-м приближении, и установим справедливость сказан-
ного в ге-м приближении.
Для этого заменим неизвестные в правых частях уравнений C9)
и C9 ) их значениями из (га — 1)-го приближения. Тогда правые
части уравнений C9) разлагаются по степеням Ee±iw». Правые части
уравнений C9') равны аналогичным разложениям, умноженным
на e-itt* или на eitt>2.
Мы утверждаем, что это свойство не исчезает в результате инте-
грирования. В самом деле, пусть имеем уравнение
Au = v, D0)
где v — известная функция т, Е и w. Допустим, что veUu* разла-
гается по степеням т и Ee±iu:». Более того, допустим, что эта функ-
ция будет периодической по м^и разлагается, кроме того, по сину-
сам и косинусам кратных wit или, если угодно, по степеням e±ilei.
Другими словами, допустим, что v разлагается в ряд следующего
вида:
v = 2 -4?«тт е* diwi+M»), D1)
где А не зависит от Е, т, wu w2 и где q, m, kt и к2 — целые числа,
удовлетворяющие условиям
D2)

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 167
Такую же форму имеют правые части уравнений C9) и C9'),
но для уравнений C9) нужно положить s равным нулю, а для C9')
нужно положить s равным ± 1. Кроме того, правые части зависят
еще от ц и L\ и могут быть разложены по степеням ц, но это
нас не беспокоит.
Уравнение D0) дает также для неизвестной и разложение
вида D1) с тем же значением s, лишь бы мы проводили интегри-
рование так, чтобы среднее значение и было равно нулю или имело
вид разложения D1) (среднее значение и не зависит от т и w и
может быть разложено по степеням Е, показатели которой имеют
такую же четность, что и s, но не меньше s).
Действительно, возвращаясь к § 98 и 114, мы видим, что каж-
дый член разложения вида D1) для v дает т + 1 член в выраже-
нии для и; эти члены будут иметь вид
где В— постоянная и где целые числа q, Alt к2 имеют те же зна-
чения, как и в члене разложения для v; отсюда следует, что они
удовлетворяют условиям D2). Наконец, р принимает значения
О, 1, 2, . . ., т, если fa и к2 не равны нулю, и значение т + 1,
если /ti и А-2 равны нулю.
Таким образом, разложение для и имеет действительно фор-
му D1).
Теперь, рассматривая сначала первое уравнение C9), мы видим,
что Li разлагается по степеням Ее±%жц в силу второго уравнения
C9) получаем, что ДА,, также разлагается по степеням Eeiiw* и,
следовательно, то же самое имеет место и для А,,.
Первое уравнение C9') показывает нам, что Xe~iu* разлагает-
ся в ряд вида D1), в котором s равно 1, и поэтому X также может
быть разложена по степеням Ee±iw*. Второе уравнение C9') показы-
вает, что то же верно и для У.
Таким образом, сформулированная теорема доказана.
136. Из двух предыдущих параграфов следует, что в случае
ограниченной задачи разложения B7) для неизвестных могут быть
представлены в некоторой частной форме. Рассуждая, как в § 69,
мы увидим, что каждая из четырех величин
L—L[ A,j—Wi, I—Ecosw2, Г)—Es'mw2 D3)
имеет вид
2 (i° AxmE<l cos (fcjji-! + k2w2 + h),
• e., обращаясь в нуль при ц = 0, может быть разложена по сте-
JWflM ц, Е, т и по синусам и косинусам кратных w, причем А и h

168 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
будут зависеть только отЬ\, а целое q будет удовлетворять условиям
q = k2(mod2), q>\k2\. D4)
Рассуждая, как в §71, 86 и 111, мы увидим, что эти разло-
жения не должны менять знак, если ти ш; заменить на — т и
—wt. Отсюда следует, что h должно быть равно 0 или — ¦? .
Оно равно нулю, когда т четно, и — у , когда тнечетно в раз-
ложениях для
L — L\, |—Ecosw2,
и равно нулю, когда т нечетно, и —у , когда т четно в разло-
жениях для
Я,! — Wx, ч\—Esinw2.
Мы удовлетворим уравнениям движения, полагая в разложе-
ниях D3)
т = 0, Wi = n\t.
Из всего этого можно сделать вывод, что величины, которые
в § 129 мы обозначили через Wi и п\, разлагаются не только по
степеням ц, но и по степеням Е cos w2, E sin w2, и так как эти
величины являются постоянными, не зависящими от w2, т о они
разлагаются по степеням ц и Е2.
137. Периодическое решение. Полагая в уравнениях D3)
т = 0, wt = щг -f щ,
мы будем иметь решение уравнений движения (в которые не вхо-
дят вековые члены), зависящее от четырех произвольных по-
стоянных
L\, E, щ, ©2.
Дадим произвольной постоянной Е значение, равное нулю.
Тогда в разложениях D3) исчезнут все члены, кроме тех, в которых
q = 0 и кг = 0. Эти члены, следовательно,
не будут зависеть от wz. Таким образом, в этом част-
ном решении неизвестные Lt, |, т), К± — Wi зависят только от м^.
Более того, они являются периодическими функциями и?! и, сле-
довательно, времени.
Взаимные расстояния между тремя телами поэтому являются
периодическими функциями времени. Это периодическое реше-
ние играет весьма большую роль. Оно изучено очень подробно

ГЛ. VII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 169
в главе III первого тома «Methodes nouvelles de la Mecanique
celeste» под названием «периодическое решение первого сорта».
Мы видим, что определенное таким образом периодическое
решение зависит от двух произвольных постоянных. Действи-
тельно, мы положили Е = О, так что наши неизвестные не зависят
более от ш2 и, следовательно, от <о2. Остаются, таким образом, две
постоянные L\, &>i.
Переменные Lt и | разлагаются по косинусам кратных wit
а переменные с^и т] разлагаются по синусам кратных w,. Из этого
следует, что когда wt кратно 2я, мы имеем симметричное соедине-
ние, т. е. все три тела находятся на одной прямой (малая планета
находится между Солнцем и Юпитером) и их скорости перпендику-
лярны к этой прямой. Наоборот, когда Wi равно нечетной крат-
ности л, мы имеем симметричную оппозицию, т. е. все три тела
находятся на одной прямой (Солнце находится между малой пла-
нетой и Юпитером) и их скорости перпендикулярны к этой прямой.
Симметричные соединения и оппозиции следуют друг за другом
периодически.
Если мы возьмем за начальный момент тот момент, когда
тела находятся в симметричном соединении, то будем иметь
©1 = 0, и остается единственная постоянная L\. Так как сред-
нее движение .зависит от этой постоянной, то мы видим, что сред-
нее движение может принимать все возможные значения и каж-
дому значению среднего движения соответствует периодическая
траектория этого сорта.
В действительности Е не равно нулю, но является весьма
малой величиной, так что малая планета будет мало отклоняться
от периодической траектории.
138. Замечание. Вернемся к разложениям B5). В § 132 мы
видели, что для получения разложений B1) нужно положить
или х — t, wi = ntt, или т = 0, w, = n\t, и затем разложить
по степеням ц., т. е. по степеням щ — nt.
Значит, если взять разложения B5), положить в них т = 0у
заменить Wi через wt -f- (щ — п{) t и затем разложить по степе-
ням т, то мы получим снова разложения B5), из которых исходили.
Мы видели, что уравнения движения удовлетворяются, если
положить в разложениях B5)
т = 0, Wi = riit
Из замечания, которое мы сделали, следует, что уравнения
движения удовлетворяются также, если положить
т = /(*), и>< = П{*-Н»» + (П|—«0/@.
гДе / @ — произвольная функция времени.

170 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Если, в частности, мы положим / (t) = / + с, то уравнения дви-
жения удовлетворяются, если положить
i—п\)с.
Таким образом, постоянная, которую мы обозначили через е{,
есть не что иное, как
Вместо разложений B5) рассмотрим разложения B8), содер-
жащие постоянные Ц, к\, которые являются средними значе-
ниями неизвестных. Эти разложения характеризуются тем, что
в них Wi и %\ входят только в комбинации и>1 + Я{. Следова-
тельно, будем иметь
L% или Ki = f(L\, wt-j-K], x).
Согласно замечанию, которое было сделано, мы найдем снова
те же разложения, заменяя т нулем и wt величиной
u>i + (m — п{) т.
Поэтому будем иметь
Lt или %i = f[L\, гог + к\ + (щ—nt)x].
Если т заменить нулем и wt заменить выражением n\t + сог, то
'будем иметь
Li или Ki = f(L\, riit + щ + М).
Если же заменить т величиной (+«и wt заменить величиной
nit -J- в/, то будем иметь
Каждая из этих формул содержит, как и нужно, 2л существен-
но различных произвольных постоянных, а именно, L\ и ©j + К\
в первом выражении и L\, XJ + et + (щ — nt) с— во втором.

ГЛАВА VIII
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ
139. Вернемся к общему случаю задачи трех тел. В § 104 мы
показали, что общий член разложения неизвестных имеет вид
ра AWlotm cos (yt + h)
и классифицировали члены по рангу, т. е. по значению числа
<х — т.
В § 106 были доказаны три теоремы о ранге:
1) в разложениях для переменных нет членов отрицательного
ранга;
2) нет смешанных вековых членов нулевого ранга;
3 в разложении ЬЬг нет членов нулевого ранга.
Проблема, которой мы будем теперь заниматься, заключается
в исследовании вековых возмущений планет, т. е. в исследо-
вании членов нулевого ранга.
Важность этой задачи совершенно очевидна, так как именно
ют членов нулевого ранга зависит конфигурация солнечной системы
в отдаленном будущем.
Чтобы вычислить эти члены нулевого ранга, вернемся к урав-
нениям (9) из § 106, которые напишем следующим образом:
о '
\ -дг-dt,
t t
A)
Мы знаем, что в Ыц нет членов нулевого ранга. Сначала зай-
мемся нахождением членов нулевого ранга в разложениях b\i и 6т^.
Для этого возьмем второе и третье уравнения A) и в обеих ча-
стях этих уравнений сохраним только члены нулевого ран-
га (действительно, обе части уравнений тождественно равны,

172 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
поэтому члены нулевого ранга в левой части равны членам нулево-
го ранга в правой части).
Производные функции Fl имеют вид
IBW, B)
где В с точностью до постоянного множителя есть одна из произ-
водных функции Fx, в которой переменные Lt, kt, ?ь т)г заменены
их значениями из первого приближения L\, щ1Аг%\, ??, г|". Что
касается501', то это одночлен, целый относительно bLt, 6Яг,6|г 6т]г.
В § 106 мы видели, что члены нулевого ранга в б|г и b\\i могут
происходить только из членов нулевого ранга в разложениях
dFi dFi тт „
— ~ и -дат... Действительно, в результате умножения на ц ранг
увеличивается на единицу, а потом, в результате интегрирования,
ранг уменьшается на единицу.
,, dF, OFi „
Мы получим один из членов в разложениях —^—- или -~-, оеря
в разложении B) один член вида 2?50Г. Этот член является произ-
ведением нескольких множителей, а именно, В и различных мно-
жителей 6Lt, . . . в 3QH'. Нужно взять по одному члену в каж-
дом из этих множителей и составить их произведение. Именно
так мы получим различные члены в разложении Bffl.
Возьмем по одному члену в каждом из множителей. Членов
отрицательного ранга не существует, поэтому ранг произведения
может равняться нулю только тогда, когда все множители имеют
нулевой ранг. Все члены нулевого ранга в ЬЬ, Ь\, Ьх\, ЬХ являются
чисто вековыми. Все члены нулевого ранга в разложении Ш' яв-
ляются поэтому чисто вековыми, так как они получаются перемно-
жением нескольких чисто вековых членов.
Чтобы получить некоторый член разложения ВУЯ1', нужно
каждый член разложения 50Г умножить на некоторый член раз-
ложения В. Член разложения ВШ' может дать член нулевого ранга
в б| или бт], только если он сам имеет ранг, равный нулю, п являет-
ся чисто вековым. Следовательно, он должен быть произведением
члена из 501', который должен быть членом нулевого ранга и потому
чисто вековым, на член из В, который тоже должен быть чисто веко-
вым, чтобы произведение было чисто вековым. Разумеется, что чле-
ны в разложении В, которые мы называем чисто вековыми,
постоянны и не содержат никакого множителя вида tm. Мы их на-
зываем так просто потому, что они не содержат тригонометриче-
ских множителей.
Таким образом, мы пришли к розыску чисто вековых членов
в В. Пусть
F{ = 2 A cos (&Л + k2%z + h),
где А и h зависят от L, |, ч\.

ГЛ VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 173
Чтобы получить В, нужно взять какую-либо частную произ-
водную функции />',, умножить ее на некоторый числовой множи-
тель и, далее, заменить Яг на ntt — Я°, а другие переменные —
постоянными.
Рассмотрим какой-нибудь член /\. Если kt и к2 не равны одно-
временно нулю, во всех производных F{ соответствующий член
имеет множителем косинус или синус аргумента kfa -\- к2К2 + h,
и когда Я{ заменена на ntt + Я?, то он будет иметь множителем
косинус или синус аргумента vt + &,Я? + к^ + h, и так как
v Ф О, то он не будет чисто вековым.
Чтобы получить чисто вековые члены в разложении В, нужно
взять в Fi только члены, не зависящие от Я] и Я2. Обозначим сово-
купность этих членов через Я. и назовем ее вековой частью возму-
щающей функции.
Пусть Вй есть совокупность чисто вековых членов в В. Ясно, что
В0 получается из производных функции R, так же как и В полу-
чается из Ft.
Обозначим через 3J?o то> во чт0 обращается fffl', когда ЬЬ, б|, Ьх\,
6Я заменены их чисто вековыми членами нулевого ранга. Тогда со-
вокупность членов нулевого ранга в
будет равна
Как мы составили сумму 2-^391' Мы взяли одно из двух вы-
Эр *\р
ражений —-0-г> -щг » заменили в нем Lu Я4, |г, i)t на Ь\\-ЬЬи
Я,? -f- nit-\-b'kl, |? 4- б|ь т)? -f- 6т]{ и затем разложили по степеням
bLt, 6ЯЬ ЬЬ, 6т1г.
Пусть
DLU DKU D\u Dx\t
означают совокупности членов нулевого ранга в
ЬЬи Ь%и Ь\и 6л*-
2 В0Шй составляется из R, DLt, Dkt, Dlt, Dy\t так же, как
и 2^391' vaF^bLt, 6Я4, б|(, bi\t. Следовательно, чтобы получить
2#оЭД^ нужно взять одно из двух выражений—-g—,^17,
заменитьв немLt,Яг, |(,Г)г выражениямиLi+DLt, Я? + ntt 4-?)Яг,
!? 4-Z)|j, л? 4- Di\i и затем разложить по степеням DLt, DXt,
u Dr\t.

174 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Возьмем второе уравнение из A)
ogi = —u \ —— dt.
0
Мы имеем
-4Й--2*»'.
откуда
6Ij = h t YBWdt.
0
Приравнивая в обеих частях члены нулевого ранга, будем
иметь
#ii=n$ 2iB0m'0dt.
о
Но
Y.BW= dR
Zi °JJ о дЦ1 •
Следовательно,
(
Если сохраним в ?{ только члены нулевого ранга, т. е. |? -f D\u
то будем иметь
d\i _
dt ~
dt ~ dt
и поэтому
^- = -^^7 C)
и точно так же
В обеих частях уравнений C) и D) нужно заменить
на
Но Z>L( есть нуль, так как Lt не содержит членов нулевого
ранга. Более того, R не зависит от Xt и то же самое можно сказать

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 175
о частных производных -^ и -щ-. Следовательно, %t не входят
в уравнения C) и D).
Поэтому будет достаточно заменить Liy |ь ч\г на Li, |° -f- D%i,
Таким образом, уравнения C) и D), в которых Lt нужно рассмат-
ривать как постоянные, образуют систему канонических уравне-
ний, определяющих члены нулевого ранга в |{ и т]{, и следователь-
но, вековые возмущения эксцентриситетов и наклонностей.
140. Предыдущий анализ можно представить в несколько дру-
гой, хотя, в сущности, эквивалентной форме.
Рассмотрим общий член разложения A1) из § 108.
Он имеет вид
раАтт cos (kiWi -f- k2w2 + Л),
и так как он не может иметь отрицательный ранг, то т< а. Если,,
следовательно, положим цх = т', то этот член напишется в виде
ца-'Мт"" cos
так что наши разложения будут располагаться по положитель-
ным степеням цит' ипо косинусам и синусам кратных w.
Эти разложения будут удовлетворять уравнениям движения
и, в частности, уравнению
dt ~ г дщ '
когда положим в нем
Но тогда имеем
и наше уравнение принимает вид
Обе части этого уравнения могут быть разложены по степеням
(I и т' и по косинусам кратных w.
Мы получим члены нулевого ранга в |{ или в —^~-, полагая
в последнем ц = 0 (предполагаем, разумеется, что когда полагаем
[I = 0, то т' остается конечным). При этих условиях |j сводится
к членам нулевого ранга и не будет зависеть от w, так как все-
члены нулевого ранга являются чисто вековыми, поэтому

176 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Аналогично положим ц, = 0 в -~Л. Это сводится к замене
в этих производных неизвестныхLj, |;, i\t, Kt на совокупность их
членов нулевого ранга, т. е. на L?, ?? +Dlt, т)? -\-Dr\t, Я? 4-
4- wt -\-Dki. Пусть, следовательно,
A sCj°nS (kfa + kj*)
— какой-нибудь член в— ^-f , где А зависит от |, tj, L.
Если в этом члене заменим Lu \u т]ь А,, на L°, |° -\-D\t,
т)? -{-Dr\t, X? -J- wt -{-DKt, то получим
где Ло является значением Л после этой замены, тогда как
h = A^J
Члены нулевого ранга являются чисто вековыми и, следова-
тельно, не зависят от w. Из этого следует, что Ао и h не зависят
от w. Таким образом, рассматриваемый член имеет аргумен-
том kiWi 4- kzw2.
Но мы хотели сохранить лишь чисто вековые члены, т. е. члены,
не зависящие от w. Это те члены, в которых А, = к2 = 0, т. е. те,
dFi
которые происходят из члена в разложении —-^-7 .независящего
ни от ки ни от Я,2. Но совокупность членов в —-з-^ , независящих
от Ki и Я,2, есть — -^- .
Следовательно, если приравняем в обеих частях уравнения E)
чисто вековые члены с рангом единица | мы говорим единица,
г. не нуль, так как член нулевого ранга в —^- дает нам член
« рангом единица в правой части уравнения E) — \i -^—*- | , то
найдем
где Lt, |j, т|4 нужно заменить на L\, |? +?)|г, ti? -\-Dx\i, т. е.
заменить Li, |{, х\г их членами нулевого ранга.
Аналогично находим
dr\t dR /c,.
^ F)

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 177
Так как, кроме того, при замене | и г| их членами нулевого
ранга мы имеем
то можем написать
dh dR dx\i дД
Таким образом, канонические уравнения G) будут давать нам
члены нулевого ранга в разложениях |г и г\г.
141. Посмотрим, как можно использовать последнее уравне-
ние из A),
й5
0
для вычисления членов нулевого ранга в 6A,j, которые мы обозна-
чили через D%t.
В § 106 мы видели, что интеграл
может давать только члены ранга не меньше единицы. Что касает-
ся первого интеграла
то члены нулевого ранга, которые он может дать, могли бы проис-
ходить только из чисто вековых членов ранга
единица в выражении
Но Пуассон доказал, что такие члены не существуют.
Таким образом, нам остается рассматривать только третий ин-
теграл, но мы можем установить это только
после доказательства теоремыПуассона,
что будет сделано ниже.
Что касается третьего интеграла, то мы убеждаемся, как и в
предыдущем параграфе, что члены нулевого ранга, которые он
может дать, заключены в формуле
t
12 а. Пуанкаре

178 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
так что имеем
(8)
В правой части ^~зависит от ^г> ?«> ^i и н е зависит от
A,j; разумеется, нужно в ней заменить Lt, |г, т){ на L\, |" -\-D\u
Следовательно, когда из уравнений G) определены члены
нулевого ранга в | и т), т. е. вековые возмущения эксцентриситетов
я наклонностей, то простой квадратурой определим члены нуле-
вого ранга в К, т. е. вековые возмущения средних долгот.
142. Вид функции R. Зная из главы IV форму Fu мы можем
из нее вывести R, так как R получается из Fu если отбросить
в последней члены, зависящие от К.
В § 83 и 86 мы видели, что
iiF1 = 2 4eM«tf*?*«» B Mi + S Л®|).
где Л зависит только от Lt. Мы видели, что целые числа 2</ и р
удовлетворяют условиям
2qi ss pi (mod 2), 2gt > | pj |.
В § 87 мы видели, что
и, наконец, в § 88, что сумма р2 + рь всегда четна.
Посмотрим, каковы следствия из всего этого. Мы видим, что
Fi разложима по степеням
i)i = V 2qi sin ©г.
Это также имеет место для R и степень какого-либо члена по
отношению к | и т) в точности равна
В R все к равны нулю, и мы имеем
а следовательно,
2р=о,
и так как 2q~— такой же четности, как и р, то
2 2? = 0 (mod 2).

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 179
Таким образом, разложение функции R по степеням | и i\
содержит члены только четной степени.
Из условия 2р = 0 мы видим, что R не изменится при замене
It и т)| на
Ijcose — T]{Sine, |j sin е+т]{ cose,
и мы имеем
Другими словами, сумма целых р, относящихся ко всем обли-
ческим переменным (т. е. переменным, определяющим наклон-
ности), всегда четна.
И так как имеем
то будем иметь также
= O (mod 2),
т. е. сумма целых р, относящихся ко всем эксцентрическим пере-
менным (т. е. переменным, определяющим эксцентриситеты), тоже
четна.
Так как 2д имеет ту же четность, что и р, то заключаем, что
2?2+ 2^4 и 2g! + 2g3 также четные числа.
Таким образом, разложение функции R по степеням | и i\
содержит только члены четной степени как относительно об-
лических переменных, так и относительно эксцентрических пере-
менных.
Все эти свойства немедленно обобщаются и на случай задачи
более трех тел.
143. В первом приближении мы можем, следуя Лагранжу, пре-
небречь четвертыми степенями эксцентриситетов и наклонностей.
В этом случае уравнения G) принимают особенно простой вид.
Пусть, в самом деле,
есть разложение R, где через R_p обозначена совокупность членов
степени р относительно | и tj. Пренебрегая четвертыми степенями
| и т], имеем
и так как Ro не зависит от | и т), то уравнения G) приведутся
к виду
3l ,,^ hl „ _?
dt ~ 1* dr\t ' dt ~r d\i •
12*

180 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Так как R2 есть функция второй степени относительно ? и ц,
то правые части уравнений G') будут линейными относительно
| и т] и коэффициенты этих линейных выражений зависят только
от постоянных Lu
Таким образом, уравнения G') являются
линейными уравнениями с постоянными
коэффициентами.
Мы также знаем, что вес члены в разложении функции R имеют
четную степень как относительно облпчеекпх переменных, так и
относительно эксцентрических. Поэтому в R2 будем иметь члены
второй степени относительно одних переменных и нулевой степе-
ни относительно других, и наоборот, но в R2 нет членов первой
степени относительно одних переменных и первой степени отно-
сительно других.
Следовательно, будем иметь
где jRj зависит только от эксцентрических переменных, a R —
только от облических переменных. В силу этого система G') распа-
дается на две системы:
J" _ _ ОЩ jlr\i _ OR^ ,„„.
dt r dm ' dt r с>|г
G")
d\i _ дЩ dr\
dt ~ I* ть" ' ~rfJ
Уравнепия G"), в которые входят только эксцентрические пе-
ременные, определят вековые возмущения эксцентриситетов.
В уравнения G™) входят только облические переменные, поэтому
они будут определять вековые возмущения наклонностей.
С другой стороны, Fx не изменяется при изменении знаков пере-
менных X и (о, т. е. знаков X и ц (см. § 86). Следовательно, R и R2
не изменятся при изменении знака т]. Отсюда следует, что R2
содержит или только члены второй степени относительно | и ну-
левой степени относительно т], пли наоборот, но не содержит
членов первой степени относительно | и членов первой степени
относительно ц. То же самое относится к R'2 и R"a. Поэтому будем
иметь
тде S'a и S зависят только от |, тогда как T't и Т"г зависят только
ОТ Т].
Далее, мы видели, что R не изменится, если | и т] заменить на
| cos e — т] sin e и | sin e -j- т] cos e. То же самое можно сказать

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 181
и о функциях jRj и jRj. Но при этих условиях jRj будет равна
5g(|cos е — т] sin е) + 7"а (?sin e + r\ cos e)
или
cos2 eS'z (I) — 2 cos e sin e 2 Л Щ- + cos2 e?; (r\) +
+ sin2 еГ; (|) + 2 cos e sin e ^ i -^- + cos2 еГ; {ц).
Для того чтобы это выражение при любых е было равно
необходимо, чтобы мы имели
(9)
откуда следует, что 5^ составлена из |, также
как ^составлено из т). Тоже верно и для функций
л1; и г2.
Таким образом, уравнения для эксцентрических переменных
будут иметь вид
и для облнческпх переменных будут иметь вид
144. Различные интегралы. Уравнения A0) или A0') допу-
скают некоторое количество важных интегралов. Прежде всего, си-
стема (Ю) или G") допускает интеграл живых сил
Д; = const. A1)
Система A0') или G") тоже допускает интеграл живых сил
R = const. (llf)
Возьмем теперь уравнения A0). Умножим первое из них на |2,
второе — на т]г и сложим, что дает

182 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Но в силу уравнений (9) правая часть равна нулю, а поэтому мы
будем иметь
2 (Б! + Л?) = const. A2)
Суммирование распространяется на все эксцентрические перемен-
ные. Поступая так же с уравнениями A0), мы найдем
2 (Б! + л!) = const, A2')
где суммирование распространяется на этот раз на все облические
переменные.
Интегралы A2) и A2') есть не что иное, как интегралы площа-
дей. В самом деле, в § 90 мы видели, что эти интегралы имеют
вид
l —«1—у"-Л4 \/L2-Q3 — -f- =COnst,
-Б» lAi-ei—f— |4|А2-оз—§¦=const,
2 ? — 2 Q — const.
Если имеется более двух планет, то можно написать более общим
образом
— Q2 — ^- = Const,
A3)
- 2 Е» lAi - ei —f-=const,
2 (?i—ei—ег)=const,
где знак суммы 2 означает, что написанный в явном виде член
— тJ у Li — Qi — -у- относится к первой планете и к нему сле-
дует добавить аналогичные слагаемые, относящиеся к другим пла-
нетам.
Третье уравнение A3) можно написать в виде
где суммирование распространяется на этот раз на все переменные
| и т), как эксцентрические, так и облические. Это уравнение
должно будет выполняться тождественно при замене неизвест-
ных L, | , т] их разложениями по степеням ц, т и по косинусам
и синусам кратных w; или еще, полагая, как и в § 140, цт = т',
мы заменим неизвестные их разложениями по степеням (х и т'
и по синусам и косинусам кратных w.

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 183
Левая часть тогда представляет собой некоторую функцию от
ц, т', w, и эта функция должна быть тождественно равна постоян-
ной. Она будет также равна постоянной, если положить ц = 0.
Но если положить ц = 0, оставляя т' конечным, то неизвестные
L, |, т] приводятся к их членам нулевого ранга, откуда следует,
что уравнение A4) удовлетворится и в том случае, когда неизвест-
ные заменены их членами нулевого ранга.
Но при этих условиях Li приводится к L\, так как 6Lt не со-
держат членов нулевого ранга. Итак, 2L есть величина постоянная,
а поэтому будем иметь
где | и т) предполагаются замененными их членами нулевого ранга.
Это равенство получается сложением равенств A2) и A2').
145. Замечание. Нужно заметить, что мы сделали неявно одно
предположение, на которое необходимо обратить внимание, так
как оно могло бы остаться незамеченным, а именно, что все пла-
неты вращаются в одном направлении. Вот как оно было введено.
Мы положили
e*, 6 = Gcosi.
Если, следовательно, L положительно, то G меньше L и тоже поло-
жительно. Далее, в также положительна и меньше L. Из этого
следует, что
Qi = L—G, Q2 = G—6
положительны и что | и г\ вещественны.
Если, наоборот, L отрицательно, то таким же будет и G, а сле-
довательно, и
Поэтому | и г\ оказываются мнимыми.
Таким образом, если мы хотим, чтобы | и г\ были веществен-
ными, нужно, чтобы L были положительными. Но среднее движе-
ние планеты равно некоторому положительному множителю (за-
висящему от масс), разделенному на L3. Допустить, что L являются
положительными, это все равно, что допустить, что все средние
движения положительны, т. е. что все планеты вращаются в од-
ном направлении.
Предположение, что L положительны, не ограничивает общ-
ность. Действительно, планета, которая движется в обратном
направлении по орбите с наклонностью i, может рассматриваться
как движущаяся в прямом направлении по орбите с наклон-
ностью я — i. Следовательно, можно допустить, что все планеты
движутся в одном направлении.

184 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Но в предыдущем анализе мы предположили, что наклонности
весьма малы. Следовательно, предыдущие рассуждения не прохо-
дят, если планеты движутся по орбитам с малыми наклонностями,
но не в одном направлении. Действительно, их нужно будет рас-
сматривать как планеты, движущиеся в одном направлении, при-
чем наклонности одних планет будут весьма малы, а наклонно-
сти других — очень близки к 180°.
Если, тем не менее, мы хотим применить к этому случаю пре-
дыдущие аналитические формулы, то это возможно, но при условии,
что некоторые из | и т] будут мнимыми.
Впрочем, это не так существенно, так как такой случай в при-
роде не встречается.
146. Теперь остается проинтегрировать линейные уравнения
A0) или A0'). В задаче с га планетами, т. е. в задаче (re -f- 1)-го
тела, мы имеем 2ге эксцентрических переменных и 2га облических,
так что каждая из этих систем будет порядка 2га.
Известно, какова форма общего решения системы порядка р
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами.
Обозначим неизвестные через хих2, ..., хр и пусть а,, а2, ..., ар
суть корни определяющего уравнения, которое легко составить.
Каждому корню at будет соответствовать одно частное реше-
ние системы вида
где Bik — постоянные, которые легко вычисляются. Общее реше-
ние будет иметь вид
тк =
А — произвольные постоянные.
В том случае, когда уравнение, определяющее а, имеет крат-
ные корни, мы можем иметь еще так называемые вырожденные
решения, которые имеют вид
где Pik суть целый многочлен относительно t.
Будем применять эти результаты либо к системе A0), либо
к системе A0'). Сначала заметим, что уравнение, определяющее
а, не может иметь вещественных корней, отличных от нуля. Дей-
ствительно, если бы оно имело вещественный корень а, то система
допускала бы решение вида
где С и D — постоянные. Тогда мы имели бы

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 185
Но левая часть этого равенства должна быть постоянной, а пра-
вая часть будет постоянной 2 (С2 + DI), умноженной на перемен-
ный множитель е2"'. Это может быть только тогда, когда обе
части равны нулю. Поэтому
т. е.
Покажем теперь, что характеристическое уравнение может
иметь только чисто мнимые корни, т. е. корни с нулевыми веще-
ственными частями. В самом деле, пусть а = Р -f- iy — один из
корней и предположим, что вещественная часть $ не есть нуль.
В этом случае система должна допускать частное решение вида
Это решение является мнимым, но сопряженное ему мнимое ре-
шение также удовлетворяет линейным уравнениям, а значит,
решением будет также их полусумма, которая является действи-
тельной величиной,
|а = CfteP' cos yt —C'keP* sin yt,
r\k = DkeP* cos у*—DheP* sin Y*.
откуда
2 (II + Л*) = 2 (tt + D\) eW cos* yt -
—2 2 (CkPlt + DkD'h) eW sin yt cos yt + 2 (d? + Dtf) eW sin* Y'-
Но если Р не есть нуль, то функции 1, е2Р'cos2 y'. e2P'sin2 y^,
е2Р' sin yt cos yt не связаны никаким линейным соотношением
с постоянными коэффициентами. Следовательно, предыдущее ра-
венство, левая часть которого равна постоянной в силу уравнений
A2) и A2'), может иметь место только в том случае, когда все
члены равны нулю. Итак, будем иметь
откуда
Теперь покажем, что наша снстемЪ не может иметь вырожден-
ных решений. Действительно, допустим, что имеется решение
6* = /»**•', Ла = <?*«"'. A5)
где Рк и ()ft — целые многочлены относительно t. Всегда мож-
но предполагать, что Рк и Qh являются многочленами первой

186 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
степени, так как если система допускает решение A5), она будет
допускать также решение
?fc = iV", л* = &««', A5')
где P'k и Q'k — производные многочленов Рк и Qk.
Более того, а будет чисто мнимым, так как если мы имеем
решение A5), где Рк и Qh, по предположению, многочлены первой
степени, то будем иметь также решение A5'), где P'k и Q'k будут
постоянными и к которому применило! предыдущие рассуждения,
которые установили, что а должна быть чисто мнимой.
Пусть а = iy. Решение A5) будет мнимым и соответствующее
сопряженное решение будет удовлетворять уравнениям так же,
как и его действительная часть. Эта действительная часть будет
состоять из членов с t cos yt, t sin yt, cos yt и sin y^ Пусть
%h = ift + Ia.
— это действительная часть, где |^ и r\k представляют совокуп-
ность двух членов с t cos yt и t sin yt, a ?? и r\"k — совокупность
двух членов с cos y* и sin yt.
Тогда будем иметь
S
Левая часть должна быть постоянной в силу уравнения A2). Но
^(Бк' + Лл*) линейна относительно **cos*y'»
Jasin2Y*i *г sin yt cos yt,
2 (?ft?ft + Л*1!*) линейна относительно tco&yt,
?sin2Y*> ? sin y*cosy*.
2 (Eft1+ 4?) линейна относительно cos2y*, sin2Y*, si
Между десятью функциями 1, tp cos2 y*, tv sin2 y* » tp sin y* cos yt
(p = 0, 1, 2) не существует другого линейного соотношения с по-
стоянными коэффициентами, кроме
cos8 y* + sin8 y< = 1-
Поэтому предыдущее равенство люжет иметь место только тогда,
когда коэффициенты при членах с t2 равны нулю, т. е. будем иметь
откуда

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 187
Из этого следует, что многочлены Ph и Qk должны приводиться
к постоянным, т. е. что не существует вырожденных решений.
147. Так как S2 зависит от | так же, как Т2 зависит от г\, то
наши уравнения не изменятся, если заменить | на — х\ и г\ на |.
Следовательно, если они допускают решение
то они будут также допускать решение
Более того, уравнения не изменятся при замене г\ на — г\ и
/ на — t, так что они допускают также решения
Следовательно, они допускают, кроме того, решения
Таким образом, если Dk = ± iCh, то одно из двух решений A6)
исчезает и корень а может быть простым.
Если, наоборот, Dh не равен ± iCk, то оба решения A6) будут
различными и корень а должен быть двойным. Но решения A6),
оба выведенные из данного решения, обладают тем же свойством;
поэтому в данном решении r\h равно |А с точностью до множителя
± г. Следовательно, без ограничения общности, мы можем поло-
жить
Dh=±iCh.
Полагая тогда
имеем
ift = Cfte+*Y*, r^zp^e+iv*. A7)
Из того, что было сказано выше, следует, что наши уравнения
будут иметь также решение
Ik = Cfte-*v', T,ft = q: 1CherW. A7')
Если у — простой корень, то других решений ни с e*V, ни
с e-iv< мы не имеем, так что эти два решения должны быть мнимыми
и сопряженными, откуда следует, что Ch вещественно.
Если у — двойной или многократный корень, то рассуждение
нужно немного изменить. Если наши уравнения допускают реше-

188 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
ние A7), они будут допускать также мнимое сопряженное решение
где С' —мнимая и сопряженная с Ch величина. Следовательно, за-
меняя t и т) на —t и —т], имеем решение
и поэтому
?а = (Ch + «) е«И, r,ft = ± i (Ch + Cl) e<*,
где коэффициент Ck-\-C% действителен, также есть решение.
Таким образом, мы всегда можем предполагать, что в решении
A7) коэффициент Ck действителен.
Теперь покажем, что всегда можно предполагать, что перед i
в формуле A7) стоит знак -f вместо ±. В самом деле, если возьмем
знак минус, то достаточно заменить у на —у и мы возвратимся
к формуле A7'), где знак ± изменен на обратный.
Если уравнения допускают решение A7), то они будут допускать
также сопряженное мнимое решение, откуда легко вывести, что
действительная часть решения A7)
Ia = Ch cos у*, Ла = — Ch si" yt A8)
также удовлетворяет уравнениям.
Итак, мы пришли к тому, чтобы постараться удовлетворить на-
шим уравнениям выражениями A8), из которых выводим
dt -I1'»1 dt — '**•
Если подставим, например, эти выражения в уравнения A0),
то получим
__ <п\_
dS3
Так как S'2 зависит от ?, так же как Т'г зависит от г\, то эти
уравнения устанавливают между т| такие же линейные соотноше-
ния, что и между |. Поэтому достаточно рассмотреть одно из
них, например,
Y|. = _^^1. A9)
Рассмотрим п эксцентрических переменных | как координаты
точки в re-мерном пространстве. Тогда уравнение

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИИ 189
будет представлять в этом пространстве поверхность второго
порядка. Обозначим эту поверхность через 2. Если га =¦¦ 2, т. е.
в случае задачи трех тел, то эта поверхность является эллипсом;
если п — 3, т. е. в случае задачи четырех тел, поверхность является
эллипсоидом в обычном пространстве.
Найдем оси этой поверхности 2. Для этого рассмотрим сферу
Постараемся определить %г таким образом, чтобы сфера дважды
касалась 2. Тогда % будет длиной соответствующей оси и точки
касания будут ее концами.
Но известно, что для этого нужно рассмотреть коническую
поверхность
и написать условие существования двойной прямой. Таким обра-
зом, мы найдем уравнения
Эти уравнения дадут нам значения Я2 и значения ?,-, которые
будут пропорциональны направляющим косинусам соответствую-
щей осн. Но эти уравнения будут тождественны с уравнениями A9),
если допустить
Я," _ _j^
2 ~ у •
Следовательно, значения у обратно пропорциональны квадра-
там осей поверхности S'2 -- 1 н равны
Что касается ?А и, следовательно, коэффициентов Ch, то они
пропорциональны направляющим косинусам соответствующей оси.
Таким образом, если известны по величине и направлению оси
поверхности S'% — 1, то решения вида A8) полностью определены.
Так как поверхность второго порядка в re-мерном простран-
стве имеет п осей, то мы имеем п различных решении вида A8).
Из каждого такого решения мы можем вывести более общее реше-
ние, содержащее две произвольные постоянные A u h:
U = AChcos(yt + h), ти = — ACk sin (yt + h).
Складывая эти п решений, находим решение, содержащее 2га
произвольных постоянных. Следовательно, будем иметь общее
решение задачи.

190 ТОЙ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
148. Квадратичные интегралы. Итак, общее решение полу-
чается следующим образом:
Пусть Y;— одно из п значений у, так что соответствующее
частное решение имеет вид
ift = A.iCih cos (ytt + ht), "Па = — AtCth sin (ytt + ht),
а общее решение дается формулами
и
Щ=— % AtC th sin (ytt +ht). B1)
Из п равенств B0) можно получить п величин
A cos (y* + h)
в виде
Точно так же из п равенств B1) можно выразить п величин
Asm(yt-\-h),
и так как коэффициенты С в уравнениях B0) и B1) одни и те же,
то мы получим
—At sin (ytt + hi) = 2 А
Беря сумму квадратов, найдем
B Дг*1*)Ч B zW=^=
Это — квадратичные интегралы наших уравнений. Число их
равно ге, так как индекс i принимает значения 1, 2, . . ., п.
149. Линейные интегралы. Все, что было сказано, может быть
применено как к формулам A0), т. е. к эксцентрическим перемен-
ным, так и к формулам A0'), т. е. к облическим переменным. Отме-
тим теперь одно свойство, принадлежащее исключительно урав-
нениям A0').
Вернемся к первым двум уравнениям A3). Эти уравнения
должны существовать и в том случае, когда L, |, г\ заменены их
членами нулевого ранга. Мы пренебрегли в R членами четвертой
^ dR
степени |, и, следовательно, в -~ членами третьей степени.
Будем продолжать пренебрегать кубами | и, следовательно,
членами |q и i\q. Тогда первые два уравнения A3) примут вид
= const, 2 ?2 VA = const.

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 191
В этих уравнениях Lt должны быть заменены их членами ну-
левого ранга, т. е. постоянными L\, после чего будем иметь
2l2/?j = const, 2 I2 У'Ц = const, B2)
а это суть линейные интегралы уравнений A0').
Это доказывает, что уравнение, определя-
ющее у, и м е е т один нулевой корень.
Действительно, если возьмем первое уравнение B2), то так
как начальные значения ? могут быть выбраны произвольно, по-
стоянная в правой части может принимать какое угодно значение.
Поэтому можно допустить, что эта постоянная отлична от нуля.
Подставим в уравнение B2) вместо | их значения B0). Тогда
получим линейную комбинацию величин
которая должна быть равна постоянной, отличной от нуля. Это
возможно только в том случае, когда один из косинусов сводится
к постоянной, т.е. когда одна из величин у равна нулю, что и тре-
бовалось доказать.
Это означает, что одна из осей поверхности второго порядка
S"a = 1 бесконечна, т. е. что поверхность вырождается в цилиндр,
в две параллельные прямые, если п = 2, и в эллиптический ци-
линдр, если п = 3.
Можно также сказать, что квадратичная форма S"t может обра-
титься в нуль вместе со всеми производными без того, чтобы
|, т), . . . обратились в нуль. В этом случае уравнения A0') при-
водятся к виду
dt "~u> dt -u'
так что | и г\ будут постоянными.
Это легко проверить. В самом деле, допустим, что орбиты всех
планет лежат в одной плоскости, но эта плоскость не является пло-
скостью xtx2.
Тогда наклонности не будут равны нулю и облические перемен-
ные | и т] тем более не будут равны нулю. Планеты будут оставать-
ся все время в одной плоскости, а поэтому наклонности и долготы
узлов будут постоянными.
Но мы имеем
Выражение Qt A — cos i) есть член четвертой степени относи-
тельно | и т] и в предыдущем анализе мы им пренебрегали; поэто-
му остается
Q2 = -Ml— cos г).

192 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
L, сводится к постоянной L\, a i — постоянна, как мы только
что видели, следовательно, q2 также постоянна. Если q2
и со2 постоянны, то то же самое можно сказать и относительно |2
и 1^2 " относительно всех облическпх переменных, которые могут,
таким образом, быть постоянными, не будучи равными нулю. А
это и требовалось доказать.
150. Алгебраическое уравнение /г-н степени, определяющее
значения у, было решено численно сначала Лагранжем, а затем
Леверье. Этот вопрос детально изложен в «Traite de la Mecanique
celeste» Тиссерана (глава XXVI, т. I).
Но ни Лагранж, ни Леверье не применяли канонические эле-
менты, поэтому нужно обратить внимание на изменение обозна-
чений.
Вместо того, чтобы разлагать, как мы делаем, по степеням |
и т), они разлагали по степеням
Z = ecosa),
p = tgisin6, <7 = tg l> cos О.
Но пренебрегая кубами эксцентриситетов и наклонностей, как мы
это делали, будем иметь
т,1=-у'Х./г,
Li приводятся к постоянным L\, так что \ и т| отличаются от А,
I, p и q только постоянными множителями. Таким образом, от
одного разложения немедленно переходим к другому.
151. Первая замена переменных. Вернемся к уравнениям
dh дТ'о dr\t dS'2
Рассмотрим поверхность второго порядка S'a = 1. Эта поверх-
ность расположена в n-мерном пространстве, и мы условились
считать, что п эксцентрических переменных
ii. |.ч> |в> •. •> ?гп-1
представляют координаты некоторой точки в этом пространстве.
Отнесем теперь эту поверхность к ее осям, которые возьмем
за новые оси координат. Пусть
Si» S3' &5> • • •» ъгп-1
— новые текущие координаты. Они будут линейными функциями
прежних координат \и |3< • • •> \in-u и, кроме того, мы имеем
тождественно

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 193
так как обе части этого тождества представляют квадрат одного
и того же расстояния точки от начала координат.
Так как поверхность S'2 отнесена к своим осям, то будем иметь
Определим также т|\ которые будут связаны с ц теми же
ейными соотношениями, что и ?' с ?. Следовательно, будем
рд
линейными
иметь
и, тождественно,
При этом суммы распространены на все нечетные значения индек-
са г. Следовательно, замена переменных является канонической,
так что уравнения A0) приведутся к виду
d4i dS't
Сделаем такие же преобразования с системой
dt ^ дщ ' dt '
с облическими переменными.
Рассмотрим точку, координаты которой суть ib облических пе-
ременных
52> ?4) ?в> • • •» ?гп,
и образуем поверхность второго порядка (9,-1. Мы отнесем ее
к ее осям и обозначим через
»2> Ъ4' ев' • • • 1 bsn
координаты относительно новых осей. Определим таким же
образом г\'3, тL, ... так, что получим между г\' и г\ те же линей-
ные соотношения, как между ?' и ?.
При этих условиях будем иметь
где суммирования распространены на все четные значения ин-
декса i.
13 А. Пуанкаре

194 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Замена переменных является канонической, и система A0')
принимает вид
Кроме того, ясно, что
где суммирование распространено на в с е значения индекса i.
Таким образом, замена переменных является канонической и си-
стема G) принимает вид
dl'i dR <*г\\ QR
-ж=-*Щ' ^г^Ж" B4)
Если мы учтем структуру S't, T't, S"t, T"t, то увидим, что
системы B3) и B3') будут иметь вид
1Г
откуда
r\i=—At sin (у it + hi),
где At и hi — произвольные постоянные.
Отсюда выводим
ii2 + "Hi2 = const,
а это есть квадратичные интегралы § 148. Комбинируя эти инте-
гралы, найдем
2 (ii2+л;2)=2 (а+л!)=const,
2 Y» (iis
где суммирование распространяется либо на все четные значения
индекса i, либо на все его нечетные значения. Эти равенства пред-
ставляют интегралы § 144.
В случае облических переменных одна из величин у равна нулю.
Пусть
так что
Si

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 195
откуда
l'tn = const, г\'2П = const,
т. е. мы получили линейные интегралы § 149.
Из этого видно, как легко получаются все результаты преды-
дущей главы.
152. Ограниченность эксцентриситетов и наклонностей. Выве-
денные формулы дают нам средство для нахождения верхних
границ, которые эксцентриситеты и наклонности никогда не могут
превосходить (разумеется, если сохранить только члены нулевого
ранга и пренебречь высшими степенями эксцентриситетов и на-
клонностей) .
Выше мы нашли интегралы
откуда, обозначая через е произвольный угол, имеем
| |i cos e + r\l sin e | < At.
Постоянные At легко определяются из начальных значений |
и т); их можно рассматривать как данные задачи и считать поло-
жительными.
Если обратиться теперь к уравнениям B0) из § 148, то увидим,
что можно допустить, что
Заметим, между прочим, что С,А, так же как и Dih, представ-
ляют косинусы угла, который прежняя ось |& образует с новой
осью |{. Следовательно, имеем
Поэтому будем иметь
|ft cos e + т]А sin e = 2 Cih (& cos e + т){ sin e)
и, следовательно,
liftcose + tiftsinej < 2-4||Сц|.
Но всегда можно найти такой угол е, чтобы
|ft cos e + T]ft sin е = у Ц + г\\,
так что имеем
I1Ai\Cih\. B5)
Отсюда следует ограниченность эксцентриситетов и наклонностей.
13*

196 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Существует один случай, когда эта ограниченность не имеет
места. В самом деле, мы имеем
Qi = L1(i —/I— ea), Q2 = (?i—ei)(l—cosi),
или, пренебрегая высшими степенями эксцентриситетов и наклон-
ностей,
т е« г i«
Qi = Li ~2 » Qz = Li ~2 '
Ho
где а, е и i означают большую полуось, эксцентриситет и наклон-
ность первой планеты.
Отсюда следует, что
содержит множителем массу т[. Это выражение имеет порядок т[,
умноженной на квадрат эксцентриситета. В таком случае неравен-
ство B5) дает нам верхнюю границу для произведения тга^е2; пусть
т[е* < В,
откуда
Если масса т[ весьма мала, эта верхняя граница для е может
быть весьма велика и может не иметь никакого практического
значения.
Поэтому необходимо исследовать, в частности, движение малой
планеты под влиянием возмущений одной или нескольких боль-
ших планет.
Допустим, что первая планета является малой планетой, т. е.
что тх весьма мала. Тогда с точностью до членов высшего порядка
будем иметь
Поэтому можно положить
где Фо будет зависеть только от координат больших планет или,
точнее, от координат соответствующих фиктивных планет и от
производных этих координат по времени. Что касается функции
<l>i, то она зависит от координат всех планет и производных этих
координат по времени. Масса mi бесконечно мала, но Фо и Ф]
конечны.

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 197
Составим теперь выражения R, Rz, R'^, R\, S'2, T'3, S"t, Т"г.
В каждом из этих выражений, например, в S'2, будем различать чле-
ны, происходящие от Фо и от тп^Фу. Первые будут конечными,
вторые будут порядка тр
Функция S'2 есть целый многочлен относительно п эксцентри-
ческих переменных
ii> |з) • • •> 1гп-1-
Первая из этих переменных относится к малой планете, поэтому
она будет порядка У mi. Другие относятся к большим планетам,
поэтому они конечны. Пусть тогда
где Р2 + P't есть многочлен второй степени относительно
Pi — многочлен первой степени относительно тех же переменных
и Ро — постоянная.
Pz представляет собой совокупность членов, происходящих
от Фо, P't—совокупность членов, происходящих от т%Ф1. Что
касается членов
то они все происходят от т1Ф1, так как Фо не зависит от координат
малой планеты и, следовательно, от |t.
Многочлен Р2> следовательно, конечен, тогда как
должен быть порядка mi. Так как ^ —порядка \^m~i, то мы долж-
ны заключить, что: 1) коэффициенты многочлена Р2 и постоянная
Ро конечны; 2) коэффициенты многочлена Рх имеют порядок
У^ти 3) коэффициенты многочлена Р'а имеют порядок mt.
Поэтому если положим
откуда
то многочлены
Рг, Q'2, Qu Po
будут конечными.
Мы определили оси поверхности второго порядка

198 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
Она мало отличается от поверхности
Одной из осей последней является ось ?it а другие перпенди-
кулярны к оси |4. Одна из осей поверхности S'3 = 1 (кроме одного
исключительного случая, о котором будем говорить в дальней-
шем) составляет с осью ?4 весьма малый угол порядка Ymi- Бели,
следовательно, вернемся к направляющим косинусам С,-А, то мы
увидим, что
^1,3, ^1,5» •••» Су, 2n-i>
— очень малые величины порядка Ymi-
Вернемся тогда к неравенству B5) и применим его к малой
планете. Будем иметь
Покажем, что правая часть — порядка Ymi- ^ самом деле, At
будет порядка Ymu т«к к«к она является начальным значением
Но
Начальное значение ?,[ — порядка Ymi< так как начальное
значение |4 — порядка Ymi и коэффициенты Ci3, . . ., Ci,27i-i —
также порядка ]/т7. То же положим для начального значения
г\[, следовательно, для Ai.
Первый член Ai \ Сц |, таким образом, имеет порядок Ymu
и то же самое можно сказать и о других членах, так как
Сз, 1' • • •» ^271-1, 1
— все порядка Ymi-
Итак, будем иметь
где Н — конечно. Но, как мы видели, пренебрегая высшими сте-
пенями эксцентриситетов и массы ть получим

ГЛ. VIII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 199
где М — масса Солнца, а не — большая полуось и эксцентриситет
орбиты малой планеты. Следовательно, имеем
что дает нам для эксцентриситета конечную верхнюю
границу.
Имеется, однако, один случай, когда предыдущие рассужде-
ния несправедливы. Это — тот случай, когда поверхность вто-
рого порядка
имеет две равные оси (одна из этих двух осей есть ось ?i). Здесь мы
не можем больше утверждать, что эти оси образуют весьма малые
углы с осями поверхности S't = 1.
Чтобы в этом убедиться, допустим, что п = 2, так что поверх-
ность S'x = 1 обращается в эллипс. Этот эллипс будет очень мало
отличаться от эллипса Р2 + /*01? = 1, оси которого совпадают
с осями координат. Оси этих двух эллипсов будут очень мало от-
личаться друг от друга и, следовательно, очень мало будут от-
личаться от осей координат. Но если второй эллипс превращается
в круг, мы не имеем права более утверждать, что оси эллипса,
весьма мало отличающиеся от диаметров круга, будут весьма мало
отличаться от осей координат.
К тем же результатам можно прийти и другим путем.
Наши уравнения могут быть записаны в следующей форме:
так как Р'2 и ?ijPi пренебрежимо малы по сравнению с Pz.
Из этих уравнений и из аналогичных уравнений для |* можно
вывести обычным путем вековые возмущения эксцентриситетов
больших планет. Тогда |* и r\t представляются в форме линейных
выражений относительно некоторых косинусов и синусов вида
cos (у* + h), sin (у* + h).
Далее,
или
-r&— 2(лР0^± = 2 A cos (y* + А),
так как Pt — линейная величина относительно |г и, следователь-
но, относительно cos (yt + A).

200 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Можно удовлетворить этому уравнению и его сопряженному
-§*- + 2цРощ = ^ А sin
полагая
где Yo = —2[iP0, а и Ао — произвольные постоянные.
Это выражение будет оставаться весьма малым, если только Yo
не будет равно одному из значений у, что соответствует случаю,
в котором наша поверхность второго порядка будет иметь две рав-
ные оси.
То, что мы сказали относительно эксцентриситетов, применимо
без изменений и к наклонностям.
Во втором томе «Annales de l'observatoire de Paris» Леверье
показал, что между Юпитером и Солнцем имеется точка, где
орбита малой планеты под действием притяжения Юпитера и Са-
турна может приобрести большую наклонность, так что этот
исключительный случай, о котором мы говорили, может осуще-
ствиться.

ГЛАВА IX
ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ
153. Исследование вековых возмущений эксцентриситетов и
наклонностей, т. е..исследование членов нулевого ранга перемен-
ных I и к), мы привели к интегрированию канонической системы
уравнений
dt — •* dr\i ' dt ~r dh ^'
и видели, как может быть осуществлено это интегрирование,
если пренебречь в R четвертыми степенями ? и т].
Поставим теперь вопрос о полном интегрировании системы A).
Покажем, что уравнения A) могут быть приведены к виду уравне-
ний A0) из главы VII и что, следовательно, все теоремы главы
VII применимы.
Если сделаем теперь замену переменных § 151, то уравнения
останутся каноническими и будут иметь вид
«Й - ц dR
B)
dR v '
_ _
dt -«* ag: •
154. Вторая замена неременных. Благодаря малости эксцен-
триситетов и наклонностей в разложении § 143 члены
R = R0 + R2 + Ri+... C)
быстро убывают. Чтобы сделать это более очевидным, можно,
выполнить новую замену переменных, которая послужит нам
только для того, чтобы лучше уяснить некоторые аналогии, но
которую нужно остерегаться делать на практике.
Положим
li = si?, T)i = ет||,
где в — коэффициент порядка эксцентриситетов и наклонностей.
Положим, кроме того,

202 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
откуда
Ясно, что S разлагается по степеням е2, !•", v\" и что Sp
есть однородная функция порядка р относительно %" и т)". Тогда
наши уравнения принимают вид
dEi dS dm dS ,,.
155. Третьи замена переменных. Положим теперь
Наши уравнения сохранят каноническую форму и напишутся в виде
doi _ as dm _ as (,,
at om at dQJ
Используя обозначения предыдущих параграфов, имеем
Отсюда выводим
В таком случае мы можем видеть полную аналогию уравнений
E) с уравнениями A0) из главы VII.
Мы видим, что
fiS играет роль /',
q" » » L,
ю" » » Я,,
Действительно,
1) функция iS разлагается по степеням е2;
2) при е2 = 0 она обращается в S2 и S2 зависит только от qI;
3) в общем случае между производными S2 не существует ни-
какого линейного соотношения с целыми коэффициентами, так
каку; — независимые эмпирические данные.
Это верно, по крайней мере, когда все планеты движутся в од-
ной плоскости и когда надо только беспокоиться об эксцентрисите-

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 203
тах, но не о наклонностях, но если необходимо учесть и наклон-
ности, то, как мы видели в § 149, одна из постоянных у будет
нулем.
Дальше, в § 165, мы покажем, как можно обойти эту трудность.
Ограничимся здесь лишь ссылкой на этот параграф, чтобы не пре-
рывать изложение.
4) Наконец, S, которая разлагается по степеням ?" и г\", есть
периодическая функция от со".
156. Все, что было получено в главе VII для уравнений A0),
применимо к уравнениям E).
В первом приближении (если пренебрегать е2) приводим S к
S2; тогда находим
dt ~u' dt ~ У"
откуда
Q{ = const, ©i = — ytt + const.
Эти формулы выражают результаты, полученные в предыдущей
главе.
Можно продолжить приближения дальше и применить метод
Лагранжа. Таким образом найдем для наших неизвестных q",
©"» ?"> Л* разложения вида
где А и h — постоянные и где
a A,#j — целые числа.
Постоянные — yt играют здесь роль средних движений nt.
Заменим в этих разложениях (на т, когда t стоит множителем
перед косинусом и когда показатель а не равен нулю, а под знаком
косинуса заменим vt на 2ktWi. В первом члене разложения для
G>i, где t стоит вне знака косинуса, но где а = 0, заменим — ytt на
<а{. В результате для
Qi, Щ — Wu g, Tlf
получим разложения вида
Эти разложения совпадают с разложениями главы VI. Следова-
тельно, мы удовлетворим уравнениям E), полагая
каковы бы ни были постоянные си 8j.

204 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В силу главы VII уравнения E) также будут удовлетворяться
если в разложениях подставить
т=0, и>г=—
где yi — определенные постоянные, мало отличающиеся от уь
о»; — произвольные постоянные интегрирования, yj разлагаются
по степеням е2 и обращаются в y« при е2 = 0 (см. § 131).
Значение этого результата весьма велико. Действительно, мы
видели, что, пренебрегая высшими степенями эксцентриситетов
и наклонностей, Лагранж и Лаплас показали, что эксцентриситеты
и наклонности будут всегда оставаться весьма малыми, откуда
следует устойчивость солнечной системы.
Остается ли результат верным, когда учитываются и высшие
степени этих величин? В этом можно сомневаться, так как, приме-
няя к уравнениям E) метод Лангранжа, мы увидим, что появляются
вековые члены. Но если применить другой метод, то можно пока-
зать, что устойчивость будет иметь место. Так будет, если учесть
i?4 и использовать метод, о котором будет сказано несколько слов
ниже. Но при этом возникает вопрос, можно ли уничтожить веко-
вые возмущения, если учесть члены еще более высокого порядка?*).
Следующие рассуждения решают этот вопрос полностью в том
смысле, что способ, который мы изложим, всегда позволяет унич-
тожить вековые члены.
Разложения
F)
как мы видели в § 138, могут быть получены следующим образом.
Сначала в разложениях F) положим т = 0, далее заменим w,
на и>{ + (Yi — Yi) T и тогда получим
(ег)° A cos [2 kw + 2 кх (у - у') + га].
Если, далее, разложить это выражение по степеням т, то снова
возвратимся к разложениям F). Так легче понять, откуда проис-
ходят вековые члены, которые имеются в разложениях F).
В разложения F) входят 4ге произвольных постоянных, если
имеется (га + 1) тело, т. е. га планет. Коэффициенты А и h зависят
только от этих 4га постоянных.
Можно выбрать значения этих постоянных равными начальным
значениям Ц°, ч\"° наших неизвестных. Но, как было объяснено
в § 133, можно определять значения постоянных интегрирования
*) В. И. Арнольд получил новые результаты по вопросам существо-
вания условно-периодических решений канонических систем, из которых
вытекают теоремы, которые можно рассматривать как аналоги теоремы
Лапласа (см. ДАН 137, № 2, 1961; ДАН 138, № 1, 1961). (Прим. переа.)

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 205
бесчисленным множеством других способов. Скоро мы увидим,
какой выбор является наиболее целесообразным.
157. Все, что мы говорили до сих пор, применимо к общему
случаю уравнений A0) главы VII. Но уравнения E) имеют част-
ный вид, поэтому они обладают некоторыми свойствами, аналогич-
ными рассмотренным в § 134 и в следующих за ним.
Действительно, мы видели, что S разложима по степеням I"
и п". Положим
так что \tS2 играет роль Fo и U — роль Ft.
Пусть, с другой стороны,
так что Д? обращается в —g- , когда положим
t = t + c, wt= — Yi* + e«.
Тогда наши уравнения принимают вид
^ -e»-^-, G)
dli
аналогичный последним двум уравнениям C3) главы VII.
Выберем за 4ге произвольных постоянных средние значения
величин
Ц cos Wi + r\l sin wt,
gi sin Wi — r\i cos Wi,
которые обозначим через EtnE'i. Кроме того, яе ограничивая общ-
ности, можно положить Е\ = 0. Действительно, наши формулы
содержат 6га постоянных Et, E\, о»;, т. е. на 2га больше, чем нужно.
Так, впрочем, мы и делали в главе VII.
Докажем теперь, что наши разложения можно расположить
но степеням
Et sin wt,
причем в первом приближении, как мы уже видели,
Покажем это способом, подобным тому, который применялся
в § 135. Положим
так что

206 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
есть точный дифференциал, и наши уравнения примут вид
|^ tykYk=-2U*-^ . (Г)
(Мы заменили индексы i на индексы к, чтобы не было путаницы
с i = \~^Л.)
Правые части уравнений G') разлагаются по степеням X и У,
так что нам остается показать, что X и Y могут быть разложены
по степеням
Это верно в первом приближении, где находим, что
Предположим, что теорема верна в (га — 1)-м приближении,
и покажем, что она также будет верна в га-м приближении.
Наши уравнения, аналогично уравнениям C9') § 135, можно
написать следующим образом:
wk dU
) = — 2ie2eiw>
Производные функции U разложимы по степеням X и У. Так как
X и У в (га — 1)-м приближении разлагаются по степеням Ehe±lWlt,
то это также будет верно и для производных U.
Таким образом, наши уравнения (8) будут иметь вид
Au = v,
г. е. вид уравнений D0) § 135, где v есть известная функция т,
Eh и wh, и притом такая, что vetsWh разложимо по степеням т
и Eke±lv>k, причем число s равно — 1 в первом уравнении (8)
и +1 во втором.
Другими словами, мы имеем
где А — постоянный коэффициент, т — целое число. UEV
представляет произведение
a q и р суть целые числа, удовлетворяющие условиям
qj = pj (mod2), qj>\pj\ (/ ^ к), g
Qk^Ph + s (mod2), >\ + \
аналогичным условиям D2) § 135.

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 207
В § 135 мы видели, что и будет иметь такую же форму, что
и v, при условии, что интегрирование производится таким образом,
что среднее значение и равно нулю, или некоторому разложению
вида (9).
Это условие выполнено, так как мы интегрируем таким образом,,
что средние значения Xhe~lwb, I'^e*"'* равны Eh. Имеем, следова-
тельно,
среднее значение Xh.e~lWk — e~iv>k {Екеш'ъ),
среднее значение Yheiwb = eiwb (Eke~iu'k).
Эти средние значения имеют, следовательно, форму (9). Это
имеет место и для неизвестных, которые играют роль и в уравне-
ниях (8), т. е. для Xfte~ituft, Уftelt"*, причем s равно +1 для пер-
вого и —1 для второго.
Итак, Хь. и У\ разлагаются по степеням Ee±iw.
158. Наши уравнения E) не изменяются, если заменить е,
gi, т){ на -j-, hll, hv\u какова бы ни была постоянная h. При
этих условиях средние значения Eh и Ек, которые играют роль
постоянных интегрирования, заменятся на hEh и hE'k.
Мы допустили, что Ei = 0, но мы видим, что если заменить
е и .Ед на -г- и hEh, наши неизвестные Ц и г|,г заменятся на hit
и ftrii, тогда как Ц = е^ и г\\ = ец[ не изменятся.
Итак, \i и T]i разлагаются по степеням т, eEh cos wh,
eEk sin wh, причем коэффициенты разложений не зависят ни от
е, ни от т, ни от Е, ни от w.
Это обстоятельство показывает нам практическую бесполез-
ность замены переменных из § 145, которая служила нам лишь
для упрощения изложения. Поэтому дальше будем предполагать,,
что е = 1.
159. Наши уравнения не изменятся, если изменить знаки всех
неизвестных %" и г\", так как функция S содержит только члены
четной степени относительно этих неизвестных.
Изменить все знаки переменных — это значит изменить
также и знаки средних значений Eh.
Следовательно, если мы изменим знаки средних значений Eh,
то тем самым изменим знаки всех неизвестных. Отсюда вытекает
следующее следствие:
Разложения ?" или г\" (или при е = 1 разложения &, х\1)
по степеням
Ekcoswk, Eksinwk
будут содержать только члены нечетной степени.

208 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Если вспомнить, что | Ht{ суть линейные функции %' и т|',
то можно увидеть, что | и т] могут быть разложены по степеням
т, Ekcoswk, Eksinwk.
Мы удовлетворим уравнениям движения, принимая в этих
разложениях
т = 0, wk=
Тогда | и т] разлагаются по степеням
Ekcos(y'ht — «ад),
Эти разложения содержат только члены
нечетной степени.
160. В главе VII (§ 136) мы видели, что п\ разлагаются не
только по степеням ц, но и по степеням Е2.
Точно так же здесь величины у[, как и |, т], будут разложимы
по степеням
Ekcoswk, Eksmwk,
и так как они не должны зависеть от w, то эти разложения
располагаются по степеням Eft.
Величины i^, в предположении, что 6=1, суть величины весь-
ма малые, порядка эксцентриситетов и наклонностей. Если поло-
жить Е\ = 0, то Yi обратятся в yt.
Заметим, что y»> согласно их определению, уже являются
очень малыми величинами — порядка ц, поэтому разности
Yi — Yi будут еще более малыми, а именно, порядка цЕ2.
161. Симметрия. Заметим, что наши уравнения не изменятся,
если заменить t на — t и г] на — г\.
Следовательно, если заменим w на —w, т на —т, не изменяя
Ek, то | не изменятся, а т] изменят знаки.
Мы можем положить
т = 0,
не полагая затем
Тогда разложения | по косинусам и синусам кратных w будут
содержать только косинусы, а разложения т] будут содержать
только синусы. Поэтому будем иметь
J

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 209
где
q} = Pj(moA2), qj>\p}\.
Это — следствие симметрии относительно плоскости хгх3.
162. Если придать системе вращение на произвольный угол 8
вокруг оси х3, то наши уравнения не изменятся, а | и т] заменятся
на | cos е + Л sm е и —? sin e + т] cos e.
Если, следовательно, увеличим все Wj на одну и ту же постоян-
ную е, то выражения I + ir\, I — ir\ должны будут соответствен-
но умножиться на
е1г, <НВ.
Таким образом, будем иметь
A cos B P}Wj + 2 Pjb) + iA' sin B Pjiffj + 2 fte) =
= eie[Acos B pjWj) + iA' sin B PjWj)},
откуда
A=A', 2p,= +l.
Это новые условия, которым должны удовлетворять разложе-
ния A0).
163. Наши уравнения не изменятся также, если изменить
знаки всех облических переменных. Это вытекает из симметрии
относительно плоскости Х\Х%.
Согласно договоренности нечетные индексы соответствуют
эксцентрическим переменным ?, и rjj и соответствующим постоян-
ным Ek; четные индексы соответствуют облическим переменным
|{ и т]( и соответствующим постоянным Ek-
Поэтому если мы изменим знаки всех постоянных Ek с четным
индексом, то переменные ? и г\ с нечетным индексом не изменятся,
в то время как переменные ? и г\ с четным индексом изменят знаки.
Следовательно, в разложениях A0) суммы
2^. 2 'Pi,
распространенные на все четные значения индекса /', будут чет-
ными для эксцентрических переменных и нечетными для обличе-
ских переменных.
В силу предыдущего параграфа для тех же сумм, распростра-
ненных на все нечетные значения индекса /, результат будет про-
тивоположным.
164. Различные интегралы. Уравнения A0) дают нам | и г\
в виде рядов, расположенных по возрастающим степеням
Ek cos wk, Ek sin u>ft. A2)
14 а. Пуанкаре

210 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНКТНЫХ ВОЗМУЩКНИЙ
Эти уравнения можно решить относительно величин A2)
и тогда находим
= <pk(l, г]), |
1 ( '
где правые части представляются рядами, расположенными по
степеням !• и т]. Отсюда выводятся интегралы
$ + $ = ?? = const. A4)
Следовательно, наши уравнения обладают интегралами, раз-
ложимыми по степеням ? и т]. Допустим, что, пренебрегая высшими
степенями I и г\, приводим R к первым членам ее разложения
R =
так что наши уравнения примут вид
<ft ^ дх\ ' dt ^ dl '
Пренебрежем также в левой части A4) шестыми степенями ?
и т] и пусть V2 + Т74 обозначает оставшиеся члены (ясно, что левая
часть может содержать только члены четной степени; следова-
тельно, V2 и F4 представляют соответственно члены второй и чет-
вертой степени).
Тогда будем иметь тождественно
v Г ^ _L av2 ()
2fdVi_ ^Й4_ W2 &Rl Л , VA f 0Ук _^2___?Ь_ дЗг_\_с\
\ д\ ' дг\ ~д^~" д% ; ^ Zi V. д% ' дц дг\ ' д? ) ~ *
Соллерье первый заметил, что существуют многочлены V2 и V*4,
удовлетворяющие этим тождествам. Это замечание позволило
ему предугадать возможность уничтожения вековых членов,
которая будет доказана ниже.
165. В § 155 мы заметили, что когда планеты не движутся
в одной плоскости, приходится вычислять не только вековые воз-
мущения эксцентриситетов, но еще и вековые возмущения на-
клонностей, при вычислении которых встречается трудность, про-
исходящая из того, что один из коэффициентов у равен нулю.
Пришло время вернуться к этой трудности и показать, каким
простым приемом можно ее преодолеть.

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 211
Мы видели, какова форма интегралов площадей. Они могут
быть записаны в виде
Н=^Ь — 2q = const,
i —Qi —-y- =
V =2&2 jAi-Qi—f- = const
(cm. § 144). Они продолжают существовать и тогда, когда L, q,
? и г| заменены их членами нулевого ранга. Действительно, это
приводится к разложению неизвестных по синусам и косинусам
кратных и> и по степеням ц и цх = т' и затем к подстановке в них
jx = 0, по при этом т' считается конечным и отличным от нуля.
Интегралы площадей, имеющие место для всех значений ц, оче-
видно, будут существовать и при ц = 0.
Возьмем за плоскость xtx2 неизменную плоскость. Тогда U
и V будут равны нулю.
Мы утверждаем, что в уравнениях A) можно тогда заменить R
на R + а.иг + aV2, где а — какой-либо постоянный коэффи-
циент. Действительно, мы имеем
d(R+aU*+aV*)_ dR „ „ dU „ „ dV dR
Wi 17 +гаи -W + /LaV
так как U и V равны нулю, и аналогично
dR
дщ ~ dr\t
Таким образом, мы получим уравнения
dt
Мы не хотим сказать, что все интегралы системы A5) принад-
лежат системе A) и наоборот, но только то, что системы A5)
и A) имеют бесконечное множество общих интегралов, а именно,
такие интегралы, которые удовлетворяют условию U = V — 0. Мы
не нарушим общность, если ограничимся рассмотрением атих
интегралов.
В самом деле, это приводится к предположению, что неизмен-
ная плоскость является плоскостью XiX2- Но мы всегда можем
выбрать координатные плоскости таким образом, чтобы это усло-
вие выполнялось.
Сравним теперь функции
R, R + a(U2 + V%
14*

212 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Мы утверждаем, что вторая из этих функций имеет ту же
структуру, что и первая. Действительно, она разлагается по сте-
пеням I и т] и содержит только члены четной степени относительно
этих переменных.
Рассмотрим теперь члены второй степени. Они запишутся так:
где
Мы видим, что четыре выражения
могут играть роль S'2, T't, S"t, T"t, так как первые два зависят
только от эксцентрических переменных, а последние два выражения
зависят только от облических переменных. С другой стороны, пер-
вое и третье выражения зависят только от \, второе и четвертое
только от т). Наконец, первое и третье выражения образованы
из \, так же как второе и четвертое выражения образованы из т].
Функция
кроме того, удовлетворяет тем же условиям симметрии, что
и функция R.
Таким образом, уравнения A5) имеют ту же форму, что и урав-
нения, которые мы уже рассматривали в этой главе. Отличие лишь
в том, что трудность, которую мы отметили, исчезла. Никакой из
коэффициентов, которые мы обозначили через у, не равен нулю.
Мы можем, следовательно, применить к системе A5) выводы
этой главы. Это система порядка 4ге (если имеется п + 1 тело,
т. е. п планет), и 4ге переменных ? и т) могут быть разложены по
степеням 4га величия
Eh cos {y'kt—©*). Eh sin (y?* — йй) (к = 1, 2, ..., n),
где Еь и <ай — 4re постоянных интегрирования.
Ясно, что по крайней мере один из коэффициентов yk будет
зависеть от а, так как одна из величин yh зависит от а, и что y'h
обращается в yh, когда все постоянные Ek равны нулю (см. § 160).
Пусть у'2п — этот коэффициент, или один из таких коэффициен-
тов. Мы должны сохранить только общие решения систем
A) и A5), для которых U = V = 0. Эти решения не должны
зависеть от а. Следовательно, они не могут зависеть от аргумента

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 213
а это показывает, что для этих решений
С другой стороны, эти решения зависят еще от 4ге — 2 про-
извольных постоянных, так как на решения наложены только два
условия U = V = 0 и они зависят от 2ге — 1 аргументов
y'ht — <oh, ибо 2га — 1 из величин у не равны нулю при а = 0.
Следовательно, другие постоянные
вообще не равны нулю.
166. Вернемся к скобкам Якоби, определенным в § 16, т. е.
положим
Уравнения A5) показывают, что
Более того, так как Н, U и V являются интегралами урав-
нений A), то будем иметь
(Я, R) = (U, R) = (V, R) = 0.
С другой стороны, легко проверить, что
(U,V) = -H, (U,H) = V, (V,H) = -U.
Отсюда выводим равенство
(Я, R + aU* + aV*) = 0,
которое показывает, что Я есть интеграл уравнений A5) .
Поэтому имеем
Н = const.
С другой стороны, находим
откуда, вспоминая, что Я постоянна, будем иметь
A6)
где Лив — постоянные интегрирования.
167. Чтобы кончить с этим вопросом, укажем геометриче-
ский смысл уравнений A5). Чтобы лучше его понять, допустим,
что наши неизвестные | и т] рассматриваются как функции двух

2 14 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
независимых переменных т и и и определяются дифференциаль-
ными уравнениями
Прежде всего возникает вопрос, как узнать, что системы A7)
и A8) совместны.
Мы имеем
_ «
,*).
Тождественны ли эти два выражения? Да, так как уравнения A)
имеют интеграл V2 + U2 = const, а поэтому
(Я, U2 + V*) = 0.
Дифференцируя это тождество по т], получим
что и требовалось доказать.
Таким образом, системы A7) и A8) совместны. Если теперь
положим
¦x = t, м = const,
то возвратимся к системе A); если же положим
t=t, и = at + const,
то придем к системе A5), так что из общего решения системы A7)
и A8) мы выводим непосредственно общее решение либо систе-
мы A), либо системы A5).
Рассмотрим, в частности, уравнения A8) и предположим, что
и есть независимая переменная, играющая роль времени, и изме-
нения | и т) определяются этой системой A8). Каков будет харак-
тер этих изменений?
Рассмотрим фигуру, образованную (ге + 1)-м телом, или, если
угодно, Солнцем, расположенным в начале координат, и га фиктив-
ными планетами, определенными в главе II, с координатами х\
и, кроме того, векторами, представляющими по величине и направ-
лению количества движения этих фиктивных планет, компоненты
которых мы обозначали через у\.
Пусть Ф — какая-либо функция, зависящая только от взаим-
ных расстояний га фиктивных планет, от их гелиоцентрических

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 215
расстояний и, кроме того, от величин векторов (у'х, y'v y'a), ... и уг-
лов, образованных этими векторами между собой и прямыми, со-
единяющими фиктивные планеты с началом координат. Одним
словом, пусть Ф—ф ункция, не зависящая от
выбора осей координат.
Мы утверждаем, что будем иметь
(Ф, U*+V*)=0, A9)
так как имеем
(Ф,Я) = (Ф, #) = (Ф, V) = 0. B0)
В самом деле, чтобы установить, что уравнения задачи трех
тел допускают интегралы площадей, мы исходили из того, что
функция F не зависит от выбора осей.
Следовательно, система
dt ~ду1* dt ~ Щ
будет допускать интегралы площадей, что повлечет за собой равен-
ства B0) и, следовательно, равенство A9).
Но это равенство означает в то же время, что Ф является
интегралом уравнений A8).
Вэрнзмся тепзрь к фигурз, о которой мы говорили, т. е. к фигу-
ре, образованной началом, фиктивными планетами и векторами
(y'v Уг> Уа)> ••¦
Из этих данных можно вывести спекулирующие орбиты различ-
ных фиктивных планет и вектор площадей О А с компонентами U,
V, Н, так что эти орбиты и вектор О А могут быть рассмотрены
как составные части фигуры.
Если изменения этой фигуры определяются уравнениями A8),
то она будет перемещаться как твердое тело, без де-
формаций, так как всякая функция Ф, не зависящая от выбо-
ра осей, будет оставаться постоянной.
Впрочем, начало в этом движении будет оставаться неподвиж-
ным, так что это движение будет сводиться к вращению в данный
момент вокруг некоторой мгновенной оси 01, проходящей через
начало.
Чтобы найти эту ось, вернемся от переменных
L, X, I, т]
к первоначальным переменным х\ и у\. Система A8) остается при
этом канонической, так как замена переменных, которая связы-
вает эти две системы переменных, является канонической.

216 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Заметим, между прочим, что система A8) должна быть естест-
венно дополнена уравнениями
dL
du~ Р д% ' du ~ •* dL
Добавление этих уравнений не будет нас беспокоить, так как
U2-]-V2 не зависит от к. Из этого следует, что:
1) L — постоянны; 2) нам нет надобности заниматься вычи-
слением ПРОИЗВОДНОЙ j? .
Поэтому, если мы вернемся к переменным х' и у', наша система
будет иметь вид
где
u — Z.3 l*i Уа—*s J/i;> ' — Zj3 v*s »i—*i »8^
(см. главу II).
Тогда
Если точка ^, а:^, х'а расположена на оси 01, то ыы должны
иметь
du
и, следовательно,
Значит, мгновенная ось 01 лежит в плоскости хгхг.
С другой стороны, вектор площадей ОА должен быть постоян-
ным по величине. Его проекция Н на плоскость х{х2 также посто-
янна, так как Н = const является интегралом. Следовательно, этот
вектор образует постоянный угол с осью х3 и его конец А описы-
вает окружность с центром на этой оси.
Скорость точки А поэтому перпендикулярна, с одной стороны,
к плоскости xfiA, с другой стороны, к плоскости 10А. Из этого
следует, что эти плоскости совпадают и что мгновенная ось 01
является проекцией вектора ОА на плоскость xtx2.
Угол IOA постоянен, так что ось 01 постоянно остается на
конусе вращения С, неизменно связанном с подвижной фигурой,
ось которой есть вектор ОА.

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 217
Таким образом, рассмотренное движение сводится к качению
конуса С по плоскости хххг.
Теперь смысл системы A5) достаточно ясен. Пусть v означает
скорость какой-либо точки нашей фигуры в предположении, что
изменения этой фигуры определяются системой A); пусть г»'—
та же самая скорость в предположении, что изменения опреде-
ляются системой A8) и что и означает время; пусть, наконец, v"—
скорость в предположении, что эти изменения определяются систе-
мой A5). Тогда скорость v" будет геометрической суммой v и av'.
Если угодно, мы можем предположить, что +а»' представляет
скорость подвижной системы, неизменно связанной с подвижным
конусом С, и что v представляет относительную скорость точки
нашей фигуры относительно подвижных осей, допуская, что это
относительное движение происходит согласно закону Ньютона,
т. е. согласно уравнениям A). Тогда v" представляет абсолют-
ную скорость.
Мы можем, наоборот, рассматривать неподвижные оси как под-
вижные, и обратно. В этом случае система A) представляет абсо-
лютное движение наших (га+1) тел, подчиняющихся закону Нью-
тона, а система A5) представляет относительное движение этих
же тел относительно наблюдателя, неизменно связанного с пло-
скостью, которая катится по неподвижному круговому конусу С.
Таков геометрический смысл исследуемых уравнений.
168. Введем углы Эйлера, определяющие положение трех по-
движных осей, неизменно связанных с конусом С, относительно
неподвижных осей координат, причем третья подвижная ось есть
прямая О А.
Легко видеть, что если будем изменять и, оставляя т постоян-
ным, то угол 6 остается постоянным, а углы ср и г|> изменяются про-
порционально и.
Неподвижные координаты будут функциями подвижных коор-
динат и трех углов Эйлера. Рассматриваемые как функции этих
углов, они будут разложимы по степеням
Q_ cos y-^
SmTsin 2 • ^
Добавим, что они будут однородными многочленами второй сте-
пени относительно этих четырех величин.
То же самое имеет место, если мы вернемся к координатам ?
и \\. Если мы отнесем систему к нашим неподвижным осям (т. е.
изменяющимся вместе с и, но неизменным при постоянном и),
то неизвестные будут удовлетворять уравнениям A). И наоборот,
если отнесем систему к неподвижным осям и будем изменять одно-
временно и и т таким образом, что т = t, и = at+const, то неизвест-
ные будут удовлетворять уравнениям A5).

218 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Обозначим через ?, г\ значения неизвестных, если система
отнесена к неподвижным осям, и %', х\'— их значения, если система
отнесена к подвижным осям.
Тогда % и т) будут функциями %', х\' и величин B2). Они будут
однородными многочленами первой степени относительно ?', т)'
и однородными многочленами второй степени относительно вели-
чин B2).
Но %' и т)' представляют в точности общие решения систем
A) и A5), которые рассматривались в § 165. Поэтому они разложи-
мы по степеням выражений
Я*?>* (* = 1' 2' •••.2п-1).
Положим *)
sin Y = E2n, ^5 = <oj,
Так как cos -«- разлагается по четным степеням sin -к-, то
переменные |, г\ будут разлагаться по степеням
COS
и могут быть представлены в виде
Коэффициенты А, А' суть постоянные, содержащие, кроме
того, множитель
Скоро мы определим постоянные huh'. Целое положительное
число 9i не меньше чем р4 по абсолютной величине. Что касается
pt и р2> т0 они принимают только значения 0, ± 1, ± 2.
Вернемся к рассуждениям § 161. Будем выбирать частные реше-
ния так, чтобы начальные значения переменных т]' были равны
нулю при
Симметрия уравнений требует, чтобы в этих решениях при изме-
нении знака w |' не менялись, а г\' меняли бы знаки.
*) Величины (Of и ш2, введенные в этом параграфе, не имеют никакого
отношения к тем, которые мы обозначали выше теми же буквами. В сле-
дующих главах мы вернем этим буквам их первоначальпое значение.

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 219
Это именно те решения, которые мы рассматривали, так как
они заведомо удовлетворяют условию
El = Et= ... = ^„-х = 0.
Итак, если мы изменим знаки величин w и со, то ?' не изменят-
ся, а т]' изменят знаки. Поэтому в силу симметрии соотношений,
которые связывают !• и t} с ?', т]', <а, переменные ?не изме-
нятся, а переменные т] изменят з н а к и. Отсюда
следует, что huh' равны нулю.
Вернемся теперь к рассуждениям § 162.
Допустим, что вся система повернулась на некоторый угол
8 или вокруг третьей неподвижной оси, или вокруг третьей по-
движной оси координат.
В первом случае
Wi, W2, . ..
не изменятся, г|) не изменится, <р увеличится на е. Переменные |
и т] должны быть заменены на
| cos е + т) sin е, —
Кроме того, щ и ©2 заменяются на
е , е
Отсюда следует, что мы должны иметь
л _ л' Pi—Рг _ л
л — л, —S —*•
Следовательно, будем иметь одно из трех решений
Совершим теперь поворот системы вокруг третьей подвижной
оси. Все w увеличатся на 8, но если одновременно с этим мы при-
дадим подвижной системе вращение на угол —8, т. е. если мы
изменим ч|) на г|)+е, то положение системы относительно не-
подвижных осей не изменится; I и т) также не изменятся.
Таким образом, переменные ? и г\ не изменятся, если мы заменим
w на и>+ 8, ©i на «»1 -)- -я- » ©2 на сог + -а- • Это приводит к равенству
Введем теперь вспомогательные аргументы
w'i = Wi—2<а2 (г = 1, 2, ..., 2га—1),

220 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В силу значения 2&, найденного выше, будем иметь
2 kw + Pi(Oi + р2<02 = 2 *i ">i + А «>2п,
откуда
1 = 2 АЕ&cos B *i
Tj = 2 -4^2nSi
Легко видеть, что переменные i и т) разлагаются по степеням
р cos , р cos ,
Я* sin «Ч. #2* sin »2».
Ясно также, что сумма целых коэффициентов
2*1+а
равна +1, что соответствует результату, полученному в § 162.
Эти аргументы w' изменяются пропорционально времени t, но
если их рассматривать как линейные функции двух независимых
переменных т и и, введенных выше, то
w'v w'v ...,»;„_!
будут зависеть одновременно от т и и (так как wt зависят от т,
шг, и), а их разности зависят лишь от т. Что касается члена w'2n,
то он зависит только от и. Поэтому если положить Ет=0, то
члены, которые содержат w'n, обращаются в нуль, и остаются толь-
ко те члены, для которых pi = qi = 0.
В то же самое время -^* обращается в нуль и ш2 приводится
к постоянное, так что наши выражения более не зависят от а
и удовлетворяют одновременно уравнениям A) и уравнениям A5).
Таким образом, полностью выясняется геометрическое зна-
чение уравнений A5), так же как и их связь с уравнениями A).
169. В результате изменения использованного приема преды-
дущие рассуждения могут быть значительно упрощены. Заменим
систему A5) системой
3± .. 3(Я+аЯ) dr\t _.. d(R+aH) (..,.
dt ~ ** дщ ' Л —I* d\i yl° '
и системы A7) и A8) системами
д\ dR дт\ 3R ..„,.
Н|» ? *Ч A7)
ди V- дц . ди г дЪ ш A° '
Можно проверить, как и выше, что системы A7') и A8') сов-
местны и что решение уравнений A5') можно вывести из решения

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 221
системы A7') и A8'), полагая
x = t, u = at-\- const.
Можно проверить также, что функция R+aH имеет ту же
структуру, что и функция R, следовательно, уравнения A5')
имеют ту же форму, что и уравнения A), с той лишь разницей,
что никакая из величин у не равна нулю, т. е. отмеченная выше
трудность здесь отсутствует.
Каков геометрический смысл уравнений A5') и A8')? Послед-
ние интегрируются непосредственно, так как они имеют вид
dg dn
Из них выводим, что когда переменная и изменяется пропор-
ционально времени, а т остается постоянной, вся система вра-
щается вокруг оси х3 равномерно, как твердое тело.
Следовательно, уравнения A5') представляют движение наших
(ге+1) тел, отнесенных не к неподвижным, а к подвижным осям,
вращающимся равномерно вокруг оси х3.
Одно из свойств уравнений A5) здесь не имеет места, так как
уравнения A) и A5') не имеют никакого общего решения. Но лег-
ко получить общее решение уравнений A) из общего решения
уравнений A5'). Пусть, в самом деле,
B3)
есть общее решение уравнений A5'). В силу § 162 имеем
Надо, конечно, положить
Каким образом у' и В зависят от а?
Если заменить а на а+р\ то угловая скорость вращения по-
движных осей увеличится на цр, так что ? и г\ заменятся выра-
жениями
I cos цр« + П sin цР*, —? sin цр* -f Л cos pfit,
которые показывают, что wt должны замениться на wt—\ifit.
Следовательно, когда а заменяется на а+р, у' заменяется на
Y'+Hp, а В не изменяются. Таким образом, В не зависят от а,
л у' являются линейными функциями а; более того, их разности
не зависят от а.
Чтобы получить решение уравнения A), достаточно положить
<х=0. Известно, что для а=0 одна из величин y> а именно

222 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
обращается в нуль. Поэтому при а=0 коэффициент yl заменяется
на Yi—y'w-
Итак, чтобы найти решение уравнений A), достаточно поло-
жить в формулах B3)
Впрочем, нет необходимости составлять уравнения A5) или
A5')- Можно исходить из уравнений A), и вычисление при этом
не будет встречаться ни с какой трудностью. Мы ввели вспомога-
тельные уравнения A5) или A5') лишь для того, чтобы пока-
зать, что эти трудности на самом деле отсутствуют. Это средство
для доказательства, но не для вычислении.
170. Обобщение. До сих пор предполагалось, что функция R
имеет частный вид, а именно, обладает свойствами:
1. Она не изменяется при изменении знаков всех переменных г\,
или при изменении знаков всех облических переменных. Бели
отказаться от этого условия, все результаты, кроме тех, которые
получены в § 163 и 166, будут иметь место.
2. Она не изменяется, когда мы заменяем ? и г\ на
?cose—risine, gsine +
Если отказаться от этого условия, то все результаты, кроме
результатов § 162, также будут иметь место.
3. Она содержит только члены четной степени относитель-
но ? и v|. Если она содержит члены степени 3, 5, 7, . . ., н о и е
имеет члена первой степени, то все результаты,
кроме результатов § 159, также продолжают существовать.
Переменные ? и г\ будут разложимы по степеням величин
но эти разложения будут содержать не только члены нечетной сте-
пени, но также и члены четной степени.
4. Наконец, функция R2 имеет частный вид.
Что произойдет, если отказаться от последнего условия?
Пусть тогда Я2 есть произвольный однородный много-
член второй степени относительно 4га переменных ? и г] и пусть
даны канонические уравнения
^Ii __„
dt - I*
dt - I* дщ ' dt •* dlt •
Эти уравнения являются линейными с постоянными коэффи-
циентами. Следовательно, они допускают 4га решений вида
п; = Р?еЧ B5)

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 223
и нам остается определить постоянные щ, $, А*; мы находим
Разумеется, в функции i?2 переменные |г и т], должны быть
заменены постоянными а* и Pi.
Из этих 4ге уравнений (которые являются линейными и одно-
родными относительно а и Р) исключаем 4га величин а и р. Таким
образом, мы получим алгебраическое уравнение степени 4га отно-
сительно kh. Покажем, что корни его kh попарно равны и имеют
противоположные знаки.
Пусть
4 ' B6)
— другое решение уравнений B4), соответствующее другому кор-
ню [ik. Составим из решений B5) и B6) выражение
ii?i)- B7)
Это выражение постоянно, так как его производная равна
А," , dl" \ v
или
а последнее выражение равно нулю в силу хорошо известных тео-
рем о квадратичных формах.
С другой стороны, выражение B7) равно постоянной, умно-
женной на
Следовательно, нужно, чтобы эта постоянная была равна нулю
или чтобы соблюдалось равенство цй+А,й = О. Но если выраже-
ние A7) равно нулю, каков бы ни был выбранный
корень |д,й, оно будет равно нулю и в том случае, когда ??
и T]i заменим общим решением уравнений B4), так как
общее решение является линейной комбинацией выражений вида
B6). Но тогда мы имели бы между \ и х\ линейное соотношение
и эти пзремэняые не будут более независимыми.
Следовательно, если задан корень Xh, всегда существует корень
цй такой, что Hft-j-A,ft=O, т. е. все корни алгебраического уравне-
ния попарно равны по абсолютной величине, но имеют противо-
положные знаки, что и требовалось доказать.

224 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Итак, возьмем ц* =—A,ft. Выражение B7) будет постоянным,
отличным от нуля и без ограничения общности можно положить
его равным единице. Положим
Мы имеем 4ге корней ЯА, но тем не менее индексу к будем при-
давать только 2л значений, так как каждая пара корней АА и —А,*
должна считаться только один раз.
Составим выражение
Бели заметим, что согласно свойствам уравнения B7) имеем
то увидим, что
I (Ei <*П* -Л» dh) = К=Г 2 (Xfc dYh- Yh dXk),
а это показывает, что
есть точный дифференциал.
Наши уравнения B4) сохранят при этом каноническую форму
и примут вид
J.±t
dt ~ fl
Но эти уравнения должны допускать решение
х*=Л', rft=<r4 xJ=yi=
Поэтому должно быть
откуда
Пусть теперь
(Величины ?' и т)' здесь не имеют того же смысла, что в уравне-
ниях B5).)

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 225
Мы видим, что
есть точные дифференциал, и то же самое можно сказать, следо-
вательно, относительно
2 6*1-2 Б'*Г.
Поэтому уравнения B4) принимают вид
dl' dRt dn' dR2
dt ~ •* dr\' ' Л -|* 3|'
где имеем, кроме того,
Таким образом, функция Rz, выраженная в новых переменных,
имеет ту же форму, что и в том случае, когда применялась замена
переменных из § 151. Значит, замена переменных, которую мы
сейчас определили и которая является канонической и линейной,
может заменить в общем случае замену § 151.
Величины -Д- играют роль ук.
Допустим теперь, что
где R't имеет форму, рассмотренную в главе VIII и в начале гла-
вы IX, тогда как R", весьма мала. Такой факт имеет место во всех
приложениях, с которыми мы можем иметь дело.
Рассмотрим значения yh, полученные при помощи функции
R't. Все эти Ya являются вещественными согласно § 145, и если
R"t равна нулю, будем иметь
Допустим сначала, что ни одна из yh не равна нулю. В этом
случае всеЛд располагаются парами. Действительно, два корня kh,
составляющие пару, должны быть мнимыми и сопряженными
и в то же время равными и противоположными по знаку. В самом
деле, мы знаем, что АА должны быть попарно мнимыми и сопряжен-
ными, и так как они отличаются весьма мало от iyh, то это значит,
что два корня Xft, которые мало отличаются от -MYft и —iyh,
являются сопряженными. С другой стороны, мы знаем, что Яд
попарно равны и противоположны по знаку. Это может иметь
место для таких двух корней Aft, которые мало отличаются от
-MYft и —*Yft- Следовательно, Xft и —Aft — мнимые и сопряженные.
15 А. Пуанкаре

226 ТОМ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Отсюда следует, что решения B5) и B6) являются мнимыми и сопря-
женными инаша замена переменных является
вещественной.
Это рассуждение неприменимо в том случае, когда одна из
величин у равна нулю, так как два корня, Kh и — Xhl могут быть
вещественными и весьма близкими к нулю. Но во всех приложе-
ниях, в которых мы имеем дело с задачей трех тел, всегда можно
прийти к случаю, где ни одна из величин у не равна нулю, при-
меняя для этого приемы, изложенные в § 165 и 169.
171. Можно также поставить задачу и по-другому. Допустим,
что мы имеем
где R' имеет форму, рассмотренную в начале этой главы, ц —
весьма малый параметр, R"— произвольная функция,
допускающая лишь разложение по степеням ? и г\ и содержащая
члены всех степеней, в том числе даже первой степени и члены
второй степени произвольного вида.
Уравнения A) будут иметь вид
dg _ dR' g dR" dx\ _ dR' 2 dR'
IF ~ ~ •* dr\ ~ •* dr\ ' dt ~ V- d% ~T I* ~Щ~ •
Сделаем замену переменных § 151, а потом замену § 154, пола-
гая при этом ц = 84ц'. Тогда будем иметь
где R'k представляет совокупность членов степени к. Мы положим
еще
откуда
dS
Таким образом, мы снова возвращаемся к уравнениям § 154,
и к тому, что было сказано, мы почти ничего не можем добавить.
Единственное отличие заключается в том, что разложение U, ко-

ГЛ. IX. ПОЛНАЯ ТЕОРИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 227
торое в предыдущих параграфах содержало только четные степе-
ни, здесь будет содержать все степени, но это не влечет за собой
никаких изменениЁ.
Переменные | и т), как и раньше, будут разлагаться по
степеням
т-. COS
^ sin"""
но эти разложения будут содержать вместо членов только нечет-
ной степени также члены четной степени и даже член нулевой сте-
пени.
Впрочем, само собой разумеется, что выводы, сделанные
в § 161—163, будут иметь место, если только R" обладает теми же
свойствами симметрии, что и R'.

ГЛАВА X
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
172. В главах V и VI мы рассматривали способ построения
разложений, удовлетворяющих уравнениям движения в общем
случае задачи трех тел. В главе VII мы останавливались на одном
частном случае, а именно, на ограниченной задаче, и показали,
каким образом в этом случае можно уничтожить в разложениях
вековые члены.
В главах VIII и IX мы провели специальное исследование веко-
вых возмущений, т. е. мы старались определить в общем случае
задачи трех тел члены нулевого ранга наших разложений. Мы
видели, что эти члены определяются каноническими уравнения-
ми, имеющими тот же вид, как и в главе VII, и которые, следова-
тельно, приводят к разложениям, в которых можно уничтожить
вековые члены.
Теперь мы хотим вернуться к более общим разложениям гла-
вы VI и показать методом, подобным тому, который применялся
в главе VII, что в них тоже можно уничтожить вековые члены.
Речь идет об интегрировании канонических уравнений
CLZ v»w »«¦ w*^ . ..
vr uij иг
В главе VI мы видели, что им можно удовлетворить разложе-
ниями следующей формы:
Величины ЬЬ, дХ, б|, 6т| разлагаются по степеням ц, т, |°,
ц1 и по синусам и косинусам кратных w, т. е. они могут быть пред-
ставлены в виде
2 цаЛ!ШоТт cos ( 2 lew -f h) , C)
где к — целые числа; А и h зависят только от постоянных Ц
и А,?, а Шо есть целый многочлен относительно ?? и т^. Величины
ЬЬ, Ь%, б|, бт] обращаются в нуль при ц=0; они обращаются также
dF
д\ '
dF
яг*
dX
dt]
Г =
дЕ
дЬ
дР
д%

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 229
в нуль при T=u>j=O, так что постоянные Ц, Я", ?? щ? являются
начальными значениями неизвестных L, к, |, т| при т = ц>=0.
Разложения B) и C) удовлетворяют уравнениям A), если
положить
каковы бы ни были постоянные сие;.
Постараемся применить к этим разложениям прием § 129.
Будем исходить из теоремы § 16, которая выражается форму-
лами
—Fdt,
В интересующем нас случае роль х играют L и ?, роль у играют
Лит], а роль F играет —F. Тогда наши формулы принимают вид
Vr,v р \ D)
Эти формулы аналогичны формулам A3) и A4) из главы VII.
Второе уравнение D) можно написать в форме
ЛО dQ _L V и dQ Y/tf±VtW F /cv
аналогичной форме уравнения A5) из главы VII.
Правая часть равенства E) разложима в форме C), поэтому
уравнение E) имеет такой же вид, что и уравнение A3) главы VI;
отсюда заключаем, что одно из решений этого уравнения:
также разложимо в форме C). Мы рассмотрим именно это реше-.
ние, поэтому будем считать, что функция Q разложима в виде C).
Таким образом, величины L, к, ?, т), Q являются функциями
т, w и постоянных интегрирования LI, Я?, ??, т)$, но мы будем
считать, что Я? суть данные задачи, так что наши неизвестные
будут функциями только от
т, wh, L\, I?, Tj?.
Следовательно, можно написать
F)
В формуле F) коэффициенты Я, Wt, Cit Xt, Yt разложимы по
степеням т и по синусам и косинусам кратных w\ то же самое

230 ТОМ I. ОВЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
имеет место для величин С\, если положить
Впрочем, можно написать проще:
так как
является функцией только от L\.
Положим теперь
откуда
Мы найдем
Замечая, что С1 сводится к
имеем
С\ dL\ = d dL\ + tWt dm.
Постоянными интегрирования, которые играют роль aft в фор-
муле D), являются здесь Ц, е{, |", г,?. Следовательно, Wt, C%,
Xi, Yi, которые играют роль Аь в формуле D), будут постоянны-
ми, не зависящими от времени, а зависящими только от постоян-
ных интегрирования.
Более того,
также не будет зависеть от времени в силу интеграла живых
сил. Но величины Wt разложимы по степеням ц, т и по синусам
и косинусам кратных w, поэтому к ним применима лемма § 107
и рассуждения § 129.
Для
т = t, wh = nkt
имеем

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 231
где /0, как следует из предыдущего, есть постоянная, которая мо-
жет зависеть только от постоянных интегрирования
ГО . ?0 „П
Но здесь постоянные в; равны нулю, так как мы положили
Следовательно, /0 будет зависеть только от
ь\, а, л*.
В силу леммы из § 107 соотношение
которое справедливо при x=t, wh = nht, будет иметь место тож-
дественно, каковы бы ни были значения т и w.
Отсюда следует, что Wt может зависеть только от Ц, ?", tj".
По этой же причине то же будет и для С", Xt, Yt, а также для
F (и следовательно, для Н).
Вернемся к тождеству F) и положим в нем
и, следовательно,
dx = dwi = 0.
Величины %i, \t,r\i обратятся соответственно в Я?, |?, г\", так как
эти постоянные, по определению, суть начальные значения к,
|, 11 при x=w=0. Поэтому будем иметь
в силу того, что А? — раз и навсегда заданные постоянные. Будем
иметь так же (так как т равно нулю)
и если Qo представляет значение Q при x—w = 0, то наша фор-
мула F) принимает вид
2 61*1? -dQo = 2 СЫЦ + 2 Xt d& + 2 Yt rfn?. (8)
Если положим т = 0, сохраняя для w произвольные значения,
то Ci будут все же равны С", а формула F) дает
= 2 W, dw, + 2 С?ВД + 2 Xt dl\ + 2 Yt drtf. (9)
Важно заметить, что величины С\, Xt, У{, не зависящие от w,
принимают одинаковые значения в формуле (8) и в формуле (9).

232 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Следовательно, если мы вычтем эти два равенства одно из другого
и перенесем некоторые члены в другую часть равенства, то
найдем
d(Q—Qo). A0)
Эта формула предполагает, что положено
т = 0.
Подставим в разложения B) и C) т =0. Тогда они будут опре-
делять L, к, ?, Ti в функции w и постоянных Ц, ?*, щ?, так как А?
рассматриваются как заданные раз и навсегда.
Кроме того, величины W суть функции от Ц, Ц, t]?. Следова-
тельно, в свою очередь, Ц будут функциями W, ??, ¦*!?, так что
в конечном счете неизвестные
Li, Я,,-, |f, r\t
суть функции от
Wu wt, И, т]?,
и эти функции даются разложениями B), C) (в которых надо поло-
жить т=0).
Таким образом, разложения B), C) (при т=0) определяют
некоторую замену переменных, и формула A0) показывает, что
эта замена переменных является канонической.
Поэтому уравнения A) сохранят каноническую форму и примут
вид
dWi _ _ dF_ 4j _ dF
dt ~~ dwt ' dt ~ "dr)f
du>i _ dF di\\ _ j)F
~ЗГ ~1Щ ' dt
A1)
Легко видеть, что F зависит только от L\, ??, r\l, т. е.
от Wt, ?i, t]{. Поэтому частные производные F по wt равны нулю,
a Wt постоянны. Мы могли бы доказать, как и в § 130, что леммы
§ 107 применимы.
173. Рассмотрим теперь, какова форма функции F. Разложения
B), C) показывают, что
Li, A,j, gj, rji
разложимы по степеням т, ц, ?°, ц1, а коэффициенты этих разло-
жений зависят от Ц и от wt. Очевидно, это справедливо и для
производных неизвестных и, следовательно, для операторов
SLU ДА.,, Д|,, Atj,.

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 233
То же верно для F (рассматриваемой как функция Ц, |°, г\",
ц) и также для
т. е. для AQ. Поэтому это же верно и для Q и, следовательно»
также для
Отсюда вытекает, что Wt, которые не зависят ни от т, ни от w,
будут разлагаться по степеням |?, т)?, ц, и коэффициенты этих раз-
ложений зависят от L\.
Если положим ц=0, то получим
6,-а. пг=п?, -U—о,
Р F dF П dF - »
/'=/'0. -йГ = и' -эЦ~Пи
откуда
AQ = 2 п*1<? —Fo = const,
и, наконец,
Таким образом, первый член разложения Wt по степеням
равен LJ. Положим для ц =? 0
Функция bWi будет разложима по степеням ц, ^, т)а и коэф-
фициенты разложения будут функциями Z?, голоморфны-
ми в рассматриваемой области.
Поэтому, если имеем
откуда
то функция / будет разлагаться не только по степеням |i, Ц>
т|й, но и по степеням разностей Д—WA, и коэффициенты этого
разложения будут зависеть только от W.

234 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Тогда наше уравнение можно записать в виде
b?-Fr, + /(H,K,T|8.H\ + «-W*) = 0 A2)
и левая часть его разлагается по степеням
ii, a.-ttf. n-wh.
При ц = is = t]ft = 0 левая часть обращается в L\ — Wt и ее
частная производная по L\—Wt будет равна 1.
Поэтому в силу теоремы Коши о неявных функциях, или, как
говорил Лаплас, теоремы об обращении рядов, мы можем найти
Ц-Wt
и, следовательно, L\ в виде рядов, расположенных по степеням
[х, ?", г]?, коэффициенты которых зависят от W>.
Далее, если в функции F мы подставим вместо L\ ряды, то убе-
димся, что F разлагается по степеням ц, |°, х\\ и коэффициенты
разложения зависят только от W.
Такова форма разложения функции F.
174. Вернемся к уравнениям A1). Вспомним, что в силу этих
уравнений величины W постоянны, и функция F не зависит от w.
Рассмотрим отдельно уравнения
If дг\Ч ' "rfT
Сравним эти уравнения с уравнениями A) из главы IX:
3l „ М dr» -.. dR
Аналогия очевидна. Функция/1 играет роль функциицЯ, вели-
чины I" и T]i играют роль переменных ?; и г];. Более того, /" зави-
сит только от ?" и т]", так как она не зависит от переменных w, a
W постоянны. Наконец, F разложима по степеням |? и г,".
Имеется, однако, одно различие. В то время как \xR содержало
только члены четной степени относительно ?j и г|;, разложение
функции F содержит и члены четной степени, и члены нечетной
степени.
Какое следствие вытекает из этого различия? В главе IX мы
предположили, что разложение функции S начинается с членов
второй степени, другими словами, разложение цИ не содержало
членов первой степени. Но предположение, что разложение [iR
не содержчт членов 3-й, 5-й, 7-й, ... степеней, не играло никакой
роли в наших доказательствах § 155—158. Только в § 159 мы вве-
ли это предположение. Впрочем, этот вопрос уже рассматривался
в § 170.
Таким образом, результаты § 155—158 применимы к уравне-
ниям A3), в которых F не будет содержать члена первой степени

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 235
относительно неизвестных, но может содержать члены 3-е, 5-й,
7-й, . . . степеней. Отсюда следует, что неизвестные могут быть
разложены по степеням выражений вида
Ehcosw'h, Ehsinw'k, A4)
где Eh — постоянные интегрирования и w'h — вспомогательные
переменные. Чтобы удовлетворить уравнениям движения, нужно
положить
где у' — постоянные, выражающиеся через Е, и <o'k — новые
постоянные интегрирования.
Зато результаты § 159 не будут применимы, так что разложения
будут содержать не только члены нечетной степени относитель-
но выражений A4), но и члены четной степени. Но они тем не менее
не будут содержать членов нулевой степени. Действи-
тельно, легко видеть, что дифференциальные уравнения будут
удовлетворены, когда все неизвестные равны нулю. Следователь-
но, неизвестные обращаются все в нуль, если все постоянные Eh
обращаются в нуль.
Можно ли привести случай, когда F содержит член первой
степени, к случаю, когда F не содержит такого члена? Это нетруд-
до сделать. Достаточно положить
где li°, г,\° — новые неизвестные, a at и р\ — постоянные.
Определим эти постоянные таким образом, чтобы было
dF 8Fr>
при ??--=cij, r,?=pY
Тогда, действительно, частные производные функции F обра-
тятся в нуль вместе с 1\° иг\\°, и разложение F не будет содержать
члена первой степени относительно ?i° и г\\°.
Эта замена переменных снова приводит уравнения к виду,
который мы изучали. Поэтому новые неизвестные |j° и х\\° разла-
гаются по степеням выражений A4). То же верно для старых пере-
менных, которые отличаются от новых только на постоянные
величины. Единственное различие заключается в том, что разло-
жения для И и т? будут содержать члены нулевой степени, тогда
как разложения |{° и г?' их не содержат.
175. Перед тем как идти дальше, надо показать, что постоян-
ные а, и Р; весьма малы, порядка ц.
Для этого прежде всего заметим, что среднее значение величии

236 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
делится на цА Напомним, что под средним значением
некоторого разложения по степеням т и по синусам и косинусам
кратных w мы понимаем совокупность всех членов разложения,
не зависящих ни от т, ни от w.
Согласно этому определению, если U — такое разложение,
то среднее значение разложения
dU_
du>t
будет равно нулю, так как члены, не зависящие от w, исчезают
при дифференцировании.
Заметим, кроме того, что
Отсюда имеем
2j 6L*
Ho Lh, II постоянны, так что средние значения выражений
дп
равны нулю, и мы имеем
ср. знач. (^-L,) = cp. знач.
Так как 6L, 6Я, б|, бт| делятся на (х, мы видим, что среднее зна-
чение И^г— L| делится на ц2, что и нужно было доказать.
Имея это, постараемся выразить F в функции W, go, т|°,
пренебрегая членами с ц2. Имеем
Первый член Fo зависит только от Lt, и так как Wt—Lt имеет
порядок [х, то, пренебрегая членами с ц2, можем написать
f0 (Lt) = f0 Й
Кроме того, поскольку

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 237
—порядка |х, то, пренебрегая опять членами с ц2, можем написать
Fo {Lt) = Fo (Wt) + 2 щ (Lt - Wt)
и
F = Fo (Wt) +1 щ {Li-Wt) + ji/V
В последнем члене yi.Fi мы можем заменить неизвестные
Lt, Xj, ?i, r\t
их приближенными значениями
wt, wt+м a, ni
Погрешность, допущенная при этом, будет порядка ц2. Так
как F постоянна, то она равна своему среднему значению. Но
F0(Wt) постоянна; средние значения переменных Lt—Wt равны
нулю, если пренебречь членами с (х2, а среднее значение Ft при
этом приводится к Я, т.е. к вековой части возмущающей функции.
Следовательно,
F = cp. знач. F = F0{Wi)+liB. A5)
В R следует заменить Lt, |г, r\t значениями Wt, |?, ii?*).
Известно, что разложение функции R по степеням i и т) содер-
жит только члены четной степени. Поэтому если пренебречь
членами с ц2, то в разложении F по степеням ?? и т)° будем иметь
только члены четной степени. Бели же выразить F в функции
Wi, |i, T)i и разложить ее по степеням ?? и г]°, то члены первой
степени и вообще члены нечетной степени будут делиться на ц2.
Каковы будут в таком случае значения постоянных а; и р\? Это
будут те значения, которые, будучи подставлены вместо |° и т)°,
удовлетворяют уравнениям
u u
Левые части этих уравнений делятся на ц. Действительно, при
ц=0 F обращается в F0(Wi), т.е.в постоянную,не зависящую от
ii и т){. Поэтому если положить
то можно написать наши уравнения в виде
aF'-a dF> _п
и, таким образом, мы уничтожим множитель \i.
*) Отметим, что R не зависит от X.

238 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
Левые части этих уравнений разлагаются по степеням ??г
т)? и ц. При |*=0 /"обращается в R и будет содержать только члены
четной степени относительно Ш и ц". Следовательно, ее частные
производные обращаются в нуль вместе с |? и т)?.
Итак, наши уравнения удовлетворяются при
Поэтому из уравнений можно получить ?? и щ? в виде рядов,
расположенных по степеням ц, и эти ряды обращаются в нуль
при |л=0. Так как полученные таким путем значения it и г#—нечто
иное, как постоянные а2 и ($(, то мы должны заключить, что at
и Р; суть ряды, расположенные по степеням ц и содержащие
(х множителем, так что эти постоянные будут,
следовательно, порядка ц.
Бели тогда в нашей функции F, которая разлагается по степе-
ням
Ц, И. П?>
мы положим
то ясно, что после этой замены F будет разложима по степеням
176. Рассмотрим теперь последнее уравнение A1):
dwt _ OF
dt
правая часть которого зависит только от
Wt, Ц т|*.
Эти величины были определены, и мы нашли, что Wt— посто-
янные, а |1 и т|| разлагаются по степеням выражений
Ebsinw'n, A4)
где Eh — постоянные интегрирования и где од должны быть заме-
нены на
Таким образом, правая часть нам известна, так что wt полу-
чится простой квадратурой. Правая часть разложима по сину-
сам и косинусам кратных од. Пусть щ— ее среднее значение;
положим

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 23?
где
dw'i . dgi dF
¦rfT=7li' -Ж = -дщ-щ-
Так как-г,., разложима по степеням выражений A4) и |х, а коэф-
фициенты этого разложения зависят от постоянных Wk, то ее
среднее значение п\ будет постоянной, разложимой по степеням
ц и Е% [именно Е\, так как щ не должно зависеть от w'h (см.
§ 160)].
Что касается разности
9F .
ШГПи
то она может быть представлена в форме
2 A cos (^ kjWj + h),
где А и А — постоянные, зависящие только от VK, 2?, ц, и где Л}—
целые числа.
Тогда
(cot— новые постоянные интегрирования) и
gt = _
Напомним, что y'j делятся на ц. Поэтому можно было бы опа-
саться того, что выражения для gt будут содержать ц в знамена-
теле, если коэффициенты Л сами не делятся на ц.
К счастью, этого не будет .Бели положим ц=0, то в силу формулы
A5) будем иметь
Так как -щ- постоянна, го она равна своему среднему значению,
так что имеем
dF
Если -^- обращается в нуль при ц=0, то это значит, что она де-
лится на ц. Следовательно, все коэффициенты А имеют множите-

240 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
лем \i. В выражении для gi множитель ц исчезает и в числителе и в
знаменателе, так что это выражение разлагается по степеням ц.
177. Возьмем теперь разложения B) и C). Мы удовлетворим
уравнениям A), если заменим в них:
1) т — нулем;
2) |{ и T]i — их разложениями по степеням выражений
A4)
т. е. разложениями, которые получаются в результате интегриро-
вания уравнений A3) и которые зависят от постоянных Wt;
3) Lt— их значениями в функции от Wt, ??, г$. Эти значения,
будучи разложенными по степеням ??, tj?, будут также разлагать-
ся по степеням выражений A4); _
4) wt — величиной w\ +gt = п& +<ut +gt.
Общий, член разложения C) запишется в виде
2 цаАтотт cos (Zktwt + h).
Мы можем положить т=0, так как мы полагаем в этом разло-
жении т=0, а следовательно, члены, имеющие множителем т,
исчезают; если, кроме того, положим Wi — wl-^-gi, то наше разложе-
ние примет вид
2 (iMSKo cos {Uctgt + h) cos (Uctwl) —
— 2 yPA anosin (Hktgi + h) sinBJctWi). A7)
Одночлен Шо разлагается по степеням выражений A4).
Это верно и для A, cosh, sinh, которые зависят от Lt, и для gt,
как это следует из формулы A6), и для cosBktgt), sin Bktgt),
cosiZktgi+h), sin B kigt+h). Таким образом, коэффициенты фор-
мулы A7) разлагаются по степеням выражений A4).
Как и в § 69, можно показать, что разложения C) примут вид
2 у A8)
где целые числа q и р удовлетворяют условиям дг=рг(тос1 2),
\PtV
Коэффициенты В зависят от постоянных Wt.
Чтобы удовлетворить уравнениям A), в разложениях A8) на-
до положить
Бели имеется (п-\-1) тело, т. е. п планет, то это решение содер-
жит бтг произвольных постоянных, а именно: п постоянных Wt,
In постоянных Еи п постоянных @j, 2тг постоянных а>\. Мы не

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 241
упоминаем К\, так как они рассматриваются как величины, раз
и навсегда заданные.
Система A) является, кроме того, системой порядка 6п.
178. Вернемся к уравнениям A3) и изучим их более подробно.
Мы сопоставили их с уравнениями A) из главы IX, и в § 174 под-
черкнули, в чем их различия. Сочетая приемы из § 170 и 174, мож-
но привести этот случай к случаю, рассмотренному в начале
главы IX, но значительно проще применить метод § 171, что мы и
сделаем.
Обращаясь к формуле A5), мы видим, что имеем
где R' есть не что иное, как R, в которой Lt, \t, т]г заменены вели-
чинами Wit ??, т)?, тогда как R" разлагается по степеням ц,, ??,
т]', и кроме того, зависит от постоянных Wt. Уравнения A3) при-
мут тогда вид
Мы узнаем в них уравнения § 171, так как R' образовано из
?° и г\Ч, так же как и R из |j и т]г.
Бели все планеты движутся в одной плоскости, так что не
нужно учитывать наклонности, тогда никакая из величин у не
равна нулю, и в этом случае нет никаких трудностей.
В том случае, когда нужно учитывать наклонности и когда
одна из величин у равна нулю, можно преодолеть эту трудность
одним из двух приемов, изложенных в конце главы IX, например,
приемом, рассмотренным в § 169. Напомним, что суть его заклю-
чается в том, что мы относим систему не к неподвижным осям,
а к подвижным, равномерно вращающимся вокруг оси х3.
Пусть L', X', е', со'— канонические оскулирующие элементы,
отнесенные к неподвижным осям, a L, р,Д, ю—
те же элементы, отнесенные к подвижным осям. Мы будем иметь
где а — некоторая постоянная, зависящая от скорости вращения
подвижных осей.
Мы будем иметь канонические уравнения
dL' dF_ dq' dF \
dl'aF™' Z~7f^" <19>
~dt~~dL'' ~dT~dQ?' )
16 а. Пуанкаре

242 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
откуда легко вывести следующие уравнения:
dL _ d(F-\-ajiH) dQ _ d(F+a\iH)
dt ~ d\ ' dt ~ da
dX _ d(F-j-a\iH) da _ d(F+a\iH)
dt ~ dL ' dt ~ dQ
где
является левой частью одного из интегралов площадей.
Добавим, что когда заменим L', р/, Я/, со' величинами
L, q, Я,—apt,
то функции /' и F+ацН будут зависеть только от L, q, "к, ю и не
будут зависеть от t\ это вытекает из частной симметрии
функции F (см. § 169).
Если вернемся к переменным ? и т], то уравнения B0) сохранят
каноническую форму и примут вид
dL
dt
dt
d(F+a\iH)
d(F+a\iH)
dL
4
dl)
dt
С уравнениями B1) поступим так же, как и с уравнениями A).
Заменим в F и Н переменные выражениями, зависящими от И',,
li> "П?, Wi. Так как Н постоянна в силу интегралов площадей,
то Н не будет зависеть от мг;, и мы можем написать
где
и где Н" разлагается по степеням ц, |", ч\\ и зависит, кроме того,
от постоянных Wt. Тогда уравнения A3) принимают вид
?1? .. d(R'+aH>) ^
dti?_ d(R'+aH')
A3")
Эти уравнения имеют вид уравнений из § 171 и приемы главы IX
к ним могут быть применимы без какого-либо затруднения.
179. Вычисление средних движений. Мы утверждаем, что коэф-
фициенты п и у', которые аналогичны средним движениям, раз-
лагаются по степеням \i и постоянных Е%. Это вытекает из всего

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 243
предыдущего и мы могли бы доказать это многими разными спо-
собами, но лучше всего рассуждать следующим образом.
Уравнения должны удовлетворяться, если положить
откуда
d ^\ ' д ^
Воспользуемся последней формулой для преобразования урав-
нений A). Мы получим, таким образом, две системы уравнений:
dwk
B2)
dF v '
и
B3)
Эти системы уравнений являются линейными и из них можно
получить постоянные п и у'. Действительно, индекс i может при-
нимать п значений (если имеется п планет) для переменных Xt
и 2п значений для |; и т],-; индекс к может принимать п значений
для п' и w" и 2п значений для у' и w . Таким образом, каждая
из наших систем содержит Зтг уравнений с Зтг неизвестными.
Правые части уравнений B2) и B3), т. е. частные производные
функции F, так же как и коэффициенты, т. е. частные производ-
ные от Я, | и т], разложимы по степеням
ц, Ekcosw'h, Eksinw'h. B4)
Определители, составленные при помощи этих линейных урав-
нений, будут, следовательно, разлагаться аналогичным образом.
Поэтому каждая из неизвестных представляется в виде
X ~ Y '
где Р, Q, X, Y являются рядами, расположенными по степеням
р
величин B4). Выражение -^ выводится из уравнений B2), выраже-
ние ^ выводится из уравнений B3), следовательно, X и У являют-
ся определителями уравнений B2) и B3) соответственно.
16*

244 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Пусть Хо и Уо— совокупности членов наименьшей степени
в разложениях X и У; покажем, что если многочлены Хо и Уо
являются взаимно простыми, то разложение Р делится на X, a Q
делится на У, так что каждая из наших неизвестных будет разло-
жима по степеням величин B4).
Это, впрочем, является хорошо известной общей теоремой,
которую мы докажем в нескольких словах. Будем иметь
PY=QX,
так что PY делится на X. Покажем, что Р делится на X. В самом
деле, если бы Р не делилось на X, то можно было бы написать
P = RX + S, B5)
где R и S суть разложения того же вида, что и разложения для
Р, Q, X, У, и где So (совокупность членов наименьшей степени
разложения S) не делится на Хо.
Бели бы действительно So делилось на Хо, то мы имели бы
где М — однородный многочлен, так как So и Хо являются одно-
родными многочленами. Тогда можно было бы положить
P = (R + M)X + (S—MX).
Эта формула аналогична формуле B5), но в ней R заменено
на R+M, и 5 на S—MX. Если сравним члены наименьшей сте-
пени в S—MX и S, то увидим, что степень первых больше степени
вторых, так как So—МХ0=0. Следовательно, можно было бы
непрерывно увеличивать степень низших членов в 5, по крайней
мере до тех пор, пока So больше не будет делиться на Хо.
Итак, допустим, что So не делится на Хо. Тогда будем иметь
равенство
из которого видно, что 5У делится на X; поэтому необходимо, что-
бы S0Y0 делилось на Хо- Но это невозможно, так как Уо и Хо
взаимно простые и So не делится на Хо (для многочленов теорема
доказана Кронекером). Следовательно, Р делится на X, что и тре-
бовалось доказать.
Итак, остается показать, что Хо и Уо взаимно простые, а для
этого достаточно доказать, что это верно при [1=0.
Бели положим ц.=0, то

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 245
Но величины ?? и т]° зависят только от w' и не зависят от w",
поэтому в левых частях уравнений B2) и B3) частные производ-
ные д^ и 35» исчезают.
Отсюда следует, что X является произведением двух опреде-
лителей:
1) определителя, составленного из —-, который равен 1, так
dwk
как при ц=0 Xt—w"i не зависит от w";
2) определителя, составленного из -%. Мы ограничимся иссле-
дованием членов наименьшей степени. Заметим, что при ji=0 вели-
чины |? могут быть легко вычислены при помощи уравнений A)
из главы IX, т. е. при помощи уравнений A3') или A3"), с отбро-
шенными в правых частях членами с [д.2. Тогда |" будут разлагать-
ся по степеням величин A4). Чтобы получить члены наименьшей
степени нашего определителя, достаточно взять в выражениях
\\ члены первой степени, которые можно вычислить способом,
изложенным в главе VIII. Следовательно, сначала надо подверг-
нуть |? преобразованию переменных из § 151, которое линейной
канонично. Бели в таком случае новые переменные обозначим через
?'2, то будем иметь (оставляем только члены первой степени)
&• = Eh cos w'k, Щ- = -Eh sin w'h = - iff.
OWh
Мы должны найти функциональный определитель переменных
|? по w'. Но он равен произведению функционального определителя
переменных ?? по |ь°, который равен единице (так как замена пере-
менных из § 151 является заменой переменных для прямоуголь-
ных координат), и функционального определителя переменных
?'? по w', который равен
T)i°-Tl2O...Tl2On.
Следовательно, имеем
Xo = T]io-T]20. • .Ti2n =
Аналогично найдем
У0 = 11°- ^2°... |2°п = П (Eh COS W'h).
Полученные выражения показывают, что Хо и Yo являются взаим-
но простыми.
Скажем несколько слов, чтобы отклонить одно возможное возра-
жение. Могут сказать, что Хо и Уо являются «первыми между собой»
при [i= 0, но отсюда не следует, что это будет так и при ц.^ 0. В са-
мом деле, может случиться, что члены наименьшей степени в X

246 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
и У, которые имеют степень 2га относительно величин B4) при ц=0,
будут меньшей степени при цэсО, так как члены наименьшей сте-
пени, которые не будут «первыми между собой», могут исчезнуть
при ц.=0.
Чтобы снять это возражение, достаточно условиться оценивать
степень каждого члена, приписывая Ekcosw'k, Ehsinw'k степень
1 иA- степень q, где q — целое число, большее 2п. Тогда мож-
но быть уверенным, что все члены, содержащие ц множителем,
будут по крайней мере иметь степень 2п.
Из этого следует, что наши средние движения п' и y' разла-
гаются по степеням величин B4), а так как они являются постоян-
ными, не зависящими от w', то разложимы также по степеням ц
и Е%, что и требовалось доказать.
Найдем значения га' и у' при A = 0.
При A=0 имеем
Р р dF „ dF dF n
FF п 0
так что уравнения B2) нам дают сначала
Y' = 0,
а затем
Итак, величины у' содержат \i множите-
лем, а величины «1 при A = 0обращаются в nt.
v'
Рассмотрим отношение — при [i=?|=0.
Пренебрегая ц.2 в правых частях уравнений B2) или B3),
можем написать
dF _tidFi dF__ d?i
а в частных производных функции Ft можем заменить
Ll, ^м ii. f]i
их приближенными значениями
Wu M + wl + gi, I?, ijt,
которые с точностью до членов порядка \а равны первым.
В таком случае обе части могут быть разложены по синусам
и косинусам кратных w" aw'. Приравняем в обеих частях члены,
которые не зависят от w", а зависят лишь от w'.

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 247
„ dp, ЭР, .
В производных -~г- » -з— не зависят от иг те члены, которые не
зависят от Я,. Это будут члены, которые содержатся в выраже-
ниях
dR_ dR_
ИЛИ
так как в них можно заменить ?; и r\t на |? и х\Ь
С другой стороны, выражения
dwk
не имеют членов, не зависимых от и>", так как члены такой приро-
ды, которые могут существовать в |{, исчезают при дифференци-
ровании.
Наконец, в выражениях
можно заменить |j на ^?. Погрешность, получаемая при этом, будет
порядка A, и так как yi — тоже порядка \а, то погрешность в
ук тН будет порядка и2.
OWk
Следовательно, пренебрегая членами с ц.2 и сохраняя в обеих
частях уравнений B2) и B3) только члены, не зависящие от и>",
получим
Бели пренебрежем высшими степенями Е\, то можем заменить
R на R2 и написать
Мы получили уравнения главы VIII, поэтому имеем

248 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Итак, мы должны заключить, что п р и Д =
= 0 разности y*—Yft будут порядка [Д.2.
Все, что здесь было сказано, остается справедливым, если при-
менить способ § 169 и заменить F и R функциями F -\- ацН,
R + H
p
Заметим, что один из аргументов у'ь всегда равен ац, (и, сле-
довательно, равен нулю в случае, когда, относя систему к непо-
движным осям, мы полагали а=0). В самом деле, пусть, как и в
§ 169, U и V — левые части первых двух интегралов площадей.
Тогда легко находим
dU T, dV r7
так как для скобок Пуассона имеем
(F, U)=(F, F) = 0, (Я, U) = V, (Я, V)=-U.
Отсюда выводим уравнения
которые выражают то обстоятельство, что для наблюдателя, жест-
ко связанного с подвижными осями координат, вектор площа-
дей, который неподвижен в пространстве, будет казаться равно-
мерно описывающим конус вращения. С и h — постоянные. Так
как U и V должны быть разложимы по синусам и косинусам крат-
ных w' и w", то это доказывает, что a\it-\-h является линейной
комбинацией с целыми коэффициентами величин и/ и w", т. е.,
что ац является линейной комбинацией с целыми коэффициентами
величин п' и у':
Полагая A=0, мы видим, что целые к, суть нули. Далее, при-
нимая р. весьма малым, пренебрегая ц.2 и полагая Е%=0, будем
иметь
Но величина у2п равна ац и между y и ар, не существует другого
линейного соотношения с целыми коэффициентами. Поэтому все
целые Ki суть нули, за исключением к'^п, который равен единице.
Итак, имеем
что и требовалось доказать.
180. Число аргументов. В общем случае задачи (n-j-l)-ro тела
(п планет) мы имеем п аргументов w" и In аргументов го', т. е.
всего Зп аргументов. Но так как угп равна нулю, когда система
отнесена к неподвижным осям, то аргумент т'гп сводится к посто-

ГЛ. X. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 249
явной. Следовательно, координаты (n-^l)-ro тела зависят только
от Зп—1 аргументов. Их взаимные расстояния зависят только
от Зп—2 аргументов (см. § 193).
В этом случае, когда га+1 тело движется в одной плоскости,
имеем только п аргументов w', но никакая из величин у' не равна
нулю, поэтому координаты зависят от 2и аргументов.
В задаче трех тел координаты зависят от пяти аргументов,
если наклонности не равны нулю, и от четырех аргументов, если
наклонности равны нулю. Взаимные расстояния зависят в пер-
вом случае от четырех аргументов и во втором от трех аргументов.
Бели одна из масс бесконечно мала, а другие массы движутся
согласно законам Кеплера, то одна из величин у' делается нулем,
а именно та, от которой зависит движение перигелия большой пла-
неты. Поэтому мы имеем только четыре аргумента, если наклон-
ность малой планеты не равна нулю, и три, если она—нуль. Но вза-
имные расстояния будут зависеть от четырех аргументов в первом
случае и от трех во втором. Уравнения более не обладают симме-
трией и имеется одно фиксированное направление, которое играет
особую роль — это направление на перигелий большой планеты.
Перейдем, наконец, к ограниченной задаче и допустим, что
орбита большой планеты является круговой. Тогда больше не бу-
дем иметь фиксированного направления, которое играет особую
роль, так как перигелий круговой орбиты не определен. Из этого
следует, что взаимные расстояния трех тел зависят только от трех
аргументов, если наклонность не равна нулю, и от двух аргумен-
тов, если наклонность равна нулю (см. § 193).

ГЛАВА XI
ТЕОРЕМА ПУАССОНА
181. Сравнение разложений. Сравнивая разложения C) и A8)
из предыдущей главы, мы приходим к менее простым и менее чет-
ким результатам, чем при сравнении соответствующих разложе-
нии главы VII. Между тем некоторые из этих результатов пред-
ставляют определенный интерес; среди них особенно отметим зна-
менитую теорему Пуассона о неизменности больших осей.
Вспомним форму разложений C) и A8) предыдущей главы,
которые в этой главе обозначим номерами A) и B). Первое разло-
жение напишется в виде
а второе в виде
И первое, и второе дают значение одной из величин ЬЬ, Ы.,
Ьц: первое, если положить в нем
x = t-\-c, wi
а второе, если положить в нем
С другой стороны, величины gt, ??, т]?, L? также разложимы
в форме B), так что
могут быть разложены одновременно и в виде A), и в виде B),
тогда как Kt—wi=)^-\-6iLi разлагается только в виде A), а
Xj-wl^Xi+gi+bXtB виде B).
Если мы хотим сравнить эти два разложения, то сначала нуж-
но выбрать постоянные с, е;, од, и>\ таким образом, чтобы они
представляли одно и то же решение уравнений движения.
Бели подставим в разложении A) x = l, wt=ntt, т. е. если
придадим постоянным с и et значения, равные н у л ю, то разло-
жение A) представит частное решение уравнений движения, в ко-

ГЛ. XI. ТЕОРЕМА ПУАССОНА 251
тором переменные Lt, Xt, ?г, т)г при t=0 принимают начальные
значения L\, "к\, |?, т|?.
Следует только предотвратить возможное смешение. В разло-
жениях A) величины L\, ??, т]?, X? являются постоянными, а имен-
но, начальными значениями переменных Lt, |(, v\t, Xt. В форму-
лах C), приведенных ниже, наоборот, величины Ц, ??, т|? не являют-
ся постоянными. Поэтому целесообразно обозначить начальные
значения переменных Lt, |{, r\t через L\, ?*, ч\\.
Итак, мы должны выбрать постоянные W, Е, со и со' таким обра-
зом, чтобы разложение B) представляло та же решение. Мы
имеем
C)
В этих равенствах каждое из выражений ЬЬ, ЬХ, б|, 6т) должно
быть заменено соответствующим разложением B) и то же самое
нужно сделать с gt, ??, т)?, L\.
Положим теперь t=0, т. е.
Пусть
в?, ffiLu m.t, *oEl, 6от,г, L\\ IT, VST
— соответствующие значения величин
gt, bLi, bkh bit, br\i, LI II, v\l
Так как Lt, Kt, ?,, г\г должны принять при этом начальные
значения L\a, Я*0, |Г. il?0> т0 уравнения C) примут вид
(у)
Таковы соотношения, из которых мы должны вывести постоянные
W, Е, со*, ©i
в зависимости от начальных значений
L\, IX, ЛЬ
Заметим прежде всего, что правые части уравнений D) могут
быть разложены по степеням ц, Ek cos ©h, Ek sin a'k и по синусам
и косинусам кратных со;. При этом они являются голоморфными
функциями от W.

252 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
При [i=0 уравнения D) приводятся к
L\ = Wu И = If, т,! = т,?°, wi = -g?. E)
Величины |°°, т]°°, g°, в которых положено ц.=0, не зависят
от со; и разложимы по степеням
Ek cos (Oh, Е^ sin (Oft.
Из соотношений E) можно получить Ekcosu>'k, Eksinu)k
в виде рядов, расположенных по степеням \\, г\\. Эти ряды зави-
сят, между прочим, от Wt или, что то же самое, от L\.
Аналогично, gl, которая разложима по степеням
сделается разложимой по степеням ^ и гI.
Что будем иметь теперь для произвольного ц?
Заметим, что обе части равенств D) разлагаются по степеням
Ц» <0j, ^ft cos ©ft, Ek sin ©ft и, наконец, по степеням Wt—L\, если
заменить величину Wt выражением L\-j-(Wt—L\), так как они
являются голоморфными функциями от Wt, когда эти перемен-
ные достаточно близки к их приближенным значениям L\.
Далее воспользуемся теоремой Коши о неявных функциях *).
Пусть имеем п уравнений, правые части которых равны нулю,
а левые части разлагаются по степеням п неизвестных функций
zf, z2, ..., zn и р независимых переменных ?,, х>, ..., хр, и желаем
найти из этих уравнений неизвестные z в функции от переменных х.
Из теоремы Коши следует, что z будут разложимы по степеням х,
если уравнения удовлетворяются при z = х = 0 и если функцио-
нальный определитель левых частей уравнений по z отличен от
нуля при z = х = 0.
Применим эту теорему к уравнениям D) и определим из них
Wt—L\, Ehcosa>;t, ?hsin@ft, ю*
как функции ц, l\, v\\.
Проверим прежде всего, что уравнения удовлетворяются при
I* = И = "Л* = °>* = Wt—Ll=Ek cos ©ft=Ek sin a>k = 0.
При |А=0 уравнения D) приводятся к уравнениям E). Следова-
тельно, достаточно показать, что |"\ ti?0, g? обращаются в нуль
при
Eh cos ©л=Ek sin (О;! = 0.
*)См. Ф и x t e ii г о л ьц Г. М., Основы математического анализа, т. II,
Физматгиз, 1960. (Прим. перев.)

ГЛ. XI. ТЕОРЕМА ПУАССОНА 253
Мы знаем, что величины |? и т]° определяются уравнениями
A3') или A3") предыдущей главы. Так как мы принимаем ц.=0,
то можно пренебречь членами с \i2R" и уравнения примут вид
dt~ ^ ' dt-Pd$-
С точностью до обозначений они совпадают с уравнениями A)
из главы IX, поэтому функция R' содержит только члены четной
степени относительно |? и т]?, т. е. разложения величин |? и ч\\
будут содержать только члены нечетной степени относительно
Ehcosw'h, Eksmw'k.
Поэтому они обращаются в нуль при
Ek cos w'h = Eh sin w'k = 0,
т. е. величины ??° и т]°° обратятся в нуль при
Ek cos ©л=Ek sin (oi = 0.
Рассмотрим теперь величину g?. В § 176 мы вывели уравнение
Его правая часть разлагается по степеням
с. COS ,
^"sin"
и ее среднее значение равно нулю, так что она содержит только
члены, зависящие от wk, поэтому все члены в разложении правой
части имеют множителем Ек.
Интегрирование показывает, что gt будет иметь такой же вид,
и если мы не будем прибавлять произвольную постоянную, то
среднее значение gt также будет равно нулю и все члены будут
содержать Ek множителем. Отсюда следует, что gi обращается в
нуль вместе с Ek c?s w'h, a g\ обращается в нуль вместе с
SID
Ek °?s а>'ь, что и требовалось доказать.
Проверим теперь, что при
I* = И = Л* = °>« = Wi—L\ = Ekcos ©ft = 2?fcSin@fc = 0
функциональный определитель относительно неизвестных
(Oj, Wt — Lu Ek cos ©л,
не равен нулю.
В самом деле, при A=0 уравнения D) обращаются в уравнения
E), так что искомый функциональный определитель обращается
в определитель от ?2°, т)?° по 2?ftc?s ю'А.

254 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Величины |°°, г]*0 разлагаются по степеням Ек c?s ю'ь, и если
Sill
Sill
мы желаем найти значение нашего определителя при /?к=0„
достаточно взять в разложениях члены первой степени.
Члены первой степени совпадают с теми, которые мы опреде-
лили в главе VIII, т. е. ??°, т|°° связаны с Eh cos ©ft, Ek sin u>k такими
же линейными соотношениями, которые связывают |2, i\t с новы-
ми переменными ?ь х\\ в замене переменных § 151. Но эта замена
переменных выражает некоторое ортогональное преобразование
координат, определитель которого равен единице.
Итак, наш функциональный определитель равен единице, что
и требовалось доказать.
Мы должны заключить, что из уравнений
D) можно определить постоянные
(о*, Wt, Ekcos(uk, Ehsmttk
в виде рядов, расположенных по степеням
коэффициенты которых зависят, кроме то-
го, о т L\.
Этот результат потребовал длинного рассуждения, хотя он по-
чти очевиден.
182. Вспомним, каковы те два разложения, которые предстоит
отождествить. С одной стороны, мы имеем
I
Величины bLt, 6?j, Ьщ, 6Xt должны быть заменены их разло-
жениями A) и в этих разложениях в свою очередь следует заме-
нить аргументы wt на щ1, т на t и постоянные L", |", т]? на L\r
II г\\.
С другой стороны, имеем
Величины 6Lj, б|?, 6г|г, ЬКг должны быть заменены разложе-
ниями B), так же как и L", ??, т|?, gt, и в этих разложениях в свою
очередь нужно заменить и>| и и4 на WiJ-fWj и —y'ut +й>ь-
Чтобы отождествить выражения F) и G), мы можем поступить
двумя способами. Мы можем принять за основу постоянные
ц, а, л?,

ГЛ. XI. ТЕОРЕМА ПУАССОНА 255
входящие в уравнения F). Тогда в уравнениях G) мы должны
заменить постоянные
Wt, щ, Eh™w'k
их выражениями в функции L\, %{, ц\, т. е. выражениями, кото-
рые мы составили в предыдущем параграфе.
Какова будет в таком случае форма правых частей этих уравне-
ний? Они являются рядами, расположенными по степеням
Но так как, например, имеем
Eh cos w'h = Ek cos ©ft cos yj,t -\- Ek sin (oft sin Yk*.
то мы видим, что правые части являются рядами, расположен-
ными по степеням
A, Eh cos (oft, Eh sin (Oft
и по синусам и косинусам кратных Yfc*-
С другой стороны, величины Lu |г, r\t, Х{—ин разлагаются
по синусам и косинусам кратных w\, и, следовательно, кратных
(О; И Hit.
Наконец, коэффициенты этих разложений зависят еще от Wt.
Согласно предыдущему параграфу величины
Wt, щ, Ekcosa'k, Eksin(o'k
разлагаются по степеням
Ц, II г\\
и то же будет для синусов и косинусов кратных ю4.
Следовательно, преобразованные форму-
лы G) дадут нам
Li, \i, T)i, Л,|—nit
в виде рядов, расположенных:
1) п о с т е п е н я м ц., Ц, г\\;
2) по синусам и косинусам кратных n[ty
y'kt;
3) кроме того, зависящих от Ь(.
Общий член ряда имеет вид

256 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
где А зависит только от Wt, а 30^ разложимо по степеням ?{ и х\\
н где
v' = 2 км — 2 рнч'к,
к(, рк— целые числа.
Это разложение еще не совпадает с разложением F), так как
выражение
которое является одночленом, целым относительно \i, \\, i\\,
имеет коэффициентом А . vt, который тоже зависит
от ц, \\ и т)Ь
Действительно, величины п\ и y'k разлагаются по степеням ц,
Е%. С другой стороны, выражения
Е% = (Ek cos ©h)* + (Ek sin ©ft)*
разлагаются по степеням \i, Ц, r\\.
Поэтому п\ и Yft, а следовательно, и коэффициент v' также будут
разлагаться по степеням \i, ?|, т|Ь
Отсюда следует, что для того, чтобы эти два разложения были
тождественными, необходимо разложить cosv'l или sinv'l по
степеням этих величин.
При ц=О v' обращается в
Очевидно, что, например,
cosx't = cos [vt + (v' — v) t]
и поэтому может быть разложено по степеням (v'—v)t. Общий член
равен некоторому числовому коэффициенту, умноженному на
.cosvf или sinvi и на некоторую степень (v'—v)t.
Далее, разность (v'—v), которая помимо всего делится на v,
может быть разложена по степеням \i, Ц, г\\. Общий член разло-
жения G), преобразованный таким образом, будет
и тогда он должен быть тождественным общему члену разло-
жения F).
183. Легко теперь отдать себе отчет в том, чем обусловлено
происхождение членов различного сорта в разложении F), т. е.
в разложении, полученном путем прямого применения метода
Лагранжа.
Чисто вековыми членами являются те, которые не содержат
множители cos vt или sin vt. Следовательно, это те члены, для

ГЛ. XI. ТЕОРЕМА ПУАССОНА 257
которых имеем
Так как между п,- не существует никакого линейного соотно-
шения с целыми коэффициентами, то отсюда
т. е. все чисто вековые члены происходят от членов, не зависящих
от w"i, а зависящих только от аргументов w'h.
В самом деле, если v' делится на ц, то нельзя разлагать
cos v't по степеням ц, не разлагая одновременно и по степеням t, и
это приводит к появлению чисто вековых членов.
В чем заключается различие между этим случаем и случаем
ограниченной задачи, изложенным в главе VII?
В обоих случаях координаты могут быть выражены через функ-
ции, разложимые по синусам и косинусам кратных некоторого
числа аргументов, изменяющихся пропорционально времени.
В данном случае некоторые из этих аргументов обладают весьма
малыми средними движениями, обращающимися в нуль вместе
с A. В ограниченной задаче, наоборот, все средние движения
конечны. Из этого раньше вытекало, что мы не имели членов с
cos v't, где v' делится на ц., следовательно, в разложениях Лагранжа
не было чисто вековых членов.
Члены, которые зависят от w", и для которых, следовательно,
коэффициент v не равен нулю, дают нам периодические члены
и смешанные вековые члены.
Чему равен ранг полученных таким способом членов? Рас-
смотрим один из членов
преобразованного разложения G). Он нам будет давать члены
вида
п если, разлагая (v'—v)m по степеням ц, мы имеем
(v'-v)m-2
то наш общий член будет иметь вид
Так как v'— v делится на ц., то показатель 0 по крайней мере равен
т. Следовательно, ранг общего члена будет
— /га>а.
17 А. Пуанкаре

258 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Так как а не может быть отрицательным, мы получили еще одно
доказательство теоремы о ранге, а именно, что ранг любого члена
разложения всегда неотрицателен.
Таким образом, все члены, выведенные из
члена вида (8), всегда имеют ранг, по край-
ней мере равный а.
Чтобы получить члены нулевого ранга в уравнениях G),
нужно положить ц.=0. Так как при этих условиях ЬЬ, б|, 6т),
ЬК обращаются в нуль, будем иметь
Здесь L\, I", т]°, gi должны быть заменены их разложениями
вида B), и в этих разложениях в свою очередь надо положить
A=0. Естественно, мы придем к результатам главы IX.
Рассмотрим совокупность чисто вековых членов и прежде
всего совокупность чисто вековых членов в Lt, \t, r\t. Как мы уви-
дим, это те члены, которые не зависят от w".
Для этого мы должны вернуться к методу получения разло-
жений B). Мы взяли разложения A), положили в них т=0, заме-
нили |?, т]", L\ их значениями в функции w'^i/iW [значения, выве-
денные из уравнений A3) предыдущей главы] и, наконец, заме-
нили wt на w\ 4- g{.
При последней замене член
A cos 2 ktWi
дает
A cos {^ кiw\) cos (^kigi) —A sin (^kiwl) -sin C^ktgi),
т. е. все члены, которые из него получаются, содержат множи-
телем синус или косинус аргумента 2 Ktwb
Поэтому член, не зависящий от wt (т.е. член, где все kt равны
нулю), дает нам только члены, не зависящие от w\ и, наоборот,
член, зависящий от и>,-, дает только члены, зависящие от w\.
Мы хотим иметь совокупность членов, не зависящих от w\.
Для этого мы должны взять совокупность разложений A), положить
в них т = 0, отбросить все члены, зависящие от w, и заменить
Li, lt« f\i их разложениями вида B).
Следовательно, будем иметь:
чисто вековые члены в Li =Z?-{-среднее значение bLt,
» » » » ii=i?+ среднее значение 6?г,
» » » » т]г='П?+ среднее значение 6x\t.
Слова «среднее значение» имеют тот же смысл, что и в предыду-
щей главе, т. е. мы допускаем, что, разлагая bLit 6|j, br\t по сте-

ГЛ. XI. ТЕОРЕМА ПУАССОНА 259
пеням т и синусам и косинусам аргументов кратных w, мы сохра-
няем только те члены, которые не зависят от т и w.
Для Xt, кроме того, надо учитывать и те члены, которые про-
исходят от члена w'l, так что для чисто вековых членов в перемен-
ной Xi будем иметь
W + ii* + (Oj-rg; + cp. знач. bXt.
184. Для сравнения разложений F) и G) мы могли бы также
основываться на постоянных
Wu - Ек, ©L
Тогда было бы достаточно заменить L\, |J, r\\ их значениями, полу-
чаемыми непосредственно из уравнений D) в виде функций этих
постоянных. Можно было бы также получить некоторые инте-
ресные результаты.
Можно также сделать сравнение разложений, не используя
частный выбор значений постоянных.
Это привело бы к большим упрощениям и мы могли бы избе-
жать как длинных выкладок, так и других трудностей. Но такое
сравнение было бы менее точным.
185. Теорема Пуассона. Мы знаем, что Лагранж доказал теоре-
му онеизменност и больших осей, в силу которой
разложения больших осей не содержат вековых членов, если пре-
небречь в них квадратами масс, т. е. пренебречь членами поряд-
ка ц.2. Доказательство этой теоремы было изложено в § 105. Она
весьма важна с точки зрения устойчивости солнечной системы.
Позже Пуассон обобщил результаты Лагранжа и доказал ана-
логичную теорему для случая, когда в разложениях сохранены
члены с квадратами масс, т. е. члены порядка ц2, и отброшены
члены порядка ц3. Доказано, что разложения больших осей содер-
жат смешанные вековые члены, но не содержат чисто вековых
членов.
Другими словами, Пуассон доказал, что в разложениях боль-
ших полуосей или, что то же самое, в разложениях переменных Lu
нет членов вида
Но член вида (i2t является членом второй степени и имеет ранг,
равный единице.
Докажем теперь теорему Пуассона, или, точнее, мы докажем
более общую теорему, а именно, докажем, что в разложениях
переменных Li нет чисто вековых членов ранга единица.
Действительно, откуда могут появиться такие члены? Выше
мы видели, что для того, чтобы получить чисто вековые члены в раз-
ложении для Li, необходимо взять разложение Ьг по степеням т
17*

260 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
и по синусам и косинусам кратных w и сохранить в этом разложе-
нии члены, не зависящие оттии или, если угодно, искомые чле-
ны суть не что иное, как среднее значение Lt.
Но в § 175 мы показали, что среднее значение разности W,-—Lt
делится на иА Поэтому для чисто вековых членов в L, имеем
где DLi разлагается по степеням ц и
COS
Напомним, между прочим, что
Величина Wt постоянна, поэтому она не является вековым
членом в собственном смысле слова. Что касается выражения
H2DLt, то оно нам дает члены вида
где показатель а не меньше двух, так как \i2DL[ делится на fi2.
Но мы видели, что члены, получаемые из выражения (8),
имеют ранг не меньше а, поэтому их ранг не меньше двух. Сле-
довательно, разложение Lt не содержит чисто вековых членов
ранга меньше двух, что и требовалось доказать.
Итак, мы не имеем членов вида \i2t, но имеем члены вида
u2 sin v't,
где v будет нулем и где, следовательно, v' делится на ц.
Пусть, разлагая v' по степеням ц, имеем
тогда будем иметь
ц2 sin v't = ц,2 sin (djui + а$хЧ +...)•
Если разложим по степеням ц, то первый член разложения
будет равен a.i\ist. Итак, мы имеем члены вида fi3;.
После открытия Пуассона долгое время верили теореме вооб-
ще и считали, что, доказав ее в первом приближении, затем во вто-
ром, нетрудно будет доказать ее также и для следующих прибли-
жений. Однако огромные усилия в этом направлении оказались
бесплодными.

ГЛ. XI. ТЕОРЕМА ПУАССОНА 261
В 1876 г. Спиру-Аретю доказал существование членов вида
Hst и этот результат вызвал огромное удивление, хотя в то время
некоторые ученые уже подозревали это *).
186. Вернемся к главе VIII. В § 141 мы вывели формулу
Там же мы отметили, что:
1) второй интеграл в правой части не может давать членов
нулевого ранга;
2) члены нулевого ранга, порождаемые третьим интегралом,
имеют вид
t
о
3) первый интеграл не может давать других членов нуле-
вого ранга, кроме тех, которые происходят из чисто вековых чле-
нов ранга 1 в выражении
Но из предыдущего вытекает, что эти члены не существуют,
поэтому первый интеграл не дает члена нулевого ранга.
Итак, членами нулевого ранга в kt могут быть только
о
т. е. члены нулевого ранга в kt могут быть получены при помощи
уравнения
и притом связанного с уравнениями
dt dtjj
dr\t _ дй
которые дают члены нулевого ранга в |г и r\t.
R не зависит от Xif а только от Lt (которые, если ограничить-
ся членами нулевого ранга, как мы делали в главах VIII и IX,
*) Меффруа показал, что в работе Спиру-Аретю коэффициент при
приведен с ошибками («Bulletin astronomique», 1958). (Прим. перев.)

262 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
должны рассматриваться как постоянные), так же как от ?,-, т);,
которые полностью определяются из уравнений A0).
Правые части уравнений (9) являются, следовательно, извест-
ными функциями, так что уравнения (9) могут быть до конца про-
интегрированы простой квадратурой.
Таким образом, члены нулевого ранга в kt, которые могут быть
только чисто вековыми членами, получим из формулы:
чисто вековые члены Я,г = Х? + Щг -j- <ог + gi + cp. знач. 8ки
полагая ц=0 в gj ив бХ,г. Тогда 6kt, которое имеет ц множителем,
обратится в нуль и остается
Пусть, с другой стороны,
ni
Члены
имеют ранг а—1, и мы сохраним только первый из них n
Тогда для членов нулевого ранга в ki будем иметь выражение
Величина gt разлагается по степеням
Ekcosw'k, Eksinw'k.
Отсюда следует, что gi есть периодическая функция от w',
и если мы вспомним, как было составлено ее разложение, и то,
что при интегрировании мы не добавляли произвольную постоян-
ную, то увидим, что среднее значение этой периодической функции
равно нулю. Это имеет место и для среднего значения -—^ .
Итак, если заменим в R переменные |2 и r\t разложениями по
степеням
Ekcosw'h, Ehsinw'h,
то среднее значение jj- будет равно п\ \
Рассмотрим также разложения, изученные в главе IX, так как
здесь мы рассматривали только члены нулевого ранга. Эти разло-
жения содержат только члены нечетного ранга относительно Eh
(см. § 144 и следующие), поэтому переменные |г и т|г обращаются
в нуль вместе с Ek.

ГЛ. XI. ТЕОРЕМА ПУАССОНА 263
Коэффициент «iJ) разлагается по степеням Е\. Чтобы получить
первый член этого разложения, надо положить
т. е.
В этом случае R приводится к величине, которую мы в главах
VIII и IX обозначали через i?0. Следовательно, при El=0 будем
иметь
Таким образом, в разложении величины п[!* по степеням ц и Ек
коэффициент при ц равен -т~ .

ГЛАВА XII
СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ.
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
187. Симметрия. Вернемся к разложениям главы X, располо-
женным по синусам и косинусам кратных ю' и w". Мы можем
выразить эти синусы и косинусы через мнимые показательные
функции и написать эти разложения в следующей форме:
где
Коэффициенты А, В, С, С зависят от постоянных W и Е.
Чтобы удовлетворить уравнениям движения, нужно положить
w) = n'jt -f ft);, W] = — y'jt -f ft);,
откуда
= 2 Се**, b-ftu = 2 С'Ъ I )
где
v = 2 к}щ — 2 Р)УJ, Л = 2 *W + 2
К уравнениям A) мы присоединим интегралы площадей, кото-
рые напишем в виде
U — const, V = const,
сохраняя для букв U и V те же значения, что и в главах IX и X.
В случае, в котором желательно прибегнуть к способу § 178,
т. е. когда желаем отнести систему к подвижным осям, вращаю-
щимся вокруг оси х3, уравнения движения принимают вид
dL _ d(F+av.H) (t)
dt ~~ ~дк ' ••• W
[уравнение B0) из § 178].
В § 179 мы нашли, что U и V вместо того, чтобы быть постоян-
ными, будут пропорциональными косинусу и синусу аргумента

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 265
a[it-\-h, так что можно написать
U + iV = Ке* «*М+">, U—iV = Ке~1 <°м'+>0,
где К и h — вещественные постоянные и К зависит от постоян-
ных W и Е.
Действительно, величина
легко выражающаяся через Lh, |A, r|ft, является функцией W, Е,
w' и мЛ Так как, кроме того, К является постоянной, она не
может зависеть от w' и w", а зависит только от W и Е.
Заметим теперь, что уравнения движения не изменяются, если
всю систему повернуть на угол е вокруг оси х3. Это свойство верно
для обычных уравнений задачи трех тел, значит, оно верно также
и для уравнений B) [уравнение B0) из § 178].
Следовательно, нужно иметь возможность дать постоянным
интегрирования
W, Е, ©;, ш;
такие приращения, чтобы вся система повернулась на угол е
вокруг оси х3, т. е. чтобы переменные
Lh, ^й. iftH-iflft» ?*—*Лл C)
заменились на
Lh, ^ft + 8. (Sft+iiftN"*8» Aft — in)h)eie- D)
И в самом деле, если мы сделаем преобразование, которое состо-
ит в замене величин C) величинами D) (е — произвольный посто-
янный угол), уравнения движения не изменятся. Поэтому мы дол-
жны прийти к новому частному решению этих уравнений, соответ-
ствующему новым значениям постоянных интегрирования.
Если угол е бесконечно мал, то и приращения постоянных инте-
грирования
bW, 6E, ЬЪ,
будут бесконечно малы. Тогда для
А, В, С, С, К, щ, у}
имеем приращения
6Л, 6В, 6С, 8С', 6К, 6n'j, 6yj,
для w)— приращение bw), а для ср — приращение

266 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
где
8v = 2 kjbn'j—2 Pjby'j, 6й = 2 kj8<Oj -f- 2 Pjbto'j-
С другой стороны, Lft, A,ft, lk+Щ^ Ik—Щн должны получить
приращения
О, е,
так что будем иметь
0 = 2 бЛе*ч> 4- i 2 A Svte^ + i 2
8 = 18n'k 4- 6©ft 4- 2 &Ве1<? 4- i 2 # Sv*ei<p +
+*s
— i8 2 Ce"P = 2 sCei(P 4- i 2 С ovf е{ч> + i 2 С бйе1*,
ie 2 C'e-*» = 2 bC'e-^—i 2 C'8v*e-*»—i 2 С'бЛе-
E)
Обе части равенств E) разложены по степеням t и по синусам
и косинусам кратных n'jt и y'jt. Следовательно, обе части имеют вид
функций, рассмотренных в лемме § 107, из чего следует, что эта
лемма может быть применена. Другими словами, эти равенства
не могут иметь места, если подобные члены в обеих частях не уни-
чтожаются.
Отсюда следует, что члены с t или te^, которые отсутствуют
в левых частях, должны обращаться в нуль и в правых частях.
Поэтому
1) будем иметь
6«а = 0.
2) Для всех членов, коэффициенты которых А, В, С или С
не равны нулю, будем иметь
Наиболее важными членами разложений |ft ± ir\k являются те,
которые были найдены в главе VIII. Это члены с множителем
Eje±iwK
Они вообще не обращаются в нуль и не могут уничтожиться
вместе с последующими членами, так как они намного больше
всех других при малых значениях ц и Е. Если <f>=Wj, то имеем
v=— Yj

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 267
и, следовательно,
6Y;=o.
Величины nk и Yj являются функциями постоянных W и Е.
В этом случае можно поставить такой вопрос: можно ли вывести
из 3» уравнений
6пк = 8\- = 0 F)
следующие Зп уравнений
6W = 6E = 0? G)
Ответ легко находится. Очевидно, имеем
Следовательно, если функциональный определитель от п'ь и
Yj по W и Е не равен нулю, т.е. если не существует никакой зави-
симости между функциями n'k и Yj> то уравнения F) влекут за
собой уравнения G).
Если все планеты движутся в одной плоскости, так что не нуж-
но беспокоиться о наклонностях, то мы имеем только п аргумен-
тов w" и п аргументов w' и между соответствующими Ъг коэффициен-
тами га' и у' нет никакой зависимости (к этому мы вернемся в сле-
дующем параграфе).
Если же планеты движутся не в одной плоскости, так что нуж-
но принимать во внимание наклонности, то можно применить спо-
соб, изложенный в § 178; мы будем иметь одно соотношение, кото-
рое согласно § 179 имеет вид
так что постоянная Y2n не зависит от Е и W.
В этом случае удобнее рассматривать постоянную
т. е. проекцию вектора площадей на плоскость XiX2- Следователь-
но, К не изменяется при повороте системы на угол е вокруг оси
х3 (что приводится к преобразованию координат, в котором ось
х3 и плоскость XiX2 сохраняются).
Поэтому будем иметь
Но между n'k, Yj (за исключением у'2п) и К нет никакой зависимо-
сти (мы вернемся к этому в следующем параграфе), поэтому всегда

268 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
можно будет рассуждать как и выше, и из уравнений F), к кото-
рым добавляется уравнение 8К =0, можно будет вывести урав-
нения G),
Так как А, В, С, С зависят только от W и Е, то будем иметь
6А = 8В = 8С = 8С' = О
и наши равенства E) примут вид
— ге 2 Се1* = -г i 2 С 8/ге*ч\ [ E')
Из первого равенства вытекает, что для всех членов в Lk имеем
То же самое bh = 0 имеем и для всех периодических членов в Я,А.
С другой стороны, второе равенство показывает, кроме того, что
Наконец, последние два равенства показывают, что для всех
членов в |д или г|А имеем
bh = —8.
То же самое справедливо и для всех членов в разложениях
|д и г\и, так как |*, и щ связаны с |д и r\k линейной заменой пере-
менных из § 151.
Но среди членов разложения 1а+и1й имеются члены с
которые не обращаются в нуль, так как их коэффициенты весьма
близки к Ek при малых значениях \х и Eh.
Для этих членов имеем 6cp = 6u>jt и, следовательно, б/> = б<о/(.
Поэтому
6ft)i=—8
и вообще
Отсюда вытекает следствие:
Для всех членов в разложениях Lh и Kk между целыми f>j
и pj имеется соотношение

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 269
Для всех членов в |д и т)Д имеем
Эти результаты аналогичны результатам, полученным в § 116
и 162. Заметим, что мы могли бы рассуждать здесь так же, как
в главах VI и VII и, наоборот, в главе VII так же, как и здесь.
188. В предыдущем параграфе мы утверждали без доказатель-
ства, что между га' и у' не существует никакой зависимости, если
все планеты движутся в одной плоскости, а в противном случае
не существует никаких соотношений между га', у' и К. Из этого
мы вывели уравнения
Легко проверить это утверждение, если ограничиться первы-
ми членами разложений, но этот результат можно получить
и более простым путем.
Действительно, вернемся к переменным ?? и щ, которые свя-
заны с is и T|ft линейными соотношениями § 151. Их можно разло-
жить в том же виде и написать
выделяя известный член Dft. Аналогично, в разложении Ьк можно
выделить известный член и написать
При повороте всей системы на угол е ?ь2-|-т]а2, так же как
и Lk, не изменяются, поэтому имеем
= О,
2 6 Л е*ч> + i S А б(ре{ч> = 0.
Известные члены должны обратиться в нуль, откуда
(8)
Величины Dft и А% являются функциями W и Е. Влекут ли за
собой уравнения (8) справедливость уравнений G)? Для этого
достаточно, как мы говорили, чтобы между DI и АЦ не существо-
вало никакой зависимости, что легко проверить.
Достаточно сделать проверку при ц=0. При ц—0 имеем
и, следовательно,

270 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
При A=0 величины |ft, т)й, &,, к\ь сводятся к членам нулевого
ранга, т. е. к тем значениям, которые были вычислены в главе IX.
Достаточно будет сделать проверку для малых значений экс^
центриситетов и наклонностей, т. е. для малых значений Eh.
Действительно, если между A%viD& имеются какие-то зависимости,
то они будут существовать и в том случае, когда разложения
приводятся к их членам наименьшей степени.
Но для малых значений Ek мы можем заменить |д и т)Д первыми
членами их разложений по степеням Eh, т. е. теми значениями,
которые были вычислены в главе VIII. В таком случае имеем
и, следовательно,
Отсюда следует, что между Al=Wk и Dl=E% нет никакого
соотношения, что и требовалось доказать.
Следовательно, равенства (8) влекут за собой уравнения G)
и поэтому
Далее можно вести рассуждения так же, как и в предыдущем
параграфе.
189. Из этого можно вывести, каким образом величины п/, и
Y) зависят от коэффициента а, который фигурирует в уравнениях
B0) из § 178 [уравнение B)]. Обозначим через B') уравнения,
получающиеся из B), если в последних заменить а на а + да,
придавая а приращение да. Тогда решению уравнений B)
Lh, Ч, th + Щк, lh—Щи, 1ьг
будет соответствовать решение уравнений B'):
Lh, X
С другой стороны, можно было бы думать, что для того, чтобы
перейти от частного решения уравнений B) к соответствующему
решению уравнений B'), нужно было бы придать постоянным
интегрирования малые приращения.
Коэффициенты A, ...,v,... также получат приращения, с
одной стороны, потому, что они зависят от этих постоянных,
с другой стороны, потому, что они зависят от а. Следовательно,
мы придем к следующим формулам, аналогичным равенст-
вам E), и в которых все известные члены мы обозначили, как и в

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 271
предыдущем параграфе, через ЬА% и 6D%:
0 = 6ЛЯ + 2 вЛе*» + *2 Abvte1* + i 2-
tц 6а = tbn'k H- 6©ft H- 2 б-ве{ч> + i 2 ВШе^ + i 2'
Up 6а 2 С'е-*ч> = 2 ЬС'е-Ъ—i 2 C'*"'~-i(B (9)
О = 6I>? H- 2 6?>ei(i>H- i 2 #Sv<ei(i> + i 2
Приравняем здесь подобные члены. Сначала находим
откуда
Далее видим, что 6v и bh равны нулю в разложениях для
Lh, К, Ik2 + r\'k2
и
Но наиболее важный момент с интересующей нас точки зрения
заключается в том, что, приравнивая члены, содержащие t мно-
жителем во втором уравнении, имеем
а приравнивая члены с te^B третьем и четвертом равенствах, имеем
и также для всех членов |А и т)д, коэффициенты которых не равны
нулю. Но среди этих членов имеются, как мы видели, члены с
где
v=
Поэтому имеем
Таким образом, все величины Ьп{ и by'h равны между собой,
поэтому разности п'и — щ, % — y'j, п'ь — у] не зависят от а. С другой
стороны, так как мы видим, что Y2n равно ац,, то можем заклю-
чить, что «л—ац и %—ац не зависят от а.

272 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В разложениях для Lk и кк имеем
откуда
v = 2 к3щ — 2 ^Yi = 2 *; ("i—aV)~2 Л (Yi—«I*)-
Это равенство показывает, что v не зависит от а. Поэтому если рас-
сматривать постоянные со и со' как не зависящие от а, то угол ср не
будет зависеть от а, и то же самое можно утверждать и относитель-
но w"k — a\nt. Аналогичный вывод можно сделать и относительно
величин Lk и Xk — apt.
Следовательно, если заменить а на а + да, то величины Lh
и кк заменяются на Lh и Kh + 6а-ц*.
В разложениях для |д и т)Д имеем
2*-2*--i.
Отсюда получаем уравнение
v=2 k3n'i—2лй=2 ЫпЪ—щ)—2 pj(y'i—at*)—«м-
которое доказывает, что v — ац не зависит от а, а значит,
и ф -f- apt не зависит от а.
Следовательно,
(Ia + ti\k) eio|1( =
не зависит от а, и то же самое справедливо и для
Таким образом, если а заменить на а + да, то выражения
ft и |ft — ir\k заменятся на
(Ь + ir\k) e-i6a»f , (|ft - irift) e"«i" .
Следовательно, чтобы перейти от решения уравнений B) к соот-
ветствующему решению уравнений B'), достаточно заменить а на
а-{-да, ничего не изменяя в постоянных интегрирования W, Е,
(О, й)'.
Можно было, впрочем, ограничиться замечанием, что, заменяя
в наших разложениях
w" на w"
w' на ге'—&a\it
и сохраняя без изменения W и Е, мы изменим Lk, Xk, lk + Щк,
i b (? )ie( F )И*
Щ
iftUft, h + i, (?ft + u)(, F* — й1*)*Ив"*,т. е. что
от решения уравнений B) перейдем к решению уравнений B').

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 273
Это немедленно вытекает из соотношений
или
без надобности снова прибегать к предыдущему анализу.
Все это показывает, что переход от общего решения уравнений
B), т. е. уравнений B0) из § 178, к общему решению задачи
трех тел, отнесенных к неподвижным осям, можно осуществить
немедленно. Коэффициенты разложений (А, В, С, С) не зависят
от а. Только средние движения зависят от а и притом линейно.
Поэтому достаточно придать каждому из этих средних движений
то значение, которое соответствует а = 0.
При этих условиях одно из них, т. е. у'гп. обращается в нуль.
Если при этом за координатную плоскость xtx2 выберем неизмен-
ную плоскость, то величина, которую мы обозначили через Е2п,
обращается в нуль, так что члены, которые зависят от аргумента
к>2п. также исчезают.
190. Симметричные соединения. Допустим, что в момент t — 0
все светила находятся в одной плоскости, которую мы обозначим
через Р, и что все их скорости направлены перпендикулярно к этой
плоскости.
В этом случае мы будем говорить, что светила находятся в сим-
метричном соединении. Два положения одного и того же светила,
соответствующие моменту t и —t, будут симметричны относи-
тельно плоскости Р. Это является непосредственным следствием
симметрии наших уравнений.
Мы можем предположить, что постоянные шиш' определены
таким образом, чтобы аргументы w' и w" обращались в нуль, т. е.
в момент симметричного соединения (при t — О). Тогда при за-
мене «на —t, т.е.при замене w' и w" на —w' и — w", положение
каждого светила заменится симметричным относительно плоскости
Р. Если мы возьмем плоскость Р за плоскость х^х3, то Lk, Xft,
|й, т|й заменятся на Ьь, —А,&, ?*, —i\k. Следовательно, в разложе-
ниях, расположенных по синусам и косинусам кратных w' и w",
разложения для Lk и |ft будут содержать только косинусы, тогда
как разложения для %h и т|А будут содержать только синусы.
Можно было бы подумать, что наложение условия симметрич-
ного соединения ограничивает общность, но в действительности
такое ограничение не является существенным. В самом деле,
если имеем п +1 тело, центр масс которых считается неподвиж-
ным, т. е. имеем п планет, то в момепт симметричного соединения
остается Ъп произвольных величин, а именно, In координат п пла-
нет в плоскости Р, совпадающей с плоскостью х&3, и их п скоростей,
18 а. Пуанкаре

274 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
направление которых установлено, но величины которых остают-
ся произвольными. Тогда мы можем воспользоваться этой неопре-
деленностью, чтобы произвольно выбрать Зп постоянных W и Е.
Но наши неизвестные зависят только от Зп постоянных и Зп
аргументов w' и w". Наши разложения, одни из которых содержат
только синусы, а другие только косинусы, достаточны, следова-
тельно, для того, чтобы дать наиболее общее решение. Придавая
постоянным юно)' нулевые значения, мы будем иметь частное
решение, соответствующее симметричному соединению; придавая
им произвольные значения, будем иметь общее решение.
191. С другой стороны, если заменим систему другой системой,
симметричной первой относительно плоскости х&2, то переменные
L и К не изменяются; не изменятся и эксцентрические переменные,
тогда как облические переменные изменят знаки.
Впрочем, из симметрии уравнений следует, что если началь-
ные положения сравниваемых систем симметричны относительно
плоскости XiZ2, то то же самое будет иметь место и для положений
в любой момент.
Пусть
Wk, Ek, (Oft, </h
суть значения постоянных интегрирования для первой из этих
двух систем. Посмотрим, как найти другие значения этих постоян-
ных для второй системы, т. е. такие значения, которые, будучи
подставлены вместо первоначальных, изменят знаки всех обли-
ческих переменных, не изменяя другие переменные.
Пусть в таком случае для первой системы
есть любой член одного из наших разложений; величина ср имеет
тот же самый смысл, что и в § 187. Пусть А'е1<-^^ является соответ-
ствующим членом для второй системы. Два разложения должны
быть тождественными с точностью до знака. Если, следовательно,
мы имеем дело с Lk или Xk, или с одной из эксцентрических пере-
менных, то будем иметь (приравнивая члены соответствующих
разложений)
Если рассматриваем одну из облических переменных, то бу-
дем иметь
Это тождество соблюдается в двух случаях:
1) при А=—А', h = 0,
2) при А = A', h = n.

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 275
Для определенности мы будем предполагать, что в момент t = О
имеем симметричное соединение, т. е. что постоянные <л и ю' равны
нулю. Как нам известно, это не ограничивает существенно общность.
Тогда будем иметь h = 0 и А = А' для L, к и эксцентрических
переменных, и А = — А 'для облических переменных.
Вспомним сначала, что согласно обозначениям, сделанным
в предыдущих главах, нечетные индексы присущи эксцентрическим
переменным, а также соответствующим Е и w', тогда как четные
индексы присущи облическим переменным и соответствующим
Е и w'.
Каковы будут значения постоянных W и Е, когда совершается
переход от первой системы ко второй, симметричной относитель-
но ПЛОСКОСТИ ?i#2?
Мы утверждаем, что W не изменяются, не изменяются и вели-
чины Е с нечетными индексами, в то время как величины Е с
четными индексами меняют свой знак. Сначала рассмотрим W. Мы
видели, что величина Wt является не чем иным, как средним зна-
чением выражения
вычисленным относительно т и w (среднее значение — это сово-
купность всех членов в разложении, не зависящих от т и w). Что-
бы все выразить в функции новых аргументов w' и w", нужно,
как мы объяснили в главе X, положить
т = 0, Wi = w\-\-gi
и, далее, заменить Ц, gt, |°, т)? их значениями в функции от w'.
Легко видеть, что члены, зависящие от т, исчезнут при т = 0.
Члены, не зависящие от т, но зависящие от w, будут давать нам
члены, зависящие от w", тогда как члены, пе зависящие от т и от
w, дадут нам члены, не зависящие от w".
Следовательно, среднее значение относительно т и w не отли-
чается от среднего значения относительно w". С другой стороны,
дХ _ дХ дг\ _ дх\
dwi ~ dw« ' dwi ~ dw\ '
так что в конечном счете Wt является средним значением по w"
выражения
Заметим, кстати, что так как Wt есть постоянная, то выраже-
ние A0') не может содержать члены, не зависящие от w" и зави-
сящие от w'. Но если мы вернемся к сравнению разло-
18*

276 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
жений главы XI, то увидим сейчас же, что чисто вековые
члены происходят из членов, которые зависят от w', но не зави-
сят от w". Выражение A0'), или, если угодно, выражение A0),
не может содержать чисто вековые члены.
Это является некоторым обобщением
теоремыПуассона.
Как бы то ни было, при переходе от первой системы ко вто-
рой L, к не меняются, |ит] также не меняются, когда индексы не-
четны (эксцентрические переменные), а |ит) с четными индексами
меняют знаки. В итоге выражение A0') не изменяется. Следова-
тельно, Wt не изменяется, что и требовалось доказать.
Перейдем к Ek. Пусть Ah является коэффициентом при cos w'h
в одном из наших разложений. Так как все разложения должны
быть расположены по степеням EjCosw), Ej sin w], то мы должны
сделать вывод, что отношение
разложимо по степеням Е). Мы имеем, следовательно, уравнения
вида
Ак = Ет {El El ..., El) (к = 1, 2, ..., 2и),
где фй — ряды, расположенные по степеням Е).
Пользуясь теоремой о неявных функциях, примененной нами
уже в § 66 и 181, из этих уравнений можно выразить Ej в виде ря-
дов, расположенных по степеням Л д. Из предыдущих формул сле-
дует, что когда изменяется знак величины Ek, будет изменяться
знак Ak. Отсюда вытекает, что разложение Eh по степеням А
должно делиться на Ak и отношение
Eh.
Ak '
которое не должно изменяться, когда меняется знак Одной из вели-
чин Aj, должно располагаться по степеням А), так что будем иметь
Eh = A,$h{A\, A\, ...,А\п) (А=1,2, ...,2п),
где функции t|) разлагаются по степеням А^.
Но мы видели, что при переходе от первой системы ко второй
(которая является симметричной первой относительно плоско-
сти XiX2) коэффициент A k не изменяется, если к — нечетное число,
и меняет свой знак, если к — четное число. Поэтому то же самое
имеет место и для величин Eh, что и надо было показать.
С другой стороны, мы видели, что все коэффициенты А в раз-
ложениях L, X и эксцентрических переменных не изменяют-

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 277
ся при переходе от первой системы ко второй. Поэтому все эти
коэффициенты являются коэффициентами четной степени отно-
сительно постоянных Eh с четным индексом; в каждом из этих
членов, таким образом, сумма показателей постоянных Ek с чет-
ным индексом есть число четное.
Но разложения расположены по степеням Eh cosw'h и Eh s\nw'h,
и показатель Ek имеет ту же четность, что и коэффициент при
соответствующем w] (см. § 69).
Следовательно, сумма коэффициентов
аргументов w'k с четными индексами есть
число четное.
В разложениях для облических переменных, на-
оборот, каждый коэффициент меняет свой знак при переходе от
первой системы ко второй. Поэтому сумма показа-
телей постоянных Eh с четными индексами
нечетна, так же как и сумма коэффициен-
тов аргументов w'k с четными индексами.
192. Гелиоцентрические координаты. Прямоугольные гелио-
центрические координаты планет, их радиусы-векторы, синусы
и косинусы их долгот и широт и их взаимные расстояния суть
однозначные функции канонических элементов L, К, |, т). Так как
?ft) ^-а — wit. Ifti 'Ia суть периодические функции аргументов w',
w", то такими же будут и гелиоцентрические координаты, взаим-
ные расстояния и т. д., так что эти величины будут расположены
по синусам и косинусам кратных w' и ю". Более того, так же как
канонические элементы, они расположены по степеням Eh cos w'k,
Eh sin w'u. Таким образом, разложения гелиоцентрических коорди-
нат, взаимных расстояний и др., будут иметь вид
2 AU (EV) ^
Постоянные коэффициенты А зависят только от W и ц,
а П (Ej}) означает произведение 2и множителей вида Е^. Рас-
суждая, как и в § 69, мы увидим, кроме того, что
qj^pj (mod2), qj>\pj\.
Если придать всей системе вращение на угол е вокруг оси х3,
т. е. если, как показано в § 187, заменить w] и w) на u>j+e и w]—е,
то взаимные расстояния (n-fl)-ro тела не изменяются, так же как
и гелиоцентрические координаты
или
относящиеся к оси х3.

278 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Координаты относительно осей Xi и х2, наоборот, подвергнутся
изменению. В самом деле, ясно, что
изменятся на
тогда как
*1 ^а1 ••'4 fr**'6> • • ¦»
изменятся на
(»i—1х2)е~гг, (а;4—ia:5)e~ie, ...
Отсюда следует, что
в разложениях взаимных расстояний и координат
и что
в разложениях координат
В силу симметрии относительно плоскости xtx2 (см. § 190)
разложения координат
содержат только косинусы, и то же самое справедливо для разло-
жений радиусов-векторов и взаимных расстояний.
Наоборот, разложения
жа1 ж6, ...; ж2, xt, ...
содержат только синусы.
В силу симметрии относительно плоскости xtx3 (см. § 191)
разложения координат х[, хг, х\, х'ъ, ...; Xi, x2, х4, хъ, ... таковы,
что обе суммы
2л 4h 2j Pj

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 279
являются четными, когда суммирование распростра-
няется на все четные значения индексов /.
Аналогичный результат имеет место для взаимных расстояний
и радиусов-векторов.
Наоборот, в разложениях
3' в' • • • » **8? ~в? • • •
эти две суммы являются нечетными.
193. Число аргументов. Предположим, что мы имеем га+1
тело, т. е. га планет. Число аргументов равно Зп, а именно 2га
аргументов w' и га аргументов w". Если отнести систему к подвиж-
ным осям, т. е. вернуться к уравнениям B0) из § 178, то все аргу-
менты будут различными, так как между средними движения-
ми щ и —y'j не существует никакого линейного соотношения с целы-
ми коэффициентами.
Но это не будет иметь места, если мы возьмем неподвижные оси
[т. е. если положим о = 0 в уравнениях B0) из § 178]. Действи-
тельно, в этом случае одно из средних движений у'2п равно нулю,
так что один из наших аргументов w'2n равен постоянной вели-
чине. Здесь имеем только Зга — 1 различных аргументов.
Заметим, что если возьмем неизменную плоскость за плоскость
х\хг, то имеем
Чтобы это уяснить, предположим снова, что а отлично от нуля,
и рассмотрим уравнения, приведенные выше (см. § 179):
U = K sin (a\it-\-h), V = К cos (ац* + h).
Мы видели, что a\it-\-h совпадает с величиной w'zn- Из этого
следует, что К содержит множителем Е2п- Если поэтому мы поло-
жим Е2п = 0. то величины U и V будут тождественно равны нулю,
т. е. вектор площадей будет оставаться перпендикулярным к пло-
скости х&ъ; таким образом, условие Е2п = 0 эквивалентно усло-
вию, что плоскость XiZ2 и неизменная плоскость совпадают.
Чтобы перейти к случаю, в котором а не есть нуль, достаточно
сохранить те же разложения, но придать средним движениям дру-
гие значения (см. § 189). Условие, при котором обе плоскости
совпадают, остается тем же самым, т. е. Е2п = 0.
Если положить Е2п = 0. то все члены, которые зависят от
аргумента u>2n, исчезнут. В оставшихся членах будем иметь
для одних координат и

280 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
для других координат и для взаимных расстояний, придавая
в них индексам /величин ^ все значения,
к р о м е / = 2ге.
Поэтому общий член в разложении для взаимных расстояний
имеет вид
A cos B kjw"j + 2
где
или, что то же,
A COS [2 kj (w'j + W'2n-l) + 2 Pj (Щ — «>2n-l)] ,
где индекс у kj принимает значения
1, 2, ..., п,
а индекс у pj — значения
1, 2 2п-2.
Итак, взаимные расстояния зависят только от Зге—2 аргу-
ментов
Это утверждение было доказано на основе того, что неизмен-
ная плоскость была выбрана в качестве координатной плоско-
сти XiXo. Но взаимные расстояния не зависят от выбора осей коор-
динат, поэтому сказанное будет справедливым и для любого распо-
ложения ПЛОСКОСТИ Х\Хг.
В частности, взаимные расстояния в задаче трех тел зависят
от четырех аргументов.
Если движения всех тел происходят в одной плоскости, мы
имеем п аргументов w" и п аргументов w'. Все эти аргументы
различны, так что координаты зависят от 2п аргументов. Разло-
жения взаимных расстояний удовлетворяют условию
Следовательно, взаимные расстояния зависят только от 2п—1
аргументов (три аргумента в задаче трех тел).
Предположим теперь, что одна из масс бесконечно мала.
В этом случае будем иметь п тел [(ге—1) планету], координаты
которых зависят лишь от 3/г—4 аргументов:
wl, w"a, ..., w"n-i, w"n,
W't, и'ъ, ...,«.'2„_з, И>2п-Ь
W't, W't, ..., w'2n-2-

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 281
Действительно, все для них будет происходить так, как если
бы бесконечно малая масса не существовала, так как ее дей-
ствие слишком мало, чтобы возмущать их движения. Что
касается бесконечно малой массы, то ее координаты будут зави-
сеть, кроме того, от трех новых аргументов
w[, w[, w'3.
Взаимные расстояния re больших тел будут зависеть только
от Зге — 5 аргументов, а расстояния бесконечно малой массы от
больших тел будут зависеть от Зге — 2 аргументов, т. е. всегда,
будут зависеть и от трех новых аргументов.
Предположим теперь, что в задаче трех тел масса одного из
них бесконечно мала. Мы приходим к предыдущему случаю,
полагая ге = 2, т. е. будем иметь два больших тела. Движение
этих тел будет кеплеровским невозмущенным движением, поэтому
их координаты будут зависеть от Зге — 4 = 3-2 — 4 = 2 аргу-
ментов, но так как в этом случае положение перигелия не
меняется, аргумент w'%n-\ = u>, принимает постоянное значение,
поэтому в конечном итоге координаты больших тел будут зави-
сеть лишь от одного аргумента.
Координаты тела с бесконечно малой массой зависят в этом
случае от величин
w' w'
или (так как w's постоянна) от четырех различных аргументов.
Взаимное расстояние двух больших тел зависит тогда только
от аргумента w, а расстояние малого тела от больших тел, как
и его координаты, зависит от четырех различных аргументов.
Покажем, что w'a представляет долготу перигелия орбиты боль-
шой планеты, a w\ — долготу узла и, кроме того, что Е3 обра-
щается в пуль вместе с эксцентриситетом этой орбиты, а ?'4 —
вместе с ее наклонностью.
Если приравняем нулю величину ?4, то плоскость х&г сов-
падет с неизменной плоскостью, которая в данном случае является
не чем иным, как плоскостью орбиты большой планеты.
При этих условиях все члены всех разложений, зависящие от
w't, исчезнут. Предположим теперь, что а не равно нулю, т. е.
что наша система отнесена к вращающимся осям. В этом случае
координаты большой планеты зависят от двух различных аргу-
ментов w и w'3, средние движения которых соответственно равны
dw"

282 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
а среднее движение малой планеты зависит от пяти аргументов:
w[, w[, w'3, w"t, w'b.
Если эксцентриситет равен нулю, координаты большой пла-
неты пропорциональны величинам cos w"t, sin w\ и они не зави-
сят от w's, так что Е3 = 0. Если Е3 = 0, то все члены, зависящие
от w'3, во всех разложениях должны исчезать.
Следовательно, если эксцентриситет орбиты
большой планеты равен нулю, то координаты малой
планеты и ее расстояния до других тел могут быть разложены по
синусам и косинусам аргумента
l + Piw'i
(р3 и pi равны нулю), и мы будем иметь
ki + k2—p1—p2 =
для взаимных расстояний и для х3,
— ДЛЯ Xi И ДЛЯ Х2.
Если, кроме того, Е2 = 0, то все члены, зависящие от w'2,
исчезнут. Так как в третьей координате х3 все члены, содержащие Е
с четным индексом (т. е. члены с Е2), имеют нечетную степень,
то все эти члены обратятся в нуль, поэтому х3 тождественно равна
нулю. Малая планета будет оставаться всегда в плоскости орбиты
большой планеты. Мы, следовательно, возвращаемся к ограни-
ченной задаче.
В этом случае расстояния малой планеты от других тел раз-
лагаются по косинусам аргумента
к
где
Отсюда видно, что эти расстояния зависят только от двух аргу-
ментов:
dw\
Вспомним, что средние движения —тг конечны, тогда как сред-
ние движения —г—малые величины порядка (д.. В ограничен-
ной задаче непосредственно видно, что средние движения
dt ' dt
имеют конечные значения. В этом заключается одна из причин
относительной простоты ограниченной задачи. Именно по этой

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 283
причине эта задача обладает простыми свойствами, доказанными
в главе VII.
194. Периодические решения. Если мы положим
Et = Ez= ... = Е2п = О,
то будем иметь некоторое частное решение, которое будет зави-
сеть только от аргументов w" и не будет зависеть от аргументов w'.
В задаче трех тел взаимные расстояния зависят тогда от коси-
нусов с аргументами
Так как р равны нулю, то будем иметь
откуда следует, что взаимные расстояния зависят от единствен-
ного аргумента
w\-wv
Таким образом, взаимные расстояния являются периодиче-
скими функциями времени. Мы приходим, таким образом, к перио-
дическим решениям первого сорта, изученным в книге «Les Мё-
thodes nouvelles de la Mecanique celeste» (т. I, глава III). Они
являются точными решениями дифференциальных уравнений.
195. Выбор постоянных. В главе X мы брали в качестве посто-
янных интегрирования начальные значения L\, X°, |°, г\\, а в гла-
ве VI было показано, что возможен другой выбор, например, вме-
сто начальных данных можно взять средние значения элементов.
Здесь, кажется, более целесообразен следующий выбор значений
произвольных постоянных.
Будем брать, как и раньше, начальные значения |°, т)? вели-
чин |г, t)j и возьмем начальные значения № величин А,, выбирая
их равными нулю, но вместо Lt будем брать Wt, т. е. средние зна-
чения выражении
Рассмотрим, каким образом следует применять метод Лагранжа
и производить последовательные приближения из главы V. В пер-
вом приближении возьмем Lt = Wt.
Далее положим

284 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В ге-м приближении возьмем
заменяя в производной —рА- переменные их значениями из
(п — 1)-го приближения. Lt определяется с точностью до постоян-
ной, и чтобы полностью ее определить, нужно задать среднее
значение 1ц. Мы возьмем
ср. знач. Li = Wi— ср. знач. ^бЬ^ + ^Ы-Щ-) . A1)
В самом деле, мы имеем
ср. знач. у
ср. знач. |
В правой части равенства A1) мы можем заменить переменные
их значениями из (п — 1)-го приближения. Действительно, если
погрешность величины ЬЬ будет, например, порядка (д.™, то
погрешность произведения
dwt
ЛА1
будет порядка (д.", так как 6к и -=— сами порядка (д..
Поэтому равенство (И) позволяет окончательно вычислить
Lt. Мы ничего не добавим относительно выбора постоянных Eh,
лишь скажем, что если вместо Eh мы возьмем постоянные Е'ъ,
определяемые уравнениями
где \\ih — функции, разложимые по степеням Е) и зависящие,
кроме того, от W произвольным образом, то новые постоянные
Е' обладают наиболее важными свойствами постоянных Е, т. е.
переменные задачи будут разложимы по степеням величин
E'h cos w'k, E'h sin w'k.
196. Непосредственное вычисление рядов. В предыдущих
параграфах и главах мы старались установить прежде всего фор-
му разложений, но предыдущие формулы не всегда являются
наиболее удобными для конкретных вычислений. Нашей основной

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 285
целью в дальнейшем будет получение таких разложений, которые
были бы наиболее приспособлены для вычислений.
Пока мы хотим вкратце указать на один прием, позволяю-
щий непосредственно получить ряды, приведенные в главах VII
и X. Рассмотрим сначала ограниченную задачу и для этого вер-
немся к уравнениям A0) из § 126:
dLt _ dF dXi _ dF
В главе VII мы видели, что можно удовлетворить этим уравне-
ниям разложениями по синусам и косинусам кратных п аргумен-
тов
Щ, и>2, ..., wn,
полагая в них
В таком случае уравнения A2) могут быть заменены следую-
щими уравнениями:
V »' dLi dF
bL-L. ( }
Положим n'k = nk + bnk. Тогда наши уравнения могут быть
написаны в виде
Рассмотрим теперь средние значения различных рассматри-
ваемых величин. Если U есть какая-либо периодическая функция
аргументов w, разложенная в тригонометрический ряд, то ее
среднее значение, которое мы обозначим через [U], будет равно
члену ряда, не зависящему от w.
Величины Lt являются периодическими функциями w, поэтому
будем иметь
Разности Xt — wt также являются периодическими функциями ш,
поэтому

286 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Отсюда вытекает, что если приравняем средние значения
обеих частей равенств A4) и A5), то получим
и
Уравнение A6) должно удовлетворяться само собой и это дей-
ствительно так и будет, так как мы знаем заранее, что разло-
жение возможно. Что касается равенства A7), то оно будет опре-
делять 6щ.
В таком случае вот каким образом должны быть построены
последовательные приближения. Допустим, что мы имеем (п — 1)-е
приближение величин
Ьщ, Li, А,;,
так что погрешность имеет порядок (д,". Подставим их в правую
часть равенства A4). Погрешность в выражениях
dwk ' ОПк
будет иметь порядок (дп~х. С другой стороны, 6nh и -^- сами
порядка ц, так как при \i = 0 имеем
rei = Wft, Li= const.
Следовательно, погрешность в выражениях
будет порядка (д.".
Итак, уравнения A4) будут давать для Lt п-е приближение,
и погрешность при этом будет порядка цп.
Рассмотрим теперь уравнение A7) и заменим в правой части
переменные Xt их значениями из (п — 1)-го приближения, а пере-
менные Ьг — их значениями из re-го приближения. Так как /"<>
зависит только от Lt, то погрешность, допущенная в
L dLt
будет порядка [An; погрешность в /\ будет порядка (д", и, сле-
довательно, погрешность в

ГЛ. XII. СИММЕТРИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 287
будет порядка цп. Отсюда следует, что уравнение A7) будет давать.
новые значения bnt с погрешностью порядка цп.
Заменим в правой части уравнения A5) 6nt и Lt их значениями
из re-го приближения, a kt — их значениями из (п — 1)-го прибли-
жения.
Погрешность в -~^- будет порядка
ц",
6reft » » |*n
dwh
так как 6nh имеет порядок (i.
Уравнение A5), таким образом, будет давать для Kt новые-
значения, погрешность которых имеет порядок цп.
197. Рассмотрим общий случай задачи (ге + 1)-го тела. В главе X
мы видели, что искомые переменные могут быть выражены в виде
периодических функций от Зге аргументов
w\ = ml + €вь w\= — Yi
Пусть также
n'i = «»-'- Ьщ.
Тогда можно написать уравнения в следующем виде:
Приравняем, как и выше, средние значения обеих частей равен-
ства B1); тогда
[4g] [4fe] B2)
С другой стороны, удвоенный коэффициент при sin wu в разложе-
нии произвольной периодической функции U будет [sin w'k U],

288 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
и ясно, что если U — периодическая функция, то будем иметь
Поэтому если приравняем коэффициенты при sin wk в обеих
частях равенства A9), получим
4J5] B3)
Заменим в правых частях равенств A8) и B3) переменные
(п — 1)-м приближением, в котором погрешность имеет порядок
(л11. Тогда погрешность в Lt будет порядка и", так как bnh, y'k,
-~Ar, -Q-h- сами порядка (д. (разность Wt—L% имеет порядок ц)
Уравнение B3) будет давать y'k и так как коэффициент
[—*¦%]•
погрешность которого имеет порядок ji", не обращается в нуль
при (д. = 0, а правая часть содержит \i множителем, то погреш-
ность в ук будет порядка ц".
Заменим в правой части равенства B2) переменные Lt (n — 1)-м
приближением, а другие переменные га-м приближением; тогда
погрешность в bnt будет порядка цп.
Заменим в правых частях равенств A9) и B0) величины дп
и y' п-ы приближением, а другие величины (п — 1)-м приближе-
нием; тогда погрешность в |j и ц{ будет порядка ц".
Наконец, заменим в правой части равенства B1) величины
6п, у', L их значениями из го-го приближения, а другие величины
их значениями из (п — 1)-ю приближения; тогда погрешность
в kt будет порядка цп.
Таков способ построения последовательных приближений.

ГЛАВА XIII
ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОНЕ
198. Теорема о классе. В § 104 мы классифицировали с разных
точек зрения различные члены, возникающие в результате приме-
нения метода Лагранжа, общий вид которых
Предположим, что средние движения почти соизмеримы, так
что интегрирование может ввести малые делители.
Пусть т' есть показатель этого малого делителя в знаменателе.
Тогда мы говорим, что рассматриваемый член принадлежит
к классу
то
а я
Покажем, что нет членов отрицательного
класса, поэтому число
т то
а —н =-
всегда положительно или равно нулю, а в разложениях ЬЬи б|{,
бт)г класс любого члена не меньше 1 /2.
Для этого возьмем уравнения (9) § 106:
о "
о
t i
f ,. f dFt ,. . f M> .. . (* d/"i j.
\ at \ -~z—ot-t- \ —37—ог+u \ —zr=—at.
\
0 0
Допустим, что теорема имеет место в (п — 1)-м приближении,
и покажем, что она верна также для значений bLit 6Xt, 6%t, 6r\t
в п-м приближении, которые получаются, если в правых частях
19 а. Пуанкаре

290 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
уравнений A) заменить все переменные их значениями из (п—1)-
го приближения.
Согласно § 100 частные производные функции F{, которые
входят в правые части уравнений A), имеют вид
где В с точностью до числового множителя является одной из
частных производных высшего порядка функции Fu в которых
переменные Lt, |2, r\t, Xt нужно заменить их значениями из пер-
вого приближения
IA, nit + Ц, 1?, л?-
Что касается Зй', то он является целым одночленом относительно
в котором последние величины должны быть заменены их значе-
ниями из (п — 1)-го приближения.
Мы утверждаем, что после такой замены 2ВЧВ1' будет содер-
жать только такие члены, для которых
т. т' л
а-т—2-Х).
В самом деле, согласно предположению, все члены значений 6Lit
6Xj, б|ь &r\i из (n — 1)-го приближения принадлежат положитель-
ному или нулевому классу. То же самое справедливо и для В,
так как для всех членов В, которые получены без операции интег-
рирования и не содержат ц множителем, имеем
а = т = т' = 0.
Произведение двух членов положительного или нулевого
класса, очевидно, также принадлежит положительному или нуле-
вому классу. Поэтому это будет иметь место и для всех членов
2 ВШ.
Рассмотрим теперь первые три уравнения A). Они показы-
вают, что 6L{, 6|j, 6т]{ имеют вид
± ц jj 2 ВШ'dt-
Интегрирование может ввести множитель t или малый дели-
тель в знаменателе, но оно не может ввести и то и другое. Дей-
ствительно, множитель t может появиться только при интегриро-
вании чисто векового члена, а малый делитель v0 появляется
только при интегрировании члена, имеющего множителем

ГЛ. XIII. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОНЕ 291
cos(v0? + h). Поэтому т -\- т' или не изменяется, или увеличи-
вается на единицу.
Результат интегрирования надо умножить на ц, так что
показатель а увеличивается на единицу, поэтому после обеих
операций будем иметь
т т' 1
" —Т 2">У
Итак, теорема выполняется для значений го-го приближения
величин 6L, б|, бт). Классы всех членов разло-
жений ЬЬ, 6|, Ьц не меньше 1/2.
Переходим к последнему уравнению A), которое дает 6Я(.
В правой части имеется три интеграла. Первый из этих интегралов
имеет вид
Все члены 2BW удовлетворяют условию
т m
в-т—г
Двукратное интегрирование может увеличить т -\- т' на две
единицы. Умножая результат этого интегрирования на ц, мы
увеличиваем показатель а на единицу, поэтому в конечном счете
имеем
Итак, все члены, содержащиеся в этом интеграле, принадле-
жат к положительному или нулевому классу. Что касается вто-
рого интеграла,
то заметим, что мы имеем еще
где В с точностью до числового множителя является одной из
частных производных функции Fo, в которых Lt заменены их
значениями Lf из первого приближения, а Ш' является одночле-
ном не ниже второй степени относительно 6Lt,
которые должны быть заменены их значениями из (п — 1)-го
приближения. Согласно предположению эти значения содержат
только члены, удовлетворяющие условию
т т' ^ 1
«—Г->Т'
19*

292 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Произведение двух таких членов будет иметь класс не меньше
единицы, и это тем более будет иметь место для произведе-
ния более двух членов. Поэтому это будет иметь место и для всех
членов ЭДГ. Что касается В, то это просто постоянная величина.
Таким образом, все члены 2 #9Л' имеют классы не меньше еди-
ницы, т. е. они таковы, что
то то' a
a—g—г>1.
После интегрирования т -\- т' может увеличиться на еди-
ницу, но мы еще будем иметь
то то' . 1
а 2 2">"'
Рассмотрим третий интеграл. Он имеет вид
т. е. он имеет такой же вид, что и правые части первых трех урав-
нений A), поэтому все его члены удовлетворяют условию
т то' 1
а 2 2~>Т-
Итак, все члены 6Xt принадлежат к положительному или
нулевому классу.
Теорема о классе, таким образом, доказана.
199. Посмотрим, как составляются уравнения, дающие члены
нулевого класса разложения 5Х; и члены класса х/2 разложений
ЬЬи bit, 6тL.
Пусть v0 — рассматриваемый малый делитель. Тогда
v0 = 2 kjnj,
где п.) — средние движения и kj — целые числа, выбранные таким
образом, чтобы v0 было весьма малым.
Сначала покажем, что все члены класса 1/2 разложений 6L,
6|, 6т] будут иметь вид
Apatm cos (PvoH-A).
где Р — целое число, и такой же вид имеют все члены нулевого
класса в разложении Ь%.
В самом деле, допустим, что это верно в (п — 1)-м приближе-
нии, и покажем, что это также будет верно в тг-м приближе-
нии. Для этого мы воспользуемся первыми тремя уравнения-
ми A), которые могут быть написаны, как мы видели в предыдущем

ГЛ. XIII. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОНЕ 293
параграфе, в виде
В правых частях нужно заменить переменные их значениями
из (п — 1)-го приближения. Возьмем любой член 2 ВШ' и по-
смотрим, что нужно для того, чтобы ои давал члены класса 1/2
в разложениях 6L, 6? или бт).
Для этого нужно:
1) чтобы он был членом нулевого класса,
2) чтобы при интегрировании его класс уменьшился на 1/2г
потому что при умножении на ц его класс увеличится на еди-
ницу.
Так как класс всех членов в В есть нуль, то нужно, чтобы
рассматриваемый член в Ш' также принадлежал к нулевому
классу. Но так как все члены нулевого класса [в (п — 1)-м при-
ближении] имеют форму B), то легко видеть, что рассматри-
ваемый член в 2УГ должен иметь такой же вид.
Обозначим через Вг рассматриваемый член из В, а через ffl[ —
рассматриваемый член из Ш', и пусть
л; dt
является соответствующим членом в 6L, б| или дг\. Из сказан-
ного следует, что член Ш[ имеет форму B), так что имеем
Ш'1 = АцЧт cos ($vrf + Л) (Р — целое).
Пусть
} cos (vt + h').
Если v не равно нулю, то интегрирование введет делитель v.
Чтобы класс уменьшился на 1/2, нужно, чтобы v было кратным v0,
т. е. чтобы мы имели
v=yv0 (y—целое число).
Если v есть нуль, то интегрирование введет новый множитель
t и класс уменьшится на V2.
Таким образом, если мы желаем, чтобы класс уменьшился на
112 после интегрирования, нужно, чтобы
где у — целое положительное или отрицательное число, или
нуль.
Тогда Вх будет иметь вид
h"), C)

294 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИИ
где К, h" — постоянные и б — целое число, равное Р ± у. Мы
не будем иметь при этом в Bt ни множителя ц, ни множителя t.
Действительно, Bt есть одна из частных производных функции
Fu в которых L, 5, т) заменены постоянными величинами, а ^ -
выражением ntt -\-"k\. Следовательно, оно не может ввести ни
множителя ц, ни множителя t. Мы можем написать
где Н зависит от L, |, г\ и где pj — целые числа. Пусть DFi озна-
чает частную производную какого-либо порядка от Fu умножен-
ную на числовой множитель. Ясно, что разложение DFi имеет
такой же вид, как и разложение Fit и если некоторый член Ft
содержит множителем какую-либо тригонометрическую функ-
цию угла 2 Pfah To соответствующий член DFi также будет содер-
жать множителем тригонометрическую функцию того же угла
2 • Таким образом, мы будем иметь
где Н' (так же как и Н) зависит от L, ?, г\.
Чтобы получить В, нужно заменить в DFi переменные L,
1, ц, Kt на L*, I?, 1]?, nit + М- Таким образом, найдем
я-2 *; 21 <*+*">•
где Н'о — значение Н' при Lt — L\, ?г = |?, r\t = r\1 (следова-
тельно, Щ есть постоянная). Кроме того, имеем
Единственными членами в разложении для Б, которые нужно
брать во внимание (т. е. члены, которые могут дать в разложениях
ЬЬ, б|, Ьг\ члены класса 1/2), являются те, которые имеют вид Bt
в равенстве D), т. е. те, для которых v = 6v0, где б — целое число.
Таким образом, мы должны иметь
v = 2 Р}Щ = Sv0 = fi 2 */nJ>
откуда
P) = &ky,
Ь — целое число.
Отсюда видно, что pj должны быть целыми кратными чисел kj,
соответствующими малому делителю v0.
Следовательно, в Ft нужно рассмотреть только те члены,
аргумент которых 2 PjnJ есть кратное аргумента 2 &/Ъ> соответ-
ствующего малому делителю.

ГЛ. XIII. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОНЕ 295
Обозначим этот аргумент особой буквой, полагая
Поэтому если мы рассмотрим функцию Ft, то те ее члены, которые
содержат тригонометрический множитель, аргумент которого
не является кратным 6, должны быть отброшены, так как они не
играют никакой роли при определении членов класса */2 в ЬЬ,
61, бЛ.
Таким образом, мы должны сохранить только члены, не зави-
сящие от А,, т. е. члены, не содержащие никакого тригонометриче-
ского множителя (совокупность таких членов в главах VIII и IX
мы обозначали через R), и, кроме того, члены, содержащие три-
гонометрические множители, аргументы которых кратны 6.
Обозначим через W совокупность оставленных членов.
С другой стороны, член В{Ш[ дает нам в правой части равен-
ства C) член
аргумент которого равен bvot + А", и в этом аргументе коэффи-
циент при t равен 6v0, т. е. кратен v0.
Таким образом, сформулированная теорема верна в ге-м при-
ближении для 6L, 5|, Ьч\.
Переходим к 6А,, которое определяется последним уравне-
нием A). В правой части этого уравнения мы заменим все пере-
менные их значениями из (п — 1)-го приближения. Таким обра-
зом, будем иметь значения 5А, в n-м приближении.
Покажем, что члены нулевого класса зависят опять от аргу-
мента, кратного vot.
Согласно предыдущему параграфу последние два интеграла
в правой части последнего уравнения A) могут давать только
члены класса 1i2. Поэтому достаточно рассмотреть первый инте-
грал и написать
t t
^\ jj|g-d*, D)
о о
или
Чтобы получить члены нулевого класса в 6Я,,-., нужно рассма-
тривать члены нулевого класса в ВШ'. Затем нужно, чтобы после
двойного интегрирования класс уменьшился на 1, а после умноже-
ния на (I увеличился на 1.

296 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Но чтобы в результате двукратного интегрирования класс
уменьшился на единицу, нужно, чтобы аргумент рассматривае-
мого члена был кратным vot. Из этого следует, что члены нуле-
вого класса в значении re-го приближения для ЬКг имеют также
аргументы, кратные vot, что и требовалось доказать.
200. Уравнение D) можно написать в виде
t
С другой стороны, мы видели, что при вычислении членов
класса 1/2 в разложениях ЬЬ, Ь\, Ьг\ функцию Fx можно заменить
функцией ?, так что первые три уравнения A) принимают вид
t t t
n~dt, fi|i=—u \ -5—dt, br\i = a \ —z-dt,
о о
откуда
dLt _ dbLj _ №
at at ' о hi
dt ~ dt ~ " CTlf '
dr\j _ dbr\i _ ЗУ
dt ~ dt ~^~Щ7
dXi .
dt '"^ dt
ИЛИ
E)
Это еще не все. Когда мы хотим получить члены класса 1/2
в ЬЬ, б|, 6т|, нужно, как мы видели в предыдущем параграфе,
исходить из членов нулевого класса в Ш'. Но Ш- является одно-
членом, целым относительно 6Х, 6L, б|, бт]. Чтобы получить один
из членов Ш', нужно взять в каждом из множителей этого одночлена
по одному слагаемому и перемножить их. Класс произведения
будет равен сумме классов всех членов, входящих в данное произ-
ведение.
Чтобы получить один из членов нулевого класса в ЗЛ', нужно
взять в каждом из множителей только члены нулевого класса.
Но 6L, б|, 6т| не содержат членов нулевого класса, а только
члены класса, не меньшего х/2. Поэтому чтобы получить члены
нулевого класса в Ш[, достаточно положить
а в 6к взять только члены нулевого класса.

ГЛ. XIII. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОНЕ 297
Обозначим через
w ^*1Л СИПЛ ^^
*0> V &U у о* \ вЬ Jo1 К дх\,
значения величин
при
т. е. при
L, = Z4
Очевидно, будем иметь
)
= W0
0 d%i
Отсюда вытекает, что при вычислении членов класса Х1г в ЬЬТ
б|, бт] мы можем в правых частях уравнений E) положить ЬЬ =
= Ы = 6ti = 0.
В этом случае уравнения принимают вид
Л - •• 5Х
Положим теперь
где Со обозначает какую-нибудь постоянную. Во второй сумме
следует считать, что Cih Ф Chi. Тогда имеем
и, следовательно,
аи 7Ч
Так как Фо зависит только от L, a Wo только от X (так как мы
положили Lt = Li, |4 = |?, r\t = t\1), то уравнение G) и первое
уравнение F) принимают каноническую форму:
201. Уравнения F) и G) дают нам все члены класса х/2 в L,
|, т] и все члены нулевого класса в 6Х и не дают дру-
гих членов. Это вытекает из того, что мы отбросили в наших

298 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
уравнениях все члены, которые могли бы дать члены более высо-
кого класса.
Если мы не будем заботиться об этом, то мы можем взять
и другие аналогичные системы уравнений, например,
dL
dt " dL ' (ft d% -
Интегрируя уравнения (9), мы найдем все члены класса 1/2
в L, |, ц, все члены нулевого класса в 6Х, но, кроме них, мы най-
дем также и другие члены.
Каким образом перейти от уравнений (9) к уравнениям F)
и G)? Для этого нужно заменить Fo на Фп. Кроме того, в урав-
нениях (9) нужно заменить ? на ?0 и ~лё~» ~я~ заменить на
()(^)
(
Заменяя Fo на Фо, мы отбрасываем члены, которые содержатся
в Ф, т. е. во втором интеграле правой части последнего уравнения
A), который, как мы видели, может давать только члены, класс
которых выше нуля.
Аналогично, замена V на 4%» или -==-, -я—на [-==-) >
-g—i в уравнениях (9) означает, что в членах, получаемых из
производных Y, положено ЬЬ — Ь\ = Ьх\ = 0. Но, как нам известно,
члены, получаемые из частных производных W и зависящие от
5L, б|, 6г\, не могут давать членов, классы которых меньше 1/2.
202. В задаче п тел мы имеем
р — V Ml.
*о— — 2лц*
где Mt — постоянные, зависящие только от масс. Далее, имеем
n'=izjj»' С»=—Щ
и поэтому
В ограниченной задаче трех тел (см. § 123) для функции F'o,
которая играла роль Fo, мы нашли

ГЛ. XIII. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОЯЁ 299
Отбрасывая ненужные теперь штрихи и заменяя q[ на L2, т. е.
пользуясь обозначениями § 126, имеем
откуда
nl = ~ЦШ + re2i Щ, =
С At =
Поэтому
Фо = —?$с FLf-8LtL; + 3L«) + пг (L2-Lt).
Такова форма функции Фо в тех двух случаях, которые мы
будем рассматривать.
203. Основы метода Делоне. Уравнения F) и G) могут быть
легко проинтегрированы. Действительно, функция Фо зависит
только от Li (она является многочленом второй степени относи-
тельно Lt), а функция Wo зависит только от
Итак, мы получили функцию Ч из Ft, отбрасывая в последней
все члены, аргументы которых ХрА/ не являются кратными 6.
Поэтому V является функцией только величин
и то же самое можно сказать о ее производных
Далее, мы получили
заменяя в последних Lt, |{, т]{ постоянными L\, \\, г\\. Следова-
тельно,
зависят только от

300 TOM J. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Рассмотрим теперь канонические уравнения (8). Мы видим,
что имеем
откуда
ftt' <tt "~ *2 ' <« ~~ • • • ~~ kn dt ~ r dQ '
Это нам показывает уже, что
есть постоянная. Этот результат можно представить в более сим-
метричной форме, вводя вспомогательную переменную U и полагая
Lt-ktU = Ll A0)
где L* — постоянная. В самом деле, мы можем определять вспо-
могательную переменную U таким образом, чтобы ее начальное
значение было равно нулю.
Далее, имеем интеграл живых сил для уравнений (8). Он
может быть записан в форме
= const. A1)
В Фо мы должны заменить Lt значениями, определяемыми
формулами A0), так что Фо будет многочленом второй степени
относительно U. Так как Чо зависит только от 8, уравнение (И)
выражает зависимость между U и 8. Далее, имеем
dQ <ст , dXj ^i » дФо ^Фо
Отсюда получаем соотношение между -г- и U и, следовательно,
соотношение между -jr и 8.
Каков вид этого соотношения? Пусть
где А, В, С — постоянные. Пусть A -j- H — постоянная в правой
части равенства A1). Тогда
откуда
CU + В = VB2 + НС—\kCW0.
С другой стороны,
rf6 _ дФ0

ГЛ. XIII. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОНЕ 301
откуда
Наконец,
t =
Так как радикал зависит только от 6, то связь между 0 и / дается
простой квадратурой. Следовательно, будем иметь 8, U is. Li как
функции t. С другой стороны, имеем
dt ~ P dLt -
Здесь правая часть является функцией Lt, и, следовательно,
функцией U. Поэтому правая часть является известной функцией
времени t, так что а находится простой квадратурой. Можно даже
заметить, что правая часть является многочленом первой сте-
пени относительно U, так что между а{ будем иметь линейные
соотношения.
Наконец, будем иметь
dt ~ I1 {дщ Л ' dt ¦ •* V» d\t Jo ¦
Так как правые части зависят только от 6, они являются
известными функциями времени t, поэтому переменные |{ и т|{
находятся простыми квадратурами.
204. Такова суть метода Делоне. Мы видим, что этот метод
позволяет очень просто вычислить сумму членов наименьшего
класса, т. е. членов класса 1/2 в L, %, г\ и членов нулевого класса
в к. Кроме того, мы видели, что этот метод существенно состоит
в том, что в функции Fi отброшены все короткопериодические
члены, т. е. члены, в аргументах которых 2* РА/ целые числа р}
не являются кратными числами kj и сохранены только долгопе-
риодические члены или наиболее значительные из них.
Легко понять значение членов наименьшего класса. Иногда
случается, что средние движения почти соизмеримы. Это, например,
имеет место для Юпитера и Сатурна, отношение средних движе-
ний которых близко к 2/5. Это имеет место и для некоторых малых
планет, средние движения которых составляют 2 илн почти 11/2
среднего движения Юпитера. Наиболее интересной из этих пла-
нет является Гекуба.
Члены наименьшего класса имеют большие коэффициенты
в силу паличия малых делителей, появляющихся в результате
интегрирования. Период этих членов, зависящих от w', например,

302 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
членов, вычисленных в главе VIII, является очень большим и
составляет сотни веков.
Какой вывод мы должны сделать из этого? Для краткосрочного
промежутка времени самую главную роль играют члены наи-
меньшего порядка, для более длительного промежутка
времени необходимо учесть члены наименьшего класса, нако-
нец, для весьма больших промежутков времени необходимо учесть
члены наименьшего ранга.
205. Метод Делоне может быть применен в в более общих слу-
чаях. Пусть имеем каноническую систему уравнений
Ы±__д?_ dkj _ dF
dt ~ dU ' dt ~ dLi '
где F есть функция от L и Я,, причем она зависит от Я, только по-
средством комбинации
Допустим также, что она является периодической функцией
по к. Другими словами, функция F разложима по синусам и коси-
нусам кратных 6 и коэффициенты этого разложения зависят
только от L. Мы опять найдем
где U — вспомогательная переменная и Щ — постоянная. Система
имеет интеграл живых сил
F = const,
который дает соотношение между U и 8. Далее, находим
откуда
ч
dF
Так как подынтегральная функция зависит только от 8 и V,
a U связана с 6 уравнением живых сил, то подынтегральная
функция есть известная функция от 6, так что { получается про-
стой квадратурой.
Следовательно, 6, U, Lt можно рассматривать как известные
функции времени t. Правые части уравнений
dU_dF_
dt ~dLf '

ГЛ. ХШ. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОНЕ 303
зависящие только от L и 8, также будут известными функциями /,
так что мы получим Xt простыми квадратурами.
Таким образом, интегрирование полностью выполнено.
206. Применение метода Делоне к Гекубе. Наилучшим при-
мером применения метода Делоне является применение его к пла-
нете Гекуба. Эта малая планета, среднее движение которой почти
равно удвоенному среднему движению Юпитера, была объек-
том многих исследований, среди которых отметим диссертацию
Симонина.
Выберем систему единиц таким образом, чтобы средняя дол-
гота Юпитера была равна t. Обозначим через R сумму отношений
массы Солнца к расстоянию от Солнца до Гекубы и массы Юпи-
тера к расстоянию от Юпитера до Гекубы минус половина квад-
рата скорости Гекубы.
Введем канонические элементы Делоне
-e2, 6 = Gcosi,
l = nt, g = o), 8 = Д.
При этих условиях уравнения движения имеют вид
dL _dR_ dG_d]l d6_d/?
dt — dl ' dt ~~ dg ' <« ~~ дв '
(И dR_ dg_ dR_ rf9 dR
dt ~ dL ' dt ~~ dG ' dt ~~ 56*
A)
Функция R зависит от шести переменных L, G, 6, I, g, 6 и вре-
мени t. Уравнениям A) можно придать и другую форму, если
положить
ввести вместо 8 переменную 8 — t и воспользоваться анализом,
сходным с тем, который мы проделали в § 123. В этом случае урав-
нения принимают вид
eft
3F
dZ '
dF
dL
' dt
dF
Og'
db
dt
dG '
dF
d (e-o'
d(e-0
вв
Функция F рассматривается как функция шести переменных
L, G, 0, /, g, 8 — t и времени t. Мы должны заметить, что если экс-
центриситет орбиты Юпитера равен нулю, F не будет зависеть от t,
а будет зависеть только от шести первых переменных.
Сделаем теперь замену переменных. Допустим, что отноше-
ние средних движений весьма близко к , где п — целое число,

304 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
равное для Гекубы 1. Положим
—t, s=—ni—
Легко проверить, что имеет место тождество
LZ-j-Gg + 6(8—t) =
и, следовательно, имеем равенство
показывающее, что новые переменные также определяются канони-
ческими уравнениями, которые имеют вид
dU__dF_ dS^_d_F <*T_dF
dt ~ д% ' dt ~~ ds ' dt ~ dx '
____ ?f__^ ^1__^
dt ~ dU ' dt~ dS ' dt ~ дТш
C)
Посмотрим, каков смысл новых переменных. Прежде всего, X
представляет собой разность средних долгот. С другой стороны,
гг dg d% dl е и + 1
1ак как -?г а -jt весьма малы, а -т? весьма близко к —!— , то
at at at n
отсюда следует, что jr и -т- весьма малы. S будет величиной
порядка квадрата эксцентриситета, Т — порядка квадрата на-
клонности.
Так как S и Т весьма малы, U будет мало отличаться от квад-
ратного корня из величины большой полуоси.
Обозначим через V и ю' эксцентриситет и долготу перигелия
Юпитера и положим
Так как -^- есть нуль или по крайней мере весьма малб, то
будем иметь
dv dX . dl , .
dT=n-dF-l = nd7-n+l>
dv
откуда следует, что -^ также весьма мала.
Положим теперь
х = Y2Scoss, y = Y2Ssins; I = ]/2Г cos т, tj = |/2Г sin т.

ГЛ. XIII. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОНЕ 305
Так как
xdy—Sds, ldr\—Tdx
являются точными дифференциалами, то уравнения остаются
каноническими и будут иметь вид
dU__d_F_ dx^ _dF^ rf| _dF_
~Ж~Ж' dt ~ду ' dt ~ dr\ •
db dF_ dv_ _dF_ dr\=_dF
dt ~ dU ' dt dx ' dt d|~ *
207. Вид возмущающей функции. Как известно, функция F
разложима по степеням е cos I, e sin /, i cos (/ + g), i sin (I + g),
e' cos (t — о'), e' sin (t — o>') и по синусам и косинусам крат-
ных разности средних долгот к, а коэффициенты этого разложе-
ния зависят от больших полуосей, т. е. от L. Но легко видеть
(см. § 65 и след.), что е cos I = е cos [s + (га + 1) А,], е sin Z,
i cos (I + g) = i cos [I + (n + 1) A,], i sin (I + g) разложимы по
степеням х, у, |, т| и по синусам и косинусам кратных А,, а, с дру-
гой стороны,
е' cos {t—о') = (е' cos v) cos «A, + (е' sin у) sin wA,,
е' sin (<—о') = (е' cos и) sin raA,—(е' sin у) cos «A,.
Отсюда заключим, что /"разложима по степеням х, у, 5, т|, е' cos г1,
е' sin г) и по синусам и косинусам кратных А.. Коэффициенты
разложения зависят от L = U — «5 — пТ, поэтому они могут
быть (с помощью формулы Тэйлора) разложены по возрастающим
степеням величины п (S -\- Т), т. е.
Таким образом, в конечном итоге F разлагается по степеням
*» У, I» Т1> е' cos у> е' sin y» cos joA., sin pk и коэффициенты этого
разложения зависят только от U.
Заметим, что в силу симметрии F не должна изменяться в двух
случаях:
1) если заменить |ит|на— ?и— т|,
2) если заменить у,.у\ и v на —у, — т| и — v.
Это указывает на то, что в разложении отсутствует большое коли-
чество членов.
Посмотрим теперь, какие из этих членов являются коротко-
периодическими. Это те члены, которые содержат Я вне комби-
наций s, х или v, потому что, как мы видели, ^, j-, -^-
весьма малы, тогда как -тг конечна. Если, согласно смыслу
20 а. Пуанкаре

306 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
метода Делоне, мы отбрасываем все коротко периодические чле-
ны, то можем сказать, что F разложима по степеням х, у, \, rj,
е' cos v, е' sin v и коэффициенты этого разложения зависят толь-
ко от U.
Если мы пренебрежем, как и Симонин, членами с
е3, i*, i2e, А', е'2
и если отбросим все члены, которые должны быть равны нулю
в силу симметрии, то найдем, что
F = А + Вх -\- Сх2 + Dy2 + El2 +
+Нг\2 + Ке' cos v + Lxe' cos v -\- Mye' sin v. E)
A, B, C, D, E, H, K, L, M являются функциями U.
Заметим прежде всего, что F зависит еще от Я, косвен-
ным образом. Здесь F зависит от U, х, у, |, т| и v = rik —
— t + w'. Поэтому F зависит от Я, и от t через посредство v.
Если допустить, что массой Юпитера мы пренебрегаем, то
будем иметь просто
или, пренебрегая квадратами S и Т,
так что, если положить
A=A0-\-mAt, В =
где т — масса Юпитера и Ао, Аи • - • зависят только от U и не
зависят от т, будем иметь
208. Метод Делоне. В первом приближении положим
При этих условиях функция F будет зависеть только от х, yf
и U. Тогда можно произвести до конца интегрирование по методу
Делоне; при этом нет никакой надобности пренебрегать выс-
шими степенями хну.

ГЛ. XIII. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОНЕ 307
Сразу же находим два интеграла,
U = const, F = const,
так как F не зависит ни от "К, ни от t.
Будем рассматривать х и у как координаты точки на плоско-
сти, a U как заданную постоянную, и построим кривые
F = C,
изменяя для этого постоянную С.
Если предположить, что т = 0, то
и наши кривые обращаются в концентрические окружности с цент-
ром в начале координат.
Следует обратить особое внимание на те точки, для которых
dF _ dF _n
и, следовательно,
х = const, у = const.
Эти точки соответствуют периодическим решениям. При т = 0
такими точками будут следующие: начало координат х = у = 0,
которое соответствует круговой орбите, и все точки окружности
dF n
которые соответствуют случаю, когда отношение средних дви-
ге + 1
жении в точности равно —^— .
¦а г»
В зависимости от значения U уравнение -^- = 0 может или
не иметь никакого положительного корня, или иметь только
один. Будем предполагать, что имеет место последний случай.
Отметим тогда три точки, а именно, начало координат О и две
точки пересечения Аи В оси х с окружностью
Перейдем к случаю, когда т Ф О, но весьма мала. Два урав~
нения,
~дх~ = ~ду~ — 0>
20»

308
ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
могут быть заменены следующими:
у = 0, ?-0.
которым соответствуют различные точки на оси х. Так как т
весьма мала, то эти точки будут весьма близкими к точкам О,
А, В, соответствующим случаю т = 0.
Итак, мы будем иметь три точки: точку С", близкую к О, А',
близкую к А, В', близкую к В. Эти точки соответствуют трем
периодическим решениям, первое из которых является периодиче-
ским решением первого
сорта, а два других — вто-
рого сорта.
Кривые F = С имеют
тогда вид, изображенный
на рис. 3. Кривые имеют
номера 1, 2, 3, 4, 5, 6. За-
метим, что кривые 1 и 2
суть замкнутые кривые,
окружающие точку С.
Кривые 3 и 5 имеют общую
точку и образуют кривую,
подобную улитке Паскаля.
Кривая 4 замкнутая, окру-
жающая точку В', и, нако-
нец, кривая 6—также зам-
кнутая кривая, окружаю-
щая три точки: А', В', С.
Соответствующая точка (х, у) описывает одну из этих кривых
ли Л JJ*
со скоростью, компоненты которой равны -ч—, —а—. Она,
иу ох
следовательно, обратно пропорциональна расстоянию по нор-
мали между двумя бесконечно близкими кривыми. Направление
этой скорости зависит от направления нормали, следуя которому
F возрастает.
Кривые 1, 2, 3 будут описываться, следовательно, в на-
правлении часовой стрелки, а кривые 4, 5, 6 — в обратном на-
правлении.
Кроме того, тогда как точка (z, у) сделает бесконечное мно-
жество оборотов на кривых 1, 2, 4, 6, на кривой 3 или о она сде-
лает только один оборот за бесконечный промежуток времени.
Кривая 4 соответствует случаю либрации.
Замкнутые кривые будут мало отличаться от окружностей.
Вспомним, что полярные координаты точки (х, у) равны Y^S
и s. Легко видеть, что когда точка делает один оборот, двигаясь
Рис. 3.

ГЛ. XIII. ОСНОВЫ МЕТОДА ДЕЛОНЕ 309
по одной из наших кривых, величина S достигает своего макси-
мума п минимума на оси х и разность между максимумом и мини-
мумом вообще порядка т, за исключением кривых 3, 4, 5, или
даже кривых, мало отличающихся от кривых 3 или 5, для кото-
рых эта разность будет порядка Ym •
Рассмотрим теперь изменения полярного угла s. В общем слу-
чае, когда точка (х, у) описывает одну из наших кривых, s изме-
няется от 0 до 2л, или от 2л до 0. Исключение составляет кривая 4,
так как начало координат О находится вне этой кривой. Для
таких кривых угол s колеблется около нуля.
Эти два случая являются существенно различными. В обоих
случаях имеет место в точности следующее соотношение: среднее
движение Гекубы равно удвоенному среднему движению Юпи-
тера минус удвоенное среднее движение перигелия Гекубы (мы
предполагаем, что п = 1, как это и имеет место в случае Гекубы).
Это соотношение означает, что среднее значение -?г равно нулю.
Но известно, что движение перигелия будет порядка масс,
если только сам эксцентриситет не имеет порядок масс. Действи-
тельно, если эксцентриситет весьма мал, то достаточно малого
возмущения, чтобы намного изменить положение перигелия.
В случае кривой 4 эксцентриситет конечен, движение перигелия
будет порядка масс, так что отношение средних движений равно
2 = -^t— с точностью до величин порядка масс. Это будет слу-
чай истинной либрации. В случае кривой 1, наоборот, эксцент-
риситет весьма мал, движение перигелия конечно, так что отно-
шение средних движений отличается от 2 = -^-i—. Здесь мы не
имеем случая либрации.
209. Влияние наклонности. Уравнения, определяющие изме-
нения наклонности, имеют весьма простую форму
§ = Ягь -Й---Я6; G)
Е и Н должны рассматриваться как постоянные, так как U = const.
Интегрирование уравнений G) выполняется непосредственно.
Мы утверждаем, что U = const. Действительно, если мы учи-
тываем наклонность, но пренебрегаем эксцентриситетом Юпи-
тера и коротко периодическими членами, функция F будет зави-
сеть только от U, х, у, 5, т|, но не будет зависеть ни от к, ни от t.
Поэтому имеем
—га0, U = const, F = const.
oh

310 ТОМ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
210. Вычисление %,. Разность средних долгот А, определяется
простой квадратурой.
В самом деле, имеем
?= -%-= -A'-B'z-C'x* + D'y>-E'?-HW, (8)
А', В', . . . означают производные А, В, ... по U. Так как U
постоянна, коэффициенты А', В', . . . также постоянны. Что
касается величин х, у, |, т|, то они являются известными перио-
дическими функциями времени. Это вытекает в случае перемен-
ных х, у из того, что кривые F = С замкнуты, а в случае пере-
менных | и т| — из вида уравнений G).
Поэтому правая часть уравнения (8) представляется триго-
нометрическим рядом и квадратура немедленно может быть сде-
лана. Известный член этого ряда будет представлять среднее
движение X.
Андуайе рассматривал приближения более высокого поряд-
ка, учитывая высшие степени хну (см. «Bulletin astronomique»,
том XX).

Том II
РАЗЛОЖЕНИЕ
ВОЗМУЩАЮЩЕЙ
ФУНКЦИИ
ТЕОРИЯ
ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ

ГЛАВА XIV
ПРОБЛЕМА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
211. Напомним основы метода вариации постоянных, которые
мы излагали в главе IV. Возьмем за независимые переменные
одну из систем, которые мы назвали системами кеплеровских
переменных, например систему переменных L, X, |, т| (см. § 56,
57, 78, 79).
Таким образом, мы приходим к уравнениям D') § 93:
dL _ dFi dr\ _ dFi
dt И- эх ' л - И- d| •
dt ~ ** dr\ ' dt ~ dL
Функции Fo и Fi определены в § 36 и в следующих: первая
очень проста, вторую мы назвали возмущающей функцией.
В § 83 и 99 мы видели, что эта функция может быть разложена
в ряд вида
'2 , B)
где ki и к2 — целые числа, А и h зависят только от L, и Ш есть
целый одночлен относительно \ и т|.
Метод Лагранжа заключается, как известно, в следующем.
1. В первом приближении нужно рассматривать все кепле-
ровские переменные как постоянные, за исключением перемен-
ных X, которые будут линейными функциями времени. Таким
образом, будем иметь
Кроме того, будем иметь
(см. § 82 и 97).
2. Во втором приближении нужно заменить в частных произ-
водных Fi переменные их значениями C), так что правые части
уравнений A) сделаются известными функциями времени. Тогда
уравнения A) легко интегрируются квадратурами.

314 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
3. В третьем приближении нужно заменить в частных произ-
водных функции Fi переменные их значениями, полученными
во втором приближении, и проинтегрировать снова уравнения A)
квадратурами и т. д.
Вообще второго приближения достаточно. Если заменить
функцию разложением B), то во втором приближении мы немед-
ленно найдем
U = Ц + 2 ¦?- A cos (к^ + kfa + h) Ш,
так что проблема планетных возмущений (по крайней мере до
второго приближения включительно) будет полностью решена,
«ели известно разложение B).
Раньше было показано, что разложение B) возможно, но не
было показано, как получить это разложение практически. Этой
задачей, важное значение которой легко понять, мы и будем
теперь заниматься, но сначала укажем ее различные случаи.
212. В главе II мы видели, что возмущающая функция может
быть представлена в трех различных формах, именно, в тех, кото-
рые указаны в § 26 и 43, в § 30 и 38 и в § 44.
Во всех трех случаях мы разлагали возмущающую функцию
на две части — главную и дополнительную.
В § 38 главная часть возмущающей функции была представ-
лена в виде
Г 1 * 1 , D)
а в § 43 — так же как и в § 44, т. е. в виде
Легко перейти от одного из этих выражений к другому. Дей-
ствительно, они отличаются только первым членом в скобках D).
Но этот член зависит только от координат х\, х'ь, анодной из двух
фиктивных планет, и его разложение, как мы увидим в ближай-
шей главе, может быть легко получено.
Перейдем к дополнительной части возмущающей функции.
С переменными § 30 мы вывели в § 38 выражение этой дополнитель-
ний части и затем показали также, каким образом можно перейти
от разложения главной части к разложению полной возмущающей
функции и, следовательно, к разложению дополнительной ее
части. Дальше мы вернемся к этому вопросу.

ГЛ. XIV. ПРОБЛЕМА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 315
Если же воспользоваться переменными § 26, то дополнитель-
ная часть выражается более просто и, как мы видели в § 43, может
быть написана в виде
Если, наконец, взять обычные переменные, т. е. переменные
§ 44, то дополнительная часть не будет одинакова для двух пла-
нет. Для одной она имеет вид
^ [х\+х'ъх'ь + хХ), G)
а для другой
^ G')
Мы увидим далее, что разложения выражений F), G) и G')
получить очень легко.
Таким образом, задача приводится к разложению выраже-
ния E), которым мы будем главным образом заниматься. Мы уви-
дим, как можно перейти от разложения выражения E) к разло-
жению дополнительной части в различных формах и какие суще-
ствуют соотношения между разложениями различных выраже-
ний E), F), G) и G').
213. В § 59 мы определили четыре системы кеплеровских пере-
менных, а именно:
1) систему эллиптических элементов
а, е, i, I, g+Q, 8;
2) первую систему канонических элементов
L, G, 0, I, g, 8;
3) вторую систему канонических элементов
L, Qt, Я,, о)г;
4) третью систему канонических элементов
L, ?j, Я,, r\t.
Очевидно, что применение той или иной системы переменных
приводит к различным разложениям возмущающей функции.
К счастью, легко перейти от одного разложения к другому.
Применение канонических элементов заключается в том, что
уравнения движения задачи сохраняют каноническую форму.
Между тем астрономы чаще всего применяют эллиптические эле-
менты, и в этом случае уравнения не сохраняют каноническую
форму. Тем не менее, как мы видели в § 81, уравнения всегда
представляются в следующей форме.

316 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Производные эллиптических элементов по времени t выра-
жаются линейно через частные производные функции F по эллип-
тическим элементам с коэффициентами, являющимися известными
функциями эллиптических элементов. Добавим, что эти коэф-
фициенты зависят только от элементов
в» е, i, g + 0, 6,
которые являются постоянными в первом приближении, тогда
как средняя аномалия /, меняющаяся в первом приближении
пропорционально времени, в них не входит.
Полученные таким методом уравнения могут быть названы
уравнениями Лагранжа.
В случае канонических переменных и канонических уравне-
ний правые части уравнений содержат только одну из частных
производных функции F, умноженную на ±1. Наоборот, в слу-
чае эллиптических переменных и уравнений Лагранжа правые
части содержат несколько частных производных, умноженных
на коэффициенты, также зависящие от эллиптических элементов.
Мы не будем выписывать здесь уравнения Лагранжа, а ограни-
чимся, как и в § 81, ссылкой на трактат Тиссерана (т. I,
стр. 187).
Все, что было установлено в предыдущих главах при помощи
канонических уравнений, очевидно, может быть получено и при
помощи уравнений Лагранжа, но это требует выполнения длин-
ных выкладок. Более того, в практических вычислениях приме-
нение канонических уравнений сокращает громоздкость выкла-
док, но различие начинает становиться ощутимым лишь в третьем
приближении, тогда как обычно мы останавливаемся на втором.
Как бы то ни было, для астрономов эллиптические элементы
являются более привычными и в большинстве работ, посвящен-
ных разложению возмущающей функции, использованы именно
эллиптические элементы. Может быть, было бы нетрудно полу-
чить разложения, пользуясь каноническими элементами с самого
начала. Но тогда нужно было бы заново выполнить уже сделан-
ную работу, а поэтому лучше использовать результаты, уже полу-
ченные нашими предшественниками. К счастью, как мы уже гово-
рили, легко перейти от разложения, в котором использованы
эллиптические элементы, к разложению, в котором использована
какая-либо система канонических элементов.
Мы мало будем пользоваться первой канонической системой
элементов; действительно, если эксцентриситеты и наклонности
весьма малы, то и некоторые переменные второй и третьей кано-
нических систем также весьма малы. Мы не имеем этого для пер-
вой канонической системы, которая, таким образом, мало при-
годна для приближенных методов, где малость эксцентриситетов

ГЛ. XIV. ПРОБЛЕМА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 317
и наклонностей играет главную роль. Именно поэтому мы остав-
ляем ее в стороне.
Взамен этого мы будем рассматривать другую систему эллип-
тических переменных,
а, е, U и, g + Q, 8,
где средняя аномалия I заменена эксцентрической аномалией и.
Применение этих переменных мало пригодно при интегриро-
вании, хотя Ганзен и извлек из этого некоторую пользу, но зато
разложение, опирающееся на эти новые переменные, получается
намного легче, чем при испол ьзовании обычных эллиптических пере-
менных. Легко перейти от одной формы разложения к другой,
а именно, через посредство первого разложения наиболее удобно
перейти ко второму. Это служит обоснованием для детального
изучения первой формы разложения.
Таким образом, мы будем изучать четыре формы разложения
возмущающей функции, используя
1) переменные
а, е, i, и, g+Q, 8| (8)
2) эллиптические переменные
а, е, i, I, g + Q, 8,
или, так как А. = I + g + 8, переменные
а, е, U Я,, g + Q, 8, (9)
которые также являются эллиптическими;
3) канонические переменные
L, Qh К щ\ A0)
4) канонические переменные
L, Ь, Я,, л»- (И)
Главным образом мы будем рассматривать, как можно перейти
от одной формы разложения к другой.
214. Если применять одну из систем элементов (9), A0) или
A1), то разложение возмущающей функции будет иметь вид
S В cos {к ,%i + к^,2) + 2 С sin (kfc + к2к2), A2)
где к\ и к2 — целые числа; Я,4 и Я,2 — средние долготы. Коэффи-
циенты В п С суть функции других переменных, т.е. оскулирую-
щих элементов а, е, i, g + Q, 6 двух планет, или канонических
элементов L, q, со или L, |, т|.

318 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Если воспользоваться переменными (8), то разложение возму-
щающей функции представится в форме
S В' cos (fcju, + к&2) + 2 С' sin {км + к&2), A3)
где щ и и2 — эксцентрические аномалии, & В' и С являются
функциями элементов а, е, i, g + 8, 8.
Наша задача состоит в том, чтобы определить функции В,
С, В', С Но она может быть рассматриваема различными спо-
собами.
1. Можно постараться разложить эти функции по степеням
ent, если применять переменные (9), или по степеням q, если взять
переменные A0), или по степеням | и т), если иметь в виду пере-
менные A1), а далее изучать отдельно различные члены разло-
жений.
Тогда мы получим аналитические формулы, пригодные во всех
случаях, и которые в дальнейшем могут быть применены в каж-
дом частном случае, лишь бы эксцентриситеты и наклонности были
малы. При этом возникает вопрос об условиях сходимости этих
разложений, и это один из вопросов, который будет нами рас-
смотрен.
2. Можно также для двух конкретных планет определить
только численные значения этих функций и некоторых их произ-
водных. Число членов, которые должны быть вычислены, ока-
зывается тогда не очень большим, так что работа намного облег-
чается, особенно если не требуется проводить приближения слиш-
ком далеко. С этой точки зрения наиболее важный вопрос состоит
в определении верхней границы для каждого коэффициента,
чтобы иметь возможность пренебречь членами, коэффициенты
которых заведомо очень малы.
3. Можно, наконец, изучить аналитические свойства этих
функций, имея в виду облегчить числовые вычисления, которые
приходится производить.
Мы увидим, что эти функции удовлетворяют линейным диф-
ференциальным уравнениям, коэффициенты которых являются
рациональными функциями от L, |, т| или от
а, е, tgy, tg-|, tg-|.
Мы также выведем замечательные рекуррентные соотношения,
связывающие эти функции.
215. Мы уже подчеркивали, что больше всего нас будет инте-
ресовать разложение той части возмущающей функции, которая
имеет вид
1

ГЛ. XIV. ПРОБЛЕМА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 31Й
где
Но нам придется также разлагать не только , но еще и
и вот почему. Предположим, что координаты планет, а следова-
тельно, и D, зависят от малого параметра а (например, от экс-
центриситета), и что мы хотим получить разложения по степеням
параметра а.
Обозначим через Do значение D при а = 0 и положим
Прежде всего будем искать разложение по степеням е, после
чего легко перейти к разложению по степеням а. Таким образом,
находим
1 _ 1 е 1 Зе» 1
У~Б ~~ УЬ~1 2 УЩ 8 УЩ ' '
откуда видно, что в правую часть входит не только г , но и ве-
1 1 VDo
личины
/01 /01
Но это не все. Например, в канонических уравнениях D')
и E') из § 93 входит не сама возмущающая функция, а ее частные
производные. Но если возмущающая функция содержит член
вида f , то дифференцирование введет члены вида .
у D у D3
Допустим теперь, что мы желаем идти далее второго прибли-
жения. Как мы видели в § 100, правые части наших уравнений
принимают вид
где В являются частными производными возмущающей функции,
порядка выше первого, а это приводит к тому, что в правых частях
будет входить не только член . , но и члены , ...
Этими двумя причинами и объясняется тот факт, что наря-
ду с разложением ._ мы должны изучать и разложе-
НИл

320 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
216. Вернемся к формулам A2) и рассмотрим разложение В
или С по степеням эксцентриситетов и наклонностей. Пусть т —
показатель степени одного из членов этого разложения. Раньше
мы видели, что т не меньше \ к\ — А2 | и имеет ту же четность,
ЧТО И | &1 — &2 I-
Но если эксцентриситеты и наклонности малы, то член раз-
ложения тем меньше, чем выше его степень. Таким образом,
будем иметь достаточно хорошие приближенные значения коэф-
фициента В или С, если ограничимся членами, степени которых
точно равны | &i — &2 |- Эту совокупность членов можно назвать
главной частью коэффициента В или С. Представляет интерес
исследовать, к чему приводится возмущающая функция, если
в формуле A2) заменить каждый из коэффициентов его главной
частью.
То, что мы сказали, имеет место и в том случае, если разла-
гать не по степеням эксцентриситетов и наклонностей, а по сте-
пеням величин | и t|.
217. Иногда нужно вычислять в возмущающей функции члены
более высокой степени, не вычисляя члены низшей степени. Вообще
коэффициенты различных членов убывают очень быстро по мере
того, как возрастает степень. Но может случиться, что член с малым
коэффициентом все же будет играть очень большую роль, так
как интегрирование вводит малые делители, благодаря которым
малый член иногда порождает значительное возмущение.
Возьмем в возмущающей функции один из ее членов
и допустим, что целые числа &j и к2 принимают весьма большие
значения, но так, что отношение —^- близко к отношению

средних движений —%-. Тогда разность \ki — к2 | и, следова-
тельно, степень этого члена будут очень большими. Поэтому
коэффициент В будет очень малым, но зато и делитель к\Пх + к2п2
будет весьма малым, так что в конечном счете возмущение будет
весьма заметным.
Точное вычисление коэффициента В в этом случае будет
очень громоздким, так как для этого необходимо предварительно
вычислить предыдущие члены, которые непосредственно не нужны.
Можно этого избежать, пользуясь приближенными формулами,
пригодными лишь для членов высших степеней и основанными на
свойствах функций с очень большими номерами, причем эти фор-
мулы или дают достаточное приближение, или позволяют узнать,
будет ли данный член в данном вопросе существенным и, следова-
тельно, нужно ли вычислять его точно.

ГЛ. XIV. ПРОБЛЕМА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 321
218. Мы будем рассматривать особо некоторые частные слу-
чаи, среди которых главными являются следующие:
1. Случай, когда эксцентриситеты и наклонности равны нулю.
2. Случай, когда только эксцентриситеты равны нулю. В этих
случаях средняя и эксцентрическая аномалии совпадают, поэтому
разложения A2) и A3) не будут отличаться друг от друга.
3. Случай, когда наклонности равны нулю.
Другим частным случаем, заслуживающим нашего внимания,
является случай Луны. Отношение больших осей в этом случае
малб, поэтому выгодно вести разложение по ступеням этого отно-
шения, откуда и вытекает один из частных случаев разложения.
Отметим, что создано много теорий движения Луны и в каж-
дой из них построено свое разложение возмущающей функции,
о которых мы будем иметь случай сказать в дальнейшем не-
сколько слов.
219. Мы уже имели случай, кроме разложения A2), располо-
женного по кратным средним аномалиям, рассмотреть разложение
A3), расположенное по кратным эксцентрическим аномалиям.
Последнее разложение было использовано Ганзеном, который
также пользовался разложениями по эксцентрической аномалии
одной из планет и средней аномалии другой. С другой стороны,
Гюльден пользовался разложениями, расположенными по истин-
ным аномалиям.
Когда, как это делали упомянутые астрономы, берут за неза-
висимую переменную истинную или эксцентрическую аномалию
одной из планет, то это вызывает весьма длинные и громоздкие
преобразования. Действительно, между истинной и эксцентриче-
ской аномалиями планеты и ее средней аномалией имеются про-
стые, хорошо известные соотношения. Кроме того, средние ано-
малии двух планет связаны линейным соотношением. Наоборот,
соотношение между двумя эксцентрическими аномалиями (или
между истинными аномалиями) относительно громоздко. Поэтому,
если разлагать возмущающую функцию по двум эксцентриче-
ским аномалиям (или истинным аномалиям) и далее все выра-
жать через независимую переменную, которой является экс-
центрическая аномалия или истинная аномалия одной из пла-
нет, необходимо заменить в разложении эксцентрическую (или
истинную) аномалию второй планеты эксцентрической (или истин-
ной) аномалией первой, а это приводит к вычислительным труд-
ностям, о которых мы скажем несколько слов.
220. В канонические уравнения возмущающая функция непо-
средственно не входит, а входят ее частные производные первого
порядка, поэтому их разложения представляют особенный инте-
рес. Если разложение возмущающей функции задано в аналити-
ческой форме, и особенно в виде ряда, расположенного по
21 А. Пуанкаре

322 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
степеням эксцентриситетов и наклонностей, или по степеням вели-
чин | и г), то легко перейти от одного разложения к другому. Но
если мы ограничились определением числовых значений коэф-
фициентов, как об этом было сказано в § 214, то для каждой ча-
стной производной возмущающей функции приходится выпол-
нять всю работу сначала.
Это привело к тому, что некоторые астрономы стали предпочи-
тать вместо канонических уравнений или уравнений Лагранжа
другую форму уравнений. Заметим, что мы имеем шесть частных
производных возмущающей функции, но можно составить урав-
нения движения таким образом, чтобы в правых частях входили
не частные производные, а три составляющие возмущающей силы,
например, составляющие по трем координатным осям или состав-
ляющие по радиусу-вектору, по перпендикуляру к нему в пло-
скости орбиты и по перпендикуляру к плоскости орбиты. В этом
случае нужно будет получить только три разложения вместо
шести. Это говорит о том, что шесть частных производных не
являются независимыми, а между ними и самой возмущающей
функцией существуют некоторые соотношения. Некоторые соот-
ношения существуют и между частными производными и состав-
ляющими силы, разложенной одним из двух указанных способов.
Поэтому можно поставить задачу о нахождении этих соотно-
шений и затем показать, каким образом ими пользоваться, чтобы
вывести все разложения из одного, например, из разложения
возмущающей функции.
Этот беглый обзор показывает, сколько различных сторон
имеет проблема разложения возмущающей функции, которая
и будет составлять содержание следующих глав.

ГЛАВА XV
ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ВЕССЕЛЯ
221. Прежде всего нужно выразить прямоугольные или поляр-
ные координаты планет в виде функций одной из систем оскули-
рующих канонических или эллиптических элементов, опреде-
ленных в § 59 и 213.
Мы видели в § 65 и следующих, что координаты разложимы по
степеням ? и г), и изучили некоторые из свойств этих разложений.
Сейчас уместно продолжить это исследование и мы начнем с полу-
чения разложений координат в функциях эллиптических элементов
а, е, t, К, g + Q, 6. A)
Предположим сначала, что за плоскость ххх2 взята плоскость
орбиты, а ось Xi совпадает с большой осью, так что наклонность
i равна нулю, так же как долгота перигелия g -+- 8, а средняя
долгота К равна средней аномалии I. При этих условиях коорди-
наты не зависят от долготы узла 6, так что нам остается выра-
зить эти координаты в функции
а, е, 1 = К.
В этом случае, вводя эксцентрическую аномалию и, имеем
~ e2, 1 ._.
х3 = 0, l = u—esinu. j
Теперь предстоит выразить координаты х1 и xz в функции
средней аномалии I, для чего мы должны напомнить свойства
функций Бесселя, которыми будем пользоваться.
222. Рассмотрим выражение
где через Е обозначен предел Г1 + —) при /ге —> оо, чтобы не
путать неперово число с эксцентриситетом е.
F суть периодическая функция и и поэтому может быть раз-
ложена по методу Фурье в ряд показательных функций
Е1т'\
21*

324 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
где т — целое положительное или отрицательное число. Коэф-
фициенты суть функции от х, так что можем написать
?*81п«=2/т(Ж)я1ти. C)
Функции Jm (х) называются функциями Бесселя. Левая часть
равенства C) является произведением двух показательных функ-
ций
и
Е =Ь(-ТЕ ) pi'
откуда, перемножая их, получим
х V+fJ (—1>Р Fiu («-Ю
Чтобы получить /т (х), нужно в правой части выделить мно-
житель ?*""*, т. е. положить а = 6 -\-т. Поэтому находим
Jm (X) - 2j pi (p + nt)!
Если m > 0, то индексу Р нужно придавать аначения
0, 1, 2, 3, ...,
и считать, что 0! = 1! = 1. Из этого следует, что Jm (x) является
целой функцией от х, делящейся на хт. Ряд D) сходится очень
быстро для всех значений х.
Если т отрицательно, то нужно давать 0 значения
—т, —/га + 1, —»1 + 2, ...,
так, чтобы а было положительным или нулем. Тогда Jm (x) также
будет целой функцией х, которая делится на этот раз на х~т.
Заметим, между прочим, что разложение D) содержит только
члены четной степени, если т четно, и члены нечетной степени,
если т нечетно. Отсюда следует, что
/«(-*) = (-1)т/„.(*). E)
С другой стороны, если в формуле C) мы заменим х на — х
и и на — и, то будем иметь
r-lxsinu VI т 1 _\ т?.—imu /Q'\
^ =2j"'m(—Z) Ь . F)
Сравнивая разложения C) и C'), найдем

ГЛ. XV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 325
откуда
J-m(x) = (-l)mJm(x). F)
Формула F) позволяет рассматривать функции Бесселя только
с положительным индексом.
223. Дифференцируя равенство C) по и, получим
ix cos и Eix sin u = 2 im/mE1™,
или
*. (Еы + Е-1») 2 JmEl ntt = 2 mJmElm\
Сравнивая коэффициенты при Е1ти в обеих частях равенства,
получаем рекуррентное соотношение между тремя последова-
тельными функциями Бесселя
х (/„,_, + /m+1) = 2m/m. G)
Далее, дифференцируя равенство C) по х, находим
i sin uEis 8ln tt = 2 J'm (*) ?imtt (8)
или
(?t <_?-*«) 2 JmEimu = 2 S J'm Eim\
Из сравнения левой и правой частей последнего равенства
выводим формулу, позволяющую вычислять производную функ-
ции Jm:
2-Лп = Jm-i —Jjn+i- (9)
224. Дифференцируя теперь равенство C) дважды по и и дважды
по х, получим следующие две формулы:
-ix sin uEtx 8in "-** cos2 uEix sln u = - 2 m*JmEimu, A0)
—sm3uEixtlnu = ^rm(x)Eim\ A1)
Сложим теперь четыре формулы C), (8), A0), A1), умножив
их соответственно на
х2, +ж, 1, а;2.
Мы получим
2 [х*Гт + xJ'm + (x*—m?) Jm) Eim" = 0,
откуда
—m*)Jm = 0. A2)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка,
которому удовлетворяет функция Бесселя Jm.
225. Хотя ряд D) сходится очень быстро для всех значений х,
может представить интерес вывод приближенного значения функ-

326 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
ции Jm для очень больших значений х. Из формул Фурье имеем
2л
или, полагая sin и = z,
+1
nJm = \ Eixz.E-imu—ft= . A3)
_«J ]/l—г2
Предположим, что х вещественно, положительно и очень
велико. Вместо того чтобы интегрировать вдоль прямой, соеди-
няющей точку z = — 1с точкой z = + 1, т. е. придавая пере-
менной z вещественные значения, мы можем выполнить интегри-
рование вдоль другого пути, имеющего те же концы.
Выберем такой путь, чтобы мнимая часть z была постоянно
положительной, за исключением, разумеется, двух концов z = ± 1.
При этих условиях вещественная часть ixz будет отрицательна
и очень велика, а поэтому Е1Хг весьма мала. Следовательно,
только части пути, близкие к концам, дадут заметные части инте-
грала, так как на концах z делается вещественным, а вещественная
часть ixz обращается в нуль.
Но вблизи конца z = 1 с большой точностью имеем
и = -J , Е~Ши = E~im * ,
а вблизи конца z = — 1 точно так же имеем
f iim
Важно установить, какой знак нужно взять перед радика-
лами. Мы должны допустить, что знак |/1 — z2 выбран таким
образом, что для вещественных z, заключенных между —1 и +1,
радикал 1/1 — z2 веществен и положителен. С другой стороны,
мы можем допустить, что путь интегрирования заканчивается на
концах ± 1 двумя малыми отрезками длины е, перпендикулярными
к вещественной оси. Это и будут те части пути, которые мы сохра-
ним. Тогда вдоль отрезка, оканчивающегося в точке z = — 1,
аргумент VI — z2 будет равен -т, а вдоль отрезка, оканчиваю-
щегося в точке z = 1, он будет равен —^ . Вдоль первого отрезка
мы можем взять argl/z -j- I = ¦?¦ и вдоль второго arg l/z — 1 = -г -

ГЛ. XV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 327
Следовательно, будем иметь
откуда
-l+ei {тя 1+ei _im*
яУт= \ E E —i ^ E . A4)
_j ,_,.,- j /2 /г—1
Но мы можем заменить верхние пределы ± 1 + ге в обоих
интегралах на бесконечность, так как мы добавляем этим к пути
интегрирования части, вдоль которых мнимая часть z положи-
тельна и где Eixz пренебрежимо мала.
Но
со in
J Yz-h У *
о
поэтому
откуда
или, наконец,
226. Посмотрим теперь, как можно применить функции Бес-
селя к разложению координат эллиптического движения. Рас-
смотрим показательную функцию
Epiu,
где р — целое число. Она является периодической функцией и,
а следовательно, и периодической функцией I, и поэтому может
быть разложена в ряд Фурье вида
S AmEmtl.
Вычислим коэффициенты Ат. Формулы Фурье дают
2я

328 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Но
E~mii dl = ± dE-mil; dEpiu = ipE*1" du,
поэтому, интегрируя по частям, получим
2л
пли, в силу уравнения Кеплера,
2яАп = JL [ Я<p-m) <tt- Eime stn tt du.
m
Но интеграл, умноженный на 2л, очевидно, дает коэффициент
при ?(m~p) u в разложении функции ?ime8lnu) T# е> он равен
откуда имеем искомую формулу
Am = ^-Jm-P{me). A6)
227. Эти рассуждения неприменимы, если т = 0, так как
в этом случае предыдущая формула теряет смысл. В этом случае
имеем
2л
2пА0= \ Е»ы du,
о
или
2яЛ0 = \ Epiu A — е cos и) du,
или
2пА0 =
Последняя формула показывает, что коэффициент Ао равен
единице при р = 0, — у при р = ± 1 и нулю для всех других
значений р.
228. Поставим теперь задачу о разложении по показательным
функциям Eiml какой-либо периодической функции от и,
и о представлении ее в форме

ГЛ. XV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 329
Из предыдущих параграфов легко выводим, что
Am = ^BpJm.p{me) A7)
для т^Ои
! ) A8),
для т = 0. Можно добавить, что, исходя из тождества
gipu giqu _ gi (p+в) u
заменяя в нем экспоненты их разложениями и сравнивая обе
части равенства, мы придем к большому числу соотношений,
в которых левая часть будет функцией Бесселя, а правая часть
представится рядом, все члены которого будут произведениями
функций Бесселя.
229. Благодаря формулам A7) и A8) предыдущего параграфа,
разложение какой-либо функции от и по степеням Еи легко полу-
чается из разложения по степеням Eta. Но большая часть функ-
ций, представляющих интерес для эллиптического движения,
выражается через Eiu весьма просто.
Допустим прежде всего, что за плоскость х4х2 мы берем пло-
скость орбиты, а за ось xt — большую ось. Тогда будем иметь
Xi = a (cos и - е) = — ае +1- Eiu + -J Е~ы,
=? sin и = ? /I=
г = Yx\ + xl = а A — е cos и).
Применение формул A7) и A8) дает нам
где
Ат = Ък I*™-* (me)—Jm+i (me)],
А'
т
'
A9)

330 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Рекуррентные формулы G) и (9) позволяют написать
B0)
Таким же образом находим
где индекс суммирования т принимает все целые положительные
и отрицательные значения, за исключением нуля. Эта формула
непосредственно выводится из соотношения
г = оA—е2)—е%1.
Мы можем также написать равенства
из которых с помощью формул A7) и A8) можно вывести разло-
жения для
*t? IE t*t2»
230. Вернемся теперь к величинам, которые в § 63 были обоз-
начены через X и У. Мы будем иметь
и, следовательно, применяя формулы A7) и A8), получаем
B1)
Заменяя i на — i, выведем отсюда разложение для X — iY и,
следовательно, разложения для X и У.
Пусть теперь наша система отнесена к произвольным осям.
Вспомогательные величины X и У всегда определяются как в § 63,
и их разложения в функции переменных а, е и I не изменятся.
Прямоугольные координаты, отнесенные к новым осям, будут
.связаны с X и У посредством равенств A2) из § 63.

ГЛ. XV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 331
Эти формулы могут быть также написаны в виде
Xl + ixz = cos2-?{X + iY)E1*- + sin2-? {X-iY)E~l (*-2в),
Мы заменим букву i, обозначающую в формулах § 63 наклон-
ность, буквой /, чтобы избежать путаницы с i = У — 1. Вы-
ражение для ху — ix2 получим, заменяя г на — i.
Пользуясь формулами B1) и B2), находим
i) J
+ 2j 4m
4-a sin* ^ [ -% #™ + 2 ^^ (e1/m-1-e2/m+l)] , B3)
где для сокращения через et и е2 обозначены выражения
1 + УI — е2 и 1 — УI — е2. Аргумент функций Бесселя Jm-\
я Jm+i равен те.
Можно найти также, что
osin/ г Зе .„ „ , V s\n(ml+g) , Т в т \~\ (ОЧ'\
231. Кроме разложений, полученных методом § 228, можно
получить и другие. Пусть, например, мы хотим разложить
= _J__
dl ~~ 1—ecosu *
Очевидно, что можно разложить выражение -А ——— в ряд Фурье
х ^™* С COS I*
¦я далее применить метод § 228. Но имеется и другой, более про-
стой путь. Мы имеем
и = I + e sin и,
откуда с помощью разложения х2 из § 229 и формул B0) получим
Далее, дифференцируя, будем иметь
U B4)
Это разложение дает нам одновременно и разложение для
1 _ 1
г ~ а A—ecosu) *

332 ТОМ П. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Вообще формула B4) может быть применена для разложения
выражений вида
1—ecosu
В самом деле, если имеем
/¦(«) = 2 <?P
то будем иметь
F(u) ^
1—ecosit
Теперь разложим ^"j?^*1"* в РЯД по степеням Eind и затем
продифференцируем по I.
Этот метод может быть более выгодным, чем метод § 228, если
разложение функции F (и) по степеням Zrptt проще разложения
для функции -, —— , например, если оно сводится к конечному
1^~~в COS И
числу членов. В частности, мы можем найти разложения для
cos и sin и
и , которые связаны с cos v и sin v линейными соотноше-
ниями (v — истинная аномалия).
232. Мы можем также дифференцировать по е, что дает
A —е cos и) -j = sin и.
Тогда, имея разложение какой-либо периодической функции
Ф (и), мы немедленно можем вывести разложение для
. <2Ф (и)
эти —з-5-^
du
1—ecosit '
которое может быть полезным, если разложение -т- проще раз-
ложения sin и -у- . В частности, таким образом можно вычислить
sin и
величину , которая отличается от sin v только постоянным
множителем.
Но мы можем также дифференцировать два раза или большее
число раз по I, или, наоборот, проинтегрировать по I. Например,
уравнения кеплеровского движения дают
B5)
Но мы знаем разложения координат xt, коэффициенты которых
зависят только от конечного числа, функций Бесселй. Уравнение

ГЛ. XV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ВЕССЕЛЯ 333
B5) дает разложение ^ , каждый член которого будет содер-
жать лишь конечное число функций Бесселя. В частности, если
оси координат взять как в § 229, то мы будем знать разложения
xi cos v х2 _ sin v
где v — истинная аномалия.
Умножая каждое из уравнений B5) на xt и складывая, найдем
,Ni_ М ,26.
u) -—г- (л>
Так как второе слагаемое левой части B6) в силу интеграла
живых сил является линейной функцией от — , то уравнение B6)
устанавливает линейное соотношение между — и j^ . Но урав-
нение B4) дает нам разложение для —, так что мы имеем также
разложение для -та-, откуда двукратным интегрированием полу-
чим разложение для г2. Итак, будем иметь разложения для г,
г
Уравнение эллипса в полярных координатах дает
ecosi>= — —1,
er2 cos v = a A —е2) г—г2.
Из разложений —, г и. г2 выводим, следовательно, разложения
cos v и г2 cos v. Впрочем, выше мы уже показали, каким образом
разложить cos v.
Все разложения, о которых мы говорим, таковы, что каждый
их член зависит только от конечного числа функций Бесселя.
Следует отметить, что, используя соотношения G), (9) и A2),
можно сделать так, чтобы каждый член содержал лишь Jm (me)
и J'm (me).
233. Мы могли бы также разложить координаты в функции
канонических элементов
L, Я, q, (о, |, к).
Если обратимся к формулам B3) и B3'), то увидим, что для
этого достаточно разложить выражения
Elm\ a cos2 4, e"?*taW), tg24^±2<9, tg^-e±«B7)

334 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
и, наконец, функцию
Функции Ет уже выражены через канонические элементы.
Выражения B7) с точностью до постоянных множителей приво-
дятся к
, 2 2L—2qi—q2 (It ± ir\i)m
± ir
2L-2QJ-Q2 ' /2L-2C1-Q2 '
Наконец, Кт разлагается по возрастающим степеням е2 =
= 2|^ — (|~) и разложение легко выводится из разложений
функций Бесселя (см. § 65—69).
234. Заметим теперь, что при очень малом е первый член каж-
дой функции Бесселя будет более значительным, чем другие.
Тогда, если воспользуемся идеей, изложенной в § 216, мы можем
ограничиться этим членом. Используя формулы A6) и заменяя
каждую функцию Бесселя ее разложением, мы найдем
±Z.Vp_(me\m-p+2b imi
и, заменяя каждую из функций Бесселя ее первым членом, будем
иметь
Sp /meVrt-p Eiml , -^ р /те\Р-т (—l)P~m Ftmt ,0Q4
~^{Т) '(т—р)\~т~2л-^\-2) • (р—т)! а • ^у)
В первой сумме т принимает такие целые значения, что т —
— р>0, а во второй сумме такие значения, что т — р < 0.
Но мы должны заметить, что каждая функция Бесселя представ-
ляется своим первым членом тем менее точно, чем больше поря-
док этой функции. Действительно, отношение второго члена
к первому (например, в случае т — р >• 0) равно
\2 J 'т—р+1-
Последнее выражение очень малб, если е очень малб, а т конечно,
но, с другой стороны, каково бы ни было е, оно неограниченно
возрастает вместе с т. Поэтому для членов более высокого порядка
мы получим лучшее приближение, заменяя функции Бесселя
их приближенными значениями, приведенными в § 225.
235. Разложение B8) и аналогичные ему разложения располо-
жены по степеням е и Е1"п. Если сначала расположим раз-

ГЛ. XV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ВЕССЕЛЯ 335
ложения по степеням Ei>nl, то коэффициент каждого члена, будучи
функцией Бесселя, может быть разложен по степеням е в ряд,
всюду сходящийся. Более того, из того, как вычислены коэффи-
циенты различных членов ряда Фурье, следует, что сам этот ряд
всегда будет сходящимся.
Таким образом, если расположить члены ряда указанным обра-
зом, то сходимость обеспечена, но этого не будет, если сна-
чала разлагать в ряд по степеням е, коэффициенты которого
будут функциями I.
Эти соображения приводят к постановке следующей задачи:
Пусть задана произвольная функция и, зависящая, следова-
тельно, от е и I. Мы разлагаем ее по степеням е. Каков радиус
сходимости этого ряда, т. е. каково наибольшее значение | е |,
при котором ряд еще сходится? Это значение, очевидно, зависит
от I, и мы обозначим его через ф (/). Если тогда М есть наименьшее
из значений ф (Z), когда I принимает все возможные веществен-
ные значения, то сходимость ряда будет несомненной, пока е не
превзойдет М.
Для вычисления ф (I) и М применим теорему Коши. Для того
чтобы ряд перестал быть сходящимся, необходимо и достаточно,
чтобы функция перестала быть голоморфной. Но мы имеем
l = u—esinu,
откуда
du A—е cos u) = dl-\- sin и de,
которое показывает, что и (и вообще всякая функция от и) пере-
стает быть голоморфной функцией е и I для
<30>
Комбинируя уравнение C0) с уравнением Кеплера, находим
и—tgu = Z. C1)
Уравнения C0) и C1) определяют е и ее абсолютное значение
\е\ в функции I и наименьшее из всех значений |е| есть ф (I).
Заметим, что ф (I) одинаково для всех функций F (и). Исклю-
dF -
чение составляет тот случаи, когда производная ^ обращается
в нуль для того значения и, которое удовлетворяет уравнению C1).
Это позволяет нам утверждать, что результат пригоден для произ-
вольной функции F (и), достаточно лишь, чтобы исключительное
условие не выполнялось.
236. Теперь нужно определить то значение I, для которо-
го ф (I) достигает своего наименьшего значения М. Для этого

336 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
продифференцируем формулу B8) по I, что дает
Ь -ф1')«
1-е cos и ~2j р! (m-p+р)! {Т)
Эта функция не принадлежит к исключительному случаю,
указанному в конце предыдущего параграфа, так как, когда имеем
1—ecosu = 0,
то ее производная не обращается в нуль, а наоборот, становится
бесконечной.
Уравнения C0) и C1) не изменятся, если заменить и, I и е
на и -\- я, I -\- я, — е. Отсюда следует, что критические значе-
ния е, соответствующие I и I + я, имеют одно и то же абсолютное
значение <р (/) = <р (I -\- я), но имеют разные знаки.
Предположим теперь, что для некоторого вещественного зна-
чения I = li и для некоторого значения е = е± ряд C2) расхо-
дится. Ясно, что ряд будет расходиться и для I = Ji+я, и то же
самое можно утверждать о сумме
Действительно, рассмотрим Ф (/) как функцию е и I, и поло-
жим в ней I = lt. Эта функция будет иметь особую точку для
и не будет иметь такую точку для е = — е', так как если заменить
в уравнениях C0) и C1) е на — е, то / заменится на л ± Z, что
отлично от I, за исключением случая I = у .
Функция Ф (li + я) также имеет особую точку для е = — е'
и не имеет ее при е = е'. Поэтому сумма
будет иметь две особые точки е = е' ие = — е', и так как эти
особые точки различны, то соответствующие особенности не могут
уничтожиться. Следовательно, эта сумма будет расходиться при
е = ej. Поэтому можно написать
, е)=Ф(*)+Ф(/+я)=2 а р^+р), (у)
C3)
где m должно принимать только четные значения. Из пре-
дыдущего следует, что ряд W (lit et) расходится. Перейдем от этого
ряда к следующему:

ГЛ. XV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 337
заменяя среднюю аномалию на — у, а эксцентриситет на i, по-
множенное на абсолютное значение et, которое существенно веще-
ственно и положительно.
Если сделать такую замену в последнем члене равенства C3),
то абсолютная величина каждого члена остается той же; но все
члены должны стать положительными или, по крайней мере, все
должны иметь тот же аргумент (предполагая, как мы и делали,
что р — четное число). В самом деле, знаменатель существенно
положителен, аргумент (— 1)Э равен fin, аргумент величины
равен нулю, если тир — четные числа, что мы и предположили;
аргумент величины (i | et |)m~p+2P равен (т — р) у -j_ 0я, а аргу-
мент ?*'"' равен — т у. Поэтому общий аргумент будет равен
( или — у t если отбросить кратность 2я ) . Итак, общий аргу-
мент постоянен и пе зависит от т и р*, что и требовалось доказать.
Следовательно, если ряд V (lt) расходится, тотем более будет
расходиться ряд W ( — у ) , все члены которого имеют одно и то же
абсолютное значение и постоянный аргумент. Поэтому Ф1 — "г ) +
+ Ф i -тг j тоже расходится. Отсюда вытекает, что по крайней мере
один из рядов Ф( —"«г ) » ^ I у ) расходится. Но мы видели, что
Ф (I + я) = <р (I), т. е. что Ф (I 4-я) расходится, если Ф (I) рас-
ходится, и наоборот. Следовательно, ряд Ф i -2-, i \ ej | j расхо-
дится, и поэтому | et \ > <р I у j .
Но все, что мы предположили относительно et, выражается
неравенством
следовательно, это второе неравенство влечет за собой предыду-
щее, т. е.
Таким образом, минимум функции ф (/) достигается при I = ^ .
22 а. Пуанкаре

338 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
237. Чтобы определить М, нужно исследовать уравнение
it-tgB = y C4)
или, полагая у — и — е, уравнение
e + ctge = O. C4')
Покажем теперь, что уравнение C4') имеет только чисто мни-
мые корни. Действительно, положим
ф = COS 6Q.
Тогда
или
g = q> при Q=l,
g-0 op. ,_0.
Допустим, что уравнение C4) имеет два корня, е и et. Этим
двум корням соответствуют две функции, <р и фъ и мы будем иметь
Правая часть уравнения в силу равенств C5) обращается
в нуль как при Q = 0, так и при q = 1, и мы имеем
1
(е2—ej)
Если уравнение C4') имеет корень е, то оно будет иметь и со-
пряженный мнимый корень е4; поэтому функции ф и ф4 будут мни-
мыми и сопряженными, а их произведение будет существенно
положительным, так что будем иметь
Последнее равенство может иметь место, если только е2 веще-
ственно. Если е2 вещественно и положительно, то е вещественно.
Но вещественные корни не будут пригодны, так как тогда из
уравнения C0) следует, что е > 1. Если е2 вещественно и отри-
цательно, то е чисто мнимо. Следовательно, нужно найти наи-
меньший по абсолютной величине чисто мнимый корень уравне-
ния C4') или, заменяя е на ге, найти наименьший вещественный

ГЛ. XV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 339
корень уравнения
е (Е~е—Ее) + (Е~е + Ее) = 0, C6)
после чего найдем М по формуле
Таким образом, мы найдем
М = 0,6627...,
которое показывает, что наши ряды сходятся, если е< 0,6627...
Можно отметить, что уравнение C6) имеет лишь единственный
положительный корень*).
*) По вычислениям Стильтьеса, едивствевный положительный корень
уравнения C6) есть 1,19..., что и дает приведенное значение для М.
(Прим. ред.)

ГЛАВА XVI
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ
ФУНКЦИИ
238. Теперь перейдем к разложению самой возмущающей
функции, но прежде всего выскажем некоторые общие соображе-
ния, касающиеся постановки задачи.
В § 212 мы напомнили различные формы представления воз-
мущающей функции. Сначала мы должны заняться разложением
выражения E) из § 212,
т. е. разложением главной части возмущающей функции. Это наи-
более трудная задача и если она будет решена, то разложения
других частей возмущающей функции будут выведены почти
сразу. Действительно, допустим, что мы получили разложение
выражения E) как функции оскулирующих эллиптических эле-
ментов первой и второй планет,
«2» ?2, »2> hi
и что, таким образом, найдено
а2, ...), A)
где / является функцией двенадцати оскулирующих эллиптиче-
ских элементов. Отсюда выводим, что
V 2 (*;-*
B)
где h — произвольный постоянный коэффициент. В самом деле,
если заменить at на hat, а другие элементы первой планеты и все
элементы второй планеты оставить без изменения, то координаты
первой планеты х[, x't, х'г заменятся на hx[, hx't, hx's, а координаты
второй планеты х\, х'ь, х'л не изменятся.
*) Иногда для экономии индексов будем обозначать эти элементы
через а, а', ...

ГЛ. XVI. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 341
В § 36 мы видели, что если использовать переменные § 30.
то возмущающая функция принимает вид
Г 1 1 Л , С 1 1 \
{)+ nhm )
где
Следовательно, нужно получить разложения
1 1 1
АВ ' ВС BD'
Но применение формулы B) сразу дает
J_ ._ 4 С mi
\_
1
Последнее выражение / @, а2, . . .), очевидно, зависит лишь
от элементов второй планеты. Разложение для ^ получается
непосредственно, если заметим, что оно есть не что иное, как
обратное расстояние — для второй планеты, а в § 231 было полу-
чено разложение для — .
Предположим теперь, что вместо переменных § 30 мы поль-
зуемся переменными § 26 или 44. Тогда нужно получить разло-
жение дополнительной части возмущающей функции, которая,
как мы видели в § 213, может иметь одну из трех следующих форм:
"»im4 ^, , , щпц у , , 1 чп ,.
Вернемся к формуле B) и разложим обе части по степеням к,
пренебрегая членами с А2 и следующими. Замечая, что с пере-
менными § 26 и 44 мы имеем ВС2 = 2 я*2» а не BD2 = 2 x'ii полу-
чим

342 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
откуда выводим
Г в производной -т^- после дифференцирования нужно положить
а, = О) .
Аналогично найдем
и здесь в производной -^- после дифференцирования нужно
положить а2 = 0 ) •
239. Остается разложить выражение
Чтобы привести это выражение к функции / (а{, а2, • • . ), доста-
точно выразить его через выражения
ВС» ' АС» '
которые связаны с / соотношениями C) и C').
С этой целью установим связь тех и других с функцией
Уравнения кеплеровского движения дают нам
где М — центральная притягивающая масса, г — радиус-век-
тор, или
„2 <*2*1 _ Mxi
п ~ш w •
где п — среднее движение, а I — средняя аномалия.
Мы можем применить эту формулу к нашей второй фиктивной
планете, так как согласно определению оскулирующих элемен-
тов соотношения между координатами планеты и оскулирую-
щими элементами такие же, как и в кеплеровском движении.
Итак, мы должны заменить
xi, г, I, п2, М

ГЛ. XVI. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 343
на
x'v ВС, l2, n*= -jg-, M,
откуда
dl\ ~ ВС» •
Аналогичные уравнения получатся и для координат х'ъ и x't.
Умножая эти уравнения соответственно на х[, х'2, х'3 и складывая,
получим
2, d2x't з ^*i*i
xi ~Щ ——аг "вез" '
или, учитывая формулу C) и вспоминая, что х[, х'2, х3 не зави-
сят от 12, а только от оскулирующих элементов первой планеты,
получаем
Точно так же найдем
Рассмотрим теперь выражение
Это выражение появляется, когда мы пользуемся переменными
§ 26. В этом случае массы фиктивных планет т\ и т\ принимают
значения
1 mj-(-m7 * т,1-\-1щ
(см. § 43). Поэтому в кеплеровском движении
будем иметь
или
где щ и п2 — средние движения. Формулы E) не имеют места
в возмущенном движении, но формулы F) остаются верными,
так как они выражают зависимость между х', у' и оскулирую-
щими элементами, а эти зависимости одинаковы и в возмущен-
ном и в кеплеровском движении, в соответствии с определением
оскулирующих элементов.

344 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Следовательно, будем иметь
ylVl = mjnjijH 23 -щ • -щ = mjnwz щщ . G)
Таким образом, 2j/iyi связана с функцией W и отсюда с функ-
цией /.
240. Рассмотрим теперь какую-нибудь периодическую функ-
цию
F(u, и')
от двух эксцентрических аномалий и и и'. Она может быть раз-
ложена в ряд Фурье вида
2SpP<-Ei(pu+p'u'>, (8)
где pup' — целые числа, положительные или отрицательные,
но ее можно также разложить в ряд Фурье по средним аномалиям
I и V в виде
Выведем теперь соотношения между коэффициентами двух
рядов (8) и (9). Эти коэффициенты выражаются определенными
интегралами
2Я2Я
4я2?рр. = J jj FE-1 (р«+р'«'> da du' A0)
о о
и
2л 2Я
4я*Лтт,= jj jj F-E-<W"'ndldl'. (И)
о о
Преобразуем формулу A1) путем двукратного интегрирования
по частям. Мы можем положить
~ dldl' '
где
Ф= -Zli-77-i(ml+m'r)
mm'
Тогда интегрирование по частям по переменным к и I дает
Последующее интегрирование по частям по переменным и' и V дает
J

ГЛ. XVI. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 345
Следовательно,
^ ^ '''> du du'.
Но из разложения (8) функции F можно вывести, что
откуда, имея в виду уравнение Кеплера, получим
in*mm'Amm' = ^_рр'Врр. jj J E*AEadudu',
где.
A = (p—m)u+(p'-m')u\
Q = i (me sin a -j- m'e' sin u')
и где е и е'.само собой разумеется, обозначают два эксцентри-
ситета.
Коэффициент рр'Врр- есть двойной интеграл, который можно
представить в виде произведения двух обыкновенных интегралов
С ЕШР-т) ugime sin и Ди f J?i (p'-m')«'?im'e' sin W ^ц',
что равно
4яг/т_р (те) /т._р- (т'е').
Итак, мы имеем формулу
Атт. = 2 -^rBvpJm.p(me)-Jm--P-(m'e'), A2>
аналогичную формуле A7) из предыдущей главы. Эта формула
получена Белло.
241. Выведенная формула не имеет смысла, когда т или т
суть нули. Но в этом случае ее можно преобразовать в другуюТ
аналогичную формуле A8) предыдущей главы.
Действительно, имеем
F(u, u')= 2#
и, с другой стороны,
В последней формуле при m = 0 коэффициент — Jm-P нуж-
но заменить на 1 для р =0, на—^- для />= ±1, на 0 во всех.

346 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
других случаях. Точно так же имеем
с тем же условием для случая т' = 0.
Заменяя ?ip" и Е*р'и' их разложениями в разложении F (и, и'),
мы выводим
Таким образом, мы пришли к формуле A2) для случая, когда
т и /га' отличны от нуля. Эту формулу можно записать в виде
символического произведения
&
* J •
если условиться заменить символическое произведение ВрВ'Р' на
Врр>. Аналогично находятся в виде символических произведений
1
A3)
= [во- Y(Bi+B.i)] [в'о-^.(jb;
Соотношения A3) аналогичны формуле A8) предыдущей главы.
242. Допустим, например, что нужно разложить главную часть
возмущающей функции, т. е. функцию
приведенную в § 238. Заметим, что
представляется в виде многочлена второй степени относительно
величин
Е1*, Е'1л, Еы', Е'ы>,
где и, и' — эксцентрические аномалии первой и второй планет.
В самом деле, координаты х\, хг, х'а являются многочленами пер-
вой степени относительно Е1", E'itl, a x't, х'ь, x't — многочленами
первой степени относительно !?"*', Е~ы>.
Рассматривая более внимательно, мы увидим, что этот много-
член содержит только известный член и члены с
E±%i*, E±Ul, E±%itl', E±iu',

ГЛ. XVI. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 347
т. е. всего тринадцать членов. В дальнейшем мы изучим этот
многочлен более подробно, а сейчас заметим, что если положить
х = Еи, у=Еы',
то выражение хгуг&г сделается целым многочленом шестой сте-
пени относительно хну, который можем обозначить через R (х, у),
так что
= Д(*, у).
Если положить F = д-, то формула A0) принимает вид
dxd« - С f dxd«
Отсюда видно, что Врр- выражается двойным определенным инте-
гралом, зависящим от Y& (х, у). Значения, которые должны
принимать хну, являются мнимыми, поэтому эти переменные
должны меняться вдоль окружности единичного радиуса с цент-
ром в начале координат.
Можно выразить также и коэффициент Атт- с помощью двой-
ного интеграла, но этот интеграл значительно сложнее. Дей-
ствительно, мы нашли
-№тт'Атп.= J J St^(ml+m'ndudu'.
Двойной интеграл можно написать в виде
А ею dx dy
дхду
где Q имеет вид
4
Вторая производная ^—j- будет равна рациональной функ-
ции от х и у, деленной на \fR (x, у), но лучше прямо исходить
из формулы A1), замечая, что
'П = х~'П• у~т'• EQ,
Таким образом, найдем
Q.EQdxdy
_, A5)

348 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
где
Интеграл A5) является значительно более сложным, чем инте-
грал A4), так как подынтегральная функция более не является
алгебраической, а содержит показательную функцию Еа. Отсю-
да понятно, почему разложение по средним аномалиям намного
сложнее разложения по эксцентрическим аномалиям.
243. Имеются два частных случая, которые в дальнейшем мы рас-
смотрим более подробно, а сейчас скажем о них несколько слов.
Это прежде всего случай, когда эксцентриситеты равны нулю.
В этом случае исчезает различие между средними и эксцентриче-
скими аномалиями и Q = 0. Более того, так как начало отсчета
этих аномалий произвольно, то мы можем их отсчитывать от линии
узлов. Тогда найдем
Д* = а2 + а'г—2аа' cos a,
где а означает угол между двумя радиусами-векторами, или
дг = аг + а'г—2аа' cos* ^ cos (и—и')—2аа' sin2 -у cos (u + и'),
или, наконец,
R(x, у) = ху[(аг + а'*)ху—аа'cos2^(х-\-у) —
] A6)
244. Второй случай, это когда взаимная наклонность двух
орбит равна нулю. Здесь можно выбрать оси координат таким
образом, что
*;=*;=о,
откуда
дг=[(*;—*;)+*(*;—*•;)][(*;—о—*(*;—*;)ь
Таким образом, видим, что R (х, у) является произведением
двух целых многочленов третьей степени,
R(x, y) = Rt(x, y)-R2(x, у).
Первый из этих двух многочленов содержит только члены с
а%, хуг, ху, х, у.
Две кривые третьего порядка Л4 = 0, R2 = 0 проходят через
начало координат и имеют общие точки на бесконечности. Кроме
того, они пересекаются в четырех точках, смысл которых легко
установить.

ГЛ. XVI. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 349
Каждой точке М первой орбиты соответствует одно значение
и и, следовательно, одно значение х. Каждой точке М' второй орби-
ты соответствует одно значение и' и, следовательно, одно значение
у. Уравнение Л4 = 0 выражает, что прямая ММ' имеет угловой
коэффициент, равный i, а уравнение R2 = 0 означает, что прямая
ММ'имеет угловой коэффициент—i.
Четыре пересечения двух кривых третьего порядка Ri — R2 =
= 0 соответствуют четырем пересечениям (вообще мнимым) двух
эллиптических орбит.
Если допустить, что у, а следовательно и М', известны, то
уравнение Rt = 0 является уравнением второй степени относи-
тельно х. Это объясняется тем, что прямая с угловым коэффици-
ентом i, проходящая через М', пересекает эллиптическую орбиту
в двух точках М и Aft. Точки М и Мt совпадают, так что уравне-
ние Ri = 0 имеет два равных корня, и поэтому-^ = 0, если
прямая ММ' касается первой эллиптической орбиты. Эта каса-
тельная к эллипсу, имея угловой коэффициент + i, проходит
через один из фокусов второй эллиптической орбиты.
Аналогично, если прямая ММ' проходит через один из двух
фокусов второй эллиптической орбиты, то -д-^- = 0. Но два эллип-
са имеют общий фокус, который является началом координат.
Итак, для соответствующей прямой ММ' имеем равенства
dRi _ dRi_ _ п
дх ~ ду ~"'
которые показывают (хну рассматриваются как прямоугольные
координаты точки на плоскости), что кривая третьего порядка
Ri = 0 (то же самое и кривая R2 = 0) имеет двойную точку.
Для Ri = 0 эта двойная точка имеет координаты
е
х= ^=^= , и =
1-j-y 1—еа а
а для R2 = 0
245. В § 238 мы видели, что разложение дополнительной
части возмущающей функции легко выводится из разложения
главной ее части. Но первое вычисление значительно проще вто-
рого, и поэтому предпочтительнее получить ее разложение непо-
средственно.
В § 239 мы видели, что если положить

350 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
то три формы дополнительной части возмущающей функции,
к которым она приводится, если применять переменные § 26
и 44, соответственно пропорциональны трем производным вто-
рого порядка функции Ч?.
Найдем разложение функции *Р и прежде всего изучим разло-
жение этой функции по степеням Eipu+ip'u'. Из него будет
легко найти разложение по степеням Eiml+im'1' посредством
соотношения A2). Координаты х[, х2, х\ являются многочленами
первой степени относительно E±iu, а координаты x't, x'f, х'л—
многочленами первой степени относительно E±ia, следова-
тельно, Ч? является многочленом первой степени относительно
Е±1и, с одной стороны, и многочленом первой степени относи-
тельно E±iu', с другой стороны, так что разложение функции Y
по степеням ?*р«+*р'«' содержит лишь девять членов.
Отсюда следует, что если к разложению функции Ч? применя-
ется равенство A2), то каждый коэффициент Атт будет зависеть
только от конечного числа функций Бесселя. Поэтому можно,
пользуясь рекуррентными соотношениями между функциями Бес-
селя, выразить этот коэффициент только через функции
Jm(me), J'mime), Jm-(m'e'), J'm>(m'e').
246. Ганзен взял за независимую переменную эксцентричес-
кую аномалию и одной из планет. Допустим в этом случае, что
возмущающая функция, или одна из ее производных, или одна
из ее составляющих разложена в виде
Имеем
I — и—esinu,
Г = ц' — e'sinK'.
С другой стороны, все члены возмущающей функции содержат
в качестве множителя возмущающую массу, поэтому, пренебре-
гая квадратами этой массы, мы можем применять формулы кеп-
леровского движения. Тогда I и I' являются линейными функ-
циями времени и, следовательно, связаны друг с другом линейным
соотношением:
где к—отношение средних движений, е—постоянная. Далее имеем
уравнение
V = ku + R—kesina,
полагая в котором
Г = Ui—/се sin и,

ГЛ. XVI. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ 351
получим
щ = и' —е' sin и' -\-ке sin и.
Будем разлагать F в форме
так что
2я2я
о о
Интегрируя по частям по щ и и', т. е. считая и постоянным,
получим
2я2я
=[Ц-шЕ~1 <mu+m'Ul)
о о
Но
откуда
2Л 2я
Так как произведение показательных функций под знаком инте-
грала можно написать в виде
pi (p—m) up—ihm'e sin upi (p'—m') u'pim'e' sin u'
то окончательно находим
A** = 2 -j?rBppJm-P{-kme)Jm.-p.(mV). A6')
247. Гюльден искал разложение возмущающей функции не по
средним или эксцентрическим аномалиям, а по истинным анома-
лиям. Пусть да и да' — две истинные аномалии, и будем искать
разложение F в виде
Тогда коэффициенты выражаются формулой
2я 2л
Если положить 2?*° = х, ?*"' = у, то этот двойной интеграл пре-
образуется в другой, под знаком которого будет рациональная

352 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
функция величин х, у, А, а величина А является квадратным кор-
нем из рациональной функции х и у. То же самое мы имели в слу-
чае разложения по эксцентрическим аномалиям, так что оба раз-
ложения получаются с одинаковой степенью трудности. Впрочем,
можно вывести формулы, аналогичные формулам A2), которые
давали бы возможность перейти от одного разложения к другому.
Далее, можно было бы выразить все в виде функции, в кото-
рой роль независимой переменной играла бы истинная аномалия
одной из планет. Для этого нужно было бы выполнить вычисле-
ния, аналогичные вычислениям предыдущего параграфа.
Величины I и v связаны соотношением 1= v -{- у (v, е), где
Ф (», е)—периодическая функция v. Аналогично
V = v'
Полагая
получим
Vi = v' + 4(v', e')—Аф(у, е). A7)
Далее, с помощью уравнения A7) надо разложить функцию
в ряд по степеням
Аналогия с вычислениями предыдущего параграфа теперь
очевидна.

ГЛАВА XVII
КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАПЛАСА
248. Начнем с того случая, в котором эксцентриситеты обеих
орбит так же, как и взаимная наклонность, равны нулю. Выра-
жение для А2 принимает тогда вид (см. § 243)
А* = a2 + a'2—2aar cos (/—/')•
Требуется разложить в ряд -д-, но учитывая соображения, приве-
денные в § 215, мы рассмотрим разложение Д% где 2s—произ-
вольное целое нечетное число *).
Заметим прежде всего, что А2есть однородная функция второй
степени относительно а и а' и, с другой стороны, зависит от углов
I и Г только через посредство соотношения
(если эксцентриситеты равны нулю, то средние аномалии не отли-
чаются от эксцентрических).
Положим теперь а = -^-, z = —, так что
Мы всегда можем считать, что a < 1, так как для этого доста-
точно предположить, что а означает меньшую из двух больших
полуосей.
Итак, мы должны разложить выражение
по целым положительным и отрицательным степеням z в виде
2б<*>*к=2№*('~1')-
Коэффициенты bf* называются коэффициентами Лапласа.
¦) Таким образом, 2s = 2fe-(-l, где А;—целое число. (Ярил, перев.)
23 а. Пуанкаре

354 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
249. Если мы положим
то увидим, что F, а следовательно и F~s, не меняются при замене
z на —. Но такая замена приводит к замене А на —Л, а поэтому
b™ = b<rh\ A)
С другой стороны, замена Л на —А означает замену i на — i
и предыдущее равенство показывает, что коэффициенты Лапла-
са не изменяются при этой замене. Следовательно, эти коэффици-
енты вещественны, и мы можем написать
Р-а = Ь1 + 2^Ь^cos к A—1'). B)
Между коэффициентами Лапласа существуют некоторые рекур-
рентные соотношения, которые легко выводятся из тождества
F-S = ^\bik)zk. C)
Мы имеем тождественно
D)
или
— 0 2 #** + 2 *#*** [! + «'-« 0 + т)] =0'
откуда, приравнивая нулю коэффициент при z*-1, получим
0 = s
Отсюда получаем рекуррентное соотношение
Далее имеем
F~*= 1~1 — о^ + ^Л+оЧ
или
Приравнивая коэффициенты при zh, получаем рекуррентную
формулу, которая дает возможность перейти от 6,^1 к bih):
")- F)

ГЛ. XVII. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАПЛАСА 355
Но предпочтительнее вывести такое рекуррентное соотноше-
ние, которое позволяет перейти от Ь^ к il+i. Для этого мы можем
взять два последовательных соотношения F), дающие нам два
уравнения b(sk\ bih+l) и четырьмя неизвестными ii+i0, fce+i,
tfj+\l), &8+i2>- С другой стороны, соотношения E) дадут еще два
уравнения между этими четырьмя неизвестными.
Следовательно, мы сможем определить эти четыре неизвест-
ных в зависимости от Ь^ и б,*'1*-
Чтобы получить непосредственно тот же результат, будем
исходить из тождества
zF'P + z*?-Q=l, G)
где Р и Q суть многочлены первой степени; его легко можно
установить и определить многочлены Р и Q. Далее заметим, что
коэффициенты ряда C) могут быть выражены с помощью форму-
лы Фурье
2ЫЬ?)= [ F-'z^dz, (8)
где интеграл должен быть взят по I — V от нуля до 2я и, следо-
вательно, по z вдоль окружности единичного радиуса.
В силу тождества G) мы можем умножить подынтегральную
функцию на левую часть этого тождества, что дает
= \ F1-'zk-Pdz+ \-^
Мы можем преобразовать второй интеграл, интегрируя по час-
тям и замечая, что интегрирование производится вдоль замкну-
того контура, так что проинтегрированная часть исчезает.
Тогда интеграл принимает вид
Но ясно, что
есть многочлен первой степени относительно z. Обозначим его
через f>z -{- у. Тогда наша формула принимает вид
откуда
««-рерчуйй0. (8')
23*

356 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Это и есть искомое рекуррентное соотношение.
С помощью рекуррентных соотношений E), F) и (8') вычис-
ление коэффициентов Лапласа приводится к вычислению каких-
либо двух из них, например,
2 2
250. Рассмотрим теперь производную
da *
Дифференцируя формулу (8), получим
2in
откуда
da
что позволяет выразить производные от b, через bs+l и, следова-
тельно, через Ъа.
Поэтому в конечном счете мы можем выразить производную
d"a через &У0, 6(in в виде
da
Ь* = />6(,О) + Qb\l) , A0)
° 2 2
где Р и Q суть рациональные функции а.
Дифференцируя равенство A0), находим
так что вторая производная выражается через bf\ Ь\{) и их произ-
2 2
водные и, следовательно, если еще раз применить формулу A0),
<*гЬ<> |@) ,A)
то можно выразить , * только через о\' и «\ ;.
a 2 2
Аналогично можно выразить и производные более высокого
порядка коэффициента bik\

ГЛ. XVII. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАПЛАСА 357
251. Имеем
Но формула бинома нам дает
A—az) = 1 + saz - ?
или, в более общем виде,
A агГ8 - V T
A—az) -2, г(«)
где Т7 (s) представляет эйлеровскую гамма-функцию. Аналогично
имеем
A-ое ) -2, rw.r(ff+i) a
Перемножая оба разложения, находим
Коэффициент при zk в этом разложении равен Ь[к), поэтому
Формула A1) дает разложение коэффициентов Лапласа по воз-
растающим степеням а. Заметим прежде всего, что 6(8fe) делится
на а* и является четной или нечетной функцией а в зависимости
от того, четно или нечетно к.
Сравним ряд (И) с гипергеометрическим рядом Гаусса, кото-
рый определяется формулой
FIA В С х)--У
Сравнение дает
252. Известно, что гипергеометрический ряд Гаусса удовлет-
воряет некоторому линейному дифференциальному уравнению
второго порядка. Таким же свойством должен обладать и bf\
что легко проверить. Действительно, мы видим, что отношение
общего члена ряда A1) к предыдущему равно
.

358 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Следовательно, если обозначим коэффициент при ак+2я через
Cq, то будем иметь
откуда
2?(? + *)CfloM+* = S(« + 9-l)(e + 9 + *-l)C«-iO»«+». A2)
Заметим теперь, что
и что точно так же
га2/, %' С ni<l+k па **Р Х^ /Ол _|_ 1. ON/ rt29+fe
I* и — 7\ Isq—iUt , I* , — / | \?*q "Т" л —"/ Q~ 1** '
Кроме того, заметим, что коэффициенты левой и правой частей
равенства A2), т. е. q (q + ft), (s -f q — 1) (s + q + ft — 1) явля-
ются многочленами второй степени относительно qa, следователь-
но, могут быть выражены линейным образом; первый — через
1, 2q + ft, Bq + ft) Bft + ft - 1) и второй — через 1, 2q + ft - 2,
Bq + ft — 2) Bq + ft — 3) с коэффициентами, зависящими толь-
ко от ft и s; поэтому существует линейное соотношение между
шестью величинами
, db о d^b л] о db л d%b
*' "Ж' a-dbT' а6'а -rfa' a l^T'
коэффициенты которого зависят только от ft и s. Это соотношение
и является искомым дифференциальным уравнением для b(j'\
Отбрасывая индексы s и ft у Ь^\ мы напишем это уравнение
в виде
?,2 I \ »2\1 7| П /^ ^\
Это уравнение может указать на то, как ведет себя ряд A1) для
значений а, близких к 1. Действительно, из теории Фукса следует,
что это уравнение имеет особенности, только когда коэффициент
d*b „
при -т-|- обращается в нуль т. е. при
а = 0, а=±1.
При а = 0 корни определяющего уравнения равны ± ft,
откуда следует, что уравнение допускает частное решение, раз-

ГЛ. XVII. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАПЛАСА 359
ложение по степеням а и начинающееся с ah (это частное решение
есть не что иное, как функция b[ \ которая нас интересует), и что
общее решение имеет вид
где h—произвольная постоянная, a S является рядом, располо-
женным по целым положительным или отрицательным степеням
а и начинающимся членом с a~k.
Остаются особые точки о = ± 1. Достаточно рассмотреть
особую точку а = +1, так как дифференциальное уравнение
не меняется, если заменить а на —а.
При а = + 1 корни определяющего уравнения суть 0 и 1 — 2s.
Это показывает, что помимо частного решения, разложимого по сте-
пеням а — 1, общее решение представляется в виде
S+P\n(a— 1),
где Р и S разложимы по возрастающим степеням а — 1, причем
разложение для Р начинается с члена нулевой степени, а разло-
жение для S — с члена степени 1 — 2s.
Для s = у имеем 1 — 2s = 0 и функция S не становится
бесконечной; второе слагаемое будет преобладающим, так что
6«h) принимает бесконечно большое значение вместе с In (а—1)
3 5
при а = 1. При s = -n-, -it, ... S принимает бесконечно боль-
шое значение и становится преобладающей, так что Ь^ тоже
делается бесконечным вместе с (а — 1I-2\
Отсюда видно, что ряд A1) сходится при | а | < 1 и расходится
при |а|>1. Можно также заметить, что эти результаты выте-
кают непосредственно из известных свойств гипергеометрическо-
го ряда.
253. Было предложено весьма большое число приемов вычис-
ления коэффициентов Лапласа, среди которых лучшим является
прием, основанный на применении эллиптических функций.
Известно, что функция Вейерштрасса $> (и) определяется
уравнением
№' (к)]2 = 4«р2 (и)—gaff (и) —g3 = 4 Aр—в,) (ff—ва) ($—е3),
где еи ег, е3 —три постоянные, связанные соотношениями е^ +
-1- «2 + «з = 0 и <$> @) = оо.
Кроме того, известно, что функция Вейерштрасса удовлетво-
ряет условиям
S0 (и) = S» (—и) = S° (" + 2g>i) = Ь° (и + 2оJ) = S° (" + 2(о3);
«!, »(ю2) = е2, ф ((о3) = е3.

360 ТОМ П. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
С другой стороны, функция ? (и), определяемая равенством
?'(к) = — ф(и), обладает свойствами
где
Л* = ?(<*
Возьмем интеграл
1 (ft) __ 1
yrz(i—az)(z—a)
и, в общем случае, еще следующий:
, (ft) _ _J_ ? zft-i dz _ _1_ ? zft-i+28 rfz
°8 ~ 2in J F8 ~ 1ЙГ J [» A— ou) (*—o)]« *
Чтобы привести эти формулы к эллиптическим функциям, мы
должны положить
)—е3, а = е2—е3, ^^—
откуда
а из этого следует
( —?)' 2i*6?> = J (ff -e3)ft-1+
и, в частности,
я YabP = С (ff—ва)**" А*. A5)
2 J
254. Вспомним одно важное свойство двояко-периодических
функций, заключающееся в возможности их разложения на про-
стые элементы.
Пусть F(u)—двояко-периодическая функция и пусть a1( az, ...
. . . , ап — ее различные полюсы *).
Пусть п] — один из этих полюсов и пусть его порядок есть к.
Разложим F (и) по возрастающим степеням и — а} и пусть сумма
Ak Ak-i ¦ ¦ А2 ¦ Aj
+"*" ' ' ' (u—ajJ ^u—aj
(и—а})Ь +(м—e
*) Само собой разумеется, что два полюса, отличающиеся только на
кратное периодов 2шь ле считаются различными.

ГЛ. XVII. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАПЛАСА 361
представляет совокупность членов этого разложения, имеющих
отрицательные показатели. Положим
где ?(ft)(w) означает производную порядка к функции ?(и) по и.
В этом случае разность F (и) — Ф/ (и) остается конечной
при и = aj, поэтому будем иметь
2<S>j(u) + C; A6)
С — некоторая постоянная. Формула A6) и представляет разло-
жение функции F (и) на простые элементы.
Вернемся к интегралам A4) и A5), которые должны быть взя-
ты от 0 до 2@). Обозначим в них подынтегральную функцию
через F(u), разложим ее на простые элементы и проинтегрируем
отдельно каждый из этих элементов. При &>2 интеграл
2.!
о
обращается в нуль. Действительно, неопределенный интеграл
есть
а последнее выражение пропорционально либо функции <§> (и — а3)
при к = 2, либо одной из ее производных (при к > 2). Во всех
этих случаях мы получим двояко-периодическую функцию, кото-
рая при верхнем и нижнем пределах интегрирования принимает
одно и то же значение. Следовательно, определенный интеграл,
есть нуль.
Если к = 1, то получаем
J ?(u-aJ)du = t{u-aJ)\2o<01 = tB<ul-aj)-t(-a}) = 2y]l.
о
Если к = 0, то будем иметь
V ?(и—aj)du = lno(u—a})*)
и определенный интеграл равен
*) 0 (и)—эллиптическая функция Якобп. (Прим. перев.)

362 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Впрочем, в этой главе формула A7) не будет иметь применения.
Наконец, постоянная С дает
В нашем случае, т. е. при рассмотрении интегралов A4) и A5),
функция F (и) может обратиться в бесконечность только вместе
с §> (и) или §>' (и), т. е. при
и = 0, <о17 <о2> ю3.
Добавим, что при s = -5- подынтегральная функция в интегра-
ле A5) обращается в бесконечность только при и = 0.
Более того, показатель 1 — 2s является четным и так как
g»'2 (и) является рациональной функцией §> (и), то такой же будет
и функция F (и). Следовательно, F (и) является четной функцией
от и, так же как и от и — со*:
Отсюда вытекает, что разложение функции F (и) по возраста-
ющим степеням и или и — ш, содержит только члены четной
степени. Оно не содержит члена степени —1 [который мог бы
дать простой элемент в ? (и) или ?(w — <ot)], что и является при-
чиной неприменимости формулы A7). Мы не должны также бес-
покоиться н о членах степени —4, —6, . . . , так как мы видели,
что после интегрирования соответствующие члены обращаются
в нуль. Поэтому для нашего интеграла находим соотношение
2*я (--1уЫк) =2Сщ-2г\1^А1, A8)
где 2^2 — сумма коэффициентов членов степени —2 в разло-
жениях относительно четырех полюсов 0, а>!, со2, <а3.
255. Коэффициенты С и Л2 являются рациональными функ-
циями а. Действительно, коэффициенты разложения функции
k" (и) или \р' (и) по возрастающим степеням и или и — <аг являют-
ся рациональными функциями величин et, e2, е3 и, следовательно,
рациональными функциями а. То же самое можно сказать и о раз-
ложении функции
Отсюда следует, что коэффициенты А2 — рациональные функ-
ции а. Рассмотрим теперь С. Заметим, что F (и) не только может
обратиться в бесконечность только при и = 0, a>i, <а2. ю3, но
и в нуль может обратиться также только при одном из этих четы-
рех значений. Отсюда вытекает, что F (и) не может иметь четыре

ГЛ. XVII. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАПЛАСА 363
полюса, а только часть из них, что, впрочем, легко проверить.
Для тех значений и =0, <Dt, co2, <о3. для которых функция не обра-
щается в бесконечность, она обращается в нуль, так что будем
иметь
-I)" ^г^к~1){и-Щ) A9)
при и = 0, @(, со2, <о3 и при (Oj = 0, @(, ш2, <о3. Но и не может
равняться со,-, так как и принимает одно из тех значений, для
которых F(u) обращается в нуль, а <ог принимает одно из тех
значений, для которых F(u) бесконечна. Следовательно,
U — <0| = <!)!, О>2 ИЛИ <03.
Но A k зависит рациональным образом от а. То же самое имеет
место и для ?<ft> (со,) ,?(ft> (<о2), ?<ft> (a>3), которые являются производными
функции Чр(и) при и = Ш], со2 или шь, а мы помним, что эти про-
изводные являются рациональными функциями величин еи е2, е3
и, следовательно, а. Равенство A9), следовательно, указывает
на то, что С является рациональной функцией а.
В частности, F (и) = 1 при s = у , к = 0, откуда
я] а
При s = -у , /> = 1
откуда
1«/«
Для произвольного коэффициента fceft) такн>*е находим
_ Pr\i--Q<ai
— 77^=— »
я у а
где Р и Q — рациональные функции а. С помощью рекуррентных
соотношений из § 249 эти рациональные функции легко опре-
деляются .
256. Осталось вычислить coj и г\и чтобы определить i(i0> и Ь\и.
2 2
Для этого можно обратиться к руководству по эллиптическим
функциям Вейерштрасса, исправленному Шварцем и переведен-
ному на французский язык Падэ (Paris, Gauthier — Villars, 1894).
Нужно различать два случая.

364 ТОМ П. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Прежде всего рассмотрим случай
е2 — е3<в1 — е2, т. е. <х<—— а,
Положим
и тогда, полагая
h = E ffll
(у Якоби эта величина обозначается буквой q), будем иметь
2Д + 2Д8+...
1 + 2А*+2АИ_1-... '
откуда
Вычислив h по формуле B0), находим далее
1 ? 25
B1)
Формулы B1) называются формулами Шварца, но мы будем
пользоваться для вычисления 6\0> другой формулой Шварца,
2
= 1-и^Т=аГ A + 2^ + 2^+...), B2)
и для вычисления 6't1' формулой
2
12m<0i _ 1 —
которая также приведена в руководстве Шварца.
Рассмотрим второй случай, а > —== .

«8
ГЛ. XVII. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАПЛАСА 365
Пользуясь формулой A8) и следующими из руководства Швар-
ца и полагая
7 У ei—e3—V e*—e3 _ 1—V « ь _
найдем формулу
аналогичную формуле B0).
Далее будем иметь
A+2*J+...). B2')
| я/а *
Что касается t^, i\3 и, следовательно, &il>, то они выводятся из
2
формул
ni. B4)
Заметим, что со3 и тK—чисто мнимые величины.
257. Важно выяснить скорость сходимости разложений. Эта
скорость весьма большая. В самом деле, если а < .._ , то имеем
а если а > —?=¦, то имеем
V2
2—1
Поэтому I или Zi меньше 0,08, тогда как h или ht меньше 0,04.
Ряды, расположенные по степеням h, которые являются не чем
иным, как рядами Якоби для функции 6 или аналогичными
разложениями, содержат только такие члены, показатели кото-
рых являются точными квадратами целых чисел. Поэтому они
сходятся очень быстро.

366 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Ряды B0) и B0') для h vi hi также имеют быструю сходимость,
так как в самом неблагоприятном случае последовательные чле-
ны соответственно меньше, чем
1111
10 ' Юв • 1010 -
Пренебрегая членом с 2Л4, т. е. величиной 2ооооо , для
<х< -~- будем иметь
1+^1-0
а для а>у
а

ГЛАВА XVIII
МНОГОЧЛЕНЫ ТИССЕРАНА
258. Рассмотрим теперь случай, в котором эксцентриситеты
по-прежнему равны нулю, а взаимная наклонность орбит отлична
от нуля. В этом случае истинная, эксцентрическая и средняя
аномалии совпадают, и, как было указано в § 243, будем иметь
да = а2 + а'2—2аа' cos а,
cos о" = cos2 -д- cos (и—и') + sin2 -5- cos (и + и').
Надо разложить д^. Прежде всего, применяя формулу B) из
предыдущей главы, находим, что
F- = @м = Ы + 2 ^ Ь™ cos к а. A)
Поэтому остается разложить cos ka, что и сделал Тиссеран, кото-
рый применил следующие приемы.
259. Введем обозначения:
cos2-у = |А, sin2 у = v, 1 = и—и', т\ = и + и',
coscr = |icos?+vcosTi, x = Eiu, y=Elu',
z = — ,w — xy, 2 cos ? = z + z, 2cost\ = w-\-w~1,
Полиномиальная формула, являющаяся обобщением формулы
бинома, дает
Z= 2 Л(—a|*z)° (—ацг)" (— avwf (avwT1)' (a2)8,
где
Г iX-a-p-c-q-e-s) Г (а + 1) Г (р+1) Г (в + 1) Г (q+\) Г (в+1)
B).

368 ТОМ П. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
и а, р, с, q, e — какие-либо целые положительные
числа; Г — функция Эйлера. Можно также написать
z = 2 А (— ! )а+р+с+« • ао+р+с+а+2е • [Аа+Р • vc+a • z°"p • wc'q. C)
Разложим функцию Z по степеням а, с одной стороны, и по
синусам и косинусам кратных аномалиям, или, что то же самое,
по положительным и отрицательным степеням z и w, с другой
стороны. Следовательно, будем искать коэффициент при
amz"w;ft,
где т — целое положительное число, кик — целые положитель-
ные или отрицательные числа.
Положим, следовательно,
k = a — jo, к = с— q.
Показатель а + р при \х по абсолютной величине больше h и отли-
чается от последнего на четное число. Показатель с + q при
v по абсолютной величине больше к и также отличается от него
на четное число. Сумма этих двух показателей меньше т и отли-
чается от него на четное число. Отсюда следует, что искомый
коэффициент является целым многочленом относительно |i! и v2
степени
т—\ h |-| к |
2
умноженным на
Действительно, заметим, что
Предположим прежде всего, что h и к положительны, так что
h = |й'|, к=\к\, и составим многочлен Р, который нас интере-
сует, и пусть искомый коэффициент имеет вид
( — {)h+kHhVk.P.
Далее положим
m—k — k = 2g,
так что
т—h—к

ГЛ. XVIII. МНОГОЧЛЕНЫ ТИССЕРАНА 369
Пользуясь формулами B) и C), находим
Г (l—f—s—p—q) Г (А+р + 1) Г (* + « +1) Г (р + 1) Г (д+1) X
XT(l + g-p-q). D)
Заметим, что т и h -\- к имеют одинаковую четность, поэтому
/, g, a + s и Р являются целыми числами. Это даст нам возможность
преобразовать эту формулу. В самом деле, если I — целое, то
из соотношений
sin (s +1) n = (— 1)' sin sn
имеем
T{i~$-l) ~ T(s) \~l>- W
260. Многочлен Р с точностью до постоянного множителя
является одним из частных случаев гипергеометрического ряда
двух переменных, изучаемого Аппелем. Действительно, следуя
Аппелю, введем обозначение
\а>т>- Г(а) -ГA-а-т)^ 1> •
Первое выражение представляется неопределенным, когда а
и а + т — целые отрицательные числа, но легко видеть, что
истинное значение в этом случае равно произведению
(а-\-т—
и при этом второе выражение является определенным.
Тогда будем иметь
A, p) =
вч_Ц*±?±!)
(/+«.
откуда
и
24 а. Пуанкаре

370 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Выражение G) и есть гипергеометрический ряд двух перемен-
ных Аппеля.
Мы допустили выше, что кик являются положительными,
но этим мы не ограничили общность, так как Z не изменяется,
если заменить z на z или w на w'1, или делать обе замены сразу.
Отсюда следует, что коэффициент при amz/lu7h равен коэффициен-
там при amz~hwh, amz"«;"A, amz'hw'k.
261. Известно, что функция Аппеля удовлетворяет двум урав-
нениям в частных производных. Нужно ожидать, что многочлен
Р, отличающийся от нее на постоянный множитель, также удов-
летворяет подобным уравнениям. Покажем это.
Пусть Z' и Z" — первая и вторая производные функции Z по
F = а2—2а (ц cos ? -j- v cos r\) +1.
Далее находим
|^ = 2Z'(a—ц cos l—v cost)), (8)
g |f=-2Z'acosti, (9)
|f
||f = 4a>2Z" sin21 + 2<xjjiZ' cos I,
d*Z
= = 4a2v2Z" sin2 n + 2avZ' cos r\,
A0)
A1)
^ = 4Z»(a-cosaJ + 2Z', A2)
A3)
Формулы (8)—A3) показывают, что одиннадцать производных
функции Z могут быть выражены линейным образом через сле-
дующие девять величин:
Z', Z'cosg, Z'cosn, *
Z", Z'cosE, Z"cost), A4)
Z"cos2^, Z"cos I cost), Z"cos2n. .
При этом коэффициенты этих линейных соотношений являются
целыми многочленами относительно a, \i, v.
й27
— —4aZ"(a—cos cr) cos %—2Z'cosg,
= —4aZ"(a—coso)cost]—2Z'cosn.
d*z

ГЛ. XVIII. МНОГОЧЛЕНЫ ТИССЕРАНА 371
Впрочем, величины A4) не являются независимыми, а связа-
ны соотношениями
A + <x2)Z"—2a(iZ"cos g—2avZ"cosT) = — (« +1) Z',
A + a2)Z"cosg—2a(iZ"cos2g—2avZ"cosg cost) =
= —(s + l)Z'cosg, A5)
A + a2) Z" cos ц — 2щЪ" cos g cos r\—2avZ" cos2 т) =
= —(s+1)Z'cost|.
Легко понять происхождение этих трех соотношений. Из Z = F~*
выводим
Заменяя F его значением, получим первое из соотношений
A5). Второе и третье соотношения получаются из первого путем
умножения на cosg или на cost).
Но мы можем пойти, дальше. Формулы (8)—A3) показывают
нам, что 11 производных
dZ. dZ Э2 d*Z diZ
' да ' Зц ' д\ ' д|г » дтJ
A6)
CCt* OQ, Ои,
выражаются линейно через десять величин
Z'a, Z'acosg, Z'acost),
Z"a2, Z"a2cos2g, ZV cos g cos ц, Z"a2cos2T|,
Z"a\ Z"a3cosg, ZVcost)
и коэффициенты этих линейных выражений являются целыми
многочленами относительно р, и v и н е зависят от а. С дру-
гой стороны, первое из равенств A5) умноженное на а2, тоже
дает некоторую линейную зависимость между величинами A7).
Следовательно, мы имеем двенадцать соотношений между 22 вели-
чинами A6) и A7). Исключая десять величин A7), мы получаем
два соотношения между величинами A6).
Итак, между одиннадцатью величинами A6) существуют
два линейных соотношения, коэффициенты которых являются целы-
ми многочленами относительно ц и v.
Мы можем положить
Z = 2 Uamzhwk = 2 UamEl ("*+Ат»,
где (если, например, h и к положительны)
24*

372 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Тогда видно, что коэффициент при атЕг (л|+йт1) в выраже-
ниях A6) будет равен соответственно
т(т—1I7, тд-?- , т™
Поэтому если возьмем одно из двух линейных соотношений,
связывающих производные A6), и в нем приравняем нулю коэф-
фициент при
„rn^i (ЛЦ-ftt))
то получим линейное соотношение между производными
Т, dU dU
Таким образом, коэффициент U удовлетворяет двум линейным
уравнениям в частных производных второго порядка, коэффици-
енты которых являются целыми многочленами относительно |iuv.
Эти уравнения назовем уравнениями Аппеля.
262. Рассмотрим эти уравнения в форме, установленной Ап-
пелем *).
(х—хг)г—уЧ—2xys +
(y—y2)t—x2r—2xys+ A9)
В этих уравнениях хну— независимые переменные, z —
неизвестная функция, р и q — ее производные первого порядка,
г, s, t — производные второго порядка.
Чтобы перейти от этих уравнений к уравнениям, которым
должна удовлетворять U, достаточно положить
х = ц*, у = х\ z = jjfVtf, a = f + s, p = — g, Y =
Нужно заметить, что совместные линейные уравнения A9)
допускают не одно-единственное решение, а, как показал Аппель,
четыре линейно независимых решения. Поэтому возникает во-
прос: каков в интересующем нас случае смысл этих различных
решений?
Вернемся к тому, что мы говорили в § 24, и применим анало-
гичный прием к занимающей нас задаче. Мы увидим, что
•) «Journal de Liouville», 1882, p. 182.

ГЛ. XVIII. МНОГОЧЛЕНЫ ТИССЕРАНА 373
коэффициент при zhwk в разложении Z будет равен
Zdzdu, B0)
4я* J )
z/i+i wk+i
Интегрирование должно производиться по z вдоль окружно-
сти единичного радиуса с центром в начале координат и по
w — вдоль такой же окружности в плоскости w. Комбинация
этих двух окружностей определяет замкнутую двумерную область,
которая является областью для двойного интеграла. Другими сло-
вами, иском ый коэффициент является перио-
дом двойного интеграла B0).
Чтобы получить U, нужно разложить этот коэффициент, кото-
рый зависит от а, по возрастающим степеням а и взять коэффи-
циент при а.
Но двойной интеграл B0), кроме указанного периода, облада-
ет другими периодами; любой из этих периодов зависит от а
и может быть разложен по степеням а. Коэффициент при а"' в этом
разложении будет удовлетворять тем же дифференциальным урав-
нениям для U.
Следовательно, множество решений
уравнений A9) объясняется том, что суще-
ствует множество периодов интеграла B0).
263. Гипергеометрический ряд Аппеля
¦у (а, 1я + и)(Р,т+п) „, „
A (Y, т) (у', п) A, т) A, п)Х У
можно выразить с помощью определенного интеграла, о чем мы
скажем здесь несколько слов. Рассмотрим интеграл
\ и" (I — a)" *t,
который мы будем брать по пути, идущему из бесконечности в бес-
конечность и проходящему между двумя точками 0 и 1.
Можно положить, например, и =-=- + ш', и изменять и' в
области действительных значений от —со до +оо. Этот интеграл
будет иметь конечное и определенное значение, если только
При этих условиях с точностью до постоянно-
го множителя С, который легко определя-
ется и не меняется, когда к р или q до-
бавляется целое число, наш интеграл равен

374 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
С другой стороны, гипергеометрический ряд (с точностью
до постоянного множителя, не зависящего от х, у, т, га) равен
а-и) ГA-у'-и) Г (у'-р-т) w
ГA—а—т— п) ' ГA—р—т—и)
ч, A + РY. ™)* A + а—у, и)у"
A,т) ' A,и)
Отсюда видно, что каждый член под знаком суммы разлага-
ется на четыре множителя. Первый множитель представляет
интеграл
с точностью до множителя С, не зависящего от т и га, так как
m и га — целые числа (множитель С, как мы заметили, не меняет-
ся, если к показателям добавить целое число).
Аналогично, второй множитель с точностью до постоянного
множителя представляет интеграл
Заметим, что все наши интегралы конечны, по крайней мере
для значений a, P, у, у', которые удовлетворяют определенным
неравенствам.
Третий множитель является общим членом разложения
а четвертый — общим членом разложения
Мы находим, следовательно,
или
S S 5 »-"<1-
ИЛИ

ГЛ. XVIII. МНОГОЧЛЕНЫ ТИССЕРАНА 375
или, наконец,
\ \ «V (u—uv—x)c (v—uv—y)ddudv, B1)
где
с = у' — р—1, d=y—1—а.
Интеграл должен быть взят как по и, так и по v, вдоль линии,
идущей из бесконечности в бесконечность и проходящей между
О и 1. Другие решения уравнений A9) могут быть представлены
тем же интегралом B1), взятым вдоль других, подходящим обра-
зом выбранных контуров.
264. Рассмотрим все ряды типа
2 (at, m + n) (plt m+n) m „
(Yi. «) (Yi. «) A. и») A, «О У *
где постоянные at, Pi, Yi> Yi равны постоянным a, P, Yi Y>yBejIH~
ченным на некоторое целое число. Мы утверждаем, что все эти
ряды могут быть выражены линейным образом с помощью четы-
рех из них, причем коэффициенты этих линейных соотношений
являются рациональными функциями х, у.
Действительно, пусть zt, z%, z3, z4 — четыре решения уравне-
ний A9). Общее решение этих уравнений будет линейной комби-
нацией этих четырех решений. Когда х и у, изменяясь непрерыв-
но, возвращаются к своим нервоначальным значениям, то может
оказаться, что эти решения не вернутся к своим первоначаль-
ным значениям, если переменные хну опишут путь вокруг одной
из особых точек. Но тогда решения zlt z2, z3, z4 подвергнутся линей-
ному преобразованию с постоянными коэффициентами; здесь име-
ется аналогия с обычными линейными дифференциальными урав-
нениями.
Установив это, рассмотрим четыре системы, аналогичные урав-
нениями A9), но с различными постоянными a, P, у, у', и допустим,
что разность значений а для двух из этих систем равна целому
числу (то же самое справедливо и для р, y. y')-
Пусть
zi > Zj1 , Z,1 , Z4 ,
-<«> „<2> „B) Mi
Zl ' Z» > Zt , Z4 ,
_(»> _<») ,(8) _(S)
X* Ш ' 9 * *
rD> _D) _D) _D)
Z\ » Zs , Z3 , Z4
представляют собой четыре фундаментальных решения каждой
из этих четырех систем уравнений. Так как разности между а,
Р, Y и у', по предположению, являются целыми числами, то, как

376 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
это показывает исследование уравнений A9), если х и у описы-
вают замкнутый контур, то
*<*>, 4°. 44). *i*>
испытывают то же самое линейное преобразование, что и
Zl, Z2, Z3, Z4.
Следовательно, определители, содержащиеся в матрице
Z's"
zi4)
4°
4"
z«»
zi4'
будут умножаться на один и тот же множитель. Отношения этих
определителей будут, следовательно, однозначными функциями
и легко проверить (так как мы не имеем трансцендентных особых
точек), что эти однозначные функции являются рациональными.
Итак, наши определители пропорциональны функциям
R, jRj, R2, R3, ^4»
которые являются целыми многочленами относительно х и у,
так что будем иметь соотношение
RZi + Д,г«> + R2zf + R3z? + ад« = 0, B2)
которое показывает, что все функции можно выразить линейным
образом с помощью четырех из них.
Можно легко получить тот же результат из интеграла B1),
который позволяет эффективно получать соотношения B2). Даль-
ше мы вернемся к этому вопросу.
Может показаться, что этот результат, весьма важный для
общей теории гипергеометрических рядов, не представляет инте-
реса для интересующего нас частного случая, в котором эти
ряды приводятся к целым многочленам. Но следует заметить,
что эти многочлены могут быть весьма высокой степени, посколь-
ку число т из § 259, от которого зависят степени многочленов,
может быть очень большим, между тем как степени многочленов
R из равенства B2) остаются ограниченными, если разности между
а, Р, у и Y' остаются целыми конечными числами, особенно
если эти разности равны 0 или ± 1. Это дает возможность уста-
новить между пшергеометрическимн многочленами Аппеля сово-
купность рекуррентных соотношении, которые существенно облег-
чают вычисления.

ГЛ. XVIII. МНОГОЧЛЕНЫ ТИССЕРАНА 377
Эти рекуррентные соотношения аналогичны соотношениям,
установленным Гауссом для гипергеометрических рядов одной
переменной*).
265. Выявим особые точки рядов Аппеля, рассматриваемых
как функции х и у. Их можно найти двумя различными способа-
ми, используя уравнения A9). Продифференцируем эти два урав-
нения по переменным х и у, что дает четыре уравнения, в которые
входят линейно четыре производные третьего порядка функции z.
Коэффициенты при этих производных в упомянутых уравнени-
ях соответственно равны
х—х2, —2ху, —у2, О,
О, х—х2, —2ху, —у2,
—х2, — 2ху, у—у2, О,
О, —хг, —2ху, у—у2
и их определитель равен
x2y2(x2 + y2+i — 2xy—2x-2y).
Поэтому особые точки получаются при х = О, у = 0 и при
х2 + уг + \—2ху—2х-2у = 0,
т. е.
Vz + Vy = l- B3)
Можно также прийти к этому результату, используя инте-
грал B1). Особые точки функции, определяемой этим интегралом,
получаются из рассмотрения четырех множителей подынтеграль-
ной функции
и, v, и — uv—х, v—uv — у.
Если рассматривать временно и и v как прямоугольные коор-
динаты и приравнять нулю эти множители, то мы получим урав-
нения двух прямых и двух гипербол. Особая точка появится,
если гиперболы касаются или если три из этих множителей одно-
временно обращаются в нуль.
Когда переменная х делает один оборот около начала, два
из частных решений уравнений A9) не изменяются, а другие два
умножаются на постоянный множитель. Когда же х и у делают
оборот вокруг особой точки, удовлетворяющей уравнению B3),
то три частных решения не изменяются, а четвертое умножается
на постоянный множитель.
Эти результаты можно легко проверить и можно определить
упомянутые множители, исследуя уравнения A9).
•) Gauss, «Oeuvres completes», т. Ill, Gottingen.

378 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
В занимающем нас частном случае ряд Аппеля приводится
к многочлену и, следовательно, не имеет никакой особой точки,
так что особые точки, которые мы определили, принадлежат
только решениям уравнений A9).
С другой стороны, в этих частных случаях имеем
x=[i2 = cos4y, У = v2 = sin*у ,
откуда
Итак, мы снова пришли к одной из особых точек, определяе-
мых уравнением B3). Это доставляет неудобство, так как особые
точки, как мы говорили, не принадлежат многочлену, а только
другим решениям уравнений A9). Мы увидим скоро, что следует
из этого упрощения.
266. До сих пор мы считали, что \i и v являются независимыми
переменными. На самом деле они связаны соотношением
так что многочлен Р, целый относительно ц8 и v2, может быть
представлен как целый только относительно v. Аппель*) преобра-
зовал уравнения A9), заменяя в них у через v2 и х через A — vJ.
Он также показал, что общее решение z этих уравнений A9)
и, следовательно, многочлен Р удовлетворяют некоторому урав-
нению третьего порядка, которое имеет вид
(v _ v2J г" + (v—v2) (а + bv) z" + (с + dv + е\2) z' + (Zv + р) z = О,
B4)
где z , z\ z" — производные z по v, a постоянные а, . ., р
задаются формулами
Ь = — 2А — у—y'=-3(h + k + i)—2s,
c = By'-l)(A-y) = Bk+i) (k + s),
p=2B(l—2y')=—2B{2k + i),
•) «Journal de Liouville», 1884, p. 418.

ГЛ. XVIII. МНОГОЧЛЕНЫ ТИССЕРАНА 379
Как можно объяснить тот факт, что уравнения A9), допуска-
ющие четыре независимых решения, могут быть преобразованы
в уравнение третьего порядка, которое имеет не более трех таких
решений? Это легко объяснить. Действительно, соотношение
|л -j- v = 1 эквивалентно соотношению B3), определяющему одну
из особых точек. Когда совершается вращение вокруг особой
точки, три решения остаются голоморфными, тогда как четвер-
тое решение умножается на постоянный множитель и обращается
в нуль или в бесконечность в особой точке. Следовательно, ког-
да делается подстановка |л. = 1 — v, одно из частных решений
исчезает и остается не более трех решений.
267. В частном случе, когда s = у, имеют место большие
упрощения, как показал Тиссеран, а позже Аппель, результаты
которого мы здесь вкратце изложим.
Обозначим, как и всегда, производные первого и второго
порядка функции z по хну через р, q, r, s, fa. положим
ж = ц,г = A — vJ, y = v2.
Тогда
^-=2(?v—рр), )
J
Исключая г, s и t из этих двух уравнений и из двух уравнений
A9), и учитывая, что ц +v = 1, найдем
^ ^ B5')
где А, В, С, D — постоянные, причем
Заменяя в этом равенстве а, р\ у, у' их значениями
f + s, -g, A + 1, * + 1
и помня, что / — g = h -\- к, мы находим
= .-¦§¦
Следовательно, если s = у, наша неизвестная г удовлетво-
ряет линейному дифференциальному уравнению второго порядка,
которое получается, если приравнять нулю левую часть равенст-
ва B5'). Мы получаем уравнение того же вида, которому удо-
влетворяет гипергеометрический ряд Гаусса с одной переменной.

380 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Итак, в случае s = -j многочлен Р приводится к гипергеометри-
ческому ряду Гаусса с одной переменной. Отсюда следует, что
второе решение уравнений A9) тождественно обращается в нуль
при \i -)- v = 1. Исключение г, s, t из уравнений A9) п B5) пред-
ставляет некоторые особенности. Если сложить уравнения A9)
и второе уравнение B5), соответственно умноженные на \i, v
uv
и *V, то члены с г, s, t исчезают одновременно при ц -j- v = 1.
Таким образом, после исключения остается не одно, а два урав-
нения, комбинация которых приводит к равенству B5').
268. Пусть теперь s =1. Сначала кажется, что этот случай
не представляет интереса, так как s всегда должно быть полови-
ной нечетного числа. Но мы увидим дальше, что упрощения,
которые получаются при этом, имеют весьма важное приложение.
В случае s = 1 многочлен Р приводится при (а = 1 — v не
к гипергеометрическому многочлену Гаусса, как в случае s = y ,
а к квадрату подобного многочлена.
Действительно, так как гипергеометрический ряд Гаусса удо-
влетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, то его
квадрат будет удовлетворять уравнению третьего порядка, кото-
рое легко получить. Если мы пожелаем отождествить это уравне-
ние с уравнением A4), то мы убедимся в том, что они тождествен-
ны при s = l.
Этот результат, впервые полученный Тиссераном, позже был
доказан весьма изящно Стильтьесом. Вернемся к уравнениям A9)
и сделаем в них замену
Мы увидим, что в случае s = 1 уравнения A9) приводятся
к двум линейным уравнениям второго порядка, одно из которых
dz d*z
содержит только q, z, -^— , -g-j , тогда как второе содержит
только величины о/, z, -^4- , ^т^ • При этом можно получить из
одного уравнения другое простой заменой q на р/.
Первое из этих уравнений является обыкновенным линейным
дифференциальным уравнением относительно функции z с неза-
висимой переменной q, и легко видеть, что оно определяет обык-
новенный гипергеометрический ряд Гаусса. Поэтому если z =-- F(q)
является одним из решений этого уравнения, то мы удовлетво-
рим системе из двух уравнений, полагая
Z=F{Q)-F(Q').
Отсюда заключаем, что наш пшергеометрический многочлен
двух переменных с точностью до постоянного множителя являет-

ГЛ. XVIII. МНОГОЧЛЕНЫ ТИССЕРАНА 381
ся произведением двух гипергеометрнческих многочленов, каждый
из которых зависит от одной переменной: один из них — от q,
второй — от о/.
Положим теперь [i -j-v = 1, т. е. q = р/. Отсюда следует,
что у = q2 = v2, х = A — qJ = ji2, q = v, так что получим
*== [F(v)]\
Таким образом, если учесть, что ц + v = 1, то гипергеомет-
рический многочлен, зависящий от двух переменных, с точностью
до постоянного множителя равен квадрату некоторого гипергео-
метрического многочлена одной переменной х, что и требовалось
доказать.
Подробные вычисления, связанные с этим вопросом, можно
найти в сочинении Тиссерана*).
269. Чтобы увидеть возможные приложения полученного ре-
зультата, вернемся к началу этой главы. Если
F-* = (-^-J8 = A -2а cos a + а2)"8,
то мы имели
р-г _ 2 Рат (— l)/l+kz/l«;V'lv\
где Р — гипергеометрический многочлен двух переменных, кото-
рый мы рассматривали. При s = 1 мы видели, что этот много-
член с точностью до постоянного множителя равен квадрату
некоторого гипергеометрического многочлена одной переменной.
Но в этом случае имеем
р_1= 1 1 Г Eia E~io "I
A— а?*о)A— aE-io) Eio—E-io L i—aE10 i—aE-io J '
Правую часть легко разложить по степеням а, так что
Z." sin a
Следовательно, многочлен Р является коэффициентом при
sin(m+l) a
если в выражении . ' подставить
S1I1 0
2 cos б = [i (z + z) -j- v {w + w'1).
Отсюда видно, что этот коэффициент выражается с помощью
многочленов Гаусса (гипергеометрические многочлены одной
переменной).
*) Tisserand, Traite de Mecanique celeste, т. I, p. 488.

382 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Допустим теперь, что s — произвольное число. Тогда фор-
мулу A) можно написать в виде
W Sin(s*n+g1)g - S b™ sin(strg1)g •
sng
Выражение вида . — может быть разложено с помощью
многочленов Гаусса, поэтому то же самое можно сказать и о вели-
чине F~*.
270. Этот результат можно получить и другим путем. На-
пишем
F+ = A + а2)"8 A —26 cos о)-*,
где
я а
Далее разложим
A — 26 cos а)~6.
Очевидно, что мы получим нужное разложение, если заменим
в формулах B) и C) а на В и сохраним в них те члены, где е = 0.
Это будут те члены, в которых
т. е. такие члены, для которых показатель В (заменивший а)
равен сумме показателей при |i и v; поэтому достаточно сохра-
нить в многочлене Р члены наивысшей степени относительно |inv.
Выше мы нашли, что
B7)
а теперь имеем
2(^)W(-vii0*, B8)
где Ро — та часть Р, которая содержит только члены высших
степеней относительно [i и v. Но с точностью до постоянного
множителя мы имеем
V
где а, Ъ, с, с' — постоянные, причем Ь — целое отрицательное
число. Нужно теперь сохранить члены высшего порядка, т. е.
положить

ГЛ. XVIII. МНОГОЧЛЕНЫ ТИССЕРАНА 383
откуда
{Ь, p + q)=±(-b)\
Множитель (а, р -f- q) — (а, — b) постоянен. Далее,
(с\ q) = (c', -b-p) = (-iYT{lT_}i/)
-(-У,и- Г"-°
так что (с', q) находится в обратном отношении с величиной
Аналогично, A, q) находится в обратном отношении с (Ь, р)~
Итак, с точностью до постоянного множителя имеем
Р _ v-2b V A-С'+Ь,р)(Ь,р) ( Ц2 у
°~ * WpHUT) V*J '
т. е. Ро равен v6, умноженному на гипергеометрический много-
член Гаусса относительно
-^- = ct*4-
V2 -clS 2 •
Бели сопоставим соотношения B6), B7) и B8), то можно сде-
лать следующие выводы из наших результатов.
Мы можем разложить AS и найти коэффициент при
j? (pu+p'u')
Эту функцию всегда можно представить в форме
Искомый коэффициент делится на \ihvk, и мы обозначаем
его через
где М зависит от a, ji и v. Величину М можно разложить:
1. По степеням а, и тогда коэффициент при ат является гипер-
геометрическим рядом Аппеля двух переменных Г cos4 -^ и
sin4 -5- j . При s = y этот ряд приводится к гипергеометрическому
ряду Гаусса относительно sin2 -»- •

384 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
2. С помощью коэффициентов Лапласа Ь?\ которые являются
функциями а. Коэффициент 6«) равен тогда разности квадратов
двух многочленов Гаусса относительно sin2 -=- .
3. По степеням величин
ат
причем коэффициент при каждой из этих величин равен в этом
случае sin4 (m-ft-ft) — , умноженному на многочлен Гаусса отно-
сительно Ctg4 -jr- .
Во всех случаях вычисление многочленов Гаусса можно упро-
стить, если воспользоваться рекуррентными соотношениями между
ними*), о которых было сказано выше.
*) Gauss, Oeuvres completes, Т. Ill, p. 130.

ГЛАВА XIX
ОПЕРАТОРЫ НЬЮКОМБА
271. Теперь будем считать, что эксцентриситеты орбит не равны
нулю и поставим своей целью получить разложение главной
части возмущающей функции по степеням эксцентриситетов. Луч-
шим методом для этого является метод Ньюкомба, основанный
на применении некоторых операторов *).
Чтобы сделать более понятным смысл этого метода, рассмот-
рим сначала один простой пример. Пусть F (х) — некоторая
функция х. Заменим х на
х -\- сцй -f- aji* + a3hs = х -\- е
и разложим F (x -j- сцй -j- a2A2 -(- a3hs) по возрастающим сте-
пеням h. Для этого нужно только применить формулу Тейлора
( г -j-a3As)m, разложить это выражение
и расположить по степеням к. Коэффициент при hh будет много-
членом вида
где Ъ — постоянные коэффициенты, Fik)—производная к-ro поряд-
ка функции F. Последнее выражение можно написать в виде
где Dk есть знак Л-кратного дифференцирования. Это выра-
жение
Ь41>+...+&*?>*,
представляющее символ некоторой операции, называется опера-
тором. Если мы обозначим этот оператор через Пй, то можно
написать
.- A)
*) Newcomb, Astronomical papers, 1891, т. 3.
25 а. Пуанкаре

386 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Здесь уже виден смысл излагаемого метода, но мы хотим
показать еще, как можно составить эти операторы. Для этого
положим
откуда
F(
Следовательно, полагая F(x) = Е х в формуле A), находим
Eu = 2hknh,
в котором Dm надо заменить через А, и считать, что По=1.
Другими словами, мы получили оператор Пк, разлагая EDe
по степеням h так, как будто D является некоторой обычной
величиной, и беря коэффициент при hk. Следовательно, мы можем
рассматривать ЕВг как некоторый оператор и написать
B)
Рассмотрим теперь функцию двух переменных F (х, у) и найдем
разложение F (х + е, у + е'), где
Мы можем действовать так же, как и выше, т. е. разложим
F (х + 8, у -+- е') по степеням е и в' с помощью формулы Тейло-
ра. Далее разложим ете'ппо степеням h и расположим разложение
по возрастающим степеням h, что дает
A'.)
где Пй является оператором, который имеет вид многочлена, цело-
го относительно D и D', с условием, что символ DpD'q обозначает
операцию дифференцирования по х р раз и по у q раз.
Чтобы определить многочлен ПА, достаточно взять за F (х, у)
выражение .Е^+юЛ, чт0 дает, так же как и выше,
где в правой части D и D' надо заменить на Я, и
Поэтому символически можно написать
(FI B')
рассматривая Е°е+1}'г' как оператор.

ГЛ. XIX. ОПЕРАТОРЫ НЬЮКОМБА 387
272. Можно также предположить, что е и е' зависят не от одной
переменной А, а от двух переменных к и к' или от большего
числа переменных, и что нужно разложить F (x -j- e, у + е')
по степеням кик'. Это, по существу, не меняет изложенный
метод. Формула B') при этом не меняется, а формула (Г) при-
мет вид
Рассматривая более внимательно оператор Utj, мы убедимся
в том, что существует случай, когда
так что наш оператор с двойным индексом может рассматриваться
как произведение двух операторов с одним индексом. Это слу-
чай, в котором е и е' равны суммам двух функций, одна из которых
зависит только от А, а другая только от к'. Действительно, допу-
стим, что
где 8t и 6j зависят только от к, тогда как е2 и е^ зависят от h'.
Тогда будем иметь
откуда видно, что коэффициент при к1 h'' в разложении функции
?D8+D'8', т.е. Пф будет равен произведению коэффициента при к1
в разложении ?D8l+D'8i, т. е. Пю, на коэффициент при А''
в разложении ЕОг* 8«, т. е. П<у.
Этот результат, очевидно, распространяется и на случай боль-
шего числа переменных.
Заметим также, что из определения операторов следует, что
они обладают свойством переместимости, так как про-
стые операторы D и D' обладают им.
273. Применим эти результаты к разложению -г-. Выберем
за начало отсчета долгот в каждой плоскости орбиты общую
линию узлов; средняя долгота равна сумме средней аномалии
и долготы перигелия (которая в данном случае равна угловому
расстоянию перигелия от узла). Но вместо того чтобы взять
в качестве переменных среднюю долготу и долготу перигелия, или
среднюю аномалию и долготу перигелия, как это обычно делается,
мы можем взять также среднюю аномалию и среднюю долготу.
Мы будем рассматривать, следовательно, -г- как функцию
девяти переменных, которыми будут, кроме взаимной наклонности
25*

388 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
орбит: 1) логарифмы больших полуосей; 2) эксцентриситеты;
3) средние долготы; 4) средние аномалии.
В результате разложения будем иметь
¦i- = %Аете'т'Е1 W+Pt'+e'+e'1'), C)
где т, т', р, р' q, q' — целые числа, I и V — средние аномалии,
? и ?' — средние долготы и где А есть функция от наклонности
и логарифмов больших полуосей.
Если эксцентриситеты равны нулю, то средние долготы сов-
падают с истинными долготами, а большие полуоси с радиуса-
ми-векторами, и обратное расстояние не будет больше зависеть
от средних аномалий, а только от больших полуосей и ?, ?'.
Следовательно, в разложении C) исчезнут все члены, зависящие
от е, е', I, Г, т. е. все члены, в которых т, т', q, q' отличны от нуля.
Но в случае нулевых эксцентриситетов разложение C) извест-
но, так как оно получено в предыдущей главе; теперь нам нужно
вывести из него разложение в общем случае.
Ясно, что А может зависеть только от истинных долгот и
радиусов-векторов. Поэтому мы получим разложение в общем
случае, если заменим в разложении для нулевых эксцентриси-
тетов логарифмы больших полуосей (In a, In а') и средние долго-
ты (?, ?') логарифмами радиусов-векторов
г г'
In г = In о + In — , In r' — In a'+ln —
а а
и истинными долготами
Для этого достаточно применить результаты предыдущего
параграфа, считая, что роль функции F (х, у) выполняет -г-, роль
х, у — lna, ha', ?, ?' и роль х -\- е, у + г' — Inr, lnr', v, v',
а следовательно, роль е и е' играют
lnf, ln?, v-l, v'-t'. D)
Действительно, последние четыре величины разложимы по сте-
пеням
eEil, eE~il, e'Eil', e'E'11',
которые играют роль А и А' и не зависят при этом от а, а', ?, ?'.
Обозначим через F разложение для нулевых эксцентрисите-
тов и через Fi разложение в общем случае; пусть
D, Du D', D[

ГЛ. XIX. ОПЕРАТОРЫ НЬЮКОМВА 389
означают операции дифференцирования по
In a, I, In а', ?'.
Тогда выражение, аналогичное оператору De -fZJ'e', имеет
вид
так что будем иметь символически по формуле B')
Fi = (-?-)° (?-)°' • ?Di<*-O+Di <°'-f>F. E)
Выражение
(iy&y'^^'-V F)
можно разложить по степеням
еЕ±и, е'Е±и',
производя выкладки так, как будто D, D', ?>,, D[ суть обыкно-
венные величины. Коэффициенты разложения будут тогда целы-
ми многочленами относительно D, D', Dx, D\. Пусть
2 П (eEil)a (eE-ilf (e'Eil'f (e'E-u'f
будет полученное таким образом разложение, которое можно
написать в виде
2 Пете'т'Е1 <«'+«'''>,
где /и = а + Р, т' = а' + Р', д = а — р, q' = а' — Р'. Коэф-
фициент П является оператором, зависящим от четырех чисел
т, т', q, q', что мы отметим явно, обозначая его символом
omm'
Тогда будем иметь
Fi = S етёт'Е{ <9(+9'''>n^>.
В последней формуле F нужно заменить разложением для нуле-
вых эксцентриситетов, полученным в предыдущей главе.
Пусть
V _4?4 tPt+p't')
есть это разложение. Мы должны шчислить
Чтобы применить этот оператор к функции АЕг (р'"гР '', нужно вы-
полнить различные дифференцирования по In a, In a', ?, ?'. Но для

390 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
дифференцирования по ? или ?', очевидно, достаточно умножить
функцию на ip или гр'. Следовательно, мы можем написать
Г [АЕг <*+»Т>] ^е1 <*+р'Оп™™' {А).
В левой части П^™' имеет тот же смысл, что и раньше, т. е.
это целый многочлен относительно D, D', Dit D[; в правой части
имеем тот же многочлен, но в нем символы /?4 и D[ должны быть
заменены величинами ip и ip', так что он содержит только два
оператора (D и D'); кроме того, он применяется к функции А,
зависящей лишь от In а и In а'.
Окончательно получаем
Коэффициент при члене eme'm'Ei(pt+p'l'+ql+q'l"> равен Щ™'А, где
А означает коэффициент члена в разложении
Ei (Pt+P'f)
который не зависит от эксцентриситетов и был определен в пре-
дыдущей главе.
274. В § 240 мы видели, что можно легко перейти от разложе-
ния по эксцентрическим аномалиям к разложению по средним
аномалиям. Следовательно, вместо того чтобы получить последнее
разложение непосредственно, можно прийти к нему
косвенным путем, с помощью первого разложения, как это
и сделал Ньюкомб.
Для этого возьмем в качестве переменных взаимную наклон-
ность орбит и для каждой планеты логарифм большой полуоси,
эксцентриситет, эксцентрическую аномалию и и угол, который
можно назвать эксцентрической долготой и который равен сум-
ме эксцентрической аномалии и долготы перигелия, всегда отсчи-
тываемой от линии узлов. Тогда нашей целью будет построить
разложение
-^ = ^ Аете'т'Ег
где и и и' обозначают две эксцентрические аномалии, а г\ и т\' —
две эксцентрические долготы.
275. Ньюкомб ввел еще другое упрощение, полагая
- 2е е'2*'
'-Т+72 • -
Затем он разлагает не по степеням е и е', а по степеням е и е' и,
таким образом, получает разложение вида
J_ _ VI
»ч

ГЛ. XIX. ОПЕРАТОРЫ НЬЮКОМБА 391
Очевидно, что от разложения C") легко перейти к разложению
C') и, далее, к разложению C).
Если положим
е = sin <p,
то
e-tg-f..
Заметим, между прочим, что канонические элементы |t и r\t
из § 58 пропорциональны sin-?- .
276. В разложениях C), C'), C") имеются известные члены,
а именно те, для которых т = т' = q = q' = 0. Мы их опреде-
лили в предыдущей главе. Они будут при этом одинаковыми для
трех разложений, при условии, что х\ и х\' заменены на ? и ?'.
Из этих известных членов теперь нужно вывести все другие.
Для этого, и в случае применения переменных из § 274 или из
§ 275, достаточно использовать прием, изложенный в § 273, считая,
что величины
е, е', т), V, ". "'.
или
е, е', т), т)', и, и'
играют ту же роль, какую играют в § 273 величины
е, е', I, С', h V.
Как и в § 273, Найдем, что коэффициент при
eme'm'Ei <pT'+p'Ti'+eu+9'u')
или при
-mg'm'^i (рт)-1-Р'Л'+в«+в'и')
будет равен
Птт' а
99 ¦Л»
где А означает коэффициент при
тогда как П^1' является оператором, который представляет собой
не что иное, как коэффициент при
ете>т'gl (qu+q'W)
или при

392 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
в разложении символического выражения
по степеням еЕ±ги, e'E±iu' или по степеням гЕ±ги, г'Е±ги .
Заметим, что в выражении G) мы заменили D\ и D'x через
ip и ip', так же, как мы делали в § 273.
Различие в том, что операторы П имеют намного более про-
стой вид, если используются переменные из § 274 и особенно
из §275.
277. Прежде всего сделаем одно замечание, которое остается
справедливым независимо от того, применяются переменные
§ 273, 274 или 275.
Символическое выраженпе F) равно произведению двух дру-
гих таких же:
()D (Ly*vK (8)
То же самое относится и к выражению G) при условии замены
? и ?' на т) и т)'. Что касается операторов Dv и D[, то они могут
быть заменены на ip и ip' так же, как об этом было сказано выше.
Первое из выражений (8) зависит только от еЕ^ ' или от еЕ± ",
или от еЕ±1и; второе, наоборот, зависит только от е'Е±и', или
от e'E±iu', или от г'Е±ы'.
Учитывая замечание, сделанное в § 272, мы видим, что оператор
П с четырьмя индексами может рассматриваться как произведе-
ние двух операторов с двумя индексами,
qq' = ЩО UOg' • (У)
Первый множитель зависит только от D и Z)lt т. е. от D и р;
второй — от D' и D[, т. е. от D' и р'. Кроме того, мы имеем
соотношение между D и D'. В самом деле,
Dh а
и точно так же
Но функция -г- является однородной минус первой степени
относительно а и а'. Это свойство не изменяется ни операцией
D, ни операцией D', а принадлежит всем функциям, к которым
мы хотим применять или оператор D, или D', так что будем иметь
дР , , dF p
а+а f

ГЛ. XIX. ОПЕРАТОРЫ НЬЮКОМБА 393
т. е.
Это равенство позволяет выразить D' через D, так что наши
операторы П будут целыми многочленами относительно простого
оператора D и относительно целых чисел р и р'.
278. Мы будем иметь еще большие упрощения, если восполь-
зуемся переменными § 275. Действительно, мы имеем тогда
1—2е cos и 4-г2
1+е2
откуда
Остается рассмотреть множитель Е 1<0~Т1).
Заметим, что в силу интеграла площадей имеем
а, с другой стороны,
откуда
dl . г
-г- =1 — е cos и = — ,
du a
1-е21
du ~ 1—ecosit ~1—2е cos M
-jj-J— 1 + 2 em?imu + 2 e.mE-ima.
Интегрируя, будем иметь
.-, &mE-imu
mi 4-1 im
Отсюда видно, что ?Dl@~T)) распадается на два множителя;
первый из них зависит только от zEiu, как и второй множитель
в выражении (—) » а второй множитель зависит только от &E~ia,
так же как и третий множитель в С ¦?- J .Но лучше действовать,
как указано ниже. Рассмотрим выражение
Бели предположить на мгновение долготу перигелия равной
нулю, то это выражение будет равно
cos и — е +1 sin и у 1 — е2 =

394 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
ИЛИ
Следовательно, какова бы ни была долгота перигелия, будем
иметь
а +
Вернемся к символическому выражению
которое можно написать в виде
A +е2Г° A — гЕы)°
Но по формуле бинома мы имеем
где символ (/?, А;) имеет тот же смысл, что и в предыдущей главе.
Эти формулы сразу же дают наши операторы П. Действи-
тельно, рассматривая сначала только два последних множителя
и полагая
A — tEiuf-p (I—e?-iu)D+p = 2 H™emEiq",
мы будем иметь
( 1,
и, далее,
ПтО rim , (D, 1) ггт—2 ¦ (D — 1, 2) гтт- 4 ,
«О ="в Н J]—•", -] ^ ttq +...
ИЛИ
ттО V (Д—* + *. fc) ггт-2А
10=2fl
Отсюда видно, что все наши операторы представляются много-
членами, целыми относительно D.
Шассин предпочитает получать операторы, которые входят
в разложение C), непосредственно, не прибегая к промежуточным

ГЛ. XIX. ОПЕРАТОРЫ НЬЮКОМБА 395
разложениям C") и C'). Эти операторы также являются много-
членами, целыми относительно D, но имеют намного более слож-
ные коэффициенты. Но им выведены рекуррентные соотношения
для коэффициентов, которые существенно облегчают вычисления.
279. После того как построены операторы, легко уже получить
и сами разложения. В предыдущей главе мы получили разложе-
ние величины -д- в различных формах, предполагая, что эксцент-
риситеты равны нулю. Прежде всего мы нашли
1 — У в дт
д - Ь°
где В равен многочлену Гаусса относительно v = sin2-5-, умно-
женному на числовой множитель и на степени ji = cos2-»- и v =
= sin2 -у. Это — формула B7) из предыдущей главы. Вычисляя
теперь
D аП «"*
находим
Следовательно, достаточно заменить/?,D',Dt, D[ на т,—(m-j-1),
ip, ip', так что выражение F) просто приведется к виду
f
а разложение C) — к виду
T= 2л° г""+1
впрочем, очевидному без лишних соображений.
Мы также нашли и другую форму разложения величины -г-:
где В равно ц 2 v 2 , умноженному на разность квадратов
двух многочленов Гаусса. Это формула B6) предыдущей главы.
В этом случае необходимость применения операторов оправды-
вается. Наши операторы П нужно применить к величине

396 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
а для этого надо уметь применять к этому выражению простой
оператор D один или много раз. Но мы находим
«' i a' da
2
и
будут выражаться также очень просто с помощью высших произ-
водных коэффициента Лапласа b[h). Но в § 250 мы научились
2
вычислять с помощью рекуррентных соотношений производные
коэффициентов Лапласа. Следовательно, задача может считать-
ся полностью решенной.

ГЛАВА XX
СХОДИМОСТЬ РЯДОВ
280. В § 240 мы видели, что главная часть возмущающей
функции -г- может быть разложена в виде
или в виде
V л pt(ml+m'i')
?j ¦n-mrn'1*
Коэффициенты этих разложений (см. § 242) могут быть выра-
жены определенными интегралами
_4л , Г Г Q-E°dxdy
где
х = ЕЫ, y = Eia>, R =
а интегрирование производится и по х и по г/ вдоль окружности
единичного радиуса с центром в начале координат.
Коэффициенты Атт>, Втт' являются функциями наклонно-
сти, эксцентриситетов, долгот перигелиев, отсчитываемых от ли-
нии узлов и, наконец, больших полуосей. В двух предыдущих
главах мы научились разлагать эти функции по степеням экс-
центриситетов и наклонностей и теперь надо исследовать усло-
вия сходимости этих рядов.
Для этого нужно только применить метод Коши и найти особые
точки этих функций.

398 ТОМ П. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
281. Теперь нужно показать, как находятся особые точки
функций, представляемых определенными интегралами и прежде
всего простыми определенными интегралами. Пусть
R[x,z)dx
представляет собой определенный интеграл по х, взятый вдоль
некоторого контура. Этот интеграл является тогда функцией
параметра z.
Для того чтобы эта функция имела некоторое критическое
значение z, необходимо прежде всего, чтобы одна из особых точек
функции R (x, z), рассматриваемой как функция х, находилась
бы на контуре интегрирования. Но так как контур интегрирова-
ния можно деформировать непрерывным образом, то можно избе-
жать прохождения через особую точку; отсюда следует, что можно
остановиться на том случае, когда контур заключается между
особыми точками. Таким образом, мы получим все критические
значения z, считая, что две особые точки функции R, рассматривае-
мой как функция х, совпадают. Но не все критические значения,
найденные таким образом, являются подходящими. В самом деле,
нужно, чтобы две особые точки, которые впоследствии совме-
стятся, перед совмещением находились бы по разные стороны
контура интегрирования.
Пусть уравнение
Ф (х, z) = О
выражает то, что функция R (x, z) имеет особенность, и допустим,
что оно распадается на некоторое число независимых уравнений,
например, на три:
ф4 {х, z) = 0, ф2 (х, z) = 0, ф3 (х, z) = 0.
Тогда критические значения z можно получить одним из двух
следующих способов:
1. Приравнивая нулю две из трех функций <р1( ф2«'фз> например.
Исключая х и разрешая относительно z, находим критическое
значение z.
2. Приравнивая нулю одну из трех функций и ее производную,
например,
Исключая отсюда х и разрешая относительно z, найдем кри-
тическое значение z.

гл. хх. сходимость рядов 399
282. Рассмотрим теперь двойной интеграл
R(x, у, z)dxdy,
зависящий от параметра z и взятый по какой-нибудь области.
Самым простым частным случаем является тот случай, когда инте-
грирование производится по х вдоль контура, не зависящего
от у, и по у — вдоль контура, не зависящего от х. Как раз этот
случай имеет место при вычислении интегралов A) и B). Дей-
ствительно, здесь два контура Сх и Су не зависят соответственно
от у и х и являются окружностями единичного радиуса с центром
в начале координат соответственно в плоскости ив плоскости у.
Итак, пусть Сх и Су — два определенных контура интегри-
рования по х и по у. Пусть
Q(y,z) =
представляет собой интеграл, взятый вдоль Сх. Тогда наш двой-
ной интеграл равен
и берется вдоль Су.
Остается применить принципы предыдущего параграфа к двум
простым интегралам
Rdx, \ Qdy.
Мы должны заметить, однако, что таким образом мы риску-
ем получить только необходимые условия. Действительно, выше
мы заметили, что не все критические значения будут пригодны.
Мы получим и другие, также необходимые, условия, произ-
водя преобразования координат и, в частности, меняя места-
ми х и у, т. е. меняя порядок интегрирования.
Пусть уравнение
<p(z, у, z) = 0
выражает условие, что функция R имеет особенность. Разложим
это уравнение на три неприводимых уравнения:
<Pi (s, ЗЛ z) = 0, ф2 (*, У. z) = 0, ф3 (х, у, z) = 0. C>
Тогда особенности функции 0 (у, z) можно получить следую-
щим образом:
1) приравнивая нулю две из трех функций q>t, <p2> фз> например,.
ф! (х, у, z) = ф2 (х, y,z) = 0;

400 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОвМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
2) приравнивая нулю одну из функций и ее производную,
например
Не все эти особенности могут быть для нас подходящими,
так как может случиться, что две совпадающие особые точки
были расположены по одну сторону контура интегрирования.
Чтобы получить особенности функции r\ (z), рассмотрим теперь
те особенности функции 8 (у, z), которые получаются из одной
из двух систем уравнений,
и найдем условия, при которых две из этих особенностей сов-
падают.
Если будем рассматривать z как параметр, а х и у — как
координаты точки на плоскости, то уравнения C) представляют
некоторые плоские кривые.
Особенности функции 6, вытекающие из системы вида
будут соответствовать точкам пересечения этих кривых, а особен-
ности, вытекающие из системы вида
будут соответствовать точкам касания одной из этих кривых
с касательной, параллельной оси у.
Чтобы эти две особенности совпадали, необходимо, чтобы:
1) обращались в нуль одновременно все три функции
2) или одновременно выполнялись равенства
но так как это условие не должно зависеть от выбора координат
и, в частности, должно существовать при перемене местами х
и у, то должно иметь место также
и, следовательно,
т» дх ду

ГЛ. XX. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ 401
Последние равенства говорят о том, что кривые C) будут
иметь двойную точку.
3) Кривые
ф,=0, фг = 0
касаются друг друга,
4) или, наконец, касаются друг друга кривые
• ~дх =0'
но это влечет за собой или
или -^Щ = 0. Так как это условие не должно меняться при пере-
мене местами х и у, то во всех случаях мы должны иметь
т 1 дх ~ ау '
Итак, критическими значениями z являются:
1) значения, при которых все три кривые C) пересекаются
в одной точке;
2) значения, при которых две из этих кривых касаются;
3) значения, при которых одна из этих кривых имеет двой-
ную точку.
Эти значения могут нас не устраивать лишь потому, что две
особые точки, которые совпадают, до этого могут быть располо-
жены по одну сторону от контура интегрирования. Кроме того,
мы видели, что наши условия являются только необходимыми.
283. Применим этот прием к интегралам A) и B). Подынте-
гральная функция будет голоморфной как относительно х та. у,
так и относительно эксцентриситетов е, е' и sin у, где / — наклон-
ность.
Исключением будут только следующие случаи:
1) когда е = 1 и е' = 1 (условие, в которое не входят х та у
и к которому мы еще вернемся);
2) когда х и у обращаются в нуль или в бесконечность;
3) когда Д обращается в нуль, т. е. когда
который является многочленом, целым относительно х и у, обра-
щается в нуль.
Это имеет место, каковы бы ни были целые числа m и пг';
это, впрочем, имеет место так же и для интеграла B), как и для
26 а. Пуанкаре

402 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
интеграла A), так как
Q и Еа
не перестают быть голоморфными функциями, если х и у не обра-
щаются в нуль или в бесконечность.
Кривые, соответствующие уравнениям C), т. е. те уравнения,
которые выражают, что подынтегральная функция перестает быть
голоморфной, приводятся для интегралов A) и B) к четырем
прямым
ж = 0, у = 0, х= оо, у= оо D)
и к кривой шестой степени
Д = 0. D')
Последняя кривая в случае нулевой наклонности распадается
на две кривые третьего порядка,
Д, = 0, Д2 = 0. D")
Чтобы найти критические значения эксцентриситетов или на-
клонностей, мы должны искать такие значения, для которых три
кривые из D) или D') пересекаются, или для которых две из этих
кривых касаются, или, наконец, для которых одна из этих кривых
имеет двойную точку.
Но так как интегралам A) и B) соответствуют те же самые
кривые, то значения, для которых имеет место один из указанных
случаев, будут одинаковыми как для интеграла A), так и для
интеграла B).
Итак, критические значения эксцентриситетов или наклон-
ностей для интегралов A) и B) совпадают.
Можно поставить еще один вопрос: мы видели, что не все
критические значения являются подходящими. Не может ли
случиться так, что одно из критических значений будет годиться
для интеграла A) и не будет пригодно для интеграла B), или
наоборот?
Ответ должен быть отрицательным. В самом деле, как сделать,
чтобы некоторые критические значения были подходящими, а дру-
гие не подходящими? Для этого мы должны менять непрерывным
образом один из наших параметров, например, эксцентриситет е,
и в то же время должны деформировать непрерывным образом
контуры интегрирования. Мы должны так деформировать кон-
туры, чтобы ни одно из особых значений, определяемых уравне-
ниями D) и D'), не находилось в области интегрирования. Если,
изменяя е непрерывно от нуля до некоторого значения е0, можно
сделать так, чтобы это условие никогда не переставало выпол-
няться, то это значит, что е0 не является истинным критическим

гл. хх. сходимость рядов 403
значением; в этом случае е0 не подходит. Если, наоборот, невоз-
можно распорядиться так, чтобы условие выполнялось (потому
что, как мы объясняли выше, контур интегрирования находится
между двумя особыми точками), то это значит, что е0 является
истинным критическим значением; е0 подходит.
Будем варьировать, следовательно, е от нуля до е0, и в то же
время будем деформировать контуры интегрирования, исходя
из двух начальных контуров
которые одинаковы для интегралов A) и B). Если еп не подходит
для интеграла A), то это значит, что мы можем деформировать
наши контуры таким образом, что ни в какой момент ни одно
из особых значений, удовлетворяющих уравнениям D) и D'),
не находится в области интегрирования. Но если это условие
никогда не перестает выполняться для интеграла A), то тем более
оно не перестанет выполняться для интеграла B), так как урав-
нения D) и D'), которые определяют их особые значения и для
интеграла A), и для интеграла B), совпадают. Следовательно,
е0 тем более не подходит для интеграла B), что и требовалось
доказать.
Итак, сформулируем первый результат.
Коэффициенты Втт- разложения возмущающей функции по
эксцентрическим аномалиям, так же как и коэффициенты Атт>
разложения по средним аномалиям, разлагаются по степеням экс-
центриситетов и наклонностей.
Интервалы сходимости этих новых разложений и для коэффи-
циентов Втт> и для коэффициентов А тт> являются одними и теми
же. Они являются одинаковыми для всех коэффициентов, каковы
бы ни были целые числа т и т'.
284. Рассмотрим особо случай нулевых эксцентриситетов и слу-
чай нулевой наклонности. Если эксцентриситеты равны нулю,
то эксцентрические и средние аномалии совпадают, поэтому
0=1, Q = 0,
А -В - * f Г dxdV
Атт.-Впт.} J
Последний интеграл можно написать и в виде
dxdy
или, полагая, как и в § 259, что
х
ху,
26*

404 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
мы можем написать
J_ Г ? dzdw 1 ? С
2 ) J хтут'+2Ь ~ 2 J )
dzdw
 ) )х^Щ~Т ) ) ~zT~Fl
где
„ га—то'—2 .
Р g ' -Р = 2 '
Когда каждая из переменных х и у описывает в своей плоско-
сти окружность единичного радиуса, zw.iv делают то же; но каж-
дой паре значений z ww, расположенных на этих окружностях,
соответствуют две пары значений х и у. Следовательно, полу-
чается интеграл, умноженный на два, так что окончательно можно
написать
dzdw
где интегрирование производится как по z, так и по w вдоль
окружности единичного радиуса с центром в начале координат,
т. е. при
|*|=|ю| = 1.
Нам удобнее иметь дело с интегралом E), чем с интегралом
A). Будем иметь тогда
Тогда особые кривые представляются уравнениями
z = 0, u; = 0, z = oo, w=co, A2 = 0.
Далее, мы должны найти условие, при котором три из этих
кривых пересекаются в одной точке, или две из них касаются,
или одна из них имеет двойную точку.
Первое условие не должно нас беспокоить, так как кривая
Д2 = 0 всегда проходит через начало координат; но для того
чтобы функция, определенная определенным интегралом, имела
особую точку, необходимо, чтобы две первоначально
различные особые точки подынтегральной функции сов-
пали, т. е., например, чтобы три особые кривые, которые пер-
воначально не проходили через одну точ-
к у, стали иметь общую точку. Этот случай здесь не имеет
места, так как кривые Д2 = 0, z=0, w = 0 всегда проходят
через одну общую точку.
Кривая Д2 = 0 также всегда проходит через точки
z = 0, w= oo; z= со, u> = 0; z = w= oo,
так что нам нет необходимости заниматься этим условием.

гл. хх. сходимость рядов 405
Для того чтобы кривые z = 0 или z = со касались кривой
Д2 = 0, необходимо, чтобы
ума' = 0, откуда \i = 0.
Для того чтобы кривые w = 0 или и? = со касались кривой
Д2 = 0, необходимо, чтобы
\аа' = 0, откуда v = 0.
Для того чтобы кривая Д2 = 0 имела двойную точку, необхо-
димо, чтобы
dw ~ dz ~U>
т. е.
и
а2 + а'» ± 2\ша' ± 2vaa' = 0. F)
285. Рассмотрим подробнее эти результаты. Прежде всего
убедимся в том, что решения [i = 0 или v = 0 непригодны. Дейст-
вительно, допустим сначала, что, заменяя ц на 1 — v, мы разла-
гаем затем по степеням v. Если значение v = 0 является истинной
особой точкой для ветви рассматриваемой функции, то разло-
жение по степеням v всегда будет расходиться. Но мы знаем, что
это не так.
Если же значение \i — 0 (или v = 1) является особой точкой,
то мы должны сделать вывод, что ряд расходится при |v| > 1,
но нас не должно это беспокоить, так как v всегда меньше 1.
Допустим теперь, что мы разлагаем по степеням ц и v, рас-
сматриваемые как две независимые переменные. Если [i = 0 или
v = 0 являются действительными особыми точками ветви рас-
сматриваемой функции, то разложение всегда расходится, но нам
известно, что это не так и что при достаточно малых значениях
р и v разложение сходится.
Легко, впрочем, убедиться, что при малых значениях ц и v
особые точки, совпадающие, например, при v = 0, лежат или обе
внутри или обе вне контура интегрирования.
Возникает вопрос, будет ли это соблюдаться для больших
значений [i? Но на это легко ответить. Пусть две особые точки
при малом \i обе лежат внутри контура. При непрерывном изме-
нении [I обе особые точки А и В и контур интегрирования также
будут изменяться непрерывным образом; эти две точки могут
перестать находиться внутри контура только в том случае, когда
одна из них, например А, пересечет этот контур.

406 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Но тогда мы всегда можем заставить контур «бежать»
от точки А, по крайней мере до тех пор, пока А не совпадет с дру-
гой особой точкой С, которая сначала была вне контура, и кото-
рая поэтому отлична от В. Но тогда сходимость нарушится уже
из-за совпадения точек А и С.
Следовательно, нам не придется беспокоиться о возможном
совпадении точек А и В, так как такое совпадение может при-
вести к особенности функции только после того, как сходимость
будет нарушена другими причинами.
Таким образом, особые точки ц = 0, v = 0 не подходят для
ветви рассматриваемой функции. Нужно добавить, что они могут
подходить к другим ветвям функции, которые определяются
интегралами E), вычисленными вдоль других контуров, а не
вдоль контуров, определяемых уравнениями
286. Итак, для рассматриваемой ветви нужно исследовать
только условие F).
Положим, что v = sin* -=• , и допустим, что имеем разложение
по возрастающим степеням v. Условие F) принимает вид
а* + а'* + 2аа' [± A—v) ± v] = 0,
и это равенство можно написать двумя способами, в зависимости
от знаков,
(a'±af = 0, o2 + a'2±2ao'(l—2v) = 0. E')
В первое из этих соотношений v не входит; из второго получаем
:tV- Aaa' '
Радиус сходимости, следовательно, будет равен меньшему из
двух значений
4аа'
т. е.
Ааа' '
Итак, условие сходимости разложения будет
Анализ равенств E') показывает также, что коэффициенты
Атт' разлагаются по степеням а, если только
а<а'.

ГЛ. XX. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ
407
Будем рассматривать теперь [i и v как независимые перемен-
ные и разложим по степеням \i и v.
Соотношение F), которое определяет границы сходимости,
можно написать в виде
а? + а'9 ± 2aa'[i ± 1m'v = 0
или
Поэтому условие сходимости будет иметь вид
Это условие всегда выполняется, так как | [А | = [A, |v|=v и
Таким образом, наши коэффициенты
всегда могут быть разложены по степе-
ням cos* у и sin2 у .
В § 270 мы получили одно разложение по степеням величин.
va
[Это разложение B8) из главы XVIII.] Из изложенного выше
следует, что это разложение сходится, если только
va
1+a*
Но так как [i, v и а существенно положительны и меньше 1
и, следовательно, . 8<у, и так как \i -\- v = 1 , то мы будем
иметь
ua . va , , . а ^ 1
1+а2 ' 1+а2 ^г-т^ '1+а2 2 '
Отсюда следует, что условие сходимости всегда выполняется.
От разложения B8) главы XVIII легко перейти к разложению
B7) по степеням a, [i и v, для чего достаточно разложить каждый
член вида
-Y
по степеням а, а это возможно, если a < 1. Так как это условие
всегда выполняется, то разложение B7) всегда сходится.

408 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
287. Рассмотрим теперь частный случай, в котором наклон-
ность равна нулю, и разложим по степеням эксцентриситетов е
и е'. Кривые, соответствующие C), даются уравнениями D) и D'):
х = 0, у = 0, х = оо, у=со, Д, = 0, Д2 = 0.
1. Прежде всего найдем условие, при котором кривая Rt = О
имеет двойную точку. Для этого выясним смысл этих уравнений.
Пусть С является орбитой первой планеты, а С — орбитой вто-
рой планеты. По предположению, эти два конических сечения
лежат в одной плоскости. Каждому значению х соответствует
точка М на орбите С и каждому значению у соответствует точка
М' на орбите С.
Уравнение R = О выражает в этом случае то, что расстояние
ММ' равно нулю, но из этого еще не следует, что точки М и М'
совпадают, так как эти две точки могут быть мнимыми.
Уравнение /?j = 0 выражает то условие, что угловой коэф-
фициент прямой МАГ равен |/—1, а уравнение Rz = 0 говорит
о том, что этот коэффициент равен —у — 1.
Уравнения х = 0, х — оо выражают то, что точка М являет-
ся бесконечно удаленной на одной из двух бесконечных ветвей
конического сечения С; уравнения у — О, у = со выражают
то, что точка М' находится в бесконечности на коническом сече-
нии С.
Для того чтобы кривая R{ = 0 имела двойную точку, необхо-
димо и достаточно, чтобы прямая AIM' была касательной одно-
временно к коническим сечениям С и С. Конические сечения С
и С имеют общий фокус — Солнце. Прямая AIM', которая яв-
ляется изотропной касательной к С, должна проходить через один
из фокусов орбиты С и точно так же она должна проходить через
один из фокусов С. Пусть S является общим фокусом С и С,
R — вторым фокусом орбиты С, R' — вторым фокусом орбиты С.
Чтобы два конических сечения имели общую изотропную
касательную (кроме той, которая проходит через S и которая
всегда существует и поэтому не подходит), необходимо, чтобы
прямая AIM' проходила через R и R', т. е. чтобы прямая AIM'
имела угловой коэффициент, равный У—1. Это условие анали-
тически выражается следующим образом:
где через <о и ю' обозначены долготы перигелиев.
Это и является условием того, что Rt = 0 имеет двойную
точку (кроме той, которой соответствует изотропная касатель-
ная, проходящая через S, всегда существующая и поэтому для
нас не подходящая).

гл. хх. сходимость рядов 409
2. Аналогично, условие, что кривая R2 = 0 имеет двойную
точку, можно написать в виде
3. Для того чтобы кривые Rt = 0, R2 = 0 касались друг дру-
га, необходимо, чтобы конические сечения С и С пересекались,
ибо конечные точки пересечения кривых Rt = 0, R2 = 0 соот-
ветствуют четырем точкам пересечения конических сечений. Сле-
довательно, нужно, чтобы расстояние между фокусами R и R'
было равно сумме или разности больших полуосей. Это запи-
сывается в виде
{аеЕ1®— а'е'Е1"') {аеЕ~ «• — а'е'Е-&') = (а' ± af.
4. Далее, нужно убедиться, не может ли совпадать одна из
точек пересечения кривых D") с одной из точек пересечения
одной из этих кривых и одной из прямых D), или с точкой пере-
сечения двух прямых. Эти два типа точек соответствуют четы-
рем точкам пересечения кривых С и С (М и М' совпадают) и
случаю, в котором две точки, М и М', находятся в бесконечности на
конических сечениях С иС.
Итак, условие состоит в том, что одна из четырех точек пере-
сечения, С и С, удаляется в бесконечность, т. е. что одна из асимп-
тот С параллельна одной из асимптот С.
Это обстоятельство можно записать одним из четырех способов:
tg2 ? Я2iu = tg, _Ф1 ?2w? tg? Ф_ Е-гш = tg2 ?. Е-***',
ctg» | Е"» = tg* -?- Е**', ctg* | Д-2Я = tg2 ^- E-^',
где
Мы можем также написать
причем в каждой дроби следует брать верхние или нижние знаки.
Таким образом, уравнения, определяющие критические зна-
чения, имеют вид
i* = a'e'E-^', G)
= а'е'Е^', (8)
^— а'е'Е^') (аеЕ~ *• — а'е'Е-^') = (о' ± af, (9)
± YY=7* E2l- 1 ± УТ^Рг ag<

410 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
К ним следует добавить условия
е = 1, е' = 1. A1)
Но мы видели, что все найденные таким образом значения
могут оказаться не подходящими и даже легко видеть, что они
не могут все подходить.
В самом деле, рассмотрим уравнение G). Оно удовлетворяется
при
е = е' = О.
Следовательно, если критические значения, определенные этим
уравнением, подходят, то наша функция представляет особен-
ности для малых значений еле'. Тогда наши коэффициенты не
могут быть разложены по степеням ей е', даже для очень
малых значений этих величин. Но мы знаем,
что на самом деле это не так, следовательно, значения, определен-
ные уравнением G), не могут быть подходящими.
Аналогичные рассуждения применимы и к уравнениям (8)
и A0). Важно заметить, что уравнение A0), несмотря на присут-
ствие двойных знаков, представляет только одно неприводимое
уравнение, которое оказывается алгебраическим, если освобо-
диться от радикалов.
Остались нерассмотренными уравнения (9) и A1). Чтобы найти
лредел_сходимости, определяемый уравнением (9), заметим, что
а, а', со и со' заданы и являются вещественными, но что е и е',
которые играют роль независимых переменных, могут принимать
и мнимые значения.
Придадим величине е различные значения с постоянным моду-
лем \е\, но с переменным аргументом. То же самое сделаем и се'.
Максимум модуля левой части уравнения (9) будет равен
а* | е21 + а'2 \е'*\ + 2аа'\ ее' cos (ю—ю') |;
поэтому условие сходимости имеет вид
а21е2 |+а'21е'*\+2аа'|ее'cos(<о—ю')| < (а'—аJ.
Таким образом, можно сделать вывод, что единственные усло-
вия сходимости нашего разложения следующие:
а21 е21 + а'« | е'2 \+2аа' | ee'cos(со—со') | < {а' — аJ. )
Не будем входить во все детали этого вопроса, но все же объяс-
ним в нескольких словах, как можно придать нашим рассужде-
ниям полную строгость.

ГЛ. XX. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ 411
Рассмотрим область D, определяемую неравенствами A2).
Она не содержит особых значений, удовлетворяющих уравнениям
(9) и A1), но содержит те особые значения, которые удовлетворяют
уравнениям G), (8) и A0). Если одно из этих значений является
подходящим, то такими же будут и все другие, удовлетворяющие
тому же уравнению, и которые могут встретиться при непрерыв-
ном изменении епе'. Это имеет место по крайней мере тогда, ког-
да функция определяется в результате непрерывного изменения
переменных.
Этого можно достичь путем непрерывного изменения одного
из особых значений, которые удовлетворяют уравнениям G),
(8) и A0) и неравенствам A2), при условии, что е = 0, е' = 0,
не нарушая этих уравнений и не выходя из области D. Особое
значение е = 0, е' = 0 не является подходящим, и никакое из
этих значений в отдельности также не подходит.
Итак, условия A2) являются единствен-
ными условиями сходимости.
Третье из условий A2) всегда выполняется, каковы бы ни
были со и со', если имеем
\ае\ + \а'е'\<а'—а,
т. е. если расстояние перигелия одной из планет больше расстоя-
ния афелия другой планеты.
288. Теорема, которую мы применили в конце предыдущего
параграфа, аналогична теореме, с которой мы встречались в § 285,
и может быть доказана тем же методом. Но лучше всего обратиться
к одной теореме анализа.
Если функция двух переменных F (х, у) является голоморфной
в некоторой односвязной области D, кроме, быть может, точек,
удовлетворяющих аналитическому соотношению
то если одна из этих точек у = у0, х = <р (у0) является обыкно-
венной, то такими же будут и все близкие точки.
Опишем теперь в плоскости х вокруг сомнительной точки
х ~ Ф (У) малый контур. Пусть х = i|> (у) является одной из
точек этого контура. Мы можем допустить, что контур деформи-
руется непрерывным образом, когда у изменяется непрерывно,
и что функция if (у) является аналитической. Тогда прежде всего
покажем, что функция F (х, у) явлется однозначной.
Действительно, допустим, что она не является таковой, и что
Ft (х, у) и Fz (x, у) являются двумя ее определениями (ветвями) и что
мы переходим от одного к другому, когда ж описывает контур.
Тогда

412 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
является аналитической функцией у, но эта функция равна нулю
при у = у0 и для близких к нему значений, так как функция
F (х, у) является однозначной для у = у0 и для близких значе-
ний. Итак, функция 6 (у) равна нулю при всех близких значениях
у и, следовательно, F (х, у) является однозначной для всех зна-
чений у.
Так как F является однозначной, то условие того, что х = ц>(у)
является обыкновенной точкой, заключается в том, что интеграл
xmF(x, y)dx,
взятый вдоль контура, равен нулю, каково бы ни было положи-
тельное число т.
Этот интеграл является аналитической функцией у. Он равен
нулю при у = уо и для близких к нему значений, так как х =
= ф (г/,,) является обыкновенной точкой, так же как и близкие
к ней точки. Следовательно, он тождественно равен нулю и точка
х — Ф (у) является обыкновенной, каково бы ни было у.
Теорема легко распространяется и на случай, когда все точки
области D являются обыкновенными, кроме, быть может, тех,
которые удовлетворяют одному из п аналитических соотношений
..., x=q>H(y),
и для которых известно, что точки
У = Уп, ;г = ф„(у„)
являются обыкновенными.
Мы ограничимся этими частными случаями, хотя тот же самый
метод может быть применен и в общем случае. Заметим также,
что Феро рассматривал другие частные случаи*).
*) Feraud, Annales de l'Observatoire do Bordeaux, т. X.

ГЛАВА XXI
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
289. Вернемся к формулам § 280:
которые определяют коэффициенты разложения как по эксцен-
трическим, так и по средним аномалиям. Напомним, что
Ж-**», «-[,-$
У У
Коэффициенты Л и ? являются функциями элементов, напри-
мер, больших полуосей, эксцентриситетов и наклонностей, и мож-
но провести аналитическое исследование этих функций. Пока-
жем, что:
1. Эти функции удовлетворяют линейным дифференциальным
уравнениям, коэффициенты которых суть рациональные функ-
ции элементов.
2. Между этими функциями или по крайней мере между коэф-
фициентами В существуют линейные рекуррентные соотношения,
коэффициенты которых суть рациональные функции элементов.
290. Для этого мы рассмотрим более общее выражение, опре-
деляемое, так же как А я В, двойным интегралом. Пусть
есть двойной интеграл, взятый вдоль замкнутых контуров, где Н,
4 1
Q и F суть целые многочлены относительно х, — , у, — степе-
х у
ни к, со, / соответственно. Наконец, s есть половина нечетного
числа.

414 ТОМ П. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Прежде чем пойти дальше, необходимо объяснить, что мы
подразумеваем под степенью многочлена относительно х, —, у, —.
Подобный многочлен имеет вид
где а и Ъ являются целыми положительными или отрицательными
числами. Мы будем говорить, что он является многочленом сте-
пени т, если
Многочлен степени т содержит Bт + IJ произвольных коэф-
фициентов, так как а, так же как и Ь, может принимать Bт +1)
значений.
Установив это, предположим, что Q и F являются заданными
многочленами, а многочлен Н будет варьироваться. Имеется
Bh -J- IJ многочленов Н линейно независимых, степени h, но
для некоторых из них функция П равна нулю. Действительно,
если Р является многочленом, то интеграл
д I
будет равен нулю. В самом деле, проинтегрируем прежде всего
по х. Найдем
РЕа
yfS-l •
Так как мы интегрируем вдоль замкнутого контура, эта вели-
чина примет одинаковые значения на концах промежутка инте-
грирования, и поэтому интеграл равен нулю.
Таким же образом мы убеждаемся в том, что если Q является
многочленом, то интеграл
равен нулю; для этого достаточно проинтегрировать сначала
по у. Следовательно, функция П равна нулю, если
д / РЕ° УЗ/ QEa
дх \yFs~l ) ' ду \xFe~l
т. е. если
9Q

ГЛ. XXI. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 415
Если Р и Q являются многочленами степени р, то правая часть
будет многочленом степени р -f- / + **• Поэтому мы должны иметь
р = h—/—со.
Итак, имеем BА — 2/ — 2© + IJ различных многочленов Р
и столько же многочленов Q, поэтому мы можем составить
2 BА — 2/ — 2й> + IJ соотношений вида D). Но эти соотноше-
ния будут различны, если только правая часть равенства D)
не есть тождественный нуль. Это случится, если
j_ /- РЕа \ д ( QEa
дх ^yF»-i ) + ду \. xF'-i
т. е. если
QEQ dx PEa dy_
ps-i ' — ps-\ ' у
является точным дифференциалом. Мы представим этот диффе-
ренциал в виде
что дает
E)
Покажем, что S есть целый многочлен относительно х, —, у+
— ,и прежде всего, что это есть однозначная функция.
1. Интеграл \ dU не имеет циклических периодов. Допустим,
что мы вычисляем этот интеграл, рассматривая в нем у как посто-
янную, и заставим х описывать в своей плоскости замкнутую
кривую, внутри которой имеем четное число значений х, для кото-
рых F = 0. Из этого следует, что когда мы опишем сту замкну-
тую кривую, то Y~F и F*'1 примут первоначальные значения.
Интеграл, взятый вдоль такого контура, является циклическим
периодом для \ dU.
Этот период, если он существует, будет функцией перемен-
ной г/. Мы утверждаем, что эта функция приводится к постоянной.
Действительно, если функция U допускает два определения
(ветви) U и U", то будем иметь
дУ _ дУ" _ РЕ°

416 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
и, следовательно,
д (V—U") n ,дч
Ту =°- <6)
Если обратиться теперь к исследованию Пикара*), то можно
сделать вывод, что это не может иметь места без того, чтобы цик-
лический период не обращался в нуль, если F есть наиболее
общий многочлен своей степени.
2. Интеграл не имеет полярного периода. Он мог бы иметь
его, если бы подынтегральная функция обращалась в бесконеч-
ность, но эта функция может обращаться в бесконечность только
при х = 0, или при у = 0, или при F = 0.
При F = 0 функция является бесконечно большой (s — 1)-го
порядка, если только F не делится на некоторый полный квадрат,
а этого не может быть, если F является многочленом наиболее
общего вида. Если же функция не делается бесконечной целого
порядка, то из этого следует существование полярного периода.
Пусть теперь х — 0. Разложим подынтегральную функцию
по целым положительным и отрицательным степеням х, так что
будем иметь
QEQ
xF* I
где Ст являются функциями у. Тогда будем иметь полярный
период, равный 2iJiC_1.
В силу уравнения F) этот период должен быть постоянным,
не зависящим от у. Мы утверждаем, что эта пос-
тоянная равна нулю.
Пусть у = Уо является простым корнем уравнения
F@,y) = 0.
Конечно, перед тем как положить х = 0, нужно умножить F
на такую степень х, чтобы F оставалась конечной при х = 0.
Будем изменять у таким образом, чтобы она приняла первона-
чальное значение после одного поворота вокруг точки у0. Тогда
\^F изменится на —}fF, —.— на —-~- и, следовательно, C_i на
—С-и но так как C-t является постоянной, то имеем
откуда
с.4=о,
что и требовалось доказать.
*) Р i с а г d, «Ouvrage sur les fonctions algebriques de deux variables»,
T. 1, p. 88—90.

ГЛ. XXI. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 417
Итак, при х = О не существует полярного периода. Мы также
увидим, что это верно и при у = 0.
Предыдущие рассуждения не проходят всякий раз, когда F
приводится к полному квадрату при х = 0.
3. Но S может также не быть однозначной и по другой при-
чине. Допустим, что мы берем интеграл U вдоль контура, ох-
ватывающего нечетное число значений х, обращающих в
нуль функцию F. Тогда V' F изменяется на —\^F после обхода
контура.
Следовательно, U изменяется на U' = h — U, где h — по-
стоянная, которая не может зависеть от у. Здесь уравнение F)
неприменимо и разность U—U' не является независимой от у.
Так как YF меняет свой знак, то -^— и —к- равны только
по абсолютной величине, так что
дУ _ dU dh _ n
ду ду ' "ар" ~u-
Таким образом, h является абсолютной постоянной. Более
того, если взять другой аналогичный контур, который изменяет
U на V = h' — U, то постоянные h и h' будут тождественно
равны; в противном случае интеграл допускал бы период h' — h.
Так как постоянная h одинакова для всех контуров, то мы можем
выбрать постоянную интегрирования таким образом, чтобы
h = 0. Тогда наш интеграл будет допускать только два значения,
U и —U. Кроме того, знак U изменится одновременно со зна-
ком Y~F, так что —— и, следовательно, S есть однозначная
функция.
4. S является многочленом, целым относительно
Действительно, интеграл и S могут обращаться в бесконечность
только тогда, когда производные
дУ дУ
дх ' ду
обращаются в бесконечность, т. е. если
а;=оо, у = со, у = 0, у = 0, F = 0>
При F = 0 производные будут бесконечными (s — 1)-го по-
рядка, U будет бесконечной (s — 2)-го порядка и S остается
конечной.
27 а. Пуанкаре

418 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Посмотрим, как ведет себя функция S при очень больших
значениях х. Преобладающими членами в F, Q, Q будут соответ-
ственно я", жр и я*\ умноженные на некоторую функцию у (/, р
и со есть степени F, Q, Q). Следовательно, -у-, приведенная
к своим преобладающим членам, приведется к
a U — к
в (у)
и, наконец, S — к
где Q (у) и г\ (у) суть легко вычисляемые функции от у. Можно
получить такой же результат, рассматривая поведение S при
х = 0. Для этого достаточно заменить /, р и (о на —/, —р и —(о.
Таким же образом рассуждаем при очень больших или очень
малых значениях у.
Итак, S ведет себя как многочлен степени
р—/—ю = /г—2/—2ю.
Следовательно, 5 есть многочлен (А — 2/ — 2ю)-й степени, зави-
сящий от Bh — 4/ — 4@ + IJ произвольных коэффициентов.
Таким образом, между 2 BА — 2/ — 2@ + 1) соотношениями
вида D) существует лишь 2( 2А — 2/ — 2ю + 1) — BА — 4/ —
— 4@ + IJ различных соотношений. Поэтому мы имеем только
Bй + 1J+Bй— 4/—4(о + 1J—2Bй—2/—2ю + 1J
выражений П, которые являются линейно независимыми. Это
число равно
8 (/ + ©)».
Мы видим, что оно не зависит от h и s. Следовательно, какова
бы ни была большая степень h многочлена Н, мы всегда будем
иметь лишь 8 (/ + (оJ различных выражений П.
Заметим, что выражения, для которых s = s0, являются
частными случаями тех, для которых s = s0 + 1, так как мы
можем заменить s на s + 1, Н на ///*, не изменяя при этом выра-
жения П. Итак, все выражения вида П, каково бы ни было чис-
ло s, степень многочлена Н и сам этот многочлен, можно выра-
зить линейным образом при помощи 8 (/ + соJ из них.
Если мы возьмем 8 (/ + (оJ + 1 каких-либо выражений П,
то они будут связаны одним линейным соотношением, коэффи-
циенты которого будут рациональными функциями от коэффи-
циентов многочленов F, Q, которые являются одними и теми же

ГЛ. XXI. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 419
для всех выражений П, так же как и от коэффициентов многочле-
нов Н, которые не являются одними и теми же для различных
выражений И. Это вытекает из способа составления соотноше-
ний D).
291. Число различных выражений П может уменьшиться,
если многочлены обладают некоторой симметрией. Допустим,
например, что F, Q и Н не изменяются, если заменить х на —х
и у на —у. Если тогда мы напишем эти многочлены в виде
то увидим, что целые числа а и b должны иметь одинаковую
четность.
Многочлен степени т, обладающий такой симметрией, содер-
жит только 2лг2 + 2т + 1 произвольных коэффициентов, по-
этому мы будем иметь 2А2 + 2h + 1 многочленов Н.
Если многочлены Р и Q обладают такой же симметрией, то тем
же свойством будет обладать и правая часть равенства D); кроме
того, мы получим таким же образом все симметричные многочле-
ны Н. Действительно, пусть Ф (Р, Q) — правая часть равенст-
ва D). Будем считать, что многочлены Р и Q не обладают сим-
метрией, так что, например, Р (х, у) фР(—х, —у), и допустим,
что Ф [Р (х, у), Q (х, у)] равно некоторому симметричному мно-
гочлену Н:
Мы будем иметь одновременно
И(х,у) =
и
И(х, у)=Н(-х, -у) = ф[Р(-х, -у), Q(-x, -у)].
Беря полусумму этих равенств, получим
а это есть соотношение вида D), в котором многочлены Р и Q заме-
нены симметричными многочленами
Р(х,у)+Р(—Х,-у) Q(
Из этого следует, что можно рассматривать соотношения вида
D), образованные лишь при помощи симметричных многочленов.
Но здесь будем иметь не 2 BА — 2/ — 2ю + IJ соотношений
вида D), а
27*

420 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Аналогично, если обратимся к соотношениям E), то увидим,
что если Р и Q обладают симметрией, то и S также обладает сим-
метрией. Поэтому будем иметь в этом случае
2 (А—2/—2©)" + 2 (h—2/—2©)+1
многочленов S.
В результате этого число различных выражений П будет не
—2/—2© + !)*—2 Bft—/—
а лишь
6 (Л)+ 6 (А—2/—2©)—26 (А—/—©).
Здесь положено 6 (k) = 2k2 + 2h-\-1. Следовательно, это число
будет равно 4 (/ + о»J.
292. Применим предыдущее рассуждение к выражениям A)
и B), но прежде целесообразно их преобразовать, полагая
Тогда А2, который является многочленом, содержащим члены с
1, ж», аГ2, у2, у, ху, ху-1, х-*у, ary*i «» У. *"\ JT1.
будет целым многочленом второй степени относительно
Этот многочлен не изменится, если заменить ? и г\ на —|
и —т), и будет играть роль многочлена F. При этом будем иметь
/=2.
Многочлен Q в свою очередь будет симметричным многочле-
+ 1 1 л
ном первой степени относительно S, у, т), — , так что ю = 1.
В формуле A), в которую не входит Еа, нужно взять © = 0.
Роль многочлена Н для выражения A) будет играть m m,, а для
выражения B) m m, , и оба они дают нам симметричные много-
члены относительно
if ч.|-
Коэффициенты Атт> и Втт- с точностью до числового мно-
жителя представятся интегралом

ГЛ. XXI. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 421
где Q имеет степень 0 или 1,
fj ^_ WJIM
" хтут' хтут> '
и где, наконец, Д играет роль F* . Отсюда делаем вывод, что эти
выражения имеют вид выражений IL
Коэффициенты многочленов F, Q и Н являются рациональ-
ными функциями больших полуосей а и а', эксцентриситетов е,
е' и величин |/1—е2, ]/1—е'2 или, если это удобно, величин
ей е', в предположении, что
2е , 2е'
Они также являются рациональными функциями тригономет-
рических выражений, зависящих от наклонности и долгот пери-
гелиев, т. е. от tg-^-, tg-y, tg-^- .
В конечном счете они являются рациональными функциями
семи величин
а, а', е, е\ tg-g-, tg-y, tg-g-;
долготы перигелиев отсчитываются в плоскостях обеих орбит от
линии пересечения этих плоскостей. Эти семь величин мы назо-
вем элементами.
Рассмотрим теперь производную Атт- или Втт. по одному
из этих элементов, который мы обозначим через а. Она будет равна
И
где
будет многочленом такого же вида, как и Я. Поэтому мы снова
приходим к выражению вида П с той разницей, что показатель s,
1 3
который раньше был равен -„-, теперь будет равен -^.
Если будем рассматривать частную производную второго
порядка, то этот показатель будет равен -^ и т. д.
Таким образом, как коэффициенты Атт. и Втт., так и их
частные производные любого порядка по элементам являются
выражениями вида П.
Выводы § 290 имеют место и в том случае, когда F является
наиболее общим многочленом своей степени. Они также имеют

422 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
место и в частных случаях, которые получаются с помощью пре-
дельного перехода. Но здесь эти выводы применимы и непосред-
ственно.
В самом деле, теорема Пикара применима всякий раз, когда
многочлен F не разлагается на множители.
Это имеет место для многочлена Да в общем случае задачи
трех тел. Когда наклонность равна нулю, многочлен Д2 является
разложимым, и в этом случае теорема Пикара также применима.
Таким образом, циклического периода не существует.
Далее, чтобы показать, что нет и полярного периода, мы до-
пустили, что F (х, у) не обращается в полный квадрат после умно-
жения на некоторую подходящую степень х и после подстановки
в этом выражении х = 0.
Бели применить это правило к многочлену
то оно приведет Д2 к членам с а:2, ху, у2, или с х~2, х^у'1, у'2, или
с х2, ху~1, у~г, или, наконец, с ж, х~1у, у2. Этот многочлен,
таким образом, не приводится к полному квадрату, а поэтому
указанное условие выполняется.
2ЭЗ. Применим сказанное прежде всего к выражению A)
и к коэффициентам Втт-. Мы имеем
/ = 2, © = 0.
Следовательно, число различных выражений равно
4
Другими словами, мы будем иметь только 16 различных коэффи-
циентов. Итак,
Если рассматривается разложение возмущающей функции по
эксцентрическим аномалиям, то коэффициенты разложения свя-
заны линейными рекуррентными соотношениями, коэффициенты
которых являются рациональными функциями элементов. Эти
соотношения дают возможность выразить все коэффициенты
через 16 из них.
Эти рекуррентные соотношения подобны тем, которые свя-
зывают коэффициенты Лапласа, и могут быть получены следую-
щим образом. Напишем два тождества:

ГЛ. XXI. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 423
Заменим в этих тождествах Д2 и — разложениями по поло-
жительным и отрицательным степеням х и у и приравняем нулю
в одном из тождеств коэффициент при xpyq.
Мы находим у Якоби *) без доказательства утверждение отно-
сительно того, что число различных коэффициентов равно не 16,
а 15. Это возможно, так как число 16 является только макси-
мумом. Было бы интересно довести рассмотрение этого вопроса
до конца.
294. Допустим теперь, что рассматривается один из коэффи-
циентов и его частные производные разных порядков по элемен-
там. Они также будут выражениями вида П, следовательно, они
также связаны с шестнадцатью из них линейными соотношениями.
Таким образом, всякий коэффициент В, рассматриваемый
как функция какого-либо из элементов, удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению не выше шестнадцатого порядка,
коэффициенты которого являются рациональными функциями
элементов.
Если два или большее число элементов рассматриваются как
независимые переменные, то можно таким образом составить
большое число линейных уравнений в частных производных.
Все коэффициенты В и все их частные производные могут быть
выражены линейным образом в виде функций шестнадцати из
них или же в виде функции, зависящей от одного из них и его
пятнадцати частных производных.
295. Перейдем теперь к выражению B) и к коэффициентам
Атт>, входящим в разложение возмущающей функции по сред-
ним аномалиям. На этот раз
/ = 2, @ = 1, 4(/4-соJ = 36.
Но многочлен Q зависит от т и т', поэтому он не будет одним
и тем же для двух различных коэффициентов Атт-. Отсюда сле-
дует, что выводы § 293 на этот случай не распространяются.
И наоборот, многочлен Q является одним и тем же для некоторого
коэффициента Атт> и всех его частных производных, так что тео-
рема § 294 здесь имеет место.
Каждый из коэффициентов А, рассматриваемый как функция
какого-либо из элементов, удовлетворяет линейному дифферен-
циальному уравнению не выше тридцать шестого порядка. Кроме
того, он удовлетворяет множеству линейных дифференциальных
уравнений в частных производных, если рассматривать различные
элементы как независимые переменные.
*) J a k о b i К., Nachlass. Есть русский перевод: К. Я к о б и, Лекции
по динамике, ОНТИ, 1936.

424 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
296. Перейдем к случаю, когда эксцентриситеты суть нули.
Это приведет к большим упрощениям. Действительно, прежде
всего здесь нет различия между эксцентрическими и средними
аномалиями, так что имеем
Q = О, Атт> г=г Втт>.
Более того, будем иметь
где положено
Кроме того, все коэффициенты Атт. выражаются с точностью
до некоторого числового коэффициента с помощью интеграла
т dz dw
где Н является целым многочленом относительно z, w, —, — .
Следовательно, имеем
Многочлен, который здесь играет роль F, равен Д2, и мы
видим, что при z = 0 выражение zA приводится к постоянной.
Соображения, с помощью которых было доказано, что нет поляр-
ных периодов, здесь непосредственно неприменимы [так как мы
должны были допустить выше, что левая часть уравнения
F 0е. У) — 0 не приводится к полному квадрату при х = 0].
Мы можем прийти к цели несколькими различными спо-
собами:
1) воспользоваться эллиптическими функциями*),
2) вернуться снова к переменным х и у. Но мы предпочитаем
воспользоваться симметрией многочлена А2. Действительно, этот
многочлен не изменяется при замене z на — и и? на —. Многочлен,
удовлетворяющий этому двойному условию, в дальнейшем мы
будем называть симметричным.
В разложении -д- коэффициенты при
zawb, z^iu*, zaw~b, b
*) «Bulletin astronomique», т. XIV.

ГЛ. XXI. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 425
равны между собой и с точностью до постоянного множителя
—т~2 они могут быть представлены двойным интегралом
где
а
Таким образом, мы всегда можем допустить, что многочлен Я
является симметричным.
Далее мы должны найти те симметричные многочлены Н, для
которых двойной интеграл тождественно равен нулю. Это те
многочлены, которые представляются в виде формулы D). В пра-
вой части выражения D) необходимо при этом положить Q = О
и заменить хну новыми переменными zw.iv.
Теперь заметим, что если в измененном таким образом выра-
жении D) заменить Р (z, w), Q (z, w) на —Pf-j , w j и Q C—, w j ,
то выражение Н (z, w) заменится на Н (—, w j . Аналогично,
если заменить Р (z, w), Q (z, w) на P(z, — i, — QCz, —^ ,
то выражение Н (z, w) заменится на Я Гг, —j .
Тогда, если имеем
мы будем говорить, что Р и Q представляют скрещенную симмет-
рию. Ясно, что если Р и Q представляют скрещенную симметрию,
то выражение Н будет обладать прямой симметрией.
Если Н обладает обычной симметрией, то мы утверждаем, что,
пе ограничивая общности, всегда можно допустить, что Р и Q
обладают скрещенной симметрией. Действительно, если Н — сим-
метрично, то, не изменяя Н, можно заменить Р и Q на
или на
или на

426 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
или, наконец, многочленами
4 '
обладающими скрещенной симметрией.
Если теперь Р и Q обладают скрещенной симметрией, то выра-
жение
которое, по предположению, интегрируемо, будет представлять
третьего ряда симметрию, которую мы будем называть обратной
симметрией, т. е. S и U изменяют знак, когда z заменяется на— ,
или и; на —.
W
При этих условиях
dU Q
дг ~ F'-i-г
изменяет знак, когда w заменяется на —. Если мы положим
то наш полярный период, если он существует, будет равен 2inC_i.
Он не зависит от w (которая здесь играет роль у). С другой сто-
роны, он должен менять знак, когда w заменяется на - -. Отсюда
вытекает, что он равен нулю, что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь степень этих различных многочленов. Но
мы не будем определять степень, так же как и в предыдущих
параграфах.
Пусть имеем некоторый многочлен относительно z, — , w, — ,
Мы будем говорить, что он является многочленом т-й степе-
ни, если
Тогда, если степень многочлена Н равна k, то степень многочле-
нов Р и Q равна h — 1, а степень многочлена S равна h — 2.

ГЛ. XXI. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
427
Многочлен h-й степени содержит вообще 2h2 + 2А + 1 про-
извольных коэффициентов, но если он обладает прямой симмет-
рией, тогда он будет содержать только* о произвольных
коэффициентов. Действительно, коэффициенты при z±aw±b выво-
дятся из одного из них, так что нам остается рассматривать только
члены, в которых оба показателя равны нулю или положительны.
Если многочлен обладает скрещенной симметрией, то все члены,
не зависящие от z, равны нулю (например, многочлен Р), так что
мы должны рассматривать только члены, в которых один пока-
затель есть нуль, а другой равен нулю или положителен. Поэтому
здесь остается , различных коэффициентов. Если, наконец,
Li
имеет место обратная симметрия, то члены, не зависящие и от w,
и от z, равны нулю, а оба показателя должны быть положитель-
ными, так что остается —^-=—- различных коэффициентов.
Поэтому можно составить следующую таблицу:
Многочлен
Я
Р
Q
S
Степень
h
А—1
А—1
А—2
Симметрия
прямая
скрещенная
обратлая
Число коэффициентов
2
2
2
(А-2)(А-3)
2
Итак, число различных выражений типа П равно
(Л-ЦНА + 2) + (А-2НА-3) _/г(а_1) = 4.
Таким образом, между коэффициентами разложения возму-
щающей функции существуют линейные рекуррентные соотноше-
ния, коэффициенты которых являются рациональными функциями
элементов. Эти соотношения позволяют выразить все коэффициен-
ты разложения через четыре из них. Каждый из них, рассматри-
ваемый как функция одного из элементов, удовлетворяет некото-
рому линейному дифференциальному уравнению четвертого по-
рядка. Если его рассматривать как функцию всех элементов, то
он удовлетворяет множеству уравнений в частных производных.
Все коэффициенты и все их частные производные можно выразить

428 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
линейно при помощи четырех из коэффициентов или при помо-
щи одного из коэффициентов и его трех частных производных.
297. Мы придем к такому результату, сохраняя перемен-
ные х а у. Тогда будем иметь
Этот многочлен будет степени 1 в смысле § 290, но не § 296.
Он будет обладать к тому же симметрией в смысле § 291, но не
§ 296. Наконец, выражение х Д2 при х = 0 обращается в
которое не является полным квадратом. Следовательно, мы можем
применять выводы § 291, и так как / = 1, © = 0, число различ-
ных выражений типа П равно
что и требовалось доказать.
298. Уравнения в частных производных, к которым приводится
предыдущий анализ, нам уже встречались. Эти уравнения мы
изучали в § 261. Мы видели, что одиннадцать частных производ-
ных функции Z, определяемые формулами (8)—A3), выражаются
линейно через девять выражений A4), которые сами связаны
тремя соотношениями A5). Таким образом, имеется пять соотно-
шений, связывающих эти одиннадцать производных.
Пусть
Z = 2 Uzhwk.
Коэффициенты при zhwk в выражениях для этих одиннад-
цати частных производных будут равны
dU_ dU_ dU_ 727T _/27Т дЮ
да ' дц ' д\ ' ' ' дц,2 '
d\idv ' ~д\*~ ' ~да*~ ' даф ' da~dv '
Итак, будем иметь между функцией U и ее девятью частными
производными первого и второго порядков пять соотношений.
Впрочем, кроме соотношений A5), выражения A4) связаны между
собой и с функцией Z = ~LUzhwh соотношением
(l + a2)Z'—2a(iZ'cosg—2avZ'cosTj = — sZ.
Таким образом, будем иметь шесть соотношений между U
и ее девятью производными, т. е. U удовлетворяет шести урав-
нениям в частных производных второго порядка. Поэтому среди

ГЛ. XXI. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 429
всех десяти выражений (функция U и ее производные) остаются
четыре, которые являются независимыми.
Среди этих шести уравнений мы имеем и такие, которые были
изучены в конце § 261, и которые, как мы видели, имеют сход-
ство с уравнениями Аппеля. Мы видели, что эти уравнения допус-
кают четыре различных решения, так что U, рассматриваемая
как функция лишь одного элемента, удовлетворяет некоторому
дифференциальному уравнению четвертого порядка.
299. Функции, которые мы изучали в этой главе, опреде-
ляются двойными интегралами, взятыми вдоль замкнутых конту-
ров. Другими словами, они являются периодами неопре-
деленного двойного интеграла
dxdy
ху Fs '
Допустим, что мы варьируем один из элементов, который мы
обозначим через а, придавая ему, разумеется, мнимые значения,
и пусть элемент а описывает в своей плоскости некоторый зам-
кнутый контур. Наш коэффициент, представляемый двойным
интегралом, является аналитической функцией элемента а. Когда
элемент а опишет замкнутый контур, мы придем к другому опре-
делению этой аналитической функции, и это определение мо-
жет быть только другим периодом нашего неопределенного
двойного интеграла.
Допустим, что этот неопределенный двойной интеграл имеет
к основных периодов
Pt,P2 Pk-
Все другие периоды и, значит, все другие определения нашей
функции будут линейными комбинациями с целыми коэффи-
циентами этих основных периодов.
Следовательно, когда переменная описывает замкнутый кон-
тур, различные определения функции подвергаются линейному
преобразованию с целыми коэффициентами. Рассмотрим теперь
несколько функций П, которые могут отличаться многочле-
нами Я и Q, но не многочленом F. Все эти функции подвер-
гнутся одному и тому же линейному преобразова-
нию, так как оно зависит лишь от деформации контуров инте-
грирования.
Итак, пусть Д — определитель, составленный из к соответ-
ствующих определений к функций П. Этот определитель будет
просто умножаться на некоторый числовой множитель, когда
переменная опишет замкнутый контур. Отношение двух из этих
определителей будет оставаться постоянным, следовательно, оно
будет однозначной функцией.

430 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Таким образом, между (к + 1) функциями П существует
некоторое линейное соотношение, коэффициенты которого явля-
ются однозначными функциями элементов.
Следовательно, число основных периодов равно числу функций П,
а все другие могут быть выражены через них с помощью линейных
соотношений, коэффициенты которых являются однозначными
функциями элементов.
Если функции П имеют только алгебраические особенности,
то эти однозначные функции ведут себя как рациональные функ-
ции. Коэффициенты наших соотношений будут не только одно-
значными функциями, но и рациональными функциями. Это
получается, когда Q = 0.
Мы можем тогда предвидеть, что число основных периодов
равно 16 в общем случае и четырем, если эксцентриситеты равны
нулю. Это подтверждает результат, полученный при разложе-
нии по эксцентрическим аномалиям.
Но в таком случае мы можем сделать вывод, относящийся
к разложению по средним аномалиям. Между коэффициентами
этого разложения имеются рекуррентные линейные соотношения,
коэффициенты которых являются не рациональными функциями
элементов, но однозначными функциями, и эти соотношения
позволяют выразить все коэффициенты через шесть из них. Более
того, каждый из этих коэффициентов будет удовлетворять неко-
торому линейному дифференциальному уравнению шестнадца-
того порядка (и не более тридцать шестого), но его коэффици-
енты не будут более рациональными функциями, а лишь одно-
значными.
Эти рекуррентные соотношения и дифференциальные уравне-
ния аналогичны тем, с которыми мы встречались при изучении
коэффициентов Лапласа. Нет никакого сомнения, что они могут
быть использованы в случае, когда эксцентриситеты равны нулю.
Но они не являются теми же в общем случае; их порядок на-
много больше. К счастью, можно надеяться, что эти уравнения
не являются неприводимыми и что изучение периодов двойного
интеграла позволит понизить их порядок.
Добавим, что Феро *) показал, что в некоторых частных слу-
чаях этот порядок можно понизить, используя некоторые свой-
ства симметрии.
*) Feraud, Annales de l'Observatoire c'e Bordeaux, т. VIII.

ГЛАВА XXII
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
300. В предыдущих главах мы старались получить а н а~
литическое разложение коэффициентов с помощью рядов,
расположенных по степеням эксцентриситетов и наклонностей.
Использование этих разложений не представляет никаких труд-
ностей, если число членов не очень велико. Но это пугает боль-
шинство астрономов, которые поэтому вынуждены переходить
к численному вычислению коэффициентов, не пользуясь разло-
жениями.
Мы видели, что коэффициенты могут быть выражены с помо-
щью определенных интегралов. Такими являются интегралы A)
и B) из § 280 и 289:
»
И
Можно вычислить, следовательно, значения этих двойных инте-
гралов с помощью механических квадратур; действительно, мы
можем написать равенство B) в виде
или в виде
4я«Лтж. = J J х Е-Цт1+тП>) dl dl\ D)
откуда выводим приближенные формулы
''), C')
В формуле C') под знаком суммы нужно придавать величи-
нам и и и' п равноудаленных значений. Следовательно, так как

432 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
нужно комбинировать га значений и с га значениями и', сумма
будет содержать га2 членов.
В формуле D') поступаем таким же образом, с той лишь раз-
ницей, что здесь переменным I и Г нужно придавать га равно-
удаленных значений
п 2я 4я 2 (и—1)я
и> п ' п ' ••" п *
Леверье, желая вычислить большое неравенство в системе
Паллада — Юпитер, т. е. коэффициент -4i8t_7, применял фор-
мулу D'). Он мог бы воспользоваться с большей выгодой фор-
мулой C'). Но нужно было обладать вычислительным опытом
Леверье, чтобы иметь смелость начать такую труднейшую работу.
К счастью, можно избежать применения механических квадра-
тур или по крайней мере избежать этого применения к двойным
интегралам. Для этого существует большое число методов, важ-
нейшими из которых являются методы Ганзена, Коши и Якоби.
301. Метод Ганзена. Рассмотрим вычисление коэффициентов
Втт- разложения по эксцентрическим аномалиям. Далее будет
легко перейти к коэффициентам Атт> разложения по средним
аномалиям, применяя формулу § 240, или перейти к специаль-
ному разложению Ганзена, применяя формулу § 246.
Итак, возьмем выражение для Л2; оно является многочле-
ном второй степени относительно E±iu, E±iu' , так что мы можем
написать
Д2 = A+BEiu' + B'E~iu' + CE*« + С Е-*»'. E)
Коэффициенты А, В а С зависят только от и; мы увидим в даль-
нейшем, что имеем просто
с С'а'ге'г
так что С и С яе зависят от и, и, более того, они второй степени
относительно эксцентриситетов. Следовательно, в первом при-
ближении мы можем пренебречь этими членами, и, обозначая
через Д* сумму первых трех членов в правой части равенства
E), а через R — сумму двух последних членов, написать
_L_J L.lxl.^ т
Д ~ До 2 Д§ "Т" 8 Д<; у >
Ряд F) сходится очень быстро в силу малости величины R,
поэтому разложение для -д- приводится к разложениям для -д- ,
¦XT, ... Но мы можем положить, что
Д? = A +BEiu' + B'E-iu' = Я2 [1 + а2—2а cos (и'—р)],

ГЛ. XXII. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 433
где Я, а и р суть функции от и. Отсюда выводим
i = 7^2^)i?ift("'-p). G)
где 6<ft) — коэффициенты Лапласа, зависящие от а (метод их
составления изложен в главе XVII).
А, В, В' можно рассматривать как известные функции и;
то же самое можно сказать и о величинах Я, а и $ и, следова-
тельно, о b[hK Тогда будем иметь
где Chh является коэффициентом при Eihu в разложении
т. е.
2пС™= ] ^ <*«• (8)
О
Будем вычислять интеграл (8) с помощью механических квад-
ратур, применяя формулу
Функция под знаком суммы зависит от и; в этой сумме нужно
придавать величине и последовательно п равноудаленных значений
п 2я 4я 2 (и— 1)я
U' п ' п ' •*•' п '
где п — целое большое число.
Таков метод Ганзена, детальное изложение которого имеется
в сочинении Тиссерана*).
302. Метод Якоби. Якоби также получил разложение по
эксцентрическим аномалиям. Он также разлагает Л2 на две
части, Д* и R, причем вторая часть является выражением вто-
рой степени относительно эксцентриситетов и наклонностей. Но
Якоби не пользовался механическими квадратурами. Его способ
представления Л2 в виде суммы
не такой, как у Ганзена. Чтобы сделать это более понятным, до-
пустим сначала, что наклонность равна нулю. Тогда, обозначая
*) Tisserand, Traite de la Mecanique celeste, т, IV, гл. XXI»
стр. 341—344.
28 А. Пуанкаре

434 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
через 6, г\ и g', r\' координаты двух планет, находим
С другой стороны, если положить
е__2е_ ,_ 2г'
то получим
Из последнего равенства, заменяя i на —/, находим выра-
жение для ? — ?г), и далее, заменяя в них а, е, со, и на а', е'>
о»', и', находим выражения для ?' + it|' и g' — it)'.
Если в этом равенстве мы пренебрежем членом г2Е'га, то
сделаем ошибку второй степени и найдем
Д* = BЪ'г'—2Ьг + ЬЕЫ- ft'JE»
где для сокращения принято
Если теперь обозначим через А^ приближенное значение А2
и через R — допущенную погрешность, то будем иметь
причем i? будет величиной второй степени относительно эксцен-
триситетов.
Если наклонность не равна нулю, то мы можем получить
разложения по степеням наклонности и в разложении будут
фигурировать только четные степени наклонности. Если
пренебречь наклонностью, то допущенная ошибка будет вели-
чиной второй степени малости, поэтому можем сохранить для
Д* то же самое выражение, и погрешность R = Д2 — Д* будет
величиной второго порядка малости относительно эксцентри-
ситетов и наклонностей.
Далее можно написать
где
') _ b
-* b'

ГЛ. XXII. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 435
Впрочем, ясно, что мы могли бы видоизменить выражения для
коэффициентов Н, у, ©, у', ©', которые фигурируют в AJ, лишь бы
эти видоизменения были величинами второй степени малости
относительно эксцентриситетов и наклонностей. В этом случае
порядок погрешности Л также будет равен двум.
Якоби воспользовался этим соображением, чтобы уничто-
жить некоторые члены в Л, а именно, члены с
cos(u—и'), sin(M—u'), cosu, sinu.
Мы отсылаем читателя, желающего познакомиться с детальным
анализом этого вопроса, к сочинению Тиссерана*).
Как бы то ни было, мы имеем
Д ~~ До 2 " Д» "+" 8 Д8
так что (Л выражается через конечное число членов) разложение
разложению -г
?4(u-u'-a>)_Zi
( р р ) рж
-г- приводится к разложению -г^-. Если для сокращения положим
ТО
и теперь предстоит осуществить разложение по целым положи-
тельным и отрицательным степеням величин z и ©.
Легко проверить, что коэффициент при z'1coft будет с точно-
стью до множителя Су''у'к (где С — некоторая постоянная)
гипергеометрическим рядом двух переменных Аппеля относи-
тельно уг и у'г.
Эти ряды во всем аналогичны тем, которые мы изучили в гла-
ве XVIII, с той лишь разницей, что они не приводятся к много-
членам.
Якоби не пользуется этими рядами, которые в его время еще
не были известны. Анализ, проделанный им, немного отличается
от анализа Аппеля. Его можно найти в упомянутом сочинении
Тиссерана (т. IV, стр. 306—311).
Коэффициенты разложений -г- , -г^ , -ту > • • • > связаны рекур-
До До Ао
рентными соотношениями, и эти соотношения позволяют выра-
зить все коэффициенты с помощью четырех из них (наиболее
пригодных с практической точки зрения). Чтобы убедиться
*) Tisserand, Traite de la Mccanique celeste, т. JV, гл. XVIII,
стр. 301—306.
28*

436 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
в этом, достаточно обратиться к § 264 или применить резуль-
таты главы XXI, замечая, что здесь © = 0, / = 1 и что много-
член Ajj обладает частной симметрией, так как он не меняется,
если заменить z на — и © на — .
303. Метод Коши. Коши, как и Якоби и Ганзен, искал сна-
чала разложение по эксцентрическим аномалиям, чтобы из него
вывести, пользуясь функциями Бесселя, разложение по средним
аномалиям. Мы не будем снова рассматривать вопрос о пере-
ходе от одного разложения к другому, а рассмотрим способ полу-
чения разложения по эксцентрическим аномалиям.
Метод Коши совпадает с методом Ганзена в одном пункте.
Коши начинает разлагать-г- по эксцентрическим аномалиям вто-
рой планеты в форме
Коэффициенты Вп> являются функциями и и, если положим
Bn.=^Bn
то окончательно будем иметь
Коши вычисляет коэффициенты Вп> аналитическим
методом и далее из них получает коэффициенты Впп> м е-
ханическими квадратурами с помощью инте-
грала
2л
1пВпп.= \Bn.E-in*du. A0)
Различие особенно проявляется в способе получения коэф-
фициентов Вп>; возьмем формулу E):
Д2 = А + BEiu' + В'Е-м + СЕ»*' + СЕ-*™'. E)
Если приравняем Д2 нулю, то получим некоторое уравнение
четвертой степени относительно у = Eiu', которое можно напи-
сать в виде
^ + <^ = 0. A1)
Рассмотрим это уравнение; прежде всего заметим, что его
коэффициенты не вещественны, или в крайнем случае А, С, С

ГЛ. XXII. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 437
вещественны, а В и В' — мнимые и сопряженные. Уравнение не
меняется, если в нем заменить у на — и г на —i. Поэтому его
У
корни разделяются на две пары:
где аир — вещественные числа, меньшие единицы, так что при
замене у на — и i на —i корни одной и той же пары меняются
У
местами. Более того,
с-с- 4 ,
поэтому произведение корней равно +1, откуда следует, что
со' = —со.
Из этого вытекает, что мы можем представить А2 в виде про-
изведения двух множителей:
Д2 = Я2[1 —2а cos (и' — со) + а2][1 — 2р cos (и'+ со) + р2].
Н вычисляется легко, если известны а, Р и со.
Заметим, далее, что если пренебречь е'2, степень уравнения
уменьшается, так как С и С обращаются в нуль и уравнение A1)
принимает вид
Таким образом, уравнение четвертой степени приводится
к уравнению второй степени; один из корней обращается в нуль,
а другой — в бесконечность. Следовательно, при С = С = О
уравнение легко разрешается. Далее, мы можем разлагать корни
уравнения по степеням С, считая в нем А, В, В' и С независи-
мыми переменными и считая также С = С. Так как С является
величиной второго порядка малости относительно эксцентриси-
тетов, то ряды будут быстро сходящимися. В то же время мы
видим, что Р является величиной второго порядка малости отно-
сительно эксцентриситетов.
Остается выполнить разложение -г-; для этого разложим два
множителя:
_ 1
[1 — 2acos(M'—co) + a2] 2=^
_i
[1—2pcos(u'+co) + p2] 2=2

438 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Перемножая эти ряды, находим, что коэффициент Вп- будет равен
Величины cpEip<0, с'дЕ-**<° являются не чем иным, как коэф-
фициентами Лапласа b\p), b\q\ вычисленными при условии, что
2 2
а = а и а = р". Они определяются с помощью способа, изложен-
ного в главе XVII. Коши предпочитает использовать для их опре-
а2 / В2 \ *
деления ряды по степениям -. j I или ,__о2 ). несколько более
удобные в случае, когда р (или q) принимает большие значения.
Что касается ряда
2j срсп'—pi
то он сходится очень быстро в силу малости р". Действительно,
разложение с'п--р по степеням р* начинается с члена р"'-Р:, сле-
довательно, с'„-_р является величиной степени 2 | п' — р\ отно-
сительно эксцентриситетов и поэтому является малой величиной.
Умея вычислять таким образом коэффициенты Вп> с помощью
формулы A2), Коши мог бы далее получить коэффициенты Впп-
с помощью формулы A0) и далее, имея их, получить коэффи-
циенты Апп- с помощью формулы A2) из главы XVI. Но он посту-
пает иначе, конструируя вспомогательное смешанное разложение
по эксцентрической аномалии и' и средней аномалии /:
так что
D ^ С Pin'
2Я 2л
2яС„„< = J Bn^-in( <И = J Bn-E-inl A — е cos к) du.
о о
Коши вычисляет СпП' с помощью этой формулы и для этого
он пользуется механическими квадратурами, т. е. полагает, что
КСпп. = 2 Вп.Е-ш A — е cos u).
К — целое, достаточно большое число, Вп- и Е~ш являются
функциями и. Величине и под знаком суммы даем К равноуда-
ленных значений
п 2я_ 2 (К—1)я
' л: ' "•' л:

ГЛ. XXII. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 439
Наконец, с помощью формулы
Ann' = 2 "р^Р- V'Jn'-P' (n'e')>
аналогичной формуле A2) из главы XVI, вычисляются коэф-
фициенты Апп>. Коши применял этот метод при вычислении боль-
шого неравенства Паллада — Юпитер, полагая п = —18, п' = 7,
а для этого ему пришлось вычислить только функции Бесселя,
зависящие от единственного аргумента Те'.
Детальный анализ этого вопроса можно найти в сочинении
Тиссерана*).
304. Очевидно, можно было создать другие аналогичные мето-
ды, основанные на свойствах эллиптических функций, и на приме-
нении таких же формул, какие мы использовали в § 256. Мы
ограничимся здесь некоторыми общими указаниями. Допустим
сначала, что эксцентриситеты равны нулю и что мы хотим вычис-
лить, например, интеграл
z-ftu>-i dz dw
где А = a2 + a'2, В = aa'v, С = аа'ц. Проинтегрируем сначала
по переменной w. Мы получим эллиптический интеграл, который
мы можем взять приемом арифметико-геометрического среднего.
Этот прием основан на равенстве
w~1dw _ Г w-1dw
которое имеет место, когда
=a, Уа—гЬ =6, |/о' + 26 =а = ^±?,
Li
У а'—IV
Если рассмотрим интеграл, который дает коэффициент Лапла-
са ?\
2inbf>= \
w~ldw
70 величины, играющие роль У а + 2Ь , равны
1+а, 1—а.
*) Tisserand, Traite de la Mecanique celeste, т. IV, гл. XVII.

440 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Вычисляя средние арифметическое и геометрическое, находим
Повторяя эту операцию второй раз, имеем
третий раз —
и т. д.
Отсюда
7— ,
2 J
или
Последняя формула была уже выведена в главе XVII. Мы видели,
какое приближение дает эта формула, когда а меньше .
Применим такой же метод к интегралу A3). Мы можем пред-
ставить его в виде
Р Р z-hw~ldzdw
_1
w
полагая
i+g =
Наш интеграл в результате применения предыдущего правила
приводится к обычному интегралу
8mz~h dz

ГЛ. XXII. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 441
где а' и а являются функциями z, определенными предыдущими
формулами. Этот интеграл можно вычислять с помощью меха-
нических квадратур или с помощью следующего приема.
Так как В — малая величина порядка квадрата наклонности,
то можно разложить подынтегральную функцию по степеням
В ( z-| ; , что одновременно даст разложение этой функции по
целым положительным и отрицательным степеням z.
305. Можно было бы сделать аналогичную вещь и в общем,
случае; здесь всегда приходится вычислять интеграл
dxdy
хтут' у R{x, у)
Начнем, например, с интегрирования по у. Интеграл, который
надо вычислить, является в этом случае эллиптическим инте-
гралом, который можно написать в виде
Ау~т> dy
У (У—а) (у—Р) (у—у) (у—Ь)
Требуется вычислить один из периодов этого интеграла. Здесь
А, а, р, у, б являются функциями х. Когда ё равен нулю, один
из корней а, р\ у, б равен нулю, а один обращается в бесконеч-
ность. Мы приходим к вычислению интеграла
утчу
Vy(y-y){y-&) ' ( '
Вычисление корней у и б в этом случае выполняется легко и далее
можно применять непосредственно приемы главы XVII и, в част-
ности, § 256. Впрочем, все интегралы могут быть приведены
к двум из них при помощи рекуррентных соотношений из гла-
вы XVII.
При е' Ф 0 имеем более сложный случай. Прежде всего нужно
определить корни а, р\ у, б. В § 303 мы объясняли, как это можно
сделать, пользуясь малостью е'. С другой стороны, мы должны
будем вычислять не интеграл
Cp-e3)mdu,
как в главе XVII, а более сложный интеграл
в котором а и b — постоянные, т — целое положительное или
отрицательное число. И действительно, чтобы привести интеграл

442 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
A4) к канонической форме, нужно положить
—а
где $> (и) — функция Вейерштрасса.
Период интеграла A5) зависит от периодов следующих четы-
рех интегралов:
du, \ ?'(u±u0)du, \ [?,(u4-u0) — t(u—uo)]du,
)-l{u-i
где и0 и и1 определяются уравнениями
В этом можно убедиться, разлагая двояко-периодическую
функцию ( ' , I на простые элементы.
Но эти четыре интеграла имеют периоды
2©!, 2%, 41^0, 4т),и1.
В § 256 мы видели, как можно вычислить (о4 и %. В превос-
ходном сочинении Шварца *) имеются ряды, также всюду сходя-
щиеся, для вычисления и0 и щ.
Здесь рекуррентные формулы позволяют выразить все инте-
гралы в виде функций не двух, а четырех из них.
С другой стороны, величины 2©!, 2r\i, 4r\iU0, 4ГЦИ1 здесь не
являются постоянными, а суть функции х, и теперь нужно их
разлагать по целым положительным и отрицательным степе-
ням х. Это разложение можно выполнить с помощью механиче-
ских квадратур или аналитическими методами, так же, как было
объяснено в конце предыдущего параграфа.
Заметим, что предпочтительнее выполнить первое интегри-
рование не по у, как мы делали выше, а по переменной —. Тогда
наши величины (Ot, % и т. д. при изменении х меняются мало;
их изменения будут порядка эксцентриситетов.
306. Однако в дифференциальные уравнения движения входит
не сама возмущающая функция, а ее частные производные (если
применяется метод вариации постоянных) или составляющие воз-
мущающей силы в других методах.
Если мы имеем коэффициенты разложения возмущающей
функции в аналитическом виде, то из них легко вывести соответ-
*) S с h w a r z, Formules et propositions pour l'emploi des fonctions el-
liptiques, Paris, 1894, pp. 67—73.

ГЛ. XXII. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 443
ствующие коэффициенты разложений частных производных или
составляющих силы. Но это не так, если мы имеем только чис-
ленные значения этих коэффициентов, полученные методами,
изложенными в данной главе. Это нас обязывает рассмотреть во-
прос с этой новой точки зрения.
Нетрудно вычислить производную по одной из средних ано-
малий I или V.
Если имеем
то сразу же находим
— ( — \ — V imA ,К*О"Н-т''')
dl \ Д у ^-1 mm
Для других частных производных нужно вычислять (а —не-
который из элементов)
ЛгСху =~№ '
где
р_ 1 зд»
" ~ 2 За '
Если рассматриваем составляющие силы по трем прямо-
угольным осям, то нужно разложить
ДЗ ' ДЗ ' ДЗ '
где I, г\, ?, ?', г)', ?' — прямоугольные координаты двух планет.
В методе Ганзена рассматриваются составляющие силы по
трем особым осям, и это приводит к рассмотрению комбинаций
дз дз •
р 1
Во всех случаях приходится разлагать выражение вида дз" > и X
имеет такой же вид, если положить Р = А2. То, что нас инте-
ресует, заключается в том, что когда Р разлагается по эксцен-
трическим аномалиям, т. е. по целым положительным и отрица-
тельным степеням хну, это разложение будет содержать только
конечное число членов.
Это верно в отношении координат |, х\, ?, ?', г\ 'и ?', следова-
тельно, это верно и в отношении их комбинаций
t ?' от —Tl' t t'
Это верно для А2 и, следовательно, для ^- .

444 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Итак, нужно будет поступать следующим образом.
1. Разлагаем -р- по эксцентрическим аномалиям. Методы
предыдущих параграфов, которые годились, в частности, для -г-,
применяются без изменений к -^ и, в частности, к -rj .
2. Умножаем разложение -р на разложение Р. Так как пос-
леднее разложение сводится к конечному числу членов, то такое
умножение не представляет никакой трудности.
р
3. Переходим от разложения -р по эксцентрическим анома-
лиям к разложению по средним аномалиям с помощью форму-
лы A2) из главы XVI.
Сделаем еще одно замечание. Производные =-( -г- \ -^— , о кото-
рых мы говорим и которые встречаются в методе вариации про-
извольных постоянных, являются производными, вычисленными
по элементам некоторой системы элементов, среди которых есть
и средние аномалии. Обозначим через I -~- производные, взя-
тые по элементам такой системы, среди которых есть эксцентри-
ческие аномалии. Мы имеем А2 и отсюда легко вычислить -^— I и
Г я— Г -д- J . Но нам нужно знать =- (-д- J . Прежде всего,
если элемент а не является одним из эксцентриситетов е или е',
просто имеем
Если а = е, / = и — е sin и, то
L Зе V. Д ) J de\Aj^dl\bJ де
= -3- ( -г- ) Ч- Sin U -5J- I -т- ! .
де \ Д у dl \ Д /
Разложения для д-и Г-д-Гт") нам известны. Остается по-
этому найти разложение функции
д
ВтИЗг
Итак, пусть

ГЛ. XXII. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ 445
где
Атт' = 2 САРР., С = |^ /т_р (те) /ж._„ (mV).
Отсюда получаем
где
С другой стороны,
где
Л А
дАтт'
де
Остается, следовательно,
sin и 0J-1
где
dC
Эта формула аналогична формуле A2) из главы XVI. Нам
ft Д
известны Врр' и —%f- ¦ Предыдущие формулы позволяют получить
Лтт-, Dmm>, Gmm- и, следовательно, разложение -^- С-^) по
средним аномалиям.

ГЛАВА XXIII
ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
307. Можно поставить задачу о нахождении приближенного
значения коэффициента Атт-, когда целые числа /пит' очень
велики по абсолютной величине, что представляет интерес по
двум причинам.
1. Таким образом можно составить представление о быстроте
сходимости рядов.
2. Член высшего порядка Атт- может дать заметные воз-
мущения, если средние движения га и га' почти соизмеримы, так
что делитель тп + т'п' становится весьма малым. Коэффициент
возмущения в долготе будет тогда порядка
(тп-\- т'п'J
и поэтому целесообразно вычислить входящий в это выражение
коэффициент Атт>, не прибегая к вычислению предыдущих
коэффициентов. Чаще всего, проделав это вычисление, мы узнаём,
что оно было бесполезным, так как найденное значение для Атт>
весьма малб. Поэтому представляет интерес заранее полу-
чить представление о порядке величины этих коэффициентов
и постараться быстро найти их приближенное значение. Такова
цель, которую можно надеяться достигнуть, применяя метод
Дарбу для вычисления функций от очень больших чисел. Этот
метод основывается на следующих принципах:
а) если ряд
сходится в круге радиуса Q, а на окружности этого круга имеется
особая точка z0, такая, что в ее окрестности функция <р (г) разла-
гается по целым степеням, всюду возрастающими,
кроме того, по дробным степеням и даже по несоизмеримым,
положительным или отрицательным степеням величины 1 — ,
zo
так что первый член разложения, показатель которого не является

ГЛ XXIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 44?
целым, есть
то будем иметь приближенно для очень больших п
_А_ и8-*
пп ~ zg * Г (*) •
б) Если особая точка является логарифмической, т. е. если
Ф (г) представляется в виде
Ф (г) = ф1 (z) + In (l —jjj-
ф1 (г) и ф2( г) разлагаются по действительным и возрастающим
степенямA —— J, то необходимо поступать следующим образом.
Пусть st и s2 — показатели первых членов разложений ф4 и ф2,
которые не являются целыми. Пусть So — показатель первого
члена в разложении ф2, в котором целые показатели не исключены.
Если S( < s0, то можно будет применить предыдущую формулу,
заменяя s на st. Если Si>s0, то необходимо будет исследовать
первый член в функции ф2
. /. 1Л~*°
Если s0 не является целым отрицательным числом, то имеем
приближенно
а =do.J*"~1 '
1"
и если s0 является целым отрицательным числом или нулем, то
в) Если функция ф (г) имеет несколько особых точек на
окружности круга сходимости, то приближенное значение коэф-
фициента ап будет равно сумме приближенных значений соот-
ветствующих коэффициентов, получаемых в случае, если рассмат-
ривать каждую особую точку в отдельности.
г) Предположим, что ф (z) представляется формулой
и этот ряд сходится в кольце, заключенном между двумя окруж-
ностями \z\ = Qi, \z\ = Q0, Qi > Qo- Тогда ряд 2 <Ln*n будет схо-
диться при | z | < (}, и не имеет никакой особой точки ни на окруж-

448 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
ности \z\ = q0, ни внутри ее. И наоборот, ряд 2 bnz~n буд»т
сходиться при | г | > Q0 и не будет иметь никакой особой точки
ни на окружности | г | = @д, ни вне ее. Асимптотическое значение
коэффициента ап получится, согласно предыдущим правилам,
«ели рассматривать особые точки функции <р (г) на окружности
| г| = Qi, a асимптотическое значение коэффициента Ьп получится,
согласно тем же правилам, если рассматривать особые точки
функции ф (z), или, лучше, ф Г — J на окружности | z \ = q0.
308. Посмотрим, как применить эти принципы к интересующей
нас задаче. Прежде всего кажется, что она относится к функции
от одной-единственной переменной. Поэтому Фламм начал с того,
что разложил оцениваемый член на сумму, любой элемент кото-
рой является произведением двух множителей, каждый из кото-
рых зависит только от одной переменной. В первом множителе
эта переменная есть средняя аномалия первой планеты, а во
втором — средняя аномалия второй планеты.
Но можно действовать и другим образом. Пусть
т = ап-{-Ь, т' = сп-{- d, A)
где а, Ь, с, d являются целыми конечными числами, данными
раз и навсегда, п — целое, очень большое число, а и с — первые
между собой. Надо вычислить
•"nun' = -^ап+Ь, cn+d-
Имеем
где
Пусть
ае.
Наш интеграл принимает вид

ГЛ. XXIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 449
Рассмотрим вспомогательную функцию
Ф(*)=—4rf2*Mnu»-,
где индексы суммирования /пит' принимают не все возможные
значения, а лишь такие, которые удовлетворяют формулам A).
Но здесь также можно действовать двумя способами.
1. Мы можем придавать га всевозможные положитель-
ные значения, исключая нуль. Таким способом получим
интеграл Феро
2. Мы можем также придавать га всевозможные целые поло-
жительные, отрицательные или нулевые значения. Тогда функция
Ф (г) может быть представлена в виде обычного интеграла.
Всегда можно найти такие два целых числа а и у, что
так как а и с являются первыми между собой. Положим тогда
Eil=zat-°, Eil'
Имеем разложение
Рассмотрим тогда обычный интеграл
f -A. tbc-ad-1 . z-(ab+Y<J) <Jt, D)
взятый вдоль окружности |<| = 1. Этот интеграл может быть
написан в виде
где
Х = а(т—6) + p(m'—d),
\i — a(m'—d)—с(т—b) — 1.
Интеграл \ tPdt равен нулю, а если \i= —1, то он равен 2т.
Для того чтобы |i равнялось —1, нужно, чтобы т и т' представ-
лялись в виде A); но тогда % = га, так что интеграл D) приводится к
2,9 а. Пуанкаре

450 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Таким образом, чтобы решить интересующую нас задачу, мы
должны исследовать расположение и природу особых точек
функции Ф (г), а чтобы избежать путаницы, мы будем различать
функцию Феро Ф1 (z), определяемую двойным интегралом C),
и функцию Ф2 (z), определяемую обычным интегралом D).
309. Применим эти принципы к вычислению коэффициентов
Лапласа, которые даются формулой
2inb[k) =
где
Будем считать сначала, что s фиксировано, а к возрастает,
и будем искать коэффициент при zh в разложении
Эта функция имеет две особые точки, одна из которых нахо-
дится на внешней окружности кольца сходимости z=— , а дру-
гая находится на внутренней окружности z = а; если предполо-
жим, что к — очень большое положительное число, то первую
из этих особых точек и нужно рассматривать.
В окрестности этой точки имеем
F-a = (l— az)-8(l— a*)-8>
откуда вытекает асимптотическая формула
Допустим теперь, что к фиксировано, as — очень большое
число. Пусть
s —ге4- —
Тогда 2inb^ будет коэффициентом при р"п в разложении
интеграла
z*-i dz
Особые точки подынтегральной функции даются уравнениями
Для этого нужно, чтобы или эти два уравнения имели общий
корень (тот, который будет давать E = 0), и это решение надо

ГЛ. XXIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 451
отбросить, или одно из уравнений имело бы кратный корень.
Первое уравнение, не зависящее от E, мы можем исключить
из рассмотрения. Остается второе уравнение, которое имеет крат-
ный корень, если
*=±1, р = A±аJ.
Корень, который является подходящим, равен A — аJ.
Какова природа этой особой точки? Для р\ близких к A — аJ,
главная часть интеграла будет та, которая соответствует значе-
ниям z, близким к 1. При z = 1 YF = 1 — а, так что интеграл
запишется в виде
f (l-o) dz
—р—а (z +—
Подынтегральная функция является рациональной функцией,
для которой нужно найти вычет. Этот вычет равен
1—а
где z дается уравнением
1 + <хЗ
Но это уравнение дает
Поэтому вычет равен
20/A—0J—Р
и интеграл равен этому вычету, умноженному на 2т. Таким
образом, Ь^ является коэффициентом при EП в разложении
1 Р
2 У а
т. е.
~2
2/a"(l-ap-i
в формуле, которая, как легко заметить, не зависит от к.
29*

452 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
310. Нахождение особых точек функции Ф (z) не представ-
ляет трудности; для этого можно применить к интегралам C)
и D) рассуждения § 282. Нет затруднений и при исследовании
природы особых точек*).
Трудность порождается тем, что не все особые точки являются
подходящими и они не принадлежат рассматриваемой ветви
функции Ф (г). В самом деле, в §282 и 283 мы видели, каковы
условия, при которых особенность функции Ф (z) подходит
для рассмотрения. Эта особенность появляется, когда две осо-
бые точки подынтегральной функции совпадают, и для того,
чтобы особенность подходила, нужно, чтобы эти особые точки
до совмещения находились по разные стороны контура инте-
грирования.
Особые точки, которые подходят, мы назовем допустимыми,
и нам надо выбрать, если пользуемся интегралом C), те из допус-
тимых особых точек, которые имеют весьма малый модуль, а если
пользуемся интегралом D), те из допустимых особых точек, модули
которых близки к единице.
Исследование на допустимость особых точек является на-
столько тонким, что здесь оно является основным препятствием
в применении этого метода. В «Les Methodes nouvelles de la
Mecanique celeste» нами указаны общие принципы, которые
позволяют выполнить такое исследование. Но мы применяли
эти принципы только в случае нулевой наклонности, одного
нулевого эксцентриситета и другого малого эксцентриситета.
Гами **) рассмотрел эту проблему, не накладывая эти три условия.
Кокулеску в своей диссертации A895 г.) рассмотрел компланар-
ные орбиты с малыми, но отличными от нуля эксцентриситетами
и с одной и той же долготой перигелия. Наконец, Феро в диссер-
тации A897 г.) рассмотрел случай конечной наклонности и двух
нулевых эксцентриситетов; впрочем, он получил заново и резуль-
таты Гами.
Кажется, что исследование должно быть более легким, если
применяется интеграл D), чем если применять двойной инте-
грал C). Это не так, если один из эксцентриситетов отличен от
нуля, так как подынтегральная функция не является одно-
значной функцией относительно t, а обладает бесконечным мно-
жеством значений, так что исследование не может быть сделано,
если учесть, что риманова поверхность имеет бесконечное мно-
жество листов. Поэтому Феро, вводя интеграл C), существенно
продвинул решение проблемы вперед. Но нужно было облегчить
исследование двойных интегралов и для этого изучить свойства
*) Poincare, Les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste, Paris,
1892, т. I, p. 322.
•*) Haray, Journal de Liouville, 1894 и 1896.

ГЛ. ХХШ. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 453
их периодов. В главах XX и XXI мы уже отметили значение,
которое могло бы иметь это исследование.
Если вместо того чтобы исследовать разложение по средним
аномалиям, рассматривать разложение по эксцентрическим ано-
малиям, то задача становится значительно проще. Известно,
например, что функция Ф (z) удовлетворяет некоторому линей-
ному дифференциальному уравнению, коэффициенты правой части
которого и сама правая часть являются рациональными функ-
циями z.
Мы не рассматриваем более этот вопрос, а ограничимся
ссылкой на указанные сочинения и, в частности, на главу VI
из «Les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste».

ГЛАВА XXIV
ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ
311. Теорию движения Луны можно разделить на две части.
В первой части движение Луны рассматривается в предположении,
что Луна, Солнце и Земля являются материальными точками
и образуют замкнутую систему. Во второй части рассматривается,
как возмущается это движение притяжением других планет
и влиянием сжатия Земли.
Первая часть является частным случаем задачи трех тел
и возникающие трудности обусловливаются только относительно
большой величиной возмущений. Отношение возмущающей силы
к притяжению центрального тела, как мы видели в главе II,
будет порядка
пц .' АС у
т7 V. ВС у '
где т4 — масса возмущающего тела, щ — масса центрального
тела, АС и ВС — взаимные расстояния трех тел. Это отношение
является произведением двух множителей, из которых один равен
отношению масс, а другой равен кубу отношения взаимных
расстояний. В случае планет первый множитель очень мал, а вто-
рой конечен; в случае Луны, наоборот, первый множитель велик,
а второй — весьма мал. Произведение этих двух множителей,
без сомнения, является малым (иначе проблема не могла бы
быть решена методом последовательных приближений), но оно
не является столь малым, как в случае планет, так что прибли-
жения сходятся гораздо медленнее.
Трудность и важность задачи привлекли к ней внимание мно-
гих математиков, и изучение их исследований чрезвычайно
интересно с исторической точки зрения; об этом можно прочесть
с пользой в третьем томе упомянутого сочинения Тиссерана. Но
можно сказать, что заслуживают внимания только три метода:
метод Ганзена, метод Делоне и метод Хилла — Брауна.
Метод Ганзена служит для построения таблиц, применяемых
в настоящее время. Эти таблицы обладают замечательной точ-
ностью, и если они расходятся с наблюдениями, то расхождения
порождены не каким-либо недостатком метода (по крайней мере,

ГЛ. XXIV. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ 455
пока рассматриваются только Солнце, Земля и Луна), так как
другие методы, более совершенные с теоретической точки зрения,
также приводят к таким же расхождениям, а пренебрежением
некоторых членов, происходящих от притяжения планет, или
еще какой-нибудь неизвестной причиной. Тем не менее этот
метод настолько сложен, что мы отказываемся от его изложения
здесь и отсылаем читателя к оригинальным работам Ганзена,
изложение которых можно найти в главе XVII третьего тома
Тнссерана. Успех Ганзена объясняется его высоким искусством
и его личным терпением в особенности, а также тем, что он искал
непосредственно численные значения коэффициентов, не пере-
ходя к алгебраическим выражениям, где постоянные обозначены
буквами.
Делоне поступал наоборот; все его коэффициенты выражены
рядами, в которых фигурируют различные постоянные, харак-
теризующие движение Луны, а коэффициентами этих рядов
являются известные рациональные числа. Поэтому эти формулы
применимы не только к Луне, но и к любому спутнику (в пред-
положении, что он один). Для этого достаточно заменить пос-
тоянные, относящиеся к Луне, соответствующими постоянными
для данного спутника. Из этих формул легко также видеть, каково
влияние ошибки, внесенной в какой-либо из элементов Луны.
Определение рациональных чисел, которые служат коэффициен-
тами, требует огромной работы. Если Андуайе нашел несколько
ошибок, то они относятся только к членам высшего порядка
н они не влияют на точность, заданную таблицами.
Браун занимает промежуточную позицию. Его коэффициен-
ты не являются ни чисто числовыми, как у Ганзена, ни чисто
аналитическими, как у Делоне. Они представляются в виде рядов,
расположенных по степеням различных элементов, за исклю-
чением отношения средних движений. Находятся численные зна-
чения коэффициентов этих рядов, но эти коэффициенты уже не
являются рациональными числами, а функциями отношения
средних движений, которые также могут быть представлены
рядами, но Браун ограничивался нахождением их численных
значений. Так как, с другой стороны, метод Брауна является
более непосредственным по сравнению с другими, то можно полу-
чить более далекие приближения по сравнению с предыдущими
методами.
Мы излагаем здесь метод Брауна с некоторыми изменениями,
так как здесь мы можем воспользоваться результатами преды-
дущих глав и связать теорию Луны с общей теорией задачи
трех тел.
312. Мы будем пользоваться обозначениями главы II и, в част-
ности, § 42. Следовательно, мы будем обозначать:

456 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
через
ml = m2 — m3—массу Луны,
/л4 = Шь = пг6—массу Солнца,
7И7 = ТИв = ТП9 — МЭССу ЗвМЛИ;
через
Xi, x2, х3—координаты Луны,
*4i х&, Же—координаты Солнца,
хт, xs, x9—координаты Земли;
через А, В, С — положения трех тел (Луны, Солнца и Земли),
через D — центр масс системы Луна — Земля, а через
х[, х'г, х'я—проекции вектора АС,
Ж4> Ж8> х»—проекции вектора BD.
Мы положим также
== 2"C"s"+4" + "^J' T* = ~2{l% + li? + J&
так что 1\ представляет кинетическую энергию Луны в ее дви-
жении относительно Земли, если приписать ей фиктивную мас-
су тп\, тогда как 1\ представляет кинетическую энергию Солнца
в его движении относительно точки D, если приписать ему
массу m't.
Кроме того, мы будем полагать
,, mim-j jj m4 AЩ-\-тт)
Ui~ Ж' 2~ Ш '
f=Tt+т2+ut + иг+и»=ф
*) Мы находии более целесообразный положить здесь
F=O0 + m'1Oi, y'=m[y"
вместо ранее употреблявшихся обозначений
1, у'=т1у".

ГЛ. XXIV. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ 457
Мы видели, что U3 составляет примерно 0,01 от 1\ и Ut
и 0,0000001 от Т2 и U2, что позволяет нам пренебречь U3 по
сравнению с Фо.
313. Уравнения движения имеют каноническую форму
~dt~~dy[ ' ~Ш~~~дх\' ' '
Полагая i = 4, 5, 6, мы видим, что частные производные от
7\ + ^i равны нулю, а частные производные от U3 пренебре-
жимо малы по сравнению с частными производными от Фо, так
что получаем уравнения
dx[ ^ #Ф0 "|
~df ~ ~дуТ ' I
B)
которые показывают, что движение Солнца относительно центра
масс D может рассматриваться как кеплеровское движение.
При i = 1, 2, 3 частные производные от Фо обращаются в нуль,
поэтому получим
dx{ дф dy[ дф
-dT = m^Wiy ЧГ=-т1-Щ A = 1,2,3). C)
Правые части уравнений C) зависят также от x't, x't, х'в, кото-
рые определяются уравнениями B). Поэтому их можно рас-
сматривать как известные функции времени, так что характе-
ристическая функция Ф1 будет зависеть явно от времени (как
и в § 12).
С другой стороны, чтобы избавиться от малого множителя mt,
достаточно положить, как и в § 121,
y'i = m[yi (i = l,2, 3).
Уравнения C) остаются при этом каноническими и принимают
вид
dt ду\ ' dt ~ дх\ ' ^ >
314. Теперь нужно применить методы X и XII глав, резуль-
таты которых приведены, в частности, в § 177. Мы видим, что
оскулирующие элементы могут быть разложены по степеням \i
и по степеням выражений
?ftcosi4, EhSinw'k D)

458 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
и по синусам и косинусам кратных аргументов w" , а коэффи-
циенты этих разложений зависят еще от п постоянных интегри-
рования Wi (если мы имеем п + 1 тело).
Величины Е суть постоянные интегрирования порядка эксцен-
триситетов и наклонностей. Аргументы и/ и w" изменяются
пропорционально времени, и мы имеем
где шиш' суть постоянные интегрирования, а в' ну'- пос-
тоянные, разложимые по степеням \i и Ег (см. § 179).
В § 192 мы видели, что гелиоцентрические координаты (здесь
геоцентрические координаты), т. е. х[, x't, х'я, разлагаются таким
же образом, и то же самое можно утверждать о у[, у'2, у'г. Эти
разложения имеют вид
где q, к, р — целые числа, причем
2fc—2/> = 0 F)
в разложениях для х'а, x't, y's, y't и
Sp=i G)
в разложениях для х[, х\, х\, х'ь, у\, у'„ y'v у'ь (см. §§ 116, 162,
187, 192).
Известно также, что разложения для x'v x's, x't, x't, у'г, у'ъ
содержат только косинусы, и наоборот, разложения для х'г,
х'ь' Уп Уз» Ун У» — только синусы (см. § 190 и 192).
Количество аргументов w' равно четырем, число аргументов
w"— двум (§ 193). Но одно из средних движений y't равно
нулю, поэтому w't приводится к постоянной. Если взять неиз-
менную плоскость за координатную плоскость xtx2, то ?4 = 0»
так что аргумент w't не будет входить в разложения, и мы будем
иметь только пять аргументов
(8)
Новое упрощение возникает в результате того, что масса Луны
мала и движение Солнца относительно точки D может быть рас-
сматриваемо как кеплеровское. Неизменная плоскость, кото-
рую мы взяли за плоскость х4х2, тогда есть просто плоскость
солнечной орбиты. С другой стороны, w's, которая с точностью
до знака есть долгота перигелия солнечной кеплеровской орбиты,

ГЛ. XXIV. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ 459
обращается в постоянную, поэтому остаются только четыре
различных аргумента, w\, w'^, u>", ю"г, смысл которых легко заме-
тить: w[ — средняя долгота Луны (не средняя долгота в оску-
лирующей орбите, но, так сказать, средняя средняя долгота);
w\ — средняя долгота Солнца; — w[ — средняя долгота лун-
ного перигелия; —w'2 — средняя долгота узла.
Точно так же Ei есть постоянная, которая играет роль, ана-
логичную эксцентриситету лунной орбиты; Е2 играет роль
наклонности, Е3 — эксцентриситета орбиты Солнца, и мы можем
даже воспользоваться неопределенностью этой постоянной Е3,
чтобы считать, что она в точности равна эксцентриситету орбиты
Солнца.
В разложениях для
x'v x'v y'v Уг
показатель величины Е2 и коэффициент при w't всегда будут чет-
ными. Наоборот, в разложениях для х'3, у'а они всегда будут
нечетными (см. § 191).
Если Е3 = 0, т. е. если допустить, что орбита Солнца является
круговой, то наши разложения не будут зависеть от w'3, а лишь
от аргумента
kxw\ + k2w\ + р^ + p2w'v
в котором
К + кг—рх—р2
равно нулю для взаимных расстояний и для x's и равно 1 для
х\ и х\.
Если, кроме того, наклонность равна нулю, т. е. если Е2 = О,
то члены, зависящие от ю'г, исчезают; следовательно, х'я = О,
и в разложениях для взаимных расстояний трех тел имеем только
аргумент
причем
Другими словами, разложения зависят только от двух аргу-
ментов w\ + w"v u>l + Щ и располагаются по степеням
величин
E(;;; + u>;), Ev sin (wl + w[).
Это случай ограниченной круговой задачи трех тел.
Если мы вернемся к предположению Е2 ^ О, Е3 = 0, то
интеграл Якоби еще существует.
315. Выше мы положили (§ 312)

460 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Прежде всего должны заметить, что:
1. U3 намного меньше, чем Ту + Uy.
2. Ту и Ut зависят только от масс ту и т7 и от координат Луны,
т. е. от переменных х[, хг, х'3, у[, у'2, у'я.
3. U3 зависит, кроме того, от массы т4 Солнца и от коорди-
нат Солнца, которые являются известными функциями времени
и элементов орбиты Солнца.
С другой стороны, так как АС намного меньше BD, имеем
р АСп ,q.
* (у)
где Рп есть функция угла между двумя направлениями АС
н BD (см. § 38), и ряд (9) сходится очень быстро. Мы видим, каким
образом U3 зависит от масс и элементов орбиты Солнца:
1) она пропорциональна т4;
nv Ut I>l4
2) —т- зависит только от отношения —-;
3) U3 зависит, кроме того, от элементов орбиты Земли, а имен-
но: от долготы перигелия —w's, которая равна постоянной, от
средней долготы Солнца —w"it которая меняется пропорциональ-
но времени, от эксцентриситета орбиты Солнца, который мы
выше обозначили через Е3, и, наконец, от большой полуоси орбиты
Солнца, которую будем обозначать через а'.
Посмотрим, как каждый из членов ряда (9) зависит от а'.
Расстояние АС зависит лишь от координат Луны; множитель Рп
зависит от угла, следовательно, он не зависит от а', а зависит
от других элементов орбиты Солнца. Что касается BD**1, то
это есть (га + 1)-я степень некоторой длины, поэтому она будет
пропорциональна а'"*1. Отношение -^ не будет зависеть от а'.
Поэтому можно написать
тт _ m у mim4±m1m4 р А(,пГ а' у+1 1
U3-~m42j (m + myT-ГпАС {-gQ-J -рй+i .
и так как все множители, кроме последнего, не зависят от а ,
то мы имеем разложение функции U3 по убывающим степеням а'.
Первый член разложения A0) равен
тлу-\-шч \ HD J д'З
так что мы можем написать
где Qn не зависит от w4 и от а'.

ГЛ. XXIV. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ 461
Множитель -^| мал и он играет роль параметра \i. Впрочем,
а' есть постоянная, и наша возмущающая функция разлагается
в быстро сходящийся ряд по степеням -р-. Постоянная величина
-р- также могла бы играть роль параметра \i, так что, применяя
предыдущие методы, мы найдем, что наши неизвестные могут
быть разложены по степеням величин
1^ и 1Г-
С другой стороны, третий закон Кеплера дает
откуда
Второй множитель есть известная постоянная. Она так близка
к единице, что можно просто взять
A=71*.
Поэтому, кажется, мы должны сделать вывод, что наши коор-
динаты должны быть разложимы по степеням п\ и —- . Но преж-
де чем согласиться с этим выводом, нужно рассмотреть вопрос
подробнее.
Q>i и U2 зависят от га2 двумя способами:
1) непосредственно через множитель (i = -^j, который содер-
жится в U3;
2) косвенно, так как U3 зависит, кроме того, от w, который
равен n2t.
Чтобы можно было применять результаты главы X, необхо-
димо рассмотреть га2 (поскольку он входит в w) и ц как две
независимые переменные. При этих условиях наши разложения
будут расположены по степеням \i, но их коэффициенты будут
функциями различных постоянных и, в частности, п2. Мы видели,
что интегрирование приводит к появлению малых делителей вида
kini + к2п2. Один из этих делителей в точности равен п2-
Рассмотрим некоторый член разложения, зависящий от этого
малого делителя га2. Пусть а — показатель \i, a P — показатель
малого делителя, так что наш член содержит в качестве множи-
теля величину

462 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
о
Выражение а — -|-является классом данного члена, и как
было показано в § 198, он всегда неотрицателен. Следова-
тельно, показатель 2а — Р величины п2 не может быть отрица-
тельным, но нет никакой причины, чтобы он был четным.
Следовательно, наши разложения располагаются не по степе-
ням п\и —г,апо степеням п2 и —г. Мы убедимся далее, в конце
главы XXVIII, что могут появиться, но только для членов выс-
шего порядка, малые делители с га* и п\. Отсюда следует, что
га2 может в некоторых членах разложения войти с отри-
цательным показателем.
316. Итак, окончательно находим, что
ж' = /(т,, m4, m7; щ, Et, E2\ w\, w\, w'2; a', E3, w\, w's).
В самом деле, наши координаты зависят от трех масс, четы-
рех аргументов w[, w't, w[, w, двух постоянных интегрирова-
ния Ei и Е2, введенных выше, третьей постоянной, за которую
мы можем выбрать среднее движение п{, и элементов солнечной
орбиты а', Е3 и w'a.
Мы можем заменить тга4 через а'3п\ и ввести новую постоян-
ную а, определенную равенством
/я, + ш7 = п\а*.
Тогда /я, и ш7 будут функциями-^- и п\а3, так что можно
написать
— , а, щ, ?>i, ?>2, wv w2, u\, w2, а , щ_, и3, w9).
Теперь нужно ввести условия однородности: а и а' имеют
размерность длины, так же как и х'\ — и — имеют размерность
времени; Е являются числами, или по крайней мере можно восполь-
зоваться неопределенностью их определения, чтобы это допустить;
— и w являются числами.
т7
При этих условиях, чтобы формула не зависела от единиц
длины и времени, мы должны иметь
Мы не отмечаем явно те переменные, которые являются чис-
лами. Положим
по , а
щ 'а'

ГЛ. XXIV. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ 463
и так как наши выражения разложимы по степеням гс2 и — , то
мы видим, что они будут разложимы также по степеням т' и а;
постоянная т' есть отношение средних движений;а —это величина,
называемая параллаксом.
Прежде всего, дифференцируя по времени, будем иметь
_
*" ту dt ,,fH_
и, следовательно, в силу однородности
а, с другой стороны,
',а; ^, Л. ; it; E3, w;,wa).
317. Полезно сделать еще несколько замечаний относительна
симметрии. Наши разложения расположены по степеням величин
г', а, Еу
COS , р COS
sin a> 3 sin
и аргумент общего члена равен
Mi + М'г + Piw'i + P2w'i ¦
Для х9 2^—^\Р = 0, а для х[ и _ _
того, р2 четно для х\ и х'г и нечетно для а;,, откуда следует, что
всегда нечетно. С другой стороны, р3 всегда имеет ту же чет-
ность, что и показатель Е3, поэтому к% -\- к2 — р± — 1 всегда
имеет четность, противоположную этому показателю.
Пусть теперь q0 есть показатель параллакса а; мы видим, что
положение Солнца не меняется, если переменные
а', а?, а»;
заменить на
—а', г
В этом случае координаты Солнца не изменятся, поэтому ни-
чего не должно измениться, так как в наших уравнениях а', w\r
w'a вводятся только через координаты Солнца.

464 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Но при этом любой член умножится на (— 1)во+Ы-р8, сле-
довательно, мы должны иметь
Яо + к2-\-р3 = О (mod 2).
С другой стороны, мы нашли, что
ki + h—pt—p3 = l
для трех координат х[, х'г, х'а и, следовательно,
Для взаимных расстояний мы имели
*i + *s—A—ft—ft = 0,
*i + *s—ft—ftsO
откуда
Немного дальше (см. § 320) мы положим
a; = a;^cos w2-\-x'isia.w2,
у = — х[ sin w2 + х'л cos w2.
Отсюда видно, что если к2 четное в разложениях х[ и x't, то
оно будет нечетным в разложениях х и у, и наоборот. Поэтому
для хну будем иметь
н для членов, не зависящих от а и Е3, т. е. если q0 = р3 = 0,
будем иметь
318. Сейчас мы выведем одну важную для дальнейшего фор-
мулу, для чего воспроизведем отчасти рассуждения § 120, опи-
раясь на теорему из § 16. Согласно этой теореме если имеется
система канонических уравнений
dx _ dF dy _ dF
и если допустим, что переменные х ту выражены в виде функций
от постоянных интегрирования а и времени t, то имеет место
тождество
—F dt,

ГЛ. XXIV. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ 465
где Q определяется уравнением
а величины А не зависят от времени, а только от а.
Здесь имеем уравнения C'):
_?{_ _ _
dt ~ ду\ ' dt ~ дхг '
Они тоже являются каноническими, но функция Ф4 зависит
не только от неизвестных х и у", но еще и от времени, и это обя-
зывает нас применять прием § 12. Ф4 зависит явно от времени
через посредство координат Солнца, которые являются перио-
дическими функциями аргумента w\ . Введем, следовательно, две
вспомогательные переменные и и v. Мы можем написать Ф? в виде
Ф4 (*',/; О
и положить
Тогда, если мы хотим, чтобы соблюдалось условие и = w
= n2t + Ю2> мы должны иметь
du dF'
ЧГ = П2 = ~дГ
и можем написать канонические уравнения в виде
dt ~ ду ' dt ~ дх'
ёиЫГ dvдГ
__ _ _
dt ~~ dv ' dt ~ du '
Мы присоединили произвольно четвертое уравнение, которое
может рассматриваться как уравнение для определения v. Кроме
того, для унификации обозначений мы положим
и, с другой стороны,
что не изменит определение щ, п2, щ и и>2.
Уравнения остаются каноническими и F' более не зависит
явно от времени. Следовательно, мы можем написать
da-F'dt. A2)
30 А. Пуанкаре

466 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Но
F'dt = {Q>i + n2v)dt = <bidt + v{du—da>2),
что позволяет написать
^ix'dy'' = d(Q—uv) + 42Ada—Oidt + vda2. A3)
Каковы наши постоянные интегрирования а? Мы имеем сна-
чала т', Ei и Е2, которые мы обозначим через р, затем мы
имеем постоянные ю, входящие в аргументы w. Так как систе-
ма A1) есть система восьмого порядка, то мы имеем и восьмую
постоянную, но нас это не должно беспокоить, так как она вхо-
дит только в лишнюю переменную v. Это постоянная К, которая
входит в правую часть равенства
Что касается других постоянных, то они относятся к харак-
теристикам орбиты Солнца, поэтому они должны рассматриваться
как известные величины, а не как постоянные интегрирования.
Среди семи постоянных, которые мы сохранили, мы будем раз-
личать постоянные со и другие три (т', Еи Е2), которые будем
обозначать через р. Тогда, различая коэффициенты двух видов,
мы можем написать уравнение
2 х' dy" = d (Q—uv) + 2 A dm + 2 Б df>—(Dj dt + v d^.
Полагая в нем
Q' = Q—uv,
получаем формулу
2 x' dy" = dQ' + 2 A d© + 2 В dp—<Dj dt + v dm2. A4)
Функция Q' определяется с точностью до произвольной
функции от постоянных Р и со из уравнения
Правая часть есть функция постоянных р* и аргументов w,
периодическая относительно w.
Обозначим через Н среднее значение этой периодической
функции, которая будет функцией только от р. Тогда можно
допустить, что
где Q" — некоторая функция величин Р и w, периодическая
по w. Среднее значение этой периодической функции может быть
выбрано произвольно, так как Q' определяется только с точно-

ГЛ. XXIV. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ 467
стью до произвольной функции постоянных, и мы будем полагать
ее равной нулю. При этих условиях Q" является функцией
только Р и w. Как и в § 129, будем полагать
lt A6)
и будем иметь, что W и С являются функциями р и w, периоди-
ческими по w. Итак, имеем равенство, которое вытекает из сло-
жения A4) и A6):
. A7)
Это равенство должно обратиться в тождество, если заменить
u>i через nit + юг- Поэтому соотношение A7) может быть запи-
сано в виде
^W{ndt + tdn + da)+^\Cd^—Hdt—tdH=-.
= 2.4 dm-f 2 # <Ф—Ф1 dt + vda>2,
откуда, отождествляя коэффициенты при различных дифферен-
циалах, получим
A8)
tf- J
Рассмотрим уравнения A8) и применим к ним леммы § 108
и последующих параграфов. Если сначала возьмем уравнение
Wt = At, то увидим, что левая часть должна быть функцией р
и w, периодической относительно последних, а правая часть
должна быть функцией Р и со. К тому же это уравнение должно
обратиться в тождество при замене w на nt -\- со. Это возможно,
если Wt и At являются функциями только Р (для i = 1, 3 или 4).
Если рассмотрим последнее из уравнений A8), то увидим, что
левая часть равна сумме функции С, периодической по w, и функ-
ции, периодической по w, умноженной на t. Правая же часть
равна сумме функции В, зависящей от р и со, и функции, зави-
сящей от Р, умноженной на t. Тождество возможно только тогда,
если имеют место в отдельности равенства
2W дп — дн •
д$ ~ ар '
С = В
как функции постоянных р.
30*

468 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Поэтому будем иметь
YiWdn = dH A9)
и, учитывая первое из уравнений A8), получим
«M>i- — %ndW. B0)
Заметим, что в сумму ^Wdn не входит член W2dri2, так
как п2 — заданная постоянная и, следовательно, dn2 = 0.
Мы говорили, что Wt, W3, W4 зависят только от р. Посмотрим,
что мы можем сказать относительно W2. Мы имеем уравнение
где W2 — функция от р* и w, периодическая по w, a
К — восьмая постоянная, тогда как Фх является функцией р" и w,
периодической по w\ что касается А2, то эта функция восьми
постоянных р, о» и К. Поэтому имеем тождество
п7\Уг+Ф1 = п2А2 + К, B1)
в котором левая часть есть функция р* и w, периодическая отно-
сительно w, а правая часть ее есть функция р, К и ю. Тождество
возможно, если только обе части зависят лишь от р. В таком
случае будем писать первое из уравнений A8) в виде
в котором каждый член левой и правой частей являются функ-
циями лишь р.
Выше мы видели, что некоторые из наших координат являются
четными функциями, а другие — нечетными функциями аргу-
ментов
w[, w"t, w[, w't, w'a.
Последний из этих аргументов, w'3, есть постоянная, которую
можно рассматривать как величину, заданную раз и навсегда.
В частности, мы можем положить ее равной нулю, что будет
означать, что координатная ось х\ совпадает с большой осью зем-
иой орбиты. При этих условиях наши координаты будут четными
или нечетными функциями четырех аргументов

ГЛ. XXIV. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ 469
Следующие функции,
v ^s- У*> at ' dt ' dt ' " dt '
W,A,V,n,x'^f,x'^, «L
будут четными, а функции
x u u i?L ^?L ^L
, Q , С, Б, x у , x -щ-,
будут нечетными.
Заметим, что С не зависит от и и в то же время должно быть
нечетной функцией w, поэтому она должна быть равна нулю»
так что будем иметь
и в силу уравнений A8) и B1)
2 х' dy"-du"= 2 Aidwt-®^ , B2)
в котором положено
A\ = Ai = Wl (« = 1,3,4),
так что величины А' зависят только от р.
319. Из формулы B2) можно вывести ряд важных формул,
которые мы напишем в виде
- 1 з ^
и, в частности, для постоянной т'
Но при использовании последней формулы необходимо обра-
тить внимание на одну вещь. Выше мы приводили выражения
х' = af (то', а), у" = гага/ (т', а),

470 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
где а=-^-. В этом случае надо обратить внимание на то, что
х' и у" зависят от т' не только непосредственно, но и через по-
средство а, которая является функцией т, и через посредство а,
которая равна —г.
320. Вращающиеся оси. Можно получить большую выгоду,
если отнести нашу систему к осям, вращающимся вокруг начала
с угловой скоростью п2. Эти преимущества следуют уже из того,
что мы говорили выше, в § 313. Действительно, мы видели, что
когда Е3 = 0, уравнения движения в этой системе координат при-
нимают особенно простой вид.
Легко вывести уравнения движения элементарными преобразо-
ваниями, но предпочтительнее получить преобразование уравнений
из результатов главы I. Для этого возьмем уравнения A1) § 318;
с другой стороны, чтобы прийти к обозначениям Хилла и Брауна,
мы обозначим через х, у, z координаты Луны относительно вра-
щающихся осей, так что будем иметь
х = х\ cos и + х'л sin и,
у= —
Здесь и есть угол между подвижными и неподвижными осями,
т. е. он имеет тот же смысл, что и в § 318. Поэтому w2= w"t =
= n2t + w2.
Далее, будем полагать
у[ = X cos и — Y sin и,
у = Х sin и + Y cos и,
и, наконец,
v' = v-(Xy-Yx).
При этих условиях имеем
dx = dx[ cos и -\- dx't sin и -|- у du,
dy=* — dx\ sin u -f dx't cos и—x du
и, следовательно,
2 y'dx' + vdu = Xdx+ Y dy + Z dz + v 'du.

ГЛ. XXIV. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ
471
Отсюда вытекает, что замена переменных является канонической
и уравнения A1) принимают вид
dx _ dF' dX _
dt ~~ dX ' dt ~~ '
du__dF^_ dv' _
dt ~ dv'b' dt ~
B3)
из которых уравнения для других координат получаются круго-
вой перестановкой переменных х, у, z и X, Y, Z.
Кроме того, имеем
F'=
и из уравнений B3) получим
dX _ dip
du
dt ~ dx ~ dx ' dt
В этих уравнениях положено
Заметим, что
dx
B4)
Последнее из равенств B4) делает понятным смысл дополни-
тельного члена п2 (Ху — Yx). Он представляет собой с точностью
до постоянного множителя п2 постоянную площадей в абсолют-
ном движении.
В случае, когда Е3 = О, F' зависит только от х, у, z, X, Y, Z
и не зависит от и. Следовательно, мы снова приходим к интегралу

472 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Якоби, который может быть написан в виде
F'-mv' = \ У, X2 + Ui+?* + ^ (Xy-Yx) = const
?t *¦ /7*1
или
Далее находим
2 y"dx' = 2 X dx— (Ху—Yx) du,
2yV = 2Xa:,
откуда
2 x' dy" = 2 x dX + {Xy—Yx) du.
Учитывая формулу B2) и замечая, что и = w2, получим
%xdX—dQ^^Aidwi—^^L, B5)
где положено
С другой стороны, Q* определяется также из уравнения
где Н — постоянная, выбранная таким образом, чтобы среднее
значение правой части было равно нулю. В самом деле, для этого
достаточно обратиться к формуле A5) и заметить, что
321. Выбор постоянных. Важно сравнить предыдущие обозна-
чения с теми, которыми пользовались Ганзен, Делоне или Браун.
Делоне применял следующие аргументы:
D = w\—wl = wt — wz (среднее угловое расстояние Луна —
Солнце),
F = w"x + w'2 = u>! + wk (среднее угловое расстояние Луна —
узел),
l = wl + w[ =Wi + w3 (средняя аномалия Луны),
I' =wl-{-w'a (средняя аномалия Солнца).
Если w'z = 0, как мы и предположили, то V = w"% = w2 = и.
Ганзен пользовался следующими аргументами:
© = Wi -\- W3,

ГЛ. XXIV. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ЛУНЫ 473
Браун применял аргументы Делоне, но в его формулах обычно-
фигурируют мнимые показательные функции
Следует также сравнить обозначения для различных посто-
янных.
Постоянная Е3, эксцентриситет орбиты Солнца, у всех обозна-
чается через б'; отношение двух средних движений, которое мы
обозначили через т', Делоне обозначал через т. Браун же через
т обозначал отношение
пг _ т' сидерическое движение Солнца
1—л2 ~~ 1—т' ~ синодическое движение Лупы '
Мы будем полагать, как и он,
т'
т —
i—m'
Легко видеть, что т' может быть разложено по степеням т и,
следовательно, все наши ряды, расположенные по степеням т',
могут быть разложены по степеням то; быстрота сходимости от
этого даже увеличится, почему — будет видно дальше.
Постоянные, соответствующие а и Еи обозначены Делоне
и Брауном через а и е. Но они определены другими способами.
У Брауна а есть коэффициент при ? = eiD в разложении для
х -f- iy и, следовательно, коэффициент при cos D в разложении
для х или, точнее, а определяется так, как если бы мы пренебрег-
ли величинами Еи Е2 и Е3. У Делоне а определяется равенством
mi + Щ — п\а3.
Делоне определяет е таким образом, чтобы главный член урав-
нения центра имел такой же вид, что и в кеплеровском движении.
У Брауна, наоборот, е является коэффициентом при a sin I
в разложении выражения х[ sin wt — я, cos wt. Здесь различие
существенно, так как величина е Брауна почти равна удвоенной
величине е Делоне.
Постоянная наклонности, которая соответствует величине Е3,
у Делоне обозначена через у и определяется таким образом, чтобы
главный член в широте был таким же, как и в эллиптическом
движении. У Брауна она обозначена через К и определяется как
коэффициент при 2а sin F в разложении для z.
Можно видеть, что все определения Делоне играют первостепен-
ную роль для полярных координат, а определения Брауна — для
прямоугольных координат. Эти различия не имеют никакого зна-
чения и можно определять их и другими способами без изменения:
существа.

474 ТОМ И. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
322. Важно отдавать себе отчет в величине этих различных
постоянных. Имеем
' = 55'
е = -i (Браун) или ^ (Делоне), а = ^ .
Наши ряды располагаются по степеням этих величин, но важ-
но заметить, что в коэффициенте при том же косинусе или при
том же синусе показатели е, е', К, а всегда имеют ту же четность,
так что на самом деле ряды расположены по степеням величин
т —12' 100 400' 400 '
1
"
~3600' "60000*
Поэтому сходимость будет гораздо более быстрой для рядов,
расположенных по степеням эксцентриситетов и наклонностей,
чем для рядов, расположенных по степеням т, которое играет
роль параметра ц. в теории планет, изложенной ранее. Это противо-
положно тому, что было в случае движения планет. Поэтому в тео-
рии движения Луны целесообразно получить разложения сначала
не по степеням ц, и потом по степеням эксцентриситетов, а, наобо-
рот, сначала по степеням эксцентриситетов и потом по степеням т.
В этом существенное различие между теорией движения Луны
и теориями движения планет.

ГЛАВА XXV
ВАРИАЦИЯ
323. Будем сначала определять члены нулевого порядка
относительно эксцентриситетов, наклонности и параллакса, т. е.
относительно Et, Е2, Е3 и а. Эти члены не могут зависеть от w[,
w't, u?g. Поэтому они будут содержать
Если применим переменные х, у, z из § 320, то убедимся в том,
что z равно нулю, так как наклонность, по предположению, равна
нулю. С другой стороны, из § 192 имеем, что
ki=— к2.
Далее, согласно § 190, а; и У содержат только косинусы, тогда
как у и X содержат только синусы.
Наконец, согласно § 317, показатель а равен нулю и к2 должно
быть нечетным. В конечном итоге общие члены разложения для
х и у соответственно будут содержать
cos B к -\-1) {wi — w2), sin Bк +1) (wi — w2)
или cos Bk + 1) D, sin Bk + 1) D, если ввести аргумент Делоне
D (см. § 321).
Чтобы вывести уравнения задачи, необходимо взять общие
уравнения из § 320 и положить в них а = Е3 = 0. Полагая а = 0,
мы пренебрегаем параллаксом, т. е. сохраняем в U3 только пер-
вый член, что дает
из "i
1^ ¦pi
где Р2 — многочлен Лежандра второго порядка
D 3cos2v—1
Р2 2 *
Кроме того, так как z = 0, имеем

476 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
и так как BD параллельно оси х (эксцентриситет Е3 равен
нулю и, следовательно, движение тела В вокруг центра масс D
является равномерным и круговым), а у есть угол между АС и
осью х, то
AC cos у = х,
откуда окончательно имеем
Но выше, в § 320, мы нашли, что
{Xy-Yx).
С другой стороны, вспомним, что
_?i »Ч+тт
mi'~ AC
откуда
или, наконец,
U3
Так как F' не зависит от и, то вспомогательная переменная
v' сводится к постоянной и не играет никакой роли, и канониче-
ские уравнения B3) из предыдущей главы примут вид
A)
Но первые два уравнения показывают, что
dX d*x
dy
dt
dY
dt
_
dt*
dx
dt

ГЛ. XXV. ВАРИАЦИЯ 477
так что последние два уравнения A) будут иметь вид
Эти уравнения могут быть написаны и в другой форме. Если
мы положим
(это приводит к изменению единицы времени), то аргумент Делоне
будет играть роль времени. Тогда согласно § 321 получим
dx JI2
Если еще положим
то уравнения принимают вид
— Зтгх + -дм = О,
C)*)
Такова особенно простая форма, которую принимают уравнения
движения Луны, когда пренебрегаем:
а) параллаксом,
б) эксцентриситетом орбиты Солнца,
в) наклонностью.
Задача, которую мы предполагаем теперь решить, заключается
в нахождении некоторого частного решения этих уравнений,
а именно того частного решения, которое соответствует случаю,
в котором Et равно нулю. Так как мы пришли к тому, что хну
разлагаются по синусам и косинусам кратных 2D или 2т, то м ы
видим, что это частное решение являет-
ся периодическим. Эта задача полностью была реше-
на Хиллом **), и мы здесь изложим его основные результаты.
324. Однородные уравнения. Так же, как мы видели в преды-
дущей главе, эти уравнения имеют интеграл Якоби, который
*) Довольно часто в специальной литературе уравнения C) называются
уравнениями Хилла. (Прим. перев.)
**) «The American Journal of Mathematics», т. I, 1874.

478 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
запишется в виде
Впрочем, этот интеграл можно получить и сразу из уравне-
ний C). Здесь r = Ya? + у2 означает расстояние АС.
Таким образом, имеем три уравнения, и если мы обозначим
-г— и -j-j- через х' и х", то получим
хя— 2ту'—ЗтЧ + -^- = О,
'2 + у'г 3;п2 X г
2 2 * г
Из этих уравнений исключим х. Тогда получим
. ,ч . 1
yx"—xy''—2m{xx' + yy')—3mixy =0.
Первое уравнение получается в результате сложения уравне-
ний D), умноженных соответственно на х, г/, и 1, а второе полу-
чается в результате сложения тех же уравнений, но умноженных
на у, —х и 0 соответственно.
Также видно, что левые части уравнений E) являются однород-
ными многочленами второй степени относительно х, у и их произ-
водных.
325. Мнимые уравнения. Хилл приводит эти уравнения к но-
вой форме, вводя обозначения
s = x—iy.
В новых переменных имеем
F)
i*-s*) = 0,
и эти два уравнения могут быть заменены уравнением
us"—2mius'-\—g jr-A5uz-(- lous -\- 3s9) = С, G)
к которому нужно добавить сопряженное ему уравнение
u"s + 2misu' + ^-' - -^ A5s2 + 18us + Зи2) = С. (8)

ГЛ. XXV. ВАРИАЦИЯ 479
Действительно, легко проверить, что уравнения F) являются
не чем иным, как суммой и разностью уравнений G) и (8).
326. Уравнения C) образуют систему четвертого порядка и
они пригодны для изучения членов нулевого порядка и чле-
нов, зависящих только от эксцентриситета лунной орбиты Еи но
не зависящих ни от наклонности Е2, ни от параллакса а, ни от
эксцентриситета солнечной орбиты Е3. Эксцентриситет лунной
орбиты Ei является одной из наших постоянных интегрирования.
Если положим ее равной нулю, то останутся только члены н у-
левого порядка, которые мы и предполагаем изучать. Таким
образом, совокупность членов нулевого порядка представ-
ляет частное решение уравнений C). Так как эти члены зависят
только от единственного аргумента D = т, то они являются перио-
дическими.
Поэтому задача сводится к нахождению некоторого перио-
дического решения уравнений C).
Если построим траекторию Т точки с координатами (х, у)
относительно вращающихся осей, то эта траектория будет замкну-
той кривой, так как х и у являются периодическими функциями
времени. В силу того, что разложение для у содержит только
косинусы, а разложение для х—только синусы, итак как, с дру-
гой стороны, разложениями у содержат только члены, аргументы
которых равны т, умноженному на нечетные числа, то оси хну
являются осями симметрии для замкнутой кривой Т.
Исключая х из уравнений D) и рассматривая С как произволь-
ную постоянную, мы образовали систему E) или F), или G)
и (8), которые могут рассматриваться как более общий случай,
так как система не изменится, если заменить х, у и С на Кх, Ху
и К2С, где через Я обозначена некоторая постоянная. Если неко-
торая замкнутая кривая удовлетворяет уравнениям C), то она
также будет удовлетворять уравнениям G) и (8); но уравнения G)
и (8) будут допускать, кроме того, в качестве решения всякую
подобную кривую Т относительно начала координат.
Задача была целиком решена Хилломтак, как изложено в со-
чинении автора «Les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste»,
т. I. Для малых значений тп Хил л находит кривую, имеющую
общую форму эллипса; для m — 1,78 он нашел кривую с двумя
точками возврата, расположенными на оси х.
Если идти далее, то, без сомнения, можно найти кривую с двумя
двойными точками, симметрично расположенными на оси х; далее,
обе двойные точки будут стремиться совпасть с началом коорди-
нат, а затем они исчезнут, и кривая Т образуется в замкнутую
кривую без двойных точек, но с обратным движением. Но только
первые кривые, определенные Хиллом, представляют интерес
для изучения движения нашего спутника.

480 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
327. Вычисление коэффициентов. Вот к чему сводится метод
Хилла для малых значений т. Вместо уравнений C) рассмотрим
более общие уравнения
Поступая так же, как и выше, из них выведем вместо уравне-
ний G) и (8) уравнения
us"—2pius' + ^ -1- p*us = -^ A5м* + 3s2) + С, (Г)
su" + 2pisu' + ^у - \ р*ш = ^- (i 5s2 + Зм*) + С. (8')
Будем разлагать решение по возрастающим степеням т2.
Бели решение найдено, то, чтобы вернуться к уравнениям C),
положим в нем р = т.
Предположим, что задача решена, и положим
(9)
+ m*'Cq +
Теперь нужно определить последовательно сначала щ, s0, Co,,
потом и{, Si, Си потом и2, s2, С2 и т. д.
Прежде всего имеем
A /~t 1 О и _. jJ
Если заменить в уравнениях G') и (8') и, sis. С разложениями
(9), то в левой части будем иметь члены вида
а другие аналогичные формы, где иа или sp, или оба должны быть
заменены одной из производных первого или второго порядка.
В правой части будем иметь члены вида
лли
ИЛИ

ГЛ. XXV. ВАРИАЦИЯ 481
Допустим, что в результате применения метода последователь-
ных приближений определены величины
1*0, l*i, . . ., Uq-X,
и мы хотим определить wg, sq, Cq. Для этого приравниваем коэффи-
циенты при j»m.
В левой части мы должны сохранить члены, которые имеют
множителем те29, т. е. те члены, для которых
Эти члены, кроме тех, для которых а = q, Р = 0 или а = 0,
Р = q, содержат известные величины. В правой части мы должны
сохранить те члены, для которых
Все эти члены известны. Кроме того, мы должны сохранить также
член m2q Cq, который является неизвестным.
Неизвестные члены в левой части уравнения G') получаются
следующим образом. Возьмем, например, член
us".
Тогда можно написать
as" = и ЮГТ = «Г1 lW-2i W + К)].
Из разложений (9) имеем
Согласно нашему методу мы должны сохранить члены, для
которых а + р = q; выделим среди них те члены, которые содер-
жат неизвестные величины sq или uq, т. е. члены, для которых
а = 0, Р = q или а = q, р = 0. Такими членами будут следующие
(учитывая, что и0 = 1, s0 = 1, s'o = 0, sj = 0):
Таким же образом мы действуем и в отношении других членов
левой части, так что остаются следующие члены, содержащие
одну из неизвестных:
31 а. Пуанкаре

482 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Сохраним члены A0) в левой части и перейдем к правой части,
в которой сохраним члены, которые содержат только известные
величины. В результате получим уравнение вида
A1)
В уравнении A1) A (sq, uq) есть не что иное, как выражение A0);
следовательно, оно является линейной комбинацией с постоян-
ными коэффициентами величин sq, uq и их производных. Функция
Ф9 представляет совокупность известных членов из правой
части. Она является периодической функцией т.
Делая такие же преобразования и с уравнением (8'), получим
Д'(«„, ид) = Ф'9+Сд, A2)
где Д' (sq, uq) есть выражение
мнимое и сопряженное с A (sq, uq). Следовательно, оно выводится
из A (sq, uq), если поменять местами sq и uq и заменить i на —i.
Ф'д — мнимая и сопряженная функция для Фд, т. е. является
известной периодической функцией т, разлагающейся по положи-
тельным и отрицательным степеням С2. Чтобы перейти от Фд
к Ф9, достаточно заменить ? на С1 и численные коэффициенты
на их мнимые сопряженные значения. Дальше мы увидим, что эти
коэффициенты всегда вещественные и поэтому последняя операция
оказывается лишней.
Как бы там ни было, наши неизвестные функции определяют-
ся из уравнений A1) и A2), которые образуют систему линейных
уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Пусть, например, о, о', g и т) суть коэффициенты при ?ft в Ф9
И Фд, Uq И Sq. ПрвДСТОИТ ОПрвДвЛИТЬ НвИЗВвСТНЫв КОЭффиЦИвНТЫ
g и т) с помощью известных коэффициентов а и а'.
Для этого из уравнений A1) и A2) получаем
A3)

ГЛ. XXV. ВАРИАЦИЯ 483
Эти два уравнения первой степени дадут нам ? и т).
Случай к = О заслуживает особого рассмотрения. Прежде
всего левые части уравнений A3) становятся тождественными;
далее, необходимо учесть в правых частях член Сд, поэтому урав-
нения примут вид
A4)
Они могут быть совместными, если только о = а'. Но а и а',
по определению, являются мнимыми и сопряженными, поэтому
уравнения могут удовлетворяться, только когда а — вещественная
величина. Дальше мы увидим, что это всегда так.
Уравнения A4), следовательно, дадут нам для ? + Л некото-
рое вещественное значение А. Будем считать, что ? = т) = -к- »
так что ? и т) будут мнимыми сопряженными и в то же время веще-
ственными.
Наличие величины Сд вводит некоторую неопределенность
в данной задаче. Можно допустить, что С задана в конкретном
случае. Тогда С не зависит от т и мы должны считать в равен-
ствах A4), что Сд = 0.
Можно также наложить условие, что коэффициент при ? в и
и коэффициент при ?~х в s равны 1. Этот коэффициент не зависит
от т, поэтому мы должны иметь % = т) = 0, так что первое урав-
нение A4) обращается в равенство
которое определяет Сд.
328. Прежде всего мы утверждаем, что коэффициенты всех
членов в разложениях для whs вещественны. Действительно,
предположим, что это верно для
Покажем, что это имеет место и для коэффициентов при ид
и sq. В самом деле, если это верно для
и«, *« (а < q), A5)
то это также верно для
iu'a, is'a, u"a, s^ (a<g) A6)
и, следовательно, для всех из вестных членов уравнения G'),
которые являются произведениями двух выражений вида A5)
с вещественными коэффициентами.
31»

484 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Поэтому в разложении для Ф? по степеням ?2 все коэффициен-
ты вещественны. В уравнениях A3) и A4) величины а и а' вещест-
венны. Отсюда следует, что коэффициенты уравнений первой
степени A3) и A4) также вещественны. Из этого выводим, что ?
и т), т. е. коэффициенты при uq и sq, также вещественны, что и тре-
бовалось доказать.
Теперь мы утверждаем, что в и0 и s0 будем иметь члены только
с ?°; в щ и st — только члены с ?2 и С2; в «2 и s2 — только члены
с S4, ?° и Г4; в и3 a s3 — только члены с ?в, ?2, S и С6; и т. д.
Другими словами, мы утверждаем, что «С1 и s? разлагаются по
степеням те2?2 и т2Г2-
Действительно, мы утверждаем, что если это справедливо для
первых приближений, то это будет также справедливо и для
следующего приближения. Таким образом, мы допускаем, что
м«, sa (a < q)
являются однородными многочленами степени а относительно
?2 и S, и предполагаем доказать, что uq, sq будут также однород-
ными многочленами степени q относительно ?2 и ?~2. Сначала лег-
ко видеть, что производные и'а и т. д. будут, как и иа и т. д., одно-
родными многочленами степени а. Рассмотрим теперь различ-
ные члены функции Фд. Прежде всего имеем:
1. Те из членов левой части уравнения G'), которые перешли
в правую часть, так как они не содержали неизвестных величин;
с точностью до числового множителя они равны
где иа или 5Р могут быть заменены на одну из их производных;
поэтому они являются однородными многочленами степени q
относительно ?2 и Г2-
2. Члены, происходящие из ^— ; они имеют вид
о
и, следовательно, также суть однородные многочлены степени q
относительно ?2, Г2.
3. Члены, происходящие из —„— 5 они имеют вид
о
поэтому также являются однородными многочленами степени q.
Итак, Фд является однородным многочленом степени q относи-
тельно ?2, ?. Но uq и sq выводятся из Ф, с помощью уравнений
A3); члены си, ив, соответствуют таким же из функции Фд и со-

ГЛ. XXV. ВАРИАЦИЯ 485
держат те же степени ?. Поэтому uq и sq суть однородные многочле-
ны степени q относительно ?2, ?~2, что и требовалось доказать.
Отсюда следует, что если коэффициент при ?2ft или ?~2ft разла-
гается в ряд по степеням т, то разложение будет содержать только
члены, в которых показатель параметра т принимает значения
2к, 2А+4, 2А4-8, ...
Таким образом, это разложение будет расположено не по
степеням т, а по степеням тга4. Это и объясняет чрезвычайно
быструю сходимость метода Хилла, каждое приближение которо-
го дает 4 или 5 новых десятичных знаков *).
329. Теперь покажем, что коэффициенты ? и т], вычисленные
предыдущими методами, суть рациональные функции р. В самом
деле, предположим, что это верно для первых приближений. Мы
утверждаем, что это верно и для следующего приближения. Дей-
ствительно, это верно для коэффициентов функции Ф9, образован-
ных в результате произведения коэффициентов в иа, »„ (а< });
поэтому это будет верно и для коэффициентов а и а', фигурирую-
щих в уравнениях A3); итак, коэффициенты уравнений A3) суть
рациональные функции р, и то же самое будет иметь место относи-
тельно неизвестных ? и т), т. е. коэффициентов при uq и sq, что
и требовалось доказать.
Какими будут множители знаменателей этих рациональных
функций? Их легко определить. В самом деле, решение уравне-
ний A3) порождает в знаменателе множитель, который является
определителем этой системы, равным
Следовательно, множители знаменателя будут многочленами;
вида
где к нужно придавать значения
2,4,6
что дает многочлены
*) Автор имеет в виду конкретные вычисления в теории движения
Луны. (Прим. перев.)

486 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Поэтому если разлагать коэффициент при ?2h+1 по степе-
ням т, то коэффициент каждой степени есть рациональная функ-
ция р, знаменатель которой является произведением вида A7),
и каждый из этих множителей может возводиться в степень, боль-
шую 1. Нельзя, тем не менее, из этого вывести, что коэффициент
при ?2h+1, рассматриваемый как функция р и т, есть мероморфная
функция этих величин, или еще, что он сводится к мероморфной
функции т, когда р = т.
329'. Как бы то ни было, приближения этого метода чрезвычай-
но быстро сходятся. Хилл вычислил коэффициенты, или, точнее,
их отношения с пятнадцатью знаками. Первое приближение ему
давало вообще шесть точных знаков, второе приближение — один-
надцать знаков и третье — пятнадцать знаков. С другой сторо-
ны, убывание коэффициентов происходит также весьма быстро.
В разложении для и, например, коэффициенты при ?, ?3, ?5 , . . .
уменьшаются очень быстро: каждый из них составляет примерно
трехсотую часть предыдущего. Коэффициент при ?, который
является, естественно, самым большим, дает нам основной член
невозмущенной орбиты. Далее следуют коэффициенты при ?3
и Г1, которые соответствуют значительному неравенству, извест-
ному с конца средних веков под названием вариации.
Таким образом, численные значения весьма точно известны.
Но мы имеем пока только отношения наших коэффициентов.
Действительно, уравнения G') и (8') содержат неопределенную
величину С, и мы воспользуемся этой неопределенностью, чтобы
предположить, что коэффициент при ? в и, а также коэффициент
при S в s равны 1. Это приводит к тому, что уравнения A4)
удовлетворяются, если положить в них
Это то, о чем мы говорили в конце § 327. Мы также нашли одно
частное решение уравнений G') и (8')
характеризующееся тем, что г|? и \|)t являются мнимыми и сопря-
женными функциями и коэффициент при ? в г|з (?) равен 1. В таком
случае будем иметь и другое решение, полагая
и заменяя неопределенную величину С на а\С. Остается опреде-
лить а0.
Для этого необходимо (после того как положено р = т)
вернуться к первоначальным уравнениям, которые могут быть

ГЛ. XXV. ВАРИАЦИЯ 487
записаны в виде
М" + 2тт'—|тг (и+«) + -??- = О,
и посмотреть, каково значение о0, соответствующее данному зна-
чению х.
Пусть для этого
и при х = 0, ? = 1 имеем
«*' = Ц> S B* +1) а», и" = -a0 S B* +1)* a».
Коэффициенты ад известны, поэтому легко можно вычислить
¦ф A), г|з' A), 1|}"A); далее находим
A) + 2/шг|/ A) - Зт*« A)] = х, A8)
откуда без труда находим о0.
330. Легко видеть, что решение уравнения A8) сопровождает-
ся извлечением кубического корня. Поэтому мы должны ожидать,
что в окрестности некоторых особых значений т0 выражение а0,
и, следовательно, выражения для других коэффициентов в «,
которые равны ао«ь аоа2, . . ., содержат в качестве множителя,
1 2
например, (т — т0) з или (т — т0)^.
Действительно, это получается при т0 — 1.
Допустим, что мы хотим разложить а0 по степеням т. Тогда
сходимость будет сравнимой со сходимостью некоторой геоме-
трической прогрессии со знаменателем
т
то
где т0 — наиболее близкая особая точка. Если эта точка есть 1,
то, так как т = т^, знаменатель прогрессии равен
Если разлагать по степеням величины
т
т' = -
как это делал Делоне, то знаменатель прогрессии будет равен
го' _ 2
mi -13'
т. е. значительно больше.

488 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Мы придем к такому же результату, если коснемся разложения
для пи в этом случае наиболее близкая особая точка обуслов-
лена прежде всего наличием множителя р2 — Ар + 6 в знамена-
телях (см. конец § 328). В этих знаменателях полагаем р = т, так
что имеем
откуда
а знаменатель геометрической прогрессии будет равен
m
Далее, для т! имеем
1
12 Кб
поэтому для знаменателя
_
т'о
_ VTi
12
Из этого видно, насколько более выгодно выбрать т в качестве
параметра вместо т'. Естественно, та же разница будет и при вычи-
слении последующих членов, так как новые разложения, полу-
чаемые для этих членов, выводятся из тех, которые мы получили
для членов нулевого порядка.
330'. Интересное частное решение получается при х = 0.
В таком случае находим
где а, Р и к связаны соотношениями
откуда
1 /у—4рг&* -[-| т* = 0.
Полагая р = т, получим
Для того чтобы это решение подходило, нужно, чтобы к было целым
нечетным числом и, следовательно, чтобы
ш=1, т = 3, т = 5, ...

ГЛ. XXV. ВАРИАЦИЯ 489
Кривая, описываемая точкой (х, у), обращается тогда в эллипс.
Но при х = 0 уравнение A8) обращается в равенство
f A) W A) + 2»ш|>' A) - Зт2^ A)] = 0.
Следовательно, если величине х придавать конечное значение,
то нужно, чтобы о0 = со.
Поэтому когда т приближается к 1, траектория Т точки (х, у)
стремится быть все более и более близкой к эллипсу, но размеры
фигуры будут все больше возрастать. Именно таким путем появ-
ляются в а0 множители вида
как мы объясняли выше.
Эллипсы, которым соответствует m = 3, тга = 5 и т. д., не
относятся к множеству решений, которые мы здесь изучаем, так
как их период более не равен 2л, а равен -у , -у, • . •

ГЛАВА XXVI
ДВИЖЕНИЕ УЗЛА
331. Определим теперь члены первого порядка относительно
наклонности Е2. Как и в предыдущей главе, будем пренебрегать
параллаксом и эксцентриситетом солнечной орбиты Е3, но не будем
более предполагать, что z = 0.
При этих условиях имеем
Но мы имеем
откуда
U3
При этом
n
откуда
Установив это, мы опять приходим к уравнениям A) преды-
дущей главы, с той разницей, что АС= г не представляет более
Ух2 + уг, а равно Ух* + у2 + ъ2.
Затем находим
dz _дГ__„
dt ~ dZ~?">
d*z dZ OF' _ .
Бели, как и в предыдущей главе, мы положим

ГЛ. XXVI. ДВИЖЕНИЕ УЗЛА 491
то предыдущее уравнение принимает вид
= O, A)
где
Если мы отыскиваем члены порядка наклонности, то мы прене-
брегаем квадратом наклонности и, следовательно, величиной z2.
Тогда можем положить
и снова придем к уравнениям A) из предыдущей главы без измене-
ний. Желая вычислить члены, не зависящие от эксцентриситета
лунной орбиты Еи мы должны положить Ei = О, а поэтому мы
должны взять для х и у частное решение, изученное в предыдущей
главе. Следовательно,^ и у являются известными функция-
ми времени, разложимыми по нечетным положительным и отрица-
тельным степеням величины ? = Eix. Затем -^ определяется инте-
гралом Якоби
к _ х'2+у'2
откуда легко получаем у иб.
Следовательно, 6 есть известная функция времени, разложи-
мая по ч е т н ы м положительным и отрицательным степеням ?.
Мы видели, что если ввести параметры рит, входящие в урав-
нения C'), G'), (8') предыдущей главы, то
»Г=Г1
разложимы по степеням р, т2^2, /га2?. То же самое относится
и к в, так что после того как мы положили р = т, величина 6
будет разложимой по степеням
т, ш2?2, т2^-2.
Более того, если заменить т на —т, или ? на g, то и обращает-
ся в s, так что г и 6 не изменятся.
Поэтому если положим
то будем иметь

492 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
и можно будет написать
Так как 0 разлагается по степеням т, тга2?2, /га2?, то коэффи-
циент 0ft содержит множителем тга2* и коэффициенты ряда для Э
быстро убывают.
332. Теперь нужно проинтегрировать уравнение A). Это урав-
нение имеет такой же вид, что и уравнение, изученное в главе XVII
книги «Les Methodes nouvelles de la Mecanique celeste». Таким обра-
зом, нам известно, что:
1. Это уравнение допускает два частных решения вида
, z = E-i8Xq(-T), B)
где г|э (т) — периодическая функция вида
причем к принимает все целые положительные и отрицательные
значения.
В самом деле, мы должны заметить, что уравнение A) не изме-
нится, если заменить т на —т; поэтому существование первого
из решений B) влечет за собой существование второго.
2. Далее будем иметь два решения:
ъ = F (т) = Я1вЧ (т) + 2Г ieti|3 (- т),
из которых первое является четной функцией, а второе — нечет-
ной функцией т.
Мы можем закончить определение функции г|э (т) (которая еще не
определена, кроме как с точностью до постоянного множителя)
и постоянной к таким образом, чтобы было
/¦@) = 1, /"@) = 0,
т. е.
3. В силу теоремы, изложенной в мемуаре автора «Sur les
groupes des equations lineares» (Acta mathematica, т. IV, p. 212)
и приведенной также в «Les Methodes nouvelles de la Mecanique
celeste» (т. II, гл. XVII, стр. 230), функция F (т), рассматриваемая,
как функция 0д, есть целая функция. Тогда мы найдем
где к изменяется от — со до + °° •

ГЛ. XXVI. ДВИЖЕНИЕ УЗЛА 493
Функция г|э (т) является периодической с периодом л, так что
имеем
F(n) cosgn C)
333. Уравнение F (я) = cos gn имеет очень большое значение.
Действительно, это то уравнение, которое позволяет определить
g, т. е. движение узла.
В самом деле, общее решение уравнения A) может быть напи-
сано в виде
z = E2F (т + ©4),
где ?2и ©4 — постоянные интегрирования, первая из которых
представляет постоянную наклонности, а вторая постоянная <о4
входит в формулу
wk = w't — n2t + <о4
из главы XXIV.
Действительно, если положим g = —-?— , то увидим, что пре-
дыдущая формула может быть написана в виде
z = 2 E2bk cos (и>4 + и>1 + 2&m>! — 2kw2),
в которой мы узнаем вид формул главы XXIV. (Достаточно заме-
нить произвольную постоянную (о 4 на to 4 + -к-, чтобы иметь
синус вместо косинуса.)
Установив это, замечаем, что прохождения через узел имеют
место при z = 0, а так как главный член разложения равен
E2b0 cos и>4,
то прохождения через восходящий узел будут иметь место при
В промежутке между двумя последовательными прохождения-
ми через узел разность средних долгот Луны и Солнца возрастет
на -^-; если рассматривать (п +1) последовательных прохождений
2яп
через восходящий узел, то эта разность увеличится на —,
и будет тем точнее, чем больше п. Таким образом, g измеряет
среднее движение узла.
334. Чтобы вычислить F (т), нужно поступать следующим
образом. Положим

494 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
и напишем уравнение A) в виде
z" + ?*z = @o-0)z. D)
Далее постараемся разложить F (т) по степеням 6i, 62 и т. д.;
разложение будет быстро сходящимся, так как мы видели, что эти
коэффициенты весьма малы и, с другой стороны, F (т) есть целая
функция этих коэффициентов.
Обозначим через z0, zit . . . , z* члены 0, 1, . . ., (к — 1)-й
степени относительно 6j, 02, ... в функции F (т); для после-
довательного определения величин
zo> zi< • • • > zft> • • •
будем иметь систему уравнений
*=(е0 - в) *_!. у
Это — линейные уравнения с постоянными коэффициентами
второго порядка, и они непосредственно интегрируются. Чтобы
завершить определение функций z0, zu . . ., zh, необходимо
задать начальные условия в виде
zo = l, zo = O, Zj = z; = O, ..., zft = zi = 0.
Прежде всего находим
z0 = cos qx
и для zft получаем выражение, в которое входят члены с
cosB/+g)T, T2'1+1sinB/+g)T, t2»*cosB/+?)t, F)
где / и ц — целые числа, 2ц + 1<Л.
Действительно, легко проверить, что если это верно для zft_lr
то также будет верно для z^.
Итак, общий член разложения F (г) будет вида F); легко уви-
деть причину этого: мы нашли
С другой стороны, g разлагается по степеням 04, 02, ... и обра-
щается в q при 04 = 02 = • • . =0. Поэтому; можно написать
F (т)
и разложить по степеням g — q; но

ГЛ. XXVI. ДВИЖЕНИЕ УЗЛА 495
где коэффициенты ай и р^ имеют известные числовые значения.
Поэтому будем иметь
F (т) = 2 Ъ]Ч (g-qJ»T*» cos (q + 2/) т-
- 2 &Ж» (g-?J(l+W« sin G + 2/)т. G)
Далее можно разложить bj по степеням g — q и по степеням
64, 02, . . • и мы должны будем получить то же разложение,
которое получается, если использовать уравнения E). Отсюда
видно, что общий член имеет вид F).
335. Посмотрим, как можно воспользоваться этими разложе-
ниями, чтобы определить g и коэффициенты bj.
Допустим, что определены величины
так что с точностью до величин порядка тгк+2 имеем
где F (т) представляется в виде разложения G), все члены кото-
рого имеют вид F).
В этом разложении сохраним только чисто периодические чле-
ны с cos (q + 2/) т, т. е. те, которые не содержат т вне знаков
тригонометрических функций. Коэффициенты этих членов с той
же степенью приближения, т. е. с точностью до величин порядка
т2к+г, и будут искомыми коэффициентами bj и, действительно,.
а0 равен 1.
Чтобы определить g, найдем F (я), полагая т = п в разложе-
нии G), и далее получим g из уравнения
F (я) = cos gn.
Делая эту замену, находим
F(n) = H cos qn + Н' sin qn,
где Н и Н' суть целые функции величин 6t, 62, . . .
С другой стороны, коэффициенты этих целых функций будут
рациональными функциями q, так как если коэффициенты вели-
чины Zh-i зависят рационально от q, то это будет верно, в силу
уравнений E), и для коэффициентов величины zh.
Первые члены равны
-25/A^2J]

496 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Если т заменим на т + у-, то в4, 63, 05, . . . изменяют знак,
но значение cos gn не должно измениться. Поэтому в разложении
F (я) 0lt 03, 05, . . . будут входить с четными показателями.
Предположим на мгновение, что
Тогда 0 будет допускать период -у и если заменить т на т + у,
то величины
02, ©в, 0ц,, ...
будут менять знак; поэтому 02,06, 01О, . . . могут фигуриро-
вать только в четной степени; по крайней мере они должны умно-
жаться на
Точно так же
04» 012) 02о> • • •
могут встречаться только в четных степенях или по крайней мере
должны умножаться на
01. 0|> • • •» ©103. • • • » ©г, ©в> • • •» ©2©6, • • •
336. Метод Хилла. Хилл привел задачу к решению бесконечной
системы уравнений первой степени с бесконечным числом неиз-
вестных. Можно поставить вопрос, является ли этот метод достаточ-
но строгим? Он может быть полностью обоснованным, но здесь
ограничимся ссылкой на обоснование метода, данное в «Les Metho-
des nouvelles de la Mecanique celeste» (т. II, гл. XVII, стр. 60
и далее).
Полагая в уравнении A)
получим
- S Ьн B* + gJ ?h+g + 2 ejbk?k+ii+e = 0,
откуда, приравнивая коэффициенты при ?2J+*> будем иметь
[во-B/+?)г] Ь}+ 20;_**А = О. (8)
Таким образом, получаем бесконечную систему линейных
уравнений с неизвестными Ь). Чтобы их определить, рассмотрим
линейные выражения

ГЛ. XXVI. ДВИЖЕНИЕ УЗЛА 497
Эти выражения должны обращаться в нуль при 5 = ?• Соста-
вим их определитель и обозначим его через Q (|).
Предположим, что / и к принимают все целые положительные
и отрицательные значения от —(г до -\-\i включительно. В этом
случае определитель будет состоять из 2(л + 1 строк и 2|х -f- 1
столбцов. Тогда ? (?) определим как предел этого определителя,
когда A неограниченно возрастает.
Этот определитель сходится; действительно, можно заметить,
что элементы главной диагонали равны 1.
При этих условиях имеем
где через а обозначены различные элементы определителя, не
расположенные на главной диагонали. Определитель будет схо-
диться вместе с 2 | а |; это изложено во втором томе «Les Metho-
des nouvelles de la Mecanique celeste» (т. II, гл. XVII, стр. 260).
Здесь
Этот ряд сходится абсолютно и равномерно, за исключением
или, так как 60 = дг, за исключением
Следовательно, ? (|) = lim Л существует. Он является функ-
цией I, которая не изменяется, если заменить ? на ? -f 2 или на — 1;
действительно, это приводит к изменению порядка строк и столб-
цов нашего бесконечного определителя передвижением всех строк
и столбцов на одно место (если | заменяется на | +2), или воз-
вратом к тому же определителю (если ? заменяется на — ?). По-
этому будем иметь
таким образом, ? (|) есть мероморфная функция от ?, которая
имеет простые полюсы при
1=-2/±</.
Мы утверждаем, что эти значения соответствуют именно про-
стым полюсам. В самом деле, только элементы j-i\ строки
становятся бесконечными при ? = —2/ ± q, и эта бесконечность
первого порядка.
Но любой член нашего определителя может содержать в каче-
стве множителя только один элемент /-и строки.
32 а. Пуанкаре

498 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Когда мнимая часть | стремится к бесконечности, все элементы,
не расположенные на главной диагонали, будут стремиться к нулю,
поэтому
limQF) = l.
Пусть
г \Ч>) U \&) cos ng-cos я? •
Эта функция мероморфна; она может обращаться в бесконеч-
ность только при
6 = -2/ ±q,
что делает ? (?) бесконечным, но это обращает в нуль cos я?—
— cos яд, или при
что обращает в нуль знаменатель cos л? — cos ng, но это обращает
также в нуль ? (?), так как мы видели, что
и, следовательно,
Функция F (|) поэтому является целой, но она стремится к 1,
когда мнимая часть ? стремится к бесконечности; следовательно,
она приводится к единице, так что имеем
'-' '»'~ cosя^—cosnq '
Пользуясь этим равенством, можно вычислить многими методами
величину g; например, с помощью уравнения
cos ng = 1 — 2 sin* J^L ? @). (9)
337. Легко видеть, какова форма нашего определителя. Пред-
положим, что некоторый член разложения содержит множите-
лем элемент а-й строки и b-то столбца вд_ь; он должен содержать
элемент й-й строки; пусть это элемент из с-го столбца, т. е. вь-с',
далее, он должен содержать элемент с-й строки и d-ro столбца,
т. е. 6c_d, и таким образом постепенно возвращаемся к а-му
столбцу, и это будет показывать, например, что найдется элемент
из d-та строки и о-го столбца, зависящего от 0<г_а.
Итак, рассмотренный член будет содержать множителем произ-
ведение
ва-ь • 6б_с • 6c_d • 6<f-a,

ГЛ. XXVI. ДВИЖЕНИЕ УЗЛА 499
или аналогичное произведение, или несколько аналогичных про-
изведений.
Во всех случаях алгебраическая сумма ин-
дексов должна равняться нулю.
Если заметим, что
в; = в_;,
что впоследствии позволяет не обращать внимания на знак индек-
сов, то мы будем говорить, что все индексы, рассматриваемые
как положительные, могут быть разделены на два класса таким
образом, что сумма индексов первого класса будет равна сумме
индексов второго класса. Например, можно иметь члены с
6J, 0J, 6j62, 6J63, 646263, 61626364, ...
Коэффициент каждого члена представляется в виде бесконеч-
ного ряда, но все эти ряды могут быть суммированы с помощью
формулы
Действительно, рассмотрим один из членов разложения. Это будет
произведение некоторых элементов определителя; среди этих чле~
нов некоторые принадлежат главной диагонали, и мы ими не будем
заниматься, так как они равны 1; другие не будут принадлежать
главной диагонали и их будет конечное число (в противном случае
наш член, содержащий в качестве множителя т с бесконечно
большим показателем, был бы бесконечно малым).
Обозначим через [г, к] элемент г-й строки и к-го столбца и пред-
положим, например, что рассматриваемый член равен произведе-
нию элементов
[а, Ь][Ь, с][с, d)[d, a][a', Ь'][Ь', с')[с', а'].
Как мы уже видели, он будет содержать в качестве множителя
произведение
6а_ь • 6ь-с • 6c_<j • 6<f-а • 6a'_b' • 6ь'—с' • 6с<_а» A1)
и коэффициент произведения A1) будет рациональной функцией ?,
которую обозначим через i? (?).
Рассмотрим теперь член
[а + п, b + n] ...[d + n, a + n][a'+n, b' + n].. .[d' + n, a' + n\.
Он также будет содержать множителем произведение A1), но его
коэффициент будет равен R (I + 2п).
Поэтому в конечном счете коэффициент будет равен
32*

500 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Чтобы оценить эту сумму, разложим рациональную функцию
R (|) на простые элементы:
откуда
Суммировать по п можно с помощью формулы A0). Если в раз-
ложении R A) содержится член
то сумма по п
вычисляется дифференцированием формулы A0).
В самом деле, наша функция R (|) будет допускать полюсы,
как мы видели выше, только при | = —2/ ± q, и эти полюсы про-
стые; применение формулы A0) поэтому вводит лишь член
Это применимо в случае, когда имеем в качестве множителя
только одно произведение вида
В том случае, когда имеются в качестве множителя два (или не-
сколько) произведений такого вида, например в случае произве-
дения A1), дело обстоит немного сложнее.
Допустим, что мы хотим рассмотреть произведение элементов
[п, п + а][п + а, п + Ь][п + Ь, п][п', п' + «'][«' + «', «'],
и будем менять п и и', предполагая, что а, Ь, а' не изменяются.
В этом случае будем иметь всюду в качестве множителя произ-
ведение
во • ©Ь -о • в-Ь • &a'®-a't
которое не зависит ни от и, ни от и'; это произведение будет умно-
жаться на некоторый коэффициент, который будет зависеть
от 1, и, п' и имеет вид

ГЛ. XXVI. ДВИЖЕНИЕ УЗЛА 501
где R и R' — рациональные функции. Таким образом, мы долж-
ны вычислить
придавая га и га' всевозможные комбинации положительных значе-
ний, за исключением только тех, для которых разность п — п'
принимает определенные частные значения, а именно, одна из
величин п, п -\- а, п -\- Ъ не должна быть равна одной из величин
и', п'+а'.
Допустим, что а,, а2, . . ., ар суть те различные значения,
которые не должна принимать разность п — п'.
Выражение, которое нужно вычислить,
можно написать в виде
где
Каждая из сумм, которая входит в это выражение, имеет вид
2R (| -(- л) и может быть вычислена способом, который изложен
выше. Таким образом, D (I) имеет вид
%{l-9), A2)
где А, В, С, D разлагаются по степеням 0,, 02, . . ., и коэффи-
циенты этих разложений будут рациональными функциями q.
С другой стороны, мы нашли, что
—cosng
— cos яд
и
F (я) = cos ng= H cos qn + Н' sin qn,
где Н и Н', так же как я А, В, С, D, являются рядами по степе-
ням 6|, 02, . . . с рациональными коэффициентами относительно q.
Поэтому имеем
_. ,gv , . A-Я) cos дя—Н' sin qn
— cos яд
Чтобы вернуться к разложению A2), достаточно заменить
/» ч COS
(cosng—cosnq), s.n qn

502 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
через
и таким образом выразить все в виде функции тригонометрических
величин, зависящих от двух углов -^-(i ± q).
338. Остается определить коэффициенты bk. Для этого возьмем
определитель П (I) и заменим в нем в строке нулевого ранга
в-i л Qi
неопределенными величинами
...» Ж_2» X_i, Xq, Xi, . . .
Определитель будет оставаться сходящимся, лишь бы эти неопре-
деленные величины были ограниченны (см. «Les Methodes nouvelles
de la Mecanique celeste», т. II, гл. XVII, стр. 265).
Тогда он будет иметь вид
где В — суть функции |, имеющие одни и те же простые полюсы,
что и ? (|), кроме 1 = ± q. Поэтому
В) (cos я!—cos щ)
есть целая функция.
Мы утверждаем, что при | = g Bk = bk', для этого достаточно
показать, что Bh удовлетворяют уравнениям (8), т. е. что А обра-
щается в нуль, если заменить xj единицей, а хк (/ г? к) выраже-
нием
Это верно, так как при / г? 0 получаем определитель с двумя
одинаковыми строками, а при / = 0 получаем определитель ? (g),
который равен нулю, что и требовалось доказать.
339. Мы можем также оценить порядок малости коэффициен-
тов bh. Для этого вернемся к равенствам E) и постараемся с по-
мощью этих уравнений составить не решение F (т), а решение
Заметим в этом случае, что 0 0— в разлагается по степеням ве-
личин т, тг?а> тг?~г. Утверждаем, что это имеет место и для z^"9.
Если проинтегрировать уравнения E) последовательными при-
ближениями, то можно убедиться, производя анализ, аналогия-

ГЛ. XXVI. ДВИЖЕНИЕ УЗЛА 503
ный тому, который мы сделали в § 334, в том, что z представляется
в следующей форме:
так что z?~e разлагается по степеням т, т, ?г, ?~г- Мы предпола-
гаем установить, что z^"9 разлагается по степеням т, т, т2?2,
тг?~ 2; это можно доказать методом индукции, так как уравне-
ния E) показывают, что если это верно для zA_j, то будет верно
и для zh.
Из этого следует, что Ь^ содержит в качестве множителя mth,
что и указывает на то, что bk должны быстро убывать.
340. Мы видели, что g определяет движение узла, но мы имеем
это только в первом приближении. Действительно, мы пренебре-
гаем величинами Е{, Е3 и квадратом Ег.
Истинное движение узла, согласно главе XXIV, разлагается
по степеням величин
El, E\, El, a*
и 8 (ni — пг) дзет нам только члены нулевой степени этого раз-
ложения.

ГЛАВА XXVII
ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЯ
341. Допустим, что дана какая-нибудь система дифференциаль-
ных уравнений. Для упрощения предположим, что имеется только
два уравнения с двумя неизвестными хну вида
F(x, у, х', у', х", у", <zlf 02) = 0,
Fi(x, у, х\ у', х\ у\ а„ О2) = 0,
где а, и а2 — малые параметры.
Допустим, что при а4 = а2 = 0 найдено частное решение S
уравнений A). Поставим своей целью вывести отсюда все реше-
ния, мало отличающиеся от S при малых значениях параметров
а, и а2 (очевидно, такие решения существуют, если а, и а2 очень
малы).
Будем разлагать эти решения по степеням параметров а и
некоторых постоянных интегрирования р\, ($2, (Ь. Рь обращающих-
ся в нуль для частного решения S.
Так как мы уже знаем члены нулевой степени этих разложе-
ний, то наша задача заключается в последовательном определе-
нии членов первой степени, второй степени и т. д.
Пусть х = х0, у = у0 есть решение S, и положим
i-^[^(*c уо. *;. у1 *:. yi о, о)],
где производная вычисляется в предположении, что х0, у0, х'о, г/о,
хо' У1 ~ независимые переменные. Аналогично введем обо-
значения
v_ dF v— dF y - dF 1
"~ "Wo ' дх'о ' •¦• Al - дх0 ' • * *
Допустим, что мы нашли точное разложение до членов й-го
порядка включительно, и пусть
х = xh, у = Ун
есть это разложение; если подставим эти разложения вместо хну
в уравнения A), то первые члены до (к -\- 1)-го порядка должны

ГЛ. XXVII. ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЯ 505
уничтожиться. Поэтому
*» У к) у Ft(xk, У к)
будут известными функциями, разложения которых будут
начинаться с членов (А; + 1)"го порядка. Пусть теперь
предположим, что нужно вычислить Ьх и Ьу до членов (А; + ^-го-
порядка включительно, пренебрегая членами (к -\- 2)-го порядка.
Функцию
F(x, y) = F(xh + bx, yh + by)
можно разложить по формуле Тейлора в виде
Членами Ьхг (а также и членами 8х Ьу, ЬхЬх' и т. д.) пренебре-
гаем, так как члены Ьх9 имеют порядок B/с + 2).
В коэффициенте при Ьх мы можем положить
х = х0, у = у0, d = а2 = 0.
Это дает погрешность первого порядка в коэффициенте -j-
и, следовательно, дает погрешность (к + 2)-го порядка в произве-
дении -г—Ьх, так как Ьх имеет порядок (к + 1).
Это равносильно замене
dF_ dF_ Jf_
дх ' ду ' дх' ' •*•
на
A, Y, л , ...
Остается, следовательно (с этой же степенью точности),
где положено
2 X Ьх = X Ьх + Y Ьу + X' Ьх' + У' Ьу'+X" Ьх' + Y" Ьу";
поэтому уравнения A) принимают вид
Правые части суть известные функции, так же как и X, так
что уравнения B) являются линейными уравнениями с правым»
ЧАСТЯМИ.
частями.

506 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Левые части остаются теми же самыми
для всех приближений.
Допустим, в частности, что мы желаем определить члены пер-
вой степени в предположении, что а4 = а2 = 0; тогда правые
части примут вид (например, для первого уравнения)
F(x0, Уо, х'о, У'ы xv Уо> <*i» <х2)
:или, так как ctj = а2 = 0,
F(x0, Уо, х'о, у'о, х, yl, 0, 0).
Но это выражение равно нулю, так как
есть решение уравнений A) при ах = а2 = 0.
Поэтому уравнения B) принимают вид
а это линейные уравнения с нулевыми правыми ча-
стями.
Известно, что для интегрирования линейных уравнений с пра-
выми частями достаточно уметь интегрировать однородные уравне-
ния, а далее воспользоваться простыми квадратурами.
Итак, если определены члены нулевой и первой степени при
а, = а2 =0 [т. е. если проинтегрированы уравнения C)], то с
помощью квадратур определяются члены высших степеней, каковы
бы ни были ai и а2.
Уравнения C) называются уравнениями в вариациях (см.
«Les Methodes nouvelles de la Mecanigue celeste», т. I, гл. IV).
В интересующем нас случае роль параметров at и а2 играют
параллакс а и эксцентриситет орбиты Солнца Е3; роль постоян-
ных Р играют
Ei-Е1^, ЕХ-ЕГ***, Е2-Е*\ Е2.Е~ШК D)
В главе XXV мы уже определили члены нулевой степени. Остает-
ся теперь определить члены первой степени относительно постоян-
ных D), т. е. относительно Е1 и Е2, в предположении, что
а далее надо будет применять простые квадратуры. В главе XXVI
мы вычислили члены первой степени относительно Е2; теперь вы-
числим члены первой степени относительно Et.
Таков метод, которым мы воспользуемся для вычисления раз-
личных членов наших разложений; в следующих главах мы рас-

ГЛ. XXVII. ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЯ 507
смотрим те изменения, которые целесообразно внести в этот метод,
чтобы его приспособить к нашей задаче.
342. Для вычисления членов первой степени относительно
Et мы должны положить
в результате чего опять получаем уравнения главы XXV; прежде
всего полагаем z = 0 и рассматриваем уравнения D) из § 324:
х"—2ту'—3»йс+-^- = 0, 1
у" + 2тх' +-5г = 0. j
Выше, в главе XXV, мы нашли частное решение уравнений E),
и пусть это решение будет
х = х0, у = у0.
Будем искать теперь близкое решение
пренебрегая квадратом Ei и, следовательно, квадратами Ьх и Ьу.
Составим уравнения в вариациях для уравнений E). Они имеют
вид
Ьх"—2т by'—
Ьу" + 2тЬх' +ВЬх
где
А~ Эх* У г)' °~дхду
и где нужно, разумеется, заменить после дифференцирования х
и у на Jo и у0.
Так как А, В, С — известные функции, то уравнения F) суть
линейные дифференциальные уравнения относительно Ьх и Ьу.
Система, состоящая из двух уравнений второго порядка, имеет
четвертый порядок, поэтому она допускает четыре независимых
решения. Два из этих четырех решений уже известны. Действи-
тельно, решения из главы XXV
х = х0, У = у0
в действительности зависят от двух произвольных постоянных;
в самом деле, мы нашли для х0 решение вида
жо = ф(т, яг);

508 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
такой же вид имеет у0. Но
Решение продолжает оставаться решением, если заменить t
на t + е, так что имеем
с двумя произвольными постоянными еип1( или
Жо = <р["^Г^ + е^ т] •
Уравнения в вариациях F) будут иметь, следовательно, част-
ные решения
где I, еит играют роль независимых переменных. Если возвра-
титься к независимым переменным т и т, то будем иметь
*•—¦2-~?. «ir—Э-&.
G)
Добавим, что в первой строке формулы G) постоянный множитель
^ можно опустить, так как уравнения линейны.
Зная два частных решения системы четвертого порядка, можно,
как известно, привести эту систему к системе второго порядка,
но лучше поступить иначе, так как второе решение G) не является
периодическим.
Возьмем интеграл Якоби
и составим для него уравнение в вариациях.
Если допустим ЬС = 0, чтобы исключить второе из решений G),
то получим
или, так как х0 и у0 удовлетворяют уравнениям E),
*; в*' + у'о Ьу' - (а$-2л1Й) Ьх-{у + 2тх'0)Ьу = 0. (8)

ГЛ. XXVII. ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЯ 509
Можно проверить без труда, что первое решение G) удовлетво-
ряет равенству (8).
Объединяя первое уравнение F) с (8), имеем систему (9)
третьего порядка, которая будет допускать в качестве частного
решения
благодаря чему мы можем привести эту систему к системе второго
порядка. В самом деле, положим
(Ьх—гЬу) = (I—щ) (х'о—iyo)\
и возьмем за новые переменные I и т). Тогда наши уравнения до-
пускают частное решение
6х = х'о, Ьу = у'о,
откуда
1 + ^ = 1—111 = 1, 1 = 1, л = 0,
следовательно, | удовлетворяет некоторому линейному уравнению
третьего порядка, которое допускает в качестве решения 1, a tj
удовлетворяет некоторому уравнению второго порядка вида
тГ + #л' + Ят) = 0. A0)
Чтобы привести это уравнение к канонической форме, положим
где q — новая неизвестная, а <р — такая периодическая функция
т, что
В таком случае q удовлетворяет уравнению второго порядка
вида
е"+ее=о, (И)
где в — известная функция т.
343. Теперь покажем, что уравнение A1) имеет такой же
вид, что и уравнение A) предыдущей главы, т. е. что весть чет-
ная функция т с периодом л и всюду конечная.
Коэффициенты А, В, С в уравнениях F) суть периодические
функции, так что эти уравнения не изменятся, если заменить т
на т + я. Следовательно, если мы обозначим на время через btx,
6iJ/, Ii, t)i значения, которые принимают 6а\ by, |, ц при замене т
на т -f я, и если Ьх, Ьу есть решение, то решением также будет

510 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
btx, 6{jf. Но мы имеем
Ьх + i by = (| + it)) (x'o + iy'o),
8x—iby = (l—iTt\) (x't—iy'o).
Если в первом из этих уравнений заменим т на т + л, то
8ж, 8у, I, Л. х'о, у'о
примут значения
6i». *1У. ii. Ли — »i. — &.
откуда получим равенство
Оно показывает, что если |, т) есть решение, то то же самое
можно сказать и о —|lt —t)i и> следовательно, о |lt r\t; таким обра-
зом, уравнения для 1 и г\ не изменятся, если заменить т на т + я.
Следовательно, в уравнении A0) Н и К — периодические
функции.
Если заменить т на —т и Ьу на —by, то уравнения F) не изме-
нятся, так как А, В, С принимают при этом значения А, — В и С.
С другой стороны, х'о и у'о примут значения —х'о и у'о. Следова-
тельно,
заменится на
-^=^- 1 + щ,
ха—Ч/о
откуда следует, что | меняет знак, а г) не изменяется.
Так как уравнение A0)не должно изменяться, то отсюда сле-
дует, что К есть четная функция, а И — нечетная.
Если мы возьмем уравнение
9
то увидим, что
Но if есть периодическая функция и ее среднее значение равно нулю,
так как она—нечетная функция; поэтому \ Н dx и, следовательно,
Ф — периодическая и четная функция. Отсюда выводим, что 6 —
периодическая и четная функция. Ниже мы увидим, как можно
полностью определить <р.

ГЛ. XXVII. ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЯ 511
Остается показать, что в всегда конечна. Для этого заметим>
что Ьх и Ьу — конечные величины; следовательно,
может обращаться в бесконечность (т — вещественная величина) v
если только одновременно
а этого не может быть, так как замкнутые траектории Луны (отне-
сенные к вращающимся осям), изученные в главе XXV, могут
иметь точку возврата только при — = 1,78.
Необходимо теперь показать, что <р и, следовательно, в
конечны.
Для этого нужно определить <р, для чего необходимо вернуться
немного назад.
344. Легко определить <р непосредственно, выполняя длинные
и громоздкие вычисления, но лучше поступить иначе. Уравнения F)
допускают четыре линейно независимых интеграла; мы уже знаем
два из них, т. е. интегралы G).
Два других интеграла согласно общим свойствам линейных
уравнений с периодическими коэффициентами, будут иметь вид
Заменяя т на —т и б г/на —Ьу, в результате чего уравнения не изме-
няются, получим
Складывая эти решения, найдем вещественное решение
&с = S Фк + <*) cos [«* + Щ + B* +1) т],
бу = 2 (Ьн—ck) sin [w3 + u>j + BA; +1) т],
где коэффициенты bk я ск вещественны. Величина с определяет
движение перигея, так же как и величина g определяла движе-
ние узла, и замечание из § 340 остается справедливым. Положим
= cx + e,
где е — произвольная постоянная, a w3 равна величине
w3 = w'1 = n3t + ©з,

512 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
определенной в главе XXIV условиями
П3 + ГЦ __~ /._
«1—»
Между четырьмя решениями G), A2) и A2') существуют неко-
торые билинейные соотношения, на происхождение которых мы
укажем.
Рассмотрим систему канонических уравнений
dt ~ ду ' dt дх '
Согласно теореме § 16 существует функция й, такая, что имеем
2 х dy = dQ f У A da—F dt,
где А зависят только от постоянных интегрирования а; следова-
тельно, будем иметь, например,
Если продифференцируем первое равенство по а2, а второе
по а4, то получим
^4 V хv = dQ I
у дх J>y I у d'y _ ДЙ ¦ dA2
или, вычитая одно из другого,
дх ду дх ду
доъ Л»! дах ' да2
Так как А зависят только от постоянных интегрирования,
то правая часть приводится к постоянной.
Предположим, что составлены уравнения в вариациях для урав-
нений A3); мы получим два частных решения этих уравнений,
полагая
е дХ е fill
дх
ду
таким образом, мы получим все независимые решения уравнений
в вариациях. Следовательно, если

ГЛ. XXVII. ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЯ 513
суть какие-нибудь два решения этих уравнений, то между ними
существует билинейное соотношение
Мы можем применить этот результат к уравнениям нашей
задачи, так как уравнения D) и F) главы XXV непосредственно
вытекают из канонических уравнений A). Сопряженными пере-
менными будут тогда
(х, X), (у, У),
и их вариации равны
Ьх, ЬХ = Ь (-?-)~п2бу = («!—«г) (bx' — mby),
by, bY = b(-%L
Пусть в таком случае
Ьх = Ь1Х, 6Х = 61Х, Ьу=--Ь1У, bY = btY
есть частное решение уравнений в варнациях. Отметим индексом
2 второе частное решение; тогда будем иметь
(bix 62Х—6ХХ Ь2х) + (Siy 62У—6jY Ь2у) = const,
или, заменяя 6Х, 6Y их значениями и деля на щ — п2, получим
(bix-b2x'—62x Ьгх') + (bty Ь2у'—Ь2у б,у') 4-
4- 2mFj у b2x — b2ybix) = const. A4)
Постоянная в правой части равна нулю, если два решения то-
ждественны; она также равна нулю, если комбинировать одно из
решений G) с одним из решений A2) или A2'). Действительно,
если комбинировать второе решение G) с A2), то левая часть ра-
венств A4) будет содержать члены только с
т?с+п или ?с+п (и—целое число).
Никакой из этих членов не может быть постоянным, не будучи
нулем.
С другой стороны, если будем рассматривать решение б(,
то постоянная в правой части не может быть нулем, каково бы
ни было решение б2; иначе между четырьмя решениями
Ь&, 6,i/, 6,a:\ 6,j/'
существовало бы четыре однородных соотношения первой степени
с определителем, отличпым от нуля, и поэтому эти четыре вели-
чины должны были бы обращаться одновременно в нуль.
33 д. Пуанкаре

514 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Следовательно, мы должны сделать вывод, что постоянная в
правой части не равна нулю, когда комбинируются между собой
два решения G) или два решения A2), A2').
315. Как преобразуется соотношение A4), если сделать с урав-
нениями преобразования § 342? Ясно, что мы должны иметь одно
билинейное соотношение между двумя определенными решениями
преобразованных уравнений
in Ли ?р.Лр
6г. Лг. 5г» Ла-
Это билинейное соотношение должно будет, очевидно, выпол-
няться, и постоянная в правой части равна нулю, когда одно и»
этих двух решений будет соответствовать первому решению G),
т. е. когда
Si-1. !1 = Л1 = Л1 = О.
или
Из этого мы должны сделать вывод, что |t и |2 не должны вхо-
дить в билинейное соотношение, поэтому будем иметь билинейное
соотношение между
ii> Лг» Л^-
Если в соотношении A4) возьмем в качестве решения 6t пер-
вое решение G), то мы возвратимся к уравнению (8), выведенному
выше из интеграла Якоби. Преобразуем уравнение (8), полагая
что дает
V _*
Если в уравнении A5) заменим %[ и |, их выражениями через
т)! и тJ> то останется простое билинейное соотношение между
Ли Лр Лг. Л^»
которое должно иметь вид
Ч (т) (Л1Л;—Л2Л1) = const,
где t|? (т) — известная функция т; впрочем, легко видеть, что
где ф есть функция из § 342.

ГЛ. XXVII. ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЯ 515
346. Возьмем уравнения F) и перейдем к переменным | и т).
Мы будем иметь два линейных соотношения между
?", л". V, л', S, л,
в которые ? не входит, так как они должны удовлетворяться при
5 = 1, ч = о.
Умножим эти соотношения на —у'о и х'е и сложим так, чтобы
исключить |", так что останутся
л", S', л', л-
Заменим далее |' в функции г\ с помощью равенства A5);
таким образом, найдем
Л" (*? + У?) + 2Л' {х'А + УМ) + Мл = 0, A6)
где М—известная функция т; если сравним его с уравнением A0),
то найдем
откуда
Прежде всего из этого выводим, что <р не может обращаться ни
в нуль, ни в бесконечность, следовательно, q — конечная величи-
на, и, наконец, что в (которую легко можно составить) всегда
конечна, так как если бы в обратилась в бесконечность, то один
из двух интегралов уравнения A1) должен тоже обращаться в бес-
конечность.
Таким образом, уравнение A1) имеет такой же вид, что и урав-
нение A) из главы XXVI, а все, о чем мы говорили в предыдущей
главе, здесь применимо. Можно, в частности, воспользоваться
определителем Хнлла для вычисления движения перигея. Един-
ственное различие заключается в том, что здесь в, значительно
больше, и из этого вытекают две вещи: прежде всего сходимость
разложения менее быстра, чем в случае движения узла, и это
объясняет те обстоятельства, которые так удивили математиков
XVIII века; далее, некоторые неравенства имеют значительные
коэффициенты. Кроме членов с Ъо и с„, которые представляют
главные члены в уравнении центра, такими же будут члены с b-t
и Cj, которые дают большое неравенство, известное под названием
эвекции.
347. Можно непосредственно получить систему второго поряд-
ка, которой удовлетворяют Ьх и Ьу, т. е. решения A2) и A2'),
которые нас интересуют. В самом деле, возьмем билинейное соот-
ношение A4), и пусть Ь2х, Ь2у (которые мы обозначим просто
33*

516 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
через Ьх и Ьу, опуская индекс 2) представляют одно из решений A2)
или A2'), а 6,?, б,г/ представляют одно из решений G); постоян-
ная в правой части будет равна нулю, но решения G) должны
рассматриваться как известные, и это нам будет давать билинейное
соотношение между 6х, 8у, Ьх', Ьу'; так как мы имеем два решения
G), то это нам дает систему двух дифференциальных уравнений
первого порядка с неизвестными 8х и Ьу-
Возьмем прежде всего первое решение G):
откуда
далее находим
х'06х' + у'06у' -хЬх-у1Ьу + 2т(у0Ьх—х'08у) = 0. A6')
Возьмем далее второе решение G)
откуда
Найдем учитывая соотношение A6), в силу которого члены
с — уничтожаются
fev-g •»-¦?«»+
Теперь падо проинтегрировать систему A6) и A7). Эту систему
можно привести к канонической форме; можно также упростить
интегрирование, пользуясь приемом из § 327. Возьмем уравне-
ния C) из § 327, которые напишем в виде
I (Г / \
Заметим, что эти уравнения могут быть выведены из канониче-
ских уравнений; для этого достаточно взять в качестве сопряжен-
ных переменных величины
X, Y, х, у,

ГЛ. XXVII. ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЯ 517
характеристическую функцию в виде
составить канонические уравнения
dx_ _ dF_ dX_ дР_
dt ~ дХ ' dt " дх ' •••'
ИСКЛЮЧИТЬ ИЗ НИХ X И У И ПОЛОЖИТЬ
dx = {ni—n2)dt, nz=p(nl—n2), Л = т(га!—и,), и = -^±
Применим к уравнениям E') те же рассуждения, что и к урав-
нениям E). Уравнения E') допускают систему периодических
решений, полученных в главе XXV, которые мы папишем в виде
яо = ф(*, Р, т), yo = 4>i{r, Р, т).
Образуем уравнения в вариациях, аналогичные уравнениям F),
полагая х = х0 + Ьх, у = у о + Ьу.
Эти уравнения будут допускать решения, аналогичные реше-
ниям G), которые получаются в результате дифференцирования
по постоянным интегрирования е и nt выражения
откуда будем иметь два частных решения
Ьх=°*± = {щ-п>)д-?,
*. дго _ . > дх0 п2 дх0 h дх0
~ дщ —\1-ГК> дХ G?!—7!2J ' Ор (П1—Л2J Л«
или, отбрасывая постоянные множители, решения
которые заменяют решения G).
При этих условиях A6) и A7) принимают вид
2 *; Ьх'-1 *; ба;+2Р (у; б^-^; вУ)=о, A6')
A7')

518 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Разлагая далее по степеням т*, обнаружим обстоятельство,
отмеченное уже в конце § 328, а именно, что разложение коэффи-
циента того же члена будет расположено не по степеням ms, а по
степеням т*.
Но при т = О имеем просто
где А — функция р, которую легко можно составить; таким обра-
зом, будем иметь
х0 = —A sin т, Уа = А cos т,
в которых ради сокращения положено
Пусть в таком случае
о. Уо, т), Fi(x0, уо, т)
суть левые части равенств A6') и A7'), причем здесь мы не отме-
чали зависимости ни от р, ни от неизвестных Ьх, Ьу и их производ-
ных. Обозначим также через
F(Acost, .4 suit, 0)
значение функции F (х0, у0, т), если заменить в ней т нулем,
х0 и г/о их приближенными значениями A cos т, A sin т, и, следо-
вательно, х'о, у'о, -^-, -gj-1 ... соответствующими значениями.
Тогда соотношения
^"(#0, Уо» т)—F(Acost, 4sinT, 0)= — М,
Fi(x0, уо, т)—Ft(Acost, .4suit, 0)=—Mt
будут содержать m2 в качестве множителя. Равенства A6') и A7')
могут быть написаны в виде
F(Acosx,
F,. (A cos т, A sin т
sinT, 0) = M, 1
sin т, 0) = Mt J
и могут быть проинтегрированы последовательными приближе-
ниями; пренебрежем прежде всего величиной т, так что правые
части будут равны нулю. Далее, заменим в правых частях Ьх
а Ьу их значениями из первого приближения, поэтому правые
части будут известными и уравнения A8) будут иметь вид линей-

ГЛ. XXVII. ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЯ 519
ных уравнений с правыми частями; мы получим с помощью этих
уравнений новое приближенное значение и т. д.
Легко видеть, что левые части имеют вид
А (—sin т 8х' + cos т 8у') + С (cos т Ьх + sin т 8у), |
j * *
где А, В (уже определенные), так же как и С, D, суть числовые
коэффициенты, зависящие от р, и их легко найти.
Уравнения A8) суть линейные уравнения с правыми частями,
и поэтому можно проинтегрировать сначала линейные уравнения
без правых частей, т. е. уравнения, получаемые в результате
приравнивания нулю выражений A9). Если положим
то эти уравнения без правых частей примут вид
где а, р, у, Ь — постоянные коэффициенты; уравнения A8) при-
мут вид
где Р и Q — известные функции. Эти уравнения легко интегри-
руются.
348. Можно также воспользоваться системой A6'), A7') и
методом последовательных приближений, который мы изложили
при определении с и коэффициентов bk и ck. Для этого достаточно
применить метод § 335.
Определим, например, изложенным способом частное решение
уравнений A6'), A7'), которое при т = 0 дает в качестве началь-
ных значений
8х = 1, 8у = 0.
Тогда будем иметь
8х + i 8у = Ц 2
причем
Значение Ьх при т = я будет тогда равно
— совея,
а это определяет с.

ГЛАВА XXVIII
ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
349. Определение членов высшего порядка может быть выпол-
нено по методу § 341. Допустим, что наши координаты опреде-
лены с точностью до членов к-го порядка включительно, и пусть,
например, х = xh есть полученное таким образом приближен-
ное значение; положим х = xk -\- Ьх и будем определять 6х с точ-
ностью до членов (к -)- 1)-го порядка включительно; для этого
составим уравнения, аналогичные уравнениям B) из § 341; это
суть линейные уравнения с правыми частями. Левые части этих
уравнений всегда одни и те же, каково бы ни было к. Мы научи-
лись интегрировать уравнения без правой части
в главах XXVI и XXVII, опрзделяя члены первого порядка. Инте-
грирование уравнений с правой частью и, следовательно, опреде-
ление членов высшего порядка может быть получено простыми
квадратурами.
Однако имеется одно осложнение; мы имеем не только три
неизвестные функции, которыми являются наши координаты х,
у, z, а имеем еще две неизвестные постоянные, g а с,
от которых зависят движения узла и перигея.
Эти две постоянные разложимы по степеням
Е\, Е\, ??, а2.
Д> сих пор в главах XXVI и XXVII, так же как мы отмечали
в § 340, мы определили только первые члены этих разложений,
которые не зависят от Е\ и а2.
Предположим теперь, что g и с определены с точностью до
членов (к — 1)-го порядка включительно, и пусть gk-t и cft_, —
эти приближенные значения; пусть, далее, gft_, -f- bg, cft_, -f- 6c—
их приближенные значения с точностью до членов к-го порядка
включительно; 6g и Ьс нужно определить одновременно с ох,
by, bz. Мы выполним это определение, как будет показано далее,
таким образом, чтобы исчезали вековые члены.
350. Вспомним, в чем состоит метод Лагранжа для интегриро-
вания уравнений с правой частью. Чтобы показать существо
метода, рассмотрим систему третьего порядка, состоящую из трех
уравнений первого порядка. Пусть X, У, Z суть три линейные ком-

ГЛ. XXVIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 521
бинации переменных х, у, г; пусть Л, В, С — известные функции,
х', у', z — производные х, у, z; наши три уравнения могут быть
написаны в виде
х' + Х = А, y' + Y = B, z'+Z = C. A)
Предположим, что уравнения без правых частей
x' + X = y' + Y = z' + Z = 0 B)
проинтегрированы, и пусть
x = xh y=yi, z = zt (t = l, 2, 3)
суть три независимых решения системы B). Положим
х =
и будем определять новые неизвестные функции Я,;. Система A)
примет вид
^•к\х1 = А, 2%* = Я, S^ = С. C)
Из нее выведем %\ в виде
К = atA + р,Я + YjC (i = 1, 2, 3),
где <Xf, Pi, \г — неизвестные функции t, так что определение Xt
и, следовательно, определение х, у, z приводится к квадратурам.
Функции ctj, p(, Yi могут быть получены решением уравнений
первой степени C).
Таков классический метод, но имеются случаи, в которых воз-
можны упрощения. Допустим прежде всего, что имеется система
второго порядка вместо системы третьего порядка, так что урав-
нения C) запишутся в виде
jfi+Kv2=в. I
Допустим также, что между решениями однородной системы
существует билинейное соотношение
где Я — известная функция t. Будем иметь
%'JI — Ayz—Bx2,
откуда
«i-2- р«—г-

.522 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Предположим, например, что имеем уравнение вида
которое можно заменить системой
х'—у = 0, у'+вх
тогда будем иметь
откуда
X
к[=—xz-B, %'% = Xi-B.
351. Пусть имеем систему канонических уравнений
dx 6F йХ дР
с сопряженными переменными
х, у, z,
X, У, Z.
Пусть х0, Хо, . . .— некоторое частное решение этих уравне-
ний; положим
х = хо4-6х, Х =
и, пренебрегая квадратами Ьх, . . ., образуем уравнения в вариа-
циях для уравнений D); обозначая через (х), (X), . . ., линейные
функции шести переменных х, X, . . ., получим эти уравнения
в вариациях в виде
&' + (*) = О, 6Х' + (Х)=0, ... E)
Пусть
Ьх = хи ЬХ = Хи... A = 1,2,3,4,5,6)
суть шесть независимых решений уравнений E). Рассмотрим
теперь уравнения с правыми частями
Ьх' + (х) = А, ЬХ' + (Х) = А*,..., F)
где А, А* — известные функции. Положим
х =2/,{?{, X = 2jktXt,...,
откуда
К = щА + № + yfi + at А* + р?

ГЛ. XXVIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 523
Чтобы определить функции а, . . ., вспомним, что согласно
§ 344 имеем равенство
(х(Хк—xkXt) + (ytYk—УкУ t) + (ZiZk—zhZt) = const,
которое можно написать так:
2 («Л—*АХ*) = const. G)
Частные решения xt, . . . системы можно выбрать таким образом,
чтобы постоянная в правой части была равна единице при t = l,
к = 2; i = 3, к — 4; i = 5, к = 6 и равна нулю во всех других
случаях.
Пользуясь в этом случае уравнениями G), легко находим
a*=—xz, PJ=— y2, Yt=— Z2,
л также
<Хз = Х4, О4= —Хз, О5 = Хв, <Хв=:—Х5.
.352. Вернемся к каноническим уравнениям B3) § 320:
dx _ dF' dX _ dF' ,я.
4t~JX' ~df' ~дх~' W
Допустим, что решение с точностью до членов ft-го порядка
(относительно Е и а) найдено. Пусть
x = xk, y = yk, z = zk, Х = Хк, ...
будет это решение. Необходимо, как мы объясняли в начале гла-
вы, учесть постоянные с и g. Предположим, что мы имеем при-
ближенные значения этих постоянных
с точностью до членов (к — 1)-го порядка включительно. Прежде
всего мы утверждаем, что погрешность, допущенная в обеих
частях уравнений (8), будет (к + 1)-го порядка. Это очевидно для
правой части, так как мы заменили в правой части неизвестные
их приближенными значениями с точностью до членов к-го по-
рядка включительно. Левые части, в которых фигурируют постоян-
ные с и g, требуют немного больше внимания.
В самом деле, х, например, есть периодическая функция четы-
рех аргументов wt = ntt -f- <ог. Поэтому будем иметь
dx _ v\ dx
ЧГ - Ь Щ fti7 '

524 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
но так как
и3 = (с—1—т)(щ—п2), ni = (g—l—m)(nl—л2),
то -? зависит от с и g. Какова погрешность, получаемая при
замене х, с и g приближенными значениями xh, сА1_ и g^-i? Если
заменяем х величиной xh, то делаем погрешность (к -j- 1)-го
порядка; далее, если заменим с величиной ch-i, то мы допускаем
погрешность
Разность с — сА_1 есть величина ft-ro порядка; тогда ^- —
первого порядка, так как хк — х0 — первого порядка, и т-=- равна
нулю, так как х0 зависит от u?t — ы>2. Поэтому погрешность будет
(к + 1)"г0 порядка; то же самое имеет место при замене g на gh-u
что и требовалось доказать.
Обозначим через
А, А*, В, В*, С, С* (9)
значения выражений
_</« ЭР' _<Ж__д1' _?У,8?'
dt + дХ ' dt дх ' dt + дУ '
после указанной замены.
Выражспия (9) будут известными функциями, кото-
рые будут (к + 1)-го порядка малости.
Положим тогда
и найдем приближения (к -)- 1)-го порядка для х и й;-го порядка
для с. Мы можем пренебречь квадратами бя, 6с, . . ., так что наши
уравнения примут вид
Правые части суть известные функции; что касается левых
частей, то они являются линейными выражениями относительно
неизвестных и их производных. Имеем, например,
OF' \
;
где в производных второго порядка фупкции F' неизвестные долж-
ны быть заменены приближенными значепиямия = х0, X = Хо, .

ГЛ. XXVIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 525
(одновременно Е и а должны быть заменены нулями), как это мы
объясняли в § 341. С другой стороны,
б С—л = ^ -д&х • ^ *- дх
В первом члене 2 П{ а~ мы можем заменить ге3 и ге4 их прибли-
женными значениями
(с0 —1—т) (щ—п2), (go—1—w) («t—п2),
выведенными из анализа, сделанного в главах XXVI и XXVII.
Погрешность величины ni будет первого порядка (и даже вто-
рого), и так как дх есть величина (к -\- 1)-го порядка малости, то
погрешность произведения щ -^- будет величиной не меньше
(к -)- 2)-го порядка малости.
Во втором члене ^j &пг я~ > в который входят
бге3 = (щ—«г) Ьс, бтг4 = (nt—щ) bg,
можно заменить х величиной xt; погрешность, получаемая при
этом, будет второго порядка, и так как бп? есть величина к-то
порядка малости, то погрешность произведения будет величиной
(к -)- 2)-го порядка малости.
Если перенести член 2 &nt -^- в правую часть, то уравнения A0)
примут вид
дбх t fdF'\ _ _ _^
A1)
Левые части этих уравнепий остаются теми же самыми для всех
приближений.
При вычислении членов первого порядка мы полагаем о, Е3,
Ьс, bg и, следовательно, бп* (так как в этом приближении с и g
приводятся к с0 и g0), а также правые части равными нулю; в та-
ком случае уравнения A1) должны приводиться к тем уравнениям,
которые мы интегрировали в главах XXVI и XXVII и в которых
мы определили именно члены первой степени, т. е. левые части

526 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
уравнений A1) приводятся к выражениям
ЪХ
щ + тч) б (?) + nl by + п2ЬХ,
dbz
A2)
[см. уравнения A) из § 323 главы XXV, уравнения A) из § 331
главы XXVI, уравнения F) из § 342 главы XXVII]. Заметим,
между прочим, что справедливы равенства
где А, В, С имеют тот же смысл, что и в уравнениях F)
главы XXVII; мы пишем также ради сокращения
д__ у д
в которых nt заменяются приближенными значениями
Щ, п2, (с0—1 — т)(щ—щ), (g0—1— т)(щ—п2).
353. Если допустим на один момент, что постоянные Ьс и bg
(и, следовательно, Ьп{) заданы, то правые части известны; в левых
частях будут выражения A2), а мы умеем интегрировать уравне-
ния без правых частей; таким образом, задачу можно считать
решенной, если применить классический прием, изложенный
в § 350. Вместе с тем мы должны сделать следующее замечание.
Правые части представляются в виде периодических функций
от четырех аргументов ш;,нов левые части входят не производные
d чг\ д
а производные

ГЛ. XXVIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 527
в которых /г? суть приближенные значения
rejj = (co—1 — т) (щ—п2), 7iJ = (g0—1—т) («х—п2).
Это, впрочем, ничего не изменяет в вычислениях; только нуж-
но, перед тем как интегрировать, заменить в правых частях wt
не величинами ntt + со*, a nit -\- <at.
Итак, предположим, что образованы функции, которые мы
в § 350 обозначали через "к\,
Это заданные периодические функции переменных w; поэтому мы
должны написать не
Таким образом, если
.. = 2*Я aa, A3)
где ка — целые коэффициенты, то из них будем иметь не
„о
Этот анализ предполагает, что правая часть A3) не содержит
постоянного члена. Далее, в § 356 мы увидим, как можно это
сделать.
354. Заметим, что четыре первых уравнения A1) образуют си-
стему, которая зависит лишь от Ьх, Ьу, ЬХ, 6Y, тогда как послед-
ние два уравнения образуют систему, которая зависит только
от 6z, bZ. Поэтому эти две системы могут рассматриваться отдельно.
Заметим далее, что мы имеем случай, к которому применим
метод § 351, так как наши уравнения без правых частей являются
уравнениями в вариациях для канонических уравнений.

528 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Рассмотрим четыре частных решения G), A2), A2') из главы
XXVII; пусть
«уть два решения G), или эти же решения, умноженные на некото-
рый коэффициент, который мы можем выбрать произвольно.
Пусть 6х = ?з» ву = "Пз; 6я = 14» 6^ = 114 суть такие же реше-
ния A2) и A2'). Пусть
«сть значения ЬХ и &Y, соответствующие Ьх = |j, ду = т^. Мы
будем иметь билинейное соотношение
(Ык —1*|*) + (ЛгЛ1Е—Л*Па) = const,
которое является не чем иным, как соотношением A4) из преды-
дущей главы.
Нам известно, что постоянная в правой части равна нулю,
кроме случаев, когда i = 1, к = 2 или i = 3, к = 4. Мы можем
выбрать произвольные коэффициенты, о которых говорили [и на
которые умножаются решения G), A2) и A2')], таким образом,
чтобы в этих двух случаях постоянная в правой части была бы
равна единице. Это наиболее удобно для изложения, но при вы-
числениях можно сделать и другой выбор; например, для случая
i — 3, к = 4 более целесообразно предположить, что постоянная
равна "Y—1.
Пусть
L, L*, M, M*, N, N*
суть правые части шести уравнений A1), такие, что
Применим метод § 351; получим
где
A4)

ГЛ. XXVIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 529
355. Этот же метод применим и ко второй системе, составлен-
ной из последних двух уравнений A1). Пусть
z =
— два решения B) уравнений A) из главы XXVI, умноженные
в случае надобности на произвольно выбранный постоянный
множитель. Наши уравнения без правых частей [составленные
с bz так же, как и уравнения A) с z] будут допускать два решения:
между которыми существует билинейное соотношение
WJ—?&=¦ COIlSt.
Естественно, нельзя смешивать ?j с ? = Eix.
Можно предположить, что постоянная в правой части равна 1.
Тогда будем иметь
где
356. Нужно, как мы видели в конце § 353, чтобы правые
части уравнений A4) и A5), которые являются периодическими
функциями w, не содержали бы постоянных членов. Рассмотрим
эти уравнения последовательно и начнем с ¦—. Мы утверждаем,
что это выражение есть нечетная функция w и она не содержит
постоянного члена. В самом деле, легко заметить, что
EJ, t|i, L*, М
суть четные функции, тогда как
1и т?, L, М*
— нечетные функции, и это доказывает сделанное предположение;
поэтому в к2 не может появиться вековой член.
Перейдем к Л4; нам известно, что с точностью до постоянного
множителя ii равна -^, а |2 — величине
т дх dfn
34 а. Пуанкаре

530 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
поэтому мы можем выбрать постоянные множители таким обра-
зом, чтобы имели место равенства
, л? = ^1 f К),
где ii, %, I*, Ti*, (|2), (ti2), (II), (Tia) — периодические функ-
ции т. Положим тогда
так что
~dt
откуда
Правая часть есть периодическая функция w, но на этот раз
четная; в эту правую часть входит А,2) которая определена в резуль-
тате интегрирования, т. е. с точностью до постоянной. Мы можем
распорядиться этой постоянной таким образом, чтобы постоянный
член в правой части исчез. При этом условии \>ц не будет содер-
жать векового члена.
Впрочем, первые два члена в бх
приводятся к
так что имеем
357. Рассмотрим теперь -jr и -^. Мы утверждаем, что можем
выбрать бс так, чтобы сразу исчезли постоянные члены в обоих
выражениях. Мы имеем
Так как bnt и б«2 равны нулю и -^- = 0 (потому что rcj зависит
только от т = wx — Ы72 и "'з). последнее слагаемое в правой части
сводится к

ГЛ. XXVIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 531
Имеем также
Итак, мы видим, что
%¦ = IXL-UL* + Л:М-т,4М*
можно разделить на две части и что можно написать
% — Щ),
где ф3 — значение -j*-, в котором
L, L*, М, М*
заменены величинами
А, А*, В, В*,
а \|)з — то же самое при замене L, L*, М, М* величинами
dxt dXj gyj_ dYj
дшя ' ди>з ' dw3 ' dw3
Будем иметь также
~jf = Ф4 — ^4 * бс • («i — 7l2).
где ф4 и \|L суть значения —?¦, в котором произведены те же заме-
ны. Мы хотим распорядиться величиной Ьс таким образом, чтобы
обратить в нуль постоянный член в -?¦; утверждаем, что значе-
ние 6с, которое обращает в нуль этот член, вещественно, и оно
обращает в нуль одновременно и постоянный член в -тг •
Мы допустили, что
коэффициенты bk и ck вещественны, h — некоторый постоянный
коэффициент, которым мы можем распоряжаться так, чтобы
некоторая постоянная равнялась 1.
34*

532 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Действительно, если заменить w на —w, то х, которая является
четной функцией w, не изменится; и наоборот, -^-, ^-, X, у,...
изменят знаки.
изменят знаки,
a 9xi я* dYl
л* axi n dVi
не изменятся. ?• и -у- заменятся величинами ^ и -Si-, тогда как
^и-^- заменятся величинами —^и —Sj± . Поэтому ^ заменится
на—^*, у—на—^, ^—на—^, ^—на—у. Следовательно,
постоянный член в ^, например, равен постоянному члену в —^.
Если теперь заменить i на — i, то ^ , ^ , у, 3» поменяются
местами с Ц, у, у, S^.; величины А, А*, -^- ..., которые
являются вещественными, не изменятся.
Поэтому J, $. У, ? заменятся на -f, -|\ -f, -| .
Отсюда следует, что постоянный член в ?2 — мнимый и сопря-
жен с постоянным членом в —-р .
л
Бели постоянный член в $, с одной стороны, равен постоян-
ному члену в —^г, а с другой стороны, является мнимым и сопря-
женным с постоянным членом в — ^ , то отсюда вытекает, что эти
два члена равны между собой и вещественны. То же самое имеет
место и относительно величин г|K и г|L-
Итак, пусть
а, р, —а, —р
суть постоянные члены в
ФЗ Фв Ф4. ^4
h ' h ' ft ' h •
Они вещественны, и достаточно будет взять
са

ГЛ. XXVIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 533
чтобы обратить в нуль сразу постоянный член в -^ и постоянный
член в -т?. Таким образом, вековых членов не будет ни в Х3, ни
в А,4, что и требовалось доказать.
Покажем таким же образом, что можно выбрать bg так, чтобы
не было вековых членов ни в Я,5, ни в Яв. В самом деле, правая
часть пятого уравнения A1) имеет вид
где
Дальнейшие соображения проводятся так же, как и для Х3
и Я, 4, только роль Ьс играет &g, роль L и L* — N и N*, роль ?з
и ?4 — ?s и ?в и т. д.
358. Как мы видели в конце § 353, интегрирование вводит
малый делитель
где ка — целые числа; так как
«a = co(rei — п2)
и
разложимы по степеням пг2, то этот малый делитель также будет
разложим по степеням /га2.
Первые члены разложения суть
nl = n°1 = (l + т)(ге4—п2), пг = п1 = т (ni—I
и так как
то имеем
^7 2 m + 4 (*s - *i) m2 + • • •
Итак, правая часть будет делиться на пг, если А4 = 0; будет
делиться на /га2, если /^ = к2 = 0, т. е. если соответствую-
щий член зависит только от долготы перигея и узла; в обоих

534 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
случаях будем иметь так называемый малый аналитический дели-
тель. Наконец, малый делитель будет делиться на /га8, если kt =
= ft2 = 0 и /с3 = А:4, т. е. когда он зависит только от с у м м ы
долгот перигея и узла. Будем тогда говорить, что имеем весьма
малый аналитический делитель.
Но здесь оказывается, что члены с то8 имеют очень большие
коэффициенты, так что с0 — 1 — т, вместо того чтобы быть при-
Q
близительно равным —т2 и, следовательно, величине g0 — 1 — m,
будет почти в два раза больше. Из этого следует, что весьма малые
аналитические делители, хотя и делятся на то3, численно
будут иметь порядок то2. Если, наоборот, имеем &t = А2 = О,
2А;3 = &4, то делитель, хотя он и не делится на то8, численно бу-
дет порядка то3. Это будет весьма малым числовым делителем
(неравенство Лапласа, см. Tisserand, «Traite de la Mecanique celeste»,
т. Ill, стр. 158).
При численном вычислении коэффициентов существенными
являются весьма малые числовые делители. И наоборот, если
разложить, как это делал Делоне, эти коэффициенты по степеням
то, то необходимо беспокоиться о весьма малых аналитических
делителях.
Весьма малые аналитические делители появляются впервые
в членах EtE\El или в Е\ЕгЕ\, а весьма малые числовые делители
появляются впервые в членах Е\Е\и, Е\Е*гЕ\, Е\Е2Е\а или Е\Е\Е\.
359. Такова основа метода Брауна.
Мы не будем настаивать на детальных усовершенствовани-
ях, которые можно внести, а лишь укажем на следующие основ-
ные идеи.
1. Вместо четырех линейных уравнений первого порядка с пра-
выми частями Браун использует два линейных уравнения вто-
рого порядка с правыми частями (полученные в результате исклю-
чения X и Y); из этого вытекает, что выражения в —+ несколько
видоизменены и представляются в виде суммы только двух чле-
нов, а не четырех.
2. Вместо Ьх и Ьу он берет в качестве неизвестных мнимые
величины
Ьи = Ьх -)- iby, 6s = 6а:—iby.
3. Вместо того чтобы использовать тригонометрические функ-
ции аргументов, кратных w, он упрощает обозначения, вводя
переменную
? = ?".
4. Для приближений высшего порядка он возвращается к при-
ему, с помощью которого Хилл перешел от уравнений B) к урав-
нениям E) главы XXV. Тогда выкладки делаются немного проще.

ГЛ. XXVIII. ЧЛЕНЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 535
Мы ограничимся тем, что скажем, что метод применим как
при вычислении членов первого порядка, так и при вычислении
членов высшего порядка.
Для более подробного знакомства мы отсылаем читателя к его
оригинальной работе (Brown, Memoirs of the Royal Astronomi-
cal Society, т. LIII, LIV, LVII).
Можно поставить вопрос, не появятся ли в процессе вычисле-
ния члены, содержащие в качестве множителя отрицатель-
ные степени т в случае малых делителей, кратных т2 или т8?
Можно показать, что такие члены могут появиться только, когда
будут вводиться весьма малые аналитические
делители. Из этого следует, согласно предыдущему парагра-
фу, что такие делители могут появиться только в членах высших
степеней; этого не может быть, если предположить, что Е2 = О
или Е3 = 0, так как в этих случаях весьма малых аналитических
делителей нет, и самое большее, что может быть, это то, что малые
аналитические делители будут делиться только на та. Доказа-
тельство этого утверждения имеется в «Bulletin astronomique»,
т. XXV, стр. 321.

ГЛАВА XXIX
ВТОРОЙ МЕТОД
360. Второй метод, который мы будем излагать, представляет
некоторые выгоды, особенно когда желают получить не только
числовые значения коэффициентов, но и их аналитические раз-
ложения в функции от т, как это делал Делоне.
Выгодно использовать вместо аргументов Wi следующие вели-
чины:
X = Wi W2, Xl = Wi+W3, T2 = U>j + U>4, T3 = tt'2.
Таким образом, показатель величины Е% в члене, зависящем
от синуса или косинуса аргумента рх + p&i + р2т2 +
будет не меньше \рг\.
Будем исходить из уравнения B5) из § 320:
2 х dX-dQ" =
Эта формула может допускать различные изменения: прежде
всего мы можем перейти от переменных w к переменным т; далее,
можно заметить, что Ф[ сводится к постоянной (интеграл Якоби),
когда Е3 = 0. Это позволяет написать
где К — постоянная, а Е3Ф делится на Е3. В самом деле, имеем
где i|) и 0 — функции х, у, z, X, Y, Z, х3 = w3 и постоянных Е3,
а. Впрочем, \р не зависит от Е3 и т3. Пусть, далее, х* есть значение
разложения х при Е3 = 0.
Пусть г|)* есть значение г|) после замены х, ... на х*, . . .;
тогда i|)* будет постоянной, i|) — i|)* будет делиться на Е3 и мы
можем положить

ГЛ. XXIX. ВТОРОЙ МЕТОД 537
Поэтому имеем
2 А\ dwt-^^- = BdT + Bidxl + B2dx2 + В3 dx3-Е3Фdx3,
откуда
2 2—E3Q>dT3.
Величины В постоянны, так же как и А\ и К; этим мы хотим
сказать, что они зависят только от Et, Ег, Е3, а, т и не зависят
от т. Положим
S = Q"—x0X — y0Y—ziZ,
где х0 и у0 суть члены нулевой степени, вычисленные в главе XXV;
г4 представляет совокупность членов, определенных в главе XXVI
(так как z не содержит членов нулевой степени, то z0 = 0); далее,
будем иметь
dS = 2 (х—х0) dX—^X dx0 +
—zJdZ—Zdzx—^Bdx+E3®dx3. A)
В формуле A) Ei, E2, m и величины т должны рассматри-
ваться как переменные и, наоборот, Е3и а суть заданные постоян-
ные, так что будем иметь
Добавим, что в этой формуле суммы 2 (х—^о) dX a ^X dx0
равны
{x—xo)dX + (y—yo)dY, Xdxo + Ydyo.
361. Установив это, предположим, что мы определили члены
до А;-го порядка в разложениях для х, у, X, У, S и В и члены
до (Л — 1)-го порядка в разложениях для z и Z и что имеем,
следовательно,
x = xk, у = ук, z = zh-t, S = Sh,... B)
Положим
x = xk + 6x, y = yk + by, ... C)
и займемся вычислением Ьх, ду, 6S с точностью до членов (к + 1)-го
порядка включительно, a bz — с точностью до членов ft-ro поряд-
ка включительно.
Заменим прежде всего в A) все переменные их приближенными
значениями B), и тогда разность обеих частей будет (к + 1)-го
порядка: мы можем представить ее в виде
где и и v — известные функции.

538 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Заменим теперь эти переменные их значениями C) и, пренебре-
гая высшими степенями Ьх, . . . [это возможно, так как мы пре-
небрегаем членами (к + 2)-го порядка], получим
D)
Правая часть допускает следующие упрощения: рассмотрим
в ней сначала первую строку; так как Ьх и 6Х суть величины
(к + 1)-го норядка, мы можем заменить х и X значениями х0
и Хо. Аналогично во второй строке, так как бг и 6Z — величины
А-го порядка, мы можем пренебречь в их коэффициентах величи-
ной z2, которая будет второго порядка, и заменить z и Z величи-
нами Zi и Zt.
Наконец, 6Ф есть величина (к + 1)-го порядка, так как
Но 6х и ЬХ суть величины (к + 1)-го порядка, 6z и 6Z — вели-
дф дФ г,
чины к-то порядка, -^ и -щ- делятся на Е2 и, следовательно,
являются величинами первого порядка. Так как, впрочем, Е3 —
величина первого порядка, то мы можем пренебречь Е3ЬФ и оста-
нется равенство
2 fa dX0 — 2 6Х dr0 + &z dZj-
— bZdZi — ^bBdr+^udv. E)
362. Возьмем теперь формулу B6) из § 320
dQ" <tv l V ^ dX u
где Ф[ = F' — n2v', a H — постоянная, выбранная таким обра-
зом, чтобы Q" была периодической. Выводим
Подставим в F) вместо переменных приближенные значения B),
и пусть G — разность обеих частей равенства. G будет известной
функцией (к + 1)-го порядка. Подставим теперь вместо переменных
значения C) и пренебрежем всеми членами не ниже (к + 2)-го
порядка. Получим

гл. xxix. второй метод 539
С другой стороны,
бфх = Ъ аг бж + 2j "аГ 6Х + "аГ 6z + Ж 6Z-
Ж
Но в силу уравнений движения имеем
dx dF' дФ[
dt ~ ах ~ ах ' • • •'
откуда
и, следовательно,
В первой строке можно заменить ж величиной х0, а во второй
строке z — величиной z4, по тем же соображениям, что и в пре-
дыдущем параграфе, и это позволяет нам написать
Что означает теперь б ( -тг ) ? Имеем
Ж?
откуда
В первом слагаемом правой части можно заменить п% через
пи так что он приведется (возвращаясь к обозначениям предыду-
щей главы) к
V „о 3F.?) _<H6S)
АЩ dwt ~ dt •
Во второе слагаемое входят две неопределенные постоянные
6n3 = 6c{ni—n2), 6ni
первая — к-го порядка, так как мы будем предполагать, что с
определена с точностью до членов (к — 1)-го порядка включи-
тельно; вторая будет (к — 1)-го порядка, так как будем предпо-
лагать, что g определена с точностью до членов (А- — 2)-го поряд-
ка. Положим

540 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
где So, Si, S2, ... представляют соответственно члены 0, 1, 2, ...
порядка. В таком случае можно в коэффициенте при Ьп3 заменить
S через So + Si или через 54, так как So не зависит от w3, и в ко-
эффициенте при би4 заменить S через So + 5i + S2 или через
S2, так как So и St не зависят от и;4. Следовательно, получим
363. Вернемся к обозначениям § 318, где мы нашли следую-
щие формулы:
Wi = Ai = Ai (i = l, 3, 4),
n2W2 + Фх = п2А2 4- К = и24;,
буква AT имеет тот же смысл, что и в § 318, и мы получим (вспоми-
ная, что dn2 = 0)
Но лучше будет вернуться к аргументам т, которые мы ввели
в начале этой главы; пусть, следовательно,
dx = v dt, dxt = Vj dx,
так что
V=«! — И2, Vj = И4-|-И3 = VC, V2=«i + »4 = Vg, V3 = И2-
Мы будем иметь
где К имеет тот же смысл, что и в предыдущем параграфе, и, сле-
довательно,
dH=%Bdv, J (9)
J
Все эти величины Н, В, v, ... зависят от постоянных т, Е
и а и не зависят от аргументов т. Допустим, что в уравнениях (9)
сначала вместо неизвестных подставим их приближенные значе-
ния B), и пусть
Р, %Qdq, dP—^Qdq A0)
суть разности обеих частей уравнений (9); Р, Q, q будут извест-
ными функциями и выражения A0) будут величинами (к + 1)-го
порядка.

ГЛ. XXIX. ВТОРОЙ МЕТОД 541
Установив это, заменим в уравнениях (9) переменные значе-
ниями C) и пренебрежем членами (к + 2)-го порядка. Тогда
получим
Заметим, что ЬН, d (8Н) и 8В суть величины (к + 1)-го
порядка; 6v = 6v3 = 0; далее, заметим, что 6v4 — величина А-го
порядка, 6v2 — величина (к — 1)-го порядка, величина d (8vt)
имеет такой же порядок малости, что и 6Л>г-; кроме того, Bt делится
на Е\ и В2 делится на El, поэтому они — величины второго
порядка, а это позволяет нам пренебрегать, например, произведе-
нием 2?i6vi; в таком случае будем писать
8ff=B28v2-f ^]v8B+P + v38,
364. Все члены наших разложений содержат в качестве мно-
жителя некоторый одночлен вида
который Браун называет характеристикой разложений; сумма
показателей q0 + qt -f- q2 + #з есть степень члена разложения.
В предыдущих вычислениях мы могли предположить, что, напри-
мер, bS или 6х представляют только совокупность членов, имеющих
данную характеристику ц, вместо того чтобы считать, что они
представляют все члены (к + 1)-й степени. Но так как степень
приближения не одна и та же, например для bz и Ьх, то необхо-
димо сделать некоторые уточнения. Следовательно, целесооб-
разно считать, что
Ьх, 8у, 8Х, 8Y, 6S, 8В, 8К, 8Н
представляют совокупность членов характеристики ц; 8z и 8Z —
совокупность членов характеристики ? ; 8с — совокупность чле-
нов характеристики ^-и 8g—совокупность членов характеристики
— . Что касается приближенных значений B), то мы будем пред-
полагать, что
представляют все члены, характеристика которых есть делитель
для ц (само ц исключается), и
Zft-i, Cfc-i, gfc-2

542 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
представляют все члены, имеющие соответственно для характери-
стики делитель величин
Л. JL Л
Е2 ' Ei ' Щ '
365. Допуская это, мы должны различать три случая.
Первый случай, ц не делится ни на Eit ни на Е2. В этом
случае ни хи ни т2 (или, возвращаясь к прежним переменным,
ни w3, ни и>4) не входят в разложения. Формула (8) сводится
к равенству
6 — известна; будем распоряжаться ЬН таким образом, чтобы
постоянный член в правой части обращался в нуль, и тогда &S
получим простой квадратурой. Функция bS определяется с точ-
ностью до постоянной, но эта постоянная должна равняться
нулю, так как &S должна быть нечетной функцией.
Перейдем теперь к формуле E) и заметим, что z, Zu . . . рав-
ны нулю и, более того, мы имеем только три переменные, по кото-
рым нужно дифференцировать, и такими переменными являются
т, 1 и т3; поэтому имеем
и так как х0 и Хо не зависят от т, то
Из уравнения A4) выводится равенство
где через Г и -т- I обозначен постоянный член в и -^- ; это опреде-
L о*з J ох3
ляет ЬВ3.
С другой стороны, заметим, что в правой части A2) имеем
В2 = 0, так как В2 должно делиться на El, и так как ц не делится
на Е2, мы пренебрегаем Е2; поэтому остается
d{6H)=^8B dv + %Qdq,
или, так как dv3 = 0, a dv\ и dv2 не входят в это равенство, то
д(ЬН) __ ср 3v
-5—65

ГЛ. XXIX. ВТОРОЙ МЕТОД 543
Это равенство определяет 6В, так как 6Н, Q и q известны, а
т
Наконец, имеем
Так как здесь наши разложения не содержат ни w3, ни и>4
и так как имеем
щ — п[, п2 = «J, 6щ = би2 = О,
то можно написать
Л/<**\ d{6x) *{dy\_d (by)
0 {if) ~~di~' °\.~dTj di~ '
но так как мы снова придем к этим уравнениям немного дальше,
то мы желаем сейчас рассмотреть этот вопрос в несколько более
общем плане. Итак, возьмем уравнение
Пусть А есть значение левой части, если заменить переменные
их приближенными значениями B). Если взять более точные зна-
чения C), то будем иметь
причем
dx s? „ дх Л / dx \ >п д(Ьх) , V Ли дх
Мы можем заменить в первом слагаемом ni на и?, так как
Ьх есть величина (к + 1)-го порядка, так что этот член сведется
к * ; для второго слагаемого имеем
¦сто дх с дх , . в_ дх
Но бс и 6g суть величины А-го и (Л — 1)-го порядков соответствен-
но, поэтому мы можем заменить в коэффициенте при бс перемен-
ную х через хи а в коэффициенте при dg — через х2 (где х0,
Xi, x2 суть первые три приближения переменной х соответственно).

544 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Итак, можно написать следующие уравнения:
dv
A5)
В интересующем нас случае члены с bz и bZ равны нулю, и то
же самое относится к А, А' и к членам с 6с, 6g; но мы предпочи-
таем не упрощать уравнения A5), чтобы можно было ими восполь-
зоваться в следующих параграфах.
6S и ЬВ известны; аргументы tt и т2 не входят в уравнения,
6с и 6g должны рассматриваться как нули; правые части, следо-
вательно, известны; поэтому мы должны проинтегрировать
систему линейных уравнений с правыми частями. Линейные урав-
нения без правых частей есть не что иное, как уравнения, кото-
рые мы проинтегрировали в § 347; только наша система дифферен-
циальных уравнений имеет второй порядок вместо четвертого.
Поэтому будем применять результаты § 349 и следующих
параграфов; единственная трудность возникает, когда опреде-
литель
дт 0т дх ' дт
обращается в нуль, но здесь это не имеет места.
Вековые члены не будут появляться. Этого может и не быть,
если аргумент одного из членов в правой части будет такой же,
что и у одного из членов, которые мы в предыдущей главе обозна-
чили через |3 или ?4> т- е.
Но это невозможно, так как наши правые части не зависят
от ti и т2.
366. Перейдем теперь ко второму случаю.
|i делится на Е2, но не делится на Е\. Тогда наши функции
будут зависеть от и>4 (т. е. от т2), но не будут зависеть от w3 (т. е.
от Ti), и уравнение (8) запишется в виде

гл. xxix. второй метод 545
Так как правая часть не должна содержать постоянного члена
Л с
и в -^-такого члена нет, то ЬН будет не что иное, как постоянный
член в G. Таким образом, ЬН известна, и уравнения A2) дают
Но v зависит только от т, vt не входит в это равенство, a v3
постоянна; поэтому имеем
А» п dv ду/з п
откуда
д(ЬЩ п d(bv2) , лр dv2 v n дд
-дЕ2-:==В2-щ-+ 2Ж+ 2j Q-щ ¦
Будем брать ЬВ2 произвольно (придавая ему значение нуль
всякий раз, когда все показатели q характеристики являются
четными). Все известно, кроме -^ ; мы определили, следователь-
но, эту величину, а значит, и
6 Е2 д(ду2)
д
2
так как 6v2 есть однородная функция Е2 (q2 — 2)-го порядка.
Зная 6v2 = dn4, мы будем знать правую часть уравнения (8)
и, следовательно, bS с точностью до некоторой постоянной, кото-
рая равна нулю, так как bS—нечетная функция.
Установив это, вернемся к уравнениям E); они нам дают
д (bs) _ fa dzi fly dzi V _^?_
A6)
Здесь u, v, Zi, Zi — известные функции, ЬВ2 выбрана произвольно
при определенном 6S; мы можем определить без интегри-
рования две оставшиеся неизвестные bz и bZ с помощью урав-
нений первой степени A6). Определитель этих уравнений
дЕ2 ' дх2 дЕ2 ' дх2
не может обращаться в нуль, так как он приводится к посто-
янной.
2/4 35 а. Пуанкаре

546 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Из уравнения E) получаем равенство
хд , V » dv
которое показывает, что ЬВ3 равен постоянному члену из выра-
жения 2 « j- • Уравнения A2) дают
(ЬН) __ „ d(bv2) , с„ dv дд 3v2 , Vn dq
Все члены, кроме 6В, известны. Отсюда определяем 6В.
Вернемся, наконец, к уравнениям A5). В эти уравнения Tt
не входит; те же рассуждения имели бы место, если бы 6с равня-
лась нулю, a 6g=— была известна; следовательно, находим 65
и &В; итак, все известно, кроме
ох, 6у, 6Х, 6Y.
Эти величины легко определятся интегрированием уравнений A5);
как и в предыдущем параграфе, можно показать, что вековые чле-
ны не могут появиться.
367. Перейдем к третьему случаю.
|х делится и на ?ь и на Е2- В таком случае можно избежать
одного интегрирования.
Уравнения E) дают нам
v dv
так как х0, Хо, zt, Zi не зависят от Ей если bS и v суть однород-
ные функции переменной Et #i-ro и k-то порядков соответственно,
то из этого выводим равенство
5i 6S = 2 кии,
которое определяет 65.
Далее имеем уравнения
Они определяют bz и bZ, а постоянная ЬВг может быть выбрана
произвольно. Затем получаем равенства
¦ —ЬВ 4-У dv

гл. xxix. второй метод 547
которые показывают, что 6В3 и 6В{ равны постоянным членам
из выражений
Остается определить 6В и 6g, от которых зависит 6v2; для этого
будем пользоваться уравнениями A2), которые дают
В коэффициенте при ЬВ мы можем заменить v их приближен-
ными значениями v = П] — ге2, vt = cov, . . .; при этих условиях
величины v не зависят от Е\ и остается
д (ЬН) р
Таким же образом получим
Из этих уравнений выводим
9i ЬН = B2^i
?2 6Я = #2 @2—2) 6v2 4 S *'#?-
где $, по предположению, однородная функция переменных Et
и Е2 к-го и А'-го порядков соответственно. Из этих двух уравне-
ний получаем ЬН и 6v2 (а затем и dg).
Прием становится неприменимым при q2 = 0, но в этом слу-
чае т2, а следовательно, и 6v2 не входят в уравнения.
Далее находим
дх ' У AR dyi _L У П dq
дх ' У AR dyi _L У П dq
откуда получаем 65.
Наконец, определим 6ж, 6у, 6Х, 6У при помощи уравнений A5);
в правых частях все известно, за исключением постоянной 6с.
Распорядимся этой постоянной таким образом, чтобы исчезли
вековые члены, которые на этот раз сами по себе не равны нулю.
Таким образом, определение наших неизвестных завершено.
368. Этот метод изложен, но в другой форме и с другими обо-
значениями, в томе XVII «Bulletin astronomique» на стр. 87 и 167.
Когда мы хотим иметь аналитические выражения для коэффициен-
тов, то он имеет некоторое преимущество прн выполнении подста-
новок (так как делаем подстановки только в Ф^, вместо того
35»

548 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
чтобы делать подстановки в трех частных производных этой функ-
ции) и приходится интегрировать систему второго порядка вместо
системы четвертого порядка. Этот метод поддается многим изме-
нениям.
1. Мы можем применить прием, аналогичный тем, которые
применялись в § 327 и 347 при рассмотрении более общей задачи.
Мы имеем формулу
в которой член —и?в представляет совокупность членов, содер-
жащих в качестве множителя а или Е3. Возьмем более общую
формулу
которая приводится к первой при h = п2. В § 347 мы положили,
что
На этот раз будем полагать
которые приводятся к тем же величинам.
Далее будем применять метод, в котором разложения строятся
не только по степеням а и ?, но также и по степеням т, а и Е,
так что х0, например, представляет совокупность членов, не зави-
сящих от а, Е и р*. Число членов, которые надо вычислить, немного
увеличивается, и наоборот, каждая из величин х0, у0, Хо, Yo,
zu Zi сводится к одному члену с cos т, sin т, cos т2 или sin т2.
2. Можно, наоборот, сначала закончить разложение по а,
рассматривая Е как нули, а потом разложить по степеням Е,
рассматривая х0, например, как совокупность членов нулевой
степени относительно Е, но произвольной степени относительно а.
Можно также разложить сначала по степеням Е\ и Е2, а потом
по степеням о и Е3. Это вводит в метод некоторые небольшие
изменения, на которых мы не будем подробно останавливаться.
3. Вместо того чтобы рассматривать прямоугольные коор-
динаты х, у, z и их сопряженные переменные X, У, Z, можно
взять полярные координаты и их сопряженные переменные. Метод,
основанный на свойствах канонических уравнений, остается при-
менимым, каковы бы ни были некоторые изменения в деталях.

гл. xxix. второй метод 549
Теоремы Адамса
369. Вернемся к уравнению из § 362
л. , -^ dX
в котором теперь 2 хХ означает хХ + уУ + zZ. Положим
= i Zj т ¦
Будем иметь
Но
~dT~~dX=~dX '~Ш~= Ъх=~~дх'
Поэтому
Л -^i 2 Ьх дх 2 ДЛ дХ а-
Пусть
ф;=Ефа.
где фл представляют совокупность однородных членов А-й сте-
пени в х, у, z, X, У, Z; в силу теоремы об однородных функциях
будем иметь
откуда
где У — периодическая функция, а /Г есть не что иное, как по-
стоянный член в Г1 —к" J фА'
Но если пренебречь параллаксом, имеем
(см. § 315).
Все члены в этом выражении являются однородными 2-й сте-
пени, кроме члена с — , степень однородности которого равна — 1.
Следовательно,
Vfl_*ЛШ 3
х/г 35 а. Пуанкаре

550 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Итак, если параллакс равен нулю, то Н есть не что иное, как
постоянный член в —, умноженный на постоянный множитель
3
370. Установив это, возьмем уравнение (9) из § 363
Так как v и v3 не зависят ни от Еи ни от Е2, то оно нам дает
дЁТЩ oeJ~ ¦& ~Щ '
откуда
Пусть
где ЯА представляет совокупность членов k-й степени относи-
тельно Ei и Е2 и произвольной степени относительно а и ?3.
Теорема об однородных функциях дает
Таким образом, 2Н2 представляет совокупность членов второй
степени в правой части A8). Но Bt и В2 делятся на El и El соот-
ветственно; с другой стороны, ?isp—\-E2-gu обращается в нуль
вместе с Ei и Е2. Поэтому члены второй степени равны нулю, т.е.
Итак, коэффициенты при Е\ и Е\ равны нулю, каковы бы ни
были аи?3в разложении функции Н; отсюда вытекает, что они
равны нулю, если а = 0 и для любого Е3 в разложении постоян-
ного члена из — .
371. Пусть теперь

ГЛ. XXIX. ВТОРОЙ МЕТОД 551
Пусть
суть первые члены разложений v4, v2, Bu В2 по степеням Ei
и Е2, коэффициенты а, Ъ, с, К, ц, Р, у являются функциями Е3
или а, или только Е3, если мы предполагаем, что а = 0.
Уравнения A7) в таком случаем нам дают
откуда
или
Это есть соотношение между коэффициентами разложений vj
и v2 и, следовательно, с и g, с одной стороны, и коэффициентами
разложения Н и, следовательно (в предположении, что a = 0),
разложения постоянного члена из —, с другой стороны.
35*

ГЛАВА XXX
ДЕЙСТВИЕ ПЛАНЕТ
372. Чтобы изучить действие возмущающей планеты на си-
стему, состоящую из Солнца и возмущаемой планеты, начинаем
с составления уравнений движения системы при условии, что
возмущающая планета не существует. В этом случае движение
будет кеплеровским, и во втором приближении изучаются воз-
мущения кеплеровского движения, вызванные возмущающей пла-
нетой. Для этого применяется метод вариации произвольных
постоянных.
Будем поступать абсолютно так же и при изучении движения
четырехкратной системы, состоящей из Солнца, Земли, Луны
и еще одной планеты. В первом приближении мы будем интегри-
ровать уравнения движения трехкратной системы, состоящей
из Солнца, Земли и Луны. Эту задачу мы решили в предыдущих
главах. Таким образом, мы получили координаты трех тел этой
системы в виде функций времени и определенного числа постоян-
ных интегрирования С. Далее, мы должны изучить возмущения
этого движения, вызванные притяжением планеты, т. е. опреде-
лить малые вариации постоянных С, порождаемых притяжением
этой планеты. Подобный подход к применению метода вариации
произвольных постоянных был предложен Ньюкомбом и изло-
жен в ого работах.
Вернемся к обозначениям § 42 и 312. Пусть А — это Луна,
В — Солнце, С — Земля, Р — планета, D — центр масс системы
Земля—Луна , G—центр масс Земля —Луна—Солнце.
Пусть
#i) я'г, ^з, тг — т2 = т3 —координаты и масса точки А;
«4, хь, х6, /К4 = т5 ==/и6 —координаты и масса точки В,
ж7, #8> #9) тпт—тй —т9 —координаты и масса точки С;
«ю,«и,«12, mi0 = mn=mi2—координаты и масса точки Р;

ГЛ. XXX. ДЕЙСТВИЕ ПЛАНЕТ 553
Пусть
х[, x't, x'3 суть проекции АС;
х'4, х'ъ, x't » » BD;
г' г' г' % » PG'
/ , . »1| Ш 7
m1 = mi = m3——г-^- •
Пусть
2 ^J m ~" 2 ^ in'
есть кинетическая энергия и
77_ /^»ii»'4 , W1W7 1 т4т7^ /т^гц пц&пь , пц^щ\
U \~AB~T~~AC~~T~~mr)~\~PA~~T~~TW^' PC )
— потенциальная энергия; F = Т + U есть полная энергия.
Будем иметь канонические уравнения
dF
(it "" ду^ ' dt ~ дх\ '
Разобьем Т и U на несколько частей; будем полагать, что
U = U1
где
.-т2^('-Ю. ".12).
m4 (f) /1 1
= BD
_ т10 (^1
^

554 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Мы видим, что Tt и Ui зависят только от координат Луны (и соот-
ветствующих импульсов у\); Т2 и U2 зависят только от координат
Солнца; Т3 и ?74 зависят только от координат планеты; U3 — от
координат Луны и Солнца; Us — от координат возмущающей пла-
неты и Солнца и, наконец, Ue зависит от координат Луны, Солнца
и планеты.
373. Теперь посмотрим, каков порядок малости этих различных
величин. Будем предполагать, что в качестве единицы длины
взята величина порядка BD, так что АС будет порядка параллакса
а, что мы запишем следующим образом:
BD~l, AC —a.
За единицу массы будем брать величину порядка массы Солнца
то4, так что
Для внутренних планет будем иметь
PD — 1.
Для больших планет mi0 всегда гораздо больше щ, но зато
PA, РВ, PC всегда будут больше 1, и это некоторым образом
компенсирует одно другое; поэтому во всех случаях будем допу-
скать, что
ml0 — тй7, PD — 1.
Таким образом, находим, что
1Г—Ui -—, 12~и2~пц,
и3~а?т1, T3~Uk~m1,
Ub ~ mj, Ua — а?тпхтп1.
Теперь будем полагать, что
F = F' + F",
К=т2+т3+и2+и^ /"=/¦;+
Заметим, что
1) F' не зависит от координат Луны;
2) U3 и Uu пренебрежимо малы по сравнению с F'\
3) Ti и Ux зависят только от координат Луны.

ГЛ. XXX. ДЕЙСТВИЕ ПЛАНЕТ 555
Поэтому, что касается координат Солнца и планеты, мы можем
удовлетвориться уравнениями
dx\ dp' dy\ Qpi
~df~ ду\ ' dt ~ ~ дх\ (*)
(i = 4, 5, 6, 10, 11, 12).
Для определения координат Луны будем иметь уравнения
dt ~ ду\ ' dt (tej { '
<* = 1, 2, 3).
374. В первом приближении мы пренебрегаем величиной U&
по сравнению с F'o и величиной Ue по сравнению с F"o. При этих
условиях наши уравнения приводятся к виду
dx'i _dF'o dy\ _ dF'o ,.,.
dt dt/j ' dt дх^ * '
<i = 4, 5, 6, 10, 11, 12),
dx\ dF" dy'i dF"
(i ¦= 1, 2, 3).
Мы видим, что F'o состоит из двух частей, одна из которых
зависит только от координат Солнца, а другая только от коор-
динат планеты, и что F" есть не что иное, как функция TO^bj
из § 312 главы XXIV. Отсюда следует, что если ограничиться
уравнениями A') и B'), то движение Солнца В относительно точки
D и движение планеты Р относительно центра масс G будут кеп-
леровскими движениями.
С другой стороны, движение Луны относительно Земли было
изучено в главах XXV и XXIX. Поэтому будем предполагать, что
это движение полностью определено методами, изложенными
в этих главах.
Таким образом, величины
xi, y\ (i = 4, 5, 6, 10, 11, 12)
будут функциями времени и двенадцати элементов (канонических
или эллиптических; см. § 58) орбиты точки В относительно точки D
и орбиты лланеты Р относительно точки G, или, если угодно, функ-
циями средних долгот точки Б в ее кеплеровском движении отно-
сительно D и точки Р в ее кеплеровском движении относи-
тельно G, и еще десяти других элементов (канонических или
эллиптических) этих двух орбит.
Величины
х'и у\ (*-1, 2, 3)

556 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
могут быть выражены в функции времени, шести элементов эллип-
тической орбиты Солнца В относительной) и шести других постоян-
ных интегрирования или также в виде функций: а) средней дол-
готы Солнца, т. е. аргумента т3; б) пяти других элементов эллип-
тической орбиты Солнца; в) трех аргументов т, tj, т2; г) трех
постоянных Еи Е2, т (или трех произвольных функций, завися-
щих от этих трех постоянных и пяти элементов орбиты Солнца).
375. Таким образом, наши 18 временных х\, у\ выражаются
в функции пяти аргументов, изменяющихся пропорционально
времени. Этими восемнадцатью переменными являются средние
долготы Солнца В и планеты Р, три аргумента т, ти т2 и тринад-
цать постоянных интегрирования.
Если уравнения (Г) и B') проинтегрированы, то нам стано-
вятся известными соотношения, которые связывают 18 перемен-
ных — пять аргументов и 13 постоянных.
Допустим теперь, что мы применяли бы дальше приближения
и для этого возвратились к уравнениям A) и B). Тогда мы могли бы
определить 18 новых переменных, которые связаны с прежними
18 переменными теми же соотношениями, которые связывают
пять аргументов и 13 постоянных при решении уравнений A')
и B'). Эти 18 переменных могут рассматриваться как о с к у л и-
рующие элементы трех орбит: орбиты Солнца относи-
тельно D, орбиты возмущающей планеты Р относительно G и ор-
биты Луны А относительно С. Только эти оскулирующие элемен-
ты более не будут линейными функциями или постоянными; все,
что мы можем сказать в этом случае, это то, что в силу малости
дополнительных членов Vь и Ue одни из них изменяются почти
пропорционально времени, а другие изменяются очень мед-
ленно.
Действуя так же, как и в § 79, мы должны сделать замену
переменных, беря в качестве новых переменных эти 18 оскулирую-
щих элементов; но для применения метода Лагранжа выгодно вы-
брать эти переменные (которые полностью мы еще не определили) та-
ким образом, чтобы каноническая форма уравнений не нарушилась.
1. В качестве шести элементов Солнца мы выберем канони-
ческие элементы
L, ii, \г, А,, т],, ii2,
определенные в § 58. Средняя долгота А, есть не что иное, как
аргумент т3, причем Ки + Л! будет порядка Е3 и может играть
ту же роль, что и Е3 в предыдущих главах. При этих условиях
C)
есть точный дифференциал, и это есть условие, что уравнения сохра-
няют каноническую форму.

ГЛ. XXX. ДЕЙСТВИЕ ПЛАНЕТ 557
2. В качестве шести элементов возмущающей планеты будем
брать также канонические элементы
L, |ц %2, К 4i, Л2
из § 58. Но, впрочем, эти элементы не будут играть никакой роли
в последующем анализе, а что касается уравнений A), то они бу-
дут нам давать просто возмущения в движении планеты, вызван-
ные системой Земля — Луна, в предположении, что она является
материальной точкой; эти возмущения определены раньше.
3. В качестве шести элементов Луны будем брать три аргу-
мента, т, Tlt т2 и три постоянные В, Ви В2 из предыдущей главы.
Бели сопоставим формулы
2 *' dyT = 2 х dX + (Ху—Yx)du,
xdX-dU" = 2 A'dw-9&* ,
2 х dX—dQT = 2 в dr—ЕзФ dx3,
х' dy'-dQ" = У А' dw-
из §318, 320 и 360, то можно написать, что
т\ du" = 2 *i dV'i — 2 miBi dxt + те^Ф dx3—m^ {Xy—Yx) dx3.
Все эти формулы предполагают, что элементы Солнца, и в част-
ности Е3, рассматриваются как постоянные. Если, кроме того,
предположим, что dt3 = 0, то убеждаемся в том, что выражение
х\ dy[ + х'2 dy't + х3 dy't — т[ (В dx + Bt dxx+В2 dx2) D)
есть точный дифференциал, если предполагать, что шесть элемен-
тов орбиты Солнца (включая Е3 и t3) рассматриваются как по-
стоянные.
Впрочем, можно написать это соотношение и в следующем
виде (деля на т[):
dQ" ='Zx'dy"—^Bdx + Е3Ф dx3—(Ху—Yx) dx3.
Замечая, что t3 не играет такой же роли, что и другие аргументы
т, и выделяя член с dx3, положим
Будем писать в предыдущих формулах
36 а. Пуанкаре

558 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
вместо 2 В ^т> так что будем иметь
<ЙГ = 2 *' dyu— 2 В dx—dx3 (В3—Е?>—Ху + Yx).
Вспомним затем формулу
из § 360 и положим
Тогда будем иметь
dQ"= 2 х>
2 Вdx~ (G~ф1) 4J ; E)
эта формула предполагает, что все элементы орбиты Солнца, кроме
т3, постоянны. Если, кроме того, рассматриваем и т3 как по-
стоянную, то будем иметь выражение
^x'dy'—^Bdx, D')
которое будет точным дифференциалом.
376. Вернемся к уравнениям A). Прежде всего проинтегри-
руем приближенные уравнения A'), которые определяют кепле-
ровское движение планеты относительно точки G и Солнца отно-
сительно точки D; затем получим интегралы точных уравнений A)
методом вариации произвольных постоянных. Это есть не что иное,
как изучение взаимных возмущений планеты и системы Земля —
Луна (в предположении, что обе массы сосредоточены в центре
масс D); это исследование было выполнено раньше.
Итак, перейдем к уравнениям B), которые мы напишем в виде
dt ~ ду\ dt ~ дх\ ' W
Будем брать в качестве новых переменных канонические эле-
менты Солнца и шесть переменных т, т4, т2, В, Вь В2. Коорди-
наты х', у" и функция Q" должны быть выражены в виде функций
этих шести переменных т, tit t2, В, Bt, B2, переменной t3 и дру-
гих пяти элементов солнечной орбиты, которые обозначим через y*.
Формула E) предполагает, что величины yt постоянны; если
их рассматривать как переменные величины, то эта формула
должна быть дополнена и мы должны написать
(G-a>l)^-+Zridyu E')

ГЛ. XXX. ДЕЙСТВИЕ ПЛАНЕТ 559
где положено
Чтобы знать, как изменятся уравнения F) в результате заме-
ны переменных, необходимо сослаться на теорему § 12. В § 12
рассматривается система канонических уравнений, в которых F
зависит явно от времени; делается замена переменных, в которой
новые переменные х' и у' суть функции прежних переменных
х и у и времени t. Предполагается, что
есть точный дифференциал при условии, что dt = 0 и что
есть точный дифференциал при dt ^ 0; в этом случае уравнения
сохраняют каноническую форму, но функция F должна быть за-
менена на F — W.
Мы можем применить здесь эту теорему, так как при интегри-
ровании уравнений A) элементы уг-и тз могут рассматриваться
как известные функции времени. Следовательно, можно написать
E")
где
и уравнения F) примут вид
dB _ дФ2 dx __ дФ2 /7v
dt ~ дх ' dt ~ дВ ' I''
где
Ф2=^— W.
Полезно заметить, что этот анализ вовсе не предполагает,
что в качестве Y* выбраны канонические элементы Солнца, а по-
этому можно выбрать произвольные функции этих шести канони-
ческих элементов, и в частности, эллиптических элементов.
377. Между элементами орбиты Солнца мы должны делать неко-
торое различие; координаты х, у, z, которые были вычислены
в предыдущих главах, зависят от средней аномалии Солнца t3,
от эксцентриситета орбиты Солнца Е3 и от большой полуоси солнеч-
ной орбиты, обратно пропорциональной параллаксу а.
Они не зависят от трех других элементов: долготы земного пери-
гелия и углов, которые определяют ориентацию подвижного
36*

560 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
эллипса относительно неподвижных осей. То же самое справед-
ливо и относительно X, У, Z и й"; эти функции также не зависят
от последних трех элементов, которые мы будем называть элемен-
тами ориентации.
Выше мы писали
2 х' dy" = 2 х dX + (Xy - Yx) dr3,
предполагая, что dyt = 0. Рассматривая у* как переменные вели-
чины, нужно писать
2 х' dy" = 2 х dX + (Xy - Yx) dx3 + 2 At dyt,
где
Если Yi есть один из элементов ориентации, то будем иметь
6Q" ЭХ
q
и, следовательно,
Что представляют собой теперь величины A{i Если элементы
ориентации Yi, Y2. Уз получают приращения dyt, dy2, dy3, то все
будет происходить так, как будто подвижные оси х, у, z получили
бесконечно малые вращения относительно неподвижных осей х[,
х'%, х'3. Если считать, что подвижные оси в начальный момент
совпадают с неподвижными, то эти три вращения происходят
вокруг трех осей и мы будем иметь
378. Если предположим, что масса mi0 равна нулю, то вели-
чины Yi будут постоянными, так же как и -~-, и поэтому имеем
С другой стороны,

ГЛ. XXX. ДЕЙСТВИЕ ПЛАНЕТ 561
откуда окончательно имеем
Ф2 = С.
G есть функция В и уг! канонические уравнения приведутся к виду
dt ~ dx ~ ' dt —Vj ~ dB% '
Итак, можно написать соотношения
в котором у рассматриваются как постоянные. Бели мы сопоставим
это с формулой dH = Вd\ + Bidv1 + B2dv2 из § 363, то получим
Я—G = Bv+В pi + В2\2
плюс произвольная функция величин \><> которую мы можем
считать равной нулю. Мы могли бы вывести эту формулу из фор-
мулы (9) § 363, которую можно написать в виде
Я = Bv + tfjVj + B2v2 + Bsvs + Kv3,
и из равенства § 375, определяющего G, которое можно напи-
сать так:
379. Предположим теперь, что т10 не равна нулю; тогда
^ не равны более нулю, но весьма малы; —^- не равна более
постоянной, но мы можем положить з/- = 1+8, где г — весьма
п2 ut
малая величина. С другой стороны, будем иметь F" = /Wi<Dt -f- Uo,
откуда, наконец.
Можно также положить, что G = G0+6G, где GQ есть значе-
ние G прн замене у; их начальными значениями, и поэтому будет
функцией только В, Bly B2, a 66 — весьма малая величина. Далее
можно написать, что
откуда Ф2=о + л, и это окончательно дает нам уравнения
dB__dR_ dx_ !&__!№_ 1й\
dt ~ дх ' dt ~ дВ дВ ' \ '
где R — малая величина. Мы можем в частных производных
функции R заменить переменные их приближенными значениями;
в этом случае Л и ее частные производные могут рассматривать-
ся как известные функции времени. Они будут периодическими

562 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
функциями относительно пяти аргументов т, т4, т2, т3, т4,
где т4 — средняя аномалия планеты. Приближенные значения
этих аргументов суть линейные функции времени. Поэтому про-
изводные функции R будут представляться в виде
2 4 cos (а*+ р),
где А, а и р суть постоянные величины.
В таком случае получим величины В простыми квадратурами,
так как В определены, а величины у получены перед этим с по-
мощью уравнений A); то же самое можно сказать и о частных
dG D
производных -??-, которые зависят только от В и у; можно также
получить квадратурой и величины т. Это абсолютно то же самое,
что мы делали в главах IV и V.
380. Имеется и другой подход к пониманию применения метода
вариации произвольных постоянных. Если т10 равна нулю, то
имеют место определенные соотношения между xi, y\ (i = 1, 2, 3),
элементами лунной орбиты В и т и элементами орбиты Солнца
т3 и yt; пусть
! /(?, т, у*, т3) (9)
— эти соотношения. Если mi0 не равна нулю, так что элементы
орбиты Солнца являются переменными величинами, то мы можем
сохранить соотношения (9) для определения оскулирующих эле-
ментов В и т. Так мы делали до сих пор, но можно поступать
и иначе.
Пусть y? суть начальные значения yt; пусть xjj = n?f-J-е0,
где п°ие0 — начальные значения величин га2 и т3; заменим тогда
уравнения (9) следующими уравнениями:
XJ, = f(B, х, yl xj). (9')
Эти шесть уравнений (9') будут определять шесть оскулирую-
щих элементов В, В\, В2, т, т4, х2. Величины Вит, определен-
ные уравнениями (9'), не совпадают с величинами Вит, опреде-
ленными уравнениями (9), но отличаются от них очень мало.
Заметим, что yl, п°, е0 постоянны и переменные элементы орбиты
Солнца не участвуют в новом определении.
Как изменится при этом уравнение E')

ГЛ. XXX. ДЕЙСТВИЕ ПЛАНЕТ 563
В нем нужно заменить yt, n2 и т3 приближенными значениями
Y?, nj и tJ; поэтому имеем dyt = O, -?$-=dt, так как у\ и е0
являются постоянными, и в конечном счете получаем
Более того, так как Ф4 зависит от солнечных постоянных, то
необходимо заменить Ф? (которая является функцией ж', у",
*з, Yi) тем ее значением, которое получается при замене yt и т3
на у? и тз> обозначим результат такой замены через Ф?, откуда
\У = Ф\—Go.
Поэтому будем иметь уравнения
йв _дФ2 dx _ дф2 ,.„
dt - W ~dT~ Ш ' *' '
Fa U
8 которых положено Ф2 = —7—W = Q>i -\—?- — (Ф?—Go), откуда
Заметим, что Go не зависит от В. Итак, мы возвращаемся
к уравнениям вида (8), которые рассматриваются таким же образом.
Ньюкомб (см. «Investigation of inequalities in the motion of
the Moon produced by the action of the planets», Washington,
Carnegie Institution, juin 1907) применяет смешанный метод;
действительно, он применяет для определения элементов ориен-
тации метод § 379, а для других элементов метод, изложенный
в § 380.
381. Вообще члены, порождаемые действием планет, весьма
малы и становятся заметными только благодаря наличию малых
делителей, если промежуток времени достаточно большой. Чаще
всего они становятся заметными в случае двойного интегрирова-
ния, которое вводит в знаменателе квадраты малых делителей.
Мы получим наиболее существенную часть некоторого долгопе-
риодического члена, ограничиваясь интегрированием следующих
уравнений:
*Щ—!Щ dx — dG
dt ~ дх ' dt~ дВ '
Мы пренебрегаем, таким образом, в правой части второго урав-
dR
нения членом — ^, который подвергается простому интегриро-
ванию. Если обозначим через 6В, 6у, 6т неравенства, порождае-
мые заданным членом 6R возмущающей функции, и если g — это

564 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
значение G, которое получается при замене В и у их начальными
значениями, то можно написать, что
d(bB) _d(bR) .
382. Мы должны различать прямое и косвенное
действия планеты. Если бы существовало только прямое
действие, то все происходило бы так, как если бы Солнце В и пла-
нета Р описывали кеплеровские орбиты — первое относительно D,
вторая относительно G, а Земля и Луна подвергались бы притяже-
нию этих двух подвижных тел. Если бы существовало только
косвенное действие, то все происходило бы так, как если бы пла-
неты не было, а Солнце описывало бы вокруг точки D орбиту, воз-
мущенную притяжением планеты.
В случае уравнений § 380 прямое действие порождается чле-
ном с —f, а косвенное действие членом Фх—Ф? | в этом случае
в уравнениях A0) нужно заменить G через Go, и поэтому про-
изводные д .— равны нулю, так как GQ зависит только от В1 .
В случае § 379 прямое действие планеты получим с помощью
уравнений (8), рассматривая в них yt и -^ как постоянные и заме-
няя R на —'. Косвенное действие получим, определяя вариации
Y; и -^- с помощью уравнений A) и заменяя R членами
Поскольку возмущающая планета близка к Солнцу, то прямое
и косвенное действия почти равны и противоположны по знаку.
В самом деле, пусть Gi есть центр масс Р и В. В случае, кото-
рый нас интересует, точка 6t будет описывать кеплеровскую орбиту
вокруг точки/?, аналогичную орбите, которую описывало бы Солн-
це В, если бы планеты не существовало, но большая полуось для
одного и того же среднего движения будет умножаться на
3 Г '
• / А I 0
I/ 14 —
V Ml
Если в пределе мы пренебрегаем расстоянием РВ, то все про-
исходит для прямого действия так, как будто расстояние умно-
жилось на
_з/ ——
Л/ A I W10 .
таким образомт что касается соответствующих неравенств (т. е.

ГЛ. XXX. ДЕЙСТВИЕ ПЛАНЕТ 565
неравенств, которые не зависят от угла PGiD), то имеет место
компенсация.
Имеется также компенсация для неравенств, пропорциональ-
ных расстоянию РВ (и которые содержат угол PGtD в качестве
аргумента), так как отклонение BGt, умноженное на т4, равно
отклонению PGt, умноженному на т10. Компенсации нет для нера-
венств, пропорциональных высшим степеням РВ, но эти неравен-
ства всегда очень незначительны.
383. Мы должны различать два сорта периодических планетных
неравенств. Неравенства первого сорта это те, аргументы которых
зависят только от т3 и т4. В таком случае имеем, обращаясь
к уравнениям A0), что
откуда
6В-0 d(bXi) V
Следовательно, эти неравенства порождены почти исключитель-
но косвенным действием (мы хотим сказать, что члены, которые
происходят от косвенного действия, сами подвергаются двойному
интегрированию) и прямое действие главным образом пренебре-
жимо мало, когда промежуток времени большой.
Величины у*. <>т которых зависит G, суть Е3 и большая полуось
орбиты Солнца а'. Член с Е3 всегда весьма мал. Поэтому можно
написать, что
d(bxt)_ дЮ - ,
~1Г~ ~дВ1да'Оп '
и так как, с другой стороны, К—это долгота Солнца, то
dFX.) _ Зл2 - ,
dt 2а' Оп •
Отсюда видно, что неравенства dt, Stj, бт2 почти пропорцио-
нальны между собой и пропорциональны солнечному неравен-
ству Ьк. Неравенство 6т порождает одно долгопериодическое
неравенство в истинной долготе Луны; неравенства 6xt и 6т2
порождают совпадающие короткопериодические неравен-
ства в истинной долготе. Основное из этих неравенств первого сор-
та порождается притяжением Венеры и имеет период 8т4 — 13т3.
384. Неравенства второго сорта это те, аргументы которых
зависят от г, rt или т2. Для них 6Вк не равны более нулю. И наобо-
рот, так как дуд содержат только члены, не зависящие от т, tt
или т2, мы должны положить 6у* = 0, откуда
j) _ V дЮ Л»

566 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Эти неравенства порождаются главным образом прямым дей-
ствием. Для их определения напишем Uй, пренебрегая
параллаксом, в виде
Уй 1—Z cos* PDA
т\ mi0 2PD3
или
¦AC*
(ЯЯ' -f 33333' +12©©'
где я=ж;2+ж;!!—2ж;8, 95=ж;2—x't\ e^;; 13 1t
и где Я', 99', ©', Ф', @' образованы с помощью проекций век-
тора PD, т. е. с помощью величин
где
как и Я, 95, ©, Ф, образованы с помощью х' xL x'..
Видно, что ^g , р-=р , . . . зависят только от т3 и т4, тогда как
Я, 93, ... содержат только аргументы, зависящие от лунных
координат, а именно (если ограничиться эллиптическими членами)
аргументы вида
2/x2 + &Ti для Я,
2T3-J-2/T2 + AT, для 95 и (S,
для © и ф.
Главные неравенства этого сорта, которые определил Ганзен
и которые вызваны прямым действием Венеры, суть те, которые
имеют аргумент Tj-f 16т3 — 18т4 (период равен 239 годам), обуслов-
си
си
ленный членом с Tt в 21 и членом с 16т3— 18т 4 в -р-^ . Это также
те неравенства, которые определил Нейсон, и которые вы-
званы прямым действием Юпитера и имеют аргумент 2т 4- 2тз —
— Ti — Зт4 (период равен 37 годам), обусловленный членом с 2т +
85' К'
+ 2т3 — т4 в 95 и @ и членом с Зт4 в рр и ^ .
Для более детального знакомства мы ограничимся здесь ссыл-
кой на упомянутый выше мемуар Ньюкомба, а также на мемуар
Редо, опубликованный в томе XXI «Memoires de l'observatoire» и
изложенный в томе III «Traite de la Mecanique celeste» Тиссерана.

ГЛАВА XXXI
ВЕКОВЫЕ УСКОРЕНИЯ
385. Чтобы изучить вековые ускорения, мы должны сначала
обратиться к тому, что было сказано в § 105 главы X о неизмен-
ности больших полуосей орбит.
Пусть, вообще, дана система канонических уравнений
*!L=*L4 *П = _д?_, F = F0+uR A)
dt oyt dt oxi * ' '
где \i — малый параметр. Мы будем различать два сорта перемен-
ных xt, которые будем обозначать через х\ и через х\\ обозначим
через у\ и у\ сопряженные переменные, соответствующие х\ и х\.
Будем предполагать, что Fo зависит только от х' и не зависит
от х", у' и у"; что касается R, то она зависит от переменных всех
сортов, но является периодической по у' и у". Кроме того, будем
предполагать, что R зависит явно от времени; более точно, будем
предполагать, что R есть периодическая функция относительно
у', у" и относительно некоторого числа аргументов w, кото-
рые являются известными линейными функциями
времени.
В первом приближении имеем
dx' _ дЛо_=() dx^=d?o_ = q dy" _ dF0 _Q
dt — dy'
x' = const, x" = const, y" = const, —jr=—3-r = const.
(It OX
Чтобы получить второе приближение, заменим в частных про-
изводных функции R переменные их приближенными значениями,
которые мы нашли; поэтому будем иметь
dx' m
и правая часть представится в виде тригонометрического ряда.
В самом деле, R есть периодическая функция у', у" и w; пере-
менные и? суть известные линейные функции времени, и то же самое

568 TOM IJ. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
можно сказать относительно приближенных значений у' в первом
приближении; что касается у", то они постоянны.
Если допустить, что между -^4- и -^ (т. е. между средними дви-
i
жениями) нет никакого линейного соотношения с целыми коэф-
фициентами, то вековые изменения могут происходить только
из членов тригонометрического ряда, которые одновременно не за-
висят ни от у', ни от W. Но все эти члены исчезают,
когда мы дифференцируем R по у\. Следовательно,
в х1 вековых членов нет.
Это представляет собой обобщение теоремы о неизменности
больших полуосей.
Применим это к уравнениям (8) из предыдущей главы. G будет
играть роль Fo, R — роль \t,R, В — роль х', х — роль у' и, нако-
нец, т3 и т4 — роль w, мы не будем иметь переменных, аналогич-
ных х" и у", тогда как в уравнениях E') из § 93 главы VI перемен-
ные L, Я, q и ю играют роль х', у', х" и у" соответственно; в первом
приближении имеем
В = const, -j- = — ^д- = const.
Во втором приближении имеем
dB _ 6R
dt ~ дх '
В правой части В и у заменены их приближенными значениями,
которые являются постоянными, т, т3 и т4 заменены приближен-
ными значениями, которые являются линейными функциями
времени.
Таким образом, получается тригонометрический ряд. Члены
этого ряда, которые одновременно не зависят ни от т, ни от т3,
ни от х4 и которые могли бы порождать вековые изменения, исчез-
нут при дифференцировании по т, т4 или х2; таким образом, в е-
личины В, Ви В2 не испытывают никакого
векового изменения.
386. Предыдущий параграф дает нам, что вековые изменения
в В, т. е.
ЬВ, 6Bi, 8B2,
равны нулю. На это обстоятельство опирается Браун при опреде-
лении вековых ускорений 6v, 6vt, 6v2 различных средних движе-
ний. Для этого вернемся к формуле из § 363
lv, +B2dv2.

ГЛ. XXXI. ВЕКОВЫЕ УСКОРЕНИЯ 569
Если рассматривать В, Н, vt и v2 как функции v = -^-, Et
и Е2, то будем иметь
дН
Если пренебречь величинами ?J, ?| и, следовательно, 54 и В2,
которые делятся соответственно на Е\ и Е\, то останется
дН
и, следовательно,
Величины В, Н и v суть функции не только трех лунных по-
стоянных v, /?i и /?2> но еще и двух солнечных постоянных, а имен-
до большой полуоси а' и эксцентриситета Е3- В силу теоремы
Адамса Н не содержит членов с E% и ??, так что, пренебрегая выс-
шими степенями этих величин, получим
дН дИ &Н
_
dEi ~ дЕ2 ~ dv дЕу"" д\ дЕ2
откуда
Так как 6Ез известна из теории движения планет, то это урав-
нение будет давать dv. Далее найдем
В самом деле, мы должны заметить, что согласно с порядком
приближения имеем
и так как Bt делится на Е\, можно написать Bi = CiE\. Поэтому
б,В1 = ^бСН-С16(^)=0, E)
откуда (так как пренебрегаем Щ)
Также имеем 6 (ED = 0.

570 ТОМ II. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРИЯ ЛУНЫ
Уравнения C) и D) определяют вековые ускорения 6v, dv1?
6v2. Но для этого необходимо воспользоваться выражениями vt
и v2 как функциями v и Е%, или, что то же самое, выражениями
cis. g как функциями пыа. Е\. С другой стороны, необходимо знать
выражение Я как функции v и Е3.
Нам достаточно вспомнить, что в силу теоремы Адамса, когда
мы пренебрегаем параллаксом Н с точностью до постоянного
множителя есть не что иное, как постоянный член в разложении
— в тригонометрический ряд.
387. Прежде чем перейти к следующему приближению относи-
тельно Е{ и Е\, заметим, что
откуда следует, что уравнения C), D) и F) дают в первом при-
ближении
dv, 6vj, б( -^ ) .
Это дает возможность перейти ко второму приближению. Вос-
пользуемся обозначениями § 371 и напишем
Я = Яо+аЕ\ + 2ЪЕ\Е\ + сЕ\ =Н0 + Я4,
В первом приближении величины Я, v4 и v2 сводятся к первым
членам Но, Kt и Я2.
Переходим ко второму приближению. Так как б (Е\) и б (Е\)—
величины порядка Е\ и Е\, то
6Я4,
которые являются многочленами второй степени относительно Е\,
Е\, 6 (Щ), б (El), будут величинами порядка Е\ или Е\, и, следо-
вательно, ими можно пренебречь, поэтому имеем
С другой стороны,

ГЛ. XXXI. ВЕКОВЫЕ УСКОРЕНИЯ 571
откуда, учитывая, что 65 равны нулю, имеем
0&) го
Так как во все члены правой части входит множитель Е\
или Е\, мы можем заменить в правой части 6 (-?$-) и &(-^- )
их приближенными значениями из первого приближения, так что
уравнение G) будет нам давать новое значение 6v.
388. Далее, для 6v,- имеем
^^ (8)
тт dVt ^V» -
На этот раз при вычислении -%?-, -щ- надо будет учитывать
члены Hj/?J + у\Е\.
Чтобы вычислить 6 (El), воспользуемся равенством E), в кото-
ром положим
Впрочем, мы можем в этой формуле заменить 6v приближен-
ными значениями из первого приближения. Аналогично вычисляет-
ся и 6 (Е\).
Можно рассматривать разложения v* как известные, следова-
тельно, известными можно считать и kt, \i(, (ij. Известно также
разложение — и, следовательно, разложения Я, Но, а, Ь, с.
Что касается Р и у, то они даются теоремой Адамса из § 371,.
откуда
Р И-1 l*i ' Y "" Из ~ W* '
Заметим, что во всем этом анализе элементы ориентации не
играют никакой роли, откуда сразу же следует, что вековые
движения эклиптики не могут вызвать никакого векового ускоре-
ния в движении Луны, что соответствует результатам Пюизе,
полученным другим способом.
Осталось сказать о неравенствах, вызванных сплюснутостью
Земли; ввиду отсутствия новых работ по этому вопросу мы огра-
ничимся ссылкой на том III «Traite de la Mecanique celeste» Тис-
серана.

А. Пуанкаре
ЛЕКЦИИ ПО НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ
М.. 1965 г.. 572 стр. с илл.
Редактор Г. С. Нуликов.
Техн. редактор С. Я. Шкляр.
Корректор Е. А. Белицкая.
Сдано в набор 13/VIII 1964 г.
Подписано к печати 19/ХП 1964 г.
Бумага 60x90/18-
Фиэ. печ. л. 35,75. Усл. печ. л. 35,75.
Уч.-ивд. д. 28.
Тираж 3200 8KB.
Цена книги 1 р. 60 к. Закав М 342.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография N16
Главполиграфпрона
Государственного комитета
Совета министров СССР по печати.
Москва, Трехпрудный пер., 9.