ИЗДАТЕЛЬСТВО
<М И Р>
CELESTIAL MECHANICS
by
W. M. SMART, M. A., D. Sc.
Regius Professor of Astronomy in the University of Glasgow
LONGMANS, GREEN AND CO LONDON - NEW YORK - TORONTO
19 5 3
У. М. СМАРТ
Небесная механика
Перевод с английского Е. П. Аксенова
Под редакцией А. А. Орлова
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ И Р“ • МОСКВА 19 9 9
УДК 521.1(07)
После запуска искусственных спутников Земли резко расширился круг лиц, интересующихся небесной механикой — наукой, изучающей законы движения небесных тел.
Книга известного английского астронома У. Смарта представляет собой современный курс небесной механики, написанный автором на основе курса лекций, читанных им в Кембриджском университете.
Первые четыре главы книги посвящены общим интегралам движения и разложениям в ряды. В гл. 5 рассматриваются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, в гл. 6 — различные возмущения, в гл. 7 — разложения возмущающей функции. Гл. 8—11 посвящены каноническим переменным и каноническим уравнениям. В гл. 12 излагается общая теория Луны, в последующих главах рассмотрены более тонкие вопросы теории Луны и больших планет. Заключительная глава посвящена теории нутации и прецессии.
Книга рассчитана на студентов физико-математических и механикоматематических факультетов и педвузов, а также иа инженерно-технических работников, желающих ознакомиться с небесной механикой.
Редакция космических исследований, астрономии и геофизики.
Предисловие к русскому изданию
„Небесная механика* Смарта вышла на английском языке в 1953 г., т. е. еще до запуска первых искусственных спутников Земли и космических ракет. Поэтому не удивительно, что автор начал свое предисловие к ней словами: «Эта книга была задумана как вводный курс к предмету, которым в последние годы несколько пренебрегают».
Нельзя полностью согласиться с автором предлагаемой книги в оценке отношения ученых к небесной механике в начале 50-х годов нынешнего столетия. Однако в известной степени он прав. В период времени, когда писалась эта книга, в развитии небесной механики наблюдалось некоторое затишье. Объясняется это в первую очередь тем, что тогда перед небесной механикой не стояло задач, требовавших безотлагательного решения. Задачи о движении естественных небесных тел, представляющих наибольший интерес для астрономии (движение больших планет и Луны), к тому времени уже были решены с достаточной степенью точности, а задачи, решение которых необходимо для развития космических полетов, еще не были достаточиночетко определены и сформулированы.
Однако вскоре после выхода в свет „Небесной механики* Смарта положение дел резко изменилось. В связи с созданием искусственных спутников Земли, запуском ракет к Луне, Венере, Марсу перед небесной механикой возник целый ряд новых разнообразных задач. Часть этих задач по своему характеру сходна с задачами механики естественных небесных тел (например, задача о движении искусственных спутников Земли). Однако возникли и принципиально новые задачи, которые не рассматривались в классической небесной механике (например, задача о выборе траекторий межпланетных перелетов ч др.).
Развитие учения о космических полетах привело к возникновению нового раздела механики, который в настоящее время получил наименование „астродинамика*. Этот раздел науки занимается самыми общими вопросами динамики искусственных небесных тел, включая их поступательное движение, вращательное движение, исследование влияния гравитационных сил, сил сопротивления окружающей среды, реактивных сил и т. д.
Очевидно, что небесная механика, в классическом понимании этого термина как учения о движении небесных тел под действием их взаимного тяготения, играет очень важную роль в астродинамике. Поэтому начиная со второй половины 50-х годов небесная механика
6
Предисловие к русскому изданию
вышла за рамки интересов астрономов и стала привлекать к себе все большее и большее внимание широких кругов научных и инженерно-технических работников, соприкасающихся с вопросами проектирования и движения искусственных небесных тел.
Это, с одной стороны, дало новый толчок развитию небесной механики, а с другой — вызвало резкое повышение интереса ученых-не-астрономов к изучению достижений классической небесной механики.
Классическая небесная механика представляет для астродинамики двоякий интерес. Прежде всего для исследования движения искусственных небесных тел необходимо знать в любой момент времени точные положения главнейших естественных небесных тел солнечной системы. Но задача о движении планет солнечной системы и Луны решена классической небесной механикой, и астродинамика может пользоваться этим решением. Кроме того, богатство и разнообразие методов решения задач о движении естественных небесных тел, разработанных астрономами в течение нескольких столетий, позволяет при исследовании новых задач, поставленных астродинамикой, идти изведанными путями, выбирая для каждого конкретного случая тот или иной готовый метод.
„Небесная механика” Смарта является весьма полезным пособием для изучения практических методов классической небесной механики. При своем сравнительно небольшом объеме она содержит очень значительный материал, изложенный предельно кратко. В то же время стиль изложения этой книги является вполне доступным не только для студентов и аспирантов, специализирующихся в области небесной механики, но и для лиц, владеющих основами теоретической механики, но не являющихся специалистами-астрономами.
Как мы уже говорили, материал, содержащийся в книге, весьма обширен. Добавим к этому, что в ней изложен ряд важнейших вопросов, не освещавшихся до настоящего времени в учебниках и учебных пособиях по небесной механике на русском языке. Сюда относится, например, систематическое изложение теории движения Луны Делонэ, вопрос о вековом ускорении Луны, теория прецессии и нутации и пр. Очень поучительной является теория открытия Нептуна. В предлагаемой книге обстоятельно изложены теоретические предпосылки и практические приемы, которыми пользовались Леверье и Адамс в своих предвычислениях положения этой, гипотетической в то время, планеты.
В заключение можно сказать, что издание „Небесной механики” Смарта на русском языке является делом весьма полезным. Эта книга, безусловно, найдет широкий круг читателей.
При подготовке к русскому изданию в книге Смарта не делалось никаких изменений. Исправлялись лишь очевидные опечатки.
А. Орлов
Предисловие
Эта книга была задумана как вводный курс к предмету, которым в последние годы несколько пренебрегают. Почти вся первая половина книги посвящена основным астрономическим и динамическим принципам, а вторая половина — применению этих принципов к основным проблемам небесной механики, имеющим важное значение в современной астрономии или представляющим самостоятельный интерес. По своему содержанию книга почти совпадает с курсами лекций, читаемых автором в последние годы в Глазго, а еще ранее в Кембридже.
Вопрос обозначений вызывает известные трудности, которые уходят своими корнями в обширные мемуары прошлого, в каждом из которых обычно используется своя система обозначений. Однако я пытался сохранить, насколько это возможно, однородность в обозначениях. Эта книга является по своему характеру в основном теоретической и не претендует ни на изложение наблюдательной астрономии, ни на описание новых вычислительных методов, так как каждый из этих разделов представляет собой самостоятельную дисциплину.
Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы „неравенств” —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ; в ней подробно описывается „основная операция” и дается практический метод получения решения в желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые
8
Предисловие
неравенства, включая и числовые результаты Стокуэлла, относящиеся к эксцентриситетам и наклонностям орбит планет. Вследствие близости аналитических методов в гл. 15 рассматривается и влияние сопротивления среды и движение перигелия Меркурия. Следующая гл. 16 посвящена исследованиям Адамса и Леверье, приведшим к открытию Нептуна. В гл. 17 излагается теория Луны Понтекулана с той целью, чтобы показать, каким образом непосредственно из уравнений движения выводятся такие главные неравенства, как эвекция, вариация, параллактическое неравенство и движение узла и перигея лунной орбиты. В гл. 18, в основу которой положены три классических исследования Хилла и последующие работы Брауна, рассматриваются принципиальные особенности теории Луны Хилла — Брауна. В следующей главе излагается замечательное исследование Адамса о вековом ускорении Луны и его связь с приливным трением. Последняя гл. 20 посвящена динамической теории прецессии и нутации; она заканчивается параграфом, в котором рассмотрено одно из новых астрономических понятий — „эфемеридное" время.
Тот, кто пишет в настоящее время книги по небесной механике, обязан отдать должное Тиссерану, который в четырех величественных томах своей „Небесной механики" с большим мастерством исчерпывающе изложил работы классиков, а также Брауну за его „Теорию Луны" и за другие его исследования. Я также очень обязан Плюммеру за „Динамическую астрономию" и Пуанкаре за его „Лекции по небесной механике" и за „Новые методы небесной механики". Я очень благодарен профессору Людвигу Беккеру, моему предшественнику в Глазго, и профессору X. Ф. Бейкеру в Кембридже за их лекции, которые вызвали у меня большой интерес к небесной механике. Д. X. Садлер весьма доброжелательно предоставил мне материалы о современном развитии вычислительной техники и другие материалы. Я очень обязан доктору Портеру за вычисление фундаментальных постоянных для эпохи 1950,0, которые включены в главу о прецессии и нутации. Я искренне благодарю Д. Г. Эварта, одного из моих аспирантов, который помог мне проверить многие доказательства. Наконец, я выражаю благодарность работникам издательства за их превосходную работу.
В. М. С.
Университетская обсерватория в Глазго, август 1953 г.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.01	. Проблемы небесной механики
Для удобства, а также по традиции основные проблемы небесной механики разделяют на две части. Это, во-первых, теория планет, в которой изучается движение планет вокруг Солнца, и, во-вторых, теория спутников, которая имеет дело с движением спутников вокруг их планет. Наиболее известным примером последней является теория движения Луны. Вариантом теории спутников является теория движения тесной двойной звезды с далеким третьим компонентом. Эти две части имеют по существу один и тот же общий характер и базируются на одних и тех же динамических принципах. Они различаются лишь практическими методами, при помощи которых удобнее получить решения их различных собственных задач. Основной целью теории планет является изучение движения отдельной планеты относительно Солнца под действием главной силы — силы притяжения Солнца, и менее значительных сил притяжения всех других планет и тел солнечной системы. В теории спутников, и в частности в теории Луны, наша цель заключается в исследовании движения Луны относительно Земли под действием главной силы — силы притяжения Земли, и менее значительных сил притяжения Солнца, планет и других тел солнечной системы. В этой главе мы будем почти исключительно интересоваться основами теории планет. Однако общие принципы, которые здесь будут рассматриваться, в равной степени применимы и в теории спутников.
§ 1.02	. Законы Кеплера
Большие планеты, в порядке увеличения их расстояний от Солнца, следующие: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран (1781), Нептун (1846) и Плутон (1930), причем в скобках указан год открытия трех последних. Кроме того, имеется огромное число более мелких тел — малых планет, движущихся в области между орбитами Марса и Юпитера. До сих пор их было открыто около двух тысяч, но, возможно, что общее число их в этой области достигает и двадцати тысяч.
В первых десятилетиях семнадцатого столетия Кеплер сформулировал три своих знаменитых закона движения планет. Эти законы
10
Глава 1. Введение
были выведены из наблюдений, наиболее точные из которых получил учитель Кеплера Тихо Браге.
1)	Первый закон. Первый закон утверждает, что орбита планеты относительно Солнца есть эллипс, в фокусе которого находится Солнце.
Рис. 1.
Аналитически, если S — положение Солнца в фокусе (рис. 1) и Р— положение планеты на ее орбите в данный момент, то уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид
а(1— е2)
1 -|- е cos (в — о») *
(1)
где г — радиус-вектор SP, 6 — полярный угол, измеряемый в направлении движения планеты от надлежащим образом выбранного основного направления SN в плоскости эллипса до SP, ш — угол между SN и 5Л, где А — наименее удаленная от S точка эллипса, а—большая полуось и е — эксцентриситет эллипса. На рис. 1 С — центр эллипса, СА = СВ = a, CS = ae.
Как видно из уравнения (1), минимальное значение г равно а (1—е), что соответствует точке А, для которой полярный угол равен ш; точка А называется перигелием. Максимальное значение г равно а (1 + е), что соответствует точке В, называемой афелием.
2)	Второй закон. Второй закон утверждает, что для всех частей орбиты секториальная скорость планеты есть величина постоянная. Таким образом, если на рис. 1 Р(г, 6) есть положение планеты в момент t и Q(r-\-dr, 6-|-d0)— положение планеты в момент t~\-dt, то секториальная скорость равна dAjdt, где dA представляет собой заштрихованную площадь SPQ. Так как dAldt = ll2r2ti, а секториальная скорость постоянна, то мы можем написать
г26 = Л,	(2)
где h есть постоянная, равная удвоенной секториальной скорости.
§ 1.02. Законы Кеплера
11
Обозначим через Т время, требуемое для того, чтобы планета совершила полный оборот. Это время называется периодом обращения. Так как площадь эллипса равна icab, где b = ayrl—е2— малая полуось эллипса, то постоянная Л, согласно второму закону, будет равна 2каЬ1Т, так что
h = а2 /1—е2.	(3)
За время Т радиус-вектор опишет угол, равный 2ic. Среднее угловое движение, обозначаемое через п, определяется формулой
Следовательно, уравнение (3) можно записать в виде
h — па2 У1 — е2.	(5)
3)	Третий закон. Первые два закона относились к орбите отдельной планеты. Третий закон устанавливает зависимость между большими полуосями и периодами обращения двух или большего числа планет. Эта зависимость записывается следующим образом:
а?
4-	= Л-=-4- = ••• = const,	(6)
т2г	ц
или, согласно формуле (4), в виде
и2а® =	= ... = const,	(7)
где индексы 1, 2, ... соответственно относятся к планетам Pv Р2 и т. д.
Как мы покажем в § 2.05, третий закон не является вполне точным. Однако точность наблюдений, имевшихся в распоряжении Кеплера, едва ли позволяла обнаружить неравенства порядка минуты.
Третий закон Кеплера в его исправленном виде легко получается из следующей формулы, которая будет выведена в § 2.04:
-у—=О(/к0 + /п)	(8)
или
п2а3 = р,	(9)
где /и0, m— соответственно массы Солнца и планеты, G — постоянная тяготения и
P = O(m0-+ т).	(10)
12
Глава 1. Введение
Так как массы планет малы по сравнению с массой Солнца, то, пренебрегая величиной т./т.о, мы приведем формулы (8) и (9) к виду
и л2в3 = О/и0,
откуда третий закон Кеплера в форме (6) и (7) следует немедленно.
Нужно заметить, что эти три закона представляют собой три различных утверждения, которые не имеют явной связи друг с другом. Ньютон нашел общий и простой принцип — закон всемирного тяготения, из которого каждый из трех законов (третий — в исправленной форме) может быть легко выведен.
§ 1.03. Закон всемирного тяготения
Небесная механика основывается на законе всемирного тяготения и трех законах движения Ньютона. Закон всемирного тяготения утверждает, что частица Рх с массой тх притягивает частицу Р2 с массой /и2 с силой F, действующей по прямой, соединяющей Рх и Р2, и пропорциональной произведению масс частиц и обратно пропорциональной квадрату расстояния г между частицами. Алгебраически этот закон выражается следующей формулой:
F = ^»,	(1)
где G называется постоянной тяготения.
Это выражение дает также силу притяжения частицы Р2 на частицу Рх. Ускорение fx массы тх, обусловленное силой F, дается формулой /j = Gm2!r2, а ускорение /2 массы /к2 определяется из фо р мулы /2 — От х/г2.
При помощи метода, который мы здесь не будем описывать, найдено, что если /=1 см!сек2, т=1 г и г=1 см, то в системе единиц СГС постоянная тяготения равна
0 = 6,66-10“8.	(2)
Для небесной механики система единиц СГС явно не удобна, но при любых других принятых единицах длины, времени и массы соответствующее значение О в этих единицах может быть легко получено из его численного значения (2) и размерности О, именно £37’-2Л'Г1. Следует заметить, что после выбора подходящих единиц длины и времени мы можем подобрать единицу массы так, чтобы 0=1. Такие единицы иногда называются астрономическими единицами.
В теории планет наиболее удобными являются следующие единицы:
§ 1.04. Потенциал
13
единица длины —большая полуось земной орбиты, принятая в качестве астрономической единицы длины;
единица времени — средние солнечные сутки;
единица массы —масса Солнца.
Рассмотрим орбиту Земли. В этих единицах а = 1, Т = 365,2564 и ш— 1/329390. Соответственно этому из формулы (8) § 1.02 для О получаем
Л 329390	4^2
О== 329391 (365.2564)2'
В более ранней литературе постоянная тяготения обозначалась через А2, причем величина k называется постоянной Гаусса, так что k = )/О. Исходя из значений т и Т, имевшихся в то время, Гаусс получил для k следующее численное значение:
А = 0,017202099.
Так как это значение k на протяжении долгого времени использовалось в численных исследованиях, то его оставили без изменения, а единицу длины изменили так, чтобы сохранилось согласие с более точными значениями т и Т, которые имеются ныне. Если большую полуось земной орбиты обозначить через а, астрономических единиц, то найдем In а1 = 0,000000013.
Кроме того, нужно заметить, что одну из единиц можно выбрать так, что Л=1, 0=1, и тем самым получить упрощение аналитических формул. В такой системе наиболее удобными единицами являются следующие:
единица длины — астрономическая единица;
единица массы — масса Солнца;
единица времени — 58,132441 средних солнечных суток.
В задачах, связанных со звездными системами, наиболее удобными единицами являются астрономическая единица, один год и масса Солнца. Поэтому из формулы (8) § 1.02, полагая в ней а = 1, Т = 1, /к0=1 и пренебрегая /и, мы найдем, что О = 4те2.
При последующем аналитическом изложении мы будем вообще сохранять О как алгебраический символ, не связывая его с какой-либо определенной системой единиц.
§ 1.04. Потенциал
Мы будем предполагать, что возможно выбрать инерциальную систему осей О;, О»], ОС, в которой может быть определено положение небесного тела (см. рис. 2). Пусть Р и Р,— два тела, которые, по предположению, представляют собой материальные точки с координатами (£, ij, С) и ($р ijj, Ci) и массами m и
14
Глава 1. Введение
Сила притяжения тела Р телом Рх равна Qmmjr^ и действует в направлении РРХ, где 1\—расстояние PPV Пусть mXv mYv mZr—
составляющие осей. Тогда
Но
и
Поэтому
силы притяжения по положительным направлениям
„ v  Gmmi е, — е ri ri
__  Gm, dr।   d I Gm, \ rj d£ d$ у fj )
Если имеются другие тела Р2, Р3.Р„ с массами т2, т3..тп
и если тХ — сумма составляющих по оси О? сил притяжения тела Р телами Pv Р2.....Рп, то
п
x=it^ <'='-2................»>•
Аналогичные формулы получаются для Y и Z.
Мы определим потенциал V в точке Р, создаваемый материальными точками Р2, .... Рп, формулой
п
V=^^.
(1)
§ 1.05. Потенциал шара на внешнюю точку
15
Заметим, что функция V зависит только от расстояний между телами Р и Р2, .... Рп и, следовательно, не зависит от выбора системы координат. Мы имеем
дУ	v — ^Y- ? дУ
дЬ ’ Г ~	Z — дС
(2)
Таким образом, потенциал в точке Р(;, •>], С) обладает тем свойством, что его производные по 5, »], С дают составляющие силы притяжения частицы единичной массы, расположенной в точке Р, массами ftlfy • • • »
§ 1.05. Потенциал шара на внешнюю точку
Предположим, что шар является однородным или, в более общем случае, что плотность в любой его точке есть функция лишь расстояния от центра шара. Закон тяготения Ньютона применим к частицам. Солнце, планеты и спутники не являются частицами в нью-тонианском смысле с массами, сконцентрированными в точках, а являются огромными сферическими, или близкими к сферическим, телами. Во многих задачах достаточно рассматривать эти тела как строго сферические. Ньютон доказал замечательную теорему о том,
что притяжение однородного шара или шара, плотность внутри которого есть функция лишь расстояния до его центра, является таким же, как и притяжение частицы, которая помещена в центр шара и имеет ту же массу, что и шар. Чтобы найти силу притяжения шара (рис. 3) на внешнюю точку Р единичной массы, нам потребуется выражение потенциала в точке Р, создаваемого бесчисленным множеством частиц, из которых состоит шар.
Рассмотрим сначала бесконечно тонкий однородный сферический слой с центром в точке О, радиус которого равен а. Обозначим через а массу, приходящуюся на единицу площади, и возьмем кольцо, ограниченное углами 0 и 0-|-</6. Плоскости малых кругов, ограничивающих это кольцо, перпендикулярны ОР. Масса кольца равна
16
Глава 1. Введение
2ita2asin9 df). Так как каждый элемент кольца находится на одном и том же расстоянии х от Р, то потенциал кольца в точке Р будет равен
2яСдгд sin 6 х ’
Следовательно, потенциал У1 однородного сферического слоя в точке Р будет выражаться формулой
Vj = 2icOa2e J j11?.?*0..
о
Так как
х2 = а2+ г2 — 2ar cos 6, то
х dx — ar sin 0 d9.
Поэтому
*г
У1 = 2кОа у- J* dx= 2‘кОа у (х2 — хх),
А
где хх и х2 соответствуют 9 = 0 и 6 = к. Но = г — а,ах2= г + а. Следовательно,
у 4яОяа2
или так как масса слоя равна Л11 — 4яа2а, то
Уг GM' .
Таким образом, потенциал слоя в точке Р равен потенциалу частицы с массой Мх, расположенной в центре слоя.
Так как шар может быть разделен на очень большое количество однородных тонких концентрических слоев, то потенциал шара в точке Р будет таким же, как и потенциал частицы, масса которой равна сумме масс всех слоев, т. е. равна массе шара, и которая расположена в его центре. Следовательно, мы имеем следующую формулу для потенциала V шара на внешнюю точку:
V=™L.
г
Таким образом, при аналитических исследованиях мы можем, например, заменить Солнце материальной точкой, расположенной в его центре. В частности, притяжение Солнца (масса тх) на планету (масса т2) будет тем же, что и притяжение материальной точки тх, расположенной в центре Солнца, на материальную точку /и2, находящуюся В центре планеты. Сила этого притяжения равна От1т2/г'2, где г
§ 1.06. Уравнения движения
17
— расстояние между их центрами. Поэтому в динамических задачах мы можем рассматривать Солнце и планеты как материальные точки, координаты которых совпадают с координатами центров рассматриваемых тел.
§ 1.06. Уравнения движения
Ради простоты мы ограничимся сначала рассмотрением только трех тел, именно Ро, Р, Pv и предположим, что они являются точками с массами т0, т, mv Для того чтобы воспользоваться вторым
законом Ньютона, мы примем в качестве основной гипотезы возможность выбора в евклидовом пространстве инерциальной системы осей О;, О»], Оч, в которой этот закон является справедливым. Для краткости мы будем называть такую систему осей системой Ньютона. На рис. 4 координаты точек Ро, Р, Рх относительно осей О-, Оу, ОС суть соответственно (;0, т]0, Сэ), (5, ij, С) и (;Р ijp Q.
Рассмотрим прежде всего движение точки Р. Согласно равенству (1) § 1.04, потенциал тяготения масс т0 и тг в точке Р дается формулой
v___ Gma . Gmt
г Д ’
где г и Д суть соответственно расстояния точки Р от Ро и Рр
Параллельная О; составляющая силы притяжения точками Ро и Рх единичной массы, находящейся в точке Р, вследствие формулы (2) § 1.04, равна dV)d\. Следовательно, составляющая этой силы, действующая на массу т, помещенную в точке Р, будет равна Скорость изменения проекции количества движения точки Р на направление О; будет d(m$ldt. Поэтому на основании второго закона движения будем иметь
d . дУ
-^{т\) = т-^,
2 У- Смарт
18
Глава /. Введение
или
Так как
г2 = (; - U2+- ^о)2 + (С - Q2.
А2 = (5 - Si)2 4- 01 - -’ll)2+(С - С,)2, то
д (1\.	» —»> д (\\ _	6-е,
&i\r)~ г3 ' дЦ Д /— А3 ’
(1)
Следовательно, из уравнения (1) имеем
•j = -Om0^-Om 1=^1
Рассмотрим теперь движение точки Ро. Потенциал Уо тяготения масс т и тх в точке Ро дается формулой I, От , От1 v0~ г “г г, •
Поэтому, как и раньше, будем иметь <^0 п д /1 \ , п д / 1 \
П1дЪ\7) + 0т'дъ[Т1У	(3)
ГГ й л ftp.
So —£1
<М 'i /
Кроме того, ____________________________S°~S гёДг/- г3 ‘
Поэтому уравнение (3) примет вид
(O = _0wjo2zl 0mi	(4)
'	• 1
Уравнения для т; и С аналогичны уравнениям (2) и (4).
Нужно заметить, что эти уравнения выведены относительно гипотетических осей. Дальнейшее исследование станет возможным только тогда, когда мы скомбинируем эти уравнения таким образом, что исключим первоначальные координатные оси. В теории планет это достигается тем, что движение планет Р и Рх относится к осям РйХ, PqY, P$Z с началом в точке Рй, под которой понимается Солнце. Аналогично в теории Луны в качестве начала координат берется Земля, Эти ори показаны на рис. 4. Иногда выбранные таким образом
§ 1.07. Основные уравнения движения планет
19
оси относятся к плоскости эклиптики, иногда — к плоскости, которая является наиболее удобной в данной задаче. Например, в теории спутников — к плоскости орбиты планеты.
§ 1.07. Основные уравнения движения планет
Пусть на рис. 4 Ро означает начало новой системы координат Р0Х, P0Y и P0Z и пусть х, у, z— координаты точки Р, а хР ур zx— координаты точки Рх. Тогда х = $	%>	=
Аналогичные равенства имеют место и для у, ур z, zx. Мы имеем r2 = X2 + y*+z2, '•? = *? +У?+ *?, Д2 = (X — Xi)2 + (У — УО2 + (Z — Zx?.
Далее,
X —- £	?Q,
и на основании уравнений (1) и (4) § 1.06 находим Qmx^^-, ^ = От^ + Ошх^. Составив разность этих выражений, получим уравнение x4-O(/H0+/H)-g- = —О/Hi *~Х| — Gmx^. (1) Положим р = О(т04-/и).	(2)
Кроме того, имеем
х— хх ______д I _1_\
Д®	дх \ Д ) *
и так как г1 и координаты хр уР zx не зависят от х, у, z, то мы можем написать
*i _ _д_ / ХХ|4-УУ1+??! \ .
дх \ г3х )
Уравнение (1) тогда примет вид
где функция R определяется формулой =	(4)
\ Д	г\	'
2»
20
Глава 1. Введение
Соответствующие уравнения для у и z имеют вид
" । Ю dR	" ।	_ dR_
У । ~г^~ ду ’	г3 дг '
В этих формулах R называется возмущающей функцией, соответствующей „возмущающей” планете Pv Если бы точки Рх не существовало, то, согласно первому закону Кеплера, орбита точки Р относительно Ро была бы эллипсом, а так как тогда /? = 0, уравнения движения имели бы вид
* + ^ = 0	(5)
и т. д.
Действие тела Р1 сводится к появлению возмущений, т. е. сравнительно малых изменений в орбите точки Р, величина которых пропорциональна массе тх возмущающей планеты. Но если тх является малой величиной по сравнению с массой Солнца т0, то множитель Gmx мал по сравнению с р. = О(/и0+т), так что в уравнении (3) член, зависящий от R, производит сравнительно малые изменения в кеплеровом эллипсе. Однако определение этих малых эффектов, или возмущений, и является главной задачей теории планет.
Легко показать, что если имеется п возмущающих планет, то уравнения движения точки Р запишутся в виде
п
<«>
1 и т. д., где
(1 xx,-j-yy,-j-zz, \ ----------гг.^-г i \	(7) ri /
Если S{ означает угол между Р0Р и Р^Рр то „	хх, -4- у у, 4- zz,
=	(8)
Мы можем тогда Rt записать и в такой форме:
R^GmJ^----------ГТ cos	(9)
\й1 ri /
§ 1.08. Массы планет
Для решения уравнений теории движения планет численные значения масс всех возмущающих тел должны быть известны и выражены в долях солнечной массы, принятой за единицу. Только тогда положения планет на небе могут быть точно предсказаны для любых данных моментов времени. Как мы увидим в § 2.06, исправленный
§ 1.09. Область применимости теории Ньютона
21
третий закон Кеплера дзет возможность точно определить из соответствующих наблюдений массы тех планет, которые обладают спутниками. В случае Меркурия и Венеры, которые не имеют спутников, определение масс достигается путем сравнения теоретических возмущений, которые они вызывают в орбите другой планеты, с наблюдаемыми эффектами. Масса Плутона не известна с достаточной степенью точности. В 1950 г. Койпер, проводивший наблюдения на 200-дюймовом телескопе обсерватории Маунт Паломар, нашел, что угловой диаметр планетного диска был равен 0",2, что дает для линейного диаметра планеты 5800 км. При разумных предположениях относительно средней плотности Плутона его масса вряд ли превосходит 1/5 массы Земли. Следовательно, его возмущающее влияние на орбиту Нептуна должно быть очень малым и не может быть обнаружено еще в течение многих лет.
§ 1.09	. Область применимости теории Ньютона
Согласно теории относительности, пространство не является евклидовым, как предполагается в схеме Ньютона. Однако во всех задачах, с которыми мы имеем дело в небесной механике, за некоторыми исключениями, метод Ньютона является исчерпывающим. Исключение, например, составляют особенности в движении перигелия орбиты планеты Меркурий, которые долго оставались необъяснимыми и были выяснены только в общей теории относительности. Мы рассмотрим этот вопрос подробно в одной из последующих глав (стр. 317).
Глава 2
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 2.01	. Уравнения движения
В этой главе мы займемся задачей двух тел, рассматриваемых как материальные точки, изолированные от гравитационного влияния всех других тел.
Рассмотрим тело Ро с массой т0 и тело Р с массой т. Наша задача заключается в определении орбиты тела Р относительно тела Ро. Возьмем невращающиеся оси PqX, Роу, Рог с началом в Ро. Координаты тела Р относительно этой системы осей будут х, у, z.
Уравнения движения тела Р относительно Ро, согласно уравнению (5) § 1.07, запишутся в виде
х+^ = о, ; + '^- = о, *4-^ = 0,	(1)
где
p. = O(m04-m).	(2)
Эти уравнения описывают движение планеты вокруг Солнца, движение Луны около Земли, движение одной компоненты двойной звезды относительно другой ее компоненты, разумеется при условии, что в каждом таком случае система двух тел не подвержена гравитационному влиянию никаких других тел.
Умножая второе уравнение (1) на г, а третье — на у и вычитая, получаем
уг — yz = Q, откуда
yz — yz — А,	(3)
где А — постоянная интегрирования. Аналогично находим
zx — zx = В,	(4)
ху — ху = С,	(5)
тде В я С — постоянные интегрирования.
Умножим равенства (3) — (5) соответственно на х, у и z и сложим. Мы тогда получим
Ах + By 4- Cz = 0.
(6)
§ 2.02. Положение плоскости орбиты
2»
Последнее равенство показывает, что координаты точки Р удовлетворяют уравнению плоскости, проходящей через Ро. Другими словами, орбита точки Р лежит в некоторой плоскости, проходящей через точку Рй.
§ 2.02. Положение плоскости орбиты относительно основной плоскости
На рис. 5 изображена небесная сфера с центром в точке Ро. Оси РуХ, PqP, PqZ пересекают небесную сферу в точках X, Y, Z.
Рис. 5.
Мы будем рассматривать плоскость большого круга XY как основную плоскость, а точку X— как основную точку на этом большом круге.
Предположим, что плоскость орбиты, уравнение которой дается формулой (6) § 2.01, пересекает небесную сферу по большому кругу NAM. Полюс этого большого круга (в том полушарии, где находится Z) совпадает с точкой С. Направляющие косинусы радиуса Р0С пропорциональны постоянным интегрирования А, В и С, введенным в § 2.01.
Пусть радиус-вектор Р^Р пересекает сферу в точке Q. Мы предположим, что движение тела Р относительно Ро происходит в направлении от N к Q и что в момент времени т радиус-вектор пересекает сферу в точке А, удаленной от N на угловое расстояние <о.
Положение плоскости орбиты относительно основной плоскости определяется а) угловым расстоянием точки N от X, обозначаемым через 2, б) наклонностью плоскости орбиты к основной плоскости, которая обозначается через I и измеряется двугранным углом ANY или угловым расстоянием CZ.
24
Глава 2. Эллиптическое движение
В теории планет, например, за основную плоскость часто принимается плоскость эклиптики, точка X отождествляется с точкой весеннего равноденствия Т, а в качестве точки Z принимается северный полюс эклиптики. Так как радиус-вектор планеты переходит из южного полушария в северное через N в направлении NAQ, то точка N называется восходящим узлом (обычно просто узлом), а дуга XN (или JW)— долготой узла.
Мы можем выразить постоянные А, В п С интегралов (3), (4) и (5) § 2.01 через 2 и I и наоборот. Выражение ху— ху представляет собой удвоенную скорость, которая характеризует изменение площади, описываемой проекцией радиус-вектора г на плоскость XY. Если h — удвоенная секториальная скорость планеты (Л = г29, где 9 — полярный угол), то
ху — xy = h cos CZ,
где CZ — угол между нормалями к плоскости орбиты и плоскости XY, т. е. CZ = l. Следовательно, из формулы (5) § 2.01 имеем
С = Л cos I.
Аналогично
A = hcosCX, B = hcosCY.
Из сферических треугольников CXN и CYN находим, что
cos САГ = sin 2 sin/,
cos CY = — cos 2 sin /, откуда
Л = Л81п281п/, B = — Л cos 2 sin/, C = Acos/. (1)
Поэтому
Л2 = Л2 + В2 + С2.
Таким образом, h — величина постоянная, и второй закон Кеплера тем самым подтвержден.
Из формулы (1) находим
4-
§ 2.03. Уравнения движения в плоскости орбиты
Возьмем прямоугольную систему координат с осями P^N, РйМ, лежащими в плоскости орбиты так, чтобы PJQ имела направление на узел. Пусть координаты точки Р на рис. 6 будут xv yv Пусть, кроме того, 9 означает полярный угол между PqAZ и PqP. Тогда,
§ 2.03. Уравнения движения в плоскости орбиты
25
принимая временно плоскость орбиты за основную, запишем уравнения движения точки Р в виде

или
Последние уравнения являются ньютоновскими уравнениями движения
влении РРй. Обозначив составляющие ускорения вдоль Р0Р и перпендикулярно Р0Р через аир, получим
но а = г— гб2 и р = у-^-(г2б). Следовательно, уравнения движения точки Р в полярных координатах имеют вид
;-гб2=-^,	а)
г2б = й,	(2)
где h — произвольная постоянная.
Уравнение (2) — аналитическое выражение второго закона Кеплера, причем h—удвоенная секториальная скорость, равная
2паЬ_ Т '
Так как в § 1.02 мы определили среднее угловое движение п при помощи формулы
п ~ ~f~ >	(3)
то
h — па- У1 — е2.
(4)
26
Г лава 2. Эллиптическое движение
§ 2.04. Уравнение орбиты в полярных координатах
Чтобы получить уравнение орбиты в полярных координатах, мы исключим t из уравнений
7-Г02 = -£,	(1)
г20 = Л.	(2)
Положим « = 1/г. Тогда из формулы (2) найдем, что 0 = й«2. Следовательно, • d (1 \ л .du r-_ dO (и) 9— А rfO
и
Уравнение (1) тогда примет вид d2u । ц dO2 “Ь “ — "Л2” •	(3)
Общее решение этого уравнения дается формулой и =	[ 1 -|- е cos (0 — <»)],
в которой е и ш суть постоянные интегрирования. Следовательно,
г =_______. ,4)
14-	е cos (0 — о>)	' '
Последнее уравнение является уравнением эллипса с эксцентриситетом е, если 0 <е < 1, и фокальным параметром, равным й2/р. Следовательно, й2 = ра(1 — е2).	(5)
Однако, согласно формуле (4) § 2.03,
h = па2 У1 — е2.	(6)
Из формул (5) и (6) находим р, = п2а3,	(7)
или так как п, = 2-к[Т и p = O(m0 + m), то а3 _ G(m0-\-m)	,я
fl - ~fa2 •	(°)
что является уточненной формой третьего закона Кеплера.
§ 2.05. Уточненная форма третьего закона Кеплера
27
Заметим, что равенство (4) представляет собой общее уравнение конического сечения. Следовательно, орбита тела Р относительно Ро в соответствии с законом тяготения может быть:
а)	эллипсом, если 0 <е < 1 (или кругом, если е = 0);
б)	параболой, если е=1;
в)	гиперболой, если е> 1.
Мы будем иметь дело главным образом со случаем (а), которому соответствует эллиптическая орбита с фокусом в Ро. Таким образом, вывод формулы (4) и составляет доказательство первого закона Кеплера.
§ 2.05. Уточненная форма третьего закона Кеплера
Из предыдущего параграфа мы имеем
4к2	= G (m0 4- m),
(1)
где под Ро мы будем понимать Солнце с массой т0, а под Р — планету с массой т.
Если at и 7\ относятся к орбите какой-либо другой планеты с массой mv обращающейся вокруг Солнца, то имеем
а®
4«2-^- = G(m04-m1).	(2)
Из формул (1) и (2) находим
а*/Тг __ 1 + (т/отр) .
1 -f- (m^mo)
Отношения т/т0 и mj/m0 являются малыми. Максимальное значение такого отношения, равное 1/1047, соответствует планете Юпитер.
Если этими малыми отношениями пренебречь, то равенство (3) примет вид а® а® гр
что представляет собой третий закон Кеплера, записанный для двух планет. Очевидно, этот закон может быть распространен на любое число планет. Когда в дальнейшем будем ссылаться на третий закон Кеплера, мы будем иметь в виду формулу (1), которая выражает этот закон точно.
28
Г лава 2. Эллиптическое движение
§ 2.06. Массы планет
Мы проиллюстрируем метод определения масс планет, которые обладают спутниками, на примере Марса и его спутника Деймоса.
Предположим, что невозмущенная орбита Деймоса (масса mJ, определяемая притяжением Марса (масса /и), является эллипсом с большой полуосью Я] и периодом Т\. Применяя третий закон Кеплера в его уточненной форме к орбите спутника Марса, получаем а?
4ir2-^- = G(m+ml).	(1)
Если а и Т относятся к орбите Марса относительно Солнца (масса т0), то д’
4тс2-уу = О(т0 + т).	(2)
Так как шх является очень малой величиной по сравнению с т, то мы можем в формуле (1) тх отбросить. Тогда из формул (1) и (2) будем иметь
= <3>
Отношения а/ах и Т/Тх получаются из исследования орбит. Следовательно, с помощью формулы (3) мы легко определяем отношение массы Марса к массе Солнца.
Как мы заметили в § 1.08, масса планеты, не имеющей спутника, определяется другими методами.
§ 2.07. Элементы эллиптической орбиты
Согласно формулам (4) и (5) § 2.04, уравнение орбиты в полярных координатах имеет вид _	д(1 —е2)
Г	14~ е cos (0 — ш) ’
где я(1—е2) равно Л2/|л. Величина г принимает наименьшее значение, когда cos (9 — w) достигает максимума, т. е. когда 9 = w. Следовательно, минимальное значение г равно а (1 — е), что соответствует перигелийному расстоянию Р(,А (рис. 6, стр. 25). Аналогично максимальное значение г имеет место при 9 — w = it. Оно равно а (14-е), что соответствует афелийному расстоянию Pofi. Угол и, таким образом, определяет ориентацию большой оси ВА относительно направления PbN, от которого измеряется полярный угол 0.
Величины а, е и ш являются тремя элементами орбиты. Четвертым элементом является т — момент времени, когда планета про
§ 2.08. Истинная и эксцентрическая аномалии
29
ходит через перигелий. Для того чтобы полностью определить положение орбиты относительно основной плоскости и основного направления в этой плоскости, требуются еще два элемента. Если основной плоскостью является плоскость эклиптики (рис. 5, стр. 23), то этими элементами будут 2 (долгота узла) и I (наклонность орбиты к плоскости эклиптики).
Для удобства разобьем Шесть элементов на две группы, каждая из которых будет содержать по три элемента. Первую группу составляют элементы а, е, т, которые характеризуют эллипс независимо от его положения относительно основной плоскости. Вторую группу составляют элементы 2, а», I. Элементы 2 и I определяют положение плоскости эллипса относительно эклиптики и точки весеннего равноденствия, а элемент w определяет ориентацию большой оси орбиты относительно направления на восходящий узел N.
Эти элементы появляются естественным образом из простых геометрических соображений. Однако может оказаться более удобным рассматривать в качестве постоянных эллиптического движения любые шесть независимых функций от а, е......I. Например, в некоторых
теориях в качестве независимого элемента принимается постоянная Л=[р.а(1 —г2)]/2, которая столь же естественным образом появляется при решении динамической задачи.
§ 2.08. Истинная и эксцентрическая аномалии
Истинная аномалия, обозначаемая через /, определяется как полярный угол планеты, отсчитываемый от Р0А (рис. 7). Согласно
нашим предыдущим обозначениям, мы можем написать / = 0— ш.
Уравнение орбиты тогда примет вид
г== о(к2^)	(1)
1-f-ecos/	'•*'
Очевидно, интеграл площадей может быть записан в виде г2/ = Л.	(2)
30
Глава 2. Эллиптическое движение
Полярные координаты точки Р относительно Р0А как основного направления будут г, /; соответствующие прямоугольные координаты— P0R и RP. Обозначая их через »}, найдем
5 = rcos/, 7j=rsin/.	(3)
Проведем из центра С окружность радиуса а. Ордината точки Р пересечет эту окружность в точке Q. Угол QCA называется эксцентрической аномалией и обозначается через Е. Мы имеем
CR = a cos Е,	RQ = a sin Е.	(4)
Так как уравнение эллипса с центром в точке С и с полуосью С А, расположенной вдоль оси х, имеет вид
где й2 = а2(1 —е2), то ордината PR выражается через Е следующим образом:
PR = | (а2 — а2 cos2 E)'h = b sin E. Следовательно, ты
RQ~ a'	W
Так как CP0 — ae, то имеем t = rcosf = a(cosE—e),	(6)
•q = r sin/ = dsinE.	(7)
Радиус-вектор г определится как функция Е, если возвести в квадрат формулы (6) и (7) и сложить. Тогда получим
г = а(1—ecosE).	(8)
Из формулы (6) находим
r^2cos2Y—lj = a(cosE — е)	(9)
или, используя формулу (8),
г cos24 = a (1 —e)cos24-. X	X
Аналогично из равенства (7) получаем
г(1 —2sin2-0 = a(cosE — в), откуда, используя формулу (8), находим
rsin2-y=a(l -J-в)sin2 у.	(10)
§ 2.10. Уравнение Кеплера	31
Из формул (9) и (10) имеем
ч4=Ут^71е4-	(")
Последнее уравнение выражает истинную аномалию через эксцентрическую аномалию, и наоборот.
§ 2.09. Средняя аномалия
Предположим, что в момент t планета находится в точке Р (рис. 7). За интервал времени t — т радиус-вектор перейдет из положения РйА в положение Р^Р. Если радиус-вектор в момент t совпадает с Р0Л и в дальнейшем вращается со средней угловой скоростью я, то угол РР0А, на который он повернется за время t — т, называется средней аномалией. Если обозначить среднюю аномалию через М, то
Л1 = я(/ — т).	(1)
§ 2.10. Уравнение Кеплера
Это уравнение связывает между собой эксцентрическую аномалию Е и среднюю аномалию М. Оно имеет вид
Е— esinE — М.
Мы выведем его следующим образом.
Из формулы	г — а (1 —е cosE)	
имеем	г = aesinE • Ё.	(1)
Из равенства	J__ 1 + g cos / г	а (1 — е2)	
находим	г 	esinf-f г2 а(1—е2)’	
откуда, так как		
	r2f = h = na2}/\—el	
получаем	•	пае sin f У 1 — е2	(2)
Из формул (1) и (2)	имеем	
	£	 п sin/	
	Ki —e*sin£	
32
Глава 2. Эллиптическое движение
Но, согласно формуле (3) § 2.08,
т( == г sin / — а	1 — е2 sin Е.
Следовательно, гЁ = па или
(1 —е cos Е)Ё = п.
Интегрируя, получаем
Е — е sin Е — nt -|- с, где с — постоянная интегрирования. Однако £ = 0, когда t = x. Поэтому с = — пх. Следовательно, мы получаем
Е — esinfi = M = n(t — т),	(3)
что и является уравнением Кеплера, связывающим между собой эксцентрическую и среднюю аномалии.
§ 2.11.	Решение уравнения Кеплера
Предположим, что элементы е и т орбиты и среднее движение п нам известны. В таком случае мы можем вычислить значение М для момента t. Для определения значения Е для момента t мы имеем уравнение
Е — esin£ = М.	(1)
а)	Если е мало, скажем порядка 0,1, как в случае большинства планетных орбит, то Е можно вычислить с помощью весьма удобного метода, предложенного Брауном ’). Положим
Е = М-\-х,	(2)
где х нужно определить.
Тогда из формулы (1) имеем
х — esin(41 + x).	(3)
Из формулы (3) следует, очевидно, что х имеет порядок е. Далее, sinx = x-¥ + ^- ... =
= е sin (Al + х) — sin3 (Л4 х) -|- sin5 (Л4 + х) — ... или
sin х (1 — е cos Л1) — е sin М cos х =
аЗ	лЗ
= —±_Sjn3(Л4_|_Х)_|__£_Sin5(4j_|_x)_ ....	(4j
*) Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 92, 104 (1931).
$ 2.11. Решение уравнения Кеплера	33
Пусть С и х0 определяются уравнениями
Csinx0 = esin41,	(5)
С cos хц = 1 — е cos М,	(6)
из которых находим
Csin(Al -|-x0) = sinAf,	(8)
С2 = 1 — 2е cos М + е2.	(9)
Мы вычислим х0 по формуле (7) и С по формуле (8), если только М не является близким к 90э или к 2701, когда для определения С может быть использована формула (9). Следует заметить, что х0 имеет порядок е. Используя формулы (5) и (6), запишем разложение (4) в виде
sin(x — xQ) = — sin3 (Л1 -4- х) 4-
+ -^-sin5(44 + x)+ ....	(10)
Формула (9) показывает, что С имеет порядок единицы. Следовательно, согласно разложению (10), х — х0 имеет порядок е3, так что если мы подставим х0 вместо х в первый член правой части равенства (10) и отбросим второй член, то получим уравнение
лЗ sin(x — х0)== — sc sin3(4f+ %0),	(11)
которое справедливо с точностью до членов порядка е4. Это уравнение может быть записано и в другой форме. Из формул (5) и (6) имеем
sin х0 (1 — е cos /И) = е cos х0 sin М. Отсюда
sin х0 = е sin (Л14- х0), и из уравнения (11) получаем
sin(x — х0) = — -g^sin3x0.	(12)
По формуле (11) или (12) значение х может быть легко вычислено. Обозначим его через х'. Для планетных орбит с малыми е это значение х' обычно оказывается достаточно точным. Решение уравнения Кеплера тогда принимает вид
E = M±x'.
3 У. Смарт
34
Глава 2. Эллиптическое движение
Если е имеет несколько большее значение или если требуется ббльшая точность, то можно получить требуемое значение х путем подстановки х' вместо х в первый член правой части формулы (10) и х,, вместо х во второй член. Тогда х будет вычисляться по формуле
sin(x — х0) = — -g^-sin3^	51п5(Л14-хц). (13)
Если х"— значение х, найденное по формуле (13), то решение уравнения Кеплера имеет вид
Е = М + х".
б)	Если е не является сравнительно малым, как в случае (а), то процедура решения начинается с определения исходного значения Е, которое представляет собой приближенное решение уравнения Кеплера. Такое значение может быть получено одним из многих графических методов, предложенных для этой цели (их имеется около 120), или с помощью специальных таблиц *). В этих таблицах даются значения М, вычисленные для отдельных значений Е и е, например Е с интервалом в 1° и е с интервалом 0,05.
Путем интерполяции по этим таблицам легко получить значение Ео, которое приближенно удовлетворяет уравнению Кеплера при данных значениях е и М.
Пусть E0-}-dE обозначает величину Е, которая точно удовлетворяет этому уравнению. Тогда
Ej-1-dE — esin(E04-rfE) = М.	(14)
С точностью до членов первого порядка мы получаем для dE формулу
<15>
1 С VW *“'0
где Л1о=Ео — esin£0, а поэтому dE легко вычисляется. Таким образом, можно получить более точное значение E0-|-dE. Для дальнейшего уточнения значения Е, удовлетворяющего уравнению Кеплера, можно повторить этот прием, принимая E0-\-dE в качестве нового приближенного значения.
*) Например, J. Bauschinger, Tafeln zur theoretischen Astronomie, Leipzig, 1901, или J. J. Ast rand, Halfstafeln, Leipzig, 1890. [См. также: M. Ф. Су б б о т и н, Вспомогательные таблицы для вычисления орбит и эфемерид. приложение к курсу небесной механики, Гостехиздат, М.—Л„ 1941; А. Я. Орлов и Б. А. Орлов, Курс теоретической астрономии, Гостехиздат, М,—Л„ 1940. — Прим, ред.]
§ 2.13. Модификация эллиптических элементов
35
§ 2.12. Скорость движения планеты по ее орбите
Пусть v — орбитальная скорость планеты. Тогда
©2 = 524-
Но	_____
? = a(cos£' — е), ri = aY\—e2sinE.
Поэтому
©2 = д2 0 — е2 cos2 £) £2,
Из уравнения Кеплера имеем
(1—ecosE)E = n.	(1)
Следовательно,
о .л > l + ecos£ и ..	rj..
v = п а 1-ecosE = у 12 — (1 — е cos £)] Д  <5 WO L*	9
ИЛИ
Это и есть та формула, которую требовалось вывести.
§ 2.13. Модификация эллиптических элементов
Элементы орбиты, с которыми мы пока имели дело, таковы:
а, е, t и 2, ш, I.
Последняя группа элементов, отнесенных к основной плоскости и осям, обозначенным через X, У и Z, показана на рис. 8.
а)	Элемент т, входящий в уравнение Кеплера
Е— es\nE = n(t— т),
иногда бывает удобнее заменить элементом х- равным —nt, так что уравнение Кеплера принимает вид
Е—esin£ = n/-f-x.	(1)
Элементами орбиты тогда будут:
а, е, X и 2, ш, I.
б)	Имеющая более широкое применение модификация основных элементов включает в себя замену шит (или х)« Когда основной плоскостью является плоскость эклиптики, то долгота некоторой точки большого круга MAQ в теории планет определяется как угол, измеренный от основной точки X (или У) до восходящего узла N
3»
36
Глава 2. Эллиптическое движение
и далее вдоль большого круга орбиты до интересующей нас точки. Таким образом, долгота перигелия, обозначаемая через &, — это долгота точки А и она выражается через 2 и ш следующим образом:
<о = 2	о).	(2)
Следовательно, мы можем заменить ш на ш — 2.
Если на рис. 8 Q — точка пересечения радиус-вектора PqP со сферой, a AQ — истинная аномалия / этой точки, то истинная
долгота планеты, обозначаемая через L, — это долгота точки Q. Следовательно,
L = 2 —|— to —f- f или
L = & + f.	(3)
Аналогично средняя долгота планеты, обозначаемая через I, связана со средней аномалией M = n(t— ") = Л^4~Х формулой
/ = «4-й(/_т).	(4)
Вместо элемента т (или у) часто вводится элемент е, называемый средней долготой в эпоху. Это средняя долгота в начальный момент времени t = 0; опа дается формулой (4), если положить в ней t = 0. Следовательно,
е — ш — пх.	(5)
Исключая т из равенств (4) и (5), мы для средней долготы I найдем формулу
(6)
I = nt + е.
§ 2.15. Вычисление прямого восхождения и склонения
37
Согласно формуле (4), средняя аномалия М определится так:
М = 1— ш.
Следовательно, используя равенство (6), получаем
M = nt-+-s— й.	(7)
Эта система содержит следующие элементы:
а, е, е, 2, ш, I.
§ 2.14. Сводка формул эллиптического движения
Соберем здесь для справок основные формулы, полученные в предыдущих параграфах:
п2а3 = р — G (т$ /я).	(2)
Л2 = pa (1 — е2),	(3)
Е — е sin Е — Мп (I — т) =
=^+х=
— nt е — <Ь,	(4)
г = а(1—ecosE),	(5)
'4=i/tS«4-	да
Эти формулы важны для теоретических исследований, которые мы рассмотрим в следующих главах.
При помощи их можно также вычислить положение планеты на ее орбите, т. е. значения г и / для любого момента времени, если известны элементы а, е и т, ш (или е и ш), а следовательно, и период обращения Т. Сначала мы находим /г = 2л/Т, затем вычисляем М. Соответствующее значение Е определяется из уравнения Кеплера одним из способов, описанных в § 2.11. По этому значению Е величины г и / вычисляются посредством формул (5) и (6). Формула (1) может быть использована для контроля.
§ 2.16.	Вычисление прямого восхождения и склонения по известным элементам орбиты
Эти вычисления состоят из четырех этапов.
1.	Обратимся к рис. 8 на стр. 36. Относительно осей Р0Д РоВ, лежащих в плоскости орбиты, координаты точки Р суть В, т).
38
Глава 2. Эллиптическое движение
Пусть (lx, mv пх) и (Z2, m2, п2)— направляющие косинусы соответственно осей РйА и РйВ относительно осей X, Y и Z на этом рисунке и пусть х, у, z— координаты точки Р относительно этих же осей. Тогда
y = m1?4-m2ij,	(1)
z — n^ + n^,
или, так как 5 = a(cosE — е) и ij = а у 1 —е1 • slnf, то
х — alx cosE+W2sinE— aelv
у = amx cos Е-^-Ьщ sin E— aemx,	(2)
z = а/ij cos E+bn2 sin E — aenx,
где b — a 1 — e2.
Из треугольников AXN, AYN, AZN имеем:
Z] = cos AX = cos 2 cos ш — sin 2 sin ш cos Z, mx = cos AY = sin 2 cos <o -J- cos 2 sin <o cos Z,	(3)
/ij = cos AZ = sin<usinZ.
Аналогично
Z2 = cos BX = — cos 2 sin <o — sin 2 cos <o cos Z, m2 = cos BY = — sin 2 sin <o + cos 2 cos <o cos I,	(4)
«2 = cos BZ = coso) sin Z.
Если элементы известны, то Е можно определить из уравнения Кеплера способом, описанным ранее. Направляющие косинусы 1Х....п2 вычисляются по формулам (3) и (4). Гелиоцентрические
эклиптические координаты х, у и z тогда определятся по формулам (2).
2.	На этом этапе мы определим гелиоцентрические экваториальные координаты планеты относительно экваториальных осей, обозначенных на рис. 9 через X (или Y), F и О. Пусть е0—наклонность эклиптики. Если хх, ур гх — координаты планеты в экваториальной системе координат, то
х} — х, у 1 = у cos е0 — z si п £0,	(5)
zx = ysine04-z cos е0.
Отсюда, поскольку е0 известно, определятся значения хх, yv zv
§ 2.15. Вычисление прямого восхождения и склонения
39
С другой стороны, мы можем скомбинировать формулы первого и второго этапов следующим образом. Из формул (2) и (5) имеем:
х1 = аРх cos Е+bQx sinf — аеРх,
у, = aPyCosf-l-dQySinE — аеРу,	(6)
zx = аРг cos Е + bQz sinE — aePt, где
P, = ZP	Qx = l2,
Py = mxcost0— »isinso, Qy = m2coss0 — rt2sin30, (7)
Рг =m1sins0 + «i cos Sq, Q2 =m2sineo+,t2cosso*
Величины Px......Q2 вычисляются по значениям lx......«2 и e0.
Затем, после того как соответствующее значение Е найдено, вычисляются хх, >4 и zx.
3.	На третьем этапе мы определим гелиоцентрические экваториальные координаты Земли, которые обозначим через х'х, yj, z’v
Пусть на рис. 9 Е — точка на эклиптике, соответствующая положению Земли в момент t, и пусть г', f и «/ — величины, относящиеся к орбите Земли. Тогда XE — &'-\-f, и так как
х\ — г' cos EX, yj = г' cos ЕР, z'x = г' cos EG,
то получаем
х[ = г' cos (&' + /'), у{ == г' sin (ш' 4- /') cos е0, z{ = г' sin (&'+/') sin е0.
40
Глава 2. Эллиптическое движение
Поскольку элементы орбиты Земли известны, эксцентрическая аномалия Е' может быть вычислена обычным путем. Тогда г' й /' вычисляются по формулам § 2.14.
Если X, Y, Z — геоцентрические экваториальные координаты Солнца, то X — — х[, Y = — у', Z = — z[, причем соответствующие координатные оси параллельны экваториальным осям, изображенным на рис. 9, и таким же образом направлены. Координаты X, Y, Z
табулированы в Nautical Almanac1) на начало каждого дня на протяжении года. Следовательно, они могут быть найдены путем интерполяции для любого момента t.
4.	Пусть 5, tj, С — геоцентрические экваториальные координаты планеты Р в момент t (рис. 10). Тогда
5=^ —Хр	vj = y1 —у', C = Z1 — z\,
или
5=х1-|-Л', »} = У1 Y, (, = z1-\-Z,
откуда могут быть получены значения 5, т] и С.
Пусть радиус-вектор ЕР пересекает сферу в точке Q. Пусть, кроме того, GQT — меридиан, проходящий через Q, XT — прямое восхождение а и TQ — склонение 8. Обозначая ЕР через р, мы имеем 5 = pcosQT,	ti-=?cqsQF, C = pcosQG,
откуда получаем
£=pcosacos3, Tj = psinacos8, C = psln8.
Отсюда
tg a = —, tg 8 =	.
*) Английский астрономический Ежегодник. — Прим. ред.
§ 2.15. Вычисление прямого восхождения и склонения 41
Таким образом, координаты а и & получены.
5.	Заключение. Формулы, выведенные в этом параграфе, легко применить для вычисления эфемериды планеты, т. е. ее координат (а, 8) с интервалом, например, в 10 суток. Исходя из известных элементов орбиты, вычисляем величины Рх, .... Qz, которые являются функциями только элементов и наклонности эклиптики и поэтому имеют одни и те же значения при вычислениях для всех моментов /р /2....... Величины	Е}. Ег.....соответствующие этим
моментам, конечно, вычисляются отдельно способом, описанным в § 2.11. После окончания этих вычислений мы по формулам (6) можем найти гелиоцентрические экваториальные координаты для каждого из моментов tv t2...... Формулы третьего и четвертого
этапов дают возможность получить прямые восхождения и склонения для требуемых моментов.
Глава 3
РАЗЛОЖЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ
§ 3.01. Введение
В этой главе мы займемся разложениями в ряды различных функций, относящихся к эллиптическому движению. Большая часть наших результатов будет представлять подготовку для получения (в гл. 7) разложения возмущающей функции R [определяемой формулой (4) § 1.07] в виде, пригодном для решения уравнений движения планеты Р, возмущаемой планетой Рр или уравнений возмущенного движения спутника вокруг планеты.
В § 2.14	дана следующая группа формул эллиптического	дви-
жения:	_	д(1-е») 1 Ц-ecos/ ’	(1)
		(2)
	г = а(1 —ecosE),	(3)
	Е — е sin Е — М = п (t — т).	(4)
Формула	(1) выражает г через истинную аномалию /, а	фор-
мула (3) — через эксцентрическую аномалию Е. Уравнение Кеплера (4) дает возможность выразить Е через среднюю аномалию М. Чтобы выразить некоторую функцию ф(г, /) непосредственно через среднюю аномалию, т. е. по существу через t, мы используем тот факт, что обычно в теориях планет и спутников эксцентриситет е мал, и, следовательно, мы можем разложить ф(г, /) в периодический ряд по степени е. Этот процесс разложения обычно состоит из двух частей. Сначала ф(г, /) разлагается в ряд вида
S (А„ cos пЕ+Bn sin пЕ), п=о
коэффициенты которого обычно являются рядами по степеням е. Затем cos пЕ и sin пЕ разлагаются соответственно в периодические ряды вида
«о+«1 cos М + а2 cos 2Л1 + ...
и
£1sinAf-|-Z>2sin2Af-|- ....
§ 3.02. Ряд Лагранжа
43
причем коэффициенты а и b обычно также являются рядами по степеням е.
Перед тем как перейти к разложению в ряды, мы посвятим ближайшие три параграфа рассмотрению ряда Лагранжа, функций Бесселя и гипергеометрического ряда, которые будут использованы в дальнейшем.
§ 3.02. Ряд Лагранжа
Рассмотрим соотношение между х и у, выражаемое формулой
у = х4-аср(у),
(1)
в которой <р— заданная функция, а — малый параметр, под которым в будущем будем понимать е/2. Теорема Лагранжа состоит в том, что функция F(y) может быть разложена в ряд по степеням а следующим образом:
f(y) = ^+тг(»« т&-)+£Ш&)+ - +
....
nl Эх"-1 \ х дх /
(2)
где Fx = F(x) и фх=ср(х). При этом предполагается, что ср, F и их производные являются непрерывными функциями.
Рассматривая формулу (1) как уравнение относительно у, мы в принципе можем выразить у через а и х; например, если пренебречь а2, то мы получим приближенно у = х-|-аф(х). Предположим теперь, что у = /(а, х) есть решение уравнения (1). Тогда F(y) может быть выражена через а и х, и применение теоремы Маклорена дает
ч р a ldF\ I dlF\ .	. а» (dnF\ .
где индекс „нуль* означает, что после дифференцирования нужно положить а = 0.
Пусть А означает оператор д/да’, тогда предыдущее разложение примет вид
л	/*2	лЛ
/7(У) = /7ж+тт (^o+7i-M2F)o+ ••• +ir(^o+ .... (3)
Из формулы (1) также следует
Лу = ф (у)-f-а —Лу.	(4)
44 Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
Пусть D означает оператор д/дх. Тогда из формулы (1) имеем
Dy^l+^Dy.	(5)
Умножим уравнение (5) на <р(у) и вычтем из уравнения (4); тогда (Лу— ?Dy)(l — <х^) = 0.
Однако
1—а ¥= 0, ибо если 1—a.^-=sQ,
то a® = y4-const, что противоречит уравнению (1), в котором, по предположению, — произвольная функция от у. Следовательно,
Лу = <р Dy,	(6)
Равенство (6) является соотношением между операторами Л и D, совместимое с уравнением (1).
С другой стороны, при помощи равенства (6) находим
	AF(y)^.~ DF(y)==d-^- =	dF .	dF n ^y^-^-Dy, ^~Dy-dy f
Поэтому	AF =	= 'fDF.	(7)
Докажем теперь справедливость следующей формулы:
AnF = Dn~'(^n DF).	(8)
Предположим, что она верна и применим к ней оператор А. Тогда, так как а и х являются независимыми, а поэтому операторы Л и D также будут независимыми, подчиненными закону коммутативности, то мы получим
An+1F = D"~l {Л (<p"DF)}.
Далее, используя равенство (6), будем иметь
Л (<?" DF) = DF- А (<?") +	• D(AF) =
= DF • <pD(<pn)-|-<p'‘ • D(AF) =
= ? DF • D (<fn) -f- yn . D (<p DF) —
= D(<p»+,DF).
Поэтому
Aa+1F = Dn(<fn+1DF).
$ 3.03. Функции Бесселя
45
Следовательно, если формула (8) верна при некотором п, то она будет также верна и при замене п на л-|-1. Но эта формула справедлива при п — 1, так как она тогда приводится к формуле (7); следовательно, формула (8) справедлива при любом п.
Теперь, если перейти к производным, то формула (8) примет вид
<ЭП-1 / „ 0F\ ... - I — I. дх""1 V дх/
Следовательно,
dnF да"
д'1"1 дх”-1
Подставляя последнее равенство в разложение (3), мы видим, что теорема, выражаемая формулой (2), доказана.
Предыдущее доказательство формулы (2) заимствовано из «Теории планет» Брауна и Шука ’). Этими авторами дано также некоторое обобщение этой теоремы.
§ 3.03. Функции Бесселя Рассмотрим выражение
U — e* 1 или
(1)
(2)
л=0	т=0
Пусть Jp(x) означает коэффициент при zp ряда, полученного перемножением рядов в формуле (2). Тогда имеем
^ = J0(x) + J1(x)zH-J2(x)2f2 + ..• +
4-J_1(x)z-14-J_2(x)z-2+ .. .	(3)
или
2 Л(х)г".	(4)
П--СО
Из формулы (2) легко увидеть, что
/ (х} - <*/2>я Г1 _ (л/2)2 ।	С*/2)4	1
л! 1.(П_|_1) “Г 1.2 (Я-|-1)-(я-|-2) — •••]• W
*) Е. W. В г о w п, С. A. S h о о k, Planetary Theory, 1933, р. 37.
46
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
Функция Jn(x) называется функцией Бесселя первого рода порядка п.
Приступим к выводу некоторых соотношений между функциями Бесселя.
1)	Из формулы (1) видно, что U остается неизменной, если вместо z написать — z~l. Следовательно, из разложения (3) находим
U = J0(x) — Ji(x)z-4-J2(x)z-2—
— J_j(x)z4-J_2(x)z2— ....	(6)
Сравнивая ряды (3) и (6), получаем
Л-i (х) =—Л (х); J_2 (х) = J2 (х); ... и вообще
J-nM = (-l)nJn(x).	(7)
2)	Из равенства (1) имеем
а из формулы (4) находим
-^-= 2 nJ„(x)z»-’= J («+ 04+1 (х)Л Л«—со	Л=-оо
Следовательно,
у (1 + г-2) 2 4 (х)= 2(я + 04ч 1 (X)Л (8) Л«- со	—со
Приравнивая коэффициенты при zn в равенстве (8), получаем
yl4(x)+4+2(x)]=(« + 04+1 (х).
или, заменяя л на л—1, nJn (х) = f I4-i(x)+4+i(x)].	(9)
3)	Пусть J'(x) означает (dldx)J(x). Из формул (1) и (4) имеем
-^ = 4 (X - х-1) 4/= £/я (X)
§ 3.03. Функции Бесселя
47
или
~2 (г — z~l) У Jn (х) zn = У fn (х) zn. —СО	—00
Приравнивая здесь коэффициенты при г", находим
Л (*) = | (Л-! (*)-/„4i(*)b	(Ю)
4)	Покажем теперь, что Jn(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка — уравнению Бесселя
Й+—-^-+(1 —-4V = °- GO
Из формулы (10) имеем
J п(х) = j {[•/,!-2 (*)	Jn (*)]	1Л1 (*)	Л«+2 (*)!} =
= - Jn (X) +11Л-2 (*) + Л (Х)1 +1 Un (X) + Л+2 (X)l,
и далее, при помощи соотношений (9) и (10) находим
Jn (х) + (х) =	[(/I - 1)	(х) + (п +1) J„+1 (х)] =
П2	1 г
= ^iJn(x)—^Jn(X).
Тем самым проверено, что Jn(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению (11).
5)	Функция Бесселя порядка л может быть представлена в интегральной форме следующим образом.
Сделаем в равенствах (1) и (4) подстановку z = eli, где Р =— 1. Тогда
U=etx"a* = ^Jn(x) е1пЙ. — 00
Умножим обе части на e~lni и проинтегрируем в пределах от О до 2те. Тогда, так как
2«
J* etkt db — 2я или О
О
48
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
(что соответствует случаям k = 0 или k — положительное или отрицательное целое число), то мы получим
2г.
(х) = fe~' 'я’"ж sln о
Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов, в первом из которых пределы интегрирования равны 0 и к, а во втором—« и 2it. Во втором интеграле заменим 0 на — 0. Тогда получим
Я	я
2ttJn(x) = I* e-i(n9-xslne>	J* ei>nt-x sin 0)^0,
6	о
откуда
Г.
kJ,, (х) — J* cos (nO — х sinO) d0.	(12)
n
§ 3.04. Гипергеометрический ряд
Гипергеометрический ряд, обозначаемый через Г (а, Ь, с; х), определяется формулой
pz_ t, ..	__1 I у I a(«+l)-fr(fr + l) 2 i	,n
F{a, o, c, x)— 1 + i.c*+	i-2-c(c-f-l)	(*)
Этот ряд сходится, если |х|<1. В приложениях х имеет порядок е2, так что условие сходимости удовлетворяется.
Функция F может принимать различные формы, из которых мы отметим для будущего использования следующую:
F(a, b, с; х) = (1 — хУар{а, с — Ь. с; —	(2)
Легко проверить, что F удовлетворяет дифференциальному уравнению (*2-*)$ + Кд + *+1)х-с]-^ + ^У = 0.	(3)
§ 3.05. Метод разложения некоторых функций г и f в периодические ряды
Пусть
5 = eli, ц = е1Е,	(1)
где F =—1 и е—основание неперовых логарифмов. Тогда
£* = e/ft/=cos£/-HsinA/> C* = cosA/— ZsinA/. (2) Аналогичные формулы справедливы и для rf и ц“*.
g 3.05 Метод разложения некоторых функций г и f
19
Представим эксцентриситет е в виде
	e = sin<p	(3)
и обозначим		(4)
Тогда	е = -Л_ е 1 + Р8	(5)
и	₽=4(1-/1-е2)-	(6)
Последняя формула показывает, что р имеет порядок е/2. Рассмотрим уравнение
, 1 , -Г 14-е. 1 в 14-? . 1 о
Но
е'/—1

5-1
«+1 ‘
Подобным же образом имеем
1 р 1 — 1 Hgy Е — -Iq-p
Поэтому формула (7) принимает вид
откуда
и
С другой стороны.
5-1 _ 1 + Э ч-1
5+1 —	7+Т’
_ 4—Р _ 4(1—Р4~')
1 —р4	1—Рч
еа+рг1)
г = а (1 — е cos Е) = а
1^г(4+4‘1)].
Поэтому
г . О —Р4)0—Ру1) а	ГН»
Через 5 величина г выражается следующей формулой: r_ 1—е» _(1-Р8)8	1
а — 1 + ecos/ ~ 1 + ?8 (1 + рб)(1 + ₽5*') ’
(8)
(9)
(Ю)
(И)
4 =
Ж
4 У. Смарт
50 Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
§ 3.06. Разложение $т в ряд по степеням е Напишем формулу (5) предыдущего параграфа в виде
₽ = у + т?2. или
₽ = x+a?(fa
где а = е/2 и <р (0) = р2, так что <р(х) = х2. В ряде Лагранжа для F(0)s0m мы должны отождествить х с е/2.
На основании теоремы Лагранжа § 3.02 мы имеем
1 со	«
= *'" + от "лГ	(*2в+т-1) =
1
= хт I т V (2л+да-1)1. хЯ1 m — X -t-да nl (п + m)! х ’ 1
или, выражая через е, 1
Выпишем несколько первых членов этого разложения
г_(<)-[1+«^+-^г+г1=^±2и+...]. (2)
§ 3.07. Выражение f через Е
Мы будем исходить из формулы (8) § 3.05, а именно:
4(1 —(1) « 1-Рч	ш
Логарифмируя эту формулу и имея в виду, что 5 = elt, iq = e/fi, получаем
If = /£+In (1 — 07,-1) - In (1 — fa) =
= /£ + fa7I_7!-I) + -J(7i2-7!-2)+ ....
Следовательно,
/ = £+20sinE4-p2sin2E4-2^-sin3E+ ...
3.08. Разложение г* cos pf и г’ sin pf
51
или
oo
/ = E + 2£-f-sinnE. i
(2)
Примечание. Выражение E через f получается немедленно из равенства (2) при помощи формулы (9) § 3.05:
К1+РГ1) _ IG-W1)
i + ps — i-М ’
(3)
где Pi = — р. Так как формулы (1) и (3) имеют один и тот же аналитический вид, то мы выразим Е через /, если поменяем местами f и Е в равенстве (2) и напишем (—Р) вместо р. Следовательно,
00
£ = / + 2 2(-l)B-^-sinn/.	(4)
1
§ 3.08	. Разложение гр cos р/и r^sinp/
Из формул (8) и (10) § 3.05 мы имеем
-g_ «4(1 — Рч~')* 5	1 + Р*
Поэтому
r^ = ^(l+p2)-V(l-₽’l“,)2P.	(1)
где р — положительное или отрицательное целое число. Пусть
__ Л(А-1)(А-2)...(А-;4-1)
'--------------Ji	,
(2)
где / — положительное целое число, a k— положительное или отрицательное целое число.
Если k и У— целые положительные числа, то С*— коэффициент при х} в разложении бинома (14-х)*. При этом предполагается, что У < k.
Из формулы (1) мы тогда получим
rV = ap(l + ₽2)"P^{l	..•} =
= ар (14- pv	—qppTjP-i 4-
4*
52 Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
Поэтому, беря в этом равенстве отдельно действительную и мнимую части, мы найдем
rp cos pf =
= ар (1 +р2)- р [cos рЕ—$С2!Р cos (р -1) Е+^2С22Р cos (р -2) Е— ... ],
rpsin pf =
= ар (1+р2)“р [sin рЕ - ре?" sin (р - 1) Е+$2С2Р sin (р-2) Е—... J.
Каждый из этих рядов будет конечным, если р — целое положительное число.
§ 3.09. Разложение гр cos qf и гр sin qf
Из формул (8) и (10) § 3.05 имеем
гр^ = арт{!(\ + ?2)“/’(1 — fo)p~’(l — 8т]-1)рЧ	(1)
Здесь мы предположим, что р — положительное или отрицательное целое число и что q — положительное целое число (это последнее предположение не приводит к нарушению общности).
Мы имеем
(l-^-’G-Pr1)^^
=[14- 2 (—i)B TV][ 1 4- 2 (—О'” Cm+e₽'V"’]=
= i н-р2сг?сг’+?4сг?сг?+ ... +
4-2 (-0й ^(ср-Т+с'’;?сгу+2+ .. .)+
+z2(-i)m	(or+«-’Г2 +•••)=
= 14-2<OM’V*+	(2)
4- 2 (- ^)" (cpn~4 4- 2 с№Г’₽2*) 4-	(3)
4-2	(<0’4-2 сОЮГ’Р2*).	(4)
Далее, по определению С„+ь имеем
—с> </—»)(/—»—О •••(/—и —*4-1)
С',+*“	(л+1)(яЧ-2)...(«+*)	—
~ П (л4-1)(« + 2) ...(«4-Л) ’
где п и k — положительные целые числа.
$ 3.69. Разложение re cos qf и г* sin qf
53
Выражение, заключенное во второй скобке в формуле (3), при помощи равенства (5) приводится к виду
c;-p + Scr'cr-“,„+,)(„4...(„+t)H. (о Л = 1	J
Далее, если в формуле (1) § 3.04 для F написать —аг вместо а и —Ьх вместо Ь, то получим
F(a, b, с; х) = _1 । V/ п*а((а1-1)...(в|-Л+1) , 1^61(61-1)...(61-ЛЧ-1) ,Л
~	'	*!	1 ' с(с+1)...(с+Л-1)* =
= 14-^Т(с4-1)...(?+ I)	(7)
Л=1
Поэтому выражение (6) принимает вид
Cpn~4F(— р — q, ~p.+ q±n, я 4.. l;
I [сложим
G,,(P> q)^F(— р — q, — p-\-q--\-n, -f- 1; р=>.	(8)
Тогда выражение (3) запишется в виде
2(-^)ЯС»'’<М/>. 0-	(9)
Л = 1
Аналогично выражение (4) примет вид
-<?).	(10)
/2=1
а выражение (2) с учетом формулы (7)— вид
О0(Р- q)-	(И)
Таким образом, мы получаем
?) + 2(-^)ясГ?оя(р, ?)+
+ S (~ |W+U (Р, -q).	(12)
Л=1
Посредством преобразования (2) § 3.04 мы можем равенство (12) записать в другой форме, а именно
O«(P. q) = (l~y)P+<lF(-p-q, p-q-H, п+ 1;
\	1—Р’/
54 Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении или, вводя обозначение
Тп(Р> q) = F(—p—q, p — q+1, д-j-l; —-jJ!—), ОЯ(Р. ?) = (l-₽2)P+e7’„(p, q).
Мы теперь имеем
(1-₽чГ*(1	-Ff^T^p. q) +
+ (1	2 (~ PT1)" Cpn+qTtt (p, -q).	(13)
Преимущество функции T по сравнению с О состоит в том, что ее разложение сходится быстрее, чем разложение функции О, когда п является сравнительно большим числом.
Так как
— V1 е'
то формула (1) примет вид
(£)Р *’ = 0 “ <?2)Р/2[<1 ~ № Го (/» 7) Ч*+
+ (1 - Р2)’ J (- 1)" Р"СГ9Тп (р, q) цч+Я +
+ (1 -Р2)"’ 2 1)ВРВСГ%(р, —q)if-l.	(14)
n=l	J
Приравнивая действительные и мнимые части, отсюда находим / ^\Р cos qf = Ло cos ЧЕ + 2 Л» cos (? + я)£+2 5(1 cos *“ я> Е‘ '	л=1	л-1
(15) КV sing/ = Xosin?Е+ 2	sin(?+л)Е+ 2 В«sin^~~я)Е'
л-1	л-1
(16) где
А, = (1 - еЪр12 (1 - Р2)’ То (р, q).	(17)
Ап = (- 1)" (1 - e*)pli (1 - рУ Срп^Тп (р, q) ₽",	(18)
Вп= (- 1)"(1 -е2)Р/2(1 -р«)-’СГ’Т„(р, -?)РВ. (19)
Рассмотрим следующие частные случаи:
$ 3.09. Разложение re cos qf и re sin qf	55
1)	Разложение (r]a)p.
Здесь q = 0. Поэтому
(£)P = >lo+2S AncosnE<	(20)
где
^ = (l-ey/2F(-p, p+1. 1:	(21)
A'n = (-l)n(l-e^F{-p, p+1. «+1;	(22)
2)	Разложение a/r.
Здесь p = — 1. q = 0. Поэтому C% = (—1)" и T„(—1, 0)=l. Из формул (20) — (22) находим
7 = i+s('1+2Sfl"“s“£Y	<23>
3)	Разложение a2/г2.
В этом случае р = — 2, q = Q. Поэтому Ср = (—l)"(/i—j— 1) и
Гв(р. О) = Г(2. -1, л + 1; -1=^) =
= 1+ (п+1)(1 — р») ='й+Т^/1 + ^ —
Из формулы (20) получаем ,	з_	_______ т
±- = (1 —е2)"2 1+ 22,(1+»/l— e2)p"cos/tE . (24)
L *	J
4)	Разложения cosqf и sinqf.
Из формул (15) и (16) при р = 0 находим
cosqf = cos<?£+2Л" cos(?+«)£?+2Я"cos(? — ri)E, (25) i	i
sin ?/ = Л" sin 7^+2 4"sin(y + /i)E+2jfiZsin(9r — n)E,	(26)
i	i
где
Ло’ = (1-₽^То(О. q),	(27)
An = (- 1)" (1 - Р2)’ С~9 Тп (0. q) ₽в,	(28)
Вп = (- 1)" (1 - р2)"' С’тя (0. - q) ₽я.	(29)
56
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
5)	Разложения cos / и sin f. Из формулы
1 е cos f — ~ (1 — е2)
посредством равенства (23) получаем
+ , cosne_
1 что может быть записано в виде
cos / =— р + (1—Р2) 5 Р”-' cos п^-	(30)
1
Это последнее равенство можно получить, выделяя действительную часть в формуле
5=-₽+(1
Взяв мнимую часть этой формулы, найдем sin/ = (l — р2) 2 Р""1 sinnF.	(31)
§ 3.10. Разложения некоторых функций от г и М в ряды, содержащие f
1)	Согласно формуле (9) § 3.05, имеем
ed+er1) 1+Р5 •
Сравним эту формулу с формулой (8) § 3.05, а именно:
чО-ру1) '	1-р,	•
Очевидно, что разложение любой функции от т] в ряд, зависящий от ?, можно получить, если в разложении такой же функции от £ в ряд, зависящий от т], подставить вместо т] величину $ (т. е. поменять местами / и Е) и заменить р на —р. Например, из формул (25) и (26) § 3.09 получаем
cos?E = ^cos?/ + S/)ncos(g+«)/ + SfBcos(g — п) f, (1)
sin = Ло sin 0/	2 D„ sin (? + «) /+S £n sin (у — л) f,	(2)
Л=1	n=l
где Л" дается формулой (27) § 3.09 и
оя=(-1)вд; е4=(-1)лв;
§ 3.10. Разложения некоторых функций от г и М в ряды 57
В частности, при q—\, мы из формулы (30) § 3.09 получаем cos Е = р + (1 — р) 2 (- 1)я" *р-1 cos nf,	(3)
n=l
а из формулы (31) § 3.09 находим
sinE ==(1 — p2)S(— l)"-y-Isinn/.	(4)
Далее, чтобы получить разложение (rla)~p по косинусам кратных /, мы поступим следующим образом. Из формулы (11) § 3.09 имеем
(1 + Э2)р (1-^)2р
(1 +£)'(! + рг')Р =
=+?ГУ].
(5)
Но, согласно формуле (10) § 3.05, (г]а)р выражается через следующим образом:
(£)"=(1 + р2)-" (1 + h)₽ (1 - у.
или, согласно формуле (20) § 3.09,
(£У = я' + 2 2 А'п cos пЕ,
где и Л' соответственно даются формулами (21) и (22) § 3.09. Легко видеть, что выражение, стоящее внутри квадратных скобок формулы (5), можно представить в виде функции /, если написать 5 вместо ц, т. е. / вместо Е, и —р вместо р. В результате будем иметь
₽o+2SB«cos»/.
Л« 1 где
В' = л; = (1-еУ/2Т0(/,, 0).
В‘п = (- 1)п А'п = (1 - е2)р12Тп (р, 0) С#”.
Поэтому, так как (1 — р2)/(1-|-р2) = У1 — е2, то из формулы (5) получим
( а)'₽ = (1- ;^ ГГо </>• °) + 2 2 Тп	°>С%" cos д/1 • (в)
L	и» 1	J
Если р =—2, то последнее равенство примет вид
г* = а2 /Г^72 Г1 + 2 5 (- 1)" (1 + я V Ь^72) ря cos п/1.	(7)
L л=1	J
58
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
2) Выразим среднюю аномалию Л4 через /. Мы имеем
а г	1 + е cos f	dr _ 1 — е2 * df	er2 sin f a(l— eJ) *	
Но Следовательно, С другой стороны, г = а	г sin / = а У1 — е2 dr	 er sin £ df Kl — ea (1 — ecosE) и E-	SinE. -esinE== M.	(8)
Поэтому	= ae sinE = aM	aM	^-sinE.	(9)
Из равенств (8) и (9) находим _ г2 df ~	'
Используя равенство (7) и интегрируя последнее уравнение при условии. что М обращается в нуль вместе с /, мы получим
Ж = / + 2^(-1)л(1+/Г^72)рп51пп/.	(10)
л=1
Угол / — М называется уравнением центра. Формула (10) дает его выражение через истинную аномалию.
До членов порядка е4 найдено
М = f — 2esin/-|-(-|-e2-|--|-e4 )sin2/ — -g-e3sin 3/4-^4sln4/.
Обращая этот ряд, можно выразить / через Мне определить по формуле
/ = Af-|-(2e—|-e3)sinA14-
+ (т«2 — 4^»1п2Ж + #е8$1пЗМ4-^е4$1п4Л1.	(11)
\	2Л J	1а	уо
§ 3.11.	Разложения в тригонометрические ряды по кратным средней аномалии
Пусть F(M)— периодическая функция М, которую предполагается разложить в сходящийся ряд вида
Г(Л1) = 1 Ло+^ЛлсозяЛ1-}-^BnsinrtAf. (1) Л=1	Г=1
§ 3.11. Разложения в тригонометрические ряды
59
Умножим обе части равенства (1) на cos пМ и проинтегрируем в пределах от 0 до к. Тогда при п + 0 получим
Л„ = | / F (Л1) cos пМ dM.	(2)
о
Умножим равенство (1) на sinnAf и проинтегрируем в тех же пределах. Мы найдем
5„ = 4 / F (Л1) sin пМ dM.	(3)
и
Кроме того, проинтегрировав равенство (1) в пределах от 0 до л, получим
-к
= F(M)dM.	(4)
о
Если F(M)— четная функция М, то коэффициенты Вг в формуле (1) равны нулю (г = 1, 2, ...).
Если F(M)—нечетная функция М, то коэффициенты Аг в формуле (1) будут равны нулю (r = 0, 1, 2, ...).
Выведем теперь требуемые разложения.
1)	Разложение coskE.
Е связана с М посредством уравнения Кеплера
Е — esin£ = М.	(5)
Так как coskE является четной функцией Е, а следовательно, и М, то мы имеем
00
cos kE = у ЛА, 0 -|-	А*' „ cos пМ.
п=1
На основании формулы (2) пишем
Аб1„ — — ] coskEcosnMdM = о
=	[cos kE sin пМ]q 4-	J sin АЕ sin nM dE =
" о
= mt J cos — kE)dE — J cos (nM	kE) dE,
о	о
60
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
или, согласно формуле (5),
Ац,п — ~ J*cos [(« — k) Е — пе sin Е] dE — о
—	J* cos [(я-|-Л)Е— nesinEjdE.
о
Но на основании формулы (12) § 3.03 каждый из этих интегралов выражается через функции Бесселя:
ь
п~ ~^\Jn-k(ne) Л1 + » (лв)1’	(6)
Далее,
ЛЛ>0 = -^- J cos ЛЕ (1 —е cos E)dE = о
= f coskEdE — у I*cos (Л-|-1) EdE — -J Jсоз(Л-1)ЕdE= о	6	о
== 0. если k > О,
= — е, если k = 1.
Поэтому, если k > 1, то
СО
cos ЛЕ = Л V 1 (пе) — J„+ft (ле)] cos пМ. (7)
П=1
Если Л = 1, то
cosE = —	—J„+1(ne)]cos«Al, (8)
л=1
или, принимая во внимание формулу (10) § 3.03,
он
cos Е = — -1 е + У -£	[Уп (пе)] cos пМ.	(9)
Л=1
2)	Разложение sin ЛЕ.
Эта функция является нечетной, и мы имеем
sin ЛЕ sb У, Вк tls\nnM.	(10)
л«1
§ 3.11. Разложения в тригонометрические ряды	61
Поэтому на основании формулы (3), следуя процедуре п. (1), находим
ВА> п = ~ J sin kE sin nM dM = о
=	f [cos (kE 4- nM) + cos (nM — kE)] dE =
' 0
В частности, когда Л=1, будем иметь
sin Е = 4“ 14+1 <ле)+ 4-1 (яв)1sin ЯуИ> (12) Л=1
или, согласно формуле (9) § 3.03, СО
sin Е = у	(ffg) s*n	-	(13)
Л=1
3)	Разложение г la.
Так как г = а(\ —ecosE), то при помощи формулы (9) получаем
СО
7=1	—2*Х^^14(л*)]со8/1Л1 =
л=1
= 1 4-у е2— (е— у e3)cosAf —
— y£2cos2Af—•|-e3cos3Af— ....	(14)
4)	Разложение Е.
Исходя из уравнения Кеплера £ = A14-esinE, посредством формулы (13) находим
Е = М 4- 2 у Jn (ne) sin nM.	(15)
Л=1
5) Разложение а/г.
Из уравнения Кеплера мы имеем dE а dM ~~7’
62
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
Поэтому, дифференцируя равенство (15), получаем
— — 1 + 2 Jn (пе) cos лЛ1.
Л»1
(16)
6)	Разложение г2/а2. Имеем
(4)	=	• -^Г = 2еs,n Е = 4 X ~ (пе) sin пМ.
аМ \&} а* аЕ аМ	п п
Л=1
Следовательно,
оо
уг = с~ 4 2 Jn (пе) cos пМ. л=1
где С — некоторая постоянная. Но так как
= 1 + е2 — 2е cos Е 4- у е2 cos 2Е,
то на основании формулы (9) непериодическая часть г21а2 есть
1 4-^®2 — 2е(—	или 14~у«2.
Поэтому
•£ = 1	е2-4 % ± Jn(ne)cosпМ.	(17)
Л»1
7)	Разложение cos /.
При помощи формулы (16) находим
е cos / = — 1 4- О — в2) у —
= _1+(1_е2)
1 4- 2	Jn (пе) cos пМ
Л»1
Поэтому
cos / = — е 4- —у* Jn (пе) cos пМ.
Л=1
(18)
8)	Разложение sin /.
Имеем
г sin / — а У1 — е2 sin Е = У^1 — е2 .
§ 3.11. Разложения в тригонометрические ряды
63
Но dr dr dM ________________________ г dr
dE~~ dM dE ~ a dM'
Следовательно, , ,	^Г=Т2 d (r\
sin/=—— -лг(т)
и вследствие формулы (14)
СО
sin f = 2 /П^72 2 7 £ [7" <ne>lsin nM‘ Л=1
(19)
9)	Разложения cos //г2 и sin //г2.
Пусть В, — координаты планеты в плоскости орбиты. Тогда
— = cos£ — е, — — I/-1—e2sin£. а	а ’
Поэтому, принимая во внимание формулы (9) и (13), имеем
СО
| = — 4 е 4-1Л(М1 cosпМ, (20) Л=1 со
| = |УП=722;1ул(Яе)81ппЛ!.	(21)
Л=1
Но
5 = г cos/, »] = /• sin/, поэтому
6   COS /	1)   sin /
г3 г3 ’ г3 “ г2 
Кроме того, уравнения движения имеют вид
е+4=°- ^+5=°’
или, так как M = n(t— т) = (jia-3)7’(/— т), то d d	d3 , d3	d3
dt~n dM " ~dt3 ~n dM3 ~ dM3 '
Поэтому
d2$	д3> — n d*1) I д3,> — л
ЖИ2 “T r3 ’ dM3 r3 ~~
64
Глава 3. Разложения функций в эллиптическом движении
Следовательно, из выражений (20) и (21) находим
00
\Jn (пе)] cos пМ.	(22)
Л=1
£ nJ„ (пе) sin пМ.	(23)
Л=1
В Дополнении (стр. 490) приводится несколько первых членов рядов, представляющих функции J„(ne) и (d/de)[Jn(ne)].
Указания, касающиеся числовых таблиц функций Бесселя, можно найти в «Указателе математических таблиц» Флетчера, Миллера и Розенхеда *).
) A. Fletcher, J. С. Р. Miller, L. Rosenhead, An Index of Mathematical Tables, 244—270, London, 1946. [Таблицы функций Бесселя см. также в книгах: Е. Янке и Ф. Э м д е. Таблицы функций с формулами и кривыми, Изд. 2-е, Гостехиздат. М. — Л., 1949; Б. И. Сегал, К. А. Семендяев, Пятизначные математические таблицы, Изд-во АН СССР, 1948. — Прим, ред.]
Глава 4
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ИЗВЕСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 4.01. Силовая функция
В этой главе мы займемся задачей нескольких тел (материальных точек), образующих в пространстве изолированную систему. Предположим, что имеется п таких тел: Pv Р2, .... Рп с массами mv т2, ... тп и координатами (?,. Q, ($2, т>2, у....(5„, ......Сл)
относительно инерциальной системы осей (системы Ньютона). Если Pt—тело с массой т{ и Д,у— расстояние между Pt и Pj в момент t, то потенциал в точке Pt будет выражаться формулой
или
Тогда уравнение движения тела Pt в проекции на ось $ будет иметь вид
т&= О mi S ‘ajy » У ¥ /	(1)
и, в частности, уравнение для тела запишется в виде т ё ____________л & (	,	। /и,тл \
+	••• +-Т7Т
Если 1^1 и / >/, то Д/у не содержит координат тела Рх. Поэтому предыдущее уравнение не изменится, если к его правой части прибавить следующее выражение:
л д (ШзШз । mtmt ,	। т2тп ,
।	/П3/П4	।	। /Пз/Пд ।
Д34 -Г • • • -I- д,я -г

Д»-1, п
5 У. Смарт
66
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
(2)
Пусть U определяется формулой
1=1 J 1
Здесь U — симметричная функция всех рассматриваемых материальных точек. Следует заметить, что двойное суммирование включает член, содержащий произведение масс т{/Ку только однажды.
Уравнение для координаты  массы ml теперь представится в виде
V	ди
Очевидно, что уравнение для координаты ; массы т{ будет
?	ди
т^1=-Ж'
тГч
а вся система уравнений движения мпссы запишется в виде dU ••	ди
т^=д^’
•л	dU
m£i— dCi ’
(3)
Функция U, определяемая формулой (2), называется силовой функцией.
Итак, имеется Зл уравнений движения, которые нужно решить, и поскольку каждое уравнение второго порядка, полное число произвольных постоянных, которые должны появиться в общем решении уравнений, равно 6л. Система уравнений (3) обладает только 10 известными первыми интегралами, которые будут получены в § 4.03— 4.06. В случае, когда л = 3, такая задача называется задачей трех тел.
Важное метрическое свойство силовой функции U состоит в том, что она не зависит от выбора системы координат, так как в нее входят только взаимные расстояния Д;у, определяемые формулой
А?/ = & - ?У)2+(ъ - ^)2+& - Су)2.
Например, если изменить начало координат или ввести новую систему осей, полученную путем произвольного поворота первоначальной системы, то Д;у не будет зависеть от новой системы, так же как оно не зависело от старой.
§ 4.02. Интерпретация U
Мы покажем, что U представляет собой полную работу сил притяжения в системе п материальных точек, необходимую для приведения системы из состояния, при котором все эти точки бесконечно
§ 4.02. Интерпретация U
67
удалены друг от друга, к той конфигурации, которую образуют точки РДВр ти< Q (/= 1, 2, 3......п) в момент t. Кроме того, мы введем
определение потенциальной энергии системы, согласно которому она равна —U.
Предположим, что масса тх закреплена в точке Рх и что масса т2 под действием силы притяжения к т} переходит из положения А в положение В, причем все остальные массы находятся на бесконечном расстоянии. Пусть X, Y, Z — составляющие силы, действующей на материальную точку /и2> координаты которой для простоты обозначим через (£, »], С); если U2— силовая функция, связанная с массами и т2, то
Х = ^, К = Z = ^2-,	(1)
й	ду	сЧ	' '
где
(2) ‘	Д|2
Работа, проделанная при движении т2 из положения А в положение В под действием притяжения массы mv равна
в
f (Xd^+Ydr^Zd^.)
А или, согласно формулам (1), в С (А' । dUг j । dUz ,Д
А
Так как (/2— функция от !•, гр С (координаты т} являются фиксированными), то проделанная работа будет равна (U2)B— (U2)A. Если точка А бесконечно удалена от точки Рх, то, согласно формуле (2), ((/2)д = 0. Следовательно, если под В понимать точку Р2. то работа, проделанная при движении т2 из бесконечности до Р2 под действием притяжения массы mv равна U2, где U2 дается формулой (2).
Рассмотрим теперь работу, которую производят силы притяжения массы т3 к массам тх и т2 (теперь предполагается, что обе эти массы находятся в фиксированных положениях) при перемещении т3 из бесконечности в точку Р3. Составляющая силы притяжения по оси 5 (? теперь обозначает координату 5 точки Р3) равна
xj О ( ТП{Ш% । ffZjmjX
и, повторяя предыдущие рассуждения, для проделанной работы, очевидно, получаем следующее выражение:
п ( пцтз , т2т3 \	_
Д18’+ Д23 )•	W
5*
68
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
Следовательно, полная работа, проделанная совместно массами /и2 и /п3 при их перемещении относительно mv равна
t/2 +выражение (3)
или, обозначая эту сумму через Uz, имеем
/П|ГЯ3 Ли
тгт3 Дгз
Таким образом, П3 есть силовая функция первых трех тел.
Продолжая эти рассуждения, мы, очевидно, придем к тому, что полная работа, проделанная совместно п телами при перемещении их из бесконечности в те положения, которые они занимают в дан* ный момент t, равна U, где
1=1 J ’
Потенциальная энергия системы определяется как работа, которую необходимо затратить, чтобы перевести эту систему из того положения, которое она занимает в данный момент, в положение, когда взаимные расстояния между массами, ее составляющими, будут бесконечными. Таким образом, потенциальная энергия системы равна — U.
§ 4.03. Интегралы движения центра масс системы
Для частного значения I имеем
Далее,
<=°“4fe+^+•+£)=
=	-^72"д~
>1

Поэтому

(1)

£ 4.03. Интегралы движения центра масс системы
69
Аналогично

ДЬ
(2)
Из уравнений (1) путем суммирования по всем значениям I от 1 до п получаем
2 S т1т^ ~ Е*) 1	i=i /=1
ДЬ
где j Ф1. Двойная сумма в правой части равна нулю. Действительно, два члена, например, соответствующие i = 2, j = 3> и / = 3, J = 2, равны
Д23	*23
и их суммирование даст нуль. А поскольку это справедливо для всех других пар индексов I и J, то
1
(3)
При помощи уравнений (3) § 4.01 последнее равенство приводится к виду
(4) 1
Аналогично
2/^ = 0 и 2отЛ/ = 0-1 1
Эти уравнения могут быть немедленно проинтегрированы, что даст
^т^1 = а.х, 2}«Лв₽1.	=	(б)
и затем
2 «& = «!# +(Xjj,	(6)
SotA< = 7i#+T2’
где вр Tfj и а2, р2’ 7г — постоянные.
Уравнения (5) показывают, что сумма проекций количеств движения тел системы на любое направление есть реличина постоянная.
70
Глава J. Основное уравнения движения и их интегралы
Пусть точка (Л", Y, Z) означает центр масс системы п тел и пусть Л
М равно Тогда 1
МХ = ^т^.	(7)
1
Аналогичные два уравнения запишутся для Y и Z. Согласно формулам (5), имеем следующие равенства:
МХ = а.и MY = MZ = ii, которые показывают, что центр масс системы имеет постоянную скорость. Кроме того, на основании формул (6) и (7) имеем
Л1Л' = а1/ + а2.	=	MZ =	(8)
А эти равенства показывают, что центр масс системы движется по прямой.
Число постоянных интегрирования в формулах (6) и (8) равно шести.
Очевидно, что система осей с началом в центре масс является по своему характеру системой Ньютона. Если xt, у£, zt— координаты тела Pt относительно этой системы осей, то мы будем иметь dU
и аналогичные уравнения для у и z.
§ 4.04. Интегралы площадей
Из уравнений (1) и (2) § 4.03 получаем dU dU Л т.
ъ -т— ъ -гг=°mi 2i -w-	с/ * о-
Отсюда с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые использовались при выводе уравнения (3) § 4.03, мы получили следующее равенство:
V (< <>U	dU\	Л
V* д-ry	dii)	’
которое вследствие уравнений (3) § 4.01 принимает вид
§ 4.05. Другие доказательства результатов § 4.03 и 4.04
71
Интегрируя последнее равенство, получаем
—М<) = ₽з-	(1)
Аналогично
—=	(2)
1
i /»z (Cz'?z—С&) — с2.	(3)
В этих уравнениях сР с2 и с3 — постоянные. Формулы (1) — (3) иногда называют интегралами площадей. Их полная интерпретация заключается в том, что сумма моментов количества движения п масс относительно каждой оси координат есть величина постоянная.
§ 4.05. Другие доказательства результатов § 4.03 и 4.04
1. Предположим, что начало координат смещено в точку (а, р, 7) и что новые оси координат параллельны старым. Пусть xt, yt, zt— координаты тела Pt относительно новых осей. Тогда
= +	^ = */ + 7	(1)
и U (5, ц, С) преобразуется в функцию U1(x, у, z; а, р, 7). Поэтому, используя уравнения (1), получаем
dUx _ V» дЦ_ д^__^ dU
И дЪ ’ да ~	™
i	i
Далее,
Л?/ = S & - ?/)I 2 * * 5 = S (*/ -Ет<;	xyz
и, следовательно, Ux не содержит а, р или 7; поэтому dUl/da = Q, так что равенство (2) принимает вид
I
Отсюда и следуют интегралы (8) § 4.03.
2. Предположим, что оси 5 и т) повернуты в их плоскости на
некоторый положительный угол 9 и что координаты тела Р{ относительно этих новых осей суть xt, yt, zt. Тогда, опуская на время индексы, запишем
5 = xcos0 — у sin 9, у — х sin 9 у cos 9, С = д, (3)
TL
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
откуда йб	<h)	»
йв “	’’’ йв —
При помощи формулы (3) (/(;, т), С) преобразуется в функцию U2(x, у, г, 6) и на основании формулы (4) будем иметь
й^ й^ ^L\_	du\
Й0	йв "f й^ ЙО/ —	й5, dry)' (0)
Но, как и в п. (1), Д?;= У (х{ — х,)1 2, так что U2 не содержит 0. лг, у, Z
Поэтому й6/2/й0 = О, и формула (5) принимает вид
= 0 илн 2т<(?Л—W=°.
откуда, интегрируя, получаем
S'»/ (Mz~ Mi) = ^3>
что совпадает с равенством (1) § 4.04. Интегралы площадей (2) и (3) § 4.04 получаются аналогично.
§ 4.06. Интеграл энергии U является функцией только координат $г, tjz, С; (Z=l, 2.n).
Кроме того, U не зависит явно от времени. Поэтому л	п
dU V (dU ; । dU • . dU ? \ V л >  " ’ । г г \
нт=+ -д^ Ч+йсгЧ=1	+w=
1 1
о)
1
Кинетическая энергия Т системы п тел запишется так: л
1
Таким образом, формула (1) принимает вид
dU _ dT dt ~ dt '
откуда T—U = C,	(3)
где С — постоянная.
$ 4.07. Формула (tP/dP^mttf - 2U + 4C - 2T + 2C 73
Поскольку на основании § 4.02 —U есть потенциальная энергия системы, формула (3) выражает собой постоянство полной энергии системы.
Формула (3) дает последний, десятый из известных интегралов в общей задаче п тел.
Следует заметить, что в небесной механике метод решения, который был использован при выводе известных интегралов, не дает возможности получить многого. Поэтому решение отыскивается методом последовательных приближений, который оказывается практически удобным методом либо вследствие геометрических обстоятельств, таких, например, как в теории Луны (где отношение геоцентрического расстояния Луны к ее расстоянию до Солнца мало), либо обстоятельств, имеющих место в теории планет, где используется незначительность масс планет по сравнению с массой Солнца.
§ 4.07. Формула (tfVd/2) j]m//?? = 2t/+4C==27’-|-2C
В этой формуле /?; — расстояние тела Pt от начала координат, которым может быть центр масс системы п тел.
Умножая уравнения (3) § 4.01 на £/( и (( и суммируя, получаем
+	= S(s, ^-+ч,
1 1
Однако U является однородной функцией координат порядка —1, и поэтому на основании теоремы Эйлера имеем
22^—"	(•>
щ 1
или
22*М+</=о.	(2)
Етд 1
Но
«=-^-(еЬ-е2=|^(е2)-12.	(3)
Поэтому соотношение (2) принимает вид
л	п
I	I
74
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
Согласно формуле (2) § 4.06, второй член левой части последнего соотношения равен —2Т. Кроме того,
$?+>!/ + = Ri
Следовательно, мы получаем
^2^-4Т+2£/ = 0,
или, используя равенство (3) § 4.06,
-g52m//?z = 2t/+4C = 2T+2C.	(4)
В этой формуле U и Т являются величинами положительными. Поэтому, если С положительно, или отрицательно, но при этом |С( < Т или |С| < i/zU, то правая часть равенства (4) будет положительной и, следовательно, (cP/dt^^m^ положительно. Поэтому (d/dt) будет увеличиваться неограниченно, откуда заключаем, что по крайней мере одно из Rt будет неограниченно возрастать. А это приведет к тому, что по меньшей мере одна из масс покинет систему. Для устойчивости системы в смысле отсутствия ее рассеивания необходимо, чтобы С было отрицательным и таким, чтобы выполнялось условие |С | > Т или |С| > */2С/. Это условие, однако, не является достаточным для устойчивости системы.
§ 4.08. Неизменная плоскость
Обратимся к интегралам площадей (см. § 4.04). Они имеют вид
З'И/ЗЛ —^) = £з-
Выражения, стоящие в левых частях этих равенств, являются направленными величинами, представляющими собой проекции полного момента количества движения системы на оси 5, т) и С соответственно. Поэтому можно найти некоторую ось ОВ, которая совпадала бы с направлением полного момента количества движения А системы. Если /р /Пр — направляющие косинусы ОВ, то
/jA = Cp m.iA — c2, nlA = c3, откуда
— = m' = —	(2)
Cl c2 ct ’	4 }
Если центр масс системы находится в начале координат О, то плоскость, проходящая через О, направляющие косинусы нормали которой удовлетворяют равенствам (2), называется неизменной пло
§ 4.08. Неизменная плоскость
75
скостью системы. Неизменная плоскость может быть определена, если q с2, с3 известны, для чего, согласно формулам (1), требуется, чтобы были известны массы всех п тел, а также их координаты и составляющие скоростей для некоторого момента t. Исходя из наших современных знаний о солнечной системе, полученных при помощи методов, которые будут описаны в последующих главах, постоянные ср с2, с3 могут быть получены с большой точностью. Следовательно, положение неизменной плоскости может быть определено относительно обычной основной плоскости. Можно сказать с почти полной уверенностью, что любое уточнение значений ср с2, сз в соотношении (2) в будущем явится только результатом определения более точных значений масс планет.
Если мы выберем новые оси, проходящие через центр масс, так, чтобы нормаль к неизменной плоскости являлась осью Z, а оси X и Y были взяты в этой плоскости, то мы получим равенства того же типа, что и равенства (1). Но теперь с3 будет равно полному моменту количества движения системы, а с1 = с2 = 0. Преимущество такого выбора осей состоит, конечно, в том, что две постоянные интегрирования равны нулю, а это ведет к упрощению аналитических выражений в общей математической теории. Использование неизменной плоскости в качестве основной координатной плоскости пропагандировалось Лапласом, но эта идея не получила большого распространения в практических приложениях.
Постоянство момента количества движения относительно нормали к неизменной плоскости предполагает определенные оговорки. Солнце и планеты являются не материальными точками, а сферическими (или почти сферическими) телами, каждое из которых вращается вокруг некоторой оси, и это вращение должно изменять момент количества движения системы. Если бы эти тела являлись твердыми сферами, плотность каждой из которых была бы функцией лишь расстояния от центра сферы, то момент количества движения системы оставался бы постоянным и неизменную плоскость можно было бы определить и она была бы действительно неизменной. Эти условия не выполняются строго для большинства планет и выполняются только приближенно для Солнца. Кроме того, даже вращательный момент количества движения некоторых планет (например, Земли) подвергается прогрессивным изменениям вследствие прецессии и приливного трения. Например, вследствие прецессии ось Земли изменяет свое положение относительно основной плоскости, и, следовательно, составляющие ее момента количества движения относительно осей координат непрерывно изменяются. Что же касается приливного трения, то оно постепенно замедляет вращение Земли, хотя и с очень незначительной скоростью.
Подсчитано, что полный момент количества движения солнечной системы на 98% обусловлен орбитальными движениями четырех
76
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
больших планет: Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна. Следовательно, изменения, о которых мы только что упоминали, составляют почти неощутимую часть от полного момента количества движения системы. Неизменная плоскость, таким образом, практически является фиксированной плоскостью по отношению к центру масс системы.
§ 4.09. Системы координат, используемые в теории Луиы и при изучении движений звезд
В качестве примера выбора системы координат в конкретном случае мы выведем уравнения движения в задачах о движении Луны или звезд. Эти уравнения составят основу для дальнейших исследований. В теории Луны мы главным образом имеем дело только
Рис. 11.
с тремя телами: с Землей (масса mJ, Луной (масса mJ и сравнительно далеким Солнцем, с массой т3, значительно превосходящей ш1 и т2. В задаче о движении звезд мы имеем дело с аналогичной конфигурацией, состоящей из двух тесных звезд и сравнительно удаленной третьей звездой, причем массы всех трех тел имеют один и тот же порядок.
На рис. И изображены три тела Е, М и S с координатами (?р ’ll, CJ, (?2> Q и *1з> Q относительно обычной инерциальной системы координат. Силовая функция U выражается формулой
где r = EM, к —MS и Aj = ES.
Пусть х, у, z — координаты тела М по отношению к системе координат с началом в Е, а хг ур — координаты тела S относительно осей, начало которых находится в точке С — центре масс тел Е и М. Кроме того, пусть X, У, Z — координаты точки С относительно инерциальных осей. Тогда
mi?i4-m862 mj-f-m»
(2)
£ 4.09. Системы координат, используемые в теории Луны
77
Мы имеем
Х ~ ^2	?!	(3)
х1 = $з-Х = 53—”*!-+?& .	(4)
Отсюда при помощи формулы (3) получаем
(5) Кроме того,
f.-S.-S.-S.-fe-SO-*.—5^5-	св)
В дальнейшем достаточно будет ограничиться рассмотрением уравнений движения в направлении, параллельном оси Эти уравнения имеют вид
у _ 1 dU v _	1	QU v _	1	dU	...
**	/П| d5t	’	'2	mt ’	3	m,	'
Из этих уравнений мы выведем соответствующие уравнения для х и хР Из формул (3) и (7) немедленно получаем уравнение
i =	(8)
тг dg2 mt о?!	' '
а из формул (5) и (7) — уравнение
“ .= 1 ________1 ди т?х
** «з йз mi	’
которое, с учетом формулы (8), принимает вид
••___1 d[7	1	pt; i dU\
*l	m3 di,	/П|-[-т2 \ d£,	d5, )’
Однако, согласно равенству (3) § 4.03, при п = 3 имеем
dU , dU , dU _ 0
W"*" “Г <Э5,
Поэтому
z ___«i + OT»4~OT»
1	тз(»1|-|-/и2) д?з ’	' '
Далее, из формул (5) и (6) следует:
Г2 = Х2_|_у2_|_<г.2>
^ = ^(5, —	+ S.-i-rn, ) •
78
Глава 4. Основные уравнения движения и их интегралы
Следовательно, функция U выражена через х и xv у и ур z и zv Используя формулы (3) и (4), получаем.
дЦ __ дЦ дх
дх . dU dxj___________ дЦ_________mi dU
дх\ о?! дх mi + m2 dxt '
Аналогично
dU _ dU т2 dU dU _ dU di2 дх mt-j-m2 dxt ’ dt3 dxt
На основании этих равенств уравнения (8) и (9) принимают вид
Положим
~	 mi + dU mim2 дх ’ “ 	 mi + mt + m3 dU	(Ю) (\ n
' 1	m3(mi-\-m2) дх{	U1)
p. = O(m1H-m2)-	(12)
Тогда, подставляя в уравнение (10) выражение для U из формулы (1), получаем
” t Р-х _dR
I” г3 ~ дх'
где R — возмущающая функция для Луны, определяемая формулой
n _ Gm, (mt + т2) ( т2  mt \ т{т2 \ А "т- А|
(13)
Поскольку г не зависит от хр ур zlt то уравнение движения Солнца для оси х на основании уравнения (11) имеет вид
" _ G(mi4-m2 + m3) Л Т 1  1 	I	———
1	|—т2
д f т2 , mi\ dxt \ А “* А, )’
Удобно использовать функцию F, определяемую формулой
т2 । от, А А,
и заменить mv т2 и /и3 соответственно на Е, М и S. Тогда получим
'’ = -г+£	(И)
£ 4.09. Системы координат, используемые в теории Луны
79
и уравнения движения Луны и Солнца принимают вид
Z , |ХХ _ _ GS(£-f-Af) дР 1 г»	ЕМ	дх ‘ £ _ G(£ + Af + S) дР 1	£4-Af	dxt ’	(15) (16)
Эти уравнения являются основными уравнениями в теории Луны, и, как мы покажем в § 7.03, их преимущество заключается в том, что с высокой степенью точности движение Солнца относительно С (рис. 11) можно рассматривать как эллиптическое и, следовательно, координаты Хр у,, zv от которых зависит функция F, могут быть выражены при помощи формул гл. 3 через время посредством средней аномалии Солнца.
Глава 5
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА
§ 5.01	. Замена переменных
Уравнения движения планеты Р (масса /и) под действием центрального притяжения Солнца (масса т0) и притяжения планет Р2, •.. (массы /Пр т2, ...) были получены в § 1.07. Они имеют вид
г* дх ’	’ г3 ду ’	'г3 дх *	' '
где p. = O(m0-j-w) = n2«3 и R — возмущающая функция. Мы будем предполагать, что в качестве основной плоскости взята плоскость эклиптики, а ось х направлена в точку у.
В этой главе мы изложим метод, предложенный Лагранжем и часто применяемый в теории движения планет. Этот метод основан на преобразовании уравнений (1) к виду, удобному для их окончательного решения.
Рассмотрим сначала решение уравнений невозмущенного движения планеты Р. Эти уравнения имеют вид
* + т£ = 0. у + ^- = 0, * + ^ = 0.	(2)
Решение уравнений (2) дается формулами (2) § 2.15 в виде функций эксцентрической аномалии Е и направляющих косинусов (lp mv п,) и (/2, т3, п2), которые выражаются через элементы 2, ш, I формулами (3) и (4) § 2.15. В частности,
х = а1г cos E-j-d/2sinE— aelv	(3)
а аналогичные формулы для у и г содержат mv т2 и ир п2 соответственно.
Формулы (9) и (13) § 3.11 показывают, что cosE и sinE можно представить в виде оо cos Е = —	G^cossAf,
i=i
sin Е = У Ds sin sM, i=l
§ 5.01. Замена переменных
81
где М—средняя аномалия и Cs и Ds зависят от функций Бесселя, содержащих эксцентриситет е.
Если подставить эти выражения в формулу (3), то можно легко увидеть, что разложение для х имеет вид
^ = ^+SScos(/lM + /2 + A«>),
где А и В — некоторые функции а, е, I, a Zp J, k — положительные или отрицательные целые числа, включая и нуль. Для у и г имеют место аналогичные формулы. Пока мы не будем вникать в подробности этих разложений, поскольку нам важно сейчас только то, что х, у, z даются в виде известных функций времени и шести элементов орбиты, причем время t входит посредством средней аномалии М. Нужно заметить, что в ближайших параграфах этой главы для удобства при аналитических выкладках мы будем иметь дело не с элементами t или е, а с элементом /, который входит в уравнение Кеплера следующим образом:
Е — es\nE = nt-{-y.	(4)
Кроме того, удобно обозначить элементы а, е, / через я,- (Z — 1, 2, 3). а элементы 2, о>, Z — через pz (Z = 1, 2, 3).
Тогда решение уравнений (2) может быть представлено следующим образом:
x = Fj(Z, яр pz), у = F2(Z, az, 0Z), z = F3(t, aif 0Z),	(5)
где Fp F2, F3— известные функции времен и элементов.
Аналогичным образом составляющие скорости (dxfdt, dy/dt, dzjdt) планеты Р в невозмущенном движении можно представить в виде
#=а.Ра. 4г=о2 а. ₽/).	=о3 а, ₽z), (6)
где d/dt означает дифференцирование по времени, причем, конечно, аир рассматриваются как постоянные. Так как
(1—е cos Е) Ё== —Ё — п,	(7)
то, например, для функции Oz найдем, согласно формуле (3), следующее выражение:
О1 =— -^-(a/jSinF — W2cosE),	(8)
которое может рассматриваться как известная функция t и шести элементов того же вида, что и разложение, найденное ранее для х.
Для решения уравнений (1) мы возьмем в качестве новых переменных шесть элементов az и pz так, чтобы х, у и z опять определялись формулами x = Fy{t, at, pz) и т. д. Из этих трех соот-
р У. Смарт
82
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
ношений любые три элемента ар р, могут быть выражены через х, у и г. Для того чтобы полностью определить остающиеся элементы, мы потребуем, чтобы выполнялись три дополнительных соотношения. Выберем их таким образом:
^=^ = 0,
Здесь d)dt означает дифференцирование по времени при условии, что новые переменные а/( р; рассматриваются как функции времени. Этот метод обычно называют методом вариации произвольных постоянных.
Из первого соотношения (9) имеем
d2 х _ dGt	кт dG' da‘ _i_ V да' dh	лпз
dt2 ~~dt	2d да/ dt	dt ’
где суммирование производится по I от 1 до 3.
Однако из равенств (6), заменяя х на dxfdt, имеем
д2х dGt дх   dGt ~dtr~~ dt ' да/ ~ да/
и
дх __dG\
д?Г
Следовательно, уравнение (10) принимает вид
d2x д2х . V дх • . V дх х
Поскольку функция х = F/ (t, &/, РД где аир — постоянные, удовлетворяет первому из уравнений (2), то мы можем переписать его следующим образом:
$ + 7^ = 0.	(12)
и уравнение (11) тогда примет вид
d2x . рх	Vi дх • । VI дх х
dt2 "l" Г3	2d да/ " 2d
§ 5.02. Оскулирующий эллипс
83
Из уравнений (1) мы получаем
Sdx • . V дх q	дР
d&i ' а< т dfo • Р/	$х •
(13)
Кроме того, так как x = Fx (t, at, РД то
	dx _ dt	. dFt dt		
Но				
	dFt .	dx	dFt		dx dFi dx
	dt	dt	’ d*i	dat ’ d^i	d^i
и поскольку, согласно формуле (9), dxldt = dx[dt, мы получаем и®
(13) и (14) являются важными формулами, из которых, как мы увидим ниже, будут выведены уравнения, связывающие ар Oj, .... (З3 и производные возмущающей функции R.
§ 5.02. Оскулирующий эллипс
Пусть на рис. 12 Р означает положение планеты в момент t0. Если предположить, что в этот момент возмущающие планеты прекращают свое действие на тело Р, то его орбита будет эллипсом PQ с постоянными элементами а0, е0..../0. Координаты планеты Р
тогда будут выражаться x = F(t0, а0..10) и двумя аналогичными
Рис. 12.
функциями для у и z. Аналогично составляющие скорости в эллиптическом движении в момент /0 при использовании обозначений предыдущего параграфа определяются соотношением dx]dt='x = = Gx (t0, а0....Zo) и соответствующими выражениями для у и z.
Кроме того, если мы предположим, что х, у, z и х, у, z в момент t0 известны, то мы будем иметь необходимое число уравнений для определения шести элементов а0..... 10 эллипса.
Действительная орбита планеты, когда принято во внимание действие возмущающих планет, будет отличаться от эллипса. На рис. 12 показана часть действительной орбиты РР'. Поскольку в момент /0
6*
84
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
составляющие скорости в действительном движении те же самые, что и при эллиптическом движении (dx/dt-dx/dt и т. д.), то касательная к действительной орбите в точке Р будет совпадать с касательной к эллипсу в этой же точке. Эллипс PQ называется оскули-рующим эллипсом для момента /0, а постоянные а0, е0....10 —
оскулирующими элементами для момента t0. Плоскость оскули-рующего эллипса называется оскулирующей плоскостью для момента t0 и может быть использована в качестве основной плоскости вместо плоскости эклиптики.
Моменту tv следующему непосредственно за t0, будет соответствовать новый оскулирующий эллипс с элементами av .... связанными с новыми координатами и составляющими скорости планеты в ее действительном движении. То же самое мы будем иметь и для моментов t2, t3, .... Разности — а0..1г —10 называются
возмущениями элементов за время —10. Скорости изменения этих элементов в точности равны производным az, {3Z, о которых говорилось в предыдущем параграфе. Возмущения в координатах х, у, z определяются аналогично.
§ 5.03	. Использование оскулирующего эллипса для эфемеридных целей
Покажем, что для малых интервалов времени положение планеты на ее действительной орбите незначительно отличается от соответствующего положения на оскулирующем эллипсе. Это обстоятельство используется при вычислении эфемерид планет для малых интервалов времени.
Пусть на рис. 12 Р' (х, у, г) — истинное положение планеты в момент t и Q(x', у', г')— соответствующее положение на оскулирующем эллипсе. Будем отмечать значком нуль значение какой-либо величины в момент t0. Полагая Д/ = / —10, получаем
*'=<+М^),+1'М^Я,+ -и
*-*+Ч£).+т<")’(^-).+ ••• •
Тогда, поскольку в момент t0 xQ = x’o и (dx'jdt)0 = {dx'/dt)v приближенно имеем
,	1 йгх д2х' Д
х х — 2	\ dP ~~ дР )0’
или, учитывая равенства (1) и (12) § 5.01,
х-У = 4(Д»)>(«)в.	(1)
£ 5.03. Использование оскулирующего эллипса
85
Пусть а означает большую полуось эллиптической (оскулирующей) орбиты, соответствующей точке Р, выраженную в астрономических единицах, а Т — период в годах. Тогда, если пренебречь отношением /п//п0, получим
4я2а3	„
2^2	— GpIq,
где mQ — масса Солнца. Поэтому
Для удобства положим R = Ст^, где
откуда
Таким образом,
, __1__xxi + yyi + zzi .
1- Д	г?
dRx _ х{ — х_Х|
дх ~~ Д3 г? ’
(2)
(3)
х
В качестве примера рассмотрим орбиту Земли, возмущаемую наиболее массивной планетой — Юпитером. Тогда а = 1, /»,//»(, «10-3, 2я2«20. Предположим, что Д/ = 0,1 года. В таком случае Д//Т = 0,1 и формула (3) принимает вид
х-х'«2. 10~4№) .
\ дХ )о
Пренебрегая наклонностью орбиты Юпитера к эклиптике, мы можем выбрать эклиптические оси координат так, чтобы в момент tQ координаты Юпитера были (гр 0), а если к тому же пренебречь эксцентриситетом, то они будут — (ар 0). Выражение, стоящее в правой части равенства (2), имеет максимум в противостоянии, когда х « а « 1 и Д ~ я1— 1.
Далее « 5. Поэтому
(Mi \ _ _9_ \ дх )о ~ 400 • Следовательно,
х — х' « 4,5 • 10~6 а. е. « 670 км.
При сделанных предположениях, что у = z = 0 и у, = zx = 0, возмущения в координатах у и z равны нулю. Все возмущения, таким образом, падают на координату х. Только что полученное возмущение в х имеет порядок минуты, и для многих целей этой
86 Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
величиной можно пренебречь. Таким образом, для малых значений М оскулирующий эллипс будет давать достаточно точные значения координат Земли на любые моменты, близкие к t0.
Возмущения орбиты Земли, вызываемые другими планетами солнечной системы, много меньше, чем только что найденные возмущения от Юпитера. Это объясняется главным образом тем, что массы этих планет значительно меньше массы Юпитера.
§ 6.04. Уравнения для а{ и &
Обратимся к уравнениям (14) и (13) § 5.01, именно:
<»
и
где I принимает значения 1, 2 и 3.
Умножая уравнение (2) на дх/да.^ а (1) на дх/да^ и вычитая, мы будем иметь
дх дх \ •
dat ' йв] ) а<
дх   дх дх \ а   dR дх д^ d$i ' йа1 } дх ' дах
или, используя обозначения якобианов,
Sd (х, х) • । VI д (х, х) а  dR . дх д (eq, az) "т" 21 д (ар р/) дх " dat
(3)
Так же можно получить аналогичные уравнения, содержащие у и z. Складывая эти последние уравнения с уравнением (3) и полагая
г„	„ 1 = д । d(y, у) 1 /(**)
1 *’ д (а„ aft "г д (а„ at) т д (а„ а,) ’
(4)
получаем
з	з
V г 1 • I V г	о 1 a	дх . dR ду . dR дг
2d К. «/1 + 2d 1а1’ М ₽< — дх ’ ~dai + 'ду' ' ЛхГ + дг' ' ьа, • <* 5)
1=1	1=1
j5 5.04. Уравнения для ai и 0<
87
Выражения вида [ар а/], определяемые равенством (4), называются скобками Лагранжа относительно ар аР
Но R — функция координат х, у, z рассматриваемой планеты и координат хр ур zx возмущающих планет. Если выражения (5) § 5.01 для х, у, г, которые имеют вид x = Fx(t, a.t, pz), y = F2(t, а(, pz), z = F3(t, pz), и аналогичные выражения для хР уР zv и т. д. подставить в возмущающую функцию, то R станет функцией t, ait и соответствующих аир, связанных с орбитами возмущающих планет. Далее, элемент входит в R посредством х, у, г. Следовательно,
<М? дх . dR ду . dR dz   dR дх ' dat ду ’ da( dz ’ da(	da, ’
Уравнение (5) теперь примет вид
[ap a2102 + [ap a3]a34-
+ l«i. ₽il ₽> + [«и ₽2102+ I«p ₽з1 = -^ •	(6)
Мы будем иметь три уравнения вида (6). Запишем их следующим образом:
з
£{[«,. «/1₽л₽/}=-аг.	(7)
<=1 г
где г принимает значения 1, 2 и 3.
Аналогично мы можем получить уравнения, содержащие производные от R по всем р. Они имеют вид
з
»< + !₽,. ₽/]₽/}=!£•	(8)
Как мы покажем ниже, каждая скобка Лагранжа вообще является функцией лишь шести элементов. Таким образом, имеется три уравнения (7) и три уравнения (8), причем каждое из этих уравнений является линейным относительно ар а2, .... р3. Решая эти уравнения, мы выразим, например, at через производные R и различные скобки. Очевидно, выражения для а2, .... р3 имеют аналогичную структуру.
Точное алгебраическое выражение R известно. Ниже будет показано, каким образом функция R может быть разложена в ряд, члены которого зависят от az и рр а также от времени и элементов возмущающей планеты а и Но сейчас достаточно заметить, что для dRjda^ и т. д. могут быть найдены вполне определенные выражения. Для того чтобы закончить предварительное рассмотрение
88
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
равенств, которые дают otj и т. д., выразим скобки Лагранжа через аир.
Примечание. Из метода, при помощи которого был установлен общий вид шести уравнений для ар .... (З3, очевидно следует, что мы получили бы уравнения точно в той же форме, если бы величины ар а2, ..., рз рассматривались с самого начала как независимые функции одного или более эллиптических элементов.
§ 5.05. Свойства скобок Лагранжа
Обозначим через р и q два любых элемента из шести <хр или вообще две независимые функции этих элементов.
Тогда по определению
xyz
1) [/>. <71 = —fa. Pl-
Это свойство следует из свойства якобиана, именно д (х, х)___________________________д (х, х)
д (Р, q) ~ д (q, р) '
2) [р, Р1 = О.
Это свойство является очевидным в силу определения якобиана.
з> -£|/>.Я-о.
Это равенство в сжатой форме выражает следующее: если х, у, z и х, у, z выразить через t и элементы a, р посредством равенств x — Fx(t, а/( pz)...... z — Qz(t, pz) (или через t и
шесть функций р, q от элементов) и выполнить соответствующее дифференцирование, то [р, </] не будет зависеть от времени.
При доказательстве мы будем исходить из трех уравнений типа (12) § 5.01, именно
д*х , р-х _ п
-1- гз —и-
Пусть V — р/r. Тогда эти три уравнения примут вид
д2х _ dV	d’y _	dV	дгг	_ dV
dt2 дх	'	dt2	ду '	dt2	~ дг '
Но
д [ д (х,	х)	1_ дх дх	дх	дх
dF |_ д (р,	4)	J др	' dq	dq	* др ’
£ 5.06. Формулы для вычисления скобок Лагранжа
89
где
d*x х — dt1 ’
На основании первого уравнения (1) предпоследнее равенство запишется в виде
д г d (х, х) j  дх <9 /дУ\ г) f \ dt [ d (р, q) .]	dp ’ dq\dx )	dq dp \dx )
____d / dV dx \ _ d / dV dx \ dq \dx ' dp )	dp \dx ‘ dq )"
Поэтому
d ,	.__<9	у 0У	dx______0	у
dt IP* 91	dq dx	dp	dp dx dq '
xyz	xyz
Ho
У dV	dx = dV
Z>A dx	'	dp	dp	’
xyz у dV	dx __ dV
Z dx'	dq	dq	'
xyz
Следовательно, мы имеем
91 = 0,	(2)
что и требовалось доказать.
Значение этого свойства может быть кратко проиллюстрировано теперь же. С широким же применением его мы встретимся ниже. Для того чтобы вычислить скобки Лагранжа [р, q\, мы должны найти производные дх/др, дх/др, ду]др, ду/др, dz/dp, дг/др и соответствующие производные по q. После дифференцирования мы можем, согласно свойству (3), придать t любое желаемое значение. На практике находят наиболее удобным полагать t — x, где т — момент прохождения через перигелий, так как при этом эксцентрическая аномалия Е, которая входит в выражения для х...............
х, .... согласно формулам (3) и (8) § 5.01, равна нулю.
§ 5.06	. Различные формулы, необходимые для вычисления скобок Лагранжа
1) Выражение скобок Лагранжа через ?, т).
Пусть х, у, z — координаты планеты относительно осей координат X, Y, Z (рис. 13) с началом в точке О, означающей Солнце. Положение плоскости оскулирующего эллипса и направление на перигелий относительно этих осей определяется с помощью обычных элементов 2, ш и I.
90 Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Возьмем оси прямоугольной системы координат О А, ОВ в плоскости эллипса так, чтобы точка А совпадала с перигелием, и обозначим через С полюс большого круга NAB. Обозначим далее через Е. т] координаты планеты относительно ОА и ОВ.
Пусть, как и в § 2.15, (/,, /и,, nJ, (l2, m2, nJ и (Z3, /и3, nJ означают соответственно направляющие косинусы прямых ОА, ОВ и ОС по отношению к осям ОХ, ОУ и OZ. Тогда
* = ^ + *21'Ь У = т^ + т2г), z = nj + n2ri, (1) откуда, так как x = dxjdt и т. д., находим
+ i =	i = nj-^-n2ii. (2)
При помощи формул (1) и (2) скобки Лагранжа могут быть выражены через Е. т), Е. т; и lv 12, .... п2. Получение формальных выражений скобок через эти величины мы отложим на будущее.
2)	Выражения направляющих косинусов через 2, ш, I. Мы имеем
lx = cos АХ, l2 = cos ВХ, l3 = cos СХ,
тх = cos AY, т2 — cos BY, m3 = cos CY,
nx = cos AZ, n2 = cos BZ, n3 — cos CZ.
Мы уже нашли выражения для lv тх........п2 [см. формулы (3)
и (4) § 2.15]. Ниже они приведены под номерами (3) и (4). Выражения для 13, т3 и п2 легко находятся из треугольников CXN,
§ 5.06. Формулы для вычисления скобок Лагранжа	91
CYN, CZN и приводятся ниже под номером (5). Полная сводка этих формул такова:
Zj = cos 2 cos o> — sin 2 sin to cos Z, /и j = sin 2 cos <i> cos 2 sin ш cos Z,	(3)
= sinto sin Z; Z2 = — cos 2 sin ш — sin 2 cos <d cos Z, m2 = — sin 2 sin и + cos 2 cos to cos Z,	(4)
л2== cos <i)sinZ; Z3 = sin2sinZ, m3 =— cos 2 sin Z, n3 = cos Z,	(5)
3)	Производные от направляющих косинусов.
Найдем производные от Zp Z2, .... п2 по 2, ш, I. Например, 4U = — sin 2 cos <о — cos 2 sin to cos I = — m,.
OU	1
Аналогично мы получим остальные производные. Соберем эти формулы в виде следующей таблицы:
Производные от направляющих косинусов по Й, ш, I
	m,	«I	l.		л2
— mi li l3 Sin ш	Л m3 m3 sin ш	0 n2 n3 sin ш	— m2 -h l3 COS ш	Z2 — m, m3 cos <»	0 — Hi n3 COS Ш
4)	Формулы для dl^dp и т. д.
Для последующей работы нам потребуются производные от 12, т2, л2 по р, где р — в общем случае любая функция шести элементов, но, в частности, может быть просто элементом.
Так как 12 является функцией лишь 2, w, I, то
dl2__dl2	dQ . dl2	da	. dl2	dl
dp	dQ	dp т da>	dp dl	dp ’
Используя данные таблицы пункта (3), мы можем эту формулу переписать так:
dl2	. dur . . di	,о.
d7 = -/n2dF-/id7+/3C0Sw^‘	(в)
92
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Аналогично
dm2 . <92  др	2 др
дв> I	di
dF+/"3C0S0)dF’
дп2 __
др ~
да> .	di
«1 ^ + «3COS«)^.
(7)
(8)
5)	Формула для	.
1тп
Так как
1хт2 — l2ml^=ti3 = cos I и
/2+/к2Н-л2= 1. /1/3Н-/и1т3Н-л1л3 = 0,
то из формул (6) — (8) имеем
. dl2 . dm2 , dn2	. dQ da>
===_C0sZ‘5F“‘¥-	(9)
6)	Формула для дд(^ . Imn
Продифференцируем соотношение (9) no q, где q в общем случае является функцией элементов. Тогда
\^(dlx dl2 . , дг1г\	. d2Q . . .<92 di d3a> ,1Л.
+4\dq dp 1 idpdq)	dpdq 1 dp dq dpdq ' '
Заменяя в формуле (9) p на q, будем иметь , dl2 . dm2 . dn2	, dQ	da>
h “3^ +	-3-1 + Wi = — cos / -3-----3— .
1 dq 1	1 dq 1 1 dq	dq dq
Продифференцируем последнее равенство по р. Тогда Sp/, <9/г . , дЧ* —
\ dp dq ' 1 dp dq I , <9’2 . , , <92 di <9*«> — C0S/dpdq +sln/ dq ’ dp dpdq'
Вычитая равенство (10) из равенства (11), получаем
У <?(/„/,)_ sinZ^(2.0	,]2ч
W?)- Sin/W?)'	(12)
1тп
§ 5.07. Вычисление [$п PJ
Пусть рг, —два любых элемента из 2, <о, I. Так как £ и •»), ?] не содержат этих элементов, то 2 будет означать суммирование
§ 5.08. Вычисление [а, (3]
93
по I, т и п:
_ V Г/'t д1' Л-t, д1>
~д?г)\<дъ
Sr/- dli । _ dlt \ li dli
LV <*?,	<>3r
। •
1-’,-357: I * ^2
Ho bl— bl = A, где A— постоянная интеграла площадей, определяемая формулами (5) или (6) § 2.04. Поэтому, используя равенство (12) § 5.06, мы получаем
|₽r.₽,| = -«sln<^t.	(1)
Если рг = ш и ps = 2 или I, то из формулы (1) найдем
[<о, 2] = [о>, Z] = 0.
Если рг = 2 и p4 = Z, то d(2, l)/d(Q, Z)=l. Поэтому па основании формулы (1) получаем
[2, Z] = — A sin Z.
Сводка результатов. Значения скобок типа [р,, р^] таковы: [2, Z] = —AsinZ, [о>, 2] = 0, [<d,Z] = O.	(2)
§ 5.08. Вычисление [я, Р1
Здесь а — любой из элементов а, е, у; р—любой из элементов 2, ш, Z; И и i|, >} — функции а, a lv l2....п2 — функции р.
Следовательно, мы имеем
Но Z2	т2 -|- n2 = 1. Поэтому
0.
Аналогично
Кроме того, так как Z1Z2 + /n1/n2 + w1n2 = 0, то
Лк' / dli _______ j dli
4 <?₽“— Zr2 ’Эр"'
94
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Таким образом, формула (1) принимает вид
Но из равенства (9) § 5.06 имеем
S, dlt	, дй д<а
/i^r = -cosZ-dT-W
Кроме того,
Л = Ь) — Ь) = [р-а (1 — е2)]7*.
Поэтому г 01	(	. дй . д<а \ dh
[a, p] = -(cosZ-5r + -5F)-^-.
Если а = /, то <ЭЛ/<Эх = О; следовательно, [X, 2] = [Z, <о] = [х. Л = 0.
Если ]3 = Л то [а, /] = 0; следовательно, [а, /) = [е, Л = (х, Z] = 0.
Если р •= 2, то [а, 2] = — cos I (dh/da\, следовательно, так как |1 = п2а3, имеем
[а, 2]== — -|-ла У 1 — е2 cos I, [е, 2] =	cos I.
1	/1 —е2
Если р = <1>, то [а, <о] = — dti/da.. Поэтому
[а, «] = — 1-па /1 — А [е, ш]= z	у 1 — е*
Таким образом, вычисление всех скобок вида [а, ]3] закончено. Сводка результатов.
[а, /] = [е, /] = 1х, 2] = (х. ®] = [Х. /] = 0,
[а, 2] = — ^яа]Л1—e2cos/, [а. ш] = — ^ла]Л1 — е2,	(3)
.	паге .	.	. паге
Ге, 21 = г_____cos I, [е, ю] = г----- .
1,2	р'1 — в2	У1 —е2
§ 5.09. Вычисление [ar, а3]
95
§ 5.09	. Вычисление [аг,
Поскольку направляющие косинусы не содержат а, то
или
dQ), Ь д(аг> as) '
[аг, а5] =
(О
<* (“г. М
Воспользуемся теперь свойством (d/dt) [а,, aj = 0. Скобки Лагранжа постоянны при всех значениях t и, в частности, при таких значениях t, при которых n(f— т) мало. Тогда Е будет также малым и мы можем написать уравнение Кеплера следующим образом:
Е—е^Е— -^Е3-]- ...) = «(£ — т).
Отсюда с точностью до членов третьего порядка относительно n(t— т) находим
причем значение А нас не интересует.
Следовательно, мы имеем
cos Е = 1 — 2	е)3 (t — -с)2, sin Е = " ~gT) + В (/ — t)3
и поэтому
g = a(1 -g) -7(gе)2 (/-т)2+ ....	(2)
-fl?62 (/_т) + С(/-т)з	(3)
и
* =	(4)
• па 1^1 — ег , с,.
7)= -----------|-Е(/ —т)2,	(5)
где значения В, С, D и Е для нас не представляют интереса.
96
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Мы сначала примем, что я суть а, е и т. Обозначим через (дуда) значение дуда при t — т = 0. Из формул (2) и (4) имеем (£)--<• (>)=-» (>)=» и
l^-Wo
’ \<M (1 — *)’
Поэтому интересующие нас якобианы, вычисленные при / = т, равны д (5. I) _ 0 д (=, £) _ _ агпг
д(а, е) и’ д(е, г) (1-е)’’	_
. (°)
д (6, *)	_ апг
д (т, а) 1 — е '
Кроме того, из формул (3) и (5) находим и
W \ _ И —е’ д(па) / <hj\ _ па	/ W _ 0
\да/	1— е	да ’ \де) (1— е)/1 — <?’’ (<М
Поэтому якобианы, вычисленные при t — t, равны
д(ч. i) _ 0 dfrl. q) _ а’»’ д (а, е) ' д (е, т) (1 — е)’ ’
д О1). i) ап’ (1 + е) д(г,а)— 2(1—е) ’
Из формул (1), (6) и (7) имеем
[а, е] = 0, [е, т] = 0	(8)
и
[х> й1 = -4-^ = -|в«2-	О)
Легко видеть, что если 5. '*],£,'»] в формуле (1) выражены через а, е и х вместо а, е и т, где х = — пт, то
[а, е] = 0, [е, /1 = 0, [а, /] = — ^па. (10)
§ 5.10. Уравнения движения планет
1) Итак, мы вычислили все скобки Лагранжа. Понимая под at, а2, а3 соответственно а, е, / и под р2- ?з соответственно 2, <о, I, найдем, что если значения скобок, вычисленных в § 5.07—5.09, под-
§ S 10. Уравнения движения планет
97
ставить в уравнения (7) и (8) § 5.04, то эти уравнения примут вид
— у па/ч — у па У 1 — е2 (cos i • 2 fii>) па2е
(cos/ - 2н-ш)
1
-^naa
_ dR да ’
de
— ™ д/. ’
/ • 2ae -\ dR I a--------г • e ) = —,
do>
_ dR di
па У 1 — е2 cos / [а -
1 — па
2
2ae 1—e2
1-ёг'е) па* У1 — e2sini • 2
Отсюда получаем
•	_2_dR
na d'i *
ё == -L- Г(1 — e2) — — /T^l2 na2e P d^ r du>
	1—e2 dR 2 dfl
* na2e de	na da '
Q —_________ 1	,
_____na2 Y1 — e2 sin i di
• Jrl — e2 dR ctgi dR
<o =--------------------------- —---------,
na2e de na2 yl — e2 di
di	1	/ , , dR	, dR
dt na2 VI — еЦ du	dQ
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Эти уравнения и являются уравнениями движения планет в переменных а, е, х> 2. <°> /•
2) В теории планет обычно заменяют элементы ш и х на ш и г. Если R' означает возмущающую функцию, когда она выражена через а, е, I, 2, ш, е, то мы тождественно имеем
/?(а, е, I, 2, о»,	(а, е, I, 2, <о, е),
где в правой части ш и е соответственно равны
<й = (о-|-2 и е = о»2х-Тогда
d/? _		. dR'	dZ	, dR1	dt	_ d^'	. dR'	, dR'
dQ	dQ	do)	dQ	1 de	dii	do.	d<a	*" de ’
dR	dR'	do> ,	dR'	de		1		
дш	дш	дш	dt	да> де> dt
dR ___ dR’	de ___ dR'
dx	de	dx	de
7 У- Смарт
98
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Если эти выражения для	dRfdos, dRIdy подставить в правые
части уравнений (1) ... (6) и если ш и / заменить на со— 2 и е — ш соответственно, то мы получим следующие уравнения (опуская штрих при R'y.
_	2 dR . tg 2 ?COS? dR , tg 2 ' dR
па da na2	де na2 cos ? di
_ ag^dR	dR ,
na2 дш na2 ds
1
“ na2 cos ? sin i di ’
1-
~ ct?» dR . ,g 2 ' dR na2 de na2 cos tp ui
tnl •
di_ __________1_____ dR g 2 ' / dR । dR
dt na2 cos <? sin I dti na2 cos ? \ d<o ds ,
(10)
(И)
(12)
в правых частях которых мы заменили е на sin?.
3) Бывает полезно вместо элементов е, со, I, 2 использовать другие величины.
Пусть
h — e sin со, Л = е cos<d.
p = sinZsin2, ^ = sinZcos2.
Здесь h w k имеют порядок e, a p и q — порядок Z.
Пусть /?! означает возмущающую функцию, выраженную через Л, k и р, q. Тогда
dR , - dR, .	~ dRt dR . dRt . dRt
de	dh	dk du> dh dk
и
dR _	„ <>Z?i ) dR _ dRt „ dRt
di •( dp " dq )'	dp ? dq ‘
где 7 = tg I.
§ 5.11. Метод Кемпбелла вычисления скобок Лагранжа
99
Уравнения (9) и (11) тогда заменяются следующими:
 cosyffl, , k^2l ( dRx , dR{\ h cos  (dR/дг) ла’ dk -/ла2 cos <? Г dp dq ) 2ла2 cos21 ? ’
cosyd/?,	/ttg2t („dRx . dR,\
na1 dh ina2 cos у у dp dq )
fecos?	dRt	...
„ ,	. 1 de ’
2ла’ cos’ -g у
где cos ср и cos Vs?- 7 и Ч/'/г1 нужно выразить через h, k и р, q Аналогично уравнения (10) и (12). преобразуются в такие:
• _ cost dRx	р cos I /. dR{ _____. dR{	. d/?t \	..
? ла’ cos у dq	02-	_	2 1 . \ dh dk de I *	*	’
T ’	2ла’ cos ? cos’ -g1
• cos/ dRi qcosi (, dRx . dRx , dRt \ ?=—-----------------------------^-\k-dh-h-5k+-dT b <16>
т 2ла’ cos <? cos’ -g I
В случае возмущений орбиты Земли, вызванных действием планет, I мало, так что, пренебрегая Z3, мы можем написать
р = I sin 2, ^ = Zcos2.
Когда рассматриваются только вековые члены, то, как было найдено, ряд выражаются следующими формулами:
Zsin2 = gt-\-ht2, I cosQ = gxt hxfi.
(17)
(18)
где g, h (не нужно смешивать с е sin a>), gx и hx — малые количества. Мы воспользуемся уравнениями (17) и (18) в гл. 20 при изучении прецессии.
§ 5.11.	Метод Кемпбелла вычисления
скобок Лагранжа1)
Положим V —- р/г и напишем уравнения невозмушенного движения
) См. A. Y. О. С a m р b е 11, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 57, 118 (1897).
7*
(1)
100 Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
где x = d2x]dt2 и т. д. Если v — орбитальная скорость в эллиптическом движении, то, согласно формуле (2) § 2.12, мы будем иметь
v2 = x2+y2-+ г2 = р.(у-1).
Положим
V.= -£.	(2)
Тогда
T = v+v0.
Пусть р, q — любые два элемента или любые две независимые функции от элементов. Имеем
ar _ дУ . дУа др др др
или, так как V — функция от х, у, z, то
ЗГ _ у	дУ .	.	дУ0	__ у - дх .	ДУВ
др	дх '	др '	др *aiX др '	др	’
хуг
Кроме того, согласно формуле (2), дТ__________________________у • дх
др мя1Х др ‘
Поэтому, складывая последние два уравнения, находим
о дГ	_ , дУ0	, у f .• дх	, - д'х^	- d	V : дх
др др	• aU \ др др I др т dt ’ др
где суммирование производится по х, у, z.
Интегрируя это равенство в пределах от т до t, мы будем иметь
<з>
Ио
С т dt = f g-dt-ТЫ* др J	J др	v др
t	г
Поэтому соотношение (3) принимает вид
’	0)
где при суммировании в левой части мы опустили значок t.
g 5.12. Вычисление Cf
101
Далее, 27'___________________________н.
r a '
и, поскольку r = a(l —ecosE) и E = Q при / = t, мы будем иметь
2Г<’> = 7<Г=7Г	<5>
Кроме того, так как
iz u „Л	I1 да
Vo = -2^' т0 -Э7=2^д7'
Из равенств (4) — (6) имеем
t где
г — _ Iх (1 +е) dz____f^L ад	v (v дх \	гяч
Л(1— e) др	2a* ' dp	44\x dp lT‘	w
Заметим, что Cp — функция элементов и она не зависит от времени. Аналогично, если q— один из элементов или функция элементов, то мы будем иметь
2 f Tdt-t^--yix^==Qe' (9) uq J	oq hi oq ч	7
где Cq дается выражением, аналогичным (8).
Продифференцируем формулы (7) и (9) по q и р соответственно и вычтем; тогда получим
Sd (х, х) _ дСя дСр д (р. q) ~др dq~ ’ т. е.
дСя дС„
=	ПО)
Так как Ср и Ся не зависят от времени, то равенство (10) дает независимое доказательство характеристического свойства скобок, а именно
%-lP, q] = 0.
§ 5.12.	Вычисление Ср
Согласно формуле (8) предыдущего параграфа,
__	|i(14-e) д-	цх да vi/* дх
Р ~~ a(i—e) 'др
(1)
102
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Вычислим сначала последний член в формуле (1). Координаты х, у, z выражаются через ?, т] посредством равенств
x=l£+l2-ri, y =	z = n^-Ь п.^,
где /р /2....п2 — направляющие косинусы, определяемые форму-
лами (3) и (4) § 5.06. Таким образом,
/-4 др «U' 1 1 2 и \ 1 др 1 2 др 1 др ' 1 др ) xyz	Imn
= (— (Ь) — У /1 ~. др 1 1 др ' '	"	1 др
Но — it\ = h. Поэтому, используя равенство (9) § 5.06, мы получим
Далее, согласно формуле (4) § 5.09, (U = 0, согласно формуле (5) § 5.09, /•ч _ паУ\—ег =—ПГТ—
и, как показывает формула (3) § 5.09,
I д^\   па 1^1 — ег ди
\ др ),	1 —е др ’
Поэтому, так как р, = п2а3, то
Если использовать равенства (2) и (3), то формула (1) примет вид
,, ул да , _______________ . <)2	, дю	...
С„ = — -з----------h cos I -з----Л -з—	(4)
р 2аг др	др др	' ’
। ли, заменяя	—т на у/п, а р, на п2а3,
„	1 да .	,	дО,	.	дю
С„ = тг nay -з-----• h cos I -з--h	-з—.	(5)
р 2 А др	др др	v '
§ 5.13.	Общая формула для \р, </]
Запишем формулу (4) предыдущего параграфа следующим образом:
С =-t/-(-4-)-A-^-Acosz4B..	(1)
Р др \ 2а) др	др	4 7
$ R.14. Вычисление скобок Лагранжа
103
Аналогично /-•	<5 / р- \	. дш ,	, dQ	...
c? = -^(-^-)-AW-AcosZW	(2)
Так как, согласно равенству (10) § 5.11, дС„ дСр 1^’ др dq '
то из формул (1) п (2) мы получаем общую формулу для скобок Лагранжа
г п	~~2д) । д (<>, Л) , д (Q, h cos /)	...
\Р'Ч\- d{pq) 'd(p.q)' d(p,q) • W
г..е й = ]/p,a (1 — e2). Заменяя —т на //n, мы представим эту формулу в другом виде:
dU- --М
In Л1 — -п 2а' । д О*-	। д <а- h cos 0 м»
1р'Ч— d(ptt}) ‘d(p,q)' d(p,q) *
Если заменить т (или и ш |,а £ » ш> так что е — и	"о
т —-------и о) = ш — S2,
п
то формула (1) примет вид . t — <0 у- да , да> । ,	_ .. <?Q	/е.
С,, =----- •-S-J--S-Л -а—|—Л(1—cos/)-.— ,	(5)
i> п 2а1 др др '	'	'др	4 '
а формула (3) запишется следующим образом: л(« —<»	н_\
г „ „1 — ' » * 2а / ।	h) . д(2. Л cos Z) ...
1Р’ Ч' d(p,q) *" d(p,q) “»	i)(p. q) ' '
§ 5.14.	Вычисление скобок Лагранжа
Любая скобка Лагранжа может быть легко вычислена по общим формулам (3) или (4) предыдущего параграфа. Например, если р = а. q = Q, то
о,_ (2, Л cos/)
1 •	д(а, Q) ’
т. е.
[д, 2] — — cos /	= — у па — е2 cos /,
что согласуется с формулой (3) § 5.08.
104
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
Другой метод вычисления скобок следует из определения Ср по формулам (5) или (4) § 5.12. Придавая р по очереди значения а, е, Х> 2. <о> I, получаем
Са = -|-пах. Се = 0, Сх = 0,
Са = —AcosZ, Сш = — к, Ct — Q.
Поэтому, как и раньше, найдем, например,
Л	дСа	дС„	dh	1	---------
[а,	2]	= -т---—- = — cosZ	-т— = — -у па	1А	— е2 cosZ.
1	‘	да	ой	да	2	'
Мы можем, таким образом, вычислить значения пятнадцати скобок Лагранжа, которые были найдены в предыдущих параграфах.
Если в качестве элементов приняты а, е, I, е, ш и 2, то соответствующие значения Ср, согласно формуле (6) § 5.13, равны
п 2а2’ Ч —С, —G. — O, С~ = — А,	Са = (1—cos i)h.
Девять скобок равны нулю. Выпишем не равные нулю скобки:
[a, sj = — у па,	[а, ш] = -^па (1 — }Л1 — е2),
(а, 2] = 1ПЙ /r^T’(l-cosZ), [е, а>] = р^=-,	(1)
[е, 2] = — па2е	21 = ««2 VT^i2 sin Z.
у 1 — в2
§ 5.15. Вывод канонических уравнений
В предыдущем параграфе мы брали в качестве р (или q) один из элементов. Однако если взять в качестве р (или q) некоторые функции от элементов, то мы можем получить более простые уравнения.
Пусть ар а2, ад и рр р2, р3 означают независимые функции одного или большего числа элементов, определяемые формулами
а, = —а2 = Л, a3 = AcosZ,	(1)
₽! = -''•	₽2 = °>. ₽з = 2-	(2)
§ 5.15. Вывод канонических уравнений
105
Согласно примечанию на стр. 88, уравнения Лагранжа в самой общей форме имеют вид
з	з
“Я + 2 К- ₽<1 ₽< = •
z=i	/=1	г
3	3
Z«1	/=1
где г принимает значения 1, 2 и 3.
Выражение для Ср через новые постоянные at и pz, согласно формуле (1) § 5.13, имеет вид
	сР = Ъ	др	2 dp	3 dp	
Аналогично		<?at dq	“2 dq	— r, 3 dq
Поэтому				
, . . дСч	dCp		d («!.?)	д (яз. W
др dq ~ d(p,q) d(p,q)
д (®з. ?з) d(p.q) '
(3)
откуда
1®р ?11 —1®2* М — 1а3' ?з! — — 1 •
а все остальные скобки равны нулю.
Уравнения Лагранжа тогда приводятся к виду
А — dR А — dR А _	.
?2----Рз-----------
• _ dR • dR • dR а'~ d^'	“2 —	’ аз — d?3 •
(4)
(5)
Уравнения (4) и (5) называются каноническими уравнениями, а переменные at, pz называются сопряженными каноническими элементами. Мы встретимся с каноническими уравнениями, их свойствами и их решением в последующих главах.
Заменяя —pz на fj, мы можем записать формулу (3) в виде
з
<°> /с1
Следует помнить, что вообще р и q — любые независимые функции элементов. Однако в качестве них могут быть приняты любые два
106
Глава 5. Уравнения движения планет в форме Лагранжа
элемента, скажем ат и as. Тогда мы будем иметь такое выражение для скобки Лагранжа:
з
VI д (а ( }
[йя*’ й^ = ^ d(am,as) ’
которое будет использовано в следующей главе.
§ 5.16.	Вывод Уиттекера общей формулы для скобок Лагранжа1)
Если р и q — любые два элемента или вообще любые две функции элементов и если Ар определяется формулой
.	• дх , • ду , • дг	...
Ар==х~д^+У-^+г^’ то. очевидно,
ЗАд	а,\
<2)
Здесь х, у, z— координаты планеты Р относительно осей ОХ, OY, OZ с обычной основной плоскостью и началом О в Солнце (рис. 14).
Пусть ур zx означают координаты Р по отношению к осям ON, OR, OZ, которые получаются путем поворота осей OX, OY на угол S. Тогда
х — хх cos 2 — у, sin 2. у = Xj sin 2 +у, cos 2, z — zv
') См. Е. Т. Whittaker, The Messenger of Mathematics, New Series, No. 309 (January, 1897).
§ 5.16. Вывод Уиттекера формулы для скобок Лагранжа
167
Пусть, далее,
« = х~Ну, v — x— ly; u1 = xi-i-lyv vl — xl — 1ух; 1=У—[.
Тогда
it = uxeis, и
v — vxe~1^.
д± =	—
др \ др
lvx
да \ др)
• dv
u-df = “i
dvi __
др
да lu.v, -г—.
1 1 др
Взяв в этом равенстве действительную часть, мы найдем
• дх . • ду • дх, , ' ду, . , •	•	. да
х-Э7+у4 = Х1^+У1#+(Х1У1 ~ Х1У1) д£ ’	(3)
Но выражение (jqyj — ххух) равно hcosl, т. е. равно проекции удвоенной секториальной скорости на основную плоскость.
Следовательно, из формул (1) и (3) получаем
Ap = ^+i,% + i,% + ^%.	(4)
Осуществим теперь поворот осей у, и zx на угол I. Пусть X, Y, Z — координаты планеты относительно новых осей ON, ОТ, ОС. Тогда хх = Х, и по аналогии с формулой (3) пишем
У14^-4-*14^=	YZ)^-.	(5)
др 1	1 др др 1 др 1 '	' др	' '
Но Z = 0, поэтому из формул (4) и (5) получаем
Ар — Х др + У др +AcosZ др *
Повернем теперь оси ON, ОТ на угол а> так, чтобы они совпали с О А и ОВ, где А — перигелий. Пусть с, т;— координаты планеты относительно осей ОА и ОВ. По аналогии с формулой (3) имеем
л. дХ . л dY I dt . • дц .	. дш
Но Ь; — $т} = л. Поэтому
ОТ
Далее,
? = a (cos Е — е), т; = а (1 — е2)1* sin Е s b sin Е и
g = — аЕ'sin Е,	'q = bEcosE.
108
Глава 5. Уравнения движения планет в форМе Лагранжа
Если через F обозначить первые два члена правой части формулы (7), то легко видеть, что
— = а2 —(1 —e2cos2£)4«sin£,(l—ecosEjle — -j-a—
Е др	\ др др/
Но из уравнения Кеплера имеем
Ё (1 — е cos Е) = п = ц'Лв-*'».
Поэтому
u-'AF =	4 ecosF)4^--|-a~,/«esinF4^--|-a,/«sin£4^-.
г	' 1	'др '	др 1	др
Эту формулу можно записать в виде
=	—ecosE)-^-— Т й-1/’(£ — esinE)-^-4-
+1 arA sin E + у a'!> (3 4- e cos E)~ 4.
4 1 a-* (3E 4 e sin E) 4 у sinE
или
F=- ъ 1й‘1 (£ “e sin 5)1 +
4 4- -5— a " (3c 4-e sin e )] ш — 4— -s—k -г—.
1 2 dp 1	'	1	" 2a dp 1 dp
Далее,
G == a' -• (E — e sinE) = na’h^t 4- -yj = k'’*	+ y)•
так что
dp ~ dp
(8;
0)
Из формул (7) — (9) получаем
Ap~ 2a~3p ( п)~^~5р~^к~3р +AcosZd^- <10>
A9 дается аналогичной формулой. Теперь при помощи равенства (2) мы найдем общую формулу для скобок Лагранжа, именно:
dfjL_____М
гп „1— \я 2л/ , д(ш, h) , й(2. AcosZ) .. п
Ч}------d(^qj------•	(И)
что согласуется с формулой (4) § 5.13.
Глава в
О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
§ 6.01. Введение
Мы будем пользоваться уравнениями для элементов а, е, I, 2. ш и е, которые получены в § 5.10. Эти уравнения описывают движение планеты Р с массой т, возмущаемой планетой Р1 с массой тх. В частности, мы займемся уравнениями
’ __ 2 а па дг ’
___2	। л М па da ' де ' ** di ’
2 = А^-. dt
Здесь п определяется из формулы
n2az = р. = О (т0 -|- т),
(1)
(2)
е =
(3)
(4)
**1 + УУ1 + **1
где т0— масса Солнца, R — возмущающая функция, которая выражается формулой R
(5)
причем х, у, z и xv у,, гх—гелиоцентрические координаты планет Р и Я, соответственно, А, Р и Q — функции а, е, I, которые не нуждаются в пояснениях. Наконец,
Д^х-х^-НУ-У^ + Сг-*!)2.	(6)
Решение уравнений, определяющих е, I и <о, имеет те же общие особенности, что и решение уравнения для 2. Поэтому в настоящей главе можно ограничиться подробным рассмотрением уравнения (3).
Рассмотрим возмущающее действие планеты Р на планету Рх. Если av ех, .... ех — элементы орбиты планеты Рх, то уравнение, аналогичное уравнению (1), будет
1 п,а, де.
(7)
где
**i+yyi + z*i
Я, = Ож(|—(8)
Можно написать также уравнения, аналогичные уравнениям (2) и (3).
110	Глава 6. О решении i/ривнений Лагранжа
Очевидно, что это рассуждение можно распространить на любое Число планет.
Практический метод решения уравнений Лагранжа основан на том факте, что е, ev I и 1Х малы, так что возмущающие функции R и Rx можно разложить в ряды по степеням е, ev 7,	где
7 = tgZ, 71==tgZl.	(9)
Мы можем добавить, что в теории Луны отношение геоцентрических расстояний Луны и Солнца мало, и при разложении возмущающей функции (главным возмущающим телом является Солнце) эта особенность также принимается во внимание.
§ 6.02. Общий вид разложения возмущающей функции
В следующей главе мы будем заниматься во всех деталях разложением возмущающей функции, но пока для читателя важно, не входя в излишние подробности, ознакомиться с предварительными идеями о том, каким образом R принимает форму, удобную для практических целей, и каковы общие свойства этой формы. В этом параграфе мы будем отбрасывать члены, содержащие третьи и более высокие степени эксцентриситетов и наклонностей.
В предыдущей главе мы записывали формулы эллиптического движения тела Р в виде
x = Fx(t, az, ₽z). y = F2(/, az, pz), г = /-'3(/, az, pz),
где az и 0Z (Z=l, 2, 3) представляют собой шесть элементов эллиптической орбиты, а Fp F2. F3 — известные функции времени (или средней аномалии М) и шести элементов. Уравнения движения планет теперь будут- получены методом вариации произвольных постоянных (см. § 5.01). Для этого следует вышеприведенные функции х, у и z подставить в R и принять а и £ в качестве новых переменных.
Общая формула для Fv например, дается, согласно равенству (3) § 5.01, в виде
х —alx cosЕ-\-bl2s\nE — aelx.	(1)
Если мы выразим cosF и sinЕ через среднюю аномалию М и эксцентриситет е, то получим, с точностью до членов порядка е2,
cos Е = — у е-|-(1 — j е2)cos М е cos 2zW + у cos 37И, (2) sin£ = ^l —-g- e2)sinAf-|--j esin2Af+ -|e2sin3Al.	(3)
§ 6.02. Общий вид разложения возмущающей функции
111
Далее при помощи формулы (3) § 5.05 1Х можно представить в влде lx = cos (2	«>)	2 sin2 sin 2 sin ш,
или, с точностью до членов порядка f2,
/j = cosj 72[cos(22 — ш) — cost»].	(4)
Аналогично
/2 = — sin ш + т2 [sin (22 — ш) -|- sin <о].	(5)
Легко показать, что посредством равенств (2) — (о) формула (1) для х принимает вид
х — — -^ае cos ш -|- V A c.os (IM 4- JQ -j- kw), (6) где Z, J н k — положительные или отрицательные числа, включая нуль для J, а А — функция а, е и j.
Точно таким же образом формула для координаты Xj возмущающей планеты Р} может быть записана в виде
Х1 = — 4 а1«1 C0S “1 +2 /,lC0S(Zl/M14-A214-fel‘»l)-	(?)
где Zp и kx — положительные или отрицательные числа, включая нуль для /р а Д1 зависит от av et и
Рассмотрим теперь множитель х1/г^, содержащийся при х во втором члене формулы (5) § 6.01 для R. Уравнение невозмущенного движения для координаты xt планеты Р, имеет вид
*• __	Х\	л о Xt
Далее, так как Мi =	+ Хр т0
откуда
X]   1_ <ZaXj г®	af dMx
Используя формулу (7), мы можем получить
"У == -у X cos ах
112
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
где /] =# 0. Из последнего уравнения и из равенства (6) видно, что xXj/r® принимает вид
2 С cos (/Л4 -|— /,Л11 —|- j2 —}— /[S] —|- k<p —(8) где С зависит от а, яр е, ev 7 и 7Р I, но не зависит от /] и может принимать нулевое значение, УУх/г31 и	также пред-
ставляются рядами такого же вида, что и (8).
Разложение 1/Д выполняется гораздо более сложным образом, и поэтому мы не будем здесь пытаться давать даже поверхностное его описание. Мы просто примем, что 1/Д может быть разложено в ряд вида (8) с оговоркой, что I и 1Х могут принимать нулевые значения раздельно или одновременно. Таким образом, полное разложение R может быть записано в виде
/? = т1 2 с cos ®о + /и1 2j£cos	(9)
причем 90 и 0 даются формулами
e0 = /S+/121 +	(10)
гд"* У, .... kx могут принимать нулевые значения порознь или вместе, и
e = /M4-/1A114-/S-4-/I2I + *S+*1Sp	(11)
где I и в частности, могут быть равны нулю. В формуле (9) с и С — функции а, вр е, ех, 7 и 7^ при этом предполагается, что постоянная тяготения включена в с и С.
Проблема сходимости рядов типа (9) (когда рассматриваются все степени эксцентриситета и наклонности) сложна, и мы не будем пытаться здесь ее рассматривать, а примем, что общие ряды вида (9) (и другие ряды, полученные аналогичными методами) представляют возмущающую функцию для практических целей.
Заметим, что элемент е входит в выражение (11) для 0 только вместе с nt, так как M = nt-\-e—ш.
Вместо М удобнее иметь дело со средней долготой I, которая выражается формулой
l = nt-$-e. Тогда G будет иметь вид
6 = Ц -|- Z1Z1 JQ -|- kw 4- k1w1.
Из формул (12) и (13) мы замечаем, что
dR _ dR Hi dl ’
(12)
(13)
(14)
§ 6.03. Важная модификация уравнений движения планет 113
§ 6.03. Важная модификация уравнений движения планет
Рассмотрим первое уравнение движения
а па dt па д1
Из формул (9) и (13) § 6.02 имеем
в=_^.^/С81Пб.	(1)
Так как каждый член правой части этого уравнения содержит множитель mv который является малым по сравнению с массой Солнца, то для получения а в первом приближении мы можем считать, что элементы a, а,, .... ш в правой части уравнения (1) постоянны и что
9 = (/n-|-Z1n1)/4-g,	(2)
где g — постоянная. Тогда, интегрируя, мы получаем
а = а0+У . *С. cos 9-	(3)
Формула (3) показывает, что а колеблется около среднего значения а0, и мы кратко запишем
а — д0-|- п. ч., где п. ч. означает ряд с периодическими членами.
Рассмотрим теперь уравнение (3) § 6.01, именно
“ — А di ’
Так как I (=arctg-[) входит в коэффициенты с н С формулы (9) § 6.02, то
2 = Ат, 4? cos 0о+ Ami У cos °-
В первом приближении мы получим
2 = 20-|- Am,t 2 & cos 90+ Am, £	sln О,
где 0 дается формулой (2). Обозначим через X постоянный коэффициент при t- Тогда
2 = 20-|-Х/-|-п. ч.	(4)
Из соответствующих уравнений легко видеть, что е, I и ш в первом приближении выражаются формулами, аналогичными (4).
8 У. Смарт
114	Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
Картина меняется, когда мы переходим к оставшемуся уравнению движения планеты, т. е. к уравнению для г:
------------2 dR . р dR . « dR	_ --------------------------------------_-^-d^+p-^+Q-dT‘
Интегрирование последних двух членов даст часть решения в виде X/—(—п. ч., которая, как мы видим, совпадает с результатом для других элементов, кроме элемента а, для которого Х = 0. Следовательно, мы можем опустить в дальнейшем рассмотрение двух последних членов в правой части уравнения (5).
Рассмотрим теперь первый член в правой части этого уравнения. Величина а входит в коэффициенты с и С разложения для R, а также в л и тем самым в аргумент 9, поскольку п = Найдя производную dRjda, мы получим
— — У 4^ cos 0 4-^- .-^-/V/Csine.	(6)
па da 1 па da	v 7
Интегрирование первых двух членов правой части этого уравнения даст члены вида Х/-|-п. ч., которые можно объединить с ранее полученными членами, содержащими Р и Q в правой части уравнения (5).
Новую особенность, па которую нужно обратить внимание, составляет вид последнего члена в правой части уравнения (6), содержащего периодический ряд с амплитудами, увеличивающимися со временем. Это нежелательное осложнение может быть преодолено следующим образом. Если мы обозначим через (dRIda) производную от R по а, входящему только в коэффициенты с и С, то
dR / dR^X.dR^ dl dn da \ da ) ’’ dl dn da
или, согласно формулам (12) и (14) § 6.02,
dR__(\t
da ~ Ua Z-1" da dt '
Далее, на основании уравнения (1) § 6.01
dn   dn da   2 dn dR dt	da dt	na da dt ’	' 7
поэтому, опуская члены с Р и Q и используя равенства (7) и (8), уравнение (5) можно записать в виде
•__	2 / д/? \_. dn
na\da) dt
§ 6.U-3. Важная модификация уравнений движения n.iaHet
Ito
или
•	. . dn	2 (dR\
6 "* dt	па \ да ) ’
Пусть в' определяется формулой ? = e4-^-g-.	(9)
Тогда
•,	2 ( dR\ 2mt V дс „„ n 2m( V дС « ,1ЛЧ
е =-----т— =---------L -г- cos--------- >. -д— cos 0. (10)
па\да/ па да ° па да	' '
Интегрируя уравнение (10), мы в первом приближении найдем для v следующее выражение:
e' = e0-f-Xf-|-n- ч.	(11)
Согласно формуле (9),
ё' = г + -^-(лО —».
так что
l = nt-\-s = fndt + s'.	(12)
Как легко заметить, s входит в R только вместе с I. Следовательно, если вместо nt-j-s подставить в R выражение J* ndt-j-s\ то мы будем иметь
dR dR
dt' dt ’ так что
•_ 2 dR а па dt'
Все другие уравнения при этом преобразовании остаются неизменными. Принимая s' в качестве нового элемента вместо е, мы видим, что, согласно формулам (5) и (10), уравнение для s' имеет вид
*—^(^)+₽-у+«т-	<‘3>
гак что в первом приближении s' будет выражаться формулой (11). Таким образом, если р означает любой элемент (включая s'), то решение уравнений движения планет в первом приближении дается в виде
Р = Ро4-^ + п- ч.	(14)
с важной оговоркой, что для элемента а соответствующее значение X в формуле (14) равно нулю.
8*
116
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
Поступая аналогичным образом с уравнениями движения планеты Pv возмущаемой планетой Р, мы получаем в первом приближении для какого-либо элемента следующее выражение:
Pi = (Pi)o4-M + n- ч-
с той же оговоркой, что соответствующее значение для элемента аг равно нулю.
Следует заметить, что периодические члены в элементах а, е, I зависят только от косинусов 0, в то время как в 2, ш и е'— только от синусов 0 [это видно из уравнений (7) — (12) § 5.10 и формулы (9) § 6.02 для /?].
Таким образом, мы можем написать
а	а0
е = el)-|-k/-|-mI У JcosO,
/	/0
2	20
ш = <D0-j-От; 2 К sin 9,
б/ 8о
(15)
(16)
причем в первой формуле (15) Х = 0.
§ 6.04. Общий метод вычисления приближений высших порядков
Введем функцию р посредством формулы
p = /nrft	(1)
Тогда, согласно равенству (12) § 6.03, получим
I = nt е = р -|- е'.
(2)
Соответственно этому в разложении для R мы заменим I на р-|-е' или, опуская ради простоты штрих, — на р-[-е. Мы должны, конечно, помнить о значении е, которое теперь ему приписывается. При этих обозначениях 0 будет определяться формулой
0 = /(p + «)4-/l(Pi4-ei) + /2 + /iSl + ^ + ^1.	(3)
где индексом 1 обозначены величины, связанные с планетой Pv Помня, что п есть функция а, мы видим, что р, определяемое по
формуле (1), в точности совпадает с
р = р'/« j* a~'^dt,
(4)
§ 6.04. Метод вычисления приближений высших Порядков
117
откуда
____3_ й/?
р — a’ di '
(5)
Интеграл J* ndt, т. е. р, называется средним движением по возмущенной орбите.
Как мы видели, формальное решение уравнений движения планет в первом приближении, например для а, дается формулой
„	„ । 2m ।	iC cos О
й = + (6)
в правой части которой все элементы рассматриваются как постоянные, равные а0. е0 и т. д. Чтобы упростить обозначения, мы опускаем индекс нуль при каждом из элементов в правой части формулы (6), за исключением, конечно, первого члена. Совокупность всех членов, стоящих под знаком суммы в формуле (6), составляет возмущения в элементе а, и их порядок таков же, как и порядок малой величины тЛ. Решение соответствующего уравнения для возмущений в аг будет иметь ту же форму, что и (6), причем малой величиной в этом случае будет т.
Для простоты мы будем считать, что порядок величины т совпадает с порядком величины mv Запишем равенство (6) в виде
а = а0 + Д'а,	(7)
где Д'а представляет собой возмущения первого порядка относительно т. Аналогичные равенства будут иметь место и для других элементов планеты Р и для всех элементов планеты Pv Когда все эти выражения будут подставлены в функцию R, которая сама содержит множитель т, то мы получим ряды, содержащие множители т и /и2. Решение уравнений движения планет будет тогда включать члены второго порядка, и мы запишем
а = а0-|- Д'а + Д"а,
где через Д"а обозначены члены второго порядка относительно т. Вообще мы можем написать
а = а0 -|- Д'а -|- Д"а -f- Д'" а + ...,	(8)
где Д'" а означает члены третьего порядка относительно т и т. д.
Так как п — р'Ьа~,/г, то, ограничиваясь только членами второго порядка относительно т, получим
п = р.1/» [а0	Д'а + Д"аГ%.	(9)
Поэтому можно написать
п =	(10)
не
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
Разлагая правую часть формулы (9) в ряд и ограничиваясь членами порядка /к1 2, можно найти
»о= Р,/а«о *'’•
4'»----<Н)
4'”=ч4т!-ш	<»')
Точно так же имеем
Р = Ро4-д'Р+д"р.
Из равенства
P — f ndt следует, что
Ро = J nadt = nrf, yp = f^'ndf,	(12)
Д"р = J* h"ndt,
где Д'п, Д"п даются формулами (11) и (11')-
§ 6.05. Свойства возмущений первого порядка
Исследование настоящего параграфа мы проведем на примере уравнения для 2. Его решение, согласно формуле (4) § 6.03, имеет вид
2 = 20-|-Х/-|-п. ч.,	(1)
где X — постоянная, определяемая формулой
Х = 'М]£-^- cosG0,	(2)
причем п, а, ... рассматриваются как постоянные, равные п0, а0..
а периодический член в общем случае имеет вид
ntjA 6С
in -f-11 п I 61
sin 0.
(3)
Формула (1) содержит члены трех типов, которые мы сейчас и рассмотрим более подробно.
1) Вековые члены.
Член U называется вековым членом. Если, например, коэффициент X положителен, то долгота узла (поскольку рассматривается
$ 6.05. Свойства возмущений первого порядка
119
этот элемент) будет увеличиваться с постоянной угловой скоростью X, где’Х — малая величина порядка тР Если X отрицательно, то долгота узла будет уменьшаться с постоянной скоростью X. Аналогичные замечания можно сделать относительно каждого из остальных элементов, исключая а, который не имеет векового члена. Следствие из этого последнего результата имеет важное значение. Так как в первом приближении решение дается в виде а = а0-|-п. ч.. то большая полуось колеблется с малой амплитудой около среднего зн1-чения а0. Если бы имелся вековой член, скажем А7, и если предположить на время, что решение является точным, то большая полуось прогрессивно увеличивалась бы или уменьшалась в зависимости от того, положительно или отрицательно X. В первом случае а стремилось бы к бесконечности, т. е. планета вышла бы из-под влияния Солнца. Во втором случае а уменьшалось бы до такого размера, что планета в конце концов была бы поглощена Солнцем (если бы она предварительно не испарилась). Отсутствие такого векового члена обеспечивает общую устойчивость планетных орбит (если только наше предположение справедливо), так как возмущения большой полуоси приведут только к ее колебаниям с малой амплитудой около среднего значения а0. Из этого также следует, что в первом приближении среднее движение п не имеет векового члена.
2)	Короткопериодические неравенства.
Рассмотрим какое-либо слагаемое в сумме периодических членов формулы (1). Согласно формуле (3), мы можем его записать в виде
/я + Лп. sinKz« + MiH + ?l.	(4)
где
q = le -|- ZjEj -|- JQ + JlQl kw -|-
и D имеет определенный порядок относительно е, ех, 7 и 7Р Для простоты предположим, что эти элементы имеют один и тот же порядок малости, так что D может рассматриваться как величина порядка ер, где р — положительное число. Тогда, если 1п-\-1хпх не является малой величиной, то амплитуда члена (4) будет иметь порядок тхер. Предполагая, что это условие имеет силу для некоторой пары значений I и lv мы назовем соответствующий ей член короткопериодическим неравенством1). Происхождение этого названия связано с тем фактом, что период такого члена является
') .Неравенство* является архаическим термином, означающим отклонение от эллиптического движения, и эквивалентным в данном случае понятию .возмущение* рассматриваемого элемента.
120	Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
малым — самое большее равным периоду планеты Р или планеты Рх.
Пусть Т' означает период члена (4). Тогда
Так как п = 2тс/7' и пх = 2к/Тх, то
-Г=т + тг-	<5)
Например, если под Р понимается Юпитер, под Рх — Сатурн, то приблизительно Т= 11,86 и Г] = 29,46, причем в качестве единицы времени взят 1 год. Из соотношения (5) мы имеем:
Z=l,	/, = 1.	Т' = 8,46,
Г=1.	/1 = —1,	Г =19,85,
/ = 2,	/, = 1.	Г = 4,94.
Амплитуды таких членов равны т1 DT'12-к, и соответствующие возмущения по своему характеру ничем не будут примечательны, если упомянутые ранее условия имеют силу.
3)	Долгопериодические неравенства.
Это возмущения, периодические по своему характеру. Их наличие обусловлено, в некоторых случаях, приблизительной соизмеримостью средних угловых движений п и пР Если п/пх приблизительно равно lx/i, где I и 1Х— некоторые целые числа, то in — 1хпх будет малой величиной, а амплитуды соответствующих периодических членов станут при прочих равных условиях много больше, чем в случае, рассмотренном в п. 2.
При более точных значениях орбитальных периодов Юпитера и Сатурна находим, что
п = 299", 13, в1 = 120",45,
так что, если I = — 2 и 1Х = 5, то
In —1“ ijfij === 3",99.
Если через Т" обозначить период соответствующего неравенства, то мы найдем, что Т” приблизительно равно 75 орбитальным периодам Юпитера, что составляет около 890 лет.
Если Dx есть то значение D, которое соответствует этому члену, то амплитуда такого неравенства равна mxDxT"l2n.
Такой член, возникающий из-за близости к соизмеримости п и пх, называется долгопериодическим неравенством.
Из рассмотрения свойств возмущающей функции в следующей главе будет найдено, что D (когда 2 = 2, /1=1) и Dx (когда
j$ 6.05. Свойства возмущений первого порядка
121
/ = —2 и /1=?=5) имеют один и тот же порядок ер. Если для простоты мы предположим, что D и D, равны, то амплитуда долго-периодического неравенства будет в Т"!Т' раз больше амплитуды соответствующего короткопериодического неравенства. Здесь Т"/Т~ » 890/4,94 » 180. Таким образом, очевидно, что долгопериодическим । еравенствам соответствуют очень большие возмущения.
Различие в величинах периодических возмущений этих двух классов становится еще более заметным, когда мы рассматриваем возмущения в средней долготе /. Так как / = р-|-е, то возмущения первого порядка Д'/ выражаются суммой Л'р —j-Aze. Теперь, как это следует из п. 2, типичный периодический член в Д'е будет иметь вид

(6)
и ему соответствуют короткопериодическое или долгопериодическое неравенства, которые уже были исследованы.
Рассмотрим теперь Д'р. Из формул (11) и (12) § 6.04 находим

Но
Д'а = пц У} cos [(/я + ?1Я1) / + </],
и поэтому типичный член в Д'р будет иметь вид
sin[(/n + /ini)/ + gl.
(7)
Обратимся еще раз к случаю Юпитера и Сатурна. Пусть Т'— период короткопериодического члена, для которого 1 — 2, /,= 1, и пусть Т" — период долгопериодического члена, для которого / = — 2, /, = 5. Как и раньше, предположим, что М имеет порядок ер для каждого из этих членов. Предположим далее для простоты, что эти значения М одинаковы. Тогда, согласно формуле (7), амплитуда долгопериодического неравенства будет в (Т"/Т')2 раз больше амплитуды соответствующего короткопериодического неравенства. Из найденных выше численных результатов получаем, что это отношение равно (180)2: 1. Очевидно, что влияние долгопериодических неравенств является наиболее значительным.
Найдено, что средняя долгота Сатурна под действием возмущений от Юпитера может изменяться в пределах до 50' под влиянием долгопериодических неравенств типа, рассмотренного нами.
122
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
§ 6.06. Троянцы
Другой, еще более интересный пример преобладающего влияния долгопериодических возмущений имеет место в троянской группе малых планет, из которых известны пятнадцать (1952 г.). Первая из этих планет, Ахиллес, была открыта в 1906 г. Свои названия они получили в честь героев греко-троянской войны, описанной Гомером в «Илиаде». Троянцы — малые планеты, движущиеся почти на том же расстоянии от Солнца, что и Юпитер, так что их средние движения
мало отличаются от среднего движения Юпитера. Несколько троянцев идут впереди Юпитера приблизительно на 60° по долготе, в то время как остальные примерно на 60’ по долготе находятся позади Юпитера. Орбитальные плоскости большинства Троянцев составляют с плоскостью орбиты Юпитера углы всего лишь в неск >лько градусов, хотя для пяти планет этот угол достигает 20’.
Если на рис. 15 А и В — точки, лежащие на орбите Юпитера, такие, что углы ASJ и BSJ равны 60’, то Я и В называются треугольными точками либрации, С грубой степенью приближения, пренебрегая упомянутой выше наклонностью, траектория Троянца относительно Юпитера, так называемый либрационный эллипс, указана пунктирной кривой около А или В. Отношение осей этого эллипса одно и то же для всех Троянцев. Возможно, что названия этим планетам были даны неудачно, ибо друзей и врагов поместили в тесной близости друг к другу около каждой точки либрации. В интересах небесного мира и гармонии было бы более целесообразно поместить греков вблизи одной точки либрации, а героев Трои вблизи другой. Однако с полным пренебрежением к национальным предубеждениям вся группа малых планет, которыми мы теперь интересуемся, называется троянской группой.
Более чем за полтора столетия до открытия первого Троянца Лагранж рассмотрел задачу движения трех материальных точек, когда они находятся в положении относительного равновесия, образуя равно
§ 6.07. Второе приближение для Я
123
сторонний треугольник. Открытие Троянцев превратило эту задачу нз первоначально чисто теоретической и академической в задачу, представляющую большой практический интерес.
Возмущения Троянцев Юпитером весьма значительны и могут доходить в долготе до 20’. Если, например, мы рассмотрим планету Нестор, то для этого Троянца п = 301",00, в то время как пг (для Юпитера) равно 299", 13; поэтому член в возмущающей функции с аргументом 1(п —	где /=1, 2...... очевидно,	вызывает
долгопериодические неравенства, ибо п — п1 = 1",87, так что Т", когда Z=l, приблизительно равен 1900 годам. Так как соответствующая величина D в формуле (4) имеет порядок е", то эти возмущения значительно больше, чем возмущения, рассмотренные в системе Юпитер — Сатурн. По этой причине уравнения Лагранжа не годятся для детального исследования движения Троянцев и, следовательно, должны быть использованы более сильные методы.
§ 6.07. Второе приближение для S2
Уравнение для 2 в принятых выше обозначениях имеет вид
= Дш^^-созбо+Ят^^созО, (1) где
0 = Z(р_|_е)-|-Zj(pj_|_gj)...	(2)
Запишем уравнение (1) в виде
2 = «1F(p-j-s, pj+e,; а, ...; ш,	(3)
где через F обозначена функция, выражаемая формулой
F = Л25с08°о+ Л2^ГС080-	(4)
Пусть
Р = Ро + д'р + д"р. е = е0 + д'г + д"е
и т. д., где Д'р и т. д. — малые величины порядка ш, а Д"р и т. д.— малые величины порядка т2. Для простоты предположим, что т и тх имеют один и тот же порядок.
Разложим теперь F в ряд Тейлора. Тогда, если а — любой из шести элементов орбиты планеты Р или из шести элементов орбиты планеты Pv то для второго приближения мы будем иметь
А.(20 + Д'2 + Д"2) = т^0(р, Р1..ш,) +
124
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
где „нуль" в выражениях Fo, (dF/dp)0.[дР1дл)а означает, что
F, dF/др, вычислены при р0, .... а0. Здесь мы предположили, что Д'р, Д'р] и Д'а являются столь малыми величинами, что их квадратами и более высокими степенями можно пренебречь.
Уравнение для членов второго порядка таково:
£<4'®=“.[4>(£).+ - +S44£)J- <6>
При нашем предположении относительно т и тх правая часть будет малой величиной порядка тг.
§ 6.08	. Общий вид возмущений второго порядка в $2
Установим прежде всего вид различных членов, которые появляются в правой части уравнения (6) § 6.07.
В соответствии с формулой (4) § 6.07 F имеет следующий вид:
F = X4-SKcos9,	(1)
где Х^Х(а, е..... ш, Z),	(а, е, I), 0=9 (р, 2, ш, г), причем
в эти функциональные зависимости включается р1 и соответствующие элементы планеты Pv
Согласно формулам (15) и (16) § 6.03, элементы разделяются на две категории. Для определенности будем считать, что е характеризует первую группу, а <о — вторую. Ниже мы будем интересоваться только видом различных функций.
1)	Д'е = X/-{ WIi S cos и
Поэтому, так как X — величина порядка т, то
/»! Д'е ^-^у^ = тЦл4-В/-|-п. ч. -j-zV^Dcos oj. (2)
2)	Д'а) = Х/-]-т1 2 л-sin 0
и
О=°'+2Я'8'”-
Поэтому
т1Д'ш/-^'| =/П1(л' + В74-п. ч.-Н У D'sinO). (3) \ д<а /о \
§ 6.09. Возмущение второго порядка в а
125
3)	На основании формул (5) § 6.04 или (7) § 6.05 имеем
A'p = /Mi^£sin9. =
Поэтому
«1 Л'р (w)o = (А" + П’ Ч,)‘	(4)
Постоянные А, А' и А" появляются в результате перемножения членов, имеющих один и тот же аргумент.
Формулы (2) — (4) устанавливают общий вид правой части уравнения (6) § 6.07. Интегрируя это уравнение, находим
Д"2 = Arf -|- B2t2 + п. ч. 4-1 2 (Р2 sin 6 -]- Е2 cos 0),	(5)
где индекс 2 означает, что коэффициенты имеют второй порядок малости.
Первый член правой части формулы (5) является частью векового члена и имеет второй порядок малости. Второй член, с t2, называется вековым ускорением. В случае планет этот член является чрезвычайно малым и из наблюдений он не получается. Долгота Луны, однако, имеет член такого вида, коэффициент которого уже не является пренебрежимо малой величиной и обнаруживается при наблюдениях, проведенных в течение значительного промежутка времени (мы встретимся с этим членом в гл. 19). Последние слагаемые в формуле (5), содержащие множитель t, представляют собой тригонометрический ряд, амплитуды членов которого увеличиваются со временем. Такие члены называются смешанными.
Уравнения для to, е, е и I, как легко видеть, будут давать члены второго порядка в таком же виде, что и формула (5).
§ 6.09. Возмущение второго порядка в а
Из формулы (1) § 6.03 имеем
« = —•^L2^sin9 = m1F,(p + e........а),
где F' имеет следующий вид:
F' = 2 М sin 6.
Члены второго порядка в а определяются из уравнения [уР(^)о+ ...	(!)
Мы поступим так же, как и в предыдущем параграфе. Прежде всего имеем
126
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
Поэтому
'”>Уе(^')0 = т1(П- ч- +^Psin°)-
Аналогично из равенства
(^7=-) =П11У<?СО8 0 \ иш /у	“
следует, что
.,''1дР'\ ,Г . .V rv al тх Аш I —х,- — т21 п. ч. +1У Р cos о .
\ ды /q *1	Je*	J
Кроме того, поскольку
то
т’Д/р (w)o = m‘[n- Ч,Ь
Интегрирование уравнения (1) дает
Д"а = /я, [п. ч.] +12 (52 sin 0 + Т2 cos 9).	(2)
§ 6.10. Рассмотрение возмущений второго порядка в $2 и а
Из предыдущих параграфов следует, что полные выражения для 2 и а с точностью до членов порядка т2 включительно имеют вид
S = 20 —|—	—|— B2t2 “I- п. ч. —|— 12 (^2	® “I” ^2 cos 9),	(1)
а = a0-f- п. ч.-f- 12(S2sin 9 + Л008	(2)
Присоединим сюда также следующее равенство:
a = ao + /KiS-/c08®-	(3)
Возмущения в долготе узла, определяемые формулой (1), влияют только на положение оскулирующего эллипса относительно основной плоскости в каждый момент времени t. Эти возмущения сами по себе не изменяют гелиоцентрических расстояний планет, а влияют на них лишь через посредство своих членов первого порядка, входящих в формулу (2). Аналогичные замечания можно сделать о возмущениях в <о и е.
Рассмотрим теперь формулу (3), которая дает возмущения первого порядка а. Коэффициенты J вообще представляют собой, ряды по степеням е, ev 7 и 7^ Если эти ряды абсолютно сходятся, то значение а лежит между a0-f-8a и а0 — 8а, где Ъа = т1^1 |J|t
§ 6.10. Рассмотрение возмущений второго порядка в Q и а 1’27
Границы, внутри которых должно лежать а, таким образом вполне определены, что справедливо также и для каждой другой планеты. С этой степенью приближения (поскольку это касается больших полуосей) планетная система должна была бы быть устойчивой в том смысле, что она продолжала бы существовать с этими особенностями, не изменяясь.
Если же мы будем исходить из второго приближения, представленного формулой (2), то предыдущее утверждение уже не будет справедливым, так как при каком-либо заданном значении t величина а лежит в пределах, которые мы можем записать в виде
а0 -|- 8а, -|-18а2; а0 — 8а, — /8а2.
Поэтому область изменения а, очевидно, не будет ограниченной для всех значений t, как это было в первом приближении, и устойчивость в прежнем смысле будет отсутствовать.
Рассмотрим теперь возмущения е. Возмущения второго порядка е имеют вид (1). Предположим, что формула (1) является точной. Тогда наличие членов Axt-\-B2t2 укажет на то, что е может неограниченно увеличиваться, если для простоты считать, что А{ и В2 положительны, или неограниченно убывать, если Д, и В2 отрицательны. Если Д, и В2 имеют противоположные знаки, то те же самые выводы будут справедливы, когда t превзойдет |Д1|/|В2|. При этом орбита, очевидно, стала бы сначала параболической, затем гиперболической и планета покинула бы солнечную систему.
На первый взгляд кажется, что устойчивость солнечной системы не является гарантированной. Однако такое заключение было бы поспешным— мы забыли бы о предположении, сделанном относительно ряда Тейлора для возмущающей функции, а именно что Д'р, Д'р,, Д'а являются столь малыми величинами, что их квадратами, произведениями и более высокими степенями можно пренебречь. Но вследствие появления вековых членов в Д'9, Д'е, .... Д'? это ограничение только обязывает сделать вывод, что значение t, для которого эти результаты справедливы, является ограниченным, например, одним или двумя столетиями. Таким образом, на основе анализа, изложенного выше, можно получить возмущения второго порядка с определенной степенью точности для ограниченных интервалов времени и возмущения третьего порядка с еще большей точностью. Но этот анализ не будет проливать свет на проблему устойчивости (или неустойчивости) планетной системы. Другими словами, невозможность сделать выводы, связанные с проблемой устойчивости, является прямым следствием применения метода последовательных приближений.
В гл. 13 мы увидим, что есть серьезные основания считать, что изменения е и других элементов носят периодический характер с периодами в несколько тысяч лет. На протяжении короткого промежутка времени, скажем столетия, истинная кривая изменения, напри
128	Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
мер е, является почти прямой линией. Поэтому такие изменения интерпретируются как вековые. Обратно, вековой член вида К/ в формуле (1) можно мыслить как приближение к sin X/, когда X/ мало. И это справедливо для любого элемента. Следовательно, так называемые вековые члены оказываются включенными в общие тригонометрические ряды. Кроме того, исследование показывает, что в этом случае не появились бы и смешанные члены во втором приближении для всех элементов. Но нужно подчеркнуть, что эти аргументы сами по себе не дают доказательства устойчивссти планетной системы.
Пуанкаре1) разработал следующие условия устойчивости:
1)	гелиоцентрическое расстояние каждой планеты не может неограниченно возрастать или убывать;
2)	тесные сближения в каждой паре планет исключены;
3)	в некоторые моменты времени tv t2, • • • система может повторно проходить через конфигурацию, которую она имела в момент /0.
Условие (2) требует некоторого пояснения. Если бы две планеты прошли очень близко друг к другу, то взаимные возмущения тогда стали бы гораздо ббльшими, чем те, которыми мы занимаемся в этой главе. Тогда во время близкого прохождения могло бы оказаться, что эксцентриситет орбиты одной из планет изменился бы от нормального значения до величины, превышающей единицу, и в этом случае рассматриваемая планета могла бы быть выброшена в межзвездное пространство. Такие близкие прохождения действительно случались. Например, комета Морхауза тесно сблизилась с Юпитером, в результате чего ее эллиптическая орбита была превращена в гиперболическую.
Сделаем одно заключительное замечание. В определении устойчивости не принято во внимание влияние сил трения на движение тел солнечной системы. Одним из примеров таких сил является приливное трение в земных морях.
*) Les Methodes Nouvelles de la M6canique Celeste, III, 1899, p. 141.
Глава 7
РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
§ 7.01. Введение
В этой главе мы подробно изложим методы разложения возмущающей функции R в теории Луны и теории планет. В частности, мы будем предполагать, что эксцентриситеты и наклонности малы и имеют один и тот же порядок малости. Конечно, способ, с помощью которого R разлагается в ряд, зависит от выбора переменных, к которым преобразуются уравнения движения. Во многих теориях время t обычно берется в качестве независимой переменной. С другой стороны, в теории Луны (и не только в ней) за независимую переменную принимается истинная долгота Луны v. Так как время обычно вводится в возмущающую функцию явно посредством средней аномалии возмущающего тела, то в принципе t может быть выражено (методом последовательных приближений) через v в виде ряда.
В последующем мы ограничимся рассмотрением только такого разложения R, когда в качестве независимой переменной принимается время. Мы сначала рассмотрим разложение R. в теории Луны, так как здесь имеются обстоятельства, упрощающие это разложение и отсутствующие в случае теории планет. Одна из причин, облегчающих разложение, состоит в особом условии, связанном с движением Солнца относительно центра масс Земли и Луны. Этот вопрос будет специально рассмотрен в § 7.03.
§ 7.02. Разложение функции в теории Луны
Уравнения движения Луны и Солнца (15) и (16) § 4.09 имеют вид
- ।	_ O5(£4-Af) dF
“Г" г’ — ЕМ дх'
- _ .G(£+M+S) dF
1— Е + М dxi '
(1)
(2)
причем уравнения для у, z и ур z, аналогичны этим. Здесь х, у, z — координаты Луны относительно осей с началом в Е (рис. 16), a xv ур Zj — координаты Солнца по отношению к системе координат с началом в точке С, являющейся центром масс Е и М, и осями,
9 У. Смарт
130
Глава 7. Разложение возмущающей функции
параллельными осям Ex, Еу, Ег. Кроме того, F на основании формулы (14) § 4.09 выражается так:
г д Д| *
В этих равенствах Е, М и S— массы Земли, Луны и Солнца соответственно.
(3)
На рис. 16 обозначим ЕС через р, МС — через р, и угол MCS — через а. По определению, мы имеем
Mr	Er	...
р — Е+М ’ Р1~ E-f-M •	W
Затем
= fj — 2Р1Г| cos я —|—pj или
Далее, р1/г1 является малой величиной, так как отношения r/Д, г/Д4 и г/г1 имеют порядок 1/400. Поэтому
т=|+2(-77)'р<<«ь	да
1=1
где Рг(я)— полином Лежандра /-го порядка. Если через с обозначить cos я, то мы сможем написать хорошо известные формулы:
р — с р я— А А L /^1 — с, ^2 = 2 с 2 ,
р_5сз_Зс р	35 4_J5 ,	3	(6)
г"з — 2 с 2 ’	4 — 8С 4 с	8
Кроме того,
А? = /? + 2pri cos я	р2,
£ 7.03. Орбита Солнца
131
откуда
А.
(7)
1*1

Вследствие равенств (5) и (7) формула (3) принимает вид
г,Г = Е + М + %- (Мр, - Ер)+-4 (Л1р’ + Ef) + ч-^-W-Е₽“)-+ или, согласно формулам (4), ME
F =
Г1 1 Е+ М
Е» — ЕМ+М3 г« п (Е4-Л4)2 г?
Е—М г3
Е-±М г4!
§ 7.03. Орбита Солнца
Из уравнений (2) и (8) § 7.02 мы имеем
il=0{E+M+s,^-^+-J^^p,+
Отношение второго члена в скобках к первому имеет порядок ME ( г \2 (£+М)’ UJ'
Но М/Е яа 1/81 и 1/400. Следовательно, это отношение приблизительно равно 8 • 10-8. Таким образом, второй член не оказывает значительного влияния, что справедливо также для последующих членов. Поэтому запишем уравнения движения Солнца в виде
+ О (Е + М 4- 5)	= 0
плюс два аналогичных уравнения для У] и zv Движение Солнца относительно С, таким образом, является эллиптическим. Если /ц и суть среднее движение и больп’’. ц луось этой эллиптической орбиты, то
G(£-b М + 5) — п‘а<	(1)
Нормаль к плоскости орбиты Солнца имеет фиксированное направление, и мы выберем ось z так, чтобы опа проходила через Е параллельно этой нормали. Тогда основной плоскостью ху будет
9*
132
Глава 7. Разложение возмущающей функции
плоскость эклиптики. Проведем на рис. 16 отрезок прямой ЕТ (= параллельно CS. Тогда Т будет двигаться в плоскости эклиптики. Координаты Т относительно Е те же самые, что и координаты Солнца относительно С.
Мы можем затем выразить координаты Солнца (относительно С), входящие в F, по формулам эллиптического движения через ар ех и т. д., где av ех и т. д.—постоянные. Отметим в этой связи различие между теорией Луны и теорией планет. В последнем случае координаты возмущающего тела подставляются в возмущающую функцию в виде алгебраических функций, представляющих решение уравнений невозмущенного движения, но av ех и т. д. являются уже не постоянными, а фактически новыми переменными, удовлетворяющими уравнениям Лагранжа. Это будет сказываться на членах второго порядка в возмущениях рассматриваемой планеты.
§ 7.04. Возмущающая функция в теории движения Луны
Согласно соотношению (1) § 7.02, возмущающая функция R выражается формулой
GS(£+M)
* ЕМ Г'	W
Так как гх не зависит от координат Луны, то первый член в правой части формулы (8) § 7.02, определяющей F, может быть отброшен. Кроме того, поскольку E/S « 3 • 10“6, формула (1) § 7.03 может быть с достаточной степенью точности записана в виде
QS = п2а2.	(2)
Пусть п означает среднее угловое движение Луны и пусть
Это отношение, приближенно равное */хз, будет рассматриваться как малая величина первого порядка. Формулу (2) запишем теперь в виде
GS = т2п2а2.	(4)
Посредством равенств (4) и (8) § 7.02 формула (1) для R приводится к виду
я=лм(л.)3[р,+^"(^)р3+
да
§ 7.05. Порядок величин е, в\, у, а’а^ и т
133
Если мы здесь в последнем члене правой части напишем (Е — М)2 вместо Е2— ЕЛ14-2И2, то введем ошибку порядка	(—У.
\ Г| } которая, как показано в § 7.03, приближенно равна 8- 10-8. Влияние этой ошибки на величину возмущений будет незначительным. Вводя а, мы запишем формулу (5) следующим образом:
Д1 ri
•Рз +
( Е — М
(6)
( Е—М ^£4- М
Удобно записать выражение
—J просто как a/av но пом
нить, что отныне а/ах — упрощенная запись более сложного выражения в формуле (6). Мы, таким образом, имеем

В скобках порядок коэффициента при Р3 тот же, что и порядок ajax, так как r/а и ах/гх приблизительно равны единице. Далее, а{ах есть отношение синуса параллакса Солнца к синусу параллакса Луны, если под а мы будем понимать большую полуось орбиты Луны, или, весьма приближенно, отношение солнечного параллакса к лунному. Поэтому удобно член, содержащий Р3, назвать параллактическим членом.
§ 7.05. Порядок величин е, ех, a/ai и tn
Малые величины, входящие в выражение для R, приближенно имеют следующие значения:
1	1	,	1	„	1 а 1
е~ 20’	в|—60’ Т = ц • т~ 1з’	— 4оо •
Мы будем считать первые четыре величины малыми первого порядка, a alat — величиной второго порядка. В дальнейшем в выражении R мы будем опускать члены, имеющие порядок более высокий, чем член, содержащий Р3, и для удобства положим
/? = /?24-Я3.	(I)
где
=	(2)
134
Глава 7. Разложение возмущающей функции
И

<21 О. \ Г1 /
(3)
Следовательно, величина /?2, содержащая множитель т2, имеет второй порядок, а величина /?3, содержащая множители т2 и а/аг, имеет четвертый порядок малости.
§ 7.06	. Разложение возмущающей функции в теории движения Луны
1)	Выражение возмущающей функции через г, X и $.
На рис. 17 изображена небесная сфера с центром в Земле Е. Большой круг у NT с полюсом в К соответствует основной плоскости
(плоскость эклиптики), которая была определена в § 7.03, Y — фиксированная точка в гтой плоскости, от которой измеряется долгота, М— положение Луны и Т — точка в основной плоскости, лежащая на прямой, проходящей через Е параллельно CS (рис. 16). Кроме того, S— геоцентрическое положение Солнца на этой сфере.
N — узел мгновенной орбиты Луны, наклонность которой равна /. Долгота Луны, обозначаемая через X, в основной плоскости есть ТХ, а широта Луны 0 равна ХМ. Долгота точки Т есть ХР Поэтому ТХ — \— X]. Кроме того, дуга МТ равна углу а (СМ. рис. 16).
Из прямоугольного треугольника МТХ имеем
cos а == cos (X — Xj) cos 9.
Положим
S = tg0,	(I)
§ 7.06. Разложение возмущающей функции в теории Луны
135
Тогда в обозначениях § 7.02
с = cos а
cos (X — X,)
(2)
Это равенство дает нам возможность выразить полиномы Лежандра Р2, Р3 через X, X, и $.
Далее, из треугольника MNX находим
1g 0 = tg I sin (X — 2) или
s = 7 sin (X — 2),	(3)
где
7 = tgZ.	(4)
Таким образом, величина $ имеет порядок 7. Поэтому мы можем разложить с в ряд по степеням $ и затем получить таким же образом разложения для Р2 и Р3. Мы тогда найдем, что R2 и R3, определенные формулами (2) и (3) § 7.05, даются в виде
R2 = | mW	[ 1 — 3s2 + 3 (1 — s2) cos 2 (X — XJ]	(5)
и
—y-»!)c°s<x-x‘)+
-4-5 (1 —у s2^c°s3(X —Xj)].	(6)
В невозмущенном движении радиус-вектор г и истинная аномалия / с точностью до членов порядка е3 включительно даются формулами (14) § 3.11 и (11) § 3.10, т. е.
£• = 1 4- е2 — (е — у е3) cos М — е2 cos 2А1 — у е3 cos ЗЛ4,	(7)
f = M-j-^2e —e3)sin	e2sin244 + е3 sin ЗЛ4,	(8)
где М — средняя аномалия, определяемая по формуле
М = nt + е — <о.	(9)
2)	Выражение через элементы.
Из ДМА/Х (рис. 17) находим
tg (X — 2) = cos I tg (J -]- <o).
Положим для простоты
V = X-2, F = /4. ш, x = tg±.
136
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Тогда
	ь v	1 + X*
откуда	^-1 _ 1-х2 ^-1
	e2iV4-l	1-|-х2	в2,/, + 1’
где / = У—1 . Далее получаем	1 д- Л-2г/? „21 (V—F)	 l-f-X-e ~ 1+Л2^ •
Прологарифмируем обе части этого равенства и разложим в ряд по степеням х. Мы получим
V = F — x2sin2F4-’2'Jlf4sin4/:'— ... .	(10)
Но
откуда с точностью до ?1 находим
v*2  _1_ ~2_L
Х	4 ‘	8 1 •
С точностью до членов порядка ?3 формула (10) примет вил
X — 2 = /-1- о, — 1 T2sin 2 (/+ ш).
Так как <о = ш — 2, то из формулы (8) с точностью до членов третьего порядка получим
X = nt —|— е —2е + -||e3sin3Af- где	 е3j sin Л1 + -j- е2 sin 2.41 4* — -j- у2 sin 2q — i e-{2 sin (М + 2у) — - е?2 sip (М — 2т;),	(11) т) = п/4-г—2.	(12)
§ 7.06. Разложение возмущающей функции в теории Луны
137
Аналогично для координат Солнца относительно С (рис. 16) или координат Т относительно Е (рис. 16) имеем
rj = а, (1 — «J cos Mj +	е2 — е2 cos 2Л41) *	(13)
k, =	4-6, + 2e1 sin	+ 4 eisin 2Air	(14)
Из формул (3) и (11) с точностью до членов третьего порядка находим
s = (l —е2—-|-72^7 81п7)Ч-«7 51п(Л1 + 7)) +
-|- еу sin (М — 7i) + у е2Чsin (22И — т))4-
4--|-e2fsin(2M-|-71) — -g- 73sln3T].	(15)
Нужно заметить, что rt и kt отличаются очень мало от геоцентрического радиуса-вектора Солнца Aj и его геоцентрической долготы X'. Из рис. 16 видно, что Д] «г, (14-xcosa), где х = р/гР Но так как М[Е —1/81,5, г «384 000 км, то р«4600 км и х«3-10-б«6". Если Да означает на рис. 16 угол ESC, то Да = х sin а. На рис. 17 МТ = а, ST = ba.. Если ф означает угол МТХ, то, пренебрегая ?2 и эксцентриситетом, получаем
к' — kt = Да cos ф = х sin a cos ф = — х sin (tq — -rfo).
Кроме того, широта Солнца 9' дается формулой
9' = Да sin ф = х sin a sin ф — ху sin т;,
в которой ху « 3 • 10~6 « (у) .
3)	Пусть ? определяется формулой
S = (/f — «1)/ + е — sP	(16)
Тогда из равенств (11) и (14) имеем
к — kj = 5 + 2 (е sin /И — в] sin Л^) +
+ (е2 sin 2/И — е2 sin 2М J f2 sin 2т).	(17)
Если равенства (7), (13), (15) и (17) подставить в формулы (5) и (6), то первые два слагаемых возмущающей функции R2 и R3
138
Глава 7. Разложение возмущающей функции
примут вид
R2 = mW { | + {(*2 + ~ I2) + . (3	15 2	15 2	3 2\ о- i
+ (4—8"в -Т в1—8 T2jc°s2; +
е |^у cos (2е + А!) — i- cos М — у cos (2? — А!)] 4~
4- et [у- cos (2? — A1t) 4-	cos 2Hj — у cos (2е 4- М0J 4-
4- е2 [-у- cos (2; — 2/И) +1 cos (2е, 4- 22И) — | cos 2/И]4-
4- е\	cos (2е — 2Л1,) 4- у cos 2Afj] 4-
4- еех [у cos (2е — М 4- Л^) 4- -у- cos (2е 4- М — А1() —
— | cos (М 4-Mj) — у cos (2? 4-М 4-AQ ~
— у cos (2И — 2И,) — у-cos (2S — Af — Afj)]4-
4-у I2 lcos (2; — 2t])4-cos2i)]|	(18)
И. с достаточной для наших целей точностью,
=	(^-) (3 COSе 4-5 cos 30.	(19)
Если разложение для R требуется довести до более высоких степеней е, и у, то легко видеть, что R может быть представлена рядом с общим членом вида
Arp cosqf • г~р< cos qxfx-\-BrP sin qf • r~P's\nqxfv
где p, pv q и qx — положительные числа, такие, что р > 1 и Р1 > 2. С помощью формулы (15) § 3.09 член rp cosqf, например, может быть представлен рядом вида У Aj cos JE. Затем cos JE в соответствии с формулой (7) § 3.11 можно представить в виде ряда 2^*cosA;A1. Окончательный результат запишется в виде ряда 2 С cos 6, где С — функция от a, av е, q и у, а
О = /М 4- /jAf 14~ /2 4~	4- k& 4- AjiSj.
Здесь величины I, /Р J, Jv k, kx — положительные или отрицательные целые числа, в том числе и нуль.
§ 7.07. Возмущающая функция в теории движения планет
139
§ 7.07. Возмущающая функция в теории движения планет
В теории Луны, как мы только что видели, разложение возмущающей функции начинается с разложения по степеням г/гр а затем производится разложение по степеням е, ер f и В теории движения планет отношение г/г, (или а/а,) может быть значительным по величине. Например, для Венеры и Земли это отношение равно 0,72, а для Юпитера и Сатурна оно близко к 0,5. Очевидно, чтобы получить точность, сравнимую с той, которую дают наблюдения, нужно было бы взять очень большое число членов в рядах степеней а/ах (или aja, если а > а,). Поэтому сначала R разлагается в ряд по степеням эксцентриситетов и наклонностей, которые рассматриваются как величины первого порядка малости (обычно самое большее 0,1), а затем переходят к разложениям по степеням а/а, или аг/а.
Величина Л выражается через гелиоцентрические координаты следующей формулой:
Д2 = (х — х,)2 4- (у — у,)2 Ч- (.2 — 2,)2.
причем z/a и г/ах имеют первый порядок малости относительно т и f, соответственно.
Пусть М на рис. 17 изображает теперь планету Р, эклиптическая долгота которой Х = Д/А’, широта 0 = А"/И, а X, и 9, — соответствующие величины, относящиеся к планете Pv
Пусть р и р,— проекции г и г, на плоскость эклиптики; тогда
х2 + у2 == р2, X2 + у2 = Р2. xxi 4 уу, = ppt cos (X — XJ. Пусть, далее,
X — Xj == о, Д2 = р2 — 2ppj cos о 4- рР Тогда
Д2 = Д? + (г-21)2.
Следовательно, = J_______________________1 (г-*,)2 , 3 (г-г,у
Д Д, 2 Д® 8 Д’
С другой стороны, второй член в R равен
_ От.	+	0	t,, со.«+№ =
(о cos a	zz,	3	cos а
?1	Pi	2	₽1
3 zz\ 15 рг, cos о \
О л® I ft rfi	* ’ * / *
2	8 Р]	/
(1)
(2)
140
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Разложения (2) и (3) могут быть получены с любой степенью точности относительно малых величин z/a и Zj/a,. В последующем мы разложим R до второго порядка относительно малых величин и в соответствии с этим из разложений (2) и (3) будем иметь
R 1 р cos о 1 (г — ггх 3 pz? cos а
Р? 2 Д® ’ТГ+ 2 ~“pj	(4)
§ 7.08	. Разложение р, о н я
1)	Из рис. 17 (стр. 134) имеем
sin 9 = sin I sin (L — 2),
где L — истинная долгота планеты, равная Т W -|- NM. Далее, с точностью до малых второго порядка находим
р = г cos 9 = г — г sin2I sin2 (L — 2).
Во втором члене, не изменяя порядок величин, мы можем заменить г на а, £ на л/4“ 6 и sinZ = (tgZcos/) на 7; таким образом, с точностью до членов порядка р будем иметь
р = г — a?2 sin2 (nt 4- s — 2) = г — ay2 sin2 vj.
Тогда, используя формулу (7) § 7.06, мы с точностью до членов порядка е2 получаем
£= 1 4- е2 — у2 — ecos Л4 — e2cos2A4 4- j 72cos2t).	(1)
2)	Выражение для X с точностью до членов второго порядка дается формулой (11) § 7.06. Выражение для X! дается аналогичной формулой. Тогда о (=Х — Xj) определяется по формуле
о == nt -f- е — (ntt 4- £i) 4~ 2е sin М — 2е, sin Л414-
4--|-e2sln2Af — j eJsin2Af1 —-^-72sin27]4- -|-7i sin 2^. (2)
3)	Так как z = r sin 9, то можно написать
z = г sin I • sin (L — 2).
Далее, так как R, согласно формуле (4) § 7.07, содержит только zi, zzt и z2, то нам нужно найти выражение для z только до членов первого порядка включительно. Поэтому
z = a? sin 1).	(3)
Аналогично
z1 = a1T1sinT)1.	(4)
§ 7.09. Метод разложения R
141
§ 7.09	. Метод разложения R
Мы положим
р = а(1Н-и), Р1 = Л1(1+«!).	(1)
« = <?+«.	(2)
где ’) <? = в/-Н — (Л1/_|_в1).	(3)
Из формул (1) и (2) предыдущего параграфа следует, что и, их и v — все величины первого порядка малости. Фактические выражения для и, uv v через е, еу т и могут быть получены из этих двух только что упомянутых формул.
Согласно формуле (4) § 7.07, R есть функция р, рр в, z и z,; и если мы обозначим через /?0 такое значение возмущающей функции, которое она принимает при нулевых значениях и, иу v, z и zy то из равенств (1) получим, например,
( дЯ \ _ dRt
\ др ) да ’
где (dR/др) означает величину производной dR/dp при нулевых значениях и, иу V, z и Z]. Аналогично
\ др da ) да др
и т. д.
Разлагая R в ряд Тейлора, мы с точностью до ма.:ых величин второго порядка будем иметь
-4-—(ай)2 -^ф -4- - (а,и.)2 -^ф-4- - V2 -^ф 4-
2	' да2 2 ' * М да2 ^2 д<р2
+(*«)(*i«i) та? +	(4)
плюс члены, зависящие от z и zy При этом
Яо 1 a cos <? _	---------- ,	(о)
4о < где
До = л2— 2aai cos ?а?.	(6)
') В теории Луны, как видно из формулы (16) § 7.06, вместо <р была принята величина ».
142
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Члены в R/Gm^, зависящие от z и zt, имеют второй порядок и на основании формулы (4) § 7.07 они могут быть теперь записаны в виде
1 (г — гЛ2	zz, 3 «г?cos?
-т-Нг2—jr+j—------------	<5 * 7>
* а0	Л
Разложим 1/Д0 [первый член в формуле (5)] в ряд Фурье:
l^o+j^cos/K?.	(8)
Л»1
Аналогично множитель 1/Д®. входящий в первый член формулы (7), будет представлен рядом вида
|со+Sc»cos/i<p.	(9)
л«1
Далее, если мы, например, найдем dRJda и d^Rjda2, то мы получим выражения, содержащие 1/До и 1/До. Кроме того, из формул (4) и (6) следует, что, если нам потребуется разложение для R до порядка выше второго, мы будем иметь члены, содержащие множители 1/До, 1/До и т. д., которые могут быть представлены рядами вида (8) или (9).
Мы будем считать, что а > а, и положим
-5- = а	(10)
и
D—\—2а cos <р 4-а2.	(11)
Тогда
1111	МОХ
До ~7d^' aW И Т> д'	( 2)
Будет полезно получить разложение функции (1 — 2а cos <р 4- а2)”*,
где s имеет вид «4“ Vs. причем п — положительное целое число, включая и нуль.
Перед тем как заняться в следующем параграфе этой частной задачей, мы приведем с точностью до членов второго порядка разложения для величин и, v, и2, ..., UjV, входящих в качестве
§ 7.10. Разложение (1 — 2а cos q> + а2)-’	143
множителей в разложение (4) для R. Эти разложения имеют вид и = — е cos М 4~у е2— —72— е2 cos 2М 4-1 у2 cos 2-rj,	(13)
“i = — «1 cos Л4,4- у е2 — 72 — у е2 cos 2Мг 4-j 7?cos 2V (14) и2== | e24-ye2cOS2M,	(15)
«2 = 1 е2 + 1 e2cos2A4lt	(16)
««! = -1 еех cos Ср — 5 4- ®1) + cos (Л4 4- Л4,).	(17)
v = 2е sin М — 2е, sin ЛТ, 4- 4 e2sin 2М — 4 е? sin 2Л4, — 1	4’4	4^	1
— 4l2sin2,! + i7isin2V	(18)
ит> = — e2sin244 — ee1sin(<p— S4~5i) + eeisin(A14-M1),	(19)
u^v = e2 sin 2Afj — eex sin (cp — <5 4~ <4) — ее, sin (Л4 4~ M,)	(20)
и далее
2i = Tai7i~ |^cos4.	(21)
zzi = 4 aai77i cos (<F — 2 + 2i) — 4 flai77i cos 014- ^1). (22)
(? — zx)2 == у a2;2 + 7 ai7i ~ 4 л2!2 cos 2 q — 1 a2f2 cos 2^. (23)
Подставляя эти выражения в формулу (4) и предполагая, что величины
д/?0 дЩ> да ’ ' ’' d<ii d<f
разложены в периодические относительно <р ряды, мы путем перемножения таких величин, как и и dR^da, получим разложение R в виде периодического ряда до второго порядка малости относительно эксцентриситетов и наклонностей.
§ 7.10. Разложение (1 — 2«cos?4-«2)~*
Пусть z = e’?. Тогда 2cos<p = z4-^-1 и
£) = (! — az)(l — az"1),	(1)
144
Г лава 7. Разложение возмущающей функции
поэтому
D“'==(i — 2acos? + a2)_;E = (l — аг)"\1 —	=
= р _|_ sa_z _|_ -s<s + 1> а222+ £(£+0£+2). язгз	. . . ] х
X [ 1 + м*"1 + 5-^±^ а2г~2+? (s + !>,(s+2) аЗг-з+ . 1 (2) или
d-5=1bJ+12bX^+^”)-	(3)
Л=1 где
уВЗ= 1 +Л2+ к(!±г1)1г а4+ ...	(4)
и
1 dj s(s-f-l)... (s-J-л — 1) „п у
2^л—	„|	а X
Г.  S з + « 2 I S(S+D (s+n)(s + « + l) .,4 I I /=ч
ХГ + 1 «4-1+ 1-2 (n +1) (n + 2) “ + •••]• W
Так как a< 1, то ясно, что ряды (4) и (5) сходятся.
Очевидно, что равенство (3) может быть записано в виде
d~s=^ 2 B«zn>	(6)
Л = -00
где п принимает все целые положительные и отрицательные значения, включая и нуль. Также очевидно, что
В1л = ^л-
Из равенства (3) мы имеем
О"* =4^+2# cos л?,	(7)
л=1
а это и является требуемым разложением.
Коэффициенты Bsn называются коэффициентами Лапласа. Из формулы (5) видно, что все они положительны.
Разложение (5) можно записать в виде
1	= s(s + l)	(s + n-1)	(s> s + n< n + j. a2)(	(8)
f* I
§ 7.11. Интегральные формулы для коэффициентов Лапласа 145
или, на основании формулы (2) § 3.04,
1 OS 8 (S -f- 1) . .. (s 4* n—1) T °n ~	л!
X F 1 — в 4- i; -
(1 — a2v X
(9)
Разложение (2) может быть немедленно получено из формулы (12) § 3.09, если положить в ней q = 0 и заменить р на —а, а р — на а.
§ 7.11. Интегральные формулы для коэффициентов Лапласа
Умножая обе части равенства (7) § 7.10 на cos»? и интегрируя в пределах от 0 до к, получаем
й1 -1 Г cos	/1 ч
п nJ (1—2a COS 4” а2)* ‘
о
В частности, когда $ = */2, имеем
B4,=— f cos я<р	(ЧУ
п я J (1 — 2a COS <f -f- а2)'/’	'
Затем из формулы (5) § 7.10, полагая в ней s = i/2, находим
1 o'/s_Г 1*3... (2л	1) . 1	1 • 3 ... (2л 4~ 1) „2 ।	1.
2 " L 2-4... 2л "f" 2 ’ 2-4... (2л4-2) т" • ••]
и, принимая во внимание известную формулу о
получаем
уВ^ = ая J sin2" ср(1 -|-sin2 <р + sin4 tp-f- .. о	'
так что
f z Sln2n?dy « J /1 _ e2 sin2 <?
Интересно заметить, что из равенств (2) и (3) мы имеем
* w
/cos лу dy____________f sin2” у dy
о “2e cos у a2 J 1 — a2 sin2 у
(3)
(4)
Ю У. Смарт
146
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Из формулы (3) при п — 0 находим
где
| Г	= — F (а),	(5)
п у )' 1 — а2 sina ? п
г.2
Г(а)==[_Д_	(6)
J У 1 — a2 Sin2 <Р
представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Кроме того, когда п = 1. то
я J Y1 —a2 sin2 <р  я/2	я/2
/	/о—’swT)^ =
= ^[F(a)-E(a)J.	(7)
где В (а)— эллиптический интеграл второго рода.
Численные значения В (a), В (а) могут быть найдены по таблицам для этих функций, библиография которых приводится в «Указателе математических таблиц» Флетчера, Миллера и Розенхеда (см. примечание на стр. 64)1).
§ 7.12. Различные формулы для коэффициентов Лапласа
1) Из формулы (6) § 7.10, заменяя в выражении для D 2 cos ср на д + д-1. мы имеем
00
[1+а2-а(г + д-1)]-4 = |2в^л.	(1)
— 00
Продифференцировав это равенство по г, получим
00
as(l -z-2)[l+a2-a(z + ^-*)ri’1 = 42rtB«z'’"1’ <2>
—00 откуда
as (z — z "») J Bsnzn = [ 1 + a2 — a (z + z "»)] 5 nBsnzn.	(3)
*) См. также: А. В. Лебедев, P. M. Федорова, Справочник no математическим таблицам. Изд-во АН СССР, 1956. — Прим. ред.
# 7.12. Различные формулы для коэффициентов Лапласа 147
Приравняем в обеих частях равенства коэффициенты при zn~x. Тогда as (В’_2 - В0 = (п - 1) (1 + a2) В°п_х - а [(« - 2) В;_2 + пВ5п\, откуда
=	(4)
Стало быть, если значения Во, В\ известны, то значения В2, Вз, ... могут быть последовательно вычислены. В частности, когда s=V2, значения В2’, Вз‘, ... могут быть легко найдены последовательно из значений коэффициентов Во’, В'/’, полученных из таблиц эллиптических функций, как уже упоминалось в предыдущем параграфе.
2) Мы можем записать равенство (2) в виде
as (1 — г"2) 5в^+,дл=	(5)
— СО	—со
Приравнивая коэффициенты при дл-1, находим, что
nBsn = as (B^t1! - В^Д)-	(6)
Заменяя в фор муле (4) п на п 4- 1 и s на s -f-1. мы будем иметь
аВ^\ = —Ц. [я (1 4- а2) ВГ1 - а (« + s) ВЭД.
Поэтому формула (6) примет вид
В„ = 7ZT?	- (1 4- а2) В3+(7)
Заменим в этой формуле п на »4-l« Тогда она запишется в виде
[2аВ*+1-(1 4-а2)В#1).	(8)
Исключив B^t’i и BJ+i из формул (6) — (8), мы получим
д,+1	(«4-5)d4-«2)BJ-2(n-s4-i)aB’+1
В„ =--------------Г(Г=^гр------------•	(9)
Эта формула дает возможность нам вычислить значение B„+1, когда значения Вл и В„ц известны.
Совокупность формул (4) и (9) дает возможность вычислять коэффициенты Лапласа, когда численные значения В$ и в'/’ получены из таблиц эллиптических функций или каким-либо другим способом.
10*
148
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Заменяя в формуле (4) п на п +1 и используя затем эту формулу для исключения Вл+1 из формулы (9), найдем, что последняя примет вид os+1	+
вл =---------------’	<10>
Эта формула и может быть использована вместо формулы (9) для вычисления Bsn+\
Кроме того, из формулы (9) и формулы, полученной из (9) путем замены п на п 1, мы легко найдем, что
s (1 + а2) В’+’ - ^SBsn\\ = {n + s) В3п.	(11)
§ 7.13. Производные от по а
1) Продифференцируем формулу (1) § 7.12 по а. Тогда будем иметь
— з (2а — z — д"* 1) В$+1гл =
—со	—со
откуда, приравнивая коэффициенты при гя, получаем
т=з да+вй - 2да).	(1)
Используя равенство (9) § 7.12, выразим Вл1* через Вл-1 и Вд. Далее, по формуле (10) § 7.12 выразим ВЛХ1 через Вл и B^+J и Вл+1 через Bsn-i и Bsn. Наконец, по формуле (4) § 7.12 выразим B^+i через B^-i и В„. Тогда формула (1) примет вид
{2 (« + з - 1) BJ-1 + [2аз - « (а + а’1)] В*л). (2)
Как формула (1), так и формула (2) могут быть использованы для вычисления dB^da..
2) Чтобы найти вторую производную от коэффициента Лапласа, воспользуемся прежде всего формулой (7) § 7.10, именно
(1 —2acos<p+a2)“'*= -g-Bo + B^cosncp.
1
Продифференцируем ее по а. Тогда
2s(cos<p — a) 1 dBs0 у, dBsn ---------------— =	1- у,	cos rt<₽. (1 — 2aCOS?-f-a2)s+1	2 da--da
J 7.13. Производные от Bsn по а
149
Продифференцировав по а вторично, будем иметь 4s (s 4~1) (cos ? — а)а — 2s (1 — 2а cos у 4~а8) ____
(1 — 2а cos <р + ®’)f+2 1	<?В>п
— 2 da» 44 da» C0S ”'?•	(3)
1
Левая часть этого равенства может быть записана в виде
2s (2s 4-1) 4s (s 4-1) sin2 ч j^S + l	£)5+2	*
Первый член выражения (4) равен
2s (2s 4- 1) (15o+1 + £ B«+1 cos n<f 1.	(5)
\	i	/
Продифференцировав выражение
D-,-i ш|	j^+i cos
i
ПО ф, получим
Умножим обе части этого равенства на sincp и выразим sin Яф • sin <р через разность двух косинусов. Тогда второй член в формуле (4) примет вид
СО
~7^л^+1 [««(я —О? —cos (я4-1) ф] 1
или
оо
- т 2 [(я 4-1) *5+1 - (я - 1) ^-i] cos Яф. (6) 1
Поэтому, приравнивая в формуле (3) коэффициенты при соэяф и используя формулы (5) и (6), мы получаем
= 2s(2s4- 1)ВГ’--[(я4-	—(я — 1)В£1]. (7)
Легко видеть, что эта формула имеет силу также и при я —0.
150
Глава 7. Разложение возмущающей функции
§ 7.14. Разложение функции R
Члены нулевого порядка в разложении (4) § 7.09 для R даются формулой
a cos?	..
Gmi До а.
Разлагая 1/Д0 = (аО)-'/2 в ряд и полагая a = aj/a, мы для этих членов получим
i	+| (В? - -3-) cos <р+12 В* cos пер.	(2)
Л»2
И
Для членов первого и второго порядков нам потребуется dR^da т. д.
Из формулы (1), опуская временно множитель 1/Omv имеем
dRa да
dR0 да1
d / 1 \	1
^U)_^coscpi
д/?0 _ <? / 1 д<( \ Ду
Рассмотрим сначала (д/да)(1/Д0). Прежде всего имеем д / 1 \ д I D~'h \ д г 1 I 1 оч, . v о'/»	\1
Коэффициенты В являются функциями a=sa,/a. Поэтому д / 1 \	1 / и dB'l1 \	1 ’кт / и йВ'п \
^(д7)=-2^(^’+ат/-^-1(в«+ат)СО8«'Р-л=1
Следовательно,
dR0 да
1 2а2
(в£+а
+B/’+a-^r)cos?—
1 VT / и dB'J? \
—L I5»1+а it) cos л=2
Аналогично
dRo 1 dBft 1 / 2 dB*\	1 v dB*
да, — 2a2 da + a2 \ a’ da J cos ? + a2 2^ da cos rt<?’ Л»2
=i(i-B*/2)sinISnB'»sln• rt=2
§ 7.14. Разложение функции R
151
1 v /	,, dB% п d2B% \
+-£F 2 (2B/’ + 4a	+ «2	) cos«?,
Л = 1
d2/?0	1 d?B%	1 / 6	d2B'[2 \	1	d2B'!>
---5“ = —T------5------Г ( “T--------2- ) cos ?+ “з 71------5-COSn'p, da?	2d3 da?	a3 \ a4 da2 /	a3	da?
1	Л = 2
d2/?0 d«j>2
d2P0 da dax
1 /1_ a I a2 t
2a3 \ da
1 ( 2
as \ a3
dB'n 2	" 1
<?R0 dad<f
d2Rp dat d<f
j cos <? — -j 2 «2£л cos n<p, л=2
+ a"da*_/ +
dBty d2Bfi \
-a-d^-/COS<?~
d2/# \
\z-dr-t-a-d^-ros/l^
Л = 2
1/1	1/ dB'y2\
(^- + Bi/a + a-5r-)sin<(> +
1 Vi / i/ dBfy \
\rtB« + rta"dT) sinи<?’
Л = 2
1 ( 2	dB'/>
a2 \ a3 ~l da~
a2
dB'n
л =2
Поскольку значения и, ux......uxv найдены в § 7.09, мы теперь
можем представить au(dR(Jda).....axuxv{d2RQldad<f) в виде перио-
дических рядов вплоть до членов второго порядка относительно малых величин е, ех, 7 и fj и с достаточной степенью точности относительно а. Степень точности зависит от численного значения этой величины.
Рассмотрим теперь члены в возмущающей функции, содержащие z, гх. Эти члены, согласно формуле (7) § 7.09, таковы:
1 (г — г.)2 zzx 3 аг?
-------------------гЧ------coses. 2 ДЗ аз “Г 2 аз Y
gg\
(3)
Первый член равен
2^3- — *i)2	+В*1г cos <F + Т в*п’’cos	«
\	Л=2	/
152	Г лава 7. Разложение возмущающей функции
и если вместо (z — Zj)2 подставить его выражение из формулы (23) § 7.09, а произведения косинусов преобразовать в суммы косинусов, то в результате получим
- i (? + Л?)	+ £ пХ2 COS (2 - 20	(4)
плюс различные периодические члены.
Второе слагаемое в формуле (3) дает члены
“ i “Hi (cos (ср — 2 + 2,) — cos (т) + tjO],	(5)
а третье слагаемое в этой формуле — члены
31?
[2 cos <р — cos (<? — 2т)0 — cos (ср + 27)01.	(6)
§ 7.15. Непериодические члены W возмущающей функции
Ва киую часть разложения R составляют непериодические члены’). Обозначим эти члены через N.
Члены нулевого порядка — формула (2) § 7.14 — и члены, которые включают в себя координаты z, zv т. е. формулы (4) — (6) § 7.14, дадут в NjGmx следующие слагаемые:
i (12+cos (2-2^.	(1)
Непериодическими членами, происходящими от аи {dRJda)...........
являются:
аа^г:-^-<2е2-^(^’+а-
<^0	“/0 2	24 dB'£
a'Ui да, • 8a (2ei ~~ ^1) da ’
1 diRc, е2 ( ,, dB'h
• 85-	+4a
1	, d2Ro *? ,
2 ' da2 8a da2
*) Автор называет .непериодическими* такие члены разложения возмущающей функции, которые не содержат множителями тригонометрических функций средних аномалий возмущающего н возмущаемого тел. Заметим, что в современной литературе по небесной механике такие члены чаще называются „вековыми*. — Прим. ред.
£ 7.15. Непериодические члены N возмущающей функции 153
2 V ~д^~ '-------а~ (? ~ В]) COS (ю “ ю1>’
д2Я0	ее, ( 2	л	dB* „ d2B* \	„	~
аи • а,а, , .	: I -s-----2а	—-.---а? . , I cos (и	— шЛ,
* * дадщ 4а \ a3 da	dv /		*'
д2Я ее ( 1	„ dBty \
au • v -j , : — I 4- Bi1 -4- а — I cos (co — w,), dad<t 2a \ a* '	' da / v
d2R aee, ( 2 dB* \	~	~
a,u, • v -s—s- : -=— I -г -+- —j— I cos (w — w,). 1 1 dai d<p 2а \ a3 1 da j v
Объединив все эти члены, мы будем иметь
Gmt 5а d 8а V ' v \ da
j-^-B^cosCS-Q,).
(2)
Приступим теперь к упрощению выражения (2). Полагая « = 0, $ = «/2 в формулах (1) § 7.13 и (7) § 7.13, мы получаем
^-=в^-аВе-.	(3)
4^ = 2В5'’-|в;Ч	(4)
Аналогично, полагая п = 1, 5=1/г в тех же равенствах, мы будем иметь
Т = I (^'2+ ~ 2яВ'2)’	(5)
d2B'l*	1 ,,
Из формул (3) и (4) следует, что коэффициент при е2/8а (и при е2/8а) в выражении (2) равен aBj\ а из формул (5) и (6) — что коэффициент при еех]4а равен—аВ^’. Из равенства (3) видно, что коэффициент при —f2/8a представляет выражение
(1	a2) Bj’— aBf2 — В^‘,
154	Глава 7. Разложение возмущающей функции
Но из формул (9) и (10) § 7.12 имеем
°°	(1—а2)2	’
o,lt 2аВУ’-(1 + а2)ву. 751 —	(1—а2)2
Отсюда
(l+a2)Bd» —2аВ? = В^.
Следовательно, коэффициент при — ?2/8а в формуле (2) равен аВУ’, а равенство (3) показывает, что коэффициент при —12/8а также равен аВ’/’.
Подставляя эти величины в формулу (2), мы найдем, что непериодические члены W возмущающей функции выражаются формулой
N =	{4В‘А +	К + el - т2 - т2 + 2П1 cos (2 - 2,)] -
— 2аее1Вг'2 cos (ш — <*>i)} •	(7)
Так как а = а1/а, то формула (1) § 7.11 может быть записана в виде
Я
R1__ 2_ 2s Г____cos n<f d<f_
п я J (а2 — 2aat cos <? -f- aff
Этот интеграл является функцией, симметричной относительно а и ах. Запишем его в виде (it/2)P£. Тогда
В^ = Л* и
^в?=4₽г-«с.
^В?-=|««,Р?’=О.	(8)
В?-=!««,₽?= В.
где С, D и Е—симметричные функции а и аг Мы можем теперь записать N следующим образом:
N = Gmx {4С + [е2 + е2 — ?2 — ?2-|- 2уcos (2 — 2])] D — — 2e^jB cos (w — wi)}.
(9)
# 7.16. Доказательство периодичности членов Gmtr cos S/r|
155
Это выражение N нам потребуется в гл. 13. Нам потребуется также неравенство D > Е, которое может быть получено следующим образом. Из формулы (9) § 7.12 имеем
(1 _ а2)2	_ В^) = 3 (1 Н- а2) BVa — [6а + 5 (1 + а’)] В'А 1 ОаВ^.
Положив в формуле (4) § 7.12 л = 3 и $ = >/2, найдем выражение для В'з и подставим его в последнее равенство. Тогда его правая часть приведется к выражению
которое является положительной величиной, ибо все В — положительны. Поэтому В*[г > Bj', т. е., согласно формулам (8),
D>E.	(10)
§ 7.16. Доказательство того, что
часть Qtnxr cos Sjr\ возмущающей функции содержит только периодические члены
Во всех разложениях возмущающей функции, которые мы до сих пор получили, среди членов второй части функции R до второго порядка относительно эксцентриситетов и наклонностей включительно отсутствуют непериодические слагаемые. В теории движения планет непериодические члены представлены формулой (7) § 7.15 для N. Мы теперь покажем, что это частное свойство является общим; другими словами, оно является верным независимо от того, какого бы рорядка члены разложения R мы ни рассматривали. Для простоты в обозначениях формулы (9) § 1.07 напишем
7?' = -!^^-,	(1)
ri
где S — угол между радиусами-векторами двух планет.
Формулы предыдущих параграфов показывают, что R' может быть разложена в ряд вида
/?'=2 2 [Cp.jCosCpAf-j-^AfO + Sp	(2)
р ?
в котором М и Л4]—средние аномалии, коэффициенты С и S не зависят от М и Л4Р а являются функциями а, е, I, S, ш и соответствующих элементов возмущающей планеты, q — положительные и отрицательные целые числа, включая и нуль, а р (без ограничения общности) — положительные целые числа или нуль. Непериодическая часть в формуле (2) равна С010.
156
Глава 7. Разложение возмущающей функции
Рассматривая М и Л1, как независимые переменные, мы из равенства (2) немедленно получаем
2п
J /?'rfAlj — 2я (С/;, Ocos pAl-j-S^oSin рЛ1).	(3)
о	Р
Далее, для возмущающей планеты имеем
= ^ = пха\ /1—в? == пхс.
или так как Л11 = п1, то
cdMi
ri
Поэтому из равенства (1) находим
2п	2«
J R'dMx=^f cos5d/r	(4)
о	о
Пусть на рис. 18 АХВРХ— большой круг с центром в Солнце, по которому плоскость орбиты планеты Рх пересекается с небесной
сферой и пусть Л, — перигелий, так что Л1Р] = /1. Пусть далее а, ф суть координаты планеты Р относительно АХВРХ. Тогда PPX = S, BPx = fx— а и ВР = ф. Следовательно,
cos S = cos ф cos (/j —а), и так как а и ф не зависят от положения Рх, то 2я	2«
J" cosSdfx = cosф J* cos(/i—a)dfx — 0. о	о
§ Т.П. Замечания относительно разложения возмущающей функции 157
Поэтому из равенств (3) и (4) будем иметь
2 (Ср> о cos рМ 4- Sp, 0 sin рМ) = 0. р
Последнее равенство справедливо при любом М\ поэтому для всех значений р имеем
Ср, о = $Р, о = 0.	(5)
В частности,
Cq, о= ^о. о ~
а это равносильно утверждению, что R' не содержит непериодических членов.
2»
Очевидно, что если бы мы вычислили интеграл J R' dM, вхо-0
дящий в равенство (3), то мы пришли бы к результату, аналогичному равенству (5), именно
co,? = So,? = O.	(6)
Равенства (5) и (6) показывают, что общее разложение R' дается формулой (2), где q — положительное или отрицательное целое число, р — положительное целое число, причем нулевые значения р и q исключаются.
§ 7,17. Общие замечания относительно разложения возмущающей функции
Если возмущающая функция разложена в периодический ряд относительно времени как независимой переменной, то рассуждения, приведенные на предыдущих страницах, показывают, что общий член этого ряда имеет вид
С cos (IM -I- ijMj	Ч- /214~	4- ki<5]),	(1)
где M = nf-f-e — <B, A41 = n1Z4-ei— <йр C — функция a, ax, e, ev 7 и Tp a I, lv J, jx, k и kx—положительные или отрицательные числа (включая нуль). Легко видеть, что вообще С является рядом по степеням е, ev 7 и 7Р и если мы предположим, что каждый из этих элементов имеет один и тот же порядок малости, то порядок малости коэффициента С будет e'e^f^', где а 4-<*i 4~ ? 4~ Pi — наименьшая сумма индексов членов упомянутого ряда.
Уместно выяснить порядок малости отдельного члена вида (1). Для удобства мы запишем выражение (1) в виде
С cos [(Zn 4- Zjrtj) t-j- h],	(2)
158
Глава 7. Разложение возмущающей функции
где величина h зависит от е, ер 2, 2Р й, й, и не представляет для нас сейчас интереса.
Из предыдущих параграфов ясно, что члены возмущающей функ-
ции, не содержащие z и zv появляются в результате выражений
и
дар да^ d<fs
перемножения
(3)
Рассмотрим сначала последнее выражение. Если $ четное, то, как легко видеть, это выражение можно разложить в ряд, общий член которого имеет вид Ak cos fa?, а если $ нечетное, то выражение это можно представить рядом с общим членом Bftsinfcp, причем и Bs являются функциями от а и ар а
<Р = (п —п,)/4-е —еР	(4)
Рассмотрим теперь первое выражение (3). Общее разложение радиус-вектора по кратным средней аномали показывает, что порядок коэффициента при cosaAl равен еа; кроме того, если мы разложим р = г cos 9 и таким образом получим и, то порядок коэффициента каждого члена, содержащего cos(an/4~?)> относительно е или f будет снова равен а. Рассмотрим теперь величину и2, которая может быть легко разложена в ряд с общим членом С cos (pnt -j-q). Этот член может появиться в трех случаях.
1.	При перемножении периодической части в и и члена вида Сх cos (pnt 4~ q), если такой член имеется. Порядок величины С тогда будет по меньшей мере равен р.
2.	При перемножении членов вида
Сх cos (ап/ + р) и С2 cos [(/> — а) п/ + 8],
где р > а. Порядок величин С в этом случае будет равен сумме порядков Сх и С2, т. е. сумме а и (р—а), или просто р.
3.	При перемножении членов вида
Сх cos (ап/ + Р) и С2 cos [(а — р) nt 4- 8],
где а> р. Тогда порядок величин С равен сумме а и (а — р), т. е. равен (2a — р), что больше р.
Мы заключаем, таким образом, что порядок члена С cos (pnt -4- q) в «2 по меньшей мере равен р. Аналогичные рассуждения применимы к каждой степени и, к каждой степени их и к любой степени <о.
Далее, если мы разложим первую из величин (3), то получим при четном $ члены вида
С, cos [(рп 4- qnj t + 8] или C2cos {(рп — qnx)t 4-8,],
# 7.17. Замечания относительно разложения возмущающей функции 159
в каждом из которых мы можем рассматривать р и q как положительные целые числа. На основании предыдущих рассуждений легко понять, что порядок С] будет по меньшей мере равен p-\-q, а порядок С2— по крайней мере |/>—^|.
Если $ нечетное, то, заменяя косинусы на синусы, мы придем к тем же заключениям относительно порядков малости, что и раньше.
Рассмотрим теперь произведение двух величин (3). Если $ четное, то мы будем иметь произведение двух рядов по косинусам и их произведение будет рядом, содержащим только косинусы; если $ нечетное, то мы будем иметь произведение двух рядов по синусам, а их произведение будет рядом по косинусам. Мы рассмотрим только случай, который содержит произведение двух рядов по косинусам, поскольку рассуждения в случае произведения двух рядов по синусам являются аналогичными.
В результате перемножения двух величин (3) получим члены вида
Ceos {(рп -\-qn.^t 4- С]	(5)
и
C'cos[(pn — qn^t 4-C'b	(6)
в которых мы считаем р и q положительными целыми числами. Член вида (5) появится в результате перемножения члена
Со cos k-? = Со cos [(Лп — kn^)t-Сц]	(7)
и члена
С, cos {[(/>- Л)4-(?4-Л)«1]#4-С1}	(8)
или
С2 cos {\(р + k) п -j- (q — k) «J * 4~ У •	(9)
Далее, порядок величин С и С' в выражениях (5) и (6) совпадает с порядком величин С, и С2 в выражениях (8) и (9), так как порядок величин Со в (7) нулевой, ибо Со есть лишь функция от а и av
Рассмотрим следующие случаи:
1)	р > k, q> k. Тогда порядок величин С! по меньшей мере равен (р — А)4~(?4~^)- или />4~?- Аналогичный результат имеет место и для С2.
2)	р < k < q. Тогда порядок величин С, по меньшей мере равен — (k— р), или p-\-q, а порядок С2 по крайней мере равен (р4-k)4-(q — k), или p-\-q.
3)	р < k, q <k. Порядок величины С) по меньшей мере равен (q + k)— (k — р), или р4~?> а порядок С2 по крайней мере равен (р4-*)~(Л— ?). или p + q.
160	Глава 7. Разложение возмущающей функции
Следовательно, во всех случаях порядок величины С в выражении (5) по крайней мере равен p-\~q-
Аналогично порядок величины С' в выражении (6) по меньшей мере равен |р— ^|.
Подобные рассуждения применимы к тем членам в возмущающей функции, которые содержат координаты z и zv
Окончательно заключаем, что периодическая часть всзмущающей функции может быть представлена в виде ряда по косинусам, общий член которого имеет вид
С cos \(рп 4- qn^t-\- С], где порядок С, поскольку р и q рассматриваются как целые положительные или отрицательные числа, по меньшей мере равен
Глава 8
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЕ
§ 8.01. Введение
В ряде параграфов этой главы мы будем заниматься малыми вариациями координат, составляющих скорости и их функций. В качестве иллюстрации рассмотрим простой пример движения частицы по прямой линии, согласно уравнению движения x = f(/, х), решение которого может быть представлено следующей функциональной зависимостью:
x = F(t, а,, я2),	(1)
где оц и я2 — постоянные интегрирования.
Из равенства (1) находим
X —= Яр я^.
(2)
Мы можем, если пожелаем (как это обычно делается во многих практических задачах), в качестве постоянных интегрирования взять начальные условия: х = х0 и х = х0 при t — 0.
Уравнения (1) и (2) определяют два семейства кривых с параметрами Я] и я2, причем любой кривой из каждого семейства соответствуют частные значения ях и я2. На рис. 19 кривой АВ мы изобразили график функции F(t, яр я2) для частных значений и а2, а кривой EF — график функции О (t, яр а.2). Линии CD и ОН —
11 У. Смарт
162
Глава 8. Канонические уравнения
соседние кривые, соответствующие значениям а,-|-8а, и а2-|-8а2 параметров.
Для каждого данного момента t точке Р на кривой АВ будет соответствовать точка Р, на кривой CD. Таким образом, мы имеем смещение РР,, соответствующее вариациям 8а, и ба,,. Ордината точки Р есть х, и если ордината точки Р, обозначена через x-j-8x, то смещение РР,, равное 8х, будет функцией от 8а, и 8а2, выражаемой формулой
8х = 4^- 8а,	4—8а,.	(3)
да, 1 1 да2 2	' '
Аналогично смещение точки Q на кривой ЕР, вызываемое вариациями 8а, и 8а2, равно QQV Ордината точки Q есть х, и если мы обозначим ординату точки Q, через x-f-8x, то смещение QQ, будет равно 8х. Из формулы (2) имеем
s ‘ dG «	। dG s	...
8x=-KSai + -d^8a2’	<4>
или, выражая через функцию Р,
8*=^Ч + ттА-	(5)
да, dt 11 да2 dt 2	v '
Из равенства (3) находим d . дгР „	, д2Л s
(8х) =	— 8а, -к- чут-- 8а,.
dt v ' dt да, 11 dt да2 ”
Поэтому, учитывая соотношение (5), можем записать
4(М=8*=г(^).	(б)
Если 8 и d рассматривать как операторы, то равенство (6) может быть представлено в виде формулы
d • 8х = 8 • dx,	(7)
которая показывает, что эти независимые операторы подчиняются коммутативному закону.
§ 8.02. Вариация функции
Рассмотрим сначала движение частицы в трехмерном пространстве. В этом случае уравнения движения имеют вид
х = /,(/, х, у, X), y = f2(t, х, у, z), z = f3(t, х, у, 2).
J 8.02. Вариация функции
163
Общее решение этих уравнений будет включать шесть постоянных интегрирования а, (I = 1, 2, ..., 6) и может быть представлено в виде
x = Fx(t, а), у = Г2(Л а).	z = Fz(t, а).	(1)
Отсюда мы находим
х = О!(Л a),	y — G.2(t, а),	z = G3(t, а).	(2)
Вариациям 8ai (/ = 1, 2.6)	соответствуют равенства
в	в
8jt=S^!a-	<’>
1	1
плюс аналогичные соотношения для у и z. Таким образом, шести независимым вариациям постоянных а будут соответствовать независимые вариации трех координат и трех составляющих скорости. Так как число равенств (3) равно шести, то мы имеем необходимое число уравнений, чтобы однозначно выразить любое За через 6х, .... Zz.
Рассмотрим теперь функцию времени t, координат и составляющих скорости. Обозначим ее через <р (£, х, .... z). После использования уравнений (1) и (2) эта функция примет вид <р (/, а), а ее вариация <р будет выражаться формулой
8<Р = 2^8а'-	(4)
С другой стороны, мы имеем
8(р=у/Л.8х+А8А Y \дх дх / хуг
(5)
Если Зх, Зх, ... даются формулами (3), то вариации ср, определяемые формулами (4) и (5), равны друг другу.
Таким образом, мы можем при помощи формулы (5) выразить вариацию функции через независимые вариации Зх, Зх.....которые
в свою очередь зависят от вариаций шести параметров а{.
Эти рассуждения, очевидно, могут быть распространены на любое число материальных точек. Если это число равно п, то полное число координат будет равно Зп, которое мы обозначим через k, и полное число постоянных интегрирования будет 2k. В общем случае вариация функции <р(/, х{, xt, ...), где 1 = 1, 2, ..., п, дается формулой
11*
164
Глава 8. Канонические уравнения
в которой 8х, 8х, ...—независимые вариации, рассматриваемые как функции от вариаций 2k постоянных интегрирования, или параметров а4.
§ 8.03	. Обобщенные координаты
Рассмотрим л материальных точек с общим числом координат, равным Л(=3л), причем эти координаты являются функциями времени и k независимых переменных, обозначаемых через <7Р q2.qb.
Тогда мы можем написать
Xi = Fi(t, qx.qk), yi = Gl(t< qx..qk),
zl = Hl(t,qi..qk),	(1)
или, более кратко,
xt = Ft(t. q), yt — Gt(t, q), z^H^t, q).	(2)
Величины q называются обобщенными координатами.
Простым примером преобразования (2) является преобразование прямоугольных координат в сферические координаты посредством формул
х = г cos <р sin 0, у = г sin sin 6, z = r cos 6.
Это преобразование не содержит времени. Здесь г, © и 0 могут рассматриваться как три координаты q.
Простой пример преобразования в двумерном пространстве, содержащего время, дается формулами
х = 5 cos nt — ii sin nt, у = $ sin nt + r( cos nt, где J и т; — координаты относительно вращающихся осей — могут рассматриваться как две обобщенные координаты q. Мы встретимся с этим частным преобразованием в последующих параграфах.
Из равенств (1) имеем
к
*<-<3>
Г=1 и два аналогичных уравнения для у и z.
Пусть Т означает кинетическую энергию системы, так что
2Т= 2
Тогда из формулы (3) видно, что Т преобразуется в функцию T(q, q, t), определяемую формулой
т*=2 АГЯ'Г Н- 2 вг sqr4a + X cr4r + о, (4) r	r s '
$ 8.04. Уравнения Лагранжа
165
где двойное суммирование производится при условии, что $ > г, а коэффициенты А, В, С и D в общем случае являются функциями q и t, определяемыми в любой данной задаче преобразованием вида (3).
Заметим, что первые две суммы в формуле (4). которые мы обозначим через Т2, представляют однородные квадратичные функции относительно производных q. Что касается третьей суммы ^C,qr, то она является однородной линейной функцией величин q, которую мы обозначим через Tv Последний член D, который обозначим через Го, не зависит от производных q. Удобно записать Т в виде
Г = Т2+Л + 7'о.	(5)
причем Г2 и Л — функции q, q, t, а Т{) — функция q и I.
Если преобразование (1) применить к силовой функции U, которая первоначально была функцией прямоугольных координат, то она превратится в функцию q, t, которую мы обозначим через U(q, t).
§ 8.04	. Уравнения Лагранжа
Уравнения движения п материальных точек имеют вид dU  dU	dU
m^ = -d^'	=	<0
где U — силовая функция, а I = 1, 2.п. Эти уравнения могут
быть преобразованы в уравнения для k обобщенных координат qr (г= 1, 2...k).
Удобно записать формулы преобразования (2) предыдущего параграфа в виде
Xi = Xi(q, t), yt = yt{q. t), zl = zl(q, t).	(2)
Тогда равенство (3) § 8.03 запишется следующим образом:
*-#+2^	<3>
г
Отсюда мы имеем =	Г4,
dq, dq,	*
и дх/ _ d*Xj . у fPx/ . dqr dtdqr м dqrdqt 4S-
166
Глава 8. Канонические уравнения
Кроме того,
ЛЛдх1\ — d*Xl  V ?х* п dt \ dqr ) oidqr ' jU dQr dqs 4s’
Поэтому
dxi   d ( dxt\
~5qT	dt
(5)
Далее T определяется формулой
2т=2ОТ/(^+;2+^.	(6)
Следовательно, учитывая формулу (4), получаем
С другой стороны, из этого последнего уравнения и формул (1) и (5) имеем
A/2Z?| = y 14
dt	i ZL 1 д9г 1 dt Utfr/J
— У У
~ Zd Zd\dxt dqr “T луг I
• дх \
(7)
Но на основании формул (2) U(x, у, z) = U(q, t), поэтому
у у <5t7 dxt _ dU Zd Zd dxi dqr ~ dqr xyz i
и, принимая во внимание формулу (6), уравнение (7) можно записать в виде
/8ч dt \dqrJ dqr dqr
Функция U не зависит от q. Поэтому dU/dq — Q и уравнение (8) может быть записано в виде
dt \ dqr I dqr ’
где L = T-{-U есть функция q, q, t. Функция L иногда называется кинетическим потенциалом.
$ 8.05. Пример
167
Уравнения (8) или (9) и являются уравнениями движения Лагранжа в обобщенных координатах.
Из формулы (4) § 8.03 видно, что dL/dq, имеет вид
oqr **
Поэтому очевидно, что уравнение (9) содержит (при всех г и $) qr, qrqs, Чг 11 члены, не зависящие от q.
§ 8.05	. Пример
Для того чтобы проиллюстрировать принципы, лежащие в основе вывода уравнений Лагранжа, а также для подготовки к последующему изложению, мы рассмотрим наглядный пример плоского движения в задаче трех тел.
Рассмотрим на рис. 20 два тела Р, и Р2 с одинаковыми мае* сами М, обращающиеся около их центра масс О по круговым орбитам радиуса а с постоянной угловой скоростью п. Пусть Р означает третье тело с бесконечно малой массой т, которая не оказывает влияния на движение тел Рх и Р2. Силовая функция U будет определяться формулой
У-Т+®»л(±+±).	<0
где гг и ra — расстояния Р до Рх и Р2. Если х, у— координаты Р по отношению к фиксированным осям OX, OY, то кинетическая энергия системы определится формулой
Т = МаЫ + у т (i2 4- у2).	(2)
В качестве новых осей выберем оси ОРХ (или О А) и ОВ, которые вращаются с угловой скоростью п. Пусть £_А0Х — nt. Если
163
Глава 8. Канонические уравнения
5, ц — координаты тела Р относительно осей О А, ОВ, то
x = ;cosn/— r(sinn/, у = ?sinn/-|-7jcos/j/. (3)
Из формул (2) и (3) находим
Т = Л4а2я2 + ± m R2+# + 2п	— fy) + л2 (« + г,2)].	(4)
Кроме того, г, = (; — а)? + т;2, г2 = (;+ а)2 + т)2.
Будем рассматривать теперь ? и т) как обобщенные координаты qx и д2. Нужно заметить, что преобразование (3) имеет вид х — х (q, I) и У = У(9. О-
Из формулы (4) мы имеем
дТ	ч дТ
—r = m(; —пт;),	—;- = т(т)+ «;);
OS	От)
дТ / . .. дТ , ; ,
-^ = /НП (?)+«;),	= ««(—;+ПТ)).
Уравнения Лагранжа тогда запишутся в виде
m ~Tt G ~ n7i) = mn	’
m ~3t	+ n$) = m n	* + n71) +	’
или
!-2^-Л = О«4(± + ±).	(5)
^+2«Е-»>ч=ОЯ^.(± + ±).	(6)
Заметим, что при выводе уравнений (5) и (6) было произведено сокращение на массу ш. Это стало возможным благодаря тому, что переменная часть U в формуле (1) и Т в формуле (4) имели множитель т. Следовательно, можно считать, что в уравнениях (5) и (6) роль U и Т играют следующие функции:
(/=0'и(^+^) <7>
Т' = I Н 2 + ? + 2/1 (й — < Т)) 4- п2 а2 Н- Т)2)1.	(8)
Эти выражения отличаются от выражений (1) и (4), во-первых, тем, что в них отсутствуют постоянные члены (эти члены пропадают при дифференцировании U и 7), и, во-вторых, тем, что в них опущен множитель т.
§ 8.06. Канонические уравнения Гамильтона
169
Следует заметить, что один интеграл уравнений (5) и (6) может быть получен весьма просто: умножим первое уравнение на (, второе— на ц и сложим. После интегрирования мы получим
| & + ’i2) -4 я2 (’2 + *?) = ОЛ4 (-^ + А-) + const. (9)
Это последнее равенство представляет собой интеграл энергии в обобщенных координатах $ и ц.
§ 8.06. Канонические уравнения Гамильтона
Проделаем теперь
следующую замену переменных. Пусть _ . дТ (q, q, t)
р‘ - а, 
(1)
где Z= 1, 2....k. Величины р называются обобщенными им-
пульсами или просто импульсами. Тогда на основании формулы (4) § 8.03 pt есть линейная функция величин q, которую мы можем записать в виде
Pi — а1\Ч\ 4" а/2?2 4~ ••• 4“ aik4k + Cf	(2)
Здесь величины а и с( являются вообще функциями величин q и t, причем эти функции бывают известны в любой данной задаче. Так как имеется k уравнений вида (2), то они в принципе могут быть разрешены относительно величин q, т. е. дают возможность выразить все q через k величин р и коэффициенты а и с. Мы можем записать это решение символически в виде
ki = kt{4- Р- 0.	(3)
причем правая часть, как легко видеть, является линейной функцией импульсов р. Посредством формулы (3) функция T(q, q, t) может быть теперь преобразована в функцию от q, р, t.
Для того чтобы различать две формы, в которых можно представить функцию кинетической энергии, мы используем для нее обозначение Т в том случае, когда она выражена через q, q, t, и обозначение Т, когда она выражена через q, р, t.
Пусть величины q и q получили малые произвольные независимые приращения и Zqt (1= 1, 2..........k).	Тогда, применяя формулу (5)
§ 8.02, будем иметь
170
Глава 8. Канонические уравнения
или, согласно формуле (1),
<4)
I 1	I
Далее, из формулы (5) § 8.03 мы видим, что Т можно представить в виде
Т = Т2+Т1 + Т0,	(5)
где Т2 — однородная квадратичная функция производных q, Т\ — однородная линейная функция q, То — функция q п t. Согласно теореме Эйлера, имеем
** oq{
Складывая эти два равенства, получаем
2T1+TI = S^^i, = S^i„
так как Го не зависит от q. Тогда, учитывая формулу (1), можем записать
и
2Г24-Г1 = 2 Pi4i'	(6)
Возвращаясь к формуле (2), мы видим, что ее правая часть является функцией q, q, t. Поэтому независимым вариациям Zq и 8g будут соответствовать вариации Ьр1 импульсов pt, определяемые формулой
*Pi =	Btj Zqj),	(7)
где в общем случае А и В — функции q, q, t, или, согласно равенствам (3), функции от q, р, t.
Число уравнений (7) равно k. Поэтому они могут быть разрешены относительно вариаций 8g. Это даст
=	+	(8)
где С и D — функции g, д, t или д, р, t.
Первоначально мы рассматривали 8д и 8д как независимые вариации. Но ясно, что в качестве независимых вариаций мы можем рассматривать также 8д и 8р, а вариации 8д будут определяться при этом
§ 8.06. Канонические уравнения Гамильтона
171
формулой (8). Кроме того, вариация функции не зависит от того, через какую пару переменных она выражена: q, q или q, р.
Далее из равенства (6) будем иметь
4* &Л — 2 4i ^Pt 4~ 2 Pi
а из формулы (5) с учетом выражения (1) находим
8Г=8Т2 -f- 8Т, + 8Т0 = 2 ЪЦ	+ 2 8^
Вычитая эти равенства друг из друга и полагая
Г = Тг — То.	(9)
получаем
=	(Ю)
Теперь функцию Т*. зависящую от q, q, t, можно при помощи формулы (3) выразить через q, р, t. Мы получим
sr=2 -r(y~ ъ+2 -"-(у’0	о о
Мы теперь имеем для 8Т* два выражения — (10) и (11). Они должны быть одинаковыми, и, следовательно, приравнивая коэффициенты при Ър и bq, которые являются независимыми, мы получим
и
1 - dT*(g,p,t)
4i dpt дТ _ дТ* (q, р, t) dq{	dqt
(12)
(13)
Второе из равенств (13) замечательное. Перепишем его подробнее: dT(g,g,0 = d[Tt(q, p,t)-T9{q, p,t)\ dqt	dq{
Заметим, что,_хотя T2 и есть однородная квадратичная функция производных q, Т (q, р, Т) не является в общем случае однородной квадратичной функцией импульсов р.
Пусть
H = T*~U = T2-TQ-U.	(14)
Тогда И будет функцией от q, р, t. Она называется функцией Гамильтона.
172
Г лава 8. Канонические уравнения
Так как U не содержит q и, следовательно, не содержит р, то формула (12) принимает вид
•	_dH(q, p,t) 4i-——•	(15>
С другой стороны, согласно формуле (1), имеем
•	_ д / дТ \
Pl dt \ Ч ) ’
Последнее уравнение при помощи формулы Лагранжа (8) § 8.04 принимает вит
•	— дТ \ ди Pi dqt dqt
или, согласно формуле (13), • _	дТ* , дЦ
Р>	dqt + dqt '
Поэтому при помощи формулы (14) получаем
Из § 8.04 следует, что каждое из уравнений Лагранжа имеет второй порядок, так же как и уравнения (1) § 8.04, записанные в прямоугольных координатах. Прием, использованный в этом параграфе, позволяет заменить q новыми переменными р, в результате чего k уравнений Лагранжа второго порядка заменяются 2k уравнениями (15) и (16) первого порядка. Перепишем для удобства эти уравнения в виде
• dH(q, р, 0	•_ dH(.q,p,t)	....
--------
Эти уравнения и называются каноническими уравнениями Гамильтона.
В каждой конкретной задаче, в которой известно выражение функции U через прямоугольные координаты, форма функции Гамильтона //(<?, р, t) также известна, как это легко видеть, рассматривая последовательные преобразования функции Т, определяемой равенством (6) § 8.04.
Теоретические рассуждения этого параграфа будут подробно проиллюстрированы в § 8.08.
§ 8.07. Интеграл энергии
Если преобразование прямоугольных координат в обобщенные координаты не содержит времени, т. е. если х = х(д), то Т также не содержит времени явно, так что Т = Т2 и, кроме того, U будет
§ 8.08. Пример (продолжение)
173
функцией только величин q. Так как p = dT!dq. то выражение для р через q и q не будет содержать времени явно и, следовательно, H = H(q, р). Поэтому, используя уравнения (17) § 8.06, получаем a v дН • , V дН • л
Следовательно, Н = Т — U = const.
Это равенство и есть интеграл энергии, полученный при указанных условиях, причем Т — кинетическая энергия, а — U — потенциальная энергия.
§ 8.08	. Пример (продолжение)
В § 8.05 мы получили уравнения Лагранжа, описывающие движение точки Р. В этом параграфе мы выведем соответствующие канонические уравнения. Будем исходить из равенств (8) и (7) § 8.05, полагая, однако, как и в общей теории.
B==glt -q=q2.
Тогда эти равенства примут вид
т=4[«!4-»Н2”(ад-ад)+”1(«!+ 01-	<»
и=ом(±+±).	<2>
где г у и г2— функции qx и q2. Далее дТ •	дТ • .
nqv p.2 = -7- = q,+ nqx. dq? Отсюда
<h ~ P\ + nq2, q2 — p2 — nqv	(3)
Из формулы (1) находим
П4!)	(4)
и
174
Глава 8. Канонические уравнения
Используя формулы (3) и (4), получаем
Г = Г2 - То = 1 (pl + Pl4- 2/1^ - 2/ад).	(6)
Функция Гамильтона Н будет тогда выражаться формулой
И (g, р, f) = 1 (р* + -J- 2nq2pl — 2nqxp^ — U. (7)
Применяя теперь формулы (17) § 8.06, получаем канонические уравнения в виде
41 = Р\ + nqv	q2=p2 — nqv	(8)
Pi = «P2 + ^-.	P2 = -«Pi + ^-	(9)
Два	уравнения Лагранжа (5)	и (6) § 8.05, каждое	из которых
второго	порядка, заменены теперь четырьмя каноническими уравне-
ниями, каждое из которых первого порядка.
Примечание. Из формулы (1). согласно уравнениям (3), находим ^ = п?2 + п291==Пр2.
Из равенства (6) имеем
Мы. таким образом, получаем подтверждение общей формулы (13) § 8.06 для координаты qx и (при помощи аналогичного приема) для координаты q2.
§ 8.09. Формальное решение канонических уравнений
Канонические уравнения имеют вид
дН	•	дН	...
4l~~dpi' Pl------fy’
где /=1. 2.......k. Мы покажем, что общее решение этих урав-
нений может быть получено, если мы знаем некоторую функцию S, удовлетворяющую уравнению в частных производных, которое обычно называют уравнением Гамильтона — Якоби.
Канонические уравнения (1) представляют собой систему 2k обыкновенных дифференциальных уравнений. Предположим, что они полностью решены. Тогда любое q и любое р будут выражены в виде функций времени и 2k постоянных интегрирования, которые мы
§ 809. Формальное решение канонических уравнений
175
обозначим через cv с2.с2к. Мы можем, таким образом, напи-
сать
=	Ср с2.с2к)	(2)
и аналогично
Pi — Pi	Ср с2, .... c2ft).	(3)
В уравнениях (1) функция Гамильтона Н выражена через q, р. t. Если мы подставим вместо q и р их выражения из соотношений (2) и (3), то Н станет функцией t и с. Мы тогда будем иметь
Н(с. t) = H{q, р. t), откуда, дифференцируя по с}, находим дН _ Vi дН ^i . V дН dpt______V n । V: dpi
дс/ & dqi dcj	Za dpi dcj	Za dcj ' Za dcj ’
или, выполняя простое преобразование,
-^==~4’S^'3c;(4) 7	Z=1	7 Z»l
Но из формулы (6) § 8.06 имеем
2 Pi4i = 2Т2 + Гр
а из формулы (14) § 8.06 — Н = Т2 — Го — U. Поэтому равенство (4) принимает вид
4i*^=^<r>+r>+r»+t'>=^<r+(')- <5>
Пусть функция S(c, t) определяется уравнением # = ?’+«/.	(б)
Тогда уравнение (5) перепишется в виде а д (ds. \ V d^i dcj \ dt ) dt Za dcj *
176
Глава 8. Канонические уравнения
Умножим это уравнение на вариацию ocj и просуммируем все такие уравнения по У от 1 ю 2k. Тогда получим
2Л	k	/ 2h
<7>
1	/=1	\/=1	/
Из соотношения (2) находим 2»
/=1
Аналогично найдем, что левая часть уравнения (7) равна b(dS/dt) или, на основании равенства (6) § 8.01, (d/dt)(ZS). Поэтому уравнение (7) примет вид
k
/=1
Интегрируя, получаем ь 8S = pfiqt C,	(9)
где C — постоянная.
Форма этого уравнения наводит на мысль о преобразовании функции S(c, t).
Мы разделим 2k постоянных с на две группы: a) Cj и б) ck+i, где в каждой из групп У = 1, 2.......k. Для удобства обозначим
члены первой группы через а члены второй группы — через fy, так что	и 7у = сЛ+у.
Тогда равенство (2) примет вид
4i==4i(t. а, Т).	(10)
Число таких уравнений равно k, причем предполагается, что они разрешимы относительно f, т. е. что мы можем представить любое f в виде
Т/ = О-	(И)
Согласно равенству (10), k вариациям 8а и k вариациям of соответствует следующее соотношение:
=	<'2>
Таким образом, имеется k уравнений типа (12), из которых каждое 8f может быть выражено через k вариаций 8а и /г вариаций bq, причем последние могут рассматриваться как независимые.
§ 8.10. Уравнение Гамильтона — Якоби для S	177
В наших новых обозначениях функция S(c, t) примет вид 5 (а, у, /), а затем посредством равенства (И) преобразуется к виду S(q, a., t). Поэтому
ч	ч
<13>
1	1
Выражения для 8S в формулах (9) и (13) должны быть тождественны. В частности, С должно иметь вид
с=Ь(Ц.
1
где р — постоянные величины.
Так как bq и За представляют произвольные вариации, то сравнение равенств (9) и (13) показывает, что
°5’ где I = 1, 2...Л.
Предположим, что каким-либо способом мы нашли функцию S(q, a, t), которую мы назовем характеристической функцией. Тогда k уравнений (15) могут быть решены относительно k координат q, которые в результате этого будут выражены через k постоянных а и k постоянных р в виде функциональной зависимости q = q(t, a, Р). Подставляя ее затем в равенство (14), находим р в виде р — p(t, а, Р). Это и дает формальное решение канонических уравнений.
Постоянные а и р называются каноническими постоянными. причем р является канонически сопряженной по отношению к а, и наоборот.
Кроме того, мы можем назвать qt и р,- парой сопряженных переменных,
§ 8.10. Уравнение Гамильтона — Якоби для S
Мы теперь выведем уравнение в частных производных, называемое часто уравнением Гамильтона — Якоби, которому удовлетворяет характеристическая функция S(q, a, t). По определению (6) § 8.09. dS/dt = T-}-U.
Однако
ч
dS __ dS (q, a, 0 । V dS (q, a, t) 
dt ~ dt ' Zd dqt Qr
12 У. Смарт
178
Глава 8. Канонические уравнения
Поэтому, согласно равенству (14) § 8.09, имеем k i
Но согласно формуле (6) § 8.06,
*
2Г2 Н-Г, = J ptqt. 1
Составляя разность этих равенств и учитывая, что Т = Т2 + FT’j + T’o, мы получим
™+T2-To-U = O.
Но так как, согласно формуле (14) § 8.06, Н определяется формулой
H(q, р, t) = T2-T0-U, причем
7*2 = Т2(^, р, f) = T2, то
р, t) — 0.
А согласно формуле (14) § 8.09, имеем dS(q,a,t) Pt~ Wi ’
Следовательно, S есть решение уравнения в частных производных
dS . dS Л Л	...
~3t	— °*	(1)
содержащее полное число (т. е. А) постоянных интегрирования а* причем мы отбрасываем аддитивную постоянную, скажем а0.
В любой конкретной задаче точный вид H(q, р, t) известен, ибо кинетическая энергия Т, которая дается формулой (4) § 8.03, является, как отмечалось, известной функцией q\ и, в частности, Т2(д, q, f) — известная функция q и То — известная функция q, t. Кроме того, определение импульсов р по формулам (1) и (2)§ 8.06 показывает, что любое pt является известной линейной функцией q. Из этих k линейных зависимостей величины qt можно выразить в виде линейных функций р. Когда эти последние выражения будут подставлены в T2(q, д, f), мы получим Т2 в виде известной функции
§ 8.11. Общие замечания о канонических постоянных
179
от q, р, t. Наконец, так как U — известная функция, то Н(=Т2 — — То — U) будет также известной функцией от q, р, t.
§ 8.11.	Общие замечания о канонических постоянных
В § 8.09 начальная совокупность 2Л постоянных интегрирования ср с2.....с2к носила совершенно общий характер, т. е. не за-
висела от частного метода получения самого решения.
Рассмотрим сначала простую задачу движения частицы по прямой линии согласно уравнению движения х = — х. Решение этого уравнения может быть записано в виде
а)	х = a, sin t -|- а2 cos t, или
б)	х = b sin (t -j- т).
Постоянными интегрирования, которые должны быть отождествлены с С] и с2, в первом случае являются и cij, а во втором — Лит. Таким образом, постоянные сх и с2 имеют две различные интерпретации в зависимости от двух форм, или методов, получения решения.
Рассмотрим теперь более сложный пример, именно невозмущенное эллиптическое движение планеты. Если мы преобразуем прямоугольные координаты планеты в обобщенные координаты q (например, полярные координаты), то полученные в результате этого канонические уравнения, как будет показано в гл. 9, могут быть легко решены. Принимая для постоянных интегрирования систему обозначений С|=а{ и ck+i = ^i(l= 1, 2..........k), мы можем записать
решение в виде
qt — qi(t,a, -f), pt — Pi{t,a, -f),	(1)
где I = 1, 2, 3. В момент /0
(^)о=9,/(^о« «. т) и (М)=М*о- «• т);
число этих уравнений равно шести, и легко видеть, что после исключения из них трех величин -f оставшиеся три уравнения могут быть разрешены относительно аР Это даст
a/ = az(^o> Чо> Ро)-	(2)
Аналогично
Tz = Ро)-	(3)
Здесь а и f — функции от обобщенных координат и импульсов в начальный момент /0. Легко видеть тогда, что решение (1) может
12*
180
Глава 8. Канонические уравнения
быть записано в виде
<h — <h У* Яо> Ро)> Pi = Pi (*• Чо> Po>-
Очевидно, что 2k постоянных интегрирования можно интерпретировать а) как k величин (^z)0 и k величин (pz)0, или б) как функции а и 7 от <?0 и р0, выражаемые формулами (2) и (3), или в) в еще более общем случае, как любые 2k независимых функций от q0 и р0.
Теорема, которая будет доказана в следующем параграфе, относится к решениям канонических уравнений, когда постоянные интегрирования, входящие в S(q, a, t), принимают любую из возможных форм, отмеченных ранее.
§ 8.12. Теорема Якоби
Эта теорема состоит в следующем.
Если S(q, a, t) — любой полный интеграл уравнения
£+«(«• ')=«. <1>
выраженный через время t, k величин q и k независимых постоянных интегрирования аР .... aft, и полученный любым методом, то уравнения
<2)
И
где I = 1, 2....k, определяют общее решение 2k канонических
уравнений
д __ ЫЦд, р, t) • _ дН(q, р, t)	...
dpi * Р{	dgi '	' '
В уравнениях (2) величины 0— независимые постоянные, и также предполагается, что функции pt независимы.
Так как функция S известна, то группа уравнений (2) дает нам возможность найти любую координату q в виде
qi — q^t.a, 0).	(5)
Тогда из уравнений (3) мы можем получить pt в виде
₽)•	(6)
§ 8.12. Теорема Якоби
181
Продифференцируем равенства (2) по /. Тогда, так как q — функция t, мы получим
d’S , V d»S _л datdqf —
или, используя уравнение (3), datdt dai Ч)
Подставим вместо р их значения из формул (6) в уравнение р, f)=zQ
и продифференцируем по аг. Тогда
d2S । V	__п
daidt ' dPj "
Вычитая равенство (9) из равенства (7), получаем
V /  дН \ др j	п
\ h dpj) (taj ’
(7)
(8)
(9)
(Ю)
Обозначая qj— (дН/др]) через xt и полагая последовательно 1=1, 2.......k, мы будем иметь k уравнений, линейных относи*
тельно X'.
др,
др2
др.
др* х — л д«,	—и-
?£* . —п
+..............°-
Так как pv р2, .... рк— независимые функции, то д (Pi. Ра...., Pt) . л d(<tt. а»...........................а»)
или, выражаясь иначе, определитель А-го порядка, составленный из коэффициентов х2, ..., хк, не равен нулю. Следовательно, мы должны иметь
х, = х2 ~ ... = хк = 0, т. е.
</ = 1’2.....*>•	00
182
Глава 8. Канонические уравнения
С другой стороны, продифференцируем соотношение (3) no t. Тогда
• d*s । V :
Pt dt dqi bqj dqi
или, используя равенство (11),
• — .V dH d2S dt dqt ' Zd dpj ' dqj dqi ‘	’
Кроме того, при помощи соотношений (3) можно представить pt в виде pt = Pi (д, а, /). Поэтому, дифференцируя уравнение (8) по qt и замечая, что Н содержит qt как явным образом, так и через посредство р, мы получим
d«S dH v, dH dp.
^+-s^+St?;-w=0-	<13>
Так как, согласно формуле (3), dp} __ d*s ~dqi~~ dqtty •
то из уравнений (12) и (13) мы немедленно получаем
дЯ
(14)
Так как уравнения (11) и (14) являются каноническими уравнениями, то теорема доказана.
§ 8.13.	Частные случаи уравнения Гамильтона — Якоби
1)	Н—функция только q и р.
В этом случае t не входит явно Тогда, так как
в Н, так что Н^Н(д, р).
dH
Ч dp ’
dH
Р —
то, как и в § 8.07, существует интеграл энергии
/7 = const = aj.
§ 8.14. Пример
183
Из уравнения Гамильтона — Якоби имеем
dS dt	W
Поэтому 5 == —	—|- 5р
где <$! — функция, не содержащая явно t.
2)	В Н отсутствует одна координата qt.
Если qt не входит явно в Н, то
Поэтому Pi = 0 и, следовательно,
Pi — const = ву (/¥=!)• Мы тогда имеем
поэтому
S =	+ S2,
где 32— функция, не содержащая qt.
3)	И не содержит одной координаты qL и времени t. Очевидно, что <$ будет иметь вид
S = -ai/+a^ + S'	(3)
где S' не содержит ни t, ни qL.
§ 8.14.	Пример
В этом параграфе мы продолжим пояснение общего метода на примере, рассмотренном в §§ 8.05 и 8.08. Перепишем формулу (8) § 8.08 для Н в виде
H(q, р, О = 4(/’1 + ^ + 2/19’2Д1 —2/1?^) —[/ =
= J (А + *?2)2+4 (А - nqj2 -1 п2 (??+?!) “ U' (О
Уравнение Гамильтона — Якоби тогда примет вид
4+1 (£+•*)’+j « - •».)’ -1«! («;+<© - и - »•
(2)
184
Глава 8. Канонические уравнения
Так как t не входит явно в формулу (1), то, согласно соотношению (1) § 8.13, будем иметь
и, таким образом, после подстановки —а1 вместо dS/dt в уравнение (2) уравнение Гамильтона — Якоби запишется в виде
- «?1)2=(tf+$++2яр (3)
Так как в этом примере две степени свободы, то общее число постоянных интегрирования будет равно четырем, именно а, и а2 ?1 и
Математически задача, следовательно, состоит в том, чтобы выразить dS/dqt и dSjdq-2, удовлетворяющие уравнению (3). через Л qv q.2 и постоянные интегрирования aj и а2. Как оказывается в этом примере, форма зависимости функции U от qx и q> такова, что мы не можем найти выражений для dS[dqx и dS/dq.2, идя по пути, указанному общей теорией. Но формально мы можем определить функцию S, предполагая, что dS)dqx и dS/dq^ получены из уравнения (3) и выражены через постоянные а1 и а2. Мы будем иметь при этом
dS _ dS । ds ' । ds •
4t dt 1 dqx dq2 ^2’
так что S задается формулой
S==—+ J ^- dq^ f -^-dq2,
причем аддитивная постоянная отброшена. Формальное решение задачи тогда будет следовать из уравнений
dS —q	dS _
dai	dq2 &1'
где I = 1, 2.
§ 8.15. Общее применение метода Гамильтона — Якоби
Общее применение метода Гамильтона — Якоби в теориях движения планет и Луны основано на предположении, что канонические уравнения могут быть решены описанным выше методом, если в уравнения входит только некоторая часть функции Гамильтона Н. Таким образом, если мы напишем
Я=Яи+(«-Я0)	(1)
J 8.15. Общее применение метода Гамильтона — Якоби
185
it решим уравнения
4i fa ’ p‘ dqt
(2)
методом Гамильтона, выразив это решение через канонические постоянные а и [3, то мы сможем получить, как скоро увидим, новые канонические уравнения, в которых новой функцией Гамильтона будет служить разность Н — Ht), фигурирующая в формуле (1). Удобно записать формулу (1) в виде
Н = Н1)-Н1, где	(3)
//, = -(//-7/^
Для того чтобы решить уравнения (2), нам нужно найти функцию S(q, а, /), удовлетворяющую уравнению
тг+«.(«-Х-')-°-	<4>
Мы предполагаем (как и раньше), что решение уравнения (4) известно. Тогда решение канонических уравнений дается формулами
й _ dS (q, a, t) _tdS(q, г, t) dar ’ Pr dqr ’	' '
из которых любое и Pt может быть найдено в виде
4i = 4i «. ?). Pi = Pi (t «. ?)•	(6)
В последних формулах а и р — сопряженные канонические постоянные.
В согласии с формулами (6) мы можем переписать уравнения (2) в виде
dt dpt ’ dt dqt ’	' '
Метод, который теперь будет излагаться, в принципе аналогичен тому, который уже использовался при выводе уравнений Лагранжа в гл. 5.
Пусть а и р рассматриваются как новые переменные, заменяющие первоначальные переменные q и р, согласно формулам (6), т. е. q и р выражаются через новые переменные а и р таким же образом, каким они получались при решении уравнений (2) или (7), т. е. формулами (6).
Первоначальные канонические уравнения таковы:
• _^Н	• _ дН_
dpt ’ Pi dqi ’
186
Глава 8. Канонические уравнения
Эти уравнения посредством формул (6), в которых а и £ — новые переменные, и при помощи равенства (3) принимают вид
. dqt ь\_ д(Нв — Я,) dt Za \ даг ' ' д₽г Р') “	др, ’
Г
б Pi I V Ря • I dPi о \ _	д(Я0—Я,)
dt ' Za\ dar % PJ~ dq,
Г
Поэтому в силу уравнений (7) имеем
г
(8)
(9)
Первоначально Нх была функцией q, р. При помощи формул (6) она может быть представлена как функция новых переменных а и р.
Следовательно, дН, _ у / <?Я, . dqt . дН, dpi\ d<tj Zd \ dqi ’ daj dpi daj )
и, используя уравнения (8) и (9), имеем dHl — V Г; V Л) I R V 1 лт (10)
Обозначим
24^- через	о»
Аналогичное обозначение введем и для коэффициента при Выра* жения такого вида мы будем называть обобщенными скобками Лагранжа, Теперь формула (10) запишется в виде
= 2Х [«/. «,1 + S ₽r lv ₽,!•	(12)
Аналогично +	03)
7 г	г
Используем далее равенства (5). Пусть S(q, a, t) при помощи первой группы равенств (6) преобразуется в функцию от t. г, р.
§ 8.15. Общее применение метода Гамильтона — Якоби
187
Обозначим эту функцию через S'(t, a, Р). Так как S(q, a, f) содержит ttj явно, то мы имеем
+	.М,
daj oHj п dqi d&j
или, с учетом формул (5), ио
Аналогично О6) Ору ла * Ору	' '
Теперь, применив формулу (14), получим
г_ „ 1 _ V (^L . dPi	дЧ1 . дР‘\ —
1®У> rJ	\ daj даг	даг daj)
_ д	V dqi	_ д Vi	g о	д (dS'	о \
dar Pl daj daj ^4	Pl даг даг	\ daj °1)	daj \ dar
Так как а и р независимы, то [<Ху, аг] = 0 и вообще все скобки такого вида равны нулю.
С другой стороны, используя равенство (15), мы найдем» что
—	Wr =
d (dS'\ d (dS'\ n
Таким образом, все скобки такого типа обращаются в нуль. Наконец
М S Pl ~ ~dZj Pl Wr ~
__ d / dS' R \ d i dS' \ ("ctay	daj
Поэтому
1аЛ M = 0> если r^J [«;. M = -l
или, в соответствии с определением, 1?у. ау]=1.
188
Глава 8. Канонические уравнения
Из уравнений (12) и (13} мы тогда будем иметь
= Ъ-------------<1б>
Эти уравнения являются каноническими. Такие рассуждения, очевидно, могут быть распространены на решение уравнений (16) с новой функцией Гамильтона, в качестве которой принята некоторая часть функции Hv
§ 8.16. Канонические уравнения возмущенного движения
Будем исходить из уравнений возмущенного движения планеты, заданных в прямоугольных координатах. Для координаты х имеем
где R— возмущающая функция. R — функция х,, ур г, (массы и координат возмущающей планеты Р}) и координат х, у, г планеты Р. Мы предполагаем, что хр у, и z} выражены через время и эллиптические элементы орбиты планеты Pv Тогда
R = R(x, у, z, t).
Силовая функция U и кинетическая энергия Т, входящие в общую теорию, в данном случае определяются формулами
U=^+mR, T = 4w<*2-*-y2+i2>-
В уравнении (1) множитель m отсутствует и поэтому функции U и Т (как в примере § 8.05, где на множитель m было произведено сокращение) следует определить формулами
U:=t + R = u0 + R.	(2)
где
и
Т = 1(^2+ ? + ?).
Выражая х, у, z через три обобщенные координаты qv q2, q:i при помоши уравнений типа x = x(q, f) мы преобразуем три уравнения вида (1) в три пары канонических уравнений
Pi==~~dTl ,Z=1’2’3^
J 8.17. Соотношения Якоби
189
где
Н = Т7 —Та—U = Но—R.	(4)
причем	_
H. = T2-T0-U0.
Если пренебречь функцией R, то канонические уравнения будут иметь вид уравнений (3), в которых функция Н заменена функцией /Y(). Решение для qt тогда будет выражаться формулами =^/(/, а, Р), где а и р — канонические постоянные. Функции pt определятся аналогичными формулами. Канонические постоянные, таким образом, появляются при решении уравнений невозмушенного движения и, очевидно, в общем случае представляют функции шести элементов орбиты.
Сравнение равенства (4) с равенством (3) § 8.15 показывает, что если аир рассматривать теперь как переменные, то соответствующие канонические уравнения, аналогичные уравнениям (16) § 8.15, имеют вид
• _ 8R а _	dR
“г— др, ’ Р/—	dai '
Этот процесс может быть распространен и дальше. Так, если мы положим R — Ro — /?, и решим уравнения (5), приняв /?„ в качестве функции Гамильтона, то получатся новые канонические постоянные az, bt, и тогда они, рассматриваемые как новые переменные, будут удовлетворять каноническим уравнениям
Описанный метод был развит Делонэ в его теории Луны, причем указанный им процесс может быть продолжен до тех пор, пока все члены возмущающей функции не будут исчерпаны.
§ 8.17. Соотношения Якоби
Мы предположим, без ограничения общности, что. как и в § 8.15, а,- и представляют k пар канонических постоянных, появляющихся при решении уравнений
<Z=L2......А)-
Как мы видели решение тогда дается в виде
= а, ₽),	а, ₽).
(1)
190
Глава 8. Канонические уравнения
Эти уравнения могут быть в принципе решены относительно величины а и р. В результате а и ₽ будут выражены через q, р, t в виде
— Р> *)> ₽r = ?r(9’- Р> *)•	(2)
Якоби получил четыре замечательных соотношения между производными q и р (выраженными через а и р) по а и р и производными аир (выраженными через q и р) по q и р.
Мы предположим, как и в § 8.15, что первоначальная функция представлена в виде /70— Ни где Но и Я, — функции q, р, t.
Если аир рассматриваются как новые переменные, то мы получаем уравнения (8) и (9) § 8.15. Они имеют вид
(3>
«>
Г
Далее из уравнений (16) § 8.15 следует, что величины аир удовлетворяют каноническим уравнениям
= р, = ->.	(5)
г ОрЛ гг	0ЛГ	х '
в которых Hi = Hi(t, а, Р).
Пусть bqt и Ър{ суть независимые вариации qt и pt (1=1, 2....k). Тогда вариация ЪНХ, если	р, t), будет вы-
ражаться формулой
8«1=S(^+^8^
или, согласно формулам (3) и (4),
(6)
I г
Согласно соотношениям (2), вариации 8аг, 8Pf выражаются формулами
<7> и
^=2®8’<+>Ч-	<8»
$ 8.17. Соотношения Якоби
191
Кроме того, если	а, Р), то, согласно формулам (5),
имеем
г	г
Поэтому при помощи формул (7) и (8) получаем I г	1г
Правые части формул (6) и (9) должны быть тождественно равны друг другу; и так как lqt и Ър{— независимые вариации, то коэффициенты при bqt в формулах (6) и (9) должны быть равны. Аналогично коэффициенты при 8р( также должны быть равными. Мы тогда будем иметь следующие соотношения:
Ж--^+Е($+£Х=°-	<•<»
S(^+^+S(&-£)b=»-	<">
г	г
Теперь соотношения (10) и (11) можно рассматривать как k уравнений для а и k уравнений для р. Так как эти величины независимы, то коэффициенты при аг и Р, как в (10), так и в (11) должны быть равны нулю. Следовательно,
. dPi _	^г_.	ло\
К дЧ1' д^~ dqt' dqt___д?г . д^_даг_
даг	dpi ’ д$г дрГ	' '
Эти соотношения, полученные Якоби, связывают пары сопряженных переменных q и р и пары сопряженных постоянных а и р.
Из формул (12) и (13) мы тотчас же получаем
й (41- Pi) _ ^(gr. Рг)	Л 4А
д (“г. М д (qt, pi)'	v '
Глава 9
КАНОНИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 9.01. Определение функции S
В этой главе мы решим уравнения невозмущенного движения планеты методом Гамильтона — Якоби. Это, во-первых, даст возможность проиллюстрировать в деталях сам метод и, во-вторых, получить важные соотношения между элементами орбиты и каноническими
постоянными, которые появляются в ходе решения задачи. Сначала мы получим функцию S, удовлетворяющую уравнению Гамильтона — Якоби в частных производных.
Пусть х, у, z — прямоугольные координаты планеты Р с массой т относительно эклиптической системы координат с начале. О в центре Солнца, причем массу Солнца обозначим через т0. Пусть на рис. 21г — радиус-вектор OP, X— эклиптическая долгота fR и 0 — соответствующая широта RQ. Тогда
x = r cos X cos 9, y = rsinXcosO. .г = г sin 9.	(1)
В качестве обобщенных координат qlt q2 и qz возьмем соответственно г, X и 6.
Уравнения движения в прямоугольных координатах имеют вид
г — — х~ дх\г)~ дх
<$ 9.01. Определение функции 8
193
плюс два аналогичных уравнения для у и г. Здесь ;л = О (т -|- т0) и в обозначениях § 8.16 t/0 = [x/r. Кроме того, в этих же обозначениях Т = 1/2(x2-j- у2-|- г2), или после преобразования по формулам (1)
T = ^-(r2+r2cos29.X2-|-r292).	(2)
Это выражение для Т является однородной квадратичной функцией величины q. Поэтому Т2 = Т и 7'0 = 0.
Как и в общей теории, pv р2 и р3 определяются следующим образом:
_	_ дТ _
dr ’	P<1 di' Рз db
Следовательно,
Р1 = г. Pi~ г2cos2 9 • X, p3 = r29.
Если правую часть формулы (2) выразить через q и р, то она при-
мет вид
7'=4(',н
Pi гг cos2 О
Функция Гамильтона Н = Т2— То — Uo выражается формулой
1 /	р2 pl \ [Л
H(q. =	+	+	(3)
и уравнение Гамильтона — Якоби тогда запишется в виде
<5S .	! Г/dS \2.	1 (dSW ,	1 /dS\2i	|л
dt “Г"	2 L\ dr ) "г" r2 cos2 в \ dl )	r2 \ dO ) J	r ~~	w
Ho t и X	не входят явно в уравнение	(3), поэтому,	согласно	ра-
венству (3) § 8.13, положим
5 = — a1f-|-a3X-|-S,(r, 9),	(5)
где S' — функция только от г и 9.
С учетом выражения (5) уравнение Гамильтона — Якоби (4) примет вид
2а1Г2+2!хг -r2^)2 = (^.y+a2sec20,	(6)
где переменные г и 9 разделены, что позволяет записать S' в виде
5'(г, 9) = Sl(r) + S2(9).	(7)
13 У. Смарт
194
Глава 9. Канонические постоянные движения
Очевидно, левая и правая части уравнения (6) равны некоторой постоянной, которую мы обозначим через Тогда
2aif2 — 2;w + a| = °	(8)
и
(^)2 + Фес20 = а2.	(9)
Мы теперь имеем
S = — a.xt -|- а3Х + S, (г) -|- 52 (9),	(10)
где, согласно формуле (8),
Sx= f ^2а1Г2+2^г—а1~,	(11)
п
причем величина гх будет выбрана ниже. Из уравнения (9) имеем е
S2 = J V®2— a|sec26 rf9.	(12)
о
В качестве гх примем меньший из двух корней гх и л, уравнения у = 2а/2-|-2;;г — a| = 0.	(13)
Мы будем предполагать, что гх и г2— действительные и положительные величины. Очевидно, что
[л	а2
Г]-|-г2=— —, ГХГ2 — —	(14)
так что, исключая г2, найдем, что r1 = rl(a1, Таким образом* £,(/•) не вводит новой постоянной в решение (10). Аналогичное замечание относится и к S2(9). Выбор нижних пределов в каждом из интегралов (11) и (12) зависит от нас, так как, согласно теореме § 8.12, нам нужно найти какую-нибудь функцию S, удовлетворяющую уравнению (4) и содержащую три независимые произвольные постоянные. Эти последние суть а,, и а3.
Функция у, определяемая формулой (13), должна быть положительной, так как под знаком интеграла (11) содержится у'\ Но гх и г2 положительны. Следовательно, на основании формул (14) а, отрицательна. Тогда мы можем написать
у= (- га,)7’ V {г- гх) (г2 - г),	(15)
и очевидно, что у будет не отрицательным для всех г, лежащих в пределах	г2.
§ 9.03. Интеграл dS/da,i = pi
195
Это ограничение, которому подчиняется величина радиус-вектора г, дает возможность предположить, что орбита является эллиптической, причем Tj и г2 соответствуют перигелию и афелию. Фактическое доказательство того, что орбита является эллиптической, будет дано позже.
§ 9.02	. Формальное решение
Координаты г, X, 0 планеты для любого момента t определяются из равенств
dS ___q OS _____л OS ______л
<9а, ~ ’ да3 ~ ₽3’	~
Мы рассмотрим эти равенства в указанном порядке. Так как S2 не содержит ар то из формулы (10) § 9.01 имеем
+	(1)
Поскольку Sj не содержит а3, то
x+J$H0). = p3	(2)
и, наконец.
§ 9.03. Интеграл dS/da^ — ^
Из равенства (1) предыдущего параграфа имеем
где выражается формулой (11) § 9.01. Помня, что нижний предел Г] интеграла есть функция от ар находим
/+₽1 _ f £* _±L Г1 V%,>+ 2^-41 .
Последний член в правой части равен нулю, так как rt — корень уравнения у = 0. Используя теперь формулу (15) § 9.01, получаем
(1)
'I
Так как наша цель пока состоит просто в том, чтобы выразить канонические постоянные через эллиптические элементы, то из
13*
196
Глава 9. Канонические постоянные движения
формулы (1) находим, что = когда г = г,. Следовательно, Р, =— т, где т — момент прохождения через перигелий.
Выразим г, и г2 через новые постоянные а и е формулами
г, = а (1 — е), г2 = а (1 + е),
в которых а и е— соответственно большая полуось и эксцентриситет. Из равенств (14) § 9.01 мы тогда будем иметь
«1 = —£ >	«2= /ра(1—е2).	(2)
Перейдем теперь к вычислению интеграла правой части формулы (1). При этом будем руководствоваться известными формулами эллиптического движения. Пусть г определяется через новую переменную Е по формуле
г = а (1 — е cos £),
так что Е — 0, когда r = rv Тогда
г — гг = ае (1 — cos Е),
г2 — г = ае (1 + cos Е), dr = aesinEdE
и формула (1) примет вид
Е
У— 2а, (t 4- р,) = a J (1 — е cos Е) dE о или
Е — esinZ?= у —2а, • (/ + [},) = «(/ — т),
что, очевидно, является уравнением Кеплера. Поэтому
» = 2а>'
так что из равенств (2) получим
р == п2а3.
Таким образом, в этом параграфе получены следующие формулы, выражающие связь между каноническими постоянными и эллиптическими элементами:
= —x =	а1 = —аг=/ра(1 —е2).	(3)
§ 9.04. Интеграл dS/даз = 0з
197
§ 9.04. Интеграл dS/d«3 — $3
Из равенств (12) § 9.01 и (2) § 9.02 мы имеем е
0 dS \ Г sec8 6 db
о
_____ Г sec2 6 	(1)
~ J Г~ 2	*
о ]/ ^p._tg80
V “3
Отсюда видно, что |а2| > |а3|. Определим ср формулой
<4— <X3 = 4tg2?	(2)
и предположим, что ср есть положительный острый угол. Тогда после интегрирования равенство (1) примет вид
p3==X-arcsin(^-),
где ср	191. Отсюда
sin(X —Рз) = tg 9 ctgcp.	(3)
В прямоугольных координатах, определяемых формулами (1) § 9.01, это уравнение запишется следующим образом:
у cos рз — х sin рз = z ctg ср, откуда видно, что планета движется в плоскости, проходящей через Солнце. На рис. 21 эта плоскость пересекает небесную сферу по большому кругу.
Формула (3) показывает, что когда 9 = 0, то X — р3 = 0° или X — рз=180°. Мы определим рз из первого равенства, так что рз будет долготой восходящего узла. Таким образом,
Рз=2.	(4)
Далее, формула (3) показывает, что максимальное значение 9 равно ср. Но максимальное значение 9 для точек большого круга есть наклонность большого круга к основной плоскости—плоскости эклиптики. Поэтому ср — наклонность I. Следовательно, из формулы (2) имеем а3 = а2 cos I,	(5)
или, согласно последнему равенству (3) § 9.03,
а3 = угра(1—e2)cosZ.	(6)
Таким образом, связь постоянных р3 и а3 с кеплеровскими элементами дается формулами (4) и (6).
198
Глава 9. Канонические постоянные движения
§ 9.05. Интеграл dS/da2 = $2
Из формул (3) § 9.02 и (11) и (12) § 9.01 имеем
Последний член в правой части равен нулю. Рассмотрим первый член, который мы обозначим через Iv Тогда при помощи равенства (2) § 9.04 найдем, что
О	о
у ___ Г COS 6 rf6 _________ Г cos 6 <Z0
1 О У»2 — “3ces2e о Vsln2» — sin2 0
причем <р заменено на I. Поэтому Г , I Sin в \ — arcs n I -г—г I. ‘	\ sin I }
Из треугольника QNR на рис. 21 имеем
sinNQ^-Д^’ 46 sin QNR sin I
следовательно, = W	(2)
Пусть I2 означает второй член в формуле (1); тогда
= f Л dr
V— 2«i / г}Г(г — и) (г, — г)
Если выразить этот интеграл через Е, то он примет вид
Е
_1_ f dE
a J 1 — е cos Е о
или
Е	Е
।	/• sec2 -g- dE
a(l-e) J , ,	E~'
о ф l-#lg 2
Пусть f определяется по формуле

Тогда легко видеть, что /г = /,
§ 9.07. Скобки Пуассона
199
Из формул эллиптического движения, очевидно, следует, что f — истинная аномалия AQ. Поэтому, возвращаясь к формуле (1), мы видим, что т. е.
р2 = <|).
§ 9.06. Сводка формул, связывающих канонические постоянные с кеплеровскими элементами
Результаты предыдущих параграфов можно записать следующим образом: _ _ Iх	о _ X
“1 —~25’’	Р> — ~ х = 7’
«2= /рд(1 — е2).	₽2 = ш-	(1)
а3=ргра(1 — e2)cosZ. р3 = 2.
Отсюда кеплеровские элементы выражаются через канонические постоянные посредством формул
а = _ н_,	=
2а 1	п
/2а,а2
Ч-V2’	“ = &•	(2)
Z== arccos	2 = ?3-
Связь между е, <5 и 2 и р2 11 ?з выражается формулами
₽1 = |(е-ш),	р2 = ш-2,	₽3 = 2	(3)
в = л?1 + ₽2-Ь₽з.	<Ь = р2 + рз,	2 =	рз.	(4)
§ 9.07. Скобки Пуассона
Если решение уравнений невозмущенного движения выражено, как это было сделано в предыдущих параграфах, через канонические постоянные аг и (/ = 1, 2, 3), то уравнения возмущенного движения планеты имеют вид
' _	о _ dR	.
1 dfr ’	dat ‘	W
Обозначим через ат (т=\, 2,	6) элементы эллиптической
орбиты. Каждый элемент выражается через канонические постоянные по формулам (2) и (4) предыдущего параграфа (в качестве „угловых"
200
Глава 9. Канонические постоянные движения
элементов мы возьмем е, ш и 2. Перепишем для удобства эти формулы в виде
/А 2 . < 2“1“2
,	(аз\	'
a3=l = arccos^p
^=E =	+ Рг Ч- ?з> а5 = “ ~ ?2 Ч~ ?з>	= 2 = р3.	(3)
Скобки Пуассона появляются при выводе уравнений движения планет в форме Лагранжа посредством формул (1) — (3). Так как вообще am — am(a, Р), то на основании уравнений (1) имеем
з
1 _ V ( даш 2 । дат о \ _ V (дап> dR	дЯт dR
ат —	даг • ар,	ар, • дагГ
Г«1	г
Первоначально R есть функция ат, но чтобы воспользоваться уравнениями (1), ее нужно преобразовать посредством формул (2) и (3) в /?(а. Р). Тогда получим
6 ар __ у ар ад, аа, ад, * даг S«1
и
6 dR •_ У &R das ар, Zd das' ар,' 5=1
Поэтому
• —V у/адт ад, адт ад, \ om ^as £ 1 да, ’ ар, ар, ’ даг ]' Г=1
В гл. 5 мы выразили скобки Лагранжа [ат, aj через а{ и fp где 7, = — р/( формулами (7) § 5.10:
з п 1 — V д <“1’ 1 m* «,)•
Определим скобки Пуассона относительно а и ] следующим обра-80 м: з
г-1 Тогда в «.>!£•'	<5)
,= !
j$ 9.07. Скобки Пуассона
201
Последнее уравнение является просто одним из уравнений Лагранжа, выраженным через скобки Пуассона. Эти скобки легко вычисляются.
а)	{а, а5} = —так как а не зависит от р,. Кроме
того, а = а (а0. Поэтому эта скобка приводится к виду —.
Из формул (3) видно, что р! содержится только в s. Единственной скобкой вида (а) является, таким образом, следующая скобка:
2
па

б)	[е, а„1 = — V.-r— • тг4-. так как е не зависит от 8,. Легко '	1	«У1	vtfj 0pf	1 '
видеть, что все скобки равны нулю, за исключением тех, в которых as = e или й. В этих случаях
{е, e} = -(n-g-
cos у (1 — COS у) na*e
и
de   cosy da2	na*e ’
где <р = arcsine.
ч if 1 	di das
в)	И» <Ь\ —	да2 ‘ д?2
а2 и а3. Очевидно, что as , 	dl де
SJ —	даг ' <эр2
~1 dl dl
так как *есть Функция ЛИШ1 может быть s, ш или 2, так что ___di _ да3
де ___sec у (1 — cos О
па* sin I
I*’	—	да^	да^ — г
о,—______di _ sec?
l*’ “J—	da3	na*s\nl’
cos у па*е ’
Объединим результаты, полученные в случаях (а) — (в):
,	,	2	, cos у (1 —cosy)
I 1 па*е ’
it .1 sec У о —cos О * ’ * па* sin I ’
и, а1==._^с?
‘	1 па* sin I
(6)
для скобок Пуассона в уравнение (5), Лагранжа. В следующем параграфе мы
Подставляя эти выражения можем получить уравнения покажем, что выражения (6) можно легко вывести из известных формул для скобок Лагранжа.
202
Глава 9. Канонические постоянные движения
§ 9.08. Соотношения между обобщенными скобками Лагранжа и скобками Пуассона
Пусть q и р — сопряженные канонические переменные. Определим обобщенную скобку Лагранжа lam, аг] при помощи формулы
п
1=1
и обобщенную скобку Пуассона [am, as} при помощи формулы
л 1 _ У	дат даЛ
где т, г и $ могут принимать значения 1, 2.2п.
Для краткости пусть Lin>r и Рт означают скобку Лагранжа и 2л
скобку Пуассона, я X — сумму 2 Lmrpms' Тогда
т = 1 (2л	2л	\
das , dpi у dqt . <tam  da± dqt у dpt дат ] _ dpj ’ даг дат ’ dqj dqj ’ dar дат ' др} I
Ш«1	Л1 = 1	/
•	2л	2л
— УУ	dPl	да*	У д^1	да™ I да‘	У дР1 дат
jfaJ	даг	dqj дат	dpj '	даг ' dpj дат ’ dqj
I J	ш»1
Предположим, что q и р — независимые функции от 2п величин а и, обратно, что а — функция q и р. Тогда 2л Vi dq, dam dq: ,	.	.
7,	= ^ = 1, если j = l,
оат dqj dqj	J
т=1
= 0, если J Ф1. Аналогично 2л если = т=1 = 0, если J + I.
Кроме того,
У 23L . ^ат — У ^PL дат —п дат ’ dpj dam ' dq} т	т
так как q и р независимы. Поэтому
X — У I , dpt i das dqi 1_______.	__
A ~ ZA.dpi dar dqi darJ~b есЛИ Г'
0, если s
$ 9.08. Соотношения между скобками Лагранжа и Пуассона
203
и мы будем иметь
2л
^LmrPmr^l m=l
2л
£4лА» = 0. если s*r. т=1
(3)
(4)
Вспомним, что в этих формулах г и s могут принимать любые целые значения в промежутке от 1 до 2п. Следовательно, имеется 2п уравнений типа (3) и 2п(2п— 1) уравнений типа (4); при этом на время забудем о существовании свойства Lmr = — Lrm и т. д. и аналогичного свойства для Ps. Таким образом, будем иметь всего 4э2 уравнений.
Предположим, что все L (их всего 4п2) известны. Тогда имеется 4п2 уравнений (3) и (4), которых достаточно, чтобы они дали нам возможность определить 4п2 скобок Р.
Напишем уравнение (3) при г = 1 и 2п — 1 уравнений (4) для случаев, когда $=1, а г последовательно принимает значения 2, 3. .... 2п; эти уравнения имеют вид
^11^*11 4“ ^21^21 4” • • • 4“ ^2л, Ал, 1 — 1 ’ L\P 11 4' ^Ер21 4- • • • 4- ^2л, Рчп, 1 = О’
А 2л^*11 4- ^2, 2л^*21 4” • ’ • 4” ^2л, 2ip2n, 1 ~
Обозначим через А следующий
^12
определитель:
£21	... £гя, 1
£22	... £гя, 2
(6)
^1, 2л
Решение уравнений (5) тогда
Р —— П1— д
^2, 2л будет даваться формулами
Р _ £12 ’ *12----д~......
• • ' ^2л, 2л
и
Д =
где £ц, £12. • • • — алгебраические дополнения элементов £и в определителе А. Общее решение, очевидно, имеет вид
Р ==— L.' rr,S-- А
^12’ • •
(7)
Аналогичный прием дает возможность нам определить скобки Лагранжа, если известны скобки Пуассона.
204
Глава 9. Канонические постоянные движения
(8)
Формула (7) может быть записана в несколько измененном виде, если мы предположим, что вообще скобки Лагранжа имеют значения, отличные от нуля. Очевидно, что Lrs = дЩдЬг$ и, следовательно,
Р -1 TS~ A dLri '
Если каким-либо способом переставить, например, столбцы в определителе Д, то полученный в результате этого определитель Aj будет выражаться через определитель Д следующим образом:
Д1 = -|- Д или Д1 = — Д.
Слеювательно, во всех случаях будем иметь р —_L A. <>Lr, ’
О)
или
^TS---Lrs>	(8Z)
где теперь £« — алгебраическое дополнение элемента Lrs определителя ДР Итак, мы можем использовать формулы (7) и в том случае, когда в определителе Д сделана какая-либо перестановка столбцов или строк.
Заметим, что при выводе результатов этого параграфа мы не использовали никаких свойств q и р, кроме того, что q и р являются независимыми функциями от 2п величин а и, обратно, что а — независимые функции q и р.
§ 9.09. Вычисление скобок Пуассона
по скобкам Лагранжа для эллиптической орбиты
Мы будем под ат понимать следующие шесть эллиптических элементов:
ах = а, а2 = е, а3 = I, а4 = 2, а5 — о>, а6 = е. Формулы (1) § 5.14 показывают, что скобки Лагранжа, не равные нулю, запишутся так:
[a, s]=£16 = —^-па; [а, ш] = Г15 = ~па(1—cos <р);
[а, 2] =	= па cos <р(1—cos0; [е, ш] = 125 — па2^<?>
[е, 2] = £24 = — na2 tg <р (1—• cos 0; [Z, 2] ==£34 = ла2 cos <р sin Z,
где положено е = sin <р. Кроме того, из определения скобок следует, что Lrt = — L„.
# 9.09. Вычисление скобок Пуассона по скобкам Лагранжа
205
Скобка Пуассона Р„ тогда будет равна £„/Д1, где L.'rs— алгебраическое дополнение в измененном определителе, полученном из определителя (6) § 9.08 при п = 3:
	^бг	^5г	^4г	^Зг	Агг	Цг
	^61	^51	^41	0	0	0
	0	^52	£42	0	0	0
д1 =	0	0	^43	0	0	0
	0	0	0	^34	^24	^14
	0	0	0	0	^25	^15
	0	0	0	0	0	^16
где столбцы обозначены £6г и т. д., причем г = 1,2.....6	последова-
тельно. Очевидно, определитель At равен произведению элементов главной диагонали:
Д1 = L6lL52L43L3iL25L16.
Кроме того, алгебраическое дополнение элемента равно ^-52^-43^34^25^ ie; поэтому, согласно равенству (8) § 9.08, имеем
n 1	n 1	2
Ря = -^ или Рм=т- = --.
Аналогично
р _J________ctg?
25 —	— па2 •
р______1 ___ sec?
34 L3t паг sin i
Алгебраические дополнения элементов Lsl (s = 5, 4, 3, 2, 1) первой строки равны нулю, так как каждое алгебраическое дополнение равно определителю пятого порядка, в первом столбце которого стоят элементы, все равные нулю. Поэтому
Р51 = Р41 = Р31 = Р21 = Рп = 0, причем Рп равно нулю по определению.
Легко заметить, что к алгебраическим дополнениям, не равным нулю, относятся L62, L63 и Ls,. Например, алгебраическое дополнение £б2 представляет следующий определитель:
206
Глава 9. Канонические постоянные движения
Поэтому
и, следовательно,
П _ ctg<p(l — cosy) 26---------*
Аналогично
МВ = — £16^25^34 (^41^52 — ^42^51). откуда
^36 = (^14^25 -^15)/(^61^4з) = —	•
Таким же образом находим, что Р36 = Р35, Результаты, полученные в этом параграфе, находятся в согласии с формулами (6) § 9.07.
Глава 10
КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 10.01	. Критерий каноничности
Как и в § 8.09, мы будем считать, что решение канонических уравнений
; _ дН(q, р, t) • _	дН(q, р, t)	...
dpi ’ Pl	dqt	' '
выражено через t и 2k постоянных cv с2......с2к формулами вида
<7Z = ?/(£, t), Pi = Pi(c, t).	(2)
Пусть X определяется формулой k	k
Х~~dt Pl ~ ~dcj PtPl" 1=1	1=1
Тогда, принимая во внимание равенство (4) § 8.09, получаем
Докажем важную теорему, которая заключается в следующем.
Если qt и pt (/=1, 2, ...» k) — такие независимые функции от t и 2k постоянных ср с2, .... с2к, что для любого Cj выполняется равенство
„ d Л dq. d Л . dH
Х=~dt 2^Pi ~дс7 ~~dc~^lPi^l~ ~~дс7 ’
i=i 1 i i=i	1
где H первоначально — функция q, p, t, а затем преобразовывается посредством формул (2) в функцию от t и 2k величин с, то q и р являются каноническими сопряженными переменными, удовлетворяю щими каноническим уравнениям
• _ dH •	dH
4i dpt ’ Pl	dqt •
Так как Я(c, t)^H(q, р, t), то мы имеем
dH _ у, ( dqt dH dpt \ dCy’ 21 \~dq~L ‘ ~dcj~^~~dp^ ‘ dc^ ) '
(6)
208
Глава 10. Контактные преобразования
Левая часть равенства (5) может быть записана следующим образом: it ,	, ч
VI/•	. дрЛ
\Р1 dci dci / ‘ /=1
Поэтому при помощи формулы (6) мы можем представить равенство (5) в виде
1=1 где
дН •	дН . •
Всего имеется 2k уравнений такого типа, соответствующих 2k значениям Cj (J=\, 2......2k),	в которых k величин х. и k вели-
чин у рассматриваются как неизвестные. Так как q и р — независимые функции величин с, то
д(Ру Р2...Pk> «у ?2...gft) л 0
d(clt сг,ctk)
Следовательно,
х1 = х2= ... =xk = yl = y2 ... = У* = 0.
Поэтому
• дН (q, p,t) • _	ОН (q, р, t)	„
----Pi~-----------------•	(8)
Теорема, таким образом, доказана. Она будет использована в качестве критерия каноничности в методе, связанном с контактными преобразованиями, которые мы будем рассматривать в последующих параграфах.
§ 10.02. Контактные преобразования
Мы будем исходить из канонических уравнений (8) предыдущего параграфа. Предположим, что мы перешли от переменных q и р к новым переменным Q и Р посредством уравнений вида
(1)
Pi = Pi(.Q> Р> t),	(2)
в которых содержится k переменных Q и k переменных Р.
Если замена переменных такова, что Qt и Pt являются сопряженно каноническими по отношению к некоторой функции Гамильтона Н'(Q, Р, t), то такое преобразевание переменных называется конгпак-тным преобразованием.
§ 10.02. Контактные преобразования
209
Из двух групп уравнений (1) и (2) мы можем в принципе выразить каждое из переменных Q и Р через q и р в виде
<?/= <2/(?•	*) Pi = Pi{q, р, ().	(3)
Решение уравнений (8) § 10.01 имеет вид
qi = qt{c, t), Pi^Piic.t),	(4)
причем число постоянных интегрирования с равно 2k. Следовательно, согласно формулам (3), переменные Q и Р могут быть выражены через 2k постоянных по формулам
<?z = Qz(c. 0. Pi = Pi(c. t).	(5)
Рассмотрим теперь группу уравнений (1). Они могут быть в принципе разрешены относительно Pt так, чтобы Pt — Pt (q, Q, f).
Предположим теперь, что существует такая функция F(q, Q, t), что k	k	ь
dqt + d<ti = dF, (6)
причем dF есть полный дифференциал по отношению к переменным q и Q. Тогда
_ dF(q, Q.t) р _ dF(q, Q, t)
Р‘-------dQt-----------------------•	О
Воспользуемся теперь критерием каноничности, который был получен в предыдущем параграфе. Пусть k	k
1=1	1 J 1=1
Тогда, используя равенство (3) § 10.01, мы запишем d / dq, _ dQ, \	д •	•
х - >"-тг 2 (а -тг, 2 - р®>-
ткула, принимая во внимание формулы (7), находим
v	V _ d V / dF d«t , дР dQt\
Л	1 ~ dt ^i\dqt ' dCj dQt ' dcj ) ~~
д V / dF • . OF ~~ dCj X\dqt + dQt
J4 V. Смарт
210
Глава 10. Контактные преобразования
Далее, функция F(q, Q, f) посредством первой группы фэрмул (4) й первой группы формул (5) может быть преобразована в функцию F(c, t). Мы тогда будем иметь
df (с, t)	у, / dF dqt	dF dQ( \
dcj	21 \ dq( ' dCj	dQt ' dCj )
и dP(c,t} _dP(q,Q,t) ( V / dF i dF n\ dt ~ dt	dQ^)'
Поэтому формула (8) примет вид v у_ d	1 д XdF(c,t) dF(q,Q,t)l
Л d/L dcj J dcyL dt	dt j“
..... d \ dF (q, Q, <) | — dcyL dt J’
Согласно формулам (3) и (4) § 10.01, имеем v_ дн Х~~ dcj •
Следовательно,	(9)
у дн дс) ’
где
H' = H(q, Р,	(10)
При помощи уравнений (1) и (2) функция Н' может быть представлена в виде Н’ (Q, Р, t). Следовательно, формулы (9) представляют собой критерий каноничности. Поэтому
• _ dH' (Q, P,t) ь _ dH' (Q, Р, 0	п п
— gpz •	----------.	(11)
Другими словами, новые переменные Q и Р удовлетворяют каноническим уравнениям с функцией Гамильтона Н', выражаемой формулой (10), причем функция F(q, Q, t) определяется из уравнения (6).
§ 10.03. Вывод уравнения Гамильтона — Якоби
Предположим, что функция Гамильтона Н' в формуле (10) § 10.02 равна нулю, так что
я(?. р, /)+-^9г9.==о.	(1)
Тогда, согласно уравнениям (11) § 10.02, ^ = ^ = 0. Поэтому Qt и Pt — постоянные, и мы пишем
Q( = a<, Pt = -h, (/=1,2.....k).
§ 10.04. Дальнейшее применение	211
Уравнения (7) § 10.02 тогда примут вид
OF (q, a,t) „ _ OF (q, a, t)
Pi —-----—' « —	— •	(2)
Очевидно, что в этом случае функция F совпадает с функцией S, введенной в § 8.09. Заменим в уравнении (1) F на <$ и Q на а. Тогда это уравнение примет вид
о.+Я(?) Pt 0=о,
и, таким образом, принимая во внимание первую группу уравне* ний (2), можно утверждать, что функция <$ представляет собой решение уравнения
<) = 0.
которое является уравнением Гамильтона — Якоби, полученным в § 8.10.
§ 10.04. Дальнейшее применение
В этом параграфе мы выведем при помощи метода контактных преобразований результаты, полученные в § 8.15.
Канонические уравнения, из которых мы исходим, имеют вид
дН • дЯ	...
Р = ~1Г-	(1)
Как и раньше, мы положим
(2)
и допустим, что канонические уравнения с функцией Гамильтона Н уже решены. Пусть решение, полученное из равенств
dS (q, a,t) R _ OS (q, a, t}
p~ dq ’ P — da
имеет вид
q = q(t, a, p), p = p(t, a, p).	(3)
Здесь 5 — решение уравнения
f • <)-0.	(4)
Теперь будем считать аир переменными и предположим, что аналитические выражения (3) для q и р удовлетворяют уравнениям (1). Отождествляя Qt с а.1 и Pt с —рр получаем k
^Ptdqt-^PidQ^^iPi dqt + ₽, da<) = J (-£- dqt+-g- rfaA. i-i	i	i	i ' 1	1	1
14*
212
Глава 10. Контактные преобразования
Правая часть этого равенства есть полный дифференциал dS по отношению к величинам q и а. Поэтому, согласно результатам § 10.02, получаем
где, на основании уравнения (4),
Н' = Я+ —= Н — Но,
или, согласно формуле (2),
Н' = — Нг
Поэтому
Л _ _	р _ дН{
*l~ dPt’ l~ dQt ’
Если в последних уравнениях заменить Q на а и Р на —р, то они примут вид
•	6  дН,
‘ •
Это и есть уравнения, выведенные в § 8.15.
Если Но — функция Гамильтона, соответствующая эллиптической орбите, в силу чего аир будут соответствующими каноническими постоянными, то уравнения возмущенного движения выведутся так же, как и в § 8.15, и примут вид
•	_ dR а _ 0R ~ d?i ’	— dat ’
где аир теперь принимаются в качестве новых канонических переменных.
§ 10.05. Условия контактного преобразования, записанные через скобки Лагранжа и скобки Пуассона
Для контактного преобразования переменных q, р в переменные Q, Р мы из формулы (6) § 10.02 получим
2 Pt dq, - 2 Pi dQt = dF (q, Q, f),	(1)
где dF — полный дифференциал по отношению к переменным q и Q. Запишем это преобразование в виде
qssq(Q, Р, f), p==p(Q, Р, t).
$ 10.05. Условия контактного преобразования
213
При помощи первой группы этих формул F может быть преобразована в функцию от Q, Р, t, так что
к
1=1
Кроме того,
к
($?«<+-Sr "’О-	(3)
Л	к
В формуле (1) вместо Pi^4i напишем ^prdqr. Тогда, учитывая 1=1	Г=1
равенства (2) и (3), мы будем иметь
k k	k
r=l i=l	1=1
к
/el
откуда, приравнивая коэффициенты при dQt и dPlt получаем
jLPr dQt — OQt '	W
r
V dqr dF	/EX
2^ Pr dPt ~ dPt ’ r
Определим скобки Лагранжа [и, v] при помощи формулы
“•’I-2W- да
Г=1
Из равенства (5) находим
dPj Pr dPt dPt 2л Pf dPj ’
t. e.
С другой стороны, из равенства (4), поскольку Р и Q являются независимыми функциями, имеем
откуда
«?,. Qyl = O.
(8)
214
Глава 10. Контактные преобразования
Продифференцируем снова формулы (4) и (5) соответственно по Pt и Qt и вычтем. Тогда получим d V _ 0qr , _______________________ д V _ dqr
dPt р' dQt 1	Pr dPt '
Г	т
откуда [Q/t Р,] = 1.	(9)
Соотношения (7) — (9) и составляют всю совокупность условий контактных преобразований.
Возвращаясь к определителю Д, который фигурирует в § 9.08 в соотношении между скобками Лагранжа и скобками Пуассона, мы увидим, что он приводится к выражению 2л
ЛЬ
Из формулы (7) § 9.08 имеем р _______________________1. д' __ 1
Поэтому вследствие равенства (9) будем иметь {Q/t Р,} = 1.	(10)
С другой стороны, так как Lrs — 0 (г =£ s), то алгебраическое дополнение элемента Lrs равно нулю; поэтому
{<?р QJ = {PpPy} = °-
Формулы (10) и (11) дают условия контактных преобразований, записанные через скобки Пуассона.
В частности, если под Q{ и Pt понимать az и — 0Z соответственно, то эти условия, записанные через скобки Лагранжа, примут вид
[«Р М = -1	(12)
и
lap a,] = [0p 0У] = О.	(13)
Эти же условия, выраженные через скобки Пуассона, записываются в виде {«о М--------------------------------1	(14)
и
(а,, а,} = {0р 0,)=О.	(15)
§ 10.07. Другое доказательство
215
§ 10.06. Частный случай контактного преобразования
Рассмотрим важный для дальнейшего специальный случай, когда преобразуется только одна пара канонических переменных, например qv pv в Qv Pv
Пусть
^i = ?i(Qp Рр	Pi — Pi,(.Qi> Pp 0	(1)
и
= Pr = Pr (r = 2, 3..............A).
Согласно предыдущему параграфу, условия контактного преобразования записываются в виде
k
d (qi, Рд । V d (Яг, рг) __ ,	/оч
W./’iTAWi.Pi)	w
г«2
И
[Qp Qyl = lPp Ру] = 0.	(3)
Так как qr и рг (г > 1) не зависят от Q, и Рр то условия (3) автоматически удовлетворяются, и, кроме того, каждый член в сумме (2) равен нулю. Поэтому требуемое условие примет вид
<5 (Як Pt) _ 1 d(Qi, Pt)~ ’
§ 10.07	. Другое доказательство
Мы дадим другое доказательство результатов § 10.06, основанное на простых принципах, и, кроме того, установим общую форму новой функции Гамильтона относительно Qj и Pv
Так как и pt— сопряженные переменные, то имеем
• _ dH(q, р, t) dpt ' Pl dqt ’
Решая уравнения (1) § 10.06, получаем
*21= Qi(?р Pv	Рг = Рl(ql, pv t).	(1)
Поэтому, опуская для простоты индекс, находим
Л_ dQ Л । dQ 1 । dQ _ dQ dff	dQ дН , dQ
** dq ’ dp P' dt dq ‘ dp	dp ’ dq ' dt *
При помощи формул (1) § 10.06 H можно выразить через Q, Р, t, и мы будем иметь
dff_=dH_,dQ^_i_ dH дР_ др	dQ	др	’	дР	'	др ’
дЯ	_	дЯ	dQ	,	дЯ	дР
dq	dQ	’	dq	'	дР	’	dg ’
216
Глава 10. Контактные преобразования
Следовательно, А_дН d(Q, Р) , dQ ** дР d(q, р) ' dt
Аналогично р_________________________дН d(Q,P) , дР
dQ ' d(q, р) ' dt ’
Из этих равенств, восстанавливая индекс, мы найдем
если	Qi	. дН' р	 ~ dPt ’	~ d(Qi,Pi)_ . d (<Ii> Pi)	dH' dQi ’	(2)
и И'	— такая функция,	что		
				(3)
где	d<f		 dQt d<? 		dPi	(4)
	dPi	dt ’ dQt	dt ’	
Из условия (2) следует, что скобка Пуассона {Qp равна единице, так как все члены в выражении д {Qp Px]ld[qr, рг], для которых г > 1, равны нулю. На основании известной теоремы имеем
поэтому равенство (2) эквивалентно соотношению
д (gi. Pi) _ d(Qi,Pi) ~
совпадающему с равенством (4) § 10.06.
Согласно уравнениям (4), функция <р (Q, Р, f) дается формулой
Далее,
Выражение для dPx имеет аналогичный вид. Поэтому когда 9 выражено через qv pv t, то мы имеем
___ f <KQi< Pi) d_ _ f <?«?„ Pi)
J d(qht) d<h J d(pt, t)	<6)
§ 10.08. Обобщенное точечно-линейное преобразование
217
Итак, новая функция Гамильтона определяется равенствами (3) и (6). Новые канонические уравнения тогда будут иметь вид
o-^L	р_______(7)
“ dPt ’	1 —	dQx •	(7)
где предполагается, что Н' выражена через Qj и Pv
Так как ? в формуле (6) не зависит от Qr, Рг (г = 2, 3, ...), то остальные канонические уравнения могут быть записаны в виде
А .	а_______
~ дРг ’ r ~ dQr •
Примечание. Если преобразование переменных q и р в переменные Q и Р не содержит явно времени, то обе производные dQ-Jdt и dPJdt равны нулю. Поэтому <р = 0 и новые канонические уравнения запишутся в виде
о-™- р	(я\
Qr ~ дРг ’	— dQr ’
причем функция Гамильтона остается прежней.
§ 10.08. Обобщенное точечно-линейное преобразование
Мы будем исходить из канонических уравнений
• _ дН	• _	дН
~ dpt ’ Pl ~	dqt ’
Если преобразование к новым каноническим переменным Q и Р такое, что Qr, например, есть функция только q, а Рг — функция только р, то преобразование называется обобщенным точечным преоб разованием.
Пусть
<?,=$,(«). Рг=ргю-
Если Qr(q) — линейная функция q, а РТ(р) — линейная функция р, то такое преобразование называется обобщенным точечно-линейным преобразованием. Его мы сейчас и рассмотрим.
Запишем линейное преобразование в виде
Qr = Аг\Чх + Л2?2 + • • • + АгпЧп S Ars4s> (О 5=1
Рг = W1 + алРг + • • • + агпРп = arsPs< (2)
S
где г = 1, 2.....п, А и а — постоянные величины.
218
Глава 10. Контактные преобразование
Для контактного преобразования мы имеем условие ^Prdqr-^PrdQr = dF.
Г	г
Это условие будет справедливым и при F = 0. В этом случае
(з)
последнее равенство при помощи формул (1) и (2), если заменить в нем на t, принимает вид
2 Prdqr — 2 2 arsPs 2 Ан dqt = 0.	(4)
г	r s	t
Тройную сумму в левой части можно записать в виде
2 2 arsArsPsdqs+ 2 2 2 arsArtPs dqt. r= 1 s=1	r s t
где 14= s. Если вместо 2 Pr dqr написать 2 Ps dqs, то формула (4) r	s
примет вид
2 P*dqs — 2 Psdqs 2 arsArs - 2 2 лdqt 2 arsArt = °-Jf	s	r	str
где г и 5 могут принимать все значения от 1 до п и t У= $. Последнее уравнение удовлетворится, если
п
^arsArs^l	(5)
Г=1
И п 2 arsArt = Q	(6)
r=l
Это и есть условия контактного преобразования, и так как F = 0, то новые канонические уравнения имеют вид
Если, например, величины а заданы, то уравнения (5) и (6) дают возможность определить соответствующие значения А, так как имеется п уравнений (5) и п(п — 1) уравнений (6), т. е. всего п2 уравнений, то из них могут быть найдены п2 величин А. Легко заметить, что если положить в уравнениях (5) « = 1 и в я — 1 урав-
$ 10.09. Ортогональные преобразования
219
нениях (6) t=\ и s = 2, 3.......п, то Лп, например, будет алге-
браическим дополнением элемента ап, деленным на определитель Д:
Оц а21
	a 12	а 22
д=		
ап1
ап2
Вообще
а1п а2п • • • апп
Ars = у ars’
(8)
где a'rs — алгебраическое дополнение элемента ars.
Условия (5) и (6) могут быть представлены одной простой и важной формулой. Так как Qr представляет собой линейное выражение относительно q, то, очевидно, что условие
2м-2эд®о
г	г
совпадает с условием
2 М?г—2 Л-л?,=о,
г	г
причем это последнее условие дается формулами (5) и (6). Поэтому для обобщенного точечно-линейного преобразования достаточное условие записывается в виде
2<гл=2^л-	(9)
г	г
§ 10.09. Ортогональные преобразования
Если в равенствах (2) § 10.08 ars = Ars, то преобразование называется ортогональным. Условия (5) и (6) предыдущего параграфа тогда запишутся в виде
п
2^=1	(О
Г=1
И
п
%ArsArt = 0 (t + s).	(2)
r=l
Если д = 3, то величины А будут обладать свойствами, присущими направляющим косинусам. Так, если мы положим
ns — ^3$ ’
220
Глава 10. Контактные преобразования
то условия (1) и (2) запишутся в виде равенств
Is -j- ills -1- Us == 1 ($ =s 1 • 2, 3) и
lslt + msmt 4- nstit = 0 (/=£$)•
которые являются хорошо известными формулами, связывающими на* правляющие косинусы.
§ 10.10. Бесконечно малые преобразования
Пусть
Qz = ^ + exP	(О
где е — произвольная бесконечно малая величина, не зависящая от q и р, и квадратом которой можно пренебречь. Для контактного преобразования мы должны иметь
^Pidqi-^PldQi = dF,
где dF — полный дифференциал. Используя формулы (1), мы получаем
S Pi — 5 (Pt + eyi) (dqt + e dxt) = dF
или
— 6 S (У1 dqt + Pi dxt) — dF.
Можно считать, что функция F содержит множитель е. Положим F = eW. Тогда
2 (У1 dqi-^-Pidxi) = ~dW,
что можно записать в виде
^(yidqi — xi dpi) = — d[W + ^PiX^ = — dK,
где через K(q, р, f) обозначено выражение, заключенное в скобки. Поэтому
„ _ дК (q, р, t) _ дК (q, р, 0	/9ч
Xi------' У‘~	^1	‘	( }
Заменим е на ДЛ которое не зависит от q и р. Тогда, принимая во внимание формулы (1) и (2), получаем наиболее общее бесконечно малое контактное преобразование в виде
<г=?,+--^’-)--дл	(3)
(4)
где К — произвольная функция.
§ 10.10. Бесконечно малые преобразования	221
Далее, пусть координаты и компоненты импульсов в момент t суть q и р. Тогда, как показывают уравнения (3) и (4), в момент состояние системы получится путем бесконечно малого контактного преобразования. Все движение системы, таким образом, может рассматриваться как последовательность бесконечно малых преобразований, что в общих чертах сходно с описанием возмущенного движения планеты при помощи последовательности бесконечно малых дуг оскулирующей орбиты.
Глава 11
ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЛОНЭ И ПУАНКАРЕ
§ 11.01. Необходимость преобразования канонических переменных
Рассмотрим движение планеты Р, возмущаемое планетой Pv Уравнения движения имеют вид
;<-Ж’ *'=-$• <' = 1'2'3>’	<0
где а и р первоначально были каноническими постоянными, появившимися при решении уравнений невозмущенного движения, а теперь в уравнениях (I) являются каноническими переменными.
Возмущающая функция R — функция Гамильтона в уравнениях (1) — содержит как непериодические члены, так и периодические. Сейчас нам необходимо рассматривать лишь те члены, аргументы которых зависят от средней аномалии.
Такие члены имеют вид С cos 0, где С — С (ар а2> а3) и 9 = JM -f- а, или
о=;«(/+р1)+«.	(2)
причем J — положительное целое число, а и — линейная функция р2, рз, Л1р и 2Р где три последние величины относятся к планете Pv
Далее, в формуле (2) п есть функция ар так как
Л2а3 = р, а ——-А_.	(3)
Поэтому если рассматривать только члены вида С cos 9, то второе из уравнений (1) при Z=1 будет иметь вид
Наличие множителя вызывает, очевидно, затруднение того же характера, что и уже встречавшееся при рассмотрении уравнения (6) § 6.03 для элемента е. Нужно заметить, что уравнение (4) является единственным из шести уравнений (1), обладающим такой особенностью. Эта трудность устраняется путем выбора в качестве НОВОЙ канонической переменной средней аномалии n(t-1-
§ 11.02. Переменная, сопряженная средней аномалии
223
(которую Делопэ обозначил через Z1)) и определения соответствующей сопряженной переменной, обозначаемой через L. Тогда 04 и заменятся на L и I, а все остальные переменные, а2, р2, аз> Рз1 останутся неизменными.
§ 11.02. Переменная, сопряженная средней аномалии
Средняя аномалия I дается формулой
Z = /(alt р1( /) = «(/ + ₽!),	(1)
причем п выражается через 04 по формуле (3) § 11.01.
Пусть £==£(04, рр I) означает переменную, сопряженную I. Требуется найти такую форму для L, чтобы было
где R' — новая функция Гамильтона.
Условие того, что L и I — сопряженные переменные, было получено в § 10.06 и § 10.07, причем под qv рх мы понимаем ар р,, а под Qj и Рх— Lx,
Это условие, выражаемое формулой (2) § 10.07, запишется тогда в виде
Функция 7?' равна где определяется формулой (6) § 10.07 и в новых обозначениях имеет вид
Так как I дается формулой (1), то условие (3) принимает вид dL	,, > а \ dn dL	,
Л	(t -4- Й,)  , - • -th—	1 •	(5)
dax	'll v	/
Это уравнение удовлетворится, если L = L(<i^ такое, что dL/d$x = = dL/dt — 0. Следовательно, мы можем равенство (5) записать в виде ndL = da.x или, принимая во внимание формулу (3) § 11.01, dL=t -dy^-a. Поэтому
£ =	__L.	(6)
*) Не следует смешивать со средней долготой, уже использованной, например, в формуле (12) § 6.02.
224
Глава И. Переменные Делонз и Пуанкаре
Тогда равенство (4) примет вид
Следовательно, учитывая формулу (6), имеем =	= +	(8)
Тогда канонические уравнения, содержащие L и I, будут иметь вид (2), причем R' теперь предполагается преобразованной в R'(L, I).
Так как р.2/2£2 не зависит от а2, р2, то соответствующие канонические уравнения могут быть записаны в виде
•	6 _	<*'
а— dp2 ’ г2—•
Уравнения для оставшейся пары переменных (а3 и рз) могут быть записаны в аналогичной форме.
§ 11.03. Другой вывод формулы для L
Читатель может рассматривать содержание этого параграфа как пример непосредственного получения результатов предыдущего параграфа без помощи общих формул предыдущей главы.
Будем исходить из условий
0. / = «(^ + ₽1).	(D
где n = rt(ai). Мы тотчас	же получим					
L	a 4-	8 4-	dL	dR	dL	dR	dL	(2)
L— d^ ai 1 dp, P* 1 dt ‘	da,	dp,	dp.	da,	dt ’	
Аналогично						
da.	dR	dl	dR .	dl		
	d?l	dp,	da, “1	r dt ’		(3)
Далее, при помощи формул (1) получаем /?(ар рх, t} = R(L, I, t).
Поэтому					
	dR	dR	dL	, dR	dl
					л — — ..
	da,	bL	da,	' dl	da.
	dR	dR	dL ,	dR	dl
					
	dp, "	~ dL	dp,	1 dl	dp, ’
Подставим эти равенства в соотношение (2). Тогда • d(L. I) dR , dL p,) ’ dl dt *
$ 11.04. Переменные Делоне
225
Аналогично	<?(£.. 0 dR , dl 1—	<?(»„₽,) oL । dt •
Следовательно,	если ?i)	W
и	
где	d<f  dL	dy   dl dl ~ dt ’ dL ~ dt’	W
то	dR' dl ’	dL ‘
Если £=£(«!), то равенство (4) эквивалентно равенству п dL = </aj, из которого L — ]/ра, т. е. получаем результат, выраженный формулой (6) § 11.02.
Из уравнений (5) находим
<>Ч __ Л „	&Ч  d<f _
dl “° И	dL = dL — —
поэтому <р = — <xv Тогда R' будет выражаться формулой (8) § 11.02.
§ 11.04. Переменные Делонэ
Делонэ ввел следующие обозначения:
£ = Ур.а,	/ = «(/-1-^),
O=a2 = }/p.a(l — е2).	g==p2==<0.	(1)
/7=а3=	(1—e2)cos/, Л = рз = 2,
рассматриваемые теперь как стандартные. Канонические уравнения тогда примут вид : _ dR'	•	дК_
L~~ dl	'	1 ~	dL ’
Q — dR'	,	g —___dR' ,	(2)
u dg ’ g dQ ’	W
й dR' L	dR'
где
(3)
15 У. Смарт
226	Глава 11. Переменные Делонз и Пуанкаре
Эти уравнения являются отправной точкой в теории движения Луны, разработанной Делонэ.
Переменные I, g, h называются угловыми переменными, a L, О и Н— неугловыми переменными.
§ 11.05. Модификация переменных Делонэ
Эти переменные связаны с расширенным линейным точечным преобразованием переменных Делонэ L, О, Н; I, g, h. Общей теорией такого преобразования мы занимались в § 10.08 и здесь на нее будем ссылаться.
Будем понимать под величинами qr (г —1, 2, 3) переменные L, G, Н, под величинами рг — переменные I, g, h, а под Qr и Рг — переменные L', О', Н' и I’, g', h' соответственно.
Согласно формулам (1) и (2) § 10.08, общее линейное преобразование дается уравнениями
/' = ап1+«12£+«13Л»
gr'= «21/-|-«22^-|-а23й,	(1)
й'= я31/+ Язгй'+ ЯззЛ н
£' = AnL -|- At2G -|- Al3H	(2)
и двумя аналогичными уравнениями для О' и Н'. Переменные L', О', g'\ Н', h' суть пары канонических переменных. Функция Гамильтона остается неизменной, если, согласно условиям (5) и (6) § 10.08,
з
2а,А=Ь	(3)
Г=1
з
(4)
Г=1
где s и t принимают значения 1, 2 и 3.
Если в уравнениях (1) мы зададим величины а, то величины А в уравнениях (2) определятся при помощи формул (8) § 10.08, т. е.
=	(5)
где a's — алгебраическое дополнение элемента ars в определителе
	«п	«12	«13
д =	«21	«22	«23
	«31	«32	«33
§ 11.05. Модификация переменных Делонэ

Кроме того, согласно достаточному условию (9) § 10.08, условия (3) и (4) эквивалентны такому:
L'l'-^Q'g' + H'h^Ll-^Qg + Hh.	(6)
Цель таких преобразований состоит в том, чтобы упростить, насколько это возможно, уравнение Гамильтона — Якоби. Мы кратко поясним это следующим образом.
Пусть R' означает совокупность членов возмущающей функции вида Со-|-2cos$9 (s=l, 2,...), где коэффициенты С зависят от L, G, Н и
9 = II + Jg kh + unxt 4- v,
причем Z, /, k, и — положительные или отрицательные целые числа (включая нуль) и v — линейная функция элементов ю,, 2, и Si возмущающего тела.
Для того чтобы решить канонические уравнения с функцией Гамильтона Rv положим
I' ZZ -I- jg + ЛЛ,
где I, J и k теперь означают ап, а12, а13, входящие в уравнения (1).
Предположим далее, что коэффициенты а в формулах (1) для g' и h' каким-либо образом уже выбраны (на практике при этом выборе стремятся к получению упрощений или к достижению некоторых других преимуществ). Коэффициенты А тогда можно найти при помощи формулы (5), a L, О, Н выразить через £', G'.H' посредством уравнений (2). Уравнения, подлежащие решению, имеют вид
it _	‘if _
dZ' .	1 — dL' ’
плюс два аналогичных уравнения для Н’ и h'. Здесь /?1==Со4-2С#'. О'. Н') cos s(l'-\-unxt-\-v).
Поэтому О' = Н' = 0, так что О' и И’ — постоянные, равные, например, а2, а3. Уравнение Гамильтона — Якоби приводится к виду +	а2- «з) cos + ««!/ + !»)] = ().
Это уравнение содержит только переменную L'. Его решение может быть найдено при помощи методов, которые мы опишем более подробно в гл. 12. В результате этого будет введена третья постоянная аР
15*
228
Глава 11. Переменные Делонз и Пуанкаре
Решение уравнений (7), таким образом, формально получено, причем сопряженными постоянными являются а, и р£. (/=1, 2, 3).
Когда а; и приняты в качестве новых канонических переменных, уравнения могут быть немедленно написаны, причем функция Гамильтона будет совпадать с первоначальной функцией Гамильтона, из которой члены вида	устранены и к которой прибав-
лена часть, аналогичная слагаемому р2/2£2, добавленному к R в формуле (3) § 11.04.
Без дальнейшей детализации теперь очевидно, что описанную операцию можно повторить для исключения некоторых других членов или группы членов из первоначальной возмущающей функции.
Практическое значение метода, только что кратко изложенного, состоит в том, что две модифицированные переменные Делонз О' и Н’ являются постоянными, вследствие чего уравнение Гамильтона — Якоби принимает более простую форму.
§ 11.06. Важная модификация переменных
Делонз
Из выражений (1) § 11.04, дающих выражения переменных Делона через эллиптические элементы, очевидно, следует, что L—G или О — L имеет порядок е2. Поэтому если в качестве О' взять L — О (или О — L), то (У будет иметь порядок е2.
Аналогично так как
О — 77 = 0(1 —cos Z) = 20 sin2 у,
то О — Н (или Н — G) имеет порядок ?2, где ^ = tg/.
Рассмотрим следующие модифицированные переменные:
L'— L,	G' = G — L, H' — H — Q.	(1)
Чтобы установить вид сопряженных переменных I', g', h', мы воспользуемся условием (6) § 11.05.
Так как L' = L, то
L'{l + g + h) = L(l + g + h) =
= Ll + Gg + Hh - (g + Л) (О - L) - h (H — G),	(2)
или если воспользоваться формулами (1), то
L' (I + g+А) + О’ (g -г Л) + H'h = LI+Gg+Hh.
Поэтому условие
L'l' + O'g' + H'h' = Ll-{-Gg + Hh удовлетворится, если положить
l' = l + g + h, g' = g + h, h' = h.	(3)
§ 11.06. Важная модификация переменных Делонэ
229
Переменные l',g' и h' выражаются через эллиптические элементы следующим образом:
I’ = I + <о. g' == <о, h' — 2,	(4)
где I' — средняя долгота.
Аргументы периодических членов возмущающей функции, таким образом, легко выражаются через I', g' и h'. Из равенства (2) легко убедиться, что если бы мы выбрали Q’ и Н' по формулам
G' = L — О, Н' = 0 — Н,
то соответствующие сопряженные переменные выражались бы равенствами
g' — — (g + /f) = —<о, h'—— h — — 2.
Таким образом, в аргументах периодических членов возмущающей функции необходимо было бы изменить знак там, где входят элементы й и 2. Следовательно, выбор переменных по формулам (1) является, очевидно, более удобным.
Определяя G' согласно (1) мы имеем
Q' = G — L = L(yT^— 1) = д(—1 е2 —1^...), (5)
т. е. G' отрицательно. В первом приближении
е — L .
Во втором приближении
(6)
Более высокие приближения, если они требуются, могут быть получены аналогичным образом. Тем же путем любая степень е может быть представлена в виде ряда степеней Y—2G'/L. Например, «=/=3Г(1 + ё-+•••)	<7)
Аналогично
И' = — 0(1 — cos I) = — 2 (О' L) sin2 у, откуда
£(1+£)-.	(8)
Поэтому sin2(Z/2) (или 7) может быть выражен с любой степенью приближения степенным рядом относительно —Hj2L и G'/L. Возмущающая функция тогда будет иметь вид Со + ^С'созб', где
= II' -I- Jg' -I- kh' —f- un^t —|— v.
230
Глава 11. Переменные Делонз и Пуанкаре
Мы можем теперь проделать операции, описанные в предыдущем параграфе, выбрав модифицированную переменную I" по формуле
I" = И' jg'	kh'.
Для справок мы соберем выражения для модифицированных переменных Делонз через эллиптические элементы:
L' = L = Ура,
О' = О — L = Ура — 1),
Н’=Н — О = Ур.а(1 — e2)(cosZ — 1),	(9)
I' = I + g + h = средней долготе,
g' = g + h = S>,
h' = h = Q,
§ 11.07. Переменные Пуанкаре
Мы обозначим эти переменные пока через Lv Gx, Н^, lv gv hv Первая пара переменных в обозначениях предыдущего параграфа выбирается следующим образом:
LX = L’ = L, lx = l' = l-}-g-{-h.	(1)
Предположим, что вторая пара определяется по формулам
(?! = A sin g', gx = Acosg',	(2)
где g' = g-if-h и А,— вообще говоря, функция О' и g'. Аналогично условию (4) § 11.03 О1 и gx будут сопряженными, если
откуда легко найти, что А(дА/дО') =— 1. Поэтому мы можем для А принять следующее выражение: А = ]/ — 20'.
Третью пару определим с помощью формул
Я, = В sin Л', hx = Bcosh’.
Применяя прием, аналогичный только что описанному при нахождении А, мы найдем, что В = У—2Н'. Полная совокупность переменных тогда будет иметь вид
Li = L,
О, — У — 20' sin g',
fix = У=2Н'sinh',
gi = У— 2G' cos g', hx = У — 2H' cos Л',
(4)
§ 11.07. Переменные Пуанкаре
231
Так как эти формулы преобразования не зависят явно от времени, то функция Гамильтона, выраженная в новых переменных, остается неизменной.
Для удобства мы примем следующие обозначения:
для первой пары: к для /р тогда к = /-|-ш, так что К — средняя долгота;	______
для	второй пары: ? для Ох и т; для gv	р	для	У—2G'	и	заменим g'	на й; тогда ? = р sin й, т] — р cos й;
для	третьей пары: и для Нх и v для йр	а	для	У— 2Н'	и	заменим h'	на 2; тогда « = <jsin2, ® = <jcos2.
Таким образом, полная система переменных Пуанкаре будет такова:
L = У и-а, 1 — 1 -|- <о,
5 = р sin й, т) = р cos &,	(5)
H = <jsin2, v=acos2.
В предыдущем параграфе мы видели, что О' имеет порядок е2 и И' — порядок f2. Таким образом, р имеет порядок е ио — порядок 7. Следовательно, величины 5 и •>) будут порядка е, а и и v — порядка 7.
Пуанкаре назвал !• и rt экс цент ранее кими переменными, а а и v — об личе сними переменными.
Нужно заметить, что из новых переменных только 1, означающая среднюю долготу, является угловой переменной. В § 5.10, п. (3) мы ввели элементы h и k: /г = esin<o, k — ecos&. Эти элементы очень похожи на ? и т;, так как р имеет порядок е.
Мы также ввели некоторые функции от Z и 2 по формулам
p = sinZsin2, или, пренебрегая 73,
р = 7 sin 2, Видно, что они близки к и И V порядок 7.
Если возмущающую функцию Пуанкаре, то она примет вид1)
? = sinZcos 2,
q = 7 cos 2.
в формулах (5), так как а имеет разложить в ряд по переменным
/? = 2	cs°ns (Л+ /Л).
(6)
где А — функция L, Lt (индекс 1 относится к возмущающей планете), а
а, Ь, с, (I, е, f, g, h, J, Jx
) Poincare, Methods Nouvelles de la Mecanique Celeste, I, 1892, p. 32.
232	Глава 11. Переменные Делонэ и Пуанкаре
— положительные целые числа (за исключением /р которое может быть отрицательным), одно или более из которых может быть нулем.
В формуле (6) косинус следует писать в том случае, когда a + c + e + g = 2s, где s — положительное целое число, а синус — когда a + c + e + g = 2s+l.
Если мы предположим, ради простоты, что е, еР т и ft — вели* чины одного и того же порядка, то порядок величины О каждого члена в выражении (6) будет равен	+ +
и связан с числами J и /Р входящими в аргумент, формулой
0= 1/+Л1 + 2Г.
где г, — вообще говоря, положительное целое число и может быть равным нулю.
Глава 12
ТЕОРИЯ ЛУНЫ ДЕЛОНЭ
§ 12.01. Введение
Наиболее исчерпывающее применение канонических элементов к небесной механике осуществил Делонэ в своей теории Луны. В результате двадцатилетней работы им была построена самая полная буквенная теория из когда-либо созданных в этой сложной проблеме. Вследствие того, что эта теория буквенная, окончательные формулы Делонэ могут быть использованы при исследованиях движения и других спутников.
Мы будем исходить из канонических уравнений для элементов Делонэ L, G, Н\ I, g, h, кстэрые запишем в следующей краткой форме:
d п	dR' d ,,	dR'
dt (£’ °' И)~ d(l,g,h) ’	g> h) — ~ d(L, G.H) ’
где
= +	(2)
причем R— первоначальная возмущающая функция.
Напишем также выражения для элементов Делонэ через эллиптические элементы
Ь = У ^.а,	О — Ура (1—е2),	—e2)cosZ; (3)
I = nt -J- е — w, g = & — 2,	h = 2.	(4)
Формулы (18) и (19) § 7.06 дают разложение с точностью до членов четвертого порядка малости относительно величин т, е, 7, ех и a/av причем последняя принимается за величину второго порядка. В этих формулах 5, например, определяется равенством
5 = (п — nj) 14- е — ej = I -|- S> — nxt — ep
a M, так же как и I, — средняя аномалия.
Для примера мы будем рассматривать в формуле (18) § 7.06 периодический член с аргументом 25 + М или 3/-|-2£+2й—2nxt—2еР Мы можем преобразовать этот аргумент, выразив его через модифицированные элементы Делонэ I', g', h', которые определяются формулами (3) § 11.06, т. е.
I' — l + g + h, g' = g-{-h, h’ = h
234
Глава 12. Теория Луны Делонз
или
I' = средней долготе, g' = 5, h’ = 2.
Этот аргумент тогда примет вид
3/'—g' —2/^ —2еР
Для удобства мы будем опускать штрихи и писать этот аргумент в виде
3/ — g — 2/1)1 — 2ер так что
I = средней долготе, g = <5, h — 2,	(5)
Согласно формулам (3) настоящего параграфа и (1) § 11.06, соответствующие неугловые элементы, если опустить штрих, выражаются через кеплеровские элементы следующим образом:
Ь = О = /^(]/1 — е2— 1),	(6)
Н = Ура (1 —е2) (cos I — 1).
Здесь Q — малая величина порядка е2 и Н — малая величина порядка ?2.
Канонические уравнения тогда будут иметь форму (1), где L, О, Н\ I, g, h определяются по формулам (6) и (5).
Согласно формуле (18) § 7.06, амплитуда рассматриваемого члена равна 3^т2п2а2е, или Зи.2/п2е/4А2, если положить п2 =	~3. Согласно
формуле (7) § 11.06, имеем
Следовательно, амплитуда в рассматриваемом случае будет выражаться через L и О.
Аналогично из формулы (18) § 7.06 находим, что вековая часть в R', необходимо включающая член р2/2£2, равна
+ <7>
При помощи формул (6) она может быть выражена через L, О, Н. Здесь — постоянная величина.
Метод Делонэ заключается в следующем: а) записываем R’ в виде R' = — В — 2 A cos (II + Jg + kh + qtiyt+q'},	(8)
где I, J, k и q — положительные или отрицательные целые числа (включая нуль), q' — выражение, линейное относительно о>р 2j и с числовыми коэффициентами, а В и А — функции L, G и Н, определяемые формулами (6); б) выбираем один тригонометрический
§ 12.02. Вспомогательная функция S
235
член из суммы (8); в) заменяем в уравнениях (1) R' функцией Ro, которую мы запишем для члена общего вида следующим образом:
Ro = — В — A cos (В + Jg++ 4ni£ ~t~ *}')•	(9)
и полученную систему уравнений решаем методом Гамильтона — Якоби. Разложение R' вида (8), использованное Делонэ. включает 320 периодических слагаемых и охватывает все члены до седьмого и некоторые до восьмого (включительно) порядка относительно малых величин.
§ 12.02. Вспомогательная функция $
Введем новые канонические переменные L', О', И'; I', g', hf, которые связаны линейно со старыми, так что, согласно равенству (6) § 11.05, имеем
L'l’ + G'g' + H'h'^Ll + Qg + Hh.	(1)
Прежде всего выберем I' и L' следующим образом:
= +	+	(2)
L' = \-L.	(3)
В формуле (3) предполагается, что / =/= 0.
Тогда равенство (1) примет вид
G'g' + H'h' = g(o —/£)+л(я-А£).
Условие (1) удовлетворится, если положить
g' = g. hr = h	(4)
и
Q' = Q — 1L,	=	(5)
Следовательно, мы получаем новые канонические уравнения d(L',G',H') dR0 d_ ,	, ь, _ дЯй
dt ~ д (I', g'.h') ’ dt v ’ s ’	> ~ d (L', G', H') ’ w
в которых
Ro — — В — Л cos (/' -j- qnxt + q'),	(7)
причем предполагается, что А и В при помощи равенств (3) и (5) выражены через £', О', Н'.
Так как формула (7) не содержит g' и Л', то из уравнений (6) мы имеем G' = Н' = 0. Таким образом, О' и Н' являются постоянными, которые мы в дальнейшем отождествим с двумя каноническими постоянными, появляющимися при решении уравнений (6).
236
Глава 12. Теория Луны Делонэ
В соответствии со способом выбора новых переменных мы будем рассматривать L' и I' как основные канонические переменные ').
Используя обозначения, принятые в общей теории, отождествим величины И, О', Н' с обобщенными координатами qx, q2, q3, величины g', h'—с соответствующими сопряженными величинами рх, р2. Рз и Ro — с функцией Гамильтона H(q, р, t).
Мы решим уравнения (6), если найдем любую функцию (6) S(q, a, f) = S(L', а, t).
содержащую три независимые постоянные <хр а2, 03 и удовлетворяющую уравнению Гамильтона — Якоби:
^ — В— Acos(-~+qnxt + q'') = 0.	(8)
Положим
S = S'-(qnlt + q')L'.	(9)
Тогда уравнение (8) примет вид
- qnxL' - В - A cos (^g-) = 0.	(10)
Так как t не входит явно в это уравнение, то dS'/dt — C, где С — постоянная, которую мы отождествим с постоянной ар фигурирующей в общей теории.
Пусть
Вх = ВqnxU.	(11)
Тогда из уравнения (10) находим
dS'	(С — В.\
_ =arccos^—2-1).	(12)
Следовательно,
и
S' = Ct + $ iKcos{C~ABl\dL' + D,	(13)
х
Т№ D — постоянная, а нижний предел интегрирования X есть функция С, О', Н' и будет определен особо. Подынтегральная функция зависит от £', О', Н' и С, причем О', Н' и С — постоянные. Таким образом, этот интеграл может быть вычислен по крайней мере в принципе.
В процессе решения уравнения (8) мы ввели пока только одну из трех постоянных а, именно С. Следовательно, D должно быть функцией «2 и а3 и, конечно, должно быть постоянным. Простейшая форма D следующая:
D — a^G' 4~a3tf'.	(14)
*) Если бы I — 0 и / =£ 0, то вместо равенств (2) и (3) мы использовали бы формулы g' — Jg-}-kh, G' = G/J и тогда G' и g' рассматривались бы как основные канонические переменные.
§ 12.03. Формальное решение
237
Это согласуется с требованием, чтобы S была любой функцией, содержащей три произвольные постоянные и удовлетворяющей уравнению (8).
Принимая обозначения Делонэ, мы положим а2 = (^), а3 = (й). Тогда из формул (9), (13) и (14) имеем
S = Ct- (qnj + ?')	+ (g) О' 4- (Л) H'.	(15)
где через обозначен следующий интеграл:
L'
S1 = J arc cos ( х
(16)
§ 12.03. Формальное решение
Решение уравнений (6) § 12.02, вытекающее из выражения (15) § 12.02, будет
<’>
<2)
О)
=	(4)
=	(5)
=	<6>
Ранее	мы	видели,	что	О' и	Н'— постоянные,	а	равенства	(2)
и (3) показывают,	что	О'	и Н' суть	канонические	постоянные,	кото-
рые являются сопряженными с и а3, т. е. (g) и (Л).
Здесь будет уместно привести формулы, определяющие введенные канонические постоянные (за исключением которую мы опре-делим позже):
«1 = с- «2 = (g),	Оз==(Л),
₽2 = О'. ₽»“*'•
Так как — функция переменной L' и постоянных О', Н' и С, то уравнение (1) можно в принципе решить так, чтобы можно было представить L' в виде функции t — р,, О', Н' и С. Тогда мы сможем написать
L'z=L'(t —	О', Н', С).	(7)
238
Глава 12. Теория Луны Делонэ
Пусть 6 определяется формулой
9 = +	+	(8)
Тогда 9 будет аргументом косинуса в формулах (7) и (8) § 12.02. Поэтому из равенства (4) мы имеем
й dS|	(С—В\	.Л.
6 = 7r==arccos(—4—)	(9>
или
С — В1 = Лсоз9.	(10)
Таким образом, 9 может быть выражена через L', О', И' и С. Мы сможем тогда записать формулу (16) § 12.02 в виде
и	и
Sj== J 9 dl! = J* arccosf —(И) х	х
Мы теперь определим X как то значение L', которое соответствует нулевому значению 9. В таком случае из формулы (10) найдем, что X есть корень уравнения
С — ВХ = А
и является, как это следует из предыдущего, функцией от С, О' и Н'.
§ 12.04. Форма решения уравнений для L' и Г
Рассмотрим два основных уравнения
}г дУ?0 _______ dRa	...
L ~ дГ ’	dU ’
где
7?0 = — В— Л cos (Z'4“ ?«/ + ?') =— В — Лсов9
и 9 дается формулой (8) § 12.03. Тогда
L' = A sin 9	(2)
и
л	дВ . дА а
^ = 0-^1=-5Z/+^-cos9;
или, принимая во внимание формулу (11) § 12.02,
9	3p"4"'3/7cos0-	(3)
Это уравнение для удобства запишем в виде
9 = 5'4-Л'cos б.
где А' и В' — функции О', Н',
§ 12.04. Форма решения уравнений для L' и I'
239
Далее, выражение для возмущающей функции показывает, что А и, следовательно, А' имеют по крайней мере порядок т2 и что В и В, — величины нулевого порядка, поскольку в R' входит аддитивный член p.2/2ZA Так как, согласно сказанному, А — малая величина порядка т2, то если отбросить члены порядка т2, мы сможем записать уравнение (2) в виде £' = 0, откуда в первом приближении находим, что L' = L0, где La — постоянная, имеющая нулевой порядок.
Тогда первое приближение для 0 может быть найдено из уравнения (3), если отбросить А' и подставить £0 вместо U в выражении для В', причем В' теперь будет равно некоторой постоянной Во. Тогда, полагая
9 = Bq = 90, получаем
9 = 90(/ + с) = Х,	(4)
где с — постоянная интегрирования. Очевидно, что 0о — величина нулевого порядка, так как Bq имеет нулевой порядок.
Рассмотрим теперь второе приближение. Положим
L =jLq—|—Z.],	9 = Х—|—91»
где и 91 — малые порядка т2. Тогда с рассматриваемой точностью уравнение (2) примет вид £i = HosinX, причем До— значение А при L' = Lo. Поэтому
U — £0 + Z^cosk,	(5)
где Lx — — До/9о — малая порядка т2.
Теперь уравнение (3) принимает вид
9 = X	= В' + До cos X,
и, разлагая В' в ряд Тейлора, находим с точностью членов порядка т2
Но Zi = £iCosX. Поэтому
Х-|- 91 = Эо + ^До + ^ддг )q£i]cosX,
откуда, поскольку в первом приближении Х = 90, находим
9i = 9i sin X, где
’.=^И+(ЗД-
240
Глава 12. Теория Луны Делонз
Решение во втором приближении имеет вид
Lf = Lo + £j cos к, 9 = к + 9j sin к, причем
= % Ч- с)*
Очевидно, что в более высоких приближениях мы можем пред* ставить решения (2) и (3) в виде рядов
£' = £0+£. LpCOspOotf + O.	(6)
9 = 90 (/ + с) + S 9Р sin р90 (t+с).	(7)
где Lq, 9о, Lp, 9р — функции С, О' и Н'.
Согласно формуле (8) § 12.03, ряд для I' будет иметь вид
I' = 90 (t + с) — qnyt — q' + 2 sin р90 (t + с).	(8)
Нужно иметь в виду, что значительная часть операций состоит в получении рядов (6) и (7) по степеням т и е, ev 7, 7,, a/av Мы рассмотрим более подробно эту часть задачи в § 12.17.
Как уже было показано, 9» имеет нулевой порядок, а Ц и 9,— малые величины порядка т2. В формулах (6) и (7) Lp и 9р (р > 1)— величины более высокого порядка, чем т2. Оценивая порядок величин, мы придем к выводу, что А имеет наименьший порядок, т. е. порядок т2.
§ 12.05. Определение
Рассмотрим уравнение (1) § 12.03, т. е.
где
L' Si= J QdL'. х
Мы будем иметь
<2)
X
где (9) равно значению 9 при L’ = X. Следовательно, по определению, (9) = 0.
Далее, так как cos 9 = (С — В^/А, то, принимая во внимание формулу (2) § 12.04, имеем
ой _	1	_____1_
дС A sin 0	4'
J 12.06. Формулы для g' и h'
241
Поэтому из уравнения (2) будем иметь
t
— J dt = t0 — t, ^9
где /0(={3j) есть то значение t, при котором L' = X, т. е. 0 = 0. Но из формулы (7) § 12.04 следует, что 0 = 0, когда / = — с. Отсюда находим, что
Уравнение (1) теперь можно записать в виде
'+<> = -$•	(3)
Далее, — функция L', О', Н' и С, из которых только L' является переменной. Таким образом, уравнение (3) дает нам возможность в принципе выразить L' через t-{-c, О', Н' и С, причем L' фактически будет выражаться рядом (6) § 12.04.
§ 12.06	. Формулы для / и Л'
Рассмотрим уравнение (5) § 12.03, т. е.
<»)+/ (1) X
Как и в предыдущем параграфе, (О) = 0. Далее,
где Вх и А — функции О'. Поэтому
 а <10  dBf . С — Bi дА  в/г, г г
А s,n 9 dGT — ~dGr “I	A	-^Qr=F(C, L , О , И ).	(2)
Тогда так как L' = A sin 0 и t = — с, когда L' = X, то уравнение (1) принимает вид
t g' = (g)+ J F(C, U, O', H')dt. -с
Поскольку L' выражается рядом (6) § 12.04 по косинусам, то, очевидно, функция F может быть разложена в тригонометрический ряд вида
/7 = ^o + 20/;cosp00(/-t-c).	(3)
16 У- Смарт
242
Глава 12. Теория Луны Делонэ
Поэтому, интегрируя, найдем
g' = (g)+go (*+с) + 2 gP sin A (* + c)-	0)
где
o _Dp ,
g»—^
Заметим, что постоянная интегрирования в формуле (4) равна gQc, так что, согласно уравнению (1), g1— (g), когда L' = X, т. е. когда / =— с. Аналогично
k' = (A) + A0(^ + c) + 2ApSinp90(f + c).
Важно знать порядок величин g0 и Ло. Мы рассмотрим сначала g^
Так как Xcos9 = C— Bv то функцию F можно представить в виде
с dBt . дЛ 0
F = -^+-3urc°s0.	(5)
С достаточной для нашей цели точностью мы напишем
Д' — L0-\-Ll cosX,
где Х = 90(/-|-с).
Тогда приближенно имеем дВг (дВЛ , ( <РВ, \	,
^~UG,)o"H'dZ7dGr)oZ'1 Х’
где значок 0 означает, что после дифференцирования нужно положить Д' = Д0. Аналогично
дА I 6А \ . ( дгА \ ,	.
^G7"“(,dGr)o + ('6Z7dG7’J)oZ'1COsXi-	С7)
В формуле (5) можно написать cos 9 = cos X. Далее, g0 есть непериодическая часть F. Поэтому из формул (6) и (7) с достаточной степенью точности находим, что

(8)
Рассмотрим сначала Bv Согласно формулам (7) § 12.01 и (11) § 12.02, имеем
§ 12.07. Сопоставление результатов
243
Следовательно, нам достаточно рассмотреть только член, содержащий е2. Так как
О = Lfyr^H2— 1) « — 1 e2L и
G' = G — jL',
то очевидно, что (дВх1дС')Л есть малая величина порядка tn2.
Мы примем, что величина А является в разложении возмущающей функции коэффициентом наименьшего порядка, содержащим е, и можем поэтому написать Д = а/и2е, где а не зависит от m и е. Тогда если предположить, что е и ш имеют один и тот же порядок, то дА дА де ат2 Л.
1а = И • 1а = ~	0
д2А
Кроме того,	— малая величина порядка т, так как диффе-
ренцирование no L' по меньшей мере оставляет порядок величины неизменным. Так как Lx есть по крайней мере малая порядка т2, то порядок g0 совпадает с порядком первого члена правой части равенства (8). Мы заключаем тогда, что g0 — малая порядка т2. Аналогично h0 — малая порядка т2.
Легко видеть, что gx и hx имеют еще более высокий порядок и, кроме того, что порядок gp и hp увеличивается вместе с увеличением р.
§ 12.07. Сопоставление результатов
Удобно собрать главные результаты, которые только что были получены. Они выражаются следующими формулами:
U = Lo + 2 LP cos р0о (t -J- с),	(1)
О' = const, Н' = const.
I' = °0 (* + с) ~ 4n\t — ?' + 2 9р sln Р9о (* + с)«	(2)
g^g/ = (g)4-^o(^ + c) + S?/)sinp9o(/4-c),	(3)
Л==Л' = (Л) + Л0(* + с) + 2М1пА(* + с).	0)
Первоначальные модифицированные переменные Делонэ даются формулами (6) и (5) § 12.01; они могут быть легко представлены в виде рядов. Так, при помощи формулы (1) немедленно определяются следующие величины: L = IL', Q = jL'-\-G', Н = kL' Затем g и А определяются формулами (3) и (4).
16*
244	Глава 12. Теория Луны Делонэ
Так как I' = jg kh, то мы можем написать
I = (0 + /0 (* + с) — у	sin “l- с^’
где
(О = - у I/ (g) + k (А)], /0 = у [0О - Jgo - **о1.
ZP = yI0p-^-ftM-	(6)
Приведем для справок выражения канонических постоянных, которые получаются при решении, через канонические постоянные общей теории:
а1==С,	<% = (£)’ а3 = (*).
р1 = -е,	р2 = О',	рз = Я'.	(7)
Решив канонические уравнения с функцией Гамильтона Ro, являющейся частью от всей функции Гамильтона R', которую мы запишем в виде
=	(8)
мы примем величины, эквивалентные а и р, в качестве новых канонических переменных. Новые канонические уравнения с функцией Гамильтона —Rx имеют вид
С — дЯ* hr — dRt fir — dRi .	zgx
de ’ u — d(g) ’ " — d(h) ’
2 dRx	dR\ z.*\ dRt	/1Л\
c =----dC~’	~dGr’ ^ = —-dHrt	<10)
где функция Rx теперь предполагается выраженной через новые переменные С, д', Н'\ с, (g), (А).
§ 12.08. Вторая операция
Перед тем как подставить в Rx выражения, определяющие решение. полученное в предыдущих параграфах, рассмотрим общий член разложения этой функции. Такой член имеет вид
Dcos(/1Z4-/Ig4-A1AH-91«1/4-^'),	(1)
где D = D(L, О, Н). Из предыдущего параграфа, очевидно, следует, что функция D может быть представлена в виде ряда
D = Do + 2 Dp cos р90 (* + «)•
где D—функция от С, G' и Н' и р=\, 2........
§ 12.08. Вторая операция
245
Аргумент косинуса в формуле (1) при помощи формул (3) — (5) § 12.08 приводится к виду
К (0 + J\ (g) + (Л) + (?! — nxt + q'x —	+
+ (* + С)(^о + Л^о+ Mo) + 2 Ep Sin	(/ + c)>
где
Ep = Цр + J\Sp + k]hp.
Следовательно, так как Ep — малая величина по крайней мере порядка т2, то выражение (1) может быть разложено в ряд вида
2 A* cos 6*,	(2)
где
6’ = /i(0 + Л (ё) + *i (*) + (?i - М)	+
+ Ч'1 — Ifl' + (/ + с) (/Л+Jigo + Мо ± Р%)	(3)
и
А* = А*(С, О', Н').
Аналогичным образом все другие члены в Rt могут быть представлены рядами вида (2). Следовательно, мы можем рассматривать выражение (2) как общую форму, которую принимает /?,, когда все преобразования к новым каноническим переменным С, О', Н'-, с, (g)> W выполнены.
Рассмотрим каноническое уравнение
Обозначая коэффициент при t-t-c в формуле (3) через Q, мы из выражения (2) получаем
с = —2-^-c°s0*-|-(/ + c)2	(4)
причем Q—функция С, О', Н'.
Очевидно, что (g), (Л) будут выражаться уравнениями, аналогичными (4).
Наличие множителя t + с вне знака тригонометрической функции в трех уравнениях типа (4) вызывает те же аналитические трудности, что были описаны в § 11.01. Там мы ввели новую пару переменных L и I, при помощи которых эта трудность преодолевается. В настоящем изложении, соответствующем более общему случаю, нам потребуется сделать и замену переменных более общего вида.
246
Глава 12. Теория Луны Делонэ
§ 12.09. Новая переменная А
Возвратимся к формуле (3) § 12.05:
(1)
где	£,
SX^SX{L', О', Н', С) = J 6dL',	(2)
х
причем предполагается, что явное выражение для S] определено. Выразим теперь Sj через время посредством формулы
U = Lo + 2 ip cos р\,	(3)
где k= 0o(f —J—с). Пусть	С, О', Н') обозначает функцию,
полученную после такого преобразования. Тогда после подстановки в 5] выражения (3) мы имеем тождественно
С, О', H')==SX(L', О', Н', С),	(4)
откуда дК dSt dU , dS| дС ~ dL’ ’ 1С' дС ’
Далее, согласно формуле (9) § 12.03, имеем ЭГ- = е	(5)
и, используя формулу (1), получаем
Следовательно, мы будем иметь тождество
'+с+тс=[*•<'+с>+S ’<sln Н х
X [&+S тс “5	- ('+е> тс S	sl" d=
=«+«>[«.	- i тс S ]+х’
где через X обозначены члены вида
X = п. ч. + (/ + с) [п. ч.] + (t 4- с)2 [п. ч.].	(8)
С другой стороны, из формулы (2) имеем £'	t
S,=jUL'= X	-в
§ 12.10. Свойства Л
247
Поэтому
= <») о
Далее,
6 -^Г = — [Х + 2 0₽ sin J°X] [S pLP sin pX] =
= — V + 2^202 4" ^£363 4~ . . .) 4- П. 4. 4- (t + с) [П. 4.].
(10)
Интегрируя равенства (9) и (10), получаем
АС = -|90(^ + с)2^Л + п- ч. + (# + с)[п. ч.], (11) причем постоянная интегрирования равна нулю, так как, согласно равенству (9), К = 0 при t = — с.
Из формулы (11) находим
^=-4«+c)-^-[«.S',tA]+K’	(12)
где У имеет, как и X, форму (8).
Подставим выражение (12) в формулу (7) и приравняем непериодические коэффициенты при Тогда получим
1 - ге[«• S'М,]=«»те -	2^А- <13>
откуда
(14)
Пусть Л определяется формулой а=£о4-|2^л«	as)
Тогда Л будет функцией от С, G', Н'. Из равенства (14) имеем
В дальнейшем Л будет принята в качестве новой канонической переменной вместо С.
§ 12.10. Свойства Л
Рассмотрим теперь формулу (5) § 12.03:
(1)
Так как L' = L' (С, О', Н’), то из формулы (4) § 12.09 имеем дК. _ dSj dU dS, dG' dL' ’ dG' 4" dG' ’
248
Глава 12. Теория Луны Делонэ
откуда, принимая во внимание формулу (1) настоящего параграфа и формулу (5) § 12.09, получаем
g'=<g) + T§r-»^r-	(2)
Это равенство станет тождеством, если мы подставим вместо gr выражение
(g)+go + с) + 2 gP sin pl
и U заменим по формуле (3) § 12.09.
Тогда из формулы (2) будем иметь
-го(^ + О + -^- = 0^ + п.ч.	(3)
Сравним это уравнение с уравнением (6) § 12.09, т. е.
'+е+-эг-=в4гг-	<4>
Последующие преобразования формулы (3) будут идентичны тем, которые выполнялись при выводе формулы (13) § 12.09, если мы заменим С на О' и коэффициент (единицу) при t в уравнении (4) на —go в уравнении (3). Мы тогда получим
(5)
Аналогичную формулу можно записать и для Ло.
Таким образом, Л как функция С, О', Н' имеет, согласно формуле (16) § 12.09 и формуле (5), следующие свойства:
дл.	1	дА ___ g0 дА _______ Ло
дС —	в0 ’	дС ~	0о	’ дН'	0о ’	W
§ 12.11. Новые канонические переменные
Так как то
Л==Л(С, О', Я'),
(1)
dA =	dC + -^r dO' +	dH'
дС 1 ои 1 on
или, согласно равенствам (6) § 12.10,
dC = ^dK + gQdG' + hodH'.	(2)
Однако из формулы (1) мы можем выразить С в виде С (Л, О', //'). Поэтому

§ 12.12. Уравнения для Л, 6', fi'
249
Сравнивая это выражение с формулой (2), имеем дС__________________д дС _______ дС _______.	.л.
г)Л“’0’	dG'~g°'
Сохраним G' и И' в качестве новых переменных. Тогда неугловыми переменными будут Л, О', Н'.
Пусть X, х и т] означают непериодические члены в формулах для /', g', h'1). Они, как показывают формулы (2)—(4) § 12.07, имеют вид
к = е0(*4-с) — qnxt — q’,	(4)
Х = (£) + £о (* + *).	(5)
ч = (Л) + Л0(^ + с).	(6)
Мы теперь покажем, что Л, X; О', х; Н’, ц являются попарно сопряженными каноническими переменными.
§ 12.12. Уравнения для А, О', И'
Уравнения, которые нам нужно преобразовать, имеют вид (9) § 12.07, т. е.
С = ^-, G'=™>	=	(О
дс	d(g)	д (Л)	v ’
Мы предположим, что функция Гамильтона Rx преобразована к новым переменным, и обозначим ее через R'. Тогда мы будем иметь тождество
RX(C, О', Я'; с, (g), (h))~R'(X, G', Н'-, X, Х. D- (2) Рассмотрим сначала второе из уравнений (1). Из формулы (5) § 12.11 видно, что (g) входит в уравнения только через х- Поэтому из тождества (2) находим
dRi __ dR'	d j	dR'
d(.g)	' d(g) d* '	'
Аналогично
d(h) di) ’	'
Поэтому из формул (1), (3) и (4) получаем
d' = 4£~- Н'=™.	(5,
<?Х	от)	' '
*) X в формуле (4) не следует смешивать с X, которое использовано в предыдущих параграфах как краткая запись в0(/-|-с).
250
Глава 12. Теория Луны Делонз
Рассмотрим теперь первое из уравнений (1). Из формул (4) — (6) § 12.11 Поэтому
видно, что с входит в уравнения посредством к, х и т].
т. е.
ORi	dR'	dk dR' df_ dR' дц
de	dk	de	' di ’ de	' d^ ' de	’
A a &R' , Л dR' , t dR' C — Q°~dk
Кроме того, из формулы (2) § 12.11 имеем
C = 0oA+g0O' + V?.
Эти два выражения для С должны быть тождественны, согласно формулам (5), жениях те же самые, то
Таким образом, имеем
л dR'
Л = ^т-,
ок
коэффициенты мы получим
А = -^-
Л dk •
Л, _ dR' и —— —> <>7.
§ 12.13. Уравнения для
Теперь преобразуем второе и третье
X и к]
и так как, при g0 и Ло в обоих выра-
(6)
уравнения (10) § 12.07, т. е.
(й)=_?А
W ОН' •
(О
1*1
Из формулы (5) § 12.07 имеем
Х = (£) + £о + ^ + (* + с)£о-	(2)
Вследствие формул (1) настоящего параграфа и (10) § 12.07 это уравнение принимает вид
X = ~	~	+ (' +	О)
Так как g0 является функцией С, G', И’, то, если С выразить через Л, G', Н', она станет функцией Л, G', Н'. Поэтому
Л —>А+>й' + >«'-	С)
Однако, согласно уравнениям (3) § 12.11, имеем
dgp____d2C ___dOp
dA dA dG' dG' ’ dg0 _ d2C __ dhn
dH' ~ dH' dG'~ “ dG' '
§ 12.14. Уравнение для \
251
Следовательно, если воспользоваться формулами (6) § 12.12, то уравнение (4) примет вид
• дв0 dR' , dg0 dR’ , dha dR' go~~dGr’ dk dG' ’ dG' ’ дц ’	w
Далее, из тождества
RX(C, O', H'\ c, (g), (Л)) = /?'(Л, O'. H'; X, X, Tj), (6) выражая в его левой части С через Л, О' и Н', заменяя в его правой части X, х и т] по формулам (4) — (6) § 12.11 и дифференцируя по О', мы найдем
dR, dC । dR, dR' , , JdR' d0o , dR' dg0 , dR' dht\ ~dC ‘ dG' dG' ~ dG'‘'f‘C'\ dk ' dG' dx ‘ dG' *" dij ‘ (Ю')’
Последнее уравнение, принимая во внимание уравнение (5), можно записать в виде
।	I и [ сх’с
dC dG dG' dG' ।
Вычитая это уравнение из уравнения (3), получаем •	d^	дС _. dR,	dR'
л	dC	dG'~g0	So dC	dG'‘
Но, как мы видели в § 12.11, g0 = dC/dO'. Поэтому
х—от
Аналогично находим, что
i=—^г(Л'-С).	(8)
§ 12.14. Уравнение для X
Уравнение, подлежащее преобразованию, имеет вид
Так как
X = ео (f + с) — qnxt — q', то
1—90 —	+ G + с) ^0.	(2)
При помощи приема, уже использованного при выводе уравнения (5) § 12.13, находим, что
д _ de0 dR' I dg0 dR' , dhQ dR'	„
— dA ’ dk dA ‘ dx dA ' dx| '	w
252
Глава 12. Теория Луны Делонэ
Дифференцируя тождество (6) § 12.13 по Л, получаем
dR\ дС____dR' ।	dR’ <)0o , dR’ dg9 । dR' dha’\
dC ' dA~ dA + dX • дА -I-	• dA -i- dlJ dAJ>
что. вследствие равенства (3), можно записать в виде dRi дС dR । fi । ч д ~дС‘ ~дА =~дА +(' + с> бо-
Вычитая это равенство из равенства (2), получаем dRi дС д „ । о 1	&R'
Х---дС ' дА =9о —+ V —
Но, согласно первой формуле (3) § 12.11, 60 = дС/дА.. Поэтому, используя уравнение (1), находим
к=—+	=	(4)
§ 12.15.	Новые канонические уравнения
В этом параграфе мы составим сводку уравнений, полученных в трех предыдущих параграфах. Этими уравнениями являются уравнения (6) § 12.12, (7) и (8) § 12.13 и (4) § 12.14.
Пусть R" определяется формулой
R" = R' — C-\-qnxA,	(1)
в которой С предполагается выраженным через Л, О', И’.
Рассмотрим первую группу уравнений, т. е. уравнения (6) § 12.12. Так как С и Л не зависят от X, / и т), то R' в этих уравнениях может быть заменено на R". Таким же образом в правых частях уравнений (7) и (8) § 12.13 можно заменить R' — С на /?". Канонические уравнения тогда примут вид
Л =	dR” dl ’	X = —	dRH dA ’	
0' =	dR*	•	dR”	(2)
		x—	dQ' ’	
Н' =	dR* ду ’		dR"	
Эти уравнения Делонэ и использует для выполнения второй операции, причем функция Гамильтона R" может быть представлена в виде Я" — — В' — 2 Л'cos О',	(3)
где А' и В' — функции Л, О' и Н', а 0' определяется равенством б' = /'Х + /'х + ^+?'л^ + 7".	(4)
причем A', q' не являются обязательно целыми числами.
§ 12.16. Частные случаи
253
§ 12.16.	Частные случаи
1)	Предположим, что в аргументе выбранного члена (9) § 12.01 Z = 0, / =£ 0. Положим g'^Jg-^-kh. Тогда этот аргумент примет вид f) = g' -^-qn^-^-q'. Обращаясь к условию
L'l' -|- G'g' 4- H'h' = Ll + Gg + Hh
линейного канонического преобразования переменных *)> мы видим, что оно удовлетворится, если
I' = 1,	g' =Jg + kh,	h' = h,
L' = L. O' = yO,	H' = H — jG.
Решение уравнения Гамильтона — Якоби в этом случае имеет вид
S = Ct — (qnj + q') О' + Si + (/) L' + (ft) H',
где L', H' — постоянные и
O’
S,= J 6dG',
i
причем 7—значение O' при 9 = 0.
Последующие вычисления аналогичны тем, которые были прс> деланы в предыдущих параграфах.
2)	Предположим, что i = j = k = 0, a q #= 0.
Соберем все члены разложения возмущающей функции, которые удовлетворяют этим условиям, и положим
/?о = —2Ас°8(гя/ + 7/) (г = 1. 2, ...),
где А — функции L, G, Н. Так как /?0 не зависит от I. g и Л, то L, G и Н — величины постоянные. Уравнение Гамильтона — Якоби в этом случае имеет вид
Sf —2d А'cos = °-
Решение этого уравнения дается формулой
5 =	A sin (г nJ + qr) +(l)L+ (g) G + (A) H,
где через (/), (g) и (Л) обозначены канонические постоянные. Решение канонических уравнений дается формулой
® + 2л 7^ ~дГ sin +Чг)
*) В каждой операции мы используем символы 4, Q, Н; I, g, h и L', G1", Н'\ Г, g', h' для обозначения переменных до и после преобразования и Ra, В, A, q, q' —для обозначения соответствующих функций и т. д.
254
Глава 12. Теория Луны Делонэ
и аналогичными формулами, содержащими g и h, причем каноническими постоянными являются £ = рР G —р2, Н — ?з-
3)	Когда все периодические члены будут исключены, окончательные уравнения запишутся в виде
;  дТ?р :  дДй h дГ‘	dL
плюс аналогичные уравнения для О, g; Н, h. Здесь /?0 = — В. Поэтому L. О и Н — постоянные. Уравнение Гамильтона — Якоби в этом случае запишется в виде
О, Н) = 0,
а его решение дается формулой
S = B/ + (/)L + (g)O + (A)H.
Интегралы канонических уравнений тогда будут иметь вид
/ = (O + /ot £ = (*)+&/. Л = (Й) + ЛОЛ где
. _ дВ _ дВ	h _ дВ
dL ' g<>~ dG' П°~ дН
и
L — const = £0, О = О0, Н — Нц.
§ 12.17.	Практический метод получения решения при первой операции
Мы рассмотрим здесь первую операцию Делонэ, хотя этот метод применим к любой операции.
Так как возмущающая функция выражена через величины е
и 7 (=tg/), то метод решения канонических уравнений, описанный в § 12.04, включает в себя преобразование величин а, е и 7, входящих в коэффициенты А п В функции Гамильтона /?0, которая
дается формулой
Ro = — В — Лсовб,
(О
в величины L', О', Н'. На практике оказывается более выгодным сохранять в выражении для величины е или 7 неизменными и отыскивать окончательное решение описанным ниже методом, основанным на замене L' (или Z./Z) через е или 7. Мы рассмотрим первую из этих замен.
1)	Перепишем модифицированные неугловые переменные Делонэ, определяемые формулами (6) § 12.01:
L — lL'~-	0 = /^ (/1 - е2 — 1),	(2)
И = У (ха (1 — е2) (cos i — 1) = — 2 sin2 ~ ура (1 — е2) .	(3)
$ 12.17. Практический метод получения решения
255
Из § 12.07 имеем два интеграла канонических уравнений
G=4l + O' = /£' + O'	(4)
и
Я = у£+Я' = А£' + Я/,	(5)
где О' и Н'— постоянные.
Основные уравнения (2) и (3) § 12.04 имеют вид
£' = Лз1п9,	(6)
д _ дВ\ 	д
0=dr-+dFcose-	<7>
2)	Из формул (2) и (4) получаем
(8)
Таким образом, U может быть выражено степенным рядом относительно е и через О'. Далее, L? = ца = PL'2. Поэтому а может быть выражено через е и О' и разложено в степенной ряд относительно е.
Вид формулы (3) показывает, что вместо tg I = удобнее использовать величину sin-у, которую мы обозначим через ур Поэтому мы будем считать, что возмущающая функция выражена через Из формул (3) и (5) имеем
Т1~—‘
Подставим в формулу (9) выражение (8) для L'. Тогда можно будет представить в виде ряда по степеням е с коэффициентами, зависящими от О' и Н'.
3)	При помощи формулы (8) мы можем преобразовать уравнение (6); оно примет вид
-^ = 2z/r^(/r^Z-i Asine, (10)
где А, вообще говоря, есть функция а, е и Поэтому, так как а = а(е, О') и Ti = Ti(e, О', Н'), то правая часть уравнения (10) может быть представлена в виде Л, (в, О', Н') sin 9. Следовательно,
—jp- = At (е, О', Н') sin 9.
(И)
236
Глава 12. Теория Луны Делонз
Рассмотрим теперь уравнение (7). Так как В{ и А — функции а, е и fp то мы будем иметь, например,
дА _ _ дА да , дА де j дА ду,	/1Оч
dL’ ~ ~dS ’ W + де ’ dL'	д?, ' dL' ’
но pa = L2 = PL'*. Поэтому да	2PL'
dL' i* ’
Следовательно, da/dL' можно выразить через е и О'. Кроме того, из формулы (8) имеем
е____де __ G'
УТ^ё? ~dL' ~ L'* ’
Таким образом, de/dL' может быть также выражено через е и О'. Далее, из формулы (9) мы можем найти производную d^JdL', которая имеет более сложный вид, но также может быть выражена через е, О' и Н'. Аналогично дА/да, дА/де, дА/д-^ могут быть выражены через е, О' и Н'. Очевидно, мы можем уравнение (7) записать в виде
0 = f (е, О', Н') + F (е. О', Н') cos 0,	(13)
где f и F— ряды по степеням е.
Решение уравнений (11) и (13) может быть найдено методом последовательных приближений в виде
e2 = eo+2epcosp0o(^ + c).	(14)
0 = 0О (/+ с)+ 2 0psinp40(t + с),	(15)
где е0 и с — постоянные интегрирования, а ер, 0р и 0О — функции е0, Н' и О'.
Очевидно, что, воспользовавшись равенствами (8) и (14), мы можем представить а в виде следующего ряда:
а = a0H-2apCosp00(Z 4-с).	(16)
Аналогично из формулы (9) можно найти
= +	+	О7)
В формулах (16) и (17) а и у — функции е0, О' и Н'. Следовательно, а0 = а0(е0. О', Н'), j0 = i0(e0, О',/Г).
Решая эти функциональные уравнения, найдем
О' = О' (а0, е0, То), FT = Н' (а0, e0, То).	(18)
§ 12.17. Практический метод получения решения	257
Подставляя в коэффициенты формул (16), (14) и (17) вместо О' и Н' их выражения (18), мы получаем
а = а0 + 2л/>СО8А(< + <:)-	(19)
е2 = во + 2 Ер cos V + с)*	(20)
Ii = To+SrpCOs/>90(/ + c),	(21)
где А, Е, Г и 0О — функции а0, ей и у0.
Очевидно, что мы можем получить из формул (20) и (21) ряды для е и Тр Эти ряды запишутся в виде
е = eo+2^PcosP0o(^ + с)>	(22)
Ti = To+2rpCosp00(^H-c).	(23)
4.	Рассмотрим теперь угловые переменные gr, h'.
Так как b = I'qnxtq’, то из формулы (15) мы немедленно получаем
I' = h(t + c)- qnxt -q' + ^P sin pf)p (t + с).	(24)
Уравнение, определяющее g', имеет вид
Путем рассуждений, применявшихся к формуле (12), мы можем при* вести это уравнение к виду
g = f(e, О', H')-\-F(e, О', Н') cos 9.	(25)
При помощи формулы (15) cos 9 может быть разложен в ряд по косинусам кратных 90(/-|-с), а используя формулы (18) и (20), можно привести к такому же виду величины / и F. Уравнение (25) теперь примет вид
g = /i(a0, е0, То)+3 FP(ao> «о- То) cos р0о (t -j- с) =
= go + 2 PgP6o c°s P°o (* + c)>
где pgpb0^Fp, Интегрируя, получаем
g = (g) + go + c) + 2 gP sin p60 (t + c),	(26)
где постоянной интегрирования является (g) + goc< Аналогично
h = (Л) + Ло (t + с) + 2 hp sin р90 (t + c).	(27)
В формулах (24), (26) и (27) все величины 0r, gr, hr(r = 0, 1,2, ...) являются функциями а0, е0, т0.
17 V, Смарт
258	Глава 12. Теория Луны Делонэ
Как и в § 12.07, получаем
/ = (0 + /о + О - у {q'ht + qr) + 2 lP sin P% (t + c).	(28)
В формулах (28), (26) и (27) I — средняя долгота, g = <о и h = 2.
Чтобы получить полную сводку основных формул, перепишем равенство (15):
9 = 0О(/-Н)+ 2 9, sin/>90 (/ + <?),	(29)
где 90, 9р —функции а0, е0, j0.
5.	Новыми переменными в следующей операции являются
Л, О', Н'\ X, %, »}.
Функция Гамильтона /?" дается формулой
/?" = /?' — С 4-^jA.	(30)
Покажем прежде всего, как Л и С преобразуются в функции а0, е0, ?0.
Обращаясь к формуле (1) § 12.07, мы имеем
L' = Lo + 2 Lp cos р90 (t + с).	(31)
Далее, согласно формуле (15) § 12.09, Л выражается через Lo, Lp, 9р так:
Л = £о + 42^А-	(32)
Но L-Уу-а —IL', и по формуле (19)
а = а0+ 2 Л cos р90 (t + с).
Поэтому мы можем представить U в виде
L ==Д)—|~^2	cos р9у (t —j- с),	(33)
где
[4 + 2 ^р cos р90 (/ 4- с)]2 = [а04- 2 Ар cos />90 (* + С)Ь
Выражения Lo и Lp через а0 и Ар легко находятся элементарными методами; таким образом, £q и будут известными функциями а0, е0, f0.
Далее, формулы (31) и (33) совпадут друг с другом, если мы предположим, что £q, Lp выражены через а0, е0, "f0. Поэтому формула (32) примет вид
а=44-|2р49р,
т. е. Л — функция а0, е0, т0.
С другой стороны, из формулы (10) § 12.03 имеем
С = Вх -|- A cos 9,
§ 12.17. Практический метод получения решения
259
где А и В — функции а, е и 7 (или Следователыю, при f-j--|-с = 0 имеем С = Вх-\- А, а а, е и заменены соответственно выражениями
ао~г ар> *о+ 2 Ер, 704- 2 гр, причем два последних выражения следуют из формул (22) и (23). Таким образом, С также выразится через а0, е0, f0.
Рассмотрим теперь функцию R' в формуле (30). Она является суммой тригонометрических членов, входящих в состав первоначальной возмущающей функции, из которых отброшена часть членов, выбранных для первой операции. R' имеет вид
2 Л cos (Ц + Jxg + kxh+qxhxt + q^, где коэффициенты А первоначально были функциями а, е, "ft, а теперь при помощи равенств (19), (22) и (23) могут быть представлены в виде
£>о+ 2 Dpcospti0(t+c),
где б0, О0 и Dp —функции а0, е0, т0.
Как функция новых угловых переменных R' запишется следующим образом:
Я' = — 2 A cos (*'Х + /х 4-	4- Я").	(34)
где I', .... q'x—не обязательно целые числа, а Л j—функция а0, ей, f0. Вторая операция заключается в решении канонических уравнений для А, О , Н ; X, х> '’l с функцией Гамильтона Ro, состоящей из одного из членов выражения (34) плюс выражение —C-\-qnxA, входящее в формулу (30). Таким образом,
Ro = — В{ — a! cos 6*.
где Bi = C — qitiA, а 0 —аргумент косинуса в выражении (34).
Решение в этом случае получается тем же самым методом, который был описан ранее.
17*
Глава 13
ВЕКОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 13.01. Введение
В первых параграфах гл. 6 мы получили решение уравнений движения планет в первом приближении, рассматривая в возмущающей функции элементы а, е,... как постоянные. Так, например, для эксцентриситета было получено выражение
е = е0+«^ + п-ч.	(1)
Когда мы перешли ко второму приближению, то применили разложение возмущающей функции в ряд Тейлора, причем в возмущающую функцию вместо е было подставлено его выражение (1) и аналогичные выражения для других элементов (при условии, что для большой полуоси а = 0). При этом мы считали, что at столь мало, что выражением (at)2 можно пренебречь. По абсолютной величине а является малой величиной, возможно порядка 10~5. Поэтому законность нашего приема становится необоснованной, если t принимает настолько большие значения, что величиной (at)2 пренебрегать уже нельзя. Другими словами, полученное решение фактически может быть использовано для некоторых ограниченных интервалов времени до и после выбранной эпохи.
Если мы предположим, что at мало, то аналитически вековой член мог бы быть заменен, не изменяя точности решения, функцией sin at период которой равен 2w/a. Поэтому можно предположить, что появление векового члена в формуле (1), возможно, является результатом метода, с помощью которого это решение было получено, и что возмущения в е, а также в а и у имеют чисто периодический характер. Это предположение подкрепляется результатами предыдущей главы, где в задаче трех тел — Солнце, Земля и Луна — выражения для а, е и у (или fj) были чисто периодическими.
Член at в формуле (1) появляется из непериодической части возмущающей функции. Поэтому мы исследуем строго решение уравнений, рассматривая лишь непериодическую часть возмущающей функции и отбрасывая члены, имеющие порядок относительно эксцентриситетов и наклонностей больший, чем третий.
Прежде всего мы рассмотрим решение в случае двух планет, а затем — в случае любою числа планет,
§ 13.02. Уравнения движения в случае двух планет
261
§ 13.02. Уравнения движения в случае двух планет
Для планеты Р (масса т) в обозначениях п. (а) § 5.10 мы имеем
ft = esino>,	A = ecosa>,	(1)
р = sin /sin 2.	q = sin /cos 2,	(2)
а для планеты Px (масса /и0—
A1 = eIsinu>P	Aj = e, cos шр	(3)
px = sin/j sin2p	qx = sin/j cos 2P	(4)
Обозначим через N вековую часть возмущающей функции. Тогда, согласно формуле (9) § 7.15, будем иметь
N = О/»1 [4С + (е*+ej) D — 2еехЕ cos (<о — <00 — -(^+T?)D + 2n1Ocos(2-21)],	(5)
где С, О и Е— симметричные функции а и av 7 = tg/, 71 = tg/1. Далее, согласно формуле (7) § 5.10,
Поэтому а и п в настоящем исследовании являются постоянными. Аналогично ах и пх— постоянные. Кроме того, С, D и Е будут также постоянными.
Заменяя в уравнениях (13) и (14) § 5.10 Rx на N, мы получим
?_cos? dN . kis2l / dN .	<WV\
na3 dk ' francos? v dp '	dq }’
cos? dN ht^2l ( dN .	<W\
na2 dh yna2 cos ? I ? dp ' dq )’ где cos <p = j/"l —
В этих уравнениях члены, содержащие dN/dp и dN/dq по отношению к е и 7, а следовательно, и к Л, к, р и q, на два порядка выше, чем члены, содержащие dN/dh и dN/dk. Так как мы предполагаем, что е и 7 — величины малые и имеют один и тот же порядок малости, то упомянутыми членами можно пренебречь. Кроме того, по той же причине можно положить cos<p = l. Тогда эти уравнения примут вид
h— 1 dN	Ь —	1 dN
h~ na2 dk • k~	na2 dh ’
Таким же способом мы из уравнений (15) и (16) § 5.10 получаем
•_ 1	1 dN	..
Р па2 dq ' У па2 dp ’	V'
262
Глава 13. Вековые неравенства
Кроме того, с рассматриваемой точностью можно написать
р = sin 2,	^ = fcos2,	(8)
Pi = 71 sin 2Р ft = ъ cos av	(9)
При помощи формул (1), (3), (8) и (9) функция ЛА, определяемая равенством (5), примет вид (если опустить постоянную С)
N = GmxD [Л2 + А2+Л» + % - р2 - f 2 - р\ - q\ + 2рр, + 2fqJ -
— 2Gm\E(hh\-\-kk\).	(10)
Так как D и Е являются симметричными функциями а и ар то N/mx будет симметричной функцией а, ах и h, hx, k, kx; p, pf, q, qv
Если Nx означает непериодическую часть возмущающей функции для планеты Pv возмущаемой планетой Р, то
Nt N m mt
Из уравнений (6) и (10) получаем
Л = (kD ~	W
Аналогично при помощи равенства (11) находим
• = 2Gm	D _kE)i	kx = — (hxD — hE).
nxax	nxax
Положим
___2GmtD	g 2GmiE a паг ’ P паг ’
2GmD	o 2GmE
Тогда эти уравнения примут вид h = ak— k = pftj — ah, hl = a1kl — PjA, Aj = Pift — ajftp
Точно так же уравнения, содержащие наклонности и долготы запишутся в виде
p = a(fi—v), у = «(р —Pi), P! = ai(f —fO, ?1 = а1(Р! —р).
Заметим, что в формулах (12) и (13) D, Е и п, пх являются положительными, поэтому а, а, и р, pt будут также все положительными.
(П)
(12)
(13)
(14)
(15)
узлов,
(16)
(17)
§ 13.03. Решение уравнений, определяющих h и k
263
§ 13.03. Решение уравнений, определяющих h н k
Приступим к решению уравнений (14) и (15) предыдущего параграфа.
Положим
X = k-\-lh,
Хх = Ajj —{— lhx,
где /2 ——1. Тогда получим
X—1аХ = — $Хх, Хх — /а1А'1 = — 1$хХ,
или, используя оператор D (=d[dt),
(D — la.)X — — Z0Xv (D — lax) Xx = — l$xX.
Применим к первому из этих уравнений оператор D — 1ах и воспользуемся вторым уравнением для исключения Хх. В результате получим
X — 1(а-\-а,х')Х—(аах—ppj)A’ = O.	(2)
Положим в этом дифференциальном уравнении X => Ме1<£1+сК Тогда будем иметь
g2_(a_|_ai)gr_|_aai_pp1 = 0.	(3)
Корни этого уравнения будут действительными, так как его дискриминант
(a + otj)2 — 4 (а^ — ££,) = (а — cQ2 4- 4^
— положительная величина. Очевидно также, что корни положительны, ибо	[неравенство (10) § 7.15] или aa,— РР) > 0, что сле-
дует из формул (12) и (13) § 13.02.
Если gx и g2— корни квадратного уравнения (3), то решение дифференциального уравнения (2) запишется в виде
X = Мхе1 (- Л12е/(^»<+с“>,	(4)
где М2 и Ср с2 — постоянные интегрирования. Всего постоянных интегрирования четыре, а не две (как может показаться на первый взгляд), так как уравнение (2) эквивалентно двум независимым уравнениям для вещественных переменных h и k, каждое из которых второго порядка.
Приравнивая в выражениях (1) и (4) мнимые и действительные части, мы получаем
h = М. 1 sin (gxt + сх)	М2 sin (g2t 4- с2),	(5)
k = Allcos(glZ4-cl)4- M2cos(g2/4-c2).	(6)
264
Глава 13. Вековые неравенства
Аналогично для hx и kx находим
Л, = Л1; sin (gxt + с,) + Л1' sin (g2t + c2),	(7)
A, = M{ cos (g/ + C])+ M'2 cos (g2t 4- c2),	(8)
где Л1] и M2 не являются независимыми от Мх и Л12, ибо, подставляя выражения (5), (6) и (8) в первое уравнение (14) § 13.02, мы немедленно получаем
рм;=(а-^)м, и;=(«-^2)Л12.	(9)
§ 13.04. Вычисление постоянных интегрирования
Численные значения Alp М2, сх и с2 могут быть легко найдены, если для данного момента времени известны массы и орбитальные Элементы двух планет. Формулы § 7.15 дают нам возможность вычислить D и Е, а значения а, (3 и ар получаются по формулам (12) и (13) § 13.02. Тогда значения gx и g2 найдутся из квадратного уравнения (3) § 13.03. Исходя из известных значений е и & в выбранную эпоху, за которую мы возьмем £ = 0, для нее вычисляются значения h (=csinffi) и k (sccosw). Обозначим их и соответствующие значения для hx и kx через h0, k0 и (,hx)0, (^])0. Далее, положим
Рх = Мj sin Ср	Р2 = М2 sin с2,
Qx = Afjcos Ср Q2 = Af2cosc2.
Тогда формулы (5), (7) и (9) § 13.03 дадут
= + ^2> Р (А1)о — (а — £1) И- (а —
откуда легко вычисляются величины Рг и Р2.
Тем же путем мы составим два уравнения для k и Q, из которых могут быть найдены величины Qj и Q2. Тогда из равенств (I) можно будет определить значения Л1Р Л12 и сР с2.
§ 13.05	. Эксцентриситеты
Из формул (5) и (6) § 13.03 немедленно находим
в2 = *2	k2 = M2 _|_ M2 _|_ 2М'М2 COS [(g, - g2) t + С, - С2].	(1)
Кроме того.
- — & __ Af, sin (g,f 4- Ci) + Af2 sin (g2t + c2)	2
g k Al, cos (^4-(-c,)-]-A42 cos (^2Z-|-c2) '	' ’
Для и получим два аналогичных выражения.
Равенство (1) показывает, что е является периодической функцией. Максимальное значение е равно |Af]|4-|Af2|, а минимальное — |AfJ— |Л12|. Период колебания равен 2it/|gi — g2|.
§ 13.06. Долготы перигелиев
265
В случае Юпитера и Сатурна найдено, что период такого колебания равен примерно 70 400 лет, а максимальное и минимальное значения е равны 0,060 и 0,026; соответствующие величины для Сатурна равны 0,084 и 0,013*).
Тот факт, что значения е и ех лежат внутри ограниченной области, можно непосредственно получить из уравнений (14) и (15) § 13.02. Легко видеть, что
Pi (hh -f- kk) —|— p (^iZt| —|— kxk^) = 0.
Подставляя в это уравнение вместо р и pt их значения из формул (12) и (13) § 13.02 и интегрируя, получаем
mnaPe1+= С,	(3)
где С — постоянная.
Эта зависимость показывает 1) что, так как вид, имеют один и тот же знак, то значения е и ех являются ограниченными, и 2) что е имеет максимум, когда ех имеет минимум, и наоборот.
§ 13.06. Долготы перигелиев
Из формулы (2) § 13.05 нетрудно найти
е2й = g^ + g2M2 + (gj + g2) М{М2 cos (0! — 02),	(1)
где
=	+	®2 —	-f- c2.
Уравнение (1) может быть записано в виде
д (^1-^2)	- М%)	1
®=---------2?--------1-(2)
Без ограничения общности мы можем считать, что gx > g2. Кроме того, нужно помнить, что Мх и Л12 могут быть положительными или отрицательными. Нам нужно рассмотреть два случая.
Случай 1. (g1-|-g2)|4f1A12|>(g4f2 + g24f2).
Тогда уравнение (1) можно представить в виде
е2& = (£i + £2) Af1Af2 [cos (9i — 02) — cos а],	(3)
где а — наименьший положительный угол (0 < а < к), такой, что ______ ё1м21 + £гм1
(£1 + £г)М1М2 •
*) Эти величины, вычисленные для всех планет, приводятся на стр. 282.
266
Глава 13. Вековые неравенства
Уравнение (3) показывает, что ш имеет действительные точки возврата, соответствующие
Oj — 02 = a-|-2ric	(4)
или
Oj — 02 = 2rir — a,	(5)
где г принимает целые значения.
Из уравнения (3) получаем
«2® + *	= — (£? — £1)	sin (9i ~ М-
Следовательно, если Л11Л12 положительно, то максимальные значения Oj — 02, соответствующие точкам возврата, достигаются при условии (4), а минимальные значения соответствуют условию (5), а если отрицательно, то точки возврата при значениях 6Х— 02, данных выше, меняются местами.
В этом случае экстремальные значения & могут быть вычислены посредством формул
Л = e sin Л, k = ecos&, если h и е вычислены для значений t, соответствующих условиям (4) и (5).
Случай 2. (gj + g2) J MtM21 < (g/l* + g2Ml).
Правая часть уравнения (1) положительна при всех значениях Л Отсюда следует, что & положительно и что & с течением времени увеличивается. Найдено, что случай 2 имеет место для Юпитера и Сатурна.
§ 13.07. Наклонности
В § 13.02 мы уже встретились с уравнениями
/> = «(?!— Ч)’	q = <*(P — Pi)<	(1)
Pi = a'i(q — <7i) ^i = ai(A —/>)•	(2)
Решение этих уравнений можно найти из формул § 13.03, если в них заменить р на а и р, на 04 и затем изменить знаки при а и а, на обратные. Если положить X — q-^-ip, то из уравнения (2) § 13.03 найдем
X —|— I (а —|— ctj) X = 0.
Подставим сюда X =	Тогда получим следующее уравнение;
72+/(«+«1) = 0.
§ 13.07. Наклонности
267
корни которого равны —(аЦ-а,) и 0. Таким образом, f отрицательно. Следовательно, мы имеем
pssJVjSlnf/f-l-C^-l-WjSinCj,	(3)
q=Ni cos (ft -j- c,) -j- N2 cos c2.	(4)
Аналогично
P! == NJ sin (/f + c,)+NJ sin c2, ?! = w; cos (ft + Cj)+N'2 cos C2.
Так как из уравнений (1) и (2) следует, что a1p4~api = 0, то М = — a^Ni/a. Кроме того, согласно первому уравнению (1), Л^2 = Л^2. Поэтому решение уравнений для р, и qx можно записать в виде
Р1 = ~ sin (/< + «,)+ N2sinc2,	(5)
qx = — -у W, cos(//-|-c1)-]-/V2cos c2.	(6)
Из формул (3) и (4) получаем
72 = Ni + Nl + 2N^2 cos (ft + Ci — c2).	(7)
Аналогичное равенство имеет место для f,.
Из формулы (7) видно, что f колеблется между |ЛМ + |ЛМ и |NJ- |ЛЛ2|.
Аналогично изменяется между
т Wl + I^l -
Период колебаний равен
“+“i ‘
Из уравнений (1) и (2) легко видеть, что
<*1 (РР 4"??) 4" «(PiPi 4"?i?i) = О, поэтому
тиа2?2 4-	« С',	(8)
где С' — постоянная. Эта зависимость аналогична интегралу (3) § 13.05.
Численные значения Nx, N2 и сР с2 могут быть получены при помощи метода, подобного тому, который был описан в § 13.04.
Для Юпитера и Сатурна период такого колебания равен около 50 700 лет. Для Юпитера максимальное и минимальное значения
268
Глава 13. Вековые неравенства
наклонности I (=arcigf) равны примерно 2’2' и 1’17'. Соответствующие величины для Сатурна составляют 2’33' и 0°47'.
§ 13.08. Долготы узлов
Так как tg 2 = p/q, то из формул предыдущего параграфа мы получаем
+„ О — ^1 Sin (Л+ Ci) + ^2 sin с2	...
s Nt cos (ft -|- Cj) -|- Nt cos ca ’	' '
откуда
722 = /Д/2 fNiN2 cos 0.	(2)
где
0 = ft —|— Cj — c2.
Случай 1. |W2| > |NJ.
Пусть p означает наименьший положительный угол (0 < р < it) такой, что
о c0Sp = -7A.
Тогда из формулы (2) имеем
f22 = /AZjAZ2 (cos 0 — cos ?)•
Если Nx и N2 одного знака, то 2 имеет максимальное значение при 0 = p-f-2rit, а минимальное значение, когда 9 = 2rit— р, причем г — целое число.
Если N, и N2 имеют противоположные знаки, то точки возврата при указанных значениях 6 меняются местами.
Экстремальные значения 2 могут быть вычислены тем же самым методом, что и в случае &.
Найдено, что для Юпитера и Сатурна 2 колеблется, причем амплитуда колебания для Юпитера равна примерно 13э,2, а для Сатурна — около 31 °,9.
Случай 2. |Wi| > |W2|.
Поскольку / = — (а 4~а1) отрицательно, то в этом случае 2 будет отрицательным для всех значений t. Следовательно, 2 уменьшается со временем.
§ 13.09. Взаимная наклонность двух орбит
Пусть на рис. 22 <р означает наклонность одной орбиты по отношению к другой. Тогда по формуле косинусов имеем
cos <р == cos i cos Zj + sin t sin /j cos (2t — 2), откуда
I — 2sin2y = (l — 2sin2yj(l — 2 sin2-^4-/7»! 4~ Wi’
§ 13.10. Уравнения для п планет
269
Отбросим члены порядка f4. Тогда
4 sin2 J = р*+<?2 + р2 + q\ — 2ррх — 4qqx =
= (Р~ Pi)2 + (<7 — ?i)2-
При помощи формул (4) — (7) § 13.07 последнее равенство приводим к виду
4sln>| = (l+S-),№.
Таким образом, с указанной степенью точности взаимная наклонность двух орбит есть величина постоянная.
§ 13.10. Уравнения для п планет
Рассмотрим планеты Рх, Р2, .... Рп с массами mv m2..mn-
Пусть означает непериодическую часть возмущающей функции для планеты Pv Тогда в соответствии с формулой (10) § 13.02 определяется формулой
Л
к г = О 2	(Л2 + k\ - Pl - q\+Л2 + А2 - р* - q] +
у «2
л
+	—20 2	(О
у=2
в которой Dxj и Exj — симметричные функции аг и ау, причем последние, как и в § 13.02, рассматриваются в этом исследовании как постоянные.
Уравнения для hx и kx имеют вид
Положим	it - 1	k =	1 1 П]й2 dkx '	1	Hja2 dhx (3) nta1
270
Глава 13. Вековые неравенства
Мы будем предполагать, что ш, п н а для каждой планеты известны. Следовательно, известны также все (/, j) н [Z, J\.
Первое уравнение (2) принимает вид
iii. /i£y=o
;=2	7=2
ити
^-CA+Sll, /]^ = 0, 2
где, вообще говоря, полагается
С/= 2 (*./)•	0)
7=1
Аналогично второе уравнение (2) примет вид
Л1+СЛ-2Ц, /| /гу = 0.
>=2
В общем случае мы имеем уравнения
Л, —СД+2(/,/]/гу = 0,	(5)
AZ + CZAZ-2U./1Л/ = 0,	(6)
причем J=^i.
Из формул (3) находим
/m,nz а{[1, J] =
2G	у
a^aj
• Vmjtij а) = Вч Утр^,
(7)
где Вц — симметричная функция от mz и nij, nt и nt, at и dj. Следовательно, имеет место важное свойство
Bz/ = Byz.	(8)
Кроме того, так как т, п и а рассматриваются как известные величины, то значение любого В может быть найдено посредством формулы (7).
Положим
Wz = /mznz flzftz, Kt — Ут^а^.	(9)
Умножим уравнения (5) и (6) на yr/»znzaz. Тогда, используя формулу (7), получаем
Hi-CiKi+ЪВцК^,	(10)
j
(11)
1
где J=£l, а величины В п С рассматриваются как известные.
§ 13.11. Решение уравнений, определяющих Н и К
271
Пусть
+ 1в/у(НЛ/ + ад. (12)
где J Ф t Тогда, используя свойство (8), мы найдем, что для всех значений I уравнения (10) и (11) принимают вид
(13>
Эти уравнения имеют каноническую форму, причем F является функцией Гамильтона. Из уравнений (10) и (11) получаем
2 (Hfi{+ад - S 1	- K{Hj)=0.
Так как в двойной сумме j то, согласно свойству (8), она равна нулю. Поэтому
2(«?+К/)=*2	(И)
или
2	— х2,	(15)
где х — постоянная.
Эта последняя зависимость является обобщением зависимости (3) § 13.05. Так как величины nz имеют один и тот же знак во всей планетной системе, то равенство (15) показывает, что значения эксцентриситетов ограничены, или, другими словами, ни для какой планеты е не имеет векового члена.
Заметим, что поскольку F не содержит явно времени, то уравнения (13) допускают интеграл
F = const.	(16)
§ 13.11.	Решение уравнений, определяющих И и АГ
Пусть
US = KS + IHS,	(1)
где теперь I означает —I. Тогда из уравнений (10) и (11) предыдущего параграфа имеем
+	= J*s.	(2>
Положим
Ua — Р^е1 <«'+«).	(3)
272
Глава 13. Вековые неравенства
Тогда (£-ад+2ад=°.	(*)
Полагая последовательно s = 1, 2.п, мы получаем следующую
группу уравнений:
(g-c^p^ вкр2 +ад+ ••• + в1прп =о, В21В1 +(£ — ^2) ^*2 + ^23^3 +  • • + В2пРп =0' ф ад + ад +....................+&-qp«=o.
Поэтому g является корнем уравнения Д —0,	(6)
где
g Вп ... В1п д__	#21	&	^2 • • • В2п .	fjy
Вп1 Вп2 • • ‘ S Сп
Уравнение (6) имеет п корней gx, g2......gn, которые, как мы
увидим позже, все являются действительными. Кроме того, мы будем считать, что они различные.
Предположим теперь, что корни уравнения (6) вычислены.
Подстановка (3) показывает, что общее решение уравнения (2) может быть записано в виде (s — 1, 2...п)
U. = М,.ес(git+cJ + M2elto' |гг) + ... 4- Mllse'(g'>l+cn),	(8)
где с и M — постоянные, причем последние не все являются независимыми. В частности, если обозначить el(grf+cr) через Ег, то
^1 = ^11^1+^21^2+ ••• + ^Л1^Л’	(9)
Поскольку постоянных интегрирования должно быть 2п [каждое из уравнений (2) при s = 1, 2...п эквивалентно двум уравнениям
для действительных переменных], мы можем рассматривать п величин с и Л1п, Л121....Л1„2 в качестве постоянных интегрирования.
Подставим выражение (8) в уравнение (2) и приравняем коэффициенты при Ev Тогда, полагая последовательно s = 1, 2, .... п — I, получаем п— 1 уравнений
(£1—£1)^114~	^12^12	+513Л113 4-51Я-Л11л = 0-
#21^11	4“ (£1 — ^2) ^12 + ^23^13 + ^2л^1п — О’
^«-1,1^11	+ ^л-1,2^12 + •••• +-(£1—Cz|_j) Л41л = 0.
$ 13.12. Лемма	273
Этих уравнений достаточно для того, чтобы определить отношения ^12- Л*1з...М1а к Мц.
Аналогично, приравнивая коэффициенты при В2, мы можем определить отношения Л122, Л123..Л12я к Л121 и вообще отношения
Л1г2, Л1г2, ..., Л1ГЯ к
Ниже мы увидим, как можно найти численные значения величин М, если значения е и й для некоторой эпохи известны.
§ 13.12.	Лемма
Общее решение (8) § 13.11 можно переписать в виде
п
Us=^MtsEt.	(1)
/=1
Подстановка его в уравнения (2) § 13.11 дает
j+s,
откуда, приравнивая коэффициенты при Et, получаем
(gt-cs')Mts+ylBsjMtJ=o.
Аналогично
(gf-Cs)Mrs+^lBsJMrJ = 0.
Исключим из этих уравнений Cs. Тогда
(gt — Sr) MisMrs = —'2lBsJ
Просуммируем no s от 1 до n. Тогда получим
п	п
(gt-gr) S =-S SBsj(MtJ Mrs-MtsMr}), 5=1	J 5=1
где J =/= s. Так как Bsj — Bjs, то двойная сумма в правой части этой формулы равна нулю. Следовательно, если корни gt и gr различные, то
2Л1/5А1„ = 0, t*r	(2)
5=1
или, меняя местами $ и г,
^MsrMtf = Q, t*s.	(3)
18 У. Смарт
274
Глава 13. Вековые неравенства
§ 13.13.	Вычисление постоянных интегрирования
п
Согласно формуле (1) § 13.12, U.= 2 MisEf. Умножим это ра-/=1
венство на Mrs и просуммируем по $ от 1 до п. Тогда п	п п	п	п
2 м„и,=22 MrSMtsEt = 2	2 2
4=1	4=1 1=1	4=1	/4=1
где в двойной сумме в правой части t=kr. Согласно равенству (2) § 13.12, двойная сумма равна нулю, поэтому
4=1	4-1
Приравняем мнимые и действительные части. Тогда для данного г будем иметь
МпНг + MnHi + ... + MrnHп =	. + /ИгЯ) sin(grt + cr),
(1)
MrlKi + MnKi + • • • +	= (<’ + • • • + М?п) cos (ff,t + cr).
(2)
Для момента 1 = 0 могут быть найдены величины ht (=s sinoiz) и kt (= et cos <dz). Затем могут быть получены величины Ht и Kt. Подставим эти значения в равенства (1) и (2) (для упрощения мы не будем вводить для них специальных обозначений). Тогда будем иметь
и аналогичное уравнение для Mrlcoscr.
Пусть Хг означает правую часть формулы (3), a Yr — соответствующую величину в выражении, содержащем К. Тогда
Л1И sin cr = Xr, Mrl cos cr = Yr.
тле. величины Хт и Yr рассматриваются как известные, ибо могут быть найдены методом, описанным в § 13.11. Вычисление Л1И и сг тогда можно выполнить без труда.
Определение Н и К теперь формально завершено. По формулам (9) § 13,10 мы находим h и k. Из формул (1) и (8) § 13.11, прирав
§ 13.14. Корни уравнения, определяющего g	275
нивая мнимую и действительную части, будем иметь
Т	W
^=2 Л4„соз(^+сг), г=1
а из формул (9) § 13.10, полагая Drs —Мг1!/Уmsns as, находим
hs = 2 Drs sin (grt 4- cr),	ks = 2 Drs cos (grt + c,).
r-1	r=l
§ 13.14. Корни уравнения, определяющего g
Мы считали, что корни gv g2, .... gn уравнения Д = 0 [формула (6) § 13.1Ц все действительные. Допустим теперь, что два из них, скажем gx и g2, являются комплексными. Тогда они должны иметь вид
g\ — u — g2 = u-\-lv, где мы предполагаем, что v положительно, причем и и v являются действительными. Формула (8) § 13.11 для U теперь дает
Us = MiseVt' е‘(ui+e,) +	• el <a‘+c>> 4- п. ч.
Положим
e2 = at-t-c2, 6,= grt-\-cT.
Тогда, приравнивая мнимые и действительные части, получаем
Hs = Mlsevt sin 6i 4- sin 024~ 2 Mrssin
r-3
Ks = Misev‘ cos 8j 4- M2se~vt cos 624“ 2 Mrscos r=3
Поэтому n 2 W+*9=«“	2 Mi+
4- evt [п. ч] 4- e~vl [п. ч.] 4- п. ч. 4- R.
где R— постоянная. Но, согласно формуле (14) § 13.10, левая часть этого соотношения равна х2, причем х— постоянная. Поэтому мы имеем тождество (обозначения очевидны)
х2=Р2*2®' 4- Q2e-2t" 4- е”‘ [п. ч] 4- e~vt [п. ч] 4- п. ч. 4- R.
Но е201 и неограниченно возрастают. Следовательно, правая часть не может равняться постоянной. Отсюда заключаем, что v должно
18*
276
Глава 13. Вековые неравенства
быть равно нулю и корни gx и g2 должны быть действительными и что вообще все корни gx....gn будут вещественными.
§ 13.15.	Канонические уравнения для Н и К
Согласно формулам (13) § 13.10, канонические уравнения имеют вид
А_____dF j._________dF_
п'~ дКг'	дНг '
где F определяется формулой (12) § 13.10:
Л	л л
2F = 3Cr(/f?+^—3 2в«(ад + ^). str. (1) Г=1	r=l S-1
Здесь F— однородная квадратичная функция Hs, а также однородная квадратичная функция Ks. Мы можем, следовательно, сделать ортогональное линейное преобразование переменных Н, К к новым переменным L, I. Пусть
= AnLx + Лг2£2 4- ... ArnLn,	(2)
Kr = ArXlx+ ... +Arnln.	(3)
При помощи этих уравнений мы можем выразить F через L и I. Новые переменные будут канонически сопряженными, если, согласно условиям (1) и (2) § 10.09, имеют место равенства
Л
2^=1,	(4)
г=1
=	(5)
г-1
где 5 и t могут принимать значения 1, 2, .... п. Мы тогда получим
Lr=-dTT' 1г = —дГг'	(6)
Очевидно, что F преобразуется к виду
2F = 2 (Lr -|- /^) -|- 2	frs (J-rLs -|-	(7)
S-1	r-1 S=1
где а и f — функции А, В и С, и, кроме того, так как Brs = Bsr, ТО frs == fsr'
Число уравнений (4) равно п, а число уравнений (5) составляет V2n(n—1) (так как, например, У Л/.1Лг2в2 АгАт)’ Поэтому поскольку общее число величин Л равно п2, то (п — 1) величин Л могут рассматриваться как произвольные.
§ 13.16. Случай двух равных корней
277
Далее, в формуле (7) число величин / равно }/2п (п — 1). Поэтому мы можем выбрать произвольные А так, чтобы все / были равными нулю. Другими словами, мы получим —1) новых соотношений, которые совместно с равенствами (4) и (5) дают нам возможность определить все величины А. Мы сможем тогда написать
п
<8) 1
Канонические уравнения будут иметь вид
откуда находим
L^f —dfLr == 0.
Решение этого уравнения дается формулой
£, = Prsin(a/ + c,).	(9)
Из формулы (8) и интеграла энергии (16) § 13.10 видим, что
/, = Prcos(a/4-c,).
Из соотношений (2) и (3) мы тогда будем иметь
нг ~ 2 Л/»,81п(а/+сг),
5=1
п	(10)
^=2	cos (а^+<:,).
5=1
Сравним эти последние равенства с равенствами (4) § 13.13. Мы видим, что величины а совпадают с g, т. е. с корнями уравнения Д = 0 [формулы (6) и (7) § 13.11]. Кроме того, Mrs = АГ$РГ.
Предположим, что преобразования (2) и (3) выполнены. Тогда после замены в равенстве (8) аг на gr мы увидим, что уравнение Д = 0 преобразуется в уравнение
п
А^П(£ —£7) = 0.
Г = 1
§ 13.16.	Случай двух равных корней
Рассмотрим определитель Д (формула (7) § 13.11). Вследствие большого разнообразия входящих в него величин С и В кажется почти невозможным, чтобы уравнение Д = 0 имело два равных корня. Одно время думали, что если бы два корня действительно были рав* ными, то чисто периодический характер решений для Н и К был бы нарушен. Чтобы выяснить свойства решений, когда два корня, скажем
278
Глава IS. Вековые неравенства
gi и gi’ равны друг другу, мы ограничимся анализом случая трех планет, т. е. при п = 3. В этом случае коэффициенты А в формулах (2) и (3) § 13.15 имеют свойства направляющих косинусов и могут быть заменены на kr, p.r, vr, г = 1, 2, 3.
Преобразование функции F, определяемой формулой (1) § 13.15, к виду (8) § 13.15 аналитически эквивалентно приведению уравнения эллипсоида
2F == CjX2 -|- С2у2 4- C3z2 — B^yz — B2zx — В3ху = 1
к уравнению
2F = OjX24-a2y24-fl3z2 = 1,	(1)
отнесенному к главным осям. Если gi=g2, т. е. а1 = а2, то уравнение (1) после замены а на g станет уравнением эллипсоида вращения
2Fsg-1x2+giy24-g322== 1,
причем новые оси х и у, лежащие в центральном круговом сечении, направлены совершенно произвольно. Как и в предыдущем параграфе, уравнения для величин L имеют вид
£14-^iii = 0,	£г 4- S’i^'2 = 0,	£з4-£з£з = 0.
Решение этих уравнений дается формулами
Ц = Р, sin (gxt 4- Ci), L2 — P2 sin (g^ 4- c2), £з = Р3 sin (5-3/4-63).
Аналогичные уравнения имеют место и для I. Отсюда следует, что решение уравнений для Н и К является периодическим.
§ 13.17.	Уравнения, определяющие наклонности
Уравнения, которые мы будем теперь рассматривать, для планеты Рх имеют вид
• _ 1 * —________________1 dN\
1 пха[ ддх *	г^аЪ дрх
(1)
причем интересующая нас часть дается формулой
— 21 Gmj Dy (fl 4- 4- P* + 4} — 2 PiPj — 2^i q
§ 13.17. Уравнения, определяющие наклонности
279
Используя обозначения (3) и (4) § 13.10, запишем уравнения (1) в виде
+	— 2(1>	—	(2)
+	/)Р/ = 0.	(3)
Пусть af == Y mini at. Тогда
Ь r)=2GmZ?11'аУ=-V/-	(4)
где btj — симметричная функция; обладающая свойством
ЬИ = ЬЛ'	(5)
Умножим уравнение (2) на а, и воспользуемся соотношением (4). Тогда, полагая °-iPi — Pf ai4i — Qf	(6)
получаем
A + CiQi 4~ 2 bijQj — 0.
В общем случае будем иметь
А+ед+2^А=о	(7)
и аналогично ^-^-2^ = 0.	(8)
где Из уравнений (7) и (8) находим
2 (РД+<?/<?/) + 2 2 bijiPfij - PjQi)=о.
причем двойная сумма, согласно свойству (5), равна нулю. Поэтому
Л
2(₽!+<Й=*!.
где k — постоянная.
Последняя зависимость эквивалентна равенству
<»)
280
Глава 13. Вековые неравенства
которое является обобщением интеграла (8) § 13.07. Таким образом, поскольку п( имеют один и тот же знак при всех значениях I, то величины ограничены. Следовательно, наклонности не имеют вековых членов.
§ 13.18. Определение наклонностей
Решение уравнений (7) и (8) § 13.17, очевидно, аналогично решению уравнений для Н и К, полученному в § 13.11. Пусть
P^sstysin^+c), Qt = N( cos (g/ + с).
Тогда, подставляя выражения для Pt и Qt в уравнения (7) § 13.17 и полагая /=1, 2....п, получаем
(g-f-Ci)Ni+ ^12^2	+ ••• +	blnNn = 0,
^21^1	+ (^+^2)^2 + ••• +	b2nNn = Q,
bniNx + b^N2 4- ... +(g+O„)N„ = 0.
Таким образом, g есть решение уравнения
Д = 0,
где
S 4~С1 ^12 •••
&21 S + С2 • • • Ь2п
(2)
(3)
Ьп\ Ьп2 • • • S +
Мы покажем теперь, что один из корней уравнения (2) равен пулю.
Умножим первую строку определителя (3) на ар вторую — на а2 и т. д. и образуем затем суммы элементов каждого столбца, обозначив их через Ху Х2.Хп. В частности, для первого столбца
будем иметь
п
=«1^+ai^i+W
л
Но С1 = 2(1, J) и, согласно формуле (4) § 13.17, у=2 п
ai^i = S =—2аЛ/г
Поэтому формула (4) принимает вид
^i = ai^
§ 13.19. Численные результаты
281
Аналогично для r-го столбца находим, что ^г = аг?-
Поэтому 04Д равно определителю (3), в котором элементы первой строки заменены на axg, a2g, .... ang. Следовательно, один корень есть g = 0. Остальные корни определятся из уравнения Д1 = 0, где
«1 а2 •.. ал д ^21 S + ^2 • • • ^2л
*Я1 Ьп2 • • • S
Если g2, g3, .... gn — ненулевые корни, то общее решение уравнений дается формулами
Ps = Nissin Cj + N2ssin(^ + ^) + ••• +^Bisin(g^ + c„),
Qs = W u cos c i + N* cos (^ + с<г)+ ... + Nns cos (gnt + cn).
Мы можем рассматривать Nn, N2l, .... Nnl и с как постоянные интегрирования.
Метод вычисления постоянных, входящих в общее решение, аналогичен тому, который был описан в § 13.13 для случая эксцентриситетов. Аналогичное замечание относится и к решению канонических уравнений, к которым могут быть приведены уравнения (7) и (8) § 13.17,
§ 13.19. Численные результаты
Очевидно, что получение численного решения задачи о движении планетной системы в том виде, в котором она нам известна в настоящее время, является весьма трудоемким делом. Если ограничиться исследованием больших планет, то для вычисления эксцентриситетов их орбит нужно определить: 1) девять значений корней g уравнения девятой степени [(6) § 13.11], 2) значения 18 постоянных интегрирования Л1и, cs и 3) значения остальных коэффициентов Mrs (г =# 1). Уравнения, определяющие наклонности, приводят к такой же вычислительной работе. В предыдущих параграфах были получены результаты в случае двух планет (Юпитер и Сатурн). В настоящее время известно полное решение для случая восьми планет, найденное Сто-куэллом1), когда Плутон еще не был открыт. Соответствующие основные результаты даны в приведенной ниже таблице, причем наклонности отнесены к неизменной плоскости планетной системы. Что касается эксцентриситетов, то значения корней g уравнения Д = 0
*) Smithsonian Contributions to Knowledge, Vol. 18, 1873.
>82
Г лава 13. Вековые неравенства
лежат в пределах от 0,616 до 22'', 46, если их выразить в секундах дуги. Соответствующие периоды приближенно равны 2 100 000 и 58000 лет. Периоды изменения наклонностей имеют тот же порядок.
Таблица
Максимальные и минимальные значения эксцентриситетов и наклонностей
Планета	Эксцентриситет		Наклонность	
	макс.	МИН.	макс.	МИН.
Меркурий		0,2317	0,1215	9’10',7	4’44',4
Венера 		0,0706	0,0000	3’16',3		*
Земля 		0,0677	0,0000	3’6',0		*
Марс		0,1397	0,0185	5’56',0	- «
Юпитер		0,0608	0,0255	0°28',9	0’14',4
Сатурн 		0,0843	0,0124	1’0',6	0’47',3
Уран		0,0780	0,0118	Г7',2	0’54',4
Нептун		0,0145	0,0056	0’47',3	0’33',7
* Эти значения определяются неуверенно ввиду малости некоторых коэффициентов.
§ 13.20. Долгота в эпоху
Если в уравнении (8) § 5.10 возмущающую функцию R заменить ее непериодической частью N, то мы получим
Ф	i
2 dN .	~2~cos ? 0N_ . tg~2 dN_
na da “I” na2	de na2 cos <? di *
где <p = ]/ 1 — e2, или, с достаточной степенью точности,
•_____2_ dN_ . e dN_ f dN
e	na da ' 2na2 de “t" 2na2 di
Если в это уравнение ввести h, k и р, q, то оно примет вид
2 dN .	1 I. dN . , dN . dN . dN \
6 na da 2na2 \ dh ' dk ' dp dq )'
Подставим сюда значения A, k и p, q, полученные в результате решения дифференциальных уравнений. Тогда последнее уравнение примет вид
е = А У, В cos (at -f- р).
§ 13.21. Общие замечания
283
где через а обозначены величины g, фигурирующие в периодических членах в эксцентриситетах и наклонностях, и величины а являются малыми; А и В—малые постоянные. Таким образом, для данной планеты имеем
е = 6q-|- At —1~ п. ч.,
откуда средняя долгота I определяется по формуле
/==(« +Л)/-|-6оЧ“п- ч-
Наблюдаемое среднее движение планеты равно коэффициенту при t в этой формуле.
§ 13.21. Общие замечания
Нужно помнить, что при исследовании, изложенном в этой главе, мы отбросили 1) все периодические члены возмущающей функции и 2) все члены четвертого и более высокого порядка относительно эксцентриситетов и наклонностей из непериодической части возмущающей функции. При этих упрощениях мы видели, что h и k можно представить суммами некоторых периодических членов, которые для данной планеты мы можем записать в простом виде:
A == е sin & = 2 Mrsin (ёг^ + сг)>
A si ecos & = 2 Mrcos (gJ “1“ сг)"
Пусть е0 и <й0— значения этих элементов в эпоху / = 0 и пусть в последующий момент t
е = ей -|- Де,	& — й>0 -|- Дй>.
Если t мало по сравнению с наименьшим из периодов ^lgr, так что величиной (gr02 можно пренебречь, то
Де sin ш0+е0 Дш cos <й0 = t2 grMr cos cr
k.e cos <5q — e Дб> sin o>q = — /2 gr^r s*n cr> откуда
Де — 12 grM, sin (50 — cr).
Этот последний результат показывает, что при указанных ограничениях истинное изменение е практически не отличается от векового изменения.
Аналогичный результат справедлив также и для наклонностей. Это дает основание считать, что появление векового члена, например в эксцентриситете, который найден при решении уравнений Лагранжа методом, указанным в гл. 6, является результатом применения ана
284	Глава 13. Вековые неравенства
литических операций, присущих этому методу. Аналогичное замечание относится и к наклонности.
Если отбросить ограничения, упомянутые в начале этого параграфа, то проблема устойчивости планетной системы в том смысле, что элементы а, е и 7 представимы сходящимися периодическими рядами, очень сложна и до сих пор не получила точного решения. С другой стороны, буквенное решение Делонэ в задаче о движении Луны указывает на гравитационную устойчивость в указанном смысле (хотя вопрос о сходимости различных полученных рядов и является крайне сложным) и, в частности, показывает, что вековые и смешанные члены могут быть представлены в виде чисто периодических членов.
Глава 14
МЕТОД ГАУССА ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 14.01. Введение
Рассмотрим уравнение (10) § 5.10:
2 =-----'—--------(1)
па2 Y1 — е2 sin I di
Если возмущающая функция R разложена в ряд обычным способом, то интегрирование уравнения (1) при условии, что в правой части все элементы рассматриваются как постоянные, приведет нас к формуле (4) § 6.03:
2 = 20 + к/ + п. ч.	(2)
Можно сказать, что решение (2) является точным до первых степеней масс двух рассматриваемых планет. Эта степень точности достаточна для настоящей цели. Член \t в формуле (2) называется вековым неравенством. Конечно, функция R имеет сложный вид, и отыскание численного значения X является долгим и утомительным делом. Это же замечание можно сделать и о вековых неравенствах других элементов. Метод, предложенный впервые Гауссом1), дает возможность найти численное значение X без предварительного разложения возмущающей функции. Он требует лишь, чтобы для некоторых выбранных моментов времени были известны численные значения координат планеты Р (или какого-либо другого тела) и возмущающей планеты Рх в предположении, что оба тела движутся по эллипсам. Этот метод был использован во многих практических задачах.
§ 14.02. Ортогональные составляющие S, Т и W ускорения
Пусть на рис. 23 О означает Солнце, Р — интересующую нас планету н А — точку на небесной сфере с центром в О, соответствующую планете Р. Относительно обычной основной плоскости координаты планеты Р обозначим через х, у, z, а координаты возмущающей планеты Рх с массой тх — через xv уР zv Для удобства мы положим х == Gmv
') См. Tisserand, MScanique Celeste, I, 431, 1889,
286
Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
Пусть х$, хГ и xIF составляющие силы притяжения планетой Рх единичной массы, помещенной в точке Р. Они определены следующим образом: х$ направлена вдоль радиус-вектора ОР (или ОА),
•хТ — перпендикулярно радиус-вектору в плоскости орбиты (параллельно ОВ), nW — перпендикулярно плоскости орбиты (параллельно ОС).
Пусть направляющие косинусы прямых О А, ОВ и ОС равны lv mv пх; l2, т2, п2 и /3, от3, п3. Тогда, если через и обозначить дугу NA, то
/j = cos 2 cos и — sin 2 sin a cos I.
Выражения для остальных направляющих косинусов совпадают с выражениями (3) — (5) § 5.06, если в них заменить ш на и. Далее, производные от и т. д. по 2, и и I найдутся из таблицы § 5.06, если в ней <о заменить на и.
Если / — истинная аномалия, то
« = ш + / = а—2 + /.	(1)
Но dR/дх, dRjdy, dRjdz— составляющие силы притяжения планетой Р, единичной массы, помещенной в точке Р по осям ОХ, OY, OZ. Поэтому
+ +
+	+	(2)
*	= ,н1$ +
# 14.03. Выражение dR/да через S, Т и W
287
откуда
Для составляющих Т и W формулы имеют аналогичный вид. Далее, п	/ 1	\
/\ — л I —  —о------------ I t
'1 / где
Д2 = (х - Х[)2 + (у _ У1)2+ (z _ Z1)2, поэтому, например, _ х(х —л,)	~ х,
дх	А3	г3
Таким образом, значение S для любого момента времени можно вычислить при помощи формулы (3), если известны элементы орбиты планеты Р и координаты планет Р и Pv
В уравнения Лагранжа входят производные от R по элементам. Поэтому если о — любой элемент, то нам потребуется выразить производную dRjda через S, Т и W.
§ 14.03. Выражение dRjda через S, Т и W
Мы имеем х — ^г, у = mxr, z = пхг, где г — радиус-вектор планеты Р. Следовательно, если а означает любой элемент, то дх_______________________-^11» дг
да да ’ 1 да *
Аналогичные равенства имеют место и для ду/да, dz/да. Далее, dR _dR дх dR ду . dR дг да ~дх да '• ду да ' дг да ’
поэтому, принимая во внимание формулы (2) предыдущего параграфа, будем иметь
2('-y+'.^)fts+v+w==
l,m,n
^S^ + rTZl^ + rWZl^.	(1)
Затем при помощи таблицы § 5.06, в которой ш заменим на и, находим dli  dlf дД . dlj du . dlt di  да	dQ да ' ди' да ' дГ ' ~3a
dQ .. ди ,, , di = —mi w +12	+ z3 sin “	•
288
Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
Производные от /и, и и, по а получаются аналогично. Поэтому коэффициенты при гТ и rW в формуле (1) могут быть легко найдены. Они соответственно равны
dQ . ди	dQ , . di
и —»2-т—I—sinw-r—> а дя 1 дч	1 дч 1 да
где n3 = cos/ и п2 = cos и sin I. Следовательно,
1 dR с дг . ~ / dQ . ди \ . m / d2 . . di \	,п.
— л — “т—I- гТ । Ло "у —1“ -г- ) -I- I — Пп -у —1“ sin и -у | • (2) х де де 1	\ J де * де / 1	\	2 де 1 де /	4 '
Нам потребуется найти drjda и ди)д<з.
1)4-1 дя
Мы имеем
г = а(1 —ecosfi), откуда
дг г да	„де .	. „ дЕ
Ъ = а К - а COSЕ dF + ае Sin Е W •
Далее.
Е — esinE = f ndt + е — ш, где при дифференцировании правой части первый член в ней не должен рассматриваться как функция а. Поэтому в общем случае
(3) а дч	да да	' '
и, следовательно, после некоторых упрощений получаем
дг г да	, де . a2esin£ д(ч— ш)	...
7h=a d7-ecos/d7 + —~г-------------hfc-2’ <4>
2)	. Из равенства (1) § 12.02 имеем
ди _ d(S—Q) । df
да да	'да ’	1
Далее,
tg 2 V 1 — etg^E’
откуда
1 df _	1 de ._____1 дЕ
sin/ да 1 — ег да ' sin£ дч
Однако г sin/ = b sin Е, где b = а (1 — е2^*. Поэтому, используя формулу (3), находим
д/ . , / 1	. а \ де . ab д (е — ш)
<6>
Теперь выражение для dujda получается для формул (5) и (6).
$ 14.04. Уравнения, определяющие элементы а, е, .... е 289
Подставляя в равенство (2) выражения для drjda, ди)д<э, п3 и п2, мы найдем, что
1	_ сГ Г Л глс f де । a2gsln£ д (г —ш) 1 ।
х да [ а дя	7 дя г дя ] *
। т Г • z (	1	. а \ de , ab dt .
+ гТ [sin f (+ 7)	+
+(1-тг)-35— а-созо^ч-4-г1т[—cosasinZ-^-H-sinw-^-^.	<
Из этого соотношения немедленно выводим следующие равенства: 1 OR	г с	\ dR	, с .	. ,1 1	. л \ _
—т- = — • о, —т- == — л cos f • S4- г sin / i----»- + — Т,
я. da а я. de	J 1	/\1 — е2 ' г)
~4£=rsina-IT, -4§ = —2rsin2X-T —rcos«sin/-ir, х dl	х da	2
1 dR	aesinf	s . a» (I — e2)Vi	T 1 dR	\ OR	>T
x de	(1 — e8)1/*	r	x da>	x dt
(7)
§ 14.04. Уравнения, определяющие элементы а, ё, е
Подставим теперь полученные в предыдущем параграфе выраже* ния для dR/da и т. д. в уравнения (7) — (12) § 5.10. В результате получим
а = —Г$е sin / + — ?!, п(1—е’)Л L	J ar J
е =	is sln / _]_ 7 (COS Е+cos /)].
na
Gmt
пае e2
i ==-------u"t| , • Wr cos «,
паг (1 — e2)
2 =----------------------Wr sin u,
na2 (1 — e2) sin I
£ = 2 sin2 4 • 2 +	(17g8)'A [- S cos/ + T (1 +	sin/1,
Л	r(WC»	11	\	V f	I
j = _	---- £-|-2(l — e^’sin2 L • 2.
ла2 1 1-H1 —e2)'/«	'	2
Так как средняя долгота, которую мы здесь обозначим через С, определяется формулой
С = J п dt-\- в,
19 у. Смарт
290
Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
то мы имеем
С==» + ё.
Эти формулы удобны, если пользоваться методом механических квадратур. Как было сказано в § 14.02, численные значения для S, Т, W могут быть найдены для любого момента времени, и если элементы известны, то правые части этих уравнений могут быть вычислены для любого рассматриваемого момента. Поэтому мы можем получить таблицу значений, например е, для моментов /0- ^о~Ьт' А) + 2Т> •••> из которой путем численного интегрирования можно выразить е как функцию t.
§ 14.05. Приложение к вековым неравенствам
В § 7.16 мы видели, что второй член возмущающей функции R=.Gmx
является чисто периодическим. Следовательно, занимаясь вековыми возмущениями, в качестве возмущающей функции достаточно взять
Поэтому мы можем рассматривать S, Т и W как проекции 1/Д2 па оси ОА, ОВ п ОС (см. рнс. 23).
В общем случае, когда рассматривается вся возмущающая функция, уравнение для элемента а может быть записано в виде
о = Л + 2 Z5cos(/C + /;1+^),	(1)
где С, Ci — соответственно средние долготы планет Р и Pv а I, j — целые положительные или отрицательные числа, включая и нуль, с оговоркой, что I и J не равны нулю одновременно.
Умножим уравнение (1) на dT,dT,x и проинтегрируем в пределах от 0 до 2ir по С и Ср Тогда, обозначая Ло через [в], мы будем иметь
2« 2*
Ы =	/«««,	(2)
О о
Гаусс ввел функции So, То, IF0 так, что первая из них определяется формулой
2я
5о = J* S «ГСр	(3)
о
J 14.06. Функции So, То, и Wa
291
Функции Tq и IFo задаются аналогичными выражениями. Поскольку 5, Т и IF— функции от С и Ср то новые функции, определяемые формулами вида (3), являются функциями лишь от С.
С точностью до членов первого порядка относительно масс элемент а будет периодической функцией. Поэтому [л] = 0. Вековые же неравенства элементов е, I и т. д. даются формулами
Й = —lS0sin/ + To(cos£+cos/)]<K,
О
2 тс
[Z] =-----2--- . ± f W г cos и л,
11 /га2 (1 —	2т. J 0
2«
[2] =-------®---------L f uz г sin а (К,,
/га2 (1 — e2)'/’sin< 2т. J °
М = 2 Sin2 12] + -(- ~/)1А •	So cos/+	(4)
о
+ T0(l+^)sin/pC,
2я
й-------г?  i S V Л + ,+(1Ъ-78-н+2 (• - йь
которые следуют из формул § 14.04 и (3) настоящего параграфа
§ 14.08. Функции $0, То и Wo
Достаточно рассмотреть функцию 50, определяемую формулой
2тс
So=-g-/SflrCr	(О
о
Пуст:> на рис. 24 QQj означает часть орбиты возмущающей планеты /’р Предположим, что масса тх распределена вдоль орбиты таким образом, что масса dp. на элементе QQj пропорциональна времени dt, необходимому для того, чтобы планета Рх переместилась из точки Q в точку Qp Если период движения равен 7\ и площадь OQQi равна dA, то
dy. _ dt_ __ dC, _ dA	(n
mt Tx 2л itaxbx ’
19*
292
Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
где аг и — полуоси орбиты планеты Pv Тогда равенства (1) и (2) дадут
S0=j*Sdp,	(3)
где интегрирование производится по эллиптическому кольцу, по которому описанным выше путем распределена масса.
Пусть РХ, PY, PZ — любые оси с началом в точке Р. Пусть, далее, х, у, г— координаты точки Q. Тогда относительно новых
осей составляющие силы притяжения элемента массы dp, расположенного в точке Q, на единичную массу, расположенную в точке Р, будут
О du -Л-, О du, X-,	G dp -А-.
‘ ДЗ	* да	г да
Обозначим dpCx/A3) через d?x; тогда
'?х ~ f дТ
Аналогично
?у = J=	(4)
Теперь OS dp — радиальная (т. е. направленная вдоль ОР) составляющая силы притяжения элемента массы планеты Q на единичную массу, расположенную в точке Р. Если lv mv пх означают направляющие косинусы прямой ОР относительно осей РХ, PY и PZ, то
GS dp = О [/] d?x + /П] dc?y + »j d<pj.
Следовательно, согласно формуле (3), имеем
^0=Zl?x + /Wl'?y4""l?r	(5)
§ 14.07. Функции cp.v, <pv, ср,
293
Ниже мы выберем оси РХ, PY и PZ так, чтобы они были главными осями конуса, вершина которого находится в точке Р, а основанием служит эллиптическая орбита планеты Pv и покажем, как можно вычислить для данного положения планеты Р величины и т. д. Поэтому So можно будет вычислить посредством формулы (5). Функции То н Wo даются формулами, аналогичными формуле (5).
Заметим, что в формулах (4) Д определяется равенством
Д2 = Х2_|_у2+г:2.	(б)
§ 14.07	. Функции
Согласно равенствам (2) и (4) предыдущего параграфа,
<рх = f dA.	(1)
Обозначим через р перпендикуляр, опущенный из точки Р на плоскость орбиты планеты Тогда р будет также перпендикуляром. опущенным из Р на площадку OQQr и другие такие же площадки. Если через dV обозначить объем тетраэдра с вершиной в Р и основанием OQQj, то будем иметь
dV — 4- р dA.
Пусть координаты точки и Солнца О будут соответственно x-\-dx, y + dy, z-\-dz и х0, у0, zQ\ тогда
dV = [х0 (у dz — z dz) -|- у0 (zdx — х dz) + z0 (х dy — у dx)].
Приравнивая друг другу эти два выражения для dV, мы выразим dA через х, xQ, dx и т. д. Для удобства положим
^ = ^7-	<2)
Тогда из равенства (1) мы получим
+ y0Qx + z0Rx),	(3)
где
р — Г x(ydz — zdy)
* — j дз
(4)
о — f x(xdy-ydx) ) A3
294
Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
причем интегрирование производится вдоль эллиптической орбиты Е, планеты Pv Пусть
х = иг, у = vz.	(5)
Тогда, согласно формуле (6) § 14.06, имеем Д2 = ^, где
U2 = 1-1- и2 4- V2.	(6)
Из соотношений (5) мы сразу же получаем у dz — zdy = — z2 dv, zdx — xdz = z2 du, xdy —у dx = z2 (u dv — v du).
Следовательно, согласно равенствам (4), будем иметь р —_ f о — С udu J U9 ' J U3 ’ D г и (и dv — v du) К л ~ J	и»
Аналогично находим
р _ Г y(ydz — zdy) р _ с z(ydz — zdy) ry — J дз > гг~ J дз
Формулы для Qy, Qt, Ry, Rz имеют аналогичный вид. Таким образом, мы имеем следующую группу формул:
п ___ f иdv Л _______ f udu п ______ f u(udv— vdu)
х----J и» • Чх — J и» • «г— J- цз ‘
р_____С vdv п __ {• vdu р _ с v(udv — vdu) _
~ J Us ' Vy — J и3 ’ “у — J	(J3	• W
p ___ r dv n ______ f du p _____ Г и dv — vdu
J U3’ J U3 ’ K*~~ J U3
Из этих формул мы сразу же находим
P,+Qy + /?,3=0.	(9)
С другой стороны, используя равенство (6), получаем п п — Г udu-j-vdv___________________ с dU fl]
J цз ~ J IP — [у]'
где [1/t/J означает результат интегрирования вдоль эллипса Ev Но — замкнутая кривая, поэтому [!/£/] = 0. Следовательно,
Аналогично
Py=Qx-
Рг — Rx и Qz — Ру
<$ 14.08. Конус с вершиной в Р и основанием Et
295
Пусть
F = Ъ \ХТХ + №у +	+ 2	+ 2VuP, + 2xuy0Q J. (10)
Тогда из формулы (3) и ее аналогов имеем
OF	0F	дР	....
дха ’ У У	дуа ’ дг0 ’	<
Уравнение конуса с вершиной Р и основанием Ех имеет вид f(x. у, z) = 0. где f — однородная квадратичная функция от х, у и г. Рассмотрим, например, интеграл (8), определяющий Рх. Подынтегральная функция имеет нулевой порядок относительно х, у, z и поскольку x = uz, y = vz, то выражение Рх через а и v показывает, что интегрирование может быть проведено вдоль любого сечения косинуса.
§ 14.08. Конус с вершиной в Р и основанием Е\
Уравнение эллиптической орбиты планеты Рх, отнесенное к 5ЛР как оси Е, оси т), показанной на рис. 25, и оси С, перпендикулярной
плоскости орбиты, имеет вид
(S+^'),+4=i. с-о-
а1
Пусть а, р, 7 означают координаты планеты Р в этой системе осей.
Уравнение любой прямой, проходящей через Р, запишется в виде
Если эта прямая пересекает £\, то будем иметь (а —. (3 — т-()г 
296 Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
Уравнение конуса с вершиной в Р и основанием получается путем исключения I и m из уравнений (1) и (2). Оно имеет вид
Перенесем начало координат в точку Р. Тогда если х, у, z— координаты любой точки конуса, то
х = £ — а, у = т] — z = C — 7.
и уравнение (3) принимает вид
-1- (г (а + а^) — 7Х]2 + 4 № — П12 = -г2.
ai	°i
Оно может быть записано в виде
Ах2 + By2 + Cz2 + 2Fyz + 2Qzx = О,
где, например, А = у2/а2.
Если I, tn, п означают направляющие косинусы нормали к основной плоскости, то
Al -|- Gn Вт + Рп О/ + Рт -\-Сп . -------- ------ ........Д
так что X является корнем уравнения		
	Л —X	0	О	
	0 В —X F	= 0.	(4)
	О	F	С —X	
Легко видеть, что уравнение (4) приводится к виду
X3++ QX _|_ вдет4 = 0.
Поэтому два из трех корней Хр )^, Х3 будут положительными, а один отрицательным. Пусть Х3— отрицательный корень, так что Х3 =— X, где X > 0.
Уравнение конуса, отнесенное к главным осям, тогда запишется в виде
Х1 х2 4- Х2у2 — Xz2 = 0,	(5
причем ось z есть внутренняя главная ось.
Будем понимать теперь под РХ, PY, PZ на рис. 24 главные оси конуса. Направляющие косинусы I, nt, п одной из этих осей относительно осей т], С, изображенных на рис. 25, определяются
f$ 14.09. Вычисление Px и т. д.
297
равенствами Z	т __ п
G& — B) ~ f(X — А) ~(X —Л)(Х —В) ’ где к теперь означает соответствующий корень уравнения (4).
§ 14.09	. Вычисление Рх и т. д.
Согласно формулам (7) § 14.07, р _ f udv х~ JU3'
(1)
где « = x/z и v = y/z и интегрирование производится вдоль любого сечения конуса:
\х2 + Х2у2 — Кг2 = 0.
Возьмем сечение z = \. Уравнение соответствующего эллипса имеет вид
M2+M2—х=°-
Положим
„2 — —	и.2 — —
1S — • 1*2 — х2 •
Так как предполагается, что корни кубического уравнения (4) § 14.08 Хр kj и X известны, то и р.2 также известны. Уравнение эллипса теперь примет вид
Будем считать, что щ > р.2. Дальнейшие преобразования в случае р.] < р2 аналогичны. Пусть О означает эксцентрический угол. Тогда х = Pi cos 9, y = p2Sin9. Следовательно, так как z = \, то
й = p.jcos9, © = p.2sin6.
Кроме того, из формулы (6) § 14.07 находим
t/2=l_|_a2 + v2==1+tl2_^2_^sin20==ll2(1 _^2Sin26),
где
р,2=1+р,2,
2	2
А2— Н —Н2 Р
Тогда формула (1) примет вид
/>, = -
2гс
РчРг Г cos2 О М
Р J (1— Ля sin2 ©Л1 ’
(2)
298
Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
Аналогично
/• udu	г* sin 29 dO
^A ==J U3 2p J (I—A2 sin2 0)’/’ ‘
Рассмотрим прежде всего Qx.
1)	Вычисление Qx.
Разбивая промежуток интегрирования в формуле (3) на две части от 0 до те и от те до 2те, можно легко убедиться, что этот интеграл равен нулю. Поэтому Qx = 0. Аналогично
Py = Qi[ = Ry — Plc = Rx = 0.
Формула (10) § 14.07 теперь примет вид
/’“^№+^+2ЧЬ	<0
Так как, согласно равенству (9) § 14.07, Рх -|- Qy -|- Rz = 0, то мы должны вычислить только две из этих величин, скажем Рх и Qy.
2)	Вычисление Рх.
Пусть X дается формулой
У_____d_T sin 0 cos 0 ~|
“ ав 1У1 —*2sin20 J *
Легко видеть, что
х__ 1 — 2 sina 0 + Аа sin4 6 (1 —A2 sin2 Of’
Числитель этой дроби можно записать в виде
l[(l-*2sln20)2_(l-A2)].
«/2
Следовательно, поскольку J* X db = 0, мы имеем о «/2	г/2
f (1-Х- <»/ - т=И1/1 ~t,sln,e м ° W- <5>
где E{k~) — эллиптический интеграл второго рода.
Далее, из формулы (2) легко видеть, что
я/2 р _____ 4|л,р.2 f cos2 0 dd_
х~ И* J (1— Л2 sin2 0)’/» ’
§ 14.10. Вычисление вековых неравенств
299
и так как
cos20==p(l—£2sin2O —(1 —А2)],
то при помощи формулы (5) находим, что этот интеграл равен p[F(&) — E(k)], где F(k)— эллиптический интеграл первого рода, определяемый формулой
«/2
F(k) = f  М-------------.
4 ' J fl — k3 sin2 0
Следовательно,
(в)
3)	Вычисление Qy и Rz. к/2
„ _____ С у du_______4[x1p.i р sin2 О <Z0
V>~J U! ~	(A3 J (l—*2Stn20)’''’
Ho k/2
P —I— П —	4^2 f rf9
2T V, p.’ J (1 _ £2 si„2 8)’/’ ’
Поэтому, согласно равенствам (9) § 11.07 и (5) настоящего параграфа, будем иметь
S,.=(T^VE'»	<7>
Наконец, для Qy получим
Q, =	К1 - W F (А) - Е (Л)].	(8)
Так как величина k предполагается известной, то численные значения E(k) и F(k) могут быть найдены из таблиц эллиптических функций. Поэтому Рх, Qy и Rz могут быть вычислены.
§ 14.10.	Вычисление вековых неравенств
Мы будем рассматривать вековое неравенство [S], определяемое уравнением (4) § 14.05, именно:
2*
[^] =—...Д=----------J- f IForsin«dM, (1)
па3 fl — в2sin! 2*J	0	4 '
в котором средняя долгота С заменена средней аномалией М.
300
Г лава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
1)	По аналогии с формулой (5) § 14.06 IF0 выражается формулой = 1з<?х + тзЪ + пз?г
где Z3, т3, п3— направляющие косинусы нормали к плоскости орбиты планеты относительно главных осей конуса. Значения этих направляющих косинусов могут быть легко рассчитаны. При помощи формул (11) § 14.07 и (4) § 14.09 мы будем иметь
= -^ 1!зхоРх “1“ тзУо^у +	•	(2)
Здесь g— постоянная, определяемая формулой (2) § 14.07. Кроме того, если X, Y, Z — координаты планеты Р относительно обычных осей, то
р = X sin 2j sin — Y cos 2j sin Zj z cos Z,.
где 2P Zj — элементы орбиты планеты Pv Поэтому p может быть легко вычислено для любого момента /. Члены, заключенные в квадратные скобки в формуле (2), также могут быть вычислены. Поэтому мы можем считать, что численное значение IF0 может быть найдено для любого момента времени Z.
2)	Рассмотрим подынтегральное выражение IForsin« в равенстве (1). Аналитически IFO является, очевидно, функцией At, и поскольку « = а> + / = <о — 2-|-/, где/ — истинная аномалия, то все подынтегральное выражение может быть представлено в виде функции от At, которую мы обозначим через ф (Л1) и представим следующим образом:
ф(Л4)==а0+2 («fcossA4-|-Z>fsinsA4),	(3)
4=1
где $ — положительное целое число. Отсюда видно, что
2я
e0 = i f Ф0И)ЛИ о
и, следовательно, согласно уравнению (1), что
<4>
Теперь предположим, что IF0 и г sin и, а следовательно, и функция ф(Л4) вычислены для следующих значений At:
Л 2п 4я	2rn	2n(J—1)
’ J ’ J........... J ....... 7	’
где j— целое число.
§ 14.10. Вычисление вековых неравенств
301
Пусть фг— значение ф (Л4) при 7И = 2гк// = Л1,. Кроме того, пусть s-k~\-qj, где k=l, 2.......J и q = Q, 1, 2. Тогда
оо	У со
S a, cos $Л1Г = 22 а*+0/ cos (* + я/) Mr. s=l	*=1 7=0
Ho cos(k-{-qf) Mr = cos kMr и cos(j-\-qj) Mr = 1, поэтому
j-l Г 00
2 «{CossMr — a>4~ a2j-t-a3j~t- . • • 4- S I 2 ak+qj s	k=l L 9=o
7-1
лjiijy —|— a3j —j— • • •	cos kMrt
cos kMr =
где
co
Ak = 2' ak+qJ'
q=0
Аналогично мы получаем
7-i
2 bs sin $Air = 2 Bk sin kMr s	Л=1
Поэтому
7-1
фг = a0H-a;4- а2/+ • • • + 2 G^cos kMr4-ВкsinkMr), k~i
откуда
У-i
2оФг = /[«о+а; + Л2>+ •••! +
7-1 Г у-1	7-1
+ 2 Ак 2 c°s&Air4-B*2 sin kMT .
A=i L r=u	r=0
Положим теперь a = 2<c&//. Тогда получим kMr = ra.. Пусть 7-1	7-i
С — 2 cos га, 5=2 sin ГЛ’ о	о
Тогда если I — — 1, то
с+(5=2в'"=1Е7?=о-о
Следовательно, С = S = 0 и
7-1
2 Ф, = /[а0+«7+«27+ - .-I-г=о	' J
Если J равно, скажем, 12, то коэффициенты ар а2р ... будут малыми высших порядков относительно величин е и I (наклонность),
302 Глава 14. Метод Гаусса вычисления вековых возмущений
входящими в выражение для Wor sin и, и ими можно пренебречь. Поэтому ао = у Н'о+Ф1+ ••• +Ф/-1] н, наконец,
_ G_________________4lo + 4'i + •••47-1
ла2 ]Г1 — е2 sin i	J
Этим и закапчивается наше исследование.
3)	Среди многих применений рассматриваемого метода можно отметить вычисление векового неравенства долготы узла орбиты Леонид, выполненное Адамсом ’) и составившее 28' за промежуток времени в 33 года; при этом возмущения со стороны Юпитера, Сатурна и Урана разделились следующим образом: 4-20', -|-7' и +1'. Значение [2], выведенное из наблюдений, равно -|—29'.
Другое важное исследование было выполнено Хиллом 2).
Для ознакомления с дальнейшим развитием этого метода мы отсылаем читателя к книге Плюммера «Динамическая астрономия» 3).
*) Mon. Not Roy. Astron. Soc., 27, 247 (1867); Collected Works, I, 269 (1896).
*) On Oauss’s method of computing secular perturbations with an application to the action of Venus on Mereury, Collected Works, 11, 1 (1906).
3) H. C. Plummer, Dynamical Astronomy, 1918, p. 206.
Глава 15
ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ И ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ МЕРКУРИЯ
§ 15.01. Введение
Проблема, связанная с сопротивлением среды, впервые привлекла внимание астрономов в связи с особенностями движения кометы Энке. Среднее угловое движение этой кометы имеет тенденцию к возрастанию, которое нельзя объяснить возмущениями от планет, вычисленными обычным способом. Энке предположил, что этот эффект может быть полностью объяснен влиянием сопротивления вещества, окружающего Солнце. То, что такое вещество существует, хорошо известно. Это, во-первых, солнечная корона, простирающаяся на расстояние в несколько радиусов Солнца от его поверхности, и, во-вторых, более протяженная его оболочка, дающая „зодиакальный свет“.
Для простоты термин „планета” будет использоваться нами для обозначения любого члена солнечной системы, движение которого исследуется в настоящей связи. Влияние сопротивления среды на движение планет будет зависеть от нескольких факторов: от площади проекции планеты на плоскость, перпендикулярную направлению ее движения (мы принимаем эту величину постоянной для рассматриваемой планеты), от скорости планеты v и плотности р среды. Будем предполагать, что вообще р есть функция лишь расстояния от центра Солнца, так что мы можем написать р = <р(г). Далее, можно принять, что корреляция между v и р отсутствует. Следовательно, мы можем записать силу сопротивления R, приходящуюся на единицу массы планеты, в виде
R = cF(v) • <p(r),	(1)
где предполагается, что с — очень малая величина, постоянная для данной планеты.
Открытие со времени Энке в Галактике огромных диффузных туманностей, темных и светящихся, через которые проходят пути звезд, и совсем недавнее открытие более разреженного межзвездного вещества сделало снова эту проблему важной, особенно для космогонии. В большинстве распространенных теорий происхождения и эволюции солнечной системы предполагается, что первоначально Солнце было окружено облаком вещества, в котором двигались первобытные планеты. Далее, одна из особенностей солнечной
304
Глава 15. Влияние сопротивления среды
системы состоит в том, что эксцентриситеты орбит планет, вообще говоря, очень малы. Как мы увидим позднее, сопротивление среды приводит к постепенному уменьшению эксцентриситетов.
Мы сначала рассмотрим легко интегрируемый случай, когда в формуле (1) F(v) = v и <р(г)=1/г2, а затем исследуем более общую задачу. Так как сила сопротивления не имеет составляющей, перпендикулярной плоскости орбиты, то удобно принять эту плоскость в качестве основной. Ввиду сходства применяемых методов мы рассмотрим в конце главы движение перигелия Меркурия.
§ 15.02. Уравнения движения (R = cv/r2')
Пусть ОХ — основное направление в плоскости орбиты, причем Солнце находится в точке О. Обозначим через г, 0 полярные координаты планеты, масса которой равна т, а через й — „долготу* перигелия, так что 0 = /-|-й, где f — истинная аномалия. Если ds — линейный элемент орбиты, то составляющие силы сопротивления вдоль радиус-вектора и перпендикулярно ему будут соответ-п dr	г, М	п Г	„ 6	_
ственно —mR-T- и —ткг-г-, или —mR — и —mRr — . Поэтому as	as	v	v	J
уравнения движения при R — cv/r2 будут иметь вид
(1) и
^(г20) = -с9.	(2)
Здесь |1 = О (т04~ т), где т0 — масса Солнца.
Пусть
и = у, 77 = г2б,	(3)
так что 0 = //и2. Тогда уравнение (2) запишется в виде
H = h — св,	(4)
где Л — постоянная интегрирования.
С другой стороны,
(5) и
'----------------------
§ 15.03. Изменения оскулирующих элементов е и со	305
Поэтому до малых величин порядка с включительно уравнение (1) при помощи равенств (3) приводится к виду
<Ри, ,	__ и __ И ।	 2с0 \
rffl2 -ги — Л» ~ Л’ I* + Л )•
Решение этого уравнения запишется так:
« = |[l+«COS(9-a>) + ^-],	(6)
где е и ш — постоянные интегрирования и
Так как Л — постоянная, то и р также будет постоянной величиной.
§ 15.03	. Изменения оскулирующих элементов е и &
Если действие сопротивления в момент t0 внезапно прекратится, то планета Р начнет описывать эллиптическую орбиту — оскулирую-щий эллипс, уравнение которой может быть записано следующим образом:
^“о=х11+£?оС08(9~й)1,	(1)
где г0 и «о соответствуют оскулирующему эллипсу. В формуле (1)
Ро = ао(1~	(2)
где fl0, elt, а также й0 — оскулирующие элементы. Если 7/0 означает постоянную площадей для оскулирующего эллипса, то
//О = Г20	(3)
И
но
Ро=— •	(4)
По определению оскулирующего эллипса а) координаты планеты Р и б) составляющие ее скорости для оскулирующего эллипса и истинной орбиты в момент /0 одинаковы.
Рассмотрим (а). Пусть 0О— полярный угол в момент t0. Тогда Го(%) = г(®о) или “о(%) = “(®о)- Из формулы (1), а также из формулы (6) § 15.02 мы имеем
-1 [ 1 - е0 cos (0о — «о)] = 1Г1 + е cos (0о —	.	(5)
F0	Р L	** J
Рассмотрим (б). Согласно равенству (3), Н0 = г$, а согласно формуле (3) § 15.02, Н = г2§. Так как в момент /0 значение 0 одно
20 V- Смарт
306
Глава 15. Влияние сопротивления среды
и то же для обеих орбит и г — г0, то мы имеем Но = Н (0о), или, принимая во внимание уравнение (4) § 15.02,
HQ — h — с0о.
Поэтому до малых величин порядка с из формулы (4) и формулы (7) § 15.02 имеем
„-,(1-^).	(6)
С другой стороны, согласно формуле (5) § 15.02, -^г = — -С?
и аналогично для оскулирующего эллипса -^ =— следовательно, поскольку в момент /0 г0 = г и Н = Н0, то
du	nn
= когда 0 = 0о.
(7)
Из формулы (1), а также из формулы (6) § 15.02 тогда получим
J-[eosin(0o — й0)] =±LSin(0o-«>)-4L	(8)
При помощи равенства (6) формулы (5) и (8), с точностью до малых величин порядка с, принимают вид
e0cos(00 — й0) = е cos (0о — й)р —(9)
eosin(Oo-fio) = esin(0o-fi)[l	(10)
Умножив равенство (9) на cos(00 — й), а равенство (10) на sin (0О — й) и сложив результаты, мы получим
в0соз(й0 — й) = е[1 — 2^<L]_^-sin(0o —й).	(11)
Умножим равенство (9) на sin(0o— й), а равенство (10) на cos(0o — й) и вычтем; тогда найдем
2с
е0 sin (й0 — й) = — cos (0о — й).	(12)
Пусть ео = с-|-Дос, йо = й-|-Дой. Тогда с точностью до малых величин порядка с формулы (11) и (12) примут вид
дое = -2^>-£sin(0o-fi)	(13)
и
в . Дой =--cos(60— ffi).	(14)
§ 15.04. Изменения элементов а и п	3ffl
Пусть в некоторый последующий момент времени, когда 0 возрастет от 0о до 0v новые оскулнрующие элементы будут е1 и йр или е-}- Д1е 11 * + Ai«o. Тогда, согласно формулам (13) и (14), получим
.	2сгв| 2с	-ч
Д1в =------— у sin (01 — ш)
и
2с е • Д,й = -д- cos (9j — й).
Если ое и 8й означают приращения оскулирующих элементов при возрастании 0 от 0о до 0Р то, так как Be =	— kje, мы будем
иметь
Р/*л	2/*
Ъе == - (Oj - 0о) - % [sin (0j - й) - sin (0о - й)1	(15)
и аналогично
е 8й = [cos (0! — й) — cos(0o — й)].	(16)
Формула (15) показывает, что изменение эксцентриситета состоит из векового и периодических членов и что за один оборот планеты, т. е. когда 0, — 0о = 2-ге, эксцентриситет уменьшается на bitce/h. Эффект сопротивления среды, таким образом, приводит к непрерывному уменьшению эксцентриситетов оскулирующих эллипсов с каждым обращением планеты.
Согласно формуле (16), изменение элемента й является периодическим и принимает нулевое значение после каждого обращения планеты.
§ 15.04	. Изменения элементов а и п
Для исследования характера изменений большой полуоси оскули-рующего эллипса воспользуемся формулами (2) и (6) предыдущего параграфа:
где р (=Л2/|1) — постоянная. Положим /> = а(1 — е2), где а—постоянная. Тогда если ао = а-|-Доа, то до малых порядка с мы найдем, что
(1 — е*) До« = 2аеД0е —	(1 — в2),
откуда
Доа 2св0 / 14- ег \ 4св ,	..
=-------Г	sin (0о - «).
20*
308
Глава 15. Влияние сопротивления среды
Аналогичную формулу мы имеем и для Д^. Поэтому изменение большой полуоси за один оборот будет даваться формулой
»	* а	4пса /14- ё1 \
8а = Д1а-Доа =------_
Следовательно, большая полуось оскулирующего эллипса уменьшается с каждым обращением планеты.
Так как |i = n2a®, то вариация Вп среднего углового движения будет определяться формулой Вп = — гДе а и п — постоянные. Следовательно, среднее угловое движение за каждый период обращения планеты увеличивается на
6wic (1 + ег \ А \1 — е*)'
§ 15.05	. Общие уравнения для а и т. д.
В этом параграфе мы будем предполагать, что сила сопротивления дается общим выражением (1) § 15.01. Обозначим радиальную и трансверсальную составляющие силы сопротивления соответственно через S' и Т'. Тогда
Г==-/?4-	(1)
В § 14.04 мы получили формулы, выражающие а, е, ... через составляющие S, Т и W силы притяжения возмущающей планеты массы От]. Поскольку при S, Т и W содержится множитель Ошх, то очевидно, что мы можем использовать общие уравнения § 14.04, заменяя OmxS и ОтхТ на S' и Т' и полагая W = I = 0.
Интересующие нас уравнения запишутся следующим образом (мы заменим Ь2 на ар и V 1 — е2 на cos<p, где sin<p = e):
а =—— [S'esln/ + —Т'],	(2)
ncos^L J г J	47
e = ^[S'sin/ + 74c°s£+cos/)].	(3)
e® = -E^[-S'c°s/+7’'(1 +7)^/],	(4)
• = T+S7<4-^r5'.	(S)
Уравнение эллипса имеет вид = 1-j-г cos/,	(6)
§ 15.06. Изменения элементов орбиты при R = cw?
309
где
Ь2
р — — = а (1 — ei) = a cos2 <р.
Кроме того,
г20 = г2/ = Л,
где A2 = |ip = n2a4cos2<p.
Из формулы (6) имеем
рг = r2esin / • /,
откуда ’ eh , , r = — sin/.
Таким образом,
v2=r2H-r202 = -^-(l+2ecos/4-е2) или
v =	(7)
где
U2 = 1 + 2е cos / -]- е2.	(8)
Используя равенства (1) и только что найденные формулы для г и т. д., уравнения (2) — (5) можно привести к виду А_______________________2 . R TJ2
а ~	1 — ег, v и ’
е = — 2 ~ (е 4-cos/), е& =— 2 —sin /, v J
£ — — 2 — е sin / ( . , *---— cos .
v J \ 1 -f- cos ?	р
§ 15.06. Изменения элементов орбиты при R=ctf,t—V
Предположим, что R дается формулой R = со«г-₽.
Тогда, например, а 2с _ . ЯгИ|
Далее,
(9) (Ю) (И)
(12)
(1)
310
Глава 15. Влияние сопротивления среды
Поэтому
da 2acU2 { df~	\ — ег	Л ]'
Выражение, стоящее внутри скобок, как легко видеть, равно
КСГ-’И-2, где> Как и раньше,
t/2 = 1-|-2е cos /е2«	(2)
Я = Лв"У"в-₽,	(3)
V = 1 + е cos /.	(4)
Уравнения (9) — (12) предыдущего параграфа теперь принимают вид
= — Т=7» Уа-1У3-2. U2,	(5)
= — ZcKlf-'V9"2 (е + cos /).	(6)
е^у-== —2cAtf“V?~2sin/,	(7)
-=_«у-и-!(тт±5?-^’).51л/,	(8)
Далее, Ц*~}У9~2 является четной функцией, которую можно представить рядом Фурье
Яд 4- Л1 cos / -|- Л2 cos 2/	...,
где
4> = | f U'-'V^df,	(9)
о
(10) о
и т. д. Поэтому, согласно уравнению (5), находим
77=----стКА+Асо8/4-л2со82/4- ...)х
Х(1+2ecos/ + e2)]==
^-S^+Cicos/+C2cos2/+ •••!• где
С == Ло (1	е2) 4- еЛР
§ 15.06. Изменения элементов орбиты при R — cv*r~9
311
Очевидно, что мы можем записать С в виде
C = ±f U^V?-2df. о
(П)
Если U и V — величины положительные для всех значений ей/, то С положительно при любых значениях а и р. То же самое справедливо для Ад. Истинная аномалия / выражается через среднюю аномалию М посредством уравнения центра:
/ = Л4 + (2е —|e3)sinAf+ ... .
Поэтому
df — ndt[1 4-п. ч.].
Следовательно, если Да означает изменение элемента а за промежу-
ток времени t, то
да = _«.С/ + п.ч.
(12)
Так как С положительно для всех значений а и р, то большая полуось уменьшается, если R определяется формулой (1).
Аналогично из уравнения (6) находим
^- = -2^[A)+Acos/+ ...] [e-|-cos/l =
= — 2^[D4-Djcos/+ ...], где
D = eA0+4 Лр	(13)
Отсюда
Де = — ЧспК-Dt^-n. ч.	(14)
Исследуем теперь знак величины D. Проинтегрировав (10) по частям, получим
Т A = [(/e-V-2sin/]0’+
+ е J*	— l)V+(p — 2) (72]sin2/d/.
о
Проинтегрированная часть равна нулю, а интеграл положителен при любых ей/, если а^>1 и Р^-2. Так как Ло положительно, то и величина О, определяемая формулой (13), также положительна. Следовательно, если аир подчиняются указанным выше ограничениям, то эксцентриситет уменьшается.
Из уравнений (7) и (8) следует, что Дй и Де являются чисто периодическими.
312
Глава 15. Влияние сопротивления среды
§ 15.07	. Случай малого эксцентриситета
Мы будем считать, что, как это и имеет место в случае большинства планетных орбит, эксцентриситет е настолько мал, что величиной е2 можно пренебречь. Тогда
U2 = 1 + 2е cos /, (/’"’ = 1-|-(а — l)ecos/, /?-2=1+(р — 2) в cos /.
Поэтому
*4) = Ju +(« + ₽ — 3)ecos/]d/ о
и
= 2 J* [1 -|-(а-|- р — 3) е cos /] cos/ df, о
откуда
Ло —-1	и Л1 = (а + р — 3) в.
Поэтому до малых порядка е С=1 и, согласно формуле (13) § 16.06, О = 1/г(а + ₽ — 0 е- Следовательно, Де отрицательно, если а-4'Р>1. Последнее условие является значительно менее жестким ограничением, чем в общем случае, рассмотренном в предыдущем параграфе.
§ 15.08. Гипотеза Эике
Энке предположил, что R. = c&lr2 или, в наших обозначениях, что а = 2 и р = 2. Это предположение находится в согласии с ограничениями, касающимися величин аир, найденными в § 15.06.
Из формулы (11) § 15.06 имеем
vC=f U3df, о
или, согласно равенству (7) § 15.05,
*c=gf<W. о
Перейдем к эксцентрической аномалии Е как к переменной интегрирования. Тогда
d/ = 4 dE = А • А •	== -A-I 1 + ecos£ ) dE.
£ гг а п па* \ 1 — «2соз2£/
§ 15.08. Гипотеза Энке
313
Кроме того,
и2д2 (1 + cos £)2 1 — е1 cos2 Е
Поэтому
с (1 -|- г cos £)4
J (1 —02cos2£)J/s
dE.
Если раскрыть в числителе подынтегрального выражения скобки, то легко видеть, что нечетные степени cosE при интегрировании дадут нуль. Положим £ = у — 0 и
X2 — 1 —e2cos2£ = 1 —e2sin20. Тогда л/2 кС С 1 + бе2 sin2 6 + е* sin4 fl jn 2~(Г—г2)2 = j -------------------xF-------(1)
o
Числитель подынтегрального выражения равен [1 _|_ 6 (1 — X2) 4- (1 — Д2)2]; поэтому если обозначить сам интеграл через /, то получится л/2
/==J (xs *r+x-)d0,	(2)
о
Пусть ~ d / sin fl cos 9 \	,
“ *=A
так что Д’2 =1—a sin2 О и X-^- —— a sin 0 cos 0. Тогда ~	1 — 2 Sin2 fl . a(r — 1)	,0 ,Q
Z==~x^1-------6cos 9
и, следовательно,
= a-2^1--X2)+ LzlJ. [a(1 _ ^2) _(1 _ ^2)2j =
(a-l)(r-l) _ (a-2)(r-2) _ (Г-3) Xr+1	Xr-1	xr-3 ♦
Проинтегрируем это выражение в пределах от 0 до к/2. Тогда, л/2	я/2
обозначая J* dh]Xr через 1Т и учитывая, что J* Z </0 = 0, получаем о	о
(г _ 1) (1 _ в2) /г+1 - (Г - 2) (2 - с2) -ИГ - 3) /г_3 = 0.
314
Глава 15. Влияние сопротивления среды
Если г — 2, то
(I—e2)lz — I_-l=E(e), где те/2
E(e) = f (1— е281п20),Л tfO. о
Если г = 4, то
3(1-е2)/5_2(2-е2)/з + /1 = 0,
Откуда, учитывая предыдущую формулу, получаем ,	2 (2 — е2)	.	1	р, .
4—3 (1 _ 02)2 Е (*)	3 (1 _ 02) Е («)•
где
Р(е)= [ 7—d0 4 7 J fl — 02Sin’O’
причем Е и F— полные эллиптические интегралы.
Согласно формулам (1) — (4), С определяется формулой
3itC = 16 (1 + е2) Е (е) — 2 (1 — е*) (5 + Зе2) F (е).
Аналогично
•kD = JU(е + cos f)df = (1 -e2)2 /++££<^21^.
= 2(1 -e^f	=
= 4 (1-e2)2 [4/5-5/3 + 41 =
= £ [(1 + 7 a2) E (e) - (1 - e2) (1 + 3e2) F (e)[.
(4)
(5)
(6)
dE ~
§ 15.09. Применение к комете Энке
Принимая е = 0,85, что приближенно соответствует эксцентриситету орбиты кометы Энке, Тнссеран ’) нашел, что (в наших обозначениях) C/2D = 0,97 и, далее, что если аир — целые числа, ббльшие 1 и 2 соответственно, то отношение С: 2D численно почти не изменяется.
') Atecanique Celeste, IV, 1896, р. 223.
§ 15.09. Применение к комете Энке
315
Если в формулах (12) и (14) § 15.06 рассматривать лишь веко* * вые члены, то
1	Да _ 1 с a he 1 —е* D ’ Кроме того,
2	=
п	а
и так как sin<p = e, то Де — cos ? Д<р. Поэтому мы получаем
Дл 3 С .	...
— =-CT-2DC0S<?^-	С»
Согласно Астену ’). наблюдения кометы Энке в промежутке с 1819 по 1865 г. показали, что за один оборот
Дге = 0", 1044, Д<р —— 3",68.
Так как п =1070", <р = 57°49', то формула (1) дает
^• = 0,97.	(2)
Кроме того,
-^- = 9,7 • 10~5, Де = —9,4 • 10-6.	(3)
Хотя результат (2) согласуется с теоретическим значением, когда И = с^1г2, близость этих результатов к результатам, полученным для аир, ббльших 2, не позволяет сделать никакого заключения о законе сопротивления.
Позднейшие наблюдения кометы показали, что среднее значение Дге/ге для промежутка времени с 1865 по 1901 г. практически совпадает со средним значением для промежутка с 1901 по 1934 г. Это значение, равное 4,2- 10~5, существенно меньше половины того, что дает формула (3). Величина Д<? для каждого из двух последних интервалов равна —1",6, а соответствующее значение Де равно —4 • 10-в. Единственно известными оболочками, окружающими Солнце, как упоминалось в § 15.01, являются солнечная корона и вещество, связанное с зодиакальным светом. Несколько десятилетий тому назад Джеффрис 2) сделал оценку плотности этих оболочек в связи с возможным объяснением части движения перигелия Меркурия, не вытекающей из гравитационной теории, но, как мы покажем в § 15.11, объяснимой теорией относительности. Плотность первой оболочки оказалась равной приблизительно
3 • 10-12г-5 г/см3,
*) См. Tisserand, M6canique Celeste, IV, 1896, р. 226.
*) Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 80, 138 (1919).
316
Глава 15. Влияние сопротивления среды
где г — гелиоцентрическое расстояние, выраженное в солнечных радиусах, а средняя плотность второй оболочки приближенно равна
1,5 • 10“18 г/см3.
Гелиоцентрическое расстояние кометы Энке в перигелии легко найти по известном}’ периоду обращения, равному приблизительно 3'/4 года, и уже указанному значению эксцентриситета. Это расстояние равно */з астрономической единицы, т. е. около 50-106 кл, что значительно превышает размеры короны. Незначительная плотность второй, более протяженной оболочки дает возможность предположить, что если бы даже комета прошла через эту среду, то эффект ее сопротивления оказался бы слишком мал и его нельзя было бы обнаружить.
Хотя изменения п и е, несомненно, реальны (изменение п можно интерпретировать в том смысле, что выражение для средней долготы содержит член вида <з£2), гипотеза о сопротивлении среды, введенная для объяснения наблюдаемых явлений, связанных с кометой Энке, по-видимому, должна быть отвергнута. Это заключение значительно укрепилось в последние годы благодаря исследованиям других комет, для некоторых из которых найдено, что Дп/п отрицательно, а Де положительно, т. е. знаки этих величин противоположны знакам, найденным для кометы Энке и для одной или двух других комет.
В следующем параграфе мы кратко опишем более новые исследования, которые дают возможность объяснить различные характеристики среднего движения комет.
§ 15.10.	Кометная модель Уиппла
В предыдущих параграфах мы молчаливо предполагали, что комета является материальной точкой и что ее масса постоянна. Но это далеко не так. Существование у кометы протяженного хвоста является почти убедительным доказательством того, что вещество кометы рассеивается в пространстве. Следовательно, при решении динамических задач необходимо принимать во внимание непрерывное уменьшение массы кометы, особенно когда она находится в зоне эффективного действия солнечтой радиации. В своем исследовании ’) Уиппл исходит из концепции, что ядра комет состоят из свободного скопления метеоритного вещества и смеси таких веществ, как вода, двуокись углерода, аммиак и т. д., находящихся в твердом состоянии, которые обнаруживаются спектроскопически в составе комет. Эту смесь он называет вообще „льдом". Когда комета проходит через перигелий, то под действием солнечной радиации „лед" будет испа
') Astrophys J., Ill, 375 (1950).
§ 15.11. Вековое движение перигелия Меркурия
317
ряться и его молекулы рассеются в пространстве, поскольку кинетические скорости, соответствующие возникающим при этом температурам, будут превосходить скорости ухода из слабого гравитационного поля ядра, которые практически пренебрежимо малы. Общий эффект, вызываемый этим явлением, заключается в возникновении реактивной силы, действующей на ядро. Эта теория обладает двумя характерными особенностями: предполагается, во-первых, что ядра комет медленно вращаются и, во-вторых, что теплопередача через внешние слои к „льдам" происходит за конечные промежутки времени. Общее направление реактивной силы будет тогда зависеть от направления вращения ядер. Обратному вращению соответствует ускорение среднего движения, как у кометы Энке, а прямому вращению — замедление среднего движения, наблюдаемое у других комет
§ 15.11.	Вековое движение перигелия Меркурия
Замечательное противоречие между наблюдениями и результатами теории движения планет, основанной на законе притяжения Ньютона, имеет место в движении перигелия Меркурия. Решение уравнений движения планет дает вековое возмущение в й приблизительно на 43" в столетие, меньшее, чем та же величина, выведенная из наблюдений. Многие попытки, основанные на разного рода гипотезах, включая и предположение о сопротивлении среды, оказались не в состоянии объяснить это противоречие, когда они сопоставлялись с данными наблюдений, относящимися к вводимым частным предположениям. Причина этого расхождения была выяснена (в пределах ошибок наблюдений) на основе теории относительности. Метод исследования этого вопроса аналогичен тому, который был использован в § 15.03.
Принимая обозначения в § 15.02, дифференциальное уравнение орбиты планеты, обращающейся вокруг Солнца, в теории относительности можно записать в виде J)
-^ + « = ^- + «//2,	(1)
где
а = ^.	(2)
причем с — скорость света, а — малая величина, квадратом и более высокими степенями которой можно пренебречь.
В первом приближении, полагая в уравнении (1) а = 0, решение получаем в виде
« = -^[14-в cos (6 — &)],	(3)
где е и й — постоянные и p = h2l\>..
•) Eddington, The Mathematical Theory of Relativity, 1923, p. 88.
318
Глава 15. Влияние сопротивления среды
Подставляя это выражение для и в член аи2 уравнения (1), мы будем иметь
5 + « = | + -5- +^-cos (0-*)+ ± cos 2(9 -й), (4) <*V	Г	Г	Г	г
где
+ И “2=2-^-
Если решение уравнения (4) обозначить через «-{-Ди, где « дается формулой (3), то
(Де)+Д« =	cos (9 - й) + cos 2 (9 - й).
Наша задача сейчас заключается в том, чтобы найти частное решение этого уравнения. Это решение легко находится с помощью элементарных методов и имеет вид
Да =—-|--^-9sin(0—й) —— cos 2(9—й).
р 1 Р1 v '	3 р 4	'
Решение уравнения (1) с точностью до величины порядка а тогда запишется следующим образом:
и — ± ll-|-ecos(9—S)l + -jj- + ^-9sin(9—й)—^-^cos2(9—й). (5)
Пусть
«о = 4-[1 — «о cos (9 — й0)]	(6)
Ро
есть уравнение оскулирующего эллипса для эпохи, соответствующей 9==9О. Тогда, согласно § 15.03,
ио(0о) = и(0о)	(7)
и
Далее, р0 отличается от р на величину порядка а. Поэтому мы можем написать
f=>+*«.
где k — постоянная. Тогда, подставляя в равенство (7) выражения (6) и (5), мы получаем с точностью до малых порядка а
ей cos (90 — So) = М + е U + &*)cos (0о — “) +
+ -у 90sin(90 —й)—|-a2cos2(90 —й) ....	(9)
где kx— постоянная.
§ 15.11. Вековое движение перигелия Меркурия
319
Подставляя в равенство (8) выражения (6) и (5), аналогичным образом получаем
е0 sin (0о ~ “о) = « 0 + k2<z) sin (©о — ш) —
— у- 0О cos (0О — <в) — у а2 sin 2 (0о — й),	(10)
где k2 — еще одна постоянная.
Умножим равенство (9) на sin(0o — й), а равенство (10) — на cos(00 — й) и вычтем; получим
е0 sin (й0 — fi) = -^-0o4-a^Cz sin(0o — й),	(11)
где I — 1, 2, 3, a Ct — постоянные.
Умножим равенство (9) на cos(00 — й), а равенство (10) — на sin(0o — й) и сложим; получим
eQ cos (й0 — й) = а +	£ Dt cos i (й0 — й).	(12)
Положим
й0 — й = Дой, е0 — е = Дое.
Из формул (11) и (12) легко видеть, что Дой и Дое имеют порядок а и что Дое является чисто периодической величиной. С точностью до малых величин первого порядка относительно а (включительно) формулу (11) можно записать в виде
дой = 7ео+п- ч-	(13)
Если ег и й1 — оскулирующие элементы в последующую эпоху Ор то
д1й = 7 в1+п-ч-	(14)
Далее, если положить 0, = 0о -|— 2тс, то из формул (13) и (14) видно, что оскулирующий элемент й0 увеличивается на 2тга/р за один оборот. Если X означает коэффициент при вековом члене, происходящем от этого эффекта, выраженный в секундах дуги за столетие, то
.	2«а 100 „
X =------- cosec г,
Р Т
где Т — период обращения, выраженный в годах. Используя равенство (2) и полагая р = n2a3 = а3 и р ~	= а (1 — е2), послед-
нюю формулу можно записать в виде
,___ 2400л3а2cosec 1"
А— c2Z3(l —а2) *	(1&)
320
Глава 15. Влияние сопротивления среды
Так как
Если а планеты, чения с,
X
(16)
с ==299 776 «л/се« = 9,46 • 1012 км/год, то '	9,46-10’	, ,
Х = —150“ а- ^год‘
выражено в а. е. и Т — в годах, то, пренебрегая массой имеем а3 =74 Следовательно, подставляя численные зна-те и cosec 1", формулу (15) запишем в виде
3,841 (1— е2)аТ ’
Для Меркурия а = 0,3871, Т = 0,2408 и е = 0,2056. Поэтому X = 43",0 за столетие, что очень хорошо согласуется с расхождением между наблюдениями и теорией Ньютона.
Фактически теоретической величиной, которая сравнивается с наблюдениями, является не X, а еХ. Следующая таблица дает вычисленные значения еХ и X для четырех ближайших к Солнцу планет:
	Меркурий	Вейера	Земля	Марс
ек	8",82	0",06	0",06	0",12
X	43,03	8,63	3,84	1,34
Как уже упоминалось, релятивистский эффект подтверждается в случае Меркурия. Недавно аналогичное подтверждение получено в случае Земли, несмотря на то, что наблюдаемая величина е\ здесь составляет не более 0",06 в столетие. Так как наблюдаемый эффект увеличивается со временем, то можно предположить, что в свое время мы получим подтверждение, по крайней мере в случае Марса. Из формулы (16) видно, что для Юпитера и еще более удаленных планет вычисленные значения К достигают самое большее лишь несколько сотых секунд дуги, а величины е\ практически пренебрежимо малы.
Глава 16
ОТКРЫТИЕ НЕПТУНА
§ 16.01. Введение
Планета Уран была открыта Гершелем 13 марта 1781 г. во время одного из его систематических наблюдений неба. Другие планеты, более близкие к Солнцу, чем Уран, были известны со времен глубокой древности, и это открытие Гершеля положило начало плодотворной эре астрономических открытий, в которую он сам внес наиболее значительный вклад. Так как новая планета была немного слабее звезд, видимых невооруженным глазом, то этот факт побудил немецкого астронома Боде предположить, что в прошлом Уран ошибочно принимали за звезду, и поэтому его наблюдения могли бы быть зарегистрированы в каталогах тех времен. Когда элементы орбиты новой планеты были вычислены с достаточной точностью для определения ее положений на годы, предшествующие ее открытию, оказалось, что результаты исследования старых каталогов получились значительно более удачными, чем это можно было предполагать: Уран наблюдался не менее чем в 19 различных появлениях, причем самое раннее наблюдение было выполнено в 1690 г. Флемстидом, первым королевским астрономом.
В конце второго десятилетия XIX века французский астроном Бувар предпринял попытку вывести элементы орбиты новой планеты. Он уже имел в своем распоряжении большое число точных наблюдений планеты, охватывающих промежуток времени, прошедший после ее открытия — назовем эти наблюдения „новыми* — а также 19 более ранних наблюдений, которые назовем „старыми". Большинство из этих ранних наблюдений были, несомненно, менее точными, чем „новые" наблюдения, но они имели преимущество в том, что охватывали промежуток времени, больший, чем период обращения планеты, в то время как „новые" наблюдения были выполнены на промежутке времени, меньшем половины одного периода ее обращения. Бувар сразу же столкнулся с неожиданными трудностями. Когда он использовал для определения элементов только „новые" наблюдения, то нашел, что расхождения между вычисленными и наблюдаемыми положениями Урана в годы, предшествующие открытию, были настолько большими, что их нельзя было объяснить ошибками наблюдений. Далее, когда для вычисления элементов он использовал только „старые" наблюдения, то они дали серьезные расхождения
21 V, Смарт
322
Глава 16. Открытие Нептуна
между вычисленными и наблюденными положениями планеты для „новых11 рядов наблюдений, которые также невозможно было объяснить ошибками наблюдений. Не доверяя „старым” наблюдениям, Бувар положил в основу таблиц Урана, опубликованных в 1821 г., элементы орбиты, выведенные только из „новых” наблюдений. Этот прием, конечно, не разрешил тайпы, окружающей „старые” наблюдения, и когда вскоре после 1821 г. планета стала все более и более отклоняться от своих предсказанных положений (в 1846 г. отклонение в долготе достигло 2'), астрономы встали лицом к лицу с загадкой, на которую необходимо было дать ответ.
Тем временем, будучи еще студентом колледжа св. Джона в Кэм-бридже, Джон К. Адамс 3 июля 1841 г. закончил свой знаменитый мемуар, в котором он изложил свое мнение об исследовании особенностей движения Урана, основанное на гипотезе, что эти особенности вызваны возмущениями неизвестной еще планеты. В течение 1845 г. Адамс получил решение задачи (между 1843 и 1845 гг. он нашел шесть решений с очень высокой точностью), которое могло бы привести к немедленному открытию неизвестной планеты, если бы сразу были предприняты телескопические наблюдения. В 1845 г. начинающий молодой французский астроном У. Леверье совершенно независимо от Адамса предпринял аналогичное исследование. С помощью различных аналитических методов оба достигли цели в решении трудной задачи вычисления для некоторых выбранных моментов времени п сложений гипотетической планеты. Хотя нет никаких сомнений в том, чго Адамс получил свои выводы значительно раньше, чем Леверье (после ненужной задержки Чаллис начал трудоемкие поиски планеты на Кэмбриджской обсерватории в июле месяце, предшествовавшем открытию планеты), Леверье первым опубликовал свои результаты, и по его инициативе Галле предпринял поиски планеты на Берлинской обсерватории, которые немедленно увенчались успехом. Планета, позже названная Нептуном, была открыта 23 сентября 1846 г., и ее положение почти совпадало с положениями, предсказанными Адамсом и Леверье. История открытия Нептуна’) и последующая полемика является одним из наиболее значительных эпизодов в истории астрономии. Но когда словесная битва утихла, имя Адамса как конкурента Леверье в деле открытия Нептуна было совершенно забыто.
В этой главе мы изложим методы, использованные Адамсом и Леверье в их исследованиях. Сейчас будет удобно сделать некоторые замечания. Во-первых, в основе работы Адамса лежит исследование невязок в средней долготе Урана, в то время как в работе Леверье использованы невязки в истинной долготе. Во-вторых,
*) Для подробного ознакомления с этим вопросом см. „John Couch Adams and the Discovery of Neptune”, Occasional Notes of the Royal Astronomical Society, No. 11, August 1947.
§ 16.02. Ошибки в элементах Урана и истинная долгота 323
так как наклонности орбит планет, известных в то время, очень малы (так, для Урана, например, наклонность приближенно равна 3/4°), оба астронома предполагали, что и у гипотетической планеты наклонность также мала. Соответственно этому, пренебрегая наклонностями Урана и Нептуна, они допускали, что обе планеты движутся в плоскости эклиптики. Поэтому в качестве элементов орбиты Урана были приняты а, е, е и &, а в качестве искомых величин — аналогичные элементы вр ev Sj и орбиты неизвестной планеты с неизвестной массой /пг Кроме того, так как средние движения лил, даются формулами
1»3а3з&0(л1о-4-т). я2аз_. G(m0-|-m1),
в которых m и ml — величины, пренебрежимо малые по сравнению с массой Солнца т0, удобно рассматривать в качестве элементов величины п и пх вместо а и В третьих, оба астронома исходили из предположения, которое будет пояснено позже, что а/ах = */2, или п2 — 8п2.
§ 16.02. Влияние ошибок в элементах Урана на истинную долготу
Так как наблюдения Урана, из которых Бувар вывел элементы орбиты, были подвержены (чего он не знал) возмущениям от Нептуна, то числовые значения этих элементов, положенные им в основу таблиц, содержали ошибки. Обозначим поправки к этим элементам через Ап, Де, Де и Дй. Тогда истинные элементы будут n-f-Дп, е-|-Де, e-j-Де, й —|—Дй.
Пусть X означает истинную долготу Урана, f — истинную аномалию и М — среднюю аномалию. Мы имеем
Л1 = я/-{-е— й.	(1)
Кроме того, согласно формуле (11) § 3.10, уравнение центра с точностью до членов порядка е1 включительно записывается в виде
/—2H = 2esinAl -|-e2sin 2М.
Далее, X = / 4- й. Поэтому
X = n/-|-e-|-2esin./H-|--|-02sin 2Л1.	(2)
Если ДХ — поправка к долготе X, полученной по элементам Бувара, обусловленная Дп и т. д., то из равенства (2) найдем, что
ДХ = / Дп + Де -|- ^2е cos /И + е2 cos 2Л1 j Д2И -j-
4- (2 sin Л1 -f- - e sin 2Л1 j Де.
21*
324
Глава 16. Открытие Нептуна
Но, согласно формуле (1), ДМ = / ДдДе— ДЛ. Поэтому
ДХ = (/Дд-j-Де) (1	2с cos Мe2cos2M)-|-
+ Де ^2 sin М + е sin 2м) — е Дй ^2 cos Л1 -j- у е cos 2Л1).	(3)
Это последнее уравнение мы можем записать в виде
ДХ = otj Дп	а2 Де 4~ а3 Де + «4 А®-	(4)
где коэффициенты at......а4 могут быть легко вычислены для
каждого момента наблюдения.
Пусть Р] означает возмущение в истинной долготе, обусловленное действием Нептуна. Если Xq и Хс— соответственно наблюдаемая истинная долгота Урана и истинная долгота, вычисленная по элементам Бувара, то kg— Хе = ДХ4~Рр или, если обозначить
С1 ~	(5)
то
с1 = а1Дп4-а2Де4-а3Де4-а4Да>-^-Р1.	(6)
Выражение для Рх мы рассмотрим позже.
Уравнение (6) является условным уравнением, которое использовал Леверье. Заметим, что для каждого момента наблюдения приближенное значение известно.
§ 16.03. Влияние ошибок в элементах Урана на среднюю долготу
Обозначим среднюю долготу через I. Пусть 8/ означает приращение средней долготы, соответствующее приращению 8). истинной долготы. Тогда так как, согласно второму закону Кеплера,
r2f = h или nr2-^- = h,
J	al
Далее, отклонение истинной долготы, которое мы обозначили в § 16.02 через Ср известно. При отождествлении 8k с Адамс воспользовался соответствующими ошибками средней долготы в том виде, как они представлены формулой (1). Обозначим ошибку средней долготы через с. Тогда
С лг УТ^е* Су
причем г для каждого наблюдения должно вычисляться по элементам Бувара. Величина с, определяемая формулой (2), может считаться теперь известной.
§ 16.03. Ошибки в элементах Урана и средняя долгота
325
Далее, если Д/ означает эффект ошибок в элементах Урана, соответствующий ДХ, то, согласно формуле (1),
ЛХ’
Пренебрегая величиной е3 и более высокими степенями е, мы найдем, используя равенства г = а (1 — е cos Е) и cos Е — cos М — е sin2 М (или непосредственно из формулы (17) § 3.11), что коэффициент при ДХ в формуле (3) равен
1 -|- 2е2 — 2е cos М — у е2 cos 2М.	(4)
Из формул (3), (4) и равенства (3) § 16.02 мы после некоторых упрощений с точностью до малых величин рассматриваемого порядка получим
Д/ = t Дя -|- Де 4- 2а2 Дй 4-
4- Де ^2 sin М 4- у е sin М j — е Дй ^2 cos М 4- у е cos 2/Иj.	(5)
На этой стадии Адамс объединяет малую поправку 2е2Дй с Де. Положим е — й = р. Угол р известен. Кроме того, Л1 = я74-₽" Формула (5) теперь примет вид
Д/ = t Ьп 4- Де 4- cos nt (2 Де sin p — 2е Дй cos р) 4-
4- sin nt (2 Де cos р 4- 2е Дй sin Р) 4-
4- cos	е txe sin 2р — у е2 Дй cos 2р) 4~
4-sin 2»^ у е Де cos 2р 4-y«2A“Sin2p j.	(6)
Пусть
Дх, = 2 Де sin Р — 2еДйсозр,	(7)
Ду, = 2 Aecos р4~ 2е Дй sin р.	(8)
Тогда мы можем вместо Де и Дй рассматривать величины Дх, и Ду,. Из формул (7) и (8) мы сразу же получаем
Дх, cos р 4- Д)’1 sin р = 2 Де sin 2р — 2е Дй cos 2р.	(9)
Дх, sin р — Ду, cos Р = — 2 Де cos 2р — 2е Дй sin 2р.	(10)
Обозначим коэффициенты при cos2nf и sin 2z»£ в формуле (6) через Дх2 и Ду2 соответственно. Тогда, принимая во внимание формулы (9) и (10), будем иметь
Дх2 = -^-е(Дх, cos р 4-Ду, sin Р),	(11)
Ду2 = — je(Ax,sinp — Ду, cos Р)	(12)
326
Глава 16. Открытие Нептуна
или
Дх2 = 7,Дх, + т2Ду,,	(13)
ДУ2 = —72Д*1 + 71ДУр	(14)
где численные значения величин f, и f2 предполагаются известными. Формула (6) теперь может быть записана в виде
Д/ = / Дл -j- Де Дх, cos nt Ду, sinnZ-|-
-|-Ax2cos2nZ + Ay2sin2«/.	(15)
Если через Р обозначить возмущение средней долготы, обусловленное действием Нептуна, то условное уравнение, использованное Адамсом, запишется в виде
с = t tin + Де + Дх, cos nt -|- Ду, sin nt -J-
+ Дх2 cos 2nZ-j- Ay2sin2«Z-j-P.	(16)
При этом величина с является известной для каждого наблюдения Урана. Кроме того, для каждого наблюдения могут быть легко вычислены коэффициенты при Дл, Дх,, Дх2, Ду,, Ду2 в формуле (16).
§ 16.04. Возмущение средней долготы
Возмущающая функция R, для которой отыскиваются возмущения в элементах орбиты Урана, задается формулой
R = /п,В-|-/П1 SCcos 9,	(1)
где
О ss II -j~ Z,Z, —k<D —|— Д,<о,,	(2)
причем В и С — функции а, а,, е, ev a Z, Z,. k, Д,— положительные или отрицательные целые числа, включая и нуль. Кроме того,
Z = p + e,	Z,==p, + e,,
где
Так как при решении рассматриваемой задачи достаточно учитывать только возмущения первого порядка, то мы можем в формуле (2) вместо Z и Z, написать nt-|-е и	соответственно,
так что
9 = Z (nt -J- е) -|- Z, (/г,/	$.) -J- ДА k,й,.	(3)
§ 16.04. Возмущение средней долготы	327
Если через Д,/ обозначить возмущение первого порядка в средней долготе, то
ДjZ = Д,р -|- Ajg.	(4)
Согласно формуле (5) § 6.04,
3 3mt V //> • в р=—^ir=^-lZCsin()-
откуда при помощи выражения (3) находим
д 3mt V /С sin 6 = (5)
Кроме того, согласно формуле (16) § 6.03, Д^ определяется формулой
A1e = kZ-|~S^sin®«	(6)
Возмущение Р средней долготы будет равно сумме членов правых частей равенств (5) и (6). Далее, вековой член XZ в формуле (6) может быть объединен с членом /Ди в формуле (16) § 16.03. Поэтому мы можем рассматривать в качестве Р только периодическую часть возмущений, определяемую формулой
p = /n12^sin®«	(7)
В дальнейшем мы подробно рассмотрим отдельные члены равенства (7), которое было использовано Адамсом для составления условных уравнений.
Заметим, что коэффициенты Е являются функциями a, av е и ev Адамс и Леверье ограничились в этих коэффициентах только членами первой степени относительно е и et. Далее, а и at входят в коэффициенты Е так сложно, что если аг оставить неизвестным, то мы едва ли добьемся успеха при решении условных уравнений. Как указывалось в § 16.01, оба астронома воспользовались правилом Боде, которое с достаточной точностью представляет средние гелиоцентрические расстояния планет формулой 4 + 3 • 2я, где п = 0, 1, 2, .... 6 соответственно для Венеры, Земли, Марса, малых планет, Юпитера, Сатурна и Урана. Когда после его открытия Уран также удовлетворительно подтвердил это правило, то казалось разумным принять (по крайней мере в качестве рабочей гипотезы), что неизвестная планета также подчиняется этому правилу, если положить п — 7. В этом случае а/ах приближенно будет равно 1/2. В своих первых исследованиях Адамс и Леверье просто положили ах = 2а,
328
Глава 16. Открытие Нептуна
откуда с достаточной степенью точности следует, что
п1 = П'2~‘1г.	(8)
Поэтому множители при коэффициентах Е в формуле (7), которые зависят от а, аг (и е), могут быть полностью вычислены. Аналогично если воспользоваться равенством (8), то можно вычислить и коэффициент при t в выражении (3) для 0. Таким образом, неизвестными в выражении (7) для Р являются четыре величины: /яр ер
И Шр
§ 16.05	. Возмущение истинной долготы
Удобно здесь дать общую формулу для возмущения Рг истинной долготы, которую использовал Леверье при решении этой задачи и с которой мы встретимся в § 16.10. Согласно формуле (2) § 16.02, истинная долгота X определяется формулой
k = Z+2esin(Z —а)+|в2з1п2(1 —ш),
так как М = I — а. Поскольку Рх = Д^, то в обозначениях предыдущего параграфа мы получим
Р1 = Д1/[1 H-2ecos(Z —a)-|--|^CoS2(Z —а)]-1-
+ Д^ ^2 sin (Z — а) -|- у е sin 2 (Z — а)] —
— еД^ £ 2 cos (Z — а)	-у е cos 2 (Z — »)].
Далее, так как AjZ = P, то с помощью формулы (7) предыдущего параграфа имеем
= 2^ sin 9-
Согласно формулам (15) и (16) § 6.03, периодические части Д^ и Д,а равны выражениям вида
т^^Е' созЭ и OTj^^sinS
соответственно, а вековые члены включаются в /Дя, как это было сделано в предыдущем параграфе с вековым членом в Д^.
Поэтому Рх имеет вид

(1)
§ 16.06. Метод Адамса
329
где 01 = 9± J{1— ш), причем J — 0, 1, 2. Это выражение для Рх нужно теперь подставить в условное уравнение (6) § 16.02, использованное Леверье. Подробный вид уравнения (1) будет приведен нами позже в § 16.10.
§ 16.06. Метод Адамса
Мы перепишем условное уравнение Адамса (16) § 16.03 с = t Дя + Де + AXj cos nt -j- ДУ1 sin nt 4-
4- Длс2 cos 2nt + Ду2 sin 2nt 4- P,
где в общем виде Р определяется формулой (7) § 16.04. Адамс использовал следующие члены Р:
Р = mxux sin {nt — nxt + е — Sj) -|- тхи2 sin {2 {nt — nxt 4~ e — Sj)] 4~ 4~mxu3 sin [3 {nt -nxt-\-e — e,)] 4- тхих sin{nxt 4- — «>) 4~ 4- mxexii3 sin {nxt + Sj — d>x) 4- mxti6 sin {nt — 2nxt 4- e — 2&x -f- w) 4-4- mxexu7 sin {nt — 2nxt -|- e — 2ex + ®i)+ 4- mxu3 sin {2nt — 3nxt + 2e — 3e2 -|- &) -|_ 4- mxexti9 sin {2nt — 3nxt 4- 2s — Зех 4- «>,) 4-4~ sin {3nt	3nxt 4" 3e — 3e4 —• <5 4~	(1)
где ax, u2, ... — числовые коэффициенты (в секундах дуги), которые получены по числовым значениям а и е, найденным Буваром, и принятому значению а/ах.
В окончательном решении Адамс использовал несколько измененное значение ajax, именно 0,515, получающееся из его предварительного решения. Кроме того, ради удобства вычислений он в качестве тх принял величину, равную 5000 массам неизвестной планеты, а в качестве ех — величину, равную 20 эксцентриситетам неизвестной планеты (введя, конечно, необходимую численную компенсацию). Примечательно то, что и Леверье поступил аналогичным образом и относительно тх: он принял за тх величину, равную 10 000 массам неизвестной планеты.
Четыре неизвестные величины, относящиеся к Нептуну, которые явно фигурируют в выражении (1) для Р, суть: тх, ех, е4 и шг Мы можем записать Р следующим образом:
з
Р = 2 (А/cos 4“ Ah- sin /Oj) 4-
4- рх cos 02 4- р2 cos 03 4- р3 cos 04 4-4-71sin024-?2sin934-73sin94,	(2)
330
Глава 16. Открытие Нептуна
где
Oj = (п — «О t, 02 = nxt, 03 = (п — 2»j) t,
bi = {2n — Znx)t.	(3)
При этом все коэффициенты при t в формулах (3) являются известными величинами.
Пусть
0 = е — 8j, р = е— ш, Pi = e — <5j.	(4)
Тогда из сравнения выражений (1) и (2) имеем
Aj = mlui sin 9, A1 = m1«jcos9.
A2 = mjtf2sin20, A2 =/»j«2 cos 20.
Кроме того,
A3 = «1«3 sin 30 + sin (30 + {3 — Pj) =
= mj«3sin 30 + /»i«i«jo [sin (30 — Pj) cos p -j- cos (30 — Pj) sin p],
p3 = OTjtf8 sin (30 — P) + sin (30 — Pj)	(6)
и
q3 = /njK8 cos (39 — P) + »h*ia9 cos (3® — ?»)•	(7)
Поэтому, исключая Pj из выражения для h3 посредством формул (6) и (7), мы после некоторых упрощений Получим
h3 = «1 («з— И*ЦИ1<1) sin 39 + -^ (р3 cos р -Ь q3 sin р)
или
й3 = OTjVj sin 39 + v2p3+v3q3,	(8)
где коэффициенты Vj. v2, v3 имеют вполне определенные числовые значения, причем р определяется по элементам Бувара. Точно так же находим, что
k3 = wijtJj cos 39 — (t>3p3 — ад),
pt = OTjWj sin (0 — P) + w2 (p3 cos 29 — q3 sin 29), qx = — OTjWj cos (9 — P) —102 (p3 sin 29 + q3 cos 29), p2 = sin (29 — P) + z2 (p3 cos 9 —, q3 sin 9),	(9)
?2 — mizicos (2® — P) + z2 (Рз sin 9 -|- q3 cos 9),
где все величины v, w и z известны.
Таким образом, первоначальные неизвестные величины mv ev ер теперь заменены величинами шх, 0, р3, q3, так как, согласно формулам (5), А], А2, Ар А2 являются простыми функциями тх и 9, а А3, Pi’ Чу Р?> Ч2 формулами (8) и (9) связаны с mv 9, р3, q3.
§ 16.08. Решение условных уравнений
331
§ 16.07	. Условные уравнения
Условное уравнение, если заменить nt на 9', записывается в виде
с = Де —|— Дд-j cos 0'	Дх2 cos 20' +t Дя Ду1 sin О' -f-
-|- Ду2 sin 20' + Aj cos 0I	й2 cos 29г	Л3 cos 30г -|-
+ A] sin О, + k2 sin 20j + k3 sin 3Oj -|- p, cos 02 -|-
+ p2 cos 03 -I- p3 cos 04 + sin 02 Й- ?2 sin 03 + ?3 sin 04.	(1)
В качестве начального момента Адамс выбрал среднее противостояние Урана 1810 г., т. е. 1810,328. За единицу времени он взял промежуток, равный трем синодическим периодам обращения Урана, т. е. 3,0362 года. Это, конечно, требует перевода в эти единицы постоянной тяготения О, которая входит в различные числовые коэффициенты uv и2, ... возмущающей функции. Если а/а^ — 0,515, а п, пг выражены в новой единице времени, то найдено, что
9'=13°0'-6/, 91 = 8°12'.1Л 02 = 4°48'-5Л
03 = 3°23'-6/,	04 = 11’35' • It.
„Новые" наблюдения были разбиты на группы, дающие средние места для моментов времени 1810,328 ±/, где / = 0, 1, .... 10, а соответствующие значения величины с, определяемой формулой (1), выводятся из значений I, получаемых из таблиц Бувара. Адамс, таким образом, составил 21 условное уравнение, основанное на „новых" наблюдениях1), начиная с 1780 по 1840 г.
Что касается „старых" наблюдений, то они дают 9 условных уравнений.
§ 16.08. Решение условных уравнений
Заметим прежде всего, что в уравнении (1) § 16.07 величины Дх2 и Ду2 не являются независимыми неизвестными. Они связаны с величинами Дх, и Ду»! формулами (13) и (14) § 16.03
Дх2 = 71ДХ1 + 72 ДуР Ду2 = — Ъ Д*1 +11ДУ1-
где 71 и 72 — величины, числовые значения которых известны.
Адамс решает уравнения (1) § 16.07 для „новых" наблюдений следующим образом.
Каждое из 21 уравнения он умножает на коэффициент при Дх4 и складывает подобно тому, как это делается при составлении нормальных уравнений. Эту процедуру он повторяет для Де, Дя, Ду,;
*) Среднее наблюдение для противостояния 1780 г. выводилось по наблюдениям, которые были выполнены как до, так и после открытия Урана, и, строго говоря, является лишь отчасти „новым* наблюдением.
332
Глава 16. Открытие Нептуна
hy k^, h2, k2, fi3, k3; p2, q2, p3, q3, легко выводимые равенства:
используя при этом следующие
cos it =
, 21 c slnTS sinj g
о V j. i ч. И sin 10; —10 sin 11;
2 У t sin it —-----------j--------- ,
sin2 у 5
sin-^-(;—ij)	sln-ij-G + i])
2 У cos Kt cos т(/ =---j----------1-----Z-------,
sln-~(g —rj	slny(;-H)
sin^-(g —ij) sin-^- (; + >))
2 V sin It sin r,t =---j----------------=-------,
sln-1 (; — !]) sing-(S-H)
2 У cos2g/ = 21 + -"2!S , 1 sing
2 У sin2;/ =21 — -?2’5 , sin g
в которых суммирование распространяется на следующие значения /: —10. —9.......—1. О, 1. 2, ... 10.
Кроме того, суммы всех комбинаций вида 2 cos it sin \t и 2 * cos равны нулю.
При помощи этого приема 21 условное уравнение было приведено к 14 псевдонормальным уравнениям, составляющим две группы по 7 уравнений в каждой, причем уравнения первой группы имеют следующий вид:
з
С = at As -4- а2 Дх! + а3 Дх2 + S (Mr + сгМ (О
Г=1
а уравнения второй группы —
з
С' = а\Ьп+ а'2 Ду, + а’3Ду2 + 2 (Mr + МД (2)
Воспользовавшись некоторыми особенностями уравнений (1) и (2) и исключив из них Де, Ат), Дхр Дур Дх2, Ду2, Адамс пришел к двум уравнениям вида
0 = 2 (а д +	+ $гр,+₽ А)-	(3)
Рассмотрим теперь „старые” наблюдения, из которых, как уже указывалось, Адамс вывел 9 условных уравнений. Эти уравнения не
§ 16.09. Решение Адамса
333
обладают, конечно, такой систематичностью, как уравнения, выведенные из „новых* наблюдений. При помощи метода, в общих чертах аналогичного тому, который использовался при выводе уравнений типа (3), Адамс получил два уравнения вида
з
£=2ил+л;аг+ва+вх)- (4)
Двух уравнений (3) и двух уравнений (4), таким образом, вполне достаточно для того, чтобы определить 4 неизвестные величины mv О, и q3.
Затем при помощи первого из уравнений (3) Адамс исключил члены, стоящие в левых частях второго из уравнений (3) и двух уравнений (4), и получил таким образом группу из трех уравнений вида
з
о=2(сд+с;аг+оа+оХ).	(5)
Далее, согласно уравнениям (5), (8) и (9) § 16.06, йр Л2, Л3, йР й2, й3, Pv Pv 7i> Ч-i выражаются через тх, О, р3 и q3 (при этом предполагается, что известное численное значение р подставлено в эти уравнения). Если мы обозначим рл1тх и q3lmx соответственно через р и q, то увидим, что каждое из уравнений (5) приведется к виду
з
0 = 2 (я, sin rO -|- br cos г0) + 1
-|- ср -j- dq -|- е (р cos 0 — q sin 0) -|- f (р sin 9	q cos 0) -|-
+ g (p cos 20 — q sin 20) -j- l(p sin 20 q cos 20),	(6)
где все численные значения коэффициентов a, b, с, d, е, f, g и I известны.
§ 16.09. Решение Адамса
При помощи метода последовательных приближений Адамс решил три уравнения (6) и получил следующие результаты:
0==е —е. = —46°55', р =	= 138",92,
q = -—= — 109",83. m1
Для момента 1810,328 численное значение е равно 217° 35'.
Поэтому, используя значение 0, сразу же находим Sj = 264° 50'.
Средняя долгота lx (= nxt -j- Sj) может быть теперь найдена для любого противостояния, так как пх известно, поскольку было принято, что a/aj = 0,515. Далее, в наших обозначениях, 02 = nj# и,
334	Глава 16. Открытие Нептуна
согласно § 16.07, я1 = 4148',5. При /=12. т. е. после 36 синодических периодов, что соответствует противостоянию 1846,762, или 6 октября 1846 г., я/= 57'42', и, следовательно, средняя долгота 1Х неизвестной планеты, если исправить ее на 30' за прецессию, будет
^ = 323’2', 6 октября 1846 г.
Из уравнений (6) и (7) § 16.06, если подставить в них числовые значения «8 и и9, имеем
р = -g- = 33",93 sin (39 — Р) — 63",41 sin (39 — = 138",92.
q ss — - = 33",93 cos (39 — р) — 63",41q cos (30 — р) = — 108",83.
где ?! = £ — аР
Так как 0 и р известны, то, решая эти уравнения, получим
^ = 2,4123, р1 = 279°14'.
Отсюда находим, что для выбранной эпохи й1 = 298°41/, и после исправления за прецессию долгота перигелия неизвестной планеты па 6 октября 1946 г. будет равна
Й, = 299° 11'.
Вспоминая, что ех в 20 раз больше эксцентриситета неизвестной планеты, мы получим
<4 = 0,1206.
Масса неизвестной планеты, выраженная в долях солнечной массы, будет иметь следующее значение:
1
ОТ1= 6666 ‘
Сокращенные условные уравнения, выраженные через Ал, Де, Да, Да; /Пр ер et, <5Р теперь дают возможность найти первую группу этих величин.
Если значения всех неизвестных величин подставить в условные уравнения, то в каждом случае можно найти невязки между теорией Адамса (а/а1 = 0,515) и наблюдениями. Почти во всех случаях найденные невязки были очень малыми и сравнимыми по величине с возможными ошибками наблюдений. Самые поздние наблюдения, использованные Адамсом, относились к 1842 г. После того как его вычисления были закончены, оказалось, что эти невязки в 1843—1845 гг. значительно увеличились. Тогда Адамс, не повторяя всех вычислений. с учетом новых наблюдений, сделал заключение, что если а/ах = 0,574, то все отклонения практически исчезнут.
§ 16.10. Условные уравнения Леверье
335
§ 16.10. Условные уравнения Леверье
Члены возмущения Рх истинной долготы, использованные Леверье, выражаются формулой
Pi = тх 2 Л sin [Z (nt — nxt-\-e — ej)] 4-
4- mxe 2 Bt sin [(Z — 1) (nt -|- e) — lnxt — lex 4- й] 4-
+ miei 2 sin IG — 0 (nt + e) — lnxt — 1гх 4- wj, (1)
где /=1, 2, 3, а коэффициенты А, В и С являются функциями а и ах. Как указывалось ранее, Леверье, следуя правилу Боде, прежде всего предположил, что ах = 2а. Это дало возможность найти численные значения пх и коэффициентов А, В и С. Все члены в формуле (1) имеют ту же форму, которую использовал и Адамс, с той лишь разницей, что член с множителем «10, учтенный Адамсом, не был включен в уравнение (1) Леверье.
Если численные значения е, ш и е, найденные Буварам, а также численные значения а и ах подставить в формулу (1), то первые две суммы в этой формуле могут быть представлены в виде mxL где L выражается так:
L == 2 sin/e1 -2 Ei cos Zep	(2)
причем 1=1, 2, 3, а численные значения коэффициентов D и Е известны.
Пусть
Л = ех sin йр k = ех cos &х.	(3)
Тогда третья сумма в формуле (1) может быть записана в виде mxhH-\-mxkK,
где каждая из величин Н и К имеет вид (2), конечно с другими числовыми значениями коэффициентов D и Е. Мы можем теперь записать Рх в виде
Рх = mxhHmxkK mxL,	(4)
где Н, К и L — тригонометрические функции еР
Пусть <з означает разность	между наблюдаемой истинной
долготой и истинной долготой, вычисленной Буваром. Тогда условное уравнение Леверье можно записать следующим образом:
в = otj Дп 4- 02 Де 4- «з Де 4* я4	+tnxhH 4- mxkK 4" mi^, (5)
где первые четыре члена правой части, обусловленные ошибками Дя. Де, Де, Дй в элементах Бувара, содержатся в формуле (6) § 16.02.
Комбинируя „старые” и „новые* наблюдения в удобные группы (последние разделены интервалом в 7 лет), Леверье получил 18 уравнений
336
Глава 16. Открытие Нептуна
вида (5), в которые входило 8 неизвестных: Дя, Де, Да, Дй; тх, mxh, тпхК, ер причем £] входит лишь в величины Н, К и L.
Леверье сначала попытался решить эти уравнения следующим образом. Если каждое из уравнений (5) предполагается вполне точным в том смысле, что в Хо нет ошибок наблюдений и, следовательно, их нет ив а, то исключение первых семи неизвестных из любых восьми уравнений вида (5) даст трансцендентное (и очень сложное) уравнение относительно лишь одной неизвестной ег Это уравнение поэтому теоретически может быть решено относительно еР После того как численное значение Sj будет подставлено в семь из восьми уравнений, то вновь полученные уравнения дадут возможность найти численные значения Дя, Де, .... mxk. Однако он не смог получить удовлетворительного решения трансцендентного уравнения (вследствие существования не пренебрежимо малых случайных ошибок наблюдений , которое привело бы к положительному значению тх,
§ 16.11. Решение Леверье
1) Леверье пошел совершенно по другому пути, решив, что ошибки в истинной долготе, вычисленной по „старым" наблюдениям, должны быть учтены.
Он сначала выбрал 4 уравнения (5) § 16.10 для значительно удаленных друг от друга эпох: 1715, 1775, 1810 и 1845 гг. При этом он предположил: а) что ошибки в а для 1715 и 1775 гг. равнялись соответственно р и q и б) что ошибки для 1810 и 1845 гг. были равны пулю, поскольку последних наблюдений имеется очень большое число и они выполнены при помощи инструментов, обладающих высокой точностью. Обозначая правую часть уравнения (5) предыдущего параграфа через F, он получил следующие 4 уравнения:
Л==б1 + Р' ^ч — ^ч^Я'
^3 = «3>
где вр .... а4 — значения а для рассматриваемых эпох. Решая эти 4 уравнения относительно Дя, Де, Да и Дй, он нашел
Дц = /(/Ир mxh, mxk, р, q, гх)	(2)
и три аналогичных равенства для Де, Да и Дй. В этих равенствах функции / являются линейными относительно mv mxh, mxk и трансцендентными относительно еР
Затем Леверье из формул вида (2) подставил выражения для Дя, Де, Да и Дй в оставшиеся 14 условных уравнений, получив, таким образом, 14 уравнений, линейных относительно тх, mxh, mxk, р и q и трансцендентных относительно еР Из этих уравнений он сгруппировал вместе 4 для 1782, 1789, 1796 и 1801 гг. и объединил вместе
§ 16.11. Решение Леверье
337
другие 4 — для 1817, 1824, 1831 и 1838 гг., приведя таким образом 8 уравнений к двум уравнениям, каждое из которых линейно относительно тх, mtA, mxk, р и q. Решив эти два уравнения относительно mxh и mxk, он получил
m1h = Gxmx-\-G2p-\-G3q-\-*l,	(3)
m1fe = gi/n1 + g2p + g3? + x2,	(4)
где О и g — трансцендентные функции ер а хр х2— числовые постоянные, связанные с а.
Выражения (3) и (4) для mxh, mxk затем подставляются в 4 уравнения (2), что дает возможность получить выражения для Дп, Де, Д«, Дш, каждое из которых имеет вид правой части равенств (3) или (4). Когда все это выполнено, мы будем иметь 6 уравнений для Дп, Де, Де, Да и mxh, mxk вида (3) или (4).
До сих пор было использовано всего 12 условных уравнений: 8 уравнений в только что описанной процедуре и 4 уравнения представляют собой группу уравнений (1). Следовательно, остается еще 6 условных уравнений. Обозначим правую часть уравнения (5) § 16.10 через F, так что это условное уравнение может быть записано в виде
а = Л	(5)
Подставим в F выражения для Дп, Де, Де, Да и mxh, mxk. Тогда если через р обозначить разность F — а, то каждое уравнение приведется к виду
p = a + £/n1 + ep + <ty,	(6)
где Ь, с и d — трансцендентные функции еР
Из наблюдений, которые использовались при составлении уравнений (6), Леверье рассмотрел два „старых” наблюдения, относящихся к 1690 и 1747 гг., как критические, и для них значения а, Ь, с и d были найдены при следующих последовательных значениях ер 0°, 9. 18..... 35Г. Для того чтобы проиллюстрировать полученные ре-
зультаты, приведем разности р для е^-О и е1 = 252°:
«1	1690 г.	1747 г.
0° 252°	324" 4- 87"т, -|- 0".4р — 2".0<jr —8"-45"т, — 0",5р - 2",3?	—261"—16"»»! — Г.3р—1"6<7 —24"—3"mt — 0", 7 р — 1",3 q
Как указывалось ранее, Леверье в качестве единицы массы тх использовал 10-4 массы Солнца. Поэтому необходимо численно согласовать все члены в условных уравнениях. Можно предвидеть, что
22 У- Смарт
338
Глава 16. Открытие Нептуна
крайние границы возможного значения тх должны быть 0,1 и 10. В самом деле, тх вряд ли достигает 10, т. е. приближенно значения массы Юпитера (в этой шкале), так как тогда возмущающая планета была бы сравнительно ярким объектом, который почти наверное открыли бы ранее. Также невозможно, чтобы тх было меньше 0,1, ибо в этом случае эффект возмущений от нее в движении Урана был бы сравнительно незначительным.
Анализ наблюдений, выполненных около 1715 и 1775 гг., приводит к выводу: невозможно, чтобы р и q численно превышали 15" и 10" соответственно.
Рассмотрим теперь разность рх для 1690 г., когда е1 = 0. Величина pi будет наименьшей, если ошибки в р и q соответственно равны —15" и +10", и тогда
р1 = 298" + 87"/и1.
Аналогично, если р2 — разность для 1747 г. при е1 = 0, то наименьшее значение р2 будет при р =— 15", q = —10", и тогда
р2 = —225" —16"/»!.
Если бы в! действительно было равно нулю, то разности р! и р2 имели бы по величине тот же порядок, что и ошибки р и q. Но так как /»! положительно, то наименьшие абсолютные значения разностей для всех значений тх равны 298" и 225", что во много раз превосходит любые реально возможные ошибки наблюдений. Поэтому Леверье заключил, что Sj — 0 не является допустимым решением.
Идя этим путем, он вычислил pj и р2 для различных значений £] с интервалом в 9Э, и отсюда стало ясным, что фактическое значение е, должно находиться вблизи 252°. Например, если воспользоваться уже приведенными данными, положив е1 = 252’, р — —15" и q = —10", то
Р! = 22" — 45"тх,
что при любых разумных значениях разности, не превосходящей 22" (по завышенной оценке), будет давать положительное значение тх приемлемого порядка.
Аналогично при очень незначительном увеличении максимальных численных значений р и q по разности р2 можно получить, не выходя за пределы вероятного, положительное значение тх.
2) На последнем этапе исследования Леверье вводит поправки в величины ах и е, в виде
+!-+• •=2И’+ту?-
При помощи первого из этих равенств коэффициенты возмущений истинной долготы были разложены в ряды по степеням малой вели
§ 16.11. Решение Леверье
339
чины ’/si* а при помощи второго равенства синусы и косинусы от Ze, (Z=l, 2, 3) — в ряды по степеням малого угла Если пренебречь квадратами, произведениями величин J и и произведениями этих величин на Дя, Ле, .... mxk, mv то условные уравнения тогда будут линейными относительно неизвестных
Дя, Де, Де, Дй; mji, mxk, ти fl и
Поэтому для определения неизвестных величин из 18 условных уравнений можно применить метод наименьших квадратов. Фактически Леверье поступил более аккуратно, так как в условных уравнениях он принял во внимание квадраты и произведения величии fl и у.
Приведем теперь главные результаты Леверье: я, = 36,16 а. е., а, = 0,1076, от1=оЯю’ >ч = 326° 32' (1847,0).
Истинная долгота, предсказанная Леверье для того момента времени, когда в Берлине был открыт Нептун, отличалась на Г от истинной долготы, выведенной из наблюдений.
Как мы видели в § 16.09, численное значение средней долготы на 6 октября 1846 г., найденное Адамсом, равнялось 323° 2'. Зная среднее движение в промежутке от этой даты до 1947,0 и используя уравнение центра, можно вычислить истинную долготу для 1947,0. Было найдено, что
Х1 = 329°57/	(1847,0).
Истинная долгота Нептуна, выведенная по элементам орбиты, когда имелось в распоряжении достаточное число наблюдений, получилась равной
Xj = 327°34'	(1847,0).
Положения планеты, предсказанные Адамсом и Леверье, таким образом, очень мало отличались от наблюдаемого положения планеты *).
*) Для более полного ознакомления с результатами Адамса и Леверье и их связью с фактическими элементами орбиты Нептуна отсылаем читателя к работе автора настоящей книги .John Couch Adams and Discovery of Neptune*, Occasional Notes of the Royal Astronomical Society, No. 11, August 1947, и к статье Brown E. W., On a criterion for the prediction of an unknown planet, Mon. Not Roy. Astron. Soc., 92, 80 (1931).
22*
Глава 17
ТЕОРИЯ ЛУНЫ ПОНТЕКУЛАНА
§ 17.01. Уравнения движения
В этом параграфе мы выведем уравнения движения в том виде, в котором они были использованы Понтекуланом'), а в последующих параграфах мы опишем основные этапы их решения и рассмотрим некоторые наиболее известные неравенства, такие, как эвекция, вариация и т. д.
В прямоугольных координатах уравнения движения Луны имеют вид
" I цх _ dR •• ! Ю _ dR	_ dR
г® dx ’	” “г ;-з фу •	' г» dz ’
где R— возмущающая функция, обусловленная притяжением Солнца, и (1 = 0(54"^) рассматривается как известная величина, причем Е и М — массы Земли и Луны. Умножив эти уравнения на х, у, г и сложив, получим
S (~+и4)- 2 ж, у,«	X, у, X
Интегрируя, найдем
2T = x2 + ?4-? = 2^-^ + 2 f 1^-dt+K,	(1)
где (к — j — постоянная интегрирования, а через d'Rjdt обозначена производная от R по времени, входящему лишь посредством координат Луны.
Пусть v и 0 означают эклиптическую долготу и широту. Тогда
х = г cos v cos 0, y = rsint>cos0, z = rsin0, откуда
2T = r2 -f- г2®2 cos2 0 + г202.	(2)
*) ТЬёоПе Analytique du SysUme du Monde, IV, 1846.
§ 17j01. Уравнения движения
341
В координатах г, v и в уравнения Лагранжа имеют вид
/+£ = ™Чо5’0 + г0’+^^4{2Т-/’}+4^,	(3)
-A-(r2^ cos2 6) = -^-,	(4)
-^-(г26) = -^- —r^2sin6cos6,	(5)
так как С7 = (р/г) 4-Я. При помощи формул (1) и (2) мы запишем уравнение (3) в виде
<®>
Пусть s = tg0.	(7)
Тогда после интегрирования уравнение (4) примет вид
<8>
где Л—постоянная интегрирования. Правую часть равенства (8) можно разложить в периодический ряд, постоянную часть которого обозначим через п. Тогда
V— nZ-j-e-j-n. ч.,	(9)
где е — постоянная интегрирования.
Преобразуем теперь уравнение (5). Так как z = rsin0, то будем иметь
z = г sin 0	r2*0^—j,
z = (r - Г0'2) sin 0 -j-	± И).
Поэтому из уравнений (3) и (5) найдем, что
^=__jS1n04-—-sin0 4---------ft-.
Но dR/dti = (d/?/ds)sec2 6; следовательно, используя формулу (7), получаем
r*~VTT^ дг+ г	(10)
Последнее уравнение запишем в виде
d2 / rs \ и rs	з <М? , KPR dR
dt* ^Kl-|-s2/ r3 fl4-s« K14-S2	г ds‘ ( '
342
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
§ 17.02. Постоянные интегрирования
Решение выведенных нами в предыдущем параграфе трех уравнений движения — уравнений (6), (4) и (10) или (11), — каждое из которых второго порядка, должно содержать 6 постоянных интегрирования. При выводе уравнений (8) и (9) из уравнения (4) мы ввели две постоянные интегрирования: Л и е. Оставшиеся два уравнения дадут еще четыре постоянные: две из них мы обозначим через е и 7 = tgZ, а две другие — через й и 2. Но, кроме этого, в уравнении (1) § 17.01 были введены постоянные К и а. Обращаясь, далее, к уравнениям (8) и (9) § 17.01, легко замечаем, что постоянная п в последнем из них является функцией /г. Определим теперь а согласно формуле
= (1)
Следовательно, а есть функция h. Теперь мы имеем семь постоянных h, е, I, К, е, 2, й. Следовательно, должно существовать одно соотношение, связывающее некоторые из этих семи постоянных. Это соотношение может быть получено при помощи уравнения (3) § 17.01, которое, если ввести в него s и s== 0(1-f-s2), мы запишем следующим образом:
________— 115.
г*1" г3 1-Н2	(1-f-s2)2 г dr ‘	v ’
Если решение уравнений, определяющих г, v и $, выраженные через семь постоянных, подставить в уравнение (2), то оно даст требуемое соотношение.
Очевидно, что независимую постоянную h можно заменить постоянной а или, если потребуется, постоянной п.
Соотношение между я и Л в случае эллиптической орбиты может быть выведено весьма просто. Из уравнения (8) § 17.01 мы имеем
г2© cos2 0 = /г0,
где через Ло обозначена постоянная интегрирования в случае эллиптической орбиты. Пусть гх означает проекцию г на плоскость эклиптики. Тогда f| = rcosO и rlv = h0. Но ryv есть проекция У (1 — е2) на плоскость эклиптики. Поэтому
Ло = /|ха(1-е2)cosI =	•	(3)
V *Т7
Постоянную интегрирования Л, входящую в уравнение (8) § 17.01, удобно записать в виде
й = Л0(1-|-8Л).	(4)
§ 17.04. Движение перигея и узла
343
Тогда мы сможем рассматривать 8Л как независимую постоянную интегрирования вместо h, причем й0 будет выражаться формулой (3). Кроме того, постоянную К, входящую в уравнение (6) § 17.01, мы заменим выражением а2я2ой.
§ 17.03	. Сводка уравнений движения
Для удобства мы соберем вместе основные уравнения. Если р заменить на п2а3 и К — на а2я28й, то они запишутся в виде
7аг<л!)-2Т-'Л! = гТ7 + 2/тГ‘"+а’“!гА	<•>
(2)
d* / 2s \  я*д8 ' rs___________s__ dR . J^l -f-s2 dR
лЦКГ+s2/’1" г3 'КГр'КФ* dr r ds °
или
: ,	»_ »	« । ГТТ? ж (4)
r»	dr r ds
и. кроме того.
г , n*a* v2 s* __ 1 dR	-
Г "Г Г3 1 -f. S2 (1_|_S2)2 — Г Or’	W
В уравнении (2) постоянная интегрирования h имеет вид
А = Л0(1+8Л).	(6)
где Ло — постоянная, соответствующая эллиптическому движению. Она выражается формулой
Уравнение (1) удобно называть уравнением для радиуса-вектора, (2) — уравнением для долготы, а (3) или (4)—уравнениями для широты.
§ 17.04. Движение перигея и узла
Если рассматривать невозмущенную орбиту Луны, то долгота перигея & и долгота узла 2 будут, конечно, постоянными. Но наблюдения показывают, что в результате солнечных возмущений ш быстро возрастает, а 2 быстро уменьшается со временем. Таким образом, рассматривая ш и 2 как постоянные, мы можем записать
344
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
ш и 2 в момент t в виде
й==а0-|-(1 —с)п/,	2 = 20 + (1— g)nt,	(1)
где с и g — постоянные, которые нужно определить, а ш0 и 20—постоянные, равные ® и 2 при 1 = 0.
Функция
М = п/-|-е — ш примет теперь вид
=	— <50 — (1 —c)nt = cnt-\-e — ®0,
Таким образом, М есть средняя аномалия, измеряемая от движущегося перигея.
Аналогично
— nt+е — 2 — nt -|- г — 20 — (1 — g)nt — gnt + г — 20.
Из того, что мы сказали ранее, следует, что 1 — с положительно, al — g отрицательно. Перигей и узел будут описывать углы, равные 2к, за периоды времени 2it/(l — с)п и 2it/(g— 1)л. Эти периоды равны 9 и 18 годам соответственно.
Опуская индекс нуль в Ло и 20, положим
<f = cnt-\-e. — &,	(2)
7j = g/i/4-e —2.	(3)
В этих формулах й и 2 теперь рассматриваются как постоянные. Как мы увидим, они являются постоянными интегрирования, появляющимися при решении уравнений движения.
В следующих двух параграфах мы определим приближенные значения с и g.
§ 17.05. Среднее движение перигея
В этом параграфе мы получим приближенное решение уравнений § 17.03, пренебрегая малыми величинами s, 7, и а/аР Кроме того, пренебрегая еще величиной е2 в формуле (7) § 17.03, мы будем иметь Л0 = па2 и h = na2(l -|-8ft). Далее, в функции R, определяемой формулой (5) § 7.06, мы отбросим долготные члены и сохраним только основной член, так что получим
R = ^mW.	(1)
Здесь m = nl/n является величиной первого порядка малости.
Положим г = а-|-х, где а имеет тот же порядок, что и а, а х является периодической функцией. Мы предположим далее, что амплитуда х мала, и поэтому будем пренебрегать величинами х2, х3......
§ 17.05. Среднее движение перигея
345
Уравнение для радиус-вектора, т. е. уравнение (1) § 17.03, теперь примет вид
а х —	(1 —	-|- п2а2 = т2п2 (с2 -|- 2ах) -j- п2а2 8&,
так как, согласно (1),
Поскольку х — периодическая функция, то мы имеем
*4_"2[(v)3— 2/?i2jx = 0	(2)
и
а2 —^ = т2а2+а2Ы>.	(3)
Положим теперь а = а (1 — За), где За является малой величиной, квадратом которой мы будем пренебрегать. Тогда уравнение (2) может быть записано в виде
х-|-с2п2х = 0,	(4)
где
с2 =1-|-38а— 2т2.	(5)
Формула (3) теперь примет вид 8а-]-т2+8& = 0.	(6)
Решение уравнения (4) запишется следующим образом: х — Аа cos (ent -|-е — й),	(7)
где А и <5 — новые постоянные интегрирования. Рассмотрим теперь уравнение для долготы — уравнение (2)
§ 17.03,—в котором /? выражается формулой (1). Тогда
® = -^Р^(1---^) = л(1 + 28а + 8Л-^).
Согласно формуле (9) § 17.01, решение этого уравнения имеет вид v = nt -|- е -|- п. ч.
Следовательно, мы должны иметь
2оа —j— 8Л = 0	(8)
и А t» = /i/-f-e— 2 — sin (ent e — <й).	(9)
346
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Воспользуемся теперь уравнением (5) § 17.03. Достаточно в него подставить непериодические части г и v, и мы будем иметь
----я2 = Зя2 8а — i /я2я2.
а3	2
Поэтому ;8а — l/6m2. Из формулы (8) находим: 8Л = — Уз»»2, а из формулы (6) — Zb — — 7/6m2.
Далее, из равенства (5) имеем
откуда с точностью до малых величин порядка т? находим
с=1—|/и2.	(10)
Обозначая, по аналогии с формулой для радиус-вектора в невозмущенном движении, постоянную интегрирования А через —е, приближенные выражения для г и v можем записать в виде
г = а р — g’»»2 — е cos (cn-t + 8 — ®)] ’
v = nt + е -|-2е sin (ent -f-e — <й).
При этом мы пренебрегли величиной т2 в амплитуде периодического члена формулы (9).
Если г и v выразить через <р, определяемое равенством (2) § 17.04, то эти формулы примут вид
г —all —-4 т2— ecos«), \ Ь	(П)
v = n/4-e-|-2e sin ср.
§ 17.06. Среднее движение узла
Рассмотрим теперь уравнение (3) § 17.03 для широты. Мы будем пренебрегать величинами s3, е, ег и а/аР Из формулы (5) § 7.06 имеем ’)
dR	1 9 9	dR	3 9 2 2
дг	2	ds	2
Поэтому d2 . . . я2а3	, л
(rs) 4- —3~ rs — — m2n2rs.
') Долготный член в выражении R по-прежнему отбрасывается.— Прим. ред.
§ 17.(П. Модифицированные переменные	347
Так как е = 0, то г = а. Следовательно,
$4-л2(1 -j-SBa-j-m2)® —О и
$ = 'rsin(g/i/-|-e — 2),	(1)
где 7 и 2 — постоянные интегрирования и
g2 = 1 + 38а -|- ш2 = 1 4- у /п2,
или с точностью до малых порядка т2
g=l+|m2.	(2)
С точностью до малых первого порядка относительно 7 мы из формулы (1) находим, что
2 = af sin (gnt -|- е — 2), или
z = ay sin т].	(3)
§ 17.07	. Модифицированные переменные
В невозмущенном движении радиус-вектор г и долгота v даются формулами
-£-=1-|--^е2— ecosM—^e2cos2M	(1)
и
v = nt е 2е sin М + ё1 sin 2М — у2 sin 2rf, (2) где
Л4 = п/-|-е—<о, т)' = л/4-г — 2.
В эти формулы, предназначенные здесь лишь для иллюстрации, мы включили только члены второго порядка относительно е и 71).
Обозначим теперь через р/a правую часть (1), когда М заменено на <?. Тогда с точностью до членов второго порядка включительно имеем
~ = 1 + 4 *2 — е cos ? — в2 cos 2<р.	(3)
’) С точностью до членов третьего порядка выражение для г дается формулой (7) §7.06, а для о —формулой (11) § 7.06, причем в § 7.06 величина v обозначена через X. Заметим также, что в § 7.06 — это то же самое, что и в настоящем параграфе, т. е. nt 4-а — 2.
348
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Аналогично обозначим через vt) правую часть (2), когда М заменено на и — на т)^£Я/4"е— 2- Тогда с точностью до членов второго порядка включительно будем иметь
5	1
<w = n/ + e-|-2esin<p4--je2sin2<p —-j 72sin2i).	(4)
Члены третьего порядка в формулах (3) и (4) легко получаются из.формул (7) § 7.06 и (11) § 7.07.
Кроме того, в невозмущенном движении с точностью до членов второго порядка включительно имеем
s = 7 sin if 4~ «7 [sin (/И + if] 4- sin (М — if)].	(5)
Это не что иное, как формула (15) § 7.06, выраженная через rf. Определим в с помощью равенства
а = 7 sin 1)4- еу [sin (<р 4- т)) 4- sin (<р — ij)],	(6)
в котором 1) = £/1/4-8 — 2 и ? заменяет М.
Мы назовем р, ® и о модифицированными переменными.
Ради симметрии в уравнениях для гх и vl мы напишем вместо Alj тогда
^-=1 4-у г2 — «jcos^—|e2cos2<pr	(5)
v, = я/ 4- е, 4- 2е, sin Т14-1 е2 sin 2?1.	(6)
Здесь ^ = /1^4-81—«>1 и, конечно, 71 = 0.
В аргументах членов, содержащих <р и ц, учитываются вековые части движения перигея и узла. Следовательно, р, ® и в могут рассматриваться как приближения к г, v и s в возмущенном движении. Положим
г = р4-8г, v — 'w-\-Zv, s = a4~8s.	(7)
где 8г, 8© и 8s — по меньшей мере члены второго порядка. Теперь можно получить уравнения для переменных 8r, 8v и 8s.
Как мы увидим далее, в уравнения движения будет входить функция R', зависящая от модифицированных переменных. Она может быть названа модифицированной возмущающей функцией. Фактически R' — это функция R, когда в ней М заменено на <р и п/ 4“ 6 — 2 — на i) = gn/4“ 8 — 2- Вообще мы напишем
/?'==/?'(р> 'w< а)==/?'(<р, 7]).
Заметим, что, согласно равенствам (18) и (19) § 7.06, R' — также функция от Следовательно, /?' = /?'($, <f>, vj).
§ 17.08. Метод решения уравнений движения
349
§ 17.08. Метод решения уравнений движения
Сначала мы будем пренебрегать наклонностью орбиты Луны к плоскости эклиптики, т. е. будем считать, что 7 = $ = z = 0. Обозначая d)dt через D, запишем интересующие нас уравнения § 17.03 в виде
I D2 (Г2) —	-|- П2а2 e Q (Г( v) _|_ П2а2	(1)
Dv—^ = S(f.v).	(2)
|д2г_|_««------y2 = T(r,V),	(3)
где
Т _ 1 дя_	(4)
г дг ’
Здесь /?(г, v) =	R3. Из равенств (5) § 7.06 и (6) § 7.06 мы
в случае 7 = 0 получим
R2 = mW (tJ-)3[| + j cos 2 (v — »,)],	(5)
Яз =	(-^-) г3 (у;)4 [j cos (v - «0 + у cos 3 (v - ^)], (6)
причем R2— малая величина порядка m2, a R3— малая величина порядка /и4, так как мы предполагаем, что а/а1 имеет второй порядок малости относительно /я2.
На основании теоремы Эйлера мы можем написать следующие общие формулы:
r^ = 2R„ r^- = 3Ra.	(7)
Поэтому
г4г = 2/?2 + 3/?з’ 4^ = -7Г(3/?2+4/?з)-	<8)
Формулы (5) и (6) § 7.06 показывают, что в общем случае R есть функция от v — vv Это справедливо, в частности, для формул (5) и (6) настоящего параграфа. Следовательно,
dR __ dR dv dvi ’
Далее, как и в (17) § 7.06, имеем
v — ©j = $ 4- 2е sin М—2exsin ....
350
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Поэтому
dR	dR	dR d7R	d*R
dv	dv}	dl	* drdv	dr	и т' д‘ ( )
Рассмотрим теперь интеграл, который входит в выражение для Q в первой из формул (4). Имеем
dR — d'R.dR-.dR • dt ~ dt	dri
Поэтому, принимая во внимание формулы (8) и (9), получаем
4г = 4 <^ + *з) + (ЗЯ2+ 4/?з)	+-^4
и
Q = 4Я2 + 5/?3 + 2 J (3/?2 + 4/?3) ^-Л4-2 / ^-^dt.	(10)
Аналогично
S=s^f^dt’ Г = -^(2^ + 3/?з).	(11)
Для удобства мы запишем формулу (10) в виде
Q = 4/?2-J-5/?3Qo,	(12)
где через Qo обозначены два последних члена в этой формуле.
Теперь можно указать метод решения уравнений — это метод последовательных приближений. Мы проиллюстрируем этот метод на примере решения уравнения (1). Положим r = p-+-8r, ® = w + где р— модифицированный радиус-вектор и, как увидим позже, 8г— малая величина порядка т2.
Найдем прежде всего разложение Q. Запишем Q в следующем виде:
Q = Q(p, -«O + S^+M?,	(13)
где
8Л = (-у-)*''+(^-)8’-	<14>
•Н[(к)м+г(й)>*+$М	<15)
причем (дСудг) и т. д. означают, что после дифференцирования г и v заменены на р и w.
Согласно формуле (10), имеем
Q(p, w) = 4/?'+5/?; + 2 f (3/?;-Ь4/г')А^-|-2 f ^-v,dt, (16) где R'v R'z выражаются формулами (18) и (19) § 7.06, если в них положить 7 = 0, =	— 2 и заменить М на <р. Таким обра
§ 17.09. Уравнения, которым удовлетворяют р и ш (у = 0)	351
зом, Q' = Q(p, te») может быть найдено с любой требуемой степенью точности.
Рассмотрим теперь величину (dQ/dr), входящую в равенство (14). Из формулы (10) при помощи равенств (7) получаем
-^- = 7(8/г2+15/?з)+2 f 7(6Я2+12/?з).^4-
+ 2]‘1(2/г2+3/гз)©1Л.	(17)
Поэтому (дСЦдг) получается из равенства (17) путем замены R2 и /?3 на R'2, R'3. Аналогично
/Я?)	<^2 , - д*з .
\ dv / \ di / di ""I- ds
/• / dR2 dR3 \ й	<• d2R
+2Л3т+4тг)77Л+2/-гп-‘"-	<’«>
Таким образом, коэффициенты при or и 8® в формуле (14) могут быть найдены с любой требуемой степенью точности. Тем же самым путем мы получим разложение функции 82Q, определяемой равенством (15). Например, из равенства (17) имеем
(•^)=74(7 8«;+,w;)+
+2,2кэ4,и+гJH(w’+3R3i,‘'i'- (19)
Уравнение (1) тогда превратится в дифференциальное уравнение относительно 8г и будет иметь вид
|d2Kp+M2]—^7+«2«2=Q, + 3iQ+32Q+ ...
(20)
Первое приближение для 8г получается, если пренебречь величиной (8г)2. Более высокие приближения находятся обычными методами. Уравнения (2) и (3) преобразуются аналогичным образом.
§ 17.09. Уравнения, которым удовлетворяют р и w (у = 0)
Уравнение (20) § 17.08 и два других, получающихся из уравнений (2) и (3) того же параграфа, удобно преобразовать, если воспользоваться уравнениями, которым удовлетворяют р и w при 7 = 0. Ранее мы имели
7 = 1 — е cos <р у е2 (1 — cos 2<р) .... к
чю = nt + е -f- 2е sin ? -J- j е2 sin 2<р ....
352
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
где <? = ent 4-е — Пусть
w0 = cnt 4~ 6 4- 2е si n <р, так что
w = w04-n(l —c)t.
Пусть, далее, t = ct. Тогда
-^•=1—ecos(/it4-e—ш)4- ••••
®0 = /те 4-е 4-2е sin (/it 4“ е — ®) • • • •
Очевидно, что р и w0 соответствуют невозмущенному движению в плоскости эклиптики, причем время обозначено через т. Положим в уравнениях (1) — (3) § 17.08 /? = 0. Тогда р и w0 будут удовлетворять уравнениям
1	d2 . П2Д® .по Л
2	---------p + zA^O,
_____ Ао 1 d2? . я*д® ( dw0 \® q dt ~~ p® * p dt2 ’	p®	\ dt )	*
откуда
dt p8 p dt2 1 p8 p4
В этих уравнениях Ло = па2 — е2.
Так как каждое из выражений с2 — 1 и с — 1 является величиной порядка /я2, то предыдущие уравнения мы запишем следующим образом:
Поскольку (а/р) — 1 есть малая величина порядка е, то правая часть каждого из этих уравнений имеет порядок т2е.
§ 17.10. Уравнение для радиуса*вектора
Мы будем исходить из уравнения (1) § 17.08. Вместо того чтобы производить в нем разложения по степеням 8г, где 8г = г — р, для дальнейшего более удобно разлагать по степеням величины 8«, опре-
§ 17.10. Уравнение для радиуса-вектора
353
деляемой при помощи равенства
г р
легко найти, что
8г=—48и'+"&(8и)2~5 (8и)3 ••• •
(1)
из которого
Поэтому
1Г’ -1Ш2—ГН3
2 л2 — 2	\а)
Пусть Р определяется формулой
Тогда
(2)
2 д’ — 2 аг
и уравнение (1) § 17.08 принимает вид
1 D2(|У — я2 у + п,2 — D2 (8й) — п28и + Р" =	+ п2 оЬ,
где Р' = {d1ldt2')P. Воспользовавшись теперь уравнением (1) § 17.09, получим
D2 (8й) + я2 8й = я2 (с2 — 1)(-— 1) —	— пЧЪ. (3)
\ Р /	&
В этом уравнении Q и 8& являются малыми величинами порядка /я2, а первый член правой части имеет порядок т2е. Согласно равенству (2), коэффициент при 8я имеет порядок е. При получении первого приближения (с точностью до малых порядка /я3, так как предполагается, что порядок е совпадает с порядком т) мы должны рассмотреть только первый член выражения для Р в формуле (2).
При решении уравнения (3) методом Понтекулана предполагается, что 8« можно представить тригонометрическим рядом, аргументы членов которого зависят от <р и <рр а амплитудами являются неопределенные коэффициенты. Если такое общее выражение для 8я подставить в уравнения (3), то оно превратится в тождество, в результате чего мы получим последовательность уравнений, содержащих эти неопределенные коэффициенты и величины с и ЪЬ. Аналогичный метод применим и к решению уравнений (2) и (3) § 17.08. Таким образом, получается достаточное число уравнений для выражения неопределенных коэффициентов и постоянных с и 8Ь через /я, е и ev Прежде чем рассматривать этот метод в деталях, мы сделаем в следующем параграфе несколько замечаний о некоторых членах, которые появляются в правой части уравнения (3) за счет возмущающей функции.
23 У. Смарт
354
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
§ 17.11. О некоторых членах возмущающей функции
Типичный член правой части уравнения (3) § 17.10 может быть записан в виде
n2kt cos (а? +	s n2kt cos (pnt -f- q),	(1)
где а, р и 7—положительные или отрицательные целые числа, a kt— малые порядка т1 по сравнению с е, ег т, а/а^ Далее,
$ —(п— «1)^+ ... =п(1—....
<р = сл/+ ...	= «(1 — -|/и2+ ...р+ ....
<pi = nxt . • •	= mnt + ... .
Поэтому р в формуле (1) выразится формулой
р = а_|_р_ гл(а — 7) — -|р/и2.	(2)
Следовательно, уравнение (3) § 17.10 для Ъи можно записать в виде D2 (8«) + п2 8« = п2А + «2 2 cos (pnt -|- q).	(3)
При выводе этого уравнения мы для простоты отбросили Р. Следующий шаг состоит в получении частного решения уравнения (3). Имеем
5и = А + fzrp cos (pnt -I- q).
Случай 1. Если p имеет вид
P=1+«i'« + Pi»»2+ ••••	(4)
где «1=^=0, то ktl(\—р2) ~— kll2a.lm. Поэтому часть решения, соответствующая члену (1), в этом случае имеет порядок I — 1. Следовательно, чтобы получить 8« с точностью до малых порядка I, мы должны включить в правую часть уравнения (3) члены порядка I -|- 1.
Из формулы (2) следует, что р будет иметь вид (4), если а+р = 1, а — 7¥=0. Аргументами таких членов являются, в частности, 5, 2? — <р, 3? — 2<р, и вообще
S-H1 4~Ti)<Pp 2;— ?-Ь (2 -ь 71) <рР	3? — 2<? + (3-|-71) ..
где 7j=#0.
Аналогичные члены будут и в уравнении для долготы с той лишь разницей, что там <? заменено на у (-gnt-j-e — 2).
Случай 2. Если р имеет вид
р = 1 -1- р!/и2 + ....
§ 17.12. Вычисление Q (р, w)
355
то
*/ ~ *Z I — р» ~	2^тг •
Таким образом, в этом случае члену (1) будет соответствовать в решении член, имеющий порядок I — 2. Следовательно, если нам нужно получить Zu до порядка I включительно, то мы должны в правую часть включить некоторые члены порядка 1-\-2. В этом случае мы из формулы (2) должны иметь
а + Р = 1, а — 7 = 0, р=#0.
Аргументы таких членов имеют вид (1—р)5-|-₽ф + (1—?)?!• Типичными аргументами в данном случае являются <р, 2;—
3£ — 2<p-|-3<Pi, .... Аналогичные аргументы будут и в уравнении для долготы, причем роль <р будет играть tj.
§ 17.12. Вычисление Q(p, w)
В этом параграфе мы опустим в R параллактический член, т. е. Rz и просто положим = Согласно равенству (16) § 17.08,
Q' = Q(p, ») = 4Я; + 6/(1)
1) Так как
^7 = 1 - cos <?1 + у е? (1 - cos 2?1), = 1 + ех cos <pj -|- е* cos 2^ и
cpj = rtj = тп, то с точностью до малых порядка ej находим 21 = mnei (sin?, -j- sin 2<?х j. С достаточной для наших целей точностью далее получаем
/?2 = 4 т2п2а2 (1 -|- 3 cos 2$+3е1 cos <pj),	(2)
поэтому
т п а «Ч [sin sln(2«4-<p1) — — sin (2$ — <pi) -|- 3ej sin 2<pj 1.
23*
356
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Так как $ = —m)t-\- .... <pt = mn^ +	то второй член
в правой части формулы (1) с точностью до малых порядка /и2е2, т. е. /и4, равен
— у /И2П2Д2 j COS <?1 + tnCi £ COS (2$ + (ft) — cos (2; — <Pi)] + +1 e2 cos 2?11.	(3)
Отсюда видно, что интегрирование члена с sincft уменьшит его порядок на единицу. Поэтому этот член нужно включить в формулу (2).
2) Рассмотрим теперь второй интеграл в формуле (1). Так как
= V + si + Ч sin ?i + 4 *isin Ч-
то
v, = mn (1 4- 2^ cos Sj + 4 *1 cos 2<pJ.	(4)
Поскольку rjrx на один порядок выше, чем мы рассмотрим члены в Rz, порядок которых на единицу выше, чем в формуле (2).
Интересующие нас члены в Rz, которые зависят от ?, выражаются формулой
Rz = mW [4 cos 2; — 4 е cos № — ?) + 4 е cos “I" ?) 4"
+ ^- е, cos (2$ — <?i) — 4 et cos (2; + <ft) -|—у e2 cos (2$ — 2?)],	(5)
откуда сразу же находится dRz/d*. После умножения выражения для dRz/dl на выражение (4) и интегрирования найдем
Л р	dRi .	Г 3 cos 25	9	cos (25 — <?)
2 I -Д- v1 dt = 2m3n2a2 г е -н-Д----------------— +
J	д; 1	L 4 (1 — т)	2	2 — 2т — с ‘
I	3	cos (25 +?)	,	27,	cos (26 — ft)	, 3	„ cos (26 +у t) ,
"*	2 е	2 — 2т + с	i	4	н	2 — 2т — т	4	1 2 — 2т + т
Так как с » 1—31^т2, то знаменатель последнего члена является малой величиной порядка т. Именно поэтому мы и включили член, содержащий множитель е2. Правую часть предыдущей формулы можно записать с точностью до малых величин порядка т4 включительно. Тогда коэффициент первого члена в скобках, например, будет равен 3/4(1+ m)! коэффициент второго члена будет равен —9/2е и т. д.
§ 17.13. Решение уравнения для радиус-вектора
357
Записывая, как и раньше, Q = 4/?2 + Qo. где Qo— сумма двух последних членов в формуле (1), найдем
[о
у m (1 4-/и) cos 2; — 9/wecos (2; — <р)4-
+ me cos (2; 4- <?) — -у- e2 cos (2? — 2<f) —	cos <p, 4-
+ y- met cos (2; — <h) — у тег cos (2? 4-	(7)
Если сложить 4/?2 с последним выражением, то мы получим выражение для Q'.
§ 17.13. Решение уравнения для радиуса-вектора
Для того чтобы пояснить метод Понтекулана, мы сохраним в Q и Р" лишь те члены, которые имеют следующие аргументы: ср, 2;, 2; — ср и 2? — 2ср. Поэтому мы предположим, что (в обозначениях Понтекулана) выражается формулой
8« = aQ -f- а,е cos <? а2 cos 2; -f- а3е cos (2? — о) -j- a4e2 cos (2; — 2?),
(1) в которой а — величины, подлежащие определению1).
1)	Вычисление Q . Сохраняя лишь те члены в /?2 и Qo, которые выражаются соответственно формулами (18) § 7.06 и (7) § 17.12 и имеют указанные выше аргументы, найдем
Qj- = m2n2[l —2ecos<?4_3 (1 4"j m)cos2; — — 9е (1 -|- т) cos (2; — <р) 4- -у е2 cos (2- — 2<р) j.
2)	Вычисление Р". Согласно формуле (2) § 17.10, с рассматриваемой точностью имеем
Р = — yj3 — 1J 8а = (Зе cos © — Зе2) 8и.
Подставим сюда выражение (1) для 8а и после упрощений сохраним только члены с выбранными аргументами. Тогда найдем
Р" = — п2 ^За0е2е cos ср —|— 4 (1 — /и)2 (у а3 — За2) е2 cos 2; 4“
4-	(у а.2е - За3е3) (2 —2т — с)2 cos (2$ — ?) 4-
4-6(1 — т — с)2 а3е2 cos (2; — 2?) J.
') Понтекулан использовал равенство (1) с учетом 76 членов, зависящих от одной или более постоянных е, et и a/at.
358
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
3)	Вычисление п2(с2—1)(у—1)« Мы сохраним только член с аргументом <р. Тогда это выражение будет иметь вид
п2(с2— l)ccos <р.
4)	D2(8«). Из формулы (1) имеем
D2 (8«) = — п2 [а^е cos 4" 4 (1 — m)2 а2 cos 2- 4“
4- (2 — 2да — с)2 а3е cos (2; — <р) 4- 4 (1 — m — cfa^e2 cos (2; — 2<?)J.
Подставим теперь эти выражения в уравнение (3) § 17.10 для радиуса-вектора. Приравнивая затем коэффициенты различных членов с одинаковыми аргументами (включая и непериодические члены), мы получаем 5 уравнений, содержащих с, ЪЬ и 5 величин а(а0.а^.
Эти уравнения имеют вид
а0-|-/и2 + 8А = О,
«1 (1 — с2) — 2m2 4- За0с2 — (с2 — 1) = 0, a2(l-4(l-m)2]4-3m2(14--J)4-4(l—т)2(|а3-За2)е2=0, (2) а3 (1 — (2 — 2да — с)2] — 9да2(1 4- «)4-| (2-2/и-с)2(а2-2а3)е2=0,
а4 [1 —4(1 — да — с)2] 4-да2 4-6(1 — да — с)2а3 = 0.
Для вычисления семи неизвестных — с, 8ft и пяти а — нам потребуется еще два уравнения. Как будет показано в следующем параграфе, эти уравнения получаются из уравнения для долготы, которое, как мы видели раньше, вводит еще одну неизвестную 8ft. Необходимое дополнительное (восьмое) уравнение получается из уравнения (3) § 17.08. Следовательно, восемь неизвестных — 8с, 8ft, пять а и 8ft — могут быть вычислены.
§ 17.13а. Уравнение для долготы
На основании формулы (2) § 17.08 это уравнение запишется так:
Dv — fto(1.±.8ft)=S(r>
где Л заменено на Л0(14-8Л). Функция S, согласно (4) § 17.08, выражается формулой
га
$ 17.13а. Уравнение для долготы
359
Далее, v = w-|- Sv и, согласно формуле (1) § 17.10, а/r = (а/р)-|-8«. Кроме того, w удовлетворяет уравнению (2) § 17.09, именно:
Dw-A = (C-l)(-^--n).	(3)
Вычитая уравнение (3) из уравнения (1), мы получаем для Sv следующее уравнение:
D(М-	[(f)* + 2 -i!« + (8«)!] +
Это уравнение является совершенно точным. Как и раньше, мы отбросим в R параллактические члены, т. е. положим R — R2. Кроме того, в первом приближении будем пренебрегать в уравнении (4) членом с (За)2. Далее, как показано в § 17.05, За и 8Л являются малыми порядка т2; Ло=—па2 j^l — е2, и если пренебречь (За)2, то ^=^[(i)!+27’“]-	(3)
С точностью до малых порядка /и3 уравнение (4) будет иметь ид lD(8v) = (^)28ft + 2|8a +
1 Г / а \2	2a „ "I (• dRn
+ЫЫ -Ь —8«J	—2е(с —Dcosp, (6)
причем earn рассматриваются как величины одного и того же порядка. Как и в случае уравнения для радиуса-вектора, мы ограничимся только такими членами, аргументами которых являются 2;, 2$ — <р и 2$ — 2<р. Тогда с точностью до малых порядка /и3 найдем, что
е, dR!	ГЗ	9
J dt = m2na2 (1 + m) cos 2; — e cos (2; — z) -f-
I _1£ 2 cos (2; —2?) 1
' 8	1— in — c J'	' '
С рассматриваемой точностью коэффициент в последнем члене внутри квадратных скобок равен —15е2/т. Именно поэтому мы и оставили этот член. Так как выражение в правой части равенства (7) есть малая величина порядка т2, то в формуле (5) достаточно отбросить 8a и просто записать a2 , I л = 1 + 2е cos <?.
360
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Мы тогда найдем, что
1 с дЯ2 г 3	15
J	4ft = »»2 [4(1+/Я)COS 2?---^-ecostf; — ?) —
— 15-^-cos (2; —2?)].	(8)
Мы также имеем
(у j2 8ft = 8ft 4- 2е ВЛ cos у.
Подставив теперь выражение для 8и из формулы (1) § 17.13 в формулу (6), мы получим
i D (8v) = Ло4- А}е cos 9 4“ A cos 2* 4"
4- А3е cos (2; — 9) 4- Л4е2 cos (2; — 29), где
Лд = 8ft —|— 2лд 4~ 41 j#2,
Л| = 2ой 4~ 2<ij 4- Д|#2 4~ 2о3 — 2 (с — 1).
H2 = 2a2-|_4Z3e24 ^‘^i2(l 4"от).	(9)
Л3 = 2а34-а2 —-^-/и2,
А4 = а2 4- 4»3 4- 2а4 — -у- т.
Поэтому
w == Ajit 4- Во 4- -7- е sin 9 4-	) 4-
। л esin(25 —?) , 1 л e»sin(2= — 2<?)
4" Л3  2_2т-с 4- 4 Л - j —	.	(10)
и, следовательно, так как
<w = nt 4-е4~2е(1 —-^-jslncp, то
©==w4-8v==/i(l 4-Л0)/4-е4-В04-2е (1 — -^-4-^-) sin 94-81/,
(И)
где через 81/ обозначены члены в формуле (10), аргументы которых равны 2$, 2$ — <р и 2$ — 29.
Величина Во не обязательно является постоянной интегрирования, так как произвольной постоянной можно считать уже введенную величину е.
Мы примем, что непериодическая часть v в формуле (11) равна я/4-е и что коэффициент при sin 9 равен коэффициенту при sin At
§ 17.14. Уравнение для Т
361
в невозмущенном движении, а именно 2е(1 —-|-е2). Поэтому До = = Д1 = 0, т. е.
8/z + 2ao4-aie2 = O,	(12)
28A + 2fli + aie2 + 2a0 —2(с —1) = 0.	(13)
Этот метод определения коэффициента при sin<p отличается от метода Понтекулана тем, что последний считает коэффициент Д! неопределенным, а затем, как и в случае коэффициентов Д2, Д3, .... выражает его через m и е. Прием, принятый здесь, имеет преимущество в том случае, когда для вычисления постоянных интегрирования используются наблюдения.
§ 17.14.	Уравнение для Т
Согласно формуле (3) § 17.08, это уравнение записываем так: •• . л2а3	...
н—-г-------rv2 = rT.	(1)
Из формулы (4) § 17.08, пренебрегая, как и ранее, членом R3, имеем гТ — -^Д- = — №.
дг г
Заметим, что уравнение (1) не является независимым уравнением. Оно переходит в тождество, если в него подставить полученные ранее формулы для г и V. Следовательно, непериодические члены, появляющиеся в уравнении (1), будут давать соотношение по меньшей мере между двумя из восьми неизвестных Sv, ЗЛ, с и а0........а4.
Так как г не содержит постоянных членов, то мы его отбросим и запишем уравнение (1) в виде
™2 = -^-уЯ2-	(2)
Найдем прежде всего непериодические члены, входящие в уравнение (2), с точностью до малых третьего порядка включительно.
1)	-^ = ^ + 2«2^8« =
= л2л £ 1 —|—2 £2 И- ... “I- 2(1 —|— е cos ^) (л3 —|— cos © —|— ...) J = = л2а(1 +|е2 + 2а0 + а1в2);	(3)
2)	у Я2 = 4 С1 + е cos ?) • (д — -g- е cos ?) = у /в2л2а; (4)
3)	v = w -f- D (3v).
362
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Согласно уравнению (2) § 17.09,
где Ло = па2 У1 — е2. С точностью до членов третьего порядка . с2Ла 2псйп(1 — с) 2сЛл
* = У +	D (М.
Поэтому, так как г = р— р(3«/а2) и с = 1-{-члены второго и высших порядков, то
гv2 =	<;~g2) +	Ъи + Zn^-D (8о).	(5)
Постоянная часть первого члена в уравнении (5) равна
п2с2а (1 — е2) (1 е2j или п2с2а (1 + •g' *!) •
Постоянная часть второго члена равна 2п2а(1—с).
Третий член равен
—	e2-{-2ecos<p-{- ...)(а0—cos..)
и его постоянная часть приводится к виду
- й[в0 (1	аге2].
Так как, согласно результатам § 17.13а, До = Л1 = О, то четвертый член не содержит постоянной части.
Вся постоянная часть в rv2 поэтому равна
Я2ар(1 +у^) + 2(1 -е)~а0(1 +±^) - а1в2] или
л2а [(с - 1 )2 4-1 *2 4-1 - «0 (1 4- 4 *!) - й1*2] •	(6)
причем член (с — I)2, который является малой величиной порядка т4, можно отбросить.
Из формул (3) — (5) мы тогда получим
Зао(14-|е2)-{-2а1е2-1т2 = о.	(7)
Это последнее, восьмое, уравнение, которое нам требовалось вывести.
J 17.15. Вычисление восьми постоянных
363
§ 17.16. Вычисление восьми постоянных
Мы имеем пять уравнений (2) § 17.13, два уравнения (12) и (13) § 17.13 а и уравнение (7) § 17.14. В первой группе из пяти уравнений мы упростим некоторые из коэффициентов, используя тот факт, что с = 1 4- малые порядка т2 и пренебрегая высшими сте-
пенями т. Тогда эти восемь уравнений примут вид
Лф-f- /н24~ ЪЬ = 0;	(1)
За0с24-а1(1 — с2) — 2m2 — (с2 —1) = 0;	(2)
— За2(1 —-|-т -|--у т2)-j-3m2 (1 + у) +
+ 4(1-2/к)(4а3-За2)е2 = 0;	(3)
4m ^1 —-^-т)а3— 9т2(1 4-«*)+у(1—4т)(а2— 2а3е2) = 0; (4)
а4(1—4/п2)/п2 4-6/п2а3 = 0;	(5)
8Л4-2ао4-а1е2 = О;	(6)
23Л4-2а14-а1е24-2а0 — 2(с — 1) = 0;	(7)
За0(1 + | а2)+ 2а1в2- |m2 = 0.	(8)
Исключив ВЛ из уравнений (6) и (7), получим
2а0 —0^2 —е2)4-2(с —1) = 0.	(9)
Эти уравнения решаются методом последовательных приближений. Принимая во внимание то обстоятельство, что с = 14- члены порядка т2, мы из уравнения (9) получаем, что а0 и являются малыми по крайней мере порядка т2. Поэтому из уравнения (8) с точностью до третьего порядка включительно находим, что йо=4/”2'
Из уравнения (9), пренебрегая членом а^2, будем иметь a1 = a04-(c-l).	(Ю)
Если в уравнении (2) пренебречь членом e^l—с2), то это уравнение может быть записано в виде
|m2(c2—1)—Jm2 —(с2—1) = 0.
откуда с точностью до малых порядка т2 имеем
с2 — 1 —у т2
364
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
или
с = 1—(11)
а это совпадает с ранее полученным результатом. Из уравнения (10) с точностью до малых порядка т3 получаем
7	2
а из уравнения (6) —
8Л = — -1 т2. и
Легко находятся также первые приближения для коэффициентов а2, йз> й4.
Полная сводка формул первого приближения такова:
1 о	7	9	2	15 о
а0 = -g т2, aj = —jj- т2, а2 — т2, а3 ~ -у т2,
а4 = — ^-т2, с = 1— |т2. 8Л = — Im2, 8& = — 1 т2.
Второе приближение для а2 легко находится из уравнения (3) при помощи обычного приема. В результате получим
а2 = т2 -f- -& т3+те2.
*	1 6	1 4
Аналогично
15	. 329 т2
йз = _т4-__т2.
Все остальные величины также могут быть определены с требуемой точностью.
После этого могут быть вычислены величины Д3, А4, которые входят в формулы (9) § 17.13а. Затем легко вычисляются коэффициенты тех членов в выражении (10) § 17.09 для возмущений iv в долготе, аргументы которых равны 25, 25— и 25 — 2<р.
§ 17.16. Формулы для радиуса*вектора и долготы
Мы имеем
7 = — + 3«, v = V» -J- 8с,
где а/p и w выражаются по формулам эллиптического движения, в которых средняя аномалия М заменена величиной <р. Эти выражения даются до малых третьего порядка, за исключением членов с аргументами 25—2<р, kv (А —1, 2, 3, 4), которые по указанным
§ 17.17. Члены, зависящие от е{
365
выше причинам даны с точностью до малых четвертого порядка. Мы также прибавим члены с аргументом 2S4“®, которые ради простоты были опущены. В результате будем иметь
7=1 +4'”!+e(1 — ig2~ -j7m2)cos<?+
4-	(m2 -|—у- /и3 + -у- me2} cos 2s 4~ ет (-у- 4-	т} cos (2s, — ср) 4~
4-	-jg- em2 cos (2s -|- <p) — -y- e2m2 cos (2s — 2cp) 4-
4-e2 (1 — у e2) cos2<p + -g- e3cos 3?e4cos4<p;	(1)
v = nt-+-s-l~2e (1 —-g-e2jsincp4-(-y-/n24-77/K3 +
+ 113 * m)sin2? + <?'”(l“r+ 'T6" m)sin(2; — r) +
4-	~ em2sin (2s ~Hr) 4~ yr e<2m sin (2? — 2cp) +
+ 4Д1 ~ 30 e je Sin2? + T2 e sin3''? + "96'e4sin4?.	(2)
§ 17.17. Члены, зависящие от ег
1)	Согласно формуле (3) § 17.10, уравнение для 8« имеет вид П2(8«)4-л28«4-^-— Л' + п2^ — п2(с2 — 1)(у — 1) = 0.	(1)
где с точностью до членов третьего порядка Q — 4/?2 + Qo- Мы рассмотрим только члены, зависящие от первой степени ev Из формулы (7) § 17.12 имеем
Qo — — у- m2n2a2el cos
Кроме того, выражается формулой (18) § 7.06, если заменить в ней М на ср и Л4, на срР Обозначим через 8м, ту часть 3«, которая зависит только от Тогда
D2 (8«j) 4- п2 (8«j) = — т2п2ех cos cpj 4-
4- cos (2; - ?I) - I cos (2$ 4- epi)].
Далее, cp1 = n1/4-e1 — a1 = m/i#4~ ••• • Поэтому частное решение предыдущего уравнения запишется в виде
—	3	_ 21 «Ч cos (2s —<Р,) . 2	C0S(2?4?i)
—— 2 1—/п»	2	1—(2 —Зт)’ 2	1—(2 —«)’ ’
366
Глава 1?. Теория Луны Понтекулана
или, если ограничиться членами третьего порядка, то
8«i = — m2ei cos ft -I- у cos (2? — <?j) — -g- cos (2$ + <₽,). (2)
2)	Если —возмущение в долготе, зависящее от ev то уравнение для Svp полученное из уравнения (6) § 17.13а, будет
1	а.	1 /•
(3)
Так как Rz есть малая порядка m?ev то в первом члене правой части уравнения (3) достаточно положить р = а, а во втором г = а. Далее,
ех sin (2? — ?1) — | ех sin (2$ + ?1)].
С точностью до малых порядка т2е1 второй член в правой части уравнения (3) будет иметь вид
т%i [ -у- cos (2$ — «ft) —J cos (25 + (ft)].
Сложим это выражение с 2 8а, и проинтегрируем. Тогда получим
77	11
8©! = — Зте, sin «ft -f- -jg- m2^ sin (2? — <р0 —jg m‘2el sin (2$ -f- c^). (4)
§ 17.18. Члены, зависящие от a/ax
В предыдущих параграфах мы получили в первом приближении решение задачи с точностью до членов третьего порядка включительно относительно малых величин. В частности, в уравнении (3) § 17.10 для радиуса-вектора мы отбросили Р", а при вычислении 8« отбросили 8jQ......Сейчас мы рассмотрим общий метод, развитый
Понтекуланом, значительно полнее.
Здесь мы будем интересоваться только слагающей Rz возмущающей функции, которую для удобства запишем в виде
/?3 = m2/i2a!(Hcos$4-Bcos35),	(1)
где
Так как а/а, рассматривается как малая порядка от2, то А и В имеют второй порядок малости.
Следует напомнить, что а/аг является краткой формой записи точного выражения
Е — М а
Е + М ’ а.1 •
§ 17.18. Члены, зависящие от aja\
367
1) Уравнение для радиуса-вектора.
В первом приближении мы пренебрежем величинами Р" и 8jQ. Если 8«2 означает ту часть 8«, которая включает в себя параллактические члены, т. е. члены, пропорциональные а/ар то уравнение для 8«2 приведется к виду
D2(8z/2) + n28a2==_^. = —(3)
Далее, Q2 выражается формулой
=	+	+	(4)
Первый интеграл здесь имеет шестой порядок малости, так как гх]гх есть малая порядка тех. Поэтому мы его отбросим. Во втором интеграле достаточно положить vx — nx — mn. Так как? = л(1 — m)t-{-.... то последний член в выражении (4) с точностью до малых порядка т5 включительно равен 2mR3. Поэтому
Qi — (5 -|- 2m) R3.
Уравнение для Ъи2 тогда примет вид
D2 (8«2) -|- л2 8«2 — — т2п2 [(5 + 2m) A cos $ -f- (5 -f- 2m) В cos 3*].	(5)
На основании принципов, изложенных в случае 1 § 17.11, коэффициент при cos В в частном решении этого уравнения будет иметь первый порядок малости. С точностью до малых порядка т4 мы имеем
8“2 = -	А cos« + 1-9а2-т)» В C0S 3’] =
15	(. . 9	\ а .	25 , « о,
= — Тс л» 1 + тк л»—cos?—-стт2—cos 3;.	(6)
16	\	1 10	/ at	64 а,	' '
В следующем параграфе мы увидим, что члены четвертого порядка в коэффициенте при cos 5 найдены нами пока не полностью.
2) Уравнение для долготы.
Если через 8®2 обозначить возмущения в долготе, обусловленные R3, то, согласно уравнению (3) § 17.17, мы будем иметь
(7)
или в первом приближении
(1-”)4<8^)=2!“>+»<г=г0я»'	<8>
откуда с точностью до малых порядка т4 легко находим, что
8», = - (4 т + “	Л- ,|„ 5 + И Л. si „ 3-.	(9)
368
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Как и в случае 8а2, члены четвертого порядка в коэффициенте при sin ? найдены еще не полностью.
§ 17.19.	Второе приближение для За2 и 5®2
Согласно формуле (3) § 17.10, общее уравнение для 8а имеет вид
D2 (8«)л2 8м +-Я-— Р"+л286 — п2(с2 — 1)(- — 1) = 0. (1)
Наша задача сейчас заключается в том, чтобы найти 8з2 и 8о2 с точностью до малых порядка т4 включительно.
Мы рассмотрим все члены до пятого порядка включительно в Р" и полном выражении для Q, которые составляют коэффициент при cos 5; такие члены в частном решении уравнений дадут соответствующие коэффициенты с точностью до малых порядка т4.
1)	Согласно формуле (2) § 17.10,
где через 8а обозначено возмущение при условии, что возмущающая функция рассматривается полностью. Таким образом, 8а представляет собой полное решение, которое мы должны бы были получить к настоящему времени. Очевидно, что новые члены, содержащие cos $, могут появиться только через посредство (8а)2. Из членов, появляющихся в 8а за счет выражения (1) § 17.16, нам нужно рассмотреть только следующие:
im2+ m2cos 2;. О 1
Члены, зависящие от ev по крайней мере с точностью малых величин рассматриваемого порядка, в выражении Р’' фигурировать не будут. В предыдущем параграфе мы нашли часть 8а, обозначенную нами через 8а2. С точностью до членов третьего порядка она выражается формулой
,	15	а	.
8а, = —пг т — cos ?.
2	16	а1
Таким образом, мы получаем, что нужная нам часть в (8а)2 равна
-im2+/K2cos 2?—	— cos?,
о	1о
Легко видеть, что член пятого порядка, зависящий от cos?, равен — T/n3’a-cos’' Таким образом, слагаемое, происходящее от —Р',
g 17.19. Второе приближение для 6uj « б»а
369
равно —	/я3я2 — cos*,
о	di
2)	Рассмотрим теперь величину 3jQ, которая выражается формулой
где с точностью до членов четвертого порядка малости Q = 4/?2 4- 5/?3. Очевидно, что мы можем пренебречь величиной Для наших целей достаточно принять
Q = 4/?2 == m2n2r2 (1 4- 3 cos 2*).
Так как 8г =— р2(8«/а), то мы будем иметь
8jQ== — 2m2n2a2(\ -f-3cos2;)8« — 6m2n2a2sin2-dv.
Единственные члены в выражениях для 8« и 8®, которые могут ввести слагаемые в коэффициент при cos 5 не выше третьего порядка относительно т, будут
«	15 а ,	,	15 а . .
8«, = г»- Ш  COS $ И Ш, = Го — sin;.
1	16	а,\	2	18 л,
С точностью до малых порядка т5 мы тогда найдем, что
8Q, =	) COS ;.
1	16	\ Л| /
Следовательно, соответствующий член в — Р" равен ^т3я2 у-cos*. Этот член, имеющий пятый порядок, нужно прибавить к правой части уравнения (5) § 17.18. Уравнение для 8«2 тогда примет вид D2 (8«2) я2 8«2 = — т2п2 { [-|-(5 4- 2/n) + cos * 4- -у- cos 3?}.
Частное решение этого уравнения с точностью до малых порядка т* определяется обычным путем и имеет вид
8«2 =—	/п_|_^1/п2^-1.сО8$4_'1т,и2_“СО8 3$.	(3)
2	\ 16	1 16	) а, 1 64 at	v '
3)	Так как мы ищем 8v2 с точностью до малых порядка т4, то формулу для 8«2 мы получим, если подставим в формулу (8) § 17.18 вместо 8«2 его выражение (3). Мы тогда найдем
Ч = — (т| « + -у- "»2)	sin В 4-	т2 ± sin 35.	(4)
24 У, Смарт
370
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
§ 17.20.	Уравнение для широты
1.	Уравнение, определяющее широту, дано в § 17.03 формулой (3). Пренебрегая величинами $3, ех и а/аР будем иметь
, (а \з dR . 1 dR	...
а>
где
/? = m2n2r2[-| —	4-1(1 — s3) cos 2 (о — v,)].
Легко видеть, что правая часть уравнения (1) равна —m2n2rs. Так как rs Z =  -ar.. .	« TS,
Г Пн*
то уравнение (1) запишется в виде
D2z = n2(£+m2jz = 0.	(2)
Далее, а а . » 7 = ?+««.
и если пренебречь величиной е, то р = а. Мы тогда найдем, что уравнение (2) с точностью до малых четвертого порядка включительно имеет вид
Д!г + л2[1 + 38й4-3(8й)2]г = 0.	(3)
Если е = 0, то с точностью до малых порядка т3 включительно выражение для 8й легко получить. В этом параграфе мы используем выражение для 8й с точностью до малых порядка т4 включительно. Оно имеет вид
8и =1/п2 —	/в4-|-^п2-|--у т3+-ф- m4jcos254~y т4 cos 45,
0ТКуда	/19	1	1	\
(8 а)2 = т4	+ у cos 25 -f- -^-cos 45 j.
Таким образом, уравнение (3) примет вид
D2z + л2 (1 + Ат2 + Вт2 cos 25+Cm4 cos 45) z = 0.	(4)
где .	3	9 ,
А ~' 2	32 т ’
в = з+	(5)
J 17.20. Уравнение для широты
371
daz ~dt*
f-n2 l+^4ycos2/Z i
В § 17.06 мы видели, что в первом приближении
7 = Tfsin’l.
где ц = gntе.— 2 и g = 1 -И 3^т2. Допустим, что z выражается формулой
= &[sinTi+Psin(2B — 7j)4-Qsin(25+’l)+^sin(45 —"»!)]. (6)
где в первом приближении Ь = Ч'
Мы будем искать Р, Q и R с точностью до малых порядка т3 включительно. Если бы мы ввели дополнительный член/\$  sin (4; —|— tq), то нашли бы, что S является малой величиной порядка /и4. Заметим, что (4) — частный случай уравнения Матье
2 = 0,	(7)
решение которого имеет вид
z = У Br cos (gnt + 2rt + а),	(8)
— 00
причем Во и а — постоянные интегрирования, a g — величина, которая выражается через коэффициенты А. Это замечание относится также и к величинам Вг (г 0). С аналогичным уравнением мы встретимся в § 18.30.
Подставим выражение (6) в уравнение (4) и приравняем в левой и правой частях полученного равенства коэффициенты при sin т], sin (2?— tj), ...; в результате получим
1—	g2-j-Am2 — jBPm2 + ~BQm2 = 0,	(9)
Р [1 + Ат2 — (2 — 2т — g)2] — у Вт2 -f-1 BRm2 = 0,	(10)
Q[l + Am2 — (2 — 2m — g)2] + ±Bm2=0,	(11)
R [ 1 + Ат2 — (4 — 4т — g)2] +1 ВРт2 — ±Ст4 = 0.	(12)
Из этих четырех уравнений мы методом последовательных приближений определим величины g, Р, Q и R. Вспомним, что А, В и С, определяемые формулами (5), имеют нулевой порядок. Очевидно, что Р, Q и R по меньшей мере являются малыми порядка т.
24*
372
Глава 17. Теория Луны Ионтекуланй
Первое приближение. Из уравнения (9) находим
g2 — 1 + Am2 — 1 +|- /в2 и
£=1 + |т2.
Далее, мы получаем
<?=4»=.
Второе приближение. Опуская все выкладки, мы просто приводим окончательные результаты:
„	3	. 41 , . 5389
/ _ 8 т + -32 т -j- 1536- т ,
„	3 , , 7 , , 989 л
Q _ 16 m 4- 8 т + т , п 9 ч R ~~ 128 т '
Найдем теперь g с точностью до малых порядка т* включительно. Если бы к правой части равенства (6) мы прибавили член #Ssin(4$ + Ti), то получили бы
1 । 3 ,	9 	273 4	/1О.
£=1 + 4-М2— 32 т ~ 128 т ’	<13)
2.	Найдем теперь соответствующее выражение для s. Если пренебречь величиной s3, то z = rs. С точностью до малых порядка т3Ь
s — — — — — [1 -4-4-m2-l-m2cos 2$1. а г a L '6	'	J
Поэтому, принимая во внимание равенство (6), мы получаем
5 = ^1	/в2)6sin	+-^-m2j&sin(2; — tj)4-
+ -]|m2&sin(2; + 7I).	(14)
3.	Так как $ = tgO, где 9 — широта Луны, то при помощи хорошо известного ряда мы можем записать
9 = $—4-s34~4-s5 ... о а
или, с точностью до малых порядка б3,
6=5 — ± &3Sin31j.
$ 17,21. Общие замечания
373
Используя формулу (14), получаем
0 = (1 -|--|-т2— &2)6sin7i-]-(-|-m-f--g|-m2)&sin(2;— tj)-{~
~ sin (2;+ »)) +^-Z>3 sin Зт).	(15)
Как и в случае коэффициента при sin ср в долготе, удобно и желательно, чтобы коэффициенты при sin**} как в невозмущенном, так и в возмущенном движении были одними и теми же. Поэтому мы положим
7 = й(1 +~т2 —1&2), откуда с точностью до членов третьего порядка находим
г> = 7(1_|Я12+|72).	(16)
При помощи формулы (16) коэффициенты в равенствах (6) и (14) могут быть выражены через 7.
Формула (15) для 0 тогда примет вид
0 = 7Sinr/ + (-|-m + -^-/n2)TSin(2; — 7))-|-
+ -ji-m27Sin(2$ + '»))4-^-73sin37i.	(17)
Этот прием, как и в случае долготы, отличается от метода, развитого Понтекуланом.
§ 17.21.	Общие замечания
Мы рассматриваем е, ev 7 как величины того же порядка, что и величина т, a afax как малую порядка /п2. Окончательное буквенное выражение для радиуса-вектора (или, вернее, для а/г), выведенное Понтекуланом, дается с точностью до малых порядка т5 включительно, выражение для долготы в общем случае — до малых порядка /я6, а некоторые важнейшие члены — до малых порядка т1 или даже т8; наконец, выражение для широты—до малых порядка т6 включительно.
Чтобы предотвратить путаницу, мы будем считать, что постоянные Понтекулана е и 7 обозначаются через е0 и 70. Его коэффициент при sin <? в окончательном решении является рядом по степеням т, е0, 7о> ei и a/ai> который мы обозначим так:
2С(т, е0, 70, ev
374
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Наш коэффициент равен 2е(1 —Он совпадает с коэффициентом при sin /И в невозмущенном движении. Поэтому
е — |е3=с(/п, е0, 1о. ер А).	(1)
Кроме того, коэффициент Понтекулана при simj в его формуле для широты является аналогичным рядом, который мы обозначим через D(m, е0, 70, ev а/а^). Наш коэффициент равен 7. Поэтому
Т = о(ш, е0, 7о, ер	(2)
Величины е0 и могут быть найдены методом последовательных приближений, исходя из равенств (1) и (2), и представлены в виде рядов по степеням /и, е, 7, ер а/аР А эти последние величины определяются из наблюдений. Следовательно, постоянные Понтекулана е0 и 70 могут быть вычислены.
§ 17.22.	Постоянные
1)	Наблюдаемые координаты (долгота и широта).
Пусть долгота v и широта 0 Луны определены из наблюдений для некоторого момента t. Теоретические формулы, с которыми эти наблюдения сравниваются, имеют вид
г»==л/4-е-|-2 Hsin(p/4-?)«	(1)
e = SBsin(/tf + ?),	(2)
причем мы предполагаем, что амплитуды А и В посредством множителя cosec Iя-0= 206265, 8) выражены в секундах дуги.
Из анализа очень большого числа измерений о, например, могут быть получены численные значения п. е, коэффициентов А и периодов 2к!р. В частности, может быть найден коэффициент при sin <р. Так как его теоретическое выражение есть 2е(1—Vs*2)' т0 от* сюда легко вычисляется е. Аналогично определяются постоянные 7, ш, 2.
Найдено, что сидерический период обращения Луны Т (^2к/п) равен 27,321661 суток (средних солнечных), а период 7\ (^2-K/ni) Солнца равен 365,2564 суток. Отсюда мы вычисляем важную постоянную m^njn). Понтекулан нашел, что
от =0,07480130.	(3)
Его значения для е0, 70 и et таковы:
е0 = 0,05473074, 70 = 0,08967336, ^ = 0,01679182.	(4)
§ /7.22. Постоянные
375
2)	Наблюдаемый параллакс.
Третьей наблюдаемой величиной является экваториальный горизонтальный параллакс Луны П. Если а0 — экваториальный радиус Земли, то
sin 11=-^ = -^--. г аг Так как о । 7 = а + п.ч.,
то среднее значение sinTI равно <z(a(Ja). Оно может быть сравнено с наблюдаемой величиной, именно с 3422,7 sin 1". Так кака—функция tn, е и et, которую можно вычислить, то величина aja может быть найдена немедленно. Значение, полученное Понтекуланом для йр/а, равно 0,0165617. Если положить а0 = 6378,39 км, то получйм
а — 385 100 км.
Заметим, что значение а не равно среднему геоцентрическому расстоянию Луны. Последнее, обозначаемое через а', определяется посредством представления г 1а в виде ряда (в'/а)4-п. ч. Найдено, что
а'= 383 300 км.
Если солнечный параллакс предположить известным, то
а   а0 а й| й| а0
причем первый множитель правой части является солнечным параллаксом. Используя приведенное выше значение aja и несколько уменьшенное значение солнечного параллакса, Понтекулан получил
-£- = 0,00252551	(5)
at	39о
На основе полученных формул мы можем решать и обратную задачу. Рассмотрим основной член в формуле (1), включающей а/ар
Е — АД а	, ►
или, вернее, £_j_	• — ♦ Этим членом является Dsin£, где
г» „ ,	ч Е—М а
D= А(т, е, е,, т)	.
'	1	Е-\-М а.
Предположим, что D получается из наблюдений долготы (при помощи гармонического анализа или каким-либо другим путем). Согласно Понтекулану,
D=123", 6.
376
Глава 17. Теория Луны Понтекулана
Далее, можно вычислить величину А, и если предположить, что отношение М'Е известно ’), то а/ах также можно будет вычислить. Комбинируя это с ранее полученным значением aja, мы можем найти численное значение солнечного параллакса. Этим методом вычисления солнечного параллакса сейчас не пользуются, а предпочитают прямой метод, основанный на наблюдениях малой планеты Эрос.
Кроме этого, Понтекуланом были найдены важные постоянные с и g как функции т, е0, f0, а/ах до малых порядка т7 включительно. Их численные значения таковы:
1 — с = 0,008450821, g — 1 = 0,004021678.
Эти результаты, конечно, основаны на современных значениях различных постоянных, полученных из наблюдений.
§ 17.23.	Основные неравенства
1)	Эвекция. Это неравенство содержится в долготе и имеет вид С sin (2$ — 'f). Эвекция была открыта Птолемеем и описана в его «Альмагесте» (книга IV). Коэффициент С найден Понтекуланом как функция т, е, ех, у и а/ах с точностью до малых порядка т7 включительно. Его численное значение равно Г 16'27", 0. Период эвекции равен
2г.	4
—Уп---г?----Г» ИЛИ около 31 -=- суток.
л (2 — 2т — с)	5 J
2)	Вариация. Это неравенство определяется членом с аргументом 2; в долготе. Амплитуда его найдена с точностью до малых порядка т7 включительно и ее численное значение равно 39' 30", 8. Период этого неравенства равен половине синодического периода, или около 143/4 суток. Это неравенство было открыто Тихо Браге, хотя и возможно, что о нем знал еще Абуль Вафа, багдадский астроном X столетия нашей эры.
3)	Параллактическое неравенство. Это неравенство в долготе с аргументом $ и амплитудой, содержащей множитель - • — • Период этого неравенства равен одному синодическому месяцу, 29d12h44m, а амплитуда, согласно Понтекулану, равна —122", 38.
4)	Годичное неравенство. Открытое Тихо Браге, это неравенство имеет аргумент (= nxt + 8j — ы,). Таким образом, его период
м 1
*) В гл. 20, § 22 будет получено	.
§ 17.23. Основные неравенства	377
равен одному году, а амплитуда, вычисленная Понтекуланом, равна — 11' 8", 93.
5)	Движение перигея. Период полного обращения перигея равен 'п (fZ- с) или 7'2: с 7? ’ T1 е‘ т№—с) лет. Численно этот период составляет 3232,4 суток, или около 8,85 лет.
6)	Движение узла. Период полного обращения узла (движение обратное) равен д или —лет. Численно он равен 6794,4 суток, или около 18,60 лет.
Глава 18
ТЕОРИЯ ЛУНЫ ХИЛЛА-БРАУНА
§ 18.01. Введение
В большинстве теорий Луны, созданных со времен Ньютона, в основном использовались уравнения движения в полярных координатах — сферических или цилиндрических — или уравнения в элементах орбиты, зависящих от этих координат. Важным исключением является теория Эйлера (1772 г.), в основу которой положено использование прямоугольной системы координат, оси хну которой вращаются в плоскости эклиптики со средней угловой скоростью Луны. Теория Эйлера не привлекала большого внимания до тех пор, пока (столетием позже) Хилл не продемонстрировал могущество своего метода, основанного на использовании прямоугольных координат, однако с тем отличием от Эйлера, что его оси вращаются со средней угловой скоростью Солнца, а ось х проходит через среднее положение Солнца. Хилл выполнил три классических исследования !), составивших затем основу для исчерпывающих исследований Брауна2), который закончил построение теории Луны и составил соответствующие таблицы3), используемые с 1923 г. в ежегодниках.
В этих таблицах коэффициенты всех периодических членов в долготе, широте и параллаксе приводятся до 0", 01 включительно. Для этого в возмущающей функции необходимо было сохранить члены до малых порядка тв, ев, е*, ?6 и (а/а$ включительно. При этом предполагается, что е2 имеет тот же порядок, что и е3 или т3, а а/а1— тот же порядок, что и т2. Здесь m — njn. Кроме того, были приняты во внимание прямые и косвенные эффекты, вызванные действием планет и отклонением Земли и Луны от сферической формы.
В последующих параграфах мы подробно опишем общие принципы вычисления основных типов возмущений, вызванных действием Солнца.
') .Researches in the Lunar Theory*, Amer. J. Math. I, 5; I, 129 (1878); .On the part of the motion of the Lunar Perigee which is function of the mean motions of the Sun and Moon*, Acta Math., VIII, 1 (1886).
’) Memoirs R. A. S., LUI, 39 (1897); LII1, 163 (1899); LIV, I (1900); LV1I, 51 (1905); LIX, I (1908).
3) Tables of the Motion of the Moon, Yale U. P., 1919.
# 18.02. Уравнения движения во вращающихся осях
379
§ 18.02. Уравнения движения во вращающихся осях
Как мы видели в § 7.03, при исследовании движения Луны можно предположить, что Солнце описывает эллиптическую орбиту вокруг центра масс С системы Земля — Луна. Уравнения движения Луны в прямоугольных осях О?, Ovj, ОС, проходящих через центр Земли, плоскость которых (эклиптика) параллельна плоскости орбиты, описываемой Солнцем вокруг С, имеют вид
? dU •• dU у №	/is
’1 = ^>	=	(D
где
</ = £ + /?.
причем R — возмущающая функция, обусловленная притяжением Солнца.
Как и в п. 2 § 7.06, под Т на рис. 16 мы будем понимать Солнце, предполагая, таким образом, что Солнце движется по эллиптической орбите в плоскости эклиптики.
Рассмотрим теперь в плоскости эклиптики оси OX, OY, которые вращаются со средней угловой скоростью лр причем ось ОХ направлена к среднему положению Солнца. Угол \ОХ равен средней долготе Солнца п^+ер которую для удобства мы обозначим через I. Пусть х, у, г— координаты Луны по отношению к осям OX, OY и OZ, причем ось OZ совпадает с осью ОС. Тогда
$ = xcos/— у sin/, Т7 = л; sinZ —|—у cos/, С = г, откуда
$=XCOS/— у Sin/ — /IjTJ, ?i = xsin/ + y cos/ + «15,	C = z.
Кинетическая энергия Т=г/2(^-{-т^-{-t,2) тогда будет выражаться формулой
2Т = х2 + у2 + ? + л2 (х2 + у2) — 2л, (ху — ху).
Используя динамические уравнения Лагранжа, мы получим вместо системы (1) уравнения движения в следующем виде:
х — 2л,у — л2х = —		их г’	1 dR ' дх '	(2)
у+2л,х			, dR	(3)
		г’	1 ду ’	
Z	= —	Н£_| г* '	dR дг	(4)
380
Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
§ 18.03	. Возмущающая функция
Заменяя тп на п2, мы, согласно формуле (6) § 7.04, имеем
Л=4Н>)Ч<")+£г^(тВЧ(«)+ со
где а — угол между ЕМ и ЕТ на рис. 16 (стр. 130). Если xv yv 0 — координаты Солнца (на рис. 16 Солнце обозначено точкой Т), то
ГГ] cos а = ххг -f- ууР	(2)
Далее, согласно этому равенству и формуле (6) § 7.02,
г2Р2 (а) = | • {хх' + уу'^ -1 г2	(3)
Tin что, поскольку г2 = х2-f-У2 + z2, мы можем написать
2г2Р2 (а) = 2х2 — у2 — z2-|-Зх2^-^-|2 — 1] +
+ 3y2/AV+6WL.	‘	(4)
\Г1 / Г1
Последние три члена в правой части равенства (4) зависят от эксцентриситета солнечной орбиты ех. Если пренебречь величиной ev то эти члены обращаются в нуль, так как тогда х} = r} = at и У] = 0.
Первый член в формуле (1) может быть записан в виде ^2(а) + г2Р2(а)[(^)Э- 1]}.
Поэтому при помощи равенств (3) и (4) формулу (1) можно записать следующим образом:
7? = 1 л2 (2л:2-у2-г2)+ 2,	(5)
где
+ 3;,!(A)-XT+™j^-Pj(a)+...|. (в)
При этом 2 будет функцией координат, если в первом члене заменить г2Р2 (а) правой частью равенства (3) ')• Очевидно, что 2 имеет порядок m2ev Мы положим
	2 = 22 + 234-...,	(7)
*) Очевидно, что и член г3Р3(а) может быть выражен через прямоугольные координаты Луны по формуле, аналогичной формуле (3). — Прим, ред.
§ 18.04. Введение комплексных переменных
381
где означает однородную функцию порядка р координат Луны. Подставляя выражение (5) в уравнения (2) — (4) предыдущего параграфа, мы получаем
х —2й1у —Зф= —+	(8)
у+2/^	+	(9)
* +	+ n2z =-J£ + -g-.	(10)
Умножим эти уравнения соответственно на х, у, z и сложим. Тогда, поскольку д2 • дй , • дй . • дй . да' dt ~Х дх + У ду + * дг + dt ’
где dQ'/dt означает производную по t, входящему только посредством координат Солнца, мы, интегрируя, получаем
*2+?+*2 —3/фс2 + 4г2 = -^ + 22 —2 J-^L^ + C. (11) Равенство (11) является интегралом Якоби в общем случае1).
Первый член в правой части равенства (5) является главной частью возмущающей функции. Этот член фактически будет представлять собой полное выражение для R, если мы пренебрежем величинами и а/аР Решение системы уравнений (8) — (10), в которых 2 опущено, даст главные возмущения движения Луны, возникающие от действия Солнца.
§ 18.04	. Введение комплексных переменных
Положим u = x-\-ly, s — x — 1у,	(1)
где l = Y—1. Тогда г2 — us + г2	(2)
и, кроме того, дй	дй	, дЗ дй _ . / дй _	дй \
dx	ди	' дз	’ dy 1 \ ди	дз г	' '
’) Поскольку интеграл j -j^-dt, вообще говоря, не может быть взят до подстановки в подынтегральное выражение координат Луны, выраженных в виде функций времени, соотношение (11), строго говоря, не является интегралом системы дифференциальных уравнений (2) —(4) § 18.02. Поэтому равенство (11) более уместно называть .квазиинтегралом • Якоби. — Прим, ред.
382
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Умножим уравнение (9) § 18.03 на I. Тогда, складывая полученное уравнение с уравнением (8) § 8.03, а затем вычитая это уравнение из уравнения (8) § 8.03, мы при помощи формул (3) найдем
й + 2lnlit — у n2 (u + s) = — |* ~ + 2	. s —2Ц$ — | n2(« + $) ==-[*-£- +2-^-.		(4) (5)
Положим теперь		
	5 = (я — «0/4-е — е, = (п — /1^(1 —10)	(6)
и		(7)
Пусть, далее,	D означает оператор C(d/dQ. Тогда	
и =	(« — «i)	1	— »i) С = 1 (п ~ Du-	
Аналогично	и = — (п — пг)2 D2u.	
Пусть		П|	(8)
	п — П\	
	р-ъ =	1	 п — nt	(9)
и	W —	??	 (и-и,)’	(Ю)
Тогда уравнения (4) и (5) и уравнение (10) § 18.03 примут вид
D2« + 2mD« + |m2(a + s)-x-^ = —(Ц)
&s - 2m Ds + 4 m2 (« + s) - z ±	,	(12)
D2Z	-m2z	=	(13)
Это и есть уравнения Хилла в новых комплексных переменных и, s и С. Проделаем с этими уравнениями следующие преобразования:
1)	Умножим уравнение (И) на s, уравнение (12) на и и составим их разность. Тогда
иО2$ — sD2u — 2m (uDs + sDu) -|- 4 m2 (и2 — s2) = s	— u .
OS	OU
Ho
D (и Ds) = и D2s + Du Ds,
D(s Du) = s D2u -|- Du Ds.
§ 18.04. Введение комплексных переменных
383
Поэтому мы получим
D{uDs — s Du — 2mus) + 4- m2 (a2 — s2) = s -«	• (14)
«	OS	OU
2.	Умножим уравнение (11) на s, уравнение (12) на и, уравнение (13) на 2z и сложим. Тогда в правой части мы получим следующее выражение:
которое на основании теоремы Эйлера можно представить в виде -Spwp. где UZ2, IF3, ... — однородные функции и, s и z. Мы теперь имеем
$ D2« -j- и D2s -j- 2z D2z + 2m (s D« — « Ds) -|-
+ 4m2(« + S)2-2m2z2--^ = -j;plFp. (15)
3.	Умножим уравнение (11) на Ds, уравнение (12) на Du, уравнение (13) на 2Dz и сложим. Тогда
Ds D2u + Du D2s + |m2 {и	s) {Du -|- Ds) +
-\-2DzD2z — 2m2z—(«Ds-\- sDu-{-2z Dz) —
Член, содержащий множитель x, равен
-±D (us+z)2 = -±-D{r2) = 2xD (1).
Кроме того, так как W— функция и, s, z и С (последняя величина вводится посредством t, входящего в координаты Солнца), то
ПП7 w п । dW „ . dW _	. dW
DW = ~diT D « + IF Ds +17 Dz + 17	•
Однако
-^ZX = C-^ = D/U7-D(D-1D/U7),
где D(W означает применение оператора к W лишь постольку, поскольку W зависит от t (или от Q посредством координат Солнца, a D-1 — оператор, обратный D. Подставляя предыдущие формулы в уравнение (16) и интегрируя, мы получаем
DuDs + {Dz)2+1 m2(« + s)2 — т2г2-|--^=C —	{D,W).
384
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Сложим это уравнение с уравнением (15). В результате получим
D2 (us -|- г2) — DuDs — (Dz)2 -}— 2 m (sDu — uDs) -j-
+ -J in2 (« + s)2-3m2z2 = C-^(p+\)Wp + D-x (D,W). (17)
Уравнения (14), (17) и (13) являются новой формой уравнений Хилла. Заметим, что величина х не входит в уравнения (14) и (17) и что мы ввели новую постоянную С. Мы еще вернемся к этому замечанию в дальнейшем.
§ 18.05. Промежуточная орбита
В теории движения планет в качестве первого приближения, когда отбрасываются возмущающие силы, принимается эллиптическая орбита. В теории Луны Понтекулана первым приближением является „модифицированная эллиптическая орбита", посредством которой учитывается равномерное движение узла и перигея. Основным приближением в теории Хилла является частное решение уравнений движения, получаемое в предположении, что эксцентриситетом Солнца, его параллаксом и координатой z можно пренебречь, т. е. что 2 = W — z = 0. Кривая линия, соответствующая этому частному решению, называется промежуточной орбитой. Как мы увидим дальше, это частное решение содержит только две произвольные постоянные. Промежуточная орбита является, конечно, только приближением к орбите Луны. Важное преимущество этой орбиты вытекает из следующих двух положений: 1) она с самого начала учитывает основную часть солнечных возмущений и 2) координаты Луны в промежуточном движении могут быть легко выражены сходящимися периодическими рядами, коэффициенты которых связаны сравнительно простыми рекуррентными соотношениями. Эти коэффициенты являются функциями т, численное значение которого известно с очень высокой степенью точности, и поэтому их можно вычислить со всей необходимой точностью.
Положим в уравнениях (8) и (9) § 18.03 2 = z = 0. Принимая вместо t переменную ! = (л— n^(t — tQ) и учитывая то, что
Л,
Л —Л|	(Л — Л|)2 ’
мы перепишем названные уравнения в виде
^-2m^-3m2x=-^; a;2	dz	г3		(1)
d*y . п dx	— — г3 ‘	(2)
$ 18.05. Промежуточная орбита
385
В этих уравнениях мы будем рассматривать m как малую величину— численное значение m приблизительно равно 0,081. Если пренебречь величиной т2, то легко видеть, что уравнения (1) и (2) допускают частное решение
х = a cos £, у = a sin £	(3)
при условии, что
£ = 1 + 2/п.	(4)
Общее решение уравнений (1) и (2) содержит, конечно, четыре произвольные постоянные. Решение (3) включает в себя две постоянные п и t0, содержащиеся в формуле, определяющей £. Постоянная а выражается через т, п и р., причем р. определяется формулой: р. = 0(2?+Л1) и рассматривается как известная величина.
Более точное решение можно записать в виде х = а(1+ /?)cos£, у = а(1+^)sin£, где р и q— величины, имеющие по меньшей мере первый порядок малости относительно т. Поэтому, если пренебречь квадратами р и q и их произведением, то
г2 = а2 [ 1 + р + q + (р — q) cos 2£] и
X = ?(l + P)cos?[l - J(p + ?)-J(P-<7)cos2$];
при этом последнее выражение, если его упростить, будет содержать член, содержащий множитель cos £ • cos 2£, который дает члены, зависящие от cos £ и cos 3£. Этот факт наводит на мысль, что более точно координата х должна выражаться следующей формулой:
х = a (cos £ + р cos £ + г cos 3£) и, аналогично,
у = a (sin £ + q sin £ + s sin 3£).
Очевидно, что если p и q являются малыми по меньшей мере порядка т, то г и s будут малыми по крайней мере порядка т2. Эти рассуждения легко продолжить, и, следуя Хиллу, мы предположим, что х и у можно представить рядами вида
х = Ло cos £+ Hjcos 3£+ H2cos5£ + .... у = Bq sin £ —|— 5] sin 3; —|— 52 sin 5; —(- < •., в которых порядок Aj и Bj уменьшается вместе с возрастанием J. Хилл положил
Ду = а (йу+a_y_j), Bj = A(a.j —	(5)
где без ограничения общности можно считать, что а0 = 1. Однако ради симметрии мы оставим ап в общем виде, и его значение подставим тогда, когда это потребуется. Ряды для х и у могут быть
25 У- Смарт
386
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
теперь записаны в виде
х = а У a; cos (2/+ 1) — СО
у = а 2 ву81п(2/+ 05.
— СО
Переменные и и s тогда будут представлены следующими рядами:
e = a2a^+1, 8 =	(6)
— СО	—00
Последние выражения для и и $ представляют частное решение уравнений (И) и (12) § 18.04 при lF = z = 0. Эти уравнения имеют вид
D2u + 2mD«	m2 (« -|- s) — х = О,	(7)
D2s— 2mD$+ m2(« + «) — х^ = 0,	(8)
причем а и х, как и в равенстве (4), рассматриваются как функции т.
Аналогично преобразованные уравнения (14) и (17) § 18.04 записываются в виде
D(uDs— sDu— 2m«s) + m2 («2 — $2) = 0,	(9)
Q
D2 (us) — DuDs + 2m (s Du — и Ds) -|- m2 (u s)2 = C. (10)
Уравнения (9) и (10) будут использованы для получения выражений ву в виде функций параметра т. После того как будут получены ряды (6) для и и s, выражение для х/а3 может быть найдено путем подстановки этих двух рядов в уравнение (7) или (8). Значение С, если это потребуется, получится аналогично из уравнения (10).
Заметим, что уравнения (7) и (8) не являются независимыми, так как каждое из них, будучи комплексным, дает одну и ту же пару уравнений для действительных координат.
§ 18.06	. Умножение и деление рядов
При подстановке рядов'), которые мы запишем в виде и = а 2 аЛ2/+1, д = а2"Л"2/-1,	(1)
*) В оставшейся части главы знак У означает, если не оговорено особо, суммирование от —оо до -|-оо по всем целым значениям I или какого-либо другого индекса, включая и нуль. Если необходимо различить два нли более индексов, то соответствующий индекс указывается при знаке суммирования.
§ 18.06. Умножение и деление рядов	387
в преобразованные уравнения (9) и (10) предыдущего параграфа нужно произвести перемножение указанных рядов. В дальнейшем мы встретимся также с делением двух рядов. Здесь мы рассмотрим общие принципы тех преобразований, которые нужно проделать в уравнениях (9) и (10) § 18.05.
Отметим, во-первых, что если написать 2г+1 вместо —21— 1, то ряд для $ может быть представлен в виде
s = a3a_r_£2r+1	(2)
и, во-вторых, что, поскольку $ и и—сопряженные величины, мы можем написать
s = aMw,	(3)
где Cj — величина, сопряженная С, т. е. С]=ехр[—У—1«]. Рассмотрим два ряда
</=2лл2/+1, v=SB,c2r+1-
1)	Произведение UV.
i/y=SS а1вг(.21+2г+2.
I г
Напишем 2J вместо 21-}-2г-\-2. Тогда
ij
где
(4)
Отсюда может быть вычислен любой из коэффициентов С, если известны величины А и В.
2)	и2. Здесь (/ = V = «, At = alt Br = ar. Поэтому, используя формулу (4), находим
и2^2^^.^'.	(5)
3)	us. Здесь (/ = «, Vs=s, At = ai и, согласно формуле (2), Вг = а_г_}. Поэтому
ej = a22 2	(6)
i 1
4)	s2. Так как s — величина, сопряженная с и, то согласно формуле (5) имеем
$2 = a2
I г
25*
388	Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
или, заменяя г на —J, =	(7)
i i
5)	sDu. Так как D = C(d/dC), то D« = a£(2/+ l)a£2,+1. Поэтому по аналогии с п. 3 будем иметь
sD« = a2S^(2Z+l)aza,_/;2<	(8)
Кроме того, мы имеем следующие легко выводимые разложения,
6)	и Ds = а2 2 2 (2/ — 2Z — 1)	(9)
i i
7)	D«Ds = a2^ 2(2Z+1)(2/ —2Z—(10)
8)	Отношение U/V. Очевидно, что U/V имеет вид 2^2/. Поэтому
2 лр = 25 вго£2г+2/=£ 2 Bi-jDp. Г 1	i 1
Приравнивая коэффициенты при С2/, получаем
2 Bt-Pj — А,.	(11)
Задавая I последовательно значения 0, 4-1, —1, 4~2, —2...мы
получаем последовательность уравнений. На практике значения коэффициентов D определяются методом последовательных приближений.
§ 18.07. Общее выражение для aj
Подставим теперь выведенные в предыдущем параграфе выражения для и2, us, s2, sD« и т. д. в уравнения (9) и (10) § 18.05 и применим (там, где нужно) оператор D. Мы тогда получим
2 2 { a^i~i IV (2/ - / + 1) + 4>] -
- у пт’ а,	] Р = 0, (1)
2 2 { ei«/-/[472-(2Z+ 1) (2/-2/-1) 4-4m (2Z -/+1) +1 п^ i 1
4- -j m2al (aj-i-} 4“	C2^ = C.	(2)
$ 13.07. Общее выражение для aj
389
Эти равенства являются тождествами и поэтому в них коэффициенты при С2^ равны нулю, за исключением того случая, когда в формуле (2) У = 0. Умножая равенство (1) на 3, а равенство (2) на 2, будем иметь
S{e<e,-/ll2/(2/-/+l)4-12/m]-
— У m2ai(ay_/_1 —a_y_z_1)| = 0,	(3)
2 {	18J2 - (^ + 2) (2/ - 2/ -1) + 8m (2Z - / + 1) + 9m’] +
+ y m2az (a;_I_i + a_y_/_1)| = 0.	(4)
Вычтем уравнение (3) из уравнения (4), а затем сложим их. Тогда мы получим следующие два уравнения:
2 а/в/-;А; + ^т2	= 0,	(5)
i a,az_yBZy-|-9m2 2	— $•	(6)
где
Atj = 20у2 — 16У(2/4- 1) + 2(2Z + I)2 + т(8 + 16/-20У) + 9т2. (7)
Ви = — 4У2+8у (2/ + 1) + 2 (2/ +1 )2 + т (8 + 16/ + 4J) + 9т2. (8) Напомним, что в этих последних формулах J =/= 0, а I принимает все целые положительные и отрицательные значения, включая и нуль.
Пусть 2' означает суммирование по всем, кроме нулевых, целым значениям индексов. Тогда уравнения (5) и (6) можно записать в виде
аоа-А/+2Г а/а/-;Лу+9т22 в/в;-г-1 = 0,	(9)
аоа-/?о;+S aiai-j^ij~^~ 9m2 2 aia-j-i-i = 0.	(10)
Умножим уравнение (9) на BOj, уравнение (10) на и вычтем. Тогда получим
СцС^а^-^-9m2 <iZjDZy==O,	00
где
Czy = ВщАц— АщВц =
= -48Zy[4y2+4y-24-4/(/-l) + 4m(/-Z-l) + m2] (12) и
Dl)~	(13)
Пусть, далее, 2 означает суммирование, когда Z + 0 и тогда уравнение (11), если в нем выделить из 2' член ПРИ ^ = У> примет
390
Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
вид
aoa}cjj + 2	9m2 2 atDtj — 0.	(14)
Пусть
<л=-т£-	<|5>
Тогда,	полагая а0=1 и	используя	формулу (13), мы	приведем
уравнение (14) к виду
ву=2 [/• Л а/а/-;+т2 [,/] 2 в/а;-/-1 + т2(У) 2 O'iO'—j—i—i' (16)
Это и есть искомая формула, определяющая я;. Выражения для (У, Л« 1УЬ (У) даются следующими формулами:
I/ я-	/[4у2-|-4у—-2-|-4/(У—1)-|-4т(/— / — I) _|_ щ»]
17 ’ Л —	у(8у2 —2 —4m-f-m2)	’
t/i  3(—4y2 + 8/H-4m/4-24-8m4-9m2)	,]я
17 1 —	1бу2(8у2 — 2 — 4m-]-m2)	1	u °'
3 (20y2 - 16У - 20my + 2 + 8m + 9m2) (J)~	16/2(8y2 — 2 — 4m + m2)]	'
Все эти три функции ’) имеют нулевой порядок относительно т. Так как У=£0, то знаменатели этих выражений никогда не обращаются в нуль, и, таким образом, каждая функция может быть разложена, если это необходимо, в сходящийся ряд по степеням m или вычислена непосредственно, если подставить численное значение т.
Полагая в формуле (2) У=0, можно получить, если это требуется, значение С.
§ 18.08	. Вычисление коэффициентов а
1)	Положим в формуле (16) предыдущего параграфа /= 1. Тогда
«1 = Л «<в/-1Ч-т2Ш S «/в-/ + т2(1)2 «/«-/-г-
В первой сумме Поэтому имеем
flj = [l, 2]aIa2+ll, 3Ja2a3 + ... +
-|-[1, —1 ]л_]Л_2-|-[1, —2]а_2а_34- ... -|-
+ m2[l]^a^-j-2a1a_l-i~2a2a_2~j- ...j-j-
+ т2(1)[а0а_2-|-а^-эН- ...].	(1)
*) Хилл определил величины [У] и (У) как коэффициенты при втором и третьем членах выражения (16). Таким образом, функции Хилла отличаются от функций, определенных формулами (15), множителем т2. Однако, если возникает необходимость оценивать порядок различных членов, то представляется более удобным определять [У] н (У) по формулам (15).
§ 18.08. Вычисление коэффициентов а	391
Из формул (5) § 18.05, очевидно, следует, что аР а_р ... имеют более высокий порядок, чем а0(=1). Соответственно порядок определяется первым членом в третьей строке формулы (1), а именно т2 [1]. Таким образом, аг является малой величиной порядка т2.
2)	Положим в формуле (16) § 18.07 J — —1. Тогда в_1 = [—1, 1] о1а24— ••• 4“т2[—1Пя_1Л_14-2а0а_2-}- ...14“
+ т2(-1)[а2 + 2а1а_1+ ...].	(2)
Следовательно, л_] является малой величиной порядка т2.
3)	Положим j = 2. Тогда
«2 = 12, 1]а1а_1-|-[2, З]030)4- ... -|-[2, —11в_1в_3-4" ... 4“ + т2 [21 [2л0а] + а2а_г -}- а_га2 4-...]4-
+ т2(2)[аоа_3 + а1а_4+ ...].	(3)
Если предположить, что абсолютное значение aj уменьшается с увеличением |/|, то главная часть а2 будет выражаться формулой
л2 = [2, ll«i«_i + 2m2[2] аР	(4)
Таким образом, а2 есть малая величина порядка т4.
4)	Продолжая эти рассуждения дальше, мы увидим, что аг есть малая величина порядка m'2r|.
5)	С точностью до малых величин порядка га5 включительно из формул (1) и (2) находим соответственно
«1 = ш2[11, a_i = m2(— 1).
Согласно формуле (18) § 18.07, ...	3	6+12т 4-9т*
I *	16 ' 6 — 4т-f-т2
Разлагая это выражение в ряд по степеням т, найдем ___________________ 3 п । 1	-.7	..11	-
«1=Т6 т + 2 т + 12 т + зб т -	(5)
Аналогично
-	19 п	5 -	43	.	14 е	/г.
в-i—	1бт—З’т	36	т 27 т '
Коэффициент а2, определенный формулой (4), можно теперь выразить через т. Аналогичным путем можно получить коэффициент а_2.
392
Г лава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
6)	С точностью до малых порядка т7 включительно, как это видно из формулы (1), в] запишется так:
в1 = [1, 2] л,а2-1- [1, —1] «_1«_2+п12 fl] [1-|-2а1а_1] + т2(1) а_2.
Если первые приближения для at, а2, а_Р а_2 подставить в правую часть этого равенства, то можно найти at с точностью до членов порядка /и7 включительно.
.7) Изложенным здесь методом последовательных приближений можно легко получить выражения коэффициентов с любой требуемой точностью. Хилл нашел такие выражения с точностью до членов порядка П19 включительно и, принимая для m значение
т = 0,080848933808312,	(7)
вычислил соответствующие коэффициенты с 15 знаками после запятой.
Мы приведем выражения для всех коэффициентов с точностью до членов порядка т6 включительно:
30749
а, = Правая часть (5)---gHgr1”6- a-i — Правая часть (6) —
7381 я ---------tn®
210 . ш ,
25	4 . 803	.	.	6109	в	833 в
в2 —	256 m	1920	m	7200	m ’	вз—	3 • 212	m	’
23	ч	।	299	в	1	в
а_2 —	640	m5 +	2400	m ’	в-з—	192 m •
§ 18.09. Постоянная a
Мы будем исходить из уравнения (7) § 18.05, в котором, поскольку мы рассматриваем решение при z = 0, положим г2 = «$:
^D2 + 2mD + ym2j«+-|-m2s = -^ =х« 2s 2.
Подставив в него ряды для и и $, получим
[(2/ + 1)2+ 2m (2Z + 1) + | m2] a/?'+1 +1 m2 £ а^‘~' =
1	_з
*
“7
Это равенство представляет собой тождество, справедливое при всех значениях С. Положим С=1. Тогда
^ = (2«<)2{2[(2/+D!+^(2/+1) + 3m2]aJ.	(1)
§ 18.10. Вариация
393
Определим а с помощью формулы I* = п2а3.	(2)
Тогда, поскольку х = р./(л— /ij)2, мы имеем х == (1 _|_ щ)2а3.	(3)
Следовательно, формулу (1) можно записать в виде (|)3=(1 + т)-2 (£ в/)* { 2 [ (2/ Ч- 1 )2Ч- 2m (2/ Н- 1) Ч- 3m2l at}, (4) откуда, если подставить численное значение ш, можно найти отно* шение a/а. Величину a/а можно также представить рядом по степеням m. С точностью до малых величин порядка ш3
а = а(1 — •|-m24-^m3j.	(5)
Это равенство, или, вернее, его развитие до членов требуемого порядка, дает нам возможность сравнить настоящую теорию с любой другой теорией, одной из постоянных которой является а.
§ 18.10.	Вариация
В этом параграфе мы рассмотрим полярные координаты г и v, где v означает истинную долготу Луны. Средняя долгота Солнца равна	и, следовательно, поскольку z = 0, угол между
осью х и направлением на Луну равен v — nJ— еР Поэтому
х — г cos (v — nJ — S]), у = г sin (v — nJ — ej. Далее,
rcos(и— nt — e)===r cos(w — nJ — Sj —£) =
= x cos?4-y sin? — тг («С-1 + «C).	(1)
Аналогично
rsin(v — nt — e) =—	— sC).	(2)
Подставляя вместо в и s их выражения (6) § 18.05, мы будем иметь rcos(v — nt — е) = а[1 +(«1 +e-i)cos 254-
“НСвгЧ”в-г)со8454" •••!>	(3)
rsin(v— nt — s) =
= a[(aj —a_1)sin25 + (<7j —a_2)sin45+ ...]. (4)
1)	Так как r2 = us (z = 0), то при помощи формулы (6) § 18.06 легко найти г2.
394
Г лава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Выражение для z/r можно легко получить из уравнения (15) § 18.04, в котором нужно положить lF = z = 0. Это уравнение тогда запишется следующим образом:
•у = sD2u uD2s + 2m (sDu + uDs) m2(« -|- s)2.	(5)
2)	Чтобы найти уравнение центра v — nt — e, которое мы временно обозначим через 9, поделим равенство (2) на равенство (1):
Следовательно,
i—/tg 0 st 2a/-2y 2a/2y ’ откуда
2/9 = In (2 a ;C2y) — In (2 a yC2y).	(6)
Далее,
2 a1 “I- (®iC2 + в- Л (a2C4 + в-г) H- • • • и
1п(2в/»2,0 = — Л1Л-1“Ь лЛ -J- Л-1С -|-
4-(в2—У + (я~2—
Поэтому из формулы (6) мы получим
2/0 = ai (С2 -ф + а-i (Г2 - СГ2) + ... и
0 = (aj — a_])sin2;+^a2 — «-2 — у «i + -j e-i)sin^’+ ••• • Следовательно, истинная долгота будет выражаться следующей формулой:
© = п/-]-8-|- ^2Sin2;+ Л4з1п4?+ ..(7) где A2j имеет порядок ml2/*.
3)	С точностью до малых порядка т2 имеем
г — а [ 1—(т24~-g-m3)cos 2;j,	(8)
v —n/ + s-]-(^m24-~-m3)sin2-.	(9)
Возмущения в г и V, зависящие только от членов с аргументами 2/;, называются вариационными членами.
§ 18.11. Перигей лунной орбиты
395
Основной член в формуле (9) для долготы тот, который зависит от sin 2?; обычно он называется просто вариацией (см. § 17.23).
§ 18.11.	Перигей лунной орбиты
Мы будем исходить из уравнения (7) § 18.05, а именно
(D2_|_2mD + |m2)« + 4m«s = x-£.	(1)
Частное решение уравнения (1), соответствующее промежуточной орбите, записывается следующим образом:
« = а2«Лг/+1. ^aSe/T2'-1.
где п и t0— постоянные интегрирования, введенные выше. Общее решение уравнения (1), эквивалентного двум уравнениям в действительных координатах, каждое из которых второго порядка, должно содержать четыре постоянные интегрирования, одна из которых, очевидно, тесно связана с эксцентриситетом мгновенной орбиты Луны.
Пусть «-|-Да, s —|—Д5 удовлетворяют уравнениям (1), где и и s определяются приведенными выше формулами. Для удобства мы положим р2 = us и г2 = («-]-Д«) (sAs). Отбрасывая квадраты и произведение величин Ди и As, получаем
Г2 = р2_[_а Д$-|-$Ди.	(2)
Так как уравнение (1) удовлетворяется величинами и и s при условии, что г заменено на р, то уравнение для Ди и As будет иметь вид
(о>+ 2п.О+4 ms) Д.+1 в» Д, -	f 
Легко видеть, что при помощи формулы (2) правую часть этого уравнения можно привести к виду
~Н(4“+3»-
Поэтому имеем
(D2 + 2mDH4ni2+^u+(-|-m2H-4 25 . |)as = 0. (3)
Далее,
DX = D [С (Г1*)] = CD (Г1*) + С (Г*X) = С (D + 1) (Г’х),
D2X = C(D2 + D)(C-,X) + C(D -I-1)(C"'X) = C(D 4-1)2(Г'х).
396
Глаза 18. Теория Луны Хилла —Брауна
Преобразуя посредством этих формул уравнение (3), мы получаем
[(D +1 + m)2 -j- j (m2 + у )] (С-1 Д«)+N (С Д*) = 0,	(4)
где
3 2г—2 I 3 %	«С-1	,с.
^=2тС +2УТ'	<5>
В дальнейшем мы покажем, что решение уравнения (4) определяет движение перигея Луны. Для будущего нам, однако, необходимо разложить в ряды величины т2-|-(х/р3) и N.
§ 18.12.	Разложение в ряды величин ^--{-т2 и V
1	) Очевидно, что если возвести в квадрат равенства (3) и (4) § 18.10 и сложить, то г2 представится рядом по cos 2/;, причем г будет иметь здесь значение, приписываемое величине р. Очевидно также, что р-3 будет аналогичным рядом по косинусам.
Из формулы (1) § 18.11, если заменить г на р, имеем
(D2 + 2mD)«+-|>n2s
Далее,
(D2+ 2mD)« = аС 2 [(2/4- I)2 4. 2m (2/ + 1)] а/У = = (1 + 2m)« + аС 214; (/+ 1 + ш) а ?>].
Поэтому
2L + m2 = 1 + 2m +1 m2 4 Г
2 [4/ (/ +1 + т)	1 т’а_у_, ] &
2^
• (1)
Обозначим отношение, входящее в правую часть этого равенства, через 2 А^,21. Тогда
[2 а А2'] [2 АС2/] 2 2 a^Api.
Приравнивая коэффициенты при С2А мы получаем
X а/-/А = 4/(J +1 4- 41)ау4~ 4 m2a-/-i-	(2)
Это равенство справедливо при всех положительных или отрицательных целых значениях j, включая и нуль. Например, для / = 0, 1, —1,
# 18.12. Разложение в ряды величин + ш* и N
397
соответственно будем иметь
Mo+e-iA + M-i + ••• = ~2	(3)
Mi + ®i4>+M-i + ••• =4(2H-m)a1 + |ni2a_2, (4)
«ол-1 + «-1Л+а-2Л1+ ••• = —4ma_i + |m2a0.	(5)
Из равенств (4) и (5), очевидно, следует, что Л1 и А_} являются малыми порядка т2, а из равенства (3) получаем, что — малая порядка т4.
Полагая в уравнении (2) J — 2, а затем J —— 2, найдем, что Лд и Л_2— малые порядка т4.
Далее, так как правая часть равенства (1) разлагается в ряд по косинусам, то Л/ = Л_г.
Приведем еще некоторые результаты:
Л, — Л_! = т2 — 4ma_v
Ло = — m2aj + 4ma_1 (аг + a.0,
Лз = Л_2 = 8(1 — т)а_2 +4 m2(aj — e_1) + 4mali;
при этом выражения для Л1 и Лд даются с точностью до малых порядка ms включительно, а Ло дано с точностью до малых порядка т7. Перепишем теперь равенство (1) в виде
+ m2 = 1 + 2m + £ ш2+ Ло+ А&,	(6)
или, в более удобной форме,
р- + т2 = 2 2	= 2Л10+ 2 %	(7)
где
2М0 = 1 + 2т + 4 т2 + Л„	(8)
и
л(..	(9)
Кроме того, напишем
^ = 2^^.	(10)
где 2Мо = 2Мо — т2 и Л4/ = Л1/, если 1^0.
2	.) Рассмотрим теперь формулу (5) § 18.11 для АЛ Мы имеем м_ 3 _2г-г. 3 % аС~*
Л'=2'тС +2?'1Г'	( )
398
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Пусть Е означает второй член правой части этого выражения. Тогда, используя равенство (10), будем иметь
2£2(2«;с,'П2^!'].у
При помощи приема, аналогичного тому, который применялся к дроби в формуле (1), мы найдем, что формула, определяющая v и аналогичная (2), имеет вид
2v/fl/-; = 2 2	(12)
Положим
az=2/vz:2Z.	(13)
где
^1=-|m2 + 4v_1,	(/¥=-1),	(14)
a Nt имеет порядок m'2/|. С точностью до членов порядка т4 включительно из равенства (12) мы без труда найдем, что
*о — 2Л4о [1 — (Л1 — Л-i)2].
vj = 2Mi -j- 2Л1о(«1 — Д-i),	(15)
v_ 1 = 2Л11 — 2Л1о («1 — «_ i).
§ 18.13. Выражения для Дн и Ал
Наше основное уравнение (4) § 18.11 при помощи формул (7) и (13) предыдущего параграфа приводится к виду
[(D + 1 + m)2+ 2 А2'] (С-1 Д«) + [2 Л^2'] (С Д«) = 0. (1) где М и N предполагаются известными функциями т. Будем искать решение этого уравнения в виде
Г* Д« = а [е"“ у~'2 еЛ2г+с +	2 /Л2г-С ]•	(2)
С Д$ = а [e*	2 «Л"2г-С + е~ш	2 /Л"2г+С].	О)
Примем id и г0 в качестве двух дополнительных произвольных постоянных и будем рассматривать с как некоторую неопределенную постоянную. Подставим равенства (2) и (3) в уравнение (1) и положим	— j в тех членах, которые зависят от М и N, и r = J
в других членах. Тогда будем иметь
2e"“’'riC2y+c[ey(2/+c+l + m)2+^(Afzey_<+Nz/z_y)] + + 2 еш *[/у (2/ - с + 1 + га)2 + 2	= 0.
§ 18.14. Приближенное значение с
399
Это равенство является тождеством, поэтому для любого значения J имеем
е, (2/+с + 1 + т)2 + 2	= 0,	(4)
Л (2/ - с + 1 + m)2+ 2 (Mtfj.i + N^.j) = 0.	(5)
Запишем равенство (4) в виде
ej[(2/+ с +1 + m)2+ Л!о]+V-/ + S'	= 0. (6)
Если заменить в уравнении (5) / на — j, то оно примет вид /_у1(2/+с-1-т)2 4-Л!0] +
+ ^/ + S'W_/-<+^/+/) = 0-	(7)
Исключая из уравнений (6) и (7) /мы получаем некоторое уравнение относительно е}. Аналогично, если исключить из уравнений (6) и (7) ву, то получим уравнение для fЭти уравнения могут быть решены методом последовательных приближений, т. е. методом, который использовался при определении а.] в § 18.07.
Из уравнений (6) и (7) видно, что при / = 0 существует некоторое линейное соотношение между е0, остальными е и всеми /. Очевидно, что для всех значений / мы можем определить величины е^ей и fjleQ. Поэтому предположим, что еп есть произвольная постоянная, причем четвертой произвольной постоянной будет ш.
§ 18.14.	Приближенное значение с
Из уравнений (6) и (7) предыдущего параграфа нетрудно усмотреть, что Cj/Cq и /_1/е0 являются малыми величинами по меньшей мере порядка т. Мы предположим, что порядок е^ей и f _;/е0 прогрессивно увеличивается с увеличением |/|. Положим в уравнениях (6) и (7) § 18.13 / = 0; тогда с точностью до малых порядка т2 будем иметь
е01(сЧ-1+ т)2 + Л4о1-|-^/о = О,	(1)
во^о + /о1(с — 1 — т)2Н-Л1о] = О,	(2)
откуда
[(с + 1 + т)2 + М0] [(с - 1 - т)2 + Л1о] - N*o = 0.	(3)
Это уравнение дает нам возможность определить постоянную с с точностью до малых порядка т2 включительно. Далее, из формул (8) и (14) § 18.12 с точностью до малых порядка т2 включительно
400
Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
имеем
2М0 = 1 + 2m +1 m2, ^ = 9Л1? — | m2.
Поэтому уравнение (3) примет вид
[с2 -(1 + т)2]2 + 2М0 [с2 + (1 + т)2] = 8Л1о т2, или
[с2 — (1 _|_т)2]2_|_2М0 [с2 - (1 + т)21 = 4М0 [2М0 - (1 + m)2J - т2.
Правая часть этого уравнения имеет порядок т2, поэтому с точностью до членов порядка m имеем
с = 1 + т.
Во втором приближении, которое определяется весьма легко, с оказывается равным
с = 1 + m — | m2.	(4)
Мы можем теперь вычислить постоянные ей/.
1)	/0. Из формул (2) и (4) находим, что
/о = е0 •	= 3 (1	m2) е0.
2)	e_i и /Р Положим в уравнениях (6) и (7) § 18.13 / = —1. Тогда с точностью до малых порядка т2 включительно будем иметь
«1 [(с— 1 + m)2+H40]4-AZ0/j = — М_1е0 —
А + Л 1(3 + m - с)2 + Afо) = - MJ0 - Л^.
Если выражение (4) для с подставить в последние уравнения и исключить из них /р то нетрудно найти е_Р С точностью до малых порядка m получим
e_j = —-у ше0.
После этого находим, что .	15
/i = -g-me0.
3)	Положим в уравнениях (6) и (7) § 18.13 /=1. Тогда легко увидеть, что и / } являются малыми порядка т2. Вообще, если г—положительное целое число, то е_г и fT имеют порядок m2r-1, а ег и /_г — порядок т2Г,
§ 18.15. Эвекция
401
§ 18.15.	Эвекция
В этом параграфе мы рассмотрим выражения для Да и As с точностью до малых порядка ш. При этом мы пренебрежем всеми коэффициентами ей/, кроме a_j и fx. Из формул (2) и (3) § 18.13 мы получаем
с-1	= е-(ш_j_ е_]Сс-2) +	^2-с)	(1)
С 4“ (*оС"с + г-1С2“С) + «“'“ ОоС' + Ле-2).	(2)
где I = У— 1. Кроме того, с точностью до малых порядка m имеем а = аС, $ = аС“1, так что р = а и, согласно формуле (2) § 18.11, fr\2 , । sA« + «As  , । C-1A«4-CAs
U + a’	—1 -r a
Поэтому при помощи формул (1) и (2) находим
(j)2 = 1 + 2 (в0 + /о)cos (с« — ®)+2 (е-i + /-1) cos [(с — 2) $ — ш].
Подставим сюда выражения /0, и fx через е0, выведенные в предыдущем параграфе. Положим е — 2е0 и воспользуемся формулой (5) § 18.09; тогда
1 — 2acos(c5— <о) — -у- mecos[(с—2)5 — “], откуда
£ = 14-1 е2—е cos (с? — <о) 4- -5- е2 cos 2 (с5 — <о) — 1R
----g-mecos((c — 2)?—ш].	(3)
В этой формуле постоянная е соответствует эксцентриситету эллиптической орбиты. Последний член, который пропорционален те. является наиболее значительным возмущением в радиусе-векторе, зависящем от т.
Рассмотрим теперь возмущения в долготе. В п. 2 § 18.10 мы обозначили уравнение центра через 0 (=v—nt — е) и имели
«2й — ц^~1 6 ~ «С ‘
Если 0о есть та часть 6, которая зависит только от т, а Д6—та часть, которая зависит от е, то
е21 (в,+Д9) — С1 («4* Ли)
C(s-I-As)
26 У. Смарт
402
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
откуда
или, поскольку с точностью до малых порядка m имеем «С-1 = s' = а. 2ZA9 = |(C-IA« + t;As).
Поэтому из формул (1) и (2) мы получим
AS = (е0 - /0) sin (с| - <о) 4-(е_, - fx) sin [(с - 2) ; - со], или, если ввести е, К
Д9 = 2е sin (с; — и)-me sin [(с — 2); — ш].	(4)
Последний член в этой формуле называется эвекцией.
§ 18.16. Движение перигея
Согласно предыдущему параграфу, уравнение центра 9 обозначается через 904-Д9. Часть 90 дается формулой (9) § 18.10 и, с точностью до малых порядка ш, 9о = О, т. е. и = л/-]-е. Используя выражение (4) предыдущего параграфа для Д9, мы с точностью до членов порядка m включительно имеем
v = nt + 2е sin (с!; — ш) + эвекция.
Кроме того, согласно формуле (3) § 18.15,
у = 1 в2—ecos (cl; — “)-!--§• e2cos2(c5 — ш)-|-эвекция.
Для мгновенной эллиптической орбиты, понимая под е эксцентриситет е, имеем
® = n/-|-2e sin М,
r = a^l +-§-e2 — ecosM-|-y e2cos2Afj,
где М (^nt-^-e — ш)— средняя аномалия.
Сравним аргументы, входящие в формулы для v и г, с величиной (с;—ш). Обозначим эту величину через ф. Тогда мы можем написать
ф = я/ + (1-^й-—1)я/-|-е —«Ьо,	(1)
где
&0 — C6j -|- (1 — с) е — to = const.
$ 18.18. Предварительные формулы
403
Сравнивая формулу (1) с выражением п/-|~е —т* е- с ^1, находим, что они отличаются друг от друга на величину
® — ®о 4“ (1
i-"Lm I 1 -f- m )
Используя формулу (4) § 18.14, получим с точностью до малых величин порядка т2
<й = ш0	m2nt.	(2)
Таким образом, долгота перигея увеличивается со скоростью
1+'т)
1 —
п или 3/4ш2/г. Из формулы (1) следует, что соотношение
между величиной с в настоящей теории и постоянной Понтекулана с
имеет вид
с = (1 -j-ш) с.
§ 18.17.	Замечания к предыдущим параграфам
В § 18.14 мы описали метод определения коэффициентов ej и fj в зависимости от ш и, как мы видели, этот метод включает в себя одновременное вычисление с. Очевидно, что эта работа является утомительной и трудоемкой даже в том случае, когда речь идет о первом и втором приближениях. Если бы мы нашли более точное численное значение с или представили его в виде ряда по степеням ш, например до членов порядка ш8, то в] и fj определялись бы с очень большой экономией труда. Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы описать независимый метод вычисления с. При этом потребуется перейти к новым координатам и вывести уравнение, определяющее с, для чего нужно будет рассмотреть некоторый бесконечный определитель.
§ 18.18.	Предварительные формулы
В системе осей, вращающихся с угловой скоростью nv уравнения движения точки Р(х, у) по промежуточной орбите СР (рис. 26) получаются из уравнений (8) и (9) § 18.03 в предположении, что 2 = 2 = 0. Они имеют вид
x — 2nly — 3n21x= — ^-,	(1)
y-t-2/ip;	= —-yr.	(2)
26*
404
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
или
где
	(3)
У + 2Л1Х = -^-,	(4)
^=7+4й^2-	(5)
Умножим уравнения (3) и (4) соответственно на х и у, сложим и проинтегрируем. В результате получим интеграл Якоби:
x2 + y2=‘u2 = 2F-|-ft,	(6)
где k — постоянная, v— скорость Р во вращающейся системе координат. Так как СР — часть промежуточной орбиты, то мы можем
Рис. 26.
считать, что координаты х плексные переменные и и $, Пусть касательная к СР
Тогда
и у, которые выражаются через ком-известны.
в точке Р образует с осью х угол ф.
x = vcos<|>, у = «з1пф. Для простоты мы положим
С = С05ф, S = sln$.
Из интеграла (6) имеем dF • dF . • дР
W = х -з—ну -з—. dt дх ' ду
(7)
Поэтому
дх 1 ду
(8)
$ 18.19. Интеграл Якоби в общем случае
405
Умножим уравнение (3) на у, а уравнение (4) на х и вычтем. Тогда получим
ху — ху+ 2ra^2 = 17 (—	+
Однако из равенств (7) немедленно находим
ху — ху = ®2ф.	(9)
Следовательно,
®(ф + 2Л1У---+	(Ю)
откуда, используя соотношение (8), получаем
® (Ф + 2«i) = —— S (xFxx 4- у Fxy) -j- С (xFxy 4- у Гу,) или
«4 4-2® (ф 4-я1)=(И) где
Р = ~ SC (Fxx - Fyy) 4- (С2 - S’) Fxy.	(12)
§ 18.19.	Интеграл Якоби в общем случае
Пусть на рис. 26 точка Q(X, У), соответствующая точке Р(х, у) промежуточной орбиты, лежит на действительной орбите, зависящей от четырех произвольных постоянных. Положим X = х-}-Ьх, У = у4~Ду. Тогда X, Y будут удовлетворять уравнениям (3) и (4) § 18.18, так что
X 4-	(М) — 2Я1 [у 4-	(Ду)] = Fx 4- bxFxx 4- ДуГЛу,
У 4-	(Ду) 4- 2»! (*4- 4 (д*)) = Fv+Дх/?жУ 4- Ду/--уг
Поэтом}' уравнения, которым удовлетворяют Дх и Ду, запишутся
£ (Дх) - 2Л14 (Ду) = bxFxx 4- Ду Fxy == ДГЖ,	(1)
(Ду) + 2Я14 (Дх) = ДхГжу + ДУ	(2)
Умножим уравнения (3) и (4) § 18.18 на -^-(Дх) и -^-(Ду), а уравнения (1) и (2) на х и у и сложим. Тогда мы будем иметь
2 [* 4- (Дх) + *	М =	(ДX) + Fy± (Ду) 4-
4- Дх (xFxx + у Fx у) + Ду (xFxy + у Fyy).
406
Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
Так как последние два члена можно записать в виде то мы получим
S 4-[i it <М=it	+w
ху
и. интегрируя, находим
х А (Дх) + у А. (Ду) в ДхГж + ДуFr	(3)
Постоянная интегрирования равна нулю, так как левая и правая части должны обращаться в нуль, когда Дх = Ду = 0.
Следует заметить, что Дх и Ду связаны с комплексными величинами Д« и Д$ предыдущих параграфов соотношениями
Д« = Дх + /Ду, Д$ = Дх— /Ду.	(4)
§ 18.20.	Переход к новым координатам
На рис. 26 РА — касательная к промежуточной орбите в точке Р и РВ— нормаль к РА, направленная в сторону возрастания угла ф. Пусть координаты точки Q, отнесенные к осям РА и РВ, суть р и q. Тогда
Ьх = рС — qS, hy — pS-\-qC	(1)
и
р = СДх-ф-5Ду, q = — £Дх-|-СДу.	(2)
Согласно уравнению (1),
-^-(Дх) = рС —— фДу,	(3)
4-(Ду) = р5 + ^ + фДх.	(4)
Умножим уравнение (3) на х, а уравнение (4) на у и сложим. Тогда, поскольку x = vC, y = vS, интеграл Якоби (3) § 18.19 примет вид
v(p-q^ = P (CFX + SF,) + q (- SFX+ CFy), или вследствие формул (8) и (10) § 18.18
v(p — <?'i) = pv + qv (ф + 2/ii)
§ 18.20. Переход к новым координатам	407
или, наконец, vp — pv= 2vq (ф 4- я1)-	(5)
Из равенств (3) и (4) имеем
С^(Дх)4-$^(Ду) = Р~Й.	(6)
-5-^(Дх)4-С-^(Ду)=д+Рф-	(7)
Продифференцируем равенство (7) и воспользуемся формулой (6). Тогда получим
- S-g- (Дх) + С-^- (Ду) =ф <Р ~ Й) + Р'Ф + РФ- (8) Но из уравнения (1) и (2) § 18.19, а также из приведенного выше равенства (6) имеем
Е = - 2пх (р - 4ф) - $ ДРХ 4- С
Поэтому равенство (8) примет вид
q + рф4-2р(ф4-«1)-9'Ф(Ф + 2п1) = -5ДРх4-СДРу. (9) Легко видеть, что правая часть этого уравнения равна pP -\-qQ. где Р дается формулой (12) § 18.18, a Q — равенством
Q = S2Fxx — 2С$Ржу4-С2Руу.	(10)
Уравнение (9) тогда примет вид
Я + Р (Ф — Р) + 2р (ф 4- »i) = Ч1Ф (Ф + 2«i) 4- Q1-Принимая во внимание формулу (11) § 18.18, получаем q — 2 (/> ~ — р j (ф 4- пх) = q [ф (ф 4- 2пх) 4- Q1 или, используя соотношение (5) § 18.20, q+ 4?(ф4-п1)2 = $4ф(ф4-2П1)4-3]-
Последнее уравнение мы запишем в виде ^4-(«-«1)г»-9' = 0.	(11)
где
(„ _ Я1)2 © = 4	„1)2 _ ф (ф + 2Я1) _ Q.	(12)
Найдем эквивалентное выражение для в следующим образом. Из формулы (8) § 18.18 имеем
v = CFx-±-SFy.
408
Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
Поэтому
v = ф (_ SFX + CFy) + С (xFxx + yFxy) + S (xFxy + yFyy) или вследствие формулы (10) § 18.18
V = ф (ф + 2«,)+(&FXX + 2CSFxy + &Fyy).
Это- последнее уравнение эквивалентно следующему:
“= Ф(Ф+2«i)+Fxjr-f-Fyy — Q.
Исключая Q из равенства (12), мы будем иметь
(«-«,)’ е=4+2 (i+»,)>+. оз)
В следующем параграфе мы представим в в виде функции и и s и в конечном счете в виде функции С- Как мы увидим, определение постоянной с связано с решением уравнения (11).
Предположим, что решение уравнения (11) q = q (t) содержит четыре произвольные постоянные. Тогда соответствующее выражение для р определится из уравнения (5) § 18.20, которое можно записать в виде
откуда
P = 2vf -^(Ф+яОЛ.
Как мы увидим в дальнейшем, v и ф выражаются через t или С. Поэтому р можно определить без труда. Значения Дх и Ду следуют из формул (1) § 18.20, а по ним определяются Да и Д$.
§ 18.21.	Функция О
Функция 0 определяется равенством (13) § 18.20. Проделаем следующие преобразования.
1)	v/v. Мы имеем
Далее, t>2 = as. Следовательно.
t> и е
§ 18.22. Уравнение для определения q
40Э
Кроме того, d!dt = i(n — n^D. Поэтому мы получим v Ь ъг,(Е>ги । D2s\ 1,	^(D2u . D2s\2
v— 2	D\ Du Ds) 4	П1) ( Du + Ds) ‘
2)	(Ф4~я1)- Мэ формулы (9) § 18.18 имеем ®2ф = ху — ху.
Так как 2x = u-\-s, 21у = и— s и v2 = us, то последнее равенство запишется в виде
'J* = 's~ =	+ "Ч•
2iv2	2i \ и	s /
Поэтому ; .	, .Г 1 (D2U D*S\ .	1
ф + «! = («-Я,)| 2 (рт--ог)+тг
3)	Fxx-\-Fyy. Из формулы (5) § 18.18 немедленно находим
Рхх + Fyy = $ + Зя? = (я - я,)2	+ Зт2),
так как, согласно формулам (8) и (9) § 18.04, Я1 = т(я— я/) И |Х —х(й— flj).
Подставляя эти формулы в уравнение (13) § 18.20, получаем q ( * । I о Г 1 (&2и D*s \ । 1г в==-Ь + т)+212(оТ—^г)+т] -
2U\ Du Ds )	4 \ Du Ds ) '
§ 18.22.	Уравнение для определения q
Перепишем уравнение (11) § 18.20 q' + (я — Я1)2 Qq = 0.
Его также можно записать в виде
D*q = 8q,	(1)
где в определяется формулой (1) предыдущего параграфа. В последнее уравнение подставим
« = 2я^+1, s =
и таким образом определим в как функцию от С и коэффициентов а. Из формулы (10) § 18.12 замечаем, что выражение
£ + га2.
410	Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
где r2~p2 = us, имеет вид 2S^c°s2Z;, причем коэффициенты Р( — известные функции ш. Как мы увидим далее, остальные ела* гаемые правой части равенства (1) § 18.21, определяющего функцию 0, имеют такую же форму. Поэтому в может быть написана следующим образом:
0 = 0q —20z cos 2; —202 cos 4;... ==^j0zC\
где =
§ 18.23.	Коэффициенты 0Z
Воспользуемся теперь результатами § 18.06 для произведения и частного рядов.
1)	Мы имеем
д2» 2(27+1)4^._у ОГ21
Du	'
откуда, как и в п. 8 § 18.06, могут быть получены коэффициенты Qt. Далее,
D2s _	2 <27 + О2 а/С"2/ _ 2 <27+ О2 «$ _
Ds	2 (27 + О ~2J	2 <27 +1)
Следовательно,
т. е. Е имеет вид 2^>/cos2Z«. Легко видеть, что здесь Q0=l. Записывая Е в виде
^=2(Qi+Q-/)C2'=2Svz!:2/,
где Vo—1 и 2Vt =Q/H-Q_/t мы будем иметь
р _ 1 ( D3u D*s\_. у .21
где сумма 1 ш обозначена через Vo. Следовательно,
E?=2^.2vrc2r=S^2/.
Коэффициенты W могут быть определены с помощью метода, изложенного в п. 1 § 18.06, сначала как функции коэффициентов V,
§ 18.24. Вид функции q
411
а затем как функции величин Q. Поскольку Ех представляется рядом по косинусам, так же, как и £?, то Wi = W_t.
Поэтому
df = 22/qz(c2z+C'2').
т. е. DF имеет вид 2ЛСО82/;.
3) Последний член в выражении 0 есть Л2, который, как легко видеть, разлагается в ряд по косинусам.
Вычисления Хилла с точностью до малых порядка ш5 включительно привели к следующим выражениям 0(), 0, и 02 через коэффициенты а\
0q= l-|-2m —2 m2 + "2 ni2a1-|-54a2-|-(12—4т)й1й_1-|-(6—
0, = (6 + 12т) ах + (6 + 8т) а_х — т2.
02 = 2Ота2 + (16Н- 20т) й_2 — (9-|- 40т) й2 + 6й1й_1 + + (7 + 4т) «2_1 — 4 т2 (ах — а_х).
Таким образом, коэффициенты 0 можно вычислить, если в эти выражения подставить числовое значение т. Заметим, что 0Z имеет порядок /»12/1.
§ 18.24. Вид функции q
Вспомним, что q есть дифференциал длины нормали в точке Р (см. рис. 26), связанный с Дх и Ду первой формулой (2) § 18.20, которую мы запишем, используя обозначения C = xjv и 5 = у/t», в виде
Выразим х и у через и и $ и подставим Дх и Ду из соотношений 2 Дх = Д« + Дз, 21 Ау — Аи — As.
Тогда получим
?= iДм ~ “ Дг?)=Iе Ds • в’1 д") -с"’Du • G М- О)
Таким образом мы свяжем q с выражениями С-1 Ди и СДз, определяемыми равенствами (2) и (3) § 18.13, которые запишем, учитывая
412	Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
для удобства только члены с коэффициентами е, в виде
С'1Д« = 2^Л2г+с, Us = 2^r+C-
где Ff = erexp[—<о—1], а Е' и Cj—комплексные величины, сопряженные с Е и С соответственно. Поэтому
С Ds  (С-1 Да) = - [2 (21 + 1) «/Г2'][2 ЯЛ2г+1 =
=22(2/4-1) а а+л27+с-
Аналогично
С-1 Де • (Us) = 2 2 (2/4-1) ari+J С1У+С-
Следовательно, выражение, стоящее внутри квадратных скобок в формуле (1), имеет вид
2 Pj cos 1(2/ 4- с) 5-ш], где P_j — Pj.
С другой стороны,
v2 = — (п — n,)2 Du • Ds.
Легко видеть, что v можно представить в виде 2 Qk cos 2А£ и, кроме того, что 1/® имеет такой же вид. Отсюда следует, что q в формуле (1) должно выражаться так:
q — 2 Pj cos [(2/4“ с) 5
или, вводя величину С, в таком виде:
9' = 2^27+С4-2^2У-С-	(2)
Включение членов с коэффициентами /, фигурирующих в равенствах (2) и (3) § 18.13, приводит к аналогичным результатам. Таким образом, формула (2) дает общий вид функции q, причем две дополнительные постоянные интегрирования входят в коэффициенты bjH dj.
§ 18.25. Уравнение для определения с как функции ш
Согласно формулам (1) и (2) § 18.22, уравнение для q имеет вид
О2? = ^2в^2*,	(1)
где k — целое число. Подставим в это уравнение общее выражение q по формуле (2) § 18.22. Тогда мы будем иметь
2 (2/ 4- с)2 ^2/+с 4- 2 (2/ — с)2	=
=22	+2г+с+22 0лс2*+2/-с=
= 22©y-AC2y+c+22ey-^-c.
§ 18.25. Уравнение для определения с как функции m
413
Приравнивая коэффициенты при С2^+с> мы получаем
(2/ + с)2^ = 207-,А.	(2)
Аналогично, приравнивая коэффициенты при находим
(2/-c)2d7 = 2e>-A
или, заменяя / на — /и /на —in вспоминая, что 0_ft = 0ft, (2/+c)2d_7 = 207-^-/.	(3)
Уравнение, служащее для непосредственного определения с в виде функции ш, получается путем исключения коэффициентов b из бесконечной системы линейных уравнений (2). Это же уравнение можно получить, если из бесконечной системы линейных уравнений (3) исключить величины d. Поэтому мы можем рассмотреть лишь систему (2), которую запишем в виде
• • • - 02^_2 - ©Л- j + Кс + 2/)2 - 0О] bj -
O^+1 02fy+2—. ..=0.	(4)
Каждое уравнение этой системы разделим на 4/2— 0О. Полагая последовательно /=..., —2, —1, 0, 4-1, 4-2.......мы получим со-
вокупность линейных уравнений относительно коэффициентов Ь. Если мы допустим, что к бесконечной системе уравнений (4) применимо правило, которое обычно используется при решении конечной системы, то, исключая величины Ь, получаем уравнение
Д(с) = 0,	(5)
где через А (с) обозначен следующий симметричный определитель бесконечного порядка:
Д(С>=
						
		в1	в,	в.	©<	
	4»-90	v-е,	4’ —©о	4»-в,	4»-©о	
	«1	(с —2)»—©0	6,	в.	в.	
	2»-0,	2’—©0	2»-е0	2»-е,	2’ —в.	
	е,	е,	с’-в»	в.	©о	• (6)
	№-в0	О’-©,	О’-©»	О’—©о	О’ —©о	
	е.	е»		(с+2)«-е0	0!	
	2’ —©о	2’-е(1	2’ —©о	2’- ©о	2’-©о	
		©>	е.	в!	(с + 4?-©о	
	4»-©о	4’-е0	4’-во	4’-в.	4» —©о ’	
Очевидно, что уравнение (5) имеет бесконечное число корней. Однако тот корень, который мы ищем, лежит вблизи единицы, и приближенное его значение, найденное § 18.14, равно 1-j-m— 3/4m2.
414
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Заметим, что бесконечные определители были впервые введены в математику Хиллом в связи с настоящим исследованием. Мы будем предполагать, что этот определитель сходится. В результате деления (4) на 4J2 — 0О элементы определителя, лежащие на главной диагонали, будут стремиться к единице при J, стремящемся к бесконечности, если с является заданной величиной.
§ 18.26.	Кории уравнения Л(с) = 0
1)	Если с0 — корень уравнения Д(с) = 0, то —с0 будет также корнем этого уравнения. Если в уравнении (4) § 18.25 заменить J на —J, то мы получим
2	+Кс-2у)2-0о],-...= 0.
Коэффициент при b_f может быть записан в виде [(—с)-(-2/]2— 0О, и поэтому, исключив величины Ь, мы получим Д(—с) = 0, так как знаменатели элементов определителя остаются неизменными. Корни уравнения Д(с) —0, таким образом, составляют пары чисел, отличающихся только знаком, и поэтому уравнение можно рассматривать как уравнение относительно с2.
2)	Если с0 — корень уравнения, то величины с0 ± 2г, где г — положительное целое число, также будут корнями этого уравнения. Напишем в уравнении (4) § 18.25 c-j-2J в виде (с — 2 —2(./-j- 1)]. Тогда мы будем иметь
...	...=о.
Если разделить эти уравнения на [4 (У —I)2 — 0О] и исключить из них величины Ь, то найдем, что Д(с — 2) = 0. Точно так же получим Д(с-|-2) = 0. Повторяя этот прием, мы придем к следующему равенству:
Д (с ± 2г) = О,
так что, если с0 — корень, то величины с0 ± 2г будут также корнями.
3)	Корни уравнения Д (с) = 0 являются также корнями следующего уравнения:
cos кс — cos кс0 = 0.
Корни этого уравнения суть с = с0 ± 2г. Поэтому мы должны иметь
Д (С) = k (COS КС — COS KCq),	(1)
где k не зависит от с.
# 18.26. Корни уравнения А (с) — О
415
4)	Определитель До (с). Будем обозначать через Дэ(с) определитель Д(с), когда в нем величины 0Р 02, ... полагаются равными нулю. Тогда Д0(с) просто является произведением элементов, лежащих на главной диагонали определителя Д (с). Пусть Ту и Т_у означают два диагональных элемента, соответствующих заданному значению J. Тогда
Ао(с) = 7’оП(Ъ7'-;)-
где То = 1 — (с2/0о). Для удобства мы положим
0О = 4ГА	(2)
после чего получим
тт — <с + 2Д2 — 402 <с — 2»2 — 402
1 j -1~	4(72—О2)		4(у2—02)	•
Это равенство, если в нем несколько преобразовать числители и знаменатели, как легко видеть, примет вид
т т _ с2-(2/4-26)» с»-(-2/4-20)*
}	4(/4-0)2	•	4(-/4-0)2	•
Поэтому, так как То = 1 — (с2^2), то
оо
До(с) “Ilf1 — 4(74-0)2 ]’ — 00
Согласно хорошо известной теореме анализа, имеем
СО
cos х — cos у тт Г, х1 1
1 — cos у ~ 11 L (У 4- 2*7)2 J 
Положим в этом равенстве x = icc, у = 2я9 = к у/’0о. Тогда coskc-cosGc^.
5)	Уравнение для определения с0. Пусть Д"(с) означает симметричный определитель с 2л4~1 строками и столбцами, получаемый из определителя (6) § 18.25. Если п очень велико, то мы с достаточной степенью точности можем записать формулу (1) в виде
Д" (с) = k (cos кс — cos кс0).	(4)
Это равенство в таком случае будет достаточно строгим при всех значениях с. Следовательно, величина k может быть получена путем приравнивания коэффициента при наивысшей степени с в Д”(с) коэффициенту при соответствующей степени с в разложении cos яс в бесконечное произведение. Далее, коэффициент при высшей степени с
416
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
в определителе А" (с) получается из элементов, лежащих на главной диагонали, и совпадает с коэффициентом при высшей степени с симметричного определителя А" (с) с 2п -|- 1 строками и всеми элементами, лежащими вне главной диагонали, равными нулю. Поэтому из формул (3) и (4) получаем
k ~ 1 —cos (я/0о) ' Следовательно»
д /q\_ COS ICC COS KCq
1 —COsGt/”^) ‘
Это последнее уравнение является справедливым при всех значениях с, так что, если с = 0, то
sin» кс0
А(0) =-----/Г _<•	(7)
sin2 0о]
Это уравнение выражает с0 через определитель Д(0). Вычисление с0 связано, таким образом, с вычислением определителя А(0), который мы запишем в виде
А(0) =	•	•	•	•	• .	Со	Со	Со	Со	— . tO	о	•— •	ф	ф	ф	ф U	СО	to	**	*	м	«	ем	сО 	ф	ф	ф	ф	' •	oq* - oq*	cq	oq	• •	1 III-	—&2^2	—&2®3 -ад -вхе2 1	-Bo0,		•	•	•	«	• ** co cm *	ф	ф	ф	Ф ем	о ** •	oq	oq	oq	oq	- -Illi	. (8)
			-Bi©, -B202 -	1 -B201		
где		4p	i _ -6o “4(У2	J	 — 02) 		(9)
§ 18.27.	Вычисление Д (0)
Перед тем как вычислять А(0), напомним, что коэффициенты 0у являются малыми величинами порядка ш2А где J — положительное число. Например, если ограничить наши вычисления членами порядка т4 включительно, то ясно, что все элементы, включающие 0Г при г > 2, можно отбросить. Тогда А (0) фактически приведется к главной диагонали и другим элементам, имеющим множитель 0V Поэтому можно видеть, что
Д(0)== 1 -j- Д0? + (В01+С0?02 + О0?)+ .... (О
§ 18.27. Вычисление Л(0)
417
где коэффициент А является малой величиной порядка ш*. Члены, заключенные в скоСки, имеют порядок т8 и т. д. Таким образом, Д (0) сходится очень быстро.
Коэффициент А состоит из произведений членов вида —BjBj_v т. е.
А—
— 00 Далее,
= 16(02 — /») [в» —(/—I)»] •
Правую часть этого равенства легко можно выразить через элементарные дроби, в следующем виде:
1 &х1 ~20(20 — 1)(0^/ + 0 + /—1) — 20(20 + 1) (о+7 + 0“У + 1)’
Воспользовавшись известной формулой
*ctgit<p =	7+7’	(2)
— СО найдем
Sy   1 Г 2я ctg я0	2я ctg я01
Л1~ 320 L 20 — 1	20 + 1 J
и Л _ я ctg я0 А—~ 80 (402_ ц •
Таким образом, опуская члены с В, С и D и т. д.. получаем следующее приближенное значение для Д(0):
яв, ctg (4яК^)
Д (0) = 1 -|------г__ > .	(3)
4(1 —в0) Иво
Так как 1— в0— малая величина порядка ш, то (1 — 0О)-1 ctg 'АУ^о имеет нулевой порядок. Следовательно, формула (3) дает выражение для Д(0) с точностью до т7 включительно.
Члены с В, С, D в выражении (1) могут быть преобразованы аналогичным образом; другими словами, мы можем, используя формулу (2), разложить такие члены на элементарные дроби и получить для них конечные выражения вида (3). Очевидно, это преобразование является более сложным, чем вывод выражения для А в формуле (1), и мы отсылаем читателя для ознакомления с подробностями к «Теории Луны» Брауна *).
’) Е. W. Brown, Lunar Theory, р. 223.
27 У- Смарт
418
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
§ 18.28.	Вычисление с
Если ш известно, то можно найти величины 0О, 0,. Тогда численное значение А (0) может быть получено при помощи формулы (3) § 18.27 с требуемой степенью точности.
Мы видели, что корни уравнения Д (с) = 0, если опустить индекс 0, имеют вид с ± 2г, где г — целое число. Выберем в качестве главного значения корня значение с, ближайшее к единице, так как именно это значение с определяет движение перигея Луны.
Когда Д(0) вычислен, то значение для с с точностью до т7 включительно получается от формулы
sin2yirc = Д (0)sin2^ те )/0^j.
Значение с, найденное таким образом, равно
с =1,0715838.
Принимая во внимание члены более высокого порядка в разложении Д(0), Хилл с точностью до 15 знака после запятой получил
с= 1,071583277416012.
§ 18.29.	Общее решение, зависящее от ш
Интересующие нас уравнения (9) и (10) § 18.05 имеют вид
D(uDs— s Du—2mas)4*y m2(«2 — s2) = 0,	(1)
D2 (us) — Du • Ds 4- 2m (s Du — и Ds) + j m2(a -f- s)2 = C. (2)
Согласно § 18.13, приближенное решение эквивалентных им уравнений, выраженное через Да и As, имеет вид и 4- Да и $4-Д$. где а и s—функции, соответствующие промежуточной орбите; Да выражается формулой
С’1 Да =	2 eA2/+c4-*“r“l 2	(3)
а С As имеет аналогичный вид. Первую сумму в формуле (3) мы запишем в виде
где
С$=ехр[/=Т(с|-«)].	(4)
Далее,
с? — ш = с (п — «j) (t —10) — ш = с (л — «j) (t — ^),	(5)
$ 18.29. Общее решение, зависящее от m
419
где
с (я — n,) tx = с (л — /I,) tq	(0.
Поэтому
С0=ехр[/^Т(п — п1)(^(6)
Таким образом, величину можно рассматривать как произвольную постоянную, заменяющую ш.
Из формулы (3) мы видим, что решение уравнений (1) и (2) с точностью до первых степеней Да и As может быть записано в виде
« = а S •^2<+pcC2/+1CoC'
где р — —1, 0, 4-1, причем р = 0 соответствует промежуточной орбите, и поэтому Л2, = аг.
Общее решение уравнений (1) и (2), когда учитываются все степени Да и Д$, имеют вид (7), где р принимает любое целое значение, положительное или отрицательное, включая и нуль.
Если Do означает оператор ^(d/cK^), то мы имеем
Поэтому
D (С2/+1^) = (2/ 4-1 + pc) C2Z+,Coc и
D2 (C2Z+’^) = (2/ +1 + pcj2 С2/+1СГ
Положим Со = С и запишем формулы (7) в виде
г'«=а22л>1+„|;!'+'.
с,=а22л„+д,с-®»<”>.	(8)
i р
Подставим эти выражения в уравнения (1) и (2) и приравняем коэффициенты в обеих частях полученных равенств при одинаковых степенях С. Мы получим линейные уравнения для коэффициентов А, из которых методом последовательных приближений могут быть найдены выражения для А в виде функций m и с и одного из этих коэффициентов, соответствующего е0 в § 18.13, Методика определения коэффициентов А аналогична той, которая применялась при определении коэффициентов at, соответствующих промежуточной орбите. Эта методика приводится в теории Луны Брауна1),
*) Е. W. Brown, Lunar Theory, р. 207,
27*
420
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
§ 18.30.	Уравнение для определения широт
Если пренебречь эксцентриситетом орбиты Солнца и его параллаксом, то W = 0, и уравнение для определения широты, согласно формуле (13) § 18.04, будет иметь вид
D2z-(^- + m2)z = 0.	(1)
Далее, r2==«s-|-z2. Если отбросить г2, то г2—us и согласно формуле (7) § 18.12 будем иметь
-^ + т2 = ^м]&,	(2)
где = Однако z есть малая порядка у, где f = tg / и в невозмущенном движении z представляется рядом синусов. Пусть Z = lz, где 1-=У—1. Тогда из уравнений (1) и (2) получим
D2Z=2(2Af/?)Z.	(3)
Это уравнение имеет ту же форму, что и уравнение (1) § 18.22, и его решение, зависящее от произвольных постоянных т и р, имеет вид
Z^ap'^C;,2^.	(4)
Величина z равна мнимой части выражения (4), т. е.
* = a-r2C7sin[(2/ + g)l- + p],	(5)
где постоянную Со без ограничения общности можно положить равной единице. Подставляя выражение (4) в уравнение (3) и приравнивая друг другу коэффициенты при в левой и правой частях, мы обычным путем получим
(g+2/)2Cy = 2 2^_<C/.	(6)
Если в этом уравнении Cj заменить на bj, g— на с и 2Mj_t — на то получим уравнение вида (2) § 18.25. Поэтому метод определения g совпадает с методом определения с, и при этом определяющее уравнение будет иметь вид
A(g) = 0.	(7)
Например, с точностью до малых порядка т3 включительно найдено, что
g= 1 + m -J-1 m2—Ц- m3.	(8)
Этот корень уравнения (7) близок к единице и согласуется с наблюдаемыми возмущениями в узле орбиты Луны. Численное значе
J 18.31. Движение узла в первом приближении
421
ние g впервые было дано Адамсом !). Оно равно
g= 1,085171392746869.
Выражая g через m по формуле (8), мы можем легко получить методом последовательных приближений выражения для С, в виде функций т. Например, так как Со = 1, Л4/ = Л1_/ и М( — малая величина порядка щМ, то, полагая в формуле (6) / = 0, находим
| g2 - Л1о = М, (С, 4- С_,) + Л12 (С2 + С.,) + ....
Аналогично при /=1 и / = —1 имеем
[j (g + 2)2 - AloJc^AMl +С2) + Л12С_1-|_ ....	(9)
[|(g-2)2-Alo]c_1 = Al1(l+C_2)-|-Al2CI+ ....	(10)
Далее, согласно формуле (8) § 18.12, с точностью до членов порядка т2 включительно 2Л10 = 1 4~ 2m 4~ % ni2. Коэффициент при С, в уравнении (9), таким образом, имеет вид а + £т 4-dm2. Поэтому С, — малая порядка т2. Кроме того, коэффициент при С_} в уравнении (10) имеет вид am-|-ftm2. Поэтому С_, будет малой величиной порядка т, н легко видеть, что с точностью до членов порядка m C_i = — 3/8т. В общем случае, когда J положительно, С] — малая порядка m2A a C_j — малая порядка т2^"1.
§ 18.31.	Движение узла в первом приближении
Пусть I (= nt 4- «) — средняя долгота Луны и 6 — ее широта. Тогда, если пренебречь эксцентриситетом орбиты Луны, то
tg 9 = tg Z sin (Z — 2) = f sin (»f 4“ 8 — 2)*
Кроме того, z = rtg9, где г = usz2. Если рассматривать только члены первого порядка, то г=а и
z = aYSin(«f 4~ 8 — 2)-	(1)
Согласно формуле (5) § 18.30, главный член в z при / = 0 записывается так:
z = a7sin(gB4-P).	(2)
Но
*)Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 38, 43 (1877).
422
Глава 18. Теория Луны Хилла —Брауна
Поэтому
g5+? = »# + ®— Ц) + ( j jm— где
— 20 = (?—!) «+ ₽—g®i-
Сравнение формул (1) н (2) показывает, что
2 — 20 — ant, где
С точностью до малых порядка a==_m2__m3.	(4)
Вековой член в формуле, определяющей попятное движение узла, имеет вид
2 — — ап.
§ 18.32.	Общая картина движения узла
Пусть (=«]£+ei) — средняя долгота Солнца относительно фиксированных осей, лежащих в основной плоскости. Если X, Y означают координаты Луны по отношению к этим осям, то
X = х cos 1Х — у sin Y = х sin 1Х + У cos h-
Пусть, далее,
U = X + iY, S — X—IY,	(1)
тогда
U — (хly) eil', S = (x — ly)e~ili,	(2)
но
/i = nxt+et = m (n — »j) t + ®i = m (n — nJ (t — tj -f- 8, где
8 = m(n— »i)^o + 81-
Поэто му
/j = m? -|- 8.
Положим d = els, dx = e~tt, тогда формулы (2) примут вид
U = du£a,	V = d1sC"m,	(3)
или
{/ = й?5агС2/+1+”
^=^2«Л-(2/+1+п,).	(4)
§ 18.32. Общая картина движения узла
423
Если 5, т), С означает текущие координаты относительно неподвижных осей OX, OY, OZ, то уравнение мгновенной плоскости, проходящей через точку О (Земля), Луну и вектор скорости Луны, имеет вид
с Z
Z
5 V X У
X У
= 0.
Эта плоскость пересекает основную плоскость С = 0 по прямой, уравнение которой записывается в виде
5 (YZ — YZ) = т) (XZ — XZ).
Долгота узла, измеряемая от оси ОХ, определяется из равенства 1g2 = T|/$. Поэтому
yz—yz xz—Xz ’
tg2 =
откуда, заменяя Z через z, при помощи формул (1) находим е2/а = Uz — z(j = UDz—zDU	(б)
Sz — z& SDz — zDS '	4 7
Согласно формуле (5) § 18.30, z = Cr A2r+i - C<'V(2'+i).
Пусть СТ(^ = КТ, Сге~19 = К'Г, так что Кг» Кг являются комплексно сопряженными величинами. Тогда
— z = V	К? - Г*	К'-Л2'-
Из этого уравнения и формул (4) после некоторых упрощений мы находим
(UDz - zDU) = Л1+ш-*	(2/-4г+1 + m-H) “М-/? -
‘	г j
— Л1+п,+* S (2/- 4r +1 + m -g) aj_rKr&. Г J
Пусть el? = b, e-W-b^. Тогда Kr = bCr, к'г = ЬхСт. Пусть далее Pyr-=(2/-4r+l + m + g)ay_rC_r,	(6)
Qyr = (2/-4r+l + m-g)ay_rCr	(7)
424
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Так как значения коэффициентов а и С предполагаются известными, то мы можем вычислить коэффициенты Р и Q. Мы получим
— (UDz — zDU) = b' dC1+m-g aT
(8)
. r 1
Поскольку знаменатель в правой части равенства (5) является сопряженным числителю, то
— (SDz — zDS) = Ш1""1"1 аТ
(9)
. г J
Если заменить b н d их экспоненциальными выражениями, то уравнение (5) примет вид
2/(2—8+₽)___r2(l+m-g) Р
е ’
(Ю)
где через F и Fx обозначены выражения, заключенные в квадратные скобки правых частей формул (8) и (9) соответственно.
Так как а0 = С0=1, то Р0>0, согласно формуле (6), равно 1-f-m-f-g. Из формулы (8) § 18.30 видно, что POiO имеет нулевой порядок относительно т. Аналогично находим, что Q0>0 является величиной второго порядка.
Пусть
Г	г
Тогда
рЕ=1+2//?л27 - *2S s£g+2i-	<12>
Если коэффициенты R и S разложить в ряды по степеням m и умножить формулу (12) на POiO, то F можно будет записать в виде
F = 1m Л (С) + т2В (С)-|- ..., где А (С), В (С), ... — функции С. Поэтому можно написать
In F = та (С) + m2ft (С) -f~ .... где
а(С) = Л(С), Й(С) = В(С)-|[Л(С)12 и т. д. Аналогично
In F] = ma (Ci) + m2ft (СО 4- ....
Из равенства (10) поэтому мы получаем
e-.8+₽=(i+ni-gH+
+ £к(С)-«(С01+-^Р(С)-*(С1))+.... (13)
Очевидно, что правая часть этого равенства является рядом по синусам.
§ 18.33. Возмущения, зависящие от m
425
В качестве примера мы выведем формулу для 2. когда в F и отброшены члены с га2 и более высокими степенями ш. Согласно формуле (12),
f=i+/?1c2+/?_1c-2+ ... -^(So+S^-l-S-iC-2)... .
Легко видеть, что в этом разложении единственным коэффициентом порядка m является Главная часть равна (1/FO>O)Q_1> _Р Из формул (6) и (7) мы с точностью до малых порядка ш2 находим
или, так как С_,=— 3/8т, то 5_i = — 3/8ш/. Поэтому F=l+|m/^2g"2.	(14)
Выражение для F, совпадет с (14), если С и b заменить на Cj и bv Мы поэтому получим аналогично равенству (13)
2 — 8	— (1 -|_ m - g)$ = | п>/. [Л2*-2 —	* *2] =
= |m/sinl(2g —2)е + 2₽].
Следовательно, движение узла выразится формулой
2 = _an + |(g_l)T^Lr. 3+H^|cos[(2g-2)?-b2₽], (15) где а определяется равенством (3) или (4) § 18.31. Так как g=l-|-+ m 4- .... то амплитуда периодического члена имеет порядок т2. Периодические члены более высокого порядка могут быть получены при помощи только что описанного приема.
§ 18.33.	Возмущения, зависящие от ш и эксцентриситета орбиты Солнца ег
Мы будем пренебрегать величинами z, а/аг и эксцентриситетом лунной орбиты е. Согласно формуле (1) § 18.03,
и поэтому функция 2, определяемая равенством (5) § 18.03, будет выражаться формулой
2 == п1г2 (тг)3 (а) - 4 "1 <2*2 - >'2 -
426
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
а функция W [s (п—я,)8]’ опРеДеляемая формулой (10) § 18.04, будет иметь вид
F = 2т2г2	Р2 (а) — т2 (Зх2 — г2).
Так как г2Р2 (а) = 3/2г2С2—угг2, где С=cos а, то согласно формуле (2) § 18.03
гС ХХ' + УУ'
Пусть г»! означает истинную долготу Солнца. Тогда
*1 = ricos ?• У1 — risin ?• где
= — nx(t — Q = /! — Mv	(1)
Поэтому
rC = у (и -|- s) cos <р 4- (и — s) sin <Р = у (ие-^4- se{f).
Следовательно, если заменить г2 на us, то W примет вид
W = Au2 -f- 2Bus 4- Cs2,	(2)
где
<4>
(5)
Так как z = 0 и W — однородная квадратичная функция и и $. то уравнения (14) и (17) § 18.04 принимают вид
D(uDs— sDu— 2m es)-]--^ m2(«2 — s2) = s	— м (6)
D2(us) — Du • Ds4-2m(sDu — uDs)-\-4-4m2(«4-s)2==/C-3UZ4-D-1(D/IF),	(7)
где Dt означает операцию D, соответствующую дифференцированию по времени t, входящему посредством координат Солнца, н где вместо С записана К (постоянная интегрирования).
Члены в правой части уравнения (6) таковы:
2Cs2 — 2 Ли2,	(8)
§ 18.34. Функции А, В и С
427
а члены в правой части уравнения (7) имеют вид
—3 (Яй2 -|- 2Bus -|- Cs2) 4- D-1 (и2 DA + 2as DB + s2 DC), (9) причем постоянная К опущена, так как мы уже ввели постоянную в случае промежуточной орбиты при W — 0.
§ 18.34.	Функции А, В и С
Определение <р по формуле (1) § 18.33 показывает, что <р явля* ется уравнением центра, так что <р = fx—Mx, где fx и Aft — соответственно истинная и средняя аномалии Солнца. Таким образом, функции координат Солнца, входящие в А, В л С, могут быть выражены через AfP
1)	В. В случае эллиптического движения мы можем написать общую формулу
оо
(7 )3 — 1 = “° +2	“р cos рМ = S аРе‘рМ’
где а._р = а.р. Поэтому для орбиты Солнца мы имеем
B=4m2£aX^.	(О
где коэффициенты ар, вообще говоря, являются рядами по степеням ег и имеют порядок eJP1, и их явные выражения могут быть получены обычным способом.
2)	А н С. Из формул (3) н (4) § 18.33, опуская временно индекс 1, мы имеем
С + Л = 4п12[(£)3со82?-1],	(2)
С—^ = -|-Zm2^yj3sin2<pj.	(3)
Далее, <р (= / — Af) может быть представлено тригонометрическим рядом с аргументами, кратными М, Известно, что функция в квадратных скобках формулы (2) может быть разложена в ряд вида
(y)3cos2c? —1 =^ppcos/>Af,	(4)
где коэффициенты Рр(—оо < р <оо) выражаются через ех. Кроме того,
(y)3sin 2<р= PpslnpA4,	(5)
428
Глава 18. Теория Луны Хилла—Брауна
так как, согласно формулам (2) — (5), поскольку А и С—сопряженные величины,
с^п^рх^1-	<в)
А =	.	(7)
Здесь индекс 1 снова восстановлен.
Далее, Л1, = л1(/ — — &v где &х— долгота перигея солнечной орбиты. Кроме того, так как ? = (« — n^(t—t0) и л1 = т(я— пх), то
/И1 =	— йр
Обозначим е~,Р*< через Lp. Тогда eipM' =Lp^pm, и из формул (6), (7) и (1) будем иметь
А=^т^_рЬрГГ,
(8)
C = ^m^pLptr.
Поскольку в этих формулах С'"” везде сопровождается множителем Lp, то в последующем изложении мы можем этот множитель опустить, введя его снова после того, как будет сделан переход к действительным переменным х и у.
§ 18.35.	Неравенства, зависящие от m и ех
Решение уравнений (6) и (7) § 18.33 имеют вид
« = а22А,РС2/+1+рш. z р
з=а22А,рС"<2/+1+/,т).	(1)
i Р
Если эти выражения для и и s подставить в уравнения (6) и (7) § 18.33 и приравнять друг другу коэффициенты в левых и правых частях при £2<+1+/’т> т0 мы получим линейные уравнения для А, которые могут быть решены методом последовательных приближений.
Заметим, что если р = 0, то мы получим решение, соответствующее промежуточной орбите, с которой, согласно уравнению (7) § 18.33, связана постоянная К, так как тогда Al0 = ai.
Другое замечание относится к правой части уравнения (7) § 18.33, в которой фигурирует оператор D-1. Интересующие нас члены
§ /8.36. Параллактические неравенства
429
входят в выражение (9) § 18.33. Рассмотрим сначала член Л-1(«2РЛ). Согласно первой формуле (8) § 18.34, DA имеет вид 2'Тр^- где штрих означает, что р Ф 0. Согласно первой формуле (1), и2 может быть разложено в ряд вида
225мС2/+/’ш.
* р
Поэтому u2DA будет иметь вид
32С/,рС2<+рп'.
где р 4s 0. В таком случае получим
Так как го иррационально, то 2/ -|- pm Ф 0. Наименьшее абсолютное значение знаменателя достигается при 1 = 0 и р=+ 1. Соответственно порядок коэффициентов COtl и С0( _j (например, т?), снижается до т«-1.
§ 18.36.	Параллактические неравенства
Эти неравенства зависят от m и 1/а,. Соответственно этому положим г —О и е1 = 0, так что rt = av Кроме того, И72 = 0 и DtW = 0. Мы тогда будем иметь
W = lF3-f- 1F4, где
Г3 = 2m2 ~ Р3 (a), Г4 = 2m2 4- Р4 (а). ai	а\
причем мы опустили множитель (£—	связанный с l/at
в W3, и квадрат этого множителя, связанный с 1/а2 в W*. Далее,
rC=г cos а = х — у (а +$).
Поэтому, так как
/>з(а) = 4сз-|с, />4(а)==^.С4-4с2 + 4, мы получаем
’Гз = -^-15(и3+д3)4-Зв5(« + «)],	(1)
[36 (и4 + s4) + 20«$ (и + s)2 4- 18«MJ.	(2)
64ef
433
Глава 18. Теория Луны Хилла — Брауна
Уравнения (14) и (17) § 18.04, которые нам нужно решить, приводятся в данном случае к виду
D(uDs — sDu — 2mus)-|- 4 m2(«2 — s2) = s — и ,	(3)
&	OS	OIL
D2(us) — Da • Ds-|-2m (sDa — aDs)+ 4-|m2(a + s)2 = C-4UZ3-5UZ4.	(4)
Если вместо и и s мы подставим в уравнения (3) и (4) степенные ряды относительно С, то левые части будут содержать члены с четными степенями С. Рассмотрим члены, зависящие от в правых частях уравнений (3) и (4), причем в (3) W = UZ4. В каждом случае мы будем иметь однородную кубическую функцию относительно и и s. Такие члены могут привести к четным степеням С только в том случае, если ряды, связанные с W3, т. е. с 1/а,, будут содержать члены только с четными степенями С. Аналогично легко видеть, что ряды для и и $, связанные с UZ4, будут состоять из членов с нечетными и четными степенями С.
Общее решение уравнении (3) и (4) должно включать в себя решение, соответствующее промежуточной орбите, когда 1/а, = 0, и может быть записано в виде
e = aSazC2Z+1 + aS^7’
s = aSa<C-(2Z+1>4-a3Bp',	(5)
где коэффициенты В зависят от 1/а, и 1/а2. Подставляя выражения (5) в уравнения (3) и (4) и приравнивая в правой н левой частях полученных равенств коэффициенты при одинаковых степенях С, мы получим линейные уравнения относительно В, в которые входят величины m (посредством коэффициентов а), 1/а, и 1/а2. Решении этих уравнений в первом приближении можно получить, пренебрегая величиной 1/aJ. Таким образом, коэффициенты В (в данном случае вида В2г) могут быть определены.
§ 18.37.	Другие возмущения
В предыдущих параграфах этой главы было уделено внимание ссновным возмущениям в движении Луны. В окончательной теории, построенной Брауном, подробно рассматриваются следующие эффекты:
1)	члены возмущающей функции, зависящие от m н от произведений эксцентриситетов лунной и солнечной орбит, наклонности (arctg т) и 1/а,;
2)	прямые возмущающие эффекты планет на движение Луны;
§ 18.37. Другие возмущения
431
3)	косвенное действие планет через возмущения в движении Солнца;
4)	движение эклиптики;
5)	сфероидальность Земли;
6)	вековое ускорение Луны.
Последний эффект подробно будет рассмотрен в гл. 19. Если читатель интересуется подробностями остальных возмущающих факторов, то мы отсылаем его к «Теории Луны» Брауна или к уже упомянутым в § 18.01 работам.
Глава 19
ВЕКОВОЕ УСКОРЕНИЕ ЛУНЫ
§ 19.01. Открытие Галлея
Средняя долгота планеты или Луны в невозмущенном движении выражается формулой
I = nt + е,
где п и е — постоянные. При этом нужно иметь в виду, что вычисляемая по этой формуле I содержит часть, равную 360°/> где J означает общее число сидерических периодов, прошедших за время/ от некоторой эпохи. При наличии возмущений формула для I записывается в виде
I = J* п dt + е,	(1)
где п и е теперь уже не являются постоянными. Фактически мы можем написать
“И
где 10 и п0 — постоянные, причем в п0 включен коэффициент при вековом члене элемента е; Р представляет собой невековые возмущения в долготе.
Если вывести значения I из наблюдений, полученных для трех различных эпох, то будем иметь
=	4 = ^о + яо^2‘4_^,2’
^3 = А) “Ь «0^3 4“ ^3’
Из первых двух и последних двух уравнений соответственно имеем
и «о------------------------------------------- (3)
В случае планет эти два выражения с высокой степенью точности дают одно и то же значение п0. Если аналогичные рассуждения применить к движению Луны, то тождественность выражений (2) и (3) не имеет более места. Этот
§ 19.02. Исследование Лапласом векового ускорения
433
факт впервые отметил в 1693 г. Галлей. Точность значений л0, полученных при помоши формул (2) и (3), зависит, очевидно, от величин рассматриваемых интервалов t2 — и t3 —13. Если эти интервалы имеют порядок в несколько сот лет, то возмущающие члены Pt не играют важной роли при определении л0. Исследуя среднее движение Луны, Галлей выбрал три эпохи, отделенные друг от друга по возможности большими промежутками времени. Чтобы получить точные значения I для тех времен, когда не было телескопов, он обратился к записям, в которых приводились данные о древних затмениях. Зная обстоятельства, при которых происходило какое-либо затмение, можно было без труда определить долготу Луны по координатам Солнца. Одна из групп затмений, использованных Галлеем, была взята им из «Альмагеста» Птолемея, а вторую группу составили затмения, наблюдавшиеся арабскими астрономами в конце IX века нашей эры. Отдельные затмения в каждой из групп могли быть с помощью несложного процесса приведены к одной эпохе. Третья эпоха была современной Галлею.
Галлей нашел, что два уравнения (2) и (3) дают различные значения для п0, причем второе значение больше первого. Это навело на мысль, что выражение для средней долготы Луны должно содер  жать член с t2— так называемое вековое ускорение. При этом предположении для Луны мы можем написать
/ = /o + «o^ + «(w)24-^	(4)
где t измеряется в юлианских годах, равных по 365’/4 суток, от некоторой выбранной эпохи. В этой формуле о называется коэффициентом векового ускорения. Рассматриваемый член можно также записать в виде <зГ2, где Т — число юлианских столетий, прошедших от принятой эпохи.
Величина коэффициента о, найденная после Галлея при более тщательном изучении затмений, оказалась равной приблизительно 11".
Заметим, что вековое ускорение было обнаружено не из теории, основанной на законе тяготения, а из наблюдений. При этом встал вопрос: каким образом теория тяготения Ньютона может объяснить это явление?
§ 19.02. Теоретическое исследование Лапласом векового ускорения
Исследуя движение спутников Юпитера, Лаплас заметил, что вековой член в выражении эксцентриситета орбиты Юпитера приводит к вековому ускорению в средней долготе спутника. Предполагая поэтому, что вековой член в эксцентриситете орбиты Земли, обусловленный возмущениями планет, приводит к аналогичному
28 У- Смарт
434
Г лава 19. Вековое ускорение Луны
эффекту в случае Луны, он вычислил величину а, входящую в формулу (4) § 19.01, которая хорошо согласовалась с численным значением, определенным из наблюдений. Отсюда немедленно был сделан вывод, что явление векового ускорения удовлетворительно объясняется теорией.
Теперь мы очень просто выведем выражение для о в том виде, в каком оно было найдено Лапласом. Согласно формуле (1) § 19.01,
I == л —е.	(1)
Далее, уравнение Лагранжа для s может быть записано в виде
2 dR . . dR , о dR
6 =-------з---Ь А -ч—t-В -зр,
па da 1 de 1 di
причем мы должны рассмотреть только первый его член. Интересующая нас часть возмущающей функции дается формулой (18) § 7.06, при этом мы отбрасываем периодические члены и члены, зависящие от е и р Следовательно,
Отсюда
ё = — т2л(1	(2)
где
т =	(3)
причем Л]—среднее угловое движение Солнца. Так как мы не рассматриваем периодических членов, появляющихся в уравнении (1), то можно считать в уравнении (2) п постоянным.
Далее, как уже отмечалось, ех не является постоянным, и, ограничиваясь лишь вековыми членами, мы можем написать
ei = e'o — at-
Для эпохи 1850,0 численное значение равно 0,016771, а величина а равна 4,245 • 10-7. Таким образом, поскольку а является очень малой величиной, мы с достаточной точностью получаем
«1 = ^ — 2^.	(4)
Подставляя это выражение в уравнение (2) и интегрируя, находим, что
е = е0 + ct -f- у m?ne'Qa.t2,
где с — постоянная, которую подробно можно не рассматривать.
§ 19.03. Расхождение в значениях в
435
Таким образом, к долготе Луны, определяемой формулой (1) § 19.01, мы прибавляем член, дающий вековое ускорение а(?/100)2, где о = -| • 104/n2/ie'a.	(5)
Здесь с является безразмерной величиной. Его значение, выраженное в секундах дуги, мы получим, умножив правую часть (5) на cosec 1". ДаЛее’	3	_ 2тс чкк 1
т ~ 40 * П ~ 27,322 • 365 4 •
Поэтому, если подставить значения этих величин и указанные числовые значения ej и а, то окажется, что а =10",4, а это хорошо согласуется с наблюдаемым значением а.
На первый взгляд может показаться, что эффект а, увеличивая среднее угловое движение Луны и поэтому уменьшая большую полуось а, должен привести к тому, что Луна когда-нибудь упадет на Землю. Нужно помнить, однако, что вековой член в	а именно
е'о — at, как мы нашли в гл. 13, не является фактически вековым членом. В действительности вековой член получается просто из периодических членов с главным периодом, равным в данном случае около 24 000 лет. Следовательно, если применять чисто гравитационную теорию, среднее угловое движение Луны, а поэтому и большая полуось ее орбиты подвержены колебаниям уже упомянутого долгого периода около некоторых своих средних значений. Появление члена с вековым ускорением, таким образом, обусловлено недостатками применяемого математического аппарата.
Теоретически аналогичные рассуждения применимы и к среднему движению планеты, возмущаемой другими планетами. Однако соответствующее значение а является настолько малым, что его невозможно обнаружить из наблюдений. Только в особых случаях теории спутников (в частности, в случае Луны) величина а достаточно велика, и ее можно вывести из наблюдений.
§ 19.03. Расхождение в значениях я, полученных Адамсом и Лапласом
При выводе величины а методом, изложенным в предыдущем параграфе, мы нашли только первое приближение 9, содержащее множитель т2, где т рассматривается как малая величина, сравнимая, например, с эксцентриситетом орбиты Луны. Чтобы найти приближения более высокого порядка, мы должны подставить в полное выражение R, включающее и периодические члены, элементы, полученные в первом приближении. Новое выражение R будет со
*) Лаплас, очевидно, считал, что члены более высокого порядка относительно т очень мало влияют на окончательный результат.
28*
436
Г лава 19. Вековое ускорение Луны
держать непериодические члены с более высокими степенями т, которые частично появляются при перемножении периодических членов с одними и теми же аргументами. Следующий шаг, очевидно, будет еще более сложным.
Адамс первым отметил, что несмотря на кажущееся совпадение между наблюдаемым значением а и его теоретической величиной, вычисленной Лапласом, последняя обременена серьезными ошибками. Вычисляя более высокие приближения, Адамс *) показал, что выражение для а должно иметь вид
в = ат2Ьт4ст5 + dm6ет7•••
(сюда не входит член вида а^т3), что этот ряд для а сходится очень медленно и что все коэффициенты Ь, с, ... отрицательны. Используя известные в то время значения постоянных, он вычислил члены в вышеприведенном выражении для а, которые оказались соответственно равными 10",66; —2",34; —1",58; —0",71; —0",25. Оценивая остальные члены, имеющие порядок т8 и выше, Адамс пришел к выводу, что их сумма равна —0",06. Таким образом, он теоретически получил для а величину 5", 72, что значительно отличается от принятого значения, выводимого из наблюдений. Это значение сначала оспаривалось Понтекуланом, Плана и Ганзеном, которые получили в сущности те же самые результаты, что и Лаплас, и которые, конечно, совпадали с величиной, выведенной из наблюдений. В последовавшей затем полемике Адамс указал, что этот вопрос является чисто математическим и должен решаться исключительно методами математики, независимо от согласия или несогласия теории с наблюдениями. В частности, так как в] величина не постоянная, то это должно приниматься во внимание при интегрировании полных уравнений движения, что не было учтено в исследованиях трех упомянутых астрономов.
Поэтому Адамс заключил, что если теоретическое значение а явно отличается от его значения, полученного из наблюдений, то на движение Луны влияют некоторые другие силы, не имеющие гравитационной природы. «Этот факт,—добавляет он, — может указать нам путь к важному физическому открытию». Только после первой мировой войны предсказание Адамса получило подтверждение, когда Тейлор 2) и Джеффрис 3) показали, что различие между наблюдаемым значением а и соответствующим его значением, полученным Адамсом (впоследствии подтвержденным различными методами) может быть объяснено замедлением вращения Земли, вызванным приливным трением в земных морях. Это замедление вращения Земли вызывает
') Phil. Trans., R. S, 143, 397 (1853); Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 20, 225, 279 (1860); 40, 411 (1880).
*) Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 80, 308 (1920).
•) Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 80, 309 (1920).
$ 19.04. Уравнение движения (Адамс)	437
кажущееся ускорение, по величине равное приблизительно половине того, которое выводится из наблюдений затмений').
В последующих параграфах мы изложим основные моменты оригинального исследования Адамса 2), детали которого не были опубликованы до 1880 г. Мы ограничимся при этом членами порядка до т* включительно.
§ 19.04	. Уравнения движения (Адамс)
Мы будем пренебрегать наклонностью орбиты Луны к плоскости эклиптики. Пусть г, 9 и гх, 9, — полярные координаты Луны и Солнца относительно основного направления О У4 в плоскости эклиптики, причем Земля находится в начале координат О. Тогда 9 и 9t будут истинными долготами Луны и Солнца. Отбрасывая параллактические члены, т. е. члены с множителями (ajr^4 и т. д., мы находим, что возмущающая функция достаточно точно определяется формулой
R =	[3 cos2 (9 — 90 — 1 ].
Уравнения движения в полярных координатах имеют вид
"	-02 dF 1 а /-2й\	1 dF
=	7-5Г(г29) = 7-5Г,
где
Поэтому
;-r95 = -4 + ^£[3cos2(9-91)+1].	(1)
г ""1
^-(Г29) = -3^-sin2(9-91).	(2)
Положим
г = 1, //=г29.
Тогда
• и du ~	, d*u г, « dH du 1
r----
н=ни2-^->
') Подробнее о неравномерностях вращения Земли см.: У. Майк, Г. Макдональд, Вращение Земли, изд-во .Мир", М., 1964. — Прим. рвд.
’) Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 40, 472 (1880).
438
Глава 19. Вековое ускорение Луны
Кроме того.
Gwij = л2л® = /и2л2а®.
Уравнение (2) принимает вид „ dH 3/п2п2 ( Д| \3 н ^г=—аНтг) si"2(°-0i)-
Используя это равенство, приведем уравнение (1) к виду
dO2 + « — Нг 2HW (г, ) l3cos2(°—01)4- 4 + . 3m2n2 du I a, \3 . n .
+ -2ЯОТГ(77) sin2(0 —9j).
Далее, с точностью до членов порядка а2 включительно имеем ( П~)3 = 1 + 4 ei + Ч cos ?i +1 eicos Ч> где cpj = n,t -j- ej — Wj — средняя аномалия Солнца.
Аналогично
(-^-)3cos2(9-91) = (l-Ja2]cos2(9-/1)+
4-у a, cos (29—2/1—<рг) — ± е, cos (29—2/1 -|- <pi)-f-+ ^-6^(29-21,-^,)
и
(^-)3sin2(9-91) = (l-|a2]sin2(9-Z1)+
4- у ei sin (29 — 21,—<Pi) — e, sin (29 — 21, -f- <р,) 4-4—у a2 sin (29 — 21, — 2^),
где I, (=/1^4-в]) — средняя аномалия Солнца.
Члены с аргументом 2<pi можно опустить, так как они в комби* нации с другими членами не дадут непериодических слагаемых рассматриваемого порядка и, следовательно, не повлияют на окончательный результат.
Для сокращения мы положим
92 = 2 (9 — I,) = 29 — 2n,t — 2ev
9g 29 — 21, — <Pi === 29 — 3n,t	Зе^ 4~ ®р	(3)
9j = 29 — 2/14- <pi = 29 — n,t — Si — Шр
§ 19.05. Решение при постоянном et
439
где индекс при 0 совпадает с числовым коэффициентом при ntf. Тогда уравнения движения примут вид
d2u । ц m2n2 I. . 3 9 . о \
</02 и	2Нги3 (1	cos
3m2n2	Г/.	5	. 7	0	1	о1<
“ 2T7W	Ц1	“ 2	ei) cos °2 + 2	cos 9з ~2	ei cos 9i] +
2№и4</0 [v 2" ei)s n 92 ~Ь "2" eisin93	2’eis’n9iJ’ W
rf(№)	3m2n2 Г/.	5	. 0 . 7	. 0	1	. 0 1
-^ =---------sHt1 “2 *?)sin92 + yelSin93-2 e1Sin9j. (5)
Дальнейшие вычисления будут заключаться, во-первых, в решении этих уравнений и получении некоторых общих выражений при условии, что ег— постоянная, и, во-вторых, в выводе дополнительных уравнений, в которых принимается во внимание переменность еи а и п.
§ 19.05. Решение при постоянном ех
В этом параграфе мы будем считать ер а и п постоянными и найдем непериодическую часть и с точностью до членов порядка т4е2 включительно. В дальнейшем члены, входящие в и и 9 и зависящие от эксцентриситета лунной орбиты, будут опущены, так как в комбинации с другими членами они не дают непериодических слагаемых, зависящих от еР
Подставляя общие выражения в уравнения (4) и (5) § 19.04, Адамс показал, что 9 и и с точностью до членов порядка т2 включительно— все, что потребуется в дальнейшем,—можно выразить следующими формулами:
nt + е = 9 -|- 3mej sin <pj — -У- т2 (1 — у ei) sin 02 — 77	11
— -jg m^sin^ + jg- m^sin0!,	(1)
« = ^[1 — 4m2ei costpj-f-m^l — j e2)cos924-
7	11
Ч-ут^созЭз — у m2^ cos 9,1.	(2)
Продифференцируем равенство (1) no t. Тогда, вспоминая, что
и что, например.
— rti^ + ei — “1
9? = 29 — 2nxt — 2ер
440
Глава 19. Вековое ускорение Луны
так что
sin 92 = 2 (9 — тп) cos 92,
мы будем иметь
п —Sm^coscpj —	т3(1 —4 e2jcos02—
231 ,	0 . 11 ,	0 1
----16" от3в>cos ®3 +16 от3в1 cos J=
= б[1 ——4ei)cos^2— -y-m2e1cos93-|--y-ffi2e1cosel].
Отсюда, сохраняя лишь главные члены, находим
у = 1 +1 /и4е2 + Зт2^ cos <?! — y m2(l “ | ei) cos °2 — — m2«i cos 93 + -y /»2«i cos 9,.	(3)
Но Я = г29. так что № = и~492. Поэтому из формул (2) и (3) с точностью до малых порядка т4 включительно после некоторых алгебраических упрощений получаем следующее выражение для Н2:
rjn__ 2 4 Г< I И1 д ( 2421	4 2 *
Я2 = л2а4[1	т4-\—^т4е2 +
4- у /я2( 1 — 4 е2)cos '2 "т от2в1 cos ^з—4 от2в>cos 0*] ’ (4)
Аналогично выражение для р/Я2 приводится к виду
Р __ Р Г i	135 „4	1881 „4л2
/Я “ nW [1	32 т	64 mei
— 4 т2 (1 — 4 е2) cos 02 — m2ei cos 93 -|— 4 cos 9,]. (5)
§ 19.06. Вычисление р/Я2 из первого уравнения движения
Рассмотрим теперь первое уравнение движения (4) § 19.04. Дифференцируя равенство (2) § 19.05, мы получаем du/dti и йРа/</92; при помощи формулы (4) § 19.05 можно найти Х/ГРи? и (\llPif)(duldb) с точнсстью до малых порядка т2 включительно, т. е. с точностью, с которой кам нужно знать эти два члена. Затем из уравнения (4) § 19.04 мы получим выражение для р/Я2, которое должно быть тождественным с выражением (5) § 19.05. Согласно формуле (2)
§ 19.07. Новая форма уравнения движения
441
§ 19.05, du 1 du 1 Г 3 ,	. п 9 h 5 Л /.	тп \ , д
—ГГ"10’-
—| “Ч (2 —(2 —тг)sl”
Из формулы (3) § 19.05 видно, что в этом равенстве достаточно положить 9 = п. Поэтому с точностью до малых порядка т2 включительно имеем
=	—2т2(1 —у ejjsin92— 7/n2e1 sinв3от2^sin9,j.	(1)
Тем же самым путем находим, что
= у £— 4т2 1 — 4 ei) cos ®2 — 1 ^/n2^! cos 93+2m2el cos 9^, (2)
тгпг т2Г, .• 9 ,	9	5 а
2ЯЗ^=='2Г[1 + -j^icoscpi— -j «2^1 —у <?2jcos92 —
— да2^ cos 63 + 4 /n2e, cos 9j],	(3)
=v [~2да2 (1 ~ 1 ei)sin °2 ~7m,2e'sin °3+да2в1 sin 0*] ‘ (4)
Подставляя эти выражения, а также и, определяемое равенством (2) § 19.06, в уравнение (5) § 19.04, мы получим следующее выражение для непериодической части р/№:
772“ д’f1 +-2/п2(1	2 *1)	5eD 16“ ,”4<г1] *
Приравнивая это выражение выражению (5) § 19.05 и замечая, что [л/л2о3 очень близко к единице, мы после некоторых упрощений получим с точностью до членов порядка т4 включительно
да
Заметим для контроля, что периодические члены (которые здесь не приводятся) в двух выражениях для ^Н2 находятся в согласии друг с другом.
§ 19.07. Новая форма уравнения движения (ег переменно)
Предположим теперь, что е, = е'о — at и что величиной а2 можно пренебречь. Выберем л и а (рассматриваемые теперь как переменные) так, чтобы непериодические части в и и Н2 имели тот же
442
Г лава 19. Вековое ускорение Луны
самый вид, что и в § 19.05. Тогда элементы п и а будут связаны формулой (6) § 19.06. Заметим, что п — среднее движение в момент, соответствующий долготе 9. Для того чтобы удовлетворить уравнениям движения, когда принимается во внимание переменность ег, очевидно, нужно добавить периодические члены к выражениям и и Я2, определяемым соответственно формулами (2) и (4) § 19.05. Положим « = |(1 + ^ + Л).	(1)
где через обозначены периодические члены в выражении (2) § 19.05 и
Я2 = n2o4(1 + 2Ц + Ро + Р2),	(2)
где Ро и Рг означают соответственно непериодические и периодические члены в выражении (4) § 19.05. В формулах (1) и (2) и Ц являются периодическими функциями.
Теперь dufdb будет определяться формулой (1) § 19.06 к которой добавлены члены
или
т[- 5а+ы-л)-7	><*">•
Ниже будет показано, что а и 8v имеют порядок /п2а. Поэтому 8v и Р] в коэффициенте при а могут быть опущены. Так как du/db требуется найти лишь с точностью до малых порядка т2, то достаточно написать 9 = л. Поэтому дополнительные члены в du/d^ будут
+ —4+4'»2<xcos?i + а аи 4 ' 1 м L а 1 2 Т1 1 (7	1	\ 1
5eicos92 — -g-cos93+ycos9J I.	(3)
Вследствие того, что при фигурирует малый множитель а и так как мы пренебрегаем его квадратом, величина е} (=вц— a.f) может рассматриваться в выражении (3) и в дальнейшем как постоянная.
Аналогично d2u/d()2 будет содержать следующие дополнительные члены:
[— т2а. (10ег sin 02 — 7 sin 93-f- sin 92)] +
+-	[— т2л (10<?! sin 02 — 7 sin 93 + sin 02)] + 1 -jjr (3v),
§ 19.08. Новый вид второго уравнения движения
443
причем первая строка следует из формулы (1) § 19.06, а остальные члены — из формулы (3) настоящего параграфа. Таким образом, (d?u/dfi2) и содержит следующие дополнительные члены:
I + 8v] +	I" 20е> sin 02 + 14 sin 03 - 2 sin 92].
Кроме того, р/№ содержит дополнительный член (р/л2о4) (— 28tj) или с достаточной степенью точности —(2/л)8т). Другие члены в дифференциальном уравнении не дают дополнительных членов рассматриваемого порядка. Первое уравнение движения теперь заменяется следующим уравнением:
-J^-(8v) + 8v-]--^(— 20ех sin в2-Ь 14sin 63 — 2sin91) = — 28т). (4)
§ 19.08. Новый вид второго уравнения движения
Аналогично мы найдем теперь (d/d9)(№), сохраняя в непериодической части члены до малого порядка т*еха, а в периодической части — до малых порядка тРвуО. включительно. Тогда в d (H2)ldft войдут следующие дополнительные члены:
пга* Г 2л . 4д 3421 .	.
—г----------------—- пге}а -4-
в L п а 321
+ т2а (-у- ех cos 92 —	cos 93 +1 cos 9Х)] + 2п2а< ~ (8т]).
Кроме того, так как в-4 = а4(1—4 8ч»), поскольку речь идет о 8v, правая часть второго дифференциального уравнения (5) § 19.04 будет содержать следующие дополнительные члены:
12т2п2а* 8v(sin924--j- ех sin 03 — ех sin 9,j.
Второе уравнение теперь запишется в виде
+ лг2а (-у- <?, cos 92 — cos 93 +1 cos ^i) + 2	(8tq) =
= 12m28v^sin92 + ^-e1sin93 — у ex sin 9Х).	(1)
Рассмотрим в уравнении (1) сначала периодические члены порядка т2а и m2aeP С достаточной степенью точности можно вместо О подставить величину п и пренебречь правой частью уравнения (1), так как 8ч» имеет порядок т2а,
444
Глава 19. Вековое ускорение Луны
Тогда мы будем иметь n d ,« . т3а /15 л 21	„ . 3 я \
2 (М =---------— I ~2- et cos 02 — т cos 63 + -j cos 6jj,
откуда, интегрируя, получаем
n s тг<х /15	1 а 21 . „ , 3 „ \
2Ц = —_J_eiSin02-----------rsin63+-g- flj. (2)
Подставим это выражение для 2Ц в уравнение (4) § 19.07 и положим в периодических членах [л = п2о3 (так как нам потребуются их значения только до малых порядка т2 включительно). Тогда это последнее уравнение примет вид
d3 ч » т3а /95	. „	133 . „ . 19 . „ \
— (Sv) +	sin 02--д_ sin 03 +	sin 0j j.	(3)
Решение этого уравнения записывается в виде
3v==------— ^^slnOj —-^rsin03 + -2¥ sinOi). (4)
Рассмотрим теперь непериодические члены в уравнении (1) после подстановки в них выражений 8т; и 8v из формул (2) и (4) и 0 из формулы (3) § 19.05. После некоторых упрощений найдем
§ 19.09. Вековое ускорение порядка т4
После подстановки в первое дифференциальное уравнение (4) § 19.04 величин и 8т] оно не будет содержать непериодических членов, зависящих от а. Следовательно, сохраняет свой первоначальный вид (6) § 19.06, так что
Ч^)=,п11+1",(1+4^+£т,+тг’>Ч1= =4'»,(|+4":)+я"‘+тг"'4 о>
Далее, тп = п1. Поэтому
т   п m	п
(2)
Продифференцируем равенство (1) по t и воспользуемся формулой (2). Тогда получим
§ 19.09. Вековое ускорение порядка т*
445
откуда
4+4 [2 -»! (1+4 +т +т ”!е>)]=
= % ”•’«!« ( +тУ'”,!)' (3> Комбинируя эту формулу с равенством (5) § 19.08, находим
л __п о 3771 л	/
— = Зт^а-------пРе^а.	(4)
и
— == — У «1а + ~32" отв1а-	(5)
Запишем равенство (4) в виде
п = п {зпРер —	пРер j,
где в правой части можно считать п постоянным. Поэтому часть J* п dt, появляющаяся из-за переменности ev в выражении для средней долготы будет равна Pt2, где
гч__3 л	3771 д
Р = пРпер--------gj- т4яе1а.	(6)
Поэтому вековое ускорение до членов порядка т4 включительно будет выражаться формулой
а=104Р.
В выражении (6) отношение второго члена к первому численно равно 1257m2, а если подставить числовое значение т, то 0,221. Таким образом, поскольку первый член равен 10",4, то член порядка т4 равен —2",30, что согласуется с величиной, полученной Адамсом и равной —2",34, если принять во внимание небольшое различие в численных значениях постоянных, использованных Адамсом и нами.
Как отмечалось в § 19.03, окончательное выражение для а, найденное Адамсом и включающее члены более высокого порядка относительно т, равно 5",72. Значение а, выведенное из наблюдений затмений, равно приблизительно 11". Поэтому разница в 5",3, приписываемая эффекту приливного трения, замедляющего вращение Земли, увеличивает фундаментальную единицу времени и ведет к кажущемуся ускорению среднего движения Луны примерно на 5",3 в столетие.
Можно добавить, что вследствие переменности долгота перигелия & и долгота узла 2 также содержат вековые ускорения. Их численные значения, согласно Делонэ, соответственно равны —40"( " +6"8(15о)!-
Глава 20
ПРЕЦЕССИЯ И НУТАЦИЯ
§ 20.01. Введение
В § 1.05 мы видели, что если считать планету шаром, плотность которого постоянна или является функцией лишь расстояния г от центра О, то потенциал планеты на внешнюю точку будет совпадать с потенциалом материальной точки, расположенной в центре О. В соответствии с этим теория движения планет основывается на взаимном притяжении точечных масс. Однако Земля не является строго сферической, и притяжение Земли Луной и Солнцем (мы пока можем пренебречь притяжением планет) изменяет направление оси вращения Земли относительно звезд или, точнее, относительно некоторой выбранной нами неподвижной системы координат. Это кратко описанное явление складывается из прецессии и нутации. Первая из них связана с вековым изменением направления оси вращения, а вторая — с сопутствующими ему периодическими процессами.
Прецессия была открыта Гиппархом более 2000 лет тому назад, как явление, заключающееся в непрерывном возрастании долгот звезд со скоростью 36" в столетие (по современным данным около 50" в столетие) и не изменяющее заметным образом их широт. Интерпретация этого явления заключается в следующем. Плоскость эклиптики является фиксированной плоскостью, а положение экватора изменяется так, что точка весеннего равноденствия совершает попятное движение по эклиптике с упомянутой выше постоянной скоростью. Поэтому полюс экватора описывает с постоянной скоростью круг вокруг полюса эклиптики за период времени, как мы теперь знаем, в 26 000 лет. Объяснение прецессии на основе динамической теории впервые было дано Ньютоном в его «Началах» и представляет собой одно из его выдающихся достижений. Радиус малого круга, описываемого полюсом экватора (другими словами, угловое расстояние между полюсом эклиптики и полюсом экватора), равный наклонности эклиптики, в этой теории предполагался постоянным. В более строгой теории, развитой после открытия нутации Брадлеем в 1748 г., показано, что эклиптика не является строго фиксированной плоскостью, наклонность не является постоянной и попятное движение точки весеннего равноденствия неравномерно.
При построении динамической теории мы предположим, что Земля является несферическим твердым телом, внутри которого мы можем определить неподвижную относительно Земли систему координат
§ 20.02. Силовая функция U
447
с началом в центре масс Земли. Наши исследования будут проводиться при этих предположениях, причем будет рассматриваться движение указанной системы координат относительно осей, неподвижных в пространстве. Под основной плоскостью неподвижной системы координат мы будем понимать плоскость эклиптики для некоторой эпохи 10. Последующий анализ основывается на уравнениях движения Лагранжа (§ 8.04). Чтобы написать эти уравнения, нам нужно выразить силовую функцию U, обусловленную притяжением Луны и Солнца, а также кинетическую энергию Т через надлежащие переменные. Сначала для упрощения мы рассмотрим только одну Луну и выведем соответствующие уравнения движения. Члены, обусловленные действием Солнца, можно немедленно вписать в эти уравнения по аналогии с членами, вызванными притяжением Луны.
§ 20.02. Силовая функция U
Землю приближенно можно считать сжатым сфероидом, но в общем исследовании мы будем рассматривать ее как эллипсоид, две оси которого ОХ и OY (рис. 27), лежащие в плоскости экватора, несколько
Рис. 27.
отличны друг от друга. Наименьшая из трех главных осей эллипсоида направлена по полярной оси OZ. Предположим далее, что распределение массы Земли является симметричным относительно каждой из трех осей OX, OY, OZ. Следовательно, точка О будет центром масс Земли. Отметим, что оси OX, OY, OZ жестко связаны с Землей. Мы будем называть их главными осями инерции Земли.
Поскольку О — центр масс, то, если dp — элемент массы, расположенной в точке Р(х, у, г), мы будем иметь
( х dy. = Г у dp = f z dp = 0,	(1)
448
Глава 20. Прецессия и нутация
x3dp = I x2ydp
где в каждом случае интегрирование производится по всему объему Далее, согласно сделанным допущениям,
j" ху dp = jyz dp — J zx dp = 0	(2)
и
= J* xy2dp = Q.	(3)
Аналогичные равенства справедливы для координат у и z. Обозначим моменты инерции Земли относительно OX, OY, OZ соответственно через А, В, С и определим их формулами
А~ J'(y2-j-z2)dp, B = f (z2 + x2)dp,
C = f (x2 + y2)dp.	(4)
Можно отметить, что С больше А и В.
Пусть на рис. 27 Q — центр Луны. Достаточно предположить, что Луна является однородным шаром и заменить ее материальной точкой М, расположенной в точке Q. Потенциал Луны в точке Р тогда будет равен GAf/Д, где Д— расстояние PQ. Пусть dU означает элемент силовой функции, обусловленный притяжением элемента dp, находящегося в точке Р, массой М, расположенной в точке Q.
Тогда
д
Силовая функция U взаимного притяжения Земли и Луны поэтому будет определяться формулой
4/ = ОЛ1/-^.	(5)
Обозначим через 5. tj, С координаты точки Р относительно системы координат с началом в точке О, ось В которой совпадает с OQ, а оси т] и С выбраны произвольно, но так, чтобы система была прямоугольной. Тогда
Д2 = р2 — 2НР+г2.
где р = OQ и г = ОР. Так как Е/р и г/р — величины малые, порядка не более ‘/во для Луны, а для Солнца значительно меньшие, мы можем написать
 _±(1 _
А р \ р /
§ 20.02. Силовая функция U
449
Разложим это выражение в ряд по формуле бинома. Тогда с точностью до четвертой степени ?/Р (или г/р) равенство (5) примет вид
п GM Г. (. . ? , З;2 —г2 ,&3-3;г2	35? —ЗО;2г2 + Зг«\
Для удобства перепишем эту формулу в виде
„ CAffv । X , Хг , Х3 , Д',] и~	+V + V.r
Пусть далее I, т, п означают направляющие косинусы прямой OQ относительно осей OX, OY, OZ. Тогда
$ = /х + /пу + лг.
Мы имеем
а)	Хо = f d? = E,
где Е — масса Земли. Согласно равенствам (1),
б)	Хх = J" $ ф = J (lx ту + nz) ф = 0.
Далее
в)	Х2 = J (3« — г2) dp =f [2г2 — 3 (т]2 + С2)1 ф.
При помощи равенств (4) мы получим
Кроме того, выражение
J Of+С2)
— момент инерции Земли относительно оси OQ. Обозначим его через /. Тогда
Х2 = A + B-i-C — 31.
Поскольку
г)	12 + т2 + п2= 1, то
Х3 = ^ [5 (1х + ту + nz)2 —
— 3 (lx + ту + nz) (I2 + т2 + я2) (х2 •+ у2 + г2)] ф.
29 У- Смарт
450
Глава 20. Прецессия и нутация
Согласно равенствам (3), все величины
J" x3dp., j" x2ydp, j" xy2dp
равны нулю. Поэтому Х3 = 0.
д)	Очевидно, интеграл Х4 имеет порядокЕа4, где а — любая полуось Земли. Соответствующая часть U (скажем, U4) будет иметь порядок &МЕ (~)4 • Аналогично та часть U2, входящая в U, которая соответствует Х2, будет порядка	. Таким образом, U4/U2
имеет порядок (а/p)2, что для Луны численно равно ('/бэ)2> а в СЛУ" чае Солнца значительно меньшей величине. Эффекты, производимые U4, настолько малы, что ими можно пренебречь. Используя все предыдущие результаты, мы получим
+	(в>
Это равенство выполняется строго с точностью до членов порядка (л/р)3.
Выразим теперь U через координаты точки Q относительно главных осей инерции Земли. Имеем
/ = f Ol2 + C2)dp= f (r2-^d^ =
— f l(P + m2+ft2) (x2+№ + z2) — (lx + my + яд)2] dp., что при помощи формул (2) и (4) приводится к виду
/ = АР + Вт2+Сп2 = А — (Л —В)т2+(С — Л) п2.
Обозначим координаты точки Q относительно осей OX, OY, OZ через X, Y, Z. Тогда m = K/p, n = Zlp. Поэтому
а-ол.[|+д+^-Ч + »и-»>^-з<с.-А<].
При использовании уравнений Лагранжа нам потребуются производные вида dU/dq, где через q обозначена любая из переменных, определяющих положение главных осей инерции Земли относительно неподвижной системы координат. Так как р не зависит от этих переменных, то первые два члена не внесут никакого вклада в производную dU/dq. Следовательно, для нашей цели можно допустить, что U дается формулой
U = ^-[(A — B)Y2 — (C — A)Z2].	(8)
§ 20.03. Подвижные оси и кинетическая энергия
451
§ 20.03. Подвижные оси и кинетическая энергия
Пусть на рис. 28 OX, OY, OZ означают главные оси инерции Земли. Предположим, что за время dt в результате одновременного поворота вокруг осей OX, OY, OZ с угловыми скоростями а, £, т соответственно направление этих осей несколько изменится. Пусть х, у, z — координаты некоторой точки Р относительно подвижных осей
в некоторый момент t. Пусть, кроме того, a, v, w означают проекции вектора скорости точки Р на оси неподвижной системы координат, совпадающих в момент t с осями OX, OY, OZ. Опустим перпендикуляры РА, РВ, PC на координатные плоскости и проведем дополнительные линии так, чтобы получить прямоугольный параллелепипед с параллельными гранями ODCE и FBPA. Тогда
и = Составляющая скорости Р относительно О,
параллельная оси, совпадающей с ОХ в момент t =
= Составляющая скорости Р относительно А, параллельная ОХ -|-+ Составляющая скорости А относительно F, параллельная ОХ-\-+ Составляющая скорости F относительно О, параллельная ОХ.
Первый член правой части равен х, второй есть — 7 • FA или — fy, так как FA вращается вокруг OZ с угловой скоростью т в напра-влении РА. Аналогично третий член равен -J- $z. Поэтому мы имеем и='х — ту + р.г.
Кроме того,
v = у — az 4- fx, w — z — рх -j- ay.
29*
452
Глава 20. Прецессия и нутация
Если Р— фиксированная точка внутри твердой Земли, то
х — у = z = 0.
Следовательно,
u = fiz— fy, v = ‘[X— az, w = ay—р*.	(1)
Теперь кинетическую энергию Т, обусловленную вращением тела, нужно выразить в неподвижных осях, которые, как мы предположим, совпадают в момент t с OX, OY, OZ. Обозначив через dp. элемент массы в точке Р, мы получим следующую формулу, определяющую кинетическую энергию
2Т = J (a2 + ii2H-w2)dp.,
или, используя равенства (1),
2Г = /	~ ТУ)2+(Т* — аг)2+ («У — ₽х)2] d? =
= f [а2 (У2 + г2) -Н2 («2 + х2) +12 (х2+у2)] d|*.
При этом члены вида J* yzdp, согласно равенствам (2) § 20.02, обращаются в нуль. Используя формулы (4) § 20.02, мы будем иметь
2Т = Ла2+Вр2+ С-?.	(2)
§ 20.04. Углы Эйлера
Пусть на рис. 29 ОХ0, OY0, OZ0 суть неподвижные оси с началом в центре О рассматриваемой сферы, причем основной плоскостью является плоскость эклиптики в эпоху /0, a Zo — полюс эклиптики. Положение точки Хо мы определим несколько позже. Оси OX, OY, OZ суть главные оси инерции Земли, причем Z совпадает с северным полюсом. Плоскость большого круга пересекает плоскость неподвижного большого круга X0Y0 в точке N, которая, таким образом, будет полюсом большого круга Z0ZAB. Положение осей X, Y, Z относительно неподвижных осей определяется тремя углами 0, ср, ф, называемыми углами Эйлера.
Угол 6 — это угол между двумя большими кругами XY и X0YQ и равен дуге Z0Z, т. е. угловому расстоянию между полюсами этих больших кругов. Не давая сейчас точных определений, мы видим, что 6 является наклонностью эклиптики к плоскости экватора, а /V— точка весеннего равноденствия.
Угол <р — это угол NX, измеряемый от N в направлении XY и равный углу BZY, т. е. углу между большими кругами, полюсами которых являются точки N и X.
§ 20.04. Углы Эйлера
453
Угол ф— это угол Y0Z0A или дуга К0Л, измеряемые от Ео в направлении Y0A. Легко видеть, что ф равно углу X^N, измеряемому в направлении XqN.
Выведем одно соотношение между углами Эйлера, которое нам потребуется в дальнейшем. Пусть /3, т3, п3— направляющие косинусы прямой OZ по отношению к неподвижным осям. Тогда из
соответствующих сферических треугольников легко видеть, что
/3 = cosZA'0 = sin6 з1пф,	(1)
/n3 = cosZyo = sin6cos!p,	(2)
я3 = cos ZZ0 = cos 9.	(3)
В формулах (7) и (8) § 20.02 мы обозначим через X, Y, Z координаты центра Q Луны (рис. 27) относительно главных осей инерции Земли. Сейчас эти координаты обозначим через х, у, z. Пусть Е, т). С означают координаты центра Луны относительно неподвижных осей ОХ3, OY0, OZ0. Тогда
z = /3Е+4~ я3С
или, согласно формулам (1) — (3),
z = Е sin 9 sin ф -|- sin 0 соэф + С cos 0.	(4)
30 V. Смарт
454
Глава 20. Прецессия и нутация
Это и есть соотношение, которое нам требовалось вывести. Оно будет использовано в § 20.12.
В новых обозначениях силовая функция, определяемая формулой (8) § 20.02, запишется в виде
U =	(5)
§ 20.06. Выражение угловых скоростей а, р, у через производные углов Эйлера
В этом параграфе мы выведем соотношения между a, у и 0, ср, ф.
Рассмотрим сначала движение точки Z (см. рис. 29). Относительно неподвижных осей, мгновенно совпадающих с подвижными осями OX, OY, OZ, угловая скорость точки Z складывается из 1) составляющей а вдоль YZ и 2) составляющей р вдоль ZX. Разлагая эту скорость на составляющие вдоль направления ZA и напра-вления ZQ, перпендикулярное Z0Z, мы находим:
Р sin ср— a cos <р	вдоль ZA
и
Р cos <р + а sin ср вдоль ZQ.
Но эти составляющие угловой скорости точки Z относительно неподвижных осей, выраженные через углы Эйлера, будут
6 вдоль ZA и cpsin 0 вдоль ZQ.
Поэтому
6 = Psin<p — acoscp	(1)
и
ф sin в = р cos ср + a sin ср.	(2)
Подобным образом рассмотрим движение точки В. Обращаясь к неподвижным осям, мгновенно совпадающим с OX, OY, OZ, мы видим, что составляющая угловой скорости точки В вдоль BY равна у. Угловая скорость точки В, выраженная через углы Эйлера, будет * 1 ► •
иметь составляющую ср вдоль BY и составляющую <psinZ0o или ф cos 6 вдоль вЛ. Поэтому
<р — <pcos6 = T.	(3)
Полезно составить сводку полученных формул. Выражая ср из формулы (3) при помощи равенства (2) через а, р, 7, мы будем
$ 20.06. Эйлеровы уравнения вращения твердого тела
455
иметь
9 == р sin ср — a cos ср,	(4)
ф Sin 9 = р cos 9-f-а sin ср,	(5)
ср = т —ct§-в (а sin ср —J-₽ c°s ср).	(6)
Нам потребуются также формулы, выражающие а, р, 7 через б, ср и ф. Эти формулы легко получаются из (4), (5) и (3) и имеют вид а = ф sin 9 sin ср— 6 cos ср,	(7)
Р = ф sin 9 cos ср 4-Osin ср,	(8)
7 = ср — фсозб.	(9)
§ 20.06. Эйлеровы уравнения вращения твердого тела
Мы будем пользоваться уравнениями Лагранжа (§ 8.04). Функция Т дается формулой (2) § 20.03:
2Т = Ла2+Bp2+С72.	(1)
1) Рассмотрим прежде всего угол Эйлера <р. Мы имеем d !дТ\	дТ _ dU
dt \д$ /	ду	ду
так что согласно формуле (1) получим
где суммирование распространяется на аналогичные выражения включающие В, р и С, 7.
Из формул (7), (8) и (9) § 20.05 мы имеем
— = -^- = 0,	Д-=1,	— = р,
<?ф дф ’	ду	ду
д?_____А—П
ду * ду Поэтому
Сф_(д_В)аР = ^..	(3)
2) Рассмотрим теперь угол Эйлера 9. По аналогии с формулой (2) мы имеем
30*
456
Глава 20. Прецессия и нутация
Но согласно формуле (9) § 20.05
4 = 0. д9
Кроме того, d / да \ да •	;	...
Tt (’дё/	дв= —cos 6) s п?=7sin
Аналогично находим, что коэффициент при В$ во второй сумме формулы (4) равен 7 cos ср. Наконец, принимая во внимание формулу (5) § 20.05, получаем
ду *
= ф sin 9 = a sin ср -j- р cos <р.
Таким образом, уравнение (4) примет вид
— Аа cos <р + Bp sin ср-|-(Л — С) a? sin ср-ф- (В — С) pf cos ср =	.
(5)
3) Рассмотрим угол Эйлера ф. По аналогии с уравнением (2) имеем
SZ да , V* л d / да \ dU Аа---------ф- 7, Аа— I—г| =------,	(6)
дф	dt \ дф / дф
так как а, р и у не зависят от ф. Во второй сумме коэффициент при Аа равен
(sin 6 sin ср) = cos 9 sin ср (Р sin ср — acos<p)+
-|- cos ср (a cos 9 sin ср -f- р cos 9 cos <p -j-i sin 9) = p cos 9 + f sin 9 cos <p.
Аналогично коэффициент при Bp равен — a cos 9 — y sin 9 sin ср, а коэффициент при Cf равен
— sin 9 (P sin <p — a cos cp).
Первая сумма равна
Aa sin 9 sin ср -ф- Bp sin 9 cos ср — Cf cos 9.
Последний член этой суммы, согласно уравнению (3), будет равен
— cos 9 (Л — В) ар — cos 9	.
Подставляя эти выражения в уравнение (6), мы после деления на sin 9 получаем
Ла sin ср -|- Bp cos <р — (В — С) р? sin ср	(Л — С) ay cos ср =
dtf .	1 dU
® dcp sin fl дф *	( )
$ 20.07. Модифицированные уравнения
457
Решая уравнения (5) и (7) относительно а и (3 и переписывая уравнение (3), мы получаем следующую группу уравнений:
Л-СВ-ОЬ—(8)
B^-(C-4)1«=^f(COS0^-+") + sln?^.	(9)
Ci-(X-B)«p = ^..	(10)
§ 20.07. Модифицированные уравнения
Как мы заметили ранее, Земля имеет форму, очень близкую к сжатому сфероиду, и для наших конечных целей достаточно принять, что моменты инерции А к В равны друг другу. Выражение для Т поэтому приобретает вид
2Т = Л(а2+р2) + С72
или, согласно формулам (7), (8) и (9) § 20.05,
2Т = А (0’2+ф2 sin2 0) + С (ф — ф cos 0)2.	(1)
Обращаясь к формуле (5) § 20.04 для U, мы видим, что U теперь можно записать в виде
3GM(C-A) , 2р5 z •
Далее z определяется формулой (4) § 20.04, которая не содержит ср. Следовательно,
и из уравнения (10) § 20.06 мы немедленно получаем
7 = <р — ф cos 0 = со,	(2)
где со — постоянная. Этот результат также следует из уравнения Лагранжа (1) для ср.
Остальные уравнения мы можем вывести из уравнений (8) и (9) § 20.06 или непосредственно из уравнения (1). Применяя последний из этих способов, мы получим уравнение Лагранжа для ф:
[ Лф sin2 0 — С cos 0 (ср —ф cos 0)1 =
или, используя формулу (2),
Лф sin2 0 2Л0ф sin 0 cos 0 -|- С<о0 sin 0 — - -Сcos 0 (ср — <i>cosO + 0<psin0)=
458
Глава 20. Прецессия и нутация
Как будет видно в дальнейшем, все величины ф, 0ф, <р являются малыми по сравнению с а>0. Поэтому предыдущее уравнение приводится к виду
Я _	1 дЦ
sin 0 <?ф *	w
С другой стороны, обращаясь к уравнению для 0, мы имеем
Л0 — Аф2 sin 0 cos 0 — Сшф sin 0 =	•
Предполагая, что 0 и ф2 являются малыми по сравнению с шф, это уравнение можно записать в виде
,• _	1 dU	...
т — — С<о sin 0 дв •
§ 20.08. Полное выражение силовой функции притяжения Луны и Солнца
Силовая функция в случае Луны при А = В, согласно формуле (5) § 20.04, равна
3GM (С —А) г* ~	2р®
где х— аппликата Луны относительно главных осей инерции Земли OX, OY, OZ, Аналогично силовая функция, обусловленная притяжением Солнца, равна
3GS(C— А) г?
где S— масса Солнца, xt— его аппликата и pj — его геоцентрическое расстояние. Поэтому полное выражение силовой функции записывается в виде
U
_	3(С—А)
__ _
[ о	о
GM-Z- + OS Д-
Р5 Р?
(1)
Если а, и «1 — большая полуось орбиты Земли и соответствующее среднее угловое движение, то с достаточной степенью точности можно написать
OS =
Поэтому
и=
3(С — А) 2
я1а1
' М г2 г? "I
§ 20.09. Порядок величины U/T
459
или, если а означает большую полуось орбиты Луны,
Определим величины К и L следующим образом:
Тогда
3 С —A п2
~2 С
S ka ) ’
(2)
(3)
(4)
Этой формулой мы воспользуемся для преобразования уравнений (3) и (4) предыдущего параграфа.
§ 20.09. Порядок величины U/T
В формуле (1) § 20.07 для Т величины 6 и ф являются малыми по сравнению с ш, которая определяется равенством (2) § 20.07. Таким образом,
2Т « Сю2.	(1)
Пренебрегая эксцентриситетом орбит Земли и Луны, мы из формулы (1) § 20.08 имеем
U = — — (С — А) Г
3	а3	о?
где 8 и 8, — склонения Луны и Солнца. Максимальные значения 8 и 8, равны приблизительно 28°,5 и 23°,5, а максимальные значения sin8t и sinSj приближенно равны % и %•
Полагая О (Е + М) = п2а3 и OS = n2a3, мы будем иметь
Поэтому
|£7| З(С-Л) (л, VF, , 1 М ( п VI ~7~ S I « И "* 4 Е I ) J *
Как мы увидим позже,
С—А I М 1
С ~ 304 ’	£ ~ 81 ’
2ic
Кроме того. л1 = зддту- в одни сидерические сутки, и мы можем принять, что <о равно 2и за одни сидерические сутки, так что
460
Глава 20. Прецессия и нутация
«!/«>==-gggiy-. С другой стороны, п/тц « 13, так как эта величина есть отношение года к сидерическому периоду обращения Луны. Подставляя эти числа, мы найдем, что округленно
Др- < 2 • 10-7.
§ 20.10. Свободный период Эйлера
Последний результат предыдущего параграфа показывает, что If является очень малой величиной по сравнению с Т. Если прене» бречь U и разностью А — В, то, заменяя у на ш, мы приведем уравнения (8) и (9) § 20.06 к виду
Аа — (А — С) <1>р = 0,
Лр — (С — Л) ша = 0 или
«+р? = о,
Р— ра = о, где
<»(С —Л)
А
Как легко убедиться, решение этих уравнений имеет вид
а = вш cos (pt -4- q),
Р = аш sin (pt + q),
где аш и q — постоянные интегрирования. Но
С —А С 1 с " ' Т	зоз ш’
и период Г,, соответствующий частоте р, равен 2«/р. Так как ш —2к в сидерические сутки, то период 7\ равен 303 сидерическим суткам или приблизительно 302 средним солнечным суткам. Этот период продолжительностью около 10 месяцев называется свободным периодом Эйлера.
§ 20.11. Свободный период Эйлера и изменение широты
Уравнение мгновенной оси вращения относительно главных осей инерции Земли имеет вид
х___ у ___г
а ~ р ~ т ’
£ 20.11. Свободный период Эйлера и изменение широты
461
Используя формулы (1) предыдущего параграфа и равенство т = ш, мы получим
х ==___________У_____= L,	/и
ecos(/rf-|-0)	esin(/rf-|-0) I	v '
Как будет видно в дальнейшем, а — очень малая величина. Следовательно, прямая (1) пересекает поверхность Земли вблизи северного полюса Р в точке /, которая является мгновенным полюсом (рис. 30).
Рассмотрим точку О. Так как мы предполагаем, что Земля является сфероидом, то ось X можно выбрать так, чтобы она проходила через точку пересечения экватора и меридиана PG. Пусть IQ — малый круг, проходящий через / параллельно экватору. Тогда с достаточной степенью точности GQ = Gl. Далее координата z точки / мало отличается от ОР. Поэтому, принимая ОР за единицу расстояния, мы из (1) будем иметь
х = PQ — a cos (pt 4- q) или в секундах дуги
PQ = a" cos (pt 4- q),	(2)
где а = a cosec 1".
Поскольку нас интересуют малые дуги PQ и QI, то можно пренебречь эксцентриситетом меридиана точки О. Поэтому дополнение мгновенной широты точки О до 90° есть
G/— QQ = PG—PQ.	(3)
Но РО есть дополнение широты точки О относительно фиксированного полюса Р до 90°. Следовательно, если <р0 — соответствующая широта и <р — мгновенная широта, то, согласно формулам (2) и (3),
<p = <p04-e"cos(p/4-?).	(4)
462
Глава 20. Прецессия и нутация
Астрономические наблюдения, связанные с широтой наблюдателя, относятся к мгновенному полюсу 1. Следовательно, в таких наблюдениях, выполненных с достаточной точностью, должны обнаруживаться колебания широты с периодом (4), если а имеет порядок хотя бы одной или двух десятых секунды дуги. В 1888 г. Кюстнер обнаружил небольшие периодические изменения в широте Берлина, после чего и возникла проблема изменения широты (так называется это явление), для решения которой потребовалось наблюдательное мастерство многих астрономов в различных частях земного шара. Создание цепи наблюдательных станций в северном полушарии и специального оборудования, такого, как плавающий телескоп Куксона Гринвичской обсерватории и новые фотографические зенитные трубы, установленные на многих обсерваториях, уже само по себе свидетельствует о важности этой проблемы для фундаментальной астрономии. В настоящее время известно, что изменение широты в какой-нибудь точке на Земле выражается суммой двух периодических членов
<Р = ?о + ai cos (pxt 4- qj 4- а2 cos (p2t 4- q2),	(5)
где период первого члена равен 1 году, а период второго члена — 432 суткам, или около 14 месяцев. Кроме того, изменение широты, т. е. отклонение от <р0, численно не превосходит 0",3. Формула (5), выведенная из наблюдений, очевидно, показывает, что, поскольку наблюдаемые периоды изменения широты совершенно отличаются от свободного периода Эйлера, периодический член вида (4), если он существует, должен иметь амплитуду настолько малую, что его невозможно обнаружить из наблюдений. Таким образом, а по абсолютной величине должно быть исключительно малым. Поэтому теоретически найденными изменениями широты со свободным периодом Эйлера можно в практических задачах полностью пренебречь.
Наблюдаемые изменения широты, конечно, имеют другую природу. Первый член в формуле (5) с периодом 1 год и амплитудой 0",09 обусловлен метеорологическими причинами, вызывающими периодические изменения главных моментов инерции Земли. С другой стороны, напомним, что динамическая теория основывается на предположении, что Земля является абсолютно твердым телом. Но фактически Земля не является абсолютно твердым телом, и, по-видимому, этим объясняется появление в формуле (5) второго периодического члена с периодом 14 месяцев. Амплитуда этого члена равна 0",18.
Если предположить, что специальные наблюдения, на которые мы ссылаемся, дают в любой момент времени положение мгновенного полюса /, то мы можем считать, что все наблюдения могут быть исправлены за изменение широты, так что нам останется только рассмотреть движение главных осей инерции Земли, опираясь на
£ 20.12. Выражение U через 0 и ф
463
уравнения движения с силовой функцией U. Решение задачи будет тогда определяться соответствующими частными интегралами уравнений движения.
§ 20.12. Выражение U через 0 и ф
Для того чтобы выразить U через углы Эйлера и элементы орбит Луны и Солнца, мы должны, как это видно из формулы (4) § 20.08, разложить в ряды выражения	• во-первых, для случая
Луны, а во-вторых, для случая Солнца. Мы сделаем это подробно для Луны, а для Солнца приведем лишь окончательные результаты.
Согласно формуле (4) § 20.04,
z —; sin 0 sin ф -|- т; sin 9 cos ф -|- C cos 9,	(1)
где g, у. С — координаты Луны относительно неподвижных осей ОХ0, OY0, OZ0. В этой формуле Е, i| и ( не зависят от 9 и ф.
На рис. 31 X0F0— неподвижная эклиптика, соответствующая моменту /0, и АЕ — истинная эклиптика с полюсом в точке К. Изменение положения эклиптики является результатом возмущений
орбиты Земли планетами. Положение истинной эклиптики по отношению к неподвижной эклиптике определяется наклонностью I подвижной эклиптики к неподвижной и долготой 2 восходящего узла А.
Точка М— положение Луны в момент t; BCM — орбита Луны.
ВСМ образует угол с с эклиптикой АСЕ. С — узел орбиты Луны на подвижной эклиптике. Проведем большие круги Z0MD и КМЕ.
464
Глава 20. Прецессия и нутация
Пусть XqD = L и DM = В. Тогда
5 = р cos Leos В, т) = р sin L cos В, C = psinB.
Поэтому из формулы (1) имеем
у = cos В sin 6 sin (£4~ф) + sin В cos 9.	(2)
Преобразуем правую часть формулы (2) следующим образом.
1)	Пусть Х0Л-4-ЛЕ = / и ЕМ = Ь. Тогда в треугольнике /С20Л1: KZ0 = I. Z0M = 90э — В, КМ = 90° — Ь, KZoM = 9O° + L — 2.	ZoKM = 9O° — (I — 2).
Мы поэтому имеем
sin В = sin b cos I+cos b sin I sin (Z — 2),	(3)
cos В sin (L — 2) = — sin b sin 14- cos b cos I sin (Z — 2),	(4)
cos В cos (L — 2) = cos b cos (I — 2).	(5)
2)	Пусть X0A-\- AC = N, XaA4- ACCM = v. Тогда в треугольнике MCE:
MC = v — N.	ME = b, CE = l — N,
MCE = c, MEC = 90°.
Поэтому мы имеем
cos (о — N) = cos b cos (Z — N),	(6)
sin(© — N) cos c = cos b sin (Z — N),	(7)
sin(© — N) sin c — sin b.	(8)
3)	В формуле (2) вместо £4-ф напишем L — 2-|-(<|>-|-2). Тогда — = sin 9 cos (2	ф) [cos В sin (L — 2)] 4-
4-	sin 9 sin (2 4- <[») [cos В cos (L — 2)] 4- cos 9 [sin B[. (9) Преобразуем выражения, стоящие внутри квадратных скобок, посредством формул (4), (5) и (3).
Поскольку угол Z является очень малым, то можно написать sinZ = Z, cosZ = l.
4)	Из формулы (4) мы имеем
cos В sin (L — 2) = —Z sin b 4- cos b sin (Z — 2).
£ 20.12. Выражение U через 0 и ф
465
Положим I — Q = (l—	— 2). Тогда при помощи формул
(8), (6) и (7) мы получим
cos В = — I sin с sin (v — ЛО 4“ cos с sin (w — N) cos (N — 2) 4~
4- cos (v — ЛГ) sin (N — 2).
Угол с равен приблизительно 5°,2, так что sine имеет порядок 1/11. Отбросим члены с множителем /sine и, полагая sinews, сохраним все члены до s3 включительно. Тогда cosc = l—-^-s2. Методом последовательных приближений мы легко найдем, что cosBsin(£ — 2) = (1 —i- $2)sin(w—2) — -|-s2sin(w — 2AZ-|-2). (10)
5)	Точно таким же способом мы получим
cos В cos (£—2) = (1 — 1 s2 j cos (v—2) + -j- $2 cos (v — 2Л/ 4~ ^)- (11)
6)	Аналогично
sinB = ssin(© — A/)-Hsin(©— 2).	(12)
7)	Подставляя выражения (10) — (12) в (9), мы найдем после некоторых упрощений
у = (1 —-j s2jsin6sin(©+<{<) + scos9sin(©—W) +
4-1 cos 0 sin (© — 2) — -j s2 sin 9 sin (v — 2N 4- ф)-	(13)
8)	Выведем теперь из (13) выражение для (z/p)2. Отбросим здесь члены с аргументами (2© — 2N), (2v — 3N — ф) и (2v — N+ф), коэффициенты которых имеют по меньшей мере порядок I и $2. Такие члены короткого периода дают ничтожный результат при интегрировании уравнений, хотя при строгом решении их нужно было бы сохранить. В результате находим, что
(у)2 = -j $2 + (4 — 4 *2)s,n2 0 — (4 — 4 *2) sin2 0 cos (2v + 2Ф)—
— 4 s2sin2 9 cos (2Л/ 4- 2ф) 4~ s (1 — 4 $2) s*n ® cos ® cos (^Ч-Ф)4“
4~/sin 9 cos 9 cos (2 4-ф).	(14)
9)	Выразим теперь (а/p)3 через среднюю аномалию M = nt-I~e—ш. С точностью до членов порядка е2 включительно имеем
^j3=l 4-le2_|_3ecosA1_|_|e2cos2A1.	(15)
466
Глава 20. Прецессия и нутация
Далее величина v, входящая в равенство (14), дается формулой v = nt-^-e-^-2esinAl-|--j e2sin2Al.
10)	Из равенств (14) и (15), сохраняя главные члены и отбрасывая постоянные члены, которые попадают при дифференцировании U по в и <р, мы имеем
(Ж=(4+Р-РЬ'”’’+
4~$[1 —у s2-|--|-e2)sin9cos<lcos(W+<|>) —
— у s2sin2 6 cos(2W+ 2<p)4~Zsin 6 cos 6 cos(W 4_Ф) +
4- 4- e sin2 9 cos M — -i sin2 9 cos (2Л1 -|- 2<b 4- 2<|>).
Применяя эту формулу к случаю Солнца, нужно положить s=slnc=O и заменить в соответствующих членах М, е, й>, е на Mv ev &v еР
Функция U, определяемая равенством (4) § 20.08, окончательно будет выражаться формулой -^=[£(4+т‘2-т4+^+т<]8,"’’+
4- [is (1 — у s2 4~ у ®2)] sin 9 cos 9 cos (N 4- ф) —
—	у Ls2 sin2 9 cos (2M 4~ 2<|>) —
—	у [£ cos (2M 4- 2<b 4- 2<|>) 4- cos (2Л1,4- 25,4- 2<|>)] sin2 9 4-4-/(£4- 1) cos (ф4~ 2) sin 9 cos 94“
4- 4 cos -I- eicos	sin2 8*	(16)
где К и L определяются формулами (2) и (3) § 20.08.
Единственное неравенство в элементах Луны, которое мы должны принять во внимание, — это попятное движение точки W с периодом около 18,6 лет. В случае Солнца и подвижной эклиптики мы должны принять во внимание вековые неравенства в ev I и 2. Положим e1==e04-e't Здесь е' мало, поэтому достаточно принять
е2 = е2+2ейе'1.
Кроме того, согласно теории движения планет [формулы (17) и (18) § 5.10], при пренебрежении периодическими членами можно написать
Zsin2 = g/4~AZ2.	(17)
I cos 2 =	4- hyfi,	(18)
• де g, gu h, hi — малые величины.
£ 20.13. Решение уравнений
467
Член в (16), содержащий I, имеет множитель
I cos (ф + 2) == cos ф (I cos 2) — sin<p (Z sin 2) = (gx cos ф — g sin ф) t, (19) где мы пренебрегли малыми величинами h и hv
Подставляя эти выражения для ev е2 и / cos (ф 4-2) в (16), мы положим
Г = к[£(1 + |е2-4$2) + 4+-|-г20].	(20)
G = K(L 4-1),	(21)
Н = ^Ке»е',	(22)
-^- = £s(l —s2-|-у е2^sin9cos9cos(N4~Ф) —
— -j Ls2 sin2 9 cos (2M 4“ 2ф) — у [£ cos (2Л14- 2o> -|- 2ф) -|-
-|- cos (22H1 -|- 2<bj -|- 2ф)] sin2 9 -|-у \Le cos M 4- ex cos Л1 x) sin2 9, (23) так что U будет выражаться формулой
---= Fsin29 4- [О(gj cosф—gsinф)sin 9 cos 9 -|-//sin2 9] 14-V. (24)
§ 20.13. Решение уравнений
Согласно формулам (4) и (3) § 20.07, уравнения, определяющие прецессию и нутацию, имеют следующий вид:
:	1 dU
C<osin0 60 ’
9—.	1	f2).
° C<osin0 дф '	w
При помощи формулы (24) § 20.12 эти уравнения преобразуются к виду
ф = 2F cos 9 4- [О (gx cos ф-gsin ф)^^ 4- 2Н cos б] 14-	, (3)
9 = Ос08 9(^151пф4-^С08ф)/ —(4)
Направление оси Хо, лежащей в неподвижной эклиптике, соответствующей эпохе t0, до сих пор еще не определено. Мы можем выбрать это направление любым способом. Выберем временно эту ось так, чтобы она проходила вблизи узла AZ, так что ф будет малым углом. Тогда в уравнениях (3) и (4) достаточно положить cos ф = ) и пренебречь величинами g sin ф и §,151пф.
468
Глава 20. Прецессия и нутация
Далее мы положим
Ф = Фт+^.	(5)
0 = 9га+в.	(6)
где Ф и 0 зависят от периодических членов V.
В правых частях уравнений (3) и (4) можно заменить 6 на 60 и поступить с углом ф так, как было указано. Пренебрегая V, мы по формулам (5) и (6) получаем
фт = 2F cos 0О+(ogl + 2Н cos 0о) t,
6m = Gg cos 0О-1,
где t отсчитывается от эпохи t0. Отсюда мы имеем
фи = Фо+^+№	(7)
9т = 9о+^2.	(8)
где a = 2Fcos0o,	(9)
d=T(G«’1T5v+2"“s9»)’	(10>
c = yOg-cos90.	(И)
Равенства (7) и (8) определяют прецессию.
Рассмотрим теперь уравнения для Ф и 0. Они имеют вид rfr_ 1 ЗУ а_ 1 6V sin 0 df) ’	sin 6 дф *
где V выражается формулой (23) § 20.12. Заменяя после дифференцирования 0 на 0О, мы найдем
«=^(1 -4 ?+4 ^)^lw,(w+w_
—К cos Оо [у £$2 cos (2N 4“ 2ф) 4- L cos (2Л1 4- 2ш 4“ 2ф) 4-
4" cos (2М, 4- 2®! 4- 2ф) — 3 (Le cos М 4~ cos Alj) j	(12)
я
6 = ft’£s(l —у s2 4-у*2) cos 0О sin (2V 4-Ф) — — К sin 0О [у Ls2 sin (2N 4- 2ф) 4- L sin (2Л14- 2& 4- 2ф) 4-4-sin (2^4-2®! 4-2ф)].	(13)
§ 20.14. Средний экватор в момент t
469
Узел лунной орбиты движется попятно по эклиптике с периодом приблизительно 18,6 лет. Поэтому мы можем записать W в виде
	W = jV0 — N't.	(14)
Далее, с	достаточной степенью точности	
	Ф = Фо+в^	
Поэтому	AZ ф = ₽ — at.	(15)
где	0 = Л(о-|-фо и a = N'— а.	(16)
В уравнении (12) для удобства положим
(17) а в (13)
aE=KLs{\ —J-s24--Je2')cos90.	(18)
Тогда, интегрируя уравнения (12) и (13) и пренебрегая а, если оно входит совместно с п и пР мы получим, используя формулу (15), T = — Dsin(W + <p)+tfcos90[-^-sin(2W+2<|») —
—	4 sin (2Л4 + 2ш+24) — -±- sin (2/И] + 2a>j + 2ф)+
&Т11
+ 3 (-у- sinAi 4- %- sin Mj)];	(19)
[/
cos (2N -|- 2<р) —
—	± cos (2 М + 2ш + 2ф) — -A- cos (2М, + 2ш, + 2ф)]. (20) Эти выражения для Ф и 0 дают соответственно главные члены нутации в долготе и наклонности.
§ 20.14.	Средний экватор в момент t
При определении среднего экватора в любой момент времени мы будем пренебрегать нутационными членами Ф и 0. Следовательно, положение среднего экватора определяется по отношению к фиксированным осям величинами <|>т и 0т, причем последняя из них является средней наклонностью, формула (7) предыдущего параграфа показывает, что

470
Глава 20. Прецессия и нутация
относительно неподвижной оси Хо, за которую мы теперь возьмем линию восходящего узла неподвижной эклиптики на среднем экваторе, соответствующем эпохе t0. Следовательно, фт = 0, когда 1 = 0, и поэтому фо = О. Мы теперь имеем
фда = а/+«2.	(1)
Согласно формуле (8) § 20.13,
0w = 0o + ^2.	(2)
Следовательно, 0О— наклонность неподвижной эклиптики к среднему экватору в эпоху /0.
Величина фт— лунно-солнечная прецессия и 0т— соответствующая ей наклонность.
В формулах (1) и (2) b и с — величины очень малые по сравнению с а. Их значения приводятся в § 20.19.
§ 20.15.	Общая прецессия
На рис. 32 изображена эклиптика в момент t0 и в момент t, а также средний экватор в момент t. Для удобства мы временно опустим значок m при ф и 6. Мы имеем
Л0М = ф, £_ANE=§, l_NANx = l, X0A = Q.
Пусть, далее, AWj=:X, ДЛЛ71Е = 0/ и X0D = ty', где О — основание перпендикуляра, опущенного из Хх на большой круг NA. Угол ф' называется общей, прецессией.
Согласно формулам (17) и (18) § 20.12,
/sin2 = g/H-A/2.	(1)
Z cos 2 = ^/4- h /2,	(2)
где I, g и gx рассматриваются как малые величины первого порядка, а Л и Л] — как малые второго порядка.
£ 20.15. Общая прецессия
471
1.	По формуле косинусов для полярного треугольника мы имеем cos 6' = cos 6 cos I — sin 9 sin I cos (2 + ф).
Пусть 9' = 94~A9. Тогда с точностью до членов второго порядка включительно
ДО sin 9 4- у (Д9)2 cos 9 — I sin 9 cos (2 4- ф) I2 cos 9.
В первом приближении
Д9 = I cos (2 4- ф).	(3)
Поэтому с точностью до членов второго порядка
Д9 = / cos (2 4- ф)4“ус^6 sin2 (2 4- ф).	(4)
В первом члене этого равенства вместо ф можно подставить at, а во втором члене 9 заменить через 90 и положить ф = 0 (вспомним, что согласно (1) § 20.14 ф^фт = а/4~^2)- Тогда при помощи равенств (1) и (2) формулу (4) приведем к виду
Д9 = ^ + (Л1 — ag + ^g2dg^t2.	(5)
Кроме того, согласно формуле (2) § 20.14,
9 = 9т = 90-НсЛ
Поэтому мы можем написать
= + +	(6)
где
Q = gp С1 = с4-Л1 — eg4-yg2ctg90.	(7)
2.	В треугольнике
MV^X, М£ = ф — ф'.
Поэтому
tg (ф — ф') = tg X cos 9.
Далее, ф — ф' и X — малые углы и, следовательно, если мы пренебрежем величинами (ф — ф')3 и X3, то получим
ф — ф' = Xcos 9 = sin X cos %,	(8)
где можно заменить 9 на 90 (мы видели, что постоянная с является очень малой величиной).
Из треугольника NANV в котором ЛМ = 24-ф. мы имеем
sinX^-^'ye-H).	(9)
sin 0	v '
472
Глава 20. Прецессия и нутация
В этом равенстве достаточно в разложении sin О' учесть только члены первого порядка. Воспользовавшись (3), найдем
sin O' = sinO [1 —dg 0о • I cos (2 -1- ф)].	(10)
Поэтому из формул (8) — (10), заменяя 0 в формуле (10) на 90, мы получаем
ф — ф' = I sin (2 4- ф) ctg 0о — fl sin (2 -|- ф) cos (2 4- ф) ctg2 90. (11) С точностью до членов второго порядка малости первое слагаемое, если в нем положить ф==а/, принимает вид
(gt+hfl + agxfl) ctg 90.
Второе слагаемое имеет второй порядок и при ф = 0 равно — SrS’№c^2®o- Поэтому, если заменить ф = фт на at-\-bfl, то равенство (11) примет вид
V = Pt+Pxfl,	(12)
где
Р = а—gctg.9o,	(13)
Pi = b — (Л 4- agi) ctg 90 4- ggx ctg2 90.	(14)
Теперь напишем фт вместо ф и 9т, вместо 9', отмечая, что фт и 9т относятся к среднему экватору и эклиптике, соответствующей моменту t. Тогда из формул (12) и (6) мы имеем
€ = +	(15)
e; = 9o4-Q'4-QA	(16)
где Р и Рх выражаются формулами (13) и (14), a Q и Qj—формулами (7). Здесь ф^ — общая прецессия и 9'т — соответствующая ей наклонность.
§ 20.16.	Прецессия от планет
В этом параграфе мы выведем зависимость от времени. Как и раньше, мы сохраним члены до второго порядка малости включительно.
Согласно формуле (8) § 20.15,
Х = (ф — ф')зес9 = (ф — ф')вес90.	(1)
Выражение для ф — ф' дается формулой (11) § 20.15, первый и второй член которой уже были найдены. Поэтому формула (1) примет вид
X = (gt 4- ht2 4- agi*2) cosec 90 — ggxt2 ctg % cosec 90,
§ 20.17. Прецессия по прямому восхождению
473
или
где
Х = Х'/+Х"Л
X' = g cosec 0О,
(2)
(3)
X" = (A4-ag1 —ggictgO^cosecOo;	(4)
X — прецессия от планет в экваторе.
Возмущения орбиты Земли, вызванные действием планет и имеющие отношение к рассматриваемому вопросу, определяются величинами /sin 2 и ZcosQ, т. е. постоянными g, Л и gxhx и временем t. Все постоянные, входящие в формулы (3) и (4), можно вычислить и, следовательно, для любого момента t можно рассчитать величину X.
§ 20.17. Прецессия по прямому восхождению и по склонению
На рис. 33 через X' и обозначены соответственно узлы неподвижной эклиптики и подвижной эклиптики NXAB в момент t относительно среднего экватора в момент t. Пусть OX', OY', OZ'
суть оси, связанные со средним экватором, S — звезда и Z'ST — меридиан этой звезды. Если пренебречь нутацией, то NXT будет прямым восхождением я в момент I, TS — склонением В. а и 3 суть средние экваториальные координаты в момент t. Далее X'Nx есть прецессия от планет X. Поэтому Х'Т =
Пусть /р тх, л/, /2, т2, п2 и /3, т3, п3— направляющие косинусы осей OX', OY', OZ' относительно ОХй, OY0, OZ0. Тогда, согласно
31 У. Смарт
474
Глава 20. Прецессия и нутация
рис. 33,
/j = COS<|>,
/2 = sin<pcos9,
/3 = sln<psin6,
m1 = — sin ф, m2 = cos<|>cos0, /n3 = cos ф sin 0,
»i = 0;
«2 = — sin 6;
n3 = cos 0.
Нам потребуются производные от Z2 и т. д. по ф и 0. Эти производные приводятся в следующей таблице:
	1,	я>|	»1	1,	nii	п,
ф	mt	-Z.	0	т2	-1г	0
0	0	0	0		— т3	— «3
Пусть •»), С означают координаты точки S относительно осей OX', OY', OZ', а Хо, Yo, Zo— ее координаты по отношению к неподвижным осям ОХ0, OY0, OZ0. Тогда, принимая радиус сферы равным единице, найдем
£ == cos (а + X) cos 8 = 1хХ0 4- nxZ0,	(1)
т) si n (а -|- X) cos 8 = Z2 Xo 4- m2Y04-ti.2Z0,	(2)
C = sin8 = Z3A'o4-«3^o_l_ лз^о>	(3)
откуда
Xo = ^ + M4-^.	(4)
=	(5)
Эти формулы потребуются нам в дальнейшем. Так как Хо, Yo, Zo не зависят от 0, ф, то из уравнений (1), (2) мы имеем
5=_(а4-Х)т) —8etg6,
Tj==(a4-X)$ —8’Tjtg8, откуда
—j т) = (a 4- X) cos2 8,	(6)
55 4-7j7j =— § sin 8 cos 8.	(7)
Далее, Xo, Eo, Zo — постоянные (мы пренебрегаем здесь собственным движением звезды). Следовательно, согласно уравнению (1),
5 = iiX0 4-»h^o-b п i^o-Но
/	<^1 f I <W| Л
+ + и т- А-
£ 20.17. Прецессия по прямому восхождению	475
Поэтому, используя приведенную выше таблицу, а также равенства (4) и (5;, получаем
5 = (п^Хо — /0Е0) ф = I(Z2"ti — W Ч + (z3mi — W Q Ф» или
$=(— w+n&if. Аналогично
'*1 — (т2^о-Z2^o) Ф ~ (^З^оЧ- ^З^оЧ- Л3^о) 9 = ЯЗ^Ф ~^9 •
Подставляя две последние формулы в уравнения (6) и (7), получаем
а — ф cos 9 — X -|- ф sin 9 sin (а	X) tg 8 — 9 cos (а X) tg 8,	(8)
& =ipsin9cos(a-|-X)-|-9 sin(a + X).	(9)
В этих равенствах можно положить
cosX=l, sin X = X. Поэтому мы имеем
a = ф cos 9 — X-|-sinatg8 [<psin 0 —Х6] —cos a tg 8 [9* —X<psin9J и
& = cos a [ф sin 9 -|- X9] -|- sin a [9 — Хф sin 9]. Заменяя ф и 9 через фш и 90 (так как с очень малб), мы положим да = Фтс°8 90~ п — sin 9о-4-Х0.
•	. 	„	(Ю)
р = 9 —Хфш sin 9.
Тогда a = m-}-nslna tg 8 — pcosatgB,	(11)
§ = л cosa+psina.	(12)
Величина р имеет порядок 3- 10-7/, Х9 —порядок 6- 10“12/2; эти величины можно без ущерба отбросить, и формулы (11) и (12) примут вид
a =m-|-BSinatg8»	(13)
8=ncosa,	(14)
где
/п = фтсоз90—X,	(15)
n = <pmsin90.	(16)
Если в качестве единицы времени принять год, то а и J, определяемые формулами (13) и (14), называются годичной прецессией по прямому восхождению и годичной прецессией по склонению.
31*
476
Г лава 20. Прецессия и нутация
Если р.а + <л8 — компоненты годичного собственного движения, то a-|-.ue и 5 jj.j называются годичными изменениями в прямом восхождении и склонении, числовые значения которого для отдельной звезды приводятся в Nautical Almanac и различных каталогах.
Вековое изменение в прямом восхождении определяется как скорость изменения а за столетие. Если обозначить ее через $, то ife"== “ = 'll (m + п sin “tg 8)'
Поэтому, если а0 — прямое восхождение звезды в момент t0, то t лет спустя прямое восхождение а определится по формуле
[•	S/ "I
(®)о	200 J ‘
Аналогичная формула имеет место и для склонения. Числовые значения вековых изменений приводятся во многих каталогах.
§ 20.18. Нутационный эллипс
Выражения для нутации Т долготы и для нутации в наклонения даются формулами (19) и (20) § 20.13. Члены с аргументом W-Ьф являются долгопериодическими, а остальные—корочкопериодическими. Например, период члена sin(N-j-ф) в Т равен ~ 181/2 лет, а остальные члены, не содержащие AZ, имеют периоды, равные лунному месяцу, году или их долям. Главные члены мы запишем так:
х = Е cos (N + ф), у = — Dsin(W-|-<p),	(1)
причем первая формула относится к нутации наклонения.
На рис. 34 No означает узел среднего экватора в момент t относительно неподвижной эклиптики для эпохи /0. Узел истинного экватора, для которого учитывается нутация, обозначен через АЛ Полюсами среднего и истинного экваторов служат Qo и Q соответственно. Пусть QB— перпендикуляр, опущенный на Z0Q0. Тогда Q0B будет нутацией в наклонности, а угол QZ0Q0 будет нутацией AZ0M долготы. Поэтому Q0B = x и QB = у sin Z0B или с достаточной степенью точности QB=ysin0o.
Таким образом, из формул (1) мы видим, что точка Q описывает малый эллипс
*2 _j____У2 — 1	(2)
Ег D2 sin2 0О	>
с центром в Qo. Этот эллипс называется нутационным эллипсом. Так как cos 0О > cos 20о, то из выражений (17) и (18) § 20.13 для D и Е мы видим, что Е является большей полуосью эллипса. Вели
$ 20.19. Численные значения постоянных
477
чина Е называется постоянной нутации. Стрелка на рис. 34 показывает, в каком направлении Q движется относительно Qo.
Постоянная нутации Е может быть найдена из наблюдений. Мы принимаем ее равной 9",210.
Согласно равенству (18) § 20.13,
*£1(1 -+ 4 e2)cos %.	(3)
Так как значения a, s, е, 0О и Е известны, то формула (3) дает нам возможность найти произведение KL, где К и L определяются формулами (2) и (3) § 20.08.
§ 20.19. Численные значения постоянных
Мы уже отмечали, что постоянную нутации можно вывести из наблюдений. Численное значение 9",210 для нее было принято в 1896 г. на Парижской конференции по астрономическим постоянным, и это значение почти точно подтверждено многими продолжительными и исчерпывающими программами наблюдений, среди которых можно упомянуть гринвичские наблюдения, выполненные в 1911 —1931 гг. на плавающем зенит-телескопе Куксона и 45000 наблюдений, выполненных в Пулкове в период 1904—1941 гг.
Постоянная общей прецессии Р[см. формулу (15) § 20.15] известна из наблюдений с высокой степенью точности. Аналогичные замечания можно сделать и относительно среднего наклонения 0О (соответ» ствующего эпохе /д).
478
Глава 20. Прецессия и нутация
До сих пор мы еще не определили точно эпоху t0. В ранних исследованиях была принята следующая эпоха:
1850, январь 0, гринвичский средний полдень.
Таблицы движения Солнца Ньюкома основаны на эпохе
1900, январь 0, гринвичский средний полдень.
Заметим, что до 1925 г. астрономические сутки начинались с грин* вичского среднего полдня.
Значения приведенных ниже постоянных даются для эпохи t0 = 1950, январь 0, гринвичский средний полдень1).
Далее, понятие времени t, использованное в наших динамических и других уравнениях, требует уточнения. Мы принимаем за единицу времени t один юлианский год, равный 365,25 средних солнечных суток. В дальнейшем мы дадим подробное определение средних солнечных суток.
А.	Основные постоянные.
Р = 50",2675, Д=9",210, 90 = 23°26'44",84.
Б. Постоянные, связанные с Луной.
1)	Эксцентриситет орбиты
е= 0,0549005.
2)	Угол с
с = 5°8'43",4, откуда
s = sin с = 0,08968335.
3)	Среднее угловое движение в радианах за юлианский год п = 83,9970927.
4)	Постоянные, относящиеся к движению узла, W'= 0,3375711, а = 0,3373280
в радианах за юлианский год.
В.	Постоянные, связанные с Солнцем.
1)	Эксцентриситет ej==e0-|-e7:
е0 = 0,01673011, е' = 4,18 • 10-7.
2)	Среднее угловое движение л, в радианах за юлианский год Л1 = 6,2830759 (сидерическое)
= 6,2833196 (тропическое).
*) Я весьма обязан доктору Дж. Портеру (Nautical Almanac) за вычисление этих постоянных.
§ 20.19. Численные значения постоянных	479
Г. Лунно-солнечная прецессия.
От = 9о+^2 *.
а = 50",3732, /> = —0", 000 1072;
0О = 23°26'44",84, с = 5",608 • 10“’.
Д. Общая прецессия.
ф,л — Pt-\- Pit*,	6,„ = 9о 4* Qt4~Qi/2;
Р = 50",2675,	Pi = 0",000111;
Q = — 0",4685, Qj = — 3"5 -IO-7.
Е. Прецессия от планет.
Х = Х'/4-Х"Р;
Х' = 0", 1153 = 0s,007687;
Х" = — 2",38 • 10"4 = — Is,59 • 10~5.
Ж- Годичная прецессия по прямому восхождению и склонению.
m = cos 0О — X = тг 4- 2m2t,
n = <|>m sin 0o = «i 4- 2я2/;
тг = 46",0990 = 3s,07327.
m2=l",4- 10-4 = 9,,2. 10-6; n1 = 20".0426 = ls,33617, я2 = — 4",2- 10-s = — 2s,85- 10“6.
3. Возмущения планет (вековые).
I sin 2 = gt 4- Л/2; /cos 2 = g1/4-*i*2.
1) a = P4-£ctg0o.
По значениям а и P, приведенным в пунктах (Г) и (Д), легко находится величина
g = 0",04584.
2) Аналогично из равенств (7) и (14) § 20.15 для Q, и Рх
выводятся следующие значения для h, gx и
h = 1",955 • 10-s, gl = — 0",46849.
Л1 = 5",33- 10-7.
480
Глава 20. Прецессия и нутация
§ 20.20.	Вычисление KL и К
Так как £ = 9",210, то из формулы (3) § 20.18 имеем
KL = —~----- г----------= 37",74.	(1)
s (1-e’)cos0o
Согласно формуле (9) § 20.13,
а = 2F cos 0О, где
2Г=/<£(1+4^-4^4-/с(1+4^0).
Подставляя численные значения а, 60 и т. д., мы найдем 54,92 = 0(1 — 0,007544)-4-А'(1 -|-0,00042), откуда посредством формулы (1) получаем
17,46 = К (1+0,00042).
Поэтому К =17", 45.	(2)
Из соотношений (1) и (2) находим
£ = 2,163	(3)
При помощи равенства (17) § 20.13 получаем
0=17",23.	(4)
Малая полуось нутационного эллипса (DsinOo) оказывается равной 6",861.
§ 20.21.	Нутационные члены
Можно теперь вычислить выражения (19) и (20) § 20.13 для нутации Ф и О. В Nautical Almanac приняты следующие обозначения:
2У_|_ф = ££, M = gx Л1 + ш=С, A1j + <i>i = £, WjSic, Л1, = £ — it.
Поэтому мы имеем
Ф = — 17",23 sin Q + 0",21 sin 2Q — 1 ",27 sin 2£ —
— О",21 sin2 C+0",07sing1 + 0",13sin(£— it) (1) и
0 = 9",21 cos Q — 0",09 cos 2Q + 0",55 cos 2£ + 0",09 cos 2 С. (2)
Эти формулы дают главные члены нутации. Те члены, которыми мы пренебрегли, имеют амплитуды менее 0",05. Конечно, такие члены принимаются во внимание при более точном вычислении Ф и 0.
£ 20.22. Масса Луны и динамическое сжатие Земли
481
§ 20.22.	Масса Луны и динамическое сжатие Земли
1)	Согласно формуле (3) § 20.08, мы имеем
.	М(а{\*_ М Е+М (а,\*
L~ S М ~ Е+М ' S \а ) ' Но
О (f + М) = я* 2а3, G (S+Е) = я2а3.
Поэтому, так как E/S & 3 • 10-6, то с достаточной степенью точности
д_ М пг Е+М ’ л2 ’
Подставляя значения п и /ц н значение L из равенства (3) § 20.20, получаем
М 1
Е ~ 81,6 *
Отношение массы Луны к массе Земли можно получить также из наблюдений Эроса, ведущихся для определения солнечного параллакса. Отношение Af/£ входит в условные уравнения, так как это отношение определяет центр масс системы Земля—Луна, который описывает эллиптическую орбиту вокруг Солнца. Результаты, выведенные Хинксом1) из наблюдений 1900 —1901 гг. и Спенсером Джонсом2) из наблюдений 1930—1931 гг., оказались равными 1/81,5 и 1/81,3 соответственно.
2)	Из формулы (2) § 20.08 мы имеем
JC___3 С — А ( nt \
% ~ 2 С I ® ) *1’
Но период 2я/ш очень близок к сидерическим суткам (см. § 20.27). Далее, период равен одному году или 366 -у сидерическим суткам. Поэтому
Л1 __	1
“	366-J- ’
4
Кроме того,
я, = 6,2833 радиан за юлианские сутки=
= 6,2833 cosec 1" секунд дуги за юлианские сутки.
*) Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 70, 63 (1909).
2) Там же, 101, 356 (1941).
482
Глава 20. Прецессия и нутация
Подставляя значение Д'(=17", 45) из равенства (2) § 20.20, получаем
С —А _ 1 С ~ Ж2 '
Отношение (С — А)/С называется динамическим сжатием Земли.
§ 20.23. Звездное время
Поскольку мы предполагаем, что Земля является сфероидом, то земной экватор будет кругом. Следовательно, мы можем выбрать экваториальные оси инерции X и У любым способом.
Пусть на рис. 35 ось X проходит через точку пересечения экватора с гринвичским меридианом ZQX.
На этом рисунке NXY изображает истинный экватор в момент t и N'— узел истинной эклиптики на NXY в момент t. Истинное наклонение равно 9, NXQ = ty, NX = <p, X0A = Q. Тогда
0 = 0ffl+0. Ф = Фт + *.	(1)
Пусть NN' == Xj и / AN'X = 0'.
Гринвичское звездное время, которое мы обозначим через т, есть XN'. Тогда
т = <р —ХР
Поэтому
т=ф— 1р
или, согласно формуле (2) § 20.07,
‘Ь=ш + фсоз0 — кР	(2)
§ 20.23. Звездное время
483
Рассмотрим разложения второго и третьего членов правой части (2) до членов второго порядка малости относительно ф, ЧГ, 0 включительно.
1)	Согласно равенствам (1), ф cos 9 = (фт+Ф) [cos 9m — в sin 0mJ =
= (Ф„ + ф) COS 0q — 710 — ОФ sin 0О.
В этом равенстве достаточно написать 0О вместо 0т. Кроме того, принимая во внимание равенство (16) § 20.17, мы напишем п вместо фт sin 0О. Главные члены ЧГ и О даются формулами
ЧГ =— D sin (N-j- ф), О — Е cos (N-\- ф),
в которых D=17",23; £’ = 9",21. Отсюда мы получаем
ф cos 0 = (фт+Ф) cos 0О — сг cos (N ф) — с2 — с2 cos 2 (W + ф), где с1 = 9",10-4 и с2 = 5",3 • 10-s. Мы можем пренебречь малыми периодическими членами с аргументом А7-|-ф; тогда
ф cos 0 = (фт + Ф) cos 0о — с2.	(3)
2)	Из треугольника NN'A мы имеем
1  I sin (а + ф)
Ai----ИГО7 •
Положим 0' = О4-Д0. Как и в формуле (3) § 20.15,
Д0 = I cos (2 + ф).
Поэтому — Ctg 0<> со8ес 0°-
Из равенств (8) и (11) § 20.15 легко видеть, что
х = isinff+im).  ggji ctg 0() cosec 0Qt
Напомним, что в формуле (И) § 20.15 ф^фт.
При помощи равенств (1) легко находим, что
X! — X = — t cosec 0О [gjD sin (V-j- ф) + gE cos (N-\- ф)].
Здесь gxD-4"- IO"5 и gE — 2"- 10-6. Пренебрегая членами правой части предыдущего уравнения, напишем Х==ХГ
3)	Формула для т.
Из формул (2) и (3) мы теперь имеем
t = ш+фшсо8 0О — 1+V cos 0О — с2 = w+w + ^cos 0О—с2.
484
Глава 20. Прецессия и нутация
Как и в формуле (1) § 20.19, положим m = m} -f- 2m2t. Тогда
t = -t0 + (ш + «1 — сг) + ^2+Ф cos 0о.	(4)
Член с с2 обычно отбрасывается, так как он равен лишь половине единицы четвертого знака величины mv
Последний член в равенстве (4) является периодическим. Рассматривая только главные члены, мы имеем
ЧГ cos 0О = — Dsin^+STjcos 90 =— ls,054sin(A7-|-<p).
Период этого члена равен 2я/а или приблизительно 18-^- лет. Следовательно, этот член очень медленно изменяется от суток к суткам. Численное значение совокупности нутационных членов равенства (4) можно, конечно, вычислить для любого момента времени t.
4)	Среднее звездное время.
Равномерное звездное время т мы определим с помощью формулы
= то+(ш + mi)(-	(5)
Истинное звездное время дается формулой
т = tj -1- m2t2 + W cos 60.	(6)
Совершенные звездные часы, особенно кварцевые, могут хранить среднее звездное время. Расхождения во времени, показываемом такими часами, и истинным звездным временем, обусловленные членом m2t2 в течение нескольких месяцев незаметны. С другой стороны, расхождения, возникающие от нутационного члена в течение такого промежутка времени, имеют порядок нескольких миллисекунд и могут быть обнаружены кварцевыми часами. Эти расхождения, следовательно, могут быть приняты в расчет, тогда требуется высокая точность.
§ 20.24.	Среднее солнечное время
Определение среднего времени основывается на концепции фиктивного тела — среднего Солнца,—которое по определению движется в плоскости истинного экватора с постоянной сидерической угловой скоростью |*. Между р и средней долготой Солнца должна быть установлена зависимость. Если А означает прямое восхождение среднего Солнца, измеряемое от истинной точки весеннего равноденствия, то согласно равенствам (13) § 20.17 и (1) § 20.19
Я = р + 7П1-|-2т2/4-Т cos 90,
§ 20.24. Среднее солнечное время
485
так как склонение равно нулю. Поэтому
А — Ло -f- (р. nil) t + т2^ + cos %•	(D
Пусть Н означает часовой угол среднего Солнца для Гринвича. Тогда, если т — гринвичское звездное время, то Н — ~ — А. Далее, т дается формулой (4) § 20.23. Поэтому
Н = т0 —Л0-|-(и> —
Это равенство показывает, что Н равномерно увеличивается со временем. Поскольку t отсчитывается от гринвичского среднего полудни в принятую эпоху /0, мы имеем
т0 = Д0.	(2)
Поэтому
Н = (ш — j*) t.	(3)
Эта последняя формула является основой измерения гринвичского среднего времени1), которое с 1925 г. равно Н4-12".
Относительно неподвижной эклиптики средняя долгота Солнца составляет
4* h* + ^2>
причем последний член обусловлен возмущающим действием планет. Относительно подвижной средней точки весеннего равноденствия она равна
/0+^+У2 + ^ + Л'2-	(4)
Средняя долгота, исправленная за аберрацию и обозначаемая через L, дается выражением (4), в котором 70 нужно заменить через /0— А, где k — постоянная аберрации. Значение k, использованное Ньюкомом в его фундаментальных исследованиях, составляет 20", 501, и это значение до сих пор используется в Nautical Almanac для вычисления L. Выражение для L дается формулой
£ = £0+^+^2-	(5)
Теперь введем окончательное определение понятия среднего Солнца. Вспомним, что при определении среднего Солнца мы ввели угловое движение р, значение которого нам и требуется определить. Среднее Солнце определяется условием, согласно которому его прямое восхождение, выражаемое формулой (1) без учета нутационных членов, равно, до тех пор пока это возможно, средней долготе L, выражаемой формулой (5). В идеальном случае из этого определения должна следовать идентичность выражения
А» + (Н +	t + m2t2	(6)
*) Или всемирное время (U. Т.).
486	Глава 20. Прецессия и нутация
и выражения для L, которое мы запишем в виде £o+^+«^ + (£2_«2)/2.	(7)
А это возможно лишь в том случае, если L2 — m2 или если величина — тг настолько мала, что ею можно пренебречь.
Согласно Ньюкому, для эпохи 1900, январь 0, гр. ср. полудня Ц = 7s,26 • 10"6, т2 = 9s,28 • 10-6, так что
^2 —«2 = —2s,02 - 10-6.
Поэтому отбрасывание в формуле (7) члена (£2— m2)fi дает через 1000 лет ошибку, равную лишь 2s,02. Ньюком заметил в связи с этим, что дальнейшее необходимое уточнение понятия среднего времени мы должны предоставить астрономам будущего.
Из равенства (2) и тождества выражений (6) и (7) мы находим
Лц = £0 = ’о-	(8)
р «I = £Р	(9)
Для принятой нами эпохи t0 имеем
£о= 18h38ra19s,85,
£1 = 86401’,84635,	£3 = 7’,26 • 10“’,
да, = 3s,07327,	ж^Э’,3 • 10'®.
Из равенства (9) мы тогда будем иметь р = 86398s,77308.	(10)
Это и есть сидерическое угловое движение среднего Солнца по истинному экватору, причем за единицу времени принят один юлианский год.
§ 20.25.	Вычисление w и »+ »»i
Согласно формуле (3) § 20.24,
Н = (ш — р) t, если D — число средних солнечных суток, соответствующих t юлианским годам, так что
/=-4-
то
Я=^-Л,	(1)
£ 20.26. Среднее солнечное и звездное время
487
где вместо 365*/4 мы написали N. Нужно добавить, что средние солнечные сутки равны интервалу времени, соответствующему увеличению Н на 24h.
После того как пройдут одни средние солнечные сутки, часовой угол станет /74-24h, так что
Я+24” = ^(О+1).
Поэтому, вычитая равенство (1) из последней формулы, будем иметь •^^ = 24h = 86 400s,
откуда
= 24h + = 24h + 236s,54 695.	(2)
Кроме того,
^+^L==24h + ^ = 24h+ 236s,55536.	(3)
§ 20.26.	Соотношение между средним солнечным временем и звездным временем
Поскольку та = £0, формула для сидерического времени т имеет вид
т = £0+(<о + /Wj) f+m2/2+ ЧГ cos Oq,
или, если t выражается через число D средних солнечных суток, так что t = D/N,
x=Lo+^+^-D + -^D2 + Tcos0o.
Спустя одни солнечные сутки звездное время будет
т' = Л>+	(£>+ 1)2+$ (£>+ 1)2+’FcosOq,
где мы пренебрежем изменением W за одни солнечные сутки. Поэтому ’'-’ = ^-+55(20+1).
Соответственно
24h ср. солн. вр. = (24h+236s,55536+5,1 • 10"Т+6,9 • 10"”) зв. вр.
Рассматривая только среднее звездное время, мы будем иметь
24” ср. солн. вр. = 241,03”56s,55536 зв. вр.
Мы также имеем следующее соотношение:
1	55536 -  .002737909.
488
Глава 20. Прецессия и нутация
§ 20.27.	Соотношение между звездными сутками и периодом вращения Земли
Если S означает продолжительность звездных суток, a R — период вращения Земли, то в безразмерных единицах
$ =  • /? = —•
<> m!	<о
Поэтому
R __
S	<0	’
и используя значения <o + mi и ш из равенств (3) и (2) § 20.25, мы найдем
R __ 86636,55536 _1 I о 79 1 п-8
S ~ 86636,54695 “ 1 “ra’'z ’	*
§ 20.28.	Тропический год
Тропический год определяется посредством исправленной за аберрацию средней долготы
L — L0-\-Lit-{-L2t2	(1)
и имеет такую продолжительность Т средних солнечных суток, в течение которой L увеличивается на 360’ или 24h. Поэтому
£+24h=£0 + £1(/+^-) + £2(/ + ^-)2,
откуда, вычитая равенство (1), получаем
24h = 86 400’ = £ (+ 2£/ + L2 -J-).
Последний член чрезвычайно мал по сравнению с £Р Поэтому т_ 86400W 1 ~ Lj+2L2t *
Подставляя сюда значения £р £2 из § 20.24, мы находим, что
Г = 365,2421957 — 6,14 • 10“8t
Эта формула и дает число средних суток в тропическом году. Вековой член будет оказывать пренебрежимо малое влияние в течение многих лет. Следовательно, мы можем принять, что тропический год равен 365,2422 средних солнечных суток.
Начало Бесселева года, который по продолжительности равен тропическому году, определяется как момент, когда £=2803=18h40,n.
$ 20.29. Эфемеридное время
489
Соответствующая дата лежит вблизи 1 января. Например, начало Бесселева года 1954 приходится на
1954, январь 0d,892, который для удобства записывается как 1954,0.
§ 20.29.	Эфемеридное время
Теоретическое рассмотрение прецессии и нутации основывается на предположении, что Земля является твердым телом и что, в частности, моменты инерции А, В к С остаются постоянными. Поэтому средние солнечные сутки принимаются в качестве стандартной единицы времени. При этом период вращения Земли считается равномерным и приливное трение, рассмотренное в гл. 19, не учитывается.
Современные исследования показали, что, несомненно, имеются ничем не компенсированные расхождения между гравитационной теорией и наблюдениями долгот Луны, Солнца, планет Меркурия и Венеры —все одной и той же природы,—которые указывают на то, что Земля не является совершенными часами. Эти расхождения вызываются малыми изменениями моментов инерции Земли, обусловленными метеорологическими, сейсмическими и другими причинами. Соответственно этому средние солнечные сутки не являются вполне удовлетворительной единицей времени. Вместо них в качестве стандартной единицы времени была принята длина сидерического года на 1900,0, а время, выраженное в этой единице, стало называться эфемеридным временем.
Эфемериды ’), приводимые в каталогах, теперь основываются на эфемеридном времени, а не на гринвичском среднем или всемирном времени, как это было ранее. Переход от среднего солнечного времени к эфемеридному времени осуществляется введением следующей поправки Д£2):
М = -j- 24s,349 + 72s,3165Т + 29s,9497*2	1,821В,
где Т выражено в юлианских столетиях, отсчитываемых от 1900, январь 0 гринвичского среднего полдня, а В — величина, названная Спенсером Джонсом3) флуктуацией в долготе Луны.
*) D. Н. Sa Ide г, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., Ill, 624 (1951).
2) Transactions of the International Astronomical Union, Vol. VIII (в печати).
8) Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 99, 542 (1939).
32 У> Смарт
ДОПОЛНЕНИЕ
Члены разложения Jn(ne) и ~ [Ja(ne)] = Jn(ne) до седьмой степени е
—-4 «2+ б?-*4_ 2304 е®’ ЛОО — у	— у e2 + T92e4 — 9216 *6]’
J,(2e) = |e»[l-.p + ^], Л(3₽) =-jg-e3[l — Тб *2+ 640 *4]' Л(4е) = .р[1-44 , ч 625 -Г.	25 ,1
Л(5*) — 768 е [1 ~ 24 е J’ 4(б«)=-^6.
j(7ex-^Lei 92160 е ’
•/о(®) = —yefl — У*2+ ”192 *4—9216 е6]’ X (е) —у f1 ~~у *2+192 е4— 9216 *6]’ Л(2е) = е[1 — y^+y *4~ до *6]’
л^-Н’-Р+М /8(5е)^41-§4 /в(6е) = -^е5[1 - -у*2]. ✓ f7g)= 7(343)8 — ooifiO
УКАЗАТЕЛЬ
Адамс 302, 322, 333, 421, 435, 436, 437
Астен 315
Астранд 34
Астрономические единицы 12
Афелий 10
Ахиллес 122
Бесконечно малые контактные преобразования 220
Бесконечный определитель 413
Бесселев год 488
Боде 321
Большая полуось 10
Брадлей 446
Браун 32, 45, 339, 417, 419, 431
Бувар 321
Вариация 376, 393
Вековое изменение 476
— ускорение Луны 432
Вековые неравенства 118, 260, 285, 299
Взаимная наклонность 268
Возмущающая функция 20, ПО, 157
---в теории движения планет 139
----------Луны 129
Возмущения 20
—	первого порядка 118
—	второго порядка 123
Всемирное время 485
Галле 322
Галлей 432
Ганзен 436
Гаусс 302
Гершель 321
Гипергеометрический ряд 48
Гипотеза Энке 303, 312
Гиппарх 446
Годичная прецессия по прямому восхождению 475, 479
-------склонению 475, 479
Годичное неравенство 376, 476
Движение перигелия Меркурия 317
— перигея лунной орбиты 377
— узла лунной орбиты 343, 377, 421
Делонз 233, 284, 445
Джеффрис 315, 436
Динамические уравнения Лагранжа
Динамическое сжатие Земли 481
Долгопериодические неравенства 120
Долгота в эпоху 282
—	перигелия Зб, 445
—	перигея 36
—	узла 24, 445
Закон всемирного тяготения 12
Законы Кеплера 9, 27
Звездное время 482, 487
Зодиакальный свет 303, 315
Изменение широты 462
Интеграл энергии 72, 172
—	Якоби 405
Интегралы площадей 70
— эллиптического движения 195
Истинная аномалия 29
— долгота планеты 36
Истинный экватор 470, 476
Канонические переменные 248
— постоянные 177, 199
---эллиптического движения 199
— уравнения 104, 169, 252
---Гамильтона 169
Кемпбелл 99
Кинетический потенциал 166
Койпер 21
Комета Морхауза 128
— Энке 314
Кометная модель Уиппла 316
Комплексные переменные 381
Контактные преобразования 208, 212
32*
492
Указатель
Короткопериодическне неравенства 119
Коэффициенты Лапласа 144
Критерий каноничности 207
— контактного преобразования 207
Кюстнер 462
Лагранж 122
Лаплас 75, 433
Леверье 322, 335
Леониды 302
Лпбрационный эллипс 122
Лунно-солнечная прецессия 470, 479
Масса Луны 48
Массы планет 20, 28
Межзвездное вещество 303
Метод вариации произвольных постоянных 82
— Гамильтона—Якоби 184
— Гаусса вычисления вековых возмущений 285
Миллер 64, 146
Модификация переменных Делонэ 226
Наклонение эклиптики 452, 470
Наклонности орбит планет (максимальные н минимальные значения) 282
Наклонность 23
Неизменная плоскость 74
Нептун 321
Неравенство в долготе 358, 367
Нестор 123
Нутационные члены 480
Нутационный эллипс 476
Ньюком 478, 485, 486
Ньютон 12, 21, 446
Облические переменные 231
Обобщенное точечно-линейное преобразование 217
Обобщенные координаты 164
Общая прецессия 470, 479
Орбита Солнца 131
Орбитальная скорость 35
Ортогональные преобразования 219
Оскулирующне элементы 84, 305
Оскулирующнй эллипс 83, 305
Параллакс Луны 375
Параллактическое неравенство 376
Переменные Делонэ 225
— Пуанкаре 230
Перигелий 10
Период вращения Земли 488
Подвижные осн 451
Полиномы Лежандра 130
Понтекулан 340, 384, 403, 436
Постоянная аберрации 485
— Гаусса 13
— нутации 477
Портер 478
Потенциал 13
—	сферы 15
Потенциальная энергия 68
Плана 436
Планетная прецессия 473
Плюммер 302
Приливное трение 437, 445
Промежуточная орбита 384
Птолемей 433
Пуанкаре 128
Радиус-вектор 10
Разложения в эллиптическом движении 42
Розенхед 64, 146
Ряд Лагранжа 43
Садлер 489
Свободный период Эйлера 460
Силовая функция 65, 447, 458
Системы координат в теории Луны 76
Скобки Лагранжа 87, 88, 89, 95, 96, 99, 103, 200, 212
— Пуассона 199, 201, 202, 212
Соизмеримость средних движений 120
Солнечная корона 303
Соотношения Якоби 189
Сопротивление среды 303
Сопряженные канонические элементы 105
—	переменные 177
Спенсер Джонс 481, 489
Среднее гринвичское время 485
—	движение 11, 117
—	звездное время 484
—	солнечное время 484
—	Солнце 484
Средний экватор 469
Средняя аномалия 29
—	долгота 36
--- в эпоху 36
Стокуэлл 281
Сфероидальность Земли 431
Указатель
493
Тейлор 436 Теорема Якоби 180 Теория Луны Делонэ 233 	Понтекулана 340 	Хилла—Брауна 378 Тиссеран 285, 315 Тихо Браге 10, 376 Точки либрации 122 Тропический год 488 Троянцы 122	Функции Бесселя 45, 64, 490 Функции Гамильтона 171, 193 Характеристическая функция 177 Хилл 302 Хинкс 481 Чаллис 322 Шук 45
Углы Эйлера 452 Узел 24, 197 Уиппл, 316 Уиттекер 106 Уравнение Гамильтона—Якоби 177, 193, 210, 253 —	Кеплера 31, 32 —	Матье 371 —	центра 58 Уравнения движения 17, 22, 24, 65 	планет 96, 113 —	Лагранжа 80, 109 —	Эйлера 455 Условия контактного преобразования 212 Условные уравнения Адамса 331 	Леверье 335 Устойчивость 128	Эвекция 376 Эддингтон 317 Эйлер 378 Эклиптика 24, 132 Эксцентриситет 10 Эксцентрическая аномалия 30 Эксцентрические переменнее 231 Элементы эллиптической орбиты 28 Эллиптические интегралы 146, 298, 314 — элементы 28, 35 Энке 303, 312, 314 Эрос 376, 481 Эфемеридное время 484 Эфемериды 41
Флемстид 321 Флетчер 64, 146 Формулы эллиптического движения 37	Юлианское столетие 433 Якоби 177, 180, 405
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию........................ 5
Предисловие........................................... 7
Глава 1. Введение...............................................
§ 1.01. Проблемы небесной механики..........................
§ 1.02. Законы Кеплера......................................
§ 1.03. Закон всемирного тяготения..........................
§ 1.04. Потенциал...........................................
§ 1.05. Потенциал шара на внешнюю точку.....................
§ 1.06. Уравнения движения..................................
§ 1.07. Основные уравнения движения планет..................
§ 1.08. Массы планет........................................
§ 1.09. Область применимости теории Ньютона.................
Глава 2. Эллиптическое движение.................................
§ 2.01. Уравнения движения..................................
§ 2.02. Положение плоскости орбиты относительно основной плоскости ......................................................
§ 2.03. Уравнения движения в плоскости орбиты...............
§ 2.04. Уравнение орбиты в полярных координатах.............
§ 2.05. Уточненная форма третьего закона Кеплера............
§ 2.06. Массы планет........................................
§ 2.07. Элементы эллиптической орбиты.......................
§ 2.08. Истинная и эксцентрическая аномалии.................
§ 2.09. Средняя аномалия....................................
§ 2.10. Уравнение Кеплера...................................
§ 2.11. Решение уравнения Кеплера...........................
§ 2.12. Скорость движения планеты по ее орбите..............
§ 2.13. Модификация эллиптических элементов.................
§ 2.14. Сводка формул эллиптического движения...............
§ 2.15. Вычисление прямого восхождения и склонения по известным элементам орбиты ............................................
Глава 3. Разложения различных функций в эллиптическом движении ...........................................................
§ 3.01. Введение............................................
§ 3.02. Ряд Лагранжа........................................
Sftfe £} £} & 8 Й S 2 8 8 8 S3 8 £ 8 88 S85G55EG<O<O<O
Оглавление
495
§ 3.03. Функции Бесселя......................................... 45
§ 3.04. Гипергеометрический ряд................................. 48
§ 3.05. Метод разложения некоторых функций г и / в периодические ряды........................................ 48
§ 3.06. Разложение в ряд по степеням е.......................... 50
§ 3.07.	Выражение	/ через Е..................................... 50
§ 3.08.	Разложение	rp cos pf и	rp sin	pf	..............	51
§ 3.09.	Разложение	rp cos qf и	rp sin qf	..............	52
§ 3.10. Разложения некоторых функций от г и М в ряды, содержащие f............................................ 56
§ 3.11. Разложения в тригонометрические ряды по кратным средней аномалии......................................... 58
Глава 4. Основные уравнения движения и их известные интегралы .................................................... 65
§ 4.01.	Силовая функция......................................... 65
§ 4.02.	Интерпретация U ..................... 66
§ 4.03.	Интегралы движения центра масс системы.................. 68
§ 4.04.	Интегралы площадей...................................... 70
§ 4.05.	Другие доказательства результатов в § 4.03	и	4.04....... 71
§ 4.06.	Интеграл энергии........................................ 72
л
§ 4.07. Формула (d2/dfi) 2	= 2U + 4С = 2Г + 2С.................. 73
1
§ 4.08. Неизменная плоскость.................................... 74
§ 4.09. Системы координат, используемые в теории Луны и при изучении движений звезд................................ 76
Глава 5.	Уравнения движения	планет в форме Лагранжа .... 80
§ 5.01.	Замена переменных....................................... 80
§ 5.02.	Оскулирующий эллипс..................................... 83
§ 5.03. Использование оскулирующего эллипса для эфемеридных целей.................................................. 84
§ 5.04.	Уравнения для at и &.................................... 86
§ 5.05.	Свойства скобок Лагранжа................................ 88
§ 5.06. Различные формулы, необходимые для вычисления скобок Лагранжа.............................................   89
§ 5.07.	Вычисление [pr. ........................................ 92
§ 5.08.	Вычисление [а, 0]....................................... 93
§ 5.09.	Вычисление [а,. а5]..................................... 95
§ 5.10.	Уравнения движения планет............................... 96
§ 5.11.	Метод Кемпбелла вычисления скобок Лагранжа.............. 99
§ 5.12.	Вычисление Ср...........................................101
§ 5.13.	Общая формула для [/?, ?]...............................102
496
Оглавление
§ 5.14. Вычисление скобок Лагранжа............................103
§ 5.15. Вывод канонических уравнений..........................104
§ 5.16. Вывод Уиттекера общей формулы для скобок Лагранжа . . 106
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа.........................109
§ 6.01. Введение...........................................109
§ 6.02. Общий вид разложения возмущающей функции............ПО
§ 6.03. Важная модификация уравнений движения планет.......113
§ 6.04. Общий метод вычисления приближений высших порядков . . 116
§ 6.05. Свойства возмущений первого порядка................118
§ 6.06. Троянцы............................................122
§ 6.07. Второе приближение для 2...........................123
§ 6.08. Общий вид возмущений второго порядка в 2...........124
§ 6.09. Возмущения второго порядка в а.....................125
§ 6.10. Рассмотрение возмущений второго порядка в 2 и а ... . 126
Глава 7. Разложение возмущающей функции
§ 7.01. Введение......................
§ 7.02. Разложение функции
в теории Луны
§ 7.03. Орбита Солнца................................
§ 7.04. Возмущающая функция в теории движения Луны...
§ 7.05. Порядок величии е, et, 7, а/аг пт............
§ 7.06. Разложение возмущающей функции в теории движения Луны
§ 7.07. Возмущающая функция в теории движения планет.
§ 7.08. Разложение р, а и г ....................
§ 7.09. Метод разложения R...........................
129
129
129
131
132
133
134
139
140
141
§ 7.10. Разложение (1—2а cos ?-f-a2)-s.......................143
§ 7.11. Интегральные формулы для коэффициентов Лапласа .... 145
§ 7.12.	Различные формулы для	коэффициентов	Лапласа..........146
§ 7.13.	Производные от по a..................................148
§ 7.14.	Разложение функции R.................................150
§ 7.15.	Непериодические члены	W	возмущающей	функции..........152
§ 7.16. Доказательство того, что часть	возмущающей
функции содержит только периодические члены............155
§ 7.17. Общие замечания относительно разложения возмущающей функции................................................157
Глава 8.	Канонические уравнения.............................161
§ 8.01.	Введение...........................................161
§ 8.02.	Вариация функции...................................162
§ 8.03.	Обобщенные координаты..............................161
§ 8.04.	Уравнения Лагранжа.................................165
Оглавление
497
§ 8.05	.	Пример...............................................167
§ 8.06	.	Канонические уравнения Гамильтона....................169
§ 8.07	.	Интеграл энергии.....................................172
§ 8.08	.	Пример (продолжение).................................173
§ 8.09	.	Формальное решение канонических уравнений............174
§ 8.10.	Уравнение Гамильтона — Якоби для S....................177
§ 8.11.	Общие замечания о канонических постоянных.............179
§ 8.12.	Теорема Якоби.........................................180
§ 8.13.	Частные случаи уравнения Гамильтона — Якоби...........182
§ 8.14.	Пример................................................183
§ 8.15.	Общее применение метода Гамильтона — Якоби............184
§ 8.16.	Канонические уравнения возмущенного движения..........188
§ 8.17.	Соотношения Якоби.....................................189
Глава 9.	Канонические постоянные эллиптического движения . . 19?
§ 9.01	.	Определение функции S................................192
§ 9.02	.	Формальное решение...................................195
§ 9.03	.	Интеграл dS/da{ =	 195
§ 9.04	.	Интеграл dS/da3 = Зз.................................197
§ 9.05	.	Интеграл dS/da2 = $2.................................193
§ 9.06	. Сводка формул, связывающих канонические постоянные с кеплеровскими элементами...................................199
§ 9.07	.	Скобки Пуассона......................................199
§ 9.08	. Соотношения между обобщенными скобками Лагранжа и скобками Пуассона............................................202
§ 9.09	. Вычисление скобок Пуассона по скобкам Лагранжа для эллиптической орбиты ....................................... 204
Глава 10.	Контактные преобразования............................207
§ 10.01	.	Критерий каноничности...............................207
§ 10.02	.	Контактные преобразования...........................203
§ 10.03	.	Вывод уравнения Гамильтона — Якоби..................210
§ 10.04	.	Дальнейшее применение...............................211
§ 10.05	. Условия контактного преобразования, записанные через скобки Лагранжа и скобки Пуассона............................212
§ 10.06	.	Частный случай контактного преобразования...........215
§ 10.07	.	Другое доказательство...............................215
§ 10.08	.	Обобщенное точечно-линейное преобразование..........217
§ 10.09	.	Ортогональные преобразования........................219
§ 10.10.	Бесконечно малые преобразования......................220
Глава 11. Переменные Делонэ и Пуанкаре............................222
§ 11.01	. Необходимость преобразования канонических переменных . 222
§ 11.02	. Переменная, сопряженная средней аномалии............223
§ 11.03	. Другой вывод формулы для L..........................224
§ 11.04	. Переменные Делонэ...................................225
498
Оглавление
§ 11.05	.	Модификация переменных Делонэ..............................................................................................................226
§ 11.06	.	Важная модификация переменных Делонэ.......................................................................................................228
§ 11.07	.	Переменные Пуанкаре........................................................................................................................230
Глава 12.	Теория Луны Делонэ..........................................................................................................................233
§ 12.01	.	Введение...................................................................................................................................233
§ 12.02	.	Вспомогательная функция S..................................................................................................................235
§ 12.03	.	Формальное решение.........................................................................................................................237
§ 12.04	.	Форма решения уравнений для	L' и I'........................................................................................................238
§ 12.05	.	Определение ...............................................................................................................................240
§ 12.06	.	Формулы для g' и h'........................................................................................................................241
§ 12.07	.	Сопоставление результатов..................................................................................................................243
§ 12.08	.	Вторая операция............................................................................................................................244
§ 12.09	.	Новая переменная А.........................................................................................................................246
§ 12.10.	Свойства А..................................................................................247
§ 12.11.	Новые канонические переменные...............................................................248
§ 12.12.	Уравнения для A, G', И'.....................................................................249
§ 12.13.	Уравнения для х и т)........................................................................250
§ 12.14.	Уравнение для 1.............................................................................251
§ 12.15.	Новые канонические уравнения................................................................252
§ 12.16.	Частные случаи..............................................................................253
§ 12.17.	Практический метод получения решения при первой операции .......................................................254
Глава 13.	Вековые неравенства..........................................................................................................................260
§	13.01	.	Введение................................260
§	13.02	.	Уравнения движения в случае двух планет.261
§	13.03	.	Решение уравнений, определяющих h и	k ......... 263
§	13.04	.	Вычисление постоянных интегрирования................................264
§	13.05	.	Эксцентриситеты.....................................................264
§	13.06	.	Долготы перигелиев..................................................265
§	13.07	.	Наклонности.........................................................266
§	13.08	.	Долготы узлов.......................................................268
§	13.09	.	Взаимная наклонность двух орбит.........268
§	13.10.	Уравнения для п планет..........................................269
§	13.11.	Решение уравнений, определяющих Н и	К........................................271
§	13.12.	Лемма......................................................................273
§	13.13.	Вычисление постоянных интегрирования..........................................274
§	13.14.	Корни уравнения, определяющего g............ 275
§	13.15.	Канонические уравнения для И и К...........................................276
§	13.16.	Случай двух равных корней..........................................277
§	13.17.	Уравнения, определяющие наклонности......................................................................278
§	13.18.	Определение наклонностей......................................................................280
§	13.19.	Численные результаты...................................................................................................................281
Оглавление	499
§ 13.20.	Долгота в эпоху....................................282
§ 13.21.	Общие замечания....................................283
Глава 14.	Метод Гаусса вычисления вековых возмущений .... 285
§ 14.01	.	Введение..........................................285
§ 14.02	.	Ортогональные составляющие S, Т и W ускорения .... 285
§ 14.03	.	Выражение dR/da через S, Т и IF...................287
§ 14.04	.	Уравнения, определяющие элементы а, е.г...........289
§ 14.05	.	Приложение к вековым неравенствам.................290
§ 14.06	.	Функции So, То н IFO..............................291
§ 14.07	.	Функции <tx, Чу, <tz..............................293
§ 14.08	.	Конус с вершиной в Р и основанием £t..............295
§ 14.09	.	Вычисление Рх и т. д..............................297
§ 14.10.	Вычисление вековых неравенств......................299
Глава 15. Влияние сопротивления среды н движение перигелия Меркурия........................................................303
§ 15.01	.	Введение..........................................333
§ 15.02	.	Уравнения движения (/? = cv/r-)...................304
§ 15.03	.	Изменения оскулирующих элементов е и ш............305
§ 15.04	.	Изменения элементов аил...........................307
§ 15.05	.	Общие уравнения для а* и т. д.....................308
§ 15.06	.	Изменения элементов орбиты при 7?=си®г_?..........309
§ 15.07	.	Случай малого эксцентриситета.....................312
§ 15.08	.	Гипотеза Энке.....................................312
§ 15.09	.	Применение к комете Энке..........................314
§ 15.10.	Кометная модель Уиппла.............................316
§ 15.11.	Вековое движение перигелия Меркурия................317
Глава 16.	Открытие Нептуна...................................321
§ 16.01	.	Введение..........................................321
§ 16.02	.	Влияние ошибок в элементах Урана на истинную долготу . 323
§ 16.03	.	Влияние ошибок в элементах Урана на среднюю долготу . 324
§ 16.04	.	Возмущение средней долготы........................326
§ 16.05	.	Возмущение истинной долготы.......................328
§ 16.06	.	Метод Адамса......................................329
§ 16.07	.	Условные уравнения................................331
§ 16.08	.	Решение условных уравнений........................331
§ 16.09	.	Решение Адамса....................................333
§ 16.10.	Условные уравнения Леверье.........................335
§ 16.11	Решение Леверье....................................336
Глава 17.	Теория Луны Понтекулана............................340
§ 17.01	.	Уравнения движения................................340
§ 17.02	,	Постоянные интегрирования	342
500
Оглавления
§ 17.03	.	Сводка уравнений движения.......................343
§ 17.04	.	Движение перигея и узла.........................343
§ 17.05	.	Среднее движение перигея........................344
§ 17.06	.	Среднее движение узла...........................346
§ 17.07	.	Модифицированные переменные.....................347
§ 17.08	.	Метод решения уравнений движения................349
§ 17.09	.	Уравнения, которым удовлетворяют о и w ([ = 0).351
§ 17.10.	Уравнение для радиуса-вектора....................352
§ 17.11.	О некоторых членах возмущающей функции...........354
§ 17.12.	Вычисление Q (р, w)..............................355
§ 17.13.	Решение уравнения для радиуса-вектора............357
§ 17.13а	. Уравнение для долготы..........................358
§ 17.14.	Уравнение для Т..................................361
§ 17.15.	Вычисление восьми постоянных.....................363
§ 17.16.	Формулы для радиуса-вектора и долготы............364
§ 17.17.	Члены, зависящие от et .................. 365
§ 17.18.	Члены, зависящие от а/а,.........................366
§ 17.19.	Второе приближение для 6и2 и Sv2.................368
§ 17.20.	Уравнение для широты............................ 370
§ 17.21.	Общие замечания..................................373
§ 17.22.	Постоянные.......................................374
§ 17.23.	Основные неравенства.............................376
Глава 18.	Теория Луны Хилла —Брауна........................378
§ 18.01	.	Введение........................................378
§ 18.02	.	Уравнения движения во вращающихся осях..........379
§ 18.03	.	Возмущающая функция.............................380
§ 18.04	.	Введение комплексных переменных.................381
§ 18.05	.	Промежуточная орбита............................384
§ 18.03	.	Умножение и деление рядов.......................386
§ 18.07	.	Общее выражение для aj..........................388
§ 18.08	.	Вычисление коэффициентов а......................390
§ 18.09	.	Постоянная а....................................392
§ 18.10.	Вариация.........................................393
§ 18.11.	Перигей лунной орбиты............................395
18.12.
18.13.
18.14.
18.15.
§
§
§
§
§
§
§
§
§
у, Разложение в ряды величин	и W
Выражение для Ам и As..............................
Приближенное зн 1чснне с...........................
Эвекция ...........................................
18.16.	Движение перигея..................................
18.17.	Замечания к предыдущим параграфам.................
18.18.	Предварительные формулы...........................
18.19.	Интеграл Якоби в общем случае.....................
18.20.	Переход к новым координатам.......................
396
398
399
401
402
403
403
405
406
502
Оглавление
§ 20.12.	Выражение U через в и ф......................463
§ 20.13.	Решение уравнений............................467
§ 20.14.	Средний экватор в момент t...................469
§ 20.15.	Общая прецессия..............................470
§ 20.16.	Прецессия от планет..........................472
§ 20.17.	Прецессия по прямому восхождению	н по	склонению . . . 473
§ 20.18.	Нутационный эллипс...........................476
§ 20.19.	Численные значения постоянных................477
§ 20.20.	Вычисление KL и К ................... 480
§ 20.21.	Нутационные члены............................480
§ 20.22.	Масса Луны н динамическое сжатие	Земли.......481
§ 20.23.	Звездное время...............................482
§ 20.24.	Среднее солнечное время......................484
§ 20.25.	Вычисление ш и ш-|~т1 .......................486
§ 20.26.	Соотношение между средним солнечным временем и звездным временем..........................................487
§ 20.27.	Соотношение между звездными сутками н периодом вращения Земли............................................ 488
§ 20.28.	Тропический год..............................488
§ 20.29.	Эфемеридное время............................489
Дополнение...............................................490
Указатель................................................491
У. Смарт
НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
Редактор Г. И. Кузьменко Художник Т. Елагина Художественный редактор И. А. Фильчагина Технический редактор А. Г. Резоухова
Сдано в производство 21/VII 1964 г.
Подписано к печати 25/XI 1964 г.
Бумага 60х90’/и= 15,75 бум. л.
31,50 печ. л.
Уч.-изд. л. 24,70. Изд. №. 27/1959 Цена 1 р. 88 к. Зак. 583.
Темплан 1965 г. Изд.-ва .МИР* Пор. № 111. ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский нер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по печати. Измайловский проспект. 29.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
готовит к выпуску в 1965 г.
КНИГУ
Уинтнер А. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ, США, 1941, перевод с английского, изд-во «Мир», 25 изд. л., цена 1 р. 90 к.
Книга А. Уинтнера посвящена математическому аппарату небесной механики, позволяющему с огромной точностью предсказать на много сот лет вперед движение небесных тел.
Первые три главы посвящены каноническим системам и уравнению Гамильтона — Якоби. Четвертая глава посвящена задаче двух тел, а пятая — аналитической разработке знаменитой задачи трех тел. В шестой главе рассмотрена ограниченная задача трех тел, а в последней — теория «малых делителей» в небесной механике.
Книга рассчитана на студентов физико-математических и механико-математических факультетов университетов и педвузов, специализирующихся по механике, теории колебаний, теории периодических ре. шений и небесной механике.
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Издательство «Мир» готовит к выпуску в 1965 г. 18 книг по космическим исследованиям, астрономии и геофизики.
С аннотациями на эти книги Вы можете ознакомиться в тематическом плане выпуска литературы издательства «Мир» на 1965 г.
Этот план рассылается по всем книжным магазинам.
В книжном магазине Вы можете оформить предварительный заказ иа книги, готовящиеся к выпуску в 1965 г.
Предварительный заказ гарантирует приобретение интересующей Вас книги в первые дни поступления ее в продажу.