Текст
ЛЕКЦИИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
Семестр Ш
м. м. постников
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика»
МОСКВА «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 19 8 7
ББК 22.182 П63
УДК 515.12(075.8)
Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия: Учеб, пособие для вузов,—М.: Наука. Гл. ред. фнз»-мат. лит., 1987.—480 с.
Является непосредственным продолжением пособий того же автора «Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия» и «Семестр II. Линейная алгебра». Семестр III посвящен гладким многообразиям. В него включены также сведения из общей топологии. Подробно разъясняется понятие подмногообразия, доказываются теоремы Сарда и Уитни, излагается теория дифференциальных форм и их интегрирования, а также элементарная дифференциальная геометрия— теория кривых (формулы Френе) и теория поверхностей (вплоть до теоремы о сохранении полной кривизны прн изгибаниях).
Может служить учебным пособием по обязательному курсу геометрии и топологии в университетах и пединститутах.
Для студентов математических специальностей вузов.
Ил. 50.
Рецензенты:
кафедра геометрии Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (заведующий кафедрой —профессор А. П. Широков)',
доктор физико-математических наук профессор В. И. Ведерников
1702040000-184
053(02)-87 ° '
(С) Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1987
СОДЕРЖАНИЕ
llpt .......................................................... 7
.'I I-К ПНЯ 1................................................. 13
I !|юстые линии на плоскости.—Задание линий уравнением.—Тео-рема Уитни.—Жордановы кривые.—Гладкие и регулярные кривые.— ^параметризованные кривые.— Натуральный параметр.
II КЦИЯ 2..................................................... 31
Кривые на плоскости.—Формулы Френе для пространственной кривой.—Проекции кривой на координатные плоскости сопровождающего репера.—Формулы Френе для кривой в n-мериом пространстве.— Существование и единственность кривой с данными кривизнами.
1ГКЦМЯ 3................................................... 44
Элементарные поверхности и их параметризации.—Примеры поверхностей.—Касательная плоскость и касательное подпространство — Гладкие отображения поверхностей и их дифференциалы.—Диффеоморфизмы поверхностей.—Первая квадратичная форма поверхности.—Изометрии. — Первый дифференциальный параметр Бельт-рами.—Примеры вычисления первых квадратичных форм.— Развертывающиеся поверхности.
Л Г КЦИЯ 4.................................................... 71
Вектор нормали.—Поверхность как график функции.—Нормальные сечеиия.— Вторая квадратичная форма поверхности.— Индикатриса Дюиеиа.— Главные, полная и средняя кривизны.- Вторая квадратичная форма графика.—Линейчатые поверхности нулевой кривизны.—Поверхности вращения.
ДИКЦИЯ 5..................................................... 88
Деривационные формулы Вейнгартена.— Коэффициенты связности.— Теорема Гаусса.— Явная формула для гауссовой кривизны.— Необходимые и достаточные условия изометрнчиостн.—Поверхности постоянной кривизны.
ЛЕКЦИЯ 6................................................... . 97
Вводные замечания. —Открытые подмножества пространства R" и их диффеоморфизмы.— Карты и атласы.— Максимальные атласы.— Гладкие многообразия.—Примеры гладких многообразий.
ЛЕКЦИЯ 7..................................................... 112
Топология гладкого многообразия.—Открытые подмногообразия.— Окрестности н внутренние точки.— Гомеоморфизмы.— Первая аксн-ома счетности и локальная евклидовость.— Вторая аксиома счетно-с!и.— Нехаусдорфовы многообразия.— Гладкости на топологическом пространстве,— Топологические многообразия.— Нульмерные мио-। ообразия,— Категория ТОР.—Категория DIFF.— Перенесение 1 Ладкости.
i '
4
СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКНИЯ 8....................................................128
Топологическая инвариантность размерности многообразий.— Раз-мерность по покрытиям.—Компактные пространства.—Лемма Ле-Сега.—Оценка сверху размерности компактных подмножеств пространства Rw.— Свойство монотонности размерности.— Замкнутые множества.—Монотонность размерности по замкнутым множествам.— Прямое произведение топологических пространств.— Компактность прямого произведения компактных пространств.
ЛЕКЦИЯ 9.....................................................Н2
Теорема о барабане.— Теорема Брауэра о неподвижной точке.— Теорема о перегородках л кубе.— Нормальные и вполне нормальные пространства.— Продолжение перегородок.— Теорема Лебега о покрытиях куба.—Оценка размерности куба снизу.
ЛЕКЦИЯ ю....................................................164
Порядковые числа.— Интервальная топология в множествах порядковых чисел.— Нульмерные пространства.— Пример Тихонова.— Тихоновское произведение топсло! ичсскнх пространств.—Фильтры.— Центрированные множества множеств.— Ультрафильтры.— Критерий компактности.—Теорема Тихонова.
ЛЕКЦИЯ .....................................................171
Гладкость на аффинном пространстве.—Многообразие матриц данного ранга — Многообразия Штнфеля.— Ряды матриц.—Экспоненциал матрицы.—Логарифм матрицы —Ортогональные и ./-ортогональные матрицы.-Матричные группы Ли.— Группы ./-ортогональных матриц.— Унитарные и ./-унитарные матрицы.— Комплексные матричные ipynntj Лн.— Комплексно аналитические многообразия.— Линейно связные пространства.—Связные пространства.— Совпадение связности и линейной связности для многообразий.— Гладкие и кусочно гладкие пути.—Связные многообразия, неудовлетворяющие второй аксиоме счетности.
ЛЕКЦИЯ 12.................................................. 195
Векторы, касательные к гладкому многообразию.—Производные голоморфных функций.— Касательные векторы комплексно аналитических многообразий.—Дифференциал гладкого отображения.— Цепное правило.— Градиент гладкой функции.— Теорема об этальных отображениях.— Теорема о замене локальных координат,— Локально плоские отображения.
ЛЕКЦИЯ 13 ;.................................................214
Доказательство теоремы о локально плоских отображениях.— Погружения и субмерсии.— Подмногообразия гладкого многообразия.— Подпространство, касательное к подмногообразию.—Локальное задание подмногообразия.— Единственность структуры подмногообразия.— Случай вложенных подмногообразий.-Теорема о прообразе регулярного значения.- Решения систем уравнений.— Группа SL(n) как подмногообразие.
ЛЕКЦИЯ 14...................................................229
Теорема вложения.- Еще о компактных множествах.— Функции У рысона.— Доказательство теоремы вложении.— Многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме счетности.—Разреженные и тощие множества.— Нуль-множества.
ЛЕКЦИЯ 15...................................................243
Теорема Сарда.— Аналитическая часть доказательства теоремы Сарда.— Прямое произведение многообразий.— Многообразие касательных векторов —Доказательство теоремы вложения Уитни.
ЛЕКЦИЯ 16.......................'...........................257
Тензоры,— Тензорные поля.— Векторные поля и дифференцировании.—Алгебра Ли векторных нолей.
СОДЕРЖАНИЕ
5
ЛЕКЦИЯ 17....................................................273
Интегральные кривые векторных полей.— Векторные поля и потоки.— Перенос тензорных полей с помощью диффеоморфизмов.— Производная Ли тензорного поля.
ЛГ.КНИЯ 18...................................................285
Линейные дифференциальные формы.—Дифференциальные формы произвольной степени.—Дифференциальные формы как функционалы от векторных полей.— Ьнутреинее произведение векторного поля н дифференциальной формы.—Перенос дифференциальной формы посредством 1ладкого отображения.
ЛЕКЦИЯ 19....................................................298
Внешний дифференциал дифференциальной формы.—Производная Ли дифференциальной формы.
ЛЕКНИЯ 20 .................................................. 309
Комплекс де Рама и группы когомологий гладкого многообразия,— Группа Лемма Пуанкаре.—Группа Л/’S’.—Группа H’S’ —
Вычисление iруины H’S1 с помощью интегралов. — Группа H2S2.— Группы H’S” при п 2.— Группы щ < п.— Группы Нп$п.
ЛЕКЦИЯ 21 . ................-................................335
Симплициальные схемы и их геометрические реализации.— Группы когомологий симплицнальных схем.—Двойной комплекс покрытия.—Группы когомологий двойного комплекса.— Окаймленные двойные комплексы.—Краевые гомоморфизмы.— Ациклические комплексы.— Ацикличность по строкам при р = 0.
ЛЕКЦИЯ 22 .................................................. 350
Ацикличность по строкам двойного комплекса нумерируемого покрытия.— Ацикличность по столбцам двойного комплекса покрытия Лере.—Теорема де Рама-Лере — Обобщение.— Группы
Группы FP' У.— Группа» присоединенная к градуированной группе с фильтрацией.
ЛЕКЦИЯ 23 .................................................. 364
Группы Спектральные последовательности.— Спектральная
последовательность двойного комплекса.—Спектральная последова тельность покрытия.
ЛЕКЦИЯ 24 .................................................. 378
Компактно исчерпываемые и паракомпактные топологические пространства.—Паракомпактные многообразия.—Интегралы в Rn.— Курируемые множества и плотности в произвольных многообразиях.— Интегрирование плотностей.
ЛЕКЦИЯ 25...........................•........................393
Ориентируемые многообразия.— Интегрирование форм.— Лемма Пуанкаре для финитных форм.- Группа Случай ориенти-
руемого многообразия.
ЛЕКЦИЯ 26 .................................................. 408
Степень гладкого собственного отображения.—Алгебраическое число прообразов регулярного значения.— Инвариантность степени прн гладких гомотопиях.— Доказательство теоремы о барабане.— Инвариантность степени при любых гомотопиях.
ЛЕКЦИЯ 27....................................................420
Области с регулярной границей.— Теорема Стокса.— Формулы Гаусса -Остроградско!о, Грина и Ньютона - Лейбница. —Многообразия
6
содержание
с краем.— Внутренние и краевые точки.— Вложенные (^-подмногообразия.— Теорема Стокса для многообразий с краем я ^-подмногообразий—Теорема Стокса для поверхностных интегралов.—Теорема Стокса для сингулярных подмногообразий.—Криволинейные интегралы второго рода.
ЛЕКЦИЯ 28 ......................................’........... 438
Операторы векторного анализа.—Следствия тождества d о d=0.— Следствия формулы дифференцирования произведения.—Операторы Лапласа и Бельтрами.— Поток векторного поля.— Формула Гаусса— Остроградского для расходимости и формулы Гряна.—Расходимость как плотность источников.— Формула Стокса для циркуляции.—Формула Гаусса-Остроградского для вихря.— Обобщенная формула Гаусса-Остроградского.
ЛЕКЦИЯ 29 .................................................. 455
Периоды дифференциальных форм.—Сингулярные симплексы, цепи, циклы и границы.—Теорема Стокса для интегралов по цепям.— Группы сингулярных гомологий.— Теорема де Рама.— Группы когомологий цепного комплекса.—Группы сингулярных koi омо.югий.
Предметный указатель........................................ 474
ПРЕДИСЛОВИЕ
Геометрия была и остается Золушкой учебных планов механико-математического факультета МГУ. Никогда за последние пятьдесят лет в этих планах не было ни оснований геометрии, ни алгебраических кривых, ни групп преобразований, ни даже проективной геометрии (если не считать отдельных ее обрывков, включенных в курс аналитической геометрии на первом семестре, которые читаются лишь при особо благоприятных обстоятельствах, и никто не беспокоится, когда лектор их комкает или даже вообще опускает). Студент вполне мог и может окончить мехмат—и успешно! — не имея, по существу, никакого представления о геометрии Лобачевского, идеях Кэли—Клейна в основаниях геометрии, свойствах алгебраических кривых и групп Ли.
Лет двенадцать тому назад вызванное все более распространяющимся внедрением геометрических методов переполнение курса математического анализа посторонним геометрическим материалом побудило создать на втором году обучения новый учебный курс под условным названием «Гладкие многообразия и дифференциальная геометрия» объемом—-по одной лекции в неделю. Ожидалось, что этот курс во всяком случае освободит лекторов по анализу и смежным дисциплинам от изложения чуждого геометрического материала. Однако программа этого курса не была достаточно четко продумана, а программы параллельных курсов анализа и теории дифференциальных уравнений не были с ней согласованы. 1? результате никакой реальной выгоды лекторы по анализу не получили, и дело доходило до анекдота—интегрирование дифференциальных форм на многообразиях и формула Стокса с равной степенью подробности — и лишь г незначительно сдвинутыми точками зрения—дважды рассказывались в двух параллельно читаемых курсах анализа и геометрии!
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Чтение курса геометрии на третьем семестре вошло также в противоречие с обобщающей и унифицирующей ролью геометрических представлений в современной математике, для выявления которой необходимо основные аналитические курсы иметь прочтенными и освоенными.
Все это—вместе с другими, более частными, соображениями— привело к решению передвинуть курс геометрии на третий год обучения (пятый—шестой семестры). Однако немедленно выяснилось, что и это решение имеет свои недостатки.
Необходимой составной частью любого курса геометрии является теория кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, важная как своим содержанием, так и как источник наглядных представлений и примеров для римановой геометрии и геометрии аффинной связности. Но для чтения на третьем году она, во-первых, слишком элементарна—к этому времени студенты приобретают умение и вкус к существенно более сложным построениям и концепциям, — а во-вторых, чтобы она сыграла свою пропедевтическую роль нельзя от нее слишком быстро переходить к римановой геометрии.
Ясно, что излагать эту теорию нужно не позже третьего семестра (а, быть может, — как я предлагал в первом издании Семестра II этих «Лекций»,—даже на втором семестре). Кроме того, чтение курса геометрии на третьем году никак не помогает лекторам аналитических дисциплин на втором году обучения (из-за чего — я уверен— курс геометрии на третьем году будет скоро ликвидирован и — увы!, — быть может, опять выброшен из сетки учебного плана).
Кардинальное решение проблемы состоит, конечно, в полном пересмотре всей традиционно сложившейся системы математических курсов. Однако поскольку в условиях существующей острой борьбы кафедр за часы и курсы такого рода пересмотр, — который рано или поздно придется безусловно осуществить, — пока мало реален, временным решением может быть возвращение курса геометрии на третий—четвертый семестры с тем, чтобы изложение вопросов интегрирования было четко распределено между курсами анализа и геометрии, которые должны передавать их друг другу как палочку эстафеты.
Можно предположить, например, следующее распределение тем. После того как в курсе анализа рассказан интеграл от функций по областям в R", эстафету немед-
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
леипо перенимает лектор по геометрии и излагает интегрирование плотностей и форм на многообразиях. Одновременно лектор по анализу иллюстрирует общую теорию ла частных случаях криволинейных и поверхностных интегралов первого (плотности) и второго (формы) рода. За это время в курсе геометрии рассказывается обобщенная теорема Стокса, которая в курсе анализа немедленно конкретизируется в виде формул Грина, Гаусса—Остроградского и Стокса. Этот дуэт, в котором общая мелодия то расходится, то сливается, заканчивается апофеозом векторного анализа с элементами теории потенциала, где курс анализа непринужденно переливается в теорию многомерных несобственных интегралов, а курс геометрии— в теорию когомологий. Конечно, все это требует точнейшей согласованности лекторов, добиться которой совсем непросто.
Лежащая перед читателем книга, как и предыдущие книги этой сериихотя и выросла из конспектов лекций, которые читались на мехмате МГУ в разные годы, но не является записью какого-нибудь определенного курса и представляет собой реализацию предлагаемой программы курса геометрии третьего семестра. Конечно, ее можно использовать и как учебное пособие в преподавании по существующим программам на пятом семестре.
Учебник рассчитан на нормальный курс по две лекции в неделю. [Число лекций (29) объясняется тем, что хотя формально зимний семестр содержит 18 недель, но фактически на втором и третьем курсах удается читать лекции не более 11—15 недель.] Однако им можно пользоваться и в случае, когда учебный план предусматривает лишь одну-полторы лекций в неделю (11 —15 и соответственно 16—22 лекции).
Чтобы можно было оценить время, необходимое для изложения той или иной программы, я старался, чтобы каждая лекция в книге отвечала реальной двухчасовой (или, точнее, полуторачасовой) устной лекции. [Напоминание вспомогательного материала из других курсов и рассмотрение примеров, легкое и непринужденное у доски, в письменном виде требует существенно больше места. Этим объясняется неравномерность объема лекций и неожиданно большая величина, например, лекций 3,11 и 20.]
’)См. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр 1; Аналитическая геометрия.— 2-е изд.— М.: Наука, 1986; Семестр II: Линейная алгебра.— 2-е изд.— М.: Наука, 1986.
10 Предисловий
Основной упор в книге сделан на гладкие многообразия, а общетопологические факты и понятия отдельно не выделены и вкраплены в текст.
В последние годы распространилась довольно странная точка зрения на гладкие многообразия, разделяемая, как это не удивительно, и некоторыми весьма уважаемыми и авторитетными математиками. Основываясь на том, что понятие гладкого многообразия можно считать результатом естественной попытки аксиоматического обобщения наивного представления о многообразии как о подмножестве евклидова пространства, задаваемого системой функционально независимых уравнений, они аргументируют, что, поскольку согласно теореме Уитни о вложении это обобщение к новым объектам фактически не приводит, многообразия следует определять как такого рода подмножества, и что общее понятие многообразия является всего лишь примером многочисленных аксиоматических построений, которые неизбежно возникают в процессе выработки понятий, но которые затем лучше забыть. Я никак не могу разделять это мнение и считаю его в принципе ошибочным, хотя бы потому, что на практике—например, в механике—многообразия появляются, как правило, в абстрактной форме, не вложенные ни в какое евклидово пространство, и насильственное их вложение — с большим произволом!—вводит дополнительную структуру, иногда полезную, но большей частью не имеющую отношения к существу дела. Сторонники этого мнения апеллируют к авторитету Пуанкаре, который якобы ее разделял. На самом же деле Пуанкаре отчетливо понимал необходимость в общем понятии многообразия и специально останавливался на склеивании карт атласа. Ссылка на крайности аксиоматизации здесь также бьет мимо цели, поскольку в действительности многообразия появились вовсе не в результате «естественных попыток обобщения наивного понятия многообразия, заданного уравнениями», а как ответ на требование четкой экспликации понятия, необходимым образом возникающего в математическом исследовании. Последовательное проведение тех же принципов отбросило бы математику на сотню лет назад, поскольку, например, с этой точки зрения вся линейная алгебра в ее современном виде не имеет права на существование, основываясь на понятии линеала, которое де «возникло-в результате естественных попыток обобщения наивного понятия пространства R"»
ПРЕДИСЛОВИЕ
И
(что как и для многообразий неверно), тогда как теорема об изоморфизме показывает, что «это обобщение к новым объектам фактически не приводит» (что хотя и верно, но не лишает понятия линеала его ценности). Поэтому в книге многообразия определяются обычным образом — на основе понятия атласа, а подмножества евклидовых пространств появляются лишь как примеры.
Задачи в книге, как правило, совершенно тривиальны и предназначены исключительно для самоконтроля читателя. Некоторые, в основном более трудные, задачи выделены мелким шрифтом. Мелким шрифтом выделен также вспомогательный материал, относящийся не столько к геометрии, сколько к алгебре или анализу.
Первые пять лекций, лишь косвенно относящиеся к теории гладких многообразий, посвящены элементарной дифференциальной геометрии. После теории кривых (формул Френе) строятся первая и вторая квадратичная формы поверхности, выводятся деривационные формулы Вейнгартена и доказывается теорема Гаусса об инвариантности полной кривизны. Все, что не лежит на прямом пути к теореме Гаусса опущено (теоремы Менье и Эйлера, геодезические линии, асимптотические линии, линии кривизны и т. п.). При чтении лекций на втором курсе этот материал иногда приходилось откладывать до середины семестра (чтобы возможно раньше удовлетворить нужды курса дифференциальных уравнений в основных понятиях общей теории гладких многообразий). Это хотя и позволяло убрать некоторые повторения (например, дифференциал гладкого отображения тогда не нужно было определять дважды —сначала для поверхностей, а затем в общем случае), по методически это было мало оправдано (и слишком привязывало элементарную дифференциальную геометрию —имеющую в принципе локальный характер —к теории многообразий).
Собственно теория многообразий начинается с шестой лекции. Первые десять лекций (с шестой по пятнадцатую) посвящены основным геометрическим понятиям и теоремам теории многообразий. В сокращенном 11-лекци-опном варианте из этих лекций можно оставить семь, сократив первые пять лекций до четырех и пожертвовав лекциями 8, 9 и 10 (в которых в основном излагаются топологическая теория размерности и теоремы Тихонова), а в 16-лекционном—лекцией 10. Остальные лекции этой группы (в особенности посвященные теоремам Сарда и
12
ПРЕДИСЛОВИЕ
Уитни) должны, по моему мнению, сохраниться в курсе при любых вариантах.
В 11-лекционном варианте на этом фактически курс заканчивается. Впрочем, в этом случае оказывается возможным—за счет некоторого сокращения и уплотнения изложения — сэкономить часа полтора лекционного времени для изложения хотя бы части материала лекций 16 и 17. Что же касается теории дифференциальных форм (лекции 18, 19 и 20), то в этом варианте ее приходится переносить на следующий семестр (или оставлять на усмотрение лектора по анализу).
В 16-лекционном варианте этого переноса удается избежать и заканчивать курс лекцией 20, в которой на примере сферы демонстрируются различные способы вычисления групп когомологий де Рама. [Подчеркнем, что это означает исключение из курса «интеграционных» лекций 24—29, материал которых тем самым полностью оставляется на попечении курса анализа.]
В лекциях 21 — 23 впервые делается попытка дать достаточно полное изложение теории гомологий и когомологий— вплоть до спектральных последовательностей! — пригодное для обязательного курса. Это удается сделать, резко изменив общепринятую точку зрения и практически полностью отказавшись от изложения якобы имеющей геометрическую наглядность симплициальной теории гомологий. [Мне приятно отметить, что аналогичный подход—на более высоком уровне'—принят в книге Ботта и Ту «Дифференциальные формы в алгебраической топологии», русский перевод которой выходит в издательстве «Наука» и которую я горячо рекомендую каждому, кто хочет познакомиться с основными идеями и построениями классической теории гомологий в ярком и современном изложении.] При недостатке времени можно опустить вторую половину лекции 22 и всю лекцию 23.
Наконец, заключительные лекции 24—29, которые можно при желании частично переставить с лекциями 21 — 23, посвящены интегрированию. Здесь изложение сознательно неполное (например, ничего не сказано об аддитивных функциях множества), поскольку они отражают лишь часть общей картины, другая часть которой относится к анализу. Лекцию 28 можно при этом целиком доверить лектору по анализу. Можно также ограничиться лишь одной лекцией 29, фактически независимой от предыдущих четырех лекций.
Лекция 1
Простые линии на плоскости.— Задание линий уравнением.— Теорема Уитни. — Жорданоны кривые.— Гладкие и регулярные кривые.— Непараметризованные кривые.— Натуральный параметр.
Существует несколько различных подходов к четкому определению (экспликации) интуитивного понятия линии, приводящие, вообще говоря, к различным результатам. Однако в простейших ситуациях все подходы дают фактически одно и то же.
Обсудим сначала линии на плоскости.
Множество Г на плоскости называется графиком, если существует такая система (евклидовых или аффинных) координат х, у и такая дифференцируемая (вариант—непрерывная) функция f: / —► R, определенная на (замкнутом, полуоткрытом или открытом) интервале I оси R, что точка с координатами х, у тогда и только тогда принадлежит множеству Г, когда х£/ и y = f(x). С интуитивной точки зрения все графики являются, конечно, линиями.
Точка р0 множества С на плоскости называется простой, если существует такой открытый круг U с центром в р0, что пересечение U A С является графиком.
Множество С называется связным, если его нельзя разбить на два множества, обладающие тем свойством, что каждая предельная точка одного множества не принадлежит другому. (Наглядно это означает, что множество состоит из одного куска.)
Множество С на плоскости называется простой линией, если оно связно и состоит только из простых точек.
Задача 1. Докажите, что любой график связен (и, значит, является простой линией).
Различные варианты экспликации понятия линии различаются в основном тем, какие допускаются непростые точки. Мы избежим обсуждения этих вопросов раз и навсегда, условившись рассматривать только простые линии.
Простая линия может иметь (или не иметь) концевые точки. Этих точек может быть не более двух. Простая линия с двумя концевыми точками (имеющая вид изогнутого замкнутого интервала числовой оси) называется замкнутой,' а с одной концевой точкой (имеющая вид изогиу-
14 ЗАДАНИЕ ЛИНИИ УРАВНЕНИЕМ
того полуоткрытого интервала числовой оси)—полуоткрытой. Простая линия без концевых точек может иметь либо вид изогнутого открытого интервала числовой оси, либо вид изогнутой окружности. В первом случае она называется открытой, а во втором—замкнутой. (Таким образом, термин «замкнутая» применительно к простым линиям имеет два значения! Об этой двусмысленности, сложившейся исторически, надо постоянно помнить.)
Распространенный способ задания линий на плоскости заключается в том, что они задаются уравнениями вида (1) F(x, г/) = 0,
где х, у—координаты на плоскости (аффинные или прямоугольные), a F-—некоторая функция от х, у. [Утверждение, что множество задается уравнением (1), по определению означает, что точка р плоскости тогда и только тогда принадлежит 2!, когда ее координаты х, у удовлетворяют уравнению (1). При трактовке F как функции на плоскости, это означает, что р£2 тогда и только тогда, когда F(p) = 0.]
Конечно, чтобы получить линии (в смысле той или иной четкой экспликации), нужно подчинить функцию F определенным условиям. В первую очередь естественно потребовать, чтобы эта функция была непрерывна. [Если допускать разрывные функции, то уравнением вида (1) можно задать произвольное множество А точек плоскости; достаточно принять за F функцию 1—х> гДеХ—так называемая характеристическая функция множества А, равная единице для точек из А и равная нулю вне Д.]
Напомним из курса анализа, что точка р плоскости (или, вообще, произвольного метрического—в частности, евклидова — пространства) называется внутренней точкой множества А, если существует такое е > 0, что е-окрест-ность этой точки (открытый шар—на плоскости круг — радиуса е с центром в точке р) целиком содержится в А. Множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытым. Множество С называется замкнутым, если его дополнение открыто, или, что равносильно, если для любой сходящейся последовательности точек рп£С ее предел limp,, также принадлежит С.
Подмножество аффинного (вещественного и конечномерного) пространства Л называется замкнутым (откры-
ЗАДАНИЕ ЛИНИИ УРАВНЕНИЕМ
15
пшм), если оно замкнуто (открыто) по отношению к некоторой евклидовой метрике на А.
Задача 2. Покажите, что если подмножество аффинного пространства А замкнуто (открыто) по отношению к одной евклидовой метрике на Л, то оно замкнуто (открыто) и по отношению к любой другой.
Замечание 1. Замкнутая простая линия на плоскости является замкнутым (и ограниченным) множеством (при каждом из двух пониманий термина «замкнутая линия»). Напротив, ни одна простая линия — в том числе и открытая!— не является открытым множеством. Более того, существуют открытые линии (например, график тангенса), являющиеся замкнутыми множествами (обязательно неограниченными).
Замечание 2. Легко видеть, что ни одна простая линия не имеет ни одной внутренней точки. На этом основании Кантор предложил считать линиями на плоскости произвольные замкнутые множества без внутренних точек. Это определение имеет свои преимущества, но для большинства математических теорий оно, по-видимому, слишком общо (вместе с тем это определение не охватывает, скажем, открытых простых линий).
Очевидно, что для каждой непрерывной функции F на метрическом пространстве множество всех точек, в которых эта функция равна нулю, замкнуто. Это означает, что уравнением вида (1) с непрерывной функцией F можно задать лишь замкнутые множества плоскости.
Задача 3. Покажите, что и, обратно, для любого замкнутого множества С метрического пространства SC существует иа SC такая непрерывная функция F, что тогда и только тогда, когда F (р)=0. [Указание. Рассмотрите на SC функцию
F(p)= inf р(р, q), р£Я,
qeC
— расстояние р от С\ здесь р—метрика в SC}
Точка множества (1) называется неособой, если в этой точке обе частные производные
dF dF dx ’ ду
функции F существуют, непрерывны и хотя бы одна из них отлична от нуля. Остальные точки множества (1) называются его особыми точками.
Известная из курса анализа теорема о неявной функции утверждает, что в окрестности любой неособой
16
ТЕОРЕМА УИТНИ
точки каждое множество (1) является графиком, т. е. каждая неособая точка является простой точкой. (Обратное неверно. Например, при F(x, у) = х(х* + г/2) множество (1) состоит из точек оси ординат х = 0, и потому все его точки просты. Вместе с тем точка (0, 0) является его особой точкой.)
Отсюда следует, что множество всех неособых точек каждого множества (1) является объединением простых линий (вообще говоря, соединяющихся в особых точках). Поэтому, если особых точек не очень много, например, конечное число, то множество вида (1) вполне отвечает интуитивному представлению о линиях. (И их вполне уместно так называть.) Однако если особых точек много, то дело обстоит совсем иначе. Именно, как показал американский математик Уитни, уравнением вида (1) с бесконечно дифференцируемой функцией F можно задать любое замкнутое подмножество плоскости.
Теорема Уитни относится к произвольному конечномерному точечному аффинному пространству Л. Каждую функцию F на этом пространстве мы можем, выбрав начало отсчета О, рассматривать как функцию на ассоциированном линеале °F3 и, значит,— после выбора в базиса ..., еп—как функцию на арифметическом пространстве R". Функция F называется гладкой функцией класса С“, если, рассматриваемая как функция на R'!, она обладает непрерывными частными производными всех порядков. (Ясно, что если это условие выполнено при одном выборе репера О^. . -ег1, то оно выполнено и при любом другом его выборе.)
Теорема / (теорема Уитни). Для любого замкнутого подмножества С аффинного пространства Л на Л существует такая гладкая класса С°° функция F, что р^С тогда и только тогда, когда F (р) = 0.
Доказательство теоремы 1 опирается на следующую лемму, имеющую и самостоятельный интерес:
Лемма 1. Существует такая гладкая класса С“ монотонная функция cv. R--+R, что-.
1° 0 < а (/)< 1 для любого t £ R,
2° а(/) = 0 тогда и только тогда, когда /^0.
ТЕОРЕМА УИТНИ
1?
Доказательство. Положим
( е- 1Д если t > О, а(0 —| о, если
Ясно, что функция (2) монотонна и обладает свойствами Г’ п 2“. Кроме того, при эта функция, очевидно,
бесконечно дифференцируема. 11оэтому нам нужно только доказать, что эта функция бесконечно дифференцируема п при / = 0.
С этой целью мы напом-
а
ПИМ, ЧТО функция f, опреде- График функции а
ленная в окрестности точки
/ = 0, дифференцируема в этой точке, если существуют
пределы
Игл
ZfO { «|0 »
(левые и правые производные числа функции f в точке / = 0) и если эти пределы равны.
С другой стороны, если функция f дифференцируема в окрестности точки / —0, за исключением, возможно, самой этой точки, и если существуют пределы
(4)
limf(/), lira f (/), О0 GO
то, как непосредственно вытекает из теоремы Лагранжа о конечных приращениях, пределы (3) существуют и равны пределам (4).
Поскольку для всех функций f — aln} левые пределы (4), очевидно, существуют и равны нулю (ибо при t < 0 эти функции тождественно равны нулю), отсюда следует, что для доказательства леммы 1 нам достаточно установить, что для любого предел
lima’"’(/) = Нт (е~ 1//)<н)
GO G°
существует и Но легко формула
равен нулю.
видеть, что для любого п^О имеет место
ТЕОРЕМА УИТНИ
18
где ра = рп(Т)—многочлен степени 2п. [Эта формула верна при п = 0; если она верна для некоторого п^О, то
(е-*/Г+1,= (j)]' =
=е~1/‘ (у)—дг Рп (4)] = *" lltPn+i (4) >
где р„+1 (Т) = Т'2рп (Т)—Т2р'п (Г) — многочлен степени 2п ) 2.]
Поэтому
lira ^- = 0,
11 о t -+ + ® e*
что и требуется. Г.1
Следствие 1. Для любого отрезка [а, Ь] оси R существует такая гладкая класса С“ функция р,- R—>R,. что 0 Р (0 1 для всех t € R и
| 1, если t^a, — 0, если t^b. Доказательство. Достаточно положить
где а—функция из леммы 1. □
Замечание 3. Аналогичным образом можно строить функции класса С°° с более сложным поведением. Например, для любых чисел а < с < d < b формула
1/Л_________«(В-|/-С|)
где л d с р ® р Ь-\-а d-|-c
/1— 2’ " “ 2 ’ G ~ 2 ’ U '~ 2
определяет гладкую класса С°° функцию, равную нулю вне отрезка [а, Ь] и единице на отрезке [с, d]. Нам такая функция понадобится в лекции 15.
ТЕОРЕМА УИТНИ
19
Пусть Тэ—евклидово векторное пространство.
Обозначения. Для любого г > 0 символом В^3 (или просто Вг) мы будем обозначать шар радиуса г евклидова пространства V3 с центром в точке 0, т. е. множество всех векторов для которых | х| г. Соответ-
ствующий открытый шар (множество векторов х^У3, для которых | лг | < г) мы будем обозначать символомВ^.
При lF) = IR,‘ вместо В^” мы, как правило, будем писать В?.
В евклидовом точечном пространстве шар радиуса г с центром в точке р мы будем обозначать символом В'^(р) (а открытый шар—символом В'^(р)).
Этими обозначениями мы постоянно будем пользоваться на протяжении всего курса.
Следствие 2. Для любой точки р0 евклидова точечного пространства А и любого г > 0 существует такая функция f: А—► IR, что на А и
( 1 тогда и только тогда, когда р£Вг(р), о тогда и только тогда, когда р^62г(р).
Доказательство. Достаточно положить
_ Нр)=0(И),
где х — рор—радиус-вектор точки р, отсчитываемый от точки р0, а Р—функция из следствия 1, построенная для отрезка [г, 2г]. □
Выбрав в пространстве А систему прямоугольных координат, мы назовем точку p(tA рациональной, если все ее координаты являются рациональными числами. Шар Вг(р) мы назовем рациональным, если его центр р и радиус г рациональны.
Лемма 2. Каждое открытое множество U а А является объединением счетного (или конечного) множества рациональных шаров, т. е. существуют такие рациональные точки и такие рациональные числа rlf. ..
...,гт,..., что
(5) L/= U Br„(qm).
т = 1
Доказательство. По условию для любой точки р£.и существует такое е > 0, что Be(p)ct/. Рассмотрим рациональный шар ВДр), где q— такая рациональная
20
ТЕОРЕМА УИТНИ
точка, что р(р, q) < 8/2, а г—такое рациональное число, что р(р, q)<r<e/2 (существование точки q и числа г обеспечивается тем, что любое вещественное число можно сколь угодно точно аппроксимировать рациональным). Так как р(р, q) < г, то р£Вг(д), а так как
р(х, р)^р(х, <7)4 р(р, q)<2r<tt для любой точки х € (q), то 6r(p)<=Be(p)<=t/.
Мы видим, таким образом, что любая точка p&U содержится в некотором рациональном шаре &r(q)c:U. Это означает, что множество и является объединением рациональных шаров вида / 6Г(^)» построенных для всевозможных
I I точек р$и. Но множество всех рацио-
I Гр А ) нальных шаров пространства <4, очевид-
\ к у )/ но’ счетно- Поэтому число различных
X. \__xz шаров вида 6, (</) не более чем счетно.
Обозначив их через l6rm (qm), мы и получим разложение (5). □
Теперь у нас все готово для доказательства теоремы 1.
Доказательство теоремы 1. Без ограничения общности мы можем, очевидно, считать, что рассматриваемое аффинное пространство <4 евклидово и, значит, дополнение и =<4\С множества С допускает представление вида (5). Пусть fm—функция из следствия 2 леммы 1, отвечающая точке qm и числу rm/2. Эта функция (а значит, и каждая ее частная производная) тождественно равна нулю вне компактного (замкнутого и ограниченного) множества Brm(q„). Поэтому для любого существует такое число 4 > 0, что абсолютная величина каждой частной .производной порядка k функции fm на всем пространстве <4 не превосходит с^. Пусть
сда = шах(1, 4, 4, .... 4).
Рассмотрим функциональный ряд
(6) j,
Так как по построению cm 1 и fm 4 1, то этот ряд мажорируется числовым сходящимся рядом
CD
(7) Е
т-I
ЖОРДАНОВЫ КРИВЫЕ
21
Следовательно, ряд (6) сходится к некоторой функции
Л—*®.. Если р$С, то р(£ Brm(qm) Для каждого m1 и, значит, fm(p) = O. Если же p(tC (т. е. р С U), то существует такое пг>1, что p£Brm(qm)- Тогда fm(p)¥=O и, значит, F(p)^=Q. Таким образом, F(p) = 0 тогда и только тогда, когда р$С.
С другой стороны, так как для любого m^k каждая частная производная m-го члена ряда (6) порядка k не превосходит, очевидно, т-го члена ряда (7), то, продифференцировав k раз ряд (6), мы получим ряд, все члены которого, за исключением, быть может, первых k членов, также мажорируются членами ряда (7) и который, следовательно, равномерно сходится. Поэтому, согласно известной теореме о дифференцировании рядов, сумма ряда (6) бесконечно дифференцируема (и каждая ее частная производная является суммой ряда, составленного из соответствующих частных производных ряда (6)).
Этим теорема 1 полностью доказана. □
Другой подход к понятию линии, связываемый обычно с именем французского математика Жордана, основывается па представлении о линии как траектории движущейся точки. Линии в смысле Жордана мы будем называть кривыми.
Согласно Жордану, кривой в n-мерном аффинном пространстве <4 называется произвольное непрерывное отображение
(8) у: I—+.A,
где I — некоторый интервал оси R (открытый, полуоткрытый или замкнутый), т. е. после выбора в Л начала отсчета непрерывная вектор-функция
(9) Г = г(0, t£l,
принимающая значения в ассоциированном линеале Т3.
В аффинных координатах х‘, .... х" жорданова кривая (8) задается непрерывными числовыми функциями
(10) xl = x1(t), ..., xn = xn(t), t£l.
Уравнения (9) и (10) называются параметрическими уравнениями кривой (8) (соответственно векторным и координатными).
22
ЖОРДАНОВЫ КРИВЫЕ
Подчеркнем, что кривые являются — в отличие от линий!— не множествами, а отображениями.
Однако на практике удобно обращаться с кривыми — по крайней мере в терминологическом отношении — как будто они являются множествами. Например, для любого t„£l точку Ро = ?(М пространства Л называют точкой кривой (8), отвечающей значению параметра /0, а также говорят, что кривая (8) проходит при t — i0 через точку р0. В случае, когда интервал / замкнут (имеет вид [а, &]) точки у (а) и у (Ь) называются концевыми точками кривой (8). Говорят также, что кривая (8) соединяет точку у (а) с точкой у (ft) и т.д. и т.п.
При у(а) = у(Ь) кривую (8) можно рассматривать как непрерывное отображение окружности. Такие кривые называются замкнутыми.
В случае, когда требуется специально подчеркнуть различие между кривой и множеством ее точек, последнее называют носителем кривой. Таким образом, носитель кривой (8) является не чем иным, как образом у (/) интервала I при отображении (8).
Вообще говоря, носитель кривой может иметь строение,
весьма далекое от интуитивного представления о линии. Например, он может иметь внутренние точки и даже —
как показывает пример знаменитой кривой Пеано—запол-
нять собой квадрат.
Кривая (8) называется простой, если она является, во-первых, инъективным отображением /— т. е. у(^) =
Срезанный декартов лист
= у(/2), tlt t^I, тогда и только тогда, когда — и, во-вторых, взаимно непрерывным (или, как еще говорят, монео-морфным) отображением, т. е. таким, что если для последовательности {/,„} точек отрезка / существует такая точка х£1, что limy — y (т), то после-
довательность {tm} сходится (и Пт/,й = т). Замкнутая
кривая
(И) у: [а, Ь]—>Л, у («)=• у (до-
казывается простой, если y(Q = y(Q ПРИ тогда и только тогда, когда tx — a » t.2 = b.
Типичным примером инъективного, но не монеоморф-ного, отображения открытого интервала в пространство Л
ГЛАДКИЙ И РЕГУЛЯРНЫЙ КРИВЫЕ 23
является кривая
3/ З/2 . . . ,
X— J _|_,з , у — . 1 t < I оо
(«срезанный декартов лист»).
Зада ч а 4. Докажите, что при 1 — [a, ft] любое инъективное отображение /—*<// монеоморфно.
I (осители простых кривых называются простымидугами.
1 !ростые дуги, вообще говоря, уже соответствуют интуитивному представлению о линии; во всяком случае, из теоремы о топологической инвариантности размерности (см. ниже лекцию 8) следует, что внутренних точек они не имеют (конечно, при п > 1). Вместе с тем они moi ут быть устроены довольно сложно.
Пример 1. Пусть x — x(t), y = y(t), —
параметрические уравнения кривой Пеано на плоскости. Тогда уравнения
x = x(t), y = y(t), z = t, будут задавать в пространстве простую дугу, проекция которой на плоскость Оху является квадратом. Образно говоря, это означает, что квадратный участок мы можем сплошь накрыть крышей, являющейся тем не менее, не поверхностью, а линией!
Напомним (см. курс анализа), что вещественная функция, заданная на интервале (а, Ь), называется гладкой функцией класса Сг, где г—либо натуральное число, либо символ оо, если она имеет непрерывные производные всех порядков (при г=оо это по определению означает существование непрерывных частных производных всех порядков; см. выше). В соответствии с этим кривую (8), заданную на интервале 1 =(а, Ь), мы будем называть гладкой кривой класса Сг, если все функции (10) являются гладкими функциями класса Сг. Поскольку производные
; dxl (0 • ,
X' (О — - , 1=1, ...,П,
v ' at
функций (10) являются координатами вектора
(12) г'(0- Пт О'+Ц-гИ '
h-t-0 п
это условие равносильно существованию при г Ф оо непрерывных производных всех порядков <1 г (при г — оо — не-прерывных производных всех порядков) вектор-функции (9).
24
ГлаДкиё И ЁЁЁУЛЯрНЫЁ КЁИЁЫЁ
В дальнейшем мы всегда будем считать число г достаточно большим, чтобы все нужные нам дифференцирования имели смысл, и упоминания о классе Сг будем, как правило, опускать.
В случае, когда интервал / имеет концевые точки (т. е. в случае, когда либо I = [а, Ь], либо / = [а, Ь) или / = (£», а]) кривая (8) называется гладкой, если она является ограничением гладкой кривой (данного класса Сг), заданной на некотором большем интервале 1'э!.
Задача 5. Докажите, что это равносильно тому, что (при г=/=оо) функции (10) обладают на интервале (а, Ь) непрерывными производными всех порядков а в точках t = a и/или t = b—соответствующими односторонними производными.
Замкнутая кривая (11) называется гладкой, если, кроме того, односторонние производные в точках t=a и t = b совпадают.
Вектор (12) называется касательным вектором к гладкой кривой (И) в точке t. Допуская определенную нечеткость, его называют также касательным вектором в точке y(t). (Впрочем, для простых кривых эта терминология вполне законна.)
В лекции 15 мы докажем теорему Сарда, из которой, в частности, вытекает, что носитель гладкой кривой не имеет внутренних точек (и даже является так называемым множеством меры нуль). Поскольку проекция гладкой кривой, очевидно, представляет собой гладкую кривую, отсюда следует, что в классе гладких кривых феномен, описанный в примере 1, невозможен.
Интересно, что гладкая кривая может иметь изломы.
Пример 2. Кривая на плоскости с уравнениями
(13) x = a(t), у = а(—t), —oo<Z<H-oo, где а—функция из леммы 1, имеет носитель, состоящий из двух координатных полупрямых х = 0, у^О и х^О, z/«=0, соединяющихся под прямым углом!
Кривая (8) (или (11)) называется регулярной в точке t0, если г'(/„) =/=(). Кривая регулярная во всех точках называется регулярной.
Заметим, что кривая (13) в точке излома t-О не регулярна. Это не случайно, поскольку, как известно из курса анализа, носитель простой кривой (8), регулярной в точке 1„, имеет в точке у (/0) единственную касательную (направляющим вектором служит вектор г'(/0)).
НЕПАРАМЕТРИЗОВЛННЫЕ КРИВЫЕ
25
Две кривые
(14) у: 1—*Л, у*: J* —-А,
где / и I*— интервалы одного и того же типа (оба замкнутые, оба открытые или оба полуоткрытые), называются эквивалентными, если существует гладкая (класса С') функция
(15) <р: /*—>/
со всюду отличной от нуля производной, отображающая интервал I* на интервал / и такая, что у* = уо<р, т. е. такая, что
(16) у* (/*) = у (<р (/*)) для любого
Говорят также, что функция ср осуществляет на кривой у замену параметра.
Классы эквивалентности кривых называются непара-метризованными кривыми. Чтобы подчеркнуть отличие кривых от непараметризованных кривых, первые иногда называются параметризованными кривыми.
Непараметризованная кривая называется гладкой, простой или регулярной, если она является классом эквивалентности гладкой, простой или регулярной непара-метризованной кривой. Так как кривая, эквивалентная гладкой, простой или регулярной кривой, также, очевидно, гладка или соответственно проста и регулярна, то это определение корректно.
Если кривые (14) связаны соотношением (16), где гр, вообще говоря, — произвольная функция, то носители этих кривых совпадают. Поэтому эквивалентные кривые имеют один и тот же носитель (который называется носителем соответствующей непараметризованной кривой), по обратное, вообще говоря, неверно.
Однако в классе простых и регулярных кривых дело обстоит более удовлетворительно.
Предложение 1- Если обе кривые (14) просты и регулярны, то они тогда и только тогда имеют один и тот же носитель, когда эти кривые эквивалентны.
Доказательство. Если кривые (14) просты и имеют один и тот же носитель, то корректно определено непрерывное (почему?) отображение ф=у-1оу* интервала /* на интервал /. Поэтому надо лишь доказать, что отображение ф гладко и его производная всюду отлична от нуля.
26
Н ЕПЛРЛМЕТРИЗОВАНН ЫЕ КРИВЫЕ
Пусть — произвольная точка интервала /*, и пусть А = <р(^)- Тогда, если р0 = у* (/’„), то р0 = у(/0) и в точке Ро носитель кривых (14) имеет единственную касательную. При этом, если г = г(/) и г = г* (t*)—векторные параметрические уравнения кривых (14), то векторы г'(Jo) и r.j’(/„) будут направляющими векторами этой касательной. Поэтому эти векторы коллинеарны.
Так как кривая у регулярна в точке/0, то п (/0) =/= О, Поэтому, если
x'^pj), ..., x" = f"(O. А и
X1 =g! (/*),.. ., Xa=ga(J),
— координатные параметрические уравнения кривых (14), то без ограничения общности можно считать, что (/„) #= у=0 и, значит, — в силу коллинеарности векторов r[(Jo) и гГ(^)—что ^-(А)=^0.
df1
Но если (/„):/= 0, то по известной из курса анализа теореме об обратной функции, функция f1 локально обратима, т. е. существуют такой интервал (а, Ь) оси х, содержащий точку х0 = (/„), и на этом интервале такая функция t — h(x), отображающая этот интервал на некоторый интервал -(а, 0) оси t, содержащий точку /0 (и содержащийся в интервале /), что
Л (/' (0) — Для любой точки t С (а, 0).
При этом функция h принадлежит тому же классу гладкости С, что и функция р, а ее производная в точке х0 отлична от нуля.
По построению g1 (/!) = /* (Q = x0^(a, b). Поэтому существует такой интервал (а*, 0*) оси /*, содержащий точку Го и содержащийся в интервале /*, что g1 (t*)£(a, b) для любой точки /*€(а*, 0*)- Следовательно, на интервале (а*, 0*) определена функция
(17) /•_>/l(gri(f*)),
принимающая значения в интервале (а, 0). Эта функция принадлежит классу гладкости Сг и обладает тем свойством, что ее производная в точке отлична от нуля.
С другой стороны, по условию
НЕПАРАМЕТРИЗОВЛННЫЕ КРИВЫЕ
27
для любой точки t*£l* и любого ( — 1, .... п; в частности, при f}*) и 1 = 1. Поэтому <р (/*) = (/10^) (/*)
при Р*)> т- е- функция (17) является ограничением функции ф на интервале (а*, 0*). Следовательно, функция ф принадлежит классу гладкости & на интервале (а*, Р*) и ее производная в точке отлична от нуля. Поскольку t*9— произвольная точка интервала /*, а интервалы вида (а*, р*) покрывают весь этот интервал; этим доказано, что функция ф принадлежит классу Сг на всем интервале /* и ее производная всюду на этом интервале отлична от нуля.
Тем самым предложение 1 полностью доказано, п Предложение I означает, что с точностью до эквивалентности простые регулярные кривые однозначно определяются их носителями (и потому могут быть с ними отождествлены). Эти носители называются регулярными простыми дугами. Регулярная простая кривая, носителем которой является регулярная простая дуга Jz?', называется также параметризацией дуги . Как правило, мы будем отождествлять регулярные простые дуги с их параметризациями (рассматриваемыми с точностью до эквивалентности).
Замечание 4. Кажущаяся естественной проблема о переносе предложения 1 на произвольные кривые посредством более общих замен параметра (например, с производными, обращающимися в нуль) принадлежит к числу — увы довольно большому! — надуманных задач, не имеющих содержательного значения.
При п = 2 (на плоскости) любой график является, очевидно, регулярной простой дугой. Более того, можно показать (попробуйте сделать это!), что на плоскости регулярные простые дуги—это в точности простые линии. Таким образом, в отношении простых линий все экспликации интуитивного понятия линии приводят к одному и тому же результату.
Задача 6. Покажите, что на плоскости каждая регулярная кривая (8) локально эквивалентна графику, т. е. для любой точки ta £ 1 существует в R такая ее окрестность (а, Ь)с/, что кривая у|(а,Ь) эквивалентна кривой е. уравнениями рида x=t, y = f(t) (и, значит, является регулярной простой кривой).
Задача 7. Приведите пример, показывающий, что регулярная кривая, являющаяся инъективным отображением, тем не менее может
28
натуральный параметр
ие быть простой кривой (и даже может иметь целый отрезок непростых точек).
Если пространство Л евклидово, то для любой гладкой кривой (8) на отрезке / определена функция
— длина касательного вектора г' (f). Эта функция заведомо непрерывна, и потому в случае, когда / = [а, Ь], существует интеграл
ь
s = 5 | г' (t)\dt а
этой функции по отрезку [а, Ь]. Как показывается в курсе анализа этот интеграл равен пределу длин ломаных, вписанных в кривую (8),—длине кривой (8).
Пусть теперь интервал I произволен, и пусть t0£l. Тогда формула
t
(18) s(0 = $|r'(0l^.
определяет на интервале / гладкую функцию, отображающую этот интервал на некоторый интервал J оси s, содержащий точку 0. Эта функция называется длиной дуги. (Заметим, что она может принимать и отрицательные значения.)
Если s(t) — t —t0, то параметр t называется натуральным. Таким образом, допуская общепринятую в анализе неточность, можно сказать, что параметр t натурален, если он является длиной дуги.
Свойство параметра быть натуральным равносильно тождественному равенству s'(/)=l. Поскольку по определению s'(t) = | г' (t) |, мы видим, следовательно, что параметр t на кривой (8) тогда и только тогда натурален, когда
| /'(£) | = 1 для всех t£l.
В частности, мы видим, что кривая, отнесенная к натуральному параметру, заведомо регулярна.
Обратно, пусть кривая (8) регулярна. Тогда | г' (t) | > 0 для всех t^I, и потому функция (18) монотонна и для нее определена обратная функция
<р: J—»I.
натуральный параметр
99
Кривая
У1=уо(р: J—+A эквивалентна кривой у, и для нее r;(s) = r'(/)g(s) = r' (0s4j, где t = ф (s). Поскольку s'(t) — | г' (t) |, отсюда следует, что |H(s)|=l для всех s^J,
т. е. что параметр s на кривой ух натурален.
Таким образом, мы видим, что каждая регулярная кривая эквивалентна кривой, отнесенной к натуральному параметру.
Поэтому, поскольку мы ограничиваемся регулярными (п, кроме того, простыми) кривыми, все рассматриваемые кривые мы без ограничения общности можем считать отнесенными к натуральному параметру. Важно при этом иметь в виду, что для регулярной простой дуги нату. ральный параметр определен однозначно с точностью до преобразований вида
11—> ± 14 to
(т. е. с точностью до выбора начальной точки и направления отсчета длин).
В дальнейшем натуральный параметр, как правило, мы будем обозначать символом s.
Дифференцирование по $ будем обозначать точкой:
• , ч dr (s) •• , . d2r (s)
r (s) , г ($) = —.... и т. д.
' ds ’ ds*
Как мы уже видели, натуральность параметра s равносильна тождеству
| г (s) | = 1 для всех s.
В связи с этим полезно иметь в виду следующую лемму (в которой s, конечно, не натуральный параметр):
Лемма 3. Пусть a = a(s)—такая векторзначная гладкая функция, что | и (s) | = 1 для всех s. Тогда
(19) »(s)«(s) = O для каждого s.
Доказательство. Равенство | и (s) | = 1 равносильно равенству «(s)2=l. Но легко видеть, что для скалярного (также, как, кстати сказать, и для векторного) умноже
30
НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР
ния векторов сохраняется обычная формула дифференцирования произведения. В частности,
(о2)- == UU4UU = 2UU.
Поэтому, если и2= 1, то йй = 0. □
Следствие. Для любой кривой r = r(s), отнесенной к натуральному параметру, имеет место формула (20) r(s)r'(s) = 0 для каждого s.
Лекция 2
Кривые на плоскости. —Формулы Фрейе для пространственной кривой. —Проекции кривой на координатные плоскости сопровождающего репера. —Формулы Фрейе для кривой в л-мерном пространстве. —Существование и единственность кривой с данными кривизнами.
Пусть
(I) у: / — Л
— произвольная регулярная и простая кривая в п-мерном евклидовом пространстве Л. Как мы знаем из предыдущей лекции, без ограничения общности можно считать, что кривая (1) отнесена к натуральному параметру s.
Пусть г — r(s)— векторное параметрическое уравнение кривой (1), и пусть
(2) t (s) = г (s)
-ее касательный вектор. Так как параметр s натурален, то вектор (2) является ортом, а вектор
i (s) = г (s) ему ортогонален:
tf(s)j(s) = O для всех s.
Определение 1. Длина 11 (s) | вектора t (s) обозначается символом k(s) (или просто k) и называется кривизной кривой (1) в точке s (или r(s)).
Например, для плоской кривой
k (s) = x2(s)-| z/2(s),
где x = x(s) и у = у(s)—координатные параметрические уравнения кривой (1) в евклидовой системе координат х, У-
Кривизной кривой, отнесенной к произвольному параметру, называется кривизна эквивалентной кривой, отнесенной к натуральному параметру. Формула для этой кривизны (которую можно получить простыми, но довольно громоздкими вычислениями, не пользуясь ничем, кроме формул дифференцирования функций) имеет—даже для плоских кривых — довольно сложный вид:
k _ I х"у' ~ ух'
1 l(x')a + (f/')a]3 a ’
32
КРИВЫЕ НА плоскости
Наглядно число k является мгновенной скоростью поворота единичного вектора t. Ясно, что эта скорость тем больше, чем кривая «искривленнее». Отсюда и термин —«кривизна».
На ориентированной плоскости можно рассматривать так называемую относительную кривизну kniH, равную кривизне k, если (при fe#=0) векторы ( и ( составляют положительно ориентированный базис плоскости, и равную —k в противном случае. Нам эта кривизна понадобится в лекции 4.
Пример 1. Если
х = ха + si, y — y0-Ysm, где Р-1 т?=\,
т. е. если рассматриваемая кривая является прямой, то х = 0 и у = 0. Поэтому k = 0 для всех s, т. е., как и следовало ожидать, кривизна прямой тождественно равна нулю.
Поскольку линейные функции являются единственными функциями, вторая производная которых тождественно равна нулю, верно и обратное, т. е. кривая, кривизна которой тождественно равна нулю, является прямой (или ее отрезком).
Точка r0 = r(s0) кривой r = r(s) называется точкой распрямления, если k(so) = O.
Пример 2. Параметрические уравнения окружности радиуса R в натуральном параметре s имеют, очевидно, вид
x = T?cos4-, у = R sin 4-. А ‘ А
Так как
•• 1 s 1 . S
x = __cos_, y=;__sin_, то для окружности
Zs(s)=-^- для всех s.
Таким образом, кривизна окружности постоянна и равна величине, обратной ее радиусу.
Из доказываемой ниже общей теоремы 1 следует, что
и, обратно, кривая с постоянной кривизной является окружностью (или ее дугой).
Если для некоторой кривой /г(«о)=/=О, то определено
число ₽(s0) =
1
k (So) ’
называемое радиусом кривизны кривой
в рассматриваемой точке.
КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ 33
Кривая r = r(s) называется кривой общего типа, если на ней нет точек распрямления, т. е. если k(s)=£O для всех s. В каждой точке такой кривой определен единичный вектор
«(«нга-« (dj
направленный по нормали к кривой (т. е. по прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной).
Для любого s векторы t(s) и n(s) образуют ортонор-мированный базис, который называется сопровождающим базисом Френе данной кривой общего типа.
По определению
i(s)== k(s)n (s).
Найдем аналогичную формулу для вектора n(s). Пусть n(s) — a(s)t (s) + P(s) n(s)
— разложение этого вектора по векторам базиса t = t(s), n = n(s). Так как in = О, то tn -I tn = 0 (мы снова пользуемся тем, что для скалярного произведения векторов справедлива обычная формула дифференцирования произведения), и потому a = th = — tn = — k. С другой стороны, согласно лемме 2 лекции 1 $ = пп = 0. Этим доказано, что для любой кривой обще- \
го типа имеют место формулы I
t — kn, S' /
() n = — kt ( \ /
(мы опускаем указание на ар- •
гумент s), описывающие мгно- ----------
ВеНПЫП Поворот сопровождаю- Базис Фрейе плоской кривой щего базиса.
Формулы (3) называются формулами Френе для плоской кривой.
Замечание 1. На ориентированной плоскости базис Френе можно определить и для кривых с точками распрямления, принимая за n(s) вектор, образующий вместе с вектором t(s) положительно ориентированный базис плоскости. Тогда в формулах (3) вместо кривизны k появится относительная кривизна #О(И.
2 М. м. Постников, сем. III
34 ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
Для кривых в трехмерном пространстве (отнесенном к прямоугольным координатам х, у, г) формула для кривизны имеет вид
k = |/ х2 -|- у2 Ч- г2.
Кривая (1) при п = 3 называется, как и в случае п = 2, кривой общего типа, если Js(s)=#O при всех s. Для такой кривой определен единичный вектор
называемый вектором главной нормали кривой.
Но теперь мы можем (предполагая пространство ориентированным) ввести в рассмотрение еще третий вектор 6(s), составляющий вместе с векторами t(s) и n(s) положительно ориентированный ортонормированный базис t(s), n(s), b(s) (т. е. такой, что b(s) = t(s)xn(s)). Этот вектор называется вектором бинормали, а базис t (s), n(s), b(s)—сопровождающим базисом Френе данной кривой общего типа.
По построению (для упрощения формул мы опускаем аргумент s)
t = kn.
Кроме того, так как b*=txn, то
b^ixn txn = txn,
откуда следует, что bt = O. Поскольку, согласно лемме 2 лекции 1, bb — 0, этим доказано, что вектор b коллинеа-рен вектору п, т. е. существует \ такое число х = х (s), что
I Ь — —-нп.
/ Число x(s) называется кручени-J ,ъ / ем данной кривой в точке r(s). х. Оно является скоростью поворо-
\________та вектора бинормали.
Базис френе Продифференцировав теперь
пространственной кривой равенства nt = 0 и = мы немедленно получим, что nt = =—nt——kn nb =—пЬ=н. Поскольку, кроме того, ия = 0 (лемма 2 лекции 1), тем самым доказано, что
п — — kt-\ ub.
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ Для ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 35
Таким образом, для любой кривой общего типа имеют место формулы
t — kn,
(4) п — — kt + nb,
b = — y.n.
кривая в плоской
Эти формулы называются формулами Френе для пространственной кривой.
ПримерЗ. Если кривая r = r(s) расположена в плоскости П, то векторы r(s) и r(s) параллельны этой плоскости (ибо это так для приращений r(s4-As) — r(s) и r(s+As)—r'(s) векторов r(s) и r(s)). Поэтому /(s), n(s)||II и, значит, b (s) | П. Это доказывает, что 6(s) = = const, и потому x(s) = 0 для всех s. Обратно, пусть x(s) = 0 для всех s и, значит, b(s) = b0 = const. Тогда (г (s) й0)’ = r(s)b0 = t (s) b0 = 0 для всех s, и потому /-(s)Z>0 = const. Это означает, что кривая r = r(s) расположена в плоскости гй0 = const. Таким образом, пространстве тогда и только тогда кривой, когда ее кручение тождественно равно нулю.
Пример 4. Винтовой кривой называется траектория точки, движущейся с постоянной скоростью по образующей прямого кругового цилиндра, равномерно вращающегося вокруг своей оси. Параметрические уравнения этой кривой имеют вид
x — acost, y = asmt, z — bt. Так как х' = — a sin t, у' = a cost, z' ~b, то
является
Винтовая линия
s' =)/(х')2 + (у')2 ч (г')2 — + Ь2
И, значит, s = ct, где с==]/а2-j-Ь2. Поэтому s . s b
x = acos — , у —asm — , z = — s. с с с
Но тогда a s - a s • Ъ
x==-TSinT’ ^ = TC0S-’ г==Т’
•• a s •• a s • п
х = — ^cosy, У = ~^’sin7'> z = 0’
2*
36
ПРОЕКЦИИ КРИВОЙ НА КООРДИНАТНЫЕ плоскости
и потому
k = j/ х2 4 у2 + z2
Кроме того,
О. ,
-у = const. с2
и
Поэтому
. , ( b . s b s а
& = гхл=—sin —,---COS—, —
\ с с с с с
и, следовательно,
х =-4" const. с2
Таким образом, кривизна и кручение винтовой кривой постоянны.
Согласно доказываемой ниже общей теореме 1 и обратно, каждая кривая, кривизна и кручение которой постоянны, является винтовой кривой (или ее дугой).
Замечание 2. Обратим внимание на различие в трактовке понятия кривой общего типа на плоскости и в пространстве. Чтобы достичь единства, надо для кривых на плоскости рассматривать не абсолютную, а относительную кривизну. Ср. замечание 1.
Чтобы исследовать поведение произвольной пространственной кривой r = r(s) вблизи некоторой ее точки, мы выберем начало координат О в этой точке, за координатный базис i, J, k примем сопровождающий базис t0, п0, Ьо в точке О и будем натуральный параметр s отсчитывать от О. Тогда
r(0) = 0, r(O) = to = i, r(O) — kana = koJ,
г (0) = kono + kono = — ktf. 4- kJ 4- koKok,
где k0, k0 и x0— значение функций k, k и x при s = 0.
ПРОЕКЦИИ КРИВОЙ НА КООРДИНАТНЫЕ ПЛОСКОСТИ
37
Следовательно, по формуле Тейлора
г (s) = г (0) + s 'r (0) + % г(0) + 4 г (°) + • • • =
= (s+ ...)/+(-^2-S3+
Это означает, что вблизи точки О наша кривая задается параметрическими уравнениями
~ _ ^0Х0 е3 I
Z-“6~S 4 • '
Если =#= 0, so=/=O, то проекция кривой на плоскость Olj — Ot0n0 (кстати сказать, эта плоскость называется
Проекция на соприкасающуюся плоскость
Проекция на спрямляющую плоскость
соприкасающейся плоскостью кривой в точке О) приближенно совпадает с параболой
x — s, y = ^-s2-,
ее проекция на плоскость OJk = Оп0Ь0 (которая называется нормальной плоскостью кривой в точке О) — с полукуби-ческон параболой
„ _ с2 , _ ^охо сз. у — 2 & > г— 6 s,
и, наконец, ее проекция на плоскость Oik = Ot0ba (которая называется спрямляющей плоскостью кривой в точке О) — с кубической параболой
38
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ В л-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Это дает достаточно отчетливое представление об устройстве пространственной кривой вблизи любой ее точки (в которой отличны от нуля кривизна и кручение).
Рассмотрим теперь общий случай евклидова пространства произвольной размерности п^2.
Отнесенная к натуральному параметру кривая г =r (s) в n-мерном ориентированном евклидовом пространстве называется кривой общего типа, если для любого s векторы
• (л-1)
(5) г (s), .... г (s)
линейно независимы.
Применив к векторам (5) процесс ортогонализации Грама—Шмидта, мы получим ортонормированное семейство векторов *i(s), .... f„_i(s). Пусть /„(s)—вектор (однозначно определенный), дополняющий это семейство до положительно ориентированного ортонорм ирова иного базиса
(6) ti(s), .... f„_i(s), tn(s).
Определение 2. Базис (6) называется сопровождающим базисом Френе кривой общего типа в точке г (s).
Пусть
п t== I == 1, ..., п
(для упрощения формул мы опускаем аргумент s). Так как по построению вектор tif i=l, ..., п—1, линейно (0
выражается через векторы г, .... г, то вектор tt линейно (г+1)
выражается через векторы г, ..., г. Поскольку же последние векторы линейно выражаются через векторы
• • •, ti+i, этим доказано, что а(у = 0 при / > i + 1.
С другой стороны, так как tttt — то tttj + t^j = 0, т. е.
а<7 + а/<= 0-
Потому а/(- = 0 и а(7 = 0 при / < i — 1.
Таким образом, могут быть отличны от нуля лишь коэффициенты а(1/+1 = — а?+1>(.. Полагая
^1 = аИ» ^2=а23> •••» ^п-1 = ал-1, л>
КРИВАЯ с ДАННЫМИ КРИВИЗНАМИ
39
мы видим, следовательно, что имеют место формулы ii — kit2, ^2= "Ь ^2^3»
(7)
in-i = ^П-2^П-2 Н" ^Л-1^Л>
^л ^л-1^л —!•
Эти формулы называются формулами Френе для кривой в п-мерном пространстве.
Функции /?1 = /?1(s), ..., kn_t — kn_i (s) называются кривизнами кривой. Подчеркнем, что они определены только для кривой общего типа.
В формулах
(О
(8) *, = ₽<!>+ £=1, 1,
получающихся применением процесса ортогонализации Грама—Шмидта, последние коэффициенты 0(1- положительны. Поэтому в обратных формулах
(О
(9) r = •• •+?»,<
коэффициенты yI7 = 0zi1 также положительны. Продифференцировав формулы (8), мы получим соотношения вида h ~ bilf" + (0/2 + 0/1) /"+•••
(О (i+D
• • + (0/i + 0/, i-i)г + 01/ г • 1’=1> • ••» п !•
(i+D
Заменив здесь (при I < п— 1) векторы г, ..., г выражениями (9), мы должны получить формулы (7). Это показывает, что
^i, = 0z/Yi + i» i+i> 1=1, •••, п 2.
Отсюда, в частности, следует, что для любой кривой общего типа кривизны
/?1, • , /?п-2
положительны. Кривизна же krl_! (аналог кручения) может иметь произвольный знак.
Покажем теперь, что любые п—1 функций (’•0) Ze1(s)>0..........V2(s)>0, Vi(s)
40
КРИВАЯ с ДАННЫМИ КРИВИЗНАМИ
(заданные на некотором интервале (а, Ь) оси R) могут служить кривизнами некоторой кривой (регулярной, но, вообще говоря, не простой) и что эти кривизны однозначно (с точностью до конгруэнтности) определяют кривую.
Пусть для определенности а < 0 < Ь.
Теорема 1. Пусть на интервале (а, Ь) заданы п—1 гладких функций (10), которые все положительны, кроме, быть может, последней. Тогда для любой начальной точки О£Л и любого положительно ориентированного ортонормированного базиса ., in существует одна и только одна кривая r — r(s), а < s < b, общего типа, обладающая следующими двумя- свойствами-.
1° кривизнами этой кривой являются данные функции (10);
2° при s = 0 имеют место равенства
r(0) = 0, ^(0) = G-----^„(0) = i„.
Доказательство мы проведем в четыре этапа.
Этап 1. На этом этапе мы воспользуемся следующей общей теоремой, известной как теорема существования и единственности реш’ений (СЕР) линейных дифференциальных уравнений и которая доказывается в курсе теории дифференциальных уравнений.
Теорема СЕР. Пусть на интервале (а, Ь) заданы т2 гладких функций Д(7(«), I, т, и пусть х^\ ...
..., хЦр—произвольные числа. Тогда существует одно и только одно семейство гладких функций хх ($), ... ..., хт (s), а < s < b, обладающих следующими двумя свойствами:
Г тождественно по s, а < s < b, выполнены соотношения
*1 = Ал + • • +
(11) • • ..................
хт = ^яЛ+ • • • + ^ппхт'
2° при s = 0 имеют место равенства
х,(0) = хГ .... хи(0) = х<?>. □
Мы применим эту теорему к соотношениям (7), которые при данных функциях kt, . .., A-i являются уравнениями вида (11) для т = п2 координат векторов tlt .... t„. Таким образом, согласно теореме СЕР, на интервале (а, Ь) существует одно и только одно семейство
КРИВАЯ С ДАННЫМИ КРИВИЗНАМИ 41
такпх векторзначных функций tx (s), .... tn_! (s), tz< s < b, что:
1° при любом s выполнены соотношения (7);
2° при $ = 0 имеют место равенства
(12) ^(0)=Л, .... Л,(0) = /„.
Этап 2. Рассмотрим скалярные произведения t,t , /-=• 1, п. Согласно соотношениям (7) для этих произведений имеют место равенства
(W=<A + =
= (— + M<+i) tj н- tt (— kjSj-! н- Zs//+l)
(мы условно полагаем, что £0 = 0 и f„+1 = 0), т. е. равенства
(13) (W = - *,-i (*,-i*/) + k;
-I-kj (A^/+i), которые мы можем рассматривать как уравнения вида (11) для т = функций tjtj. Поэтому, согласно теореме
СЕР, существует только единственный набор этих функций, обладающих тем свойством, что при $ = 0 они равны (т- е- равны нулю, если i j, и единице, если i = /).
С другой стороны, непосредственная проверка показывает, что уравнениям (13) удовлетворяют функции tfa, тождественно равные 6(у. (Действительно, при i^=j—1, j ; 1 все слагаемые суммы+/гД.+1) у— + i равны нулю, а при i = j— 1, j + 1 is этой сумме имеются только два отличных от нуля, нс взаимно уничтожающихся слагаемых.) Следовательно, в силу теоремы СЕР для всех s имеют место равенства tjt, = bl-j, i, j=i, ..., n, означающие, что векторы t....... tn для любого s, а < s < b, составляют ортонор-
мированный базис. .
Поскольку при s = 0 этот базис совпадает с положительно ориентированным базисом ilt ..., in, то и для каждого $, а < $ < Ь, базис tlt ..., ts положительно ориентирован.
Этап 3. Составив последовательные производные вектора t^.
. .. (Л-1)
(14) Л, h, .... А ,
42 КРИВАЯ с ДАННЫМИ КРИВИЗНАМИ
применим к ним процесс ортогонализации Грама—Шмидта. Так как вектор tt является ортом, то на первом шаге этого процесса мы ничего делать не должны. Поскольку по лемме 2 лекции 1 вектор ортогонален вектору ti, на втором шаге мы должны его только нормировать. С другой стороны, так как по доказанному вектор t2 является ортом и по условию kt > 0, то, согласно первому из соотношений (7), |fi| = Zsi. Поэтому на втором шаге процесса ортогонализации мы получим вектор
На третьем шаге нам следует рассмотреть вектор
?i = (kit2y = kit2 + kj2 = — kltt 4- kJt 4-
вычесть из него линейную комбинацию векторов и t2 так, чтобы получился вектор, ортогональный этим векторам, и пронормировать этот вектор. Но так как векторы ts составляют по доказанному ортонормированное семейство, а по условию ktk2 >0, то в результате этой процедуры получится, очевидно, вектор ts.
Ясно, что это рассуждение имеет общий характер, так что на каждом шаге процесса ортогонализации мы получим соответствующий вектор th i = l.....п—1. Этим
доказано, что семейство векторов tlt t2, ..., однозначно характеризуется как ортонормированное семейство векторов, получающееся из семейства (14) применением процесса ортогонализации Грама—Шмидта.
Этап 4. Пусть
S
(15) г (s) (s) ds, a<s<b.
о
Тогда г(0) = 0 и r(s) = fi(s), т. е. кривая r = r(s), а < s < Ь, проходит при $ = 0 через точку О и при любом s ее касательным вектором является вектор A(s). Но для каждой кривой первые п—1 векторов сопровождающего базиса представляют собой векторы, получающиеся из первых п—1 производных касательного вектора процессом ортогонализации Грама—Шмидта. Поэтому, согласно доказанному выше, эти векторы совпадают с векторами tlt ..., tn_i.
Что же касается последнего вектора сопровождающего .базиса, то он однозначно характеризуется как единичный
КРИВАЯ С ДАННЫМИ КРИВИЗНАМИ 43
вектор, составляющий с первыми п—1 векторами положительно ориентированный базис. Поскольку базис t„, как мы видели, положительно ориентирован, этим вектором должен быть вектор tn.
Итак, доказано, что для любого s векторы ^(s), ... . .., t„ (s) составляют сопровождающий базис кривой r = r(s). Поскольку для этих векторов имеют место формулы Френе (7), участвующие в этих формулах функции k;(s), i — 1, .... п— 1, должны быть кривизнами кривой r=r(s).
Тем самым существование кривой r = r(s), обладающей свойствами 1) и 2), полностью доказано.
Ее единственность вытекает из того, что, согласно теореме СЕР, сопровождающий базис ^(s), ..., tn(s) однозначно определен уравнениями (7) и начальными условиями (12), а радиус-вектор г (s) однозначно определен (по формуле (15)) соотношением г ($) = tx (s) и начальным условием г(0)=0. □
Лекция 3
Элементарные поверхности и их параметризации.— Примеры поверхностей.— Касательная плоскость и касательное подпространство.— Гладкие отображения поверхностей и их дифференциалы.— Диффеоморфизмы поверхностей.— Первая квадратичная форма поверхности.— Изометрии.— Первый дифференциальный параметр Бель-трами.— Примеры вычисления первых квадратичных форм.— Развертывающиеся поверхности.
Эксплицирование интуитивного понятия поверхности делается по аналогии с эксплицированием понятия линии, и оно встречается с теми же трудностями, что и для линий, только более осложненными. Поэтому мы пока ограничимся лишь аналогом понятия открытой простой регулярной дуги (хотя при рассмотрении конкретных примеров позволим себе рассматривать и более общие поверхности).
Чтобы ввести этот аналог, мы начнем с произвольного непрерывного отображения вида
(1) ?: U — Л,
где Л—как всегда, некоторое евклидово (или только аффинное) пространство размерности п^З, a U— выпуклое (т. е. содержащее каждый прямолинейный отрезок, концы которого принадлежат множеству) открытое подмножество арифметической плоскости R2 (двумерный аналог интервала 1 = (а, Ь)). Когда в Л выбрано начало отсчета О, отображение (1) задается непрерывной вектор-функцией
(2) r = r(u, о), (и, v)$U,
принимающей значения в ассоциированном линеале Т3, а когда в Т3 выбран, кроме того, и базис ..., еп, отображение (1) задается п непрерывными числовыми функциями
(3) х^х1^, о), ..., хП — хп(и, v)
— координатами в базисе ..., еп вектора г (и, и).
Отображение (1) называется гладким класса Сг, где г — некоторое натуральное число или символ оо, если каждая функция (3)—или, что равносильно, вектор-функция (2)—имеет непрерывные частные производные всех
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ поверхности и их параметризации
45
порядков (напомним, что при г = ооэто означает существование частных производных всех порядков). В дальнейшем мы будем считать число г раз и навсегда фиксированным и достаточно большим. [В этой лекции нам будет годиться любое но, скажем, в лекции 5 мы должны будем требовать, чтобы
В частности, для гладкого отображения (1) определены частные производные
, _ дг (и, V) _ _дг (и. v)
» ~ ди ’ rt>~ dv
(4)
вектор-функции (2). Гладкое отображение (1) называется регулярным, если в каждой точке (u, v)$U частные производные (4) линейно независимы.
Определение 1. Отображение (1) называется параметризацией, если оно:
1° гладко,
2° регулярно,
3° монеоморфно (инъективно и обладает тем свойством, что если последовательность точек у(«„, vn), (и„, v„)^U, пространства Л сходится к точке вида у (а, Ь), где (а, b)£U, то последовательность точек (u„, vn)£U также сходится (в силу непрерывности обязательно к точке (а, Ь)).
Задача 1. Докажите, что если отображение (1) гладко и регулярно, то для любой точки (u0, существует ее окрест-
ность V с U, на которой это отображение монеоморфно (является параметризацией).
Определение 2. Подмножество 3? пространства А называется элементарной поверхностью, если существует такая параметризация у: U —> А (называемая в этом случае параметризацией поверхности ЗУ), что у(Р) = ЗУ Говорят также, что ЗУ является носителем параметризации у.
Элементарные поверхности являются двумерными аналогами простых регулярных дуг (а параметризации — аналогами простых регулярных кривых).
Замечание 1. В другой терминологической схеме, — которой мы также будем иногда пользоваться, не всегда это явно оговаривая,—элементарными поверхностями называются сами параметризации (1). Для линий мы избежали в лекции 1 подобной омонимии, различив кривые и линии. К сожалению, для двумерного случая аналогичной пары общепринятых терминов в русском языке нет.
46
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ
Так как никаких других поверхностей, помимо элементарных, мы, как правило, рассматривать не будем, то в дальнейшем элементарные поверхности мы обычно будем называть просто поверхностями.
Поскольку-параметризация у: U—«-Л произвольной элементарной поверхности SC является инъективным отображением, для любой точки p<z% существуют единственные числа и и v, обладающие тем свойством, что (u, v)$U и у (и, v) — p. Эти числа называются координатами точки р в данной параметризации. По традиции для этих координат часто используют дополнительные эпитеты, называя их криволинейными или локальными, хотя никаких других координат на поверхности обычно не рассматривается, и потому эти дополнительные эпитеты в принципе излишни.
Допуская вольность, часто говорят также, что числа и и v являются координатами на поверхности (1); это является проявлением общей тенденции смешивать в словоупотреблении поверхности и их параметризации.
Каждую кривую в U с параметрическими уравнениями (5) u = u(/), о = о(/), t^I,
параметризация (1) поверхности % переводит в кривую (6) r = r(u(/).y(0).
пространства Л. О кривой (6) говорят, что она лежит на поверхности % и что уравнения (5) являются ее параметрическими уравнениями в координатах и и v.
В частности, кривые" и = const и и = const (являющиеся образами координатных линий в U) называются координатными линиями на поверхности %, а их совокупность — координатной сетью.
Для любых открытых подмножеств U, U* с каждое отображение
(7) <p: U*-+U
задается парой функций
(8) и —и (и*, и*), v = v (и*, и*), (и*,
обладающих тем свойством, что для любой точки (и*, о*) g U* точка (и, v) — (u(u*, v*), и(и*, о*)) принадлежит U. Отображение (7) на зыва&гся^ гладким класса Сг, где г—натуральное число или символ со, если функции (8) при г =£ w имеют непрерывные ’ частные производные всех
ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
47
порядков ^г. Гладкое отображение (7) называется диффеоморфизмом., если оно биективно и обратное отображение
ф-1; U->-U* также гладко.
Две параметризации
(9) у: U—> Л и у':
называются эквивалентными, если существует такой диффеоморфизм (7), что
(10) у* = у о ср.
Поскольку задание параметризации поверхности SC равносильно заданию на % криволинейных координат, о диффеоморфизме (7) говорят также, что он осуществляет на Я замену координат (или задает переход от координат и, v к координатам и*, и*).
Задача 2. Докажите, что отношение (10) является эквивалентностью в общеалгебраическом смысле (рефлексивно, симметрично и транзитивно) и, следовательно, имеет смысл говорить о классах эквивалентных параметризаций.
Ясно, что эквивалентные параметризации имеют один и тот же носитель. Обратно, можно без особого труда показать, что параметризации (9), имеющие один и тот же носитель, эквивалентны. Это означает, что элементарные поверхности находятся в естественном биективном соответствии с классами эквивалентности их параметризаций и потому могут быть с ними отождествлены.
Задача 3. Докажите последнее утверждение. (Заметим, что для его справедливости существенны все три условия 1°—3° определения 1. Ср. доказательство предложения 1 лекции 1.)
В лекции 15 мы докажем общее предложение, частным случаем которого является это утверждение (а также предложение 1 лекции 1).
Примеры поверхностей.
Для наглядности мы ограничимся поверхностями в трехмерном евклидовом пространстве. Координаты х, у, z будем считать прямоугольными.
Пример 1. Уравнения
(11) x = /?costi, ;/ = /? sinn, z — v
48
ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
задают в трехмерном евклидовом пространстве прямой круговой цилиндр. Этот цилиндр не является элементарной поверхностью в смысле определения 2, поскольку при — оо < и < -| оо каждая точка цилиндра бесконечное (счетное) число раз покрывается точками плоскости R2. Чтобы получить элементарную поверхность, цилиндр следует прорезать по образующей, т. е. в уравнениях (11) параметр и подчинить неравенствам 0 < и < 2л. Весь же цилиндр покрывается двумя такими разрезанными цилиндрами.
Координатная сеть на цилиндре (11) состоит из вертикальных прямых u = const и горизонтальных окружностей v = const.
Пример 2. Пусть х = х(у), z = z(v)— простая регулярная кривая на плоскости Oxz, не пересекающая оси Ог. Поверхность с параметризацией
(12) x = x(v)cosu, y = x(u)sinu, z=z(v)
называется поверхностью вращения, а кривая х = х(о), z = z(v) называется ее профилем. Наглядно, поверхность (12) получается вращением ее профиля вокруг оси Oz.
Круговой цилиндр
Поверхность вращения
Регулярность параметризации (12), т. е. линейная независимость векторов
ги = (—х (и) sinn, x(v)cosu, 0), rv — (х' (f)cosu, x'(u)sinu, z'(u)), обеспечивается регулярностью профиля (т. е. условием
ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
49
/ (u)M-z'(у)2= 1) и тем, что профиль не пересекает оси вращения Ог (т. е. тем, что х(у)^=0).
Координатная сеть на поверхности (12) состоит из кривых, являющихся поворотами профиля вокруг оси Ог (они называются меридианами), и перпендикулярных им окружностей (параллелей). Чтобы поверхность (12) сделать элементарной, ее нужно прорезать по меридиану.
Сфера Линейчатая поверхность
Цилиндр представляет собой поверхность вращения, профилем которой является прямая x — R, z = v.
Поверхность вращения с профилем x = 7?coso, z = == R sin v (окружностью) является сфера
x — R cos ц cos u, y — R cos vsinu, z = Rsinu
радиуса R с центром в точке О. Координаты и и v на этой сфере представляют собой общеизвестные «географические координаты»—долготу и широту, а координатными кривыми являются географические меридианы и параллели.
Конечно, строго говоря, профилем сферы является лишь полуокружность —л < v < Н л (что исключает полюсы). Кроме того, чтобы получить элементарную поверхность, надо исключить и один меридиан («линию перемены дат»).
Пример 3. Поверхность г — г (и, v) называется линейчатой поверхностью, если
(13) г (и, у) = р(п) + va(u),
где р(и) и а (и)—векторзначные функции, обладающие тем свойством (обеспечивающим регулярность), что векторы р' (и) + va' (и) и а (и) при всех рассматриваемых и и v линейно независимы (так что, в частности, а(и)=/=0 Для всех и). Координатной кривой и — и0 = const является
50
ПРИМЕРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
прямая с направляющим вектором а(и0), проходящая через точку с радиус-вектором р(«0). Таким образом, наглядно линейчатая поверхность зачерчивается движущейся в пространстве прямой. Ср. с определением 1 лекции 1.23.
Ясно, что без ограничения общности мы можем считать вектор а (и) единичным:
| а (и) | = 1 для всех и.
Если р'(ы) = 0 для всех и, т. е. р(ы) = const, то после переноса начала координат мы получим вместо (13) уравнение вида
(14) r = va(u).
Это—конус, направляющей которого является регулярная пространственная кривая г = а (и). [Конечно, в уравнении (14) надо считать, что и>0 или и<0 (ибо точка
Конус
Цилиндр
и = 0 является особой точкой конуса и разбивает его на две полы). В случае же, когда образующие конуса пересекают направляющую в нескольких точках, на v приходится вводить и дополнительные ограничения.]
Если а'(ы) = 0 для всех и, т. е. a(w) = const, то поверхность^ (14) представляет собой цилиндр с (вообще говоря, пространственной) направляющей р = р(«).
Если вектор р' не равен тождественно нулю, то, перейдя, если нужно, к меньшей области в R2, мы можем считать, что р'(«)=/=() для всех и. Тогда р = р(ы) будет регулярной кривой в пространстве, и мы можем считать, что и является на этой кривой натуральным параметром
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 51
(длиной дуги). Конус (14) также можно задать уравнением вида (13) с р' («)=/= 0. Для этого достаточно в (13) положить р(«) = а(и) (если, конечно, а' (и)^О).
Если а (и) является касательным вектором т (и) кривой р — р(и), то поверхность (13) называется поверхностью касательных. Аналогично определяются поверхность главных нормалей и поверхность бинормалей.
Заметим, что для поверхности касательных все точки кривой р = р(«) являются особыми точками этой поверхности, в которых нарушается условие регулярности. (Они составляют так называемое ребро возврата поверхности касательных.)
Пусть снова X—произвольная (элементарная) поверхность в n-мерном аффинном пространстве Л с параметризацией r = r(u, и), и пусть /^—произвольная точка поверхности S3, а г0 = г (н0, ц,) —ее радиус-вектор. В силу условия регулярности значения
дг, . дг, ч
*4 = a;(“o. Ц>). гГо=^(н0, v0)
частных производных вектор-функции г — г (и, и) в точке («0, п0) линейно независимы, т. е. бивектор rttJ\rVa отли-
Касательная плоскость
чен от нуля. Поэтому в пространстве Л определена двумерная плоскость с направляющим бивектором rtt<l/\rVa, проходящая через точку pt. Векторное параметрическое уравнение этой плоскости имеет вид
(15) г = г0 + агИо + Ьг„о,
где а и b — параметры.
Определение 3. Плоскость (15) называется касательной плоскостью поверхности Ж (или к поверхности X} в точке р0. Соответствующее подпространство ассоциирован
52 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
ного линеала (состоящее из векторов вида ar,,o + brVo) обозначается символом TPa& и называется касательным подпространством, а его векторы — касательными векторами поверхности % в точке рй. Чтобы подчеркнуть двумерность, касательное подпространство часто называется также касательной плоскостью.
Эта терминология оправдывается тем, что для любой кривой (5) на поверхности проходящей (скажем, при t = t0) через точку р0, ее касательный вектор
(16) г'(t0) = u'(t0)rUo±v'(t0)rVo
принадлежит касательному подпространству Тр„&, причем и обратно, любой вектор aru -|- brv из TPl& может быть представлен в виде (16) (достаточно рассмотреть кривую с параметрическими уравнениями u = u04-a/, v = v0 + bt, t£l, где I—такой интервал оси t, что (u0 + at, v0 + bt)^U для любого Таким образом, касательные векторы поверхности—это в точности векторы, касательные к кривым на этой поверхности.
Соотношение (10), определяющее замену координат на поверхности %, записывается в радиус-векторах формулой
Г* (и*, V*) = г (и (и*, v*), v(u*,v*)), дифференцирование которой дает соотношения » ди , dv
Ги* ~дй*Га^дй* Г*' » ди . dv
r°* ~ dv* Га^~дь* Г,°’
(17)
Из соотношений (17) следует, что векторы г** и г$* линейно эквивалентны векторам г„ и rv и, значит, порождают одно и то же подпространство. Это доказывает, что для любой точки p(t& линейное пространство Ир& определено корректно (не зависит от выбора параметризации г = г(и, и)). При изменении параметризации в пространстве ТрЯ меняется — по формулам (17) — лишь базис ги, rv.
Векторы пространства Тр& часто по традиции обозначают символом dr, а их координаты (в базисе ru, rv) — символами du и du (причем эти координаты пишутся справа от векторов г„ и rv). Таким образом, в этих обозначениях
(18) dr = rudu + rvdu
ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
53
для любого вектора dr пространства Т„^. При этом, как непосредственно следует из формул (17), координаты du, dv связаны с координатами du*, dv* в базисе г*», г и* соотношениями
(19)
du-^du’+^dv*, dv == du*+ dv*, ди* 1 dv* ’
формально совпадающими с известными из анализа формулами для дифференциалов (что и является основным аргументом в пользу обозначений (18)).
Рассмотрим теперь наряду с поверхностью X и ее параметризацией у: U-^Л, задаваемой вектор-функцией r = r(u, v), (и, v)$U, другую элементарную поверхность Ж с параметризацией у: 0 —*Л, задаваемой вектор-функцией г=г (и, v), (и, v) € 0.
Так как отображения у и у инъективны, то каждое отображение /: SC—единственным образом определяет отображение /: U —+U, удовлетворяющее соотношению (20) foy^yoj
и однозначно определяющее отображение /. Наглядно соотношение (20) означает, что в диаграмме
SC -L SC
(21) 4 7 Ь
U— О
движение из левого нижнего угла в правый верхний по обоим возможным путям приводит к одному результату. (Обладающие этим свойством диаграммы называются коммутативными.]
Об отображении f говорят, что оно представляет отображение / в параметризациях у и у, а о функциях (22) u = «(u, v), v = v(u, v), (u,v)$U, задающих отображение f, говорят, что они задают отображение f в координатах и, v и и*, v*.
Отображение f называется гладким, если гладко отображение f, т. е. если гладки функции (22). Ясно, что
54 ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
это определение корректно (если отображение f гладко при одном выборе параметризаций у и у, то оно будет гладко и при любом другом их выборе).
Каждому гладкому отображению /: ЗС — ★ & и любой точке мы сопоставим линейное отображение
(23) р = /(р),
касательных пространств, переводящее вектор (18) пространства ТрЯ в вектор
dr = r~du+ r~ dv
пространства Т ~ &, где в полном соответствии с формулами дифференциального исчисления
du = du + dv,
(24) д“
dv = 4^- du + 4^- dv.
ди dv
Отображение (23) определяется для данных параметризаций у, у поверхностей ЗК, и потому возникает вопрос о его корректности, т. е. независимости от выбора этих параметризаций.
Пусть, например, параметризацию у мы заменили'дру-гой параметризацией у*: U* —»-Л поверхности ЗС. По определению у* = уо<р, где <р: U*—>U — некоторый-диффеоморфизм, задаваемый функциями
и —и (и*, V*), V — V (и*, V*).
При этом для соответствующих базисов ги, г„ и гв«, ги. пространства будут иметь формулы (17), а для соответствующих координат 'du, dv и du*, dv* касательных векторов—формулы (19). ^Отображение f в координатах и*, V* и и, v задается, очевидно, функциями
и* (и*, v*) = и(и (и*, v*), v (и*, V*)),
V* (и*, v*) = v (и (и*, v*), v (и*, о*)),
и, значит, вектор dr пространства имеющий в базисе г«», г„* координаты du*, dv*, отображение (27), построенное с помощью параметризаций у*, у, будет переводить в вектор dr* пространства имеющий в базисе
ДИФФЕОМОРФИЗМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
55
г~ , г~ координаты
du»_d“Ldu* + — dv*
аи ~ ди* aU + dv* ’ „ dd* , , . dv* , t
dv*=^du'* + ^dv*.
С другой стороны, подставив в формулы (24) для координат du, dv вектора dr выражения (19) координат du, dv через координаты du*, dv* и учтя, что, согласно известным из анализа правилам дифференцирования сложных функций, имеют место равенства
ди ди*^ dv ди* ди* ’
dv ди . ди ду _ dv*
ди ди* dv ди* ди* ’
du du . du du ди dv* ' dv du*
ди*
du* ’
du du , du du du*
du dv* ' du du* du* ’
мы немедленно получим, что du —du* и dv — dv*, т. e. что dr=dr*. Это показывает, что вектор dr не зависит от выбора параметризации у. Аналогично показывается (сделайте это!), что этот вектор не зависит и от выбора параметризации у. Следовательно, отображение (23) определено корректно.
Определение 4. Отображение (23) называется дифференциалом отображения f в точке р (или его главной линейной частью) и обозначается символом (df)p (или Tpf).
Задача 4. Произвольную кривую (5) на поверхности % отображение / переводит в кривую
(25) u = u(u(0> v(t)), v = v(u(t), v(t)), t£l,
на поверхности Ж. Пусть при t = ta кривая (5) проходит через точку р0 поверхности %. Покажите, что дифференциал (df)p<i отображения f переводит касательный вектор к кривой (5) в точке р0 в касательный вектор к кривой (25) в точке f(p0).
Отображение /: Ж —»-Ж называется диффеоморфизмом, если диффеоморфизмом является отображение ~f. (Ясно, что это определение корректно.) Функции (22), задающие диффеоморфизм, обладают, как известно из анализа, тем
56
ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
свойством, что их якобиан ди ди I ди dv dv dv | du dv
отличен от нуля. Это означает (см. формулы (24)), что дифференциал (ф!)р диффеоморфизма [ в каждой точке р£Я является изоморфизмом линейного пространства Tp& на линейное пространство Т-#1.
При 0 = V формулы и = и, о = и задают, очевидно, диффеоморфизм. Об этом диффеоморфизме говорят, что он действует по равенству координат.
Интересно, что для любого диффеоморфизма [:&—>£ и любой параметризации у: U—► Л поверхности SC существует такая параметризация у*: U —► Л поверхности что в параметризациях у и у* диффеоморфизм f действует по равенству координат. Действительно, пусть у: О—>Л — произвольная параметризация поверхности и пусть в параметризациях у и у отображение / представляется диффеоморфизмом /: U—+(J. Рассмотрим составное отображение у* = уо/. Поскольку f является диффеоморфизмом, это отображение представляет собой параметризацию поверхности SC, эквивалентную параметризации у. Так как foy = yof = y*oid, где id—тождественное отображение, то в параметризациях у и у* диффеоморфизм f представляется отображением id и, значит, действует по равенству координат. □
Как мы увидим, это свойство диффеоморфизмов часто существенно облегчает их изучение.
Будем теперь считать пространство Л, содержащее данную поверхность 9С, евклидовым. Тогда евклидова структура возникает и в каждом касательном подпространстве Т^, причем квадрат длины произвольного вектора (18) этого подпространства будет выражаться формулой (26) dr2 = Е du2 -t 2F du dv + G dv2,
где
£ = r«, F — rurv, G = r2v
— метрические коэффициенты базиса г0, г„.
ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ 57
Определение 5. Квадратичная форма (26) от переменных du и dv называется первой квадратичной формой поверхности SC. Обычно она обозначается символом I или I (df). Таким образом, по определению
\=-dr2.
Подчеркнем, что коэффициенты Е, F и G первой квадратичной формы зависят от точки pf J и в координатах и, v являются гладкими функциями
E = E(u,v), F~F(u,v), G—-G(u,v)
от и И V.
Замечание 2. Трактовка выражения Е du2+2F dudv-y -| Gdv2 как квадратичной формы традиционна. С современных позиций его следует трактовать как запись квадратичного функционала на пространстве Тр.^, значение которого на векторе (18) равно Е du2 -|2F du dv'-\- G dv2.
Длина | г’ (0| касательного вектора г' (I) кривой (6) на поверхности & выражается ввиду равенства (16) формулой
' г' (01 = И г' (t)2 = \ v' (t) гv)2 =
= /Е и' {i)2+2F и' (0 v' (t)+G v' (t)2, где, конечно, E, F и G рассматриваются как функции от t:
Е = Е (u(t), v(f)), F — F(u(t),v(t)), G = G(u(t), v(t)).
Для длины s кривой (6) отсюда получается формула ь
(27) s = J /Е и' (t)2 1- 2F и' (/) v' (t)+G v' (/)2 dt,
а
которую можно переписать в следующем удобном для запоминания условном виде:
s — Е du2 2F du dv G dv2,
L
где L обозначает кривую (6).
Еще более условный вид имеет формула
(28) ds2 = Е du2 + 2F du dv + G dv2
(короче записывающаяся в виде ds2 = l(dr) или в виде ds2 = dr2). Словами это соотношение выражают, говоря,
58 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
что первая квадратичная форма I задает квадрат ds2 элемента длины.
[Следует отчетливо понимать условный характер как этой формулировки, так и формулы (28). Они служат лишь для сокращенного выражения формулы (27).]
По общим правилам линейной алгебры для угла 0 между двумя касательными векторами
dr = г Udu + rv dv и dr = rudu + rvdv имеет место формула
т. е. формула
(29) cos 0 —___Е du би-]-F (du 8v 4~ du dv) -\-G dvdv_
S “ V E du2^2F du dv + G dv2VE Su2-\-2FSu Sv+G 6v2’
которую условно можно записать в следующем мнемоническом виде:
COS0^-7^’^=. /I (d) /I (в)
Углом между кривыми
r = r(u(t), v(f)) и r^rtu^f), иД/))
на поверхности проходящими при t = t0 через одну и ту же точку До поверхности, называется угол между их касательными векторами
г' (t0) = u'(l0)rUo + v'(t0)rVo и г;(/0) = и[(6))гИоЧ v[(to)rVo
в этой точке. Имеем
о r'(to)r’(to)
COS 0 = I UMI, -/М! »
|г (t0) • г (<0)
где
г--Еои' (/0) н[(/0)+Г0 («' (/0) (/„)+«[ (Q и' о+ + G0U (М М*о).
I Г' (/0) I = У~Еои' (ip)2 -I 2F0u' ((„) v' ((„) -) Gov' ((„)*,
I F 1(M I == ((q)2 + 2FgUi (t0) Uj (t0) + G0Uj (t0)2,
a
E0 = E(u0, v0) = E(u(i0),
Ee = F(utt v0) = F(u(t0), G0 = G(ua, v0)=G(u(/0), v(t0))
ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ 59 — значения коэффициентов первой квадратичной формы в точке До-
В частности, для косинуса угла между координатными линиями и = const и v = const получается формула
а Р
COS 0 = - ,
из которой следует, что координатные линии u —const и v = const тогда и только тогда ортогональны, когда F = 0.
Таким образом, мы можем вычислять длины кривых на поверхности и углы между ними, зная лишь первую квадратичную форму этой поверхности, т. е. евклидовы структуры на всех касательных плоскостях.
Из курса анализа известна концепция площади произвольной части D поверхности FE как предела площадей аппроксимирующих эту часть многогранных поверхностей. Этот предел (когда он существует) выражается интегралом
ra, rjdudv,
D
где
к
F
G
Г(г„, rv) =
rarv rarv г’
= EG — F2
— определитель Грама векторов ги и г„. [Интуитивное обоснование этой формулы состоит в наблюдении, что площадь бесконечно малого криволинейного параллелограмма координатной сети с вершиной в точке (и, и) и со сторонами du и dv приближенно равна площади параллелограмма в касательной плоскости со сторонами radu
и rvdv (см. рисунок), т. е. (см. формулу (9) лекции 1.15) равна |/Г(гв, rv)dudv.] На общепринятом в анализе языке этот факт выражают, говоря, что элемент площади поверхности равен КEG—F2 du dv.
Итак, первая квадратичная форма поверхности позволяет нам вычислять и площади на
Напомним (см. лекцию II.5), что линейный изоморфизм
<р: %9—евклидовых векторных пространств нйзыва-
60
ИЗОМЕТРИИ
ется изометрией, если
(30) ху = <рх>чу
для любых векторов х, у € При этом выполнения условия (30) достаточно требовать лишь при х=у, т. е. линейное отображение <р: ’’У3—обладающее тем свойством, что
(31) х2 = (<рх)2 для любого вектора х^Р является изометрией. (Для доказательства достаточно применить соотношение (31) к вектору х+У-)
В координатах отображение <р записывается линейными формулами вида
а скалярные квадраты х2, xgT9, и у2, у £ <¥3Х,— квадратичными формами
x2 = gl7x‘X у* = Ииу1у1.
В этих обозначениях равенство (31) означает, что при подстановке в форму hliy'yJ выражений yt — afyc1 должна получиться форма gijX'x1', т. е. что имеют место равенства 6у = ^а\.
В частности, для евклидовых двумерных пространств Т^, и дифференциала (df)p: р= f (р),
диффеоморфизма /: 3?—выполнение условий (31) во всех точках р£3? означает, что при подстановке в первую квадратичную форму Ё du2 -|- 2Л du dv 4 G dv2 поверхности 3‘ вместо du и dv их выражений (24) (а в ее коэффициенты Ё, Ё, G вместо и и v их выражений (22)) получается первая квадратичная форма Е du2 + 2F du dv+ -j-Gdv2 поверхности т. e. что тождественно по и и v Е(и, у) =
= Ё(и, и)(^-У+2Ё(и, + v)(-^Y,
v ' \ ди / 1 4 1 ди ди { 4 ' \ ди / ’
F(и, v) —
\ Ъ Г \ ( дч & । ди dv\ .
— с (и, vj-^-^-'-F (и, у) М5--5- + -Г--5- )-Н /о0, • ’ ди dv ' ’ \ ди dv dv ди )
, s, , ~ . dv dv
4 G(u, v)-5- -т- , v 7 du dv '
G(u, у) =
ИЗОМЕТРИИ
61
Таким образом, для диффеоморфизма линейные
отображения
(df)p: p = f(p),
тогда и только тогда являются для всех точек изометриями, когда тождественно по и и v имеют место равенства (32).
Для диффеоморфизма /: SC—*&, действующего по равенству координат, это условие означает, что в рассматриваемых координатах первые квадратичные формы поверхностей ЯиЯ совпадают (или точнее—отличаются лишь обозначениями переменных).
Определение 6. Диффеоморфизм %—называется изометричным отображением поверхности SF на поверхность SP (или просто изометрией), если для любой кривой
(33) и = «(/), v = v(t), a^.t^b,
на поверхности SC ее образ u — u(t), v — u(t), a^t^b, для поверхности &, где u{t)==u(u(t),v(t)) и о(/) = = и(u(t), v(t)), имеет ту же длину, т. е. если
ь
J КЕ (t) и' (ty |- 2F (/) и’ (/) v' (О + О (/) o' (О2 df = а
b _______________________________________
= $ ]/ Ё (t)u' (О2 Н- 2Ё (Z)i?(Oo'(/) + d(/)c?(/)4/, а
где
E(t) = E(u(t), v(t)), F(t) = F(u(t), v(t)), G(f) — G(u(f), v(t))
и аналогично
£(0 = £(u(0, 5(0). F(t) = P(u(t), u(t)), d(0 = G(«(0. 5(0)-
Поверхности, для которых существует хотя бы одно изометричное отображение % —> называются изомет-ричныма.
62
ИЗОМЕТРИЙ
Предложение 1. Диффеоморфизм [: Я Я тогда и только тогда является изометрией, когда для любой точки р£Я изометрией является его дифференциал
ТрЯ-+Т-Я, p=f(p).
Доказательство. Согласно сделанным выше замечаниям мы без ограничения общности можем предполагать, что диффеоморфизм / действует по равенству координат. Тогда для любой кривой (33) на поверхности Я ее образ на поверхности Я при диффеоморфизме / будет иметь те же параметрические уравнения (33), а утверждение, что дифференциал (г//)^ диффеоморфизма f является в каждой точке р£Я изометрией, будет означать, что первые квадратичные формы поверхностей Я и Я отличаются лишь обозначениями переменных. Поэтому формулы (27) для обеих кривых будут идентичны, и, значит, длины этих кривых будут одинаковы. Следовательно, диффеоморфизм f будет изометрией.
Обратно, пусть диффеоморфизм f: Я —+ Я, действующий по равенству координат, является изометрией. Это означает, что для любых гладких функций u = u(Z), v = = y(Z), обладающих тем свойством, что (u(Z),
a^t^.b, имеет место равенство
ь
J ]/Е (/) и' (О2 {- 2F (/) u'(t)v'(t) + G (0 v' (t)* di = а
b __________________________________
= ^E(t) и' (/)» 4- 2F (/) и' (0 v' (/) + G (/) V' (i)2 dt. а
Дифференцируя это тождество по b (и заменяя b на t), мы после возведения в квадрат получим тождество
Е (/) и’ (/)»+ 2F (/) и' (0 и' (/) + О (/) и' (/)2 =
= Ё (/) и' (0* + 2F (/) и' (t) v' (i) + 0 (i) v' (i)2.
В частности, это тождество должно иметь место для линейных функций вида
u(t) = ua + a,t, о(/) = о04 ₽/, |/]<е,
где («о, ^ — произвольная точка области U, а и р—произвольные числа, а е > 0—достаточно малое положительное число. Но в этом случае оно после подстановки t = О
ИЗОМЕТРИИ
63
приобретает вид
£oa2 + 2Foa0H Go02 = E0a2 ь 2Foa0 |-G0P2,
где Ео,..., 60—значения функций 6 в точке (w0, о0),
и потому — ввиду произвольности чисел а и Р—возможно только тогда, когда Е0 = Ё0, Fo — Fo, GQ = G0, т. е. когда Е = Ё, F = F и G = G всюду в U. Поэтому линейные отображения (df)p являются изометриями. П
Следствие 1. На изометричных поверхностях соответственные кривые пересекаются под одинаковыми углами, а соответственные области имеют одну и ту же площадь. П
Следствие 2. Две поверхности тогда и только тогда изометричны, когда на них можно выбрать локальные координаты, в которых первые квадратичные формы этих поверхностей совпадают. П
Конечно, этот критерий изометричности в высшей степени неэффективен (как догадаться, существуют ли предусмотренные им локальные координаты?). Нашей конечной целью (которую мы достигнем в лекции 5) будет эффекти-визация этого критерия, но для этого нам придется пройти довольно длинный путь.
Представив поверхность выполненной из гибкого, но нерастяжимого материала и, произвольно изгибая ее, мы не изменим длин лежащих на ней кривых и, следовательно, получим изометричную поверхность. Основываясь на этом наглядном представлении, основатели теории поверхностей в XIX веке называли изометрии изгибаниями. Эта терминология отчасти сохранилась и до настоящего времени, но ныне обычно изгибания понимают в более узком смысле—как изометрии, которые можно связать с тождественным преобразованием непрерывным семейством изометрий. Долгое время все математики были уверены, что в локальной ситуации, т. е. в достаточно малой окрестности произвольной точки, любая изометрия является изгибанием в этом смысле. Однако сравнительно недавно Н. В. Ефимов показал, что это неверно, построив соответствующий контрпример.
Пусть поверхность населена разумными существами, умеющими измерять длины и площади, углы, но не умеющими выходить в объемлющее пространство. Тогда при любом изгибании поверхности вся их геометрия останется прежней и они это изгибание просто не заметят. На этом
64 ПЕРВЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР ВЕЛЬТРАМИ
основании об изометричных поверхностях говорят, что они имеют одну и ту же внутреннюю геометрию.
Приведем один важный пример внутренне-геометрической конструкции.
Согласно общим результатам линейной алгебры (см. лекцию II.5) для любого евклидова пространства с метрическим тензором glf сопряженное пространство Т9* является евклидовым пространством с метрическим тензором g‘J, компоненты которого составляют матрицу обратную к матрице компонент тензора g/j. Поэтому для любого ковектора | = (£1( ..., £„) из Т3* определена его длина |§|, квадрат которой выражается формулой
|£| = №
В нашем случае для двумерного евклидова пространства матрица имеет вид
а, значит, матрица II—ВИД
—М ° “П.
eg-f^—f е||
Поэтому для длины [§| произвольного ковектора £ на ТрЯ" имеет место формула
,6|я Gg*-2Fgii + frl2
1’1 ~ EG — F* ’
где £, Т)—координаты этого ковектора.
Примером ковектора £ является градиент (JQ, произвольной гладкой функции ф = ф(ц, о) на поверхности Квадрат длины этого ковектора называется первым дифференциальным параметром Бельтрами функции ф и обозначается символом Д/р. Таким образом, по определению
л „ бфЙ- 2F<₽a<p„ + E(₽S
EG — Fa
По построению эта конструкция инвариантна, т. е. не зависит от выбора параметризации, и для любой изометрии /: % имеет место формула
(34) Д1(<ро/) = Д,<ро/
ПРИМЕРЫ ПЕРВЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
65
(проверьте!). В этом смысле она принадлежит к внутренней геометрии поверхности Ж.
Рассмотрим в заключение несколько примеров вычисления первой квадратичной формы поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. В этих примерах поверхности, как правило, элементарными не будут. Однако они легко будут сводиться к элементарным разрезаниями и ограничениями областей определения параметризаций.
Пример 4. Плоскость Оху в координатах и — х и v = y имеет параметрическое уравнение r = ui + vj. Поэтому ra = i, rv—j и, значит, £=!, F = 0, G = l, т. е. для плоскости
(35) I=dw» + do».
(Результат, который легко предугадать без всяких вычислений.)
Конечно, ту же самую первую квадратичную форму имеет и любое открытое подмножество плоскости (рассматриваемое как поверхность в пространстве).
Пример 5. Для кругового цилиндра
г = R cosu-l + R sin u-j 4- v-k
мы имеем ra = — R sinu-l + R cosu-j и r„ — k. Поэтому E = r*u = R*, £ = гаг„ = 0, G = r* = l,
т. e. для цилиндра
I =Rtdu* + dvt.
Вводя новую координату Uj = Ru (и обозначив иг снова через и), мы преобразуем эту форму к виду (35).
Таким образом, существуют координаты, в которых первые квадратичные формы плоскости и цилиндра совпадают! Однако это еще не означает, что плоскость и цилиндр (конечно, взрезанный; см. выше пример 1) изометричны, поскольку для цилиндра координаты пробегают лишь некоторую полосу в R2 и, следовательно, взрезанный цилиндр изометричен лишь части плоскости. Мы будем выражать это обстоятельство, говоря, что цилиндр и плоскость локально изометричны.
Изометричное отображение взрезанного цилиндра на плоскую полосу наглядно осуществляется его постепенным разгибанием.
3 М. М. Постников, сем. Ill
66 ПРИМЕРЫ ПЕРВЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
Пример 6. Для поверхности вращения г = х(у) cos u-l + x(y)sinu-J + z(y)-k мы имеем
га — — х (у) sin и • I + х (v) cos и • J, rv — х' (у) cos и • Z х' (у) sin и-J 4 z' (у) k.
Следовательно,
Е = х (у)2 sin2 и 4- х (у)2 cos2 и — х (у)2,
F = —х(у) sinu-x' (у) cos и + х(у) cosu-x' (у) sin и —О,
G — x' (у)2 cos2 «4- х' (у)2 sin2 и 4- z' (y)2 = xz (у)2 4 z' (у)2, так что для поверхности вращения
1 = х (у)2 du2 4- (xz (у)2 4- z' (у)2) dv2.
Наглядно очевидно, что меридианы и параллели любой поверхности вращения ортогональны. Поэтому равенство F — 0 мы могли бы предугадать и без вычислений.
В случае, когда профиль х = х(у), z = z(u) поверхности вращения отнесен к натуральному параметру у —s (и потому х' (у)2 4- г' (у)2 — 1) форма 1 приобретает особенно про стой вид:
I = х (у)2 du2 4- du2.
В частности, мы получаем, что первая квадратичная форма сферы радиуса 1 имеет вид
(36) 1 = cos2 у du2 4- dv2.
Опыт картографов показывает, что никакую, даже малую, часть сферы нельзя изогнуть на плоскость. Это означает, что никаким преобразованием координат форму (36) нельзя превратить в форму (35). Но как это доказать? Ответ мы дадим в лекции 5.
Пример 7. Линия провеса тяжелой однородной нити называется цепной линией, а поверхность вращения, профилем которой служит цепная линия,— катеноидом.
В механике (статике) показывается, что цепная линия является графиком гиперболического косинуса. Таким образом, для катеноида x(u) = cho, z(y) = у и, значит,^
х (у)2 = ch2 у и х' (у)2 4- zz (у)2 = sh2 у 4- 1 = ch2 у.
Таким образом, для катеноида
(37) I = ch2 о (dii2 4- dv2).
ПРИМЕРЫ ПЕРВЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
67
Пример 8. Пусть прямая, перпендикулярная оси ()z, равномерно вращается около нее, оставаясь ей перпендикулярной и одновременно поднимаясь винтовым движением (на высоту, пропорциональную углу поворота). Линейчатая поверхность, заметаемая этой прямой, называется геликоидом. Она имеет вид винтового пандуса для въезда автомашин.
Катеноид
Геликоид
Если v — параметр на прямой, а и — угол поворота, то геликоид будет иметь уравнение
г = vcosu-l + и sin и-J -\- u-k.
Поэтому
ги = — и sin u-i + у cos U‘J+ k,
rv = COSU-l + 3inU‘J и, значит,
E=l-|-o2, F=Q, G—l.
Таким образом, для геликоида
I=(l + o2)du2 + dv2.
Преобразуем эту форму, введя новые координаты ult У|. связанные с координатами и, v формулами
u = ult u = shvt.
Тогда
1 -}- и2 = 1 + sh2 Ut = ch2 Oi,
du=dult dv = chv1dv1, з*
68 РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ
и поэтому (мы опускаем индексы у новых координат)
I = ch2u(d«2 + du2),
что совпадает с формой (37).
Этим доказано, что катеноид и геликоид локально изометричны (точнее, взрезанный по меридиану катеноид изометричен части 0 < и < 2л геликоида), причем существует изометрия, переводящая меридианы катеноида в прямолинейные образующие геликоида.
Пример 9. Для произвольной линейчатой поверхности
(38) г — р (и) + va (и),
где (см. выше пример 3) р = р(«)—регулярная кривая, отнесенная к натуральному параметру, а а (и)—такая вектор-функция, что | а (и) | = 1 для всех и, мы, обозначая дифференцирование по и точкой, будем иметь
ra = p + va, rv=-~-a.
Так как р2 = 1, а а2= 1 и аа = 0, то
Е = 1 -ь 2vpa + и2а2, Е = ра, 0=1.
Если, в частности, а — р (поверхность касательных), то ра = а2=1 (т. е. Е=1), а ра=0 и а2 = А2, где k — кривизна кривой p = p(w) (т. е. Е = 1 4 &2и2). Таким образом, для поверхности касательных
(39) 1=(1+ k*v*)du*+2dudv + dv*.
Если же а (и) есть вектор бинормали кривой p = p(w), то pa = 0, pa = Q и а2 = х2, где х— кручение кривой р = = р (и). Следовательно, для поверхности бинормалей
I = (1 + xV) du1 + du2.
Мы видим, таким образом, что первая квадратичная форма поверхности касательных зависит только от кривизны данной кривой, а первая квадратичная форма поверхности бинормалей—только от ее кручения.
В отношении поверхности касательных отсюда вытекает, что каждая поверхность касательных локально изометрич-на плоскости. Действительно, рассмотрим плоскую кривую с той же самой кривизной k = k(u) (такая кривая существует в силу общей теоремы 1 лекции 2). Первая
РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ
69
квадратичная форма поверхности касательных этой кривой будет той же формой (39). Но, с другой стороны, ясно, что поверхность касательных плоской кривой является— вне ее особых точек—областью на плоскости. Поэтому существует замена координат, переводящая первую квадратичную форму dx2 + dy2 плоскости в форму (39). (Эта замена координат имеет вид
х = х(и) + х' (u)v, у = у(и) + у' (u)v,
где х(и) и у(и)—такие функции, что х' (и)2 + у' (и)2 — 1 и x"(u)‘2 4 i/"(u)2 = /e(u)2.) □
Эту изометрию можно осуществить непрерывным изгибанием, постепенно деформируя кривую р = р (w) в плоскую кривую.
На этом основании поверхности касательных называются развертывающими поверхностями (подразумевается— на плоскость).
В случае, когда а (и) = р (и) поверхность (38) является конусом с вершиной в начале координат (а кривая р = = p(w) представляет собой его пересечение с единичной сферой |р| = 1). В этом случае имеют место равенства
ра = р2=1, а2=1, ра = 0,
откуда для первой квадратичной формы получается выражение
l=(l + v)2du2 + dv2.
Здесь напрашивается замена координат (и, v)t-+(u, 1 +f), переводящая эту форму в чуть более простую форму (40) \=v2du2 + dv2.
Введем теперь новые координаты
x = ucosu, y = vsinu.
Тогда
dx = — v sin и du + cos и dv,
dy — v cos и du + sin и dv,
и потому
dx2 + dy2 = v2 du2 -f- dv2.
Этим доказано, что конус также локально изометричен плоскости (точнее, каждая пола конуса, разрезанная по образующей, изометрична некоторому плоскому сектору,
70 РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ
факт наглядно очевидный). По этой причине конусы также причисляются к развертывающимся поверхностям.
Заметим, что форма (10) есть не что иное, как первая квадратичная форма плоскости, отнесенной к полярным координатам r — v и tp — и.
Наконец, если вектор а (и) постоянен (и потому а = 0), то поверхность (38) является цилиндром. Без ограничения общности можно считать, что его направляющая р = р(и) является плоской кривой, плоскость которой ортогональна вектору а (и, значит, ра = 0 и ра = 0). Поэтому, как и для кругового цилиндра (пример 3), l=du2Jrdv2.
На этом основании к развертывающимся поверхностям причисляются также и все цилиндры.
В лекции 4 мы покажем, что среди линейчатых поверхностей только развертывающиеся поверхности (т. е. цилиндры, конусы и поверхности касательных) локально изометричны плоскости, а в лекции 5 — что развертывающиеся поверхности исчерпывают вообще все поверхности трехмерного пространства, локально изометричные плоскости.
Лекция 4
Вектор нормали,—Поверхность как график функции.— Нормальные сечения.— Вторая квадратичная форма поверхности.— Индикатриса Дюпена.— Главные, полная и средняя кривизны.— Вторая квадратичная форма графика.— Линейчатые поверхности нулевой кривизны.— Поверхности вращения.
В этой лекции мы более внимательно рассмотрим поверхности в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве. Как правило, мы будем изучать поверхности лишь локально, т. е. в достаточно малых окрестностях их точек. Поэтому без ограничения общности все рассматриваемые поверхности мы можем считать элементарными.
Итак, пусть X— произвольная элементарная поверхность в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве Л, и пусть r = r(u, о)—ее произвольная параметризация. Тогда в каждой точке существует единственный вектор п единичной длины, перпендикулярный касательной плоскости и составляющий вместе с векторами га и rv положительно ориентированный базис пространства. Этот вектор задается формулой
гвхг„ I ГиХГD I
и называется вектором нормали к поверхности % в точке р (а базис г„, г„, п называется сопровождающим базисом поверхности). СмЛрисунок на стр. 51.
По определению квадрат длины |r„xrv|2 векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах г„ и rv, т. е. равен (см. лекцию 1.15) определителю Грама Г(гв, r„)==EG—F2 векторов г„ и rv. Следовательно,
и— г«ХГу
/EG —Г2 ‘
Но этой формуле вектор п обычно на практике и вычисляется.
Выбрав в Л прямоугольные координаты х, у, г с началом 0 в точке р и осью Ог, направленной по вектору п,
72
НОРМАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ
рассмотрим якобиеву матрицу II У,1 z„| 'J %V У У %У II
строками которой являются координаты векторов га и rv. Условие, наложенное на ось Ог, означает, в частности, что
I хп Уч I | I xv Vv\
Поэтому, согласно известной из анализа теореме об обратном отображении, в некоторой окрестности точки (0, 0) координаты х и у могут быть выраженьГчерез координаты и и v. Подставив эти выражения в вектор-функцию r = r(u, v), мы получим параметризацию поверхности % (или точнее — некоторой ее части, содержащей точку р) вида
х = х, У=У, г = г(х, у).
По определению это означает, что локально (в окрестности точки р) поверхность % является графиком функции г = = z(x, у).
Каждая плоскость П, проходящая через ось Ог рассматриваемой системы координат, называется нормальной плоскостью поверхности % в точке р, а ее пересечение П п с поверхностью %— нормальным сечением этой поверхности в точке р. Направляющий бивектор каждой нормальной плоскости П имеет вид t Л п, где t—некоторый, определенный с точностью до пропорциональности ненулевой касательный вектор поверхности % веточке р
Нормальное сечение (вектор пространства Т^^).
Вектор t однозначно определяет нормальную плоскость П, и мы будем обозначать ее символом Щ
вторая квадратичная форма поверхности 7,3
Если координаты х, у, г выбраны так, что вектор t направлен по оси Ох, то нормальная плоскость П/ будет координатной плоскостью Охг, а нормальное сечение ?, = ПГ)^ будет иметь уравнение z = z(x,0) (в координатах х, z на плоскости Охг). Это доказывает, что каждое нормальное сечение локально (в некоторой окрестности точки р) является графиком и, значит, простой регулярной дугой.
Касательная к графику z = z(x,0) лежит, конечно, в касательной плоскости к поверхности г = г (х, у) и одновременно принадлежит нормальной плоскости. Поэтому она направлена по вектору t, т. е. касательный вектор к нормальному сечению в точке р пропорционален вектору t.
Поскольку вектор t определен нормальным сечением только с точностью до пропорциональности, мы без ограничения общности можем считать его ортом (вектором единичной длины). Отнеся нормальное сечение к натуральному параметру, мы поэтому можем считать, что орт t является касательным вектором к нормальному сечению в точке р.
Рассматривая нормальное сечение как кривую на плоскости П/, мы можем говорить об ее относительной кривизне Лотн в точке р по отношению к ориентации плоскости П/, задаваемой бивектором t/\n. Обозначив эту кривизну символом k(t), мы определим тем самым на ортах касательного пространства (^*) некоторую функцию t*—>k(t). Найдем выражение этой функции через координаты вектора t.
Пусть
(1) u = u(s), u = o(s), |s|<s0,
— параметрические уравнения нормального сечения 2t на поверхности %, где s — натуральный параметр, отсчитываемый от точки р. Как кривая в пространстве сечение 21 имеет векторное параметрическое уравнение г — ~r(u(s), w(s)), и, значит, ее касательный вектор г выражается формулой
(2) г = гой + г„й,
где, как всегда, и и v—производные по s функций (1).
74
ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
Производная г вектора (2) ортогональна ему и при s = 0 параллельна плоскости П/. Поэтому при s = 0 она пропорциональна вектору п. Соответствующий коэффициент пропорциональности (равный скалярному произведению гп) является (см. в лекции 2 определение относительной кривизны) не чем иным, как относительной кривизной k(t). Таким образом, (3) k(t) = rn.
Поскольку
г = Ги,и+г„и 4- rvi) |- rvv =
= (r„„u 4 rllvv) it -I- (r,,vu -I- rvvv) v + г„и 4- rvv = ==r„„u24-2r„ouu 4- rvvi)2 4- rtlu -I- rvv
и г„л = 0, rv/i = 0, этим доказано, что
k (t) = Lu2 + 2Muv-\ Nv2, где
(4) L = ruun, M=r„vn, N = rvvn.
Функцию ti—*k(t) удобно распространить на всевозможные касательные векторы полагая по опре-
делению
/гт = Цт^|).
Так как \dr \2 — dr2 = ds2, где
ds2 = E du2 4- 2F du dv + G dv2
(см. формулу (28) лекции 3), а координаты и и v вектора dr dr
~ d? Равны dT
du dv
и -7- , то ds ’
__ L dua4-2Af du dv-[- N du2
Л ^ar> ~ £dua4-2F du dv-[-Gdv2 '
Иг I
(5)
^Заметим, что равенства и = -^~ и и = ^- формально совпадают с известными из анализа равенствами для производных как отношений дифференциалов. Однако у нас их содержательный смысл иной, поскольку du и dv являются не дифференциалами, а координатами касательного вектора dr, a ds—его длиной.]
Определение 1. Квадратичная форма
L du2 4- 2Л4 dudv-t N dv2
ИНДИКАТРИСА ДЮПЕНА 75
называется второй квадратичной формой поверхности %. Обозначается она символом II. .
В этих обозначениях формула (5) записывается в следующем удобном для запоминания виде:
(<’) fe = T-
,Цля коэффициентов формы 11, кроме формул (4), имеют место также формулы
(7) L = —rntln, М = —rttnv = —rvn,l, N = —rvnv.
Действительно, так как г„и = 0, то r,1,ln-\-r„n„ = 0 и rllvn-\ runv = 0, т. е. L — —runu И M = —runv. Аналогично, так как rvn=0, то rvttn+rvnu= 0 и rvvn+rvnv — 0, г. е. M = —rvnn и N = —rvnv. □
В силу этих формул форму II можно, введя вектор
(S) dn = пи du + nvdv,
записать в виде
II — — drdn, аналогичном записи I=dra для формы 1.
Замечание 1. По аналогии можно ввести также третью квадратичную форму 111 = dn2. Однако, как мы ниже покажем, она линейно выражается через формы 1 и II и потому не дает ничего нового.
Для обозначения коэффициентов L, М, N формы II используют также символы D, D', D”.
Для наглядного представления функции фран-
цузский математик Дюпен предложил рассматривать на касательной плоскости кривую (ныне она называется индикатрисой Дюпена), которая получается, если для любого единичного касательного вектора t отложить от точки касания р (принимаемой за начало координат О на касательной плоскости) в направлении этого вектора отрезок длины |6(f)|-1/2. Обозначим через х и у координаты (в координатной системе Ornrv) концевой точки этого отрезка; тогда его длина будет выражаться (в понятных обозначениях) формулой ______
\xrtt + yrv\ = yi(x, у).
Поскольку кривизна k(t) выражается формулой (6), которая в теперешних обозначениях имеет вид
I (х у) '
76
ИНДИКАТРИСА ДЮПЕНА
отсюда для индикатрисы Дюпена получается уравнение
т. е. уравнение
|П(х, i/)|= 1.
Этим доказано, что индикатриса Дюпена является кривой с уравнением
\Lx2+2Mxy + Ny2\ = 1.
При LN—М2 > 0 эта кривая (точнее, множество ее вещественных точек, которым мы только и интересуемся) представляет собой эллипс с уравнением
(9) Lx2 + 2Mxy -\-Ny2 — e,
где е = 4-1, если L > 0, и е = —1, если L < 0. В соответствии с этим точка поверхности, в которой LN — М2 > 0, называется эллиптической.
Индикатриса Дюпена
В эллиптической точке все кривизны k(t) имеют один и тот же знак (совпадающий со знаком L). Среди них есть одна наибольшая и одна наименьшая (если только все они не совпадают, т. е. если индикатриса Дюпена не является окружностью), отвечающие направлениям малой и большой осей эллипса (9).
При LN — М2 < 0 индикатриса Дюпена состоит из двух гипербол
(10) Lxa + 2Mxy-]~Ny2=±l
с общими асимптотами, и потому точка поверхности, в которой LN—М2 < 0 называется гиперболической. В направлении действительной оси одной из гипербол (10) кривизна k(t) достигает своего наибольшего значения > 0. При вращении вектора t она сначала уменьшается до нуля,
ГЛАВНЫЕ, ПОЛНАЯ И СРЕДНЯЯ КРИВИЗНЫ
77
когда вектор t приобретает асимптотическое направление, а затем, по-прежнему уменьшаясь, достигает своего наименьшего значения k3 < 0, когда направление вектора t совпадает с направлением действительной оси другой гиперболы (т. е. с направлением мнимой оси первой гиперболы).
При LN — М2 = 0 точка поверхности называется параболической. В такой точке индикатриса Дюпена имеет уравнение
(П) {У\Г\х + /pvW = 1
н потому представляет собой пару параллельных прямых (если только А=И=0 или N =£0). В направлении этих прямых кривизна k(t) равна нулю, в перпендикулярном направлении достигает наибольшего (по абсолютной величине) значения, сохраняя все время один и тот же знак. Если же L = 0, N = 0 (и потому М = 0), то кривизна k(t) тождественно по t равна нулю (а индикатриса Дюпена не определена).
Заметим, что в эллиптических и параболических точках индикатриса Дюпена является кривой второго порядка, а в гиперболических точках — четвертого порядка.
В каждом из трех случаев функция k (t) дважды достигает своего наибольшего значения k± и наименьшего значения k2 (если только она не равна тождественно нулю).
Задача 1. Докажите, что
k (t) — ki cos’ ф -\-k3 Sina ф, где ф —угол, образованный вектором t с направлением, в котором кривизна равна k3. Эта формула известна как формула Эйлера.
Определение 2. Числа kt H~kt называются главными кривизнами поверхности в рассматриваемой точке. Их произведение
К.=Ы3
называется полной (или гауссовой) кривизной, а их полусумма
и ki-}- k3
2
— средней кривизной.
Согласно сказанному^выше в эллиптической точке К> 0, в гиперболической точке К < 0 и в параболической точке
78 ГЛАВНЫЕ. ПОЛНАЯ И СРЕДНЯЯ КРИВИЗНЫ
Подчеркнем, что Н и К зависят от точки pg#, т. е. являются функциями на Я- Как функции локальных координат эти функции гладки.
Чтобы найти главные кривизны, можно было бы искать главные направления кривых второго порядка (9) и (10) (для кривой (И) проблемы нет) и затем найти их канонические уравнения. К сожалению, этот путь приводит к длинным выкладкам из-за того, что координаты х и у не прямоугольны. Поэтому мы поступим по-иному, обратившись непосредственно к основной формуле (6).
Согласно этой формуле кривизна k2 является наименьшим значением функции
II (х, у) __ Ьхг+ 2Mxi,'-1-Ny2
I (х, у) ~~ Ex2 + 2Fxy\-Gy2
двух переменных х и у при (х, у)=/=(0, 0). Поэтому
Н (х, у) А I (х, у)
для всех (х, у) 9^(0, 0), причем хотя бы в одной точке (х, у) равенство достигается. Поскольку I (х, у) > 0 при (х, у)#=(0, 0), это неравенство равносильно неравенству
П (х, у)—fc2I (х, у)>0, означающему, что квадратичная форма II—/>21 с матрицей \\L—ktE M-ktFU || Af-V N-ktG\\
во всех точках (х, у) #= (0, 0) неотрицательна и хотя бы в одной из этих точек равна нулю.
Аналогичным образом число kx характеризуется тем, что квадратичная форма II—всюду положительна и хотя бы в одной точке (х, у)#=(0, 0) равна нулю.
Но легко видеть (непосредственно или на основе общей теории квадратичных форм над полем R; см. лекцию II. 12), что квадратичная форма от двух переменных тогда и только тогда всюду неположительна или неотрицательна и хотя бы в одной точке (х, у)#=(0, 0) равна нулю, когда ее ранг меньше двух, т. е. когда определитель ее матрицы равен нулю.
Этим доказано, что главные кривизны klt k2 являются корнями уравнения
\L—kE М—feF|_n \M — kF N— feG| — U’
ВТОРАЯ квадратичная форма графика 79 г. е. уравнения
(EG — F2) k2 — (EN-(-GL—2FM) k + (ZW—ЛР) -0.
15 силу формул Виета отсюда, в частности, следует, что к LN — M2 „ I EH-\-GL~2FM
i'~~EG — F2' П 2 EG — F2
11ервая из этих формул получит важное применение в следующей лекции.
Предположим, что координаты х, у, 2 в пространстве Л выбраны так, что рассматриваемая поверхность является графиком функции z = z(x, у), причем г(0, 0) = 0 и вектором нормали в точке (0, 0) является единичный вектор k оси Ог (см. выше).
Тогда х и у являются в окрестности точки (0, 0) координатами и и v на поверхности, причем г„ = (1, 0, zx), rv = (0, 1, гу).
Поскольку в точке (0, 0) векторы ги и rv параллельны по условию координатной плоскости Оху, отсюда следует, что
(гх)0 = 0 и (гД = 0
(индексом 0 мы помечаем значения частных производных в точке (0,0)) и, значит, разложение функции г(х, у) в ряд Тейлора начинается с членов второй степени:
2 = ^-(гха + 2sxy + /«/’)+...,
где
Г ~ S = (гХ(/)0, t
(обозначения Монжа).
С другой стороны, так как
гпп~ (0» 0» гх)> Гну~(9> 0’ zxyh rvv~(®* 0’ Zljy)' то в точке (0, 0)
L — r, M=s, N — t.
Таким образом, в рассматриваемом^случае вторая .квадратичная форма поверхности лишь постоянным множителем 1/2 отличается от суммы г2(х, у) членов второй степени в ряде Тейлора функции г (х, у).
80
ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ГРАФИКА
Поскольку вблизи точки (0, 0) поверхность z = z (х, у} мало отличается от поверхности z = z2(x, у) и поскольку при rt—s2 > 0 последняя поверхность является эллиптическим параболоидом, а при rt—s2 < 0—гиперболическим параболоидом, тем самым доказано, что вблизи эллиптической точки произвольная поверхность мало отличается от эллиптического параболоида, а вблизи гиперболической точки—от гиперболического параболоида.
Это дает вполне удовлетворительное представление о поведении поверхности вблизи непараболических точек.
В случае, когда rt—s2 = 0, но либо г =#=(), либо $ =/= 0, поверхность z = z2(x, у) является параболическим цилиндром. Поэтому вблизи параболической точки, для которой либо L=^Q, либо N Ф 0, поверхность мало отличается от параболического цилиндра.
Об устройстве же поверхности вблизи параболической точки, в которой L = 0 и 2V = 0 (а значит, и М ~ 0), ничего определенного сказать нельзя; вообще говоря, оно может быть очень сложным.
Произведенные вычисления показывают также, что в точке (0, 0) для рассматриваемой поверхности имеют место равенства Е — 1, F = 0 и 6 = 0, откуда следует, что в этой точке
K = r/-s2 и Я =
Кроме того, автоматическая выкладка (которую можно произвести в уме, если заметить, что для функций fug, обладающих тем свойством, что / (0) = 0 и g (0) = 1, производная (fg)' их произведения fg принимает в нуле значение f'(0)) показывает, что в точке (0, 0)
па = (—г, — S, 0), л„ = (—s, — t, 0), и, значит,
»« = /•’ + s2, nanv = s (г + /), л2 = s2 + t2.
Отсюда следует, что
n2 = 2HL—KE, nunv = 2HM—KF, n2 = 2HN—KG, т. е. что
Ш = 2Я11—KI,
где П1—введенная в замечании 1 третья квадратичная форма поверхности. Таким образом, форма III действительно линейно выражается через формы I и II.
ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
81
Для линейчатой поверхности
(12) г = p(u) + va(u),
как мы уже знаем,
2vpa + v2a2, F = pa, G = 1
(как всегда, мы предполагаем, что параметр и на кривой р = р (ы) натурален, а вектор а (и) единичен). Далее,
ru — p + va, rv = a, raxrt/ = pxa-Jrv(axa'), pxa-|-v(axa)
- /EG—F2 ’
ruu = p + va, rttv = a, rvv=~0,
L = (P+”)(PXfl+t>(aXfl)) M _ paa (V = 0
/EG-F2 ’ /EG—F2’
LN — M2~______
— £Q_f2»
и потому
к_____(paa)2 < л
4 (EG—F)2^
Таким образом, полная кривизна произвольной линейчатой поверхности в любой ее точке неположительна, т. е. линейчатая поверхность не имеет эллиптических точек.
В случае, когда поверхность является цилиндром (а=0), конусом (а — р и потому а = р) или поверхностью касательных (а = р), из полученной формулы следует, что /\=0. Таким образом, полная кривизна каждой развертывающейся поверхности равна нулю (в любой ее точке).
Обратно, если /< = 0, то paa = 0, т. е. векторы р, а, а компланарны. Если вектор а(н) не равен тождественно пулю, т. е. если поверхность (12) не является цилиндром, то, перейдя, если нужно, к меньшей окрестности, мы можем считать, что а (и) =£ 0 для всех и. Поэтому векторы а н а линейно независимы (они отличны от нуля и ортогональны), и, следовательно, вектор р через них линейно выражается:
p = Xa-bpa, где Х = к(и) и р = р(и)—некоторые функции от и.
82 ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
Пусть
1^ = 11, О1 = У + ц(ы).
Поскольку якобиан этого преобразования равен 1, числа Ut и Vj также являются — после, возможно, перехода к меньшей окрестности—координатами на поверхности (12). В этих координатах уравнение поверхности имеет вид
г = pt (и) + va (и)
(мы убираем у щ и vt индексы), где
Pt (u) = p(u)—p(u)a(u), и потому
р1==р—]ш—ра = (Х—р)а.
Если р! = 0 тождественно (т. е. ?. = ц), то уравнение поверхности имеет вид
г = const + va (u),
и потому эта поверхность является конусом. В противном случае мы можем считать, опять уменьшая, если нужно, окрестность, что Р1(м)#=0 для всех и. Переходя тогда к натуральному параметру (и меняя, если нужно, знак у v), мы получим, что рх = а, т. е. что рассматриваемая поверхность является поверхностью касательных.
Тем самым доказано следующее предложение:
Предложение 1. Линейчатая поверхность тогда и только тогда имеет в каждой точке нулевую полную кривизну:
К = 0,
когда она является развертывающейся поверхностью. □ Одновременно мы установили, что развертывающиеся поверхности характеризуются условием
pad — О,
которое, как легко видеть, равносильно коллинеарности векторов рха и а ха. Но коллинеарность этих векторов означает, что вектор
ги х rv = р ха 4- v (а ха)
с точностью до пропорциональности не зависит от V, т. е. не зависит от v соответствующий единичный вектор п. Этим доказано, что развертывающиеся поверхности выде
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
83
ляются среди всех линейчатых поверхностей тем свойством, что во всех точках каждой прямолинейной образующей такой поверхности касательная плоскость одна и та же.
Развертывающаяся поверхность касательных
Для произвольной поверхности вращения r = x(v) cos и I4- х (v) sin uj 4-z(у)Л
мы имеем
ra — — х (у) sin и • I 4- х (у) cos и J,
rv = х' (у) cos и • I 4- х' (и) sin u j 4- z' (и) k,
и, значит, E — x(v)2, F = Q, G=1 (мы предполагаем, что .v' (у)2 4- z' (у)2 = 1; см. лекцию 3). Поэтому
г„ х = х (у) г' (у) cos и • I -|- х (и) z' (v) sin и J—х (и) х' (у) k,
п — z' (у) cos«-/4- г' (и) sin u-j—x' (у) A;
ruu — — x (y) cos и I—x (y) sin и j, r uv = — x’ (y) sin и • I 4- x' (y) cos и -j, rvv — xT (y) cos и • i 4- x" (y) sin’u j + z* (y) k;
i- = rttttn = — x(v)z' (y), M = ruvn = 0,
N = rvvn = x"(v)z' (v)—z" (v) x' (V) = -1 |,
,LN — M2 z'(y)|*'(y) z'(y)|
EG-F2 ~ x(v) |*’(y) z"(y)|'
Этим доказано, что для поверхности вращения
у _ г' (у) |jt'(t>) г'(у) I Х(у) |Z(P) г*(у)|‘
84
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Пример 1. Для сферы радиуса мы имеем
х (и) = R cos -у, z(u) = 7? sin
и потому
х' (v) = — sin-^-, z'(u) = COS у,
x=-^cos^’ * (”) = - tf-sin^, K . z' (t>) I x’ (v) z' (t>) I 1
4 X(p) |x"(f) z’(v)l R2'
Таким образом, полная кривизна сферы радиуса R постоянна и равна
Результат наглядно очевиден.
Следующий пример
Псевдосфера
лее интересен.
Пример 2. Поверхность вращения с профилем
x(v} = R sin и,
z(v} = R Qn tg y4-cosv) , 0<v<|,
(это—так называемая трактриса} называется псевдосферой (а число R называется ее псевдорадиусом}. Для этой поверхности
х’ (и) = R cos v,
, . . R г> n cos® V
z (&) = -;----£smv = /?—------,
' ' sin к sin v
и, значит,
х’ (и)2 г' (и)2 = R2 ctg2 о.
Так как x'(v)2 + z'(v)2=/=l, то полученная выше общая формула непосредственно непригодна и необходимо предварительно перейти к натуральному параметру профиля.
Имеем
V
S — —R J ctgvdp =— R In sinv, Я/8
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
85
п, значит, ______________________S / S
siny = e R , cosy = г 1 — е R ,
Поэтому в натуральном параметре (который мы снова обозначим через и) трактриса будет задаваться функциями
х(у) = /?е R , z (и) = /? In Q * )/ е2 Л — 1) + 1 — е 2 R .
Вычисляем:
х' (у) = — е R , г' (у) = — 1 — е 2 R ,
и
1 х"(«)=^е г"^> =--------
R У 1-е~2~ и
I х' (v) 2' (У) I ___g R_______
I х" (у) г" (v) I ~ Г ~ПГ ’
R У l-e R г' (v) I х' (у) г' (у) I_ 1
х(у) | х" (у) г'' (у) I ~ '
Таким образом, так что полная кривизна псевдосферы постоянна и равна ____1_
Я2'
Мы видим, что в отношении полной кривизны псевдосфера отличается от сферы только знаком кривизны. Этим и объясняется термин «псевдосфера».
Пример 3. Для катеноида
X (у) == ch У, 2 (у) = У, х' (у) = sh у, г' (у) = 1, х' (у)2 +- z' (у)2 = ch2 у, и потому мы опять должны перейти к натуральному
86
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
параметру
v
s= J chvdv = shv. о
Обозначая этот параметр снова через и, мы получим функции
х (и) = К1 4- и2, z (и) = In (v 4- V1 4- и2).
Поэтому
х z ’
(14-^)3/2 ’ z = — (14-v2)3/2 ’
- I *' (v) z' (V) 1 _ I
| X" (у) z” (У) | ' 14-У2’
и, значит,
К- 1
(14-у2)2 ‘
Интересно сравнить кривизну катеноида с кривизной изометричного ему геликоида.
Для геликоида мы имеем уравнение (12) с
p(u) = U'k и а (и) = cos и-/4 sin и J.
Поэтому
р = Л, a— —sin и-1-\- cosu j, £=14- 2vpa |- v2a2 = 1 -I- v2>
F = pa = 0, G= 1, EG—F2 — 1 4- v2,
раа =
о
COS и — sin и
О 1 sin и 1=1, cos и О
и, значит,
(1 -Но2)2 •
Мы получили тот же самый результат, что и для катеноида! Это означает, что при изгибании катеноида на геликоид полные кривизны в соответственных точках совпадают.
Что происходит со средней кривизной?
поверхности вращения
87
Для катеноида £=1 + у2, F = 0, G=l. Кроме того,
L = — x(v) z' (v)~— 1, Л4—0, дг _ I *' (0 z' (V) I 1 v ~ |x”(y) z" (у) I l-H2’
и потому
EN ! GL—2FM = 0, t. e.
Я = 0.
Таким образом, средняя кривизна катеноида равна нулю. Для геликоида
pxa = siiiM-Z—cosu-/» oxfl = — k, р = О, а = — cosU'Z—sinu-/>
(р -\-va)(рхл Нс'(лхл)) = 0
п, кроме того, как мы уже видели, £=l-|-v2, £ = 0, G=l, EG—F8=l-|-v*, р«« = 0.
11«этому
и, значит,
ENLG—2FM — 0,
т. е.
Я = 0.
Таким образом, средняя кривизна геликоида также равна нулю\
Пример катеноида и геликоида наводит на мысль, что при изгибании (изометрии) сохраняются полные и средние кривизны. Оказывается, что в отношении полной кривизны эта гипотеза справедлива (и мы покажем это в следующей лекции), тогда как в отношении средней кривизны это не так. Действительно, для плоскости средняя кривизна равна нулю, а для изгибающегося на плоскость кругового цилиндра радиуса R она равна, очевидно,
Причины же того, почему у катеноида и геликоида оказались равные средние кривизны, мы лишены возможности здесь обсуждать.
Лекция 5
Деривационные формулы Вейнгартена.— Коэффициенты связности.— Теорема Гаусса.— Явная формула для гауссовой кривизны.— Необходимые и достаточные условия изометричности,— Поверхности постоянной кривизны.
Для сопровождающего базиса r„, rv, п произвольной поверхности
(1) r = r{u, V)
могут быть написаны формулы, аналогичные формулам Френе для кривых. Эти формулы дают разложение производных
Гци> fllyl Гур* ftp
векторов сопровождающего базиса по этому же базису. Поскольку я2=1 и, следовательно, nnu = 0, nnv = 0, векторы пи и nv разлагаются только по векторам г„ и rv, так что
па= аги + рг0, nv = airu + ^rv.
Умножая первую из этих формул на г„ и rv, мы получим два соотношения:
— L = runu = arH ₽r„rv = aE + ₽F, — M = rvnu = arurv-\- Pr* = aF + pG,
из которых следует, что
_ FM — GL о FL — EM
“ EG — F2 ’ EG — F2 •
Аналогично вычисляются коэффициенты и второй формулы:
_ FN — GM _ FM — EN а1— £G — f2 > Pl— EG — F2
Далее, так как, согласно определению, rlian = L, ruvn = M, rvvn = N
и так как по условию г„п = 0, г„п = 0,то коэффициенты при п в разложениях векторов r„„, ruv, rw по базису r„, rv, п равны соответственно L, М, N.
КОЭФФИЦИЕНТЫ связности
S9
Таким образом, мы имеем
Г пи ~ ГцГ и + v + Ltl,
Г HV — Tuf л + Г?2г J, + Мп, Fvv — ^22Ги + ^22^"v Т NП, (2) FM — GL FL—EM
П“~ EG—F2 Г“~г EG—F* Гу'
FN—GM FM — EN nv~ EG — F1 Г,‘+ EG — F2 Гг>’ где Г^, i, j, k=l, 2,—некоторые функции от и и v. Эти функции раньше обозначались символами | и назывались скобками Кристоффеля. Теперь же их обычно называют коэффициентами связности.
Формулы (2) называются деривационными формулами Вейнгартена.
Для вычисления коэффициентов связности мы в первую очередь найдем шесть произведений векторов ruu, ruv, rvv на векторы г„ и гъ.
Так как гга~Е, то 2гадгд = £'д и 2ruvru~Eo, т. е. 1 - 1с fии?"и 2 ^ии^и 2 ^v"
Аналогично, так как r2v = G, то
Кроме того, так как rurv = F, то ruarv + raruv = Fu 11 ruvrv + rurvv = Fv, откуда следует, что
Г ин? v= Еи 2 Еу Fvvfu Fv ^-Gu.
Умножая теперь первые три формулы (2) на гд и rv, мы получим шесть соотношений:
Г ЕГМ Frt^E»,
| ГПН Gr*u = Fu-±Ev,
ЕГ{2+ Fri^^Ev, (3> 1 /т}2 + ог*2=4од,
Г Щ2 + FTl2 = Fv-1 Ga,
1 4 ОГ12 = 1о?,
90
ТЕОРЕМА ГАУССА
из которых легко находятся коэффициенты Г*/. (Уравнения однозначно разрешимы, поскольку определитель EG—F2 каждой пары уравнений отличен от нуля.)
Мы видим, что коэффициенты связности Г*у выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные. Следовательно, они не меняются при изгибаниях (изометриях) поверхности.
Явные выражения коэффициентов Г,, через коэффициенты первой квадратичной формы нам не понадобятся, и мы их выписывать не будем.
Коэффициенты деривационных формул связаны тремя соотношениями, которые возникают при вычислении с помощью этих формул двумя разными способами частных производных rUBV, ruvv и n,v. Одно из этих соотношений было найдено Гауссом, а остальные два—Петерсоном, Майнарди и Кодацци. Мы рассмотрим только соотношение Гаусса, которое получим, вычисляя коэффициент при rv в разложении частной производной r„,iV по векторам ru, rv и п.
В этом вычислении мы будем следить только за коэффициентом при rv и только за теми его слагаемыми, которые зависят от коэффициентов второй квадратичной формы. Все же остальные слагаемые мы будем заменять многоточием.
Имеем
?nuv (Г«и)р (Гх1Ги Ь ГПГ„ "Г
= ... 4- Г}гг-!-••• -I-111Гvv + •. • 4- Lnv —
= ...+Г11(...)+...+Г?1(...)4 ...
, г [ , FM—EN \ (r FM-EN , \ _ ,
. . . -|-Ь ^ . .. b EO — F2 Г* EG — F* ’ ) Гг1' ' ' '
Аналогично,
r„llv = (г,..р)„ = (Г}2г„ + Г’аГр 4- Мп)и =
EQ_pi + • • • J Гр -I ... Следовательно,
, FM — EN м FL-EM
L EG—F* ~М EG — F2
где многоточие обозначает члены, зависящие только от коэффициентов первой квадратичной формы. Но
м FL—EM f FM-EN __ р LN — M* рк
м EG — P L £G — p ~~ С EG—P
ЯВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
91
Поскольку Е=^0 (форма I положительно определена), л им доказано, что полная кривизна К поверхности выражается через коэффициенты первой квадратичной формы (а их производные). Отсюда следует, что кривизна К. при и .гибаниях не меняется. Точнее, если f—изометрия поверхности на поверхность Й/, то
(I) =
где К % и Ks—полные кривизны на поверхностях и П соответственно. (Действительно, если f действует по равенству координат, то обе стороны в (4) отличаются лишь обозначениями координат.) Этот результат заслуживает выделения в качестве теоремы:
Теорема 1 (теорема Гаусса). Полная (гауссова) кривизна поверхности не меняется при изгибаниях (изометриях), т. е. изометричные поверхности в соответствующих друг другу точках имеют одинаковую кривизну. □
Эта теорема настолько восхитила Гаусса, что он назвал ее theorema egregium — по латыни «блистательная теорема».
Из теоремы 1 следует, в частности, что никакую сколь у годно малую часть сферы нельзя изогнуть на плоскость. 11оэтому никакая карта земной поверхности не может дать ее точное изображение.
(5) К — 4 (EG — F2)2
Явное выражение кривизны К через коэффициенты Е, F и G первой квадратичной формы имеет вид
Е Еа Ev F Fa Fv — О Ga Gv
(/ Ey — Fg \ / Fv—Ga \ 1
Другие два соотношения, получающиеся при дифференцировании деривационных формул (и называемые обычно формулами Петерсона—Кодацци), имеют вид
Д)
2(EG—F2)(LV—MU) —
Е
— (EN -yGL-2FM)(Ev-Fu) + F
G
2(EG-F*) (Mv-Ntt)-
Е
. —(EN-]GL—2FM)(FV—-GU)-\F
92
ЯВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Доказательство этих формул не требует ничего, кроме терпения и аккуратности.
Мы докажем только формулу (5) и только в случае, когда Е — 1 и F = 0, т. е. когда первая квадратичная форма поверхности выражается формулой
(7) l = du2 + Gdo2.
В этом случае уравнения (3) для коэффициентов Г*/ имеют вид
г}х=о, г;а=о, Г’а=-1б„,
ОГ’1 = 0, СГ?а^1ои, (7Ца = 1бг,
Г}2 = 0, ра _ 1 бц
*12-2 G ,
rh = O,
Г2 _ 1
12г— 2 Q •
откуда следует, что Г}1==0, ^ 22 = 2"
Поэтому ruu = Ln и
Поскольку в рассматриваемом случае
ла = —£г„—гv и wv = — Mr,,— -Q-rv,
отсюда вытекает, что
Гииу ~ ~ Lvit -|- L Мг„ q- г--
= — LMru----^-rv + Lvn
и
r“f“ = (т ТГ rt>+Mn\ =-2 \ rv +
+ 4"GL[4’GLr«' + Afn] +М^ + М ( — Lr“—^-f'v)== и, значит,
LN 1 f’G“ \ _ц 1 f G“ V мг
G ~ 2 \ G 4 \ G ) G ’
ЯВНАЯ ФОРМУЛА для ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 93
Второе уравнение нас сейчас не интересует (оно является первым из уравнений (6) при Е = 1 и F = 0), а из первого следует (поскольку в рассматриваемом случае
— М2)) формула
Л ~ 2\Gju 4\G ) ’ т. е., как показывает очевидное вычисление, —формула
(«)
что совпадает с результатом подстановки в формулу (5) значений £=1 и F — 0.
Тем самым нами доказано, что полная кривизна поверхности с первой квадратичной формой (7) выражается формулой (8).
Пусть, например,
(9) J =du2 + cos2 и dv2.
Тогда KG = cosu и (ИС)а„ =—cos и. Поэтому /< = 1, что впвлне согласуется с результатом примера 1 лекции 4 (поскольку форма (9) является первой квадратичной формой сферы радиуса /? = 1; см. формулу (36) лекции 3, в которой, правда, переставлены и и о).
Аналогично показывается, что поверхность с первой квадратичной формой
I =du2 + ch2udv2
имеет кривизну А = — 1 (ср. пример 2 лекции 4).
Замечание 1. Подчеркнем, что все эти результаты имеют место для поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Для поверхностей же в пространстве большего числа измерений формулу (5) (или ее частный вид (8)) можно принять за определение кривизны К.
Замечание 2. Для того чтобы шесть функций
(10) Е, F, G, L, М, N,
заданных в открытом выпуклом множестве t/czR2 были коэффициентами первой и второй квадратичных форм некоторой поверхности r = r(u, v), конечно, необходимо, чтобы для этих функций, кроме условий
(11) £>0, EG — F2 > 0
94 УСЛОВИЯ И30МЕТРИЧН0СТИ
положительной определенности, имели место соотношения (5) и (6) (имеется в виду, что в соотношение (5) подстав-
ленол=-т7;—=у . Оказывается, что эти соотношения EG—F2 j
также и достаточны (для существования регулярной, но вообще говоря, не элементарной поверхности с данными формами I и II). Более того, функции (10) (удовлетворяющие соотношениям (5), (6) и (11)) определяют поверхность с точностью до движения пространства. Эти утверждения являются двумерным аналогом соответствующих утверждений для кривых (см. теорему 1 лекции 2) и доказываются аналогичным способом (при этом вместо теоремы о существовании и единственности решения системы линейных дифференциальных уравнений используется соответствующая теорема для систем линейных уравнений в частных производных). Мы докажем их—сразу для многообразий произвольной размерности — в следующем семестре.
Теорема Гаусса утверждает, что равенство полных кривизн является необходимым условием изометричности двух поверхностей. Вместе с тем, хотя это условие отнюдь не достаточно, оно настолько сильно, что с его помощью можно без труда получить и достаточные условия. Мы не будем подробно обсуждать этот вопрос и рассмотрим лишь важнейший частный случай соответствующей теоремы.
Пусть
л „ EK%-2FKaKv+GK« ~ EG — F*
— первый дифференциальный параметр Бельтрами функции К. Если две функции К и от и и о функционально независимы, т. е. их якобиан
дК дК
ди dv
d^tK d\tK ди dv
всюду отличен от нуля, то их можно принять за новые локальные координаты на поверхности. Назовем эти координаты гауссовыми. Из свойства инвариантности оператора At (формула (34) лекции 3) и формулы (4) непосредственно вытекает, что для любой изометрии f:
ПОВЕРХНОСТИ постоянной КРИВИЗНЫ
95
имеет место равенство
(12) Aj/Cyof =
Вместе формулы (4) и (12) означают, что каждая изометрия является отображением по равенству гауссовых координат. Поэтому справедлива следующая теорема:
Теорема 2. Две элементарные поверхности, на которых определены гауссовы координаты, тогда и только тогда изометричны, когда в этих координатах их первые квадратичные формы совпадают. П
Таким образом, чтобы определить, изометричны или нет две поверхности, надо ввести на них (если это возможно) гауссовы координаты и вычислить в этих координатах их первые квадратичные формы. Если эти формы совпадают, то поверхности изометричны, а если эти формы различны, то поверхности не изометричны.
Теорема 2 не дает ответа в случае, когда К. и AjK функционально зависимы, например когда At/C = O (что имеет место, как легко сообразить, если и только если К = const). Впрочем, в этом крайнем случае условие теоремы 1 оказывается достаточным, т. е. две элементарные поверхности постоянной полной кривизны тогда и только тогда изометричны, когда они имеют одну и ту же кривизну. Другими словами, любая поверхность постоянной полной кривизны К локально изометрична сфере радиуса R=—^=?, если /С > 0, плоскости, если /С = 0, и, псевдо-
V К
сфере псевдорадиуса R — г^=> если К < 0.
у — К
Для доказательства нам понадобится лемма, которую мы докажем в следующем семестре:
Лемма Гаусса. На любой поверхности существуют локальные координаты и, v, в которых первая квадратичная форма этой Поверхности имеет вид (7), причем функция G = G(u, и) обладает тем свойством, что (13) 0(0, и)=1 и 0„(0, и) = 0 для всех v.
В силу этой леммы мы без ограничения общности можем считать, что’первая квадратичная форма рассматриваемой поверхности постоянной полной кривизны К имеет вид (7) и, значит, для К имеет место формула (8). Эту 'формулу мы можем рассматривать как дифференци-
96
ПОВЕРХНОСТИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
альное уравнение второго порядка с постоянными коэф-
фициентами относительно функции К G. Из теории
дифференциальных уравнений известно, что общее решение этого уравнения имеет вид
' A cos а (и + В), если К = а2 > 0, Аи 4 В, если К — 0, Л ch а (и 4- В), если К. — —а2 < 0,
где А и В — произвольные функции от и. Но ввиду первого условия (13) должны иметь место соотношения
A cos аВ = 1 при К > О,
В - 1 при К. =0,
ЛсЬаВ = 1 при К. < 0,
а ввиду второго условия (13)—в силу тождеств ' —Аа sin а (и 4- В), если
А, если
Аа sh а (и + В), если
К>0, Я = 0, К<0
— соотношения
Ла sin аВ = 0 при К. > 0, А — 0 при /С = 0, Л<7бЬаВ = 0 при К < 0.
Следовательно,
cos аи, если К.=а2 > 0, если К = 0, ch аи, если/(=—а2 < 0.
В первом случае мы получаем первую квадратичную форму
du2 + cos* аи dv2
сферы радиуса 1/а, во втором случае—первую квадратичную форму
du2 + dv2
плоскости, а в третьем—первую квадратичную форму du2 + ch2au dv2
псевдосферы псевдорадиуса 1/а. □
На этом мы прервем—до следующего семестра — изложение теории поверхностей и обратимся к основному предмету этого курса—теории гладких многообразий.
Лекция 6
Вводные замечания. —Открытые подмножества простран- , ства R" и их диффеоморфизмы. — Карты и атласы.— Максимальные атласы. — Гладкие многообразия. — Приме- '
ры гладких многообразий.
Понятие гладкого многообразия является одним из основных понятий современной математики. Оно возникает в результате экспликации и} одновременного обобщения на высшие размерности интуитивного понятия поверхности, рассматриваемой безотносительно к ее расположению в пространстве. Основные принципы этой экспликации заимствуются при этом из картографии.
Отдельные области земной поверхности мы можем адекватно описывать посредством карт, позволяющих изображать их на плоскости. Каждая точка Земли может быть изображена на карте, но одной картой покрыть всю Землю невозможно; для этого требуется атлас, т. е. набор нескольких карт. Любая карта позволяет прямоугольные координаты на плоскости перенести в соответствующую область на поверхности и тем самым получить в ней локальные координаты. (На самом деле в математической картографии обычно, наоборот, переносят географические координаты на земной поверхности в криволинейную координатную сетку на плоскости, но принципиального значения это различие не имеет.) При этом локальные координаты, соответствующие двум различным картам, связаны функциями перехода, позволяющими выразить (в общей части двух карт) одни координаты через другие.
В соответствующих общих определениях мы заменим плоскость стандартным евклидовым пространством R", где п— некоторое целое число, которое мы будем считать раз п навсегда выбранным и зафиксированным. Вырожденный случай п — 0 мы при этом пока не исключаем.
Напомним прежде всего из курса анализа некоторые факты и определения, касающиеся пространства R" (которыми мы уже частично пользовались в предыдущих лекциях).
Точка х подмножества (7czR" называется его внутренней точкой, если существует такое е > 0, что шар радиуса е с центром в точке х
4 М. м. Постников, сем. Ill
98 ОТКРЫТЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА ПРОСТРАНСТВА R" целиком содержится в U. Множество U называется открытым (в R"), если все его точки являются внутренними точками.
Произвольное отображение ф: U —>• V подмножеств пространства R" задается п функциями
(1) ^1 = ф1(х1....х"), .... у" =-ф"(х1....х")
п переменных, выражающими через координаты х1......х" произволь-
ной точки x£U координаты у1, ..., уп точки _у--ф(х). В случае, когда множество U открыто, имеет смысл говорить о производных произвольного порядка функций (1) по х1, ...,х" в любой его точке.
Отображение ф открытого множества U называется отображением класса Сг, где г—некоторое натуральное число или символ оо, если во всех точках множества U функции (1) обладают при г # оо непрерывными частными производными всех порядков «С г, а при г=оо непрерывными производными всех порядков. В случае же, когда в любой точке множества U функции (1) вещественно аналитичны (разлагаются в степенные ряды с отличным от нуля радиусом сходимости), отображение ф называется отображением класса Сю.
В дальнейшем мы будем считать фиксированным некоторый класс гладкости Сг, где г<оо или г = а>, и отображения этого класса будем просто называть гладкими отображениями. Как правило, нам будет годиться любое г ^2, а часто даже и г-- 1, но чтобы не следить, не появились ли производные слишком больших порядков, мы, если только явно не оговорено противное, будем молчаливо предполагать, что г=оо или г= со. Впрочем, иногда мы будем включать в рассмотрение и особый случай г=0. В этом случае гладкие отображения—это просто непрерывные отображения.
Основным мы будем считать случай г— оо и все ситуации, когда ои отличается от случая г-- со, будем специально оговаривать.
Каждое гладкое отображение ф: U —> V определяет иа U гладкую функцию
n j , || ^ф' II • • 1
£><p=det — , i, /—1.........п,
II ||
называемую его якобианом (и которая обозначается также символом /ф). Как показывается в курсе анализа, для любых гладких отображений ф: U—► V и ф: V—> W, где U, V и’ W — открытые подмножества пространства R", составное отображение фоф: U—> W (действующее по формуле (фо ф) (х) = ф (ф (х)), x£U) также гладко и
(2) D (ф о ф) (х) = (£>ф) (у) (Dtp) (х), у = ф (х),
для любой точки х£{7 (формула (2) обычно называется цепным правилом, а отображение ф°ф — композицией отображений ф и Ф).
КАРТЫ И АТЛАСЫ
99
Отображение ф: U —> V открытых множеств пространства R" называется диффеоморфным отображением (или диффеоморфизмом), если оно гладко, биективно и обратное отображение ср-1: V—> U также гладко. (При г = 0 биективное непрерывное отображение, обратное к которому также непрерывно, называется гомеоморфизмом.)
Из формулы (2) непосредственно вытекает, что якобиан Dq> произвольного диффеоморфизма <р; U —> V во есех точках мнсжества U отличен от нуля (причем (Dtp-1) О) = (Dtp) (х)-1 для любой точки у - ф (х) множества V).
Теорема об обратном отображении утверждает, что если в точке x0£U якобиан Dq гладкого отображения ср: U—-V отличен от нуля, то существует таксе открытое мнсжества U'coU, содержащее точку х0, что ограничение tp |у, отображения ср на U’ н.ляется диффеоморфизмом мнсжества U' на некоторое открытие множество V’czV, содержащее точку у0 = q (ха).
В частности, отсюда следует, что гладкое биективное отображение ip: U —> V, якобиан которого всюду отличен ст нуля, является диффеоморфизмом.
Замечание 1. Существуют гладкие пебиектнвные отображения ф: U —> V с всюду отличным от нуля якобианом. Примером может служить отображение ф плоского кольца 1 < x2-f~y2 < 2 на себя, задаваемое формулой ф (х, у) — (х2—у2, 2ху).
Теперь мы уже можем дать основные определения «абстрактной картографии».
Пусть —произвольное множество.
Определение 1. Картой в X называется пара (U, h), где U — подмножество в X, a h — отображение множества U в R", биективно отображающее U на некоторое открытое множество пространства R". Множество U называется областью определения (или носителем') карты (U, h), а отображение h—картирующим отображением. Для любой точки p£.U точка h(p) € R1'vимеет вид (х1 (р), ..., хп(р)), где х1 (р), .... x’’(p)€R- Это Дает п числовых функций:
(•’>) х’: »х'(р)......х‘: pt—*‘Xn(p), p€.U,
па U, которые называются локальными координатами карты (U, h).
11оскольку координаты (3) однозначно определяют отображение h, вместо (U, h) часто пишут (U, х1, ..., х‘), а отображение h называют координатным отображением.
юо
КАРТЫ И АТЛАСЫ
Замечание об обозначениях.
Символом ср(х\ х"), где ср — некоторая функция на h(U), мы будем обозначать функцию
срой: ср(х1 (р), хп(р)) на U,
что находится в полном согласии с традиционным обозначением сложной функции. Таким образом, формула с/ = ср(х\ ..., х")
означает, что у является лишь другим обозначением для функции ср(х\ ..., х"). Для сокращения числа используемых букв мы функцию ср также иногда будем обозначать символом у и, следовательно, будем писать
= ....х").
Заметим, что в этой формуле буква у справа и слева обозначает различные функции. Слева—это функция на U, а справа—функция на h(U), служащая для выражения функции на U через функции х1, ..., хп. В ситуациях, когда надо четко эти функции различать, мы будем первую из них обозначать символом у о й.
Подчеркнем, что мы никогда не будем использовать, как это обычно делается, символы ср(х\ ..., х") (или «/(х1, ..., х")) для обозначения функции ср (функции у) на й (U) (и лишь изредка будем разрешать себе употреблять его для обозначения значения этой функции в точке (х1, ..., х")€й(U)).
Две карты (U, h) и (V, h) называются пересекающимися, если U Л и=/= 0. (Эта терминология отражает общую тенденцию, которой мы будем иногда следовать, не различать педантично (U, h) и U).
Пусть (U, h) и (V, й)—две пересекающиеся карты, и пусть W = U(}V. Тогда в R" определены два множества h(W) и k(W) и отображение
(4) (Лк)о(йк)-1: Й(№)->Й(И7)
первого множества на второе. Допуская определенную неточность, мы будем обозначать отображение (4) символом k о й-1.
Определение 2. Две карты (U, h) и (V, й) в % называются согласованными, если они либо не пересекаются (U л V = 0), либо:
а) оба множества й(ТС') и k(W), где W = U Л V, открыты в R";
КАРТЫ И АТЛАСЫ
101
б) отображение (4) является диффеоморфизмом (при г - 0 — гомеоморфизмом).
Если ср1, .... ср"—функции, задающие диффеоморфизм (4), то для ограничений х1 |uz, • ., хп |uz и у1 |uz, ..., уп |и? локальных координат карт (U, h) и (V, k) на W будут иметь место формулы
(5) у11 и/ = Ф1 (х11 ..X"|uz),
У"|и7 = ф'!(Х1|и7. • • •, х" | uz).
В связи с этим функции ф1, Ф’’ называются
функциями перехода (на W) от координат х1, .... х" к координатам у1, .... у4, а формулы (5) называются формулами перехода. Диффеоморфизм k о fr1 называется
Для наглядности множества h (U) и k (V) изображены непересекающимися, хотя в общем случае этого может и не быть. Точно так же множества h(U), h(W) и k (V) могут быть и несвязными
отображением перехода. Как правило, индекс W в формулах (5) опускается и они записываются в виде (6) у1=ф1(х1, ..., х”), ..., уп = ф"(х1, ..., х")
(иногда с добавлением указания «на IE»).
Мы будем записывать их в еще более кратком («векторном») виде
(7) у =ф(х) (или _у = (/го/1-1)х).
Следует отчетливо понимать условность формул (7) и всегда помнить, что они являются лишь краткой записью формул (6) или (5).
102
МАКСИМАЛЬНЫЕ АТЛАСЫ
В частности, хотя формулы (7) имеют вид соотношений между точками некоторых подмножеств пространства R", но на самом деле они связывают не точки этого просгранства, а функции, заданные на подмножестве множества Ж (и в этом смысле являются соотношениями в ^).
Определение 3. Множество карт {(Ua, ha)} называется атласом на %, если
а) любые две карты этого множества согласованы;
б) имеет место равенство
U (/а = ^ а
(карты (Uа, ha) покрывают все $’).
Для любого атласа А обозначим через АМакс множество всех карт, согласованных с каждой картой атласа А.
Предложение 1. Множество АМакс является атласом.
Доказательство. Пусть (U, h) и (V, k) — две пересекающиеся карты из Амакс, и пусть х— произвольная точка множества h (U7), где, как и выше, W = U Г) V.
Рассмотрим точку p = h~1 (х) 6 W. Поскольку множество А = ({7/а, Ла}) представляет собой атлас, существует такая карта (иа, ha) из А, что p€.Ua. Так как по условию карты (у, Л) и (V, Л) согласованы с картой ((/а, Ла), то множества Ла (6/а П U) и Ла {Ua п V) открыты в R". Поэтому в R" (а, значит, и в ha(Ua(]u)) открыто их пересечение
ha (Ua П U) П ha (Ua П V) = ha (Ua П W).
Кроме того, множество h.(Ua(]U) также открыто в R" и отображение
ЛоЛ-1: ha(Uaf}U)-^h(Uaf}U)
является диффеоморфизмом (и потому — будучи, в частности, гомеоморфизмом — переводит открытые множества в открытые).
Следовательно, множество
(АоЛ-‘)(ла(^апЮ) = А(*4пЮ
открыто (в h(Ua[}U), а значит, и в R"). Поскольку х£h(Uan W)czh(W), этим доказано, что х является внутренней точкой множества h(W), а поскольку х была произвольной точкой из h (W)— что множество h(W) открыто.
М А КСИ/VIA Л DH D1 С,
Поменяв ролями h и k, мы аналогично докажем, что открыто и множество k(W).
Далее, поскольку
(8) k о /г-1 = (k о h^1) ° (ha о ft-1),
а оба отображения koha1 и ha°h являются диффеоморфизмами, отображение k о h~l также будет диффеоморфизмом (как композиция диффеоморфизмов). Поэтому карты (U, h) и (V, k) согласованы.
[На самом деле заключение о диффеоморфности отображения k о ft-1 мы сделали несколько поспешно, поскольку, строго говоря, формула (8) смысла не имеет. Действительно, отображение ha ° h."1 (а точнее, отображение (ha |{/а п у) ° п ^)-1) является отображением из h(Ua(]U) на ha(Ua[]U), а отображение koh^1 (точнее, отображение (&kan 0 ° (halua п у)-1) является отображением из ha(UariV) на k(Uaf]V), и поэтому рассматривать композицию этих отображений мы права не имеем. Чтобы получить это право, мы должны все отображения h, k и ha ограничить на Ua[\W, т. е. написать формулу (8) в следующем—уже безукоризненном — виде
(/г |t/a п ч7) ° ka п «О-1 =
= [(^k„n w) о (Лакд П w)~х] о [(ЛакдП ° ка П и7)”1]-Но тогда мы сможем лишь утверждать, что диффеоморфизмом будет отображение
(9) kkan w) ° (h |tza n uz)-’ = [(&k) ° (Л W-1]|h(t/„n U7)’ и чтобы перейти ко всему отображению
(Ю) koh-^^wyotMw)-1,
требуются дополнительные соображения. Однако эти соображения в достаточной мере тривиальны. Именно, поскольку отображение (9) является диффеоморфизмом, его якобиан в точке х отличен от нуля (мы предполагаем здесь, что г > 0). Но ясно, что в точке х якобианы отображений (9) и (10) принимают одинаковые значения (ибо в окрестности Л(^аП^) точки х эти отображения совпадают). Таким образом, в произвольной точке х открытого множества h(W) якобиан отображения (10) отли-чеи от нуля. Следовательно, поскольку оно гладко и биективно, это отображение является диффеоморфизмом.
104
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
(При г = 0 вместо ссылки на якобиан надо воспользоваться тем, что отображение тогда и только тогда непрерывно, когда оно непрерывно в каждой точке.)
В дальнейшем подобного рода уточнения мы будем оставлять читателю.]
Итак, мы доказали, что любые две карты из множества Амане согласованы, т. е. что это множество удовлетворяет условию а определения 3. Поскольку условие б этого определения для АМакс> очевидно, выполнено (оно выполнено даже для Ас=Амакс), предложение 1 тем самым полностью доказано. □
Ясно, что если А, А*—атласы и АсА*, то А^аксс: сАМаи. Поэтому, в частности, (А„акс)максс:Амакс, и, значит, (Амакс)макс = Амакс. Следовательно, если АмакссА*, то AMaKCcz (Амакс)макс Амакс, и потому А дАмакс. Это означает, что атлас Амакс максимален (в частично упорядоченном по включению множестве всех атласов). Кроме того, если А—произвольный максимальный атлас, содержащий атлас А, то АсАмакссАмакс, и, значит, А = Амакс. Этим доказано
Следствие 1. Каждый атлас А содержится в единственном максимальном атласе Амакс. □
Теперь мы уже можем дать наше основное определение.
Определение 4. Максимальные атласы на Ж называются также гладкими структурами (или просто гладкостями). Множество & с заданной на нем гладкой структурой Амакс называется гладким многообразием. (Таким образом, гладкими многообразиями являются, собственно говоря, пары вида (^, Амакс), но для упрощения обозначений и формулировок мы будем пользоваться этим полным обозначением только тогда, когда этого нельзя избежать.) Карты атласа Амакс называются картами многообразия X или даже—для пущей выразительности—его гладкими картами.
По определению два многообразия (^, Амакс) и (0/, А^акс) тогда и только тогда одинаковы, когда Я = У и АМакс = А’акс.
Два атласа называются эквивалентными, если они содержатся в одном и том же максимальном атласе. Ясно, что атласы А и А* тогда и только тогда эквивалентны, когда их объединение А и А* является атласом (т. е. каждая карта любого из этих атласов согласована с каждой картой другого атласа).
ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ Ю5
Для задания на % гладкости Амакс достаточно, конечно, задать произвольный атлас АсАМак(;. Таким образом, гладкими многообразиями можно считать пары вида(^, А), где А—произвольный атлас на %. При этом многообразия , А) и (3/, А*) будут одинаковы тогда и только тогда, когда % —У и атласы А и А* эквивалентны (т. е. когда их объединение А и А* является атласом).
11одчеркнем, что в определении гладкого многообразия у пас входит число п — размерность пространства R", содержащего образы h (U) носителей карт.
Определение 5. Это число называется размерностью гладкого многообразия % и обозначается символом dim X.
В определение гладкого многообразия ЗС входит также число г^О (либо символ оо или со) — класс гладкости отображений перехода koh~\ Оно называется классом гладкости многообразия 3? (говорят также, что 3? является многообразием класса Сг). Многообразия класса С“ называются также вещественно аналитическими многообразиями.
При г —0 термин «гладкое многообразие» не употребляется и заменяется термином топологическое многообразие.
Конечно, каждое многообразие класса Сг автоматически является многообразием класса Сг' для любого г' < г (и, в частности, является топологическим многообразием).
В соответствии с принятым выше соглашением мы, как правило, будем считать все рассматриваемые многообразия принадлежащими классу С°°.
Примеры гладких многообразий.
Пример 1. На пространстве R" пара (R", id), где id: R" —> R"—тождественное отображение х>—> х, является картой и одноэлементное множество карт, состоящее из этой карты, представляет собой атлас. Соответствующая гладкая структура на R" (класса С“) называется стандартной. В дальнейшем мы всегда будем рассматривать R" как гладкое многообразие со стандартной гладкой структурой. Заметим, что в этой структуре dimR" = rt.
Задача 1. Докажите, что картами стандартной гладкой структуры на R" являются пары (£/, й), где U — произвольное открытое множество в R", ай — произвольный диффеоморфизм множества U на некоторое открытое множество ft(u)cR".
Пример 2. Более общим образом, для любого открытого множества О пространства R" пара (О, id) является картой и одноэлементное множество карт, состоящее
106
ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ
из этой карты, представляет собой атлас. Об определяемой этим атласом гладкой структуре на О говорят, что она индуцирована стандартной гладкой структурой на R". Ясно, что ее картами являются те карты (U, h) последней структуры, для которых Uа:О. В дальнейшем, все открытые множества OczR" мы будем считать гладкими многообразиями с этой гладкой структурой.
Пример 3. На пространстве R существуют и нестандартные гладкие структуры. Рассмотрим, например, на R‘ = R карту (R, h0), где h0—отображение R —► R, задаваемое формулой h0 (t) = t*, /gR. Эта карта также составляет одноэлементный атлас, но (при г > 0) соответствующая гладкая структура отлична от стандартной, поскольку карты (R, id) и (R, /i0) не согласованы (отображение перехода A0o(id)-1 = h0 гладко и биективно, но обратное отображение Ao1: не дифференцируемо
при 1 = 0).
Пример 4. Для каждой параметризации у: 1-+Л, / = (а, Ь), открытой простой регулярной дуги 2 пара {3?, у-1), где у-1: 33 —► I—отображение, обратное к отображению у (рассматриваемому как отображение /-+J?), является картой на 3\ причем, согласно предложению 1 лекции 1, любые две такие карты согласованы. Это означает, что любая открытая регулярная простая дуга естественным образом является одномерным многообразием.
Пример 5. Аналогично, любая элементарная поверхность 33 является двумерным гладким многообразием с картами вида (^, у-1), где у — произвольная параметризация поверхности 33.
Пример 6. Простейшим многообразием, не покрываемым одной картой, является окружность
S1: хау2 = I.
Пусть р0 и q0—ее точки (—1, 0) и (1, 0), и пусть t/ = S1\{p0} и V = S1\{(?()}. Для любой точки p^U (любой точки q£V) мы обозначим через h(p) (через k(p)) принадлежащий интервалу (—л, л) угол, образованный радиус-вектором этой точки с положительным (отрицательным) направлением оси абсцисс. Ясно, что получающиеся отображения
h: U —»(—л, л), k: V —>- (—л, л) биективны, т. е. пары (U, h) и (V, k) являются картами
ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ 107
па ЗЦс п = 1). При этом U Г) V = S1\{p0, q0], множества /1(^АЮ = (—0)0(0, л) и k (U П V) = (— л, 0)и(0, л) (оказывающиеся одинаковыми) открыты в R и отображение koh-1: h(U A V)->/e(t/n V)
задается формулами
( t + л, если t f (— л, 0), если (€(0> и потому является диффеоморфизмом.
Следовательно, карты (и, й) и (V, k) согласованы, а так как U и V = S1, то они составляют атлас, и, значит, определяют на S1 некоторую гладкость (класса С“).
Пример 7. Аналогичным образом доказывается, что одномерным многообразием, покрываемым двумя картами, является произвольная замкнутая (не имеющая концов) простая регулярная дуга в аффинном пространстве А.
Пример 8. Пусть с/<+), t/'-’, У<+), Vх-’—подмножества окружности S1 (открытые полуокружности), состоящие из точек р — (х, у), для которых соответственно г/> 0, у < 0, х > 0, х < 0. Пусть, далее, й<+), А<_), й<+), й<_) — отображения этих множеств в IR, действующие по формулам (х, у)*->х, (х, у)*-*х, (х, у)*—*у, (х, у) у (являющиеся ограничениями проектирований на координатные оси). Каждое из этих отображений биективно отображает соответствующее множество на открытый интервал (—1, 1) оси R, и потому пары
(£/<+>, й<+)), (£/<">, Л<->), (У( + ), й<+)), (V‘">, /?<->)
являются картами в S1 (при этом на картах С/<±> локальной координатой служит х, а на картах и±) служит у). Эти карты, как легко видеть, согласованы (любые две из них либо не пересекаются, либо их пересечение является четвертью окружности, проектирующейся на открытые интервалы (0, 1) или (—1, 0) оси R, причем соответствующие отображения перехода задаются формулами вида у— 1 — х2и потому являются диффеоморфизмами) и покрывают всю окружность S1, т. е. составляют атлас на S1. Этот атлас эквивалентен атласу из примера 6 (и потому определяет на S1 ту же гладкость). Действительно, скажем, для карт (U, h) и (<7< + ), й(И) пересечение U A t/l+) совпадает с t/<+), причем /i(t/l+)) = (0, л),
108
ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ
^<+1 ({/<+))_(—j, j), а отображение ft'+’o/r1: (0, л)^(—1, 1)
задается формулой x = cos t, 0 < t < л, и потому является диффеоморфизмом (для остальных пар карт ситуация аналогична).
Пример 9 (обобщение примера 8 на произвольную размерность). Аналогичным образом на единичной n-мерной (n> 1) сфере
S": 4 + *? + • • • 1
пространства Rn+1 пары (t/((+>, Ь((+)) и (t/<(J>, i — — 0, 1, ..., п, где £/)+’и t/)-’—полусферы, определяемые соответственно неравенствами х, > 0 и %, < 0, a h)+) и /г)-’—ограничения на этих полусферах проектирований на ью координатную плоскость х, = 0, являются картами и любые две из этих карт согласованы. Например, отображение /Ц+>, являющееся отображением полусферы t/)+) R" (с коорди-
на шар 6": t2 + ... + t2n < 1 пространства натами .... /„), задается формулами
( хв_п если оХ i, ta = < а = 1, .
( ха, если a >i,
.., п
(так что числа ....... t„, т. е. числа х0, •••, х,-!,
4+i> •••> хп> являются локальными координатами карты Ь'(+>)), а обратное отображение В" —► —
формулами
^6+и
если b < i,
если b — I, Ь — 0, 1, ..., п,
если b > I,
где t2 — t2 + .. • I- tn- Поэтому при X / отображение будет определено на полушаре &}>0 — = {f£B"; //>0} и, отображая этот полушар на полушар 6?>о = {^€Ё"; ti > 0}, будет задаваться формулами
а = 1, .... п.
Г ta,____ если а < i
... ,, _ ) V1—t2, если a = i,
( } ta ~ 1 если iX а
I ta, если а >
Поскольку эти формулы задают, очевидно, диффеоморфизм,
ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ
109
карты (Uiii, и (^/+>, Л/+>), следовательно, согласованы. Для других пар карт в формулах (II) могут сдвинуться индексы, а перед корнем может появиться знак минус, что, конечно, на окончательный вывод о диффео-морфности не влияет.
Поскольку построенные карты, очевидно, покрывают всю сферу S", они составляют атлас и, значит, определяют на сфере S" некоторую гладкость.
Пример 10. Построенный в примере 9 атлас состоит из 2п + 2 карт. Оказывается, что ту же гладкость на сфере S" можно задать атласом, состоящим всего из двух карт (ср. пример 6). С этой целью для любой точки /> (х0, хп .... х„) сферы S", отличной от точки р0 =
(1,0, .. ., 0) (северного полюса сферы S"), мы рассмотрим в пространстве R"+1 прямую рор. Канонические уравнения этой прямой имеют вид
Хо-1 .. *1
*0—1 Xi х„ ’
и, значит, эта прямая пересекает гиперплоскость Х0 = 0 (экваториальную гиперплоскость сферы S") в точке с координатами л
, Xi j. хп
1-х0 ’ • • •’ " ~ 1-х0
(координаты на экваториальной гиперплоскости мы обозначаем символами Л, .... tn). Точка (12) называется
стереографической проекцией цию 1.27). Обозначив эту точку через h(p), мы получим (очевидно, биективное) отображение h множества = на пространст-
во R", т. е. некоторую карту (U, h) (с ft(6/) = R«).
Аналогичным образом,
точки (ср. лек-
Стереографическая проекция
исходя из южного полюса
(/„ = (—1, 0, ..0) сферы S", мы можем построить стереографическую проекцию k: V—► R", где V = S '\{<7о}» переводящую произвольную точку р = (х0, хх, ..., хп) сферы S", отличную от точки qa, в точку экваториальной плоскости
с координатами
(13) /;
Х1
1 +*0 ’
t' _ Хп
и, значит, получить карту (V, k).
по
ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ
Для построенных карт пересечение W = U п V имеет вид 8"\{р0, <7о}, и каждое из отображений h и k отображает это пересечение на открытое множество Rj = R''\{0} пространства R". При этом соответствующее отображение перехода
(14) koh-1:
будет задаваться формулами, получающимися исключением х0, хп .хп из формул (12) и (13). Но, согласно формулам (12), xz — (1—x0)fz, и потому
1 = xj 4- xf 4 .. • 4- х* = х? 4- (1—*о)2 G? 4-1- tn) =
= х?4(1—х0)2*2, т. е.
(1 4*2)*о—2*2х04*2—1=0.
Это уравнение имеет корень х0=1, нам не нужный (он отвечает исключенной точке рв), а для второго его корня _ f2-1 х°~ l4.fi
имеют место формулы
14Х______2Л-
Поэтому для любого 1=1, .. •, п
xz = (l-x0)/z = -A
и, значит, у- . Xj tj
*' ~ 14-х0 ” Р •
Этим доказано, что отображение (14) записывается формулами
у' _ Д_ у- _ _4_
41 у2 1 • • I (2
и потому является диффеоморфизмом.
Следовательно, карты (U, h) и (V, k) согласованы и поэтому составляют атлас.
Задача 2. Докажите, что этот атлас эквивалентен атласу из примера 9 и потому определяет на сфере §" ту же гладкость.
Пример 11. Напомним, что п-мерным вещественным проективным пространством RP:‘ называется множество
ПРИМЕРЫ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ
111
всех классов (х9:хг:... :хп) пропорциональных векторов (х0, хХ) хп)=^0 или, что равносильно, множество всех прямых пространства Rn+1, проходящих через точку 0. Пусть Ui = 0, 1, п,—множество всех точек р == (х0: Xj:...: х„) пространства RP", для которых Х;=£0, и пусть А,—отображение Ut—fRn, переводящее точку /? = (х0:хг.... :х„) из i/; в точку (/п ..., tn) из R", для которой
(15)
, если а
i,
если а > /,
п.
а = 1,
Ясно, что отображение h; биективно, так что пара (U{, h;), i = 0, 1, .... п, является картой в RP".
Для любых индексов i и j=£i пересечение U;П^j состоит из точек p = (x0:xi'.... :х„), для которых xz#=0 и Ху#=0, а множества h/(UZD^j) и ft; (i/zD ыу) состоят (при j > i) из точек t — itx, ..., /„) из R", для которых соответственно /7#=0 и £z+1^0. Ясно, что эти множества открыты.
Поскольку отображение Az действует по формулам (15), а отображение й7—по аналогичным формулам, получающимся заменой i на /, отображение перехода ft/oft<-1 произвольную точку (<i, .... tn) € ht (и t n Uj) переводит в точку (t[, ..., t'n)^hf(UiHUj), для которой
( ta . . . .
, если a^.i или а> /, И
t'a = • -jj , если а = i + 1, а = 1, ..., п,
/-~=^, если i + 1 < а /,
Ч
и, значит, является диффеоморфизмом.
Этим доказано, что любые две из карт (£/z, йу) и (Uj, hj) согласованы и, следовательно, эти карты определяют на ЕР7 гладкую структуру.
Заметим, что во всех примерах (кроме, естественно, примеров 4, 5, 7) получились вещественно аналитические многообразия (класса С“).
Лекция 7
Топология гладкого многообразия. — Открытые подмногообразия.—Окрестности и внутренние точки. —Гомеомор-физмы.—Первая аксиома счетности и локальная евклидо-вость.—Вторая аксиома счетности—Нехаусдорфовы многообразия.—Гладкости на топологическом пространстве.— Топологические многообразия. — Нульмерные многообразия.— Категория ТОР. — Категория DIFF. —Перенесение гладкости.
Пусть ^—произвольное гладкое (или топологическое) многообразие.
Определение 1. Подмножество О с: Я называется открытым (в ^), если для любой карты (U, h) многообразия Я множество h(Of]U)ciRn открыто (в R").
При ^’ = R" это определение дает, как легко видеть, обычные открытые множества в R".
Открытые множества в пространстве ^ = IRn (а также в любом метрическом пространстве обладают, как мы знаем из курса анализа, следующими тремя свойствами:
1° пустое множество 0 и все пространство Я открыты, 2° объединение произвольного семейства открытых множеств открыто,
3° пересечение произвольного конечного семейства открытых множеств открыто.
Так как
и
n /i(oanf/)=/i(7 n Oc^n a \ \ a /
для любой карты (U, h) и любого семейства {0а} подмножеств многообразия Я, то этими же свойствами обладают и открытые множества в
Определение 2. Множество Т подмножеств множества ^называется топологией (или топологической структурой) на а множества из Т—открытыми множествами, если эти множества обладают свойствами 1°—3°. Множество % вместе с заданной на нем топологией Т (т. е. собственно говоря, -пара (.2", Т)) называется топологическим пространством.
ТОПОЛОГИЯ ГЛАДКОГО МНОГООБРАЗИЯ ИЗ
Таким образом, мы можем сказать, что определение 1 вводит в каждое многообразие некоторую топологию или, иначе говоря, что в силу этого определения каждое многообразие является топологическим пространством. В этом смысле топология на Я является структурой, производной от гладкости на %.
Эта ситуация вполне аналогична ситуации для метрических пространств, топология которых является структурой, производной от метрики.
В дальнейшем, говоря о топологии на гладком (или топологическом) многообразии, мы всегда будем иметь в виду топологию, вводимую определением 1.
Согласно определению 1, для того чтобы проверить открыто или нет данное подмножество Ос^’, необходимо рассмотреть множества h(OpiU) для всех карт (U, h) многообразия Конечно, на практике это невозможно, и возникает вопрос, нельзя ли эти карты как-то ограничить. Оказывается, что вполне достаточно лишь карт одного произвольного атласа и, более того, лишь карт, покрывающих множество О. Именно, справедливо следующее предложение:
Предложение I. Пусть {(Ua,ha)}—такое семейство карт многообразия что
Ос U Ua. а
Тогда, для того чтобы множество О было открыто в ТТ, достаточно, чтобы для любого а множество ha (О П Ua) было открыто в R".
Доказательство. Нужно доказать, что если множество О удовлетворяет условиям этого предложения, то для любой карты (U, h) многообразия jr множество h(OftU) открыто в R", т. е.—в случае, когда это множество непусто, — любая его точка х является внутренней. Имея это в виду, рассмотрим в многообразии % точку p — h"1 (х).
Так как х£ /г (О П U), то р С О П U и, в частности, р £ О. Поэтому существует такое а, что p£.Ua-
В силу согласованности карт (t/a, /ia) и (U, h) множества ha(Ua(}U) и h(UaoU) открыты в R". Кроме того, по условию множество ha (О п Ua) также открыто. 11оэтому открыто и множество
ha (О П Ua П U) = ha (О n t/o) n ha (Ua П U).
114
ОТКРЫТЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
С другой стороны, гомеоморфизм
ЛоЛа1: ha(Ua{]U)^h(UanU)
переводит это множество в множество /i(Ont/ant/)» которое, следовательно, также открыто. Поскольку
хё h(Of\Uar\U)czh(OftU),
это доказывает, что точка х является внутренней точкой множества h(OnU). □
ОП1/аП1/, ha(0{\Ua П и), ЦОКОЛИ)
у no, h(uno)
ЧРО, ha(UJW)
ha(ua(\(/), h(Ua(\U)
Следствие 1. Для любой карты (U, h) многообразия % подмножество VcU тогда и только тогда открыто в %, когда множество h(V) открыто в R".
В частности, само множество U открыто в %. □
Для любого открытого подмножества О произвольного (класса Сг) многообразия % все карты (U, 4), для которых t/azO, составляют, очевидно, атлас на О (см. пример 2 предыдущей лекции). Этот атлас максимален, т. е. является гладкостью на О (того же класса Сг). Об этой гладкости говорят, что она индуцирована гладкостью многообразия а множество О с этой гладкостью называют открытым подмногообразием многообразия %". По определению dim О — dimJ?".
В дальнейшем каждое открытое множество О произвольного многообразия & мы всегда будем рассматривать как многообразие с индуцированной гладкостью.
Заметим, что каждый атлас A={(t/a, ha)} многообразия Я определяет атлас О П А многообразия О, состоя
ОКРЕСТНОСТИ И ВНУТРЕННИЕ ТОЧКИ
115
щий из карт (0[}Ua, ha\onu ) Таким образом, чтобы получить индуцированную гладкость на О, нет нужды рассматривать все карты на ЭР, достаточно лишь карт одного атласа.
Из свойства 2° открытых множеств непосредственно следует, что для любого подмножества А топологического пространства ЭР существует наибольшее открытое множество (возможно, пустое), содержащееся в А (им будет объединение всех содержащихся в А открытых множеств). Это открытое множество обозначается символом Int А (или Л) и называется внутренностью множества А. Его точки называются внутренними точками множества А.
Ясно, что множество А тогда и только тогда открыто, когда Int Л = Л, т. е. когда все его точки внутренние.
Для любой точки (или, более общо, для любого подмножества) топологического пространства ЭР каждое содержащее эту точку (это подмножество) открытое множество называется окрестностью этой точки (этого подмножества). По определению точка тогда и только тогда является внутренней точкой подмножества А, когда в А содержится некоторая окрестность этой точки.
Таким образом, при ^ = IRn введенное понятие внутренней точки совпадает с понятием, известным из курса анализа.
Для любой карты (U, h) произвольного многообразия ЭР множество U (носитель карты) является окрестностью каждой точки p^U. На этом основании носители карт многообразия ЭР называются также координатными окрестностями.
Ясно, что любая окрестность V точки р $ U, содержащаяся в координатной окрестности U, также будет координатной окрестностью (с координатным отображением h\v). Следовательно, любая окрестность О точки р содержит некоторую координатную окрестность (такой окрестностью будет, например, пересечение On U).
Множество окрестностей точки р топологического пространства ЭР называется базой окрестностей (или фундаментальной системой окрестностей), если любая окрестность точки р содержит окрестность из этого множества. (Наглядно говоря, база должна содержать сколь угодно малые окрестности.)
116
ГОМЕОМОРФИЗМЫ, ПЕРВАЯ АКСИОМА СЧЕТНОСТИ
В этой терминологии доказанное утверждение означает, что координатные окрестности каждой точки произвольного многообразия образуют базу ее окрестностей.
Отображение f: SC—-У топологических пространств называется гомеоморфизмом, если оно биективно и множество О а. SC тогда и только тогда открыто в SC, когда множество fOa'H открыто в й/. Таким образом, гомеоморфизм— это биективное отображение, устанавливающее взаимно однозначное соответствие топологий.
Пространства SC и 3/ называются гомеоморфными, если существует хотя бы один гомеоморфизм Я—*У. Ясно, что топологические свойства (т. е. свойства, формулируемые исключительно в терминах открытых множеств) гомеоморфных пространств одинаковы. Таким образом, с точки зрения топологических свойств гомеоморфные пространства неразличимы.
Примером топологического свойства является свойство топологического пространства SC иметь в любой своей точке р счетную базу окрестностей. О таких пространствах говорят, что они удовлетворяют первой аксиоме счетности (или что они являются пространствами счетного локального веса).
Легко видеть, что любое метрическое пространство SC удовлетворяет первой аксиоме счетности (для любой его точки открытые шары с центром в этой точке, радиусы которых являются рациональными числами, составляют счетную базу ее окрестностей). В частности, первой аксиоме счетности удовлетворяет пространство R".
Каждое подмножество А топологического пространства SC обладает топологией (называемой индуцированной топологией), открытыми множествами которой являются пересечения О П А с А открытых множеств О пространства
Снабженное этой топологией подмножество А называется подпространством пространства SC.
Ясно, что любое подпространство пространства, удовлетворяющего первой аксиоме счетности, также удовлетворяет этой аксиоме. Поэтому, в частности, любое подпространство пространства R" удовлетворяет первой аксиоме счетности.
Семейство {Ua} открытых множеств топологического пространства & называется его открытым покрытием, если любая точка этого пространства принадлежит хотя
ВТОРАЯ АКСИОМА СЧЕТНОСТИ
117
бы одному элементу этого семейства, т. е. если
U иа^х. а
Например, носители Ua карт (Ua, ha) произвольного атласа многообразия X составляют открытое покрытие этого многообразия.
Пространство X называется локально евклидовым, если оно обладает открытым покрытием каждый элемент Ua которого гомеоморфен некоторому открытому множеству пространства R" (и, значит, удовлетворяет первой аксиоме счетности).
Но ясно, что если топологическое пространство X обладает открытым покрытием {С7а}, все элементы Uа которого удовлетворяют (в индуцированной топологии) первой аксиоме счетности, то само пространство X также удовлетворяет первой аксиоме счетности. (Этот факт выражают, говоря, что свойство удовлетворять первой аксиоме счетности является локальным свойством.) Поэтому каждое локально евклидово пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности.
С другой стороны, из следствия 1 непосредственно вытекает, что для любой карты (U, h) произвольного многообразия X отображение h: U —> h (£/) является гомеоморфизмом (причем множество h(U) открыто в К").
(На этом основании координатные отображения h, рассматриваемые как отображения на h(U), называются обычно координатными гомеоморфизмами.]
Следовательно, поскольку координатные окрестности составляют открытое покрытие многообразия X (этим свойством обладают даже координатные окрестности, являющиеся областями определения карт некоторого ат ласа), любое многообразие является локально евклидовым пространством и потому удовлетворяет первой аксиоме счетности.
Множество 51 открытых множеств топологического пространства называется его базой (или — более распространенно—базой открытых множеств), если каждое открытое множество этого пространства является объединением множеств из 53. О пространствах, обладающих счетной базой (т. е. базой, содержащей счетное число открытых множеств), говорят, что они удовлетворяют второй аксиоме счетности (а также, что они являются пространствами счетного веса).
118 НЕХАУСДОРФОВЫ МНОГООБРАЗИЯ
Ясно, что любое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, удовлетворяет и первой аксиоме счетности, но обратное, вообще говоря, неверно.
В этой терминологии лемма 2 лекции 1 утверждает (применительно к пространству R"), что все открытые рациональные шары пространства R", т. е. шары, радиусы которых рациональны, а центры имеют рациональные координаты, составляют базу этого пространства. Таким образом, пространство R" удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Тем не менее существуют многообразия, не удовлетворяющие второй аксиоме счетности (так что в этом отношении вторая аксиома счетности резко контрастирует с первой). Простейшим примером является дизъюнктное объединение несчетного семейства пространств Rn. (Более интересный пример мы приведем в лекции 11.)
Очень часто, вводя в множество % топологию, указывают явно лишь некоторую ее базу. Очевидно при этом, что множество «В подмножеств множества % тогда и только тогда может служить базой открытых множеств некоторой топологии на %, когда пересечение любых двух множеств из «В является объединением множеств из «В.
В частности, базой некоторой топологии может служить любое множество подмножеств, замкнутое относительно пересечений.
Топологическое пространство Я называется хаусдор-фовым (или отделимым), если любые две его точки р и q обладают непересекающимися окрестностями.
Ясно, что любое метрическое пространство хаусдор-фово и, значит, в частности, хаусдорфово пространство R". Тем не менее существуют гладкие нехаусдорфовы многообразия.
Пример 1. Пусть ^ = (К\{0))и {До, qa}, где р0, q0—некоторые элементы (не принадлежащие R\{0}), и пусть
t/ = ^\{7oH(R\{O})U{po}, У-^\{Ро} = (R\{0}) и ко}. Определим биективные отображения
h: k: V-+R
формулами
( Pi если p€R\{0},
'Р' — | 0, если p = p0
ГЛАДКОСТИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ 119
для любого p^U н
.. . | <7. если g£R\{0|,
k(q) = \ л
(0, если q = q<>
для любого q^U.
Ясно, что карты (U, h.) и (V, k) составляют атлас, и, значит, определяют на структуру гладкого многообразия (класса С“). В топологии этого многообразия любые две окрестности точек р0 и д0 пересекаются, и, значит, эта топология не хаусдорфова.
Построенное гладкое многообразие SC называется раздвоенной в нуле прямой (а также нехаусдорфовой прямой с особой точкой 0 кратности 2).
Аналогичным образом определяется нехаусдорфова прямая с особой точкой 0 кратности п, где п — произвольное целое число ^2.
Очень часто структуру гладкого многообразия приходится вводить на множестве %, на котором уже есть топология, т. е. которое является топологическим пространством.
В этом случае всегда молчаливо предполагается, что эта структура должна определять на SC данную топологию, т. е., как обычно говорят, должна быть согласована с этой топологией.
Для этого, конечно, необходимо, чтобы атлас, задающий на SC обладающую этим свойством гладкую структуру, состоял из карт (U, h), носители U которых открыты, а отображения h: U —>h(U) являются гомеоморфизмами. Оказывается, что это условие и достаточно.
Предложение 2. Пусть А = {(Па., ha)} —такой атлас на топологическом пространстве ЯР, что для любого а множество Ua открыто в ЯР и отображение ha: 7/а—> >ha(Ua) является гомеоморфизмом. Тогда гладкость, определяемая атласом А, согласована с топологией пространства ЯР.
Доказательство. Согласно предложению 1 множество ОссЯР тогда и только тогда открыто в топологии Та , задаваемой гладкостью, определяемой атласом А, когда для любого а множество ha (О П Ua) открыто (в R", а потому и в ha(Ua)), т. е., поскольку отображения ha являются гомеоморфизмами, когда множество О f)Ua открыто (в Па, а потому—в силу того, что 17 а открыто в Я, — И в Я").
120
IЛАДКОСТИ HA ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
С другой стороны, если множество Ос.% открыто в то, — поскольку Ua открыто в Я',—множество 0{}U„ также открыто в а если все множества О П Ua открыты в Я, то ввиду равенства
(1) O=U(On£4)
а
множество О открыто в Следовательно, множества, открытые в топологии Та, — это в точности множества, открытые в топологии пространства FJ
Замечание 1. Для прояснения изложенного доказательства стоит заметить, что фактически оно сводится к двум тривиальным замечаниям. Первое состоит в том, что топология каждого множества Ua определяется исключительно данным отображением ha (множество OcUa тогда и только тогда открыто в Ua, когда множество ha(O) открыто в R"), а второе—в том, что для любого топологического пространства и любого его открытого покрытия {Ua} топология пространства однозначно определяется (посредством равенства (1)) топологиями элементов Uа ЭТОГО ПОКРЫТИЯ.
Замечание 2. В силу предложения 2 гладкое многообразие может быть определено как топологическое пространство на котором задан атлас, носители Ua карт (Ua, которого открыты, а координатные отображения ha являются гомеоморфизмами. При этом требование, чтобы для любых аир множества Ла (Ua П (/р) и hfr(Uaf\ Up) были открыты в R, будет автоматически выполнено. Именно это определение обычно и встречается в литературе (иногда в несколько ином словесном оформлении), несмотря на его очевидную методологическую дефектность (аналогичное определение метрических пространств— в котором эта дефектность проявляется наиболее ярко—гласило бы, что метрическим пространством называется топологическое пространство для которого задана непрерывная функция р: ► R, удовлетворяю-
щая обычным аксиомам метрического пространства).
В примерах предыдущей лекции мы как раз и вводили гладкости в множества (Rn, S" и RP"), уже являющиеся топологическими (и даже метрическими) пространствами. [За расстояние между точками сферы S" принимается угол между радиус-векторами, а за расстояние между точками пространства RP" — угол между ними, как прямыми в пространстве R“+1. В обоих случаях—про
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
121
верьте это! — аксиомы метрических пространств выполнены-]
Задача 1. Докажите, что введенные в примерах 1—8 лекции 6 на пространствах §л и RP” гладкости согласованы с топологиями этих пространств.
Замечание 3. Пример 3 лекции 6 показывает, что на топологическом пространстве возможны различные гладкости (класса С“), согласованные с его топологией.
При г = 0, т. е. для топологических многообразий, ситуация оказывается совсем другой.
Пусть Ж—топологическое многообразие размерности п, и пусть (U, h) — некоторая карта в Ж. По определению это означает, что ис.Ж, a h является биективным отображением вида U—>-h(U), где h(U) — открытое множество в R". При этом, как уже неоднократно отмечалось, если (U, h) является картой многообразия Ж, то U открыто в Ж и h: U—»h(U) является гомеоморфизмом. Оказывается, что при г —0 верно и обратное.
Предложение 3. Карта (U, h) в топологическом многообразии Ж, для которой U открыто в Ж, а отображение h: U—>h(U) представляет собой гомеоморфизм, является картой многообразия Ж (принадлежит его максимальному атласу АМакс).
Для доказательства этого предложения мы воспользуемся следующей леммой:
Лемма 1. Если для карт (U, h) и (V, k) в топологическом пространстве Ж множества U и V открыты в Ж, а отображения h: U —> h ((/) и k: V- > h(V) являются гомеоморфизмами, то эти карты согласованы (в классе С°).
Предложение 3 является непосредственным следствием леммы 1, поскольку, согласно этой лемме, карта (U, h) из предложения 3 согласована с каждой картой (V, k) максимального атласа Амакс многообразия Ж и, значит, в нем содержится. Поэтому нам нужно лишь доказать лемму 1.
Доказательство леммы 1. Пересечение U n V открыто в Ж (а значит, и в (/). Следовательно, поскольку отображения h и k являются гомеоморфизмами, множества h (U П V) и k (U П V) открыты (соответственно в h ((/) и h(V), а значит, и в R").
Кроме того, так как отображения
h\unV: i/nV — h(UnV) и k\Unv-. UnV-^k(UnV)
122 НУЛЬМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
являются, очевидно, гомеоморфизмами, то их композиция
hok-1: k(Uf) V) — h(U(]V)
также будет гомеоморфизмом. Таким образом, карты (U, h) и (V, k) согласованы. □
Предложение 3 означает, что при г = 0 карты многообразия % характеризуются чисто топологически, т. е. что структура топологического многообразия на топологическом пространстве Я? (когда она существует) определяется единственным образом. Иными словами, структура топологического многообразия на топологическом пространстве SC не вносит в это пространство ничего нового и класс топологических многообразий—это просто некоторый подкласс класса всех топологических пространств.
Чтобы узнать, является ли данное топологическое пространство % топологическим n-мерным многообразием, надо рассмотреть всевозможные открытые подмножества гомеоморфные открытым подмножествам пространства R". Пространство & тогда и только тогда будет многообразием, когда все карты вида ((/, ft), где h: U—> —+h(U) — некоторый гомеоморфизм (a h(U)—открытое множество в R'!), составляют атлас, т. е. — поскольку согласно лемме 1 две такие карты согласованы, — когда множества U составляют открытое покрытие пространства №. Зто доказывает, что топологические многообразия — это в точности локально евклидовы пространства.
Замечание 4. Существуют локально евклидовы пространства (— топологические многообразия), в которых нельзя ввести структуру гладкого (класса Сг с г > 0) многообразия. (Такие многообразия называются несгла-живаемыми.) Условия, необходимые и достаточные для существования на топологическом многообразии гладкости, согласованной с его топологией, известны, но весьма сложны.
В дальнейшем, если только явно не оговорено противное, топологические многообразия мы из рассмотрения будем исключать.
Как уже сказано в лекции 6, случай п — 0 мы, вообще говоря, не исключаем. Однако на самом деле он мало интересен.
Действительно, при fi = 0 пространство R" состоит только из одной точки 0, и, значит, в нульмерном мно
КАТЕГОРИЯ,. TOP
123
гообразии ЭР каждая точка имеет только одну координатную окрестность, состоящую из самой этой точки. Таким образом, в нульмерном многообразии ЭР каждая точка (а потому и любое его подмножество) является открытым множеством. Обладающее этим свойством топологическое пространство называется дискретным. Поскольку любое дискретное пространство обладает, очевидно, единственной структурой нульмерного многообразия (в которой каждая его точка является носителем карты), мы видим, следовательно, что нульмерные многообразия—это в точности дискретные пространства.
Заметим, что карты нульмерного многообразия не пересекаются. Поэтому мы имеем право приписать такому многообразию произвольный класс Сг.
Каждое нульмерное многообразие (=дискретное пространство) ЭР метризуемо посредством метрики, в которой расстояние между двумя любыми различными точками равно единице. Это оправдывает наглядное представление об ЭР как о множестве, рассыпанном на отдельные изолированные точки.
В дальнейшем случай и = 0 мы будем, как правило, из рассмотрения исключать.
Отображение /: ЭР—>3/ топологических пространств называется непрерывным в точке р^ЭР, если для любой окрестности V точки [(р)в & существует такая окрестность U точки р в Э', что f(U)cV (сравните с (е, доопределением непрерывной функции).
Отображение f: ЭР-^ЧУ, непрерывное в каждой точке р С Э‘, называется непрерывным на ЭР.
Легко видеть, что отображение f: ЭР—+ЧУ тогда и только тогда непрерывно на ЭР, когда для каждого открытого множества Ос^ его полный прообраз f-10 ~ -- {р^.ЭР\ f (р) € 0} открыт в ЭР. Действительно, если отображение f непрерывно, то для любой точки р£}~Ю существует—поскольку О является окрестностью точки /'(р)—такая ее окрестность U в ЭР, что fUcO. Но тогда Ucf~10 и, значит, точка р является внутренней точкой множества /-10. Следовательно, множество 'О открыто. Обратно, если для любого открытого множества ОсчУмножество f 'О а. ЭР открыто, то, в частности, для любой точки РЧЧ.ЭР и любой окрестности Уточки /(р) в ЧУ множество U ~ f-лу (содержащее точку р) открыто (т. е. является
124 КАТЕГОРИЯ DIFF
окрестностью точки р). Так как fUaV, то, следовательно, отображение f непрерывно в точке р. 1.1
Отсюда следует, что гомеоморфизмы, f: Ж —»У—это в точности непрерывные биективные отображения, для которых обратное отображение f"1; У—также непрерывно.
Инъективное непрерывное отображение f: X—► $, являющееся гомеоморфизмом на подпространство фТ с: у, называется монеоморфизмом (ср. лекцию 1).
Заметим, что если множество Ос J открыто в %, и отображение f: Я—+У непрерывно, то, вообще говоря, множество fO может не быть открытым в У. Например, так заведомо будет, если подмножество пространства У не имеет ни одной внутренней точки. (Конкретный пример: = и f—вложение х*-*(х, 0).)
Непрерывные отображения f: % —>-У, обладающие тем свойством, что для любого открытого в X множества О множество fO с У открыто в У называются открытыми.
Задача 2. Покажите, что:
а) Для каждого топологического пространства Ж тождественное отображение id: %—> SC. р*-+р. непрерывно.
б) Для любых двух непрерывных отображений вида ф. X—г у и g: У—+% их композиция
ё°Ф p^g(f(p)),
также является непрерывным отображением.
Свойства а и б означают, что совокупность ТОР всех топологических пространств и всех их непрерывных отображений составляет категорию.
Если Ж и У — гладкие многообразия (размерностей п и т соответственно), то для любой точки любого
непрерывного отображения f: %—*У и любой координатной окрестности V точки f(p) в У окрестность U точки Ро в для которой fU с V, мы также можем считать координатной. Поэтому, если
h: U —> h ((/) с R" и k: V—> k (V) с:
— координатные отображения, то формула
/ = ^о(р(У)оЛ~1
будет определять некоторое отображение
(2) /: h(U)->-k(V)
КАТЕГОРИЯ DIFF
125
открытого множества h(U) пространства R" в открытое множество k(V) пространства Это отображение задается т функциями
(3) = • • •, хп), j=\, ...,т,
от п переменных, выражающих координаты у1, ..., ут точки V = /(х) (V) с через координаты х1, хп
точки х (: h (17) с: R" (т. е., иными словами, локальные координаты точки q = f(p)^V через локальные координаты точки p^U). Мы будем говорить, что функции (3) выражают (или задают) отображение f в картах (U, h) и (И, k) (в локальных координатах х1, . . ., хп и у1, . . ., ут).
Задача 3. Докажите, что если (U', h') и (У', k') — другие карты, обладающие тем свойством, что pa£U' и jU' с V, то функции, j'1, выражающие отображение f в картах (U', h') и (V', k') тогда и только тогда гладки в точке h' (р0), когда функции (3) гладки в точке h (р0).
В этом смысле свойство гладкости функций (3) не зависит от выбора карт (U, h) и (V, k).
Определение 3. Непрерывное отображение f: 37 —> У называется гладким в точке ра£37, если в некоторых (а потому и во всех) картах (U, h) и (V, k), обладающих тем свойством, что p^U и fl/cV, функции (3), выражающие отображение f, являются в точке h (р0) гладкими функциями (данного класса Сг).
Отображение f: 37—+&, гладкое во всех точках рС 37, называется гладким.
Задача 4. Докажите, что:
а) Для каждого гладкого многообразия 37 тождественное отображение id: 37—>37 гладко.
б) Для любых двух гладких отображений вида f: 37 ~><у ч g: <£/—>% их композиция
g°f:37-+2, p^g(f(p)).
является гладким отображением.
По определению это означает, что совокупность DIFF всех гладких многообразий и всех их гладких отображений является категорией.
Определение 4. Отображение f: 37-^>777 гладких многообразий назыгается диффеоморфизмом, если 1° оно биективно, 2° гладко, 3° обратное отображение ТУ —>37 гладко (и, зна-
чит, тоже является диффеоморфизмом).
126
ПЕРЕНЕСЕНИЕ ГЛАДКОСТИ
Очевидным примером диффеоморфизма является произвольное координатное отображение A: U—>h(U). (Вопрос: что за функции (3) задают это отображение?)
Обратно, легко видеть, что для любого открытого множества U гладкого многообразия SC и любого его диффеоморфизма h: U—>-h(U) на открытое множество h.(U)a:Rn пара (U, h) является картой многообразия 3? (принадлежит его максимальному атласу). Действительно, утверждение, что (U, h) принадлежит максимальному атласу, означает, что для любой карты (V, А) этого атласа карта (U, h) согласована с картой (V, k), т. е. множества h (U п К) и k (U П К) открыты в R" (или, что равносильно,— в h(U) и k(V)), а отображение k о A-1: h(U П V) —* k(U п V) является диффеоморфизмом. Но первое свойство следует из того, что множество U Г) V открыто в V и в U, а отображения А и А являются гомеоморфизмами, а второе— из того, что оба эти отображения (или, точнее, их ограничения на U П V) являются диффеоморфизмами (ср. выше доказательство предложения 3 и леммы 1). □
Многообразия J и называются диффеоморфными, если существует хотя бы один диффеоморфизм > 3/. Такие многообразия имеют одни и те же дифференциальные свойства (свойства, выражающиеся в терминах гладкостей) и в этом смысле одинаковы. В частности, dim SC — dim3/.
Задача 5. Докажите, что гладкие многообразия, получающиеся из прямой R введением стандартной гладкости и гладкости из примера 3 лекции 6, диффеоморфны.
Замечание 5. Можно показать — попытайтесь это сделать!—что любое одномерное некомпактное гладкое многообразие, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, диффеоморфно прямой R в стандартной гладкости (а компактное—окружности S1). Любопытно, что при п = 4 (и только при п = 4) на R" существуют гладкости (строящиеся очень сложно), согласованные с топологией на R", относительно которых R" не диффеоморфно R" в стандартной гладкости.
Пусть SC—некоторое множество, 3/—гладкое многообразие и [: SC—-У— биективное отображение. Тогда на SC существует единственная гладкость, по отношению к которой f является диффеоморфизмом. Картами этой гладкости являются возможные • пары вида А о/),
ПЕРЕНЕСЕНИЕ ГЛАДКОСТИ
127
где (U, h)— произвольная карта многообразия ЧУ. Об этой гладкости говорят, что она перенесена на % с ЧУ посредством f.
Ясно, что гладкости, перенесенные на Я? с ЧУ посредством биективных отображений [: УК —< ЧУ и g'. —+ ЧУ,
тогда и только тогда совпадают, когда отображение g о f'1: ЧУ—< ЧУ является диффеоморфизмом.
Лекция 8
Топологическая инвариантность размерности многообразий.— Размерность по покрытиям.— Компактные пространства.— Лемма Лебега.— Оценка сверху размерности компактных подмножеств пространства R".— Свойство монотонности размерности.— Замкнутые множества,— Монотонность размерности по замкнутым множествам.— Прямое произведение топологических пространств.— Компактность прямого произведения компактных пространств.
Сделанное в предыдущей лекции заключение о том, что структура топологического многообразия на топологическом пространстве & не вносит в это пространство ничего нового, на самом деле было несколько поспешным, поскольку априори не исключено, что одно и то же пространство % может обладать такими открытыми покрытиями {£/а} и {Vp}, что каждое множество Ua гомеоморф-но некоторому открытому множеству Ua пространства R", а каждое множество — некоторому открытому множеству Vp пространства К"1, где п=#/тг, и, значит, па пространстве & будут существовать две различные структуры топологического многообразия, в одной из которых % является n-мерным, а в другой m-мерным многообразием. Вопрос: может так случиться или нет—равносилен, очевидно, вопросу: является ли размерность топологическим инвариантом, т. е. обязательно ли гомеоморфные многообразия имеют одинаковую размерность.
Пусть такие покрытия {£/„} и {Ур} существуют. Выбрав два множества Uao и Vp„, обладающие тем свойством, что множество W — Uaa П Ур„ не пусто (ясно, что это всегда можно сделать), рассмотрим в пространстве R" множество Oj, являющееся образом множества W при гомеоморфизме Uao —► 0аа, а в пространстве К"1 множество О2, являющееся образом множества W при гомеоморфизме » V$n. Множества Oj и О2 открыты (в пространствах R" и IR"1 соответственно) и гомеоморфны. Обратно, если такие множества существуют, то они составляют пример гомеоморфных многообразий различных размерностей.
Таким образом, наш вопрос сводится к тому, могут ли быть гомеоморфны открытые множества в пространствах R" и IR"1 с п=£т. Mti покажем, что ответ на этот
ИНВАРИАНТНОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ МНОГООБРАЗИЙ
129
вопрос отрицателен и, значит, справедлива следующая теорема о топологической инвариантности размерности многообразий, полностью снимающая все сомнения:
Теорема 1. Гомеоморфные многообразия имеют одну и ту же размерность.
Чтобы доказать теорему 1, мы для любого топологического пространства % определим целое число dim ST, которое будем называть его размерностью. По определению это число топологически инвариантно, т. е. одно и то же для любых гомеоморфных пространств. Кроме того, мы докажем, что для любого замкнутого ограниченного (компактного; см. ниже) множества FcR" имеет место неравенство
(1) dimF<n,
причем в случае, когда F является кубом /" пространства R", состоящим из точек /==(/1, ..., /"), для которых | 1 при всех i = l, ..., п, это неравенство переходит
в равенство:
(2) dimZn = n.
Этого уже достаточно для доказательства теоремы 1.
Действительно, пусть Ot и О2—гомеоморфные открытые множества пространств R" и R"’ соответственно. Поскольку множество Oj открыто, оно содержит замкнутое и ограниченное подмножество F\, гомеоморфное кубу /'. Пусть F2— образ этого подмножества при гомеоморфизме
—>- О2. Подмножество’/7.; пространства R” также замкнуто и ограничено (докажите!). Поэтому, согласно формуле (1), dimF2^/n. С другой стороны, так как функция dim топологически инвариантна, то dim F2 = dim Fj = dim Г‘—п. Следовательно, п^т. Так как множества OL и О2 играют в этом рассуждении симметричные роли, то, переставив их, мы аналогично получим, что т^п. Следовательно, п=т, что и доказывает теорему 1. П
Замечание 1. Следует иметь в виду, что для многообразия % (даже гладкого) число dim.2я может быть отлично от его размерности в смысле определения 5 лекции 6 (см. ниже пример 4). Временно (только в этой лекции!) мы будем размерность многообразия Ж в смысле определения 5 лекции 6 обозначать символом dim' ЯГ Ниже (см. замечание 3) мы дадим этому числу топологи-
5 М. М. Постников, сем. 111
130 РАЗМЕРНОСТЬ ПО ПОКРЫТИЯМ
ческую характеристику (и тем самым еще раз докажем теорему 1).
Функцию dim мы введем посредством следующей серии определений:
Определение 1, Говорят, что покрытие {t/a} пространства ЭР вписано в покрытие {Ур), если для любого а существует такое 0, что t/a<=Vp.
Определение 2. Говорят, что покрытие {6/а} пространства ЭР имеет кратность <= п 4- 1, если пересечение любого (п 4- 2)-членного подсемейства покрытия {иа} пусто. Если покрытие {£/а} имеет кратность п 4- 1, но не имеет кратности (т. е. в нем существует (п+ 1)-членное подсемейство с непустым пересечением), то говорят, что покрытие {Ua} имеет кратность п 4-1.
Определение 3. Говорят, что dim ЭР если в любое конечное открытое покрытие пространства ЭР можно вписать конечное открытое покрытие кратности ^«4-1. Если dim^^rt, но неверно, что dim^’^n4-l, то говорят, что dim ЭР — п.
Пример 1. Дискретное пространство, очевидно, нульмерно.
Пример 2. Множество всех рациональных чисел (в топологии, индуцированной топологией вещественной прямой) также нульмерно (в любое конечное открытое покрытие этого множества можно вписать конечное покрытие, состоящее из непересекающихся интервалов и потому имеющее кратность 1).
Пример 3. По аналогичным соображениям нульмерно и множество всех иррациональных чисел.
Пример 4. Пусть ЭР—нехаусдорфова прямая с особой точкой 0 кратности п 4- 1, и пусть {Ua}—такое конечное открытое покрытие пространства ЭР, что все п 4- 1 точек, на которые распалась точка 0, содержатся в различных элементах этого покрытия. Тогда кратность этого покрытия, а также любого открытого покрытия, вписанного в покрытие будет >п4- 1. Это показывает, что dim^^n (тогда как dim'^’=l).
Таким образом, для нехаусдорфовых многообразий инвариант dim не отражает адекватно интуитивного представления о размерности.
Замечание 2. Имеет ли место для всех хаусдор-фовых многообразий равенство dim ЭР — dim' ЭР, неизвестно. Можно показать, что dim ЭР == dim' Э', если многообразие
КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
131
:Г паракомпактно (паракомпактные многообразия мы определим в лекции 23).
Пример 5. Наглядно очевидно, что в любое конечное открытое покрытие отрезка Z=[—l, 1] можно вписать покрытие, состоящее из интервалов, лишь чуть-чуть перекрывающихся их концами (и, следовательно, имеющее кратность 2). Поэтому dim/^Cl. Поскольку равенство dim/ = 0, очевидно, невозможно (отрезок I нельзя покрыть конечным семейством непересекающихся интервалов длины < 1), этим доказано, что dim/= 1 (см. формулу (2)).
Задача 1. Обоснуйте строго изложенное рассуждение.
Пример 6. Покрыв квадрат I2 — {(х, у) g R2, —1^ 7х<Л, —1 У 1} рядами кирпичей так, чтобы стыки кирпичей каждого ряда приходились па середины кирпичей соседних рядов, и чуть-чуть увеличив затем каждый кирпич, мы получим конечное открытое покрытие квадрата кратности 3. Можно показать (см. ниже, по мы рекомендуем читателю доказать это немедленно), что подобного рода мостовую можно вписать в любое
конечное открытое покрытие квадрата. Поэтому dimP^2. (Обратное неравенство dim Л ^2 доказывается, как мы увидим, существенно сложнее.)
Наша ближайшая цель будет состоять в обобщении изложенного в примере 6 построения на «-мерный куб /"={(/!> .... -1 1}.
Для этого нам понадобится некоторая подготовительная работа.
Определение 4. Топологическое пространство 36 называется компактным (в русской математической литературе также бикомпактным, а у Бурбаки — квазикомпакт-ным), если из любого его открытого покрытия {Ua} можно выбрать конечное подпокрытие.
Легко видеть, что любое бесконечное подмножество компактного пространства имеет предельную точку (каждая окрестность которой содержит бесконечно много точек подмножества). Действительно, в противном случае, каждая точка пространства имеет окрестность, содержащую только конечное число точек подмножества. Эти ок peer
s''
132
ЛЕММА ЛЕБЕГА
ности составляют открытое покрытие, обладающее тем свойством, что никакое его конечное подсемейство не является покрытием (поскольку общее число точек подмножества, содержащееся в элементах этого подсемейства, конечно). Так как в компактном пространстве такое покрытие существовать не может, то, следовательно, предельные точки существуют. (']
Подмножество А топологического пространства называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии (как подпространство).
Открытым покрытием в пространстве подпространства А называется такое семейство {Ua} открытых множеств пространства 36, что
4с U Ua. а
В этом случае пересечения A A Ua составляют открытое покрытие А как топологического пространства (в индуцированной топологии) и любое покрытие А может быть так получено (хотя и не единственным способом). Поэтому подпространство тогда и только тогда компактно, когда из любого его открытого покрытия в 36 может быть выбрано конечное подпокрытие.
Известная из курса анализа теорема Гейне — Боре л я утверждает, что любое замкнутое ограниченное подпространство пространства R" компактно. В частности, куб I" компактен.
Напомним, что диаметром подмножества К. метрического пространства 36 называется число
d(K)= sup р(р, q),
р, qtK
где р—метрика на 36.
Лемма I (лемма Лебега). Для произвольного открытого покрытия {£/«} компактного метрического пространства 36 существует такое положительное число 8 > 0, что любое подмножество К пространства диаметра, меньшего чем е, содержится в некотором элементе покрытия {^а}.
Доказательство. Если такого числа е не существует, то для любого п > 0 в 36 найдется подмножество диаметра < 1/п, не содержащееся ни в одном элементе покрытия {Па}. Произвольно выбрав в точку ри, рассмотрим множество {р,,}. Так как 36 компактно, то это
ОЦЕНКА СВЕРХУ РАЗМЕРНОСТИ
133
множество имеет хотя бы одну предельную точку р0. Пусть Роб^а». и пусть d—расстояние от р0 до %'\Uait (т. е. d = infp(p0, р), где р£ &\Ua). Если п > 2/d и р(р0, р„)< < <2/2, то
р(Ро. Р) ^Р(Р«. Рп) + р(Рп, P)<j+^<d
для любой точки р£Кп, и> значит, вопреки предположению, Kn<=.Uaa. □
Предусмотренное леммой Лебега число е > 0 называется числом Лебега покрытия {^а}.
Покрытие {Vp} метрического пространства % называется ^-покрытием, если d(Vp)<e для любого ₽.
Следствие 1. Если е—число Лебега покрытия {^а}, то любое конечное открытое г-покрытие {Vp} компактного метрического пространства % вписано в {£/а}. □
Следствие 2. Для компактного метрического пространства ЭИ неравенство имеет место тогда
и только тогда, когда для любого е > 0 существует конечное открытое е,-покрытие пространства 3? кратности ^/г + 1. □
Теперь мы уже можем обобщить пример 6 на любое п (и на любое замкнутое ограниченное множество FcR").
Предложение 1. Для каждого замкнутого ограниченного множества F<^Rn имеет место неравенство dimF^n.
Доказательство. Пусть N > 0. Индукцией по п построим для любого п 1 некоторое специальное покрытие пространства R", состоящее из замкнутых множеств, которое мы будем называть мостовой ранга N. При этом точки пространства R", п 2, мы будем отождествлять с парами (t, t), где fgR"-1 и Z£R.
По определению мостовая ранга N прямой R состоит из отрезков [(о— 1) / N, а / JV], — оо < а < оо.
Пусть мостовая ранга N пространства R"-1, п ^2, уже построена. За мостовую ранга N пространства R" мы примем покрытие, которое состоит из всех множеств вида Kx[(a—\)/N, a/N] =
= {(*, /)6R, (a—
где а—произвольное целое число, а К — при а нечетном — элемент мостовой ранга N пространства R"-1, а при а
134
СВОЙСТВО МОНОТОННОСТИ РАЗМЕРНОСТИ
четном—элемент мостовой ранга Af пространства R"-1, сдвинутый на вектор (1/2jV, 1/2jV).
Индукцией по п немедленно доказывается, что:
а) мостовая ранга N пространства R" является покрытием пространства R", состоящим из кубиков со стороной 1/AZ;
б) любая точка пространства R" принадлежит не более чем п-1- 1 кубикам мостовой ранга N, причем точка тогда и только тогда принадлежит точно п-\- 1 кубикам, когда она имеет вид
! Qi an-i
V 2N ’ • • • ’ 2N ’ N ) ’
где йц .... оп-1, й„—целые числа.
Поскольку диаметр кубика со стороной а в пространстве R" равен, очевидно, a]f п, мы видим, следовательно, что мостовая ранга N является замкнутым (состоящим из замкнутых множеств) (|/п/М)-покрытием пространства R" кратности п+1. Чтобы получить открытое покрытие, мы, выбрав некоторое число 6 > О, заменим каждый кубик мостовой его S-окрестностью (имеющей, очевидно, диаметр 2S+ (]/пМ0). При достаточно малом 6 (именно, при 6< < 1/2tV) от этого кратность покрытия не изменится. Поскольку для любого е > 0 существуют такие N и S, что е > 28+ (УnjN), мы видим, следовательно, что для любого е > 0 существует открытое г-покрытие пространства R" кратности п + 1.
С любым замкнутым ограниченным (т. е. компактным) подмножеством F пространства R" пересекается лишь конечное число элементов этого покрытия, и, значит, это покрытие высекает на F конечное открытое 8-покрытие кратности <п + 1. Поэтому dimF^.n. □
Таким образом, из двух формул (1) и (2), нужных для доказательства теоремы 1, мы уже доказали формулу (1). Чтобы завершить доказательство теоремы 1, нам, следовательно, осталось доказать лишь неравенство dim 1п^п (что на самом деле является наиболее трудной частью доказательства). Мы, чтобы не прерывать изложения, сделаем это в следующей лекции, а пока обсудим более подробно формулу (1).
За счет более искусного использования конструкции мостовых можно показать, что формула (1) справедлива
ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА 136
для любых подмножеств F пространства R" (не обязательно замкнутых и ограниченных).
Задача 2. Докажите формулу (1) для произвольных подмножеств FcRn.
В частности, при F = Rn мы получаем, что
(3) dimR"^n.
Поэтому формула (1) является следствием—формально более точного—неравенства
(4) dim F<2 dim R"
(на самом деле, как мы увидим ниже, в формуле (3) имеет место знак равенства:
(5) dimR" = n,
и поэтому неравенства (1) и (4) равносильны).
Формула (4) утверждает, что для топологического пространства R" размерность произвольного его подпространства не превосходит размерности самого пространства, что вполне согласуется с нашей геометрической интуицией. Естественно ожидать, что аналогичное свойство монотонности размерности
(6) dim F dim SF
справедливо и для подпространств F произвольного топологического пространства Однако, как мы увидим на примере в лекции 10, неравенство (6), вообще говоря, неверно, и для его справедливости надо налагать на F или на SF те или иные дополнительные условия.
Определение 5. Подмножество F топологического пространства Я? называется замкнутым, если его дополнение открыто.
Для подмножеств метрических пространств (и, в частности, для подмножеств пространства R") это определение известно из курса анализа (и для этих пространств мы им уже пользовались).
Задача 3. Докажите, что в любом многообразии SF каждое одноточечное множество замкнуто (т. е., как принято говорить, точки в SF замкнуты).
Задача 4. Докажите, что каждое замкнутое подмножество компактного пространства компактно. [У капа ц и е. Воспользуйтесь тем, что при добавлении к про
136
ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
невольному открытомуГпокрытию множества F открытого множества ^\F получается открытое покрытие всего пространства ££.]
Ясно, что:
1° Пустое множество 0 и все пространство % замкнуты.
2° Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.
3° Объединение любого конечного семейства замкнутых множеств замкнуто.
Ср. соответствующие свойства 1°—3° открытых множеств в лекции 7.
Из свойства 2° замкнутых множеств непосредственно следует, что для любого подмножества А топологического пространства существует наименьшее замкнутое множество, содержащее А (им будет пересечение всех содержащих А замкнутых множеств). Это замкнутое множество называется замыканием множества А и обозначается символом А (в русской топологической литературе используется также символ [Л], а в англоязычной—символ С1 Л).
Ясно, что точка р^^ тогда и только тогда принадлежит А, когда любая ее окрестность пересекается с А. Это означает, что
Ж\Л=1п1 (^\Л).
[Заметим, что для Int Л имеет место двойственная формула ^\Int Л=»^\Л.]
Задача 5. Докажите, что следующие свойства отображения ft равносильны:
а) Отображение f непрерывно.
б) Для любого замкнутого множества СсЗ/ множество f~1Ccz£F замкнуто.
в) Для любого множества Л cf имеет место включение ДЛ)сЙЛ).
г) Для любого множества В а 2/ имеет место включение
Замечание 3. Выше мы видели, что инвариант dim не всегда адекватен интуитивному представлению о размерности. Можно пытаться поправить дело, введя новый инвариант dim'. Для любого топологического пространства мы будем считать, что dim'^C.«, если для про
МОНОТОННОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ
137
извольной окрестности U каждой точки р £ X существует такая окрестность V этой точки, содержащаяся в окрестности U, что для ее замыкания V в U имеет место неравенство dim V п. (Оговорка «в U» здесь существенна, поскольку замыкание окрестности V в Я,' может быть существенно больше). Если dim'^^n, но неверно, что dim'^^/i— 1, то по определению dim'^’ = n. Так как любая точка каждого открытого множества UcR" обладает окрестностью, замыкание которой гомеоморфно кубу то (здесь мы пользуемся еще недоказанной формулой (2)) для любого многообразия 33 число dim'.#’ совпадает с его размерностью в смысле определения 5 лекции 6 (см. выше замечание 1). Условия, необходимые и достаточные для выполнения равенства
dim 33 = dim' 33,
до сих пор неизвестны (см. выше пример 4 и замечание 2).
Как уже говорилось, размерность подпространства может быть больше размерности всего пространства.
Однако для замкнутых подпространств это невозможно.
Предложение 2. Для любого замкнутого подпространства F произвольного топологического пространства 33
(7) dim F dim 33.
Доказательство. Пусть {£/а}— произвольное конечное открытое покрытие подпространства F. Утверждение, что Uа открыто в F, означает, что в •#" существуют такие открытые множества U'a, что Ua = U'a[]F для любого а. Множества U'a вместе с множеством 3F\F образуют конечное открытое покрытие пространства 33 Поэтому существует вписанное в это покрытие конечное открытое покрытие {У₽} кратности + 1, где n = dim^. Рассмотрим все непустые множества вида Ур Г) F. Ясно, что эти множества образуют конечное открытое покрытие подпространства F кратности ^п-\ 1, вписанное в покрытие {Uа}. Таким образом, в каждое конечное открытое покрытие подпространства F можно вписать некоторое конечное открытое покрытие кратности <2 п 1. Следовательно, dimF^n. □
В примере, который мы построим в лекции 10, подпространство F будет открытым (а пространство 33 хаус-дорфовым и компактным).
138
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ
Можно показать (это трудная теорема!), что для выполнения неравенства (6) для любого подпространства /' достаточно, чтобы пространство % было метризуемо и удовлетворяло второй аксиоме счетности (вообще, мет-ризуемые пространства, удовлетворяющие второй аксиоме счетности, являются в определенном отношении наиболее естественной областью построения теории размерности, вне этого класса пространств почти любое «естественное» свойство размерности оказывается, вообще говоря, неверным). Поэтому в примере из лекции 10 пространство Я заведомо либо не метризуемо, либо не удовлетворяет второй аксиоме счетности. (На самом деле, как можно легко показать, оно и не метризуемо, и не удовлетворяет второй аксиоме счетности. Это не мешает ему быть хаусдорфовым и компактным.)
Замечание 4. Из предложения 2, в частности, следует, что dimf"^dimRn. В силу формулы (2), которую мы докажем в лекции 9, это означает, что n^dimR". Вместе с формулой (3)—заметим, у нас еще не доказанной!— это дает равенство (5).
Наряду с намеченным выше, возможен другой — более концептуальный — подход к доказательству формулы (3).
Он основывается на одной простой, но важной топологической конструкции, в частных случаях уже излагавшейся в курсе анализа.
Пусть % и 3/—-произвольные топологические пространства, и пусть ^ХЙ/— множество всех пар (р, п), где р g 3? и q ё У. Если U с SC и V с ЙЛ то U х V с х Й/, и ясно, что множество всех подмножеств вида U х V, где U открыто в X, а V открыто в У, замкнуто относительно пересечений. Поэтому это множество является базой некоторой топологии на ^’хй/.
Определение 6. Получающееся топологическое пространство называется прямым (или декартовым) произведением пространств Я? иЙ/. Обозначается оно тем же символом Я'хЧУ.
Легко видеть, что прямое произведение Жх& хаусдор-фовых пространств X и У хаусдорфово. Действительно, пусть (pi, (?1) и (р2, q2)—две различные точки пространства ^ХЙ/. Тогда либо Pi #= р2, либо q1^qi. Пусть для определенности pI=^-p2. Так как пространство.^' по условию хаусдорфово, то точки pt и р2 обладают в Я? непере-секающимися окрестностями и Ua. Тогда множества
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ
139
и £/2хЙ/ будут непересекающимися окрестностями точек (р}, qj и (р2, q.2) в произведении Хх<У. □ Аналогично определяется прямое произведение Хгх . ..
... X X п любого конечного семейства топологических пространств. Оно также хаусдорфово, если хаусдорфовы пространства Хх, .... X п.
Задача 6. Докажите, что
R" = Rx ... х R.
п раз
(Указание. Для любого шара пространства R существуют вписанный и описанный кубы с гранями, параллельными координатным плоскостям.]
Для того чтобы множества Ux V составляли базу пространства Хх&, нет нужды, чтобы U и V пробегали все открытые множества пространств J и 3/ соответственно. Достаточно, очевидно, чтобы U пробегали некоторую базу пространства X, а V — некоторую базу пространства &. Поэтому прямое произведение пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности, также удовлетворяет этой аксиоме.
В частности, мы снова видим, что пространство R" удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Рассмотрение простейших примеров (скажем, кубов 1п) наводит на мысль, что для любых двух пространств X и й/ должно иметь место равенство
(К) dim (ХхУ) — dim X-Y dimS/.
Однако примеры, изложить которые из-за их сложности мы здесь не можем, показывают, что равенство (8) неверно даже для компактных метрических пространств.
Задача 7. Докажите, что любое компактное метрическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Более того, для произвольных топологических пространств X и й/ может не выполняться даже неравенство (9) dim х й/) jC dim -L dimS/.
Тем не менее можно показать, что в классе метрических пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности (а также в классе хаусдорфовых компактных пространств), неравенство (9) верно. Поскольку, как легко видеть, diniR= 1 (ср. выше пример 5), это, в частности, снова Доказывает неравенство (3). Однако доказательство формулы
140
КОМПАКТНОСТЬ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
(9) для метрических пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности, довольно сложно и здесь нет места для его изложения.
Утверждение, что формула (9) справедлива в классе хаусдорфовых компактных пространств, предусматривает, в частности, что справедливо следующее предложение:
Предложение 3. Прямое произведение компактных топологических пространств компактно.
Доказательству этого предложения мы предпошлем несколько замечаний о проекции
(10) (р, q)*-*p.
Прообразом при проекции (10) произвольного открытого множества U с SC является (по определению открытое) множество i/xg/. Следовательно, проекция (10) является непрерывным отображением.
Более того, так как каждое множество вида U х V проектируется на множество U, то каждое открытое мно жество пространства УСхЧУ проекция (10) отображает на открытое множество пространства ЗС (является открытым отображением).
Конечно, аналогичные утверждения справедливы и для проекции +Й/, (/?, q) *—>q, а также для проекций
X ... X —« произведения любого числа прост-
ранств на каждый из сомножителей.
Вместе с тем, вообще говоря, проекция (10) может замкнутое множество переводить в незамкнутое (например, при проекции Ra —>-R, (х, у)н^-х, гипербола ху = 1, являющаяся замкнутым множеством плоскости R2, переходит в незамкнутое множество R\{0} оси R). Однако если пространство ЧУ компактно, то для любого пространства УС каждое замкнутое множество пространства УС проекция (10) отображает на замкнутое множество пространства УС (является, как говорят, замкнутым отображением). Действительно, пусть точка р0 € не принадлежит проекции пр F а УС замкнутого множества F с ЗУ х ЧУ, т. е. пусть {РьУхЧУ а: (&хЧУ)\Р. Так как множество (УСхЧУ)\Р открыто и,* значит, любая его точка является его внутренней точкой, отсюда следует, что для каждой точки у£ЧУ существует такая ее окрестность”с ЧУ и такая окрестность U(q) с УС точки ра, что U(q)xVq а ($’хЙ/)\Р. Все окрестности Vq, у£ЧУ, составляют открытое покрытие пространства ЧУ, и потому—в силу компактности простран
КОМПАКТНОСТЬ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 141
ства й/— из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие У91, .... V4n. Пусть
f/ = f/(<h)n ... Под-
множество U открыто, содержит точку ра и обладает тем свойством, что для любой точки p^.U все точки произведения ^хй/ вида (р, q), q€.&, не принадлежат F (если q € то (р, q)£ U ((/,) х Vv. с: (Я х &)\F). Это означает, что {р} Хй/с: (.2"хй/)\Г, т. е., что pffcnpF. Тем самым доказано, что каждая точка pn(£npF обладает такой окрестностью U а: X, что U с ^"\пр F, т. е. точка р0 является внутренней точкой множества ^"\npF. Следовательно, это множество открыто, и, значит, множество пр F замкнуто. □
Теперь мы уже можем доказать предложение 3.
Доказательство предложения 3. Пусть пространства J и 3/ компактны, и пусть {IFa}— произвольное открытое покрытие пространства ^"хй/. Будем называть—только в этом доказательстве!—открытое множество О! с: X отмеченным, если подмножество Охй/ произведения ^х& содержится в объединении конечного подсемейства покрытия {IFa}. Для любой точки подпространство {р}хй/ произведения ^хй/гомеоморфно (докажите!) пространству Й/ и, значит, компактно. Поэтому оно покрывается конечным подсемейством покрытия
Пусть F—замкнутое подмножество пространства ^Хй/, являющееся дополнением в ^хй/ объединения G всех элементов этого подсемейства. Так как 3/ по условию компактно, то, по доказанному .'проекция пр F множества F замкнута в и, значит, ее дополнение О открыто. С другой стороны по построению множество Охй/ содержится в G. Следовательно, множество О отмечено. Поскольку р€0, этим доказано, что все отмеченные множества составляют покрытие пространства В силу компактности % из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, т. е. найти конечное семейство отмеченных множеств, покрывающих %. Но ясно, что объединение любого конечного семейства отмеченных множеств отмечено. Следовательно, & отмечено, и, значит, покрытие {IFa} содержит конечное подпокрытие. П
Доказательство неравенства (9) для хаусдорфовых компактных пространств также слитком сложно, чтобы мы могли его здесь изложить.
Лекция 9
Теорема о барабане.— Теорема Брауэра о неподвижной точке.— Теорема о перегородках в кубе. — Нормальные н вполне нормальные пространства.— Продолжение перегородок.— Теорема Лебега о покрытиях куба.— Оценка размерности куба снизу.
В предыдущей лекции мы доказали, что Основная цель этой лекции—доказать обратное неравенство и тем самым установить, что
dim/" = л для любого л^О.
Для этого мы должны будем начать довольно издалека.
Определение /. Подпространство А топологического пространства Я называется его ретрактом, если существует такое непрерывное отображение
г: Я-^А
(называемое ретрагирующим отображением или просто ретракцией), что г (а) —а для любой точки а^А.
Напомним, что символом В" мы обозначаем единичный шар пространства R", состоящий из точек xgRn, для которых | х | < 1 (где, как всегда, | х | == Кх? + • • • если х = \хх, ..., хп), а символом S'1”1—единичную сферу (подмножество шара В", состоящее из точек x^R", для которых | х| = 1).
Теорема Г. Сфера S'1"1 не является ретрактом шараВ".
При л = 2 эта теорема дает теоретическое объяснение тому, что на окружность можно натянуть пленку, т. е. сделать барабан. Поэтому теорема 1 называется обычно теоремой о барабане.
Несмотря на наглядную очевидность теоремы 1, доказательство ее неожиданно является довольно сложным и требует привлечения целого ряда новых идей. Поэтому мы отложим его до лекции 24.
Легким следствием теоремы 1 является следующая теорема Брауэра о неподвижной точке:
Теорема 2. Для любого непрерывного отображения [: В" —> В" шара В" в себя существует такая точка х£ В", чтщ f (х) = х,
ТЕОРЕМА О ПЕРЕГОРОДКАХ В КУВЕ
143
Доказательство. Если ((х)Д=х, то определена прямая, проходящая через точки х и f(x). Пусть г (х)— та из двух точек пересечения этой прямой со сферой S"-1, которая не отделена от точки х точкой f (х). Если f (х)=^=х для всех точек х, то эта конструкция _______
определяет (очевидно, непрерывное) отображение г: В'1—►S"-1. Если / \
x£S“-1, то не отделенной от точки х 7 \
точкой пересечения является сама точка I / 1
х. Поэтому г(х) = х, т. е. г является \ /, }
ретрагирующим отображением. Посколь- \ / у
ку существование такого отображения S
противоречит теореме 1, неравенство /(х) ^х для всех точек хёВ" выполнено быть не может. □
Следствие 1. Для любого непрерывного отображения J: 1п—►/" куба 1п в себя существует такая точка typ1, что f(t0) = t0.
Доказательство. Достаточно заметить, что куб Г' гомеоморфен шару В". [Гомеоморфизм В" —> /" можно задать, например, формулой
Хн->Х(х) х, х£В",
где X(0) — 0 и Х(х) при х#=0— длина вектора ОМ, коллинеарного вектору х и такого, что точка М принадле-
жит границе куба /" (легко видеть, что с точностью до знака вектор ОМ этим условием определен однозначно).] □
Замечание 1. Теорема 1 легко вытекает из теоремы 2. Действительно, если бы ретракция г: В" —^S"-1 существовала, то составное отображение
i о а о г'. В” -—> В",
гдеа: S"-1 —>S"-1—антиподальное отображение xi—>— х, a i — вложение S4-1 • > В", было бы отображением В"—*В" без неподвижных точек.
Определение 2. Пусть А и В — непересекающиеся подмножества топологического пространства Д. Говорят, что замкнутое множество С с Д отделяет А от В (или что оно является перегородкой между А и В), если его дополнение Д\С является объединением таких непере-
144
ТЕОРЕМА О ПЕРЕГОРОДКАХ В КУВЕ
секающихся (и автоматически открытых) множеств U и V, что А с U и В с У.
Конечно, перегородка С может быть и пустым множеством (так будет, если само пространство SC является объединением открытых непересекающихся множеств (/ и V, содержащих соответственно множества А и В).
Для любого k = 1, .... п и любого е = ± 1 мы обо-
значим символом
грань куба состоящую из точек / = (/п ..., /„)€/", для которых /й = е.
Теорема 3 (о перегородках в кубе). Пересечение Г) ... А Сп любых перегородок Сх, ..., Сп, отделяющих в кубе 1п грани i—1), ..., /„-1(—1) от граней /?-1(Ч-1), ..., /й-1(+1), не пусто:
С1ПСг?£0 CjП • • ПС„#=0.
Доказательство. По условию для любого k — = 1, . . ., п
/в\сА = ^(-1)и^(+1),
где (7Л(—1) и £7/г(4~1)—такие непересекающиеся открытые множества, что 1&~г(—1)с1Д(—1) и /£-1(+ l)<=f/ft(+1). Для каждой точки t £ Г мы положим
Р/г (О — inf 11 — s |, k = 1, ..., п.
Заметим, что в силу компактности множества Ck равенство рЛ(?) = 0 равносильно включению t^Ck.
Лемма 1. Число pk(t) обладает тем свойством, что Рл—epHOKh если t = ..., /п)€^/г(е).
Из этой леммы следует, что формула
Z(O = Gi-^i. ^-тв),
( ерй(0. если t^Uk(e>,
где xk — л _ k =1, .... п,
я ( О, если t£Clt,
корректно определяет некоторое (очевидно, непрерывное) отображение /: 1п —+ /", обладающее тем свойством, что f (t) — t тогда и только тогда, когда pft (t) = 0 для любого k = 1, ..., п, т. е. когда t g Сх П • • • П Сп. Поскольку же, согласно следствию 1 теоремы 2, в кубе /" существует
ТЕОРЕМА О ПЕРЕГОРОДКАХ В КУБЕ
145
точка t0, для которой — это доказывает, что • • ЛС„У=0. □
Осталось доказать лемму 1.
Доказательство леммы 1. Пусть точка t С /" принадлежит открытому множеству Uft(e). Так как перегородка Ск отделяет грани /к^(~О и /Г1 (+1), то перпендикуляр к этим граням, проходящий через точку t, пересекает перегородку Ск в некоторой точке ск, лежащей между точкой t и ее проекцией на грань 1к~'(—е). Если к = 4-1, то для k-й координаты slt точки ск имеет место неравенство sk tk, а если е = — 1,— то неравенство sk^tk.
При этом |sA— ik\ = ok, где ак— расстояние между точками t и ск. Поэтому
s!t =
Поскольку, согласно определению,
(0.
отсюда следует, что при е = 4~1
ift — ®Р* (О = h Рй(О h al< = e'<yli==sk ==^— 1»
а при е = — 1
h—ePft (О — h + Рл(О + ak = h—еогл = ss
С другой стороны, при е = 4-1
h—ePft(^)= Ч Pft(^) h
а при е = — 1
h ФА (О — h + Pft (0 ==^ h ==^ 1-
Таким образом, во всех случаях
\Ч-ерИОК 1- □
Замечание 2. Теорема 1 также легко вытекает из теоремы 3. Действительно, пусть /" — граница куба Г (состоящая из точек ££/", для которых /А = ±1 хотя бы при одном k = 1, .... п), и пусть Sft, k = 1, ..., п,— ее подмножество, состоящее из точек t£ln, для которых /fc = 0. Ясно, что Sk является перегородкой в отделяющей грани /£-1(—1) и /£-1(+ !)• Поэтому для любой ретракции г: 1п —* 1п прообраз Ck = r~lSk множества Sk
146 НОРМАЛЬНЫЕ И ВПОЛНЕ НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
будет перегородкой между прообразами —1)
и г"1/*?"1 (+1) граней /*-1(—1) и /£-1(+1), а значит,— ввиду включений /£-1(е) с г-1/£-1(е),— и между самими гранями —I) и У*'1 (+ !) С другой стороны, так как, очевидно, S1D • • nS„ = 0, той Ci Г1 ... П Сп = 0, что в силу теоремы 3 невозможно. Поэтому для пары (/", /") — а потому и для гомеоморфной пары (В4, S"-1) — ретракция г существовать не может. □
Перегородки существуют не в любых пространствах. Это заставляет нас ввести следующее определение.
Определение 3. Пространство Я называется нормальным, если для любых двух его непересекающихся замкнутых подмножеств А и В существует перегородка, и вполне нормальным, если перегородка существует для любых подмножеств А и В, обладающих тем свойством, что замыкание каждого из них не пересекается со вторым (такие множества А и В называются отделенными).
Заметим, что отделенность множеств необходима для существования перегородки между А и В.
Предложение 1. Нормальное пространство Я тогда и только тогда вполне нормально, когда каждое его подпространство нормально.
Доказательство. Ясно, что каждое подпространство вполне нормального пространства вполне нормально (ибо множества, отделенные в подпространстве, будут отделены и во всем пространстве) и, следовательно, нормально. Обратно, пусть 4 и В—отделенные подмножества пространства Я, и пусть
О = ^\(Д П В) = (^”\Д) и (^\В).
Множества
ДПО = Л\(ЛпВ) и ВлО = В\(ЛпВ)
замкнуты в О, и потому, если О нормально, отделяются в О некоторой перегородкой С. По определению 0\С = = U и V, где U и V—такие открытые в О непересекаю-щиеся множества, что А(]0 <z: U и В ft OcV. Но так как О, очевидно, открыто в Ж, то U и V также открыты в Я, а так как AftB — 0 и BftA — 0, то А а AftO и Вс с В Г) О. Значит, А с U и В с V. Поскольку
O\C = ^\(Cu(XflB)),
НОРМАЛЬНЫЕ И ВПОЛНЕ НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 147
этим доказано, что множество С и (Л 0 В) является перегородкой в отделяющей А от В. Таким образом, нормальное пространство, все подпространства которого также нормальны, вполне нормально. □
На основании предложения 1 вполне нормальные пространства называются также наследственно нормальными.
Замечание 3. В определении нор- ______________-
мальных (и вполне нормальных) прост- И
ранств к требованию существования перегородок часто добавляется еще тре-бование хаусдорфовости. Подчеркнем, f & / в
что мы этого не делаем. ( L )
Предложение 2. Любое метричес- —'
кое пространство нормально. /АПВ
Доказательство. Пусть А иВ — /q непересекающиеся замкнутые подмно- — жества метрического пространства /Г. Для каждой точки р g А число
Рв(Р) = inf р(р, q) qeB
(расстояние от р до В), очевидно, положительно, и потому для этой точки определена ее шаровая ра(р)/2-окрестность
= р(Р,
Аналогично, для любой точки q^,B определена ее шаровая рл (д>)/2-окрестность
Р(п, где
Рл(<7) = inf р(р, q) ре А
- расстояние от q до А. Пусть
U= U U(p), V= и V(q). ре A qeB
Множества U и V открыты, содержат соответственно множества А и В и не пересекаются (если a (Е U Q V, то существуют такие точки р$А, q$B, что а € U (р), ag V (q), и, значит,
148 НОРМАЛЬНЫЕ И ВПОЛНЕ НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И
но тогда
р(Р, ?)<Р(Р. а)4-р(а, чу) < р(р, q),
что невозможно). Поэтому множество C = ^\(i7uV) является перегородкой между А и В. □
Следствие. Любое метрическое пространство вполне нормально.
Доказательство. Достаточно заметить, что каждое подпространство метрического пространства само является метрическим пространством (и, следовательно, нормально). □
В частности, куб 1п является вполне нормальным пространством.
Предложение 3. Любое компактное хаусдорфово пространство ЗА нормально.
Доказательство. Пусть А и В—замкнутые непе-ресекающиеся подмножества пространства ЗА. Так как пространство ЗА хаусдорфово, то для любой точки р^А и любой точки q$B существуют такая окрестность U4(р) точки р и такая окрестность Vp(q) точки q, что
^(Р)П^(0=0.
Для каждой точки q£B 'все окрестности (/^(р), р^А, образуют открытое покрытие подпространства А и, значит—поскольку это подпространство, будучи замкнутым множеством компактного пространства, компактно—существует такое конечное семейство рх, ..., рп точек множества Л, что открытое множество
^=^(л)и... и^(ря)
содержит Л. При этом множество Vq не пересекается с окрестностью
V(Q) = Vri(4)n...BVPB(<7)
точки q.
Окрестности V(q), q£B, составляют открытое покрытие подпространства В, и, значит,— по аналогичным причинам—существует такое конечное семейство qlt ..., qrn точек множества В, что открытое множество
V = V(q^...0V(qm)
ПРОДОЛЖЕНИЕ ПЕРЕГОРОДОК
149
содержит V. При этом множество V не пересекается с открытым множеством
содержащим А. Поэтому множество C = ^\(i/ U V) будет перегородкой, отделяющей А от В. □
Пример компактного хаусдорфова не вполне нормального пространства мы приведем в следующей лекции.
Нам понадобится также следующее простое предложение.
Предложение 4 (о продолжении перегородок). Пусть Я—вполне нормальное пространство,
А и В—его непересекающиеся замкнутые подмножества и У—замкнутое подпространство пространства %. Пусть, далее, С—произвольная перегородка в У, отделяющая замкнутые (в У) множества А ПУ и В ПУ- Тогда в ЗТ существует такая перегородка С, отделяющая А от В, что С ПУ <= С.
Доказательство. По условиюУ\С' = U' (j V', где U' и [V'—непересекающиеся открытые (в У) множества, содержащие соответственно множества А Г) У и В п У- Пусть
А'= A\]U' и B' = BuV'.
Так как множества V и V не только открыты, но и замкнуты (в У\С), то в X они отделены. Значит, множества А' и В' также отделены, и потому существует перегородка С, отделяющая М' от В'. Та же перегородка отделяет, конечно, А от В. Кроме того, так как
Я\С => A' U В' = U' и V = У\С',
то У Г) С с С. П
Теперь гкмы можем вернуться к исследованию перегородок в кубе
150
ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА О ПОКРЫТИЯХ КУБА
Предложение 5. Пусть
Q, => Q, =>...=> Q„
— такая убывающая последовательность замкнутых подмножеств куба 1п, что
Qi отделяет — 1) от 1) в Г\
Q., отделяет —1) П Qi от 1)П Qi в Qi,
Qn отделяет /Ц l(— 1) П Q„-i от /£ 1 (+ l)DQ„_i в Qn_i.
Тогда Qn не пусто.
Доказательство, к Я = /", Д = /Г1(— 1),
Применив предложение 4 В = /ГЧ+1) И 0/ = <?*_!, мы для любого k = 2, . • ., п получим в кубе Г перегородку Ck, отделяющую грань—1) то грани /j,1-1 (4-1) и такую, что
Сь П Qk-x^-Qk-
При k = 1 мы положим Ct — Qi.
Согласно теореме 3 перегородки С1т С2, .... С., обладают тем свойством, что
Ci Г) С2 f) ... П с„ 0.
С другой стороны, так как
Ci = Qi, С„ Г) Qj с Q2, ..., Сп П Qn-
то CiH^n f]C„<=Q . Следовательно, Qn^0. □
Теперь мы уже можем доказать основную теорему этой лекции.
Теорема 4 (теорема Лебега о покрытиях куба). Каждое конечное замкнутое покрытие {Са} куба Т, состоящее из множеств, ни одно из которых не пересекается ни с какими двумя противоположными гранями, имеет кратность п + 1.
Доказательство. Пусть
/It—объединение всех элементов покрытия {Са}, пересекающихся с гранью —1) (и,, следовательно, не пересекающихся с гранью
ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА О ПОКРЫТИЯХ КУБА 151
Аг—объединение всех элементов покрытия {Са}, пересекающихся с гранью —О и не участвующих в
A.t—объединение всех элементов покрытия {Са}, пересекающихся с гранью /„-1(— 1) и не участвующих ни в At, ни в Аг, ..., ни в A„_t;
А„+1—объединение всех элементов покрытия {Са}, не пересекающихся ни с одной гранью куба
Пусть, далее,
Qi =А1г\В}, где B! = A2U • •• UA„+1,
Q., = А1(}А2(}В2, гдеВ2=Д3и ... UA„ + 1,
Q,..1 = A1nA2n П4.1ЛВл-1, где Bn_r = Ап и Art+1, Qn = AtA A2A ... AA„aB„, где B„ = A„+1.
Ясно, что множества Q/e замкнуты и образуют убывающую последовательность
Qi=>Q2=> . .. =)Q„.
Кроме того, так как А^В^Г', то (В'\А1)п(/‘\В1) = 0, п так как множество А± не пересекается с гранью 1), а множества А2, ..., А„+1—с гранью —1), то
/"-!(+1)<=/«\А1 и /Г'Ч—
Поскольку /’"\Qi = (/’"\A1)U(/’"\B1), это доказывает, что Qt отделяет /?-1(—1) и /Г-1(+ 1) в
Аналогично, так как (А, А А2) (J (Atn В2) = А3 А (А„ U UB.J = A1nB1 = Q1, то (Q\(A1nA2))n(Q1\(A1nB2)) = 0 и так как множество А2 не пересекается с гранью /2-1(Н-1), а множества А3, ..., А„+1 —с гранью /2-1(—1), то
/ГЧ+ 1) AQicQiMAi А А2)
/^(-IJnQxcQxMA^B,).
Поскольку Q2 —(А3 А А2) А (А3 И В2), и потому
Q1\Q2=(Q1\( А , А А2)) и (Q2\( а, А В2)),
это доказывает, что Q2 отделяет /2-1(— 1) A Qi и /?-1(+ О П II Qt в Qt.
Вообще, если A^AjAAjA А Ал+1 и B* = AtA fl А2 А ••• A AftAB/(+1, где k = 1, .... п—1, то
AfrUB* = А2А ... A AfcA(A.,+1UBft+1) =
= А2а ... AAfcABft = Q;!,
152 ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТИ КУБА СНИЗУ
и потому (Qfc\Xfr)n(Q/e\5^) = 0. Далее, так как множество ЛА+1, а значит, и множество A'k не пересекаются с гранью ^+1(+1)’ и множества Ак.[2, ..., Л,1+1, а значит, и множества Вк и В'к не пересекаются с гранью
1), то
/^(+1)П(?Лс<?А\Д; и !№(-!) nQk^Qk\Bk.
Поскольку <2^+1 = А'кП В’к и, значит, Qk\Qk+1 = (Qk\Ak) U U(Q*\B*), это доказывает, что Qk+1 отделяет 1)1] П Qk и /*+1(+ 1) (1 Qk в Qk-
Таким образом, множества Qlt ..., Qn удовлетворяют всем условиям предложения 5 и, значит, согласно этому предложению, множество Q,, не пусто.
Пусть р0 — произвольная точка из Qn. Так как
е„ = ЛхП ••• ЛЛп+1
и так как каждое из множеств Л, является объединением элементов покрытия {Са}, причем элементы, участвующие в одном из множеств Ак, не участвуют ни в одном другом, то точка р0 принадлежит по крайней мере п+1 из этих элементов. Следовательно, кратность покрытия {Са} не меньше n+ 1. П
Чтобы вывести из теоремы Лебега неравенство dim/n^n осталось совсем немного.
Определение 4. Открытое покрытие {Ua} топологического пространства % называется сжимаемым, если существует такое открытое покрытие {пространства % с тем же множеством индексов (сжатие покрытия {?/«}), чт()
VacUa для любого а.
Предложение 6. Каждое открытое покрытие нормального пространства ЯС сжимаемо.
Доказательство. Мы докажем это предложение лишь в предположении, что покрытие конечно. Общий случай требует трансфинитной индукции и нам здесь не нужен.
Пусть {6\, ..., Uп\—произвольное конечное открытое покрытие нормального пространства ЯС. Достаточно, очевидно, доказать, что существует такое открытое множество V,, что Vjct/j и семейство {^, О2, .... Un] все еще является покрытием.
ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТИ КУБА СНИЗУ
153
С этой целью рассмотрим замкнутые множества и ^\(С/ги ... ut/„).
Так как t/2, Uп} является покрытием, то эти
множества не пересекаются. Поэтому существует отделяющая их перегородка С. Пусть ^\С = и и V, где U и V — такие непересекающиеся открытые множества, что ,%"\U1czU и ^\(^2и ...
Второе включение означает, что семейство {V, U2, .. .
Uн} является покрытием пространства Ж, а из первого следует, что Vc^’\UciU1. Остается положить V,- V. п
Теперь мы уже можем доказать неравенство
dim 1п ~>-п.
Так как куб 1п является компактным метрическим пространством, то, согласно следствию 2 леммы 1 предыдущей лекции, это неравенство означает, что для некоторого г 0 (как мы покажем, годится любое е < 2) каждое конечное открытое е-покрытие {^а} куба /" имеет кратность п - I- 1.
Пусть {Va} —произвольное сжатие покрытия {t/a} (существующее, согласно предложению 3, для конечных покрытий нами доказанного). Тогда семейство {1/а} будет замкнутым е-покрытием куба Так как при е<2 это покрытие удовлетворяет, очевидно, условию теоремы Лебега, то, согласно этой теореме, кратность покрытия {Ка) не меньше n+ 1. Но тогда кратность исходного покрытия {t/a} также, конечно, не меньше n I 1. □
Лекция 10
Порядковые числа.—Интервальная топология в множествах порядковых чисел.— Нульмерные пространства.— Пример Тихонова.— Тихоновское произведение топологических пространств. — Фильтры.—Центрированные множества множеств.— Ультрафильтры.— Критерий компактности.— Теорема Тихонова.
Эта лекция, целиком посвященная общей топологии, не имеющей отношения к теории гладких многообразий, состоит из двух частей, связанных только именем А. Н. Тихонова. В первой части строится пример Тихонова хаус-дорфова нормального, но не вполне нормального компактного нульмерного пространства, содержащего одномерное подпространство, а основная цель второй части—доказать теорему Тихонова о произведениях компактных пространств.
Пример Тихонова строится из так называемых трансфинитных порядковых чисел; напомним поэтому вкратце их определение и основные свойства.
Множество А называется частично упорядоченным, если на нем определено отношение обладающее свойствами рефлексивности (а<а для любого а^А), антисимметричности (если и 6<а, то а -Ь) и транзитивности (если а<Ь к b<c, to а<с). Если а<Ь, но а г- Ь, то пишут а < Ь. Отображение <р: А—> В частично упорядоченных множеств называется монотонным, если <ра < <pb, когда а<&. Биективное монотонное отображение, обратное к которому также монотонно, называется изоморфизмом. Частично упорядоченные множества А и В называются изоморфными, если существует хотя бы один изоморфизм А —► В. Отношение изоморфности частично упорядоченных множеств является отношением эквивалентности и поэтому все частично упорядоченные множества распределяются по классам изоморфных множеств.
Частично упорядоченное множество А называется упорядоченным (или, более пространно, линейно упорядоченным), если для любых двух элементов а, Ь£ А либо а<&, либо Ь<а. Классы изоморфных упорядоченных множеств называются порядковыми типами. Отображение упорядоченных множеств тогда и только тогда является изоморфизмом, когда оно биективно и монотонно.
Упорядоченное множество А называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество (в том числе само множество А) имеет первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных мно
ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
155
жеств называются порядка ими числами (или ординалами). О вполне упорядоченном множестве, принадлежащем порядковому числу а, говорят, что А имеет тип а или что А является множеством типа а. Говорят также, что а есть порядковое число множества А.
Если упорядоченные множества А и В имеют один и тот же тип а, то они, конечно, равномощны. Их общая мощность называется мощностью числа а и обозначается символом | а |.
Если множество А конечно, то его порядковое число называется конечным (или числом первого класса). Так как для любого натурального числа п любые два упорядоченных множества мощности п очевидным образом изоморфны, то для конечных порядковых чисел аир из равенства |а| = |Р| следует, что а=р. Поэтому такие числа могут быть отождествлены с их мощностями, т. е. с натуральными числами
(1) 0, 1, 2....п, ...
(Натуральные числа одинаково пригодны как для счета, так и для пересчета.)
Если множество А счетно, то его порядковое число а называется счетным (или числом второго класса). Примером счетного порядкового числа служит порядковый тип множества (1) всех натуральных чисел (очевидно, вполне упорядоченного). Это число обозначается символом ш.
Для любого элемента Оо вполне упорядоченного множества А множество всех элементов а£А, для которых а < Oq, называется отрезком (или начальным интервалом) множества А, определенным элементом а0 и обозначается символом А (а0). Оно также вполне упорядочено.
Если каждое множество типа р изоморфно некоторому отрезку множества типа а, то говорят, что р меньше а и пишут Р < а. Формула Р<а по определению означает, что либо Р < а, либо Р -а.
Ясно, что отношение < транзитивно ^(если а < Р и Р < у, то а < у).
Множество всех порядковых чисел р, для которых Р < а, обозначается символом (0, а) и называется интервалом с концом а. Аналогично, множество всех порядковых чисел Р с Р<а обозначается символом [0, а] и называется сегментом с концом а. Ясно, что [О, «] = [О, а) (J {а}.
Например, интервал [0, <о) —это множество (1) всех натуральных чисел, а сегмент [0, со] —это множество (1), к которому справа добавлен элемент <о.
Поскольку любой отрезок множества (1) имеет вид [0, п], мы видим, в частности, что со является наименьшим порядковым числом второго класса.
156
порядковые числа
Легко видеть, что ни одно вполне упорядоченнее множество А не может быть изоморфно отрезку В (а0) никакого своего подмножества В с А (случай В = А не исключается). Действительно, рассуждая от противного, предположим, что изоморфизм ср: А—> В (а0) существует, и рассмотрим множество всех элементов а£А, для которых фа < а. Это множество содержит а0 и потому не пусто. Пусть а2— его первый элемент (он существует, потому что множество А вполне упорядочено), и пусть а2 —фар Тогда а2 < ai и одновременно фа2<фа1~ а2, что противоречит выбору элемента ai. Полученное противоречие доказывает, что изоморфизм ср существовать не может. □
При 5 = А мы получаем, в частности, что если 0 < а, то 0 # а.
Легко видеть также, что каждый интервал [0, а) является вполне упорядоченным множеством типа а. Действительно, сопоставив каждому элементу а вполне упорядоченного множества А типа а тип отрезка А (а), мы, очевидно, получим изоморфное отображение А—»
[0, а). □
Отсюда следует, что в каждом множестве А порядковых чисел есть первый элемент. Действительно, выберем в А произвольный элемент а0. Если элемент а0 первый, то доказывать нечего, а если а0 не первый, то пересечение [0, а0)Г)А не пусто и первый элемент этого пересечения (существующий в силу полной упорядоченности интервала [0, а0)) будет первым элементом и множества А. □
Поскольку интервал [0, а) вполне упорядочен, то вполне упорядочен н сегмент [0, а] = [0, a)(J{a}- Порядковый тнп этого сегмента обозначается символом a+ 1. Так как интервал [0, а) является отрезком [0, а] (а) сегмента [0, а], то а Кроме того, если 0<
<а+1, то ре£а (ибо любой отрезок сегмента [0, а] содержится в интервале [0, а)). На этом основании говорят, что число а-|-1 непосредственно следует за числом 'а.
Порядковое число 0 называется предельным, если не существует такого порядкового числа а, что 0 = а-}-1. Примером предельного числа является число а>.
Для любых порядковых чисел а н 0 рассмотрим пересечение D~ [0, a) f) [0, 0) интервалов [0, а) и [0, р). Оказывается, что существует таксе порядковое число 6<а, что D = [0, б). Действительно, если D = [0, а), то 6 = а. Пусть D [0, а), т. е. дополнение С — = [0, а)\О множества D в [0, а) не пусто, и пусть б—первый элемент этого дополнения. Если £g[0, б), то | < а (ибо £ < б, а б < а) и (ибо £ < б, а б—первый элемент в С), т. е. ^,^D. Обратно, если н б<£, то б < Р (ибо £ < 0), и, значит, 8£D, что невозможно. Следовательно, g<6, т. е. ££[0, б). П
По симметрии вместе с неравенством б<а имеет место также и неравенство 6<В. При этом, если б<а и б < 0, то б£О — [0, б),
ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
157
что невозможно. Поэтому либо 6- а (и тогда а<{5), либо 6=0 (и тогда Р<а). Этим доказано, что для любых двух порядковых чисел а и Р либо а — р, либо а < р, либо р < а, т. е. каждое множество порядковых чисел упорядочено и, значит (поскольку каждое его подмножество имеет первый элемент), вполне упорядочено.
Теперь легко видеть, что для любого подмножества В произвольного упорядоченного множества А тип Р множества В не превосходит типа а множества А:
Р<а.
Действительно, в противном случае имело бы место неравенство а < Р и множество А было бы изоморфно некоторому отрезку подмножества В, что, как мы знаем, невозможно. П
Пусть нам дано произвольное семейство порядковых чисел, занумерованных числами £ из некоторого интервала [0, т), и пусть .1^—произвольное множество типа а^. Мы упорядочим дизъюнктное объединение
А = i |Д> £ всех множеств А^, считая, что для элементов а^Д^ и неравенство а < Ь имеет место тогда и только тогда, когда либо £ < г], либо на<(>в множестве Д^. Для любого непустого подмножества Сс А множество всех чисел £ < т, для которых СП # 0, является непустым подмножеством интервала [0, т) и, значит, имеет первый элемент £0- Ясно, что первый элемент множества СПД^ будет первым элементом и всего множества С. Этим доказано, что множество А вполне упорядочено, н потому его тип а является порядковым числом. Очевидно, что число а зависит только от чисел (и не зависит от выбора множеств Д^). Оно называется суммой чисел и обозначается символом
2 “Г
6 <т
Заметим, что а зависит от того, в каком порядке занумерованы числа а^. (Например, так как множество типа а> + п имеет последний элемент, а типа пД-со не имеет, то яД-ы # соД-п.)
Так как Д^с А для любого £, то а^^а. (Равенство здесь вполне возможно; например, ясно, что пД-а> = а>.)
Однако < а-|-1. Поскольку любое множество порядковых чисел, будучи вполне упорядоченным, имеет некоторый тип т и, значит, ею элементы могут быть занумерованы числами интервала [0, т), гем самым доказано, что для любого множества порядковых чисел существует число, большее всех его элементов.
158
ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
[Отсюда следует, что понятие множества всех порядковых чисел смысла не имеет. Внимательный читатель безусловно уже заметил, что за счет некоторой неуклюжести формулировок мы выше тщательно избегали упоминания этого «множества». Теперь он знает причину.]
В частности, существуют порядковые числа большие всех чисел второго класса (числа третьего класса). Наименьшее из них —первое число третьего класса — обозначается символом Q.
Для любой счетной (или конечной) последовательности {а„} чисел второго класса их сумма а„, очевидно, является числом второго п < и
класса (ибо дизъюнктное объединение счетных множеств счетно). Поэтому наименьшее из чисел, больших всех чисел ап (это число обозначается символом sup а„), также является числом второго класса (короче, если ап < й, то sup ап < Q).
Существование числа Й доказывает, что существуют несчетные порядковые числа. На самом деле существуют порядковые числа любсй мощности, т. е.— что, очевидно, равносильно,— любое мнсжество А можно занумеровать порядковыми числами некоторого интервала [0, а). Для доказательства этого утверждения (известного как теорема Цер мел о о полном упорядочении), мы назовем порядковое число Р отмеченным, если существует подмножество множества А, которое можно занумеровать числами интервала [0, р). Множество В всех отмеченных чисел не пусто (например, если множество А бесконечно, то все числа первого и второго классов отмечены) и обладает тем свойством, что если р£В н у < р, то у£В, т. е. [О, р)сВ.
Пусть * — элемент, не принадлежащий множеству А, и пусть Л* = Л(_|{»}. Построим отображение ф: В—А* последующим правилам:
а) Выбрав произвольный элемент а0£А, положим ф(О)=ао.
б) Пусть для некоторого числа pg В отображение ф уже построено на интервале [О, Р), и пусть Л' = ф[0, Р). Если А'С А и А’ А, то, произвольно выбрав элемент ар£Л\Л', мы положим
Ф(Р) = ар.
В противном случае (т. е. когда либо Л' = Л, либо *£Л') мы положим ф (Р) = *.
Ясно, что эта конструкция определяет ф на всем В. [Множество В’ всех pg В, для которых ф (Р) не определено, являясь множеством порядковых чисел, имеет—если оно не пусто —первый элемент pogB'. Тогда отображение ф определено на [0, р0) и, значит, согласно б —элемент ф(Р) также определен, т. е. р0^В'. Полученное противоречие доказывает, что В' — 0.]
Пусть В* —множество — возможно, пустое — всех чисел Р, для которых ф(Р)=г»> н пусть a = sup(B\B*). Тогда по построению
ИНТЕРВАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ
159
Ф отображает интервал [0, а) иа множество А, и это отображение биективно, т. е. <р задает нумерацию множества А числами интервала [0, а). □
Каждое множество А порядковых чисел является топологическим пространством по отношению к так называемой интервальной топологии, базой открытых множеств которой являются пересечения множества А с интервалами вида (а, 0), где а < 0 (по определению каждый интервал (а, р) состоит из всех чисел у, для которых а < у < Р).
Это пространство, очевидно, хаусдорфово.
Замечание 1. Интервальную топологию можно, конечно, ввести на любом упорядоченном множестве; например, на множестве [0, Q)x[0, 1), упорядоченном лексикографически (т. е. так, что (ах, < (а2, t2) тогда и только тогда, когда а± < а2 или ах = а2 и < t2). Получающееся топологическое пространство называется длинной полупрямой Александрова. Его можно представлять себе как результат вклеивания отрезка [0, 1] между любыми двумя соседними порядковыми числами а и а 4- 1 второго класса.
Замечание 2. Можно показать, что длинная полупрямая, из которой удалена начальная точка (0, 0), обладает естественной гладкостью класса С“, по отношению к которой она является одномерным хаусдорфовым многообразием, не удовлетворяющим второй аксиоме счетности. (Ср. с замечанием 5 лекции 7.)
Интервальная топология на множествах порядковых чисел обладает тем замечательным — и несколько неожиданным—свойством, что для любого порядкового числа В сегмент [0, является в интервальной топологии компактным пространством. Действительно, пусть U—произвольное открытое покрытие сегмента [0, В]. Назовем число допустимым, если сегмент [0, т|] накрывается конечным подсемейством покрытия U. Множество всех допустимых чисел не пусто (оно содержит 0) и если оно не исчерпывает всего сегмента [0, £], то существует — в силу полной упорядоченности порядковых чисел—наименьшее недопустимое число Пусть Ua—элемент
покрытия U, содержащий число у, и пусть (а, 0)—такой интервал, что у€(а, 0)ct/o. Так как а < у, то число а допустимо, и, значит, сегмент [0, а] покрывается конечным подсемейством покрытия И. Добавив к этому подсемейству элемент Uo, мы получим конечное подсемейство,
160
НУЛЬМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
покрывающее интервал [0, 0) = [0, а] и (а, 0), а потому и сегмент [0, у]с[0, 0). Следовательно, вопреки предположению, число у допустимо. Полученное противоречие показывает, что все числа сегмента [0, £] допустимы. В частности, допустимо число Следовательно, покрытие U содержит конечное подпокрытие. □
Топологическое пространство % — [0, обладает тем свойством, что каждая его точка обладает базой окрестностей, являющихся не только открытыми, но и замкнутыми множествами (о таких пространствах ЗР пишут, что ind^ = 0). Для доказательства достаточно заметить, что если число 0 не предельное (т. е. 0 = у + 1), то (а, 0) =--= [а + 1, у] для любого а. □
Более того, аналогичное утверждение справедливо не только для точек, но и для любых замкнутых множеств, т. е. для каждого замкнутого множества Fcz[0, и любой его окрестности U существует окрестность VcU, являющаяся замкнутым множеством (о таких пространствах % пишут, что Ind^ = 0). Действительно, согласно предыдущему утверждению, каждая точка а ё F обладает замкнутой окрестностью Va, содержащейся в U. Окрестности Va составляют открытое покрытие множества F, из которого — поскольку множество F, являясь замкнутым подмножеством компактного пространства, компактно— мы можем выбрать конечное подпокрытие {Ка„ ..., Va„}. Объединение V = VaiU l)Van элементов этого подпокрытия и будет замкнутой окрестностью подмножества F, содержащейся в U. □
Фактически для произвольного топологического пространства мы доказали, что если пространство ЗР компактно и ind^ = 0, то Ind^ = 0. [Кстати, если пространство % хаусдорфово и Ind^" —0, то ind^ = 0. Для доказательства достаточно заметить, что в хаусдорфовом пространстве любое одноточечное множество замкнуто.]
С другой стороны, легко видеть, что если Ind^ = 0, то dim^ = 0. Действительно, равенство dim^ = 0 означает, что в каждое конечное открытое покрытие ... . .., Un} пространства % можно вписать конечное открытое покрытие ............., состоящее из непересекаю-
щихся открытых множеств, и, значит (поскольку дополнение любого элемента V7- покрытия {Vj, .... У,л} является объединением всех остальных элементов этого покрытия
НУЛЬМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
161
и, следовательно, открыто), обладающее тем свойством, что любой его элемент V,- не только открыт, но и замкнут.
Мы докажем (для пространства % с Ind ,2" = 0) даже большее, а именно, что число т элементов покрытия {/,, ..., Vm} можно считать равным числу п элементов покрытия {Ult ..., Un] и, кроме того, что это покрытие можно построить так, ‘ чтобы для любого t = 1, .... п имело место включение V, czU
При п=1 положим Vx — Ux.
Пусть покрытие {Vlt ..., 7.J построено для любого покрытия {Ult ..., Un}, состоящего из ni>l открытых множеств. Рассмотрим произвольное открытое покрытие {Ult ..., Uп, Un+X}, состоящее из п-\- 1 множеств. По предположению индукции, примененному к покрытию \UX, .... U п_х, Un\]U,tX.x}, существует такое открытое покрытие {Vi, ..., V„_i, состоящее из п непересекающих с я множеств, что
.... Vn_1cUn_1, V'n<zUnuUn^.
С другой стороны, так как множество
F = ^\((71U... U^„)
замкнуто и содержится в U п + х, то в силу условия Ind-2" = О существует такое открытое и одновременно замкнутое множество V, что FczVcz(/n+1. Мы положим
Для завершения доказательства остается заметить, что все множества Vlt ..., Vn_x, VH, V„+1 открыты, не пересекаются, покрывают % и обладают тем свойством, что V,aUi для’любого (=1, ..., п+1. □
В частности, мы видим, что для любого порядкового числа £
dim [0, £]=0.
Оказывается, что не только из IncL2* = 0 следует, что dim .Я1 = О, но и, наоборот, из dim^ = 0 следует, что Ind^ = O (так что dim — Q тогда и только тогда, когда Ind^ = 0). Действительно, если dim^ = 0 и если U—окрестность замкнутого множества то, по-
скольку множества U и &\F составляют конечное открытое покрытие пространства %", в это покрытие можно вписать конечное покрытие {V}}, состоящее из непересе-кающихся открытых — и, следовательно, замкнутых —
6 М. М. Постников, сем. III
162
ПРИМЕР ТИХОНОВА
множеств. Тогда объединение V всех элементов этого покрытия, пересекающихся с F (и потому лежащих в U) будет открытой и одновременно замкнутой окрестностью множества F, содержащейся в U. □
Теперь легко доказывается, что если пространства Я? и У хаусдорфовы и компактны, a dim^ = 0 и dim 2/ — О, то
dim(jrxS/) = 0
(так что для этих пространств справедлива формула (8) лекции 8). Действительно, в силу сделанных выше замечаний о связи между ind, Ind и dim для пространств Т и У имеют место равенства ind % = 0 и ind У = 0, а равенство dim(^x^) = 0 для пространства ^ХЙ/ равносильно равенству ind (^ХЙ/) = 0. С другой стороны, ясно, что если ind % = 0 и ind У = 0, то ind(^x2/) = 0 (поскольку, если U—замкнутая окрестность точки р в %, а V—замкнутая окрестность точки q в У, то произведение UxV, обладая открытым дополнением (^\t/)x ХУ U ^X(3/\V), будет замкнутой окрестностью точки (р, q) в ЯхУ). L!
Замечание 3. Обозначения наводят на мысль, что наряду с инвариантом dim (и «улучшенным» инвариантом dim') можно определить другие целочисленные инварианты ind и Ind, также могущие претендовать пароль размерности. Это действительно так, но, к сожалению, эти инварианты совпадают, вообще говоря, только для метризуемых пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности, и за их пределами расходятся.
Изучение этих — и других аналогичных инвариантов — составляет предмет так называемой теории размерностей.
После всей этой предварительной работы мы уже можем непосредственно приступить к построению примера Тихонова.
Пусть ^ = [0, со]х[О, Q] — прямое произведение сегментов порядковых чисел [0, со] и [О, Q]. Согласно полученным выше результатам является нульмерным (dim^ = 0) хаусдорфовым и компактным пространством. Пусть А — открытое подпространство пространства состоящее из всех его точек, за исключением «угловой точки» (со, Q). Мы покажем, что dim4^1. Поскольку неравенство dim А 1 означает, что dim А 0, и по-
ТИХОНОВСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ
163
скольку равенство dim Д = 0 равносильно равенству Ind Л = 0, для этого нам достаточно доказать, что Ind А=/=0, т. е. что в подпространстве А существует такое замкнутое множество F и такая его окрестность U, что пи одна окрестность V множества F, содержащаяся в U, не является замкнутым множеством. Мы докажем даже большее, а именно, найдем в А такое замкнутое множество F и такую ее окрестность /7, что дм любой содержащейся в U окрестности V множества А ее замыкание V не содержится в U. (Это означает, что между F и Д\£/ в А нет перегородки, т. е. что А не нормально. (3 другой стороны, будучи компактным и хаусдорфовым, пространство Ж нормально. Таким образом, пространство % является также примером нормального, но не вполне нормального пространства).
За F мы примем множество всех точек пространства SF, имеющих вид (n, Й), где 0^п<®, а за U — множество всех точек, имеющих вид (п, 0), где и
О^0^Й. Ясно, что множество U открыто (в А и в ^), а множество F замкнуто (в А, но не в ^). Пусть V — произвольное открытое (в А, а значит, и в SF) множество, содержащее множество F и содержащееся в множестве U. Для любого п, 0^п<®, множество всех чисел 0 Й, для которых (п, 0) € V, открыто в [О, Й] (почему?) и содержит Й. Поэтому существует такое число ап < Й, что весь полуинтервал (а„, Й] = (а„, Й) U {Й} содержится в этом множестве. Пусть a = supan. Так как ап < й, то a < й (см. выше) и для любого числа 0 g (а, Й) каждая точка (п, 0) принадлежит V.
С другой стороны, каждая окрестность W точки (со, 0) в А содержит окрестность вида [Л/, ®]x(0i, 02), гДе N — некоторое натуральное число (<®), а 0t и 02—такие порядковые числа второго класса, что 01 < 0 < 02. Поэтому окрестность W содержит все точки (п, 0) с п > N и потому пересекается с V. Следовательно, (n, ®) g V и, значит, v п
Вернемся теперь к прямым произведениям и перенесем их конструкцию на случай любого (вообще говоря, бесконечного) числа множителей.
Пусть {Я"а, agA}— произвольное семейство топологических пространств, и пусть SF— множество всевозможных семейств {ха}, где xag^a.
6*
164
Фильтры
Для любого к о н е ч н о г о множества индексов {а1( ... .... а,,} и любых открытых подмножеств t/e, сз^а,, ... ..., обозначим через О(Па1, ..., Uan) под-
множество множества SC, состоящее из всех точек {ха}, для которых
-Va, € а, > • • • , Лаи $ U ап'
Ясно, ЧТО
О(^а,, .... Uan)^O(Vai)[}...{}O(Van), и, значит, пересечение любых двух множеств вида O(Uai, ---, Uап) также является множеством такого же вида. Поэтому множество всех множеств О (U а1...Uan)
является базой открытых множеств некоторой топологии на множестве % (открытыми множествами этой топологии являются, таким образом, всевозможные объединения множеств вида 0(t/ai, ..., t/a„)).
Определение /. Получающееся топологическое пространство % называется прямым (или тихоновским) произведением пространств ^а. Обозначается оно символом
П Яа ае А
(употребляется также обозначение X ^а)- При конеч-аб А
ном семействе {Ха} мы получаем, очевидно, прямое произведение в смысле определения 5 лекции 8.
Теорема 1. Прямое произведение любого семейства компактных пространств компактно.
Эта теорема известна как теорема Тихонова. Чтобы ее доказать, мы переформулируем определение компактности пространства в терминах, удобных для ее доказательства.
Пусть пока 3?— произвольное множество.
Определение 2. Множество Ф подмножеств множества SC называется фильтром, если
1° любое подмножество множества %, содержащее некоторое подмножество из Ф, принадлежит Ф:
ЛсзВсз^1, Л£Ф => В£Ф;
2° пересечение любых двух подмножеств из Ф принадлежит Ф:
Л, В^Ф А ПВ^Ф;
ЦЕНТРИРОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА МНОЖЕСТВ
165
3° все 3, принадлежит Ф, но пустое множество 0 нет: 0£Ф, ^Ф.
Пример 1. Для любой точки х0 множества SC семейство всех подмножеств множества 3‘, содержащих точку х0, являегся фильтром.
Пример 2. Если %— топологическое пространство, то для любой точки семейство всех подмножеств Л множества 3', для которых х0 является внутренней точкой (х0€]п1Л), является фильтром.
Пример 3. Если множество ЭС бесконечно, то все множества, дополнения которых конечны, образуют фильтр
Пример 4. Если Ф—фильтр и М — подмножество, ему не принадлежащее, то множество Фм всех подмножеств для которых Л U Л4 £ Ф, образует фильтр.
Определение 3. Множество Г подмножеств множества ЗИ называется центрированным, если пересечение любого его конечного подсемейства не пусто.
Ясно, что если Г центрировано, то для любого отображения f: 3? —->& множество ft={fA-, Лё Г} также центрировано.
Из свойств 2 и 3 фильтров немедленно следует, что любой фильтр является центрируемым множеством.
Обратно, легко видеть, что любое центрированное множество Г содержится в некотором фильтре. Действительно, ясно, что таким фильтром будет, например, множество Ф(Г) всех подмножеств множества З1, обладающих тем свойством, что каждое из них содержит подмножество, являющееся пересечением некоторого конечного семейства элементов множества Г. □
Фильтр Ф(Г) является, очевидно, минимальным фильтром, содержащим центрированное множество Г. Говорят, что он порожден этим множеством.
Напомним, что элемент т частично упорядоченного множества А называется максимальным, если из т^а следует, что т = а. Элементы а и b множества А называются сравнимыми, если либо а^Ь, либо Ь^. а. Подмножество С частично упорядоченного множества называется цепью, если оно линейно упорядочено, т. е. любые его два элемента сравнимы. Элемент с0 называется верхней гранью цепи С, если с^с0 для любого элемента eg С. Частично упорядоченное множество А называется
166
УЛЬТРАФИЛЬТРЫ
индуктивным, если любая его цепь обладает хотя бы одной верхней гранью.
Примером частично упорядоченного множества является множество FILTR(^) всех фильтров на множестве упорядоченное по включению если Фс=Чг).
Максимальные элементы этого множества называются ультрафильтрами. Таким образом, фильтр Ф является ультрафильтром, если любой фильтр, его содержащий, совпадает с Ф.
Легко видеть, что множество Ф подмножеств множества 36 тогда и только тогда является ультрафильтром, когда:
а) пересечение любых двух множеств из Ф не пусто: б) все множество Ж принадлежит Ф;
в) из любых двух взаимно дополнительных подмножеств А и В = ^\Л множества 36 одно (и только одно) принадлежит Ф.
Действительно, условие а—это условие 2° из определения фильтра, а условие б —это первая часть условия 3°, вторая часть которого следует из первой и условия в (примененного к Л = ^). Далее, если Л<=В<=^ и Л^Ф, но В(£Ф, то в силу условия в 36\В£ф, что противоречит условию а, так как ($\В)Г)Л = 0. Следовательно, множество подмножеств Ф, удовлетворяющее условиям а—в, является фильтром. Если этот фильтр содержится в фильтре Т и существует множество Л $ ¥, не принадлежащее Ф, то В = Зб\А принадлежит Ф, а значит, и V, что невозможно (ибо А П В = 0). Поэтому Т — Ф и, значит, Ф является ультрафильтром.
Обратно, если Ф—ультрафильтр, то условия а и б, очевидно, выполнены, а для доказательства условия в достаточно заметить, что при Л (£ Ф фильтр Фл (см. пример 4) содержит, очевидно, фильтр Ф. Поэтому в силу максимальности ультрафильтра Ф фильтр Фл совпадает с Ф. Но ясно, что фильтр Фл содержит множество В — ~ 36\А. Следовательно, В^Ф. FJ
Отсюда, в частности, непосредственно вытекает, что каждый фильтр из примера 1 является ультрафильтром. Такие ультрафильтры называются тривиальными.
Далее, легко видеть, что любое множество А, пересекающееся с каждым элементом ультрафильтра Ф, принадлежит Ф. Действительно, если Л(£Ф, то в ультрафильтре Ф найдется элемент (а именно ^\Л), не пересекающийся с Л. □
УЛЬТРАФИЛЬТРЫ
167
Цепями множества FILTR (.^) являются такие множества фильтров {Фа}, что для любых аир либо Фа<=Фр, либо Фр<=Фа. При этом легко видеть, что объединение Ф всех фильтров цепи является фильтром (достаточно заметить, что любые два элемента этого объединения принадлежат некоторому фильтру Фа). Поскольку фильтр Ф содержит все фильтры Фа, он является их верхней гранью. Мы видим, следовательно, что множество всех фильтров индуктивно.
Но согласно известной лемме Цорна (называемой также теоремой Куратовского — Цорна) любое индуктивное множество А имеет максимальный элемент и, более того, для любого элемента а0 g А существует такой максимальный элемент т, что а0 т.
Приведем для полноты доказательство этой леммы. Пусть множество А произвольным образом занумеровано порядковыми числами некоторого интервала [0, а). (Подчеркнем, что эта нумерация никак не связана с имеющейся в А частичной упорядоченностью.) Ясно, что без ограничения общности, мы можем считать, что данный элемент а„ имеет номер 0. Рассмотрим в А подмножество С, удовлетворяющее следующим условиям:
а) элемент а0 принадлежит С;
б) элемент множества А, имеющий номер £, тогда и только тогда принадлежит С, когда он сравним со всеми элементами из А, имеющими меньшие номера.
Ясно, что эти условия однозначно характеризуют подмножество С и что это подмножество является цепью. Пусть т—произвольная верхняя грань множества С (существующая в силу условия индуктивности). Так как элемент т сравним с любым элементом из С, то каждый элемент а^т также сравним с любым элементом из С и, в частности, со всеми элементами из С, имеющими меньшие номера. Поэтому в силу условия б элемент а принадлежит С, и, значит, </ < т. Этим доказано, что элемент т максимален. Для завершения доказательства остается заметить, что по построению а0 < т.
В силу леммы Цорна, примененной к индуктивному множеству FILTR ($’), любой фильтр на множестве % содержится в некотором ультрафильтре.
Это дает нам неограниченный запас нетривиальных ультрафильтров. *&***&’ #
Замечание 4. Любопытно, что ни один нетривиальный ультрафильтр нельзя построить явным образом без каких-либо элементов произвола, т. е., другими словами, охарактеризовать его списком свойств так, чтобы он ока-
168
КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ
зался единственным ультрафильтром с этими свойствами. (Доказательство этого утверждения дается в математической логике на основе четкой экспликации всех необходимых логико-математических понятий.)
Пусть теперь топологическое пространство.
Определение 4, Точка pog^ называется точкой прикосновения множества Ф подмножеств топологического пространства X, если каждая окрестность этой точки пересекается с каждым элементом А множества Ф, т. е., иными словами, если р0 б А для любого A g Ф.
Таким образом, точки прикосновения множества Ф — это точки пересечения
(2) П Л
А еФ
замыканий А всех множеств A $ Ф.
Заметим, что если Ф—фильтр, то множество (2) совпадает с пересечением всех замкнутых множеств из Ф.
Дополнение к множеству (2)—это в точности объединение открытых множеств ^\Д. Следовательно, множество Ф тогда и только тогда не имеет точек прикосновения, когда множества .^\Д, А^Ф, покрывают SV.
Определение 5. Если каждая окрестность точки рй£Я, содержит некоторый элемент множества подмножеств Ф (и, значит, — в случае, когда Ф является фильтром,— принадлежит Ф), то говорят, что Ф сходится к точке р0.
Легко видеть, что если множество Ф является ультрафильтром, то оно сходится к каждой своей точке прикосновения. Действительно, если окрестность U точки р0 пересекается с каждым элементом ультрафильтра Ф, то U принадлежит Ф. П
Теперь мы можем доказать нужный нам критерий компактности.
Предложение 1. Следующие свойства топологического пространства X равносильны:
1° Пространство X компактно.
2° Любое центрированное множество его замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение.
3° Каждый фильтр на имеет точки прикосновения.
4° Каждый ультрафильтр на SC сходится,
критерий Компактности 169
Доказательство. Достаточно, очевидно, доказать импликации
И м п л и к а ц и и^ Г=» 2° и 2°=»1°. Утверждение, что пересечение всех элементов А некоторого множества Г подмножеств пространства % пусто, означает, что дополнения этих элементов покрывают %, а утверждение, что множество Г центрировано, означает, что никакое конечное семейство дополнений не покрывает X. Поэтому, если множество замкнутых подмножеств компактного пространства % имеет пустое пересечение, то оно никак не может быть центрированным, а если пересечение любого центрированного множества замкнутых подмножеств пространства SC не пусто, то каждое семейство открытых множеств пространства •£*, ни одно конечное подсемейство которого не покрывает само по покрывает %.
Импликация 2° => 3°. Достаточно заметить, что множество Г всех замкнутых подмножеств, принадлежащих произвольному фильтру Ф, центрировано, и что каждая точка прикосновения фильтра Ф является общей точкой элементов множества Г.
Импликация 3°=>4°. Если каждый фильтр имеет точки прикосновения, то, в частности, точка прикосновения имеет и каждый ультрафильтр. С другой стороны, ультрафильтр тогда и только тогда сходится, когда у него есть точки прикосновения.
Импликация 4° => 2°. Каждое центрированное множество содержится в некотором ультрафильтре. Поэтому, если этот ультрафильтр сходится, то центрированное множество имеет точку прикосновения (любая точка прикосновения произвольного множества множеств является точкой прикосновения и каждого подмножества этого множества). С другой стороны, если множество множеств состоит из замкнутых множеств, то каждая его точка прикосновения принадлежит пересечению всех его элементов. Таким образом, если в пространстве ST каждый ультрафильтр сходится (имеет точку прикосновения), то
170
ТЁОРЁМА ТИХОНОВА
любое центрированное множество замкнутых подмножеств пространства % имеет непустое пересечение. □
Теперь теорема Тихонова доказывается без всякого труда.
Доказательство теоремы 1. Пусть Ф—произвольный ультрафильтр на прямом произведении
# = П %а а е А
компактных пространств %а. Рассмотрим образ праФ этого ультрафильтра при канонической проекции пра: {ха} I—*ха. Поскольку Ф является цент-
рированным множеством, его проекция праФ также центрирована. Поэтому центрировано и множество Га, состоящее из замыканий элементов множества праФ (т. е. из множеств Аа, где Аа = праА, Л^Ф). Следовательно, поскольку пространство компактно, существует точка РаС^с., принадлежащая всем множествам Аа из Га, т. е. такая, что каждая ее окрестность Ua пересекается с каждым, множеством Ла.
Для множеств А фильтра Ф это означает, что все они пересекаются с множеством O(Ua), откуда следует, — поскольку Ф является ультрафильтром,—что О(£/а)£Ф.
Выбрав для любого а одну из точек ра и получив тем самым некоторую точку {ра} произведения Ж, рассмотрим произвольную окрестность W этой точки в %. По определению эта окрестность содержит некоторое множество вида •••» ^ап), где Uа,, .... £/а„ —
окрестности точек /?а1, .... ра„ в пространствах ^а1, . .. . .., З'ап соответственно. Но, как мы только что видели, все множества О((7а,), ..., O(Uan) принадлежит ультрафильтру Ф. Поэтому ультрафильтру Ф принадлежит и их пересечение
о(иа„ .... t/ra„)=o(t/ai)n...no(t/a„),
а значит, и окрестность W.
Таким образом, любая окрестность точки {ра} принадлежит ультрафильтру Ф, и, значит, этот ультрафильтр сходится к {/?а}.
Тем самым доказано, что в пространстве 3? любой ультрафильтр сходится. Следовательно, пространство 3? компактно. □
Лекция 11
Гладкость на аффинном пространстве.—Многообразие матриц данного ранга.— Многообразия Штифеля.— Ряды матриц.— Экспоненциал матрицы.—Логарифм матрицы.— Ортогональные и J-ортогональные матрицы.— Матричные группы Ли.— Группы /-ортогональных матриц.— Унитарные и /-унитарные матрицы.— Комплексные матричные группы Ли.— Комплексно аналитические многообразия.— Линейно связные пространства.— Связные пространства.— Совпадение связности и линейной связности для многообразий.— Гладкие и кусочно гладкие пути.— Связные многообразия, не удовлетворяющие второй аксиоме счетности.
Возвращаясь к гладким (класса С”) многообразиям, дополним приведенный в лекции 6 список их примеров. Эти примеры не только иллюстрируют общую теорию, но и являются истоком важных теорем, которые, к сожалению, почти полностью остаются за рамками этого курса.
Пусть А—произвольное n-мерное аффинное пространство над полем R. Каждый репер Ogj-.-e,, этого пространства определяет координатный изоморфизм й: А —> R" (переводящий точку М с ОМ =х1в1А- • + хпеп в точку (х1, .... хп) пространства R"), и, значит,— карту (A, h).
Эта карта составляет одноэлементный атлас на А и, следовательно, задает на А некоторую гладкость (ср. пример 1 лекции 1). Для любого другого репера О'е(.. .е'п соответствующая карта (A, h') связана с картой (A, h) отображением перехода й'ой-1, являющимся аффинным (и, значит, диффеоморфным класса Си) отображением и поэтому согласована с картой (A, h). Это означает, что гладкость, задаваемая картой (А, й), не зависит от выбора репера Oei-.en. Мы будем называть ее стандартной гладкостью на А. Она, очевидно, согласована с топологией на А.
Поскольку каждое линейное пространство автоматически является аффинным пространством, все это применимо, в частности, к произвольному линейному пространству; например, к /nn-мерному линейному пространству R(m, п) всех вещественных прямоугольных матриц размера тхп. Таким образом, R(/n, /?) является тп-мер-ным гладким (класса Сш) многообразием. Чтобы получить карту, покрывающую это многообразие, нужно элементы
172 МНОГООБРАЗИЕ МАТРИЦ ДАННОГО РАНГА
каждой матрицы А из R (т, п) выписать в строчку в произвольном, одном и том же для всех матриц порядке.
Группа GL(n) всех невырожденных матриц порядка п выделяется в линейном пространстве Mat,, (R) = R (п, и) всех квадратных матриц А порядка п условием det Л =/=0. Так как определитель матрицы, будучи многочленом от ее элементов, непрерывно от них зависит (функция det: Л —* det Л непрерывна на Mat„(R)), то группа GL(n) является открытым множеством гладкого многообразия Mat,(R), и потому на ней определена индуцированная гладкость. Таким образом, группа GL(n) представляет собой гладкое (класса С“) многообразие. Размерность этого многообразия равна п2.
Чтобы получить менее тривиальный пример гладкого многообразия, введем в рассмотрение подмножество R(т, п; k) пространства R (т, п), состоящее из матриц ранга k, где 0^.fe^min(/n, и). Являясь подмножеством топологического пространства R(/n, п), это множество представляет собой топологическое пространство (по отношению к индуцированной топологии).
Оказывается, что в множество R(m, /г; k) можно естественным образом ввести согласованную с топологией гладкость, относительно которой оно будет гладким многообразием размерности k(m + n—k).
Рассмотрим с этой целью подмножество UczR (т, п; k), состоящее из всех /nxn-матриц вида
где Л—невырожденная /гх/г-матрица (т. е. матрица из GL (/?)), а матрицы В, С и D, имеющие соответственно размеры (т—k)xk, kx(n—k) и (m—k)x(n—k), произвольны.
Выбрав и зафиксировав определенный порядок выписывания элементов матриц Л, В и С в одну строчку, мы получим отображение h множества U на некоторое подмножество пространства R^, где
W = fe34 (т—k)k-\- k(n—k) — k(m-\- п—k).
Так как матрица (1) имеет тот же ранг, что и матрица
II Е 0 1111Л В1111Л в II J-СЛ-1 £!|||с Dll ||о D-CA-LBII
МНОГООБРАЗИЕ МАТРИЦ ДАННОГО РАНГА
173
(ибо первый сомножитель слева невырожден), а последняя матрица имеет ранг k тогда и только тогда, когда D—СЛ-1В = 0, то матрица (1) однозначно определяется матрицами Л, В, С, где Л—невырожденная матрица, а на матрицы В и С не накладывается, вообще говоря, никаких условий. Это означает, что множество 0, а значит, и множество открыты (в R(/n, n; k) и R'v соответственно), а отображение h: U —+U0 биективно. Следовательно, пара (U, h) является картой в R(m, п\ k).
Обратное отображение h~l: Un—состоит в восстановлении матриц Л, В, С по данному вектору-строке и в заполнении правого нижнего угла матрицы (1) матрицей
о=сл-*в.
Пусть теперь a: R(m, n; fe)-~»-R(/n, п; k) — биективное отображение множества R(m, п; k) на себя, задающееся некоторой перестановкой строк или столбцов (имеется всего mini таких отображений), и пусть
Ua = aU и ha = h о а-1.
Тогда пара (Ua, hj также будет картой в R(/n, п; k). " Поскольку любая /пх «-матрица ранга k перестановками строк и столбцов может быть переведена в матрицу вида (1), множества покрывают множество R(m, п; k).
Пусть t/a A t/p =/= 0. Множество
а-1 (^а Л ^р) = U А (а-1 о 0) U
состоит из матриц (1), которые после перестановки а'1 о 0 не выходят из U, т. е. минор порядка k которых, переходящий при а-1 о 0 в левый верхний минор, отличен от нуля. Этот минор представляет собой некоторую рациональную (ибо D = CA~1B) и, следовательно, непрерывную (в ее области определения) функцию от элементов матриц Л, В, С. Поэтому в U„ = h(U) множество, на котором эта функция отлична от нуля, т. е. множество
/i(a-1((/aAt/p)) = /ia(t/aAt/p),
открыто.
Отображение
(2) /ip о h^==h о (0'1 о а) о /г1: ha(Ua A ►М^ЛЦз)
точку из А £/р) cz t/0, отвечающую матрице (1) (а точнее, матрицам А, В и С), переводит сначала в
174
МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ
матрицу (1), т. е. в матрицу
|с СА~1в\’ затем подвергает эту матрицу некоторой перестановке строк и столбцов и, наконец, выписывает в одну строчку все элементы, оказавшиеся на месте, матриц А, В и С. Это показывает, что отображение (2) задается рациональными функциями координат. Эти функции определены на ha(Uaf]U^) и, значит, гладки на /ia(t/an^p). Это доказывает, что любые две карты вида (Ua, ha) согласованы друг с другом.
Следовательно, все эти карты составляют некоторый атлас. Гладкость, определенная этим атласом (очевидно, согласованная с топологией в R(m, л; k)), и является гладкостью, которую мы имели в виду построить. □
Заметим, что при m = n = k атлас составляет уже одна карта (U, h), и это в точности атлас, задающий указанную выше гладкость на GL(n).
Пусть Т3—произвольное л-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел. Называя т-реперами в Т3, где 0 т п, линейно независимые семейства векторов из Т3, состоящие из т векторов, рассмотрим множество V (т, Т3) всех m-реперов в 9^. Выбрав в Т3 произвольный базис (л-репер), мы можем сопоставить каждому m-реперу тх «-матрицу, столбцы которой состоят из координат векторов этого репера в данном базисе. Ясно, что тем самым получится некоторое биективное отображение V [т, е^э)—>R(m, л; пг). Перенося с помощью этого отображения гладкость из R(m, л; т) в V (т, Т3), мы получим на V (т, Т3) структуру гладкого многообразия, которая, очевидно, не зависит от выбора базиса в Т3.
Это многообразие называется многообразием Штифеля линейного пространства Т3. При — оно обозначается через V (т, п).
Задача 1. Покажите, что множество G (т, ф?) всех т-мерных подпространств n-мерного линейного пространства %'э является т (п— т)-мерным гладким многообразием. (Это многообразие называется многообразием Грассмана\ ср. лекцию II.9.)
Для изучения более сложных гладких многообразий, состоящих из матриц, нам понадобятся некоторые сведения из общей теории матриц.
РЯДЫ матриц 175
На линейном пространстве Mat„ (R) всех квадратных матриц Л —1| а{ 1| порядка п можно ввести много различных норм, т. е. таких функций Д<—> | А | со значениями в поле R, что
| Д + В|<| Д|+|В|, |М|-|б|-|Д| и
| А | > 0 при Д # О для любых матриц Д, В и любого числа k. Нам будет удобна норма, определенная формулой
I Д 1 = я- max I я/1.
1 <(, /<п' 11
Эта норма обладает тем приятным свойством, что для любых матриц А = || я|- || и В = || бу || имеет место неравенство
I ДВ|<|Д|.|В|.
Действительно, по определению умножения матриц элементы Су матрицы АВ выражаются формулой cj я^бу, т. е. формулой
п
с/=2аАЙ/> /=’......«•
fe=l
Поэтому п
|ДВ| = «. max |c'|<«. max 2
1 'С I• t С л 1 •С ь / •С п 1
Кроме того, для этой нормы
|ДТ| = |Д|.
В соответствии с общими определениями анализа мы будем говорить, что последовательность {Д (т)} матриц А (т) = || Яу (т) || сходится к матрице Д=||яу|| (и будем писать А (т)—< А при т— *оо), если
| А (т) - А | —> О
при т—>оо или, что, очевидно, равносильно, если Яу (т)—♦ Яу для любых I, .., т.
О бесконечном матричном ряде
(3) До + Д14~ • • • +Д/в + • •
мы будем говорить, что он сходится к матрице Д, если к А схо-дится последовательность {Д (т)} его частичных сумм
А (т) — До + ... + Ат.
17G
ЭКСПОНЕНЦИАЛ МАТРИЦЫ
Известный критерий сходимости Коши непосредственно переносится на матричные ряды, т. е. ряд (3) тогда и только тогда сходится, когда для любого в > 0 существует таксе Л40 > 0> ято для любого т > Мо и каждого р,:^0
I Агп + Л;л + 1-|-...-|-Л,л + /,| < е-
Ряд (3) называется абсолктно сходящимся, если сходится числовой ряд
Mo l + Ml 1+ • • • +1 1+ • • •
Поскольку
I Лщ-'г Лт-и + • • • + Лт4 р I < I Лт | -|- | Ля + 11 + . . . Ат + р1,
из критерия сходимости Коши непосредственно следует, что каждый абсолютно сходящийся ряд сходится.
Примером абсолютно сходящегося ряда служит ряд
Дт Д 2 Дт
L'sr-£+-’+4r+-+vr+-
т=0
Этот ряд сходится (абсолютно) для любой матрицы А. Его сумма называется экспоненциалом этой матрицы н обозначается символом еА (или ехр Л).
Ясно, что операция перехода к матрице еА коммутирует с операцией А ।—> Л-!" транспонирования матриц, т. е.
(4) (еЛ)Т = еАт для любой матрицы А.
Кроме того,
(5) C-W: ес~'АС
для любой невырожденной матрицы С (ибо С~1АтС=- (С-1ЛС)т для каждого т).
Если матрица А является верхнетреугольной матрицей с диагональными элементами alt ..., а„, то каждая матрица Ат также верхнетреугольна, а ее диагональные элементы равны т-м степеням а™, ’ ап Диагональных элементов матрицы А. Поэтому верхне-треугольна и матрица еА, а ее диагональными элементами являются числа еа'...еап. Для определителя матрицы еА отсюда следует
формула
(6) dete-4 —еТгА,
где Тг Л —след матрицы Л (сумма ее диагональных элементов). Но из курса линейной алгебры мы знаем (см. формулу (4) лекции II. 15), что для каждой невырожденной матрицы
(7) Тг(С-МС)-ТгЛ
ЛОГАРИФМ МАТРИЦЫ
177
и что (см. предложение 2 лекции 11.17) любая матрица имеет вид С~1АС, где А — некоторая верхнетреугольная матрица (вообще говоря, с комплексными элементами). Поэтому в силу формулы (5) формула (6) спраоед.июа для любой матрицы А.
В частности, мы видим, что определитель каждой матрицы вида е& положителен, так что, в частности, матрица еА нееырсждена (принадлежит группе GL (п)).
Равенство
(8) еАеП— ?А + в
для произвольных матриц А и В, вообще говоря, неверно. Однако оно верно, если матрицы А и В перестановочны, потому что в этом случае сохраняет свою силу выкладка, доказывающая формулу (8) для чисел. [По формуле бинома для любого т^О
(А + В)” Д Ак Вт~* т 1 Zu k 1 (m—k) 1 ’ о
и поэтому для любого М > О
уч (А-\-В)т_J уч ДтУ\ ( уч Вт \ . _ Zu т\ ’ L ml !( L ml ; ' m=0 'm=o ' 4m=0 '
где Rm~ сумма членов вида
A" B‘ k 1 * /1 ’
распространенная на все пары (k, /), для которых и одно
из чисел k и I больше М. Но так как число таких пар равно М (М +1), а
| Д* ВЧ |Д|* |B|Z max (| Д |, |В|)«М
| Л! * /Г |ЛI /1 ** ЛИ
то
|1?Д|<М(М-Н) ?,ах(1^Ь 1Д|)гМ .
Следовательно, | Rm |—► 0 при М—> оо, что и доказывает формулу (8).]
В частности, мы видим, что eAe~A=r е° — Е, т. е.
(9) (еА)~1 = е~А.
(Заметим, что это заново доказывает включение eAgGL(n).)
Диалогично функции ехр могут быть определены и другие матричные функции от А. Рассмотрим, например, ряд
(10) (Д _ Е) _. <л - £)2 + . . . ф- (-l)m +1 И.-Q” +.. ., л т
178 ЛОГАРИФМ МАТРИЦЫ
являющийся матричным аналогом известного логарифмического ряда. Поскольку логарифмический ряд абсолютно сходится при | г— 1 | < 1, ряд (10) абсолютно сходится при |Л— Е|<1. Его сумма обозначается символом In А и называется логарифмом матрицы А.
Подчеркнем, что, таким образом, логарифм In А определен только при | А — Е | < 1.
Вообще говоря, 1п(ДВ) # 1пД-|-1пВ, но если матрицы А и В перестановочны (а матрицы 1пД, In В и In (ДВ) определены), то (И) 1п(ДВ)= In Д + 1пВ.
Доказательство аналогично доказательству формулы (6).
Если А — число (матрица порядка 1), то как известно, е1пА = Д. Поэтому, подставив ряд для In А вместо А в ряд для еА, мы после раскрытия скобок и приведения подобных членов получим А (дайте прямое доказательство этого утверждения), причем эта выкладка будет законна для любых А, для которых ряд In А сходится. Поскольку эта выкладка (вместе с обоснованием ее законности) полностью сохраняется для матриц любого порядка, мы видим, следовательно, что
(12) е1пЛ = Д
для любой матрицы А с | А — Е | < 1. (В частности, для любой такой матрицы det А > 0.)
По аналогичным соображениям должно иметь место и равенство (13) 1пеЛ=Д,
причем, поскольку для чисел соответствующая выкладка с рядами законна лишь при | г | < 1п 2 (почему?), то равенство (13) имеет место при | А | < In 2. (Заметим, что если | А | < In 2, то | еА — Е | < <; е'л I — 1 < 1.)
Из формул (12) и (13) следует, что матричные функции ехр и In задают взаимно обратные биективные отображения между окрестностью единичной матрицы Е, состоящей из матриц А вида ев, где | В | < In 2, и окрестностью нулевой матрицы 0, состоящей из матриц В, для которых | В | < In 2.
При этом, поскольку элементы матриц еА и In А являются, очевидно, гладкими (вещественно аналитическими) функциями элементов матрицы А, эти отображения являются диффеоморфизмами.
Задача 2. Выведите из формулы (8) формулу (И). [Указание. Докажите, что при |Д| < In2 и |В| < In2 из перестановочности матриц еА и ев вытекает перестановочность матриц А и В.]
Вытекает ли из формулы (1!) формула (8)?
Замечание 1. Хотя нас в основном — пока явно не оговорено противное —интересуют лишь вещественные матрицы (состоящие из
ортогональные и j-ортогональные матрицы 179 вещественных чисел), но иногда нам придется привлекать и матрицы с комплексными элементами (см., например, выше доказательство формулы (6)). Стоит поэтому заметить, что сказанное выше о матрицах ел и 1п А в одинаковой мере справедливо как для вещественных, так и для комплексных матриц.
Напомним (см. лекцию 1.13), что вещественная матрица А называется ортогональной, если транспонированная матрица Дт ей обратна, т. е. если А^А — Е.
Все ортогональные матрицы порядка п образуют группу, которая обозначается символом О (л).
Вообще, если J — произвольная невырожденная матрица порядка л, то матрица А порядка п, для которой (14) A^JA — J,
называется J-ортогональной матрицей. (Таким образом, f-ортогональные матрицы—это в точности матрицы ортогональные.) Все /-ортогональные матрицы образуют группу, которая обозначается символом О7(л).
Из формулы (14) следует, что определитель /-ортогональной матрицы А равен ±1. /-ортогональная матрица А с det^=l называется собственной (или унимодулярной).
Все собственные /-ортогональные матрицы образуют подгруппу SO7(n) группы О,(л) (при J = E—подгруппу SO (л)).
Если для /-ортогональной матрицы А имеет место неравенство |А— Е | < 1 и потому существует матрица В = In А, то
eJBj-^ = = jaj-1 = (ДТ)-1 = (Д-1)Т = (е-В)Т —g-»T.
Следовательно, если | В | < In 2 (и потому |/В/-1|< < In 2 и | — ВТ | = | В | < In 2), то JBJ-^ — BT, т. е. (15) Вт/= —/В.
Обратно, если (15) выполнено, то
=eri'T =e~JI3J~t = Je-BJ-^J (е*)-1 J~\
и, значит, матрица А=ей является /-ортогональной матрицей.
Матрицы, удовлетворяющие условию (15), называются I-кососимметрическими. (При J — E — это обычные кососимметрические матрицы.)
Поскольку соотношение (15) линейно по В, все J-кососимметрические матрицы (данного порядка л) составляют
180
МАТРИЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
линейное подпространство пространства Mat„(R). Это подпространство обозначается символом $0j(n) (а при J =Е символом $о(п)).
Рассмотрим ситуацию в общем виде.
Пусть 3—группа, состоящая из вещественных матриц порядка п (подгруппа группы GL(n) = GL(n; R)).
Определение 1. Группа 3 называется матричной группой Ли, если в линейном пространстве Mat, (R) существует такое линейное подпространство q, что
Г Для любой матрицы В g q матрица ев принадлежит группе 3.
2° Если ев £ б и | В | < In 2, то В g д.
Линейное пространство g называется алгеброй Ли группы %. (Это название объясняется тем, что она является алгеброй в общеалгебраическом смысле относительно операции [В1( В2] = В1Ва—B2Bt-, см. ниже замечание 1 лекции 16.)
Таким образом, согласно проделанным выше вычислениям для любой невырожденной матрицы J группа Оj (п) является матричной группой Ли с алгеброй Ли iOj(n).
Матричной группой Ли является, конечно, и вся группа GL(n, R) (для нее q = Mat,(R); заметим, кстати, что на этом основании линейное пространство Mat (R обозначается также символом gl(«)). Матричной группой Ли является и подгруппа GL+ (и) группы GL (и), состоящая из матриц с положительным определителем (для этой подгруппы также g = Mat„(R)).
Из формулы (6) немедленно вытекает, что для группы SL(n) = SL(n; R) всех унимодулярных матриц свойствами 1° и 2’ обладает (п2—1)-мерное подпространство $1(п) всех матриц В, для которых ТгВ = 0 (физики называют такие матрицы бесследными). Таким образом, группа SL(n) является матричной группой Ли с алгеброй Ли £[(п).
Значение матричных групп Ли в теории гладких многообразий определяется следующим предложением:
Предложение 1. Каждая матричная группа Ли 'б обладает естественной структурой гладкого многообразия.
Размерность этого многообразия равна размерности алгебры д.
Доказательство. Пусть —окрестность нулевой матрицы 0 в линеале д, состоящая из всех матриц В gq, для которых | В | < In 2, и пусть (7 = ехр(/0. Тогда U открыто в б (почему?) и отображение In: Л —+ In А яв
МАТРИЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
181
ляется биективным (и даже гомеоморфным) отображением и-^и9.
Выбрав определенный способ выписывания элементов матриц из g в строку, и отождествив тем самым алгебру g с пространством Кл, где M = dimg, мы можем рассматривать как подмножество пространства Кл'. Ясно, что это подмножество открыто в и, значит, пара (U, 1п) является картой в д.
Заметим, что E^,U.
Для любой матрицы С из 3 введем в рассмотрение множество CU состоящее из всех матриц из Ъ вида С А, где и отображение
hc: CU-^Ua
этого множества на множество Uao.RN, определенное формулой
Лс(СД) = 1пД, A^U.
Ясно, что отображение hc биективно, т. е. что пара (CU, hc) является картой в 3. Так как С = СЕ $CU, то все карты вида (CU, hc) покрывают 3. С другой стороны, для любых двух матриц Cn С2 g g отображение
Лс.ойс,1: hCi (CtU n C2U) hCi (CtU f] C2U) задается формулой
(Лс,°ЛЕ11)(В) = 1п(С2-1С1ея), причем множество hCt(CiU (]C2U) состоит из всех матриц В $U2, для которых С21С1евС^-
Поэтому множество h^fCiU (]C2U) открыто, а отображение Лс.ойс/ гладко. Следовательно, карты (С^, йС1) и (C2U, fiCt) согласованы.
Мы видим, таким образом, что карты вида (CU, hc) составляют атлас на Ъ и, значит, задают на % структуру гладкого многообразия (очевидно, размерности М).
Тем самым предложение 1 полностью доказано. □
В дальнейшем мы всегда будем считать, что каждая матричная группа Ли 'б снабжена построенной гладкостью.
Будучи подмножеством линейного пространства Mat„(R), группа $ наследует из Mat„(R) его топологию.
Ясно, что в этой топологии все карты (CU, hc) удовлетворяют условиям предложения 2 лекции 7, и, следовательно, гладкость в группе согласована с ее топологией.
182
ГРУППЫ ./-ОРТОГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ
Таким образом, в частности, мы видим, что группа SL (л) является гладким многообразием размерности п2— 1.
Аналогично, для любой невырожденной матрицы J порядка п группа Oj(ri) всех J-ортогональных матриц порядка п является гладким многообразием.
Размерность этого многообразия (равная размерности алгебры Ли 8оу(л)) зависит, вообще говоря, от J.
Например, при J — E алгебра сОу. (/;)== со (п) состоит из всех кососимметрических матриц В = || Ь}|| порядка п. Поскольку в л2-мерном линеале Mat„ (R) всех матриц порядка п кососимметрические матрицы выделяются п(п-\-1)/2 независимыми условиями
Ь1/ = — Ц, где I, / = 1, . . ., п и i то
,. „ п (п 4-1) п(п—П
dim 30(п) ~-п2--2 = -’
Таким образом, размерность группы Ли О (л) равна п (п — 1)
2 ’
Другой важный пример получается в случае, когда число п четно (n = 2m) и матрица J имеет вид
<,в) HU о|.
где 0 и Е— нулевая и единичная матрицы порядка т. В этом случае условие ./-кососимметричности матрицы
(17)
Hi
il
порядка п (где Аг, Аг, Ая, А4 — матрицы порядка т) равносильно трем соотношениям
(18) АТ = -А„ а; = 4, Л7 = Л3,
означающим, что матрицы А2 и Ая симметричны и что матрица Л4 выражается через матрицу Аъ (не подчиненную никаким условиям). Поэтому размерность пространства /-кососимметрических матриц (обозначаемого в этом случае символом §р(лц R)) равна
т2 2 — „ — = т (2т + 1) = - .
£ *
ГРУППЫ ./-ОРТОГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ 183
Матрицы, /-ортогональные по отношению к матрице (16), называются симплектическими матрицами, а их группа О, (га) (обычно обозначаемая символом Sp(m; R)) называется симплектической группой. Согласно произведенному вычислению группа Sp (гаг; R) является гладким многообразием размерности т(2т-\1).
Матрицы четного порядка п = 2т, одновременно ортогональные и симплектические, составляют ортогональную симплектическую группу Sp(m; R) П О (2т). Эта группа является матричной группой Ли с алгеброй Ли Зр (m; R) Г1 А §0 (2т).
Ясно, что матрица (17) тогда и только тогда кососимметрична, когда Л 7 = —Л1( Al = —А3 и Л? =—А4. Вместе с условиями (18) это дает, что матрица (17) тогда и только тогда принадлежит алгебре Ли Зр (т; R) П ‘30 (2т), когда
А~[ = —А4, А~2 = А2 и А3 = —А2, At = А1.
Поэтому
dim (Зр (т; R) А 30 (2m)) = + т(т±1.). = т2,
и, значит, группа Sp (m; R)AO(2m) является гладким многообразием размерности т2.
Пусть n = p + q, и пусть
где Ер и Eq—единичные матрицы порядка р и q соответственно.
Матрицы, /-ортогональные по отношению к этой матрице /, называются (см. лекцию II. 12а) псевдоортого-нальными матрицами типа (р, q), а их группа Оу(га) обозначается символом О (р, q). (Таким образом, О (п, 0)= =0(0, п) = О(п).) Ясно, что группа О(р, q) является глад-- п (п — 1) ,
ким многообразием размерности ——%—- (не зависящей от р и q).
Комплексным аналогом /-ортогональных матриц являются /-унитарные матрицы с комплексными элементами, удовлетворяющие соотношению
(19) A^JA = J
184
УНИТАРНЫЕ И ./-УНИТАРНЫЕ МАТРИЦЫ
(при J = E—это обычные унитарные матрицы; см. лекцию 11.22), а комплексным аналогом /-кососимметрических матриц—J-косоэрмитовы матрицы, удовлетворяющие соотношению
BTJ = — JB
(при J = E—это обычные косоэрмитовы матрицы; см. лекцию II.20).
Все /-унитарные матрицы составляют группу Uy(n) (при J = E группу U(n), а /-косоэрмитовы матрицы — линеал иу(п) (при J = E—линеал U(n)).
[Отметим, что линеал пу(п) хотя и состоит из комплексных матриц, но выдерживает умножение только на вещественные числа (после умножения на i косоэрмитовая матрица становится эрмитовой), т. е. U7(n) является линейным пространством над полем R. При / —Е его размерность равна, как нетрудно подсчитать, п2. (Условие косоэрмитовости матриц не накладывает никаких ограни-
« п (п—I) „
чении на —— комплексных чисел выше главной диагонали и требует, чтобы п чисел на главной диагонали были чисто мнимыми).]
Задача 3. Покажите, что для любой /-косоэрмитовой матрицы В матрица ев является /-унитарной матрицей и что для /-унитарной матрицы А = ев с ] В | < In 2 матрица В необходимо /-косоэрмитова.
В порядке непосредственного обобщения определения мы будем применять термин «матричная группа Ли» и к группам $, состоящим из комплексных матриц, для которых существует линеал flcMatn(C) (над полем R), обладающий свойствами 1°, 2° из определения 1. В силу этого соглашения мы можем, таким образом, сказать, что Uj(n) является матричной группой Ли с алгеброй Ли U.j(ri). Поскольку предложение 1, очевидно, полностью сохраняет свою силу и для таких матричных групп Ли, мы видим, следовательно, что группа Uу (п) является гладким многообразием. При J = E размерность этого многообразия равна п2.
Задача 4. Покажите, что соответствие
является диффеоморфным (и одновременно изоморфным) отображением ортогональной симплектической группы Sp (m; R)DO(2m) на группу U (т).
КОМПЛЕКСНЫЕ МАТРИЧНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 185
Из соотношения (19) следует, что для любой /-унитарной матрицы А имеет место равенство
|det Д| = 1.
Унитарные матрицы А, для которых
det А = 1
(унимодулярные унитарные матрицы), образуют подгруппу SU (и) группы U (и). Эта группа является матричной группой Ли с алгеброй Ли, состоящей из всех бесследных косоэрмитовых матриц порядка п (эта алгебра обозначается обычно символом §it(n)). Так как, очевидно, dim§u(n) = n2—1, то, следовательно, группа SU (и) является гладким многообразием размерности и2—1.
Другой интересной подгруппой группы U (и) является (при п — 2т четном) унитарная симплекпшческая группа Sp(m), состоящая из унитарных матриц порядка л = 2т, удовлетворяющих условию симплектичности (которое, конечно, имеет смысл и для комплексных матриц). Эта группа является матричной группой Ли с алгеброй Ли §р (т), состоящей из косоэрмитовых матриц (17), удовлетворяющих соотношениям (18). Но условие косоэрмитовости для матрицы (17) сводится к соотношениям
Д1 = -Д1, ДТ = -Д4, Д1 = -Д3, и эти соотношения вместе с соотношениями (18) дают, что
Д1 = Д1, А3 = — Д2)
где.Д! — косоэрмитова матрица (зависящая от т2 вещественных параметров), а Д2—симметрическая матрица (зависящая— ввиду ее комплексности — от т(т + 1) вещественных параметров). Это показывает, что dim§p(m) = —т2 + т(т + l) = m(2m + 1) и, следовательно, что группа Sp(m) является гладким многообразием размерности т (2т + 1).
Обратим внимание, что dim Sp (m) = dim Sp (m; R), Тем не менее многообразия Sp (tri) и Sp (т\ R) недиффеоморфны (хотя бы потому, что одно из них компактно, а другое пет).
Как уже было замечено, условие симплектичности (и — более общо—условие /-ортогональности) имеет смысл и для комплексных матриц. Так возникает группа Оу(л; С) комплексных /-ортогональных матриц порядка п (и, в част
186 КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
ности, группа О (и; С) комплексных ортогональных матриц порядка п и группа Sp(m; С) комплексных симплектиче-ских матриц порядка п — 2т). Эта группа удовлетгоряет условиям определения 1 с тем лишь отличием, что соответствующая алгебра Ли fl состоит из комплексных матриц и является линеалом над полем С. Такие группы мы будем называть комплексными матричными группами Ли.
Поскольку любой линеал над полем С автоматически является линеалом и над полем R (вдвое большей размерности), любая комплексная матричная группа будет матричной группой Ли (в указанном выше обобщенном смысле) и, значит, будет гладким многообразием. В частности, мы видим, что все группы вида Oy(n; С) (и, в частности, группы О (и; С) и Sp(m; С)) являются гладкими многообразиями. При этом dimO(n; С) = п(п—1), а dimSp(m; C) = 2m(2m-|- 1).
Заметим, что, таким образом,
Sp (m) = Sp (m; C) A U (2m)
(аналогичное пересечение Sp(m; R) А (2m) является не чем иным, как ортогональной симплектической группой Sp (m; R) А О (2m)).
Пример групп Оу (//; С) наводит на мысль рассмотреть в общем виде многообразия, обладающие картами (U, h), для которых множество h(U) является открытым множеством пространства С" (такие карты называются комплексными1).
Две комплексные карты (U, h) и (V, k) называются комплексно согласованными, если либо U()V=0. либо множества h (U А V) и k (U а V) открыты в С" и отображение
kolr1: h(U() V)—>k(Uf) V) является комплексно аналитическим диффеоморфизмом, т. е. и оно, и обратное к нему отображение hok~l выражаются комплексно аналитическими (в другой терминологии— голоморфными) функциями (в окрестности любой точки 2’0 = (zJ, . .., z%)£.h(U(] V)czC", разлагающимися в ряд по степеням разностей z1—zj, ..., z" — zj).
Множество Э?, снабженное атласом из комплексно согласованных комплексных карт, называется комплексно аналитическим многообразием. Число п называется
ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
187
его комплексной размерностью и обозначается символом dime
«Комплексный» аналог предложения 1 утверждает, что любая комплексная матричная группа Ли является комплексно аналитическим многообразием. Доказательство дословно совпадает с доказательством предложения 1.
[Подчеркнем, что группа U (п) не является комплексной матричной группой Ли; ввести на U (н) структуру комплексно аналитического многообразия, вообще говоря, нельзя.]
Так как пространство С' естественным образом отождествляется с пространством R2" (достаточно каждую комплексную координату zk, k = 1, .... п, заменить ее вещественной и мнимой частями), и так как для любой комплексно аналитической функции от z1, .... z" ее вещественная и мнимая части являются (докажите!) вещественно аналитическими функциями от
х1 = Rez1, ..., хп — Rez’1, у1 = Im z1, .... z/" = Im z', то каждое комплексно аналитическое многообразие % автоматически является гладким (вещественно аналитическим) многообразием удвоенной размерности.
Это многообразие называется овеществлением многообразия X и обозначается символом
Теперь нам надо на несколько минут вернуться к общей топологии.
Определение 2. Путем в топологическом пространстве % называется произвольное непрерывное отображение и: /—> % в % отрезка /=[0, 1]. Точка и(0) называется начальной точкой пути и (короче, началом), а точка и(1) — его концевой точкой (короче, концом). Говорят также, что путь и соединяет в % точку ра = и (0) с точкой р^. = и (1).
Деформации базисов n-мерного линейного пространства Т3 (см. определение 2 лекции 1.6) являются не чем иным, как путями в многообразии Штифеля V (п, ^) = =GL(n), а псевдоортонормированные деформации базисов псевдоевклидова пространства типа (р, q) (см. определение 2 лекции 11.12) — не чем иным, как путями в группе О(р, q).
Легко видеть (ср. предложение 1 лекции 1.6), что отношение «быть соединенным путем» является отношением эквивалентности на Я, т. е. оно рефлексивно (каждая точка р0€^ соединяется сама с собой постоянным путем
188
ЛИНЕЙНО СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
и: определенным формулой u(/) = p0, t^/)., сим-
метрично (если путь и: I—> SC соединяет точку р0 с точкой pi, то обратный путь и"1: I—>%, определенный формулой u-1(/) = u(l— /), /£/, будет соединять рх с р0) и транзитивно (если путь и: I—+3C соединяет точку рй с точкой Др а путь v: I——точку рх с точкой р,, то путь w. I—определенный формулой
1 и (2/), если 0^/^ 1/2, (20) V(2{— 1), если 1/2^/<1,
— и называемый, кстати сказать, произведением uv путей и и v,— будет соединять точку р0 с точкой р2; докажите, что формула (20) определяет непрерывное отображение).
Определение 3. Классы по этому отношению эквивалентности называются компонентами линейной связности топологического пространства Я,'. Пространство SC, имеющее только одну компоненту линейной связности, т. е. такое, что любые две его точки можно соединить путем, называется линейно связным.
Ориентации линейного пространства в смысле определения 3 лекции I. 6 и ориентации псевдоевклидова пространства в смысле определения 2 лекции II. 126 являются не чем иным, как компонентами линейной связности групп GL (п) и О (р, q) соответственно. Таким образом, мы видим, что группы GL (п) и О (п) имеют по две компоненты линейной связности, а группа О(р, q) при 0 < р < п — четыре. Компонентой группы GL(n), содержащей единицу этой группы (или, как кратко говорят, компонентой единицы), является группа GL+ (и), компонентой единицы группы О(п) — группа SO(n), а компонентой единицы группы О(р, q) при 0 < р < п — группа 0+(р, q) (см. лекцию 11.126).
Группа U (п) линейно связна (см. лекцию 11.22).
Задача 5. Докажите, что группы Sp (т\ R), SU (п) и Sp (m) линейно связны.
Существует другое понятие связности, иногда более удобное (и которым мы уже пользовались в лекции 1 в связи с понятием простой линии).
Напомним (см. лекцию 8), что подмножество А топологического пространства Я? называется замкнутым, если его дополнение ^\Д открыто. Подмножество одновре
СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 189
менно открытое и замкнутое называется открыто-замкнутым.
Ясно, что пустое множество 0 и все пространство SC открыто-замкнуты. Они называются тривиальными открыто-замкнутыми подмножествами. Примером нетривиального открыто-замкнутого подмножества является подгруппа SO (я) группы О (л).
Определение 4. Топологическое пространство называется связным, если в нем нет нетривиальных открытозамкнутых подмножеств. Подмножество топологического пространства называется связным, если оно связно в индуцированной топологии.
Наглядно связность пространства означает, что оно состоит из одного-единственного куска.
Задача 6. Докажите, что длинная полупрямая Александрова (см. замечание 1 лекции 10) является связным топологическим пространством.
Определение 5. Связное подмножество А топологического пространства X называется его компонентой (или, более распространенно, компонентой связности), если оно максимально, т. е. если каждое связное подмножество, содержащее А, совпадает с А.
Из курса анализа известно, что любой отрезок [о, Ь] оси R является связным пространством. [Приведем для полноты доказательство. Пусть отрезок [а, Ь] несвязен, т. е. пусть существует непустое открыто-замкнутое множество Сс[а, 6], отличное от всего [а, Ь]. Переходя, если нужно, к дополнению (которое также открыто-замкнуто), мы без ограничения общности можем считать, что а£С. Пусть Т — множество всех точек (£ [а, Ь\ для которых [a, t)£C. Так как из [я, 1)£С следует, что [а, /]сС (ибо С замкнуто), то Тс С. Так как С открыто в [я, й] (и a g С), то существует такое е > 0, что [а, а -Т е)с С, т. е. яН-е^Т. Следовательно, множество Т не пусто и его верхняя грань t0 = sup Т строго большее». Пусть а < t < t0. По определению верхней грани существует такое число ^i€T, что t< ti,. Тогда [о, ()с[я, (JcC и, значит, I £ Т. Зтим доказано, что [я, (0)сС, т. е. что tB£TaC. Но если CgC и /0 < Ь, то, поскольку С открыто в [я, Ь\, существует такое е > 0, что (/0 — е, /0Н-е)с С. Поэтому [я, /0+8)сС и, значит, t0-+е£Т. Поскольку это противоречит равенству /0 = supT, неравенство tB<b невозможно. Следовательно, tB — b и, значит, вопреки условию, С=[я, Ь]. □]
В частности, отрезок / связен.
190
СВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Отсюда легко следует, что любое линейно связное пространство 37 связно. Действительно, если С—произвольное открыто-замкнутое множество в 37, то для каждого пути и: /—>37 множество ихС всех точек t £ [0, 1], для которых и (/) £ С, открыто-замкнуто в /. Поэтому ввиду связности отрезка I либо и~хС—0, либо и~'С~1. Если С =£0, то мы можем исключить первый случай, выбрав начало пути и в С, а если С =£37, то мы можем исключить и второй случай, выбрав конец пути и вне С. Таким образом, если в 37 существует непустое открыто-замкнутое множество С, отличное от 37, то никакую точку из С нельзя соединить путем ни с одной точкой вне С. Поэтому 37 не линейно связно. U
Теперь ясно, что каждая компонента линейной связности содержится в некоторой (очевидно, единственной) компоненте связности.
Далее, легко видеть, что замыкание А произвольного связного подмножества А связно. Действительно, если непустое подмножество С открыто-замкнуто в Л, то его пересечение С П А с А не пусто (почему?) и открытозамкнуто в А. Поэтому СпА = А и, значит, AczC. Так как С замкнуто не только в А, но и в 37, то, следовательно, Ас.С и, значит, А = С. □
В частности, отсюда следует, что любая компонента пространства 37 замкнута.
Аналогично доказывается, что если пересечение П Аа семейства {Аа} связных множеств не пусто, то их объединение (J Аа связно. Действительно, если С открыто-замкнуто в (J Аа и СГ\Аа=£0, то СпАа = Аа, и потому АасС. Но если Аа„сС хотя бы для одного индекса а0, то ПАааС, и, значит, С П Аа=£ 0 для всех а. Поэтому либо АааС для всех а, либо СГ1Аа=0 также для всех а. В первом случае С= (J Аа, а во втором С = 0. □
Отсюда вытекает, что для любой точки р£3' компонента пространства 37, содержащая точку р, является объединением всех содержащих точку р связных подмножеств этого пространства и что компоненты пространства 37 попарно не пересекаются. Поэтому, если пространство 37 имеет конечное число компонент, то каждая компонента открытие 37 (и, значит, является открыто-замкнутым множеством).
СВЯЗНОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ связность
191
Резюмируя, мы, таким образом, получаем, что произвольное топологическое пространство SP является объединением попарно непересекающихся компонент, каждая из которых является замкнутым {а в случае, когда компонент конечное число и открытым) связным подмножеством пространства SE.
Пространство SE тогда и только тогда связно, когда оно имеет только одну компоненту.
Пространство % называется вполне несвязным, если каждая его компонента состоит только из одной точки. Ясно, что хаусдорфово пространство SE, для которого ind SP = 0 (см. лекцию 10), вполне несвязно.
С другой стороны, существуют примеры (довольно сложные) вполне несвязных хаусдорфовых пространств (даже метрических и удовлетворяющих второй аксиоме счетности) произвольной положительной размерности. Все эти пространства заведомо не компактны, поскольку можно доказать (попытайтесь сделать это!), что вполне несвязное хаусдорфово компактное пространство SP нульмерно (ind SP = dim SP = 0).
В отличие от компонент связности, компоненты линейной связности, вообще говоря, не открыты и не замкнуты. Однако если пространство 3S локально линейно связно (пюбая его точка обладает фундаментальной системой окрестностей, каждая из которых линейно связна), то каждая компонента линейной связности С пространства SP открыта и замкнута. Действительно, если U — линейно связная окрестность произвольной точки р£С, то, поскольку пересечение U П С не пусто, объединение С (J U линейно связно и, значит,— в силу максимальности компоненты С—совпадает с С. Таким образом, Uс.С и, значит, p^IntC. Этим доказано, что С alntC, и, значит, чтоС = 1п1С = С. Следовательно, компонента С открытозамкнута. □
Отсюда непосредственно вытекает, что компоненты линейной связности локально линейно связного пространства совпадают с его компонентами связности (и, кроме того, что в локально линейно связном пространстве все компоненты — независимо от их числа—открыто-замкнуты) .
В частности, локально линейно связное пространство тогда и только тогда связно, когда оно линейно связно.
192
ГЛАДКИЕ И КУСОЧНО ГЛАДКИЕ ПУТИ
Так как каждая точка любого топологического (и, в частности, любого гладкого) многообразия обладает фундаментальной системой окрестностей, гомеоморфных открытому шару 6", и так как шар б", очевидно, линейно связен, то произвольное топологическое многообразие локально линейно связно.
Поэтому для топологических многообразий компоненты совпадают с компонентами линейной связности и являются открыто-замкнутыми множествами. (В частности, любая компонента многообразия сама является многообразием.)
Мы видим, что линейно связные многообразия—это в точности связные многообразия. На этом основании термин «Линейно связные» к многообразиям обычно не применяется и заменяется термином «связные».
Путь и: I—»-.Т в гладком многообразии Ж называется гладким, если он является ограничением на / некоторого гладкого отображения и': (—е, 1+е)—+.Т, где е > 0. (Напомним, что интервал (—е, 1 + е) является гладким многообразием.) Если отображение и' гладко всюду, за исключением конечного числа точек, путь и называется кусочно гладким.
Ясно, что если открытое множество Uctf диффеоморфно связному открытому множеству в R" (например, шару), то любые две его точки можно соединить в U гладким путем. Очевидным образом отсюда следует — ввиду компактности отрезка /,— что любые две точки связного гладкого многообразия можно соединить кусочно гладким путем.
Задача 7. Докажите, что любые две точки связного гладкого многообразия можно соединить даже гладким путем.
Все построенные в этой лекции примеры связных гладких многообразий удовлетворяют второй аксиоме счетности. Однако существуют связные гладкие многообразия и не удовлетворяющие этой аксиоме. Таким многообразием является, скажем, длинная полупрямая Александрова (см. выше задачу 7). Приведем более элементарный пример, не использующий порядковых чисел (этот пример принадлежит Калаби и Розенлихту).
Пусть — подмножество пространства R3, состоящее из точек (%, у, г), для которых либо х = 0, либо z = 0 (объединение координатных плоскостей Оуг и Оху), a Ua,
СВЯЗНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
193
a ER,— его подмножество, состоящее из точек (х, у, г), для которых либо х =£ 0, либо у— а (объединение плоскости Оху с удаленной осью ординат х = 0 и прямой х = 0, у —а). Пусть, далее, ha: — отображение множе-
ства Ua на плоскость R2 с координатами (и0, и0), задаваемое формулами
и—а , п
-— , если х #= О, х
г, если х = 0.
Это отображение, очевидно, биективно (обратное отображение переводит точку (иа, va) Е R2 в точку (иа, a+uava, va) £ Ua) и, значит, пара (Ua, ha) является картой на &. Для
любых двух таких карт (Ua, h.a) и (Ub, hb) множество Ua n Ub является плоскостью Оху с удаленной осью ординат х = 0, множества ha(Ua(]Ub) и hb(Ua(]Ub) представляют собой плоскость R2 с удаленной осью ординат «- (), а отображение
hb°hbl: ha(Ua(\Ub)-,hb(Ua(\Ub)
задается формулами
«ь = а0, vb = vaA
и, следовательно, вещественно аналитично. Это означает, что карты (Ua, ha), «ER, вещественно аналитически согласованы и, значит, определяют на структуру гладкого двумерного многообразия класса С“.
7 М. М. Постников, сем. III
194
СВЯЗНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Задача 8. Покажите, что построенное гладкое многообразие хаусдорфово, связно и не удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Конечно, этот пример легко обобщается на большие размерности. Креме того, если заменить R на С, то та же конструкция даст нам пример двумерного связного комплексно аналитического многообразия, не удовлетворяющего второй аксиоме счетности.
Интересно, что при п = 1 подобный пример невозможен, поскольку, как показал венгерский математик Радо, каждая комплексная кривая (хаусдорфово связное одномерное комплексно аналитическое многообразие) удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Замечание 2. Сравнение определений немедленно показывает, что комплексные кривые суть не что иное, как известные из курса теории функций комплексного переменного абстрактные риманов ы поверхности.
Лекция 12
Векторы, касательные к гладкому многообразию.— Производные голоморфных функций.— Касательные векторы комплексно аналитических многообразий.— Дифференциал гладкого отображения.— Цепное правило.—Г радиеит гладкой функции.— Теорема об этальных отображениях.— Теорема о замене локальных координат.— Локально плоские. отображения.
Введем понятие вектора, касательного к произвольному гладкому многообразию %.
Чтобы понять, как это можно сделать, рассмотрим частный случай многообразия R", когда мы уже знаем, что такое вектор.
В произвольных координатах х1, .... х’ (быть может, даже криволинейных) вектор а аффинного пространства R" в каждой точке /?ogR" задается п числами (а1, ..., а") (вектором линейного пространства R"). Как преобразуются эти числа при переходе к другим координатам х1', . . ., х”'? (Из линейной алгебры мы знаем ответ только в случае, когда новые координаты линейно выражаются через старые; теперь же мы имеем в виду самое общее преобразование координат, задаваемое произвольными гладкими функциями х*'= хг (х1, ..., х"), Г=1, ..., п.) Чтобы дать ответ на этот вопрос, рассмотрим в R" произвольную гладкую кривую
х* —х' (t), t = 1, .. ., п, проходящую при t = t0 через точку ра и имеющую в этой точке касательный вектор а, т. е. такую, что a1' = x‘(ta) для любого t = 1, .... п (точкой мы обозначаем дифференцирование по /). В координатах х1', .... х1' эта кривая будет задаваться функциями х*' (/) — х;' (х1 (/), ..., х‘(0), I'= Г, ..., п', а касательный вектор (т. е. тот же вектор а) будет иметь компоненты а1' = х‘' (/„). Но по правилу дифференцирования сложной функции
?'(/) = дх‘ xn(t}} 'xi(/)
(как всегда по i происходит суммирование), и, значит,
7*
196
ВЕКТОРЫ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К МНОГООБРАЗИЮ
/ дх‘' \ / Ас1' \
где н/ —значения частных производных
дх^ 1
-уу- в точке рй с координатами x1 (Zo), ...» хп (f0).
Пусть теперь Я?—произвольное гладкое (класса Сг, г~^\) многообразие размерности п. Для любой точки р0Е^' символом А(р0) будем обозначать множество всех карт (U, А) этого многообразия, для которых р0 С U (о таких картах говорят, что они центрированы в р0). Только что произведенное вычисление мотивирует следующее определение:
Определение 1. Касательным вектором к многообразию % (или просто вектором многообразия в точке называется такое отображение
(2) Л: A(p„)-->R«,
что для произвольных карт (U, h) = (U, х1, ..., х") и (U', А,) = (лг1', ..., хп') из А(р0) векторы A(U, h)-— (а1, ..., а") и A (U', h/j — fa1'. а'1') линеала R"
связаны формулой (1), т. е. формулой
(3) A(U’, h') = ^oA(U, h),
где —линейный оператор R" — > R" с матрицей
II / дх1' \ II ]\ дх1 /о||
Компоненты а1, .... ап вектора A(U, h)£Rn называются координатами вектора А в карте (U, А) (или в локальных координатах х1, .... х"). Для упрощения формул равенство A(U, h) = (a1, ..., а") обычно записывают следующим образом:
Д = (<21...а") в (U, h).
В случае, когда карта (U, А) фиксирована, указание «в (U, А)» как правило, опускается.
Множество всех векторов многообразия SV в точке р0 обозначается символом и называется касательным пространством многообразия в точке р0. Оно является линейным пространством над полем R относительно линейных операций, определенных формулами
(X + B)(t/, A) = X(t/, А)-| B(U, А), (Ы)Д/, A) = M(t/, A),
ВЕКТОРЫ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К МНОГООБРАЗИЮ
197
где /1, В^ТрЯ", XgR, a (U, /i)gA(p). (Включения А + Bg.TpM’ и кА^Тра^ обеспечиваются линейностью операторов
Таким образом, по определению, если А =(а1, . . ., ah) и В-- (Ь1, . . ., Ь") в (U, h), то А В = (а1 4 Ь1, .... а "+/Х-) и кА — (Ха1, .... Ха") в (U, h). Поэтому для любой карты (U, h) соответствие
A*-+A(U, h)
определяет линейное отображение
(4) R".
Легко видеть, что отображение (4) является изоморфизмом. Действительно, если A(U, й) = 0, то ввиду формулы (3) A(U', h') — 0 и для каждой карты (fV', й') £ А (р0), т. е. Л =0. Это означает, что отображение (4) мономорфно, С другой стороны, положив для любого вектора а •= = (а’, .... а") £ R." и любой карты (U't h')^.A.(pa)
A(U'.
мы получим отображение А: А(р0)—обладающее тем свойством, что A (U, h) = a. Поэтому для доказательства того, что отображение (4) является эпиморфизмом (и, значит, изоморфизмом), достаточно показать, что А^ТрЯ', т. е. что
А)
для любых двух карт (U't h'), (U”, h")£.b(p0). Но по определению
4(С-, и =
а по цепному правилу дифференцирования сложной функции
( д*‘' \ _ ( dxi" ( дх‘' \ дх1 /0 \ дх1' /0\ дх1 /0’
т-е- След°вательно’
A(U", \ а = (^г) A(U',hr). □
\ d/i /о \ dh' /о у '
198 ВЕКТОРЫ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К МНОГООБРАЗИЮ
Таким образом, является линейным пространством размерности п:
dim Тр& = dim SC.
Векторы, переходящие при изоморфизме (4) в стандартный базис пространства R", обозначаются
символами
I &
' ’ \ JРа
Они составляют базис пространства TPlt&, причем координаты вектора А^ТР^ относительно этого базиса—это в точности его координаты в карте (U, h): если А = = (а1, ..., а") в (U, h), то
(6) А^а‘(^-:\
\ йх> )рй
и наоборот.
В случае, когда SC является пространством R", среди всех изоморфизмов (4) есть один избранный, отвечающий карте (Rn, id), и мы можем посредством этого изоморфизма отождествить пространство T^R" с пространством R". Таким образом,
(7) T^R” = R-‘
для любой точки р0 g R", что полностью согласуется с тем, с чего мы начали.
Поскольку для каждой точки рй любого открытого подмногообразия U произвольного многообразия SC пространство TpU естественным образом отождествляется с TpSC:
Т_(/=ТР^, ГО Ро ’
мы получаем, в частности, что
(8) V = R"
для любой точки рц^и произвольного открытого множества t/cR".
Этими отождествлениями мы будем постоянно пользоваться, не всегда явно их указывая.
Более общим образом, если SC является линейным пространством 7/э (или открытым множеством в Т"), то среди изоморфизмов (4) выделяются изоморфизмы, отвечающие картам вида (Тэ, А), где h — координатный изоморфизм
ПРОИЗВОДНЫЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
199
7/3-+R", отвечающий некоторому базису еи .. ., е., в Поскольку для двух таких изоморфизмов huh.' линейный
оператор До€'^/Э> совпадает, очевидно, с операто-
ром h' о /г-1 (и, в частности, не зависит от д0), композит ция изоморфизма (4), отвечающего карте ('тР, й),
и изоморфизма й-1: R" —-Т9—одна и та же для всех й. Таким образом, ^р^3 естественным образом отождествляется с Т9:
Тро7/9 = Т9 для любого Доб'ЗР.
Заметим, что в этом отождествлении базису (5) отвечает базис ₽!....еп.
Если же •£' является аффинным пространством Л, то для любой точки д0 € касательное пространство аналогичным образом отождествляется с ассоциированным линеалом Т3 (и, значит, снова одно и то же для всех д0). Впрочем, здесь удобно насильственно ввести зависимость от р0 и отождествлять 1рА с пространством А, в котором в качестве начала отсчета выбрана точка д0, т. е., иными словами, считать все векторы из ЧрА отложенными от точки д0.
В случае, когда % является элементарной поверхностью в аффинном пространстве А, касательное пространство естественным образом отождествляется с введенным в лекции 3 касательным пространством (являющимся подпространством ассоциированного линеала Т9). Именно, если ц, v—локальные координаты на SV, отвечающие некоторой параметризации г = г(и, и) поверхности .Т, то соответствующие базисные векторы прост-
ранства ТрЯ? отождествляются с векторами r„n, rVa пространства '5/э. Поскольку при замене координат векторы (йг) ’ преобразуются по тем же формулам, что
н векторы r„n, rVll, это отождествление пространства ТрЯ с подпространством пространства ТР не зависит от выбора параметризации r = r(u, v).
Понятие касательного пространства немедленно переносится на случай комплексно аналитических многообразий (см. лекцию 11). Чтобы элегантно осуществить этот перенос, нужны некоторые обозначения из комплексного анализа, которые мы в первую очередь и напомним.
200 ПРОИЗВОДНЫЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
Для произвольной комплексной функции ш(г) — и(х, y)-\-iv (х, у) комплексной переменной z — x-\-iy мы положим
дш \ 1 Г ( ди. dv \ . / dv ди \ I
дг 2 \ дх ‘ ду ] 2 | \ дх ду ) ‘ \ дх ду / ]
и
дш 1 / дш дш \ 1 Г / du dv\ . /dv . ди\ I
"2 \~dx +‘~dy ) ~~2 lДдх —dy)^1 |'
[Основанием для этих обозначений является формула , дш , , дш dw- -$—аг-\—= аг, дг дг
где dz dx-\-idy и dz- dx — i dy.j
Уравнения Коши —Римана ди _dv dv _ du дх~ду’ дх~ ду’
характеризующие голоморфные функции, записываются теперь в виде одного равенства
дш
-4= - о.
дг
[Таким образом, голоморфные функции можно интерпретировать
как функции, «не зависящие от г»! На этом основании произвольные функции от г записываются иногда в виде ш= ш(г, г), а запись ш ш (г) употребляется лишь для голоморфных функций.]
Заметим, что если функция ш — ш(г) голоморфна, то в силу соотношений Коши —Римана
дш ди , . dv дг дх дх
, „ , . . , дш
т. е. для голсмсрфнси функции ш= ш(г) прсиза.дная по г совпа-
дает с обычной производной по х. Аналогично, дш_____________________________1 дш
дг ~ i ду '
Отсюда для любых голоморфных функций ш — ш(г) и $ (ui) следует, что стандартная формула
дх ди dx'dv дх
для производной сложной функции £(ui(z)) может быть переписана в следующем виде:
д^_ <?£ дш дг ош дг
ПРОИЗВОДНЫЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
201
Это означает, что дм производных (9) голоморфных функций справедливо обычное цепное правило.
Для комплексных функций w(z) —w(zl.........гп) от п комплекс-
ных переменных аналогичным образом определяются частные произ-dw , _ . ,
водные----- и , 1</<л, и функция w тогда н только тогда
дг> дг!
голоморфна, когда о..................................^--о.
Jz1 дгп
Каждое отображение am U — >С'Л, где U с С", задается т комплексными функциями
(10) ш1--ш1(г).....wm - wm (г), z (г1, ..., zm)£U,
п комплексных переменных г1, .... z'!, определенными на U. Отождествив С" с R2" - R'! ф R" посредством соответствия
Z-- (г1....г") <=> (х1, .... х“, у1..У‘) = (х, у)
и С'л с К2"1 = R™ Еи посредством соответствия
w: (ш1, .... ш,л) <=> (и1, ..., ит, v1, .... к'л) - (и, г), где
х1 = Re г1, ..., хп = Re zn, их — Re w1, .... ит = Re^'", у1 = Im г1, ..., уп — Im г", v1 = Im w1, ..., vm ~ Imw'n.
мы можем рассматривать w как отображение из U CZ R2" в К2,л, задаваемое 2т вещественными функциями
uJ = uJ(x,y), vJ vJ (х, у), 1</<л.
Если это отображение гладко, то его якобиева матрица (матрица частных производных) имеет поэтому вид
да да дх ду dv до дх ду
где
да II duJ II да____|| ди^ ||
d»_||dtV|| 2^=||^||
дх ~~ || дх* || ’ ду ~~ || ду* ||’
Поэтому
да дх dv дх
да ду dv 1у
Еп 2
2
2 Еп
2
dw dw dz дг dw dw ~§z дг
Em
iEm
— iEm
202 ПРОИЗВОДНЫЕ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
где Еп и Ет — единичные матрицы порядка пит соответственно, а dw||<W|| dw____________________________I dwi II
В случае, когда отображение w голоморфно ^т. е. голоморфны фу нк-dw \
ции (10), и, значит, —0 ) , отсюда следует, что
дг )
да да Еп Еп dw n II
(11) ~дх до др до 1= 2 Еп • dz Л dw £ S ьц СЦ " 'T s s
~дх 21 2i и ~dz
При п = т отсюда, в частности, вытекает, что якобиан Dw голоморфного отображения to: U-*-Cn выражается формулой
и, следовательно, положителен. Кроме того, поскольку
Е
-Я-1
2i
Е
2 _1|А 011 £ “II о е||’ 21
отсюда также вытекает (для любых п и т), что при композиции отображений их матрицы
dw dw
& dz dw dw ~tiz ~^г
перемножаются (ибо это верно для якобиевых матриц).
Для голоморфных отображений отсюда следует, что при композиции , , dw
голоморфных отображении их матрицы перемножаются: если
(г) и (и>), то
dtf = d& . <Ъ* dzJ dwk dzi
(цепное [правило для голоморфных отображений).
Мы видим, таким образом, что Зля голоморфных функций производные (9) подчиняются тем же формсмьным правилам, что и обычные частные производные гладких вещественных функций.
КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
203
Пусть теперь Ж—комплексно аналитическое многообразие, и пусть Пусть, далее, А(р0)—множество
всех комплексных карт (и, h) многообразия %, для которых ро£.и. По определению для любых карт (U, h) = =(U, z1, ..., z"), ((/', h') = (U', z1', ..., zn') из A(Po) отображение h’ о h~x задается голоморфными функциями (12) z1' z1' (г), .... zn = z«'(z), где г = (г1, ..., z").
Пусть —линейный оператор С"—»С" с матрицей
, /, /'=1, .... п,
\ dz /о I \ dzJ /о I
где (—значения производных функций (12) в \ дг> )й дг!
точке р0. По аналогии с определением 1 мы будем называть касательным вектором к многообразию % в точке р0 такое отображение
(13) С-. А(д,)->С»
что для любых карт (U, h) и (U't h') из А (р0)
(14) С(17', = C(U, h).
Все такие векторы составляют линейное пространство Тр^ над полем С размерности n = dimc$’, причем для любой карты (t/, ft) из А(р0) отображение
(15) ТЛ^->С», C^C(V, h),
является изоморфизмом. Векторы, переходящие при изоморфизме (15) в стандартный базис пространства С", обозначаются символами
\дгх /₽„’ \ дгп
Они составляют базис пространства обладающий тем свойством, что равенство С (U, h) = (c1, ..., с") равносильно равенству С ~с-Г(-^~) .
\ дг! )Ра
Интересно сравнить комплексное /г-мерное пространство с вещественным 2п-мерным пространством ТРо.2\, где £*r— овеществление многообразия .2’(см. лекцию 11).
Для любой комплексной карты (U, h) отображение h, рассматриваемое как отображение в R2", мы обозначим через fiR, а множество всех карт вида (U, Ar), где
204 КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
(U, (р0),— через A (р0)к. По определению множество
A(/?0)r содержится в множестве Ar(p0) всех карт многообразия ^r в точке р0, причем, хотя А(р0)к =/= Ar (р0), но операция ограничения отображений Ar (р0) —> R2" на A(p0)R позволяет, очевидно, отождествить каждый касательный вектор Ar (р0)—► R2n многообразия ^r в точке ро с отображениями
(16) A- A(p0)r->R2«,
удовлетворяющими для любых карт (U, h) и (U', h') из А(р0) соотношению
(17) A(lJ', hR) = (^\ A(U, hR).
\ a_R /о
С другой стороны, каждый касательный вектор (13) многообразия в точке р0 мы в силу отождествления C" = R2" можем рассматривать как отображение CR: A(Po)r —»-R2". При этом для любых карт (U, h) и (W, h') из А (р0) будет иметь место равенство
(18) CR(U', hR) = (-^CR(U, h),
J dh' \R I dh' \
где \ —оператор 1-^-1 > рассматриваемый как опе-
ратор R2n—>-IR2".
Но ясно, что если некоторый линейный оператор С" —► Сп задается (в стандартном базисе) матрицей С = А + iB, то тот же оператор, но рассматриваемый как оператор R2n—-+lR2n, будет задаваться матрицей
Поскольку матрицей оператора служит матрица
\ дг /о \ дх Jo \ дх Jo*
7 dh' \R отсюда следует, что оператор задается матрицей
/ дх' \ f ду’ \
\ дх /о \ дх Jo
\ дх )о \ дх Jo
КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
205
совпадающей в силу соотношений Коши—Римана с матрицей
I { дх' \ ( дх' \ \ дх /о \ ду /о
I ( Э/А ( дУ' \ || \ дх /о \ ду /о
( ^R \ гх
оператора ( 1 . Это показывает, что
/ dh' \* ( д^\
\ dh Jo \dhR j0'
и, значит, формула (18) совпадает с формулой (17) (при X = Cr). Следовательно, CR является касательным вектором многообразия ^r в точке р0.
Построенное отображение
Tft£-»T,o£R,
очевидно, биективно и сохраняет суммы и произведения па вещественные числа. Иными словами, оно является изоморфизмом пространства Т^Д", рассматриваемого в силу вложения IRcC как линейное пространство над полем R, на пространство T^^r. В обозначениях, введенных в лекции 11.25, это означает, что имеет место естественное отождествление
(19) (TFo^)r = T^r.
В этом смысле многообразия % и имеют одни и те же касательные векторы.
Согласно сказанному в лекции 11.25 базис Ш.........................ш,.
пространства Tp&, отвечающий карте (U, h) из А(р0), порождает базис
пространства (T/>o^’)R, где J—оператор комплексной структурыJ (умножения на i). Легко видеть, что в силу отождествления (19) базис (20) совпадает с базисом
пространства ТрЛ\, отвечающим карте (U, hR).
206 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
В дальнейшем комплексно аналитические многообразия мы рассматривать больше не будем. Перенесение—когда оно возможно—результатов, доказанных для гладких многообразий, на случай комплексно аналитических многообразий мы тем самым полностью оставим инициативе читателя.
Пусть и 3/ — два гладких многообразия (размерностей соответственно п и т), и пусть [: %——произвольное гладкое отображение.
Пусть, далее, р — произвольная точка многообразия q = f(p)—ее образ в многообразии 8/, а
(U, h) = (U, х1, ..., х”) и (V, k) = (V, у1, ..., ут)
— такие карты многообразий J и ?/ соответственно, что p$U и fUeV.
Тогда, как мы уже знаем (см. лекцию 7), отображение f записывается в картах (U, h) и (V, k) формулами вида yi = f/ (х1, . . ., хп), j=l, • •, т, где р—некоторые гладкие функции.
Матрица
II / df1 \ I
(21) 11Ы,I’ г’=1,п’ •••’т'
размера nxm, элементами которой являются значения
\~di^) частных производных функций по х‘ в точке р (т. е., точнее, в точке h(p)£Rn), называется якобиевой матрицей отображения f в картах (U, h) и (V, k).
Эта матрица задает линейное отображение R"—► IR'", переводящее вектор (а1, ..., an)£Rn в вектор (/,’, . .., bm')^Rrn, где
/ dfJ \
(22)
Координатные изоморфизмы А >—> A (U, h) и А н-> > А (V, fe) позволяют это отображение интерпретировать как линейное отображение Тр^‘—*-Т93/ касательных пространств.
Определение 2, Построенное отображение Тр^ —>• Т^87 называется дифференциалом гладкого отображения f в точке р. Мы будем обозначать его символом (с//)? или просто dfp.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ГЛАДКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
207
Для элементарных поверхностей эта конструкция нам уже известна из лекции 3.
Таким образом, если А = (а1, .... а4) в карте (U, h), то dfp (Л) = (Ь1, ..Ь'п) в карте (V, k), где bJ', / = 1, ... .... т,— числа (22). На языке линейной алгебры это означает, что отображение dfp является не чем иным, как линейным отображением ТрТ- имеющим в базисах
..........................матрицу Ш).
Конечно, необходимо проверить корректность этого определения, т. е. независимость отображения dfp от выбора карт (U, Л) и (V, k).
Пусть ([/', ft') = (£/', х1’, .... хп') и (V", k') = = (V', у1', ..., уп') — другие карты многообразий и 2/, обладающие тем свойством, что p^.U' и q<tV', и пусть d'fp—отображение djp, построенное с помощью этих карт. Тогда, если Л = (а1', ..., ап') в ((/', Л'), то d'fp(A) =
/, ,, I др' \ / др' \
(о1 , . . ., Ьт), где b> — I ] а‘ и ) —значения \ дх' \ дх' Jp
в точке р частных производных по х‘‘ функций выражающих в картах (О', h') и (V", k') отображение /.
Пусть, далее, х( = х^(х1', . .., х"') и yi' = yi' (t/1, ..., ут)
— выражения локальных координат х‘ и у1'' через локальные координаты х1' и уР
Для упрощения формул мы положим
х = (х\ ..., х‘) (и аналогично х' = (х'', .... хп')),
j = (y1, ..., t/") (и аналогично у' = (у1', . .., ут')).
Соответственно этому вместо х‘ (х1', .... х"') мы будем писать х'(х'), а вместо (х^х), ..., х'Дх)) будем писать х(х'). Аналогичный смысл будут иметь обозначения У'(У)< fW и /'(х').
В этих обозначениях связь между функциями р и р' будет выражаться формулой
f^')-y'(f(X (х'))),
откуда по правилу дифференцирования сложной функции следует, что
208
ЦЕПНОЕ ПРАВИЛО
Поскольку
; / дХ‘ \ ,, / dfJ \ ,•
а‘ = ( —- ] а1 и о' = ( —— ) а1, \ дх1 Jp \ дх‘ /р
отсюда вытекает, что
= а‘’ = (^ (Щ а1'=
\ дх1 )р \ dyi / q \ дх1 /р\ дх1 )р
bi
\ Ну) / ч \ дх1 /Р \ ду1 )ч
т. е. числа Ы' и bJ являются координатами (в картах (V', k') н (V, /г)) одного и того же касательного вектора. Следовательно, d'fp(A) — dfp(A) для любого вектора и значит, d'fp = dfp. □
Ср. соответствующие рассуждения в лекции 3.
Заметим, что отображение dfp зависит только от локального поведения отображения f в окрестности точки р, т. е. если для отображений f, g: SC -—»<& существует такая окрестность U точки р, что f=g на U, то dfp — dgp.
В случае, когда SC и Й/ являются открытыми подмногообразиями пространств R" н R™ (и потому пространства 1pSC и Т7Й/ естественным образом отождествляются с этими пространствами), отображение dfp. J pSC совпадает, очевидно, с главной линейной частью R"—>R"‘ отображения f (т. е. является его дифференциалом в смысле элементарного анализа).
Пусть [: SC—и g: У—— гладкие отображения. Если (U, h) — (U, х1, .... х"), (V, k) = (V, у1, ..., у"1) и (W, I) = (W, z1, ..., zs) — такие карты многообразий Я, & и И, что fUczV и gV=W, и если y=f.(x) и z = g(y) —функции, задающие в этих картах отображения fug (мы пользуемся введенными выше сокращенными обозначениями), то гладкое отображение gof: SC— будет, очевидно, задаваться в картах (U, h) и (IT, Z) функцией z g(f (х)) Поэтому в силу формулы дифференцирования сложной функции для любой точки p£U будут иметь место равенства
/ дг11 \ / дг11 \ / dyi \ __.
\ дх! /р \ dyi /(Д дх‘ )р означающие, что линейное отображение d(gof)p является композицией линейных отображений dfp и dgq: (23) d[gof)p = dg4odfp.
Эта формула называется цепным правилом.
ГРАДИЕНТ ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ
209
Особенный интерес имеют два случая, когда 2/ = R или т = п.
В случае, когда g/ является осью R (и, значит, отображение f— гладкой функцией на ^), дифференциал dfp обычно называется градиентом функции f.
В силу отождествления (7) градиент является линейным отображением Тр&—>R, т. е. ковектором пространства ТрЯ’ (вектором сопряженного пространства Т^’, которое, кстати сказать, обычно называется кокасатель-ным пространством многообразия Ж в точке р). По определению ковектор dfp на любом векторе А £ принимает значение
(24) = а‘.
\ дх‘ )р
Это значение называется производной функции f по вектору, А и обозначается символом Af. Таким образом,
Af = dfp(A) и
Af если 4 = (я1, ..., я") в (U, х1, .... хп).
\ /
В частности, (f — (для любого i — 1, .... п, \дх1 Jp \ дх‘ Jp
что и объясняет выбор обозначений для векторов базиса (5).
Формула (24) означает, что в базисе пространства Тр^, сопряженном к базису (5) пространства Т^’, ,, I df \ / df \
ковектор dfp имеет координаты 1^г) > > Поэтому, во-первых, этот базис состоит из ковекторов
dxHp, . .., dx$
(ясно, что ковектор dfp определен и для функций /, заданных лишь в некоторой окрестности точки р) и, во-вторых,
df — { \ dx1 -I -I ( \ dxn=(-^-\ dx‘ а'р-[дх' )рах р 1 ' ' ' ' \дхп )рахР \дх; )раХр-
Замечание 1. Обратим внимание на то, что градиент является ковектором. Известное из курса анализа представление о градиенте гладкой функции на R" как о векторе (см. ниже лекцию 24), основано на неявно подразумеваемом отождествлении векторов и ковекторов посредством стандартной евклидовой структуры на R".
210
ТЕОРЕМА ОБ ЭТАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ
Пусть теперь n=^rn.
Определение 3. Гладкое отображение /: SP —многообразий одной и той же размерности называется этальным в точке (или локальным диффеоморфизмом), если на некоторой окрестности U этой точки оно является диффеоморфизмом этой окрестности на окрестность V = fU точки q = f(p).
Конечно, любой диффеоморфизм SP ->У будет этальным отображением (в каждой точке р£РР). Обратно, согласно теореме анализа о дифференцируемости обратной функции, каждое этальное биективное отображение f: Я?-—> У является диффеоморфизмом, причем, как показывают простые примеры (см. замечание 1 в лекции 6), условие биективности здесь, вообще говоря, необходимо (т. е. из этальности оно не вытекает).
Из формулы (12) (примененной к диффеоморфизму f\u' U —> V и к обратному диффеоморфизму g: V—+U) немедленно следует (поскольку дифференциалом тождественного отображения служит, очевидно, тождественное отображение), что дифференциал dfp. 1 pSP<У произвольного этального в точке р отображения f: SP —> У является изоморфизмом (обратимым линейным отображением). Оказывается, что и обратно, если дифференциал dfp: lpSP —► Т?2/ гладкого отображения f: SP —+ У в точке р£& является изоморфизмом, то отображение f этально в точке р. Действительно, утверждение, что отображение dfp является изоморфизмом, означает (при заданных картах (U, h) и (У, k) с p£U и fUcV), что определитель матрицы (9) отличен от нуля. Поскольку этот определитель является не чем иным, как якобианом Dtp гладкого отображения = kofotr1: h (U)-—> f (V), отсюда следует —в силу теоремы об обратном отображении (см. лекцию 6),—что на некоторой окрестности W' точки h.(p)£h(U) в h(U) отображение <р является диффеоморфизмом. Поэтому отображение f будет диффеоморфизмом на окрестности U' — h"'W' точки р в SC, и значит, будет этально в р. О
Тем самым нами доказано следующее предложение, известное как теорема об этальных отображениях:
Предложение 1. Гладкое отображение f: SP —+У тогда и только тогда этально в точке р^ЭР, когда его
ТЕОРЕМА О ЗАМЕНЕ ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТ 211 дифференциал
dfp: q~f(p),
является изоморфизмом. □
Если этальное в точке р отображение f: X—>-3/ является диффеоморфизмом на носителе U карты (U, /г), то пара (V, — А°(Лц)-1) будет, очевидно, картой в Й/.
При этом отвечающее отображению f отображение <р: h (t/) —► k (V) будет тождественным отображением, т. е. в соответствующих локальных координатах х1, .... х" и у1, ..., уп отображение f будет задаваться формулами вида
(25) у1 =xl, i = l, ..., п.
Таким образом, если отображение f: & этально
в точке р£&> то в многообразиях иУ существуют локальные координаты х1, ..., хп и у1, ..., у", обладающие тем свойством, что в них отображение f записывается формулами (25) (т. е. является отображением по равенству координат).
Предложение 1 является, по существу, лишь иной переформулировкой теоремы об обратных отображениях. Интересно, что последняя теорема допускает и принципиально другое воплощение.
Пусть (U, h) — (U, х1, ..., х'1) — произвольная карта гладкого многообразия центрированная в точке pg £ % (т. е. такая, что р0€^), и пусть
(26) х1'— xv (х\ ..., хп), i'= Г, .... п',
— гладкие функции, заданные в некоторой окрестности U'czU точки р0.
Напомним (см. лекцию 6), что символ х1' в формуле (26) имеет двоякое значение: слева он обозначает функцию на U', а справа—функцию на окрестности h(U') точки X0 = /i(p0) в пространстве R". В соответствии с этим якобиан /т\ j 1 II йх || — 1, • • • , П,
(27> det|—!• г-1'.....п',
функций (26) мы также можем рассматривать либо как функцию на U', либо как функцию па/г (6/'). В каком из этих двух смыслов он понимается, каждый раз должно быть ясно из контекста.
212 ЛОКАЛЬНО ПЛОСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Если функции (26) являются локальными координатами в окрестности U', то в любой точке этой окрестности и, в частности, в точке р0 якобиан (27) отличен от нуля. Обратное утверждение имеет место в следующей формулировке:
Предложение 2, Если якобиан (27) отличен от нуля в точке рЛ, то в некоторой окрестности U"c.U' этой точки функции (26) являются локальными координатами.
Доказательство. Функции (26), рассматриваемые как функции на открытом множестве h (U') пространства R", определяют некоторое отображение <р множества h (6/') в пространство R". Если их якобиан (27) ^отличен от нуля в точке х0 = й(р0) этого множества, то по теореме об обратном ^отображении существует окрестность V' точки х0 (содержащаяся в открытом множестве й (£/')), на которой отображение <р является диффеоморфизмом на некоторое открытое множество из R". Тогда пара ((Л й*), где
й’ = (ф|к')°(йМ>
будет картой на связанной с. картой ({/, й) функциями перехода (26). Следовательно, функции (26),— но рассматриваемые уже как функции на {/*,— будут локальными координатами, соответствующими координатному отображению й*. □
Предложение 2 известно как теорема о замене локальных координат.
Вернемся теперь к произвольным гладким отображениям f: Я-*-®, где dim^"=n и dim3/=/n.
Определение 4. Рангом гладкого отображения f: &-—+У в точке р^^* называется ранг г линейного отображения dfp: ТрЯ q = f{p), т. е. ранг яко-
биевой матрицы (21) отображения f в точке р.
Ясно, что
0^r^min(n, т).
Так как при малом изменении элементов матрицы ее ранг может только увеличиться, то ранг отображения f в произвольной точке достаточно малой окрестности точки р не менее его ранга в точке р0. Однако он вполне может быть больше.
Определение 5. Отображение ft Я называется локально плоским в точке pg.^, если существует окре
ЛОКАЛЬНО ПЛОСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 213
стность U точки р, на которой ранг отображения / постоянен (равен рангу г в точке р).
Предложение 3. Если отображение f: Sb' —> & локально плоско в точке р£&, то в многообразиях % и У существуют такие карты (U, х1, ..х") и (V, у1...., ут), что p£U, fU с У, и отображение f записывается в локальных координатах х1,..., х" и у\ ут формулами xJ, если j = 1, ..., г,
О, если j = г + 1, ..., т.
(Заметим, что координаты хг+1, ..., хп в формулах (28) не участвуют.)
Наглядно предложение 3 утверждает, что вблизи точки р локально плоское в р отображение устроено как проектирование Rn—+Rrc:R“' пространства R" вдоль последних п — г координатных осей на координатное подпространство Rr пространства Rm, состоящее из точек, у которых т—г последних координат равны нулю.
Мы докажем предложение 3 в следующей лекции.
Лекция 13
Доказательство теоремы о локально плоских отображениях. — Погружения и субмерсии. —Подмногообразия гладкого многообразия. —Подпространство, касательное к подмногообразию. —Локальное задание подмногообразия. — Единственность структуры подмногообразия. — Случай вложенных подмногообразий. —Теорема о прообразе регулярного значения. —Решения систем уравнений. —Группа SL (п) как подмногообразие.
Докажем предложение 3 предыдущей лекции.
Пусть сначала
(U, х1, ..., хл) и (V, A) = (V, у1, ..., ут)
— произвольные карты многообразий SC и &, обладающие тем свойством, что p^U и /УсУ, и пусть отображение / записывается в этих картах формулами
yt = fJ(x\ хл), /==1, - т.
По условию прямоугольная матрица, состоящая из fdp\ ГТ
чисел ( ) , имеет ранг г. Перенумеровав — если нужно—
\ дх1 / р
координаты, мы без ограничения общности можем поэтому считать, что в этой матрице отличен от нуля минор
лежащий на пересечении первых г строк и столбцов.
Имея это в виду, рассмотрим в окрестности U точки р функции х1', ..., х”', заданные формулой
( (х1, ..., х“), если 1 = 1,..., г,
(2) х^'= ! '
( х', если i = г + 1, ..., п.
Для этих функций якобиан det ^- , очевидно, равен II дх‘ ||
определителю (1) и, значит, отличен от нуля. Следовательно, согласно предложению 2 лекции 12, в некоторой окрестности U' точки р функции (2) являются локальными координатами.
Приняв теперь за\и окрестность U', а за х1, ..., х” — координаты х1', ..., х"', мы тем самым получим карты (U, h) и (V, k), в которых отображение / записывается
ТЕОРЕМА О ЛОКАЛЬНО ПЛОСКИХ ОТОБРАЖЕНИЯХ 215
(|юрмулами вида
( х/, если / = 1, .... г,
(3) yJ — | [/(х1, ..., х’‘), если j — г + 1, .. ., п. Следовательно, в этих картах якобиева матрица отобра жения f имеет вид
1 . 0 0 . . 0
0 . . 1 0 . . 0
df^
дх1 ’ ’ дхг dxr + l dx"
dfm dfm dfm t)fm
дх1 ’ ’ <)xr i)xr +1 ' dx'1
Так как, согласно условию, ранг этой матрицы равен г не только в точке р, но и в некоторой окрестности этой точки (которую мы без ограничения общности можем считать совпадающей с U), то все производные
<lf *1 dfn
дхг +1 ’ ’ ’ ' ’ дхп ’
6f'“ dfm
дхг 1 ’ ’ ‘ ’ дхп
тождественно равны нулю в U. Поскольку окрестность U мы, очевидно, можем считать связной, отсюда следует, что в U (т. е., точнее, в h (U)) функции /'r+1, ..., fm не зависят от xf+1, х", т. е. их значения в любой точке
(х1, . . хг, . .., xn)£h(U) могут быть записаны в виде
fr+l(x'....хг)....../"(х1, ..хг).
Иными словами, эти функции можно считать функциями на множестве прh(U)czRr, состоящем из таких точек (х1, xr)€Rr, что (х1, хг, хгч1, ..., xn)^h(U) хотя бы при одном выборе чисел xr+1, .... хп (геометрически множество np(£7)cR" является не чем иным, как проекцией множества A(t/)czR'! на подпространство Rr<zR").
С другой стороны, из формул (3) непосредственно следует, что аналогично определяемая проекция npA(V)<zRf
216
ПОГРУЖЕНИЯ И СУБМЕРСИИ
множества k (V)cR" содержит множество пр h (U). Поэтому на некоторой окрестности точки q = f (р) (а именно, на окрестности й-1((пр/1((7))хКт-г)) определены функции
•••, Уг), •••. fm (У1, .... Уг).
Мы положим
у, ( уР если / = 1, .. ., г,
\ yJ—Р (у', • •, У1"), если j =
Поскольку
1 ... О 0 ... о
det
II
О ... 1 о ...
1 ... ? . . .
= 1,
О ... 1
где знак ? обозначает элементы, нам не интересные, то, согласно предложению 2 лекции 12, функции ух‘, . .., у"' являются в некоторой окрестности V' точки q локальными координатами. При этом отображение / будет в картах (U, х1, .... х:) и (V, ух', ..., уп‘) задаваться формулами
| х• если / = 1, ..., г, у!' = •!
(О, если / = г+1,
Для завершения доказательства остается обозначить V' снова через V, а у1', .... у'1'—через у1, ..., уп. □
Определение 1. Гладкое отображение/1: •£"—>2/ гладкого n-мерного многообразия Л' в гладкое /n-мерное многообразие Й/ называется погружением (или иммерсией) в точке р£Я, если его ранг в этой точке равен п (что, конечно, возможно только при п^т), т. е. если ото( ряжение
(4) dfp: q^j(p),
является мономорфизмом.
Аналогично, отображение /: % —2/ называется су мерсией (или наложением) в точке p€-%\ если его ранг в этой точке равен т (и, следовательно, п^т), т. е. если отображение (4) является эпиморфизмом.
Таким образом, отображение f является иммерсией или субмерсией, если его ранг принимает максимально
ПОДМНОГООБРАЗИЯ ГЛАДКОГО МНОГООБРАЗИЯ 217
возможное (при данных пит) значение. Поэтому иммерсии и субмерсии называются также отображениями максимального ранга.
Согласно предложению 1 лекции 12 отображение тогда и только тогда одновременно является иммерсией и суб-мерсией (при п = т), когда оно этально.
Отображение f: являющееся погружением
(субмерсией) в каждой точке р £ %, называется просто погружением (соответственно субмерсией).
Ясно, что субмерсии и иммерсии, являясь отображениями максимального ранга, локально плоски в р. Поэтому, согласно предложению 3 лекции 7, для любой субмерсии f: Я?—+ЧУ в точке р£Я? существуют такие карты (U, х1, ..., хп) и (У, у1, .... у'л) многообразий Я? и &, что p^U, fUa.V, и отображение f записывается в локальных координатах х1, ..., хп и у1, ..., у'п формулами
(5) ух = х\ .... ут = х'п.
Наглядно это означает, что в соответствующих координатах любая субмерсия локально представляется проектированием R" —>R“, переводящим точку (х1, ... ..., х", ..., х') € R" в точку (х1, ..., х") G R"1-
Для погружений мы переставим обозначения и будем считать f отображением Й/—>.%. Тогда для любого погружения ): У% в точке q(z$ существуют такие карты (V, у1, ..., у”) и (U, х1, х") многообразий
ЧУ и %, что q$V, fVczU, и отображение f записывается в локальных координатах у1, ... ,у” их1, ..., х’’ формулами
(6) х1 = у1, .... х'п — у’п, х!+1 = 0, ..., хг = 0.
Наглядно это означает, что в соответствующих координатах любое погружение локально представляется вложением R“—+R", переводящим точку (у1, ..., у OCR"1 в точку (у1, .... ут, 0, .... 0)б R".
Определение 2. Гладкое многообразие Й7 называется подмногообразием гладкого многообразия Ж, если оно содержится в 2/, и соответствующее отображение вложения
(7) i: i(y)--p,
является погружением в любой точке p£’?J (и, в частности, гладким отображением).
218
ПОДМНОГООБРАЗИЯ ГЛАДКОГО МНОГООБРАЗИЯ
Поскольку Й/сг^ на й/ определена топология гидуцироваиная топологией Т% многообразия SC. Вообще говоря (см. ниже), эта топология отличается от топологии Тлу многообразия Й/. Можно лишь утверждать, что Тлу/^-сТлу (это включение равносильно непрерывности отображения i).
Определение 3. В случае, когда г является гомеоморфизмом на свой образ (т. е. если = Tjy), многообразие Й/ называется вложенным подмногообразием. I? противном случае Й/ называется погруженным подмногообразием. (Впрочем, последний термин употребляется также как синоним термина «подмногообразие» в случае, когда нужно подчеркнуть, что подмногообразие Й/, вообще говоря, вложенным не является.)
Погружение (7) является, конечно, инъективным отображением. Обратно, пусть f: &- > SC— произвольное погружение, являющееся инъективным отображением, и пусть/ = ю/'—его разложение в композицию биективного отображения &—> f (Й/) и вложения г. |(Й/) — SC. Поскольку отображение f биективно, мы с помощью него можем перенести гладкость с Й/ на Й/' = /(Й/). Тогда й/' будет гладким многообразием, f—диффеоморфным отображением, a i = /:o(D~1 — погружением (как композиция погружения и диффеоморфизма), т. е. Й/' будет подмногообразием многообразия
Таким образом, подмногообразия многообразия SC—это в точности образы в SC произвольных погружений Й/—»• SC, являющихся инъективными отображениями. При этом вложенные подмногообразия—это образы погружений, являющихся монеоморфизмами (гомеоморфизмами на свой образ).
Примерами вложенных подмногообразий являются простые регулярные дуги и элементарные поверхности. Соответствующими погружениями являются параметризации. При этом условие регулярности параметризаций в точности означает, что параметризация является погружением.
Так как для любого подмногообразия yc.SC вложение (7) представляет собой погружение, то для любой точки рёй/ отображение
dip: —
КАСАТЕЛЬНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО
219
является изоморфизмом линейного пространства Т^У на линейное подпространство Im dip = (dip) (Т^У) пространства ТрЯ. Это подпространство называется касательным пространством подмногообразия :У в точке р. Обычно оно отождествляется с Туу (посредством изоморфизма diF).
Некоторая специфика возникает в случае, когда Я является аффинным пространством Л, а потому для любой точки р^З? (и, в частности, для любой точки рбгУ) линейное пространство ТрЯ? отождествляется с ассоциированным линеалом Тэ. В этом случае принято подпространство ТрЧУ отождествлять с линейным подмногообразием р -I- Tf2/ аффинного пространства Л (т. е. —в наглядной интерпретации—считать его векторы отложенными от точки р). Ср. определение 3 лекции 3.
Будучи погружением, отображение (7) может быть записано в локальных координатах формулами (6). Это означает, что для любой точки р подмногообразия £У существует такая карта (U, х1, х"), p£U, много-
образия что, во-первых, на некотором (открытом в &) множестве Vct/ПЙ/ ограничения
У1 = х11у, .... ym = xm\v
первых т координат х1, . .., х'п являются локальными координатами на V и, во-вторых, точка q^U тогда и только тогда принадлежит V, когда
(8) х"41 (<?) = О, ..., x‘(q) — 0.
Такие координаты х1, . .., х" мы будем называть согласованными с подмногообразием Й/.
Координаты р1, . . ., у"‘ определяют в Т^У базис
(9)
ду1 / р \дут]р
а координаты х1, ..., х" — в Тр^ базис
(Ю) Ш.....................
При этом, так как вложение г. & — записывается в этих координатах функциями у1 — х1, ..., у'п — х'", то его дифференциал dip будет переводить базис (9) в первые т векторов базиса (10). В силу отождествления Т^У с Im dtp это означает, что
— \
\ Ip'''"' \дУт / р~\ "х"1/р'
220
ЛОКАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
т. е. векторы j составляют базис
подиространства Трй/ пространства Тр3?.
Если подмногообразие Й/ вложено в то без ограничения общности можно считать, что
(И) v-t/пз/.
Действительно, так как V открыто в й/, а топология в ?J индуцирована топологией %, что в SC существует такое открытое множество W, что Заменив U на
Две типичгые ситуации, в которых нельзя добиться выполнения равенства V = U П Й/
U П И7, мы добьемся, не ограничивая общности, выполнения равенства (11). □
Равенство (11) означает, что точка q£U тогда и только тогда принадлежит й/, когда для нее имеют место равенства (8). Другими словами, локально (т. е. в окрестности U) многообразие Й/ задается п — т уравнениями (12) x'"u=0, . .., х" = 0.
В общем случае для невложенного (погруженного) подмногообразия Й/ достичь выполнения равенства (11), вообще говоря, нельзя, и связь между V и U Г] Й/ усложняется.
Так как функции х"м1, .... х:‘ непрерывны и, значит, условия (8) выделяют в U замкнутое подмножество, то множество V замкнуто в U (по отношению к топологии, индуцированной в 0 топологией Т>уд^). Следовательно, V замкнуто и в U п Й/ (по отношению к топологии, индуцированной топологией а потому и по отно-
шению к топологии индуцированной топологией Т<,у). с; другой стороны, по условию множество V открыто в й/,
ЕДИНСТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ ПОДМНОГООБРАЗИЯ 221
а значит, и в U п 2/ (по отношению к топологии, индуцированной топологией Т«у). Таким образом, множество V' открыто-замкнуто в £/П2/ (по отношению к топологии, индуцированной топологией Tsy). Следовательно, если координатная окрестность V связна, то она является компонентой множества U А 2/, содержащей точку р.
[Напомним, что любая точка гладкого многообразия обладает фундаментальной системой связных координатных окрестностей—например гомеоморфных открытым шарам евклидова пространства соответствующей размерности.]
Предположим теперь, что на подмножестве 2/ гладкого многообразия % заданы две гладкости, по отношению к которым оно является подмногообразием многообразия Я и которые определяют на 2/ одну и ту же топологию. Тогда для обеих гладкостей карты вида (V, у1, ..., ут), обладающие описанными выше свойствами, будут одни и те же (поскольку функции у1, ..., у'п характеризуются как ограничения локальных координат х1, .. хт, а множества V—как компоненты множеств U А 2/). С другой стороны, в каждой гладкости эти карты составляют, очевидно, податлас максимального атласа. Поэтому обе гладкости совпадают.
Таким образом, при данной топологии на подмножестве У гладкого многообразия X на 2/ может существовать не более одной структуры гладкого многообразия, по отношению к которой Й/ является подмногообразием многообразия %.
Конечно, варьируя топологию, мы можем получить на 2/ много различных структур подмногообразия. Например, любое подмножество 2/ с X мы можем снаб-дить дискретной топологи- '
ей, превратив его тем са- z —\ 5
мым в нульмерное подмно-гообразие. А __ ________
Более интересный при- С )
мер мы получим, рассмот-рев на плоскости множество, изображенное на рис. А («восьмерку»). Оно не может быть в индуцированной топологии подмногообразием плоскости из-за особой точки в центре. Однако оно же в более слабой топологии, условно изображенной на рис. Б, бу
222
СЛУЧАЙ ВЛОЖЕННЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ
дет погруженным многообразием, диффеоморфным прямой R. Оно будет погруженным подмногообразием, диффеоморфным прямой R, п в другой топологии, условно изображенной на рис. В. Соответствующие вложения будут неэквивалентными регулярными кривыми без двойных точек, имеющими один и тот же носитель.
Применительно к топологии на 2/, индуцированной топологией многообразия X, мы получаем, в частности, что на подмножестве ЧУ гладкого многообразия X может существовать не более одной структуры гладкого многообразия., по отношению к которой ЧУ является вложенным подмногообразием. Поэтому вполне законно говорить, что вложенным подмногообразием является подмножество 2/.
Чтобы определить, является ли данное подмножество 2/ вложенным подмногообразием, следует
Г Рассмотреть всевозможные пары вида (V, у1, ..., у ), где V—пересечение U (]ЧУ с 2/ носителя и некоторой карты (U, х1, ..., хп) многообразия X, а у1, ..., ут —-ограничения х1^, .... xm[v на V локальных координат х1, . . ., х’л.
2° Отобрать из этих пар пары (V, у1, .... ут), являющиеся картами на 2/, т. е. такие, что функции у1, .. ., ут задают биективное отображение множестеа V — Z7 п 2/ на некоторое открытое множество VcR”.
Тогда, если из отобранных карт можно составить атлас на ЧУ, то ЧУ будет вложенным подмногообразием. Действительно, ясно, что этот атлас задает на ЧУ гладкость, по отношению к которой ЧУ является подмногообразием и которая согласована с индуцированной топологией. [Заметим, что, вообще говоря, максимальный атлас многообразия 2/ может содержать только часть отобранных карт.] □
Применим это общее утверждение к множеству ЧУ — = /-1 (<70), являющемуся полным прообразом некоторой точки при гладком отображении ^—>2.
Определение 4. Точка qa € 2 называется регулярным значением, отображения f: X —>£, если f является суб-мерсией в каждой точке р£ЧУ.
Предложение 7 (теорема о прообразе регулярного значения). Прообраз 4y — f~1(qa) произвольного регулярного значения qa (когда он не пуст) является
ТЕОРЕМА О ПРООБРАЗЕ РЕГУЛЯРНОГО ЗНАЧЕНИЯ
223
вложенным подмногообразием многообразия %. Размерность этого подмногообразия равна п—г, где г = dim 2 (а п = dim ^).
Доказательство. Для любой точки р^ЧУ в многообразии 2 существует такая карта (U, х1, хп)— = (U, h), а в многообразии 2—такая карта (IF, z1, . . . .. zr), что р g U, fU a. W, и в этих картах отображение записывается формулами
(13) z1 = x'n+1, . .zr = xn,
где т = п—г. При этом без ограничения общности мы можем считать, что в точке qa все координаты г1, .. гг равны нулю и, значит, что точка u£U тогда и только тогда принадлежит множеству Й/ (т. е., точнее, — пересечению V = U А Й/), когда
х'л+1(и) = 0, .... х"(и) = 0.
Отсюда следует, что если отображение k: V —> IR®, заданное формулой
k (и) = (у1 (и), .... ут (и)), u^U, где
у^х'Ду, .... ym = xm\v,
рассматривать в силу естественного вложения
(х1..................., Хт, 0.....0)
как отображение в IR", то оно будет не чем иным, как ограничением h\v на V отображения h: U—+h(lJ). Поэтому множество k(V), являясь пересечением Rmf\h(U), будет открыто в IR®, а отображение k: V—>-k(V) будет биективно. Другими словами, пара (V, k) = (V, у1, ..., ут) будет картой в Й/.
Пусть теперь (U', х1’, .... х'1')—другая карта многообразия обладающая по отношению к отображению f аналогичными свойствами, и пусть (V', у1’, ..., ут’) — соответствующая карта в Й/. Так как в пересечении U (\U' координаты х1, .... х‘ и х1', ..., хн' связаны формулами вида
х(' = х1'(х1, .... х‘), i'—l', .... п',
где
(14)
det
dxi’ дх‘
#=0 всюду на
224 ТЕОРЕМА О ПРООБРАЗЕ РЕГУЛЯРНОГО ЗНАЧЕНИЯ
то в пересечении Уп^' = ^А^'п2/ координаты у1, ...
..ут и у1', ..ут' будут связаны формулами
(15) yi' — х1' (у1, . . ., у”, 0, . .., 0), /' = 1, ..., т.
Кроме того, так как в U' множество Й/ определяется уравнениями
0, ..хп' = 0,
то в V А V #= 0 должны иметь место также и соотношения
хк'(ух, ..., ут, 0, 0) = 0, kr ~ т-\ 1, .... п.
Отсюда следует, что в каждой точке из V А У' Для част-ных производных , I = 1, ..., т, будут иметь место равенства
, ,, ( ду1' ., .
дх1 -г~г , если 1=1, ..., т, = I ду
х (0, если i' = m+l, ...,п,
и, значит, якобиан (14) будет делиться на якобиан
/1С. - . \ ду1' II I' = Г, . .., т‘
(16) detWI’ /=1.
Следовательно, якобиан (16) отличен от нуля, и, значит, формулы (15) задают диффеоморфизм соответствующих множеств.
Этим доказано, что любые две карты вида (V, ух, ... ..., ут) на Й/ согласованы. Следовательно, —поскольку они, очевидно, покрывают Й/,—эти карты составляют атлас и, значит, Й/ является вложенным многообразием. □
Из формул (13), задающих отображение / в локальных координатах, непосредственно следует, что дифференциал
djp-.
этого отображения в точке />£Й/ действует на векторах базиса пространства ТрЖ по формулам
. , . ( 0, если i = 1, ..., иг,
df = / д \ . _L,
р \ дх‘ /„ I ( —:---) , если I ~т-\- 1, ..., п.
V I \ ()7> /
V \ uz / qn
Значит, векторы,
(17)
дх1 \ дхт,)р
РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 225
порождают ядро K.erdfp отображения dfp, а векторы
( дх'п+1- }р’ ' '
порождают подпространство, изоморфно отображающееся на касательное пространство Tq% многообразия %.
Таким образом,
Т^ = Кег^фТ?Л
где Т?02 — подпространство, натянутое на векторы (18).
С другой стороны, так как у1 = х1\у, ..., у’п = хт\у, то векторы (17) порождают подпространство пространства Тр&. Следовательно, для любой точки р£-У ядро Kerdfp отображения dfp совпадает с касательным пространством Т^й/ подмногообразия У'.
(19) Т^Й/= Kerd/j,,
и потому (20)
Подчеркнем, что это разложение имеет место для любой точки pgty.
Замечание 1. Следует иметь в виду, что отнюдь не любое вложенное подмногообразие является
прообразом регулярного значения при некотором отображении /: Я —> 2 (см. ниже задачу 1).
Согласно формуле (20), для того чтобы вложенное подмногообразие Й/<=2 было прообразом регулярного значения, необходимо (и как можно показать, достаточно), чтобы для любой точки р € 2 имело место разложение вида
ТрЯ^рУ®^, где Np — подпространство, для которого задано—-при всех р — изоморфное отображение Np —>- R"-m, гладко зависящее (в понятном смысле) от точки р.
Пусть f1, ..., f— гладкие функции на гладком многообразии J, а а1, ..., аг — вещественные числа. Точка р £ SC называется решением системы уравнений (21) /‘«а1.....f — ar,
ест fl(p) = a{ для любого i=l.....г.
Пусть &—множество всех решений системы (21).
8 М. М. Постников, сем. 111
226
РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
Говорят, что уравнения (21) функционально независимы, если для любой точки ковекторы
dpp, ...,
линейно независимы, и, значит, уравнения
(22) df'p = O...dfp = 0
определяют в Тр^ линейное подпространство размерности m = n—г.
Предложение 2. Для каждой системы (21) функционально независимых уравнений множество У ее решений является вложенным подмногообразием многообразия размерности т — п— г.
Для каждой точки р£У подпространство ТрУ является подпространством решений системы линейных уравнений (22).
Доказательство. Функции f1, ..., fr определяют (по формуле f (р) = (f1 (р), ..., fr (р)) гладкое отображение f: SC —► Rr, для которого множество У является прообразом /-1(а) точки а = (а1, .... ar)€IRr. При этом функциональная независимость уравнений (21) означает, очевидно, что точка а является регулярным значением отображения f. Поэтому первое утверждение предложения 2 является всего лишь переформулировкой предложения 1 для случая, когда 2 = Rr.
Аналогично, поскольку пространство решений уравнений (22) является не чем иным, как ядром отображения dfp, второе утверждение является переформулировкой равенства (19). □
Следствие 1. Пусть [—гладкая функция на гладком многообразии SC, и пусть У — множество всех точек р £У, для которых f(p) — a, где а СR—фиксированное число. Если dfр 0 для. каждой точки р^У, то У представляет собой вложенное подмногообразие размерности п— 1, касательным пространством которого в произвольной точке р£'У является гиперплоскость dfp = O. □
Для функции f = f (х, у) на Ra условие dfp =/= 0 означает, что либо -|^=/=0, либо -^-=/=0. Поэтому условие, что подмножество на плоскости с уравнением /(х, у) = 0 является вложенным одномерным многообразием, в точности означает, что оно не имеет особых точек (см. лекцию 1).
ГРУППА SL(n) КАК ПОДМНОГООБРАЗИЕ
227
Замечание 2. Как показывает теорема Уитни из лекции 1 освободиться от условия dfр #= 0 в следствии 1, вообще говоря, нельзя. Тем не менее оно отнюдь не необходимо для того, чтобы множество 2/ было вложенным (и не обязательно (п—1)-мерным) подмногообразием. Например, в R* уравнение
х2 г/2 = О
определяет прямую (вложенное подмногообразие), но во всех точках этой прямой дифференциал dfp функции f = = х2 + г/2 тождественно равен нулю.
Кроме того, согласно замечанию 1, отнюдь не любое подмногообразие можно задать системой функционально независимых уравнений.
Задача 1. Покажите, что на проективной плоскости RP2 не существует гладкой функции /, множеством нулей которой была бы проективная прямая RP1cRP2.
Тем не менее на практике тот факт, что то или иное подмножество гладкого многообразия является вложенным подмногообразием, устанавливается, как правило, с помощью предложения 2 (или его следствия 1).
Пример 1. Определитель det А квадратной матрицы 4 = ||а(у|| является многочленом от atJ-, имеющим по каждому переменному степень 1. При этом легко видеть, что (23) -^ = Ло>
где 4,у — алгебраическое дополнение элемента а,у. (Достаточно заметить, что по формуле разложения определителя по элементам столбца det А = А^а^ + Ац, где A'lt не зависит от а,у.) Так как при det 4 = 1 обязательно 4/у#=0 хотя бы для одного элемента at/, отсюда следует, что для уравнения
det 4=1
(на многообразии GL(n)) условия следствия 1 предложения 2 выполнены. Следовательно, группа SL(n) является вложенным подмногообразием размерности п2—1 группы GL (п).
Задача 2. Покажите, что гладкость на группе SL(zz) как на подмногообразии многообразия GL (п) совпадает с ее гладкостью, как матричной группы Ли (см. лекцию 5).
8*
228 ГРУППА SL(n) КАК ПОДМНОГООБРАЗИЕ
Так как группа GL(n) является открытым подмногообразием линейного пространства Mat„(R), то для любой матрицы X = GL(n) касательное пространство ТлОЬ(п) к GL(n) в А естественным образом отождествляется с Mat,, (R). В этом отождествлении базисному вектору пРостРанства T-iGL(n) отвечает матричная единица Ei} С Mat,, (R), и, значит, ковектору (dalJ')A отвечает ковектор Mat„(R) —► R, сопоставляющей матрице В=||Ь<у-|| ее элемент btj.
В силу формулы (23) отсюда следует, что дифференциал dfA функции Лн»с1е1Л, рассматриваемый как ковектор пространства Matn(R), действует по формуле
п
dfA (В) = (2 1 Д/( В=|| Ьи II е Matn (R),
где А(/—алгебраические дополнения элементов матрицы А. В частности, при А = Е (когда А^ — Ь^) мы получаем, что
п dfE(B)= 2 ^,=Тг в, с= 1
и, значит, что Ker dfE = §[(n).
Поскольку Ker dfE = TFSL (п) этим доказано, что касательным пространством подгруппы SL(n) в точке Е является ее алгебра Ли (п).
Замечание 3. В следующем семестре мы покажем (см. лекцию IV. 10), что любая матричная группа Ли $ представляет собой вложенное подмногообразие многообразия GL(n), касательным пространством которого в точке Е является ее алгебра Ли fl.
Лекция 14
Теорема вложения. — Еще о компактных множествах.— Функции Урысона. - Доказательство теоремы вложения.—Многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме счетности. — Разреженные и тощие множества. — Нульмножества.
Простейшим — и наиболее наглядным—классом многообразий являются многообразия, диффеоморфные для некоторого М > О вложенным подмногообразиям пространства или, как мы будем для упрощения формулировок говорить, многообразия, вложимые в RM
Ясно, что любое подпространство хаусдорфова топологического пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, также хаусдорфово и удовлетворяет этой аксиоме. Поэтому любое вложимое в R‘v многообразие хаусдорфово и удовлетворяет второй аксиоме счетности. Оказывается, что это необходимое условие также и достаточно:
Теорема 1. Для любого гладкого хаусдорфова многообразия 36, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, существует такое N, что многообразие 36 вложимо в КЛ'.
Что можно сказать о Л/’?
Предложение 1. Если гладкое многообразие размерности п вложимо в RjV, где N > 2п -|- 1, то оно вложимо и в RjV-1.
Следствие (теорема вложения Уитни). Любое гладкое хаусдорфово многообразие 36 размерности п, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, вложимо в R2’111.
Мы докажем теорему 1 только в предположении, что многообразие 36 компактно. [Заметим, что компактное многообразие удовлетворяет (докажите!) второй аксиоме счетности.] Общий случай требует дополнительных технических ухищрений, на которые у нас нет времени.
Замечание 1. Теорема 1 верна для многообразий произвольного класса Cr, 1, но наше доказательство не будет проходить для многообразий класса С1, а также класса С“ (вещественно аналитических), которые требуют совсем других, значительно более сложных соображений.
Мы начнем с нескольких простых замечаний о компактных множествах.
230
ЕЩЕ О КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ
Легко видеть, что непрерывный образ компактного множества компактен, т. е. для любого непрерывного отображения Я —>& и любого компактного подмножества множество fCc& компактно. Действительно, если открытые множества Ua покрывают /С, то открытые множества покрывают С, и если множества
f~iUai, • • - , f~xUan покрывают С, то множества Uat, .. . . . . , Ua„ покрывают [С. □
Вообще говоря, компактное подмножество может быть и незамкнутым, но если пространство хаусдорфово, то это невозможно, т. е. в хаусдорфовом пространстве Л' любое компактное подмножество С замкнуто. Действительно, в силу хаусдорфовости пространства % для любой точки с (jC и любой точки р$^\С существуют такие окрестности U р (с) и Vc (р) точек сир соответственно, что Up (с) A Vc (р) = 0 • Так как для каждой точки рб^Г\С все окрестности вида Up(c), с^С, покрывают множество С, то в силу компактности этого множества существует такая конечная сист ема точек ..., ck $ С, что
СаСг(С1)и ... U Up(ck).
Но тогда пересечение
(1) V = VC1(p)A ... AV\(p)
будет окрестностью точки р, не пересекающейся с С, т. е. содержащейся в Я?\С. Этим доказано, что любая точка р множества ^\С является его внутренней точкой, т. е. множество ^\С открыто. Следовательно, множество С замкнуто. □
Отсюда следует, что если пространство X компактно, а пространство & хаусдорфово, то каждое непрерывное отображение f: Я"—» У замкнуто (для любого замкнутого множества множество [Crzty замкнуто). Действительно, если множество С замкнуто, то в силу компактности пространства X оно компактно. Поэтому множество fC компактно и, значит, —в силу хаусдорфовости пространства 2/— замкнуто. □
Особо важен частный случай, когда отображение f биективно. Поскольку в этом случае замкнутость отображения f означает непрерывность обратного отображения f-1: 2/—»-•£’, мы видим, что непрерывное биективное отображение компактного пространства на хаусдорфово является гомеоморфизмом.
ФУНКЦИИ УРЫСОНА
231
Если же непрерывное отображение /: ► & ком-
пактного пространства Ж в хаусдорфово пространство 3/ лишь инъективно, то оно является монеоморфизмом (гомеоморфизмом на свой образ f (&), который в этом случае замкнут в 3/).
Поэтому, в частности, каждое компактное подмногообразие хаусдорфова многообразия является вложенным подмногообразием.
Пусть теперь 3?—произвольное гладкое многообразие, a W и V—такие его открытые подмножества, что
(2) WcV.
Определение 1. Функцией Урысона пары (V, W) мы будем называть такую гладкую функцию <р: ЗС —► R, что
а) 0 <р (р) 1 для любой точки р $ ЗС\
б) ф(р)=1 тогда и только тогда, когда
в) если p£&\V, то ф(р) = 0.
Можно показать, что если многообразие хаусдорфово и удовлетворяет второй аксиоме счетности, то функция Урысона существует для любой пары (V, W7) открытых множеств, удовлетворяющих условию (2). Однако это утверждение нам не нужно, и поэтому мы удовлетворимся доказательством следующего, более слабого результата.
Предложение 2. Если гладкое многообразие % хаусдорфово, то для любой его точки р0 и любой окрестности U этой точки найдутся такие открытые множества W и V, что
p0$W, WcV, VcU
и для пары (V, W) существует функция Урысона.
Доказательство. Ясно, что без ограничения общности окрестность U можно считать координатной окрестностью точки р0. По определению это означает, что существует диффеоморфизм h множества U на некоторое открытое множество /i(£/)qR«. Пусть x0 = h(p0). Так как xu£h(U), а множество h(U) открыто, то существует такое г > 0, что каждая точка х € R", для которой | х—хй I < < г (т. е. каждая точка шара В?(Хо)), принадлежит h (и).
Заменив диффеоморфизм h на его композицию с некоторым преобразованием подобия пространства R", мы без ограничения общности можем поэтому считать, что х0 = я=0 И г«= 3, т. е. что где (см. лекцию 1) B'J—
232 ФУНКЦИИ УРЫСОНА
открытый шар пространства R" радиуса 3 с центром в точке 0.
Тогда для любого г < 3 в многообразии % будет определено множество й-1 (В?). Так как шар В? компактен, а отображение й-1 является гомеоморфизмом, то это множество также компактно и, следовательно, поскольку по условию многообразие хаусдорфово, — замкнуто.
С другой стороны, множество й-1 (В?) открыто (в U, а потому и в и его замыкание h~l (6?) содержит, очевидно, множество Поэтому
Положив
Г = /1“1(В?) и V = /i~1(lfe?), мы немедленно получим отсюда, что
WcV и VcU.
При этом р0 $ W и
й(Т) = В? И Л(7) = В?.
Вспомним теперь, что, согласно следствию 2 леммы 1 лекции 1, на пространстве R" существует такая гладкая функция f: R" —► R, что на R" и
1 тогда и только тогда, когда Хе В?,
I [X) - < .а
(0 тогда и только тогда, когда Х(£ В?.
Имея все это в виду, мы определим функцию <р: % —► —<- R формулой
/Зч //(Л(Р)), если
) 0, если p^U.
Ясно, что эта функция обладает свойствами а, б и в из определения 1. Поэтому нужно лишь доказать, что функция (3) гладка.
По построению функция (3) гладка на U и на (на последнем множестве она равна нулю). При этом открытые множества U и покрывают %. С другой стороны, ясно, что если некоторая функция <р: Ж —► R гладка на любом элементе Ua открытого покрытия {С/а} многообразия Ж, то она гладка’на всем Ж. Поэтому, В частности, функция (3) гладка на Ж, п
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ 233
Теперь мы уже может доказать теорему 1.
Доказательство теоремы 1 (для компактного ^). Выбрав для каждой точки координат-
ную окрестность U и применив предложение 2, рассмотрим предусмотренное этим предложением множество W. I встроенные для всех точек р0 € эти множества составляют открытое покрытие многообразия ЭР. Поэтому, поскольку многообразие по условию % компактно, в этом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие. Обозначив множества U7, составляющие это подпокрытие, символами W'1, ..., W т, рассмотрим соответствующие множества
ух, .... vm, иг, .... ит, координатные отображения
.... hm: Um -+ R»
и функции
фж: ЭР —> R, ..., срт: ЭР —► R
из предложения 2.
Эти множества, отображения и функции обладают следующими свойствами:
1° Для любого i = l, ..., т имеют место вложения
2° Семейства
{(U7!, hj, ..., (Wm, hm)},
{(Vu ЙО, о.
hm)}
являются атласами многообразия ЭР. (Конечно, в первых двух случаях имеются в виду соответствующие ограничения отображений hlt .... hm.)
3° Каждая функция <р,, i = 1, . . ., tn, является функцией Урысона пары (Vp IF,).
Записывая векторы пространства R" + 1 в виде пар (х, х), где xgR" и x£R, мы определим отображения
ft: i = l....т,
формулами
f | (<Pt(p)hi(p)< (рАр))> если ре^,;
((0, 0), если р^иг.
234
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
Ясно, что отображение f{ гладко на Ut и равно нулю вне Vj. Поэтому оно гладко на всем многообразии %. Кроме того, fi(p) = (hj(p), 1) для любой точки p£Wh откуда непосредственно следует (поскольку отображение hj является диффеоморфизмом), что в каждой точке p^W, отображение /,• является погружением.
Рассмотрим теперь пространство R7'7, гдеN = т(п-+-\). Записывая векторы этого пространства в виде (xlt .... хт), где xlt ..., xmCR"+1, мы определим отображение
/: RA',
полагая для любой точки р^Ж f(p) = (fdP), fM-
Ясно, что отображение f гладко.
Пусть р и q—такие точки многообразия %, что f(p)~ =f (q). Тогда fi(p) — fi(q) для любого i — 1, ..., т, и в частности, ф<(р) = ф,(</)• С другой стороны, так как карты (IT,-, hi) составляют атлас, то существует такое /0, что и, значит, Ф,0(р)=1 (a (р) = (/i,0(р), 1)).
Следовательно, <pie(q)— 1, что в силу свойства б функций ф/ возможно только при q С ITZ. Поэтому fio (р) — = (hj^q), 1) и, значит, hio(p) = h.la(q). Поскольку отображение hio инъективно, этим доказано, что p = q. Таким образом, если f(p) = f(q), то p = q, т. е. отображение f инъективно. Поскольку многообразие компактно, отображение f является, следовательно, монеоморфизмом.
Рассмотрим теперь дифференциал dfp отображения / в произвольной точке р£&. В силу отождествления Т, R77 = RA' мы можем считать, что
dfp. T^-^R^
Но тогда этот дифференциал будет, очевидно, так же составлен из дифференциалов отображений Д-, как само отображение f составлено из отображений Д, т. е. для любого вектора А С Т^ будет иметь место формула
(^Я = (№)?Л, ..., (dfm)pA).
Но если, как и выше, p£W'lo (и, значит, в точке р отображение является погружением), то для любого отличного от нуля вектора А £ вектор (dft-Jp А С R" ° отличен от нуля. Поэтому отличен от нуля и вектор
МНОГООБРАЗИЕ С ВТОРОЙ АКСИОМОЙ
235
(dl)p А $ R^. Это означает, что отображение f является погружением (в любой точке р$^*).
Итак, отображение f представляет собой погружение, являющееся монеоморфизмом. Следовательно, его образ является вложенным подмногообразием пространства R^, диффеоморфным многообразию X. □
Чтобы доказать теорему вложения Уитни (для компактных многообразий), нам осталось теперь доказать лишь предложение 1. Для этого мы должны начать сравнительно издалека.
Выше мы уже заметили, что любое компактное многообразие (которое покрывается конечным семейством координатных окрестностей) удовлетворяет второй аксиоме счетности. Более общим образом второй аксиоме счетности удовлетворяет любое многообразие, покрываемое счетной системой координатных окрестностей. Действительно, будучи гомеоморфной открытому множеству пространства R", каждая координатная 'окрестность удовлетворяет второй аксиоме счетности, а с другой стороны, ясно, что любое пространство, обладающее счетным покрытием, ,все элементы которого удовлетворяют (в индуцированной топологии) второй 'аксиоме счетности, само удовлетворяет этой аксиоме. □
Обратно, легко видеть, что в любом гладком многообразии Ж, удовлетворяющем второй аксиоме счетности, существует счетная база, состоящая из координатных окрестностей. Действительно, пусть {0а} — произвольная счетная база многообразия Тогда для любой точки р£% и любой координатной окрестности U, содержащей точку р в базе {0а}, существует такой элемент Оа<р, что рб 0а(Р,u)C.U. Пусть О — произвольное открытое подмножество многообразия Выбрав для любой точки р £ О такую координатную окрестность Up, что p£Up<zO, рассмотрим множества
0р = Оа(р, Up)-
Так как p^OpcUpa.O и р пробегает все точки из О, то U 0р = О. р
Следовательно, все множества вида 0а(Р, щ (являющиеся в силу включения 0а(р,у)С:(7 координатными окрестностями) составляют базу многообразия гУ. Для завершения доказательства остается заметить, что эта
236
РАЗРЕЖЕННЫЕ И ТОЩИЕ МНОЖЕСТВА
база является частью счетной базы {0а} и потому сама счетна. □
Из анализа известно, что многие ситуации существенно упрощаются, когда мы ограничиваемся точками «общего положения» и позволяем себе пренебрегать «достаточно малыми» множествами. Существует по крайней мере два различных подхода к определению «достаточно малых» множеств гладких многообразий: «топологический» и «метрический».
Первый подход основывается на следующем общем определении:
Определение 2. Подмножество топологического пространства % называется разреженным, (или нигде не плотным), если его замыкание не имеет внутренних точек.
Подмножество, являющееся объединением конечного или счетного числа разреженных множеств, называется тощим.
Замечание 2. Термин «тощее множество» введен Бурбаки. Ранее тощие множества назывались «множествами первой категории». Это название по многим причинам очень неудачно, и им пользоваться не следует.
Вообще говоря, тощее множество может быть довольно «массивным»; например, оно может совпадать со всем пространством (примером служит поле Q рациональных чисел и вообще любое счетное топологическое пространство, не имеющее изолированных точек).
Определение 3. Топологическое пространство % называется бэровским пространством, если любое его тощее подмножество не имеет внутренних точек.
Таким образом, в бэровском пространстве тощие множества действительно «тощие».
Однако, являются ли гладкие многообразия бэров-скими пространствами? Оказывается, что ответ утвердительный (по крайней мере для хаусдорфовых многообразий), но доказательство соответствующей теоремы требует определенных приготовлений, на что у нас нет времени. Поэтому мы предпочтем другой—«метрический» подход, а доказательство бэровости хаусдорфовых многообразий представим в серии задач.
Определение 4. Топологическое пространство ^называется регулярным, если для любого открытого множества и любой точки p^U существует такое открытое множество V, что р £ V и V с. U,
НУЛЬ-МНОЖЕСТВА
237
Определение 5. Топологическое пространство % называется локально компактным, если каждая его точка р обладает окрестностью О, замыкание О которой компактно.
Задача 1. Докажите, что хаусдорфово локально компактное пространство % регулярно. [Указание. Согласно предложению 3 лекции 9 компактное подпространство О[)(/ нормально. Поэтому н ОП U существует такая окрестность V точки р, что VcO()i/.]
Задача 2. Пусть {Ап, гГх-; 1} —семейство разреженных подмножеств локально компактного хаусдорфова (и, следовательно, регулярного) пространства SC, и пусть U — произвольная окрестность некоторой точки р£$. Покажите, что существует такая последовательность непустых открытых множеств U„, пЭ^О, что:
а) множество Uo компактно и содержится в U;
б) для любого п 1 имеют место соотношения
(7„ <=(?„_!, £/„ЛА, = 0-[Указание. Так как множество А разрежено, то в открытом множестве Un-i существует такое непустое открытое множество Vn, что УпПЛп-1 = 0> а так как пространство Ж регулярно, то существует такое непустое открытое множество U что UnC. V,,.]
Задача 3. Выведите отсюда, что окрестность U содержит точку, не принадлежащую объединению А множеств А. [Указание. Последовательность {£/„} является центрированным семейством замкнутых множеств компактного пространства £70, и потому пересечение всех множеств Uп не пусто.]
Утверждение задачи 3 в точности означает, что любое хаусдорфово локально компактное пространство является Саровским пространством. Следовательно, поскольку любое хаусдорфово многообразие, очевидно, локально компактно, бэровским пространством будет и каждое хаусдорфово многообразие.
Напомним, что подмножество А евклидова пространства Rrt называется множеством меры нуль (или, короче, ну ль-множеством), если для любого е > 0 существует такое конечное или счетное семейство открытых шаров пространства R", покрывающих А, что сумма их («-мерных!) объемов меньше е.
В этом определении шары можно заменить параллелепипедами (или даже кубами) со сторонами, параллельными осям координат, т. е. подмножествами простран-
238
Н УЛЬ-МНОЖЕСТВА
ства R", точки лг = (х1, ..хп) которых характеризуются неравенствами вида
а‘ < х‘ <b‘, п.
Нам понадобятся следующие три свойства нуль-мно-жеств, известных из курса анализа:
1° Объединение А = U А( конечного или счетного семей-i
ства {Л,} нуль-множеств является нуль-множеством.
2° Для любого гладкого отображения ft U -—> V, где U и V—открытые подмножества пространства R", и любого нуль-множества AcU множество fA является нуль-множеством.
3° Никакое нуль-множество не имеет внутренних точек.
Для доказательства свойства 1° достаточно заметить, что, покрыв для каждого i 1 множество А/ шарами, сумма объемов которых меньше е/2', мы получим покрытие множества А шарами, сумма объемов которых меньше в.
Для доказательства свойства 2° мы в первую очередь заметим, что в силу свойства 1° его достаточно доказать лишь в дополнительном предположении, что существует такой замкнутый куб Q с U, что А содержится в его внутренности С другой стороны, из формулы Лагранжа, примененной к функциям f1, .... fn, задающим отображение f, непосредственно следует, что для любых двух точек х, у £ Q имеет место формула
И(*)~ f О)| «С Л1-| ж— > |,
где М — некоторая константа (максимум абсолютных величин первых производных функций f1, ..., fn в кубе Q). Поэтому любой шар радиуса г, содержащийся в кубе Q, отображение f переводит в множество, содержащееся в шаре радиуса Mr и, значит, имеющее объем больший не более чем в Мп раз . Следовательно, покрыв множество А шарами общего объема < е./Мп, мы получим покрытие множества fA шарами общего объема < е.
Для доказательства свойства 3° достаточно установить, что если конечное семейство {Qi, ..., кубов пространства R" со сторонами, параллельными осям координат, покрывает куб Q, то сумма объемов кубов Qi....Qm не меньше объема куба Q (и, значит, огра-
ничена снизу положительной константой, ие зависящей от покрытия). Пусть а1( ..., ат и а—длины сторон кубов Qi, ..., Qm и Q, a Ni, ..., rV,„ и /V — число точек пространства R" с целыми координатами, содержащимися в кубах Q1( ..., Qm и Q соответственно, Так как кубы Qj, ..., Qm покрывают куб Q, то
УУ<
НУЛЬ-МНОЖЕСТВЛ
239'
С другой стороны, ясно, что
[(а— 1)+]" < У < (а+ 1)п, и аналогично
[(«ft-1)4" < Afft (ак+ 1)"
для любого k = 1....т, где
х 1 =шах (х, 0).
Поэтому
[(а-1)Ч«< 2 ^ + ‘)п-ft=i
Применив это неравенство к гомотетичным кубам XQi......и
A.Q, где X > 0, мы при достаточно большом X получим неравенство
2 (Ха*+])"-ft=i
Следовательно,
откуда при X —» + 00 вытекает требуемое неравенство для объемов т
«п<2а*-
*= 1
Удивительно, что столь наглядный факт требует столь изощренного доказательства!
Нам понадобится также еще одно, более глубокое свойство нуль-множеств.
Для любого подмножества А с R" его срезом по xn = t мы будем называть подмножество At пространства R"-1, состоящее из таких точек x = (xn
С R"-1, что точка (х, t) = (х1, .... х"-1, /) принадлежит А.
Теорема Фу бини. Пусть С—такое компактное подмножество пространства R", что для любого t^R его срез Ct по xn — t является ну ль-множеством (пространства R"-1). Тогда само множество С также является нуль-множеством.
Хотя эта теорема безусловно известна из курса аиалиэа, мы — для полноты изложения — все же приведем здесь ее полное доказательство.
Покрытие отрезка [0, 1] открытыми интервалами мы назовем допустимым, если объединение этих интервалов содержится в интервале (—1, 2).
240
НУЛЬ-МНОЖЕСТВА
Лемма 1. Из любого допустимого покрытия отрезка [0, 1| открытыми интервалами можно выбрать конечное подпокрытие, сумма длин элементов которого не превосходит шести.
Доказательство. Покажем, что любое минимальное подпокрытие (т. е. подпокрытие, из которого ни один элемент нельзя выбросить) обладает требуемым свойством.
Пусть (а,-, Ь^, IsZisZm,— интервалы, составляющие данное минимальное подпокрытие. Легко видеть, что а,- # ау при i # j (действительно, если а(- = ау, то прн bi^bj лишним является интервал (а,-, Ь,), а при bi^bj—интервал (a,, bj)). Поэтому, перенумеровав — если нужно — интервалы, мы можем считать, что а(- < оу при i <Т j (н, значит, в силу минимальности b; < bj). Но тогда а,- < а, + 1 < < bj*^ai+i для любого i= 1, .... т—2, потому что при а,-+1>6/ в покрытии были бы дырки, а прн 6,^а, + 8 ввиду неравенств bi < 6/ + 1 < bi + i интервал (a,-+i, 6,- + i) содержался бы в объединении интервалов (а,-, Ь,) н (а1Ч4, bi+i) и, значит, был бы лишним. Следовательно, для суммы дли н интервалов рассматриваемого подпокры тия имеет место оценка
(61 —П1) + (^8—o«) + (6s— as)+ .. +(6m-j—om-a) + + (6m-i— am-i)~\-(bm — am)<* (a3— ai)4-(a<—a2) +
+ (аБ—aa) + • • • ~F(am~ am-2)~f-(bm-l — (bm — am)~
^Ьщ-^+Ьщ-аг- a2 < 2(6ffl-ai)<6
(ибо ВВИДУ допустимости —1<Я1 И 6Ч<2). □
Доказательство теоремы Фубнни. Без ограничения общности мы можем, очевидно, считать, что множество С лежит в полосе По условию для любого е>0 и любого
/£[0, 1] в пространстве R"-1 существуют открытые кубы Q*/’, покрывающие срез С<, общий объем которых меньше е/6. Пусть — их объединение (содержащее срез Ci), и пусть —открытое подмножество пространства R", состоящее из всех точек вида (х, I), где x£Qf и 0 < t < 1 (т. е. Q*t — QtX(0, 1)). Так как замкнутое подмножество компактного пространства компактно, то множество C\Q*j компактно. С другой стороны, функция f (х, хп) = |'х„ — 11, (х, х„) gR", на множестве C\Q? непрерывна и положительна. Поэтому существует такое число a > 0, что
(4) |х„ — /| > а для любой точки (х, x^gCXQ/.
При этом без ограничения общности мы можем, конечно, считать, что a < 1, т. е. что покрытие отрезка [0, 1] интервалами Ц — (/ — а, <+а) допустимо.
Согласно лемме 1 из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие {//t, •••> ^tm}> состоящее из интервалов, сумма 2am длин которых меньше шести.
НУЛь-МНОЖЕСТВА
241
Пусть Ljj — параллелепипед пространства R”, состоящий из таких точек (х, т), x^R"-1, tgR, чтох^ф)0 и т£/г (т. е. £,у = - Q^XlИз формулы (4) непосредственно следует, что параллелепипеды Ljj покрывают множество С. (Действительно, пусть (х, х()£С. Существует такое j, что xn£lt , т. е. такое, что х, • tj [ < а. Поэтому, согласно формуле (4), (х, x..()€Q, и, значит, х£ Q?' для некоторого i. Следовательно, (х, х.)£Д/.) С другой сто-ропы, n-мерный объем параллелепипеда А,-у равен, очевидно, (п - - 1)-мерному объему куба Q^\ умноженному на длину 2а интервала It . Поэтому общий объем всех параллелепипедов Ljj не пре-в восходит т-— • 2а < в. о
Таким образом, для любого в > 0 множество С допускает покрытие параллелепипедами общего объема < в. Следовательно, это множество имеет меру нуль. □
Для гладких многообразий нуль-подмножества определяются естественным образом.
Определение 6. Подмножество А гладкого «-мерного многообразия % называется нуль-множеством, если в многообразии % существует такое конечное или счетное семейство карт (£/,-, й,), что Ac и U t и каждое из
I
множеств hjtUjftA) является нуль-множеством в пространстве R".
Ясно, что свойства 1° и 2° ну ль-множеств в R" сохраняются и для нуль-множеств в произвольном гладком многообразии (конечно, в свойстве 2° под U и V следует теперь понимать любые гладкие многообразия одной и той же размерности). В частности, отсюда следует, что для любого нуль-множества А и любой карты (U, h) многообразия % множество h(Up\A) является нуль-множеством в R", а если многообразие удовлетворяет второй аксиоме счетности, то и обратно, подмножество Ас:& будет нуль-множеством, если множество h (U Г) Л) является нуль-множеством в R" для любой карты (U, h) многообразия % (или хотя бы для любой карты произвольного счетного семейства карт, носители которых составляют базу многообразия
Полезно сравнить нуль-множества с тощими. Вообще говоря, эти два класса множеств никак друг с другом
242
НУЛЬ-МНОЖЕСТВА
не связаны: существуют тощие множества, не являющиеся нуль-множествами (и даже имеющие полную меру, т. е. такие, что дополнение к ним является нуль-множе-ством), и не тощие нуль-множества (и даже нуль-множе-ства, имеющие тощее дополнение).
Пусть, например, Uj, l<i< оо,— объединение счетной системы интервалов иа прямой R, центрами которых являются всевозможные рациональные точки, а сумма длин равна 2_/. Тогда множество А= 00
= Г) U, является нуль-множеством, а так как для любого i мно-
жество R\£/| ингде не плотно (оно замкнуто н не имеет внутрен-00
ннх точек), то дополнение R\X = (J (R\£/,) множества А является (=1
тощим множеством.
Однако поскольку нуль-множества (в R", а значит, и в любом Ж) не имеют внутренних точек, то любое замкнутое ну ль-множество нигде не плотно. Поэтому каждое нуль-множество, представимое в виде объединения конечного или счетного числа замкнутых множеств (необходимо являющихся нуль-множествами), является тощим множеством. Такие множества общепринятого названия не имеют. За отсутствием лучшего термина мы будем называть их нуль-тощими множествами^
Лекция 15
Теорема Сарда.— Аналитическая часть доказательства теоремы Сарда.— Прямое произведение многообразий.— Многообразие касательных векторов.— Доказательство теоремы вложения Уитни.
Пусть f: 36 —+ЧУ — гладкое отображение «-мерного гладкого многообразия 36 в m-мерное гладкое многообразие й/.
Определение 1. Точка р g 36 называется критической точкой отображения f, если
dfp(Tp^)^Tq&, q = f(p), т. е. если отображение
dfp: —Та2/
не эпиморфно (отображение f не является в точке р суб-мерсией). Точка называется критическим значением отображения f, если существует такая критическая точка р£36, что q = f(p).
Сравнив это определение с определением 4 лекции 13, мы немедленно получим, что критические значения—это в точности нерегулярные значения отображения f.
Заметим, что при п < m любая точка многообразия 36 является критической точкой отображения f. Поэтому в этом случае критические значения — это точки множества [36, а регулярные значения—точки его дополнения &\f^. (Таким образом, при п < т прообраз любого регулярного значения пуст.)
Теперь мы можем сформулировать основную теорему этой лекции:
Теорема 1. Если многообразие Я6 удовлетворяет второй аксиоме счетности, то для любого гладкого отображения f: 36—>& множество C(f) его критических значений является нуль-множеством, а в случае, когда многообразие У хаусдорфово,— даже нуль-тощим множеством.
Если же многообразие 36 компактно (а многообразие 6У хаусдорфово), то множество C(J) замкнуто и нигде не плотно.
Эта теорема обычно называется теоремой Сарда, хотя еще до Сарда она была доказана Брауном и независимо от Сарда—Дубовицким.
244
ТЕОРЕМА САРДА
Следствие. Если dim 3!4 < dim Я/, то каждое гладкое отображение f: 34 —+ЧУ заведомо не надъективно (множество ЧУ\}34 не пусто.) □ (
Только это следствие нам понадобится для доказательства теоремы Уитни о вложении.
Подчеркнем, что в теореме 1 имеются в виду гладкие многообразия класса С°° (или С“). Впрочем, просмотрев ее приводимое ниже доказательство, можно убедиться, что оно сохраняется и для многообразий класса Сг, где гЧ^-п—т + 2 при п~^т и при п^т. [Более того, за счет некоторых технических ухищрений это г можно уменьшить еще на единицу. При этом, как показывают соответствующие примеры, еще больше уменьшить г, вообще говоря, нельзя.]
Мы выведем теорему Сарда из следующего предложения:
Предложение 1. Пусть f: U —>Rm— гладкое отображение открытого множества U с R" в пространство Rm, и пусть К—произвольное компактное подмножество множества критических точек отображения}. Тогда множество fK является нуль-множеством.
Заметим, что так как пространство R" хаусдорфово, то множество fK замкнуто и, значит, нигде не плотно. С другой стороны, множество критических точек отображения f, очевидно, замкнуто и потому является объединением счетного семейства компактных подмножеств. Следовательно, множество С (f) критических точек отображения f является нуль-тощим множеством.
Мы, видим, таким образом, что в частном случае 34— U, ЧУ = RM теорема Сарда является непосредственным следствием предложения 1. Оказывается, что и в общем случае она легко сводится к этому предложению.
Действительно, для любого открытого подмножества О многообразия 34 содержащиеся в О критические точки отображения f являются, очевидно, не чем иным, как критическими точками его ограничения f |0 на О. Поэтому для любой счетной базы {Ua} многообразия 34
c(j)=uc(fK).
а
При этом, если каждое Ua является носителем некоторой карты (Ua, fa) (чего, как мы знаем, всегда можно добиться) и если f (l/a) a Va, где (Va, ka) — карта многообразия ЧУ, то С (f иа) является образом при диффеомор-
ТЕОРЕМА САРДА
245
фпзме ka1 множества C(ga), где ga =- ka о (/ |ца) о oV: Ua-,R".
Поэтому по тем же соображениям, что и выше, каждое множество
является объединением счетного семейства компактных пуль-множеств вида fK, где К. — некоторое компактное множество, состоящее из критических точек отображения f.
Следовательно, объединением счетного семейства таких множеств будет и все множество C(f). Поскольку объединение счетного семейства нуль-множеств представляет собой нуль-множество, этим доказано, что множество С (/) является нуль-множеством.
Если многообразие й/ хаусдорфово, то все множества fK замкнуты и, значит, множество С(/) является нуль-тощим множеством.
Наконец, если, кроме того, многообразие % компактно, то множество всех критических точек отображения / можно разложить в объединение U • • • U конечного числа компактных множеств, каждое из которых содержится в одной из координатных окрестностей Ua. Поэтому в этом случае C(f) = ^1U • • • U/A'.v, где ввиду хаусдорфовости многообразия Й/ все множества //(, замкнуты и потому нигде не плотны. Следовательно, множество С (/) также замкнуто и нигде не плотно. □
Таким образом, нам осталось лишь доказать предложение 1.
Прежде всего заметим, что предложение 1 тривиальным образом доказывается при п < т. Действительно, в этом случае, считая, что = R" х Е'”-", мы можем ввести в рассмотрение открытое множество U xEm~" пространства Ега и его гладкое отображение
F: UxRm~n —+Rm, являющееся композицией проекции на первый множитель U х Е"1-" — > U и отображения f: U--*Rm. При этом для компактного множества К с. и будет иметь место равенство
/(Л) = Г(ЛхО),
где /<х0 — подмножество пространства Ега, состоящее из точек вида (х, 0), где х£К, а 0 — нулевой вектор про-странства2К“~'‘. С другой стороны, ясно, что множе
246
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТЕОРЕМЫ САРДА
ство ЯхО является нуль-множеством пространства IR“ (поскольку его можно покрыть конечной системой параллелепипедов сколь угодно малой высоты). Поэтому, согласно свойству 2° нуль-множеств из лекции 14, множество F(/(xO) также является нуль-множеством. □
Это доказывает теорему Сарда при п < т, а значит, и сформулированное выше ее следствие (которое —напомним— нам только и нужно для доказательства теоремы Уитни).
Перейдем теперь к доказательству предложения 1 в полной общности. Хотя это предложение относится, собственно говоря, к анализу, мы его здесь все же аккуратно докажем, несмотря на определенную громоздкость и утомительность доказательства. (Читатель, интересующийся лишь теоремой Уитни, может его пока пропустить.)
Пусть отображение f: U —> IRm задается функциями f1, ... .... fm: U—> R, и пусть Сгде 1, —множество всех точек нз U, в которых равны нулю все частные производные функций f1, ... .... fm порядков < k. Ясно, что
Со 3) Ct Z) ... ZD zd ... , где Co —множество всех критических точек отображения f ^т. е. точек, в которых ранг матрицы |1 меньше т^.
Лемма 1. Если Cs+i—0 или s > ——1, то для любого ком-т
пактного множества К a:Cs множество fKs имеет меру нуль.
Из этой леммы предложение 1 выводится посредством несложной индукции.
Действительно, существует такое s, что множество f(K(]Cs) имеет меру нуль (^согласно лемме годится любое s > -j-j- — 1^- С другой стороны, ft П Со — ft. Поэтому для доказательства предложения 1 достаточно установить, что если для некоторого sSs 1 множество f (ftACs) имеет меру нуль, то множество f (ftflCs-i) также имеет меру нуль.
Пусть ftz, г 5= 1, —подмножество множества ftpC^j, состоящее нз таких точек х eftncj-i, ЧТО I X — У 1 Z& l/г для любой точки .yCftnCs- Являясь замкнутым подмножеством компактного множества ft, множество Ks компактно.
Ясно, что
Kncs_x-(ftnc,)u и ftr.
г= 1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТЕОРЕМЫ САРДА 247
Поэтому нам нужно лишь доказать, что для любого множество fKr имеет меру нуль.
Рассмотрим с этой целью открытое множество U*=U\CS. Пусть и пусть С^ —множества Ск, построенные для функ
ции I*. Ясно, что Ck = Cii\Cs и, значит, Cs ~ 0 и ^czCs*-i. Поэтому к отображению f* и компактному множеству /<г применима лемма 1. Следовательно, множество fKr действительно имеет меру нуль. □
Таким образом, нам осталось лишь доказать лемму 1.
Доказательство леммы 1. Эта лемма состоит из двух утверждений с разными посылками, ио с одним и тем же заключением. Мы рассмотрим сначала первое утверждение (с посылкой С<+1 = 0). Поскольку множество К компактно, для доказательства этого утверждения достаточно для любой точки Xo£tf иайти такую же окрестность VcU, что множество имеет меру нуль.
С этой целью мы найдем такую окрестность V точки х0, что ее замыкание V компактно, а множество / (С$ПЮ имеет меру нуль. Тог
да множество f (/СП Ю с: f (C^fl V) будет также иметь меру нуль.
Проведем индукцию по п. Поскольку при га- О утверждение очевидным образом верно, нам нужно лишь доказать, что если оно вер-
но при га—1, то верно и при га.
Ввиду условия Cs+i~0 существует производная порядка s-J-1 одной из функций f1, .... fm, отличная от нуля в точке х0. Переставив—если нужно —координаты, мы без ограничения общности
5<р
можем считать, что эта производная имеет вид , где <р — неко-
торая производная порядка s.
Пусть g —отображение U —> Rm, определенное формулой g (х, хп) = (х, <р (х, х„)), (х, x„)^U.
Якобиан этого отображения равен и потому в точке Хо отличен от нуля. Следовательно, существует такая окрестность О' точки Хо, что отображение g является диффеоморфизмом этой окрестности на некоторое открытое множество О, и потому определено отображение
(«1о')-1 Но' й: О-------►О'----► Rra.
Пусть V — такая окрестность точки х0, что V содержится в О' и компактно. Покажем, что множество f(CsnV) имеет меру нуль.
Здесь следует отдельно рассмотреть два случая: s —0 и s > 0. Мы сначала займемся случаем s > 0 как более простым.
При s > 0 функция ср, являясь производной порядка s одной из функций f1, .... fm, равна нулю на Cs. Следовательно, множество
248 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТЁОРЁМЫ САРДА
g(Cf) лежит в подпространстве R"~1x{0} пространства R", определяемом уравнением хп — 0, и потому
й0(§(С\ПЙ).
где ft0 —ограничение отображения h па (R"-1x{0})DO. Это, очевидно, все и доказывает, так как отображение h0 фактически является отображением открытого множества пространства R"-1, н потому, по предположению индукции (примененному к отображению ho и компактному множеству g (С$Г)Р)), множество Л0(^(С\ПР)) имеет меру нуль.
При $ = 0 роль производной ф играет одна нз функций f1, ... .... fm (вообще говоря, отличная от нуля на множестве Со). Переставив— если нужно — координаты в R"1, мы без ограничения общности можем считать, что qp = fm.
Пусть Ot—срез по xn—t множества О (множество всех точек *£R'l-i, для которых точка (х, f)£Rn принадлежит О).
Если x^Of н g (х, а)=(х, /), то по определению fm (х, а) = = tp(x, o) = i, и потому
Й(х, /) = /(*. а) = (/1(*, а).fra-1(*. a), t).
Это означает, что, положив
hf (*) = (f1 (х, а), f'»-1 (х, а)),
где x£Of н g(x, а)-- (х, /) (т. е. С fm (х, а)), мы получим такое гладкое отображение:
1ц: Ot - -> R“ -1,
ЧТО
(1) h (х, 0 --- (ht (х), t)
для любой точки (х, 1)^0.
Из формулы (1) следует, что якобнева матрица J отображения h имеет вид
Jt ! .................................j Jo ... b где Jf—якобнева матрица отображения ht-Поэтому ранг матрицы J в точке (х, t) тогда и только тогда меньше т, когда ранг матрицы Jt в точке х меньше т—1. Но по определению ранг матрицы Jf в точке x£Ot тогда и только тогда меньше т— 1, когда точка х является критической точкой отображения ht, н, аналогично, ранг матрицы J в точке (х, t)£O тогда и только тогда меньше т, когда эта точка является критической точкой отображения h (и, значит, точка (х, a) g-1(x, t)£O' — критической точкой отображения f, т. е. принадлежит множеству С0(~]О').
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ТЕОРЕМЫ САРДА 249
Следовательно, срез £(С0ПО')^ множества £(С0ПО') является не чем иным, как множеством критических точек отображения ht. Поэтому, по предположению индукции (примененному к отображению hf и компактному множеству g (Cur)O')f Dg (V)t)). подмножество
ht (g (C0nO>Dg(V)f)
пространства IR"-1 является нуль-множеством.
Поскольку это последнее множество является в силу формулы (1) срезом по хт t множества
h (g(Со ПО')Dg(V)h- (/iog)(C0nV)- f(ConV),
мы получаем, таким образом, что все срезы f (Со П V)t множества f (СоПЮ являются нуль-множествами. Но тогда в силу теоремы Фу-бини нуль-множеством будет н множество /(Со ПИ). Тем самым прн Ci+i — 0 лемма 1 полностью доказана.
Пусть теперь s > — 1. Поскольку в силу компактности мно-
жество К покрывается конечным числом кубов пространства R", достаточно доказать, что для любого куба Q <z R" множество f (C^QQ) имеет меру нуль.
Пусть а—ребро куба Q, и пусть k^l. Разбив куб Q плоскостями, параллельными граням, на kn кубиков с ребрами a/k, рассмотрим один из кубиков Q' этого разбиения, пересекающийся с Cs.
Поскольку все производные порядка s+1 функций f1, .... fm ограничены в кубе Q, нз формулы Тейлора, примененной к этим функциям, немедленно вытекает, что для любых точек и
t/gQ имеет место неравенство
17 00 ~ И*) I < М • I .У - * Г1’1,
где М — некоторое постоянное число. Поскольку диаметр кубика
Q' равен, очевидно, Уп , отсюда следует, что диаметр его образа
fQ' при отображении f не превосходит тому этот образ содержится в кубе / а г_\з + 1
2М -гУ и , имеющем объем
числа М
пространства Rm
, н по-
с ребром
В kf.s + 1) т •
где В (2.Ма! + 1(У п)5 + 1')т — константа, не зависящая от k.
Поскольку всех кубов Q' не больше чем kn, а их объединение содержит множество С$ПС> отсюда следует, что множество /(C^HQ) содержится в объединении кубов, общий объем которых
250 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГООБРАЗИЙ
не превосходит числа
В . В b^i ~~~ fas + llm fas + r)m-n’ !
и, следовательно, при k—> оо стремится к нулю (напомним, что по условию (s+ 1) т — п > 0).
Таким образом, множество (С^ПО может быть покрыто (даже конечным!) семейством кубов, сумма объемов которых сколь угодно мала. Следовательно, это множество имеет меру нуль.
Тем самым лемма 1—а вместе с ней и теорема Сарда —полностью доказана. □
Теорема Сарда (или, точнее, ее следствие) является ключом к доказательству предложения 1 предыдущей лекции (и вместе с ним теоремы Уитни), но чтобы применить этот ключ, нам нужны еще некоторые простые, но интересные и сами по себе конструкции.
Пусть % и ЧУ—два многообразия (размерностей соответственно п и т), и пусть ^хй/—множество всех пар (р, q), где р£Я?, д£ЧУ. Для любых множеств U <=.Я? и V сЧУ множество U xV является подмножеством множества Я?хЧУ, и для любых отображений h: U—► R" и k: V —> R” формула
(hxk)(p, q) = (h(p), k(q)) определяет некоторое отображение
hxk: U xV —>Rn+m
(мы отождествляем здесь R"xR'B с R"+m). При этом, если отображения h и k инъективны, то отображение hxk также инъективно, а если множества h(U) и k(V) открыты (в R" и R” соответственно), то множество
(hxk)(UxV) = h(U)xk(V)
открыто в R"+m. Это означает, что если (U, h) и (V, k)— карты, то (U х V, h х k) — также карта. Более того, легко видеть, что если карта (U, h) согласована с картой (V, h'), а карта (V, k)—с картой (V', k'), то карта (U х V, hxk) согласована с картой (fi'xV, h'xk’). Действительно, ясно, что
(U X V) П (Ur X Г) = (U п и') х (V П V) и аналогично
(/i(l/)xfe(V))n(/i'mx*'O =
П/Г (О х (МП П ИИ)
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГООБРАЗИЙ
251
(мы условно считаем, что АхВ = 0, если А = 0 или В = 0). При этом
(h X k |(uxv) n (t/'xr'j) ° (h'x k' |(t/xv) n (t/'xr'j)-1 =
= [(Л |u n O') о (h' lu n uj-1] X [(& |vn V') о (k' |vn V')-1]»
и для завершения доказательства остается заметить, что для любых диффеоморфизмов <р: W—<- и <р': W—> W[ открытых множеств пространств R" и Rm отображение
<рх<р': WxW'-+ W.xW[
также является диффеоморфизмом открытых множеств (пространства К" + т==К'гхК"’). □
Таким образом, карты (UxV, hxk), построенные для всевозможных карт (U, k) и (V, k) многообразий Я" и 2/, составляют атлас на ЯхУ.
Определение 2. Соответствующая гладкость на Ж х & называется прямым произведением гладкостей многообразий J и й/, а множество ^х&, снабженное этой гладкостью, называется прямым произведением многообразий SC и &. Его размерность равна сумме размерностей сомножителей:
dim (^хй/) = dim % + dimd/.
Топология многообразия ^хй/ является, очевидно, прямым произведением топологий многообразий и 2/ (см. лекцию 5).
Замечание 1. Для произвольной группы $ определено отображение
(2) Зх$-*3, (a, а, Ь&.
Группа $, являющаяся гладким многообразием, для которой отображение (2) гладко, называется группой Ли (употребляется также термин гладкая группа). Для любой матричной группы Ли $ (см. определение 1 лекции 6) построенная в предложении 1 лекции 6 гладкость обладает тем свойством (проверьте!), что по отношению к этой гладкости группа $ является группой Ли. Это оправдывает нашу терминологию.
Замечание 2. В следующем семестре мы докажем, что если подгруппа % группы GL (n, R) является вложенным подмногообразием (и, следовательно, группой Ли), то она будет матричной группой Ли в смысле определения 1 лекции 6. Это показывает, что определение 1 лек
252 МНОГООБРАЗИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ
ции 6 не является, как это может показаться, определением ad hoc и вводит вполне естественное понятие.
При Я = $ возникает многообразие ^’х^', которое называется квадратом многообразия Ж. Подмножество А этого многообразия, состоящее из точек вида (р, р), p£W, называется его диагональю.
Легко видеть, что многообразие Я (или более общо — топологическое пространство %) тогда и только тогда хаусдорфово, когда диагональ А замкнута в Дейст-
вительно, условие, что различные точки р и q имеют непересекающиеся окрестности U и V, в точности . означает, что окрестность U xV точки (р, не пе-
ресекается с А. 1.1
Поэтому для любого хаусдорфова многообразия % определено многообразие ^'х^ХА, называемое взрезанным квадратом. Размерность этого многообразия равна 2п, где п — размерность многообразия Я.
Другая нужная нам конструкция сопоставляет произвольному «-мерному многообразию %' некоторое новое 2п-мерное многообразие Т.Х
Пусть
TJT = L—J
— дизъюнктное объединение всех подпространств Т^, РС-2А [Таким образом, точками множества Т$’ являются всевозможные касательные векторы А многообразия #’.] Для каждого вектора A С (единственную!) точку р £ %, для которой А^7р^", мы обозначим символом лА. Тем самым возникает отображение
л: T^'->^, обладающее тем свойством, что л-1 (р) — для каждой точки рХ^-
Для произвольного открытого подмножества UaX подмножество n'XcTJ естественным образом отождествляется с множеством TU. В случае, когда U является носителем карты (U, h) = (U, х', .... х"), определено отображение
Th: TU —>R2', переводящее произвольный вектор A^TU в вектор (T/i) А = (л1, .... х”, а\ . . ., ап)£ R2",
МНОГООБРАЗИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ ЁЕКТОРОЙ
253
где Xх, .... х'-'—координаты точки р — лА в карте (U, h), ай1, .... а" — координаты вектора А в базисе
("д^р' )р
пространства ТрТ. (Таким образом,
А = о1 С -Д- а ‘ (~ттг } ;
\ /р \ дх" 1р’
заметим, что числа а1, .... а‘ однозначно определяются вектором А). Ясно, что отображение Th биективно и, .пачит, пара (TU, Th) является картой в ТиГ.
Пусть (U, h) и (U't h')—две карты многообразия % (для определенности пересекающиеся), и пусть
(3) х1' —х1'(хх, .... х"), t= 1, п,
— формулы перехода соответствующих локальных координат (в пересечении U n U’). По определению (см. формулу (1) лекции 7) для каждой точки p£U f\U' координаты й1, .... й" и й1', ..., й"' произвольного вектора A ^ТрИ' в картах (U, h) и (V, h') связаны соотношением
(4) а1'-а1',
\ <>х' J р '
( дх1' \
где (-jp* ) —значения частных производных функций (3) и точке р.
С другой стороны, ясно, что Th и Th' отображают множество
T(t/nt/') = WnT{/'
па соответственно открытые множества h(Uf\ i/')xR" и h' (U П U') х R" пространства R2’' = R"xR", причем фор
мулы (3) и (4) вместе задают отображение Th' о (Т/г) 1
первого множества на второе. Поскольку det||(4“-) во всех точках p£U (\U' отличен
якобиан от нуля,
отсюда следует, что это отображение является диффеоморфизмом.
Таким образом, карты (TU, Th) и (TU', Th') согласованы. Этот вывод остается, очевидно, в силе и при Ч Qi/' = 0 (ибо если U Г) U' = 0, то TU Г) ТС/' = 0).
Таким образом, карты вида (TU, Т/г) составляют атлас на Tj2' и, значит, определяют на ТЖ некоторую
гладкость.
254
МНОГООБРАЗИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ
Определение 3. Построенное гладкое многообразие 73? называется многообразием касательных векторов многообразия X. Его размерность равна 2п, где n = dim#'.
Заметим, что из-за наличия производных в формуле (4) класс гладкости многообразия на единицу меньше класса гладкости г многообразия 3? (при г = оо или г —а класс гладкости, очевидно, не меняется).
По определению локальными координатами, отвечающими карте (Т£7, T/i), являются числа х1, ..., х:‘, а1, . . . ..., ап. (Таким образом, символы х1, ..., х:‘ одновременно обозначают как локальные координаты в U, так и часть локальных координат в Т£/. При достаточной внимательности к недоразумениям это не приводит.)
В локальных координатах х1, .... х‘, а1, ..., а" (на 7U) их1, х" (на U) отображение л записывается формулами
х‘ = х!, 1=1, ..., п,
где слева х‘ — координаты на U, а справа — на 7U. Мы видим, следовательно, что отображение л гладко и является субмерсией. Поэтому в силу общего предложения 1 лекции 8 каждое касательное пространство Тг^ = л-1(р) является вложенным подмногообразием многообразия Т^. Числа а1, ..., ап являются координатами на этом подмногообразии (определенными на всем 7р3^).
В многообразии выделяется подмножество 3?0, состоящее из нулевых векторов пространств ТДГ.
Легко видеть, что является замкнутым подмногообразием, диффеоморфным многообразию 3? (диффеоморфизм индуцируется отображением л:
Поэтому множество 7%\3?й открыто и, значит, является многообразием. Размерность этого многообразия равна 2п, где n = dim^.
Теперь мы уже можем доказать предложение 1 лекции 14 (а вместе с ним и теорему Уитни).
Доказательство предложения! лекции 14. Пусть многообразие 3? вложено в Тогда для любых двух различных точек р, q£ ST (т. е. произвольной точки (р, р) (Е X А) в (RiV определена прямая, проходящая через эти точки. Пусть fx(p, q)—одномерное подпространство пространства RX ассоциированное с этой прямой (т. е., наглядно говоря, параллельная прямая, проходящая через точку 0). Поскольку одномерные подпростран-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УИТНИ 255
ства пространства R-/v составляют (N—1)-мерное проективное пространство RP-/V-1, это дает нам отображение (5) Л: RP*-1.
Аналогично мы определим отображение
(6) f2: Т^\^о —>RP*-1,
приняв за /2(А) для любого вектора А С одно-
мерное подпространство пространства Rw (точку пространства RP-5"-1), порожденное этим вектором (или, точнее, вектором (dip) A С T/)RjV= RX где dip — дифференциал вложения i: й'-ДЛ'в точке р = л(А)).
Задача 1. Докажите, что отображения (5) и (6) гладки. [Указание. Запишите эти отображения в локальных координатах. [
Пусть теперь
Й/ = (Я х ^\Д) L_J (Т^\^о)
— дизъюнктное объединение многообразий и
Естественным образом это объединение является 2п-мерным гладким многообразием, а его отображение
/: 8/—►RPJV-1,
совпадающее на ^‘х^'\^ с отображением Д, а на —с отображением f2,— гладким отображением.
Поэтому, если 2п < А—1, то по следствию из теоремы Сарда отображение f заведомо не надъективно. Этим доказано, что в пространстве RA’ существует одномерное подпространство L, не принадлежащее как образу отображения flt так и образу отображения f2.
Рассмотрим теперь проектирование
(7) R*-> М
пространства R27 параллельно прямой L на ее ортогональное дополнение L± (являющееся (N — 1)-мерным подпространством пространства R^). Выбрав в ZA базис, мы можем считать это проектирование отображением R7^—► - ^RAr-1. Пусть
(8) р: J^->RV^
— ограничение этого отображения на ,2'cR;V. Поскольку проектирование (7) непрерывно и открыто, его ограничение (8) также непрерывно и открыто. С другой стороны, утверждение, что в точности означает, что каж
256
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УИТНИ
дая прямая, параллельная прямой L, пересекает подмногообразие Ж в не более чем одной точке, т. е. что отображение (8) инъективно. Будучи инъективным непрерывным и открытым, отображение (8) является, следовательно, монеоморфизмом.
Рассмотрим теперь условие, что Л^1т/2 (геометрически означающее, кстати сказать, что прямая, проходящая через точку р параллельно прямой L, не касается в этой точке подмногообразия ^). Дифференциал (dp)^ отображения (8) в каждой точке р^.% является, очевидно, ограничением на T^cR* дифференциала проектирования (7). Поскольку в силу линейности отображения (7) его дифференциал совпадает с ним самим, отсюда, в частности, следует, что дифференциал (dp)p обращает в нуль лишь векторы из T^’pL. Но это пересечение либо состоит только из нулевого вектора (когда L Тр^), либо совпадает с L (когда LczTp%”). Поэтому, если то
отображение (8) является в точке р погружением. Поскольку включение в точности означает, что L — f2(p),
этим доказано, что условие Z.^Imf2 равносильно тому, что проектирование является погружением (в каждой точке и, значит, диффеоморфизмом на свой образ.
Поэтому образ р (3") многообразия при проектировании р представляет собой вложенное подмногообразие пространства Rw-1, диффеоморфное многообразию %'. Таким образом, многообразие & вложимо в R"-1. П
Задача 2. Покажите, что любое вложимое n-мерное многообразие может быть погружено в R2n.
Лекция 16
Тензоры.— Тензорные поля.—Векторные поля и дифференцирования.—Алгебра Ли векторных полей.
Напомним (см. лекцию II. 6), что тензором S типа (а, Ь), где а^О, Ь>0, на линейном пространстве называется отображение, сопоставляющее произвольному базису (?!, .... е„ пространства Т3 набор п0 + 6 чисел S'i't*, называемых компонентами тензора S в этом базисе, и обладающих тем свойством, что для любых двух базисов et, е„ и ev, ..еп, пространства Т3 отвечающие им компоненты {ь и Sp тензора S связаны формулой
... ctc'i ...
Ч-‘а '1 1а А А а где c‘i' и ^. — компоненты взаимно обратных матриц перехода, т. е. такие числа, что = и e, = cfef,. Каждый тензор корректно определяет полилинейный функционал
S(xx......ха, ?............£6)==^:::Ы ••• «, ... ^
от и векторных и Ь ковекторных аргументов и, как правило, с этим функционалом отождествляется.
По отношению к естественно определяемым операциям сложения и умножения на числа все тензоры данного типа (а, Ь) образуют линейное пространство lo(F’).
Для любых тензоров S и R типов {а, Ь) и (с, d) соответственно формула
/Q/СК D\/i ib+d_ e/i ••• ib nib + t ib + d
(О (X) *\)ii ... ia + c la ^ia + t ?a + c
определяет тензор S(x)/? типа (a + c, b-] d), называемый тензорным произведением тензоров S и R. Это умножение ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения.
Кроме того, для тензоров имеется специальная операция свертки (см. лекцию II. 6).
Каждый вектор естественным образом интерпретируется как тензор типа (0, 1), а каждый ковектор —как тензор типа (1, 0). Поэтому для любого базиса .... е„ пространства Т3 и любых индексов iv ..., ia, jv ...
М. М. Постников, сем. III
258
ТЕНЗОРНЫЕ поля
../ь= 1, • •> ti в пространстве Т^-Г3) определен тензор ।
е''1® ... ®е'«®еА® ... ®е/ь,
где е'>, .... е1а— векторы сопряженного базиса пространства Т3*.
Все тензоры этого вида образуют базис пространства ТаХ1^), причем координатами тензора в этом базисе служат как раз его компоненты, т. е.
5 = sl;::: е;» ® ... ® е‘'“ ® еА ® ... ® е,ь для любого тензора S.
Эти общие понятия линейной алгебры мы применим к случаю, когда Т3 является касательным пространством ТрЗ? гладкого многообразия % в его точке р.
Пусть (U, h) = (U, х1, ..., х') —произвольная карта многообразия содержащая точку р. В пространстве ТрЗ? эта карта определяет базис
” (дх^р’
а в сопряженном пространстве ТриГ—сопряженный базис (dxl)p, (dx")p.
Поэтому для каждого тензора Sp типа (а, Ь) на пространстве ТрЯ" будет иметь место представление вида
(2) Sp~
=s{'t::^(^)p® . • . ®(^), ’
коэффициенты S,-';;; которого (т. е. компоненты тензора Sp в базисе (!)) называются компонентами тензора Sp в карте (U, h). (По типографским соображениям мы опускаем в обозначении этих компонент индекс р.)
Любая другая карта (U', h') = (U', х1'......хп')
(е р $ U') определяет базис
(3) (—Л , ..., (-ДЛ
\дх' )р \дхп /р
пространства Т^Д’, связанный с базисом (1) матрицей перехода
(4) ЬГ=1...................................п'
ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
259
Поэтому компоненты тензора Sp в картах (U, h) и (U', h') связаны соотношением
(5) SA-;U
... ... (?Л\ s'l-'/,
\dx‘i Jp \ дх‘а Jp\dx!i Jp \dxlb Jp a‘
Если теперь тензор Sp задан для любой точки р£Ж, то в представлении (2) компоненты S'4:::{* будут функциями от р. Если эти функции гладки, т. е. гладко выражаются в карте (U, h) через координаты х1, хп,
то соответствие p*-+Sp называется (гладким) тензорным полем (или, короче, тензором) типа (а, Ь) на многообразии Ж. Соотношение (5) для функций S{,‘ iba имеет вид
/6ч еЛ-/й_^_ д^_дх^_
( ) aZ “ dxfa ••• dxib ^-‘а
на U{]U', откуда следует, что условие гладкости тензорного поля не зависит от выбора карты.
Замечание 1. Для многообразий конечного класса гладкости Cr, 1, мы здесь сталкиваемся с той характерной трудностью, что элементы матрицы (4) являются, вообще говоря, функциями лишь класса Сг~1. Поэтому и гладкость тензорных полей мы вынуждены понимать только в смысле С'-1. Во избежание этих оговорок, мы и условились в лекции 1 ограничиваться многообразиями класса С" (и С“), для которых подобного рода трудностей не возникает.
Для любого открытого покрытия {f/a} многообразия Я' каждое тензорное поле S определяет семейство полей
Sa = S|ua, обладающих тем свойством, что для любых индексов аир (7) Sa = Sp на Uа п t/p.
Обратно, если заданы поля Sa на Па, удовлетворяющие соотношениям (7) (о таких полях мы будем говорить, что они согласованы на пересечениях), то формула
Sp = (Sa)p, если p$Ua,
О*
260
ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
корректно определяет на % тензорное поле S, обладало щее тем свойством, что
S|i/a = Sa
для любого а (и потому гладкое). Мы будем говорить, что поля Sa составляют поле S.
Замечание 2. Тензорное поле на многообразии можно рассматривать как соответствие, сопоставляющее каждой карте (U, h) многообразия ЯГ набор гладких функций \"{ьа на U и обладающее тем свойством, что для любых двух карт (U, h) и (U', h') на пересечении U П U' имеет место соотношение (6). Это можно принять за определение тензорного поля. Преимущество этого определения состоит в том, что оно может быть сформулировано сразу же после введения понятия гладкого многообразия без каких-либо промежуточных определений, а недостаток — в отсутствии непосредственной формальной связи (заменяющейся аналогией) с понятием тензора в линейном пространстве.
Все алгебраические операции над тензорами (в том числе и операция свертки) автоматически переносятся на тензорные поля. Например, тензорное произведение S0/? двух тензорных полей S и R определяется формулой
(8) (S®R)p = Sp®Rp.
Ясно, что из гладких полей при этом всегда получаются гладкие поля.
В частности, мы видим, что совокупность 1ьаЗГ всех тензорных полей типа {а, Ь) на многообразии ЯГ является линейным пространством.
Это пространство бесконечномерно (при п > 0).
При (а, Ь) = (0, 0) тензорные поля являются не чем иным, как гладкими функциями на ЯГ, а линейное пространство '\ааЗГ— линейным пространством гладких функций на ЯГ. Линейное пространство представляет собой по отношению к умножению функций алгебру, причем формула
(fS)„ = f(p)S„, З^ЯГ
(являющаяся частным случаем формулы (8)) определяет операцию умножения
F^xT^r
ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ
261
по отношению к которой, как показывает автоматическая проверка, линеал!1^ является модулем над алгеброй
При (a, b) = (0, 1) тензорные поля называются векторными полями. Примером векторного поля на координатной окрестности U (рассматриваемой как многообразие) является поле
(9) , 1—1, ..., п.
дх' \ дх‘ / р
Оно называется /-м координатным векторным полем на U.
При (a, b) — (1,0) тензорные поля называются ковектор-ными полями. Примером ковекторных полей является i-e координатное ковекторное поле
(10) dx': рн-+(йх')р
па координатной окрестности U.
Формула (2) утверждает, что каждое тензорное поле S на U единственным образом разлагается по тензорным произведениям векторных и ковекторных координатных полей:
di) s = Sp - ®... ®dx‘* ®-^® • • ® на с/.
В частности, на U каждое векторное поле X имеет вид
(12)
дх1
а каждое ковекторное поле а—вид
(13) а = аДх/,
где X' и а,-, t= 1, .... п, — некоторые гладкие функции па U. (Для обозначения ковекторных полей по традиции употребляются строчные греческие буквы, а для обозначения векторных полей — прописные латинские буквы из конца алфавита.)
По определению существование разложения (11) означает, что для любой координатной окрестности U линеал является свободным модулем над алгеброй FU с базисом
dx'i®. .. ®dx‘a®-^—® . .. ®-£j-b-
Для произвольных же многообразий Я модуль Tg^, вообще говоря, свободным модулем (над алгеброй F^) не
262 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
является, и его алгебраическая структура может быть весьма сложной.
Многообразия %, для которых все модули свободны, называются параллелизуемыми.
Рассмотрим более внимательно векторные поля.
Как уже было сказано в лекции 7, каждый вектор позволяет произвольной функции f (определенной и гладкой в окрестности точки р) сопоставить некоторое число Af—производную этой функции по вектору А. Отсюда следует, что для любого векторного поля X на многообразии Ж и произвольной функции формула
(14) (ХЩр) = Х/, р^З?,
определяет на % некоторую функцию X/. Из приведенных в лекции 7 формул для Af вытекает, что в произвольной карте (U, h)=(U, х1, х") многообразия
ограничение функции X/ на U определяется формулой (15) Xf=X<^ на U,
где X', i = l, ...,«,— компоненты векторного поля X в карте (U, h). Поэтому функция Xf гладка на U, а значит— в силу произвольности U — и на всем 3?.
Таким образом, формула (14) определяет некоторое (очевидно, линейное) отображение X алгебры гладких функций на многообразии 3} в себя. Оно называется линейным дифференциальным оператором первого порядка на многообразии 3\ порожденным векторным полем X. [Эта терминология мотивируется формулой (15), сравнение которой с формулой (12) объясняет также выбор . д u 1
обозначения -^-для координатных векторных полей.]
Пусть А— произвольная алгебра (не обязательно конечномерная и ассоциативная).
Определение 1. Линейное отображение
D-. А-^А
алгебры А в себя называется дифференцированием, если D (ab) = Da-b + a-Db
для любых элементов а, Ь$А.
В частности, дифференцирования алгебры F3~ (называемые обычно просто дифференцированиями на 3')—это
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 263 такие линейные отображения
О:
что
(16) D(fg)=zDf-g + f-Dg
для любых двух гладких функций f и g на %.
Легко видеть, что линейный дифференциальный оператор X: порожденный векторным полем X,
является дифференцированием на %. Действительно, из правила дифференцирования произведения и формулы (15) непосредственно следует, что для любых функций /, g^y-% тождество (16) выполнено на каждой координатной окрестности V. Поэтому оно выполнено и на всем многообразии Ж. □
Оказывается, что если многообразие Ж хаусдорфово, то этим исчерпываются все дифференцирования на
Теорема 1. Каждое дифференцирование D на хаусдор-фовом гладком, (класса С°°) многообразии ST порождается векторным полем. Это поле единственно.
Для доказательства ^этой [теоремы ^нам понадобится следующая лемма:
Лемма 1. Пусть ST—хаусдорфово гладкое многообразие, U—его открытое подмногообразие, f —гладкая функция на U. Тогда для любой точки poeU существует на ST такая гладкая функция ft и такая окрестность W точки ра, что WcU и
f = на W.
При этом можно дополнительно считать, что — 0 вне U.
Доказательство. Согласно предложению 2 лекции 13 в ST найдутся такие открытые множества V и W, что
р0€№, WcV, VcU, и для пары (V, W) существует функция Урысона <р. Для любой точки положим
I если p£U,
11\Р)— । о, если pffcU.
Ясно, что функция fi гладка и совпадает с функцией f на W. Кроме того, по построению fi = 0 вне U, □
264 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Следствие 1. Для каждой окрестности U произвольной точки р0 гладкого хаусдорфово многообразия 33 существует такая окрестность W точки р0 и такая гладкая на 33 функция ф, что
[ 1, если p£W, ф(р)~о, если р^и. □
Заметим, что ф(р0)=1 и Wall.
Пусть теперь D—произвольное дифференцирование на многообразии 33.
Мы будем говорить, что гладкие на 33 функции f и g равны вблизи точки ptt£33, если они принимают одинаковые значения в некоторой окрестности этой точки.
Следствие 2. Если функции fug равны вблизи точки 33, то функции Df и Dg также равны вблизи этой точки.
Доказательство. Пусть f = g на окрестности U точки р0. Рассмотрим функцию (f—g)(p, где ф—функция на 33 из следствия 1. Ясно, что (/—£)ф = 0 на всем 33, т. е. функция (f—g) ф является нулем" линеала F33. Поэтому в силу линейности отображения D функция D[(f—g) ф] также является нулем. Поскольку
D [(f—g) ф] = (Df—Dg) ф + (f—g) Dtp, этим доказано, что
(Df—Dg) ф 4- (f—g) Оф = О
на всем 33 и, в частности, на окрестности W точки р0, предусмотренной следствием 1. Но f — g и ф=1 на IT. Поэтому Df—Dg — Q и, значит, Df — Dg на W. □
Замечание 3. Из леммы 1 также следует, что для любой точки p0£U и любого тензорного поля S на U существует такая окрестность WaU этой точки и такое тензорное поле Sj на всем 33, что
S = Sr на W.
Для доказательства достаточно применить лемму 1 к каждой компоненте поля S (и взять пересечение соответствующих окрестностей W).
Свойство, выражаемое следствием 2, называется свойством локальности отображения D. Из него вытекает следующее важное предложение:
Предложение 1. Для любого открытого множества Uо. 33 существует единственное дифференцирование
Dp\
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 265
согласованное с дифференцированием D, т. е. такое, что
(17) &и(1 (у) —Df lu
для каждой гладкой на Л' функции f.
Наглядно последнее свойство означает, что в диаграмме
и и,
горизонтальные стрелки которой являются отображениями ограничения, при движении по двум возможным путям из левого верхнего угла в правый нижний получается одно и то же отображение F^’—*F£7. Обладающие этим свойством диаграммы называются коммутативными (мы уже встречались с коммутативными диаграммами в лекции 3).
Доказательство предложения 1. Пусть дифференцирование Du существует, и пусть g—произвольная гладкая на U функция. Согласно лемме 1 для любой точки рй(^и на X существует функция gi==gi,Fo, совпадающая вблизи точки р0 с функцией g. При этом, согласно свойству (17), Dug = Dg1\u и, значит, в частности, (18) (£>l/g)(Po) = (£>g1)(po)-
С другой стороны, если g{ — другая гладкая на % функция, совпадающая вблизи точки р0 с функцией g (а потому и с функцией gj, то, согласно свойству локальности отображения D, вблизи точки р0 будет иметь место равенство Dg^ — Dgl и, значит, в частности, равенство
(19) (ЭД (Ро) = (Dg'i) (А>)-
Таким образом, правая часть формулы (17) не зависит от выбора функции gr и определяется исключительно функцией g и точкой р0. Это означает, что функция Dvg на U зависит только от функции g. Следовательно, отображение Du'. g^Dug единственно.
Чтобы доказать его существование, мы примем формулу (18) за определение функции Dug. Согласно формуле (19) это определение корректно. Более того, если gi=g на окрестности W точки р0, то для любой точки p(tW функцию g^gy. Ро мы можем использовать в качестве функции gb р для вычисления значения (Dug) (р)
266 ВЕКТОРНЫЕ поля и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ )
функции Dug в точке р. Это означает, что Dug = Dg1 не только в точке р0, но и вблизи этой точки. Таким образом, вблизи каждой точки из U функция Dug совпадает с некоторой гладкой на Ж функцией. Поэтому функция Dug гладка на D, т. е. соответствие g*-+Dvg представляет собой отображение
Dv: FU->FU.
Если / и g—две гладкие на U функции, a и^— гладкие на X функции, совпадающие вблизи точки р0 соответственно с функциями f и g, то функция будет совпадать вблизи точки р0 с функцией f + ё- Поэтому
= [Dfi gi + Л DgA] (р0) = [Duf -g + f-Dg] (р0), и, значит, отображение Du,— очевидно, линейное—является дифференцированием на U.
Наконец, если f—гладкая на % функция, то для функции g— fly роль функции g, (для любой точки р0 С может играть функция /. Поэтому
DtAh^DHu. □
Как правило, вместо DL,g мы будем писать просто Dg.
Для доказательства теоремы 1 нам будет нужна еще следующая лемма:
Лемма 2. Пусть (U, h) — (U, х1, ..., х")—произвольная карта многообразия ST класса С“. Тогда вблизи любой точки pa£U каждая гладкая (на U) функция f допускает представление вида
(20) 1 = }(ра) + (х‘~х‘0)1и
где flt f„ — некоторые гладкие (вблизи р0) функции,
a xl, ..., х%—координаты точки р0.
Доказательство. Пусть x0 — h(p), и пусть г>0 — такое число, что любая точка x£R", для которой |х — — х0| < г, принадлежит открытому множеству Тогда для значения f (х) в каждой такой точке х произвольной гладкой в h (и) функции f будет иметь место формула
1
f(x)—f(x0)=^f(xaA s(x—x0))ds =
I
= (X''—х‘а) С (х„ S (х— х0)) ds,
V V*1
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАН .1'1
267
т. е. формула
f(x)=f(x0) + (x'—4)/,(х),
где
1
Л (X) = J (х0 + s (х—х0)) ds.
о
Для завершения доказательства остается с помощью диф-(реоморфизма h перейти от функций на h (U) к функциям па U. □
Для каждого дифференцирования D произвольной ал гебры Л с единицей 1 имеет место равенство
DI =D(1 • 1) = D1 • 1 н- 1D1=D1+D1 = 2D1,
и, значит,— равенство
£>1=0.
В силу линейности отображения D отсюда вытекает, что Da = 0 для каждого элемента a£lR. основного поля.
Для дифференцирований на гладком многообразии (т. е. дифференцирований алгебры F^) это означает, что каждое дифференцирование на % лю5ую постоянную функцию переводит в нуль.
Теперь у нас уже все готово для доказательства теоремы 1.
Доказательство теоремы 1. Как всегда, докажем сначала утверждение об единственности.
Пусть дифференцирование D на многообразии Ж порождается векторным полем X. Это означает, что в каждой карте (U, х1, ..., хч) многообразия % для любой гладкой на U функции f имеет место равенство
Df=X‘-^L на U, дх1
где X1', Z=l, .... п,— компоненты векторного поля X па U (и где символ D обозначает на самом деле йи). В частности,
Dxl— Х‘, i = 1, ..., п,
что и доказывает единственность поля X.
Пусть теперь D—произвольное дифференцирование на многообразии % (предполагаемым — напомним—хаусдор-фовым и класса С"). Для любой карты (U, х1, ..., х")
268 ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ' рассмотрим на U гладкие функции
Х‘= Dx‘, i — 1, ..., п.
Пусть f — произвольная гладкая на U функция. Применив к ее представлению (20) оператор D (точнее, оператор Dw, где W— окрестность точки р0, в которой имеет место (19)), мы получим, что
Df = X‘f{ + (х‘— x^Dfi на W и, значит, что
(21) (Df)(po) = X-(Po)//(Po).
(Мы имеем право вместо Dw писать D из-за свойства локальности оператора D.)
Равенство (21) верно, конечно, не только для дифференцирований на но и для любого дифференцирования на U. В частности, оно верно для дифференцирова-д п
ния ут. Поэтому
(^Л(Ро) = Ш)> \ дх‘ /
и, значит, в силу формулы (21)
(Df) (р0) = Х‘ (р0) X (р0) = (^-5) (Ро).
Поскольку р0 — произвольная точка окрестности U, этим доказано, что
Df = X1'~ на U, ' дх‘
т. е. дифференцирование D порождается в U векторным полем Хи с компонентами X1, ..., Хп.
Аналогично, для любой другой карты (U', х1', .... хп') дифференцирование D на U’ порождается векторным полем Ху- с компонентами Xl' = Dx1'. При этом в силу свойства локальности оператора D для любой функции f на пересечении U (]U' будет иметь место равенство
Х‘' JL^Xi^-. дх1 дх1
Применив это равенство к функциям перехода х1‘ =--= х1’(х1, ..., х”), мы немедленно получим, что
X1' = Х‘-^,
АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
269
т. е. что на U Г) векторные поля Хи и Хи- совпадают. Поэтому, положив для любой точки р многообразия Л"
Хр ~
где U — произвольная координатная окрестность точки р, мы корректно определим на Л векторное поле X, обладающее тем свойством, что Х|(/ = Х(/ для любой координатной окрестности 0. Поэтому это поле, во-первых, гладко, а во-вторых, порождает дифференцирование D. □
Контрольный вопрос. Где в этом доказательстве использовано предположение, что является многообразием класса С”?
На основании теоремы 1 векторные поля на обычно отождествляются с дифференцированиями. (Что, в частности, а постериори оправдывает обозначение Xf для результата применения к функции f порожденного векторным полем X дифференцирования.)
Ясно, что для любой алгебры Л сумма двух дифференцирований и произведение дифференцирования на число также являются дифференцированиями, т. е. множество Der Л всех дифференцирований алгебры Л является линейным пространством (подпространством линейного пространства Епс1лннЛ всех линейных операторов Л--Л).
Для любых двух линейных операторов Dr, D2; Л —-> Л оператор
[Dj, D2] = DA D2Dr
называется их коммутатором (или скобкой Ли). Ср. определение 1 лекции II. 18а.
Легко видеть, что для каждой алгебры Л коммутатор \DU D2] любых двух дифференцирований Dt, D2. Л—ЛЛ также является дифференцированием. Действительно, [Dl( Dg] (оЬ) = Dx (D2 (ab))-Dt (Dt (ab)) =
= Dj (D2a-b + a-D2b)—D2 (p2a-b-\-a- Dxb) =
= DxD2a b + D2a • D±b -[ Dra D2b -|- a DJ)2b—
—D2Dxa b—Dxa-D2b—D2a Оф—а О2Оф =
= (DxD2—D2Dj) a-b + a- b =
= [Dt, D2]a-b + a[Dv D2]b
для произвольных элементов а, Ь^Л. □
Поскольку операция коммутирования Dr, D2>->[DA, D2], очевидно, линейна по Dr и D2, это означает, что по от
270 АЛГЕБРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
ношению к операции коммутирования линеал Der</£ всех дифференцирований алгебры Л сам является алгеброй.
Ясно, что операция коммутирования антикоммута-тивна, т. е.
[Р„ D2] = -[D2, D,]
для любых двух линейных операторов Dt и D2 (даже не являющихся дифференцированиями).
Кроме того, для любых трех операторов D3, D2 и D3 имеет место тождество
(22) [[Dlt D2], ZVH [[02. D3], Dx] + [[0b, Pi]. 0г] = О-Действительно,
[[Dp d2], d3] = (0A-0A) 03-03 (DA-DA) =
= D±D2D3—D2DjDs—D3DjD2 -J- D3D2D1F и потому левая сторона формулы (22) является суммой двенадцати операторов вида DjDjDk, в которой каждый из этих операторов встречается дважды с противоположными знаками. Поэтому эта сумма равна нулю. □ Тождество (22) называется тождеством Якоби. Все это мотивирует следующее общее определение: Определение 2. Алгебра, умножение в которой антикоммутативно и удовлетворяет тождеству Якоби, называется алгеброй Ли.
Таким образом, мы доказали, что алгебра Der<7 является алгеброй Ли.
Так как дифференцирования алгебры гладких функций являются в силу наших отождествлений не чем иным, как векторными полями на %, мы получаем, в частности, что векторные поля на гладком хаусдорфовом многообразии 33 класса С°° образуют алгебру Ли.
Эта алгебра Ли обычно обозначается символом а^1. По определению
[X, Y]f = X(Yf)—Y(Xf)
для любых векторных полей X, Y на 33 и любой функции
Отсюда следует, что
(23) [gX, r] = g[X, K]-rg X
для любой функции Действительно,
[£*. К]/ = ЯХ(К/)—Г (^Х/) =
= gX(rf)-rg.Xf-gr(Xf)=gr[X, rjf-Kg Xf для каждой функции /^F#*. □
ЛЛГЕВРА ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
271
Если
Х = Х'Д и y=y/-L., дх‘ дх)
в карте (U, х1, х"), то для любой гладкой на U
функции f
[X, Y]f = X(Yf)-Y(Xf) = x(Y)^-'\-Y(X'-^'\ =
— Х‘ — ( Y)—^ — Y)— ( Xi-^-\ = дх1 \ дх) J дх) \ дх1 /
= Х1.дЯ д[ %,у/ J7 yJ dXi_ df__YjXi= дх1 дх) дх1 дх) дх) дх1 дх1 дх)
~(x,dYi Y‘dX‘\ df . \ дх) дх)) дх1
Этим доказано, что в каждой карте (U, х1, ..., хп) компоненты [X, У]' векторного поля [X, У] выражаются формулой
(24) [X, YV = X)^ — Y)^, / = 1....п,
v ' L J дх1 дх)
где X1, ..X", У1, .... У"—компоненты полей X uY соответственно.
Замечание 4. Термин «алгебра Ли» мы уже употребляли в лекции 6 применительно к линейным пространствам матриц, предусмотренных определением матричных групп Ли (см. определение I лекции 6). Конечно, по отношению к операции [Ви В2] = В1В2—BiB1 коммутирования матриц линеал Mat„(R) = gl„(IR) всех матриц порядка п является алгеброй Ли. Поэтому алгеброй Ли будет и любая ее подалгебра (линейное подпространство д, замкнутое относительно этой операции). С другой стороны, если g— подпространство из определения 1 лекции 6 и если Вг, B2gg, то, согласно условию 1° этого определения, матрицы е/в* и е/в« для любого t б R принадлежат группе $. Поэтому этой группе будет принадлежать и матрица
At — etB‘etBre~tBie~tB‘ =
=(Е+В^+.. .)(Е+В2/ + ...) (E~Bfi+.. .)(В-В2/+...) = = Е+[ВП В2]
где многоточия обозначают члены, имеющие по t степень ^3. Так как At—+E при /-—►(), то при доста
272 ЛЛГЕБРЛ ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
точно малом t норма матрицы At—Е меньше 1, и потому определена матрица
Вг=1пЛ^(Д<-£)-^^+...=[В1, Ва]/Ч- ...
Так как Bt — >0 при I—>0, то при достаточно малом t для ее нормы |В(| имеет место неравенство | Bt | < 1п 2, и, значит, согласно условию 2° определения 1 лекции 6, матрица Bt принадлежит подпространству fl. Но тогда « Bt
этому подпространству будет принадлежать и матрица , а потому и матрица
lim4=lim ([Bi. В2]+...) = [В1, В2]. t-> о ‘ t-> о
Значит, д является алгеброй Ли (подалгеброй алгебры Ли fll„(IR)). Подалгебры алгебр Ли fll„ (R) называются матричными алгебрами Ли.
Замечание 5. Следует иметь в виду, что существуют матричные алгебры Ли, не являющиеся алгебрами Ли никакой матричной группы Ли. Мы вернемся к этому вопросу в следующем семестре.
Лекция 17
Интегральные кривые векторных полей.—Векторные поля и потоки.— Перенос тензорных полей с помощью диффеоморфизмов.— Производная Ли тензорного поля.
Кривой на гладком многообразии SC мы будем называть произвольное гладкое отображение
(1) (а. Ь)-+Я
в многообразие ST некоторого интервала (а, Ь) оси R (см. обсуждение понятия кривой в лекции 1).
Дифференциал (dy)t кривой у в каждой точке t $ (а, b) представляет собой линейное отображение одномерного пространства ТДа, b)=R в пространство и однозначно характеризуется вектором
(2) =
пространства в который оно переводит базисный
вектор пространства Tt(a, b).
Определение 1. Вектор у (t) называется касательным вектором кривой у в точке I. (Допуская некоторую неточность, вектор y(t) называют также касательным вектором кривой у в точке р = ?(/)•)
Пусть теперь X—векторное поле на многообразии По определению каждой точке рС^" поле X сопоставляет некоторый вектор Хр^Тр^.
Определение 2. Кривая у называется интегральной кривой (или траекторией) векторного поля X, если
(3) y(/) = Xv(0 Для любого t, a<,t<,b.
Говорят, что кривая у содержится в карте (U, h) = (U, х1, . .., х"), если у (/) g U для любого t, a<t <b. Такая кривая задается п гладкими функциями
(4) xl = x'(t), a<.t<b, i=l, .... n,
а для ее касательного вектора у (/) имеет место равенство
\ д* /V(О
274
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
(докажите!). Поэтому для кривой в U уравнение (1) равносильно системе п дифференциальных уравнений
(5) х‘(t) = Х‘(х1 (t), xn(t)), i=l, п,
первого порядка, где Х‘, i=l, п,— компоненты векторного поля X в карте (U, h) (или, точнее, их выражения через координаты х1, .. ., х")-
Мы видим, таким образом, что уравнения вида (3) представляют собой обобщение на случай произвольных многообразий понятия системы дифференциальных уравнений первого порядка, заданной в области пространства R". Они называются дифференциальными уравнениями на многообразии SC. Их теория относится к курсу теории дифференциальных уравнений и в основном лежит вне рамок нашего изложения.
Все же для полноты изложения и чтобы продемонстрировать специфику общих уравнений вида (3), мы сформулируем и докажем сейчас основную теорему о существовании и единственности их решений.
Ясно, что для каждого подинтервала Гс:1 интервала / = (<?, Ь) ограничение интегральной кривой у на Г также будет интегральной кривой векторного поля X. Интегральная кривая (1) называется максимальной, если она не является ограничением никакой интегральной кривой, определенной на большем интервале.
Пусть Говорят, что кривая (1) проходит при t=t^ через точку р£&, если, во-первых, эта кривая определена на таком интервале (а, Ь) оси R, что а < < /0 < Ь, и, во-вторых, у(!1о) = р.
Теорема 1. Если многообразие Ж хаусдорфово, то для любой точки рй£& и любого векторного поля X на X существует единственная максимальная интегральная кривая у: I —* Я поля X, проходящая при t = t0 через точку р.
Доказательство. Пусть Г — множество всевозможных интегральных кривых у векторного поля X, проходящих при t — ta через точку р0. Так как в произвольной карте (V, h), содержащей точку р0, уравнение (3) равносильно системе (5) обыкновенных дифференциальных уравнений, то, согласно известной из курса теории дифференциальных уравнений теореме о существовании и единственности решения таких систем, в окрестности U существует хотя бы одна интегральная кривая у поля X с у (/0) = Ра- Это означает, что множество Г не пусто.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
275
Пусть теперь у^ и у2: /2 ——две произ-
вольные интегральные кривые из Г. Рассмотрим пересечение /0 = /1А/2 интервалов /t и /„, являющееся, очевидно, интервалом оси R, содержащим точку р0 и его подмножество С, состоящее из всех точек для которых Yi (/) = у2(/). По условию t0 g С, так что множество С не пусто.
Пусть /xgC, и пусть (U, h) — произвольная карта, содержащая точку рх = У1(Л) = у2(Л)- Согласно уже использованной теореме о существовании и единственности решений систем дифференциальных уравнений, на некотором интервале / оси R, содержащем точку /п существует единственная интегральная кривая у: I—поля X, для которой y(Zi) = Pi. При этом без ограничения общности мы можем считать, что Но тогда ограничения yt [, и у2|7 кривых yt и у2 на интервале I будут такой кривой у и, значит, в силу единственности будут совпадать. По определению это означает, что/ а:С. Таким образом, для любой точки tt^.C существует такой интервал /, содержащий эту точку, что 1<=С. Следовательно, множество С открыто (в R, а потому и в /0).
Рассмотрим теперь отображение у!Ху2: /0—<-^’Х^', определенное формулой
(У1Хуа)(/) = (у1(/), у2(/)), t$I.
Ясно, что отображение У1Ху2 непрерывно и множество С является не чем иным, как прообразом (У1Ху2)-1А при этом отображении диагонали А —{(р, р); рО.%} произведения ^х^ (см. лекцию 14). Поскольку для хаусдорфова многообразия SC диагональ А замкнута в %, отсюда следует, что множество С замкнуто в /0.
Поскольку интервал /0 связен, этим доказано, что С = /0. Это означает, что любые две интегральные кривые из Г совпадают на общем интервале их областей определения.
Отсюда следует, что, обозначив через 1У интервал, на котором определена кривая у С Г, и положив
/ = U 1У ver
и
Yo(0 = Y(0> если
мы корректно определим единственную максимальную интегральную кривую у0: / —> X поля X, для которой У (/0) = pQ. П
276
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ПОТОКИ
Задача 1. Постройте такое двумерное нехаусдорфово многообразие St' и такое векторное поле X на SC, что для некоторой точки существуют две различные интегральные кривые поля X, проходящие при < = через точку р0.
Пусть tQ — 0.
Для произвольной точки р £ 3S мы обозначим через у* максимальную интегральную кривую поля X, проходящую при t = 0 через точку р, и для любого t € R, для которого точка у* (0 определена, положим
Ф* (Р) = У* (О-
Таким образом, представляет собой отображение в многообразие SC подмножества D^SC, состоящего из точек Для которых точка у* (О определена.
Задача 2. Докажите, что множество Dt открыто (в SC"), а (при отображение ф,х: Dt—+ST гладко.
[Указание. Воспользуйтесь теоремой о зависимости решений систем дифференциальных уравнений от начальных данных, доказываемой в курсе теории дифференциальных уравнений.]
Задача 3. Докажите, что отображения (Pf — fp*обладают следующими свойствами:
а) Существует такая непрерывная функция е: SC —► R, принимающая положительные значения, что p£.Dt при И<е(р)-
б) Отображение ф0 определено на всем 3S (т. е. ий=ЗС} и является тождественным отображением id многообразия 9S.
в) Если <р((р)££)5 (в частности, если |s| < е(ф<(р))), то p€Z)i+< и
(6) фя(ф* (р)) = ф^+*(р)-
[Указание. Для доказательства утверждения а воспользуйтесь теоремой о зависимости решений дифференциальных уравнений начальных данных. Утверждение б очевидно, а для доказательства утверждения в достаточно заметить, что обе кривые st->y^ (р) (s) и st->y*(s -H) являются максимальными интегральными кривыми поля X, проходящими при s = 0 через точку фДр).]
Допуская определенную вольность, свойство в обычно записывают в виде тождества
Фг° ф| = ф,+г
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И ПОТОКИ
277
Определение 3. Семейство гладких отображений фр Dt -* обладающее свойствами а, б и в, называется потоком на многообразии ЯХ
Таким образом, мы видим, что каждое векторное поле X Е индуцирует на Я? некоторый поток {ф*|.
Обратно, каждый поток {ф(} определяет по формуле
^=?до),
где ур— кривая /н-*ф((р), 111 < е (р), некоторое векторное поле X на многообразии ЯХ
Поток {фр D’t—+.&} называется частью потока {фр Dt—если DjcDf и ф^-= ф; для любого t Е R. Поток {ф(} называется максимальным, если он не является частью никакого другого потока.
Ясно, что:
1° Поток {ф(} и любая его часть {ф<} порождают одно и то же векторное поле X.
2° Поток {ф^}, индуцированный векторным полем X, максимален.
Поэтому формула
поле X => поток {ф^} устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторными полями и максимальными потоками на X.
Так как функция е непрерывна и, значит,
Нпге(ф/(р)) = е(р) > О /-*о
для любой точки pE^> то существует такая непрерывная функция 6: —hR, что
И < 6(Ф/(Р)) при < б(р).
Пусть Ot—открытое подмножество многообразия состоящее из всех точек рЕ-^, Для которых 111 < 6 (р). Тогда существует такое 60 > 0, а именно, д0 = 8(р0), что ра Е Ot при 111 < 60 (так что при достаточно малом t множество Of заведомо не пусто).
Так как при рЕ<?о т. е. при |/1 < 6(р), определена точка ф_Дф/(р))> совпадающая, согласно свойству в, с точкой р, то ограничение отображения ф( на множестве Ot является биективным отображением этого множества на (очевидно, открытое) множество Ot = q>tOt (с обратным отображением ф_^0')- Поскольку оба отображения фг и
278 ПЕРЕНОС ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
Ф_( по определению гладки, этим доказано, что для каждого i ё R. (для которого множество Ot не пусто) отображение tpt является диффеоморфизмом Ot->-O't.
Пусть теперь ср: ^-*2/— произвольный диффеоморфизм гладких многообразий, и пусть S — тензорное поле типа (а, Ь) на многообразии 2/. По определению в каждой карте (V, k) на 2/ поле S имеет компоненты являющиеся гладкими функциями на V. С другой стороны, для любой карты (U, h) на 33 пара (V, k), где V = q>U, a k = ho ср-1, будет, очевидно, картой на 2/. Пользуясь этим, мы определим тензорное поле (p*S на 33, считая, что в карте (U, h) оно имеет компоненты
(7) 0 ш,
где S1.'" [ь— компоненты поля S в карте (ф/7, h о ср"1). Поскольку для любых двух карт (U, h) и (U', h') на 3? отображение перехода h’ о h"1 совпадает с отображением перехода (h' о ср-1) о (h. о ср-1)-1 для карт (tpU, h о ср-1) и (cpt/', h' о ф-1), функции (ф*5);*'';/^ в различных картах будут связаны (на пересечении этих карт) тем же тензорным законом преобразования, что и компоненты поля S, Следовательно, эти функции действительно будут компонентами некоторого тензорного поля cp*S.
О поле ф*5 мы будем говорить, что оно является результатом переноса поля S с 2/ на 33 посредством диффеоморфизма ф.
Пример 1. Если поле S имеет тип (0,0) (является гладкой функцией f на 2/), то
(8) ф7 = /°Ф-
Пример 2. Если поле S имеет тип (0, 1) (является векторным полем X), то
(9) (Ф^)р = (ЖРр)_1*<р(р)
для любой точки где (е/фр)-1: -♦Т^ —ото-
бражение, обратное к изоморфизму dq>p'. Тр33 —<- Tv(p)&.
Пример 3. Если поле S имеет тип (1,0) (является ковекторным полем а), то
(Ю) (ф*а)Р = (<<ФР)*аф(Р)
для любой точки р 33, где (с1фр)*—отображение Тф(р)Й/
—» Т*33, сопряженное отображению 1р33 —> Тф(р)(У,
ПЕРЕНОС ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 279
Задача 4. Опишите аналогичным образом тензоры (ср‘5)^ для тензорного поля 3 произвольного типа (а, Ь). [Указание. Соответствие S <p*S сохраняет все алгебраические операции над тензорными полями. В частности, (11) ф*(3®Т) = ф*3®ф‘Т
для любых тензорных полей S и Т на
Замечание 1. Легко видеть, что для любых векторных полей X, Y g ай/ и любого диффеоморфизма <р: Я? —>& имеет место формула
[ф*Х, ф*У] = ф* [X, У], т. е. отображение ф*: а&—->-аЯ? (очевидно, линейное) является изоморфизмом алгебры Ли ай/ на алгебру Ли иЯХ (Для доказательства достаточно заметить, что в локальных координатах, в которых ф действует по их равенству, обе части этой формулы очевидным образом совпадают.)
Замечание 2. Обратим внимание, что, как непосредственно видно из формулы (9), перенос векторного поля возможен, вообще говоря, лишь посредством диффеоморфизма. Напротив, формула (10) имеет смысл для любого гладкого отображения ф: Я? —+ Й/. Поэтому ко-векторные поля можно переносить посредством произвольных отображений. Мы к этому вернемся в следующей лекции.
Замечание 3. Обозначив поле X через У, а поле Ф*Х через X, мы можем переписать формулу (9) в следующем виде (9 ) ^ф(р) = (^ф)/>
В этом виде она имеет смысл для любого гладкого отображения ф: ЯГ —»&. Если для полей Х£аЯ?, в каждой точке р С 33 имеет место равенство (9'), то поля X и У называются ^-связанными.
Задача 5. Докажите, что если поля Xi, Х2^,аЯ^ у-связаны соответственно с полями Fj, то поле [Aj, Х2] ^-связано с
полем [Ki, К»]. [Указание. Поля Х^хЯ? и ГРйЗ/ тогда и только тогда ф-связаны, когда для любой функции /£F;4 имеет место равенство X (f о ф) Yf о ф.]
Применим теперь изложенную общую конструкцию к частному случаю диффеоморфизмов вида фР
Пусть 3— произвольное тензорное поле типа (а, Ь) на многообразии и пусть р С ЯЗ.
280 ПРОИЗВОДНАЯ ли ТЕНЗОРНОГО поля
По определению p£Ot при |/| < б(р), и, значит, для любого t с 111 < б (р) в точке р определен тензор (cpjS)^ (где, конечно, S обозначает на самом деле ограничение тензорного поля S на Ot), а потому и тензор («pJS),,—Sp. Мы положим
(12) (£xS) =lim
t о 1
где X—векторное поле, порожденное потоком {<р(}.
Поскольку точка р была произвольной точкой многообразия, тензоры (12) составляют тензорное поле £XS типа (а, Ь) на многообразии %. Ниже мы покажем, вычислив его компоненты в произвольной карте (U, h), что поле £XS гладко.
Определение 4. Поле £XS называется производной Ли тензорного поля S по векторному полю X.
Легко видеть, что для каждого векторного поля X отображение £х является дифференцированием алгебры тензорных полей на многообразии Я, т. е. оно линейно, и для любых тензорных полей S и Т имеет место формула
(13) £X(S®T) = £XS®T + S®£xT.
Действительно, утверждение о линейности очевидно, а для доказательства формулы (13) достаточно заметить, что, согласно формуле (11),
^t(S®T)-s®T=WS-S) (Ф;т - Т)
для любого t. □
Задача 6. Докажите, что операция £х перестановочна с операцией свертки тензорных полей (по любой паре индексов).
Если поле S является гладкой функцией /, то, согласно формуле (12),
для любой точки р£Я. Пусть (U, h) = (U, х1, .. ., х‘) — такая карта многообразия что p£U, и пусть f = = f (х1, .. ., хп) на t/. Тогда, если х‘ = Xе (t), i — 1, ..., п,— параметрические уравнения интегральной кривой t t—> <pf (р)
ПРОИЗВОДНАЯ ли ТЕНЗОРНОГО ПОЛЯ
281
поля X в карте (U, h), то
11111 л
Г-»0 ‘
= lim /(X1 (0...X» (O)-f(xi(O)...х» (0)) =
f-0 f
df(x^ (0...х" (0)|
dt |/=о
=(д£) XP = W)^)’
\дх‘/р /=о \дх‘j р
где Х‘, i=l, . . п,— компоненты векторного поля X в
карте (U, h).
Этим доказано, что £xf~Xf на и> значит, ввиду произвольности карты (и, h), что
(14) £xf = Xf на Я.
Таким образом, операция £х является обобщением операции X с функций на произвольные тензорные поля.
В силу формулы (13) отсюда, в частности, следует, что
(15) £х (f$) — Xf S + f£xS
для любой функции f и любого тензорного поля S.
Пусть теперь поле S является ковекторным полем а и потому, согласно формуле (10),
(<Р/а)р = (^ф)>Ф(Р)-
Следовательно, значение ((pja)^^ ковектора <р?а на векторе А € выражается формулой
(<р;а)/,Д = аф(р)((й<р()/, А).
Поэтому, если в карте (U, h)
А=а'(—\ и а = а, dx1, \dxijp 1
а отображение гр* задается функциями ук = ч№, .. ., х>), то
(гР?а)л- А =
\ \ / р / \ / р
282
ПРОИЗВОДНАЯ ли ТЕНЗОРНОГО поля
и, в частности,
а;(ф|(Р))
Поскольку для любого ковектора £ С Т* (^)
7”
'р-
этим доказано, что
(<P;a)/, = (ay о Фе)
\ х Jp
Поэтому
/ d(pi \
(<P/a)F—aF= (а/°Фе)(Р)^^ — ai(P) (dx‘\
'р
и, значит,
(£л-а)Р = Р,(р) (dx‘")p,
где
р
/о<р/\
(«/“<₽/) (?)( — ) —a< (p)
M/>)=li-n-------------------------
/--►о 1
Пусть, в частности, a — dxk, т. е. ау = 6/. Тогда (ау- о ф,)(р) =
= 6/ для любого t и, значит,
(d^L\
Л < X г Vх1' л ' д
—“Ач',-0
(Заметим, что &[ =(—') , ибо <Po(x** .-•,*') = **•) Но
\ дх1 / р
если, как и выше, х‘ = х‘(1)—параметрические уравнения кривой /н-><р((д) в карте (U,h), то по определению
х‘ (/) = <р, (xj, .. ., xj), i = 1, . . ., n,
где xj, ..., x'J—координаты точки p, и, значит,
=Х*(р), 6=1,...,/г,
dt i = o
м dt t=o
где Хк, /г=1, как и выше,— компоненты векторного поля X в карте (U, h). Поэтому в рассматриваемом случае
ПРОИЗВОДНАЯ ли ТЕНЗОРНОГО поля
283
Этим доказано, что
£,xdxk =^d—dx‘ на U дх1
и, значит, (см. формулу (15))
£х (aft dxk) = Xak dxk + afc dx1',
t. e.
(16) £^a = ( Xa,4 aft dx1 на U,
что можно переписать и в более симметричном виде:
(Vb । ЗХП\ . ; , г
Xk^-4-[-ak—T]dx' на U. дхк 1 gxi j
В частности, мы видим — в полном соответствии со сделанным выше общим утверждением,— что ковекторное поле £х<х гладко.
Производную Ли £ХУ векторного поля Y по векторному полю X можно получить аналогичной выкладкой. Однако проще для произвольного ковекторного поля a рассмотреть на многообразии тензорное поле а® У и воспользоваться, во-первых, тем, что, согласно общей формуле (11),
£х(“®Л = £ха®у +«®£хг
и, во-вторых, тем, что операция £х перестановочна с операцией свертки тензорных полей по любой паре индексов (см. выше задачу 5). Поскольку в результате свертки поля а® У’получается, очевидно, гладкая функция
а(У): pt-+ap(Yp),
отсюда вытекает, что
(17) £Ла(П] = (£х«)(П I ®(£хП-
В произвольной карте (U, h) функция а (У) выражается, очевидно, формулой
а(У) = а,У/ на U,
где а; и У', i=l, — компоненты соответственно поля а и поля У, и, значит, в силу уже доказанных формул (14) и (16) формула (17) приобретает вид
X[a,.y'] = fXa,. + aft^V'4 a,.Z' на U,
284 ПРОИЗВОДНАЯ ли ТЕНЗОРНОГО поля
где Z', i= 1, .... п,— компоненты векторного поля £ХУ в карте (U, h).
В частности, при а; — отсюда следует, что
ХУ1 = — У1’\г1, дх1
т. е. что
// — ХУ>__— У{ = X' —_____У'.
дх1 дх' дх'
Сравнив этот результат с формулой (22) предыдущей лекции, мы немедленно обнаружим, что Z>=-[X, У]1 и, следовательно,
(18) £хУ = [Х,У].
В произвольной алгебре Ли fl отображение %], a, %€fl,
обозначается символом ad а. Пользуясь этим обозначением, мы можем формулу (18) переписать в следующем виде:
£х = ad X на а$’.
Таким образом, мы научились вычислять операцию £х на функциях, на ковекторных полях и на векторных полях. Поскольку произвольное тензорное поле S в каждой карте (U, h) выражается формулой
. ®dx<«®±T®... ®/г-, дх" дх'Ъ
мы можем, следовательно, используя формулу (11) (и ее частный случай (15)), вычислить в карте (U, h) все компоненты (fix-S)/,'.. поля £XS. Не выписывая явно соответствующую формулу, мы можем априори утверждать, что она дает выражение для компонент (£xS)i'v.'J^ в виде суммы произведений компонент полей S, X и их производных. Поэтому эти компоненты являются гладкими функциями, и, значит, поле £XS, как и утверждалось, гладко.
Задача 7. Докажите, что
, , dS1'"'^
+
kit • •• la fah iik ia fa's ii-..ia-ik dla
„kf, ... lbdX2._ ch il,^ikdXlb
^hi'-.-ia fan a hi. ... la dx* h-‘a_iia dx” ’
Лекция 18
Линейные дифференциальные формы.— Дифференциальные формы произвольной степени.— Дифференциальные формы как функционалы от векторных Полей.— Внутреннее произведение векторного поля и дифференциальной формы.— Перенос дифференциальной формы посредством гладкого отображения.
Обратимся теперь к изучению ковекторных полей на Каждое такое поле а в произвольной карте (U, х1....хп) записывается в виде
a = a,dx' на U
(см. формулу (12) лекции 14), т. е. в виде линейной формы от дифференциалов dx1, . . ., dxn локальных координат. На этом основании ковекторные поля называются обычно линейными дифференциальными формами (а функции a,, i = l, .... п,— их коэффициентами в карте (U, h)). Линейное пространство линейных дифференциальных форм обозначается также символом Q1^.
Для любой линейной дифференциальной формы a и любого векторного поля X формула
a (*)(/>) = а, (*/>)’ р£Я,
определяет функцию а(Х) на Я. Эта функция обозначается также символами <a, X>, ixa и X_ia и называется внутренним произведением формы а и поля X. В каждой кДрте (U, h) = (U, х1, .... х") функция а(Х) выражается формулой
(1) a(X) = a,X',
где Х‘—компоненты поля X, а а,-— коэффициенты формы a в карте (U, h), откуда непосредственно следует, что функция а(Х) гладка на Я. [В лекции 17 мы эту функцию уже ad hoc рассматривали при вычислении производной Ли от векторного поля.]
Таким образом, для любой дифференциальной формы a £ формула
Хн->а(Х)
определяет некоторое отображение
(2) а: а.Я —< FX,
286
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
являющееся, очевидно, морфизмомF3?-модулей, т. е. удовлетворяющее соотношению
а(/Х) = /а(Х)
для любой функции f € и любого ПОЛЯ X ё OJT
Мы будем говорить, что морфизм (2) порождается дифференциальной формой а.
Предложение 1. Для любого хаусдорфово. гладкого многообразия SC соответствие
(3) форма а => морфизм (2)
представляет собой изоморфизм линейного пространства Q1^ на линейное пространство HomF^ FX) морфизмов (2).
Доказательству этого предложения мы предпошлем несколько простых лемм о морфизмах вида (2). Многообразие 3? мы будем в этих леммах считать хаусдорфовым.
Мы будем говорить, что векторные поля X и Y совпадают вблизи точки р£3\ если они совпадают на некоторой окрестности этой точки. (Ср. в лекции 16 аналогичное определение для функций.)
Лемма 1 (свойство локальности морфизмов аЗ?—>F^). Если векторные поля X и Y совпадают вблизи точки р то для любого морфизма (2) функции а (X) и а (У) также совпадают вблизи точки р.
Доказательство. (Ср. с доказательством следствия 2 леммы 1 лекции 16.) Пусть Х = Y на окрестности U точки р, и пусть <р—такая гладкая функцияR, что <р = 0 вне U и <р = 1 на некоторой содержащейся в U окрестности W точки р (см. следствие 1 леммы 1 лекции 16). Тогда поле <р(Х— Y) равно нулю на %, т. е. является нулем линейного пространства аЗ?. Поэтому в силу линейности морфизма а
а[ф'(Х—У)] = 0
и, значит, <р а(Х—У) = 0. Поскольку <р = 1 на W, этим доказано, что а(Х — У) = 0 на W и, значит, а(Х) = а(У) на Г. □
Лемма 2. Пусть U открыто в 3?, и пусть р0^Е. Тогда для любого векторного поля X' на U существует такое векторное поле X на 3?, что X' = X вблизи точки р0.
Доказательство. (Ср. с доказательством леммы 1 лекции 16.) Согласно предложению 4 лекции 8 в 3?
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
287
найдутся такие открытые множества V и F, что p0£W, WcV, V<zU,
и для пары (V, 1Г) существует функция Урысона <р. Для произвольной точки p^SF мы положим
_ f Ч>(р)Х’р, если p£U, р \ 0, если р$и.
Ясно, что поле X: pt—>Хр гладко на % и совпадает на W с полем X'. □
Следствие 1. Для любой точки ра многообразия % и любого вектора A g существует на % такое векторное поле X, что
Хр -Д. ГО
Доказательство. Пусть (U, h) — (U, х1, ..хп) — такая карта, что p0£U, и пусть
А = а‘ (• \ dx J р0
Определим на U векторное поле X', полагая
для каждой точки p£,U. Согласно лемме 2 на % существует такое поле X, что X' — X вблизи точки р0. В частности, ХРл = Х'р9 = А. □
Следствие 2. Для любого открытого множества UcX каждый морфизм а: а.% индуцирует единственный морфизм
(4) аи: dU-^FU,
для которого имеет место коммутативная диаграмма a&-+aU
(5) «|
F&—+FU,
горизонтальные стрелки которой являются отображениями ограничения, т. е. такой, что
а(^)|у = аи(^|ц)
для любого векторного поля X на %. (Ср. с предложе* нием 1 лекции 16.)
288
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Доказательство. Пусть морфизм аи существует, и пусть X — произвольное векторное полена U. Согласно лемме 2 для любой точки p<zU на ЭР существует векторное поле X', совпадающее вблизи р с полем X. При этом, если Х' — Х на окрестности W точки р, то
аи (х) l«z — а (х) Ivr и, в частности,
(6) «у(Х)(р) = а(Х')(р).
Кроме того, в силу свойства локальности морфизма а для любых двух полей X' и X" на ЭР, совпадающих вблизи р с полем X, будет иметь место равенство
(б') а(Х')(р) = а(Х’)(р),
показывающее, что правая часть формулы (6) не зависит от выбора поля X. Это доказывает единственность морфизма ау.
Для доказательства существования морфизма аи мы для любого векторного поля X на U определим функцию ау(Х) формулой (6). Согласно формуле (6') это определение корректно. Более того, если X' = X на окрестности W точки р, то ау(Х) = а(Х') на W, откуда следует, что функция ау(Х) гладка на U, и, значит, формула аи: X—>-аи(Х) определяет некоторое отображение
аи: aU —<- Ft/.
Если теперь X^aU и f£FU, а Х^аЭ? и Л€^> причем Х = Х± и f = f1 вблизи точки р, то fX~f1XI вблизи точки р, и потому
«у (fx) (Р) = а (/ Л1) (Р) = (Л“ (X)) (Р) =
= Л (Р) • а (ЛД (р) = f (р) • аи (X) (р) = [fay (X)] (р).
Следовательно, аи (fX) = fac, (X) и, значит, аи является морфизмом модулей.
Наконец, так как каждое поле X на ЭР может служить полем X' для поля X |у (по отношению к произвольной точке p^U), то
ац(Х]у)(р) = а(Х) (р)
в каждой точке pgt/. Следовательно, диаграмма (5) коммутативна. □
Лемма 3. В любой карте (U, h) = (U, х1, ..., х") каждый морфизм (4) действует по формуле
(7) a(/(X) = a/X/,
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
289
где az, i=l, п,— некоторые гладкие на U функции,
a Xl,i=A, ..., п,— компоненты векторного поля X в карте (U, й).
Доказательство. Так как Х = Х‘-^— на U, то дх‘
a„ (X) = а„ = a,X',
\ дх* /
/ д \ где a(=a( —). □
\ dxf /
Следствие 1. Морфизм (4) порождается на U дифференциальной формой
(8) au = aidxi. □
Теперь мы уже можем доказать предложение 1.
Доказательство предложения 1. Чтобы не запутаться в отождествлениях, мы будем в этом доказательстве морфизм (2), порожденный формой а, обозначать символом а. Ясно, что отображение (3) линейно. Пусть а = 0, т. е. ар(Хр) = 0 для любого векторного поля X на Я? и любой точки р£ЯХ Согласно следствию 1 леммы 2 для любой точки /20(Е^ и каждого вектора А ^Тр<1^ существует такое поле Х^а^", что Х^^ — А. Следовательно, ал(Л) = 0, т. е. а*„ = 0 на Поэтому а = 0.
Этим доказано, что отображение (3) мономорфно.
Пусть р—произвольный морфизм аЯ --R2C Согласно следствию 1 леммы3 для любой карты (t/, = х1, ..., хп)
морфизм ру: at/—*Ft/ порождается формой (8), где az= = ’Если (t/', /i') = (t/', х1', .... хп') — другая
карта и морфизм Ру- на U' порождается формой ау> = aZ'dx'', то в силу свойства локальности морфизма Р на пересечении U П V будет иметь место равенство
a;dxl = ai’dx1'.
Это показывает, что, положив
ар = (аи)Р’ если p£U, мы корректно определим на % ковекторное поле а, обладающее тем свойством, что a|£Z = ay для любой координатной окрестности U и потому, во-первых, гладкое, а во-вторых, порождающее данный морфизм р (т. е. такое, что а==р).
Ю М. М. Постников, сем. И!
290
ФОРМЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТЕПЕНИ
Следовательно, отображение (3) эпиморфио. □
В дальнейшем мы, как правило, будем отождествлять линейные дифференциальные формы (ковекторные поля) на SC и порожденные ими морфизмы (2).
Замечание 1. Обратим внимание на то, что отображение (3) само является морфизмом -модулей, т. е.-в обозначениях, введенных при доказательстве предложения 1,— для любой формы aCQ1^ и любой функции имеет место равенство
fa = fa,
где морфизм fa определяется, как это принято в алгебре, формулой (fa)(X) = fa(X).
Особое значение имеют тензорные поля со, сопоставляющие каждой точке р С % кососимметрический тензор ap, т. е. (см. лекцию II.8) тензор типа (г, 0), компоненты которого меняют знак при любой транспозиции индексов. (Число г называется при этом степенью поля со.) Для любых полей 0 и со кососимметрических тензоров формула
(0 /\®)р = Ър /\<яр,
где 0J, A Wjp—внешнее произведение тензоров 0^ и со^ (см. лекцию II.9) определяет поле 0 Д со кососимметрических тензоров, степень которого равна сумме степеней полей 0 и со. Так как компоненты внешнего произведения двух тензоров алгебраически выражаются через компоненты сомножителей (см. формулу (7) лекции 11.96), то для гладких полей 0 и со поле 0 А со гладко.
Все алгебраические свойства внешнего умножения кососимметрических тензоров (например, ассоциативность и косокоммутативность; см. лекцию 11.96) сохраняются, конечно, и для их полей. Таким образом, во внешнем произведении любого числа полей кососимметрических тензоров скобки можно не писать, и для любых полей 0 и со кососимметрических тензоров имеет место формула
со д0 = (—1)'«0 д со,
где г—степень поля со, a s—степень поля 0.
При г = 0 поле со является функцией f, а внешнее произведение со А 0—обычным произведением fQ функции f на поле 0.
Известные выражения кососимметрических тензоров типа’(г, 0) через внешние произведения ковекторов сопря-
ФОРМЫ клк ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 291
жсшюго базиса (см. формулы (3) и (5) лекции II.8) показывают, что каждое поле кососимметрических тензоров на произвольной координатной окрестности U выражается формулой
(9) со = — • • /\dxlr =
= 2 2 «г,... tndx1' Д ... /\dxlr,
К ii < ... < in
где — компоненты поля co в карте (U, x1, ..., x") (являющиеся гладкими функциями на U). На этом основании поля кососимметрических тензоров называются также дифференциальными формами на многообразии %.
При г = 1 мы получаем рассмотренные выше линейные дифференциальные формы, а при г = 0—гладкие функции на X.
Все дифференциальные формы степени г 0 образуют линейное подпространство й^ пространства Тг^ всех тензорных полей типа (г, 0). Таким образом, = и Й1^’ = Т15" (тогда как при г > 1 включение й^сТ^ заведомо строгое). Символ й1^1 выше мы уже использовали.
Заметим, что .
Й^ = 0 для любого г > п.
Интерпретируя тензоры типа (г, 0) как полилинейные функционалы от векторов, мы можем любой дифференциальной форме со степени г и любым векторным полям X,, ..., Хг сопоставить функцию со (%!, ..., Хг) на %, значение которой в точке задается формулой
<о(Хь ..., Хг)(р) = юр((Х1)/,--------(Х,)Д
Если в карте (U, х1, .... х")
со = 2 ••• 2 ...trdxl‘ . ./\dx‘r
Ц < ... < ir < п
II
то
Х^ ... X1'
«(Хх,.... хг)=2 2®н .........
1 < ‘1 < ... < ir <'» vH Y‘r
г г
на U
ю*
Й2 Формы как Функционалы от Векторных полей
(см. формулу (13) лекции 11.96). Следовательно, функция й)(Хг, .... Хг) гладка.
Полученное отображение
(10) со: а^х... ха#—F.irjXj, ..., Х^ь-хо^.X,),
L ,—1, I
г раз
очевидно, РЖ-полилинейно, т. е. по каждому аргументу оно является морфизмом Р#-модулей. Кроме того, оно кососимметрично, т. е. при любой транспозиции аргументов меняет знак.
Так же как и при г=1 (см. предложение 1 и замечание 1), если многообразие Ж хаусдорфово, то при любом г 1 соответствие
(11) форма степени г =$> отображение (10)
задает изоморфное отображение РЖ-модуля О.ГЖ на РЖ-модуль всех кососимметрических РЖ-полилинейных отображений (10). Доказательство практически дословно повторяет доказательство предложения 1, и мы предоставим его читателю (обязательно подробно его проведите!). В дальнейшем мы, как правило, будем отождествлять дифференциальные формы с соответствующими отображениями (10).
Замечание 2. Аналогичным образом произвольные тензорные поля на Ж типа (г, 0), г > 0, отождествляются с (не обязательно, кососимметричными) Р#-полилинейными отображениями
йЖ х ... X йЖ -> РЖ,
а тензорные поля типа (г, s), r^O, s^0,— с Р#-поли-линейными отображениями вида
(12) S: аЖ х ... X йЖх^Жх ... х^Ж — РЖ.
I___________I I-------------1
г раз s раз
В частности,
лЖ= HomFi^ (й1#, РЖ)
(полю X отвечает Р#-линейное отображениеа — X_ia). Поэтому при s= 1 каждое поле (12) можно интерпретировать как Р#-полилинейное отображение
S: аЖх... х аЖ- >аЖ, I______________I
г раз
ВНУТРЕННЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 293
сопоставляющее векторным полям Xlt Хг такое векторное поле S(Xlf Хг), что
S(XU .... Xr)_ia = S(X1, Xr, а)
для любой дифференциальной формы
Задача I. Дайте аналогичную интерпретацию отображения (12) при S > I.
В силу отождествления (11) каждое векторное поле X позволяет сопоставить произвольной форме со степени г > О форму ixco = X_jco степени г—1, значение которой на векторных полях Xlt .... Хг_± задается формулой
(Х_к»)(ХЛ....... Xr_1) = co(X, X,....Xr_J.
Форма X _i w называется внутренним произведением поля X и формы со. [При r= 1 мы ее уже рассматривали в начале этой лекции.]
При г —0 (т. е. в случае когда форма со является функцией) мы по определению будем считать, что X __ico=O для любого поля X.
Заметим теперь, что в интерпретации дифференциальных форм как отображений (10) внешнее произведение 0 Л со формы 0 степени г на форму со степени s задается (|юрмулой
(13)................(0Лсо)(Л’1......Xr+j) =
= 2 (^0(1) > ••> (г)) (^О (г + 1)> •••> ^O(r+s))>
а
где суммирование распространено на все перетасовки а типа (г, s) (См. формулу (14) лекции 11.96).
Отсюда следует, что для внутреннего произведения X _j (О Л со) векторного поля X на форму О Л со имеет место формула
(14) X_j(0 Л со) = (Х_10) Л со -1 (—1)гО Л (X—Iсо), где г—степень формы 0. Действительно, согласно формуле (13) для любых полей Xlt ..., Xr+s_t
X _J (0 Л со) (Хи .... Xr+,_1)=(0 Л со) (X, X,.Xr+s_^
= 2 еа0(У<,(1), •••, (г)) СО (Уп (г+1), •••, Ya ir-+s))>
а
((.Y_jG)Aco)(X1.....Xr+i_i) =
= 2ео0(^1> ^П(2), ^О(г))б) (Ya (r+ !), ..., Vo(r+S)),
a
294
ВНУТРЕННЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
где Yt = X, Y2 = Xlt .... Гг).4 = Xr+s_t и где в первой сумме а пробегает все перетасовки типа (г, s), а во второй—только те, для которых cr(l)= 1. Поскольку для каждой перетасовки а типа (г, s) либо ст(1) = 1, либо а (г 4- 1)=1, отсюда следует, что
(15) (X _j (0 Л со)-(X _j 0) л «О ^^-0 =
= 2ео®(Га(1)> •••» Гп (г)) ® (Гц Га(г+2)» •••> ^<r(r+s)), а
где суммирование распространено на все перетасовки а, для которых ст(г+ 1)= 1.
Но каждая перетасовка а типа (г, s) с о(г4-1)=1 определяет по формуле
| ст (а) — 1, если а — 1, .... г,
Т^а) —\ст(а-|-1)—1, если а = г -I- 1, ..., г -] s—1, перетасовку т типа (г, s—1), для которой
Га (.) — Хх d), .••, Га(л) — Хх (Г),
Га (г + 2) — Хх <г+ j), ..., Га (г +s) = Хх (r + s_ j)
И
еа = (— 1)г&р
Поэтому правая часть формулы (15) равна
(-- 1)Г 2 (-^1(1), • • » ХТ(Г)) ® (^> (г + 1)> • • • > ^Х (r+s~l)) =
= (-ir(0A(^Ao))(^-----------X^'-J,
что и доказывает формулу (14). □
Линейный оператор D, переводящий формы в формы, и для любых форм 0 и со удовлетворяющий соотношению
D (0 Л ы) = D8 Л ю + (— 1)г 6 Л Da,
где г—степень формы 0, называется антидифференцированием. В этой терминологии доказанное утверждение означает, что для любого векторного поля X оператор ix = Х-J внутреннего умножения на X является антидифференцированием.
Пусть f: SC—>-Й/ — произвольное гладкое отображение, а со — произвольная дифференциальная форма степени на многообразии й/. Каждой точке мы отнесем кососимметрический тензор (/*(0);, пространства lpSC, принимающий на векторах Ах, ..., АГ^ТР^" значение
(f*a)p(Alt .... Дг) = со1/0/,Д1, (df)pAr),
ПЕРЕНОС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 295
где, как всегда, q = f (р) и
(df)p: Тр^->Тр&
— дифференциал отображения f в точке р. Если
(U, h) = (U, х1, .... х") и (V, k) = (V, у1, ..., ут)
— такие карты многообразий & и Й/, что fUcV, и если у/ = Щх', .... X"), / = 1, •••. tn,
— функции, выражающие в картах (U, h) и (V, k) отображение f, то
и потому
_
\dxir/p ‘,\\ду1/ц’ ’ \dylr)ilJ
для любых индексов ij, ..., ir = 1, . .., п. Но по определению
.....
где —коэффициенты формы ® в карте (V, k). Вводя
по аналогии функции
мы получим, следовательно, что для любых индексоа ..., ir= 1, . . ., и на окрестности U имеет место равенство
(16) =
показывающее, в частности, что функции гладки
на U.
Поэтому формула
(17) f*co= S---S (f^h-irdx^ Л ... Л dxlr 1<1,<...<1г<п
определяет на U дифференциальную форму /*®.
Сравнение определений показывает теперь, что в каждой точке р £U эта форма принимает значение (f*co)^.
296
ПЕРЕНОС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
Этим доказано, что соответствие
определяет на SC дифференциальную форму [*&. В каждой карте (U, х1, ..., х") форма /*® выражается формулой (17) (т. е., иначе говоря, коэффициентами этой формы в карте (U, х1, .... хп) являются функции (16)).
Определение 1. О форме /*® говорят, что она получена из формы ® переносом посредством гладкого отображения f.
Ясно, что отображение
f*: йг2/-> Й'Ж, ®»->f®,
линейно и перестановочно с внешним умножением:
/*(ел®) = /*ел/*®
для любых форм 0 и ® на 3/.
Кроме того, если f: SC —> 2/ и g\ & —► 2, то (g°f)* = f*°g*,
а если f = id: SC —> SC—тождественное отображение, то /*: йг^ —» йг^—также тождественное отображение.
При г = 0, когда форма ® является гладкой функцией g: & —»-R, мы имеем
f*g = g°f-
Для случая, когда f является диффеоморфизмом <р, конструкция формы /*® является частным случаем общей конструкции cp*S из лекции 15. (Ср. замечание 1 лекции 15.)
Для произвольного подмногообразия & многообразия SC и отвечающего ему вложения i: 2У —► S3 отображение
I*: ЙСГ-^Й'2/
является не чем иным, как отображением ограничения, переводящим форму ® на SC в форму ®|» на 2/, для которой
(«^(Xi, .... ЛГ)=®/,(Л1, ..., Дг)
в любой точке р € 2/ и для любых векторов 4lt ..., Ар С Тр& (где, естественно, пространство Тр& рассматривается как подпространство пространства Тр<%").
Замечание 3. Конструкция формы немедленно переносится на произвольные тензорные поля типа (г, 0), г>0. Для каждого такого поля S на 2/ поле f*S на 3‘
ПЕРЕНОС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 297
задается формулой
(^(А.--------Ar) = S„((df)pA1----(df)pAr),
где Q = f(p) и Ль ..., А^Тр-Я", и компоненты поля f*S выражаются через компоненты S(l„.ir ноля S по формуле
Подчеркнем, что на поля типа (г, s) с. s > 0 эта конструкция не обобщается (если, конечно, [ не является Д1 идиоморфизмом).
Лекция 19
Внешний дифференциал дифференциальной формы.
— Производная Лн дифференциальной формы.
Как мы знаем из лекции 12, каждая гладкая функция f на многообразии Я" определяет в любой точке ковектор (df)p, действующий по формуле
(df)pA = Af, Л^Т/Г, и, значит, линейную дифференциальную форму df: p^(df)p, называемую дифференциалом функции f. В каждой карте (U, х1, ..., х") эта форма выражается формулой
df = — dx1 1 дх‘
и^потому является гладкой формой. Как морфизм F^-модулей аЯ —► F^ форма df действует по формуле
(1) df(X) = Xf, Х^а^.
Ясно, что отображение
d: Й°^Й1^, f*-*df, линейно и обладает тем свойством, что d(fg)=dfg + fdg для любых’двух функций fug.
Оказывается, что отображение d естественным образом распространяется на дифференциальные формы любой степени.
Предложение L Для любого гладкого многообразия & и любого г^О существует единственное отображение
d: Й'-^'-ч-Й^1^, обладающее следующими свойствами:
1° Отображение d линейно.
2° Отображение d является антидифференцированием, т. е. для любых двух дифференциальных форм 0 и со имеет место равенство
d (0 А со) = dd Д со + (— 1)г 0 А с/<о, где г—степень формы 0.
ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
299
3° Для любого гладкого отображения f: и
любой формы о на?/ имеет место равенство
df*a = f*da.
4° Для каждой функции f £ форма df является се дифференциалом (1).
5° Если со = df, где f g Q0^”, то dco = O.
Доказательство. Как всегда в аналогичных ситуациях, докажем сначала единственность.
Пусть (U, h) = (U, х1, ..., х")—произвольная карта многообразия Я, и пусть
®|ц= 2 •••2 л • • • A dx‘r.
!<£,<... <ГГ<П
Обозначив форму
d(co|£7) = c/co|t;
символом dcou, мы в силу свойств Г—5° немедленно получим, что
(2) d©y = ^ ..^2 dco£1...£rdxfi А • • -A dxlr =
= И • • • :-£c/xf Д dx!i Д ... A dxlr.
Следовательно, форма dcof/=d®|y, а значит,—в силу произвольности координатной окрестности U — и форма с/со однозначно определяются формой со. Это означает, что отображение d единственно.
Чтобы доказать его существование, мы на каждой координатной окрестности U определим форму dcoy посредством формулы (2). Если (U, х1, ..., х") и ((/', х1', ..., хп')—две карты многообразия Я и если
СО = ,2---2 ^i,...trdx^ А • • • A dxir на U
I<Ci<...<Cr<n н
со = 2 ... 2 £' dx‘l А • • • A dx‘r на U,
1"г
то дх1 дх‘г ...............
300
ВНЕШНИЙ дифференциал
и, значит,
= — дгх‘к дх‘Г со ,_l
дх1 ' дх‘дх‘к " ’ dxlr<i>li -lr
, aft дх‘гдшд...1'г
1 dx11 ' ' ' дх‘г дх‘
С другой стороны, для любой функции f
(3) —^г—. dx‘ Д dxi —
v ' dx‘dxi
~ A dxJ + % dx‘ Д dxJ =
i<i i<i
= £ dx‘ A dx/ + L dx/ A did =
i<l i<l
A«-0,
\dx‘ dxJ dx> dx‘} 1'
ибо dx1 A dx1 = — dxi A dx1, а вторые частные производные не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому, в частности, для любого k= 1, ..., г
Д2у k
------— dx‘ A dx1* = 0,
{’ dx1 A did1 A • • •
... A dxk A • A didr = o.
dx‘ A dx11 A A dx1' = dxi
dx1 dx к и, значит,
dx1 a2/* dxr
dxidx1* dxir r
Следовательно, на U n U
= 1|/r' dld} (ridx‘^ A • • • A fedx'^
\ dx1 J \djc‘l , \dxlr J
= ...er /\ dx‘i /\.../\ dxlr =
= ‘y^-dx1’ a dx'i a • • A dxfr, dx1
ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
301
и, значит,
S • • • S ^‘/''''dx' A dx11 Д ... Д dx‘r = |5;<...<;г<п дх!
ЙО)., ,
= Е• • • Е -~£rd*’лdxil
l<ZI<...<Zr<n
на U П U', т. е.
dd)y = d®y, на U(}U'.
Таким образом, формы согласованы на пересечениях и, значит, составляют дифференциальную форму (/о) степени г 4- 1 на многообразии 3? обладающую тем свойством, что
dw |у —
для любой координатной окрестности U.
Тем самым отображение
d: Qr^ —Q'+1Q
нами построено. Ясно, что оно обладает свойствами 1° и 4°' Кроме того, согласно формуле (3), для любой функции
в каждой карте (U, х1, ..., х") имеет место равенство
d (df) = d(—, dxA = —dx1 Д dxJ' = 0, V " \дх/ / дх‘dx?
что доказывает и свойство 5°.
Проверку свойства 2° достаточно, конечно, произвести в произвольной ' карте (U, х1, .... х"). Кроме того, в силу линейности оператора d это свойство достаточно проверить лишь для «одночленных» форм вида
д — f dx? и и =gdx₽, где положено
dx? = dx? A • • • ?dx!r и dxfi = dx/> Д .. . Д dx'x.
Но для таких форм
d(9 /\<d) = d(fg A dx? Д dxP)=d(fg) /\dx? /\dxe = = (df-g + f-dg) !\dx? /\dx? =
=df Д dx“ Д gdx?? (—l)r (f /\ dx?) /\ (dg /\ dx?)^-
= dQ A ® + (— l)r9 A dw, что и доказывает свойство 2°.
302
ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Аналогично, свойство 3° достаточно проверить лишь на координатных окрестностях (U, й) и (V, k), удовлетворяющих соотношению fUcV. Но в этом случае, если
®= 2 --2 ®h...lrdyh/\.../\dy'r на V,
1 </, <...<1г<п г
то (см. формулы (14) и (15) лекции 16)
d(f*w) = 2 ••• 2 d(f*®k...z dx1'* А ... A dx's
<~<п г
где
. (<%.../r°f)
дх1г
— v dfl> дх?' S - 1
дх‘ dx s дх‘г
dx1' dxir \ ' / dxi
и, значит (см. выше аналогичные вычисления при построении оператора d), d(f©)
dxlr \ / &xl
/\dx1' A • • • Adx''-.
С другой стороны,
dw = X---S —
1 </i <• . .<ir <т У
г (dw) =
= S---S
• • A f*dyJ' =
1 < i, <... < lr < n dx 1 dxlr \ dy1 j ^x
f\ dx1' /\ ... A dx‘r.
Следовательно, d (f*w) — f* (dw). □
ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
303
Определение 1. Форма da называется внешним дифференциалом формы (О.
Чтобы коэффициенты (<&>)/,.. ./г+1 формы d<a в карте (U, h) = (U, х1......х") выразить через коэффициенты
о)/,...; формы <о, мы в первую очередь заметим, что в сумме (2) можно ограничиться суммированием лишь по различным индексам i, 1и ,.., ir, так как если индекс i совпадает с одним из индексов ilt ir (которые по условию все различны), то соответствующее слагаемое суммы (2) равно нулю. В случае же, когда все индексы I, t\, ..., ir различны, мы, расположив их в возрастающем порядке, обозначим через /\, ..., /г+1. Таким образом, если i = ja, где а — 1, ..., г -|-1, то
*1 =/1» Ja = /a + i' •••> lr = lr+l
(напомним, что по условию < ... < tr). При этом dx‘ Д dx1' А • • A dxir = (— l)a-1 dxl'/\.../\dxl<*/\.../\ dx^1 и
Oxf дх!а
где знак указывает, что соответствующий индекс должен быть опущен. Поскольку для любой последовательности /к •••. /г+1 возрастающих индексов индекс I может оказаться любым из них, отсюда следует, что
——-—^-dx1 A dx1' А • • • A dx?r = дх1
„ /^7 д<0/, Г i \
L---E £(-1)а+1-^р^^*л...
l</i<...</r + 1<Ae=l дх“ '
... Л^/л+1.
т. е. что г+1
(4) (^)л.../г + 1= £(-1)а+1
а= 1
Например, для линейной формы a = a,dx' да / да,-
(da)7 = 3T“T7’ 1</-J дх* дх*
304 ВНЕШНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Предложение 2. Рассматриваемая как ^‘Полилинейный функционал от векторных полей форма da задается формулой
(5) (d<o)(Xx, ...» Хг+1) =
= 2 (-1)а+1ад^....Л,+1)+ а- 1
+ 2 2 {-\)а^{[ха,хь],хх,...,ха,...,хь,...,хг^}, а=Ib=а+ I
где значок 74 указывает, что соответствующее поле должно быть опущено.
Доказательство. Пусть 9(ХП Хг+1)—пра-
вая часть формулы (5). Ясно, что
0(Хн Х[, Х2, .... Хг+1) =
=0(Х1, х„ .... хг+1) + 9(х;, xt, хг+1)
для любых полей Хп Х'х, Хг, Хг+х. Кроме того, для любой функции f ё
d(fxt, х...... хг+1)=/х1М(Х2, .... хг+1) +
+ 2(-1)а+1хасо(/хъ .... %а, .... хг+1) + а=2
+ 2(-1)6+1®([/*1. *2..... А. •••,*,+!) +
Ь=2
+ а2 bZt И)а,МК хь], fxx, ...
.... Ха, .... Хь, .... хг+1)=/х1й(Х... хг+1) +
+ 2(-i)a+1xa(M(x1, ..., ка, .... хг+1)) + а = 2
+ 2(-1)6+1[/«([^. X......кь.....Хг+1)-
-Xbf ^X,......%ь, ..., Хг+1)] +
+ 2 2(-1)а,6М[*а> *6], Хр ...
а=2 b=a+1
•••> .....Хг(1) =
= /Х1о)(Х2, ..., Xr + I) +
+ 2(-i)a+1*Z<»(*i. .... К *r+1) + а= I
внешний дифференциал
305
+ 2(-i)e+7Xa«(X1, •••. *а< •••• Хг+1) + а-2
+ 2(-1)6+7®([Х1, xj, х2.....хь......хг+1)~
6 = 2
- S(-irixj «(Xl.........Х6, .... хг+1) +
6 = 2
I- 2 2 (-1)а+6М([ха1 х6], х...х;,.... хь,.... хг+1)
а=2Ъ=аь1
(здесь мы воспользовались соотношением [/Хп Хь] — /[Хц Хь]— Xbf-X\ см. формулу (21) лекции 14) и, значит,
(Ц/х,, х2.....xr+1)-/e(Xlt х2......хг+1)=
= 2(-De+1xj «(X...........ха......xr+1)_
а=2
— 2 (—Х^ соСХ...........Хь......хг+1) = о.
Ь-2
Этим доказано, что правая часть формулы (b)FSZ-линейна но Хх.
Аналогично доказывается (обязательно проведите соответствующие вычисления!), что она F^-линейна и по остальным полям Х2, .... Хг+Г (Иначе это можно доказать, что, впрочем, лишь чуть-чуть легче, показав, что 0(Хп ..., Xr+i) кососимметрично по Хп .... Хг+Р)
Поэтому формулу (5) достаточно — в каждой карте (U, х1, .... х‘)—проверить лишь для базисных векторных полей
у д у д
л 1 - Т/Г ’ • ’ лг+1— ; •
dx!l дх1^1
Но вычислив обе части формулы (5) на этих полях, мы слева получим коэффициент (cfo)/,.../ формы da, а справа—сумму
( Г 0 д 1 п
I вторая сумма исчезает, поскольку —- , —• — 0 для \ L ^х' ,,х J
любых i и /’У В силу формулы (4) это доказывает предложение 3. □
306 производная ли Дифференциальной формы
Замечание 1. Можно пытаться доказать предложение 2, проверив, что форма da, определенная формулой (5), обладает свойствами Г—5° из предложения 1. Свойство 1° (линейность отображения d) и свойство 3° (перестановочность с отображением переноса (*) очевидны. При г = 0 (и « = /) формула (5) переходит в формулу (1), что доказывает свойство 4°. При г=1 формула (5) приобретает вид
(6) da(X, Y) = Xa(Y) — Ya(X)~a([X, У]).
Поэтому, если a = df (и, значит, a(Z)=Zf для любого поля Z), то
da(X, Y) = XYf—YXf—[X, Y]f = O,
и свойство 5° доказано. Однако проверка оставшегося свойства 2° (осуществляемая с помощью формулы (11) лекции 17) требует хотя и несложных, ио довольно громоздких вычислений с двойными суммами.
Задача 1. Проведите эти вычисления (и тем самым заново докажите предложение 3).
Оказывается, что для дифференциальных форм операция взятия производной Ли £х выражается через внутренние произведения на поле X и оператор d.
Предложение 3. Для любого векторного поля X и любой дифференциальной формы а имеет место равенство
(7) £лсо = Х _!£&) + d(X_jio).
Доказательство. Если форма ® имеет степень г = 0, т. е. является функцией f, то, как мы знаем (формула (14) лекции 17), левая часть формулы (7) равна Xf. В правой же части в том случае остается лишь первый член X —idf = df (X). Поскольку df(X) = Xf, формула (7) при г = 0 тем самым доказана.
Далее, из свойства 3° оператора d немедленно следует, что оператор d перестановочен с оператором £х, т. е. (8) d£xco = £xoto
для любой формы со. В частности,
£Xdf^d£xf = d(Xf)
для любой функции [.
ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 307
С другой стороны, если со = df, то
X _i dco + d (X _J со) = d (X _j df) - d (Xf).
Следовательно, формула (7) справедлива и при <a = df.
Поскольку внешнее произведение форм получается альтернированием их тензорного произведения, аналог формулы (13) лекции 17 имеет место и для внешнего умножения дифференциальных форм, т. е.
(9) (®АМ) = А и *9 0/\£уСо
для любых форм 0 и со. Согласно определению 1 лекции 16 вто означает, что оператор £у является дифференцированием алгебры форм на Ж.
Напротив, мы знаем, что операторы d и X _i являются антидифференцированиями. Но легко видеть, что для любых двух антидифференцирований и Ь2, изменяющих степени на ±1 (или, более общо, на любое нечетное число) оператор D1D2 -\ D2Dl является дифференцированием. (Действительно,
(DtD2 + D2DX) (0А<*) = DX (D29Aco + (-1)' 9aD2co) +
4-D, (Dj9Aco + (—l)r9 д D1co) = D1D20 A « +
+ (—1/+1D29 A Dxco-I-(—1/Dt9 A D2co + (—l)r+r 9 A
A DxD2co + D2Dx9 A “ + (— l)r±1 DiQ A Dsco 4-
+ (—1/D29 A Dxco + (-l)r+r 6 А ВДсо =
= (DXD. + D2Dx) 9 A m + 0 A (7?xD2 + D2Dx) co
для любых форм 0 и со.) В частности, дифференцированием является оператор
(10) cot—»Х ।dco d (X ico),
фигурирующий в правой части соотношения (7).
Поскольку на любой координатной окрестности I/ алгебра форм порождается функциями и формами вида dx‘, па которых, как мы уже видели, операторы £х и (10) совпадают, и поскольку из того, что два дифференцирования некоторой алгебры одинаково действуют на образующих, вытекает, очевидно, что эти дифференцирования совпадают всюду, этим доказано, что формула (7) имеет место на каждой координатной окрестности U. Поэтому опа справедлива и на всем многообразии □
В операторной форме соотношение (7) имеет вид £х = + doix.
308 ПРОИЗВОДНАЯ ли ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
Задача 2. Докажите, что
[£х> *г] = Чх. п
для любых векторных полей X, Y. [Указание. Обе части этой формулы являются антидифференцированиями, уменьшающими степень на —1. Кроме того, они равны нулю на функциях и одинаково действуют на всех формах вида df.]
Задача 3. Докажите, что
[£х> £г] = £[х, У]
на любых тензорных полях. [Указание. Обе части этой формулы являются дифференцированиями алгебры тензорных полей, одинаково действующими на функциях, векторных полях и линейных дифференциальных формах.]
Лекция 20
Комплекс де Рама и группы когомологий гладкого многообразия,—Группа п0^.— Лемма Пуанкаре.— Группа Ях§2.— Группа //'S1.—Вычисление группы //1S1 с помощью интегралов. — Группа №§2. — Группы H1S'1 при reSs2. —Группы т < п. — Группы Н”§”.
Равенство
(1) dw = 9
при заданной форме 9 и неизвестной форме w записывается в каждой карте в виде некоторой системы дифференциальных уравнений на коэффициенты формы о. Имея в виду, что такого рода дифференциальные уравнения повсеместно встречаются в математике и физике, мы рассмотрим в этой и следующих лекциях условия, обеспечивающие существование их решений.
достаточно продля форм вида по определению
Предложение 1. Для любой дифференциальной формыы имеет место равенство dda = 0.
Доказательство. Это равенство верить в произвольной карте и лишь = f dxa, где = dx‘i A ... Д dx1'. Но
d (f dxa) = df Д dxa и согласно свойствам 2° и 5° оператора d (см. предложение 1 лекции 19)
dd (f dx?) = d (df A dxa) = ddf A dx“—df Д ddxa = 0. □
Предложение 1 означает, что равенство t/9 = 0 является необходимым условием разрешимости уравнения (1). Выяснение условий, при которых оно достаточно, требует общего исследования взаимоотношений между формами вида da и формами 9, для которых d9 = 0.
Определение 1. Последовательность
</« d‘ dm~l dm _
С’: С’-ьС1-* .. . —^С'»->С'Я+1— .. .
групп (или, в частности, линейных пространств) и их гомоморфизмов называется коцепным комплексом (проис-
310 КОМПЛЕКС ДЕ РАМА И ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ хождение этого термина станет ясно в лекции 29), если (2) dmod'”~1 = 0 для любого т^1.
Обычно вместо dm пишут просто d.
Ядро Kerdm гомоморфизма dm обозначается символом ZmC, а его элементы называются коциклами степени т. Образ Imd'”-1 гомоморфизма d"*-1 обозначается символом ВтС', а его элементы называются кограницами степени т. (При т = 0 условно считается, что °ё = 0.) Так как, согласно условию (2), ВтС‘aZmC', то определена факторгруппа
(3) НтС‘ —ZmC'iBmC'.
Эта факторгруппа называется т-й группой когомологий комплекса С', а ее элементы—классами когомологий. Коциклы, принадлежащие одному классу когомологий, т. е. такие, что их разность является кограницей, называются когомологичными.
Согласно предложению 1 линейные пространства и внешние дифференциалы d: £2“^* —-► Qm+1^ составляют коцепной комплекс
Этот комплекс называется комплексом де Рама дифференциальных форм гладкого многообразия №. Его группы когомологий обозначаются символами Нт^ и называются группами когомологий де Рама многообразия Ж. (Заметим, что на самом деле они являются линейными пространствами, но термин «линейное пространство когомологий» не употребляется.)
Кограницы комплекса де Рама, т. е. формы вида d<o, называются точными дифференциалами или, короче, — точными формами.
Коциклы комплекса де Рама, т. е. формы со, для которых dco = O, называются замкнутыми формами. Класс когомологий замкнутой формы со мы будем обозначать символом [со].
Таким образом, необходимым условием разрешимости уравнения (1) является замкнутость формы 0, а достаточным—ее точность. В частности, уравнение (1) тогда и только тогда разрешимо для любой замкнутой формы О степени т, когда Нт^ = 0. [Эти утверждения являются, конечно, тавтологиями. Они приобретут содержательность, когда мы научимся вычислять группу Нт& геометрически.]
Комплекс, Де г>ама и Группы когомологий 311
Пусть С' = {Ст, dm} и D’ — {D'n, 6'"}—два коцепных комплекса.
Определение 2. Коцепным отображением гр': С—> D’
комплекса С’ в комплекс D' называется такая последовательность отображений
<р“: О'»т>0,
что
<p“+1od'n = 6mo(pm
для любого m О, т. е. такая, что диаграмма
С« -> С1
<рп j
6»
£>« —> D1
dm
Ст —> Ст+1 -
I j <р'я I- •
6»»
Dm __+ Dm + 1_
коммутативна. Обычно вместо <р* и ср™ пишут просто <р.
Ясно, что любое коцепное отображение <р: С’—> D’ каждую группу Z"C* переводит в группу ZmD’, а каждую группу ВтС' — в группу BmD‘. Поэтому для любого т^О оно индуцирует некоторое отображение
<р*: НтС —> HmD'.
При этом для любых коцепных отображений <р: С*—>
>D* и ф: D'—►£’ имеет место равенство
(фо<р)* = г|)*°<р*.
Кроме того, если <р = id, то <р* = id. [Эти свойства выражают так называемую . функториальность соответствия <pi—»<р*. Они у нас уже неоднократно встречались.]
Свойство 3° оператора d из предложения 1 лекции 19 означает, что для любого гладкого отображения ft % —► 3/ гомоморфизмы f*t составляют коцепное отображение . ....
f:
комплексов де Рама. Индуцированные этим коцепным отображением гомоморфизмы групп когомологий обозначаются тем же символом /* (к недоразумениям это не приводит) и называются гомоморфизмами, индуцированными отображением f. , .
КОМПЛЕКС ДЕ РАМА И ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ
.412
Таким образом, по определению /* [®] = [/*«]
для любой замкнутой формы w степени т на многообразии У.
Ясно, что если f~ id: SC —*SC—тождественное отображение, то f*: HmSC —> Нт3? также является тождественным отображением, и для любых гладких отображении f: SC—>2/ и g: й/ —>2 имеет место равенство
(go/)* = /*og*: HmSC —> Нт%.
[Соответствие /»—>/* обладает свойством функториаль-ности.]
В частном случае, когда SC является подмногообразием многообразия Й/, a / представляет собой вложение SC —>2/, класс когомологий /* [<о] обозначается символом [со]| % и называется ограничением класса [со] на ЗС. Таким образом, по определению
[®] \sc =
для любого класса когомологий [со] С Нт1У.
Размерность
hmSC = dim HmSC
группы Ит3^ (являющейся — напомним — линейным пространством) называется m-м числом Бетти многообразия SC. (В литературе оно часто обозначается также символом Ьт3?.)
Конечно, если dim^’ = n, то
hm 3^ = 0 при т > п
(поскольку Qm3? — 0 при т> п). Таким образом, интересны лишь числа Бетти
hn3f, ..., h"SC, n = dim JT
Заметим, что равенство hmSC — 0 необходимо и достаточно, чтобы на многообразии SC для любой замкнутой формы 0 степени т было разрешимо уравнение (1).
Рассмотрим сначала случай /и = 0. (Хотя уравнение (1) имеет смысл только при т > 0, но все же случай т — 0 заслуживает определенного внимания.)
Пусть л03? — множество всех компонент связности гладкого многообразия 3?.
ГРУППА Н’Я
313
Предложение 2. Линеал Н°Я естественно изоморфен линеалу всевозможных отображений п.0Я —► R.
Поэтому если множество щЯ конечно, то нулевое число Бетти Н°Я многообразия Я равно числу #л0Я его компонент связности:
№Я = #л0 Я.
В частности, Н°Я > 0 и №Я = 1 тогда и только тогда, когда многообразие Я связно.
Докажем сначала одну геометрическую лемму.
Пусть 11 = {£/}— произвольное открытое покрытие многообразия Я. Мы будем говорить, что элементы U и V этого покрытия сцеплены, если в 11 существует такая цепочка элементов Uo, Ult ..., Um, что U^-LI, Um = V и для каждого t= 1, .. ., т множества !/,_! и 1/,- пересекаются:
Лемма 1. Каждая компонента связности С многообразия Я содержится в объединении О подсемейства покрытия U, состоящего из всех его элементов, сцепленных с некоторым одним (и, следовательно, сцепленных друг с другом). Если все элементы покрытия U связны, то С = 0.
Доказательство. Пусть р0 — произвольная точка компоненты С, a Uo—такой элемент покрытия U, что />„ Пусть далее О—объединение всех элементов покрытия U, сцепленных с Uo. Ясно, что О открыто (и содержит точку /?„). Поэтому для доказательства включения С с: О достаточно доказать, что О одновременно и замкнуто.
Пусть точка р принадлежит замыканию О множества О, и пусть U — такой элемент покрытия 11, что р£И. Тогда ^ПО=И=0 и, значит, существует такой элемент V покрытия U, входящий в О, что U[)V^0. Поэтому элемент U сцеплен с Ua и, следовательно, Ua.0. Таким образом, p^UczO и, значит, О замкнуто.
Если все элементы покрытия U связны, то, поскольку объединение связных пересекающихся множеств связно, множество О связно. Поэтому С —О. □
Доказательство предложения 2. По определению
Н0Я=К&{й: ОРЯ-+&Я},
314
ЛЕММА ПУАНКАРЕ
т. е.
№^={/eF^; df = O}.
Но условие df = Q означает, что в любой карте (U, h) = (U, х1, .... х") имеют место равенства Jp- = O, ••• df п
..., = О, и, следовательно, если координатная окрест-
ность U связна, то / = const на U. При этом, если f — cu на U и f — су на V, то при Ur\V^0 обязательно Си = Су
Имея это в виду, рассмотрим произвольное покрытие U многообразия состоящее из связных координатных окрестностей. По доказанному функция f принимает одно и то же значение на любых двух пересекающихся элементах покрытия U. Поэтому она принимает одинаковые значения и на любых двух сцепленных элементах покрытия U. В силу леммы 1 отсюда следует, что функция f постоянна на каждой компоненте связности многообразия %. Поскольку, обратно, каждая функция /, постоянная на любой компоненте связности многообразия %, гладка на SC и удовлетворяет соотношению df=O, этим доказано, что линеал На& состоит из всех функций /: % —► R, постоянных на каждой компоненте связности многообразия X и, следовательно, естественно изоморфен линейному пространству всех отображений —► R. □
Вычисление чисел А"^" при т > 0 представляет собой, как правило, задачу довольно трудную. Для того чтобы изложить основные принципы ее решения, нам в первую очередь надо для любого многообразия % сравнить его группы когомологий с группами когомологий многообразия ^х/, где /=Й1 — интервал (—1, 1).
Напомним (см. определение 2 лекции 15), что точками многообразия SCxI являются пары (р, t), где р€^, —1 < f < 1, и для каждой карты (U, А) многообразия SC пара (Uxl, Ах id), где
(Axid)(p, /) = (А(р), f)gRB+1 = R"xR, является картой многообразия ^"х/, причем все карты такого вида составляют атлас на ^х/. Если х1, ..., хп — локальные координаты карты (U, h), то локальными координатами карты (Uxl,h'x. id) будут функции х'ол,. . . ..., х"ол, /, где л— проекция (р, t)*—>p. Впрочем,
ЛЕММА ПУАНКАРЕ
315
вместо х’ол, хпол обычно пишут, не опасаясь недоразумения, просто х1, .... х".
Если локальные координаты х1, ..., хп и х1', . . ., хп' карт (U, h) и (U', К) многообразия % связаны на U [\U' соотношениями
х1' — х1' (х1, .. ., х"), t'=l,
то локальные координаты х1, ..., хп, t и х1', хп', i карт (Uxi, Axid) и (U'xf, h'xid) многообразия Jx/ будут связаны на (U Г) U') xf=(UxI) f\(U' xj) соотношениями
. xi’ = xi'(x1, хп), Г=1, .... и,
Отсюда следует, что для любой карты (U, h) и любой точки q0 = (p0, t0)£Ux°f последний вектор базиса
.....tV (ark
пространства TQo(^xf) один и тот же для всех карт (U, h) с Po^U. Поэтому соответствие
корректно определяет на многообразии Ж х I некоторое д
векторное поле .
Аналогично, ковектор (dt)qa сопряженного базиса
(dx1)^, (dx")7o, (Л)7о
пространства Т*о(^х7) также не зависит от выбора карты (U, h) и, значит, соответствие <?0 f-> (dt)qa корректно определяет на многообразии ^х/ линейную дифференциальную форму dt (являющуюся не чем индом, как дифференциалом гладкой функции (р,
Среди дифференциальных форм на % х I выделяются формы 0 в каждой карте (U х f, х1, ..., хп, t), имеющие вид
(5) 0= 2-2 0(l...imdx(«A ... Adx'"1,
K<i<. . .<im<n
rjie 0(,— гладкие функции от Xх, . . .., хп и I. О таких формах мы будем говорить, что они не зависят от dt.
316
ЛЕММА ПУАНКАРЕ
При каждом фиксированном t, —1 < t < 1, форму (5) мы можем считать дифференциальной формой на координатной окрестности U в многообразии & и ясно, поскольку формулы преобразования координат х1, ..., хп на % х I и % одни и те же,— что все такие формы (построенные для всевозможных (U, /г)) согласованы на пересечениях и, значит, составляют некоторую форму 0, на 3'.
Очевидно, это устанавливает взаимно однозначное соответствие между формами 0 на ^х/, не зависящими от dt, и семействами {0,} форм на Я, гладко зависящих от t, —1</< 1 (т. е. таких, что в каждой координатной окрестности их коэффициенты являются гладкими функциями от /). Как правило, мы будем отождествлять О и {04.
Для любой формы 0, не зависящей от dt, и всех карт вида (Uxl, х1, ..., x", t) формы
^0d/ = 2- -2 (\Qi,...imdt\dxt' /\.../\dxlm
0 1 < • • • < Ол л \о /
согласованы на пересечениях и, значит, составляют не-t
которую форму 5 Qdt, также не зависящую от dt.
о
Аналогично определяется форма , в каждой карте
(Uxl, х1, .... х‘‘, t) задающаяся формулой
1 С G < • • • < im С л
При этом
£( <Qdt ) = 0
dt kJ /
хо
для любой формы 0, не зависящей от dt.
Кроме того, для любого фиксированного t на X определена форма а’0(. Семейство форм dQt, —1 < t < 1, рассматриваемое как форма на ^х/, мы будем обозначать символом 50. Форма 50 имеет степень т+ 1, где т—степень формы 0 и связана с внешним дифференциалом 50 формы 0 формулой
(6) 50 = 50+(-1)-^ Adi.
ЛЕММА ПУАНКАРЕ
317
В частности, t t
(7) + l)m9Adi.
о о
Среди дифференциальных форм на ^х/, не зависящих т dt, ъ свою очередь выделяются формы, не зависящие от t, т. е. такие, что в их выражениях (5) коэффициенты 0/,..<и не зависят от t. Эти формы естественным
образом отождествляются с формами на Л' (фактически они имеют вид л’9, где 9—форма на •£', а л — проекция .7’х/-’^’), так что в силу этого отождествления
(8) {,2яczQm (Д?х Г) д.ля всех г^О.
Формы, не зависящие от t, характеризуются, очевид-но, соотношением -^=?0, и потому для них dQ = dQ. Это означает, что вложения (8) составляют коцепное отображение
(9)
и, значит, для любого т^О индуцируют гомоморфизм
(10) Нт^-^Н"1^х1)
групп когомологий (являющийся не чем иным, как гомоморфизмом л*, индуцированным проекцией л).
Предложение 3. Для любого m >0 гомоморфизм (10) является изоморфизмом.
Доказательство. Легко видеть, что произвольная форма со на ^х/ единственным образом представляется в виде
(П) co = 01Ad/ 4 021
где 0j и 02—формы, не зависящие от di. (Представление вида (11) возможно, конечно, в каждой координатной окрестности U и ясно, что получающиеся формы 0j и 9, согласованы на пересечениях.) Положив
t
G^t-YF^di, о
мы в силу формулы (7) получим, что
w = d0s4 0, где
0 = 02—д03 — форма, не зависящая от dt.
318
ЛЕММА ПУАНКАРЕ
Этим доказано—в случае, когда форма со замкнута,— что
[со] = [6],
т. е. любой класс когомологий многообразия Я х / содержит форму 0, не зависящую от dt. Форма 0 замкнута вместе с формой со, т. е.
00-l? Adt-0 dt
dQ
и, в частности, ^ = 0. Следовательно, на самом деле форма 0 не зависит и от t, т. е. является образом при отображении л* некоторой формы на Ж. Этим доказано, что отображение (10) является эпиморфизмом.
С другой стороны, если форма 0, не зависящая от /, имеет вид da>, где со — некоторая форма на ^х/, то, представив форму со в виде (11) и заметив, что
d (0! A dt + 02) = (00! (-1)" A di -|- 0О2, мы немедленно получим, что
001+ (— 1)я^ = 0 и 004 = 0.
Равенство 0Э2 = 0 имеет место тождественно по t и, в частности, при t = 0. Поскольку 0 от t не зависит, этим доказано, что 0(02)о = 0, где (02)о— значение формы 02 при t-О, и, значит, что 0(02)о = О в %. Следовательно, отображение (10) является изоморфизмом. □
Пусть Т‘—открытый куб пространства R', состоящий из точек t = (/, ..., t„), для которых —1 < ^ < 1, • • .... -1<Г„<1.
Следствие / (лемма Пуанкаре). Любая замкнутая дифференциальная форма со степени туО на кубе 1" является точной формой, т.е.
hmi" = 0 при т> 0.
Доказательство. Достаточно, заметив, что
Г — {pt}x/x... х/,
п раз
где {pt} — нульмерное многообразие, состоящее из одной
ГРУППА H>S’
319
точки, п раз применить предложение 3. (Ясно, что !!т {pt} = 0 при т > 0.) П
Задача 1. Докажите, что куб fn диффееморфен открытому шару В” ={xgR"; | х | < 1}. [Указание. Рассмотрите ограничение на В" гомеоморфизма В"-—>/", построенного в доказательстве следствия 1 теоремы 2 лекции 9.]
Задача 2. Докажите, что куб in диффеоморфен пространству R". [Указание. Постройте диффеоморфизм R« -—>В”.]
Отсюда вытекает, что в следствии 1 куб / можно заменить как шаром В , так и пространством R .
Используя лемму Пуанкаре, вычислим теперь группы когомологий Нт8п сферы S" размерности п.
Пусть сначала п = 2ит=1.
Мы знаем (см. пример 9 лекции 6 при п = 2), что сфера S2 обладает атласом, состоящим из шести карт, которые мы сейчас обозначим через (Uk, h.k), где Л = ±1, ±2, ±3. Носителями
U_3, U_„ U_u Uu U2, и3
этих карт являются полусферы, состоящие из точек (х, у, г) € S2, для которых соответственно
х < 0, у < 0, z < 0, z > 0, у > 0, х > 0.
Так как каждый из этих носителей диффеоморфен открытому кругу ё2, то, согласно лемме Пуанкаре, для любой замкнутой линейной дифференциальной формы а на S2 существуют такие гладкие функции
f k. Uk—> R, fe = ±l> ±2, ±3,
что а = dfk на Uk. При этом для любых k и I (для которых пересечение П не пусто) формы dfk и df L совпадают на Ukf\Ut, и значит, поскольку множество Uk(} (] Ut связно, существует такая константа ckl, что
(12) fk—fi = ckl на t/ftn t7z.
Условно изобразив окрестности Uk точками и соединив точки, отвечающие пересекающимся окрестностям, отрезками, мы наглядно представим комбинаторную схему
320
ГРУППА H'S’
пересечений окрестностей диаграммой вида
являющейся не чем иным, как системой ребер октаэдра. При этом граням октаэдра будут соответствовать тройки окрестностей U к, имеющих непустое пересечение.
Докажем теперь следующую комбинаторную лемму.
Лемма 2. Пусть каждому ориентированному ребру kl октаэдра (13) сопоставлено число ckl, причем выполнены следующие условия:
а) ребрам kl и Ik сопоставлены противоположные числа:
(14) с1!г— СГЛ>
б) для каждой грани klm имеет места соотношение
(15) c!?l -|-Cim + emfc = 0.
Тогда существуют такие числа Ьк, что
(16) b[ bk — Ci,l
для любого ребра kl.
Доказательство. Нужно доказать, что система 12 линейных уравнений (16) (относительное неизвестных &fr) совместна. Для этого мы, пользуясь соотношениями (15), в первую очередь сократим число этих уравнений. Для любой грани klm октаэдра (13) соотношение (15) утверждает, что из трех уравнений (16), отвечающих ребрам этой грани, одно является следствием двух других. Поэтому каждое из этих соотношений позволяет уменьшить число уравнений (16) на единицу. Следовательно, использовав все эти соотношения (и исключив, скажем, уравнения, отвечающие ребрам, сходящимся в вершинах 1 и —1), мы получим четыре уравнения
Ь-2 Ь_3 — с-~, Ь3 Ь_2 = с-Л,
} Ь3—Ь3 = с3.„ Ь_3-Ь3 = с-3
ГРУППА H>S*
321
для четырех оставшихся неизвестных Ь_3, Ь_2, Ь„, Ь3 (здесь п в дальнейшем мы вместо индексов —1, —2 и —3 иногда пишем 1, 2, 3). Положив в этих уравнениях, например, />_3 = 0, мы получим для неизвестных Ь_2, Ь2 и Ь3 уравнения
b2 = с--, Ь3 — Ь_3 — с~, Ь., — Ь3 = с3,,
из которых они немедленно определяются. [Суть дела здесь в том, что уравнения (17) линейно зависимы: их сумма равна тождественно нулю (проверьте!). Геометрическая причина, почему при суммировании этих уравнений сокращаются все неизвестные, состоит в том, что уравнения (17) отвечают ребрам октаэдра (13), составляющим замкнутый путь, а причина, почему сокращаются свободные члены,— в том, что этот путь является краем пирамиды, состоящей из граней с вершиной в точке 1.J
Таким образом, при выполнении условий (15) (и (14)) уравнения (16) действительно совместны. □
Замечание 1. Лемма 2 остается, очевидно, в силе — вместе с доказательством — если ск1 являются элементами произвольной (аддитивно записанной) группы (например, линейного пространства). Конечно, здесь имеется в виду, что Ьк ищутся в той же группе (линейном пространстве).
Так как числа cltl, даваемые формулой (12), удовлетворяют, очевидно, соотношениям (14) и (15), то, согласно лемме 2, существуют такие числа bk, k — ±l, ±2, ±3, что для любого ребра kl октаэдра (13)
• на UkfWt,
т. е.
= на UknUt.
Отсюда следует, что, положив
Wft-I-bk на Uk,
мы однозначно определим'на сфере S2 гладкую функцию/. При этом df = d(fk + bk) — dfk = a на Uk и, следовательно, <// —а на всей сфере S2.
Тем самым доказано, что любая замкнутая дифференциальная форма а степени 1 на сфере S2 является точной формой. Это означает, что /71§2 = 0, т. е.
(18) /i‘S2 = 0.
Обратим внимание, что, кроме леммы. Пуанкаре, нам понадобилась также комбинаторная лемма 2.
И М. М. Постников, сем. 111
322
ГРУППА Il'S*
Попытаемся теперь тем же методом вычислить группу Нг8г, где S1 — окружность х'1 + уг—1.
— полуокружности, характеризуемые соответственно неравенствами
х < 0, г/ < 0, у > 0, х > 0.
Схема пересечений полуокружностей Uk, k~±l, ±2, представляет собой квадрат:
(19)
В силу леммы Пуанкаре для каждой линейной формы со на S' (заметим,— автоматически замкнутой) и любого & = ±1, ±2 существуют такие функции fk на Uk, что
o) = d/\ на Uk.
При этом для любого ребра kl квадрата (19) ^(//-М = 0на U^Ult
и, значит, поскольку множество Uk[yUl связно, fk f i — cki>
где cia—некоторые константы. Эти константы по-прежнему удовлетворяют соотношениям (14) (но соотношения (15) для них бессодержательны).
Мы будем называть функции с: kl*—*ck[, определенные на ребрах квадрата (19) и удовлетворяющие соотношению (14) (т. е. такие, что clk —— сА1), одномерными коциклами квадрата (19). (Аналогично, функции с: определенные на ребрах октаэдра (13) и удовлетворяющие соотношениям (14) и (15), называются одномерными
ГРУППА Н'»'
323
коциклами октаэдра (13), но выше мы обошлись без этого термина.) Ясно, что все коциклы с: kl*—*ckl образуют линейное пространство Z1 размерности 4.
Коциклы с, для которых существует такое отображение b: kr-+b., что
(20) bk—bt = ckt
для любого ребра kl квадрата (19), называются кограницами. Они образуют подпространство В1 пространства Z1. Соответствующее факторпространство Z^B1 мы обозначим символом Н'. Его элементы (смежные классы пространства Z1 по подпространству В1) называются классами когомологий квадрата (19). О коциклах, принадлежащих одному классу когомологий, говорят, что они когомо-.югичны.
[Терминология подсказывает, что здесь мы на самом деле имеем дело с некоторым коцепным комплексом в смысле определения 1. Мы разовьем эту мысль в следующей лекции.]
Построение коцикла cgZ1 по форме со g QlS‘ содержит элемент произвола, заключающийся в выборе функций fk. По если <i> = dfk и o) = d/A на Uk, то d(fk—fk) = 0 на Uk и, значит, fk = fk \-bk, где bk—некоторые константы. Поэтому, если с [ — fk—f[ и ckl — fk—ft на UknUlt то
СН Ckl ~
т. е. коциклы с: kl*-»-cki и с: klr-e-c^ когомологичны. Sto доказывает, что формула
wi->[c],
где [с] — класс когомологий коцикла с, корректно определяет некоторое отображение
(21)
Q1S1 Н1.
Если со df, то за функции fk мы можем принять ограничения f\u функции /. Поскольку при таком выборе этих функций числа ск[ равны, очевидно, нулю, мы видим, следовательно, что на точных формах отображение (21) равно нулю. Поэтому оно индуцирует некоторое отображение
(22)
AMS1 — Н\
11*
324
ГРУППА H<S<
Оказывается, что отображение (22) является мономорфизмом, т. е. если коцикл с: kl*-+ckt, отвечающий форме П'З1, является кограницей, то форма to точна. Действительно, если ск[ = fk—на U к A Ut и если ckt —bf— то Д ! Ьк = [( ,! Ь( на UkftUt и, значит, формула
+ 1>1! На и1:
корректно определяет на S1 некоторую функцию f. При этом, так как
M = dfk-=d(lk + bk) = df на U ,
то cb = df на S1, и, значит, форма со точна. □
До сих пор мы фактиче.ки слово в слово следовали вычислению группы //lS2. Продолжая аналогию, мы должны теперь доказать аналог леммы 2 (которая в теперешних терминах утверждает, Очевйдно, что для октаэдра (13) имеет место равенство Hl = 0). С этой целью нам нужно более внимательно проанализировать равенства (20) (по форме совпадающие с равенствами (16) из леммы 2).
Эти равенства представляют собой систему четырех уравнений
bl — b2 = cl2, b.-b.^c-,
b-2~bl=c~l
(23) -
b
относительно четырех неизвестных b_2, b_lt bt, b2 (как и выше, мы заменяем индексы вида —k на k), и утверждение, что коцикл с является кограницей, означает, что эти уравнения совместны.
Но сложив уравнения (23) и положив
Indc = c12 Ьс-7 + с-4 с-,
мы немедленно получим, что для совместности этих уравнений необходимо, чтобы Indc = 0.
Функция Ind представляет собой линейное отображение Z1 —► R, а утверждение, что равенство Ind с — 0 необходимо для совместности уравнений (23), означает, что это отображение равно нулю на подпространстве В1. Поэтому формула
Ind [с] = Ind с,
ГРУППА H'S'
325
где [с] — класс когомологий коцикла с, корректно определяет некоторое отображение
(24) Ind: /P^R.
Из первых трех уравнений (23) мы последовательно находим, что
^2 = ^1— С1»,
(25) b_l = bl — с12—с-,
Ь-г = Ь1 — С12 — С,- — С--.
Таким образом, при любом bt формулы (25) дают решение первых трех уравнений (23). Если же Ind с = 0, то число Ь_2, даваемое последней формулой (25), удовлетворяет, очевидно, и четвертому уравнению (23). Следовательно, условие Indc = 0 не только необходимо, но и достаточно для совместности уравнений (23). Для отображения (24) это означает, что оно представляет собой мономорфизм. Поскольку же это отображение, очевидно, эпи-морфно, мы получаем, следовательно, что отображение (24) является изоморфизмом, и, значит,
dim//1- 1.
[Таким образом, если для октаэдра //‘=0, то для квадрата И1 « R.]
В отличие от случая группы //‘З2, полученный результат еще не позволяет полностью определить группу //’S1; из него лишь следует, что либо //‘S1 —О, либо //'Sl «IR. Оказывается, что на самом деле имеет место второй случай, т. е.
(26) h1®'= 1.
Чтобы установить это, нам достаточно предъявить форму для которой коцикл с: kl^-*ckl не является кограницей, т. е. обладает тем свойством, что Indc=/=0.
Известная из школы координатизация окружности S1 состоит в том, что числу t £ IR сопоставляется точка р--(cost, sin/) этой окружности (геометрически координата / представляет собой угол, образуемый радиус-вектором точки р с положительным направлением оси абсцисс; па этом основании мы будем называть ее угловой координатой на окружности). Координата /—соответствующим образом ограниченная — является локальной координатой в смысле определения 1 лекции 1 на каждой координатной окрестности (но, конечно, не на всей
326
ГРУППА «‘S*
окружности S1). Именно, координата t, ограниченная на /л \ { Л Л \ ( Я Зл \
(О, л), (-л, 0), т)-
будет соответственно локальной координатой на
Ux, U _х, U.,, и_2.
Эту локальную координату мы обозначим через t!;. Таким образом,
на t/jD U-2, t-x = t2 на U_xflUt,
t _2 = t _j -f-2л на = Л на U.t{\Ux.
Рассмотрение координаты I на всей окружности S' фактически означает, что посредством отображения (R-^S1, ft—>(cos/, sin/),
мы переходим к прямой IR. Функции на S1 оказываются, тем самым, периодическими (с периодом 2л) функциями на IR, а линейные дифференциальные формы на S'—формами [ (/) dt на IR с периодическими коэффициентами /(/).
Таким образом, в частности, на S1 определена форма ы^ — dt (хотя t и не является функцией на S1). При этом dt — dtk на Uk.
Поэтому, согласно соотношениям (27), коцикл с= {си} для формы соо будет выражаться формулами
2л, если k — 2, I — 1,
cki ~
—2л, если /г = Т, 1 — 2,
0 для всех остальных /г и I.
Следовательно, Indc = 2n=/=0.
Форму <в0 можно построить, и не обращаясь к угловой координате t.
Ясно, что х и у являются гладкими функциями на S' и, значит, на S1 определены дифференциальные формы dx и dy.
Задача 3. Покажите, что
(о0 -- х dy — y dx и
на их и
на U2 и £/_2.
Заново выведите отсюда, что Ind с —2л.
dx
7 dy
«0 =
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУППЫ Н‘$'
327
Группу fPS1 можно также вычислить более легким способом, не использующим покрытия {U,,}, но зато апеллирующим к аналитическим соображениям.
Этот способ основывается на сопоставлении каждой форме со = f (/) dt на окружности S1 интеграла
tn
/со = f (t)dt. о
Получающееся отображение
(28) —* R,
очевидно, линейно и эпиморфно (ибо /со0 =/= 0 для формы o) = dZ). Если a = dg, где g—функция на S1 (периодическая функция на R), т. е. если f(t)—g' (t), то
^=^(о1Г=°-
Обратно, если /со —О, то функция t g(t) = \f(t)di о
периодична и потому является функцией на S1, для которой dg = (n.
Таким образом, ядром отображения (28) служит подпространство точных форм, и потому это отображение индуцирует изоморфизм Н1 S1 —>• R.
Поэтому h1 S1 = 1.
Краткость и простота этого доказательства демонстрируют силу методов интегрального исчисления.
Вычислим теперь группу №§2.
Пусть снова {Uk, /г=±1, ±2, ±3}—рассмотренное выше покрытие сферы S2, схемой взаимных пересечений элементов которого является октаэдр (13), и пусть со — произвольная (автоматически замкнутая) форма степени 2 па сфере S2.
Так как каждое множество Uk дисрфеоморфно кругу В2, то, согласно лемме Пуанкаре, для каждого /г = ±1, ±2, ±3 на Uk существует такая форма ак степени 1, что <о = с!а,г на Uk. Для любых k и I (для которых Uk Г) U(=/=0) форма ак—а, замкнута на Uk(]Ult и так как множество U к п Ul также диффеоморфно кругу В2, то снова, согласно
328
ГРУППА H*S!
лемме Пуанкаре, существует такая гладкая функция fkl: Uп Uг —* К, что
(29) afc—аг = с(Дг на UkftUt
(при этом без ограничения общности мы можем, конечно, считать, что flk для любых k и /).
Для каждых трех индексов k, I, т (для которых U к Q Ut л Um =/=0) имеет место равенство
d(k ЬЛ,» + Ы = а,с—а(-| а,—а,„-| ат—а/; = 0, и, значит (поскольку множество Uk П U г Г) Um связно), существуют такие константы ск1т, что
fhl flm '\ fmh~^lilm ^3 Uk Г) Ug Г) Um
(при этом без ограничения общности можно, конечно, считать, что числа сЛг,я кососимметрично зависят от индексов k, I и т, т. е. меняют знак при любой их транспозиции).
В этом построении имеется, конечно, определенный элемент произвола. Действительно, во-первых, вместо форм а., мы можем взять любые формы aft, обладающие тем свой ством, что d<xk = dak, т. е. такие—здесь мы снова используем лемму Пуанкаре,— что ak — al! \-dgk, где gk: Ugg- i-R—некоторые гладкие функции. Во-вторых, функции мы аналогичным образом можем заменить на функции [к1 I Ьк1, где Ьк1— произвольные константы (удовлетворяющие соотношению Ь1к —— Ьк1). Учет обеих возможностей приводит к тому, что функции )к( заменяются функциями fkl \gk—gg |- bkl и, значит, числа cklm — числами (30) cki,n ^ckim \-(bkl \-blm \-bmk).
(Заметим, что зависимость от функций gk на последнем этапе исчезает.)
Таким образом, форма со определяет кососимметрическую функцию с: klm>—*’Ckln с точностью до эквивалентности, описываемой соотношением (30).
Мы будем называть кососимметрические функции с: kltn i—> скi,„ двумерными коциклами октаэдра (13), а коциклы, имеющие вид
(31) ckl:n = bk^. bg^bmk,
— кограницами. Все коциклы образуют линейное про странство Z2 (размерность которого равна 8—числу гра
ГРуМпл //ss«
320
ней октаэдра (13)), а кограницы—его подпространство S2. Соответствующее факторпространство Z2/B2 мы обозначим символом Н2. Его элементы, т. е. смежные классы пространства Z2 по подпространству В2, называются двумерными классами когомологий октаэдра (13).
Поскольку соотношение (30) в точности означает, что коциклы с: klm\-+cklm и с\ klm\-^cki,n принадлежат одному и тому же классу когомологий [с], мы видим, что нами построено некоторое (очевидно, линейное) отображение (32) Q2S2-+№, (он->[с].
Если форма w точна, т. е. имеет вид da, где a^Q'S2, то за формы ак мы можем принять ограничения a|cz формы а на координатных окрестностях V к. Тогда разности а*—az будут равны нулю, и соотношения (29) мы можем удовлетворить, приняв за jkl функции, тождественно равные нулю. Поскольку при этом выборе функций все числа ск1т будут, очевидно, равны нулю, этим доказано, что при отображении (32) все точные формы переходят в нуль пространства № (класс когомологий [0] пулевого коцикла), и, значит, что это отображение индуцирует некоторое (также линейное) отображение
(33) B2S2 -> Н2.
По аналогии со случаем группы H'S1 естественно ожидать, что это отображение является мономорфизмом, т. е. если коцикл с: klmt-+cklm, отвечающий форме со, имеет вид (ЗЗ), то форма со точна. Но если соотношение (31) выполнено, то, заменив функции на разности ha — bkl, мы получим, что ск1т = 0. Следовательно, в этом случае мы без ограничения общности можем считать, что для любой грани klm октаэдра (13) имеет место соотношение
(:И) fm f„k = ° на U^Ulf]Urn.
Лемма 3. Если функции [к1 —— flk удовлетворяют соотношению (34), то существуют такие функции gk. Uk —> R, что
fki = Sk—Si на UknUt
для любого ребра kl октаэдра (13).
В лекции 20 мы докажем общую теорему 1, частным случаем которой является лемма 3. Пока же мы примем эту лемму без доказательства.
330
ГРУППА H2S2
Задача 4. Соотношение (34) по форме идентично с соотношением (15) из леммы 2. Пользуясь этим (и замечанием 1), докажите лемму 3.
Из леммы 3 следует, что формы Pfc = a/e—dgk для любого ребра kl октаэдра (13) удовлетворяют соотношениям
= на UkftUt
и потому составляют некоторую форму 0 на S2. При этом, так как для каждого k
% = = w на Uk,
то t/p = о) на S2, и, значит, форма (о точна.
Таким образом, действительно отображение (33) является мономорфизмом. II
Далее вычисление идет по уже известному нам пути. Сначала доказывается, что Н2« R (с помощью функционала Ind: Z2 —равного сумме чисел сМ/в по всем — соответствующим образом ориентированным! —граням октаэдра (13)), а затем предъявляется форма <о0, для которой коцикл с обладает тем свойством, что Indc=/=0. Окончательно получается, что №S2« (R, т. е.
(35) /i2S2=l.
Задача 5. Проведите подробно намеченное доказательство равенства (35). [Указание. За форму со0 примите форму
«о - xdy л dz — ydx л dz-[-zdx л dy.
Установить, что эта форма не точна, проще всего, если сначала доказать с помощью формулы Стокса (впрочем, можно обойтись и формулой Грина), что интеграл от точной формы по сфере S2 расен нулю, а затем вычислить, что интеграл от формы со0 равен 4л.]
Мы видим, что даже для самых простых многообразий вычисление групп когомологий наталкивается на определенные трудности как комбинаторного, так и аналитического характера. Впрочем, что касается комбинаторных трудностей, то иногда их можно успешно преодолеть— или хотя бы уменьшить — целесообразным выбором покрытия. Например, вычисление группы существепно упростится, если мы воспользуемся двухэлементным атласом {(U, h.), (V, &)} из примера 10 лекции 6. Вместо октаэдра для этого атласа получается отрезок
•“...... о 7
а доказательство равенства (18) делается тривиальным.
ГРУППА Н'8« ПРИ n>2
331
[Согласно лемме Пуанкаре a = dfL, на U и a = dfv на V, причем fu—fv = b на U П V, где b—некоторая константа. Поэтому формула
( fu на (У, fv + b на К
корректно определяет на S2 такую функцию f, что d[ = а.]
Поскольку последнее доказательство дословно переносится на случай сферы S" произвольной размерности п 2, мы получаем даже, что
(36)
/1'3» = 0 при и >2.
Однако если мы попробуем этим способом вычислить числа h,nS" при т^2, то, помимо всего прочего, натолкнемся на ту трудность, что к пересечению U Г) V карт U и V лемма Пуанкаре непосредственно неприменима (поскольку это пересечение диффеоморфно проколотому пространству R"\{0}, а не шару). Тем не менее вычисление оказывается возможным, если вместо леммы Пуанкаре воспользоваться общим предложением 3 и провести индукцию по п.
Рассмотрим сначала случай, когда 0 < т < п.
Предложение 4. При Q <т < п имеет место ра
венство
(37)
hmS“ = Q.
Доказательство. При п = 2 (когда непременно т = 1) равенство (37) нам уже известно (см. (18) или (36)). Проведем индукцию по п. При этом мы можем предполагать, что т^2, поскольку при т=\ равенство (37) выше уже также доказано.
Пусть уже доказано, что = 0 при 0 < т < п— 1, п пусть (о — произвольная замкнутая форма на S" степени т, где 0 < т < п. Рассмотрим двухэлементное покрытие {U, V} сферы S" из примера 10 лекции 6.
Задача 6. Покажите, что множество U Г) V =
= S“\{/?0> q0] диффеоморфно произведению 8" гх1. |Указание. Постройте диффеоморфизмы U п V —*
-*R"\{0} и S"-1x/->R"\{0}.]
Согласно лемме Пуанкаре на U и V существуют такие формы Оу и 0Г степени т—1, что o) = d0y на U и w = d0v на V. Форма 0У—0К на пересечении U f}V замк-
332
ГРУППЫ т<п
нута и имеет степень т—1. Но, согласно утверждению задачи 6 и предложению 3, число Бетти пересечения U () V равно числу Бетти сферы S"~l,
и значит, согласно предположению индукции, равно нулю. Поэюму на U nV существует такая форма а степени т— 2, что
0У—0r = da.
Задача 7. Постройте па сфере S" гладкую функцию /, принимающую значения в отрезке [0, 1] и равную нулю вблизи точки q0 (т. е. в некоторой окрестности этой точки) и единице вблизи точки р0. [Указание. Ср. следствие 2 леммы 1 лекции 1 или предложение 2 лекции 14. ]
Используя функцию / из задачи 7, мы определим на U форму аи, а на V форму аг, положив
( f(p)ap, если p^U nV,
। 0 в противном случае (т. е. если р- р„), I (f (Р)~ 1) °Ьр» если р 6 U nV',
(.av)P = । о в противном случае (т. е. если p — q0).
Ясно, что формы аи и av гладки и на U () V имеет место равенство а~аи—аг, а значит, и равенство
0У—dav — 0r—dav на U Г) V.
Поэтому формула
I Qn—dav на U, ~\ 0К—dav на V корректно определяет на всей сфере S" некоторую форму 0, для которой d0 = co на S". Поскольку со была произвольной замкнутой формой степени т на сфере S", этим доказано, что — 0.
Тем самым предложение 4 по индукции полностью доказано. □
Случай т = п трактуется аналогично.
Предложение б. Для любого п 1 имеет место равенство
(38)
hnSn = I.
ГРУППЫ
333
Доказательство. Поскольку при п—\ равенство (38) уже доказано (см. формулу (26)), мы снова можем воспользоваться индукцией по п.
Пусть {U, V}—то же покрытие сферы S", что и выше. Гак как, по предположению индукции, h'l~lSn~1 = 1 и, значит,
/г"-* (t/П V) = /in-1(Sn-,\I)^/in-1Sn“1- 1,
к> на U Г) V существует замкнутая, но не точная форма О11” степени п— 1, обладающая тем свойством, что любая форма степени гг—1 на U Г) V когомологична форме вида п()(0’, где а—некоторое число.
Известным уже способом, используя функцию f из задачи 7, мы можем форму 0(о) представить в виде
(39) 0«” = 0gp—OV0’ на 1/nV,
где 0$’ и 0у0) — некоторые формы степени n—1 на U и Г соответственно. Так как по условию d0(o) —О, то, согласно формуле (39),
dOy> = dO{/0) на U nV,
и потому равенства | dOy’ на U, ( d0(vO) на V
корректно определяют на S" некоторую форму со(0) степени п.
Пусть теперь со — произвольная форма степени п на сфере S’* (автоматически — замкнутая). Согласно лемме 11уаикаре на U и на V существуют такие формы 0у и 0V степени п—1, что со = d0,; на U и со — d0v на V. Форма П, -0К замкнута на U П V, и поэтому на U П V существует такая форма а степени л — 2 и такое число ag IR, что
0У—0K = da4 a0<0’ на U П V.
Представив, как и выше, форму а в виде а - аи -~av, где и a v—формы на U п V соответственно, мы можем переписать это равенство в следующем виде:
0^—dav—a0$’ = 0у—dav—aQy' на U А V.
Поэтому формула
| 0у—day—aOy1 на U,
| Оу—day—a0y’ на V
334
ГРУППЫ //«S'»
корректно определяет на S" некоторую форму 0 степени п— 1. При этом
dfi — dOu—adWu’ — a—aaio> на U и
d^ — ddv—adQy} = (o — acoi0> на V.
Следовательно, d0 = a)—aco10’ на всей сфере S", т. с. форма о когомологична форме сю10’.
Для завершения доказательства равенства (38) осталось поэтому лишь показать, что форма о)((" не когомологична нулю (не является точной формой). Но если о)(0) = d0, то на U имеет место равенство d0$’= d(0|y), а поэтому и равенство 0$’ = 0 ]у + dqUt где —форма степени п— 2 на U. Аналогично, 0^’ = 01v + dcp(/, где <pv — гладкая функция на V.
Следовательно, на U П V
0(o) = 0<’)-0!o> = d((pr-(/)r), т. е. форма 6((” является, вопреки предположению, точной формой. Поэтому равенство со10’ — dQ невозможно. I I
На примере сфер S1, S2 и S" мы в этой лекции продемонстрировали три главнейших способа вычисления групп когомологий многообразия (с помощью покрытий, пересечения любых подсемейств которых диффеоморфны шару, с помощью более общих покрытий, не удовлетворяющих этому условию, и с помощью интегралов). В следующих лекциях мы рассмотрим эти способы более систематично. Пример сфер будет при этом служить образцом и отправной точкой, хотя, как правило, явных ссылок на этот пример мы делать не будем.
Лекция 21
Симплицнальные схемы и их геометрические реализации.— Группы когомологий симплициальных схем.— Двойной комплекс покрытия.— Группы когомологий двойного комплекса.— Окаймленные двойные комплексы. -Краевые гомоморфизмы.— Ациклические комплексы.— Ацикличность по строкам при р — 0.
В первую очередь мы в абстрактной форме опишем комбинаторные схемы взаимных пересечений элементов покрытий гладких многообразий (или — более общо — топологических пространств).
Пусть Я— произвольное топологическое пространство и И = {£/,., k^K}—его произвольное открытое покрытие. Конечное подмножество {k0, ..km] множества индексов /< мы назовем отмеченным, если пересечение икя П • • • Г) Ukm не пусто:
t/^П ... nt/^#=0.
Определение 1. Множество К, в котором отмечены некоторые конечные подмножества, называется симпли-циальной схемой, если любое подмножество отмеченного подмножества отмечено.
Ясно, что отмеченные подмножества множества индексов К покрытия И удовлетворяют этому условию, и, значит, К является симплициальной схемой. Эта схема называется нервом покрытия U.
Говорят, что т+ 1 точек аффинного пространства аффинно независимы, если они не содержатся ни в какой (т—'1)-мерной плоскости, т. е. если для их радиус-векторов k0, klf ...,кт векторы kv—к0, ...,km—kQ линейно независимы.
Для любых т+ 1 аффинно независимых точек к0, ... ..., кт пространства R" (или—более общо — произвольного линейного пространства над полем R) множество всех точек k вида
к = tQkQ + ... ~h tmkm,
где t0, .... tm—такие вещественные числа, что
.... и
to + • • • + tm — 1
336 СИМПЛИЦИЛЛЬНЫЕ СХЕМЫ И ИХ РЕАЛИЗАЦИИ
(мы, как всегда, отождествляем точки из IR" с их радиус-векторами) называется т-мерным симплексом с вершинами k0, .... b„, и обозначается символом й0. . .k,„. При т — 0— это точка k0, при т — 1—отрезок £0Л,, при т = 2—треугольник и при т = 3 тетраэдр kakik2k3.
Числа t0, tm для точки k симплекса й0...й,л называются ее барицентрическими координатами.
Точка k симплекса k0. . km называется его внутренней точкой, если 0 < t, < 1 для всех 1 — 0, т. (Такая точка является внутренней точкой симплекса k0...km в общетопологическом смысле по отношению к содержащей симплекс m-мерной плоскости.)
Симплициальную схему К мы будем называть реализуемой, если ее элементы можно изобразить (при достаточно большом л) такими точками пространства IR", что:
1) для любого отмеченного множества {kc, .... km}ciK соответствующие точки й0, .... k/n аффинно независимы (и, значит, определяют симплекс й0 . .. йт);
2) симплексы k0...km и /г'о.. .k'm; отвечающие двум различным отмеченным подмножествам {fe0, .... km} л {feo, .... k'm,} схемы К, не имеют общих внутренних точек.
В этом случае объединение всех симплексов й0...km, отвечающих всевозможным отмеченным подмножествам {fe0, ..., k,„}, называется геометрической реализацией схемы К. Обозначается геометрическая реализация символом ] К |.
Картинки, которые мы рисовали в предыдущей лекции, как раз и изображали геометрические реализации нервов соответствующих покрытий сферы S2 и окружности S1.*
По характерной для математики тенденции к переносу терминов отмеченные подмножества схемы К принято называть ее симплексами. [При этом, чтобы различить — когда в этом возникает необходимость—симплексы в К от симплексов в R", первые называются абстрактными (или схемными) симплексами, а вторые—евклидовыми (или геометрическими).] Элементы схемы, участвующие хотя бы в одном ее симплексе, называются ее вершинами, а симплекс {fe0, . .., km} называется симплексом с вершинами k0, ..., km.
Элементы схемы К, не являющиеся вершинами, не будут в дальнейшем участвовать ни в одной конструкции (подобно тому, как они не участвуют в геометрической реализации |К|), и их можно безопасно игнорировать
ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬПЫХ CXFM 337
[Многие авторы, определяя схемы, вводят поэтому дополнительную аксиому, требующую, чтобы каждый элемент схемы был ее вершиной. Однако тогда, определяя нерв покрытия, надо будет требовать, чтобы покрытие состояло из непустых множеств, что не всегда удобно.]
Замечание 1. Геометрические реализации нам по существу нигде нужны не будут. Мы их описали только для того, чтобы иметь возможность использовать в отношении симплициальных схем геометрический язык. Поэтому, в частности, довольно топкий вопрос о том, какие симплициальные схемы реализуемы, мы рассматривать здесь не будем. Заметим лишь, что любая конечная снмп-лициальная схема очевидным образом реализуема.
Задача 1. Будем говорить, что симплициальная схема К мо-женно реализуема, если существует такая ее геометрическая реализация | К |, что подмножество F с | К | тогда и только тогда замкнуто (в индуцированной топологии), когда для любого симплекса {А:о, ..., km} с К замкнуто пересечение F Г) ft0 . .. k,n. Покажите, что симплициальная схема тогда и только тогда вложенно реализуема, когда:
а) множество ее вершин конечно или счетно;
б) каждая ее вершина принадлежит лишь конечному числу симплексов;
в) существует такое п. что каждый симплекс схемы К содержит не. более п + 1 вершин.
Замечание 2. Подмножества пространства R", являющиеся геометрическими реализациями симплициаль-пых схем, называются полиэдрами. Их топологическая теория, называемая обычно кусочно линейной топологией, ‘тесно связана с топологической теорией гладких многообразий (можно показать—это трудная теорема! — что. любое гладкое хаусдорфово многообразие i о счетной базой гомеоморфно некоторому полиэдру) и продвинута весьма далеко, составляя одну из наиболее геометрически ориентированных частей современной топологии. К сожалению, эта теория полностью выходит из рамки настоящего курса.
Пусть К — произвольная симплициальная схема, и пусть Кп, т^О, — подмножество Произведения
Ях...хЯ,
т । I раз
состоящее из таких последовательностей (fe0, .... km), . .., km$K, что множество {k6, .... kn} является
338 группы когомологий сймйлйПйальйых схем
симплексом схемы Д’. (Элементы из К,п называются обычно т-мерными упорядоченными симплексами схемы Д.)
Пусть, далее, G — произвольная абелева группа (в аддитивной записи).
Определение 2. Отображение
с: Кт > G, (&0, ..., km) । ► с (&0, . .., km)
называется т-мерной коцепью схемы К над группой G (или со значениями в группе G), если это отображение кососимметрично, т. е. если c(k0, .... krn) меняет знак при перестановке любых двух соседних аргументов 1га, han< O^a^tn—1. Другими словами, отображение с является коцепью, если
(1) с (fe<j(0), • • • > = еас (fe0, . ., fem)
для любого упорядоченного симплекса (fe0, ..., £,Я)€Д,Я и любой перестановки а индексов 0, 1, ..., т (где, как всегда, еа—знак перестановки ст).
Множество всех таких коцепей является очевидным образом группой. Мы будем обозначать эту группу символом С'л (Д; G).
В случае, когда G является полем, группа Ст(Д; G) будет линейным пространством над этим полем. В частности, при G = R (единственно интересный нам сейчас случай!) группа Ст (Д; R) является линейным пространством над полем R.
Легко видеть, что для любой коцепи с$С'л(Д; G) формула т+!
(2) (8с) (k0, ...,km+1)= 2 (-О' с (fe0, ...Л,-.ka+l),
i=0
где значок л указывает, что соответствующий элемент /г, должен быть пропущен, определяет некоторую коцепь 6с$С“+1(Д; G). (Действительно, при перестановке двух соседних вершин ka и ka + 1, 0^.а^.пг, все члены суммы (2) меняют знак, кроме а-го и (а 4- 1)-го членов, которые, входя в сумму с различными знаками, переставляются.)
Ясно, что отображение
б: Са(К; G)—-> Cm+1 (Д; G), с<-*8с,
является гомоморфизмом. Этот гомоморфизм называется кограничным оператором.
ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНЫХ СХЕМ 339
Поскольку оператор 6 определен для любого /п^О, мы можем составить последовательность б
C'(K;G): С°(К-, G)
б
... — Ст (К; G)-+ Cn+1 (К- G) -> .. .
Предложение t. Последовательность С (К; G) является коцепным комплексом, т. е.
6(6с) = 0
для каждой коцепи c£Cm (К', G) и каждого т^О.
Доказательство. Для любого упорядоченного комплекса (fe0, fem+2)aKm + 2 элемент б (6c)(fe0, ... .... km+t) группы G является суммой элементов вида
(3) c(fe„ kit ..kj..km+r), O^i < 2,
каждый из которых появляется дважды: один раз при вычислении слагаемого (—I)'(6c)(fe0, .... k/n+r),
а другой — при вычислении слагаемого (—l)'(6c)(fe0, ... ..., fez, .... km+r). При этом в первом случае слагаемое (3) будет иметь знак (—1)'+^ (поскольку в симплексе (fe0, .... kj, .... kn+r) вершина fe,. имеет номер t), а во втором случае—знак (—1)'+^-1 (поскольку в симплексе (kQ, kt, ..., fe,„+r) вершина kj имеет номер /—1). Поэтому все слагаемые (3) сокращаются. □
Коцепи с б С™ (К; G), для которых 6с = 0, называются коциклами схемы К над группой G, а коцепи вида 6с, где с С С"1-1 (-Д'; G), — кограницами. Коциклы составляют подгруппу Zm(/<; G) (ядро гомоморфизма 6: Ст (Яд G)—► --*Ст + 1(ЯС; G)), а кограницы—подгруппу Вт(К\ G) (образ гомоморфизма 6: Cm“l(/<; G)—>Ся(Лд G); при /п = 0 условно считается, что В0 (К; G) = 0). Так как В" (Яд G)<z c:Zm(K\ G), то определена факторгруппа
Нт(К\ G) = Zm(K; G)/Bm(K', G).
Эта факторгруппа называется т-мерной (или т-й) группой когомологий схемы К над группой G, а ее .элементы называются классами когомологий.
Ср. с общими определениями в начале лекции 20.
Замечание 3. Можно показать (эта трудная теорема!), что группы когомологий (и двойственным образом определяемые группы гомологий; см. ниже лекцию 28) двух схем изоморфны, если геометрические”реализации
340
ДВОЙНОЙ КОМПЛЕКС ПОКРЫТИЯ
этих схем гомеоморфны. Это позволяет применить аппарат групп когомологий (и гомологий) симплициальных схем к исследованию топологических свойств полиэдров. Соответствующий отдел математики называется комбинаторной топологией. Лет пятьдесят тому назад Он имел самостоятельное значение, но ныне комбинаторная топология почти полностью растворилась в более общей алгебраической топологии. [Иногда термин «комбинаторная топология» применяют ко всей алгебраической топологии, однако в настоящее время это уже совершенно не отвечает фактической ситуации.]
Для случая, когда К является нервом покрытия 11 -= {(/А, гладкого многообразия ЗС, конструкция
коцепного комплекса С' (К", G) (обозначаемого в этом случае символом С’ (11; G)) может быть обобщена. Пусть для определенности G —К.
Коцепью размерности р 0 покрытия Ц со значениями в функциях называется определенное на Кр отображение с, сопоставляющее каждому упорядоченному симплексу (/г0, .... k„)^.Kp нерва К покрытия 11 гладкую функцию с (/?0, .... kp): Ukt n . . . n UkpR, определенную на (непустом!) открытом множестве £А„П • П^1<р, и удовлетворяющее условию кососимметричности (1). Все такие коцепи образуют линеал, который мы будем обозначать символом (>’0(11). Кограница 6с £ 0 (11) коцепи с£О,0(П) определяется прежней
формулой (2) (в которой т заменено на р) лишь с тем отличием, что каждое слагаемое с(/?0, ..., /г,-, ..., kp+l) правой части предполагается ограниченным на
• А ^/^+1 (без этого формула (2) не будет иметь смысла). Ясно, что соотношение 6(6с) = 0 (вместе с доказательством) остается справедливым и в этом случае, т. е. семейство С''0 (И) = [С?’ ° (11), 6) линеалов О’0(II) и гомоморфизмов 6: О°(П) -О“’0(Ц)
является коцепным комплексом.
Более общим образом, для любого q 0 мы можем ввести в рассмотрение коцепной комплекс
С-’</(11) = {О7(Ц), 6],
состоящий из коцепей со значениями в формах степени q, т. е. из определенных на Кр отображений с, удовлетво-
ДВОЙНОЙ КОМПЛЕКС ПОКРЫТИЯ 341
ряклцих условию кососимметричности (1), значения i(k0, .... kp) которых являются формами степени q, определенными на . (yU/,,, (элементами линеала
--'(U/,,, А (1 Uk,,))- Оператор 6 определяется в этом случае той же формулой (2) (с теми же уточнениями, касающимися операторов ограничения). При 7 = 0 мы получаем прежний комплекс С' ° (11).
Любой коцепи с $ СР’ ''(11) мы можем сопоставить коцепь de С Ср' 1 (11), считая по-определению, что
(dc)(k0, . . ., fej = dc(feo, .... kp)
для любого упорядоченного симплекса (k0, .... kp)aKp. Ясно, что отображения
(1) d: О"(И)--^О7" (П)
перестановочны с операторами 6, т. е. для любых р, диаграмма
ср' / (П)Л ср 1 r’ ? (it) d ' j d
СР'Ч" (П)Лс/’"-'/ <1(П) -
коммутативна. По определению (см. определение 2 лекции 20) это означает, что отображения (4) составляют коцепиое отображение
d- С’’'/(И)--С’ч11 (11)
комплекса С’’'((11) в комплекс C’”i11 (11).
Заметим, что d о d = 0, т. е. для любого р 0 семейство Ср' ’ (П) = {СР' ч (11), d} является коцепным комплексом. При этом отображения
6: Ср’ '/ (11) - -О' "'/(II)
будут составлять коцепное отображение комплекса СР’ ’ (11) и комплекс Ср1’ ’(11).
Определение 3. Семейство С’’' — {Ср’Ч, б, d} групп С'' ", где р, </^0, и отображений
6: Ср’ ч — > Ср 1 " ч, d: СР'Ч -^Ср'Ч^1 называется двойным комплексом, если
б о б = 0, d о d — Q и d о б = б о d,
।
если
342 ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ ДВОЙНОГО КОМПЛЕКСА
1° для любого (для любого р>0) семейство С’’ 1 — {О 1, 6} (семейство О’’ = {О’ч, d}) является коцепным комплексом;
2° отображения d составляют коцепное отображение
d:
комплекса С'Ч в комплекс С’’*+1, и, следовательно, отображения 6—коцепное отображение
6: О’’ —О+1-
комплекса О’ ’ в комплекс О+1’
Таким образом, мы видим, что для любого покрытия 11 гладкого многообразия ЗС нами построен двойной комплекс
С’’’ (U) = {О * (U), 6, d}.
Мы будем называть его двойным комплексом покрытия 11.
Двойные комплексы мы будем изображать таблицами вида
I f t e t
с», «+1 _> с1. «+1 —> ... —> СР- Ч+1—-> СР+1- «+1 —» ...
t t d I Ар
(5) C°<4 —, CM CP.v —>...
c°>0
I c1-0
CP’ 0
CP+1’ 0
В соответствии с этим комплексы С’’ ч мы будем называть строками двойного комплекса С’’’, а комплексы СР’’— его столбцами.
Положив для любого т О
мы определим отображение
b: Ст —>С"’+1
формулой
где
bc = 6c-| d'c, d'c = (—\ydc, если с^Се”п~е.
ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ ДВОЙНОГО КОМПЛЕКСА 343
Таким образом, элементами группы Ст являются цепочки с = (с0, .... сп) коцепей комплекса С'', расположенных на его m-й антидиагонали:
а отображение b каждую такую цепочку переводит в цепочку Ьс = (е0, ет + 1), для которой
!°
еп d’c0, со —* *1
ei &Co~i~d С], ।
(6) Ci —+ ...
ет — 1 ~Ь d С/п' •
е/л +1 — |
-1 * ^/л
С/п ' 2 т +1 •
В частности, Ьс = 0 тогда и только тогда, когда
О
Со—>0 dc0 =г о, |
6co~|-d'ci 0, с, —* ...
(7) :
&cm+i+d’cm 0, •
- 0, I
с»,-!—>0
ся —» 0.
Так как d'6c = (—l)p+1ddc и 8d’c — (—\)pbdc, то
</' о 6 -|- 6 о d' = 0, и потому
Ь о Ь = (6 -j- d') о (б+^') = 6o6 + 6od'4-d'o6 + d'od'=0.
344 ОКАЙМЛЕННЫЕ ДВОЙНЫЕ КОМПЛЕКСЫ
Это означает, что семейство {Ст, Ь} является коцепным комплексом.
Группы когомологий этого коцепного комплекса мы будем называть группами когомологий двойного комплекса С'' и будем обозначать символом Нт(С’‘).
В частном случае С’’ ‘ = С’’ ‘ (11) эти группы мы будем называть группами когомологий покрытия 11 и будем обозначать символом Нт (Ц).
Двойной комплекс покрытия 11 = {Uk С К} мы можем естественным образом окаймить слева комплексом де Рама <7} многообразия ST, а снизу — комплексом {С/ДЦ; IR), 6} коцепей покрытия 11 с коэффициентами в поле R:
(Ь)
о+й»# -4
4
o-^fio^- 4 4 4 4
C“(ll; R) -»C’(ll;R) -...-C/'(U; R) г ' : t
0 0 0
с°. 1(11) -0.1(11) ....
! I ! f „
С°. "(И) > с*. ° (U) -►...-►СК. 0(11) ->СК'1,п(11) ,
CK 'i(U; R)->...
t
6
где/ — вложения, возникающие в результате отождествления произвольного числа XgR с постоянной функцией, принимающей значение X, а отображения j определяются формулой
О) (^ = („1^,
где со £ £2'^ и k С К.
Ясно, что отображения i и j перестановочны соответственно с операторами 6 и d, т. е. составляют коцеппые отображения
i: С’(П; К)-.С,’°(П), /: С“’ ’ (11),
окаймленные ДВОЙНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 345
Кроме того, они являются мономорфизмами и удовлетворяют соотношениям
d о i = 0, 6 о j = 0.
(Соотношение doj=0 следует из того, что если f — const, го df = 0, а соотношение 6 о / = 0 — из того, что по определению
(6с)(/г„, ^1) = с(/г1) —с(/е0) на
для любого упорядоченного симплекса (/?0, и,
значит, если c(fe) = w на U то (6с) (£0А) = 0.)
Эта ситуация заслуживает специального определения.
Определение 4. Окаймленным двойным комплексом называется состоящая из групп и гомоморфизмов таблица вида
0 d [ ♦ bi 4 С0’ 1 - d J . -+ СР' ч Г 1 6 i 4 ср + 1> ч -^ ...
0 г в1 4 С°,1 с1»1 * . -> С/” 1 т- -ч. СР 1 Ь 1 > . . .
0 г ^в° - f : . С0, 0 , С1, 0 . . > L’ ° t • ♦ СР 1 0 * .. .
' i [' /1“ .А1 . 0 0 i Г . - Ар t 0 it t 0
где часть, обведенная рамкой, является двойным комплексом в смысле определения 3 и где
Г семейства Д’ = {Д'', 6} и В' = {В*, d} являются коцепными комплексами;
2J отображения I составляют коцепное отображение комплекса А’ в комплекс С’’ °, обладающее тем свойством, что
(10) d о i = 0;
3° отображения / составляют коцепное отображение комплекса В’ в комплекс С0'', обладающее тем
346 краевые гомоморфизмы
свойством, что
6 о / = 0;
4° все отображения i и / являются мономорфизмами.
Замечание 4. В русской топологической литературе окаймленные комплексы называются также сегментированными двойными комплексами. Этой фонетически отвратной калькой с английского языка мы пользоваться не будем.
Из соотношения (10) непосредственно следует, что, отождествив для любого элемента а£А элемент ia£Cm,° с цепочкой (0, 0, 1а)£Ст, мы получим коцепное
отображение i комплекса А' в комплекс {С'я, Ь}. [Действительно, так как (dot) а = 0, то b (ia) = (0, . . ., 0, (6ot) а) = -= (0, .. ., 0, I (6а)) = i (6а).] Индуцированные этим коцеп-ным отображением гомоморфизмы
(11) /*: Н'п (Л’) — Н'п (С'')
мы будем называть нижними краевыми гомоморфизмами. Аналогично определяются левые краевые гомоморфизмы
(12) /*: Нп(В')~+ Нп(С''').
Для двойного комплекса С' ’ (11) покрытия II многообразия Ж нижние краевые гомоморфизмы имеют вид i*: Hn(VL\ R) -+Нт(\Х), а левые — вид
/*: НтЯ Нт (\\).
Мы будем говорить, что окаймленный двойной комплекс (9) ацикличен по столбцам, если каждый его столбец является точной последовательностью, т. е. для любых р, q 0 имеет место равенство
( Im(i: Ар —> Ср' °), если о=-0,
Ker(d: Ср'‘-+Cp'^l)=-y Im(d; СР, _^Ср, если q >().
[При <7 = 0 это равенство означает, что мономорфизм i изоморфно отображает группу Ар на группу Н°(Ср'’) = = Ker(d: Ср’ °->-Ср’1) комплекса Ср’’, а при q > 0, что группа Hi(Cp’’) когомологий этого комплекса равна нулю.]
АЦИКЛИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ
347
Аналогично определяются двойные комплексы, ацикличные по строкам, для которых
( 1т(/: Вч —^С0’9), если р—0,
Кег(6;О>. еми ₽>()
Ключом к вычислению групп когомологий де Рама гладких многообразий является следующая алгебраическая лемма:
Лемма 1. Если окаймленный двойной комплекс (9) ацикличен по столбцам (по строкам), то для любого нижний краевой гомоморфизм (И) (левый краевой гомоморфизм (12)) является изоморфизмом.
Доказательство. Пусть для коцикла agA'a комплекса А* имеет место равенство i* [а] — 0, т. е. существует такая цепочка с = (са, . . ., ст_,) £ С"‘-1, что Ьс = ш. Но определению это означает, что
О
dc0 - 0, с О
бсо - 0, |
(13) • •••;•• I; ci~*
*^С/Л _ 2 Ь^С/Л—1—б, •
6cm_i = ia,
ст - 2 “ -* О
С/Л-1->'«•
Так как по ‘условию первый столбец комплекса С’’ является точной последовательностью, то существует такая коцепь Ь0ЕС’0’'”-1, что dbQ = cQ. Тогда коцепь с’ — с—ЬЬ0 (т. е., точнее, коцепь с—b (Ьо, 0, .. ., 0)) будет иметь вид (0, с’х, ..Cm-J и по-прежнему будет удовлетворять соотношению bc' = ia. Поэтому без ограничения общности мы с самого начала можем считать, что со = О.
Но тогда второе соотношение (13) будет иметь вид г/с, = 0, и потому, ввиду точности второго столбца комплекса С’", будет существовать такой элемент Ь, £ С1’/л-1, что db^ сг. Поэтому, заменив с на с—bby, мы добьемся юго, что со = 0 и Ci = 0 (сохранив соотношение bc = ia).
Двигаясь таким образом по антидиагонали вниз, мы в конце концов придем к цепочке с вида (0, .... 0, с,л_,), где с,л_1 — такая коцепь из С'”-1’0, что dc,n_1 = 0 и = Но так как dc„_1 = 0, то—снова ввиду точ
348 АЦИКЛИЧНОСТЬ ПО СТРОКАМ
ности соответствующего столбца—существует такой эле мент а'£Ат~1, что ia' = cm_lt и, значит, такой, что
i (6а') = 6 (ia') = = ia.
Поскольку отображение i по условию мономорфно, этим доказано, что 6а' = а, т. е. что [а] — 0 в Нт(А"). Следовательно, гомоморфизм (11) является мономорфизмом.
Пусть теперь с = (с0. .... cra_t) — произвольный /«-мерный коцикл комплекса {С'л, Ь}. Тогда для коцепей си, .... ст выполнены соотношения (7). В частности, dcQ — 0. Поэтому снова существует такая коцепь Ьо, что для коцикла с—ЬЬ0 компонента с0 равна нулю, и, значаi, в силу второго соотношения (7) для этого коцикла будет иметь место равенство ^ = 0, и, следовательно, будет существовать такая коцепь bt, что у коцикла c—dbH— dh, будет равна нулю и компонента с,.
Продолжая процесс, мы в конце концов получим коцикл когомологичный данному, у которого все компоненты с0, .. ., cm_i равны нулю, а последняя компонент ст имеет вид ia, где а—некоторый коцикл комплекса Д', т. е. который является образом коцикла а при отображении I: Д'л —С'л. Это означает, что гомоморфизм (11) является эпиморфизмом.
Симметричное утверждение о двойных комплексах, ацикличных по строкам, доказывается аналогично. IJ
Следствие 1. Если окаймленный двойной комплекс (9) ацикличен по строкам и по столбцам, то для любого т^О группа Нт (Д’) изоморфна группе Н'п(В'). IJ
Следствие 2. Если для открытого покрытия 11 гладкого многообразия Я окаймленный комплекс (8) ацикличен по строкам и столбцам, то дли любого m^Q группа когомологий де Рама Нт3б многообразия % изоморфна группе когомологий Н'п (U; R) покрытия U:
НтЯ « Нт (Ц; R). LJ
Таким образом, в этом случае группу Н"‘3б мы можем вычислять чисто комбинаторно по нерву К покрытия 11. (Ср. вычисление групп H'nS" в предыдущей лекции.)
Условие ацикличности строк двойного комплекса (8) при р — 0 означает, что каждый коцикл с^С0,<'(П) имео вид но, где (о££КТ, т. е. что c(fe) = w на Uk для любою feg/C Но это действительно так, поскольку условие, что
АЦИКЛИЧНОСТЬ ПО СТРОКАМ 349
коцепь с: kt-+c(k)£.Q U h является коциклом, означает, что
с(/е0) = с(/?!) на Ukj\Uki
для любых двух индексов k0. k^K (для которых ^л П £4, #= 0), т. е. формы с (/г). согласованы на пересечениях и потому составляют некоторую форму Таким образом, условие ацикличности строк при р = 0 выполнено для комплекса (8) произвольного покрытия 11.
Условия, обеспечивающие ацикличноеш строк (при р > 0) и столбцов (при с/^0) комплекса (8), мы рассмотрим в следующей лекции.
Лекция 22
Ацикличность по строкам двойного комплекса нумерпруе-мого покрытия.— Ацикличность по столбцам двойного комплекса покрытия Лере.— Теорема де Рама — Лере.— Обобщение.— Группы Ер’ ч.—Группы Fp’ ч-—Группа, при-присосдиненная к градуированной группе с фильтрацией.
Определение 1. Семейство {yj } гладких неотрицательных функций ц,: X —* R называется локально конечным, если для любой точки многообразия Ж существует ее окрестность, в которой только конечное число функций т], отлично от нуля. Локально конечное семейство {Ла} функций называется разбиением единицы, если 2ла= 1
А
(в силу условия локальной конечности эта сумма имеет смысл). Разбиение единицы {т|.е} называется подчиненным открытому покрытию {Up} (с тем же множеством индексов), если л.ч = О вне Для любого k. (Заметим, что в литературе встречается другое, более ограниченное определение, в котором требуется, чтобы в Uk содержалось не только множество, где т]лУ= 0, но и его замыкание.) Открытое покрытие {Uk} называется нумерируемым, если существует подчиненное ему разбиение единицы {т].,}. Многообразие Я’ называется паракомпактным, если каждое его открытое покрытие нумерируемо.
Оказывается, что если покрытие 11 = {Uk, гладкого многообразия X нумерируемо, то его двойной комплекс С’ ’ (U) ацикличен по строкам. Действительно, согласно сделанному в конце предыдущей лекции замечанию, нам надо лишь доказать, что для любого каждый р-мерный (р > 0) коцикл с коцепного комплекса С' ч = {С?’ ч (U), 6} является кограницей. С этой целью мы отнесем произвольной коцепи с g Ср’7 (П) коцепь Dc£ Ср~х' ч (И), определенную (очевидно, корректно) формулой
(1) (Ос)(/?0,...,k 2п/(й, k0, , kp-i).
пек
(k0, .... kp^) € ^p-ii
где {y)*}—разбиение единицы, подчиненное покрытию II.
АЦИКЛИЧНОСТЬ ПО СТОЛБЦАМ
351
Тогда для любого симплекса (k0, . .., kp)£Kp
(8Dc) (Ло, .. ., k ) = 2 (— О' 2 Ъс (Л, k0, .... k/, ... ,k ) = t=0 k g к
=2^2(-i)W.к, kp)
keК i=0
И
(Обе) (k0, ...,k) = 2 Пл (M(*. k0, . . ., kp) = y kiK r
=2 пл№. •••Л) + 2(-1)Н1г(Мв, ...Л •••Л)]= лек 1=о
= c(k0, . ..,kp)—% Пл 2 (—1)'с(/г,/г0, . ..,k„ ...,k) = keK i=o F
= с(йв...kp) — (SDc)(ka, ...,kp),
t. e.
D8c + SDc = c
для любой коцепи с. Поэтому, если 6с = 0, то с = бОс. □
Рассмотрим теперь условия, обеспечивающие ацикличность комплекса С’ ’ (U) по столбцам.
Напомним (ср. определение 1 лекции 10), что для произвольного семейства множеств {Жа} символом Ц^а обо-а значается множество всевозможных семейств {ха}, где ХаЕ-Я'а- В случае, когда все представляют собой линейные пространства, это множество является линейным пространством относительно покомпонентных операций ({*«} 4- Ute} = {Х«Н '/«}- М*а} = {^*<4) и называется прямым произведением линейных пространств Аналогично определяются прямые произведения групп, коцеп-иых комплексов, двойных комплексов и т. п.
При этом ясно, что, например, группы когомологий прямого произведения комплексов будут прямыми произведениями групп когомологий сомножителей.
Сравнив общее определение прямого произведения линеалов с определением линеалов Ср’ ч(И), мы немедленно обнаружим, что каждый линеал Ср' ‘! (Ц) является не чем иным, как прямым произведением
П йЦ(/Лоп...п^)
{*,.щек
352
АЦИКЛИЧНОСТЬ ПО СТОЛБЦАМ
линеалов Q'(Ukit(} . . . n^*f) по всем р-мерным симплексам {k0, ...,kp} симплициальной схемы К. При этом отображение d: Ср’ '! (11) —+ Ср’ ’>41 (11) переводит каждый множитель Q(U кв и .. . п Окр) линеала О’7 (11) в множитель Q/41 (Ukiiп .° . ПUkr) линеала Cp,/ll(U) и является на нем не чем иным, как внешним дифференциалом
d: й’(<АиЛ ... П1Л-,,) —П'ч1(14,П ...
Это означает, что для любого р^О комплекс Ср'' (И) является прямым произведением комплексов де PaMaQ’(t/fron •.. f]Ukp) и, значит, его группы когомологий —прямыми произведениями групп Н' (U и . . . n Ukp). Поэтому для комплекса С’‘(H) условие ацикличности столбцов при q > 0 выполнено тогда и только тогда, когда для любого симплекса {/г0, ...,kp}a.K все группы когомологий H4(Ukop\ . . . f]0kp), q 0, равны нулю. Аналогично, так как для любого группа Ср (II; R) является не чем иным, как прямым произведением линеалов R по всем симплексам {ka, . . ., /г,,} <=/(, то условие ацикличности столбцов комплекса С’’‘(II) при р==0 равносильно требованию, чтобы для любого симплекса {/г0, . .., kp} с К группа . П^Лр) была изоморфна R.
Поскольку в силу леммы Пуанкаре (и предложения 2 лекции 20) оба условия заведомо выполнены, когда все пересечения п ... п Ukp диффеоморфны открытому шару Ё" пространства R" (где, как всегда n = dim ^), мы видим, что комплекс С’ ‘(И) ацикличен по столбцам, если для любых индексов /г0, . . ., kp£K пересечение UГ1 • • • (1 -
когда оно не пусто—диффеоморфно шару В'.
Определение 2. Открытое покрытие 11 = {Uft; k € К} гладкого n-мерного многообразия мы будем называть покрытием Лере, если для любых индексов /е0, .... kp^,K пересечение U и . . . П UьТ, либо пусто, либо диффеоморфно шару В".
Таким образом, для любого покрытия Лере U комплекс С' ’ (11) ацикличен по столбцам.
Сопоставив полученные результаты, мы в силу следствия 2 леммы 1 предыдущей лекции немедленно получим следующую теорему:
Теорема 1. Для любого нумерируемого покрытия Лере гладкого многообразия Л' группы когомологий Нт (11; И<)
ТЕОРЕМА ДЕ РАМА - ЛЕРЕ
353
изоморфны группам когомологий де Рама НтД многообразия Д.
Эта теорема называется теоремой де Рама в форме Лере) (или, короче,— теоремой де Рама— Лере).
Нетрудно указать и явную формулу, задающую изоморфизм
(2) Я“(Ц;
Задача 1. Если к коцепи ic£Cm- ® (U), с£Ст (Ц; R), мы т раз применим оператор doD, где D — оператор Ср- Ч (U)—> Ср-1> ® (П), определенный формулой (1), го получится коцепь из C°-m(U). Покажите, что:
1° в случае, когда с является коциклом, коцепь (d о D)mc имеет вид /со, где со—замкнутая форма из £2тД;
2° класс когомологий [со] формы со зависит только от класса когомологий [с] коцикла с;
3° с точностью до знака отображение [с] i—> [со] является изоморфизмом (2).
Следствие 1. Для любого нумерируемого покрытия Лере Ц гладкого многообразия Д группы когомологий ^“(U;R) не зависят—с точностью до изоморфизма—от этого покрытия и определяются исключительно самим многообразием Д. □
Замечание 1. Можно показать—на основании совершенно иных соображений, не связанных с дифференциальными формами,— что следствие 1 справедливо для групп когомологий Нт (U; G) и над произвольной группой G.
Определение 3. Группы где U—произ-
вольное нумерируемое покрытие Лере многообразия Д, называются группами когомологий Чеха многообразия Д и обозначаются символом Нт(Д\С). Они определены, если многообразие Д обладает хотя бы одним нумерируе-мым покрытием Лере.
В силу замечания 1 это определение корректно. Оно позволяет следующим образом переформулировать теорему 1:
Теорема 1а. Если для многообразия Д существует нумерируемое покрытие Лере, то его группы когомологий де Рама изоморфны его группам когомологий Чеха:
Н”ДжНт(Д\К), т>0.
Хотя на практике вопрос о существовании нумерируемого покрытия Лере для данного конкретного много-
12 м. М. Постников, см. III
354
ТЕОРЕМА ДЕ РАМА-ЛЕРЕ
образия Я? обычно трудностей не вызывает, но все же, конечно, этот вопрос интересно рассмотреть в общем виде.
Теорема 2, Любое хаусдорфово многообразие, удовлетворяющее второй аксиоме счетности (в частности, любое хаусдорфово компактное многообразие), паракомпактно, т. е. каждое его открытое покрытие нумерируемо.
Замечание 2. Можно показать, что и, обратно, любое связное паракомпактное хаусдорфово многообразие удовлетворяет второй аксиоме счетности.
См. ниже, замечания 2 и 3 лекции 24.
Теорема 3. Любое паракомпактное хаусдорфово многообразие обладает покрытием Лере. Если многообразие компактно, то оно обладает конечным покрытием Лере.
Следствие 1, Группы когомологий Чеха определены для любого паракомпактного хаусдорфова многообразия ST. Для компактного многообразия эти группы имеют над G конечное число образующих (при G = R конечномерны).
Следствие 2, Группы когомологий де Рама Нт£Г произвольного паракомпактного хаусдорфова многообразия SC изоморфны его группам Чеха над полем R:
НтЯ « Нт (ЯД R).
Следствие 2 обычно называется теоремой де Рама для групп когомологий Чеха.
[Вообще, теоремами де Рама называется целый букет теорем, описывающих группы НтЯ? в топологических терминах. Название объясняется тем, что самая первая из этих теорем была на самом деле доказана де Рамом. Мы познакомимся с этой теоремой в лекции 28.]
Следствие 3. Для компактного хаусдорфова многообразия Я? все линейные пространства НтЯ? конечномерны (и, значит, числа Бетти hm% определенье. □
Мы докажем теорему 2 в лекции 24. Что же касается теоремы 3, то—подобно лемме Гаусса из лекции 5—мы вынуждены отложить ее доказательство до следующего семестра.
Вообще говоря, даже для самых простых многообразий Я? покрытия Лере U содержат довольно много элементов, что делает задачу вычисления групп R) = -- Нт(ЯД R) если не сложной, то, во всяком случае, громоздкой и утомительной. Поэтому интересны способы
ОБОБЩЕНИЕ
355
вычисления групп //'"(^R) с помощью покрытий, не являющихся покрытиями Лере. (Как показывают примеры из лекции 20, этот подход может оказаться весьма эффективным.) При этом ввиду теоремы 2 (правда, нами еще не доказанной) мы, практически интересуясь лишь многообразиями, удовлетворяющими второй аксиоме счетности, можем ограничиться лишь нумерируемыми покрытиями \X — {Uk, k$K}, для которых окаймленный комплекс C‘’’(U), как мы знаем, ацикличен по строкам, и, значит, его группы когомологий Нт (U) изоморфны группам когомологий де Рама Нт% многообразия SC. Таким образом, задача вычисления групп НтЯ‘ сводится к задаче вычисления групп Нт (U).
Мы будем считать, что нам известны
а) нерв К покрытия U (т. е. известно, для каких индексов /г0, ..., kp £ К. пересечение Uka Г) ... A kp не пусто);
б) для любого симплекса {ka, ..., k„} нерва К. известны все группы когомологий де Рама Н' (и fto А ... A Ukp) открытого подмногообразия t/fcoA . • A Upn', н будем искать алгебраическую процедуру, позволяющую на основе этих сведений, если не полностью вычислить группы (Ц)»//"'.^—это останется недостижимым идеалом,— то, по крайней мере, получить об этих группах достаточно обширную ин4юрмацию.
Пусть С‘>' = {Ср’б, d} — пока произвольный двойной комплекс. Так как столбцы Ср> ‘ = {Ср’ ч\ d} комплекса С’’ ’ являются обычными коцепными комплексами, то определены их группы когомологий Н‘ (Ср’ ’). По традиции принято обозначать эти группы символом ". (Обратите внимание на порядок верхних индексов!)
Поскольку горизонтальные кограничные операторы б: Ср’ ч —► Ср+1’ ч составляют по определению коцепное отображение Ср’ ’ —> Cp+L’ ’, они индуцируют гомоморфизмы
(3) б*: Ер-ч ->Е₽+1> ч.
Так как б о 6 = 0, то б*об* = 0 и, значит, для каждого 7^0 семейство £?* = б*} групп и гомоморфизмов
является коцепным комплексом. (В дальнейшем вместо б* мы будем писать просто б.) Группы когомологий Нр(Е[-ч) комплексов Е{'Ч мы — также по традиции — будем обозначать символом Е%- ч и будем располагать их в таблицу вида
12*
356
ГР-УЙПЫ E^'l
(4)
1
Ef £i-7 £₽-7
СО, 1 ь2 Ер-1
pi, о ^2 Ер2-°
Условно £g-7(С’’') (и £?>’ = /7§/72(П). если С*’' = С’’’(11)), где нижние индексы указывают пограничный оператор, по отношению к которому вычисляются группы когомологий.
Заметим, что в специальном случае двойного комплекса вида С*’' (U) информация, содержащаяся в пунктах а и б (см. выше), в принципе достаточна для вычисления групп Е%- Q. Действительно, как мы знаем, каждый столбец СР’ "(П) комплекса C’*(U) является прямым произведением комплексов де Рама вида £2* (t/fro П •. • П £ЛР) и, значит, его группы когомологий Е^'4 = Нч (СР' ’ (U)) — прямыми произведениями групп когомологий де Рама Я7 (IK П ... П Ukp). Это означает, что переход от группы Ср' 4 (Ц) к группе 7 состоит в том, что мы, ограничиваясь коцепями с: (kQ, .. .,kp)-+c (k0, .. .,kp)€& (Uko n ... П Ukp), значения c (k0, . . ., kp) которых являются замкнутыми формами, переходим к их классам когомологий
- №.........kp)]^H4(Ufliin ... (}Ukp).
Следовательно, элементами группы £?7 мы можем считать определенные на Кр кососимметрические функции
с: (ka, ...,kp) t->7(&0, ..., kp),
для которых с (k0, ..., kp) С Нч (U Г) nU^) (коцепи со значениями в когомологиях). При этом оператор (3) будет задаваться формулой
_ р+1 _
(S'c) (ke, ..., kp+1) = (-1 )'с (ka... k{.....kp+1),
ГРУППЫ £₽• Ч
357
где справа пропущены подразумеваемые гомоморфизмы ограничения
№ П • • • A lJk[ А ... A Ukp) Н« (Uko П ... П икр)
(ср. формулу (2) предыдущей лекции). Все это дает алгорифм— в не очень громоздких случаях вполне работоспособный—для вычисления групп Е%- ч. □
Таким образом, группы ? для двойных комплексов вида С’> ‘ (11) мы можем считать известными, по крайней мере теоретически.
Пример 1. Если U = {U, V}—двухэлементное покрытие сферы S", рассмотренное в лекции 20, то среди групп Нт (U), Нт (V) и Нт (U П V) отличны от нуля только группы
№(V)«R, №(t/nV)»R и
Я"-1 (U nV) « »R.
Поэтому комплекс Ef0 изоморфен комплексу С (11; R) и, значит, группы Е^а изоморфны группам Hp(XV, R). (Это— общий факт, справедливый для любого многообразия % и любого его покрытия И со связными пересечениями <4,0 ... (]Ukp.)
С другой стороны, легко видеть, что №(U;R)®R (это—опять общий факт, справедливый для любой связной— в понятном смысле—симплициальной схемы), и что //р(Ц; R) = 0 при р > 0 (нервом покрытия 11, или, точнее, его геометрической реализацией является отрезок (5) ’ £-------1
и, значит, при р > 1 равна нулю даже группа 0(11; R), а при р=1 любой элемент группы С1 (11; R) = Z1 (U; R) однозначно определяется числом Х = с(О, 1) и потому равен бе, где е—нульмерная коцепь, определенная формулой е(0) = 0, е(1) = Х).
Таким образом,
f R, если р = 0, Ер'° = {
2 ( 0, если р > 0.
Что же касается групп Е{<ч при q > 0, то среди них отлична от нуля только группа Е},',-1 = С1 (И; R), изоморфная R. Поэтому среди групп Е^ 17, q > 0, также отлична от нуля только группа E2’n-1«R.
358
ГРУППЫ FP’4
Таким образом, таблица групп Eg- ’ для покрытия {U, V} сферы S" имеет вид
(в остальных клетках, кроме двух указанных, стоят нули). [
Осталось научиться переходить от групп Eg,? к группам Нт(С’’’). Для этого мы в первую очередь опишем группы Е%ч непосредственно по группам Ср>ч. При этом, во избежание многочисленных оговорок, мы будем считать, что группы Ср’9 определены и для отрицательных р, ц и равны в этом случае нулю:
СР’ч = если р<0 или q<0.
По определению каждый элемент х группы Eg’7 является классом 6-когомологий некоторого 6-коцикла с(Е Eg- ", который в свою очередь является классом d-когомологий некоторого d-коцикла с $ Ср’ч. (В комплексе покрытия U элемент с представляет собой коцикл со значениями в когомологиях, а с получается из с выбором в каждом классе когомологий с(^0, ...,kp) некоторого представителя.) Таким образом, каждый элемент х € Eg-’ задается некоторым элементом с € Ср ’ ч. Мы будем писать х = [с]а (и с = [с] J.
Чтобы элемент [с]а был определен, необходимо, конечно, чтобы dc = O. Кроме того, элемент &с$Ср+1,ч должен иметь вид dcn где с1^Ср+1’ Ч~1 (чтобы элемент [c]1$Eg’'/ был 6-коциклом). Впрочем, нам будет удобнее здесь заменить d на d' и представлять 6с в виде —d'Cj (что, конечно, никакого принципиального значения не имеет). Обратно, если dc = 0, то определен элемент [с]1( а если 6с = — d'Cj, то 6 [с]j = 0 и, значит, определен элемент [с]а. Таким образом, элемент [с]а определен тогда и только тогда, когда существует двучленная цепочка (с, cj вида о
(6) d t в d'c = 0,
6c-|-d'ci = 0.
Cl,
ГРУППЫ FP’4
359
Аналогично показывается, что [с]а = [с']а тогда и только тогда, когда существуют такие коцепи а^Ср~1'4 и bZCP’v-1, что
da — Qu с’—c=Sa—d'b;
схематически;
(7)
ь.
С другой стороны, мы знаем (см. формулы (7) предыдущей лекции), что коциклами комплекса С’’’ (по отношению к оператору Ь) являются цепочки вида
(8)
d'co = O, 6c0+d'ci = 0, 6ci+d'c» = 0,
6Cm-i + d'Cm = 0, 6сЛ = 0,
имеющие максимально возможную длину (кончающиеся па нижней строке комплекса С’’ *). Поэтому, если коцикл (8) обладает тем свойством, что со = О, ..., ср_1=0, то дня его компоненты ср будет определен элемент [сД группы Е$’т~р.
Таким образом, соответствие ci—определяет некоторое отображение
(9) т~Р -> ЕР- т~Р,
где Zp'm~p—подгруппа группы b-коциклов двой-
ного комплекса С’’ ’, состоящая из коциклов с~(Ср, ... .. .,сп), для которых с0 = 0, ...,ср_1 — 0. При этом из определения оператора b (см. формулы (6) предыдущей лекции) непосредственно следует, что если коциклы с = =(0, ..., 0, ср, ...» ст) ки с — (0, ..., 0, Ср, ..., ст)
360 ГРУППЫ FP’ 4
из группы ZPt т~р когомологичны, то существует такая цепочка (п0, alt...ар, 0, .... 0), что
(Ю) о
а0
d'a0 -= 0,
6gi -f- d'oi ~ 0,
&ap~2-\-d'ap_i — О,
14- d'ap = Ср — ср.
aF-
Это отношение превращается в отношение, выражаемое диаграммой (7) при «о = О, ..ар~г = 0, но в общем случае оно слабее отношения (7). Это вынуждает нас ввести в рассмотрение факторгруппу Ер'т~р группы Ер,т~р по подгруппе всех элементов вида [ба^_1 + d'ap]2 и композицию
(11) zP,m-P
гомоморфизма (9) с гомоморфизмом факторизации Efr т~р —> —*Е2'т~р. Все кограницы, содержащиеся в Zp’m~p, гомоморфизм (11), в отличие от гомоморфизма (9), переводит в нуль и, значит, индуцирует некоторый гомоморфизм (12) FP'm-p^p2‘m-p,
где FP'm~p—подгруппа группы Нт(С’'"), являющаяся образом подгруппы Z₽’m-₽ при гомоморфизме факторизации Zm(C’>') —> Нт(С'< ’), т. е. состоящая из классов когомологий [с], содержащих коцикл с вида (0........0,
^/>> • • • > ^т)-
Ясно, что при гомоморфизме (12) подгруппа Fp+1, 'п~р~ ' группы FP’P'-p переходит в нуль. Поэтому этот гомоморфизм индуцирует некоторый гомоморфизм
(13) fP.m-P/fp+l. m-P-l —►Ё₽’т~р.
С другой стороны, утверждение, что класс когомологий [с] £ Fp-с —(0, . . 0, ср, . . cm_F), переходит при
ПРИСОЕДИНЕННАЯ ГРУППА 361
гомоморфизме (12) в нуль, означает, что существует такая цепочка а = (а0....ар, 0, ..., 0), что
0 t а»—►
d'aa — 0, 6a0 + d'oiT’0>
-0, •
fap^+d'cip-Cp, |
ар-2 —>
t
aP’
Но тогда для коцикла с' — с—ba компонента ср будет равна нулю, т. е. этот коцикл будет принадлежать подгруппе Zf+i> m-p-i. Поскольку [с] = [с']( это доказывает, что подгруппа рр+^> m-p-i является ядром гомоморфизма (12) и, значит, что гомоморфизм (13) представляет собой мономорфизм.
Подгруппы Fp< т р составляют ряд вложенных подгрупп (14) Нт(С’’ ,) = F0> m=>F1’ m~l=>... =>Fm’ -i = {0}, начинающийся co всей группы H,n (С’’ *) = F0’ т и кончающийся нулевой подгруппой Fm ь1’ -1 = {0}.
Здесь удобно ввести соответствующую общую терминологию.
Определение 4. Градуированной абелевой группой называется произвольная последовательность
Н' = {Н°, Н1....Нт, ...}
абелевых групп Нт. Фильтрацией градуированной группы Н’ называется такое семейство {/>’’} абелевых групп, где —1 q < оо, что:
1) каждая группа Fp'I является подгруппой группы Нр+ч\
2) для любого /п^О имеют место включения Нт = F0’ m^F1’ m-1z>... zzFm' oz>Fm+lt -1 = {0}.
Группой, присоединенной к градуированной группе Н'
362 ПРИСОЕДИНЕННАЯ ГРУППА
с фильтрацией, называется градуированная группа Gr (Я’) = {Gr (Нт)}, для которой
(15) Gr(//m) = F0’ m/F1’ т-1ф ... -1.
Вообще говоря, группы](15) еще не позволяют восстановить группы Нт, но если группа Нт является конечномерным линейным пространством (а группы F?’ т~Р—ее подпространствами), то группа GrjHm) изоморфна группе Нт. Действительно, в этом случае обе группы Н"‘ и Gr (Н'я) являются конечномерными линейными пространствами одной и той же размерности (равной сумме размерностей факторпространств FP> ^-р/рр+и m-p-i, р _ = 0, ..., т), а мы знаем, что линейные пространства одной и той же размерности изоморфны. [Чтобы построить изоморфизм Н,а —► Gr (Нт) надо в каждом подпространстве Fp> т~Р выбрать подпространство RP’ т~Р, дополнительное к подпространству рр+х,т-р-х (т. е. такое, что FP, ^-р — рР+1, т-р-1®£р, т-ру Тогда
Н,я = ₽»’ тф R1’ “-‘ф 0
и отображения факторизации FP,,a~P FP’ ’»-piFp+^m-p~1 индуцируют изоморфизмы RP’ ,п~Р —f pP^-p/pp + l, m-p-i, составляющие изоморфизм Н’п —<- Gr (Нт). (Заметим, что изоморфизм Н’я —> Gr (Нт) строится тем самым со значительным произволом, избежать которого в принципе нельзя.)] □
Замечание 3. Утверждение об изоморфизме линейных пространств Н'п и Gr (Нт) верно и без предположения конечномерности, поскольку теорема о существовании для любого подпространства дополнительного подпространства этого предположения не требует.
Действительно, пусть —произвольное линейное пространство. Напомним (см. определение 5 лекции 1.2 и определение 4 лекции 1.3), что семейство (множество) векторов пространства называется линейно независимым, если любое его конечное подсемейство (подмножество) линейно независимо, и полным, если любой вектор пространства 9^ является линейной комбинацией векторов некоторого конечного его подсемейства (подмножества). Линейно независимое и полное семейство векторов называется базисом. Ясно, что объединение любого линейно упорядоченного по включению семейства (цепи) линейно независимых подмножеств пространства линейно независимо. Следовательно, по лемме Цорна (см. лекцию 10) в множестве всех линейно независимых подмножеств пространства существуют мак
ПРИСОЕДИНЕННАЯ ГРУППА 363
симальные элементы. Поскольку каждый такой элемент является, очевидно, полным подмножеством, этим доказано, что каждое линейное пространство обладает базисом. При этом —по той же лемме Цориа — каждое линейно независимое подмножество пространства ‘У3 содержится в некотором базисе. В частности, если 5s — подпространство пространства <Yi, то любой базис {ха} подпространства 5s содержится в некотором базисе {ха, ур) всего пространства СУ3. Линейная оболочка дополнительных векторов у$ и будет, очевидно, подпространством пространства |7/Э> дополнительным к подпространству 3*.
Наша ближайшая цель будет состоять в вычислении для градуированной группы Н' (С*’ ’) = [Нт (С’’')} с фильтрацией (14) присоединенных групп (15). Для этого нам надо, во-первых, охарактеризовать образ каждого гомоморфизма (9), а во-вторых, описать переход от групп Е%‘ч к группам Е%". Мы займемся этим в следующей лекции.
Лекция 23
Группы Е?' ч.— Спектральные последовательности.— Спектральная последовательность двойного комплекса.— Спектральная последовательность покрытия.
Продолжим изучение групп q для двойного комплекса С’ * = {О>0; б, d}.
Как мы знаем (см. предыдущую лекцию),
а2) Элемент [с]2 £ Ер- q, с С Ср- ч, определен тогда и только тогда, когда ac = Q и существует такал коцепь сп что 8с 4- d'q = 0; схематически:
(1)
При этом
б2) Равенство [с] = [с']2 имеет место тогда и только тогда, когда существуют такие коцепи аи Ь, что d'a = О и с'—с= ба + d'b‘, схематически:
(2)
а —»а' — с
С другой стороны, элемент [с]2 тогда и только тогда принадлежит образу гомоморфизма Z₽- т~р —► Е%- т~р, когда существует цепочка (1), которую можно удлинить до цепочки
(3)
d'c=O,
6c+d'ci = 0,
&?_i+d'c?=O, Sc? = O,
ca —<-0
группы еР-ч 365
длины q+ 1, опускающейся до нижней строки комплекса С’>’.
Таким образом, мы должны среди всех цепочек вида (1) отобрать цепочки, удлиняемые до цепочки вида (3). Естественно это делать, шаг за шагом удлиняя цепочку (1).
Чтобы удлинить цепочку (1) на один член, мы рассмотрим коцепь 8с1^Ср+*' ч-1
О t С —► t Cl —► 6ci-
Так как d6q = fidcj *= ± б бс = О и б (6^)»= О, то для коцепи 6cj имеет место диаграмма
о t 6ci —► t о,
показывающая, что эта коцепь определяет некоторый элемент [бс^ (Е Е§+2' ч-1. Так как коцепь сг в цепочке (1) может быть)заменена любой коцепью вида где
d'a = Q, то коцепь бсх определена с точностью до слагаемого ба:
о t а—►Sci— tef t 0.
Это показывает (см. б2), что элемент [бс^ не зависит от выбора коцепи сг и однозначно определяется коцепью с. Более того, если [с']2 — [с]2, т. е. (см. снова б2) если
0 t а —► с' — с t b,
то о U
t. Ci.
366
ГРУППЫ Ep’q
где с'г —Ci + и потому 8c'i — 8ci. Следовательно, [6cj]2 зависит только от [с]2, и, значит, формула
^2 Иг = [^1]г
корректно определяет некоторое отображение
(4) d2: ’-1;
схематически:
в2) Равенство d2[«]2 = [c]2 равносильно существованию цепочки вида
о
а —►
(5) |
aj — t ь.
В частности, d2 [с]2 = 0 тогда и только тогда, когда существует цепочка вида
О
ц
(6) c~t
Ci—* t ct.
Но если имеет место (5), то имеет место и (6) с с, = О и с2 = 0. Поэтому
(7) da о da = О,
т. е. для любых р и q имеет место включение
где
Zp' ’ = Ker (d?: Ер-q -г Ер+^ q~*)
ГРУППЫ £?• Ч
367
— ядро отображения d2: £§• ? —► ££+а-р-1, а B?-«=Im(d2: £р-2’9+1’)
— образ отображения d2: £₽-2> ’+1 —<- Eg- ч. Мы положим £₽•« = /₽ «/£₽•’.
Для элемента [с]2 С Z%' 4 соответствующий элемент группы £§• ’ (смежный класс [с]2 -|- В%-ч) мы будем обозначать символом [с]3.
По определению элемент [с]3 определен тогда и только тогда, когда определен элемент [с]2 и d2[c]2 = 0. В силу второго утверждения в2 это означает, что
а3) Элемент [с]3 (Е £?•ч, с^Ср-ч, определен тогда и только тогда, когда существует цепочка вида
О t
(8) С t
Ci—> t с2.
При этом, согласно первому утверждению в2, б3) Равенство [с]3 = [с']3 имеет место тогда и только тогда, когда существует цепочка вида
О
а —> t Я1—►с' —с
1
Для любой цепочки (8) коцепь бс2 обладает тем свойством, что
О [ 6с2 —► t 0.
Поэтому определен элемент [6с2]2 £ £₽+3- «~2, причем 4г [^2]з = 0»
368 группы еР’Ч
и, значит, определен элемент [6с2]3. Так как разность двух цепочек вида (8) имеет вид
О
Д1—>
t
то при изменении цепочки (8) к элементу [6с2]2 прибавляется элемент [6а2]2 = d2 [ai]2, и потому элемент [6с2]8 остается прежним. Это означает, что формула
d8 [^]з = [&-8]3
корректно определяет некоторое отображение
(9) d8: Z% « £?+8> ч~2-
Чтобы достичь здесь полной аналогии с предыдущим случаем, мы заметим, что если [с]2 £ т. е. если
о t <h —
а2 —► с,
то для с существует цепочка (8) с Ci = 0 и с2 = 0. Следовательно, d3 [с]2 = 0, и поэтому отображение (9) индуцирует некоторое отображение
(10) d8: £§+3’ ч~г-
Из определения отображения (10) и утверждения б3 немедленно вытекает, что
ГРУППЫ £₽• Ч 369
в3) Равенство d3 [а]3 = [с]3 равносильно существованию цепочки вида
О t а—>-i
(П) ax-j
аа —>- с t ь.
В частности, d3[c]3 = 0 тогда и только тогда, когда существуют цепочки вида
О t С—► t (12)
са—> t
с3-
Поскольку из (11) следует, что для коцепи с существует цепочка (12) с ^ = 0, с2 = 0, с3 = 0 мы видим, что подобно отображению d2 отображение d3 удовлетворяет соотношению
d3 ° d3 — 0,
и потому определены группы
Ef- я = zj. <7/в₽. <7,
где
Z?^ = Ker(d3: Eg-?~2), B?-'7=Im(d3: £?-3> ?+2-> Eg-").
Продолжая процесс, мы для любого г ^2 получим группы Ерр я, состоящие из элементов вида [с]г, где с^Ср’ ?, причем будут иметь место следующие утверждения:
ГРУППЫ
аг) Элемент [с]г определен тогда и только тогда, когда существует цепочка вида
о
(13)
бг) Равенство [с]г = [с']г имеет место тогда и только тогда, когда существует цепочка вида
о
(14)
Для любой цепочки'(13)Ълемент [6сг_±]г зависит только от элемента [с]г, так что формула
t/r[c]r = [6cr_i]r
корректно определяет некоторое отображение
(15)
При этом
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
371
вг) Равенство dr [а]г = [с]г равносильно существованию цепочки вида
О t а—*
«1—>.
‘t
ar-i~ьс t Ь.
В частности, dr [с]г = 0 тогда и только тогда, когда существует цепочка вида
о t
Cl—>.
Поэтому drodr = 0, и, значит, определены группы Е<М = Z?’ <ЧВР> ч, где
Z?>4 = Ker (d,: Ер » — £₽+'- "-'+1),
Вр «= Im (d,: E?+r’ ’+'-1 -> Ep ’), и т. д.
Построенный объект заслуживает специального определения.
Определение 1. Спектральной последовательностью (или, более точно, когомологической спектральной последовательностью первой четверти') называется семейство (16) {£p’;dr}
групп (или линейных пространств) Ер 4 и гомоморфизмов
(17) dr: Ер
372 СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
где г >2 и 0^р,р<оо (впрочем, во избежание многочисленных оговорок удобно считать, что группы Ерг-« определены и для отрицательных р и q, причем Epr-Q = О, если р<0 или q <0), обладающих тем свойством, что для любого г > 2
(18) drodr = 0
и
(19) Ерг’4 = Zpp р/ВР'
где
Z?’ р = Ker (dr: ЕР'Р—+Ер+г' р~г+1), ВР> р = Im (dr: Ерг~г- Р+1-1 -> ЕР- р)
(согласно (18) имеет место включение и, зна-
чит, факторгруппа (19) определена).
Гомоморфизмы (17) принято называть дифференциалами спектральной последовательности (16).
Для каждого фиксированного г^2 группы удобно располагать в таблицу вида
Эта таблица называется r-м членом спектральной последовательности (16).
Переход от таблицы Ег к таблице Ег+1 состоит из двух шагов. На первом шаге («чистке») мы оставляем в каждой клетке (p,q) лишь элементы, переходящие при дифференциале (17) в нуль. Этот шаг не меняет содержимого клетки (р, q), когда клетка (p+r, q—r+ 1), в которую бьет дифференциал (17), содержит только нуль. Так как клетка (рЦ- г, q—г-1- 1) расположена на г—1 рядов ниже клетки (р, q), то в клетке (р, q) чистка заведомо прекращается, поэтому на дифференциале dq+J:
7Р> q _.7Р,Я — ^q+2 — — • • •
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 373
Второй шаг («сокращение») состоит в том, что очищенное содержимое клетки (р, q) факторизуется по подгруппе элементов, приходящих из клетки (р— г, q-^r — V), расположенной на г столбцов левее. Поэтому этот шаг не меняет содержания клетки (р, <?), когда р—г < 0, т. е. при г^рЧ-1:
пр, <? _ пр, я _ ° р+1 — °р+2 — * • •
Таким образом, для любых р и q начальное содержимое Efr р клетки (р, q), постепенно уменьшаясь при увеличении г, рано или поздно стабилизируется, т. е. существует такое г о ^2 (а именно, r0 = max(p+ 1, <? + 2)), что
РР’ Р _ РР’Ч _ — сГо+ 1 — • • • Мы положим
Согласно (19) каждый элемент у группы Е^ q является образом некоторого элемента группы (принадлежащего подгруппе Zfif), который в свою очередь является образом некоторого элемента группы ЕР'Л (принадлежащего прообразу в Е?'_% подгруппы Z£_f) и т. д. Тот факт, что в результате этого попятного движения мы доходим до элемента х группы Е^р, записывается формулой у = [х]г. При г = г0 вместо [х]. мы будем писать [х].,. (Таким образом, для элементов [с]г построенной выше по двойному комплексу спектральной последовательности символ [х]г будет иметь то же значение, что и символ [с]г, где с — такая коцепь, что х = [с]2.)
Если для Элемента х^Е^р элемент [х]г определен, то говорят, что элемент х доживает до Ег. Элемент х тогда и только тогда доживает до Ег+1, когда он доживает до Ег nd[x]r = 0.
Удобно (особенно в устных, неформальных обсуждениях) считать каждый дифференциал dr частичным и многозначным отображением из Е%р в Efpr- р~г+1. [Эпитет «частичный» означает, что на самом деле dr определен только на некоторой подгруппе группы Е%<4 (а именно, на подгруппе элементов, доживающих до Ег). а эпитет «многозначный»—что значения дифференциала dr принадлежат на самом деле не группе Е^г- р~г+1, а некоторой ее факторгруппе (или, точнее говоря, некоторой подгруппе этой факторгруппы).] Соответственно этому элемент dr [х]г обычнорэбозначается символом drx. Он определен тогда и только тогда, когда dax=0, .... dr_!X==0.
374
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДВОЙНОГО КОМПЛЕКСА
Если drx = 0, то элемент х называется циклом дифференциала dr. В частности, если drx = 0 при любом г ^2, то элемент х называется циклом всех дифференциалов. Это имеет место тогда и только тогда, когда определен элемент [х]„ (элемент х доживает до Е„).
Циклы всех дифференциалов образуют подгруппу Z& р группы E%'q. Группа Е^ q является эпиморфным образом группы Zp’q при отображении
х»->[х]„, x£Z^q.
Таким образом, если B£q — ядро этого отображения, то
EP!q = ZP’q/B^q
для любых р и q.
Вернемся теперь к двойному комплексу С" = — {Ср> q\ б, d}. Поставленные в конце предыдущей лекции задачи — охарактеризовать образ гомоморфизма
(20) Zp,q—*EP-q
и ядро эпиморфизма
— тривиальным образом решаются в терминах построенной по этому комплексу спектральной последовательности {Ер- q\ dr}. Действительно, по определению элемент х = [с]2 группы Е%-q тогда и только тогда принадлежит образу гомоморфизма (20), когда для коцепи с существует цепочка вида (3), т. е. (см. утверждение вг) когда элемент х является циклом всех дифференциалов. Следовательно, образом гомоморфизма (20) является подгруппа Zp^q.
Аналогично, ядро эпиморфизма (21) состоит из элементов [с]2, для которых существует цепочка
Of—>.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ДВОЙНОГО КОМПЛЕКСА
375
длины р+1, начинающаяся в первом столбце комплекса С’’’. Поскольку, как показывает непосредственное сравнение определений, это в точности элементы подгруппы ВР’ этим доказано, что
Следовательно, Ei'cEf* и мономорфизм (13) лекции 22 представляет собой изоморфизм факторгруппы рр. т-р/рр+1, т-р+1 на группу ЕР; 11.
Таким образом, группа Gr (Нт (<?•*)), присоединенная к группе Нт(С'’'), является прямой суммой групп, расположенных на m-й антидиагонали таблицы Е°°:
Определение 2. Пусть //’ = {//“}—градуированная группа с фильтрацией
Нт =рр, m-^pi, m-1-з <ф< рт, 0 рт+1, -1 = {Q}.
Говорят, что спектральная последовательность {Ер’; dr} сходится к группе Н‘, и пишут
ЕР>о=^Нт,
если
£р. q _ рр, qipp+1, q-1
для любых р и q.
376 спектральная ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОКРЫТИЯ
В силу этого определения все произведенное исследование мы можем теперь резюмировать в следующей окончательной теореме:
Теорема 1. Для любого двойного комплекса С’’ = {Ср’ 6, d] существует такая спектральная последовательность {ЕРГ' q", dr}, что
Ep-^Hp6Hpd(C’') и
Е^я=^Нт(С’-‘). П
Эта теорема фактически была известна Лере (хотя явно он ее, по-видимому, не формулировал).
Следствие 1. Для любого нумерируемого покрытия U хаусдорфова гладкого многообразия сЕ существует такая спектральная последовательность
(22) {Ер-«- dr},
что
(23) Е^ = ВД((П)
и
(24) Ер'я^>Нт^. □
Как мы уже отмечали, для вычисления групп (23) достаточны сведения, содержащиеся в пп. а и б на стр. 355, и, значит, эти группы мы можем считать известными. Важно отметить, что никакая другая информация о спектральной последовательности (22) нам, как правило, недоступна. В частности, в общем случае мы ничего не можем сказать о том, как действуют дифференциалы dr (за исключением того, что из клетки (р, q) они бьют в клетку (p-t г, q—r+ 1)), или о том, каковы фильтрующие подгруппы Ер’я. Короче говоря, единственно, что мы знаем и чем можем пользоваться,— это голый факт существования спектральной последовательности (22) с начальным членом (23), обладающей свойством (24).
Удивительно, что во многих интересных и важных ситуациях этой информации оказывается достаточно! (Впрочем, если подумать, что этот факт теряет почти всю свою таинственность — просто ситуации, где этой информации недостаточно, настолько безнадежны, что они теряют статус важных и интересных.)
Пример 1 (продолжение примера 1 лекции 22). Как было показано в примере 1 лекции 22, для спект
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПОКРЫТИЯ
377
ральной последовательности двухэлементного покрытия [U, V} сферы S" член £2 имеет вид
Поэтому все дифференциалы dr действуют либо из клетки, либо в клетку, содержащую лишь нуль. Поэтому они все равны нулю и, значит, Е2 = Его. (Обладающая этим свойством спектральная последовательность называется вырожденной.) Таким образом, все антидиагонали таблицы £„ состоят только из нулей, за исключением нулевой и п-й, которые содержат по одной группе R. Поэтому
( R, если т — 0 или т — п,
HmS" = п
( 0 в противном случае.
Конечно, это то же самое вычисление, что и в лекции 20, лишь изложенное с достигнутой нами теперь высоты.
Пример 2. Если покрытие U является покрытием Лере, то Е^ч — 0 и, тем более, E^q = Q при q > 0. Поэтому снова спектральная последовательность покрытия вырождается и
НтЯ = ЕТ’ °.
С другой стороны, ясно, что в рассматриваемом случае комплекс {£’• °; 6*} является не чем иным, как коцепным комплексом С* (11; R) покрытия П и, значит,
0 = Н,п (Ц; R) для любого т 0.
Тем самым мы снова получаем теорему 1 лекции 22, которая оказывается, таким образом, тривиальным частным случаем следствия 1.
Лекция 24
Компактно исчерпываемые и паракомпактные топологические пространства.— Паракомпактные многообразия.— Интегралы в R".— Кубируемые множества и плотности в произвольных многообразиях.— Интегрирование плотностей.
Аналитические методы вычисления групп когомологий требуют предварительного построения на многообразиях интегрального исчисления. Мы начнем это построение с изложения необходимых сведений из топологии.
Напомним (см. определение 5 лекции 14), что топологическое пространство SC называется локально компактным, если любая его точка обладает окрестностью U, замыкание U которой компактно.
Ясно, что любое хаусдорфово многообразие % локально компактно. (Для нехаусдорфовых многообразий это уже не так; например, нехаусдорфова прямая с особой точкой бесконечной кратности не является^локально компактным пространством.)
Легко видеть также, что если пространство % удовлетворяет второй аксиоме счетности, локально компактно и хаусдорфово, то в нем существует счетная база {£7г-}, замыкания U{ всех элементов которой компактны. (Для доказательства достаточно отобрать в произвольной счетной базе пространства множества с компактными замыканиями. Контрольный вопрос: Зачем нужно требование хаусдорфовости?)
Определение 1. Топологическое пространство % называется компактно исчерпываемым, если оно является объединением такой возрастающей последовательности
OiCOaC ... сОлсОл + 1с ...
открытых множеств (называемой компактным исчерпанием пространства %), что замыкание 0„ каждого множества 0„ компактно и содержится в 0п+1.
Предложение 1. Каждое хаусдорфово локально компактное и удовлетворяющее второй аксиоме счетности топологическое пространство % компактно исчерпываемо.
Доказательство. Пусть {U1 i < оо} — счетная база пространства %, состоящая из множеств с компактными замыканиями. Положив 01 = С\, предположим,
КОМПАКТНО ИСЧЕРПЫВАЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 379
что для некоторого п^2 множество 0я_1 уже построено. Поскольку множества U { покрывают ЭС (а множество 0n_i компактно), существует такое / 1 (которое для определенности можно выбрать наименьшим), что • • •
... \}U/. Мы положим On = ^iU ••• \JU/. Тем самым множества 0п по индукции будут построены для всех п^1, и ясно, что они составляют компактное исчерпание пространства 33. □
В частности, мы видим, что любое хаусдорфово многообразие, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, компактно исчерпываемо.
Определение 2. Открытое покрытие {f/a} топологического пространства 33 называется локально конечным, если любая точка обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом элементов этого
покрытия.
Напомним (см. определение 1 лекции 8), что покрытие {t/a} пространства 33 вписано в покрытие {Ур}, если для любого а существует такое 0, что £/асУр.
Предложение 2. Если хаусдорфово пространство 33 компактно исчерпываемо, то для любого его открытого покрытия {Ур} существует вписанное в него локально
конечное покрытие.
Доказательство. Пусть {О„} — произвольное компактное исчерпание пространства Для каждого п 3^ 1 множества yg = (On+3\O„_i) A Ур (условно считаем, что Оо=0) составляют открытое покрытие множества On + iXO^. Поскольку множество Оп+1\Оп компактно (почему?), из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие |У^,... ..., V5 , Л. Так как мно-рт(п)]
жества О„+1\О„ покрывают 33, то все множества вида Vp(„ 1 < оо, 1 <
т (п), составляют покрытие пространства 33, очевидно, вписанное в покрытие {Ур}, а так как каждое множество Ok не пересекается с множествами Ур. с п > k (и, значит,
380
ПЛрАКоМПАКТНЫЕ многообразия
пересекается лишь с конечным числом множеств вида n^k), то покрытие {Vp.} локально конечно (для любой точки существует такое k, что р£Ок и, значит, множество Ок является окрестностью этой точки, пересекающейся лишь с конечным числом элементов покрытия {V^}). П
Замечание 1. В общей топологии топологическое пространство Ж называется паракюмпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. В этой терминологии предложение 2 означает, что любое хаусдорфово компактно исчерпываемое пространство паракомпактно.
Для случая, когда X является гладким многообразием, предложение 2 можно уточнить.
Будем называть открытое покрытие {t/a} гладкого многообразия Ж компактно нумерируемым, если существует такое подчиненное ему разбиение единицы {т]а}, что т]а — 0 вне некоторого компактного множества
Предложение 3. В любое открытое покрытие {Vp} гладкого хаусдорфова многообразия Ж, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, можно вписать локально конечное компактно нумерируемое покрытие {{7а}.
Доказательство. Поскольку, согласно предложению 1, многообразие компактно исчерпываемо, к нему применимо предложение 2. Пусть {Vp;} — покрытие, построенное при доказательстве предложения 2. Для любой точки р € У₽(. существует содержащаяся в V%. координатная окрестность UPtitn этой точки с компактным замыканием UР' Согласно предложению 2 лекции 14 су-
ществуют такие открытые множества Vpy!<n и Wpyiy что
nfW W eV V • сУ
W ру ь Н — ' pi h П> V pl I у п — U pl I I П*
и пара (Vpyiytl, Wpy!y„) обладает функцией Урысона. Для каждого фиксированного I все множества вида Wpyiy „ ^образуют открытое покрытие компактного множества О„+1\О„. Выбрав в этом покрытии конечное подпокрытие и сделав это для всех I, обозначим выбранные множества W ру iy п через №а. Пусть Va и —соответствующие множества Ур,„ и Upy!yU.
По построению
ПАРАКОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 381
а) для любого а имеют место включения
WacVa, Vac:l/a,
причем-Множество Ua (а значит, и каждое из множеств Fa и V<x) компактно;
б) для каждой пары (Уа. №а) существует функция Урысона
tpa: JT-^R
(обладающая — напомним — тем свойством, что <ра = 1 на Wa и Фа ~ 0 вне Уа);
в) семейство {^а}. а значит, и каждое из семейств {Уа} и {Ua} является открытым покрытием пространства X (очевидно, локально конечным и вписанным в покрытие {Ур}).
Так как покрытие {Уа| локально конечно, то семейство функций {фа} также локально конечно. Поэтому определена функция
ф = 2 Фа а
Так как ф„ =- 1 на и фа^0 на J, то ф^ 1 на % и, в частности, ф#=0 на SC. Поэтому определены функции
п --22-Т1а“ ф •
Функции т]а составляют разбиение единицы, подчиненное, очевидно, покрытию {t7a}- Поскольку т]а = 0 вне компактного множества Va > этим доказано, что покрытие {Ua} компактно нумерируемо. Поскольку это покрытие локально конечно и вписано в покрытие {V₽}, предложение 3 тем самым полностью доказано. □
Следствие 1. Каждое открытое покрытие {Ур} гладкого хаусдорфова многообразия %, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, нумерируемо.
Доказательство. В силу предложения 3 достаточно показать, что покрытие {У₽} нумерируемо, если в него вписано нумерируемое покрытие {t7a}. Выбрав для каждого индекса а такой индекс Р(а), что {/а<=^р(а). рассмотрим разбиение единицы {т)а}> подчиненное покрытию {Л7а}- Пусть
Sp — 2 Ла >
Р (а) - р
382
ПАРАКОМПАКТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
гделсуммирование распространено на все а, для которых 0(а) = 0. (Если таких а нет, то = 0.) Ясно, что функция определена и неотрицательна. Кроме того, так как (р) чб 0 только тогда, когда существует такое а, что 0 = 0 (а) и т]а (р) Ф 0, то семейство функций {£₽} локально конечно, а так как каждая функция т)а входит слагаемым в одну и только одну функцию £р, то
2 £₽ = 2 Ла ~ 1 • [1 а
Наконец, если p^Ve, то p£.Ua для всех а с 0(а) = 0, и, значит, т)а(р) = О. Следовательно, £р(р) = 0. Таким образом, } является разбиением единицы, подчиненным покрытию {Ир}. Поэтому это покрытие нумерируемо. □
Следствие 1 означает, что любое гладкое хаусдорфово многообразие, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, паракомпактно. Это утверждение составляет содержание теоремы 2 лекции 22, которую тем самым мы можем теперь считать доказанной.
Замечание 2. Можно показать—это трудная теорема!—что каждая компонента локально компактного и метризуемого пространства удовлетворяет второй аксиоме счетности. С другой стороны, в следующем семестре мы покажем, что любое паракомпактное и хаусдорфово гладкое многообразие метризуемо. Поэтому в классе связных и хаусдорфовых гладких многообразий паракомпактность равносильна второй аксиоме счетности.
Замечание 3. Согласно предложению 3 каждое хаусдорфово гладкое многообразие, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, паракомпактно как топологическое пространство (см. выше замечание 1). Поскольку топологическое пространство тогда и только тогда паракомпактно, когда паракомпактна каждая его компонента, отсюда, ввиду сказанного в замечании 2, немедленно вытекает, что хаусдорфово паракомпактное многообразие паракомпактно и как топологическое пространство. С другой стороны, несколько усложнив доказательство предложения 3, можно показать, что заключение этого предложения (а значит, и следствия 1) остается в силе и для любого хаусдорфова гладкого многообразия, которое паракомпактно как топологическое пространство. Следовательно, хаусдорфово многообразие тогда и только тогда паракомпактно, когда оно паракомпактно как топологическое пространство.
ИНТЕГРАЛЫ В R«
383
Замечание 4. Понятие нумерируемого покрытия, конечно, немедленно переносится на любые топологические пространства (достаточно в определении разбиения единицы гладкие функции заменить непрерывными), и легко видеть, что если в топологическом пространстве Ж любое открытое покрытие нумерируемо, то пространство паракомпактно (поскольку для каждого разбиения единицы {т]а} множества 0а = {р£Я>, т)а(р)=/= 0} составляют локально конечное открытое покрытие, вписанное в любое покрытие, которому подчинено разбиение {т)а }). Интересно, что в классе хаусдорфовых пространств верно и обратное утверждение, т. е. в хаусдорфовом паракомпакт-ном пространстве каждое открытое покрытие нумерируемо. [Заметим, что утверждение замечания 3 для гладких многообразий отсюда еще непосредственно не следует, поскольку нумерируемые открытые покрытия гладкого многообразия априори составляют лишь часть его нуме-рируемых открытых покрытий как топологического пространства.] Доказательство этого утверждения отнюдь не просто и опирается на целый ряд трудных теорем общей топологии. В первую очередь требуется теорема Урысона, утверждающая, что в хаусдорфовом нормальном пространстве для любой пары (V, №) открытых множеств, удовлетворяющих соотношению WcV, существует непрерывная функция, равная единице на № и нулю вне V, а также предложение 3 лекции 4 о существовании сжатий (которое у нас доказано—напомним —лишь частично). С помощью этцх двух теорем уже без особого труда доказывается, что в хаусдорфовом нормальном пространстве любое локально конечное открытое покрытие нумерируемо. После этого остается лишь доказать (также непростую!) теорему Дьедонне, согласно которой каждое хаусдорфово паракомпактное пространство нормально.
Теперь мы уже можем приступить к построению интегрального исчисления на гладких многообразиях.
Напомним из курса анализа, что множество А пространства R" называется нуль-множеством в смысле Жордана (илн множеством объема 0), если для любого а > 0 существует конечное семейство шаров (нли, что равносильно, кубов или параллелепипедов) пространства R", покрывающих А, общий объем которых < в. (Ср. сопре-делением и уль-множеств в смысле Лебега в лекции 14, в котором допускаются счетные семейства.)
384
ИНТЕГРАЛЫ В R"
Подмножество DcRn называется кубируемым (или измеримым в смысле Жордана), если оно ограничено (т. е. его замыкание D компактно) и его граница Fr D является иуль-миожеством. (Границей Pr D подмножества D топологического пространства называется множество D\lnt D.)
Во избежание многочисленных оговорок, мы будем предполагать, что все рассматриваемые функции определены на всем пространстве R". Это предположение ие уменьшает общности, поскольку каждую фуик -цию f, определенную иа подмножестве DczR", мы можем без изменения интеграла продолжить нулем вие D, т. е. считать, что f (х)=0 при x$=D.
Функцию f: R" R мы будем называть финитной, если существует такое компактное множество CczR", что f — 0 вие С, локально ограниченной, если иа любом компактном множестве CqR" этафунк. ция ограничена, и почти непрерывной, если для любого компактного множества CcR" функция f непрерывна иа С вие некоторого нульмножества, т. е. если существует такая непрерывная иа С функция f с и такое нуль-множество АаС, что f — f с на С\Л.
Из курса анализа известно, что любая локально ограниченная и почти непрерывная функция f интегрируема по каждому кубируемому множеству D, т. е. существует конечный интеграл
(1) \fWdx.
D
При этом интеграл (1) не изменится, если мы произвольным образом изменим функцию f на некотором иуль-миожестве или прибавим, или отнимем от множества D произвольное иуль-множество.
[Здесь мы имеем в виду интеграл в смысле Римана. Если понимать интеграл (1) в смысле Лебега, то требование кубируемости множества D можно заменить требованием его измеримости. Однако в этом обобщении мы не нуждаемся.)
В случае, когда функция f финитна, интеграл (1) для каждого кубируемого множества D, вне которого f равна нулю, имеет одно и то же значение. Это общее значение мы будем называть интегралом от f по R" и будем обозначать символом
J f (х) dx
R«
или символом
(2) J f (х) dx,
опуская указание на R".
КУБИРУЕМЫЕ МНОЖЕСТВА И ПЛОТНОСТИ 385
Так как для любого кубируемого множества D н любой интегрируемой по D функции f имеет место равенство
^f(x)dx- J (fXD)(x)dx, D R'<
где "ZD— характеристическая функция множества D, задаваемая формулой
. , [ 1, если х £ D,
^(хКо. если х&D,
то, следовательно, при желании можно обойтись лишь интегралом вида (2).
Если U и V — открытые подмножества пространства R", то для любого гладкого отображения <р: U -> V и любого нуль-множества AczU множество <рЛ также является нуль-множеством. [Приведенное в лекции 14 доказательство этого факта для нуль-множеств в смысле Лебега дословно сохраняется и для нуль-множеств в смысле Жордана.] Отсюда следует, что для любого кубнруемого множества Dez.U, обла-
дающего тем свойством, что Dc.U, множество срОсУ также кубн-руемо. В частности, это верно, когда <р является диффеоморфизмом. Более того, как доказывается в анализе, в этом случае для любой интегрируемой по множеству срО функции f функция (fo<p) [ /ф |, где
(3)
J(p = det
dtp' дх7
i—-} = 1, ..., п.
— якобиан диффеоморфизма ср, интегрируема по D, и имеет место равенство
(4) J f(x) dx = J (fc<p) | /<р | (x) dx.
<pD D
Это утверждение известно как теорема о замене перемен-и ы х. Для интегралов вида (2) формула (4) имеет вид
(5) (J f (x)dx=^ (foep) |/Ф| (x)dx,
где f— произвольная финитная интегрируемая функция, равная нулю вне множества V, а /ф— в соответствии с принятым выше соглашением—якобиан (3), продолженный нулем вне множества U.
Чтобы построить теорию интегрирования на гладком многообразии % (которое мы будем предполагать хаус-дорфовым и паракомпактным), надо в первую очередь определить в % кубируемые подмножества.
Это делается без всякого труда.
Определение 3. Подмножество А гладкого п-мерного многообразия Я" называется нуль-множеством, если суще-
13 М. М. Постников, сем. III
386
КУПИРУЕМЫЕ МНОЖЕСТВА И ПЛОТНОСТИ
ствует такое конечное семейство карт (Uu ft,), ..., (С/л-, hy), что А с U Ui и для каждого i = 1, ..., /V множество ht (Я П t/,) является нуль-множеством в R" (ср. определение 3 лекции 14). Подмножество Dc.2' называется кубируемым, если его замыкание D компактно, а граница
FrO = D\IntD
является нуль-множеством.
Задача 1. Докажите, что если А тогда и только тогда является иуль-миожеством, когда для любого конечного семейства карт (Ui, hi), .... (Un, hw), покрывающего множество А (т. е. такого, что 4cU^z)> все множества й; (4Г) t/,-), являются нуль-
множествами в R".
С выражениями под знаком интеграла ситуация оказывается более деликатной. Чтобы интеграл не зависел от выбора локальных координат, нужно, чтобы при замене координат подинтегральное выражение преобразовывалось в соответствии с формулами (4) или (5). Это приводит к следующему определению:
Определение 4. Пусть в каждой карте (U, h) многообразия Я? определена некоторая функция U —►R (которую в дальнейшем мы будем короче обозначать через ру), и пусть для любых двух пересекающихся карт (U, Л) и (F, k) имеет место равенство
(6) pv = ри | det | на У ПУ,
где det-^- — якобиан диффеоморфизма <р = &о/г-1 / интерпретированный как функция на U П Vcz U, т. е. связанный с его якобианом /ф в R" формулой det-^- = J^oh^ . Тогда семейство {р17} называется плотностью на %.
Пример 1. Произвольная дифференциальная форма о» степени п на многообразии .2" (где, как всегда, п-= dini.2') в каждой карте (U, h) = (U, х1, хп) имеет вид
«о = wu dx1 Д ... Д dxn,
где wu—некоторая гладкая функция на U. При этом для любых двух карт (U, h) и (V, k) соответствующие функции wu и wv связаны формулой
^ = ^det-J- на t/nV.
КУРИРУЕМЫЕ МНОЖЕСТВА И ПЛОТНОСТИ ЗЙ7
Следовательно, положив ру = |йУу|, мы определим на некоторую плотность.
Плотность р = {ру} называется гладкой, если все функции ру гладки, локально ограниченной, если функции ри локально ограничены, и почти непрерывной, ec.iv/i все функции ри почти непрерывны.
Все локально ограниченные и почти непрерывные плотности на многообразии Я' образуют линейное пространство IL2T, естественным образом являющееся модулем над кольцом всех локально ограниченных и почти непрерывных функций на X. Аналогично, линейное пространство 11гл^’ всех гладких плотностей является модулем над кольцом гладких функций.
Мы будем говорить, что в точке p^SC плотность р равна нулю (соответственно положительна), если для любой координатной окрестности U, содержащей точку р, имеет место равенство ру (р) = 0 (соответственно неравенство ру(р)>0). Поскольку функция det-|^- нигде не обращается в нуль, из соотношения (6) следует, что это определение корректно (не зависит от выбора координатной окрестности U).
[Заметим, что о значении плотности р в точке р говорить бессмысленно.]
Плотность на многообразии % называется финитной, если существует такое компактное множество С а Ж, что р = 0 вне С. Все финитные плотности образуют подпространство (подмодуль) ППп^’ пространства (модуля) IW. На компактном (и только на компактном!) многообразии % каждая плотность финитна.
Плотность, положительная в каждой точке рЕЖ, называется плотностью объема на .Т. По традиции для плотности объема используется обозначение dv. Для каждой плотности р формула
(при данной плотности объема dv) корректно определяет на % функцию /, обладающую тем свойством, чтор=/с!и па X. Следовательно, если на многообразии SC существует гладкая плотность объема, то линейные пространства 11^’ иП1л^ являются одномерными свободными модулями (над кольцом локально ограниченных и почти непрерывных функций и соответственно над кольцом глад
13*
388
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ
ких функций). [Их же подмодули, состоящие из финитных плотностей, не будут, вообще говоря, ни свободными, ни одномерными.]
При заданной плотности объема интеграл
$ D
называется объемом кубируемого множества D.
Пример 2. Пусть &—двумерное подмногообразие евклидова пространства (поверхность). Тогда (см. лекцию 3) в каждой координатной окрестности t/cJ (являющейся элементарной поверхностью в смысле определения 2 лекции 3) определены функции Е, F и G (коэффициенты первой квадратичной формы), обладающие тем свойством, что при преобразовании координат определитель
'|=£С-Р>0
умножается на квадрат определителя матрицы перехода. Поэтому формула
ри =]/• EG—F*
задает на % некоторую плотность объема (или, лучше сказать, площади). Эта плотность обозначается символом da (или как-нибудь похоже, например dS) и называется элементом площади поверхности X. (Ср. лекцию 3.)
Задача 2. Докажите, что на каждом хаусдорфовом параком-пактном гладком многообразии % существует гладкая плотность объема dv.
Таким образом, на хаусдорфовом паракомпактном многообразии плотности можно, выбрав некоторую плотность объема, отождествлять с функциями.
Теперь мы уже можем сформулировать основную теорему о существовании и единственности интеграла. Мы сделаем это даже в двух вариантах.
Пусть Ж—гладкое хаусдорфово паракомпактное многообразие.
Теорема 1. Для каждого кубируемого множества ОсЯ существует единственный линейный функционал
(7) R,
D
обладающий следующими двумя свойствами:
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ
389
а) Если D = D1i_iDa (tn. е. если D = D1{jD2 и Dj П nDa=0), то
S р=S р+S р
D Dt D,
для любой плотности pgTW.
б) Если для плотности р б IL2' существует такая карта (U, h), что р = 0 вне U, то
$Р= $ (pvo/i-1)(x)dx,
D h(DnU)
где справа — интеграл в. R '.
Теорема 1а. Существует единственный линейный функционал
(8) J: nfin^->R,
обладающий тем свойством, что
(9) $Р= $ (puoh~1)(x)dx
h (V)
для любой карты (U, h) и любой финитной плотности р, равной нулю вне U.
Функционал (8) обозначается также символом J .
Я
Чтобы вывести теорему 1а из теоремы 1, достаточно для любой плотности р$llfln^’ положить
(Ю) • $Р=$Р,
D
где D—произвольное кубируемое множество, вне которой плотность р равна нулю. (Ясно, что такое множество существует и что интеграл (10) от его выбора не зависит.) Обратно, так как для любой плотности р£И2Г и любого курируемого множества Ос:Я плотность %Dp, где — характеристическая функция множества D, является, очевидно, финитной локально ограниченной и почти непрерывной плотностью, то, положив
$ Р = $ ХоР» D
мы по интегралу (8) построим интеграл (7). (Свойство б для последнего интеграла очевидно, а свойство а вытекает
390 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ
из того, что xDiL_jD! = Хо, + Хо,-) Таким образом, теоремы 1 и 1а вытекают одна из другой, и потому в доказательстве нуждается только одна из них. Мы докажем теорему 1а.
Доказательство теоремы 1а. Как всегда, докажем сначала единственность.
Так как многообразие % по условию хаусдорфово и паракомпактно, то оно обладает нумерируемым локально конечным покрытием •{£/«}, состоящим из координатных окрестностей. Пусть {т]а}—разбиение единицы, подчиненное покрытию {t/a}. Тогда для любой плотности pgIlflnJZ' лишь конечное число плотностей т]ар будет отлично от нуля (докажите!) и, значит, будет иметь место формула
Р = 2 ПаР-а
Поскольку т]гар — 0 вне Uа, отсюда следует (см. формулу (9)), что
(11) $Р = 2 $ (ПаРа“ °V) (х) dx, “ М^а)
где Ла—координатное отображение Ua —► R". Поскольку правая часть формулы (11) не зависит от выбора функционала (8), это доказывает его единственность.
Для доказательства существования мы определим функционал (8) формулой (11). Ясно, что этот функционал линеен. Кроме того, если р = 0 вне U, то, согласно теореме о замене переменных (см. формулу (4)),
$ (TlaP^oV) (x)dx = $ (TlaP^oV) (x)dx =
= 5 (ПаР^оЛ-1)! Jv\(x)dx,
h ("аП")
где (p = hohal. Так как по определению
и
(Парной'1) - I<let oh 1
= Г]7р1/о/1 1
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ 391
(см. формулу (6)), то, следовательно,
$ (Лар'^ойа1)^)^ = $ (WU°h~l)(x)dx =
ла(уа) ЧуаП1/)
= $ (y]apu°h~l)(x)dx h (У)
и, значит,
J (Парной-1) (x)dx =
a h (U)
==f2'4a^ J (рУоЛ-1)(х)ЙХ = J (pyo/l_1)(x)dX. □ / h{U) h(U)
Если на многообразии Ж задана плотность объема dv, то для любой финитной локально ограниченной и почти непрерывной на % функции f определен интеграл
f dv = J f dv, %
называемый интегралом от f no относительно dv.
Пример 3 (продолжение примера 2). Для любой финитной (и, скажем, гладкой) функции f на по-1ерхности ST евклидова пространства определен интеграл (12) $ f da,
Я
где da—элемент площади на Ж (см. выше пример 2). Интегралы вида (12) называются поверхностными интегралами первого рода. В курсе анализа показывается, что они являются пределами естественным образом определяемых интегральных сумм, возникающих при разбиении поверхности на большое число (в дальнейшем устремляемое к бесконечности) элементарных площадок.
[Ср. сделанные в лекции 3 замечания об измерении площадей на поверхности.]
Пример 4. Пусть у. [а, Ь]—<-R'"— произвольная гладкая кривая в евклидовом пространстве Rn, не подчиненная, вообще говоря, никаким требованиям регулярности, т. е., иными словами, произвольная гладкая вектор-фупкция
r = r(t), as^ts^b
(см. лекцию 1). Для любой функции f = / (г) на R", область определения которой содержит носитель у [а, Ь]
392 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТЕЙ
кривой у, МЫ ПОЛОЖИМ ь
(13) ^fds= \ f(r(J))\r'(t)\dt.
V а
Этот интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой у. Он является пределом интегральных сумм вида 2 f (ri) so гДе si — длины отрезков произвольного разбиения кривой у, а г(— некоторые их точки. В силу введенных выше общих определений этот интеграл представляет собой интеграл по гладкому многообразию 2 — {а, Ь) от функции /оу: 11—> f (r(t)) относительно плотности ds, задаваемой в карте (JZ', id) формулой ft—>|г'(/)|. В частном случае, когда кривая у (или, точнее, ее ограничение на (а, Ь)) проста и регулярна, т. е. когда ее носитель 3? является одномерным вложенным подмногообразием, а пара (3, у-1) — картой на 3, интеграл (13) можно интерпретировать также как интеграл по 2 от функции f (точнее—от ее ограничения /|«г на 3) относительно плотности объема ds (называемый в этом случае элементом длины), задаваемой в карте {3, у-1) функцией >|г'(/)|.
Лекция 25
Ориентируемые многообразия.—Интегрированиеформ. — Лемма Пуанкаре для финитных форм. — Группа Wfin^. — Случай ориентируемого многообразия.
Чтобы применить интегральное исчисление к вычислению групп когомологий де Рама, нам надо научиться интегрировать не плотности, а формы. Для этого нужно известное нам из первого семестра понятие ориентации линейного (или аффинного) пространства перенести на произвольные гладкие многообразия.
Определение 1. Карты (U, h) = (U, х1, ..., х") и (U', h’) = (U', х1', ..., хп) гладкого n-мерного (п > 0) многообразия & называются положительно согласованными, если либо U [\U’ = 0, либо U Г) 67' =/= 0 и
det-^>0 на U nW,
т. е. если в каждой точке p£Uf\U' базисы
/ а \ ( д \ ( д \
\дхЧР' Vх" )Р И W' )р ’ ’' ’ ’ V*"' )р
касательного пространства Тр^ одноименны. Атлас, состоящий из положительно согласованных карт, называется ориентирующим. Многообразие Я, на котором существует хотя бы один ориентирующий атлас, называется ориентируемым. .
Ясно, что многообразие тогда и только тогда ориентируемо, когда ориентируемы все его компоненты.
Легко видеть (ср. следствие 1 предложения 1 лекции 6), что для любого ориентирующего атласа А ориентируемого многообразия X множество А+акс всех карт, положительно согласованных с каждой картой атласа А, является ориентирующим атласом, содержащим атлас А, и притом максимальным (т. е. обладающим тем свойством, что если ориентирующий атлас А* содержит атлас А, то A*czAJaKC).
Задача 1. Докажите, что ориентируемы
а) сферы S", п 0;
б) проективные пространства RP2n+1 нечетной размерности;
в) овеществления комплексно аналитических многообразий (см. лекцию 11);
.194
ОРИЕНТИРУЕМЫЕ МНОГООВРАЗИЯ
г) группы Ли.
[Что же касается проективных пространств четной размерности, в частности проективной плоскости RP2, то можно показать (что совсем непросто!), что эти пространства неориентируемы.]
Определение 2. Ориентируемое многообразие, в котором выбран максимальный ориентирующий атлас, называется ориентированным, а выбранный атлас называется его ориентацией. Карты, принадлежащие ориентации ориентированного многообразия, называются положительно ориентированными (или просто положительными).
По определению для каждой точки ориентация касательного пространства T^JZ', определенная базисом / д \ (_д\
\дх1 ] р' ' ‘ ’ \дхп ) р ’
одна и та же для всех положительно ориентированных карт (U, х1, ..., хи). Об этой ориентации говорят, что она индуцирована данной ориентацией многообразия Ж.
Таким образом, ориентация многообразия—это, наглядно говоря, выбор согласованных ориентаций его касательных пространств.
Пусть (6/, h) — (U, х1, х2, ..., хп) — произвольная карта в ориентированном многообразии %. Точку p£U мы назовем положительной, если для одной (а потому и для каждой) положительно ориентированной карты (V, k), обладающей тем свойством, что р £ V, имеет место неравенство
detg>0. Ок
Ясно, что как множество всех положительных точек, так и его дополнение открыто в U. Поэтому, если карта (U, h) связна (т. е. связно множество U), то либо все точки из U положительны, и, значит, карта (U, h) положительно ориентирована, либо в U вообще нет положительных точек, и тогда положительно ориентирована карта (U, —х1, х2, ..., х‘). Таким образом, для любой связной карты (U, х1, х2, ..., х!‘) ориентированного многообразия Ж одна (и только одна) из двух карт (U, х1, х2, ..., хП) и (U, —х1, х2, ..., х") положительно ориентирована.
Задача 2. Выведите отсюда, что на связном ориентируемом многообразии размерности п > О существуют две и только две ориентации. [Эти ориентации называются
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФОРМ
395
противоположными. Если —многообразие с одной ориентацией, то снабженное противоположной ориентацией оно обычно обозначается через —
Ясно, что ориентации на различных компонентах ориентируемого многообразия & можно задавать независимо друг от друга. Поэтому на многообразии J с .V компонентами существует ровно 2W различных ориентаций.
Значение ориентированных многообразий в теории интегрирования определяется следующим предложением:
Предложение 1. На ориентированном п-мерном (п > 0) многообразии SC существует естественное биективное соответствие между гладкими плотностями и гладкими дифференциальными формами степени п.
Доказательство. Пусть р — произвольная гладкая плотность на X. Для каждой положительной карты (U, h) = =(U, х1, ..., х") мы определим на U форму степени п формулой
= ри dx1 Л • • • Л dxn.
Так как для любых двух положительных (и, значит, положительно согласованных) карт (U, h) и (U't h’) имеет место равенство
py' = pydet-^- на
то аи=ыи, на U(}U', и, значит, формула со = cof7 на U
корректно определяет дифференциальную форму со степени п на
Обратно, пусть со—произвольная дифференциальная форма степени п на JZ', (U, h) — (U, х1, х2, ..., х") — произвольная карта в %, и пусть
<a = wu dx1 /\ ... Л dxn на U.
Мы определим на U функцию ри, считая, что на каждой компоненте U' множества U
Г wu, если карта (U', х1, х2, ..., х") положительно ориентирована,
(1) ри = <—wu в противном случае (т. е. если положи-I тельно ориентирована карта
\ (W, —х1, х2,..., х")).
396
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФОРМ
Очевидная проверка показывает, что функции ру составляют плотность и что построенные соответствия pi—> со и сон->р взаимно обратны. □
Формы степени п на n-мерном многообразии называются также формами максимальной степени.
Для любой формы со степени п на n-мерном ориентированном (паракомпактном и хаусдорфовом) многообразии % и любого кубируемого множества D мы положим
J со = J р,
D D
где р—плотность (1), отвечающая форме со. Аналогично, если форма со финитна (т. е. равна нулю вне некоторого компактного множества или, что равносильно, если финитна отвечающая этой форме плотность р), то по определению
Как и для плотностей, оба вида интегралов непосредственно сводятся друг другу: для любой финитной формы со $со=$со,
D
где D—произвольное кубируемое множество, вне которого форма со равна нулю, и, наоборот,
$со=$Хо®
D
для любой формы со и любого кубируемого множества D. Формула (11) лекции 24 для интегралов от форм имеет вид
(2) $w = 2 $ CncX°V) (*) dx,
“ ha(va)
где {(Ua, ha)} — произвольное нумерируемое локально конечное покрытие, состоящее из положительно ориентированных карт, а {т]а}—подчиненное этому покрытию разбиение единицы.
Подчеркнем, что интегралы со и со зависят от ориен-b
тации многообразия .%" (и, например, на связном многообразии при переходе к противоположной ориентации меняют знак).
ЛЕММА ПУАНКАРЕ ДЛЯ ФИНИТНЫХ ФОРМ 397
Задача 3. Пусть на многообразии Ж задано семейство форм {со,} степени п, гладко (или непрерывно) зависящих от параметра t. Покажите, что тогда интеграл будет гладкой (или соответственно непрерывной) функцией от t.
Замечание 1. Во всем предыдущем мы предполагали, что п > 0. В вырожденном случае п = 0 многообразие сГ представляет собой множество изолированных точек, и здесь требуется специальное определение ориентации. Мы будем говорить, что нульмерное многообразие X ориентировано, если каждой его точке р сопоставлен знак е(р) = ±1. Формами со максимальной степени на нульмерном многообразии сГ являются произвольные функции f на %, а финитными формами—функции, отличные от нуля только в конечном числе точек р £ X. Интеграл от такой функции по ориентированному нульмерному многообразию % определяется формулой
(3) $/= 2 е(р)/(р),
ре.Г
имеющей смысл в силу предположения финитности.
В первую очередь мы применим интегралы от форм для вычисления группы Нп& произвольного ориентируемого «-мерного компактного хаусдорфова гладкого многообразия SC. При этом фактически мы будем вычислять— предполагая многообразие % лишь паракомпакт-иым—не группу Н“сГ, а некоторую другую группу совпадающую с группой Н"№ в случае, когда многообразие X компактно. Для этого нам нужно предварительно перенести лемму Пуанкаре на финитные формы, заданные на R".
Каждая дифференциальная форма со степени т на R" выражается формулой
(4) со= 2- -2 Д. . .Д dx''»,
i < i, <... < im < п
где . ,im —гладкие функции на R". Мы будем рассматривать семейства {со^,} таких форм, зависящих от точки р некоторого гладкого многообразия Я. Каждая форма од такого семейства выражается формулой (4) с коэффици-
398 ЛЕММА ПУАНКАРЕ ДЛЯ ФИНИТНЫХ ФОРМ
ентами, зависящими от р, т. е. являющимися функциями на произведении R"x^-'. Мы всегда будем предполагать, что все эти функции гладки. [Такие семейства {ы„} естественным образом отождествляются с формами на R"x^', зависящими только от дифференциалов координат х1, ...,хп (ср. лекцию 20), но здесь это отождествление нам не понадобится.]
В основном мы будем интересоваться семействами финитных форм максимальной степени п. Каждая такая форма (др имеет вид
(5) (др = wp dx1 A • • • A dxn,
где wp—гладкая функция от х (и р), равная нулю вне некоторого куба
^ = {x€R"; | х11 < г, .... | хп | < г}
(сторона 2г которого зависит, вообще говоря, от р). При этом
(6)
+ 00 +00
J (др = 5 • • • $ wp (x)dx.
Rn — оо — оо
Предложение 2. Если для финитной формы (5) интеграл (6) тождественно (по р) равен нулю, то на R" существуют такие финитные формы 0^ степени п — 1, гладко зависящие от точки р£&, что
dQp = (dp для любой точки р£&.
При этом можно дополнительно считать, что если (др = О вне /р, то и 0„ = 0 вне /" (в частности, если (др = 0, то и 0р = О).
Доказательство. Проведем индукцию по размерности п. При п — 1 форма (др выражается формулой
(др = Wp dx,
где Wp = wp(x) — гладкая (и гладко зависящая от ^функция от х£ R, равная нулю вне некоторого интервала (—г, г). Пусть
X Ор (х) = Wp (х) dx. - г
Функция 0р гладко зависит от р и dQp = wp. Так как ^о)р = 0р(г), то, согласно условию, 0р(г) = О и, значит,
ЛЕММА ПУАНКАРЕ ДЛЯ ФИНИТНЫХ ФОРМ
399
()р(х) = 0 ПРИ х^г. Поскольку, очевидно, 0/)(х) = О при — г, то, следовательно, 0Дх) = О при |х| ~^г. Этим предложение 1 при п=1 доказано.
Предположив теперь, что предложение 1 доказано для семейств форм степени п — 1 на пространстве R"-1, рассмотрим семейство форм (5) на R". Пусть р£Я\ и пусть г—такое (зависящее от р) число, что (пр — 0 вне I?.
Представив пространство R" в виде произведения R"-1xR и соответственно этому отождествив его точки с парами вида (х, I), где x^R”-1 и f£R, мы можем каждую форму записать в виде
= р A di, где
ю/, р = wp (х, t)dxl Д... Adx"-1, х = (х1, ..., х"-1), — форма на R"-1, гладко зависящая от точки (t, р) многообразия Rx^ и равная нулю вне куба 7"-1 и при iq>r.
С помощью функции а из леммы 1 лекции 1 немедленно строится такая гладкая неотрицательная функция а на пространстве R"'1, что а = 0 вне куба Z"-1 и а(0)=/=О. Для такой функции интеграл
(7) a(x)dx
RZI-1
положителен и, разделив функцию а на этот интеграл, мы получим функцию а0 на R"-1, для которой интеграл (7) равен единице. Поэтому для функции gt<p на R"-1, определенной формулой
gt.?(*) = wP(x, I)—а0(х) $ wp(x, t)dx, RP-l
будет иметь место равенство
$ gt,p(*)dx = 0. Rn-t
Форма
®t. P = gt,pdxlA- • .f\dxn~l
на R"-1 равна нулю вне (и при |/ |^г), гладко зависит от (/, р) и интеграл от этой формы по R"-1 тождественно равен нулю. Следовательно, по предположению индукции, на R"-1 существует такая форма 0tip, гладко
400 ЛЕММА ПУАНКАРЕ ДЛЯ ФИНИТНЫХ ФОРМ зависящая от (/,/?)£ Ry и равная нулю вне куба (и при 111 г), что
d&t, р ~ ®t, ₽•
Формы 0t, гиЗ(1? мы можем рассматривать как формы на R", не зависящие от dt. В этом качестве мы будем обозначать их через $р и <др соответственно. Форма связана с формой а>р равенством
<о/, = а//А^-1 fpdx'/\ ... /\dxn-1/\dt, где fp—функция на R", определенная формулой
fp(x, 0 = а„(х) $ <ap(X, t)dx = wp(x, t)—gt,p(x), RZl-I
а дифференциал d$p формы является суммой формы 8>р и некоторой формы вида fi/\dt. Поэтому
d$p Д dt = 8ip/\dt и, значит,
d($p Л dt) = &p A dt.
Мы определим форму 9^ на R" формулой
0, = A dt + (-1 y-'Fpdx1 A • • • Adx"-', где Fp — функция на R", заданная формулой
Fp(x, t)= [fP(x, t)di. — r
Тогда
dQp = ftp A dt-\ (—ly-'fp^x, t)dt A dx'/\ ... A dx"-1 = = ar A dt + fp(x, i)dx' /\.../\ dx"-1^ dt = a>p.
Форма 0?, очевидно, равна нулю вне бруса /?-1xR. С другой стороны, так как
J wp (х, t) dxdt = '\ мр = О, - г R«->
то Fp(x, t) — 0 при t~^r (и, конечно, при t < — г). Кроме того, так как р = 0 при 111 > г, то 0Л р = 0 при | /1 > г, т. е. = 0 при 111 г. Следовательно, 0^ = 0 при j 11 г, т. е. 0Р = О вне куба □
ГРУППА W«In.#
401
Следствие 1. Если для финитной формы со степени п на пространстве R" имеет место равенство
(8) (о = О,
Rt
то на R" существует такая финитная форма 0 степени п — 1, что
(9) ® = d0.
При этом, если со —0 вне куба /р, то дополнительно можно считать, что и 9 = 0 вне If- □
Замечание 2. В следующей лекции мы покажем, что условие (8) не только достаточно, но и необходимо для выполнения равенства (9).
Пусть теперь % — произвольное n-мерное многообразие (хаусдорфовое и паракомпактное) и (U, h) — карта в %. Финитную форму го степени п на многообразии мы будем называть сосредоточенной (имеется в виду — на U), если (о = О вне U. Для такой формы со на открытом множестве h (t/)aRn определена форма (А-1)*со. Эта форма равна нулю вне некоторого компактного множества Cah(U), откуда следует, что если ее продолжить нулем вне h.(U), то получится гладкая (и финитная) форма на всем R". Продолженную форму мы также будем обозначать через (й-1)* со.
Пусть
/со =
(h 1)*го
Rt
Так как при другом выборе диффеоморфизма h интеграл может лишь изменить знак, то число /со зависит только от формы со (определено корректно).
[Если многообразие % ориентировано, что мы пока предпочитаем не предполагать, то число /со является не чем иным, как абсолютной величиной интеграла 5 ю-]
Финитную сосредоточенную форму со мы будем называть существенной, если /со#=О, и несущественной, если /(о = 0. Существенную форму, для которой /го=1, мы будем называть нормированной.
Финитную форму (D на многообразии Ж мы будем называть финитно когомологичной нулю, если на
402
ГРУППА
существует такая финитная форма 0, что dd — a.
Лемма 1. Каждая сосредоточенная несущественная финитная форма <о финитно когомологична нулю.
Доказательство. Ясно, что без ограничения общности мы можем считать, что множество /i(t/)c:Rn является кубом /" и, значит, что форма (Л-1)* <о (рассматриваемая как форма на всем пространстве R") равна нулю вне куба При этом по условию
$ (Л-1)*<в = 0.
Следовательно, согласно следствию 1 предложения 2, на R" существует такая финитная форма 0, равная нулю вне что
(/i-1)*<o = d0.
Рассмотрим форму h*Q. Эта форма определена на U и удовлетворяет на U соотношению
d (Л*0) = со.
Кроме того, форма Л*0 равна нулю вне некоторого компактного подмножества координатной окрестности U (являющегося образом при/г-1 компактного подмножества куба ia = h(U), вне которого равна нулю форма 0). Поэтому, продолжив эту форму вне U нулем, мы получим на Я гладкую финитную дифференциальную форму 0П удовлетворяющую соотношению
d0i = (О
как на U так и вне U, т. е. на всем Я. □
Лемма 2. Для любой координатной окрестности UcS," существует на SC нормированная финитная форма <о, сосредоточенная на U.
Доказательство. Согласно предложению 2 лекции 14 на Я существует гладкая неотрицательная функция ф, равная нулю вне U и единице на некотором открытом множестве W с U с компактным замыканием W a: U. Мы определим на форму р>—>ыр, полагая
( ф (р) dx'A - - Л dx'p, если р £ U, (О == \ _ р [ 0 в противном случае,
ГРУППА Hfnln^-
403
где х’, хп — локальные координаты на U. Ясно, что форма о гладка, финитна и сосредоточена на U. Кроме того,
(10) j) J (tpo/i-1) (х) dx >
h(U) h(U)
> J ((po/i-1) (x) dx= J dx > 0, h(W) h(W)
где h\ U ~>-h(U) — координатный гомеоморфизм. Следовательно, форма го существенна. Разделив ее на интеграл /со, мы получим нормированную форму, сосредоточенную на U. □
Замечание 3. Если многообразие% ориентировано, а карта ([/, х1, ..., х") положительна, то построенная форма а обладает тем свойством, что
J со > °.
Мы будем говорить, что координатные окрестности U и V в многообразии % сцеплены, если в % существуют такие координатные окрестности
и0, -------ит,
что U0 = U, Um = V и (/,._! П Ut ф 0 Для любого i — 1, ... .. ., т (ср. лекцию 20). Легко видеть (см. лемму 1 лекции 20), что на связном многообразии % любые две координатные окрестности сцеплены.
Финитные формы o)d и на многообразии мы будем называть финитно когомологичными, если существует такая финитная форма 9, что
— (Oo = d9,
т. е. если форма —ю0 финитно когомологична нулю.
Предложение 3. Пусть ю0 и Wj—нормированные сосредоточенные финитные формы степени п на п-мерном связном многообразии %. Тогда форма финитно кого-мологична либо форме соо, либо форме —<оо.
Доказательство. Пусть форма ю0 сосредоточена на координатной окрестности Uo, а форма со1— на координатной окрестности П1( и пусть h0: Uo —► R" и Ur —► R" —
такие координатные отображения, что (11) $ (V)*coo=l и J (Лг1)*<о1= 1-
Rn , Rn
404
ГРУППА «?1П12Г
Случай 1. Карты ([/„, h0) и (£/1( hi) совпадают. Тогда финитная форма ©j—о)о сосредоточена на Uo и несущественна. Следовательно, согласно лемме 1, форма к»!—го0 финитно когомологична нулю.
Случай 2. Совпадают координатные окрестности Uo и Ut. Так как интегралы (И) при изменении координатных отображений могут лишь изменить знак, то
$ 0Г1)*юо = е, где е = ±1. Rn
Поэтому, согласно уже доказанному, форма Wj финитно когомологична форме ео)о.
Случай 3. Координатные окрестности Uo и Ui пересекаются:
Uо П Ui ^0 •
Согласно лемме 2 существует нормированная форма to, сосредоточенная на координатной окрестности t/0A U i (а значит, и на координатных окрестностях Uo и [Д). Поскольку нормированные формы го0 и го сосредоточены на Uo, то по доказанному форма го0 финитно когомологична либо форме to, либо форме —го, а поскольку нормированные формы го и coj сосредоточены на Uu то аналогично форма го финитно когомологична либо форме ©!, либо форме —ан. Следовательно, форма <ох финитно когомологична либо форме го0, либо форме —го0.
Случай 4. Координатные окрестности Uo и Ut сцеплены. Очевидная индукция по длине цепочки координатных окрестностей, соединяющей окрестности Uo и U немедленно сводит этот случай к уже рассмотренному случаю 3.
Поскольку в связном многообразии любые две координатные окрестности сцеплены, это доказывает предложение 2. □
Следствие I. Пусть го0—произвольная существенная сосредоточенная форма степени п на п-мерном связном многообразии %. Тогда для любой финитной формы го степени п на многообразии Я? существует такое число с, что форма го финитно когомологична форме сго0.
Доказательство. Без ограничения общности мы можем считать, что форма го0 нормирована.
Поскольку многообразие .Т по условию хаусдорфово и паракомпактно, на нем существует нумерируемое покрытие {Па}, состоящее из координатных окрестностей. Пусть
ГРУППА
405
{"Пос} — разбиение единицы, подчиненное покрытию {t/a}. Тогда для любого а форма г]ао) сосредоточена на Ua, и потому определено число
Ca = /(T)a®)-
Если са#=0, то форма c^rvo, подобно форме го0, нормирована и сосредоточена. Поэтому, согласно предположению 3, эта форма финитно когомологична форме 8а®ь, где еа = ±1. Следовательно, форма т]аго финитно когомологична форме саеаго0.
Ясно, что этот вывод сохраняется и при са = 0, потому что в этом случае сосредоточенная форма т]аго несущественна и, значит, согласно лемме 2, финитно когомологична нулю.
Таким образом, в разложении со = 2па® а
(содержащем из-за финитности формы го лишь конечное число отличных от нуля слагаемых) каждое слагаемое т)аго финитно когомологично форме саеаго0. Поэтому форма го финитно когомологична форме сго0, где
С = 2 саеа □
а
Для любого ffl>0 мы положим urn су_______________7т <7*
где Zfln-^—пространство всех замкнутых финитных форм степени m на J, а Впп-^—его подпространство, состоящее из дифференциалов финитных форм степени т—1. (Заметим, что, вообще говоря, существуют точные финитные формы, не принадлежащие Впп^.)
Элементы факторпространства называются финитными классами когомологий гладкого многообразия ST.
Теорема 1. Для произвольного п-мерного связного хаусдорфова и паракомпактного многообразия ST имеет место неравенство
dim H^nST ^1,
т. е. либо Я"|П^ = 0, либо
Доказательство. Согласно следствию 1 предложения 3 линеал H”inST порождается финитным классом когомологий [©„] произвольной сосредоточенной сущест
406 СЛУЧАЛ ОРИЕНТИРУЕМОГО МНОГООБРАЗИЯ
венной формы со0. Поэтому, если [<о„] = 0, то Я"1п^’ = 0, а если [й)0] #= 0, то HnnnST « R. □
В случае, когда многообразие ST ориентируемо, можно получить более точный результат.
Выбрав на ST одну из двух возможных ориентаций (напомним, что многообразие ST мы предполагаем связным), мы можем для каждой финитной формы го £ построить ее интеграл
(12) J <о.
В лекции 26 мы покажем (см. следствие 1 теоремы 1 лекции 26), что если то интеграл (12) равен
нулю. Поэтому интеграл (12) зависит только от финитного класса когомологий [ю] g формы о (заметим, автоматически замкнутой), т. е. соответствие
(13)
корректно определяет некоторый гомоморфизм H^nST —<- R.
Теорема 2. Для любого ориентируемого п-мерного связного хаусдорфова и паракомпактного многообразия ST группа H"inST изоморфна R. Изоморфизм определяется соответствием (13). (Он зависит от выбора ориентации многообразия ST
Доказательство. Из замечания 3 мы знаем, что на многообразии ST существуют финитные формы го степени п, для которых интеграл (2) отличен от нуля. Это означает, что гомоморфизм (13) нетривиален.
Поскольку (1 i m И"\nST , это возможно только при
и тогда гомоморфизм (13) является изоморфизмом. П
Таким образом, чтобы финитный класс когомологий [«] финитной (не обязательно сосредоточенной) формы со степени п порождал линеал Н"1п^ (составлял его базис), необходимо и достаточно, чтобы интеграл от го по ST был отличен от нуля:
(14) $ю=£0.
В этом случае для любой другой финитной формы о>, степени п на многообразии ST имеет место равенство
[«Н] = с [со],
СЛУЧАЙ ОРИЕНТИРУЕМОГО МНОГООБРАЗИЙ
407
где
\ (Oj с= с—• \ (О
Заметим, что условие (14) заведомо выполнено, если форма со сосредоточена и существенна.
Следствие 1. Для любого ориентируемого п-ме.рного связного хаусдорфово компактного многообразия % группа изоморфна R, т. е.
hn^—l. □
Замечание 4. Задание изоморфизма (13) равносильно заданию в одномерном линеале ЯпгД1 базиса и, значит, некоторой ориентации этого линеала. При изменении ориентации многообразия эта ориентация заменяется на противоположную. Следовательно, ориентации связного многообразия Ж можно отождествлять с ориентациями линеала
Замечание 5. Можно показать — попытайтесь это сделать!—что равенство dim = 1 характеризует ориентируемые многообразия, т. е. связное многообразие тогда и только тогда неориентируемо, когда = 0,
Задача 4. Вычислите группу для несвязного многообразия Результат сравните с предложением 2 лекции 20.
Лекция 26
Степень гладкого собственного отображения.— Алгебраическое число прообразов регулярного значения.— Инвариантность степени при гладких гомотопиях.— Доказательство теоремы о барабане.— Инвариантность степени при любых гомотопиях.
Определение 1. Отображение /: -5Г —3/ называется собственным, если прообраз f~lC каждого компактного множества СсЗ/ компактен. Ясно, что если гладкое отображение /: X —<-3/ собственное, то для любой финитной формы со на 3/ форма на % также финитна. Поэтому для любого /и^О каждое гладкое собственное отображение /: ► 3/ индуцирует гомоморфизм
/*: Hffn3/ — Н^.
Мы рассмотрим этот гомоморфизм в частном случае, когда оба многообразия и З/ ориентированы и имеют одну и ту же размерность п — т. Кроме того, мы будем предполагать, что многообразие & связно.
Пусть финитная форма <о степени п на многообразии 3/ финитно не когомологична нулю (ее финитный класс когомологий [<о] составляет базис линеала Я"1П3/). Тогда, как мы знаем, jj со =/= 0 и для любой другой финитной формы (^степени п на 8/ имеет место равенство [o\] = c[®], где $ »______________________________
(О
9
Так как формы <0j и ссо финитно когомологичны, то формы /*со1 и f* (ссо) = cf*<n также финитно когомологичны, и, значит,— в случае, когда [/*со]У=0 в — имеет место равенство
.Г
СТЕПЕНЬ ГЛАДКОГО СОБСТВЕННОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 409
При с^=0, т. е. при J (о1у=О, отсюда следует, что
9
J fco J f*a>L Я_____________
СО Oh
9 9
т. е. число
$ [*ш
(О degf = ^-
Г
9
не зависит от выбора формы со.
Ясно, что этот вывод сохраняется и при f*[co] = O.
Замечание 1. Алгебраическим основанием проведенного рассуждения является тот очевидный факт, что каждое линейное отображение R—>R является умножением на некоторое число.
Определение 2. Число (1) называется степенью собственного гладкого отображения f: %—>-2/.
Равенство (1) может быть переписано в виде
(2) J f*co = degf- со,
ЗС »
и в этом виде оно имеет место для любой финитной формы со максимальной степени на &.
Подчеркнем, что для того, чтобы степень degf была определена, необходимо, чтобы отображение f было собственным. Это условие всегда выполнено, когда многообразие Я? компактно. Таким образом, если многообразие компактно, то степень deg f определена для любого гладкого отображения f: ЗГ--У (конечно, при прежнем условии, что многообразие Й/ связно).
Задача 1. Покажите, что если многообразие Ж компактно, а многообразие У нет, то степень любого отображения 33 —> 8/ равна нулю.
Замечание 2. Чтобы степень была определена, нужно также, чтобы многообразия S3 и 8/были не только ориентируемы, но и ориентированы. При этом при смене ориентации одного из них степень меняет знак. Однако
410
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО ПРООБРАЗОВ
при У = смена ориентации многообразия оставляет степень неизменной (она дважды меняет знак). Поэтому о степени собственных отображений (где
связное, хаусдорфово и паракомпактное многообразие) можно говорить, и не предполагая многообразие % обязательно ориентированным (нужно лишь, чтобы оно было ориентируемым).
Согласно теореме Сарда (см. лекцию 15) гладкое отображение f: % — > & обладает регулярными значениями qftW, а, согласно предложению 1 лекции 13, для любого регулярного значения q^y множество f~l(q) является вложенным нульмерным подмногообразием многообразия (напомним, что по условию dim 2/= dim .£”), т. е. состоит из изолированных точек (см. лекцию 7). При этом, поскольку отображение / собственное, это множество компактно и, значит, конечно.
Пусть р — произвольная точка множества /-1(р), (U, h) -= — (U, х1, ..., х")—положительная карта многообразия Т, центрированная в точке р, (V, k) — (V, у1, ...,уп)— положительная карта многообразия 2/, центрированная в точке q, и (3) y'^f'lx1..........х«), /=1......п,
— функции, выражающие в этих картах отображение f. По условию якобиан
Df(p) = det i, j = l, ..., n,
I dx1 |
функций (3) в точке p отличен от нуля. Поэтому определен его знак sign Df (р) = ± 1. Очевидно, что этот знак не зависит от выбора (положительных!) карт (t/, h) и (V, k). Мы будем называть его знаком отображения f в точке р и будем обозначать его символом signp/.
Пусть
(4) 2 f
— сумма знаков отображения f по всем точкам p^f~1(q> («алгебраическое число прообразов точки q при отображении f»). Эта сумма определена, так как множество f~l (q) конечно.
Предложение 1. Число (4) не зависит от выбора точки q^& и равно степени deg/ отображения f.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО ПРООБРАЗОВ 411
Доказательство. Пусть W — произвольная окрестность точки q в многообразии Й/, замыкание W которой компактно.
Так как отображение f непрерывно, а множество всех его критических точек замкнуто, то каждая точка р£ С G/) обладает окрестностью U'p с f~lW, не содержащей ни одной критической точки отображения /. При этом окрестности Up можно, конечно, выбрать так, чтобы для различных точек они не пересекались, чтобы
все множества были открыты в Й/ и чтобы все отображения /1^-: Up->-f(Up) были диффеоморфизмами.
Пусть
U' = U U'P
Up) ~ч
— объединение всех окрестностей Up, и пусть С = — f~1W\U'. Множество С компактно и обладает тем свойством, что q (£ f (С). Его образ f (С) также компактен и потому замкнут. Следовательно, на многообразии Й/ существует такая координатная окрестность V точки </, что V' <z:W\f (С) и, значит, такая, что f~1V'cU'.
Пусть
V = П Ж)ПУ'.
йр)=?
Поскольку множество /-1 (q) конечно, множество V (содержащее точку q) открыто и, значит, является окрестностью точки q. Для любой точки мы положим
ир = ир Л
Очевидно, что множества Up обладают следующими свойствами :
а) Каждое множество Up является окрестностью точки р.
б) Окрестности Up, отвечающие различным точкам р, не пересекаются.
в) Объединение U всех окрестностей Up, p(zf~l(q), является прообразом f~xV окрестности V.
г) На каждой окрестности Uр отображение f является ее диффеоморфизмом на окрестность V.
Поскольку окрестность V содержится в координатной окрестности V, она сама является координатной окрестностью, т. е. является носителем некоторой карты (V, k) — = (V, //', . . ., у") многообразия Й/, которую мы без ограничения общности можем считать положительной. В силу
412
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО ПРООБРАЗОВ
свойства г отсюда следует, что для любой точки р€/-1(<?) пара (Up, hp), где hp = ko (f\Up), также является картой. Поскольку в картах (Up, hp) и (V, k) отображение f записывается формулами вида у*= х‘, i = 1, ..., п, карта (Up, h„) тогда и только тогда положительна, когда sign, [J] = 1.
Как мы знаем, для вычисления степени deg / мы можем использовать произвольную финитно не когомологичную нулю финитную форму (о степени п на многообразии &. Пользуясь этой свободой, мы примем за <о сосредоточенную на Vсущественную форму. Такая форма существует согласно лемме 2 лекции 25.
Но если форма <о сосредоточена на И, то форма [*ы равна нулю вне окрестностей Uр, и потому
$/*«>= 2 $
% 1<Р) = 9 Up
где справа Up рассматривается как открытое подмногообразие, снабженное ориентацией, индуцированной ориентацией многообразия Поэтому, если
со = w dy1 А ... A dy'1 на V
и, значит,
/*<о = (иг о /) dx1 А • • A dx'1 на Up,
где х1 = у1 о f, ..., хп = у4 о /, то
= гр $ (w о f о hp1) (х) dx, Up hp(Up)
где е,р — 1, если карта (Uр, hp) положительна, и ер = —1 в противном случае. С другой стороны, так как hp = = k о (f\u,) и, значит, hp(Up) = k(V) и w о f о hp1 = wо k~1, то
$ (w о j oh~1)(x)(dx)= J (wok~1)(x)dx=<\a. hp(Up) k(V) У
Кроме того, согласно сделанному выше замечанию, равенство 8^= + ! имеет место тогда и только тогда, когда signJ0/= 1. Поскольку eF = ±l и sign,, f = ± I, это означает, что
e/) = signjt)/ для любой точки p^f~1(q)-
ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ГЛАДКИХ ГОМОТОПИЯХ
413
Сопоставив все эти факты, мы немедленно получим, что
По определению (см. формулу (1)) это и означает, что число (4) равно степени deg/ отображения /. □
Следствие 1. Степень deg/ произвольного собственного гладкого отображения [: SC является целым числом. П
Удивительный результат! '
Следствие 2. Если отображение [: % не надъек-тивно, то deg/ = 0.
Доказательство. Достаточно заметить, что любая точка у $f (•%") является регулярным значением отображения /. □
Определение 3. Непрерывные (собственные) отображения /, g\ SC —>Й/ называются (собственно) гомотопными, если существует такое непрерывное (собственное) отображение F\ .£”х[0, 1]—i-Й/, что
F{p, O) = f(p), F(p, l) = g(p)
для любой точки p£SC.
Отображение F называется (собственной) гомотопией, связывающей, отображения / и g. Его удобно отождествлять с семейством {/,} непрерывных (собственных) отображений ft: SC—^y, 0^/^ 1, определенных формулой
ft(P) = F(P> 0. Р^.
Гомотопия F называется гладкой, если она является ограничением на .^х[0, 1] некоторого гладкого отображения JFxfa, Ь)—>Й/, где (а, Ь) — интервал оси R, содержащий отрезок [0, 1]. Гладкие (и собственные) отображения /, g: SC—^ЧУ, связанные гладкой (и собственной) гомотопией F: SCx |0, 1]—>й/, называются гладко (и собственно) гомотопными.
Так как для гладкой и собственной гомотопии F: ^Х[0, 1]—>Й/ все отображения /(: SC —>-У, гладки и собственны, то для каждого из них определена
414
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О БАРАБАНЕ
степень
det/t = ^—.
у
Участвующая в этой формуле форма //<>>, очевидно, непрерывно (даже гладко) зависит от t, т. е. в каждой карте ее единственный коэффициент является непрерывной функцией от t (и, конечно, от локальных координат). Поэтому (см. задачу 3 лекции 25) число deg/f также непрерывно зависит от t. Следовательно, являясь целым числом, оно постоянно. В частности, deg/ = deg/0^ = deg f1== deg g.
Таким образом, если гладкие собственные отображения f, g: X —> Й/ гладко и собственно гомотопны, то их степени равны-.
(5) deg/ = degg.
Это утверждение известно как теорема о гомотопической инвариантности степени.
Теперь мы можем легко доказать анонсированную в лекции 9 теорему о барабане.
Доказательство теоремы 1 лекции 9. Пусть существует ретрагирующее отображение
г. В"—д>2,
и пусть r(O) = so. Тогда формула
(6) F(x, t) = г (tx), определяет гомотопию
F: S^xtO, эвязывающую постоянное отображение const: S"-1 —+ S"~L, х>—>s0, с тождественным отображением id: S'1-1-—>Sn-1, х>—>х Поэтому в силу гомотопической инвариантности степени отображения const и id (очевидно, гладкие) должны иметь одну и ту же степень (о собственности этих отображений нам беспокоиться не нужно, так как сфера S"“l ком
ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ЛЮБЫХ ГОМОТОПИЯХ 415
пактна). Но ясно, что deg id =1, a deg const = 0. Полученное противоречие доказывает, что ретракции г существовать не может. □
Замечание 3. Это доказательство не проходит при п — 1 (хотя бы потому, что сфера 3° состоит из двух точек и не является связным многообразием). Но невозможность существования ретракции В1—»S° в этом случае очевидна (связный отрезок В1 нельзя непрерывно отобразить на несвязную сферу S0).
Внимательный читатель должен заметить, что изложенное доказательство теоремы о барабане содержит лакуну и потому, собственно говоря, доказательством считаться не может. Действительно, гомотопия (6), вообще говоря, лишь непрерывна, тогда как в равенстве (5) предполагается, что связывающая отображения fug гомотопия гладка. Поэтому, чтобы подвести под теорему о барабане прочный фундамент, нам надо доказать (хотя бы для отображений S"-1 —> S"-1), что равенство (5) остается справедливым и тогда, когда связывающая отображения f и g гомотопия лишь непрерывна. Для этого достаточно, конечно, доказать следующее общее предложение:
Предложение 2. Для любых компактных (и хаус-дорфовых) многообразий SC и ЧУ гладкие отображения f, g: SC -t-ЧУ тогда и только тогда гомотопны, когда они гладко гомотопны.
[За счет усложнения технических деталей аналогичное утверждение можно доказать и для собственных отображений некомпактных многообразий, но поскольку для доказательства теоремы о барабане нам нужен лишь случай, когда Я = ЧУ = §п~1, мы этим заниматься не будем. Кроме того, строго говоря, мы докажем предложение 2 лишь при некоторых дополнительных предположениях, наложенных на многообразия SC и ЧУ, которые заведомо выполнены при Ж = ЧУ = S"-1. (На самом деле они выполнены для любых ST и ЧУ, но этот факт мы сможем установить лишь в следующем семестре.)]
Подчеркнем, что в предложении 2 размерности многообразий .2* и Й/ одинаковыми не предполагаются (а сами многообразия ST и ЧУ могут быть и несвязными).
Многообразия ST и ЧУ мы будем считать вложенными в пространство R", где п— некоторое достаточно большое число. (Таким образом, мы здесь отходим от обыкновения употреблять букву п для обозначения размерности много
416
ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ЛЮБЫХ ГОМОТОПИЯХ
образия .£”). Согласно теореме вложения (предложение 1 лекции 14) это предположение общности не ограничивает.
Определение 4. Подмножество % пространства R" называется окрестностным ретрактом, если существует открытое множество Ozd^1, ретрагирующееся на %. При этом в случае, когда Я7 представляет собой подмногообразие, дополнительно требуется, чтобы существовала ретракция г: О являющаяся гладким отображением.
Например, окрестностным ретрактом является сфера S"-1 пространства Rn. (За окрестность О можно в этом случае принять проколотое пространство R"\{0}, а ретракцию г: О—>S"-1 определить формулой г (х) = -щ- , x€R"\{0}.)
Мы докажем предложение 2 лишь в предположении, что подмногообразия & и У пространства R" являются окрестностными ретрактами. [Как мы покажем в следующем семестре, это предположение общности не ограничивает. Кроме того, оно во всяком случае выполнено при .Т = У = S"-1.]
Доказательство предложения 2. Конечно, если гладкие отображения f, g: Я —► ЧП гладко гомотопны, то они и гомотопны. Поэтому нам надо доказать лишь обратное утверждение. Естественный путь состоит в том, чтобы преобразовать произвольную непрерывную гомотопию Е: .!Гх[0, 1] —> 6/, связывающую отображения/ и g, в гладкую.
Пусть г'. О ср —> Я!—ретракция на Я некоторой окрестности О ср zd Я. Определим отображение
F': 0<рХ&->ЧУ формулой
( если t С 3/7,
F' (х, t) — J F(r(x), 71—3), если 3/7 «С t 4/7, | g(r(x)), если 4/7 </.
Ясно, что отображение F' непрерывно (при I < 3/7 и t > 4/7 даже гладко) и его ограничение на ^х[0, 1] является гомотопией, связывающей отображения fug.
Из анализа известна следующая теорема:
Теорема Вейерштрасса (о полиномиальной аппроксимации). Пусть О—открытое множество пространства R", К—компактное подмножество множества О и F: О—►К” — непрерывное отображение. Тогда
ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ЛЮБЫХ ГОМОТОПИЯХ 417 для любого в > 0 существует такое полиномиальное отображение Р: Rn—(задаваемое полиномиальными функциями координат), что
|Р(х)—F(x)| < в для любой точки х$К.
[Заметим, что эту теорему достаточно, очевидно, доказать лишь при т=1, т. е. когда F является числовой функцией. Только этот случай обычно и рассматривается в курсе анализа.]
Мы применим теорему Вейерштрасса к открытому множеству O^-xR (рассматриваемому как подмножество пространства Rn+1==RnxR), к компактному множеству ^х[0, 1] и к отображению F' (рассматриваемому как отображение в R"). Обозначив ограничение полиномиального отображения Р на х [0, 1] снова через Р, мы в силу этой теоремы получим, что для любого 8 > 0 существует такое гладкое отображение
Р: ^х[0, 1]->R", что
| Р (х, t)—F' (х, 01 < 8 для любой точки (х, 0 € -^х [0, 1].
Пусть теперь X—такая гладкая функция R —что ( 0, если /^1/7 или 6/7
Х(/)==\ 1, если 2/7</<5/7
и 0^Х(/)^1 для любого /£R. [Такую функцию можно, например, задать формулой
где а—функция из леммы 1 лекции 1; ср. замечание 3 лекции 1.] Мы положим
G (х, t) = F'(x, t) | \(t)(P(x, i)~F'(x, t))
для любой ТОЧКИ (x, 0€.^X[0, 1].
Так как X(0 = 0 при / = 0 и /=1, то
G(x, Q)-=F'(x, 0) — f(x) и G(x, 1) = F' (x, l) = g(x)
для любой точки х^Я, т. е. G является гомотопией, связывающей отображения f и g. При этом, так как при t < 3/7 и 4/7 < t отображение F' (а значит, и отображе-
14 м. М. Постников, сем. III
418
ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ЛЮБЫХ ГОМОТОПИЯХ
ние G) гладко, а при 2/7 <1 < 5/7 отображение G совпадает с отображением Р (а потому также гладко), то G является гладкой гомотопией.
Мы построили гладкую гомотопию, но она принимает значения не в многообразии &, а в пространстве R". Чтобы поправить дело, мы вспомним, что построение гомотопии G зависело от параметра е > 0 и что
|G(x, t)—F'{x, /)|^Х(0|Р(х, 0—f'(x, 01 <«
для любой точки (х, 0 € % х [0, 1]. Поскольку F' (х, 0 € 2^» это по определению означает, что расстояние точки G (х, t) от многообразия У меньше в, т. е. точка G (х, 0 содержится в е-окрестности многообразия
С другой стороны, по условию существует окрестность многообразия Од, ретрагирующаяся на &. При этом, так как многообразие Й/ компактно, то существует такое в > 0, что вся е-окрестность многообразия Й/ содержится в Од (докажите!). Следовательно, гомотопия G, построенная для этого в, будет обладать тем свойством, что G(x, t)£Og для любой точки (х, /)С^х[0, 1]. Поэтому формула
//(X, t) = rg(G(x, 0). (X, 0Е-^х[О, 1],
где гд: Од->-&—гладкая ретракция, определяет гладкую гомотопию Н: SP х [0, 1]—<-Й/, связывающую отображение Гд о f = f с отображением rgog=g.
Тем самым предложение 2 (в предположении, что многообразия 3? и й/ являются окрестностными ретрактами) полностью доказано. □
Одновременно полностью доказана и теорема о барабане.
Замечание 4. Подобно тому как мы приблизили произвольную гомотопию ^х[0, 1]—<-Й/ гладкой гомотопией, можно любое непрерывное отображение/: 3? ~>й/ аппроксимировать гладким отображением.
Задача 2. В следующем семестре мы докажем, что для любого компактного многообразия й/> вложенного в пространство R", существует такая константаТУ > 0, что любые две точки р, расстояние между которыми (измереииое по Й/) меньше d, можно соединить в Й/ единственной кратчайшей (для сферы константа d равна я, а кратчайшей является дуга большого круга). Пользуясь этим, покажите, что любые два достаточно блцзкце отображения SP —* У гомотопны.
ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ ЛЮБЫХ ГОМОТОПИЯХ 419
В частности, отсюда следует, что любые два гладких отображения %—>&, достаточно близко аппроксимирующие данное непрерывное отображение [: %—»-S/, имеют (если многообразия % и & ориентированы, компактны и их размерности одинаковы) одну и ту же степень. Эта степень называется степенью непрерывного отображения f.
Задача 3. Докажите, что степени гомотопных непрерывных отображений равны.
14*
Лекция 27
Области с регулярной границей.— Теорема Стокса.— Формулы Гаусса — Сстроградского, Грина и Ньютона — Лейбница.— Многообразия с краем.— Внутренние и краевые точки.— Вложенные ^-подмногообразия.— Теорема Стокса для многообразий с краем и ^-подмногообразии.— Теорема Стокса для поверхностных интегралов.— Теорема Стокса для сингулярных подмногообразий.— Криволинейные интегралы второго рода.
Пусть, как и выше, ^ — гладкое «-мерное хаусдорфово и паракомпактное многообразие.
Определение /. Подмножество D многообразия % называется областью с регулярной границей, если
Г подмножество D является замыканием своей внутренности:
£ = ТпГО;
2° его граница
Fr £> = ZT\lnt £)
является вложенным (п—1)-мерным подмногообразием.
Для такой области D граница FrD называется ее краем и обозначается символом dD.
Как мы знаем (см. лекцию 13), для каждой точки подмногообразия dD в многообразии & существует такая содержащая эту точку карта {V, ti} = (U, х', . ..,х"), что пара
(У, £) = (У, у1, ..^у"-1),
где V = U п dD и у1 = ха |р, ..., уп~1 — х" |р, является картой на dD, а равенство х1 (р) = 0 для точки p^U имеет место тогда и только тогда, когда p£dD. При этом без ограничения общности мы можем предполагать, что х1 < 0 на U П IntD.
О карте ((/, h), обладающей этими свойствами, мы будем говорить, что она приспособлена к D, а о карте (V, k), что она высечена на dD картой (U, h).
Пусть теперь (U, h) = (U, х1, ...,х") и (Ur, h'} = = (U', х1', ..., х"')—две карты на Ж, приспособленные к D, а (V, k) и (V', k')—высекаемые ими карты на dD. Так как на и nV' функция х‘' тождественно равна нулю,
ОБЛАСТИ С РЕГУЛЯРНОЙ ГРАНИЦЕЙ
421
то на V п V имеют место равенства
дх1' л . о
—— = 0, я = 2, .... п.
дх*
Поэтому
, . dh' дхх' , . dk' det-г,-=-r-т • det-г-- на V А V . dh dx1 dk
С другой стороны, так как х1' < 0 тогда и только тогда, когда х1 < 0, то
> 0 наУАГ.
Следовательно, если карты (U, h) и (U’, h') положительно согласованы, то (при п > 1) карты (V, k) и (У', k’) также положительно согласованы.
Предположим теперь, что многообразие % ориентируемо и ориентировано. Так как при п > 1 для любой точки p£dD, очевидно, существует положительная карта, содержащая точку р и приспособленная к D, то все приспособленные к D положительные карты высекают на dD атлас положительно согласованных карт. Об ориентации на dD, задаваемой этим атласом, мы будем говорить, что она индуцирована ориентацией многообразия Ж.
При м=1 область D является системой отрезков (на прямой или окружности), a dD состоит из их концов. Ориентация многообразия & задает на этих отрезках направление, и мы введем на dD ориентацию (в смысле замечания 1 лекции 25), считая, что правый конец каждого отрезка имеет знак +, а левый знак —.
Таким образом, в ориентируемом (ориентированном) многообразии SV край любой области с регулярной границей является ориентируемым (ориентированным) многообразием.
Так как, согласно теореме Сарда (см. лекцию 15) край произвольной области с регулярной границей является нуль-множеством, то каждая компактная область D с регулярной границей кубируема. Поэтому, в предположении, что многообразие SC ориентировано, для любой формы со степени п на % и любой компактной области D с регулярной границей определен интеграл
5 (,)-D
422
ТЕОРЕМА СТОКСА
Этот интеграл определен также и для некомпактных областей D, если только форма со финитна.
В частности, для любой формы со степени п — 1 (финитной, если область D некомпактна) определен интеграл (1) $Ло.
D
С другой стороны, определен (по отношению к индуцированной ориентации многообразия dD) также и интеграл $ 1*0)» dD
где i: dD —► %— вложение. Для сокращения формул мы будем этот интеграл обозначать символом
(2) $ «.
0D
Теорема 1 (теорема Стокса для областей с регулярной границей). Для любой области D с регулярной границей хаусдорфова паракомпактного ориентированного п-мерного многообразия SZ и любой формы (финитной, если область D неком-
пактна) имеет место равенство
(3) J dco — j со.
D 0D
Доказательство. Ясно, что все карты (Ua, ha) многообразия либо не пересекающиеся с dD, либо приспособленные к D, составляют атлас на ЭД Так как многообразие SC по условию паракомпактно и хаусдорфово, то существует подчиненное покрытию {Ua} разбиение единицы {т]а}. Так как (i) = 2Tla(1) и d(i) = 2^(Tlaft>). то a a
$ do =2 $ d(T]ati))
D “ D
И
J (0 = 2 J Па® dD “ dD
(ясно, что интеграл аддитивен и по отношению к бесконечным суммам рассматриваемого здесь типа, имеющих в окрестности любой точки лишь конечное число отлич
ТЕОРЕМА СТОКСА
423
ных от нуля членов). Поэтому формулу (3) достаточно доказать лишь для формы вида т]а(1), т. е., иначе говоря, в предположении, что со = 0 вне некоторой положительной карты (U, h) = (U, х1, многообразия либо не пересекающейся с dD, либо приспособленной к D. При этом, если на U
п
со = 2 (—I)*-1 Wkdx1 /\... /\dxk Л • • • Л dxn, k=i
то
на U
(см. формулу (4) лекции 19) и, значит,
J dw — § dw = Г2- ут-') dx1 ... dx:‘.
'l> IHU n D)\k=l ax /
Функции wlt рассматриваемые как функции
на h(U), равны нулю вне некоторого замкнутого множества, и потому, если их продолжить нулем вне h (U) на все R", то получатся снова гладкие функции. С другой стороны, открытое множество h(U) мы можем без ограничения общности считать ограниченным, т. е. содержащимся в некотором кубе
/£={х£К", .., |х"|<Я}
(на границе которого все функции wk равны, следовательно, нулю).
Случай 1. Карта (V, Л) не пересекается с dD. В этом случае интеграл (2) равен, очевидно, нулю (ибо i*ti) = 0), и, значит, для доказательства формулы (3) нам достаточно доказать, что равен нулю интеграл (1). При этом без ограничения общности мы можем считать, что либо U с ^'\D, либо U cD. Но при U с &\D интеграл (1) заведомо равен нулю, а при U a. D он выражается формулой
424 ТЕОРЕМА СТОКСА
и, значит,—так как для любого k= 1, ..п интеграл я
j ^dxk==wk(xl, R, .... х”)—иуДх1, .... — R......х")
-R
равен нулю,--также равен нулю.
Случай 2. Карта (U, h) приспособлена к D. В этом случае по аналогичным соображениям
п о R R
P0,=L j j j ^dx'...dxk =
D k= \ -R -R -R
R R
= J ... $ 0^(0, xa.....xn)dx- ... dx'.
-R -R
С другой стороны, так как z*(dx1) = O и z*(dxa) = — dyl.....i* (dxn) = dyn~l (ибо xl = 0 и x2 = z/1, ...
.... x" = z/""1 на dD), to
i*co = ayt (0, y1, ..., yn~l)dyx /\ ... Л dyn~x на U П dD.
Поэтому я я
... J wt (0, xa, ..., x") dxa ... dx" =
-я -я
я R
= ... $ u>i(0, yx..yn~x)dyl ... dyn~x~
-R -R
= (*0) == J (0.
U n dD dD Следовательно, din = (o. □
D dl)
Следствие 1. Для любой финитной формы со степени п — 1 на ориентированном п-мерном паракомпакт-ном ха(^орфовом многообразии имеет место равенство (4) ^dco = O.
Доказательство. Пусть рй—произвольная точка многообразия и ((/, h) — такая карта в что И = где, как всегда, — открытый шар прост-
ФОрМуль! ГАУССА - ОСТРО ГР АДСКОГО И ДР. 425 ранства R" радиуса 2 с центром в точке 0. Пусть, далее, Oj = /i-1 (В?), где В?— замкнутый концентрический шар радиуса 1, и пусть D2 = ^’\IntDl. Ясно, что оба множества Di и D2 являются областями с одной и той же регулярной границей (краем) Л-1 (S"-1). (Говорят, что Ц, получено из высверливанием шарика Dt.) При этом ориентации, индуцированные на краю /i~l(S"~l) ориентацией многообразия как легко видеть, противоположны (что можно записать формулой <ЭО2 =— dD^, и, значит,
dD,
(1) = — \ О). dD,
Следовательно, и учтя, что
применив теорему I к областям Dx и О2
dco — dot -| det,
Я" D, D,
мы немедленно получим (4). □
Формулу (4) можно считать частным случаем общей формулы (3), если условиться, что интеграл от произвольной формы по пустому множеству равен нулю.
Следствием 1 мы уже пользовались в лекции 25 (см. стр. 406),
В частном случае, когда & является пространством R:i с координатами х, у, г, каждая форма со степени 3 на Я? имеет вид fdx/\dy/\dz, где / — некоторая функция, и для любого кубируемого множества De R3 интеграл § со равен интегралу Римана J / (х) dx, который в рас-D D
сматриваемом случае обычно, чтобы подчеркнуть трехмерность и возможность сведения к трехкратному интегралу Римана на прямой, обозначается символом
^fdxdydz.
D
По аналогии, для любой ориентированной поверхности .Т в R3 (ориентированного двумерного подмногообразия) и любой формы
<n = Pdy /\dz + Qdz Л dx + R dx Л dy
426 ФоГмуДы Гаусса - остроГраДскоГо и ДР.
на R3 (обратите внимание на порядок дифференциалов во втором слагаемом!) интеграл со f т. е., точнее, интеграл 4Г к
i*o), где i — вложение % —► R3^ обозначается символом су /
(5) Р dydz + Qdzdx + R dxdz.
Я
Поскольку
da^^ + ^ + l^dx^dy/\dz,
мы в качестве частного случая теоремы 1 получаем, следовательно, что для любой области D cz R3 с регулярной границей и любых функций. Р, Q и R имеет место формула
<6>
D
= Р dydz-\- Qdzdx-]- Rdxdy.
дГ>
Формула (6) называется формулой Гаусса—Остроградского.
Замечание 1. Конечно, в формуле (6) все интегралы предполагаются существующими, т. е. либо функции Р, Q и R финитными, либо область D компактной (и, конечно, функции Р, Q и R определенными на D). Вместе с тем для справедливости этой формулы нет нужды обязательно предполагать, что D является областью с регулярной границей; достаточно, скажем, считать границу области D кусочно регулярной (в понятном смысле).
Замечание 2. Ориентация плоскости в R'1 задается ее стороной, т. е. вектором, ортогональным плоскости. Поэтому ориентация поверхности в R3 задается полем отличных от нуля нормальных векторов. Легко видеть, что для индуцированной ориентации края dD в формуле (6) это поле состоит из внешних нормалей.
МНОГООБРАЗИЯ С КРАЕМ
427
На плоскости Ra аналог формулы (6) имеет вид
(7)
^—\dxdy = § Pdx+Qdy dD
и называется формулой Грина. Здесь ориентация края dD, т. е. направление обхода, задается требованием, чтобы область D оставалась слева.
Наконец, на прямой IR формула (3) переходит в формулу Ньютона—Лейбница
ь
(8) Jf (x)dx=f(b)—f(a).
а
(Напомним, что интеграл по ориентированному нульмерному многообразию задается формулой (3) лекции 25
и что по определению точка b входит в край отрезка [а, Ь] со знаком +» а точка а—со знаком —.)
Понятие области с регулярной границей — вместе с теоремой 1—допускает важное обобщение.
Пусть R?_) — полупространство пространства R", состоящее из точек х = (х1, .... х"), для которых- х1 < О, н пусть R'o-1—его край, состоящий из
Подмножество I/ с R’ мы
гочек х, для которых х1 = О назовем д-открытым, если
оно является открытым множеством либо в R”, либо в R"_), т. е. если существует такое открытое множество U' в R", что либо U = U', либо U = V П R"-,. Отображение <р: U —> R™, определенное на d-открытом множестве U cR", мы будем называть гладким, если существует такое открытое множество U' <z R" и такое гладкое отображение <р':
U' —> Rm, что U a. U' и <jp'|r = <jp. Это равносильно существованию у функций, задающих отображение <р, непрерывных частных производных всех нужных порядков (при условии—в случае, когда U с: R"_> и ^ПКо-1=И=0. что в точках из U n Kg-1 дифференцирование по х1 понимается как дифференцирование справа). Отображение q>: U —>- V d-открытых множеств называется диффеоморфиз
428
МНОГООБРАЗИЯ С КРАЕМ
мом, если оно биективно, гладко и обратное отображение Ф-1: V—-U также гладко.
Пусть — произвольное множество. Пару (U, h), состоящую из подмножества U a. 36 и биективного отображения h: U—>-h(U) на d-открытое множество h(U)cRn, мы будем называть д-картой в 3). Две d-карты (U, h) и (V, k) мы называем согласованными, если либо и п V= 0, либо (J П V #= 0 и
а) оба множества h (U n V) и k (U п V) являются d-от-крытыми подмножествами пространства R";
б) отображение
koh-1: h(U(] V)-^k(U(]V)
является диффеоморфизмом. Ясно, что каждая карта в ® (в смысле определения 1 лекции 6) является d-картой и согласованные (в смысле определения 2 лекции 6) карты согласованы и как d-карты.
Атласом д-карт на множестве 3) называется (ср. определение 3 лекции 6) множество попарно согласованных d-карт (t/a, /ia), обладающих тем свойством, что их носители Ua покрывают ®. Легко видеть (ср. предложение 1 лекции 6 и его следствие 1), что любой атлас d-карт А содержится в единственном максимальном атласе, который состоит из всех d-карт, согласованных с d-картами из А.
Определение 2. Множество 3), в котором задан максимальный атлас d-карт, называется гладким д-многооб-разием (а карты этого атласа—гладкими картами). i-j*!Конечно, каждое многообразие St' является d-многообразием.
Подчеркнем, что, как и в лекции 6, мы считаем фиксированным размерность п пространства R" (эта размерность называется размерностью d-многообразия 3) и обозначается символом dim®), а также класс гладкости С всех рассматриваемых отображений, где г—либо неотрицательное целое число, либо один из символов оо или со. (Этот класс называется классом гладкости d-многообразия ®; как правило, мы будем считать, что г = оо.)
Топология в d-многообразия вводится тем же способом, что и в многообразия, т. е. подмножество О в d-многообразии 3) тогда и только тогда считается открытым, когда для любой гладкой карты (U, h) множество h(O(]U) d-открыто в R". Тем самым каждое d-многообразие оказывается топологическим пространством (удовлетворяющим
ВНУТРЕННИЕ И КРАЕВЫЕ ТОЧКИ
429
первой аксиоме счетности и — в предположении хаусдорфовости—локально компактным).
Определение 3. Внутренней картой ^-многообразия 3) называется 5-карта (U, h), для которой множество h(U) открыто в R". Точка р б S) называется внутренней точкой d-многообразия S), если в существует такая внутренняя карта ({/, й), что p£.U. Множество всех внутренних точек 5-многообразия 3) обозначается символом int (обратите внимание на стройность первой буквыI) и называется его внутренностью.
Ясно, что множество int S) открыто в 3) и является гладким многообразием (с атласом, состоящим из всех внутренних карт).
Задача 1. Докажите, что int 3) не пусто (если S) не пусто), и, более того,
int 33 = 35.
Определение 4. Краевой картой 5-многообразия называется такая его 5-карта ((/, й), что й(с/)сК?_) и й (U) П RS-1#= 0- Точка называется точкой края 5-многообразия 3), если в 3) существует такая краевая карта ((/, й), что p^U и й (р) б й (U) П R?-1- Множество (возможно, пустое) всех точек края обозначается символом dS> и называется краем 5-многообразия S>. По определению
= U int
Предложение 1. Никакая внутренняя точка не является точкой края и, наоборот, никакая точка края не является внутренней точкой:
int£0 = 0.
Доказательство. Утверждение, что р g dS> п int £0 означает, что в существует такое открытое множество U, содержащее точку р, и такие отображения й: U —> R?_, и й: C/-*R", что пара ((/, й) является краевой, а пара (U, й)—внутренней картами 5-многообразия Следовательно, множество й((/) открыто в R", а множество h(U) — нет. Поскольку отображение й о й-1 является диффеоморфизмом множества k(U) на множество h(U), это противоречит доказываемой ниже лемме 1. Поэтому точка р существовать не может и, значит, dS2> fl int &> = 0. □
430
ВНУТРЕННИЕ И КРАЕВЫЕ ТОЧКИ
Лемма 1. Пусть <р: О—>-R"—гладкое отображение (класса Сг, г^\) открытого множества О a. R" в пространство R". Если в каждой точке х£О якобиан Dw отображения ф отличен от нуля, то множество ф(О) открыто.
Доказательство. Согласно теореме об обратном отображении (см. лекцию 6) точка х^О обладает окрестностью Uа.0, отображающейся на некоторую окрестность V точки <р (х). Так как V а ф (О), то, следовательно, ф (х) б €1п1ф(О), а так как это верно для любой точки х£Х, то ф (О) = Int ф (О), т. е. множество ф(О) открыто. □
Предложение 1 справедливо и при г = 0 (для топологических многообразий). Соответствующий аналог леммы 1 (известный как теорема Брауэра об инвариантности области) утверждает, что если непрерывное отображение ф: О--* R открытого множества Ос R" в пространство R" является монеоморфизмом (гомеоморфизмом на ф (О)), то множество ф (О) открыто. К сожалению, у нас нет места для изложения довольно длинного и канительного доказательства этого утверждения.
Следствие 1. Край д&) произвольного д-многообра-зия S) замкнут в S>.
Доказательство. Согласно предложению 1 д@)— = ®\int S), a int открыто в 3). □
Следствие 2. Равенство д@) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда д-многообразие является многообразием.
Доказательство. Ясно, что S) тогда и только тогда является многообразием, когда intS> = S>. □
На основании следствия 2 гладкие многообразия называются также многообразиями без края. В соответствии с этим d-многообразия с dS> =/= 0 называются многообразиями с краем. Впрочем, термин «многообразие с краем» часто используется и как синоним термина «д-многообра-зие». (Когда же эта терминологическая вольность может привести к недоразумениям, говорят о «многообразиях с непустым краем» или соответственно «о многообразиях с краем или без».)
Особо важное значение имеют компактные многообразия без края. Такие многообразия называются замкнутыми.
Для каждой краевой карты (U, h) = (U, х‘, ..., х") 5-многообразия S) пара (U ftdS>, hu(\dl>) является в силу отождествления RT1 = R"-1 картой в dS) (с локальными координатами х2, . хп), и все такие карты составляют
вложенный ^-Подмногообразия
431
атлас на dS). Это показывает, что край д& произвольного п-мерного д-многообразия S) является (п~1)-мерным многообразием без края.
Ясно, что любая область D с регулярной границей является д-многообразием с краем дЬ. (Для этого д-мно-гообразия ^-картами являются либо содержащиеся в IntD карты объемлющего многообразия -ST, либо пересечения с D приспособленных к D карт.) Размерность этого d-многообразия равна размерностипмногообразия^.
Отображение /: —c# д-многообразия S) в д-много-образие^1 (впрочем, нам нужен будет лишь случай, когда % не имеет края) называется гладким, если оно непрерывно и для любых двух д-карт ({/, Л) в S) и (V, k) в для которых fU с V, составное отображение
Ло/oft-i; h(U)-*k(V) гладко.
Пусть многообразие не имеет края (в случае, когда д$*=/= 0, возникают некоторые осложнения, в которые мы сейчас не хотим вникать), и пусть S) с SC. Если вложение V. &)—+% гладко, а многообразия intS) и д£Э являются вложенными подмногообразиями многообразия %, то SD называется (вложенным) д-подмногообразием многообразия Д7.
Например, любая область с регулярной границей является д-подмногообразием.
Задача 2. Докажите, что если размерность 5-подмногообразия <55 многообразия & равна размерности многообразия %, то <55 является областью с регулярной границей в SC.
Дифференциальной формой со степени т на д-много-образии мы будем называть такую форму на intS>, что для любой краевой карты (U, h) коэффициенты (£>(,.. этой формы в карте h |у n [nt а) многообразия
int 3) являются ограничениями некоторых (очевидно, однозначно определенных) гладких функций, заданных на U. Последние функции мы будем обозначать теми же символами (di,.. ,i,„ и будем называть их коэффициентами формы со в карте ф, h). Ограничения на U Г\д@) коэффициентов со<,...im с г\, .... являются, очевидно, коэффициентами некоторой формы степени т—1 на дДУ, которую мы будем обозначать символом й)|^.
В случае, когда S) является д-подмногообразием многообразия без края SC (например, областью с регулярной
432 ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ С КРАЕМ
границей), для любой формы w на Ж форма /*и, где /; int S) —-► Я — вложение, является, очевидно, формой на S). Для этой формы /*с> |й<й — i*a, где i —вложение д@)
Задача 3. Докажите, что любая форма на £5 имеет вид j <о, где ю—форма на SC-
Многообразие с краем ® называется ориентируемым (ориентированным), если ориентируемо (ориентированно) многообразие int S). На ориентированном.З-многообразии ® краевая карта (U, h) называется положительной, если положительна внутренняя карта (U П int S), Л|сг n int Я5)-
Дифференциальную форму на ^-многообразии S) мы будем называть финитной, если она равна нулю вне некоторого компактного множества С с S). Если хаусдорфово и паракомпактное 5-многообразие S) ориентировано, то для любой финитной формы со степени п — dim® определен интеграл
$ ®-int 3)
Мы будем называть этот интеграл интегралом от® по и будем обозначать его символом
(9) $ ®.
Если ® является областью D с регулярной границей в многообразии SC, а форма и—ограничением некоторой (финитной, если область D не компактна) формы ©' на &, то, поскольку край dD является в силу теоремы Сарда нуль-множеством, интеграл (9) равен интегралу
$
D
от формы со' по D.
Конструкция индуцированной ориентации края для областей с регулярной границей дословно переносится на любые ориентированные 5-многообразия. В дальнейшем, говоря о крае ориентированного 5-многообразия ®, мы всегда будем предполагать, что он снабжен индуцированной ориентацией.
В частности, для любой финитной формы (о степени п—1 на ориентированном n-мерном хаусдорфовом и пара-компактном 5-многообразии ® это позволяет говорить
ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ с КРАЕМ
433
об интеграле
$ ®|^.
который для упрощения формул мы будем обозначать просто через
(10) $ о.
ай
Теорема Г (теорема Стокса для многообразий с краем). Для любой финитной формы со степени п—1 на п-мерном хаусдорфовом паракомпактном и ориентированном д-многообразии S) имеет место формула
(11) \ rfw = \ G).
3) ай
Доказательство теоремы Г фактически дословно повторяет доказательство теоремы 1 и мы предоставим его читателю. □
При д@) = 0 целесообразно считать интеграл (10) равным нулю. В силу этого соглашения следствие 1 теоремы 1 оказывается частным случаем теоремы Г.
В случае, когда S) является d-подмногообразием многообразия Д', для любой формы (о степени п на многообразии Я (заметим, что п здесь — размерность S), а не ^*1), обладающей тем свойством, что форма /*w на S) финитна (где, как и выше, j — вложение S>- > 2С) интеграл
5 /*“ й мы будем обозначать символом
(12)
й
(а формы и на %, для которых форма /*(о финитна, будем называть формами, финитными на &)).
В силу этого соглашения будет, очевидно, справедлива следующая теорема, обобщающая теорему 1:
Теорема Г (теорема Стокса для d-подмногообразий.) Для любого п-мерного ориентированного д-подмногообразия S) хаусдорфова и паракомпактного многообразия 2С и любой финитной на S) формы ® степени п—1 на 2С имеет место формула (11). □
434 теорема сТОКсА ДЛЯ повёрхйОсГНЫХ интёгРАлоВ
Двумерные 5-подмногообразия пространства R3 называются поверхностями с краем. Для любой такой поверхности S) и любой формы
и = Рdy Д dz-1- Qdz Д dxRdx Д dy
в IR3 интеграл (12) обозначается символом
(13) Pdydz-\ Qdzdx -h Rdxdy
Sb
(ср. (5)). Поэтому в этом случае формула (11) (для форм to = Р dx + Q dy 4- R dz) приобретает вид
<|4>
—^-'\dxdy= § Р dxQdy + R dz. OSb
Формула (14) известна как формула Стокса для поверхностных интегралов в R3.
Замечание 3. Интересно, что название «формула Стокса», применявшееся сначала к формуле (14), а затем перенесенное на ее обобщения и аналоги (3) и (11), возникло в результате недоразумения. Формула (14) стала известна в середине XIX века в Кембриджском университете в Англии и по предложению известного физика и математика Томсона (который, быть может, ее впервые и придумал) была включена в экзаменационные билеты по математике для студентов университета. Она была приписана—сначала лишь студентами — Стоксу только потому, что он был в это время председателем экзаменационной комиссии, подписывавшим билеты.
Теоремы Г и I" могут быть объединены в одной общей теореме.
Пусть S) Vi ST—произвольные 5-многообразия, и пусть у: — гладкое отображение, переводящее int в
int&>. Тогда для любой формы « на 4Г форма у*о> (определенная на int S>) будет, как легко видеть, формой на S>. Поэтому, если она финитна и имеет степень n==dim^>, а многообразие SD ориентируемо, то определен интеграл
(15) у*(о.
а>
ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 435
Гладкие отображения у: S>—переводящие int Sb в int ST, для которых d-многообразие Sb ориентировано и n-мерно, мы будем называть п-мерными сингулярными подмногообразиями d-многообразия формы w на ST, для которых форма у*ю финитна,—формами, финитными на у, а интеграл (15)—интегралом от ю по у. В соответствии с этим мы будем обозначать интеграл (15) символом (16) jV
V
«Отображение» 0 —► ST пустого множества 0 в J мы также будем считать n-мерным сингулярным подмногообразием. Интеграл (16) по такому многообразию мы будем считать равным нулю.
В силу этого соглашения для любого сингулярного подмногообразия у: Sb —>-ST будет определено сингулярное подмногообразие
у|аЛ: dSb-+ST.
Мы будем называть это сингулярное подмногообразие краем сингулярного подмногообразия у и будем обозначать его символом ду.
Теорема Т” (теорема Стокса для сингулярных подмногообразий). Для любого п-мерного сингулярного подмногообразия у многообразия ST и любой финитной на у формы ю степени п— 1 на Я? имеет место формула
(17) ’ J (йо = и.
v v
Доказательство. Достаточно применить теорему Г к форме у*® на Sb. □
Теорема Г" сводится к теореме Г, когда у представляет собой тождественное отображение id: Sb—> Sb и к теореме Г, когда у является вложением Sb —> ST.
Интегралы по одномерным сингулярным подмногообразиям пространства R", п^2, допускают вполне элементарную трактовку. Пусть для определенности п = 2, и пусть Sb является отрезком [а, Ь] и, значит, сингулярное многообразие у: Sb —> R2 не чем иным, как плоской гладкой кривой
(18) №Х(<), у = у(1},
436
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
(не подчиненной, вообще говоря, никаким требованиям регулярности). Тривиальная расшифровка определений показывает, что для любой формы Pdx + Qdy на Ra интеграл по кривой (1$) задается формулой
(19) ^Pdx + Qdy = v
ь
= J[P(x(0, y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)]dt, a
которая может быть принята за его определение. Интегралы такого типа часто встречаются в задачах анализа и называются криволинейными интегралами второго рода.
При п = 3 они имеют вид
ь
\р dx--QdyRdz =--\ \Р (х(Г), y(t), z (Г)) х' (/) + V а
+Q(x(t), y(t), z(t)) у'(t)R (x(t), y(t), z(i)) z'(t)]dt
и аналогично для любого п.
[Криволинейные интегралы первого рода были введены в предыдущей лекции. Они являются интегралами от плотностей, а не от форм.]
Заметим, что интеграл (19) имеет смысл не только для гладких, но и для кусочно гладких кривых у.
В случае, когда S) является ориентированной окружностью S1, сингулярное многообразие у называется замкнутой кривой. Выбрав отрезок [а, Ь], точку S1 и отображение а: [а, b] —S1, переводящее точки а и b в точку s0 и диффеоморфно отображающее (с сохранением ориентации) интервал (а, Ь) на дугу S1\{s0}, мы можем каждую такую кривую отождествить с кривой 0 = уоа: [а, Ь] —► R", обладающей тем свойством, что р(а) —0(b). (На этом основании кривые 0: [а, Ь| —*R”, для которых 0(а) = 0(b), также называются замкнутыми кривыми; ср. лекцию 1.)
Это отождествление согласовано с интегрированием, т. е. для любой замкнутой кривой у интеграл по у (обычно обозначаемый, чтобы подчеркнуть замкнутость кривой у, символом ф) равен криволинейному интегралу по 0.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 437
В случае, когда S) состоит из нескольких ориентированных окружностей, сингулярное многообразие у является системой Yj, уп замкнутых кривых, и для соот-
ветствующего интеграла имеет место формула $ = $+..•+$.
V Vi vn
В частности, для любой компактной плоской области ©cP? с регулярной (или — в понятном смысле—кусочно регулярной) границей и любой формы Pdx-\ Qdy на Ra это отождествляет интеграл $ Pdx + Qdy нз формулы Грина (7) с криволинейным интегралом^ Р dx-}- Qdy.
Таким образом, оба интеграла в формуле Грина (7) допускают вполне элементарную трактовку, чего нельзя сказать, например, об интеграле в правой части формулы Гаусса — Остроградского (6) или в левой части формулы Стокса (14).
Лекция 28
Операторы векторного анализа. — Следствия тождества dod = 0.—Следствия формулы дифференцирования произведения.—Операторы Лапласа и Бельтрамн. — Поток векторного поля. — Формула Гаусса — Остроградского для расходимости и формулы Грина.—Расходимость как плотность источников. — Формула Стокса для циркуляции,—Формула Гаусса — Остроградского для вихря.— Обобщенная формула Гаусса — Остроградского.
В этой лекции мы изучим особо важный для приложений случай форм в пространстве R3.
Наличие в пространстве R3 фиксированной координатной системы и стандартной евклидовой метрики позволяет отождествить линейные дифференциальные формы Р dx -|- Q dy -I R dz на R3 (а также формы Pdy /\dz -|-+ Qdz Д dx-VR dx A dy второй степени) с векторными полями
(1) u = Pl+QJ + Rk,
где i, J, k—векторы стандартного базиса в R3. Это приводит к весьма богатой теории, известной как векторный анализ (или теория поля). Хотя теоретическое значение векторного анализа минимально, мы все же его достаточно подробно изложим, поскольку он играет важную роль в физико-технических приложениях, связанных с гидродинамикой и электромагнетизмом (достаточно сказать, что уравнения Максвелла электромагнитного поля наиболее элегантно—если не пользоваться четырехмерным формализмом специальной теории относительности—записываются с помощью дифференциальных операторов векторного анализа).
Основным полем действия векторного анализа является алгебра гладких функций F, определенных на некотором открытом множестве 1ГаК3 (которое во всем дальнейшем мы будем считать фиксированным), и F-модуль п векторных полей на W.
Отождествление модуля п с модулями й1 и^й2 дифференциальных форм степени 1 и 2 (а алгебры* F, рассматриваемой как модуль над самой собой,—с модулем й3 форм fdx/\dy/\ dz степени 3) позволяет операторы внешнего дифференцирования
d d d
Р = Й°^Й1-^Й2^Й3
ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
439
интерпретировать как операторы
F->a->a->F.
Первый из этих операторов (из F в а) обозначается символом grad. Он сопоставляет произвольной гладкой функции F векторное поле
~ j г> dF , . dF . . dF .
(2) gradF = -5-i + -3-/+-a- k,
' ' ь дх 1 dyJ ' дг '
называемое градиентом функции F.
Второй оператор (из а в а) обозначается символом rot. Он сопоставляет векторному полю (1) поле
(3)
. ( dR
rot и = -д-\ ду
П\1 + (ЭР_ дг j‘\ дг
dR_\ } dQ__ дх ]J Ц дх
называемое вихрем (или ротором) поля и.
Формулу (3) можно записать в следующем мнемоническом виде
условном
rot « =
(4)
I J k
д_ а а
дх ду дг
Р Q R
Раньше вместо rot и часто писали curl и, но ныне это обозначение вышло из употребления.
Третий оператор (из а в F) обозначается символом div. Он сопоставляет векторному полю (1) функцию
называемую расходимостью (или дивергенцией) поля и.
Кроме этих операторов (и операции умножения на функции), на модуле а определены также операции скалярного и векторного умножения, сопоставляющие векторным полям
u = Pi -I- QJ + Rk и ф = Xi-] YJ + Zk функцию
uv = PX + QY RZ
и векторное поле
и х v = (QZ—RY) i ь (RX —PZ)j-Y (PY—QX) k =
i J k
= P Q R
X Y Z
соответственно.
440
СЛЕДСТВИЯ ТОЖДЕСТВА rf«/=0
Все эти операторы (и операции) связаны друг с другом многочисленными тождествами.
Прежде всего тождество dod = 0 дает нам два тождества
(6) rot grad F = 0 и div rot и — О,
легко, впрочем, проверяемые и прямым вычислением.
Поля вида grad F называются потенциальными, а вида rot и—соленоидальными (в переводе: трубчатыми). Если « = gradF, то F называется потенциалом поля и, а если v = rot и, то поле и называется векторным потенциалом поля V. Если И7 связно, то потенциал F определен полем и с точностью до постоянного слагаемого.
Поле и называется безвихревым, если rot и = 0 и полем без источников, если div « = 0. Векторный потенциал и поля rot и определен с точностью до безвихревого поля.
Согласно тождеству (6) любое потенциальное поле является безвихревым и любое соленоидальное поле является полем без источников. [При этом факторпространство линейного пространства безвихревых полей по подпространству потенциальных полей является не чем иным, как одномерной группой когомологий де Рама HlW области W, а факторпространство полей без источников по подпространству соленоидальных полей—группой Нг№. Поэтому все безвихревые поля потенциальны тогда и только тогда, когда H'W — 0, а все поля без источников соле-ноидальны тогда и только тогда, когда //2UZ=0.|
Пример 1. Поле вида
и = /(г)г, г=/=0,_______
где r — xi + yj + zk, а г = \г | — Их24- уг-\- z\ называется центральным полем. Для этого поля
p = f(r)x, Q~f(r)y, R = f(r)z
(а UZ = Rs\{0}). Так как
дг _ х дг _ у дг __ г
дх ~~ г * ду г ’ дг г ’
то матрица
дР дР дР
^М^^^квв
дх ду дг
dQ dQ dQ
дх ду дг
dR dR dR
дх ду дг
СЛЕДСТВИЯ ТОЖДЕСТВА d»</ = 0
441
имеет вид
f'(r)-^-
(7)
f (r) y-
f (r)-?-+f(r)\
Симметричность этой матрицы означает, что rot и = 0, т. е. что каждое центральное поле является безвихревым полем. Более того, так как Hl (Rs\{0}) = Н1 (S3) = 0, то каждое центральное поле потенциально. (Соответствующий потенциал F определяется при этом формулой
Г .
F (г) =. J rf (г) dr,
1
где, конечно, нижний предел интегрирования может быть любым другим положительным числом.)
Если, в частности, f(r) =—и, значит, |«| = -^-(гравитационное поле материальной точки массы т0), то F(г) = ~~(с точностью до константы). Этот потенциал называется ньютоновским.
Расходимость центрального поля равна сумме
Г (г) х2+^+г2 + 3f (г) = rf (г) + 3f (г)
диагональных элементов матрицы (7). Решая дифференциальное уравнение rf (г) + 3f (г) = 0, мы немедленно по-лучим, что /(г) = уз-. Таким образом, центральное поле тогда и только тогда является гравитационным полем (полем ньютоновского потенциала), когда оно не имеет источников (в области Rs\{0}, где оно определено).
Внешнее произведение оДО дифференциальных форм при deg оэ = 1 и deg 9 = 1 переходит в силу наших отождествлений в векторное произведение полей, а при deg со = 1 и deg9 = 2—в их скалярное произведение (и при deg со = 0 является произведением поля 9 на функцию со). Поэтому формула
d (fa) = fda + df
442
СЛЕДСТВИЯ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
даст нам соотношения
(8) grad (FG) = F grad G + G grad F,
(9) rot(Fu) = Frot я + gradFx u,
(10) div(Fu) = Fdiv« + gradF-«,
а формула
d(® A 0) = dw Д 0—io Д dio, w, OgQ1,
— соотношение
(11) div(«x z») = (rot u) v—urot v.
Конечно, формулы (8)—(11) без труда получаются и прямым вычислением.
Мнемоническая формула (4) наводит на мысль ввести в рассмотрение сомволическое векторное поле
V-Txi + d~yJ+d-zk-
Тогда поле rot и будет векторным произведением V х и поля V на поле W.
rot и = v х и,
функция div и — скалярным произведением VU поля V на поле и:
div и — V«,
а поле gradF—если записывать скалярный множитель справа — произведением vF функции F на поле V:
grad F = VF.
Эти представления операторов rot, div и grad через символический оператор V позволяют записать соотношения (8)—(11) в виде одного удобного для запоминания тождества
(12) V®(a®Y) = V®(a@₽)4-V®(a@₽),
где а и р—либо функции, либо поля, (Г) и (г)— два из трех возможных умножений (на функцию, скалярное или векторное), а стрелка | отмечает множитель, подвергающийся воздействию оператора V. Действительно, при a — F и P = G—это, очевидно, формула (8), a npHa = FnP=u в зависимости от выбора умножений —формулы (9) и (10). При а = и и р=с, в предположении, что ф—скалярное
СЛЕДСТВИЯ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 443
умножение, а @—векторное, формула (12) имеет вид
*1 4-
V(»X®) = V(»X®) + V(»X®).
Но в силу косокоммутативности смешанного произведения (и коммутативности скалярного)
4 4 4
V {и X о) = V»® = ®V« = ®V« = ® (V X «) = (V х и) V и
Il I
V(«x®) = v«0 = —«V® — —uyv = — и (V х о).
Поэтому в этом случае формула (12) сводится к формуле (И).
Заметим, что при а = и и |3 = о в формуле (12) осталось еще два не рассмотренных случая:
(13) V («®) = V(«®) + V (и®)
и
I I
(14) vx(«x®) = vx(«x®) + vx(«x®).
Чтобы расшифровать эти формулы, мы для любого векторного поля а = Al + BJ + Ck условимся под «V понимать оператор а —► F, действующий на поле и = Pi + QJ + + Rk по формуле
, . дР . D dQ п dR
mu~A—+B-± + C-Sf
(отказываясь, тем самым в отношении символического вектора V от коммутативности скалярного умножения). Тог-
I
да, раскрывая двойные векторные произведения V х (их ©) I
и V х (« х о) (по известной формуле с х (а х b) = (cb) а — — (ас)Ь', см. лекцию 1.15), мы получим, что
V х (их о) = (©V)и—(V») ® = (®v)»—(div «) v и
I
VX(«X®) = (V®)» —(«V) ® = (div с) «—(«V)®.
Так как по определению V х(»х с) = rot («х ®), то формула (14) приобретает тем самым вид
(15) rot (а х ®) = (®V)» — («V) v + (div v) «—(div a) v.
444 ОПЕРАТОРЫ ЛАПЛАСА И БЕЛЬТРАМИ
Аналогично, применив к полям «xrot © = «х(гх©) и v xrot « = v x(V X и) ту же формулу двойного векторного произведения, но переписанную в виде ex (axb) = ~a(cb)—(са)Ь, мы получим соотношения
и х rot V — V («©) — («V) V и
I ©xrot a = v (а©) —(©v) и.
В силу этих соотношений формула (13) приобретает вид (16) grad (а©) = «xrot и+ ©xrot и 4- (©V) и 4- (а?) ©.
Замечательно, что, как показывает непосредственное вычисление, формулы (15) и (16) на самом деле справедливы (так что формула (12) верна всегда, когда она имеет смысл).
[Сложность формул (15) и (16) объясняется тем, что значения оператора rot на векторном поле и х © и оператора grad на функции а© не имеют прямой интерпретации в терминах внешнего дифференцирования форм.)
Пример 2. Пусть а—постоянный вектор. Найдем поле grad (аг), где, как всегда, г = xlyj zi. Ясно, что rot а = О и (rv)a = 0. Кроме [того, как показывает непосредственное вычисление, rotr = 0 (поле г центрально) и (av)r=a. Следовательно, grad (аг) = а.
Компонируя операторы grad, rot и div, мы получим операторы
rot о grad: F—>-й, div о grad: F—► F, grad о div: а —< it, rot о rot: а —-> а, div о rot: а—>F.
Операторы rot о grad и div о rot, как мы знаем, тождественно равны нулю. [Заметим, что оператор V сводит это к утверждению, что векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю: (rot о grad) F = V х ^F-=(VXV)F = 0 и (div о rot) « = v (Vх a) = (V X V) а = 0.]
Из остальных операторов наибольший интерес представляет оператор
div о grad = V2.
Этот оператор обозначается символом А и называется оператором Лапласа (или лапласианом). Каждую
ОПЕРАТОРЫ ЛАПЛАСА И БЕЛЬТРАМИ
445
функцию F он переводит в функцию
*r._W , W . W дД + ду2 + дг2 "
С его помощью записываются важнейшие уравнения математической физики, которым по учебному плану университетов посвящен отдельный курс.
Оператор Л можно применять и к векторным полям, воздействуя им на каждую компоненту в отдельности: если u = Pi-\ QJ-[ Rk, то по определению
А« = (ДР)П (А(?)/+(А/?)Л.
Тогда будет иметь место формула
rot о rot = grad о div—А.
Действительно, согласно формуле для двойного векторного произведения
rot (rot м) — V X (V X м) = V (V w) —(Г V) м. □
[Конечно, это не доказательство, а лишь эвристическое подтверждение. Настоящим доказательством, которое мы предоставим читателю, будет лишь прямое вычисление с помощью формул (2), (3) и (5).]
Можно составлять и другие дифференциальные выражения. Например, для любых двух функций F и G определено скалярное произведение их градиентов:
. г . п dF dG dF dG dF dG grad F grad G^^
Оно обозначается символом A (F, G) и называется смешанным дифференциальным параметром Бельтрами функций F и G. В частности, при F — G мы получаем скалярный квадрат градиента:
Mf,F)=(gradr)-(-y+(|)- + (g)'
Он обозначается символом АгГ и называется первым дифференциальным параметром Бельтрами функции F (ср. с лекцией 3).
Смешанное произведение градиентов трех функций называется дифференциальным параметром Дарбу. Впрочем, этот термин ныне почти совсем не употребляется, поскольку это смешанное произведение является не чем иным, как якобианом отображения, задаваемого данными тремя функциями.
446
ПОТОК ВЕКТОРНОГО поля
С помощью операторов векторного анализа можно в удобной и компактной форме представить формулу Гаусса—Остроградского (и формулу Стокса).
Пусть S)—двумерная ориентированная поверхность в R3 (с краем или без). Мы знаем (см. замечание 2 в лекции 27), что ориентация поверхности S) задается некоторым гладким полем п = п(М) отличных от нуля нормальных векторов, которое после нормировки можно считать состоящим из единичных векторов.
Произвольное векторное поле а, определенное в открытом множестве W, содержащем поверхность S), задает на S) функцию ап, сопоставляющую каждой точке Mg S) проекцию ап (М) =а (/И) п (М) вектора а(М) на направление вектора п(М) (так называемую нормальную составляющую вектора а (М)).
Определение 1. Интеграл
(17)
т
от функции ап по поверхности называется потоком поля а через поверхность (Здесь do—элемент площади поверхности S>; см. пример 2 лекции 24.)
Подчеркнем, что в формуле (17) имеется в виду интеграл первого рода (от плотности).
Если поле а является полем скоростей некоторой жидкости, то поток (17) равен количеству жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность S).
Если поверхность элементарна, то для любой ее параметризации г = г(и, и), согласованной с ориентацией, т. е. такой, что векторы ги и rv составляют положительно ориентированный базис касательной плоскости, вектор нормали п задается формулой
д __ Г«УГУ _ ГиУ-ГV
~ l',axrj уEG—F2
(ср. лекцию 4). С другой стороны, из лекции 3 мы знаем, что элемент площади поверхности задается формулой do = ]/rEG—F^dudv. Поэтому для потока (17) имеет место формула
(18) Ja,da = JJ(ar„rJd«du =
Р Q R
Уа Уу
Ху
ги
гУ
dudv,
ФОРМУЛЫ ГАУССА - ОСТРОГРАДСКОГО И ГРИНА
447
где Р, Q, R — координаты вектора a, a U—область плоскости R2, на которой определена параметризация г — — г (и, v). Чтобы вычислить поток через неэлементарную поверхность, надо разбить ее на элементарные части и к каждой применить формулу (18).
Вспомним теперь, что полю а = Pi + QJЧ Rk отвечает дифференциальная форма
Pdy /\dz+Qdz Д dx 4 Rdx/\dy,
а этой форме—интеграл
(19) P dy Д dz+ Qdz Д dx-l Rdx/\dy =
= ^Pdydz + Qdzdx+ Rdxdy
(см. формулу (13) лекции 27). В случае, когда поверхность 3) элементарна и параметризована (с параметризацией г = г(и, и), определенной на открытом множестве t/czR2), то, расшифровав определение интеграла (19), мы немедленно получим, что он выражается формулой
*“|+ R\x“ y“\]dudv =
£V I I I Ур I J
p xa
Q
Уи
Ур
R
ztt du dv.
zv
Сравнение этой формулы с формулой (18) обнаруживает, что поток (17-) поля а через поверхность S) выражается интегралом (19):
(20)
У an'dcr = §§ Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy. h ar
[Доказанная для элементарных поверхностей эта формула по аддитивности верна и для любых поверхностей.]
Заметим, что формула (20) выражает поток через поверхностный интеграл второго рода.
В случае, когда поверхность является краем dD области с регулярной границей, интеграл (19) является не чем £иным, как интегралом, фигурирующим в правой части формулы Гаусса—Остроградского (см. формулу (6) дикции 27). Поскольку подынтегральная функция в ле
448
ФОРМУЛЫ ГАУССА - ОСТРО ГРАДСКОГО И ГРИНА
вом интеграле этой формулы есть не что иное, как diva, мы видим, что формула Гаусса—Остроградского может быть переписана в следующем виде:
(21) J^divadV = <ff) a„dcr,
о 5ь
где dV обозначает dxdydz (а знак справа подчеркивает, что интегрирование ведется по замкнутой поверхности). Словами: поток векторного поля через границу области равен интегралу от расходимости поля по области.
В случае, когда а — grad F, нормальная составляющая dF
а = grad F n обозначается символом и называется " ь дп
производной функции F по направлению нормали (или короче—нормальной производной). Так как diva —АГ, то формула (21) приобретает в этом случае вид
(22)
D ои
При a = Г gradG, согласно формуле (10),
diva = Г div grad G+ grad Г-grad G = F- AG-|- A (F, G), a
a„ = FgradGn =F^.
Поэтому
(23) Ш[Г.А0+А(Г, G)]dV = §Fgd(T.
dD
Эта формула называется первой формулой Грина. При F — G она превращается в формулу
fjj(F.AF+A1F)dV = §F^d(r,
'’О 0D
а при F— 1—в формулу (22).
Переставив в формуле (23) функции F и G н вычтя полученную формулу из исходной, мы придем к формуле
(24) . =
Ь ди
известной как в то р а я формула Грина-
РАСХОДИМОСТЬ КАК ПЛОТНОСТЬ ИСТОЧНИКОВ 449
Для поля скоростей жидкости правый интеграл в формуле (21) равен количеству жидкости, вытекающей из области D. Следовательно, его положительность указывает на наличие в области источников—точек, в которых жидкость появляется, а отрицательность указывает на наличие стоков—точек, в которых жидкость исчезает. (Впрочем, стоки удобно также называть источниками, но с отрицательным дебитом.) Сам же интеграл выражает собой полную мощность источников поля в области D. Поэтому, разделив его на объем этой области, мы получим среднюю мощность этих источников в D.
Фиксировав в области D некоторую точку Мо, рассмотрим последовательность {D } областей, стягивающихся к этой точке, т. е. таких, что и diam D„—*0
при п—>оо, где diam О,г—диаметр области DH. Тогда предел
$$ a«do
п -> 00 п
(когда он существует), где V,,— объем области Da, является не чем иным, как плотностью источников поля в точке Мо. Но, согласно формуле (21), этот предел равен
и, значит, равен значению функции diva в точке Мо. Таким образом, расходимость векторного поля является не чем иным, как плотностью его источников:
S Sап da diva= lim ---------.
n -+ » V n
Это дает новое определение расходимости (и, в частности, при a = gradF—новое определение оператора Лапласа AF), имеющее преимущество физической наглядности (и объясняет, почему поля с diva = Q называются полями баз источников).
Замечание 1. Полезно иметь в виду, что это определение расходимости и оператора Лапласа пригодно и
15 М. м. Постников, сем. Ill
450
ФОРМУЛА СТОКСА для ЦИРКУЛЯЦИИ
для негладких (даже разрывных) полей и функций. Нужно лишь, чтобы существовал соответствующий предел.
Как мы знаем (см. выше пример 1), поле
(25) а=—£т0
тяготеющей массы не имеет источников (в области 8?а\{0}, где оно определено). С другой стороны, если Зе—сфера радиуса в с центром в точке 0, то (26) jj) a„da = —= —4лт„, *^e о
поскольку интеграл равен площади 4ле2 сферы Se.
Это означает, что источник гравитационного поля (25) расположен в точке 0 и его мощность пропорциональна массе. (Знак минус в формуле (26) указывает, что на самом деле это не источник, а сток.)
Таким образом, можно сказать, что источниками (стоками) гравитационных полей являются тяготеющие массы.
Замечание 2. Введя в рассмотрение ньютоновские потенциалы массивных тел, можно показать, что этот вывод остается в силе и для гравитационных полей любой конфигурации, но все это далеко выходит за рамки нашего изложения. [Такого рода вопросами занимается теория потенциала, излагающаяся в курсе уравнений математической физики.]
Фигурирующий в формуле Стокса (см. формулу (14) лекции 27) интеграл по поверхности является в силу общей формулы (20) не чем иным, как потоком
(rota)„da
вихря поля rota через ориентированную поверхность Чтобы аналогичным образом интерпретировать интеграл по краю поверхности, мы прежде всего заметим, что дифференциальная форма to — Pdx-\ Qdy -' Rdz, отвечающая векторному полю a = Pi -I QJRk, может быть представлена в виде скалярного произведения adr, где
dr=dx-l dy-J + dz-k,
ФОРМУЛА ГАУССА - ОСТГОГРЛДСКОГО ДЛЯ ВИХРЯ
451
и, значит, интеграл от формы w по произвольной кривой у может быть записан в виде
(27) у a dr.
v
Пусть кривая у замкнута.
Определение 2. Интеграл (27) по замкнутой кривой у называется циркуляцией векторного поля а по у.
Чтобы подчеркнуть замкнутость кривой у, интеграл (27) обозначают в этом случае символом (28) фа dr.
V
В частности, циркуляция (28) определена по краю dS> произвольной ориентируемой поверхности S) и является не чем иным, как фигурирующим в формуле Стокса криволинейным интегралом.
Мы видим, таким образом, что формула Стокса для поверхностных интегралов в R:i может быть переписана в следующем виде:
(29) ( ((rot а)„ do = фа dr.
Словами: циркуляция векторного поля по краю поверхности равна потоку вихря этого поля через поверхность.
Для rota имеется и другая интегральная формула, которую можно рассматривать как один из вариантов формулы Гаусса—Остроградского.
Пусть по-прежнему S)—ориентированная поверхность в R3 с полем единичных нормальных векторов п, задающим данную ориентацию этой поверхности. Для любого векторного поля u = Xi + YJ+ Zk, заданного на мы определим интеграл от и по 3) формулой
В частности, это определение применимо к полю и — пха, где а—произвольное векторное поле, определенное в области, содержащей поверхность S).
15*
452 формула гаусса - остроградского для вихря
Определение 3. В случае, когда поверхность ® замкнута (компактна и не имеет края), интеграл
(30) ^C(/txa)dn
называется циркуляцией векторного поля а по поверхности и обозначается символом
(мха) do. sb
Если поверхность S) элементарна и г —г (и, и)—ее параметризация, то по уже известным нам основаниям (31) (nxa)da = Ц ((r„xrv)xa)dudv,
4z>
где U—открытое множество плоскости Rs, на котором задана параметризация r = r(u, v).
Но
(г„ х rv) х а = (ar,,) rv—(arv) rtt =
= [(Рхя + Qya 4 Rzu) xv — (Pxv 4 Qyv 4- Rzv) xB] i 4-+ [(Pxu4- Q*/„ + Rza)yv—(Pxv-\- Qyv-] Rzv)ytt]J + 4 [(Pxtt + Qyu + Rztt)zv—(Pxv-\-Qyv-\ Rzv)za]k = __ ( r> \zu zv I_f) I xu xv I \ i |_ f p I xu xv I_n I Уи Uv I \ f
k*l*B*J \yayv\ \z4 zv\lJ
и
!b U
W Pdxdn-Rdydz^ (P IJ dv,
$ и
^Qdydz-Pdzdx=^ МУга zV\)dudv-
sb и
Следръателъно,
(nxa) des ~ f R dzdx—Qdxdy\ 14
'i \2>" !
-I f Pdxdy—Rdydz\J-]-( Qdydz— P dzdx\k.
\'si" , \i J
ФОРМУЛА ГАУССА - ОСТРОГРАДСКОГО ДЛЯ ВИХРЯ 453
По аддитивности эта формула верна и для произвольной (неэлементарной) поверхности 6D.
Но если S> — dD, где D—область с регулярной границей, то по формуле Гаусса—Остроградского
<$Rdzdx—Qdxdy = jjj
Pdxdy—Rdydz = ^
U D
<jj) Qdydz—P dzdx t.D
Поскольку
. [ dR dQ \ . . ( dP dR\ . , / dQ dP \ .
rot a=)1iJ 4 w)*’
этим доказано, что циркуляция векторного поля по границе dD области D равна интегралу по D от вихря этого поля:
(32) <й (nxa)dcr= rotadV.
dD D
[В частности,^отсюда ^следует, что вихрь ^векторного поля можно интерпретировать как плотность циркуляции этого поля (и тем самым, в частности, получить новое определение вихря, пригодное и для негладких полей).]
Формула (32) является частным случаем некой общей формулы, доказательство которой, как это часто бывает, существенно короче доказательства ее частного случая (32).
Пусть ср — линейное отображение пространства R3либо в пространство функций F, либо в пространство векторных полей а. (Линейность означает, что для любого вектора r — xi-\ yj + zk пространства R3 имеет место равенство ф (г) = хф (/) t/ф (у)+гф (Л).) Отнесем отображению ф функцию (или поле) ф(у) определенную(ое) формулой
Ф? = ^Ф(С н-^ф(/) +
Например, если ф(г) = гР (произведение вектора г на функцию F), то
. . с OF , dF . , dF . , г-
Ф(?) = ^ = ^/ I ^/ + ^-Z?=gradF,
454 ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ГАУССА - ОСТРОГРЛДСКОГО
если ip(r) = ra или ф(г) = гха, где а—поле, то соответственно
<p(V) = Va = diva и <p(V) = Vxa = rota.
Пусть для определенности <р: R3 —>F. Тогда <p(V) = diva, где а —ф(/)/-I-ф(/)/ Г ф(Л)Л, и, значит, согласно формуле Гаусса—Остроградского (20), для любой области D будет иметь место равенство
Щ <p(V)dV = (fj)a,/dcr.
D Ab
Но если п = cos а • i + cos 0 j -|- cos у k, то
ап = ап = (р (/) cos а ф (J) cos 0 -|- ср (Л) cos у =
= Ф (cos а • IН- cos 0 J Я- cos у • Л) = ф (г)
и, значит,
(33) $$^(v)dV = $<p(n)da.
D Ab
Если ф: R3 —► а, то, применив формулу (33) к каждой компоненте отображения ф, мы немедленно получим, что эта формула верна и в этом случае.
Формула (33) называется обобщенной формулой Г аусса—Остро градского.
При ф(г) = га она переходит в формулу (20), а при Ф(г) = гха —в формулу (32).
Лекция 29
Периоды дифференциальных форм.— Сингулярные симплексы, цепи, циклы и границы.— Теорема Стокса для интегралов по цепям.— Группы сингулярных гомологий.— Теорема де Рама.— Группы когомологий цепного комплекса.— Группы сингулярных когомологий.
Применение теоремы Стокса к вычислению групп когомологий Нт3? гладкого хаусдорфова многообразия X (не обязательно без края) основывается на том, что для любой замкнутой дифференциальной формы и С и произвольного ориентированного замкнутого (т. е. компактного и без края) m-мерного подмногообразия З/с:^ интеграл
(1) 7у[(о] = $(о
s
зависит только от класса когомологий [ьл\^Нт^ этой формы (поскольку, если форма и точна, то согласно формуле (4) лекции 27 этот интеграл равен нулю). Поэтому формула (1) корректно определяет некоторое (очевидно, линейное) отображение
(2) 7у: [й)]н->/у [ш],
группы Н'п3? в R (т. е. линейный функционал на Нт&).
Число /у [со] называется периодом формы со (или класса когомологий [со]) по подмногообразию 2/.
Конечно, если для класса когомологий [со] существует такое подмногообразие ЧУ, что /у[со]=/=0, то [со] =/= 0. Оказывается,— это очень трудная теорема! — что и обратно, если [со] =/= 0, то существует такое подмногообразие ЧУ а.Я', что Iу [®] #= 0.
Трудность этой теоремы объясняется тем, что при конструировании по форме ® подмногообразия ЧУ очень сложно обеспечить все требования, которым это подмногообразие должно удовлетворять (например, отсутствие самопересечений). Априори ясно, что доказательство облегчится, если эти требования ослабить, т. е., другими словами,— расширить класс подмногообразий Й/ (или, точнее, функционалов (2)).
Первое, что здесь приходит в голову, это заменить настоящие подмногообразия ЧУ замкнутыми сингулярными
456 ПЕРИОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
подмногообразиями, т. е. гладкими отображениями вида у: £0—где —произвольное m-мерное ориентированное компактное многообразие без края. Другая идея состоит в том, чтобы рассматривать произвольные линейные комбинации функционалов (2). Объединение этих двух соображений приводит к функционалам вида
n
[<о] н-> 2 at j w> [W1 € Н'п37, 1 у.
где у,-— гладкие отображения вида S)t—>&, a at— произвольные вещественные числа (причем каждое из многообразий замкнуто). Впрочем, по очевидным техническим причинам здесь удобно ввести в рассмотрение формальные линейные комбинации вида
N
(3)
(=i
и по определению считать, что
v
) со — 2 ai ) со.
у 1 = 1 у{
Можно ожидать, что для класса когомологий [со] О построить линейную комбинацию у, для которой J со #= О, v
будет ’легче, чем найти подмногообразие S/ с ^со'=/=О. s
(После того же, как такая комбинация у найдена, можно— если надо — поставить вопрос и о поиске &.)
Это ожидание на самом деле оправдывается, но, к сожалению, не в той мере, как этого хотелось бы—задача все равно остается весьма трудной. Поэтому здесь нужна какая-то новая идея.
Такая идея была предложена почти восемьдесят лет тому назад великим французским математиком А. Пуанкаре, и именно с этого момента отсчитывается начало современной алгебраической топологии.
Пуанкаре предложил" рассматривать линейные комбинации (3) сингулярных m-мерных многообразий у,:—* %, для которых многообразия £0,, по-прежнему предполагаемые компактными (для того, чтобы все интегралы существовали), могут иметь край. Для каждой такой ди-
ПЕРИОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
457
нейной комбинации у ее граница ду определяется формулой N
i = ।
где, напомним, ду{ = у{ . (Конечно, если все многообразия замкнуты, то ду = 0, но равенство ду = 0 может иметь место и тогда, когда многообразия 3)-, имеют край.) Ясно—по линейности — что формула Стокса остается справедливой и в этом случае, т. е. для любой формы со степени т— 1 на многообразии % имеет место равенство
(4) d(a= J со.
v а?
Поэтому, если ду = 0, то формула
/v [w] = со, [w] $ НтЯ, v
корректно определяет некоторый линейный функционал /v:
и теорема состоит в том, что для любого отличного^ от нуля класса когомологий [ы] существует такая линейная комбинация (3) (с ду = 0), что [со] =£0.
Оказывается, что в этой формулировке теорема доказывается уже сравнительно просто. Причина этого состоит в том, что соответствующие сингулярные многообразия ур удается найти в классе очень простых мно-
гообразий, для которых многообразия диффеоморфны шару. [На интуитивном уровне это вполне объяснимо: каждое многообразие S>t мы можем разрезать на элементарные части, диффеоморфные шару и интеграл от произвольной формы по 3)i равен сумме интегралов по этим частям.] Но если это так, то мы можем сделать следующий шаг, также предложенный Пуанкаре, и с самого начала рассматривать лишь сингулярные многообразия 3)—для которых многообразие &> является шаром. Соответствующие построения нуждаются лишь в интегрировании по шарам, и потому их можно провести заново на элементарном уровне независимо от общей теории интегрирования по многообразиям.
При этом удобно вместо шаров рассматривать кубы или симплексы (ни куб, ни симплекс не являются, ко
458
СИМПЛЕКСЫ, ЦЕПИ, ЦИКЛЫ И ГРАНИЦЫ
нечно, многообразиями с краем, но точки, в которых имеются изломы, составляют нуль-множество и потому на интегралы не влияют). Мы—в основном по традиции — выберем симплексы (хотя, конечно, сведение кратных интегралов к повторным для кубов осуществляется проще).
Определение I. Стандартным т-мерным симплексом А" называется подмножество пространства R"'+l, состоящее из точек / = (/о, .. ., /и), для которых
О^/о^ 1,
0^^1, ...,
и
I» + G Н • • • + tm = 1 •
[Это—евклидов симплекс в смысле лекции 21 с вершинами в концевых точках ортов е0, е1г ..., ет стандартного базиса пространства Rm41.j
Стандартный симплекс А1
Стандартный симп леке А3
При (и т > 0) определено отображение
5,.; А'"-1—>Д">,
(/о, . . ., Zm_j) •—>(/(), Zj, • • •, 0, t[, ...»
образ которого (называемый обычно i-й гранью симплекса А"») состоит из всех точек /gAm, для которых /( = 0.
Каждая точка симплекса А'я однозначно определяется ее координатами tlt ..., tm, что позволяет отождествить этот симплекс с подмножеством пространства Rm, состоящим из таких точек £ = ((,, ..., tm), что
• 0< С 1, ..., 0< tm С 1
и
0 <(.+ ••• + t,n < 1
(т. е. с симплексом пространства R"1 с вершинами в точках О, ..., ет\
СИМПЛЕКСЫ, ЦЕПИ, ЦИКЛЫ И ГРАНИЦЫ
459
Отображение К—-% произвольного множества KcR'” в гладкое многообразие называется гладким, если оно является ограничением на К некоторого гладкого отображения U —-Я, где U—открытое подмножество пространства R'", содержащее множество К..
О г
т=1
Стандартные симплексы, спроектированные в Rm
В частности, мы можем говорить о гладких отображениях Д'"—симплекса i\'n в Ж.
Определение 2. Сингулярным т-мерным симплексом гладкого многообразия & называется произвольное гладкое отображение ст: Д'л —> Его i-й гранью др, Os^i т, называется (очевидно, также гладкое) отображение
стой,: Д"1’1-^.
Множество всех сингулярных т-мерных симплексов многообразия % мы будем обозначать символом
Пусть G— произвольная абелева группа (в аддитивной записи).
Определение 3. Сингулярной tn-мерной цепью многообразия над группой G (или с коэффициентами в G) называется произвольная конечная формальная линейная комбинация
(5) ?= 2 aaeG,
<т е
сингулярных симплексов стс коэффициентами из группы G. (Конечность суммы (5) означает, что только конечное число коэффициентов аа отлично от нуля.) Все такие цепи образуют группу по сложению, которую мы будем обозначать символом Ся(^; G). При G = Z—это не что иное, как свободная абелева группа, порожденная множеством Sm2", а при G —R—линейное пространство с базисом Sm.T.
Мы будем рассматривать также бесконечные линейные комбинации (5), обладающие тем свойством (назы-
460 ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО ЦЕПЯМ
ваемым свойством локальной конечности ср. определение 1 лекции 22), что для любой точки р £ % — а потому и для любого компактного множества Сс^ — существует такая ее (его) окрестность U, что множество сингулярных симплексов a^S^, для которых одновременно па=/=0 и о(А'л)Г) U =£0, конечно. Такие линейные комбинации мы будем называть бесконечными цепями. Они образуют группу С^1 G), содержащую группу Ст (^; G)
в качестве подгруппы.
Ясно, что равенство Ст(Я>, G) = C^1(Я"; G) имеет место moedafu только тогда, когда многообразие % компактно.
Для каждого 1 мы определим гомоморфные отображения
д: Ст(Я', G)
и
д: C'"fW G)-^^; G),
полагая для любой конечной (или соответственно бесконечной) цепи (5)
(6) ду = 2 аадо,
об
где
т дз= 2 (— с=о
т. е. — формулой
(т \
2. 2 (—I)'' «а И,
* = ° а₽ I
3(.а=т /
где внутренняя сумма распространена на все симплексы для которых dz(T = r (множество таких симплексов с аа=/=0 конечно—даже если цепь у бесконечна,— и потому эта сумма имеет смысл).
Определение 4. Цепь ду называется границей цепи у. Цепи, для которых ду = О, называются циклами.
Для любой дифференциальной формы со степени т на многообразии Я и любого сингулярного симплекса а: определена на Д'" (а точнее—на некотором
открытом множестве Аг;А'л) форма о*со. В координатах tlt . . ., tm эта форма имеет вид
<т*со = w dti А • • • /\dtm,
ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО ЦЕПЯМ 461 где w = w(t)— некоторая гладкая функция. По определению мы положим
(7) $»=$•
а Д"»
Иными словами, < Si Sm
(8) со= dl2... jj w(t)dtm,
a 0 0 0
где Sj= 1 — tlf .... s„= 1 —/j—.
Интеграл от co по произвольной /n-мерной цепи у с коэффициентами в поле R мы определим по аддитивности: если у = 2 aJa> то
(9) со= 2
V ere Sm\3s а
При этом если цепь у бесконечна, то для того, чтобы сумма (9) имела смысл (была конечна), мы потребуем, чтобы форма со была финитна.
Теорема / (теорема Стокса для интегралов по цепям). Для любой т-мерной сингулярной цепи у гладкого многообразия % с коэффициентами в поле R и любой (финитной, если цепь у бесконечна) дифференциальной формы со степени т—1 имеет место равенство (10) $ dco = 5 со.
V df
[Конечно, это равенство является частным случаем общего равенства (4), но мы дадим здесь его прямое доказательство, опирающееся лишь на формулы (6), (7) и (9).]
Доказательство. Из формул (6) и (9) непосредственно следует, что равенство (10) достаточно доказать лишь в случае, когда цепь у является симплексом сг. При этом без ограничения общности можно считать, что форма сг*со имеет вид
o*M — wdt1 А- . . /\dik Л • • Л dim,
где О^бД^бт (а знак zX, как всегда указывает, что соответствующий множитель должен быть опущен), и, значит, что форма ст* (die) = d (ст*со) имеет вид
a*(dc1)) = (-ir^df1A-..Ad^.
462
ТЕОРЕМА СТОКСА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО ЦЕПЯМ
Тогда
а Д'®
где t — tt + + tk + •••+/„,, dttk} = dt1. . ,dtk. . -dtm, a —симплекс Д'”-1 в пространстве Rm-1 с координатами tr, , tk, .... tm. Поскольку
i-c
где ^1^=/-—ограничение функции w на гиперплоскости tk — r (рассматриваемое как функция от , tk, . .., tm), этим доказано, что
(И) $ dco = (—I)*-1 $.••$(№।-t-w|,>=Q)dtlky
С другой стороны, так как (и, значит,
6г* (d/,) = 0), то (dta)* со = S/ (<т*со) = 0 при i =/= 0, k, и потому
J w== <в Ч (— 1)* J со.
до дао дко
В то же время, так как
' t;, если i < k,
0, если i = k
h-i, если i > k,
где слева tlt . . ., tm — координаты в Rm, а справа tlt ... tm_l—координаты в R'”“1), то
(c?ftcr)* со = 6* (сг*о>) = (ыуо6а) d/x Д ... Д dtm_1, где
.... /„_!) = и»(/j, .... /*_!, 0, tk.....
и, значит,
S W=S-- Л-гО, ...,tk,.,.,tm_l)dti...dtm_1,
д.а Д'®-' rf
ТЕОРЕМА СТбксА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ПО ЦЕПЯМ 463
Обозначив переменные tk, tm_x через Zft(1, . .., /т, мы можем переписать этот интеграл в следующем виде:
Аналогично, так как I,- о п0 = i— 1, .... т, где /0= 1— Л— • • •— 1т-!, то
$ W== $ • • “'О ^1 ^т-И ^1> • • •’ ^т-1) ’ • ,С^т-1-
5»а д™~‘
Сделав замену переменных 4=1 /j— ... ^да-ll ^1=^2>
tk-1 — tk-i' ^к-i — tk-l>
tk' tk-1= 1 i
^ft+2 = ^fc+i, tk — tk+u
(якобиан которой равен (—l)ft-1) и убрав штрихи, мы получим, что
J 0)= (-!)*-’
А'ДГ1
Поэтому
(12) $ » =
Сравнение формул (11) и (12) доказывает теорему. □
Из теоремы 1 следует, что для любого цикла у интеграл
(О
V
по у от замкнутой формы со зависит только от класса когомологий [а>]^Нт^ этой формы, т. е. формула
(13) =
V
464
ГРУППЫ СИНГУЛЯРНЫХ гомологий
корректно определяет некоторый гомоморфизм (линейный функционал)
(14) Iy:
Аналогичным образом для любого бесконечного цикла у та же формула (14), но с финитной формой со корректно определяет линейный функционал
(15) /т:
В обоих случаях число 1У [со] называется периодом формы со (или класса когомологий [со]) по циклу у.
Изучим теперь зависимость функционала 1У от цикла у. Для этого нам предварительно нужно развить соответствующий алгебраический аппарат.
Лемма 1. Если О «С i < j :С tn, то
(16) d,d/r = d7_1d,(T
для любого т-мерного сингулярного симплекса о многообразия %.
Доказательство. Так как д,дуа = а о бу о б,, и d7_1d,cr = (T о 6,-о 67_1( то достаточно доказать, что
67 о 6, = 6,-о 67_lt О «С i < j :С т.
Но по определению^действие отображения б, состоит в том, что в вектор t = (t0, ..., tm) на i-e место вставляется нуль. Так как после этой вставки номер / > i будет иметь место, имевшее номер / — 1, то отображение б; об/_1 вставляет нуль на i-e и /-е места. С другой стороны, после применения отображения бу все места с номерами, меныпими /, сохранят свой номер, и поэтому отображение бу о б(, будет также вставлять нуль на t-e и /-е места. Поэтому буоб,- = = б,- О бу_х. □
Предложение 1. Для любой т-мерной (т > 2) цепи у многообразия % над произвольной группой G имеет место равенство
(17) дду = О.
Доказательство. (Ср. с доказательством предложения 1 лекции 21.) Равенство (17), очевидно, достаточно доказать для случая, когда цепь у является сингулярным симплексом <т С Но для любого симплекса а цепь дда является, очевидно, суммой цепей вида (—1)/+/д,ду<т, где 0^1^/п—1 и 0sC j «Ст. С другой стороны, согласно
ГРУППЫ сингулярных гомологий
465
лемме 1, если i <j, то дДст = <?у_1д,ст. Поэтому для любой пары (i, /) с i < j в цепи дду будут два равных слагаемых— одно со знаком (—1)'+/, а другое с противоположным знаком (—1)(/’111Поэтому г.се слагаемые цепи дда попарно сокращаются. I I
Предложение 1 означает, что для любого т 1 группа границ Вт(Я'; G) (образ гомоморфизма д: Cm l 1(^’; G) — —>-Ст(бб; G)), содержится в группе циклов Zm(W\ G) (ядре гомоморфизма д: Ст(.Т; G) —> G)), и, ана-
логично, группа бесконечных границ В^1{36\ G) (образ гомоморфизма д'. G)—> Cln?1 (Я; G)) содержится
в группе бесконечных циклов Z^’f(^; G) (ядре гомоморфизма д'. G) —► CJnli (.2"; G)). Поэтому определены
факторгруппы
Нт(^' G) — Zm(^; G)!Bm^- G) и
G) = Z^^-, G)/B'"f(&-, G),
называемые tn-мерной (или /n-й) группой сингулярных гомологий (соответственно сингулярных бесконечных гомологий) многообразия % с коэффициентами в группе G (или над группой G).
Замечание 1. Группы гомологий называются также группами гомологий с компактными носителями, а группы бесконечных гомологий — группами гомологий с произвольными носителями.
Замечание 2. Все построение дословно переносится на любые топологические пространства Я (нужно лишь в определении сингулярного симплекса вместо гладкости требовать только непрерывность). Для гладкого многообразия, тем самым, наряду с определенными выше группами гомологий (как говорят, основанных на гладких сингулярных симплексах) возникают также топологические группы гомологий (основанные на любых непрерывных сингулярных симплексах). Однако можно показать — посредством идейно простого, но несколько громоздкого построения,— что естественное отображение вторых групп в первые явля тся изоморфизмом.
Элементы групп гомологий (смежные классы групп циклов по группам границ) называются классами гомологий, а два цикла, принадлежащие одному и тому же классу гомологий (т. е. отличающиеся на границу), называются гомологичными. Соответственно этому ицы назыгаются также циклами, гомологичными нулю.
466
ТЕОРЕМА ДЕ РАМА
Пусть теперь группа G снова является полем IR.
Как мы знаем, для цикла у и замкнутой формы а интеграл
5(0 v
зависит лишь от класса когомологий х = [«] формы со. Из теоремы 1 теперь следует, что этот интеграл зависит лишь и от класса £ гомологий цикла у (ибо
<о= с/со = О
для любой цепи р). Поэтому формула
(18) <|, х> = ^со
v корректно определяет некоторое спаривание (см. лекцию II.4) между линейными пространствами IR)
и НтЯ? (а также между линейными пространствами Н\^-, R) и Н^Я).
Напомним (см. там же), что спаривание между линейными пространствами Т3 и 7/'J называется невырожденным, если для любого отличного от нуля вектора t € V3 существует такой (автоматически отличный от нуля) вектор xfz?/’, что <§, ж>=/=0, и наоборот.
Теорема 2. Для любого ориентированного параком-пактного и хаусдорфова многообразия Я оба спаривания (18) {между Нт (^; IR) и Нт3? и между R) и невырождены.
Обсудим эту теорему подробнее. (Доказывать ее мы не будем.)
Для каждого спаривания между линейными пространствами Т3 и 'W (над некоторым полем К) и любого вектора формула
75ж = <£, х>, х^7Г,
определяет на линейный функционал 1^. ► К, т. е.
вектор сопряженного пространства — Нош К). Невырожденность спаривания по х означает, что для любого отличного от нуля элемента существует такой элемент | £ Т3, что 1%х 0.
ТЕОРЕМА ДЕ РАМА
467
Аналогично, для любого элемента х^^ формула = хУ определяет функционал /д: Т3 —► К» и невырожденность спаривания по § означает, что для любого отличного от нуля элемента существует такой элемент х£^, что /д-£=/=0.
Для спаривания (18) функционал А— это в точности функционал /7 (где у—такой цикл, что £ = [у]). Таким образом, теорема 2 утверждает, что для любой не кого-мологичной нулю замкнутой формы <о существует такой цикл у (заведомо не гомологичный нулю), что 7vw=/=0. Это в точности утверждение, с обсуждения которого мы начали эту лекцию.
Но теорема 2 утверждает также, что и, наоборот, для любого, не гомологичного нулю цикла у, существует такая (заведомо не когомологичная нулю) замкнутая форма <о, что 7му=/=0 (и, значит, 77ю=/=0).
Кроме того, теорема 2 утверждает, что аналогичные утверждения справедливы по отношению к финитным формам и бесконечным цепям. [Предупреждение. Эти две части теоремы—вопреки тому, что можно было бы подумать—непосредственно не сводятся друг к другу, потому что финитная форма, финитно некогомологичная нулю, тем не менее может быть когомологична нулю и, аналогично, не гомологичная нулю конечная цепь может быть границей бесконечной цепи.]
Соответствия и х>—>/д определяют, очевидно,
некоторые гомоморфизмы
(19) ’ Т3-+ W и 5Г — Т3'
линейных пространств Т3 и с№’ в сопряженные пространства 5F" и Т3'. При этом невырожденность спаривания равносильна тому, что оба гомоморфизма (19) являются мономорфизмами.
Для конечномерных пространств Т3 и мы знаем (предложение 4 лекции П.4), что для невырожденного спаривания отображения (19) являются даже изоморфизмами. Для бесконечномерных пространств это, вообще говоря, не так, и, более того, может случиться, что одно из этих отображений изоморфно, а другое нет.
Пример 1. Пусть S— бесконечное множество, V — линейное пространство всех формальных конечных сумм "^Уа^а, где a£S, а0£(К, а “^—линейное пространство
468
ТЕОРЕМА ДЕ РАМА
всех функций х: S—►К. Тогда формула
<1, х>= 2 aax((i)
aeS
корректно определяет (очевидно, невырожденное) спаривание между ср и . Для этого спаривания каждый функционал
Л (х) = 2 аох (п) aeS
обладает тем свойством, что /&х #= 0 только для элементов x£7f, принадлежащих некоторому конечномерному подпространству пространства (состоящему из функций х, отличных от нуля только на тех элементах <j£S, для которых аа=/=0). Следовательно, отображение Л пространства '-р в пространство W заведомо не эпиморфно. Напротив, так как любой функционал ср: >К может
быть представлен в виде 1Х, х^ДТГ (достаточно положить х (<т) = <р (ст) для любого ст ё S), то отображение х>—> пространства в пространство Т3' является изоморфизмом.
Поэтому следующая теорема является уточнением теоремы 2:
Теорема 3. Для любого паракомпактно го хаусдорфова многообразия X гомоморфизмы
(20) НтЯ-+Нт(Я- R)', ху->1х,
и
(21) R)->№..^)',
где 1Х и. Л—функционалы Нт(%\ R) —>- R и —► R,
определенные соответственно формулами
x=[w], ! = [?],
V и
= Х = [“к>, l = MInf v
являются изом орфизмами.
[Напротив, «двойственные» отображения
Нт(ЯД R)-> (Д^)' и R)'
изоморфизмами, вообще говоря, не являются.]
Теорема 3 (вместе с теоремой 2) известна как теорема де Рама (который ее впервые доказал для компактных многообразий).
ГРУППЫ КОГОМОЛОГИИ ЦЕННОГО КОМПЛЕКСА
469
Изоморфизм (20) сводит вычисление группы Н’пЛ' к вычислению групп Нт(Я>, IR)', для чего в алгебраической топологии разработаны—в принципе достаточно эффективные— специальные методы.
Построение групп гомологий G) и G)
распадается на два этапа — построение групп цепей СG) и Clm! (JF; G) вместе с гомоморфизмами д (первый этап) и построение по этим группам самих групп гомологий (второй этап). Целесообразно, как и в аналогичной ситуации с группами когомологий, отдельно выделить второй этап.
Определение 5. Семейство
G.: Ся,_1-< Ст < — ...
групп и гомоморфизмов называется цепным комплексом, если
дду = 0
для любого элемента убС,я, т 1. Элементы группы Ст называются т-мерными цепями.’, гомоморфизм д называется граничным оператором’, цепи у, для которых ду = 0, т. е. принадлежащие ядру
= Кег(д: Ст >Сп_1)
гомоморфизма д’. Ст->-С,а_1, называются циклами (при т = 0 условно считается, что ZOTCe = C0); цепи вида ду, т. е. принадлежащие образу
= Im (д: Ст Ь1 - > С,й)
гомоморфизма д: Ст (i - •> Ст, называются границами (или циклами гомологичными нулю)’, факторгруппа
называется т-мерной (или /тг-й) группой гомологий комплекса С,; ее элементы называются т-мерными классами гомологий, и циклы, принадлежащие одному классу гомологий, т. е. отличающиеся на границу, называются гомологичными.
Таким образом, группы Я,я(.2ц G) являются группами гомологий НтС' G) комплекса
C.(^;G) = {CW(^;G); д},
470
ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ ЦЕПНОГО КОМПЛЕКСА
а группы H^(^-,G)— группами гомологий комплекса С\п'(Я-,0)=={С^(Я-,0у, д].
В случае, когда цепной комплекс С — {Ст;<?} состоит из линейных пространств над полем к, мы для любого т^О можем построить сопряженное линейное пространство
C-" = (Cm)'^Hom(Cm; К).
В современной математике принято переход к двойственной (сопряженной) ситуации отмечать приставкой «ко» (пример: векторы и ковекторы). В соответствии с этим элементы пространства С,л называются т-мерными коцепями цепного комплекса С,.
Для любой коцепи с£Ст формула
(6с)(у) = с(ду), у€С„, + 1,
определяет некоторую коцепь 6с, а так как
(66с) (у) = с (дду) = 0
для любой цепи у£Ст + г, то - 66с = 0
для любой коцепи с£Ст. По определению (см. определение 1 лекции 20) это означает, что семейство С' = {Ст; групп и гомоморфизмов является коцепным комплексом.
Коциклы с£Ст(С‘) этого комплекса характеризуются соотношением
(8с)(у) = с(ду) = 0, у^Ст,
т. е. тем, что они равны нулю на подгруппе границ ВтС' с.Ст. По определению (см. лекцию II.4) это означает, что
ZmC’ = Ann В,„С,
(коциклы составляют аннулятор группы границ). Аналогично, если ду = 0, то (бе) (у) = е(ду) = 0 для любой коцепи е, и, наоборот, если с(у) = 0, когда ду — 0, то формула £(cfy) = c(y) корректно определяет линейный функционал е: Вт_лСг—^К, обладающий тем свойством, что, произвольно продолжив его—с сохранением линейности — на все пространство Ст_г, мы получим такую коцепь е:
—*К, что (&е)(у) = е(ду) = с(у), т. е. такую, что
ГРУППЫ СИНГУЛЯРНЫХ когомологий
471
бе —с. Этим доказано, что
ВтС' = Ann ZmC
(кограницы составляют аннулятор группы циклов).
Продолжимость функционала е с подпространства Вт-УС' на все пространство Cm_j —это общий факт: для любого подпространства & произвольного—даже бесконечномерного!—линейного пространства каждый линейный функционал е: У>—допускает продолжение на Для доказательства достаточно выбрать для дополнительное подпространство ф, существование которого доказано в лекции 22 в связи с замечанием 3, н произвольно задать е на Q.
Для групп когомологий Н” (С*) комплекса С* отсюда следует, что для любого класса когомологий х^.НтС‘ формула
(#х)(?) = с(у), ^НтС„
где г—произвольный коцикл класса когомологий х, а у — произвольный цикл класса гомологий |, корректно задает некоторый функционал
#х: НтС, ->К
и что получающееся отображение
#: Н”С‘ (НтС,)', Х^#Х,
является изоморфизмом. [Мономорфность этого отображе ния вытекает из равенства ВтС‘ — AnnZmC,, а эпиморф’ ность обеспечивается возможностью продолжить любой линейный функционал ZmC\ —на все пространство Ст.] Таким образом, для любого цепного комплекса С., состоящего из линейных пространств и любого т^О имеет место изоморфизм
#: НтС'—*(НтСу.
Тем самым вычисление групп когомологий сводится к вычислению групп гомологий.
Для комплекса С, — Ct(^\ К) сингулярных цепей гладкого многообразия Я' над полем К коцепной комплекс С’ обозначается символом С (%\ К). Так как для любого множество Sm% является базисом пространства СиД#’; К) и так как линейные функционалы на произвольном линейным пространстве естественным образом отождествляются с К-значными функциями, заданными на
472 ГРУППЫ СИНГУЛЯРНЫХ КОГОМОЛОГИЙ
ею базисе, то для любого т^О компонента С'а (Я; К)
Ст К)' комплекса C‘(J£'; К) отождествляется с линейным пространством всевозможных функций Sn^ —> К. Зто, в частности, позволяет определить группу Ст G) для произвольной группы G. По определению элементы этой группы, называемые т-мерными сингулярными коцепями многообразия % над группой G, представляют собой G-значные функции с: Sm^' —> G, определенные на множестве Sm& всех m-мерных сингулярных симплексов многообразия %. Кограничный оператор б определяется при этом формулой
т
(бс)(<т)=2(-1)'>т
1 = 0
являющейся расшифровкой формулы (бс?)(ст) = с?(Ос?).
Коциклы, кограницы и классы когомологий комплекса С’(^; G) называются сингулярными коциклами, кограницами и классами когомологий многообразия а соответствующие группы обозначаются символами G),
G) и Нт(сГ\ G). Согласно доказанному выше общему результату для любого поля К имеет место изоморфизм
(22) Нт (Я-, К) - Нп (&-, К)'.
В случае, когда К = R, каждая форма со С определяет по формуле
®(?) = $®, Y6Cm(^; R),
v
некоторую коцепь со^С'я(^’; IR), причем
(23) da = бсо.
[Действительно,
da (у) = da = J со = со (ду) = (бсо) (у)
для любой цепи R).] Из формулы (23) следует,
что отображение сон->со коциклы переводит в коциклы, а кограницы — в кограницы. Поэтому это отображение индуцирует некоторый гомоморфизм
(24) -+Нт (Яу R).
Сравнение определений немедленно показывает, что композиция гомоморфизма (24) с изоморфизмом (22) является не чем иным, как гомоморфизмом (20) из теоремы
группы сингулярных когомологий 473 де Рама. Поэтому для доказательства теоремы де Рама (по крайней мере в отношении групп Н'п.Т) достаточно установить, что гомоморфизм (24) является изоморфизмом. К сожалению, у нас нет возможности провести здесь соответствующее доказательство.
Замечание 3. Утверждение, что гомоморфизм (24) является изоморфизмом, означает, что оба подхода к определению групп когомологий многообразия—через формы и сингулярные цепи — приводят фактически к одному и тому. же результату. Существуют и другие подходы к этим группам, например подход Чеха—Лере из лекции 22, который, как мы знаем, приводит к группам, изоморфным группам НтЯ. Поэтому для доказательства изоморфизма (24) достаточно доказать, что группы сингулярных когомологий изоморфны группам Чеха—Лере (которые, заметим, в лекции 22 были обозначены тем же символом Нт(Я>, IR)). В этой формулировке не участвуют формы, и она имеет смысл для любых топологических пространств (для которых существуют покрытия Лере, соответствующим образом определенные). Поэтому можно ставить вопрос о справедливости этого утверждения в общем виде (для любых топологических пространств). Ответ оказывается положительным для полиэдров (см. замечание 2 лекции 21), но отрицательным в общем случае. Общее изучение всего этого круга вопросов составляет предмет разветвленной теории, входящей в качестве составной части в алгебраическую топологию. К сожалению, мы только лишь намеками могли ее коснуться. [Например, сравнение определений групп когомологий симплициаль-ных схем и групп сингулярных когомологий многообразий— и, более общо, топологических пространств — показывает их большое сходство. Выявление этого сходства в общих терминах приводит к симпл ици альным множествам, теория которых и красива, и глубока. С другой стороны, построение коцепного комплекса по цепному является жалким примером и бледной тенью алгебраических манипуляций над цепными комплексами, которыми занимается гомологическая алгебра и т. д., и т. п. Заинтересовавшийся читатель может обратиться за дальнейшими сведениями к упомянутой в предисловии книге Ботта и Ту, а также к другим — довольно многочисленным—учебникам алгебраической топологии."]
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно сходящийся ряд 173
Абстрактный симплекс 336
Алгебра Лн 270
Антидифференцирование 294
Антиподальное отображение 143
Антисимметричности свойство 154
Атлас 101
— максимальный 104
— ориентирующий 393
— 6-карт 428
Атласы эквивалентные 104
База 117
— окрестностей 115
— открытых множеств 117
Базис 362
Барицентрические координаты 336
Безвихревое поле 440
Бэровское пространство 236
Вектор бинормали 34
— главной нормали 34
— нормали к поверхности 71
Векторное поле 261
Векторный потенциал 440
Вершины схемы 336
Вещественно-аналитическое многообразие 105
Винтовая кривая 35
Вихрь 439
Вложенное подмногообразие 218
Вложнмое в многообразие 229
Внешний дифференциал 303
Внешняя нормаль 426
Внутреннее произведение 285, 293
Внутренность множества 115
— ^-многообразий 429
Внутренняя геометрия 64
— точка 14, 97, 336, 429
Вписанное покрытие 130
Вполне упорядоченное множество 154
Взрезанный квадрат 252
Вторая аксиома счетности 117
Высверливание шарика 425
Гауссова кривизна 77
Геликоид 67
Геометрическая реализация 336
Главная линейная часть 55
Главные кривизны 77
Гладкая гомотопия 413
— группа 251
— кривая 23
Гладкая кривая непараметрнзованная 25
— плотность 387
— функция класса С°° 16
-------сг 23
Гладкие карты 104
— структуры 104
Гладкое многообразие 104
— — нехаусдорфово 118
— в точке отображение 125
— отображение 53, 98, 125
— — класса Сг 44, 46
— — 6-многообразий 431
— 6-многообразие 428
Гладкость 104
Голоморфная функция 186
Гомеоморфизм 99, 116
Гомеоморфные пространства 116
Гомологичные циклы 469, 465
Градиент 209
Градуированная группа 361
Граница 384
• цепи 460
Граничный оператор 469
Грань симплекса 459
График 13
Группа Ли 251
— бесконечных границ 465
— — циклоп 465
— гомологий 469, 465
— — с компактными носителями 465
— — — произвольными носителями 465
— границ 465
— когомологий 310
— -- двойного комплекса 344
— — де Рама 310
— -- покрытия 344
— — схемы 339
— — Чеха 354
— присоединенная 361
— снмплектическая 183
— сингулярных гомологий 465
— унитарная симнлектнчсская 185
— циклов 465
Двойной комплекс 341
— — ацикличный по столбцам 346
— — — — строкам 347
— — окаймленный 345
— - покрытии 342
Декартово произведение 138
Деривационные формулы Вейнгартена 89
Диагональ 252
Диаметр 132
прйдмртпый
Дивергенция 439
Диффеоморфизм 47, 55, 99, 125, 427
— комплексно-аналитический 186
ДнсЬсЬеоморфное отображение 99
Дифференциал 5Г>
— гладкого отображении 206
— спектральной последовательности 372
Дифференциальная форма 285
— — на многообразии 291
• — — — д-многообразин 431
Дифференциальное уравнение на многообразии 274
Дифференциальный параметр Дарбу 445
Длина дуги 28
— кривой 28
Длинная полупрямая Александрова
Евклидов симплекс 336
Евклидово пространство 56
Единичная сфера 142
Единичный шар 142
Замена координат 47 — параметра 25 Замкнутая кривая 22 — линия 13, 14 — форма 310
Замкнутое множество 14 — подмножество 14, 15, Замыкание 136 Знак отображения 410
135, 188
Изгибание 63
Измеримость по Жордану 384
Изометрия 61
Изометричиые поверхности 61
Изоморфизм упорядоченных множеств 154
Иммерсия 216
Индикатриса Дюпена 75
Индуктивное упорядоченное множество 166
Индуцированная гладкость 114
— топология 116
Интеграл 391
— от формы до $ 432
— — — по V 435
Интегральная кривая 273
Интервал с концом 155
Интервальная топология 159
Источник 449
Карта 99
— внутренняя д-многообразня 429
— гладкая 104, 428
— краевая 429
— многообразия 104
Картирующее отображение 99
Карты комплексные 186
— пересекающиеся 100
— положительно согласованные 393
— согласованные 100, 253, 428
Касательная плоскость 51
Касательное пространство 52
— — подмногообразия 219
указатель 475
Касательный вектор к многообразию 196
— — кривой 196
— — поверхности в точке 52
Категория 124
Катеноид 66
Квадратичная форма поверхности вторая 75
— — — первая 57
- - — -- третья 75
Класс гладкости 104
— гомологий 465, 469
— когомологий 310
— — финитный 405
Ковектор 209
Кограница ЗЮ
— схемы 339
Кограинчный оператор 338
Коммутативная диаграмма 3
Коммутатор 269
Компактно нумерируемое покрытие 380
Компактное исчерпание 378
Комплекс де Рама 310
Комплексная размерность 186
Комплексно-аналитический диффеоморфизм 186
Комплексно-аналитическое многообразие 186
Комплексные матричные группы Ли 186
Компонента единицы 188
— линейной связности 188
— связности 189
— тензора 257
— — в карте 258
— топологического пространства 189
Концевая точка 13, 187
Координатная линия 46
— окрестность 115
— сеть 46
Координатное векторное поле 265
— отображение 99
Координаты 46
— барицентрические 336
— вектора в карте 196
— — — локальных координатах 196
— гауссовы 94
— криволинейные 46
— локальные на поверхности 46
Кососимметрический тензор 290
Кососимметрическое отображение 292
Коэффициенты связности 89
Коцепное отображение 311
Коцепной комплекс 309
Коцепь 470
— покрытия 340
— со значением в когомологиях 356
— схемы над группой 338
Коцикл 310
— сингулярный 472
— схемы 339
Край 420
Кривая 21
— винтовая 35
— гладкая 23
— замкнутая 22, 436
— на многообразии 273
— иепараметрнзоваииая 25
— общего типа 33, 34, 38
— простая 22
— регулярная 25
Кривизна кривой 31, 39
476
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кривой уравнения векторные 21
— — параметрические 21
Криволинейны!! ните! рал второго рода 436
— — первого рода 392
Критическая точка 243
Критическое значение 243
Кручение 31
Курируемое множество 384, 386
Кусочно-гладки й путь 192
Кусочно-регулярная граница 426 д-карта 428
J-косоеим метрические матрицы 179
./•косоэрмитовы матрицы 184
Лапласиан 444
Лексикографическое упорядочение 159 Лемма Лебега 132 — Пуанкаре 318 — Цорна 167
Линейно связное пространство 188 — упорядоченное множество 154 Линейные дифференциальные формы 286
Линейный дифференциальный оператор первого порядка 262
Линейчатая поверхность 49, 99
Логарифм матрицы 178
Локально евклндоьо пространство 117 — компактное пространство 237, 378 — конечное покрытие 379 — — семейство функций 350 — ограниченная плотность 387 — плоское отображение 212 Локальное свойство 117 Локальные координаты 46 Локальный диффеоморфизм 210
Максимальная интегральная кривая 274
Максимальный атлас 104
— элемент 165
Матричная алгебра Ли 272
— группа Лн 180
Меридианы 49
Многообразие 104
— вложи мое в Rn 229
— гладкое 104
— — цехаусдорфово 118
— Грассмана 174
— касательных векторов 254
— класса Cr 105
— комплексно-аналитическое 186
— несглажнваемос 122
— ориентированное 394
— ориентируемое 393
— паракомпактное 350
— параллелнзуемое 262
— топологическое 105
— Штифеля 174
Множество вполне упорядоченное 154
— меры нуль 237
— объема нуль 383
Монеоморфизм 104
Монотонное отображение 154
Мономорфное отображение 22
Мощность порядкового числа 155
Наследственно нормальное пространство 147
Натуральный параметр 28
Невырожденное спаривание 466
Неособая точка 15
Непараметрнзованная кривая 25
Непрерывная функция 14
Нерв покрытия 335
Несглажнваемое многообразие 122
Нехаусдорфона прямая 119
Нигде не плотное 236
Нормаль к кривой 33
Нормальная плоскость кривой 37
.... поверхности 72
Нормальное пространство 146
сечение 72
Носитель карты 99
• кривой 22
- параметризации 45
— д-карты 428
Нуль-множество 237, 241, 385
- в смысле Жордана 383
Пуль-тощее множество 24 2
Нумерирусмое покрытие 380
Ньютоновский потенциал 441
Область с регулярной границей 420
Обратный путь 188
Объем области 388
Овеществление 187
Ограничение когомологического класса 312
Окрестностный ретракт 4 16
Окрестность 115
Определитель Грама 59
Ориентация 394
Ориентируемое многообразие 393
Ортогональная матрица 179
— снмплектнческая группа 183
Особая точка 15
Отделенные множества 146
Отделимое пространство 118
Открытая линия 14
Открытое множество 14, 98, 112, 124
— подмногообразие 114
— покрытие 116
Открыто-замкнутое подмножество 189
Открытый шар 19
Относительная кривизна 32
Отобрвжеине гладкое в точке 125
— нзометрнчное 61
— максимального ранга 217
— топологических пространств 123
Отрезок множества 155
Параболическая точка 77
Паракомпактное многообразие 350
— топологическое пространство 380
Параллели 49
Параллелнзуемое многообразие 262
Параметризация 27, 45
Параметризованная кривая 25
Параметрические уравнения 21, 46
Первая аксиома счетности 116
Первый дифференциальный параметр
Ьельтрамн 64, 445
Перегородка 143
Перенос гладкости 127
— поля 279
— формы 296
Период формы 455, 464
Плотность 386
— источников поли 449
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
477
Плотность положительная 387
— почти непрерывная 387
— равная нулю 387
— циркуляции 459
Площадь 59
Поверхностный интеграл первого рода 391
Поверхность бинормалей 51
— вращения 48
— главных нормалей 51
- касательных 51
Погружение 216, 217
Подмногообразие 217
— вложенное 218, 431
— погруженное 218
Покрытие допустимое 239
— Лере 325
Поле без источников 440
— безвихревое 440
— векторное 261
• координатное 265
соленоидальноо 440
— тензорное 259
— центральное 440
Полиэдр 337
Полная кривизна 77
Положительно ориентированные карты
— согласованные карты 393
Порядковое число 155
— — первого класса 155
Порядковый тин 154
Поток 277
— максимальный 277
Почти непрерывная функция 384
Присоединенная группа 361
Продолжение перегородок 149
Произведение путей 188
Производная функции по вектору
2 09
Простая дуга 23
— — регулярная 27
— линия 13
— точка 13
Пространство бикомпактное 131
— бэровское 236
— вполне несвязное 191
— — нормальное 146
— дискретное 123
— евклидово 56
— касательное 196
— квазикомпактное 131
— кокасатольпое 209
— компактное 131
— * линейно связное 186
— локально компактное 237, 378
— наследственно нормальное 147
— нормальное 146
— отделимое 11 8
— регулярное 236
— топологическое 112
Противоположные ориентации 395
Профиль 48
Прямое произведение 138, 164
— — гладкостей 251
— — линейных пространств 351
— — многообразий 251
Псевдоортогона л ьные матрицы
183
Псевдораднус 84
Псевдосфера 84
Путь 187
— гладкий 192
Радиус кривизны 32
Разбиение единицы 350
Развертывающиеся поверхности 69
Размерность многообразия 105
— топологического пространства 129
— д-многообразня 428
Разреженное множестго 236
Ранг гладкого отображения 212
Рациональный шар 19
Реализуемая схема 336
Регулярная кривая 24
Регулярное значение 222
пространство 236
Регуляторное отображение 4 5
Ретракт 142
Ретракция 142
Ротор 439
Свертка 257
Связное множество 13, 189
(дм мент с концом 155
Сжимаемое топологическое пространство 152
Симплекс 336
— абстрактный 336
— геометрический 336
— сингулярный 459
— стандартный 458
Симплектическая группа 83
— матрица 183
Симплициальная схема 335
Сингулярная граница 472
— цепь 459
Сингулярное подмногообразие 456
Сингулярный класс когомологий 472
— коцикл 472
Скобки Крнстоффеля 89
Смешанный дифференциальный параметр Бельтрами 445
Собственная гомотопия 413
— • матрица 179
Собственное отображение 408
Согласованные карты 100, 253
Соленоидальное поле 440
Соприкасающаяся плоскость 37
Сопровождающий базнс 71
— — Френе 33, 34, 38
Спектральная последовательность 371
— — вырожденная 377
Спрямляющая плоскость 37
Средняя кривизна 77
Стандартная гладкость 171
Стандартные гладкие структуры 105
Степень отображения 409, 419
— поля 290
Стереографическая проекция 109
Сток 449
Субмерсня 210
Сходимость спектральной последовательности 375
Счетная база 117
Счетный вес 117
Тензор 257
Тензорное поле 259
— произведение 257
Теорема Брауэра о неподвижной точке 142
— — об инвариантности области 430
— Вейерштрасса 416
— вложения Унтнн 229
478
предметный указатель
Теорема Гаусса 91
— Гейне — Бореля 132
— де Рама 468
— г де Рама для групп когомологий 354
— де Рама — Лере 353
— Дьедонне 383
— Куратовского — Цорна 167
— Лебега о покрытиях 150
— о барабане 142
— — гомотопической инвариантности степени 414
— — замене локальных координат 212
— — — переменных 385
— — неявной функции 15
— — перегородках 144
— — полиномиальной аппроксимации 416
— — прообразе регулярного значения 222
— — топологической инвариантности 129
— об обратной функции 26
— — обратном отображении 72, 99
— — этальных отображениях 210
— Сарда 243
— Стокса для интегралов по цепям 461
— — — многообразий с краем 433
— — — областей с регулярной границей 422
— — — сингулярных подмногообразий 435
_ _ — д-многообразнй 433
— существовании я единственности решений (СЕР) 40
— Тихонова 164
— Унтни 16
— Фубинн 239
— Цермело о полном упорядочивании 158
Тихоновское произведение 164
Тождество Якоби 270
Топологическая структура 112
Топологическое многообразие 105
— пространство 112
Топология 112
Точка внутренняя 14, 97, 115
— — д-многообразия 429
— гиперболическая 76
— концевая 13, 22
— края д-многообразня 429
— кривой 22
— начальная 187
— неособая 15
— особая 15
— параболическая 77
— прикосновения 168
— простая 13
— распрямления 32
— рациональная 19
— симплекса внутренняя 336
Точная форма 310
Тощее подмножество 236
Траектория векторного поля 273
Трактриса 84
Третья квадратичная форма 85
Тривиальный ультрафильтр 166
Трубчатое поле 440
Унитарная симплектнческая группа 185
Упорядоченное множество 154
./-унитарная матрица 183
Фильтр 164
Фильтрация 361
Финитная плотность 387
— форма. 396, 401, 403, 432
Форма несущественная 401
— сосредоточенная 401
Формула Гаусса — Петроградского 426
— — — обобщенная 454
— Грина 427
— — вторая 448
— — первая 448
— Ньютона — Лейбница 427
— Петерсона — Кодаццн 91
— Стокса для поверхностных интегралов 434
Формулы Фрейе 33, 35, 39
Фундаментальная система окрестностей 115
Функторнальность 311
Функции перехода 101
Функциональная независимость 94
Функция Урысона J31
— финитная 384
Характеристическая функция 14, 385
Хаусдорфово пространство 118
Центральное поле 440
Центрированная карта 196
Центрированное множество 165
Цепная линия 66
Цепное правило 98, 208
Цепь 165, 469
— бесконечная 460
Цикл 374, 460, 469
— • гомологичный нулю 465
Циркуляция 451
Частично упорядоченное множество 154
Число Бетти 312
— Лебега 133
— порядковое конечное 155
— — первого, второго классов 155
- - — счетное 155
— — третьего класса 158
Член спектральной последовательности 372
Экваториальная гиперплоскость сферы 107
Эквивалентные атласы 104
— - матрицы 25
— параметризации 47
Экспоненциал 176
Элемент длины 392
• • площади 388
Элементарная поверхность 45
Эллиптическая точка 76
Этальное отображение 210
Угол между кривыми 58
Ультрафильтр 166
Уинмодулярная матрица 179
— унитарная матрица 185
Якобиан 98
Якобнева матрица отображения 201,
206
Михаил Михайлович Постников
Лекции по геометрии
Семестр 111
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Редакторы В. Л. Попов, Т. А. Панькова
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректоры Т. С. Вайсберг, Л. С. Сомова
ИБ № 32381
Сдано в набор 13.04.87. Подписано к печати 06.10.87. Формат 84x108/32. Бумага тнногр. № 1 Гарнитура литературная. Печать высокая. Уел. неч. л. 25,2. Уел. кр.-отт. 25,2. Уч.-изд. л. 24,79. Тираж 14 000 экз. Заказ № 659. Цена 1 р. 10 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Паука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции п ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054 Москва, Валовая, 28
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Паука». 121099 Москва Г-99, Шубинскнй пер., 6. Зак. 971