Текст
                    A.r. МОРДКОВИЧ
ArE&PA
7
КЛАСС
УЧЕБНИК
дпя общеобразовательных учреждений
4-е издание, исправлеmюe
Рекомендовано
МWlucтерстfЮМ образования
Российской Федерации
м

Москва 2001


УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 М79 Мордкович A.r. М79 Aлreбра. 7 КЛ.: Учеб. для общеобрааоват. учреждений. 4-е изд., испр.  М.: Мвемозива, 2001.  160 с.: ил. ISBN 5346-00050- Х rлавнlUI особенность учебника состоит в ТОМ, что он основан на прнн- цип8Х проблеlllВоrо, развива.ющеro и опережа.ющеro обучеllИЯ. Книrа име' ет повествовательный СТИЛЬ, леrкий и доступвый ДJI" всех учащихCII. УДК 373.167.1:1512 ББК 22.141&721 Учебиое иадание Мордкович Алексаццр fpиrоръевич дnrЕБРА 7 lШасс УЧЕБНИК ДЛЯ общеобразовательных учреждений Директор издательства М. Н. Безвu"он.Н4Я rлавный редактор К. Н. КlIровс"ий Редактор Е. В. С.ICОАыш"ова Оформление и художест&еивое редактирование: Т. С. Боzдан.ова Технический редактор С. П. Передерий Корректор Л. Н. HaY.lCoвa Компьютерная верстка: А. М. Реn"ин. ЛцеIl8и.. ид М 020811 от 18.06.2000. ПОДIIIICUlо в печат. 24.07.01. Формат 60х80 1/16. Букаrа офеетвва М 1. rapll1l'\'YP& . mко.п.ваа.. IIeчаn офсм-ва.к. Уел. печ. п. 10,0. Доп. тираж 100 000 эка. Закаа .н. 2902 (Кр+\'8I. ИОЦ 'МIleМОЗВII&" 111141, Москва, УJI. Перовск"'1' 47. Ти. (0811) 308'27'77.368'86'80; факс (095) 868'65-80. 368.86-80. Orпечатаво с I'O'I'OBWX ,IIВ8D03ВТ1111011 ка rOCVдapcтвeKKOM унитарвом пре,IIПpIUIТ1UI CмoIIевскп ПOJI1Irp8фхчееккй комБВВ8т Мвиистерстаа Российской Фe..lерацкв по ,IIeJIaN печатв. тeJlерадвовещавВII к сред"'" массовнх ком-увикацп. 2а020. r. CMOJIeВCK, УJI. CмOJlbllBBKOBa, 1. ISBN 15-3X с .Мнемозииа.. 1997 С .м.неМ03ива., 2001, с изменеИII.IINIИ С ХудожестlleННое офор1lVIеиие. .Мнем03ива.,2ОО1 все права защищены 
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ Издательство сМнемозина» опубликовало пepepa ботаннын комплект книr АЛЯ изучения курса алrебры в 7 классе общеобразовательной школы: A.r. Мордкович. Anre6pa--7. Уче6ник. A.r. Мордкович, Т.Н. Мншустина, Е.Е. Тульчин екая. Anre6pa7. Задачник. A.r. Мордкович. Anre6pa, 79. Методическое лоеобие ДЛЯ учитеnя. A.r. Мордкович, Е.Е. Тульчинская. Тесты ло anre бре ДЛЯ 79 классов. Ю.п. Дудниць/н, Е.Е. Тульчинская. Аnrебра, 79. Контроnьные ра60ТЫ (под ред. A.r. МОРАКо.ича). у вас . руках лервая книrа указанноrо комплекта  уче6ник. Дпя изучения курса anre6pbI . 7 классе ваши ученики доnжны иметь две книrи: учебник и задачник. КонцenЦИRуче6ннкв Математика  ryм:анитарвый предмет. который позволяет субъекту правильно ориентироваться в окружающей действительности, .УМ в ПОрJI,Цок при водит. И оказывает существеиное влияние на разви 1" 3 
тие речи обучаемых (не только внутри давиой пред метной области). Математика описывает реальвые процессы на математическом языке в виде MaTeMa твческих моделей. ПОЭТОМУ .м.ате.матическии язык и .м.ате.м.атическая .м.одель  ключевые слова в по степевиом развертывании курса, ero идеЙI!blЙ CTe жень. При наличии идейноro стержня математика предстает перед учащимCR не К8.R набор разрознен вых фактов, которые учитель ИЗJIaraет только пото МУ, ЧТО они есть в проrplU\llме, а как цельная разви вающааси и в то же время развивающая дисципли на 06щекультурн.оzо характера. Именно поэтому из традиционных для любоrо обучения вопросов: что? как? заче.м.?  в данном учебнике на первое место ставится вопрос заче.м.? с,"18t "3IIO*е""1I Самое rлавное, к чему стремилстор,  нап.... сать подробный учебник, который было 6bt интересно читать, который представляп бы собoi:i развернутое п вествование и в котором была бы интриrа. Внутренннн интрнrа заложена практически в каждой rлаве и в боль шинстве парarрафов, достиrаеТСR зто за счет ненавR3ч.... вой и естественной постановки проблем, которые по объективныM причинам в данном месте курса решены быть не MoryT, но будут в дальнейшем решены. Не секрет, что нынешние уче()ники, шко",ннки не ч.... тают, редко читают их и учитеЛR. Кроме Toro, есть еще одна катеrорИR потенциальных читателей  важных уч стников учебнorо процесса, о которых авторы почему то совсем не думают. Речь идет о родитеЛRХ, жел щих помочь своим детнм ПОСтиЧЬ премудрости MaTeMa тики. Автор надеетсн, что зтот учебник будут читать и учитеЛR, и ученики, и родители, поскольку стиль изп женин леrкий, доступный, во MHorOM расцвечвю-.IЙ не-- при8ыньIмии ДПR математической рутинной пексики об ос 
ротами. В то же времи изложение характеризуетси чет костью, алrоритмичнос1ЪЮ, выделяются основные эта- пы рассуждений с фиксацией внимания читатели на BЫ деленных этапах. Например, реwение практически всех текстовых задач оформлено в виде трех этапов: состав- ление математической модели; работа с составленной моделью; ответ на вопрос задачи. Заверwаи разrовор о стиле изложении, ОТМe'I'им еще одно существенное обстоятельство. На уроках ма- тематики учитель BcerAa сочетает обыденный язык (язык общения. язык литературноrо повествовании) с пред метным изыком, стрorим, сухим, лаконичным, стро. Щt1мся по принятым в математике законам. Школьные учебники математики, как правило, по изложению не выходит за рамки npeAМeTHoro изыка. Но именно это и не дает возможности использовать их в качестве книrи ДЛ1l чтеНИ1l. УчеБН04К, KOTopbIi:i вы держите в руках,  книrа не д.nя заучивании, а д.nя изучении, Т.е. д.nи чтения и пониманиЯ. Ваши ученики, как правило, не должны H сить ее с собой на уроки, они долж..1 читать ее дома. Они также не должны учить все, что написано в том или ином парarрафе: поскольку это  кннrа д.nя чтения, в каждом парarрафе есть не только сам предмет изуч ния, но И разrоворы о предмете изучении. Это полезно обсуждать на уроках математики хорошим литерату ным изыком. Опираись на учебник, учитель прекрасно разберет ся в том, что надо рссказать учаЩt1мся на уроке, что заставить их запомнить, а что просто пред.nожить им прочитать дома (и, возможно, обсуднть В классе в жан ре беседы на следующем уро"е). Каждая rлава заканчивается разделом сОсновные результаты». Это своеобразный смотр достижений, ссухой остаток», подведение итоrов, что д.nя успеwнос- ти процесса обучения очень важно. 
Психоnorо-neд_rоrические и методические осо6еннос1И t. Про6neмное нэпожetete матернам. Речь идет не о псевдопроблемности. которую под видом про-- блемности анrажируют современные методики и кото-- рая заключается в следующем: учитель, начиная урок, приводит конкретную задачу, решает ее и тем самым подводит учащнхся к новому ПОНJrтию или к новому Ma тематическому факту; это в лучшем случае  обуч ние через задачи или соэдание проблемной ситуации (чем, конечно, учителя должны пользоваться). но не npоблемное обучение. Проблема 1по большому счету)  это то, что мы сеrодня решить не можем и завтра не решим; это то, что мучает нас продолжительное Bp мя, это то, К решению чеrо мы постепенно приближа емся, ощущая зто приближение; это то, наконец, что, будучи разрешено, дает эмоциональный заряд, при но- сит радость. Именно такое (не локальное, а rлобал ное) понимание npоблемноrо обучения руководило ав- тором в работе над учебником. Примеров можно при.- вести очень MHoro, вниматеьный читатель (прежде BC ro, конечно, учитель математики) все увидит и поймет. 1. Днаneктнческий ПОДIОД к ueдeННlO MaTeMaТ'Н'lec КИJ( ПOIНIтмН. Лишь простейшие понятия даются сразу в rOToBoM виде, остальные же вводятся постепенно, с уточнениями и корpeteТНpOвкой, а некоторые вообще остаются на интуитивном уровне сприятия до тех пор, пока не наступит блarоnpиятный МОМftнт для их точноrо определения. К чиC1lУ таких понятий относится, напр мер, понятие функции,' 'которое, по rлубокому убеж дению автора, не должно вводиться cTporo с caMoro начала, оно должно _созрет". Во всяком случае в этом учебнике cTpororo определения функции нет, оно бу дет введено лишь в курсе алrебры 9 класса. э. Раэвнвающее обучение. Работая над учебником, автор понимал, что ero rпавная задача заключается не в , 
сухом сообщении математических фактов, а в развитии учаЩJotхся посредством продвижения в предмете, ины ми словами, лриоритетным является не информацнон ное, а раЗВиВающее поле курса. В учебнике практичес ки реализованы принципы развивающеrо обучения, сформулированные Л.В. Занковым: обучение на BЫCO ком YPOBe трудности; прохождение тем nporpaMMbI достаточно быстрым темпом; ведущая роль теорети чесКих знани; осознание npoцесса обучения (ученик должен видеть, как он умнеет в "роцессе ИЗУЧ8Кfя м. териала  это досиrается проблемным обучением); развитие всех учаЩJotхся (естественно, учитывая, что у каждоrо из них CBO потолок). В заключение  нескопько слов дпя тех учителе, которые впервые начинают работать по наwим уче ным пособиям. Советуем прежде Bcero познакомить ся с общен концепцией курса (она изложена в перво части метоДJotческоrо пособия), а затем постоянно опи раться на рекомендацни, имеюЩJotеся в методическом пособии. Автор 
Учнтесь Р8БОТ8ТЬ с кннrой Естественным продолженнем идеи, заложенной в учебниках математики для 56 классов (авторы: Н.Я. Вилевкин, В.И. Жо хов И др.), является введение в настоящий учебник aлreбры зна ков-символов. Изображение знаков на полях книrн отличается ЯСНОСТЬЮ вoc прнятия. Они леrко запоминаются, непрннуждевво вплетаясь в авторский текст, несут дополнительную зрительную информа- цию, отражающую специфику стиля нзложения, соответствуют дидактическим принципам и методическим особенностям. Цель введення знаков, с одной стороны, подчеркнуть ориrв нальность UTOpcKOro стиля, с дрyroй:  помочь учащимся усвоить и закрепить учебный материал;  побудить учителей к воспитанию у школьников навыков быстрой ориентации;  помочь родителям правИJlЬНО проконтролировать знания детей. от редакции   [I]     [i]   окончание решения примера (при отсутствии рубрики . ответ,. ). 
rЛАВА 1 МА ТЕМА ТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ t '1. чнсло_ы/e н алrебнческне _ыражеННR t 1. Что такое математнческнн RЗЫК t 1. Что такое математнческаR модель  1. ЧИСЛОВЫЕ И АлrЕ6Р АИЧЕСКИЕ ВЫР АЖЕНИЯ в младших классах вы учились проводить вычисления с целыми и дроБвыии числами, решали уравнения, знакОМИJIись с reометрическими фиrурами. с координатной плоскостью. Все это составляло содержание одноro школьноro предмета cMaтeMa тика.. В действительности такая важная область науки, как ма- тематика. подразделяется на orpoMHoe число самостоятельных дисциплин: алreбру, reoметрию, теорию веРОlIТностей, математи ческий анализ, математическую лоrику. математическую статис- тику, теорию иrp и Т.д. У каждой дисциплины  свои объекты изучении. вои методы познания реальной действительности. Алreбра, к' изучению которой l\IЫ приступаем, дает человеку возможность не только выполнять различные вычисления, но и учит ero делать это как можно быстрее, рациОll8Jlьнее. Человек, вла- деющий алreбраическими методами, имеет преимущество перед теми. кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успеш нее ориентируется в жизненных ситуациях, четче принимает ре- шения, лучше м:ыслит. Наша задача  помочь вам овладеть aлreб раическИNИ методами, ваша задача  не противиться обучению, с roтовностью следовать за нами, преодолеваа: трудности. На самом деле в младших классах ван уже приоткрыли окно в волшебный мир алrебры, ведь алreбра в первую очередь изучает чнсловые и алreбраические выражения. , 
1.t.  МА ТЕМА ТИЧЕСКIiIi1 ЯЗЫК. МА ТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Напомвим, что чисповыl\I выражением называ- ют ВCRкую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разуме ется, со Смыслом: например, 3 + 5. 7  числовое выражевие, тоrда как 3 + :  не числовое выраже- вие, а бессмыслеииый вабор символов). По HeKOTO pыII ПРИЧИВ8lll (о НИХ мы будем roворить в даль нейшем) часто вместо ковкретвых чисел употреб .лrе6".,.,,,.с/(о. лаются буквы (преимущественно из лативскоro ал ,,,,р.ж.,,н. фавита); тоrда получается 8.IIrебраическое выраже- иие. Эти выражения MOryт быть очевь rpомоздкими. Алreбра учит упрощать их, используи разные правила. законы, свойства, алro ритмы, формулы, Teope1llы. ",.,сло.о. ''''р.ж."". При мер 1. Упростить числовое выражение: ( 2 14 ] (2.73 + 4,81 + 3.27  2.81): '5  15 25.37.0.4 р е m е н и е. Сейчас мы вместе с В8l\IИ кое-что вспомним, И вы увидите, как MHOro алreбраических фактов вы уже зваете. Прежде Bcero вужво выработать плав осуществления вычи левий. Для этоro придется использовать привятые в математике соrлamевия о порядке действий. ПОРЯДОК действий в давном при- мере будет таким:: 1) найдем значение А выражения в первых скобках: А  2,73 + 4,81 + 3,27  2,81; 2) вайдем звачевие В выражевия во вторых скобках: 2 14 В  '5  15 ; 3) разделим А ва В  тоrда будем звать, какое число С coдep жится в числителе (т. е. над roризовтальвой чертой); 4) найдем значение D ЗВ8lIIенателя (т. е. выражения, содержа щеroся под roРИЗОНТaJIЬной чертой): D  26. 37.0,4; 6) разделим ева D  это и будет искомый реЗУ.JIЬтат. .8 
1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ  Итак, плав вычсленийй есть (а наличие плава  половина успехаl), ПРИСТУПВМ к ero реализации. 1) Найдем А  2,73 + 4,81 + 3,27  2,81. Конеч' но, можно считать подряд или, как roворится, .В лоб.: 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить 3,27, затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычслятьь не будет. Он вСпомнит перемести- тельный и сочетательный законы сложения (впро- чем, ему их и не надо вспоминать, они у Hero всеrда в rолове) и будет вычслятьь так: (2,73 + 3,27) + (4,81  2,81) == 6 + 2 == 8. 2 14 2) Найдем в == '5  15' Здесь н8.JI придетси вспомнить, как действовать с обыкновенными дробями. Сначала надо привести 2 2' 3 6 дроби к общему знаменателю: "5 == 5' 3  15 . Далее находИl\(: 2 14 6 14 6  14 8 "5  15  15  15  15   15 . 3) Разделим А на В. Имеем: 8:( 185 )8.( 1: )== 8'815 ==15. ИТIiК, числитель С равен  15 (отрицательное число). 4) Найдем значение D знаменателя: D == 25. 37' 0,4. Опять- таки можно проводить вычисления .в лоб., т. е. вычислить 25. 37, затем то, что получитси, умножить на 0,4. Но думающий человек. (а таким всеrда ивляется культурный человек) восполь- зуется переместительным и сочетательныМ законами умножения и будет вычислять так: D  25. 37. 0,4 == (25.0,4) . 37  10' 37 .. 370. 5) Осталось разделить числитель С на знаменатель D. Полу- 15 3 чИl\(:  370 ==  74 (разделили числитель и знаменатель дроби на 5, т. е. сократили дробь). 3 О т в е т:  74 . 
1.1. МА ТЕМАТИЧЕСКИЙ язык. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ А теперь еще раз вместе проанализируем, какие математичес кие факты нам пришлось ВСПОМВИТЬ в процессе решении прпмера (причем не просто вспомнить, но и использовать). 1. Поридок арифметических действий. 2. Переместительвый закон сложении: а + Ь ... Ь + а. 3. Переместительный закон умножении: аЬ == 00. 4. Сочетательный закон сложении: а + Ь + с == (а + Ь) + с == а + (Ь + с). 5. Сочетательвый закон умножении: аЬс'" (аЬ)с'" а(Ьс). в. Понитии обыкновенной дроби, деситичной дроби, отрицательноI'О числа. 7. Арифметические операции с деситичными дроба:м:и. 8. Арифметические операции с обыкновенными дробими. 9. Основное свойство обыкновенной дроби:  == : (значение дроби не изменитси, если ее числитель и знаменатель OДHOBpe менно умножить на одно и то же число или разделить на одно и то же число, отличное от нули). Это свойство позволило нам преоб 2 6 2 разовать дробь '5 к виду 15 (числитель и знаменатель дроби '5 одновременно умножили на одно и то же число 3). Оно же позво 15 лило нам СОКр8ить дробь 370 (числитель и знаменатель дроби 15 370 одновременно разделили на одно и то же число 5). 10. Правила действий с положительными и отрицательными числами. Все это вы знаете, но ведь все это  алreбраические факты. Таким образом, некоторое знакомство с 8ЛI'еброй у вас уже со. стоилось в МJlадших классах. Основнаи трудность, как видно уже из примера 1, заключаетси в том, что таких фактов довольно MHOI'O, причем их надо не только знать, но и уметь использовать, как I'OBOpm, 'в нужное времи И В нужном месте.. Вот этому и будем учитьси. '11 
1.1.   МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ и последнее, чтобы закончить обсуждение при- мера 1. То число, которое получаетси в результате упрощений числовоrо выражении (в данном при- 3 мере это было число  74 )' называют ЗИ8чеиием ЧИCJIОВОrО выражении. Если дано aлreбраическое выражение, то можно roворить о 3И8чеиии а..п:rебраическоrо ВWP8жеиии, но только при конкретных значениих входищих в Hero букв. Например, алreбраическое выражение 3/1''18/1'''8 а + Ь при а == 5, Ь  7 имеет значение 12 (поскольку 'Ilfсло.оrо а + Ь  5 + 7 == 12); при а == 16, Ь == 14 оно имеет .WР.Ж8НIfR значение 30 (так как а + Ь ==  16 + (14)   16  14== п8P8M8/1H.R == 30). Алreбраическое выражение а 2  зь (что та- кое а 2 поl\lllИТe?  это а. а ) ПР И а == 2 Ь == О 4 П р и- 3/1''18/1",8' , , .лr86Р'If'l8скоrо нимает вид числовоrо выражении (2)2  3' 0,4; уп- .wр.же/lIfR рощм, получаем: 4  1,2 == 2,8  это и есть значе- ние aлrебраическоro выражении а 2  3Ь при а == 2. Ь == 0,4. Поскольку буквам, ВХОДJIщим В состав aлreбраическоro выра- жении, можно придавать различные числовые значении (т.е. мож. но менять значении букв), эти буквы называют перемеивlaDDl. Пример 2. Найти значение алreбраическоrо выражении а 2 + 200 + ь 2 (а + Ь) (4  Ь) . 3 3 если: а)а.== 1, Ь== 2; б)а == 3,7, ь==  1,7; в)а == 5' Ь== 5' р е m е н и е. а) Соблюдаи порядок действий, последовательно находим: 1) а 2 + 2аЬ + ь 2 == 12 + 2 . 1 . 2 + 22 == 1 + 4 + 4 == 9; 2) а + Ь == 1 + 2 == 3; 3) а  Ь == 1  2 ==  1; 4) (а + Ь) (а  Ь) == 3. ( 1) ==  3; а 2 + 2аЬ + ь 2 9 5) (а + Ь) (а  Ь) ":3 ==  3. 
1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИй ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ мО ЛЬ б) Ав8JIОrично, соБJПOдая поридок действий, последовательно находим: 1) а 2 + 2аЬ + Ь 2 == 3,72 + 2. 3,7' ( 1,7) + ( 1,7)2 == == 13,69  12,58 + 2,89 == 4; 2) а + Ь == 3,7 + ( 1,7) == 2; 3) а b == 3,7 ( 1,7) == 5,4. 4) (а + Ь) (а  Ь) == 2 . 5,4 == 10,8; а 2 + 200 + ь. 4 4'10 40 10 5) (а + Ь) (а  Ь) == 10,8 == 10,8-10 == 108 == 27 40 (разделили ЧИСJIИтель и знаменатель дроби 108 на 4, т. е. COKpa тили дробь). в) Снова, соблюдая порядок действий, последовательно HaXO дим: 1) а 2 + 2аЬ+ b2==( j + 2. .  +( j... 9 18 9 36 == 25 + 25 + 25 == 25 ; з з 6 2) а + Ь == 5" + 5" == 5"; 3 3 3) а  Ь =-б  5" == о;    06pfllllllпW 6 4)(а + Ь)(а  Ь) == 5" . 0==0. А на нуль делить нельзяl Что это значит в дaH ном случае (и в дрyrих ав8JIОrичвых случаях)? Это 3 3 значит, что при а == 5"' Ь == б задавное алrебраичес кое выражение не имеет смысла.  Используется такая терм:инолоrия: если при конкретных зна чениих букв (переменных) aлrебраическое выражение имеет чис ловое значение, то указаввые значения переменных называют дo пустимыми; если же ПрИ конкретных значениях букв (перемен вых) алrебраическое выражение не имеет см:ысла, то указаввые f4 
значении перемевных называют ведопустиМЪDIII. Так, в примере 2 значении а  1 и Ь  2, а  3,7 И 3 Ь   1, 7  допустим:ые, тоrда как значении а '"" 5 И 3 Ь '"" "5  недопустимые (более ТОЧНО: первые две пары значений  допустиl\lы,' а тpeTЫI пара зна чений  недопустимаи). Вообще, в примере 2 недопустимыми будут такие значении переменных а, Ь, при которых либо а + Ь .. О, либо а  Ь '"" О. Например, а '"" 7, Ь '""  7 ИJIИ а '"" 28,3, Ь.. 28,3  недопустимые пары значе ний; в первом случае а + Ь  О, а во втором случае а  Ь '"" О. в обоих случалх знаменатель заданноro в этом при мере выражения обращаетса в нуль, а на. нуль, повторим еще раз, дe лить нельзя. Теперь, наверное, вы и са:ми сможете придумать как допустимые пары значений дли переменных а, Ь, так и недопус тимые пары значений этих переменных в прим:ере 2. Попробуйтеl 1.1.  Аопустнмое зн..,енне переменноil неАопус:тнмое зн.ченне переменноil МА ТЕМА ТИЧЕСКИЙ Я3ЫК. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОдель Замечание 1. Пример 2в) на самом деле мы реwали ПЛ хо (некультурно), поскольку сделав1 pllД Л..ulних, ненужных вычислений. Надо было сразу заметить, что при а =  и 3 Ь = знаменатель обращается в нуль, и объявить: выраже 5 ние не имеет смысла! Но, как rоворится, сразу замечает тот, кто знает,  надо замечать. Этом у и учит алrебра. Замечание 1. Если бы мы с вами реwали пример 2 п эднее, то сделали бы это лучwе. Мы бы смorЛи преобраз а+Ь вать выражение к более простому виду , а TorAa, c aЬ rласитесь, rораэдо проще было бы и вычислять. А вот п а 2 +2аЬ+ь 2 а+Ь чему верно равенство (а + Ь) (а  Ь) '"" aЬ' пока мы ска.- зать не можем. На этот вопрос ответим позднее (в f 25). f5 
1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ  1. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК Математики ОТЛИЧ8.ЮТСЯ от .нематематиков. тем, что, обсуждая научные пробле:мы, roворят дрyr с дpyrOM И пишут на особом . математическом языке.. Дело в том, что на математичес ком языке мноrие утверждения выrлядят яснее и прозрачнее, чем на обычвом. Например, на обычном языке I'Oворят: .01' перемены мест сла rаемых сумма не меняется.. Слыша зто, математик пишет (или roворит): а + Ь == Ь + а. Он пере водит высказавное утверждение на математический язык, в котором используются разные числа, буквы (перемеS:ные), зна ки арифметических действий, иные символы. Запись а + Ь == Ь + а эконом:иа и удобна для применения. Воаьмем дрyroй пример. на обычном языке roвopaт: . Чтобы сло- жить две обыкновевные дроби с одинаковыми знаменателими, вуж но сложить их числители, а зваменателъ оставить без изменения.. Математик ОСУЩecтвJUlет .сивхроввый перевод. на свой язык: а с а+с b+b==' А вот пример обратвоro перевода. На математическом языке записан распределительный закон: а (Ь + с) == аЬ + ас. Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: .Чтобы умножить число а на сумму чисел Ь и с, надо число а умножить поочередно на каждое слarаемов и полу ченные произведения сложить.. во всяком языке есть письменная и устная речь. Выше мы rоворили о письменной речи в математическом языке. А устная речь  это употребление специальных терминов, например: .сла raeMoe., .уравнение,., .неравенство., .rpафик., .координата., а также различные математические утверждения, выраженные словами. rоворят, что кулътурвый человек, кроме родноro языка, должен владеть хотя бы одним иностравв:Ыl\I языком. это верно, но требует t6 
1.3. МА ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МО ЕЛЬ ДОПOJIИев:вя: КYJlЬтypвьdi человек до.лжев: еще yмerь roвopaть. пи сать, дyl\I8.ть и на .llUJте.IIUJтическй.. языке. поскольку это ТОТ изык' на котором, К&IC мы не раз убедимся в далЫlейшем, .roворит. OK ружающа.и действитеЛьность. Этому и будем учитьси. Чтобы овладеть новым изыком. необходимо нзучить ero буквы, слоrи, слова, предложении, правила. rpам:м:атику. это не самое веселое 3&Ви- Тие, интереснее сразу читать и roворить. НО Т&IC не бывает, придет си набратьси терпении и снаЧ8JIа нзучить основы. Такие основы математическоrо изык8 l\IЬJ будем изучать с вами в rлавах 25. И, конечно, в pe зультате T&lCOrO изучении ваши представленИJI о математическом изыке будут постепевво раСШ8рllТЬCи.   3. ЧТО ТАКОЕ МА ТЕМА ТИЧЕСКАSI МОДЕЛЬ Представьте себе такую ситуацию: в школе четыре седь:мых класса. В 7 А учатси 15 девочек и 13 м:а.льчиков, в 7Б  12 девочек и 12 мальчиков, в 7В  9 девочек и 18 М8JIЬЧИКОВ, в 71'  20 девочек и 1 О мальчиков. Если нам нужно ответить иа вопрос, сколько учеников в каждом из ceды\lыx классов, то нам 4 раза придется осущестВЛJlТь одну и ту же операцию сложении: в 7А 15 + 13... 28 учеников; в 7Б 12 + 12... 24 ученика; в 7В 9 + 18... 27 учеников; в 7r 20 + 1 О ... 30 учеников.  Используи математический изык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе  учатси а девочек и Ь М8JIьчиков, значит, Bcero уче ников а + Ь. Эту запись а + Ь называют математи ческой моделью данной ре8JIЬНОЙ ситуации. Ал- "'lТе"'IТНlfеск,. rебра в основном занимает си тем, что описывает ",одель различные ремьные ситуации на математическом изыке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с ре8JIЬНЫМИ ситуациими, а с этими моделими, используи раз- ные правила, свойства, законы, выработанные в алreбре. 17 
1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ в следующей таблице приведены различные реальные ситуа ции и их математические модели; при этом а  число девочек в классе, Ь  число мальчиков в том же классе. .м Реальиаиситуации Математическаи модель 1 В классе девочек и мальчиков а==Ь поровну (как в 7Б) 2 Девочек на 2 больше, aЬ2 чем мальчиков (как в 7 А) или а==Ь+2 или a2==Ь 3 Девочек на 9 меньше, чем Ьa9 мальчиков (как в 7В) или Ь==а+9 или a==Ь9 4 Девочек в 2 раза больше, a 2Ь чем мальчиков (как в 7п ь 5 Девочек в 2 раза меньше, а ==  2 чем мальчиков (как в 7В) или Ь == 2а 6 Если в данный класс придут lеще одна девочка и три маль чика, то девочек и мальчиков станет поровву (как в 7 А) а+l==Ь+3 7 Если из класса уйдут три девочки, то мальчиков станет в 3 раза больше (как в 7В) Ь  3(а  3) Составлии эту таблицу, мы шли от реальной ситуации к ее Ma тематической модеЛИ. Не надо уметь двиrаться и в обратном Ha правлении, т .е. по заданной математической модели описывать ело- вами реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обо значевиих, что и в нашей таблице) такаи математическаи модель: а  5 == Ь + 51 Она означаеТ, что если из класса уйдут 5 девочек и придут 5 мальчиков, то девочек и мальчиков в классе станет поров ву (эта ситуации имеет место в 7r из рассмотреввоro прим:ера). t8 
1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Наверное, у вас возник вопрос: а зачем нужна математичесК8JI модель реальной ситуации, что она нам дает, кроме краткой BЫ разительной записи? Чтобы ответить на этот вопрос, решим сле дующую задачу. Пример 1. В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этоrо класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4 больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе? Реш е н и е. Пусть х  число l\I8JJЬЧИКОВ В классе, тоrда 2х  число девочек. Если уйдут три девочки, то останетси (2х  3) дeBO чек. Если придут три мальчика, то станет (х + 3) мальчиков. По условию девочек будет тоrда на 4 больше, чем мальчиков; на Ma тематическом изыке это записываетси так: (2х  3)  (х + 3) ... 4. это уравнение  математическая модель задачи. ИСПOJIЬЗyи из вествые правила решении уравнений, последовательно по.лучаем: 2х :.... 3  х  3 == 4 (раскрыли скобки); х  6 == 4 (привели подобные слarаемые); х ... 6 + 4; х ... 10. Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В классе 10 мальчиков, а значит, 20 девочек (вы помните, их по условию было в 2 раза больше). О т в е т: вcero в классе 30 учеников. Обратим внимание на следующее обстоятельство: зам:етили ли вы, что в ходе решении было четкое разделение раССУЖАевий на три этапа? [I] На пеDВОМ этапе , введя переменвую х и переведя текст задачи на математический нзык, м:ы: составили математическую модель  в виде уравневил (2%  3)   (х + 3) == 4. На ВТОDOМ этапе , используи наши знания, мы это уравнение решили, точнее, довели до caMoro простоro вида (х =о 10). На этом этапе мы не думали ни про девочек, ни про мальчиков, а занимались .чистой. математикой, работали толь ко с математической моделью. На TDeтьeM этапе м:ы: использовали получеввое решение, что бы ответить на вопрос задачи. На этом этапе мы снова вернулись к девочкам, мальчикам и интересующему нас классу. l' 
1.3. МА ТЕМА ТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Подведем итоrи. В процессе решении задачи были четко выделены три этапа: ПеDВЫЙ этап . СоставАение .мате.матuчес1tой .модеАи. ВТО1l0Й этап . РaIJoта с .мате.матической .моделью. Тоотий. этап . Ответ на вопрос задачu. Вот так обычно примениетсиматематика к реальной действи тельности. После рассмотреввоrо примера повторим вопрос: как вы думаете, нужны ли математические модели и надо ли уметь работать с ними? Нужны! Разумеетси, чем сложнее модель, тем больше фактов. правил, свойств приходитси применить дли ее упрощении. Эти факты, правила, свойства надо изучить, что мы и будем с вами делать. Математические модели бывают не только алreбраические (в виде равенства с перемеввыми, как в нашей таблице. или в виде уравнении. как было в примере 1). Дли знакомства еще с одним видом математической модели возьмем задачу из учебника MaTe матики дли 6 класса (специально берем задачу, с которой вы уже встречались). Пример 2. Построить rpафик температуры воздуха. если из вество, что температуру измерили в течение суток и по результа там измерении составили следующую таблицу: Времи суток. ч О 2 4 6 8 10 11 14 16 18 22 24 \ Температура, С. 1) о о 3 4 2 О 6 8 1) 3 3 \ Реш е н и е. Построим примоyrольную систему координат. По rоризонтальной оси (оси абсцисс) будем откладывать зваче нии времени, а по вертикальной ОСИ (оси ординат)  значении температуры. Построим на координатной плоскости точки, 'KOOP диватами КОТОРЫХ ивлиютси соответствующие числа из таблицы. Вcero получаетси 12 точек (рис. 1). Соединив ИХ плавной линией. получим один ИЗ ВОЗМОЖНЫХ rpaфиков температуры (рис. 2).  Построеввый rpaфик есть математичесК8Л модель, описываю щи зависимость температуры от времени. Аиализируи этот rpa фик, можно описать словами, что пронсходило с температурой воздуха в течение суток. Ночью с О ч до 8 ч утра становилось все 18 
' I """" 7 . .... 6 5 .. 4 3 2. 1 О 1 . 2 з 4  1.3. МА ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ .. ..i I I +j i Т ... i , . . , H .... i ;...t. ! t I 12 14 16 18 20 22 24 ! .- 2 10 4 8 .-Т i . t- ,_.н .J-i t.--_tit I . '! i . .........1... ....1,... Рис. 1 ТО 8 7 6 5 4 3 2 1 О 1 2 з 4 24 . i ;...., t Рис. 2 холоднее (от 50 в О ч до  40 в 8 ч утра). Потом, видимо, выrлинуло солнышко и стало теплеть, так что в 11 ч температура была уже не отрицательной, а нулевой (00). До 16 ч теплело, причем в 16 ч lt 
было теплее Bcero (80). А затем стало темнеть, тем- пература начала постепенно снижаться и понизи- лась до 30 в 22 ч. rлидя на rpафик температуры, можно определить, какаи была наименьшаи тем- пература (40 в 8 ч утра), какаи была наибольшая температура (80 в 16 ч), rде температура менялась быстрее, rде медленнее. Рассмотреввую математическую модель назы- .пre6p.H'Iec".. вают rpафической моделью. МОАеп. Итак, нам нужно УЧИТЬСII описывать реальные ситуации словами (словесная модеАЬ), алreбраичес- ки (аАеебраuчес"ая модеАЬ), rрафически (ерафuчес- "ая модеАЬ). Бывают еще ееометрuчес"ие модеАи реальвыx ситуаций  они изучаются в курсе reo- метрии. Впрочем, rpафические модели также иноrда называют rеометрическими, а вместо термина .алrебраическаll модель. употреБЛIIЮТ термин . аналитическая модель. . Все это  виды математических моделей. 1.1.  спо_есн.. МОАеп. r,нфН'Iес".. МОАеп. \ МА ТЕМА ТИЧЕСКИй ЯЗЫК. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 
rЛАВА 1 СТЕПЕНЬ С НА ТУР АЛЬНЫМ ПОКАЗА ТЕЛЕМ и ЕЕ СВОЙСТВА t 4. Что т.кое степень с н.тульным пок.з.телем t 5. Т.6лн ОСНО8НЫХ степенен t ,. С80НСТ8. степенн с н.тур.льным показ.телем t 7. У множенне н ,4еленне степенен с О,4НН.КО8ЫМН пок.з.телSlМН t 8. Степень с нуле8ЫМ пок.з.телем ОСНО8ные результаты  4 ЧТО ТАКОЕ СТЕПЕНЬ · С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗА ТЕЛЕМ Одна из особенностей математическоro изыка, которым мы с вами должны научитъси ПОЛЬЗ0ватьси, состоит в стремлении применить как можно более короткие записи. Математик не бу дет писать а + а + а + а + а. он напишет ба; не будет писать а+а+а+а+а+а+а+а+а+а (здесь 10 слаrаемых), а напишет 10а; не будет писать р. + а ... + . nсл&raемых а напишет па. Точно так же математик не будет писать 2. 2. 2. 2 . 2, а BOC пользуетси специально придуманной короткой записью 25. Aвa лоrично вместо Произведении семи одинаковых множителей 3 . 3.3.3 . 3 . 3 . 3 он запишет з7. Конечно, в случае необходимос- ти он будет двиrатьси в обратном направлении, например, заме- нит короткую запись 26 более длинной 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2, произведет вычислении, получит 64 и запишет 26 == 64. 13 
2.4. СТЕПЕНЬ С НА ТУР АЛЬНЫМ ПОКАЗА ТЕЛЕМ и еЕ СВОЙСТВА Еще одна особенность математическоro языка: если появляет- ся новое обозначение, то поивляются и новые термивы. И все это (и обозначения, и термивы) охватываются новым определением. Определеиием обычно называют предложение, разъясняющее суть иовоro термина, HOBoro слова, HOBoro обозначения. Просто так определения не придумываются, они появляются только Tor- да, KorAa в ЭТОМ возникает необходимость.  oп/JeAeпeHнe "епен. ОСНО8/JНИ8 "епени пOK/J3/J,eп. "епенн Итак,  Oпpe.D.eneHHe 1. Под аn' rде п  2, 3, 4, 5, ..., ПОНИ1IoIают произведение п ОДИНQI(ОВЫХ множите- лей, каждым из которых является число а. Выра- жение а" называют степеиью, число а  осиова- кием степеки, число п  покааателем степени. В Д8JIЬВеЙПIем вы узнаете, что ПОJC838телем степе- ни может быть не только натуральное число. Но это произойдет позднее, в старших классах, а пока orpa- IIИЧИl\(СИ только случаем, коrда показатель степени  натуральное число; обычно rоворят короче: на- тура.л.ьный пон:аэате.л.ь, отсюда и происходит на- звание как всей rлавы, так и этоrо паparpафа. а'а' а..... а =а п ; пмв  а"  степень с натуральным покаэателем; а  основание степени; n  показатель степени. Запись а" читают так: .а в п-й степени.. Исключение состав- ляют запись а 2 , которую читают: .а в квадрате. (хотя можно чи- тать: .а во второй степени.), и запись а 3 , которую читают: .а в кубе. (хотя можно читать и .а в третьей степени.). Пример 1. Записать в виде степени произведение 5.5. 5.5. 5' 5 и использовать соответствующие термивы. Реш е н и е. Поскольку дано произведеиие шести одинако- вЫх множителей, каждый из которых равен 5, имеем: 1. 
1.4. СТЕПЕНЬ С НА ТУРАЛЬНЫМ nOКАЗА ТЕЛЕМ и ЕЕ СВОЙСТВА 5' 5.5. 5' 5' 5 =- 56; 56  степень; 5  основание степени; 6  показатель степени.  При мер 2. Вычислить (2)'. Реш е н и е. (2)'=; (2)'( 2).( 2).( 2) =; 16. Ответ: 16. При мер З. Вычислить ( )3 ( 2 ) 3 2 2 2 2' 2' 2 8 Решение  .. . 3 3 3 3 3'3.3 27' 8 О т в е т: 27'  Как вы думаете, полностью ли соответствует Ha зваиию параrpафа определение 1? Паparpаф назы ваетси . Что такое степень с наТУР8JIЬВЫМ показа телем., т, е. им:еется в виду, что в качестве показа- тел и может фиrурировать л ю б о е натур8JIьное число. А любое ли натуральное число фиrурирует в качестве показатели в определении 1? Как вы ответите на этот вопрос? Orветим на этот вопрос вместе: мы rоворили о степени a fl , rде n'" 2, З, 4, ..., а вот случай, коrда n == 1, пока упустили из виду (.потеряли. одио натуральное число). Это упущение исправим с ПОМОЩЬЮ HOBoro определении. Оп.ре.4елен..,е 2 . Степенью числа а с показателемl вазыа ют само это число: [ а 1  а. ] Пример 4. Найти зиачевве степени а" при заданвых значе ниих а и n: 1 n =; 4; а) а== 2,5, n == 2; б) а =; 3 ' в) а =- 5, n 1; r)a=-I, n =- 4; д) a==I, n == 5; е)а=-О, n 1; ж) а  О, n == 12; з) а=-l, n...17. 
1.5. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ nOКАЗАТЕЛЕМ и ЕЕ СВОЙСТВА Ре m е н и е. а)аВ  2,52  2,5' 2,5 6,25; б )а/J ( .!. ) 4  !..!.. !....!.  1'1'1'1  .. 3 3 3 3 3 З. 3' З. 3 81 ' в) аВ  ( 5)1   5; r) аВ  ( 1)4  ( 1). ( 1)' ( 1)' ( 1)  1; д) аВ  ( lii  ( 1)' ( 1). ( 1)' ( 1). ( 1)   1; е)аВ  01 == о; ж)а/J012  o; 12 lIBO-иreJIей з)а/J111  1 :..  ==1.  17 КВОЖВ'I'IШей  аоа.8А8НН8 . степен. Операцию отыскания степени аВ называют воз- ведением в. степень. В примере 4 мы рассмотрели восемь случаев возведения в степень. Прнмер 5. Вычислить 11. 32. (2)3. Ре m е в и е. 1) 11  1; 2) 32  3 . 3  9; 3) (2)3  (2).( 2)'( 2)  8; 4) 1.9. (8)'"  504. О т в е т:  504. в рассмотренных примерах мы несколько раз возводили в cтe певь отрицательные числа. Заметили ли вы закономерность: если отрицательное число возводится в четную степень, то получается nоложительн.ое число, если же отри цательное число возводится в нечетную степень, то получается отрицательное число? Попробуйте об'bllСВВТЬ, почему это так. -  r  5. т А&ЛИЦА OCНOBHblX СТЕПЕНЕЙ Вы знаете таблицу умножения, в нее включены произ ведения любых двух однозначных чисел (3.5, 4' 1 и т. д.), этой таблицей вы постоявво польауетесь при вычислениях. На прак тике полезна и таблица степеней простых однозначных чисел (в пределах тысячи). Составим ее. 16 
2.5. 21 2 224 238 24  16 25 == 32 2864 27 == 128 2" == 256 20 == 512 210 == 1024 СТЕПЕН С НА тур АЛЬНЫМ ПОКАЗА ТЕЛЕм и ЕЕ СВОЙСТВА 31.... 3 32 == 9 з3  27 з4 .. 81 з5 == 243 з8 == 729 51 == 5 52 .. 25 53" 125 54 .. 625 71 == 7 72 == 49 73 == 343 с помощью этой таблицы можно находить н степенн COCTaв ных чисел (поэтому такне степени в таблнцу обычно не ВКJIЮча ют). Например, 93  9.9.9 == (3 . 3)(3 . 3)(3 . 3) == 3. 3 . 3 . 3 .3. 3 == з8 == 729. Пример 1. Известно, что 2 1t == 128, 3 k ... 243. Чтобольmе, n ИJШ k? Решение. ПО таблице находим, что 128 == 27, значит, n'" 7. По таблице также находим, что 243 == 3\ значит, k  5. Так как 7> 5, то n > k. О т в е т: n > k. Имеютси еще три числа, дли которых леrко составить таблицу степеней, особенно учитываи, ЧТО вичеrо вычислить не нужно и результат фактически известен заранее. Эrо числа 1, О,  1, а таб лица степеней дли этих основаВИЙ выrлидИТ следующим образом:  .."if  . , 1 п ... 1 дли любоrо n; оlt "" О дли любоro n; если n  четное число (n == 2, 4, 6, 8, ...), To(I)п== 1; еслиnиечетноечисло(n== 1, 3, 5, 7,...), To(I)п"I. Кстати, используи формулу четноrо числа n = 2k и формулу нечетноro числа n == 2k  1, можем записать, что ( (I)2k==I; (1)2kI==I.) А теперь выберем в качестве основании степени число 10: 101 == 10, 102.... 100, 103 == 1000. 17 
1.5. СТЕПЕНЬ С НА ТУРАЛЬНЫМ ПОКА3А ТЕЛЕМ и ЕЕ СВОЙСТВА [I] Обратите внимание: каков показатель, столько иулей надо запнсать после цифры 1. Вообще, 10 п = 1000 ... О  . п "; ей Напрнмер, 106  1000000; напротнв, 100000 == 105. Пр н м е р 2. Найтн значенне выражении а 17 + ь 18 + с 19 (10с)4 a18 ь 37 + с 1 + (а + з)4 при а   1, Ь == О, с  1. Реш е н н е. aI7+ьI8+9 1) aI8ь37+c1 (1)17 + 018 + 119 (1)18оЗ7 +11 1+0+1 О "" "O' 10+1 2 ' 2 ) " (1Ос)4 (10 1)4 "" 104 == 10000 == 625' (а+з)4 "" (I+з)4 :r 16 t 3) О + 625 "" 625. О т в е т: 625. В заключенне данноro параrpафа еще раз отметим, что м:aтe м:атнки всеrда стремитси к краткостн запнсей, четкости рассуж деннй. Поэтому, введи новое ПОНlIТне, они вачннают изучать ero свойства, а затем прнмениlOТ этн свойства на практнке. О разных свойствах степени с натуральным показателем поrоворим в сле дующем паparрафе, а пока, забеrаи вперед, заметнм, что еслн бы одно нз таких свойств мы уже зналн, то не вычнслили бы так долrо 93, как это было сделано выше. Мы бы запнсалн так:  93"" (32)3  з6 == 729. Внднте, запнсь в два раза короче. Выrодно? Выrодно. А почему это так, узнаем в  6. 
1.6. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗА ТЕЛЕМ и ЕЕ СВОЙСТВА  6. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКА ЗА ТЕЛЕМ [I] Бdльшаи чаCIЪ ма:rематических утверждений проходит в своем становлении три этапа. На пеDВОМ этапе человек в ряде конкретных случаев подмечает одну и ту же закономерность. На ВТОDOМ: этапе он пытаетси сформулировать подмеченную закономерность в общем виде, Т.е. предполarает, что эта закономерность действует не только в рассмотренных случаих, но и во ВСех дpy rих аВ8Лоrичных случаих. На тоетьем этапе он пытается доказать, что закономерность, сформулироваввШl (rипотетически) в общем ВИде, на самоМ деле верна. Доказать К8J(оеЛИбо утверждение  это значит объиснить, почему оно верно (объаснить убедительно, а не так: .это верно потому, что это верно.). При доказательстве можно ссылаться тольКо иа уже известные факты. Давайте попытаемси вместе пройти все три апа, попробуем открыть, сформулировать и доказать свойства стеПеней. OmJl:pw.mиe первое Пример 1. Вычислить: а) 21. 25; б) 31 . 3.. Реш е и и е. а) Имеем: 23. 25  (2 . 2 . 2) . (2 . 2.2. 2. 2)   2 2 2 2 2 2 2 2  2.2.2.2.2.2.2.2  . .. " а IIИОМИТ'еJUI , мио '; иreпеА 8  еl Вcero имееТСИ 8 одинаковых l\IВожителей, каждый из KOTO рых равен 2, т. е. 28, что по таблице (см. i 5) дает 256. б) ИМеем: 31 . :rc  3 . (3 . 3 . 3. 3)  3 .......... 1 JUlDaW'!tVlЬ 3 . 3 . 3. 3  :зб  243.  . . 4 """""""" Ответ: а) 256; б) 243. 
2.6. СТЕПЕНЬ С НА турАльныM ПОКАЭА ТЕЛЕМ 101 ЕЕ СВОЙСТВА в процессе решевии прим:ера мы заметили. что 23' 2&  28, т. е. 23. 2&  23+&; 31. з4  311, т. е. 31. з4 == 31 Н. Наблюдаетси закономерность: основании перемножаемых cтe певей одинаковы, при этом показатели складываютси. ПеDВЫЙ ПШlзавершен. На BTQDOlII этапе осмелимси предположить, что мы открыли общую заJtоно.м.ерностr.: а n ' а"... а n +". Т 1 I Дп.я п.юбоzо "'".IUJ а u. п.юбых нaтYpaAЬHыZ'",aceп. еорема . 11 и k Сllраеедп.шю раеенство: a"'a"a"+". Поскольку в вашем курсе мы первый раз встретились со сло вом . теорема. , давайте BeMBoro поroворим о том, что ово означает. Теоремой обычно называют утверждение, спра ведливость (истинвость, верность) Koтoporo ycтa вавливаетси с помощью cтpororo обосновании, д каэательства. Теорема состоит из умовив, Т.е. из TOro, что Д8'во, что имеетси в I!8ЛИЧИИ, И З8IUDOчеВИR  тoro, что нужво доказать. В теореме 1 даны произволь вое число а и два ватуральиых числа n и k  это условие. А треБУeтcJI доказать, что ВЫПОJIВиетси pa вевство а n . а"  а& +"  это заключевие теоремы. Обычно теорему формулируют так: если (условие), то ... (заключевие). Например, теорему 1 МОЖВО (и, честно roвори, так было бы аккуратвее) сформулировать следующим: образом: I есп.и а  п.юбое ","п.о и 11, k  натllрал.ьные ...иc п.а, то Сllраведп.IUJО равенство: а". а"  а"+".  TeopeJrl' уело,не з,ключ.нн. На тоетьем этапе вадо доказать, что наше предположевие вер-- но, т. е. доказать теорему 1. Сделаем это и мы  доказательство приведево ВИже. Прочнтайте ero. Если чувствуете в себе СИЛЫ, то попытайтесь разобратьси в вем (ово состоит в том, ЧТО мы триж ды: используем определевие степени с натуральным показателем); если же вет  оrpаничьтесь прочтением. JO 
1.6. СТЕпень С НА ТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗА ТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА д о к а з а т е л ь с т в о. 1) a rt  !l . а .....  ; п МНОЖII'l'8Jlеl 2) a k == !l а.....  ; It МIIОЖJneЛеl 3)art. a k== a а ... a a.a:.. a  п M.  'l'8Jlel . МIIО-И'r81lеl == !l . а. ...  !l' а....  == !l а. .... а а а" .... == art+k. JI МII  ИТUеl It MI!ID 8:.тe.., eI JI+k м к.; lП'I'eJIеl Теорема доказана. Итак, первое откры't'ие у нас состолось. Идем дальше. OmlCpwmиe второе Пример 2. Вычислить: а) 28: 2'; б) 38: з11. Реш е н и е . а) Запишем частное в виде дроби и сократим ее: 28:2'== 26 == (2'2'2'2)'2'2 ==2.2==22==4. 24 (2.2.2.2) (3.3.3.3.3).3.3.3 б) 38: 311 == (3.3.3.3.3) 3.3.3 == з3 == 27. В процессе решении примера мы заметили, что 28: 2'== 22, т. е. : 2' == 26'; 38: 311== з3, т. е. з 8 : 311 == з8б. Ответ: а) 4; б) 27. Наблюдаетси закономерность: основании делимоrо и делите- ли одинаковы, показатель делимоro больше, чем показатель де- лители, при этом из показатели делимоro вычитаетси показатель делители. Пеnвый этап завершен. На BTQpoM этапе предположим, что мы открыли общую зако- номерность: a rt : a k  art\ если n > k. I Дя. яю60z0 чисяа а Ф О и яю6wz нат1/ptJяьнwz т 2 чиеея n. и k. malCUZ, что n. > k. Сn'рlUJедяfUJО ра8ен- еоре;ма. С1R80: а" : a k = а"  k. 3t 
1.6. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОI(АЗА ТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА Можете JIИ вы сформулировать теорему 2 ииаче, используи rpaм:- матическое построение .есп:и ..., то ....1 Видите JIИ вы, rде в этой теореме условие, а rде 38XJП0чение1 Orвeтътe ДJUI себи 118 МИ вопро- сы (а иаш ответ будет приведеи после докааател:ьства теоремы). Д о к а з а т е JI ь с Т в о. Рассмотрим произведение aA1l . a ll . мы зиаем, что при ухвожении степеней с одинаковыми основавииllOl показатеJIН CКJI8ДЫВ8JOТCи (об этом шла речь в теореме 1). Сложив показатеJIИ п  k и k, получим (п  k) + k  п. Итак, a"Il. a ll  а", а это как раз и озиачает, что а": a ll ... a"Il. Теорема доказава. А теперь ииаче сфОРМУJIируем теорему 2: I есяu а ;4 О u п, k  Н4тllptJяьньи чuсяа, тaJl(ue, .то п > k, то сприедяfUJО риенсmtlо а" : а" .. а"  ". у CJIовие теоneмы : а '* о; п, k  Haтyp8JIъвыe числа, п > k. Заключение теоneмы : а": a ll  a"Il. Второе открытие у нас СОСТОИJIОСЬ. Идем дальше. OmJl(pblmиe третье При мер 3. ВычисJIИТЬ: а)(25)2; б){з 2 )3. Реш е и и е. а) Имеем: (2&)2... 2&. 2&  2&+&'" 210  1024 (см. 5 Б). б) Имеем: (32)3  32.32.32... 32+2+2 ... з6  729 (см. f Б). Ответ: а) 1024; б) 729. В процессе решеиии примера мы замеТИJIИ, что (25)2  210, т. е. (25)2  211'2; (32)3... з6, т. е. (32)3... 32'3. НаБJIюдаетси законом ери ость: в обоих случаях при возведе- нии степеиив степеиь показатеJIИ перемиожались. первый этап завершеи. На ВТОDOМ этапе преДПОJIОЖИМ, что мы открыли общую зако- номериость: (a")Il... а М . 31 
1.6. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗА ТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА I ДIU яю6оао чисяа а u. яюбwz натllр4ЯЬНЫ% чисея Теорема 3. n. u. k Сn'ptUJедяruJO pa8f!Нcmвo (а")1I == а М . Доказательство теоремы (тneтий этап) мы приводим в самом конце паparpaфа (пока оrpaиичимси докааате.л:ъствами теорем 1 и 2). Если есть желание, попыт8ЙТесь сами (или с помощью учитеЛИ) доказать ее. мы совершили с вами три открытии, которые привели нас к трем серьезвыM теоремам. Эrи теоремы на практике удобнее фор му.лировать в виде трех правил, кОторые полезно запом:в:ить.  Правило 1. Прu.lI&нОZекu.u. cmen.eHeй с oдu.нa"o- еы.-и ocкoeaн.u.aMи ROJl:a3aтеяu. сJCJUJдыеаюme.а, а осномние остаетс.а неиз.-екным. ПрaвR.1l0 2. При деяекu.u. cmen.eнeй с одu.нaJЮ#Jы-и OCН08aнu.Jl.МU ROJCtJ.1al7I.e.IJU еычиrrииoтc.а, а осно- еание остаеme.а неизменным. Правило 3. Прu. еозееденu.u. степени е cтerteHЬ n.orcaзaтеяu. neрсмноzаютс.а. Сравните эти три правила с формулировками теорем 1, 2, 3. Почувствовали разницу? В теоремах все четко. все oroвopeHo, все предусмотрено. а вправилах ощущаетси какаяо неполнота, леr кость мысли. поэтому они леrче запоминаются и воспривимают СИ; правила похожи на афоризмы. Эrо тоже одна из особенностей математическоrо и3ыа:: наряду с серьезвыми отточенными фор мулировками используютси и краткие афористичвые правиJI8. с пропусками слов. (. :r)б Пример 4. Вычислить n8 8 (2 .) Ре m е н и е. 1) 23' 2'  H == 27 (правило 1); 2) (27)11 == 27.11 == 236 (правило 3); 3) 2. 28  21 +8  28 (правило 1); 4) (29)3 == 29'3 == 227 (правило 3); 5) 236 : 227  23627  28 (правило 2); 6) 28 == 256 (см.  5). О т в е т: 256. 2. м'ОР.''''ОВIIЧ .A.'1re6pB. 7 .... 33 
1.6. СТЕПЕНо С НАТУР АЛоНоlМ ПОКАЗА ТЕЛЕМ и ЕЕ СВОЙСТВА ОпЫТНЫЙ оратор, выступив с Длинной и трУДНОЙ дли слушате лей речью, оби38Тельно в конце доклада еще раз выделит самое rлавное, самое важное. У нас с вами была очень трудиаи и напри жеввlUl работа. давайте же и мы выделим самое rлавное. Самое rлавное  три формулы,  a rJ . а" == a rJ + "; a rJ : а" == arJ", rде n > k, а '* о; (a rJ )" == a rJ ". Их можно применRТЬ как справа налево, так и слева направо. Например, 23 . 2 .. 28; з7 : 31  36; 28  2' +,  2'.2'; 22 +rJ == 22. 2 rJ  4. 2 rJ ; (53)' == 512; з10 З N З N з8  з10 '== . 3 rJ ,   ==  . з4 , 3' 81 · 512 == (58)2 == (52)8 == (5')3 == (53)'. 3амечанне. Мы rовориrж TOnЫC:O об умножении и дe лении степеней с одинаковыми основаниями. А 80Т об их сложении и 8ычитании ничеrо неИЗ8естно, так TO не сочиняйте новых пра8ИЛ. Неn.зя, например, заменять сумму 2 + 23 на 2'; 8 самом деле, посчитайте: 2 == 16; 23 == 8; 16 + 8 == 24, но это не естъ 27, поскоnыc:у 27 == 128. Нельзя заменятъ разность з5  3 на з t ; действительно, поситайте: з5 == 243; 3 == 81; 243  81 == 162, но это не' естъ з', так как З t == 3. Будьте 8нимательныl В заключение, как было обещано выше, докажем теорему 3. Имеем: .  == (а . а . "rJ rJ (arJ)k   . а . .... а '  " IilИОЖИ'l'e.lеl . а) . (а . а . . а) . . а)  . (а . а . Ir rpупп по rJ IIВОЖllТellей . каж..ой а а а а а ... а а а .... а L a''''. ==- ' м IIBo  тuel 
2.7. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЭАТЕЛЕМ 11 ЕЕ СВОЙСТВА  7 . УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ПОКАЗА ТЕЛЯМИ В предыдущем паparpaфе мы рассматривали умножение и деление степеней с одив&ICОВЫМ:И основавиими. Оказываeтcs, мож во умножать и делить степени и с раЗНЬ/.AtU основавиими, если только показатели у этих степеней одинаковы. Пример 1. Вычислить 2' 5. Реш е н и е. Конечно, можно по таблице из f 5 найти, что 24  16, 5  625, а затем умножить 16 на 625. Однако эффектив вее следующее рассуждение: 2' 5  (2 . 2'2.2). (5.5.5. 5)  == (2' 5)'(2' 5). (2' 5)' (2' 5) =о (2' 5) == 10  10 000. (j] В процессе решении l\Iы получили, что 2' 5 =о (2 . 5). Авалоrичво можно доказать, что а 3 Ь З == (аЬ)3. В самом деле, а 3 Ь 3  (а' а 'а)' (Ь' Ь. ь).. аЬ 'аЬ'аЬ =о (аЬ)З_ Вообще, имеет место равенство: allblI == (аЬ)В. 1 При м е р 2. Вычислить 7' Реш е н и е. Конечно, можно производить вычислении .в лоб., т. е. найти 126, затем 46, затем первое число разделить на ВТорое. Но лучше рассуждать так: 1 =O 4, 12'12-12'12'12'1 2 12 12 12 12 12 12 4,'4,'4,'4,'4,'4,  4" . "4 . "4' 4" '"'4 . 4" ==  ( 1: )6 == з6  729. (j] 1 ( 12 ) 6 В процессе решеВИJlIlЬ1 получили, что 46 =о 4" . Аиалоrично можно доказать, что ::  (i )3, что :: =о (  )1 И вообще, что а" ( а ) 11 fji == ь ,если Ь .. О. 2" J5 
2.7. СТЕПЕНЬ С НА ТУРАЛЬНЫМ ПОКА3А ТЕЛЕМ и ЕЕ СВОЙСТВА Итак,    .- ,,' аnЬ"  (аЬ)n; а n ( а ) n   ь ; ь =1= О. обе ЭТИ формулы примениютси как слева направо, так и спра ва налево. Их также можно оформить в виде правил действий над степеними, тоrда к трем правилам из  6 добавитси еще два: Правило 4. Чтобы nере1l&ножить стеnени с оди- нaw:oBW1l&U nоw:oaaтеЯ"1I&U, досто.точ.но mpe1l&Ho-- жuть осноеа.ни", о. now:o.aо.теяь стеnени ocтo. вить неUЗ1l&еННЫ1l&. Правило 5. Чтобы ра.адеяuть друz но. друzо. сте- мни с oдuнaw:oeW1l&U now:oaaтел...1I&U, досто.точ.- но ра.адеяuть одно осноао.ние но. друzое, о. now:o. зо.теяь стемни OCmQ.fJUmb неUЗ1l&еННЫ1l&. ( 22 аЗЬ. ) 5 Пример 3. Упростить """""3 Реш е н и е. Имеем: ( 22аЗЬ. ) 5  (22а з ь.)5  (правило 5); 3 з5 далее (2 2 а 3 ь")5  (2 2 )5(а 3 )5(ь")5 (правило 4). Но (22)5  210  1024; (а З )5  а 15; (ь")5  ь 2О (правило 3). Значит, (2 2 а З ь")5  1024а 15 ь 2О . Так как з5"" 243, то оковчатель- 1024а 15 ь 20 но получаем:  243 
2.8. СТЕПЕНЬ С НА ТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗА ТЕЛЕМ и ЕЕ СВОЙСТВА  8. СТЕПЕНЬ С НУЛЕВЫМ ПОКА3А ТЕЛЕМ в предыдущих параrрафах мы с вами научились вы- числить аначение степени с любым н.атуральным покааателем. Например, 0,210,2; 32"'3'3==9; 43==4'4'464: 1'/' 1.1.1.1...1; (2)5==( 2)'( 2)'(2)'( 2).( 2) 32; 06  О. О' О' О' О . О == О и т. д. Однако мы на этом не оставовимси, а научимси производить действии над степе ними не только с натуральными покааателими. Постепенно продви- rаись в иаучении матемаТическоrо Иаыка, мы с вами поймем, что оаначают в математике СИМВWlы 25, з1/2 И Т. д. Все это произойдет в старших клас- сах, а пока мы сделаем лишь один скромный шаr в этом направлении: введем понитие степени с нуле. вым no"а:Jате.л.ем, т. е. выисвим, К81tой смысл при- даетси в математике символу а О . До сих пор все было хорошо; а 3  это значит число а умножить само на себи 3 рааа, а 10  это значит число а умножить само на себи 10 раз, а 1  это просто а. А что такое а 0 1 Ведь нельзи же, в самом деле, умножить число а само на себи О рааl вот что придумали математики. Если уж вводить симвWl а О . раССУЖД8JIИ они, то нужно, чтобы не нарymались привычвые пра- вила. Например, при вычислении а 3 ' а О надо, чтобы показатели склцывались: а 3 ' а О "" а3+ О. НО 3 + О == 3. Что же полу- чаетси1 Получается, что должно выполвнтьси равенство а 3 ' а О "" а 3 . Значит, а О  а 3 : а 3  1 (при этом нужио ввесТи естественвое оrpани- чеНие: а *' О). После ЭТОI'O и было решено ввести следующее опреде- левве.   creпSНIt с Hyпe."'1>I пOK,ureпel>l Опре.D.еленне . Если а * О. то а О "" 1. Например, 5, 70  1; (з)О  1; (2 n )0  1 и т. д. Однако учтите, что символ 00 считаетси в математике не имеющим смысла. 37 
1.8. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКА3А ТЕЛЕМ и ЕЕ СВОЙСТВА OCHOBHItIE РЕЗУЛЬ Т А ТЫ Здесь собраны основные определеНИlI, свойства, тeope мы, формулы, правила, которые мы с вами изучали в  48. Все это записано на сухом математическом изыке без всяких КOMMeH тариев, поскольку комментарии, обоснования были приведены ранее. а 1 == а; а В ==  а... а . fI М:НО  1П'&.1I1!1 . , а О == 1, а * о; lВ==I; ОВ==О; (1)2B == 1; (1)2B 1   1; 10 В == 100...0. , .. аулеl aп.a"aп+"; ап+"+т ==аВ'а"'а т ; а В : а" == а В ", rде n > k; (а n )" == а"'; авь п ... (аЬ)В; :: ...()B rдеЬ*Q. Знание этих формул  ключ к успеху в работе с любыми алrебраическими выражениями. К этой работе мы при ступаем постепенно, начинаи со сле дующей rлавы. В защочение  одно предостережение. Мы знаем, что (аЬс)В  аВЬВс В ;  если осн,ован,ия одинаковы, то: есЛИ по"азатели одинаковы то: а п . а. -= а ll +.; а" . Ь"  (аЬ)"; а" : а.  a".; а" : Ь'  (а : Ь)". Если же умножение и деление выполниется над степенИl\IИ с раз л и ч н ы м и основаниими И раз н ы м и показателими, то ничеrо сделать нельзи. Так, з5.24 МОЖНО ВЫ'lислить только .в лоб.: сначала вычислить з5, затем 24 и, наконец, выполнить yм ножение. Будьте внимательныl 
rЛАВА 3 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ t 9. ПОНRТне ОДночлен.. CT.HpTHblii внд одночлен. t tO. Сложенне н Вl>Iчнт.нне одночленов t t t. У множенне одночленов. ВозвеДенне одночлен. в Н.ТУР.ЛЬНУЮ степень t t2. Деленне одночлен. н. одночлен OCHoBHble реЗУЛЬТВТЫ  9 ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА. . СТАНДАРТНЫЙ вид ОДНОЧЛЕНА ОпDе.D.елеНIo1е . Одночленом назыв8юT алrебраическое Bыpa жение, которое представлиет собой произведение чисел и пере менных, возведенных в степени с натуральными показателими. Примеры одночленов: 2аЬ; ! а 2 ху З; (2)xy2. ()4;r3ab4; 1,7а"Ь". Одночленами считают также все числа, любые перемеивые, степени переменных. Например, одночлеll8.ll(Н ивлиютси: о; 2;  0,6; х; а; Ь; r; аЗ; Ь". Теперь приведем примеры алrебраическнх выражений, не ив лиющихси одночленами: а 2 а + Ь; 2х 2  3 у З + 5; ь . 
3.9. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ [1] -.   ......, 2аЬ А как вы считаете: выражение 3  одночлен или нет? Ведь оно по форме похоже на выражение а 2 Ь ' которое фиrypирует у нас в числе выражений, не являющихси одночленами, и содержит в своей Записи черту 2аЬ дроби. Тем не менее 3  одночлен; чтобы убедиться в этом, 2аЬ 2 достаточно пере писать 3 в виде 3 аЬ. а 3 Вот еще два примера, построенные на контрасте: 3 и а' как вы считаете, какое ИЗ этих выражений одночлен, а какое нет? А а теперь проверьте себя: 3  одночлен, ero можно переписать в 1 3 виде 3 а; выражение же а не lIВJIяетси одночленом. Термины в математике II8,ЦO употреблять правильно. 2 Рассмотрим одночлен 3а' '3 а 2 Ьс. rлядя на это выражение, ма- теМаТИК оБЫЧНО думает так: .Or перемены мест мноЖителей про. изведение не изменитси, перепишу-ка я ЭТО выражение в более удобном виде: (3.  ).(а.а 2 )Ьс. Тоrда,  думает матем:атик,  Я получу 2а 3 Ьс, а эта запись при- ятиее той, что была, хотя бы потому, что короче. Кроме Toro, в ней нет Toro сумбура, какой был сначала: первый мвожвтель  число, второй  переменнlUI а, затем снова число, ПОТОМ опить пе- ремевва.и а, но уже в квадрате и т. д. . СтреМЯЩИЙСЯ К четкости, краткости и порядку математик на самом деле привел о,цвочлен к стандартвому виду. Вообще, чтобы привести од",очле", " ста",дарт",ому виду, ",уж",о: 1) nерем",ожить все числовые м",ожитеди и noставить их nроизведе",ие "'а первое место: 2) nерем",ожить все имеющueс,я стеnе",и с од",UAl t1Y"Be"''''blM ос",ова",ием: 40 
3. f О. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ OnЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ 3) nереJltножить все wcеющиеся степени С дpyzwc бу"веннЬUI. OCHOsaниeJlt и т. д. Числовой миожитель одночлена, записаииоrо В стандартном виде, назыВ8IOТ КОЭФФJlЦllевтом ОДНО' члена. Любой одвочлен можно привести к стандартно- му виду. П р н м е р. Привести одночлен к ставдартвому козффнцненr виду и назвать коэффициент одночлена: одночлен" а) зх Z уz. (2}.%y2zll; б ) 4аЬ2с !. С' 4 ' 1 В)  2axZ y 3 z ". '2 ax'yz; ЗаЬ r) 10' Реш е н и е. а) 3x 2 yz. (2)xy2z5  3. (2)XZxyy2zzl1 ... ='  6x 3 y3z6. Коэффициент одночлена равен  6. 1 1 б) 4аь 2 с 4" С ... 4. 4" аЬ 2 (с. С) ... 1 . аь 2 с 2  аь 2 с 2 . Коэффициент одночлена равен 1. такой коэффициент обыч:во не пишут. но подразумевают. 1 1 в)  _ifz'" 2' a.x'yz... (2). 2. aarr'1IYzaz'"  a 2 x 7 y4za+1. Коэффициент одночлена равен  1. r) А это, как roворит, tмалеИЬК8JI провокации.: одвочлен не надо приводить к стандартному виду, он и так запис8В В cтaHдap тном виде. Коэффициент одночлена равен 0,3. (JJ  одночлен cr"HA"pTHWii .нд одночлен"  10. СЛОЖЕНИЕ И выитАниЕE ОДНОЧЛЕНОВ в этой rлuе мы изучаем новые дли вас математичес- кие объекты  одночлены. Образно roвори, еслн дли MaтeMaTH ческоrо изыка числа, переменные и степени переменных ИВJJиют- си буквами, то одночлены  слоrам.и (коrда в детстве вы учились 4. 
3.10. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ читать, то сначала изучали буквы, затем читали слоrи и только потом целиком произносиАи написавное слово; буквы, слоrи, сло ва, предложения  этапы изучении языка). И тут УЖе не ВаЖНО, нравsтcя вам ОДНочлены как самостоятельный объект изучения или нет, ничеrо не ПОДелаешь  без yвepeHHoro влвдения ими H8.l\I не обойтись, если мы хотим свободно владеТЬ математичес ким языком. Как только математики BВOДRТ новое понЯтие, они начинают думать, как с ним работать. И мы с вами в rлаве 2 поступали точно так Же. Вспомните: мы ввели понятие степени с натураль ным показателем, но разве оrpаничились этим? Нет, мы выясни ли, как степени перемножать, как Делить, как возводить в дpy ryю степень. В  9 l\Iы ввели понRТIIЯ о.циочлена, стаидартиоro вида OДHO ЧЛена. Значит, надо думать о том, как работать с одночленами, как, например, выполнять над ними арифметические операции. При этом сраау доrоворимся, что будем рассматривать только oд ночлены, записанные в стандартном виде. ЛОАо6н.,е ОАНОlfлен., Опрелеnенне . Два одиочлена, СОСТОЯЩие из одних и теХ Же переменных, каж,ц8JI из которых ВХОДИТ в оба одночлена в одинаковых стеПенЯХ (т. е. с равными показателями степеней), называют подобными ОДВОЧJ.Iенами. Примеры подобных одночленов:  2 2а и Ба, 3аЬ 2 с и  "7 аЬ 2 с, х" И Бх". Как ВИДИТе, подобные одночлены отличаются дрyr от друrа только коэффициент8.l\IИ (впрочем, и коэффициенты MOryT быть равны, наприме-{), 7аЬ и 7аЬ  подобные одночлены). А вот примеры неподобных одночленов: Ба и 3а 2 , 2х и 7у, 3а 2 ь 2 и 6а 2 ь. Слово .подобные. имеет примерно тот Же смысл, что в обы денной речи слово fпохожие.. Соrласитесь, что одночленЫ 5а 2 ь и 23а 2 ь похожи дрyr на дрyrа (подобные одночлены), тоrда как oд 41 
3.10. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ  меТОА ..еАенн. H080R nepe/l4eHHoR tlnropHT/14 НО'lлевы 5а 2 Ь и 23аь 2 непохожи ,црyr на дpyra (не- по,цобные о,цНО'lлены). Рассмотрим сумму двух подобиых одночленов: 5а 2 ь + 23а 2 ь. Воспользуемси JIlетодОJll введения но- вой nереJllенной: положим а 2 Ь .. с. ТОI",ца сумму 5а 2 ь + 23а 2 ь перепишем в ви,це 5с + 2&. Ясно, '1то эта сумма равна 28с. Итах. 5а 2 ь + 23а 2 ь == 28а 2 ь. Нам у,цалось сложить по,цобные о,цночлены; оказалось, что это очень просто: достато'lНО сло- жить их коэффициенты. а буквенную 'Шсть оста- вить неизменной. Так Же обстоит ,цело И с вычита- нием подобиых о.дв:О'lленов. Например, 7аЬс 3  9аЬс 3  (7  9)аЬс 3   2аЬс 3 . А кц быть, есЛИ о,цночлены непо,цобны: можно ли их склады- вать, ВЫ'lитать? Увы, неJIЬЗIII Складывать непо,цобные о.цвочлены все равно, что в арифметической 38Да'lе складыать часы с кило- метрами. Разумеетси, меж,цу непо,цобными о,цночленами, на при мер 5а И 7Ь. можно поставить знaJC сложении, т. е. написать 5а + 7Ь, но ,цальше ЭТОI'O нам про,цвинутьси не у,цастси. Как мы уже подчеркивали, математики  лю,ци четкие. ОРI"8Иизовавиые, они любsт ,цейство- вать по определеввой проrpaмме. оБычIIo употребли- етси термин aJUOPUтJft. это слово кц раз И означает проrpaмму действий, четко опре,целенный поJ»I,цок хо,цов. Например, приди в мaI'азин 3& хлебом, вы прахтически всеl",ца ,цействуете по сле,цующему ал- 1"0 ритму:  1. По,цхо,ците к прилавку и смотрите, какой хлеб имеетси в про,цаже. 2. Становитесь в очере,ць в кассу. 3. Получаете чек. 4. Мениете '1еК на хлеб. 5. Кладете хлеб в сумку 6. И,цете ,цомой. Сейчас мы сформулируем алl"оритм сложении одночленов. 43 
3.10. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ АJlrоритм сложевии (вычитании) ОДВОЧJIевов 1. Привести все одночлены к стандартно,му виду. 2. Убедиться. что все одночлены nодобны; если же они неnодобны. то складывать (вычитать) их нельзя. т. е. алzоритJlt далее не nрименяется. 3. Сложить (вычесть) коэффициенты nодобны:r oдHO членов. 4. Записать ответ: одночл.ен. nодобныи данны,м. с KO эффициенто,м. nолученны,м на третье,м шаzе. При м е р 1. Упростить выражение 2а 2 Ь  7а' 0.5Ьа + 3Ь' 2а' (0,5a). Р е m е н и е. Речь ИДет о сложении и вычитании одночленов, значит, будем действовать в соответствии с алroритмом. 1) Первый одночлен уже имеет стандартный вид. Дли BToporo одиочлена имеем: 7а' О,5Ьа  (7' 0,5)' (а' а)Ь .. 3.5а 2 Ь  это стандартный вид. Приведем к стандартному виду третий OДHO член: 3Ь' 2а' (0.5a)  3' 2' ( О.Б)' (а' а)Ь"  За 2 ь. 2) Получили три одночлена: 2а 2 ь. 3.5а 2 ь.  3а 2 ь. Они подобны, поэтому с ними можно ПроИЗВОДИТЬ дальнейшие действии, т. е. можно переходить к третьему шary aJIrоритма. 3) Выполним действии с коэффициентами: 2  3,5  3   4,5. 4) Запишем ответ:  4,5а 2 ь. (j)   При м ер 2. Представить одночлен 27аь 2 в ВИДе суммы од- ночленов. Реш е н и е. Здесь в отличие от рассмотренных ранее приме рОВ решение не единственно (а разве В жизни ВО всех случаих ВЫ можете найти единственное решение? Иноrда решений несколь- ко, а иноrДR решении и ВОВсе нет). Можио написатЬ: .. 
].10. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ 27аЬ 2 == 20аь 2 + 7aJiA, И ЭТО будет верно. Можно написать: 27аЬ 2 == 15аЬ 2 + 12аь 2 , что также будет верно. Можно написать так: 27аь 2  аь 2 + 26аь 2 и даже так: 27аЬ 2 == 100ab Z  734b Z . Можно указать еще ряд решений. rлавное, чтобы сумма коэф' фициентов складываемых подобных одночленов БЫJIa равна 27. Кстати, не обязательно составлlIТЬ сумму двух одночленов (в условии ведь ЭТО не OroBOpeHO). Значит, можно предложить, на- пример, такое решение: 27аЬ 2  2000 Z + 4аЬ 2 + 3ab Z . Или такое: 27 ab Z  2аЬ 2 + 8аь 2 + 224ь 2  5аь 2 . (jJ Попробуйте сами придумать еще несколько решений при мера 2. Мы заканчиваем изучение темы .Сложеиие И вычитание одночленов.. Но вы, наверное, ощуща-  ете какую-то недоroвореввость. Мало JШ с какими I  I Од.Оч.......и .ам придereи им"'" дело · дальней- шем, а вдpyr среди них будут неподобные. Что  делать, если, СОСТ8ВJIJlJlматематическую модель ре- альной ситуации, мы пришли к выражению, пред СТ8ВJIиющему собой сумму непод06ных одночленов, например, 2аЬ + 3а  5Ь? Математики нашJIИ выход из положе- НИJl: такую сумму назвали Jltnozoч.леноJlt, т. е. вве.JIИ новое ПОНJI' тие, и научИ.JIИСЬ производить операции над мноroчлена:ми. Но об этом речь впереди, в rлаве 4. В заКJIIOчение настоищеro парarpа';>а рассмотрим конкретную задачу, в процессе решеНИJl которой ПРИХОДИТСJl складывать од. ночлены. Это лншний раз убедит вас в том, что в математике про- сто так ничеro не изучаеТСJl, все, что в ней наработано, примеНJI' eTCJl в жнзни. При м е р 3. Турист шел 2 ч пешком из п. А в п. В, затем в В он сел на катер, скорость KOTOporo в 4 раза больше скорости тури' ста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до п. С. в с он сел на .5 
3.11. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ автобус, скорость KOТOpol'O В 2 раза больше скорости катера, И ехал на нем 2 ч до п. D. С какой скоростью ехал турист на автобу се, если известно, что весь el'o путь от А до D составил 120 км? Реш е н и е. ПеDВЫЙ этап. СоставJLение математической модеJLи. Пусть х кмjч  скорость пешехода. За 2 ч он пройдет 2.х км. Из условия следует, что скорость катера 4х кмjч. за 1,5 ч катер пройдет путь 4:r '1,5 км, Т.е. 6х км. Из условия следует, ЧТО скорость автобуса равна 2. 4х кмjч, т. е. 8х кмjч. За 2 ч автобус проедет 8х. 2 км, т. е. 16х хм. Весь путь от А до D равен: 2х + 6х + 16х, что составляет, по условию, 120 км. Таким образом, 2.х + 6х + 16х  120. Это  математичесКliJIмодель-зкдачи. ВТОDOй этап. PafJoтa с соста,вJU!ННОЙ модеJ/.ЬЮ. Сложив одночлены 2х, 6х, 16х, получим 24х. Значит, 24:r "" 120, откуда находим: х == 5. Тneтий этап. Ответ на вопрос задачи. За х мы приняли скорость пешехода, она равна 5 кмjч. CKO рость катера в 4 раза больше, т. е. 20 кмjч, а скорость автобуса еще в 2 раза больше, т. е. 40 кмjч. О Т В е т: скорость автобуса 40 кмjч. i 11. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ. ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В НА ТУРАЛЬНУК) СТЕПЕНЬ в  10 мы рассматривали сложение и вычита:вие OДHO членов. Оказалось, что эти операции примениl\lы только к подоб- вым одночленам. А как обстоит дело с умножением одночленов? Очень просто: если между двyl\UI одночленами поставить знак yм: ножения, то снова получится одночлен; остается лишь привести ero к стандартному виду (фактически ЭТО мы уже делали в примере из  9). Не вызывает за'l'рудиений и возведение одночлена в сте- пень. При этом используются правила действий со степенями (фак- тически в при мере 3 из  7 мы уже возводили одночлен в степень). ., 
3.11. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ П Р в м е р 1. Найти произведение трех одночленов: 2а 2 ьс$, ! а 3 сх 3 и а 2 ь. . Реш е н и е. Имеем: (2а 2 ЬС$),( a3cx3)'(a2b) == =- (2'  ) (а 2 а 3 а 2 ) (Ь' b)(c ll c)X 3  1.5а 7Ь 2 с 6 х3.  Пр в м е р 2. Упростить выражение ( 2а 2 ьс 3 )1I (т. е. Предста вить ero в виде одночлена). Реш е н и е. ( 2а 2 ьс 3 )1I ==  :z6(a 2 )lIb$(c 3 )1I ==  32а 1О ь$с 111 . Мы ИСПОJIЪ30Вали, вопервых, то, что при возведении произве- дении в степень надо возвести в эту степень Каждый множитель. Поэтому у нас появилась запись 211(а 2 )5ы l с3 ) 5.. BOBTOpЫX, мы ВОСПОJIЪ30Вались тем, что (2)6 ==  :z6. В-третьих. мы использовали то, что npи возведении степени в степень показатели перемнож8lOТСИ. Поэтому вместо (а 2 )6 мы на- писали а 1О , а вместо (с 3 )5 мы написали с 15 .  П р в м е р 3. Представить одночлен 36а 2 ь.с 6 в виде произве денни одночленов. Реш е н и е. Здесь, ках и в примере 2 из  10, решение не единственно. Вот несколько вариантов решении: 36а 2 ь.с 5 == (18а 2 ). (2b 4 C Il ); 36а 2 Ь.с$ == (36аЬс)' (аь 3 с 4 ); 36а 2 ь.с ll ... (3ь4). ( 12а 2 с 5 ); 36а 2 Ь.с 5 == (2а 2 ). (3Ьс)' (6ь 3 с 4 ).  Попробуйте сами придумать еще несколько реmений приме ра3. П р в м е р 4. Представить данный одночлен А в виде BII, rде В  одночлен, если: а)А == 32a ll , n =- 5; б)А == а 3 ь 6 , n == 3; в)А == 49а 2 ь.с 6 , n == 2; r)A ==  27а 3 ь 9 , n == 3; д)А == 16а 8 ь 5 , n  4. 
3.11. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ Реш е и и е. а) Имеем: 32а'  2'а'  (2а)'. Зиачит, А .. В', rДе В... 2а. б) Имеем: а з ье ... а 3 (ь 2 )3  (аь 2 )3. Следовательио, А ... ВЗ, rде В  аь 2 . в) Так как 49а 2 ь'с 8  7 2 а 2 (ь 2 )2(с 3 )2 ... (7аь 2 с 3 )2, то А  ВZ, rде В  7аь 2 с 3 . r) Поскольку  27а 3 ь 9 ... (3)3a3(Ь3)3  (3aЬ3)3, 38XJIючаем, что А.. на, rДе В::  3аЬ 3 . д) Имеем: 16а 8 ь'... 2'(а 2 )'Ь'. Если бы не было множитеЛII b li , то задача решалась бы без труда: 16а 8  2'(a'  (2а 2 )'. Если бы вместо ь' был множитель ь 12 , ТО МЫ решили бы задачу так: 16а 8 ь 12 .., 2'(а 2 )'(ь 3 )'... (2а 2 ь 3 )'. Однако множитель b li HeJIЬ311 представить в виде (', rде k  иатуральиое число, этот миожитель, как roВОРИТCII, «портит все дело.. Зиачит, одночлеи 16a 8 b li иеJIЬ311 представить в ВИДе В\ rде В  иекоторый одиочлен. (j) Пример показывает, что В математике далеко не все всеrДа полу- чается, не .любая задача имеет решение (как И В реальной жизни). . Кстати, если математику предлarают решить задачу, которвя на самом деле не имеет решеНИlI, то он roворит: «Задача nocтaв .лена некорректно. ИJIИ .Это  некорректнаЯ задача.. Тот, КТО предложил некорректную задачу, должен извиниться. вот и ав- тор извиняется за пример 4д). Хотя соrласитесь,  что он был дан не без пользы. I_ ....... !i "1 ра3 уж ..... 3&rоворвли О ..рре,..,...... И иеКор. ректных задачвх, приведем еще несколько приме- ров и тех, и дрyrих, а вы ПОПЫТ8Йтесь оБыIнить,' почему задача корректна или некорректна. Корректные задачи: 1. Упростить 2аЬ 2 . (3аЬ)3. 2. Упростить 7аЬ + 8аЬ + аЬ. 48 
3. t2. ОЧЛЕНАМИ 3. Вычислить 2,7 + 3,8 . 26 4. Представить одночлен 13a'b li в виде суммы ОДJIочленов. 5. Представить одиочлен 48:r3 y 'Z в Виде произведения OДHO членов. 6. Представить одночлен А ... 25а' в виде квадрата HeKoToporo одночлена В. н е"орре"тные аадачи: 1. Сложить одночлены 3аь 2 , 5аЬ 2 и 7а 2 ь. 2. Вычислить 2,7 + 3,8 . 66 3. Представить ОДJIочлен А в виде квадрата иекотороro OДHO члена В, если А   25а'. 4. Представить одночлен А в виде куба HeKoтoporo одночлена В, если А... 8а'.  11. ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА ОДНОЧ.JEН Что такое одночлен, мы знаем; как одночлены cКJIaды вать, вычитать, перем:вожать и даже возводить в степень, обсуди ли. Но ведь имеется еще одна арифметичеСI(ВЯ операция  деле- НИе. Вот об этом И поrоворим:. При м е р 1. Опираясь на свойства арифметических дей ствий. попытаемся выполнить деление одночленов: а) 10а : 2; в) 36a 3 b li : 4аь 2 ; д) 4х 3 : 2ху; 4 б) 18аЬ : 3а; r) '7 :r 3 y2z : (2:r3y2Z); е) а 2 : а'.  Р е m е Н и е. а) Воспользуемси тем, что если ., "7': произведение двух чисел делят на третье число, ТО моЖНО разделить на это число один из множителей и полученное частное умножить на друroй множи- тель. (Вспомнили? Например, (12.4): 3  (12 : 3).  '= 4.4 ... 16.) Имеем: 10а: 2'" (10: 2). а == 5а. б) Рассуждая, как и в при мере а). получаем: 
3.12. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ 18аЬ: за == (18: 3). (а: а)Ь  6.1. Ь  6Ь. В) 36а 3 ь 5 4аь 2 == (36 4). (а 3 : а)' (ь 5 ь 2 )  9а Н ' ь И == 9а 2 ь 3 . Иноrда удобнее вместо знака деления (:) использовать черту дроби. Вот как тоrда будет выrлядеть решение примера в): 36а 3 ь 5 эв а 3 ь 5    .  .  ... 9a3lь52  9а 2 ь 3 4аЬ 2 4 а ,; . r) Здесь мы ИСПОJIЬ3уем комбинированную запись решения, т. е. и знак деления, и чеV1'Y дроби: 4 ( 4 ) x3g2z x3y2z : (2x3y2Z) == : (2) 3т == 1 1 xgz 4 x 3 y2z 2 2   м' х 3 '11' ;-   7" '1'1' 1 ==  7' Здесь все верно, Но, как rоворят математики, н,ерацuон,ально, поскольку сразу было ясно, ЧТО x 3 y2z : x 3 y2z  1 (фактически BЫ ражение делится само на себя). 4х 3 4 х 3 1 1 2%2 [I] д)4х3: 2xy   . '==2x2. ==. ..  ......  , ' .. _ .... ... :: 2ху 2 х g g у  это не одночлен, значит, разделить 4х 3 на 2ху нельзя (в том смысле, чтобы в частноМ получился одночлен). е) И эта задача невьшолнима, так как мы пока не умеем делить при одном и том Же основании степень с MeHЬ шим показателеМ на степень с БОльшим поlCaзателем. (IJ Мы рассмотрели шесть примеров, из них четыре оказались корректными, а два (последние)  некорректвыии (этот термин мы ввели в  11). Прщшвлизируем теперь решенные примеры и попробуем с по мощью этоro анализа ВЫЯСНИТЬ, Коrда МОЖНО разделить одночлен на одночлен так, чтобы в частном снова получился одночлен. Первое наблюдение. оба одночлена (и делимое, и делитель) должны быть 38lIИС8ВЫ В стандартном виде (впрочем, об ЭТОМ мы условились еще в  10). Второе наблюдение. В делителе не ДОЛЖНО быть перемен' ных, которых нет в делнмом (по этой причине мы .споткнулись. в примере lд). 50 
3.12. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ Третье наблюдение. Если в делимом и делителе есть одна и та же переменная, причем В делимом она ВОЗВОДИТСЯ в степень n, а в делителе  в степень k, то число k Не должно быть больше числа n (пoэrому мы .СПОТКНУЛИСbl В примере lе). Четвертое наблюдение. Коэффициенты делимоrо и делите- ля Moryт быть любыми (поскольку мы умеем делить Apyr на Apyra любые числа, кроме, разумеетси, деления на нуль). Значит, если вам Предложат разделить ОДНО- член на одночлен, то сначала убедитеСь, что задача корректна, т. е. проведите указанные наблюдения и у6едитесь, что все в поридКе. В случае, KorAa задача корректна, решайте ее по образцу приr-tера 1. - Е, При м е р 2. Упростить 48a 4 b 5 c 8 d: 36аь Э с ll . Реш е н и е. 1) Оба одночлена (и делимое, и делитель) записа- ны в стандартном ВИДе. 2) В делимом фиrypируют переменныe а, Ь, с, d. в делителе а, Ь, с. Лишних переменных в делителе нет. 3) В делителе нет степеней БОльших, чем у одноименных пере- менных В делимом. В ы в о д: задача корректна, будем ее решать. Имеем: 48a 4 b'c ll d 48 а 4 ь' св" " "'"  .  .  .  . d  . а 3 . ь 2 . 1 . d =z аЭь2d. (jJ 36аЬ З с ll 36 а ь З св 3 3 Вы чувствуете, что в  12, KaI< и в  10, есть HeAorOBopeHHocn? А что же все-таки делать, если одночлен на одночлен не разделилса? Разве мы за-  страхованы от такой ситуации? Поэтому матема-  тики ввели НовЫЙ объект  алеебраuчесlCУЮ дрofJь  (вспомните, ведь и обыкновенные дроби поивились у:иrw:: из-за Toro, что не любые два натуральных' числа делmси дpyr на Apyra; например, 14 делится на 7, а 3 не делитса на 7. Как записывается ответ во втором случае? Он 3 записываетса В виде обыкновенноЙ дроби '7). Та.каи: алreбрацчес- каа дробь встретилась нам: ранее, в примере lд)  это было вырже-- St 
3.11. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ 2х 2 ние  . И, конечно, математики научились оперировать с этими у новыми объектами  алrебраическими дробями. Мы будем изу чать их в курсе в.лrебры 8 Класса. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Вы, наверное, помните, что у нас уже был раздел с по доБНЫМ названием  в конце rлавы 2. Тв.м: были собраны OCHOB ные результаты, связанные со степенями. В rлаве 3, по сути дела, никаких новых формул не было. Поэтому м:ы просто перечислим r лавное из тoro, что 06суждалось в  9 12, а вы проверьте, знаете ли вы то, что написано ниже, и сможете ли ВЫ об'Ыlснить ЭТО постороннему человеку. Итак, основное из тoro, что вы должны были изучить в rлаве 3: понятие одночлена; запись одночлена в стандартном виде; понятие коэффициента одночлена; понятие подобных одночленов; какие одночлены можно складывать (вычитать), какие нельзя; как складывать (вычитать) подобные одночлены; как представить одночлен в виде суммы подобных oд ночленов; умножение одночленов; возведение одночлена в натуральную степень; в каком случае один одночлен можно разделить на дрyrой и как это сделать. 
r ЛАВА 4 мноrОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мноrОЧЛЕНАМИ f О. OCH08HIJre пон"тн" f 14. Сложенне н 8ьrчнтанне мно.rочлеНО8 f 15. У множенне мноrочлена на одночлен f 16. Умноженне мноrочлена на мноrочлен f 17. Формулы сокращенноrо умноженн" f 18. Деленне мноrочлена на одночлен Основные результаты  13. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ в rлаве 3 мы уже отмечали, что не любые одночлены можно складывать и вычитать, 8 только подобные; также отмеЧ8 ли И ТО, что реальнlUI задаЧа может прнвестн к такой математи ческой модели, в которой будет содержатьси сумма неподобвых одночленов. Для изучении таких cYl\ll\l в математике введено по нятие мноrочлена. Опре..а.еnен,.,е . Мноrочленом называЮТ сумму OДHO членов. Примеры мноrочленов: 2а + Ь; 5а 2 ь  3аЬ 2  3аь 2 + 7с; х 5 +х 4 +х 2  2. Разумеется, сущесТВУЮТ алreбраические выраженWI, не ЯВJIи % 2 2 ющиеся мноrочленами. На.пример, ,2x + Бу  . у у Слаrаем:ые (одночлены), из которых СОСТОИТ мноrочлен, вазы вают члеиами мвоroчлена: если их два, то rоворлт, что дав дву. члеи (например, 2а + Ь  двучлен), если их три, то rоворят. ЧТО дан трехчлеи (на.пример, Ба 2  2сь 2 + 7с  трехчлен). С ЭТОЙ точки 5] 
4.13. МНorочЛЕНЫ. АРИФМТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мнorОЧЛЕНАМИ 3амечаН/ofе 1. Bblwe мы не раз проводили аналоrию меЖАУ обычным и математическим языком. В обычном языке  БУКВ.,I, в математическом  чиcnа, переменные, степеж; в обычном языке  cnorи, в Ma тематическом  одночлены; в обычном языке  сло ва, в математическом  мноrочлены. Но разве нет в русском языке слов, состоящих из одноrо слоrаf Сколько уrодно: «а,ц», «рай», «юr», «ил- И т.п.; так и в математическом языке одночлен (слоr) есть MHoro- член (слово), просто этот мноrочлен состоит из одно- ro члена. 3амечаН/ofе 2. rоворят, в Африке есть племя, СЧI+- тающее так: «один», «два», «три», «MHorO». Наша те!> минолоrия прнменитesъно к мноrочленам напоминает аиканск:одночлен,двучлен,чрехчлен,мноrочлен (обычно ж «четырехчпен», ни спятичлен» не rоворят). Теперь подrотовимся к восприитию серъезноro понятии. Рассмотрим мноroчлен  мнqroчлен член., мноrочЛfJН. А.учлен Тр8.IIлен зрения становится понятнее термин содночлен. И то, что одночлен обычно считают частным случаем мноroчлена (одночлен  это мноroчлен, в состав KOToporo входит Bcero один член). 1 2аь 2 . 3а 2 ь  Ба  7а + зь 2  3 а 2 ь З . 6а  2ь 2 . То, что это  мноroчлен, сомнению не подлежит (поскольку записана сумма одночленов), но нравится ли вам такая запись? Наверное, нет. Почему? Вопервых, одночлен 2аь 2 . 3а 2 ь не записан в стандартном виде, а мы знаем, что стандартный вид  наиболее удобная запись oд ночлена. Приведя ero к стандартному виду, получим: баЗЬ З . Аиалоrично надо привести к стандартному виду еще один член 1 мноroчлена, а именно:  3 а 2 ь З . ба. Получим:  2а З Ь З . Теперь запись данноro мноroчлена принимает более приятный вид 6а З Ь 3  Ба  7а + зь 2  2а 3 Ь З  2ь 2 . ВoBTOpЫX, поскольку от перемены мест слarаемых сумма не S4 
4.13. МНorочЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАд мнorОЧЛЕНАМИ меняется, подобные одночлены можно расположить рядом, а за- тем сложить. Получим: (ба 3 Ь 3  2а З Ь 3 ) + (5a  7а) + (зь 2  2ь 2 )  4а З Ь 3  12а + ь 2 . Правда, обычно подобные одночлены в мноrочлене не пере ставлmoт, их одинаково подчеркивают, а потом складывают: 6а 3 Ь 3  5а  7а + зь 2  2а 3 Ь З  2ь 2  4а 3 Ь 3  12а + ь 2 . Эту процедуру называют приведением подобных членов мно- rочлена. Если в мноroчлене все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то rоворят, что мноrочлен приведен к стандарТНОМУ виду (или записан в стандартном виде). Теперь вы понимаете, почему запись 4а 3 Ь 3  12а + ь 2 предпоч тительнее первоначальной записи: 1 2аь 2 . 3а 2 ь  5а  7а + зь 2   а 2 ь 3 . ба  2ь 2 ? 3 Дело в том, что первоначальная запись  не стан- дартный вид мноroчлена, а 4а 3 Ь 3  12а + ь 2  став- дартный вид. Любой мноroчлен МОЖно привести к стандарт- ному виду. Условимся в дальнейшем всеrда с этоrо начинать  таК удобнее производить действия с мноrочленами. Обычно мвоroчлен обозначают буквой р WIИ Р  с этой буквы начинается rpeчecкое слово polys (.мно- I'ИЙ., .мноroчислеввый.; мвоroчлены в математике называют также nолино.ма.ми). В обозначение включают и перемен ные, из которых состоят члевы м:воroчлев8. Например, мноroчлен 2.1;2 5х + 3 обозначаютр(х) читается: .пэотикс.; мвоroчлен 2.1;2 + +3ху  y.f. обозначают р(х. у)  читается: .пэ от икс, иrpeк. И т. д.  прнвеАенне пОАО6нwх членов CTIIHAllpTHw/i ВНА мноrочленll   При М е р. Дан мноrочлен р(х. у)  2х' 3 ху 2  7х 3 ' 2х  з х .f. + 2 y .f. + 5х 2 у2  2ху' 4 у 2. а) Записать ero в ставдартиом виде; б) вычислить: р (1.2); Р ( 1. 1); р (О. 1). Реш е н и е. а) Имеем: 2х' 3 ху 2  7х 3 ' 2х  зх 4 + 2 у 4 + 5х 2 у2  2ху' 4у2  == 6х 2 у2  14x.f.  3x.f. + 2 y .f. + 5х 2 у2 ...,. 8 ху 3  
4.14. мнorОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мноroЧЛЕНАМИ  11х2у2  17х 4 + 2 у 4  8 ху 3  стандартный вид мноroчлена. б) Запись р (1. 2) означает, что нужно найти значение MHoro- членар (х. у) при х  1, у  2. Вычислении будем производить дли мноrочлена, записанноrо в стандартном виде: р (х. у)  11х2у2  17х 4 + 2 у 4  8 ху 3. Имеем: р (1. 2)  11.12. 22  17.14 + 2. 24  8.1. 23   44  17 + 32  64   5. Итак,р (1, 2)  ....: 5. Аиа.лоrично р ( 1, 1)  11 . ( 1)2 . 1 2  17 . ( 1)4 + 2. 1 4  8 . ( 1). 13   11  17 + 2 + 8  4, т. е. р ( 1, 1)  4. Наконец, р (О, 1)  11. 02. 12  17. о' + 2. 14  8. О' 13   О  О + 2  О  2. Итак, р (О, 1)  2.   14. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ мноrОЧЛЕНОВ В предыдущем параrpaфе мы ввели понитие мноrочле- на, СТаНдартноrо вида мноrочлена. Вы уже, наверное, начинаете привыкать к тому, что, введи новое понитие, надо учитьси рабо- тать с ним. В частности, будем учиться выполиить арифметичес- кие операции над мноrочленами. Начинаем со сложении и вычитании. Это очень простые опе- рации: чтобы сложить несколько мноroчленов, их записыв8.JOТ в скобках со знаком .+. между скоБК8l\IИ, раскрыв8.JOТ скобки и приводит подобные члены. При вычитании одноro мноroчлена из дрyrоro их записывают в скобках со знаком .. перед вычитае- мым, раскрывают скобки и приводит подобиые члены. При м е р 1. Сложить мноrочлеиы: а)Рl(Х)  2х2 + 3х  8 и Р2(Х) == 5х + 2; б) Рl (а,Ь)  а 2 + 2аЬ  ь 2 , Р2(а,Ь)  2а 3  а 2 + 3аЬ  ь 2 + 5, рз(а,Ь)  а 2  аЬ  ь 2  4. 56 
4.14. мнorочлЕны. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МнorочЛЕНАМИ Реш е в и е. а} ОбооваЧИМ сумму м:воroчлевов через р(х}. Тоrда р(х} ... Рl (х) + Р2 (х}... =-(2х2 + Зх  8) + (5х + 2) == 2х2 + 3х  8 + 5х + 2 =- == 2х 2 + (Зх + 5х) + (8 + 2) == 2;r2 + 8х  6. б} ОБОзвачим сумму мноroчленов через р (а, Ь). Тоrда р (а. Ь) == Рl (а. Ь) + Р2(а. Ь) + рз(а. Ь)  ...(fТ + 2ab ь 2 ) + (2a3 а 2 + 3аЬ ,; + 5)+ (а 2  аЬ ,;  4)... == а 2 + 2аЬ  Ь 2 + 203  а 2 + 3аЬ  ь 2 + 5 + а 2  аЬ  Ь 2  4 =-   _!!:!.............c:z::::.......... == а 2 + 4аЬ  зЬ 2 + 2а 3 + 1. <и При м е р 2. Найти разность м:воroчлевов Рl(Х' у) ... х 3 + у3 + 2х + Зу + 5 Р2(Х' у} == х З  у3  5х + Зу  7. Реш е н и е. Обозначим разность МНОrочленов р (х. у). Тоrда р (х. у}'" Рl(Х' у)  Р2(Х' у} ...  (х З + у3 + 2х + Зу + 5)  (х 3  у3  5х + Зу  7) ... ==J:' +11 +2%+ Зу+ 5 J:'+ 11 + 5x 3у+ 7=- 211 + 7х + 12. и через <и  ==- !::!:..............  -  r Обратите вним:ав:ие: х 3  J:' ... о и Зу  Зу  О. Поэтому .исчезли. одночлен х 3 и одночлен Зу из состава обоих l\IВоroчленов. В ТaJCИХ случаях roвo- рят: х2 и x2, Зу и Зу взаu.мно унuчтожu..яuсь (прав- Да, школьники в таких случаях любят roворить .co кратились., но T8R roворить не следует: термин .сокращение. в математике принято употреБJUlТb только по отношению к дроБJll\l; 15 3 например, можно сОкратить дробь 20 и тоrДа получитси 4)' Заметим, что сложение и вычитание мноroчленов въшолВJIЮТ си по одному и тому же правилу, т. е. необходимости в различении операций сложении И вычитании вет, звачит, нет И особой необхо- димости в использовании двух терминов . сложение мноroчленов., .вычитание мноroчленов.. Вместо них можно употребить термин ал.zеt5раичес"ая сумма Jttноzoчл.енов. вот несколько приМеров ал rебраических сумм трех мноroчленов Рl (х), Р2(Х)' рз(х): Рl(Х) + Р2(Х) + рз(х}; Рl(Х)  Р2(Х) + рз(х); 57 
4.1 S. мнorОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕCI<ИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мнorОЧЛЕНАМИ Рl(Х)  Р2(Х)  рз(х); Р2(Х)  рз(х) + Рl(Х)' Теперь мы можем подвести итоr всему скаэанному в этом па parрафе  в виде следующеro правила составлении алrебраичес КОЙ суммы мноrочленов. ПравН.IIО 1. Чm06ы ааnисать aJUе6раичес"llЮ с,,/w'1IЧ/ нe CfroЛЬ'lШХ JtUЮЮЧ,l&eн.ов в виде /W,ноtочлеН4 стандартною вида, к,,:нено pacrcpblmь crco6'IШ и привести noд06Kыe члекы. При эmo/W, если перед crco6rcoй стоит 3Н4" .+., mo при рас- "рытии сrcобоrc Н4до 3Н4rcи, стОЯllfие перед слаtae,.ы.IIШ в crcoбrca:r, ОСmaбu.ть 6еа u.aменен.u.я. Если же перед crco6хой стоит 3Н4" .., mo при pacrcpblmuu. crco6orc КУЖНО aнaJCu, cmoЯllfUе перед сл.azае/W,ы/W,и в crcoбrcax, аамекить н4 npo тШlОnOл.ожн.ые (.+. н4 .., .. н4 .+.). А теперь обизательно вернитесь К при мерам 1 и 2 и проком- ментируйте (хоти бы дли себи) их решение с ПОМОЩЬЮ этоrо пра ВИЛа. Сделали? Тоrда рассмотрим: заключительный пример. При м е р 3. Даны три мноrОчлена: Рl (х) == 2х 2 + х  3: Р2 (х)  х 2  3х + 1; Рз (х) == 5х 2  2х  8. Найти алrебраическую сумму р(х)  Рl(Х) + Р2(Х)  рз(х). р е m е и и е. Имеем: Р (х)'" (2х 2 + х  3) + (х 2  3х + 1)  (5х 2  2х  8)'"  2х 2 + х  3 + х 2  3х + 1  5х 2 + 2х + 8 ==  2х 2 + 6.         15. УМНОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН Вы, наверное, заметили, что до сих пор rлава 4 строи лась по тому Же плаву, что и rлава 3. В обеих rлавах сначала BBO дились основные понатии: в rлаве 3 это были одвочлен, ста:вдарт- вый ВИД одночлена, коэффициент одночлеиа; В rлаве 4  мвоroчлен, ставдартвый: вид МНОl'Oчлена. Затем в rлаве 3 мы рассматривали 58 
4.15. мнorОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мнorОЧЛЕНАМИ  сложение и вычитание ОДНОЧJIенов; аналоrично, в rлаве 4  сложение и вычитииеe МJlоrочленов. Что.было в rлаве 3 дальше? Дальше мы rовори ли об умножеНИИ.ОДНОЧJIенов. Значит, по аналоrии, о чем нам следует поrоворить теперь? об умноже нии мноrочленов. Но здесь придетси действовать не спеша: снача ла (в этом парarрафе) рассмотрим умножение мноrочлена на од- ночлен (или одночлена на мноrочлен, это все равно), а потом (в следующем параrpафе)  умножение любых мноrочленов. Korдa вы в младших классах учились перем:иожать числа, вы ведь тоже действовали постепенно: сначала учились умножать мноroзнач ное число на однозначное и только потом умножали мноroзнач- ное число на мноrо3начное. Приступвм ]с делу. При умножении м:иоroчлена на одночлен ис- пользуетси распределителъвый закон умножении: (а + Ь)с ==ас + Ьс. При м е р 1. Вьmолиить умножение (2а 2  300). (5a). Реш е н и е. Введем новые переменные: х  2а 2 . у   3аЬ. z ==  ба. Тоrда данное произведение перепишетси в виде (х + y)z, что по распределител-'ному 3ВКОНУ равно xz + yz. Теперь вернемси к ста- рым перемеввым: xz + yz  2а 2 . ( ба) + ( 3аЬ)' ( ба). Нам остаетси лишь найти произведении одночленов. Получим:  10а 3 + lба 2 ь. Приведем краТJCУЮ запись решении (так мы и будем записы- вать в дальнейшем, не вводи новых переменных): (2а 2  3аЬ). ( ба) == 2а 2 . ( ба) + (3aЬ)' ( ба) == ==  10а 3 + lба 2 ь.  Теперь мы можем сформулировать соответствующее правило умножении мноrочлена иа одночлен.  Правнло 2. Чтобы УJtC",ожuть JtC",оzоч.п.е", ",а од",очп.е",. ",уж",о -и:аждый ч.п.е", JtCноzочп.е",а УJtC",ожuть ",а этот од",очп.е", u nоп.уче",,,,ьt,е nроuаведе",uя сп.ожить. 5' 
4.15. мнorОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАд мноrОЧЛЕНАМИ Это же правило действует и при умножении одночлена на MHO rочлен:  5а(2а 2  3аЬ) == (Ба)' 2a z + (5a)' ( 300)   10а 3 + lБа 2 ь (мы взяли пример 1, но поменили местами множители). При м е р 2. Представить мноroчлен в виде произведения мноroчлена и одночлена, если: а) Pl (х. у) == 2х2у + 4х; б) Р2 (х, у) == х 2 + 3у2. Реш е н и е. а) З8l\IIетим, что 2х2у  2х. ху, а 4х == 2х. 2. Зна- чит, 2х2у + 4х == ху. 2х + 2' 2х == (ху + 2). 2х. б) В примере а) нам удалось в составе каждоrо члена l\IНoro- члена Pt(X. у) == 2х2у + 4х выделить одинаковую часть (одинако- вый множитель) 2х. Здесь же такой общей части нет. Значит, мноroчлен Р2(Х' у) == х2 + 3у2 нелъзи представить в виде произведе- нии мноroчлена и одночлена.  На самом деле и мноroчлен Р2(Х' у) можно представить в виде произведения, например, так: х2 + 3у2 == (2х 2 + 6у2) . 0.5 или так: х2 + 3у2 == (х 2 + 3у2). 1  произведение числа на мноroчлен, но ЭТО искусственное преоб- ра30вание и без большой необходимости не используется. Кстати, требование представить заданный l\IНO- [I] roчлен в виде произведении одночлена и мноroчле- Шii1 F  iJcл« на встречается в математике довольно часто, по.  ЭТОМУ указанной процедуре присвоено специальное название: вынесение общеео множиmе.ля за с"об"и. Задание вынести общий множитель за скобки мо- жет быть корректным (как в примере 2а), а может быть и не совсем корректным (как в примере 2б). В следующей rлаве мы специально рассмотрим ЭТОТ вопрос. В заключение параrрафа решим задачи, которые покажут, как на практике дли работы с математическими моделями реаль- ных ситуаций приходится и составлить алrебраическую сумму мноroчленов, и умножать мноroчлен на одночлен. Так что эти операции мы изучаем не зри. 60 
4.15. мноrочЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НДД мноrОЧЛЕНАМИ При м е р 3. Пункты А, В и С расположены на шоссе так, как показаво на рисунке 3. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по нв.npавлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этоro из А по на- правлевшо к С выехал велосипедист, скорость KOТOporo на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после CBoero выезда велосипе дист доrвaл пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С? С . в 16 км А . . Рис. 3 Реш е н и е. ПепвъШ этап. Составление математич.еской модели. Пусть % КМ/Ч  скорость пешехода, тоrда (% + 6) км/ч  ско' рость велосипедиста. РаССТQя:ние от А до С велосипедист проехал за 4 ч, значит, это расстояние выражается ФОРМУЛОЙ 4 (% + 6) км; иными словами, АС  4 (% + 6). Расстоя:ние от В до С пешеход прошел за 6 ч (ведь до выезда велосипедиста он уже был в пути 2 Ч), следовательно, это расстоя- ние выражается ФОРМУЛОЙ 6х км; иными словами, ВС  6%. А теперь обратите внимание на рисувок 3: АС  ВС AВ, т. е. АС  ВС  16. Это  основа для составления математической модели задачи. Напомним, что АС  4 (% + 6), ВС == 6%; следова' тельно, 4 (% + 6)  6%  16. ВТОDOй этап. Работа с состав.ленной моделью. Для решения уравнения придется, вопервых, умножить од' ночлен 4 на двучлен % + 6, получим 4% + 24. ВoBТOpЫX, придется из двучлена 4% + 24 вычесть одночлен 6%: 4% + 24  6% == 24  2%. После этих преобразований уравнение принимает более про- СТОЙ вид: 24  2%  16. Далее имеем:  2%  16  24;  2%   8; %  4. 
4.15. мноrОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мноrОЧЛЕНАМИ Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Мы получили, что %  4, значит, скорость пешехода 4 км/ч. Но нам нужно найти не это; в задаче тре6уетси найти расстояние от В до с. Мы установили, что ВС  6%; значит, ВС  6 . 4 ... 24. О т в е т: расстояние от В до С равно 24 км. При м е р 4. Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скорость лодки (т.е. скорость в стоичей воде), если известно, что скорость тече ния реки 2 км/ч, а Bcero лодкой пройден путь 41 км. Реш е н и е. Пеовый этап. Составление .мате.матической .модели. Пусть % км/ч  собственнаи скорость лодки, тоrда по течению она плывет со скоростью (% + 2) км/ч (течение помоrает), а против течения  со скоростью (%  2) км/ч (течение препятствует). По течению реки лодка плыла 3 ч 12 мин. Поскольку скорость выражена в километрах в час, это время надо записать в часах. Имеем: 12 мин  12/60 ч == 1/5 ч == 0,2 ч. Значит, 3 ч 12мин   3,2 ч. За это времи со скоростью (% + 2) км/ч лодкой пройден путь з,2(% + 2) км. Против течении лодка плыла 1,5ч. за это время со скоростью (%  2) км/ч лодкой пройден путь 1,5 (%  2) км. По условию весь ее путь составил 41 км. Так как он состоит из пути по течению и пути против течения, то получаем: 3,2 (% + 2) + 1.5(%  2) == 41. Это уравнение  математическаи модель задачи. ВТОDOй этап. Работа с .математической .модеJ/.ЬЮ. Как всеrда, на этом этапе думаем только о том, как решить модель  уравнение, а не о том, откуда эта модель взялась. Выполним в левой части уравнении умножение одночлена 3,2 на двучлен % + 2, одночлена 1,5 на двучлен %  2,  затем получен ные мноrочлены (двучлены) сложим: 3,2:r + 6,4 + 1,5%  3  41; 4,7%+3,441; 4,7% == 41  3,4; 4, 7%  37,6; 37,6 %  4,7 ' т. е. %  8. 61 
4.16. мнorОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мноrОЧЛЕНАМИ ТDeтий этап. Ответ на вопрос задачu. Спрашиваетси, чему равна собственнаи скорость лодки, т. е. чему равен %1 Но ответ на этот вопрос уже получен: %  8. О т в е т: собственнаи скорость лодки 8 км/ч. i 16. УМНОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНА НА мноrОЧЛЕН Овладев правилом умножении мноrочлена на одночлен, нетрудво сделать следующий шаr: получить правило умножении любых двух м:воroчленов. Рассмотрим сначала произведение ca МЫХ простых (после одночленов) мноroчленов, а именно двучле нов а + Ь и с + d. Итак, пусть нужно раскрыть скобки в произведении (а + Ь) (с + d). Введем новую переменную т ... с + d, тоrда полу- чим: (а + Ь) (с + d)  (а + Ь) т  ат + Ьт. Вернемси к исходным переменным: ат + Ьт == а (с + d) + Ь (с + d)  ас + ad + Ьс + bd. Таким образом, (а + Ь) (с + d) == ас + ad + Ьс + bd. Аналоrичво можно про верить, что +Ь++++b++a+ (сделайте этоl), т. е. как и в случае умножении двучлена на дву- член приходитси каЖJIЫЙ член первоrо мноrочлена поочередно умножать на КВЖl[ЫЙ член второro мноroчлена и полученн:ые про изведении складывать.    . ........ ПраВИJlО 3. Чтоб", умножить м"оzоч.яе" н4 м"оzоч.яе", КУЖНО умножить 1Ulжд",й ч.яе" oa"ozo м"оzоч.л.еН4 nооч.еред"о "а кажд",й ч.ле" apyzozo мноzоч.яеН4 и nояуч.е""",е npo иаведе"ия сяожить. В результате умножении мноroчленов всеrда получаетси мно- roчлен, надо лишь привести ero к стандартному виду. 63 
4.17. мнorОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мнorОЧЛЕНАМИ . При М е р. Выполнить уквожевие lIIВОI'OЧJIеНОJl р.(х)  2х2  5х + 1 ИР2(Х) 3х  4. Реш енне. Имеек: р(.х)  р.(х)' Р2(Х) (2x2  5х + 1)(3.х  4)   2х 2 . 3х + 2х 2 . ( 4) + ( 5х)' 3х + + ( 5х)' (4) + 1. эх + l' (4)   6х 3  8х 2  15.х 2 + 20х + 3х  4  6х 3  2зх 2 + 23х  4. (jJ Особевво Jlвим:ательно нужно следить за 3И8Jt8 ми коэффициентов тех одночленов, которые ПOJIy чaIOТCи при раскрытни сиобок. И еще один СОJlет: если у одноro мноroчлена m членов, а у дpyroro п членов, то в произведении должно быть (до приве- денИJI подобных члеНОJl) тп членов; если же ИХ не тп, то JlЫ что'то потерили, проверьте. Так, в рас- смотренном примере JIы умиожали треХЧлеН на двучлен, получил ась сум:ма шести слаrаем:ых (а после приведения подобвых членов Осталось четы ре с.паrаеJIы)..  17. ФОРМУЛЫСОКРАЩЕнноrо УМНОЖЕНИЯ Имеется несколько случаев, коrда умножение ОДноrо миоroчлена на дрyrой приводит к компактному. леrxо запомина- ющемуси результату. В этих случаях предпочтительнее не умно- жать каждый раз один мвоroчлен на дрyroй, а пользоватьси roтo- BыJI результатом. Рассмотрим эти случаи. 1. Квадрат суммы н квадрат разности: Умножим двучлен а + Ь на себя, т. е. раскроем скобки в произведении (а + Ь) (а + Ь) или, что то же самое, JI выражении (а + ь)2. Имеем: (а + ь)2  (а + Ь)(а + Ь)  а' а + а. Ь + Ь' а + Ь' Ь   а 2 + аЬ + аЬ + ь 2 == а 2 + 2аЬ + ь 2 . Аиалоrично получаем: (а  ь)2  (а  Ь) (а  Ь)  а 2  аЬ  Ьа + ь 2  а 2  2аЬ + ь 2 . Итак, 64 
4.17. мноrОЧIEНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мноroЧЛЕНАМИ На обычном языке формулы (1) и (2) читают так: квадрат суммы (разности) двух выражеиий равен сумме их квадратов ПJПOC (мииус) их удвоеи иое произведевие. Этим формулам присвоены спе Цизльные названия: формуле (1)  квадрат сум- мы, формуле (2)  квадрат развости. Пример 1. Раскрыть скобки в выражеиии: а) (3х + 2)2; б) (ба 2  4Ь 3 )2. Решение. а) Воспользуемса формулой (1), учтя, что в роли а выступает 3х, а в роли Ь  число 2. Получим: (3х + 2)2== (зх)2 + 2 . 3х . 2 + 22 == 9х 2 + 12х + 4. б) Воспользуемся ФОРМУЛОЙ (2), учти, что в роли а выступает 5а 2 , а в роли Ь выступает 4Ь З . Получим: (5а24ьЗ)2== (5а 2 )2  2' 5а 2 . 4ЬЗ+(4ьЗ)2==25а440а2ЬЗ+16ь6. При использовании формул квадрата суммы или квадрата раз ности учитывайте, что K.IIAPIIT С У мм., К.IIАР.Т рlIЗНОСТН (а + ь)2 == а 2 + 2аЬ + Ь 2 ; (а  ь)2 == а 2  200 + ь 2 . (1) (2) (a  ь)2 == (а + ь)2; (Ь  at == (а  Ь)2. Это следует из Toro, что ( а)2 == а 2 . Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые MaTe матические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, МОЖНО Пp8Rтически устно возводить в КВадРат числа, окавчивающиеся на 1 и 9. В самом деле 712== (70 + 1)2:: 702 + 2.70.1 + 12== 4900 + 140+ 1 == 5041; 912 == (90 + 1)2 == 902 + 2.90.1 + 12  8100 + 180 + 1 == 8281; 692 ==(70 1)2== 702  2. 70'1 + 12 == 4900 140 + 1 ==4761. Иноrда МОЖНО быстро возвести в квадрат и число, оканчиваю' щееся циФРОЙ 2 или ЦИфроЙ 8. Например, 1022 == (100 + 2)2 == 1002 + 2.100.2 + 22 == == 10 000 + 400 + 4 == 10 404; 482 == (50  2)2 == 502  2 . 50 . 2 + 22 == 2500  200 + 4 == 2304. з. Мор.:r.liQВIIЧ -А.lrеб[W'. i ",_ 65 
4.17. мнorОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мнorОЧЛЕНАМИ [IJ Но самый элеrантный фокус связан с возведе- нием в квадрат чисел, ока.вчивающихся цифрой 5. Проведем соответствующие рассуждения для 852. Имеем: 852 "" (80 + 5)2 "" 80Z + 2 . 80.5 + 52 "" 80 (80 + 10) + 25z= "" 80.90 + 25  7200 + 25  7225. Замечаем, что для вычисления 852 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному резулътату приписать справа 25. Ав8JIОrич- но можно поСТупать и в дрyrих случаях. Например, 352 "" 1225 (3. 4 == 12 и к полученному числу приписали справа 25); 652  4225; 1252 "" 15625 (12' 13 "" 156 и к полученному числу приписали справа 25). Раз уж мы с вами заroворили о различных любопытных обсто- т-ельствах, связанных со скучными (на первый взrляд) формула- ми (1) и (2), то дополним этот разrовор следующим reометричес- ким рассуждением. Пусть а и Ь  положительные числа. Рас- смотрим квадрат со стороной а + Ь и вырежем в двух еro уrлах квадраты со сторонами, соответственно равными а и Ь (рис. 4). а Ь а Ь Рис. 4 Площадь квадрата со стороной а + Ь равна (а + ь)2. Но ЭТОТ квад- рат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (ero площадь равна а 2 ), квадрат со стороной Ь (ero площадь равна Ь 2 ), два прямоyroльника со сторонами а и Ь (площадь каждоrо такоro прямоyrольника равна аЬ). Значит, (а + ь)2 == а 2 + ь 2 + 2аЬ, т. е. получили формулу (1). 66 
4.17. мноrочЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мноrОЧЛЕНАМИ Любое равенство в математике употреблиется как слева направо (т.е. левая часть равенства заме няется ero пра.войчастью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется ero левой час тью). Если формулу (3) использовать слева напра во, то она позволяет заменить произведение (а + Ь) (а  Ь) roToBым результатом а 2  ь 2 . эту же формулу можно исполЬзовать справа налево, тоrда она позволяет заменить разность квадратов а 2  ь 2 про изведением (а + Ь) (а  Ь). Формуле (3) в математике дано специальиое назва ние  разность квадратов. Замечание. не путайте терМ..... «разность квадратов. Н «квадрат f)aЭНОС'ТН.. Разностъ квадратов  это a l  b l , значит, речь идет о формуле (3); квадрат разносП4  это (а  b)l, Эtta'МТ речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают .справа налево.. так: Итак,  Р.ЭНОСТЬ К..АР.ТО. - r  r 2. Разность квадратов Умножим двучлен а +  на двучлен а  Ь. Получим: (а + Ь ) (а  Ь)  а 2  аЬ + Ьа  ь 2  а 2  ь 2 . [ (а + Ь)(а  Ь)  а 2  ЬZ. (3) р43ность "вадратов дву% чисел (вwраже"ий) рав"а проиаведекию суммы эmU% чисел (выраже- "ий) ка и% рааность. При м е р 2. Вьmолвить умножение (З:r  2у) (3х + 2у). Реш е н и е. Имеем: (3х  2у) (3х + 2у) == (зх)2  (2у)2  9х 2  4 у 2. (j] При м е р 3. Представить двучлен 16х(  9 в виде пронзведе ния двучленов. Реш е н и е. Имеем: 16х( == (4х2)2, 9  32, значит, заданный двучлен есть разность квадратов, Т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тоrда получим: 16х(  9  (4х2)2  32  (4х 2 + 3)( 4х 2  3). (j] 3,., 67 
4.17. МНоrОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНоrОЧЛЕНАМИ Формула (3), как и формулы (1) и (2), используетси ДЛИ мате- матических фокусов. Смотрите: 79. 81  (80  1) (80 + 1)  802  12  6400  1  6399; 42. 38 == (40 + 2)(40  2)  402  22 == 1600  4  15!;»6. Завершим разrовор о формуле разности квадратов любопыт ным rеометрическим рассуждением. Пусть а и Ь  положитель- ные числа, причем а > Ь. Рассмотрим прямоyroльник со сторона- ми а + Ь и а  Ь (рис. 5). Ero площадь равна (а + Ь) (а  Ь). Orpежем орямоуroльник со сторонами Ь и а  Ь и подклеим ero к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фиrу ра имеет ту же площадь, т. е. (а + Ь) (а  Ь). Но эту фиrуру можно построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной Ь (это хорошо видно на рис. 6). Значит, DЛощадь новой а ab ab ab а Ь Рис. 5 а Рис. 6 фиrypы равна а 2  ь 2 . Итак, (а + Ь) (а  Ь) -= а 2  ь 2 , т. е. получили формулу (3). 3. Разность кубов и сумма кубов Умножим двучлен а  Ь на трехчлен а 2 + аЬ + ь 2 . Получим: (а  Ь)(а 2 + аЬ + ь 2 )  а' а 2 + а . аЬ + а' ь 2  Ь' а 2  Ь . аЬ   Ь' ь 2  аЗ + а 2 ь + аь 2  а 2 ь  аь 2  ь З '"' аЗ  ь З . Авалоrично (а + Ь)(а 2  аЬ + ь 2 ) == аЗ + ь З (проверьте это сами). Итак, (а  Ь)(а 2 + аЬ + ь 2 )  аЗ  Ь З ; (а + Ь)(а 2  аЬ + ь 2 )  аЗ + Ь З . (4) (5) 
4.17. мнorОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мноrОЧЛЕНАМИ  р"зность ку60' сумм" ку60' полный К'''АР''Т суммы (р"зностн) н_полный К"'АР"Т суммы (р"зностн)  ,   ...  Формулу (4) обычно называют разностью кубов, формулу (5)  суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обыч" ный изык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение 02 + оЬ + ь 2 похоже на выражение 02 + 20Ь + ь 2 , которое фиrypировало в формуле (1) и давало (о + ь)2; выражение 02  оЬ + ь 2 похоже на выражение 02  20Ь + ь 2 , которое фиrypировало в формуле (2) и давало (о  ь)2. Чтобы отличить (в изыке) эти пары выражений друr от дрyrа, каждое из выражений 02 + 20Ь + ь 2 и 02  20Ь + ь 2 называют пOJIllblМ квадраТОМ (суммы ИЛИ разности), а каждое из выражений 02 + оЬ + ь 2 и 02  оЬ + ь 2 называют непоJIllЫМ квадратом (сум" мы или разности). Тоrда получаетси следующий пе' ревод формул (4) и (5) (прочитавных .справа нале- во. ) на обычный изык: рааностъ ",60в дв,% исеll (вкражений) равШJ проииедекию раакоcmи эти% исеll (вкражекий) ка Kel1.OlIKMU "вадрат и% С,JIIJIIМ; СIIМма "1I60в дВII% исеll (вмражений) равна про- U8ведению СIlММК эти% исеll (вмражекий) ка ке- I1.OIIКъШ rиюдрат и% раакости. Замечание. Все полученные в этом парarрафе форму- .. (1 )---{S) I1CПOI'ЪэytoТСА как слева направо, так 11 справа налево, TOIЪКO в первом спучае (слева направо) rоеоряr, что (1 (S)  формулы сокраще,ННorо умножеННR, а во втором спучае (справа напева) roeopAТ, что (1 (S)  формул,., разложеННR на множнтелн. При м ер 4. Вьшолвитьумв:ожевие (2x 1)(4-r+2x+ 1). Реш е н и е. Так как первый l\IНожитель есть разность одно- членов 2х и 1, а второй множитель  неполный квадрат их сум" мы, то можно воспоЛЬЗОВ&ТЬСи ФОРМУЛОЙ (4). Получим: (2х  1) (4х 2 + 2х + 1) == (2х)3  13  8х 3  1. (jj 
4.18. мноrОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мноrОЧЛЕНАМИ При м е р 5. Представить двучлен 27а б + 8Ь 3 в виде произве дения мноrочленов. Реш е н и е. Имеем: 27а 8  (3а 2 )3, 8Ь 3  (2Ь)3. Значит, задан- ный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить фор. мулу (5), прочитанную справа налево. Тоrда получим: 27 а 8 + 8Ь 3  (3а 2 )3 + (2Ь)3  (3а 2 + 2Ь) «3а 2 )2  3а 2 . 2Ь + + (2ь)2)  (3а 2 + 2Ь) (9а"  6а 2 ь + 4ь 2 ). (11  18. ДЕЛЕНИЕ мноrОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН Снова, как и в начале  15, сравним плRны построения r лав 3 и 4. Вы, наверное, за.метИJШ, что эти планы почти одинако- вы, хотя полное совпадение нарушил предыдущий парarpаф (по свящеввый специфическим формулам сокращенноro умножения), да и в r лаве 3 мы рассмотрели возведение одночлена в степень, а в r лаве 4 соответствующеrо разroвора о возведении в степень м:воrо члена не было, за исюпочением случая, коrда двучлен возводится в ква,црат. После умножения одночленов в rлаве 3 шла речь о Деле нии одночлена на одночлен. Вот и в rлаве 4 мы сейчас поroворим об авалоrичвой операции  делении l\IВоroчлена на одночлен. В ее основе лежит следующее свойство делеНШI суммы на число: (а + Ь + с) : т  (а : т) + (Ь : т) + (с: т). Это позволяет сразу сформулировать правило деления Moro члена на одночлен.  ПравlШО 4. Чтобы рааделитъ .wн,оzочлен, н,а од н.о член" н,ужн.о каждый член, .wн.оzочлен.а рааделитъ н.а этот одн,очяен, и n.oлу'U!н,н,ые реаулъmaты сложитъ. в  12 мы отмечали, что не всеrда можно разделить одночлен на одночлен; чтобы деление было выполвимо, необходиМо соблюдение целоro ряда условий  вспомните их (или посмотрите в  12), прежде чем рассматривать пpиl\Iер, КOТQрый приведен ниже. Если задача де- левил одночлена (простейшеro м:воroчлена) на одночлен не всеrда была корректной, то что же roворить о делении м:воroчлена на oднo член: такое деление ВЬШОJIВИМО достаточно редко. 7О 
4.18. мноrОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКие ОПЕРАЦИИ НАд мнorОЧЛЕНАМИ !11 ."......, r При м е р 1. Разделить м:воroчлен 2а 2 ь + 4аь 2 на одвочлен2а. Реш е н и е. Находим: 2а 2 ь 4аЬ 2 (2а 2 ь + 4002) : 2а == (2а 2 Ь : 2а) + (4аь 2 : 2а) == 2;"" + 2;" == 2 а 2 4 а ==  .  . Ь +  .  . ь 2 ... 1 . а . Ь + 2 . 1 . ь 2 ... аЬ + 2ь 2 (j] 2 а 2 а . Здесь мы использовали тот способ записи, кото- рый обrоворили в  12. А вот иной способ (можно при менять и тот, и дрyrой, смотря по тому, какой из них вам больше нравится): выделим в каждом члене мноrочлена 2а 2 Ь + 4аь 2 множитель, в точнос- ти равный делителю 2а. Получим: 2а 2 ь + 4аь 2 ... 2а . аЬ + 2а. 2ь 2 . Эту сумму можно записать в виде произведения 2а(аЬ + 2ь 2 ). Теперь ясно, что если это произведение разделить на 2а (на один м:вожитель), то в частном получится аЬ + 2ь 2 (дрyrой множитель). При м е р 2. Разделить мilоroчлен 6х З  24х 2 на 6х 2 . Реш е н и е. Первый способ . Находим: (6х З  24х 2 ) : 6х 2 == (6х3 : 6х 2 )  (24х 2 : 6х 2 ) == 6%3 24%2 6 %3 24 %2 ... 6%2  6%2 == 6' х2  6 . 7== 1. х  4.1 == %  4. ВТОDОЙ способ. Имеем: 6х З  24х 2 == 6х 2 . Х  6х 2 . 4 == 6х 2 (х  4). Значит, частное от деления 6х З  24х 2 на 6х 2 равно х  4. <11 При м е р 3. Разделить мноroчлен 8а З + 6а 2 ь  Ь на 2а 2 . Реш е н и е. Имеем: 8а З + 6а 2 ь  Ь со 2а 2 . 4а + 2а 2 . 3Ь  Ь. Поскольку в третьем члене заданноrо м:воrочлена (речь идет о члене Ь) множитель 2а 2 не выделяется, деление невозможно. Эта задача некорректва. Фактически мы снова, как и в конце  12, пришли к алrебраической дроби  на этот раз к алrебраической 8ti +6a2ьь дроби 2а 2 (j) 7. 
4.18. мнorОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мнorОЧЛЕНАМИ Итак, деление lIIIIоroчлена на одночлен выполняется не вce rдa, а если и выполняетса, то требует определенных усилий. Дe ление же lIIIIоrочлева на lIIIIоrочлен  еще более трудll8.Jl (и еще более редко выполниlll8.ll) операция, это нам пока не по силам. ОСНОВНЫЕ РЕЗУ ЛЬ Т А ТЫ Как обычно, закончим rлаву перечислением основных полученных в ней результатов. . В;пой r.лаве l\Iы с вами изучили следующие ПОННI'ИJ!: : lIIIIоroчлен,вчастности,двучлен,трехчлен; приведение подобных членов lIIIIоrочлена, взаИlllllое уничтожение членов lIIIIоroчлена; стандартный вид м:воroчлена; алreбраическаа сумма l\IВоrочленов. . Мы с вам:и изучили следующие цравила : правило составления алreбраической суммы MHoro членов; правило умножеНИЯlllИоrочлена на одночлен; правило умиожеНИJllIIIIоrочлена на lIIIIоroчлен; правило делеНИЯlllllоroчлена на одночлен. . Мы с вами изучили следующие сЬоDМVЛЫ : (а + Ь 'f  а 2 + 2аЬ + ь 2 (квадрат суммы:); (а  ь)2  а 2  2аЬ + 11- (квадрат разности); (а + Ь) (а  Ь)  а 2  ь 2 (разность квадратов); (а  Ь)(а 2 + аЬ + ь 2 )  аЗ  Ь 3 (разность кубов); (а + Ь)(а 2 aЬ + b2)a3 + Ь 3 (сумма кубов). в написанном виде это  формулы сокращеввоrо yм ножеВИВ; если же их читать справа налево (вапример, а 2  11-  (а + Ь) (а  Ь», то это  формулы разложения lIIIIоroчлена на lIIIIОЖИтели (т. е. формулы, позволJlЮ щие l\IВоrочлен, записанный в правой части равенства, представить в виде произведенШI более простых lIIIIOro членов, которые записаны в левой части равенства). 
rЛАВА 5 РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИ.УЕЛИ f t9. Что TilKoe Рilзложенне мноrочлеНiI НiI множители и Зilчем оно нужно f 20. Вынесение общеrомножнтеЛR Зil скобки f 2t. Способ rрупПИРО8КИ S 22. Разложение мнorочлена нiI множители С помощью формул сокращенноrо умножеНИR f 2). Разложение мноrочлеНiI НiI множители С помощью комБИНilЦНН различных приеМО8 f 2.. Сокращение ilлrебических Арабен f 2.5. Т ОЖАеСТ8i1 Основные результаты f 19. ЧТО ТАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ И ЗАЧЕМ ОНО НУЖНО Для начала ВЫПОЛНИМ знакомую операцию: умножим МНОI'Oчлен 2х  3 на мвоrочлен х + 2. Имеем: (2х  3) (х + 2)  2х . х + 2х' 2  3' х  3 . 2 ==  2х2 + 4х  3х  6  2х:! + х  6. Итак, (2х  3) (х+ 2)  2х 2 + х  6. Это равенство можно ЗDисать по-дрyrОМУ. поменяв ero части местами: 2х 2 + х  6  (2х  3) (х + 2). Такая запись означает, что м:иоrочлен 2х2 + х  б представлеи в Виде произведения более простых l\IВОI'Oчленов 2:r  3 и х + 2. 7) 
5.19. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ  Обычно в таких случаих rоворит, что мноrочлен у далось ра3JIОЖНТIo на множите.JIИ. На самом деле термин .разложение мноrочлена на множители. вам уже знаком, мы несколько раз использовали ero в rлаве 4, но там же мы rоворили, рвзnоженне что позднее более подробно обсудим эту проблему мноrочnена (проблему разложения мноrочлена на множители). на множнтеnн Это времи пришло. Однако сначала убедимси в том, что разложение мноroчлена на множители  вещь полезнаи (ина че зачем нам этим 3&ниматъси?). Представьте себе, что вам предложили решить уравнение J 2х  3  О. Вы справитесь с этим без труда: 2х  3, х  1,5. Затем вам предложили решить уравнение х + 2  О. И с ВИМ вы справи тесь леrко: х   2. Пусть теперь вам предлаrают решить уравнение 2х2 + х  6  О, т. е. дать ответ на вопрос, при каких значениих х трехчлен 2х2 + х  6 обращается в нуль,  ЭТИ значении х обычно называют корНями уравненuя. Дли таких уравнений имеется специ альное правило решении, но вы ero пока не знаете. Как быть? Воспользуемси полученным выше разложением мноrочлена 2х2 + х  6 на множители: 2х 2 + х  6  (2х  3) (х + '2). Тоrда заданное уравнение можно перепиС8ТЬ в виде: (2х  3) (х + 2)  О. Теперь остается воспользоватьси следующим известным фак- том: если произведение двух множителей равно нулю, то один из м:вожителей равен ВУJПO. Значит, либо 2х  3  О, либо х + 2  О. Задача свел ась к решению двух более простых уравнений. Из ypaB нении 2х  3... О получаем х  1,5. Из уравнении х + 2  О получа ем х   2. Уравнение решено, оно имеет Два корни: 1,5 и  2. Итак, разложение мноrочлена на множители может приrо дитьси нам дли решении уравнений. Рассмотрим дрyrую ситуацию. Пусть нужно найти значение 532 4 72 числовоrо выражении 2 g2 ' Самое эффективное решение  61 3 дважды воспользоватЬC1I формулой разности квадратов: 532 4 72 612 392 (5347) (53+47) 6'100 (6139) (61+39)  22'100 6  22 3 i1' 74 
5.t9. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Разложение на множители позволWIО нам сократить дробь. Позднее мы оценим это И при выполнении действий с 8Jlrебраи ческими дробями. Таким образом, разложение мноrочлена на [!J множители используетси дли решении уравнений, <ЖУ  дли преобразовании числовых и алrебраических выражений. Примениетси оно и в друrих ситуаци их, как, скажем, в следующем довольно трудном, но кра.сивом примере, rде ключ к успеху опить таки в разложении на множители. При м е р. Доказать, что дли любоrо натуральноrо числа п выражение п 3 + 3п 2 + 2п делитса без остатка на 6. Реш е н и е. Пустьр(п) =' п 3 + 3п 2 + 2п. Если п =' 1, тор (1) =' 1 + 3 + 2 == 6. 3начит,р (1) делится на6 без остатка. Если п =' 2, то р(2) =' 23 + 3.22 + 2.2... 8 + 12 + 4'" 24. Следовательно, ир (2) делится на 6 без остатка. Если п =' 3, то р (3)  з8 + 3.32 + 2.3 =' 27 + 27 + 6 ... 60. Поэтому ир(3) делится на 6 без остатка. Но вы же понв:маете, что перебрать так  натуральные числа нам не удастси. как быть? На помощь приходит алreбрsические методы . Имеем: п 3 + 3п 2 + 2п ао п (п + 1) (п + 2). в самом деле п (п + 1) =' п 2 + п, а (п 2 + п) (п + 2) =' п 3 + 2п 2 + п 2 + 2п =' п 3 + 3п 2 + 2п. Итак, @Ш] р (п) =' п (п + 1) (п + 2), т. е. р (п) есть произведение трех идущих подр8Д натуральных чисел п, п + 1, п + 2. Но из трех таких чисел одно 06изательно делитси на 3, значит, и их про изведение делится на 3. Кроме Toro, по крайней мере одно из этих чисел  четное, т. е. делитси на 2, значит, и произведение делитси на 2. Итак, р (п) делится и на 2, и на 3, т. е. делится и на 6. (IJ 75 
5.10. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕН08 НА МНОЖИТЕЛИ Все прекрасно, скажете вы, но как доrадатьси, что п 3 + Зп 2 + 2п == п(п + l)(п + 2)7 OrBeT очевиден: надо учиться разложению мноroчленов на множители. К этому И перейдем: в каждом из следующих параrрафов этой rлавы мы будем изучать тот или иной прием разложении мноroчлена на множители.  10. ВЫНЕСЕНИЕ БЩЕrо МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ Прежде чем начинать изучение этоro парarpафа, Bep нитесь к  15. Таммы уже рассмотрели пример. в котором требо-  валось представить мноroчлен в виде произведения мноroчлена и одночлена. Мы установили, что эта  задача не всеrда корректна. Если все же такое про изведение удалось составить, то обычво roворят, что мноrочлен разложен на множители с помощью вынесении общеro множители за скобки. PaCCMOT рим несколько примеров. 8ынесенне общеrо ААно_нтеЛR 38 скобкн При м е р 1. Разложить на множители мноroчлен: а) 2 + 6у; в) 4а З + 6а 2 ; д) 5а4.  lОа З + 15а 6 . б) аЗ + а 2 ; r) 12аЬ4.  18а 2 ь З с; Реш е н и е. а) 2х + 6у == 2 (х + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов мноrочлена. б) аЗ + а 2 == а 2 (а + 1). Если одна и та же переменнаи входит во все члены мноroчлена. то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей). в) Здесь используем тот же прием, что и при решении приме- ров а)' и б): для коэффициентов находим общий делитель (в дaH ном случае число 2), для переменных  наименьшую степень из имеющихси (в данном случае а 2 ). Получаем: 4а З + &2 == 2а 2 . 2а + 202.3 == 2а 2 (2а + 3). r) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются най- ти не просто общий делитель. а 1tаu(Jо,льшuи общий делитель. Дли коэффициентов 12 и 18 Иl\I будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена м:воroчлена, при этом наименьший показа 76 
5.20. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ тель равен 1. Перемевиая Ь также ВХОДИТ в оба члена l\IИоroчлена, причем наименьший пока.затель равен 3. Наконец, переменнаа с входит только ВО второй член мноroчлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в ка- кой степени. В итоrе имеем: 12аЬ"  18а 2 ь 3 с  6аЬ 3 ' 2Ь  6аЬ 3 . Зае  6аЬ 3 (2Ь  3ас). д) ба"  10а 3 + lб а /i  ба 3 (а  2 + За 2 ). (j) Фактически в этом примере l\Iы выработали следующий алrо ритм. Aлroритм отыскании общеro множители нескоJlЬКИХ одночленов 1. Найти наибольший общий дел.uтель "оэффициен тов всех одн.oчJU!Нй8. входящu:r в М1lOZ0чл.ен.  он и будет общим ЧUCJЮ8ЫМ МltOжuтeJU!At (ра3у.иеет- ся, эта отиocuтcя тол.ыro " случаю ЦеЛ.ОЧUCЛ.еН.НЫХ "оэффициентов ). 2. Найти neрем.ениые. "отарые входят в lШЖдьШ члеН мuozочлена. и выбрать дм lШЖдой из  НQU.JtU!HIr шuй (из u.мeющихся) norюзaтeJlЬ стеneни. 3. Произведение "оэффициента. пайденноео па ne вом шаzе. и степеней. наМенных на вmoро.м uuиe. является общим АШожитележ. "оторый цел.есооб разltO вынести за с"об"u. Замечание. В рАДе спучаев попезно BbIHOCIo1Tb за скобку в качестве общеrо МНОЖlo1теПIl 101 дробныi1 ко- I  Эффlo1Ц11ент. НаПРlo1мер: ., 2,4х + 7,2у == 2,4(х + 3у); aЬ+!c = (а  2Ь+ Зс) 777 7 При м е р 2. Рвзложитьна мвoжиreли: x"!!  2:C1I + 5х?-. Реш е н и е. Воспользуемся сформулированным алrоритмом. 1) Наибольший общий делитель коэффициентов  1, 2 и б равен 1. 2) Переменная х входит во все члены мноrочлена с показате лями соответственно 4, 3, 2; следовательно, МОЖНО вынести за скобки х 2 . 77 
5.10. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 3) Переменнаи у ВХОДИТ не во все члены l\IВоroчлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. В ы в о д: за скобки можно вывести '?-. Правда, в Д8ИВом слу чае целесообразнее вынести за скобки %2. Получим:  х.у3  2%3у2 + 5%2   ,?-(%211 + 2%у2  5). (j] При м ер 3. Можиоли разделитьм:в:оroчлев 5a. l0а 3 + lБа 5 на одночлен Ба 3 ? ЕсЛИ да, то выполнить деление. Р е m е н и е. В при мере lд) мы получили, что 5а.  10а 3 + 15а 5  5а 3 (а  2 + За 2 ). Значит, заданный мноrочлен можно разделить на 5а 3 , при этом в частном получится а  2 + за 2. (j] Подобные примеры мы рассматривали в 5 18;  просмотрите ИХ, пожалуйста, еще раз, но уже с точ-  v l к. ...... ....есеии. общеro миож"""", .. скобк.. Ра:зложение мноroчлеиа на множители с помо- щыо вынесения общеro множителя за скобки тесно СВRзано с двумя операциями, которые мы изучали в  15 и 18,  с умножением мноroчлена на OДHO член и с делением l\IВоrочлеиа на одночлен. А теперь несколько расширим наши представления о вынесе- нии общеro множителя за скобки. Дело в том, что иноrда алrебра- ическое выражение задается в таком виде, что в качестве общеrо множителя может выступать не одночлен, а сумма несКОЛЬКИХ одночленов. При м е р 4. Разложить на множители: 2% (х  2) + 5(%  2)2. Р е m е н и е. Введем новую перемевную у=<%  2. Тorда получим: 2% (%  2) + 5 (%  2)2  2%у + 5 у 2. Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки: 2%у + 5у2  У (2х + 5у). А теперь Вернемся к старым обозначеНИRl\l: у (2% + 5у) =< (%  2)(2% + 5(х  2» == =< (%  2)(2% + 5%  10) =< (%  2)(7%  10). (j] В подобных случаях после приобретения HeKoтoporo опыта можно не вводить новую перемеивую, а использовать следующую запись: 78 
5.11. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 2% (%  2) + б (%  2)2  (%  2)(2% + 5 (%  2»)   (%  2)(2% + 5%  10)  (%  2)(7%  10).  11. СПОСОБ rруппировки Для уяснения сути способа rруппировки рассмотрим следующий пример. При м е р 1. Разложить на множители мноrочлен 2а 2 + ба + аЬ + 3Ь. Реш е н и е. ОбъединИМ в одну rруппу первые два члена, а в дрyryю  последние два члена мноroчлена: (2а 2 + ба) + (аЬ + 3Ь). Замечаем, что в первой rруппе можно вынести за скобки 2а, а во второй rpуппе Ь. Имеем: 2а(а + 3) + Ь(а + 3). Теперь мы видим, что .проявился. общий множитель (а + 3), который можно в:ьше-- сти за скобки. В результате получим: (а + 3) (2а + Ь). (j] Поскольку процесс преобразований в примере 1 перемежался обширными комментариями, приведем еще раз решение, но уже без комментариев: 2а 2 + ба + аЬ + 3Ь  (2а 2 + ба) + (аЬ + 3Ь)   2а (а + 3) + Ь (а + 3) == (а + 3) (2а + Ь). Объединение членов м::ноroчлена 2а 2 + ба + аЬ + 3ь в rpylПIы можно осуществить рааличвыии способами. Однако нужно учит:ы:- вать, что иноrда такая rpуппировка ок83ыается удачной для поеле-- дующеro разложения на м::ножители, а иноrда нет. Проведем экспе- римеит. Объединим в одну rpyппy первый и третий члевы рассмат- риваемоro мвоroчлева. а в дрyryю rpyппу  второй и четвертый: 2а 2 + ба + аЬ + 3Ь == (2а 2 + аЬ) + (ба + 3Ь)   а (2а + Ь) + 3 (2а + Ь) со (2а + Ь) (а + 3). Разложение на м::ножители получилось, rpуппировка оказа- лась удачной. Теперь объединим в одну rруппу первый в четвертый члены, а в дрyrую  второй и третий: 2а 2 + ба + аЬ + 3Ь  (2а 2 + 3Ь) + (ба + аЬ)  == (2а 2 + 3Ь) + а(6 + Ь). Эта rруппировка явно неудачна. Подведем итоrи. Члены м:воroчлена можно rpуппировать так, 79 
5.11. РАЗЛОЖЕНИЕ мноroЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ  как нам хочетси. Иноrда удаетси такаи rpуппиров ка, что в каждой rpуппе после вынесении общих  l\IВожителей в скобках остаетси один и тот же мно- rочлен, который, в свою очередь, может быть BЫ несен за скобки как общий множитель. Тоrда rOBo способ рат, что разложение l\IВоrочлена на множители осу- rpyппlfp081t1f ществлено способом rpуппвровки. При м е р 2. Разложить на множители мноrочлен ху  6 + 3у  2у. Реш е н и е. ПDВЬ1Й способ rnvппиоовки : ху  6 + 3х  2у ... (ху  6) + (3х  2у). I'pуппировка неудачва. ВтoDOi способ IVVППИDOВКИ: ху  6 + 3х  2у  (ху + 3х) + (6  2у)   х (У + 3)  2 (У + 3) == (У + 3) (х  2). ТDeтий способ rnуппировки: ху  6 + 3х  2у == (ху  2у) + (6 + 3х)  == У (х  2) + 3 (х  2) '"" (х  2) (У + 3). О т в е т: ху  6 + 3х  2у == (х  2)(у + 3). [mJ Как видите, не всеrда с первоrо раза rpуппиров ч.  ка оказываетси удачной. Если rpуппировка оказа лась неудачвой, то откажитесь от нее, ищите иной способ. По мере прио6ретении опыта ВЬ1 будете бы стро находить удачную rpуппировку, как это сде- лано в следующем примере. При м е р 3. Разложить на множители мноrочлен аь 2  2аЬ + 3а + 2ь 2  4Ь + 6. Реш е н и е. Составим три rpуппы: в первую включим пер вый и четвертый члены, во вторую  второй и пятый, в третью  третий и шестой: аь 2  2аЬ + 3а + 2ь 2  4Ь + 6 == (аь 2 + 2ь 2 ) + ( 2аЬ  4Ь) + + (За + 6) == ь 2 (а + 2)  2Ь (а + 2) + 3 (а + 2). во всех rруппах оказался общий l\IВожитель (а + 2), который можно ВЬ1нести за скобки. Получим: (а + 2) (ь 2  2Ь + 3). О т в е т: аь 2  2аЬ + за + 2ь 2  4ь + 6 == (а + 2) (fJ2  2Ь + 3). .1 
5.21. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Иноrда полезно проверить себи, Т.е. в полученном разложе нии на множители выполнить операцию умножении мноroчленов (раскрыть скобки) и убедитьси, что в результате получитси тот мноroчлен, который был задав. А если нет? Тоrда надо искать ошибку в разложении на множители. При м е р 4. Разложить на l\IНожители l\IНоroчлен х 2  7 х + 12. Реш е н и е. Наверное, вы думаете: какое отношение имеет этот пример к способу rpуппировки, ведь здесь и rpуппировать-то нечеro? Это верно, но можно сделать небольшой фокус: если пред- ставить слаrаемое  7 х в виде суммы  3х  4х, то получитси сум- ма уже не трех (как в заданном мвоroчлене), а четырех слаrае- мых. Эти четыре слarаемых можно распределить по двум rpуп пам. Итак, х 2  7х + 12'= х 2  3х  4х + 12'= (х 2  3х) + (4x + 12) '= '= х (х  3)  4 (х  3)  (х  3) (х  4).  При м е р 5. Решить уравнение: а) х 2  7х + 12  о; б) х 3  2х2 + 3х  6  о. Реш е н и е. а) Разложим трехчлен х 2  7х + 12 на множите ли так, как это сделано в примере 4: х 2  7х + 12  (х  3)(х  4). Тоrда заданное уравнение можно переписать в виде (х  3) (х  4)  о. Теперь исно, что исходное уравнение имеет два корня: х'= 3, х  4. б) Разложим мноrочлен х 3  2х2 + 3х  6 на множители. Имес ем: х 3  2х 2 + 3х  6  (х 3  2х2) + (3х  6)  х 2 (х  2) + 3 (х  2) ==  (х  2)(х 2 + 3). Перепишем теперь заданное уравнение в виде: (х  2)(х 2 + 3)  о. Так как произедевие равно нулю, то равен нулю один из MHO жителей. Но х 2 + 3 при любых значевиих х ЯВЛиетси положитель- ным числом, т. е. в нуль обратитьси не может. Значит, может ВЫПОЛН$lТЬСЯ только равенство х  2 == о, откуда получаем х  2. О т в е т: а) 3, 4; б) 2. 
5.11. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ  11. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕнноrо УМНОЖЕНИЯ в  17 мы получили питъ формул сокращенноrо ум:ноже вии. Там же мы отметили, что любой ИЗ этих формул можно ПOJIьзоватьси как ДЛИ сокращенноro умвожении мноrочлена на l\IВоroчлен (если примен.llТЬ формулы в том виде, в котором они были записаны в  17), так и дли разложении l\IВоrочлена на мно- жители, если их пере писать следующим образом: а 2  ь 2  (а  Ь) (а + Ь); аЗ  Ь З  (а  Ь)(а 2 + аЬ + ь 2 ); аЗ + Ь З  (а + Ь)(а 2  аЬ + ь 2 ); а 2 + 2аЬ + ь 2 ,.. (а + ь)2; а 2  2аЬ + ь 2 ,.. (а  ь)2. (1) (2) (3) (4) (5) Первую из этих формул можно применитъ к выражению, пред СТ&ВJIиющему собой разность квадратов (безразлично чеro  чи сел, одночленов, мноrQчленов), вторую и третью  к выражению, представлиющему собой разность (или сумму) кубов: последние две формулы примениютси к трехчлену, представлиющему собой nОЛНbtй квадрат, т. е. содержащему сумму квадратов двух Bыpa жений и удвоенное произведение тех же выражений. При м е р 1. Разложить на множители: а) 64х 2  9; в) (2х  1)2  25; б) ха  4а 4 ; r) (а + 3)2  (Ь  2)2. Реш е н и е. во всех четырех примерах воспольауемси фор- мулой (1) (разностъ квадратов): а) 64х 2  9 == (8х)2  32 == (8х  3) (8х + 3); б) ха  4а 4  (х З )2  (2а 2 )2  (х З  2а 2 ) (х З + 2а 2 ); в) (2х  1)2  25  (2.r  1)2  52 == «2:r  1)  5) «2х  1) + 5)  ... (2х  6) (2х + 4)  2 (х  3). 2 (х + 2)  4 (х  3) (х + 2). Здесь, кроме формулы разности квадратов, мы использовали прием вынесении общеl'О множители за скобки  дли двучленов 2х  6 и 2х + 4. 81 
5.11. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ r) (а + 3)2  (Ь  2)2  «а + 3)  (Ь  2)) «а + 3) + (Ь  2))  == (а + 3  Ь + 2) (а + 3 + Ь  2) == (а  Ь + 5) (а + Ь + 1). (jI При м е р 2. Ра3JIОЖИТЬ на множители: а) 12503  8Ь 3 ; б) а 8 + 27Ь 3 ; в) х 8  а 8 . Реш е н и е. Эдесь воспользуем:си формулами (2) и (3) (раз ность и сумха кубов). а) 12Ба 3  811 .. (Баj'  (2Ь., == (Ба  2Ь) «Ба + Ба' 2Ь + (2Ь'!) == == (5а  2Ь) (25а 2 + lОаЬ + 4ь 2 ). б) а 8 + 27ЬВ ... (а!" + (ЗЬ)3  (а 2 + 3Ь) «а 2 )2  а 2 . зь + (зь)2)  == (а 2 + 3Ь) (а 4  За 2 Ь + 9Ь"). в) ПеuвьШ способ : х 8  а 8  (х 2 )8  (а 2 )З == (х 2  а 2 ) «х 2 )2 + х 2 . а 2 + (а 2 )2) == == (х  а) (х + а) (х" + х 2 а 2 + а"). Второй способ : х 8  а 8 == (х З )2  (а З )2 .. (х З  аЗ) (х З + аЗ) == ... (х  а)(х 2 + ха + а 2 )(х + а)(х 2  ха + а 2 ). (jI Замечание. в примере 1в) при ОДНОМ способе решения получилось раэnoжен...е: (.1  ,,) (.1 + ,,) (.1. + х2,,2 + ".), а пр'" дpyroM способе  раэnoжение: (.1  ,,) (.1 + ,,) (х2 + .1" + ,,2) (х2  .1" + ). Разумеется, это ОДНо и то же: в следующем naparp. фе мы покажем, как от мноrочлена х. -+- .12,,2 + ". ". рейти к npо",зведению (х2 + .1" + ,,2) (х2  .1" + ,,2). Впрочем, и сеi1час вы можете убеднться, что х. + х2,,) + ". = (,кl + .1" + "l) (,кl  .1" + ,,2). Дnll этоrо достаточно раскрыть скобки в правон част... равенства (сделаi1те это). При м е р 3. Ра3JIОЖИТЬ на множители: а) а 2  4аЬ + 4ь 2 ; в) 4х"  12х2у + 9у2; б) х" + 2х 2 + 1; r) 25а 2 + 10аЬ + 4ь 2 . Реш е н и е. В этих примерах даны трехчлены, ДЛИ их разложе' нии на множители будем пользоваться формулами (4) и (5), если, конечно, убедим:са в том, что трехчлен ЮlJIиетси полным квадратом: а) а 2  4аЬ + 4ь 2 == а 2 + (2ь)2  2. а' 2Ь == (а  2ь)2. Мы убедились, что трехчлен содержит сумму квадратов ОДно- членов а и 2Ь, а также удвоенное произведевие этих одночленов. [I] 8) 
5.23. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Значит, это ПОЛНЫЙ квадрат, причем квадрат разности. б) х 4 + 2r + 1  (х 2 )2 + 12 + 2. х 2 . 1 '"" (х 2 + 1)2; в)4х С ly+ 9!l==(2r'lf+ (зyf2', 3y:=(2.r 3yf; r) 25а 2 + 10аЬ + 4ь 2  (5а)2 + (2ь)2 + 5а' 2Ь. Так как 10аЬ  это не удвоенное про изведение одночленов 5а и 2Ь. то данный трехчлен не является полным квадратом. Разложить ero на множители с помощью формул (4) или (5) мы не можем. <.11  Вообще, если хотите воспользоваться формула- I   ....  ... I ми (4) или (5), т. будьте ВИ"""отельиы и убедитее.. """" что задаввый трехчлен есть полный квадрат. В про тивном случае формулы (4) и (5) применитъ нельзя  именно так обстОRЛО дело в примере 3r. 13. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЕМОВ в математике не так часто бывает, чтобы при решении примера примеН$IJIСЯ только один прием, чаще встречаются ком- бивиро"<',авН:fе примеры, rде сначала используется один прием, 38.тем дрyrой, и т. д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать [!J   план их последовательноro применения. Иными словами, здесъ нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры м:ы и pac смотрим в данном параrpафе. При м е р 1. Ра3JIОЖИТЬ на l\IИожители l\IВоrочлен 36а 8 ь 3  96а 4 ь 4 + 64а 2 ь 5 . Реш е н и е. 1) Сначала займемся вынесением общеrо мно-- жителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это  наибольший общий делитель, выне- сем ero 38. скобки. во все члены мноrочлена входит переменная а (соответственно а 8 , а4, 2), поэтому за скобки можно вести а 2 . Точно так же во все члевыноrочленаa входит переменная Ь (соот- ветственно ь 3 , ь 4 , ь 5 )  за скобки можно вывести ь 3 . 84 
5.23. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Итак, за скобки вынесем4а 2 ь 3 . TorAa получим: 36а ll ь 3  9ба"Ь" + 64а 2 ь 5 == 4а 2 Ь 3 (9а'  24а 2 Ь + 16Ь 2 ). 2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9а'  24а 2 ь + 16ь 2 . Выис- ним, не является ли он полным квадратом. Имеем: 9а"  24а 2 ь + 16Ь 2  (За 2 )2 + (4ь)2  2. За 2 . 4Ь. Все условии полноrо квадрата соблюдены, следовательно, 9а'  24а 2 ь + 16Ь 2  (За 2  4ь)2. 3) Комбинируя два приема (вынесение общеro множителя за скобки и испольэовавие формул сокращенноrо умножении), по лучаем окончательный результат: 3ба ll ь 3  96а"ь" + 64а 2 Ь 5  4а 2 Ь 3 (За 2  4ь)2. (iJ При м е р 2. Разложить на l\IНожители: а 2  с2 + ,; + 200. Р е m е н и е. 1) Сначала попробуем воспользоваться способом rpуппировки. До сих пор четыре слarаеl\lыx мы разбивали на rpуп пы по парам (см. i 21). Здесь это не проходит. Действительно, а 2  с2 + ь 2 + 2аЬ  (а 2  с2) + (ь 2 + 2аЬ)   (а  с) (а + с) + Ь (Ь + 2а). Эта rpynпировка неудачна, нет общеrо :множИтели. Попробуем по-дрyroму: а 2  с 2 + ь 2 + 2аЬ  (а 2 + Ь 2 ) + (c2 + 2аЬ)  здесь также ничеro хорошеrо нет. Третья попытка: а 2  с 2 + Ь 2 + 2аЬ  (а 2 + 2аЬ) + (c2 + ь 2 )  == а (а + 2Ь) + (Ь  с) (Ь + с)  и здесь нет общеrо множителя. Однако все-таки способ rpуппировки в этом [!J '"  примере сработает. Ведь ниоткуда не следует, что rруппировать слаrаем:ые можно только по парам, это можно сделать и так: а 2  с 2 + ь 2 + 2аЬ == (а 2 + 2аЬ + ь 2 )  с2  (а + ь)2  с2, Теперь вы отчет ПИво ВИдите структуру AaHHoro мноroчлена: разность квадратов. 2) К полученному выражению применим формулу разности квадРатов: (а + ь)2  с2 == «а + b) с) «а + Ь) +с)== (а+ b с) (а + Ь + с). Итак, комбинируи два приема (rpуппировку и использование формул сокращенноro умножения  квадрат суммы и разность 85 
5.13. РА3ЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ квадратов), мы по.лучили окончательный результат: а 2  с 2 + ь 2 + 2аЬ == (а + Ь  с) (а + Ь + с). (i] П р R М е р 3. Разложить на множители: х 4 + 4 у 4. Реш е н и е. Про анализируем структуру данноro двучлена. Что такое х 4 ? Это (;r2)2. Что такое 4 у 4? Это (2у2)2. Значит, имеем сумку квадратов (х 2 )2 + (2у2)2. Обычно, увидев сумму квадратов двух выражений (чисел, одночленов, мноrочленов), математик ищет удвоеввое произведение этих выражений для TOro, чтобы получить полный квадрат. В даввом случае таким удвоениым произведением будет 2.;r2. 2у2, Т.е. 4х 2 у2. Но ero в примере нет. Что же делать? Приба:вим к заданному мноroчлену то, что нам нужно, но, Что бы ничеrо не изменилось, тут же и вычтем: (х 2 )2 + (2у2)2 + 4х 2 у2  4х 2 у2. Это дает возможность сrpуппировать первые три члена так, что выделится полиый квадрат. Дальнейшее решение идет по пла ву примера 2. При ведем полное решение примера, уже без комментариев: х. + 4 у 4  (х 2 )2 + (2у2)2  «х 2 )2 + (2у2)2 + 4х 2 у2)  4;r2y2   (х 2 + 2у2)2  (2ху)2  (х 2 + 2 у 2  2ху) (х 2 + 2 у 2 + 2ху). (i] В этом примере мы впервые применили метод выделения ПОJIВОro квадрата. Он будет полезен нам и в дальнейшем, в частности, при решении следую щеrо примера. Пр в м ер 4. Ра3JIОЖИТЬ на множители: х. + х 2 а 2 + а 4 . Реш е н и е. Примевим метод выделения пол Horo квадрата. Для этоrо представим х 2 а 2 в виде 2х 2 а 2  х 2 а 2 . Получим: rt + ;r2a 2 + а 4  rt + 2z2a 2  r-a 2 + а 4  (rt + 2z2a 2 + а 4 )  r-a 2   (х 2 + а 2 )2  (ха)2  (х 2 + а 2  ха) (х 2 + а 2 + ха). (i] А теперь вернитесь, пожалуйста, к замечанию, которое было сделано в  22 (см. пример 2). Как видите, мы выпоJIВИJШ данное там обещание. При м е р 5. Ра3JIОЖИТЬ на множители: п З + 3п 2 + 2п. Реш е н и е. Сначала воспользуемся тем, что п можно Bынec ти за скобки: п (п 2 + 3п + 2). Теперь к трехчлену п 2 + 3п + 2  M_rOA ."'А_Л_Н". полноrо H..AP.r. 8' 
5.23. РА3ЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ применим способ rpуппировки, предварительно пред ставив 3п в виде 2п + п. Получим: п 2 + 3п + 2  п 2 + 2п + п + 2 "" (п 2 + 2п) + (п + 2)   п (п + 2) + (п + 2)  (п + 2) (п + 1). Окончательно получаем: п 3 + 3п 2 + 2п п(п + l)(п + 2). (IJ Этим разложением мы уже воспользовались в  19. Правда, там это было сделано без обоснова НИЙ, зато теперь все стало на свои места. Пример 6. Вычислить 38,82 + 83 '15,4  44,22. Реш е н и е. Последовательно применим rpуппировку, фор мулы сокращениоro умножении, вывесение общеrо множитеJUI за скобки. Эта совокупность алreбраических приемов позволит провести арифметические вычислении леrко и изищно: 38,82 + 83' 15,4  44.22  83. 15,4  (44,22  38,82)   83 '15,4  (44,2  38,8) (44,2 + 38,8)  83 '15,4  5,4' 83   83 (15,4  5,4)  83' 10"" 830.  Заканчиваи этот параrpаф, вернемся к тому. с чеrо мы начи нали rлаву 5. В 19 мы roворили о том, что разложение на MHO жители  один из методов решения уравнений. В следующем примере мы и воспользуемси этим методом. Предварительно отметим следующее. В математике и смеж ных науках часто встречаются уравнении ВИДа ах 2 + Ьх + с '"" О, rде а, Ь, с  не перемениые, а числа. Например, 2х 2  3х + 2 == О, х 2 + 4х  8,5 == О и т. д. Такие уравнения называют н;вадратным-и, мы специально 38.Ймемси их изучением в 8 классе. Впрочем, He которые квадратные уравнении можно и теперь решить. Одно квадратное уравнение мы уже решили выше в  21 (см. при мер 5), сейчас решим еще ОДНо, причем даже двуми способами (правда, обычно делают не так. а ПОЛЬЗyIOТси rотовыми формулами дли решения квадратных уравнений, но вы их пока не знаете). При м е р 7. Решить уравнение х 2  6х + 5 == О. Реш е н и е. первый способ . Представим  6х в ВИде суммы  х  5х, а за тем применим способ rpуппировки: х 2  6х + 5  х 2  Х  5х + 5  (х 2  х) + ( 5х + 5)  87 
5 .24. РА3ЛОЖЕНИЕ мнorОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ  %(% 1)  5(%  1)  (% 1)(%  5). Тоrда заданное уравнение примет вид: (х  1)(%  5) '"" О, откуда находим, что либо % '"" 1, либо х '"" 5. ВТQООЙ способ . Применимметод выделении ПОJIВОro квадрата, ДJIJI чеro представим слarаемое 5 в виде 9  ". Получим: ;r2  6х + 5 '"" ;r2  6х + 9  4 '"" (r  6% + 9)  4 '"" .. (х  3)2  22  (х  3  2) (%  3 + 2)  (%  5) (%  1). Снова пришли к уравнению (х  1) (%  5) '"" О, имеющему корни 1 и 5. О т в е т: 1,5. i 14. СОКРАЩЕНИЕ АлrЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ Новое ПО!UlТИе в математике редко возникает .из виче- ro., .на пустом месте.. Оно ПОИВJIиетси тоrда, коrда в нем ощу- щаетси объеКТИВНaJI необходимость. Имевво так ПОJUlИJlись в ма- тематике отрицательные числа, так поивились обыкновеввые и десятичные дроби.  ПреДПОСЫJIки дли введении HOBOro понятии .ал- I reбpaичоекая дроб.. у вас и..сюте... ,Ц...й.rc вер- немси к  12. Обсуждаи там деление одночлена на одночлен, мы рассмотрели рад примеров. Выделим два из них. 1. Разделить одночлен 36а З Ь:! на одночлен 4аь 2 (см. пример lв) из  12). Решали мы ero так. Вместо записи 36а З Ь:! : 4аь 2 ИСПОЛЬЗ0Вали 36а 8 ь 5 А черту дроби: 4аЬ 2 (ведь А : В и в  одно и то же). Это позволи- ло вместо записей 36 : 4, аЗ : а, Ь:! : ь 2 также ИСПОЛЬЗ0вать черту дроби, что сделало решение примера более нarлJIДВЬDI: 36а 8 ь 5 36 а 8 ь 5   .. 9a2ь3 4аЬ 2 "аь 2 . 2. Р83ДeJIИТЬ одвочлен 4х3 на одночлен 2:ry (см. пример lд) из  12). .. 
5.14. РАэ.noЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Действуи по тому же образцу. мы ПОJlУЧИЛИ: 4%8 .( %2 1 1 2%2 (х3 : 2%у ==  ..  . .  == 2.r .  '"" . 2ху 2%у У У В  12 l\Iы отм:еТИJIИ, что одночлен 4х' не у,цвлось разделить на о,цвочлев 2:ry так. чтобы получил:ся о,цвочлен. Но ведь математи- ческие модели реальвых ситуаций мoryт содержать операцию деле- ния любых о,цвочленов. не обязательно таких, что о,цив делится на ,црyroй. Предвидя это, математики ввели новое повятие  повятие 2%2 aлreбра.ической дроби. В частности.   aлreбра.ичес:ка.я дробь. у Теперь вернемся к  18. Обсуждая там опера- I I  цИЮ деления мноroчлена на одночлен, мы отмети-  ли, что она не всеrда выполнима. Так, в примере 2 r из  18 речь шла о делении двучлена 6х'  2(х2 на '. оиио""е. 6ж'. Эта операции о"""""ась ....по.ин...й и в результате мы получили двучлен х  4. Значит, 6%8 24%2 6%2 .. %  4. 6%8 24%2 Иными словами, алreбравческое выражение 6%2 удалось заменить более простым: выражением  мноroчленом %  4. В то же время в примере 3 из  18 не удалось раздеJlИТЬ !llИоro- Ва 8 +&2ь---ь член 8а 3 + 64 2 ь  Ь на 2а 2 , т. е. выражение 2 не удалось 2а заменить более простым выражением, ПРИШJIось так и оставить ero в виде алreбраической ,дроби. Что же касается операции делеНИЯ!IIИоrочлена на мноroчлен, то мы о ней фактически ничеro не rоворили. Единственное, что мы можем сейчас сказать: один мноrочлен можно разделить на дрyrой, если этот друrой мноroчлен является о.д:вим из множите- лей в разложении первоrо мноroчлена на множители. Например, %3  1  (%  1) (.r + % + 1). Значит, .r  1 можно разделить на .r + % + 1, получится %  1; х3  1 можно разделить на х  1. получитси.r + % + 1. " 
5.24. . .пre6Р.ИlffКН.. I4ро6. РАЗЛОЖЕНИЕ мноroЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Aл.zе6раичес"ой дробью называют отношение двух мноroчленов Р и Q. При этом используют запись р Q , {'де Р  числитель, Q  зн-амен-атель алzебра ичес"ой дроби. Примеры алreбраических дробей: 2%2 У Ва 3 +6а 2 н tI %+у %y ИНОI'да алI'ебраическую дробь удаетси заменить МНОI'очленом. Например, как мы уже установили ранее, 6%3 24%2 ==>x4 6%2 (МНОI'очлен 6х 3  24x Z удалось разделить на 6x Z , при этом в част ном получаетси х  4); мы также отмечали, что %31  ==x 1. %2+%+1 Но так бывает сравнительно редко. Впрочем, похожая ситуации уже встречалась вам  при изучении обыкновенных дробей. Напри  24 мер, дробь б можно заменить целым числом 4, а 40 32 дробь 8"  целым числом 5. Однако дробь 24 цe лым числом заменить не удаетси, хоти ЭТУ дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель 32 4 на число 8  общий множитель числители и знаменатеЛи: 24  з' Точно так же можн-о со"ращать алzебраичес"ие дроби. разделив одн-овремен-н-о числитель и зн-амен-атель дроби н-а их общий MН-O житель. А дЛИ ЭТОI'О надо разложить И числитель, и знаменатель дроби на множители. Здесь нам и понадобитси все то, что мы так ДОЛI'О обсуждали в этой I'лаве. tO 
5.15. РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ При м ер. Сократить 8Jlreбраическую дробь: 12%3у. а) 8%2 у 5 ; а 2 +2аЬ+ь 2 б) . (а+Ь) (ab) , r%y B )  %.%y3 . Реш е в и е. а) Найдем общий l\Шожитель для одночленов 12х 3 у. и 8х 2 у& так, как l\IЬ[ деЛ8JIИ в  20. Получим 4%2у.. Тоrда 12х 3 у4  4х2у.' 3х; 8х 2 у&  4х2у4. 2у. Значит, 12%8 y 8%2 у 5 4ж 2 у. .3% эх 4%2у. . 2у  2у . Числитель и знаменатель заданной 8Jlrебраической дроби со- кратили на общий множитель 4х2у.. Решение ЭТОI'O примера можно записать по- друrом:у: 12%3у. 12 %8 у. 3 1 ах ............... .......%... 8%21 8 %2 11 2 У 2у . б) Чтобы сократить дробь, разложим ее числитель и знамена' тель на множители. Получим: а 2 +2аЬ+ь 2 (а+Ь) (а--Ь) (а+ь)2 (а+Ь) (а--Ь) (а+Ь)(а+Ь) (а+Ь) (а--Ь) а+Ь ab (дробь сократили на общий l\Шожитель а + Ь). А теперь вериитесь к замечанию 2 из  1. Види- те, двнное там обещание l\Iы наконец-то смоrли вы- полнить. в) Имеем: r%y %(%  у) %(%  у) 1 %.жу8 == %(%3y3) %(%y)(%2+%y+y2) %2+%у+' . (сократили дробь на общий множитель числители и знаменатели, т. е. на % (х  у)). (jJ И так, дЛИ TOI'O чтобы сократить 8Jll'ебраическую дробь, нужно прежде BOOI'O разложить на множите- ли ее числитель и знаменатель. Так что ваш успех в этом новом деле (сокращении 8Jlrебраических дро- бей) в основном зависит от TOI'O, как вы усвоили матеРИ8JI предыдущих паР8I'Pафов этой rлавы.   '1 
в этом параrрафе мы П03вaRомимся еще с одним алrеб- раическим термином. Мы знаем, например, что а 2  ь 2  (а  Ь) (а + Ь); х 2  4х + 4  (х  2)2; (а + Ь)с  ас + Ьс. Написаввые равенства верны при любых значе- ниях входящих в их состав переменных. Такие ра- венства в алrебре называют тождествами. Левую и правую части тождества называют выражения- ми, тождественно равными дрyr дрyrу (или просто тождественными). Например, а 2  ь 2 и (а  Ь) (а + Ь)  тождественно равные выражения. Всякую заме- ну одноrо выражения дрyrим, тождествевво рав- ным ему, называют тождественнwм преобразова- вием выражения. тождественное Значит, все, чем мы занимались до сих пор: дей- преобр.зо..нне ствия со степенями, с одночленами, с мноrочлена- ми,  все это было изучением тождественных пре- образований. В математике часто бывает так, что, используя некоторый термин, вдруr обнаруживают, что к но- вой ситуации он становится не очень приспособлен- ным, требует уточнения. Это относится и к терми- ну .тождество.. Для работы с мноrочленами дав- ное выше определение  абсолютно точное. Одна- ко уже для работы с алreбрзическими дробями в понимавии этоro термина понадобится корректировка, т. е. при- дется сделать некоторые уточнения. 5.15.  тождест.о тождест.енно р..ные .ыр.жеННJ/  РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ  15. ТОЖДЕСТВА % (%  1) Рассмотрим алrебраическую дробь (%  2)(%  1) . Ее можно со- кратИть на х  1  на общий множитель числителя и ЗН8Менате ля. Таким образом, имеет место равенство %(%1) % (%2)(%1)  %2 . (1) 
5.25. РАЗЛОЖЕНИЕ мноroЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Явлиетси ли это равенство тождеством? Введи выше этот тер- мин, мы отметили, что тождество  это равенство с перемеввы- ми, верное при Аю6ых значениих перемеввых. Но про равенство (1) этоrо сказать нельзи, оно не имеет смысла при х  1, при х  2, т. е. оно верно уже не при любых значениих переменной Х. Ука- заввые значении не явлиются допустимыми для выражений, вхо- дищих в состав равенства (1). Если же оrpаниЧИТЬСЯ только допу- стимыми значенИJfМИ пере мен ной Х, то при любых таких значе- ниях равенство (1) окажется верным. Учитываи подобные ситуации, математики уточнили понитие тождества. Опре.D.еленне. Тождество  это равенство, верное при AIO- 6ых дonycтu.м.ыx значениих входящих в еro состав перемеввых. В этом сl\lылеe равенство (1)  тождество. вот та корректировка понятия . тождество. , о которой l\Iы упом:ивал:и ВЫШе. . . ОСНОВНЫЕ РЕЗУ ЛЫ А ТЫ В ЭТОЙ rлаве мы ввели новые (дли вас) ПОНЯТИи матема- тическоrо изыка: разложение мноrочлена на множители; алrебраическаи дробь, сокращение алrебраической дроби; тождество, тождественно равные выражении, тожде- ственное преобразование выражения. Вы ПОЗНaICомились со следующими ПDиемам:и nазло- жения мноrочлена на множители : вынесение общеrо множителя за скобки; rpуппировка; использование формул сокращеввоrо умножении; выделение полноrо квадрата. 
rЛАВА 6 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 116. КООРДННВТНВ. пр.""в. t 17. КООРДННIIТНВ. плоскость t 18. Линейное уравнение с дву"". пере""еннымн и ero rрвфик t 1'. Лннейнв. функцн. н ее rрвфнн t )0. пР.МВ. пропорционвльность н ее rрвфнн t )1. Взвимное расположение rрllфИКО8 линейных функций Основные реэуnьтаты  16. КООРДННА ТНАЯ ПРЯМАЯ в конце rлавы lмы rоворили о том, что в курсе алrеб ры нам с вами надо учиться описывать реальвые ситуации Слова ми (словеснаи модель), aлrебраически (aлrебраичесК8JI ИJIИ, как чаще rоворит математики, аналитическая модель), rpaфически (rpафическаи или reoметричесК8JI модель). Весь первый раздел учебника (rлавы 15) был посвищен изучевию математическоro языка, с помощью KOTOporo описываютси аналитические модели. Начинаи с rлавы 6l\1Ъ1 будем изучать не только новые аналитичес кие, но и rpафические (reометрические) модели. Они строитси с помощью координатной прямой, координатной плоскости. Эти понятни вам HeMHoro знакомы из курса математики 56 классов. Примую l, на которой выбрана начальная точка О (начало OT счета), масштаб (единичный отрезок, т. е. отрезок, длина KOToporo считаетси равной 1) и положительное направление, н&3ывают KO '4 
6.1'.  ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ординатной примой, нли координатной осью (рис. 7); употреблlПOТ также термин «ось х.. Каждому числу соответствует единственнаи точка прямой. Например, числу 3,5 соответствует точка М (рис. 8), котораи удалена от начала отсче та, т. е. от точки О, на расстояние. равное 3,5 КООРАИН.ТН.. пр.м.. (в задаивом масштабе), и отложена от точки О в за- данном (положительном) направлении. Числу  4 соответствует точка Р (см. рис. 8). котораи удалена от точки О на расстояние, равное 4. и отложена от точки О в отрицательном направлении, т. е. в на- правлении, противоположном заданному. Верно и обратное: каждаи точка координат- ной примоЙ соответствует единственному числу. Например, точка К. удаленная от точки О на рас- стояние 5,4 в положительном (заданном) направ- лении, соответствует числу 5,4, а точка N, уда- ленная от точки О на расстояние 2.1 в отрицательном направ- лении, соответствует числу  2,1 (см. рис. 8). У К&.'VIRПJ.I е числа нааывают коордиват8l\IВ соответствующих TO чек. Так, на рис. 8 точка К имеет координату 5.4; точка Р  коор- дивату4; точкаМ  координату 3,5; точкаN  координату 2.1; точка О  координату О (нуль). Orcюда и происходит Нa:Jвавие  «координатная прямая.. Обраэно выражаясь. коордиваТВ8JI пря' мая  зто ryCTO заселенный дом, жильцы ЭТОI'O дома  точки, а координаты точек  это номера квартир. в которых живут точки. жильцы. КООРАИН.Т. ТОlfКИ Рис. 7 !  ) м 11 Х  2 1  ;. ;.1.4 Рис. 8 '5 
6.16. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ  Зачем нужна координатная примая? Зачем ха- рактеризовать точку ЧИСЛОМ, а число  точкой? Есть ли в ЭТОМ К8Каялибо польза? Да, есть. 'fЩ! Пусть. иапри"ер. иа коордииатиой при"ой даны две точки: А  с координатой а и В  с KOOp динатой Ь (обычво в таких случаJIX пишут короче: А (а), В (Ь». Пусть нам надо найти расстоиние d между точками А и В. Оказываетеи, ВМесто TOro чтобы делать reометрические измерении, достаточ- но ВОСПОЛЬЗ0ватьси rотовой формулой d  I а  Ь 1 (вы изучали ее в 6 классе). Так, на рисунке 8 имеем: КМ  15,4  з,51 11,91 '"" 1,9; РМ  I  4  3,51"'1  7,51  7,5; PN == I  4  (2,1) 1 == 1  4 + 2,11"" I  1,91 == 1,9. Orрем:ясь к лахоничвости рассуждений, математики доrовори лись вместо длинной фразы . точка А координатной примой, имею Щ8JI: координату а., использовать короткую фразу: .точка а., и, соответствевио, на чертеже рассматриваемую точку обозначать ее коордИВ8ТОЙ. Так, иа рисунке 9 изображена КООРДИВ8ТII8JI прим:а.я, на которой отмечены точки  4;  2,1; о; 1; 3,5; 5,4. Коордиватн8Л ПрИМ811 дает вам возможность свободно перехо- дить с 8.JП'eбраическоro изыка на reoметрический и обратно. Пусть, например, число а мев.ьше числа Ь. на алreбраическом IIзыке ЭТО записывается так: а < Ь; на reoметрическом изыке ЭТО означает, что точка а расположена на координатной при мой левее точки Ь. Впрочем, и алre6раический, и reoметрический изыки  это разно- видности oдaoro и TOro же математическоro изыка, который мы с вами изучаем. ПознаКОМИМСII еще с несколькими элементами математичес Koro изыка, которые свиз&ны с координатной примой. J ох  .?i 1   " .d. I I Рис. 9 " 
,.16. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 1. Пусть на координатной ПрИМОЙ отмечена точка а. PaCCMOT рим все точки, которые лежат на примой правее точки а, и OTMe тим соответствующую часть координатной праМОЙ штрИХОВКОЙ (рис. 1 О). Это l\IВожество точек (чисел) называют открытым .пучом И обозначают (а, +((1), rде знак +((1 читаетси: .плюс бесконеч ность.; оно харахтеризуется неравенством :r > а (под :r ПОНИl\l8ет си любая точка луча). Обратите вним:аиие: точка а от- крытому лучу не ПDина.п:лежит . а Если же эту точку надо присоеди. dll(,lшц,ШНIIJNIН#/1 .. нить К открытому лучу, то пишут :r ) а или [а, + ((1) ( перед а ставит не крyrлую, а квадратную скобку), а на чертеже такую точку обозначают не светлыl\l' как на рис. 10, а закрашенныl\I кружком (рис. 11). а :r Если про множество точек (а, +((1) rOBopaт, что .,ШJlШ/ll,ШШ,ШШ. это  открытый луч, ТО дли [а, + ((1) употреблиют термин.пуч (без прилarательноrо .открытый.). 2. Пусть на координатной прямой отмечена точка Ь. Рассмотрим все точки, которые лежат на примой левее точки Ь, и отметим соответствую щую часть координатной ПРЯМОЙ штриховкой "'"'''''''''' (рис. 12). Это м:вожество точек (чисел) тахже Ha зыВ8IOт открытым ЛУЧОМ и обозначают (((I, Ь), rде знак  ((1 читаетси: .минус бесконечность.. Оно характеризуется неравенством :r < Ь. Снова обращаем ваше виим:аиие на то, что точка Ь Ь открытому лучу не принадлежит. Если же м:ы "''''''''''''8 эту точку хотим присоединить К открытому лучу, то будем писатъ:r(; Ь или (((I, Ь] и, соответственно, на чертеже точку Ь закрашивать (рис. 13); дли (((I, Ь] также будем употреблять термин ЛУЧ. 3. Пусть на координатной прямой отмечены точки а и Ь, причем а < Ь (т. е. точка а расположе на на примой левее точки Ь). Рассмотрим все ТОЧ ки, которые лежат правее точки а, но левее точки Ь; отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14). Это l\IВожество точек [I] 4. МОР.:J.J\:ОВИЧ .Алrебро. 7 % Рис. 10 Рис. 11 Ь :r . Рис. 12 :r . Рис. 13 а Ь o\\.\.\\.\\'O :r . Рис. 14 .7 
6.26.  ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ а Ь х ",,,,,,lt««(И'ШJJ// Рис. 15 а Ь ."\.,\.\ Рис. 16 а Ь х """",,(#ШII Рис. 17 а Ь х f'''ППI(tJ  Рис. 18 а Ь х а пnи #(*  Рис. 19  лу отнрытый лу J/J/терНЛ ОТР830Н nОЛУJ/НТ8р..л J/сло.оii nРОМ8ЖУТОН ,. (чисел) В8.3ЫВ8ЮТ ивтервалом И обозвачают (а, Ь). Оиохарактеризуется строrим двойным неравен- ством а < х < Ь (под х поним:ается любая точка интервала). Обратите ВВИМ8.ние: интервал (а, Ь) есть nересе- х чение (общаи часть) двух открытых лучей (oo, Ь)  и (а, + (0)  это хорошо видно на рисунке 15. Если к интервалу (а, Ь) добавить ero концы, т. е. точки а и Ь, то получитси отрезок [а, Ь] (рис. 16), который характеризуется нестроrим двой- ным неравенством а  х  Ь. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круrые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратвые; на чертеже точки а и Ь отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала. Orрезок [а, Ь] есть пересечение (общая часть) двух лучей (oo, Ь] и [а, +(0)  это хорошо видно на рисунке 17. А что получится, если к интервалу (а, Ь) добавить только один конец  только точку а (рис. 18) или только точку Ь (рис. 19)7 Получитси полуиитеРВaJI, который В первом случае обозначают [а, Ь), а во BТO ром  (а, Ь] и который характеризуется с помощью двойных неравенств: а  х < Ь  в первом случае, а < х  Ь  во втором случае. Итак, м:ы ввели пять новых терминов матем:а- тическоro языка: луч, открытый луч, интервал, отрезок, полуинтервал. Есть и общий термин: чис- ловые промеzyтки. Сама координатная прам:ая также считается числовым промежутком; для нее используюr обо- значение (---00, +00). 
6.21. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Сводная таблица ЧИCJJовLIX промеzyrков Название АвалИТR rеометрическаа: Обозначение числовоro ческая модель промежутка модель r:/I,zr"""",,,,,,,,,,,,,,,, . (а, +00) открытый луч х>а а х fJIIIIUПf,n,UJН,U/НN » [а, +00) луч xa а х /Н##""'<6 . (oo, Ь) открытый луч х<Ь Ь х ,н н"""',,. . (oo, Ь] луч х"Ь Ь х rj>"uuu<tJ . (а, Ь) интервал а<х<Ь а Ь х _нн/ни. . [а, Ь] отрезок a"it;x"it;b а Ь х 8 1111 1/ H <tJ . [а, Ь) полуивтервал аО;;;;х<Ь а Ь х c::f"UNII<8I . (а, Ь] полуинтервал a<x"it;b а Ь х i 17. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ На координатной прямой _прописаны. точки -жи.льцыt, У каждой точки есть свой _номер дома.  ее коорди- ната. Если же точка берется в ПJI0СКОСТИ, то дли ее _прописки. нужно указывать не только _номер дома., но и tHOMep кварти ры.. Напомним, как это делаетси. Проведем две взаимноперпендикулирные координатные пря мые и будем считать началом отсчета на обеих примых точку их пересечения  точку О. Тем Cal\lЫM на плоскости задана прямоу- 4'" " 
rOJIЪHaJl снстема координат (рис. 20), которая пре- вращает обычную плоскость в координатную. Точ- ку О называют нача.лом координат, координатные прямые (ось х и ось у) называют ОСJlМИ координат, а прямые yrлы, образованные осями координат, на- зывают координатными yrJlами. Координатвые пР'II",оуrОЛl>наll уrлы нумеруют так, как показано на рисунке 20. снстема А теперь обратимся к рисунку 21, rAe изобра- ноордннат жена прамоyrольная система координат и отмече- ноордннатнаll на точка М. Проведем через нее прямую, парал' пЛОСНОСТI> лельную оси у. Прямая пересекает ось х в некото- рой точке, у ЭТОЙ точки есть координата  на оси х. Для точки, изображенной на рисунке 21, эта ко- ордината равна 1,5, ее называют абсциссой точкв HoopAHHaTHwe уrЛIII М. Далее проведем через точку М прям:ую, парал- лельвую оси х. Прямая пересекает ось у в некото' рой точке, у этой точки есть координата  на оси у. Для точки М, изображенной на рисунке 21, эта ко- ордината равна 2, ее называют ординатой точки М. Коротко пишут так: M(1,5; 2). Абсциссу записывают на пер- вомместе, ординату  на втором. Используют, если в этом есть необходимость, и друrую форму записи: х   1,5; У  2. 6.17.  начало ноордннат абсцнсса орднната ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Замечание 1. На практике ДЛII отыскаНИII координат точ ки М обычно вместо пр"мых, параллельных ОСIIМ KOOpДl1 нат и ПРОХОДJIЩl1х через точку М, строят отрезки ЭП1х пр мых от точки М до осей координат (рис. 22). .. .м !J ,? 1'"  'n 1'" w II 1 . - -.. о lj5 О 1 rl 5 О h х 11 V I , Рис. 20 100 Рис. 21 Рне. 22 
!-.27.   ось абсцисс ось ординат ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Замечание 2. в предыдущем параrрафе мы ввеЛl1 раэ "'Ie обоэначеНl111 Дnll ЧI1СЛОВЫХ промежутков. В чаСТНОСТI1, как мЫ уСЛОIlИЛI1СЬ, эаПI1СЬ (3, 5) оэначает, что на KOOp натно" ПрllМОЙ paCCMaTpl1BaeTCII I1нтервал с концаМI1 в ТОЧ-- ках 3 11 5. В наСТОRЩем же параrрафе пару Чl1сел МЫ pac CMaTpl1BaeM как KoopДl1НaTЫ ТОЧКI1; Hanpl1Mep, (3; 5)  это точка на КООРДl1Натной ПЛОСКОСТI1 с абсЦl1ССОЙ 3 11 OpДl1H. то" 5. Как же правЮ1ЬНО по СI1МВОЛl1Ческой эаПI1СI1 опреде-- ЛI1ТЬ, о чем l1ДeT речь: об I1Нтервале Ю111 о KoopДl1HaTax ТОЧКI1? Чаще Bcero это 6t.IBaeT IICHO по тексту. А еСЛI1 не IICНO? ОбраТl1те BHI1MaНl1e на одну деталь: в обоэначеНl111 I1нтервала мЫ I1СПОЛЬЭОВaвt эаПIlТую, а в обозначении K00Fr ДI1HaT  точку с эаПIlТОЙ. Это, конечно, не очень сущест венное, но BceTaKI1 раЭЛI1Чl1е; будем ero npl1MeHIITb. Учитываи введенные термины и обозначении, rоризонтальную координатную примую называют осью абсцисс, или осью х, а вертикальную коорди натную прямую  осью ордииат, или осью у. Обо- значении х, у используют обычко при З&Д8IIИИ на плоскости примоyroльной систем:ы координат (см. рис. 20) и часто rоворит так: Д8llа система коорди- нат хОу_ Впрочем, встречаютси и друrие обозначе нии: капример, на рисунке 23 задана система коор- динат t08. АJlrоритм отыскаиии координат точки М, задаиной в прамоyroJlЬноii системе коордвват хОу 1. Провести через точ"у М прямую, nараJ/,J/,€J/,ЬНУЮ оси у, и найти "оординату точки пересечения этой прямой с осью х  это будет абсцисса точ"и М. 2. Провести через точку М прямую, nаРQ,J/,J/,еJ/,ЬНУЮ оси х, и найти "оординату точки пересечения этой прямой с осью у  это будет ордината тОЧ"и М. Именно так мы и действовали, находи координаты точки М ка рисунке 21. 101 
6.27. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Если точка М 1 (Х; у) принадлежит первому коордиватиому yrлу, то Х > о, у> о; если то<ща М 2 (х; у) принадлежит второму координат- ному yrлу, то Х < о, у> о; если то<ща M:l..x; у) принадлежит третье' му координатному yrлу, то х < о, у < о; если точка М,(х; у) привад- лежит четвертому коордиватному yrлу, то х > о, у < о (рис. 24). А что будет, если точка, координаты КОТОрОЙ надо найти, ле- жит на одной из осей координат? Пусть точка А лежит на оси х, а точка В  на оси у (рис. 25). Проводить через точку А прямую, параллельную оси у, и находить точку пересечения этой прямой с осью х не имеет смысла, поскольку такаа точка пересеченИJI уже есть  это точкаА, ее коордивата(абсцисса)равна 3. Точно так же не нужно проводить через точку А прямую, параллельную оси х,  этой ПРЯМОЙ является сама ось х, которая пересекает ось у в точке О с координатой (ординатой) О. в итоre для точки А получаем А (3; О). Аналоrично для точки В получаем В(О;  1,5). А для точки О имеем О (о; о). Вообще, любая точка на оси х имеет координаты (Х; О), а лю- бая точка на оси у  координаты (о; у) Итак, как находить координаты точки в координатной плос. кости, мы обсудили. А как решать обратную задачу, т. е. как, задав координаты, построить соответствующую точку? Чтобы вы' работать алroритм, Проведем два вспомоrательных, но в то же время важных рассуждевия. Первое раССllждеnие. Пусть в системе координат хОу проведена прямаи l, параллельная оси у и пере- секающая ось х в точке с координатой (абсциссой) 4 s ,!' If .. . > 1\' " .. . \.{, . и: 0\ . А .J О t О 1 О 1  х J: . " 4 1 5 В .. 1I 1\.1 ": " Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25 101 
6.27. линеЙНАЯ ФУНКЦИЯ (рис. 26). Люая точка, лежащаи на этой прямой, имеет абсциссу 4. Так, ,цля точек Мl' М2' М3 имеем М 1 (4; 3), М 2 (4; 6), М з (4;  2). Иными словами, абсцисса любой точки М прямой l у,цовлетворяет условию х '= 4. rоворят, что х  4  уравнение прямой l или что прямая l удовлетворяет уравнению х == 4. На рисунке 27 изображены Пряl\lЬ[е, у,цовлетво ряющве уравнениям х '=  4 (прямая ll)' х '=  1 Рис. 26 (прямая l2)' х '= 3,5 (прямая lз), А КАКая прямая у,цовлетворяет уравнению х '= 01 Доrадались1 Ось у. Второе рассуждение. Пусть в системе координат хОу проведена прямая l, параллельная оси х и пересекаю щая ось у в точке с координатой (ор,цинатой) 3 (рис. 28). Любая точка, лежащая на этой прямой, имеет ор,цинату 3. Так, ,цля точек М l' М 2' М 3 имеем: М 1 (0; 3), М 2 (4; 3), Мз( 2; 3). Иными словами, ордината любой точки М ПРЯМОЙ l у,цовлетворяет yc ловию у  3. rоворят, что у '= 3  уравнение nрЯAtой l или что прямая l удовлетворяет уравнению у'= 3. На рисунке 29 изображены прямые, у,цовлетворяющие уравие ниям у   4 (прямая ll)' у   1 (прямая l2)' у  3,5 (прямая lз), А :какая прямая у,цовлетворяет уравнению у'= 01 Доrад8Лись1 Ось х. у R 2 0:1 1\1, 1 4 О 1 х ') Щз l у у у u ,,", 3 l Vl 41 3 М2 11 ,;:  1 1 О 1 X 4 1 О 1 3 х  О 1 4 -1 !/ 1 l. l l. l 4 У io= 4 l Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29 103 
6.17. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ  r Заметим, что математики, стрем:ась к краткости речи, roвopaT .IIpItМ8Я х  4., а не .прам:м, удовлет ВОpRЮщаи ураввевию х  4.. Аиалоrичво, они roвo рат .прам:м У  3., а не .прим:аи, удовлетворающм уравнению у '= 3.. Мы будеМ поступать точно так же. Вернемси теперь к рисунку 21. Обратите внимание, что точка М (1,5; 2), Котораи там изображена, есть точка пересечении при мой х ==  1,5 и прИМОЙ У  2. Теперь, видимо, будет понитен алroритм построеиии точки по заданным ее координатам. A.IIroритм построении точки М (а; Ь) в ПрJIМоyrОJlЬНОЙ системе коордиват %Оу 1. Построить прямую х == а. 2. Построить прямую у == Ь. 3. Найти точку пересечения построенных прямых  это и будет точка М(а; Ь). При м е р. В системе координат хОу построить точки: А (1; 3), B( 2; 1), С(4; О), D(O;  3). Реш е н и е. Точка А есть точка пересечении прямых х  1 и У  3 (см. рис. 30). Точка В есть точка пересечевии примых х   2 и у == 1 (рис. 30). Точка С принадлежит оси х, а точка D  оси у (см. рис. 30). х= rv А 3 У j.. i У" В j  о 1 х l..  'D Рис. 30 104 в заключение параrpафа заме тим, что впервые примоyrОJlЬНУЮ систему координат на ПJlОСКОСТИ стал активно использовать для за мены алreбраических моделей reo метрическими французский фило соф Рене Декарт (15961650). По ЭТОМУ иноrда rоворит .декартова система координат., .декартовы координаты. . 
6.28. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ  18. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ErO rРАФИК Нам часто встреЧ8JIИсь уравнении вида ах + Ь ... О. rде а, Ь  числа, х  переменнаи. Например, 5х  8 == О, х + 4 == О,  7 х  11 == О и т. Д. Числа а, Ь (коэффициенты уравнении) MOryт быть любыми, исключает лишь случай, коrда а == О. Уравнение ах + Ь -= О, rде а + О. называют mmей. вым yp8JIнеиием с ОДНОЙ оеремеииой х (или линей Hы.м уравнением с одним неизвестным х). Решить ero. т. е. выразить :r через а н Ь, м:ы с вами умеем:  линейное УРа8нение с одной переменной ах   Ь; ь x==. а Ранее мы отмечали, что довольно часто математической Moдe лью реальной ситуации служит линейное уравнение с одной пере менной или уравнение, которое после преобразовавий сво.цитси к линейному. А теперь рассмотрим такую реальную ситуацию. Из roродов А и В, расстоиние между которыми 500 км, Ha встречу дрyr .цpyry вышли два поезда. каждый со своей посто8В НОЙ скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше BТOpOro. Через 3 ч после выхода BТOpOro поезда они встретились. Чему равны скорости поездов? Составим математическую модель за.цачи. Пусть х км/ч  скорость первоrо поезда, у км/ч  скорость BTOpOro поезда. Пер вый был в пути 5 ч и, значит, прошел путь 5х км. Второй поезд был в пути 3 ч, Т.е. прошел путь 3у км. Их встреча произошла в пункте С. На рисунке 31 представлена rеометрическаи модель ситуации. На алrебраическом 83ыке ее можно описать так: 5х + 3у == 500 5х 3у A 500 км Рис. 31 
6.18.  или ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 5х -+ Зу  500  О. Эту математическую модель называют линейным уравнением с двуми переменными х, у. Вообще, ах + Ьу + с == О, rде а, Ь, с  числа, причем а + о, Ь + о,  линейное уравнение с двуми переменВJaJМИ х и у (или с дв}'1\4И неизвестными :r и у). Вернемси к уравнению 5х + 3у == 500. Замеча- ем, ЧТо если :r  40, У == 100, то 5 . 40 + 3. 100 == 500  верное равенство. Значит, ответ на вопрос зада- чи может быть таким: скорость первоrо поезда 40 км/ч, скорость BToporo поезда 100 КМ/Ч. Пару чисел :r == 40, У  100 называют решением уравне. ния 5х + 3у == 500. rоворит также, что эта пара зна- чений (х; у) удовлетворяет уравнению 5х + Зу == 500. К сожалению, эro решение не единствеRНО (мы ведь все любим определеввость, однозначность). В самом деле, возможен и такой вариант: :r  64, у == 60; действительно. 5 . 64 + З . 60  500  верное равенство. И такой: :r == 70. у == 50 (поскольку 5 . 70 + З . 50  500  верное равенство). А вот, скажем, пара чисел :r  80, у  60 реше нием уравнении не ивлиетси, поскольку при этих значениих BepHoro равенства не получаетси: 5.80 + 3.60 + 500. Вообще. решением уравнеини ах + Ьу + с = О называют всикую пару чисел (х; у), котораи удов- летвориет этому уравнению, т. е. обращает равен- ство с переменными ах + Ьу + с  О в верное ЧИСЛо- вое равенство. Таких решений бесконечно МНО20.  ЛU/l,еU/l,ое ураВ/I,екие с двум,я n.ерем,ек/l,ым,и  реше/l,uе уравnе/l,UЯ ax+Ьy+cO Замечание. Вернемся еще раз к уравнению 5х + + Зу == 500, получежому в рассмотренном выше зада че. Среди бесконечноrо множества ero реwеннй HMe ются, например, итакне: х == 100, у == о (в самом деле, 5.100 + з. о == 500  верное чнcnовое равенство); 
6.28.11 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ х = 118, у =  30 (так как S. 118 + 3. (зо) = soo  верное ЧI1CЛОВое равенство). Однако, IIВnIlIlСЬ решен.... м... уравнеН"'II, зт... пары не Moryт служить решеНl1ЯМ'" даннон эадач"', вед.а. скорость поезда не может быть равной нулю (Torдa он не едет, а CToнr на месте); тем более скорость поезда не может быть ОТРl1Цaтельнон (Torдa он едет не навстречу дpyroMY поезду, как скаэано в услов...... задач..., а в прот",воположную сторону). При м е р 1. Изобразить решения линейноro уравнении с двуми переменными х + у  3  О точками в координатной плоско сти хОу. Реш е Н и е. Подберем несколько решений заданноrо ypaвHe нии, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют ypaBBe нию: (3: о), (2: 1), (1; 2) (о; 3), ( 2; 5). Построим в координатной плоскости хОу точки А (3: о), В(2; 1), С (1; 2), D (о; 3), Е ( 2; 5) (рис. 32). Обратите внимание: все эти ПJIТЬ точек лежат на ОДНОЙ DpИl\lой l, проведем ее. , у 1;: " 5 " f '" , ,.. ...  ,Б .. " ,А 4 ) О " '" о] , ,r 'l Рис. 32 roвopaт, что DpЯlIIаяl ЯВЛиетса zрафu1СО-м. уравпения х + у  3  О. rоворит также, что примая l  zеом.етрuческая -м.одель уравнении х + у  3  О (или х + у""' 3). Итак. если пара чисел (х; у) удовлетвориет уравнению х + у  3 ""' о, то точка М (х; у) принадлежит прямой l; если точка М (х; у) принадлежит прямой l, то пара (х; у)  решение ypaвHe нии х + у  3 :. О. Например, точка Р (6; 3) принадлежит прямой l (рис. 32) и пара (6: 3)  решение уравнении х + у  3  О (jJ f07 
6.18. Подведем итоrи: ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Реальнаи ситуация Алrебраическая rеометрическаи (словесная модель) модель модель Сумма двух чисел х+у"'З пpю.mя l на рисунке 32 равна 3 (линейное урав- (rpафик линейноro нение с двумя уравневия с двумя переменными) переменными) rрафu"ом любоzо лuкейКоzо уравкекыJI. а% + Ьу + с = О Jl.вЛJl.етсJl. nРJl.маJl.. Доказать теорему нам с вами пока не ПОД силу  это будет сделано позднее, в курсе rеометрии. Но пользоваться теоремой мы, конечно, имеем право уже сейчас. Кстати, доrадываетесь ли вы, откуда ПОЯВWIся термин tлинейное уравнение.? Это фактически на- поминание о reoметрической модели  прямой ли- нии, котоpaJI служит rpaфиком уравнения. При м е р 2. Построитьrpaфик уравнения 3:r  2у + 6 == О. Реш е н и е. Подберем несколько решений задаввоro уравнения: 1) (о; 3); в самом деле, если х  о, у  3, то 3. О  2. 3 + 6  О  верное равенство (в уравнение 3х  2у + 6  О мы подставили значения х  о, у ... 3); 2)( 2; О);действитеЛьио, если х==  2, y О, то 3. ( 2)  2. 0+ 6  О  верное равенство; 3) (2; 6); если х '""' 2, у == 6, то 3 . 2  2 . 6 + 6 ... О  верное равенство; 4) (4; 9); если х  4, У == 9, то 3 . 4  2 . 9 + 6 == О  верное равенство. Построим точки (О; 3), (2; О), (2; 6), (4; 9) на координатной плоскости хОу. Они лежат на oд НОЙ прямой, про ведем ее (рис. 33). Эта прам:ал и Рис. 33 есть rpaфик уравнения 3:r  2у + 6 '"" О. (j] т е"ре"'" 1.1  zрафu" уравн.ен.и/l. ["  .. I ...  I '" ",,+ , I '" I I I 21/ :r I О  4 108 
6.28. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Пример решен, ХОТЯ и верно, но очень нерацио нально. Почему? Давайте рассуждать. 1. мы знаем, что rpв.фиком .тшвейноro уравнеИWI ах  2у + 6  О ИВJIJIется примая (это yrвeрж,цается в теореме). Чтобы провести прямую, достаточно указать две ее точки. Через две точки можно провести прямую и притом ТOJIЬ ко одну  этому вас учит reoметриа. Поэтому построенные въuпе четыре точки  это оный перебор. Достаточно было построить точ кв (о; 3) и (2; О) и с помощью ливейки провести через них прямую. 2. Решения данноro уравнения мы по.пбиnали, Т.е. уrадыВ8ЛИ. YraдaTb чтолибо всеrда труднее, чем действовать по определен- ному правалу. Нельзя ли было и здесь не yraдblBaTb, а действо вать по кaKOMyTO правил у? Можно. Например, так. Дадим пере- менной :r конкретное значение, например :r .. О (обычно пишут Х 1 =о О). Подставив это значение в уравнение 3х  2у + 6 =о О, получим: 3. О  2у + 6 =о О, Т.е. 2y + 6 =о О. Из этоrо уравнения находим: у == 3 (обычно пишут Уl =о 3). Значит, если:r  О, то у  3; пара (о; 3)  решение давноrо уравнения. Дадим переменной Х еще одно конкретное значение, например Х =о  2 (обычно пишут:r 2 =о  2). Подставив это значение в уравнение ах  2у + 6  О, ПOJIyЧllN: 3.(2)  2у + 6 == О, т. е.  2у =о О. Из этоro уравнеИWI находим: у  О (обычво пишут У2  О). Значит, если:r   2, то у == о; пара ( 2; О)  решение давноro уравнения. Вот теперь мы в состоянии сформулировать алrоритм построе- ИWI rpaфика лииейвоro уравнения ах + Ьу + с >; О (rде, напоl\lВИМ, а, Ь, с  любые числа, но а * О, Ь * О). Aлroритм построения rpафиltа уравнения аж + Ьу + с = О 1. Придать nерем.енкой :r "он"ретн.ое значение :r == :r l : найти из уравнения aX l + Ьу + с =о О соот' ветствующее значение у: у  Уl' 2. Пpuдa.тЬ1U!рем.еннойхдруzoe3ШJченш::r:rz; найти из уравнения аХ 2 + Ьу + с  О соответствующее зна- чение у: у  У2" 3. Построить на "оординатnoй nJlос"ости хОу две точ"и (:r l ; Yl) и (х 2 ; У2). 4. Провести через эти две точ"и прямую  она и будет zрафиl«lМ. уравнения ах + Ьу + с  О. 109 
6.18.1 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Замечание. Чаще Bcero на первом ware алrОpl1тма берут значение х == О. Второн war HHorдa HeMHoro нзменllЮТ: пола rают у == о н находят соответствующее значение х. .11 ,  4 "\. .:>  , 1'" " :A: О 1 З 3. Построить rpaфик уравнении 4х + 3y 12 '=' О. Реш е н и е. Будем действовать по алrорит- МУ (с учетом замечании). 1) Положим:r '=' О, подставим это значение в уравнение 4х + 3y 12  О, получим: 4' 0+ 3у  12 == О, 3y 12 '=' О, У == 4. 2) ПОЛОЖИМ. у ос О, подставим зто значение в уравнение 4х + 3у  12  О, получим: 4'х + 3' О  12  О, 4х  12 '=' О, :r  3. З) Построим на координатной ПЛОСКОСТИ :rOy две точки: (О; 4)  она найдена на первом шаrе алroритма и (3; О)  она найдена на вто- ром шаrе. 4) Проведем через точки (О; 4) и (3; О) пря мую. Это И есть искомый rpафик (рис. 34). При м е р 4. Иванов и Петров посадИJIИ на своих садовых участках яблони, причем Петров посадил иблонь в 2,5 раза боль- ше, чем Иванов. На следующий roд они увеличиJIИ число яблонь (ПОДС8Дили новые саженцы), причем у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем БЫJIО, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоre у них вместе стало 16 иблонь. Сколько иблонь посадили Иванов и Петров в первый rод1 Реш е н и е. ПеDВЫЙ этап. Составлен-ие .математuческоu моделu. Пусть :r  число яблонь, посаженных в первый roд Ивановым, а у  число яблонь, посажеиных в первый roд петровыl\I. По усло- вию задачи у '=' 2, 5х. Здесь целесообразно умножить обе части урав- нения на 2, получим: 2у  5х. это уравнение перепишем в виде: 5х  2у  О. (1) Далее, на второй rод Иванов увеличил число саженцев на CBO ем участке в 3 раза н, значит, у Hero стало 3х иблонь. Петров увеличил ЧИСло саженцев на своем участке в 2 раза, т. е. у Hero Рис. 34 Пример ttO 
6.28.  ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ стало 2у яблонь. По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. 3х + 2у  16. Перепишем это уравнение в виде 3х + 2у  16  О. (2) Математическая модель задачи rOToBa, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменвыl\lИ :r и у  иэ уравнений (1) и (2). Обычно в таких случав:х уравнения записывают одно под дРyrим И используют специальный символ  фиrурную скобку: { 5X2Y=O, 3x+2y16=0. (3) Второй этап. Работа с составлен-н-ой Atооелью. Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворить и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересу ющая нас точка (х; у) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2). Что делать? OrвeT очевиден: надо построить прямую (1), за- тем прямую (2) и, наконец, найтн точку пересе- чения этих прямых. 1) строим rpафнк уравнения 5х  2у == О. Если :r == О, то у == О; если :r  2, то у  5. Проведем через точки (о; О) и (2; 5) прам:ую II (рис. 35). 2) строим rpафик уравнения 3х + 2у  16  О. Если :r  О, то у  8; если :r == 2, то у "" 5. Прове- дем через точки (О; 8) и (2; 5) прямую l2 (см. 35). 3) прямые II и l2 пересекаются в точке (2; 5), т. е. :r == 2, у == 5. Рис. 35 Тneтий этап. Ответ н-а вопрос задачи. Спрашивается, сколько яблонь посадили в Первый roд Иванов и Петров, т. е. чему равны :r и у? OrBeт на этот вопрос уже полу чен: :r  2, у  5. О т в е т: в первый rод Иванов посадил 2 и6лони, а Петров  5 яблонь. Как видите, не зря мы с вами учились строить rрафики линей- ных уравнений с двумя переменвыми. зто позволило нам от од- ной математической модели (алrебраической модели (3) перейти к друrой математической модели  rеометрической (две прям:ые на координатной плоскости на рисунке 35), что и дало возмож ность довести решение до конца. l2 ,11 i/ -' eW l,  " '1 " '\'" \' I1  \ б' I ,," 1 О X н. 
6.19. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ  А можно ли работать непосредственно с Moдe лью (3), не переходя к rеометрической модели? МОЖНО, но об этом речь впереди, в rлаве 8. Там, используя новые знания, мы снова вернемся к MO дели (3).  19. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ rРАФИК Алrоритм построения rpафика уравнения ах + Ьу + + с... О, который мы сформулировали в  28, при всей ero четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они ВhlДвиrают претензии к первым двум шarам: алrоритма. Зачем, roворят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала аХ 1 + Ьу + с == О, затем аХ 2 + Ьу + с == О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + Ьу + с == О, тоrда леrче будет ПрОВО дить вычисления (и, rлавное, быстрее)? Давайте проверим:. Рассмотрим сиачала уравнение 3х  2у + 6 == О (см. пример 2 из  28). Имеем: 2у == 3х + 6; 3х + 6 у'" ; 3 У  2" х + 3. Придавая х конкретные значения, леrко вычислить соответ- ствующие значения у. Например, при х == О получаем у'" 3; при х ==  2 имеем у  о; при х "" 2 имеем у == 6; при х  4 получаем: у  9. Видите, как леrко и быстро найдены точки (о; 3), (2; о), (2; 6) и (4; 9), которые были выделеНЫ в примере 2 из  28. Точно так же уравнение 5х  2у == О (см. пример 4 из  28) можно было преобразовать к виду 2у == 5х и далее у  2,5х; нетруд' но найти точки (о; о) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению. Наконец, уравнение 3х + 2у  16 ... О из Toro же примера МОЖНО 3 было преобразоватъ к виду 2у == 16  3х и далее у  8  2 х. Из этоrо уравнения также леrко найти точки (о; 8) и (2; 5), которые ему удовлетворяют. Нl 
6.19.  ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде. Имеем: ах + Ьу + с ... о; Ьу   ах  с; axc у  -----ь; а с у   ЬX  ь- (1) !IJ ,ом__ r а с Вве д я обозначения    k    т по луч аем  'ь ' у  kx + т. Таким образом, линейное уравШ!ние (1) с дву. жл nере.менныJfШ х и у всеzда .можно nреобразовать к виду у  kx + т. (2) zде k. т  числа (коэффициенты), nриче.м k '* О. Этот частный вид линейноro уравнения будем называть JDlиейвой фуикцией. С помощью равенства (2) леrко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть. например. у :z 2х + 3. Тоrда: если х  о, то у  3; если х  1, то у  5; если х  1. то У  1; если х  3, то у  9 и т. д. Обычно эти результаты оформ:лиют в виде таблицы: х 3 у 3 5 1 9 Значения у из второй строки таблицы называют ЗНаченu.я.м.и линейной функции у  2х + 3, соответственно. в точках х == о, х  1. х  1, х  3. В уравнении (1) переменные х и у равноправны, а в уравнении (2)  нет: конкретные значения l\IЫ придаем одной из них  пере менной х, тоrда как значение переменной у зависит от выбраввоrо значения переменной х. Поэтому обычно roворят, что х  незави- симая переменвая (ИЛИ apryмeвт), у  :Jависимаи перемевиая. tt3 
6.29. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Замечание. В  25 мь' уже rовopиnи о том, как обстоит дело в математике с новыми nОНАТИЯМИ, н<r выми терминами. Часто 6t.l8aeT так: ввели новое nOHA-- тие, работают с ним, но затем, по мере дальнei:iшerо изучежя математики, наLlo1Нают осознавать, что ввe денное nOНАтие требует уточнеНИА, развития. Именно так обстояло дело с nОНАтием «тождество». Точно так же обстоит дело и с nОНАтием «фytflЩl1АJJ. Мы еще доволЫtо долrо будем npl1BbIKaTb к нему, наб....- раТЬСА опыта, работать с зтим nОНАтием nOKa не nри-- дем к CтporOMY определению (зто будет в 9 классе). Мноrие реальные ситуацИИ описываются математическими моделями, предсТавляющиМИ собой линейные функции. Приве дем примеры.  Н_3В.ИСИМВ. п_р_м_ннв. (врryм_нт) 3В.ИСИМВ. п_р_м_ннв. лин_йнв. ФУНКЦН. rрвфик лин_йной ФУНКЦНИ 1/ I  I J .' · } I ь '} . о 1 х , Рис. 36   114 Обратите внимание: линейная функция  это специальный вид линейноео уравнения с двумя ne ременными. rрафиком уравнения у  kx + т, как всякоrо линейноro уравнения с двумя переменны ми, является прямая  ее называют также rрафи ком линейной функции у  kx + т. Таким образом, справедлива следующая теорема. Т 2 I rрафиком линейной функции еорема . у == kж + т является прямая. При м е р 1. Построить rрафик линейной функции у  2х + 3. Реш е н и е. Составим таблицу:   Построим на координатной плоскости хОу точки (о; 3) и (1; 5) и проведем через НИХ пря мую. Это И есть rрафик линейной функции у  2х + 3 (рис. 36). (IJ 
6.29. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Перва. ситуаци.. На скпаде было 500 т уrJlЯ. Ежедневно стали подвозить по 30 т yrли. CKOJlbKO yrJlИ будет на cКJIвдe через 2,4, 10 дней? ЕCJlИ пройдет х дней, то КОJlичество у yrля на складе (в тоннах) выразитCJi фоРМУJlОЙ у == 500 + 30х. Таким образом, JlинеЙН&Jl фун- кции у  30х + 500 есть математичеСК&JlмодеJlЬ ситуации. Теперь нетрудно установить, что: при х  2 имеем у  560 (в уравнение у  30х + 500 подставили х == 2 и получили у == 560); при х == 4 имеем у == 620; при х  1 О имеем у  800. Вторая ситуаци.. На cКJIaдe было 500 т yrля. Ежедневно стали увозить по 30 т уrJlИ. CKOJlbKO уrJlИ будет на складе через 2, 4, 10 дней? Здесь математической моделью ситуации ивляетси Jlинейнаи функции у == 500  30х. С помощью этой модели нетрудно oтвe титъ на вопрос задачи: еCJlи х "'" 2, то у  440 (в уравнение у == 500  30х подставИJlИ х == 2 и ПОЛУЧИJIИ у  440); ecJIи х "'" 4, то у == 380; ecJIи х  10, то У == 200. Трет". ситуаци.. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А дО В, а затем ПРОДОJlЖИJl движение из пункта В в том же направJlении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоинии от А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч ходьбы? Математической моделью ситуации .IIВJIяетса JIШlеЙВ&Jl функ ция у== 15 + 4х, rде х  врем:а ходьбы (в часах), у  расстОJШие отА (в километрах). С помощью М'Ой модеJIИ отвечаем на вопрос задачи: еСJlИ х == 2, то у == 23 (в уравнение у  15 + 4х подставили х == 2 и получИJIИ у == 23); если х  4, то у  31; еCJlИ х == 6, то у == 39. На самом деле во всех математических моделих этих трех ситуаций мы допустили веточвости, По скольку ничеrо не сказали о тех оrраничениях на х, которые вытекают из смысла задачи. Ведь ясно, что в первой ситуации независимая переменная х    e6fНIIIIII'М 1I1lII.tt1lll.t tt5 
6.19. . ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ может принимать только значения 1, 2, 3, .... поскольку х  число дней. Следовательно. уточненная математическая модель первой ситуации выrлидит так: у == 500 + зох, rде х  натуральное число. во второй ситуации независимая переменная х, обозначаю ЩaJI, как и В первой ситуации. число дней, может првввм:ать толь ко значения 1, 2, 3, .... 16. Действительно, если х "" 16, то по формуле у == 500  30х находим: у == 500  30 . 16 == 20. Значит, уже на 17й день вывезти со склада 30 т yrля не удастся, посколь ку на складе к этому дню останется Bcero 20 т и процесс вывоза yrля придется прекратить. Следовательно, уточненная математи ческая модель второй ситуации выrлядит так: у == 500  зох. rде х == 1, 2, 3, ...,16. В третьей ситуации независимая переменная х теоретически MO жет прИIIJIТь любое нeorpицательвое значение (вапр., значение х == О, значение х == 2, значение х == 3,5 и т. д.), но практически турист не может шarать с ПОСТОJlВной скоростью без сна и отдыха сколько yroдно времени. Значит. нам нужно было сделать разумв:ые оrpaви чения на х, скажем. О .;;; х .;;; 6 (т. е. турист идет не более 6 ч). Напомним. что rеометрической моделью HecTpOroro двойноrо нераве1 0 "Тва О.;;; х.;;; 6 служит отрезок [0,6] (рис. 37). Значит, уточ нення модель третьей ситуации выrлядит так: у == 15 + 4х, rде х прш".щлежит отрезку [О, 6]. ."'"'I"'I'I'''<t х .. о 6 Рис. 37 Условимся вместо фразы .х принадлежит множеству Х. писать ХЕ Х (читают: .элемевт х принадлежит множеству Х., Е  знак nрuн.ад.л.ежн-остu). как видите, наше знакомство с матем:а- тическвм: языком постоявво продолжается. Если линейную функцию у == kx + т надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из HeKoтoporo чис- ловоrо промежутка Х, то пишут: y==kX+т.XEX. Н6 
6.19. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ При м е р 2. Построить rpaфик линейной функции: а) у ""'  2х + 1, :r Е (3, 2]; б)у""2х+l, ХЕ(з,2). Реш е н и е. а) Составим таблицу для линейной функции у  2x+l:   Построим на координатной плоскости хОу точки (3; 7) и (2; 3) и проведем через них прямую линию. Это  rpафик ypaB нения у  2x + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий постро енные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть rpафик линейной фув кции у   2х + 1, rде:r Е [3, 2]. Обычно rоворят так: мы построили rpафик линейной фуик ции У ==  2х + 1 на отрезке [ 3, 2]. б) Чем отличается этот пример от предыдущеro? Линейная функция та же (у'"  2х + 1), значит, и ее rрафиком служит та же Прамая. Но  будьте внимательныl  на этот раз х Е (3, 2), т. е. значения :r  3 и :r  2 не рассматриваются, они не ПDинанлежат Интервалу (3, 2). Как мы отмечали конды интервала на коорди- . 1:.. . 3 О 2 х Рис. 39 \ У У \ У I\.s: r \rs: I  , \ \ \ \ \ \ \, \." \ ,  \  ,  , 1 \ ! ,  о \ .x  О \ :!:  О , :r \ \ \ \     ,  \ Рис. 38 Рис. 40 Рис. 41 tt7 
6.29. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ натной ПРЯМОЙ? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы ro ворили в fi 26. ТОЧRо так же и точки (3; 7) и (2;  3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это БУДf;Т напоl\lИ нать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у ==  2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иноrда в таких случаях ИСПОJIЪзуют не свет' лые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это не- принципиально, rлавное, понимать, о чем идет речь. (j) При м е р 3. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции  u  ф r 4 неинои унКции у == 2" + :   Построим на координатной плоскости хОу точки (О; 4) и (6; 7) и проведем через них прам:ую  rpaфик линейной r функции у == 2" + 4 (рис. 42). Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке [0,6], т. е. дли :r Е [0,6]. Соответствующий отрезок rpафика выделен на чер- теже. Замечаем, что самая большм ордината у то- чек, принадлежвщих выделенной части, равна 7  ЭТО и есть наибольшее значение линейной функцИИ r НlIн60Лl,wее у == 2" + 4 на отрезке [О, 6]. Обычно используют 3Нllченне такую запись: УН8иб. == 7. лнненнон ФУНlCцнн Orмечаем, что самая маленькая ордината у то- чек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 ча- сти прямой, равна 4  ЭТО и есть наUAUньшее значе- ние линейной функции у ==  + 4 на отрезке [О, 6]. Обычно используют такую запись: уН..... == 4. ..' y i,.;' -<. ),- " ., "1" 4 ;, . .  о 1 r 1 У == 2" + 4 на отрезке [О, 6]. Реш е н и е. Составим таблицу для ли- Рис. 42 НIIНlltеньwее 3Нllченне лнненнон ФУНlCцнн 118 
6.19. ЛИНЕЙНАЯ функция При М е р 4. Найти УВАиfJ. и УВАВ". дли линейной функции у   1,5х + 3,5: а) на отрезке [1, 5]; б)на ивтервале (1, 5); в) на полуинтервале [1, 5); r) на луче [О, + 00); д) на луче ( 00, 3]. Реш е н и е. Составим таблицу дли линейной функции У   1,5х + 3,5:   Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5;  4) и проведем через них прям:ую (рис. 434 7). Выделим на построен- ной пр.ям:ой часть, соответствующую значеlПUlМ :r из отрезка [1, 5] (рис. 43), из интервала (1, 5) (рис. 44), из полуинтервала [1, 5) (рис. 45), из луча [О, + 00) (рис. 46), из луча (OO, 3] (рис. 47). а) С ПОМОЩЬЮ рисунка 43 нетруДВО сделать вывод, что Унамб.  2 (этоro значения линейная функции достиraeт при :r  1), а Унамм.   4 (зтоro значении линейвм фуlПЩИЯ достиrает при:r  5). б) Используи рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшеrо, ни наименьшеro значений на заданном интервале у данной ли- нейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от пре- дыдущеrо случая, оба КОНца отрезка, в которых :как раз и дости- rались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрении ис ключены. у у .. \ ... , \.  \ о 1 \ 5 :r О 1 , 5 :r , 1\ .л \. -л \ 1\ \.   ,5 :-+ 35 ,  ,5 ',. 3 5 Рис. 43 Рис. 44 Н9 
6.19. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ В) С ПОМОЩЬЮ рисунка 45 заключаем, что Ун..б. '"' 2 (как и в первом случае), а наименьmеrо значения у линейной функции нет (как и во втором случае). r) Используя рисунок 46, делаем вывод: Унаиб.  3,5 (этоro значе нии линейваи: функции достиraет при %  о), а УН8И". не существует. д) с ПОМОЩЬЮ рисунка 4 7 делаем вывод: Уши... ==  1 (зтоro значе ния линейная функция ДОСТИI"ает при %  3), а У"8ИIi. не существует. При м е р 5. ПОСТРОИТЬ rрафик линейной функции У  2%  6. С ПОМОЩЬЮ rpaфика ответить на следующие вопросы: а) при каком значении % будет У  01 б) при каких значениях % будет У > 01 в) при каких значениях % будет у < 01 р е m е н и е. Составим таблицу для .ли:нейвой фymщии у == 2%  6:   Через точки (о;  6) и (3; о) проведем прямую  rpафик функ ции У == 2%  6 (рис. (8). а) У  О при'% == 3. !'рафик пересекает ОСЬ % В точке %  3, это и есть точка с ординатой у  о. б) У > О при % > 3. В самом деле если % > 3, то прямая располо жена вы m е оси %, значит, ординаты соответствующих точек ПрЯМОЙ п о л о ж и т е л ь н ы. у ,у \ . ,,1  , \  \. '\. т-   о 1 \ 5 х О 1 , :,.. % \. I'\. ... D А \ , It' \ '\  ,6 36 Рис. 45 Рис. 46 110 
6.19. линейНАЯ ФУНКЦИЯ в) у < о при:r < 3. В самом деле если % < 3, то примаи располо- жена н и ж е оси %, значит, ординаты соответствующих точек ПрЯМОЙ о т р и Ц а т е л Ь н ы. (jJ  nU.8е r Обратите внимание, что в TOM прихере мы с ПОМОЩЬЮ rpафика решили: а) уравнение 2%  6  О (получили %  3); б) неравенство 2%  6 > О (получили % > 3); в) неравенство 2%  6 < О (получили % < 3). Замечание. В русском Rзыке часто один 11 тот же объект называют пораэному, наПРl1мер: «дом», «здаНl1е», «со- оруженl1е», «коттедж», «особняк», «барак», «Хl1бара», «l1збywка». В математическом языке Сl1туаЦl1Я ПРl1мерно та же. Скажем, равенство с двумя переменныl1 у = /еж + т, rAe /е, т  конкретные Чl1сла, можно назвать Лl1неi1ной фУНКЦl1еi1, можно назвать линеЙНlolМ уравнением с двумя neремеННЫМI1 ж 11 у (I1ЛI1 С двумн неl1звеСТНЫМI1 ж 11 у), мож- но назвать формулаМ, можно назвать CooTHOWeHl1eM, св. зывающнм ж 11 у, можно, наконец, назвать заВI1СI1МОСТЬЮ между ж 11 у. Это неважно, rлавное, ПОНl1мать, что во всех случаях речь I1дет о матемаТl1ческой модеЛl1 у = /еж + т. у у ! С J .. \. ,;,V   А ') ,\. ,.. 7 О 1 ) 3 % ::1 IТ . 10 1 \ .r J \. I и  1, 5% + B. J Q J Рис. 47 Рис. 48 111 
6.зо. ЛИНЕЙН,t..Я ФУНКЦИЯ  11 -' \.. 11 L....- 1,.  \.. ". :< .1'1'  " "'" rm "'7 \..' ". :;...   :.,;.;. " , "'" "'" о х О '" х t\. , Рис. 49, а Рис. 49, б Рассмотрим rpaфик линейной функции, изоб ражеввый на рисунке 49, а. Если двиrатьси по ЭТО му rрафику слева направо, то ординаты точек rpa фика все времи увеличиваютси, МЫ как бы 4ПОДНИ маемси в ropKY.. В таких случаях математики употреблllЮТ термин возрастание и roворят так: если k > О, то линейная ФУНlщия у = kж + т возра стает. Рассмотрим rрафик линейной функции, изоб раженвый ва рисунке 49, б. Если двиrаться по этому rрафику слева направо, то ординаты точек rрафика все времи умевьшают СИ, мы как бы 4спускаемся с rорки.. В таких случаях математи ки употреБЛRЮТ термин убывание и rOBopRT так: если k < О, то линейная ФУНlщия у == kж + т убывает.  80ЭрllСТIIнне уБЫ811Нlf8  30. ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ И ЕЕ rРАФИК Среди линейных функций у == kx + т особо выделиют случай, коrда т == о; в этом случае линейная функции принимает вид у == kx и ее называют прsмой ПРОПОРЦИОН8ЛЬНОСТЬЮ. Это на  звание объисниетси тем, что две величины у и х называют примо ПРОПОРЦИОН8ЛЬВЫМИ, если их отношение равно конкреТНОМУ чис 111 
6.30.  ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ  У лу, отличному от нули. Здесь   k, это число k %  называют коаффициевтом пропорционаm.вости.  Мноrие реальные ситуации моделируются с по _ мощью прямой пропорциональности. Например, пр.""". пpoпop d цион"пIJНО'ТIJ путь 8 и время t при постояннои скорости, 20 км/ч пр.""о пропор- связаны зависимостью s  20t; это  прямая про цион"пlJн",е порциональность, причем k == 20. Друroй пример: 88пи.,ин", стоимость у и число % батонов хлеба по цене 5 руб. за коэффициент батон связаны зависимостью у  5х; это  прЯNSЯ пропорцио- н"пIJНО"И пропорциональность, {'де k  5. Т..",-". з.1 rрафu1t.ом прямой пропорцuон.альн.остu 11 == kx является пряJКaЯ, про ходящая череа н.ач.ало KO ордин.ат. Д о к а з а т е л ь с т в о. Осуществим ero в два этапа. 1. у == k%  частный случай линейной функции, а rрафиком линейной функции является прям:sя; обозначим ее через l. 2. Пара %  о, у  о удовлетворяет уравнению у  k%, а потому точка (о; о) принадлежнт rрафику уравнения у == k:r, т. е. прямой l. Следовательно. прямая l проходит через начало координат. Теорема доказана. Надо уметь переходить не только от аналитической модели у  k% К rеометрической (rрафику прямой пропорциональности), но и от rеометрической модели к аналитической. Рассмотрим, например, прямую на координатной плоскости хОу, изображен вую на рисунке 50. Она является rрафиком прямой пропорцио нальности, нужно лишь найти значение коэффициента k. Так как k у юб d d ==  , то достаточно взять л ую точку на прямои и наити OTHO % шение ординаты этой точки к ее абсциссе. Прямая проходит че- рез точку Р(3; 6), а для этой точки имеем:  == 2. Значит, k == 2, а 3 потому заданная прямая линия служит rрафиком прямой про- порциональности у == 2х. I'pафик линейной функции у == k% обычно строят так: берут точку (1; k) (если:r == 1, то из равенства у == k:r находим, что у == k) 11] 
6.]o. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ  и проводит ПРЯМУЮ через эту точку и начало коор- динат. Впрочем, в случае необходимости точку (1; k) можно заменить друrой точкой, более удоб- ной. На рисунке 51 изображены rрафики линей- ных функций у =о Х (прямая l1)' у =о 2х (прямая l2)' yrпo8oii % ICОЭфф"Ч"8"Т у'"  (nряма-я lз; здесь не очень удобно брать точку 3 (1; i} мы взяли точку (3; 1)), У =о  2% (прямая l4)' Обратите внимание: от коэффициента пропорциональности за висит уrол, который построенная прямаи образует с положитель Hым направлением оси х. Если k > О, то этот уrол острый (так обстоит дело на рис. 51 с прямыми l1' l2' lз); если k < О, то этот уrол тиnой (так обстоит дело на рис. 51 с прямой l4)' Далее, если k > О, то чем больше k, тем больше уrол. Так, на рисунке 51 для 1 примой l3 имеем k  3"' дли прямой 11 имеем k  1, для прямой 12 имеем k  2; при увеличении коэффициента k увеличивается и уrол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент k в записи у =о kx называют не только коэф- фициентом прямой npoПОрЦИОН8ЛЬности, НО И yrп:овым коэффи- циентом. На рисунке 52 изображены rрафики линейных функций у =о 2х  4, у == 2х + б. Оба они параллельны rрафику прямой 11 ! 11 11 " / II % " I V J r = fX J v J , I , I 11 ... I J 1\ I V ) \1', J I , .., I / У' , 1Jr,J  1/ J  "./ ,.,.. ) , ;")   ". I  I J О 1 3 х , 11  i.:I: J 3 'О 1/2 .х I V I , I I 1{ 2 \ , / lV \ 4 4 Рис. 50 Рис. 51 Рис. 52 t14 
6.31. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ пропорциональности у == 2%, только первая примаи (у  2%  4) получаетси из примой у == 2% сдвиroм в н и з на 4 единицы масш таба, а втораи примаи (у == 2% + 6) получаетси из прямой у  2% сдвиrом в в е р х на 6 единиц масштаба. Справедлив следующий общий результат, который мы офор мим в виде теоремы. I Прямая, служащая zрафиком ликейкой фуккции Теорема 4. У == kx + т, nараллелька прямой, служащей zpa фиком прямой nроnорциокалькости у == kx. Вследствие этоrо коэффициент k в записи линейной функции у == k% + т также называют уzловым 1l0эффициен.том. Если k > О, то прямая у == kx + т образует с nоложителькым каnравлеки ем оси х острый уzол (рис. 49, а), а если k < О,  тупой уzол (рис. 49, 6).  31. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ rРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ Вернемся еще раз к rpaфикам линейных функций у  2:r  4 и у == 2% + 6, представленным на рисунке 51. Мы уже отмечали (в  30), что эти две прнмые параллельвы примой у  2%, а значит, параллельны друr Apyry. Признаком параллельности служит равенство уrловых коэффициентов (k  2 ДЛИ всех трех примых: и дли у  2%, И ДЛИ У  2%  4, и дJUI У  2% + 6). Если же yrловые коэффициенты различны, как, например, у линейных функций у == 2:r и у == 3% + 1, то прамые, служащие их rpафик8МИ, не парал- ле.льны, и тем более не совп8д8Ioт. Следовательно, ука.занные при мые пересекаются. Вообще, справедлива следующая теорема. I Пусть дакы две .лuн.eйпые фующuи у == k 1 % + т 1 и у == kzЖ + т)!. ЕCJШ уиuюые коэффициенты k 1 и k)! ptиr Теорема 5. НЫ, та прямые, сл.ужаЩlU zрафиJUL.М.U JULlU!йкыx ФvнК чий, тшралл.елькы (и даже cotmaiJают при уCJWБUU т 1 == т;?). ЕсJШ:же k 1 * k)!, та прямые neреСeJШются. При м е р 1. Найти точку пересечения прямых: :r а) у  2%  3 и у  2  "2 ; б) у   3% + 1 и у ==  3% + 5. t15 
6.31.1 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ р е m е н и е. а) Для линейной функции у == 2х  3 имеем:   у 1/1 ';1} ..... :? CtJ/ 2..... ;;- ') ,'" i". I  ] ..... :r О ..... I '3. I Прямая ll' служащаи rpафиком линей ной функции у == 2х  3, проведена на ри сунке 53 через точки (О;  3) и (2; 1). :r Для линейной функции у == 2  2" имеем:   Прямая l2' служащаи rpафиком линей ной функции у  2  :r , проведена на ри 2 сунке 53 через точки (О; 2) и (2; 1). Примые II и l2 пересекаются в точке (2; 1). б) Эта задача некорректна! В самом деле, линейные функции у ==  3х + 1 и у ==  3х + 5 имеют один и тот же yrловой коэффици ент (k ==  3), значит, прямые у ==  3х + 1 и у ==  3х + 5 параллель ны, т. е. точки пересечения у них нет. (j] Рис. 53 При м е р 2. Найти точку пересечения прямых у  4х + 7 и у   2х + 7. Реш е н и е. Здесь можно обойтись без чертежа. Будем pac суждать так. Вопервых, yrловые коэффициенты прямых различ ны (k 1 == 4, k 2 ==  2), значит, прямые пересекаются в одной точке. ВoBTOpЫX, как одна, так и дрyrая прямая проходит через точ- ку (о; 7) (вы обратили внимание, что т 1 == т 2 == 71). Следовательно, (О; 7) и есть искомая точка пересечении. (j] Вообще, прямые у  k 1 x + т и у == k 2 x + т, еде k 1 "1= k 2 , nepeceKa ются в точке (О; т). Завершая I'лаву 6, обратим внимание на характерную особен ность математическоl'О языка: в нем отсутствует противопостав ление между тем, что относитси к 8Лl'ебре, и тем, что относится к I'еометрии. во МНОl'их фразах, как вы, наверное, заметили, OДHO 116 
6.з 1. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ временно встреча.ютси элементы алrебраическоrо и reометричес' Koro языков  составных частей единоro матемаmческоrо язы- ка. Так, мы roворим: точка 3, прямая х  2, прямаа у  5, пря- мая у  2х + 3, отрезок [3, 7], луч [2, +сс] и т.П. А в  31 мы получили, пожалуй, наиболее яркие образцы свободноrо опери- рования алrебраическим и rеометрическим языками в одном суж дении  оНИ представлены в приведеНRОЙ таблице. Линейные Алrебраическое rеометрический функции условие вывод yklX+ml 1) k 1  k 2 , т 1 + т 2 1) Прямые у  k 1 x + тl и у  k + т 2 параллельны 2) k 1  k 2 , тl  т2 2) Прамые у  k 1 x + тl и у  k + т 2 совпадают у ... k 2 x + т 2 3) k 1 1' k з 3) Прямые у  k 1 x + т 1 и у  k 2 x + т 2 пересекаются OCHOBHblE РЕЗУ ЛЫ А ТЫ . Мы пополнили наш словарный запас математическоro языка следующими теDминами : координатная прямая, координатная ось, координата точки на прямой; примоуrольн8.JI система координат на плоскости (де- картова система координат); координатн8.JI плоскость, координатные yrлы, начало коордииат; абсцисса, ордината, ось абсцисс, ось ординат; числовой промежуток; луч, открытый луч; отрезок,интервал,полуинтервал; линейное уравнение с двуми переменными (ах + Ьу + с  О); t17 
'6.31. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ решение линейноI'O уравнении с дв)'Ми переменными; независимая перемевиая (apryмeHT); зависимая перемевваи; линеЙН8JI ФУНКЦИЯ (у  kx + т); примаи пропорциональность (у  kx); уrловой коэффициент (дли лииейной фуикции ykx+m). . Мы ввели следующие обозначения : хОу (дли примоyrОЛЬНОЙ системы координат на ПЛос кости); М (х) (дли обозначении координаты точки М на KOOp динатной прИМОЙ); М (%; у) (дли обозначении координат точки М на KOOp диватной плоскости); (а, + 00), [а, + 00), (oo, Ь), (OO, Ь) (дли .лучей на коорди натной примой); (а, Ь), [а, Ь), (а, Ь), [а, Ь) (дли интервалов, отрезков и полуинтерВ8ЛОВ на координатной примой); Ун.иб.' Ун.мм. (дли наибольшеrо и наимевьшеrо значе ний линейной фУНКЦИИ на заданном числовом проме жутке). . Вы ПОЗНaJCОМИЛИСЬ С треми новыми мвтематическиlIВ мо.пеЛJD\lИ : у  kx; у  kx + т; ах + Ьу + с  О. . Мы получили следующие Dезvльтаты: rpафиком уравнении %  а ивлиетси примаи, парал лельная оси ординат и проходищая через точку а на оси абсцисс; в частности, х == О  уравнение оси ординат; rpафиком: уравнении у == ь ивлиетси примаи, парал лельнаи оси абсцисс и проходищаи через точку Ь на оси ординат; в частности, у == о  уравнение оси абсцисс; f18 
6.31. линЕйНАЯ ФУJiКЦИЯ rpафиком прямой пропорЦиОН8JlЬности у  kx ИВJIяет- ся примая, проходяЩ8JI через наЧ8JlО координат; rpaфиком .пинейноЙ функции у == kx + т И8JJЯется пps- мая; rpафиком линейноro уравнения ах + Ьу + с  О Я8JJЯет- си пpsмая. . мы разработали следующие алrОDИТМЫ : алroритм отыскания координат точки М, задавноЙ В прямоyrольной системе коордиват хОу: алroритм построения точки М (а: Ь) в ПрRl\lОyrольноЙ системе координат хОу; алroритм: построения rpафика линейиоro уравнении ах + Ьу + с == о. 5. МОР.l1J\.ОВIIЧ .А...11'е6ра. 7 К.1I.' 
rЛАВА 7 функция у == х 1 i 31. Функция У == ,! н ее rрафнк i 33. rфнческое решенне уравненн" i 34. Что означает в математнке запнсь у == f (х) ОСН08ные реэулътаnOl  31. функция v = х 1 И ЕЕ rРАФИК  в rлаве 6 мы ввели термин .линейиая фyвRция., пови маи под ЭТИlIoI линейное уравиение вида у  kx + т с двуми перемеs. ИЫl\lИ х, у. Правда, переменllыe х, у, фиrypирующие в этом ypaвHe нии (в ЭТОЙ математической модели) считались sеравнопрв.вllымJl: х  независиМlU! перемеиввя (apryмeBT), которой мы моrли придавать moбые значении, иезависим:о ии от чеro; у  зависимая переМеиваи, поскольку ее значе иве Зависело от TOro, какое значение перемеивой х было выбрано. Но тоrда возникает естествевIIый воп- рос: а не встречаются ли математические модели Ta KOro же плава, но такие, у которЫХ у выражаетси через х не по формуле у == kx + т, а каким-то иllыl\l способом? orвeт исен: конеч ВО, встреч8lOТCR. Если, sаприм:ер, х  сторона квадрат&, а у  ero площадь, то у  х 2 . Если х  сторона куба, а у  ero объем, то у ... r. ЕCJlИ х  одна сторона прям:оyroлЬJlИК8, площадь KOТOporo 100 равна 100 см 2 , а у  дрyraи ero сторона, то у  . Поэтому,  " ствевво, что в математике не оrpаsичиваютси изучением модели у  k:r + т, прИХОДИТСИ изучать и модель у  r, и модель у  r, и модель 100 у   ' и l\IВome дрyrие МодеJШ, имеющие т8RyIO же структуру: в t3D 
7.31. функция у == х 2 левой части равенства В8XOДВТCJI перемеввaJI у, а в правой  какое- то выражение с перемениой х. для таких моделей сохраняют тер- мин .фyиJCЦШl., опускаа прилaraтельвое .линейваа.. В этом паparрафе мы рассмотрнм функцню у  х2 и построим ее rpафнк. Даднм нез8ВИСНМОЙ переменной :r несколько конкретных зва- чений и вычислим соответствующие значении 38ВнсИl\lОЙ пере- менной у (по формуле у =- х 2 ): если :r =- О, то у =- 02 ... о; еслн :r =- 1, то у  12 == 1; если :r =- 2, то У  22  4; если:r =- 3, то у == 32.. 9; если Х'"  1, то у == ( 1)2 =- 1; если:r =-  2, то У =- (2)2 == 4; если:r =-  3, то у  (3)2 =- 9; Короче roворя, мы составW1И следующую таблицу: о о 1 1 2 4 3 9 I  ': I I ; 3 9 Построим найденные точки (о; О), (1; 1), (2; 4), (3; 9), ( 1; 1), (2; 4), (3; 9), на координатной плоскости хОу (рис. 54, а). Эти точки расположены на некоторой линни, начертим ее (рис. 54, 6). эту линию называют параболой. у у 9 ., / \ 'if \  ./ I 4 \ I . , . 1" ./    о %    о % Рис. 54,а Рис. 54, 6 5* 131 
Ковечно, в идеале вадо было бы дать apryм:eвтy х все в03мож- вые звачеВИII , вычиCJIИТЬ соответствующие звачеви& перемеввой У и построить получеввые точки (х; У). Тоrда rpафик был бы абсолют- во точ:вым:, безупречвым:. Однако это вереальво, ведь таких точек бесковеч:во МIIoro. Позтому м:атем:атики поступают так: берут ко- вечное м:вожество точек, строит их ва коор.цииатвой плоскости и смотрит, какая линь вам:ечаетса ЭТИl\IИ точ:ка.м:и. Если ковтуры этой ЛИВИИ ПРОЯВЛ&JOТCЯ достаточво отчетливо (как это было у вас, скажем, в примере 1 из 5 28), то эту ливию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этоro. Поэтому и надо все rлубже и rлубже изучать матем:атику, чтобы были средства избеraть ошибок. Попробуем:, rлид& ва рисувок 54, описать rеометрические свойства параболы. Во-первых, отмечаем:, что парабола выrлидит довольво красиво, поскольку обладает сим:метри. ей. В самом: деле, если провести выше оси х любую прахую, пара.ллельвую оси х, то эта прам:а& пере- сечет параболу в двух точках, расположеввых ва раввых рассто&виlIX от оси У, во по развые сторовы от вее (рис. 55). Кстати, то же м:ожво сказать и о 00 clfMMerpHH точках, отм:ечевных на рисувке 54, а: пере60ЛЫ (1; 1) и (1; 1); (2; 4) и (2; 4); (3; 9) и (3; 9). eer.1f пере60ЛЫ rOBopaт, что ось У &вляется осью симметрии пара- боJIЫ у=-х?- или что nара60Аа сШlUltетричШJ относи- теАЬн.о оси у. Во-вторых, замечаем, что ось сим:м:етрии как бы разрезает параболу ва две части, которые обычво вазывают ветвями парабоJlЫ. В-третьих, отмечаем:, что у параболы есть особа& точка, в ко- торой смыкаются обе ветви и котора& лежит ва оси симм:етрии параболы  точка (о; о). Учитывав ее особевиость, ей присвоили специ8JIЬИое В8зВ&Вие  верmива параболы. В-четвертых, Коrда одна ветвь параболы соедив&етс& в верши- не с друrой ветвью, это происходит плавно, без излом:а; парабола как бы .прижимаеТС&t к оси абсцисс. Обычно roВOP&T: nара60Аа "асается оси абсцисс. Теперь попробуем:, rлид& ва рисунок 54, описать некоторые свойства функции У ... х 2 . 1.31.  пере60ле нрШНН' пере60ЛЫ 01 фуНКция у = х 3 
7.31. функция у = х 2 Во-первых, замечаем, что у  О при х == О, У > О при % > О И при % < О. Во-вторых. ОТl\(ечаем, что Уна.м.  О, а УнаИIl. не существует. В-третьих, замечаем, что фующия у  %2 убывает на луче (oo, О]  при этих значе:в:иях %, двиrаясь по параболе слева на- право, мы .спускаемся с rорки. (см. рис. 55). Функция у  х 2 возрастает на луче [О, +00)  при этих значениях %, двиrаясь по параболе слева направо, мы .поднимаемся в ropKY. (см. рис. 55). При м е р 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у  %2: а) на отрезке [1, 3]; б) на отрезке [3,  1,5]; в) на отрезке [ 3, 2]. Реш е н и е. а) Построим параболу у  %2 И выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной % из отрезка [1,3] (рис. 56). Для выделенной части rpафика находим Унаи...  1 (при %  1), У.....б.  9 (при % ... 3). б) Построим параболу у  %2 И выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной % из отрезка [3,  1,5] (рис. 57). Дли выделенной части rpафиК8 находим УВ8и...  2,25 (при % ==  1,5), УвaиII.  9 (при % ==  3). в) Построим параболу у  х 2 И выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [3, 2] (рис. 58). Для выделенной части rрафика находим Унам...  О (при %  О), УН8иб.  9 (при % ...  3). у у у у : 11 11 \ tj : "i : :\ '" : \ ./ : н I : \ .. : \ I :  I .\ :;, " \ : , : "  \ I I  ?' ;;,' \ 11 \ I " 1 / :\ : \ I \. ./  % .  \. .J % О О 3   ,5 О n Рис. 55 Рис. 56 Рис. 57 Рис. 58 f)) 
7.31. функция у = X 1 Совет. Чтобы кажды1 раз не строить rрафик ФУНКЦИИ у  J? по точкам, вырежьте из мотной бумаrи шаблон парабол!>.. С ero помощью вы будете очень быстро че тип. параболу. Замечание. Предпаrая вам заrотовнть шаблон парабо- лы, M!>I как б!>1 уравниваем в правах фун'кцию у == J? и линеl1НУЮ функцию у == k}( + т. Ведь rpафиком Лl1неl1НОI1 функции является прямая, а дпя I1зображеНI1Я прямой I1спользуется о&'lчная линейка  зто И есть шаблон rрафнка функции у  kx + т. Так пуст!> у вас будет и шаблон rрафнка фУНКЦИI1 у  J? При м е р 2. Найти точки пересечеНИII параболы у ... %2 И ПРIlМОЙ У  % + 2. Реш е Н и е. Построим в ОДНОЙ системе координат параболу у'" х2 и прамую у  % + 2 (рис. 59). Они пересеlUUO'l'CR в точках А и В, причем по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В: ДЛII ТО'IКИ А имеем: %   1, у'" 1, а ДЛII точки В имеем: % ... 2, у  4. О т в е т: парабола у  %2 И прям:аи у  х + 2 пересекаЮТСII в ДВУХ точках: A( 1; 1) и В(2; 4). Важное замечание. До сих пор М!>I С ваМI1 доволЫfО смело делали B!>IBOA!>I с помощ!>ю чертежа. Однако математl1КИ не СЛI1UЖОМ доверяют чертежам. Обнаружив на рисунке 59 две ТОЧКи пересечения параболы и прямoi1 и определив с помощью рисунка координаты зтих точек, у у -'" .1-[/ \ / \ 11 , 1\ И ю \ А 1\ ;" I \ 1 .' / IJ ' \ !/ ry r\..  '"   1 О % О % Рис. 59 Рис. 60 13. 
7.зз. функция у = х) математик обl>lЧНО npoверАет себя: на самом ли деле точка (1; 1) лежит ,IUIK на лрямон, так и на лараболеj денствитеl1llНQ ли точка (2; 4) лежит и на прямон, и на парабоnel.ДIUI зтorо нужно подставить КООРАНнаты точек А и 8 в Ур.1внени, прямон и в уравнение парабоЛI>I, а затем убедиться, что и в том, и в APyroM случае получится верное равенство. В лримере 2 в обоих случаях получатся верные равенства. Особенно часто производят такую проверку, KorAa сомневаются в точности чертежа. в заключение отметим одно любопытное свойство параболы, открытое и доказанное совместно физиками и математиками. ЕсJПI рассматривать параболу у = х 2 как экран, как отражающую поверхность, а в точке (о; ) поместить исочник света, то лучи, отражаясь от параболы. экрана, образуют параллельный пучок света (рис. 60). Точку (о; ) называют фо"усOJlt параболы. Эта идея используется в автомобилях: отражающая поверхность фары имеет параболическую форму, а лампочку помещают в фо кусе  тоrда свет от фары распространяется достаточно далеко.  33. rРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Подытожим наши знания о rpафиках функций. Мы с вами научились строить rpафики следующих функций: у  ь (прямую, парsллельную оси х); у  kx (прямую, проходящую через начало координат); у  kx + т (прямую); у  х 2 (параболу). Знание этих rpафиков пооволит вам в случае необходимости заменить ав&.1IИТИЧескую модель rеометрической (rpафической), вапример, вместо модели у  х 2 (которая представляет собой paвeH ство с двумя перемеввыми х и у) рассматривать параболу в коорди ватной плоскости. В частности, это ивоrда полезво для решевия уравнений. Как это делается, обсудим на нескольких примерах. t35 
7.зз.  функция у = X При м е р 1. Решить ураввение х 2 ... Х + 2. Реш е в и е. Рассмотрим ДВе функции: у == :r, у ... х + 2, пост- роим их rpафJU(И и найдем точки пересечевии rpафиков. Эту за- дачу мы с вами уже решали (см. пример 2 из 5 32 и, cooтвeтcтвeB во, рис. 59). Парабола у ... х 2 И прим:ая у ... х + 2 пересекаютси в точках А (1; 1) и В (2; 4). Как же найти корви уравнев:ии %2 ... % + 2, т. е. те значеВИИ х, при которых выражении :r и х + 2 прииимают ОДиваковые число- вые звачении? Очевь просто, эти значении уже найдеВЫ: Х 1 ...  1, %2  2. Это абсциссы точек А и В. в которых пересекаютси постро- евиые rpaфики. О т в е т: %1 ==  1, Х 2 ... 2. Фактически мы ИСПОJJЬ30Вали следующий алrоритм:: 1. Ввели в рассм:отрение функции у ... :r. у ... % + 2  (дли дрyrоrо уравневии будут, разумеетси, ивые I функции). 2. Построили в одвой системе коордиват rpафи- ки функций У ... х 2 , У == % + 2. 3. Нашли точки пересечевии rpафиков. 4. Нашли абсциссы точек пересечевии  это и есть корви ураввевии. При м ер 2. Решить ураввевие %2  Х + 4 ... О. Реш е в и е. 3десьпридетс.я:дополвитьвыработав:вЪ1Йалroритм: еще одвим шaroм (подroтoвительвым: шaroм): надо переписатъ урав- вевие в виде, дли KOТOporo имеетси алroритм:. g Этот вид таков: х 2 == %  4. Теперь все в ПОРЯДКе, действуем в соответствии с алroритм:ом. 1) Введем две функции: у'" х 2 , У == %  4. 2) Построим в одной системе координат rpa- фики функций У == %2 И У == х  4 (рис. 61). 3) Точек пере сечении у построеввых пара- болы и примой вет. как вы думаете, что озвачает этот rеометри- ческий факт дли давной алreбраической задачи (дли данноrо ураввевии)? Доrадались? А теперь сопоставьте свою доrадку с тем, что виже запи- саво в ответе. Рис. 61 О т в е т: уравневие ве имеет корней. 06 
7. 34.  - r функция у == X Зtlмеlftlнне. в  23 мы уже rоеормли о том, что cy щесТ8ytOт так наз...аем...е квадратные уравнеНИА  УРCl8нениА вида "х2 + Ьх + с == О, rAe ", Ь, с  чнcnа, ,,:F- О. Они решаЮТСА по cneцнan....IM формуnам ДnA отыскаНИА корней, но зтих формуn мы пока не знаем. т ем не менее нeкoTopt.le квадратные уравнения мы уже рewиnи. Так, в  23 мы pewиnн ураененне х2  6х + + 5 == О методом разложеНИА на множитenи. А в насто- Ащем naраrpaфе мы pewиnи еще два квадрат...IХ урав- неНИА  rрафическим методом. Это уравнение х?  х  2 == О (см. пример 1; правда, там уравнение б..U10 записано по-друrом у: х2 == х + 2  но вы же пон..... маете, что это то же самое) и уравнение х2  х + .. == о (см. пример 2).  34. ЧТО ОЗНАЧАЕТ В МАТЕМАТИКЕ ЗАПИСЬ У = f (х) Изучая какойлибо реальный процесс, обычно обраща- ют внимание на две величивы' участвующие в процессе (в более сложных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и Т.д., НО мы пока такие процессы не рассм:атриваем): одна из них меняетси как бы сама по себе, независимо ни от чеro (такую пере- менную мы обозначили буквой Х), а дрyr8JI величина принимает значения, которые зависит от выбранных значений переменной Х (такую зависимую переменную мы обозначили буквой у). MaTe матической моделью реальноrо процесса как раз и 8ВЛЯется за- пись на математическом языке зависимости у от х, Т.е. связи меж- ду переменными Х и у. Еще раз напомним, что к настоящему MO менту МЫ изучили следующие математические модели: у == Ь, у == kx, У  kx + т, у == х 2 . Есть ли у этих математических моделей что. либо общее? Есть! Их структура одинакова: у  {(х). Эту запись следует повимать так: имеется выраже- ние {(х) с переменной х, с помощью KOToporo нахо- дятся значения переменной у. [f@J 07 
7.34. функция у = х 2 Математики предпочитают запись у  f (х) не случайно. Пусть, например, {(%)  %2. т. е. речь идет о функции у  %2. Пусть нам надо выделить несколько значений apryмeHTa и соответствующих значений функции. До сих пор м:ы ПИC8JlИ так: если %  1, то у  12  1; если %   3, то у  ( 3)2  9 и т. д. Если же использовать обозначение f (%) == %2, то запись стано- вится более экономной: f(l)== 12 == 1; {( 3) == (3)2 == 9. Итак, мы П03накомшшсь еще с одним фparм:евтом математичес KOro языка: фраза .значение функции у == %2 В точке % == 2 равно 4. записываетси короче: .если у  {(%), rде {(%)  %2, то {(2)  4.. А вот образец обратноrо перевода: Если у == {(%), rде {(%)  %2, то {( 3)  9. По-дрyrому  значе ние функции у == %2 В точке %   3 равно 9. При м е р 1. Дана фymcции у == {(%), rде ((%)  %3. Вычислить: a)f(I); б)f(4); B)f(a); r)f(2a); д) {(а  1); е) ((3%); ж) {( ж). р е m е н и е. во всех случаих план действий один и тот же: нужно в выражении ((%) подставить вместо % то значение 8pry- мента, которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисления и преобразованИR. Имеем: а) ((1) == 13 == 1; б)f(4)(4)3 64; в) ((а)  а 3 ; r) {(2а) == (2а)3  8а 3 ; д)f(а 1)(a 1)3; е) {(3%) == (3%)3 == 27%3; ж) {( %) == (%)3   %3. (j] 3амечанне. Разумеется, вместо буквы f можно I1СnОПЬ зовать любую друrую букву (в основном, 113 лаТl1нскоrо алфавнта): g (х), h (х), s (х) 11 т. Д. При м е р 2. Даны две функции: у == {(%), rде ((%)  %2, И У == g (%), rде g (%)  %3. Доказать, что: а) {( %) == ((%); б) g( %) ==  g(%). Ре m е н и е. а) Так как {(%) == %2, то {( %) == (--:- %)2 == %2. Итак, t38 
7.34.  ФУНКЦИЯ У = x l {(х).: х 2 , {( х)  х 2 , значит, {(x)  {(х). б) Так как g(x) ,(J, то g(x)  (x)3 == ,(J, Итак, g(x) ,(J, g (x).:  х 3 , Т.е. g (x) ==  g(x). <11 Использование математической модели вида у .: f (х) ока- зывается удобным во l\IИоrиx c.лyчux, в частности, тоrда, Korдa ре- алъвый процесс описывается различными ФОРМУЛ8l\lИ на разных промежутках изменения независимой переменной. При м е р 3. Дана функции у ... f (х), rде { 2.%, если х < о; {(х)  х 2 , если х >0. а) Вычислить: {( 5), {( 2), {(1,5), {(4), {(О). б) Построить rpафик функции у  {(х). Решение. а) Что такое {(5)? Это значение заданной функ- цИИ в точке х  5. Но функция задана не одним выражением, а двумя: 2х и х 2 . Каким из них воспользоваться? это зависит от выбранноro значения apryм:eHтa. Мы выбрали х  5, а число 5 удовлетвориет неравенству х < о; в этом случае функция зада- ется выражением, стоящим в первой строке, Т.е. {(х)  2х. Тоrда {(5) .: 2. (5) .:  10. Аналоrично вычисляем {( 2): если х   2, то х < О и, значит, {(х)  2х. т. е. {( 2)  2. (2)   4. Вычислим {(1,5), т. е. значение фУНКцИИ у == {(х) в точ- ке х  1,5. это значение х удовлетворяет условию х > О, и, следо- вательно, функции задается выражением, стоящим во второй строке, т. е. {(х)  х 2 . Поэтому {(1,5) == 1,52.: 2,25. и J У , , , I У y  L. I '1, , I - I \ , I 12 , \ ,  о 1 .. I 1 }, I , I 'Р / , j  / , v о / /  Рис. 62 Рис. 63 Рис. 64 tJ9 
7.34. функция у = х 1 Аиалоrично находим:{(4): еслих  4, тoxO и, значит, {(x) х 2 , Т.е. {(4)  42 == 16. Осталось вычислить {(о). 3начеиие х  О. удовлетворяет усло- вию х  О, следовательно, {(х) == х 2 , Т.е. ((О)  02  О. б) Мы умеем строить rpафики функций у  2х (рис. 62) и у  ;r2 (рис. 63). 3адаиная функция у  {(х) совпадает с функцией у  2х при х < О  эта часть rpaфика выделеиа на рисунке 62. 3адаин8Я функция у  {(х) совпадает с функцией у == х 2 при Х ;) О  эта часть rpафика выделена на рисунке 63. Если мы теперь изобра- зим обе выделениые части в одной системе координат. то получим требуемый rрафик функции у'" {(х) (рис. 64). <11 Коиечно, математики не строит подобные rpa- фики так долro. Обычио все делается сразу в одной системе коордииат. Только, естественно, прямаи у  2х беретса не целиком, а лишь при условии х < О. т. е. на промежутке (oo, О), и парабола у  х 2 берет- са не целиком, а лишь при условии х ;) О, т. е. на промежутке [О, + 00). вот тах, .по кусочкам. и вое- производитси весь rpафик. Поэтому функции тако- ro типа, как в примере 3, называют КУСОЧIIЫМИ.  ку,очн.. функцн. При и е р 4. Дана функция у == {(х), rде { Х+2 если 4xI; {(х) == ха, если  1 < х  о; 4, если 0<x4. IJ У Yj и у== . 4 \ ,   \  , <1,/ х t 4 v О \ , х /  о о 4 . 2/ \.... .1. Х 1 u . V I РиС. 65 140 Рис. 66 Рис. 68 Рис. 67 
а) Вычислить: {( 4), {( 2), {( 0,5), {(О). ((1); б) построить rpaфик функции У ... ((х). Реш е и и е. а) 3вачевиех 4удовлетвориетусловшо4" x" 1, а в ЭТОМ случае {(х) == х + 2. Поэтому {( 4) ==  4 + 2 ==  2. Значение х ==  2 удовлетвориет условию  4" х"  1, а в ЭТОМ случае {(х)  х + 2. Значит, {( 2)   2 + 2  О. Значение х   0,5 удовлетворяет условию  1 < х" О, а в 8'1'Ом cлyqae {(х)  r. Следовательво, {(,5)  (o,5t  0,25. Значение х  О удовлетворяет условию  1 < х " О, а в ЭТОМ случае {(х)  х 2 . Torдa {(О)  02... О. Значение х  1 удовлетворяет условию О < х " 4, а в ЭТОМ случае {(х)  2. Имеем ((1)  2. Звачеиие х  5 не удовлетворяет ни одному из имеющихся: усло вий: ии первому ---4" х"  1, ни второму  1 < х" О, ни ТPeТЬelI[Y О < Х "4. Поэтому вычислить f(5) l\Iы не можем, 8'1'0 З8ДВВИе некорректио. б) !'рафик фуикции у'" {(х) построим 4ПО кусоч К81\(.. На рисуике 65 изображен rpафик функции у == х + 2, rде х Е [4,  1]. На рисунке 66 предстввлен rpафик функции у  r, rде х Е (1, О]. на рисун ке 67 изображен rpaфик функции у == 4, rдe х Е (0,4]. Наконец, на рисунке 68 все 4КУСОЧКИ. воссоединены в одно целое  в rpaфик функции у  f(x).  Вот так с ПОМОЩЬЮ известных rpафиков 4 по ку' сочкам. можно строить rpафики на координатной плоскости. Опишем с помощью построеввоro на рисунке 68 rpафика некоторые свойства функции у  {(х)  такое описаиие свойств обычно H8.3ьtВaJOТ чтением zрафu"а. Чтение rpафика  8'1'0 своеобразный переход от reoметрической модели (от rpафичес кой модели) к словесной модели (к описанию свойств функции). А построение rpафика  это переход от аналитической модели (она представлева в условии примера 4) к reoметрической модели. Итак, приступаем к чтению rрафикв функции у == {(х) (см. рис. 68). 1. Независим:ая перемевв8.S1 х пробеrает все значении от  4 до 4. Иными слова:ми, дли каждоrо значении х из отрезка [4, 4] МОЖ- НО ВЫЧИСЛИТЬ значеиие функции {(х). rоворит так: [4, 4]  об ласть определения ФУН"ции. 7.34.  чrеНlfе rРllфlf/(1I 06ЛIIСТ. опреАелеНlf1l ФУН/(Цlflf функция у == х 2 t.t 
Почему при решении примера 4 мы сказали, что найти {(5) нельзи? Да потому, что значение х  5-не принадлежит области определении функции. 2. У ВIIИМ .  2 (этоrо значении функции достиrает при х  4); Уиавli.  2 (этоrо значении функции достиrает в любой точке полу- интервала (о, 4]. 3. У  о, если х   2 и есJIИ х  о; в этих точках rpафик функции У  {(х) пересекает ось х. 4. У > О. если х Е (2, о) или если х Е (0,4]; на этих промежут- ках rpафик функции У == f (х) расположен выше оси х. 5. У < о, если х Е [4,  2); на этом промежутке rpaфик функ ции У  f (х) расположен ниже оси х. 6. Функции возрастает на отрезке [4,  1], убывает на отрезке [1. о] и постоинна (ни возрастает, ни убывает) на полуинтервале (о, 4]. (IJ По мере тoro как кы с вами будем изучать новые свойства фун кций, процесс чтении rpaфика будет становитьси более насыщен вы.. содержательным и ивтересвым. ОбсуДИl\ll одно из Т8JCИX новых свойств. !'рафик функции, рассмотренной в при мере 4, состоит из трех ветвей (из трех .кусочков.). Перван и вторан ветви (отрезок lIpJIl\Iой У  х + 2 и часть парабол:ы) .СОСТЫКОВ81IЫ. удачно: отрезок заканчиваетси в точке (1; 1), а участок параболы начинаетси в той же точке. А вот втораи и TpeTЫI ветви менее удачно .состыкованы.: TpeTЫI ветвь (.кусочек. rоризонтальной прамой) начиваетси не в точке (о; О), а в точке (о; 4). Матещтики roворят так: .фувк ЦИJI У  {(х) претерпевает JI03ры.в при х  О (или в точкех  о).. Если же фymщия не имеет точек разры- ва, то ее называют ш>nреры.вШJй. Так, все функции, с которыми l\Iы П03В8КОl\lИJlИсь В предыдущих пара rpaфах (у  Ь, У  kx, У  kx + т, У == х 2 )  непре- 7.34. [IJ   HenpepWBHIIR ФУНКЦНR ТОЧКII рllЭрWВII функция у = х 2 рывные. х 3  2х 2 2 . Требуетси построить x При м е р 5. Дава функции У == и прочитать ее rpафик. 1.1 
7.34. функция у = x l %32%2 2( 2) f (х) == %  2  .2::._  х 2 %2 . Итак, на самом деле {(х)  XJ. Правда, %3  2%2 надо учесть, 'lто тождество  2 ' == х 2 % справедливо лишь при оrpаНИ'lевии х * 2. Следовательно, м:ы MO %3  2%2 жем переформ:улировать задачу так: ВМесто функции У  %2 будем рассматривать функцию У  х 2 , rде х * 2. Построим на координатной ,плоскости :rOy параболу У  r. Прямаи х 0= 2 пересекает ее в точке (2; 4). Но по условию х * 2, зна'lИТ, TO'lKY (2; 4) параболы l\IЫ должны ИСКЛЮ'lить из paCCMOТ рения, для 'Iero на 'Iертеже отметим эту точку светлым кружком. Таким образом, rpафик функции построен  это парабола У  х 2 С .выколотой. точкой (2; 4) (рис. 69). Перейдем к описа.вию свойств функции У 0= f (х), т. е. к чтению ее rpафика: 1. Независимаи перемеивая х принимает любые зна'lения, кроме х  2. Зна'lИТ, область определения функции состоит из двух открытых лучей (oo, 2) и (2, +00). 2. УНIIJI". 0= О (достиrается при х 0= О), УИlIИб. не существует. 3. Функция не является непрерывной, она претерпевает раз- рыв при х  2 (В TO'lKe х 0= 2). 4. У 0= О, если х  О. 5. У > О, если х Е (oo. О), если х Е (О, 2) и если ЖЕ (2, +00). 6. Функция убывает на луче (oo, О], возрастает на полуивтер вале [О, 2) и на открытом луче (2, +00]. (j] ,.n, 11 \ . \ \ 11 \ I , . I 1"- ../ % О Реш е R и е. Как видите, здесь функ- ция задана достато'lНО сложным выражеви ем. Но математика  единая и цельная на- ука, ее разделы тесно связаны дpyr с дpy roM. Воспользуемся тем, 'lТО мы изучали В rлаве 5, и сократим алreбр&И'lескую дробь %3  2%2 %  2 . Имеем: Рис. 69 ..) 
7.34.1 функция Y:sX 2 ОСНОВНЫЕ РЕЗУ ЛЬТ А ТЫ . Мы пополнили наш словаРНЫЙ запас матекатическоro ИЗLlКа следующими теDМRНам:и: парабола, ось (ось сим:метрии) параболы, ветви пара балы, вершина праболы; непрерывнаа функции, разрыв функции; кусочваа функции; область определении функции; чтение rpaфика. Мы познакомились с двуми математическими м::о.пелими : у  х 2 , У  (х). . Мы пол;учили следующий Deзvльтат: rpафиком функции у  z2 8ВJlиетса парабола. . Мы разработали 8JIroDИТN rpафическоro решении ypaB иении вида f (х)  к(х). Наконец, вы П03накомились с тем, как строить rpaфи кв кусочJIыx функций. 
rЛАВА 8 СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ t 15.0сно.ные пOHIITHII t )6. МеТОА пОАстано.нн t 17. МеТОА алrеб,з.нчесноrо сложеННII t 18. Снстемы А.УХ лнненных у,з..неннн с А.УМII переменнымн нан математнчеснне МОАелн РНЛЬНЫХ снтуацнн Основные резу..тать.  35. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ в  28 l\IЫ ввeJIИ ПОНJlТие JIИнейвоro ур8ВненИJI с ДJIYIIR п ереме-.nn.nm  так RA:n.ntA1QI' равевство ах + Ьу + с ... О, rде а, Ь, с  кои:кретные числа, причем а';' о, Ь.;. о, а х, у  переменные (неизве- стные). Прн:меры линейных уравнений с двy?tI.IiI переМенныМИ: 2х  3у + 1  о; х + у  3 ... о; s  5t + 4  О (ЗДесь переменные обозначевы подрyroму: в, t,  но это роли не иrpает). В ТОМ Же  28 мы ввели понятие реmенИJI лннейноro уравне- ния с двум:и перемевиыми  так называют вс.я:кую пару чисел (х; у), КОТОрав: удовлетворяет уравнению, т. е. обращает равенство с пе- ремеввыl\lИ ах + Ьу + с  О в верное числовое равенство. на первом месте Bcerдa пишут значение переменной х, на втором  значение переменной у. 145 
8.35. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУ МЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Приведем примеры: 1. (2; 3)  решеиве уравнения Б:r + 3у  19  О. в самом деле. Б . 2 + 3 . 3  19  О  верное числовое равенство. 2. (4; 2)  решение уравнения 3х  у + 14 == о. Действительно, 3' (4)  2 + 14  О  верное числовое равенство. 3. (о;  i )  решение уравнения  О,4х + 3у + 7  о. Имеем: 0,4' О + 3 . ( ) + 7  О  верное числовое равенство. 4. (1; 2) не являетси решением уравневии 2х  3у + 1  О. в самом деле, 2. 1  3.2 + 1 == О  неверное числовое равенство (получается, что  3  о). в 5 29 :мы отмечали. что математическую модель ах + Ьу + + с .. О BcerAa МОЖНО заменить более простой: у == k:r + т. Напри- мер, уравнение 3х  4у + 12 == О МОЖНО преобразовать так: 4у  3х + 12; 3 У == "4Х + 3. I'pафиком линейноrо уравнения ах + Ьу + с == О является пря- мая (см. 5 28). Координаты любой точки этой прямой удовлетво- ряют уравнению ах + Ьу + с  О, т. е. ивляютси решением уравне-- вия. Сколько же решений JDIeeТ уравнение ах + Ьу + с  01 Столько Же, сколько точек расположено на прямой, служащей rpафиком уравнения ах + Ьу + с  о, т. е. бесконечное множество решений. МиOI'Ие peaJtыIыe ситуации при переводе на математический язык офорМЛЯIOТCR в виде математической модели, состоищей из двух ливeйв:ых уравнений с двумя перемеввым:и. С такой ситуацией мы встретились в 5 28 в задаче про двух садоводов Иванова и Петрова: математическая модель состояла из двух уравнений: Б:r  2у == О и 3х + 2у  16 == о, причем вас интересовала такм пара значений (х; у). котораа одн.овре.и.ен.н.о удовлетворила и тому, и дру- roмy уравнению. В тахих случаях обычно не rоворят, что матема- тическая модель состоит из двух уравнений, а rоворят, что .мате- .матичесlUlЯ модель npedcтa8J/JU!m собой систему уравн.ен.ий. Вообще. если даны два линейных уравнения с двумя перемен. ными:r и у: а 1 х + Ь 1 у + С 1 == О И а 2 х + Ь2У + С 2 == О И поставлена задача  найти такие пары значений (х; у), которые одновременно УДОВ- летвориют и тому, и ApyroMY уравнению, то rоворят, что зад8ВВЫе t46 
уравнении образуют систему уравневнй. УравненШI системы 38ПисыВ8IOТ дPyr ПОД дрyroм И 06ъединают специальиыl\l СИl\lВOлом  фиrypной скобкой: { X+Y+Cl =0, (1) tl:ix+b.y+c. =0. Пару значений (х; У), котораа одновременно ив- лиетси решением и первоro, и BTOporo уравнений системы, называют решением системы. Решить систему  это значит найти все ее ре- шении или установить, что их нет. Теперь мы можем сказать, что уже встречались с системой лииейиых уравнений  математическаи модель уже упоминутой задачи про садоводов из  28 выrлидела так: 8.35.   система уравнениii решение системы уравнений { 5X2Y=O, 3x+2y16=0. Ее решением была пара (2; 5), т. е. х  2, У  5. Рассмотрим новые примеры. (2) При м е р 1. Решить систему уравнений { X+2Y5;O, 2х+ 4у+3=0. (3) Реш е н и е. I'paфИКОМ уравнении х + 2у  5  О ИВJIJIетса при маи. НайдеМ две пары значений переменных х, У, удовлетвораю- щих этому уравнеиию. Если У  о, то из уравнении х + 2у  5  О наХОДИМ: х  5. Если х  О, то из уравнении х + 2у  5  О Haxo дик: У  2,5. Итак, нашли две точки: (5; О) и (о; 2,5). Построим на координатной плоскости ХОУ примую, проходищую через эти две точки,  примаи II на рисунке 70. I'pафшсом уравнении 2х + 4у + 3 ... О ТQl(же ИВJIRется при:маа. Найдем две пары значений переме:виьrx х, у, удовлетворающих это- му уравиевию. Если У  О, то из уравнеиии 2х + 4у + 3  О находим: х  1,5. Если х  2,5, то из уравнении 2х + 4у + 3  О В8ХОДИМ: 5 + 4у + 3  о, и, следовательно, У  2. Итак, нашли две точки: (1,5: о) И (2,5; 2). Построик на координатной плоскости хОу при- мую, прохо,цищую через эти две точки,  ПРRМ8JIl 2 на рисунке 70. t47 
8.35. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ rEPEMEHHbIмa.1 Прямые 11 и l2 параллельвы. Что означает этот reoметрический факт для д8ВНОЙ системы уравнений? То, что она не lDlеет реше ний (ПОСКОЛЬКУ нет точек, удовлетворающих одновременно и тому, и дpyroмy уравнению, Т.е. привадлежащих одновременно и той, и дрyroй из построеввых прямых 11 И l2)' Ответ: система не имеет решений. При м ер 2. Найти два числа, если известно, что их сумма равна 39, а разность равна 11. Реш е н и е. Если х, у  искомые числа, то х + у  39 и х  у == 11, причем эти равенства должны одновременно выпол няться: { Х + у=39, (4) x у=11. Получили систему диух ливейвых уравнений с двумя пере менными. Можно yraдaТb, чему равны х и у: х  25, у == 14. Но, вопервых, метод yrадывавия далеко не Bcerдa примевим на пра.ктике. А вo вторых, rде rараития, что иноrо решения нет, может быть, мы про сто до Hero не додума.лись, не 4ДОyrадали.. MO)VHO построить rpaфики уравнений х + у == 39 и х  у == 11, это прямые, причем непараллельвые (в отличие от тех, что в прим:ере 1), они пересекaюreя в одной точке. эту точку l\IЫ уже знаем: (25; 14); значит, зто едивствевваипара чисел, васycrpaиввeт, едивствев:- вое решение cиcreм:ы. Ответ: 25 и 14. у i'o... ..... ..... llo ..... l' i'o... ..... О ..... ,1  " iI ;-.. 11' i'o... l' ... I  ..... ...... .t Рис. 70 1.. 
8.35. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ в прим:ерах 1 и 2 мы применили rpафичееюШ метод решении системы ливейиых уравнений. Эrим: же методом мы ПОЛЬ3ОВ8JIИсь в  28 при решении зада- чи о числе яблонь у двух садоводов (система (2) реше- на в  28 rpафическим методом). К сожалению, rpафический метод, как и метод yrадывании, не самый надежнЫЙ. Вопервых, при. мые MOryт просто не уместиться на чертеже. Во. вторых, прямые MOryт уместиться на чертеже, но пересечься в точке, координаты которой по черте' жу не очень леrко определить. При м е р З. Решить систему уравнений: { 3XY5=O, 2x+y7=O. (5)  rр«Рlfческнi метод решенне снстем., ура8неНIf'; Реш е н и е. Построим rpaфики уравнений системы. Сначала, как это чаще всеro мы делаем, преобразуем оба уравневви к виду ли:вeйRой ФУИК ЦИИ. из первоro уравв:евии получаем: у  ах  5, а из второro: у  7  2х. Построим в одной системе координат rpaфи- ки линейных Функций у ... 3х  5 (IIpJIl\IM l1 на рис. 71) и у '""' 7  2х (пряl\l8Jl l2 на рис. 71). они пересеквются в точке А, координаты которой  единственное решение заданной системы. А вот чему конкретно равны абсцисса и ордината точ ки А, мы по рисунку 71 точно определить не CMO жем (постройте эти прямые в своих тетрадях в клеточку и у6едитесь, что точка А как бы . ви' сит. внутри определенной клеточки). Придетси нам позднее вернуться к этому примеру.  Но всетаки rрафический Метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение. С ero помощью можно сделать следующие важвые 8Ы8оды: rpaфикам:и обоих уравнений системы (1) ЯВЛЯЮI'CJI прЮ'4Ые; эти прямые MOryr пересекаться, причем только в одной точке,  это значит, что система (1) имеет едивствеввое решение (так было врассмотренвых в этом паpaI'pафе системах (2), (4), (5); II Рис. 71 .... 
8.36. СИСТЕМЫ ДВУ Х ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУ МЯ ПЕРЕМЕННЫМ  эти примые MOryт быть параллельны  это зна- чит, что система не имеет решений (rовор.ит также, <:  что система весовмества  такой была система (3»; эти IIpIIмыe MOryт совпасть  это зВАЧВТ, что сис. тема имеет бесконечно l\IВoro решений (roворят также, HeC08MeCrHIJ. что система веопределевва). CIfCreMIJ Итак, l\IЫ познакОМИJIись с новой математичес- кой моделью (1)  системой двух ливейвых уравне-- неопреА8IfIJН.,.. ний с двуми перемеввыми. Наша задача  научить CIfCreMIJ си ее решать. Метод yrAДJ-I1LtlИИ И невадежен, rpaфи- ческий метод также выручает не всеrда. Значит, HIIМ нужно располarать вадежиыми aлre6раическими методами решеВИJI системы двух JШВейвых уравневвй с двуми переменными. об этом и пойдет речь в следующих парarpaфах.  36. МЕТОД ПОДСТ АНОВКИ Вернемси еще раз к системе (2) из  35: { 5х  2у = О, 3х + 2у  16 = о. мы ее решили rpaфически:м методом в  28 и знаем, чro х  2, У  5  едивcrвeввое решение этой системы. А теперь будем решать ту же систему дрyrим способом. Первое уравнение преобразуем к виду 2у 5х, т. е. у  2,5х. Вropoe уравнение преобразуем к виду 2у ... 16  ах и .цалее у  8  1,5х (все коэффициевты уравнении 2у == 16  3х разделили на 2). Теперь систему можно переписать так: { У = 2,5х, у = 8  l,Бх. Ясно, что нас интересует такое значение х, при котором 2,5х == 8  I,Бх. Из этоro уравнении находим 2,5х + 1,5х  8; 4х == 8; х"'" 2. Если х ... 2, то из уравнении у == 2,Бх получим у  5. Итак, (2; 5)  решение системы (что, В8ПОl\lВИl\I, HIIМ уже было известно). 150 
. 8.36. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕйНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУ МЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Чем эти рассуждении отличаютси от тех, что мы применили в  28? Тем, что никаких rрафиков строить не пришлось, вси работа шла на ВЛN!браи- ческом языке. как же l\IЫ рассуждвли? мы выразили у через х из первоro уравнении и получили у  2,5х. Затем ПОДСТ8ВИJIи выражение 2,5х вместо у во второе уравнение и получили 2,5х  8  1,5х. Далее решили это yp8JIнение относи- тельно х и получили х =о 2. Наконец, по формуле у  2,5х нашли соответствующее значение у. И вот что важно: во втором уравнении совсем не обизательно было выражать У через х, можно бо подста- вить 2,5х вместо у в за,цаиное yp8JIневие 3х + 2у  16 == О. Смотрите: 3х + 2. 2,5х  16 =о О; 3х + 5х == 16; 8х  16; х ... 2. Подобный метод рассуждений наЗЫвают обычно методом под- ставовки. Он представлиет собой определенную последователь- ность шаroв, т. е. некоторый влroритм.  МВТОА пОАСТIIНОВКН A.лrоритм решениа системы двух уравнений с двума перемеВIIЫМИ методом подстановlCJI 1. Выразить у "ерез х из nepsozo уравнения систе.мы. 2. Подставить nо.лу"енное на nервOAl шаzе выражеlШе вместо у во второе уравнение системы. 3. Решить полученное на втором шаzе уравнение отн()- сительно х. 4. Подставить найденное на третьем шаzе значение х в выражение у "е рез х, noлученное на первом шаzе. 5. Записать omвeт в виде пары :maчений (х: у), "оторые были найдены соответственно на третьем и "етвер- том шаzах. П р н м е р 1. Решить систему уравнений: { ЗХУ5=0, 2:r + у  7 = о. Реш е н и е. 1) Из первоro уравнении системы получаем: у ... 3х  5. 151 
8.36. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННbIIw\W  r 2) Подставим иайдеиное выражение вместо у во второе уравнение системы: 2х + (3х  5)  7 == о. 3) Решим полученное уравнение: 2х + 3х  5  7 .. о; 5х  12 == о; 5х  12: 12 х=='5' 4) Подставим найденное значение х в формулу у == 3х  5: 12 36 36  25 11 y==3'5==5  5 5 5 5 . 12 11 5) Пара х == "5' у  "'5  единственное решеиие задавной системы. - ( 12 11 ) О т в е т: '5; 5" . Вы УЗИ8JIИ эту систему? мы с ней встретились в предыдущем парarpaфе (система (5», пробовали решить ее rpaфичесКJDI Meтo дом, и у нас ничеro не получилось. А вот метод ПОДСТ8Вовки BЫPy чит всеrда. эro  увиверсaJtьВое средство. он и выручил нас в при мере 1. Более TOro, метод подставовки активио примевиетса и в бо- лее сложиых системах уравнений, не обизательво линейных, о Ta КИХ системах речь впереди  в старших массах. этот метод, быть может, ие всеrда эффективен (т.е. не всеrда быстро приводит к цели), ио достатоЧIIО надеЖеН. Вериемся к рассмотренному 8JIroритму из пити шaroв, в KOTO ром описав метод подствиовки. У вас не возник вопрос, почему у выражают именно из первоro ураввеиии и подставлтот во второе, почему не выразить у из втoporo уравнения и подст8.JIИТЬ в первое? И вообще, почему выражали у через х, а не х через у, почему таКое неравноправие? OrBeт: никакой ПРИЧИIIЫ нет. Выражайте что xo тите и откуда хотите, ищите наиболее простые варианты. При м е р 2. Решить систему уравнений: { 5х  3у + 8 = О, х + 12у = 11. 151 
8.37. систl:мы ДВУХ линеЙНЫХ УРАВнений С ДВУМSI ПЕРЕМЕННЫМИ Реш е н и е. 1) ВhIp83Иl!II х через у из BТOporo уравнения: х == 11  12у. 2) Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение системы: 6 (11  12у)  3у + 8 == о. 3) Решим полученное уравнение: 66  60у  3у + 8 == о; 63  63у == о; 63у == 63; у == 1. 4) Подставнм найденное значение у в формулу х == 11  12у:  х == 11  12.1 ==  1. 6) Пара х ==  1, у == 1  едивствеввое решение зад8ИВой систем:ы. О Т В е т: ( 1; 1).  37. МЕТОД АлrЕБР АИЧЕскоrо СЛОЖЕНИЯ Мы довольно часто возвращаемся к тому, что уже обсудили ранее, например для тoro, чтобы рассмотреть ситуацию под дрyrим yrлом зрения. Вот И теперь давайте вернемся к примеру 1 из  36, rде речь шла о решении системы уравнений { 3х  у  6 = о, 2х + у  7 = о. Как м:ы решали эту систему? мы выразили у из первоro ypaвHe нии и подставили результат во второе, что привело к уравневию с одной перемеввой х, Т.е. фактически к временному исключению из р8ССмотреНИJI перемевной у. Но исключить у из pac смотрения можно было бы значительно проще  достаточно сложить оба уравнения системы (сло жить уравнения  это значит по отдельности cocтa вить СУММУ левых частей, сумму правых частей уравнений и полученвые суммы прираВНRТь):     .".....r В] 
8.31. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ + { 3х  у  5 = о, 2:r + у  7 = о. (3х  у  5) + (2:r + у  7) = О + О 5х  12 == о; 12 x 5' Затем МОЖНО было найденное значение :r подставить в любое уравнение систеМЫ, например в первое, и найти у: 12 3. 5  у  5  о; 36 5"  5  у; 11 Y5' Попробуем примевить 8Валоrичвые рассуждении еще дли He скольких систем линейных уравнений с двуми переменными. При м е р 1. Решить систему уравнений: { 2:r + 3у = 1, 5х + 3у = 7. Реш е н и е. 1) Вычтем второе уравнение из первоrо: { 2:r + 3у = 1, 5х + 3у = 7. (2:r + 3у)  (5х + 3у) = 1  7 2х + 3у  5х  3у   6;  3х   6; :r  2. 2) Подставим найденное значение :r  2 в первое уравнение за данной систеМЫ, т. е. в уравнение 2х + 3у == 1: 2 . 2 + 3у  1; 3у  1  4; 3у   3; y 1. 3) Пара :r  2, У   1  решение заданной системы. О т в е т: (2;  1).   15. 
8.31. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУ МЯ ПЕРЕМЕННЫМИ При М е р 2. Решить систему уравнений: { 3х  4у = 5, 2х + 3у = 7. Реш е н и е. Здесь сразу исключить переменвyIO х или пере менную у из обоих уравнений с ПОМОЩЬЮ сложения или вычита- ния уравнений не удастся. Нужен подrотовителъвый этап. Сначала умножим все члевы перв.оro уравнения системы на 3, а все члены BТOporo уравнения  на 4. Получим:: { 9Х  12у = 15, 8х + 12у = 28. Теперь можно сложить уравнения, что приведет к исключе- нию перемеввой у. Имеем: 17х  43, т. е. 43 х  17 ' Подставим найденное значение х во второе уравнение исход. ной системы, Т.е. в уравнение 2:r + 3у  7: 43 2'  + 3 У  7' 17 ' 119  86 3у  17 ( 43 11 \ о т в е т: 17 ; 17 t Можно использовать следующую краткую запись приведен HOI'O реmения: 86 3 У  7  . 17 ' 33 11 3у  11 ; у  11' + { 3X4Y=5, 1з 2:r + 3у = 7. I 4 3(3х  4у) + 4(2.r + 3у) = 5.3 + 7.4 43 Далее, находим 1 7х  43, х  17 и т. д. Здесь справа от вертикальной черты записаны дополнитель- ные множители, с помощью которых удалось ypaBHRТЬ козффи циенты при переменной у в обоих уравнениях системы. Метод, который мы обсудили в этом параrpaфе, называют ме- ТОДОМ a.лrебраическоrо сложения. 155 
8.38. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМи  38. систЕмы ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ КАК МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ собственно roвopa, иичеro особенно HOBOro вы в этом па parpафе не узнаете. Ведь вам уже известно, что реальная ситуацWl может быть описана на математическом языке в    I  виде математической модели, предстаВЛЯЮЩей co <, бой систему двух линейных уравнений с двум:и пе ременными. Так было в  28 в ситуации с садоводами Иваиовым и Петровым. Так было и в при мере 2 из  35. Поэтому теоретический ра.зroвор, соответствую щий названиЮ паparpaфа, можно считать законченным. А вот с пp8J<тической точки зрении обсуждение новых ситуаций полезно. и.м: и 38Ймемси. При м е р. В седьмом классе в понедельвик не пришли в IIJ1(ОЛУ одна девочка и пять мальчиков. При этом число девочек в классе оказалось в 2 раза больше числа мальчиков. во вторник не пришли один мальчик и девить девочек. При этом число мальчиков оказа лось в 1,5 раза больше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько школьников присутствовало на уроках в среду в седьмом классе? Реш е н и е. ПеDВЫЙ этап. Сосma8ленШ! .мате.матичес"ои .модеЛ/L Пусть х  число девочек, у  число М8JIЬчиков В седьмом классе. В понедельиик было (х  1) девочек, (у  5) мальчиков. При этом оказалось, что девочек вдвое больше, т. е. х  1 ""' 2 (у  5). во вторник было (х  9) девочек, (у  1) мальчиков. При этом оказалось, что мальчиков в 1,5 раза больше, т. е. yI==I,5(x9). Математическаи модель ситуации составлена: { х  1 = 2 (у  5), у  1 = 1,5 (х  9). iS6 
8.38. СИСТЕмЫ ДВУХ линейНЫХ УРАВНЕНИЙ С двумя ПЕРЕМЕННЫМИ ВТQnOЙ этап . Работа с составленной м-оделью. СнаЧ8Jlа упростим каждое уравнение системы. Для первоrо уравнения имеем: х  1 == 2 (у  5); х  1  2у  10; х  2у + 9 == о. Для BTOpOro уравнении имеем: у  1 == 1,5 (х  9); 2 (у  1)  3 (х  9) (обе части уравнении умножили на 2); Д8Jlее, 2у  2 == 3х  27; 3х  2у  25  о. ИтaJC, получили следующую систему двух линейных уравне- ний с двуми переменными: { х  2у + 9 = о, 3х  2у  25 = о. (скорректированная математическая модель рассматриваемой си туации). В чисто учебных целях решим эту систему двумя способами. ПеDВЫЙ способ . Примевим мeroд подстаиовки. Из первоro ypaв неВШI системы находим: х == 2у  9. Подставим этот результат вмec то % во второе уравневие системы. Получим: 3(2у 9)  2y 25  о; 6у  27  2у  25 == о; 4у == 52; у == 13. Так как х == 2у  9, то х  2. 13  9  17. Итак, х == 17, у == 13  решение системы. Второй способ . При мени м метод алreбраическоro сложении: { Х  2у + 9 = о, 3х  2у  25 = о. (х  2у + 9)  (3х  2у  25) = О  О х  2у + 9  3х + 2у + 25 == о; 2x + 34 == о; 2х == 34; х== 17. tS7 
8.38. системы ДВУХ линейных УРАвнений с двУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Подставим иайдениое значение :r в первое уравнение систем:ы, Т.е. в уравнение:r  2у + 9 == о: 17  2у + 9  о; 2у == 26; У  13. Итак,:r  17, у  13  решение систем:ы. Второй этап м:ы завершили (решили полученную систему, при чем даже двумя способами). Тneтий этап. Ответ па вопрос задачи. Спрашивается, сколько школьников было в седьмом классе на уроках в среДУ, коrда пришли все ученики. Поскольку:r == 17, у == 13, т. е. в классе было 17 девочек и 13 мальчиков, делаем вывод: Bcero в классе 17+ 13  30 учеников. О т в е т: 30 учеников. [I] Замечание. &1, Конечно, понимаете. что дnя решения конкретной систеМ1 уравнений надо вl6ира1Ъ тот сno- соб, кото1Й представляется дпя дaннoro cnучая нанбо.- !I nee умеа..... .....'Ют. мотор.;;.... бon.......,...... (т... BI можете испоnэoвan. rpафическнй метод. или метод nOДCТёlН08Юi. ю-t метод anrебраическоrо cnожения  это ваше депо). Сост-пенную в рассмотрежой задаче OtCТeMY MW рewиnи P/Jумя сnocс>- бами, чтоб1 ПО8торит методь' ПОДСТёlНOlllCИ и anrебраическоrо cnoжeteolя и сопоставить эти MeToДbI/JPyr с /JPyroM. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ . в ЭТОЙ rлаве вы позВ8.КОl\lИJIИСЬ с новыми м:атематичес кими понятиям:и : система двух .ливейвых уравнений с двуми перемеННhI1\lИ; решение системы уравнений; несовместная система, неопределенная система ypaB нений. . Вы познакомились с НОВОЙ математической мопелью : системой двух линейных уравнений с двумя перемен- ными: { X + Ь 1 У + С 1 = О, az:r + bzY + C z = о. . Мы с вами обсудили тои метопа решения снстем линейных уравнений: rpафический метод; метод подстановки; метод алreбраическоrо сложения. 
оrЛАВЛЕНИЕ Предисловие ДЛИ yчитeJUI ......................... ................ ............. ....... 3 r ..ава 1. МАТЕМА ТИtECКИЙ язык. МАТЕМАТИЧЕСКА Я МОДЕЛЬ f 1. Числовые и алreбраические выражения ................................. 9 f 2. Что такое математический язык ............................................ 16 . 3. Что такое математическая модель.......................................... 17 rAaea2. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКА3АТЕЛЕМ ИЕЕ СВОЙСТВА . 4. Что такое степень с натуральным показателем ........................ 23 . 5. Таблнца основных степеней .................................................. 26 . 6. Свойства степени с натуральным показателем ......................... 29 . 7. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями .... 35 . 8. Степень с нулевым поКазателем............................................. 37 Основные результаты ............. ........ ........... .................... ......... 38 rAaoa 3. ОДНОЧЛЕНЫ. АрИФметИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ 5 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена .................... 39 510. Сложение и вычитание одночленов ........................................ 41 . 11. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень ......................................................... 46 512. Деление одночлена на одночлен ............................................ 49 Основные результаты ..... ............... ....................... ............ ..... 52 rAaea 4. мноrОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД мноrОЧЛЕНДМИ 5 13. Основные понятия ............................................................... 53 514. Сложение и вычитание мноrочленов ...................................... 56 5 15. Умножение мноrочлена на одночлен ...................................... 58 516. Умножение мноroчлена на мноrочлен .................................... 63 517. Формулы сокращенноrо умножения ...................................... 64 518. Деление мноroчлена на одночлен ........................................... 70 OcHOВHble результаты ............................................................ 72 Н9 
rAoea 5. РАЗЛОЖEt-l1E МнorоЧЛЕН08 НА МНОЖИТЕЛИ 5 10. Что такое разложевие мвоroчлева ва миожители н зачем ОВО нужно .............................................................. 73 520. Вынесевие общеro множителя за скобки ............................... 76 521. Способ rpуппировки . ........................................................... 70 5 22. Разложение мвоroчлева ва мвожители с помощью формул сокращенноro умвожевия ....................... 82 5 23. Разложевие мвоroЧJ1ева ва мвожители с помощью комбинацив различных приемов .......................... 84 5 24. Сокращение алreбраических дробей 88 525. Тождества .......................................................................... 01 Осноаные р8зу"т-ты .. ................. ...... ...... ............ ...... .......... 93 rAoea б. лиНЕйНАЯ ФУНКЦИЯ 526. Коордвватаая пр8мая ......................................................... N 527. Координатаая плоскость ..................................................... 99 5 28. Линейное ураввевие с двумя перемеввыми и ero rpaфик.. ...... 105 529. ЛввеАвая функция в ее rpaфвк ........................................... 112 530. ПРDlая пропорциональнOC'I'Ь и ее rpафик ............................. 122 531. Ваавмиое расположевие rрафиков линейных функций .......... 125 осно..... резу,.т-ты . ......................................................... 127 r АtUЮ 7. функция у.. х' 532. Функция IJ" %' И ее rpaфик................................................. 130 533. I'paфическое решение уравневий ......................................... 135 534. Что озвачает в математике запись 11" (%) ............................ 137 основные резу,.т-ты .. ........ .......................... ..... ............ ..... 1.... rAaвo 8. СИСТЕМЫ двух I1Иt-EЙНЫХ УРАВНEt+Iй С двумя ПЕРЕМЕННЫМИ 535. Основные понятия 145 536. Метод ПОДСТ8вовки ............................................................ 150 537. Метод алrебраическоrо сложения ........................................ 153 5 38. Системы двух линейвых уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуацвй ................... 156 Осно...е pe3YnЬTan.a ..... ..................... ........................ ........ 168